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1 Bárbara Cánovas Conesa 637 720 113 www.clasesalacarta.com 1 Cinemática Posición de un Cuerpo Coordenadas Cartesianas Coordenadas Polares Vector de Posición (, , ) , q Elementos para la descripción del movimiento 1. Sistema de Referencia. 2. Trayectoria.- camino seguido por un objeto cuando se mueve. 3. Espacio recorrido o desplazamiento.- longitud de la trayectoria (línea recta). Vector de Posición y Vector Desplazamiento Vector de posición Es un vector que tiene su origen en el origen de coordenadas y su extremo está situado en la posición del móvil en un instante determinado. = + + = + + Los vectores , y son vectores unitarios de dirección de los ejes X, Y y Z respectivamente. El módulo del vector de posición indica la distancia al origen: || = √ 2 + 2 + 2 Ecuación del movimiento: es la ecuación que se obtiene al expresar en función del tiempo. () = () · + () · + () · Vector desplazamiento ∆ = 2 1 = ( 2 1 ) + ( 2 1 ) Vector de Posición Vector de Desplazamiento x y trayectoria P (x, y, z) x y z P 1 x y P 2

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Bárbara Cánovas Conesa

637 720 113 www.clasesalacarta.com 1

Cinemática

Posición de un Cuerpo

Coordenadas Cartesianas Coordenadas Polares Vector de Posición

(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑟,q 𝑟

Elementos para la descripción del movimiento

1. Sistema de Referencia.

2. Trayectoria.- camino seguido por un objeto cuando se mueve.

3. Espacio recorrido o desplazamiento.- longitud de la trayectoria (línea

recta).

Vector de Posición y Vector Desplazamiento

Vector de posición

Es un vector que tiene su origen en el origen de coordenadas y su extremo está situado en la posición del móvil en un

instante determinado.

𝑟 = 𝑟𝑥 + 𝑟𝑦 + 𝑟𝑧 = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗 + 𝑧 �⃗⃗�

Los vectores 𝑖 , 𝑗 y �⃗⃗� son vectores unitarios de dirección de los ejes X, Y y Z respectivamente.

El módulo del vector de posición indica la distancia al origen:

|𝑟| = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

Ecuación del movimiento: es la ecuación que se obtiene al expresar 𝑟 en función del tiempo.

𝑟(𝑡) = 𝑥 (𝑡) · 𝑖 + 𝑦 (𝑡) · 𝑗 + 𝑧 (𝑡) · �⃗⃗�

Vector desplazamiento

∆ 𝑟 = 𝑟2 − 𝑟1= (𝑥2 − 𝑥1) 𝑖 + (𝑦2 − 𝑦1) 𝑗

Vector de Posición Vector de Desplazamiento

x

y

trayectoria

P (x, y, z)

x

y

z P1

x

y

P2

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Física _ 1º Bachillerato

Velocidad

Velocidad media Velocidad instantánea

𝑣𝑚=∆𝑟

∆𝑡 =

𝑟2 − 𝑟1𝑡2 − 𝑡1

= 𝑚 𝑠𝑒𝑔⁄ 𝑣 = 𝑙𝑖𝑚𝑡→0

∆ 𝑟

∆𝑡 =

𝑑𝑟

𝑑𝑡

Magnitud vectorial cuya dirección y sentido coincide con los del ∆ r⃗

Magnitud vectorial tangente a la trayectoria en cada punto de la misma y que puede expresarse en función de sus coordenadas cartesianas:

𝑣 = 𝑣𝑥 + 𝑣𝑦

𝑣 = 𝑣𝑥 𝑖 + 𝑣𝑦 𝑗

|𝑣| = √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2

Aceleración

La aceleración es el cambio que experimenta la velocidad con la que se mueve un cuerpo en la unidad de tiempo.

Aceleración media Aceleración instantánea

�⃗�𝑚=∆𝑣

∆𝑡=𝑣2 − 𝑣1𝑡2 − 𝑡1

= 𝑚 𝑠𝑒𝑔2⁄ �⃗� = 𝑙𝑖𝑚𝑡→0

∆ 𝑣

∆𝑡

Magnitud vectorial cuya dirección

y sentido coincide con los de la

variación de velocidad.

Aceleración del móvil en un instante o en una posición determinada de su

trayectoria.

Magnitud vectorial que puede expresarse en función de sus coordenadas

cartesianas:

�⃗� = �⃗�𝑥 + �⃗�𝑦 �⃗� = 𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗

Componentes intrínsecas de la aceleración

El vector aceleración en un punto de la trayectoria puede descomponerse en 2 vectores, uno tangente a la

trayectoria (aceleración tangencial) y el otro normal a la trayectoria y perpendicular al anterior (aceleración

normal)

�⃗� = �⃗�𝑡 + �⃗�𝑛 𝑎 = √𝑎𝑡

2 + 𝑎𝑛2

�⃗�𝑡 = 𝑑𝑣

𝑑𝑡· �⃗⃗�𝑡 → Módulo

𝑎𝑁 = 𝑣2

𝑅 → Dirección

x

y

x

y

Bárbara Cánovas Conesa

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Cinemática

Clasificación de los Movimientos

Movimientos

{

Trayectoria {Rectilíneos

Circulares

Velocidad {Uniformes Uniformemente Variados Variados No Uniformemente

Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

𝒗 =𝒔

𝒕 𝒔 = 𝒔𝟎 + 𝒗 · 𝒕

𝑡𝑔 𝛼 = 𝑣

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA)

Trayectoria rectilínea Módulo de la velocidad varía uniformemente

�⃗�𝑁 = 0 �⃗�𝑇 = 𝑐𝑡𝑒

𝒗 = 𝒗𝟎 + 𝒂 𝒕 𝒗𝟐 = 𝒗𝟎𝟐 + 𝟐 𝒂 𝒔 𝒔 = 𝒔𝟎 + 𝒗𝟎 𝒕 +

𝟏

𝟐 𝒂 𝒕𝟐

𝑡𝑔 𝛼 = 𝑎

Caída Libre Ascensión Plano Inclinado

𝑣 = 𝑣0 + 𝑔 𝑡 𝑣 = 𝑣0 − 𝑔 𝑡 𝑣 = 𝑣0 + 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑡

𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0 𝑡 + 1

2 𝑔 𝑡2 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0 𝑡 −

1

2 𝑔 𝑡2 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0 𝑡 +

1

2 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑡2

t (s)

v (m/s)

t (s)

s (m)

s0 0

s0 0

t (s)

v (m/s)

v0 0

v0 0

t (s)

s (m)

s0 0

s0 0

a g·sen

P

Py = g·cos

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Física _ 1º Bachillerato

Composición de movimientos

Principio de superposición de Galileo.- el movimiento resultante de un cuerpo sometido a varios movimientos se obtiene

sumando vectorialmente los movimientos, tanto si son simultáneos o sucesivos

MRU + MRU

Misma Dirección Direcciones Distintas

�⃗⃗⃗� = �⃗⃗⃗�𝟏 + �⃗⃗⃗�𝟐 �⃗⃗⃗� =�⃗⃗⃗�𝟏 − �⃗⃗⃗�𝟐

MRU + MRA

Tiro horizontal

Eje X: MRU (v0 = cte) Eje Y: MRUA (caída libre)

𝒙 = 𝒗𝟎 𝒕 𝒚 = −𝟏

𝟐 𝒈 𝒕𝟐

𝒗𝟎 = 𝒗𝒙 𝒗𝒚 = −𝒈 𝒕

𝑎𝑥 = 0 𝑎𝑦 = −𝑔

Tiro oblicuo

Eje X: MRU (v0x = cte) Eje Y: MRUA (caída libre)

𝒙 = 𝒗𝟎 𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝒚 = 𝒉 + 𝒗𝟎 𝒔𝒆𝒏 𝜶 − 𝟏

𝟐 𝒈 𝒕𝟐

𝒗𝟎𝒙 = 𝒗𝟎 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒗𝒚 = 𝒗𝟎 𝒔𝒆𝒏 𝜶 − 𝒈 𝒕

𝑎𝑥 = 0 𝑎𝑦 = −𝑔

v1= cte v2= cte v1= cte - v2= cte

x

y

x

y

ymáx

xmáx

Bárbara Cánovas Conesa

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Cinemática

Movimientos circulares

Magnitudes angulares

Posición Angular Velocidad Angular Aceleración Angular

Ángulo o nº de vueltas Magnitud que relaciona θ con el

tiempo invertido

Magnitud que relaciona ω con un

tiempo determinado

𝜃 = 𝜃 (𝑡) {𝑟𝑎𝑑} 𝜔𝑚 =∆𝜃

∆𝑡=𝜃2 − 𝜃1𝑡2 − 𝑡1

= 𝑟𝑎𝑑 𝑠𝑒𝑔⁄ 𝛼𝑚 =∆𝜔

∆𝑡=𝜔2 − 𝜔1𝑡2 − 𝑡1

= 𝑟𝑎𝑑 𝑠𝑒𝑔2⁄

𝜔𝑖 = 𝑙𝑖𝑚∆𝑡→0

∆𝜃

∆𝑡=𝑑𝜃

𝑑𝑡 𝛼𝑖 = 𝑙𝑖𝑚

∆𝑡→0

∆𝜔

∆𝑡=𝑑𝜔

𝑑𝑡

𝒔 = 𝜽 · 𝑹 𝒗 = 𝝎 · 𝑹 𝒂𝑻 = 𝜶 · 𝑹

Movimiento circular uniforme (MCU)

Trayectoria circular Módulo de velocidad

constante

Velocidad angular

constante Movimiento periódico

𝑎 ⃗⃗⃗ ⃗𝑁= 𝑐𝑡𝑒 𝑎 ⃗⃗⃗ ⃗𝑇= 0 = 0

θ = θ0 + ω t

Periodo Frecuencia Aceleración normal

Tiempo que tarda el móvil en dar una

vuelta

Nº de vueltas que describe el móvil en

la unidad de tiempo 𝒂𝒏 =

𝒗𝟐

𝑹 = 𝑚 𝑠𝑒𝑔2⁄

𝑻 =𝟐

𝝎 = 𝑠𝑒𝑔 𝒇 =

𝟏

𝑻 = 𝑠𝑒𝑔−1 ó 𝐻𝑧

t2 P2

t1 P1q2

q1

r

P0

q0P1

q1

an

v

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Física _ 1º Bachillerato

Movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)

Trayectoria circular Módulo de velocidad varía

Velocidad angular

constante varía

uniformemente

Aceleración angular

constante

𝑎 ⃗⃗⃗ ⃗𝑁= 𝑐𝑡𝑒 𝑎 ⃗⃗⃗ ⃗𝑇= 𝑐𝑡𝑒 = 𝑐𝑡𝑒

𝝎 = 𝝎𝟎 + 𝜶 𝒕 𝜽 = 𝜽𝟎 + 𝝎𝟎 𝒕 + 𝟏

𝟐 𝒕𝟐 𝝎𝟐 − 𝝎𝟎

𝟐 = 𝟐 𝜽

Movimiento oscilatorio armónico simple

Un cuerpo describe un movimiento periódico cuando las variables de posición, velocidad y aceleración toman los mismos valores después de un intervalo de tiempo constante denominado periodo. Un movimiento oscilatorio o vibratorio es aquel en el que el cuerpo se desplaza sucesivamente a uno y otro lado de su posición de equilibrio repitiendo para cada intervalo de tiempo sus variables cinemáticas. Cualquier cuerpo que sea apartado de su posición de equilibrio estable tenderá a recuperar el equilibrio efectuando movimientos oscilatorios alrededor de esa posición.

Una partícula tiene un MAS cuando oscila bajo la acción de fuerzas restauradoras (obedecen la ley de Hooke) que son proporcionales a la distancia respecto de la posición de equilibrio y cuyo sentido es hacia la posición de equilibrio. Un oscilador armónico es cualquier partícula o sistema con MAS.

Características

Vibración u oscilación: distancia recorrida por la partícula en un movimiento completo de vaivén.

Centro de oscilación: punto medio de la distancia que separa las dos posiciones extremas.

Elongación: distancia (y) que en cada instante separa la partícula móvil del centro de oscilación (O), tomado como

origen de las elongaciones. Coordenada de la posición de la partícula en un momento dado. Se consideran (+) los valores de esta coordenada a la derecha del punto O y (-) a la izquierda.

Amplitud: valor máximo de la elongación (A).

Periodo: tiempo empleado por la partícula en efectuar una oscilación completa (T)

Frecuencia: nº de oscilaciones efectuadas en la unidad de tiempo, es la inversa del periodo (f).

Pulsación o frecuencia angular o velocidad angular: nº de periodos comprendidos entre 2 unidades de

tiempo ().

𝑓 =1

𝑇 (𝐻𝑧)

𝜔 = 2𝜋

𝑇 (𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ )

P0

q0P1

q1 an

v0

v1

aT

A

Ot

y

T

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Cinemática

Ecuación fundamental

La posición, en función del tiempo, nos viene dada por:

𝑥 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 ± 𝛿 )

Donde:

A: amplitud : frecuencia angular t: tiempo : la fase inicial

Si el movimiento va en el sentido positivo del eje x se resta y se va en el sentido negativo se suma.

Las características del MAS son:

Como los valores máximo y mínimo de la función seno son +1 y -1, el movimiento se realiza en una región del eje X comprendida entre -A y +A.

La función seno es periódica y se repite cada 2, por tanto, el movimiento se repite cuando el argumento de la función seno se incrementa en 2.

Velocidad en el MAS

Varía de forma armónica (sinusoidal):

En función del tiempo 𝑣 =𝒹𝑥

𝒹𝑡= − 𝜔 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 + 𝛿)

En función de la posición 𝑣 = −𝜔 √𝐴2 − 𝑥2

Puntos de máxima elongación Nula 𝑣 = 0 → 𝑥 = 𝐴

Posición de equilibrio Máxima 𝑣𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑎 = ± 𝜔 · 𝐴

Aceleración en el MAS

Es una función armónica que depende sinusoidalmente del tiempo:

En función del tiempo 𝑎 =𝒹𝑣

𝒹𝑡= −𝜔2 · 𝐴 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 + 𝛿)

En función de la posición 𝑎 = −𝜔2 · 𝑥

Posición de equilibrio Nula 𝑎 = 0 → 𝑥 = 0

Puntos de máxima elongación Máxima 𝑎𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑎 = −𝜔2 · 𝐴

A

- A

t

Po

sic

ión

T

T

4

T

2

3T

4

x

A

- A

t

Ve

loci

da

d

V = 0

V = Máx.

x

2 A

- 2 A

t

Ace

lera

ció

n

a = Máx.

a = 0

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Física _ 1º Bachillerato

El oscilador armónico simple

Dinámica

Oscilador que consiste en un cuerpo unido a un muelle horizontal. Cuando el cuerpo es apartado de la posición de equilibrio, la fuerza restauradora (𝐹 = −𝑘𝑥) tiende a devolverlo a dicha posición. Esta fuerza producirá una aceleración.

𝐹 = − 𝑘 𝑥 → 𝑚 𝑎 = − 𝑘 𝑥 → 𝑎 = −𝑘

𝑚 𝑥

𝜔 = √𝑘

𝑚

La fuerza que produce un MAS es una fuerza central, dirigida hacia el punto de equilibrio y proporcional a la distancia a este.

El periodo de un oscilador armónico depende de la masa del oscilador y de la constante restauradora del sistema, siendo independiente de la amplitud:

𝑇 = 2𝜋 √𝑚

𝑘

x = 0

F = -kx