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CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DOCENCIA ECONÓMICAS, A. C.
T E S I N A
CONTRATOS ÓPTIMOS DE ASEGURAMIENTO BAJO LA PRESENCIA DE RIESGO DE FONDO
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE
MAESTRO EN ECONOMÍA
PRESENTA
KEVIN GABRIEL ALTAMIRANO ZUBIRÍA
ASESOR DE TESINA
DRA. SONIA DI GIANNATALE MENEGALLI
MÉXICO, D.F., MAYO 2011
Contratos Óptimos de Aseguramiento con la Presencia de Riesgo de Fondo
Kevin Altamirano Zubiría
1 de junio de 2011
Resumen
El objetivo de esta tesina es analizar el efecto que tiene la introducción de riesgo
de fondo en modelos de aseguramiento con selección adversa. Específicamente se
estudia el modelo de aseguramiento de Rothschild y Stiglitz (1976) agregando el
supuesto de que la función de utilidad de los agentes presenta vulnerabilidad al
riesgo. En el caso de que el riesgo de fondo sea independiente y exista información
asimétrica, se prueba que los agentes de bajo riesgo obtendrán un contrato que se
acerca al contrato obtenido bajo información perfecta. También se da una condi-
ción necesaria para que el conjunto de contratos que rompen el equilibrio sea más
pequeño cuando se agrega riesgo de fondo. Por último, se muestra que la introduc-
ción de riesgo nunca genera una mejora de Pareto aún cuando en el agregado el
bienestar total pueda aumentar.
i
Índice
1. Introducción 1
2. El modelo de Rothschild-Stiglitz 3
2.1. Especificación del Modelo R-S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.1. El mercado de seguros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.2. Definición de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2. Caso con información perfecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3. Modelo R-S bajo información asimétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4. Separación en equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3. Modelo R-S con riesgo de fondo y vulnerabilidad al riesgo 13
3.1. Cambios en el bienestar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2. Observaciones sobre el caso con riesgo de fondo no independiente . . . . . . . 24
4. Conclusiones 26
ii
1. Introducción
El término riesgo de fondo se utiliza para nombrar fuentes de riesgo que tienen media cero
y que no son asegurables, en general, la introducción de un riesgo cambiará las decisiones
óptimas de los agentes. Aún cuando la aversión al riesgo está definida en función de la
concavidad de la función utilidad, la aversión al riesgo está implícitamente relacionada con
la naturaleza del riesgo al que se enfrentan los agentes. Doherty y Schlesinger (1983) han
analizado la influencia que tiene la introducción de un riesgo no asegurable en un modelo
de aseguramiento y concluyen que los contratos óptimos en la presencia de riesgo de fondo
difieren de los contratos originales en la medida en la que el riesgo de fondo este correlacionado
con el riesgo contractible.
Kihlstrom, Romer y Williams (1981) desarrollaron una técnica que relaciona la introduc-
ción de riesgo de fondo con un cambio en las preferencias de los agentes. Aún cuando existen
resultados que determinan en qué casos la función de utilidad indirecta hereda algunas de las
propiedades de la función original 1, el efecto que tiene el riesgo de fondo sobre la demanda de
otros riesgos no ha sido comprendido completamente. Gollier y Pratt (1996) han estudiado
las condiciones que debe cumplir la utilidad de un agente para que la introducción de riesgo
de fondo cause una disminución en la demanda de otros activos riesgosos, en este caso se
dice que la utilidad es vulnerable al riesgo.
Alary y Bien (2008) han estudiado modelos de selección adversa con la presencia de riesgo1Por ejemplo, Gollier (2001) muestra que una aplicación del Teorema de la Deferencia
permite probar que la función de utilidad indirecta mostrará aversión al riesgo absolutadecreciente (DARA) si la función u(·) tiene la misma propiedad.
1
de fondo, los autores determinan condiciones suficientes bajo las cuales la selección adversa
no distorsiona los contratos óptimos de aseguramiento. En ese caso, la presencia de un alto
riesgo de fondo elimina cualquier incentivo que tengan los individuos de alto riesgo para
hacerse pasar por agentes de bajo riesgo.
Ligon y Thistle (2007) analizan un modelo de riesgo moral con riesgo de fondo, y carac-
terizan las condiciones bajo las cuales los salarios aumentan o disminuyen. En el caso de
que el agente tenga preferencias DARA, el esquema de incentivos será mas plano. En otro
artículo, de Ligon y Thistle (2008), se analiza la influencia que puede tener el riesgo de fondo
en mercados competitivos de aseguramiento y concluyen que los agentes no disminuirán su
esfuerzo.
En esta tesina se analiza una extensión del modelo de selección adversa de Rotschild
y Stiglitz (1976) con la inclusión de un riesgo de fondo, será particularmente interesante
analizar si los resultados obtenidos en el modelo de Rothschild y Stiglitz (abreviado R-S)
son consistentes con los resultados encontrados en la literatura reciente. En el contexto del
modelo R-S, asumir la existencia de un riesgo de fondo es equivalente a suponer que no existe
un mercado de seguros asociado a este tipo de riesgo, la posibilidad de que existan riesgos
que no pueden ser asegurados es un supuesto factible si consideramos que los agentes carecen
de suficiente información como para poder tomar acciones que traten de mitigar los efectos
de enfrentarse a la incertidumbre.
La estructura de la tesina es la siguiente: En la sección 2, se explican los resultados más
2
importantes del modelo Rothschild-Stiglitz, en sección 3 se analiza el modelo R-S con un
riesgo de fondo independiente y se muestran algunos resultados sobre el efecto que tiene el
riesgo de fondo en los contratos de equilibrio y el bienestar de los agentes. Por último, se
comenta brevemente una posible generalización del modelo con riesgos no independientes.
2. El modelo de Rothschild-Stiglitz
En esta sección se resuelve analíticamente el modelo de Rothschild-Stiglitz, las condiciones
de optimalidad obtenidas en esta sección serán de gran utilidad para analizar el modelo de
Rothschild-Stiglitz con la presencia de riesgo de fondo.
2.1. Especificación del Modelo R-S
Un agente con dotación monetaria inicial igual a W se enfrenta a dos posibles estados del
mundo, en el primer estado del mundo sufre un pérdida equivalente a d con probabilidad 1!p
y en el otro caso, que ocurre con probabilidad p, no sufre ninguna pérdida. Así, la cantidad
de dinero del agente al final del periodo es una variable aleatoria W que toma los valores W
y W !d. Suponemos que el agente tiene una función de utilidad u(x) que representa aversión
al riesgo. La función de utilidad esperada es
V (x) = (1! p)u(W ! d) + pu(W )
El agente tiene acceso a un mercado competitivo de aseguradoras que ofrecen contratos de
3
aseguramiento ! = (!1,!2), los valores !1 y !2 son respectivamente la prima e indemnización
(neta de !1). Es decir, el agente se compromete a pagar la cantidad !1 ex ante y, en el caso
de que ocurra el estado de pérdida, la aseguradora pagará la cantidad !2. Así, después de
adquirir un contrato de aseguramiento ! = (!1,!2), la utilidad esperada de un agente es
V (!1,!2) = (1! p)u(W ! d! !2) + pu(W ! !1).
La economía está formada por dos grupos de agentes que difieren en la probabilidad
asociada a la pérdida; los individuos de alto riesgo tendrán asociada la probabilidad de
pérdida pH y los individuos de bajo riesgo tienen asociada la probabilidad de pérdida pL,
en donde pH " pL. En ambos casos los individuos saben con certeza a qué grupo de riesgo
pertenecen. La proporción de individuos de alto riesgo en la población está dada por la
constante ". Supondremos que los agentes tienen la misma función de utilidad continua u,
que cumple u! > 0 y u!! < 0.
2.1.1. El mercado de seguros
En el mercado de seguros las empresas son neutrales al riesgo y ofrecen conjuntos consti-
tuidos por contratos de aseguramiento de la forma ! = (!1,!2), es decir, especifican precio
y cantidad. Supondremos que los agentes sólo pueden obtener un contrato de aseguramien-
to, aún cuando las aseguradoras ofrezcan varios tipos de contratos. Dado un único contrato
de aseguramiento, (!1,!2), las empresas aseguradoras tendrán como funcion de beneficios
4
esperados igual a
#e(!1,!2) = p!1 + (1! p)!2, (1)
en donde p es la probabilidad de accidente estimada. Si suponemos que las empresas
aseguradoras conocen las dos probabilidades de riesgo y la proporción de individuos de alto
riesgo, la probabilidad estimada toma la forma p = "pH+(1!")pL. Por otro lado, el supuesto
de competencia perfecta implica que, en equilibrio, las empresas aseguradoras sólo estarán
dispuestas a ofrecer contratos que generen beneficios esperados iguales a 0.
2.1.2. Definición de equilibrio
Un equilibrio en esta economía es un conjunto de contratos E =!(!H
1 ,!H2 ), (!
L1 ,!
L2 )"j"I
tal que:
1. #e(E) = "#pH!H
1 + (1! pH)!H2
$+ (1! ")
#pL!L
1 + (1! pL)!L2
$= 0.
2. (!i1,!
i2) = argmax(!1,!2)"EV
i(!1,!2) para todo i # {H,L}.2
3. V i(!i1,!
i2) " V i(0, 0).3
4. No existe un conjunto de contratos E =!(!H
1 , !H2 ), (!
L1 , !
L2 )"j"I $= E, que cumpla con
las siguientes condiciones
a) #e(E) " #e(E).
b) V i(!i1, !
i2) " V i(!i
1,!i2).
2Esta condición es normalmente conocida como condición de compatibilidad por incentivos,abreviada (CI).
3Esta condición es normalmente conocida como condición de racionalidad individual, abre-viada (RI).
5
La primera condición indica que si cada empresa aseguradora conoce las preferencias de todos
los agentes, así como sus respectivas probabilidades de pérdida, puede calcular los beneficios
esperados promedio en función del conjunto de contratos que ofrece en el mercado4. Además,
el primer supuesto de equilibrio indica que, dado el supuesto de competencia perfecta, los
beneficios esperados no pueden ser estrictamente positivos.
La segunda condición de equilibrio indica que los agentes elegirán el contrato diseñado
especialmente para ellos, la tercera condición de equlibrio establece que los contratos de ase-
guramiento nunca podrán generar menor utilidad esperada que la utilidad esperada obtenida
sin aseguramiento.
Si consideramos que las empresas aseguradoras diseñan los contratos de aseguramiento,
entonces la cuarta condición de equilibrio es determina de unicidad sobre el conjunto de
contratos maximizadores de beneficios.
2.2. Caso con información perfecta
Bajo información perfecta, las aseguradoras pueden discriminar entre agentes y separar
los mercados de seguros en función del agente. Para cada mercado i = H,L un contrato de
equilibrio (!i1,!
i2) debe satisfacer las siguientes condiciones de equilibrio
#e(!i1,!
i2) = pi!i
1 + (1! pi)!i2 = 0.
V i(!i1,!
i2) " V i(0, 0).
4En el caso de no contar con información adecuada sobre las probabilidades de pérdida o laspreferencias, las empresas aseguradoras deben estimar las mismas. Si no existen herramientassuficientes para determinarlo, las empresas no podrán ofrecer contratos de aseguramiento yno habrá un mercado para este tipo de riesgo.
6
Las empresas aseguradoras deberán garantizar que, en equilibrio, los agentes maximizan su
utilidad esperada dada la restricción de cero beneficios ya que, en otro caso, cualquier otra
empresa podría ofrecer un esquema de seguros que otorga un pequeño incremento en la
utilidad esperada de los agentes y acaparar toda la demanda. A continuación se demuestra
la existencia de un equilibrio bajo el supuesto de información perfecta.
Proposición 2.1: Si las empresas aseguradoras pueden discriminar entre tipos de agentes
siempre existe un equilibrio.
Demostración
Bajo información perfecta, el equilibrio competitivo es la solución a un problema de
maximización para cada uno de los tipos i = H,L con su respectiva restricción de cero
beneficios.
max(!1,!2)Vi(!1,!2)
s.a. pi!1 + (1! pi)!2 = 0
(2)
Dado el lagrangiano asociado al problema de maximización 2
L = V i(!1,!2) + µ(pi!i1 + (1! pi)!i
2)
se obtienen las condiciones de primer orden
"L"!1
= "V i
"!1+ µpi = 0
"L"!2
= "V i
"!2+ µ(1! pi) = 0
"L"µ = pi!1 + (1! pi)!2 = 0.
7
Despejando µ e igualando las primeras dos condiciones se obtiene la condición de tangencia
"V i
"!1
"V i
"!2
=pi
1! pi. (3)
Es decir, la tasa marginal de sustitución entre la utilidad esperada en el caso de una
pérdida y la utilidad esperada en el caso de no pérdida debe ser igual al cociente en proba-
bilidades. Las condiciones de regularidad impuestas sobre u implican que las condiciones de
primer orden son necesarias y suficientes para la existencia de un máximo; por lo tanto, el
equilibrio competitivo siempre existe bajo información perfecta.
Si se utiliza la definición de la función de utilidad esperada V i(!1,!2) = (1 ! pi)u(W !
d+!2) + piu(W !!1) para calcular explícitamente la tasa marginal de sustitución en (3) se
obtiene la condición
piU !(W ! !1)
(1! pi)U !(W ! d! !2)=
pi
1! pi(4)
dado que la función de utilidad es estrictamente cóncava se obtiene la condición W !!1 =
W!d!!2; es decir, en equilibrio, el agente averso al riesgo prefiere asegurarse completamente
y obtener el mismo pago en ambos estados del mundo, además, el contrato de aseguramiento
debe ser actuarialmente justo!
2.3. Modelo R-S bajo información asimétrica
Cuando las empresas aseguradoras no pueden distinguir entre agentes de alto y bajo
riesgo existe la posibilidad de que el conjunto de equilibrio consista en un sólo contrato
8
E = {(!#1,!
#2)}, en este caso, el equilibrio se llama equilibrio pooling . A continuación se
demuestra que no es posible que exista un equilibrio de este tipo en el modelo R-S.
Proposición 2.2: El conjunto de equilibrio E no puede ser pooling .
Demostración
Supongamos que el equilibrio es el conjunto con un único elemento E = {(!#1,!
#2)}. Sus-
tituyendo (!#1,!
#2) = (!H
1 ,!H2 ) = (!L
1 ,!L2 ) en la primera condición de equilibrio, se obtiene
#e(!#1,!
#2) = p!#
1 + (1! p)!#2 = 0
para p = "pH + (1! ")pL.
De la ecuación (1) de la sección 2.1.1 y de la desigualdad pH > pL, se sigue
TMSL(!#1,!
#2) =
"V L(!!1,!
!2)
"!1
"V L(!!1,!
!2)
"!2
>
"V H(!!1,!
!2)
"!1
"V H(!!1,!
!2)
"!2
= TMSH(!#1,!
#2),
más aún, de la definición de p se sigue que
TMSL(!#1,!
#2) >
p
1! p> TMSH(!
#1,!
#2).
Se puede definir un contrato (!1, !2) que sea estrictamente preferido por los agentes de
bajo riesgo y que cumpla con la condición #e((!1, !2) " 0. El contrato $ = (!1, !2) está
determinado por la relación
!2 ! (W ! d+ !#2) =
12
%p
p$1 ! TMSL(!#1,!
#2)&(!1 ! (W ! !#
1))
9
Figura 1: Construcción del contrato ! para la proposición 2.2, la figura fue adaptada del artículo original deRothschild y Stiglitz (1976).
con !1 = W ! !#1 ! % y % > 0 suficientemente pequeño.
Por construcción #e(!1, !2) " 0, por lo tanto, E = {(!#1,!
#2)} no puede ser un equilibrio
!
El argumento anterior está representado en la figura 1. En la figura, los ejes W1 y W2
representan los dos posibles estados del mundo, pérdida y no pérdida, las curvas UL y UH
son curvas de indiferencia asociadas al contrato ! = (!1%,!2%). La recta EF representa el
conjunto de contratos que genera beneficios esperados iguales a cero.
Intuitivamente, si existe un equilibrio pooling las aseguradoras pueden agregar un con-
trato $ que tome ventaja de las diferencias entre la utilidad esperada de los individuos. El
contrato $ sólo será preferido por los agentes de bajo riesgo y generará beneficios estrícta-
mente positivos para las aseguradoras, así el contrato {!, $} genera mayores beneficios que
10
el contrato {!}, esto contradice la cuarta condición de equilibrio expresada en la sección
2.1.2.
2.4. Separación en equilibrio
Un equilibrio E sólo puede tomar la forma E =!(!H
1 ,!H2 ), (!
L1 ,!
L2 )"
en donde las parejas
de contratos son distintas. Es decir, si E es un equilibrio debe satisfacerse que
argmax(!1,!2)"EVH(!1,!2) $= argmax(!1,!2)"EV
L(!1,!2)
ya que, si se da la igualdad, los agentes eligen el mismo contrato y, como se argumentó
en la sección anterior, no puede existir un equilibrio.
Dadas las condiciones de optimalidad de aseguramiento total
W ! !i1 = W ! d! !i
2
la condición de cero beneficios esperados para cada tipo de agente
pi!i1 + (1! pi)!i
2 = 0
se obtienen los contratos
y la condición de cero beneficios esperados para cada tipo de agente
11
las condiciones de optimalidad implican que el contrato de aseguramiento otorga más
consumo (en ambos estados del mundo) para los dos agentes y, por lo tanto, los agentes
con alta probabilidad de pérdida tendrán incentivos a hacerse pasar por individuos con baja
probabilidad de pérdida y comprar el contrato (!L1 ,!
L2 ).
Para que esto no suceda, se deben cumplir las siguientes restricciones del equilibrio
#e(E) = "#pH!H
1 + (1! pH)!H2
$+ (1! ")
#pL!L
1 + (1! pL)!L2
$= 0
(!H1 ,!
H2 ) = argmax(!1,!2)"AV
H(!1,!2) (CI)H
(!L1 ,!
L2 ) = argmax(!1,!2)"AV
L(!1,!2) (CI)L
V H(!H1 ,!
H2 ) " V H(0, 0) (RI)H
V L(!L1 ,!
L2 ) " V L(0, 0) (RI)L
Las condiciones (CI)H y (RI)L implican que (RI)H siempre se cumple5, por lo que podemos
ignorar esta restricción. Por otro lado, los agentes de bajo riesgo no tienen incentivos a hacerse
pasar por individuos de alto riesgo, por lo tanto la restricción (CI)L siempre se cumple6. Si
asumimos que las preferencias son completas y continuas, siempre podemos encontrar un
contrato (!L1 ,!
L2 ) tal que pL!L
1 + (1! pL)!L2 = 0 y V H(!H
1 ,!H2 ) = V H(!L
1 ,!L2 ). La primera
condición implica que se cumple la restricción (RI)L con igualdad y la segunda condición
garantiza la que (CI)H se cumple7; sin embargo, no es claro si los beneficios esperados #e
5Si los agentes de alto riesgo prefieren el contrato (!H1 ,!
H2 ) sobre el contrato (!L
1 ,!L2 )
y suponemos que la utilidad mínima obtenida por (!L1 ,!
L2 ) será mayor o igual que cero,
entonces la utilidad asociada a (!H1 ,!
H2 ) tiene que ser mayor o igual a cero.
6De otra forma, el conjunto!(!H
1 ,!H2 )
"constituiría un equilibrio pooling y, como se ar-
gumentó previamente, es imposible que exista un equilibrio de este tipo7La condición (CI)H es equivalente a V H(!H
1 ,!H2 ) " V H(!L
1 ,!L2 ).
12
son no negativos para las empresas. Esto dependerá de la composición del mercado, en el
caso en que " sea suficientemente grande los beneficios obtenidos por la discriminación entre
agentes no serán suficientes para subsidiar la existencia de agentes de bajo riesgo. Por lo
tanto, puede no existir un equilibrio E.
3. Modelo R-S con riesgo de fondo y vulnerabilidad al riesgo
En esta sección se analiza el modelo R-S agregando un riesgo de fondo independiente del
riesgo asegurable y con agentes que están caracterizados por vulnerabilidad al riesgo. La
función de utilidad esperada representa vulnerabilidad al riesgo si y sólo si
!E [u!!(z + x)]
E [u!(z + x)]" !u!!(z)
u!(z)&z, x con E [x] ' 0.
La condición de que una función sea más aversa al riesgo que otra función es equivalente
a que la función de utilidad indirecta V (z) = E [u(z + x)] es una transformación cóncava de
u
V (z) = &(u(z)).
Proposición 3.1: La introducción de un riesgo de fondo independiente en el modelo R-S
no cambia el contrato de equilibrio para los agentes de alto riesgo.
Demostración:
La condición de optimalidad para los agentes de alto riesgo con función de utilidad espe-
13
rada V (!1,!2) = (1! pH)&(u(W ! d! !2)) + pH&(u(W ! !1)) es
"V H
"!1
"V H
"!2
=pH
pH ! 1
desarollando las derivadas parciales se obtiene la igualdad
&!(u(W ! !H1 ))
&!(u(W ! d! !H2 ))
· !pHu!(W ! !H1 )
(1! pH)u!(W ! d+!!H2 )
=pH
1! pH
que se cumple si los valores óptimos para !H1 y !H
2 se encuentran en la relación W !!H1 =
W !d!!H2 , esta es la misma relación determinada por el modelo básico sin riesgo de fondo.
Es decir, el contrato de equilibrio no cambia para los agentes de alto riesgo cuando se agrega
un riesgo de fondo independiente!
Como se argumentó anteriormente, la restricción (CI)H debe saturarse
V H(!H1 ,!
H2 ) = V H(!L
1 ,!L2 )
o, equivalentemente
(1!pH)&(u(W!d!!H2 ))+pH&(u(W!!H
1 )) = (1!pH)&(u(W!d!!L2 ))+pH&(u(W!!L
1 )).
También, el contrato (!L1 ,!
L2 ) debe cumplir (RI)L con igualdad, es decir
(1! pL)&(u(W ! d! !L2 )) + pL&(u(W ! !L
1 )) = (1! pL)&(u(W ! d)) + pL&(u(W )).
14
Figura 2: Efecto de la introducción de riesgo de fondo sobre los contratos de equilibrio. Enazul se muestran las curvas de indiferencia ex ante y en rojo se muestran las curvas deindiferencia ex post . Se observa que el contrato de equilibrio para los agentes de alto riesgo,!H , se mantiene igual. El contrato de equilibrio para los agentes de bajo riesgo, !L, cambiay se acerca al contrato first best $. Imagen adaptada del documento original (Rothschild yStiglitz, 1976).
El cambio en preferencias generado por la introducción de un riesgo de fondo cambia las
restricciones de incentivos de ambos agentes. Para el caso de los agentes de alto riesgo, la
restricción de compatibilidad por incentivos se vuelve más laxa debido a que mayor aversión
al riesgo significa que los agentes estarán menos dispuestos a cambiar un contrato que ofrece
certeza por uno en el que haya incertidumbre. Como se prueba a continuación, este cambio
implica que el contrato de equilibrio para los agentes de bajo riesgo se acerca al contrato
first best cuando se agrega un riesgo de fondo independiente.
15
Proposición 3.2: El contrato de aseguramiento óptimo de bajo riesgo (!L1 ,!
L2 ), se acerca
al contrato first best para los individuos de bajo riesgo cuando se incorpora un riesgo de fondo
independiente.
Demostración:
Si se define el contrato (!#1,!
#2) como el contrato que brinda cero beneficios a la asegu-
radora para individuos de alto riesgo y que maximiza la utilidad esperada de los agentes,
entonces (!#1,!
#2) esta caracterizado por las condiciones
pH!#1 + (1! pH)!#
2 = 0
W ! d! !#2 = W ! !#
1.
La proposición será válida si se prueba que los puntos en la curva de indiferencia asociada
a &(u(!#1,!
#2)) generan mayor utilidad (en términos de la función de utilidad original u) que
los puntos de la curva de indiferencia asociados a u(!#1,!
#2)).
Sean
C1 = {(!1,!2)((1! pH)&(u(W ! d! !2)) + pH&(u(W ! !1)) =
(1! pH)&(u(W ! d! !#2)) + pH&(u(W ! !#
1))}
C2 = { ¯(!1, !2)((1! pH)u(W ! d! !2) + pHu(W ! !1)
= (1! pH)u(W ! d+!!#2) + pH&u(W ! !#
1)}
ambas curvas de indiferencia.
16
Para contratos caracterizados por la condición C1
(1!pH)&(u(W !d! !2))+pH&(u(W ! !1)) = (1!pH)&(u(W !d!!#2))+pH&(u(W !!#
1))
por otro lado, la construcción de (!#1,!
#2) implica que8
(1! pH)&(u(W !d!!#2))+ pH&(u(W !!#
1)) = (1! pH)u(W !d!!#2)+ pH&u(W !!#
1) = 1
por otro lado, la concavidad de & garantiza que
&'(1! pH)u(W ! d! !2) + pHu(W ! !1)
(" (1!pH)&(u(W!d!!2))+pH&(u(W!!1)) = 1
dado que la función & es una transformación creciente, la función inversa también lo es,
aplicando &$1 en ambos lados de la desigualdad se obtiene
(1! pH)u(W ! d! !2) + pHu(W ! !1) " &$1(1) > 1
por lo tanto, los contratos caracterizados por C1 generan mayor utilidad (con respecto a
u) que los contratos caracterizados por C2.
Así, la condición de igualdad en (CI)H para la transformación cóncava &(u( )) necesaria-
mente genera un contrato (!L1 ,!
L2 ) que ofrece más consumo en ambos estados del tiempo y,
8Si pérdida de generalidad se parte del supuesto u(W ! d + !#2) = u(W ! !#
1) = 1, quese puede obtener por medio de una transformación creciente u! que normalice la función deutilidad u.
17
por lo tanto, se acerca al contrato first best!
El resultado anterior es intuitivamente claro, bajo un cambio de preferencias los individuos
de alto riesgo serán más cuidadosos y las restricciones de incentivos se verán afectadas de
tal forma que los individuos de bajo riesgo estarán dispuestos a obtener un contrato de
aseguramiento menos favorable.
Como se planteó en el modelo sin riesgo de fondo, es posible que exista un conjunto de
contratos que rompen el único equilibrio posible. Dado que la introducción de riesgo de fondo
cambia los incentivos de los agentes, es de particular interés determinar bajo qué condiciones
la introducción de un riesgo de fondo independiente garantiza que el conjunto de contratos
que rompen el equilibrio sea vacío. Para el caso de preferencias con vulnerabilidad al riesgo, se
ha probado (Gollier y Pratt, 1996) que deben presentar aversión al riesgo absoluta decreciente
(DARA). Así, se pueden presentar dos casos distintos en los que la existencia de un riesgo de
fondo puede aumentar o disminuir el conjunto de contratos que rompen el equilibrio. Ambos
casos se muestran en la Figura 3.
El cambio de concavidad en las preferencias de ambos tipos de agentes genera dos efectos
que se contraponen. El nuevo contrato de equilibrio (!L1 ,!
L2 ) genera una mayor utilidad
esperada para los agentes de bajo riesgo, lo que desplaza hacia arriba a la curva de indiferencia
asociada a este contrato y, por lo tanto, el conjunto de contratos débilmente preferidos por
los agentes de bajo riesgo se hace más pequeño. Por otro lado, una mayor aversión al riesgo
implica que los agentes de bajo riesgo podrían elegir contratos de aseguramiento que no
18
Figure 3: Dos casos cualitativamente distintos de sensibilidad a riesgo de fondo, en azul semuestran las curvas de indiferencia ex ante y en rojo se muestran las curvas de indiferenciaex post .La figura del lado izquierdo muestra el caso en el que la introducción de un riesgode fondo distorsiona ligeramente las preferencias de los agentes, del lado derecho se muestrael caso en el que la introducción de un riesgo de fondo tiene efectos significativos sobre laaversión al riesgo. Imagen adaptada del documento original (Rothschild y Stiglitz, 1976).
hubieran estado dispuestos a consumir ex ante. A continuación se da una condición necesaria
para que el efecto de desplazamiento sea mayor que el efecto que tiene la concavidad sobre
los contratos preferidos por los agentes de bajo riesgo.
Proposición 3.3: El conjunto de contratos que rompen el equilibrio será más pequeño
ex post si las soluciones !L2 (i) y !c
2(i) del sistema de ecuaciones no lineales
(1! pH)fi(u(W ! d! !l2)) + pHfi(u(W + (1$pL)
pL !L2 )) = fi(u(W + d(pH ! 1)))
(1! pL)fi(u(W ! d! !L2 )) + pLfi(u(W ! (1$pL)
pL !L2 )) = fi(u(W ! d! !c
2)) i # {1, 2}, f1 = Id, f2 = &.
cumplen la desigualdad !c2(1) ' !c
2(2).
Demostración:
El contrato de los agentes de alto riesgo se obtiene despejando !H1 de la condición de
cero beneficios y sustituyendo en la condición de igualdad para ambos estados del mundo,
19
después de simplificar el álgebra se obtiene (!H1 ,!
H2 ) = ((1 ! pH)d, pHd)). La condición de
compatibilidad (CI)H con igualdad es
(1! pH)&(u(W ! d! !L2 )) + pH&(u(W ! !L
1 )) = &(u(W + d(pH ! 1)))
despejando de la condición de cero beneficios se obtiene !L1 = ! (1$pL)
pL !L2 , sustituyendo en
(CI)H
(1! pH)&(u(W ! d! !L2 )) + pH&(u(W +
(1! pL)
pL!L2 )) = &(u(W + d(pH ! 1))). (5)
La ecuación anterior determina implícitamente un valor para !L2 en función de los pará-
metros W, d, pH y pL.
Dados (!L1 ,!
L2 ), queremos encontrar un contrato (!C
1 ,!C2 ) que ofrezca el mismo pago en
ambos estados del mundo y que genere la misma utilidad esperada que (!L1 ,!
L2 ). Entonces
debe cumplirse
(1! pH)&(u(W ! d! !L2 )) + pH&(u(W !+
(1! pL)
pL!L2 )) = &(u(W ! d! !C
2 )). (6)
Las ecuaciones 5 y 6 determinan el valor del contrato (!C1 ,!
C2 ), el conjunto de contratos
que rompen el equilibrio será más pequeño después de la introducción de un riesgo de fondo
si la utilidad esperada ex post es mayor a la utilidad esperada sin riesgo de fondo. Es decir,
si consideramos el contrato (!C1 ,!
C2 ) para el caso en el que la función de utilidad no ha
20
Figura 4: La proposición 3.3 determina una condición suficiente para que el conjunto de contratos de equilibriose vuelva más pequeño con la introducción de un riesgo de fondo. En azul se muestra el contrato ("C
1 ,"C2 )
ex ante y en rojo se muestra el contrato ("C1 ,"
C2 ) ex post.
sido transformada por la función &, y comparamos el contrato ex post (!C1 ,!
C2 ) determinado
por las ecuaciones 5 y 6, los agentes asociarán una mayor utilidad al contrato ex post . El
razonamiento que prueba esta afirmación es análogo al de la proposición 3.2, si el contrato
ex post (!C1 ,!
C2 ) ofrece mayor consumo en ambos estados del tiempo, entonces los puntos
que se encuentran en la curva de indiferencia asociadas a este contrato serán preferidas a
cualquier punto en la curva de indiferencia del contrato (!C1 ,!
C2 ) ex ante!
La condición anterior no es suficiente para que el conjunto de contratos que rompen el
equilibrio sea vacío, ya que el hecho de que existan menos contratos preferidos por los agentes
de bajo y alto riesgo no implica que no existan contratos estrictamente preferidos por los tres
tipos de agentes en la economía (empresas, consumidores de alto riesgo y consumidores de
21
bajo riesgo). En la figura 4 se muestra gráficamente el caso en el que el conjunto de contratos
que rompen el equilibrio se hace más pequeño pero es no es vacío.
3.1. Cambios en el bienestar
El hecho de que los individuos de alto riesgo se mantengan en el contrato first best no
implica que sean indiferentes a enfrentarse o no al riesgo de fondo. La utilidad esperada bajo
un riesgo independiente X es
pHE%u)W ! !1 + X
*&+ (1! pH)E
%u)W ! d! !2 + X
*&
que puede ser acotada utilizando la desigualdad de Jensen
pHE%u)W ! "1 + X
*&+(1!pH)E
%u)W ! d! "2 + X
*&' pHu(W!"1+E
%X&)+(1!pH)u(W!d!"2+E
%X&)
en el caso de que E%X&' 0, la cota superior de la utilidad esperada es menor a la
utilidad esperada cuando no existe riesgo de fondo. Así, la presencia de riesgo de fondo
siempre genera menor bienestar para los individuos de alto riesgo aún cuando obtienen el
contrato de aseguramiento first best . Por lo tanto, la introducción de un riesgo de fondo
nunca generará una mejora de Pareto.
Las diferencias en bienestar entre la utilidad esperada y su respectiva cota superior dismi-
nuirán en la medida en la que los agentes sean menos aversos al riesgo. Como las preferencias
que presentan vulnerabilidad al riesgo también deben cumplir con la propiedad DARA, la
22
sensibilidad de estas a la introducción a un riesgo de fondo dependen fuertemente del valor
de la dotación inicial W . En el caso de que la dotación inicial W sea suficientemente grande,
la pérdida de utilidad será aproximadamente igual a
pu(W !!1)+ (1! p)u(W ! d!!2)! pu(W !!1 +E%X&)+ (1! p)u(W ! d!!2 +E
%X&).
En general, el bienestar esperado considerando ambos tipos de agentes sin la presencia de
riesgo de fondo es
W = ##pHu
'W ! "H
1
(+ (1! pH)u
'W ! d! "H
2
($+ (1! #)
#pLu
'W ! "L
1
(+ (1! pL)u
'W ! d! "L
2
($
el bienestar esperado bajo la presencia de riesgo de fondo es
WBR = "%pHE
%u)W ! !H
1 + X*&
+ (1! pH)E%u)W ! d! !H
2 + X*&&
+(1! ")%pLE
%u)W ! !L
1 + X*&
+ (1! pL)E%u)W ! d! !L
2 + X*&&
en donde !L1 < !L
1 y !L2 < !L
2 .
La variación de bienestar WBR !W toma la forma
WBR !W =
#%pHE
%u)W ! "H
1 + X*&
+ (1! pH)E%u)W ! d! "H
2 + X*&
! pHu'W ! "H
1
(! (1! pH)u
'W ! d! "H
2
(&+
(1! #)%pLE
%u)W ! "L
1 + X*&
+ (1! pL)E%u)W ! d! "L
2 + X*&
! pLu'W ! "L
1
(+ (1! pL)u
'W ! d! "L
2
(&
(7)
el primer sumando siempre será negativo y la condición necesaria para que la incorporación
23
de riesgo de fondo no genere una pérdida de bienestar es
#%pHu
'W ! "H
1
(+ (1! pH)u
'W ! d! "H
2
(! pHE
%u)W ! "H
1 + X*&
+!(1! pH)E%u)W ! d+!"H
2 + X*&&
'
(1! #)%pLE
%u)W ! "L
1 + X*&
+ (1! pL)E%u)W ! d! "L
2 + X*&
! pLu'W ! "L
1
(+ (1! pL)u
'W ! d! "L
2
(&
en donde el lado izquierdo de la desigualdad representa la pérdida de bienestar que se atribuye
a los agentes de alto riesgo; el lado derecho debe ser positivo y suficientemente grande como
para contrarestar las pérdidas de bienestar generadas por los agentes de alto riesgo. En
general es difícil asegurar si esto se cumple o no, ya que la ganancia en utilidad derivada del
acercamiento al contrato first best depende de la probabilidad pL, la dotación inicial W , la
proporción de agentes de alto riesgo " y el efecto que tenga la variable aleatoria X sobre el
grado de aversión al riesgo.
3.2. Observaciones sobre el caso con riesgo de fondo no independiente
Los resultados obtenidos en esta tesina están sustentados por los supuestos de vulnerabili-
dad al riesgo e independencia del riesgo de fondo. Ambos supuestos permiten caracterizar el
efecto que tiene el riesgo de fondo sobre las preferencias de los agentes: los agentes se volverán
más aversos al riesgo y este cambio en preferencias puede ser visto como una transformación
cóncava sobre la función de utilidad original. Una generalización del modelo estudiado en
esta tesina puede darse relajando alguno de estos dos supuestos; sin embargo, es difícil com-
prender intuitivamente cómo es que los agentes podrían mostrar un comportamiento opuesto
a la vulnerabilidad al riesgo, esto implicaría que la introducción de un riesgo con media cero
24
aumenta la demanda de otros activos riesgosos, incluso cuando los agentes son aversos al
riesgo.
Por lo tanto, la generalización más factible del modelo planteado en esta tesina debe darse
relajando el supuesto de riesgo de fondo independiente. La interacción y demanda de riesgos
dependientes han sido ampliamente estudiadas en la literatura de teoría económica reciente.
Las aportaciones de Susan Athey (2002) en el estudio de problemas de estática comparada
bajo incertidumbre son una herramienta útil para estudiar el caso de riesgos dependientes9,
sin embargo, los resultados no son suficientes para caracterizar los cambios en aversión al
riesgo en función de las preferencias y la distribución conjunta de las variables aleatorias
consideradas.9Athey prueba que la utilidad esperada será creciente en ', para una variable aleatoria
X(') que tiene una función de distribución parametrizada por ', si la función de utilidad yla función de distribución son supermodulares en sus argumentos.
25
4. Conclusiones
Los resultados obtenidos en este trabajo muestran que el estudio del riesgo de fondo
bajo selección adversa se presenta como un problema interesante desde el punto de vista
económico. El estudio del modelo de Rothschild-Stiglitz con riesgo de fondo se vuelve más
realista si se considera que no todas variables de riesgo son necesariamente endógenas. La
introducción de un riesgo de fondo distorsiona las restricciones de compatibilidad necesarias
para que exista un equilibrio, este cambio tiene diversos efectos sobre los posibles contratos
de equilibrio y el bienestar de los agentes. Por un lado, los agentes de alto riesgo se mantienen
en el mismo contrato y los agentes de bajo riesgo obtienen un contrato más cercano al que
obtendrían bajo información perfecta. Como se mostró en la tercera sección, el cambio de
contratos de equilibrio bajo riesgo de fondo y la aparente mejora de los agentes de bajo riesgo
genera un cambio de asignaciones que nunca es una mejora de Pareto; aún cuando los agentes
de alto riesgo se mantienen en el contrato first best , la exposición al riesgo de fondo disminuye
su bienestar. Así, aunque el mercado de seguros se beneficia, la introducción de riesgo no es
un cambio favorable sobre el bienestar de todos los individuos. Los cambios en la concavidad
de la utilidad esperada de los agentes no son suficientes para garantizar la existencia de un
equilibrio en el modelo R-S y, como se probó en la sección 3, deben establecerse condiciones
sobre la función de utilidad esperada para garantizar que el conjunto de contratos que rompe
el equilibrio se hace más pequeño. Es necesario mencionar que la hipótesis de que el riesgo
de fondo es independiente del riesgo asegurable es un supuesto fuerte que puede relajarse
26
para plantear modelos más generales, el estudio del problema R-S bajo riesgo de fondo no
independiente constituye una generalización interesante para futuras investigaciones.
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Referencias
Alary, D., & Bien, F. (2008). Optimal insurance contracts with adverse selection and
comonotonic background risk . Working Papers 08.06.250, LERNA, University of Toulouse.
Allais, M.,(1953) Le comportement de l’homme rationnel devant le risque: critique des
postulats et axiomes de l’école Américaine. Econometrica 21, 503-546
Arrow, K.J. (1963) Uncertainty and the welfare of medical care. Amer. Econ. Rev. 53
941–973.
Arrow,K.J. (1970) Essays in the Theory of Risk-Bearing. North-Holland, Amsterdam.
Arrow,K.J. (1974) Optimal insurance and generalized deductibles. Scand. Actuar. J. 1–42.
Aumann, R. J. (1976). Agreeing to Disagree. The Annals of Statistics ( Institute of Mat-
hematical Statistics) 4 (6): 1236–1239.
Doherty, N. & H. Schlesinger (1983), Optimal Insurance in Incomplete Markets. Journal
of Political Economy.
P. Embrechts, A. & D. Straumann (2002) Correlation and dependence in risk management:
properties and pitfalls, in: M. Dempster (Ed.), Risk Management: Value at Risk and Beyond,
Cambridge University Press, Cambridge, pp. 176–223.
C. Gollier (2001) The Economics of Risk and Time, MIT Press, Cambridge.
Gollier, C. & J. W. Pratt (1996) Risk vulnerability and the tempering e!ect of background
risk. Econometrica 64, 1109-1123.
Holmstrom, B. & R. Myerson (1983) E"cient and Durable Decision Rules with. Incom-
28
plete Information. Econometrica, 51, 1799–1819
Kihlstrom, Richard E., David Romer, & Steve Williams (1981) Risk Aversion with Ran-
dom Initial Wealth. Econometrica, vol. 49, no. 4 , pp. 911–20.
Ligon, J. A., & P. D. Thistle (2007) The Organization Structure of Insurance Companies:
The Role of Heterogeneous Risks and Guaranty Funds. Journal of Risk and Insurance, 74:
851-861.
Ligon, J.A. & P.D. Thistle (2008) Moral Hazard and Background Risk in Competitive
Insurance Markets. Economica 75, 700-709.
P. R. Milgrom & R. J. Weber (1982) A Theory of Auctions and Competitive Bidding.
Econometrica 50, 1089-1122.
Rothscild, M. & Stiglitz, J.E. (1976) Equilibrium in Competitive Insurance Markets: An
Essay on the Economis of Imperfect Information, Quarterly Journal of Economics 90, pp.
629-649.
Spence, M. (1973). Job Market Signaling . Quarterly Journal of Economics (The Quarterly
Journal of Economics, Vol. 87, No. 3) 87 (3): 355–374.
Stole (1993), Lectures on Contracts and Organizations, Unpublished, University of Chica-
go.
29