clase medidas de tendencia central

CENTRO UNIVERSITARIO DE CIENCIAS ECONMICO ADMINISTRATIVAS. UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA.

DEPARTAMENTO DE MTODOS CUANTITATIVOS.

ESTADSTICA I

1

Mtro. Heriberto de Jess Domnguez Rodrguez.

Tema: Medidas de tendencia central.

Clase #3: Medidas de tendencia central.

Sumario:

3.1. Definicin de parmetro y estadgrafo. 3.2. Media aritmtica (Datos sin agrupar y agrupados). 3.3. Mediana (Datos sin agrupar y agrupados). 3.4. Media ponderada. 3.5. Media geomtrica. 3.6. Moda. 3.7. Percentiles. 3.8. Cuartiles.

Objetivos:

1. Conocer la definicin de parmetro y de estadstico. 2. Conocer la clasificacin de los estadsticos. 3. Conocer las diferentes medidas de tendencia central y aplicarlas a ejemplos

concretos de las ciencias econmicas administrativas, ya sea con datos sin agrupar como para datos agrupados.

Introduccin.

El propsito fundamental de la Estadstica Descriptiva es la de resumir, organizar, presentar e interpretar un volumen grande informacin. Un mtodo para organizar y clasificar los datos estadsticos lo constituyen las distribuciones de frecuencias o tablas de frecuencias, cuya construccin varia en dependencia del tipo de variable. En ocasiones estas tablas no condensan lo suficiente la informacin o simplemente se requiere de un valor que resuma algn aspecto importante de los datos y que lleve la informacin relacionada con esta caracterstica. Es decir, se busca un valor numrico que describa el comportamiento de los datos. En Estadstica este tipo general de funcin recibe el nombre de estadgrafo o estadstico o parmetro, segn sea el caso.

Es importante, conocer la diferencia entre un estadstico y un parmetro para poder realizar un trabajo adecuado y caracterizar correctamente el conjunto de datos con el cual se est trabajando.

PARMETRO: Es una cantidad numrica, obtenida a travs de una frmula en la que se sustituyen valores poblacionales observados de una variable aleatoria.



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ESTADSTICO O ESTADGRAFO: Es una cantidad numrica que se obtiene a travs de una frmula en la que se sustituyen valores muestrales observados de una variable aleatoria.

Existen cuatro tipos de estadsticos: los de Posicin, los de Dispersin, los de Apuntamiento y los de Deformacin, los dos ltimos los podemos denominar de Forma. Dentro de los estadgrafos de posicin se distinguen dos tipos: los de Tendencia Central y los de Localizacin.



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ESTADSTICOS O ESTADGRAFOS

FORMA DISPERSIN POSICIN

TENDENCIA CENTRAL LOCALIZACIN DEFORMACIN APUNTAMIENTO

Los estadsticos de Tendencia Central, brindan de alguna forma informacin sobre el centro de la distribucin de frecuencias.

Los estadsticos de Localizacin sealan la localizacin de valores extremos o valores ms frecuentes de la distribucin de frecuencias.

Los estadsticos de Dispersin son aquellos que indican la concentracin de las observaciones alrededor del centro de la distribucin de frecuencias.

El estadstico de Apuntamiento trata de conocer el grado de apuntamiento o de achatamiento de la distribucin de frecuencias.

El estadstico de Deformacin trata de conocer el grado de deformacin o de asimetra de la distribucin de frecuencias.

Moda. Percentiles. Cuartiles

Rango. Varianza. Desviacin Standard o

Desviacin tpica. Coeficiente de variacin.

Curtosis. Coeficiente de

asimetra.

Media aritmtica. Media ponderada. Media geomtrica. Mediana.



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Debemos sealar que no son los nicos estadgrafos, solo hemos hecho mencin a los que trataremos en esta actividad.

Desarrollo.

3.2. Media aritmtica (o promedio aritmtico).

La media aritmtica o promedio aritmtico de un conjunto de de n valores de una variable aleatoria X se define como:

Como estadgrafo o estadstico tenemos:

x : Media Muestral. n: Tamao de la Muestra.

Xi: Nmero de observaciones de la variable aleatoria X.

n

x

x

n

i

i 1

1

*k

i i

i

m n

xn

x : Media Muestral. n: Tamao de la Muestra.

Xi: Nmero de observaciones de la variable aleatoria X. K: Nmero de intervalos de clases.

mi: Punto medio de cada intervalo de clase. ni: Frecuencia absoluta del intervalo de clase

correspondiente.

MEDIA MUESTRAL

DATOS AGRUPADOS DATOS SIN AGRUPAR

: (mu) Media Poblacional. N: Tamao de la Poblacin.


N

xN

i

i 1

1

*k

i i

i

M N

N

: (mu) Media Poblacional. N: Tamao de la Poblacin.

Xi: Nmero de observaciones de la variable aleatoria X. K: Nmero de intervalos de clases.

Mi: Punto medio de cada intervalo de clase. Ni: Frecuencia absoluta del intervalo de clase

correspondiente.

MEDIA POBLACIONAL




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Caractersticas:

1. La media es nica en el conjunto de observaciones. 2. La media para su clculo tiene en cuenta a todas las observaciones. 3. La media se puede determinar para observaciones que han sido medidas en

escalas de razn y de intervalos. 4. La media es una medida til para comparar dos o ms poblaciones.

Desventaja:

1. La media se ve afectada por valores extremos, es decir, por valores extremadamente grandes o extremadamente pequeos, convirtindose en este caso en una medida poco apropiada para caracterizar al conjunto de observaciones.

3.3. Mediana.

La mediana tambin es una medida de tendencia central y dado un conjunto de observaciones de una variable aleatoria, se define como:

Aquel valor que supera a no ms de la mitad de las observaciones y a su vez es superado por no ms de la mitad de las observaciones.

eM : Mediana.

n: Tamao de la Muestra.


2

)1( ne XM

2 *ee M

nF

M L Af

eM : Mediana.

n: Tamao de la Muestra. : Lmite inferior del intervalo de clase de la mediana.

F: Frecuencia absoluta acumulada hasta la clase anterior a la clase donde se encuentra la medina.

f: Frecuencia absoluta del intervalo de clase de la mediana. A: Amplitud del intervalo de clase de la mediana.

MEDIANA


Nmero de observaciones IMPARES

2

2

2

2

nn

e

XX

M

Nmero de observaciones PARES

LAS OBSERVACIONES DEBEN DE ESTAR ORDENADAS



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Caractersticas:

1. Solo existe una mediana en el conjunto de observaciones. 2. La mediana es una medida que no se ve afectada por valores extremos. 3. La mediana se puede determinar para observaciones que han sido medidas en

escalas: ordinal, de razn y de intervalos.

3.4. Media ponderada.

3.5. Media geomtrica.

La media geomtrica es de amplio uso en la economa, fundamentalmente para el clculo de medidas que varan con el tiempo, como pueden ser: Tasa de inters, Tasa inflacionaria, Tasa de crecimiento, etc.

MEDIDAS DE LOCALIZACIN.

Las medidas de localizacin como hemos mencionado con anterior, nos van a mostrar donde se encuentran concentrado los valores ms frecuentes o los valores extremos de la distribucin de frecuencias.

n

i

i

n

i

ii

w

w

wx

X

1

1

*

MEDIA PONDERADA

wX : Media Ponderada.

n

i

iw1

: Peso o ponderacin asignada a cada observacin de la variable

aleatoria.

Xi: Observaciones de la variable aleatoria X.

nnxxxxMG *...*** 321

MEDIA GEOMTRICA

MG: Media geomtrica. n: Tamao de la muestra.

Xi: Observaciones de la variable aleatoria X.



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3.6. La Moda.

La moda representa el o los valores ms frecuentes de un conjunto de observaciones.

Caractersticas:

1. La moda se puede determinar para cualquier conjunto de datos independientemente del tipo de variable y de la escala de medida en que han sido tomadas.

2. La moda no se ve afectada por valores extremos como en el caso de la media. 3. En algunos conjuntos de datos, puede suceder que no aparezcan valores

repetidos, en este caso el conjunto de datos NO TIENE MODA. Puede ocurrir que en el conjunto de observaciones aparezca una observacin con una frecuencia superior a uno, en este caso decimos que el conjunto tiene una moda o UNIMODAL, en el caso de que existan varias observaciones con la misma frecuencia (superior a uno), decimos que el conjunto tiene varias modas, es decir, es MULTIMODAL.

Desventaja:

1. El hecho de que algunos conjunto de observaciones sean multimodales, nos provoca la incertidumbre de cul de los valores modales, sera el ms representativo del conjunto de observaciones?

1

1 2

*o Mod

M L Ad d

oM : Moda.

d1: Frecuencia absoluta del intervalo de clase modal menos la frecuencia absoluta del intervalo de clase anterior a ella.

d2: Frecuencia absoluta del intervalo de clase modal menos la frecuencia absoluta del intervalo de clase posterior a ella.

A: Amplitud del intervalo de clase de la mediana.

MODA


Para los datos sin agrupar, es la propia definicin de moda, el o los valores ms frecuentes del conjunto de

observaciones.



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3.7. Percentiles.

Los PERCENTILES son medidas que dividen un grupo de datos en 100 partes, es decir, hay 99 percentiles, porque se requieren de 99 divisores para separar un grupo de datos en 100 partes. El n simo percentil es el valor tal que al menos n por ciento de los datos estn bajo ese valor y a lo sumo (100 n) por ciento estn arriba de ese valor.

3.8. Cuartiles.

Esta medida de localizacin divide al conjunto de observaciones en cuatro partes iguales, por lo tanto solo existen tres divisores que estn en funcin de los percentiles.

1

*

100 *q

q q

q

q nF

P L Af

PERCENTILES


1. ORDENAR LAS OBSERVACIONES EN FORMA ASCENDENTE.

2. Ubicar el percentil (q) de inters.

(n es el tamao de la muestra) 3. Si a) La ubicacin i es un nmero entero, entonces el

percentil Pq es el promedio del valor de la i sima ubicacin y el de la (i+1) ubicacin, es decir,

b) La ubicacin i no es un nmero entero, entonces el

percentil Pq , est ubicado en la parte entera del nmero que ocupa la posicin

METODOLOGA DE TRABAJO

q: Percentil de inters. n: Tamao de la muestra.

Lq: Lmite inferior del intervalo de clase del percentil de inters.

Fq-1: Frecuencia absoluta acumulada hasta el intervalo de clase anterior al intervalo de clase del percentil de inters.

fq: Frecuencia absoluta del intervalo de clase del percentil de inters.

A: Amplitud del intervalo de clase del percentil de inters.

1 25Q P

CUARTILES

2 50Q P MEDIANA

3 75Q P

PRIMER CUARTIL

SEGUNDO CUARTIL

TERCER CUARTIL



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EJEMPLO: En das pasados la Comisin Nacional del Sistema de Ahorro para el Retiro (Consar) hizo pblicas las cifras relacionadas con el primer proceso de reasignacin que, de acuerdo con las reformas a la Ley del SAR aprobadas en enero del 2009, obligaba al agente regulador a mover cuentas el ltimo da de enero de este ao. Derivado de este proceso, existieron cambios significativos tanto en nuevos saldos como en nmero de cuentas. A continuacin se muestra una tabla con los nuevos saldos al cierre de enero del 2012.

AFORE Saldos al cierre de enero del

2012

Afirme Bajo 8,597

Azteca 12,041

Banamex 274,522

Bancomer 247,962

Coppel 48,876

Inbursa 110,486

Invercap 65,333

Metlife 42,943

Pensin ISSSTE 108,653

Principal 110,489

Profuturo GNP 117,654

SURA 220,837

XXI Banorte 212,299

Saldos en millones de pesos.

Estamos interesados en conocer:

a) El saldo promedio al cierre de enero del 2012. b) El saldo promedio refleja el comportamiento de los saldos entre las trece

Afores? Cul sera una medida adecuada? c) Calcule la medida sugerida en el inciso anterior. d) El saldo ms frecuente entre las trece Afores. e) Entre cuales Afores se concentra el 30% de los saldos al cierre de enero el

2012?

Para dar respuesta a las interrogantes anteriores, debemos fijarnos que las trece Afores constituyen el universo de afores que existen en Mxico, por tanto cada medida que busquemos ser un parmetro.

AFORE: Administradora de Fondos para el Retiro

EL FINANCIERO/16 de Febrero del 2012



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Recordemos que nuestra variable aleatoria, es SALDO, la cual es una variable aleatoria

continua de razn y por lo tanto cada una de las observaciones xi va a representar los saldos de cada una de las trece Afores.

a)

b) El saldo promedio no sera una medida adecuada para reflejar el comportamiento de

las trece Afores, porque la media como medida de tendencia central se ve afectada por valores extremos y si observamos el conjunto de saldos tenemos un valor muy pequeo como lo es de 8,597 millones de pesos y uno extremadamente alto con relacin a este que es de 274,522 millones de pesos. Aqu una medida que describa mejor el comportamiento de los saldos entre las trece Afores sera la mediana.

c) Primeramente ordenaremos los saldos en orden ascendente:

AFORE Saldos al cierre

de enero del 2012

Afirme Bajo (X1) 8,597

Azteca (X2) 12,041

Metlife (X3) 42,943

Coppel (X4) 48,876

Invercap (X5) 65,333

Pensin ISSSTE (X6) 108,653

Inbursa (X7) 110,486

Principal (X8) 110,489

Profuturo GNP (X9) 117,654

XXI Banorte (X10) 212,299

SURA (X11) 220,837

Bancomer (X12) 247,962

Banamex (X13) 274,522

Saldos en millones de pesos.

EL FINANCIERO/16 de Febrero del 2012



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Como el nmero de Afores es impar (n = 13), entonces:

486,11072

14

2

113

2

)1( XXXXM ne

Este valor corresponde exactamente al valor mediano de este conjunto de saldos, es decir, entre las Afores: Afirme Bajo, Azteca, Metlife, Coppel, Invercap y Pensin ISSSTE, se encuentra el 50% de los saldos y entre Principal, Profuturo GNP, XXI Banorte, SURA, Bancomer y Banamex est concentrado el otro 50% de los saldos.

d) Al cierre de enero del 2012 no se muestran saldos frecuentes entre las trece Afores. (no tienes moda).

e) El percentil 30, lo calculamos como: Primero: Ubicamos el percentil q= 30 y n = 13

( )( )

Segundo: Como la ubicacin del percentil 30, no arroja un nmero entero, entonces est ubicado en la parte entera del nmero que ocupa la posicin

Este nmero ubica la posicin hasta donde se encuentra concentrado el 30% de las observaciones, es decir, que el 30% de los saldos que suma 112,457 millones de pesos estn concentrados en manos de las Afores: Afirme Bajo, Azteca, Metlife y Coppel. El 70% restante est distribuido entre las Afores: Invercap, Pensin ISSSTE, Inbursa, Principal, Profuturo GNP, XXI Banorte, SURA, Bancomer y Banamex.

EJEMPLO: Jalisco tiene el liderazgo en el pas como un estado con vocacin emprendedora: por cada mil jaliscienses hay 11 empresas registradas, ms que en ninguna otra entidad en el pas. De acuerdo con el Sistema de Informacin Empresarial de Mxico (SIEM), el nmero absoluto de unidades empresariales asciende a 82 mil 284, lo cual slo es superado en el pas por el Distrito Federal. La mayora de estas empresas son micro y pequeas (EL INFORMADOR, Viernes, 2 de Marzo del 2012). PJ Construcciones S.A de C.V, es una de estas pequeas empresas dedicada a la venta de materiales para la construccin. Las cuentas por cobrar, se convierten en el dolor de cabezas para todas las empresas y en particular para las micro empresas, cuya solvencia econmica y



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subsistencia dependen de la cobranza a tiempo. Para PJ en una auditora interna arrojo los siguientes resultados:

SALDO PENDIENTE DE COBRO (Intervalos de Clase)

CUENTAS CON SALDO PENDIENTE

(Frecuencia Absoluta)

7,420 21,835 7

21,835 36,250 4

36,250 50,665 9

50,665 65,080 10

65,080 79,495 8

79,495 93,910 2

*Saldo en miles de pesos.

El dueo de PJ desea conocer: a) El saldo promedio pendiente de cobro. b) Cul es el nmero de cuentas por cobrar que concentran el 40% de los

saldos? c) Cul es el saldo mediano pendiente de cobro?

Usted como analista estadstico ayude a PJ en su necesidad.

Como los datos estn en una tabla de frecuencias, debemos utilizar las formulas de los estadsticos a calcular para datos agrupados. Completemos la tabla de frecuencias:

SALDO PENDIENTE DE COBRO

(Intervalos de Clase)

CUENTAS CON SALDO

PENDIENTE (Frecuencias Absolutas)

PROPORCIN DE CUENTAS CON SALDO PENDIENTE (Frecuencias

relativas)

NMERO ABSOLUTO DE CUENTAS CON

SALDO PENDIENTE

(Frecuencias Absolutas

Acumuladas)

PROPORCIN ABSOLUTA DE CUENTAS CON

SALDO PENDIENTE

(Frecuencias Relativas

Acumuladas)

SALDO MEDIO PENDIENTE DE

COBRO (Punto Medio)

7,420 21,835 7 0.175 7 0.175 14,627.5

21,835 36,250 4 0.100 11 0.275 29,042.5

36,250 50,665 9 0.225 20 0.500 43,457.5

50,665 65,080 10 0.250 30 0.750 57,872.5

65,080 79,495 8 0.200 38 0.950 72,287.5

79,495 93,910 2 0.050 40 1.000 86,702.5

TOTAL n = 40 1.000



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a) El saldo promedio pendiente de cobro.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Significa que el saldo promedio pendiente de cobro es de 48,502.75 miles de peso.

b) Para dar respuesta a esta pregunta debemos de calcula el percentil 40.

Primero: Localicemos en que intervalo se encuentra el percentil 40.

Intervalo de clase del percentil 40: 36,250 50,665

Segundo: Plantear la formula y realizar los clculos indicados.

[( )

]

[( )

] [

]

Este resultado lo podemos interpretar como: Los 44,257.53 miles de pesos concentran el 40% de los saldos pendientes de cobro.

c) Para calcular el saldo mediano pendiente de cobro debemos de calcular la mediana.

Primero: Localicemos el intervalo de clase de la medina. Como tenemos 40 cuentas, el punto medio ser 40 /2 = 20 y la medina estar en el intervalo que tenga acumuladas las primeras 20 cuentas pendientes de cobro es decir, en el intervalo: 36,250 50,665



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Segundo: Plantear la formula y realizar los clculos indicados.

[

] [

]

Este resultado significa que el 50% de los saldos pendientes de cobro estn por debajo de l, es decir, el 50% de los saldos pendientes de cobro estn comprendidos entre los 7,420 miles de pesos y 50,665 miles de pesos. Los restantes 50% saldos pendientes de cobro estn concentrado en las restantes 20 cuentas y que van desde los 50,665 miles de pesos hasta los 93,910 miles de pesos.

EJEMPLO: El profesor de Estadstica da las calificaciones de este curso a sus alumnos a travs de la siguiente ponderacin: el promedio de las preguntas en lnea representan el 33.75% de la calificacin final del semestre, el promedio de los exmenes parciales representan el 41.25% y el examen departamental el restante 25%. Si se selecciona un alumno al azar y obtiene los siguientes promedios al final del semestre: PREGUNTAS EN LNEA: 85 puntos, EXAMENES PARCIALES: 90 puntos y EXAMEN DEPARTAMENTAL: 80 puntos. Cul ser la calificacin final de este alumno?

El clculo del promedio final se realiza a travs de la media ponderada, ya que cada actividad para la evaluacin de los alumnos ha recibido un peso diferente.

( )

( ) ( ) ( )

Por tanto la calificacin final de la asignatura Estadstica corresponde a 85.81 puntos.

EJEMPLO: Supongamos que usted deposita como ahorro $1000 durante cinco aos y que

las tasas de intereses son del 5, 6, 8, 10 y 14% para cada ao respectivamente. Observe la siguiente tabla:



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Crecimiento de los $1000 en una cuenta de Ahorro

AOS

TASA DE

INTERS (%)

FACTOR DE CRECIMIENTO

AHORRO AL FINAL DEL AO

($)

1 5 1.05 1,050.00

2 6 1.06 1,113.00

3 8 1.08 1,202.04

4 10 1.10 1,322.22

5 14 1.14 1,507.33

Estamos en presencia de cantidades de cambian con el tiempo transcurrido y para conocer la tasa promedio de cambio, como es la tasa de crecimiento promedio en un periodo determinado, la media aritmtica resulta inadecuada, veamos lo que sucedera en este ejemplo: Si calculamos el factor de crecimiento como una media aritmtica, obtendramos:

Lo que corresponde a una tasa de inters promedio del 10.86%. Qu sucedera con el depsito de los $1000 al termino de los cinco aos, si el banco diera una tasa de inters constante del 10.86%?

Si observamos en la tabla anterior al trmino del quinto ao, el ahorro ser de $ 1,507.33 Si en lugar de utilizar la media aritmtica para determinar el factor de crecimiento promedio correcto, usamos la media geomtrica, tendramos:

Con este factor y los $1000 de depsito, al cabo de los cinco aos tendramos $ 1,507.12



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Conclusiones: Con esta actividad pretendimos dar a conocer dos tipos de frmulas importantes para el ulterior desarrollo de la Estadstica I y fundamental para la Estadstica II, nos referimos a las definiciones de Parmetro y de Estadstico, as como la clasificacin de estos. En la segunda mitad de la clase vimos las medidas de tendencia central y de localizacin, as como ejemplos donde aplicamos cada una de ellas vinculadas con las ciencias econmicas administrativas. Estas medidas forman parte esencial de la Estadstica Descriptiva, as como aspecto primordial en el inicio de cualquier trabajo investigativo ya que a partir de un valor podemos tener una idea del comportamiento de un volumen grande de observaciones y la posibilidad de caracterizarlo. Queda por ver en la siguiente actividad las medidas de dispersin que juntas con las medidas de posicin daran forma correcta a la interpretacin de estas ltimas.

Estudio Posterior:

Libro de Texto: Estadstica para Administracin y Economa; Levin; 7ma edicin revisada;

clase medidas de tendencia central

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