chapter 07

Capıtulo 7

Calculo y clasificacion depuntos crıticos parafunciones de dos variables

Contenidos

1. Definicion de extremo relativo de funciones de dos variables

2. Condicion necesaria de extremo relativo. Punto crıtico

3. Definicion de matriz hessiana y hessiano

4. Criterio para la clasificacion de los puntos crıticos. Punto de silla

En esta practica calculamos los puntos crıticos de una funcion de dos variablesf(x, y) y utilizamos el criterio de las derivadas segundas para averiguar la natu-raleza de cada uno de ellos. Realizamos graficos donde aparezcan la grafica de lafuncion y sus puntos crıticos. Finalmente comprobamos graficamente que el puntode silla no puede ser extremo relativo (vease para mas detalle la bibliografıa al finaldel capıtulo).

7.1. Calculo y clasificacion de puntos crıticos

Recordemos las definiciones de maximo y mınimo relativo. Se dice que f(x, y)definida en un dominio R tiene un maximo relativo en el punto (a, b) ∈ R si severifica f(a, b) ≥ f(x, y) para todo (x, y) en cierto entorno de (a, b). La superficietiene entonces un punto maximo relativo en (a, b, f(a, b)). De forma similar, f(x, y)tiene un mınimo relativo en (a, b) ∈ R si se verifica f(a, b) ≤ f(x, y) para todo(x, y) en cierto entorno de (a, b) incluido en R. La superficie tiene entonces un

103

104 CAPITULO 7. CALCULO Y CLASIFICACION DE PUNTOS . . .

punto mınimo relativo en (a, b, f(a, b)). A los maximos y mınimos relativos se lesllama extremos relativos.

Consideramos a continuacion, por ejemplo, la funcion f(x, y) = x y e−x2−y2

.Recordemos que si f tiene un extremo relativo en (a, b) ∈ R y existen las

derivadas parciales fx(a, b), fy(a, b), entonces fx(a, b) = fy(a, b) = 0. Por lo tanto,debemos buscar los extremos en el conjunto de puntos {(x, y) ∈ R2/fx(x, y) =0, fy(x, y) = 0}, que es el conjunto de puntos crıticos de f(x, y).

A continuacion vamos a definir la funcion f , calculamos todos los puntos crıticosde f y los introducimos en una lista que llamamos pc.

( %i1) f(x,y):=x*y*%e^(-x^2-y^2)$

( %i2) pc:solve([diff(f(x,y),x),diff(f(x,y),y)],[x,y]);

( %o2)

[x = 0, y = 0] ,

[x = − 1√

2, y = − 1√

2

],

[x =

1√2, y = − 1√

2

],

( %o2) [x = − 1√

2, y =

1√2

],

[x =

1√2, y =

1√2

]

La lista pc contiene cinco puntos:

pc =

{(0, 0),

(− 1√

2,− 1√

2

),

(1√2,− 1√

2

),

(− 1√

2,

1√2

),

(1√2,

1√2

)}.

Para decidir si estos puntos son maximos, mınimos o puntos de silla, aplicamosel siguiente teorema de clasificacion.

Si existen fxx(a, b), fxy(a, b), fyx(a, b), fyy(a, b), definamos la matriz hessianade f en (a, b) y se representa por H(f)(a, b), a la matriz

H(f)(a, b) =

(fxx(a, b) fxy(a, b)fyx(a, b) fyy(a, b)

).

Al determinante de esta matriz hessiana de f en (a, b), |H(f)(a, b)|, se le llamahessiano de f en (a, b).

Criterio de las derivadas segundas. Supongamos que existen fxx(a, b), fxy(a, b),fyx(a, b), fyy(a, b), para (a, b) ∈ R punto crıtico de f . Entonces:

Si |H(f)(a, b)| > 0, fxx(a, b) > 0, entonces f tiene en (a, b) un mınimorelativo.

Si |H(f)(a, b)| > 0, fxx(a, b) < 0, entonces f tiene en (a, b) un maximorelativo.

7.1. CALCULO Y CLASIFICACION DE PUNTOS CRITICOS 105

Si |H(f)(a, b)| < 0, entonces f tiene en (a, b) un punto de silla.

Si |H(f)(a, b)| = 0, el criterio no decide.

A continuacion definimos una funcion que llamamos H, con la expresion delhessiano de una funcion f(x, y) en general:

( %i3) H(x,y):=(’diff(f(x,y),x,2)*’diff(f(x,y),y,2))-

(’diff(f(x,y),x,1,y,1)*’diff(f(x,y),x,1,y,1));

( %o3)

H (x, y) :=d2

d x2f (x, y)

(d2

d y2f (x, y)

)− d2

d x d yf (x, y)

(d2

d x d yf (x, y)

)

Para que, en particular, se evalue el hessiano con la funcion del ejemplo, defi-nimos otra, a la que llamamos h, con dicha evaluacion:

( %i4) H(x,y)$

( %i5) h(x,y):=ev(H(x,y),diff)$

( %i6) h(x,y)$

A continuacion aplicamos el criterio. Para cada uno de los puntos de la lista depuntos crıticos hacemos lo siguiente:

Evaluamos el hessiano en el punto y decidimos si el resultado de la evaluaciones positivo, negativo o cero.

Si el hessiano es positivo, entonces:

• Definimos fxx(x, y), que llamamos fxx. Esto lo hacemos una sola vez.

• Evaluamos la derivada segunda en el punto y decidimos si el resultadode la evaluacion es positivo, negativo o cero.

En primer lugar, consideramos los puntos(1/√

2,−1/√

2),(−1/√

2, 1/√

2),

que son, respectivamente, los elementos 3 y 4 de la lista pc:

( %i7) is(at(h(x,y),pc[3])>0);

( %o7)

true

( %i8) is(at(h(x,y),pc[4])>0);

( %o8)

true


( %i9) fxx(x,y):=diff(f(x,y),x,2)$

( %i10) fxx(x,y)$

( %i11) is(at(fxx(x,y),pc[3])>0);

( %o11)

true

( %i12) is(at(fxx(x,y),pc[4])>0);

( %o12)

true

Por tanto, acabamos de comprobar que:∣∣∣H(f)(1/√

2,−1/√

2)∣∣∣ > 0,

∣∣∣H(f)(−1/√

2, 1/√

2)∣∣∣ > 0,

fxx(1/√

2,−1/√

2) > 0, fxx(−1/√

2, 1/√

2) > 0.

Con lo que concluimos que la funcion f tiene en los puntos (1/√

2,−1/√

2),(−1/

√2, 1/√

2) mınimos relativos.En segundo lugar, consideramos los puntos (−1/

√2,−1/

√2) y (1/

√2, 1/√

2).Estos puntos son los elementos 2 y 5 de la lista pc.

( %i13) is(at(h(x,y),pc[2])>0);

( %o13)

true

( %i14) is(at(h(x,y),pc[5])>0);

( %o14)

true

( %i15) is(at(fxx(x,y),pc[2])<0);

( %o15)

true

7.1. CALCULO Y CLASIFICACION DE PUNTOS CRITICOS 107

( %i16) is(at(fxx(x,y),pc[5])<0);

( %o16)

true

Con lo que hemos comprobado que:∣∣∣H(f)(1/√

2, 1/√

2)∣∣∣ > 0,

∣∣∣H(f)(−1/√

2,−1/√

2)∣∣∣ > 0,

fxx(1/√

2, 1/√

2) < 0, fxx(−1/√

2,−1/√

2) < 0.

Concluimos de esta forma que la funcion f tiene en los puntos (1/√

2, 1/√

2),(−1/

√2,−1/

√2) maximos relativos.

Calculamos, a continuacion, los valores de los extremos relativos:( %i17) at(f(x,y),pc[2]);

( %o17)e−1

2

( %i18) at(f(x,y),pc[3]);

( %o18)

−e−1

2

( %i19) at(f(x,y),pc[4]);

( %o19)

−e−1

2

( %i20) at(f(x,y),pc[5]);

( %o20)e−1

2

Por lo tanto, los puntos (1/√

2,−1/√

2,−1/2e), (−1/√

2, 1/√

2,−1/2e) son mıni-mos relativos de la superficie y los puntos (−1/

√2,−1/

√2, 1/2e) y (1/

√2, 1/√

2, 1/2e)son maximos relativos de la superficie.

Representamos ahora la superficie z = f(x, y) y los puntos donde se alcanzanlos extremos relativos en el conjunto

{(x, y) ∈ R2/− 2 ≤ x ≤ 2, −2 ≤ y ≤ 2} :


( %i21) load("draw")$

( %i22) draw3d(color=green,

explicit(f(x,y),x,-2,2,y,-2,2),

color=black,

point_size=2,

point_type=filled_circle,

points([[1/sqrt(2),1/sqrt(2),f(1/sqrt(2),1/sqrt(2))],

[-1/sqrt(2),-1/sqrt(2),f(-1/sqrt(2),-1/sqrt(2))],

[-1/sqrt(2),1/sqrt(2),f(-1/sqrt(2),1/sqrt(2))],

[1/sqrt(2),-1/sqrt(2),f(1/sqrt(2),-1/sqrt(2))]]));

7.2. Reconocemos un punto de silla graficamente

Veamos por ultimo la naturaleza del punto (0, 0). Comprobamos que|H(f)(0, 0)| < 0:

( %i23) is(at(h(x,y),pc[1])<0);

( %o23)

true

Concluimos entonces que f tiene en (0, 0) un punto de silla, es decir, en ciertoentorno del punto (0, 0) existen puntos (x, y) tales que f(x, y) ≥ f(0, 0) = 0 y otrospuntos (x, y) tales que f(x, y) ≤ f(0, 0) = 0. Veamos esto graficamente:

Sea B = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 < 1} el cırculo de centro (0, 0) y radio 1.Para los puntos del conjunto C1 = {(x, y) ∈ R2/y = x,−1 < x < 1} ⊂ B, se

verifica f(x, x) = x2e−2x2 ≥ 0 = f(0, 0). La imagen por f de ese conjunto es la

7.2. RECONOCEMOS UN PUNTO DE SILLA GRAFICAMENTE 109

curva de ecuaciones parametricas x = ty = tz = f(t, t), −1 < t < 1.

Graficamente comprobamos que el punto (0, 0, 0) es el punto que esta mas bajode entre todos los puntos (x, y, f(x, y)) tales que (x, y) ∈ C1:

( %i24) draw3d(color=green,


color=red,

parametric(t,t,f(t,t),t,-1,1),

color=black,

point_size=2,


points([[0,0,0]]));

Sin embargo, para los puntos del conjunto C2 = {(x, y) ∈ R2/y = −x,−1 <

x < 1} ⊂ B, se verifica f(x, y) = −x2e−x2 ≤ 0 = f(0, 0). La imagen por f de esteconjunto es la curva de ecuaciones parametricas x = t

y = −tz = f(t,−t), −1 < t < 1.

Graficamente podemos comprobar que (0, 0, 0) es el punto de la superficie queesta mas alto de entre todos los puntos (x, y, f(x, y)), (x, y) ∈ C2:( %i25) draw3d(color=green,


color=red,


parametric(t,-t,f(t,-t),t,-1,1),

color=black,

point_size=2,


points([[0,0,0]]));

Ejercicios

1. Calcula y clasifica los puntos crıticos de f(x, y) = (2x2 + 3y2)e1−2x2−y2

.

Solucion: f alcanza dos maximos relativos en los puntos (0,−1) y (0, 1), unmınimo relativo en (0, 0) y dos puntos de silla en (−1/

√2, 0) y (1/

√2, 0). La

superficie representada por f alcanza dos maximos en los puntos (0,−1, 3)y (0, 1, 3), un mınimo en (0, 0, 0) y dos puntos de silla en (−1/

√2, 0, 1) y

(1/√

2, 0, 1).

2. Calcula y clasifica los puntos crıticos de f(x, y) = (x2 − y)e−x2−y2

.

3. Dada f(x, y) = −x4 + 3y2 − 3x2 − xy, se pide:

a) Comprueba que f tiene en (0, 0) un punto de silla.

b) Comprueba analıtica y geometricamente que f(x, y) ≥ f(0, 0) para lospuntos del conjunto {(x, y) ∈ R2/x = 0}.

c) Comprueba analıtica y geometricamente que f(x, y) ≤ f(0, 0) para lospuntos del conjunto {(x, y) ∈ R2/y = 0}.

Bibliografıa

1. G. L. Bradley, K. Smidth Calculo de varias variables. Prentice Hall, 1998.

2. J. de Burgos Calculo infinitesimal de varias variables. Mc Graw Hill, 1999.

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