1 Introducción a la Econometría

1.1 Propósito y de�nición

Consiste en la aplicación de la estadística matemática a los datos económicospara dar soporte empírico a los modelos construidos por la economía matemáticay obtener resultados numéricos. El interés principal de la economía matemáticaes expresar la teoría económica en una forma matemática (ecuaciones) sin pre-ocuparse por la capacidad de medición o de veri�cación empírica de la teoría.La econometría se interesa sobre todo en la veri�cación empírica de la teoríaeconómica. En econometría, el que construye el modelo a menudo se enfrentaa datos provenientes de la observación más que de la experimentación. Estotiene dos implicaciones importantes para la creación empírica de modelos eneconometría. Primero, se requiere que quien elabore modelos domine muy dis-tintas habilidades en comparación con las que se necesitan para analizar losdatos experimentales. Segundo, la separación de quien recopila los datos y elanalista exige que quien elabora modelos se familiarice por completo con lanaturaleza y la estructura de los datos en cuestión

1.2 Metodología de la econometría

1. Planteamiento de la teoría o de la hipótesis.

2. Especi� cación del modelo matemático de la teoría.

3. Especi� cación del modelo econométrico o estadístico de la teoría.

4. Obtención de datos.

5. Estimación de los parámetros del modelo econométrico.

6. Pruebas de hipótesis.

7. Pronóstico o predicción.

8. Utilización del modelo para �nes de control o de políticas.

1.3 Tipos de econometría

La econometría se divide en dos amplias categorías: econometría teórica yeconometría aplicada. En cada categoría se puede tratar la materia según latradición clásica o la bayesiana. La econometría teórica se relaciona con la elab-oración de métodos apropiados para medir las relaciones económicas especi�cadas por los modelos econométricos. En este aspecto, la econometría se apoyaen gran medida en la estadística matemática. La econometría teórica debe ex-presar los supuestos de este método, sus propiedades y lo que les sucede cuandono se cumplen uno o más de los supuestos del método. En la econometría apli-cada utilizamos herramientas de la econometría teórica para estudiar algunoscampos especiales de la economía y los negocios.

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2 Algunos conceptos estadísticos

2.1 Variable Aleatoria

Las observaciones son generadas por un fenómeno aleatorio (experimento), a esteexperimento ahora le llamaremos variable aleatoria. Para estudiar el compor-tamiento aleatorio de esta variable se cuanti�can los resultados del experimento,es decir, se permite relacionar cualquier resultado de un experimento aleatoriocon una medida cuantitativa.

2.2 Clasi�cación de variables aleatorias

2.2.1 Discretas

Pueden tomar un número �nito de valores. Ejemplo: Número de accidentes enlas autopistas del país cuando es puente.

2.2.2 Continuas

Pueden tomar cualquier valor en un intervalo dado. Ejemplo: Tiempo requeridopor los profesores para trasladarse de su hogar a la universidad.

Identi�que cada una de las siguientes variables aleatorias como discretas ocontinuas:1.- Las edades en años de los niños que están en un salón de clases2.- La distancia a la que se puede elevar un papalote3.- El número de robos ocurridos en un almacén en un determinado periodo

de tiempo.4.- La cantidad de gasolina consumida por un vehículo en una prueba de 100

Km.5.- El tiempo que un alumno tarda en resolver la tarea de estadística.6.- El número de accidentes mortales en una planta manufacturera.7.- El número de cuentas que hay en un banco en un momento dado.

2.3 Funcion de probabilidad de una variable aleatoria disc-reta

Para medir la incertidumbre de los resultados de un experimento mediante el usode variables aleatorias es necesario calcular la probabilidad de que la variabletome algún valor especí�co.Una función de probabilidad de una variable aleatoria discreta es una tabla,

gra�ca o regla que muestra los posibles valores de X con su probabilidad, pero sidichos valores son demasiados es más conveniente describir su comportamientomediante una ecuación.

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2.3.1 De�nición de función de probabilidad de una variable aleatoriadiscreta

Utilizando una fórmula que exprese las probabilidades mediante una funciónP [X = x] : Dicha función debe cumplir ciertas propiedades

1. P [X = x] � 0

2.X

P [X = x] = 1 la suma de todas las probabilidades

Podemos representar gra�camente la función de probabilidad discreta medi-ante un histograma

Por otro lado, a veces es importante de�nir la función de distribución acumu-lada de probabilidad de�nida como la probabilidad de que la variable aleatoriatome valores menores o iguales a un valor �jo.xF (x) = P [X � x]y la obtenemos sumando los valores de P [X = x] que sean menores o iguales

que un valor �jo

2.4 Valor esperado de una variable aleatoria discreta (me-dida de tendencia central poblacional)

Se utiliza como medida de localización del centro de la distribución y su fór-mula viene dada por la suma de cada valor multiplicado por su probabilidadEn otras palabras, se calcula el promedio de los valores que puede tomar lavariable aleatoria donde cada valor está ponderado por la que probabilidad deque la variable tome dicho valor, de tal forma que los valores que tienen másprobabilidad de ocurrir tendrán mayor ponderación.E [X] =

Px P [X = x]

E [g(X)] =Pg(x)P [X = x]

PropiedadesE [a+ bX] = a+ bE [X]

2.5 Varianza de una variable aleatoria discreta (medidade dispersión)

V ar(X) = E�X2�� [E (X)]2

PropiedadesV ar(a+ bX) = b2XSi X y Y son variables aleatorias independientes,V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y )V ar(X � Y ) = V ar(X) + V ar(Y )Si X y Y son va independientes y a y b son constantes,V ar(aX + bY ) = a2V ar(X) + b2V ar(Y )

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2.6 Funcion de densidad de una variable aleatoria con-tinua

La función de densidad se usa para caracterizar la distribución de probabili-dad. Gra�camente la función de densidad corresponde a la forma limite delhistograma de frecuencias relativas.

2.6.1 De�nición de función de densidad de una variable aleatoriadiscreta

Utilizando una fórmula que exprese las probabilidades mediante una funciónf (x) Dicha función debe cumplir ciertas propiedades

1. f (x) � 0

2.Zf (x) = 1 la integral de todas las probabilidades

Podemos representar gra�camente la función de probabilidad discreta medi-ante las grá�cas de sus densidades

Por otro lado, a veces es importante de�nir la función de distribución acumu-lada de probabilidad de�nida como la probabilidad de que la variable aleatoriatome valores menores o iguales a un valor �jo.xF (x) = P [X � x]y la obtenemos integrando la función de densidad para todos los valores de

la variable aleatoria que sean menores o iguales que un valor �jo

2.7 Valor esperado de una variable aleatoria continua (me-dida de tendencia central poblacional)

Se utiliza como medida de localización del centro de la distribución y su fórmulaviene dada por la integral de cada valor multiplicado por su densidad

E [X] =

1Z�1

x f (x) dx

E [g(X)] =

1Z�1

g(x) f (x) dx

PropiedadesE [a+ bX] = a+ bE [X]

2.8 Varianza de una variable aleatoria continua (medidade dispersión)

V ar(X) = Eh(x� E [X])2

i= E

�X2�� [E (X)]2

Propiedades

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V ar(a+ bX) = b2XSi X y Y son variables aleatorias independientes,V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y )V ar(X � Y ) = V ar(X) + V ar(Y )Si X y Y son va independientes y a y b son constantes,V ar(aX + bY ) = a2V ar(X) + b2V ar(Y )

3 Medidas de asociación lineal

Sirven para saber si una variable in�uye sobre la otra. Para saber si existe unarelación, positiva o negativa entre dos variables.

3.1 Diagrama de dispersión

Una primer forma para saber cual es la relación entre dos variables es obte-niendo el diagrama de dispersión. En el eje horizontal ponemos la variableindependiente y en el vertical la variable dependiente.

3.2 Covarianza

Una medida para representar la relación entre dos variables es la covarianza.Esta medida depende de las unidades pero el signo de la misma nos da infor-mación.Cov (X;Y ) =

Xy

Xx

(X � �x)�Y � �y

�P [X = x; Y = y]

Cov (X;Y ) =

1Z�1

1Z�1

(X � �x)�Y � �y

�f (x; y) dxdy

PropiedadesCov (a+ bX; c+ dY ) = bdCov (X;Y )Si X y Y son independientes, su covarianza es ceroVarianzas de 2 variables correlacionadasV ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) + 2Cov (X;Y )V ar(X � Y ) = V ar(X) + V ar(Y )� 2Cov (X;Y )

V ar

nXi=1

Xi

!=

nXi=1

V ar(Xi) + 2XXi<j

Cov (Xi; Xj)

3.3 Coe�ciente de correlación

Mide el grado de asociación existente entre dos variables sin ser afectada porlas unidades. Sus valores van desde -1 a 1. En esta medida tanto el signo comola magnitud nos da información.

� = Corr(X;Y ) =Cov(X;Y )

�x�y

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3.4 Algunas distribuciones de probabilidad

3.4.1 Distribución Normal

Se utiliza ampliamente en aplicaciones en donde los valores que puede tomarla variable pueden ser tanto negativos como positivos y en donde se tengaconocimiento previo que dichos datos sean simétricos. Es muy importante ver-i�car, inicialmente mediante un histograma, si la distribución de los datos essimétrica, ya que en caso contrario, suponer normalidad puede llevar a erroresimportantes.Su función de densidad está dada por

f (x) =1

�p2�exp

�� 12�2 (x� �)

2�

donde � y �2 son la media y varianza de la distribución.Cuando � = 0 y �2 = 1 se habla de la distribución normal estándar, la cual

fue la más utilizada durante muchos años debido a que era la única de la cualse tenían valores calculados. Actualmente existen varios paquetes en dondepodemos encontrar los valores de la distribución para la normal con mediasdistintas a cero y varianzas distintas a uno.Ejemplos:

1. El agente de compras, encargado de conseguir autos para el centro devehículos motorizados, está estudiando la conveniencia de adquirir uno dedos modelos diferentes. Ambos tienen 4 puertas y 4 cilindros, con pólizasde servicio muy semejantes. La decisión sería elegir el auto que da mayorrendimiento por litro. Se efectuaron algunas pruebas que aportaron lossiguientes resultados:

Promedio de Km por litro varianzaCoche A 17.6 1.66Coche B 16.7 6.63

El agente de compras no estaba satisfecho con la decisión debido a lasvarianzas observadas, de modo que estableció su propio criterio de decisiónrespecto del coche que tenía mayores probabilidades de dar 19 km o máspor litro.

a) Considere que el rendimiento se distribuye como normal en amboscasos ¿cuál coche debería seleccionar?

b) Si el criterio del gerente fue rechazar el coche que tuviera mayoresprobabilidades de rendir menos de 16 km ¿cuál coche debería com-prar?

2. Se piensa que el tiempo en segundos que un cajero tarda en atender a uncliente en un banco se puede modelar con una distribución normal conmedia 150 y desviación estándar 20.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente sea atendido en más de 200segundos?

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b) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente sea atendido en menos de100 segundos?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente sea atendido en más de 140pero menos de 160 segundos?

d) Si se desea dar tiempo su�ciente para atender al 80% de los clientes,¿cuántos segundos tendrían que haber pasado?

3. Suponga que la demanda mensual de cierto producto se encuentra aprox-imada por una variable aleatoria normal con media 200 y desviación es-tándar de 40 unidades. Encuentre la probabilidad de que la demandamensual

a) sea mayor que 225 artículos

b) se encuentre entre 195 y 215 artículos del producto

c) ¿Qué tan grande debe ser el inventario disponible a principios de un mespara que la probabilidad de que la existencia se agote sea de 0.05?

Sea X1 � N��1;�

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�y X2 � N

��2;�

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�y suponga que son independientes.

Considere ahora la combinación lineal

Y = aX1 + bX2

donde a y b son constantes, entonces Y � N�a�1 + b�2; a

2�21 + b2�22�

Si X y Y están distribuidas normalmente de manera conjunta, son indepen-dientes si y sólo si la covarianza entre ellas [es decir, cov(X,Y )] es cero.

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