clase 1 pert cpm enviado 29abril2015

Tema 4

Tema 4. Control de Proyectos

Uno de los trabajos ms desafiantes para el administrador es la direccin de un proyecto de gran escala que requiere coordinar numerosas actividades.

Deben considerarse un sinfn de detalles al planear cmo coordinar todas las actividades, al desarrollar una programacin realista y despus supervisar el avance del proyecto.

Se dispone de dos tcnicas de investigacin de operaciones, desarrolladas a finales de los aos de 1950, que se relacionan muy de cerca:

1. PERTProgram Evaluation and Review Technique, que es una tcnica de evaluacin y revisin de programas.

2. CPMCritical Path Method, mtodo de la ruta crtica para auxiliar al director del proyecto a cumplir sus responsabilidades

Ambas tcnicas usan redes para ayudar a planear e ilustrar la coordinacin de todas las actividades.

Tambin utilizan un paquete de software para manejar todos los datos necesarios para desarrollar la informacin de la programacin y luego supervisar el avance del proyecto.

Uno de los paquetes ms usados es el software de administracin de proyectos, comnmente llamado MS Project de Microsoft.

PERT y CPM se desarrollaron independientemente y en sus versiones originales tenan algunas diferencias importantes; sin embargo, por lo mucho que tienen en comn, se han fusionado de modo gradual al pasar los aos, haciendo que quienes las aplican usen los dos nombres indistintamente o combinados en un solo acrnimo, PERT/CPM.

Ejemplo prototipo

La compaa Reliable Construction acaba de ganar una licitacin de $5.4 millones para construir una nueva planta.

El cliente necesita que la planta est en operacin en un ao, por lo que el contrato incluye las siguientes clusulas:

1. Una multa de $300,000 si Reliable no termina la construccin al trmino de 47 semanas a partir de hoy.

2. Para proporcionar un incentivo adicional por la construccin rpida, se pagar un bono de $150,000 si la planta queda terminada en 40 semanas.

Reliable ha designado a su mejor director de construccin, usted, a este proyecto para asegurar que marche a tiempo.

Usted acepta el reto de realizarlo conforme al programa y tal vez terminarlo antes.

Sin embargo, ante la duda de que sea factible terminar en 40 semanas sin incurrir en costos excesivos, usted ha decidido centrar su planeacin inicial para cumplir con la fecha lmite de 47 semanas.

Usted necesitar arreglarse con un cierto nmero de brigadas que realicen las distintas actividades de construccin en diferentes tiempos.

La siguiente tabla muestra la lista de actividades que usted ha preparado, en donde la tercera columna proporciona informacin importante para la programacin de las brigadas:

ActividadDescripcin de la actividadPredecesores

inmediatosDuracin estimada

(en semanas)

AExcavacin2

BCimentacinA4

CLevantar murosB10

DColocar techoC6

EInstalar plomera exteriorC4

FInstalar plomera interiorE5

GAplanados exterioresD7

HPintura exteriorE,G9

IInstalar cableado elctricoC7

JAplanados interioresF,I8

KInstalacin de pisosJ4

LPintura interiorJ5

MColocar accesorios exterioresH2

NColocar accesorios interioresK,L6

Predecesores inmediatos: para una actividad dada, son aquellas actividades que deben terminarse no ms tarde del tiempo de inicio de la actividad dada.

Sucesores inmediatos: para una actividad dada, son aquellas actividades que deben iniciarse despus de que termine la actividad dada.

Una actividad dada es sucesor inmediato de cada uno de sus predecesores inmediatosPor ejemplo, los primeros elementos de la tercera columna de la tabla anterior indican que:

1. La excavacin (A) no requiere esperar a que termine ninguna otra actividad ().

2. La excavacin (A) debe terminarse antes de comenzar a colocar los cimientos (B).

3. Los cimientos (B) deben quedar terminados antes de empezar a levantar los muros (C).

Cuando una actividad dada tiene ms de un predecesor inmediato, todos ellos deben estar terminados antes de iniciar la actividad dada.

Por ejemplo, para empezar a levantar los muros (C), antes deben terminarse la excavacin (A) y la cimentacin (B).

Para el llenado de la cuarta columna de la tabla, usted consult a cada uno de los supervisores de brigada para estimar el tiempo que debe tomar cada actividad si se realiza normalmente.

Usted se da cuenta que la suma de estos tiempos da un gran total de:

2 + 4 + 10 + 6 + 4 + 5 + 7 + 9 + 7 + 8 + 4 + 5 + 2 + 6 = 79 semanas

tiempo que rebasa por mucho las 47 semanas disponibles para la entrega del proyecto.

Usted detecta; sin embargo, que hay actividades que pueden realizarse en paralelo, lo que reducir sustancialmente el tiempo de 79 semanas.

Por ejemplo, para realizar los aplanados exteriores (G) no se requiere que est terminada la instalacin de plomera interior (F).

Como usuario normal de PERT/CPM usted sabe que esta herramienta le proporcionar una ayuda invaluable en responder las siguientes preguntas:

1) Cmo puede trazarse una grfica del proyecto para visualizar el flujo de actividades?

2) Cul es el tiempo total requerido para terminar el proyecto si no ocurren retrasos?

3) Cundo deben iniciar y terminar (lo ms tarde) las actividades individuales para cumplir con este tiempo de terminacin del proyecto?

4) Cundo deben iniciar y terminar (lo ms pronto) las actividades individuales si no ocurren retrasos?

5) Cules son las actividades cuello de botella en las que deben evitarse retrasos para prevenir que se atrase la terminacin del proyecto?

6) Para las otras actividades, cunto retraso puede tolerarse sin retrasar la terminacin del proyecto?

7) Dadas las incertidumbres en la estimacin precisa de las duraciones de las actividades, cul es la probabilidad de que el proyecto termine a tiempo?

8) Si se gasta dinero adicional para acelerar el proyecto, cul es la manera menos costosa de intentar cumplir con la meta de terminacin de 40 semanas?

9) Cmo deben supervisarse los costos sobre la marcha para tratar de mantener el proyecto dentro del presupuesto?

Usos de redes para visualizar los proyectos

Pregunta 1 Cmo puede trazarse una grfica del proyecto para visualizar el flujo de actividades?

Las redes tienen un papel clave en el manejo de proyectos:

1. Permiten mostrar las relaciones entre las actividades y colocar todo en una perspectiva

2. Se usan para ayudar en el anlisis de proyectos

3. Ayudan a responder las preguntas planteadas en prrafos anteriores

Redes de proyectos

Red de proyecto: es una red usada para representar un proyecto.

Una red de proyecto consiste en cierto nmero de nodos (mostrados como crculos o rectngulos) y arcos (mostrados como flechas) que van de un nodo a otro.

Como se describe en la ltima tabla, se requieren tres tipos de datos para describir un proyecto:

1. Informacin de la actividad: desglose del proyecto en sus actividades individuales

2. Relaciones de precedencia: identificar los predecesores inmediatos de cada actividad

3. Datos de tiempo: estimacin la duracin de cada actividad

La red de proyecto debe contener toda esta informacin.

Se dispone de dos tipos alternativos de redes de proyecto para hacer esto:

Red de proyecto tipo AOA: Activity On Arc, actividades en los arcos, donde cada actividad est representada por un arco.

Un nodo se usa para separar una actividad (arco que sale) de cada uno de sus predecesores inmediatos (arcos que llegan).

La secuencia de arcos muestra las relaciones de precedencia entre las actividades.

Red de proyecto tipo AON: Activity On Node, actividades en los nodos, donde cada actividad est representada por un nodo.

Los arcos se usan para mostrar las relaciones de precedencia entra las actividades.

El nodo para cada actividad est unido con los predecesores inmediatos por medio de un arco que llega desde cada uno de estos predecesores a los nodos.

Las versiones originales de PERT/CPM usaban redes de proyecto tipo AOA; sin embargo, se utilizarn las tipo AON por ser ms sencillas y manejables.

La siguiente figura muestra la red e proyecto para en contrato de Reliable.

Refirindose a la tercera columna de la tabla anterior, se observa que existe un arco que llega a cada actividad desde cada uno de sus predecesores inmediatos.

Como la actividad A no tiene predecesores, hay un nodo de inicio que conecta a esta actividad.

Igualmente, como las actividades M y N no tienen sucesores inmediatos, los arcos que salen de estas actividades llegan a un nodo de termino.La red de proyecto muestra todas las relaciones de precedencia entre todas las actividades, ms el inicio y terminacin del proyecto.

Segn la columna derecha de la tabla, el nmero al lado del nodo para cada actividad registra la duracin estimada en semanas esa actividad.

Programacin de un proyecto con PERT/CPM

Preguntas

2. Cul es el tiempo total requerido para terminar el proyecto si no ocurren retrasos?

3. Cundo deben iniciar y terminar (lo ms tarde) las actividades individuales para cumplir con este tiempo de terminacin del proyecto?

4. Cundo deben iniciar y terminar (lo ms pronto) las actividades individuales si no ocurren retrasos?

5. Cules son las actividades cuello de botella en las que se deben evitar os para prevenir que se atrase la terminacin del proyecto?

6. Para las otras actividades, cunto retraso puede tolerarse sin retrasar la terminacin del proyecto?

La red de la figura anterior permite contestar todas estas preguntas al proporcionar dos piezas clave de informacin:

Orden: en que deben realizarse las actividades.

Duracin: tiempo estimado de cada actividad.

La ruta crtica

Se observ antes que al sumar las duraciones de todas las actividades se obtiene un gran total de 79 semanas, que no es la respuesta a cunto tiempo debe tomar el proyecto?, porque algunas actividades pueden realizarse (ms o menos) al mismo tiempo.

Lo relevante es la longitud de cada trayectoria a travs de la red.

Trayectoria: una trayectoria a travs de una red de proyecto es una de las rutas que siguen los arcos desde el nodo INICIO hasta el nodo TERMINO.

Longitud: la longitud de una trayectoria es la suma de las duraciones de las actividades en la trayectoria.

Las seis trayectorias que cruzan la red de la figura anterior, se muestran en la siguiente tabla junto con los clculos de sus longitudes:

TrayectoriaLongitud

INICIOABCDGHMTERMINO2 + 4 + 10 + 6 + 7 + 9 + 2 = 40 semanas

INICIOABCEHMTERMINO2 + 4 + 10 + 4 + 9 + 2 = 31 semanas

INICIOABCEFJKNTERMINO2 + 4 + 10 + 4 + 5 + 8 + 4 + 6 = 43 semanas

INICIOABCEFJLNTERMINO2 + 4 + 10 + 4 + 5 + 8 + 5 + 6 = 44 semanas

INICIOABCIJKNTERMINO2 + 4 + 10 + 7 + 8 + 4 + 6 = 41 semanas

INICIOABCIJLNTERMINO2 + 4 + 10 + 7 + 8 + 5 + 6 = 42 semanas

Las longitudes de las trayectorias van de 31 a 44 semanas para la trayectoria ms larga.

Dadas estas longitudes, cul debe ser la duracin del proyecto (estimada); es decir, el tiempo total requerido para terminar el proyecto?

Como las actividades en cualquier trayectoria deben realizarse una despus de la otra sin traslapes, la duracin del proyecto no puede ser menor que la longitud de la trayectoria.

Pero la duracin del proyecto s puede ser mayor debido a que alguna actividad en dicha trayectoria con predecesores inmediatos mltiples quiz deba esperar a que termine un predecesor inmediato que no est en la trayectoria.

Por ejemplo, la segunda trayectoria de la tabla anterior incluye la actividad H.

sta tiene dos predecesores, uno (la actividad G) que no est en la trayectoria y el otro (la actividad E) que s est.

Una vez terminada la actividad C, slo se requieren 4 semanas ms para terminar la actividad E, pero se necesitan 6 semanas para que termine la actividad D y despus 7 semanas para terminar la actividad G; es decir, una vez terminada la actividad E en 4 semanas, debe esperar 6 + 7 4 = 9 semanas ms para poder empezar la actividad H.

Por lo tanto, la duracin del proyecto debe ser considerablemente mayor que la longitud de la segunda trayectoria de la tabla.

No obstante, la duracin del proyecto no ser mayor que la trayectoria que tenga la ruta ms larga a travs de la red.

Las actividades en esta ruta ms larga pueden realizarse en secuencia sin interrupciones, porque de lo contrario no sera la ruta ms larga.

Por lo tanto, el tiempo requerido para llegar al nodo de TERMINO es igual a la longitud de la ruta ms larga y, adems, las rutas ms cortas no podrn llegar al TERMINO despus de esto.

Duracin del proyecto: es igual a la longitud de la ruta ms larga a travs de la red de proyecto.

Ruta crtica: es el nombre dado a dicha ruta o trayectoria ms larga; en caso de empate entre varias trayectorias para la longitud ms larga, todas son rutas crticas.

Para el caso de Reliable, se tiene (ver ltima tabla):

Ruta crtica = INICIOABCEFJLNTERMINODuracin estimada del proyecto = 44 semanas

Si no ocurren retrasos, el tiempo total requerido para terminar el proyecto debe ser de alrededor de 44 semanas.

Las actividades en la ruta crtica son las actividades cuello de botella en las que debe evitarse cualquier demora en su terminacin para prevenir que la terminacin del proyecto se retrase.

Si se decide reducir la duracin del proyecto (recordando el bono por terminar en 40 semanas), stas son las actividades crticas donde deben hacerse cambios para reducir las duraciones.

En redes de proyecto pequeas, como la de este ejemplo, encontrar todas las rutas y determinar la ruta ms larga, es una manera conveniente para identificar la ruta crtica; sin embargo, este procedimiento no es tan eficiente en proyectos grandes para los que PERT/CPM usa un procedimiento mejor, proporcionando informacin necesaria para programar todas las actividades y despus evaluar las consecuencias si alguna de ellas se retrasa.

Programacin de actividades individuales

El procedimiento de programacin PERT/CPM empieza con la pregunta 4 cundo deben iniciar y terminar (lo ms pronto) las actividades individuales si no ocurren retrasos?

No tener retrasos significa:

1. La duracin real de cada actividad resulta ser la misma que su duracin estimada.

2. Cada actividad comienza en cuanto todos sus predecesores inmediatos terminan.

Si no ocurren retrasos, los tiempos de inicio y trmino de cada actividad se llaman:

Tiempo de inicio ms cercano: (IC) para una actividad dada.

Tiempo de trmino ms cercano: (TC) para una actividad dada.

Donde:

TC = IC + duracin (estimada) de la actividad

Para el proyecto de Reliable:

Actividad A: como la actividad A inicia el proyecto, el tiempo de inicio del proyecto es igual a 0; la duracin en semanas de la actividad A est dada en la ltima figura, exactamente sobre el nodo correspondiente.

IC = tiempo de inicio del proyecto IC = 0TC = IC + duracin (2 semanas);TC = 0 + 2;

TC = 2Actividad B: la actividad B puede iniciar en cuanto termine la actividad A, entonces:

IC = TC de la actividad A;

IC = 2TC = IC + duracin (4 semanas);TC = 2 + 4;

TC = 6Este clculo del IC de la actividad B ilustra la:

Primera regla para el clculo de IC: si una actividad tiene slo un predecesor inmediato, entonces:

IC para esa actividad = TC para el predecesor inmediato

Esta regla (ms el clculo de cada TC) da de inmediato IC y TC para la actividad C, despus para las actividades D, E e I, y finalmente para las actividades G y F, como se muestra en la figura:

Por ejemplo, la actividad G indica que esta actividad (colocar aplanados exteriores) debe iniciar 22 semanas despus del inicio del proyecto y terminar en la semana 29.

Ahora, considere la actividad H que tiene dos predecesores inmediatos, las actividades G y E.

El inicio de la actividad H debe esperar hasta que ambas actividades, G y E, terminen; esto da el siguiente clculo:

Predecesores inmediatos de la actividad H:

La actividad G tiene TC = 29La actividad E tiene TC = 20

Mayor = 29Por lo tanto, el IC para la actividad H = TC mayor calculado para las actividades G y E que corresponde a G con 29 semanas.

Este clculo ilustra la regla general para obtener el tiempo de inicio ms cercano para cualquier actividad:

Segunda regla para el clculo de IC: el tiempo de inicio ms cercano (IC) de una actividad es igual al mayor de los tiempos de terminacin (TC), ms cercanos, de sus predecesores inmediatos; entonces:

IC para una actividad = TC mayor de los predecesores inmediatos

Cuando la actividad tiene un slo predecesor, esta regla se convierte en la primera regla vista con anterioridad; sin embargo, tambin permite que haya cualquier nmero de predecesores inmediatos.

Al aplicarla al resto de las actividades de la figura anterior (y calcular cada TC a partir de los IC) se llega al conjunto completo de valores IC y TC mostrados a continuacin:

En la figura anterior que se incluyen los valores de IC y TC para los nodos de INICIO y TRMINO; debido a que, por convencin, estos nodos son actividades ficticias que no requieren tiempo.

Para el nodo INICIO, IC = 0 = TC de manera automtica; para el nodo TERMINO se usa la segunda regla del tiempo de inicio ms cercano para calcular IC en forma usual:

Predecesores inmediatos del nodo TERMINO:

La actividad M tiene TC = 40

La actividad N tiene TC = 44

Se toma el TC mayor= 44Por lo tanto:

IC para el nodo TERMINO = TC mayor calculado = 44TC para el nodo TERMINO = 44 + duracin (0) = 44Este ltimo clculo indica que el proyecto debe terminar en 44 semanas si todo sale como se program segn los tiempos de inicio y terminacin de cada actividad en la ltima figura.

Ahora puede usted usar este programa para informar a los responsables de cada una de las brigadas cundo deben planear el inicio y la terminacin de su trabajo en cada actividad.

Proceso de pasada hacia delante por la red: empezar con las actividades iniciales y trabajar hacia delante en el tiempo hasta las finales, para calcular IC y TC.

La siguiente parte del procedimiento consiste en determinar cunto tiempo ms tarde que el indicado en la ltima figura puede iniciar o terminar una actividad sin retrasar la terminacin del proyecto.

Tiempo de inicio ms lejano (IL): para una actividad dada es el tiempo ms lejano posible para comenzar sin retrasar la terminacin del proyecto (de modo que todava se llegue al nodo TERMINO en su tiempo de terminacin ms cercano), suponiendo que no hay retrasos subsecuentes.

Tiempo de trmino ms lejano (TL): para una actividad dada es el tiempo ms lejano posible para terminar sin retrasar la terminacin del proyecto (de modo que todava se llegue al nodo TERMINO en su tiempo de terminacin ms cercano), suponiendo que no hay retrasos subsecuentes.

Donde:IL = TL duracin (estimada) de la actividad

Para encontrar TL, se tiene la siguiente regla:

Tercera regla para el clculo de TL: El tiempo de terminacin ms lejano de una actividad es igual al menor de los tiempos de inicio ms lejanos de sus sucesores inmediatos:

TL para una actividad = IL menor de los sucesores inmediatos

Dado que los sucesores inmediatos de una actividad no pueden comenzar hasta que la actividad termina, esta regla dice que la actividad debe terminar a tiempo para permitir que todos sucesores inmediatos comiencen en sus tiempos de inicio ms lejanos.

Actividad de TERMINO: este nodo debe alcanzarse en un tiempo de 44 semanas para que el proyecto termine en tiempo; entonces, primero se asignan valores a este nodo:

TL = su mismo TC = 44IL = 44 duracin (0) = 44 0 = 44Actividad M: esta actividad tiene como nico sucesor inmediato al nodo TERMINO, al aplicarle la regla de la terminacin ms lejana se tiene:

TL = IL para el nodo TERMINIO = 44IL = 44 duracin de M (2 semanas) = 44 2 = 42Actividad H: su nico sucesor inmediato es la actividad M, ahora puede aplicarse la regla del tiempo de terminacin ms lejano a esta actividad:

TL = IL para la actividad M = 42IL = 42 duracin de H (9 semanas) = 42 9 = 33

A este proceso se le conoce como:

Proceso de pasada hacia atrs por la red: comienza por las ltimas actividades y trabaja hacia atrs en el tiempo hacia las actividades iniciales para calcular todos los valores de TL e IL.

La siguiente figura muestra los resultados de la pasada hacia atrs hasta completarla:

Como observacin, considrese la actividad J, que tiene dos sucesores inmediatos:

Actividad L tiene IL

= 33Actividad K tiene IL = 34Se elige el IL menor = 33Por lo tanto, TL para la actividad J = IL menor calculado = 33.

El programa que se deduce de la figura anterior se conoce como programa de la ltima oportunidad, porque incluso si una actividad comienza y termina tan tarde como se indica en la figura, todava es posible evitar que se retrase el proyecto a ms de 44 semanas, siempre y cuando no haya demoras subsecuentes.

Para tener un margen contra demoras no esperadas, es preferible apegarse, siempre que sea posible, al programa del tiempo ms cercano (penltima figura), para proporcionar cierta holgura en algunas partes del programa.

Identificacin de holguras en el programa

Para identificar la holgura, es conveniente combinar los tiempos ms lejanos de la ltima figura y los tiempos ms cercanos de la penltima figura en una sola figura.

Tomando la actividad M como ejemplo, esto se hace despegando la informacin de cada actividad como sigue:

Duracin

(estimada)Tiempo de inicio

ms cercanoTiempo de inicio

ms lejano

2I ( 38 , 42 )

T ( 40 , 44 )

Tiempo de trmino

ms cercanoTiempo de trmino

ms lejano

Obsrvese que las letras I o T frente a cada parntesis recuerdan que stos son tiempos de inicio o de trmino.

La siguiente figura muestra esta informacin para todo el proyecto.

Esta figura facilita ver cunta holgura tiene cada actividad.

Holgura: para una actividad es la diferencia entre su tiempo de terminacin ms lejano y su tiempo de terminacin ms cercano.

Holgura = TL TC

Puesto que TL TC = IL IC, se puede usar cualquier diferencia para calcular la holgura:

Holgura = IL IC

Por ejemplo, la holgura de la actividad M se calcula:

Holgura actividad M = 44 40 = 4;o tambin Holgura = 42 38 = 4Esto indica que actividad M se puede retrasar 4 semanas a partir de su tiempo ms cercano programado, sin retrasar la terminacin del proyecto en la semana 44.

La siguiente tabla muestra la holgura de cada actividad.

ActividadHolgura

(TL TC)Est en la

ruta crtica?

A2-2 = 0SI

B6-6 = 0SI

C16-16 = 0SI

D26-22 = 4NO

E20-20 = 0SI

F25-25 = 0SI

G33-29 = 4NO

H42-38 = 4NO

I25-23 = 2NO

J33-33 = 0SI

K38-37 = 1NO

L38-38 = 0SI

M44-40 = 4NO

N44-44 = 0SI

Debe notarse que algunas actividades tienen holgura cero; esto indica que cualquier demora en estas actividades retrasar todo el programa.

Esta es la manera en que PERT/CPM identifica las rutas crticas.

Holgura cero: cada actividad con holgura igual a cero, est en la ruta crtica de la red de proyecto, de tal manera que cualquier retraso a lo largo de esta ruta retrasar la terminacin del proyecto.

As, la ruta crtica del ejemplo es:

INICIOABCEFJLNTERMINO

tal y como se haba determinado en la segunda tabla.

Las actividades de la ruta crtica son las que se resaltan en rojo en la ltima figura y son las que se deben supervisar con mucho cuidado para evitar que el proyecto se retrase.

Elaboracin de ruta crtica mediante Excel

En las dos siguientes figuras se muestran la hoja de resultados de Excel y la forma adecuada de introducir las frmulas y los datos en las celdas.

Las ecuaciones de la columna E se basan directamente en el tiempo de inicio cercano.

La columna F utiliza la frmula:

Tiempo de trmino cercano = Tiempo de inicio cercano + Duracin

La duracin se muestra en la columna D.La columna G utiliza la frmula:

Tiempo de inicio lejano = Tiempo de trmino lejano Duracin

La columna H aplica la regla del tiempo de trmino lejano.

La columna I utiliza la frmula de la holgura:

Holgura = Tiempo de trmino lejano Tiempo de trmino cercano

La columna J dice SI si la holgura es igual a cero y NO de otra manera.

EFGHIJ

40=E4+D4=H4-D4=MIN(G5)=H4-F4=SI(I4=0,SI,NO)

5=MAX(F4)=E5+D5=H5-D5=MIN(G6)=H5-F5=SI(I5=0,SI,NO)

6=MAX(F5)=E6+D6=H6-D6=MIN(G7,G8,G12)=H6-F6=SI(I6=0,SI,NO)


8=MAX(F6)=E8+D8=H8-D8=MIN(G9,G11)=H8-F8=SI(I8=0,SI,NO)



11=MAX(F8,F10)=E11+D11=H11-D11=MIN(G16)=H11-F11=SI(I11=0,SI,NO)


13=MAX(F9,F12)=E13+D13=H13-D13=MIN(G14,G15)=H13-F13=SI(I13=0,SI,NO)



16=MAX(F11)=E16+D16=H16-D16=F19=H16-F16=SI(I16=0,SI,NO)

17=MAX(F14,F15)=E17+D17=H17-D17=F19=H17-F17=SI(I17=0,SI,NO)

18

19=MAX(F4:F17)

Manejo de la incertidumbre en las duraciones de las actividades

Pregunta

7. Dadas las incertidumbres en la estimacin precisa de las duraciones de las actividades, cul es la probabilidad de que el proyecto termine a tiempo (47 semanas)?

Recurdese que Reliable incurrir en una multa cuantiosa ($300,000) si no termina a tiempo; por lo tanto, usted debe conocer la probabilidad de cumplir con la fecha.

Debe quedar claro que esta suposicin se basa en que la duracin real de cada actividad ser la misma que la duracin estimada, por lo menos para las actividades de la ruta crtica.

Si la compaa no tiene experiencia previa en este tipo de proyectos, existir una incertidumbre importante acerca de cunto tiempo en realidad ser necesario para cada actividad.

En la prctica, la duracin de cada actividad es una variable aleatoria que tiene algn tipo de distribucin de probabilidad.

Enfoque de tres estimaciones de PERT

La versin original de PERT tom en cuenta esta incertidumbre con el clculo de tres tipos de estimaciones para la duracin de una actividad a fin de obtener informacin acerca de su distribucin de probabilidad.

Las tres estimaciones que se obtienen para cada actividad son:

Estimacin ms probable (m) = estimacin del valor ms probable de la duracin

Estimacin optimista (o) = estimacin de la duracin en las condiciones ms favorables

Estimacin pesimista (p) = estimacin de la duracin en las condiciones ms desfavorables

La localizacin de estas tres estimaciones respecto a la distribucin de probabilidad es:

Segn la grfica, se supone que las estimaciones optimista (o) y pesimista (p) estn en los extremos de lo que es posible, mientras que la estimacin ms probable (m) proporciona un punto alto de la distribucin de probabilidad.

PERT supone que la forma de la distribucin de probabilidad es la de una distribucin beta (como la mostrada) con el fin de calcular la media () y la varianza (2) de la distribucin.

Para la mayora de las distribuciones de probabilidad como la beta, toda distribucin est dentro del intervalo (o , p) o rango entre ( 3) y ( + 3), lo cual abarca 6 desviaciones estndares de la distribucin.

Por ejemplo, en una distribucin normal, 99.73% de la distribucin est dentro de este intervalo (3 desviaciones estndares de su media).

As, la amplitud entre los tiempos ms pequeos y ms grandes en la figura anterior es de alrededor de 6; por lo tanto, una frmula aproximada para 2 es:

De manera similar, una frmula aproximada para es la media aritmtica entre (o + p)/2 y m:

;

De modo intuitivo, esta frmula coloca mucho ms peso (4) en la estimacin ms probable y pesos ms pequeos en las otras distribuciones (1).

Despus de que usted se comunicara con los supervisores de cada brigada responsable de cada actividad para pedirles estas tres estimaciones de la duracin de la actividad, la respuesta se muestra en las primeras columnas de la siguiente tabla:

ActividadEstimacin

optimista

(o)Estimacin ms

aproximada

(m)Estimacin

pesimista

(p)Media

Varianza

A12321/9

B23 841

C6918104

D45 1061

E14 544/9

F441051

G56 1171

H581794

I37 971

J39981

K44440

L15 751

M12321/9

N55 964/9

En este ejemplo sucede que todas las medias son iguales a las duraciones estimadas, dadas en la primera tabla del problema.

Por lo tanto, si todas las duraciones de las actividades fueran iguales a sus medias, la duracin del proyecto todava sera de 44 semanas; es decir, 3 semanas antes de la fecha de entrega.

Sin embargo, usted sabe que las duraciones fluctan alrededor de sus medias y por lo tanto es inevitable que la duracin de algunas actividades sea mayor que la media, tal vez tan grande como la estimacin pesimista, que podra retrasar mucho el proyecto.

Para verificar el peor de los casos, usted centra su atencin en la estimacin pesimista de duracin dada en la 4 columna de la tabla y elabora el siguiente anlisis:

TrayectoriaLongitud

INICIOABCDGHMTERMINO3 + 8 + 18 + 10 + 11 + 17 + 3 = 70 semanas

INICIOABCEHMTERMINO3 + 8 + 18 + 5 + 17 + 3 = 54 semanas

INICIOABCEFJKNTERMINO3 + 8 + 18 + 5 + 10 + 9 + 4 + 9 = 66 semanas

INICIOABCEFJLNTERMINO3 + 8 + 18 + 5 + 10 + 9 + 7 + 9 = 69 semanas

INICIOABCIJKNTERMINO3 + 8 + 18 + 9 + 9 + 4 + 9 = 60 semanas

INICIOABCIJLNTERMINO3 + 8 + 18 + 9 + 9 + 7 + 9 = 63 semanas

En la tabla anterior, las 6 trayectorias a travs de la red y la longitud de cada una de ellas corresponden a las estimaciones pesimistas.

La 4 trayectoria que era la ruta crtica, ahora ha aumentado su longitud de 44 a 69 semanas; sin embargo, la longitud de la primera trayectoria, que antes era de 40 semanas aument a 70.

Como esta es la ruta ms larga, es la ruta crtica con las estimaciones pesimistas, que daran una duracin del proyecto de 70 semanas.

Dado este terrible, pero poco probable escenario del peor caso, usted se da cuenta que existe muy poca certidumbre de que se cumplir la fecha de entrega de 47 semanas, pero, para conocer la probabilidad de que se cumpla, usted recurre a PERT/CPM para calcular dicha probabilidad.

Aproximaciones simplificadas

Para calcular la probabilidad de que la duracin del proyecto no ser mayor que 47 semanas, es necesario obtener la siguiente informacin respecto a la distribucin de probabilidad de la duracin del proyecto:

1. Cul es la media (denotada por p) de esta distribucin?

2. Cul es la varianza (denotada por 2p) de esta distribucin?

3. Cul es la forma de la distribucin?

Ruta crtica media: es la ruta a travs del proyecto que sera la ruta crtica si la duracin de cada actividad fuera igual a su media.

Como en este ejemplo las duraciones medias coinciden con las duraciones analizadas al principio del ejemplo, la ruta crtica media de la red de Reliable es la que ya se haba obtenido:

INICIOABCEFJLNTERMINO

Se cuenta con un mtodo sencillo para calcular p y 2p.

p = suma de medias de las duraciones para las actividades en la ruta crtica media.

2p = suma as varianzas de las duraciones para las actividades en la ruta crtica media.

Como las medias y las varianzas de las duraciones para las actividades del proyecto Reliable estn dadas en la penltima tabla, slo es necesario registrar esos valores para las actividades en la ruta crtica media como se muestra:

Actividades en la ruta crtica mediaMedia

Varianza

A21/9

B41

C104

E44/9

F51

J81

L51

N64/9

Duracin del proyectop = 442p = 9

Supngase que la forma de la distribucin de probabilidades de la duracin del proyecto sea una distribucin normal, como se muestra en la siguiente figura:

El teorema del lmite central justifica como razonable esta suposicin, siempre y cuando el nmero de actividades en la ruta crtica media no sea demasiado pequeo (digamos 5) y, adems, la aproximacin mejora conforme aumenta el nmero de actividades.

Aproximacin de la probabilidad de cumplir con la fecha de entrega

Ahora puede calcularse (aproximadamente) la probabilidad terminar el proyecto Reliable dentro de las 47 semanas.

Sean:T = duracin del proyecto (en semanas), que tiene (aproximadamente) una distribucin normal con media p = 44 y 2p = 9.

d = fecha de entrega del proyecto = 47 semanas.

Como la desviacin estndar de T es p = 3, el nmero de desviaciones estndares en el que d excede a p es:

Por lo tanto, a partir de la tabla para una distribucin normal estndar (distribucin normal con media 0 y varianza 1), la probabilidad de cumplir con la fecha de entrega es:

P(T d) = P(normal estndar Ka )

P(T d) = 1 P(normal estndar > Ka )

P(T d) = 1 0.1587

P(T d) 0.84

Advertencia: El director del proyecto debe tomar esta P(T d) 0.84 slo como una gua de la oportunidad de cumplir con la fecha de entrega, sin tomar nuevas medidas costosas para tratar de reducir la duracin de algunas actividades, ya que es una aproximacin de la probabilidad verdadera

A continuacin se muestra la hoja de clculo en Excel que permite obtener P(T d) rpidamente y de manera precisa.

FG

5=(C5+4*D5+E5)/6=POTENCIA(((E5-C5)/6),2)

6=(C6+4*D6+E6)/6=POTENCIA(((E6-C6)/6),2)

7=(C7+4*D7+E7)/6=POTENCIA(((E7-C7)/6),2)

8=(C8+4*D8+E8)/6=POTENCIA(((E8-C8)/6),2)

9=(C9+4*D9+E9)/6=POTENCIA(((E9-C9)/6),2)K

10=(C10+4*D10+E10)/6=POTENCIA(((E10-C10)/6),2)7=SUMAR.SI(H15:H18,*,F5:F18)

11=(C11+4*D11+E11)/6=POTENCIA(((E11-C11)/6),2)8=SUMAR.SI(H15:H18,*,G5:G18)

12=(C12+4*D12+E12)/6=POTENCIA(((E12-C12)/6),2)9

13=(C13+4*D13+E13)/6=POTENCIA(((E13-C13)/6),2)10=DISTR.NORM(K12,K7,RAIZ(K8),1)

14=(C14+4*D14+E14)/6=POTENCIA(((E14-C14)/6),2)

15=(C15+4*D15+E15)/6=POTENCIA(((E15-C15)/6),2)

16=(C16+4*D16+E16)/6=POTENCIA(((E16-C16)/6),2)

17=(C17+4*D17+E17)/6=POTENCIA(((E17-C17)/6),2)

18=(C18+4*D18+E18)/6=POTENCIA(((E18-C18)/6),2)

Para que la hoja anterior funcione, debe especificarse la ruta crtica media (colocando un * en la columna G para cada actividad en esa ruta) y la duracin del proyecto en la celda K12.

La hoja calcula la media y la varianza de la longitud de la ruta crtica media junto con la probabilidad de que el proyecto termine en la fecha indicada.

Si no est seguro de cul es la ruta crtica media, se puede verificar la longitud media de cualquier trayectoria colocando un * en cada actividad de esa ruta en la columna G; la trayectoria con la longitud media ms larga es la ruta critica media.

Usted se da cuenta que P(T d) = 0.84, u 84%, es tal vez una aproximacin optimista y est preocupado porque quiz tenga slo una oportunidad del 70% a 80% de cumplir con la terminacin del proyecto a tiempo con el plan actual.

Consideracin del intercambio entre tiempo y costo

En lugar de correr un riesgo significativo de que la compaa incurra en una multa de $300,000, usted decide investigar cunto dinero adicional costara reducir la duracin esperada del proyecto a 40 semanas (la fecha de entrega para que la compaa gane un bono de $150,000 por terminacin temprana) .

Pregunta

8. Si se gasta dinero adicional para acelerar el proyecto, cul es la manera menos costosa de intentar cumplir con la meta de terminacin de 40 semanas?

Usted recuerda que CPM cuenta con un procedimiento excelente para usar programacin lineal en la investigacin de estos intercambios entre tiempo y coto.

Intercambios entre tiempo y costo para actividades individuales

Los costos que se incluyen en la relacin tiempo costo, se refieren a los elementos directos (costos directos) solamente; los costos indirectos no pueden incluirse, pero su efecto se estudia en la parte final de cualquier anlisis de intercambio entre tiempo y costo.

El primer concepto clave es el quiebre:

El quiebre de una actividad se refiere a tomar medias costosas para reducir la duracin de una actividad a menos de su valor normal.

Estas medidas incluyen el uso de tiempo extra, contratacin temporal de mano de obra auxiliar, uso de materiales especiales que ahorran tiempo, equipo especial, etc.

El quiebre de un proyecto se refiere a acelerar cierto nmero de actividades para reducir la duracin del proyecto a menos de su valor normal.

El mtodo CPM de intercambio entre tiempo y costo se ocupa de determinar cunto acelerar cada actividad para reducir la duracin prevista del proyecto a un valor deseado.

Los datos necesarios para determinar cunto acelerar una actividad, estn dados por la grfica de tiempo costo para la actividad:

Obsrvense los dos puntos ms importantes en esta grfica llamados normal y quiebre:

El punto normal muestra el tiempo (duracin) y el costo de la actividad cuando se realiza normalmente.

El punto de quiebre muestra el tiempo y el costo cuando la actividad se acelera por completo; es decir, cuando se forza, sin lmite de costo, a reducir su duracin a todo lo posible.

Una actividad con quiebre parcial dar una combinacin de tiempo y costo que est en algn punto del segmento de recta entre esos dos puntos.

Por ejemplo, se dice que la mitad de un quiebre completo dar un punto en este segmento a la mitad entre los puntos normal y de quiebre.

CPM supone que estos tiempos y costos pueden predecirse confiablemente sin incertidumbre importante.

Usted pide a su personal que obtenga los datos para cada una de las actividades del proyecto.

Por ejemplo, el supervisor de la brigada responsable de colocar los aplanados interiores indica que si agrega dos empleados temporales y usa tiempo extra, podra reducir la duracin de la actividad de 8 a 6 semanas, que es lo mnimo posible.

El personal estima entonces el costo de un quiebre completo para esta actividad as:

Actividad J (colocar aplanados interiores)

Punto normal:tiempo = 8 semanascosto = $430,000

Punto de quiebre:tiempo = 6 semanascosto = $490,000

Reduccin mxima en tiempo:(8 6) = 2 semanas

Costo de quiebre por semana ahorrada == $30,000La siguiente tabla muestra los datos de intercambio entre tiempo y costo obtenidos para todas las actividades:

ActividadTiempo (semanas)Costo ($)Mxima reduccin en tiempo (semanas)Costo de quiebre por semana ahorrada ($)

NormalQuiebreNormalQuiebre

A21180,000280,0001100,000

B42320,000420,000250,000

C107620,000860,000380,000

D64260,000340,000240,000

E43410,000570,0001160,000

F53180,000260,000240,000

G74900,0001020,000340,000

H96200,000380,000360,000

I75210,000270,000230,000

J86430,000490,000230,000

K43160,000200,000140,000

L53250,000350,000250,000

M21100,000200,0001100,000

N63330,000510,000360,000

Totales44284550,0006150,000

Qu actividades deben reducirse?

La tabla anterior muestra la suma total del costo normal y del costo de quiebre:

Suma de costos normales

=$4.55 millones

Suma de costos de quiebre=$6.15 millones

Recurdese que la compaa recibir $5.4 millones por realizar el proyecto, sin incluir el bono de $150,000 y la multa de $300,000.

Este pago debe cubrir los costos generales adems de los costos de las actividades y proporcionar una ganancia razonable para la empresa.

Los accionistas de Reliable pensaron que el presupuesto de $5.4 millones proporciona una ganancia razonable, siempre y cuando el costo total de las actividades se pudiera mantener cercano a los $4.55 millones.

Usted debe entender que ahora es su responsabilidad mantener el proyecto lo ms cercano que se pueda al presupuesto y al tiempo estimados.

Recurdese la siguiente figura de la derecha, si todas las actividades se realizan de manera normal, la duracin prevista del proyecto es de 44 semanas (si pueden evitarse los retrasos).

Si todas las actividades tuvieran un quiebre completo, la duracin se reducira a 28 semanas (ver siguiente figura de la derecha), pero el costo se hara prohibitivo pues llegara a los $6.15 millones mostrados en la tabla anterior.

Esto deja claro que la aceleracin de todas las actividades no es una opcin a considerar.

Ntese en la figura de la derecha anterior que con las duraciones de quiebre de la ltima tabla, la actividad K tambin se convierte en crtica.

De cualquier manera, usted deseara investigar la posibilidad de un quiebre parcial o completo, pero slo en algunas de las actividades, para reducir la duracin del proyecto a 40 semanas.

Ahora, la pregunta es: Cul es la manera menos costosa de acelerar algunas actividades para reducir la duracin del proyecto a 40 semanas?, respuesta: mediante el uso de una tcnica llamada:

Anlisis de costo marginal: que utilizando la ltima columna de la ltima tabla junto con la figura izquierda anterior, determina la forma menos costosa de reducir la duracin del proyecto 1 semana a la vez.

La forma de realizar este anlisis es mediante una tabla, como la mostrada a continuacin, que enumera las rutas a travs de la red de proyecto y la longitud de cada una de ellas

Actividad de quiebreCosto de quiebreLongitud de la ruta

ABCDGHMABCEHMABCEFJKNABCEFJLNABCIJKNABCIJN

403143444142

Como la 4 trayectoria tiene la ruta ms larga (44 semanas), la nica forma de reducir la duracin del proyecto, en una semana, es reduciendo la duracin de las actividades de esa ruta en una semana.

Comparando los costos de quiebre por semana ahorrada dados en la ltima columna de la penltima tabla para estas actividades (A B C E F J L N), el costo menor corresponde a la actividad J que es de $30,000.

Luego, el primer cambio es acelerar la actividad J reduciendo su duracin en una semana.

Este cambio provoca una reduccin de una semana en todas las trayectorias que contienen la actividad J (3, 4, 5 y 6 de la tabla anterior), como se muestra en la siguiente tabla.

Como la 4 ruta todava es la ms larga (43 semanas), se repite el proceso para encontrar la actividad dentro de ella que cuesta menos acortar.

Nuevamente, la actividad J es la ms barata y como en la sexta columna de la penltima tabla se especifica que puede reducirse 2 semanas, se vuelve a acelerar J.

Esta segunda reduccin de una semana en J lleva al tercer rengln de la siguiente tabla.

Actividad de quiebreCosto de quiebreLongitud de la ruta

ABCDGHMABCEHMABCEFJKNABCEFJLNABCIJKNABCIJN

403143444142

J$30,000403142434041

J$30,000403141423940

F$40,000403140413940

F$40,000403139403940

La 4 columna sigue siendo la ms larga (42 semanas), pero la actividad J ya no puede acelerarse ms.

La siguiente actividad ms barata en esta ruta es la F ($40,000 por semana) segn la antepenltima tabla.

Por lo tanto, se acelera la actividad F (presente en las rutas 3 y 4) para obtener el 4 rengln de la tabla anterior y como la misma trayectoria seguir siendo la ms larga (41 semanas) y se permite una reduccin de 2 semanas, se vuelve a acelerar F una semana ms para obtener el ltimo rengln de dicha tabla.

La trayectoria ms larga (empate entre la 1, 4 y 6 rutas) tiene ahora la longitud deseada de 40 semanas, por lo que no se requiere ms quiebre.

El costo total del quiebre de las actividades J y F para reducir la duracin del proyecto a 40 semanas se calcula sumando los costos en la 2 columna de la tabla anterior, con un total de $140,000.

La figura siguiente muestra la red de proyecto que resulta:

Puesto que $140,000 es un poco menor que el bono de $150,000, pudiera ser que usted decidiera tomar esta solucin, ya que la empresa ganara $10,000 adicionales; sin embargo, debido a la incertidumbre que existe en cuanto a la duracin de las actividades, usted debera considerar seriamente no reducir nada el proyecto.

La figura anterior indica que las reducciones en las actividades F y J a sus tiempos de quiebre conduce a tener 3 rutas crticas (ABCDGHM, ABCEFJLN y ABCIJN) a travs de la red, debido a que empatan como las trayectorias ms largas con 40 semanas.

Como se ha visto, el resultado de reducir una actividad es un nuevo programa, quiz con una nueva ruta crtica, cuyo costo asociado es mayor que el inmediato anterior, puesto que a menor tiempo mayor costo directo.

El nuevo programa se considera ahora para reduccin y se repite el proceso hasta que todas las actividades crticas estn en sus tiempos mnimos de duracin.

El resultado final de los clculos anteriores se pueden expresar grficamente mediante una curva de tiempo costo para los diferentes programas, la cual corresponde, como se ha mencionado, solamente a los costos directos.

Es lgico suponer que cuando aumenta la duracin del proyecto, los costos indirectos deben aumentar tambin.

La suma de ambos costos (directos e indirectos) da el costo total del proyecto y el programa ptimo corresponde al costo total mnimo, como se muestra a continuacin:

Con redes grandes, el anlisis del costo marginal puede convertirse en algo difcil de aplicar, por lo que CPM aplica la programacin lineal para resolverlas.

Uso de la programacin lineal para tomar decisiones de quiebre

El problema para encontrar la manera menos costosa de reducir actividades se puede establecer en forma de programacin lineal como sigue:

Enunciado del problema: sea Z el costo total de reducir la duracin de las actividades; entonces, minimizar Z, sujeta a la restriccin de que la duracin del proyecto debe ser menor o igual que el tiempo deseado por el director del proyecto.

Variables de decisin:

Xj = reduccin de la duracin de la actividad j debido al quiebre de esta actividad, para j = A, B, C, ..., N.

Funcin objetivo: con la ltima columna de la antepenltima tabla, la funcin objetivo es:

Z = 100,000XA + 50,000XB + 80,000XC + 40,000XD + 160,000XE + 40,000XF + ...

... + 40,000XG + 60,000XH + 30,000XI + 30,000XJ + 40,000XK + 50,000XL +

+ 100,000XM + 60,000XNRestricciones: Cada una de las 14 variables del derecho deben estar restringidas a valores no negativos que no excedan el mximo dado en la sexta columna de la penltima tabla.

Para imponer la restriccin de que la duracin del proyecto debe ser menor o igual que el valor deseado de 40 semanas sea:

yTERMINACIN = duracin el proyecto; es decir, el tiempo en el que se alcanza el nodo TERMINO en la red de proyecto (40 semanas).

yTERMINACIN 40

Variables adicionales: para ayudar a asignar un valor adecuado a yTERMINACIN, dados los valores de XA, XB, XC, ..., XN, es conveniente introducir:

yj = tiempo de inicio de la actividad j, para j = B, C, ..., N dados los valores de XA, XB, ..., XN.

No es necesario para la actividad A por ser la actividad que inicia y tener un valor automtico de cero.

El tiempo de inicio de cada actividad tiene relacin directa con el tiempo de inicio y la duracin de cada predecesor inmediato como se resume:

Para cada actividad (B, C, D, ..., N, TERMINO) y cada predecesor inmediato:

Tiempo de inicio de esta actividad (tiempo de inicio + duracin) para este predecesor inmediato.

Usando los tiempos normales, la duracin de cada actividad est dada por la frmula:

Duracin de la actividad j = su tiempo normal XjPor ejemplo, considrese la actividad F en la red de proyecto de la figura anterior:

El predecesor inmediato de la actividad F es la actividad E con duracin 4 XE

Relaciones entre estas actividades: yF yE + 4 XE

As, la actividad F no puede comenzar hasta que inicia la actividad E y completa su duracin de 4 XE.

Ahora, considrese la actividad J, que tiene dos predecesores inmediatos:

Los predecesores inmediatos de la actividad J son:

Actividad F con duracin = 5 XF ; actividad I con duracin = 7 XI

Relaciones entre estas actividades: yJ yF + 5 XF; yJ yI + 7 XI

Estas desigualdades juntas dicen que la actividad J no puede comenzar hasta que ambos predecesores hayan terminado.

El modelo completo de programacin lineal para este problema queda:

MINIMIZARZ = 100,000XA + 50,000XB + 80,000XC + 40,000XD + 160,000XE + 40,000XF + ...

... + 40,000XG + 60,000XH + 30,000XI + 30,000XJ + 40,000XK + 50,000XL +

+ 100,000XM + 60,000XNSujeto a:

1. Restricciones de duracin mxima: (con la sexta columna de la penltima tabla)

XA 1, XB 2, XC 3, XD 2, XE 1, XF 2, XG 3, XH 3, ...

... XI 2, XJ 2, XK 1, XL 2, XM 1, XN 3

2. Restricciones de no negatividad:

XA 0, XB 0, XC 0, XD 0, XE 0, XF 0, XG 0, XH 0, ...

... XI 0, XJ 0, XK 0, XL 0, XM 0, XN 0

3. Restricciones de tiempo de inicio:

Excepto para la actividad A, existe una restriccin para cada actividad con un solo predecesor inmediato (B, C, E, F, G, I, K, L, M) y dos para cada actividad con dos predecesores inmediatos (H, J, N, TERMINO).

Un predecesor inmediatoDos predecesores inmediatos

yB 0 + 2 XAyH yG + 7 XG

yC yB + 4 XByH yE + 4 XE

yD yC + 10 XCyJ yF + 5 XF

yE yD + 6 XDyJ yI + 7 XI

yF yE + 4 XEyN yK + 4 XK

yG yF + 5 XFyN yL + 5 XL

yI yC + 10 XCyTERMINO yM + 2 XM

yK yJ + 8 XJyTERMINO yN + 6 XN

yL yJ + 8 XJ

yM yH + 9 XH

4. Restriccin de la duracin del proyecto:yTERMINO 40La siguiente figura muestra la cmo se puede formular este problema como un modelo de programacin lineal en una hoja de clculo:

GHK

6=C6-D6=(F6-E6)/G6=I6+C6-J6

7=C7-D7=(F7-E7)/G7=I7+C7-J7

8=C8-D8=(F8-E8)/G8=I8+C8-J8

9=C9-D9=(F9-E9)/G9=I9+C9-J9

10=C10-D10=(F10-E10)/G10=I10+C10-J10

11=C11-D11=(F11-E11)/G11=I11+C11-J11

12=C12-D12=(F12-E12)/G12=I12+C12-J12

13=C13-D13=(F13-E13)/G13=I13+C13-J13

14=C14-D14=(F14-E14)/G14=I14+C14-J14

15=C15-D15=(F15-E15)/G15=I15+C15-J15

16=C16-D16=(F16-E16)/G16=I16+C16-J16

17=C17-D17=(F17-E17)/G17=I17+C17-J17

18=C18-D18=(F18-E18)/G18=I18+C18-J18

19=C19-D19=(F19-E19)/G19=I19+C19-J19

J

21=SUMA(E6:E19)+SUMAPRODUCTO(H6:H19,J6:J19)

Parmetros de Solver:

Celda objeto:

$J$21

Valor de la celda objeto:

minimizar

Combinando las celdas:

$I$6:$J$19,$J$20

Sujetas a las siguientes restricciones:

$I$10 >= $K$8$I$15 >= $K$14$I$7 >= $K$6

$I$11 >= $K$10$I$16 >= $K$15$I$8 >= $K$7

$I$12 >= $K$9$I$17 >= $K$15$I$9 >= $K$8

$I$13 >= $K$10$I$18 >= $K$13$J$20 = $K$12$I$19 >= $K$16$J$20 >= $K$18

$I$14 >= $K$8$I$19 >= $K$17$J$20 >= $K$19

$I$15 >= $K$11$I$6:$J$19 >= 0$J$6:$J$19 $E6,G$5$E6,H$5$E7,G$5$E7,H$5$E8,G$5$E8,H$5$E9,G$5$E9,H$520IL=20-4=16TL=20

IL=25-7=18TL=25

IL=26-6=20TL=26

IL=25-5=20TL=25

IL=33-7=26TL=33

34>33IL=33-8=25TL=33

IL=42-9=33TL=42

IL=44-2=42TL=44

IL=38-4=34TL=38

IL=38-5=33TL=38

IL=44-6=38TL=44

IL=44-0=44TL=TC=44

IL=0TL=0

_1189032767.unknown

_1189032881.unknown

_1189026629.ppt

INICIO

A

B

C

E

I

D

F

G

J

H

K

L

M

N

TERMINO

0

2

4

10

6

4

7

7

5

9

8

4

5

2

6

0

I=(0,0)T=(2,2)

I=(2,2)T=(6,6)

I=(6,6)T=(16,16)

I=(16,16)T=(20,20)

I=(16,18)T=(23,25)

I=(16,20)T=(22,26)

I=(20,20)T=(25,25)

I=(22,26)T=(29,33)

I=(25,25)T=(33,33)

I=(29,33)T=(38,42)

I=(38,42)T=(40,44)

I=(33,34)T=(37,38)

I=(33,33)T=(38,38)

I=(38,38)T=(44,44)

I=(44,44)T=(44,44)

I=(0,0)T=(0,0)

_1189016628.ppt

INICIO

A

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M

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7

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4

5

2

6

0

IC = 0TC = 0+2=2

IC=2TC=2+4=6

IC=6TC=6+10=16

IC=16TC=16+4=20

IC=16TC=16+7=23

IC=16TC=16+6=22

IC=20TC=20+5=25

IC=22TC=22+7=29

_1189018051.ppt

INICIO

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2

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IC=0TC=2

IC=2TC=6

IC=6TC=16

IC=16TC=20

IC=16TC=23

IC=16TC=22

IC=20TC=25

IC=22TC=29

25>23IC=25TC=25+8=33

29>20IC=29TC=29+9=38

IC=38TC=38+2=40

IC=33TC=33+4=37

IC=33TC=33+5=38

38>37IC=38TC=38+6=44

44>40IC=44TC=44

IC=0TC=0

_1189005782.ppt

INICIO

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2

6

0

Cdigo de actividadA ExcavacinB CimentacinC ParedesD TechosE Plomera exterior

F Plomera interiorG Aplanados exterioresH Pintura exteriorI ElectricidadJ Aplanados interioresK PisosL Pintura interiorM Accesorios exterioresN Accesorios interiores

clase 1 pert cpm enviado 29abril2015

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