ESTADISTICADESCRIPTIVAEINTRODUCCIONALAPROBABILIDADDobleGradoenIngenieraInformaticayMatematicasTema6Algunosmodelosdedistribucionesdiscretas.Una vez expuesta la teora general sobre variables aleatorias y sus distribuciones de probabi-lidad, vamos a describir algunas distribuciones particulares que han demostrado, empricamente,sermodelosapropiadosparasituacionesqueocurrenenlavidareal.Apesardeellotalesdis-tribucionespresentanuncar acterteoricoenelsentidodequesusfuncionesdeprobabilidadodedensidadsededucenmatem aticamenteenbaseaciertaship otesisquesesuponenvalidasparalosfen omenosaleatorios.Laelecci ondeunadistribuci ondeprobabilidadpararepresentarunfenomenodeinterespr acticodebeestarmotivadatantoporlacomprensiondelanaturalezadel fenomenoens,como por la posible vericacion de la distribuci on seleccionada a traves de la evidencia emprica.Entodomomentodebeevitarseaceptar demaneratacitaunadeterminadadistribuciondeprobabilidadcomomodelodeunproblemapr actico.Unadistribuci ondeprobabilidadest acaracterizada,deformageneral,porunaomascan-tidadesquerecibenel nombredepar ametrosdeladistribuci on. Unpar ametropuedetomarcualquiervalordeunconjuntodadoy, enesesentido, sedeneunafamiliadedistribucionesde probabilidad que tendr an la misma funci on generica de probabilidad o funcion de densidad.Enestetemaestudiaremosvariasdistribucionesdetipodiscretodegranutilidadenapli-caciones. Encadacaso, se expondr adetalladamente c omosurgen(el modeloprobabilsticosubyacente) y se deduciran sus momentos, funcion generatriz de momentos y otras caractersti-casdeinteres1.Distribuci ondegeneradaLadistribuci ondiscretam assencillaeslacorrespondienteaunavariablealeatoriadegeneradaoconstante, esdecir, laasociadaaunexperimentoaleatorioquedalugarsiempreal mismoresultado.Portanto,dichavariablealeatoriatomaraun unicovalorc.SufuncionmasadeprobabilidadesP[X= x] =___1 x = c0 x = cAlgunasdesuscaractersticasson:Funciondedistribuci on:F(x) = P[X x] =___0 x < c1 x cPatriciaRom anRom an 1ESTADISTICADESCRIPTIVAEINTRODUCCIONALAPROBABILIDADDobleGradoenIngenieraInformaticayMatematicasMomentosnocentrados:mk= E[Xk] = ckP[X= c] = ck, k = 1, 2, Y,enparticular,laMEDIAE[X] = c.Momentoscentrados:k= E[(X c)k] = 0, k = 1, 2, Y,enparticular,laVARIANZAVar[X] = 0.Estapropiedadcaracterizaalasdistribucionesdegeneradas; esdecir, unavariablealea-toriatienevarianzacerosiysolamentesiesdegeneradaenunpunto(Propiedadesdelavarianza).Funciongeneratrizdemomentos:M(t) = E[etX] = etct R.NotasSiunavariablealeatoriatienefunci ongeneratrizdemomentosMX(t) = e5tt Rentonces, dadoquelaf.g.m. determinadeforma unicaladistribuci ondelavariable, Xtieneunadistribuciondegeneradaenelpunto5,esdecirP[X= 5] = 1Siunavariablealeatoriatienefunci ongeneratrizdemomentosMX(t) = 1 t Rentonces, dadoquelaf.g.m. determinadeforma unicaladistribuci ondelavariable, Xtieneunadistribuciondegeneradaenelpunto0,esdecirP[X= 0] = 1PatriciaRom anRom an 2ESTADISTICADESCRIPTIVAEINTRODUCCIONALAPROBABILIDADDobleGradoenIngenieraInformaticayMatematicas2.Distribuci onuniformediscretaEstaesladistribuci ondeprobabilidaddeunavariablealeatoriadiscretaquetomaunn umeronitodevalores quesonequiprobables yseutilizaparamodelizar variables aleatorias aso-ciadasaexperimentosaleatoriosquetienenunn umeronitodeposiblesresultadosquesonequiprobables.SufuncionmasadeprobabilidadesP[X= xi] =1n, i = 1, 2, , nSe dice entonces que lavariable aleatoriaXse distribuye uniformemente sobre los puntosx1, x2, , xnysenotar aX U(x1, x2, . . . , xn).EjemploLa variable aleatoria asociada al experimento aleatorio de lanzar un dado al aire (tiene seisresultadosposiblesyequiprobablessieldadoestabienconstruido)P[X= i] =16, i = 1, 2, , 6Algunasdesuscaractersticasson:Funciondedistribuci on:F(x) =1n(N umerodevaloresxi x) =___0 six < x1insixi x < xi+1, i = 1, . . . , n 11 six xnMomentosnocentrados:mk= E[Xk] =1nn

i=1xki, k = 1, 2, Y,enparticular,laMEDIAE[X] =1nn

i=1xi= x.Momentoscentrados:k= E[(X EX)k] =1nn

i=1(xi x)k, k = 1, 2, PatriciaRom anRom an 3ESTADISTICADESCRIPTIVAEINTRODUCCIONALAPROBABILIDADDobleGradoenIngenieraInformaticayMatematicasY,enparticular,laVARIANZAVar[X] =1nn

i=1(xi x)2.Funciongeneratrizdemomentos:M(t) = E[etX] =1nn

i=1etxit R.Enelcasoparticularxi= i, i = 1, 2, . . . , nE[X] =1n

ni=1i =1nn(n+1)2=n+12E[X2] =1n

ni=1i2=1nn(n+1)(2n+1)6=(n+1)(2n+1)6Var[X] =(n+1)(2n+1)6(n+1)24=n21123.Distribuci ondeBernoulliSupongamosunexperimentoaleatorioquedalugar, unicamente,adosposiblesresultadosquesonmutuamenteexcluyentesyexhaustivos.Losdosposiblesresultadossedenotancomo:- exito(E),queser aelsucesoobjetodeestudio,y-fracaso(F),queeselcomplementariodeE.EvidentementeE, F , E F= , E F= .A este tipo de experimentos aleatorios se les llama experimentosopruebasdeBernou-lli.AsociadoaunexperimentoopruebadeBernoulliyasucorrespondienteespaciomuestral = {E, F},sedenelavariablealeatoriacondistribuci ondeBernoullicomoX=___1 siocurreelsuceso E0 sinoocurreelsuceso E(ocurre F)Si sedenotaporpalaprobabilidaddel sucesoexito(E)y, portanto, laprobabilidaddelsucesofracasoser a1 p,lafunci onmasadeprobabilidaddeestavariablealeatoriaser aP[X= 1] = pP[X= 0] = 1 pobien,PatriciaRom anRom an 4ESTADISTICADESCRIPTIVAEINTRODUCCIONALAPROBABILIDADDobleGradoenIngenieraInformaticayMatematicasP[X= x] = px(1 p)1x, x = 0, 1; 0 < p < 1ysenotar acomoX B(1, p).(Loscasosp = 0yp = 1danlugaravariablesdegeneradas)Ejemplos- La variable aleatoria asociada al experimento aleatorio de lanzar una moneda (si la monedaest abienconstruidap = 1/2)- Lavariablealeatoriaasociadaacontabilizarocurrencias, porejemplosi unapersonaesvotante de un partido o no, si una pieza manufacturada es defectuosa o no (variables indicado-ras).Algunasdesuscaractersticasson:FunciondedistribucionF(x) =___0 x < 01 p 0 x < 11 x 1Momentosnocentrados:mk= p, k = 1, 2, Y,enparticular,E[X] = p, E[X2] = pMomentoscentrados:k= (1 p)kp + (p)k(1 p), k = 1, 2, Y,enparticular,Var[X] = E[X2] (E[X])2= p p2= p(1 p)Funciongeneratrizdemomentos:M(t) = pet+ (1 p) t RPatriciaRom anRom an 5ESTADISTICADESCRIPTIVAEINTRODUCCIONALAPROBABILIDADDobleGradoenIngenieraInformaticayMatematicasNotaSiunavariablealeatoriatienefunci ongeneratrizdemomentosMX(t) = 0,8et+ 0,2 t Rentonces, dadoquelaf.g.m. determinadeforma unicaladistribuci ondelavariable, XtieneunadistribucionB(1, 0,8).Ejemplo.- Un agente de seguros dedicado a la venta de seguros de vida, realiza visitas a posiblesclientesconel ndecontratarunsegurodevida. Sesabedesutrayectoriacomoagentequeenel60 %delasvisitaslogracontratarunseguro.Denirlavariablealeatoriaasociadaaesteexperimentoaleatorioyobtenersumediayvarianza.TenemosunexperimentoaleatorioopruebadeBernoulliqueconsisteenrealizarunavisitaaunclienteeintentarcontratarleunseguro.Losdosposiblesresultadosser an:-Elclientecontrataelseguro,suceso exito.-Elclientenocontrataelseguro,sucesofracaso.LavariablealeatoriaasociadaalexperimentosedenecomoX=___1 sielclientecontrataelseguro(ocurreelsucesoE)0 sielclientenocontrataelseguro(noocurreelsucesoE)Enestecasola probabilidadde exito es p = 0,6 ydeaququela funci onmasade probabilidaddelavariablealeatoriaXesP[X= 1] = P(E) = 0,6 = pP[X= 0] = P(E) = 0,4 = 1 pLamediaylavarianzasonE[X] = p = 0,6Var[X] = p(1 p) = 0,6 0,4 = 0,244.Distribuci onbinomialUnageneralizaciondeladistribuciondeBernoulliseobtienecuando:-ElexperimentoopruebadeBernoulliserepitenvecesdeformaindependiente.-Laprobabilidadde exitoppermanececonstanteencadarepetici ondelexperimento.Se dene ahora una variable aleatoria Xcomo el n umero de exitos en las n repeticiones indepen-dientes del experimento que puede tomar los valores k = 0, 1, , n. Calculemos la probabilidaddequedichavariabletomecadaunodeesosvalores; estoes, P[X=k], k=0, 1, , n, oloqueeslomismo, laprobabilidaddeobtenerkexitos(orealizacionesdel sucesoE)enlasnpruebasdeBernoulli.UnadelasposiblesformasdeobtenerkexitosenlasnpruebasseraqueserealizaraEenlaskprimeraspruebasyEenlasn krestantesPatriciaRom anRom an 6ESTADISTICADESCRIPTIVAEINTRODUCCIONALAPROBABILIDADDobleGradoenIngenieraInformaticayMatematicasEE k)E E E nk) EAl ser las pruebas independientes, la probabilidad de la intersecci on de los n sucesos anterioresser aelproductodelasprobabilidadesdecadaunodelossucesos;estoespp k)p(1 p)(1 p) nk)(1 p) = pk(1 p)nkAhora habr a que multiplicar esta probabilidad por el n umero de posibles ordenaciones de loskexitos y los n kfracasos, que es el n umero de permutaciones de n elementos con repeticiondekelementosdeuntipoyn kdeotron!k!(n k)!=_nk_PortantoP[X= x] =_nx_px(1 p)nx, x = 0, 1, , nDenici on.- Se dice que una variable aleatoria Xsigue una distribucion binomial depar ametrosnyp,n N,p (0, 1)simodelizaeln umerode exitosennrepeticionesindepen-dientesdeunensayodeBernoulli conprobabilidadpdeexito, manteniendoseestaconstanteenlasnrepeticionesdelexperimento;obien,sisufuncionmasadeprobabilidadesP[X= x] =_nx_px(1 p)nx, x = 0, 1, , n.SenotaracomoX B(n, p).Nota.-Observemos queladistribuciondeBernoulli noes m as queuncasoparticular deladistribuci onbinomialconn = 1.Probemosque, enefecto, esunafuncionmasadeprobabilidad. Enprimerlugar, sonvaloresmayores o iguales que cero y, en segundo lugar, su suma vale uno. En efecto, teniendo en cuentaelbinomiodeNewtonn

x=0P[X= x] =n

x=0_nx_px(1 p)nx= [p + (1 p)]n= 1Ejemplo:N umerodecarasallanzarunamonedanvecesdeformaindependiente.AplicacionesSus principales areas de aplicacion incluyen control de calidad, ventas, mercadotecnia, medicina,investigaciondeopinionesyotras.PatriciaRom anRom an 7ESTADISTICADESCRIPTIVAEINTRODUCCIONALAPROBABILIDADDobleGradoenIngenieraInformaticayMatematicas-N umerodeunidadesdefectuosasenunprocesodefabricacion. Enunprocesodemanu-facturaseproduceundeterminadoproductoenelquealgunasunidadessondefectuosas.Silaproporci on de unidades defectuosas producidas por este proceso es constante durante un perio-do razonable y si, como procedimiento de rutina, se seleccionan aleatoriamente un determinadon umerodeunidades, entoncesel n umerodeartculosdefectuososendichamuestrasepuedemodelizarmedianteelempleodeladistribuci onbinomial.- Enaplicacionesdepublicidadparalaventadeunartculo, tambienpuedeconsiderarseladistribuci onbinomial,sisesuponequelaprobabilidaddeventaesconstanteparatodaslaspersonasconsideradas.- En Medicina, por ejemplo, para estudiar el n umero de individuos que contraen una enfer-medad, si para un grupo determinado de la poblacion la probabilidad de contraer tal enfermedadsemantieneconstante.Algunasdesuscaractersticasson:Funciondedistribuci on:F(x) = P[X x] =___0 x < 0P[X= 0] +. . . P[X= i] i x < i + 1; i = 1, 2, . . . , n 11 x nobien,F(x) =___0 x < 0[x]

k=0_nk_pk(1 p)nk0 x < n1 x ndonde [x] denotalaparte enterade x. Dichafunci onde distribuciones unafunci onescalonadaconn + 1saltosenlospuntos0, , ndelongitudesP[X= 0], . . . , P[X= n]FunciongeneratrizdemomentosM(t) = (pet+ (1 p))nt REnefectoPatriciaRom anRom an 8ESTADISTICADESCRIPTIVAEINTRODUCCIONALAPROBABILIDADDobleGradoenIngenieraInformaticayMatematicasM(t) = E_etX =n

x=0etx_nx_px(1 p)nx=n

x=0_nx_(pet)x(1 p)nx= [pet+ (1 p)]nMomentos: Dado que la variable esta acotada, existen los momentos de todos los ordenes,peronoslimitaremosacalcularhastalosdeordendos.MediaE[X] = nplocual sepuedeprobar, obienapartirdelafunci ongeneratrizdemomentosobien,directamente.Veamoslaobtenci ondirectaE[X] =n

x=0x_nx_px(1 p)nx=n

x=0xn!x!(n x)!px(1 p)nx=n

x=1n!(x 1)!(n x)!px(1 p)nx= npn

x=1(n 1)!(x 1)!(n x)!px1(1 p)nxTomandoy= x 1ym = n 1,entoncesE[X] = npm

y=0m!y!(my)!py(1 p)my= npdado que los terminos de la ultima suma corresponden a la funci on masa de probabilidaddeunaB(m, p)y,portanto,sumanuno.VarianzaVar[X] = np(1 p)dado que el momento no centrado de orden dos es m2= E[X2] = n(n1)p2+np. Este sepuede obtener a partir de la funcion generatriz de momentos o bien directamente. Veamosesta ultimaformaE[X2] = E[X(X 1)] + E[X]DadoqueE[X]yaesconocida,obtengamoslaotraPatriciaRom anRom an 9ESTADISTICADESCRIPTIVAEINTRODUCCIONALAPROBABILIDADDobleGradoenIngenieraInformaticayMatematicasE[X(X 1)] =n

x=0x(x 1)_nx_px(1 p)nx=n

x=0x(x 1)n!x!(n x)!px(1 p)nxn

x=2n!(x 2)!(n x)!px(1 p)nx= n(n 1)p2n

x=2(n 2)!(x 2)!(n x)!px2(1 p)nxTomandoahoray= x 2ym = n 2,deformaan alogaalamedia,seobtieneE[X(X 1)] = n(n 1)p2m

y=0m!y!(my)!py(1 p)my= n(n 1)p2dado que los terminos de la ultima suma corresponden a la funci on masa de probabilidaddeunaB(m, p)y,portantosumanuno.Propiedaddesimetra.- SiX B(n, p),entoncesla variablealeatoria que contabilizaeln umerodefracasos,Y= n X B(n, 1 p)y,adem asP[X= x] = P[Y= n x]Sepuedeprobarcalculandolafunciongeneratrizdemomentos.MY (t) = E[et(nX)] = etnMX(t) = etn_pet+ (1 p)_n=_(1 p)et+p_n.Calculodeprobabilidadesyrepresentacionesgracas(VerapuntesyscriptsdeR,yappletsdeJavaconGeogebra)EJERCICIOS1.- Unclubnacional deautomovilistascomienzaunacampa natelefonicaconel propositodeaumentarel n umerodemiembros. Enbaseaexperienciaprevia, sesabequeunadecada20personasquerecibenlallamadaseuneal club. Si enunda, 25personasrecibenlallamadatelefonica,cualeslaprobabilidaddequeporlomenosdosdeellasseinscribanalclub?Cualesel n umeroesperado?Soluci on: Si cadapersonaquerecibelallamadaseuneonoal club, independientementedelresto,entonces,X: N umerodepersonasqueseunenalclubdelas25llamadasPatriciaRom anRom an 10ESTADISTICADESCRIPTIVAEINTRODUCCIONALAPROBABILIDADDobleGradoenIngenieraInformaticayMatematicasX B(25, 1/20)P[X 2] = 1 P[X< 2] = 1 [P[X= 0] + P[X= 1]] == 1 __250__120_0_1920_25+_251__120_1_1920_24_ = 0.3576E[X] = np = 25120= 1.252.- Un representante realiza cinco visitas cada da a los comercios de su ramo y, por experienciaanterior,sabequelaprobabilidaddequelehaganunpedidoencadavisitaes0.4.Calculara)Ladistribuciondel n umerodepedidosporda.b)Mediayvarianzadel n umerodepedidosporda.c)Probabilidaddequeel n umerodepedidosquerealizaduranteundasea4.d)Laprobabilidaddequerealiceporlomenosdospedidos.e)Laprobabilidaddequeel n umerodepedidosquerealizaduranteundaestecomprendidoentre1y3.Soluci on:Supuestoqueencadavisitasehaceunpedidoonoindependientementedeloquesehagaenotravisita:a)X: N umerodepedidosdiarios B(5, 0.4)b)E[X] = 5 0.4 = 2,V ar[X] = 5 0.4 0.6 = 1.2c)P(X= 4) =_54_0.440.61= 0.0768.ConR,dbinom(4,5,0.4)=0.0768.d)P(X 2) = 1 P(X< 2) = 1 P(X 1) = 1 (P(X= 0) +P(X= 1)) = 0.66304.ConR,1-pbinom(1,5,0.4)=0.66304,obien,dadoqueP(X 2) = P(X> 1),pbinom(1,5,0.4,lower.tail=FALSE)=0.66304.e) P(1 X 3) = P(X= 1)+P(X= 2)+P(X= 3) =_51_0.410.64+_52_0.420.63+_53_0.430.62=0.2592 + 0.3456 + 0.2304 = 0.8352.ConR,sum(dbinom(1:3,5,0.4))=0.8352,obien,pbinom(3,5,0.4)-pbinom(0,5,0.4)=0.8352.3.-Seenvan20invitacionesalosrepresentantesestudiantilesparaasistiraunaconferencia.Deexperienciasanterioressesabequelaprobabilidaddeaceptarlainvitaciones0.8. Si lasdecisionesdeaceptarestasinvitacionessonindependientes,determinarlaprobabilidaddequecomomnimo17estudiantesaceptenlainvitacion.Soluci on:X: N umeroderepresentantesqueaceptanlainvitaci on B(20, 0.8)PatriciaRom anRom an 11ESTADISTICADESCRIPTIVAEINTRODUCCIONALAPROBABILIDADDobleGradoenIngenieraInformaticayMatematicasP(X 17) = P(X= 17) +P(X= 18) +P(X= 19) +P(X= 20)ConR,pbinom(16,20,0.8,lower.tail=FALSE)=0.4114489.5.Distribuci ondePoissonEstadistribuci onsirvepararepresentarel n umerodeocurrenciasdeundeterminadosu-cesoduranteunperiododetiempojooenunaregi onjadel espacio, cuandoel n umerodeocurrenciassigueunasdeterminadaspautas:El n umero de ocurrencias en un intervalo o region especicada debe ser independiente deln umerodeocurrenciasencualquierotrointervalooregion.Si seconsideraunintervalodetiempomuypeque no(ounaregionmuypeque na), laprobabilidad de una ocurrencia es proporcional a la longitud del intervalo (al volumen dela regi on) y la probabilidad de dos o m as ocurrencias es practicamente nula (despreciable).Denici on:UnavariablealeatoriaXtienedistribuci ondePoissondepar ametro( > 0)sisufuncionmasadeprobabilidadesP[X= x] = exx!, x = 0, 1, . . .SenotaX P().Probemosqueenefectoesunafunci onmasadeprobabilidad. Enprimer lugar, sonvaloresmayores oiguales que ceroy, ensegundolugar, susumavale uno. Enefecto, teniendoencuentaeldesarrollodelaexponencial

x=0P[X= x] =

x=0exx!= e

x=0xx!= ee= 1AplicacionesEstadistribucionsirvepararepresentar,porejemplo:- N umerodeaccidentes queocurrenduranteundeterminadoespaciodetiempoenunadeterminadacarretera.- N umerodellamadastelef onicasaunaocina(enundeterminadointervalodetiempo).- N umerodebacteriasenuncultivo.Engeneral, lassituacionesrealesenlasqueseusaladistribuci ondePoissonsecaracterizanporquelaprobabilidaddelsucesocuyon umerodeocurrenciassecontabilizaespeque nayporellosueledenominarselaLEYDELOSSUCESOSRAROS.Algunasdesuscaractersticasson:PatriciaRom anRom an 12ESTADISTICADESCRIPTIVAEINTRODUCCIONALAPROBABILIDADDobleGradoenIngenieraInformaticayMatematicasFunciondedistribuci onF(x) =___0 x < 0[x]

k=0ekk!x 0donde[x]denotalaparteenteradex.FunciongeneratrizdemomentosM(t) = e(et1)t REnefectoM(t) =

x=0etxexx!= e

x=0(et)xx!= eeet= e(et1)MediaE[X] = locual sepuedeprobarobiendirectamente, oapartirdelafunci ongeneratrizdemo-mentos.Veamoslaobtenci ondirectaE[X] =

x=0xexx!= e

x=1x1(x 1)!= ee= Por tanto, el par ametrodeladistribuciones el n umeromediodeocurrencias enelintervalodetiempooregi ondelespacioconsiderada.VarianzaVar[X] = Razonandodeformaan alogaalabinomialycalculandoE[X(X 1)]E[X(X 1)] =

x=0x(x 1)exx!= 2e

x=2x2(x 2)!= 2ee= 2seobtieneE[X2] = 2+,dedondesededuceelvalordelavarianza.PatriciaRom anRom an 13ESTADISTICADESCRIPTIVAEINTRODUCCIONALAPROBABILIDADDobleGradoenIngenieraInformaticayMatematicasRelaci onentrelasdistribucionesbinomialydePoissonLadistribuciondePoissonsepuedeobtenercomolmitedeunadistribuci onbinomial:Consi-deramosunavariablequemodelizaeln umerodesucesosocurridosenunintervalodetiempo,y dividimos dicho intervalo en n subintervalos tan peque nos de forma que en cada uno de ellospuedaocurriralosumounsucesoconprobabilidadnonula, alaquellamaremosp. Deestaformaeln umerodesucesosqueocurrenencadasubintervalotieneunadistribuci onB(1, p)y,al ocurrirlossucesosdeformaindependienteenlossubintervalos, el n umerodesucesosenelintervaloesunaB(n, p).Claramente,cuandonaumenta,pdisminuyeyaquealaumentarndisminuyelaamplituddelosintervalosy,portanto,laprobabilidaddequeocurraunsucesoen el.En consecuencia, considerando un n umero n grande de pruebas de Bernoulli independientes,conprobabilidaddeocurrenciappeque na, ytomando=np, seobtieneladistribuci ondePoissoncomolmitedelabinomial cuandon . Esdecir, si n , p 0ynp ladistribuci onbinomialtiendeaunaPoisson,esdecirlmnp0np__nx_px(1 p)nx_ = exx!x = 0, 1, Enefecto,P[X= x] =_nx_px(1 p)nx=n!x!(n x)!(np)xnx(1 p)nx==(np)xx!n(n 1) (n x + 1)nx(1 p)nxAhoratomandolmitescuandon ,p 0deformaquenp ,setienelmnp0np__nx_px(1 p)nx_ =exx!dadoquelmnp(np)xx!=xx!lmnn(n 1) [n (x 1)]nx= 1lmnp0(1 p)nx= elm(nx)(p)= eCalculodeprobabilidadesyrepresentacionesgracas(VerapuntesyscriptsdeR,yappletsdeJavaconGeogebra)PatriciaRom anRom an 14ESTADISTICADESCRIPTIVAEINTRODUCCIONALAPROBABILIDADDobleGradoenIngenieraInformaticayMatematicasEJERCICIOS1.- Enunaciertaempresaconstructoraeln umerodeaccidentesesporterminomediode3pormes.Calcular:a)Laprobabilidaddequenoocurraning unaccidenteenunmesdado.b)Laprobabilidaddequeocurranmenosde5accidentesenunmesdado.c)Laprobabilidaddequeocurranmasde3accidentesenunmesdado.d)Laprobabilidaddequeocurranexactamente3accidentesenunmesdado.Si suponemos que los accidentes cuando ocurren son independientes unos de otros y ademas,queocurrenconunatasadeocurrenciaconstante, lavariablealeatorian umerodeaccidentesenunmesdadotieneunadistribuciondePoisson.Dadoqueeln umeromediodeaccidentesalmes es 3 y el par ametro de una Poisson es el valor medio ( = 3), la distribuci on consideradaesuna P(3).Lasprobabilidadessolicitadassona)P[X= 0] =300!e3= 0.0498ConR,dpois(0,3)=0.04978707.b)P[X< 5] = P[X 4] = P[X= 0] + P[X= 1] + P[X= 2] + P[X= 3] + P[X= 4] == e00!+e11!+e22!+e33!+e44!== 0.0498 + 0.1494 + 0.2240 + 0.2240 + 0.1680 = 0.8152.ConR,ppois(4,3)=0.8152632.c)P[X> 3] = 1 P[X 3]ConR,1-ppois(3,3)oppois(3,3,lower.tail=FALSE)=0.3527681.d)P[X= 3] = 0.2240.ConR,dpois(3,3)=0.2240418.2.- Desdeel a no1980el n umeromediodeempresas, conmasde100trabajadores, quehanpresentado suspension de pagos ha sido de 6.8 por a no, y admitimos que el n umero de empresasconmasde100trabajadores, X, quehanpresentadosuspensiondepagosduranteunperiododeterminadodetiemposigueunadistribuciondePoisson.Obtenera)Laprobabilidaddequeningunaempresademasde100trabajadorespresentesuspensiondepagosduranteuntrimestre.b) Laprobabilidaddequepor lomenos dos empresas demas de100trabajadores presentensuspensiondepagosduranteundeterminadoa no.Ladistribuci onquesigueX, el n umerodeempresas conm as de100trabajadores quehanpresentadosuspensiondepagosduranteunperiododetiempoesunaPoissondepar ametro.a)Comolasempresasdemasde100trabajadorespresentansuspensiondepagosarazonde6.8pora no,enuntrimestreseraPatriciaRom anRom an 15ESTADISTICADESCRIPTIVAEINTRODUCCIONALAPROBABILIDADDobleGradoenIngenieraInformaticayMatematicas6.84= 1.7LuegolavariableY , n umerodeempresasconmasde100trabajadoresquehanpresentadosuspension de pagos durante un trimestre es una Poisson de par ametro = 1.7 y la probabilidadpedidaP[Y= 0] = e1.71.700!= 0.1827ConR,dpois(0,1.7)=0.1826835.b) Para obtener ahora la probabilidad de que por lo menos dos empresas de m as de 100 traba-jadorespresentensuspensi ondepagosduranteundeterminadoa noconsideraremoslavariablealeatoriaX P(6.8).LuegoP[X 2] = 1 P[X= 0] P[X= 1] = 1 0.0011 0.0076 = 0.9913ConR,ppois(1,6.8,lower.tail=FALSE)=0.9913126,obien1-ppois(1,6.8).3.- Aunacalculadoralefallan,porterminomedioencadahoradetrabajo,dostransistores.Sesabe que el n umero de fallos de los transistores sigue una distribucion de Poisson. La calculadoradejadefuncionarcuandoseleaveranseisomastransistores.Calcularlaprobabilidaddequeunaoperaciondetreshorassepuedarealizarsinavera.X:N umerodefallosentreshoras P(6)SepideP(X< 6) = P(X 5) =5

x=0P(X= x) =5

x=0e66xx= 0.0025 +0.0149 +0.0446 +0.0892 +0.1339 + 0.1606 = 0.4457ConR,ppois(5,6)=0.4456796.6.Distribuci onbinomialnegativaConsideremos ahora un experimento aleatorio consistente en repeticiones independientes deensayosdeBernoulli conprobabilidaddeexitoconstante, hastaqueaparezcael exitok-esi-mo.Esdecir,enlugardejareln umerodeensayosyobservareln umerodeexitosenesasnrealizaciones, se repiten las realizaciones hasta obtener un n umero determinado de exitos y con-tabilizamos los fracasos. Denimos la variable aleatoria con distribucionbinomialnegativacomoaquellaquemodelizaeln umerodefracasosantesdequeaparezcael exitok-esimo.Nota.- Si envezdecontabilizarel n umerodefracasosantesdel k-esimoexitosecontabilizaeln umerodepruebasnecesarias(variablealeatoriaY=X+ k),seobtieneladistribuciondePascalquevericaPatriciaRom anRom an 16ESTADISTICADESCRIPTIVAEINTRODUCCIONALAPROBABILIDADDobleGradoenIngenieraInformaticayMatematicasP[Y= n] = P[X= n k].Lavariable aleatoriaXpuede tomar los valores x=0, 1, 2, . . . ykdebe ser unenteropositivo,esdecir,k = 1, 2, . . . .Calculemos la funci on masa de probabilidad de la variable aleatoria binomial negativa; estoes,P[X= x], x = 0, 1, 2, . . .Unode los posibles sucesos parael cual ocurre {X=x}seraque enlas xprimerasrepeticionesaparecierafracaso,enlask 1siguientesexitoyenlaultimaexitoEx). . . E|Ek1). . . E|Eycomolas repeticiones delas pruebas deBernoulli sonindependientes, laprobabilidaddelsucesoanteriorseraP_Ex). . . EEk). . . E_ = P(E)x) P(E) P(E)k) P(E) = (1 p)xpkPero la obtencion de los x fracasos y los k 1 exitos se pueden obtener de tantas maneras comolaspermutacionesconrepetici ondex + k 1elementosenlosquehayigualesxyk 1, esdecir_x +k 1x_ =(x +k 1)!x!(k 1)!Portanto,lafuncionmasadeprobabilidaddeestavariablealeatoriaesP[X= x] =_x +k 1x_(1 p)xpk, x = 0, 1, 2, (k = 1, 2, ; 0 p < 1)ysenotar acomoX BN(k, p).Comprobemosquees,enefecto,unafuncionmasadeprobabilidad.Paraellotengamosencuentalosiguiente R,_0_ = 1 R, x N,_x_ =(1)(x+1)x!(1 +t)=

x=0_x_tx, |t| < 1, RPropiedad:Paracualquiern umeroreal > 0_r_ = (1)r_ +r 1r_PatriciaRom anRom an 17ESTADISTICADESCRIPTIVAEINTRODUCCIONALAPROBABILIDADDobleGradoenIngenieraInformaticayMatematicasEnprimerlugar,esevidentequeP[X= x] 0, x = 0, 1, 2, . . .y

x=0P[X= x] =

x=0_k +x 1x_(1 p)xpr=

x=0_kx_[(1 p)]xpk= pk[1 (1 p)]k= pkpk= 1Observemosque, dehecho, otraexpresi ondelafuncionmasadeprobabilidaddelabinomialnegativaesP[X= x] =_kx_[(1 p)]xpkEjemplos-N umerodepreguntasfalladasenunexamentipotestantesdetenereldecimoacierto.-N umerodeunidadesdefectuosasantesdeobtenerunn umeroconcretodecorrectas.Algunasdelascaractersticasdeladistribucionbinomialnegativason:Funciondedistribuci on:F(x) = P[X x] =___0 x < 0[x]

i=0_i +k 1i_(1 p)ipkx 0Funciongeneratrizdemomentos:M(t) =_p1 (1 p)et_kt < ln(1 p)Enefecto,E_etX =

x=0etxP[X= x] =

x=0etx_kx_((1 p))xpkqueconvergesi |et((1 p))| < 1et(1 p) < 1t < ln(1 p)=

x=0_kx_((1 p)et)xpk= pk

x=0_kx_((1 p)et)x= pk(1 (1 p)et)kPatriciaRom anRom an 18ESTADISTICADESCRIPTIVAEINTRODUCCIONALAPROBABILIDADDobleGradoenIngenieraInformaticayMatematicasMomentos: Existen todos dado que existe la funcion generatriz de momentos. Nos limitaremosaobtenerlosmomentosdeprimerysegundoorden.MediaE[X] =k(1 p)pVeamoslaobtenci ondeformadirecta:E[X] =

x=0x_kx_((1 p))xpk= pk

x=1x(k)(k 1) (k x + 1)x(x 1)!((1 p))x=pk((1 p))

x=1(k)_k 1x 1_((1 p))x1= k(1 p)pk(1 (1 p))k1=k(1 p)pVarianzaVar[X] =k(1 p)p2Razonandodeformaan alogaalcasobinomial,seobtieneE[X2] =k(k + 1)(1 p)2p2+k(1 p)p,dedondesededucelaexpresiondelavarianza.RelacionentrelasdistribucionesbinomialybinomialnegativaSiXesunavariablealeatoriacondistribuci onBN(k, p),elsuceso {X= x}signicalainter-secci ondelossucesosA = {sehanobtenidok 1 exitosenlosprimerosk +x 1ensayosdeunaseriedepruebasindependientesdeBernoulli}B= {sehaobtenidoun exitoenelsiguienteensayodelaserie}El sucesoAequivalea {Y =k 1}, conYB(k + x 1, p), yel segundoesindependientedelprimeroyocurreconprobabilidadp.EntoncesP[X= x] = P[Y= k 1] pCasoparticular:Distribuci onGeometricaLadistribuciongeometricaesuncasoparticulardeladistribuci onbinomialnegativaparaelcasodek= 1.Esdecir,modelizaeln umerodefracasosantesdelprimer exitoenrepeticio-nesindependientesdeensayosdeBernoulli conprobabilidaddeexitop. Sufunci onmasadeprobabilidadesPatriciaRom anRom an 19ESTADISTICADESCRIPTIVAEINTRODUCCIONALAPROBABILIDADDobleGradoenIngenieraInformaticayMatematicasP[X= x] = (1 p)xp, x = 0, 1, 2, (0 < p < 1)ysenotar acomoX G(p).Suscaractersticasm asrelevantessonFunciondedistribuci on:F(x) = P[X x] =___0 x < 0[x]

i=0(1 p)ip x 0Perocomo1[x]

i=0(1 p)ip = p[x]

i=0(1 p)i= p1 (1 p)[x]+11 (1 p)= 1 (1 p)[x]+1sepuedereescribirlafunciondedistribuci oncomoF(x) = P[X x] =___0 x < 01 (1 p)[x]+1x 0Funciongeneratrizdemomentos:M(t) =_p1 (1 p)et_t < ln(1 p)Media:E[X] =1 ppVarianza:Var[X] =1 pp21RecordemosquelasumadelosnterminosdeunaprogresiongeometricaanderazonresSn=a1an r1 rPatriciaRom anRom an 20ESTADISTICADESCRIPTIVAEINTRODUCCIONALAPROBABILIDADDobleGradoenIngenieraInformaticayMatematicasPropiedaddeolvidoofaltadememoria:Estapropiedadse formulade lasiguiente forma: Si Xes unavariable aleatoriacondistribuci ongeometricadeparametrop,G(p),entoncessevericaqueP[X h +k|X h] = P[X k], h, k = 0, 1, 2, . . .Si seharealizadolah-esimarepeticiondel experimentoopruebadeBernoulli ynosehaobtenidoning un exito,entonceslaprobabilidaddequeserealicenporlomenosotraskrepeticiones sin que se presente ning un exito, es decir que se realicen por lo menos h+krepeticiones, es la misma que si consideramos que la primera repetici on es la h+1-esima;esdecir,esaprobabilidadeslamismaquelaprobabilidaddequerealicemosalmenoskrepeticionessinobtenerel primerexito, yporconsiguienteseolvidanlashrepeticionesrealizadasinicialmente.Vamosademostrarla,siX G(p)P[X x] = 1 P[X< x] = 1 F(x 1) = 1 (1 (1 p)x) = (1 p)x.Portanto,sik, h, NP[X h +k|X h] =P[X h +k, X h]P[X h]=P[X h +k]P[X h]=(1 p)h+k(1 p)h= (1 p)k= P[X k]Estapropiedad, adem as, caracterizaaladistribuci ongeometricacomola unicaenterovaluada(positiva)quelacumple.La distribucion de probabilidad geometrica se aplica frecuentemente en el estudio de la distribu-ci on de la duraci on de tiempos de espera. As pues, si las repeticiones del experimento se realizana intervalos regulares de tiempo, entonces la variable aleatoria con distribuci on geometrica nosdar aeln umerodeintervalosdetiempotranscurridoshastaqueaparezcaelprimer exito.EJERCICIOS1.- Unexamende Estadsticaconstade 20preguntas tipotest y se conoce de experienciasanterioresqueunalumnotieneprobabilidad0.7decontestarbiencadapregunta.Obtener:a)Laprobabilidaddequelaprimerapreguntaquecontestabiensealacuarta.b)Sabiendoqueparaaprobarelexamenesnecesariocontestarbiena10preguntas,cualeslaprobabilidaddequeapruebeal contestarlapreguntaduodecima?a)X=N umerodefallosantesdelprimer exito, X G(0.7)PatriciaRom anRom an 21ESTADISTICADESCRIPTIVAEINTRODUCCIONALAPROBABILIDADDobleGradoenIngenieraInformaticayMatematicasP[X= 3] = (0.3)30.7 = 0.0189ConR,dgeom(3,0.7)=0.0189.b)X=N umerodefallosantesdeldecimo exito, X BN(10, 0.7)P[X= 2] =_2 + 10 12_(0.3)2(0.7)10=_112_(0.3)2(0.7)10.ConR,dnbinom(2,10,0.7)=0.1398252.Esta probabilidad se puede obtener mediante la relaci on con la binomial Y = N umero de exitosenlas11primeraspruebas, Y B(11, 0.7)P[X= 2] = P[Y= 9] 0.72.- Unamaquinadedicadaalafabricaciondepiezasdealtaprecisionproducelaspiezasdeunaen una, siendo independiente la fabricacion de cada pieza. La probabilidad de fabricar una piezadefectuosaes0.15.Obtenera)Laprobabilidaddequelaprimerapiezadefectuosaduranteesedasealan umero40.b) Sabiendoqueenlafabricaciondecadapiezasetardan20segundos cual serael tiempomedioquehayqueesperarhastaqueseaproducidalaprimerapiezadefectuosa?c)Probabilidaddequelasochoprimeraspiezasfabricadasseantodasbuenas.a)X=N umerodepiezasbuenasantesdelaprimeradefectuosa, X G(0.15)P[X= 39] = (0.85)39 0.15ConR,dgeom(39,0.15)=0.000265112.b)EX=1pp=0.850.15=5.666. queesel n umeromediodepiezasbuenasantesdelaprimeradefectuosa.Portanto,eltiempopedidoes20 (5.666 + 1) = 133.33segundos.c)P[X 8] = 1 F(7) = 1 P[X 7]ConR,1-pgeom(7,0.15)opgeom(7,0.15,lower.tail=FALSE)=0.2724905.SiconsideramosY=N umerodepiezasbuenasenlas8primeras, Y B(8, 0.85)P[Y= 8]ConR,dbinom(8,8,0.85)=0.2724905.7.Distribuci onhipergeometricaSe denomina poblacion a cualquier colecci on de individuos, objetos o elementos arbitrariosyunamuestradetama nondeesapoblaci onescualquiersubconjuntoconnelementos.Elprocedimientodeselecci ondemuestrasdeunapoblacionsedenominamuestreoy estepuede realizarse de distintas formas, dandolugar adistintos tipos de muestras de las queaquvamosadistinguirlasdossiguientes(suponiendounapoblaci onnita):PatriciaRom anRom an 22ESTADISTICADESCRIPTIVAEINTRODUCCIONALAPROBABILIDADDobleGradoenIngenieraInformaticayMatematicasMUESTRAALEATORIACONREEMPLAZAMIENTO(CONDEVOLUCIONOSIMPLE).Seseleccionaal azarunelementodelapoblacion(suponiendoquetodostienenlamismaprobabilidad de ser seleccionado), se devuelve a la poblacion (despues de anotar las caractersti-casdeinteres)yseseleccionaotrotambiendeformaaleatoria; secontinuael procesohastacompletareltama nomuestraldeseado.Notemosqueunamuestraaleatoriaconreemplazamientopuedecontenerelementosrepeti-dosy, enciertasocasiones, estonoesconveniente(inclusopuedenoserposible, porejemplo,alestudiarladuraci ondevidadeciertotipodebombillas).MUESTRAALEATORIASINREEMPLAZAMIENTO(SINDEVOLUCION).Seseleccionaal azarunelementodelapoblacion(suponiendoquetodostienenlamismaprobabilidaddeserseleccionado); acontinuaci on, sindevolverloalapoblaci on, seseleccionaotrosuponiendoquelosrestantestienenlamismaprobabilidaddeserelegidosyassucesiva-mente.Notemosqueahoratodosloselementosdelamuestraser andistintos.El muestreo sin reemplazamiento es util en muchas situaciones pr acticas. Por ejemplo, con-sideremos una poblacion con N individuos que deben elegir entre dos candidatos A y B a ciertopuesto. Con objeto de realizar un sondeo de opini on antes de la elecci on se efect ua un muestreodenindividuosparaversupreferencia. Enunasituaci ondeestetipoparecelogicohacerunmuestreosinreemplazamiento,queproporcionaramasinformaci onsobrelaintenci ondevotoaltenertodoslosindividuosdiferentes.Observemos que si en la poblaci on hay N1votantes de A y la muestra se elige con reempla-zamiento, cada elemento de la muestra tiene probabilidad N1/Nde ser votante de A. Por tanto,la selecci on de la muestra equivale a la repetici on de n pruebas de Bernoulli independientes conprobabilidadconstantedeexito(servotantedeA)ylavariableX:N umerodevotantesdeAenlamuestra B(n,N1N )Por el contrario, si el muestreo se realiza sin reemplazamiento, la probabilidad de exito varadespuesdecadaseleccionylaspruebasdeBernoullinosonindependientes:LaprobabilidaddequeelprimerindividuoseleccionadovotealcandidatoAesN1NLaprobabilidaddequeel segundoindividuoseleccionadovoteal candidatoAdependedeloquehayaocurridoenlaprimerapruebaP(2A/1A) =N11N 1 , P(2A/1B) =N1N 1.Por tanto, lavariable X: N umerode votantes de Aenlamuestra, notiene ahoraunadistribuci onbinomial,sinoquesudistribuci onesladenominadaHIPERGEOMETRICA.Antesdeintroducirformalmenteestadistribucionnotemosque, aefectosdecalcularpro-babilidades, el muestreo sin reemplazamiento equivale a la selecci on simultanea de n elementosPatriciaRom anRom an 23ESTADISTICADESCRIPTIVAEINTRODUCCIONALAPROBABILIDADDobleGradoenIngenieraInformaticayMatematicasde la poblaci on, suponiendo que todos los subconjuntos de n elementos tienen la misma proba-bilidaddeserelegidos.Enefecto,silaselecci onserealizasimultaneamentenocabedistinguirentredosmuestrasquetenganlosmismoselementos(nosetieneencuentael orden)yhayentotal_Nn_mues-tras distintas ylaprobabilidaddeelegir unacualquieradeellas (estoes, quenindividuosdeterminadosformenpartedelamuestra)es1(Nn).Porotraparte,silaselecci onserealizaelementoaelemento,dosmuestrasconlosmismoselementosendistintoordenser andistintasy,entotal,hayN(N 1) (N n + 1)muestrasdistintas;laprobabilidaddequeunamuestraesteformadapornindividuosconcretosesn!N(N 1) (N n + 1)=1_Nn_queesigualalaanterior.Denici onSupongamos unapoblacionde Nindividuos divididos endos categoras de N1yN2(=N N1)individuoscadauno.Seeligeunamuestradenindividuosdelapoblaci on(sinreem-plazamientoosimult aneamente).LavariablealeatoriaXquecontabilizaeln umerodeindivi-duos de la primera categora en la muestra se dice que tiene distribuci on hipergeometrica depar ametrosN,N1ynysenotaX H(N, N1, n), n, N1, N N {0}, n, N1 NFuncionmasadeprobabilidadEvidentemente, unvalordelavariableXdebeserunn umeronatural (debeincluirseelcero)vericandom ax(0, n (N N1)) x mn(n, N1)puescomohayN1elementosenlaprimerasubpoblaci onyN2enlasegundasubpoblaci onsetienequecumplirx n, x N1 x mn(n, N1)x 0, n x N2 x m ax(0, n N2)Obtengamoslafunci onmasaprobabilidaddedichavariablealeatoria,estoeslaP[X= x],paralosdiferentesvaloresposiblesdex.P{X= x} =___(N1x )(NN1nx)(Nn)Muestrasimult anea(RegladeLaplace)N1NN11N1 N1(x1)N(x1)NN1NxNN11Nx1 NN1(nx1)Nn+1_nx_Muestraconreemp.=(N1x )(NN1nx)(Nn)PatriciaRom anRom an 24ESTADISTICADESCRIPTIVAEINTRODUCCIONALAPROBABILIDADDobleGradoenIngenieraInformaticayMatematicasLuegolafunci onmasadeprobabilidaddeestavariablealeatoriaser aP[X= x] =_N1x__NN1nx__Nn_ m ax(0, n (N N1)) x mn(n, N1)Probemos que es una funci on masa de probabilidad. En efecto, las probabilidades son no nega-tivasyademas2mn(n,N1)

x=m ax(0,n(NN1))P[X= x] =mn(n,N1)

x=m ax(0,n(NN1))_N1x__NN1nx__Nn_ =_N1+NN1n__Nn_ =_Nn__Nn_= 1Ejemplosy/oaplicacionesLadistribucionhipergeometricaseaplicaenelcontrolestadsticodecalidaddeunafabri-caci onenserie.Aspues,siellotebajocontrolcontieneN1elementosbuenosyN2= N N1elementosdefectuosos, cuandotomamosunamuestradetama nonsinreemplazamientoesta-remos interesados en saber el n umero de elementos buenos que han aparecido en la muestra detama nonparaasdeterminarlacalidaddelprocesodefabricaci on.Ensondeosdeopini ontambientieneaplicacionladistribucionhipergeometrica. Podemosrealizar unaencuestaparaintentar conocer si los individuos de unapoblaci ontienenonointenci onde votar enlas pr oximas elecciones de tal maneraque el n umerode individuos,de unamuestrasinreemplazamiento, que tienenintencionde votar sigue unadistribuci onhipergeometrica.Algunasdesuscaractersticasson:2Usandoquedadosdosn umeroscualesquieraaybyunenteropositivon,severican

x=0_ax__bn x_ =_a + bn_aunquerealmente,dadoque_ax_ = 0six > aalhaberunterminonuloena(a 1) (a x +1)sedebetomarx a,ydadoque_bnx_ = 0sin x > bsedebetomarx n b.Portantolasumapartedemax(0, n b)yllegaamn(n, a)yrealmentesetienemn(n,a)

x=max(0,nb)_ax__bn x_ =_a + bn_PatriciaRom anRom an 25ESTADISTICADESCRIPTIVAEINTRODUCCIONALAPROBABILIDADDobleGradoenIngenieraInformaticayMatematicasFunciondedistribuci on:F(x) =___0 x < m ax(0, n (N N1))

[x]i=0(Npi)(N(1p)ni)(Nn)m ax(0, n (N N1)) x mn(n, N1)1 x > mn(n, N1)Funciongeneratrizdemomentos:Existe t Rporquelavariabletomaunn umeronitodevalores.MX(t) =mn(n,N1)

x=m ax(0,n(NN1))etx_N1x__NN1nx__Nn_Noseconoceunaformafuncionalespecca.Media:E[X] = nN1NEnefecto,EX=mn(n,N1)

x=m ax(0,n(NN1)x_N1x__NN1nx__Nn_ =1_Nn_mn(n,N1)

x=m ax(1,n(NN1)N1_N11x 1__N N1n x_ =haciendox 1 = k=N1_Nn_mn(n1,N11)

k=m ax(0,(n1)(NN1)_N11k__N N1(n 1) k_ =N1_Nn__N 1n 1_ =nN1NVarianza:Var[X] =n(N n)N1(N N1)N2(N 1)Paraello,calculemosenprimerlugarelmomentonocentradodeordendos;esdecirE[X2] = E[X(X 1)] +E[X]PatriciaRom anRom an 26ESTADISTICADESCRIPTIVAEINTRODUCCIONALAPROBABILIDADDobleGradoenIngenieraInformaticayMatematicasE[X(X 1)] =mn(n,N1)

x=m ax(2,n(NN1)x(x 1)_N1x__NN1nx__Nn_ ==N1(N11)_Nn_mn(n,N1)

x=m ax(2,n(NN1)_N12x 2__N N1n x_ =haciendox 2 = k=N1(N11)_Nn_mn(n2,N12)

k=m ax(0,(n2)(NN1)_N12k__N N1(n 2) k_ ==N1(N11)_Nn__N 2n 2_ =n(n 1)N1(N11)N(N 1)E[X2] =n(n 1)N1(N11)N(N 1)+nN1Ndedondesededucelaexpresiondelavarianza.V ar[X] =n(n 1)N1(N11)N(N 1)+nN1Nn2N21N2=n(N n)N1(N N1)N2(N 1)EJERCICIOS1.- Sea una baraja de 40 cartas. De ella se toma una muestra de 5 cartas sin reemplazamiento.Obtenerlaprobabilidaddeobteneralmenosdosases.Tenemos 40cartas, de las cuales 4sonases yse realizaunmuestreode tama no5sinreemplazamiento.X:N umerodeasesenlamuestra H(40, 4, 5)ysepideP[X 2] = 1 P[X= 0] P[X= 1] = 1 _40__365__405_ _41__364__405_ = 0,06899ConRlospar ametrosdeladistribucionhipergeometricason: tama nodelaprimerasub-poblaci on(N1), tama node lasegundasubpoblaci on(N2) ytama node lamuestra. As, laprobabilidadpedidasecalculamediantephyper(1,4,36,5,lower.tail=FALSE)=0.06899004.2.-Unadeterminadaempresaquiereaumentarsuplantilladevendedoresen20personasysepresentan40personasalprocesodeseleccion.Determinarlaprobabilidaddeque,despuesdePatriciaRom anRom an 27ESTADISTICADESCRIPTIVAEINTRODUCCIONALAPROBABILIDADDobleGradoenIngenieraInformaticayMatematicasrealizar todas las pruebas de seleccion, entre las 20 personas seleccionadas esten los 10 mejoresdelas40personasquesepresentaron.Consideramos la variable aleatoria X: N umero de los mejores vendedores entre los 20 selec-cionados.X H(40, 10, 20)NospidenP[X= 10] =_1010__3010__4020_ = 0,000217ConR,dhyper(10,10,30,20)=0.0002179599.PatriciaRom anRom an 28