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CAPTULO 1: :: : CINEMTICA TRASLACIONAL Y ROTACIONAL 1.1. Revisin de MRU y MRUVElaborado por Julio Csar Macas Zamora 31.1.Revisin de mru y mruv. Elmovimientorectilneouniforme(mru)esunmovimientoqueserealizaconvelocidadconstante,yla ecuacin que permite representar ese movimiento es t v xx= (1)

La ecuacin anterior puede ser expresada tambin como funcin de las posiciones inicial y final vt x x + =0(2) Los grficos posicin versus tiempo y velocidad versus tiempo son muy tiles a la hora de determinar ciertos datos. VelocidadTiempoFigura 1 PosicinTiempoFigura 2 En el grfico velocidad versus tiempo podemos calcular el desplazamiento a partir del clculo del rea debajo de dicha curva. VelocidadTiempoFigura 3REA Paraelgrficoposicinversustiempo,larepresentacinesunarectaquepuedeestarinclinadahaciala derecha(comoenelcasodelafigura2),puedeestarinclinadahacialaizquierda,opuedeestarenforma horizontal.Paraelcasoexpuestoenlafigura2,lapartculaseestmoviendoafavordelsistemade referencia,porqueestaumentandolaposicinenlosvalorespositivos,porlotantosuvelocidadtendr tambin la misma direccin, esto es, en la direccin positiva. Para el caso en que la recta est inclinada hacia laizquierda,lavelocidadsernegativaporqueestdisminuyendolaposicin,yfinalmenteparaelcasoen quelarectaseahorizontallavelocidadserceroporquenohacambiadolaposicin,yporlotantoel desplazamiento ser cero y consecuentemente, la velocidad ser cero. Matemticamente, la inclinacin de la recta se denomina pendiente, y se la determina mediante la ecuacin 1 21 2y xy ym= dondey2representaelvalorfinaldelacantidadfsicaqueestenelejey,enestecasolaposicinfinal,y1 representaelvalorinicialdelacantidadfsicaqueestenelejey,enestecasolaposicininicial,deigual manera x2 y x1 representan los valores inicial y final de la cantidad fsica que existe en el eje x, en este caso el tiempo. Elmovimientorectilneouniformementevariadoesunmovimientoenelquelaaceleracinpermanece constante, de manera que la rapidez cambia de forma constante. Eso expresado matemticamente es CAPTULO 1: :: : CINEMTICA TRASLACIONAL Y ROTACIONAL 1.1. Revisin de MRU y MRUVElaborado por Julio Csar Macas Zamora 4 ( ) 1000at v vv v attv vtva+ = === Si hacemos uso del criterio anterior, el rea debajo de la curva velocidad versus tiempo da como resultado el desplazamientopodemosdeducirlasecuacionesqueayudanaanalizarestemovimiento.Adems,sesabe que el rea de un trapecio (en este caso trapezoide) es el producto de la semisuma de las bases por la altura del mismo. v(m/s)t(s)tvv0A =Desplazamiento ( ) 2220tv vxhb BA|||

\| += ||

\| += Si reemplazamos la ecuacin (1) en la ecuacin (2) tendremos ( )( )( )() 321222221222020 00 000at t v xat t vtat vxtv at vxat v vtv vx+ = +=((

+= ((

+ += + =|||

\| += Si ahora reemplazamos la ecuacin (1) en la ecuacin (2), pero con el tiempo despejado tendremos Figura 4 CAPTULO 1: :: : CINEMTICA TRASLACIONAL Y ROTACIONAL 1.1. Revisin de MRU y MRUVElaborado por Julio Csar Macas Zamora 5( )( )( )( )( ) 4 222 22212022020 0 0 00000x a v vv v x aav v v vav v v vxtv vxav vtat v vat v v + = = += ||

\| ||

\| += ||

\| += == + = Recuerde que en este caso x = x x0 Estas cuatro ecuaciones nos ayudarn a resolver los ejercicios que se presenten para estos movimientos. Adems,sedefinelavelocidadmediacomolarazndecambiodeldesplazamiento,queexpresadoen ecuaciones es trvmed= En cambio, la rapidez media es la razn de cambio de la distancia tdRapmed= Para una partcula que se encuentra cayendo (o subiendo), el movimiento es mruv, slo que aqu el valor de la aceleracin es g = 9.8 m/s2, y dependiendo del sistema de referencia puede ser positivo o negativo. El movimiento parablico es aquel en el que se combinan los movimientos mru en el eje de las x y mruv en e el eje de las y. CAPTULO 1: :: : CINEMTICA TRASLACIONAL Y ROTACIONAL 1.1. Revisin de MRU y MRUVElaborado por Julio Csar Macas Zamora 6 1.1.1.Ejercicios resueltos 1.Encuentre la velocidad media y la rapidez media de la pelota que est amarrada a la cuerda, y que sale del punto P y llega al punto Q, si demora 0.60 s en el recorrido. SOLUCIN La velocidad media es la razn entre el desplazamiento y el tiempo. En la figura 6 se muestra con la flecha PQ el desplazamiento, y con lnea curva PQ la distancia recorrida por la partcula. Eldesplazamientodelapartculaes( ) m j i r60 . 060 . 0 = ,portantolavelocidadmediaser ( )sm j iVm60 . 060 . 060 . 0 ==( ) s m j i Vm / = , y la magnitud de la velocidad media es, por tanto s m Vms m Vm/ 41 . 1/ 1 12 2=+ = La distancia recorrida por la partcula est compuesta de dos trayectorias circulares, la una es la cuarta parte de la longitud de la circunferencia que tiene por radio r1 = 0.85 cm, y la otra parte de la trayectoria curvilnea son las tres cuartas partes de una circunferencia de radio r2 = 0.25 cm. ( )( ) ( ) ( )m dm mdr rdd d dTOTALTOTALTOTALTOTAL51 . 2425 . 0 2 3485 . 0 242 3422 12 1=+ =+ =+ = PQ85 cm60 cmFigura 5 PQ85 cm60 cmFigura 6 CAPTULO 1: :: : CINEMTICA TRASLACIONAL Y ROTACIONAL 1.1. Revisin de MRU y MRUVElaborado por Julio Csar Macas Zamora 7 Por tanto la rapidez media ser s m Rapms m Rapm/ 183 . 4/60 . 051 . 2== 2.Dospartculasseencuentranseparadas100m,ysedirigenlaunahacialaotraconvelocidades constantesde5m/sy3m/s.Encuentreladistancia,apartirdelaubicacindelapartculaquese mueve a 5 m/s, en que ocurre el encuentro. SOLUCIN La figura 7 muestra la situacin presentada en el enunciado del problema anterior. Eneste casoestamos considerando nuestro sistema de referencia como positivohacia la derecha. Recuerde queelsignoenlavelocidadsolamenteindicaladireccindelmovimiento,porlotantolapartculaquese mueveenladireccinpositiva(hacialaderecha)eslapartculaquetienevelocidad+5m/s,ylapartcula que se mueve hacia en la direccin negativa (hacia la izquierda) es la que tiene la velocidad 3 m/s. En la figura 8 mostramos el desplazamiento realizado por cada partcula. 5 m/s 3 m/sFigura 8100 m5 m/s 3 m/s x1 x2 Note que el desplazamiento de la partcula 1 es positivo, mientras que el desplazamiento de la partcula 2 es negativo.Adems,recuerdequesiunapartculanocambialadireccindelmovimiento,ladistancia recorrida es igual a la magnitud del desplazamiento, o sea, la distancia recorrida por la partcula 1 es igual a lamagnituddeldesplazamiento1,yladistanciarecorridaporlapartcula2esigualalamagnituddel desplazamiento2.Fjesetambinquedelafigura4sepuedeconcluirqueladistanciarecorridaporla partcula 1 ms la distancia recorrida por la partcula 2 es igual a 100 m, en ecuaciones esto es, d1 + d2 = 100 m perorecuerdequeladistancia1eslamagnituddeldesplazamiento1,yladistancia2eslamagnituddel desplazamiento 2, o sea, x1+x2 = 100 m perorecordemosqueenelmovimientorectilneouniforme(convelocidadconstante)eldesplazamientoes igual al producto de la velocidad por el tiempo transcurrido. v1t + v2t = 100 m (5 m/s)t + (-3 m/s)t = 100 m (5 m/s)t + (3 m/s)t = 100 m (8 m/s)t = 100 m t = 12.5 s 5 m/s 3 m/sFigura 7100 mCAPTULO 1: :: : CINEMTICA TRASLACIONAL Y ROTACIONAL 1.1. Revisin de MRU y MRUVElaborado por Julio Csar Macas Zamora 8Este tiempo es el tiempo en el que se encuentran las dos partculas, luego, la distancia a partir de la ubicacin de la partcula que se mueve a + 5 m/s es d1 = x1 = v1t = (5 m/s)(12.5 m/s)d1 = 62.5 m 3.Dos vehculos A y B se encuentran en la misma posicin al tiempo t = 0. Ambos se mueven en lnea recta, Asemueveconvelocidadconstantede20m/s,dossegundosdespussaleBdesdeelreposoyenla mismadireccin.Determinelaaceleracin,enm/s2,quedeberimprimirBparaalcanzaralmvilAa una distancia de 200 m desde el punto de partida. SOLUCIN La figura 9 muestra la situacin que se presenta en el enunciado del ejercicio. ABt = 0t = 0v =20 m/sv0 = 0AB200 m Se puede apreciar que si las partculas salen del mismo punto y llegan al mismo lugar, el desplazamiento es el mismo para ambas partculas, o sea, B Ax x = (1) Puesto que la partcula A se mueve con velocidad constante utilizamos la ecuacin vt x = (2) Dondev=20m/s,yeltiempodemovimientoest.Eltiempoyaselopuedecalcularsabiendoqueel desplazamiento es 200 m. 200 m = (20 m/s)t s ttsmm1020200== Para la partcula B el movimiento es uniformemente variado, en el que utilizamos la ecuacin 2021at t v x + = (3) Aqu V0 = 0 y el tiempo es t 2, puesto que sali dos segundos despus que la partcula A, por lo tanto tiene dos segundos menos movindose. Al reemplazar las ecuaciones (2) y (3) en la ecuacin (1), tenemos ( )( )222225 63220064210 2008210 200s / m . aasms a ms a m==+ =+ = Figura 9 CAPTULO 1: :: : CINEMTICA TRASLACIONAL Y ROTACIONAL 1.1. Revisin de MRU y MRUVElaborado por Julio Csar Macas Zamora 9 4.Desde la terraza de un edificio de 50 m de altura se lanza verticalmente y hacia arriba un objeto con una velocidadde20m/s.Almismoinstanteydesdelacalleselanzaotroobjetoenformaverticalconuna velocidad de 30 m/s. Encuentre el tiempo en que los objetos se encontrarn. SOLUCIN Realizamosungrficoenelquerepresentemostodoslosdatos dados. Deacuerdoalosdatospresentadospodemosutilizarlaecuacinde desplazamiento.Ademsnotequeeldesplazamientodelapartcula quepartedesdelaterrazadeledificioesnegativo,mientrasqueel desplazamientodelapartculaquepartedesdeelniveldelacallees positivo,deacuerdoalareferencianormaldelejey,queespositiva hacia arriba y negativa hacia abajo. y = v0t + ayt2 (1) y = 20t + (- 9.8)t2 y = - 20t + 4.9 t2 (2)50 - y = 30t - 4.9 t2

Si sumamos las dos ecuaciones tenemos 50 = 10t t = 5s 5.Una caja cae desde el reposo y desde una altura de 20 m. Justo en el instante antes de tocar el suelo, unobjeto se lanza desde la caja verticalmente y hacia arriba con una velocidad de 25 m/s (con respecto a la caja). Determine el tiempo que el objeto tardar en volver al suelo. Use g = 10 m/s2. SOLUCIN La grfica adjunta muestra la situacin inicial y final de la caja junto con el objeto que vaensuinterior.Mientraselobjetovayadentrodelacaja,llevalamismavelocidad que sta, por tanto la velocidad con que sale el objeto de la ca