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Chapter 1

Presentación

Prof. José Luis GuijarroDpcho.:476Página web: www.mat.ucm.es/~jlguijar

1.1 Temario

1. Teoría de conjuntos

(a) Algebra de conjuntos: producto cartesiano

(b) Relaciones binarias: de equivalencia, conjunto cociente, y de orden

(c) Aplicaciones.

(d) Cardinal de un conjunto

2. Números

(a) Máximo común divisor. Algoritmo de Euclides

(b) Teorema fundamental de la aritmética

(c) Congruencias

3. Grupos

(a) De�nición de grupo y propiedades

(b) Ejemplos: congruencias, permutaciones, matrices, movimientos,el producto directo.

(c) Subgrupos

1

2 CHAPTER 1. PRESENTACIÓN

(d) Grupos cíclicos

(e) Teorema de Lagrange

(f) Subgrupos normales. Grupo cociente

(g) Homomor�smos de grupos

(h) Más ejemplos: el grupo de Rubik, el producto semidirecto

(i) Teoremas de isomorfía

(j) Teorema de clasi�cación de los grupos cíclicos

(k) Teorema de clasi�cación de los grupos abelianos �nitos

(l) Grupos abelianos �nitamente generados

4. Anillos

(a) De�nición de anillo y cuerpo; y propiedades

(b) Ejemplos

(c) Subanillos

(d) Ideales. Anillo cociente

(e) Homomor�smos de anillos

(f) Teoremas de isomorfía

(g) Cuerpo de fracciones de un anillo

(h) El anillo de polinomios en una variable K[X] : criterios de irre-ducibilidad y dominio de ideales principales

1.2 Bibliografía básica

1. Dorronsoro, Hernández �Números, grupos y anillos� Ed. Addison-Wesley 96

2. E. Bujalance, J. Etayo, J.M. Gamboa �Teoría elemental de grupos�Ed. UNED 2002

3. M.A. Goberna, M.Rodríguez �Álgebra y fundamentos. Una introduc-ción�Ed. Ariel Ciencia 2000

4. Artin. �Algebra� Ed. Prentice-Hall 91

1.3. BIBLIOGRAFÍA PARA PROBLEMAS 3

1.3 Bibliografía para problemas

1. Espada Bros "Problemas resueltos de álgebra" Ed. EDUNSA

2. Bigard, Crestey, Grappy "Problemes d�algebre generale" Dunod Uni-versité

3. Rivaud "Exercices d�algebre" Tomo1 Ed. Vuibert

4. Tauvel "Exercices d�algebre generale et d�arithmetique" Ed. Dunod

5. McCoy, Berger, "algebra: groups, rings, and other topics" Ed Allynand Bacon

6. Ayres Jr, "Theory and Problems of Modern Algebra" Ed. Schaum

4 CHAPTER 1. PRESENTACIÓN

Chapter 2

Ejercicios

2.1 Conjuntos

1. Determinar cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas paracualesquiera conjuntos A, B, C, D. Si una doble implicación falla, deter-minar si hay alguna implicación verdadera dando un contraejemplo encaso contrario. Si una igualdad falla, determinar si hay alguna inclusiónverdadera, dando un contraejemplo en caso contrario

(a) A � B () A�B = ;(b) A � B () A [B = B

(c) A � B () A \B = A

(d) A � C y B � C () (A [B) � C

(e) A � C o B � C () (A [B) � C

(f) A � C y B � C () (A \B) � C

(g) A � C o B � C () (A \B) � C

(h) A� (A�B) = B

(i) A� (B � A) = A�B

(j) A \ (B � C) = (A \B)� (A \ C)(k) A [ (B � C) = (A [B)� (A [ C)(l) (A \B) [ (A�B) = A

(m) A � C y B � D =) (A�B) � (C �D)

(n) lo contrario de m

(o) lo contrario de m, suponiendo que A y B son no vacíos

5

6 CHAPTER 2. EJERCICIOS

(p) (A�B) [ (C �D) = (A [ C)� (B [D)(q) (A�B) \ (C �D) = (A \ C)� (B \D)(r) A� (B � C) = (A�B)� (A� C)

(s) (A�B)� (C �D) = (A� C �B � C)� A�D

(t) (A�B)� (C �D) = (A� C)� (B �D)

2. Si A es un subconjunto de U, se de�ne el complementario Ac de A enU como Ac = U � A: Si A � U y B � U probar que

(A [B)c = Ac \Bc (A \B)c = Ac [Bc

3. Simpli�car

(a) (((A [B) [ C) \ A) \ (((B [ C) \ (Bc \ Cc)) [ A)(b) (((A [B)c \ Cc) \ (B [ (A [B)c)) [ ((A \B)c [ Ac)

4. Se de�ne la diferencia simétrica de dos conjuntos A y B como A�B =(A�B) [ (B � A) Probar:

(a) A�B = B�A

(b) A�B = (A [B)� (B \ A)(c) A�B = (A \Bc) [ (B \ Ac)(d) A�C � (A�B) [ (B�C):(e) Demostrar que se puede de�nir una distancia entre conjuntos �ni-

tos como el número de elementos de su diferencia simétrica

5. Sean A;B subconjuntos de un conjunto X: Se de�ne AuB � (A\B)c:Demostrar que Ac = AuA y que A\B = (AuB)u (AuB): Expresartambién A [B en función de u

6. Sea A un conjunto y P(A) el conjunto de las partes de A: ¿Puede serA 2 P(A)? ¿Puede ser A � P(A)? Demostrar que si A contiene nelementos entonces P(A) tiene 2n elementos

7. Sean A;B conjuntos. Comprobar si son ciertas las igualdades sigu-ientes:

P(A) \ P(B) = P(A \B)P(A) [ P(B) = P(A [B)

2.1. CONJUNTOS 7

8. Dado un conjunto U, se dice que una aplicación f : P(U) �! R esaditiva si satisface 8A;B � U que A \ B = ; =) f(A [ B) =f(A) + f(B): Probar que si f es aditiva, se veri�ca que f(;) = 0 yf(A[B) = f(A)+ f(B)� f(A\B) 8A;B � U: Si además f no tomavalores negativos, se dice que es una medida; en tal caso probar queA � B =) f(A) 5 f(B) 8A;B � U

9. Sea F una colección de conjuntos tal que

X; Y 2 F =) X � Y 2 FComprobar que si X; Y 2 F entonces X \ Y 2 F

10. Sea F una colección de conjuntos. De�nimos F0 = fX � Y = X; Y 2Fg: Demostrar que F0 � (F0)0: Dar un ejemplo que demuestre que esposible tener F0 6= (F0)0

11. En Z se de�ne aRb si y sólo si a2 = b2: Probar queR es de equivalenciae identi�car Z=R

12. Si n 2 N se de�ne en Z la relación aRb () a � b es múltiplo den. Probar que R es de equivalencia y dar un conjunto completo derepresentantes

13. Escribiendo Z� = Z�f0g; en Z� Z� se de�ne la relación (a; b)R(c; d)si y sólo si ad = bc. Probar que es de equivalencia e identi�car elcociente (Z� Z�)=R

14. Determinar los conjuntos cocientes de las relaciones de equivalenciasiguientes:

(a) en R2; (x; y)R(x0; y0) si y sólo si x2 + y2 = x02 + y02

(b) en R3; (x; y; z)R(x0; y0; z0) si y sólo si z = z�(c) en R3; (x; y; z)R(x0; y0; z0) si y sólo si x2 + y2 = x02 + y02

15. Sea R la relación de equivalencia de�nida en el conjunto M = R2 �f(0; 0)g por (a; b)R(c; d) () ad = bc

(a) Encontrar la clase de equivalencia de cada uno de los elementossiguientes: (�1; 0); (0; 1); (2;�1); (a; b)

(b) Sea S1 la circunferencia de radio 1 y centro el origen. Construiruna aplicación inyectiva entre el conjunto cociente M=R y S1


16. Demostrar que en (Z; �); (N; j); (P(A);�); son relaciones de orden

17. En el conjunto de los números complejos C; se de�ne la relación a+bi �c+ di si y sólo si a � c y b � d: Probar que es un orden parcial. Y si se

de�ne la relación a+ bi � c+ di si y sólo si�a < ca = c b � d

demostrar

que es de orden total (orden del diccionario)

18. Dado un conjunto N; se llama función característica del subconjuntoM � N a la aplicación siguiente:

�M : N �! R

a

�0 a =2M1 a 2M

Sea P otro subconjunto de N y f : N �! R la aplicación dada por

f(a) = �M(a) + �P (a)� �M(a) �P (a)

¿Es función característica de algún subconjunto de N ? ¿De cuál ?

19. Dada una aplicación f : A �! B probar

(a) f es inyectiva si y sólo si existe otra aplicación g : B �! A talque g � f = IA

(b) f es sobreyectiva si y sólo si existe otra aplicación h : B �! A talque f � h = IB

(c) f es biyectiva si y sólo si existe otra aplicación k : B �! A talque k � f = IA y f � k = IB

20. Dadas las aplicaciones f : A �! B y g : B �! C probar

(a) si f, g son inyectivas, g � f lo es(b) si f, g son sobreyectivas, g � f lo es(c) si f,g son biyectivas, g � f lo es(d) si g � f es inyectiva, f es inyectiva

(e) si g � f es sobreyectiva, g es sobre

(f) si g � f es inyectiva y f es sobreyectiva entonces g es inyectiva

(g) si f es biyectiva, f�1 también lo es

(h) si f y g son biyectivas entonces (g � f)�1 = f�1 � g�1

2.1. CONJUNTOS 9

21. Dada una aplicación f : X �! Y A;B � X C;D � Y estudiarcuándo se veri�can las siguientes igualdades

(a) f(A [B) = f(A) [ f(B)(b) f(A \B) = f(A) \ f(B)(c) f�1(f(A)) = A (si E � Y f�1(E) se de�ne como f�1(E) =

fx 2 X = f(x) 2 Eg )(d) f�1(C [D) = f�1(C) [ f�1(D)(e) f�1(C \D) = f�1(C) \ f�1(D)(f) f(f�1(C)) = C

(g) f(f�1(f(f�1(C)))) = f(f�1(C))

22. Dada una aplicación f : A �! B sobreyectiva, se de�ne sobre A unarelación: aRa0 () f(a) = f(a0)

(a) demostrar que es una equivalencia

(b) siendo A� el conjunto cociente, demostrar que hay una biyecciónentre A� y B

23. Dada una aplicación f : A �! B y una relación de equivalencias en B,se de�ne en A una relación binaria R mediante aRa0 () f(a) s f(a0)8a; a0 2 A: Razonar si R es una equivalencia en A

24. ¿ Cuántas relaciones de equivalencia distintas se pueden de�nir sobreel conjunto fa; b; cg ?

25. Sea X = R� f0g: De�nimos las relaciones R1 y R2 sobre X �X por

(a; b)R1(x; y) cuando ay = bx

(a; b)R2(x; y) cuando a2y = bx2

Demostrar que son relaciones de equivalencia. En cada caso describirgeométricamente las clases de equivalencia.

26. Dado un número real a consideramos la relación R de�nida sobre Rpor

xRy cuando y = x2 + ax+ a2

(a) Demostrar que si A = fx 2 R = xR1g entoncesi. A = ? si y sólo si jaj > 2=

p3


ii. jAj = 1 si y sólo si jaj = 2=p3

iii. jAj = 2 si y sólo si jaj < 2=p3

(b) Demostrar que la relación S de�nida sobre R por

xSy cuando x3 � y3 = x� y

es una relación de equivalencia. Deducir del apartado a) que laclase de equivalencia de x 2 R consta de:i. un único elemento si y sólo si jxj > 2=

p3

ii. dos elementos si y sólo si jxj = 2=p3 o jxj = 1=

p3

iii. tres elementos en otro caso

27. Dada una aplicación f : A �! B se de�ne en P(A) una relación Rmediante A0RA00 () f�1(f(A0)) � A00 8A0; A00 � A Razonar si Rtiene la propiedad re�exiva, simétrica, transitiva o antisimétrica

28. Sea X un subconjunto de un conjunto Y y R la relación de�nida enP(Y ) por:

ARB cuando A \X = B \X

Demostrar que R es una relación de equivalencia. Si X tiene n elemen-tos, calcular el número de elementos del conjunto cociente P(Y )=R

29. Sea f : A �! B una aplicación inyectiva entre dos conjuntos con másde dos elementos cada uno. Se de�ne en el producto cartesiano A�Buna relación entre sus elementos, de la forma (a; b) � (a0; b0) () o severi�ca fa = a0 y b = b0g o se veri�ca fb = f(a0) y b0 = f(a)g Demostrarque es una relación de equivalencia y sea C = A � B= � el conjuntocociente. Se de�ne

F : C �! P(A)(a; b) fa; g(b)g

siendo g la aplicación de�nida en el problema 19a. Demostrar que Festá bien de�nida. ¿Es inyectiva? ¿Es sobreyectiva? Demostrar que sif es sobreyectiva, F es inyectiva

30. Sea el conjunto Q�Q con la relación R dada por

(a; b)R(x; y) cuando a2 + y2 = b2 + x2

(a) Demostrar que R es una relación de equivalencia

2.2. NÚMEROS 11

(b) Describir las clases de equivalencia y el conjunto cociente

(c) Para cada � 2 R; sea f� : Q�Q �! R la aplicación dada porf�(x; y) =

px2 + �y2: Encontrar los valores de � para los cuales

la aplicación f� induce una aplicación en el conjunto cociente F� :Q�Q=R �! R

(d) Para los valores de � encontrados en el apartado anterior, com-probar si F� es inyectiva o sobreyectiva

31. Se considera una muestra de 41 alumnos que se examinaron de lasasignaturas Algebra(A) Geometría(G) e Informática(I). La tabla sigu-iente muestra el número de suspensos en las asignaturas y sus distintascombinaciones

Asignaturas A G I A;G A; I G; I A;G; ISuspensos 12 5 8 2 6 3 1

¿Cuántos alumnos aprobaron las tres asignaturas?

2.2 Números

1. Demostrar por inducción

(a) 1 +22 +32 +...+n2 = n(n+1)(2n+1)/6

(b) a +aq +aq2 +aq3 +...+aqn = a(1-qn+1)/(1-q)

(c) 13 divide a 42n+1 + 3n+2 para todo n

(d) si x = 0 entonces 1 + nx 5 (1 + x)n para todo n

(e) (cos x+ isen x)n = cos nx+ isen nx para todo n (fórmula de DeMoivre)

(f) Si A1; : : : An son subconjuntos de un conjunto E; entonces

��n[i=1

Ai

�� =nXi=1

jAij�Xi<j

jAi \ Ajj+Xi<j<k

jAi \ Aj \ Akj�� +(�1)n�1��n\i=1

Ai

��2. Una construcción abstracta de Z

(a) En el producto cartesiano N2 = N� N se de�ne la relación(a,b)s(c,d) si y sólo si a+d = b+c; probar que es de equivalencia


(b) Denotando por [(a,b)] las clases de equivalencia de s se de�ne unasuma en el cociente N2= smediante [(a,b)]+[(c,d)] = [(a+c,b+d)];probar que está bien de�nida, que es asociativa, conmutativa ytiene la clase [(0,0)] como neutro

(c) Probar que en el cociente N2= s; la ecuación x + [(a,b)] = [(c,d)]tiene solución única para cualesquiera [(a,b)] y [(c,d)]; deducir quetodo [(a,b)]2 N2= s tiene un opuesto, es decir existe [(a�,b�)] talque [(a,b)] + [(a�,b�)] = [(0,0)], y que este opuesto es único

3. Calcular (a,b) y usar el algoritmo de Euclides para encontrar una solu-ción de ax + by = (a,b) en los siguientes casos:

(a) a = 63, b = 49

(b) a = 619, b = 93

(c) a = 521, b = 2187

¿Es única la solución en cada uno de estos casos?

4. Se dispone de dos tipos de cajas de CD: en una caben 10 unidades y enotra 25. ¿De cuántas maneras se pueden guardar 325 CD de tal formaque todas las cajas estén llenas?

5. Si p, q son dos números enteros no nulos primos entre sí y p j qm,demostrar que p j m

6. Probar que (ma,mb) = m(a,b) con a; b;m 2 N

7. Probar que si c = (a,b) entonces (a/c,b/c) = 1. Deducir que todo� 2 Q puede escribirse como � = p=q con (p,q) = 1

8. Demostrar que (a; b) = (ma + nb; pa + qb) si los números enterosm;n; p; q veri�can que mq � np = �1

9. Hallar todas las soluciones enteras de las ecuaciones

(a) 2x + 3y = 7

(b) 21x -35y = -14

10. Probar que jabj = [a; b](a; b)

11. Sean ai 2 Z 2 � i � n primos entre sí, es decir (ai; aj) = 1 8i 6= jDemostrar que 9ni 2 Z /

Pniai = 1 (Identidad de Bezout)

2.2. NÚMEROS 13

12. Dado n 2 N probar que o bien n es un cuadrado perfecto, n = a2

con a 2 N o bienpn =2 Q En general, demostrar que si P (x) =

xm + am�1xm�1 + ::: + a1x + a0 2 Z[X] tiene una solución racional,

esta es entera.

13. Si (a,b) = 1 demostrar que ajc y bjc implican que abjc

14. Si (a,b) = 1 probar que (a+b,a-b) es 1 ó 2. Deducir que si a2 � b2 esun cuadrado perfecto, a+b y a-b son ambos cuadrados perfectos o eldoble de un cuadrado perfecto.

15. Demostrar que si 3 j a2 + b2 entonces 3 j a y 3 j b

16. Si p es primo, probar que p divide al coe�ciente polinómico�pi

�1 5

i 5 p� 1: Deducir que (a+ b)p � ap + bp (p)

17. Sean a; b 2 Z; a + b 6= 0; y (a; b) = 1: Sea p un número primo impar,demostrar que �

a+ b;ap + bp

a+ b

�=

�1p

18. Probar que todo cuadrado perfecto es congruente con 0 o 1 módulo 4y con 0,1 o 4 módulo 8

19. Probar que para todo n entero positivo 22n+1 � 9n2 � 3n+ 2(54)

20. Si p es primo, probar por inducción en n que np � n(p)

21. Si a � b(p) con p primo, probar por inducción en n que apn � bp

n(pn+1)

22. Calcular 132231(7); 246218(11); 145197(13)

23. Hallar los inversos de 13 en Z21 y Z31

24. Resolver

(a) 5x � 17 (19)(b) 5x � 10 (15)(c) 35x � 119 (139)(d) 211x � 659 (900)

25. Encontrar todos los valores enteros de x que satisfacen x2�3x+3 � 0(7)

26. Sea a la suma de los dígitos de la expresión decimal de 44444444 y seab la suma de los dígitos de a. ¿Cuál es la suma de los dígitos de b?


27. Demostrar que 5x + 2 = 17y no tiene soluciones enteras

28. Encontrar la menor solución no negativa de cada uno de los sistemasde congruencias siguientes:

(a)

8<:x � 12 (31)x � 87 (127)10x � 511 (841)

(b)�19x � 103 (900)x � 91 (255)

29. Encontrar el entero x tal que jxj es mínimo y x veri�ca que

(a)�3x � 4 (7)x � 2 (11)

(b)

8<:x � 2 (3)2x � 3 (5)3x � 7 (11)

(c)�3x � 2 (8)2x � 3 (5)

30. La función de Euler '(m) siendom un entero positivo, se de�ne como elnúmero de primos relativos con m y menores que él: '(1) = '(2) = 1;'(3) = 2; '(4) = 2 etc.

(a) Calcular '(10); '(11); '(12); y probar que si p es primo '(p) =p� 1

(b) Si (m,n) = 1 probar que '(mn) = '(m)'(n)

(c) Si p es primo, probar que '(pk) = pk�1(p � 1) y en general sip,q,...r son los factores primos de m, probar que '(m) = m(1 �1=p))(1� 1=q):::(1� 1=r)

(d) Si (a,m) = 1 probar que a'(m) � 1(m) (Teorema de Fermat -Euler)

31. La función de Möbius es la aplicación � : N� �! f�1; 0; 1g de�nida por�(1) = 1; �(n) = 0 si n es divisible por el cuadrado de un número primo,y �(n) = (�1)k si n es el producto de k números primos distintos.

2.3. GRUPOS 15

(a) Demostrar que para todo entero n � 2 se tiene que:Xdjn

�(d) = 0

(b) Si f : N� �! Z es una aplicación, se de�ne 8n 2 N� g(n) =Xdjn

f(d): Demostrar que

f(n) =Xdjn

��nd

�g(d)

y aplicarlo para demostrar que

'(n) =Xdjn

��nd

�d

32. Si p es primo, demostrar que (p� 1)! � �1(p) (Teorema de Wilson)

2.3 Grupos

1. Justi�car cuáles de las siguientes operaciones son asociativas y cuálesson conmutativas

(a) En R , a � b = jaj b(b) En Z , a � b = a+ b+ b2

(c) En Z , a � b = a+ b+ ab

2. Tomar G = R � f0g = R� y la operación de�nida por a � b = 3ab:Encontrar un elemento identidad en (G; �): Encontrar el inverso decualquier elemento x de G: ¿Es (G; �) un grupo?

3. Sea G un conjunto con una operación binaria asociativa tal que 8a; b 2G 9!x; y 2 G / ax = b ya = b: Demostrar que G es grupo

4. Sea G = R � f�1g y la operación a � b = a + b + ab: ¿Es (G; �) ungrupo? Encontrar x 2 G tal que 2 � x � 3 = 35

5. Completar la siguiente tabla de manera que sea la tabla de un grupo.¿Es este grupo abeliano?


� e a b c d fe e a b c d fa a e f c db b e ac c ad d ff f c a

6. Demostrar que (G; �) es abeliano si y sólo si (ab)2 = a2b2 8a; b 2 G

7. Si G es un grupo en el que x2 = e 8x 2 G demostrar que es abeliano

8. En un grupo (G; �) se de�ne a2 = a � a; a3 = a � a � a; y en generalan = a � n: : : � a: Demostrar:

(a) (an)�1 = (a�1)n

(b) Si G es abeliano, (a � b)n = an � bn

(c) xn = e() (y�1 � x � y)n = e

(d) Si b�1 � a � b = ak entonces b�r � as � br = askr

9. Indicar cuál de los siguientes conjuntos es grupo. En caso a�rmativoindicar si es abeliano.

(a) f(1 + 2m)=(1 + 2n) = m; n = 0;�1;�2 : : :g con la multiplicaciónusual

(b) fcos q + i sen q = q 2 Qg con la multiplicación usual(c) f0; 2; 4; 6; 8g � (Z10;+)(d) f0; 3; 6; 9; 4g � (Z10;+)(e) Z con la operación a � b = a+ b+ 1

(f) Z con la operación a � b = a� b

(g) Dado el conjunto U; (P(U);�)

(h) f 1p1�v2

�1 �v

�v 1

�= v 2 (�1; 1)g respecto de la multiplicación

de matrices. (Este es el grupo de Lorentz reducido, empleado enrelatividad especial)

(i) El conjunto � formado por las 6 funciones de variable compleja'1(z) = z '2(z) = 1=(1 � z) '3(z) = (z � 1)=z '4(z) = 1=z'5(z) = 1� z '6(z) = z=(z� 1) con la composición de funciones

2.3. GRUPOS 17

(j) f�1 00 1

�;

�� 00 �

�;

�� 00 �

�;

�0 11 0

�;

�0 �� 0

�;

�0 �� 0

�g

con la composición de matrices, siendo f1; �; �g las raices cúbicasde la unidad, es decir, las soluciones complejas de x3 � 1 = 0

(k) Z�Q con la operación (a; b) � (c; d) = (a+ c; 2cb+ d)

(l) fm=pn = m; n 2 Zg con la suma usual, siendo p un número primo

10. En Z12 de�nimos la relación:

aRb cuando (a; 12) = (b; 12)

(a) demostrar que está bien de�nida

(b) demostrar que es una relación de equivalencia

(c) construir el conjunto cociente H � Z12=R(d) ¿Se puede de�nir una suma en H mediante la correspondiente

operación entre representantes?. En caso a�rmativo, ¿es (H;+)un grupo?

11. Dadas � =�1 2 3 4 5 61 3 2 5 4 6

�� =

�1 2 3 4 5 62 3 4 1 6 5

�ambas

permutaciones de S6 calcular �2; �21; �3; �3�6 y la signatura de cada

una de ellas

12. En R3 se de�ne la siguiente relación binaria: �!a = (a1; a2; a3) R�!b =

(b1; b2; b3) cuando existe una permutación � 2 S3 tal que

b1 = a�(1); b2 = a�(2); b3 = a�(3)

(a) Demostrar que R es una relación de equivalencia

(b) En el conjunto cociente C = R3=R se de�ne

F : C �! R[�!a ] a1 + a2 + a3

Demostrar que F es aplicación. ¿Es inyectiva? ¿Es sobreyectiva?

13. Se de�nef : Sn �! N

�nPk=1

k �(k)

Determinar las permutaciones � 2 Sn para las cuales f alcanza un valormáximo y para las que alcanza un valor mínimo


14. Escribir el retículo de los subgrupos de:

(a) (Z6;+)(b) S3

(c) (Z8;+)(d) D8

15. Demostrar que T = fx 2 D2n = x2 = Ig no es un subgrupo de D2n

16. Sea G un subgrupo aditivo de C tal que x+ ix2 2 G cuando el númeroreal x 2 [0; 1]: Determinar G:

17. Dados H;K subgrupos de (G; �) demostrar que

(a) H [K es subgrupo si y sólo si H � K ó K � H

(b) HK = fh�k = h 2 H k 2 Kg es subgrupo si y sólo si HK = KH

18. Demostrar que las siguientes de�niciones son subgrupos de (G; �)

(a) Dado h 2 G; el centralizador de h en G, Ch = fg 2 G = g � h =h � gg

(b) DadoH � G; el normalizador deH enG; NH = fg 2 G = gHg�1 =Hg

(c) El centro de G; Z(G) = fg 2 G = g � h = h � g 8h 2 Gg

19. Demostrar que todo grupo cíclico es abeliano

20. Sea G un grupo abeliano que contiene un elemento a de orden m y unelemento b de orden n / (m;n) = 1: Demostrar que el orden de ab esmn: Dar un ejemplo que muestre que la condición (m;n) = 1 no sepuede quitar

21. Hallar el orden del elemento (g1; g2) 2 G1�G2 en función de los órdenesde cada factor. A partir de (Z3;+) (Z5;+) probar que Z3�Z5 es cíclicoy hallar un generador. ¿Es cierto que siG yH son grupos cíclicos, G�Hes cíclico?

22. Demostrar que si (G; �) es un grupo cíclico con sólo un generador, Gtiene como máximo 1 o 2 elementos. ¿Es cierto este resultado si posee2 generadores?

2.3. GRUPOS 19

23. Sea G un grupo multiplicativo �nito. Si x 2 G; sea jxj su orden.Sean m;n 2 N�; primos entre sí, y un elemento x tal que jxj = mn:Demostrar que existe un único par (y; z) 2 G�G tal que

x = yz = zy jyj = m jzj = n

24. Probar que un grupo de orden 6 abeliano, es cíclico si contiene unelemento de orden 3

25. Sea G grupo de orden par. Demostrar que existe a 6= e = a2 = e

26. SiG es un grupo de orden 2p con p primo, demostrar que todo subgrupopropio de G es cíclico

27. Hallar todos los subgrupos de orden 8 de S4

28. Sea G grupo �nito y H;K � G con órdenes m;n respectivamente y(m;n) = 1: Probar que H \K = feg

29. Si p; q son primos distintos, probar que cualquier grupo abeliano deorden pq es cíclico

30. Mostrar que A4 no tiene un subgrupo de orden 6 (El recíproco delteorema de Lagrange es falso)

31. Demostrar que todo subgrupo propio de S3 es cíclico. ¿Es posibleencontrar un grupo abeliano no cíclico en el que todos sus subgrupospropios sean cíclicos?

32. Decir si el enunciado es verdadero o falso:

(a) Cualquier permutación puede ser escrita como un producto detransposiciones disjuntas

(b) Si � es un ciclo de longitud n, entonces �n = e

(c) La permutación identidad e, se puede escribir como un productode transposiciones

(d) Todo elemento de orden 2 de Sn n > 3 es una transposición

(e) Las permutaciones impares de S4 forman un subgrupo

(f) El grupo A3 es abeliano

(g) Si n> 2 Sn es cíclico

(h) No es posible expresar un producto de ciclos disjuntos como unproducto de ciclos que no son disjuntos


(i) S3 es isomorfo al subgrupo de S4 que deja invariante un mismoelemento

(j) Si n> 1 en Sn hay el mismo número de permutaciones pares queimpares

33. Hallar los adjuntos por la izquierda y derecha del subgrupo generadopor (123) en S4

34. Sea

� =

�1 2 3 4 5 6 7 83 4 5 6 1 8 7 2

�Se de�ne una relación de equivalenciaR� en el conjuntoX = f1; 2; :::; 8gdada por: xR�y cuando existe k 2 Z tal que y = �k(x): Escribir lapartición de X en clases de equivalencia a la que dar lugar R�

35. Encontrar todos los subgrupos normales de D8

36. Sea G = (R� R;+) y sea H = f(x1; x2) = x2 = 2x1g

(a) Demostrar que H E G(b) Interpretar geométricamente quienes son las clases de equivalencia

G/H y cómo actúa (G/H,+)

37. Sea (C�; �) grupo multiplicativo de los complejos no nulos. Sea H =fz 2 C� = jzj = 1g

(a) Demostrar que H E C�

(b) indicar geométricamente quienes son los elementos del grupo co-ciente C�=H

38. SeaH � G = 8x 2 G x2 2 H: Demostrar que H E G y G/H es abeliano

39. ¿Son H = Z�f0g K = f0g�Q subgrupos normales del problema 9k?

40. Sea el grupo abeliano G = fambn = m; n 2 Zg donde a3 = b3 = e yab = ba; y sea H el subgrupo generado por ab2

(a) Determinar explícitamente los adjuntos de H en G

(b) Dar la tabla de G/H

41. Dado el grupo (G,*), se de�ne el conmutador de dos elementos de Gcomo [a; b] = a�1b�1ab: Sea �(G) el subgrupo generado por todos losconmutadores, es decir �(G) = < f[a,b] / a,b 2 Gg > . Demostrar que

2.3. GRUPOS 21

(a) �(G) E G(b) G/�(G) es abeliano

(c) �(G) es el subgrupo más pequeño de G que tiene la propiedadanterior

42. Sea n � 3: Demostrar:

(a) Sn está generado por las siguientes trasposiciones: f(1 k) = 2 �k � ng

(b) An está generado por los 3-ciclos siguientes: f(1 2 k) = 3 � k � ng(c) �(Sn) = An

43. Demostrar que SLn(R) E GLn(R) e interpretar las clases de equivalen-cia de GLn(R)/SLn(R)

44. Demostrar que An E Sn

45. ¿Es cierto que K E H y H E G =) K E G ?

(a) Tomar H como el subgrupo de A4 generado por (l 2)(3 4) y (l3)(24).

(b) Tomar H = f�a 00 b

�= a; b 2 R�g y G = H [ H�con el producto

de matrices, siendo H�= f�0 ab 0

�= a; b 2 R�g

46. Dar un ejemplo de un grupo G que posea un subgrupo normal H talque H y G/H sean cíclicos pero G no lo sea

47. Considerar el grupo cociente Q=Z

(a) Demostrar que cada clase contiene exactamente un representanteq 2 Q tal que 0 � q < 1

(b) Probar que cada elemento de Q=Z tiene orden �nito pero que hayelementos de orden arbitrariamente grande

(c) SeaH el subgrupo de torsión de R=Z es decir, el subgrupo formadopor los elementos de R=Z que tienen orden �nito. Demostrar queH = Q=Z

48. Siendo H subgrupo de G, demostrar que su normalizador NH es elmayor subgrupo de G del que H es normal


49. Sea R una relación de equivalencia en un grupo G; que cumple lasiguiente propiedad: Si aRb y cRd entonces acRbd: Demostrar que[e] E G:

50. Si H es un subgrupo de G y K es normal en G, demostrar que HK �G y K E HK

51. Sea H un subgrupo normal de G y x un elemento de G; demostrar queel orden de xH en G/H es un divisor del orden de x en G

52. Sea G un grupo abeliano. Se de�ne la parte de torsión de G como elsiguiente conjunto:

�(G) = fx 2 G = jxj <1g

Demostrar que:

(a) �(G) � G

(b) G=�(G) es libre de torsión, es decir que �(G=�(G)) = [e]

53. Sea (G,*) un grupo, H E G, K E G. Demostrar que HK E G

54. Demostrar que f : (R;+) �! (GL2(R); �)

x

�cos x �sen xsen x cos x

� es un homo-

mor�smo y calcular su núcleo

55. ¿Es (R�; �) isomorfo a (R;+)? ¿Es (R+; �) isomorfo a (Q+; �) ?¿Es(Z;+) isomorfo a (Q;+)?

56. Encontrar todos los homomor�smos del grupo aditivo Z en el grupoaditivo Q

57. Sea G un grupo y H � G: Sea B = fgH = g 2 Gg el conjunto de clasesadjuntas por la izquierda. Dado a 2 G se de�ne

�a : B �! BgH agH

(a) Demostrar que �a es una aplicación biyectiva 8a 2 G(b) Siendo B(B) el grupo de biyecciones del conjunto B; demostrar

que : G �! B(B)

a �a

es un homomor�smo de grupos

2.3. GRUPOS 23

(c) Calcular el núcleo de ; es decir, el Ker

(d) Demostrar:

[G : H] = 3 =) 9K E G = [G : K] = 3 o bien [G : K] = 6

58. Sean H,K subgrupos normales de G tales que H\K = feg; demostrarque el subgrupo HK es isomorfo a HxK. Enunciar este resultado cuandoG es abeliano

59. Sea G un grupo y supongamos que existe n 2 N; mayor que 1; talque (xy)n = xnyn para todos x; y 2 G: Sea A = fxn = x 2 Gg;B = fx 2 G = xn = eg: Demostrar que:

(a) A E G

(b) B E G

(c) G=B ' A

60. Demostrar que D12 � Z2 �D6

61. Sea f la correspondencia que a cada número real x le asocia aquellosnúmeros reales y, tales que se veri�ca kx6�2yx3+y2 = 0 siendo k 2 R�jo

(a) Hallar k para que f sea aplicación de R en R

(b) Para dicho valor de k, hállese una ley de composición interna (*)en R tal que f sea aplicación lineal de (R, +) en (R, * )

(c) Razonar si G = f(a+ bp2)3 = a; b 2 Zg es un subgrupo de (R, *)

62. Cada uno de los siguientes grupos tiene orden 8

(a) (P(U);�) siendo U = f1; 2; 3g(b) Z8(c) D4

(d) f1; 2; 4; 7; 8; 11; 13; 14g � (Z�15; �)

Demostrar que no hay 2 grupos isomorfos


63. Demostrar que el conjunto G de matrices de la forma�1� n �nn 1 + n

�n 2 Z

con el producto de matrices como operación, es un grupo abeliano.Demostrar que G y Z son isomorfos.

Demostrar también que el conjunto G1 de matrices de la forma�1� 2n n�4n 1 + 2n

�n 2 Z

es un grupo con el producto. ¿Son isomorfos G y G1?

64. Dada la aplicación f : R�+ * Rx 2x

x+2

obtener una ley de composición

interna ( *) en Im f tal que con�era a Im f estructura de grupoisomorfo al grupo multiplicativo (R�+; �) ¿Quién es el neutro de * ?

65. ¿Cuáles de las siguientes aplicaciones son homomor�smos de grupos?Para las que lo sean, encontrar el núcleo y la imagen.

(a)Z12 �! Z12x x+ 1

(b)Z12 �! Z12x 3 x

(c)Z �! Z2 � Z4x (x; x)

(d)Z8 �! Z2x x

(e)Z2 � Z3 �! S3(a; b) (12)a(123)b

(f)Sn �! Sn+1

�

�1 2 : : : n n+ 1

�(1) �(2) : : : �(n) n+ 1

�66. Si A es un grupo abeliano con n elementos y k es un entero primo con

n, demostrar que la aplicación f : A �! Aa ak

es un isomor�smo

2.3. GRUPOS 25

67. Demostrar que la aplicación de un grupo G en sí mismo, de�nida porf(x) = x�1 es biyectiva, y que es un isomor�smo si y sólo si el grupoes abeliano

68. Decir si las siguientes de�niciones son endomor�smos del problema 9ky en caso a�rmativo hallar su núcleo e imagen:

(a) (a,b) �! (b,a)

(b) (a,b) �!(a, a)(c) (a,b) �!(a, 0)

69. Sean (B(G), o), (Aut(G), o), (I(G), o) los grupos de biyecciones, auto-mor�smos y automor�smos internos del grupo G. Demostrar que I(G)E Aut(G) � B(G)

70. Sea S el conjunto de matrices 2x2 reales, X, tales que X+I es invertible.Probar que S es grupo bajo la ley de composición interna X*Y = X +Y + XY. Si M es el grupo de todas las matrices 2x2 reales e invertibles,GL2(R), demostrar que S y M son isomorfos.

71. Supongamos que existe un entero n tal que la aplicación f(x) = xn esun automor�smo del grupo G. Demostrar que 8g 2 G gn�1 2 Z(G)

72. Demostrar por inducción que Sn =< (12); (123); : : : ; (123 : : : n) >

73. 8� 2 S3 9!(a; b) 2 Z2�Z3 = � = (12)a(123)b es decir hay una biyección' : S3 �! Z2 � Z3: Dar una operación de grupo en Z2 � Z3 para queque ' sea isomor�smo de grupos

74. Dado el grupo Z2 � Z4

(a) Hallar su retículo

(b) Si N = f(0; 0); (1; 0)g identi�car Z2 � Z4=N(c) Si f es un epimor�smo de Z2 � Z4 en Z4 ¿cuáles son los posibles

núcleos de f?

75. Sea A subgrupo normal de G, A E G y B subgrupo normal de H, B EH. Demostrar que A x B E G x H y que (G x H)/(A x B) �(G/A) x(H/B)

76. Sea G un grupo conmutativo de orden pn con p primo

(a) Demostrar que hay elementos de orden p


(b) Demostrar que para todo m con 0 5 m 5 n existe al menos unsubgrupo de orden pm

77. Sea G un grupo abeliano, H 5 G y q : H ! G la inclusión canónica.Demostrar que 9K 5 G / G = H � K () 9p 2 Hom(G;H) /p � q = idH

78. Sean G1 y G2 dos grupos �nitos y f :G1 �!G2 un homomor�smosuprayectivo. Demostrar que siKer(f) � H 5 G1 entonces [G1 : H] =[G2 : f(H)]: Dar un ejemplo que muestre que la condición Ker(f) � Hno se puede quitar

79. Sea f un homomor�smo suprayectivo de G en Z Demostrar que paratodo número entero positivo n, G tiene un subgrupo normal de índicen

80. En (Z;+) demostrar que nZ+mZ = (n;m)Z , nZ \mZ = [n;m]Z ,(n;m)Z=mZ = nZ=[n;m]Z

81. Demostrar que Zm � Zn ' Zmn () (m;n) = 1

82. En el grupo de permutaciones S25 se considera el subgrupo G =< � >generado por la permutación

� = (2; 21; 13; 3; 5; 25; 7; 10; 19)(1; 22)

Dar el retículo de G

83. En el grupo D8 � D6 � S5 se considera el subgrupo G generado porel elemento (�; �; �) siendo � la rotación de 90o; � una simetría del

triángulo, y � =�1 2 3 4 53 5 4 1 2

�: Dar el retículo de G; escribiendo

un generador para cada subgrupo.

84. Decir cuáles de los siguientes grupos puede escribirse como suma directade subgrupos propios: (Z12;+) (Z5;+) (Z4;+)

85. Hallar todos los automor�smos de Z2p con p primo impar

86. Hallar todos los subgrupos de orden p2 del grupo Zp�Zp2 siendo p unnúmero primo

87. Demostrar que si el orden de un grupo abeliano no es divisible por uncuadrado, el grupo tiene que ser cíclico

2.3. GRUPOS 27

88. ¿Es Z12 � Z18 � Z25 �= Z900 � Z6 ?

89. Sea G grupo �nito

(a) Demostrar que R es relación de equivalencia: gRg0 () 9x 2 G/ g0 = xgx�1

(b) Demostrar que el cardinal de la clase de g es el índice de G por elcentralizador de g: #[g] = [G : Cg]

(c) Demostrar que jGj = jZ(G)j+rPi=1

[G : Cgi ] siendo gi representantes

de la clases conjugadas de G que no pertenecen al centro, y r elnúmero de clases distintas (Ecuación de las clases conjugadas)

(d) Sea jGj = pn p primo, n = 1: Demostrar que el centro de Gcontiene estrictamente al neutro

(e) Demostrar que si n = 2 G es abeliano e isomorfo a Zp2 o a Zp�Zp(f) Sea jGj = pnm con p primo y (p;m) = 1. Demostrar que existe

al menos un subgrupo de orden pn (Teorema de Sylow)

(g) En el caso anterior, demostrar que hay al menos un elemento deorden p, y por tanto un subgrupo de orden p

90. Sea G un grupo, jGj = n; tal que (n; '(n)) = 1 siendo ' la función deEuler. Demostrar que G es cíclico

91. Una aplicación en química

Tenemos un anillo de 6 carbono

C � C� �

C C� �

C � C

Si a cada carbono le unimos un átomo de Hidrógeno o un radical metiloCH3 podemos obtener varias moléculas distintas. ¿Cuántas moléculasdistintas se pueden obtener?

92. ¿Es f(2; 1); (3; 1)g una base para Z� Z? ¿Lo es f(2; 1); (4; 1)g?

93. Determinar la estructura del grupo abeliano G de�nido por los gener-adores X y las relaciones R en los casos siguientes:


(a) X = fa; bg R = f2a+ 4b = 0; 3b = 0g(b) X = fa; b; c; dg R = f2a+ 3b = 0; 4a = 0; 5c+ 11d = 0g(c) X = fa; b; c; d; eg R = fa � 7b + 14c � 21d = 0; 5a � 7b � 2c +

10d� 15e = 0; 3a� 3b� 2c+ 6d� 9e = 0; a� b+ 2d� 3e = 0g(d) X = fa; b; c; d; eg R = fa � 7b � 21c + 14d = 0; 5a � 7b � 2c +

10d� 15e = 0; 3a� 3b� 2c+ 6d� 9e = 0; a� b+ 2d� 3e = 0g(e) X = fx1; :::; x5g R = f7x1 � 10x2 + 6x3 + 7x4 + 13x5 = 0;

4x1�6x2+4x3+4x4+8x5 = 0; 6x1 = 0; 6x1�5x2+10x3�11x4 = 0g

2.4 Anillos

1. Calcular las unidades o elementos invertibles de los siguientes anillos:C([0; 1]); M2(Z); Z[i]; Z[X]; R[X]; Z[

p�2]; Z[

p�5]; Zn

2. Sea Z[�] = fa + b� = a; b 2 Zg donde � es una raíz cúbica de launidad, distinta de 1. Demostrar que Z[�] es un dominio de integridady calcular sus unidades.

3. Sea A = fa + bp3 = a; b 2 Zg: Demostrar que el anillo conmutativo y

unitario A es un dominio de integridad y calcular sus unidades. Calcu-lar el inverso de una unidad. Determinar los inversos de los elementosque tienen a = 1 , a = 2: Demostrar que el producto y el cociente deunidades, son unidades. Si x1 = a1+b1

p3 es el cociente de x = a+b

p3

con a; b > 0; por 2 +p3; demostrar que

0 < a1 < a 0 < b1 < b

y deducir que las unidades con a; b > 0 son de la forma (2 +p3)r para

algún entero positivo r: ¿Cómo se pueden formar las otras unidades?

4. Dado el conjunto U; demostrar que (P(U);�;\) es un anillo conmuta-tivo

5. Demostrar que los siguientes conjuntos son anillos y encontrar susunidades

(a) A = f n2k= n; k 2 Zg

(b) Siendo p primo Ep = fab = a; b 2 Z ; p - bg

2.4. ANILLOS 29

6. Si A, B son anillos, demostrar que el producto cartesiano AxB es unanillo respecto a las operaciones (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d) y (a,b)(c,d)= (ac,bd) ; y que si ambos tienen unidad, lo mismo ocurre con AxB,y en este caso U(AxB) es isomorfo al producto directo de los gruposU(A) y U(B). ¿Si A y B son ambos dominios de integridad, lo es AxB?

7. Probar que un anillo conmutativo, con elemento unidad y �nito es uncuerpo si y sólo si no tiene divisores de cero

8. En un anilloA no conmutativo, se tienen dos elementos x; y que cumplenque xy � yx = 2x: Demostrar que

xny � yxn = 2nxn 8n 2 N

9. Demostrar que si S es un subconjunto de un anillo A, S � A; se tieneque < S >= \fI = S � I; I ideal de A}

10. Sean I,J dos ideales de un anillo conmutativo A; probar que los sigu-ientes conjuntos son ideales de A:

(a) I + J que por de�nición es el subanillo generado por I [ J(b) I \ J(c) IJ que por de�nición es el subanillo generado por fij = i 2 I; j 2

Jg

11. Sea A un anillo conmutativo, e I un ideal de A, se de�ne el radical deI,pI como

pI = fx 2 A = xn 2 I para algún n 2 Ng Demostrar quep

I es un ideal que contiene a I; y quepp

I =pI

12. Dados dos anillos con unidad A,B, probar que todos los ideales de AxBson de la forma IxJ con I ideal de A, y J ideal de B. Como corolariodemostrar que A�B=I � J = A=I �B=J

13. Sea A un anillo conmutativo con unidad. Demostrar que son equiva-lentes las siguientes a�rmaciones:

(a) El conjunto de elementos que no son invertibles es un ideal

(b) El conjunto de ideales propios ordenado por inclusión, admite unmáximo

14. Hallar todos los ideales de Z6; Z24; Z2 � Z2; Z2 � Z4


15. Demostrar que todo ideal primo de Z es maximal

16. Sea f:A�!A� un homomor�smo suprayectivo de anillos; probar que siA es un dominio de ideales principales, también lo es A�

17. En (Z;+; �) demostrar que nZ+mZ = (n;m)Z , nZ \mZ = [n;m]Z, (n;m)Z=mZ = nZ=[n;m]Z , mZnZ = mnZ

18. Demostrar que Zm � Zn ' Zmn () (m;n) = 1 y deducir elteorema del resto chino.

19. En el anillo Z� Z encontrar:

(a) Un subanillo que no sea un ideal.

(b) Un ideal propio que no sea primo.

(c) Un ideal primo que no sea maximal

(d) Un ideal maximal

20. Encontrar todos los automor�smos de Zn , Z , R , y C estos últimostales que �jen R

21. Sea A un anillo conmutativo

(a) Sea J un ideal primo de A; e I1; I2; : : : ; In ideales de A tales queI1I2 : : : In � J: Demostrar que existe un índice k tal que Ik � J

(b) Sea I un ideal no primo de A y distinto de A: Demostrar queexisten dos ideales I1; I2 de A; conteniendo estrictamente a I ytales que I1I2 � I

(c) Sea I un ideal de A y J1; J2; : : : ; Jn ideales primos de A tales queI � J1 [ J2 [ : : : [ Jn: Demostrar que existe un índice k tal queI � Jk

22. Sea A un anillo conmutativo. Un ideal I se llama primario si 8x; y 2 Aque veri�quen que xy 2 I y x =2 I existe n 2 N� tal que yn 2 I:

(a) Demostrar que el radical de un ideal primario es un ideal primo

(b) Seam 2 N�; M un ideal maximal deA; e I =Mm = fx1x2 : : : xm = xi 2Mg: Determinar el radical de I: Demostrar que I es un ideal pri-mario

(c) Dar un ejemplo de un ideal primario no primo

2.4. ANILLOS 31

23. Si C,C�son dos cuerpos, probar que todo ideal del producto CxC�esprincipal

24. Un anillo A se dice que tiene característica p si p es el menor naturaltal que pa = a + a +...+ a (p veces) es igual a cero para todo a 2 A:Si no existe tal p se dice que tiene característica cero.

(a) Calcular las características de Z y Zn(b) Si A es un anillo con unidad 1A probar que la función f : Z �! A

m m1Aes un homomor�smo de anillos , y que la característica de A co-incide con el número de elementos de la imagen, si dicho númeroes �nito, o es cero en caso contrario.

(c) Si A es un dominio de integridad con unidad, probar que su car-acterística es cero o un número primo. ¿Es cierto el recíproco?

(d) Si p es primo y A es un anillo conmutativo con característica p,demostrar que la función g : A �! A

x xpes un homomor�smo

de anillos. Usar este resultado para demostrar el pequeño teoremade Fermat

25. Sea Q� = ffqngn2N = qn 2 Q 8n 2 N y fqng es de Cauchyg: Si sede�ne fqng + fq0ng = fqn + q0ng y fqngfq0ng = fqnq0ng probar que(Q�;+; �) es un anillo conmutativo con unidad. Sea N� = ffqng 2Q� = lim

n!1qn = 0g: Probar que N� es un ideal maximal e identi�car

Q�=N�

26. Si A es un anillo tal que a2 = a 8a 2 A; demostrar

(a) a+ a = 0 8a 2 A(b) A es conmutativo

(c) todo ideal primo es maximal

27. Sea K un cuerpo, E un conjunto �nito no vacío, y A el anillo de apli-caciones de E en K: Si a 2 E se de�ne

Ma = ff 2 A = f(a) = 0g

Sea I � A un subconjunto distinto de A: Demostrar que las condicionessiguientes son equivalentes:


(a) 9a 2 E = I =Ma

(b) I es un ideal maximal de A

28. Sea A un anillo conmutativo y con unidad 1 2 A: Un elemento x 2 Ase llama nilpotente si hay algún número m 2 N� tal que xm = 0

(a) Demostrar que si n = akb siendo a; b 2 Z; k 2 N; entonces ab esun elemento nilpotente del anillo (Zn + �)

(b) Si a 2 Z; demostrar que el elemento a 2 (Zn + �) es nilpotente siy sólo si cada divisor primo de n divide a a: Con este resultado,calcular todos los elementos nilpotentes de Z72

(c) Demostrar que si x 2 A es nilpotente, entonces o bien x = 0 obien x es un divisor de cero

(d) Demostrar que 1 + x 2 U(A): Deducir entonces que la suma deun elemento nilpotente y una unidad es una unidad

(e) Demostrar que el conjunto de los elementos nilpotentes �(A) esun ideal de A

(f) Demostrar que si I es un ideal primo de A; entonces �(A) � I:Deducir que si A=�(A) es un cuerpo entonces A sólo tiene un únicoideal primo ¿Cuál?

29. Sea A un anillo conmutativo y con unidad 1 2 A: Demostrar que si8a 2 A 9n(a) > 1 = an = a entonces todo ideal primo es maximal

30. Demostrar que el anillo A = fmn= m; n 2 Z ; n imparg es un dominio

de ideales principales ¿Cuáles son sus elementos irreducibles?

31. En un dominio de integridad conmutativo y con unidad,D demostrar:

(a) Todo elemento primo es irreducible

(b) D = <u> si y sólo si u 2 U(D)(c) la siguiente de�nición es una relación de equivalencia : a � b

cuando 9 u 2 U(D) tal que a = ub(d) < a >�< b > si y sólo si b j a siendo a; b 2 D(e) < a >=< b > si y sólo si a s b siendo a; b 2 D

32. Hallar el cuerpo de fracciones de los siguientes anillos:

(a) Problema 5a

2.4. ANILLOS 33

(b) Problema 5b

(c) Z[X]

33. Hallar el cociente y el resto que se obtienen al dividir el polinomioP (x) = x5� x3+3x� 5 entre el polinomio Q(x) = x2+7; primero enQ[X] y luego en Z5[X]

34. Hallar el m.c.d. y el m.c.m. de x5 + 5x4 + 4x3 + 3x2 + 2x + 1 yx3 + 3x2 + 2x+ 1 como elementos de Q[X]:

35. Calcular el máximo común divisor en Q[X] de los polinomios p(x) =x4 + x3 � x2 + x � 2 y q(x) = x3 + 6x2 + x + 6 y expresarlo comoa(x)p(x) + b(x)q(x) con a(x); b(x) 2 Q[X] (Identidad de Bezout)

36. Hallar todos los Zp en los que x2 + 2 divide a x5 � 10x+ 12

37. Sea C un cuerpo con n elementos a1 , a2 ,..., an: Probar que dos poli-nomios P y Q de C[X] coinciden como funciones sobre C si y sólo siT (X) = (x � a1)(x � a2):::(x � an) divide a P-Q. Probar que si pes primo T (X) = xp � x en Zp[X]: Deducir el teorema de Wilson:(p� 1)! � �1(p) para p primo

38. Se dice que p es un número primo de Fermat si se puede escribir de laforma 22

k+1 con k 2 N (Hay que destacar que no todos los números deesta forma son primos). Hay veces que es interesante trabajar sobreZp con p primo de Fermat. Consideremos el caso particular p = 17:¿Para qué n 2 N existen raíces n-ésimas de la unidad, es decir, xn = 1? ¿Cuántos generadores tendría Z17 ?

39. Usar el pequeño teorema de Fermat para hallar los ceros de 2x219 +3x74 + 2x57 + 3x44 2 Z5[X]

40. Decir razonadamente cuáles de los siguientes ideales son primos o max-imales en Q[X]

(a) < x2 >

(b) < x2 + 1 >

(c) < x+ 5 >

41. Hallar las raices racionales de:

(a) 3x3 � 7x� 5


(b) 2x3 � 3x+ 1

42. Probar que 30xn � 91 = 0 no tiene raices racionales para ningún n>1

43. Estudiar la irreducibilidad de x2+1 y x3+x+2 en Z3[X] y en Z5[X]

44. Probar que los siguientes elementos son irreducibles

(a) x2 + 1 2 Z7[X](b) x3 � 9 2 Z31[X](c) x2 + x+ 4 2 Z11[X]

45. Descomponer los siguientes polinomios

(a) x4 � 5x2 + 6 sobre Q[X]; sobre Q[p2][X] y sobre R[X]

(b) x6 � 1 sobre Q[X]; R[X]; C[X]; Z[X] y Z7[X](c) x8 � 1 sobre Q[X]; R[X]; C[X]; Z[X] y Z5[X]

46. Estudiar la irreducibilidad en Q[x] de:

(a) x3 + 2x2 + 4x+ 2

(b) x4 + 3x3 + 4x2 + 6x+ 4

(c) x3 + 6x2 + 5x+ 25

(d) x3 + 6x2 + 11x+ 8

(e) 2x4 � 8x2 + 1(f) x4 � 2x2 + 8x+ 1(g) x4 + 2x2 � x+ 2

(h) x3 � 12x2 +

1

4x� 1

8

(i) x4 � 2x3 + 4x2 � 8(j) x5 + x4 + x3 + x2 + x+ 1

47. Sea n 2 N� y a1; a2; : : : ; an 2 Z dos a dos distintas. Demostrar que lospolinomios siguientes son irreducibles sobre Q[x]

(a) (x� a1)(x� a2) : : : (x� an)� 1(b) 1 + (x� a1)

2(x� a2)2 : : : (x� an)

2

2.4. ANILLOS 35

48. Demostrar el criterio de Eisenstein: sea P (X) 2 Q[X] con coe�cientesai enteros, gr(P ) = n; y p 2 Z primo. Si p j ai i = 0::n � 1 y p - an;p2 - a0 entonces P (X) es irreducible en Q[X]

49. Sea P (X) 2 Q[X] y R(X) = P (X + 1): Probar que P es irreduciblesi y sólo si R lo es. Demostrar que el p-ésimo polinomio ciclotómico�p(x) = xp�1 + :::+ x+ 1 con p primo, es irreducible.

50. Interpretar y demostrar las propiedades del problema 17 en el anilloK[t]

51. Demostrar que los cuerpos fa+ bp2 = a; b 2 Qg y Q[x]= < x2 � 2 >

son isomorfos

52. En el cuerpo Q[x]= < x4 � 2 > calcular el inverso de

x3 � x+ 1

Usar el resultado para expresar el número

1

1� 4p2 + 4

p8

de tal forma que las raíces estén en el numerador

53. Una aplicación en criptografía

Sea C un alfabeto y sea su número de elementos jCj=m. La idea delos criptosistemas clásicos es establecer una biyección entre el alfabetoy Zm identi�cando de esta manera de forma unívoca cada letra conun número y la encriptación del mensaje se realiza mediante una seriede operaciones en aritmética modular establecidas de antemano y quesólo conocen la persona que envía el mensaje y la destinataria de dichomensaje. Un ejemplo de criptosistema clásico es el Cifrador de Hill.La idea de este mensaje es coger del mensaje, unidades de r caracteres,donde r es un número �jo que sólo deberían conocerla la persona queenvía el mensaje y el destinatario. Cada una de estas unidades se vetransformada por una matriz cuadrada rxr y obtenemos así el mensajecodi�cado que vamos a enviar el destinatario y el cual carece de sentidohasta que se haga la operación inversa tomando de nuevo unidades conr caracteres en el mensaje codi�cado y transformándolas mediante lamatriz inversa. Veamos con un ejemplo como funciona el cifrador deHill.


Para ello lo primero que vamos a determinar es cuál es nuestro alfabetoy cuál es su cardinal. Nosotros vamos a tomar como alfabeto el alfa-beto inglés con minúsculas y mayúsculas más los diez dígitos, es decir,nuestro alfabeto es a,..,z,A..,Z,0,..9 y el cardinal de este conjunto es 62,por tanto nuestras operaciones van a realizarse en Z62:También hay que determinar cuál va a ser la matriz de codi�cación yr. Tomemos como r=3 y como matriz

A =

0@ 13 7 222 5 13 47 1

1AEl texto a codi�car va a ser �En un lugar�.

Al aplicar la biyección el mensaje que nos queda es: �30,13,20,13,11,20,6,0,17�.

Cogemos la primera terna como si fuese un vector v y lo multipli-camos por la matriz obteniendo A�v=(53,21,39), al transformar la se-gunda terna obtenemos (4,39,18) y la tercera terna se transforma en(18,29,35), por tanto el mensaje codi�cado es: �1v Ne NssDJ�. Comose puede observar el mensaje carece de cualquier sentido y para poderdescodi�carlo necesitaremos saber qué cifra numérica corresponde acada uno de los caracteres que forman el mensaje codi�cado y ademásconocer la matriz inversa de la que ha realizado la transformación. Asíen nuestro caso el mensaje que tenemos es �53,21,39,4,39,18,18,29,35�y la matriz inversa es:

A�1 =

0@ 60 43 13 27 3151 28 29

1AFácilmente se comprueba que si multiplicamos la matriz por las ternasque forman el mensaje obtenemos el mensaje original, i.e., �En unlugar�.

¿Cuándo está bien de�nido este método?

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