Uno de los mejores mecanismos que tenemos para entender el magnetismo enlos materiales es a partir de la física de campos magnéticos.

Iniciemos nuestro estudio retomando la información generada para una espiracuadrada por la que circula una intensidad de corriente eléctrica. El análisis delcomportamiento de la espira de corriente eléctrica inmersa en un campomagnético externo fue desarrollado en la presentación 10.

Momento magnético

y 𝐵 A grosso modo, la espira por la que circula una intensidadde corriente eléctrica tiene asociado un vector momentodipolar magnético, descrito por:

En donde la energía asociada con el cambio configuracional de la espira comofunción del campo magnético aplicado se determina:

1

x

I dipolar magnético, descrito por:

Cuando la espira se somete a un campo magnético externo,esta experimentará una torca que ocasionará que el vectormomento dipolar magnético se oriente con la dirección delvector campo magnético, según:

�� = 𝑛𝐴𝐼

𝜏 = �� × ��

∆𝑈 = −∆(𝜇⦁𝐵)

Extrapolemos la información anterior al caso del átomo de hidrógeno para elestado basal siguiendo el modelo de Bohr.

En este modelo se considera que el electrón se encuentra circulando por una“espira circular”, llamada órbita, por lo que podemos determinar la intensidad decorriente eléctrica asociada con el movimiento de la carga eléctrica.

Momento magnético

Dada la definición de que la intensidad de corriente eléctricaes la cantidad de carga eléctrica que circula como funcióndel tiempo,

Ze

a0

I =∆𝑄

∆𝑡

Para determinar el tiempo en el que circula la carga eléctrica, recurriremos a lacinemática del movimiento circular. Como el electrón está en una órbitaestacionaria cuya energía es constante, según los postulados de Bohr, entoncesla rapidez del electrón en el movimiento circular de radio r = a0, es constante, loque nos permitirá determinar el tiempo en el que se mueve la carga eléctrica.

2

Podemos asumir que la cantidad de carga eléctrica, Dq,corresponde con la carga eléctrica de un electrón, e.

=∆𝑄

∆𝑡

|��| =2𝜋𝑟

𝑇 … 𝑇 =

2𝜋𝑟

|𝑣|

Si sustituimos en la definición de la intensidad de corriente eléctrica el tiempoasociado con el periodo y cambiamos la cantidad de carga eléctrica por eltérmino e, tenemos:

Ahora conocemos la intensidad de corriente eléctrica asociada al movimiento delelectrón en el átomo de hidrógeno para el estado basal, la cual, al sustituir elvalor de las constantes nos da:

Momento magnético

I =∆𝑄

∆𝑡 … I =

𝑒|𝑣|

2𝜋𝑟

I =𝑒|��|

2𝜋𝑟=

(1.6𝑥10−19)(2.18𝑥106)

2𝜋(0.529𝑥10−10)= 1.05𝑥10−3A

Para determinar la magnitud del vector momento dipolar magnético ahora noshace falta el área de la espira. Como la órbita es la región del espacio en la quecircula la intensidad de corriente eléctrica y esta es circular, entonces el áreaserá igual a pr2. Realizando el producto de la intensidad de corriente eléctricaasociada con el movimiento del electrón y el área de la espira, asociada con laórbita del modelo de Bohr, determinaremos la magnitud del vector momentodipolar magnético.

3

I =𝑒|��|

2𝜋𝑟=

(1.6𝑥10−19)(2.18𝑥106)

2𝜋(0.529𝑥10−10)= 1.05𝑥10−3A

2 𝑒|𝑣|

2𝜋𝑟 … 𝑒|𝑣|𝑟

2

Si ahora retomamos el postulado de Bohr referente al vector momento angularasociado con el electrón, el cual tiene por relación:

Cuya magnitud está cuantizada y relacionada con el producto del número deórbita y “h-barra”

Asumiendo que el ángulo b maximiza el momento angular asociado con elelectrón, es decir, b vale 90.0 grados, y cambiamos el término de la cantidad demovimiento lineal para expresarlo en función de la masa del electrón y su

Momento magnético

𝐿 = 𝑟 × 𝑝

𝐿 = |𝑟||𝑝|𝑠𝑒𝑛𝛽 = 𝑛ℏ

movimiento lineal para expresarlo en función de la masa del electrón y surapidez, entonces:

Con la intención de relacionar la cuantización de Bohr para el momento angularcon la magnitud del vector momento dipolar magnético, sustituiremos en estaúltima el producto de la rapidez del electrón y el radio de la órbita:

4

𝐿 = 𝑚|��||𝑟| = 𝑛ℏ

… 𝑛ℏ

𝑚

𝑒|𝑣|𝑟

2

𝑒𝑛ℏ

2𝑚 …

𝑒 𝐿

2𝑚

Dado que estamos realizando en análisis para el estado basal del modelo deBohr, el valor de n = 1,

Como puede observarse en la expresión anterior, la magnitud del vectormomento dipolar magnético es una constante pues todos los términos de laexpresión son constantes. Si cambiamos cada término por su valor numérico,encontraremos una nueva constante denominada magnetón de Bohr, mB, la cuales empleada como unidad de referencia en la descripción magnética de losátomos.

Momento magnético

𝑒𝑛 ℏ

2𝑚

𝑒ℏ

2𝑚

átomos.

Generalicemos la expresión para determinar la magnitud del vector momentodipolar magnético.

La ecuación anterior puede ser expresada de forma vectorial.

Ahora recurriremos a un poco de mecánica cuántica.5

|𝜇| =1.6𝑥10−19 (1.05𝑥10−34)

2(9.1𝑥10−31 ) … 𝜇𝐵 = 9.27𝑥10−24 Am2

|��| =𝑒 𝐿

2𝑚

ℏ

ℏ=

𝑒ℏ

2𝑚

𝐿

ℏ … |��| = 𝜇𝐵

𝐿

ℏ

𝜇 = 𝜇𝐵

𝐿

ℏ

Recurriendo a la descripción de la mecánica cuántica para determinar lamagnitud del vector momento angular orbital en términos del número cuánticoacimutal, l.

Cuya proyección a lo largo de una dirección preferencial en el espacio, ejecartesiano z, está cuantizada en términos del número cuántico magnético, ml

Si consideramos la componente en el eje cartesiano z del vector momento dipolarmagnético, mz, y lo relacionamos con el vector momento angular orbital, tenemos:

Momento magnético

𝐿 = 𝑙(𝑙 + 1)ℏ

𝐿𝑧 = 𝑚𝑙ℏ

magnético, mz, y lo relacionamos con el vector momento angular orbital, tenemos:

Para dejar explícito que la ecuación anterior describe el momento angularasociado con el orbital, recurriremos a un artilugio matemático para encontrarun término que refiera al orbital:

El término gL es conocido como factor giromagnético de orbital y hace referenciaa la contribución del orbital al momento magnético del átomo.

6

𝜇𝑧 = 𝜇𝐵𝐿𝑧

ℏ … 𝜇𝑧 = 𝜇𝐵𝑚𝑙

𝜇𝑧 = 𝜇𝐵𝑚𝑙 … 𝜇 𝑧

𝜇 𝐵 𝑚 𝑙= 1 = 𝑔𝐿 … 𝜇𝑧 = 𝑔𝐿𝜇𝐵𝑚𝑙

Si retomamos el hecho de que un campo magnético externo produce una torcaen el vector momento dipolar magnético, la cual puede analizarse desde unpunto de vista energía potencial:

Y asumimos que inicialmente ambos vectores son perpendiculares y terminaránalineados en el eje cartesiano z por el efecto de rotación, entonces:

Momento magnético

∆𝑈 = −∆(𝜇⦁𝐵)

∆𝑈 = −��⦁𝐵 + ��⦁𝐵0

… ∆𝑈 = −��⦁�� = −|��| 𝐵

∆𝑈 = −𝜇𝑧 𝐵𝑧 … ∆𝑈 = −𝑔𝐿𝜇𝐵𝑚𝑙 𝐵𝑧

En este punto es requerido que retomes el tema de efecto normal de Zeeman queseguramente analizaste en tu clase de Estructura de la Materia, para recordarque en el experimento normal de Zeeman, referente al desdoblamiento de lasseñales de emisión de un átomo, se observa que por efecto de un campomagnético externo una línea de emisión se desdobla en otras. La manera quetenemos para cuantificar la cantidad del desdoblamiento, en términos delnúmero de onda, es:

En donde se puede observar que el desdoblamiento depende de la magnitud delcampo magnético y el número cuántico magnético.

7

∆𝑈 = −𝜇𝑧 𝐵𝑧 ∆𝑈 = −𝑔𝐿𝜇𝐵𝑚𝑙 𝐵𝑧

∆𝑈 = 𝑔𝐿𝜇𝐵𝑚𝑙𝐵𝑧 ∆𝑈 =ℎ𝑐

𝜆 ⇒ ℎ𝑐

𝜆= 𝑔𝐿𝜇𝐵𝑚𝑙𝐵𝑧 … 1

𝜆= �� =

𝑔𝐿 𝜇𝐵 𝑚𝑙𝐵𝑧

ℎ𝑐

Retomemos la expresión de la componente en el eje cartesiano z del vectormomento dipolar magnético en la que incluimos el factor giromagnético deorbital

Que en su forma vectorial se ve:

Haciendo una analogía con el momento de espín del electrón, realizaremos unaextrapolación de la expresión del vector momento dipolar magnético asociado alorbital pero ahora en términos del espín:

Momento magnético

𝜇𝑧 = 𝑔𝐿𝜇𝐵𝑚𝑙

��𝐿 = 𝑔𝐿𝜇𝐵

𝐿

ℏ

orbital pero ahora en términos del espín:

En donde gs hace referencia al factor giromagnético de espín, el cual tiene unvalor de 2. Esta analogía nos brinda una expresión para el momento magnéticode espín.

Si ahora nos permitimos que las características magnéticas de un átomo se debea las dos contribuciones de momento magnético, la de orbital y la de espín,tendremos un nuevo vector momento magnético que refiere al acoplamientoconocido como espín–orbital:

8

��𝑆 = 𝑔𝑆𝜇𝐵

𝑆

ℏ

𝜇J = 𝜇𝑠 + ��𝐿

Como el vector momento magnético del acoplamiento espín–orbital se obtiene dela suma de los vectores momento magnético del orbital y del espín, la forma de laexpresión es similar a estos.

Ahora realicemos la suma de los vectores momento magnético de orbital y deespín para determinar el valor del factor giromagnético en el acoplamiento espín–orbital.

Momento magnético

��J = 𝑔J𝜇𝐵

J

ℏ

��J = ��𝑆 + ��𝐿

�� = 𝑔𝑆𝜇𝐵

𝑆

ℏ+ 𝑔𝐿𝜇𝐵

𝐿

ℏ

Sustituyendo el valor que corresponde a cada factor giromagnético y factorizandotérminos:

Multiplicando por un “uno conveniente”, definido por el producto punto, queincluya al vector momento magnético del acoplamiento:

9

�� = ��𝑆 + ��𝐿

��J = 𝑔𝑆𝜇𝐵

𝑆

ℏ+ 𝑔𝐿𝜇𝐵

𝐿

ℏ

��J = 2𝜇𝐵𝑆

ℏ+ 1𝜇𝐵

𝐿

ℏ … ��J =

𝜇𝐵

ℏ2𝑆 + 𝐿

𝜇J =𝜇𝐵

ℏ2𝑆 + 𝐿

J⦁J

J2

Como el vector acoplamiento espín–orbital es la suma de los vectores asociadoscon el vector momento angular orbital y el vector momento de espín, entonces:

Usando identidades entre vectores, podemos reescribir:

Resolviendo el producto punto:

Momento magnético

𝜇J =𝜇𝐵

ℏ2𝑆 + 𝐿

𝑆 + 𝐿 ⦁J

J2

𝜇J =𝜇𝐵

ℏ2𝑆 + 𝐿 ⦁ 𝑆 + 𝐿

J

J2

�� =𝜇𝐵

ℏ��⦁𝐿 + 3𝑆⦁𝐿 + 2𝑆⦁𝑆

J

2

En esta expresión aparece el producto punto entre el vector momento angularorbital y el vector momento de espín, con la intención de cambiar este productopunto emplearemos:

Si multiplicamos la ecuación anterior por 3/2 y despejamos el producto puntoentre el vector momento angular orbital y el vector momento de espín:

10

��J =𝜇𝐵

ℏ��⦁𝐿 + 3𝑆⦁𝐿 + 2𝑆⦁𝑆

J

J2

J⦁J = 𝐿 + 𝑆 ⦁ 𝐿 + 𝑆 = 𝐿⦁𝐿 + 2𝑆⦁𝐿 + 𝑆⦁𝑆

3𝑆⦁𝐿 =3

2J⦁J −

3

2𝐿⦁𝐿 −

3

2𝑆⦁𝑆

Sustituyendo el último término en el vector momento magnético asociado con elacoplamiento espín–orbital:

Dadas las propiedades del producto punto podemos cambiar el producto de cadavector por si mismo por su magnitud.

Momento magnético

��J =𝜇 𝐵

ℏ𝐿⦁�� + 3𝑆⦁𝐿 + 2𝑆⦁𝑆

J

J2 3𝑆⦁�� =

3

2J⦁J −

3

2𝐿⦁𝐿 −

3

2𝑆⦁𝑆

��J =𝜇 𝐵

ℏ𝐿⦁𝐿 +

3

2J⦁J −

3

2��⦁�� −

3

2𝑆⦁𝑆 + 2𝑆⦁𝑆

J

J2

��J =𝜇 𝐵

ℏ

3

2J⦁J −

1

2𝐿⦁�� +

1

2𝑆⦁𝑆

J

J2

vector por si mismo por su magnitud.

Realizando un poco de aritmética.

Recurriendo a la descripción de la mecánica cuántica para determinar lamagnitud del vector momento angular sea de orbital, de espín o del acoplamientoespín-orbital.

11

𝜇J =𝜇 𝐵

ℏ

3

2J

2−

1

2𝐿

2+

1

2𝑆

2 J

J2

𝜇J = 𝜇𝐵3 J

2

2 J2 −

𝐿2

2 J2 +

𝑆2

2 J2

J

ℏ … 𝜇J = 𝜇𝐵 1 +

J2

− 𝐿2

+ 𝑆2

2 J2

J

ℏ

J J J

Cambiando las magnitudes de los vectores en el vector momento magnéticoasociado al acoplamiento espín–orbital:

El término dentro del paréntesis es conocido como el factor de Landé, gJ, yrefiere a las contribuciones que tiene el orbital y el espín en el magnetismo de losátomos.

Momento magnético

𝜇J = 𝜇𝐵 1 +J(J+1) − 𝐿(𝐿 + 1) + 𝑆(𝑆 + 1)

2J(J+1)

J

ℏ

��J = 𝜇𝐵𝑔JJ

ℏ 𝑔J = 1 +

J(J+1)−𝐿(𝐿+1)+𝑆(𝑆+1)

2J(J+1)

Ahora que conocemos como determinar el factor giromagnético o factor de Landépara el acoplamiento espín–orbital, podemos analizar su magnitud pararelacionarlo con información experimental.

La expresión anterior nos permite determinar la magnitud del vector momentomagnético del acoplamiento espín–orbital, o bien, el momento magnético efectivode un átomo.

12

�� = 𝜇𝐵𝑔

ℏ𝑔 = 1 +

( +1)−𝐿(𝐿+1)+𝑆(𝑆+1)

2 ( +1)

|𝜇J| = 𝜇𝐵𝑔JJ

ℏ … |��J| = 𝜇𝐵𝑔J𝑚J … |𝜇J| = 𝜇𝐵𝑔J [J(J + 1)]

Finalmente, para determinar los valores L, S y J que deben sustituirse tanto enel factor de Landé como en el momento magnético efectivo, es necesario recurrira las tres reglas de Hund.

• Primera regla. Maximización de espín.•En un átomo se ordenan los electrones colocando primero un electrón a(ms = ½) en cada “bloque de orbitales degenerados” y posteriormente colocalos electrones b (ms =–½). De forma que S = Sms.

• Segunda regla. Maximización de orbital.• Ordena a los electrones en el “bloque de orbitales degenerados” de forma

Momento magnético

• Ordena a los electrones en el “bloque de orbitales degenerados” de formaque se ocupen los orbitales en orden decreciente en el valor del númerocuántico magnético, ml. De forma que L = Sml.

• Tercera regla. Maximización del acoplamiento espín–orbital.• Si la configuración electrónica de la especie atómica está incompleta enalguno de los “bloques de orbitales degenerados” el valor de J dependerá decuánto electrones se tengan. Si el número de electrones está por debajo dela mitad de capacidad de llenado del “bloque de orbitales degenerados, J sedetermina mediante J = |L – S|, pero si el número de electrones está porarriba de la mitad de capacidad de llenado, J se determina medianteJ = |L + S|.

13

Realicemos un par de cálculos para ejemplificar las reglas de Hund y el cálculodel momento magnético efectivo en algunas especies atómicas.

Ejercicio 1.Determina el momento magnético efectivo para el ión Ni2+.

Para determinar el momento magnético de cualquier especie atómica esnecesario desarrollar la configuración electrónica.

Ni2+ 1s22s22p63s23p63d8

Una vez que se ha desarrollado la configuración electrónica, es necesario

Momento magnético

Una vez que se ha desarrollado la configuración electrónica, es necesarioconstruir un modelo, denominado modelo de cajas, para ordenar los electronesen función de su espín electrónico y el valor del numero cuántico magnéticocorrespondiente.

Antes de iniciar la suma de términos para obtener S y L, debes tener presenteque cada una de las “cajas” anteriores representa un orbital y, por lo tanto, cadauno de ellos tiene asociado un valor de número cuántico magnético, ml.

14

1s 2s 2p 2p 2p 3s 3p 3p 3p 3d 3d 3d 3d 3d

Los valores permitidos de ml para cada “bloque de orbitales degenerados” son:• Orbitales tipo s, el valor de ml = 0.• Orbitales tipo p, los valores de ml son 1, 0, –1.• Orbitales tipo d, los valores de ml son 2, 1, 0, –1, –2.• Orbitales tipo f, los valores de ml son 3, 2, 1, 0, –1, –2, –3.

Recuerda que la segunda regla de Hund hace referencia a la ocupación de losorbitales en término del número cuántico magnético así que colocaremos losvalores anteriores en forma decreciente en el modelo de cajas.

Para resolver la primera regla de Hund, asumiremos que la media flecha que

Momento magnético

Para resolver la primera regla de Hund, asumiremos que la media flecha queapunta hacia arriba representa al espín a cuyo valor es ms = ½ mientras que lamedia flecha que apunta hacia abajo representa al espín b cuyo valor es ms = –½.

Ahora analicemos a cada conjunto de orbitales para determinar S y L. El valor deJ y gJ se obtendrán al final.

En el orbital 1s se tiene un electrón a y un electrón b, así que S = ½ – ½ = 0. Enel caso de L cada electrón tiene asociado un ml = 0, así que L = 0 + 0 = 0. Cuandoel valor de S y de L dan cero, decimos que es una contribución diamagnética.

La situación anterior se repetirá para los orbitales 2s, 2p, 3s y 3p. Todos ellosson de contribución diamagnética.

15

A modo de conclusión podemos decir que cuando un orbital se encuentracompletamente ocupado por electrones, la contribución al magnetismo del átomoserá del tipo diamagnética.

El caso de los orbitales 3d es diferente pues el “bloque de orbitales degenerados”no está completamente ocupado, así que analicemos con detalle esta parte.

Momento magnético

3d 3d 3d 3d 3dml = 2 1 0 –1 –2

En este caso se tienen cinco electrones a y tres electrones b por lo que el valor deS será S = 5( ½ ) + 3 (-½ ) = 1

En el caso de L, debemos de sumar el valor de ml para los ocho electronessituados en el bloque 3d, así que L = 2 + 2 + 1 + 1 + 0 + 0 – 1 – 2 = 3

Ahora podemos determinar el valor de J. Dado que los orbitales d se llenan porcompleto con diez electrones, la mitad de llenado sería de cinco electrones, y laconfiguración de Ni2+ está por arriba de la mitad de llenado, 3d8, J = |L + S|,J = 3 + 1 = 4.

16

Con los valores de S, L y J (S = 1, L = 3, J = 4) podemos determinar el valor delfactor giromagnético o factor de Landé.

Dado lo anterior, el momento magnético efectivo será:

Observa que en la determinación del momento magnético efectivo del átomo nose consideran las contribuciones diamagnéticas y sólo se emplean aquellosorbitales que tienen electrones desapareados, lo que referimos como

Momento magnético

𝑔J = 1 +J(J+1)−𝐿(𝐿+1)+𝑆(𝑆+1)

2J(J+1) … 𝑔J = 1 +

4(4+1)−3(3+1)+1(1+1)

2(4)(4+1)= 1.25

|��J| = 𝜇𝐵𝑔J [J(J + 1)] … |𝜇J| = 𝜇𝐵(1.25) [4(4 + 1)] = 5.59 𝜇𝐵

orbitales que tienen electrones desapareados, lo que referimos comocontribución paramagnética.

Si comparamos el cálculo que acabamos de realizar para el momento magnéticoefectivo con la evidencia experimental para Ni2+ (2.80 mB) veremos que existe unagran discrepancia. La razón es que no todos los átomo acoplan el momentomagnético de orbital con el momento magnético de espín.

Si repetimos el cálculo del momento magnético para Ni2+ considerando sólo lacontribución de espín, es decir, el orbital no contribuye al magnetismo delátomo, L = 0, entonces, S = J = 1 y gJ = 2, así que:

17|𝜇J| = 𝜇𝐵𝑔J [J(J + 1)] … |𝜇J| = 𝜇𝐵(2) [1(1 + 1)] = 2.83 𝜇𝐵

Como puede observarse, el cálculo del momento magnético para Ni2+ es másacertado si sólo se considera la contribución de espín. Esta situación es unaparticularidad que se presenta en los orbitales 3d.

Ejercicio 2.Determina el momento magnético efectivo para el ión Cr3+.

Desarrollemos la configuración electrónica: Cr3+ 1s22s22p63s23p63d3

Como fue discutido previamente, todos los orbitales que estén completamenteocupados tendrán una contribución diamagnética y no se emplearán para elcálculo del momento magnético efectivo. En este caso esos orbitales son 1s, 2s,

Momento magnético

cálculo del momento magnético efectivo. En este caso esos orbitales son 1s, 2s,2p, 3s y 3p.

Analizando el bloque 3d.

Obteniendo S = 3 ( ½) = 1.5.

Como se trata de un elemento que termina en el bloque 3d sólo se considerarácontribución de espín, L = 0, así que S = J y gJ = 2, con lo que el momentomagnético efectivo será:

El valor experimental es de ~3.9 mB. 18

3d 3d 3d 3d 3dml = 2 1 0 –1 –2

|𝜇J| = 𝜇𝐵𝑔J [J(J + 1)] … |𝜇J| = 𝜇𝐵(2) [(1.5)(1.5 + 1)] = 3.87 𝜇𝐵

Ejercicio 3.Un óxido de hierro presenta un momento magnético efectivo de 5.8 mB.Determina la estequiometría del óxido.

Para resolver este tipo de situaciones en donde no conocemos la configuraciónelectrónica de una especie, es necesario determinar primero el valor de J.

En este caso se tienen dos átomos, el oxígeno y el hierro así que analizaremos deforma independiente cada átomo.

En el caso de oxígeno, como este está en forma de óxido, O2–, la configuración

Momento magnético

En el caso de oxígeno, como este está en forma de óxido, O , la configuraciónelectrónica es 1s22s22p6 y como todos los orbitales están ocupados sucontribución será diamagnética y no se empleará en el cálculo del momentomagnético efectivo. Así que todo el magnetismo en esta ocasión se debeexclusivamente a la especie de Fe.

Como el Fe es una especie que termina su configuración en el orbital 3d,entonces no consideraremos la contribución de orbital, L = 0, así que S = J ygJ = 2. Si sustituimos el valor de 5.8 mB en la ecuación del momento magnéticoefectivo y resolvemos para J tendremos:

19

|𝜇J| = 𝜇𝐵𝑔J [J(J + 1)] … 5.8 𝜇𝐵 = 𝜇𝐵(2) [J(J + 1)]

Al resolver la ecuación cuadrática encontramos dos valores J = 2.5 y J = –3.5.

Como estamos considerando que no existe contribución de orbital, L = 0,entonces J = S, por lo que el valor de J nos da información de cuántos electronesdesapareados existen en la especie de Fe y, para ello, J debe ser multiplicado pordos.

Ahora bien, el valor negativo de J no tiene congruencia desde el punto de vista

Momento magnético

5.8 𝜇𝐵 = 𝜇𝐵(2) [J(J + 1)] … 2.9 = [J(J + 1)] … 8.41 = [J(J + 1)]

8.41 = J2 + J … J2 + J − 8.41 = 0

Ahora bien, el valor negativo de J no tiene congruencia desde el punto de vistade la primera regla de Hund así que sólo consideraremos el valor positivo de J.

Como J es 2.5, al multiplicar por dos, tendremos el número de electronesdesapareados, es decir, cinco.

Si desarrollamos las posibles configuraciones electrónicas para los cationes deFe, tenemos:Fe2+ 1s22s22p63s23p63d6 (cuatro electrones desapareados)Fe3+ 1s22s22p63s23p63d5 (cinco electrones desapareados)

De esta forma podemos concluir que se trata de Fe3+ por lo que la estequiometríadel óxido será Fe2O3. 20

Ejercicio 4.Se tiene una mezcla de dos óxidos, CoO y FeO, cuyo momento magnético efectivoes de 4.6 mB. Determina la composición porcentual de la mezcla.

Para resolver este tipo de situaciones en donde se tienen dos óxidos,determinaremos el momento magnético efectivo de cada óxido para despuésrelacionarlos porcentualmente. Como se analizó previamente, la especie óxido nocontribuye al cálculo del momento magnético efectivo.

Como en este caso se trata de dos elementos que terminan su configuraciónelectrónica en el orbital 3d, únicamente consideraremos contribución de espín,

Momento magnético

electrónica en el orbital 3d, únicamente consideraremos contribución de espín,es decir, J = S.

Para Co2+ 1s22s22p63s23p63d7 S = J = 1.5

Para Fe2+ 1s22s22p63s23p63d6 S = J = 2.0

21

|𝜇J|𝐶𝑜2+ = 𝜇𝐵𝑔J [J(J + 1)] … |𝜇J|𝐶𝑜2+ = 𝜇𝐵(2) [1.5(1.5 + 1)] = 3.88 𝜇𝐵

3d 3d 3d 3d 3d

3d 3d 3d 3d 3d

|𝜇J|𝐹𝑒 2+ = 𝜇𝐵𝑔J [J(J + 1)] … |𝜇J|𝐹𝑒 2+ = 𝜇𝐵(2) [2(2 + 1)] = 4.90 𝜇𝐵

Como puede observarse con los cálculos anteriores, el momento magnéticoefectivo de la mezcla (4.6 mB) está entre los valores de los momentos magnéticosefectivos de los óxidos individuales, FeO (4.90 mB) y CoO (3.88 mB).

Estableciendo una relación porcentual similar al concepto de fracción mol,tenemos:

En donde el término x nos permitirá determinar el porcentaje de cada óxido en lamezcla.

Momento magnético

|𝜇J|𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎 = (1 − 𝑥)|𝜇J|𝐹𝑒 2+ + 𝑥 |𝜇J|𝐶𝑜2+

Si sustituimos los valores de los momentos magnéticos efectivos de cada óxidoasí como el de la mezcla y resolvemos para x tendremos:

Dado lo anterior, podemos concluir que porcentualmente la mezcla está formadapor el 29.4% de CoO y el 70.6% de FeO.

22

4.6 = (1 − 𝑥)4.90 + 𝑥 3.88 … 4.6 = 4.90 − 4.90𝑥 + 3.88𝑥 … −0.3 = −1.02𝑥 … 𝑥 = 0.294

Ejercicio para resolver.

1) Una mezcla de MnCl3 y GdCl3 tiene un momento magnético experimental de6.722 mB. Determina la composición porcentual de la mezcla.

2) Determina el momento magnético efectivo en TcO2 . Realiza el cálculoconsiderando acoplamiento espín–orbital y sólo contribución de espín.

3) Un compuesto de cobalto ML2X4 tiene un momento magnético efectivo de3) Un compuesto de cobalto ML2X4 tiene un momento magnético efectivo de5.5 mB. Determina cuántos electrones desapareados tiene el catión de cobalto.Considera que no existe contribución al magnetismo por efecto de L y X.

4) Determina el momento magnético efectivo para la especie EuBr2 y compara suvalor con el momento magnético efectivo experimental, 3.61 mB.

5) Realizas una mezcla siguiendo los siguientes porcentajes de óxidos demanganeso, 20.0 % MnO2, 40.0 % MnO, 30.0 % Mn2O7 y 10.0 % Mn2O3.Determina el momento magnético efectivo esperado para la mezcla.

23