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Índice general

0.1. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.2. Álgebra de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260.4. La inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280.5. Matrices escalonadas y escalonadas reducidas . . . . . . . . . . . . . . . 30

0.5.1. Algoritmo de Gauss-Jordan para hallar la inversa de una matriz . 35

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Mireya Bracamonte Álgebra lineal Luz Marchan

Estas notas se han creado como material de apoyo para losestudiantes de álgebra lineal de la FCNM- ESPOL. Cualquierobservación que considere que pudiera contribuir a mejorarlapuede enviarla al correo [email protected].”Nuestras vidas se definen por las oportunidades incluso lasque perdemos”.Puedes encontrar otros temas en:http://blog.espol.edu.ec/mrbracamonte

Visto como capítulo complementarío, no se presentarán todas las demostraciones delas proposiciones contenidas en cada sección sobre todo, aquellas que pudieran ser muyextensas y que se pueden prescindir sin alterar el objetivo del texto. Sin embargo, no sepuede prescindir de todas, ya que sí es importante que el lector desarrolle la habilidadde familiarizarse con demostraciones de algunos enunciados matemáticos.

A lo largo de este texto se trabaja con un campo de números denotado por K, quepuede ser R (Conjunto de los números reales) ó C (el conjunto de los números complejos)y cualquier afirmación relativa a K significa que es válida en los dos casos. Se dice queun elemento de K es un escalar.

Se requiere, para iniciar un curso básico de álgebra lineal, que el lector tenga ciertosconocimientos básicos como: operaciones con números reales y número complejos, méto-dos de resolver sistemas de ecuaciones (sustitución, igualación y/o reducción); así comotambién debe poseer habilidades y destrezas básicas para realizar un estudio sistemáticoe idealmente autónomo.

0.1. Matrices

Seanm y n números enteros tales quem,n ≥ 1. Una matriz de orden (o tamaño)m × n es un arreglo rectangular, de números en K, distribuidos en m filas (orenglones) y n columnas.Su representación usual es la siguiente:

A =

a11 a12 a13 · · · a1n

a21 a22 a23 · · · a2n

a31 a32 a33 · · · a3n

· · · · · · · · · . . . · · ·am1 am2 am3 · · · amn

.

Definición 1.

3

http://blog.espol.edu.ec/mrbracamonte

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Mireya Bracamonte FCNM - ESPOL Luz Marchan

La definición muestra que se requieren (máximo) dos subíndices, o índices, para identi-ficar un elemento dado: un subíndice de fila y un subíndice de columna.

ú Es usual denotar las m filas de Apor A1∗, A2∗, ..., Am∗ y las n colum-nas por A∗1, A∗2, ..., A∗n.

ú En algunos casos se usara [A]ij , en lugar de aij , para denotar la entrada ij de lamatriz A, lo cual facilita la escritura.

ú Las matrices son denotadas usualmente con letras mayúsculas y los elementos delcampo K con minúsculas.

ú El conjunto de todas las matrices de orden m × n, cuyas entradas pertenecen aK, será denotado como Mm×n(K).

A =

(2 3 5− i4 −i 0

), es una matriz de orden 2× 3 donde

+ sus filas son A1∗ = (2, 3, 5− i) y A2∗ = (4,−i, 0) y

+ sus columnas son A∗1 =

(2

4

), A∗2 =

(3

−i

)y A∗3 =

(5− i0

).

Ejemplo 1.

4

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1. B =

1√2i

0

π

, es una matriz de orden 4× 1 con sólo una columna.

2. C =

(1 −5 0

2i

3

)es una matriz de orden 1× 4 con sólo una fila.

Ejemplo 2.

A tener en cuenta:

¶ Algunos autores escriben

A =

a11 a12 a13 · · · a1n

a21 a22 a23 · · · a2n

a31 a32 a33 · · · a3n...

......

. . ....

am1 am2 am3 · · · amn

en lugar de

A =

a11 a12 a13 · · · a1n

a21 a22 a23 · · · a2n

a31 a32 a33 · · · a3n...

......

. . ....


.

En este texto usaremos la segunda expresión.

· Una matriz cuyo número de filas y de columnas sean iguales se denomina matrizcuadrada. Si una matríz es de orden n× n se dice simplemente de orden n.

A =

2 3 5

π −1 0

5 1 i− 2

, es una matriz cuadrada de orden 3.

Ejemplo 3.

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¸ El conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n × n, cuyas entradas per-tenecen a K, será denotado como Mn(K).

¹ La diagonal principal de una matriz cuadrada A está constiuida por los ele-mentos de la forma [A]ii.

º Una matriz que posee una sola fila se denomina matriz fila o matriz unifila. Esdecir, una matriz de la forma:

(a11 a12 ... a1n

).

+ Esta matriz tiene orden 1× n.

Como ejemplos de matrices filas, se tiene:

A =(

1 −4π 2), B =

(4

i

3

√2 −1

), C =

(1 3 5 3

√91 5

).

» Una matriz que posee una sola columna se denomina matriz columna o matriz

unicolumna. Es decir, una matriz de la forma:

a11

a21...

am1

.

+ Esta matriz tiene orden m× 1.

Como ejemplo de matrices columnas, están:

A =

(π√5

),

B =

1

i− 5

4

,C =

−2i−5√32

5

.

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Una matriz de orden m × n se denomina matriz nula si todas sus entradasson iguales al elemento nulo para la adición del campo K. Dicha matriz serádenotada como 0m×n.

Definición 2.

¶ 03×3 =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

, es la matriz nula de orden 3.

· 01×3 =(

0 0 0), es la matriz nula de orden 1× 3.

¸ 02×3 =

(0 0 0

0 0 0

), es la matriz nula de orden 2× 3.

Sea A ∈Mn(K) una matriz cuadrada. Se dice que:

¶ A es una matriz triangular superior si todos los elementos que estánbajo la diagonal principal son nulos. Esto es, [A]ij = 0 para i > j.

· A es una matriz triangular inferior si todos los elementos que estánsobre la diagonal principal son nulos. Esto es, [A]ij = 0 para i < j.

¸ A es una matriz diagonal si todos los elementos que están por encimay por debajo de la diagonal principal son nulos. Esto es, [A]ij = 0 parai 6= j. Usualmente, esta matriz se denota por A = diag(a11, a22, ..., ann).

¹ A es una matriz escalar si es diagonal y los elementos que conforman ladiagonal principal son todos iguales.

º A es la matriz identidad de Mn(K), denotada por In, si es escalar con1 en cada una de las entradas de la diagonal.

Definición 3.

Por ejemplo,

¶ A =

4 3 1− i0 5 2

0 0 9

, es una matriz triangular superior.

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· B =

4 0 0

0 3 + i 0

0 0 3

, es una matriz diagonal.

¸ C =

i 0 0 0

2 0 0 0

3 0 1 0

5 2 0√5

, es una matriz triangular inferior.

¹ F =

i 0 0 0

0 i 0 0

0 0 i 0

0 0 0 i

, es una matriz escalar.

º In =

1 0 · · · 0

0 1 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 1

. es la matriz identidad de Mn(K).

Sean A ∈ Mm×n(K) y B ∈ Mm×n(K). Se dice que A y B son iguales, si suselementos correspondientes son iguales, esto es, A = B si y sólo si [A]ij = [B]ij

para cada i = 1, 2, ...,m y para cada j = 1, 2, ..., n.

Definición 4.

Note que no tiene sentido hablar de matrices iguales entre matrices de diferentes tama-ños.

Hallar los valores de a y b para que las matrices A =

2a+ b 3

−1 b

2− a

y

B =

(6 3

−1 i− 3

)sean iguales.

Ejemplo 4.

§Solución. De acuerdo a la definición 4, A = B si y sólo si 2a+ b = 6 yb

2−a = i−3.

Luego, se obtiene el sistema de ecuaciones 2a+ b = 6b

2− a = i− 3.

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+ Multiplicando por 2 la segunda ecua-ción del sistema y sumando con la primera,se obtiene que b = i.

2𝑎 + 𝑏 = 6

−2𝑎 + 𝑏 = 2𝑖 − 6

2𝑏 = 2𝑖𝑏 = 𝑖

+ Multiplicando por −1 a la primera ecuación y por 2 la segunda ecuación del

sistema y sumando las ecuaciones resultantes, se obtiene que a = 3− i

2.

−2𝑎 − 𝑏 = −6

−2𝑎 + 𝑏 = 2𝑖 − 6

−4𝑎 = −12 + 2𝑖

𝑎 = 3 −1

2𝑖

Entonces, los valores buscados son a = 3− i

2y b = i.

Hallar todos los valores de x e y tal que

(x2 y − x0 y2

)=

(1 x− y

x+ 1 1

).

Ejemplo 5.

§Solución. De acuerdo a la definición 4, A = B si y sólo si

x2 = 1 y − x = x− y

0 = x+ 1 y2 = 1.

De x2 = 1 se obtiene que x = 1 o x = −1. De forma similar se tiene que de y2 = 1 quey = 1 o y = −1.

Ahora bien, también deben cumplirse las igualdades 0 = x+1, es decir, que x = −1.Además,

y − x = x− y

2y = 2x

y = x

Esto es, los valores de x = y = −1 son los que hacen que se cumpla la igualdadpedida.

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0.2. Álgebra de matrices

Se definen a continuación tres operaciones básicas con matrices: multiplicación deun escalar por una matriz, adición de matrices y multiplicación de matrices.

Sean m y n enteros positivos fijos y mayores o iguales a 1. Sean A,B ∈Mm×n(K). La suma entre A y B, es la matriz m× n definida por

[A+B]ij = [A]ij + [B]ij , i = 1, 2, ...,m, j = 1, 2, ..., n.

Definición 5 (Adición de matrices).

De forma más específica, si

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...am1 am2 · · · amn

y B =

b11 b12 · · · b1n

b21 b22 · · · b2n...

.... . .

...bm1 bm2 · · · bmn

entonces A+B =

a11 + b11 a12 + b12 · · · a1n + b1n

a21 + b21 a22 + b22 · · · a2n + b2n...

.... . .

...am1 + bm1 am2 + bm2 · · · amn + bmn

.

Sean A =

2 0 5

i 3 4

4 8 9

y B =

i 0 7

−i 2 8

2 4 5

. Determinar la suma de A y B.

Ejemplo 6.

§Solución. De acuerdo a la Definición 5 se tiene que:

A+B =

2 + i 0 + 0 5 + 7

i+ (−i) 3 + 2 4 + 8

4 + 2 8 + 4 9 + 5

=

2 + i 0 12

0 5 12

6 12 14

.

+ Note que si A = (aij)m×n y 0 = 0m×n es la matriz nula, del mismo orden, entonceses posible verificar que

A+ 0 = 0+A = A.

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Sean A ∈ Mm×n(K) y α ∈ K. La multiplicación del escalar α por A, denotadopor αA, es la matriz de orden m× n que se obtiene multiplicando cada uno delas entradas de la matriz A por el escalar α. Es decir: [αA]ij = α[A]ij .

Definición 6 (Multiplicación de un escalar por una matriz).

De manera explícita, si A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...am1 am2 · · · amn

entonces

αA =

αa11 αa12 · · · αa1n

αa21 αa22 · · · αa2n...

.... . .

...αam1 αam2 · · · αamn

.

Sea A =

√2 −85 6

3 i

y α =1

2, determinar

1

2A.

Ejemplo 7.

§Solución.1

2A =

√2

2−8

2

5

2

6

2

3

2

i

2

=

√2

2−4

5

23

3

2

i

2

.

También es de interés obtener ciertas matrices que resulten de combinar las opera-ciones definidas anteriormente, cuando esto sea posible.

Dadas las matrices A =

i −85 6

3 5

y B =

2 −85 π2

35

determinar, de ser

posible, 2A− 3iB.

Ejemplo 8.

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§Solución. De acuerdo a la definiciones 5 y 6 se tiene

2A− 3iB = 2

i −85 6

3 5

− 3i

2 −85 π2

35

=

2i− 6i −16 + 24i

10− 15i 12− 3iπ

6− 2i 10− 15i

=

−4i −16 + 24i

10− 15i 12− 3iπ

6− 2i 10− 15i

.

Dada una matriz A ∈ Mm×n(K) es evidente que la matriz B definida por [B]ij =

−[A]ij también pertenece a Mm×n(K), donde −[A]ij es el opuesto de [A]ij en K, enconsecuencia

[A+B]ij = [A]ij + [B]ij = [A]ij + (−[A]ij) = 0,

esto significa que A+B = 0m×n.

Esta matriz B recibe el nombre de matriz opuesta de A y es denotada por −A.

k k Teorema 1. Sea A ∈Mm×n(K), entonces −A = (−1)A.

La demostración es consecuencia inmediata de la multiplicación de un escalar poruna matriz, se deja al lector su verificación.

La forma como están definidas las dos operaciones matriciales anteriores permiteestablecer un conjunto de propiedades que se muestran a continuación.

k k Teorema 2 (Propiedades). Sean A,B y C matrices en Mm×n(K). Entonces severifican las siguientes propiedades:

S1. La suma es conmutativa, es decir A+B = B +A.

S2. La suma es asociativa, esto es, A+ (B + C) = (A+B) + C.

S3. A+ 0m×n = 0m×n +A = A.

S4. Para cada matriz A, A+ (−A) = (−A) +A = 0m×n.

Para α y β escalares y A y B como antes, se tiene que

M1. α(A+B) = αA+ αB.

M2. (α+ β)A = αA+ βA.

M3. (αβ)A = α(βA) = β(αA).

M4. 1 ·A = A.

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Demostración. Se demuestran aquí sólo algunas de las propiedades y las restantes sedejan como ejercicio para el lector.

3 La propiedad S1 es consecuencia inmediata de la conmutatividad en el campoK.

Gracias a la definición 5 se tiene que [A+B]ij = [A]ij + [B]ij

en virtud de la conmutatividad en K = [B]ij + [A]ij

haciendo uso, nuevamente, la definición 5 se tiene que = [B +A]ij .

Por lo tanto, la Definición 2 garantiza que A+B = B +A.

3 Ahora, para demostrar la propiedad S2 considérese tres matrices, A,B y C enMm×n(K),

Usando la definición 5 [A+ (B + C)]ij = [A]ij + [B + C]ij

nuevamente, por la definición 5 = [A]ij + ([B]ij + [C]ij)

gracias a la asociatividad en K = ([A]ij + [B]ij) + [C]ij

nuevamente, por la definición 5 = [A+B]ij + [C]ij

se tienen estas dos últimas igualades = [(A+B) + [C]ij .

Quedando demostrada la propiedad asociativa para la suma de matrices, haciendouso de la Definición 2.

3 Para demostrar la propiedad S3, sean las matrices A,0 ∈Mm×n(K). Luego,

[A+ 0]ij = [A]ij + [0]ij

= [A]ij + 0

= [A]ij .

Esto es A+ 0m×n = A, segun la Definición 2.

De forma similar se verifica que 0m×n+A = A y queda así demostrada la propiedadS3.

3 Para demostrar la propiedad M1 considere las matrices A,B ∈ Mm×n(K) yα ∈ K, entonces

Por definición 6 [α(A+B)]ij = α[(A+B)]ij

por la definición 5 = α([A]ij + [B]ij)

por la distributividad en el campo = α[A]ij + α[B]ij

Así, nuevamente la definición 2 garantiza que α(A+B) = αA+ αB.

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k Observación 1. + Las propiedades M1 y M2 pueden ser generalizadas para másde dos matrices y más de dos escalares respectivamente. Es decir: Si A1, A2, ..., Ak sonmatrices de orden m× n y α, α1, α2, ..., αk ∈ K, entonces:

¶ α(A1 +A2 + ...+Ak) = αA1 + αA2 + ....+ αAk.

· (α1 + α2 + ...+ αk)A = α1A+ α2A+ ...+ αkA.

Sean A,B ∈ Mm×n(K). La resta de A y B, que se denotará por A − B, es lamatriz de orden m× n que se obtiene al hacer la adición entre la matriz A conla matriz opuesta de B, esto es: A−B = A+ (−B).

Definición 7.

Si A =

1 4 0

2 1 4

1 1 1

y B =

0 8 −31 5 1

1 1 2

entonces

A−B = A+ (−B)

=

1 4 0

2 1 4

1 1 1

+

0 −8 3

−1 −5 −1−1 −1 −2

=

1 −4 3

1 −4 3

0 0 −1

.

Ejemplo 9.

Si A =

(−5 9

6√5

)y B =

(i 4

5 −8

)entonces:

A−B = A+ (−B) =

(−5 9

6√5

)+

(−i −4−5 8

)=

(−5− i 5

1√5 + 8

).

Ejemplo 10.

k Observación 2. + De la definición 7, es claro que [A−B]ij = [A]ij − [B]ij.

Con lo que se tiene hasta ahora, se pueden resolver ciertas ecuaciones que involu-cran matrices, aplicando procedimientos “similares” a los aplicados en la resolución deecuaciones usuales en R.

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Determinar, de ser posible, la matriz X que satisface la igualdad 3A−2X = B,

donde A =

(2 3 −11 4 5

)y B =

(−1 3 6

7 8 9

).

Ejemplo 11.

§Solución. El objetivo es determinar a la incógnita matricial X.3A− 2X = B

sumando a ambos lados − 3A, (3A− 2X) + (−3A) = B + (−3A)usando la propiedad S1, −3A+ (3A− 2X) = B + (−3A)usando la definición 7, −3A+ (3A+ (−2X)) = B + (−3A),

usando ahora S2, (−3A+ 3A) + (−2X) = B + (−3A),aplicando S4, 02×3 + (−2X) = B + (−3A),

aplicando S3 y definición 7 se obtiene −2X = B − 3A,

multiplicando por − 1

2X = −1

2(B − 3A).

Sustituyendo se tiene que:

X = −1

2

((−1 3 6

7 8 9

)− 3

(2 3 −11 4 5

))

= −1

2

((−1 3 6

7 8 9

)−

(6 9 −33 12 15

))

= −1

2

(−7 −6 9

4 −4 −6

)=

7

23 −9

2

−2 2 3

.

Hasta ahora, se puede observar que es posible realizar adición sólo entre matrices deigual tamaño. Ahora,

Sean A una matriz de orden 1× k y B una matriz de orden k × 1. Se define lamultiplicación de A y B, denotada por A ·B o simplemente AB, a la matrizde orden 1× 1 dada por:

AB =

k∑i=1

[A]1i[B]i1.

Definición 8.

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Si

A =(a11 a12 · · · a1k

)y B =

b11

b21...bk1

,

entonces

AB = a11b11 + a12b21 + · · ·+ a1kbk1.

Nótese que la multiplicación que se está definiendo exige que el número de columnasde la matriz A sea igual al número de filas de la matriz B.

Sean M =

(3 5 −6 1

2

)y N =

1

2

−1

2

1

, determinar MN .

Ejemplo 12.

§Solución. De acuerdo a la Definición 8 se tiene que

MN =

(3 5 −6 1

2

)

1

2

−1

2

1

= 3 · 1 + 5 · 2 + (−6) ·

(−1

2

)+

1

2· 1 =

33

2.

Sean A =(

1 5 −i)y B =

2

6

−5

. Determinar AB.

Ejemplo 13.

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§Solución. De acuerdo a la definición 8 se tiene que:

AB =(

1 5 −i) 2

6

−5

= 1 · 2 + 5 · 6 + (−i) · (−5) = 2 + 30 + 5i) = 32 + 5i.

Sean las matrices A ∈Mm×p(K) y B ∈Mp×n(K) la multiplicación de A por B,se denota por A.B o simplemente por AB, es una nueva matriz en Mm×n(K)

definida como

[AB]ij = [A]i∗[B]∗j =n∑

k=1

[A]ik[B]kj , para todo 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

Definición 9.

Note que, si A =

a11 · · · a1n...

. . ....

am1 · · · amn

y B =

b11 · · · b1p...

. . ....

bn1 · · · bnp

, se tiene que

A ·B =

a11 · · · a1n...

. . ....

am1 · · · amn

·

b11 · · · b1p...

. . ....

bn1 · · · bnp

=

A1∗B∗1 A1∗B∗2 · · · A1∗B∗n

A2∗B∗1 A2∗B∗2 · · · A2∗B∗n...

.... . .

...Am∗B∗1 Am∗B∗2 · · · Am∗B∗n

=

a11b11 + · · ·+ a1nbn1 · · · a11b1p + · · ·+ a1nbnp

.... . .

...am1b11 + · · ·+ amnbn1 · · · am1b1p + · · ·+ amnbnp

.

Si A ∈Mn(K), entonces AIn = A.

Ejemplo 14.

§Solución. Por la definición

[AIn]ij = [A]i∗[In]∗j =n∑

k=1

[A]ik[In]kj .

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Ahora bien, [In]kj =

{0 si k 6= j

1 si k = j,en consecuencia

[AIn]ij = [A]i∗[In]∗j =n∑

k=1

[A]ik[In]kj = [A]ij [In]jj = [A]ij · 1 = [A]ij .

Así, AIn = A (Ver definición 2).

k Observación 3. Si A ∈ Mm×n(K), B ∈ Mn×m(K) y m 6= n, entonces AB y BAtienen diferentes tamaños y en consecuencia es posible afirma que la multiplicación noes conmutativa.

Cabe preguntarse entonces, ¿Si A ∈ Mm×n(K), B ∈ Mn×m(K) y m = n, entoncesAB = BA?, o dicho de otra manera, ¿La multiplicación de matrices cuadradas, esconmutativa?. Considérese el siguiente ejemplo.

Determinar las matrices AB y BA donde

A =

2 1 −i−1 3 3

1 1 2

y B =

1 2 −11 1 −30 −1 2

.

Ejemplo 15.

§Solución.

AB =

2 1 −i−1 3 3

1 1 2

· 1 2 −1

1 1 −30 −1 2

=

2 · 1 + 1 · 1 + (−i) · 0 2 · 2 + 1 · 1 + (−1) · (−i) 2 · (−1) + 1 · (−3) + (−i) · 2(−1) · 1 + 3 · 1 + 3 · 0 −1 · 2 + 3 · 1 + 3 · (−1) −1 · (−1) + 3 · (−3) + 3 · 2

1 · 1 + 1 · 1 + 2 · 0 1 · 2 + 1 · 1 + 2 · (−1) 1 · (−1) + 1 · (−3) + 2 · 2

=

3 5 + i −5− 2i

2 −2 −22 1 0

.

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te-M

arch

an


BA =

1 2 −11 1 −30 −1 2

· 2 1 −i−1 3 3

1 1 2

=

1 · 2 + 2 · (−1) + (−1) · 1 1 · 1 + 2 · 3 + (−1) · 1 1 · (−i) + 2 · 3 + (−1) · 21 · 2 + 1 · (−1) + (−3) · 1 1 · 1 + 1 · 3 + (−3) · 1 1 · (−i) + 1 · 3 + (−3) · 20 · 2 + (−1) · (−1) + 2 · 1 0 · 1 + (−1) · 3 + 2 · 1 0 · (−i) + (−1) · 3 + 2 · 2

BA =

−1 6 4− i−2 1 −3− i3 −1 1

.

Como puede observarse en este ejemplo, la multiplicación resulta no ser conmutativa,aún siendo matrices cuadradas.

Sin embargo, hay otras propiedades de la multiplicación que se cumplen, tal comose verá en el siguiente teorema.

k k Teorema 3 (Propiedades de la multiplicación de matrices). Sean A ∈Mn×p(K),B,C ∈Mp×r(K), D ∈Mr×m(K) y α, β ∈ K,entonces:

(a) La multiplicación de matrices es asociativa, esto es, (AB)D = A(BD).

(b) La multiplicación de matrices es distributiva por la izquierda con respecto a lasuma, esto es, A(B + C) = AB +AC.

(c) La multiplicación de matrices es distributiva por la derecha con respecto a la suma,esto es, (A+B)C = AC +BC.

(d) Existen la identidad por la derecha y la identidad por la izquierda de la multiplica-ción de matrices InA = A = AIp.

(e) α(AB) = (αA)B = A(αB).

(f) 0m×nA = 0m×p y A0p×n = 0m×n.

Demostración. Se deja de ejercicios para el lector.

Una vez definida la multiplicación entre matrices se puede presentar la potencia dematrices, la cual se obtiene de forma natural.

19

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Sea A una matriz cuadrada de orden n y k un entero no negativo, se define lak-ésima potencia de A, denotada por Ak, por la fórmula de recurrencia:

(i) A0 := In,

(ii) Ak := Ak−1A para k ≥ 1.

Definición 10 (Potencias de una matriz).

Sea A =

(1 −2−1 0

). Determinar A2.

Ejemplo 16.

§Solución. De acuerdo a la definición 10 se tiene que

A2 =

(1 −2−1 0

)·

(1 −2−1 0

)=

(3 −2−1 2

).

Sea N =

0 1 0

0 0 1

0 0 0

. Determinar N3.

Ejemplo 17.

§Solución.

N3 = N2 ·N =

0 1 0

0 0 1

0 0 0

·0 1 0

0 0 1

0 0 0

·0 1 0

0 0 1

0 0 0

=

0 0 1

0 0 0

0 0 0

·0 1 0

0 0 1

0 0 0

=

0 0 0

0 0 0

0 0 0

.

Note, en este ejemplo, que existen matrices no nulas con alguna potencia nula, locual es una propiedad que no cumple el conjunto de los números reales. Estas matricesreciben un nombre particular, como se indica a continuación.

20

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Una matriz cuadrada A de orden n se dice nilpotente, si existe un enteropositivo k tal que Ak = 0n.S Al menor entero que satisface la igualdad Ak = 0n, se le llama índice denilpotencia de A. También se dice que la matriz es nilpotente de índice o deorden k.

Definición 11.

Las matrices triangulares con todos los elementos de su diagonal principal nulosson matrices nilpotentes.

Ejemplo 18.

Otras definiciones relacionadas con la potencia, se presentan de inmediato.

Una matriz A es idempotente si A = A2.

Definición 12.

Las matrices A =

2

3

1

3

2

3

1

3

y B =

(1 0

0 1

)son idempotentes.

Ejemplo 19.

k k Teorema 4. Para enteros m,n no negativos se tiene que

An ·Am = An+m y (An)m = Anm.

k k Teorema 5. Sean A y B dos matrices cuadradas, tales que A ·B = B ·A entoncesse cumple:

(a) (A ·B)n = An ·Bn.

(b) An ·Bm = Bm ·An.

Otra noción relativa a una matriz se define a continuación.

21

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Sea A ∈ Mm×n(K). La traspuesta de A, denotada por At ó tA, es la matrizde Mn×m(K) definida por [At]ij = [A]ji para todo i, j.

Definición 13.

El considerar la traspuesta de una matriz equivale a intercambiar filas por columnasy viceversa, esto es, si

A =

a11 a12 a13 · · · a1n

a21 a22 a23 · · · a2n

a31 a32 a33 · · · a3n...

......

. . ....


entoncesAt =

a11 a21 a31 · · · am1

a12 a22 a32 · · · am2

a13 a23 a33 · · · am3

......

.... . .

...a1n a2n a3n · · · anm

.

Dadas las matrices A =

(1 2 −50 3 4

), B =

(3 4

5 6

)y C =

0 0 4

i 0 4

0 i 0

0 3 2

0 2 3

0 3 4

3 3 i

,

hallar At, Bt y Ct.

Ejemplo 20.

§Solución. De acuerdo a la Definición 13 se tiene que

At =

1 0

2 3

−5 4

, Bt =

(3 5

4 6

), Ct =

0 i 0 0 0 0 3

0 0 i 3 2 3 3

4 4 0 2 3 4 i

.

k k Teorema 6 (Propiedades de la traspuesta de una matriz). Sean A y B matricesde orden adecuados de tal manera que existan las operaciones de suma y multiplicación.Sea α un escalar. Entonces:

¶ (A+B)t = At +Bt,

· (αA)t = αAt,

¸ (AB)t = Bt ·At,

¹ (At)t = A.

Demostración. Ê Sean A,B ∈Mm×n(K). Entoces

[(A+B)t]ij = [A+B]ji = [A]ji + [B]ji = [At]ij + [Bt]ij .

22

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Ê Se deja de ejercicio para el lector.Ë Sean A ∈Mm×n(K), B ∈Mn×p(K) se tiene que

[(AB)t]ij = [AB]ji =

n∑k=1

[A]jk[B]ki =

n∑k=1

[At]kj [Bt]ik =

n∑k=1

[Bt]ik[At]kj = [BtAt]ij .

Esto implica que (AB)t = Bt ·At.Ì Sea A ∈Mm×n(K), entonces

[(At)t]ij = [At]ji = [A]ij ,

esto es (At)t = A.

Si A =

(1 2 −50 3 4

)y B =

3 4 0 −15 6 −3 4

1 0 2 −3

. Verificar que (AB)t =

Bt ·At.

Ejemplo 21.

§Solución. El lector puede verificar que

A ·B =

(1 2 −50 3 4

)·

3 4 0 −15 6 −3 4

1 0 2 −3

=

(8 16 −16 22

19 18 −1 0

).

Luego, (A ·B)t =

8 19

16 18

−16 −122 0

.

Por otra parte,

BtAt =

3 5 1

4 6 0

0 −3 2

−1 4 −3

· 1 0

2 3

−5 4

=

8 19

16 18

−16 −122 0

= (A ·B)t.

Sea A ∈Mm×n(K). La conjugada de A, denotada por A se define por [A]ij =[A]ij .Además, la traspuesta conjugada o traspuesta hermitiana, denotada por A∗,se define como A∗ = At.

Definición 14.

23

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Es claro que, si A ∈Mm×n(R) entonces A∗ = At.

La matriz A =

3 2− i i

1 3 2

5 5− i 2i

tiene traspuesta conjugada

A∗ =

3 1 5

2 + i 3 5 + i

−i 2 −2i

.

Ejemplo 22.

k k Teorema 7 (Propiedades de las matrices conjugadas). Sean A y B matrices delos órdenes adecuados. Entonces

¶ AB = AB,

· (A∗)∗ = A,

¸ (A+B)∗ = A∗ +B∗,

¹ (αA)∗ = αA∗,

º (AB)∗ = B∗A∗,

» Si A es invertible, entonces A∗ es invertible y (A∗)−1 = (A−1)∗.

Demostración. Se demuestra aquí las dos últimas partes del teorema y se deja al lectorlas demás.

Î Sean A ∈Mm×n(K) y B ∈Mn×p(K), entonces

(AB)∗ = (AB)t = BtAt = Bt At = B∗A∗.

Ï Sea A ∈Mn(K) invertible, entonces

(A−1)∗A∗ = (A(A−1))∗ = I∗ = I,

y

A∗(A−1)∗ = ((A−1)A)∗ = I∗ = I,

Esto implica que A∗ es invertible y (A∗)−1 = (A−1)∗.

Note que en el caso de matrices cuadradas se puede comparar la matriz A con sutraspuesta At, algunas veces una matriz puede coincidir con su traspuesta ( o con elopuesto de su traspuesta); este tipo de matrices reciben nombres particulares, tal comolo establece la siguiente definición.

24

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Una matriz A se dice que:

¶ simétrica, si A = At.

· antisimétrica, si A = −At.

Definición 15.

Note el lector que las matrices simétricas o antisimétricas son necesariamente cua-dradas.

Determinar si las siguientes matrices son simétricas o antisimétricas:

A =

2 1

1 2

1 1

B =

2 1 3

1 5 1

3 1 3

C =

0 −2 9 7

2 0 −3 2

−9 3 0 0

−7 −2 0 0

D =

(1 1

0 1

).

Ejemplo 23.

§Solución. + La matriz A no es cuadrada, luego no puede ser simétrica ni antisimé-trica.

+ Para las matrices B y C se tiene que:

Bt =

2 1 3

1 5 1

3 1 3

= B y Ct =

0 2 −9 −7−2 0 −3 −29 3 0 0

7 2 0 0

= −C.

Esto es, B es simétrica y C es antisimétrica.

+ Por su parte, Dt =

(1 0

1 1

), esto significa D no es simétrica, ni antisimétrica.

k Observación 4. + En una matriz simétrica, podría considerarse la diagonal prin-cipal como un eje de simetría y es fácil notar que en este caso poca importancia tienenlos elementos de la diagonal principal.

+ En el caso de las matrices antisimétricas necesariamente los elementos de la dia-gonal principal son ceros.

+ Una matriz que sea simétrica y antisimétrica a la vez tiene que ser la matriz nula.

25

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Demuestre que matriz A+At es simétrica.

Ejemplo 24.

En efecto,

(A+At)t = At + (At)t = At +A = A+At,

luego A+At es una matriz simétrica.

k Ejercicio 1. Se deja de ejercicios al lector Verificar que la matriz A−At es antisi-métrica.

0.3. Ejercicios resueltos

1. Sean A y B matrices simétricas del mismo orden. Entonces la matriz AB es simé-trica si y sólo si AB = BA.

Demostración. .

(=⇒) Suponga que AB es una matriz simétrica, se debe demostrar que AB = BA.

Por hipótesis AB = (AB)t,

por el Teorema 6 = BtAt,

ya queA yB son simétricas = BA.

En consecuencia, A ·B = B ·A, como se deseaba demostrar.

(⇐=) Recíprocamente, suponga que AB = BA, debe demostrarse ahora que ABes simétrica.

Por hipótesis (AB)t = (BA)t,

por el Teorema 6 = AtBt,

dado queA yB son simétricas = AB.

Esto verifica que si AB = BA, entonces (AB)t = AB, esto es A·B es simétrica.

2. Demuestre que toda matriz A se puede escribir como la suma de una matriz simé-trica y una antisimétrica.

Demostración. Dado que A+ At es simétrica (Ver Ejemplo 24 ) y A− At es una

matriz antisimétrica (Ver ejercicio 1), el Teorema 6 (Ë) garantiza que1

2

(A+At

)y1

2

(A−At

)son matrices simétrica y antisimétrica respectivamente.

Luego, A =1

2

(A+At

)+

1

2

(A−At

), completando la demostración.

26

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Sea A una matriz cuadrada de orden n. La traza de A, la cual es denotadapor tr(A), es la suma de los elementos de la diagonal principal de A, esto es

tr(A) =n∑

i=1[A]ii.

Definición 16.

La traza de la matriz A =

1 5 2

0 1 2

3 1 i

está dada por tr(A) = 1+1+i = 2+i.

Ejemplo 25.

k k Teorema 8. Sean A y B matrices de órdenes adecuados y α ∈ K. Entonces:

Ê tr(A+B) = tr(A) + tr(B).

Ë tr(αA) = αtr(A).

Ì tr(A ·B) = tr(B ·A).

Í tr(At) = tr(A).

Demostración. Ê Sean A y B matrices en Mn(K), entonces, de acuerdo a la Definición16:

tr(A+B) =

n∑i=1

[A+B]ii =

n∑i=1

([A]ii + [B]ii) =

n∑i=1

[A]ii +

n∑i=1

[B]ii = tr(A) + tr(B).

Ë Si A ∈Mn(K) y α ∈ K entonces

tr(αA) =

n∑i=1

([αA]ii) =

n∑i=1

(α[A]ii) = α

n∑i=1

[A]ii = αtr(A).

Ì Para determinar la traza de AB,

tr(AB) =

n∑i=1

[AB]ii =

n∑i=1

(n∑

k=1

[A]ik[B]ki

)=

∑i = 1, . . . , n

k = 1, . . . , n

[A]ik[B]ki. (1)

De forma similar, se tiene que

tr(BA) =n∑

i=1

(n∑

k=1

[B]ik[A]ki

)=

∑i = 1, . . . , n

k = 1, . . . , n

[B]ik[A]ki. (2)

27

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De (1) y (2) se obtiene la igualdad deseada, por lo cual se concluye que tr(A ·B) =

tr(B ·A).Í Sea A ∈Mn(K). Entonces

tra(At),=n∑

i=1

[At]ii =n∑

i=1

[A]ii = tr(A).

0.4. La inversa de una matriz

De cursos básicos de cálculo se conoce, que dado cualquier número real x con x 6= 0,existe un único número real x−1 tal que xx−1 = x · x−1 = x−1x = x−1 · x = 1, donde1 es el elemento identidad de la multiplicación en los números reales. ¿Será que dadacualquier matriz cuadrada de orden n, dígase A, es posible hallar siempre otra matrizcuadrada B de orden n, al que AB = BA = In?. Para responder esta interrogante serequiere de ciertas herramientas previas que ayudaran a dar respuesta.

Una matriz A ∈ Mn(K) se dice que es invertible ( llamada también no sin-gular) si existe una matriz B ∈Mn(K), tal que:

AB = BA = In.

En este caso se dice que B es es la inversa de A, y cuando no existe esta matrizB se dice que A no es invertible (ó A es singular).

Definición 17.

Sea A =

(1 2

3 4

). Comprobar que B =

−2 13

2−1

2

es la inversa de A.

Ejemplo 26.

§Solución. Note que

AB =

(1 2

3 4

)·

−2 13

2−1

2

=

(−2 + 3 1− 1

−6 + 6 3− 2

)=

(1 0

0 1

).

28

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an


Además,

B ·A =

−2 13

2−1

2

·( 1 2

3 4

)=

−2 + 3 −4 + 43

2− 3

23− 2

=

(1 0

0 1

).

Dado que AB = BA = I2, entonces por la definición 17, A es invertible con inversa −2 13

2−1

2

.

Desafortunadamente no siempre es tan sencillo, como en el ejemplo anterior, encon-trar una matriz inversa. Una pregunta natural es ¿existirá alguna forma para encontraresta matriz inversa, en caso de que ésta exista?, ¿Existe alguna forma de determinar siuna matriz tiene inversa, sin necesidad de hallar la inversa? o ¿Una matriz puede poseermás de una matriz inversa?. Lo que sigue se dedica a dar respuesta a estas preguntas.

k k Teorema 9. Si una matriz cuadrada A de orden n posee inversa, ésta es única.

Demostración. Sea A una matriz cuadrada de orden n y suponga que existen matricesB y C tales que AB = BA = In y AC = CA = In. Luego,

AB = In,

multiplicando a ambos lados por C C(AB) = CIn

usando la asociatividad de la multiplicación (CA)B = C

usando la hipótesis InB = C

B = C.

Esto demuestra que si existe una matriz que es inversa de A, al igual que B, entoncesdebe ser igual a B. Esto es, la inversa de una matriz es única.

En virtud del Teorema 9, al hacer resferencia a la definición 17 se habla de la matrizinversa de A y se denotará por A−1.

Se presentan ahora algunas propiedades de las matrices invertible.

k k Teorema 10 (Propiedad de una matriz invertible). Sean A y B matrices cuadradasdel mismo orden e invertibles. Entonces:

Ê AB es invertible y (A ·B)−1 = B−1 ·A−1.

Ë A−1 es invertible y (A−1)−1 = A.

Ì Si α es un escalar no nulo, entonces αA es invertible y (αA)−1 = α−1A−1.

Í Si n es un entero cualquiera, entonces An es invertible y (An)−1 = (A−1)n.

29

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Î At es invertible y (At)−1 = (A−1)t.

Demostración. Ê Sean A,B ∈Mn matrices invertibles. Note que

(AB)(B−1A−1) = A((BB−1)A−1)

= A(InA−1)

= AA−1 = In.

y(B−1A−1)(AB) = B−1((A−1A)B)

= B−1(InB)

= B−1B = In.

Esto significa, según la Definición 17, que AB es invertible y (AB)−1 = B−1A−1.

La propiedad Ë se sigue inmediatamente de la definición 17.Ì De forma similar al primer caso, tendremos que

(αA)(α−1A−1) = αα−1(AA−1)

= 1In = In,y

(α−1A−1)(αA) = α−1α(A−1A)

= 1In = In.

Esto significa, según la Definición 17, que αA es invertible y (αA)−1 = α−1A−1.

Para demostrar Í, suponga que n = 2, entonces

A2(A−1)2 = A[(AA−1)A−1] = A(InA−1) = AA−1 = In

(A−1)2A2 = A−1[(A−1A)A] = A−1(InA) = A−1A = In.

Nuevamente, según la Definición 17, que A2 es invertible y (A2)−1 = (A−1)2.

Supongamos que esto se cumple para todo entero menor o igual que k, es decir, que

(Aj)−1 = (A−1)j para todo j ≤ k.

Luego

Ak+1(A−1)k+1 = AAk((A−1)kA−1) = A[(Ak(A−1)k)A−1] = A[InA−1)] = AA−1 = In

(A−1)k+1Ak+1 = [A−1(A−1)k][AkA] = A−1[((A−1)kAk)A] = A−1[InA] = A−1A = In.

Entonces, según la Definición 17, (Ak+1)−1 = (A−1)k+1, por lo tanto la propiedad secumple para todo entero positivo k.

0.5. Matrices escalonadas y escalonadas reducidas

En esta sección se verá que cada matriz se puede transformar en una matriz escalo-nada al aplicar operaciones elementales de filas, por lo cual se comienza definiendo estamatrices.

30

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Una matriz A se dice matriz escalonada por filas o simplemente escalonadasi cumple:

Ê Todos los renglones cero, en caso de tenerlos, están en la parte inferior dela matriz.

Ë El primer elemento no nulo de cada fila, que es llamado entrada principalde la fila, está en una columna situada a la derecha de la entrada principalde la fila inmediata superior.

Ì Todas las entradas que se localicen en una columna situada debajo de unaentrada principal son ceros.

Definición 18.

Como ejemplo de una matriz escalonada se tienen:

à

3i −2 7 5 1

0 0 -4 7 9

0 0 0 1 6 + i

0 0 0 0 0

,

0 -3+i 1 5

0 0 2 0

0 0 0 0

.

Ejemplo 27.

Sea A ∈Mm×n(K) una matriz cualquiera. Diremos que A es de forma escalo-nada reducida si verifica las siguientes propiedades:

Ê Todas las filas nulas se encuentran en la parte inferior de la matriz.

Ë El primer elemento no nulo de una fila es 1 (llamado líder o privote).

Ì El elemento líder de cada fila se encuentra a la derecha del elemento líderde la fila anterior.

Í Cada columna que incluye un elemento líder contiene ceros en los elemen-tos superiores e inferiores del mismo.

Definición 19.

Muchas veces se requiere aplicar operaciones sobre matrices para obtener una matrizequivalente el cual se puede facilitar un cálculo. Las operaciones elementales de filas sedefinen a continuación.

31

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Las operaciones elementales por filas son operaciones que pueden ser apli-cadas a las filas de una matriz de manera conveniente, y están dadas por:

Ê Intercambiar dos filas distintas de una matriz (fi ←→ fj ; i 6= j.)

Ë Multiplicar cualquier fila por una constante distinta de cero (fi → cfi. )

Ì Sumar un múltiplo constante de una fila a otra fila (fi → cfj + fi; i 6= j.)

Definición 20.

Dada la matriz A =

1 5 −32 3 −21 1 2

, obtenga una nueva matriz aplicando ope-

raciones elementales por filas.

Ejemplo 28.

§Solución. à De acuerdo a la definición 20, simplemente intercambiamos dos fi-las distintas. En este caso, se han seleccionado las filas 1 y 3; (el lector puede haberseleccionado otro intercambio).

A =

1 5 −32 3 −21 1 2

f1 ←→ f3−−−−−−→

1 1 2

2 3 −21 5 −3

= B.

Dos matrices A y B, de orden m × n, son equivalentes por filas si existeuna cantidad finita de operaciones elementales por filas tales que B puede serobtenida a partir de A. Cuando A y B sean equivalente por filas, escribiremos:A ∼ B.

Definición 21.

Las matrices A y B del Ejemplo 28 son equivalentes por filas ya que B se obtuvoa partir de la matriz A, a través de una operación elemental por fila.

Ejemplo 29.

32

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A través de operaciones elementales de filas es posible transformar una matriz enotra que tiene una forma más sencilla, por ejemplo una matriz escalonada.

Obtenga una matriz escalonada a partir de la matriz

A =

2 4 6 2 6i

3i 2 1 i 7

0 2 4 1 i

1 1 1 1 4

.

Ejemplo 30.

2 4 6 2 6i

3i 2 1 i 7

0 2 4 1 i

1 1 1 1 4

f1 → 12f1−−−−−−→

1 2 3 1 3i

3i 2 1 i 7

0 2 4 1 i

1 1 1 1 4

f2 → −3if1 + f2−−−−−−−−−−−−→

1 2 3 1 3i

0 2− 6i 1− 9i −2i 16

0 2 4 1 i

1 1 1 1 4

f4 → −f1 + f4−−−−−−−−−−→

1 2 3 1 3i

0 2− 6i 1− 9i −2i 16

0 2 4 1 i

0 −1 −2 0 4− 3i

f2 ↔ f4−−−−−→

1 2 3 1 3i

0 −1 −2 0 4− 3i

0 2 4 1 i

0 2− 6i 1− 9i −2i 16

f4 → (2− 6i)f2 + f4−−−−−−−−−−−−−−−→

1 2 3 1 3i

0 −1 −2 0 4− 3i

0 0 0 1 8− 5i

0 0 −3 + 3i −2i 6− 30i

f3 ↔ f4−−−−−→

1 2 3 1 3i

0 −1 −2 0 4− 3i

0 0 −3 + 3i −2i 6− 30i

0 0 0 1 8− 5i

+ Obsérvese que al aplicar una operación sobre alguna fila, el resto de las filas quedan

33

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iguales. Solo cambia aquella en la que fue aplicada la operación elemental. Luego, lamatriz obtenida está en forma escalonada.

Es válido preguntar ¿será que esta matriz es única?. Al parecer no es así, pues si aesta última matriz obtenida se hace la operación

1 2 3 1 3i

0 −1 −2 0 4− 3i

0 0 −3 + 3i −2i 6− 30i

0 0 0 1 8− 5i

f2 → −f2−−−−−−→

1 2 3 1 3i

0 1 2 0 −4 + 3i

0 0 −3 + 3i −2i 6− 30i

0 0 0 1 8− 5i

se obtiene una matriz equivalente a todas las anteriores. La respuesta se encontrarán enlos siguientes teoremas, para los cuales sólo se presentan sus enunciados y ejemplos.

k k Teorema 11. Si C es una matriz escalonada reducida equivalente por filas a unamatriz A, entonces C es única.

Según este teorema en el ejemplo 30 se tiene que la matriz equivalente reducida, esúnica y en este caso es:

1 2 3 1 3i

0 1 2 0 −4 + 3i

0 0 1 −13 + i

6 −6− 6i

0 0 0 1 8− 5i

k k Teorema 12. Sean A y B matrices escalonadas equivalentes por filas. EntoncesA y B tienen exactamente el mismo número de filas no nulas.

Sean A una matriz y C una matriz escalonada equivalente por filas a la matrizA. Entonces se define el rango de A, como el número de filas no nulas de C.El rango se denotará por rang(A).

Definición 22.

Determine el rango de la siguiente matriz A =

1 1 2 −2 −12 −1 −1 2 1

−1 5 8 −10 −53 −3 −4 6 3

.

Ejemplo 31.

34

Brac

amon

te-M

arch

an


§Solución. Se deja como ejercicio para el lector verificar que la forma escalonada redu-

cida C equivalente a A es la matriz C =

1 0 1

3 0 0

0 1 53 −2 −1

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

. Luego por Definición

22 se tiene que rang(A) = 2.

k k Teorema 13. Una matriz A es invertible si y sólo si A es equivalente por filas ala matriz identidad.

Determine si A =

[2 −11 1

]es invertible.

Ejemplo 32.

§Solución. Veamos primero si A ∼ I2:(2 −11 1

)f1 ↔ f2−−−−−→

(1 1

2 −1

)f2 → f2 − 2f1−−−−−−−−−−→

(1 1

0 −3

)f2 → −

1

3f2

−−−−−−−−→

(1 1

0 1

)

f1 ↔ f1 − f2−−−−−−−−−→

(1 0

0 1

).

Como A es equivalente por filas a I2 se tiene que es invertible.

k k Teorema 14. Supongamos que A es equivalente por filas a In. Entonces lasmismas operaciones que se aplicaron a la matriz A para obtener a la matriz identidadIn, al ser aplicada nuevamente a la matriz In, y en el mismo orden producirán comoresultado a la matriz inversa de A.

Ahora ya se tienen todas las herramientas necesarias que permitirán describir unmétodo para calcular la inversa de una matriz cuadrada en caso de que ésta exista.

0.5.1. Algoritmo de Gauss-Jordan para hallar la inversa de una matriz

Sea A una matriz de orden n×n. Para hallar la inversa de A, en caso de que exista,se procede de la siguiente manera:

Ê Se adjunta a la matriz A la matriz identidad de orden n × n y así formamos lamatriz ampliada (A|In).

35

Brac

amon

te-M

arch

an


Ë Se calcula la forma escalonada reducida de la matriz (A|In). Si la forma escalonadareducida es de la forma (In|B) , entonces A es equivalente por filas a la matrizidentidad In, y por tanto A sería invertible.

+ En este caso, la inversa de la matriz A es A−1 = B. Si la forma escalonadareducida no es de la forma (In|B), A no es equivalente por filas a la matriz In, ypor tanto, A no es invertible.

Determine si la matrizA =

1 −1 −22 −3 −5−1 3 5

es invertible. En caso afirmativo,

encuentra su inversa.

Ejemplo 33.

§Solución. Adjuntamos la matriz identidad de orden 3× 3 a la matriz A y aplicamosoperaciones elementales por filas a la matriz ampliada. Entonces:

(A : I3) =

1 −1 −2 | 1 0 0

2 −3 −5 | 0 1 0

−1 3 5 | 0 0 1

f2 → −2f1 + f2

f3 → f1 + f3−−−−−−−−−−−→

1 −1 −2 | 1 0 0

0 −1 −1 | −2 1 0

0 2 3 | 1 0 1

f2 → −f2−−−−−−→

1 −1 −2 | 1 0 0

0 1 1 | 2 −1 0

0 2 3 | 1 0 1

f1 → f1 + f2

f3 → f3 − 2f2−−−−−−−−−−→

1 0 −1 | 3 −1 0

0 1 1 | 2 −1 0

0 0 1 | −3 2 1

f1 → f1 + f3

f2 → f2 − f3−−−−−−−−−→

1 0 0 | 0 1 1

0 1 0 | 5 −3 −10 0 1 | −3 2 1

.

Observemos que la forma escalonada reducida de (A|I3) es de la forma (I3|B). EntoncesA es equivalente por filas a la matriz I3, y por tanto, el Teorema 14 garantiza que A es

invertible. Además la inversa es: A−1 =

0 1 1

5 −3 −1−3 2 1

.

36

Brac

amon

te-M

arch

an


Determine si la matriz M =

1 1 5

1 2 7

2 −1 4



Ejemplo 34.

§Solución. Adjuntamos la matriz identidad de orden 3 a la matriz M y aplicamosoperaciones elementales por filas a la matriz ampliada. Esto es:

(M : I3) =

1 1 5 | 1 0 0

1 2 7 | 0 1 0

2 −1 4 | 0 0 1

f2 → f2 − f1f3 → f3 − 2f1−−−−−−−−−−→

1 1 5 | 1 0 0

0 1 2 | −1 1 0

0 −3 −6 | −2 0 1

f1 → f1 − f2f3 → f3 + 3f2−−−−−−−−−−→

1 0 3 | 2 −1 0

0 1 2 | −1 1 0

0 0 0 | −5 3 1

.

Observemos que en esta última matriz no hace falta continuar el proceso ya que seanula una fila del primer bloque de la última matriz. En consecuencia, la forma escalo-nada reducida de (M : I3) no es de la forma (I3 : B), donde B es una matriz cuadradade orden 3. Luego M no es equivalente por filas a la matriz I3, y en consecuencia, elTeorema 13 garantiza que M no es invertible.

Determine si la matriz H =

1 1 1

0 2 3

5 5 1



Ejemplo 35.

37

Brac

amon

te-M

arch

an


§Solución.

(H : I3) =

1 1 1 | 1 0 0

0 2 3 | 0 1 0

5 5 1 | 0 0 1

f3 → −5f1 + f3−−−−−−−−−−−→

1 1 1 | 1 0 0

0 2 3 | 0 1 0

0 0 −4 | −5 0 1

f2 →1

2f2

−−−−−−→

1 1 1 | 1 0 0

0 13

2| 0

1

20

0 0 −4 | −5 0 1

f3 → −1

4f3

−−−−−−−−→

1 1 1 | 1 0 0

0 13

2| 0

1

20

0 0 1 | 5

40 −1

4

f2 → f2 −3

2f3

−−−−−−−−−−→

1 1 1 | 1 0 0

0 1 0 | −15

8

1

2

3

8

0 0 1 | 5

40 −1

4

f1 → f1 − f3−−−−−−−−−→

1 1 1 | −1

40

1

4

0 1 0 | −15

8

1

2

3

8

0 0 1 | 5

40 −1

4

f1 → f1 − f2−−−−−−−−−→

1 1 1 | 13

8−1

2−1

8

0 1 0 | −15

8

1

2

3

8

0 0 1 | 5

40 −1

4

.

Observemos que la forma escalonada reducida equivalente a (H : I3) es de la forma(I3 : B). Entonces el Teorema 13 garantiza que H es equivalente por filas a la matriz I3,y por el Teorema 14 H es invertible. Además

H−1 =

13

8−1

2−1

8

−15

8

1

2

3

85

40 −1

4

.

38

chan - escuela superior politecnica del...

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