Movimiento circularEl planteamiento de la cinemática para un movimiento circular de radioconstante es un movimiento en dos dimensiones.

Consideremos una partícula que describe una trayectoria circular, s, de radioconstante, R, en dirección horario (siguiendo el movimiento de las manecillas deun reloj)

Rs

Dado que la velocidad se define como la derivada de la posición con respecto altiempo, entonces, geométricamente, podemos establecer que el vector velocidades tangencial a la trayectoria circular, de forma que:

En este momento tenemos dos opciones de análisis que corresponden con que lamagnitud del vector velocidad no cambie (rapidez constante) o que la magnituddel vector velocidad cambie (rapidez variable).

1

�⃗�

Rs

Movimiento circularMovimiento circular con rapidez constante.

Si permitimos que el objeto evolucione en su trayectoria, conservando lamagnitud del vector velocidad (rapidez constante) entonces veremos como elvector velocidad cambiará de dirección en cada punto.

Rs

�⃗�

sR �⃗�

Rs

CUIDADO. El vector velocidad está caracterizado por tener magnitud y dirección. En este movimiento la magnitud se conserva (rapidez constante) pero la dirección del

Para que el vector velocidad cambie de dirección pero no de magnitud, serequiere de una característica cinemática que ocasione tal cambio pero, como yaes conocido, la única característica cinemática que produce una variación en elvector velocidad es el vector aceleración.

En este caso, el vector aceleración deberá mantenerse perpendicular al vectorvelocidad en cada punto de la trayectoria pues deseamos que la rapidez semantenga constante.

2

�⃗� constante) pero la dirección del

vector está cambiando como función del tiempo.

Movimiento circularPara facilitarnos el análisis del vector aceleración tomaremos dos puntos de latrayectoria circular que tienen la peculiaridad de que el vector velocidad asociadoa los puntos forma un triángulo rectángulo al igual que la dirección del radio:

Rs

�⃗�

Rs

�⃗� Punto 1 Punto 2

|�⃗�|

|�⃗�| |∆�⃗�| R

R

DR

Analizando el triángulo de “rapideces”, podemos asegurar que el ángulo que seforma de un cateto a la hipotenusa será de 45.0 grados, pues ambos catetostiene el mismo tamaño (la rapidez es constante). Esta situación resulta análogapara el triángulo de “radios” (el radio es constante).

Como en ambos triángulo el ángulo cateto-hipotenusa es el mismo, podemosrecurrir a semejanza de triángulos para establecer una relación entre ellos.

3

�⃗�

𝑐𝑜𝑠45 =|�⃗�|

|∆�⃗�| 𝑐𝑜𝑠45 =

𝑅

∆𝑅

|�⃗�|

|∆�⃗�|=

𝑅

∆𝑅

Movimiento circularTomando la última relación y despejando la magnitud del cambio en el vectorvelocidad, tenemos:

La relación anterior será dividida por el cambio temporal, Dt, y considerando queDR (hipotenusa del triángulo de “radios”) es tan pequeño que representa el arcode la trayectoria circular, s, entonces, podemos llegar a:

|𝑣|

|∆𝑣|=

𝑅

∆𝑅 … |∆�⃗�| =

|𝑣|∆𝑅

𝑅

|∆�⃗�|

∆𝑡=

|�⃗�|∆𝑅

𝑅∆𝑡=

|�⃗�|𝑠

𝑅∆𝑡

Como puede observarse, tenemos una división entre la magnitud del cambio enel vector velocidad y el cambio en el tiempo, lo cual podemos denominarmagnitud del vector aceleración. Por otra parte, tenemos un término que nosrefiere a la razón de cambio del arco entre el cambio en el tiempo, lo cualpodemos relacionar directamente con la rapidez. Por lo tanto, la ecuación queda:

De esta forma podemos encontrar la magnitud de la aceleración que produce elcambio en la dirección del vector velocidad conservando la rapidez.

4

|∆�⃗�|

∆𝑡=

|�⃗�|∆𝑅

𝑅∆𝑡=

|�⃗�|𝑠

𝑅∆𝑡

|�⃗�| =|�⃗�|2

𝑅

Movimiento circularSi retomamos la definición del vector aceleración como la derivada del vectorvelocidad como respecto al tiempo y consideramos que la derivada resultatangente al elemento derivable, entonces, tenemos dos opciones para la direccióndel vector aceleración:

En la imagen de la izquierda, el vector aceleración apunta sobre el “radio” en

sR �⃗�

�⃗� sR �⃗�

�⃗�

En la imagen de la izquierda, el vector aceleración apunta sobre el “radio” endirección al “centro del arco circular” por lo que se le conoce como aceleraciónradial o aceleración centrípeta. En la imagen de la derecha, el vector aceleraciónapunta en dirección contraria a la posición del “centro del arco circular” por loque se le conoce como aceleración centrífuga.

Por el momento, únicamente nos quedaremos con la aceleración radial. La razóndel por qué, será brindada cuando analicemos las leyes de Newton y suconsecuencia en la “dinámica” asociada con el movimiento circular.

Como conclusión podemos establecer que el movimiento circular a rapidezconstante requiere de una aceleración radial que produce únicamente el cambioen la dirección del vector velocidad.

5

Movimiento circularMovimiento circular con rapidez variable.

Un movimiento circular con rapidez variable ahora tiene dos cambios:

• La dirección del vector velocidad.

• La magnitud del vector velocidad, es decir, su rapidez.

Afortunadamente, la variación en la dirección del vector velocidad ya fueanalizada en el caso anterior, así que extrapolaremos dicha información a estanueva situación; es decir, el cambio en la dirección del vector velocidad será pornueva situación; es decir, el cambio en la dirección del vector velocidad será porefecto de la existencia de una aceleración radial.

Para analizar la variación en la magnitud del vector velocidad, existen dosopciones:

• Si se desea que la rapidez incremente, entonces, necesitamos de unaaceleración que sea paralela al vector velocidad.

• Si se desea que la rapidez disminuya, entonces, necesitamos de unaaceleración que sea opuesta al vector velocidad.

6

Movimiento circularEjemplifiquemos las situaciones anteriores conservando que la partícula describeun arco circular, s, de radio constante, R, en dirección horario:

Rs

�⃗�

�⃗�

�⃗�

�⃗� �⃗�

En esta situación existen dos componentes de aceleración,una radial (marcada en rojo) y otra que es tangencial a latrayectoria circular (marcada en verde), que tiene la mismadirección del vector velocidad por lo que la rapidez serámayor en el siguiente instante del tiempo.

En esta situación existen dos componentes de aceleración,

Debe observarse que independiente de que la rapidez incremente o disminuya, lacomponente de la aceleración tangencial (la que produce el cambio en la rapidez)y la aceleración radial (la que produce el cambio en la dirección del vectorvelocidad) se mantienen perpendiculares, lo cual nos permite establecer unnuevo triángulo rectángulo compuesto por estas dos aceleraciones.

7

Rs

�⃗�

�⃗�

En esta situación existen dos componentes de aceleración,una radial (marcada en rojo) y otra que es tangencial a latrayectoria circular (marcada en verde), que tiene direcciónopuesta al vector velocidad por lo que la rapidez será menoren el siguiente instante del tiempo.

Movimiento circularSi únicamente observamos las dos aceleraciones que actúa sobre la partícula, enla caso de que la rapidez aumente (el análisis es similar cuando la rapidezdisminuye), entonces:

Si se recuerda el análisis vectorial de los primeros días de clase (hace como ocho

�⃗�

�⃗�

Rs

�⃗�

�⃗�

�⃗�

�⃗�

Como puede verse, la aceleración “amarilla”es la hipotenusa de un triángulo rectánguloque tiene por catetos la aceleración radial(marcada en rojo) y la aceleración tangencial(marcada en verde).

Si se recuerda el análisis vectorial de los primeros días de clase (hace como ochosemanas) se mencionó que los vectores se establecen en un espacio euclidianodefinido por vectores canónicos, los cuales son perpendiculares entre ellos.

Extrapolando esta información, podríamos establecer un “eje” en la dirección delvector aceleración radial y un “eje” en la dirección del vector aceleracióntangencial, ya que ambas aceleraciones siempre son perpendiculares y el nuevovector aceleración (el amarillo) estaría inmerso en este “nuevo” espacioeuclidiano que queda definido por los vectores aceleración radial y tangencial.

El procedimiento anterior requiere de un análisis más profundo de espaciosvectoriales que se conoce bajo el nombre de “coordenadas intrínsecas” pero no esfinalidad de nuestro curso profundizar en este tipo de análisis.

8

Movimiento circularEn este nuevo espacio, el vector aceleración tendrá una componente en el ejeradial que denominaremos componente radial, aR, y una componente en el ejetangencial que denominaremos componente tangencial, aT.

�⃗� Como buen vector, este vector de aceleración tendrámagnitud y dirección. Para este último elemento, la direccióndel vector, se tomará como eje adyacente el eje radial.

𝑅 𝑇 𝑅2

𝑇2 𝑇

𝑅

Para determinar la componente radial recurriremos a la ecuación encontradacuando el movimiento circular es con rapidez constante mientras que lacomponente tangencial refiere al cambio de la rapidez respecto al cambio en eltiempo.

La componente radial se obtiene para un instante del tiempo pero la componentetangencial se obtiene en el intervalo del tiempo que la rapidez cambia.

Ambas componentes tienen dimensionalidad de m/s2.9

𝑎𝑅 =|𝑣|2

𝑅 𝑎𝑇 =

|𝑣| − |𝑣0|

∆𝑡

Movimiento circularCabe mencionar que el análisis anterior se enfocó en la trayectoria circular quedescribe la partícula. Sin embargo, existe una alternativa de análisis que estáenfocada, no en la trayectoria de la partícula, sino en la variación angular de lalínea imaginaria que “une” a la partícula con el centro del arco. Esta líneaimaginaria es comúnmente dibujada como “el radio”.

Consideremos una partícula que describe una trayectoria circular, s, de radioconstante, R, en dirección horario (siguiendo el movimiento de las manecillas deun reloj)

�⃗�

s

Si permitimos que evoluciones el movimiento de la partícula como función deltiempo y observamos al “radio”, veremos que a este se le puede asociar uncambio angular, Dq, con respecto a su posición angular inicial:

10

�⃗�

Rs

�⃗�

Rs sR

�⃗� Dq

Movimiento circularSi analizamos exclusivamente el cambio angular Dq, que será referido comodesplazamiento angular, el cual se puede expresar como Dq = q – q0 y planteamossu variación con respecto al tiempo, entonces tendremos la descripción de lavelocidad angular, w:

La relación anterior se puede explorar para un instante del tiempo, es decircuando Dt tiende a cero, lo que nos lleva a una “derivada” que puede resolversemediante una ecuación diferencial que debe ser integrada:

ω =Δθ

Δ𝑡

ω = limΔ𝑡→∞Δθ

Δ𝑡=

𝑑θ

𝑑𝑡 … ω =

𝑑θ

𝑑𝑡 … ∫ ω𝑑𝑡

𝑡

0= ∫ 𝑑𝜃

𝜃

𝜃0

Para poder integral el término a la izquierda de la igualdad, debemos decuestionarnos si la velocidad angular, w, es constante para extraerla de laintegral. Pero, si esta es variable, es decir que cambie con el tiempo, entonces,requerimos de una aceleración angular que permita expresar el cambio de lavelocidad angular como función del tiempo.

Como se analizó y demostró en el curso, hace aproximadamente cinco semanas,si resolvemos el caso de “velocidad” variable, entonces, encontraremos unaecuación que incluye la situación de “velocidad constante”, a la cual se puedellegar estableciendo que la “aceleración” es constante de valor cero.

11

ω = limΔ𝑡→∞Δθ

Δ𝑡=

𝑑θ

𝑑𝑡 … ω =

𝑑θ

𝑑𝑡 … ∫ ω𝑑𝑡

𝑡

0= ∫ 𝑑𝜃

𝜃

𝜃0

Movimiento circularSiguiendo el planteamiento establecido, requerimos definir una aceleraciónangular, a, que permita entender el cambio de la velocidad angular como funcióndel tiempo.

La relación anterior se puede explorar para un instante del tiempo, es decircuando Dt tiende a cero, lo que nos lleva a una “derivada” que puede resolversemediante una ecuación diferencial que debe ser integrada:

α = limΔ𝑡→∞Δω

Δ𝑡=

𝑑ω

𝑑𝑡 … α =

𝑑ω

𝑑𝑡 … ∫ α𝑑𝑡

𝑡

0= ∫ 𝑑𝜔

𝜔

𝜔0

α =Δω

Δ𝑡=

ω − ω0

Δ𝑡

Para poder integral el término a la izquierda de la igualdad, consideraremos quela aceleración angular, a, es constante y así podremos extraerla de la integral.

De este resultado podemos despejar la velocidad angular, w, (w = w0 + at), parasustituirla en la ecuación diferencial que tiene a la integral del diferencial de q.

12

α = limΔ𝑡→∞Δω

Δ𝑡=

𝑑ω

𝑑𝑡α =

𝑑ω

𝑑𝑡∫ α𝑑𝑡

𝑡

0= ∫ 𝑑𝜔

𝜔

𝜔0

∫ α𝑑𝑡𝑡

0= ∫ 𝑑𝜔

𝜔

𝜔0 … α ∫ 𝑑𝑡

𝑡

0= ∫ 𝑑𝜔

𝜔

𝜔0 … α𝑡 = 𝜔 − 𝜔0

∫ ω𝑑𝑡𝑡

0= ∫ 𝑑𝜃

𝜃

𝜃0 … ∫ (ω0 + α𝑡)𝑑𝑡

𝑡

0= ∫ 𝑑𝜃

𝜃

𝜃0 … ∫ ω0𝑑𝑡

𝑡

0+ ∫ α𝑡𝑑𝑡

𝑡

0= ∫ 𝑑𝜃

𝜃

𝜃0

Movimiento circularResolviendo las integrales encontradas, asumiendo que tanto la velocidadangular iniciar, w0, como la aceleración angular, a, son constantes, entonces:

Con el procedimiento anterior, hemos encontrado la forma de expresar eldesplazamiento angular, Dq, como función del tiempo.

Para finalizar este análisis, nos hace falta determinar la dimensionalidad de lostérminos encontrados.

∫ ω0𝑑𝑡𝑡

0+ ∫ α𝑡𝑑𝑡

𝑡

0= ∫ 𝑑𝜃

𝜃

𝜃0 … ω0𝑡 + α

𝑡 2

2= 𝜃 − 𝜃0

sGeométricamente podemos establecer una relación entre el

Tanto el arco como el radio se miden en metros por lo que Dq deberá seradimensional pero, para facilitarnos el análisis, recurriremos a una unidadauxiliar denominada radian, rad, para expresar el desplazamiento angular.

Lo anterior permite establecer que la velocidad angular, w, se mide en rad/smientras que la aceleración angular, a, se mide en rad/s2.

13

R

�⃗� Dq

Geométricamente podemos establecer una relación entre elarco, s, y el desplazamiento angular, Dq, la cual es:

s = Dq R

Movimiento circularPara finalizar el análisis del movimiento circular, exploremos una últimasituación denominada “oscilador armónico”.

Consideremos una partícula que describe una trayectoria circular de radioconstante, R, en dirección antihorario (dirección contraria al movimiento de lasmanecillas de un reloj):

�⃗�

R

14

Si colocamos dicho movimiento en un espacio euclidiano dedos dimensiones, definido por los ejes x y y, de forma queel centro del círculo coincida con el origen del espacioeuclidiano, en donde el ángulo q nacerá del eje x endirección a la línea imaginaria (radio) que une al centro conla partícula, entonces, podremos establecer una relaciónpara el cambio en las componentes x y y (vector posición dela partícula) como función de q.

q

y

x

�⃗�

R

𝑥 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 = 𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃

Movimiento circularPara analizar la variación de las componentes del vector posición, x y y, comofunción del tiempo, recurriremos a la ecuación del desplazamiento angular, Dq, yde esta despejaremos a q para sustituirla en el argumento de cada función.

𝑥 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑅𝑐𝑜𝑠(𝜃0 + ω0𝑡 + 𝛼𝑡 2

2)

𝑦 = 𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑅𝑠𝑒𝑛(𝜃0 + ω0𝑡 + 𝛼𝑡2

2)

ω0𝑡 + α𝑡 2

2= 𝜃 − 𝜃0 … 𝜃 = 𝜃0 + ω0𝑡 + α

𝑡 2

2

Tomemos las ecuaciones anteriores y apliquemos una primera consideración,asumamos que la aceleración angular es constante y de valor cero.

Si retomamos que la derivada del vector posición con respecto al tiempo es elvector velocidad, entonces:

15

𝑦 = 𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑅𝑠𝑒𝑛(𝜃0 + ω0𝑡 + 𝛼2

)

𝑥 = 𝑅𝑐𝑜𝑠(𝜃0 + ω0𝑡) 𝑦 = 𝑅𝑠𝑒𝑛(𝜃0 + ω0𝑡)

𝑣𝑥 =𝑑𝑥

𝑑𝑡=

𝑑𝑅𝑐𝑜𝑠 (𝜃0+ω0𝑡)

𝑑𝑡= −𝑅ω0𝑠𝑒𝑛(𝜃0 + ω0𝑡)

𝑣𝑦 =𝑑𝑦

𝑑𝑡=

𝑑𝑅𝑠𝑒𝑛 (𝜃0+ω0𝑡)

𝑑𝑡= 𝑅ω0𝑐𝑜𝑠(𝜃0 + ω0𝑡)

Movimiento circularLas ecuaciones encontradas expresan al vector velocidad como función del tiempo.Si retomamos que la rapidez es la magnitud del vector velocidad, entonces,podemos encontrar que:

|�⃗�| = 𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦

2

𝑣𝑥 = −𝑅ω0𝑠𝑒𝑛(𝜃0 + ω0𝑡) 𝑣𝑦 = 𝑅ω0𝑐𝑜𝑠(𝜃0 + ω0𝑡) |�⃗�| = [−𝑅ω0𝑠𝑒𝑛(𝜃0 + ω0𝑡)]2 + [𝑅ω0𝑐𝑜𝑠(𝜃0 + ω0𝑡)]2

|�⃗�| = 𝑅2ω02𝑠𝑒𝑛2(𝜃0 + ω0𝑡) + 𝑅2ω0

2𝑐𝑜𝑠2(𝜃0 + ω0𝑡)

Ahora somos capaces de establecer una relación entre la rapidez (medida en m/s)con la rapidez angular (medida en rad/s) al emplear el radio, R, del movimientocircular.

16

|�⃗�| = [−𝑅ω0𝑠𝑒𝑛(𝜃0 + ω0𝑡)] + [𝑅ω0𝑐𝑜𝑠(𝜃0 + ω0𝑡)]

|�⃗�| = 𝑅2ω02𝑠𝑒𝑛2(𝜃0 + ω0𝑡) + 𝑅2ω0

2𝑐𝑜𝑠2(𝜃0 + ω0𝑡) |�⃗�| = 𝑅2ω0

2[𝑠𝑒𝑛2(𝜃0 + ω0𝑡) + 𝑐𝑜𝑠2(𝜃0 + ω0𝑡)] |�⃗�| = 𝑅2ω0

2 |�⃗�| = 𝑅 ω0

Movimiento circularSi ahora retomamos que la derivada del vector velocidad con respecto al tiempoes el vector aceleración y realizamos un procedimiento análogo con el anterior,entonces:

Estás ecuaciones son las componentes del vector aceleración.

Recordando que la celeridad es la magnitud del vector aceleración, entonces:

𝑎𝑥 =𝑑𝑣𝑥

𝑑𝑡=

𝑑−𝑅ω0𝑠𝑒𝑛 (𝜃0+ω0𝑡)

𝑑𝑡= −𝑅ω0

2𝑐𝑜𝑠(𝜃0 + ω0𝑡)

𝑎𝑦 =𝑑𝑣𝑦

𝑑𝑡=

𝑑𝑅 ω0𝑐𝑜𝑠 (𝜃0+ω0𝑡)

𝑑𝑡= −𝑅ω0

2𝑠𝑒𝑛(𝜃0 + ω0𝑡)

Recordando que la celeridad es la magnitud del vector aceleración, entonces:

17

|�⃗�| = 𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦

2

|�⃗�| = [−𝑅ω0

2𝑐𝑜𝑠(𝜃0 + ω0𝑡)]2 + [−𝑅ω02𝑠𝑒𝑛(𝜃0 + ω0𝑡)]2

|�⃗�| = 𝑅2ω0

4𝑐𝑜𝑠2(𝜃0 + ω0𝑡) + 𝑅2ω04𝑠𝑒𝑛2(𝜃0 + ω0𝑡)

|�⃗�| = 𝑅2ω0

4[𝑐𝑜𝑠2(𝜃0 + ω0𝑡) + 𝑠𝑒𝑛2(𝜃0 + ω0𝑡)]

|�⃗�| = 𝑅2ω04

|�⃗�| = 𝑅 ω0

2

Movimiento circularSi tomamos las expresiones encontradas para la rapidez y la celeridad:

y despejamos la velocidad angular de la ecuación de rapidez para sustituirla enla ecuación de celeridad, observaremos que la celeridad encontrada correspondecon la componente radial del vector aceleración.

|�⃗�| = 𝑅 ω0 |�⃗�| = 𝑅 ω0

2

|�⃗�| = 𝑅 ω0 … ω0 = |𝑣|

𝑅

|�⃗�| = 𝑅 ω02 = 𝑅

|𝑣|

𝑅

2

= |𝑣|2

𝑅

Lo anterior tiene sentido dado que establecimos que la aceleración angular seríaconstante y de valor cero, lo cual implica que la velocidad angular será constantellevándonos a describir un movimiento circular a rapidez constante.

A continuación se muestran unas gráficas que corresponden al comportamientodel vector posición, el vector velocidad y el vector aceleración, analizados entérminos de las componentes cartesianas.

18

|�⃗�| = 𝑅 ω02 = 𝑅

|𝑣|

𝑅

2

= |𝑣|2

𝑅

Movimiento circular

t (s)

x (m)

t (s)

y (m)

𝑥 = 𝑅𝑐𝑜𝑠(𝜃0 + ω0𝑡)

Para realizar los siguientes gráficos se consideró un valor arbitrario, positivo,para R y w0 pero q0 se igualó a cero.

𝑦 = 𝑅𝑠𝑒𝑛(𝜃0 + ω0𝑡)

vx (m/s) v

y (m/s)

𝑣𝑥 = −𝑅ω0𝑠𝑒𝑛(𝜃0 + ω0𝑡) 𝑣𝑦 = 𝑅ω0𝑐𝑜𝑠(𝜃0 + ω0𝑡)

19

t (s)

x

t (s)

𝑣𝑥 = −𝑅ω0𝑠𝑒𝑛(𝜃0 + ω0𝑡) 𝑣𝑦 = 𝑅ω0𝑐𝑜𝑠(𝜃0 + ω0𝑡)

t (s)

ay (m/s2)

𝑎𝑦 = −𝑅ω0

2𝑠𝑒𝑛(𝜃0 + ω0𝑡)

t (s)

ax (m/s2)

𝑎𝑥 = −𝑅ω02𝑐𝑜𝑠(𝜃0 + ω0𝑡)

Movimiento circularAhora bien, si regresas a la diapositiva 15, verás que todo este últimotratamiento se realizó con la consideración de que la aceleración angular eraconstante y de valor cero, pero, ¿qué sucedería si ahora consideramos que laaceleración angular es diferente de cero?

La respuesta a esta pregunta es sencilla, ahora tendríamos que resolver unasituación similar considerando que las componentes del vector posición, x y y,son:

𝑥 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑅𝑐𝑜𝑠(𝜃0 + ω0𝑡 + 𝛼𝑡 2

2)

𝑦 = 𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑅𝑠𝑒𝑛(𝜃0 + ω0𝑡 + 𝛼𝑡2

2)

Para derivar cada una de ellas con respecto al tiempo y así determinar lascomponentes del vector velocidad:

20

𝑦 = 𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑅𝑠𝑒𝑛(𝜃0 + ω0𝑡 + 𝛼𝑡2

2)

𝑣𝑥 = −𝑅(𝜔0 + 𝛼𝑡)𝑠𝑒𝑛(𝜃0 + ω0𝑡 + 𝛼𝑡 2

2)

𝑣𝑦 = 𝑅(𝜔0 + 𝛼𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝜃0 + ω0𝑡 + 𝛼𝑡2

2)

|�⃗�| = 𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦

2 = 𝑅 ω

Movimiento circularPosteriormente, derivamos las componentes del vector velocidad para obtener elvector aceleración.

𝑎𝑥 = −𝑅𝛼𝑠𝑒𝑛 𝜃0 + ω0𝑡 + 𝛼𝑡 2

2− 𝑅(𝜔0 + 𝛼𝑡)2𝑐𝑜𝑠(𝜃0 + ω0𝑡 + 𝛼

𝑡 2

2)

𝑎𝑦 = 𝑅𝛼𝑐𝑜𝑠 𝜃0 + ω0𝑡 + 𝛼𝑡 2

2− 𝑅(𝜔0 + 𝛼𝑡)2𝑠𝑒𝑛(𝜃0 + ω0𝑡 + 𝛼

𝑡 2

2)

|�⃗�| = 𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦

2 = √𝑅2ω4 + 𝑅2α2

El término R2w4 hace referencia a la componente radial, aR = Rw2, mientras queel término R2a2 hace referencia a la componente tangencial, aT = Ra. Lo cual escongruente con lo mostrado en la diapositiva 9.

21