clase 6. teoría básica de campos radiativos trabajo por unidad de tiempo hecho por el campo:...
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Clase 6. Teoría básica de campos radiativos
B
cEqF
v
Trabajo por unidad de tiempo hecho por el campo:
EqF
vv
Usando la expresióndt
dmF
v
)1(v2
1v 2
m
dt
dEq
1. Campos electromagnéticos
Las definiciones operacionales de E(r,t) y B(r,t) se hacen a través de la fuerza ejercida sobre una partícula de carga q y velocidad v:
tenemos
Bjc
Ef
1
i
iqV
1lim
0V es la densidad de cargadonde
i
iiqV
j v1
lim0V
Tasa de trabajo hecho por el campo por unidad de volumen:
EjEqV i
ii
v1
Usando la ecn.(1) Ejdt
dUmec
1.1 Generalización a un elemento de volumen con muchas cargas.
Fuerza por unidad de volumen:
y es la densidad de corriente.
donde Umec es la energia mecanica por unidad de volumen.
Las ecns. que relacionan E, B, y j son las ecns.de Maxwell:
t
D
cj
cH
t
B
cE
B
D
14
1
0
4
donde D=E, B=H.
(M1)(M2)
(M3)
(M4)
)2(0
t
j
Una consecuencia inmediata de estas ecns. es la ecuación de conservación de carga:
2. Densidad de energía y flujo de energía del campo electromagnético.
t
DEEHcEj
)(4
1
Usando la identidad vectorial,
HEEHHE
y M(3)
t
DEHEc
t
BHEj
41
Si y son independientes del tiempo:
Considere el trabajo por unidad de volumen hecho en unadistribución de partículas.
Usando (M4), se tiene que
)3(48
1 22
HEcB
Et
Ej
relacion que corresponde al teorema de Poynting en forma diferencial.
BEcem UUB
EU
22
8
1
Vector de flujo electromagnético (vector de Poynting):
HEc
S
4
Tasa de cambio de energía mecánica por unidad de volumen + tasa de cambio de energía del campo electromagnético por unidad de volumen = - divergencia del flujo de energía.
Energía electromagnética por unidad de volumen:
Integrando (3) sobre un elemento de volumen y usando el teorema de la divergencia:
AdSdVB
Et
dVEjVV
22
8
1
AdSUUdt
dcemmec
Tasa de cambio de la energía total = flujo de energía a través de la superficie
Hagamos que la superficie , y consideremos el caso
electroestático y magnetostático donde E y B son r-2 cuando r .
En este caso S r-4 , y ya que dA r2 , entonces SdA 0.
Por otro lado, para campos que varían con el tiempo E y B son r-1,
de manera que SdA cte cuando r .
t
E
cB
t
B
cE
B
E
1
1
0
0
Una característica básica de estas ecns. es la existencia de ondasque se propagan transportando energía.
(4)(5)
(6)
(7)
3. Ondas electromagnéticas planas.
Esta cantidad finita de energía que fluye hacia afuera a grandes distancias es lo que se denomina radiación.
Las partes de E y B r-1 constituyen el campo de radiacion.
Las ecns. de Maxwell en el vacio son
Tomando ecn.(6) y usando la ecn.(7), tenemos
2
2
2
1
t
E
cE
Usando la identidad vectorial EEE
2 y la ecn.(4)
.01
2
2
22
t
E
cE
La misma ecn. es valida para B (las ecns. 4-7 son invariantes bajo la transformación EB y B-E).
)(
)(
02
01
trkieBaB
trkieEaE
donde a1 y a2 son vectores unitarios, E0 y B0 son constantes
complejas, k =kn es el vector de onda, y la frecuencia.
Consideremos soluciones del tipo:
Este tipo de solución representa ondas que viajan en la dirección n, ya que superficies de fase constante avanzan en la dirección n a medida que transcurre el tiempo.
)()(
)()()(
00
000
trkiiekPtrkiePP
trkiiekPtrkiePtrkiePP
,)(0
trkiePP
se tiene que:
obtenemos
0102
0201
02
01
0
0
Eac
iBaki
Bac
iEaki
Baki
Eaki
(8) (9)
(10)
(11)
Substituyendo en las ecns. de Maxwell, y teniendo en cuenta que para
De las relaciones (8) y (9), se deduce que
kaa 21,
y de las relaciones (10) y (11), se deduce que
21 aa
Ademas de las relaciones (10) y (11), tenemos
00
00
Ekc
B
Bkc
E
0
2
0 Ekc
E
222 ckPor lo tanto: kc 00 BE y
Derivando la fase del frente de onda con respecto al tiempo, tenemos
0vph k
dt
d
donde vph es la velocidad de fase.
ckph
v
4. Flujo de energía y densidad de energia.
)Re(2
1)Re(
2
1)(Re)(Re ** BAABtBtA
Por lo tanto,
es decir en el vacío las ondas se propagan con la velocidad de la luz.
Ya que E y B varian sinusoidalmente en el tiempo, el vector dePoynting y la densidad de energía varían en el tiempo.La cantidad medida sin embargo corresponde a un promedio temporal.
Si A(t) y B(t) C y además tienen la misma dependencia sinusoidal en el tiempo, entonces:
Por lo tanto el promedio temporal del vector de Poynting es
,)Re(8 00BEc
S
y ya que E0=B0 , se tiene que
.8
2
0Ec
S
Similarmente, el promedio temporal de la densidad de energía es
,)Re(16
1 *00
*00 BBEEU
2
0
2
0 8
1
8
1BEU
La velocidad del flujo de energía es entonces:
cU
S
5. Ondas electromagnéticas en un plasma
ωt)rki(eAA
0 AkiA AkiA
, se tiene que y
entonces las ecns. de Maxwell se pueden escribir como
Veremos que las ecns. de Maxwell tienen la misma forma que para elvacío, debiendo ahora de tomarse en cuenta explícitamente la densidad de carga y la densidad de corriente j debida al plasma.
Consideremos la propagación de ondas en un plasma, es decirun gas ionizado pero globalmente neutro.
5.1 Dispersión en un plasma isotrópico.
Suponiendo que la variación espacial y temporal de las variables involucradas tienen la forma ei(kr-wt), y recordando que para
(A es un vector cualquiera, como E y B, y no el vector potencial)
Ec
ij
cBki
Bc
iEki
Bki
Eki
4
0
4 (12)(13)
(14)
(15)
Supongamos que el plasma consiste de electrones con densidad ne yque no hay campos magnéticos externos.
Eedt
dm
v
donde hemos despreciado la fuerza magnética (del orden de v/c).
Los iones son despreciados pues por su gran masa son mucho menos móviles que los electrones.
Cada electrón responde al campo eléctrico de acuerdo a la ley deLorentz:
En términos de las cantidades oscilantes,
mi
Eev
La densidad de corriente es entonces
EEm
einenj e
e
2
v
es la conductividad (¿porqué es imaginaria?).
,0 jkii
de manera que
.Ekjk
De la ecn. de conservación de carga, tenemos
Desfasamiento de
)2(0
t
j
Reemplazando en las ecns. de Maxwell, encontramos
Eic
iBki
Bc
iEki
Bki
Ei
ki
41
0
04
1
Introduciendo la cte. dieléctrica,i
41 , tenemos que
Ec
iBki
Bc
iEki
Bki
Eki
0
0 (20)(21)
(22)
(23)
Estas ecns. son equivalentes a las del vacío y pueden ser resueltasen la misma forma.
Ec
kB
Bc
kE
por lo tanto la relación de dispersión entre k y es ahora
y
2
22
ck
Se encuentra que k, E, y B forman un conjunto ortogonal de vectores.
De las ecns. (22) y (23), tenemos
(24)
2
241
m
ene
Substituyendo la relación (17) en la relación (19) tenemos,
)25(12
po
m
enep
22 4
donde p es la frecuencia del plasma, definida por
.Hz1063.5 2/14ep n
Numéricamente,
,2222pck
Reemplazando (25) en (24),
.22
ck
p
y por lo tanto
Note que la velocidad de fase excede la velocidad de la luz.
En el caso en que < p, el número de onda k es imaginario,
,2/122
pc
ik
p define una frecuencia límite bajo la cual no hay propagación de ondas electromagnéticas (la llamada frecuencia del plasma). Discutir Radio AM vs. FM.
,vfrn
c
k
donde nr es el índice de refracción y está dado por
.1n2
2
r
p
y por lo tanto la amplitud de la onda decrece exponencialmente en una escala de distancia del orden de 2c/ p.
Cuando > p hay propagación de ondas electromagnéticas con unavelocidad de fase,
Por otro lado, la velocidad de grupo,
y por lo tanto siempre menor que c.
6.6 Dispersión de la señal en pulsares
Los pulsos de un pulsar tienen un espectro que cubre una amplia banda de frecuencias. Por lo tanto el pulso será dispersado en su interacción con el plasma interestelar ya que cada frecuencia tiene una velocidad de grupo diferente. Supongamos que el pulsar se encuentra a una distancia d. El tiempo que se demora un pulso en llegar a la Tierra es
,vg k
que es la velocidad a la cual la onda de energía viaja, es
,1v
2/1
2
2
g
pc
)26(,v
t p g
ds
El primer término corresponde al tiempo de tránsito en el vacío y el segundo a la corrección debido al plasma.Lo que efectivamente se observa es la tasa de cambio del tiempo de llegada como función de la frecuencia:
.2
11
11
1v
2
22/1
2
21-
g
pp
cc
donde s mide la distancia a lo largo de la línea de la visual entre el pulsar y la Tierra. Las frecuencias de plasma en el medio interestelar son generalmente muy bajas ( 103 Hz), y podemos asumir que
p. En este caso
.2
1t
0
22p ds
cc
d d
p
Reemplazando en la expresión (26), obtenemos
.4d
03
2
dsnmc
e
d
t d
ep
donde 0d ne ds se denomina la medida de dispersión.
B0329
Crab
B0329
S ~ 160 x Crab Nebula ~ 200 kJy
Detectable a ~ 1.5 Mpc con Arecibo
Arecibo WAPP
Un Pulso del Pulsar del Cangrejo Dispersado
Rotación de FaradaySi hay campo magnético, la ecuación de movimiento es:
Escogemos los dos modos de polarización circular:
donde – es polarización circular derecha y + es polarización circular izquierda
donde
es la frecuencia ciclotrónica
La constante dieléctrica en este caso queda:
Lo cual produce una rotación del eje de polarización lineal dado por:
donde es la componente del campo magnético paralela a la línea de visión
y la integral
es la llamada medida de rotación.
La combinación de la medida de dispersión y de la medida de rotación permiten estimar n y B promediadas en la línea de visión
Podemos estudiar el campo magnético del halo galáctico
Pulsares y fuentes extragalácticas como sondas
PulsarsRM distribution
Extragalactic Radio SourcesExtragalactic Radio Sources RM distribution
To study halo field: unique to our Galaxyunique to our Galaxy
<B> away from usRM<0
RM>0<B> to us
Magnetic field configurations for basic dynamosA0
S0
S1
Anti-symmetric RM sky: Anti-symmetric RM sky: A0 dynamoA0 dynamo (Han et al. 1997 A&A322, (Han et al. 1997 A&A322, 98)98)
Evidence for global scale
• High anti-symmetry to the
Galactic coordinates
• Only in inner Galaxy
• nearby pulsars show it at
higher latitudes
Implications
• Consistent with field
configuration of A0
dynamo
• The first dynamo mode The first dynamo mode
identified on galactic identified on galactic
scalesscales
Bv
Datos sin publicar de Han et al.Datos sin publicar de Han et al.
7. Potenciales electromagnéticos
AB
La ecn. (M3) puede entonces ser escrita como, .01
t
A
cE
.1
,1
t
A
cE
t
A
cE
De esta manera dos de las ecns. de Maxwell se satisfacen idénticamente en virtud de las definiciones.
o
Por lo tanto podemos expresar el término en paréntesis como elgradiente de un campo escalar -
Debido a la forma de las ecns. de Maxwell es posible expresar E y B entérminos de un potencial escalar (r,t) y de un potencial vectorial A(r,t).
De la ecn. de Maxwell B=0 se infiere que B puede ser expresado como el rotacional de un campo vectorial A,
La ecn. (M1) puede escribirse como,
412
t
A
c
donde =libres+ligadas.
)27(.4111
2
2
22
tc
Atctc
Por otro lado, la ecn. (M4) puede escribirse como,
jct
A
ctcA
411
y usando la identidad vectorial,
AAA 2
)28(.411
2
2
22 j
ctcA
t
A
cA
Esta expresion puede re-escribirse como,
Los potenciales no estan completamente determinados por lascondiciones impuestas anteriormente.
, AA
B no cambia,
El vector E tampoco cambiara si al mismo tiempo cambiamos
,1
tc
Estas alteraciones son denominadas transformaciones de gauge.
.01
tc
A
En este caso, denominado gauge de Lorentz, las ecns. (27) y (28)se transforman en:
BB
EE
Si al vector A le agregamos el gradiente de una funcion escalar arbitraria:
Una eleccion importante de gauge es aquella en que A y satisfacenla condicion,
.41
,41
2
2
22
2
2
22
jct
A
cA
tc
y
Las soluciones de estas ecns. se pueden escribir como,
,,
,,
3
3
rr
rdjtrA
rr
rdtr
Estas expresiones son las denominadas potenciales retardados.
)1
,( rrc
trQQ
rrc
t
1donde corresponde al tiempo requerido por la luz
para viajar entre r y r'.
donde la integral denota integración sobre todas las fuentes.
La notación [Q] denota que Q debe ser evaluada en el tiempo retardado,
