clase 2 mmc 2014

Mecnica del Medio Continuo I semestre 2014

Prof. Oscar Begambre (I.C.,M.Sc.,PhD) Clase 2

Verrazano Narrows, NY, 1964 Akashi Kaikyo, JP, 1990

La formula de Cauchy vista anteriormente est restringida debido a que da solamente las componentes de esfuerzo en las direcciones X, Y , Z originales. Para encontrar las nuevas componentes de esfuerzo en direccin de X,Y,Z arbitrarios se debe realizar una transformacin. Esta transformacin ser realizada en primera instancia empleando el algebra vectorial bsica y seguidamente se emplearan los formalismos del algebra de tensores. Si el nuevo sistema de Coordenadas es X, Y y Z, en este caso, el eje X coincide con el vector normal al plano ABC (ver figura 1 abajo) y los ejes Y y Z estn contenidos en ABC, la transformacin buscada puede ser determinada como se muestra a continuacin:

Transformacin del Tensor de Esfuerzo: Cambio de las componentes de esfuerzo en una transformacin de

coordenadas

Transformacin de coordenadas

X

Y

Z

Z

X, n Y

A

B

C

Fz

Fx

Fy

Cos(X, Z) = n

Cos(X, Y) = m

Cos(X, X) = l XX

ZX

YX

),(),(),( ZXCosFYXCosFXXCosF zYXXX

De la forma de Cauchy

1

7 repetida

Figura 1

Cambio de las componentes de esfuerzo en una transformacin de coordenadas

Empleando las ecuaciones 7 y 11 (ver clase 1 MMC) y sustituyndolas en las ecuaciones 1 y 2 (arriba) tenemos:

),(),(),(),(

),(),(),(),(

),(),(),(),(

ZXCosZXCosYXCosXXCos

YXCosZXCosYXCosXXCos

XXCosZXCosYXCosXXCos

ZZYZXZ

ZYYYXY

XZXYXXXX

2a

),(),(

),(),(

),(),(

),(),(),(

ZXCosXXCos

ZXCosYXCos

YXCosXXCos

ZXCosYXCosXXCos

ZX

YZ

XY

ZZYYXXXX

2

2

2

222

Ordenando, finalmente tenemos:

Sustituyendo 7 y 11 en la ec. 1:

2

Transformacin de coordenadas

X

Y

Z

Z

X, n Y

A

B

C

Fz

Fx

Fy

Cos(Y, Z) Cos(Y, Y)

Cos(Y, X) XX

ZX

YX

),(),(),( ZYCosFYYCosFXYCosF zYXYX

De la forma de Cauchy

3

7 repetida

Figura 1 r

Para determinar las otras componentes de esfuerzo se puede recurrir a la figura 1:

4


Sustituyendo 7 y 11 en la ec. 2:

),(),(),(),(

),(),(),(),(

),(),(),(),(

ZYCosZXCosYXCosXXCos

YYCosZXCosYXCosXXCos

XYCosZXCosYXCosXXCos

ZZYZXZ

ZYYYXY

XZXYXXYX

Ordenando, finalmente tenemos:

),(),(),(),(

),(),(),(),(

),(),(),(),(

),(),(

),(),(),(),(

ZYCosXXCosXYCosZXCos

YYCosZXCosZYCosYXCos

XYCosYXCosYYCosXXCos

ZYCosZXCos

YYCosYXCosXYCosXXCos

ZX

YZ

XY

ZZ

YYXXYX

4a

La ecuacin 4a , por ejemplo, se puede usar para hallar el esfuerzo cortante que acta en la direccin Y en un plano cuya normal esta en la direccin X si se conocen las seis componentes Cartesianas del TENSOR de esfuerzo en el punto considerado y si la orientacin del sistema X, Yy Z es conocida.


Tarea: (a)Determinar las cuatro ecuaciones de transformacin restantes siguiendo el procedimiento descrito anteriormente.(b)Si el estado de esfuerzo en un punto esta dado por:

calcule las componentes de esfuerzo en el mismo punto con relacin al sistema X, Y, Z si el sistema X, Y, Z se obtiene mediante una rotacin, en sentido contrario a las manecillas del reloj (+), de 45 grados del sistema X, Y, Z alrededor del eje Z. Respuesta:

Cambio de las componentes de esfuerzo en una transformacin de coordenadas empleando elementos de Algebra Tensorial Ver anexo 1 (abajo)

),cos( '' immiim eeQee 6 (del anexo 1)

Note que se puede definir El coseno director como:

Para un vector a, las componentes cartesianas son:

aea ii

aea ii ''

7

Sustituyendo ec. 5 en ec.7:

mmii aQa '

e1 =X

e2 =Y

e3 =Z

' Xe 1

' Ye 2

' Ze 3

a

Componentes del vector en cada sistema

Trasformacin ortogonal (Tensor)

Componentes cartesianas

8 (del anexo 1)

Tensores

Cambio de las componentes de esfuerzo en una transformacin de coordenadas Empleando elementos de Algebra Tensorial Ver anexo 1 (abajo)

Considerar cualquier tensor T. Sus componentes con relacin a los sistemas de la figura , son:

jiij TeeT

jiij TeeT'''

9 (del anexo 1)

mnnjmiij

nmnjmiij

nnjmmiij

jiij

TQQT

TeeQQT

eTQeQT

TeeT

'

'

'

'''

Usando ec.8 en ec.9b:

9b e1

e2

e3 '1e

'

2e'

3e

Usando ec.8 en :

10 (del anexo 1)

Trasformacin del tensor de esfuerzos

mnnjmiij TQQT ' Ultima ec.10 (del anexo 1)

mnnjmiij QQ '

Haciendo analoga con la ec.10, se puede escribir para la trasformacin de esfuerzos:

A

),cos( '' immiim eeQee

Teniendo en cuenta la definicin de cosenos directores dada en la ec. 6 (del anexo 1) se pueden recuperar, a partir de la ec. A, por ejemplo, la ecuaciones 2a y 4a . Para esto, es necesario recordar que el nmero de ndices libres ayuda a determinar el nmero de ecuaciones de una expresin (en este caso, ese nmero es igual a 2, luego la ec. A representa, de forma estricta 9 ecuaciones, que se reducen a 6 debido a la simetra del tensor de esfuerzo. Cada ecuacin dada en A tiene nueve trminos ya que existen dos ndices mudos en la expresin.

ndices libres ndices libres


6 (del anexo 1)


Expandiendo la ecuacin A (teniendo en cuenta la ec. 6 anexo 1) para recuperar la ecuacin 2a se obtiene:

mnnjmiij QQ '

ZYXnmji ,,

Haciendo i=X

njmXmnXj QQ '

Haciendo j=X

nXmXmnXX QQ '

Expandiendo en m=X,Y,Z

nXZXZnnXYXYnnXXXXnXX QQQQQQ '

A

B

C

D


ZXXXZX

ZXYXYZ

YXXXXY

ZXZZYXYYXXXXXX

QQ

QQ

QQ

QQQ

2

2

2

222

Expandiendo en n=X,Y,Z

ZXZXZZYXZXZYXXZXZX

ZXYXYZYXYXYYXXYXYX

ZXXXXZYXXXXYXXXXXXXX

QQQQQQ

QQQQQQ

QQQQQQ

'

Ordenando y usando la definicin de la ec 6 (del anexo 1), llegamos a:

E

F

),(),(

),(),(

),(),(

),(),(),(

eXeZCoseXeXCos

eXeZCoseXeYCos

eXeYCoseXeXCos

eXeZCoseXeYCosXeeXCos

ZX

YZ

XY

ZZYYXXXX

2

2

2

222


Finalmente, se obtiene:

2 (repetida)

),(),(

),(),(

),(),(

),(),(),(

ZXCosXXCos

ZXCosYXCos

YXCosXXCos

ZXCosYXCosXXCos

ZX

YZ

XY

ZZYYXXXX

2

2

2

222

Comparando la ec. G con la ec. 2a, se concluye que llegamos al mismo resultado:

G

T

T

QQ

y

QQ

'

'


12 (del anexo 1)

13(del anexo 1)

Para finalizar , la ecuacin A, se puede escribir en forma matricial (ver anexo 1) de la siguiente forma:

Matriz de transformacin (cosenos directores)

Esfuerzos Principales Si la seis componentes de esfuerzo en el punto son conocidas, vamos a considerar la pregunta existen planos sobre los cuales el esfuerzo cortante es nulo? O de otra forma existen planos donde el esfuerzo total actuante es nicamente el esfuerzo normal?:

X

Y

Z

Z

X, ni Y

A

B

C

Piz

Pix

Piy

Cos(ni, Z)

Cos(ni, Y)

Cos(ni, X)

i

Si solo existe i en uno de esos planos, entonces se puede escribir que las componentes del vector de esfuerzo en tal plano son :

),(

),(

),(

ZnCosP

YnCosP

XnCosP

iiiZ

iiiY

iiiX

5

Piy = Componente del vector de esfuerzo en la direccin Y, sobre el plano ABC en el cual se espera encontrar que los esfuerzos cortantes son nulos

Esfuerzos Principales

Para encontrar los cosenos directores de los planos buscados, sustituimos la ec. 5 en la 7 repetida (semana I), y obtenemos:

),(),(),(),(),(),(

),(),(),(

ZnCosYnCosXnCos

ZnCosYnCosXnCos

ZnCosYnCosXnCos

iiZZiYZiXZ

iZYiiYYiXY

iZXiYXiiXX

0

0

0

6

0

iZZYZXZ

ZYiYYXY

ZXYXiXX

Una solucin no trivial de la ec. 6 para los tres cosenos directores puede existir solo si el determinante de sus coeficientes es cero:

6a

Expandiendo la ec. 6, obtenemos:

Esfuerzos Principales, Planos Principales y Direcciones Principales

ZXYZXYXYZZZXYYYZXXZZYYXX

iZXYZXYXXZZZZYYYYXX

iZZYYXXi

2

0

222

222

23

6b

Las tres races de la ec. 6a son reales, y puede concluirse que con cada estado de esfuerzo en un punto hay asociados tres y solo tres esfuerzos normales distintos que ocurren en planos libres de esfuerzo cortante. A esos esfuerzos se les conoce como esfuerzos principales, a los planos donde estos actan se les llama planos principales y a las direcciones de las normales

saliendo de estos planos se le denomina direcciones principales.

Tarea: Establezca la contraparte bidimensional de la ecuacin 6b suponiendo que todas las componentes de esfuerzo en Z son nulas.

Expandiendo el determinante anterior:

Invariantes de Esfuerzo

det

3

222

3

222

2

1

2

I

I

I

I

ZXYZXYXYZZZXYYYZXXZZYYXX

ZXYZXYXXZZZZYYYYXX

ZZYYXX

Los esfuerzos principales dados por la ecuacin 6b dependen solo del estado de esfuerzo en el punto y no de la orientacin del sistema de coordenadas. Por lo tanto, los coeficientes

dados en la ecuacin 6c no cambian con una variacin de la orientacin del sistema de coordenadas. Las tres cantidades mostradas en la ecuacin 6c se conocen como los tres

Invariantes de Esfuerzo.

6c

Tres casos comunes en la determinacin de Esfuerzos Principales, Planos Principales y Direcciones

Principales

1 CASO. Si las tres races de la ecuacin 6b son diferentes, los tres esfuerzos principales ocurren sobre un conjunto de planos principales mutuamente perpendiculares.

2 CASO. Si dos de las tres races son iguales, todos los planos perpendiculares al plano principal donde

1 acta son planos principales.

3 CASO. Si las tres races son iguales, cada plano es un plano principal(estado de esfuerzo hidrosttico).

321

321

321

Determinacin de Esfuerzos Principales, Planos Principales y Direcciones Principales

Si las componentes cartesianas del estado de esfuerzo en un punto se conocen y se desean calcular los esfuerzos y direcciones principales, se puede proceder de la siguiente forma:

1. Determinar los tres invariantes de esfuerzo, ec. 6c

2. Determinar la tres races de la ec. 6b 3. Con una de las races de 6b, p.ej 1. (si es pertinente ver los casos 1, 2 y 3 atrs) ir a la ec 6

y calcular los tres cosenos directores que definen la orientacin de la normal al plano principal respectivo. Repetir el paso 3 para las otras races (consultar sobre otros mtodos

de resolucin 4. Fin

Tarea: determinar los esfuerzo principales y sus direcciones para el estado de esfuerzo:

602180

21701

80150

...

..

..

Anexo 1. Elementos de Algebra Tensorial Tensor Ortogonal

Es una trasformacin lineal, la cual hace que los vectores trasformados preserven su longitud y sus ngulos:

),cos(),cos( QbQaba

aQa

1

Tenemos:

IQQT

Definicin de traspuesta de un tensor

2

3

baQbQa )()(

IQQT

(demostrar)

ijmjmijmim QQQQ 4

Elementos de Algebra Tensorial

Leyes de trasformacin para componentes cartesianas de vectores y de tensores

mmiii eQQee '

e1

e2

e3

'

1e

'

2e

'

3e

5 Relacin

Vectores

Figura 1


),cos( '' immiim eeQee 6 Note que:

Para un vector a, las componentes cartesianas son:

aea ii

aea ii ''

7

Sustituyendo ec. 5 en ec.7:

mmii aQa '

e1

e2

e3 '1e

'

2e'

3e

a

Componentes del vector en cada sistema

Trasformacin ortogonal (Tensor)

Componentes cartesianas

8

Tensores


Considerar cualquier tensor T. Sus componentes con relacin a los sistemas de la figura , son:

jiij TeeT

jiij TeeT'''

9a

mnnjmiij

nmnjmiij

nnjmmiij

jiij

TQQT

TeeQQT

eTQeQT

TeeT

'

'

'

'''

Usando ec.8 en ec.9b:

9b e1

e2

e3 '1e

'

2e'

3e

Usando ec.8 en :

10

Tensores


De forma equivalente muestre que:

mnjnimij TQQT' 11

Escribiendo las ecs. 10 y 11 en forma matricial

T

T

QTQT

y

QTQT

'

'

Diferentes Matrices

del mismo tensor

1210

1311

Forma alternativa de definir un tensor: Usar las leyes de trasformacin que relaciona sus componentes en

diferentes bases


En coordenadas rectangulares, usando vectores unitarios en las direcciones positivas de las coordenadas:

e1

e2

e3 '1e

'

2e'

3e

mnrrknjmiijk

mnnjmiij

mmii

TQQQT

TQQT

bQb

'

'

'

' Escalar (tensor orden cero)

Vector (tensor primer orden)

Tensor (tensor segundo orden)

Tensor (tensor tercer orden)

14

Complemento de la definicin analtica de escalares, vectores y tensores cartesianos


e1

e2

e3 '

1e

'

2e'

3e

e1

x1

x2

x3

'

3x

'

2x

'

1x

jiji xx 15

),cos( 1221 xxDonde:

jjii xx 16

Escalar (tensor orden cero) nica componente

Campo Vectorial (tensor primer orden) tres componentes en las variables xi

Campo Tensorial (tensor segundo orden) nueve componentes en las variables xi

Un sistema de cantidades se llama escalar, vector o tensor dependiendo de cmo se definen las componentes del sistema en las variables x1,

x2,x3 y de cmo se trasforman cuando se cambia del sistema x1, x2,x3 al x1

, x2 ,x3


),,(),,( 321321 xxxxxx

kiki

ikki

xxxxxx

xxxxxx

),,(),,(

),,(),,(

321321

321321

njmimnij

jnimmnij

xxxxxx

xxxxxx

),,(),,(

),,(),,(

321321

321321

17a

Generalizar para ordenes mayores o menores. n=1,2 o n=1,2,p

17b

17c

Ejemplo 1. Muestre que, si todas las componentes de un tensor cartesiano se

anulan en un sistema de coordenadas entonces ellas se anulan en todos los otros sistemas de coordenadas.


Solucin

17c de Podemos concluir que si cada componente

njmimnij

jnimmnij

xxxxxx

xxxxxx

),,(),,(

),,(),,(

321321

321321

mn se anula, entonces

el termino de la derecha se anula tambin y por lo tanto 0ij para todo ij

Ejemplo 2. Pruebe el siguiente teorema: la suma o resta de dos tensores

cartesianos del mismo orden es nuevamente un tensor del mismo orden


prueba

17c usando tenemos:

jnimmnij

jnimmnij

xxxBxxxB

xxxAxxxA

),,(),,(

),,(),,(

321321

321321

ijij BA ,Sean dos tensores

Sumando:

)),,(),,((),,(),,( 321321321321 xxxBxxxAxxxBxxxA mnmnjnimijij

Cumple con la definicin de tensor

De los ejemplos anteriores podemos concluir que, si una ecuacin tensorial es establecida en un sistema de coordenadas, entonces ella debe

ser valida para todos los sistemas de coordenadas obtenidos mediante

trasformaciones admisibles (tarea consultar sobra definicin de trasformacin admisible)


Funciones de valor nico, continuas, con primera derivada parcial continua. Determinante del Jacobiano no nulo en cualquier punto.

clase 2 mmc 2014

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