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CINEMÁTICA. 4ºES 1. El movimiento de un coc a) Razonar el tipo de movim b) Deducir las ecuaciones d c) Calcular el espacio recor seguido por el coche. a) Podemos responder a la p gráfica, o bien, (2) Obtenien con las que ya conocemos, En el primer tramo ( aumentando linealm tiempos iguales l uniforme. Además p está en el origen y q En el segundo tramo misma posición (a 1 En el tercer tramo (t a medida que pasa e nula la velocidad corresponde a un m b) La ecuación general de u (punto de corte con el eje Y SO. che puede representarse mediante la siguiente miento en cada tramo. del movimiento el móvil para cada uno de los rrido por el móvil en cada uno de los tramos y primera pregunta de dos maneras: (1) Por la s ndo las ecuaciones correspondientes a cada tr que es lo que haremos en el apartado b). (t=0 a t=4s) podemos ver como a medida que mente el espacio recorrido, es decir que recorr la velocidad es constante el tramo correspo podemos ver como en el momento t=0, s=0, e que al final del tramo t=4 ha recorrido 12 m. o (t=4s a t=8s) podemos ver que el móvil siem 12m) por tanto se encuentra en reposo. t=8s a t=10s) vemos como inicialmente está e el tiempo la distancia al origen se hace cada v d es constante, pero ahora se mueve en direcc movimiento uniforme. una recta es y = mx + n, donde n representa la Y). La m representa la pendiente de la recta (ta forma con el eje X ). En este caso las rect mt + n La recta corta al eje de ordenadas en el pu La pendiente se obtiene a partir de un triá cualquiera, por ejemplo el que está en na opuesto al ángulo entre el cateto contiguo La ecuación de la recta es: s = 3·t e gráfica. s tramos. y explica el trayecto simple observación de la ramo y comparándolas e aumenta el tiempo va re espacios iguales en onde a un movimiento es decir que inicialmente mpre está en la en la posición s=12m y que vez más pequeña hacerse ción opuesta el tramo a ordenada en el origen angente del ángulo que tas tienen de ecuación v = unto 0 n=0 ángulo rectángulo aranja, dividiendo el cateto o: m= 12/4 =3

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CINEMÁTICA. 4ºESO 1. El movimiento de un coche puede representarse mediante la siguiente gráfica.

a) Razonar el tipo de movimiento en cada tramo.b) Deducir las ecuaciones del movimiento el móvil para cada uno de los tramos.c) Calcular el espacio recorrido por el móvil en cada uno de los tramos y explica el trayecto seguido por el coche. a) Podemos responder a la primera pregunta de dos maneras: (1) Por la simple observación de la gráfica, o bien, (2) Obteniendo las ecuaciones correspondientes a ccon las que ya conocemos, que es lo que haremos en el apartado b).

• En el primer tramo (t=0 a t=4s) podemos ver como a medida que aumenta el tiempo va aumentando linealmente el espacio recorrido, es decir que recorre espacios iguatiempos iguales ⇒ la velocidad es constante uniforme. Además podemos ver como en el momento t=0, s=0, es decir que inicialmente está en el origen y que al final del tramo t=4 ha recorrido 12 m.

• En el segundo tramo (t=4s a t=8s) podemos ver que el móvil siempre está en la misma posición (a 12m) por tanto se encuentra en reposo.

• En el tercer tramo (t=8s a t=10s) vemos como inicialmente está en la posición s=12m y que a medida que pasa el tiempo la distancia al orinula ⇒ la velocidad es constante, pero ahora se mueve en dirección opuesta corresponde a un movimiento uniforme.

b) La ecuación general de una recta es y = mx + n, donde n representa la ordenada en el o(punto de corte con el eje Y). La m representa la pendiente de la recta (tangente del ángulo que

4ºESO.

El movimiento de un coche puede representarse mediante la siguiente gráfica.

a) Razonar el tipo de movimiento en cada tramo. b) Deducir las ecuaciones del movimiento el móvil para cada uno de los tramos.

recorrido por el móvil en cada uno de los tramos y explica el trayecto

a) Podemos responder a la primera pregunta de dos maneras: (1) Por la simple observación de la gráfica, o bien, (2) Obteniendo las ecuaciones correspondientes a cada tramo y comparándolas con las que ya conocemos, que es lo que haremos en el apartado b).

En el primer tramo (t=0 a t=4s) podemos ver como a medida que aumenta el tiempo va aumentando linealmente el espacio recorrido, es decir que recorre espacios igua

la velocidad es constante ⇒ el tramo corresponde a un movimiento uniforme. Además podemos ver como en el momento t=0, s=0, es decir que inicialmente está en el origen y que al final del tramo t=4 ha recorrido 12 m.

amo (t=4s a t=8s) podemos ver que el móvil siempre está en la misma posición (a 12m) por tanto se encuentra en reposo. En el tercer tramo (t=8s a t=10s) vemos como inicialmente está en la posición s=12m y que a medida que pasa el tiempo la distancia al origen se hace cada vez más pequeña hacerse

la velocidad es constante, pero ahora se mueve en dirección opuesta corresponde a un movimiento uniforme.

b) La ecuación general de una recta es y = mx + n, donde n representa la ordenada en el o(punto de corte con el eje Y). La m representa la pendiente de la recta (tangente del ángulo que

forma con el eje X ). En este caso las rectas tienen de ecuación v = mt + n La recta corta al eje de ordenadas en el punto 0 La pendiente se obtiene a partir de un triángulo rectángulo cualquiera, por ejemplo el que está en naranja, dividiendo el cateto opuesto al ángulo entre el cateto contiguo: m= 12/4 =3La ecuación de la recta es: s = 3·t

El movimiento de un coche puede representarse mediante la siguiente gráfica.

b) Deducir las ecuaciones del movimiento el móvil para cada uno de los tramos. recorrido por el móvil en cada uno de los tramos y explica el trayecto

a) Podemos responder a la primera pregunta de dos maneras: (1) Por la simple observación de la ada tramo y comparándolas

En el primer tramo (t=0 a t=4s) podemos ver como a medida que aumenta el tiempo va aumentando linealmente el espacio recorrido, es decir que recorre espacios iguales en

el tramo corresponde a un movimiento uniforme. Además podemos ver como en el momento t=0, s=0, es decir que inicialmente

amo (t=4s a t=8s) podemos ver que el móvil siempre está en la

En el tercer tramo (t=8s a t=10s) vemos como inicialmente está en la posición s=12m y que gen se hace cada vez más pequeña hacerse

la velocidad es constante, pero ahora se mueve en dirección opuesta ⇒ el tramo

b) La ecuación general de una recta es y = mx + n, donde n representa la ordenada en el origen (punto de corte con el eje Y). La m representa la pendiente de la recta (tangente del ángulo que

forma con el eje X ). En este caso las rectas tienen de ecuación v =

La recta corta al eje de ordenadas en el punto 0 ⇒ n=0 obtiene a partir de un triángulo rectángulo

cualquiera, por ejemplo el que está en naranja, dividiendo el cateto opuesto al ángulo entre el cateto contiguo: m= 12/4 =3

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Comparando la ecuación obtenida con la ecuación gens = so +v·t podemos concluir que en este tramo sCon esto, las ecuaciones durante el

c) El espacio recorrido en cada uno de los tramde la gráfica, que corresponde al espacio o puede calcularse con las ecuaciones: Tramo 1 s = 3·t

124 3s4t

=⋅==

m

(*) Para calcular el espacio recorrido en un tramo concreto se suprime el espacio inicial, porque de lo contrario obtendríamos la posición respecto al comienzo del movimiento. El signo menos que se obtiene indica que ha recorrido 12 metros hacia la izquierda.El espacio total recorrido es la suma de los valores absolutos: sSumando con los signos obtendríamos la posición final.

Comparando la ecuación obtenida con la ecuación general del espacio de un movimiento uniforme: t podemos concluir que en este tramo so =0 y que v = 3 m/s.

Con esto, las ecuaciones durante el primer tramo son:

a = 0 v = 3 s = 3·t

En el segundo tramo la recta es una paralela al eje, que lo corta en s = 12, que por tanto es su ecuación. Puesto que la posición durante este tramo no depende del tiempo móvil está en reposo. En el tercer tramo la recta corta al eje de ordenadas en el punto 12, por tanto n=12. La pendiente de la recta es m = 12/(−2) = La ecuación de la recta es: s = 12 – 6·t Comparando la ecuación obtenida con la ecuación general del espacio de un movimiento uniforme: s = sque en este tramo so =12m y que v = −6 m/s.Con esto las ecuaciones durante el tercer

c) El espacio recorrido en cada uno de los tramos puede leerse directamente en el eje de ordenadas de la gráfica, que corresponde al espacio o puede calcularse con las ecuaciones:

Tramo 2 Tramo 3reposo t 6s −=

s2t

−==

Para calcular el espacio recorrido en un tramo concreto se suprime el espacio inicial, porque de lo contrario obtendríamos la posición respecto al comienzo del movimiento. El signo menos que se obtiene indica que ha recorrido 12 metros hacia la izquierda.El espacio total recorrido es la suma de los valores absolutos: sTotal = 12 + 0 + |Sumando con los signos obtendríamos la posición final.

eral del espacio de un movimiento uniforme:

la recta es una paralela al eje, que lo corta en s = 12, que por tanto es su ecuación. Puesto que la posición durante este tramo no depende del tiempo ⇒ el

la recta corta al eje de ordenadas en el

2) = −6

Comparando la ecuación obtenida con la ecuación general del espacio de un movimiento uniforme: s = so +v·t podemos concluir

6 m/s. tramo son:

a = 0 v = − 6 s = 12 – 6·t

os puede leerse directamente en el eje de ordenadas de la gráfica, que corresponde al espacio o puede calcularse con las ecuaciones:

Tramo 3 t (*)

122 6 −=⋅− m

Para calcular el espacio recorrido en un tramo concreto se suprime el espacio inicial, porque de lo contrario obtendríamos la posición respecto al comienzo del movimiento. El signo menos que se obtiene indica que ha recorrido 12 metros hacia la izquierda.

= 12 + 0 + |−12| = 24 m

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Explicación del trayecto seguido: • El móvil inicialmente se mueve hacia la derecha con velocidad constante de 3 m/s y

recorre 12m. • A continuación está parado durante 4 segundos • Por último se mueve en sentido contrario con velocidad de 6 m/s y recorre otros 12 metros

en sentido opuesto, por lo que finalmente el móvil termina en el punto de partida. 2. Para estudiar el movimiento de un móvil se ha medido el tiempo que, partiendo del reposo, tarda en recorrer diferentes espacios, recogiéndose los resultados en la siguiente tabla:

espacio tiempo 0 m 0,00 s 1 m 1,15 s 2 m 1,63 s 3 m 2,00 s 4 m 2,31 s 5 m 2,58 s

a) Representar gráficamente el espacio en función del tiempo y “a partir de la gráfica” obtenida razonar el tipo de movimiento que tiene el móvil. b) A partir de los datos obtenidos escribe las ecuaciones del movimiento del móvil. c) Calcula la velocidad que tendría después de 5 segundos. d) Calcula el espacio que recorrería en 5 segundos. a) La curva obtenida corresponde a una parábola, lo que quiere decir que el espacio es una función del tiempo al cuadrado ⇒ el movimiento es acelerado A la misma conclusión llegamos observado los datos, donde podemos ver que cada vez tarda menos tiempo en recorrer el siguiente metro ⇒ la velocidad es cada vez mayor ⇒ el movimiento es acelerado. b) Al tratarse de un movimiento acelerado podemos escribir las siguientes ecuaciones generales:

a = cte v = vo + a·t s = so + vot + ½ a·t2

Teniendo en cuenta que nuestro móvil parte del reposo (porque nos lo dice el enunciado) y que el espacio inicial es cero (porque en los datos para t=0, s=0), podemos escribir que:

a = cte v = a·t s = ½ a·t2

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Únicamente nos falta calcular el valor de la aceleración para particularizar las ecuaciones al caso de nuestro móvil. Para eso no tenemos más que fijarnos en un punto cualquiera de la gráfica, preferiblemente que tenga valores conocidos en los ejes, como es el caso del punto en rojo, para el que s=3m tiene t=2s. Sustituyendo en la ecuación del espacio: s = ½ a·t2 ⇒ 3 = ½ a·22 ⇒ a = 6/4 = 1,5 m/s2.. Por tanto las ecuaciones concretas del móvil son:

a = 1,5 v = 1,5·t s = 0,75·t2

c) La velocidad para t=5s es: v = 1,5*5 = 7,5 m/s d) El espacio para t=5s es: s = 0,75*52 = 18,75 m 3. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 7 m/s. a) ¿Cuál será su velocidad después de haber descendido 3 s?. b) ¿Qué distancia habrá descendido en esos 3 s?. c) ¿Cuál será su velocidad después de haber descendido 14 m?. d) Si el cuerpo se lanzó desde una altura de 200 m, ¿en cuánto tiempo alcanzará el suelo?. e) ¿Con qué velocidad lo hará?. Siempre que en un movimiento exista aceleración constante se trata de movimiento uniformemente acelerado (MUA). No importa si se mueve sobre una trayectoria recta o una trayectoria circular o de cualquier otra forma. En este caso, se trata de un movimiento rectilíneo (porque cae en línea recta y su trayectoria es rectilínea) y uniformemente acelerado porque la aceleración es constante. La de la gravedad, que vale 10 m/s2. Siempre las fórmulas son las mismas y solo hay tres, únicamente 3, que son:

a = cte # 0 v = vo + a.t

2oo ta

2

1tvss ⋅++=

Con esas ecuaciones se pueden resolver todos los ejercicios que se pueden presentar, por muy difíciles que sean. Sin embargo, dependiendo de los datos, algunas veces es más sencillo utilizar otra ecuación, que no es una ecuación nueva, sino que es una combinación lineal de estas que se obtiene eliminando el tiempo entre ellas.:

sa2vv 2o ⋅⋅+=

Esta ecuación, como ya hemos dicho, no es necesaria pero a veces ayuda a que las operaciones sean más sencillas.

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El siguiente paso, muy importante, elegir un sistema de referencia (el que quieras). Lo más sencillo siempre es tomar el centro del sistema de referencia en el lugar donde comienza el movimiento y con uno de los ejes en la dirección del movimiento. En ese caso el centro del sistema de referencia será arriba de esa torre o de ese acantilado desde donde se tiró la piedra:

Fíjate en dos cosas muy importantes, y en las que a menudo nunca reparas:

• Hemos creado un sistema de referencia centrado en el lugar del disparo porque de esa forma el espacio inicial es cero.

• Hemos asignado sentido positivo al sentido en que se va a mover la piedra. (podría haberse elegido de otra forma y eso no cambia las soluciones del problema.)

En ese sistema de referencia lo que va hacia abajo lo tomaremos como positivo y lo que va hacia arriba negativo, así que la velocidad inicial será +7 m/s y la aceleración +10 m/s2. Las ecuaciones de un movimiento uniformemente acelerado son:

v = vo + a.t v = 7 + 10*t v = 7 +10*t

2o ta

2

1tvs ⋅+= 2t10

2

1t7s ⋅+⋅= 2t5t7s ⋅+⋅=

Estas son las ecuaciones de todos los movimientos uniformemente acelerados

Estas son las ecuaciones de “este movimiento” en concreto. Si le damos un valor al tiempo obtienes lo que vale la velocidad y el espacio en ese instante. Y al contrario, si le damos un valor a la velocidad o al espacio podremos despejar el tiempo que necesita para tener esa velocidad o recorrer ese espacio.

• Vuelve a fíjate que tanto la ecuación de la velocidad como la del espacio nos dicen

lo que valen en cada momento. No hay más que darle un valor a t para saber su velocidad en ese momento y el espacio recorrido en ese tiempo.

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• Y al contrario, si le damos un valor a la velocidad o al espacio podremos deducir el tiempo que tarda en alcanzar esa velocidad o el que tarda en estar en esa posición.

a) Si se lanza una piedra con una velocidad inicial de 7 m/s, ¿Cuál será su velocidad después de haber descendido 3 s?. Como ya hemos dicho, una vez que sabemos la ecuación de la velocidad basta con dar un valor al tiempo para conocer la velocidad en ese instante:

v = 7 +10*t → v = 7 +10*3 = 37 m/s b) Y lo mismo para conocer el espacio recorrido en un tiempo dado:

2t5t7s ⋅+⋅= → 23537s ⋅+⋅= = 66 m Vamos a resolver el mismo ejercicio pero desde otro sistema de referencia y verás como los resultados son los mismos. Ahora vamos a elegir un SR centrado en el lugar del disparo (que es lo normal) pero el valor positivo va a ser hacia arriba, como es normal en los ejes cartesianos:

de acuerdo a ese SR la velocidad inicial será –7 m/s y la aceleración –10 m/s2. Las ecuaciones de un movimiento uniformemente acelerado son:

v = vo + a.t v = –7 – 10*t v = –7 –10*t

2o ta

2

1tvs ⋅+= 2t10)(

2

1t7s ⋅−+⋅−= 2t5t7s ⋅−⋅−=

y la velocidad y el espacio a los 3 segundos sería:

v = –7 –10*t → v = –7 –10*3 = –37 m/s

2t5t7s ⋅−⋅−= → 23537s ⋅−⋅−= = –66 m Quiere decir que la velocidad vale 37 m/s y el signo menos nos indica que de acuerdo al SR elegido va hacia abajo. Que el espacio resulta –66m quiere decir que transcurridos 3 segundos el móvil ha recorrido 66m, y está en la posición (0,–66) del SR

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c) ¿Cuál será su velocidad después de haber descendido 14 m?. Es casi igual. Simplemente ahora primero calculamos el tiempo que tarda en recorrer 14m y luego, igual que antes, calculamos el valor de la velocidad en ese instante:

2t5t7s ⋅+⋅= → 2t5t714 ⋅+⋅= → t = 1,114 seg El otro valor del tiempo no vale porque es negativo. Ahora que sabes lo que tarda en recorrer esos 3 metros, podemos calcular la velocidad que tendrá sustituyendo en la primera ecuación:

v = 7 + 10*t → v = 7 + 10*1,114 = 18,14 m/s Fíjate como hemos resuelto el apartado con las dos única fórmulas de siempre, pero para eso ha sido necesario resolver un sistema de ecuaciones. Cuando te ocurra eso, si no quieres hacerlo acuérdate entonces de esa tercera fórmula que te dije, que auque como ves no es imprescindible, pero sí que te ayuda a hacerlo más fácil. Verás:

14,18141027sa2vv 22o =⋅⋅+=⋅⋅+= m/s

d) Se lanza un cuerpo verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 7 m/s desde una altura de 200 m, ¿en cuánto tiempo alcanzará el suelo?. Pues exactamente igual, porque se trata de saber qué tiempo tarda en recorrer 200m:

2t5t7s ⋅+⋅= → 2t5t7200 ⋅+⋅= → t = 5,663 seg e) Con que velocidad llega al suelo?. Es como decir que velocidad tiene después de recorrer 200m , que ya sabemos que para ello tarda 5,663 seg, así que de la primera ecuación:

v = 7 + 10.t → v = 7 + 10.5,663 = 63,63 m/s

También podía haberlo hecho con esa tercera fórmula:

63,632001027sa2vv 22o =⋅⋅+=⋅⋅+= m/s

y ahora que sabes la velocidad con que llega al suelo podrías calcular el tiempo que tarda en caer aplicando la primera ecuación:

v = 7 + 10.t → 63,63 = 7 + 10.t → 663,510

763,63t =−= seg

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4. Se lanza una pelota desde lo alto de una torre de 20 m de altura con una velocidad hacia arriba de 15 m/s. Calcular: a) ¿Qué velocidad tendrá al cabo de 1 seg? ¿Y al cabo de 3 seg? b) ¿Qué espacio habrá recorrido al cabo de 1 seg? ¿Y al cabo de 3 seg? c) La altura máxima que alcanza y el instante en que ocurre d) El tiempo que tarda en llegar al suelo e) La velocidad con que llega al suelo. Ya sabes que lo primero es elegir el sistema de referencia y que puedes elegir el que quieras, pero siempre el más sencillo es uno que tenga el centro en el lugar del disparo y que tenga uno de los ejes en la dirección del movimiento, por ejemplo como el siguiente:

en ese sistema de referencia lo que va hacia arriba lo tomaremos como positivo y lo que va hacia abajo negativo, así que la velocidad inicial será vo= +15m/s y la aceleración a=–10m/s2. Las ecuaciones de un movimiento uniformemente acelerado son:

v = vo + a.t v = 15 – 10*t t1015v ⋅−=

2o ta

2

1tvs ⋅+= 2t*(-10)*

2

1t*15s += 2t5t15s ⋅−⋅=

Ecuaciones de este Ecuaciones del MUA movimiento concreto a) Para calcular el valor de la velocidad en un momento determinado no hay más que sustituir t por su valor en la ecuación de la velocidad:

5 m/s11015v1t

=⋅−==

5 m/s131015v3t

−=⋅−==

• Observa que para t=1s la velocidad es +5m/s, eso quiere decir que en ese momento

vale 5m/s y que va hacia arriba. En el momento t=3s la velocidad vale −15m/s y ese signo menos de acuerdo a nuestro RS quiere decir va hacia abajo.

• Fíjate bien en la ecuación de la velocidad de “este movimiento concreto” v = 15 − 10*t

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• Como puedes ver, si le damos valores pequeñitos al tiempo, la velocidad resulta positiva. Eso quiere decir que está subiendo (recuerda que en el sistema de referencia es positivo lo que va hacia arriba). Es lo que hace la piedra al principio: subir.

• Hay un valor del tiempo, para el que la velocidad se hace cero. Ese valor corresponde al momento en que ha alcanzado la altura máxima y ahí está parado.

• Si le damos un valor al tiempo mayor, entonces la velocidad se hace negativa y el signo menos indica que ahora está bajando

b) Para calcular el valor del espacio recorrido en un momento determinado no hay más que sustituir t por su valor en la ecuación del espacio: m 1015115s 2

1t=⋅−⋅=

=

m 035315s 2

3t=⋅−⋅=

=

Observa que el espacio coincide con la coordenada Y del SR, es decir que nos da su posición en ese momento. En el momento t=1 a 10m y en el momento t=2 está otra vez en la posición de partida.

c) La altura máxima que alcanza y el instante en que ocurre. Para calcularla recuerda que la velocidad v = 15−10*t se va haciendo cada vez menor hasta llegar a cero y luego comienza a tomar valores negativos indicando que va hacia abajo. Obviamente la altura máxima la alcanzará justo en el momento en que v=0, por tanto: 0t1015v =⋅−= → t = 1,5 seg para ese valor del tiempo, el espacio recorrido, que será la altura máxima respecto de nuestro SR, será:

m 25,111,551,515s 2

5,1t=⋅−⋅=

=

d) El tiempo que tarda en llegar al suelo es el tiempo necesario para que el espacio sea s=−20m, ya que si observas el dibujo en nuestro SR el suelo tiene coordenada Y=−20.

20t5t15s 2 −=⋅−⋅= → t = 4 seg

e) La velocidad con que llega al suelo es la velocidad que tendrá para t=4s

5 m/s241015v4t

−=⋅−==

El signo menos indica que en el momento de llegar al suelo se movía hacia abajo. Obvio.

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5. Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 40m/seg. a) Hallar qué velocidad lleva a los tres segundos. b) ¿Cuánto tardaría la piedra en llegar al punto más alto y cuanto vale la altura máxima que alcanza? a) Ya sabes que lo primero es elegir el sistema de referencia y que puedes elegir el que quieras, pero siempre el más sencillo es uno que tenga el centro en el lugar del disparo y que tenga uno de los ejes en la dirección del movimiento, por ejemplo como el siguiente:

en ese sistema de referencia lo que va hacia arriba lo tomaremos como positivo y lo que va hacia abajo negativo, así que la velocidad inicial será +40m/s y la aceleración –9,8m/s2. Las ecuaciones de un movimiento uniformemente acelerado son:

v = vo + a.t v = 40 – 9,8*t v = 40 – 9,8*t

2o ta

2

1tvs ⋅+= 2t(-9,8)*

2

1t*40s *+= 2t*4,9t*40s −=

* A los tres segundos, es decir en el momento t=3seg, pues no tienes mas que sustituir ese valor del tiempo en las ecuaciones y obtendrás el valor de la velocidad y el espacio que habrá recorrido en ese tiempo:

v = 40 – 9,8*t v = 40 – 9,8*3 = 10,6 m/s

2t*4,9t*40s −= 23*4,93*40s −= = 75,9 m

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b) ¿Cuánto tardaría la piedra en llegar al punto más alto y cuanto vale la altura máxima que alcanza? Pues como hemos quedado, en el punto más alto la velocidad vale cero, así que:

v = 40 – 9,8*t → 0 = 40 – 9,8*t → seg 08,48,9

40t ==

y ahora sustituyendo ese valor de tiempo en la ecuación del espacio obtendremos el espacio que ha recorrido que no es más que la altura subida

2t*4,9t*40s −= → m63,81=−= 24,08*4,94,08*40s

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6. Desde un acantilado de 100m de altura se lanza verticalmente y hacia arriba un objeto con una velocidad de 40m/seg. Hallar cuánto tarda en llegar al suelo desde el momento del lanzamiento. Tomamos un sistema de referencia centrado en el lugar desde donde se dispara, como el de la figura:

Fíjate que en ese sistema de referencia el punto del suelo tiene coordenada Y = –100 m, así que solamente tienes que escribir las ecuaciones del movimiento para esa piedra y ¿te acuerdas? si le damos un valor al tiempo nos dan la velocidad y el espacio para ese tiempo. Y lo mismo, si le damos una valor la velocidad o al espacio, nos dan el tiempo que tarda en adquirir esa velocidad o recorrer ese espacio.

v = vo + a.t v = 40 – 9,8*t v = 40 – 9,8*t

2o ta

2

1tvs ⋅+= 2t(-9,8)*

2

1t*40s *+= 2t*4,9t*40s −=

Ahora se trata de calcular el tiempo necesario para que el espacio sea s = –100 m. ( el signo menos es consecuencia del sistema de referencia, de que está por debajo del punto del disparo.) Así que:

2t*4,9t*40s −= → 2t*4,9t*40100 −=− y de ahí se despeja el valor del tiempo, que resulta t = 10,17 seg. (hay otro valor t= –2 seg que no vale y correspondería al caso de que en lugar de lanzar la piedra hacia arriba la hubiésemos tirado hacia abajo)

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7. Lanzamos hacia arriba un objeto con una velocidad de 20 m/s. a) Calcular el tiempo que tarda en encontrarse a 5 metros sobre la posición inicial. b) Interpreta el resultado obtenido. Datos: g= 10 m/s2 a) Elegimos un SR centrado en el lugar del disparo. En ese SR las ecuaciones del objeto, que tiene un movimiento uniformemente acelerado por estar sometido a la aceleración de la gravedad, son:

v = vo + a.t v = 20 – 10*t v = 20 – 20*t

2o ta

2

1tvs ⋅+= 2t*(-10)*

2

1t*20s += 2t*5t*20s −=

Sustituyendo en la ecuación del espacio s=5 podemos obtener el tiempo que tarda en alcanzar esa posición:

s = 20·t – 5·t2 → 5 = 20·t – 5·t2 Resolviendo esa ecuación de segundo grado 5t2 – 20t + 5 = 0 con la fórmula:

10

32,1720

52

554)20(20

52

554)20(20

a 2

c a 4bbt

222 ±=⋅

⋅⋅−−±=

⋅⋅⋅−−±

=−±−=

Obtenemos dos valores para el tiempo: t=0,27s y t=3,73s b) Interpretación: Los dos valores obtenidos para el tiempo son correctos y ambos corresponden al tiempo necesario para que el objeto esté a 5m de altura sobre el lugar del disparo: El valor más pequeño es el tiempo que tarda en llegar y el mayor corresponde al tiempo que tarda en volver a estar en la misma posición, después de que haya alcanzado la altura máxima.

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8. Un coche lleva una velocidad de 20 m/s. De repente frena con una aceleración de 4 m/s2, calcular: a) El tiempo que tarda en pararse. b) El espacio que el coche recorre antes de detenerse. Elegimos un SR centrado en el lugar donde comienza a frenar, como el de la figura, donde hemos dibujado la aceleración en sentido contrario a la velocidad por tratarse de un movimiento de frenado.

En ese sistema de referencia el punto en que se detiene el coche corresponde con el espacio que ha recorrido durante el frenado, es decir que en el momento en que v=0 el espacio recorrido para ese tiempo es igual al espacio de frenado. Las ecuaciones del movimiento del coche son:

v = vo + a.t v = 20 – 4*t v = 20 – 4*t

2o ta

2

1tvs ⋅+= 2t*(-4)*

2

1t*20s += 2t*2t*20s −=

1. Ahora se trata de calcular el tiempo necesario para que el que la velocidad se hace cero: v = 20 – 4*t → 0 = 20 – 4*t → t = 5 s 2. Ahora no hay más que sustituir ese tiempo en la ecuación del espacio para saber el espacio que recorre hasta pararse: 2t*2t*20s −= → =−=

=2

56,5t5*25*20s 50 m

Observa el espacio tan grande que necesita un coche para detenerse, por lo que es muy importante mantener la distancia de seguridad que aconseja la DGT. En realidad la distancia de frenado es aún mayor, ya que en este caso no hemos tenido en cuenta el tiempo de reacción del conductor que suele estar entre 0,5 y 1 segundo. (En 1 segundo un coche a 20 m/s, obviamente, recorre 20 m que habría que sumar a los 50m calculados.)

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9. Un coche lleva una velocidad de 20 m/s (72km/h) cuando frena bruscamente. Si después de frenar recorre 50 antes de pararse, calcular: a) El tiempo de frenado. b) La aceleración con que ha frenado. Obviamente se trata del mismo ejercicio que hemos resuelto anteriormente, solo que en este caso conocemos el espacio que recorre hasta pararse y desconocemos el valor de la aceleración. Elegimos el mismo SR y aunque hemos dibujado la aceleración en sentido contrario a la velocidad, por tratarse de un frenado, más adelante confirmaremos esa suposición al obtener para la aceleración un valor negativo.

Las ecuaciones del movimiento del coche son:

v = vo + a.t v = 20 + a*t

2o ta

2

1tvs ⋅+= 2t*a*

2

1t*20s +=

En este caso, por lo pronto, no podemos terminar de concretar las ecuaciones del movimiento, sin embargo conocer la velocidad y el espacio en un momento concreto nos va a permitir calcular el valor de la aceleración y poder escribir las ecuaciones del movimiento: Teniendo en cuenta que en el momento en que v=0 el espacio recorrido es s=50m, podemos poner: 0 = 20 + a t

2 ta 2

1 t2050 +=

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, cuyas soluciones son a=−4m/s2 y t=5s Para resolver el sistema de ecuaciones despejamos la aceleración de la primera ecuación (a=−20/t) y ahora sustituimos en la segunda ecuación:

2 t)t

20(-

2

1 t2050 += simplificando t 10t 2050 −= → t 1050= → t=5 seg

Sustituyendo el valor del tiempo en la expresión de la aceleración: 45

20

t

20a −=−=−= m/s2

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10. Se lanza verticalmente y hacia arriba un objeto con una velocidad de 50m/seg. Hallar el tiempo que transcurre desde el lanzamiento hasta caer sobre un edificio de 30m de altura.

Haremos como siempre. Después de elegir un sistema de referencia centrado en el lugar del disparo escribimos las ecuaciones de ese movimiento:

v = vo + a.t v = 50 – 9,8*t v = 50 – 9,8*t

2o ta

2

1tvs ⋅+= 2t(-9,8)*

2

1t*50s *+= 2t*4,9t*50s −=

Ahora fíjate que cuando caiga sobre el edificio el espacio, en este sistema de referencia, vale s = +30 m. Así que no hay más que igualar la ecuación del espacio a 30 y calcular el valor de tiempo . (Por cierto que ahora obtendremos dos valores buenos para el tiempo ¿sabes el significado de cada uno? Piensa que por ese punto pasa dos veces.)

2t*4,9t*50s −= → 2t*4,9t*5030 −= y de ahí se despeja el valor del tiempo, que resulta t = 9,56s y t = 0,63s El primer valor corresponde al tiempo que la piedra tarda en subir y estar a una altura de 30m y el segundo valor (que es mayor) es el tiempo que tarda en estar de nuevo en la misma posición, pero después de haber subido hasta lo más alto y vuelto. Fíjate bien en las palabras: Si te preguntasen ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar una altura de 30m? la respuesta sería 0,63seg. Pero lo que te preguntan es cuanto tiempo tarda en “caer sobre el edificio”, así que se entiende que primero sube y luego cae a la vuelta y por tanto la solución que debes dar es: t=9,56 seg.

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11. Un tractor se mueve con velocidad constante y las ruedas traseras, que tienen 1 m de diámetro, dan 191 vueltas cada minuto. a) Calcular la velocidad angular de las ruedas traseras en unidades internacionales. b) Calcular la velocidad lineal del tractor. c) Imagina que en una rueda trasera se ha incrustado una piedra y el conductor escucha el ruido que hace al golpear el suelo cada vez que la rueda da una vuelta. ¿Cuántos golpes escucharía en 10 segundos? d) Cuál será la velocidad lineal y la velocidad angular de las ruedas delanteras, sabiendo que tienen 60 cm de diámetro.

a) seg/rad 20seg 60

rad 2191

.min

vueltas191 =π==ω

b) v = ω·R ⇒ v = 20*0,5 = 10 m/s c) La frecuencia es el número de vueltas que da en 1 segundo. Por tanto los golpes (vueltas) que dará en 10 segundos será igual a 10 veces la frecuencia.

f2T

2 ⋅π=π=ω ⇒ 20 = 2*π*f ⇒ f = 3,18 Hz

Las vueltas que la rueda dará en 10 seg (golpes que escuchará en 10 seg) = 31,8 golpes d) La rueda delantera y la rueda trasera tienen la misma velocidad lineal, ya que ambas recorren el mismo espacio en el mismo tiempo (a menos que se desarme el tractor), por tanto: vr.trasera = vr.delantera = 10 m/s Sin embargo, la rueda delantera al tener distinto radio tendrá distinta velocidad angular: v = ω·R ⇒ 10 = ωr.delantera*0,3 ⇒ ωr.delantera = 33,3 rad/s

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AMPLIACIÓN 12. Un observador situado a 40 m de altura ve pasar un cuerpo hacia arriba con una cierta velocidad y al cabo de 10 s lo ve pasar hacia abajo, con una velocidad igual en módulo pero de distinto sentido. a) ¿Cuál fue la velocidad inicial del móvil?. b) ¿Cuál fue la altura máxima alcanzada?. a) Tomamos el SR centrado en el lugar del disparo. Es como si el observador estuviese en el suelo y “lanzara el cuerpo hacia arriba con una velocidad inicial de vo y después “t” segundos ha subido 40 m y tiene una velocidad +vB . Después de llegar al punto más alto vuelve a bajar y 10 segundos más tarde pasa por el mismo punto con una velocidad –vB (menos porque ahora va para abajo). Aplicando las ecuaciones del movimiento cuando está a 40 metros de altura tendremos: Para t=t está subiendo t 10vv oB −=

2o t 10

2

1tv40 −= t=0,7446s; vo=57,44m/s; vB=50m/s

Para t=t+10 está bajando )10t (10vv oB +−=− b) La altura máxima es el espacio recorrido en el momento en que v=0, por tanto:

máx.ht 1044,570 −= → th.máx=5,744s → sh.máx=57,44*5,774−5(5,744)2=165m Otra forma alternativa de razonarlo: Igual que antes, tomamos el SR centrado en el lugar del disparo. También, igual que antes, llamaremos a la velocidad vo=vA” , a la velocidad que tiene después de subir 40 m la llamaremos vB Puesto que no hemos cambiado de SR las ecuaciones del movimiento son mismas:

v = vo –10*t

2o t5tvs ⋅−=

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a) Cuando la piedra pasa delante del observador lleva una velocidad + vB. Como tarda 10seg en volver a pasar delante de él quiere decir, si no hay rozamiento, que ha tardado 5 segundos en llegar al punto más alto y otros 5 en volver. Podemos calcular la velocidad del cuerpo al pasar por el observador (punto B) teniendo en cuenta que sería exactamente igual que si se lanzara una piedra desde el punto B con una cierta velocidad inicial vB y estuviese subiendo 5 seg hasta pararse, por tanto:

v = vo – 10.t → 0 = vB – 10*5 → vB = 10*5 = 50 m/s b) El espacio que ha recorrido en esos 5 segundos, que es la altura medida desde el punto B es:

2o t5tvs −= → m12555550s 2 =⋅−⋅=

Si miras en la figura verás que en nuestro SR la altura alcanzada por la piedra sería: h = 125m + 40m = 165 metros Pero aun no hemos terminado, porque en el apartado a) lo que preguntan no es con qué velocidad ve pasar el observador la piedra (esa sería 50 m/s) sino lo que preguntan es con qué velocidad inicial se lanzó la piedra. La piedra se lanzó desde el suelo (punto A). Sabemos que cuando va por el punto B (es decir después de subir 40m) tiene una velocidad vB= 50 m/s, así es que aplicando la ecuación de la velocidad entre el punto A y el B (recuerda que la velocidad en el punto A es la velocidad inicial vo y la del punto B es 50 m/s) tendremos que:

v = vo –10.t 50 = vo – 10*tAB

2o t5tvs ⋅−= 2

ABAB t5t1040 ⋅−⋅=

despejando el tiempo de la segunda ecuación y sustituyendo en la primera puede calcularse la velocidad inicial con que se tiró la piedra (la que tenía en el punto A). Pero si te acuerdas, para evitar resolver el sistema de ecuaciones podemos utilizar esa tercera ecuación, así que sería más fácil:

sa2vv 2o ⋅⋅+= → 40)10(2v50 2

o ⋅−⋅+= → s/m44,573300vo ==

esa es la velocidad inicial con que debe lanzarse la piedra para que después de subir 40m pase delante del observador con una velocidad de 50 m/s y todavía continúe subiendo durante 5 segundos más hasta pararse y vuelva para abajo.

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13. Para averiguar la profundidad de un pozo, dejamos caer una piedra y oímos el ruido del impacto contra el agua 2,06 segundos después. ¿Qué profundidad tiene el pozo, si se supone para el sonido una velocidad de propagación de 330 m/s? g = 10 m.s–2

El tiempo que tardaremos en oír el ruido será el que la piedra tarda en caer por efecto de la gravedad (t1) (movimiento uniformemente acelerado) más el que el sonido tarde en subir (t2) (movimiento uniforme):

↓ 21gt

2

1s =

g

s2t1 =

↑ 2stvs = s

2 v

st =

teniendo en cuenta que el tiempo desde que dejamos caer la piedra hasta que escuchamos el sonido es 2,06 seg:

06,2tt 21 =+ sustituyendo:

06,2330

s

10

s2 =+

de donde resulta que s=20 metros 14. Dos cuerpos A y B separados una distancia de 2Km, salen simultáneamente y se mueven en la misma dirección, ambos con movimiento rectilíneo uniformemente variado, siendo la aceleración de B (el más lento) de 0,32 m/s2.El encuentro se realiza a 3´025 Km del punto de partida de B. Se pide: a) tiempo invertido por ambos móviles b) aceleración de A c) la velocidad de ambos en el momento del encuentro.

a) En el SR de la figura ambos coches parten del reposo y deben recorrer con MRUA exactamente el mismo espacio (2000+3025m) en el mismo tiempo hasta encontrarse, lo que pasa es que el coche B en el momento inicial ya tiene recorrido un espacio inicial s0B=2000m

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Ecuaciones del coche A tav AA =

2AA ta

2

1s =

Ecuaciones del coche B tav BB =

2BB ta

2

12000s +=

a) En el momento en que se encuentren sA=sB=5025 m. Sustituyendo en la ecuación del espacio de cualquiera de los coches podemos obtener el tiempo. Lo haremos al coche B porque de él sabemos la aceleración:

2BB ta

2

12000s += → 2t 32,0

2

120005025 += → t = 137,5 seg

b) Ahora que sabemos el tiempo en encontrarse, sustituimos en la ecuación del espacio del coche A:

2AA ta

2

1s = → 2

A )5,137(a2

15025= → aA = 0,53 m/s2

c) vA = aA

.t = 0’53·137’5 = 73’09 m/s vB = aB

.t = 0’32·137’5 = 44 m/s 15. Desde lo alto de una torre se dejan caer libremente dos pequeñas piedras con un intervalo de 3s. ¿Se mantendrá constante la distancia entre ellas durante la caída? Llamamos A a la piedra que lanzamos primero y B a la que lanzamos 3seg después. sA será el espacio que recorre la piedra A durante el tiempo que este cayendo: tA=t+3. sB es el espacio que recorre la piedra B durante el tiempo que esté cayendo: tB = t

2A )3t (g

2

1s +=

2B t g

2

1s =

d = sA – sB = 2)3t (g2

1 + − 2t g2

1= g (3 t + 4’5)

No se mantiene la distancia, puesto que depende del tiempo: d = f (t). Además, como puedes ver, la distancia que separa las piedras se hace cada vez mayor.

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16. Un cuerpo que se mueve en caída libre recorre en el último segundo de su caída la mitad del camino total. Calcula: a) la duración total de la caída. b) la altura h desde la que cayó

Vamos a dividir la caída en dos tramos iguales. Como en recorrer la segunda mitad tarda 1 seg., en la primera mitad tardará el tiempo total menos 1 seg, es decir que t1=t−1 Por otro lado, fíjate que la velocidad inicial del primer tramo es cero, mientras que la velocidad inicial del segundo tramo es igual a la final del primer tramo, es decir

)1t(ggtv 12o −==

s1 = 2)1t(g2

1 −

s2 = m)g2

1gt(g

2

1gt g1g

2

11)1t(gt g

2

1t v 22

222o −=+−=⋅+⋅−=+

como s1 y s2 son iguales:

2)1t(g2

1 − = g2

1t.g − → 5.t2 – 10 t + 5 = 10 t – 5

de donde tenemos que 5 t2 – 20 t + 10 = 0 y la solución es t = 3’41 seg (0’586 s no vale) b) Para calcular la altura no hay más que tener en cuenta que en recorrer h tarda 3,41 seg:

h = 2

1g t2 =

2

1 9’8 m/s2.3’412 s2 = 58’1 m

aunque también se podría sustituir en el espacio de cualquiera de los tramos en los que habíamos dividido el movimiento:

h = 2 m1,58)t21t(g)1t(g2

1.2

2

h 22 =−+=−=

h = 2 ( gt – 2

1g) = 2 g t – g = 2. 9,8.3,41 – 9,8 = 58,1 m

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17. En una bicicleta, que tiene unas ruedas de 30 cm de radio, la cadena está en el plato de 10 cm y en el piñón de 4 cm de radio. El ciclista pedalea dando 0,8 vueltas de pedal cada segundo. Calcular: a) La velocidad angular del plato en unidades internacionales. b) La velocidad lineal de los dientes del plato. c) La velocidad angular de los dientes del piñón. d) La velocidad de la bicicleta. Observaciones: En la bicicleta los pedales son solidarios al plato y, por tanto, ambos giran con la misma velocidad angular. La cadena arrastra simultáneamente al plato y al piñón, haciendo que los dientes de ambos recorran el mismo espacio en el mismo tiempo, por tanto, los dientes de ambos discos tienen la misma velocidad lineal. El piñón es solidario con la rueda trasera y, por tanto, ambos giran con la misma velocidad angular.

a) seg/rad 5seg

rad 28,0

seg

vueltas8,0PedalesPlato =π==ω=ω

b) vPlato = ωPlato·RPlato ⇒ vPlato = 5*0,10 = 0,5 m/s c) Como los dientes del plato y del piñón tienen la misma velocidad lineal. vPiñón = vPlato = 0,5 m/s vPiñón = ωPiñón·RPiñón ⇒ 0,5 = ωPiñón*0,04 ⇒ ωPiñón = 0,5/0,04 = 12,5 rad/s d) Como la rueda es solidaria al piñón, ambos tienen la misma velocidad angular: ωRueda = ωPiñón = 12,5 rad/s vRueda = ωRueda·RRueda ⇒ vRueda = 12,5*0,30 = 3,75 m/s (13,5 Km/h)

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Un tren que va a 50 Km/h debe reducir su velocidad a 25 Km/h antes de pasar por un puente. Si realiza la operación en 4 segundos, ¿Qué espacio ha recorrido en ese tiempo? ¿Cuánto tardará en cruzar el puente, que tiene una longitud de 100m? Primero “siempre” hay que poner todas las unidades en el sistema internacional, es decir, las velocidades hay que expresarlas en m/s: vo = 50 Km/h = 13,89 m/s; vf = 25 Km/h = 6,96 m/s Segundo hay que leer bien el enunciado y luego se vuelve a leer y así hasta comprenderlo. Te darás cuenta de que el tren frena durante 4 segundos para aminorar su velocidad (quiere decir que durante 4 segundos tiene un MRUA). Luego continúa con la velocidad de 25 Km/h (es decir, que después de esos 4s tiene un MRU) y con esa velocidad es con la que cruza el puente. Ahora hay que elegir un sistema de referencia, asignar los signos y anotar en él las magnitudes que intervienen. Observa que la aceleración la hemos dibujado en sentido contrario a la velocidad, como corresponde a un frenado (Quiere decir que cuando obtengamos su valor debería salirnos negativo.)

a) Durante el primer tramo, al tratarse de un MRUA, utilizamos las ecuaciones:

v = vo + a·t → 6,94 = 13,89 + a*4 → a = −1,74 m/s2 s = vot + ½ a·t2 → s = 13,89*4 + ½ (−1,74)*42 = 41,67 m

b) El puente lo cruza con velocidad constante. Utilizaremos las ecuaciones del MRU: s = v.t → 100 = 6,94*t → t = 14,4 s

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CINEMÁTICA. REPASO . Ejercicios similares semiresueltos o con soluciones. Un coche tiene una velocidad de 90 km/h, cuando ve a lo lejos a un tractor que marcha a 36 km/h y al que no puede adelantar. a) Calcular el tiempo que debe accionar el freno para circular a la misma velocidad que el tractor, sabiendo que la aceleración de frenado es de 3 m/s2. b) Calcular el espacio que necesita para realizar esa frenada (sería la distancia mínima a la que debería accionar el freno para no chocar con el tractor).

vo = 90 Km/h = 25 m/s; vfinal = 36 Km/h = 10 m/s a) v = vo + a·t ⇒ 10 = 25 – 3*t ⇒ t = 5 seg. b) s = so + vot + ½ a·t2 ⇒ s = 25*5 – 3*5

2 = 50 m En los accidentes de tráfico la guardia civil determina la velocidad que llevaba el coche en el momento del accidente a partir de las huellas de frenado y teniendo en cuenta la aceleración de frenado que se estima, con la ayuda de unas tablas, a partir del estado del asfalto y de los neumáticos. a) Calcular la velocidad que tenía un coche en el momento de frenar sabiendo que las huellas que dejó en el asfalto tienen 50 metros y que la aceleración de frenado estimada es de 6,25 m/s2. b) Calcular el tiempo que ha tardado en frenar.

v = vo + a·t 0 = vo – 6,25*t s = so + vot + ½ a·t2 50 = vo*t – 3,125*t

2 Resolviendo el sistema de ecuaciones (*) obtenemos las soluciones vo = 25 m/s y t = 4 seg. (*)Despejamos vo de la primera ecuación: vo = 6,25*t Sustituimos vo en la segunda ecuación: 50 = (6,25*t )*t – 3,125*t

2 operando: 50 = 6,25*t

2 – 3,125* t2 ⇒ 50 = 3,125*t

2 ⇒ t2 = 4 ⇒ t = 4 seg. Un hombre conduce a una velocidad de 36 km/h. De pronto acelera con una aceleración de 6 m/s2 durante 57 metros. a) Calcular el tiempo que tardará en recorrer esos 57 m. a) Calcular la velocidad máxima que alcanzará.

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vo = 36 Km/h = 10 m/s a) s = so + vot + ½ a·t2 ⇒ 57 = 10* t + 3*t

2 ⇒ t = 3 seg. b) v = vo + a·t ⇒ v = 10 + 6*3 = 28 m/s (100,8 Km/h) Se lanza verticalmente hacia arriba un móvil con una velocidad de 50m/seg. Hallar el espacio recorrido a los 2 segundos. Sol: Debes obtener que para t=2seg, el espacio recorrido es s=80,4m y la velocidad que tiene en ese instante es v=30,4 m/s Se lanza verticalmente hacia arriba un móvil con una velocidad de 60m/seg. Hallar que velocidad lleva a los 10seg. Sol: (La velocidad a los 10 segundos es 38 m/s y el signo menos indica que va hacia abajo Se lanza verticalmente hacia arriba un móvil con una velocidad de 80m/seg; hallar la distancia recorrida a los 10seg. Sol: Debes obtener que para t=10seg, el espacio recorrido es s=310m y la velocidad que tiene en ese instante es v= –18 m/s Se lanza verticalmente hacia arriba un móvil con una velocidad de 70m/seg; hallar a qué altura se encuentra del suelo a los 12seg. Sol: Debes obtener que para t=12seg, el espacio recorrido es s=134,4m y la velocidad que tiene en ese instante es v= –47,6 m/s Desde el suelo se lanza verticalmente hacia arriba un móvil con una velocidad de 80m/seg. Se desea saber qué velocidad lleva cuándo ha recorrido 300m. Sol: Cuando sube (t=5,836s) → v = 80 – 9,8*t → v = 80 – 9,8*5,836 = 22,80 m/s Cuando baja (t=10,49s) → v = 80 – 9,8*t → v = 80 – 9,8*10,49 = –22,80 m/s Se dispara verticalmente hacia arriba un objeto y a los 2seg va subiendo con una velocidad de 80m/seg. Hallar: a) la altura máxima alcanzada. b) la velocidad que lleva a los 15seg. Sol: a) th.máx = 10,16seg; hmáx=506,13m b) vt=15=− 47,4 m/s

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Se lanza verticalmente hacia arriba un móvil que tarda 10 segundos en llegar al punto de partida. Hallar: a) la altura máxima alcanzada. b) qué velocidad lleva a los 3seg. Sol: a) hmáx=122,5 m b) v=19,6m/s Se dispara verticalmente hacia arriba un objeto, de forma que a los 2 segundos lleva una velocidad de 60m/seg. Hallar: a) la velocidad con la cual se disparó el objeto, b) a qué altura se encuentra a los 2 segundos. c) cuánto tiempo ha de transcurrir para que llegue a la parte superior de la trayectoria. Sol: a) vo=79,6m/s b) s=139,6m c) t=8,12seg; hmáx=323,27m Un coche lleva una velocidad constante de 15 m/s. Sabiendo que los neumáticos tienen un diámetro de 60 cm, calcular. a) La velocidad angular con que giran sus ruedas. b) El ángulo que giran las ruedas en 10 segundos. c) El tiempo que una rueda tarda en dar una vuelta. a) v = ω·R ⇒ 15 = ω·0,3 ⇒ ω = 50 rad/s b) φ = φo + ω·t ⇒ φ = 50·10 = 500 rad

c) T

2

t

π=ϕ=ω ⇒ T

250

π= ⇒ T = 2π/50 = 0,126 seg.

Una locomotora necesita 10 s. para alcanzar su velocidad de régimen que es 60 Km/h. Suponiendo que su movimiento es uniformemente acelerado ¿Qué aceleración se le ha comunicado y qué espacio ha recorrido antes de alcanzar esa regular?

a) v = vo + a·t → 16,67 = a*10 → a = 1,67 m/s2 b) s = vot + ½ a·t2 → s = ½ 1,67*102 = 83,5 m

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Sobre una bala de 10 kg, introducida en un cañón, actúa la pólvora con una fuerza de 105N. Halla: a) La aceleración. b) El tiempo que tarda en recorrer los 2 m de longitud del cañón y la velocidad de salida.

a) La aceleración de la bala es debida a la fuerza que sobre ella hacen los gases de la pólvora, por tanto, de acuerdo con la segunda ley de Newton: F = m·a → 105 = 10*a → a = 10,5 m/s2 b) Ahora es un simple ejercicio de un cuerpo que parte del reposo y acelera con una aceleración de 10,5 m/s2. ¿Cuánto tarda en recorrer 2m y qué velocidad tiene? s = vot + ½ a·t2 → 2 = ½ 10,5*t2 → t = 0,62s v = vo + a·t → v = 10,5*0,62 = 6,48 m/s Para los siguientes móviles dibuja: (a) El vector de posición. (b) El vector velocidad. (c) La aceleración tangencial. (d) la aceleración normal.

• El vector de posición (rr

) tiene su origen en el SR y el extremo en el móvil • El vector velocidad es tangente a la trayectoria

• El vector aceleración tangencial (tar

) tiene la misma dirección de la velocidad y el mismo sentido si

acelera o el contario si frena. Mide los cambios de la velocidad en módulo.

• El vector aceleración normal (nar

) es normal (perpendicular) a la velocidad. Mide los cambios de la

velocidad en dirección.

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Una bala de 50 g y velocidad 200 m/s penetra 10 cm en una pared. Suponiendo una deceleración uniforme. Halla: a) El tiempo que tarda en penetrar la pared b) La fuerza constante que le opone la pared. Leyendo el enunciado hasta comprenderlo verás que la bala golpea en la pared a 200m/s. A partir de ese momento la bala comienza a perder velocidad hasta pararse después de penetrar 10cm. Quiere decir que la bala tiene un MRUA. Se trata de un simple frenado de un móvil que tiene una velocidad inicial vo = 200 m/s y que después de recorrer 0,1m tiene una velocidad final v = 0

a) v = vo + a·t → 0 = 200 + a*t a = −2·105 m/s2

s = vot + ½ a·t2 → 0,1 = 200*t + ½ a*t2 t = 0,001s b) De acuerdo con la segunda ley de Newton, esa aceleración será provocada por una fuerza, que es la responsable de que se frene: F = m·a = 0,050*(−2·105) = −104 N El signo menos indica, de acuerdo con el SR elegido, que la fuerza tiene sentido contario a la velocidad, tal como habíamos dibujado.