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Introducción a la Transformada Waveletpara Ingenieros: un enfoque didáctico
R. de Castro, M. López, J. Martínez H. Díaz M. MartínezU. Politécnica de Madrid U. de Tarapacá U. Simón Bolívar
ESPAÑA CHILE VENEZUELA
2do Congreso Internacional en Innovación y Desarrollo Tecnológico CIINDET’04
Objetivos
• Describir los fundamentos de la Transformada Wavelet
• Implementar de forma didáctica la Transformada Wavelet discreta mediante análisis multiresolución
• Realizar un análisis comparativo entre la Transformada de Fourier y la Transformada Wavelet
• Crear una plataforma web para divulgar información sobre la Transformada Wavelet y sus aplicaciones en el área de Ingeniería Eléctrica
Evolución Histórica
1807
1909
1984
1946
Fourier
Haar
Morlet
Gabor
Descomposición de señalesperiódicas en senos y cosenos
Concepto de ondas bases decorta duración
Concepto de dominio tiempo-frecuencia (STFT)
Introducción por primera delConcepto de wavelet
Evolución Histórica
1985
1988
1990 -
1989
Meyer
Daubechies
Mallat
Origen de las waveletsortogonales
Teoría convertida enherramienta (Aplicaciones)
Análisis WaveletMultiresolución (MRA)
Aplicaciones prácticasFBI, JPEG, Toy Story
¿Qué son las wavelets?
∑ ψ⋅=k
kk )t(a)t(f
Fouriersen(kωot) cos(kωot)
Taylor, Fractales,
etc.
wavelets
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ τ−
ψ⋅=ψτ st
s1)t(s,
τ : Traslacións : Escala
f(t)
)t(kψ
Función Madre
Función Madre
Fundamentos
dt)t()t(f)s,(C *s,∫
+∞
∞−
τψ⋅=τ
∑∞
−∞= ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ τ⋅⋅−ψ⋅=
njo
ojo
jo s
ksn)n(f
a
1)k,j(DWT ∑ ∑∞
−∞=
∞
−∞=
ψ⋅=k j
k,j )t()k,j(DWT)t(f
∑∑∑ ψ⋅+ϕ⋅=−
=kk,j
1J
0jjk,j
kj )t()k(d)t()k(a)t(f
T. Wavelet continua
Discretización: T. Wavelet discreta
Descomposición Reconstrucción
f(t) Señal
M R A
Teoría de filtros
aj(k) : aproximacióndj(k) : detalle
Fundamentos
∑∑∑ ψ⋅+ϕ⋅=−
=kk,j
1J
0jjk,j
kj )t()k(d)t()k(a)t(f
M R A
∑ +⋅−=>ϕ<=m
1jk,jj )m(a)k2m(h )t(),t(f )k(a )m(a)k2m(h )t(),t(f )k(d 1jm
1k,jj +⋅−=>ψ<= ∑
Filtros digitalesQMR
aj+1
LD ↓2 aj
HD ↓2 dj
aj+1LR 2↑aj
HR 2↑dj+
HDLD
HRLR
Análisis Wavelet Multiresolución
Escala 3
HD LD
22
HD LD
2 2
HD LD
2 2
x [n] f : 0 – fs
f : 0 – fs/21
f : 0 - fs/22
f : 0 – fs/23
f : fs/21 - fs
f : fs/22 - fs/21
f : fs/23 - fs/22
Escala 1
Escala 2
…
d1
d2
d3
a1
a2
a3
fs: Frecuencia Nyquist
Comparación Wavelet - Fourier
Señal no estacionaria con contenido de 10, 25, 50 y 100 Hz
3000 600 800 1000 ms
25 Hz
10 Hz50 Hz
100 Hz
Comparación Wavelet - Fourier
Señal no estacionaria con contenido de 10, 25, 50 y 100 Hz
3000 600 800 1000 ms
25 Hz
10 Hz50 Hz
100 Hz
10 25 50 100 Hz
Análisis frecuencial T. de FourierInformación sobre el contenido en frecuencia de la señal
Sin información de los picos
Comparación Wavelet - Fourier
Señal no estacionaria con contenido de 10, 25, 50 y 100 Hz
3000 600 800 1000 ms
25 Hz
10 Hz50 Hz
100 Hz
Información sobre la localización temporal de las componentes frecuenciales
Sin información de los picos
T. de Fourier enventanada
0 50 100 150400
200
600800
Tiempo (ms)Frecuencia (Hz)
Am
plit
ud
15
1000
Comparación Wavelet - Fourier
Time (ms)0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
a 8
d 6
d 2
d 5
d 3
d 4
d 1
[31.25 62.5] Hz
[7.8125 15.625] Hz
[15.62 31.25] Hz
[250 500] Hz
[125 250] Hz
[62.5 125] Hz
Análisis Wavelet Multiresolución
1000 ms
Señal no estacionaria
3000 600 800
Información sobre la localización temporal de todas las componentes frecuenciales
Con información de los picos
Aplicación Práctica
Wfilters (‘db8’)
HaarDaubechies
Morlet...
HD 2
SeñalS
S2
S1 = convolución(S,HD)
S
S1
S1 S2
Submuestreo
f4 f5f2 f3f1
f3 f5f1
LD 2
Aplicaciones de la Transformada Wavelet
General
Compresión de archivos
Procesamiento de señales e imágenes
Solución de ecuaciones diferenciales
Ingeniería
Eléctrica
0
5
10
15
20
25
% P
ubl
icac
ion
es
1994 1996 1998 2000 2002 Mayo2004Año
Descargas parciales
8%Protecciones
32%
Otras8%
Calidad del servicio
35% Medidas5%
Transitorios9%
Estimación de la demanda
3%
Fuente: IEEE, IEE, Power System Research
Página web de apoyo http://www.uta.cl/hdiaz
Transformada Wavelet en Ingeniería Eléctrica
Página Principal
Publicaciones
Bibliografía Enlaces
ConceptosBásicos
¿Qué son las wavelets?
Breve Introducción
Tutorialesen Español
Trabajos Disponibles en pdf:» Fundamentos (2 Mb)
» Aplicación a la Protección diferencial de un Transformador (4Mb)
» Localización de Faltas en Líneas de Transporte (2.5 Mb)
Programas enMatlab
Programas en Matlab:» Más de 15 archivos (.m), para desarrollarlas bases de la TW, su comparación con laTF y aplicaciones
Publicaciones:3 publicaciones desarrolladas por el grupode investigación y relacionadas con el tema
Bibliografía:Referencias a Publicaciones clasificadaspor áreas de interés: Calidad de Servicio,Protecciones, etc.
Enlaces:Más de 15 enlaces a páginas especializadas
Conclusiones
• La transformada Wavelet es una herramientamoderna para el análisis de señales y otrasaplicaciones de ingeniería
• La Transformada Wavelet tiene ventajascomparativas frente al análisis clásico (Fourier) parael análisis de señales no estacionarias
• La Transformada Wavelet resulta útil para la detección de singularidades originadas portransitorios