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cnológico

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Subdirección Académica

Cuernavaca, Morelos, México. Febrero de 2013.

Subsecretaría de Educación Superior Dirección General de Educación Superior Tecnológica

Coordinación Sectorial Académica Dirección de Estudios de Posgrado e Investigación

Departamento de Ingeniería Mecánica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

Estudios del Efecto de la Concentración Solar en la Distribución del Flujo en Tuberías Paralelas de un Sistema de

Colectores Cilindro Parabólicos

presentada por

Ing. Pedro Fernando Aguilar Gastelum

como requisito para la obtención del grado de Maestro en Ciencias en Ingeniería Mecánica

Director de tesis Dra. Sara Lilia Moya Acosta

Codirector de tesis

Dr. Octavio Cazarez Candia

cnológico

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Subdirección Académica

Cuernavaca, Morelos, México. Febrero de 2013.

Subsecretaría de Educación Superior Dirección General de Educación Superior Tecnológica

Coordinación Sectorial Académica Dirección de Estudios de Posgrado e Investigación

Dedicatorias

Ante todo a mi familia y a dios por ser siempre mi ejemplo a seguir, por mostrarme el

camino correcto, y sobre todo por estar conmigo en los buenos y malos momentos de mi

vida.

A mi hermano Cecilio Aguilar , quien siempre me ha brindado su apoyo y sus valiosos

consejos, me ha enseñado que no existen metas insuperables, sino objetivos que en

ocasiones pueden ser difíciles de alcanzar, sin embargo, con esfuerzo y perseverancia

somos capaces de romper cualquier barrera, y aun cuando pensamos que todo puede

haber terminado, siempre habrá una esperanza.

A mis padres, Hilario Aguilar y Luz Berthila Gastelum , quienes han sido ejemplo de

esfuerzo, trabajo y dedicación al llevar una vida recta y honesta.

Agradecimientos

Gracias a mi familia por darme todo su apoyo y creer siempre en mí, mostrarme que una

persona no es recordada por su nombre o apellido, sino por lo que hace o deja de hacer

en su vida. Podemos cometer muchos errores, sin embargo, lo más importante es

reconocer que nos hemos equivocado, tratar de enmendar el error y no volver a

cometerlo.

A la Dra. Sara Lilia Moya Acosta por todo su apoyo, su paciencia y sus valiosos consejos.

Al grupo de flujo multifásico del instituto Mexicano del petróleo (IMP) por sus valiosos

consejos y su apoyo incondicional, y en especial al Dr. Octavio Cazarez Candia, quien ha

sido copartícipe en mi formación y el desarrollo de mi tesis.

Al Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (CENIDET) y todos sus

colaboradores, por brindarme la oportunidad de estudiar un posgrado y ser partícipes en

mi formación profesional.

A mis compañeros y amigos, que han tenido la paciencia para escucharme y darme sus

valiosos consejos.

Al Sistema Nacional de Educación Superior Tecnológica (DGEST) por permitirme

enriquecer mí conocimiento mediante el programa de movilidad estudiantil.

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACyt) por el apoyo económico

brindado durante este proyecto.

CONTENIDO

LISTA DE FIGURAS I

LISTA DE TABLAS IV

NOMENCLATURA V

RESUMEN IX

ABSTRACT X

1 CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN .......................... .................................................................... 1

1.1 GENERACIÓN DIRECTA DE VAPOR (GDV) MEDIANTE COLECTORES CILINDRO-PARABÓLICOS

(CCP) ……………………………………………………………………………………………………… 2

1.2 DISCUSIÓN DE LITERATURA ................................................................................................ 4

1.2.1 Conclusiones de la revisión de literatura ............................................................... 18

1.3 OBJETIVO GENERAL ........................................................................................................ 19

1.4 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ................................................................................................. 19

1.5 ALCANCES ..................................................................................................................... 19

2 CAPÍTULO II MARCO TEÓRICO ........................ ................................................................ 20

2.1 PATRONES DE FLUJO BIFÁSICO ......................................................................................... 21

2.2 GENERALIDADES DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS PARA EL ESTUDIO DEL FLUJO DE DOS FASES 23

2.3 MODELO A DOS FLUIDOS ................................................................................................. 24

3 CAPITULO III MODELO MATEMÁTICO ................... .......................................................... 27

3.1 GENERALIDADES DEL MODELO IMPLÍCITO EN EL SIMULADOR RELAP ..................................... 28

3.2 ECUACIONES DE CONSERVACIÓN EN UNA DIMENSIÓN PARA EL MODELO A DOS FLUIDOS ........... 28

3.3 CONDICIONES DE CERRADURA ......................................................................................... 34

3.3.1 Generación de vapor ............................................................................................. 34

3.3.2 Términos de disipación ......................................................................................... 38

3.3.3 Fricción interfacial ................................................................................................. 38

3.4 MAPA DE PATRONES DE FLUJO ......................................................................................... 40

3.4.1 Criterios de transición ........................................................................................... 40

3.5 MÉTODO DE SOLUCIÓN .................................................................................................... 42

3.6 DISCRETIZACIÓN Y SOLUCIÓN NUMÉRICA ........................................................................... 42

3.7 CONTROL DEL PASO DE TIEMPO ........................................................................................ 43

4 CAPÍTULO IV VERIFICACIÓN Y VALIDACIÓN DEL SIMULADO R RELAP ....................... 45

4.1 VERIFICACIÓN Y VALIDACIÓN DEL RELAP .......................................................................... 46

4.2 VERIFICACIÓN: REPRODUCCIÓN DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS POR NATAN ET AL. (2003) .. 46

4.2.1 Modelo físico y condiciones de estudio .................................................................. 46

4.2.2 Análisis de independencia de malla ....................................................................... 49

4.2.3 Caso de una tubería simple ................................................................................... 52

4.2.4 Caso de dos tuberías en paralelo (distribución del flujo másico) ............................ 53

4.2.4.1 Calentamiento simétrico ........................................................................................ 53

4.2.4.2 Calentamiento asimétrico ...................................................................................... 56

i

4.2.4.2.1 Caso a) QR = 1200 W/m, QL = 900 W/m ................................................................ 56

4.2.4.2.2 Caso b) QR = 1200 W/m, QL = 0 W/m .................................................................... 58

4.2.5 Estudio de la región bifásica para una tubería simple ............................................ 60

4.2.6 Principales diferencias entre los modelos matemáticos utilizados por Natan et al. (2003) y en RELAP .............................................................................................................. 67

4.3 VALIDACIÓN: COMPARACIÓN CON DATOS EXPERIMENTALES DE LA PSA PARA UNA FILA DE CCP

(SISTEMA DISS) ......................................................................................................................... 70

4.3.1 Validación para 10 MPa ........................................................................................ 71

4.3.2 Validación para 6 MPa .......................................................................................... 72

4.3.3 Validación para 3 MPa .......................................................................................... 72

5 CAPÍTULO V ESTUDIO DEL EFECTO DE LA CONCENTRACIÓN SOLAR EN LA DISTRIBUCIÓN DEL FLUJO MÁSICO EN UN SISTEMA DE GDV CON CCP ............................ 74

5.1 MODELO FÍSICO DEL SISTEMA DE GDV .............................................................................. 75

5.2 CONDICIONES GENERALES DE MODELADO.......................................................................... 75

5.3 ANÁLISIS DE INDEPENDENCIA DE MALLA ............................................................................. 77

5.4 ESTUDIO DEL EFECTO DE LA CONCENTRACIÓN SOLAR EN UNA TUBERÍA SIMPLE ...................... 85

5.5 ESTUDIO DEL EFECTO DE LA CONCENTRACIÓN SOLAR EN DOS TUBERÍAS PARALELAS .............. 89

5.5.1 Análisis en una sola tubería .................................................................................. 89

5.5.1.1 Calentamiento con distribución perimetral uniforme (FCU) .................................... 89

5.5.1.2 Calentamiento con concentración (FCC) ............................................................... 94

5.5.1.3 Efecto de la concentración solar en el perfil de presión de entrada ........................ 99

5.5.2 Análisis en las dos tuberías ..................................................................................101

5.5.2.1 Distribución del flujo másico para calentamiento simétrico ....................................101

5.5.2.1.1 Calentamiento con distribución perimetral uniforme (FCU) ...................................102

5.5.2.1.2 Calentamiento con concentración (FCC) ..............................................................103

5.5.2.2 Distribución de flujo másico para calentamiento asimétrico...................................105

5.5.2.2.1 Calentamiento con distribución perimetral uniforme (FCU) ...................................105

5.5.2.2.2 Calentamiento con concentración (FCC) ..............................................................107

5.6 CONCLUSIONES .............................................................................................................111

6 CAPÍTULO VI CONCLUSIONES GENERALES Y RECOMENDACION ES .........................112

6.1 CONCLUSIONES GENERALES ...........................................................................................113

6.2 RECOMENDACIONES ......................................................................................................115

7 REFERENCIAS ..................................................................................................................116

8 ANEXOS .............................................................................................................................120

A APÉNDICE A ..................................................................................................................121

B APÉNDICE B ..................................................................................................................132

i

Lista de Figuras

Figura 1.1 Esquema de corte transversal de un CCP ..................................................................... 3

Figura 1.2 Diagrama simplificado de un campo solar de CCP. Zarza et al. (2005) .......................... 4

Figura 2.1 Patrones de flujo para fluido con evaporación en tuberías horizontales. ....................... 21

Figura 3.1 Transferencia de calor para el caso de vapor sub enfriado. ......................................... 35

Figura 3.2 Esquema del mapa de patrones de flujo bifásico (líquido-gas) para flujo en tuberías horizontales propuesto (Ramson et al., 2001) en RELAP. ..................................................... 40

Figura 3.3 Esquema de discretización para una tubería. .............................................................. 42

Figura 4.1 Modelo físico del sistema de GDV estudiado por Natan et al. (2003). .......................... 47

Figura 4.2 Análisis de independencia de malla considerando perfiles de presión. a) a lo largo de la tubería, b) región de calentamiento, c) región de evaporación y c) región de sobrecalentamiento.. ............................................................................................................ 50

Figura 4.3 Análisis de independencia de malla considerando perfiles de temperatura. a) a lo largo del tubo, b) región de calentamiento, c) región de evaporación y c) región de sobrecalentamiento.. ............................................................................................................ 51

Figura 4.4 Presión de entrada en función de la razón de flujo másico. .......................................... 52

Figura 4.5 Razón de distribución de flujo para un sistema de dos tuberías en paralelo con calentamiento simétrico, QR=QL=1200 W/m .......................................................................... 53

Figura 4.6 Presión de entrada para un sistema de dos tuberías en paralelo con calentamiento simétrico, QR=QL=1200 W/m. ............................................................................................... 54

Figura 4.7 Razón de distribución de flujo para un sistema de dos tuberías en paralelo con calentamiento asimétrico, QR=1200 W/m y QL=900 W/m. ..................................................... 56

Figura 4.8 Presión de entrada para un sistema de dos tuberías en paralelo con calentamiento asimétrico, QR=1200 W/m y QL=900 W/m ............................................................................. 56

Figura 4.9 Razón de distribución de flujo para un sistema de dos tuberías en paralelo con calentamiento asimétrico, QR=1200 W/m y QL=0 W/m .......................................................... 58

Figura 4.10 Presión de entrada para un sistema de dos tuberías en paralelo con calentamiento asimétrico, QR=1200 W/m y QL=0 W/m ................................................................................. 59

Figura 4.11 Perfiles de presión para una tubería simple. .............................................................. 61

Figura 4.12 Perfil de temperatura y patrones de flujo para diferentes flujos másicos. .................... 62

Figura 4.13 Mapa de patrones de flujo bifásico en una tubería de D=0.025 m y β=10º, para flujo bifásico (agua-aire). .............................................................................................................. 63

Figura 4.14 Perfil de presión y patrones de flujo para 0.12 kg/s y Q=1000 W/m: a) Natan et al. (2003) y b) RELAP. .............................................................................................................. 65

Figura 4.15 Comparación del perfil de temperatura y patrones de flujo, para 0.12 kg/s, D=0.25 m y un calentamiento de 1000 W/m. a) Natan et al.(2003) y b) RELAP ....................................... 66

Figura 4.16 Comparación numérico-experimental del perfil de presión de una fila de CCP a una presión de operación de 10 MPa. ......................................................................................... 71

Figura 4.17 Comparación numérico-experimental del perfil de presión de una fila de CCP a una presión de operación de 6 MPa. ........................................................................................... 72

Figura 4.18 Comparación numérico-experimental del perfil de presión de una fila de CCP a una presión de operación de 3 MPa. ........................................................................................... 73

Figura 5.1 Modelo físico del sistema bajo estudio. ........................................................................ 75

Figura 5.2 Corte transversal de un tubo absorbedor con concentración de calor. .......................... 77

ii

Figura 5.3 Perfiles de presión en una tubería simple para calentamiento uniforme (FCU): a) a lo largo de la tubería, b) región de calentamiento, c) región de evaporación y c) región de sobrecalentamiento.. ............................................................................................................ 78

Figura 5.4 Perfiles de presión en una tubería simple para calentamiento con concentración (FCC) de 90/10: a) a lo largo de la tubería, b) región de calentamiento, c) región de evaporación y c) región de sobrecalentamiento. .............................................................................................. 79

Figura 5.5 Perfiles de presión en una tubería simple para calentamiento con concentración (FCC) de 80/20: a) a lo largo de la tubería, b) región de calentamiento, c) región de evaporación y c) región de sobrecalentamiento. .............................................................................................. 80

Figura 5.6 Perfiles de temperatura en una tubería simple para calentamiento uniforme (FCU): a) a lo largo de la tubería, b) región de calentamiento, c) región de evaporación y c) región de sobrecalentamiento.. ............................................................................................................ 81

Figura 5.7 Perfiles de temperatura en una tubería simple para calentamiento con concentración (FCC) de 90/10: a) a lo largo de la tubería, b) región de calentamiento, c) región de evaporación y c) región de sobrecalentamiento.. .................................................................. 82

Figura 5.8 Perfiles de temperatura en una tubería simple para calentamiento con concentración (FCC) de 80/20: a) a lo largo de la tubería, b) región de calentamiento, c) región de evaporación y c) región de sobrecalentamiento .................................................................... 83

Figura 5.9 Comparación de los perfiles de presión para calentamiento con distribución uniforme (FCU) y con concentración (FCC) de 90/10 y 80/20: a) a lo largo de la tubería, b) región de calentamiento, c) región de evaporación y c) región de sobrecalentamiento.. ....................... 85

Figura 5.10 Comparación de los perfiles de temperatura para calentamiento con distribución uniforme (FCU) y con concentración (FCC) de 90/10 y 80/20: a) a lo largo de la tubería, b) región de calentamiento, c) región de evaporación y c) región de sobrecalentamiento. ......... 86

Figura 5.11 Patrones de flujo y fracción de vacío vs longitud de la tubería para: a) calentamiento con distribución uniforme (FCU), b) calentamiento con concentración (FCC) de 90/10 y c) calentamiento con concentración (FCC) de 80/20. ................................................................ 87

Figura 5.12 Mapa de patrones de flujo (agua-aire) para las condiciones de operación descritas en la Tabla 5.1, obtenido mediante el código numérico de Barnea (1987).. ................................ 88

Figura 5.13 Presión de entrada vs flujo másico, Q=100% y Q=75%.............................................. 89

Figura 5.14 Comportamiento del flujo a lo largo de la tubería. Calentamiento incidente de 850 W/m2 y W=0.54 kg/s. ..................................................................................................................... 91

Figura 5.15 Comportamiento del flujo a lo largo de la tubería. Calentamiento incidente de 850 W/m2 y W=0.50 kg/s ...................................................................................................................... 91

Figura 5.16 Perfil de presión y patrones de flujo vs longitud de la tubería, a) 0.54 kg/s y b) 0.5 kg/s ............................................................................................................................................ 92

Figura 5.17 Coeficiente convectivo de la pared interna de la tubería hacia el fluido y patrones de flujo a lo largo de la tubería: a) 2.4 kg/s, b) 0.8 kg/s y c) 0.5 kg/s.. ......................................... 93

Figura 5.18 Presión de entrada vs flujo másico, para calentamiento con concentración, a) FCC – 90/10 y b) FCC – 80/20 ........................................................................................................ 94

Figura 5.19 Comportamiento del flujo a lo largo de la tubería, calentamiento incidente de 850 W/m2 y W=0.5 kg/s, a) FCC – 90/10 y b) FCC – 80/20 ................................................................... 95

Figura 5.20 Perfil de presión y patrones de flujo a lo largo de la tubería: a) FCC – 90/10 y b) FCC – 80/20.. .................................................................................................................................. 96

Figura 5.21 Coeficiente convectivo de la pared interna de la tubería hacia el fluido y patrones de flujo a lo largo de la tubería para calentamiento con concentración de 90/10: a) 2.4 kg/s, b) 0.8 kg/s y c) 0.5 kg/s .................................................................................................................. 97

iii

Figura 5.22 Coeficiente convectivo de la pared interna de la tubería hacia el fluido y patrones de flujo a lo largo de la tubería para calentamiento con concentración de 80/20: a) 2.4 kg/s, b) 0.8 kg/s y c) 0.5 kg/s... ............................................................................................................... 98

Figura 5.23 Comparación de presiones de entrada para: a) calentamiento con distribución uniforme (FCU), b) calentamiento con concentración (FCC) de 90/10 y c) calentamiento con concentración (FCC) de 80/20 .............................................................................................. 99

Figura 5.24 Comparación del perfil de presión y patrones de flujo para: a) calentamiento con distribución uniforme (FCU), b) calentamiento con concentración (FCC) 90/10 y c) calentamiento con concentración (FCC) 80/20. W=0.5 kg/s y Q=850 W/m2 ..........................100

Figura 5.25 Comparación del coeficiente convectivo de la pared interna de la tubería hacia el fluido a lo largo de la tubería, considerando el área perimetral de distribución de calor: a) FCU y FCC de 90/10 y 80/20 (APCC de 90% y 80%), b) FCC de 90/10 y 80/20 (APCC de 90% y 80%) y c) FCC de 90/10 y 80/20 (APSC de 10% y 20%) ......................................................101

Figura 5.26 Presión de entrada, razón de distribución de flujo másico, y flujo másico de salida vs flujo másico total para dos tuberías en paralelo. QR=QL=850 W/m2 ......................................102

Figura 5.27 Análisis termo-hidráulico del flujo en dos tuberías en paralelo para calentamiento simétrico y con concentración de 90/10 y 80/20. QR=QL=850 W/m2: a) Presión de entrada vs flujo másico para FCC de 90/10, b) Presión de entrada vs flujo másico para FCC de 80/20, c) comparación de flujo másico de salida vs flujo másico de entrada para FCC de 90/10 y 80/20 y d) comparación de presiones de entrada para FCC de 90/10 y 80/20 ..................................103

Figura 5.28 Comparación de presión de entrada y flujo másico de salida vs flujo másico para FCU y FCC. QR=QL=850 W/m2 .......................................................................................................104

Figura 5.29 Presión de entrada y razón de distribución de flujo, para dos tuberías en paralelo con calentamiento asimétrico: a) QR=850 W/m2 y QL=680 W/m2, b) QR=850 W/m2 y QL=765 W/m2, c) QR=850 W/m2 y QL=807.5 W/m2 y d) comparación de flujo de salida vs flujo másico de entrada para los tres casos anteriores .................................................................................105

Figura 5.30 Presión de entrada, razón de distribución de flujo, y flujo másico de salida para dos tuberías en paralelo con calentamiento asimétrico y con concentración de 90/10: a) QR=850 W/m2 y QL=680 W/m2, b) QR=850 W/m2 y QL=765 W/m2, c) QR=850 W/m2 y QL=807.5 W/m2 y d) comparación de flujo de salida vs flujo másico de entrada para todos los casos anteriores ...........................................................................................................................................107

Figura 5.31 Presión de entrada, razón de distribución de flujo, y flujo másico de salida para dos tuberías en paralelo con calentamiento asimétrico y con concentración de 80/20: a) QR=850 W/m2 y QL=680 W/m2, b) QR=850 W/m2 y QL=765 W/m2, c) QR=850 W/m2 y QL=807.5 W/m2 y d) comparación de flujo de salida vs flujo másico de entrada para todos los casos anteriores ...........................................................................................................................................108

Figura 5.32 Comparación de presión de entrada, razón de distribución de flujo, y flujo másico de salida para dos tuberías en paralelo con calentamiento asimétrico: a) QR=850 W/m2 y QL=680 W/m2, b) QR=850 W/m2 y QL=765 W/m2, c) QR=850 W/m2 y QL=807.5 W/m2 ........................109

iv

Lista de Tablas

Tabla 1.1 Resumen de la revisión de literatura ............................................................................. 17 Tabla 4.1 Casos bajo estudio de distribución de calentamiento .................................................... 47

Tabla 4.2 Condiciones de modelado del sistema de Natan et al. (2003) ....................................... 48

Tabla 4.3 Mallas consideradas ..................................................................................................... 49

Tabla 4.4 Condiciones de estudio del sistema de GDV ................................................................. 61

Tabla 4.5 Patrones de flujo y caidas de presión por unidad de longitud para los flujos másicos considerados ........................................................................................................................ 63

Tabla 4.6 Caidas de presión por unidad de longitud para cada patron de flujo .............................. 65

Tabla 4.7 Condiciones de operación del sistema DISS ................................................................. 71

Tabla 5.1 Condiciones de modelado del sistema de GDV............................................................. 76

Tabla 5.2 Casos bajo estudio de distribución de la radiación solar incidente ................................. 76

Tabla 5.3 Mallas consideradas ..................................................................................................... 77

v

Nomenclatura

Símbolo Descripción

A Área de la sección transversal

APCC Área perimetral con concentración de calor

APSC Área perimetral sin concentración de calor

fA Área de la tubería ocupada por la fase líquida

z sA −

Área de flujo '''iA Densidad del área interfacial (área interfacial por unidad de volumen) '''

wkA Área de transferencia de la fase por unidad de volumen

ia Área interfacial

C Coeficiente de masa virtual

CCP Concentradores cilindro-parabólicos

D Diámetro

DISS Disipación de energía y Direct Solar Steam

mE Error de masa

rmsE Error total del sistema

ke Energía especifica convectiva total

ike Energía especifica convectiva asociada con la transferencia de masa en la interfase

F Fuerza de arrastre

FI Fuerza de arrastre en la interfase

FCC Calentamiento con concentración

FCU Calentamiento uniforme

,FIF FIG Coeficiente de arrastre en la interfase para la fase de líquido y gas

,FWG FWF Coeficiente de arrastre en la pared para la fase de líquido y gas

f

Factor de fricción

mG

Flux másico de la mezcla

GDV Generación directa de vapor g Gravedad

kg Fuerza de cuerpo

H Coeficiente de transferencia de calor

h Entalpia y coeficiente convectivo de transferencia de calor

fh Espesor de la película de líquido

I Tensor identidad ( )ijδ

kJ Flux de kψ a través de las fronteras del volumen de control

L

Longitud

fl Longitud de la zona líquida

vi

ul Longitud de la unidad slug

ikM Fuerza interfacial (por unidad de volumen)

wkM Fuerza en la pared (por unidad de volumen) ''km Flux de masa interfacial

N Vector unitario normal a la intersección de la interfase con la superficie externa

kn Vector normal unitario en la interfase

P Presión

kp Presión de la fase k

ikp Presión interfacial

kp Promedió volumétrico de la presión de la fase k

k ip Promedio volumétrico de la presión de la fase k en la interfase

Q

Flujo de calor Rekq Flux de calor en función del número de Reynolds de la fase � ''kq

Flux de calor de la fase k '''kq Generación volumétrica interna '''

ikq Flux de calor interfacial '''

wkq Flux de calor en la pared de la fase k

Rek

Número de Reynolds de la fase k

fR

Relación de área de flujo transversal en las zona de película

SR

Relación de área de flujo transversal en las zona de líquido

fS

Perímetro mojado de la fase líquida '''

ikS Promedio vectorial del área de la superficie interfacial '''

wkS Promedio vectorial del área de la pared

T Temperatura

t Tiempo

U

Coeficiente global de transferencia de calor

iu

Velocidad de la interfase

tu

Velocidad transversal

Lu

Velocidad de la fase líquida

LSu

Velocidad superficial de la fase líquida

iu Velocidad interfacial

V

Volumen de control material

kV

Volumen de control de la fase

slV

Velocidad superficial de la fase líquida (agua)

vii

sgV

Velocidad superficial de la fase gas (aire)

critv

Velocidad crítica

fv

Velocidad de la fase líquida

kv Velocidad de la fases k

i

dkv Velocidad interfacial asociada con las fuerzas de arrastre

i

ndkv Velocidad interfacial asociada con las fuerzas de no arrastre

ikv Γ Velocidad interfacial asociada con la transferencia de masa

W

Flujo másico

kw Velocidad unidimensional de la fase k

X

Calidad del vapor

kX

Función indicador de la fase

x Localización vectorial

APCC

Área perimetral con concentración de calor

Símbolos griegos

α Fracción de vacío

fα Fracción de vacío de la fase líquida

β Fracción volumétrica instantánea de la fase k e inclinación

kΓ Razón de generación volumétrica de masa de la fase k

ct∆

Paso de tiempo de Courant

x∆

Incremento en el espacio

ε Coeficiente de generación o condensación de vapor en la pared η Coeficiente de entalpia de vaporización o condensación

θ Ángulo de inclinación de la tubería y ángulo central

λ Factor de fricción µ Viscosidad

kρ Densidad de la fase k

Lρ

Densidad de la fase líquida

Σ Flux de la superficie

σ

Tensión superficial

kτ

Esfuerzos viscosos en la fase k

kτ

Esfuerzo cortante de la fase k Re

kτ

Esfuerzo de Reynolds de la fase k

Φ

Término fuente interfacial ∧Φ

Término fuente interfacial efectivo

kφ Término fuente de la fase k

viii

kψ Propiedad conservativa por unidad de masa

δ

Masa virtual

Superíndices

d Arrastre

n Paso de tiempo

nd No arrastre

s Propiedad de saturación

w Pared

Γ Transferencia de masa ρ Promedio de masa ponderado

σ Tensión superficial

Subíndices

AM Transición del patrón de flujo anular-niebla a niebla

BS Transición del patrón de flujo burbuja a slug

DE Transición del patrón de flujo slug a slug-anular

FB

Película de ebullición

f Fase de líquido g Fase de gas

I

Interfase

i Interfacial

in Entrada

k Fase k (para 1k = , líquido; 2k = , vapor)

L Tubería izquierda

l Líquido

m Propiedad de la mezcla

out Salida

R Tubería derecha

SA Transición del patrón de flujo slug-anular a niebla anular

α Medio ambiente

v Vapor (gas)

w Pared de la tubería

ix

Resumen

Se presenta un estudio teórico del comportamiento termo-hidráulico del flujo agua-

vapor en el interior de dos tubos absorbedores conectados en paralelo que

constituyen los dos focos lineales de dos filas en paralelo de Colectores Cilindro-

Parabólicos (CCP) para Generación Directa de Vapor (GDV) mediante

concentración solar. La radiación solar directa captada por los CCP es

redireccionada hacia los dos tubos absorbedores. Se considera calentamiento

simétrico y asimétrico de ambas tuberías con dos casos de distribución perimetral

de la radiación solar incidente sobre el tubo absorbedor: a) flujo de calor uniforme

(FCU) y b) calentamiento con concentración (FCC). El sistema tiene entrada y

salida común y cada tubo absorbedor tiene una longitud de 450 m y un diámetro

de 5 cm. Dependiendo del flujo másico de entrada se presenta una distribución

simétrica o asimétrica del flujo másico, obteniendo a la salida de las tuberías

líquido a alta temperatura, una mezcla bifásica (agua-vapor) ó bien vapor

sobrecalentado. El análisis termo-hidráulico del sistema de GDV es realizado

usando el simulador comercial RELAP, considerando una presión de salida

constante de 3 MPa. Como primera parte del estudio del sistema de tuberías en

paralelo se analiza una tubería simple, considerando FCU y FCC. Posteriormente

se determina el comportamiento de la distribución del flujo y caídas de presión

para el sistema de dos tuberías en paralelo, considerando calentamiento simétrico

y asimétrico, con FCU y FCC en ambos casos.

Los resultados muestran que RELAP es una herramienta confiable para analizar el

comportamiento termo-hidráulico de GDV en tuberías simples. Para el estudio de

la distribución de flujo en sistemas de tuberías en paralelo RELAP mostró ser

capaz de predecir las condiciones más estables en relación a las soluciones

múltiples obtenidas por Natan et al. (2003); sin embargo, se presentaron algunas

oscilaciones para ciertos intervalos de operación por lo que es necesario continuar

con este tipo de estudios.

x

Abstract

In this thesis a numerical study is developed to analyse the thermo-hydraulic

behaviour of a system of parabolic through collectors (PTC) of two parallel pipes

for direct steam generation (DSG), considering heating rate with uniform

distribution and with concentration, in addition to this, symmetric and asymmetric

incident heating rate through the system is considered. The system has common

inlet and outlet, and each pipe is 450 m length and 5.0 cm of diameter. Radiation

on PTC is redirected to absorber pipes and depending on the inlet mass flow, the

flow distribution could be symmetric or asymmetric; hot water, water-steam two

phase flows or supersaturated steam may be obtained at the pipes outlet. The

thermo-hydraulic analysis of the DSG system was carried out by using the RELAP

simulator, considering a constant outlet pressure of 3 MPa.

Firstly, we study a single pipe, considering heating rate with uniform distribution

and with concentration. Thereafter, we extended the analysis to a system of two-

parallel pipe, considering symmetric and asymmetric heating rate with uniform

distribution and with concentration.

The results show that RELAP is an adequate tool to analyse the thermo- hydraulic

behaviour of a single pipe DSG system. The study of flow distribution in parallel

pipe systems show that RELAP is able to reproduce the most stable solutions

obtained by Natan et al. (2003). Nevertheless, some oscillations have been

presented for some intervals of flow, so it is necessary to continue with the study.

Introducción

1

1 Capítulo I Introducción

Equation Chapter 1 Section 1

En este capítulo se justifica el estudio del presente tema de investigación, se hace

una revisión y discusión del estado del arte, y se establecen los objetivos y alcances

del mismo.

Introducción

2

1.1 Generación Directa de Vapor (GDV) mediante Cole ctores Cilindro-

Parabólicos (CCP)

Más del 75% de la emisión de gases de efecto invernadero, contemplados por el

protocolo de Kyoto y contribuyentes del cambio climático global, tienen como origen

el uso de combustibles fósiles para la generación de energía eléctrica ó trabajo

mecánico, de tal forma que la tendencia actual hacia el uso de energías renovables

impactará de forma importante en la reducción de emisiones contaminantes.

De acuerdo a investigaciones realizadas por los expertos, se espera que a mediados

del presente siglo, las energías renovables sean capaces de cubrir el 50% de la

demanda energética mundial, siendo la energía solar termoeléctrica uno de los

principales recursos a aprovechar (plantas de potencia solar). En una central

térmosolar, el fluido de trabajo es calentado mediante radiación solar (campo solar).

En algunos países como Alemania, España y Estados Unidos se ha dinamizado este

sector, teniendo este último 10 plantas comerciales de generación indirecta de vapor

con tecnología de colectores cilindro-parabólicos (CCP) y potencias entre 14 y 80

MWe, y España 17 plantas de 50 MWe cada una.

La radiación solar es convertida en energía térmica mediante sistemas de

concentración solar. Estos sistemas son clasificados por su geometría de enfoque

como concentradores de punto focal (sistemas receptores centrales) ó

concentradores de línea focal (concentradores cilindro-parabólicos). Los

concentradores solares aprovechan la radiación solar directa y por tanto tienen

incorporados mecanismos de seguimiento solar que pueden ser en uno, dos o tres

ejes de movimiento dependiendo del sistema. Un campo solar de colectores cilindro-

parabólicos (CCP), está constituido por filas paralelas de CCP alineadas en los ejes

norte-sur, permitiendo hacer un seguimiento del sol de Este a Oeste durante el día, y

asegurándose que el sol esté continuamente enfocado hacia la superficie receptora.

Introducción

3

Los CCP enfocan la radiación solar en una línea focal del eje del colector. Un tubo

absorbedor con flujo circulando en su interior es instalado en la línea focal del

concentrador, absorbiendo la energía solar concentrada desde las paredes del tubo e

incrementando la entalpia del fluido. La figura 1.1 muestra un esquema de la sección

transversal de un tubo absorbedor con concentración de calor (FCC).

Figura 1.1 Esquema de corte transversal de un CCP.

La aplicación más importante de los CCP es en las plantas de potencia de

concentración solar (figura 1.2), con temperaturas de operación entre 300 y 400°C.

Otras aplicaciones requieren temperaturas menores, entre 100 a 250°C, y son

principalmente para procesos industriales de calentamiento. Como fluido de trabajo

en las plantas de potencia solar se puede hacer mención a dos alternativas: a) el uso

de un aceite térmico como fluido de trabajo, y b) la Generación Directa de Vapor

(GDV), proceso en el cual el agua es calentada directamente en los tubos

absorbedores de los CCP.

Vacío

Tubo de vidrio

Tubo absorbedor

Área de concentración

Reflector parabólico

Radiación solar

Introducción

4

Figura 1.2 Diagrama simplificado de un campo solar de CCP. Zarza et al.(2005).

Entre algunas de las ventajas que implica la GDV en los tubos absorbedores, con

respecto al uso de aceite térmico, se pueden citar las siguientes:

� Se eliminan los riesgos ambientales asociados con el aceite térmico

(incendios y fugas).

� La temperatura máxima del ciclo puede ser incrementada por arriba de los 400

°C, siendo este el límite para el caso de los aceit es que a temperaturas

mayores se degradan.

� La eficiencia de la planta de potencia es mayor debido a que no se requiere el

uso de intercambiadores de calor secundarios, lo que implica una menor

inversión económica, más simplicidad y menor mantenimiento.

La viabilidad técnica de la GDV mediante CCP ha sido demostrada en la Plataforma

Solar de Almería (PSA) durante las más de 10000 horas de operación acumuladas

en el sistema DISS (Direct Solar Steam), impulsando la construcción de la primera

planta pre-comercial con tecnología de GDV en Tailandia con potencia de 5 MWe.

1.2 Discusión de literatura

Existen un gran número de aplicaciones prácticas que involucran un flujo bifásico a

través de arreglos de tuberías en paralelo. Entre los casos más comunes se

encuentran los intercambiadores de calor, condensadores, plantas de potencia y

sistemas de enfriamiento. En el interior del tubo absorbedor de un sistema de GDV el

Introducción

5

agua se evapora y se van presentando diferentes patrones del flujo bifásico a lo largo

del tubo. En una planta de potencia como la mostrada en la figura 1.2 en la que se

tienen varias filas en paralelo es deseable que el comportamiento termo-hidráulico

del fluido sea simétrico para cada canal de flujo. Sin embargo, los estudios realizados

hasta ahora han mostrado que aun cuando se presenten condiciones de

calentamiento simétricas en ambas tuberías, la distribución de flujo másico resulta

asimétrica para cierto intervalo de flujos. Es de ahí donde surge la importancia de

realizar estudios a fondo que nos permitan predecir de una manera más acertada el

comportamiento termo-hidráulico del fluido en arreglos de sistemas de tuberías en

paralelo. A continuación se presenta la discusión de la literatura más relevante que

aborda esta problemática.

Tshuva et al. (1999) analizaron de forma teórica y experimental un sistema de dos

tubos en paralelo, con el objetivo de determinar las condiciones de operación bajo las

cuales existe inestabilidad y una distribución de flujo no equitativa. El sistema

experimental consiste de dos tubos en paralelo en los cuales el flujo es establecido, y

un tercer tubo de control. Cada tubo con un diámetro de 2.4 cm y 3 m de longitud.

Como fluido de trabajo se utilizó agua y aire.

Las velocidades superficiales del aire utilizadas se encuentran en el intervalo de 0.15

a 5.60 m/s y las del agua de 0.02 a 3.03 m/s. El experimento fue realizado

considerando diez ángulos de inclinación 0°, 5°, 10 °, 20°, 30°, 45°, 60°, 70°, 80° y

90°, y presión atmosférica a su salida.

Para el caso de flujo horizontal (0°), las condicio nes de flujo en los dos tubos en

paralelo son idénticas. El patrón de flujo en ambas tuberías es de burbujas

elongadas (flujo slug) y el flujo es simétrico para todo el intervalo de flujo. Para el

caso de tuberías inclinadas se observa flujo asimétrico en ciertos intervalos del flujo.

La distribución de flujo en tuberías horizontales parece ser estable, pues un pulso de

inyección de aire que es introducido en uno de los dos tubos, no altera las

Introducción

6

características simétricas del flujo. Para el caso de flujo asimétrico, un pulso en la

tubería de líquido estancado causa un intercambio de las condiciones de flujo en las

dos tuberías, esto es, el flujo es ahora por la tubería en la que el fluido permanecía

estancado, mientras que la otra tubería contiene el fluido estancado. El análisis

teórico muestra esencialmente que existe un número infinito de distribuciones del

flujo en estado estable que satisfacen una diferencia de presión simétrica en ambas

tuberías, por lo que se establece que la configuración de flujo que toma lugar será

aquella que presente la menor caída de presión.

Taitel et al. (2003) estudiaron de forma teórica y experimental la distribución de agua

y aire en cuatro tubos en paralelo, considerando entrada y salida común. Se obtuvo

la distribución del flujo bifásico (líquido-gas) en un cierto rango de velocidades de

flujo para cada fase (0.1-10 m/s) y distintos ángulos de inclinación (0°, 5°, 10° y 15°).

El prototipo experimental estaba constituido por cuatro tubos en paralelo, espaciados

a una distancia de 60 cm y unidos mediante una entrada y salida común (tubería de

5 cm de diámetro interno). Cada tubo con un diámetro interno de 2.6 cm y una

longitud de 6 m.

Del análisis experimental se obtuvo que para el caso horizontal el flujo se distribuye

en los cuatro tubos, con un flujo másico muy semejante en cada línea. Para los

casos de 5°, 10° y 15° de inclinación, varias razon es de distribución fueron

observadas, dependiendo de los flujos másicos de líquido y gas.

Al analizar las caídas de presión los autores concluyeron que si el fluido de trabajo es

solo agua, la diferencia de presión (entrada-salida) se incrementa al aumentar la

velocidad del flujo, y para el caso de flujo bifásico las pérdidas de presión decrecen y

se vuelven a incrementar conforme aumenta la velocidad del flujo. El decremento de

las caídas de presión resulta del incremento de la fracción de vacío en la tubería y el

decremento de la presión hidrostática. La fracción de vacío representa la fracción

volumétrica de la fase gaseosa en la mezcla.

Introducción

7

Finalmente los autores concluyen que las menores caídas de presión se obtienen

para un flujo distribuido en las 4 tuberías, seguido de la de 3, 2 y 1 tubería.

Pustylnik et al. (2006) analizaron de forma experimental y teórica (en estado

permanente y transitorio) la distribución de flujo bifásico (agua-aire) en un sistema de

4 tuberías en paralelo, y mediante un análisis de estabilidad lineal determinaron

cuándo una solución es realmente estable (solución que puede presentarse de forma

experimental). El prototipo experimental consiste de cuatro tubos de acrílico, de un

diámetro interno de 0.026 m y 6 m de longitud. El sistema puede variar su inclinación

en un intervalo de 0 a 30 grados.

Del análisis experimental, los autores encontraron que para flujo horizontal el fluido

siempre se distribuye en las 4 tuberías. Sin embargo, para tuberías inclinadas varias

características de distribución fueron observadas, dependiendo de los flujos másicos

de aire y agua en la entrada del manifold. Para velocidades de flujo pequeñas (menor

a 0.27 m/s para el líquido y menor a 1.0 m/s para aire) y una inclinación β=5°, el flujo

bifásico tiende a fluir por una sola tubería, mientras que columnas de flujo estancado

son observadas en las tuberías restantes. Al aumentar la velocidad del aire y del

líquido (0.3 m/s < W < 1.7 m/s para el aire y 0.27 m/s < W < 0.9 m/s para el líquido) el

flujo bifásico tiende a fluir por dos tuberías, mientras que en las dos tuberías

restantes se observa estancamiento de agua y aire. Si la velocidad del aire se

incrementa (1.7 m/s < W < 3.0 m/s), flujo bifásico de agua-aire es observado en tres

tuberías, presentándose estancamiento solo en la tubería restante. Finalmente, para

mayores velocidades tanto del aire como del gas, el fluido se distribuye en las 4

tuberías.

Para una inclinación del sistema de β=10° y β=15°, el comportamiento hidrodinámico

de distribución de flujo resulta análogo a una inclinación del sistema de β=5°, solo

variando los intervalos de velocidad del aire y del agua para los cuales se presenta

flujo bifásico y estancamiento en el sistema.

Introducción

8

Al analizar teóricamente el sistema de tuberías en paralelo, los autores obtuvieron

que existen múltiples soluciones estables de distribución de flujo que satisfacen una

misma caída de presión, por lo que mediante un análisis de estabilidad los autores

resuelven numéricamente los eigenvalores de la ecuación de cantidad de movimiento

para cada tubería, determinando si la solución de distribución de flujo es en realidad

estable.

Finalmente, los autores concluyeron que los resultados teóricos de distribución de

flujo coinciden de forma aceptable con los resultados experimentales encontrados.

Pustylnik et al. (2009) analizaron de forma teórica y experimental los efectos de

usar arandelas de estrangulamiento a la salida de las tuberías de un sistema de

tuberías en paralelo (sistema de 4 tubos, y considerando diversos ángulos de

inclinación: 0, 5, 10 y 15°), modelando la ecuación de cantidad de movimiento en

estado transitorio para una mezcla bifásica. El modelo experimental de Pustylnik et

al. (2006) fue modificado, con objeto de tomar en cuenta las restricciones y poder

compararlos con nuevos resultados experimentales.

Los resultados teóricos muestran que las soluciones estables de distribución de flujo

solo aparecen para razones de distribución de flujo simétricas. Además se pudo

observar que la transición de una solución de distribución de flujo inestable a una

solución de distribución de flujo estable para dos tuberías en paralelo ocurre a

menores valores de flujo másico de alimentación que para un sistema de tres

tuberías. Si se considera un sistema de n tuberías en paralelo, entonces cuando la

solución de distribución de flujo de la mezcla es estable, el flujo bifásico será

observado en las n tuberías. Si la solución de distribución simétrica se torna

inestable, entonces no existe solución para el flujo en todas las n tuberías, y la

estabilidad de la solución de distribución simétrica a través de 1n − tuberías es

revisada. Si la solución estable existe, entonces el flujo de la mezcla tomará lugar en

1n − tubos, y la columna de líquido estancado existirá en nth tubos. De igual forma

Introducción

9

si la solución estable para 1n − tubos se torna inestable, entonces una nueva

columna de líquido estancado es formada en una nueva tubería.

Los resultados experimentales muestran que para el caso de una inclinación de 0°

(posición horizontal) la mezcla bifásica es distribuida de forma simétrica en los cuatro

tubos para todos los rangos de velocidad de flujo de agua y aire (1-10 m/s), sin

embargo, para los casos de tuberías inclinadas (5, 10 y 15°) la distribución simétrica

de flujo solo se presenta para velocidades de flujo (aire-agua) mayores que 1 m/s

para el aire y 0.3 m/s para el agua a 5 y 10° de in clinación, y 1 m/s para el aire y 0.8

m/s para el agua a 15° de inclinación.

Para intentar prevenir la distribución de flujo asimétrico y la formación de columnas

de agua-aire estancada en alguna de las tuberías, los autores propusieron agregar

restricciones a las tuberías. Se seleccionaron cuatro diámetros diferentes de orificios

(10, 15, 20 y 26 mm), considerando el mismo diámetro del orificio para cada tubería

en cada prueba realizada. Para el caso donde el radio de contracción fue de 5 mm, el

fluido se distribuye en las cuatro tuberías para todos los rangos de flujo, en todos los

ángulos de inclinación. Con el incremento del radio de contracción, el flujo tiende a

comportarse de forma simétrica a cuando no se consideran orificios. Sin embargo, el

intervalo de velocidades del aire y del agua para el cual se presenta flujo en las

cuatro tuberías es mayor, comparado con el caso en el que no se consideran

orificios.

Natan et al. (2003) analizaron numéricamente un sistema de dos tubos paralelos en

el que el agua de alimentación es sometida a un proceso de calentamiento y

evaporación, considerando varios ángulos de inclinación (0, 5 y 10°). Determinaron la

distribución del flujo en los dos tubos y las pérdidas de presión a lo largo de los

mismos. Como primera parte del estudio se consideró un tubo simple, con un flujo

másico de entrada y una presión de salida. La tubería fue dividida en n volúmenes

de control y posteriormente se realizaron balances de energía y de momento en cada

uno de ellos, permitiendo el cálculo de las condiciones de salida basándose en las

Introducción

10

condiciones de entrada de cada elemento. Para el cálculo de las pérdidas de presión

se utilizaron dos métodos: (1) un método simplificado basado en el modelo “Drift flux”

y (2) un método basado en el modelo de parámetros de flujo.

Los resultados encontrados muestran que para pequeños (W ≤ 0.36 kg/s) y altos (W

≥ 1.52 kg/s) flujos másicos de entrada, considerando un ángulo de inclinación de 10°

y un calentamiento simétrico de 1200 W/m en cada tubería, existe una única solución

de distribución del flujo. Sin embargo, para flujos intermedios la solución no es única

y se pueden obtener 1, 3 ó 5 soluciones, aun cuando se tengan condiciones de

frontera simétricas en ambas tuberías. Para el caso de condiciones de calentamiento

asimétricas se encontró que el flujo másico es mayor para la tubería en la que se

tiene un menor calentamiento. El análisis muestra que el modelo “drift flux” es una

aproximación razonable para el cálculo de la razón de distribución. El

comportamiento de la razón de distribución es muy semejante para los distintos

ángulos de inclinación considerados (0, 5 y 10°), s in embargo, conforme disminuye la

inclinación de las tuberías, el intervalo de flujos para los que existe más de una única

solución se incrementa.

Minzer et al . (2004) estudiaron de forma experimental el flujo de agua evaporándose

en un sistema de tubos paralelos horizontales y con pequeños ángulos de

inclinación, considerando entrada y salida común. Las tuberías tienen un diámetro

interno de 5 mm, una longitud de 6 m y todo el sistema se puede inclinar de 0 a 30°.

El sistema es alimentado con agua a temperatura ambiente que se distribuye en los

tubos en paralelo calentados mediante resistencias eléctricas.

Los resultados obtenidos muestran que los datos experimentales se aproximan en

gran medida a los datos teóricos obtenidos por Natan et al. (2003), tanto en la región

de soluciones únicas como de soluciones múltiples.

Minzer et al. (2006) realizaron un análisis teórico-experimental de estabilidad y

simulaciones transitorias para determinar la distribución del flujo de agua

Introducción

11

evaporándose en tuberías paralelas horizontales y con pequeños ángulos de

inclinación, considerando calentamiento constante (1000 W/m). El análisis de

estabilidad lineal permite diferenciar entre los estados estables y los inestables, y a

su vez permite establecer cuáles soluciones del estado estable tomarán lugar en la

práctica. Para el análisis se consideraron dos casos: (1) solo un tubo es calentado y

(2) ambos tubos calentados simétricamente.

Para una sola fase, la caída de presión en cada sección longitudinal del tubo se

determina como un valor medio entre la presión al inicio y al final de cada sección.

Para la mezcla bifásica (agua-vapor) se utiliza la correlación de Lockhart & Martinelli

(1949) con el coeficiente de Chisholm (1967). Para validar la teoría se utilizó el

modelo experimental presentado por Minzer et al. (2004).

Para calentamiento asimétrico (tubo derecho con un calentamiento de 1000 W/m, y

tubo izquierdo sin calentamiento) se obtuvo que para flujos menores a 0.036 kg/s, se

tiene una única solución de distribución de flujo, donde el 95% del fluido circula por la

tubería sin calentamiento, mientras que solo el 5% circula por la tubería caliente. Si el

flujo másico aumenta en un intervalo de 0.036 kg/s ≤ W ≤ 0.053 kg/s se obtienen

múltiples soluciones de distribución de flujo (2 soluciones estables y 1 inestable), y

para flujos mayores a 0.053 kg/s se obtiene una única solución (distribución

simétrica). En el segundo caso (tuberías con calentamiento simétrico, 1000 W/m) se

obtiene que para flujos másicos menores a 0.01 kg/s la distribución de flujo es

simétrica, si el flujo aumenta en el intervalo de 0.01 ≤ W ≤ 0.053 kg/s se obtienen

múltiples soluciones de distribución (3 soluciones, siendo 2 estables y 1 inestable; ó

5 soluciones, siendo 3 estables y 2 inestables), y para flujos másicos mayores a

0.053 kg/s se obtiene una única solución (distribución simétrica).

Las simulaciones transitorias confirmaron que los resultados de estabilidad lineal

para los casos analizados, llamados trayectorias, se alejan de la solución inestable y

se aproximan a las soluciones de estado estable.

Introducción

12

Taitel et al. (2007) estudiaron de forma teórica y en estado permanente la

distribución de flujo bifásico (agua-vapor) en tuberías horizontales y con pequeños

ángulos de inclinación, considerando el modelo simplificado propuesto por Minzer at

al. (2006), con el objetivo de proponer un sistema de control que permita lograr la

distribución de flujo deseado en las tuberías. El sistema es fijado a una presión de

salida constante de 10 MPa, una temperatura de entrada de 235 °C, un diámetro

interno de la tubería de 55 mm, una longitud efectiva de la tubería de 936 m, y un

calentamiento incidente de 4.4 kW/m.

Para calentamiento simétrico en ambas tuberías, los autores obtuvieron que la

distribución de flujo es simétrica para flujos másicos menores a 9 kg/s y mayores a

20 kg/s (solución única de presión de entrada y distribución de flujo). Sin embargo,

para flujos másicos intermedios (9 kg/s ≤ W ≤ 20 kg/s) existen 3 o 5 soluciones

posibles de distribución de flujo, y 2 ó 3 respectivas presiones de entrada (2 para el

caso de 3 soluciones de distribución y 3 para el caso de 5 soluciones de distribución).

Si el calentamiento es disminuido a 1.1 kW/m en la tubería izquierda (calentamiento

asimétrico), obtuvieron una única solución permanente para el rango de flujos

másicos de entrada de (0 < W < 30 kg/s), circulando solo del 10 al 20% del flujo

másico de entrada total por la tubería derecha para flujos de entrada de W ≤ 18 kg/s,

obteniendo vapor sobrecalentado a la salida de la tubería derecha y tan solo líquido a

alta temperatura en la tubería izquierda.

Para eliminar las condiciones de distribución asimétricas, los autores propusieron

incorporar válvulas de control a la entrada de cada tubería. Las condiciones de

operación son determinadas fijando la calidad del vapor deseado a la salida de las

tuberías, designándose como argt etX y asegurando la mínima caída de presión.

En la primera etapa el flujo total es ajustado a la calidad promedio del vapor, argt etX

es alcanzada (no necesariamente el mismo flujo en cada tubería). Esto es obtenido

mediante el control de la capacidad de la bomba a la entrada del manifold común.

Las válvulas de control a la entrada de la tubería, donde la calidad del vapor está por

Introducción

13

debajo de la calidad deseada, será cerrada gradualmente, mientras que la válvula a

la entrada de la tubería donde la calidad del vapor es alta (vapor sobrecalentado)

será abierta de forma gradual, y este mismo procedimiento es realizado hasta que la

calidad del vapor sea alcanzada en ambas tuberías. Una vez que la calidad deseada

es alcanzada, ambas válvulas son gradualmente abiertas (si no han sido aun

completamente abiertas) para reducir las pérdidas de presión. Si, en ese proceso, la

calidad del vapor varia, el control es retrocedido hasta volver a lograr la calidad

deseada. La calidad del vapor es la relación entre la masa de vapor y la masa total

presente en la mezcla.

Los autores concluyeron que la incorporación de válvulas de control a la entrada de

cada tubería es una metodología adecuada en el control de la distribución de flujo

másico en sistemas de tuberías en paralelo aplicados a la GDV, sin embargo, la

presión de entrada se incrementa, requiriendo mayor potencia de bombeo, lo cual es

una situación indeseable.

Moya (2009) , Moya et al. (2011) y Enríquez (2012) realizaron estudios del sistema

DISS mediante el simulador comercial RELAP, considerando condiciones de frontera

de calentamiento uniforme y con concentración de calor en los tubos absorbedores,

mostrando la factibilidad de este simulador para estudios de GDV. Con estos

estudios se profundizó en el entendimiento del comportamiento del flujo bifásico

(agua-vapor) a lo largo del tubo absorbedor, se delimitaron las secciones

longitudinales del tubo en las que ocurren determinados patrones de flujo para las

condiciones de operación consideradas, y se pudieron identificar los diferentes

mecanismos de transferencia de calor que se presentan en la interface fluido-pared.

Taitel y Barnea (2011) realizaron un análisis transitorio para la predicción de la

distribución de flujo másico y las caídas de presión en un arreglo de tubos paralelos

de 6 m de longitud y 5 mm de diámetro. Aplicaron el método de diferencias finitas

para resolver la ecuación de cantidad de movimiento de forma iterativa mediante un

esquema implícito de discretización.

Introducción

14

El fluido de trabajo que se consideró fue agua y las condiciones fueron consistentes

con el sistema experimental presentado por Minzer et al. (2006). Los resultados

fueron obtenidos para un calentamiento simétrico en las tuberías (sistema compuesto

por dos tuberías en paralelo y con un calentamiento de 1000 W/m).

Para flujos másicos menores a 0.01 kg/s, la solución es única y existe una

distribución simétrica de flujo (solución estable). Si el flujo másico aumenta en un

intervalo de 0.01 kg/s ≤ W ≤ 0.07 kg/s la solución ya no es única y un conjunto de

soluciones múltiples son obtenidas. Para el intervalo de 0.01 kg/s ≤ W ≤ 0.04 kg/s se

obtienen tres soluciones, de las cuales 2 son estables (distribución asimétrica) y 1

inestable (distribución simétrica). En el intervalo de 0.04 kg/s ≤ W ≤ 0.07 kg/s se

obtienen 5 soluciones, de las cuales 3 son estables (1 distribución simétrica y 2

asimétricas) y 2 inestables (distribución asimétrica). Si el flujo másico de entrada es

mayor a 0.7 kg/s, se obtiene una única solución con distribución simétrica (solución

estable).

El análisis transitorio mostró que los disturbios (variación del flujo másico) pequeños

son consistentes con el análisis de estabilidad lineal. Cambios lentos en el flujo

másico de entrada conducen a la curva de estado estable, mientras que cambios

más rápidos pueden conducir a mayores y menores presiones de entrada,

generando mayores gradientes de presión.

Baikin et al. (2011) estudiaron de forma teórica y experimental el comportamiento

termo-hidráulico de un sistema de tubos en paralelo, extendiendo el trabajo realizado

por Minzer et al. (2006). El sistema está constituido por un arreglo de tubos en

paralelo conectados mediante una entrada y salida común.

El sistema experimental está constituido por 2 tubos con calentamiento, y 2 tubos sin

calentamiento. La longitud de las tuberías es de 6 m con un diámetro interno de 5

mm, y se encuentran conectados mediante una entrada común (manifold de 19 mm

de diámetro interno). Todas las tuberías se encuentran abiertas a la atmósfera

Introducción

15

mediante un separador de vapor localizado al final de cada elemento, y el sistema

puede girar hasta 30°.

Para el caso de tres tubos (1 con calentamiento y 2 sin calentamiento) se obtuvo que

para flujos másicos menores a 0.043 kg/s se presenta solo una solución estable de

flujo para cada tubería, circulando 49% del fluido a través de cada tubería sin

calentamiento, mientras que solo el 2% circula por la tubería con calentamiento. Al

aumentar el flujo másico en el intervalo de 0.043 ≤ W ≤ 0.088 kg/s se obtienen 3

soluciones para cada tubería, 2 estables y 1 inestable. De las soluciones estables, en

la primera el flujo continúa circulando en mayor proporción por las tuberías sin

calentamiento (48% para cada tubería), mientras que solo el 4% del flujo de entrada

circula a través de la tubería con calentamiento. Para el caso de la segunda solución

estable, el flujo másico se distribuye de forma uniforme para cada tubería. Para flujos

mayores a 0.088 kg/s se obtiene una única solución, en la que el fluido se distribuye

de forma simétrica para cada tubería. Para el caso de 2 tuberías con calentamiento y

1 sin calentamiento se obtiene que para flujos másicos menores a 0.038 kg/s, entre

90 y 95% del flujo de entrada circula por la tubería sin calentamiento, mientras que

entre el 5 y 10% restante circula a través de las tuberías calentadas. Al aumentar el

flujo de entrada en el intervalo de 0.038 ≤ W ≤ 0.088 kg/s se obtienen dos o tres

soluciones para cada tubería (2 estables y 1 inestable), en la primera solo el 5% del

flujo de entrada circula por una tubería caliente, mientras que el 95% restante circula

por las otras dos tuberías (del 42-43% para cada tubería). En la segunda solución se

obtiene una distribución simétrica de flujo para cada tubería. Si se considera un flujo

másico de entrada mayor a 0.088 kg/s se obtiene que la distribución es simétrica. Si

se considera un arreglo de 4 tuberías (2 con calentamiento y 2 sin calentamiento) se

obtiene que para flujos másicos menores a 0.043 kg/s se obtiene una única solución

de distribución para cada tubería. Si se aumenta el flujo en el intervalo de 0.043 kg/s

≤ W ≤ 0.129 kg/s se obtienen tres soluciones estables para cada tubo, en la primera,

entre el 45-50% del flujo total de entrada tiende a fluir por las tuberías sin

calentamiento, mientras que el resto fluye por las tuberías calientes (distribución

semejante). En la segunda, cerca del 5% del flujo tiende a fluir por una tubería

Introducción

16

caliente, y el resto se distribuye de forma semejante en las tuberías restantes. En la

tercera el fluido se distribuye de manera uniforme en cada una de las tuberías. Si el

flujo de entrada es mayor a 0.129 kg/s se obtiene una única solución para cada

tubería, y su distribución es simétrica. Los resultados numéricos comparan bien con

los resultados experimentales.

Las simulaciones en estado transitorio (3 tuberías con un calentamiento simétrico de

1300 W/m) confirman los resultados del análisis de estabilidad lineal, mostrando que

las trayectorias se alejan de las soluciones inestables, aproximándose a las

soluciones estables en estado permanente.

Introducción

17

Tabla 1.1 Resumen de la revisión de literatura

Autores

Sistema Físico • L=longitud de la

tubería (m) • D=diámetro (cm) • N =número de

tubos

Tipo de análisis • T=Teórico • E=experimental • I=inclinación (°) características Conclusiones

L D N I T E

Taitel et al. (2003) 6 2.6 4 0-15 X X

Sin calentamiento La distribución del flujo másico en tuberías horizontales es usualmente simétrica, y para tuberías inclinadas varias configuraciones de distribución de flujo pueden ser obtenidas (soluciones múltiples).

Pustylnik et al. (2006) 6 2.6 4 0-30 X X

Sin calentamiento Las predicciones de razón de distribución de flujo y estancamiento coinciden de forma aceptable con los resultados experimentales.

Pustylnik et al. (2009)

6 2.6 4 0-15 X X Sin calentamiento Inclusión de orificios

La inserción de un orificio al final de cada tubería reduce la región de distribución asimétrica del flujo.

Natan et al. (2003) 400 2.5 2 0-10 X Calentamiento uniforme: • Simétrico • Asimétrico

La distribución del flujo es asimétrica en algunos intervalos de flujo aun cuando se considere un calentamiento simétrico en ambas tuberías. Se obtuvieron soluciones múltiples.

Minzer et al. (2004) 6 0.5 2 0-30 X

Calentamiento uniforme: • Simétrico • Asimétrico

Los datos experimentales se aproximan en gran medida al comportamiento cualitativo de los resultados obtenidos por Natan et al. (2003).

Minzer et al. (2006)

6 0.5 2 0 X X

Calentamiento uniforme: • Simétrico • Asimétrico Análisis de estabilidad

Las simulaciones transitorias confirmaron que las trayectorias se alejan de las soluciones inestables y se aproximan a las soluciones de estado estable.

Taitel et al. (2007) 936 5.5 2 0 X

Calentamiento uniforme: • Simétrico • Asimétrico Inclusión de sistemas de control

Aun para calentamiento simétrico la distribución del flujo es asimétrica, por lo que no es posible lograr la distribución deseada (simétrica) sin un sistema de control.

Taitel y Barnea (2011)

6 0.5 2 0 X Calentamiento uniforme: • Simétrico Análisis de estabilidad

El análisis transitorio permite visualizar la respuesta a pequeños disturbios y el comportamiento del sistema para los cambios en las condiciones de operación.

Baikin et al. (2011) 6 0.5 4 0-30 X X

Calentamiento uniforme: • Simétrico • Asimétrico Análisis de estabilidad

Para calentamiento asimétrico, una mayor cantidad de flujo másico circula por las tuberías sin calentamiento, y aun para calentamiento simétrico en todo el sistema existen soluciones de distribución asimétricas. La trayectoria de las soluciones de distribución en estado transitorio dependen del cambio de las condiciones de operación del sistema.

Este estudio 450 5.0 2 0 X

Calentamiento uniforme y con concentración: • Simétrico • Asimétrico

18

1.2.1 Conclusiones de la revisión de literatura

1. La distribución simétrica de flujo másico en arreglos de tuberías en paralelo es

un fenómeno difícil de controlar, pues aun cuando se presenten las mismas

condiciones de frontera de calentamiento, existen intervalos de flujo másico en

el que se obtienen más de una única solución, siendo algunas soluciones

estables y otras inestables.

2. En sistemas de tuberías en paralelo sin calentamiento, la distribución del flujo

másico es simétrica cuando el sistema es horizontal.

3. Para sistemas de tuberías en paralelo con calentamiento simétrico existen

intervalos de flujo másico de entrada en los que la distribución es asimétrica,

aun considerando una posición horizontal del sistema. Se obtiene vapor

sobrecalentado en algunas tuberías, mientras que en las restantes

únicamente se obtiene líquido a alta temperatura, lo cual es una situación

indeseable en la práctica.

4. La incorporación de dispositivos que permiten controlar la entrada de flujo a

las tuberías del sistema es un buen método para obtener la distribución de

flujo deseada, sin embargo, implica mayores presiones de entrada (mayor

potencia de bombeo del fluido de alimentación), lo cual es una situación no

deseada.

5. Hasta ahora solo se han estudiado sistemas de tuberías en paralelo con

calentamiento uniformemente distribuido y generalmente ángulos de

inclinación de β≠0. Sin embargo, esta condición de calentamiento es difícil de

encontrar en la práctica, por lo que es necesario realizar estudios en los que

se consideren condiciones de frontera de calentamiento que nos permitan

modelar el sistema con mayor apego a las condiciones reales (calentamiento

con concentración) y en tuberías horizontales.

Introducción

19

Como resultado de la revisión de literatura se plantean los siguientes Objetivos y

Alcances.

1.3 Objetivo general

Determinar el efecto que el calentamiento solar (simétrico, asimétrico y con

concentración perimetral) de los tubos absorbedores tiene sobre la distribución del

flujo másico y caídas de presión en las tuberías en paralelo de un sistema de

Colectores Cilindros Parabólicos (CCP) para Generación Directa de Vapor (GDV). Lo

anterior mediante el simulador comercial RELAP.

1.4 Objetivos específicos

1. Determinar el comportamiento termo-hidráulico de la mezcla bifásica agua-

vapor (temperatura, patrones de flujo, presión y calidad) en función de las

condiciones de frontera de calentamiento del tubo absorbedor.

2. Determinar el efecto de la concentración solar.

1.5 Alcances

Se reproducirá el estudio teórico realizado por Natan et al. (2003) como referencia y

se estudiará una fila de CCP para GDV (prototipo DISS) ubicada en la PSA

comparando con datos experimentales proporcionados a través de un convenio de

colaboración. Se determinará la aplicabilidad del simulador RELAP para este tipo de

estudios. Los estudios se realizarán en estado permanente.

20

2 Capítulo II Marco Teórico


En este capítulo se hace una breve descripción de los patrones de flujo bifásico que

pueden presentarse para tuberías horizontales, así como de los modelos

matemáticos que se aplican para el estudio del comportamiento termo-hidráulico del

flujo bifásico agua-vapor, haciendo especial énfasis en el Modelo a Dos Fluidos

(modelo matemático empleado en el presente trabajo a través del simulador RELAP).

Finalmente, se presentan las ecuaciones generales del Modelo a Dos Fluidos:

continuidad, conservación de cantidad de movimiento y conservación de energía,

planteando las ecuaciones conservativas para cada fase líquido y vapor.

Marco Teórico

21

2.1 Patrones de flujo bifásico

En un sistema de GDV, al evaporarse el agua en los tubos absorbedores, dos fases

de flujo coexisten entre sí (líquido-gas), presentándose en forma de diferentes

configuraciones llamadas patrones de flujo. Cada patrón de flujo es caracterizado por

una distribución relativa de ambas fases y de sus interfases. La transición de un

patrón de flujo a otro toma lugar cuando cambios significativos ocurren en la

geometría de la interfase líquido-gas. La figura 2.1 muestra los patrones de flujo

típicos reportados (Collier & Thome, 1994) para flujo en tuberías horizontales con

evaporación (flujo con transferencia de calor).

Figura 2.1 Patrones de flujo para fluido con evaporación en tuberías horizontales.

Los coeficientes de transferencia de calor y las caídas de presión están

estrechamente relacionados con la estructura del flujo bifásico, y la predicción de los

patrones de flujo es un importante aspecto del modelado para condensación y

evaporación. Una descripción sencilla del comportamiento hidrodinámico de cada

patrón de flujo se hace a continuación:

Flujo Burbuja: La fase gaseosa se encuentra dispersa en la fase líquida en forma de

un gran número de burbujas que varían en forma y tamaño, sin embargo,

normalmente adoptan una forma casi esférica y de diámetro mucho más pequeño

Marco Teórico

22

que el diámetro de la tubería por el que circula el flujo bifásico. La mayor parte de las

burbujas se aproximan a la pared superior de la tubería debido a las fuerzas de

flotación. Cuando las fuerzas viscosas son dominantes, las burbujas tienden a

distribuirse de forma uniforme en el área de flujo.

Flujo Plug: En este patrón de flujo se presentan secciones de líquido separadas por

burbujas elongadas de la fase gaseosa. El diámetro de las burbujas es menor que el

de la tubería, por lo que la fase líquida es continua en la parte inferior de la tubería

(por debajo de las burbujas elongadas). El flujo Plug es también conocido como flujo

de burbujas elongadas.

Flujo Slug: Al aumentar la velocidad del gas (mayor fracción de vacío), el diámetro de

las burbujas elongadas se aproxima al diámetro de la tubería. Tapones de líquido

separados por burbujas elongadas pueden ser descritos como ondas de larga

amplitud.

Flujo Estratificado: El patrón de flujo estratificado se caracteriza por la separación de

la fase líquida y la fase gaseosa. La fase gaseosa con menor densidad circula por la

parte superior de la tubería y la líquida por la sección inferior, manteniéndose

separadas por una interfase horizontal. El líquido y el gas son completamente

estratificados en este patrón de flujo.

Flujo Estratificado Ondulado: Al aumentar la velocidad del gas en flujo estratificado,

se forman ondas en la interfase líquido-gas que viajan en la dirección del flujo. La

amplitud de las ondas es notable y depende de la velocidad relativa de ambas fases,

sin embargo, la cresta de las ondas no tocan la pared superior de la tubería. Las

ondas rozan las paredes laterales de la tubería, dejando películas delgadas de

líquido después del paso de la onda.

Flujo Anular: Al aumentar el flujo de gas, la fase líquida forma una película anular

continua alrededor del perímetro de la tubería, circulando la fase gaseosa por el

Marco Teórico

23

centro de la sección transversal. Sin embargo, la película de líquido es más delgada

en la parte superior de la tubería. La interfase entre la película anular de líquido y el

centro de gas puede ser perturbada por pequeñas amplitudes de onda y gotas de

líquido que se dispersan en el gas. A elevadas fracciones de vacío, la parte superior

de la tubería con la película de líquido más delgada tiende a secarse primero, de tal

forma que la película anular cubre solo parte del perímetro de la tubería y el flujo es

clasificado como flujo estratificado ondulado.

Flujo Dryout: La película de líquido en las paredes de la tubería comienza a secarse,

y el líquido restante tiende a circular por el centro de la tubería en forma de pequeñas

gotas.

Flujo Niebla: La fase gaseosa entra en contacto con las paredes de la tubería y la

fase líquida viaja en forma de gotas a través del núcleo de gas, siendo ahora el gas

la fase continua.

2.2 Generalidades de los modelos matemáticos para e l estudio del flujo de

dos fases

El flujo de dos fases obedece todas las leyes básicas de la mecánica de fluidos, sin

embargo, las ecuaciones son más complicadas y numerosas. Los modelos

matemáticos para analizar flujos bifásicos pueden ser ordenados en forma

ascendente considerando el grado de sofisticación y dependiendo de la cantidad de

información que sea necesaria para describir el flujo. Entre los principales modelos

matemáticos para el análisis de flujo bifásico se puede hacer mención del modelo de

flujo homogéneo, el modelo Drift-Flux, y el modelo a dos fluidos.

Modelo de Flujo Homogéneo: Este modelo representa la técnica más simple para el

análisis de flujo bifásico ó multifásico. Se determinan propiedades promedio y la

mezcla es tratada como un fluido que obedece las ecuaciones de flujo para una fase,

es decir, las propiedades de la mezcla bifásica son constantes y tanto las

Marco Teórico

24

velocidades como las temperaturas del líquido y del vapor (o gas), son iguales en

toda el área de flujo de su sección transversal (flujo homogéneo en equilibrio).

Modelo Drift-Flux: Este modelo es esencialmente un modelo a flujos separados en el

cual la atención es enfocada al movimiento relativo más que al movimiento individual

de ambas fases. Este modelo es particularmente útil si los efectos bidimensionales y

tridimensionales (variación de la densidad y velocidad a través del canal de flujo) son

despreciables. El movimiento relativo es determinado mediante algunos parámetros

importantes como fuerzas de flotación y fuerzas de arrastre, y es independiente de la

razón de flujo de cada fase. La teoría del modelo drift-flux tiene un amplia aplicación

en los patrones de flujo burbuja y slug, así como para las caídas de presión en el

flujo bifásico líquido-gas.

Modelo A Dos Fluidos: El modelo a dos fluidos considera que las dos fases tienen

diferentes propiedades y diferentes velocidades. Es el modelo más completo y por

consiguiente el más complejo ya que involucra ecuaciones separadas de

continuidad, cantidad de movimiento y energía para cada fase. Las seis ecuaciones

son resueltas de forma simultánea, en conjunto con las ecuaciones que describen

cómo las dos fases interactúan entre sí y con las paredes de la tubería (condiciones

de cerradura).

2.3 Modelo a Dos Fluidos

Las ecuaciones de conservación son escritas en forma diferencial, promediadas en

tiempo y espacialmente (promediado volumétrico). En el apéndice se hace una

deducción detallada del modelo matemático a dos fluidos y las ecuaciones

resultantes se muestran a continuación. Sin embargo, la notación de promediado es

omitida para simplificar su escritura (Lahey & Drew, 1989).

Marco Teórico

25

� Ecuación de conservación de masa

[ ] [ ]1k kkk k kV v

t V

α ρα ρ

∂+ ∇⋅ = Γ

∂ (2.1)

donde el subíndice k denota la fase, siendo k g= para la fase gas (o vapor) y k f=

para la fase líquida, kρ la densidad de cada fase, kα la fracción volumétrica, kv la

velocidad, V el volumen y kΓ la transferencia de masa debido al cambio de fase.

� Ecuación de conservación de cantidad de movimiento

[ ] ( )

( )

''' ''' '''

Re

1

1

i w ii w i

i i w wi

k k k k k kk k k k k k k k kk

nd d nd dk k k kkk k k kk k k

v V C v v p I p s p s st V

V g v M M M MV

α ρ α ρ α τ

α τ τ α ρ Γ

∂ + ∇⋅ : = − ∇⋅ − ∆ − ∆ + ∂

+ ∇ ⋅ + + + Γ + + + +

(2.2)

donde los subíndices k , w , i denotan la fase, la pared y la interfase, k

C la

correlación del tensor de cuarto orden, kP la presión, I el tensor identidad, kτ los

esfuerzos viscosos, kg la fuerza gravitacional, ikvΓ la velocidad interfacial,

i

ndkM la

fuerza volumétrica interfacial de no arrastre, i

dkM la fuerza volumétrica interfacial de

arrastre, w

ndkM la fuerza de no arrastre fase-pared,

w

dkM la fuerza de arrastre fase-

pared, y '''

ikS y '''

wkS los parámetros geométricos de la interfase y la pared,

respectivamente.

� Ecuación de conservación de energía

( ) ( ) [ ]

( ) ( )'' '' Re '''

''''' ''' '' '''

1

1 1

i

i ii i i ii i w wi

k kT T kkk k k k k k k k kk

Tk kk k k k kk kk k k k

dnd nd d d kk kk k k kk k k i k k kk

k i

pe e V K e e v p

t V t t

V q q V v g v qV V

pe M v q A M v v s q A

ααα ρ α ρ

α α τ τ α ρ α

τρ

Γ

∂∂∂ + + ∇ ⋅ ⋅ + = − + ∂ ∂ ∂

− ∇ ⋅ + + ∇ ⋅ + ⋅ + ⋅ + +

∆Γ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ + − Γ%

(2.3)

Marco Teórico

26

donde ke es la energía especifica covectiva total, Tke la energía cinética turbulenta,

kK la conductividad térmica, ''kq el flujo de calor, ''T

kq el flujo de calor turbulento, '''kq la

generación interna de calor volumétrica, ''

ikq el flujo de calor interfacial, ''

wkq el flujo de

calor en la pared, '''iA el área interfacial, '''

wkA el área de transferencia de energía en la

pared por unidad de volumen, dk

kk i

p

ρ∆Γ%

el componente de arrastre, y Rekτ el

esfuerzo de Reynolds.

27

3 Capitulo III Modelo matemático

Equation Chapter 3 Section 1.

En este capítulo se hace una descripción general del software comercial RELAP,

presentando su modelo matemático y una breve descripción de la metodología de

solución.

Modelo Matemático

28

3.1 Generalidades del modelo implícito en el simula dor RELAP

El código RELAP (Ramson et al., 2001) ha llegado a ser ampliamente aceptado en

todo el mundo para analizar de forma teórica y experimental sistemas de reactores

de agua ligera (LWR).

El modelo hidrodinámico en RELAP es unidimensional y transitorio, basado en el

modelo a dos fluidos para una mezcla de agua-vapor que puede contener un

componente no condensable en la fase vapor y/o un componente soluble en la fase

líquida.

Contiene algunas opciones para usar modelos hidrodinámicos más simples. Esto

incluye flujo homogéneo, equilibrio térmico y modelos de flujo con fricción. Estas

opciones pueden ser usadas de forma independiente y/o en combinación. Las

ecuaciones del modelo a dos fluidos son formuladas en términos de promediado en

volumen y en tiempo.

3.2 Ecuaciones de conservación en una dimensión par a el modelo a dos

fluidos

Las ecuaciones de conservación generales descritas en el capítulo II pueden ser

expresadas de forma unidimensional (Ramson et al., 2001), siendo un caso particular

de las ecuaciones en tres dimensiones.

Las ecuaciones de continuidad para cada fase son:

Para la fase gas:

1g g g g g gv A

t A zα ρ α ρ∂ ∂ + ⋅ = Γ ∂ ∂

(3.1)

Modelo Matemático

29

para la fase líquida:

1f f f f f fv A

t A zα ρ α ρ∂ ∂ + ⋅ = Γ ∂ ∂ (3.2)

donde, los subíndices g y f denotan la fase de gas ó líquido, ρ la densidad, α la

fracción volumétrica, A el área de flujo, v la velocidad, gΓ y fΓ la transferencia de

masa en la interfase para cada fase. Generalmente el flujo no incluye fuentes ó

sumideros de masa, y la condición de continuidad requiere que el término de

generación de líquido debe ser el negativo del término de generación de vapor, es

decir:

f gΓ = −Γ (3.3)

El modelo de transferencia de masa interfacial asume que el total de la masa

transferida incluye la masa transferida en la interfase líquido/vapor en el fluido ( ) y

la transferencia de masa en la interfase fluido-pared ( ), esto es:

g ig wΓ = Γ + Γ (3.4)

' '

wif

wg f

Q

h h

−Γ =

− (3.5)

( ) ( )* *

s sig g if f

g wg f

H T T H T T

h h

− + −Γ = + Γ

− (3.6)

donde, wifQ es el coeficiente de transferencia de calor en la capa limite cerca de la

pared, 'gh y '

fh las entalpias para cada fase (vapor-líquido) asociadas con la

transferencia de masa en la interfase de la pared, igH y ifH la transferencia de calor

en la interfase para cada fase, sT la temperatura de saturación, gT y fT las

temperaturas para cada fase, y *gh y *

fh la entalpia para cada fase asociada con la

transferencia de masa en la interfase.

Las ecuaciones de conservación de cantidad de movimiento para cada fase son

expresadas en términos de momento por unidad de volumen involucrando las

igΓ

wΓ

Modelo Matemático

30

velocidades de las fases gv y fv . La variación espacial de los términos de momento

es expresada en términos de 2gv y 2

fv . Esta forma tiene la característica de que la

ecuación de cantidad de movimiento se reduce a la ecuación de Bernoulli para flujo

permanente, incompresible y no viscoso.

Las ecuaciones de cantidad de movimiento para cada fase son:

Para la fase gas:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

21

2g g

g g g g g g g z g g g

g f g fg gI g g g g f g f m f g

v v PA A A B A A FWG v

t z z

v v v vA v v A FIG v v C A v v

t z z

α ρ α ρ α α ρ α ρ

α ρ α α ρ

∂ ∂ ∂+ = + −∂ ∂ ∂

∂ − ∂ ∂Γ − − − − + −

∂ ∂ ∂

(3.7)

y para la fase líquida:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

21

2f f

f f f f f f f z f f f

f g f gf fI f f f f g f g m g f

v v PA A A B A A FWF v

t z z

v v v vA v v A FIF v v C A v v

t z z

α ρ α ρ α α ρ α ρ

α ρ α α ρ

∂ ∂ ∂+ = + −∂ ∂ ∂

∂ − ∂ ∂Γ − − − − + −

∂ ∂ ∂

(3.8)

donde los subíndices I , w y m denotan la interfase, pared y el promedio de las

propiedades, zB el vector componente de la fuerza de cuerpo g y C el coeficiente de

masa virtual, cuando una partícula (burbuja de vapor) se mueve a través de un

núcleo de líquido, pequeñas moléculas se adhieren a la superficie externa de la

burbuja, generando una película de espesor δ (masa virtual), y la fuerza necesaria

para vencer la resistencia al movimiento ocasionada por la masa virtual se conoce

como fuerza de masa virtual. Los términos FWG y FWF son parte de la fricción de

arrastre en la pared para cada fase (vapor y líquido), FIG y FIF son parte de la

fricción de arrastre en la interfase para cada fase (vapor y líquido). Para la fricción de

arrastre en la interfase líquido-vapor se utilizan dos métodos (drift-flux y coeficiente

de arrastre), dependiendo del patrón de flujo que se presente. El coeficiente de

arrastre es una magnitud adimensional para cuantificar la resistencia al movimiento

que presenta un cuerpo inmerso en un fluido.

Modelo Matemático

31

El coeficiente de masa virtual se basa en el modelo utilizado por Anderson et al

(1977), donde el valor de C depende del patrón de flujo. Un valor de 1/ 2C > ha

mostrado ser un valor adecuado para flujo burbuja o flujos dispersos (Zuber, 1964) y

(Wijngaarden, 1976), mientras que 0C = puede ser adecuado para flujos separados

ó flujo estratificado (Zuber, 1964) y (Wijngaarden, 1976). El código comercial RELAP

emplea un valor de 1/ 2C > para todos los patrones de flujo.

Los términos del lado izquierdo de las ecuaciones(3.7) y(3.8) representan los

términos temporal y convectivo, respectivamente; para cada fase. Los del lado

derecho, el gradiente de presión, las fuerzas de cuerpo (fuerza de gravedad), la

fricción en la pared, la cantidad de movimiento debido a la transferencia de masa en

la interfase, la fricción de arrastre en la interfase y las fuerzas de masa virtual,

respectivamente, para cada fase.

La conservación de cantidad de movimiento en la interfase requiere que los términos

de fuerza asociados con la masa de la interfase e intercambio de cantidad de

movimiento sumen cero, es decir:

( ) ( )

( ) ( ) 0

g f

g gI g g g f g f m f fI

f g

f f f g f g m

v vAv A FIG v v C A Av

t

v vA FIF v v C A

t

α ρ α α ρ

α ρ α α ρ

∂ − Γ − − − − Γ ∂

∂ − − − − = ∂

(3.9)

Los términos de fuerza asociados con la aceleración de la masa virtual en la

ecuación (3.9) suman cero, por lo que se requiere que:

gI fI Iv v v= = (3.10)

y

g g f f g f g fFIG FIF FIα ρ α ρ α α ρ ρ= = (3.11)

donde FI es el coeficiente de arrastre en la interfase. Estas condiciones son

suficientes para asegurar que la ecuación (3.9) se satisfaga.

Modelo Matemático

32

Donde;

( )

( ) ( ) ( ) ( )1 22 2 2 2' ' ' '

2 2

2f f f

f f fw

f f f f f f f f g g g g g g g g

gw g g g fw f f f

vFWF

D

v C v v v

v v

ρ λα ρ α

λ ρ α λ ρ α λ ρ α λ ρ α

α λ ρ α λ ρ

=

+ + ⋅+

(3.12)

( )

( ) ( ) ( ) ( )1 22 2 2 2' ' ' '

2 2

2g g g

g g gw

f f f f f f f f g g g g g g g g

gw g g g fw f f f

vFWF

D

v C v v v

v v

ρ λα ρ α

λ ρ α λ ρ α λ ρ α λ ρ α

α λ ρ α λ ρ

=

+ + ⋅+

(3.13)

( ) ( )

( )

f g f g f g f g

g g f f

g g f f g g f f

m g f

g g

FIG FIFv v

α ρ ρ ρ α ρ ρ ρα ρ α ρ

α ρ α ρ α ρ α ρρ

− − + = = ⋅

− (3.14)

siendo gλ y fλ los factores de fricción para cada fase, D el diámetro y g la fuerza

de flotación. El superíndice “ '” denota los factores de fricción de Darcy-Weisbach

para la fase de vapor y líquido, respectivamente.

Las ecuaciones de conservación de energía para cada fase son:

Para la fase gas:

( ) ( ) ( ) *

'

1 g gg g g g g g g g g wg ig ig g

w g g

PU U v A P v A Q Q h

t A z t A z

h DISS

α αα ρ α ρ α

∂ ∂∂ ∂+ = − − + + + Γ∂ ∂ ∂ ∂+Γ + (3.15)

Para la fase líquida:

( ) ( ) ( ) *

'

1 f ff f f f f f f f f wf if if f

w f f

PU U v A P v A Q Q h

t A z t A z

h DISS

α αα ρ α ρ α

∂ ∂∂ ∂+ = − − + + + Γ∂ ∂ ∂ ∂+Γ + (3.16)

Modelo Matemático

33

donde U es la energía interna específica, Q el flujo de calor volumétrico, y gDISS y

fDISS son los términos de disipación de energía para cada fase, siendo la suma de

los efectos de las fuerzas de fricción en la pared y los de la bomba. 2

g g g gDISS FWGvα ρ= (3.17) 2

f f f fDISS FWFvα ρ= (3.18)

La relación de disipación de energía satisface la siguiente relación:

g fDISS DISS DISS= + (3.19)

Los términos de energía del lado izquierdo de las ecuaciones (3.15) y (3.16)

representan el término temporal y convectivo, respectivamente. Los del lado derecho

son: los términos de presión, el flujo de calor en la pared, el flujo de calor en la

interfase, la transferencia de energía debido al cambio de fase en la interfase, la

transferencia de energía debido al cambio de fase cerca de la pared y el término de

disipación.

La transferencia de calor total ( Q ) a través de la pared de la tubería es igual a la

suma de la transferencia de calor para cada fase, es decir:

wg wfQ Q Q= + (3.20)

Las entalpias para cada fase ( *gh , *

fh ) asociadas con la transferencia de masa en la

interfase son definidas de tal forma que las condiciones de salto de energía en la

interfase (ecuaciones del intercambio de energía en la interfase) se satisfagan. En

particular, *gh y *

fh son sustituidas por sgh y fh respectivamente para el caso de

evaporación, y gh y sfh para el caso de condensación. De igual forma ocurre para las

entalpias de fase ( 'gh , '

fh ) asociadas con la transferencia de masa en la interfase de

la pared.

Modelo Matemático

34

3.3 Condiciones de Cerradura

3.3.1 Generación de vapor

La generación de vapor consiste de dos partes, la generación de vapor que resulta

del intercambio de energía en la interfase ( ) y la generación de vapor debido a los

efectos de transferencia de calor en la pared ( ). Los términos de transferencia de

calor en la interfase y que aparecen en las ecuaciones de conservación de

energía para cada una de las fases debido al intercambio de energía en la interfase y

al intercambio de energía en la región adyacente a la pared.

La suma de las ecuaciones de energía para cada fase (fase líquida y fase gaseosa)

produce una ecuación de energía de mezcla, para la cual se requiere que la suma de

los términos de transferencia en la interfase sea igual a cero, es decir:

( ) ( )* * ' ' 0ig if ig g f w g fQ Q h h h h+ + Γ + + Γ + = (3.21)

Los términos de transferencia de calor en la interfase ( igQ y ifQ ) consisten de dos

partes, esto es, la transferencia de calor en la interfase ( BigQ y B

ifQ ) y la transferencia

de calor en la interfase en la capa limite térmica cerca de la pared ( wigQ y w

ifQ ). Estas

dos partes son aditivas, es decir: B w

ig ig igQ Q Q= + (3.22)

y B w

if if ifQ Q Q= + (3.23)

Los términos de transferencia de calor en la interfase se muestran en la figura 3.1,

para el caso de vapor sub enfriado.

igΓ

wΓ

igQ ifQ

Modelo Matemático

35

Para el gas la transferencia de calor en la interfase está dada por:

( )B sig ig gQ H T T= −

(3.24)

Siendo igH el coeficiente de transferencia de calor para el gas en la interfase por

unidad de volumen y gT la temperatura del gas. Para el líquido, el coeficiente de

transferencia de calor está dado por:

( )B sif if fQ H T T= −

(3.25)

Siendo ifH el coeficiente de transferencia de calor para el líquido en la interfase por

unidad de volumen y fT la temperatura del líquido.

Sustituyendo las ecuaciones (3.22) y (3.23) en las ecuaciones (3.24) y (3.25),

respectivamente, se obtiene:

( )s wig ig g igQ H T T Q= − +

(3.26)

( )s wif if f ifQ H T T Q= − +

(3.27)

Se asume que la ecuación (3.21) se satisface, requiriendo que los términos de

intercambio de energía en la interfase líquido-vapor y los términos de intercambio de

Figura 3.1 Transferencia de calor para el caso de vapor sub enfriado.

��

��

��

Pared

Modelo Matemático

36

energía en la interfase fluido-pared sumen cero, independientemente cada uno, es

decir:

( ) ( ) ( )* * 0s sig g if f ig g fH T T H T T h h− + − + Γ + =

(3.28)

y

( )' ' 0w wig if w g fQ Q h h+ + Γ + =

(3.29)

Además, dado que el vapor aparece en la saturación, se considera que 0wigQ = para

procesos de ebullición cerca de la pared. La ecuación (3.29) puede ser usada para

obtener la razón de vaporización en la interfase cerca de las paredes, de tal forma

que:

( )' '

wif

w

g f

Q

h h

−Γ =

+ (3.30)

De la misma manera se asume que el líquido aparece en la saturación, por lo que

0wifQ = para procesos de condensación cerca de la pared. La ecuación (3.29) puede

ser utilizada para obtener la razón de condensación en la interfase cerca de las

paredes.

( )' '

wig

w

g f

Q

h h

−Γ =

+ (3.31)

Resolviendo las ecuaciones (3.30) y (3.31) para wifQ y w

igQ , y sustituyendo en las

ecuaciones (3.26) y (3.27), los términos de transferencia de energía en la interfase,

igQ y ifQ , pueden ser expresados en forma general como:

( ) ( )' '1

2s

ig ig g w g fQ H T T h hε− = − − Γ +

(3.32)

y

( ) ( )' '1

2s

if if f w g fQ H T T h hε− = − − Γ +

(3.33)

donde ε es el coeficiente de generación o condensación de vapor en la pared,

siendo 1ε = para ebullición cerca de la pared, y 1ε = − para condensación cerca de

Modelo Matemático

37

la pared. Finalmente, la ecuación (3.21) puede ser utilizada para encontrar la razon

de vaporización o condensación del fluido: ' '

* * * *

ig if g fig w

g f g f

Q Q h h

h h h h

+ −Γ = − − Γ

+ + (3.34)

Sustituyendo las ecuaciones (3.32) y (3.33) en la ecuación (3.34) se obtiene que:

( ) ( )* *

s sig g if f

igg f

H T T H T T

h h

− + − Γ = −

+ (3.35)

El proceso de cambio de fase que ocurre en la interfase es planteado como un

proceso en el cual el fluido es calentado o enfriado hasta la temperatura de

saturación y los cambios de fase ocurren en estado de saturación.

( ) ( )* 1

2s s

g g g g gh h h h hη = + + − (3.36)

y

( ) ( )* 1

2s s

f f f f fh h h h hη = + + − (3.37)

donde η es un coeficiente de la entalpia de evaporación o condensación, siendo:

1 0igη = → Γ ≥ (3.38)

1 0igη = − → Γ < (3.39)

Asimismo:

( ) ( )' 1

2s s

g g g g gh h h h hε = + + − (3.40)

y

( ) ( )' 1

2s s

f f f f fh h h h hε = + + − (3.41)

donde:

1 0wε = → Γ ≥ (3.42)

1 0wε = − → Γ < (3.43)

Modelo Matemático

38

Sustituyendo la ecuación (3.35) en la ecuación (3.4) se obtiene la expresión final

para la transferencia total de masa en la interfase, y se expresa como:

( ) ( )* *

s sig g if f

g wg f

H T T H T T

h h

− + −Γ = + Γ

+ (3.44)

3.3.2 Términos de disipación

Los términos de disipación de energía, gDISS y fDISS son la suma de la fricción de

la pared y los efectos de la bomba. Los efectos de disipación debidos a la

transferencia de masa en la interfase, la fricción en la interfase, y la masa virtual son

despreciados. En las ecuaciones de conservación de masa y cantidad de

movimiento, la transferencia de masa en la interfase, la fricción en la interfase, y la

masa virtual son importantes y no son despreciados. Las fricciones de disipación de

la pared se definen como: 2

g g g gDISS FWGvα ρ= (3.45)

y 2

f f f fDISS FWGvα ρ= (3.46)

Los términos de disipación de energía para cada fase satisfacen la siguiente relación:

g fDISS DISS DISS= + (3.47)

Siendo � la energía de disipación.

3.3.3 Fricción interfacial

La fricción en la interfase por unidad de volumen en las ecuaciones de cantidad de

movimiento de cada fase es expresada en términos de coeficientes de fricción

interfacial como:

( )ig g g g fF FIG v vα ρ= − (3.48)

y

Modelo Matemático

39

( )if f f f gF FIF v vα ρ= − (3.49)

donde igF es la magnitud de la fuerza de fricción interfacial por unidad de volumen en

la fase de vapor y ifF para la fase líquida. La magnitud de la fuerza de arrastre

interfacial por unidad de volumen en el líquido es considerada igual a la magnitud de

la fuerza de arrastre de la fase de vapor. Esta consideración conduce a la siguiente

condición:

g g f f g g f fFIG FIF FIα ρ α ρ α ρ α ρ= = (3.50)

donde el coeficiente global de fricción interfacial FI es definido en términos de los

coeficientes de fricción interfacial para cada fase ( FIG y FIF ).

El término de fuerza de fricción interfacial en la ecuación diferencial de cantidad de

movimiento es definido por:

( )( )ig ifg f

g g f f

F FFIG FIF v v

α ρ α ρ+ = + −

(3.51)

El cual se puede expresar como:

( )ig ifm g f

g g f f

F FFI v vρ

α ρ α ρ+ = −

(3.52)

donde los coeficientes de arrastre interfacial son representados en términos del

coeficiente global de arrastre interfacial, FI . Esta relación puede ser re arreglada

para proporcionar una relación constitutiva para el coeficiente global de fricción

interfacial.

( )

ig if

g g f f

m g f

F F

FIv v

α ρ α ρρ

+

=−

(3.53)

Cuando las fuerzas de fricción interfacial por unidad de volumen para cada fase han

sido calculadas, el coeficiente global de fricción interfacial ( FI ) puede ser

determinado. El código RELAP utiliza dos modelos para el cálculo de la fuerza de

fricción interfacial, el método drift-flux y el método de coeficiente de arrastre (Ransom

et al., 2001).

Modelo Matemático

40

3.4 Mapa de patrones de flujo

El mapa de patrones de flujo horizontal es para sistemas cuyo ángulo de inclinación (

φ ) se encuentra en el intervalo de 0 30φ≤ ≤ grados, y está constituido por flujo

burbuja, slug, estratificado, anular niebla y niebla pre-CHF. En la figura 3.2 se

muestra un esquema del mapa de patrones de flujo horizontal.

3.4.1 Criterios de transición

El criterio de transición entre los patrones de flujo burbuja y slug es:

( )

2

2

2

0.25 2000

0.25 0.00025 2000 2000 000

0.5 3000

BS m

BS m m

BS m

G kg m s

G G kg m s

G kg m s

αα

α

= → =

= + − → < < 3

= → ≥ (3.54)

Mientras que la fracción de vacío mínima para anular-niebla, SAα , es una constante:

0.8SAα = (3.55)

Figura 3.2 Esquema del mapa de patrones de flujo bifásico (líquido-gas) para flujo

en tuberías horizontales propuesto (Ransom, Trapp, & Wagner, 2001) en RELAP.

Incremento de fracción de vacío

Incremento

de la

velocidad

relativa

Estratificado Horizontal (HST)

Burbuja

(BBY)

Slug

(SLG)

SLUG-

ANM

Anular-

niebla

(ANM)

Niebla

Pre-CHF

(MPR)

BBY-

HST

SLUG-

HST

SLUG

/

ANM-

ANM-HST MPR-

HST

Modelo Matemático

41

y la transición entre los patrones de flujo slug y anular-niebla está definido por DEα y

SAα , donde:

0.75DEα = (3.56)

El criterio de transición de anular-niebla a niebla pre-CHF es:

0.9999AMα = (3.57)

El criterio que define el patrón de flujo estratificado horizontal se basa en el desarrollo

presentado por Taitel & Dukler (1976). Es decir, el patrón de flujo es estratificado

horizontal si la velocidad del vapor satisface la siguiente condición:

g critv v= (3.58)

donde critv es la velocidad del gas por encima de la cual las ondas en la interface

horizontal comenzaran a crecer, y está dada por:

( ) ( )11 cos

2 sinf g g

critg

g Av

D

ρ ρ αθ

ρ θ

−= −

(3.59)

donde θ (ángulo central) es definido por la fracción de vacío, es decir, se relaciona

con el nivel de líquido en la tubería.

Esta condición es modificada para el manejo de situaciones donde el flujo es

estratificado pero el líquido no se encuentra estancado como fue asumido por Taitel

& Dukler (1976). El flujo es estratificado horizontal si la diferencia de velocidades

entre las fases líquido-vapor satisface la siguiente condición:

g f critv v v− < (3.60)

y el flujo másico satisface la condición: 23000mG kg m s< (3.61)

Modelo Matemático

42

3.5 Método de solución

Para dar solución al sistema de ecuaciones gobernantes el código RELAP (Shieh et

al., 1994) utiliza los esquemas semi-implícito y cuasi-implícito. En el presente estudio

se utiliza un esquema semi-implícito.

En RELAP, las ecuaciones de masa y cantidad de movimiento son utilizadas como

una suma y una diferencia en un esquema numérico, presentando una fácil

degeneración al modelo para una fase simple.

3.6 Discretización y solución numérica

El modelo hidrodinámico es resuelto mediante un esquema de diferencias finitas, con

espaciamiento fijo y un desfase entre nodos. En la figura 3.3 se muestra la

discretización espacial para flujo en un ducto. Los volúmenes de control son

denotados por j . En el centro del volumen se evalúan las variables escalares P , gρ ,

fρ , gα , gu y fu , y su volumen está dado por jV . Las uniones entre los volúmenes de

control son denotadas por 1/2thj ± (malla numérica desplazada), siendo los nodos

donde se evalúan los vectores de velocidad gv y fv .

Volumen de control para la conservación

de masa y energía Nodo escalar

Nodo unión

Volumen de control para la conservación de

movimiento

Figura 3.3 Esquema de discretización para una tubería.

Modelo Matemático

43

Para mantener la linealidad en las variables dependientes y poder obtener una

solución directa, se linealizan las relaciones de estado y cualquier término producto

que aparece en las derivadas temporales.

3.7 Control del paso de tiempo

Para obtener una solución aceptable se debe controlar el paso de tiempo, lo cual

implica el revisar de forma continua un conjunto de variables. Esto implica (Shieh,

Ransom, & Krishnamurthy, 1994) el límite de Courant, el error de masa, las

propiedades del material fuera de los rangos definidos, el error de las propiedades

del agua, o bien si se presenta una extrapolación excesiva de las propiedades de

estado en los regímenes meta estables.

El límite de Courant es evaluado para cada volumen hidrodinámico utilizando la

velocidad promedio de la masa del volumen y se expresa como;

( )1,2,..., ,

max( , ) / max( , )n n n n n nc f g f f g gi i

i N

t x V Vα α α α=

∆ = ∆ (3.62)

donde N es el número total de volúmenes en el sistema, n el paso de tiempo, x∆ el

incremento en el espacio y ct∆ el paso de tiempo de Courant.

El error de masa se obtiene después de que la solución del paso del tiempo es casi

completa. Se obtienen dos tipos de error de masa, el primero determina la validez de

la densidad linealizada, y se define como;

max( / , 1,2,..., )m mi i iE i Nρ ρ ρ= − = (3.63)

donde miρ es la densidad total del volumen thi evaluado mediante las relaciones de

estado. El segundo tipo de error de masa es una medida del error total del sistema, y

está dado por;

( ) ( )2

2

1 1

2 /N N

rms i i mi i ii i

E V Vρ ρ ρ= =

= − ∑ ∑ (3.64)

donde iV es el volumen thi .

Modelo Matemático

44

Si mE ó rmsE es 38 1 0−> × , el paso de tiempo es recalculado con un nuevo paso de

tiempo de menor magnitud, de otra forma, el paso de tiempo es aceptado, y el

siguiente paso de tiempo es doblado en magnitud si mE ó rmsE son 48 1 0−< × .

Si en algún punto de la solución se tiene que las propiedades del material se

encuentran fuera del rango definido, el paso de tiempo es disminuido a la mitad y

repetido. Este proceso continúa hasta que el mínimo paso de tiempo establecido por

el usuario sea rechazado. Si el mínimo paso de tiempo es rechazado sin obtener una

solución válida, el código se detiene y el último paso de tiempo es repetido con un

diagnóstico de falla impreso. Para las fallas en las propiedades de extrapolación se

aplica el mismo criterio.

45

4 Capítulo IV Verificación y Validación del

simulador RELAP


En este capítulo se presenta la verificación del simulador RELAP (reproducción del

trabajo teórico de Natan et al., 2003) y su validación (estudio del sistema DISS y

comparación con datos experimentales) para el análisis termo-hidráulico de sistemas

de tuberías en paralelo para GDV.

Verificación y Validación del RELAP

46

4.1 Verificación y validación del RELAP

Para verificar los resultados del simulador RELAP para estudios de sistemas de GDV

en arreglos de tuberías en paralelo, se reproduce el estudio numérico reportado por

Natan et al. (2003) dado que es el estudio realizado hasta ahora más acorde

(condiciones de operación) a un sistema de GDV.

Además, se hace una validación del código comparando los resultados del estudio

de una fila de CCP para GDV (sistema DISS) para tres condiciones de operación: 10,

6 y 3 MPa, comparando con datos experimentales proporcionados por la PSA.

4.2 Verificación: reproducción de los resultados ob tenidos por Natan et al.

(2003)

4.2.1 Modelo físico y condiciones de estudio

El sistema de GDV estudiado por Natan et al.(2003) está constituido por dos tuberías

en paralelo unidas mediante una entrada y salida común. Entra al sistema agua

subenfriada y se distribuye en ambas tuberías, obteniendo vapor sobrecalentando,

una mezcla bifásica (agua-vapor) ó bien líquido subenfriado a la salida de cada

tubería, según la correspondiente distribución de flujo que se presente en el sistema.

Siendo Q el calentamiento incidente, D el diámetro, L la longitud, outP la presión de

salida, y W el flujo másico de entrada.


47

El sistema es analizado para calentamiento simétrico y asimétrico, considerando las

combinaciones de calentamiento incidente mostradas en la Tabla 4.1:

Distribución perimetral

Porcentajes de distribución entre las dos tuberías (%)

Calentamiento en la tubería

derecha ( )RQ


izquierda ( )LQ

Calentamiento uniforme 100 100 100 75 100 0

Las condiciones de modelado se muestran en la Tabla 4.2:

Figura 4.1 Modelo físico del sistema de GDV estudiado por Natan et al. (2003).

Tabla 4.1 Casos bajo estudio de distribución de calentamiento


48

Tabla 4.2 Condiciones de modelado del sistema de Natan et al. (2003)

Descripción Magnitud

Longitud de la tubería 400 m

Diámetro interior de la tubería 2.5 cm

Inclinación del sistema 10°

Calentamiento incidente 0, 900 y 1200 W/m

Flujo másico de operación 0 W 2.0 kg/s< ≤

Presión de salida 3 MPa

Temperatura de entrada del fluido de trabajo Agua líquida a 25 ºC

Material de la tubería Acero inoxidable

Las propiedades del material de la tubería (capacidad calorífica y conductividad

térmica) se especifican en función de la temperatura mediante Tablas (ver apéndice

B). El simulador RELAP cuenta con subrutinas internas para calcular las propiedades

del agua y vapor de agua, en función de la presión y temperatura.


49

4.2.2 Análisis de independencia de malla

Las ecuaciones de conservación (cantidad de movimiento, energía y continuidad)

resueltas por el simulador comercial RELAP para flujo bifásico agua-vapor se

resuelven en un número finito de puntos (malla numérica) en los que se determinan

las propiedades del fluido y del flujo. En RELAP se manejan componentes

hidrodinámicos (elementos de tubería) que se pueden seccionar en un máximo de 99

volúmenes de control. Si la longitud de la tubería a simular es considerable, la

longitud de los volúmenes de control, x∆ , también tendría que serlo, por lo que se

utiliza una unión ficticia para unir dos o más elementos de tubería, y de esta forma se

aumenta el número de volúmenes de control a lo largo de la tubería, disminuyendo la

longitud de cada uno de ellos.

Se determina una malla numérica adecuada que permita obtener resultados

numéricos confiables y con el menor esfuerzo de cómputo posible, optimizando los

tiempos de simulación y el manejo de datos de salida. Para las simulaciones

numéricas se utilizan elementos hidrodinámicos con 90 volúmenes de control cada

uno.

En la Tabla 4.3 se muestra el número de volúmenes de control de las mallas

numéricas utilizadas en el análisis de independencia de malla.

En la figura 4.2 se presentan los perfiles de presión para los cuatro casos de mallas

numéricas consideradas: a) a lo largo de todo el tubo, b), c) y d) para las regiones de

líquido, mezcla bifásica y vapor sobrecalentado, respectivamente. En general se

observa que los perfiles se traslapan unos con otros. Las principales diferencias se

Tabla 4.3 Mallas consideradas

Numero de volúmenes de control ∆ (m)

90 4.444 540 0.740 900 0.444 1620 0.246


50

obtienen para las regiones monofásicas de líquido y de vapor sobrecalentado. La

mayor desviación se obtiene a la salida de la tubería (región de vapor

sobrecalentado), siendo de 0.25% entre las mallas de 90 y 1620 volúmenes de

control.

En la figura 4.3 se presenta el respectivo análisis considerando perfiles de

temperatura.

0 50 100 150 200 250 300 350 4003,0

3,1

3,2

3,3

3,4

3,5

3,6

3,7

3,8

b )a )

90 Volúmenes 540 Volúmenes 900 Volúmenes 1620 Volúmenes

Pres

ión

[MPa

]

Longitud de la Tubería [m]

d )c )

0 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110

3,54

3,56

3,58

3,60

3,62

3,64

3,66

3,68

3,70

Pres

ión

[MPa

]


120 140 160 180 200 220 240 260 280 300

3,25

3,30

3,35

3,40

3,45

3,50

Pres

ión

[MPa

]


320 330 340 350 360 370 380 390 4003,00

3,04

3,08

3,12

3,16

3,20

3,24

Pres

ión

[MPa

]


Figura 4.2 Análisis de Independencia de malla considerando perfiles de presión: a)

a lo largo de la tubería, b) región de calentamiento, c) región de evaporación y c)

región de sobrecalentamiento.


51

La máxima diferencia es de 0.25% y se presenta al inicio de la región bifásica entre

las mallas numéricas de 90 y 1620 volúmenes de control.

El análisis de independencia de malla efectuado demuestra que el emplear una malla

numérica de 540 volúmenes de control proporciona resultados confiables,

optimizando tiempos de simulación.

0 50 100 150 200 250 300 350 400

55110165220275330385440495550

a )


Tem

pera

tura

[Cº]


0 20 40 60 80 100

50

100

150

200

250

b )

Tem

pera

tura

[Cº]


120 140 160 180 200 220 240 260 280 300238

239

240

241

242

243

c )

Tem

pera

tura

[Cº]


320 330 340 350 360 370 380 390 400240270300330360390420450480510540

d )

Tem

pera

tura

[Cº]


Figura 4.3 Análisis de Independencia de malla considerando perfiles de

temperatura: a) a lo largo de la tubería, b) región de calentamiento, c) región de

evaporación y c) región de sobrecalentamiento.


52

4.2.3 Caso de una tubería simple

El primer paso en el estudio de sistemas de tuberías en paralelo con calentamiento,

es analizar el comportamiento termo hidráulico de una tubería simple, estableciendo

un flujo másico de entrada y una presión de salida.

En la figura 4.4 se hace una comparación entre la presiones de entrada reportadas

por Natan et al. (2003) y las obtenidas mediante RELAP para una tubería simple,

considerando un calentamiento de 1200 W/m.

Se observa que para flujos másicos de entrada mayores a 0.5 kg/s y menores a

0.075 kg/s, los resultados obtenidos mediante RELAP se traslapan con la solución

numérica reportada por Natan et al. (2003). Sin embargo, para el intervalo

0.075 W 0.5 kg/s≤ < se observa que existen desviaciones hasta del 19% (en 0.2

kg/s).

0.00 0.15 0.30 0.45 0.60 0.75 0.90 1.05 1.20 1.35 1.503.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

4.2

4.4

4.6

4.8

5.0 Natan et al. (2003 )

RELAP

Flujo másico [kg/s]

Pres

ión

de E

ntra

da [M

Pa]

Figura 4.4 Presión de entrada en función del flujo másico.


53

4.2.4 Caso de dos tuberías en paralelo (distribución del flujo másico)

Cuando se tiene un sistema de tuberías en paralelo, con entrada y salida común, la

caída de presión debe de ser la misma para cada tubo. Sin embargo, la razón de

distribución de flujo en el sistema puede ser o no ser simétrica. Los estudios

numéricos reportados por Natan et al. (2003) para sistemas de dos tuberías en

paralelo, con flujo de calentamiento simétrico y asimétrico, muestran que existen

intervalos de flujo en los cuales se pueden presentar múltiples soluciones de

distribución de flujo, de tal forma que (Natan, et al., 2003) asume que la solución que

se presenta en la práctica es aquella que corresponde a la menor caída de presión.

4.2.4.1 Calentamiento simétrico

En las figuras 4.5 y 4.6 se presentan los resultados obtenidos en este trabajo

mediante RELAP de la razón de distribución de flujo y de la presión de entrada,

respectivamente; comparados con las soluciones reportadas por Natan et al. (2003)

para calentamiento simétrico (mismo calentamiento en ambas tuberías).

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

RELAPSoluciones de Natan et al. (2003 )

Solución 1 Solución 2 Solución 3


Raz

ón d

e di

strib

ució

n [W

R/W

in]

Figura 4.5 Razón de distribución de flujo para un sistema de dos tuberías en

paralelo con calentamiento simétrico, QR=QL=1200 W/m.


54

De las figuras 4.5 y 4.6 se observa que para flujos másicos mayores a 1.53 kg/s

RELAP predice una distribución simétrica del flujo y una única solución de presión de

entrada, traslapándose a la solución presentada por Natan et al. (2003). Sin

embargo, para 0.38 W 1.53 kg/s≤ ≤ , Natan et al. (2003) obtuvieron distribuciones

simétricas y asimétricas del flujo y soluciones múltiples de presión; mientras que los

resultados obtenidos en este trabajo mediante RELAP corresponden a una

distribución simétrica del flujo y a una sola solución de presión (la más estable).

Para el subintervalo de 3 soluciones múltiples 0.85 1.53 kg/sW≤ ≤ la distribución de

flujo y su correspondiente presión de entrada obtenidas mediante RELAP se

sobreponen a la distribución simétrica de flujo y a la solución de menor caída de

presión (solución 1) obtenidas por Natan et al. (2003). La solución 1 de Natan y

colaboradores corresponde a la de menor caída de presión, es decir, la solución más

estable de las tres.

En el subintervalo de 2 soluciones múltiples, 0.4 0.85 kg/sW< ≤ la solución 2 de Natan

y colaboradores desaparece y la presión de entrada obtenida en el presente trabajo

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.03.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

4.2

4.4

4.6

4.8

5.0




Pres

ión

de E

ntra

da [M

Pa]

Figura 4.6 Presión de entrada para un sistema de dos tuberías en paralelo con

calentamiento simétrico, QR=QL=1200 W/m.


55

de tesis tiene buena coincidencia con los picos mínimos de caída de presión de sus

soluciones 1 y 3. Las desviaciones corresponden a las presentadas para una tubería

simple.

Para el intervalo de flujo másico de entrada de 0.3 0.4 kg/sW≤ < se puede observar

que la solución de distribución de flujo obtenida mediante RELAP se sobrepone a la

presentada por Natan et al. (2003). Sin embargo, las diferencias continúan entre las

presiones de entrada, disminuyendo su magnitud conforme el flujo másico de

alimentación al sistema es menor. Finalmente, para flujos másicos de entrada

menores a se obtiene que RELAP predice una distribución de flujo

asimétrica, mientras que Natan et al. (2003) determinan que la solución de

distribución correspondiente es simétrica. La asimetría de los resultados con RELAP

se incrementa conforme el flujo másico de entrada disminuye a causa de que la

temperatura del fluido aumenta fuertemente, de tal forma que no es posible obtener

soluciones para flujos másicos menores a 0.2 kg/s. Las desviaciones promedio para

la razón de distribución de flujo y presión de entrada son de 27.5% y 3%.

El análisis anterior muestra que RELAP permite obtener la solución de distribución de

flujo con menor caída de presión, siendo la más estable y por consiguiente con

mayor posibilidad de presentarse en la práctica. Sin embargo, aun cuando las

diferencias entre los resultados de ambos estudios (RELAP y Natan et al., 2003) son

considerables es importante mencionar que los resultados presentados por Natan et

al. (2003) no han sido hasta ahora validados con datos experimentales.

0.3 kg/s


56

4.2.4.2 Calentamiento asimétrico

4.2.4.2.1 Caso a) QR = 1200 W/m, QL = 900 W/m

En las figuras 4.7 y 4.8 se muestran la razón de distribución de flujo y presión de

entrada de un sistema de dos tuberías en paralelo con calentamiento asimétrico.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0 RELAP

Soluciones de Natan et al. (2003 )

Solución 1 Solución 2 Solución 3 Solución 4 Solución 5

)


Raz

ón d

e di

strib

ució

n [W

R/W

in]

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.03.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

4.2

4.4

4.6

4.8

5.0


Solución 1 Solución 2 Solución 3 Solución 4 Solución 5


Pres

ión

de E

ntra

da [M

Pa]


paralelo con calentamiento asimétrico, QR =1200 W/m y QL=900 W/m.


calentamiento asimétrico, QR =1200 W/m y QL=900 W/m.


57

Para flujos másicos mayores a (región con solución única) se observa que

los resultados de razón de distribución de flujo y presión de entrada obtenidos en el

presente estudio se sobreponen a los resultados mostrados por Natan et al. (2003).

En la región donde estos autores encontraron soluciones múltiples

( )0.48 W 1.5 kg/s≤ ≤ , mediante RELAP se obtiene una solución única, como se ha

comentado antes. Para la subregión de 3 soluciones múltiples, , se

observa que la solución obtenida mediante RELAP, tanto de distribución de flujo

como de presión de entrada, se sobrepone a una de las soluciones obtenidas por

Natan et al. (2003), la cual corresponde a la solución con menor caída de presión

(solución 1).

Para la subregión de 5 soluciones múltiples de Natan y colaboradores,

0.86 W 1.02 kg/s< ≤ se observa que para flujos másicos mayores a la

solución obtenida con RELAP continúa siendo la correspondiente a la solución de

menor caída de presión de Natan y colaboradores. Sin embargo, para flujos másicos

donde 0.86 0.9 kg/sW≤ < los resultados muestran una cierta desviación, siendo la

máxima de 15% para la razón de distribución de flujo y de 2% para su

correspondiente presión de entrada.

Para la otra subregión de 3 soluciones múltiples, 0.48 W 0.86 kg/s< ≤ , de Natan et al.

(2003), se observa que los resultados con RELAP muestran un comportamiento

oscilatorio. Asumiendo que RELAP nos permite obtener la solución con menor caída

de presión, se tiene que para las desviaciones máximas

encontradas para distribución de flujo y presión de entrada son de 50 y 11%,

respectivamente, en relación a la solución 4 de Natan y colaboradores. Para

0.55 W 0.68 kg/s≤ < son de 73 y 3%, respectivamente, en relación a la solución 5

respectivamente. Finalmente, para 0.48 W 0.55 kg/s≤ < son de 32 y 10%,

respectivamente, en relación a la solución 3.

1.53 kg/s

1.02 W 1.50 kg/s< <

0.9 kg/s

0.68 W 0.86 kg/s≤ <


58

Si el flujo másico de entrada es menor a 0.48 kg/s, Natan et al. (2003) establecen que

solo se presenta una única solución (la solución 3), en coincidencia con los

resultados obtenidos con RELAP. Sin embargo, las diferencias son pronunciadas

principalmente para la razón de distribución de flujo (hasta del 193% para un flujo

másico de 0.4 kg/s) a causa de las oscilaciones que se presentan con RELAP desde

flujos menores a 0.85 kg/s, justamente donde la distribución simétrica desaparece

para ambos trabajos (el de Natan y colaboradores y el presente), en relación al

calentamiento simétrico. Para la presión de entrada las diferencias son mucho

menores, del orden del 11%.

Las desviaciones promedio para la razón de distribución de flujo y la presión de

entrada son de 22% y 2.5%.

4.2.4.2.2 Caso b) QR = 1200 W/m, QL = 0 W/m

Las figuras 4.9 y 4.10 muestran la razón de distribución de flujo y presión de entrada

de un sistema de dos tuberías en paralelo, con calentamiento asimétrico,

considerando que solo una tubería es calentada.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 RELAP

Soluciones de Natna et al. (2003 )



Raz

on d

e di

strib

ució

n [W

R/W

in]


paralelo con calentamiento asimétrico, QR =1200 W/m y QL=0 W/m.


59

Para flujos másicos mayores a 1.44 kg/s (región con única solución, solución 1) se

observa que las razones de distribución de flujo y presiones de entrada obtenidas en

el presente estudio se sobreponen a los resultados mostrados por Natan et al.(2003).

Para la región de múltiples soluciones (0.72 W 1.44 kg/s≤ ≤ ), presentada por Natan et

al. (2003), mediante RELAP solo se obtiene una única solución de distribución. En el

intervalo de flujo másico de 0.9 W 1.44 kg/s≤ ≤ los resultados obtenidos en el

presente estudio numérico se sobreponen a la solución de menor presión de entrada

(solución 1) reportada por Natan et al. (2003), mientras que en el intervalo de

0.72 W 0.9 kg/s≤ ≤ se observa cierta desviación entre ambos estudios (considerando

la solución de menor caída de presión, solución 1), siendo la máxima de 17% para la

razón de distribución de flujo y de 3.3% para su respectiva presión de entrada (dados

para un flujo másico de 0.72 kg/s).

Por último, para flujos másicos de entrada menores a 0.72 kg/s (región con solución

única de distribución de flujo, solución 3) se observa que aun cuando las presiones

de entrada (figura 4.10) se aproximan entre sí, las razones de distribución de flujo

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.03.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

4.2

4.4

4.6

4.8

5.0




Pres

ión

de E

ntra

da [M

Pa]


calentamiento asimétrico, QR =1200 W/m y QL=0 W/m.


60

(figura 4.9) presentan una desviación considerable, siendo la desviación máxima de

212% para un flujo másico de entrada de 0.65 kg/s, mientras que la desviación

máxima para la presión de entrada es de 3.84% dada para el mismo flujo másico.

Las desviaciones promedio para la distribución de flujo y presión de entrada son de

30% y 1%.

El análisis realizado mediante RELAP al sistema de GDV presentado por Natan et al.

(2003) muestra que existen diferencias entre las soluciones de presión de entrada y

distribución de flujo encontradas en ambos estudios, principalmente para el

parámetro de distribución de flujo. Sin embargo, se debe hacer mención que los

resultados presentados por Natan et al. (2003) corresponden solo a estudios

numéricos.

Como resultado de los estudios anteriores se puede decir que las presiones de

entrada obtenidas mediante RELAP resultan de menor magnitud que las

determinadas por Natan et al. (2003), siendo mayor la diferencia cuando a la salida

se tiene una mezcla bifásica (agua-vapor). Para determinar las causas de esta

diferencia es necesario analizar el comportamiento termo-hidráulico de la región

bifásica en función de los flujos másicos. Asimismo es necesario validar los

resultados numéricos obtenidos con RELAP comparándolos con datos

experimentales. Lo anterior se realizará a continuación para una tubería simple.

4.2.5 Estudio de la región bifásica para una tubería simple

Para tratar de determinar las causas de las desviaciones entre ambos trabajos

discutidos en las secciones anteriores, se analizará más a fondo el desempeño del

simulador RELAP al análisis de la región bifásica agua-vapor considerando flujos

másicos de entrada (Tabla 4.4) para los que se obtiene una mezcla bifásica agua-

vapor a la salida de la tubería.


61

Se identificarán los patrones de flujo que se presentan, los perfiles de presión y las

caídas de presión por unidad de longitud para cada patrón de flujo. En la Tabla 4.4

se muestran las condiciones de simulación para cada flujo másico de entrada

analizado. El sistema tiene una longitud de 400 m, una inclinación 10β = ° y un

diámetro interno de 0.025 m (mismas condiciones de modelado que los estudios

previos de este capítulo).

En la figura 4.11 se muestran los perfiles de caída de presión para cada uno de los

flujos másicos evaluados, de donde se tiene que la máxima presión de entrada está

dada para el flujo másico de 0.3 kg/s.

En la figura 4.12 se muestran los perfiles de temperatura y los patrones de flujo

correspondientes a cada flujo másico de entrada evaluado. Los perfiles de

0 50 100 150 200 250 300 350 4003.0

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

0.4 kg/s 0.3 kg/s 0.2 kg/s


Pres

ión

[MPa

]

3.0

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

Flujo másico de entrada (Kg/s)

Presión de salida (MPa)

Calentamiento incidente (W/m)

Temperatura de entrada (°C)

0.2 3 1200 25 0.3 3 1200 25 0.4 3 1200 25

Tabla 4.4 Condiciones de estudio del sistema de GDV

Figura 4.11 Perfiles de presión para una tubería simple.


62

temperatura muestran que conforme el flujo másico de entrada disminuye, la longitud

de la tubería que es ocupada por una mezcla bifásica agua-vapor se incrementa. Los

patrones de flujo bifásico que se presentan son: estratificado, slug y anular.

En la Tabla 4.5 se muestra el comportamiento de la caída de presión por unidad de

longitud para cada patrón de flujo. Los estudios realizados mediante RELAP

muestran que los patrones de flujo slug y anular presentan mayores caídas de

presión por unidad de longitud que el patrón de flujo estratificado (comportamiento

análogo para los tres flujos másicos evaluados). Volviendo al estudio numérico

realizado por Natan et al. (2003) se tiene que en su análisis solo se predicen los

patrones de flujo slug y anular. Al no predecir ellos el patrón de flujo estratificado la

longitud de la tubería que es ocupada por este patrón de flujo (predicción realizada

mediante RELAP) es ocupada por los patrones de flujo slug ó anular. Estos dos

últimos patrones implican mayores caídas de presión por unidad de longitud que el

patrón de flujo estratificado (ver Tabla 4.5), ocasionando una mayor caída de presión

total en el sistema, y por consiguiente un incremento en la presión de entrada.

0 50 100 150 200 250 300 350 400

50

100

150

200

250

300

Patrones de Flujo

0.4 kg/s 0.3 kg/s 0.2 kg/s


Tem

pera

tura

[°C

]

LíquidoEstratificado

AnularSlug

a )

b )

c )

Figura 4.12 Perfiles de temperatura y patrones de flujo para diferentes flujos másicos.


63

Patrón de flujo

Flujo másico (kg/s) 0.4 0.3 0.2

Longitud del

tramo (m)

Caída de presión

(MPa/m)

Longitud del

tramo (m)

Caída de presión (MPa/m)

Longitud del

tramo (m)

Caída de presión

(MPa/m)

Burbuja 308.00 0.00183938 235.55 0.00172711 157.77 0.00164212 Estratificado 20.00 0.0016505 20.44 0.00138473 21.77 0.00113464 Slug 53.33 0.00252638 41.77 0.00183255 25.77 0.00123634 Anular 18.66 0.00360536 102.22 0.00332501 194.66 0.00241094

El estudio anterior muestra que RELAP predice que el patrón de flujo estratificado

puede presentarse para un diámetro de tubería de 0.025 m y una inclinación de

β=10°. En la figura 4.13 se muestra el mapa de patro nes de flujo obtenido por Barnea

(1987).

La figura 4.13 muestra en primera instancia que el patrón de flujo bifásico

estratificado no debería presentarse para las condiciones de operación dadas en la

0.1 1 10 1001E-3

0.01

0.1

1

10

Anular

Intermitente

Burbuja dispersa

Vsg [m/s]

Vsl [

m/s

]

Tabla 4.5 Patrones de flujo y caídas de presión por unidad de longitud para los

flujos másicos considerados.

Figura 4.13 Mapa de patrones de flujo bifásico en una tubería de D=0.025 m y

β=10º, para flujo bifásico (agua-aire).


64

Tabla 4.2 (diámetro e inclinación de la tubería), sin embargo, se debe tomar en

cuenta que el modelo de Barnea (1987) fue planteado para flujo bifásico sin

calentamiento.

Para complementar el estudio del comportamiento de la región bifásica se analizó

otro caso considerado por Natan et al. (2003): un flujo másico de entrada de 0.12 kg/s

y un calentamiento de 1000 W/m. Se hizo una comparación entre los perfiles de

presión, temperatura y patrones de flujo obtenidos mediante RELAP y los

presentados por Natan et al. (2003).

En la figura 4.14 se hace una comparación entre los perfiles de caída de presión

(Natan et al., 2003 y RELAP) y los patrones de flujo que se presentan para un flujo

másico de 0.12 kg/s. A la entrada de la tubería el perfil de caída de presión (ambos

casos) tiene un tendencia lineal y solo se presenta el patrón de flujo burbuja para

RELAP y fase líquida para Natan et al. (2003). Conforme inicia la región de patrones

de flujo estratificado, slug, anular, dryout y gas para RELAP y slug, anular y gas para

Natan et al. (2003), se observa que el comportamiento del perfil de caída de presión

deja de ser lineal, la caída de presión por unidad de longitud es diferente para cada

patrón de flujo y se presenta una trayectoria curvilínea en ambos casos, siendo más

apreciable para el estudio de Natan et al. (2003).


65

En la Tabla 4.6 se hace una comparación entre las caídas de presión por unidad de

longitud (considerando el patrón de flujo) obtenidas mediante el simulador RELAP y

el estudio numérico realizado por Natan et al. (2003).

Estudio mediante RELAP Natan et al. (2003) Intervalo de la

tubería (m) Patrón de

flujo que se presenta


Intervalo de la tubería

(m)

Patrón de flujo que se

presenta


0 - 115.11 Burbuja 0.00159542 0 – 117.00 Líquido 0.00162393 115.11–149.00 Estratificado 0.00090531

117.00 – 142.00 Slug 0.00160000 149.00 - 156.66 Slug 0.00082826 156.66 - 157.22 Anular 0.00082800

142.00 – 339.00 Anular 0.00317259 157.22 - 162.22 Estratificado 0.00082000 162.22 - 343.50 Anular 0.00113274 343.50 - 350.33 Dryout 0.00118976

339.00 – 400.00 Gas 0.00122951 350.33 – 400.00 Gas 0.00150664

La Tabla 4.6 muestra que la longitud de la región bifásica (patrón de flujo slug y

anular) estimada por Natan et al. (2003) es de menor magnitud en un 6% que la

longitud obtenida en el presente estudio (patrón de flujo estratificado, slug, anular y

0 50 100 150 200 250 300 350 4003.0

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

4.0

4.1

Natan et al. (2003 ) RELAP


Pres

ión

[MPa

]

Patrones de Flujo

Estritificado

Dry outGas

AnularSlug

Líquido

a )

b )

Figura 4.14 Perfil de presión y patrones de flujo para 0.12 kg/s y

Q=1000 W/m: a) Natan et al. (2003) y b) RELAP.

Tabla 4.6 Caídas de presión por unidad de longitud para cada patrón de flujo


66

dryout). Sin embargo, las caídas de presión por unidad de longitud obtenidas por

Natan y colaboradores son de mayor magnitud que las obtenidas mediante el

simulador RELAP, presentándose las mayores diferencias en los patrones de flujo

slug y anular: 48% para el patrón de flujo slug y 64% para el patrón de flujo anular,

contribuyendo a la predicción de mayor presion de entrada en el caso de Natan et al.

(2003). Además se debe hacer notar que RELAP predice la presencia del patrón de

flujo estratificado en el sistema.

En la figura 4.15 se hace una comparación entre el perfil de temperatura y los

patrones de flujo obtenidos mediante RELAP, y los resultados presentados por Natan

et al. (2003). Se observa que el perfil de temperatura desarrollado mediante RELAP

se traslapa a los valores de temperatura reportados por Natan et al. (2003). Sin

embargo, como se hizo mención en el párrafo anterior, no se predicen los mismos

patrones de flujo en la región bifásica, y la longitud de esta región es de mayor

magnitud que la obtenida por Natan y colaboradores.

0 50 100 150 200 250 300 350 400

50

100

150

200

250

300

350

400

450

Natan et al. (2003 )

RELAP


Tem

pera

tura

[°C

]

Patrones de FlujoLíquidoEstritificadoSlugAnular

a )

Dry outGas

b )

50

100

150

200

250

300

350

400

450

Figura 4.15 Comparación del perfil de temperatura y patrones de flujo, para 0.12

kg/s, D=0.25 m y un calentamiento de 1000 W/m. a) Natan et al. (2003) y b)

RELAP.


67

4.2.6 Principales diferencias entre los modelos matemáticos utilizados por Natan et

al. (2003) y en RELAP

El modelo matemático a dos fluidos empleado por Natan et al. (2003) se basa en la

correlación de Blasius para determinar los factores de fricción, mientras que el

modelo a dos fluidos implícito en RELAP se basa en la correlación de Zigrang &

Sylvester (1985).

Natan et al. (2003) fundamentó su estudio termo-hidráulico en el modelo matemático

propuesto por Taitel & Barnea (1989). RELAP se fundamenta en el modelo

matemático a dos fluidos presentado por Lahey & Drew. (1989), donde se tiene una

ecuación de conservación de masa, cantidad de movimiento y energía para cada

fase, considerando transferencia de masa en la interfase ( kΓ ) para cada una de las

fases y un término de masa virtual en la ecuación de cantidad de movimiento para

cada fase.

La ecuación de conservación de masa para RELAP está dada por la ecuación (4.1);

( ) ( )1k k k k kk

v A

t A x

α ρ α ρ∂ ∂+ = Γ

∂ ∂ (4.1)

Donde el subíndice k denota la fase líquida ó vapor. Al hacer una comparación entre

la ecuación (4.1) (despreciando el término temporal) y la ecuación (4.2), (ecuación de

conservación de masa del modelo utilizado por Natan et al., 2003) se obtiene que el

término de transferencia de masa en la interfase no aparece en el modelo propuesto

por Natan et al. (2003).

( )0

1fl

f tLs L s t s f

u u

l uu u R u R dx

l lα= + − − ∫

(4.2) Donde , es la longitud de una unidad slug, fl la longitud de la zona de película de

la burbuja slug, LSu la velocidad superficial del líquido, fR y SR las relaciones de áreas

de flujo transversal en las zonas de película y de líquido, tu la velocidad de traslación

ul


68

con la que las burbujas elongadas se propagan y fα la fracción de vacío en la

sección de película de líquido, Taitel & Barnea. (1989).

La masa de la fase k (ecuación 4.1) se incrementa a la razón de ��, y el incremento

de masa de la fase � por unidad de volumen se debe al cambio de fase

(evaporación). Sin embargo, este término no es considerado en el estudio realizado

por Natan et al. (2003).

La ecuación de conservación de cantidad de movimiento para el modelo a dos fluidos

empleado en RELAP está dada por la ecuación (4.3), y la de Natan et al. (2003) por

la ecuación (4.4);

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

10 232

5 64

7

1

2k k

k k k k k k k x

k k k k k k f k kI k

k f fkk f m f g

v v PA A A B A

t x x

A FWG v A FIG v v A v v

v v vvC A v v

t x x

α ρ α ρ α α ρ

α ρ α ρ

α α ρ

∂ ∂ ∂+ = − +∂ ∂ ∂

− − − + Γ −

∂ − ∂∂− + − ∂ ∂ ∂

644744864748 6474864748

644474448644474448 6447448

64444444744444448 (4.3)

} } }61 542

3

sin cos fk k k i ik k k k

k k

hv s sPv g g

x x A A x

τ τρ ρ β ρ β∂∂ ∂= − + + − −

∂ ∂ ∂

64474486474864748

(4.4)

donde los subíndices k e i denotan la fase y la interfase, siendo f para la fase

líquida y g para la fase gas, ρ la densidad, v la velocidad, P la presión, g la

aceleración de la gravedad, β la inclinación, A el área de la sección transversal, τ

el esfuerzo cortante, S el perímetro mojado y fh el nivel de líquido, Taitel & Barnea.

(1989).

Despreciando el término temporal (0) en la ecuación (4.3), se tiene que las

ecuaciones (4.4) y (4.3) presentan como términos comunes al término convectivo (1),

el gradiente de presión (2), las fuerzas de cuerpo (3), las fuerzas de arrastre en la

pared (4) y las fuerzas de arrastre en la interfase (5). Sin embargo, la ecuación (4.3)


69

también incluye la transferencia de masa en la interfase (6) y las fuerzas de masa

virtual. Para el caso de la ecuación (4.4), se presenta el término de fuerza de presión

debido al espesor de la película del líquido (6), el cual no se evalúa en la ecuación

(4.3).

Los términos FWG y FWF son parte de la fricción de arrastre en la pared para cada

fase (vapor y líquido), FIGy FIFson parte de la fricción de arrastre en la interfase

para cada fase (vapor y líquido). Para la fricción de arrastre se utilizan dos modelos

(drift-flux y coeficiente de arrastre), dependiendo del patrón de flujo que se presente.

La ecuación de conservación de energía para el modelo a dos fluidos empleado en

RELAP está dada por la ecuación (4.5),

( ) ( ) ( ) } } }

}

0 31 2654

*

7 8

´

1k k k k k k k k kkwk ik ik k

w k k

U U V A V APP Q Q h

t A x t A x

h DISS

α ρ α ρ αα∂ ∂∂+ = − − + Γ∂ ∂ ∂ ∂

Γ

∂+ +

+ +

64748 644474448 6447448678

678

(4.5)

donde, si despreciamos el término temporal (0), se tiene el término convectivo (1), los

términos de presión (2) y (3), el flujo de calor en la pared (4), el flujo de calor en la

interfase (5), la transferencia de energía debido al cambio de fase en la interfase (6),

la transferencia de energía debido al cambio de fase cerca de la pared (7) y el

término de disipación (8). El término de disipación de energía kDISS para cada fase

es la suma de la fuerza fricción en la pared.

En el modelo propuesto por Natan et al. (2003), la ecuación de conservación de

energía es sustituida por un balance de energía entre el calor total que entra al tubo

absorbedor y el calor perdido al ambiente.

( ), , 1 , 1 , , 1( )im s i k i k s i kQ U T T U T T+ + ∞ + ∞= − + − (4.6)

donde, �� es el flujo de calor total de entrada al tubo absorbedor, U y U∞ los

coeficientes de transferencia de calor total al fluido y al ambiente respectivamente, y


70

iT , sT y T∞ la temperatura interna del fluido, de la superficie del tubo absorbedor y del

ambiente.

Al comparar la ecuación (4.5) y la ecuación (4.6), se muestra que en el modelo

térmico planteado por Natan et al. (2003) no se incluyen el término convectivo, los

términos de presión, la transferencia de energía debido al cambio de fase en la

interfase, la transferencia de energía debido al cambio de fase cerca de la pared y el

término de disipación, lo cual simplifica en gran medida su modelo térmico.

Con el objetivo de obtener una segunda evaluación del simulador RELAP y

determinar si RELAP resulta ser una herramienta adecuada para el análisis de GDV

se hace una comparación con datos experimentales (Validación). Estos datos

experimentales fueron facilitados por la PSA a través de un convenio de

colaboración.

4.3 Validación: comparación con datos experimentale s de la PSA para una fila

de CCP (sistema DISS)

En la Tabla 4.7 se muestran los datos experimentales registrados para los días 14,

21 y 22 de mayo del 2003 a las 14 horas del día (concentrador mirando hacia arriba),

considerando las presiones de operación respectivas de 3, 6 y 10 MPa y sus

correspondientes condiciones de radiación incidente sobre los concentradores

cilindro-parabólicos (CCP). El tubo absorbedor tiene un diámetro interno de 50 mm y

un diámetro externo de 70 mm. Los CCP tienen una apertura de 5.76 m y una

orientación norte-sur. Para el análisis se considera una posición horizontal del

sistema y una longitud de 450 m.


71

Día Radiación solar directa (W/m 2)

Presión de salida

(MPa)

Temperatura de entrada

(°C)

Temperatura de salida

(°C)

Flujo másico (kg/s)

14/05/2003 887 10 249 376 0.615

22/05/2003 918 6 242 349 0.657

21/05/2003 865 3 198 281 0.581

4.3.1 Validación para 10 MPa

En la figura 4.16 se muestran los perfiles de presión experimental y numérico para

una presión de operación de 10 MPa, observándose una cierta desviación entre

ambos perfiles de presión. La mayor desviación ocurre aproximadamente a los 150

m (región de evaporación), y es de 0.3%. Al presentarse la región de

sobrecalentamiento los perfiles de presión (experimental y numérico) se aproximan

entre sí, siendo menor la desviación entre ambos. La máxima desviación es de 0.1%.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

10.10

10.12

10.14

10.16

10.18

10.20

10.22

RELAP Experimental

Longitud [m]

Pres

ión

[MPa

]

Tabla 4.7 Condiciones de operación del sistema DISS

Figura 4.16 Comparación numérico-experimental del perfil de presión de una fila

de CCP a una presión de operación de 10 MPa.


72




ambos perfiles de presión a la entrada de la tubería (región monofásica de líquido a

alta temperatura), posteriormente ambos perfiles de presión tienden a aproximarse

entre sí, intersectándose en algunos puntos (100 y 150 m). En la región de

sobrecalentamiento se aprecia una ligera desviación entre ambos perfiles, sin

embargo, resulta de menor escala que en la región monofásica de líquido a alta

temperatura. La desviación máxima entre ambos perfiles es de 0.627%, siendo

mayor a la que se presentó para el caso de la presión de trabajo de 10 MPa.




ambos perfiles de presión a la entrada de la tubería (región monofásica de líquido a

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4506.10

6.15

6.20

6.25

6.30

6.35 RELAP Experimental

Longitud [m]

Pres

ión

[MPa

]




73

alta temperatura), posteriormente ambos perfiles de presión tienden a aproximarse

entre sí de forma análoga a como ocurrió para el caso anterior de 6 MPa,

interceptándose en algunos puntos (50 y 100 m). Al entrar a la región de

sobrecalentamiento se presenta de nuevo una cierta desviación entre ambos perfiles,

siendo de mayor escala que en la región monofásica de líquido a alta temperatura.

La desviación máxima entre ambos perfiles es de 1.85%, siendo mayor a la que se

presentó para los casos de 10 y 6 MPa respectivamente.

La comparación de los perfiles de caída de presión para los tres casos de operación

de 10, 6 y 3 MPa del sistema DISS muestran que la desviación máxima entre los

perfiles de pérdidas de presión experimental y numérico ocurre para el caso de 3

MPa, y su magnitud es de 1.85 %, lo cual demuestra que el simulador RELAP es una

herramienta adecuada para el estudio del comportamiento de GDV en sistemas de

CCP, donde a la salida del sistema se tiene vapor sobrecalentado.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4503.12

3.16

3.20

3.24

3.28

3.32

3.36

3.40

3.44

3.48

RELAP Experimental

Longitud [m]

Pres

ión

[MPa

]



74

5 Capítulo V Estudio del efecto de la concentración

solar en la distribución del flujo másico en un

sistema de GDV con CCP


En este capítulo se presenta el modelo físico del sistema bajo estudio, las

condiciones de modelado y los resultados numéricos obtenidos así como su

discusión y las conclusiones del estudio.

Estudio del Sistema de GDV

75

5.1 Modelo físico del sistema de GDV

El sistema físico bajo estudio está constituido por dos tubos absorbedores en

paralelo, considerando entrada y salida común (Figura 5.) a través de los cuales

circula agua como fluido de trabajo. Se establecen una presión ( )outP a la salida y una

temperatura ( )inT del agua sub-enfriada a la entrada. Se estudian dos casos de

distribución perimetral de la radiación solar incidente en el tubo absorbedor (Q): 1)

uniformemente distribuida y 2) con concentración; considerando primero una sola

tubería y posteriormente las dos tuberías con diferentes proporciones de

calentamiento (calentamiento simétrico y asimétrico).

5.2 Condiciones generales de modelado

Las condiciones de modelado bajo las cuales se analiza el sistema de dos tuberías

en paralelo mostrado en la figura 5.1 se presentan en la Tabla 5.1. Las propiedades

del material de la tubería (capacidad calorífica y conductividad térmica) se

especifican en el apéndice B.

Figura 5.1 Modelo físico del sistema bajo estudio.


76

Tabla 5.1 Condiciones de modelado del sistema de GDV

Descripción Magnitud

Longitud de la tubería 450 m

Diámetro interior de la tubería 5.0 cm

Diámetro exterior de la tubería 7.0 cm

Material de la tubería Acero inoxidable

Apertura del colector 25.76 m

Inclinación del sistema 0°

Radiación solar incidente 2850 W/m

Intervalo de flujo másico de operación 0 W 5.0 kg/s< ≤

Presión de salida 3 MPa

Temperatura de entrada del fluido de trabajo Agua líquida a 25 ºC

Eficiencia total 73.0%

Tubo absorbedor recto

Flujo de calor radial

Medio día solar

Estado cuasi-permanente

En la Tabla 5.2 se muestran los casos a estudiar de condiciones de frontera de

calentamiento.

Distribución perimetral

Porcentajes de distribución entre las dos tuberías


derecha ( )RQ


izquierda ( )LQ

Con distribución uniforme

100 100 100 95 100 90 100 80

Con concentración (90/10 y 80/20, ver figura 5.2)

100 100 100 95 100 90 100 80

Tabla 5.2 Casos bajo estudio de distribución de la radiación solar incidente


77

Para calentamiento simétrico y asimétrico se analizan concentraciones de 90/10 y

80/20.

La figura 5.2 muestra la sección transversal de un tubo absorbedor de un CCP,

ilustrando la concentración de calor en la parte inferior (condiciones del medio día

solar). APCC y APSC denotan área perimetral con y sin concentración solar.

5.3 Análisis de independencia de malla

El análisis de independencia de malla se realiza considerando una tubería simple con

calentamiento uniforme y con concentración (90/10 y 80/20), y un flujo másico de 0.5

kg/s (flujo másico para el cual dadas las condiciones de la Tabla 5.1 se obtiene vapor

sobrecalentado a la salida). En la Tabla 5.3 se muestran las mallas numéricas

utilizadas en el análisis.

Número de volúmenes de control de la malla numérica

∆� (m)

180 2.50

450 1.00

900 0.50

1350 0.33

Figura 5.2 Corte transversal de un tubo absorbedor con concentración de calor.

Tabla 5.3 Mallas consideradas

Radiación

Solar

APCC

Tubo absorbedor

Reflector parabólico

APSC

Vacío

Tubería de vidrio


78

En las figuras 5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 5.7 y 5.8 se presentan los perfiles de presión y

temperatura para los cuatro casos de mallas numéricas utilizadas.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4503.00

3.05

3.10

3.15

3.20

3.25

b )a )


Pres

ión

[MPa

]


d )c )

0 30 60 90 1203.217

3.218

3.219

3.220

3.221

3.222

Pres

ión

[MPa

]Longitud de la Tubería [m]

150 180 210 240 270 300 330 3603.08

3.10

3.12

3.14

3.16

3.18

3.20

3.22

Pres

ión

[MPa

]


380 390 400 410 420 430 440 4503.00

3.01

3.02

3.03

3.04

3.05

3.06

3.07

3.08

3.09

Pr

esió

n [M

Pa]


Figura 5.3 Perfiles de presión en una tubería simple para calentamiento uniforme

(FCU): a) a lo largo de la tubería, b) región de calentamiento, c) región de



79

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4503.00

3.05

3.10

3.15

3.20

3.25


Pres

ión

[MPa

]


a ) b )

c )

0 30 60 90 1203.217

3.218

3.219

3.220

3.221

3.222

Pres

ión

[MPa

]


150 180 210 240 270 300 330 3603.08

3.10

3.12

3.14

3.16

3.18

3.20

3.22

Pres

ión

[MPa

]


380 390 400 410 420 430 440 4503.00

3.01

3.02

3.03

3.04

3.05

3.06

3.07

3.08

3.09d )

Pres

ión

[MPa

]


Figura 5.4 Perfiles de presión en una tubería simple para calentamiento con

concentración (FCC) de 90/10: a) a lo largo de la tubería, b) región de

calentamiento, c) región de evaporación y c) región de sobrecalentamiento.


80

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4503.00

3.05

3.10

3.15

3.20

3.25


Pres

ión

[MPa

]


a ) b )

d )c )

0 30 60 90 1203.217

3.218

3.219

3.220

3.221

3.222

Pres

ión

[MPa

]


150 180 210 240 270 300 330 3603.08

3.10

3.12

3.14

3.16

3.18

3.20

3.22

Pres

ión

[MPa

]


380 390 400 410 420 430 440 4503.00

3.01

3.02

3.03

3.04

3.05

3.06

3.07

3.08

3.09

Pres

ión

[MPa

]


Figura 5.5 Perfiles de presión en una tubería simple para calentamiento con




81

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

50

100

150

200

250

300

350

400

450

b )a )


Tem

pera

tura

[°C

]


d )c )

0 20 40 60 80 100 12025

50

75

100

125

150

175

200

225

250

Tem

pera

tura

[°C

]


150 180 210 240 270 300 330 360235.0

235.5

236.0

236.5

237.0

237.5

238.0

Tem

pera

tura

[°C

]


380 390 400 410 420 430 440 450

250

300

350

400

450

Tem

pera

tura

[°C

]


Figura 5.6 Perfiles de temperatura en una tubería simple para calentamiento

uniforme (FCU): a) a lo largo de la tubería, b) región de calentamiento, c) región de



82

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

50

100

150

200

250

300

350

400

450


Tem

pera

tura

[°C

]


0 20 40 60 80 100 12025

50

75

100

125

150

175

200

225

250

Tem

pera

tura

[°C

]


150 180 210 240 270 300 330 360235.0

235.5

236.0

236.5

237.0

237.5

238.0

Tem

pera

tura

[°C

]


a ) b )

c ) d )

380 390 400 410 420 430 440 450

250

300

350

400

450

Tem

pera

tura

[°C

]


Figura 5.7 Perfiles de temperatura en una tubería simple para calentamiento con




83

El análisis de independencia de malla muestra que los perfiles de temperatura y

presión a lo largo de la tubería tanto para calentamiento uniforme como para

calentamiento con concentración (90/10 y 80/20) prácticamente se traslapan entre sí.

Al analizar por separado la región de calentamiento, evaporación y

sobrecalentamiento, se observa que el máximo porcentaje de desviación para los

perfiles de presión se obtiene para la región de calentamiento, y es de 0.05%, tanto

para FCU como para FCC. Para los perfiles de temperatura la máxima desviación se

presenta en la región se sobrecalentamiento para FCU, presentándose entre las

mallas numéricas de 180 y 1350, siendo del 1.73%. En el caso de FCC, los perfiles

de temperatura se sobreponen entre sí, aun en la región de sobrecalentamiento.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

50

100

150

200

250

300

350

400

450


Tem

pera

tura

[°C

]


0 20 40 60 80 100 12025

50

75

100

125

150

175

200

225

250

Tem

pera

tura

[°C

]


150 180 210 240 270 300 330 360235.0

235.5

236.0

236.5

237.0

237.5

238.0

Tem

pera

tura

[°C

]


b )

c )

a )

d )

380 390 400 410 420 430 440 450

250

300

350

400

450

Tem

pera

tura

[°C

]


Figura 5.8 Perfiles de temperatura en una tubería simple para calentamiento con




84

El utilizar una malla numérica de 900 volúmenes de control tanto para FCU como

para FCC (90/10 y 80/20) nos permite obtener resultados confiables, optimizando

tiempos de simulación.


85

5.4 Estudio del efecto de la concentración solar en una tubería simple

Del análisis de independencia de malla de calentamiento con distribución perimetral

uniforme y con concentración se obtuvo que el uso de una malla numérica con 900

volúmenes de control proporciona resultados confiables. Ahora se hace una

comparación entre los perfiles de presión, temperatura, fracción de vacío y patrones

de flujo para calentamiento con distribución perimetral uniforme y con concentración

(figuras 5.9, 5.10, 5.11 y 5.12).

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4503.00

3.05

3.10

3.15

3.20

3.25

b )a )

FCU FCC-90/10 FCC-80/20

Pres

ión

[MPa

]


d )c )

0 30 60 90 120

3.2190

3.2195

3.2200

3.2205

3.2210

3.2215

Pres

ión

[MPa

]


150 180 210 240 270 300 330 3603.08

3.10

3.12

3.14

3.16

3.18

3.20

3.22

Pres

ión

[MPa

]


380 390 400 410 420 430 440 4503.00

3.01

3.02

3.03

3.04

3.05

3.06

3.07

3.08

3.09

Pres

ión

[MPa

]


Figura 5.9 Comparación de los perfiles de presión para calentamiento con

distribución uniforme (FCU) y con concentración (FCC) de 90/10 y 80/20: a) a lo

largo de la tubería, b) región de calentamiento, c) región de evaporación y c) región

de sobrecalentamiento.


86

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

50

100

150

200

250

300

350

400

450

b )a )

FCU FCC-90/10 FCC-80/20

Tem

pera

tura

[°C

]


d )c )

0 20 40 60 80 100 120

50

75

100

125

150

175

200

225

250

Tem

pera

tura

[°C

]


150 180 210 240 270 300 330 360235.0

235.5

236.0

236.5

237.0

237.5

238.0

Tem

pera

tura

[°C

]


380 390 400 410 420 430 440 450

250

300

350

400

450

Tem

pera

tura

[°C

]


Figura 5.10 Comparación de los perfiles de temperatura para calentamiento con

distribución uniforme (FCU) y con concentración (FCC) de 90/10 y 80/20: a) a lo

largo de la tubería, b) región de calentamiento, c) región de evaporación y c) región

de sobrecalentamiento.


87

Los perfiles de presión, temperatura y fracción de vació (figuras 5.9, 5.10 y 5.11) se

traslapan entre sí para ambos casos de distribución perimetral de calentamiento,

mostrando que la concentración de calor no modifica de forma considerable el

comportamiento termo-hidráulico del flujo en el interior del tubo. Los patrones de flujo

muestran (figura 5.11) que las regiones monofásicas de líquido a alta temperatura a

la entrada del sistema y la de vapor sobrecalentado a la salida, ocupan la misma

longitud de tubería. Sin embargo, en la región de mezcla bifásica líquido-vapor, los

patrones de flujo estratificado y dryout para calentamiento con concentración ocupan

una mayor longitud de tubería que para el caso de calentamiento con distribución

uniforme, disminuyendo la longitud de la región bifásica ocupada por el patrón de

flujo anular, lo cual justifica las pequeñas diferencias entre los perfiles de caída de

presión (figura 5.9).

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 4500.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

FCU FCC-90/10 FCC-80/20

Frac

ción

de

vaci

o [α

g]


b)a)

c)

Patrones de FlujoLíquidoEstratificadoAnularDryoutGas

Figura 5.11 Patrones de flujo y fracción de vacío vs longitud de la tubería para: a)

calentamiento con distribución uniforme (FCU), b) calentamiento con concentración

(FCC) de 90/10 y c) calentamiento con concentración (FCC) de 80/20.


88

En la figura 5.12 se muestra el mapa de patrones de flujo para una mezcla líquido-

gas obtenido mediante el código numérico de Barnea (1987). Este mapa muestra

que los patrones de flujo estratificado y anular sí pueden presentarse para las

condiciones de operación consideradas, por lo que la predicción de los patrones de

flujo mediante RELAP es adecuada.

0.01 0.1 1 10 1001E-3

0.01

0.1

1

10

Estratificado suave

Estratificado ondulado

Burbuja elongadaSlug

Vsg [m/s]

Vsl

[m/s

]

Burbuja dispersa

Anular

Figura 5.12 Mapa de patrones de flujo (agua-aire) para las condiciones de operación

descritas en la Tabla 5.1, obtenido mediante el código numérico

de Barnea (1987).


89

5.5 Estudio del efecto de la concentración solar en dos tuberías paralelas

Se realizará el estudio de distribución del flujo en tuberías paralelas considerando los

casos de distribución de calentamiento descritos en la Tabla 5.2; tanto para

distribución perimetral uniforme (calentamiento uniforme) como para una

concentración de 90/10 y 80/20. De la misma manera que en el capítulo 4 se hará

primero el análisis para una sola de las dos tuberías, como referencia.

5.5.1 Análisis en una sola tubería

5.5.1.1 Calentamiento con distribución perimetral uniforme (FCU)

En la figura 5.13 se muestran las presiones de entrada ( inP ) en función del flujo

másico y para dos casos de calentamiento uniforme: 100 y 75% de la radiación solar

incidente.

0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.03.00

3.05

3.10

3.15

3.20

3.25

3.30

3.35

3.40

Q-100% Q-75%


Pres

ión

[MPa

]

3.90 3.92 3.94 3.96 3.98 4.00

3.355

3.360

3.365

3.370

3.375

Pres

ión [M

Pa]

Q-100% Q-75%


Figura 5.13 Presión de entrada vs flujo másico, Q=100% y Q=75%.


90

Para flujos másicos elevados ( 1.8 kg/sW > ) el comportamiento del perfil de presión

de entrada corresponde al de una fase simple, es decir líquido a alta temperatura,

siendo menor la presión a menor flujo másico. Sin embargo, cuando el flujo másico

es pequeño ( 0.57 kg/sW < ) el fluido se evapora por completo cerca de la entrada del

sistema, y el comportamiento de la curva de presión corresponde al de la fase de

vapor sobrecalentado, siendo también menor la presión a menor flujo másico. En

flujos másicos intermedios ( 0.57 1.8 kg/sW< < ) se observa que la evaporación toma

lugar y la presión aumenta al disminuir el flujo másico de entrada. Para el caso en el

que se considera solo el 75% (637.5 W/m2) de la radiación solar total incidente, se

tiene que las regiones de flujo másico en las que se obtiene una mezcla bifásica ó

bien vapor sobrecalentado a la salida del sistema presentan un desfase con respecto

al caso en el que se tiene el 100% de la radiación solar incidente (850 W/m2).

En la figuras 5.14 y 5.15 se muestran los perfiles de temperatura, T , calidad, X ,

fracción de vacío, gα , fracción del líquido (fracción volumétrica de la fase líquida en

la mezcla), lα , y los patrones de flujo a lo largo de una tubería simple para flujos

másicos de entrada de 0.54 kg/s y 0.50 kg/s, respectivamente, y para una radiación

incidente de 850 W/m2. A la entrada de la tubería el fluido incrementa rápidamente su

temperatura hasta su saturación. Posteriormente, una vez que la evaporación del

fluido comienza, la temperatura decrece un poco a consecuencia de la caída de

presión a lo largo de la tubería. Al finalizar la evaporación la temperatura se

incrementa rápidamente, obteniendo vapor sobrecalentado a la salida. La fracción de

vacío y la calidad se incrementan de 0 a 1 en la región bifásica, mientras que la

fracción del líquido decrece de 1 a 0. Los patrones de flujo bifásico que se presentan

para estas condiciones son; flujo estratificado, anular y dryout.

Conforme el flujo másico de alimentación al sistema de GDV es reducido (de 0.54

kg/s a 0.50 kg/s), la energía requerida para alcanzar la saturación del fluido es

menor, acortándose la longitud de la región de calentamiento (figura 5.15). Los

patrones de flujo bifásico ocupan una menor longitud de tubería, y la longitud de la


91

tubería ocupada por la región de sobrecalentamiento es mayor, obteniendo a la

salida vapor sobrecalentado a una mayor temperatura. Para un flujo másico de

alimentación de 0.54 kg/s (figura 5.14), la evolución de la calidad y fracción de vacío

se presenta a una menor velocidad.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

αg


X, α

f, αg

Líquido Estratificado Anular Dry out Gas

αf X

T

50

100

150

200

250

300

350

Temperatura [°C

]

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

Dry out GasAnularLíquido


X, α

f, αg

Temperatura [°C

]

Estratificado

T

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

X

αg

αf

Figura 5.14 Comportamiento del flujo a lo largo de la tubería. Calentamiento

incidente de 850 W/m2 y W=0.54 kg/s.

Figura 5.15 Comportamiento del flujo a lo largo de la tubería. Calentamiento

incidente de 850 W/m2 y W=0.50 kg/s.


92

En la figura 5.16 se hace una comparación entre los perfiles de presión y patrones de

flujo para los flujos másicos de entrada de a) 0.54 kg/sy b) 0.50 kg/s. Como era de

esperarse, la presión de entrada para 0.54 kg/s resulta en mayor magnitud que para

0.50 kg/s (se obtiene mayor caída de presión, incrementándose la presión de

entrada).

La figura 5.17 muestra el coeficiente convectico de la pared interna de la tubería

hacia el fluido, considerando tres casos de flujo másico de alimentación: a) 2.4 kg/s,

b) 0.8 kg/s y c) 0.5 kg/s. Para 2.4 kg/s la evaporación no se hace presente y el

coeficiente convectivo , h , aumenta en función del incremento de la temperatura del

fluido, siendo la convección forzada el proceso que rige la transferencia de energía

de la pared interna de la tubería hacia el fluido. Al disminuir el flujo másico a 0.8 kg/s

la evaporación del fluido se hace presente, y en la zona de evaporación el coeficiente

convectivo aumenta rápidamente, ya que el coeficiente convectivo de transferencia

de calor, h , es producto de dos procesos que presentan una fuerte relación entre sí.

Por una parte está la convección forzada debido al movimiento del líquido a través de

la tubería, mientras que de forma simultánea la formación de burbujas de vapor

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4503.00

3.05

3.10

3.15

3.20

3.25

3.30

0.5 kg/s 0.54 kg/s

Pres

ión

[MPa

]


a )

b )

Patrones de FlujoLíquidoEstratificadoAnularDry outGas

Figura 5.16 Perfil de presión y patrones de flujo vs longitud de la tubería, a) 0.54

kg/s y b) 0.5 kg/s.


93

(ebullición del fluido) que colisionan entre sí aumentan la agitación del fluido en

evaporación, incrementándose la transferencia total de energía de la pared interna

hacia el fluido.

Si el flujo másico de entrada es de 0.5 kg/s, a la salida de la tubería se presenta flujo

monofásico de vapor sobrecalentado, y el coeficiente convectivo es de nuevo solo

función del proceso de la convección forzada, sin embargo, conforme el vapor

sobrecalentado aumenta su temperatura su calor especifico, Cp , es reducido,

disminuyendo la transferencia de energía de la pared interna de la tubería hacia el

fluido.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500

5

10

15

20

25 2.4 kg/s

h [k

W/m

2 K]


Patrones de Flujo

EstratificadoLíquido

AnularSlug

GasDryout

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500

5

10

15

20

25

0.8 kg/s

h [k

W/m

2 K


0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500

5

10

15

20

25c)

b)a)

0.5 kg/s

h [k

W/m

2 K


Figura 5.17 Coeficiente convectivo de la pared interna de la tubería hacia el fluido y

patrones de flujo a lo largo de la tubería: a) 2.4 kg/s, b) 0.8 kg/s y c) 0.5 kg/s.


94

5.5.1.2 Calentamiento con concentración (FCC)

La figura 5.18 muestra las presiones de entrada ( inP ) en función del flujo másico,

considerando un 100% y un 75% de la radiación solar incidente total, y una

concentración de calor de 90/10 y 80/20.

Dependiendo del flujo másico de alimentación y el calentamiento incidente en el

sistema de GDV, a la salida de la tubería se puede obtener líquido a alta

temperatura, una mezcla líquido-vapor ó bien vapor sobrecalentado. Al disminuir el

calentamiento incidente (de 100% a 75%), el intervalo de flujo másico en el que a la

salida se obtiene líquido a alta temperatura se incrementa (para 1.4 kg/sW > ),

acortando la región de mezcla y vapor sobrecalentado a la salida del sistema.

En la figura 5.19 se muestran los perfiles de temperatura, T , calidad, X , fracción de

vació, gα , fracción del líquido, lα , y los patrones de flujo para una tubería simple con

concentración de 90/10 y 80/20. Los patrones de flujo bifásico que se presentan para

estas condiciones son: flujo estratificado, anular y dryout.

0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.03.00

3.05

3.10

3.15

3.20

3.25

3.30

3.35

3.40

Q-100% Q-75%

Pres

ión

[MPa

]


a)

0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.03.00

3.05

3.10

3.15

3.20

3.25

3.30

3.35

3.40

Pres

ión

[MPa

]


b)

Q-100% Q-75%

Figura 5.18 Presión de entrada vs flujo másico, para calentamiento con

concentración, a) FCC – 90/10 y b) FCC – 80/20.


95

La figura 5.20 muestra los perfiles de presión y patrones de flujo para un flujo másico

de entrada de 0.50 kg/s y una concentración de calor de 90/10 y 80/20. Para la

región de calentamiento la caída de presión se comporta de forma lineal. Al

comenzar la evaporación del fluido la caída de presión aumenta de forma

considerable, presentándose los patrones de flujo estratificado, anular y dryout.

Posteriormente al finalizar la evaporación se presenta un flujo monofásico dominante

de vapor sobrecalentado.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

X, α

f, αg


αf

αg

X

T

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2 b)

Temperatura [°C

]

Temperatura [°C

]X,

αf, α

g


αf

αg

X

T

a)

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

Figura 5.19 Comportamiento del flujo a lo largo de la tubería, calentamiento

incidente de 850 W/m2 y W=0.5 kg/s, a) FCC – 90/10 y b) FCC – 80/20.


96

En las figuras 5.21 y 5.22 se muestran los coeficientes convectivos de la pared

interna de la tubería hacia el fluido para una concentración de calor de 90/10 y 80/20.

Si el flujo dominante en la tubería es monofásico los coeficientes convectivos para

las zonas con y sin concentración son de igual magnitud. Este comportamiento es

debido a que el calor específico del fluido es considerado constante en toda el área

transversal de flujo.

Para la región de evaporación, la superficie interna inferior de la tubería (área con

concentración) se mantiene en contacto con la fase líquida, mientras que la

superficie superior (área sin concentración) transfiere energía principalmente a la

fase gas. En esta región se observa una diferencia considerable entre los

coeficientes convectivos para las zonas con y sin concentración de calor, lo cual es

debido a la diferencia entre los calores específicos para la fase líquida y la fase gas

del agua, respectivamente.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4503.00

3.05

3.10

3.15

3.20

3.25

FCC-90/10 FCC-80/20


Pres

ión

[MPa

]

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4503.00

3.05

3.10

3.15

3.20

3.25


c)b)

Figura 5.20 Perfil de presión y patrones de flujo a lo largo de la tubería:

a) FCC – 90/10 y b) FCC – 80/20.


97

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500

5

10

15

20

25b)a)

APCC-90% APCC-10%

h [k

W/m

2 K]


Patrones de FlujoLíquidoEstratificadoSlug

DryoutAnular

Gas

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500

5

10

15

20

25

h [k

W/m

2 K


0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500

5

10

15

20

25c)

h [k

W/m

2 K



patrones de flujo a lo largo de la tubería para calentamiento con concentración de

90/10: a) 2.4 kg/s, b) 0.8 kg/s y c) 0.5 kg/s.


98

Para el caso de FCC de 80/20 la zona sin concentración presenta un mayor

calentamiento (aumentando la temperatura de la pared de la tubería), de tal forma

que el gradiente de temperatura entre la pared interna y el fluido (vapor o líquido

según el patrón de flujo presente) es incrementado, aumentando la transferencia de

calor de esta zona hacia el fluido.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500

3

6

9

12

15

18

21

24

c)

b)

APCC-80% APCC-20%

h [k

W/m

2 K]


a)

Patrones de FlujoLíquidoEstratificado

AnularDryoutGas

Slug

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500

3

6

9

12

15

18

21

24

h [k

W/m

2 K


0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500

3

6

9

12

15

18

21

24

h [k

W/m

2 K



patrones de flujo a lo largo de la tubería para calentamiento con concentración de

80/20: a) 2.4 kg/s, b) 0.8 kg/s y c) 0.5 kg/s.


99

5.5.1.3 Efecto de la concentración solar en el perfil de presión de entrada

En la figura 5.23 se observa que las presiones de entrada para calentamiento

perimetral uniforme y con concentración de 90/10 y 80/20 prácticamente se

sobreponen entre sí, presentándose solo pequeñas diferencias para flujos másicos

de entrada relativamente bajos ( 0.5 kg/sW < ) en los que a la salida de la tubería se

obtiene vapor sobrecalentado. La diferencia máxima entre ambos casos (FCU y

FCC) es de 0.44%.

Al analizar los patrones de flujo (figura 5.24) se observa que las regiones de

evaporación para FCU y FCC ocupan la misma longitud de la tubería. Sin embargo,

mientras que para FCC la región de evaporación ocupada por los patrones de flujo

bifásico estratificado y dryout aumentan ligeramente su longitud, la longitud que

ocupa el patrón de flujo anular disminuye.

0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.03.00

3.05

3.10

3.15

3.20

3.25

3.30

3.35

3.40


Pres

ión

[MPa

]

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.83.08

3.12

3.16

3.20

3.24

FCU FCC- 90/10 FCC- 80/20


Pres

ión

[MPa

]

Figura 5.23 Comparación de presiones de entrada para: a) calentamiento con

distribución uniforme (FCU), b) calentamiento con concentración (FCC) de 90/10 y

c) calentamiento con concentración (FCC) de 80/20.


100

La figura 5.25 muestra una comparación entre los coeficientes convectivos de la

pared interna de la tubería hacía el fluido para FCU y FCC. Al comparar los perfiles

del coeficiente convectivo a lo largo de la tubería para FCU y FCC (APCC de 90% y

80%) se observa que los perfiles se traslapan entre sí, sin embargo, para FCU el

coeficiente convectivo presenta un pequeño desfase, de tal forma que para FCU la

región de sobrecalentamiento presenta un ligero adelanto con respecto al caso de

FCC. Si se hace una comparación entre el coeficiente convectivo para FCC (APCC

de 90% y 80%) se observa que ambos perfiles se sobreponen entre sí (coeficiente

convectivo hacía la fase líquida), sin embargo, al comparar el coeficiente convectivo

hacia la fase de vapor (APSC de 10% y 20%, región de evaporación) el coeficiente

convectivo es directamente proporcional al calentamiento hacia la zona sin

concentración.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4503.00

3.05

3.10

3.15

3.20

3.25

FCU FCC-90/10 FCC-80/20


Pres

ión

[MPa

]


c)b)a)

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4503.00

3.05

3.10

3.15

3.20

3.25

Figura 5.24 Comparación del perfil de presión y patrones de flujo para: a)

calentamiento con distribución uniforme (FCU) y b) calentamiento con

concentración (FCC) 90/10 y c) calentamiento con concentración (FCC) 80/20.

W=0.5 kg/s y Q=850 W/m2.


101

5.5.2 Análisis en las dos tuberías

5.5.2.1 Distribución del flujo másico para calentamiento simétrico

Se analizan dos condiciones de distribución perimetral del calentamiento:

1. Calentamiento con distribución perimetral uniforme (FCU)

2. Calentamiento con concentración (FCC; 90/10 y 80/20)

0 50 100 150 200 250 300 350 400 45002468

101214161820

FCU FCC

APCC-90% APCC-80%

h [k

W/m

2 K]


0 50 100 150 200 250 300 350 400 45002468

101214161820

APCC-90% APCC-80%

h [k

W/m

2 K


0 50 100 150 200 250 300 350 400 45002468

101214161820

APSC-10% APSC-20%

h [k

W/m

2 K


Figura 5.25 Comparación del coeficiente convectivo de la pared interna de la

tubería hacia el fluido a lo largo de la tubería, considerando el área perimetral de

calentamiento: a) FCU y FCC de 90/10 y 80/20 (APCC de 90% y 80%), b) FCC de

90/10 y 80/20 (APCC de 90% y 80%) y c) FCC de 90/10 y 80/20 (APSC de 10% y

20%).


102

5.5.2.1.1 Calentamiento con distribución perimetral uniforme (FCU)

La figura 5.26 muestra las presiones de entrada, distribución de flujo másico y flujo

másico de salida para un sistema de dos tuberías en paralelo con calentamiento

simétrico y distribución perimetral uniforme.

De la figura 5.26 se observa que las razones de distribución de flujo y presiones de

entrada corresponden a una distribución simétrica de flujo másico, de tal forma que la

trayectoria de las presiones de entrada corresponde a la obtenida para una tubería

simple. Lo anterior muestra que RELAP solo permite obtener soluciones simétricas

para el intervalo de flujo másico de entrada analizado ( 0.8 5.0 kg/sW≤ ≤ ). En la salida

común se obtiene líquido a alta temperatura para flujos másicos 3.55 kg/s≥ , una

mezcla bifásica agua-vapor para flujos másicos 1.575 kg/s> y 3.55 kg/s< , o bien,

vapor sobrecalentado para flujos másicos de entrada 1.575 kg / s≤ .

Para el intervalo de flujo másico analizado ( 0.8 W 5.0 kg/s ≤ ≤ ) que se muestra en la

figura 5.26, el principio de conservación de masa se cumple.

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.03.00

3.05

3.10

3.15

3.20

3.25

3.30

Presión

Pres

ión

[MPa

]

Flujo másico [kg/s]1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

Flujo másico de salida

Fluj

o m

ásic

o de

sal

ida

[kg/

s]


0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Razón de distribución de flujo

Razón de distribución [W

R /Win ]

Figura 5.26 Presión de entrada, razón de distribución de flujo másico, y flujo

másico de salida vs flujo másico total para dos tuberías en paralelo. QR=QL=850

W/m2.


103

5.5.2.1.2 Calentamiento con concentración (FCC)

La figura 5.27 muestra las presiones de entrada, distribución de flujo y flujo másico

de salida para dos tuberías en paralelo con calentamiento simétrico y una

concentración de calor incidente de 90/10 y de 80/20.

La figura 5.27 muestra que para calentamiento con concentración de 90/10, RELAP

solo permite obtener una única solución de distribución de flujo, la simétrica, que de

igual forma que para calentamiento con distribución uniforme, la trayectoria de las

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.03.00

3.05

3.10

3.15

3.20

3.25

3.30 Razón de distribución [W

R /Win ]


R /Win ]

Presión

Pres

ión

[MPa

]


a)

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.03.00

3.05

3.10

3.15

3.20

3.25

3.30

b) Presión

Pres

ión

[MPa

]


1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.00.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0c) FCC-90/10

FCC-80/20

Fluj

o m

ásic

o de

sal

ida

[kg/

s]


1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.03.00

3.05

3.10

3.15

3.20

3.25

3.30 FCC-90/10 FCC-80/20

d)

Pres

ión

[MPa

]


0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


Figura 5.27 Análisis termo-hidráulico del flujo en dos tuberías en paralelo para

calentamiento simétrico y con concentración de 90/10 y 80/20. QR=QL=850 W/m2:

a) presión de entrada vs flujo másico para FCC de 90/10, b) presión de entrada vs

flujo másico para FCC de 80/20, c) comparación de flujo másico de salida vs flujo

másico de entrada para FCC de 90/10 y 80/20 y d) comparación de presiones de

entrada para FCC de 90/10 y 80/20.


104

presiones de entrada corresponden a las de una tubería simple. Se obtiene a la

salida del sistema líquido a alta temperatura para flujos másicos 3.55 kg/s≥ , una

mezcla bifásica agua-vapor para flujos másicos 1.575 kg/s> y 3.55 kg/s< , o bien,

vapor sobrecalentado para flujos másicos de entrada 1.575 kg / s≤ . Sin embargo,

para una concentración de calor de 80/20, RELAP predice una solución simétrica

para flujos másicos de entrada 1.1 kg/s> , mientras que para 1.1 kg/s y 0.9 kg/s

RELAP predice soluciones asimétricas, obteniendo vapor sobrecalentado a la salida

de una tubería (tubería con menor flujo másico de salida) y una mezcla bifásica

agua-vapor a la salida de la otra tubería respectivamente. Al analizar los flujos

másicos de salida para FCC de 90/10 y 80/20 se observa que al presentarse

soluciones asimétricas el flujo másico de salida difiere del flujo másico de entrada.

Finalmente, al comparar las presiones de entrada para FCC de 90/10 y 80/20 se

muestra que ambos casos se sobreponen entre sí, a excepción de los flujos másicos

(1.1 kg/s y 0.9 kg/s) de entrada para FCC de 80/20 donde se presentan soluciones

asimétricas.

En la figura 5.28 se hace una comparación de las presiones de entrada para FCU y

FCC de 90/10 y 80/20, obteniendo que las presiones de entrada para FCC de 80/20

presentan ciertas diferencias en la región de vapor sobrecalentado, como se observa

para 1.1 kg/s y 0.9 kg/s (donde se obtienen soluciones asimétricas).

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.03.00

3.05

3.10

3.15

3.20

3.25

3.30

FCDU FCC-90/10 FCC-80/20

Pres

ión

[MPa

]

Flujo másico [kg/s]1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0 FCDU FCC-90/10 FCC-80/20

Fluj

o m

ásic

o de

sal

ida

[kg/

s]


Figura 5.28 Comparación de presión de entrada y flujo másico de salida vs flujo

másico para FCU y FCC. QR=QL=850 W/m2.


105

5.5.2.2 Distribución de flujo másico para calentamiento asimétrico

Se analizan dos condiciones de distribución perimetral del calentamiento:

1. Calentamiento con distribución perimetral uniforme (FCU)

2. Calentamiento con concentración (FCC; 90/10 y 80/20)

5.5.2.2.1 Calentamiento con distribución perimetral uniforme (FCU)

La figura 5.29 muestra las razones de distribución de flujo, presiones de entrada y

flujo másico de salida para calentamiento asimétrico y con distribución perimetral

uniforme, considerando tres condiciones de calentamiento incidente.

3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.03.00

3.05

3.10

3.15

3.20

3.25

3.30


R /Win ]

b)


R /Win ]


R /Win ]

Presión

Pres

ión

[MPa

]


3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.03.00

3.05

3.10

3.15

3.20

3.25

3.30 Presión

Pres

ión

[MPa

]


a)

2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.03.00

3.05

3.10

3.15

3.20

3.25

3.30

3.35c) Presión

Pres

ión

[MPa

]


2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.02.83.03.23.43.63.84.04.24.44.64.85.0

Flujo de calor a )100% y 80% b )100% y 90% c )100% y 95%

d)

Fluj

o m

ásic

o de

sal

ida

[kg/

s]


0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Razón de distribución

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


Figura 5.29 Presión de entrada y razón de distribución de flujo, para dos tuberías

en paralelo con calentamiento asimétrico: a) QR=850 W/m2 y QL=680 W/m2, b)

QR=850 W/m2 y QL=765 W/m2, c) QR=850 W/m2 y QL=807.5 W/m2 y d)

comparación de flujo de salida vs flujo másico de entrada para los tres casos

anteriores.


106

De la figura 5.29 se observa que para un calentamiento asimétrico de 100 y 80% y

de 100 y 90% (incisos a y b), RELAP solo permite obtener soluciones de distribución

de flujo y presiones de entrada para flujos másicos 3.0 kg/s≥ . Para flujos másicos

mayores a 3.6 kg/s RELAP predice una distribución de flujo másico casi simétrica en

ambas tuberías, obteniendo líquido a alta temperatura a la salida. Sin embargo, si el

flujo másico de entrada es menor a 3.6 kg/s RELAP predice una distribución

asimétrica del flujo másico, de tal forma que un mayor porcentaje de flujo másico

tiende a fluir por la tubería con menor calentamiento incidente, obteniendo líquido a

alta temperatura a la salida de la tubería con menor calentamiento y una mezcla

bifásica a la salida de la tubería con mayor calentamiento incidente.

Al considerar un calentamiento asimétrico del 100 y 95% (inciso c de la figura 5.29),

se puede observar que RELAP permite obtener una solución para flujos másicos

2.8 kg/s≥ . Para flujos másicos de entrada mayores a 3.4 kg/s RELAP determina que

una distribución casi simétrica es la que se presenta en el sistema, obteniendo

líquido a alta temperatura a la salida de cada tubería. Si el flujo másico de entrada es

menor a 3.4 kg/s, RELAP determina que la distribución de flujo másico en el sistema

corresponde a una distribución asimétrica, obteniendo líquido a alta temperatura a la

salida de la tubería con menor calentamiento y una mezcla bifásica de líquido-vapor

a la salida de la tubería con mayor calentamiento.

De igual forma que para calentamiento simétrico, se observa que para calentamiento

asimétrico cuando se presentan soluciones de distribución de flujo másico simétricas

el flujo másico de salida es igual al flujo de entrada. Sin embargo, cuando se

obtienen soluciones asimétricas de distribución esta igualdad no se cumple, y la

diferencia se incrementa al aumentar la asimetría del calentamiento en ambas

tuberías, como se muestra en la figura 5.29 (inciso d).


107

5.5.2.2.2 Calentamiento con concentración (FCC)

Las figuras 5.30 y 5.31 muestran que las presiones de entrada, razones de

distribución de flujo, y flujo másico de salida para calentamiento con concentración

(FCC) 90/10 y 80/20 muestran un comportamiento análogo al caso de calentamiento

con distribución perimetral uniforme (FCU). Presentándose las mismas condiciones

de solución para las asimetrías de 100 y 95%, 100 y 90% y 100 y 80%.

3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.03.00

3.05

3.10

3.15

3.20

3.25

3.30 Presión

Pres

ión

[MPa

]


3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.03.00

3.05

3.10

3.15

3.20

3.25

3.30a) c) Presión

Pres

ión

[MPa

]


2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.03.00

3.05

3.10

3.15

3.20

3.25

3.30

3.35c) Presión

Pres

ión

[MPa

]


2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.02.83.03.23.43.63.84.04.24.44.64.85.0

Flujo de calor a )100% y 80% b )100% y 90% c )100% y 95%

d)

Fluj

o m

ásic

o de

sal

ida

[kg/

s]


0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0



R /Win ]


R /Win ]


R /Win ]

Figura 5.30 Presión de entrada, razón de distribución de flujo, y flujo másico de

salida para dos tuberías en paralelo con calentamiento asimétrico y con

concentración de 90/10, a) QR=850 W/m2 y QL=680 W/m2, b) QR=850 W/m2 y

QL=765 W/m2, c) QR=850 W/m2 y QL=807.5 W/m2 y d) comparación de flujo de

salida vs flujo másico de entrada para todos los casos anteriores.


108

En la figura 5.32 se hace una comparación de las presiones de entrada, razones de

distribución de flujo y flujo másico de salida para calentamiento asimétrico con

distribución perimetral uniforme (FCU) y con concentración (FCC) de 90/10 y 80/20.

3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.03.00

3.05

3.10

3.15

3.20

3.25

3.30a)


R /Win ]


R /Win ]


R /Win ]

Presión

Pres

ión

[MPa

]


3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.03.00

3.05

3.10

3.15

3.20

3.25

3.30

d)

b) Presión

Pres

ión

[MPa

]


2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.03.00

3.05

3.10

3.15

3.20

3.25

3.30

3.35c) Presión

Pres

ión

[MPa

]


2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.02.83.03.23.43.63.84.04.24.44.64.85.0

Flujo de calor a )100% y 80% b )100% y 90% c )100% y 95% Fl

ujo

más

ico

de s

alid

a [k

g/s]


0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


Figura 5.31 Presión de entrada, razón de distribución de flujo, y flujo másico de

salida para dos tuberías en paralelo con calentamiento asimétrico y con

concentración de 80/20: a) QR=850 W/m2 y QL=680 W/m2, b) QR=850 W/m2 y

QL=765 W/m2, c) QR=850 W/m2 y QL=807.5 W/m2 y d) comparación de flujo de

salida vs flujo másico de entrada para todos los casos anteriores.


109

3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.03.00

3.05

3.10

3.15

3.20

3.25

3.30

Presión de entrada FCU FCC-90/10 FCC-80/20

Pres

ión

[MPa

]

Flujo másico [kg/s]3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

4.2

4.44.6

4.8

5.0Flujo másico a la salida

FCU FCC-90/10 FCC-80/20

Fluj

o m

ásic

o de

sal

ida

[kg/

s]


0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


R /Win ]

Razón de distribución de flujo FCU FCC-90/10 FCC-80/20

a)

3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.03.00

3.05

3.10

3.15

3.20

3.25

3.30R

azón de distribución [WR /W

in ]


Pres

ión

[MPa

]

Flujo másico [kg/s]3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

4.2

4.44.6

4.8


FCU FCC-90/10 FCC-80/20

Fluj

o m

ásic

o de

sal

ida

[kg/

s]


0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0Razón de distribución de flujo

FCU FCC-90/10 FCC-80/20

b)

2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.03.00

3.05

3.10

3.15

3.20

3.25

3.30

3.35

3.40


R /Win ]


Pres

ión

[MPa

]

Flujo másico [kg/s]2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

4.2

4.4

4.6

4.8


FCU FCC-90/10 FCC-80/20

Fluj

o m

ásic

o de

sal

ida

[kg/

s]


0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0Razón de distribución de flujo

FCU FCC-90/10 FCC-80/20

c)

Figura 5.32 Comparación de presión de entrada, razón de distribución de flujo, y

flujo másico de salida para dos tuberías en paralelo con calentamiento asimétrico:

a) QR=850 W/m2 y QL=680 W/m2, b) QR=850 W/m2 y QL=765 W/m2, c) QR=850

W/m2 y QL=807.5 W/m2.


110

Para un calentamiento asimétrico de 100 y 80% y 100 y 90% se observa que las

presiones de entrada, razones de distribución de flujo y flujo másico de salida se

sobreponen entre sí tanto para calentamiento con distribución perimetral uniforme

(FCU) como para calentamiento con concentración (FCC) de 90/10 y 80/20.

Sin embargo, para una asimetría de 100 y 95% se observa una ligera mayor presión

de entrada (flujo másico de 2.8 kg/s) para calentamiento con distribución perimetral

uniforme (FCU) con respecto a los casos de calentamiento con concentración (FCC),

en los cuales las presiones de entrada se sobreponen entre sí para todo el intervalo

de flujo analizado.

Al analizar el flujo másico de salida, se observa que para calentamiento con

concentración (FCC) de 90/10 y 80/20 ambas soluciones (en el intervalo de flujo

analizado) se sobreponen, sin embargo, se observan pequeñas diferencias con

respecto a las soluciones para calentamiento con distribución perimetral uniforme

(FCU), siendo ligeramente mayor el flujo másico de salida para los flujos másicos de

entrada de 2.8 y 3.0 kg/s (soluciones de distribución asimétricas).


111

5.6 Conclusiones

La concentración de flujo de calor no afecta de forma considerable las caídas de

presión, ni los patrones de flujo a lo largo de la (s) tubería (s). Sin embargo, el

análisis de distribución de flujo másico en tuberías en paralelo muestra que conforme

la concentración de calor es menor, el intervalo de flujo másico de entrada para el

cual se obtienen soluciones simétricas de distribución de flujo es menor.

La concentración de calor afecta además los puntos de transición de las fases, de tal

forma que los patrones de flujo bifásico aumentan o disminuyen su longitud con

respecto a considerar un calentamiento con distribución perimetral uniforme.

Al variar la concentración de calor, la longitud de tubería que es ocupada por cada

patrón de flujo cambia, de tal forma que el coeficiente convectivo de transferencia de

calor de la pared interna del tubo hacia el fluido también cambia, siendo la principal

variable afectada por la concentración de calor.

Conforme aumenta la asimetría del calentamiento incidente en el sistema, el intervalo

de flujo másico para el cual RELAP permite obtener soluciones simétricas es menor,

obteniendo soluciones con mayor asimetría dado un mismo flujo másico de entrada.

112

6 Capítulo VI Conclusiones generales y

Recomendaciones


En este capítulo se presentan las conclusiones generales de los estudios realizados

y se hacen recomendaciones generales para trabajos futuros.

Conclusiones y Recomendaciones

113

6.1 Conclusiones Generales

El análisis termo-hidráulico a una tubería simple del sistema de GDV propuesto por

Natan et al. (2003) muestra que RELAP predice menores caídas de presión para los

patrones de flujo bifásico. Estas diferencias son atribuidas al distinto factor de fricción

y al uso de un modelo matemático más sencillo por parte de Natan et al. (2003) con

respecto a RELAP. Por ejemplo, en la ecuación de conservación de cantidad de

movimiento RELAP considera los términos de transferencia de masa en la interface

líquido-vapor y la fuerza de masa virtual, los cuales no son considerados por Natan

et al. (2003). Sin embargo, RELAP no considera el término de fuerza de presión

debido al espesor de la película de líquido. Por otra parte, en el modelo propuesto

por Natan et al. (2003), las ecuaciones de conservación de energía para cada fase

que se resuelven en RELAP son sustituidas por un balance de energía entre el calor

total que entra al tubo absorbedor y el calor perdido al ambiente, lo cual simplifica su

modelo térmico.

Al modelar el prototipo DISS (constituido por una sola fila de CCP para GDV),

ubicado en la PSA, considerando tres distintas presiones de operación, se encontró

que los perfiles de presión obtenidos mediante RELAP se aproximan en gran medida

a los datos experimentales proporcionados por la PSA. Encontrándose que la

máxima desviación se presenta para la presión de operación de 3 MPa, siendo de

1.85%.

Aun cuando en este estudio no se validaron los resultados para perfiles de

temperatura y patrones de flujo en una fila de CCP, estudios previos realizados por

Enríquez (2012) y Moya et al. (2011) han demostrado que las predicciones

realizadas para estas variables mediante RELAP para las presiones de operación de

10, 6 y 3 MPa, presentan buena aproximación a los resultados experimentales

proporcionados por la PSA.


114

La concentración de calor afecta principalmente la ubicación de las regiones de

transición de los patrones de flujo y los coeficientes de transferencia de calor

convectivos en las zonas con y sin concentración solar.

Los estudios realizados a los sistemas de tuberías en paralelo muestran que RELAP

permite obtener las soluciones más estables, en relación a las soluciones múltiples

obtenidas por Natan et al. (2003), las cuales corresponden a las soluciones de menor

caída de presión. RELAP proporciona soluciones oscilatorias para algunos intervalos

de flujo másico en los que Natan et al. (2003) reportan soluciones múltiples.

Para calentamiento simétrico de las tuberías en paralelo, RELAP permite obtener

solo soluciones de distribución simétricas del flujo másico, de tal forma que su perfil

de presión de entrada corresponde al de una tubería simple.

Conforme se incrementa la asimetría del calentamiento entre los dos tubos

absorbedores en paralelo, se reducen los intervalos de flujos másicos de

alimentación para los cuales RELAP permite obtener soluciones de distribución

simétricas de flujo másico, incrementando la asimetría de la razón de distribución

dado un mismo flujo másico de alimentación.


115

6.2 Recomendaciones

Es necesario continuar evaluando la aplicabilidad del simulador comercial RELAP

para estudios de distribución del flujo en sistemas de tuberías en paralelo aplicadas a

GDV.

Efectuar más estudios del efecto de la concentración solar, considerando perfiles de

distribución perimetral de la radiación solar incidente más apegadas a la realidad;

tanto para tuberías simples como para tuberías en paralelo.

Comparar con datos experimentales de distribución de flujo y presión de entrada

para filas de tuberías en paralelo de diversos sistemas físicos. Asimismo para filas de

tubos absorbedores que constituyen los CCP en sistemas de GDV en prototipos y a

nivel comercial.

Involucrar en los estudios las tuberías de conexión entre cada uno de los CCP que

constituyen la(s) fila(s) de CCP para GDV.

.

116

7 Referencias

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Referencias

120

8 Anexos

121

A. Apéndice A Equation Chapter (Next) Section 1

Desarrollo del modelo matemático a dos fluidos A.1

Para deducir las ecuaciones gobernantes del modelo a dos fluidos (Lahey & Drew,

1989), se parte de un balance integral macroscópico a un volumen de control

(Figura A.1);

Figura A.1 Volumen de control conservativo.

Si se considera que la propiedad a conservar en el volumen de control es ρψ , J

es el flux, φ es la fuerza de cuerpo por unidad de masa, Φ es el termino de fuerza

interfacial por unidad de área interfacial del volumen de control, y Σ es el flux en la

superficie por unidad de longitud de la interfase, se tiene que;

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0ia t V t i t a t V t

dN JdS dV N d dS dV

dtρφ ρψ⋅ − + ⋅Σ − Φ + =∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫∫l

(A.1.1)

Donde ( )V t es el volumen de control instantáneo, ( )a t es el área de la superficie

externa, ( )ia t es el área interfacial interna de ( )V t , e ( )i t es la curva dependiente

del tiempo de la intersección de la interfase con la superficie externa, ( )a t , del

volumen de control. El vector N es un vector unitario normal a ( )i t y tangente a

Σ

��

��

� ψ

122

( )ia t . Si se considera que kV V= , de tal forma que el volumen de control

considerado aparece totalmente dentro de la fase k , la ecuación (A.1.1) se puede

expresar como;

( ) ( ) ( )

0k k k

k k kk k ka t V t V t

dn J dS dV dV

dtρ φ ρ ψ⋅ − + =∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

(A.1.2) Aplicando el teorema de transporte de Reynolds a la integral de superficie, la

ecuación (A.1.2) se puede expresar como:

( ) ( )( )

0k

k kkk kk k k

V t

J v dVt

ρ ψρ φ ρ ψ

∂ ∇⋅ − + + ∇⋅ = ∂ ∫∫∫

(A.1.3)

Las propiedades definidas en la ecuación (A.1.3) no son dependientes del

volumen de control ( )kV t , por lo que la integral de volumen puede despreciarse, la

forma euleriana de la ecuación de conservación es;

( ) ( )k kkk kk k k

v Jt

ρ ψρ ψ ρ φ

∂+ ∇⋅ = ∇⋅ −

∂ (A.1.4) En la Tabla A.1 se muestra de forma resumida la equivalencia de los términos

conservativos para cada una de las ecuaciones de conservación, cuantificando la

masa, cantidad de movimiento y energía para cada fase.

Tabla A.1 Equivalencia de los términos de conservación

Principio de conservación k

ψ k

J k

φ Φ Σ

Masa 1 0 0 0 0

Cantidad de movimiento kv k k

p I τ− k

g 0 aσ−

Energía kk

k

pe

ρ− ( )''

kk k kg p I vτ− − + ⋅

'''k

k

k

qg v

ρ⋅ + 0 ''

i ie q+ - ia vσ− ⋅

Donde kψ , φ y Φ pueden ser vectores o escalares, mientras que kJ y Σ pueden

ser vectores ó tensores de segundo orden. a es el tensor métrico en la interfase,

lo cual cuantifica la curvatura de la interfase.

123

Al aplicar la ecuación (A.1.4) y la regla de Leibnitz a un volumen de control con

espesor despreciable, se obtiene la condición de salto dada por:

( )2

1( ) ( )

0i

k ik k k kka t i t

v v J n dS N dρ ψ=

− + ⋅ − Φ + ⋅Σ =

∑∫∫ ∫ l (A.1.5)

La condición de salto dada en la ecuación (A.1.5) se puede expresar en forma

diferencial escribiendo el tensor de superficie intrínseco en términos de vectores

tridimensionales y aplicando el teorema de Green en la superficie. Si Σ es un

tensor de superficie de segundo orden, la integral de ( )i t puede expresarse como:

( )( ) ( )i

k s

i t a t

N d n b dS⋅Σ = : Σ + ∇ ⋅Σ∫ ∫∫l (A.1.6)

Al aplicar las ecuaciones (A.1.5) y (A.1.6) a una superficie arbitraria ia , la

condición de salto para la ecuación de cantidad de movimiento está dada por:

( )2

1k i kk sk k k

k

v v J n n bρ ψ∧

=

− + ⋅ =Φ − ∇ ⋅Σ − : Σ = Φ ∑ (A.1.7)

y para la ecuaciones de conservación de masa y energía;

( )2

1k ik sk k k

k

v v J nρ ψ=

− + ⋅ =Φ − ∇ ⋅Σ ∑ (A.1.8)

La ecuación (A.1.4) es válida para cualquier punto en el campo del fluido, sin

embargo, para aplicaciones más practicas es necesario promediar sobre un

volumen representativo. La forma más general de promedio volumétrico

instantáneo para la ecuación de conservación tridimensional está dada por;

( )( )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

k k k

w

i i kw

kk k kk k k kV z t V z t V z t

k k i k kk k k ka z t a z t a z t

dV v J dV dVt

n v v dS n J dS n J dS

ρ ψ ρ ψ ρ φ

ρ ψ

∂ + ∇ ⋅ + − =∂

⋅ − − ⋅ − ⋅

∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

∫∫ ∫∫ ∫∫ (A.1.9)

Si se denota que el promedio volumétrico de la fase k está dado por;

( ) ( )( )

' '

,

1,

,k

k kk V z t

f f z t dVV z t

= ∫∫∫ (A.1.10)

Y la fracción de volumen instantánea por;

( ),kk

V z t

Vβ =

(A.1.11) Sustituyendo las ecuaciones (A.1.10) y (A.1.11) en la ecuación (A.1.9) se obtiene:

124

( )''

( , ) ( , ) ( , )

1

1 1 1w

i i kw

kk k k k k kk k k k

k kk k k ka z t a z t a z t

V v Jt V

m dS n J dS n J dSV V V

ρ ψ ρ ψ ρ φ

ψ

∂ β + ∇ ⋅ β + − β ∂

= − − ⋅ − ⋅∫∫ ∫∫ ∫∫

(A.1.12)

Donde ''km es definida como la transferencia de masa en la interfase, y se expresa

como;

( )k k ik km n v vρ= ⋅ − (A.1.13)

Ahora, utilizando los términos de conservación de la Tabla A.1 y las ecuaciones

(A.1.11) y (A.1.12), se obtiene las ecuaciones instantáneas de conservación:

� Ecuación tridimensional de conservación de masa

1kk k k k kV v

t Vρ ρ∂

β + ∇ ⋅ β = Γ ∂ (A.1.14) Donde;

( )

''

,

1

i

k k

a z t

m dSV

Γ = − ∫∫ (A.1.15)

� Ecuación tridimensional de conservación de cantidad de movimiento

( ) ''' '''

'''

1

1

i wi w

i i w wi i

k k k k kk k k k k k k k

nd d nd dk k k kk k kk k k k ik k

v V v v p I p S p St V

V g v M M M M SV

ρ ρ

τ ρ τΓ

∂β + ∇ ⋅ β = −β ∇ ⋅ − ∆ − ∆ ∂

+ ∇ ⋅ β + β + Γ + + + + + ⋅

(A.1.16)

donde;

( )

( )

''

,

''

,

i

i

i

kk

a z t

k

k

a z t

m v ds

vm ds

Γ∫∫

∫∫

(A.1.17)

( )

'''

,

1i

i

k k

a z t

s n dsV ∫∫

(A.1.18)

( )

'''

,

1w w

kw

k k

a z t

s n dsV ∫∫

(A.1.19)

( ) ( )

'''

, ,

1 1ii i

i i

k k kk k kia z t a z t

p n ds p s p n dsV V

⋅ ⋅ + ∆∫∫ ∫∫ %

(A.1.20)

125

( ) ( )

'''

, ,

1 1i ii

k iw

k k kkk k ia z t a z t

n ds s n dsV V

τ τ τ⋅ ⋅ + ∆∫∫ ∫∫ %

(A.1.21)

w wk k k wp p p∆ −%

(A.1.22)

( ),

1i ii

i

nd ndk kkk

a z t

M p n dsV

− ∆∫∫ %

(A.1.23)

( ),

1i i i

i

d dk kk k

a z t

M p I n dsV

τ − ∆ − ∆ ⋅ ∫∫ % %

(A.1.24)

( ),

1w ww

kw

ndk kk

a z t

M p n dsV

− ∆∫∫ %

(A.1.25)

( ),

1w ww

kw

dk kk

a z t

M n dsV

τ− ⋅∫∫

(A.1.26)

ik k kip p p∆ −

(A.1.27)

wk k kwp p p∆ −

(A.1.28)

La fuerza volumétrica interfacial, i

dkM , contiene la fuerza de arrastre y los

esfuerzos de corte interfacial.

� Ecuación tridimensional de conservación de energía

''

''' '' '''

''''' '''

1 1

1i ii i i i

i iw w

k kkkk k k k k k k k ki

nd dnd dk kk kk k k k k k k k k i kk k

dk

k kk k kk ik i

pe V e v p V q

t V t t V

V v g v q e M v q A M vV

pq A v s

βββ ρ β ρ β

β τ β ρ β

τρ

Γ

∂ ∂∂ + ∇ ⋅ = − + − ∇ ⋅ ∂ ∂ ∂

+ ∇ ⋅ ⋅ + ⋅ + + Γ + ⋅ + + ⋅

∆+ + ⋅ ⋅ − Γ%

(A.1.29)

donde;

( )''k

k k ik

mn v v

ρ= ⋅ −

(A.1.30)

( ) ( )

'' ''

, ,

1 1i

i i

i i

kk k k ik k k k k k

ka z t a z t

pm e n p v ds m e p n v ds

V Vρ

− − + ⋅ = − + ⋅

∫∫ ∫∫ (A.1.31)

( )( ), ,

1 1i i

i i

kk i k ik k ki

a z t a z t

p n v ds p p n v dsV t V

β∂⋅ = + ∆ ⋅∂∫∫ ∫∫ %

(A.1.32)

126

( )( )( )

( )

( )

, , ,

,

1 1 1

1

i i i

i i i

i

i

dkk i k k k i kk k k ki

a z t a z t a z t

ndk ik

a z t

p n v ds p p n v ds p n v v dsV t V V

p n v dsV

β∂⋅ = + ∆ ⋅ + ∆ ⋅ −∂

+ ∆ ⋅

∫∫ ∫∫ ∫∫

∫∫

% %

% (A.1.33)

( )

( )

''

,

''

,

i

i

i

k k

a z t

k

k

a z t

m e ds

em ds

=∫∫

∫∫ (A.1.34)

( ),

1i i i

i

nd nd ndk k k ik

a z t

M v p n v dsV

⋅ − ∆ ⋅∫∫ %

(A.1.35)

( )

'' ''' '' ''

,

1/

i i

i

kk i k i k

a z t

q A q a V n q dsV

− ⋅∫∫

(A.1.36)

( ),

1i i ii i

i

d d dk k k kk k

a z t

M v n p I v dsV

τ ⋅ − ⋅ ∆ − ∆ ⋅ ∫∫ % %

(A.1.37)

( )

'' ''' '' ''

,

1/

ww w w w

kw

kk k k k k

a z t

q A q a V n q dsV

− ⋅∫∫

(A.1.38)

( )

'''

,

1i i

i

k k k kk ki ia z t

v s n v dsV

τ τΓ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫∫

(A.1.39)

( )

''

,

1i

i

ddk k

k kk ka z ti

p mp ds

Vρ ρ ∆Γ − ∆

∫∫%

%

(A.1.40) Para obtener un sistema de ecuaciones manejable se debe promediar cada una

de las ecuaciones en el tiempo. Es decir, si se considera la velocidad de la fase k ,

kv , esta estará constituida por un componente principal y componente con

variación en el tiempo ( )k k kv v vδ= + . Se usa un promediado simple en el tiempo,

el cual se define como;

'1 t

kk

t T

f f dtT −∫

(A.1.41) donde, T es el intervalo en tiempo sobre el cual se realiza el promediado.

Aplicando la ecuación (A.1.41) a las ecuaciones instantáneas de conservación

promediadas en espacio, se obtiene;

� Ecuación tridimensional de conservación de masa promediada en espacio y

tiempo

127

1kk k k k kV v

t Vβ ρ β ρ∂ + ∇ ⋅ = Γ ∂ (A.1.42)


promediada en espacio y tiempo

( ) ''' '''

'''

1

1

i wi w

i i w wi i

k k kk k k k k k k k k k

nd d nd dk k k kk kk k k kk kk i

e V e v p I p s p st V

V g v M M M M sV

β ρ β ρ β

β τ β ρ τΓ

∂ + ∇ ⋅ = − ∇ ⋅ − ∆ − ∆ ∂

+ ∇ ⋅ + + Γ + + + + + ⋅

(A.1.43)

� Ecuación tridimensional de conservación de energía promediada en

espacio y tiempo

'' '''

''''' ''' '' '''

1

1 1

i ii i i ii i w w

k kkkk k k k k k k i

k kk k k k k kkk k

dnd nd d d kk kk k k kk k k i k k kk i

k i

pe V e v p

t V t t

V q V v g v qV V

pe M v q A M v q A v s

βββ ρ β ρ

β β τ β ρ β

τρ

Γ

∂ ∂∂ + ∇ ⋅ = − + ∂ ∂ ∂ − ∇ ⋅ + ∇ ⋅ ⋅ + ⋅ +

∆+Γ + ⋅ + + + + ⋅ ⋅ − Γ%

(A.1.44)

� Condiciones de salto de la interfase

De las ecuaciones (A.1.7) y (A.1.8), se tiene que la condición de salto para la

interfase se puede expresar de forma generalizada mediante;

( ) ( )2 2

''

1 1k i k kk kk k k k

k k

v v J n m J nρ ψ ψ∧

= =

− + ⋅ = Φ = + ⋅ ∑ ∑ (A.1.45)

Aplicando el promediado en espacio y tiempo a la ecuación (A.1.45), se tiene que

la condición de salto se puede expresar como;

( ) ( ) ( )

2''

1 , , ,

1 1 1

i i i

k kk k kk a z t a z t a z t

m ds J n ds n dsV V V

ψ∧

=

⋅ + ⋅ ⋅ = Φ

∑ ∫∫ ∫∫ ∫∫

(A.1.46)

En la Tabla A.2 se muestran los términos fuente de conservación;

128

Tabla A.2 Términos fuente de conservación

Principio de conservación

Densidad de la fuente interfacial

( ),

1

ia z t

dsV

∧Φ∫∫

Masa 0

Movimiento iM σ−

Energía ( )'''

ii RE qσ− +

Aplicando los términos de conservación de la Tabla A.1 y la Tabla A.2 a la

ecuación (A.1.46), se obtienen las condiciones de salto interfacial;

� Condición de salto de masa

( )

2''

1 ,

10

i

kk a z t

m dsV=

=

∑ ∫∫

(A.1.47)

Aplicando la ecuación (A.1.15), se obtiene que; 2

1

0kk =

Γ =∑ (A.1.48)

La ecuación (A.1.48) muestra que si se presenta evaporación, la masa de vapor

generado por unidad de volumen es igual a la masa perdida por la fase líquida.

� Condición de salto de cantidad de movimiento

( )( )

( )

2''

1 , ,

1 1i i

i i

k kk k ikk a z t a z t

m v ds p I n ds MV V

στ=

⋅ + ⋅ = −

∑ ∫∫ ∫∫

(A.1.49)

Utilizando la ecuación (A.1.15) y las ecuaciones (A.1.17)-(A.1.28) en la ecuación

(A.1.49) se obtiene; 2

''' '''

1i ii i i

nd dk kk k kk k ii k i

k

v p s M M s M στΓ

=

Γ − + + + ⋅ = ∑

(A.1.50) Ahora, sustituyendo la condición de la ecuación (A.1.48) en la ecuación (A.1.50)

se obtiene;

( ) ( ) ''' '''2 1 2 12 1 2 22 2 1 2

'''11

i i i ii i i i

i

nd nd d d

i i i

ii

v v p p s M M M M s

s M σ

τ

τ

Γ ΓΓ − − − + + + + + ⋅

− ⋅ = (A.1.51)

129

� Condición de salto de energía

( ) ( )

2'' '''

1 , ,

1 1i ii

i i

kk k kk k k i Rkk

k ka z t a z t

pm e ds n q p v v ds E q

V Vστ

ρ=

⋅ − + ⋅ + − ⋅ = + ∑ ∫∫ ∫∫

(A.1.52)

Aplicando las ecuaciones (A.1.31), (A.1.32) y (A.1.33) a la ecuación (A.1.52), se

obtiene;

2''''' ''' '''

1i ii i i ii i

nd nd d dkk kk k k kk k k i k i Ri i k i

k

e q A p M v M v v s E qt

τ σβ τ=

∂ Γ − − + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = + ∂ ∑

(A.1.53)

Utilizando la ecuación (A.1.48) y asumiendo que ''' '''1 2i i

S S= − y 2 1

t t

β β∂ ∂= −∂ ∂

se

obtiene;

( ) ( )'' ''' '' ''' 22 12 12 2 1 2 1 2 1

''' ''' '''2 12 1 2 2 1 12 1

i ii ii i i i

i ii i i i i i i

nd nd nd ndi ii i

d d d di Ri i

e e q A q A p p M v M vt

M v M v v s v s E qτ τ σ

β

τ τ

∂Γ − − − − − + ⋅ + ⋅ +∂

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = + (A.1.54)

Para aplicar las ecuaciones de conservación, se debe tener las variables

independientes en términos de promedio del volumen de control, V , y no en

términos de promedio de cada fase, aplicando la metodología propuesta por Lahey

& Drew (1989), se obtiene que las ecuaciones de conservación para cada fase se

pueden expresar como:

� Ecuación de conservación de masa

[ ] [ ]1kk k k k kV v

t Vα ρ α ρ∂ + ∇ ⋅ = Γ

∂ (A.1.55)


[ ] ( )

( )

''' ''' '''

Re

1

1

i w ii w i

i i w wi

k k k k k kk k k k k k k k kk

nd d nd dk k k kkk k k kk k k

v V C v v p I p s p s st V

V g v M M M MV

α ρ α ρ α τ

α τ τ α ρ Γ

∂ + ∇ ⋅ : = − ∇ ⋅ − ∆ − ∆ + ∂

+ ∇ ⋅ + + + Γ + + + +

(A.1.56)

130

� Ecuación tridimensional de conservación de energía

( ) ( ) [ ]

( ) ( )'' '' Re '''

''''' ''' '' '''

1

1 1

i

i ii i i ii i w wi

k kT T kkk k k k k k k k kk

Tk kk k k k kk kk k k k

dnd nd d d kk kk k k kk k k i k k kk

k i

pe e V K e e v p

t V t t

V q q V v g v qV V

pe M v q A M v v s q A

ααα ρ α ρ

α α τ τ α ρ α

τρ

Γ

∂∂∂ + + ∇ ⋅ ⋅ + = − + ∂ ∂ ∂

− ∇ ⋅ + + ∇ ⋅ + ⋅ + ⋅ + +

∆Γ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ + − Γ%

(A.1.57)

En términos de esas variables, las condiciones de salto se expresan como;

� Condición de salto de masa

1 2 0Γ + Γ = (A.1.58)

� Condición de salto de cantidad de movimiento;

( ) ( ) ''' ''' '''2 2 12 1 2 2 22 2 1 1 2i i ii i i i ii i i i

nd d div v p p s M M M s s M στ τΓ ΓΓ − − − + + + − ⋅ + ⋅ =

(A.1.59)

� Condición de salto de energía;

(A.1.60)

Ecuaciones de conservación unidimensionales A.2

Las ecuaciones de conservación expresadas de forma unidimensional son un caso

particular de las ecuaciones deducidas anteriormente, y pueden ser expresadas

en forma unidimensional sustituyendo la divergencia, ∇ , por ( )znz

∂∂

.

� Ecuación de conservación de masa unidimensional

[ ] [ ]1kk k z s k k k

z s

A wt A z

α ρ α ρ−−

∂ ∂+ ⋅ = Γ∂ ∂ (A.2.1)

( ) ( )'' ''' '' ''' 22 1 22 1 22 2 1 2 1 2 1

''' ''' '''1 1 1 2 2 21 2

i i ii i ii i i i i i

i i i i i i ii i

nd nd nd nd d di i

d di R

e e q A q A p p M v M v M vt

M v v s v s E qσ

α

τ τΓ Γ

∂Γ − − − − − + ⋅ + ⋅ + ⋅∂

+ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = +

131

Donde la velocidad axial se define como;

k zkw v n⋅

(A.2.2)

� Ecuación de conservación de cantidad de movimiento unidimensional

[ ] [ ]

( )

2 ''' '''

''' Re

1

1sin

k i wi w

ii ii k k

i w w

kk k z k zk k z s k k k k k k

z s

ndkk k z zz s k k k kk zz zz k

z s

d nd dk k kz z z

pw A C w p s n p s n

t A z z

s A g v n M nA z

M n M n M n

α ρ α ρ α

τ α τ τ α ρ π θ

−−

Γ−

−

∂∂ ∂ + : = − − ∆ ⋅ − ∆ ⋅ ∂ ∂ ∂∂ + + + − + Γ ⋅ + ⋅ ∂

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ (A.2.3)

donde;

sinzk kg n g θ⋅ = −

(A.2.4) Siendo el angulo entre la dirección del flujo, zn , y la horizontal.

� Ecuación de conservación de energía unidimensional

( ) ( ) [ ]

( ) ( )'' '' Re

''' '' '''

1

1 1

i

i ii i ii i i

k kT T kkk k k k z s k k k k k k

z s

Tz z k kz s k z s k k kk kk k k

z s z s

nd nd d dk kk k k kk k k k i kk

pe e A K e e w p

t A z t t

A q q n A n v g vA z A z

q e M v q A M v v s

ααα ρ α ρ

α α τ τ α ρ

α τ

−−

− −− −

Γ

∂∂∂ ∂ + + + = − + ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ − + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ∂ ∂

+ + Γ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ ''' '' '''

i w w

dk

k k kk i

pq A

ρ∆+ − Γ%

(A.2.5)

132

B. Apéndice B

Temperatura

( K )

Conductividad térmica

( W

mK)

3 13.7 273 14.7 300 15.2 350 16.2 400 17.0 450 17.7 500 18.4 600 19.8 700 21.2 800 22.5 900 23.9 1000 25.3 1100 26.7 1200 28.1 1300 29.5 1400 30.9 3400 30.9

Temperatura

( K )

Capacidad calorífica

(3

j

m K)

3 2010000 366 3010000 422 3040000 478 3040000 533 3070000 589 3100000 644 3140000 700 3180000 755 3220000 811 3270000 866 3380000 922 3470000 978 3540000 1033 3640000 1089 3710000 1144 3770000 1200 3810000 1255 3850000 3311 3880000

centro nacional de investigación y desarrollo tecnológico · 2020. 7. 7. · figura 2.1 patrones...

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