E.E.I. CALCULO II Y ECUACIONES DIFERENCIALES Curso 2011-12

Clase 8(28 feb. 2012)

Demostracion y aplicaciones del Teorema de Green1.– Demostracion del teorema de Green. 2.– Ejemplo: Circulacion del campo F(x, y) =

�ye�x , 12 x

2� e�x

�. 3.–

Caso especial de un campo irrotacional. 4.– Calculo del area de una region mediante una integral de lınea.

1 Demostracion del teorema de Green.

En la ultima clase vimos el enunciado del teorema de Green:

Teorema 1 (Teorema de Green) Sea F = (M, N ) un campo vectorial cuyo rotacional esta definido entodo el plano, sea R una region del plano cuya frontera es una curva diferenciable a trozos, C , orientadapositivamente. Entonces:I

CF · dr =

ZZRrotF dA o tambien:

ZCMdx + N dy =

ZZR

⇣@N@x

�

@M@y

⌘dx dy.

Tambien vimos que para demostrarlo es suficiente demostrar la “mitad del teorema”:ZCMdx =

ZZR

�

@M@y

dx dy, (1)

ya que la otra mitad se puede deducir de esta mediante un intercambio de las coordenadas x e y.Para demostrar (1) supondremos que la region R se puede proyectar sobre el eje x de forma que los

puntos de R son aquellos (x, y) tales que a x b y para cada uno de esos x , f (x) y g(x) tal comose muestra en la figura.

a bx

g�x�f �x�

R

Entonces la integral de lınea en (1) se reduce a una suma:ZCMdx =

Z b

aM�x, f (x)

�dx +

Z a

bM�x, g(x)

�dx =

Z b

a

⇣M�x, f (x)

�� M

�x, g(x)

�⌘dx .

Por otro lado, la integral doble a la derecha de (1) es igual a:ZZ

R�

@M@y

dx dy = �

Z b

a

Z g(x)

f (x)

@M@y

dy

!dx .

Por el teorema fundamental del calculo, para cada x entre a y b:Z g(x)

f (x)

@M@y

dy = M�x, g(x)

�� M

�x, f (x)

�,

con lo cual el teorema queda demostrado.

1

Clase 8 Demostracion y aplicaciones del Teorema de Green Curso 2011-12

2 Ejemplo: Circulacion del campo F(x, y) =

�ye�x, 12x

2� e�x�.

Sea F = (M, N ) el campo vectorial cuyas componentes estan definidas por M = ye�x y N =12 x2� e�x .

SeaC la circunferencia del cırculo de centro en el punto (2, 0) y radio 1. Si queremos calcular la circulacionde F a lo largo de C orientada en sentido antihorario, podemos usar la parametrizacion x = 2 + cos ✓ ,y = sen ✓ y calcular:

ICMdx + N dy =

IC

�yex

�dx +

� 12 x2� e�x

�dy

=

Z 2⇡

0

�sen ✓e�2�cos ✓ )(� sen ✓)d✓ +

� 12 (2+ cos ✓)2 � e�2�cos ✓

�cos ✓ d✓

=

Z 2⇡

0� sen2 ✓e�2�cos ✓ d✓ +

� 12 (2+ cos ✓)2 � e�2�cos ✓

�cos ✓ d✓

=

Z 2⇡

0

� 12 cos ✓(2+ cos ✓)2 � e�2�cos ✓ (sin2 ✓ + cos ✓)

�d✓

= · · ·

lo cual parece bastante complicado, aunque no imposible. Ahora bien, si calculamos el rotacional de F,obtenemos:

rotF =

@N@x

�

@M@y

= x + e�x � e�x = x,

una expresion bastante sencilla como para pensar que puede ser ventajoso aplicar el teorema de Green:ICMdx + N dy =

ZZR

⇣@N@x

�

@M@y

⌘dx dy =

ZZRx dx dy.

La integral doble que obtenemos en este caso es mucho mas sencilla que la original. Ademas, en estecaso particular, resulta justamente la integral que aparecıa en la formula de la coordenada x del centro demasa de R. En consecuencia, en este caso ni siquiera hace falta calcular la integral porque sabemos

ZZRx dx dy = x · area(R) = 2 · ⇡12 = 2⇡.

3 Caso especial de un campo irrotacional.

En el caso especial de un campo cuyo rotacional es cero: rotF = 0, el teorema de Green nos dice que lasintegrales de lınea de F a lo largo de curvas cerradas son cero, es decir, que el campo es conservativo:

ICF · dr =

ZZRrotFdx dy =

ZZR0dx dy = 0.

Atencion: Para poder aplicar esta consecuencia del teorema de Green, hay que asegurarse de que elrotacional es cero en todos los puntos de la region R. Por ejemplo, la circulacion del campo

F(x, y) =

✓�

yx2 + y2

,x

x2 + y2

◆(2)

a lo largo del cırculo unitario no es cero, aunque el rotacional es cero ya que este campo es un gradientecomo lo demuestra el siguiente ejercicio:

Ejercicio 1Calcula el gradiente de

f (x, y) = � arctan�y/x

�.

2

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Solucion:r f (x, y) =

✓�

yx2 + y2

,x

x2 + y2

◆.

Lo que falla en el caso del campo (2) es que no esta definido en el origen y su rotacional tampoco, portanto no se puede aplicar el teorema de Green en ninguna region que contenga al origen.

No solo eso: Tampoco se puede aplicar el teorema de Green en una region como una corona circularcon centro en el origen aunque la region en sı misma no contiene al origen. El problema esta en el hechode que, de alguna forma, la corona “rodea al origen” ya que el origen se encuentra en el agujero. Es decir,estamos en la situacion de una region “con un agujero que contiene una singularidad”.

Las regiones del plano que no tienen “agujeros” se llaman simplemente conexas y lo mas que se puedeafirmar sobre la validez del teorema de Green es que es valido para cualquier region simplemente conexaen la que el campo esta definido y es diferenciable.

4 Calculo del area de una region mediante una integral de lınea.

Otra aplicacion interesante del teorema de Green es que nos da la posibilidad de calcular el area de unaregion mediante el calculo de una integral de lınea. Para ello no necesitamos mas que calcular sobre lafrontera de la region de la que queremos hallar el area, la integral de lınea de un campo que tenga rotacionaligual a 1. Claramente si rotF = 1 en una region R en la que podemos aplicar el teorema de Green,I

@RF · dr =

ZZRrotFdx dy =

ZZR1dx dy = Area(R).

Es muy facil definir campos con rotacional igual a 1. Por ejemplo F(x, y) = (0, x). Usando este campopodemos calcular el area de una region R mediante:

Area(R) =

I@Rx dy

Ejemplo 1Sea R el cırculo de centro en el origen y radio r , entonces

Area(R) =

I@Rx dy =

Z 2⇡

0r cos ✓ · r cos ✓ d✓ = r2

Z 2⇡

0cos2 ✓ d✓ = ⇡r2.

La posibilidad de calcular el area de una region integrando las abscisas de los puntos de su fronterapuede usarse para construir un aparato que al trazar una curva cerrada dibujada en el plano calcule au-tomaticamente el area encerrada por la misma.

Tales aparatos, llamados planımetros fueron construidos y usados en el siglo XX, e incluso hoy dıa sepueden adquirir por menos de 200 .

Nota historica:El teorema de Green toma su nombre del cientıfico ingles autodidacta George Green (1793-1841) quien trabajo en lapanaderıa de su padre desde los nueve anos de edad y aprendio matematicas por sı mismo por medio de los libros de labiblioteca. En 1828 publico privadamente un ensayo titulado “An Essay on the Application of Mathematical Analysisto the Theories of Electricity and Magnetism” (Un Ensayo sobre la aplicacion del Analisis Matematico a las teorıas dela Electricidad y el Magnetismo) del que solo se imprimieron 100 copias, la mayor parte de las cuales fueron a parara manos de sus amigos.El panfleto contenıa un teorema que es equivalente a lo que hoy conocemos como teorema de Green, pero no fueampliamente conocido en aquella epoca. Finalmente, a los 40 anos de edad, Green entro en la universidad de Cam-bridge pero murio cuatro anos despues de graduarse. En 1846 William Thompson (Lord Kelvin) encontro una copiadel ensayo de Green, comprendio su importancia, y lo hizo reimprimir.

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