Cinemática y Dinámica Profesor: Matías Morales A.

Cinemática

Movimiento en 1-dimensión

Movimiento en 2 dimensiones

Movimiento rectilineo Se denomina movimiento rectilíneo, cuando su trayectoria

es una línea recta.

En la recta situamos un origen O, donde estará situado un observador, que medirá la posición del móvil x en el instante t. Las posiciones serán positivas si el móvil esta a la derecha del origen y negativas si esta a la izquierda del origen.

Posición:

La posición nos indica donde se encuentra una partícula en relación a un sistema de referencia dado, así que podemos decir que ella se ha movido cuando cambia de posición en el tiempo. El movimiento de un cuerpo queda completamente caracterizado si su posición en el espacio se conoce en todo momento. La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una función x=f(t).

Desplazamiento Supongamos ahora que en el tiempo ti, el móvil se

encuentra en posición xi, mas tarde, en el instante tf el móvil se encontrara en la posición xf. Decimos que móvil se ha desplazado en el intervalo de tiempo ∆t = tf - ti, que va desde el instante ti al instante tf.

Este desplazamiento describe el cambio de posicion.

Usando la ecuación anterior se ve que x es positivo si xf es mayor que xi y negativo si xf es menor que xi.

NOTAR QUE DESPLAZAMIENTO DISTANCIA RECORRIDA

Velocidad Media

La velocidad media de una particula se define como la razon de su desplazamiento ∆x y el intervalo de tiempo ∆t:

Ejemplo: Una particula que se mueve a lo largo del eje x se localiza en xi= 12 m en ti = 1s y en xf= 4 m en tf= 3 s. Encuentre su desplazamiento y velocidad media durante este intervalo de tiempo.

Sol: El desplazamiento esta dado por la ec.

La velocidad media es, segun la ec. (2.2)

Velocidad Instantánea

Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer el intervalo de tiempo ∆ tan pequeño como sea posible. Definimos la velocidad instantánea como

Pero dicho limite es la definición de derivada de x con respecto del tiempo t.

Rapidez

Se define la rapidez de una partícula como la magnitud de su velocidad.

La rapidez NO tiene dirección asociada y, en consecuencia, no lleva signo algebraico.

Ejemplo: Si la velocidad de una partícula es -25 m/s su rapidez es de 25 m/s

Aceleracion Media

En general, la velocidad instantánea de un cuerpo es una función del tiempo, e.d., v=v(t)

Supongamos que en un instante ti la velocidad del móvil es vi, y en el instante tf la velocidad del móvil es vf.

Se denomina aceleración media entre los instantes ti y tf al cociente entre el cambio de velocidad Δv= vf - vi y el intervalo de tiempo en el que se efectuó dicho cambio, Δt= tf - ti.

Gráficamente, la aceleración media corresponde a la pendiente de la recta que une los puntos (ti,vi) y (tf,vf) en el grafico v v/s t.

Aceleración Instantánea

La aceleración en el instante t es el limite de la aceleración media cuando el intervalo Δ tiende a cero, que no es otra cosa que la definición de la derivada de v(t) con respecto a t.

Movimiento Rectilíneo Uniforme Un movimiento rectilíneo uniforme es aquel cuya velocidad (v) es

constante, por tanto, la aceleración es cero. La posición x del móvil en el instante t lo podemos calcular integrando

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, por lo que las ecuaciones del movimiento uniforme resultan

Movimiento Rectilineo Uniformemente Acelerado

Un movimiento uniformemente acelerado es aquel cuya aceleración es constante.

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, quedando las formulas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado mas simplificadas.

DINÁMICA

Dinámica

Diferencias con la cinemática: Esta solo se preocupa de cómo se mueven, no le interesa la causa.

La dinámica se ocupa de estudiar las interacciones entre diferentes cuerpos desde el punto de vista de la fuerza.

Leyes de Newton

Primera Ley o ley de Inercia

Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a menos que otros cuerpos actúen sobre él.

Como sabemos, el movimiento es relativo, es decir, depende de cual sea el observador que describa el movimiento. Así, para un pasajero de un tren, el interventor viene caminando lentamente por el pasillo del tren, mientras que para alguien que ve pasar el tren desde el andén de una estación, el interventor se está moviendo a una gran velocidad. Se necesita, por tanto, un sistema de referencia al cual referir el movimiento. La primera ley de Newton sirve para definir un tipo especial de sistemas de referencia conocidos como Sistemas de referencia inerciales, que son aquellos sistemas de referencia desde los que se observa que un cuerpo sobre el que no actúa ninguna fuerza neta se mueve con velocidad constante

En realidad, es imposible encontrar un sistema de referencia inercial, puesto que siempre hay algún tipo de fuerzas actuando sobre los cuerpos, pero siempre es posible encontrar un sistema de referencia en el que el problema que estemos estudiando se pueda tratar como si estuviésemos en un sistema inercial. En muchos casos, suponer a un observador fijo en la Tierra es una buena aproximación de sistema inercial.

Segunda Ley o Principio fundamental de la mecánica

La fuerza que actúa sobre un cuerpo es directamente proporcional a su aceleración.

La segunda ley de Newton se encarga de cuantificar el concepto de fuerza. Nos dice que la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es proporcional a la aceleración que adquiere dicho cuerpo. La constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo, de manera que podemos expresar la relación de la siguiente manera:

Tanto la fuerza como la aceleración son magnitudes vectoriales, es decir, tienen, además de un valor, una dirección y un sentido. De esta manera, la Segunda ley de Newton debe expresarse como:

La unidad de fuerza en el Sistema Internacional es el Newton y se representa por N. Un Newton es la fuerza que hay que ejercer sobre un cuerpo de un kilógramo de masa para que adquiera una aceleración de 1 m/s2, o sea,

La expresión de la Segunda ley de Newton que hemos dado es válida para cuerpos cuya masa sea constante. Si la masa varia, no es válida la relación F=ma.

Tercera ley o principio de acción y reacción

La tercera ley, también conocida como Principio de acción y reacción nos dice que si un cuerpo A ejerce una acción sobre otro cuerpo B, éste realiza sobre A otra acción igual y de sentido contrario.

TERCERA LEY IMPLICA QUE CUANDO GOLPEAMOS SOMOS GOLPEADOS CON IGUAL FUERZA.

Aun cuando el efecto de la acción sobre la cara y de la reacción sobre el puño no es igual el modulo de ambas fuerzas es igual.

Fuerzas en sistemas dinámicos

Las tres leyes de Newton nos permiten estudiar el movimiento de los cuerpos a partir de las fuerzas que actúan sobre ellos.

Las principales fuerzas que nos vamos a encontrar al estudiar el movimiento de un cuerpos son: el peso, la Normal y la fuerza de rozamiento.

El peso (mg)

El peso es la fuerza de atracción gravitatoria que ejerce la Tierra sobre los cuerpos que hay sobre ella. En la mayoría de los casos se puede suponer que tiene un valor constante e igual al producto de la masa, m, del cuerpo por la aceleración de la gravedad, g.

La Normal

Un cuerpo está apoyado sobre una superficie ejerce una fuerza sobre ella cuya dirección es perpendicular a la de la superficie. De acuerdo con la Tercera ley de Newton, la superficie debe ejercer sobre el cuerpo una fuerza de la misma magnitud y dirección, pero de sentido contrario. Esta fuerza es la que denominamos Normal y la representamos con N

Fuerza de roce fr

La fuerza de rozamiento es una fuerza que aparece cuando hay dos cuerpos en contacto y es una fuerza muy importante cuando se estudia el movimiento de los cuerpos.

Importancia

Es la causante, por ejemplo, de que podamos andar (cuesta mucho más andar sobre una superficie con poco rozamiento, hielo, por ejemplo, que por una superficie con rozamiento como , por ejemplo, un suelo rugoso).

Tipos de fuerza de roce

Existe rozamiento incluso cuando no hay movimiento relativo entre los dos cuerpos que están en contacto. Hablamos entonces de Fuerza de rozamiento estática.

Una vez que el cuerpo empieza a moverse, hablamos de fuerza de rozamiento dinámica. Esta fuerza de rozamiento dinámica es menor que la fuerza de rozamiento estática.

Por lo tanto

Hay dos coeficientes de rozamiento: el estático, µe, y el cinético, µc, siendo el primero mayor que el segundo:

Escrito matemáticamente

Donde µ es lo que conocemos como coeficiente de rozamiento.

Análisis de consistencia

N: Es una fuerza con dirección en la vertical, medida en Newton.

Fr: Es una fuerza en la dirección de la horizontal, medida en Newton.

¿Qué unidades tiene µ?

¡Es adimensional! ¡Es un escalar!

¿Pero como un escalar puede cambiar la dirección de un vector?

Ya que:

Finalmente

La fuerza de rozamiento entre dos cuerpos no depende del tamaño de la superficie de contacto entre los dos cuerpos, pero sí depende de cuál sea la naturaleza de esa superficie de contacto, es decir, de que materiales la formen y si es más o menos rugosa.

La magnitud de la fuerza de rozamiento entre dos cuerpos en contacto es proporcional a la normal entre los dos cuerpos, es decir:

Estrategia para la solución de problemas

Se traza un diagrama simple y claro del sistema.

Se aisla el objeto de interés, cuyo movimiento se está analizando.

Se traza un diagrama de cuerpo libre, e.d., un diagrama que muestre todas las fuerzas externas que actúan sobre el objeto. En sistemas que contienen más de un objeto, se trazan diagramas separados para c/u de ellos. No deben incluirse las fuerzas que el objeto ejerce sobre otros.

Se seleccionan los ejes de coordenadas en forma adecuada para cada cuerpo y se hallan las componentes de las fuerzas a los largo de estos ejes.

Se aplica la 2a ley de Newton, en la forma de componentes.

Verificar las dimensiones para asegurarse que todos los términos tienen unidades de fuerza.

Se resuelven las ecuaciones de componentes para las incógnitas.

Es necesario tener tantas ecuaciones independientes como

incógnitas, para poder obtener una solución completa.

Comparar las predicciones de las soluciones obtenidas para valores extremos de las variables. Esto permite a menudo descubrir errores.

La pelvis de la figura, tiene una masa de 30 Kg. Determine su aceleración.

La persona de la figura pesa 80N. Las muletas forman cada una un ángulo de 22° con la vertical (vista de frente). La mitad de su peso está sostenida por las muletas; la otra mitad, por las fuerzas verticales ejercidas por el suelo sobre sus pies. Si se supone que él está en reposo y la fuerza ejercida por el suelo sobre las muletas actúa a lo largo de éstas, determine (a) el coeficiente de fricción mínimo posible entre muletas y suelo y (b) la magnitud de la fuerza de compresión sostenida por cada muleta.