clase 11 - pruebas de hipótesis ii

Pruebas de Hipotesis II

Mallen Arenas

Departamento de EstadısticaFacultad de Ciencias Fısicas y Matematicas

Universidad de Concepcion

Mallen Arenas (Dpto. Estadıstica) Pruebas de Hipotesis II 1 / 17

1 Prueba de hipotesis relativas a proporcionesPrueba de hipotesis para una proporcionPruebas de hipotesis para la diferencia entre dos proporciones

2 Pruebas de hipotesis sobre la diferencia entre mediasDesviaciones estandar σ1 y σ2 conocidas, Poblaciones normales y/oMuestras Grandes.Prueba de hipotesis sobre la diferencia de medias: varianzasdesconocidas pero iguales.Prueba de hipotesis sobre la diferencia de medias: varianzasdesconocidas distintas con n1 = n2.Prueba de hipotesis sobre la diferencia de medias: varianzasdesconocidas distintas con n1 6= n2.

3 Prueba de diferencia de medias para muestras pareadasMuestras grandesMuestras pequenas

4 Prueba de hipotesis de cocientes de las varianzas de dos poblaciones.


Prueba de hipotesis relativas a proporciones Prueba de hipotesis para una proporcion

Prueba de hipotesis para una proporcion

Hipotesis alternativa Estadıstico de prueba Region crıtica

p < p0 Zc < −z1−αp > p0 Zc = p−p0√

p0q0/nZc > z1−α

p 6= p0 Zc < −z1−α/2 oZc > z1−α/2


Prueba de hipotesis relativas a proporciones Pruebas de hipotesis para la diferencia entre dos proporciones

Pruebas de hipotesis para la diferencia entre dosproporciones


p1 − p2 < p0 Zc < −z1−αp1 − p2 > p0 Zc = (p1−p2)−p0√

pq( 1n1

+ 1n2

)Zc > z1−α

p1 − p2 6= p0 Zc < −z1−α/2 oZc > z1−α/2

Aquı,

p =n1p1 + n2p2

n1 + n2.


Prueba de hipotesis relativas a proporciones Pruebas de hipotesis para la diferencia entre dos proporciones

Ejemplo

Un investigador selecciona muestras aleatorias de 120 psicologos y 80psiquiatras para investigar sus opiniones acerca de si la esquizofrenia escausada por anormalidad bioquımica o una inadaptacion originado en laninez. La tabla que sigue son los resultados de esta investigacion.

Psicologos Psiquiatras

Anormalidad bioquımica: 60 50

Inadaptacion en la ninez: 60 30

Total: 120 80

Si usted esta dispuesto a rechazar una hipotesis verdadera no mas de unavez en 100, ¿rechazarıa la hipotesis que las opiniones de psicologos ypsiquiatras acerca de las causas de la esquizofrenia son las mismas?


Pruebas de hipotesis sobre la diferencia entre mediasDesviaciones estandar σ1 y σ2 conocidas, Poblaciones normales

y/o Muestras Grandes.

Desviaciones estandar σ1 y σ2 conocidas,Poblaciones normales y/o Muestras Grandes.


µ1 − µ2 < D0 Zc < −z1−αµ1 − µ2 > D0 Zc = (x1−x2)−D0√

σ21n1

+σ22n2

Zc > z1−α

µ1 − µ2 6= D0 Zc < −z1−α/2 oZc > z1−α/2


Pruebas de hipotesis sobre la diferencia entre mediasDesviaciones estandar σ1 y σ2 conocidas, Poblaciones normales

y/o Muestras Grandes.

Ejemplo

Dos grupos de 50 ninos de una escuela elemental, han sido ensenados aleer por dos metodos diferentes. Una vez terminada la instruccion, unaprueba de lectura da los siguientes resultados:

x1 = 73.4, x2 = 70.2, s1 = 9, s2 = 10

Probar la hipotesis que las medias son iguales.


Pruebas de hipotesis sobre la diferencia entre mediasPrueba de hipotesis sobre la diferencia de medias: varianzas

desconocidas pero iguales.

Prueba de hipotesis sobre la diferencia de medias:varianzas desconocidas pero iguales.


µ1 − µ2 < D0 Tc < −t1−αµ1 − µ2 > D0 Tc = (x1−x2)−D0

sp√

1n1

+ 1n2

Tc > t1−α

µ1 − µ2 6= D0 Tc < −t1−α/2 oTc > t1−α/2

donde,

Sp =(n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22

n1 + n2 − 2.



desconocidas distintas con n1 = n2.

Prueba de hipotesis sobre la diferencia de medias:varianzas desconocidas distintas con n1 = n2.


µ1 − µ2 < D0 Tc < −t1−α,νµ1 − µ2 > D0 Tc = (x1−x2)−D0√

S21n1

+S22n2

Tc > t1−α,ν

µ1 − µ2 6= D0 Tc < −t1−α/2 oTc > t1−α/2,ν

donde, ν = n1 + n2 − 2 = 2(n− 1).



desconocidas distintas con n1 6= n2.

Prueba de hipotesis sobre la diferencia de medias:varianzas desconocidas distintas con n1 6= n2.


µ1 − µ2 < D0 Tc < −t1−α,νµ1 − µ2 > D0 Tc = (x1−x2)−D0√

S21n1

+S22n2

Tc > t1−α,ν

µ1 − µ2 6= D0 Tc < −t1−α/2 oTc > t1−α/2,ν

donde,

ν =(s21/n1 + s22/n2)2

(s21/n1)2

n1−1 + (s22/n2)2

n2−1

.



desconocidas distintas con n1 6= n2.

Ejemplo

En un estudio de caracterısticas corporales de las gaviotas de pico anillado,la variable considerada es la longitud del pico. Se dispone de la siguientedatos:

Hembras Machos

n 51 41

x 59.1 mm 65.2 mm

s 1.9 mm 2.0 mm

No se han detectado diferencias en la varianzas poblacionales. ¿Hay razonpara sostener el argumento que la longitud media del pico de los machoses mayor que en las hembras?


Prueba de diferencia de medias para muestras pareadas

Prueba de diferencia de medias para muestraspareadas

Muestra Diferencia

Observacion 1 2 di1 x11 x21 d1 = x11 − x21

2 x12 x22 d2 = x12 − x22...

......

...

i x1i x2i di = x1i − x2i...

......

...

n x1n x2n dn = x1n − x2n


Prueba de diferencia de medias para muestras pareadas Muestras grandes

Muestras grandes


d = µ1 − µ2 < D0 Zc < −z1−αd = µ1 − µ2 > D0 Zc = d−D0

Sd/√n

Zc > z1−α

d = µ1 − µ2 6= D0 Zc < −z1−α/2 oZc > z1−α/2

donde d y Sd representan la media y la desviacion estandar de la muestrade diferencias.


Prueba de diferencia de medias para muestras pareadas Muestras pequenas

Muestras pequenas


d = µ1 − µ2 < D0 Tc < −t1−αd = µ1 − µ2 > D0 Tc = d−D0

Sd/√n

Tc > t1−α

d = µ1 − µ2 6= D0 Tc < −t1−α/2 oZc > z1−α/2

donde d y Sd representan la media y la desviacion estandar de la muestrade diferencias y ta corresponde al percentil de la t-student con n− 1grados de libertad.


Prueba de diferencia de medias para muestras pareadas Muestras pequenas

Ejemplo

Para comparar la efectividad de un programa de seguridad en el trabajo, seobservo en 6 distintas plantas el numero de accidentes por mes antes ydespues del programa. Los datos aparecen en la tabla siguiente.¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente para indicar que elprograma ha sido efectivo al reducir el numero de accidentes laborales pormes?. Haga la prueba al α = 0.1 de nivel de significacion.

Planta numero1 2 3 4 5 6

Antes del programa: 38 64 42 70 58 30

Despues del programa: 31 58 43 65 52 29


Prueba de hipotesis de cocientes de las varianzas de dospoblaciones.

Prueba de hipotesis de cocientes de las varianzas dedos poblaciones.


σ21 < σ2

2 Fc < fα,n2−1,n1−1

σ21 > σ2

2 Fc = S21

S22

Fc > −f1−α,n2−1,n1−1

σ21 6= σ2

2 Fc < fα/2,n2−1,n1−1 oFc > −f1−α/2,n2−1,n1−1

Obs:

F =varianza muestral mayor

varianza muestral menor∼ F ($, ν),

donde $ son los grados de libertad de la muestra con varianza muestralmayor menos uno y ν son los grados de libertad de la muestra convarianza muestral menor menos uno.


Prueba de hipotesis de cocientes de las varianzas de dospoblaciones.

Ejemplo

Los siguientes datos dan el aumento de peso de 20 conejos de los cuales lamitad recibio su proteına de manı crudo y la otra mitad de manı tostado.Probar si el tostado de manı ha tenido un menor efecto en el aumento delpeso de los conejos. Los aumentos de peso estan registrados en gramos.Use α = 0.05.

Crudo: 61 60 56 63 56 63 59 56 44 61

Tostado: 55 54 47 59 51 61 57 54 62 58


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despus del programa

z1 zc

tica zc

z1 zc

t1 tc

tica tc

t1 tc

zc