Definiciones, Teoremas, Ejemplos y Problemas de: C_22.Anlisis Vectorial.2.1.Introduccin.Las cantidades del modelo electromagntico (carga, corriente y energa) son escalares, otras como la intensidad del campo elctrico y magntico son vectoriales. Ambas pueden ser funciones del tiempo y de la posicin.En un instante y posicin determinados, un escalar est definido por su magnitud (positiva o negativa, y su unidad). De esta manera se puede especificar una carga de en cierta posicin y en .Las cantidades escalares o vectores su especificacin en un instante y posicin dados necesita una magnitud y una direccin.La especificacin de la direccin de un vector en el espacio tridimensional requiere de tres nmeros, los cuales dependen del sistema coordenado que se elija.Las leyes y teoremas fsicos que relacionan diversas cantidades escalares y vectoriales son independientes del sistema de coordenadas Las expresiones generales de las leyes del electromagnetismo no requieren la especificacin de un sistema de coordenadas,La eleccin del sistema coordenado depende de la geometra del problema por analizar. La relacin electromagntica que establece la solucin del problema es la misma para cada geometra.Como la mayora de las cantidades electromagnticas son vectores, se deben de ejecutar fcilmente las operaciones de suma, resta y multiplicacin de vectores.Para obtener resultados especficos en el espacio tridimensional se debe elegir un sistema de coordenadas apropiado. Por lo que se analizaran los sistemas coordenados cartesiano, cilndrico y esfrico. As se ver cmo expresar un vector en esos sistemas y como hacer transformaciones de un sistema coordenado a otro.Con ciertos operadores diferenciales se pueden expresar los postulados fundamentales y frmulas de electromagnetismo de manera clara y general. Se analizar la importancia del gradiente, la divergencia y el rotacional. Tambin se demostraran los teoremas de la divergencia y de Stokes.Se trataran tres temas principales;1. Algebra vectorial: suma, resta y multiplicacin de vectores.2. Sistemas de coordenadas: cartesianas, cilndricas y esfricas.3. Clculo vectorial: derivacin e integracin de vectores; el gradiente, la divergencia y el rotacional.

2.2.Suma y resta de vectores.

Como un vector se especifica por su magnitud y direccin. Entonces el vector se especifica como

Donde es la magnitud (tiene la unidad y dimensin) de

Lo cual es un escalar.

Es un vector de magnitud unitaria (llamado vector unitario) y sin dimensiones que especifica la direccin de .Determinacin del vector unitario.El vector unitario de un vector se determina dividiendo al vector entre su magnitud

El vector se representa grficamente como un segmento dirigido de una lnea recta con magnitud con la punta de la flecha apuntando en la direccin de . Ver la figura siguiente.

Dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud y la misma direccin.

Para denotar a un vector es conveniente usar una flecha sobre una letra para distinguirlo de un escalar como es su magnitud.

Dos vectores y que no tienen la misma direccin como los de la figura siguiente, determinan un plano. Su suma da como resultado otro vector en el mismo plano. Ver la figura siguiente.

Dos vectores y que no tienen la misma direccin como los de la figura siguiente, determinan un plano. Su suma da como resultado otro vector en el mismo plano. Ver la figura siguiente.

La suma se puede obtener de manera grfica de dos maneras.1. Por la regla del paralelogramo,

El vector resultante es el vector diagonal del paralelogramo formada por y trazados desde un punto comun, como se muestra en la figura siguiente.

2. Por la regla de punta y cola.

Se procede como sigue: La punta del vector se coloca en la cola del vector . La suma es el vector trazado desde la cola de a la punta de . De esta forma los vectoras , , y forma un tringulo. Ver la figura siguiente.

La resta de dos vectores y , se define como sigue

y grficamente se puede efectuar por los dos mtodos mencionados anteriormente. Ver la figura siguiente

Dos vectores y

Por el mtodo del paralelogramo.

resultante es el vector diagonal del paralelogramo formad por y trazados desde un punto comun, como se muestra en la figura siguiente.

Por el mtodo de punta y cola.

El vector el el vector trazado desde la cola de hacila punta de , como se muestra en la figura siguiente.

2.3. Multiplicacin de vectores.2.3.1. Multiplicacin de un vector por un escalar.

La multiplicacin de un vector por un escalar incrementa la magnitud del vector veces s ; si la reduce veces y se define como

2.3.2. Producto punto o escalar.

El producto punto o producto escalar de dos vectores y da como resultado un escalar y se define como:

A partir de esta definicin se tiene1.

2.

3.

4. (los dos vectores son paralelos)5. (los dos vectores son perpendiculares entre s)6. El producto punto e es igual al producto de la magnitud de un vector y la proyeccin del otro vector sobre el primer vector.Ver la figura siguiente:

El producto punto o escalar de dos vectores es conmutativo.

Por la condicin de paralelismo, se tiene

O bien

Esta ecuacin permite determinar la magnitud de un vector sin importar el sistema de coordenadas en que se exprese el vector.Ejemplo 2.1.Mediante vectores demostrar la ley de los cosenos en un tringulo.Solucin.La ley de los cosenos es una relacin escalar que establece la longitud de un lado de un tringulo no rectngulo, en trminos de sus otros lados y del ngulo que existe entre ellos. La ley se expresa como

Lo anterior se demuestra considerando a los lados del tringulo como vectores:

Ver la figura siguiente

La magnitud de se obtiene aplicando la ecuacin , como sigue

Como es el ngulo ms pequeo entre los vectores y y . Entonces

De donde

La cual es la ley de los cosenos. En este ejemplo no fue necesario especificar ningn sistema coordenado.2.3.3. Producto cruz o producto vectorial

El producto cruz o producto vectorial de dos vectores y , denotado por , (A cruz B) y definido como

Donde es el ngulo ms pequeo entre los vectores y y .

es un vector unitario normal (perpendicular) al plano que contiene a los vectores y . Su direccin sigue la direccin del dedo pulgar de la mano derecha cuando los dedos giran de a siguiendo la direccin del ngulo . Ver la figura siguiente.

De la figura se puede notar que es la altura del paralelogramo formado por los vectores y .

Tambin se nota que la cantidad , no negativa, numricamente es igual al rea del paralelogramo.

Por lo tanto, se tiene que el producto cruz da como resultado otro vector con direccin se obtiene por la regla de la mano derecha, y cuya magnitud es igual al rea del paralelogramo formado por los vectores y .El producto cruz no es conmutativo, la inversin del orden de los factores afecta a la direccin del vector resultante.

2.3.4. Triple producto de vectores.Se tienen los tipos siguientes del triple producto de vectores.Triple producto escalar.

Dados los vectores , el triple producto escalar de los vectores se define como

Donde y es igual al rea del paralelogramo formado por los vectores .

es un vector unitario que indica la direccin de y es normal al plano formado por dichos vectores. Ver la figura siguiente.

El producto cruz tiene como magnitud la cual es igual al rea del paralelogramo que forman los lados y . Por lo tanto el triple producto escalar es

En esta ecuacin es un escalar cuyo valor es la proyeccin del vector en la direccin del vector unitario . Por lo tanto, es igual a la altura del paraleleppedo formado por los vectores . Por lo que el triple producto escalar es igual al volumen del paralelepipedo.Triple producto vectorial.Es el producto cruz de una vector con el resultado del producto cruz de otros dos vectores. Lo cual se expresa como:

Definiendo el producto

Ejemplo 2.2.

Dados los vectores y , demostrar la relacin de los triples productos escalares:

Solucin.

El primer producto escalar es igual al volumen del paralelepipedo formado por los tres vectores y .

El segundo producto escalar es

Donde

es el vector unitario en la direccin del producto cruz

es la magnitud del producto cruz

Si se considera al paraleleppedo formado por los vectores y , con una base cuya rea es y de altura dada por , entonces su volumen ser igual , el cual es idntico al volumen dado por . Por lo tanto

Si se continua con el mismo razonamiento con el tercer triple producto escalar , se tiene que produce el mis volumen que los dos casos anteriores y se tiene que se cumple la relacin

Preguntas de repaso.1. En qu condiciones puede ser negativo el producto punto de dos vectores?2.

Expresar los resultados de y sia.

b.

3.

Explicar si es lo mismo que 4.

Dados dos vectores y , Cmo calcular?a.

La componente de en la direccin de b.

La componente de en la direccin de 5.

implica que ? Explicar.6.

implica que ? Explicar

2.4. Sistemas de coordenadas ortogonales.2.4.1. Introduccin.Se ha establecido que las leyes del electromagnetismo son independientes del sistema de coordenadas. Pero para la resolucin de problemas requiere que las expresiones derivadas de las leyes se expresen en sistema coordenado adecuado a la geometra del problema.Por ejemplo, para determina r el camp o elctrico en cierto punto del espacio es necesario especificar la posicin del punto en relacin a un sistema coordenado.En un espacio tridimensional el punto se puede localizar en la interseccin de tres superficies. Ver las figuras siguientes

En esta figura se muestran las tres superficies ortogonales.En la figura siguiente se muestra la interseccin de las tres superficies, la cual determina la posicin del punto dado.Si las tres superficies son ortogonales entonces se tiene un sistema coordenado ortogonal.

Los tres sistemas coordenados ortogonales ms comunes son:1. El sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas.2. El sistema de coordenadas cilndricas.3. El sistema de coordenadas esfricas.

2.4.2. Sistema de coordenadas rectangulares.

Un punto cualquiera dado en coordenadas rectangulares o cartesianas, se determina por la interseccin de tres planos ortogonales especificados por , y como se ve en la figura siguiente.

De donde se tiene .

Un punto en particular ubicado en la interseccin de los tres planos ortogonales indicados por , y , se denota como

En el origen del sistema o en el punto dado se tienen tres vectores unitarios y llamados vectores base, los cuales indican la direccin de las tres coordenadas. Como se ve en la figura siguiente

Por ser ortogonales los tres vectores base, se tienen las porpiedades siguientes

De igual manera, por ser ortogonales los vectores base se tiene las relaciones siguientes:

El vector de posicin de un punto es un vector trazado desde el origen hasta el punto , con componentes y

Un vector con componentes escalares y se expresa como sigue

Ver la figura siguiente

La expresin de la diferencial de una longitud vectorial es:

La diferencial de volumen vectorial est dada por

El producto punto de un vector con otro vector , est dado por:

El producto cruz de los dos vectores definido por

Ejemplo 2.3.

Dado un vector . Determinara. Su magnitud b. Su vector unitario c. El ngulo que forma el vector con el eje Solucina.

De acuerdo con las ecuaciones y se tiene

b. El vector unitario del vector est dado por

c. Para determinar el ngulo se efecta el producto punto del vector dado con el vector unitario en la direccin del eje

De donde

Ejemplo 2.4.

Dados los vectores y . Calculara.

b.

c.

Solucin.a. A partir de la definicin del producto punto

b. De la definicin del producto cruz

Se tiene

c. El ngulo entre los vectores se puede determinar de acuerdo con la definicin del producto punto . De donde

Entonces

Ejemplo 2.5.

Dados los puntos y a.

Expresar en coordenadas cartesianas al vector que va desde el punto hasta el punto 0b. Determinar la longitud de la lnea c. Determinar la distancia perpendicular desde el origen hasta la lnea Solucin.Haciendo un bosquejo del problema.

a. De la figura se tiene que

b. La longitud de la lnea es

d.

De la figura se tiene que la distancia perpendicular desde el origen hasta la lnea es Donde

Por lo que se tiene

Ejercicio 2.4

Dado el vector , determinar.a. La magnitud de b. La expresin del vector unitario c.

Los ngulos que forma con los ejes Respuestas.a.

b.

c.

Ejercicio 2.5

En un sistema de coordenadas cartesianas, se tienen los puntos y . Determinara.

La longitud de la proyeccin del vector de posicin sobre el vector b. El rea del tringulo formado por los puntos Respuestasa. Longitud = 2.236b. rea del tringulo = 5.

2.4.3. Sistema de coordenadas cilndricas.

Las coordenadas cilndricas de un punto cualquiera en el espacio, est determinado por la interseccin de una superficie circular con base igual aun circulo de radio igual a , un semiplano con arista sobre el eje que forma con la parte positiva del eje un ngulo y un plano paralelo al plano para lelo al plano en . Ver la figura siguiente

Entonces de manera general las coordenadas del punto son

Entonces se tiene

De donde se establece que las coordenadas cilndricas del punto son:

El radio del circulo base del cilindro, es una distancia medida desde el origen del sistema a la circunferencia.

Al ngulo formado por la parte positiva del eje y la distancia radial .

La altura del punto ubicado sobre la superficie cilndrica con relacin al plano Ver la figura siguiente

Como se ve en la figura.

En el punto se tienen tres vectores unitarios, mutuamente ortogonales, que indican la direccin de las coordenadas. Los cuales son: .

El vector unitario es tangente a la superficie cilndrica.Por la condicin de ortogonalidad de los vectores base, se tienen las siguientes relaciones entre ellos

La expresin general de longitud diferencial vectorial en coordenadas cilndricas es la suma de los cambios de longitud diferenciales en las tres direcciones coordenadas.

La diferencial de volumen es igual al producto de los cambios diferenciales de longitud en las tres direcciones

El empleo de las coordenadas cilndricas es conveniente en el anlisis de corrientes, largas distribuciones lineales de carga y problemas con geometra cilndrica.Un vector en coordenadas cilndricas se expresa como:

Para expresar al vector dado en coordenadas cilndricas se emplea

Considerando la figura siguiente

Como

, por ser ortogonales, se tiene

De acuerdo con la figura anteriorSe tiene

Por lo tanto sustituyendo estas ecuaciones en

se tiene

Se procede de igual forma para determinar .

De la figura se tiene que

Y como

De donde se tiene que

En forma matricial estas relaciones se pueden expresar como

De la figura y las relaciones dadas se puede establecer una relacion de conversion de coordenadas cilindricas a coordenadas cartesianas.

Ejemplo 2.6.Se tiene un campo vectorial en coordenadas cilndricas expresado como

a. Cul es el campo en el punto ?b. Expresar el campo en coordenadas cartesianas.c. Expresar la situacin del punto en coordenadas cartesianas.

Solucin.a. En el punto

b. Aplicando la ecuacin , se tiene

De donde se tiene

c. Empleando las frmulas de conversin

Se tiene

d. e. f. m

Lo cual indica que la componente tangencial del campo sobre la superficie de un conductor es cero en condiciones estticas. Para determinar a . La componente normal de en la superficie del conductor, se construye una superficie gaussiana en forma de caja circular con la cara superior en el espacio libre y la inferior en el conductor donde . Empleando la ecuacin (3.6) se tiene

Problemas2.1

Un rombo es un paralelogramo equiltero. Denotar dos lados vecinos del rombo con los vectores y a.

Verificar que las diagonales del rombo sea y b. Demostrar que las diagonales son perpendiculares entre si.Solucin.

Denotando a las diagonales del rombo como

y , se tienea.

b.

Como , entonces

2.2

Si los tres lados de un rectngulo cualquiera se denotan con los vectores , y , unidos por punta y cola, donde es valida la ecuacin . Demostrar la ley de los senos.Solucin.

Relacin de magnitudes:

Por lo tanto, se tiene

(Ley de los senos)

2.3

Dados los tres vectores , y . Determinar a. b.

c.

d.

La componente de en la direccin de .e.

f.

La componente de en la direccin de .g.

h.

i.

y Solucion.a.

b.

c.

La componente de en la direccin de , se determina por el producto punto del vector con el vector unitario en la direccin del vector .

d.

e.

La componente de en la direccin de , lo cual se obtiene por

f.

g.

h.

y

2.4

Los vectores unitarios y , indican las direcciones de los vectores y en el plano y forman ngulos y con el eje respectivamente.a.

Obtener una frmula para determinar el coseno de la diferencia de dos angulos utilizando el producto escalar b. Obtener una frmula para el seno de la diferencia de dos angulos utilizando el producto vectorial Solucion.Planteando grficamente el problema

-----------------------

YDe donde

a.

b.

2.5 Los tres vrtices de un tringulo rectngulo estn en

, y .Solucin.a. Determinar cual de los vrtices corresponde al angulo recto.b. Determinar el rea del triangulo.Solucin.a. Expresando los lados del triangulo como vectores se tiene

Aplicando el producto punto a los lados se tiene

Por lo tanto el ngulo recto lo forman los lados que forman la esquina 1.b. El rea del trangulo esta dada por el producto cruz de los vectores que forman el angulo agudo del triangulo.

2.6

Dados dos puntos y , determinara. La longitud de la lnea que une a los dos puntos.b. La distancia perpendicular desde el punto hasta la lnea.Solucin.a. La distancia entre los puntos est dada por

b. La distancia perpendicular a la lnea est dada por la longitud del vector perpendicular a la lnea que pasa por el punto dado.El vector perpendicular es

El vector unitario en la direccin de la lnea es

Entonces se tiene

2.7 Dado el vector , determinara.

Un vector unitario tal que b.

Un vector unitario en el plano , tal que Solucion.a. Sea

Para que sea paralelo a se requiere que

Por lo tanto

Como es un vector unitario en la misma direccin de , entonces

Por lo que

Y se tiene

Y se cumple la relacin

Por lo tanto

Y se tiene b.

Un vector unitario en el plano , tal que Solucion.

Sea el vector buscada y definido por

, por encontrarse en el plano .Por ser un vector unitario, entonces

La condicin dada requiere que

La solucion de las ecuaciones

Resolviendo para

Sustituyendo en se tiene

Sustituyendo en la ecuacin se tiene

Son De donde

2.8

Descomponer el vector en dos componentes vectoriales y que sean respectivamente perpendicular y paralelo a otro vector Solucin.

Sea

Las condiciones dadas en el contexto del problema dan lugar a ciertas cuestiones.

De donde

De donde se tiene

2.9

La ecuacin describe al triple producto escalar de tres vectores . Se tiene otro tipo de triple producto; es el triple vectorial, definido como . Demostrar mediante coordenadas rectangulares, la rlacion siguiente:

Solucion.

2.10

Determinar la componente del vector en el punto que est dirigida al punto Solucin.Determinando los vectores de posicin de los puntos en el plano y en el espacio.

Como para el punto , , se tiene

Como el punto , est dado en coordenadas cilndricas se tiene

Entonces

2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 m