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CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4ºESPAD

CEPA MIGUEL DE CERVANTES

CURSO 2019-20

MATEMÁTICAS

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Bloque 10. Tema 1.

Funciones. Función lineal. Función Cuadrática.

ÍNDICE

1) Introducción

2) Funciones2.1. Ejes de coordenadas o cartesianos2.2. Tabla de valores o de datos2.3. Gráficas

2.3.1. Características de las gráficas

3) Interpretación de gráficas

4) Función lineal4.1. Función lineal o de proporcionalidad directa4.2. Función afín4.3. Función constante4.4. Aplicaciones de la función lineal

5) Función cuadrática5.1. Elementos de la parábola

1) Introducción

Comprender las matemáticas es necesario para insertarse adecuadamente en el mundo actual;pensar de forma lógica, sistemática y razonar nos sirve para solucionar problemas que precisan deconocimientos comunes para poder dar respuesta. Este tipo de comunicación necesita de un conjuntode habilidades para las cuales es fundamental el aprendizaje de las matemáticas y su lenguaje.Representar e interpretar, por ejemplo, son aspectos de la comunicación que ejercitarás en estebloque.

Este primer tema se forma con tres apartados diferenciados: una primera parte de GENERALIDADESDE FUNCIONES, otra segunda en la que tratamos las FUNCIÓN LINEAL y la última en la queestudiamos la FUNCIÓN CUADRÁTICA. En la primera, desarrollaremos la interpretación de lasgráficas de funciones y los conocimientos previos que necesitaremos para desarrollar correctamentelas funciones. En la segunda y tercera, se desarrolla el tratamiento de funciones lineales, afines ycuadráticas mediante situaciones y problemas de la vida cotidiana.

2) Funciones

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El concepto de función es bastante abstracto, lo que hace complicada su definición y comprensión; sinembargo, sus aplicaciones son múltiples y muy útiles, lo que las hace muy importantes.

Por ejemplo, las funciones sirven para poder explicar muchos fenómenos que ocurren en disciplinastan diferentes como la Física, la Economía o la Sociología.A pesar de las dificultades, algunas características que poseen las funciones se entienden fácilmentecuando se representan gráficamente, por resultar entonces muy intuitivas, y eso es suficiente parapoder analizar y resolver muchas cuestiones.

Existen multitud de fenómenos en nuestra vida cotidiana en los que aparecen relacionadas dosmagnitudes. Pero, ¿recuerdas lo que es una MAGNITUD?, una magnitud es cualquier cualidad que sepueda medir y expresar mediante un número.

Por ejemplo, el precio de un billete en un medio de transporte y la distancia del viaje, son dosmagnitudes que se relacionan entre sí porque ambas son cuantificables y el precio final del billete tienerelación con la distancia del viaje. Otros ejemplos serían el precio de un kilo de fruta o carne y el númerode kilos que compramos; o la duración de un trayecto y la velocidad a la que vamos; el número delatidos del corazón en una unidad de tiempo… todas ellas son situaciones donde relacionamos dosmagnitudes.Muchas de esas relaciones se rigen por una ley de proporcionalidad, directa o inversa, pero hay otrasmuchas en las que la correspondencia entre ambas magnitudes es más complicada.Esta relación funcional se puede establecer, muchas veces, mediante una expresión matemática ofórmula (expresión algebraica o analítica de la función), lo que nos permitirá trabajar de formacómoda con ella. Otras veces viene dada mediante una tabla de valores donde aparecen los valoresrelacionados entre sí. En ocasiones tenemos la relación en forma de gráfica…

Una función es una relación existente entre dos magnitudes a través de una expresión matemática,de tal manera que a cada valor de la primera, a la que llamaremos VARIABLE INDEPENDIENTE, lecorresponde un único valor de la segunda variable a la que llamaremos VARIABLE DEPENDIENTE.

Ejemplo:

El precio de un viaje en taxi viene dado por una parte fija, a la que llamamos bajada de bandera de 3€, y además 50 céntimos por cada minuto de duración del viaje. Si lo expresamos en forma de función sería: Y = f(x) =0,5X + 3, siendo X el tiempo en minutos que dura el viaje e Y sería el resultado de lo que debemos pagar. Como podemos observar la función relaciona dos variables: X es la variable independiente e Y que es la variable dependiente (depende de los minutos que dure el viaje).

En ella, f es el nombre que le ponemos a la función y podríamos llamarla usando otras letras (las quese usan más son “f”, “g” y “h”). Entre paréntesis va la variable “x” que representa el número de minutosque vamos en taxi, y ésta es la variable independiente puesto que nosotros elegimos libremente adónde necesitamos ir. Por último, la variable “y” representa el precio que debemos pagar, y es lavariable dependiente puesto que “depende” de cuántos minutos nos lleve llegar, es decir, depende de “x”.

La expresión, f(x) que se lee “f de x”, se suele usar con mucha frecuencia para designar a la variabledependiente porque:

1º) en ella se ve cuál es la variable independiente y, por tanto:

2º) resulta muy cómodo escribir cuánto nos costaría ir en taxi un tiempo concreto, por ejemplo, 15minutos. Se expresaría “f de 15” y su valor es f(15) = 0,5·15+3 = 10,5 €. (Sustituir en la expresiónde la función la X por el valor 15)


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Las funciones se representan sobre unos ejes cartesianos o de coordenadas para estudiar mejor sucomportamiento.

Resumiendo: Una función la podemos expresar a través de su expresión algebraica o analítica, sutabla de valores o su gráfica. Y además, conocida una de ellas podemos ser capaces de concretar lasotras.

Imagen Nº 1. Representación de Funciones. Fuente: Imagen de Elaboración Propia

Existen diversos tipos de funciones, en este tema nos centraremos en las FUNCIONES LINEALES yCUADRÁTICAS, las que se representan gráficamente mediante una recta y una parábola,respectivamente. Pero antes de comenzar con ellas recordaremos algunos conceptos quenecesitamos para empezar.

EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Y = f(x) = 0,5X + 3

TABLA DE VALORES

x 10 20 30Y = 3 + 0,5X 8 13 18


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Ejercicio 1:

De las siguientes relaciones que se establecen entre dos variables, INDICA si SON FUNCIONES:

S / N

a) El coste de comprar fruta y el número de kilos comprados.

b) El coste de una llamada telefónica y su duración.c) Velocidad de un vehículo y tiempo empleado en recorrer una distancia

determinada.d) Edad de una persona y su color de pelo.

e) Color de un diario y número de páginas escritas.

f) Cantidad de alumnos de una clase y número de aprobados.

g) El sexo de una persona y la cantidad de cigarrillos diarios que fuma.

Ejercicio 2:

Fíjate en las gráficas siguientes hay dos lineales y dos no lineales, indica cuál es de cada tipo:

Imagen Nº 2. Gráficas. Fuente: Imagen de Elaboración Propia

a)

b)

c)

d)


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Ejercicio 3:

Indica cuál es la variable dependiente (Y) y cuál la independiente (X) en las siguientes funciones:

a) El coste de comprar fruta y el número de kilos comprados.

DEPENDIENTE Y INDEPENDIENTE X

b) El coste de una llamada telefónica y su duración.


c) Velocidad de un vehículo y tiempo empleado en recorrer una distancia determinada.


2.1. Ejes de coordenadas o cartesianos

Según estudiamos en el módulo anterior, cuando queremos representar gráficamente un número, losdibujamos sobre una recta, llamada recta numérica, en la cual establecemos un punto de referencia,que es el 0, a partir del cual trazamos los números positivos (hacia la derecha) y los negativos (haciala izquierda).

Pues bien, si estamos trabajando con una única variable que toma valores numéricos y los queremosrepresentar, lo haremos igualmente sobre dicha recta. Entonces diremos que estamos trabajando enuna dimensión.

Imagen Nº 3. Recta. Fuente: Imagen de Elaboración Propia

Ahora bien, si trabajamos en el plano, necesitamos dos valores para referirnos a cualquier punto.Seguro que recuerdas el famoso juego de los barcos: tocado, hundido y agua. De la misma manera,si tenemos dos variables que están relacionadas (una función), que toman valores numéricos y losqueremos dibujar, tendremos que utilizar dos rectas o ejes diferentes (cada uno para los datoscorrespondientes a una variable) y que sean secantes para poder establecer la relación entreambas. Si las rectas se cortan de forma perpendicular, es más sencillo trabajar. El sistema derepresentación de puntos en el plano llamado EJE DE COORDENADAS O EJES CARTESIANOSestá formado por dos ejes perpendiculares, uno horizontal llamado EJE DE ABSCISAS, donde serepresentan los valores de la variable independiente (que toma los valores libremente, y que suelellamarse “x”), y otro vertical llamado EJE DE ORDENADAS, donde se representan los valores de lavariable dependiente (porque se calculan a partir de la otra, y que suele llamarse “y”). El punto dondese cortan ambos ejes se llama ORIGEN DE COORDENADAS y, al cortarse los dos ejes, el planoqueda dividido en cuatro zonas, que se conocen como CUADRANTES, y que se nombran en el sentidocontrario a las agujas del reloj empezando desde la parte positiva del eje de abscisas.


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Imagen Nº 4. Ejes de coordenadas. Fuente: Imagen de Elaboración Propia

Una vez establecido el EJE DE COORDENADAS con respecto al cual poder situar los puntos, parallegar a uno en concreto partimos del origen de coordenadas al que llamamos punto “O”, recorremos una determinada cantidad hacia la derecha o la izquierda y luego otra hacia arriba o hacia abajo. Asícada punto queda determinado por un par de números, la medida de los caminos realizados en ambasdirecciones, a los que llamamos COORDENADAS DEL PUNTO. El origen de coordenadas, O, tienede coordenadas: O (0, 0).

Las coordenadas de un punto A son un par ordenado de números reales (x, y), siendo “x” la primera coordenada o abscisa (nos indica la distancia a la que dicho punto se encuentra del eje vertical) e “y” la segunda coordenada u ordenada (nos indica la distancia a la que dicho punto se encuentra del ejehorizontal).Cuando ese valor se toma hacia la izquierda o hacia abajo lo indicamos con un número negativo y sies hacia arriba o a la derecha lo indicamos con uno positivo, de la misma manera que hacíamos alrepresentar los números en la recta.

De esta forma, cualquier punto del plano queda totalmente determinado mediante sus coordenadas yviceversa, a toda pareja ordenada de números le corresponde un punto del plano.

Imagen Nº 5. Coordenadas. Fuente: Imagen de Elaboración Propia

3 unidades hacia arriba

porque es positivo


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Es muy importante que domines todo lo relacionado con las coordenadas de los puntos. Así, debemossaber dibujar un punto en los ejes a partir de sus coordenadas y al revés, obtener las coordenadas apartir de su representación en los ejes.

Observa ahora algunas pautas que te ayudarán a realizar esas dos tareas más rápidas:

• Los puntos situados en el eje deordenadas tienen su abscisa igual a 0.

• Los puntos situados en el eje deabscisas tienen su ordenada igual a 0.

Imagen Nº 6. Fuente: Imagen de Elaboración Propia


• Los puntos situados en la mismalínea horizontal (paralela al eje deabscisas) tienen la misma ordenada.

• Los puntos situados en una misma líneavertical (paralela al eje de ordenadas)tienen la misma abscisa.


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Ejercicio 4:

Escribe las coordenadas de los puntos dibujados en el siguiente eje de coordenadas:


• Los puntos del primer cuadrante tienen elvalor de sus dos coordenadas positivas.

• Los puntos del segundo cuadrante tienen suabscisa negativa y su ordenada positiva.

• Los puntos del tercer cuadrante tienenambas coordenadas negativas.

• Los puntos del cuarto cuadrante tienen suabscisa positiva y su ordenada negativa.



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Ejercicio 5:

Dibuja los siguientes puntos: A(1, 1) B(0, 0) C(2, 0) D(3, -3) E(-1, -3)

2.2. Tabla de valores o de datos

Una tabla es una representación de datos, mediante PARES ORDENADOS que expresan la relaciónexistente entre dos magnitudes o dos situaciones.

La siguiente tabla nos muestra la variación del precio de las patatas, según el número de kilogramosque compremos.

Kg de patatas 1 2 3 4 5Precio en € 2 4 6 8 10

La siguiente tabla nos indica el número de alumnos que consiguen una determinada nota en unexamen.

Nota 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Nº de alumnos 1 1 2 3 6 11 12 7 4 2 1

¿Cómo se completa una tabla de datos? Hay diferentes formas. Veámoslas:

1ª. Pues bien, nosotros a partir de una gráfica podemos obtener su tabla de valores. No hay más queidentificar puntos que pertenezcan a la gráfica y determinar cuáles son sus coordenadas. Éstasserán los pares ordenados de la tabla. Veamos cómo se hace con un ejemplo. Supongamos quenos dan la siguiente gráfica:

Imagen Nº 10. Gráfica. Fuente: Imagen de Elaboración Propia


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Si nos fijamos bien nos aparecen tres puntos fáciles de localizar sus coordenadas. De izquierda aderecha serían: (-1,-5) ; (0,-2) ; (1,1).Estos tres puntos los podemos presentar en una tabla devalores como la que sigue:

x -1 0 1y -5 -2 1

2ª. Cómo realizamos nuestra tabla de valores cuando en lugar de facilitarnos la gráfica nos dan laexpresión analítica o algebraica de la función. Si continuamos con nuestro ejemplo, su expresiónalgebraica sería f(x)=3x-2. En este caso, lo que haremos será calcular el valor de la función paradiferentes valores de x. Si no me exigen determinados valores para la x elegimos nosotros los quedeseemos. ¿Cómo se hace esto?:

Si x= -1 → f(-1)= 3· (-1) -2 = -3-2 = -5 Si te das cuenta, lo que hacemos en sustituir el -1 por la x.Es decir, poner el -1 donde en la función aparece x, y después operamos. Así nos sale un parordenado formado por: (-1, -5)

Si x= 0 → f(0)= 3· 0 -2= 0-2 =-2 → (0, -2)

Si x = 1 → f(1)= 3·1-2=3-2=1 → (1, 1)

Ahora ya tenemos nuestros tres pares ordenados que podemos situarlos en una tabla de valores:

x -1 0 1y -5 -2 1

Ejercicio 6:

Completa los valores de la siguiente tabla:

Kg de limones 0 4 7 8

Precio en € 0 2 5 1,5

Ejercicio 7:

Completa los valores de la siguiente tabla:

Valor 0 -2 2 1 -3 ó 3

Valor al cuadrado 0 4 4 16

Ejercicio 8:

A partir de las siguientes expresiones algebraicas, obtén una tabla de valores de 5 puntos:

a) f(x)= 4x-2 b) f(x)= x2+ 2x - 5


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Ejercicio 9:

A partir de las siguientes gráficas, obtén una tabla de valores:

a) GRÁFICA 1b) GRÁFICA 2

Imagen Nº 11. Gráficas. Fuente: Imagen de Elaboración Propia

2.3. Gráficas

Una gráfica es la representación en unos ejes de coordenadas de los pares ordenados de una tabla.Las gráficas describen relaciones entre dos variables. La variable que se representa en el eje horizontalse llama variable independiente o variable x. La que se representa en el eje vertical se llama variabledependiente o variable y. La variable y está en función de la variable x.

Una vez realizada la gráfica podemos estudiarla, analizarla y extraer conclusiones. Para interpretaruna gráfica, hemos de observarla de izquierda a derecha, analizando cómo varía la variabledependiente y, al aumentar la variable independiente, x.

Kg de patatas 1 2 3 4 5

Precio en € 2 4 6 8 10

Imagen Nº 12. Gráfica y Tabla de Datos. Fuente: Imagen de Elaboración Propia


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En esa gráfica podemos observar que a medida que compramos más kilos de patatas el precio se vaincrementando.

Nota 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nº de alumnos

1 1 2 3 6 11 12 7 4 2 1

Imagen Nº 13. Gráfica y Tabla de Datos. Fuente: Imagen de Elaboración Propia

En esta gráfica observamos que la mayor parte de los alumnos obtienen una nota comprendida entre4 y 7.

Al igual que hicimos con la tabla de valores, también podemos representar gráficamente una funcióna partir de la expresión algebraica. Para ello, primero haremos nuestra tabla de valores, y una vez quetenemos esos pares ordenados procederemos a dibujar esos puntos en nuestros ejes cartesianos.

Ejemplo:

Imagina que nos dan la expresión de una función: f(x)=2x+1 y nos piden representarla. Primero,haremos nuestra tabla de valores, y para ello debemos calcular el valor de la función para diferentesvalores de x. Valores que elegiremos nosotros.

Valor de X Cálculo del valor de y para un valor determinado de xy = f(x)

paresordenados

x=-1 f(-1)=2·(-1)+1=-2+1=-1 (-1,-1)

x=0 f(0)=2·0+1=0+1=1 (0,1)

x=1 f(1)=2·1+1=2+1=3 (1,3)

Ahora, hacemos nuestra tabla de valores con nuestros pares ordenados:

x -1 0 1y -1 1 3

Una vez que tenemos nuestra tabla de valores, dibujamos unos ejes cartesianos y sobre él situamosnuestros puntos, teniendo siempre presente que la primera coordenada del punto corresponde con elvalor en el eje X y la segunda con el del eje Y:


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Imagen Nº 14. Gráfica. Fuente: Imagen de Elaboración Propia

Ejercicio 10:

Dibuja en el plano cartesiano los valores de la siguiente tabla y, una vez dibujada, indica qué tipo defigura corresponde a la gráfica de la función:

Ejercicio 11:

A partir de la siguiente expresión algebraica representa su gráfica: f(x)= 5x-9

2.3.1. Características de las gráficas

a) Gráfica creciente.

Una gráfica es creciente si al aumentar la variable independiente también aumenta la dependiente. Esdecir, si aumenta el valor de la x también aumenta el valor de la y.


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Imagen Nº 15. Gráfica Creciente. Fuente: Imagen de Elaboración Propia

b) Gráfica decreciente.

Una gráfica es decreciente si al aumentar la variable independiente disminuye la otra variable. Es decir,si aumentamos el valor de la x veremos que el respectivo valor de la y es menor que el anterior.

Imagen Nº 16. Gráfica Decreciente. Fuente: Imagen de Elaboración Propia


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c) Gráfica constante.

Una gráfica es constante si al variar la variable independiente la otra permanece invariable (tienesiempre el mismo valor).

Imagen Nº 17. Gráfica Constante. Fuente: Imagen desconocida

Una gráfica puede tener a la vez partes constantes, crecientes y decrecientes.

Imagen Nº 18. Gráfica. Fuente: Imagen desconocida

d) Máximos y mínimos.

Una función tiene un MÁXIMO en un punto cuando su ordenada es mayor que la ordenada de lospuntos que están alrededor de él. A la izquierda del máximo la función es creciente, mientras que a suderecha la función decrece.

Una función tiene un MÍNIMO en un punto cuando su ordenada es menor que la ordenada de lospuntos situados alrededor de él. A la izquierda del mínimo la función es decreciente, y a la derechacreciente.


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Imagen Nº 19. Máximos y mínimos. Fuente: Imagen desconocida

Por ejemplo, si tenemos una gráfica como la que hay a continuación, podemos estudiar en qué tramosla función es creciente, decreciente y si tienen máximos o mínimos.

Imagen Nº 20. Gráfica.

Vemos que la gráfica presenta dos TRAMOS CONSTANTES, desde las 0h hasta las 8h y desde las18h hasta las 24h. En ambos casos, el consumo de agua siempre se mantiene a cero. Por otro lado,tenemos otros dos TRAMOS CRECIENTES, desde las 8h a las 12h y desde las 14h a las 16h.Razonando de forma parecida, vemos que hay dos TRAMOS DECRECIENTES, desde las 12h a las14h y desde 16h a las 18h. ¿Cómo escribimos eso de forma matemática?:

Si intentamos buscar los máximos y los mínimos, veremos que tenemos un consumo MÁXIMO de aguacuando son las 12h (consumiendo 5m3), y corroboramos que a la izquierda de ese punto la función escreciente pero a su derecha es decreciente. Hay otro MÁXIMO a las 16h (consumiendo 3,25 m3), perocomo en esa hora el consumo es menor que a las 12 decimos que el MÁXIMO es RELATIVO. Si nosfijamos, cuando se cumplen las 14h hay un MÍNIMO (donde se consume 2 m3), ya que a su izquierdala función decrece y a su derecha la función crece. Esto lo escribiríamos:


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e) Continuidad y discontinuidad.

Una función es CONTÍNUA cuando la variable independiente y dependiente pueden tomar todos losvalores que existen en un tramo de la recta real.

Por ejemplo, si representamos el precio que pagamos por la compra de patatas al peso, vemos quepodemos comprar 1kg o 2kg de patatas, pero también las patatas pueden pesar todos los valoresintermedios que hay entre 1 y 2.

Sin embargo, si en lugar de comprar las patatas al peso las compramos solo por unidades, nosotrossólo podemos comprar 1 o dos patatas, pero no los valores intermedios que hay entre ambos. Entoncesdecimos que la función es DISCONTÍNUA.

• Gráfica CONTÍNUA. • Gráfica DISCONTINUA

Imagen Nº 21. Gráficas.

Ejercicio 12: Observa la gráfica siguiente y determina:


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a) El valor de “y” (valor de la función) en lospuntos x = -2 , x = 0 y x = 3.

b) Los intervalos de crecimiento ydecrecimiento

c) Los valores de x en los que se alcanzanpuntos de máximo o de mínimo.

Imagen Nº 22. Gráfica.

3) Interpretación de gráficas

Interpretar una gráfica es extraer información de ella a través de su estudio, de izquierda a derecha;aplicando todo lo visto en el apartado de características de las gráficas.

Veamos cómo trabajar este apartado con un ejemplo.

Ejemplo:

Las siguientes gráficas corresponden al ritmo que han seguido cuatro personas en un determinadotramo de una carrera. Asocia cada persona con su gráfica:

Imagen 23: Gráficas.

Mercedes: Comenzó con mucha velocidad y luego fue cada vez más despacio.

Carlos: Empezó lentamente y fue aumentado gradualmente su velocidad.

Lourdes: Empezó lentamente, luego aumentó mucho su velocidad y después fue frenando poco apoco.

Victoria: Mantuvo un ritmo constante.

La respuesta sería:Mercedes→ IVCarlos→ ILourdes→ IIVictoria→ III

Pero ¿por qué? Que hemos tenido que pensar para responder así. Para eso lo primero que tenemosque hacer es fijarnos muy bien en las magnitudes que se representan en ambos ejes. En este caso esuna gráfica espacio/tiempo, esto significa que puedo ver cómo avanzan en su recorrido conforme


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transcurre el tiempo. Así por ejemplo, la gráfica III corresponde a alguien que siempre ha corrido a lamisma velocidad porque su avance es siempre igual: cada cuadrado en el eje X se corresponde conel mismo aumento en el eje Y. Por eso es la gráfica de Victoria.

La gráfica IV corresponde a alguien que al principio corre muy rápido porque en un solo cuadrado deavance en el eje x vemos que aumenta mucho la Y pero a partir del segundo cuadrado en la x vemosque la Y no crece al mismo ritmo que al principio. Es la que le corresponde a Mercedes.

Si nos fijamos bien, la gráfica I hace justamente lo contrario, al comienzo aumenta muy poco la Y perodespués sube muy rápido. La de Carlos.

Y en la gráfica II el comienzo es el mismo o muy parecido a la de la gráfica I, pero llega un momentoen el que el aumento del valor en el eje Y vuelve a "relajarse". Por este motivo, es la de Lourdes.

Veamos otro estilo de ejercicio posible:

La siguiente gráfica representa una excursión en autobús de ungrupo de estudiantes, reflejando el tiempo (en horas) y la distanciaal instituto (en kilómetros):

a) ¿A cuántos kilómetros estaba el lugar que visitaron?

b) ¿Cuánto tiempo duró la visita al lugar?

c) ¿Hubo alguna parada a la ida? ¿Y a la vuelta?

d) ¿Cuánto duró la excursión completa (incluyendo el viaje deida y el de vuelta)?

SOLUCIÓN:

a) Para responder tenemos que fijarnos en el eje dónde serepresente la distancia, en este caso es el Y. El mayor valor que se logre en la gráfica corresponde conla distancia al lugar, en este caso 140 km.

b) Si están visitando algún sitio, mientras están allí, no se alejan del instituto por lo que la distancia alcentro de 140 km se mantiene constante. Por eso debemos buscar un tramo constante alejado lomáximo posible, ese tramo es desde la hora 2 a la 6; por tanto, están 4 horas visitando el lugar.

c) Mientras que se dirigen al lugar de visita la distancia al centro debe ir aumentando hasta que lleguen.Así vemos, que ese trayecto lo hacen sin ningún tramo constante, lo que significa que no hay paradas.Sin embargo, cuando vuelven, vemos que la distancia alcentro disminuye y por eso la gráfica es decreciente, perode la 7ª hora a la 8ª, la función no decrece sino que semantiene constante; esto significa que hacen una parada ala vuelta de 1 hora de duración.

d) Aquí debemos fijarnos en el eje donde se representa eltiempo y ver cuál es la hora más alejada del principio; ennuestro caso tardan 9 horas en hacer todo el viaje.

A continuación te representamos de nuevo la gráficaindicando en qué parte de la misma debemos mirar pararesponder a cada apartado:

Imagen 25: Gráfica.

Ejercicio 13:

Dependiendo del día de la semana, Rosa va al instituto de una forma distinta:



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• El lunes va en bicicleta.• El martes, con su madre en el coche (parando a recoger a su amigo Luis).• El miércoles, en autobús (que hace varias paradas).• El jueves va andando.• Y el viernes, en motocicleta.

a) Identifica a qué día de la semana le corresponde cada gráfica:

Imagen 26: Gráficas.

b) ¿Qué día tarda menos en llegar? ¿Cuál tarda más?

c) ¿Qué día recorre más distancia? Razona tu respuesta.

Ejercicio 14:

La siguiente gráfica muestra el crecimiento de una persona (midiéndola cada cinco años)

a) ¿Cuánto mide al nacer?b) ¿A qué edad alcanza su estatura máxima?c) ¿Cuándo crece más rápido?d) ¿Por qué hemos podido unir los puntos?

4) Función lineal

Una función LINEAL es aquella función en la que la relación entre las dos variables viene dada por unpolinomio de grado menor o igual a uno y su representación en una gráfica corresponde a UNA RECTA.



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Existen tres tipos de funciones lineales: LA DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA o LINEAL, LA AFÍNY LA CONSTANTE.

La función LINEAL O DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA es del tipo: y = mx, la AFÍN es del tipo: y = mx+n, donde en ambos casos m y n son números reales y la CONSTANTE del tipo y = n. Si nosdamos cuenta, la función lineal es un caso particular de la afín, es decir, la lineal es una función afínen la que el valor de n es cero. De forma similar, a la constante también le ocurre lo mismo, es comola afín pero el valor de m = 0.

Ejercicio 15:

Completa las tablas siguientes utilizando la función lineal que se indica en cada caso:

a) f(x) = 3x

Ejercicio 16:


b) f(x) = -x

Ejercicio 17:

Representa gráficamente las funciones lineales de los ejercicios 15 y 16.

4.1. Función lineal o de proporcionalidad directa

Comenzaremos estudiando la FUNCIÓN LINEAL o de PROPORCIONALIDAD DIRECTA:

En estas funciones cada valor de “y” conserva una misma proporción respecto al de “x”. Es decir:

y = 3 x → (y es el triple de x)

y = -2 x → (y es el opuesto del doble de x)

y = x → (función identidad: y es igual a x)

x -2 0 2

f(x)

x -2 0 2

f(x)

x -2 0 2

f(x)


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Imagen 28: Gráfica funciones lineales

Para identificar su gráfica lo tenemos muy fácil, tan sólo tenemos que darnos cuenta de que es unalínea recta que pasa por el origen de coordenadas.

Fíjate en la siguiente función: y = 2x. Tenemos su tabla de valores y su gráfica:

x 0 1 2 3 4

y = 2x 0 2 4 6 8

Imagen 29: Función lineal y tabla de datos.

Si nos damos cuenta, en su tabla de valores veremos que existe una relación de proporcionalidad entreel valor de la Y y el valor de la X:

Pendiente

La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas. Expresa el aumento o ladisminución de la variable dependiente por cada unidad de la variable independiente. Si la función nosla dan a través de su expresión algebraica podemos saber la pendiente fácilmente, ya que laidentificamos como el coeficiente que acompaña a la X en la expresión. Así en la función y=2x elcoeficiente que acompaña a la x es el 2 y por tanto la pendiente de esta función es m=2.


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Observa que la pendiente la denominamos por la letra m.

Si m > 0 (esto significa: "si la pendiente es positiva") la función es CRECIENTE y el ángulo que formala recta con la parte positiva del eje OX es agudo. Sin embargo, si m < 0 (si la pendiente es negativa),la función es DECRECIENTE y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.En las funciones constantes, es decir, aquellas que son paralelas al eje x decimos que su pendientees cero.

Función CRECIENTE m>0 Función DECRECIENTE m<0

Función CONSTANTE m=0

Imagen 30: Pendiente de la función lineal.

¿Qué nos indica la pendiente en una gráfica? Pues ya hemos dicho que nos informa de la inclinaciónde la recta. Esto implica que aunque no sepamos a primera vista cómo obtener el valor numérico de lapendiente en una gráfica, podemos decir cuál de las rectas tendrá mayor o menor pendiente en funciónde la misma. Por ejemplo, supongamos que nos dan la siguiente gráfica con tres rectas representadas:

Imagen 31: Funciones lineales.


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En ninguna de ellas vemos cuál es el valor numérico de su pendiente, pero podemos afirmar que comola recta c es la que tiene una mayor inclinación el valor de su pendiente será mayor que el de la b, y elde ésta mayor que el de la a. Además de decir que las tres son crecientes puesto que el ángulo queforman con la parte positiva del eje de abscisas es agudo; y por esa razón, las tres funciones linealestendrán pendientes positivas.

Entonces, ¿no podemos saber el valor de la pendiente si no tenemos la expresión gráfica? Pues claroque podemos. Simplemente tendremos que realizar algunos cálculos. Veamos cómo.

a) CÁLCULO DE LA PENDIENTE (m) SI SÓLO TENEMOS SU GRÁFICA:

En este caso, tenemos que obtener de la gráfica las coordenadas de dos puntos que pertenezcan a larecta. Con esos puntos que llamaremos A( x1 , y1 ) y B(x2 , y2 ); calculamos la pendiente aplicando lasiguiente fórmula:

Aclarar que el símbolo Δ en matemáticas significa variación o incremento, por tanto, si tenemos escrito:Δy ; esto se leería como "variación de y". Esa variación representa la resta de dos cosas. Lo verás más claro con un ejemplo, si decimos que hoy la temperatura es de 23 ºC y ayer fue de 17ºC decimos quela variación de temperatura de ayer a hoy ha sido de 6 grados, porque 23-17=6. Esto llevado a lasfunciones, significaría la variación entre la ordenada de dos puntos pertenecientes a la recta.

Observa cómo se hace con un ejemplo:

Imagen 32: Cálculo de la pendiente de una función lineal.

En la gráfica tenemos una recta creciente, es decir, con pendiente positiva, pero no sabemos cuál essu valor. Nos fijamos en la recta y escogemos dos puntos que nos resulten sencillos de obtener suscoordenadas, mirando con qué valor se corresponde ese punto para el eje X (primera coordenada) ypara el eje Y (segunda coordenada). Así obtenemos los puntos: (-1,-2) y (1,2). Si aplicamos la fórmulaobtenemos el valor de la pendiente, que en este caso sería m=2:

b) CÁLCULO DE LA PENDIENTE (m) SI SÓLO TENEMOS DOS PUNTOS QUE PERTENECEN ALA RECTA:

En este caso nos ahorramos el paso de tener que mirar en la gráfica y obtener los puntos de ella. Porlo demás procederemos como antes. Al tener dos puntos podemos aplicar la fórmula de la pendiente.

RESUMIENDO:


MATEMÁTICAS

25

1.- Las funciones lineales o de proporcionalidad directa son de la forma y=mx, donde m es la pendientede la recta.

2.- Si m>0 la función es creciente

3.- Si m<0 la función es decreciente

4.- Todas las funciones lineales pasan por el origen de coordenadas, es decir, el punto (0,0) pertenecea todas las funciones lineales.

5.- Para calcular el valor de la pendiente a partir de la gráfica o a partir de dos puntos de la rectadebemos aplicar:

6.- Si nos dan la expresión algebraica de la función, la pendiente la vemos directamente en el valor delnúmero que acompaña a la X.

Ejercicio 18:

En las siguientes funciones indica cuál es su pendiente y además en función de la misma especifica sila función es creciente o decreciente:

a) y= 3x b) y = -x

Ejercicio 19:

En la siguiente representación indica qué tipo de funciones hay razonando matemáticamente turespuesta y además escribe cuál de esas rectas es la de mayor pendiente justificando tu respuesta.

Imagen 33: Funciones lineales.

Ejercicio 20:

Calcula la pendiente de la siguiente función lineal:


MATEMÁTICAS

26

Imagen 34: Función lineal.

Ejercicio 21:

Calcula la pendiente de una recta que pasa por los puntos A(2,-4) y B(6,-1)

4.2. Función afín

La función afín es del tipo: y = mx + n, donde m es la pendiente de la recta y n es la ORDENADA ENEL ORIGEN, ésta es el punto en el que corta la recta al eje Y, y lo escribimos como un punto (0, n).

Observa en la siguiente gráfica:

Imagen 35: Función lineal

El punto en el que la recta corta al eje Y es el punto (0,3); y este punto es la ordenada en el origen dela función y=2x+3. Si te fijas en la expresión algebraica de la función, n=3 y m=2; por tanto, la pendientede la función es 2 y la coordenada y de la ordenada en el origen es 3.

Cabe destacar que en las funciones afines no se cumple la proporcionalidad directa que hemos vistoen las anteriores. Veamos un ejemplo:

En la tablapodemos

comprobarque no se

cumple una proporción directa entre los valores de y y los de x; es decir:


MATEMÁTICAS

27

En este caso, si representamos los pares ordenados de la tabla, obtenemos la siguiente gráfica:

Imagen 36: Gráfica función lineal del consumo de agua.

La gráfica es una recta que comienza en el punto (0,10) y por tanto éste es la ordenada en el origen.Así podemos saber que la expresión matemática de esta función es de la forma: y=mx+10. Siinterpretamos la gráfica, esto significa que con un consumo cero de agua tendremos que pagar detodos modos 10€. Por tanto, lo que pagamos por el agua no es proporcional a lo que consumimos, sino que siempre hay una cantidad fija (10€) que tendremos que pagar independientemente de lo que consumamos.

¿Cómo obtenemos el valor de m? Pues aplicando la fórmula de la pendiente que ya hemos visto. Si lohacemos obtenemos que la pendiente es 3:

Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente y por tanto, el coeficiente que acompaña a la x será elmismo:

Imagen 37: Gráficas de funciones lineales paralelas.


MATEMÁTICAS

28

Para representar una función afín, daremos unos valores a X y calcularemos los correspondientesvalores de Y, una vez que tengamos dichos valores los representaremos en los ejes de coordenadasy uniremos los puntos con una recta.

RESUMIENDO:

1. Todas las funciones afines son de la forma y= mx+n.

2. El valor de la m es la pendiente de la recta.

3. El valor de n es la ordenada en el origen; es decir, la recta corta al eje Y en el punto (0,n)

4. Si m>0 la función es creciente; mientras que si m<0 es decreciente. (Igual que en las deproporcionalidad directa)

5. Ninguna función afín pasa por (0,0)

6. Para calcular el valor de la pendiente conocidos dos puntos pertenecientes a la recta:

7. Diferentes rectas serán paralelas si tienen el mismo valor de m, es decir, de la pendiente.

Ejercicio 22:


a) f(x) = x -3

b) f(x) = -2x + 1

a)

b)

Ejercicio 23:

Escribe el valor de la pendiente y describe el crecimiento para cada una de las funciones del ejercicio20.

x -2 0 2

f(x)

x -2 0 2

f(x)

x -2 0 2

f(x)

x -2 0 2

f(x)


MATEMÁTICAS

29

Ejercicio 24:

Representa gráficamente las funciones lineales del ejercicio 22

4.3. Función constante

La función constante es una función lineal donde el valor de m es cero, y por tanto es de la forma y=n,y como tal, representa una recta paralela al eje de abscisas debido a que para cualquier valor de la Xle corresponde siempre el mismo valor para la Y, siendo ese valor n.

Veamos, si la función es y=5 la representación será una recta paralela al eje X y que pase por el punto(0,5):

Imagen 38: Gráfica función constante.

Ejercicio 25:

Observa las siguientes funciones y responde:

a) ¿Qué tipo de funciones son?A:

B:

C:

b) ¿Cuáles son paralelas? ¿Por qué?

c) Representa una función paralela a la recta A y dicuánto vale su ordenada en el origen y cuál sería suexpresión algebraica.

Imagen 39: Gráficas de funciones

4.4. Aplicaciones de la función lineal


MATEMÁTICAS

30

Las funciones lineales y afines son ampliamente utilizadas en diferentes ámbitos científicos y de la vidacotidiana. Por ejemplo en economía se utilizan para modelar funciones de costo y de demanda; enmedicina encontramos ejemplos como el experimento psicológico de Stenberg; cuando vamos acomprar pagamos en proporción a los kg de fruta que nos llevamos; a la hora de pagar un parkingpagamos un fijo más la parte correspondiente al tiempo que dejamos nuestro coche; y así podríamoscontinuar con multitud de situaciones.

¿Cómo podemos relacionar estas situaciones con las funciones lineales? Primero debemos identificarsi nuestra situación corresponde con una función lineal, constante o afín. Luego, debemos identificarcuáles serán nuestras magnitudes y quién actúa como variable dependiente y quién comoindependiente. Después, escribiremos la expresión de nuestra función y realizaremos los cálculos ográficas que nos pidan.

Imagínate que nos dicen: Estoy indeciso a la hora de elegir mi nueva compañía de móvil. La compañía A me ofrece un pago fijo de 15€ al mes más 0,05€ por cada minuto que hable. Mientras que la compañía B no me impone un pago fijo, sino sólo pagar por lo que hablo a 25 céntimos el minuto. ¿Cuál es más beneficiosa si hablo menos de 60 minutos al mes?

Evidentemente por la "cuenta de la vieja" sabríamos responder, ¿o no? Pero vamos hacerlo con lasfunciones. Veamos, la variable independiente (X) serían los minutos que hablamos y el dinero quepagamos sería la variable dependiente (Y) ya que pagamos en función del tiempo que hablemos.

La compañía A me propone pagar un fijo más una pequeña cantidad por minuto que hable. Pues bien;siempre que me expongan una parte FIJA, que siempre estará independientemente de lo queconsumamos o hagamos, eso quiere decir que ese FIJO, corresponderá con el término independientede la ecuación o expresión analítica de la función, o lo que es lo mismo, será la n. Entonces, demomento tenemos que y=mx+15. ¿Cómo decido cuanto valdrá m? Pues para eso nos tenemos quecentrar en lo que debemos pagar por minuto hablado. Finalmente, la función asociada a la promociónde la compañía A es: y= 0,05x+15

De forma análoga procederemos con la compañía B: y= 0,25x . Fíjate que hemos puesto 0,25 en lugarde 25. ¿Por qué?, porque debemos mantener las mismas unidades para poder comparar precios, asíen lugar de dejarlo en céntimos lo expresamos en euros.

Ya tenemos nuestras dos expresiones algebraicas de las funciones que se expresan:

COMPAÑÍA A: y= 0,05x + 15

COMPAÑÍA B: y = 0,25x

Para responder matemáticamente a la pregunta procederemos de la siguiente forma: Para nosotrosx=60 ya que solemos hablar menos de 60 minutos al mes. Si sustituimos la x en cada una de lasfunciones lo que obtenemos es el valor de cada función cuando x=60, o lo que es lo mismo, lo quetendremos que pagar a cada compañía.

COMPAÑÍA A: Si x=60 → f(60)= 0,05·60+15 = 3+15=18€

COMPAÑÍA B: Si x=60 → f(60) = 0,25·60 = 15€

Ahora comparamos ambos resultados, y vemos que nos resulta más económica la compañía B.

Por otro lado, ten en cuenta que una ecuación de primer grado con dos incógnitas también es unafunción lineal. Mira: Teniendo esta ecuación 9x+3y=18, si despejamos la y de la misma se nosquedaría:

9x+3y=18

3y=18-9x

y = -3x +6 → FUNCIÓN AFÍN


MATEMÁTICAS

31

OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIDA LA PENDIENTE Y UN PUNTO

PERTENECIENTE A ELLA:

Para ello debemos aplicar la siguiente fórmula: y - y0= m·(x - x0) donde m es la pendiente de la recta yx0 e y0 son las coordenadas de un punto que pertenece a la recta.

Imaginemos que nos piden la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,4) y cuya pendiente es 3.Según esto m=3 y (x0 ,y0)=(2,4) simplemente sustituyendo en la fórmula:

y - 4 = 3·(x - 2)

y - 4 = 3x - 3·2

y = 3x -6 + 4

y = 3x - 2 → ECUACIÓN DE LA RECTA

Si en lugar de darnos la pendiente de la recta nos dan dos puntos pertenecientes a la misma, tan sólotendremos que calcular la pendiente como ya vimos y después con uno de esos puntos y la pendienterealizar lo que acabamos de hacer.

EJEMPLO:

Obtén la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,4) y (1, 1):

Primero obtenemos la pendiente de la recta:

→ m= 3

(1,1) y m=3 → y-1=3·(x-1) ; y-1= 3x-3 ; y =3x-3+1; y=3x-2

Ejercicio 26:

Supongamos que el costo variable por unidad a la hora de producir un lapicero es de 2€ y que los costos fijos mensuales ascienden a 2200€. Suponiendo que el costo total tiene un comportamiento lineal:

a) Obtén la expresión del coste mensual en función de los lapiceros producidos.

b) ¿Cuál será el coste que representaría para la empresa la producción de 800 lapiceros en elmes?

c) Representa gráficamente esta función

Ejercicio 27:

Una fábrica asume costos de 10.000€ por cada mueble que produce. Además debe pagar 30.000€ mensuales de alquiler y 20.000€ por transportes. Cada mueble lo vende por 20.000€ y no tiene otros ingresos.

a) Establece la función de costos.

b) Establece la función de ingresos.

c) Representa ambas gráficas en un mismo eje cartesiano.

d) ¿Cuál es la pérdida cuando se producen y venden 3 muebles?


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32

Ejercicio 28:

En una entrevista de trabajo para vendedor de revistas a domicilio, se ofrece un sueldo fijo mensualde 500 euros más 0,50 euros por cada revista vendida. Se pide:

a) Escribe la función correspondiente y el tipo de función que es.

b) ¿Qué sueldo cobrará un trabajador que ha vendido 20 revistas en el último mes?

c)

5) Función cuadrática

Una función CUADRÁTICA es una función polinómica de segundo grado de la forma y=f(x)=ax2+bx+cy cuya representación gráfica resulta ser una PARÁBOLA.

Las letras a, b y c se llaman coeficientes de la función; la letra X representa la variable independientey la f(x) representa el valor obtenido al reemplazar x por algún valor, ya sabemos que la expresión f(x)puede sustituirse por la letra Y, que representa la variable independiente de la función.

Así si tenemos la función y=2x2+3x-10 → a=2; b=3; c=-10

El valor del coeficiente a afecta a la concavidad u orientación de la parábola. Mientras que los otrosdos coeficientes, afectan a la posición que posee la parábola respecto de los ejes de coordenadas. Deforma que si el valor de b=0 significa que el vértice de la parábola se encuentra sobre el eje y, y dichoeje es el de simetría de la parábola:

Si vemos la representación asociadaa cada expresión algebraicasiguiente:

a: y=x2+3

b: y=x2+2

c: y= x2

d: y=x2-1

e: y= - x2+4

nos damos cuenta de que en todasestas expresiones la b=0 y en susrepresentaciones gráficas, el vérticeestá sobre el eje y cortándolo por elvalor correspondiente a su n

Imagen 40: Funciones cuadráticas con coeficiente b=0


MATEMÁTICAS

33

Pensando de forma parecida, si el valor del coeficiente c=0, esto significa que la parábola siemprepasará por el punto (0,0). Veámoslo:

Si vemos la representaciónasociada a cada expresiónalgebraica siguiente:

a: y=x2+3x

b: y=x2+2x

c: y= x2+x

d: y=x2-x

e: y= - x2+4x

nos damos cuenta de que entodas estas expresiones la c=0 yen susrepresentaciones gráficas, todaspasan por el punto (0,0)

Imagen 41: Funciones cuadráticas con coeficiente c=0

Ejercicio 29:

Identifica los coeficientes a, b y c de las siguientes funciones cuadráticas:

a) f(x)=3x2+5x-10 b) f(x)= -2x2+3x+8 c) y=-x2-4x+5

ORIENTACIÓN O CONCAVIDAD DE LA PARÁBOLA:

Como hemos dicho, cuando dibujamos la gráfica de una función cuadrática obtenemos una parábola.Esta parábola la podemos dibujar de dos posiciones:


MATEMÁTICAS

34

Función Cóncava hacia arriba

Función Cóncava hacia abajo

Imagen 42: Concavidad de las Parábolas.

Además, si nos fijamos en el valor del coeficiente a, veremos que cuanto mayor es su valor absolutomás estrechas o cerradas son las ramas de la parábola.

Ejercicio 30:

Identifica en las siguientes funciones cuadráticas, si su gráfica será cóncava hacia arriba o hacia abajo.

Después, indica cuál de ellas presentará unas ramas más estrechas y cuál las tendrá más abiertas

a) f(x)=3x2+5x-10 b) f(x)= -2x2+3x+8 c) y=-x2-4x+5

5.1. Elementos de la parábola

En una gráfica de cualquier parábola, además de su concavidad, podemos observar los siguienteselementos:

• Eje de simetría (es una recta paralela al eje y)• Vértice (es un punto)• Corte con el eje Y (es un punto)• Cortes con el eje X (puede ser dos puntos, uno o ningún punto)


MATEMÁTICAS

35

Estos elementos me permiten, una vez calculados, dibujar la parábola sin tener que calcular unainfinidad de puntos en una tabla de valores.

Imagen 43: Elementos de una parábola.

EJE DE SIMETRÍA:

Es una recta vertical, paralela al eje Y que divide la parábola en dos de forma que cada rama de laparábola, es el reflejo de la otra. La forma de obtener la ecuación de esta recta es:

Observa cómo podemos determinar el eje de simetría de la siguiente función: f(x)=x2-4x+3.

Como a=1, b=-4 y c=3 calculamos la ecuación de la recta del eje de simetría sustituyendo en laexpresión:

Por tanto, el eje de simetría de la función f(x)=x2-4x+3 es x=2. CUIDADO: fíjate bien que el eje desimetría es una recta, y por tanto la tienes que escribir como tal x=2; y no como un número realcualquiera.

VÉRTICE:

En una función cuadrática hay una rama que crece y otra que decrece; el punto dónde se produce esecambio lo llamamos VÉRTICE; y es el máximo o mínimo valor que toma la función según sea cóncavahacia arriba o hacia abajo. Además es el punto dónde se cortan la parábola y el eje de simetría; y portanto, comparten el mismo valor en la coordenada x. Así para calcular la coordenada del eje x delvértice usamos la misma expresión; pero además como el vértice es un punto necesitamos obtener laotra coordenada, ¿cómo?, pues calculando el valor de la función para la xv:

Si seguimos con la función f(x)=x2-4x+3:


MATEMÁTICAS

36

Si vamos representando poco a poco lo que vamos calculando, de momento nuestra representaciónsería:

Imagen 44: Eje de simetría de una parábola.

Ejercicio 31:

Calcula el vértice y el eje de simetría de las siguientes funciones:

a) f(x)=x2-2x-3 b) f(x)= x2+6x+5

CORTE CON EL EJE Y:

Éste será un punto donde la parábola corta el eje de ordenadas. Para determinarlo lo que haremosserá sustituir la X de la expresión de la función por el valor cero; por tanto, lo que haremos será calcularel valor de la función cuando x=0. Evidentemente, si la forma de la función cuadrática es f(x)= ax2+bx+c;si x=0 → f(0)=a· 02 + b·0 + c =0+0+ c = c. Así pues el punto de corte con el eje y siempre será de laforma:

CORTE CON EJE y (0,C)

Así, si continuamos con nuestro ejemplo f(x)=x2-4x+3 escribiríamos:

si x= 0 → f(0)= 02 -4·0+3 = 3; por lo que el punto de corte con el eje y será (0,3).

CORTE CON EL EJE X:

Son los puntos donde la parábola corta al eje de abscisas. Para poder obtener esos puntos tenemosque igualar la función a cero, es decir, si y=0 calcular los valores de x para los que se cumple esacondición. Cuando hacemos esto, obtenemos una ecuación de segundo grado, por lo que para calcularlos valores que igualan esa ecuación de segundo grado a cero tenemos que aplicar la siguientefórmula:

Como recordarás de cursos anteriores, cuando resolvemos una ecuación de segundo grado se nospueden presentar tres casos:


MATEMÁTICAS

37

• Que tenga dos soluciones. Esto ocurre cuando su discriminante (llamamos así al valor de lo quehay "dentro" de la raíz) es positivo. Es decir, b2-4ac >0 → 2 SOLUCIONES = DOS PUNTOS DECORTE CON X→ (X1,0) y (X2, 0)

• Que tenga una sola solución. Sucede si el discriminante posee valor cero. Es decir; b2-4ac = 0 →1 SOLUCIÓN = UN PUNTO DE CORTE CON X→ (X1,0)

• Que NO tenga solución. Sólo ocurre cuando el valor del discriminante es negativo. b2-4ac < 0 →NO TIENE SOLUCIONES, por tanto, no corta al eje x.

En el ejemplo f(x)=x2-4x+3 haríamos lo siguiente:

CORTE CON x: y=0 → x2-4x+3 =0

Las soluciones de la ecuación de segundo grado que se forma son: x1=3 y x2=1; por tanto, los puntosde corte con el eje x serán: (3,0) y el (1,0)

CUIDADO: Fíjate bien que los puntos de corte con el eje x tienen la coordenada del eje y cero: (X1,0) y (X2, 0) CORTE CON EL EJE X

TABLA DE VALORES DE UNA PARÁBOLA:

Antes de representar una función cuadrática debemos ordenar los datos que hemos ido obteniendo yla mejor manera de hacerlo es con una tabla de valores. Para poder representarla lo más fielmenteposible necesitaremos al menos cinco valores, dos correspondientes a cada rama y otro que sería elvértice. Pero qué pasa si no tenemos suficientes puntos de la parábola, o si nos piden más puntos delos que podemos calcular. Pues entonces procedemos como en las funciones lineales, vamoscalculando diferentes valores de la función para diferentes valores de X. Lo único que debemosprocurar es buscar valores de X que estén a ambos lados del eje de simetría, porque si no es así sólopodremos dibujar una rama correctamente.

Veamos, en la función con la que estamos trabajando f(x)=x2-4x+3 hemos obtenido los siguientesdatos:

• EJE DE SIMETRÍA → x= 2

• VÉRTICE → V(2,-1)

• CORTE CON EJE Y → (0,3)

• CORTE CON EJE X → (3,0) y (1,0)

Si ordenamos estos puntos en una tabla de valores vemos que sólo tenemos cuatro valores, sipudiéramos dibujar siete valores nos resultaría más sencillo trazar las ramas de la parábola. Veamoscómo se nos quedaría la tabla de valores:


MATEMÁTICAS

38

Cómo elegir los valores de x para completar una tabla de siete pares ordenados. Pues una opción esfijarnos en la coordenada x del vértice (en nuestro caso, esta coordenada es xv=2); si ordenamos enla tabla de valores, las x de menor a mayor, observamos que tenemos dos puntos por debajo pero sólouno mayor que x=2. Así que elegiremos un valor de x mayor de 2; por ejemplo x=4:

Ya tenemos cinco puntos de la parábola, pero dijimos anteriormente que es mucho mejor tener almenos siete puntos, así que nos faltarían dos más. Lo suyo es intentar elegir uno de cada rama. Poreso, podemos optar por x=-1; que estaría por debajo del valor de la coordenada xv=2 y por x=5 queestaría por encima. Realizando los cálculos de forma similar, tendríamos:


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X yCálculo del valor de y para un valordeterminado de x

y=f(x)=x2-4x+3

paresordenados

-1 8 f(-1)= (-1)2 -4·(-1) +3= 1+4+3=8 (-1,8)

0 3 no es necesario. punto corte con y. ya calculado (0,3)

1 0 no es necesario. punto corte con x. ya calculado (1,0)

2 -1 no es necesario. vértice. ya calculado (2,-1)

3 0 no es necesario. punto corte con x. ya calculado (3,0)

4 3 f(4)=42 - 4·4 + 3= 16-16+3=3 (4,3)

5 8 f(5)= 52 -4·5 +3= 25 - 20 +3=8 (5,8)

REPRESENTACIÓN DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA:

Ya sabemos que su gráfica tiene forma de parábola, así pues lo primero que haremos será llevar aunos ejes de coordenadas todos los puntos que tenemos y hemos calculado y que pertenecen a lamisma; y luego los uniremos formando dos ramas a partir del vértice dándoles cierta curvatura:

→

Imagen 45: Representación de una función cuadrática.


MATEMÁTICAS

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Ejercicio 32:

Observa la función cuadrática siguiente: y = x2 – 4x + 3. Se pide:

a) Eje de simetría

b) Vértice.

c) Puntos de corte con el eje y.

d) Puntos de corte con el eje x.

e) Tabla con siete valores.

f) Representarla.


MATEMÁTICAS

41

1 Completa las tablas, representa los puntos y traza las rectas que determinan.

a) y = x 8 b) y = x 8

Pendiente: m = Pendiente: m =

c) y = –3x 8 d) y = – x 8


X

Y

2

2X

Y

2

2

x –6 –3 0 3 6

y23

x –2 –1 0 1 2

y

X

Y

2

2X

Y

2

2

x –4 –2 0 2 4

y32

x –4 –2 0 4 6

y12

CFUIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º

ESPAD UNIDAD 8 Funciones lineales

2. Función de proporcionalidad y = mx

FUNCIÓN LINEAL


MATEMÁTICAS

42

2 Observa cada recta y escribe su pendiente (simplificada todo lo posible) y su ecuación.

a) b)


Ecuación: y = x Ecuación: =

c) d)


Ecuación: = Ecuación: =

X

Y

2

2X

Y

2

2

X

Y

2

2X

Y

2

2

FUNCIÓN LINEAL .ECUACIÓN DE LA RECTA


MATEMÁTICAS

43

3. función y = mx + n

1 Representa las siguientes rectas completando previamente las tablas. Determina sus pendientes y sus ordena-das en el origen.

a) y = 3x + 2 8 b) y = x – 1 8


Ordenada en el origen: n = Ordenada en el origen: n =

c) y = 2 – 2x 8 d) y = 1 – x 8


Ordenada en el origen: n = Ordenada en el origen: n =

X

Y

2

2X

Y

2

2

x –8 –4 0 4 8

y14

x –2 –1 0 1 2

y

X

Y

2

2X

Y

2

2

x –4 –2 0 2 4

y12

x –2 –1 0 1 2

y

FUNCIÓN LINEAL AFÍNCIENTÍFICO TECNOLÓGICO

4º ESPAD MATEMÁTICAS

44

3. función y = mx + n

2 Escribe la pendiente, la ordenada en el origen y la ecuación de cada una de estas rectas.

a) b)

m = ; n = m = ; n =

y = x + y = x + ( )

c) d)

m = ; n = m = ; n =

y = x + ( ) y = x +

X

Y

2

2X

Y

2

2

X

Y

2

2X

Y

2

2

CIENTÍFICO

FUNCIÓN LINEAL .ECUACIÓN DE LA RECTA


MATEMÁTICAS

45

FUNCION LINEAL Y AFÍN

Halla la pendiente y la ecuación de la recta:

Escribe la ecuación que le corresponde a cada recta


MATEMÁTICAS

46

LA FUNCIÓN CUADRÁTICA.

Recuerda: cbxaxy 2 ++= es la función cuadrática.

La gráfica es una parábola. La orientación de la parábola depende del signo de a:

⎩⎨⎧

→<→>

convexafunciónabajo hacia ramas0acóncavafunciónarriba hacia ramas0a

El eje de simetría viene dado por la recta a2bx −

=

El vértice de la parábola tiene por abscisa a2bx0

−= .

La ordenada la determinaremos sustituyendo este valor de x0 en la función. Los puntos de corte con el eje de abscisas vienen dados por las dos soluciones

de la ecuación de segundo grado a2

ac4bbx,a2

ac4bbx2

2

2

1−−−

=−+−

=

Son: (x1, 0) y (x2, 0). El punto de corte con el eje de ordenadas viene dado por el punto (0, c).

Ejercicios de autoaprendizaje:

1. Sea la función : 5x6xy 2 +−= . Estúdiala y dibújala.SOLUCIÓ: Es una parábola con las ramas hacia arriba, porque 01a >= .

El eje de simetría es la recta 312

)6(x =⋅−−

= .

El vértice tiene por abscisa: 3x0 = y por ordenada: 45363y 2 −=+⋅−=Entonces el vértice es el punto (3, −4) Para calcular los puntos de corte con el eje de abscisas hacemos: 05x6x2 =+− . Resolvemos y obtenemos:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

===

−±=

122

52

10

220366x .

Entonces los puntos de corte son: (5, 0) y (1, 0) El punto de corte con el eje de ordenadas es (0, 5).


MATEMÁTICAS

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ACT 4. Bloque 11. Tema 3. Trigonometría

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Bloque 11. Tema 3.

Trigonometría

ÍNDICE

1) ¿Qué es la trigonometría?

2) Conceptos previos.

3) Razones trigonométricas de un ángulo agudo.

4) Relaciones trigonométricas fundamentales.

5) Relaciones trigonométricas de 0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º y 270º

6) Resolución de triángulos rectángulos.

7) Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.

7.1. Reducción de ángulos del segundo cuadrante al primero.

7.2. Reducción de ángulos del tercer cuadrante al primero.

7.3. Reducción de ángulos del cuarto cuadrante al primero.

8) Aplicaciones de la Trigonometría.

1) ¿Qué es la trigonometría?

Etimológicamente trigonometría significa medición de triángulos. Su objetivo es establecer las relaciones matemáticas entre las medidas de los lados de un triángulo con las amplitudes de sus ángulos, de manera que resulte posible calcular las unas mediante las otras.

Los primeros escritos relacionados con ella que aparecen en la historia se remontan a la época babilónica de la que se conservan unas tablillas con mediciones de lados y ángulos de triángulos rectángulos. La trigonometría se aplica desde sus orígenes en agrimensura, navegación y astronomía ya que permite calcular distancias que serían imposibles de obtener por medición directa.

En este tema estudiarás las primeras definiciones trigonométricas y conocerás algunas de sus aplicaciones.


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Imagen 1: Tabla babilónica. https://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa#/media/File:Plimpton_322.jpg

Autor: Desconocido Licencia: Creative Commons

Para conocer más sobre la HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA. Puedes realizar la siguiente lectura haciendo clic en el enlace. Después, intenta responder a las preguntas.

Si has leído el texto puedes responder a las siguientes cuestiones:

1.- ¿Qué es el sistema de numeración sexagesimal?

2.- ¿Qué utilidades se dio a la trigonometría en Babilonia y en el Antiguo Egipto?

3.- En la actualidad, ¿qué países forman la antigua Mesopotamia?

4.- En el texto se nos habla de que los egipcios necesitaban medir los campos tras la inundación anual. ¿En qué consiste ese fenómeno? ¿De qué río se trata?

5.- En la India, la función seno se concebía no como una proporción sino como la longitud del cateto opuesto a un ángulo agudo de un triángulo rectángulo. ¿Qué dificultades presenta esta definición para el cálculo de una tabla con los valores del seno?


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2) Conceptos previos

A) TRIÁNGULOS:

En un triángulo, los vértices se nombran con letras mayúsculas (A, B y C). Los lados se nombran con la letra minúscula del vértice opuesto al lado (a, b,c). Los ángulos se nombran con el acento circunflejo encima de la letra mayúscula que denota el vértice del ángulo (Â). Observa el siguiente dibujo donde te quedará más claro la nomenclatura de los triángulos:

Imagen 2: Cómo se nombra un triángulo. Fuente: Desconocida. Autor: Desconocido Licencia: Desconocida.

En un triángulo rectángulo, al ángulo recto se le asigna la letra A y así, a la hipotenusa la letra a minúscula, siendo b y c los dos catetos. Se utilizan las letras griegas α y β para nombrar a los ángulos agudos que no corresponden al de 90º respectivamente. En un triángulo rectángulo se verifica el teorema de Pitágoras (El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. a2 = b2 + c2). También se cumple que los dos ángulos agudos son complementarios, es decir, se cumple que (α + β = 90º).

Imagen 3: Cómo se nombra un triángulo. Fuente: Desconocida. Autor: Desconocido Licencia: Desconocida.


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B) ÁNGULOS Y SU MEDIDA:

Consideraremos que un ángulo es un recorrido en la circunferencia con centro el origen y de radio la unidad.

El punto de partida de estos recorridos se situará en el punto de coordenadas (1,0) y la medida de un ángulo será la medida de ese recorrido.

Los ángulos pueden tener sentido positivo o negativo según sea el de su recorrido; si es contrario al de las agujas del reloj será POSITIVO y si es igual, NEGATIVO.

Imagen 4: Sentidos de los ángulos. http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasB/trigonometria/index4_7.htm

Autor: Desconocido Licencia: Desconocida.

C) GRADOS SEXAGESIMALES:

Ya conoces el sistema sexagesimal de medida de ángulos. Al dividir la circunferencia en 360 partes iguales, obtenemos un grado, a su vez cada grado se compone de 60 minutos y cada minuto de 60 segundos. Así un ángulo se mide en: gradosº minutos' segundos'' → UNA VUELTA COMPLETA= 360º; 1º = 60' y 1' = 60"

D) SISTEMA INTERNACIONAL:

Medir un ángulo es medir su recorrido en la circunferencia. Como la longitud de toda la circunferencia es 2·π·radio, resulta conveniente tomar como unidad de medida el radio.

En el sistema internacional, la unidad de medida de ángulos es el radián. El radián es un ángulo tal que, cualquier arco que se le asocie mide exactamente lo mismo que el radio utilizado para trazarlo. Se denota por rad.

A un ángulo completo le corresponde un arco de longitud 2πR, a un radián un arco de longitud R, entonces:

Nº de radianes de un ángulo completo= 360º = 2π rad


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Imagen 5: Radián http://www.apuntesmareaverde.org.es/grupos/mat/Bachillerato/BC1%2004%20Trigonometria.pdf

Autor: Desconocido Licencia: Desconocida.

E) PASO DE RADIANES A GRADOS Y DE GRADOS A RADIANES:

El semiperímetro de la semicircunferencia es π·radio → π radianes = 180 grados.

Por tanto, únicamente debemos tener presente que:

Imagen 6: Paso de radianes a grados y viceversa. http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasB/trigonometria/index4_7.htmAutor:

Desconocido Licencia: Desconocida.


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Ejercicio 1

1. Un radián es….

Ejercicio 2

2. Pasa a radianes o grados según corresponda:

a) 225o b) c) 330o d)

Importante

En las calculadoras usuales suelen aparecer cuatro tipos de medida de ángulos:

• "DEG" o expresión en grados sexagesimales;

• la tecla < º ' " > da los grados enteros del ángulo y la parte decimal se cuenta enminutos (1/60 de grado) y segundos (1/60 de minuto).

• "RAD" es decir, radianes.

• "GRAD" cada grado centesimal es la centésima parte del ángulo recto, toda lacircunferencia está formada por 400 grados centesimales. 1GRAD=90/100 DEG

DEBES TENER MUCHO CUIDADO PORQUE SEGÚN EN QUÉ MODO TENGAS TU CALCULADORA LOS CÁLCULOS TE LOS HARÁ CORRECTAMENTE O NO EN LAS UNIDADES QUE NECESITES.

Ejercicio 3

Transforma estas medidas a segundos:

a) 21º 10' 32''

b) 15º 40''

c) 12º 50' 40''

d) 33º 33' 33''

a) Es un ángulo tal que cualquier arco que se le asocie mide lo mismo que elradio usado para trazarlo

b) Es la unidad de medida del sistema internacional y es un ángulo tal quecualquier arco que se le asocie mide el doble del radio usado para trazarlo

c) Es la unidad de medida de ángulos en el mundo anglosajón


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Ejercicio 4

Transforma estas medidas a forma compleja:

a) 450''

b) 58' 140''

c) 4500''

d) 1º 2000''

3) Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Empecemos por considerar un ángulo agudo cualquiera, utilizaremos una letra griega α (alfa) para denotarlo. Es siempre posible construir un triángulo rectángulo de modo que α sea uno de sus ángulos.

Sea uno de estos triángulos y situemos en el vértice B, el ángulo α. Se definen las razones trigonométricas directas del ángulo α: seno, coseno y tangente como:

Imagen 6: Triángulo rectángulo http://apuntesmareaverde.org.es/grupos/mat/4B/08_Trigonometria.pdf

Autor: Desconocido. Licencia: Desconocida.

También se utilizan las expresiones tg α y tag α como símbolos de la tangente de α.


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4) Relaciones trigonométricas fundamentales

Si conocemos una de las razones trigonométricas del ángulo α, es posible calcular las razones trigonométricas restantes, gracias a las dos relaciones trigonométricas fundamentales siguientes:

(sen α)2 + (cos α)2 = 1

que también verás escrita como sen2 α + cos2α = 1 dado que las potencias de las razones trigonométricas suelen escribirse con su exponente sobre la última letra de su notación y a continuación el nombre del ángulo.

Ejercicio 8

Calcula el resto de las razones trigonométricas de un ángulo dado α, sabiendo que el cos α = 0,939 y que el ángulo pertenece al primer cuadrante.

Ejercicio 9

Calcular las razones trigonométricas de un ángulo α situado en el segundo cuadrante sabiendo que el cos α = - 1/4

Ejercicio 10

Calcular las razones trigonométricas de un ángulo α situado en el tercer cuadrante sabiendo que la tg α = 4/3


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5) Razones trigonométricas de 0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º y 270º

El saber las razones trigonométricas de los conocidos como ángulos notables, nos será útil cuando necesitemos calcular las razones de otro ángulo que pueda reducirse a alguno de éstos. Este tipo de ejercicio los veremos en el apartado 7 del tema.

6) Resolución de triángulos rectángulos

Resolver un triángulo es calcular las amplitudes de los tres ángulos y las longitudes de los tres lados. En el caso de que el triángulo sea rectángulo podemos considerar tres casos dependiendo de las hipótesis o datos iniciales. En cada uno de ellos existen varias formas de obtener la solución. Vamos a describir una en cada caso:

• PRIMER CASO: Se conoce la hipotenusa (h) y uno de los ángulos (α).

Como estamos con un triángulo RECTÁNGULO, en realidad conocemos dos de los ángulos. Por tanto, el tercer ángulo lo obtenemos restando; ya que sabemos que en cualquier triángulo las sumas de sus tres ángulos debe ser 180º.

90o + α + β = 180o → β = 180 - 90 - α

A partir de ahora, nos faltaría conocer el valor de los dos catetos. Aplicando las definiciones de las razones trigonométricas:

Imagen 7: Razones trigonométricas http://apuntesmareaverde.org.es/grupos/mat/4B/08_Trigonometria.pdf

Autor: Desconocido. Licencia: Desconocida.


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• SEGUNDO CASO: Se conoce uno de los ángulos y un cateto.

En este caso nos ocurre lo mismo que en el anterior; es decir, realmente conocemos dos ángulos y el que nos falta lo podemos calcular restando a 180º. De la misma forma procederemos para calcular la hipotenusa y el otro cateto.

• TERCER CASO: Se conoce dos lados del triángulo.

En este caso utilizaremos en primer lugar el teorema de Pitágoras para calcular el tercer lado, tanto si el que falta es un cateto como si es la hipotenusa. → a2 = b2 + c2

Para obtener el primero de los ángulos agudos, calcularemos en primer lugar una de sus razones trigonométricas a partir de las definiciones que ya conocemos. Pero una vez obtenido el valor de una de las tres razones trigonométricas: seno, coseno o tangente, para conocer el valor del ángulo debemos utilizar la calculadora. Si lo que hemos calculado suponemos que es el SENO, a la hora de escribir este paso en el papel lo despejamos escribiendo: arcsen 0,..., que se lee “arco seno de cero coma..…” y que significa “ángulo cuyo seno es cero coma ...” y que se obtiene con la calculadora activando el comando sin‐1 lo que conseguiremos con la secuencia: SHIFT + SIN-1 + 0,...

Imagen 8: Comandos calculadora para obtener arcoseno Fuente: Propia

De forma análoga lo haríamos si lo que hubiésemos obtenido fuera el coseno o la tangente. De todas formas recuerda que no todas las calculadoras funcionan igual, puede ocurrir que la que tu uses no funcione de la misma manera, tendrás que mirar sus instrucciones para asegurarte.

Ejercicio 11

Resuelve el siguiente triángulo rectángulo:

Imagen 9: Triángulo rectángulo para resolver. Autor: Propia


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9) Aplicaciones de la Trigonometría

La trigonometría es útil para resolver problemas geométricos y calcular longitudes en la realidad.

Con un teodolito, se pueden medir ángulos, tanto en el plano vertical como en el horizontal, que nos permiten, aplicando las razones trigonométricas, hallar distancias o calcular alturas de puntos inaccesibles.

En estos casos aunque el triángulo de partida no sea rectángulo, trazando su altura podemos obtener dos triángulos rectángulos a resolver con los datos que tenemos.

Imagen 14: Teodolito moderno. https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Theodolite_in_use.JPG

Autor: Desconocido Licencia: Creative Commons

Veamos algunos ejemplos.

Imaginemos la siguiente situación:

Para medir la anchura de un río se han medido los ángulos de la figura desde dos puntos de una orilla (punto A y el punto B) distantes entre sí 160 m. ¿Qué anchura tiene el río?

Imagen 15: Río. Autor: Desconocido Licencia: Desconocida. http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasB/trigonometria/index4_7.

htm


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Grados y radianes :

1. Pasar los siguientes ángulos a radianes:

a) 30º b) 45º c) 60º d) 90º e) 180º f) 270º g) 360º

h) 135º i) 235º j) 75º

(Sol: a) π/6 rad; b) π/4 rad; c) π/3 rad; d) π/2 rad; e) π rad; f) 3π/2 rad; g) 2π rad; h) 3π/4 rad; i) 47π/36 rad; j) 5π/12 rad)

2. Pasar los siguientes ángulos, expresados en radianes, a grados sexagesimales:

a) 2π/3 rad b) π/5 rad c) 4π/3 rad d) 3π/4 rad e) 5π/6 rad f) π/10 rad g) 0,2 rad

h) 1 rad (Sol: a) 120º; b) 36º; c) 240º; d) 135º; e) 150º; f) 18º; g) ≅ 11º 27' 33''; h) ≅ 57º 17' 45'')

3. Completar en el cuaderno la siguiente tabla:

Grados 105º 320º 305º 35º

Radianes 4π/9 rad 7π/15 rad 16π/3 rad

Definición de las razones trigonométricas: Los ejercicios 4, 5 y 6 se realizarán con transportador de ángulos, regla y papel milimetrado, preferentemente en casa.

4.

5.

6. Utilizando el transportador de ángulos, dibujar sobre papel milimetrado un triángulo rectángulo que tengaun ángulo de 30º, y medir a continuación sus lados para obtener sen 30º, cos 30º y tg 30º; compararfinalmente los valores obtenidos con los que proporciona la calculadora (usar 4 decimales).

� Ejercicio libro ed. Editex: pág. 168: 16

En el triángulo rectángulo de la figura medir sus lados, en mm, y hallar sen B, cos B y tg B. Medir a continuación B con el transportador de ángulos y comprobar con la calculadora lo obtenido antes (usar 4 decimales).

Comprobar en la figura adjunta que el sen α sólo depende del ángulo y no del triángulo (usar 4 decimales).

B A

C

αO

A A' A''

B B'

B''


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7. Utilizar la calculadora para obtener, con cuatro decimales bien aproximados, las siguientes razonestrigonométricas:

a) sen 75º b) cos 40º c) tg 75º 23' d) sen 23º 5' 24'' e) cos 18º 32' 37''

f) sec 27º g) cosec 36º h) tg 35º 30' i) ctg 32º 25’13’’ j) tg 90º

k) cosec 67º 34' 23'' l) sen π/3 rad m) cos 2π/5 rad n) tg π/4 rad o) sen 120º

p) cos 120º q) sen 225º r) tg 225º s) tg 45º t) cos π rad

� Ejercicios libro ed. Editex: pág. 161: 7 ; pág. 168: 28

8. TEORÍA: ¿Puede ser el seno o el coseno de un ángulo mayor que 1? ¿Y la tangente? ¿Hay algunarestricción para la secante o cosecante? (Soluc: NO; SÍ; siempre son mayores que 1)

9. Hallar α en los siguientes casos, utilizando la calculadora solamente cuando sea estrictamente necesario:

a) sen α=0,8 b) tg α= 3 c) cos α= 3 /2 d) sen α=1/2 e) cos α=1,5

f) tg α=1,5 g) sen α=1 h) cos α=1 i) sen α=0 j) cos α=0

k) sec α=2 l) ctg α= 3 /3 m) cosec α=2 3 /3 n) sec α=1

� Ejercicios libro ed. Editex: pág. 168: 29 y 30

10. Cuando una señal de tráfico indica que la pendiente de una carretera es p. ej. del 10 %, quiere decir quepor cada 100 m de trayecto horizontal1 la carretera asciende 10 m. Comprobar que la pendiente de unacarretera coincide entonces con la tangente del ángulo de inclinación α. ¿Cuánto vale tg α en eseejemplo? (Soluc: tg α=0,1)

11. Supongamos que ascendemos por una carretera de montaña cuya pendiente media es del 7 % durante10 km. ¿Cuánto hemos ganado en altitud? (Soluc: ≅ 698 m)

12. Un puerto mítico en el ciclismo es Galibier, situado en los Alpes franceses. A lo largo de los últimos cienaños se han escrito allí algunas de las páginas más gloriosas del ciclismo. Por una de sus vertientes laascensión comienza en Le Monêtier-Les-Bains, que está a 1470 m sobre el nivel del mar, y se alcanzanlos 2645 m del Galibier, después de recorrer 22,5 km. ¿Cuál es su pendiente media?

13. TEORÍA: ¿Puede existir un ángulo tal que su tangente y su coseno sean iguales? Razonar la respuesta.(Soluc: NO)

1 A veces, sin ser tan puristas, se suele entender que los 100 m son medidos, no en horizontal, sino sobre la propia

carretera. Ver: http://recursostic.educacion.es/gauss/web/materiales_didacticos/eso/actividades/geometria/trigonometria/pendiente_carretera/actividad.html

100 m

10 m


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Relaciones entre las razones trigonométricas:

14. a) Comprobar la relación fundamental con 30º, 45º y 60º (sin utilizar decimales ni calculadora)

b) Comprobar, mediante calculadora, la relación fundamental para 17º

15. Comprobar la relación con 30º, 45º y 60º (sin utilizar decimales ni calculadora)

16. De un ángulo agudo se sabe que su seno es 3/5. Mediante identidades trigonométricas, hallar susrestantes razones. (Soluc: cos α=4/5; tg α=3/4 )

17. Sabiendo que cos α = 0,2, hallar sus restantes razones: a) mediante identidades trigonométricas;b) mediante calculadora. (Soluc: sen α=2 6 /5, tg α=2 6 )

18. De un ángulo agudo se sabe que su tangente vale 2. Mediante identidades trigonométricas, hallar susrestantes razones. (Soluc: sen α=2 5 /5; cos α= 5 /5 )

19. Dado un ángulo agudo α, encontrar, aplicando identidades trigonométricas, las restantes razones,sabiendo que:

a) sen α=5/6 b) cos α=5/12 c) tg α=5/12 d) ctg α= 6 /2 e) sec α= 5 f) sen α=2/3

g) cos α=1/3 h) tg α=4/3 i) cosec α= 5 j) cosec α=3 2 2

(Soluc: a) cos α= 11 /6, tg α=5 11 /11; b) sen α= 119 /12, tg α= 119 /5; c) sen α=5/13, cos α=12/13;

d) sen α= 10 /5, cos α= 15 /5, tg α= 6 /3; e) sen α=2 5 /5, cos α= 5 /5, tg α=2; f) cos α= 5 /3, tg α=2 5 /5;

g) sen α=2 2 /3, tg α=2 2 ; h) sen α=4/5, cos α=3/5; i) sen α=cos α= 22 , tg α=1;

j) sen α= 2 /3, cos α= 7 /3, tg α= 14 /7)

� Ejercicios libro ed. Editex: pág. 159: 2 y 3; pág. 168: 17 a 20

20. Dado un ángulo agudo α tal que , se pide:

a) Hallar, aplicando identidades trigonométricas, sen α, cos α y tg α (resultados racionalizados)(Soluc: sen α= 3 /6, cos α= 33 /6, tg α= 11 /11)

b) Obtener, mediante calculadora, de qué α se trata. (Soluc: α ≅ 16º 46’ 43’’)

21. Dado un ángulo α tal que , se pide:

a) Hallar, aplicando identidades trigonométricas, sen α, cos α y tg α (resultados racionalizados)

b) Obtener, sin calculadora, de qué α se trata. (Soluc: sen α= 3 /2, cos α=1/2, tg α= 3 ; α=60º)

22. a) Dado , obtener, mediante las correspondientes fórmulas trigonométricas, sen α y tg α, dando los resultados simplificados y racionalizados (no se puede utilizar decimales).

b) Averiguar, mediante calculadora, de qué ángulo α se trata, explicando el resultado.

23. a) Dada , obtener, mediante las correspondientes fórmulas trigonométricas, sen α, cos α y ctg α (Dar los resultados simplificados y racionalizados; no se puede utilizar decimales)

(Soluc: sen α= 21 /7, cos α=2 7 /7, ctg α=2 3 /3)

b) Averiguar razonadamente, mediante calculadora, α (Soluc: α ≅ 40º 53’ 36’’)

11α ctg =

332

αcosec =

36α cos =

23α tg =

2 21+ tg α = 1/ cos α


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24. Dado un ángulo agudo α tal que , se pide:

a) Hallar, aplicando identidades trigonométricas, sen α, cos α y tg α (resultados racionalizados)(Soluc: sen α= 7 /3, cos α= 2 /3, tg α= 14 /2)

b) Obtener, mediante calculadora, de qué α se trata. (Soluc: α ≅ 61º 52’ 28’’)

25. Dada ctg α=2, hallar sen α, cos α y tg α mediante identidades trigonométricas y sin utilizardecimales. ¿Cuánto vale α? (Soluc: sen α= 5 /5, cos α=2 5 /5, tg α=1/2; α ≅ 26º 33’ 54’’)

26. a) Dada , hallar, mediante identidades trigonométricas, sen α, cos α y tg α (No vale utilizar decimales)

b) ¿De qué ángulo α se trata? (Soluc: sen α= 2 /2, cos α= 2 /2, tg α=1; α=45º)

27. a) ¿Puede existir un ángulo tal que sen α =1/5 y cos α =3/5? (no vale calculadora)

b) Ídem para tg α=4/3 y cos α=3/5

� Ejercicios libro ed. Editex: pág. 168: 2 1 a 25

28. a) Dado un ángulo α tal que , obtener, mediante fórmulas trigonométricas, sen α, cos α y tg α

b) Obtener, sin calculadora, α (Soluc: sen α=1/2, cos α= 3 /2, tg α= 3 /3; α=30º)

Resolución de triángulos rectángulos:

29. Resolver los siguientes triángulos, rectángulos en A, aplicando, siempre que sea posible relacionestrigonométricas (¡no el teorema de Pitágoras!); hallar también su área:

a) a=320 m, B=47º (Soluc: C=43º; b≅234,03 m; c≅218,24 m; SABC≅25537,64 m2)

b) b=32,8 cm, B=22º (Soluc: C=68º; a≅87,56 cm; c≅81,18 cm; SABC≅1331,40 cm2)

c) a=42,5 m, b=35,8 m (Soluc: B≅57º23’22’’; C≅32º36’38’’; c≅22,90 m; SABC≅409,99 m2)

d) b=8 mm, c=6 mm (Soluc: B≅53º7’48’’; C≅36º52’12’’; a=10 mm; SABC=24 mm2)

e) c=42,7 dam, C=31º (Soluc: B=59º; a≅82,91 dam; b≅71,06 dam; SABC≅1517,23 dam2)

f) a=8 km, b=6 km (Soluc: B≅48º35'25''; C≅41º 24'35''; c≅5,29 km; SABC≅15,87 km2)

g) a=13 m, c=5 m (Soluc: B≅67º22'48’’; C≅22º37'12’’; b=12 m; SABC30 m2)

h) c=124 dm, B=67º 21' (Soluc: C≅22º39'; a≅321,99 dm; b≅297,16 dm; SABC≅18423,90 dm2)

i) a=12,65 cm, C=48º 10' (Soluc: B=41º50’; b≅8,44 cm; c≅9,43 cm; SABC≅39,76 cm2)

j) a=75 m, C=35º (Soluc: B=55º; b≅61,44 m; c≅43,02 m)

k) b=36, C=35º (Soluc: B=55º; a≅43,95; c≅25,21)

l) a=15 mm, b=12 mm (Soluc: B≅53º7'48''; C≅36º52'12''; c=9 mm; SABC≅54 mm2)

m) b=24 m, c=8 m (Soluc: B≅71º33'54''; C≅18º 26'; a≅25,30 m)

n) b=12 cm, c=4 cm (Soluc: B≅71º34; C≅18º26’; a≅12,65 cm)

o) b=212 m, c=165 m (Soluc: B≅52º6'23''; C≅37º53'37''; a≅268,64 m; SABC=17490 m2)

p) B=35º, a=4 cm (Soluc: C=55º; b≅2,3 cm; c≅3,3 cm)

q) b=5 cm, B=80º (Soluc: C=10º; a≅5,1 cm; c≅0,9 cm)

r) a=28 cm, C=4º (Soluc: B=86º; b≅27,93 cm; c≅1,95 cm; SABC≅2,20 cm2)

� Ejercicios libro ed. Editex: pág. 162: 9 ; pág. 161: 8

223

αsec =

3α ctg =

2αsec =


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30. Resolver, sin calculadora, un triángulo de datos: A=90º, b= 3 , c=1 (Soluc: a=2, B=60º, C=30º)

31. Hallar el valor del lado x en los siguientes triángulos rectángulos:

a) b) c)

32. Resolver un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 3 cm y uno de sus catetos 1 cm. Hallar su área.(Soluc: ≅ 19º 28’ 16’’, ≅ 70º 31’ 44’’, ≅ 2,83 cm; S ≅ 1,41 cm2)

33. Las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo son 5 y 12 cm. Hallar sus restantes elementos ycalcular su área. (Soluc: 13 cm; ≅ 67º 22’ 48’’, ≅ 22º 37’ 12’’, S = 30 cm2)

34. TEORÍA: a) Probar que si un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 60º, entonces la hipotenusa es igualal doble del cateto menor.

b) Demostrar que el cuadrado construido sobre la diagonal de un cuadrado cualquiera tienesiempre un área doble que la del cuadrado original.

35. En el triángulo rectángulo de la figura, calcular los elementos desconocidos y obtener su área:

36. Hallar las incógnitas en los siguientes triángulos (no utiliza r calculadora sino raíces, dando además elresultado racionalizado):

a) b) c)

(Soluc: a) α=60º, 22x = ; b) α=60º, 32x = , =y 3 ; c) α=45º, x=1)

37. Ídem, pero con calculadora:

a) b)

(Soluc: a) α≅5 3 º7 '4 8 ' ' ; x=0,75; b) α ≅ 11º 18’ 36'’; x ≅ 1,77)

� Ejercicios libro ed. Editex: pág. 168 y ss.: 26, 27, 34, 35, 36 y 37

20 x

60º

45º x

15

10

30º x

3 cm

20º

x

2 1

3

α

y

60º α

3 x

y

(Soluc: x≅11,55) (Soluc: x=15)

(Soluc: x≅11,55)

x 2 9

10

α 3

3 1

x

α

x

30º

α 2

30º

α


MATEMÁTICAS

63

38. CUESTIÓN TEÓRICA: Cuando el gran sabio griego Tales de Mileto viajó a Egipto, le fue preguntado cuálpodría ser la altura de la pirámide de Keops, por supuesto desconocida y jamás medida. Tales reflexionóunos segundos y contestó así: «Me echaré sobre la arena y determinaré la longitud de mi cuerpo.Después, me pondré en un extremo de esta línea que mide mi longitud y esperaré hasta que mi sombrasea igual de larga. En ese instante, la sombra de la pirámide ha de medirtantos pasos como su altura». Justificar la genial respuesta del gransabio.

39. CUESTIÓN TEÓRICA:

a) Demostrar que el lado del cuadrado inscrito (ver figura dcha.) en unacircunferencia de radio r mide r√2.

b) Demostrar que el lado del triánguloequilátero inscrito en una circunferencia (ver figura izda.) de radio r mide r√3.

40. CUESTIÓN TEÓRICA: Si un rectángulo tiene mayor perímetro que otro,¿necesariamente tendrá mayor área? Indicar ejemplos. (Soluc: no necesariamente)

Resolución de triángulos oblicuángulos:

41.

42.

43. Dado el triángulo isósceles de la figura, hallar:

a) El ángulo desigual α

b) Los lados iguales x

c) La altura h

d) El área del triángulo.(Soluc: α=120º, x≅2,31 m, h≅1,15 m; S≅2,31 m2)

x

35º

αα

h 6 cm

En el triángulo de la figura hallar:

a) α y x (Soluc: α ≅ 72º 30'; x ≅ 3,61 cm)

b) h y área (Soluc: h ≅ 5,72 cm; S ≅ 10,32 cm2)

En el triángulo isósceles de la figura, hallar razonadamente:

a) α y β

b) altura h

c) base x

d) área(Soluc: α=70º, β=40º, h≅9,4 cm, x≅6,84 cm; S≅32,14 cm2)

30º

x h

4 m

α

x

r

r√2

r√3

r

β

α 70º

x

10 cm h

10 cm


MATEMÁTICAS

64

44.

45. Dado el triángulo de la figura se pide:

a) Hallar α, h, x, y, z

b) Calcular su área.

(Soluc: α = 60º, h≅ 1,93m, x ≅ 2,30m, y ≅ 3,86m,z ≅ 3,34m; S ≅ 5,44m2)

46. TEORÍA: ¿Cuántas alturas tiene un triángulo? Dibujar un triángulo acutángulo, y trazar sus tres alturas.¿Qué ocurre si el triángulo es obtusángulo?

47. a) Resolver el triángulo de la figura derecha –es decir,hallar A, a y c–, trazando para ello previamente la altura correspondiente al lado a.

b) Hallar su área.

(Soluc: A = 115º, a ≅ 10,72m, c ≅ 7,60m, S ≅ 17,21m2)

48. En el triángulo de la figura izquierda hallar C, b y c,trazando para ello previamente una altura. Hallar también su área.

(Soluc: C = 110º, b ≅ 4,46cm, c ≅ 12,27cm, S ≅ 20,98cm2)

49. En el triángulo de la figura, se pide: a) Hallar h, x, y, α y β

b) Calcular su área.

(Soluc: h≅2,5m; x≅4,33m; y≅9,68m; α≅135º31'20'';β≅14º28'39''; A≅17,52m2)

� Ejercicios libro ed. Editex: pág. 164: 12; pág. 169: 38 a 44

Problemas de planteamiento:

50. Los lados iguales de un triángulo isósceles miden 20 cm y cada uno de los ángulos iguales mide 25º.Resolver el triángulo y calcular su área. (Soluc: α=130º, x≅36,25 cm; S≅153,21 cm2)

51. Si el radio de un pentágono regular mide 10 cm, ¿cuánto mide el lado? ¿Cuál es su área?

(Soluc: ≅ 11,76 cm y ≅237,76 cm2 respectivamente)

10 cm

En el triángulo de la figura, calcular: A, b, m, n, a y x. Hallar su área. (Soluc: A=60º, b ≅ 5,77 m, m ≅ 2,89 m, n ≅ 8,66 m, a=10 m, x ≅ 11,55 m;

S ≅ 28,87 m2)

h

z x

y 3 m

30º 40º

α

a

5 m

25º 40º

A

c

c

b

20º 50º

A B

C

a=10 cm

β h

5 m

x y

10 m

30º

α

m

30º

5 m

A

b a

n

x

30º


MATEMÁTICAS

65

AS

)

52. Calcular el valor de la apotema de un decágono regular de lado 20 cm. ¿Cuál es su área? Comprobar quese verifica la fórmula S=p·a/2, donde p es el perímetro y a la apotema.

53. Calcular el área de un decágono regular y de un octógono regular, ambos de 6 cm de lado. ¿Cuál esmayor?

54. Determinar la superficie de un hexágono regular inscrito en un círculo de 9 cm de radio.

55.

56. Un niño está haciendo volar su cometa. Ha soltado ya la totalidad del hilo, 47 m, y observa que el ánguloque forma la cuerda con el suelo es aproximadamente 45º. ¿A qué altura se encuentra la cometa? (Soluc:

≅ 33,23 m)

57. Calcular la altura de una torre sabiendo que su sombra mide 13 m cuando los rayos del sol forman 50ºcon el suelo. (Soluc: ≅ 15,49 m)

58. Desde lo alto de un faro colocado a 40 m sobre el nivel del mar se ve un barco formando un ángulo de 55ºcon la horizontal. ¿A qué distancia de la costa se halla el barco? (Soluc: ≅ 28 m)

59. Un avión vuela a 350 m de altura, observando el piloto que el ángulo de depresión del aeropuerto próximoes de 15º. ¿Qué distancia respecto a la vertical le separa del mismo en ese instante? (Soluc: ≅ 1306 m)

60.

61. En un tramo de carretera la pendiente es del 6%. ¿Cuánto asciende un ciclista que recorra un kilómetro?(Soluc: 60 m)

62. Una escalera de bomberos de 10 m de longitud se ha fijado en un punto de la calzada. Si se apoya sobreuna de las fachadas forma un ángulo con el suelo de 45º y si se apoya sobre la otra forma un ángulo de30º. Hallar la anchura de la calle. ¿Qué altura se alcanza sobre cada fachada?

(Soluc: anchura≅15,73 m; altura 7,07 y 5 m respectivamente)

63. Si las puntas de un compás, abierto, distan 6,25 cm y cada rama mide 11,5 cm, ¿qué ángulo forman?(Soluc: ≅ 31º 32')

2 m

Un carpintero quiere construir una escalera de tijera cuyos brazos, una vez abiertos, formen un ángulo de 60º. Si la altura de la escalera, estando abierta, es de 2 metros, ¿qué longitud deberá tener cada brazo? (Soluc: ≅ 2,31 m)

Una tienda de campaña tiene forma cónica. La parte central tiene una altura de 4 m y está sujeta en el suelo con dos cables de 12 m de longitud. Calcular:

a) El ángulo que forman los cables con el suelo.

b) La distancia entre los dos puntos de anclaje (Sin aplicar elteorema de Pitágoras).

(Soluc: ≅19º 28' 16''; ≅22,63 m)


MATEMÁTICAS

66

ICAS

64. Una escalera de 4 metros está apoyada contra la pared. ¿Cuál será su inclinación si su base dista 2metros de la pared? (Soluc: 60º)

65. De un triángulo rectángulo se sabe que un ángulo agudo mide 45º y uno de sus catetos 5 cm. ¿Cuántomide el otro cateto, la hipotenusa y el otro ángulo agudo? (Soluc: 5 cm, ≅ 7,07 cm, 45º)

66. Calcular los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 12 y 8 cm. (Soluc: 112º 37' y 67º 23')

67. La base de un triángulo isósceles mide 54 cm y los ángulos en la base 42º. Calcular los lados iguales, laaltura y el área. (Soluc: ≅ 36,3 cm, ≅24,3 cm y ≅656,1 cm2)

68. Si la sombra de un poste es la mitad de su altura, ¿qué ánguloforman los rayos del sol con el suelo? (Sol: 63º 26')

69. En la figura de la izquierda, hallar la altura del acantilado, x, y ladel faro, h. (Sol: 28,87 y 21,13 m, respectivamente)

70. En la figura adjunta aparece un faro situado bajo unpromontorio. Hallar la altura, h, de éste último. (Ayuda:Aplicar el teorema de Pitágoras dos veces) (Sol: 5 m)

71. Un globo aerostático se encuentra sujeto al suelo mediante doscables de acero, en dos puntos que distan 60m. El cable máscorto mide 80 m y el ángulo que forma el otro cable con el sueloes de 37º. Hallar la altura del globo y la longitud del cable másextenso. (Ayuda: Trazar la altura correspondiente al lado delcable más extenso). (Soluc: ≅71,80m; ≅119,31m)

Método de doble observación :

72. Desde un punto del suelo situado a 5 m de la base de un pedestal se vela parte superior de éste bajo un ángulo de 30º, mientras que la partesuperior de la estatua que descansa sobre él se ve bajo un ángulo de45º (ver figura). Hallar la altura del pedestal y de la estatua.(Soluc: ≅ 2,89 m y ≅2,11 m respectivamente)

73. Queremos conocer el ancho de un río y la altura de un árbol inaccesible que está en la orilla opuesta. Para ello nos situamos en la orilla del río yvemos la copa del árbol bajo un ángulo de 41º. A continuación retrocedemos 25 m y vemos ahora el árbolbajo un ángulo de 23º. Hallar el ancho del río y la altura del árbol.

(Soluc: ≅ 23,86 m y ≅20,74 m respectivamente)

74. Considerar el triángulo de datos: a=10 m, B=30º, C=45º. Resolverlo, trazando previamente la alturacorrespondiente al lado a, y hallar su área. (Ayuda: Plantear un sistema de ecuaciones)(Soluc: A = 105º, b ≅ 5,18 m, c ≅ 7,32 m, S ≅ 18,3 m2)

x

h

5 m

30º

45º

50 m 30º

45º x

hx

37º

80 m

60 m


MATEMÁTICAS

67

ACT4. Bloque 12. Tema 6. Probabilidad.

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Bloque 12. Tema 6.

Probabilidad.

ÍNDICE

1) INTRODUCCIÓN

2) CONCEPTOS ELEMENTALES EN PROBABILIDAD.

2.1. Experimentos deterministas.

2.2. Experimento aleatorio.

2.3. Espacio muestral.

2.4. Evento o suceso.

2.5. Suceso elemental.

2.6. Suceso compuesto.

2.7. Suceso seguro.

2.8. Suceso imposible.

2.9. Sucesos compatibles.

2.10. Sucesos incompatibles.

2.11. Sucesos independientes.

2.12. Sucesos dependientes.

2.13. Suceso contrario.

2.14. Ejemplos.

3) RELACIONES ENTRE SUCESOS.

4) PROBABILIDAD CLÁSICA. REGLA DE LAPLACE.

4.1. Probabilidad del suceso contrario.

4.2. Probabilidad del suceso seguro.

4.3. Probabilidad de un suceso imposible.

5) PROPIEDADES BÁSICAS DEL CÁLCULO DE PROBABILIDAD.

5.1. Probabilidad de la unión de sucesos.

5.2. Probabilidad de que ocurra el suceso A y el B en experiencias compuestas.

6. PROBABILIDAD COMPUESTA CON REPOSICIÓN Y SIN REPOSICIÓN.

7. DIAGRAMAS EN ÁRBOL.


MATEMÁTICAS

68

1

CEPA MIGUEL DE CERVANTES. CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD

BLOQUE 12 TEMA 6. CÁLCULO DE PROBABILIDADES

EXPERIMENTOS ALEATORIOS Y DETERMINISTAS

Un experimento determinista es aquel cuyo resultado está completamente determinado.

Un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado no se puede predecir.

1. Indica cuáles de los experimentos siguientes son aleatorios y cuáles no lo son.

a) Hacer girar una ruleta y observar el número obtenido.

b) Efectuar una reacción química y determinar los productos obtenidos.

c) Extraer una bola de una bolsa opaca que contiene bolas rojas, bolas azules y bolas verdes, y mirar

su color.

d) Repartir una mano de cinco cartas a cada jugador y mirar las cartas que nos han tocado.

e) Lanzar una carta en la mesa y observar si cae sobre el dorso o sobre la figura.

f) Calentar agua hasta que entre en ebullición y mirar la temperatura que marca el termómetro.

g) Extraer una carta de una baraja y anotar a qué palo pertenece.

h) Arrojar una piedra al vacío y medir su aceleración.

i) Medir la longitud de una circunferencia de radio 3 cm.

j) Abrir las compuertas de un estanque lleno de agua y anotar qué ocurre.

2. ESPACIO MUESTRAL. SUCESOS

Espacio muestral es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.

Se representa por la letra Ώ y a sus elementos se les llama sucesos elementales.

Cualquier subconjunto del espacio muestral formado por uno o más elementos recibe el nombre de suceso

aleatorio o suceso compuesto.

Decimos que se verifica o que ocurre un suceso cuando al realizar un experimento el resultado es uno

de los que caracterizan este suceso.

1. Del experimento aleatorio lanzar un dado y observar qué número sale, los sucesos elementales

son {1},{2}, {3}, {4}, {5} y {6}, por lo que el espacio muestral es Ώ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Algunos

sucesos aleatorios pueden ser:

Salir número par: A = {2, 4, 6}

Salir un número menor que cuatro: B = {1, 2, 3}

Salir un tres o un cinco: C = {3, 5}

3. TIPOS DE SUCESOS

Además de los sucesos vistos anteriormente, existen otros sucesos que presentan características

especiales. Los estudiaremos a partir del experimento lanzar un dado.

Suceso seguro es el que siempre se realiza, luego coincide con el espacio muestral . Ώ

Ejemplo: Salir un número menor o igual que seis = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Suceso imposible es el que nunca se realiza; se representa con el símbolo ∅.


MATEMÁTICAS

69

2

Ejemplo: Salir un número negativo.

Suceso contrario de A es el que se realiza cuando no se realiza A; se designa por A.

Ejemplo: Consideremos el suceso A = «salir par» = {2, 4, 6}, el suceso A = «salir impar» = {1, 3, 5} se

denomina suceso contrario de A, y está formado por los sucesos elementales del espacio muestral que no

están en A.

Al conjunto de todos de los sucesos de un experimento aleatorio se le denomina espacio de sucesos. Se

designa por S y contiene 2n elementos, donde n es el número de sucesos elementales del experimento.

Estudiemos el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado de quinielas y anotar el símbolo que

aparece en la cara superior.

Sucesos elementales: {1}, {X}, {2}

Espacio muestral: Ώ = {1, X, 2}

Espacio de sucesos (tiene 23 = 8 elementos): S = {∅, {1}, {X}, {2}, {1, X}, {1, 2}, {X, 2}, {1, X, 2}}

Suceso seguro: W = {1, X, 2}

Suceso imposible: ∅

Suceso contrario: Dado el suceso A = {1, X}, el suceso contrario A = {2}

Otros sucesos: B = {1, 2}, C = {X, 2}

4. OPERACIONES CON SUCESOS

En el experimento aleatorio lanzar un dado, cuyo espacio muestral es Ώ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, consideremos los

siguientes sucesos: A = «salir número par» = {2, 4, 6} B = «salir número primo» = {2, 3, 5}

4.1. UNIÓN DE SUCESOS

Formemos el suceso «salir número par o primo» = {2, 3, 4, 5, 6}. Este suceso se llama suceso unión

de A y B.

Dados dos sucesos A y B, de un mismo experimento aleatorio, llamamos suceso unión de A y B al

suceso que se realiza cuando se realiza A o B. Está formado por todos los sucesos elementales de A

y de B. Se representa por A ∪ B.

4.2. INTERSECCIÓN DE SUCESOS

Formemos el suceso «salir número par y primo» = {2}

Este suceso se llama suceso intersección de A y B.

Dados dos sucesos A y B, de un mismo experimento aleatorio, llamamos suceso intersección de A y

B al suceso que se realiza cuando se realizan simultáneamente los sucesos A y B. Está formado por

los sucesos elementales comunes a los sucesos A y B. Se representa por A ∩ B.

Dos sucesos A y B de un mismo experimento aleatorio son incompatibles cuando no tienen ningún

suceso elemental común. Su intersección es el suceso imposible:

si A ∪ B = ∅, entonces A y B son incompatibles.

Dos sucesos A y B de un mismo experimento aleatorio son compatibles cuando tienen algún suceso

elemental común. Su intersección es distinta del suceso imposible:

si A ∩ B ≠∅, entonces A y B son compatibles.

PROBABILIDAD.LEY DE LAPLACE


MATEMÁTICAS

70

3

En un bombo hay diez bolas numeradas del 0 al 9. Todas las bolas tienen la misma probabilidad de

salir. Si extraemos una de ellas, la probabilidad de que sea el número 5 será de 1 entre 10, es decir:

1

10

La probabilidad de los sucesos compuestos se obtiene sumando las probabilidades de los sucesos

elementales que lo forman. Así, la probabilidad del suceso A = «salir número mayor o igual que 7» es:

P(A) = P(7) + P(8) + P(9) =1

10+

1

10+

1

10=

3

10

2. Lanzamos un dado. Hallar la probabilidad de los sucesos A = «salir número impar» y B = «salir

múltiplo de 3».

El espacio muestral del experimento aleatorio es Ώ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Los sucesos cuya probabilidad nos piden son:

A = «salir número impar» = {1, 3, 5} P(A) = 3

6 (existen tres casos favorables y 6 casos posibles)

B = «salir múltiplo de 3» = {3, 6} P(B) = 2

6 (existen dos casos favorables y 6 casos posibles)

3. Lanzamos dos monedas consecutivamente. Hallar la probabilidad de los sucesos A = «obtener

dos caras» y B = «obtener al menos una cruz».

El espacio muestral es W = {CC, CX, XC, XX}. Los sucesos cuya probabilidad nos piden son:

A = «obtener dos caras» = {CC} P(A) =1

4

B = «obtener al menos una cruz» = {CX, XC, XX} P(B) =3

4

8. PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD

· La probabilidad del suceso seguro es 1: PΏ) = 1

En primer lugar, la suma de las probabilidades de todos los sucesos elementales de un

experimento aleatorio es 1.

En el lanzamiento de un dado, W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}:

P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 1

6 P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) =1

El suceso seguro coincide con el espacio muestral, luego su probabilidad es la unidad.

· La probabilidad del suceso imposible es 0: P ( ∅) = 0

El suceso imposible no lo forma ningún suceso elemental, es el vacío, luego su probabilidad es cero.

· La probabilidad de un suceso A es un número comprendido entre 0 y 1: 0 ≤P(A) ≤1

Cualquier otro suceso nos daría que la probabilidad es un número comprendido entre 0 y 1.


MATEMÁTICAS

71

4

PROBABILIDAD DEL SUCESO CONTRARIO

· Si A y A son sucesos contrarios: P(A) = 1- P(A)

En una bolsa hay 7 bolas blancas, 3 verdes y 2 rojas.

La probabilidad del suceso A = «sacar una bola blanca» es: P(A) =7

12

La probabilidad del suceso contrario de A es Ā = «sacar una bola verde o roja» es: 5

12

P(A)

Observa que todos los sucesos elementales (las 12 bolas) se han tenido en cuenta en A o en A. La

suma de todos los casos favorables es entonces igual al número de casos posibles. Por tanto:

P(A) + P(A) =7

12 +

5

12=

12

12 = 1 P(A) =1- P(A)

Ejemplo. Una urna contiene 20 bolas rojas, 15 azules y 7 verdes. Se extrae una bola. Hallar la

probabilidad de que sea roja o verde.

Si representamos por R = «obtener una bola roja», A = «obtener una bola azul» y V = «obtener una

bola verde», se tiene:

P(roja o verde) = 1 - P(azul) = 1 - P(A) = 1-15

42=

27

42=

9

14

PROBABILIDAD DE LA UNIÓN DE SUCESOS

· Si dos sucesos , A y B, son incompatibles, se verifica: P(A ∪B) = P(A) + P(B)

Para el experimento del lanzamiento del dado consideremos los sucesos incompatibles A = {2, 4, 6},

B = {5} y el suceso unión A ∪ B = {2, 4, 5, 6} (observa que A ∩ B = ∅). Si calculamos sus

probabilidades, resulta:

P(A) =3

6 ; P(B) =

1

6; (A) (B) P(A U B) =

4

6 = P (A)+ P(B)

· Si A y B son dos sucesos compatibles, se verifica: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Consideremos ahora los sucesos A = «obtener un número impar» y B = «obtener un múltiplo de 3».

Estos sucesos son compatibles. Si calculamos sus probabilidades, resulta:

A = {1, 3, 5} Þ P(A) = 3

6; B = {3, 6} Þ P(B) =

2

6;

A ∪ B = {1, 3, 5, 6} Þ=4

6P(AU B) = ; A ∩B = {3} Þ=

1

6

Con estos resultados podemos comprobar la relación: ,

Es decir, P(A ∪ B) + P(A ∩ B) = P(A) + P(B), y despejando: P(A È∪B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)


MATEMÁTICAS

72

5

PROBABILIDAD DE SUCESOS EN EXPERIMENTOS COMPUESTOS

Vamos a ver la forma de hallar la probabilidad de un suceso en un experimento compuesto a partir de

las probabilidades de los sucesos de los experimentos simples que lo componen.

Para ello resolveremos el siguiente ejemplo, primero aplicando la definición de Laplace y

posteriormente como producto de probabilidades de los sucesos de los experimentos simples.

En el experimento aleatorio de lanzar tres veces una moneda queremos hallar la probabilidad de

«obtener tres caras».

El espacio muestral es: Ώ = {CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC, XXX}

Como tenemos 1 sólo caso favorable de 8 posibles, la probabilidad pedida es:

Observa ahora en el siguiente diagrama en árbol como obtenemos la probabilidad pedida sin más

que calcular el producto de las probabilidades de cada suceso del siguiente modo:

En los experimentos compuestos la probabilidad de un resultado es igual al producto de las

probabilidades de las ramas del diagrama en árbol que forman el camino que da lugar a ese

resultado.

PROBABILIDAD TOTAL

Se quiere formar una comisión compuesta por dos miembros de un grupo en el que hay 4 chicos y 6

chicas. Para ello se escriben en tarjetas los nombres de cada uno de ellos, se introducen en una

bolsa y se extraen a continuación dos tarjetas.


MATEMÁTICAS

73

6

EJERCICIOS.PROBABILIDAD

1. En una bolsa se tienen ocho bolas numeradas del 1 al 8. Se realiza el experimento que

consiste en extraer una bola y anotar su número. Consideremos los siguientes sucesos:

A = {3, 5, 7, 8} B = {1, 2, 3, 4, 5} C = {3, 6, 8}

Forma los sucesos A ∪B, A ∪C, B ∩ C, A ∩ B

2. Lanzamos dos dados y sólo anotamos su suma. El espacio muestral es W = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

9, 10, 11, 12}. Halla la probabilidad de cada uno de los sucesos elementales.

3. Una bolsa A contiene 12 bolas verdes y 4 rojas, y otra bolsa B contiene 20 bolas verdes y 10

rojas. ¿En qué bolsa es más probable obtener una bola verde?

4. En una bolsa se introducen 4 bolas azules, 4 rojas y 2 verdes. Se agita la bolsa y

seguidamente se extraen tres bolas, de las que dos son rojas y una azul. A continuación se

extrae otra bola. ¿Qué color es el que tiene mayor probabilidad de ser elegido?

5. Halla la probabilidad de que la suma de los puntos de las caras visibles de un dado que se

lanzó al azar sea múltiplo de 5.

6. Si extraes una carta de una baraja española, , calcula la probabilidad de que: a) Sea un rey b)

Sea un oro c) Sea el rey de oros d) Sea un rey o un oro

7. Se lanzan simultáneamente dos dados con las caras numeradas del 1 al 6. Halla la

probabilidad de que:

a) La suma de los puntos obtenidos sea menor que 7.

b) La suma de los puntos obtenidos sea o bien 3, o bien 4, o bien 5.

8. Una urna contiene 8 bolas rojas, 5 amarillas y 7 verdes. Se extrae una al azar. Determina la

probabilidad de que: a) Sea roja o verde b) No sea roja

9. Un dado está trucado de modo que la probabilidad de obtener las distintas caras es

directamente proporcional al número de éstas. Calcula:

a) La probabilidad de cada una de las caras.

b) La probabilidad de sacar un número par.

10. Halla la probabilidad de un suceso sabiendo que la suma de su cuadrado y la del cuadrado de

la probabilidad del suceso contrario es igual a 5/9.

11. Imagínate que la probabilidad de nacer varón es 0’46. De una familia con tres hijos, calcula la

probabilidad de que:a) Los tres sean varones, b) Ninguno sea varón

12. Se lanzan al aire tres monedas. Determina la probabilidad de que se obtengan al menos dos

cruces.

13. Se lanzan tres dados al aire. Calcula la probabilidad de que se obtenga: a) Un 4 en cada dado

,b) Una suma total de puntos igual a 8

14. En un centro escolar, los alumnos pueden optar, por cursar como lengua extranjera, entre

inglés o francés. En un determinado curso, el 90 % estudia inglés, y el resto, francés. El 30 %

de los que estudian inglés son varones, y de los que estudian francés, son chicos el 40 %.

Elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?


MATEMÁTICAS

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Observación importante: Esta fórmula sólo es válida si todos los sucesos elementales que componen el espacio muestral son equiprobables7 (piénsese, p.ej., en un dado trucado en vez de un dado perfecto…)

Ejemplo 6: En el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado, hallar la probabilidad de que ocurran los siguientes sucesos: a) salir nº impar b) salir nº primo c) salir

•3 d) salir

•5 e) Salir nº

comprendido entre 1 y 6 f) salir 7

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Ejercicio 4: En el experimento aleatorio consistente en extraer una carta de una baraja española, hallar la probabilidad de obtener: a) un oro b) un as c) la sota de espadas.

a)

b)

c)

Ejercicio 5: En el experimento aleatorio consistente en lanzar a la vez dos monedas, hallar la probabilidad de obtener: a) dos caras b) dos cruces c) una cara y una cruz d) al menos una cruz. Comprobar que se obtiene lo mismo haciendo un árbol y multiplicando las probabilidades de cada rama.

a)

b)

7 Es decir, que tengan la misma probabilidad.


MATEMÁTICAS

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Ejercicio 8: Se extrae una carta de una baraja española. Considerar los siguientes sucesos:

A=”obtener un oro” B=”obtener un rey” C=”salir el as de espadas””

Calcular P(AUB) y P(AUC) mediante la correspondiente fórmula. Comprobar a continuación por conteo directo los resultados obtenidos.

Ejercicio 9: Una urna contiene 20 bolas rojas, 15 azules y 7 verdes. Hallar: a) La probabilidad de que sea roja o verde. b) La probabilidad de que no sea azul. c) La probabilidad de que sea verde o azul.

a)

b)

c)

Observaciones:

1. Una consecuencia evidente de (2) y (4) es la siguiente:

A y B incompatibles ⇔ P(A∩B)=0 (5)

2. Nótese que la fórmula (4) es una generalización de (2), o al revés, (2) es un caso particular de (4).

3. La fórmula (4) se generaliza a tres sucesos de la siguiente forma:

P(A U B U C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C)

que de nuevo se puede justificar fácilmente mediante diagramas de Venn.

Ejercicios final tema: 3 a 15


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■ Por lo tanto, a partir de este momento, en las experiencias compuestas nos ayudaremos de un diagrama deárbol, y calcularemos las distintas probabilidades multiplicando las de cada rama determinada; veamos dosejemplos:

Ejemplo 13: Hallar la probabilidad de obtener dos reyes al extraer consecutivamente dos cartas de una baraja española a) con devolución de la primera carta b) sin devolución de la primera carta.

a)

b)

Ejemplo 14: En una bolsa hay 15 bolas negras y 10 blancas. Extraemos dos bolas. Hallar la probabilidad de que las dos sean negras a) devolviendo la primera bola extraída b) sin devolverla.

a)

b)

Ejemplo 15: a) Supongamos que nos reparten dos cartas de una baraja española. Hallar la probabilidad de que las dos sean oros y de que ninguna sea un oro b) Hallar lo mismo, pero suponiendo que, una vez vista la primera carta, la devolvemos al mazo. (Se recomienda construir un árbol).

a)


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b)

Ejemplo 16: Se lanzan dos dados. Hallar la probabilidad de que ambos no sean pares (Piénsese en lo complicado que sería resolver este problema por conteo directo sobre el espacio muestral E).

Ejemplo 17: Extraemos de una baraja tres cartas. Hallar la probabilidad de que sean tres ases a) con devolución después de cada extracción b) sin devolución.

a)

b)


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PASOS A SEGUIR PARA RESOLVER UN PROBLEMA DE PROBABILIDAD:

1. Leer atenta y completamente el enunciado.

2. Nombrar los sucesos con letras mayúsculas apropiadas.

3. Traducir la probabilidad que nos piden a lenguaje de sucesos (usando la U, ∩, suceso contrario, etc.).

4. Identificar qué fórmula hay que aplicar (puede ser útil un diagrama de árbol, formar todo el espaciomuestral, etc.).

5. Sustituir cada una de las probabilidades que figuran en el desarrollo de la fórmula.

6. Operar y simplificar (dejando el resultado, normalmente, en forma de fracción).

El paso crucial es, evidentemente, el 4; como ayuda, véase el siguiente esquema:

“o” ⇒ U

no se pueden verificar a la vez ⇒ INCOMPATIBLES ⇒ P(AUB)=P(A)+P(B)

(A ∩ B = ∅)

se pueden verificar a la vez ⇒ COMPATIBLES ⇒ P(AUB)=P(A)+P(B) P(A∩B)

(A ∩ B ≠ ∅)

“al menos” ⇒ suele funcionar calcular antes la probabilidad del suceso contrario, y aplicar a continuación

“y”, “a la vez”

⇒ ∩

con devolución

sin devolución

⇒ multiplicar la probabilidad de cada rama (se recomienda hacer un árbol)


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FICHA 1: 24 ejercicios de Probabilidad

En los siguientes ejercicios se recomienda:

� Considerar previamente, cuando proceda, el espacio muestral.

� Utilizar siempre el lenguaje de sucesos convenientemente.

� Siempre que proceda, dar los resultados en forma de fracción (no es necesario pasarlos a forma decimal).

Probabilidad elemental:

1. Una bolsa contiene 12 bolas verdes y 4 rojas, y otra bolsa contiene 20 bolas verdes y 10 rojas. ¿En québolsa es más probable extraer una bola verde? (Soluc: en la 1ª bolsa)

2. En una bolsa se introducen 4 bolas azules, 4 rojas y 2 verdes. Se agita la bolsa y seguidamente seextraen tres bolas, de las que dos son rojas y una azul. A continuación, se extrae otra bola. ¿Qué color esel que tiene mayor probabilidad de ser elegido? (Sol: el azul)

3. Una urna contiene 8 bolas rojas, 5 amarillas y 7 verdes. Se extrae una al azar. Determinar la probabilidadde que: a) Sea roja o verde. b) No sea roja. (Sol: 3/4; 3/5)

4. Se extrae al azar una carta de una baraja española. Hallar la probabilidad de que salga:

a) Un as o una copa. (Sol: 13/40)

b) Una figura o una copa. (Sol: 19/40)

5. Considerar el experimento aleatorio consistente en extraer una bola de una urna que contiene 20 bolasnumeradas del 1 al 20.

a) Indicar los sucesos elementales que componen el suceso A=”extraer nº impar”. Hallar la probabilidadde dicho suceso. (Soluc: 1/2)

b) Ídem para el suceso B=”extraer nº primo”. (NOTA: Considerar el 1 primo) (Soluc: 9/20)

c) Ídem para el suceso “extraer nº impar y primo”. ¿Cómo es este suceso respecto a A y B? (Soluc: 2/5)

d) Sea el suceso “extraer nº impar o primo”. Utilizando la fórmula adecuada y lo obtenido en los apartadosanteriores (¡no mediante la regla de Laplace!), calcular la probabilidad de dicho suceso, razonando elporqué de la fórmula utilizada. (Soluc: 11/20)

6. En el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda 4 veces, se pide:

a) Formar el espacio muestral E (se recomienda utilizar un árbol). ¿De cuántos elementos consta?(Soluc: 16 elementos)

b) Hallar la probabilidad de obtener exactamente una cara. Hallar también la probabilidad de obtener justodos caras. Con los dos resultados anteriores, y utilizando la fórmula adecuada (¡no mediante la reglade Laplace!), hallar la probabilidad de obtener una o dos caras. Razonar qué fórmula se ha utilizado.(Soluc: 1/4, 3/8, 5/8)

c) Hallar la probabilidad de obtener siempre cruz. (Soluc: 1/16)

d) Hallar, utilizando la fórmula de la probabilidad del suceso contrario (¡no mediante la regla de Laplace!),la probabilidad de obtener al menos una cara. (Soluc: 15/16)


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7. Se lanzan al aire tres monedas. Determinar la probabilidad de que se obtenga al menos dos cruces.(Sol: 1/2)

8. Considerar el experimento aleatorio consistente en extraer una carta de una baraja española.

a) Describir su espacio muestral E. ¿Cuántos sucesos elementales lo componen? (Soluc: 40)

b) Sea el suceso A=”extraer un oro”. Definirlo y hallar su probabilidad. (Soluc: 1/4)

c) Ídem para el suceso B=”extraer una figura”. (Soluc: 3/10)

d) Utilizando el resultado anterior y la fórmula adecuada (¡no mediante la regla de Laplace!), calcular laprobabilidad de no extraer una figura. (Soluc: 7/10)

e) Definir el suceso “extraer una figura y que sea además oro”; hallar su probabilidad. ¿Cómo es estesuceso respecto a A y B? (Soluc: 3/40)

f) Sea el suceso “extraer figura u oro”. Utilizando la fórmula adecuada y lo obtenido en los apartadosanteriores (¡no mediante la regla de Laplace!), calcular la probabilidad de dicho suceso, razonando elprocedimiento utilizado. (Soluc: 19/40)

9. Se lanzan dos dados y se suma la puntuación obtenida. Se pide:

a) Indicar el espacio muestral. ¿Cuántos casos posibles hay? (Soluc: 36)

b) Hallar la probabilidad de obtener exactamente un 4 (Soluc: 1/12)

c) Hallar la probabilidad de obtener puntuación ≤ 4 (Soluc: 1/6)

d) Hallar la probabilidad de no sacar un 12 (Soluc: 35/36)

e) Hallar la probabilidad de sacar un 4 o un 12 (Soluc: 1/9)

f) ¿Cuál es el número más probable de obtener? ¿Y el menos?

10. Se lanzan dos dados. Considerar los siguientes sucesos:

A=”la suma de puntos es 5”

B=”en uno de los dados ha salido 4”

C=”en los dos dados salió el mismo resultado”

Se pide:

a) P(A), P(B) y P(C) (Soluc: 1/9; 11/36; 1/6)

b) P(A∩B) (Soluc: 1/18)

c) P(AUB), por conteo directo y mediante fórmula. (Soluc: 13/36)

d) P(A∩C) (Soluc: 0)

e) P(AUC), por conteo directo y mediante fórmula. (Soluc: 5/18)

f) P(B∩C) (Soluc: 1/36)

g) P(BUC), por conteo directo y mediante fórmula. (Soluc: 4/9)

11. Se lanzan tres dados al aire. Calcular la probabilidad de que se obtenga:

a) 3 seises (Soluc: 1/216)

b) Una suma de puntos total igual a 8 (Soluc: 7/72)

12. En un juego tenemos que elegir una tarjeta de cada una de las dos cajas que hay sobre la mesa. En unade ellas hay tres tarjetas con las letras S, S, N, y en la otra tres con las letras O, O, I ¿Cuál es la


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EJERCICIOS de PROBABILIDAD 3º ESO académicas ALFONSO GONZÁLEZ

I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS

probabilidad de formar SÍ? ¿Y la palabra NO? ¿Cuál es la probabilidad de no formar ninguna de estas dos palabras? (Soluc: 2/9; 2/9; 5/9)

13. Hallar la probabilidad de que la suma de los puntos de las caras visibles de un dado que se lanzó al azarsea múltiplo de 5. (Soluc: 1/3)

14. Supongamos una moneda trucada en la que la probabilidad de obtener cara es triple que la de cruz. Hallarla probabilidad de obtener cara y la de obtener cruz. (Soluc: 3/4 y 1/4)

15. Se ha trucado un dado de tal forma que la probabilidad de obtener número par es doble que impar. Hallar:

a) Probabilidad de obtener un número par, y probabilidad de obtener impar. (Soluc: 2/3 y 1/3)

b) Probabilidad de cada suceso elemental. (Soluc: 1/9 cualquier número impar y 2/9 cualquier par)

c) Probabilidad de obtener puntuación ≤ 3 (Soluc: 4/9)

Experimentos compuestos. Diagramas de árbol:

16. Hallar la probabilidad de obtener dos ases al extraer dos cartas de una baraja, a) si una vez extraída laprimera se devuelve al mazo. (Soluc: 1/100) b) Ídem suponiendo que la primera carta extraída no sedevuelve al mazo.

17. En una población la probabilidad de nacer varón es de 0,46. De una familia con tres hijos, calcular laprobabilidad de que (se recomienda hacer un árbol):

a) Los tres sean varones. (Soluc: 0,097)

b) Ninguno sea varón. (Soluc: 0,15)

c) Al menos haya un varón. (Soluc: 0,84)

d) Al menos haya una mujer. (Soluc: 0,90)

18. En una clase hay 17 chicos y 18 chicas. Elegimos al azar dos alumnos/as de esa clase. Calcular laprobabilidad de que (se recomienda hacer un árbol):

a) Los dos sean chicos. (Soluc: 8/35)

b) Sean dos chicas. (Soluc: 98/35)

c) Sean un chico y una chica. (Soluc: 18/35)

19. Después de tirar muchas veces un modelo de chincheta, sabemos que la probabilidad deque una cualquiera caiga con la punta hacia arriba es 0,38. Si tiramos dos chinchetas,¿cuál será la probabilidad de que las dos caigan de distinta forma? (Soluc: 0,47)

20. En un centro escolar hay 1000 alumnos/as repartidos como indica la tabla adjunta. Se elige al azar uno deellos. Hallar la probabilidad de que:

a) Sea chico.

b) No use gafas.

c) Sea una chica con gafas.

d) No use gafas sabiendo que es chica.

CHICOS CHICAS

USAN GAFAS 147 135

NO USAN GAFAS

368 350


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e) Sea chica sabiendo que no usa gafas.

f) Use gafas sabiendo que es chica.

21. En una empresa hay 200 empleados, la mitad de cada sexo. Los fumadores son 40 hombres y 35mujeres. Si elegimos un empleado/a al azar, calcular la probabilidad de que sea hombre y no fume (Serecomienda hacer un árbol, como en el ejercicio anterior). Si sabemos que el elegido/a no fuma, ¿cuál esla probabilidad de que sea mujer?

22. Javier tiene en su bolsillo 4 monedas de cinco céntimos, 3 de 20 céntimos y 2 de 50 céntimos. Saca dosmonedas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos (se recomienda hacer un árbol):

a) Que las dos sean de 5 céntimos. (Soluc: 1/6)

b) Que ninguna sea de 50 céntimos. (Soluc: 2/3)

c) Que sumen 70 céntimos. (Soluc: 1/6)

23. En una bolsa hay 4 bolas, dos de ellas marcadas con un 1 y las otras dos con un 2. Se hacen tresextracciones. Calcular la probabilidad de que el número formado por las tres bolas, y en el orden deextracción, sea el 121, suponiendo que:

a) La bola se reintegra a la bolsa. (Soluc: 1/8)

b) La bola no se devuelve a la bolsa. (Soluc: 1/6)

24. Un jugador de baloncesto suele acertar el 75 % de los tiros libres. Supongamos que si acierta el primertiro, puede tirar de nuevo. Calcular la probabilidad de que haga dos puntos, de que haga un punto, y deque no anote ningún punto. (Soluc: 9/16; 3/16; 1/4)


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cientÍfico tecnolÓgico...

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