clase 2 transformada z

TRANSFORMADA Z

SISTEMAS DE CONTROL II

CAT. ING. JOSE LUIS OLA

∗ La Transformada de Fourier no converge para todas lassecuencias

∗ La transformada Z tiene la ventaja de que, en problemasanalíticos, el manejo de su notación, expresiones y álgebraes con frecuencia más conveniente

∗ El empleo de la transformada Z en señales discretas tienesu equivalente en la transformada de Laplace para señalescontinuas y cada una de ellas mantiene su relacióncorrespondiente con la transformada de Fourier.

Ventajas de la Transformada Z

M.A. ING. JOSE LUIS OLA

Origen de la Transformada Z

La Transformada Z surgió de aplicar la transformada de Laplace a una señal discreta. Siendo esta ultima considerada como una serie de impulsos ponderados.

�Dada una señal discreta muestreada cada T segundos

f(t) = x(0).δ(t) + x(1).δ(t- T) + x(2).δ(t- 2T) +…+ x(n).δ(t- kT)

�Si aplicamos Transformada de Laplace a esta señal, obtenemos

F(s) = x(0) + x(1T).e-sT + x(2T).e-s2T +…+ x(kT).e-snT

�La Transformada Z es simplemente una forma abreviada de la función F(s) donde: z=esT

�� . ��

��


�Entonces podemos reescribir la siguiente forma:

X(z)=x(0)+x(T).z-1+x(2T).z-2+…+ x(nT).z-k

F(s)=x(0)+x(1T).e-sT + x(2T).e-s2T+…+ x(kT).e-skT

TRANSFORMADA Z

� � � �[� � ] � � ��. ��

��

Llegando a:



� Transformada Z unilateral:

� Transformada Z bilateral:�(�) = � �[�] ⋅ ��

��

�(�) = � �[k] ⋅ ��

��



REGION DE CONVERGENCIA

� Región de convergencia de las transformadas z racionales

La región de convergencia de la transformada z no puede contener ningún polo y

está limitada por los polos O a ∞. En el caso general de secuencias bilaterales,

algunos de los polos contribuyen sólo para n ≥ 0 y el resto sólo para n ≤ O.

Suponiendo una transformada que presenta tres polos (en z = a, b, c) en la figura se

muestran las cuatro posibles elecciones para la región de convergencia. La primera

corresponde a una secuencia hacia la derecha, la segunda a una secuencia hacia la

izquierda, y las dos restantes a secuencias bilaterales.

abcab c a bc a b c

Plano Z


Para una secuencia dada, es el conjunto de valores dez para los cuales la Transformada Z

converge, en general sonregiones anulares del planoZ: donde puede

ser tan pequeño como 0 y tan grande como∞.

+− << RxzRx −Rx

+Rx

La Región de Convergencia está limitada por los polos de la Transformada


Si X(z) = función racional =N(z)/D(z), las raíces deN(z) son losceros deX(z). Las raíces de

D(z) son lospolos de X(z) (valores finitos dez que provocanX(z) = ∞). Además, hay que

considerar los valores particularesz = 0 y z= ∞.


A menudo es conveniente mostrar la Transformada Z gráficamente mediante un diagrama de polos y ceros en el plano Z.

Ejemplo: la secuencia [ ] [ ]kx k a u n= ⋅

tiene como Transformada Z: ( )1

0

[ ] [ ]kk

n n

X z a u n zk a z∞ ∞

−

=−∞ =

= ⋅ ⋅ = ⋅∑ ∑

Propiedad útil:

1

1 1 si

1

1

0

1

0 qqq

q

qq

n

nNN

n

n

−=⇒<

−−= ∑∑

∞

=

−

=cero en 0Xa

O

polo ena

que converge a:

a z para 1

1][ 1

az

zza

zX

−=

>⋅−

= −



∗ Propiedades de Interés

1

1

Se usará el operador para denotar la transformación

( ) { [ ]} { [ ]}

m ientras que el operador se usara para denotar la transformada inversa

[ ] { ( )}

A lgunas propiedades de interés serán

Z

X z Z x t Z x kT

Z

x kT Z X z

−

−

= =

=

ɺ

1 1

1 2 1 2

11

1) Linealidad

[ ] ( )

{ [ ] [ ]} ( ) ( )

2) Desplazamiento (atraso

[n-m ] = Z ( ) ( )

3) Escalam iento en el dominio z

a [ ] ( / )

N N

n n n nm m

m m m

l m

n

a f n a F z

Z ax n bx n aX z bX z

f F z z f l z z atrasa

f n F Z a

= =

−− − − −

= −

=

+ = +

+

=

∑ ∑

∑

Sistema Discreto por Transformada Z


4) Desplazamiento (adelanto)Para la secuencia cuyos valores son x[n+n0] se tiene [ ] )(][ 0

0 zXznnxZ n ⋅=+


Propiedades de Interés

�[n+m] = Z�� − Z� �� Z�

��

��!"#�!��!�!�$�%&ó�

( ≥ 05) Diferenciación de X(z)

La Transformada Z de x[n] linealmente es:

[ ]dz

zdXznxnZ

)(][ −=⋅ +− << RxzRx


6) Conjugación de una secuencia compleja

+− << RxzRx[ ] )(][ *** zXnxZ =

7) Teorema del Valor inicial

Si x[n] es cero para n < 0, entonces

8) Teorema del Valor final



1

1lim ( ) lim[(1 ) ( )k z

x k z X z−

→∞ →= −

[0] lim ( )z

x X z→∞

=


9)Convolución en Tiempo ∶ � ��[�] ∗ �.[�] = ��(�)�.(�)




Representación General: Sistema Lineal invariante en el tiempo LTI

x[n] ↔↔↔↔ Z{x[n]}=X(z) y[n] ↔↔↔↔ Z{y[n]}=Y(z)

Sistema Discreto

La Transformada Z de la respuesta de un sistema a la Delta de Kronecker se

denomina función del sistema. Evaluada sobre el círculo unitario ( | z | = 1) es la

respuesta en frecuencia del sistema.

Entrada Salida

x[n] – X(z) y[n]- Y(z)

h[n] - H(z)y[n] = x[n] * h[n]

Y(z) = X(z) · H(z)


clase 2 transformada z

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