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ColegioEl Valle Sanchinarro

Dpto. CienciasAsignatura: FQ 1ºBach

Ficha teóricaMovimiento circular

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DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO CIRCULARLo mismo que los anteriores movimientos, el circular puede describirse con las coordenadas

cartesianas (x,y) y con las coordenadas polares (r,); cualquier movimiento salvo los de las partículas elementales, que se describen con la mecánica estadística.

Además de las dos formas anteriores de descripción (polares y cartesianas), el movimiento circular permite una tercera debido a su carácter periódico, para lo cual hemos de definir nuevas magnitudes relativas o que poseen este carácter periódico.

Recordemos que describir movimiento es construir expresiones que nos permitan conocer (calcular) la posición del cuerpo en movimiento (móvil) y su velocidad, ambas en función del tiempo. A continuación construiremos las expresiones matemáticas que nos describen el movimiento circular, y nos apoyaremos en la geometría.

Además del detalle de la geometría, hay otra cuestión fundamental en la que se apoya toda la matemática y por tanto toda la física. Se trata del modo en que se comienzan a construir las expresiones algebraicas o matemáticas. Siempre se eligen valores fijos a partir de los cuales se construye todo. Para empezar, lo más básico es un sistema de referencia desde el que tomar medidas, que asigna valores constantes a las magnitudes fundamentales, el tiempo y la distancias. Pero aparte de esto hemos de buscar valores fijos de las magnitudes que construimos, por ejemplo la velocidad, que es típica. Y no perdamos de vista que la velocidad puede cambiar, pero en algunas ocasiones puede ser fija, y eso es lo que aprovechamos para construir las expresiones del MRU.

Hasta ahora nos hemos acostumbrado a partir de la velocidad lineal para describir los

movimientos. En el MC, la sigue siendo la variación de la distancia a lo largo de la trayectoria de con respecto al tiempo. En este caso la trayectoria es una circunferencia. La distancia recorrida será la longitud de la circunferencia; sería como “desatar” la circunferencia y “estirarla” para obtener una trayectoria recta.

Pero no usábamos la porque sí, sino porque se mantenía constante, al menos en algunos casos. No perdamos de vista que es un vector, por lo tanto si se dice que es constante, serán constantes tanto módulo como dirección.

En este momento, en el que estamos a punto de arrancar en la descripción, es interesante avisar que hay muchos modos de encarar el desarrollo de la descripción del MC. Nos hemos decantado por el de construir expresiones a partir de magnitudes que, al menos en algunas ocasiones, se mantienen constantes. Realmente es el modo más “natural” ,en realidad el más ortodoxo o formal en física.

En el MC, la velocidad (lineal), , es constante únicamente en módulo, su dirección no para de cambiar, por tanto no nos sirve para construir expresiones. Sin embargo, aparecerá en ellas, como veremos.

Lo que sí puede ser constante es la variación del ángulo con respecto al tiempo, y surge de modo natural una nueva magnitud (vectorial), la que relaciona la variación del ángulo con la

variación del tiempo, la velocidad angular, (omega) :

(E.3)

Aunque en ocasiones varíe, en otras permanece constante, por lo que podemos utilizar para describir dicho MC. También utilizamos el radio como valor importante en la descripción del MC, pues también se mantiene constante en ocasiones.

La dirección de esta nueva magnitud será el eje Z, es decir, perpendicular al plano XY. Pero no tiene porqué ser así. Cuando ese ángulo no es 90 o /2 rad, se trataría igual, pero sería más complicado, y se aleja de nuestros objetivos en 1 Bach.

A lo largo de toda la historia , desde los orígenes , las matemáticas se han desarrollado apoyándose en lo que actualmente son dos de sus ramas, el cálculo o análisis y la geometría. Y cada una de estas ramas se apoya en la otra para comprobar y consolidar sus contenidos.




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El ángulo es una magnitud vectorial

Obsérvese que tanto la velocidad angular como el ángulo llevan el vector que indica que son magnitudes vectoriales.

Al definir la velocidad angular podríamos plantearnos si el ángulo o el espacio angular es una magnitud vectorial o no. No lo dudemos, lo es. ¿Y qué sentido tiene que lo sea?¿dónde está el vector? En el sentido en que se describe el arco de circunferencia que representa el ángulo. La referencia, el origen de

ángulos es el semieje +OX. En una figura posterior veremos que el ángulo, se representa con un arco que comienza en el eje +OX y acaba en el otro lado o semirrecta que define el ángulo, y esto se consigue

representándolo con una flecha al final del arco. Como veremos, el ángulo , también se puede expresar en función de las coordenadas cartesianas.

Pensemos en un eje que giramos nosotros mismos según nuestro gusto, unido a un disco, o en una peonza con un pequeño eje que hacemos girar al soltar. De otro modo, si no fuera vectorial el ángulo, ¿cómo diferenciaríamos que las ruedas de un coche girasen en un sentido u otro y así nos llevasen hacia delante o hacia atrás? O las propias manecillas del reloj, que giran a derechas marcando el sentido del tiempo, también pueden hacerlo en sentido contrario…¡y nos llevarían atrás en el tiempo!

Para acabar la descripción del MC con magnitudes angulares, anotemos la expresión para la velocidad angular en función de las coordenadas cartesianas:

La aceleración angular, en el caso de tratarse de un MCUA, se obtendría al derivar la expresión anterior:

Observemos que en las magnitudes angulares aparece el ángulo , y no el , porque hemos de diferenciar entre el ángulo del eje de giro y el ángulo que avanza la partícula móvil o el vector posición, llamado a veces radio vector.

Otro detalle importante es que la aceleración angular puede variar en módulo o en dirección, de modo que estaremos ante otros dos posibles movimientos: aquel en que cambia solo de módulo pero no de dirección ,aquel en el que no cambia de módulo pero no de dirección, y aquel en que cambia de módulo y dirección. Son cuestiones que no entran dentro de lo que ahora nos interesa.

En estas dos figuras hemos aprovechado para adelantar el criterio de signos para el giro. Se trata de una regla muy práctica y sencilla, “la regla del sacacorchos”: si el giro hace que el sacacorchos entre, el signo es negativo, y si sale, el signo es positivo. Por tanto, el peón gira en sentido negativo y el disco en sentido positivo. También podemos tomar como referencia el giro de las manecillas del reloj: si coincide, se habla de giro dextrógiro, y el signo es negativo, de lo contrario, se habla de giro levógiro, y se le asigna signo negativo.Se observa que considerar el eje de giro, el eje en el que se modifica el ángulo, es fundamental para entender el movimiento circular.

NOTA: Movimiento circular y movimiento de rotaciónEl movimiento de rotación se define como el movimiento de un sólido alrededor de un eje de giro. Por ejemplo un disco de

música o la propia Tierra.La diferencia entre MC y M de rotación estriba en que el MC se ocupa de una sola partícula o punto móvil, mientras que la

rotación se ocupa de todos los puntos del sólido. Ambos movimientos se caracterizan por la velocidad angular, (también llamada frecuencia angular o pulsación) que es igual para todos los puntos del sólido, sin embargo cada uno de ellos poseerá una velocidad lineal dependiendo de su distancia al eje de giro. Con estas ideas, hemos de entender que el vector posición es perpendicular a la velocidad lineal, y el plano que definen ambos vectores es perpendicular al eje de giro, directamente relacionado con la velocidad angular, que lleva su dirección.

Lo mismo que entendemos que la v lineal se imprime o ejerce sobre un móvil en una dirección definida por el vector que la expresa, así también hemos de intuir y entender que la velocidad angular se ejerce en la dirección del eje de giro. Basta unir un disco o cualquier objeto a un eje y comenzar a girar para sentirlo. Podemos aumentar o reducir la velocidad angular o de giro, o incluso cambiar la dirección del eje de giro. Un palillo que pincha una goma o un trozo de tortilla de patata o un mazapán. Hazlo girar y siente, entiende la velocidad angular.

OX

OY

r

A(x1,y1)

B(x2,y2)

OX

OY




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Hemos aprovechado para introducir un guiño a las unidades angulares. En el caso del ángulo no hemos especificado unidades porque puede ir en cualquiera. Por otra parte, este esquema sugiere que la

velocidad angular, , se puede poner en función de dos componentes, uno en cada dirección de los ejes de coordenadas. Es el mundo vectorial, al que no hemos de tenerle miedo, sino dejarnos llevar y tomarlo como natural y necesario:

(E.4).Otro detalle. El punto donde hemos colocado el centro de coordenadas: solo responde a la claridad, cualquier otro en la

dirección de giro, (de la dirección de ) hubiera servido.

Desarrollo de las expresiones matemáticas que describen el MC en función del espacio angular, desde la perspectiva angular

Supongamos que la variación del ángulo es

constante con respecto al tiempo, es decir, la es constante:

(E.5)

Donde aprovechando que puede ser constante, construimos una expresión a su alrededor y obtenemos el ángulo en función de

dicha . Tal y como hemos dibujado la circunferencia, se

debe cumplir para que sea cte.Podría decirse que ya hemos acabado, pues

ya tenemos el valor del ángulo en función de la velocidad angular, lo mismo que en el MR. Sabiendo la velocidad angular y el tiempo trascurrido, podríamos trazar la semirrecta correspondiente, y dependiendo del valor del radio, que también tendríamos que saber, deduciríamos la posición del móvil en la trayectoria circular. Sin embargo, aunque no siendo demasiado sencillo, podemos medir la velocidad angular, sigamos buscando expresiones que impliquen magnitudes más sencillas de medir y más manejables.

Expresiones matemáticas que describen el MC en función de las coordenadas cartesianas

Sin embargo el MC es más complejo que el MR, sencillamente porque además de la

velocidad angular, también existe una velocidad lineal, que precisamente depende del tamaño de la circunferencia. Para desarrollar la velocidad lineal partimos, como siempre, de los




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vectores posición, que tienen la forma: .Cualquier punto de la trayectoria definida por la circunferencia queda determinado, descrito, por las dos coordenadas, (x,y).

En el movimiento rectilíneo expresábamos las coordenadas (x,y) en función del tiempo partiendo del valor de velocidad constante, como queda registrado en la expresión E.2., y con ella el movimiento quedaba descrito.

Sin embargo, en el movimiento circular no podemos construir estas expresiones con la velocidad lineal porque no es constante debido a su cambio constante de dirección. Hemos de basarnos en la velocidad angular, es decir, hemos de buscar las expresiones para las coordenadas cartesianas partiendo de magnitudes angulares.

Se nos ocurre pensar también en la ecuación de una circunferencia que determina las

coordenadas relacionándolas con un valor constante, el radio: . Sabiendo radio y dando valor a una de ellas, deducimos la otra.

La expresión anterior es la ecuación de la trayectoria, una ecuación muy importante en cualquier movimiento, sin embargo no sabemos nada del tiempo. En el MR la trayectoria estaba implícita en el vector posición en función del tiempo (revisar E.2.). En el MC la trayectoria es, digamos, constante: por mucho tiempo que pase, siempre es una circunferencia. Sin embargo, esta certeza no nos informa de la posición en un instante dado, pues no conocemos cómo dependen del tiempo las coordenadas del móvil.

Un modo de relacionar las coordenadas con el tiempo es construir expresiones que las impliquen a ellas y al tiempo.

Al pensar en como van progresando los puntos de la trayectoria por donde pasa el móvil, se observa que las razones entre coordenadas y el valor constante del radio cambian. De este modo, una vez más, y como siempre en física, nos basamos en un valor constante para construir y desarrollar expresiones matemáticas. Y estas razones se relacionan con el ángulo. Esto se ha tratado con profundidad en el archivo FT.Trigonometría.Apunte, en el que queda clara la relación de dichas razones y el ángulo. El ángulo es una nueva magnitud del MC, y la estamos aprovechando para describirlo, como ya anunciábamos al principio de este archivo.

Por tanto, a pesar de la mayor complejidad del MC, en este movimiento disponemos de otra variable que también depende del tiempo y que podemos emplear para construir expresiones que lo describan, el ángulo. Es el momento en que se funden las coordenadas angulares con las coordenadas cartesianas (lineales), mediante la ayuda de la trigonometría.

(E.6)Con estas expresiones, deducidas por análisis y geometría, se consigue también, expresar

una de las características esenciales del MC, la de que los valores de las coordenadas de los puntos varían entre –r y + r, pues las razones trigonométricas seno y coseno varían entre +1 y -1. Luego basta multiplicar dichas funciones por el valor del radio de la circunferencia en cuestión y obtenemos las expresiones para las coordenadas del punto o para las componentes del vector posición.

UN APUNTE MATEMÁTICO APROVECHANDO LA COYUNTURATeniendo en cuenta estos nuevos valores de las coordenadas en función del ángulo, vamos a

desarrollar con ellas la expresión de la circunferencia en función del ángulo:

De este modo, conseguimos dos formas de expresar una circunferencia:

o en coordenadas cartesianas:




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o en coordenadas angulares :

Sin embargo aún no hemos conseguido expresiones en función del tiempo (de forma explícita) para las coordenadas. Hemos de seguir construyendo, desarrollando la expresión anterior para el ángulo hasta obtener una expresión que dependa del tiempo:=f(t)

Movimiento circular uniformeVamos a desarrollarlo para el movimiento circular más sencillo, el MC uniforme. Debe

quedar claro que la palabra uniforme en el MC se refiere a la constancia de la velocidad angular, no de la lineal. Por supuesto que también tenemos el MCUA, y lo podemos ver en las siguientes dos figuras (tomadas de la página cnice)

MCU MCUA

Teniendo en cuenta la expresión , si la es constante y el vector posición posee módulo constante, r, aunque no su dirección, a la velocidad le ocurre lo mismo: su módulo es constante, pero no su dirección.

Por otra parte, si el módulo de la velocidad es constante, se deduce que la aceleración tangencial es nula, con lo cual toda la aceleración en este tipo de movimiento es centrípeta. Lo vemos deducido con expresiones matemáticas:

Y si los módulos de la velocidad lineal y del módulo del vector posición son constantes, también se deduce que la aceleración centrípeta (el único componente de la aceleración, pues la tangencial es nula al ser constante el módulo de la velocidad lineal), es constante en módulo, como se demuestra observando la siguiente expresión:

(E.8)Aunque no en dirección, pues tanto el vector posición como la aceleración (centrípeta)

varían constantemente, y como veremos demostrado matemáticamente más adelante, actúan siempre en la misma dirección, pero en sentido contrario.

Por lo tanto el MCU se caracteriza por constante y y constantes en módulo.A partir de la definición de la velocidad angular deducimos las expresiones del ángulo en

función del tiempo:

(E.5)De este modo podemos sustituir en la expresión del vector posición:

(E.9)Y el módulo del vector posición será el radio, pues se cumple que sen2+cos2=1

Esto se ve bastante bien en el archivo FT.L=2pierre.




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Llegamos a otro punto del desarrollo donde aparece la velocidad angular y un valor inicial del ángulo que puede ser nulo si partimos de la semirrecta positiva del eje OX o no.

Esta expresión es muy interesante porque nos permite obtener la velocidad y la aceleración lineales por derivación:

(E.10)El módulo será: v=r, pues cos2+sen2=1.Y el módulo quedará: Nota: Recordemos que estamos operando con tres vectores, y además, estos vectores son perpendiculares entre sí, como los tres vectores unitarios en las tres direcciones del espacio. Anotamos esto porque sabemos que la velocidad lineal también era el producto vectorial del vector posición por el vector velocidad angular, y para comprobar esto, es necesario contemplar en los cálculos las tres direcciones del espacio:

Si el vector posición es , entonces se encuentra en el plano XY y la velocidad angular se desarrolla perpendicularmente, por tanto en la dirección del eje OZ, cuyo vector

unitario es , entonces el producto vectorial entre ambos será:

, a donde hemos llegado sabiendo

que Y este valor es un vector perpendicular al vector posición y a la velocidad

angular (por propia definición de producto vectorial) que solo puede ser la velocidad lineal. Esto es

precisamente lo que buscábamos demostrar, pues nos ha dado el mismo resultado que al derivar el vector

posición E.10.

Derivando la velocidad lineal obtenemos una expresión que relacionaremos con la aceleración angular:

(E.11)

El módulo de la aceleración queda: a=r2 porque cos2+sen2=1.Observando el vector posición y el vector aceleración, deducimos la expresión:

(E.12)De donde se deduce que el vector posición y el vector aceleración poseen la misma

dirección, pues el segundo término es el producto de un escalar, r2, por el vector posición. Expresado con una ecuación, y aprovechando para relacionar ambos vectores y sus módulos, comprobamos de nuevo lo ya deducido en cuanto a estos últimos:




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CONCLUSIÓNES

Antes de anotar la reflexión sobre las direcciones de estos vectores, es de agradecer un esquema con los vectores protagonistas. El vector velocidad viene hacia

nosotros, es perpendicular al plano del folio.

En esta expresión se ve algo muy interesante: la dirección de la aceleración es justamente la misma que la del vector posición (cuyo módulo es el radio), pero con

sentido contrario. Concuerda justamente con lo que ya sabíamos, pues en el MCU la aceleración solo tiene componente centrípeta, y la dirección de esta componente está marcada por la línea que une el punto móvil con el centro, la dirección radial. Analicemos los valores de los vectores posición y velocidad para algunos ángulos, de modo que

entendamos mejor el significado de estas expresiones y del propio desarrollo del movimiento circular. La velocidad ha quedado definida con los vectores unitarios i y j, de modo que se encuentra el plano XY. Esto mismo le ocurre al vector posición. Veamos en qué quedan los vectores posición y velocidad para los ángulos 0 y 180.

Cuando =0, los vectores posición y velocidad quedan:

Cuando =180, los vectores posición y velocidad quedan:

Interesante es considerar el caso de que el MC no fuera uniforme, es decir, que la no fuera constante, pero en módulo, (vamos a dejar el caso de que cambiase su dirección, pues eso sería un movimiento complicado, como el de un plato girando en el extremo de una varilla que sujeta un

malabarista). Para razonar sobre ello hemos de tener presente la expresión . Inmediatamente se nos ocurre pensar que el módulo del vector posición (¡el radio!) puede mantenerse constante o no. Si varía, estamos en casos más complicados. Veamos el caso de que se

mantiene constante. Si varía el módulo de y el de se mantiene constante, necesariamente

varía el módulo de la velocidad lineal, . Por tanto, existirá componente tangencial de la

aceleración además de la necesaria componente centrípeta (sin no habría MC, sino MR). Así, si

en el MCU la aceleración era , en el MCNU queda . Deducción de la expresión para hallar el módulo de la componente centrípeta de la aceleración

lineal. Sabemos que . Si los tres vectores son perpendiculares entre sí, entonces:

Teniendo en cuenta que el módulo de la v lineal es v=r, y que a=r2 deducimos que para el MCU se deduce la expresión del módulo de la aceleración para el MCU, que será el módulo de la aceleración centrípeta, porque en este movimiento la componente tangencial es nula:




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La expresión que nos da el módulo de la , E.8, también es muy interesante para sacar conclusiones. Si v, el módulo de la velocidad lineal varía, y r, el módulo del vector posición no

lo hace, entonces, por la expresión también varía el módulo de la componente centrípeta de la aceleración. Sin embargo, la relación entre ambos módulos es una constante, el módulo del vector posición o el radio:, por tanto, la relación de módulos se mantiene constante. Esto se interpreta (entre otros) del siguiente modo. La variación (aumento o disminución) del módulo de la velocidad lineal debido a la componente tangencial de la aceleración se compensa con la variación del módulo de la componente centrípeta para que el radio siga manteniéndose constante.

Las expresiones para el MCUA son análogas a las del MCUA

Lo mismo que obtuvimos las expresiones para movimiento rectilíneo ocurre lo mismo para el movimiento circular. Para el movimiento circular uniforme, el más sencillo, y por ello comenzamos estudiando el MC con él, las expresiones quedan:

A partir de ello podemos derivar y obtener la velocidad angular y con la derivada segunda la aceleración angular. Como intuimos, ya estamos hablando del MCUA, para el que las expresiones quedan análogas al del MRUA:

Al sustituir estas expresiones de variables angulares en las expresiones para las coordenadas x e y, obtendremos la descripción completa de ambos movimientos circulares.

No obstante, queda un detalle muy importante: entender la velocidad angular y construir una expresión para calcularla.

El carácter periódico del movimiento circularHasta ahora hemos estudiado movimientos donde la partícula en movimiento o móvil no

volvía a ocupar la misma posición después de pasar una vez por ella. Quizá se nos ocurra pensar que en el lanzamiento vertical hacia arriba y la posterior caída libre la partícula pasaba dos veces por la misma posición, pero no es así, pues se trata de una secuencia de dos movimientos independientes. De todos modos, solo serían dos los instantes en que la partícula ocuparía la misma posición, y en el circular la partícula ocupa una misma posición muchas veces en el tiempo.

Sin embargo, existen muchos movimientos (¡e incluso procesos!) que se repiten una y otra vez a lo largo del tiempo, y reciben el nombre de movimientos (o procesos) periódicos. Todos ellos se pueden englobar en tres grupos, cada uno de ellos con matices diferentes, pero que comparten esa repetición de posiciones como algo característico y definitorio: movimientos vibratorios, movimientos curvilíneos y movimientos ondulatorios. La diferencia más inmediata y fácil de observar entre ellos radica en sus trayectorias. Los movimientos vibratorios poseen trayectorias rectas, los curvilíneos muestran trayectorias definidas por líneas curvas, más o menos regulares (circunferencias, elipses, o líneas curvas con varios centros de curvatura), que se cierran sobre sí mismas, y los movimientos ondulatorios mantienen una coordenada vibrando mientras que la otra no se repite, aumenta constantemente.




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Aprovechando el carácter periódico, vamos a definir magnitudes nuevas relacionadas con la periodicidad, para describir el movimiento circular. Las desarrollaremos razonando su utilidad: Si un móvil o el punto que le representa repite su posición cada cierto tiempo, será interesante

conocer este tiempo. En concreto, llamaremos periodo, T, al tiempo empleado en dar una vuelta o en que el ángulo varía o barre 2 radianes o 360.

Por otra parte, también parece interesante saber cuantas vueltas se dan en la unidad de tiempo o cuantas veces el móvil ocupa la misma posición, generalmente en 1s. A este valor le llamamos frecuencia, y se simboliza con la letra griega “nu”, , que se mide en s-1. o hertzios, Hz en honor al científico alemán Hertz.

Si , en un t igual al periodo, dará una vuelta, luego: . Es decir, frecuencia y periodo son magnitudes inversas.

También deducimos el valor del módulo de la componente centrípeta de la aceleración:

RELACIONES ENTRE MAGNITUDES PERIÓDICAS, VECTORIALES Y LINEALESNo vamos a quedarnos aquí, vamos a aprovechar estas magnitudes para relacionarlas con el resto de magnitudes, con las angulares y las lineales, para desarrollar nuevas expresiones que nos faciliten la descripción de la posición y la velocidad de un móvil que describe una trayectoria circular. Sabiendo que una vuelta completa mide 2r unidades de longitud y que la expresión de la

velocidad angular es , podremos obtener el módulo de la velocidad angular relacionando un valor de espacio angular con el tiempo empleado en recorrerlo, por ejemplo el espacio angular correspondiente a una vuelta (dado en radianes, por ejemplo) es 2, y el tiempo empleado será precisamente el periodo, luego damos con una nueva expresión para hallar el módulo de la

velocidad angular:

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