La electricidadEs un fenmeno fsico natural que proviene de la existencia e interaccin de las cargas elctricas.El concepto de carga elctrica es la base de la descripcin de todos los fenmenos elctricos, con las siguientes caractersticas:a) La carga elctrica es bipolar, por lo que se describe como cargas positivas y negativas.b) Los efectos elctricos se atribuyen a las siguientes causas:

1) Debido al movimiento de cargas elctricas.2) Debido a la separacin de las cargas elctricas.

VARIABLES DE UN CIRCUITOVariable corrienteEs la variable bsica en la teora de circuitos y se representa por la letra .El flujo de las cargas elctricas crea un fluido elctrico llamado corriente elctrica.La corriente es la razn de cambio temporal de la carga que pasa por un punto determinado.

Donde:

La corriente tiene direccin, por lo que es conveniente asignar direcciones algebraicas de referencia.

Circuito elctricoEs una interconexin de elementos elctricos en una trayectoria cerrada para que pueda fluir corriente elctrica.Un elemento bsico ideal tiene tres atributos:a) Tiene solo dos terminales que son sus puntos de conexin.b) Se describe matemticamente en trminos de corriente y/o voltaje que tambin se denominan modelos de circuitos.c) No puede subdividirse en otros elementos.

Por convencin una corriente positiva es el flujo de una carga positiva en la direccin de una flecha de referencia para marcar la direccin de la corriente.

Utilizaremos esta convencin pasiva en todos los anlisis siguientes y asumiremos que la corriente que entra por un terminal es la misma que sale por el otro terminal.Variable voltajeMedir la cantidad de energa adquirida o perdida en cada elemento de carga efectuada por el dispositivo o componente.La separacin de cargas elctricas crea una fuerza elctrica llamada voltaje, que se representa con la letra E, e, V o v.

El voltaje no posee direccin como la corriente pero si tiene polaridad.En un circuito el signo + para el voltaje por donde entra la corriente, nos indica que la energa es absorbida o disipada; mientras que un signo -en el terminal por donde entra la corriente nos indica que ese dispositivo es una fuente de voltaje que entrega energa.

1)

Indicar qu puede ser este elemento?Resistencia, inductancia (bobina), condensador, etc.

2)

Indicar qu puede ser este elemento?Fuente

PARMETROS DEL CIRCUITOLa energa asociada a un dispositivo elctrico esta especificada en trminos de voltaje y corriente a travs de el.Esta relacin entre corriente y voltaje esta determinada por la naturaleza del dispositivo.En los circuitos lineales hay tres elementos bsicos que son: la resistencia, el inductor y el capacitor.Resistencia elctricaSon elementos que disipan energa en los que la corriente es directamente proporcional al voltaje.Esta relacin fue descubierta por George simn Ohm, originndose la ley de Ohm; que segn su experimento determin la existencia de que el voltaje es directamente proporcional a la corriente en este dispositivo.

Una alteracin de esta ecuacin es:

Cmo medir la potencia en una resistencia?

InductanciaEl elemento elctrico que almacena energa asociada al flujo de corriente que la atraviesa es llamado inductor.Para el modelo ideal de un inductor, el voltaje es proporcional al tiempo que demora en cambia la corriente.

La corriente en la bobina ser:

La potencia que entra en un inductor en cualquier momento es:

i

Si la corriente es constante, la derivada es cero. Solo el incremento de la corriente dar un valor positivo a la corriente. Para que la potencia sea positiva, la corriente y el voltaje deben tener signos compatibles.

CapacitanciaEs un dispositivo que almacena energa debido al campo elctrico existente entre sus capas. El voltaje en el condensador ser:

La corriente i es un flujo a travs del condensador, ya que una carga positiva entrando por un terminal repele una carga positiva en el otro terminal.

La potencia en un condensador en cualquier momento es:

i

Si el voltaje es constante, la derivada es cero. Solo el incremento de voltaje puede dar ms energa al condensador.

Elementos de una red elctricaEstos se pueden clasificar en elementos pasivos y elementos activos. Elementos pasivos: son las resistencias, inductancias y capacitancias.Elementos activos: son todos aquellos elementos que tienen la capacidad de entregar potencia a algn dispositivo externo; estos son las denominadas fuentes de voltaje y fuentes de corriente.Fuente ideal de tensin o fuente independiente de tensinEs una fuente de energa que esta suministrando a una red una seal de voltaje; que es independiente de la cantidad de corriente que entrega a dicha red.

Problema:

Determinar el valor de i en cada caso:R()V(volt)i(Amp)

a)10101

b)100100.1

c)1k100.01

Fuente ideal de corriente o fuente independiente de corriente

Problema: determinar la cada de tensin en cada caso.

a)10550

b)1005500

c)1k55000

Cul es el potencial en RL?

Las fuentes ideales o independientes no son fsicamente realizables pero son tiles como modelos para propsitos de anlisis o diseos.

Fuentes reales de tensin o de corrienteEstas fuentes entregan energa a la red, pero su valor esta limitado por las perdidas internas de las fuentes.Fuente real de voltajeSu corriente de salida esta limitada por su resistencia interna. Una fuente de voltaje funciona en vaco cuando el circuito esta abierto asea que la corriente que entrega es cero, en caso contrario estar entregando o absorbiendo potencia.

Qu representa el trmino ?Representa la prdida de energa inherente a la fuente.

Fuente real de corrienteLa tensin entre sus bordes esta limitada por la resistencia interna de la fuente.Una fuente de corriente funcionar en vaco cuando esta en corto circuito y la potencia entregada es cero, ya que la resistencia externa es cero.

Fuentes controladas o fuentes dependientesLas fuentes controladas de voltaje o de corriente dependen de otra variable, que puede ser una corriente o un voltaje respectivamente.Fuente de voltaje controlada por voltaje (FVCV)Es una fuente cuyo valor de voltaje esta controlada por otro voltaje que aparece en cualquier lugar del circuito y se representa mediante un rombo.

Fuente de voltaje controlada por corriente (FVCC)Es una fuente cuyo valor de voltaje esta controlada por otra corriente que fluye en cualquier lugar del circuito y se representa mediante un rombo.

Fuente de corriente controlada por voltaje (FCCV)Es una fuente cuyo valor de corriente esta siendo controlada por un voltaje que aparece en cualquier lugar del circuito y se representa mediante un rombo.

Fuente de corriente controlada por corriente (FCCC)Es aquella fuente cuyo valor de corriente esta siendo controlada por otra corriente que fluye en cualquier lugar del circuito y se representa mediante un rombo.

Reduccin de fuentes idealesa) Dos o ms fuentes de tensin no se podrn conectar en paralelo, si es que no son idnticas, pero si se podrn conectar en serie.

b) Dos o ms fuentes de corriente no se podrn conectar en serie si es que no son idnticas, pero si se podrn conectar en paralelo.

Combinacin de fuentes de tensin y fuentes de corrienteEstas fuentes se podrn conectar teniendo en cuenta las siguientes consideraciones:a) Todos los elementos conectados en paralelo a una fuente ideal de tensin se denominan (RINCE).

Problema: determinar la potencia en cada uno de los elementos.

b) Todos los elementos conectados en serie a una fuente ideal de corriente son ramas independientes para el clculo del equivalente.

Problema: calcular la potencia de cada uno se los elementos.

Problema: hallar el equivalente entre a-b;

Solucin: Identificamos que la resistencia de 9 esta en paralelo con la fuente de 6v, entonces resistencia ser un elemento RINCE.Haciendo RINCE en la resistencia de 9 y aplicando reduccin de fuentes tenemos:

Luego vemos que la resistencia de 20 es RINCE cuando esta en paralelo con la fuente de 1v y finalmente aplicando reduccin de fuentes tenemos.

Problema: hallar el equivalente entre a-b;

Solucin:Evaluando el circuito tal y como esta identificamos los elementos RINCE.

Luego tenemos:

Aplicando reduccin de fuentes tenemos el siguiente circuito

Identificando los elementos RINCE.

Luego de hacer RINCE las resistencias de 10, 8 y 9 y tenemos el siguiente circuito.

Finalmente tenemos.

Leyes de KirchhoffExisten combinaciones de resistencias que no se pueden reducir a circuitos en serie o paralelo; tales como los siguientes circuitos:

Si se requiere calcular las corrientes en estas redes, existen reglas que nos permiten la solucin en forma sistemtica y definiremos:NudoEl nudo en una red es el punto donde se unen dos o ms ramas resistivas, por ejemplo en la figura a los puntos 2, 4, 6 y 7 se consideran nudos mientras que los dems no lo son. En el caso de la figura b, los puntos 1 y 2 se consideran nudos mientras que los dems no los son.Malla o lazoEs cualquier trayectoria conductora cerrada. En la figura a las trayectorias cerradas son 24 72; 74567; 12745681 son posibles trayectorias o mallas.Ley de Kirchhoff para corrientes o regla de los nodos (LCK)La suma de corrientes que se dirigen hacia cualquier nudo es cero en todo instante.Sea el nudo o:

En o

Esta regla tambin dice que en un nudo no se acumula carga y se refiere a la conservacin de la energa cintica; ya que la corriente tiene que circular por todos los elementos sin que se diluyan cargas o se originen nuevas.Problema: aplicar LCK en:

1) 2) 3) 4)

Ley de Kirchhoff para voltajes o regla de las mallas (LTK)La suma algebraica de la suma de las fuerzas electromotrices (fem) en cualquier malla es igual a la suma del producto de la misma malla.

O tambin:

Problema: aplicar LTK en el siguiente circuito.

a) b) c) d)

Mtodo de solucin usando KirchhoffLa solucin se efecta basndose en los sentidos supuestos de las corrientes. Si una solucin de estas ecuaciones le atribuye el valor negativo a una intensidad de corriente o a una fuerza electromotriz, su verdadero sentido es opuesto al que habamos asignado y en cualquier caso se obtienen los valores numricos verdaderos.Cuando se aplica las reglas de las mallas se elige como positivo un solo recorrido para todas las mallas y todas las corrientes. Las fuerzas electromotrices que tengan este sentido son positivas y las de signo contrario son negativas.

Problema: determinar las corrientes de rama

Si a y b son recorridos:

Reduciendo las ecuaciones anteriores tenemos:

Problema.- determinar las corrientes de ramas en:

Problema-. En el circuito calcular el valor de R si la fuente de voltaje absorbe de la de la potencia que genera la fuente de 6A.

Conexin serie de resistenciasEste circuito se caracteriza por que la corriente que circula por todas las resistencias tiene un solo camino y por lo tanto tiene el mismo valor en cualquiera de ellas.

Se cumple que:

Conexin paralelo de resistenciasEsta conexin se caracteriza por que la tensin que alimenta a todas las resistencias tiene el mismo valor.

Problema-. Calcular la potencia en R=10 y en la fuente controlada.

Representacin de circuitos con fuentes controladas

Problema1-. Hallar

Problema2-. Hallar en:

Problema3-. Hallar en:

Problema4-. Hallar en:

Divisor de tensinOtra forma de analizar un circuito es mediante la aplicacin del divisor de tensin para el calculo de voltaje en una o varias resistencias conectadas en serie, estando expresado en trminos del voltaje de la fuente y los elementos resistivos.

Divisor de corrienteMediante este anlisis podemos calcular la corriente de una o varias resistencias conectadas en paralelo, en funcin de la fuente de corriente y de los elementos resistivos.

Si el divisor de corriente se aplica a dos resistencias:

Problema1-. Usando divisor de corriente y de voltaje, aplicarlos de orden para obtener en:

Redes linealesUn circuito es lineal cuando se compone por completo de elementos lineales y fuentes independientes, adems la relacin entre causa y efecto o excitacin y respuesta, siendo x la excitacin e y la respuesta; se representa mediante la funcin:

Que satisface las propiedades de proporcionalidad y superposicin.

Propiedad de proporcionalidadSi la excitacin se incrementa o disminuye por un factor de multiplicacin constante, la respuesta tambin variar en la misma proporcin; trabaja as solo para redes excitadas por una sola fuente independiente.Ejemplo: circuito divisor de voltaje.

Propiedad de superposicinSi la excitacin consiste en la suma de dos componentes ; entonces la respuesta estar en funcin de cada uno de estos componentes.

La respuesta total ser igual a la suma de las respuestas parciales cuando se aplica una sola fuente y las otras valen cero.Problema-. Aplicando superposicin hallar V en:

Solucin:Vemos que el circuito anterior podemos reducirlo a un circuito de 3 fuentes, debido a que las fuentes de 5A en realidad son una sola fuente de 5A, quedando as, el siguiente circuito.

Ahora como vemos que nuestro circuito consta de 3 fuentes independientes, de acuerdo a la propiedad de superposicin, el voltaje V en la resistencia de 12 estar dado por:

1) Primero hallamos cuando solo la fuente de 5A esta trabajando y las dems no; esto significa que el resto de las fuentes valen cero, las fuentes de voltaje sern corto circuito y las fuentes de corriente sern circuito abierto.Cortocircuitando la fuente de 36v y haciendo circuito abierto en la fuente de 3A tenemos el siguiente circuito:

Del circuito anterior tenemos que:

Lo podemos hallar por divisor de corriente

Y as tenemos

2) Segundo hallamos , trabajando con la fuente de 36v y las dems igualando a cero.Haciendo circuito abierto las fuentes de corriente de 5A Y 3A.

Aplicando divisin de corriente

3) Y finalmente hallamos , para esto trabajamos con la ltima fuente que nos falta, la fuente de corriente de 3Ay hacemos cero a las dems.Hacemos corto circuito a la fuente de voltaje de 36v y circuito abierto a la fuente de 5A y as tenemos:

Del circuito anterior tenemos que: Aplicando divisor de corriente hallamos ; As tenemos que: Y finalmente reemplazando en la ecuacin (a), los valores hallados (b), (c) y (d):

Transformacin de fuentesFuente prctica de voltajeEsta definida como una fuente de voltaje ideal en serie con una resistencia interna .

Problema-. Tenemos una batera de 18v en vaco (sin carga RL), que al conectar una carga RL se reduce le voltaje a 17v entregando una corriente de 100A. Halar la resistencia interna.Solucin:

a) El voltaje de circuito abierto (ser:

Si

Observacin:Cuando , forma un circuito abierto.

b) La corriente de corto circuito ( ser:

Si

Fuente prctica de corrienteSe define como una fuente ideal de corriente en paralelo con una resistencia interna .

Cuya representacin grfica sera:

a) El voltaje de circuito abierto () ser:

b) La corriente de corto circuito () ser:

Fuentes equivalentesSe define dos fuentes como equivalentes si producen valores idnticos de y cuando se conectan a valores idnticos de , sin interesar cual sea el valor de , produciendo el mismo voltaje de circuito abierto y la misma corriente de corto circuito.

Como vemos las dos fuentes del circuito anterior son equivalentes, esto lo demostramos anteriormente, de donde encontramos los siguiente.

Donde: 1) As vemos que podemos transformar una fuente prctica de corriente en una fuente prctica de voltaje; simplemente hallando el voltaje de circuito abierto (), de la fuente de corriente, entre sus dos terminales que conectan a la carga (). Donde el voltaje de circuito abierto () ser el valor de la fuente de voltaje () cuya resistencia interna () ser igual a la resistencia () de la fuente prctica de corriente ().2) Del manera similar podemos transformar una fuente prctica de voltaje en una de corriente; en este caso hallamos la corriente de corto circuito (), de la fuente prctica de voltaje, entre sus terminales que conectan a la carga (). Este valor hallado (), ser el valor de la fuente de corriente, cuya resistencia interna () ser igual a la resistencia () de la fuente prctica de voltaje ().

Observacin:Llamamos carga () a cualquier circuito o red.

Problema1-. Cual sera la fuente prctica de voltaje equivalente si usamos una ?

Solucin-.Como tenemos una fuente prctica de corriente conectada a una carga , ahora para transformarla a una fuente prctica de voltaje, hallamos el voltaje de circuito abierto y para ello quitamos la carga y hacemos circuito abierto:

De donde tenemos que: Y sabemos que: As finalmente tenemos la fuente prctica de voltaje equivalente.

Problema2-. Calcular la potencia disipada por , usando transformacin de fuentes a la de a-b:

Solucin:Vemos que el circuito anterior podemos reducirlo, aplicando transformacin de fuentes, a uno ms sencillo de analizar.Transformando as las fuentes de voltaje de 24v a fuentes de corriente (vemos que la direccin de la corriente de la fuente de corriente, es la misma que seguira en la fuente de voltaje) tenemos el siguiente circuito:

Luego del circuito anterior percatamos que tenemos dos fuentes, una de corriente y otra de voltaje, nuevamente transformamos la fuente prctica de corriente en una de voltaje obteniendo el siguiente circuito:

La potencia disipada en estar dado por: En el circuito anterior podemos aplicar LTK para hallar la corriente :

Luego la potencia disipada ser:

Problema3-. Obtener 3 fuentes prcticas de voltaje en:

Problema4-. Obtener 3 fuentes prcticas de corriente en:

Topologa de redesEl algebra topolgica es la reunin de conceptos y procedimientos que nos permitirn conocer el mnimo nmero de incgnitas independientes que son necesarias para resolver una red elctrica.Para esto es necesario asociar una resistencia o rama con una incgnita algebraica en el circuito, por lo que se tienen que hacer cero todo tipos de fuentes; las fuentes de tensin se hacen cortocircuito (eliminando todas las resistencias conectadas en paralelo a ella) y las fuentes de corriente se harn circuito abierto (eliminado todas las resistencias conectadas en serie a ella).Todas estas ramas as removidas se llaman ramas ficticias, ya que no afectan a cualquiera de los otros voltajes o corrientes del circuito, por lo que se pueden ignorar y no considerarse como ramas topolgicas.El trmino topologa es un rea de la geometra que se ocupa de las propiedades de una figura geomtrica que no cambia cuando la figura es: girada, flexionada, doblada, estirada, comprimida o anudada, con la condicin de que ninguna parte de la figura sea cortada ni unida a otras de las partes de la figura.Todos los elementos (resistencias) se representarn simplemente como lneas.Problema1-. Hacer el grfico topolgico de:

Solucin:Tomamos los puntos de referencia y hacemos:

Y finalmente hacemos el grfico topolgico, tomando en cuenta los puntos de referencia o nodos.

Solucin:Definimos los puntos de referencia, hacemos corto circuito las fuentes de voltaje y circuito abierto las de corriente.

Luego su grfico topolgico ser el siguiente:

Problema2-. Trazar el grfico topolgico del siguiente circuito:

Trminos topolgicosNudo (N, n): Es el punto donde se unen dos o ms resistencias.Trayectoria: es el conjunto de elementos que pueden ser atravesados en orden, sin volver a pasar por el mismo nudo dos veces.Rama o brazo (B, b): es una trayectoria simple que contiene un solo elemento simple y que conecta un nudo a otro nudo.Lazo: es una trayectoria cerrada cualquiera.Malla: es un lazo que no contiene otro lazo dentro de ella.Circuito plano: es el que se puede dibujar en una superficie plana.Circuito no plano: es el que no se puede dibujar sobre una superficie plana.rbol topolgico: es una parte de la grfica topolgica, que esta formado por un conjunto de ramas que no forman ninguna malla o circuito cerrado, pero que tiene la misma cantidad de nudos.Problema-. Obtener 3 rboles distintos para las graficas a y b:

Solucin:

Rama del rbol (Ba, ba)

Lazos o mallas topolgicas (L, l)Son aquellas trayectorias cerradas que aparecen a partir del rbol topolgico cuando vamos aumentando cada una de las ramas que hacen falta para completar el grfico de la red.Estas mallas son trayectorias cerradas conocidas como independientes, que es igual:

Problema-. Determinar el nmero de mallas independientes L grficamente y por frmula en el grfico siguiente:

Solucin:a) Completando ramasPara hallar el nmero de mallas independientes por el mtodo grfico, primero trazamos el rbol topolgico.

Luego completamos las ramas faltantes para as llegar al grfico original. Como sabemos las ramas faltantes es igual al nmero de mallas independientes.

Del grfico podemos ver que el nmero de ramas que nos faltan completar para igualar el grfico original es: b) Por frmula

Sabemos que el nmero de mallas independientes esta dado por: As del grfico del problema tenemos:

Luego reemplazando tenemos:

Solucin de redes elctricasMtodo de las corrientes de mallasEl anlisis de mallas se puede aplicar solo en las redes que son planas, o sea en aquellos cuyo circuito se puede dibujar sobre una superficie plana sin que ninguna rama quede por encima o por debajo de otra rama.Mtodo de solucin:1) hacer el grfico topolgico del circuito y hallar el nmero de mallas independientes L, que ser igual al nmero de ecuaciones necesarias.2) Asignar en cada malla topolgica una corriente circulante que tenga el mismo sentido en todas ellas.3) Aplicar la ley de voltaje de Kirchhoff en cada malla en funcin de las corrientes de mallas.4) Ordenar las ecuaciones en forma matricial.5) Reducir el sistema para hallar corrientes de mallas.6) Determinar las cadas de tensin en la red aplicando la ley de Ohm de ser necesaria.

Problema-. Hallar las corrientes de mallas en:

Solucin:Primero hacemos el grfico topolgico.

Del cual tenemos que el grfico topolgico ser el siguiente:

De este grafico tenemos que:

Lo cual quiere decir, que el mnimo nmero de ecuaciones necesarias para resolver el circuito es 3.

As tenemos:

Del cual reduciendo las ecuaciones tenemos:

Expresndolo en forma matricial

Donde:

Problema-. Hallar en:

Solucin:Como podemos ver el circuito anterior no esta en el plano, adems observamos que es posible llevarlo a un plano y luego asignamos los sentidos de las corrientes y as tenemos:

Del circuito tenemos que:

Luego despejando tenemos: De esto vemos que para hallar solo nos hace falta hallar e .

Reduciendo las ecuaciones anteriores tenemos:

Expresndolo en forma matricial: Luego Finalmente reemplazando en la ecuacin de

OBSERVACIN: El signo negativo quiere decir que la polaridad que elegimos para era errnea.

Mtodo de los voltajes de nodosSe utiliza cuando en el circuito hay fuentes de corriente que no hacen apropiada el uso del mtodo de mallas.Mtodo de solucin1) Hacer el grfico topolgico de la red y determinar en nmero de nudos.2) Sealar el nudo de referencia si no lo tiene.3) Asignar voltajes a los (N-1) nudos restantes que ser igual al nmero de ecuaciones de nudos necesarias.4) Aplicar la ley de corriente de Kirchhoff en cada nudo en funcin de los voltajes asignados.5) Obtener ecuaciones en forma matricial y hallar el voltaje de nudos.6) Calcular el resto de incgnitas en el circuito.

Problema-. Hallar los voltajes de nudos.

Solucin:De acuerdo al mtodo de solucin primero hacemos el grfico topolgico.

Como vemos en el grfico topolgico anterior, tenemos un nudo de referencia y hemos asignado a los nudos restantes, que nos igual a y esto ser igual al nmero de ecuaciones necesaria para resolver el circuito.Luego para aplicar la ley de corriente de Kirchhoff hacemos:

Del circuito anterior tenemos las ecuaciones siguientes:

Simplificando las ecuaciones tenemos:

En forma matricial: As tenemos que:

Transformacin del mtodo de nudosSi en la red aparecen una fuente de tensin que esta aplicando voltaje en un determinado nudo ser necesario transformar la fuente de tensin en una de corriente y ahora aplicar el mtodo de voltaje de nudos, para luego retornar al circuito original y calcular el resto de las incgnitas.Problema-. Hallar las potenciales de los nudos y las corrientes de ramas.

El supernudo (SN)Es una variacin del mtodo de los nudos que incluye ecuaciones de restriccin debido a las existencias de fuentes de tensin entre nudos.Estos supernudos incluyen nudos topolgicos y nudos no topolgicos; por lo tanto les corresponde ecuaciones algebraicas y de restriccin.Las fuentes de tensin pueden ser independientes o controladas. En este caso hay que tratar a la fuente y sus nudos asociados como un supernudo y aplicar la ley de corriente de Kirchhoff a ambos nudos simultneamente.Problema-. Hallar los voltajes de los nudos.

Solucin:Trazamos el grfico topolgico del circuito

Asignamos los voltajes de nudos, y el sentido de las corrientes en cada nudo para aplicar la LCK.

Supernudo: ecuacin de restriccin (E.R)

Reordenando las ecuaciones anteriores:

De esto tenemos que:

Problema-. Calcular os potenciales en:

Solucin:Identificamos los dos S.N y damos sentidos a las corrientes el nudo y el S.N

OBSERVACIN 1:Como vemos el sentido de la corriente en las resistencias de 2 y 5 ya estn dadas por la polaridad de cada de tensin en cada una de ellas, la corriente siempre va de un mayor potencial a un menor potencial ().OBSERVACIN 2: No hay necesidad de aplicar LCK en el nivel de referencia (tierra) ni en ningn supernudo conectado a ella. La razn lo vemos cuando trazamos su diagrama topolgico, si el supernudo esta en contacto con tierra, este tambin forma parte de ella.Como veremos en las ecuaciones siguientes no hay la necesidad de aplicar LCK en el supernudo en contacto con la tierra.E.R: En el S.N c-d: En el nudo B:

Reemplazando ; tenemos:

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

Y

La supermalla (S.M)Es una malla ms grande originada a partir de dos mallas que tienen en comn una fuente de corriente, que puede ser independiente o controlada; reducindose as en 1 el nmero de ecuaciones de mallas independientes. Esto tambin origina una ecuacin de restriccin.Problema-. Calcular las cadas de tensin en cada resistencia y el valor de la fuente controlada.

Solucin:Identificamos la supermalla y sealamos las corrientes de las mallas.

E.R:En la S.M: En la malla 1: Reduciendo y ordenando las ecuaciones anteriores tenemos:

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

Problema-. Hallar Vo:

Teorema de superposicinEstablece que la respuesta en cualquier elemento de una estructura bilateral y lineal, que contenga 2 o ms fuentes, es la suma algebraica de respuestas de voltaje o de corriente obtenidas individualmente por cada fuente, siendo todas las dems fuentes independientes de voltaje sustituidas por cortos circuitos y todas las dems fuentes independientes de corriente sustituidos por circuitos abiertos.En este principio estn implcitos los mtodos de corrientes de mallas y tensiones de nudos.Problema-. Hallar por superposicin.

Solucin:Del circuito notamos que si conocemos el valor de V, podremos aplicar LVK en la malla del lado izquierdo y as hallar Como en el circuito vemos dos fuentes independientes entonces el valor de V estar dado por: 1) Primero hallamos , trabajando con la fuente de 12v y hacemos circuito abierto a la fuente de corriente independiente.

Aplicando LVK al circuito anterior tenemos:

2) Hallamos , trabajando con la fuente de corriente de 2A y hacemos corto circuito a la fuente de voltaje de 12v.

Aplicando LVK a la malla del lado derecho del circuito:

Entonces: As finalmente aplicando LVK al circuito original tenemos:

Teorema de Thevenin

Equivalente Thevenin:Tiene la forma:

1) Hallar la fuente equivalente Thevenin entre a-b ():Hacer circuito abierto entre los terminales a-b de la red original, luego calcular el voltaje entre a-b que ser denominado :

2) Hallar la resistencia equivalente Thevenin ():Para hallar la resistencia Thevenin entre a-b se debe retirar la y hacer cero todo tipo de fuentes (independientes).

Problema-. Hallar el equivalente Thevenin.

Solucin:i) Hallamos el :Para ello tomamos como carga RL a la resistencia de 20 y hacemos circuito abierto en los terminales a-b;

Luego tenemos que

Simplificando V de las ecuaciones anteriores tenemos:

Resolviendo tenemos: ii) Hallamos :

Del circuito: //As finalmente tenemos el equivalente Thevenin:

Teorema de NortonEquivalente NortonTiene la forma:

1) Hallar la fuente Norton entre a-b ():Abrir los circuitos entre a-b, luego colocar un corto circuito entre a-b y la corriente que circula por ah ser la corriente de Norton.

2) Hallar la resistencia de Norton entre a-b ():Para hallar la resistencia Norton se retira la carga RL y se hace cero todo tipo de fuente independiente.

Problema-. Halla el equivalente de Norton.

Solucin:i) Hallamos la fuente Norton (), y para ello retira la carga RL y la reemplazamos por un corto circuito.

Del circuito anterior vemos que: Y aplicando LVK en la malla 3:

Simplificando las ecuaciones:

Sumando tenemos Y reemplazando :

Resolviendo tenemos: ii) Hallamos :

Del circuito: //As finalmente tenemos el equivalente Norton

OBSERVACIN:Del los dos circuitos equivalentes (Thevenin y Norton) tenemos las siguientes equivalencias:i) Hallar el voltaje de circuito abierto entre a-b.

ii) Hallar la corriente de corto entre a-b.

Entonces de i) y ii) tenemos: Esto quiere decir:1) La corriente de corto circuito en el equivalente Thevenin debe ser igual al valor de la corriente Norton.2) El voltaje de circuito abierto en equivalente Norton debe ser igual al valor del voltaje Thevenin.Problema-. Hallar el equivalente Thevenin entre a-b y dibujarlo.

Solucin: a) Forma N1Para poder hallar el equivalente Thevenin aumentamos una fuente auxiliar.

1) Hallamos , el voltaje generado por la fuente de 1A:Del circuito vemos que:

De i) tenemos: 2) Hallamos :

Y finalmente tenemos el equivalente Thevenin

OBSERVACIN 1:No interesa el valor de la fuente auxiliar, utilizamos una fuente de 1A, para facilitar los clculos; esto quiere decir que una excitacin produce una determinada respuesta y siempre van a ser proporcionales.OBSERVACIN 2:En nuestro resultado final del problema anterior tenemos un equivalente Thevenin que tal vez nos parezca extrao y seguramente se pregunta por qu no tiene una fuente?; no tiene una fuente debido a que en nuestro circuito original no tenamos ninguna fuente independiente e otras palabras nuestro circuito es pasivo.b) Forma N2Insertamos una fuente auxiliar, en este caso una fuente de voltaje.

1) Hallamos :

2) Hallamos la corriente I que entrega la fuente de voltaje.

Del circuito tenemos:

Resolviendo las ecuaciones tenemos:

Finalmente tenemos el equivalente Thevenin

Problema-. Halla el equivalente Thevenin o Norton de una red con fuentes controladas.

Problema-. En el circuito de a continuacin hallar el equivalente Thevenin a la izquierda de a-b y el equivalente Norton a la derecha de a-b.

Teorema de la mxima transferencia de potenciaEste teorema determina el calor de una resistencia de carga que resulta en la mxima transferencia de potencia entre los terminales a-b de un circuito activo.Se puede aplicar el teorema de Thevenin y representar al circuito activo con una sola fuente de tensin y luego calcular la potencia mxima en .

Del equivalente Thevenin tenemos lo siguiente:La corriente que pasa por la carga estar dado por:Y la potencia en : El valor de que determina la mxima potencia transferida a la carga , es encontrada igualando a cero la primera derivada de con respecto a . Donde:

De donde se cumple que:

Luego:

Si aplicamos el teorema de Norton.

Se obtiene la mxima potencia transferida a cuando: Luego:

Problema-. Hallar el valor de para la mxima potencia y cual es su valor:

Circuitos resistivos de un par de terminalesA todo circuito o red que se aplique un estmulo o excitacin obtendremos una respuesta o salida y adems este circuito estar caracterizado por su resistencia equivalente.Tenemos una red de dos terminales tal como:

a) Resistencia equivalente por aplicacin de una fuente de tensin

Tenemos un circuito determinado al que aplicamos de excitacin una fuente de tensin y en que utilizaremos las ecuaciones de mallas.Sabemos que la relacin entre el voltaje en un par de terminales y la corriente que fluye por ah nos da el valor de la resistencia equivalente entre sus terminales.

Problema-. Hallar la entre a-b utilizando una fuente de tensin.

Solucin:El las terminales a-b insertamos una fuente de voltaje E que puede tomar cualquier valor, esto producir una corriente .

As el valor de la estar dado por: Para este caso hacemos y hallamos la corriente producida por ella.

Reduciendo las ecuaciones tenemos:

Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos que: Finalmente tenemos la :

b) Resistencia equivalente por aplicacin de una fuente de corriente.Al aplicarse una fuente de corriente a una red, podremos utilizar sus ecuaciones de nudos y calcular el voltaje en la fuente de corriente.

Problema-. Hallar la en a-b, aplicando una fuente de corriente.

Solucin:En las terminales a-b aplicamos una fuente de corriente que producir un voltaje en ella.

En el circuito hallamos: Aplicando LCK tenemos:

Reduciendo las ecuaciones tenemos:

Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos que: Finalmente tenemos la :

c) Resistencia equivalente por reduccin de redes.Llamado tambin transformacin delta-estrella o .

Donde:

d) Puente WheatstoneEsta configuracin en corriente continua consta de 5 brazos resistivos, que cuando esta en condicin de equilibrio efectuado mediante el potencial en el punto b es igual al potencial en el punto c y por lo tanto al conectarse con un ampermetro entre b y c este no indicar paso de corriente por lo que podr desconectarse la resistencia entre b y c sin alterar la condicin de equilibrio ni la resistencia equivalente entre a y d.Si esta en el puente de equilibrio tambin puede hacerse un cortocircuito entre b y c sin alterar la condicin de equilibrio ni la resistencia equivalente entre a y d.

En equilibrio se cumple:i) ii)

Dividiendo (2) entre (1) se tiene:

Problema-. Cuales son las corrientes que suministra la fuente.

Problema-. Calcular la potencia entregada por la fuente en:

e) Resistencia equivalente de redes simtricas.Una inspeccin de a simetra en una red nos puede ayudar a resolver un problema complicado, por lo que ser conveniente tener en cuenta algunas reglas:

1) Una rama sin voltaje, a travs de ella, puede ser sacada o reemplazada por un corto circuito sin alterar el resto de la red.2) Una rama sin corriente tambin puede ser sacada o reemplazada por un corto circuito sin altera el resto de la red.3) Entre dos nudos que estn al mismo potencial, se puede hacer un corto circuito sin altera el resto de la red.4) Si tenemos dos corrientes de mallas adyacentes en el mismo sentido y del mismo valor a travs de una rama, esta rama puede ser abierta ya que no circula corriente por ella.En general una red puede ser redibujada o alterada para encontrar la simetra; las resistencias pueden ser divididas en dos resistencias en serie o paralelo y las fuentes pueden ser reemplazadas por combinaciones en serie o paralelo.

Si vemos, en esta red se observa que hay simetra y la de la red total ser igual a la de la cuarta parte de toda la red o sea:

Problema-. Hallar la aplicando simetra en:

Solucin:Como vemos la red anterior aun no es simtrica, para ello hacemos combinaciones de resistencias y fuentes para llegar a la siguiente red simtrica:

Aplicamos las reglas de simetra y tenemos lo siguiente:

Donde se cumple que: Aplicando LVK tenemos:

Reduccin de redes de 4 terminales a redes de 3 terminalesV

DualidadSea el circuito serie resistivo:Sea el circuito paralelo resistivo:

Aplicando la LVK tenemos:Aplicando la LCK tenemos: Vemos que en ambos circuitos el anlisis nos lleva a obtener ecuaciones semejantes en forma tal, que nos hacen ver cierto dualismo entre ellos, de lo que podemos deducir:Para el circuito serie:a) Aplica leyes de voltajeb) Usa resistenciasc) Emplea ecuaciones de voltajed) Utiliza fuentes de voltajee) Aplica el mtodo de corrientes de mallasPara el circuito paralelo:a) Aplica leyes de corrienteb) Usa conductanciasc) Emplea ecuaciones de corriented) Utiliza fuentes de corrientee) Aplica el mtodo de voltajes de nudosDefinicin-. Siempre que los elementos de un sistema estn en correspondencia unvoca con los elementos de otro sistema, se dice que son duales.Desde el punto de vista algebraico dos redes son iguales, si las ecuaciones de corrientes de mallas de una red, son numricamente iguales a las ecuaciones de voltaje de nudos de la otra red (red dual).Problema-. Obtener el dual a partir de sus ecuaciones de mallas.

Dualidad mtodo grficoPara construir el dual de un determinado circuito, usaremos el siguiente mtodo:1) Con cada malla de la red debe asociarse un nudo y debe conocerse adems el nudo de referencia. Por lo tanto se coloca un nudo en el centro de cada malla (nudo dual) y el nudo de referencia se dibujar como un lazo alrededor del diagrama o circuito.2) Cada elemento que aparece compartido por dos mallas, debe reemplazarse por su elemento dual entre los dos nudos que estn dentro de las mallas en las cuales aparece el elemento mutuo.3) Aquellos elementos que aparecen en una sola malla, deben tener duales que aparezcan entre el nudo dual correspondiente y el nudo de referencia. Con relacin a las fuentes que aparecen en las mallas, si la polaridad de etas contribuye con la corriente de la malla original, la fuente dual llegar al nudo dual.

Problema-. Obtener grficamente el dual de:

Solucin:Asociamos la corriente y nudo Dual en cada malla.

Y finalmente aplicando las reglas de dualidad tenemos el siguiente circuito:

Dualidad de circuitos con diodos por mtodo grficoEl dual de un diodo que conduce a favor de la corriente de una malla ser otro diodo que llega al nudo dual correspondiente.

Problema-. Hallar el dual de la corriente por R=20

Redes de dos puertos cuadripolosEste estudio se utiliza en las comunicaciones, sistemas de potencias, en el modelado de transistores y para el diseo en cascada. Tambin es til para conocer los parmetros de una red para tratarla como caja negra cuando esta dentro de otra red.Muchos circuitos constan de una fuente, una carga RL y una red adicional entre la fuente y la carga.

Esta red adicional puede ser un sistema o estructura encapsulada, en la que se limita solo a la utilizacin adecuada de los terminales de salida y entrada.Esta red adicional puede tener propsitos de:Amplificacin, adaptacin de impedancias o filtrado de seales.Por lo tanto, utilizaremos los parmetros de dos puertos que nos proporcionarn los fundamentos generales que son necesarios para el anlisis o diseo de circuitos de filtros, circuitos amplificadores, establecer pruebas de elasticidad, frecuencia, etc.La funcin cabal de una red de dos puertos es procesar el voltaje o corriente de entrada que salen de la fuente, por lo que supondremos que esta red no contiene fuentes independientes, aunque si pueden tener fuentes controladas.

Parmetros transmisores o ABCDEstos parmetros proporcionan una relacin directa entre la entrada y la salida.Su uso principal se encuentra en el anlisis de lneas de transmisin y en las redes conectadas en cascada.

Los parmetros componentes se derivan de las ecuaciones (1) y (2) como sigue:1) Es la inversa de la ganancia de tensin, con el puente de salida en circuito abierto.2) Es la resistencia de transferencia con el puerto de salida encorto circuito.3) Es la conductancia de transferencia con el puerto de salida en circuito abierto.4) Es la inversa de la ganancia de corriente con el puerto de salida en corto circuito.

Problema-. Hallar los parmetros T en:

Solucin:1) Hallamos A, hacemos circuito abierto en la salida:

El parmetro A estar dado por: ; donde sera dato y sera la incgnita.Hallamos por divisor de tensin: As finalmente tenemos:

2) Hallamos B, para ello hacemos corto circuito en la salida (

B estar dado por: ; con dato e incgnita.Aplicando divisor de corriente hallamos

As finalmente:

3) Hallamos C, para ello hacemos circuito abierto en la salida:

Donde C estar dado por: ; con dato e incgnita.Hallamos por divisor de voltaje:

As finalmente tenemos que:

4) Hallamos D, para ello hacemos corto circuito en la salida:

Donde D estar dado por: ; dato e incgnita.Hallamos por divisor de corriente:

As finalmente tenemos que:

Ejemplo de conexin en cascada;

Parmetros hbridos hEstos parmetros son adecuados para el anlisis de circuitos con transistores y se denomina hbrido por que combina los parmetros de resistencia y los de conductancia.

Los componentes de la matriz se obtienen a partir de las ecuaciones (3) y (4):1) Es la resistencia de entrada con el puerto de salida en corto circuito.2) Es la ganancia de voltaje inversa, con el puerto de entrada en circuito abierto.3) Es la ganancia de corriente continua, con el puerto de salida en cortocircuito.4) Es la conductancia de salida, con el puerto de entrada en circuito abierto.Para el anlisis podemos reducir cualquier red a la forma ms simple ya sea segn sea el caso.Cuando los parmetros h se aplican a transistores, los subndices cambian como sigue:

Problema-. Calcular h en:

Solucin:Como vemos podemos reducir el circuito anterior a una forma ms simple para su anlisis:Aplicando tenemos:

1) Hallamos , para ello hacemos corto circuito en la salida y tenemos:

Donde estar dado por: ; dato e incgnita.Del circuito tenemos:

Finalmente tenemos que:

2) Hallamos , para ello hacemos circuito abierto en la entrada y tenemos:

Donde estar dado por: incgnita dato.Por divisor de corriente hallamos :

Finalmente tenemos:

3) Hallamos , para ello hacemos corto circuito en la salida y tenemos:

Donde estar dado por: dato e incgnita.Hallamos por divisor de corriente:

Finalmente tenemos:

4) Hallamos , para ello hacemos circuito abierto en la entrada y tenemos:

Donde estar dado por: dato e incgnita.Hallamos hallando la y luego aplicando ley de Ohm.

Finalmente tenemos que:

Circuitos analgicosComportamiento de elementos almacenadores de energaa) Circuito inductivoTiene la propiedad de almacenar energa en forma de campo magntico.

Sea el circuito:

Si aplicamos de excitacin una funcin escaln de tensin definida como:

Donde E ser la amplitud de escaln, entonces:

Luego integrando la funcin tensin tenemos la corriente:

Esta respuesta de corriente es una funcin rampa, definida por con pendiente , luego:

b) Circuito capacitivoTiene la propiedad de almacenar energa en forma de campo elctrico.

Tenemos el circuito:

Si aplicamos un escaln de valor E como excitacin para , pero:

En ; En ; En ;

Esta funcin se denomina IMPULSO y se define como luego:

Funciones de singularidadSon aproximaciones de ondas de conmutacin real; la suposicin de que un interruptor tiene dos posiciones (abierto y cerrado) involucra la transicin complicada entre dos estados.Si un interruptor cambia de estado en tiempo cero, se encuentra por conveniente dividir este instante en tres partes.: Es el momento preciso antes de que el interruptor cambie de estado.: Es el instante durante el cual el interruptor esta cambiando de estado.: Es el instante preciso despus que el interruptor cambia de estado.Estos tres instantes son separados por intervalos que son muy cortos, pero sin embargo finitos.

Funciones singularesSon aquellas funciones que tienen como punto de partida la funcin escaln de paso unitario.

a) Funciones integrables

Funcin rampa unitaria:

Funcin parbola unitaria:

b) Funciones derivables

Funcin impulso unitario:

Funcin doble impulso:

Problema-. Expresar f(t) usando funciones singulares:

Solucin:

a)

b)

c)

Otra forma de resolver:

d)

Sistemas elctricos de primer ordenCuando un circuito es conmutado de una condicin a otra, ya sea por una variacin de la tensin aplicada o por la variacin de uno de los elementos del circuito, ocurre un periodo de transicin durante el cual las corrientes de las ramas y las cadas de tensin varan de sus valores iniciales a sus nuevos valores.

1) Red inductiva

Tenemos el circuito:

Si: Donde:

Done:: Es la energa que tiene la inductancia L antes de producirse el cambio de estado y es debido a la corriente inicial.

: Es la corriente a travs de la inductancia para cualquier valor de .

La representacin circuital de la ecuacin es:

Donde:

2) Red capacitiva

Tenemos el circuito:

Donde:, es la energa en el condensador antes de producirse el cambio., es el voltaje en el condensador para cualquier .

La representacin circuital de la ecuacin es:

Donde: