cinematica sin teoria

1.- Cuantas horas dura un viaje hasta una ciudad sureñaubicado a 540 km, si el bus marcha a razón de 45 km/h?

Solución:

PROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELTOSTOSTOSTOSTOS

A problemas de aplicación

2.- Un cazador se encuentra a 170 m de un “Blanco” yefectúa un disparo saliendo la bala con 85 m/s (velo-cidad constante), ¿después de que tiempo hará im-pacto la bala?

Solución:

t horas=12

d vt t= ⇒ =540 45

3.- Dos autos se mueven en sentidos contrarios con ve-locidades constantes. ¿Después de que tiempo se en-cuentran si inicialmente estaban separados 2 000 m?(velocídad de los autos 40 m/s y 60 m/s).

Solución:

d vt t= ⇒ =170 85

t s= 2

o De la figura:

e v t tA A= = 40

e v t tB B= = 60

4.- Dos autos se mueven en el mismo sentido con veloci-dades constantes de 40 m/s y 60 m/s. ¿Después de quetiempo uno de ellos alcanza al otro? ver figura.

Solución:

2 000 = +e eA B

2000 40 60 2000 100= + ⇒ =t t t

t s= 20

o De la figura:

e v t tA A= = 60

e v t tB B= = 40

e eA B= + 200

60 40 200 20 200t t t= + ⇒ =

t s=10

OBSERVACIÓN

Tiempo de Encuentro:

e : espacio de separacióninicial

te

v vEA B

=+

NOTA

Antes de realizar cualquier operación es necesariohomogenizar el sistema de unidades, si fuese necesario.

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (M.R.U.)

Cinemática

5.- Un móvil “A” que se desplaza con una velocidad de30 m/s, se encuentra detrás de un móvil “B” a una dis-tancia de 50 m, sabiendo que los móviles se muevenen la misma dirección y sentido, y que la velocidadde “B” es de 20 m/s. ¿Calcular después de qué tiem-po, “A” estará 50 m delante de “B”?

Solución:

OBSERVACIÓN

Tiempo de Alcance:e : espacio de separación inicial

te

v vALA B

=− v vA B>

o De la figura:

e v t tA A= = 30

e v t tB B= = 20

e eA B= + +50 50

30 50 20 50 10 100t t t= + + ⇒ =

t s=10

1.- Un barco navega rumbo al Norte recorriendo 540 m.Luego va hacia el Este recorriendo 720 m. Determinarel espacio y distancia que recorrió el barco (en m).

Solución:

B problemas complementarios

2.- Tres móviles pasan simultáneamente por los puntos A,B, C con velocidades de 10, 15 y 13 m/s. Si la distanciaentre A y B es 8 m, y entre B y C es de 32 m. Luego dequé tiempo la distancia entre los móviles serán iguales,si en ese instante guardan el mismo ordenamiento.

Solución:

o Espacio = ?

e OA AB= +

e = +540 720

o Distancia = ?

d OB=

d= +540 7202 2b g b g

d m= 900

8 32 23 1+ + = +e e x

40 23 1+ = +v t v t x

40 13 10 2+ = +t t x

40 3 2+ =t x ............ (1)

e e x2 1 8= + −

v t v t x2 1 8= + −

15 10 8t t x= + −

5 8t x= − ............ (2)

t s= 24

7

3.- Un muchacho para bajar por una escalera empleó 30 s.¿Cuánto demoraría en subir la misma escalera si lo hacecon el triple de velocidad?

Solución:

o De (1) y (2):

o Cuando elmuchacho baja

o De la figura:

o También:

o De (1) y (2):

o Cuando elmuchacho sube

L v= 30b g ..... (1)

L v t= 3 b g ..... (2)

t s=10

e m= 1 260

Cuando el muchacho baja

Cuando el muchacho sube

t h= 2

4.- Una persona sale todos los días de su casa a la mismahora y llega a su trabajo a las 9:00 a.m. Un día se trasla-da al doble de la velocidad acostumbrada y llega a sutrabajo a las 8:00 a.m. ¿A que hora sale siempre de sucasa?

Solución:

5.- Dos móviles A y B situados en un mismo punto a200 m de un árbol, parten simultáneamente en lamisma dirección. ¿Después de que tiempo ambosmóviles equidistan del árbol? (vA = 4 m/s y vB = 6 m/s).

Solución:

o De la fig (1):

o De la fig (2):

Rpta: Sale de su casa a las 7:00 a.m.

d vt= ..... (α)

d v t= −2 1b g .... (β)

o De (α) y (β):

vt v t= −2 1b g

fig (1)

6.- Un tren de pasajeros viaja a razón de 36 km/h, al in-gresar a un túnel de 200 m de longitud demora 50 sen salir de él ¿Cuál es la longitud del tren?

Solución:

De la figura:

d d xB A= + 2

v t v t xB A= + 2

t x=

6 4 2 2 2t t x t x= + ⇒ =

............ (1)

d xA + = 200

4 200t x+ =

o (1) en (2):

o

o

............ (2)

4 200t t+ =

t s= 40

La distancia que recorre el tren es el mismo que reco-rre el punto A.

7.- De Lima a Huacho hay aproximadamente 160 km; deLima a Barranca hay 200 km, un auto va de Lima convelocidad constante saliendo a las 8 a.m. y llega a Ba-rranca al medio día. ¿A qué hora habrá pasado porHuacho?

Solución:

d vt=

200 10 50+ =L b gL m= 300

8.- Un auto debe llegar a su destino a las 7:00 p.m., siviaja a 60 km/h llegará una hora antes, pero si viaja a40 km/h llegará una hora después. Si en ambos ca-sos la hora de partida es la misma, encontrar dichahora de partida.

o Lima a Barranca:

o Lima a Huacho:

Dato: velocidad constante = 50 km/h

Rpta: Pasó por Huacho a las 11.2 a.m. ó 11h 12m a.m.

d vt=

200 4 50= ⇒ =v v km hb g /

d vT=

160 50 3 2= ⇒ =T T h,

fig (2)

Cinemática

Solución:

10.- Dos móviles se mueven con M.R.U. en dos carreterasque se cruzan en 90° simultáneamente del punto de cru-ce con velocidades v1 = 4 m/s y v2 = 2 m/s. Si las carrete-ras están desniveladas 10 m. ¿Qué tiempo después, ladistancia de separación entre móviles es de 90 m?

o De la figura (1):

o De la figura (2):

o De la figura (3):

o De (b) y (c):

Rpta: La hora de partida será las 2:00 p.m.

d vt= ........................ (a)

d t= −60 1b g ............ (b)

d t= +40 1b g ............ (c)

60 1 40 1 5t t t h− = + ⇒ =b g b g

9.- Dos trenes corren en sentido contrario con velocida-des de v1 = 15 m/s y v2 = 20 m/s. Un pasajero del pri-mer tren (el de v1) nota que el tren 2 demora en pasarpor su costado 6 s. ¿Cuál es la longitud del segundotren? (Se supone que el pasajero está inmóvil miran-do a través de la ventana).

Solución:

o Supongamos que el pasajero se encuentra en laparte delantera del tren (1)

o Sabemos que el tren (1) se mueve con velocidadde 15 m/s y el tren (2) con velocidad de 20 m/s,pero en sentido contrario.Respecto al pasajero. ¿Qué velocidad creerá él,que tiene el tren (2)?. La respuesta es (15 + 20) esdecir 35 m/s, y esto es lógico pues el pasajero verámoverse al tren (2) con mayor rapidez.Visto esto, podemos suponer al tren (1) en reposo,pero el tren (2) tendrá una velocidad de 35 m/s.

o Tren (2) a punto de pasar por el pasajero,

o Tren (2) ya pasó por completo al pasajero.

o Para el pasajero: e vt L= ⇒ = 35 6b g

L m= 210

fig. (1)

fig. (2)

fig. (3)

PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS


Solución:

1.- Dos móviles parten de un punto A en direcciones per-pendiculares con velocidades constantes de 6 m/s y8 m/s respectivamente. ¿Determinar al cabo de quetiempo se encontrarán separados 100 m?

Rpta. 10 s

2.- Un móvil que va con M.R.U. inicia su movimientoen: x = −12 m y luego de 8 s está en x = +28 m, hallarsu velocidad.

Rpta. 5 m/s

3.- Javier un joven estudiante, desea saber a qué distan-cia se encuentra el cerro más próximo, para lo cualemite un grito y cronómetro en mano, comprueba queel eco lo escucha luego de 3 s. ¿Cuál es esa distanciaen metros? (vsonido

= 340 m/s).

Rpta. 510 m

4.- Dos atletas parten juntos en la misma dirección y sen-tido con velocidades de 4 m/s y 6 m/s, después de1 minuto. ¿Qué distancia los separa?

Rpta. 120 m

5.- Hallar el espacio que recorre una liebre en 10 s. Si enun quinto de minuto recorre 40 m más.

Rpta. 200 m

o Por motivos didácticos tomaremos parte de lascarreteras los lados AB y CD de un paralelepípedo.

o Al formar el triángulo DFE, se tiene:

o Ahora, en el triángulo DEB:

L t t= +2 42 2b g b g

L t= 2 5

90 102 2 2= +L

90 2 5 102 2 2= +td i8100 20 1002= +t

8 000 20 2= t

t2 400=

t s= 20

6.- Una moto y un auto se encuentran a una distanciade 1 000 m. Si parten simultáneamente en la mismadirección y con velocidades de 25 m/s y 15 m/s res-pectivamente. ¿En que tiempo se produce el en-cuentro?

Rpta. 25 s

7.- Dos móviles con velocidades constantes de 40 y25 m/s parten de un mismo punto, y se mueven enla misma recta alejándose el uno del otro. ¿Des-pués de cuanto tiempo estarán separados 13 km?

Rpta. 200 s

8.- Un móvil debe recorrer 300 km en 5 h, pero a la mitaddel camino sufre una avería que lo detiene 1 h, ¿conque velocidad debe continuar su viaje para llegar atiempo a su destino?

Rpta. 100 km/h

9.- Dos móviles se mueven en línea recta con velocidadesconstantes de 10 m/s y 20 m/s, inicialmente separadospor 15 m. ¿Qué tiempo transcurre para que el segundodespués de alcanzar al primero se aleje 15 m?

Rpta. 3 s

10.- Dos móviles con velocidades constantes parten simul-tánea y paralelamente de un mismo punto. Si la dife-

Cinemática

rencia de sus velocidades de 108 km/h. Hallar la dis-tancia que los separa después de 30 s.

Rpta. 900 m

1.- Un auto vá de una ciudad a otra en línea recta convelocidad constante a razón de 30 km/h, pensandocubrir la travesía en 8 h. Pero luego de 3 h, el auto semalogra; la reparación dura 1 h, ¿con qué velocidaddebe proseguir para que llegue a su destino con 1 hde adelanto?

Rpta. 50 km/h

2.- Un tren de pasajeros viaja a razón de 72 km/h y tieneuna longitud de 100 m. ¿Qué tiempo demorará el trenen cruzar un túnel de 200 m?

Rpta. 15 s

3.- “A” y “B” realizan una carrera de 300 m, con velocida-des constantes en módulo de 5 m/s y 10 m/s. Al llegar“B” a la meta regresa donde “A” y luego así sucesiva-mente hasta que “A” llega a la meta. ¿Qué espacio to-tal recorrió “B”?

Rpta. 600 m

4.- Dos móviles se desplazan en la misma pista con ve-locidades constantes. Luego de 10 s el móvil “A” gira180° y mantiene su rapidez constante. ¿Qué tiempoemplean hasta encontrarse desde las posiciones in-dicadas?

Rpta. 15 s

5.- Dos móviles están en “A” y “B” en la misma recta. Elprimero parte de “A” hacia “B” a las 7 a.m. a razón de90 km/h, el segundo parte de “B” hacia “A” a las 12 m.Si se encuentran a las 3 p.m. Hallar AB, sabiendo ade-más que el espacio del primero es al del segundocomo 2 es a 1.

Rpta. 1 080 km


6.- Un alumno sale de su casa todos los días a las 7:00 y sedirige al colegio a velocidad constante v1 llegandosiempre a las 8:00. Si el alumno un día sale de su casa alas 7:15 y a medio camino observa que no llegará atiempo por lo que aumenta su velocidad a v2 (cte), lle-gando finalmente a tiempo. Determinar v2/v1.

Rpta.

7.- Dos autos separados a una distancia, parten simul-táneamente con velocidades constantes de 30 m/s y20 m/s en el mismo sentido para luego encontrarseen un punto “P”. Si el segundo auto partiese 2 s des-pués, el encuentro de los autos sería “x” m antes de“P”, calcular “x”.

Rpta. 120 m

8.- Un alpinista se encuentra entre dos montañas y emi-te un grito. Si registra los ecos después de 3 s y 4 s dehaber emitido el grito. ¿Cuál será la distancia que se-para las montañas? velocidad del sonido en el aire,considerar 340 m/s.

Rpta. 1 190 m

9.- Un avión desciende con velocidad constante de100 km/h bajo un ángulo de 16° con el horizonte. ¿Quétiempo tardará su sombra en llegar a tocar un objetoque se encuentra a 4 km? (cos 16° = 24/25).

Rpta. 150 s

10.- Dos trenes de longitudes diferentes van al encuen-tro por vías paralelas con velocidades v1 y v2 demo-rando en cruzarse 20 s. Si van al encuentro con velo-cidades v1 y (8/5)v2 respectivamente demoran en cru-zarse 15 s. ¿Cuánto tiempo tardarán en cruzarse siviajan en la misma dirección con velocidades v1 y v2respectivamente.

Rpta. 180 s

v

v2

12=



1.- Un móvil aumenta su velocidad de 10 m/s a 20 m/sacelerando uniformemente a razón de 5 m/s2. ¿Quédistancia logró aumentar en dicha operación?

Solución:

2.- Un automóvil corre a razón de 108 km/h y luego fre-na, de tal modo que se logra detener por completo en6 s. ¿Cuál es su aceleración?

Solución:

Notamos que el movimiento es acelerado.

20 10 2 52 2b g b g b g= + d

d m= 30

3.- Una partícula recorre 30 m en 5 s con un M.R.U.V. si alpartir tenía una velocidad de 4 m/s. ¿Que velocidadtuvo al término del recorrido?

Solución:

Movimiento retardado

v km h m so = =108 60/ /

a a= − ⇒ = −v v

tF o 0 60

6

dv v

tvo F F= +F

HGIKJ ⇒ = +F

HGIKJ2

304

25

4.- Un avión parte de reposo con M.R.U.V. y cambia suvelocidad a razón de 8 m/s2, logrando despegar lue-go de recorrer 1 600 m. ¿Con qué velocidad en m/sdespega?

Solución:

5.- Un móvil posee una velocidad de 20 m/s y acelerauniformemente a razón de 2 m/s2 durante 5 segun-dos. ¿Qué distancia recorrió en el 5to segundo de sumovimiento?

Solución:

Notamos que el movimiento es acelerado.

v m sF =160 /

Distancia recorrida hasta los 5 segundos

Distancia recorrida hasta los 4 segundos

v v dF o2 2 2= ± a

v v dF o2 2 2= + a

v v eF o2 2 2= ± a

v v dF o2 2 2= + a

vF2 0 2 8 1 600= + b gb g

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO (M.R.U.V.)

Cinemática

La distancia recorrida en el 5to segundo será: x d d= −5 4

x v vo o= +LNM

OQP − +L

NMOQP5

1

25 4

1

24

2 2b g b g b g b ga a

x = + × ×LNM

OQP − + × ×L

NMOQP20 5

1

22 25 20 4

1

22 16b g b g b g b g

x m= 29

1.- Un móvil que parte del reposo, recorre en el décimosegundo de su movimiento 20 metros más que lo re-corrido en el quinto segundo; determinar el espaciorecorrido desde que inicio el movimiento hasta el fi-nal del octavo segundo de su movimiento.

Solución:


2.- Un tren que lleva una velocidad de 216 km/h, aplica losfrenos y produce un retardamiento de 4 m/s en cadasegundo, hasta detenerse. Determinar el espacio querecorrió en el último segundo de su movimiento.

Solución:

o Espacio recorrido en el quinto segundo.

o Espacio recorrido en el décimo segundo.

o Nos piden el espacio recorrido desde el inicio delmovimiento hasta el final del octavo segundo.

x d d= −5 4

Reposo: d v t to= + 1

22a

d t= 1

22a

08

x = −1

25

1

24

2 2a ab g b g

x = −25

28a a ..................... (1)

x d d+ = −20 10 9

x + = −201

210

1

29

2 2a ab g b g

x + = −20 5081

2a a

o De (1) y (2):

............ (2)

a = 4 2m s/

d v t to= + 1

22a

d= +01

24 8

2b gb g

d m=128

3.- Dos móviles que parten del reposo se dirigen al en-cuentro con movimiento uniformemente aceleradodesde dos puntos distantes entre si 180 m y tardan10 s en cruzarse. Los espacios recorridos por estos mó-viles están en la relación de 4 a 5. Calcular las acelera-ciones de dichos móviles.

o Calculando el tiempo que demora en detenerse .

o El espacio que recorrió en el último segundo.

v v tF o= ± a

x d d= −15 14

0 60 4 15= − ⇒ =t t s

x v vo o= −LNM

OQP − −L

NMOQP15

1

215 14

1

214

2 2b g b g b g b ga a

x = − × ×LNM

OQP − − × ×L

NMOQP60 15

1

24 15 60 14

1

24 14

2 2b g b g b g b g

216 60km h m s/ /=

x m= 2

v m sB = 12 /

4 20 01

2100 1 62 2

2b gb g b g= + ⇒ =a a , /m s

5 20 01

2100 21 1

2b gb g b g= + ⇒ =a a m s/

Solución:

4.- Un automóvil que parte del reposo a razón de 2 m/s2

se encuentra a 20 m detrás de un ómnibus que marchacon velocidad constante de 8 m/s. ¿Después de cuantotiempo el auto sacará al ómnibus una ventaja de 64 m?

Solución:

o Distancia total:

o Con el móvil (1):

o Con el móvil (2):

180 5 4= +x x

x = 20

d vo= +101

2101

2b g b ga

d vo= +101

2102

2b g b ga

5.- Un automóvil está esperando en reposo que la luz delsemáforo cambie. En el instante que la luz cambia averde, el automóvil aumenta su velocidad uniforme-mente con una aceleración de 2 m/s2 durante 6 se-gundos, después de los cuales se mueve con veloci-dad uniforme. En el instante que el automóvil empe-zó a moverse después del cambio de luz, un camiónlo sobrepasa en la misma dirección, con el movimien-to uniforme a razón de 10 m/s. ¿Cuánto tiempo y cuánlejos del semáforo el automóvil y el camión volverána estar juntos?

Solución:

o Con el auto (vo = 0)

o Con el camión (v = 8 m/s = cte)

20 64 01

22 2+ + = +x tb g

84 2+ =x t ...... (1)

o De (1) y (2):

x vt=

x t= 8

t s=14

.............. (2)

o Con el camión:

o Con el automóvil:

Entre A y B :

Entre A y C :

o (1) = (2)

Finalmente:

e x y T= + =10 .......................... (1)

v v tF o= + a

vB = +0 2 6b g

x y v TB+ = + −1

22 6 6

2b gb g b g

x674 84

y674 84

x y T+ = + −36 12 6b g .............. (2)

10 36 12 6T T= + −b g10 36 12 72T T= + −

T s=18

e x y T= + = =10 10 18b ge m=180

d v t to= + 1

22a

Cinemática

x t d= − + −5 252b g

x t t d= − +2 10

10 2t t x d= − +

10 2t d t x= + −e j

6.- Dos trenes de 200 m y 400 m de longitud avanzan envías paralelas en sentidos opuestos y cuando se encuen-tran, sus velocidades son 12 y 18 m/s y sus aceleracio-nes constantes son iguales a 3 m/s2. Hallar el tiempoque demoran los trenes en cruzarse completamente.

Solución:

7.- Un conductor viaja por una autopista recta con unavelocidad inicial de 20 m/s. Un venado sale a la pista50 m más adelante y se detiene. ¿Cuál es la acelera-ción mínima que puede asegurar la parada del vehí-culo justamente antes de golpear al venado si el cho-fer demora 0,30 s en reaccionar?

Solución:

o Cuando los trenes están a punto de cruzarse

o Momento en que “A” cruza a “B” completamente.

e v t tA o= = +6001

22a

600 301

26 2= +t tb g

t t2 10 200 0+ − =

t s=10

8.- Dos moviles A y B se encuentran inicialmente separa-dos una distancia “d” (B detrás de A). Si ambos se mue-ven en el mismo sentido “B” con velocidad constantede 10 m/s y “A” partiendo del reposo con a = 2 m/s2.Después de que tiempo de iniciado el movimiento ladistancia de separación es mínima. (Ambos móvilesno se encuentran).

Solución:

o Antes que el conductor reaccione su velocidadsigue siendo constante

Cuando el conductor reacciona, éste presiona los fre-nos y el movimiento pasa a ser M.R.U.V. cuya veloci-dad final es cero (para no atropellar al venado).

e vAB = =0 30 20 0 30, ,b g b ge mAB = 6

e mBC = − =50 6 44

o Entre B y C :

0 20 2 442= −b g b ga

De donde:

o

o

o (2) y (3) en (1):

Para que x sea mínimo:

e d e xB A= + −b g .............. (1)

e v t tA o= + 1

22a

e t tA = + ⋅ ⋅01

22 2

e tA = 2 .............. (2)

e v tB B=

e tB =10 .............. (3)

t − =5 0

t s= 5

9.- Un pasajero desea subir a un microbús que se encuen-tra detenido y corre tras él con una velocidad uniformede 5 m/s y cuando estaba a 6 m del microbús, éste par-te con aceleración constante de 2 m/s2. Hallar el tiem-po que demora el pasajero en alcanzar al microbús. (Silo alcanza).

v v eF o BC2 2 2= − a

88 400 4 55 2a a= ⇒ = , /m s

(mov. retardado)

Solución:

o Suponiendo que lo alcanza: Para ello en el instantede alcance la velocidad del microbús no deberá sermayor que la del pasajero (5 m/s).

e eH M− = 6

10.- Sale un tren hacia el norte con velocidad de 30 km/h,luego de 10 minutos sale otro también hacia el norte ycon la misma velocidad. ¿Con qué velocidad en km/hconstante venía un tren desde el norte, si se cruzó conel primer tren en cierto instante y luego de 4 minutoscon el segundo tren?

Solución:

51

262t v t to− +F

HGIKJ =a

t t2 5 6 0− + =

o Analizando:

De donde: t s ó t s= =2 3

Si: t s v v tM o= ⇒ = +2 a

vM = +0 2 2b gb gv m s m sM = <4 5/ /

Si: t s vM= ⇒ = +3 0 2 3b gv m s m sM = >6 5/ / (no cumple)

t s= 2

1.- Un cuerpo parte del reposo con M.R.U.V. y avanza50 m en 5 s. ¿Cuál es su aceleración en m/s2?

Rpta. 4 m/s2

2.- Una gacela pasa por dos puntos con velocidad de 3 m/sy 7 m/s y M.R.U.V. Si dichos puntos están separados 50 m.¿Qué tiempo empleó en el recorrido?

Rpta. 10 s

o Cálculo del tiempo de encuentro entre “B” y “C”

o De la figura:

tx

v= =

+4

60 30............ (1)

x t t= − −FHG

IKJ30 30

10

60

o (2) en (1):4

60

5

30=

+v



3.- Un móvil parte con una velocidad 36 km/h y una acelera-ción de 6 m/s2. ¿Qué velocidad en m/s tendrá luego de 5 s?

Rpta. 40 m/s

4.- Un móvil que se desplaza a razón de 10 m/s ve incre-mentada su velocidad por una aceleración de 5 m/s2.¿Qué distancia habrá logrado avanzar durante los2 primeros segundos de este movimiento variado?

Rpta. 30 m

5 01

22 6 5 62 2t t t t t− + ⋅F

HGIKJ = ⇒ − =

o Finalmente:

x km= 5

v km h= 45 /

Cinemática

5.- Un auto al pasar por dos puntos separados 180 m de-moró 8 s. Si por el primer punto pasa con una veloci-dad de 20 m/s. Determinar con qué velocidad pasa porel segundo punto (en m/s).

Rpta. 25 m/s

6.- Un móvil parte del reposo con una aceleración cons-tante. Si su velocidad aumenta a razón de 10 m/s cada5 s. Calcular el espacio que habrá recorrido en 1 minu-to (en metro).

Rpta. e = 3 600 m

7.- Un móvil parte del reposo con una aceleración cons-tante y en 4 s recorre 32 m. Calcular el espacio querecorre en los 4 s siguientes.

Rpta. x = 96 m

8.- Una partícula parte del reposo con M.R.U.V., y en 5 srecorre 50 m. Calcular el espacio que recorre en el ter-cer segundo de su movimiento.

Rpta. 10 m

9.- Un auto se mueve con velocidad de 45 m/s,desacelerando constantemente. Si luego de 3 s su ve-locidad se ha reducido a 30 m/s. ¿Cuánto tiempo másdebe transcurrir para lograr detenerse?

Rpta. 6 s

10.- Durante el 6to segundo de su desplazamiento unapelota logró avanzar 6 m, si su velocidad al inicio erade 28 m/s. ¿Con qué aceleración retardó uniforme-mente su movimiento?

Rpta. – 4 m/s2

1.- Durante que segundo de movimiento, un móvil queparte del reposo y tiene M.R.U.V. recorrerá el triple delespacio recorrido en el quinto segundo.

Rpta. N = 14avo segundo

2.- Un auto corre una pista horizontal con una acelera-ción de 2 m/s2, después de 5 s de pasar por el punto A,posee una velocidad de 72 km/h. ¿Qué velocidad te-nía el auto cuando le faltaba 9 m para llegar a A?

Rpta. 8 m/s

3.- Dos móviles que parten del reposo en la misma direc-ción y sentido, están separados 200 m, si se observaque el alcance se produce 10 s después de iniciadolos movimientos. Determinar sus aceleraciones si es-tas están en la relación de 3 a 1.

Rpta. a2 = 2 m/s2 ; a1 = 6 m/s2


4.- Un tren va frenando y lleva un movimiento uniforme-mente retardado, sabiendo que emplea 20 s y luego30 s en recorrer sucesivamente un cuarto de kilóme-tro. Hallar el espacio que recorrerá antes de pararse.

Rpta. 602,08 m

5.- Un bote inicialmente en reposo acelera a razón de 2 m/s2

durante 6 s, después de la cual se mueve con velocidadconstante. En el instante que el bote parte, una lancha quese mueve en la misma dirección y sentido con velocidadconstante de 10 m/s lo pasa. ¿Después de qué tiempo y aqué distancia se encontrarán nuevamente?

Rpta. 18 s ; 180 m

6.- Un ratón de regreso a su agujero, a la velocidad cons-tante de 1 m/s, pasa al lado de un gato, despertándo-lo, si el gato acelera a razón de 0,5 m/s2 y el agujeroestá a 5 m. ¿Atrapa el gato al ratón?. Si lo atrapa, ¿a quédistancia del agujero lo hace?

Rpta. Lo atrapa a 1 m del agujero

7.- Un auto que se mueve describiendo un M.R.U.V. en cier-to instante, pasó con una rapidez de 15 m/s por un pun-to “A” situado entre dos montañas como se muestra. Sien este instante toca el claxón, con que aceleracióndeberá moverse a partir de ese instante, para escucharlos ecos simultáneamente (vsonido

= 320 m/s).

Rpta. 10 m/s2

8.- Una zorra trata de atrapar una liebre que se encuen-tra en reposo. Cuando la zorra se encuentra a 9 m dela liebre, ésta acelera a 2 m/s2. Calcular la velocidadmínima constante de la zorra de tal modo que puedaatrapar a la liebre ¿y comérsela?

Rpta. 6 m/s

9.- Dos móviles se encuentran en una recta, inicialmenteen reposo, separados por una distancia de 400 m. Siparten al mismo instante acercándose mutuamentecon aceleraciones de 3 m/s2 y 5 m/s2. Calcular despuésde qué tiempo vuelven a estar separados por segun-da vez una distancia de 200 m.

Rpta. 13,10 s

10.- Una partícula parte del origen hacia la derecha con unavelocidad de 10 m/s y con una aceleración de 1 m/s2

hacia la izquierda. ¿Cuáles son los instantes en que sudistancia desde el origen es 1 m?

Rpta. t = 0,1 s ; t = 19,9 s ; t = 20,1 s

Cinemática

h m= 5

Tiempo total t tsubida bajada= +



1.- Se dispara un cuerpo verticalmente hacía arriba convelocidad de 80 m/s. Calcular el tiempo que demoraen alcanzar su máxima altura (g = 10 m/s2).

Solución:

2.- Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba conuna velocidad de 10 m/s. Se pide:

a) Calcular la altura que subirá.b) El tiempo que demora en subir.c) El tiempo que demora en bajar.d) El tiempo que demora en regresar al lugar de

partida.e) La velocidad de llegada.

(Considerar g = 10 m/s2).

Solución:

o Entre A y B

El cuerpo sube:

v m so = 80 /

vF = 0

g m s=10 2/

t tAB = = ?

v v gtF o= ±

v v gtF o= −

0 80 10 8= − ⇒ =t t s

a) Entre A y B

0 10 2 102 2= −b g b gh20 100h=

b) Entre A y B

(Mov. retardado)

(Mov. retardado)

v v gtF o= −

0 10 10= − t

c) Entre B y C

h v t gto= + 1

22

(Mov. acelerado)

5 01

210 2= +b g b gt t

Nótese que el tiempo de subida es igual al tiempo debajada.

d)

e) Entre B y C

Nótese que la velocidad de subida es igual a la velocidadde llegada al mismo nivel.

v v m sc c= + ⇒ =0 10 1 10b g /

(Mov. acelerado)v v gtF o= +

v v ghF o2 2 2= −

t s= 1

t s= 1

t stotal = 2

ttotal = +1 1

CAÍDA LIBRE

H H m− = ⇒ =25 20 45

v v m sF F= + ⇒ =0 10 5 50b g /

v m sF = 147 /

vo = ?

t s= 10

g m s= 9 8 2, /

h m= 980

g m s= 10 2/

v m sF = 10 /

v m so = 50 /

3.- Se dispara un proyectil verticalmente hacía arriba conuna velocidad de 50 m/s. Al cabo de que tiempo lavelocidad es de 10 m/s por primera vez y a que alturase encuentra (g = 10 m/s2).

Solución:

4.- ¿Qué velocidad inicial debe dársele a un cuerpo paraque caiga 980 m en 10 s; y cual será su velocidad alcabo de 10 s.

Solución:

o Entre A y B

t = ?

v v gtF o= − (sube)

10 50 10= − t

t s= 4

o Calculando la altura entre A y B

hv v

tF o= +FHG

IKJ2

h= +FHG

IKJ

10 50

24

5.- Una bola se deja caer desde lo alto de un edificio de125 m de altura. Calcular cuánto tardará en caer y conque velocidad llegará al suelo (g = 10 m/s2).

o Entre A y B

o Calculando la velocidad final

h v t gto= + 1

22

(baja)

v v gtF o= +

vF = +49 9 8 10, b g(baja)

Solución:

1.- Un cuerpo es dejado caer en el vacío sin velocidad ini-cial. Si en el último segundo recorre 25 m; calcular laaltura desde el cual fue abandonado.

Solución:

o Entre A y B

h v t gto= + 1

22

125 01

210 2= + b gt

t2 25=

t s= 5

o Calculando la velocidad final

v v gtF o= +


2.- Un cuerpo cae libremente desde el reposo. La mitadde su caída se realiza en el último segundo, calcular eltiempo total en segundos (g = 10 m/s2).

Solución:

o Entre B y C

h v t gto= + 1

22

25 11

210 1

2= +vBb g b gb g25 5= +vB

v m sB = 20 /

o Entre A y B

20 20 252b g b g= −H

o Entre A y B

h v t g to= − + −11

21

2b g b g

h g t= + −01

21

2b g

h g t= −1

21

2b g

h m=120

............ (1)

v v ghF o2 2 2= +

v HB2 0 2 10 25= + −b gb g

980 101

29 8 10

2= +vob g b gb g,

v m so = 49 /

Cinemática

v m sc = 5 /

Ttotal = + +0 5 0 5 8, ,

T t t ttotal AB BC CD= + +

3.- Un globo se eleva desde la superficie terrestre a unavelocidad constante de 5 m/s; cuando se encuentra auna altura de 360 m, se deja una piedra, calcular eltiempo que tarda la piedra en llegar a la superficieterrestre (g = 10 m/s2).

Solución:

o Entre A y C

21

22h gt= ............ (2)

o Reemplazando (1) en (2)

2 12 2t t− =b g

t s= +2 2d i

4.- Un cuerpo se lanza verticalmente hacía arriba desdeuna ventana y luego de 4 segundos triplica su veloci-dad. Hallar la máxima altura alcanzada por el cuerporespecto al lugar de lanzamiento (g = 10 m/s2).

o Entre A y B

o Entre B y C

(sube)

0 5 10= − t

v v gtF o= −

t s= 0 5,

t s= 0 5,

(Ya que el tiempode subida es igual al tiempo de bajada)

(A y C tiene el mismo nivel).

o Entre C y D

h v t gto= + 1

22

(baja)

360 51

210 2= +t tb g

360 5 5 2= +t t

t t t t2 72 0 9 8 0+ − = ⇒ + − =b gb gt s= 8

o Finalmente:

Solución:

5.- Una esfera se deja caer desde 80 m de altura y al rebo-tar en el piso se eleva siempre la cuarta parte de laaltura anterior. ¿Qué tiempo ha transcurrido hasta quese produce el tercer impacto? (g = 10 m/s2).

Solución:

o Dato:

o Entre A y B

o Entre C y D

o (2) y (3) en (1)

o Nuevamente entre A y B

2 41 2t t s+ = ....... (1)

v v gtF o= −

0 10 1= −v t

tv

1 10= ................ (2)

(sube)

v v gtF o= +

3 10 2v v t= +

tv

2 5= ................ (3)

210 5

4v vF

HGIKJ + =

2

54 10

vv m s= ⇒ = /

hv v

tF o= +FHG

IKJ2

1

h= +FHG

IKJFHG

IKJ

0 10

2

10

10

T t t tAB BC DE= + +2 2b g b g ................ (1)

o Entre A y B

80 5 42= ⇒ =t t sAB AB

h gtAB= 1

22

21

21

1

2

2 2⋅ − =g t gtb g

(baja)

T stotal = 9

h m= 5

v pies sB = 64 /

5 340 5112

1t t= −b g

5 34012

2t t=

6.- En la boca de un pozo se deja caer un cuerpo y unapersona ubicada en el borde de ésta escucha el soni-do del impacto luego de 51 segundos. ¿Cuál es la pro-fundidad del pozo? (vsonido = 340 m/s ; g = 10 m/s2).

Solución:

o Entre C y D

o Entre E y F

o En (1):

T = + + =4 2 2 2 1 10b g b gT s=10

7.- Un ingeniero situado a 105 pies de altura, en la venta-na del décimo octavo piso ve pasar un objeto rarohacia arriba y 4 s después lo ve de regreso, hallar conqué velocidad fue lanzado el objeto desde el piso.(g = 32 pies/s2).

Solución:

o Con el cuerpo:

h gt t= =1

2

1

2101

212b g

h t= 5 12 ............... (1)

o Con el sonido:

h vt t= =2 2340

h t= 340 2 ............ (2)

o Dato:

t t1 2 51+ =

t t2 151= − ............ (3)

o (1) = (2)

......... (4)

o (3) en (4):

t s1 34=

Luego: t s2 17=

o En (2):

8.- Se suelta una piedra de un edificio llegando al piso en2 segundos. ¿Con qué velocidad mínima se debe arro-jar la piedra hacia arriba para alcanzar la altura deledificio? (g = 10 m/s2).

o Datos:

o Entre B y C

o Entre A y B

0 32 2= −vB b g

v v ghF o2 2 2= −

v v gB A2 2 2 105= − b g

64 2 32 1052 2b g b gb g= −vA

h h m= ⇒ =340 17 5 780b gb g

Solución:

1er Caso:

Reemplazando:

H v t gto= + 1

22

t s= 2

H t= × + ×01

210 2

2b gH m= 20

h v t gto CD CD= + 1

22

20 01

210 2= +t tCD CDb g b g

t s t sCD BC= ⇒ =2 2

h v t gto EF EF= + 1

22

5 01

210 2= +t tEF EFb g b g

t s t sEF DE= ⇒ =1 1

t t sBC CD+ = 4

t t sBC CD= = 2

v v gtF o BC= −

v pies sA = 104 /

Cinemática

0 22= −v ha

9.- Un trozo de madera se suelta a un metro de distanciade la superficie libre de un estanque lleno de agua, siel agua produce una desaceleración de 4 m/s2 sobrela madera. ¿Qué profundidad máxima alcanza la ma-dera en el estanque? (g = 10 m/s2).

Solución:

2do Caso:

La velocidad de partida será mínima siempre y cuan-do la piedra llegue a la cima del edificio con velocidadcero.

v v gHF o2 2 2= −

0 2 10 202= − × ×vmin

v m smin /= 20

10.- Desde el borde de la azotea de un edificio se sueltauna esferita y en ese mismo instante un muchacho de1,70 m de estatura, parado a 10 m del punto de im-pacto de la esferita, parte acelerado con 1,25 m/s2. Sial llegar a dicho punto, la esferita da en la cabeza delmuchacho. ¿Qué altura tiene el edificio? (g = 10 m/s2).

Solución:

o En el aire:(mov. acelerado)

v2 0 2 10 1= + × b gv2 20=

o En el agua:(mov. retardado)

o Con el muchacho (M.R.U.V.)

e v t to= + 1

22a

o Con la esferita

x v t gto= + 1

22

o Finalmente: H x= +170,

H= +80 170,

H m= 81 70,0 20 2 4 2 5= − × ⇒ =h h m,

10 01

21 25 42= + ⇒ =t t t s,b g

x x m= × + ⇒ =0 41

210 4 80

2b g



1.- Un cuerpo se lanza verticalmente hacia abajo con unavelocidad de 20 m/s. Luego de que tiempo su veloci-dad será de 80 m/s (g = 10 m/s2).

Rpta. 6 s

2.- Se deja caer un objeto desde una altura de 45 m, calcularcon que velocidad impactará en el piso (g = 10 m/s2).

Rpta. 30 m/s

3.- Se lanzó un cuerpo verticalmente hacia abajo com-probándose que desciende 120 m en 4 s. ¿Cuál fue lavelocidad inicial del lanzamiento?

Rpta. 10 m/s

4.- Un cuerpo se lanza desde el piso y permanece en elaire 10 s. Hallar su altura máxima (g = 10 m/s2).

Rpta. 125 m

v v gHF o2 2 2= +

v v hF o2 2 2= − a

5.- Se suelta un cuerpo desde 125 m de altura. Hallar eltiempo que tarda en llegar al piso (g = 10 m/s2).

Rpta. 5 s

6.- Hallar la velocidad adquirida y la altura recorrida porun móvil que tarda 10 s en caer libremente.

Rpta. v = 100 m/sh = 500 m

7.- Una piedra es abandonada y cae libremente ¿Qué dis-tancia logra descender en el 5° segundo de su movi-miento? (g = 10 m/s2).

Rpta. 45 m

8.- Dos esferitas macizas se lanzan ver-ticalmente y simultáneamente des-de A y B tal como se muestra. ¿Quédistancia las separa 2 s antes de cru-zarse, si inicialmente estaban sepa-radas 160 m? (g = 10 m/s2).

Rpta. 80 m

9.- Un globo aerostático asciende verticalmente con unavelocidad cte. de 10 m/s. Una persona situada en elglobo suelta una pelotita justo cuando el globo seencuentra a 120 m de altura respecto al suelo. ¿Luegode qué tiempo la pelotita impacta en el suelo?(g = 10 m/s2).

Rpta. 6 s

10.- Se tiene un pozo vacío cuya profundidad es de 170 m.Una persona en la parte superior lanza una piedraverticalmente hacia abajo con una velocidad de(125/3) m/s. ¿Luego de que tiempo escucha el eco?(vsonido = 340 m/s ; g = 10 m/s2).

Rpta. 3,5 s

3.- Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba y vuel-ve a tierra al cabo de 5 s. ¿Qué altura habrá recorrido enel último segundo de su movimiento? (g = 10 m/s2).

Rpta. 20 m

4.- Un arbitro de fútbol lanza una moneda hacía arribacon velocidad “v” la cual toca el césped con velocidad2v, considerando que la mano del árbitro suelta lamoneda a 1,2 m sobre le césped halle v en m/s(g = 10 m/s2).

Rpta.

5.- Un globo aerostático sube verticalmente con una ve-locidad de 30 m/s. El piloto del globo al encontrarse auna altura 240 m con respecto al suelo, lanza vertical-mente hacia abajo un tomate, con una velocidad res-pecto a su mano de 20 m/s. Al cabo de que tiempo eltomate tocará el suelo? (g = 10 m/s2).

Rpta. 8 s

6.- Un objeto se lanza verticalmente desde la azotea deun edificio. Después de 4 s otro objeto se deja caerlibremente y 4 s después choca con el primero. ¿Conqué velocidad se lanzó el primero? (g = 10 m/s2).

Rpta. 30 m/s

7.- Si lanzamos un cuerpo verticalmente hacia arriba conuna velocidad de 20 m/s. ¿A qué distancia del puntode lanzamiento dicho cuerpo tendrá una velocidad de30 m/s? (g = 10 m/s2).

Rpta. –25 m

8.- Una plataforma se desplaza en línea recta y mante-niendo una velocidad de 7 m/s. Si de ésta se tira unapiedra verticalmente hacia arriba y retorna luego dehaber recorrido 70 m la plataforma. ¿Con qué veloci-dad se lanzó la piedra? (g = 10 m/s2).

Rpta. 50 m/s

9.- Una alumna desea comprobar las leyes de caída libre,para lo cual se deja caer desde la parte superior de unedificio de 256 pies de altura. Un segundo más tardeaparece superman para lanzarse inmediatamente ysalvar a la alumna justo cuando está por chocar al sue-lo. Hallar la velocidad con que se lanza superman encaída libre (g = 32 pies /s2).

Rpta. 37,3 pies/s

10.- Un ascensor presenta una v = cte de –10 m/s, en cier-to instante del techo del mismo se desprende un per-no; e impacta en el piso luego de (4/7) s. ¿Qué alturatiene la cabina del ascensor? (considere g = 9,8 m/s2).

Rpta. 1,6 m


2 2 m s/

1.- Halle la velocidad con que fue lanzado un proyectilhacia arriba si ésta se reduce a la tercera parte cuandoa subido 40 m (g = 10 m/s2).

Rpta. 30 m/s

2.- Desde lo alto de un edificio se lanza un cuerpo vertical-mente hacia arriba con una velocidad de 30 m/s llegan-do al piso luego de 8 s. Hallar la altura del edificio(g = 10 m/s2).

Rpta. 80 m



1.- Un móvil se desplaza con M.R.U. según el gráfico. Cal-cular el espacio recorrido al cabo de 10 segundos.

Solución:

2.- Una partícula parte del reposo con M.R.U.V. Cuandot = 2 s, su velocidad es 4 m/s manteniéndola cons-tante. Calcular el espacio recorrido por el móvil has-ta los 6 segundos.

Solución:

e A= = 5 10b gb ge m= 50

A A A= +1 2

Luego: e m= 20

3.- Un auto parte del reposo y describe el gráfico adjun-to. Determinar la velocidad al cabo de 5 segundos.

Solución:

4.- Una partícula posee el siguiente gráfico de su movi-miento (v vs t). Representar el gráfico (e vs t).

Solución:

a = = = FHG

IKJ ⇒ =tan /θ 2

510

vv m s

A = + − =2 4

26 2 4 20

b gb g b gb g

o Entre A y B (mov. acelerado)

t e= ⇒ =0 0

t e A= ⇒ = =3 181

GRÁFICOS RELACIONADOS AL MOVIMIENTO

t s= 15.- El gráfico v = f (t) nos muestra el movimiento de dos

móviles “M” y “N”. Si “M” parte 3 s después que “N”. ¿Alcabo de qué tiempo ambos móviles alcanzan igualvelocidad, si “M” acelera a 2,3 m/s2 y “N” inicia su movi-miento a 8,6 m/s?

Solución:

t e A= ⇒ = =3 181

o Entre B y C (mov. retardado)

e A A

e

e

= −

= −

=

1 2

18 18

0

o Finalmente:

1.- Una partícula se mueve a lo largo de la horizontal deacuerdo a la gráfica (x – t) mostrada. ¿Cuál es la veloci-dad de la partícula en t = 1 s?

o Para N:

v m so = 8 6, /

v v tF o= + a

.............. (1)

a = °tan 37

o Para M:

vo = 0 v t= + −0 2 3 3, b g ......... (2)

v t= +8 63

4,

v v TF o= + a

o (1) = (2):

t s=10


Solución:

2.- El gráfico representa el movimiento de un móvil enlínea recta. Hallar el desplazamiento y espacio reco-rrido por el móvil entre t = 0 s y t = 8 s. (radio = 2 m).

Solución:

o vo = 0 , ya que tan 0° = 0

o Para x = 4 cm

x v t to= + 1

22a (mov. retardado)

4 0 21

22 2

2 2= + ⇒ =b g b ga a cm s/

o Para:

a = 2 2cm s/

vo = 0

vF = ?

v v tF o= + a

vF = +0 2 1b gb gv cm sF = 2 /

A AR

1 2

2 2

2

2

22= = = =π π

πb g

o

t = ⇒6

(Ya que el móvilcambia de sentido)

;

;

;

;

;

;

a = 3

42m s/

a = 2 3 2, /m s

Cinemática

3.- Dado el siguiente gráfico, determine la posición delmóvil en el instante t = 2 s.

Solución:

o d = desplazamiento

d A A d= − = ⇒ =1 2 0 0

o Espacio recorrido:

e A A= +1 2

o tanθ = =30

65

o En el triángulo sombreado:

o Analizando el problema:

tanθ =−

⇒ =x x

6 25

4

x = 20

x m= − 20

4.- Construir la gráfica (v – t)para un móvil cuya posiciónrespecto al tiempo se indica en el gráfico.

Solución:

Como la parábola es cóncava hacia abajo el movi-miento es retardado (M.R.U.V.). Nótese que cuandoel móvil llega al punto “A” ya no se mueve: vF = 0

o Entre O y A:

ev v

to F= +FHG

IKJ2

1000

210 20= +F

HGIKJ ⇒ =v

v m soo /

o Finalmente:

5.- El diagrama corresponde al movimiento de dos partí-culas que inicialmente están separados por 200 m. ¿Quétiempo tarda el móvil “A” para encontrar al móvil “B”?

Solución:

o Con el móvil “A” (M.R.U.): v = 35 m/s

o Con el móvil “B” (M.R.U.): v = 15 m/s

o Interpretando el problema:

Nos piden el tiempo de encuentro: te

v vA B=

+FHG

IKJ

t t s=+

FHG

IKJ ⇒ =200

35 154

NOTA

A continuación se explicará otro método para la resolu-ción del presente problema.

e A A= +1 2

200 35 15= +t t

t s= 4

e e m= + ⇒ =2 2 4π π π

d A A A A= − + + +1 2 3 4

6.- Un móvil en t = 0 está en xo = −50 m. Hallar la posiciónen t = 15 s. Si la siguiente gráfica (v – t) le corresponde.

Solución:

o En el triángulo sombreado (inferior):

tanα = =10

25

o En el triángulo sombreado (superior):

tan /α = =−

⇒ =57 2

25v

v m s

o A

A

1

2

1

22 10 10

1

27 2 25 62 5

= =

= − =

b gb g

b gb g ,

A3 10 7 25 75= − =b gb g

A412 5 25

215 10 93 75= +F

HGIKJ − =,

,b g


x d= − 50

x x m= − ⇒ =221 25 50 171 25, ,

7.- El gráfico corresponde a un móvil que parte del repo-so y luego de recorrer 1 800 m se detiene. ¿Qué tiem-po tarda en recorrer dicha distancia?

Solución:

8.- En el diagrama, ¿quétiempo tarda el mó-vil “B” para alcanzaral móvil “A”?

Solución:

o El punto de intersección que muestra el gráfico, escuando el móvil “B” alcanza en velocidad al de “A”.Hasta ese momento sólo han pasado 3 segundos.Esto significa que el móvil “B” alcanzará al móvil “A”después de superar la velocidad de 9 m/s (comoes lógico).

o Transformando el grafico (a - t) a (v - t)

o tanα = =v

t112

tanβ =−

=v

t t2 16b go ............ (2)

..................... (1)

o De (1) y (2): t t2 13=

Nótese: v = 12t1

o Finalmente: t t s2 23 10 30= ⇒ =b go

d d= − + + + ⇒ =10 62 5 75 93 75 221 25, , ,

e A A= = +1 800 1 2

1 8002 2

1 2 1= +−vt v t tb g

1 800 122

12 3

211 1 1 1= +

−t

t t t tb g b gb g

1 800 6 12 1012

12

1= + ⇒ =t t t s

Cinemática

3

4

2

4= −vf

tan 372

9 5° =

−−

vfo El problema nos dice que “B” alcanza a “A” ya queambas parten al mismo tiempo.

A AA B=

...... (1)

.............. (2)

(2) en (1): 91

23 6t t t t s= ⇒ =b g

9.- Dos automóviles presentan movimientos donde susvelocidades varían con el tiempo tal como indica lafigura. Si inicialmente se encontraban juntos, ¿quéseparación existe entre ellos en t = 9 s?

Solución:

o Las velocidades tienen signos diferentes, esto nosindica que los automóviles se van alejando: nospiden la separación para t = 9 s. Tenemos que cal-cular la suma de espacios hasta t = 9 s.

10.- En el movimiento lineal del gráfico: vo = −12,5 m/s. ¿Enque instante “t” la velocidad es cero?

Solución:

o Con el móvil “A”:

tan531

9° = −vF

4

3

1

9= −vF

A AA A= + ⇒ =1 91

29 12 63b gb g b gb g

o Con el móvil “B”:

Trabajaremos sólo con valor absoluto, ya que el signo ne-gativo tan sólo nos indica el sentido del movimiento.

A AB B= − + − ⇒ =9 5 21

29 5 3 14b gb g b gb g

o Finalmente: e A AA B= +

e e m= + ⇒ =63 14 77


NOTA

En un movimiento donde laaceleración varía uniforme-mente respecto al tiempo,el área bajo la recta del grá-fico (a – t) representa elcambio de velocidad entredos puntos.

A v vF o= −

o En nuestro caso:

A t= −1

22

2b g

t s= 7

91

2t t vf= b g

tanθ = = =9

33

v

tf

v tf = 3

vf = 13

5⇒ =v m sf /

1

22

2t v vf o− = −b g

1

22 0 12 5

2t − = − −b g b g,

o

o



1.- ¿Cuál es la velocidad que lleva el móvil entre los 10 ylos 20 segundos?

Rpta. 0

2.- Según el gráfico, determinar el espacio recorrido, has-ta el quinto segundo a partir de t = 0

Rpta. 30 m

3.- ¿Cuál es la aceleración del móvil según el gráfico?

Rpta. – 5 m/s2

4.- El gráfico representa el movimiento de un móvil enuna línea recta. Hallar el desplazamiento, y el espaciorecorrido por el móvil entre t = 0 s y t = 10 s

Rpta. Desplazamiento = 25 mEspacio = 35 m

5.- La velocidad de tres partículas 1, 2 y 3 en función deltiempo son mostrados en la figura. Calcular la razónentre las aceleraciones mayor y menor.

Rpta. 10

6.- El gráfico pertenece a un móvil que se mueve a lo lar-go del eje x. Si recorre 120 m en los primeros sietesegundos, determinar el valor de su velocidad en elquinto segundo.

Rpta. 20 m/s

7.- Un auto viaja a 40 m/s y frena, desacelerando unifor-memente de acuerdo al gráfico de su movimiento. Ha-llar el espacio recorrido entre t = 7 s y t = 10 s.

Rpta. 35 m

8.- En el gráfico adjunto. ¿Cuál es la posición del móvilcuando t = 10 s?

Rpta. 32 m

9.- Si el móvil parte con vo = 2 m/s ¿ Cuál es su velocidadal cabo de 6 s ?

Rpta. 3 m/s

10.- En la gráfica a – t, determinar la velocidad en el 5to sde movimiento si el móvil parte del reposo.

Cinemática

Rpta. 2 m/s

1.- Del diagrama v – t de la figura. Deducir el diagramax – t, si la posición inicial xo = 0

Rpta.

2.- Del diagrama a – t de la figura deducir el diagramav – t si se sabe que la posición y la velocidad iniciales 0.

Rpta.


3.- Un cohete parte, con velocidad inicial de 8 m/s y suaceleración viene dada por la gráfica mostrada en lafigura. ¿Cuál es su velocidad en t = 8 s?sugerencia: a = vf − vo

Rpta. 36 m/s

4.- De la gráfica v – t de la figura deducir las gráficas x – t ya – t; considere que el móvil parte del origen de coor-denadas.

Rpta.

5.- La gráfica (v – t) muestra el movimiento horizontal deun móvil, si para t = 1 s el móvil se encuentra a 3 m a laizquierda del observador. Hallar la posición del móvilpara t = 11 s.

Rpta. 9 m a la derecha del observador

6.- El movimiento de una partícula viene dado por la grá-fica x – t, determinar la gráfica v – t correspondiente adicho movimiento.

Rpta.

7.- Hallar la velocidad instantánea en t = 10 s; x = posi-ción, t = tiempo

Rpta. 1 m/s

9.- La figura nos indica diagramas velocidad tiempo de dosmóviles A y B que se mueven sobre la misma recta, yque parten de una misma posición inicial. Al cabo dequé tiempo, en segundos, se encontrarán los móviles.

Rpta. 18 s

10.- El gráfico describe el movimiento de un auto y un ca-mión que pasan por un mismo punto en t = 0. Calcu-lar el instante en el cual volverán a estar juntos.

Rpta. 18 s

8.- El gráfico representa la velocidad en función del tiem-po de dos móviles M y N que parten de un mismo pun-to sobre la misma recta. Si N parte 5 s después de M,calcular en qué instante N alcanza a M.

Rpta. 25 s

Cinemática



1.- Un nadador cuya velocidad es de 30 m/s en aguas tran-quilas decide cruzar un río de 300 m de ancho, cuyasaguas tienen una velocidad de 40 m/s, para tal efectose lanza perpendicularmente a la orilla del río. Calcu-lar el espacio recorrido por el nadador.

Solución:2.- Una lancha a motor parte desde la orilla de un río

de 120 m de ancho con una velocidad constante de30 m/s perpendicular a él; las aguas del río tienenuna velocidad de 15 m/s. ¿Qué tiempo tarda la lan-cha en llegar a la otra orilla?

Solución:

Aplicaremos el principio de independencia de losmovimientos.

o Entre A y B (M.R.U.): e vt=

300 30 10= ⇒ =t t s

o Entre A y C (M.R.U.): e = ?

e vt=

e e m= ⇒ =50 10 500b g

MOVIMIENTO COMPUESTO

3.- Una pelota sale rodando del borde de una mesa de1,25 m de altura; si cae al suelo en un punto situado a1,5 m del pie de la mesa. ¿Qué velocidad tenía la pelo-ta al salir de la mesa? (g = 10 m/s2).

Solución:

Aplicaremos el principio de independencia de losmovimientos.

o Entre A y B (M.R.U.):

e vt=

120 30 4= ⇒ =t t s

4.- Un avión que vuela horizontalmente a razón de 90 m/s,deja caer una bomba desde una altura de 1 000 m ¿Conqué velocidad aproximada llega la bomba a tierra?(g = 10 m/s2).

Solución:

o Verticalmente:

(caida libre)

vo = 0

h gt= 1

22

1 251

210 2, = b gt

t s= 0 5,

o Horizontalmente (M.R.U.):

e vt=

1 5 0 5 3, , /= ⇒ =v v m sb g

o Verticalmente (caida libre)

(baja)

5.- Una pelota fue lanzada con una velocidad inicial de10 m/s, formando con el horizonte un ángulo de 40°,hallar.

a) ¿Cuanto tiempo se encontró en movimiento?b) ¿Hasta que altura subió la pelota?c) ¿A qué distancia del punto de lanzamiento cayó

la pelota?

sen 40° = 0,642 8 ; cos 40° = 0,766 0 ; g = 10 m/s2

Solución:

o

1.- Una pelota lanzada horizontalmente choca con unapared que se encuentra a 5 m de distancia del sitiodesde la cual se lanzó. La altura del punto en que lapelota choca con la pared es un metro más bajo quela altura desde el cual fue lanzada. Determinar con quévelocidad inicial fue lanzada la pelota.

a) Entre A y B (verticalmente):

v v gtF o= − (sube)

t s= 0 642 8,

T stotal =1 285 6,

b) Entre A y B (verticalmente):

hv v

tF o= +FHG

IKJ2

h h m= × ⇒ =5 0 642 8 0 642 8 2 07, , ,b gb g

c) Entre A y C (horizontalmente): M.R.U.

e vt=

x x m= × ⇒ =10 0 766 0 1 285 6 9 85, , ,b gb g


v v ghF o2 2 2= +

vB2 0 2 10 1 000= + b gb g

vB2 20 000=

v v vR B2 2 2= +

vR2 2

90 20 000= +b gv V m sR R

2 8 100 20 000 167= + ⇒ = /

0 10 40 10 40= ° − ⇒ = °sen t t sen

T t ttotal AB BC= + = +0 642 8 0 642 8, ,

hsen= + °F

HGIKJ

0 10 40

20 642 8,

x Ttotal= °10 40cosb gb g

Cinemática

Solución:

2.- Determinar el ángulo de lanzamiento de una partícu-la de tal modo que su alcance horizontal sea el triplede su altura máxima.

Solución:

o Verticalmente(entre A y B) :

vo = 0

g m s= 9 8 2, /

h v t gto= + 1

22

t s= 1

4 9,

o Horizontalmente (M.R.U.):

e vt=

51

4 911 07= × ⇒ =v v m s

,, /

3.- Desde el descansillo de una escalera se lanza una bolacon velocidad de 3 m/s. Si el alto y ancho de cada es-calón es de 0,25 m c/u. ¿En qué escalón caerán porprimera vez la bola? (g = 10 m/s2).

Solución:

o Verticalmente (A y B):

............... (1)

o Horizontalmente (A y C) : T t= 2

............ (2)

o (1) : (2)

1

3 453= ⇒ = °tanθ θ

e v th=

4.- Un automóvil se mueve horizontalmente con una ve-locidad de 20 m/s. ¿Qué velocidad se le dará a un pro-yectil, disparado verticalmente hacia arriba desde elauto, para que regrese nuevamente sobre él, despuésque el auto haya recorrido 80 m? (g = 10 m/s2).

Solución:

o Verticalmente:

h v t gto= + 1

22

h t= ×1

210 2

h t= 5 2 ....... (a)

o Horizontalmente:

e vt t= = 3

e t= 3 ....... (b)

o (a) = (b) ya que: e = h

o En (b):

e e m= FHG

IKJ ⇒ =3

3

51 8,

N Escalón° ≅ ≅ ≅ °1 80

0 257 2 8

,

,,

o Con el proyectil (verticalmente):

o Con el proyectil (horizontalmente)

0 1010

= − ⇒ =v t tv

e v T v th h= = 2b g

80 202

1020= × ⇒ =v

v m s/

3 53

52t t t s= ⇒ =

h m= 1

1 01

29 8 2= +t tb g b g,

hvsen

t= +FHG

IKJ

0

2

θ

hvsen

t= FHG

IKJ

θ2

hv v

tf o= +FHG

IKJ2

3 2h v t= cos θb gb g

v v gtf o= −

x x m= × ⇒ =50 2 2 5 2 1 000d i

5 4 2 0 9 3, , /= × ⇒ =v v m sb g

5.- Un jugador de fútbol patea una pelota, que sale dis-parada a razón de 15 m/s y haciendo un ángulo de 37°con la horizontal. Pedro, un jugador se encuentra a27 m de distancia y delante del primero, corre a reco-ger la pelota. ¿Con qué velocidad debe correr este úl-timo para recoger la pelota justo en el momento enque ésta llega a tierra? (g = 10 m/s2).

Solución:

6.- Un mortero dispara un proyectil bajo un ángulo de45° y una velocidad inicial de 100 m/s. Un tanque avan-za, dirigiéndose hacia el mortero con una velocidadde 4 m/s, sobre un terreno horizontal. ¿Cuál es la dis-tancia entre el tanque y el mortero en el instante deldisparo, si hace blanco? (g = 10 m/s2).

Solución:

o Con la pelota (verticalmente):

o Con la pelota (horizontalmente):

o Con Pedro:

0 9 10 0 9= − ⇒ =t t s,

x vT v t= = 2b gx x cm= × ⇒ =12 2 0 9 21 6, ,b g

y x m= − =27 5 4,

y vT v t= = 2b g

o Con el proyectil (verticalmente de subida):

7.- En la figura, la plataforma se desplaza a razón cons-tante de 6 m/s. ¿Con qué velocidad respecto a la pla-taforma debe el hombre correr sobre la plataformapara salir horizontalmente del borde y llegar justo alotro extremo? (g = 10 m/s2). Desprecie la altura de laplataforma.

0 50 2 10 5 2= − ⇒ =t t s

o Con el tanque:

o Con el proyectil (horizontalmente):

o Finalmente:

e v T tH= =b g b g50 2 2

e v T v t= =b g b g2

y y m= × × ⇒ =4 2 5 2 56 6,

d x y= +

Solución:

o Entre A y B (verticalmente): vo = 0

h v t gto= + 1

22

1 25 01

210 0 52, ,= × + × ⇒ =t t t s

Ilustrando:

v v gtf o= −

v v gtf o= −

d d m= + ⇒ =1 000 56 6 1 056 6, ,

Cinemática

8 6 2= + ⇒ =v v m sh h /

o Entre A y B (horizontalmente) M.R.U.

e v ttotal= b g4 0 5 8= ⇒ =v v m stotal total, /b g

o Pero: v v vtotal P h= +

8.- Un apache desea clavar perpendicularmente una fle-cha en la pradera, lanzándola con un ángulo de 53°con la horizontal. Determinar la razón x/y.

Solución:

Nótese que la flecha por tener velocidad solo horizon-tal en B”, se encuentra en el punto de altura máxima.

............ (1)

Además:

................... (2)

o Horizontalmente (entre A y B)

............. (3)

o (2) en (3):

............. (4)

o Dividiendo (4) entre (1):

Solución:

10.- Una partícula es lanzada desde la ventana de un edifi-cio ubicado a 100 m de altura, con una velocidad de50 m/s y formando un ángulo de 37° con la horizontal.Determinar el tiempo que tarda en impactar con lacolina (g = 10 m/s2).

o Horizontalmente:

o Verticalmente:

x vt=

4

510L t= b g

t L= 2

25............ (1)

3

5

1

210

2

2518 75

2

L L L m= FHG

IKJ ⇒ =b g ,

............ (2)

o (1) en (2):

Solución:

o Horizontalmente (entre A y C):

e vt=

o Verticalmente (entre A y C):

...... (1)

..... (2)

o (1) en (2):

Recomendación:Investigar método vectorial para problemas de caídalibre.

9.- Desde la parte superior de un plano inclinado 37° conla horizontal, se lanza horizontalmente una esfera conuna velocidad inicial de 10 m/s. Determinar el alcance“x” de la esfera a lo largo del plano inclinado.

y gt L gt= ⇒ =1

2

3

5

1

22 2

3

550 100 30

10

22 52t t t t s− = − ⇒ =

4

540L t=

L t= 50

o Verticalmente (entre A y B): v v gyf o2 2 2= −

0 53 22= ° −vsen gyb g

yv sen

g= °2 2 53

2

v v gtf o= −

0 53= ° −vsen gt

tvsen

g=

°53

x v t= °cos 53b g

x vvsen

g= °

°cos 53

53b g b g

x

y sen

x

y=

°°

⇒ =2 53

53

3

2

cos

y v t gtL

t gto= − ⇒ −FHG

IKJ = −1

2

3

5100 30

1

22 2



1.- Un avión vuela a 1 470 m de altura con una velocidadde 144 km/h. ¿A qué distancia antes de estar sobre elblanco deberá soltar la bomba?

Rpta.

2.- Un proyectil es lanzado horizontalmente desde unaaltura de 36 m con velocidad de 45 m/s. Calcula: Eltiempo que dura el proyectil en el aire y el alcancehorizontal del proyectil (g = 10 m/s2).

Rpta.

3.- En qué relación deben estar las velocidades de lanza-miento de la partícula si se desea que caiga en lospuntos A y B.

Rpta.

4.- Una piedra es lanzada con un inclinación de 60° con lahorizontal y una velocidad inicial de 40 m/s. ¿Al cabode qué tiempo se encontrará nuevamente en el suelo?

Rpta.

5.- Un cañón dispara un proyectil con una velocidad ini-cial de 100 m/s y a una inclinación de 37° con respec-to al horizonte. Calcular a qué distancia llega.

Rpta. 960 m

6.- Un cañón dispara una bala con una velocidad de91 m/s. Cuando el ángulo de elevación es de 45°;el alcance es de 820 m. ¿Cuánto disminuye el al-cance la resistencia del aire?

Rpta. 8,1 m

7.- Se arroja una piedra a un pozo con ángulo de 60° res-pecto a la horizontal con velocidad de 10 3 m/s. Sien 4 s llega al fondo del pozo. ¿Qué altura tendrá di-cho pozo? (g = 10 m/s2).

Rpta. 20 m

8.- Calcular la mínima velocidad que debe tener un mó-vil para pasar un obstáculo, como en la figura mostra-da (g = 10 m/s2).

Rpta. 20 m/s

9.- Un avión vuela horizontalmente y suelta una bombaal pasar justo sobre un camión enemigo que se des-plaza a 120 km/h y logra destruirlo 500 m más adelan-te. ¿Desde que altura se soltó la bomba?

Rpta. 1 102,5 m

10.- Un partícula es lanzada desde “A” con una velocidadde 50 m/s. ¿Determinar el valor de “H”? (g = 10 m/s2).

Rpta. 35 m

v

vA

B= 2

3

1.- En la figura tenemos una porción de la trayectoria

de un movimiento parabólico, si la velocidad en el

punto “A” es 40 2 m/s. Hallar la altura que hay entre

“A” y “B” si:

Rpta. 160 m

2.- La pelota mostrada se impulsa a 3 2 m/s con ángulode tiro de 45°. Alimpactar sobre laventana lo hace a5 m/s. Hallar “x”(g = 10 m/s2).

Rpta. 2,10 m


t s x m= =6 5

554 5;

α θ= ° = =453

410 2, ( / ).g m s

2 3 s

40 294 m

Cinemática

3.- Un mortero dispara un proyectil bajo un ángulo de45° y una velocidad inicial de 100 m/s. Un tanque avan-za, dirigiéndose hacia el mortero con una velocidadde 4 m/s; sobre un terreno horizontal. ¿Cuál es la dis-tancia entre el tanque y el mortero en el instante deldisparo si hace blanco? (g = 10 m/s2).

Rpta.

4.- Una pelota sale rodando del borde de una escaleracon una velocidad horizontal de 1,08 m/s, si los esca-lones tienen 18 cm de altura y 18 cm de ancho. ¿Cuálserá el primer escalón que toque la pelota?

Rpta. Caerá en el 2do escalón

5.- Un ciclista que va a una velocidad de 108 km/h, entraa un túnel de 20 m de largo, y al momento de entrar altúnel deja caer su gorra desde una altura de 1,65 mdel suelo ¿La gorra caerá dentro del túnel?

Rpta. Si, caerá dentro del túnel

6.- Se lanzan al mismo instante dos piedras, una con ve-locidad “v1” que hace 30° con la horizontal y la otra“v2” que forma 53° con la horizontal, si el tiempo quedemoró caer a Tierra la que tiene “v1”, es 5 veces lo quedemoró en caer a Tierra la que tiene “v2”. Hallar: v1/v2(g= 10 m/s2).

Rpta. 8

7.- Sobre una pista lisa inclinada, tal como se muestra, selanza una bolita con una velocidad de 50 m/s y un án-gulo de 53°. ¿Cuál es el alcance horizontal de la bolita?(g = 10 m/s2).

Rpta. 400 m

8.- Dos cuerpos lanzados simultáneamente de los pun-tos “A” y “B” chocan en el punto “P” tal como se mues-tra. ¿Cuánto vale “α” ? (g = 10 m/s2).

Rpta. 45°

9.- Si “A” y “B” se impulsan simultáneamente y chocan al cabode 6 s, en el instante en que “B” logra su máxima altura.Hallar la distancia de separación vertical entre los pun-tos de lanzamiento si “A” se lanzó con 160 pies/s.

Rpta. 384 pies

10.- Un proyectil se lanza desde el punto “A” con una velo-cidad de 25 m/s como se indica, choca elásticamenteen el punto “B” para finalmente impactar en el punto“C”. Determine a qué distancia desde el punto de lan-zamiento impacta en “C”, y con qué velocidad llega.

Rpta. 20 m, 25 m/s

d m= +40 25 2d i

ω π ω π= ⇒ =2

672 336rad h/

ω π ω π= ⇒ =2

50 4, /rad s

1.- Una partícula describe una circunferencia de radio iguala 30 cm y da 4 vueltas en 20 segundos; calcular:

a) El períodob) La frecuenciac) La velocidad angular

Solución:



2.- Considerando que el período de la Luna alrededor dela Tierra es 28 días. Determinar la velocidad angularde la Luna respecto de la Tierra en rad/h.

Solución:

a)

b)

c)

TTiempo total

de vueltas=

#

T T s= ⇒ =20

45

ω π= 2

T

3.- En un reloj de agujas, determinar la velocidad angulardel horario y minutero, en rad/h.

Solución:

T díasLuna = 28

T hLuna = 672

o Calculando la velocidad angular: ω π= 2

T

⇒ = ×T díash

díaLuna 2824

1o

4.- Un auto va a 80 km/h, el diámetro de la llanta es de33 cm. Calcular la velocidad angular.

Solución:

o Velocidad angular del horario

o Velocidad angular del minutero

5.- Una rueda durante su recorrido necesita 3 s para girarun ángulo de 234 radianes; su velocidad angular alcabo de este tiempo es de 108 rad/s. Determinar suaceleración angular constante.

v km h m s= =80200

9/ /o

o Cálculo de la velocidad angular: v R= ω

200

90 33= ω ,b g

fde vueltas

Tiempo total= #

ω ω π= ⇒ =Ángulo recorrido

Tiempo empleado

rad

h

2

12

ω ω π= ⇒ =Ángulo recorrido

Tiempo empleado

rad

h

2

1

ω = 200

297rad s/

f f Hz= ⇒ =4

200 2,

ω π=6

rad h/

ω π= 2 rad h/

MOVIMIENTO CIRCULAR

Cinemática

a = 1 2m s/

Solución:

1.- Un disco rota uniformemente alrededor de su eje,v1 es la velocidad del punto “1” y v2 es la velocidaddel punto “2”. Los puntos “1” y “2” distan de “O” 1,5 y2 cm respectivamente. Calcular la relación entre ve-locidades: v2/v1

.

o Datos:

o Calculando la velocidad angular inicial:

o Calculando la aceleración angular (α):

t s= 3

θ = 234 rad

ωF rad s=108 /

α = ?

θ ω ω= +FHG

IKJ

o F t2

234108

23 48= +F

HGIKJ ⇒ =ω ωo

o rad s/

α ω ω= −F o

t

α α= − ⇒ =108 48

320 2rad s/


Solución:

o Como se verá: Los puntos (1) y (2) giran en tornoa un mismo centro:

2.- Un cono gira con período de 4 s. ¿En qué relación es-tán las velocidades lineales de los puntos P y Q?

ω ω ω1 2= =

v1 1 5= ω ,b gv2 2 0= ω ,b g

o Velocidades tangenciales:

o (2) : (1)

v

v

v

v2

1

2

1

2

13

2

4

3= ⇒ =

Solución:

3.- Una partícula gira en un círculo de 3 m de diámetro auna velocidad de 6 m/s, tres segundos después su ve-locidad es 9 m/s. Calcular el número de vueltas que hadado al cabo de 6 s.

Solución:

o Relación de radios:

o Datos: T = 4 s

Como P y Q giran en torno a un mismo eje, susvelocidades angulares son iguales.

3

18

1

6= ⇒ =R

R

R

RP

Q

P

Q

ω ωP Q=

v

R

v

R

v

v

R

RP

P

Q

Q

P

Q

P

Q= ⇒ = = 1

6

v

vP

Q= 1

6

o v m so = 6 /

v m sF = 9 /

t s= 3

a = ? ( / )m s2

U

V|||

W|||

a = −v v

tF o

a = −9 6

3

o v m so = 6 /

t s= 6

S m= ? ( )

U

V|||

W|||

S v t to= + 1

22a

S = +6 61

21 6

2b g b gb g

S m= 54

o S m= 54

R m=1 5,

θ = ? ( )rad

UV||

W||

S R= θ

54 1 5= θ ,b gθ = 36 rad

......... (1)

......... (2)

a = 1 2m s/

4.- Un ventilador gira con velocidad correspondiente auna frecuencia de 900 R.P.M. al desconectarlo, su mo-vimiento pasa a ser uniformemente retardado hastaque se detiene por completo después de dar 75 vuel-tas. ¿Cuánto tiempo transcurre desde el momento enque se desconecta el ventilador hasta que se detienepor completo?

Solución:

5.- Se tiene un cascarón esférico que gira con velocidadangular constante a razón de 200 rev/s respecto a uneje vertical. Se dispara un proyectil horizontalmentede tal modo que pasa por el centro del cascarón. De-terminar la velocidad angular del cascarón sabiendoque su radio es igual a 1 m. Determinar también lamáxima velocidad del proyectil de tal modo que atra-viesa el cascarón haciendo un solo agujero.

Solución:

o Finalmente:

2π rad 1 vuelta36 rad x

x vueltas= 5 73,

o Dato:

fF = 0

o Aplicando: ω π= 2 f

o Luego:

U

V|||

W|||

ω πo rad s= 30 /

ωF = 0

t = ?

# de vueltas = 75

2π rad 1 vuelta

θ = ? 75 vueltas

θ π=150 rad

θ ω ω= +FHG

IKJ

F o t2

15030 0

210π π= +F

HGIKJ ⇒ =t t s

o ω π π= =2 2 200f b g

o Con el proyectil: e vt=

2= vt ........... (1)

6.- Tres ruedas A, B y C, se encuentran en contacto talcomo muestra el gráfico. Siendo la velocidad angularde “B” 200 rad/s. Hallar la velocidad angular de “A” y “C”en rad/s si los radios son iguales a 20, 10 y 15 cm res-pectivamente.

Ahora para que el proyectil penetre un sólo agu-jero, el cascarón deberá dar media vuelta.

Luego:

tT=2

; siendo: T = período de revolución

o En (1):

22

= vT

; pero: Tf

= 1

21

2 200800=

×FHG

IKJ ⇒ =v v m s/

Solución:

v v vA B C= =

ω ω ωA A B B C CR R R= =

o

o ωA 20 200 10b g b g=

o ω ωB B C CR R=

200 10 15b gb g b g= ωc

7.- La rueda “A” presenta una velocidad angular constan-te de 40 rad/s. ¿Cuál es el valor de la velocidad angularde la rueda “D”?

ω π= 400 rad s/

ωA rad s= 100 /

ωc rad s= 133 33, /

frev

s

rev

so = × =9001

6015

min

min

Cinemática

Solución:

o v vA B=

ω ωA A B BR R=

40 3 2 60b gb g b gr r rad sB B= ⇒ =ω ω /

o ω ωB C rad s= = 60 /

v

rC

C= 60

v

rv rC

C= ⇒ =60 60

o v vC D=

60r RD D= ω

60 5 12r r rad sD D= ⇒ =ω ωb g /

8.- Un disco gira en un plano horizontal, si tiene un hue-co a cierta distancia del centro por donde pasa unmóvil que luego al caer pasa por el mismo hueco. ¿Cuáles la velocidad angular del disco en (rad/s)? (conside-re: g = 10 m/s2).

Solución:

9.- Una bolita está pegada sobre un disco liso de radio “R”,a una distancia 0,6R de su eje de giro. Si el disco estágirando a 8 rev/min y bruscamente se despega la bo-lita. ¿Después de cuanto tiempo saldrá despedida deldisco?

Solución:

o Analizando el movimiento parabólico (verti-calmente)

v v gtF o= −

0 12 10 1 2= − ⇒ =t t s,

o Analizando el movimiento de rotación deldisco.Para que el móvil regrese al mismo hueco, el tiem-po de rotación de dicho hueco, debe ser también2,4 s.

o Se tiene: θ π= ° =180 rad

ω θ=t

o frev

sf rev s= × ⇒ =8

60

2

15min

min/

ω π π ω π= = FHG

IKJ ⇒ =2 2

2

15

4

15f rad s/T t T stotal total= = ⇒ =2 2 1 2 2 4, ,b g o

(cuando el móvil sube)

ω π ω= ⇒ =2 4

1 31,

, /rad s

ω ω αF o t= +



10.- Las paletas de un ventilador que parte del reposo du-rante 5 segundos giran experimentando cambios derapidez a razón constante alcanzando así una frecuen-cia de 2 400 R.P.M. ¿Cuántas vueltas realizó durante eltercer segundo de su rotación?

Solución:

o Calculando la velocidad de la bolita.

v r= ω

v R v R= ⇒ =4

150 6

4

25

π π,b g ........... (1)

o En el triángulo ACB:

o Finalmente:

x R= 8

10........... (2)

x vt= ................ (3)

o (1) y (2) en (3):

8

10

4

25R Rt= π

o

ω π πF Ff= =2 2 40b go

o Se tiene:

ω ω πo F rad s t s= = =0 80 5; / ;

o Calculando la aceleración angular (α)

o Calculando el ángulo θ recorrido hasta los 2 se-gundos

80 0 5 16 2π α α π= + ⇒ =b g rad s/

θ2 = ? ( )rad

t s= 2

ωo = 0

α π=16 2rad s/

θ ω α= +ot t1

22

o Calculando el ángulo θ recorrido hasta los 3 se-gundos

θ3 = ?( )rad

t s= 3

ωo = 0

α π=16 2rad s/

1.- Un cuerpo que posee M.C.U. gira a razón de 10 rad/s.Si el móvil recorre 20 m en 5 s. Calcular el radio de giro.

Rpta. 0,4 m

2.- Un disco A gira razón de 120 R.P.M. y un punto P seencuentra a 30 cm del centro de rotación. Otro discoB gira A razón de 90 R.P.M y un punto Q se encuentra a40 cm del centro de rotación. ¿Cuál de los puntos (P oQ) tiene mayor velocidad lineal?

Rpta. Tienen igual velocidad lineal = 120 cm/s

o El ángulo recorrido en el 3° segundo será:

o El número de vueltas en el 3° segundo:

# de vueltas = 20ω πF rad s= 80 /

t s= 5

π

3.- A las doce del día, las agujas de un reloj están super-puestas ¿Al cabo de cuántos minutos, el minutero y elhorario formarán un ángulo de 30° por primera vez?

Rpta. 5,45 minutos

4.- Los puntos periféricos de un disco que gira uniforme-mente, se mueven a 40 cm/s. Si los puntos que se en-cuentran a 2 cm de la periféria giran a 30 cm/s. ¿Quédiámetro tiene el disco?

Rpta. 16 cm

f rev sF = 40 /

;

;

;

;

# de vueltasrad

rad= =40

220

ππ

θ π θ π32

30 31

216 3 72= × + ⇒ =b gb g rad

θ π θ π22

20 21

216 2 32= + ⇒ =b gb g b gb g rad

θ θ θ θ π= − ⇒ =3 2 40 radf

rev revF = = ×2 400 2 400

1

60min min

min

Cinemática

5.- En la figura, si la rueda mayor gira a razón de 3 rad/s.Calcular la velocidad angular de la rueda menor.

Rpta. 9 rad/s

6.- Si la aceleración tangencial de “A” es 3 m/s2. calcular laaceleración angular de “C” en rad/s2.(RA = 2 cm, RB = 8 cm, RC = 6 cm).

Rpta. 0,5 rad/s2

7.- Una rueda gira con velocidad de 2 rev/s y se detieneen 0,5 minutos. Si la desaceleración es uniforme, cal-cular el ángulo descrito.

Rpta. 60π rad

8.- La velocidad angular de un motor que gira a 1 800 R.P.M.,en 2 segundos desciende uniformemente hasta1 200 R.P.M. ¿Cuál es la aceleración angular? Y ¿Cuántasvueltas dió el motor en dicho tiempo?.

Rpta. α = −10π rad/s2 ; n = 50 vueltas

9.- Hallar la velocidad lineal con que giran los puntos dela superficie terrestre que se encuentra a latitud60° Norte (radio de la Tierra = 6 370 km).

Rpta. 834 km/h

10.- ¿Con qué velocidad deberá volar un avión en el Ecua-dor, de Este a Oeste, para que sus pasajeros les parez-ca que el sol está fijo en el firmamento?(radio de la Tierra = 6 370 km).

Rpta. 1 668 km/h

1.- La figura nos indica dos poleas coaxiales, fijas entreellas, de radio r1 = 0,3 m y r2 = 0,2 m y una tercerapolea de radio r = 0,4 m. El cuerpo F desciende conaceleración constante a = 8 m/s2 partiendo del repo-so. Calcule la velocidad angular de la polea de radio ren un instante t = 5 s. Si se sabe que no hay desliza-miento entre las poleas.

Rpta. 150 rad/s

2.- Un tocadisco gira a 33 R.P.M. Al cortar la corriente lafricción hace que el tocadisco se frene con desace-leración constante, observándose que luego de 3 sgira a 32,5 R.P.M. ¿Qué tiempo en segundos, tarda eltocadisco para detenerse?

Rpta. 198

3.- Un cuerpo que parte del reposo posee una aceleraciónangular constante y tarda 2 minutos en recorrer entre2 puntos de la trayectoria circular un desplazamientoangular de 24 revoluciones. Si cuando pasa por el se-gundo punto gira a 18 R.P.M. Hallar el número de revo-luciones entre el primer punto y el punto de partida.

Rpta. 3 vueltas

4.- Los radios de las ruedas de la bicicleta que se mueve enla trayectoria circular mostrada en la figura, están en larelación de 5 a 1, determinar en qué relación estarán elnúmero de vuel-tas que dió cadallanta, si se sabeque el ciclista dióla vuelta completaa la pista en 120 sy R = (20/π ) m.

Rpta. 5 a 1

5.- En el sistema de transmisión de la figura: rA = 0,3 m;rB = 0,5 m y rC = 0,2 m. Si la rueda A acelera a razón de10 rad/s2, ¿Qué velo-cidad adquirirá elbloque P a los 15 s deiniciado su movi-miento? (en m/s).

Rpta. 18 m/s


6.- A 4,9 m de altura sobre un punto “P” marcado en la pe-riferia de un disco de 45 R.P.M. se deja caer una piedraen el preciso instante en que el disco empieza a girar(ω = cte). Al caer dicha piedra sobre el disco. ¿A qué dis-tancia del punto “P” lo hará? Radio del disco = 15 cm(g = 9,8 m/s2).

Rpta.

7.- Determinar con qué velocidad tangencial giran lospuntos sobre la superficie terrestre ubicados a 45° delatitud y sobre el nivel del mar.(R = radio de la tierra = 6 400 km).

Rpta.

8.- Un cilindro gira a 5 rad/s; un proyectil lo atraviesa conuna velocidad inicial de 340 m/s y una velocidad finalde 300 m/s. Determinar el ángulo que forma entre sílas perforaciones y el eje del cilindro.

Rpta. 0,25 rad

9.- Si consideramos que el radio de la Tierra es de 6 360 kmy que ella tarda 24 h en dar una vuelta. Calcular la velo-cidad lineal de un punto del Ecuador.

Rpta. 530π km h/

10.- Se tiene una barra horizontal en reposo cuya longitud esde 80 3 cm sostenida por dos cuerdas unidas a 2 po-leas que empiezan a girar, logran hacer que la barra suba;si las poleas giran convelocidad angular de120/π R.P.M. ¿Al cabode cuánto tiempo labarra formará un án-gulo de 60° con la ho-rizontal? (r1 = 10 cm ;r2 = 30 cm).

Rpta. 1,5 s

15 2 cm

800

3

πkm h/

cinematica sin teoria

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