PPTCANMTGEA03005V3ClaseTeoremas en el tringulo rectnguloMT-22Resumen de la clase anteriorsecundariosprimariosreapermetrosegn sus ngulossegn sus ladosacutngulorectnguloobtusnguloescalenoisscelesequilterovrticesladosngulos interioresngulosexterioresTringulosElementos Generalidades ClasificacinalturasimetralbisectriztransversalmedianaAprendizajes esperados Analizar en el tringulo rectngulo los teoremas de Pitgoras yEuclides. Aplicar los diferentes teoremas y propiedades de los tringulosrectngulos en la resolucin de ejercicios. Aplicar el teorema de la transversal de gravedad en un tringulorectngulo.Pregunta oficial PSU51. En el tringulo ABC rectngulo en C de la figura 12, BC =5 cmy BD =4 cm.La medida del segmentoADesA) cmB) cmC) cmD) 4 cmE) 9 cmFuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisin 2009.234943A BCDFig. 121. Tringulo rectngulo2. Relaciones mtricas en el tringulo rectngulo1. Tringulo rectngulo 1.1 Definicin Tringulo que tiene un ngulo interior recto. Sea ABC tringulo rectnguloen C, entonces el lado opuesto al ngulo recto, segmento AB, es llamadoHIPOTENUSA, y segmentos AC y BC, lados del ngulo recto sonllamados CATETOS.catetocateto1. Tringulo rectngulo 1.2 Teoremas importantes Teorema de PitgorasEn todo tringulo rectngulo, la suma de los cuadrados de los catetos esigual al cuadrado de la hipotenusa.a2+ b2= c2(cateto1)2 +(cateto2)2=(hipotenusa)2oEjemplo: De acuerdo a los datos de la figura, el trazo QR es igual a(Aplicando teorema de Pitgoras)(Aplicando raz cuadrada)152+ (QR)2= 252225 + (QR)2= 625(QR)2= 625 225(QR)2= 400QR = 20(Restando)(Despejando (QR)2)1. Tringulo rectngulo 1. Tringulo rectngulo 1.2 Teoremas importantes Teorema de PitgorasNmeros pitagricos: Son aquellos tros denmeros que cumplen el teorema dePitgoras. Los ms utilizados son:3, 4 y 55, 12 y 13 8, 15 y 17Estos tros, adems de satisfacer elteorema de Pitgoras, generanfamiliasde nmeros pitagricos, quecorresponden a todos los trosformados al multiplicar el tro inicialpor cada nmero natural. Por ejemplo:3, 4 y 5 6, 8 y 10 9, 12 y 151. Tringulo rectngulo 1.2 Teoremas importantes Teorema de PitgorasUn cateto es el doble del otro: Un cateto es el triple del otro:Ejemplo Ejemplo1. Tringulo rectngulo 1.2 Teoremas importantes Teorema de EuclidesSea ABC un tringulo rectngulo en C, y CD = hc, la altura sobre lahipotenusa, entonces se cumple que el producto de las proyecciones delos catetos sobre la hipotenusa es igual a la altura (hc) al cuadrado. hc2= p qAdems, se cumple que:hcc=aba2= c q b2= c p p:proyeccindelcatetoACsobrelahipotenusaq:proyeccindelcatetoBCsobrelahipotenusaEjemplo: De acuerdo a la figura, los segmentos CD y AC tienen medida igual aAplicando Teorema de Euclides:CD2= AD DB(Reemplazando)CD2= 43 (Aplicando raz)CD =3 4CD =3 2AC =7 2AC2= AB AD (Reemplazando)AC2= 74 (Aplicando raz)1. Tringulo rectngulo 2.Relaciones mtricas en el tringulo rectngulo303060 60ha aa2a223 aTringulo de ngulos 30, 60 y 90Ejemplo: Dado el tringulo NJ S, cul es la medida de NJ ?S JN6016cul es el permetro del tringulo NJ S?Se deduce que el ngulo faltante es 30, por lo tanto sepuede usar las relaciones mtricas del tringulo 30, 60 y902.Relaciones mtricas en el tringulo rectnguloEjemplo: Dado el tringulo NJ S, cul es la medida de NJ ?cul es el permetro del tringulo NJ S?S JN6016303060aa2a23Entonces:SiNS = 16 y esto corresponde a aJ S= 8,la mitad de aNJ=8 la mitad de a por3Permetro de tringulo NJ S:16 + 8 + 8 = 24 + 8 3 332.Relaciones mtricas en el tringulo rectnguloTringulo de ngulos 45 y 904545aa2 aSiempre se dar esta relacin mtricaen un tringulo rectngulo issceles.Ejemplo:El tringulo FCS, es issceles en S. Calcular SC y el rea del tringulo.FSC92Se deduce que si el tringulo es issceles y rectngulo,entonces se puede utilizar las relaciones mtricas deun tringulo de ngulos 45 y 90.2.Relaciones mtricas en el tringulo rectnguloEjemplo:El tringulo FCS, es issceles en S. Calcular SC y el rea del tringulo.FSC9245 45Segn lo visto en clases, en la hipotenusa se lograver el valor de cada cateto multiplicado por2Por lo tanto SC = 9rea de tringulo FCS =cateto 1 cateto 22=9 92=812tc: transversalSi M es punto medio deAB, entonces AM MB CM Tringulo rectngulo y transversal de gravedadEjemplo:PVA D60Se tiene el tringulo PAV, rectngulo en V, con D punto medio.Calcular la medida del ngulo DVA.Como se sabe del enunciado, el tringulo es rectnguloy como VD llega al punto medio de la hipotenusa, estransversal de gravedad.2.Relaciones mtricas en el tringulo rectnguloEjemplo:Se tiene el tringulo PAV, rectngulo en V, con D punto medio.Calcular la medida del ngulo DVA.PVA D60 30Debido a la relacin entre el tringulo rectnguloy la transversal de gravedad, se sabe quePD =DA =VD, esto convierte al tringulo DAV enissceles, por lo tanto el ngulo DVA mide 30PVA D60 30302.Relaciones mtricas en el tringulo rectnguloPregunta oficial PSU51. En el tringulo ABC rectngulo en C de la figura 12, BC =5 cmy BD =4 cm.La medida del segmentoADesA) cmB) cmC) cmD) 4 cmE) 9 cmFuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisin2009.234943ALTERNATIVA CORRECTABA BCDFig. 12Tabla de correccinNClave Unidad temtica Habilidad1 C Tringulos Aplicacin2 E Tringulos Comprensin3 C Tringulos Comprensin4 D Tringulos Aplicacin5 D Tringulos Aplicacin6 A Tringulos Aplicacin7 C Tringulos Anlisis8 C Tringulos Aplicacin9 C Tringulos Anlisis10 D Tringulos Aplicacin11 B Tringulos Aplicacin12 C Tringulos AplicacinTabla de correccinNClave Unidad temtica Habilidad13 C Tringulos Aplicacin14 D Tringulos Aplicacin15 B Tringulos Aplicacin16 C Tringulos Aplicacin17 C Tringulos Aplicacin18 B Tringulos Aplicacin19 A Tringulos Aplicacin20 D Tringulos Anlisis21 D Tringulos Anlisis22 B Tringulos Anlisis23 D Tringulos Anlisis24 D Tringulos Evaluacin25 B Tringulos EvaluacinSntesis de la claseRelaciones mtricasTeoremasTringulo rectnguloPitgorasa2+ b2= c2Tros pitagricosEuclideshc2 = p qa2= q cb2= p chc=a bc4545aa2 atc: transversalPara visualizar este PPT de la clase 11 en la intranet, utiliza la siguiente clavePPTCANMTGEA03005Prepara tu prxima claseEn la prxima sesin, estudiaremosRazones trigonomtricasPropiedad Intelectual Cpech RDA: 186414ESTE MATERIAL SE ENCUENTRA PROTEGIDO POR EL REGISTRO DE PROPIEDAD INTELECTUAL.Equipo EditorialMatemtica