círculo unitario y funciones trigonométricas
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UNIDAD 9:“UTILICEMOS
TRIGONOMETRÍA”
Círculo Trigonométrico
unitario
René Cortez Arévalo
Un círculo con centro en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares y con radio igual a 1 se llama un círculo unitario.
Si el punto P(x,y) pertenece al círculo unitario, y el segmento OP es un radio, entonces OP intercepta un arco dirigido q va desde el eje de x hasta P (arco S).
El arco interceptado, arco S, tiene la misma medida que el ángulo central ϴ.
En el círculo unitario definimos
sin(s) = sin(ϴ) como la distancia, y, vertical desde P hasta el eje de x.
Similarmente, definimos cos(s)=cos(ϴ) como la distancia horizontal desde el origen hasta la coordenada en x del punto P.
Arco s
Si el círculo NO es unitario, entonces NO es de radio 1.
En este caso, se determina el seno y el coseno del ángulo central utilizando el triángulo recto imaginario que se forma y las razones que estudiamos para el triángulo recto.
Radio = 3
hipotenusaopuesto
)sin(
hipotenusaadyacente
)cos(
Utilizando el triángulo recto imaginario podemos traducir estas razones a:
ry
)sin(
rx
)cos(
Vimos anteriormente que en un triángulo recto:
Similarmente podemos usar el triángulo recto imaginario que se forma dentro del círculo para determinar las otras 4 razones trigonométricas:
xy
adyop
)tan(
yx
opady
)cot(
xr
adyhip
)sec(
yr
ophip
)csc(
22
)sin( ry
22
)cos( rx
2,2P
122
)tan( xy
Ejemplo 1: Dado un círculo con radio igual a 2, y el punto P, hallar los valores de las 6 razones trigonométricos.
Ejemplo 1: Dado un círculo con radio igual a 2, y el punto P, hallar los valores de las 6 razones trigonométricos.
22
)csc( yr
22
)sec( xr
122
)cot( yx
2,2P22
22
22
22
EJEMPLO 2: El punto P(x,y) se muestra en una circunferencia unitaria. Encuentre los valores de las razones trigonométricas del ángulo central que se muestra.
54
,53
P
Sabemos que:•el radio es 1•x=•y=
•Por lo tanto,
54
)sin(
x
y
53
54
53
)cos(
34
)tan( xy
EJEMPLO 2: El punto P(x,y) se muestra en una circunferencia unitaria. Encuentre los valores de las razones trigonométricas del ángulo central que se muestra.
54
,53
P
Las relaciones recíprocas son:
45
)csc( x
y35
)sec(
43
)cot( yx
PRÁCTICA Hallar los valores de las 6 razones trigonométricas en los
siguientes círculos.
1312
,135
P
8,15P
Radio = 1 Radio = 17
SOLUCIONES
Hallar los valores de las 6 razones trigonométricas en los siguientes círculos.
1312
,135
P
Radio = 1
8,15P
Radio = 17
135
cos
1312
sin
5
12tan
5
13sec
1213
csc
125
cot
1715
cos
178
sin
158
tan
1517
sec
8
17csc
8
15cot
Gráfica de Funciones Trigonométricas
Hemos enfatizado en presentaciones anteriores que podemos extender las definiciones de las razones trigonométricas para ángulos agudos en un triángulo recto a ángulos de cualquier magnitud en el círculo.Recuerde:
También hemos enfatizado el comportamiento de las razones trigonométricas a medida que rotamos alrededor del círculo formando ángulos.
Recuerde que aunque aquí se muestran algunos ángulos más conocidos podemos hallar el seno o el coseno a ángulos con cualquier medida.
Hallar la razón trigonométrica indicada.
(5)sin 4.
) tan(-2403.
)30cos( 2.
)sin( .1
o
815
3827.08
sin
10cos
33
tan3
4tan
Nota que el 5 representa 5 radianes. Un ángulo que mide 5 radianes está en 4to cuadrante. ¿Puedes explicar por qué?
0.9589-
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Para definir las funciones trigonométricas se define como entrada, ϴ, cualquier ángulo medido en radianes. De esta forma el Dominio los números reales.
El Rango de las funciones f(ϴ) = sen(ϴ) y g(ϴ) = cos (ϴ) es [-1,1].
Estudiaremos algunos detalles sobre las siguientes funciones trigonométricas
f(ϴ) = sin(ϴ), g(ϴ) = cos (ϴ) y h(ϴ) = tan (ϴ).Dominio de una función trigonométrica es el conjunto de los Reales.
GRÁFICAS DE F(X)=SIN(X) Y G(X) = COS(X) Comenzaremos el estudio de las gráficas de las funciones
de seno y coseno armando una tabla de valores.
GRÁFICA DE F(X)=SIN(X)Localizemos estos puntos en un plano trigonométrico.
Unamos los puntos con una curva suave y
continua.
GRÁFICA DE F(X)=SIN(X)Localizemos estos puntos en un plano trigonométrico.
Unamos los puntos con una curva suave y
continua.
GRÁFICA DE G(X)=COS(X)Localizemos estos puntos en un plano trigonométrico.
Unamos los puntos con una curva suave y
continua.
GRÁFICA DE G(X)=COS(X)Localizemos estos puntos en un plano trigonométrico.
Unamos los puntos con una curva suave y
continua.
GRÁFICAS DE F(X)=SIN(X) Y G(X)=COS(X)Observemos las gráficas en un mismo plano trigonométrico.
GRÁFICAS DE F(X)=SIN(X)
GRÁFICAS DE F(X)=COS(X)
Características de f(x)=sin(x) y g(x)=cos(x)
1. En las gráficas anteriores se puede observar el gran parecido que existe entre ambas.
2. De hecho, parece que podemos trasladar la gráfica de g(x)=cos(x) π/2 unidades y obtener la gráfica de f(x)=sin(x).
3. Podemos describir este parecido diciendo que f(x)= sin(x) = cos(x-[/2]).
Es conveniente recordar que el ángulo que mide 90º mide /2 (en números reales o radianes).
Características de f(x)=sin(x) y g(x)=cos(x)
4. En las gráficas anteriores también se puede observar que los valores de ambas funciones se repiten cíclicamente para múltiplos de 2.
5. Este comportamiento se puede describir f(x) = sin(x) = sin(x + 2n ) donde n pertenece a los enteros (n ).
6. También podemos decir queg(x) = cos(x) = cos(x + 2n ) donde n .
CREANDO NUEVAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
• Construya una tabla de valores para cada una de las siguientes funciones.
• F(x)=2 sin(x)• F(x) = sin(2x)• F(x) = 2 sin(x +1)• F(x) = 2 sin(x) + 1
GRÁFICA DE F(X) = 2 SEN(X)
GRÁFICA DE F(X) = SIN(2X)
CREANDO NUEVAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: TRANSFORMACIONES
• Construya una tabla de valores para cada una de las siguientes funciones.
• F(x)=2 cos(x)• F(x) = cos(2x)• F(x) = 2 cos(x +1)• F(x) = 2 cos(x) + 1
GRÁFICA DE F(X)=2COS(X)
GRÁFICA DE F(X)=COS(2X)
GRÁFICA DE H(X)=TAN(X) Vamos a construir una tabla con algunos
valores de tangente para varios ángulos. Recordemos que la h(x)=tan(x) NO está
definido para algunos ángulos. ¿Por qué?
Como se muestra en siguiente gráfica,, no siempre es posible definir la función tangente de un ángulo (x). De hecho, cuando la función coseno del ángulo toma el valor de cero, la función tangente no está definida (¿por qué?).
Figura 2. Función tangente del ángulo x (en radianes).
-1.000
-0.800
-0.600
-0.400
-0.200
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
tan(x)
2 3--2-3