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Cinemática Directa del Robot

UCR – ECCI

CI-2657 Robótica

Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides

UCR-ECCI CI-2657 RobóticaCinemática del Robot

Introducción

Consiste en determinar cual es la posición y orientación del extremo final del robot, con respecto a un sistema de coordenadas que se toma como referencia, conocidos los valores de las articulaciones y los parámetros geométricos de los elementos del robot.

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Introducción (cont.)Cinemática

Cinemática directa →→

Valor de las coordenadas articulares(q0, q1, ..., qn)

Posición y orientación del extremo del robot(x, y, z, α, β, γ)

←← Cinemática inversa

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Cinemática Directa Se utiliza fundamentalmente el álgebra vectorial y matricial

para representar y describir la localización de un objeto en el espacio tridimensional con respecto a un sistema de referencia fijo.

Dado que un robot puede considerar como una cadena cinemática formada por objetos rígidos o eslabones unidos entre sí mediante articulaciones, se puede establecer un sistema de referencia fijo situado en la base del robot y describir la localización de cada uno de los eslabones con respecto a dicho sistema de referencia.

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Cinemática Directa (cont.) De esta forma, el problema cinemático directo se reduce a

encontrar una matriz homogénea de transformación T que relacione la posición y orientación del extremo del robot respecto del sistema de referencia fijo situado en la base del mismo.

Esta matriz T será función de las coordenadas articulares.

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Matrices de Transformación Homogénea La resolución del problema cinemático directo consiste en

encontrar las relaciones que permiten conocer la localización espacial del extremo del robot a partir de los valores de sus coordenadas articulares.

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Matrices de Transformación Homogénea (cont.) Así, si se han escogido coordenadas cartesianas y ángulos de

Euler para representar la posición y orientación del extremo de un robot de seis grados de libertad, la solución al problema cinemático directo vendrá dada por las relaciones: x = Fx ( q1,q2,q3,q4,q5,q6 ) y = Fy ( q1,q2,q3,q4,q5,q6 ) z = Fz ( q1,q2,q3,q4,q5,q6 ) α = Fα ( q1,q2,q3,q4,q5,q6 ) ß = Fß ( q1,q2,q3,q4,q5,q6 ) γ = Fγ ( q1,q2,q3,q4,q5,q6 )

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Matrices de Transformación Homogénea (cont.) La obtención de estas relaciones no es en general complicada,

siendo incluso en ciertos casos (robots de pocos grados de libertad) fácil de encontrar mediante simples consideraciones geométricas. Por ejemplo, para el caso de un robot con 2 grados de libertad es fácil comprobar que: x = I1 cosq1 + I2 cos( q1 + q2 ) y = I1 cosq1 + I2 cos( q1 + q2 )

Para robots de más grados de libertad puede plantearse un método sistemático basado en la utilización de las matrices de transformación homogénea.

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Matrices de Transformación Homogénea (cont.) En general, un robot de n grados de libertad esta formado por

n eslabones unidos por n articulaciones, de forma que cada par articulación-eslabón constituye un grado de libertad.

A cada eslabón se le puede asociar un sistema de referencia solidario a él y, utilizando las transformaciones homogéneas, es posible representar las rotaciones y traslaciones relativas entre los distintos eslabones que componen el robot.

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Matrices de Transformación Homogénea (cont.) Normalmente, la matriz de transformación homogénea que

representa la posición y orientación relativa entre los sistemas asociados a dos eslabones consecutivos del robot se le suele denominar (i-1)Ai.

Así pues, 0Ai describe la posición y orientación del sistema de referencia solidario al primer eslabón con respecto al sistema de referencia solidario a la base, 1A2 describe la posición y orientación del segundo eslabón respecto del primero, etc.

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Matrices de Transformación Homogénea (cont.) Del mismo modo, denominando 0Ak a las matrices resultantes

del producto de las matrices (i-1)Ai con i desde 1 hasta k, se puede representar de forma total o parcial la cadena cinemática que forma el robot.

Así, por ejemplo, la posición y orientación del sistema solidario con el segundo eslabón del robot con respecto al sistema de coordenadas de la base se puede expresar mediante la matriz 0A2: 0A2 = 0A1 ( 1A2 )

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Matrices de Transformación Homogénea (cont.) De manera análoga, la matriz 0A3 representa la localización

del sistema del tercer eslabón: 0A3 = 0A1( 1A2 )( 2A3 )

Cuando se consideran todos los grados de libertad, a la matriz 0An se le suele denominar T.

Así, dado un robot de seis grados de libertad, se tiene que la posición y orientación del eslabón final vendrá dada por la matriz T: T = 0A6 = 0A1( 1A2 )( 2A3 )( 3A4 )( 4A5 )( 5A6 )

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Matrices de Transformación Homogénea (cont.) Se utiliza en robótica la representación de Denavit-

Hartenberg. Denavit-Hartenberg propusieron en 1955 un método matricial que

permite establecer de manera sistemática un sistema de coordenadas (Si) ligado a cada eslabón i de una cadena articulada, pudiéndose determinar a continuación las ecuaciones cinemáticas de la cadena completa.

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Matrices de Transformación Homogénea (cont.) Según la representación D-H, escogiendo adecuadamente los

sistemas de coordenadas asociados para cada eslabón, será posible pasar de uno al siguiente mediante 4 transformaciones básicas que dependen exclusivamente de las características geométricas del eslabón.

Estas transformaciones básicas consisten en una sucesión de rotaciones y traslaciones que permitan relacionar el sistema de referencia del elemento i con el sistema del elemento i-1.

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Matrices de Transformación Homogénea (cont.)

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Matrices de Transformación Homogénea (cont.) Las transformaciones en cuestión son las siguientes:

Rotación alrededor del eje Zi-1 un ángulo θi.

Traslación a lo largo de Zi-1 una distancia di; vector di (0,0,di).

Traslación a lo largo de Xi una distancia ai; vector ai (ai,0,0).

Rotación alrededor del eje Xi, un ángulo αi.

De este modo se tiene que: i-1Ai = T(z,θi) T(0,0,di) T(ai-1,0,0) T(x,αi-1)

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Matrices de Transformación Homogénea (cont.) Y realizando el producto de matrices:

donde αi, ai, di, θi, son los parámetros D-H del eslabón i,

asociados con el enlace i y la articulación i.

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Matrices de Transformación Homogénea (cont.)

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Matrices de Transformación Homogénea (cont.) Los cuatro parámetros αi, ai, di, θi en (3.10) son la vuelta del

enlace, la longitud del enlace, offset del enlace y el ángulo de las articulaciones, respectivamente. Estos nombres se derivan de aspectos específicos de la relación

geométrica entre dos marcos de coordenadas. Dado que la matriz Ai es una función de una sola

variable, resulta que tres de las cuatro parámetros son constantes para un enlace dado, mientras que el cuarto parámetro, θi es variable para una articulación de revolución y di es variable para una articulación prismática.

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Matrices de Transformación Homogénea (cont.) De este modo, basta con identificar los parámetros αi, ai, di, θi,

para obtener matrices A y relacionar así todos y cada uno de los eslabones del robot.

Como se ha indicado, para que la matriz i-1Ai, relacione los sistemas (Si) y (Si-1), es necesario que los sistemas se hayan escogido de acuerdo a unas determinadas normas.

Estas, junto con la definición de los 4 parámetros de Denavit-Hartenberg, conforman el siguiente algoritmo para la resolución del problema cinemático directo.

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Algoritmo de Denavit-Hartenberg – Notación Craig


Algoritmo de Denavit-Hartenberg – Notación Craig (cont.)



Denavit-Hartenberg notación Craig



ai:(longitud eslabón) distancia entre ejes i,i+1 de las articulaciones a lo largo de la perpendicular comúnαi:(ángulo torsión) ángulo que existiría entre ejes i,i+1 si se cortasen en punto de corte de la perpendicular comúnθi: ángulo que existiría entre las líneas normales de la articulación i si se cortasen en el mismo punto del eje idi: distancia entre las intersecciones de las normales comunes al eje i, medida a lo largo de i


Algoritmo de Denavit-Hartenberg – Notación Craig (cont.) 4 parámetros: ai, αi, θi, di

2 relativos a la forma y tamaño del eslabón: ai, αi

2 describen posición relativa del eslabón respecto a su predecesor: θi, di *

Los parámetros de forma y tamaño quedan determinados en tiempo de diseño

Los parámetros de posición relativa varían θi variable si la rotación es articular (di constante)

di variable si la rotación es prismática (θi constante)* En notación Craig es respecto al eslabón sucesivo ai-1, αi-1, θi, di


Algoritmo de Denavit-HartenbergTérminos enlace/articulación

Articulación. Conexión de dos cuerpos rígidos caracterizados por el movimiento de un sólido sobre otro. Grado de libertad. Circular o prismático.

Enlace. Cuerpo rígido que une dos ejes articulares adyacentes del manipulador. Posee muchos atributos. Peso, material, inercia, etc.

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Algoritmo de Denavit-HartenbergParámetros de un Enlace Eje articular. Línea en el espacio alrededor de la cual el

enlace i rota referido al enlace i-1. Longitud del enlace (ai-1). Distancia entre los ejes articulares

i e i-. Número de líneas que definen la longitud: ∞ Ejes paralelos: Ejes no paralelos: 1 Signo: positivo

Ángulo del enlace (αi-1). Ángulo medido entre los ejes articulares i e i-1. Proyección sobre plano. Signo: Regla de la mano derecha

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Algoritmo de Denavit-HartenbergParámetros de un Enlace (cont.)

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Algoritmo de Denavit-HartenbergVariables Articulares Desplazamiento del enlace (di). Distancia medida a lo largo del

eje de la articulación i desde el punto donde ai-1 intersecta el eje hasta el punto donde ai intersecta el eje. di es variable si la articulación es prismática

di posee signo

Ángulo de la articulación (θi). Ángulo entre las perpendiculares comunes ai-1 y ai medido sobre el eje del enlace i.

θi es variable si la articulación es de rotación θi posee signo definido por la regla de la mano derecha

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Algoritmo de Denavit-HartenbergVariables Articulares (cont.)

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Algoritmo de Denavit-Hartenberg Asignación Sistemas de Referencia

Objetivo. Encontrar una transformación homogénea (función de los parámetros vistos) que describa la posición y orientación del extremo del robot respecto a la base.

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Algoritmo de Denavit-HartenbergAsignación Sistemas de Referencia (cont.) Método. Definir SR asociado a cada eslabón, realizar la

transformación entre dos consecutivos con solo 2 giros y 2 traslaciones.

La asignación de SR no es única: Notación Paul y notación Craig

[Paul]: SRi en el eje que le enlaza con el siguiente eslabón (al final del eslabón)

[Craig]: SRi en el eje que le enlaza con el eslabón precedente (al inicio del eslabón)

Las matrices de transformación intermedias varían, pero el resultado final es el mismo.

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Algoritmo de Denavit-HartenbergAsignación Sistemas de Referencia (cont.)

Enlaces primero y último. Sistema de referencia {0}. Sistema que se adjunta a la

base del robot. No se mueve. Sistema de referencia {1}. Coincide con la base.

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Algoritmo de Denavit-HartenbergAsignación Sistemas de Referencia (cont.) Enlaces intermedios.

Origen del sistema de referencia {i}. Se ubica en el punto creado por la perpendicular de ai y el eje articular i.

Eje Z. El eje Zi del sistema de referencia {i} se hará coincidir con el eje articular i.

Eje X. El eje Xi se hace coincidir con la distancia ai desde la articulación i hacia i+1.

Eje Y. El eje Yi se define a partir del eje Xi, tomando como referencia la regla de la mano derecha.

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El eje Zi del SRi se hará coincidir con el eje articular i.El eje Xi se hace coincidir con la distancia ai desde la articulación i hacia i+1. Es normal común a ejes i, i+a, apuntando de i a i+1. *El eje Yi se define a partir del eje Xi, tomando como referencia la regla de la mano derecha, trivialmente para que el sistema sea dextrogiro.

Yi-1

Zi-1

Xi-1

Xi

Yi

Zi* La normal común puede no ser única, necesitamos establecer convenciones



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Si las articulaciones i, i+a son paralelas:•Tenemos infinitas posibles perpendiculares comunes•El origen del sistema de referencia queda indefinido → Tomar origen en la articulación i+1



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Si las articulaciones se cortan en un punto:•El origen en el punto de corte•La dirección es perpendicular común al plano formado por Zi-1, Zi

•El sentido se toma arbitrariamente

ai ? 0


Algoritmo de Denavit-HartenbergAsignación Sistemas de Referencia (cont.)1. Identificar los ejes articulares. De los pasos 2 a 5 utilice dos ejes

consecutivos i e i-1.

2. Identifique la perpendicular común. Identifique la línea que se intersecta, perpendicularmente, al eje articular i. Defina el sistema de referencia sobre el punto de intersección.

3. Asigne el eje Zi al eje articular i.

4. Asigne el eje Xi a la perpendicular común que definió el origen del sistema de referencia i.

5. Termine de asignar el sistema de referencia, definiendo el eje Yi según la ley de la mano derecha.

6. Haga coincidir los SR{0} y {1} cuando la primera variable articular sea cero.

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Algoritmo de Denavit-HartenbergSignificado de los Parámetros Los parámetros de DH tienen el siguiente significado:

El parámetro ai es la distancia entre Zi y Zi-1 medida a lo largo de Xi.

El parámetro αi es el ángulo entre Zi y Zi-1 referido a Xi.

El parámetro di es la distancia entre Xi-1 y Xi medida a lo largo de Zi.

El parámetro θi es el ángulo entre Xi-1 y Xi referido a Zi.

Nota: ai es la única magnitud positiva, las demás tienen signo.

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Yi-1

Zi-1

Xi-1

Xi

Yi

Zi

Algoritmo de Denavit-HartenbergRepresentación


Yi-1

Zi-1

Xi-1

Xi

Yi

Zi

Algoritmo de Denavit-HartenbergRepresentación (cont.)


Yi

Zi

Xi

Xi

Yi

Zi

di



YiZi

Xi

Xi

Yi

Zi

di

θ

i



Xi

Yi

Zi

di

θiYiZi

Xi

ai



Xi

Yi

Zi

di

θi

Yi

Zi

Xi

ai

αi



Zi

Yi

Xi

Yi-1

Zi-1

Xi-1



Zi

Yi

Xi

Yi-1

Zi-1

Xi-1


1, , , ,

ii z d z x a xA T T T T


1, , , ,

cos cos sen sen sen cos

sen cos cos sen cos sen

0 sen cos

0 0 0 1

i i i i i i i

i i i i i i iii z d z x a x

i i i

a

aA T T T T

d



1, , , ,

cos cos sen sen sen cos

sen cos cos sen cos sen

0 sen cos

0 0 0 1

i i i i i i i

i i i i i i iii z d z x a x

i i i

a

aA T T T T

d

1

cos sen 0

cos sen cos cos sen sen

sen sen sen cos cos cos

0 0 0 1

i i i

i i i i i i iii

i i i i i i i

a

dA

d

Como es sabido, la inversa es la transpuesta



NOTA: Las operaciones Tx,aTx,α y Tz,dTz,θ se pueden conmutar, el resultado final es el mismo



Cinemática Directa (cont.)Algoritmo de Denavit-Hartenberg DH1. Numerar los eslabones comenzando con 1 (primer

eslabón móvil de la cadena) y acabando con n (último eslabón móvil). Se numerara como eslabón 0 a la base fija del robot.

DH2. Numerar cada articulación comenzando por 1 (la correspondiente al primer grado de libertad y acabando en n).

DH3. Localizar el eje de cada articulación. Si es rotativa, el eje será su propio eje de giro. Si es prismática, será el eje a lo largo del cual se produce el desplazamiento.

DH4. Para i de 0 a n-1, situar el eje Zi, sobre el eje de la articulación i+1.

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Cinemática Directa (cont.)Algoritmo de Denavit-Hartenberg DH5. Situar el origen del sistema de la base (S0) en cualquier

punto del eje Z0. Los ejes X0 e Y0 se situarán de modo que formen un sistema dextrógiro con Z0.

DH6. Para i de 1 a n-1, situar el sistema (Si) (solidario al eslabón i) en la intersección del eje Zi con la línea normal común a Zi -1 y Zi. Si ambos ejes se cortasen se situaría (Si) en el punto de corte. Si fuesen paralelos (Si) se situaría en la articulación i+1.

DH7. Situar Xi en la línea normal común a Zi-1 y Zi.

DH8. Situar Yi de modo que forme un sistema dextrógiro con Xi y Zi.

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Cinemática Directa (cont.)Algoritmo de Denavit-Hartenberg DH9. Situar el sistema (Sn) en el extremo del robot de modo que Zn

coincida con la dirección de Zn-1 y Xn sea normal a Zn-1 y Zn.

DH10. Obtener θi como el ángulo que hay que girar en torno a Zi-1 para que Xi-1 y Xi queden paralelos.

DH11. Obtener di como la distancia, medida a lo largo de Zi-1, que habría que desplazar (Si-1) para que Xi y Xi-1 quedasen alineados.

DH12. Obtener ai como la distancia medida a lo largo de Xi (que ahora coincidiría con Xi-1) que habría que desplazar el nuevo (Si-1) para que su origen coincidiese con (Si).

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Cinemática Directa (cont.)Algoritmo de Denavit-Hartenberg DH13. Obtener αi como el ángulo que habría que girar

entorno a Xi (que ahora coincidiría con Xi-1), para que el nuevo (Si-1) coincidiese totalmente con (Si).

DH14. Obtener las matrices de transformación i-1Ai. DH15. Obtener la matriz de transformación que relaciona el

sistema de la base con el del extremo del robot T = 0A1, 1A2, ..., n-1An.

DH16. La matriz T define la orientación (submatriz de rotación) y posición (submatriz de traslación) del extremo referido a la base en función de las n coordenadas articulares.

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Cinemática Directa (cont.)Algoritmo de Denavit- Hartenberg Los cuatro parámetros de DH (θi, di, ai, αi) dependen

únicamente de las características geométricas de cada eslabón y de las articulaciones que le unen con el anterior y siguiente. θi es el ángulo que forman los ejes Xi-1 y Xi medido en un plano

perpendicular al eje Zi-1, utilizando la regla de la mano derecha. Se trata de un parámetro variable en articulaciones giratorias.

di es la distancia a lo largo del eje Zi-1 desde el origen del sistema de coordenadas (i-1)ésimo hasta la intersección del eje Zi-1 con el eje Xi. Se trata de un parámetro variable en articulaciones prismáticas.

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Cinemática Directa (cont.)Algoritmo de Denavit-Hartenberg


Cinemática Directa (cont.)Algoritmo de Denavit-Hartenberg Una vez obtenidos los parámetros DH, el cálculo de las relaciones entre

los eslabones consecutivos del robot es inmediato, ya que vienen dadas por las matrices A, que se calcula según la expresión general.

Las relaciones entre eslabones no consecutivos vienen dadas por las matrices T que se obtienen como producto de un conjunto de matrices A.

Obtenida la matriz T, esta expresará la orientación (submatriz (3x3) de rotación) y posición (submatriz (3x1) de traslación) del extremo del robot en función de sus coordenadas articulares, con lo que quedara resuelto el problema cinemático directo.

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Algoritmo de Denavit-HartenbergEjemplo 1

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Algoritmo de Denavit-HartenbergEjemplo 1 (cont.)

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Parámetros DH para el Robot

Articulación θ d a α

1 θ1 0 l1 0

2 θ2 0 l2 0

3 θ3 0 l3 0

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Parámetros DH para el Robot

Articulación θ d a α

1 θ1 l1 0 0

2 90° d2 0 90°

3 0 d3 0 0

4 θ4 l4 0 0

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Referencias Bibliográficas

La información fue tomada de: Fu, K.S.; González, R.C. y Lee, C.S.G. Robotics:

Control, Sensing, Vision, and Intelligence. McGraw-Hill. 1987.

Cinemática. URL: http://proton.ucting.udg.mx/materias/robotica/r166/r78/r78.htm

Martínez A. G. M.; Jáquez O. S. A.; Rivera M. J. y Sandoval R. R. “Diseño propio y Construcción de un Brazo Robótico de 5 GDL”. URL: http://antiguo.itson.mx/rieeandc/vol4p1_archivos/Art2Junio08.pdf

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