Problemas

ComplementariosCapacitancia y Dieléctricos

Clase 7a 13/Febrero/2015

Problemas

Problema 5

Dos esferas conductoras con diámetros de 0.4m y 1m están separadas por

una distancia que es grande comparada con los diámetros. Las esferas

están conectadas por medio de un alambre delgado y se cargan hasta

7𝜇𝐶 a) ¿Cómo se comparte esta carga total entre esferas? (ignore

cualquier carga en el alambre) b) ¿Cuál es la potencia del sistema de

esferas cuando el potencial de referencia se toma como 𝑉 = 0 𝑒𝑛 𝑟 = ∞ ?

Problemas

Solución

Datos: 2𝑅2 = 0.4𝑚, 2𝑅1 = 1𝑚, 𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 7𝜇𝐶

𝑅1 𝑅2

1 2

Problemas

Solución

Inciso a

Datos: 2𝑅2 = 0.4𝑚, 2𝑅1 = 1𝑚, 𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 7𝜇𝐶

Sabemos que: 𝑉1 = 𝑉2

⟹𝐾𝑒𝑄1

𝑅1=

𝐾𝑒𝑄2

𝑅2⟹𝑄1 ∙ 𝑅2 = 𝑄2 ∙ 𝑅1

Como: 𝑄1 + 𝑄2 = 7𝜇𝐶

Entonces: 7 − 𝑄2 𝑅2 = 𝑄2 ∙ 𝑅1

Problemas

Solución

Inciso a

Datos: 2𝑅2 = 0.4𝑚, 2𝑅1 = 1𝑚, 𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 7𝜇𝐶

∴ 𝑄2 =7𝑅2

𝑅2+𝑅1=

7 0.2

0.7

Por lo tanto: 𝑄2 = 2𝜇𝐶 𝑦 𝑄1 = 5𝜇𝐶

Problemas

Solución

Inciso b

Sabemos que: 𝑉 = 0 𝑒𝑛 𝑟 = ∞

Entonces: 𝑉𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = 𝑉1 = 𝑉2 =𝐾𝑒∙𝑄1

𝑅1

⟹ 𝑉𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 =8.99×109× 5×10−6

0.5

∴ 𝑉𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = 89.9𝑘𝑉

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Problema 6

Considerando a la Tierra y una capa de nubes 800m sobre la superficie

terrestre como las “placas” de un capacitor, calcule la capacitancia si la

capa de nubes tiene un área de 1 𝑘𝑚2. Suponga que el aire entre la nube

y el suelo es puro y seco. Suponga que la carga acumulada en la nube y

el suelo hasta un campo eléctrico uniforme con una magnitud de 3 × 106𝑁

𝐶

a través del espacio entre ellos hace que el aire se rompa y conduzca

electricidad como un relámpago. ¿Cual es la máxima carga que puede

soportar la nube?

Problemas

Solución

Datos: E = 3 × 106𝑁

𝐶, 𝐴 = 1𝑘𝑚2, 𝑑 = 800𝑚, 𝑄 = ?

𝐸 𝑑

+𝑄

−𝑄

𝐴𝑖𝑟𝑒 𝑝𝑢𝑟𝑜 𝑦 𝑠𝑒𝑐𝑜

Problemas

Solución

Sabemos que la capacitancia de un capacitor de

placas paralelas es:

𝐶 =𝜖𝑜𝐴

𝑑⟹ 𝐶 =

8.85×10−12× 1×106

800∴ 𝐶 = 1.1 × 10−2𝑚𝐹

Por otro lado:

∆𝑉 = 𝐸 ∙ 𝑑 = 3 × 106 × 800 = 2.4 × 109𝑉

Problemas

Solución

Luego por definición: 𝐶 =𝑄

∆𝑉

⇒ 𝑄 = 𝐶 × ∆𝑉 = 1.1 × 10−2𝑚𝐹 × 2.4 × 109

∴ 𝑄𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 = 26.4 𝐶

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Problema 7

Un chip de memoria de computadora de un megabit contiene muchos

capacitores de 60𝑓 𝐹. Cada capacitor tiene un área de placa de 21 ×10−12𝑚2. Determine la separación de placas de tal capacitor (suponga

que la configuración de placas paralelas). El diámetro atómico

característico es de 10−10𝑚 = 0.1𝑛𝑚. Exprese la separación de placas en

nanómetros.

Problemas

Solución

Datos: 𝐴 = 21 × 10−12𝑚2, 𝐶 = 60 𝑓𝐹, 𝑑 =?

−𝜎+𝜎𝐴 𝐴

𝑑

Problemas

Solución

En un capacitor de placas paralelas, la capacitancia es

igual a:

𝐶 =𝜖𝑜∙𝐴

𝑑

⇒ 60 × 10−15 =8.85×10−12× 21×10−12

𝑑

∴ 𝑑 = 3.1 × 10−9𝑚 = 3.1𝑛𝑚

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Problema 9

Un cable coaxial de 50m de largo tiene un conductor interior con un

diámetro de 2.58 mm que conduce una carga de 8.10 𝑢𝐶. El conductor

circundante tiene un diámetro interior de 7.27 𝑚𝑚 y una carga de

− 8.10 𝜇𝐶 . A) ¿Cuál es la capacitancia de este cable? B)¿Cuál es la

diferencia de potencial entre los dos conductores? Suponga que la región

entre los conductores es aire.

Problemas

Solución

Datos: 𝐿 = 50𝑚,𝐷1 = 2.58 𝑚𝑚, 𝐷2 = 7.27 𝑚𝑚, 𝑄1 = 8.10 𝜇𝐶

−𝑄2

𝐿

𝐷2

𝐷1

𝑄1

Problemas

Solución

Inciso a

Sabemos que: ∆𝑉 = − 𝐷12

𝐷22 𝐸 ∙ 𝑑𝑠 = − 𝐷1

2

𝐷22 2𝑘𝑒∙𝜆

𝑟∙ 𝑑𝑟

⟹ ∆𝑉 = 2𝑘𝑒 ∙ 𝜆𝑙𝑛𝐷22𝐷12

=2𝑘𝑒∙𝑄

2∙ 𝑙𝑛

𝐷2

𝐷1

Luego: 𝐶 =𝑄

∆𝑉=

𝑄2∙𝐾𝑒∙𝑄

𝐿

∙ 𝑙𝑛𝐷2

𝐷1

Problemas

Solución

Inciso a

Entonces

𝐶 =𝐿

2𝑘𝑒𝑙𝑛𝐷2𝐷1

=50

2 8.99×109 ∙𝑙𝑛7.27

2.58

∴ 𝐶 = 2.68 𝑛𝐹

Problemas

Solución

Inciso b

Sabemos que:

𝐶 =𝑄

∆𝑉

⟹𝑄

𝐶= ∆𝑉 ⟹ ∆𝑉 =

8.10×10−6

2.68×10−9

∴ ∆𝑉 = 3.02 𝑘𝑉

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Problema 10

Un capacitor esférico de −20𝜇𝐹 esta compuesto de dos esferas metálicas,

una con radio dos veces mayor que la otra. Si la región entre las esferas es

le vacío, determine el volumen de esta región.

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Solución

Datos: 𝐶 = 20 𝜇𝐹, Volumén vacío = ?

(𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙)𝑉𝑎𝑐í𝑜 𝐷2

𝐷1𝑄1

𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎𝑠 𝑚𝑒𝑡á𝑙𝑖𝑐𝑎𝑠

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Solución

Sabemos que:

∆𝑉 = 𝑘𝑒 ∙ 𝑄𝑏−𝑎

𝑎𝑏⟹ ∆𝑉 = 𝑘𝑒 ∙ 𝑄

2𝑅−𝑅

2𝑅 𝑅=

𝑘𝑒∙𝑄

2𝑅

Entonces: 𝐶 =𝑄

∆𝑉=

𝑄𝐾𝑒∙𝑄

2𝑅

=2𝑅

𝑘𝑒

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Solución

⟹ 𝑅 =𝐶∙𝐾𝑒

2; 𝑅 =

20×10−6 8.99×109

2⟹∴ 𝑅 = 89.9 × 103𝑚

En consecuencia

Volumen en el vacío

𝑉 =4𝜋

32𝑅 3 − 𝑅3 =

4𝜋

37𝑅3 =

4

3𝜋 × 7 89.9 × 103 3⟹

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑐í𝑜 = 2.13 × 1016𝑚3