clase 10 bode 1-2013
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1
Diagramas de Bode
Polos, Ceros y funciones de transferencia
Funciòn de
transferencia
Una funciòn de transferencia se define como el cociente de la
Transformada de Laplace de la salida a la entrada con todas
las condiciones iniciales igual a cero. Estas funciones sòlo se
definen para sistemas LTI.
Consideraciones: Usualmente se expresan como el cociente de dos polinomios
en tèrminos de la variable compleja s.
Factorizacion: Una funciòn de transferencia puede factorizarse asì:
)(...))((
)(...))(()(
21
21
n
m
pspsps
zszszsKsG
Las raìces del numerador son los ceros.
Las raìces del denominador son los polos.
Polos, Ceros y el plano S
Recordando: Si se tiene
)10)(4(
)14)(8()(
sss
sssG
Plano S
x x o x o 0 -4 -8 -10 -14
origen
Eje
Eje j
Polos, Ceros y Bode
Caracterizaciòn: Considerando la funciòn de transferencia anterior
Se nota que tiene cuatro tipos de tèrminos
Asì:
)1/(,)1/(
1,
1, zs
pssK
B
Expresando en dB: Dada la funciòn de transferencia:
)1/)((
)1/()(
pjwjw
zjwKjwG B
|1/|log20||log20|)1/(|log20log20|(|log20 pjwjwzjwKjwGB
2
Mecànica: Se tienen 4 terminos distintos a considerar:
20logKB
20log|(jw/z +1)|
-20log|jw|
-20log|(jw/p + 1)|
Polos, Ceros y Bode
(rad/seg)
dB Mag
Fase
(deg)
1 1 1 1 1 1
Esta es una hoja de 5 ciclos de papel semi logarìtmico.
Este es el papel utilizado generalmente para Bode.
El tèrmino ganancia, 20logKB, es una lìnea recta
independiente de omega.
El tèrmino, - 20log|jw| = - 20logw, cuando se plotea en
Papel semilogarìtmico es una lìnea recta con una
pendiente de -20dB/decada. Tiene una magnitud de
0 en w = 1.
0
20
-20
=1
-20db/dec
Polos, Ceros y Bode
El tèrmino, - 20log|(jw/p + 1), se dibuja con la siguiente aproxima
ciòn: Si w < p se usa la aproximaciòn –20log|(jw/p + 1 )| = 0 dB,
una lìnea plana en Bode. If w > p usamos la aproximaciòn de
–20log(w/p), la cual tiene una pendiente de -20dB/dec comenzando
en w = p, como se ilustra abajo.
Es fàcil mostrar que el ploteo tiene un error de -3dB en w = p y de
– 1 dB en w = p/2 y w = 2p.
se pueden hacer las correcciones si se estima conveniente, pero en
Este caso obviaremos las mismas.
0
20
-20
-40
= p
-20db/dec
Polos, Ceros y Bode
3
0
20
-20
-40
= z
+20db/dec
Cuando se tiene el tèrmino 20log|(jw/z + 1)| se le
aproxima a una lìnea recta de pendiente 0 dB/dec
cuando w < z. Se aproxima a 20log(w/z) cuando
w > z, la cual es una lìnea recta con una pendiente
de + 20dB/dec, como se ilustra abajo.
wlg
Polos, Ceros y Bode
1 1 1 1 1 1
(rad/sec)
dB Mag Phase (deg)
1 1 1 1 1 1
(rad/seg)
dB Mag Phase (deg)
Ploteo de Bode para Magnitude de 100(1 + jw/10)/(1 + jw/1)(1 + jw/500)
0
20
4 0
-20
-60
60
-40
0.1 1 10 100 1000 10000
Ejemplo 1:
Ejemplo 2: Dada la funciòn de transferencia. Plotee la magnitud en Bode.
2)100/1(
)10/1(100)(
ss
ssG
Considere primero solo los dos tèrminos de
jw
100
Los cuales, cuando se expresa en dB, son; 20log100 – 20 logw.
Esto se plotea abajo.
1
0
20
40
-20
La lìnea es
Tentativa mientras se encuentran El primer polo(s) o cero(s) no en el origen
-20db/dec
dB
(rad/seg)
1 1 1 1 1 1
(rad/sec)
dB Mag 0
20
40
60
-20
-40
-60
1 10 100 1000 0.1
2)100/1(
)10/1(100)(
ss
ssG
(rad/seg)
dB Mag 0
20
40
60
-20
-40
-60
1 10 100 1000 0.1
2)100/1(
)10/1(100)(
ss
ssG
wlg
4
1 1 1 1 1 1
(rad/sec)
dB Mag 0
20
40
60
-20
-40
-60
1 10 100 1000 0.1
2)100/1(
)10/1(100)(
ss
ssG
(rad/seg)
dB Mag 0
20
40
60
-20
-40
-60
1 10 100 1000 0.1
-20db/dec
-40 db/dec
2)100/1(
)10/1(100)(
ss
ssG
wlg
1 1 1 1 1 1
(rad/seg)
dB Mag
Ejemplo 3:
Dada:
3
3 2
80(1 )( )
( ) (1 / 20)
jwG s
jw jw
1 0.1 10 100
40
20
0
60
-20 .
20log80 = 38 dB
wlg
1 1 1 1 1 1
(rad/seg)
dB Mag
Ejemplo 3:
Dada:
3
3 2
80(1 )( )
( ) (1 / 20)
jwG s
jw jw
1 0.1 10 100
40
20
0
60
-20 .
20log80 = 38 dB
-60 dB/dec
-40 dB/dec
wlg
1 1 1 1 1 1
(rad/sec)
dB Mag 0
20
40
60
-20
-40
-60
1 10 100 1000 0.1
22
22
)1700/1()2/1(
)100/1()30/1()(
jwjw
jwjwjwG
Dado:
Ejemplo 4
5
1 1 1 1 1 1
(rad/sec)
dB Mag 0
20
40
60
-20
-40
-60
1 10 100 1000 0.1
22
22
)1700/1()2/1(
)100/1()30/1()(
jwjw
jwjwjwG
-40 dB/dec
+ 40 dB/dec
Dado:
Ejemplo 4