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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

CENTRO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS No. 16 “HIDALGO”

APUNTES DE ALGEBRA 2

2

2

2

2

ax bx c 0ax bx c 0a a a a

b cx x 0a ab c c cx x 0a a a ab cx xa a

+ + =

+ + =

+ + =

+ + − = −

+ = −

2 2

2

2 22

2 2

2 2

2

2 2

2

2 2 2 4

4 44

2 4

42 4

bb b ba ;a a a

b b c bx xa aa ab b acxa a

b b acxa a

= =

+ + = − +

− + =

− + =

2

2

2

2

42 2

42 2

42 2 2 2

42

b b acxa a

b b acxa ab b b ac bxa a a ab b acx

a

−+ =

−+ = ±

−+ − = ± −

− ± −=

Nombre del alumno:___________________________________

Grupo:__________ Boleta:__________ Turno:___________

Nombre del Profesor:____________________________________

EDICIÓN 2018.

ACADEMIA DE MATEAMTICAS SKQ

PRESENTACIÓN

Este material creado para la unidad de aprendizaje de Algebra está diseñado para que el estudiante desarrolle las competencias requeridas en dicha unidad de aprendizaje, y facilitarle la comprensión de las demás unidades de aprendizaje de Matemáticas del Nivel Medio Superior. Si el estudiante aborda estos apuntes dedicándose continua y metódicamente al repaso de la teoría y la resolución de los ejercicios conforme se van desarrollando los temas en clase, seguramente adquirirá confianza en el trabajo propio y alcanzará el éxito en las evaluaciones correspondientes, ya que este manual es el banco de reactivos para las evaluaciones ordinarias, extraordinarias, a titulo de suficiencia y a titulo de suficiencia especial. Es bien sabido que el Algebra, en su acepción más común, álgebra elemental, es el lenguaje de la matemática superior, razón suficiente para que la enseñanza-aprendizaje de esta asignatura se considere fundamental en el nivel medio superior. Se hace necesario que el alumno cuente con material apropiado, que satisfaga requisitos mínimos de rigor y precisión, característica con las que debe contar, en principio, todo lenguaje formal. Se espera que estos apuntes contribuyan a ese rigor y precisión para el desarrollo de las competencias matemáticas, así como al manejo eficiente del lenguaje y de los procesos algebraicos a través del uso de las propiedades, reglas, teoremas y axiomas matemáticos, preparando al estudiante para adquirir los nuevos conocimientos de los niveles superiores de las unidades de aprendizaje de Geometría y trigonometría, Geometría Analítica, Cálculo diferencial e Integral, Probabilidad y Estadística.

Academia de Física y Matemáticas. Nota: A pesar de que se reviso el material es posible que se presenten errores, por lo que de antemano se agradece todo tipo de observaciones y aclaraciones al respecto.


ACUERDOS - Los problemarios diseñados para cada una de las unidades de aprendizaje son los bancos de reactivos para las evidencias de las evaluaciones:

• Ordinarias donde se realizan las evaluaciones continuas, integradoras y de conocimientos. • Extraordinarias, donde se utilizaran al menos las evaluaciones integradoras para su realización. • A Titulo de Suficiencia normal y Especial, donde se realizan a 100% programas de estudio.

- Se puede ocupar otra bibliografía y ejercicios para el desarrollo de la clase. - Las evidencias de las evaluaciones integradoras, de conocimientos y extraordinarias se entregara una copia de las que se realicen en los grupo de cada docente para verificar que los acuerdos se cumplan, en las juntas correspondientes durante el semestre. - Los ejercicios a empleen en las evidencias de evaluación ordinarias, extraordinarias, ETS y ETS Especial, deben desglosarse para que el estudiante sepa lo que se le va a calificar y poner las rubricas correspondientes. - Se entregara una copia de la lista del grupo firmada por cada uno de los estudiantes pertenecientes con la leyenda de que se entrego problemario, programa, rubricas de calificación y de que se explico la forma de evaluar, cada uno de estos elementos vendrá en el archivo electrónico que se entregara al estudiante. - Cada docente deberá tomar las medidas correspondientes para tener evidencia de lo que el estudiante entrega para evaluar el semestre (tareas, investigaciones, exposiciones, evidencias de evaluación, etc). - La evaluación semestral se desglosa de la siguiente forma.

• 90% Evaluación sumativa. • 10% Proyecto aula.

- La evaluación sumativa se desglosa en:

• 70% Evaluación integradora. • 30% Evaluación continua.

- El desglose de la evaluación continua queda a criterio de cada docente. - Si proyecto Aula se aplica a la unidad de aprendizaje se desglosa en dos actividades la investigación que el docente pida y la exposición del proyecto, si no aplica solo se evaluara la exposición. - La evaluación sumativa se realiza a 100%, por cada unidad del programa de estudio multiplicando por el porcentaje que este establecido, posterior mente se sumara y se multiplicara por el 90% para establecer la calificación final. - En el caso de algebra la primera unidad esta desglosada en dos partes un 10% para el curso propedéutico y 10% en actividades de auto aprendizaje ya diseñadas. - En el SAES se tienen dos periodos informativos donde se da un avance de lo que lleva el estudiante hasta el momento y el tercer informe seda la calificación final de la unidad de aprendizaje correspondiente. Para cualquier modificación de estos acuerdos se hará en alguna junta posterior para que la academia lo ponga a su aprobación.


PROGRAMA DE ESTUDIOS DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE DE ALGEBRA

PROGRAMA SINTÉTICO

COMPETENCIA GENERAL DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE: Resuelve problemas de aritmética y problemas algebraicos lineales y cuadráticos en situaciones teóricas y reales de su entorno académico, personal y social, que a su vez sea parte de su formación propedéutica y tecnológica

COMPETENCIA PARTICULAR DE CADA UNIDAD DIDACTICA RAP EVALUACION

1. NUMEROS REALES. Emplea las operaciones aritméticas y sus propiedades, en los diferentes conjuntos de números, para la solución de problemas relacionados con su entorno académico, personal y social.

1.1 Relaciona los diferentes conjuntos de números que dan origen a los números reales y su implicación con la evolución humana.

20% 1.2 Realiza operaciones fundamentales con números reales que se relacionan con situaciones de su entorno. 1.3 Emplea los algoritmos de las operaciones aritméticas en solución de problemas de su ámbito personal, social y global.

2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Utiliza conceptos, propiedades y relaciones algebraicas en la solución de ejercicios de su entorno académico.

2.1 Reconoce expresiones algebraicas, sus elementos y propiedades en operaciones con polinomios en su ámbito académico.

20% 2.2 Identifica productos notables y la factorización de expresiones algebraicas en un ambiente matemático. 2.3 Utiliza los productos notables y la factorización en operaciones con fracciones algebraicas en su ámbito académico.

3. FUNCIONES Y ECUACIONES LINEALES. Emplea las funciones y ecuaciones lineales en la solución de problemas que se presentan en su entorno académico, personal y social.

3.1 Identifica elementos de las funciones lineales a partir de representaciones tabulares, gráficas y algebraicas en su ámbito personal y social.

30%

3.2 Elabora modelos que den lugar a ecuaciones y/o sistemas lineales a partir de situaciones de la vida cotidiana y las ciencias. 3.3 Utiliza modelos en la solución de problemas que dan lugar a ecuaciones y sistemas lineales en situaciones de la vida cotidiana y las ciencias

4. FUNCION Y ECUACIONES CUADRATICAS. Emplea las funciones y ecuaciones cuadráticas en la solución de problemas que se presentan en situaciones de su entorno académico, personal y social.

4.1 Identifica elementos de las funciones cuadráticas a partir de representaciones tabulares, gráficas y algebraicas en su ámbito académico, personal y social.

30%

4.2 Elabora modelos que den lugar a ecuaciones cuadráticas a partir de situaciones de la vida cotidiana y las ciencias. 4.3 Utiliza modelos en la solución de problemas que dan lugar a ecuaciones cuadráticas o sistemas cuadrático-lineal en su ámbito académico, personal y social.


COMPETENCIAS GENERICAS DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE DE ALGEBRA

COMPETENCIA GENERICA UNIDAD 1 2 3 4 RAP 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

1. Se conoce y valora, así mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.

3. Elige y práctica estilo de vida saludables. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos conceptos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiadas.

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. X X X X X X

6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. X X X

8. participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. X X X

9. Participa con una coincidencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.

10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencia, valores, ideas y prácticas sociales.

11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.

5.1. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus casos contribuye al alcance de sus objetivos. 5.2. Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones. 5.3. Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyace. 5.4. Construye hipótesis diseña y aplica modelos para probar su valides. 5.5. Sintetiza evidencias obtenidas mediante la experimentación para producir conclusiones y formular nuevas preguntas. 5.6. Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 7.1. Define y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimiento. 7.2. Identifica las actividades que le resultan de menor y mayor interés y dificultad, reconociendo y controlando sus relaciones frente a retos y obstáculos. 7.3. Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana. 8.1. Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.


INDICE

TITULO PAG. I. Conjuntos de Números y sus Propiedades, y factorización Aritmética…………………………….. 1 II. Operación con Números Enteros, m.c.m. y m.c.d………………………………………………………. 15 III. Operación con Números Racionales……………………………………………………………………….. 21 IV. Operación con Números Irracionales……………………………………………………………………… 25 V. Conversión de Fracciones y Decimales, y Aproximación de Radicales…………………………….. 31 VI. Operación con Números Reales…………………………………………………………………………….. 35 VII. Tanto Por Ciento y Notación Científica………………………………………………………………….... 37 VIII. Problemas de Aplicación del m.c.m. y m.c.d…………………………………………………………….. 42 IX. Problemas de Aplicación de la Razón y la Proporción…………………………………………………. 46 X. Problemas de Aplicación del Tanto Por Ciento………………………………………………………….. 53 XI. Problemas de Aplicación de Parte del Todo………………………………………………………………. 55 XII. Problemas de Aplicación de Parte de la Parte……………………………………………………………. 59 XIII. Intervalos…………………………………………………………………………………………………………. 63 XIV. Inecuaciones Lineales………..……………………………………………………………………………… 69 XV. Ecuaciones e Inecuaciones Lineales con Valor Absoluto……………………………………………… 74 XVI. Inecuaciones Cuadráticas……………………………………………………………………………………. 79 XVII. Introducción al Algebra……………………………………………………………………………………….. 83 XVIII. Polinomios y sus Operaciones………………………………………………………………………………. 91 XIX. Productos Notables y Factorizaciones Algebraicas……………………………………………………… 108 XX. Fracciones Algebraicas y sus Operaciones……………………………………………………………….. 141 XXI. Ecuaciones Lineales…………………………………………………………………………………………… 153 XXII. Sistemas de Ecuaciones Lineales 2x2 y 3x3…………………………………………………………….. 163 XXIII. Ecuaciones Cuadráticas……………………………………………………………………………………… 192 XXIV. Soluciones……………………………………………………………………………………………………….. A XXV. Bibliografía………………………………………………………………………………………………………. I

ACADEMIA DE MATEAMTICAS CURSO PROPEDEUTICO SKQ

1

ACTIVIDAD 1

CONJUNTOS DE NUMEROS Ejercicio 1. Realiza la siguiente lectura y completa el mapa conceptual al final de la misma. UNIDAD.- La unidad está representada por el número uno (1). Es el elemento desde el que se construyen el resto de los números naturales y tiene sus propias propiedades. NÚMEROS PRIMOS.- El conjunto de los números primos está compuesto de números que tiene como únicos factores al 1y así mismo. Tomando en cuenta que por esta razón el número 1 no es primo. Ejemplos:

2 - solo tiene como factores a 1 y 2 ; porque ( )( )1 2 2= . 11 - solo tiene factores a 1 y 11 ; porque ( )( )1 11 11= .

NÚMEROS COMPUESTOS.- Es el conjunto de números que está formado por dos o más factores que son números primos iguales o diferentes.

4 - tiene como factor al 1 , 2 y 4 ; porque: ( )( )1 4 4= , ( )( )( )1 2 2 4= . 20 - tiene como factor 1 , 2 , 4 , 5 ,10 y 20 ; porque:

( )( )1 20 20= , ( )( )( )1 2 10 20= , ( )( )( )1 4 5 20= , ( )( )( )( )1 2 2 5 20= . NÚMEROS NATURALES.- El conjunto de los números naturales está formado por la unidad y los conjuntos de los números primos y los números compuestos, son los que nos sirven para contar y para determinar la cantidad de elementos que tiene un conjunto (cardinal); también se le emplea para ordenar los elementos de un conjunto (ordinales). Son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades. El conjunto de los números naturales esta de notado por la letra y es un conjunto infinito.

( )

UnidadNúmeros primos Números naturales

Números compuestos

{ }1,2,3,4,5,6,7 ,8,9,10,...= Este conjunto de números se les pueden sumar, multiplicar y potenciar sin restricción. CERO.- Es el signo numérico de valor nulo, que en notación posicional ocupa los lugares donde no hay una cifra significativa. Si está situado a la derecha de un número entero se multiplica por 10 su valor;1 colocado a la izquierda, no lo modifica. Utilizándolo como número, se pueden realizar con él operaciones aritméticas como: sumas, restas, multiplicaciones, entre otras. Pero, por ser la expresión del valor nulo (nada, nadie, ninguno...), puede dar lugar a expresiones indeterminadas o que carecen de sentido. Es el elemento del conjunto ordenado de los números enteros que sigue al –1 y precede al 1. Algunos matemáticos lo consideran perteneciente al conjunto de los naturales ya que estos también se pueden definir como el conjunto que nos permite contar el número de elementos que contienen los demás conjuntos, y el conjunto vacío tiene ningún elemento, igual que la unidad también tiene sus propias propiedades.

https://es.wikipedia.org/wiki/Cero#cite_note-1


2

NÚMEROS ENTEROS.- El conjunto de los números enteros está formado por el cero y los conjuntos de los números naturales (enteros positivos) y los simétricos de los números naturales (enteros negativos). Se denota por la letra , es un conjunto infinito y a cada número entero tiene un antecesor y un sucesor.

( )( )

−

Cero Números enteros

{ }..., 20, 19, 18,..., 2, 1,0,1,2,...,23,24,25,...= − − − − − Los números negativos nos permiten obtener nuevas cantidades (como los saldos deudores) u ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (Alturas bajo el nivel del mar o por encima del nivel del mar). También llamados númerosdirigidos o númerosconsigno, ya que se pueden interpretar geométricamente en términos de dirección, el cero es el punto de simetría de este conjunto al representarlos en una recta numérica, donde cada numero entero tiene un valor relativo de acuerdo en la posición que ocupe esté en la recta numérica, entre más alejado este a la izquierda de cero tendrá una valor menor por su posición y si está más alejado de cero a la derecha será de una valor mayor por su posición. También tienen un valor absoluto, el cual es la distancia que hay entre cero y el número entero. Ejemplo: -a – Es un número menor a cero por lo tanto se coloca a la izquierda de él, como lo indica su valor relativo lo. a – Es un número mayor a cero por lo tanto se colocara a la derecha de él, como lo indica su valor relativo. Pero observamos que el valor absoluto de ambos valores (-a y a) es a que es la distancia que cada uno tiene con respecto a cero.

El valor absoluto se denota por un número dentro de dos rectas verticales a ; y definimos que el valor absoluto de un número es:

( )a a 0

aa a 0

≥=

− − <

sisi

Ejemplo: 7 7= , como podemos observar como 7 es mayor que cero solo lo reescribimos sin las barras como dice la definición.

( )11 11 11− = − − = , como observamos 11− es menor a cero por lo tanto aplicamos la propiedad del doble negativo para obtener su valor absoluto. A este conjunto de números se les puede sumar, restar, multiplicar y potenciar sin restricción. NÚMEROS RACIONALES.- El conjunto de los números racionales son todos aquellos números que pueden

expresarse en un cociente de dos números enteros, es decir en forma de fracción a ; b 0b ≠

donde . Los


3

números enteros son racionales porque se les puede expresar como un cocientes de dos números enteros aa1

=

.

A los números no enteros se les conoce como fraccionarios, donde una fracción es un símbolo ab

, de tal

forma que a y b son enteros ( )b 0≠ , y se lee a sobre b , El número a es llamado numerador y el número b es llamado denominador.

ab=

numeradordenominador

; Donde b 0≠

Como fracción las clasificamos en fracciones propias, impropias y mixtas. Las propias que son cuando el numerados es menor al denominador ( )a b< , impropias cuando el numerador es mayor al denominador ( )a b> y las mixtas que son fracciones impropias representadas en una parte entera más una parte que es una fracción propia. Ejemplo:

34

- Fracción propia.

53

- Fracción impropia.

152

- Fracción mixta.

Esta última casi no se emplea porque causa confusión con la operación del producto de un número entero por una fracción, por esta razón la fracción mixta se transformara a fracción impropia. Las fracciones también se expresan en forma de decimales, debemos tener en cuenta que hay tres tipo de ellos, los exactos, los periódicos y los aperiódicos; donde los dos primeros los podemos representar en cocientes de dos números enteros, y el tercero es un caso que veremos más a delante.

ab= =

dividendo cocientedivisor

Decimales exactos que son el resultado de realizar la división de una fracción donde en el denominador tiene factores de 2 y/o 5 exclusivamente. Ejemplo:

7 1.451 0.02

503 1.52

=

=

=

Decimales periódicos cuando en el denominador tiene factores diferentes de 2 y/o 5 ; y de los cuales se pueden catalogar en 2 tipos puros o mixtos, es decir, que después del punto decimal exista una secuencia de números que se repitan o que después del punto decimal exista números que no se repitan seguidos de una secuencia que se repita, respectivamente; a la secuencia de números que se repiten se les coloca una raya en la parte superior, que indica que esa cifra se repite consecutivamente. Ejemplos:

15 12.142857 ; 0.17 9

= = Periodicos puros


4

268 11.624; 0.16165 6

= = Periodicos mixtos

El conjunto de los números racionales se denota por la letra , también es un conjunto infinito, pero a diferencia de los enteros no hay un número siguiente ( 5− , 4− , 3− o 10 , 11 , 12 ); pues entre cada dos números racionales existen infinitos números.

Decimales exactosFracciones

Decimales periodicos

A este conjunto de números se les puede sumar, restar, multiplicar, dividir y potenciar sin problemas. NÚMEROS IRRACIONALES.- El conjunto de los números irracionales son todos aquellos números que no son racionales, es decir, que no pueden representarse como cociente de dos números enteros; la expresión decimal de estos números consta de infinitas cifras aperiódicas (no se repiten); por ejemplo: 2 , 3 5− ,

53 11 , π− , 33

− , 4e − .

Debemos de tener en cuenta que 2 ó 3 5 no es una operación aritmética si no la representación de un

número que consta de decimales aperiódicos; así como el número 34

es un número racional. Por lo tanto

tendremos que n a es un número irracional, siempre y cuando n no sea par y si n es par a 0> . Los números irracionales se clasifican en números algebraicos los cuales llevan ese nombre por satisfacer una ecuación polinomial y trascendentales los cuales no satisfacen una ecuación polinomial.

3 - Número irracional algebraico. π - Número irracional trascendental.

El conjunto de los números irracionales se denota con la letra c

.

} C

Números algebraicosDecimales aperiodicos

Números trascendentales

A este conjunto de números se les puede sumar, restar, multiplicar, dividir, potenciar sin restricción. NÚMEROS REALES.- El conjunto de los números reales es la unión de los conjuntos de los números racionales e irracionales; los cuales pueden expresarse mediante su símbolo numéricoo en forma decimal exacto, periódico o aperiódico en el caso que no sea entero. Se pueden representar geométricamente sobre una recta del siguiente modo: a uno de los puntos de la recta se le asocia el cero, 0. Se toma hacia la derecha otro punto al que se asocia el 1. La distancia del 0 al 1 se denomina segmento unidad y con ella se pueden representar sobre una recta de acuerdo con: A cada segmento de unidad consecutiva que coincida con el punto a la izquierda o derecha de cero representará un número entero.


5

Los restantes números reales (racionales o irracionales) se sitúan sobre la recta, bien valiéndose de construcciones geométricas exactas, bien mediante aproximaciones decimales. Es importante el hecho de que a cada punto de la recta le corresponde un número real y que cada número real tiene su lugar en la recta (correspondencia biunívoca). Por eso a la recta graduada de tal manera se la denomina recta real. El conjunto de los números reales se denota por la letra .

C

A este conjunto de números se les puede sumar, restar, multiplicar, dividir, potenciar sin problemas. NÚMEROS IMAGINARIOS.- Es aquel número no real que se asocia con la unidad imaginaria i 1= − ; donde cada número imaginario puede escribirse como bi , donde b es un número real e i la unidad imaginaria. Con la propiedad de 2i 1= − . De lo anterior se deduce que las raíz cuadrada de un numero negativo lo transformamos en un número imaginario de la siguiente forma.

( )12 12 1− = −

( ) ( )212 2 3 1− = − 212 2 3 i− =

12 2 3 i− =

( )9 9 1− = −

( )29 3 1− = −

i− =9 3

A este conjunto de números se les puede sumar, restar, multiplicar, dividir, potenciar y radicar sin problemas. NÚMEROS COMPLEJOS.- El conjunto de los números complejos es la unión de los conjuntos de números reales y los números imaginarios, escribiéndose de la forma:

a bi+ 2 4i−

4 3 15 i− Donde a y b son números reales y diferente de cero ( )a 0;b 0≠ ≠ e i la unidad imaginaria; siendo a la

parte real y bi la parte imaginaria. El conjunto de los números complejos se denota por la letra .

Imaginarios

A este conjunto de números se les puede sumar, restar, multiplicar, dividir, potenciar y radicar sin problemas, a tendiendo las propiedades de los números complejos.


6


7

Ejercicio 2: Escribe en la línea el nombre al cual pertenecen los números que se muestran ó escribe cinco números que pertenezcan al conjunto nombrado.

1) Números primos. _______________________________________

2) _______________________________________ 13

− , 4.025 , 711

, 0.03− ,749

− .

3) Números complejos. _______________________________________

4) _______________________________________ 2 , 1.316007... , 32

, 4 32

− , 3 3− .

5) Números enteros negativos. _______________________________________

6) _______________________________________ 4 , 221 , 253 , 155 , 667 .

7) Números irracionales. _______________________________________

8) _______________________________________

3e− , π , 3ln , - 31tan , 22 −− .

9) Números reales. _______________________________________

10) _______________________________________

300− , 0 , 11− , 37 , 200 .

11) Decimales exactos. _______________________________________

12) _______________________________________ 1 , 5 , 8 , 26 , 29 .

13) Números imaginarios. _______________________________________

14) _______________________________________ 13

− , 0.325 , 0.1− , 17

, 2523

15) Números racionales. _______________________________________

Ejercicio 3: Completa los siguientes enunciados. 1) El primer elemento de los números naturales es el _______________. 2) Los números _______________ se puede expresar como razón de dos números enteros. 3) Los números enteros, contienen a los _______________, él _______________ y los _________________________. 4) El _______________ es el único número entero que no tiene signo. 5) Los números _______________ están formados por un número real y un número imaginario. 6) Los números irracionales contienen a los números _______________ y _______________. 7) Los enteros _______________ entre más alejados del cero son más pequeños. 8) i 1= − es la unidad _______________. 9) Los números fraccionarios están formados por decimales _______________ y _______________. 10) Los números compuestos están formados por los números _______________.


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PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES PROPIEDADES DE IGUALDAD. Propiedad reflexiva. a a= . Propiedad simétrica. Si a b= , entonces b a= . Propiedad transitiva. Si a b= y b c= , entonces a c= .

Propiedad de sustitución. Si a b= , entonces a puede sustituir a b en cualquier expresión algebraica para obtener una expresión equivalente.

PROPIEDADES ASOCIATIVAS. Si a , b y c son números reales, entonces: ( ) ( )a b c a b c+ + = + + Propiedad asociativa de la suma. ( ) ( )ab c a bc= Propiedad asociativa de la multiplicación. PROPEDADES DISTRIBUTIVA. Si a , b y c son números reales, entonces: ( )a b c ab ac+ = + . PROPIEDAD DE LA CERRADURA. Si a y b son números reales, entonces:

a b+ Es un número real ( ) .

a b− Es un número real ( ) .

ab Es un número real ( ) .

ba Es un número real ( ) .

ab

Es igual a un número real ( ) , siempre y cuando 0b ≠ .

b a Es un número real ( ) , si b impar, pero es igual a un número real ( )

, si b - par y 0a > . PROPIEDADES CONMUTATIVAS. Si a y b son números reales, entonces:

a b b a+ = + Propiedad conmutativa de la suma. ab ba= Propiedad conmutativa de la multiplicación.

PROPIEDADES DEL 0 Y 1 .

Identidad aditiva La suma de 0 y cualquier número real es igual al número mismo a 0 0 a a+ = + = .

Propiedad de la multiplicación por 0 El producto de cualquier número por 0 es igual a 0 . ( ) ( )a 0 0 a 0= = .

Identidad multiplicativa El producto de 1 por cualquier número es igual al número mismo ( ) ( )1 a a 1 a= = .

PROPIEDADES DEL INVERSO.

( )a a a a 0+ − = − + = Para todo número real a , existe un número real a− ; de tal forma que al sumarlos nos den cero. También conocido como número simétrico.

( )1 1a a 1a a = =

Para todo número real a diferente de cero, existe otro número real

1a

; de tal

forma que al multiplicarlos nos den la unidad. También conocido como numero reciproco.

REGLA DEL DOBLE NEGATIVO. Si a representa cualquier número real, entonces: ( )a a− − =


9

Ejercicio 4. Relaciona la columna de la izquierda con la de la derecha, asigna la propiedad correspondiente a cada igual o enunciado: a) ( )25 25 0+ − = ( ) 1. Propiedad de la cerradura de la división.

b) ( ) 1 17 1 7 14 4

+ + = + +

( ) 2. Propiedad del inverso multiplicativo.

c) 1 3 52 4 4+ = y

5 5 5 1 3 5 52 4 4 2 4 2 4− = ⇒ + = − ( ) 3. Propiedad de la sustitución.

d) ( ) ( )12 5 12 5π π× = × ( ) 4. Propiedad conmutativa de la multiplicación. e) 27 0 27+ = ( ) 5. Propiedad del inverso aditivo. f) 3 3− = − ( ) 6. Propiedad asociativa de la suma.

g) ( )( )2 1 2= ( ) 7. Propiedad transitiva. h) Si a , b ∈ℜ , entonces ab es un número real.

( ) 8. Propiedad de cerradura de la suma.

i) 4 1 5 5 1 4+ = ⇔ = + ( ) 9. Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma.

j) Si a , b ∈ℜ , entonces a b+ es un número real.

( ) 10. Propiedad de cerradura de la multiplicación.

k) 1 15 55 5 =

( ) 11. Propiedad simétrica.

l) ( ) 13 13

=

( ) 12. Propiedad de la cerradura de la resta.

m) Si a , b ∈ℜ , entonces ba es un número real.

( ) 13. Propiedad asociativa de la multiplicación.

n) ( )5 1 5 5 14 43 2 3 3 2 + = +

( ) 14. Propiedad reflexiva.

ñ) 1 1 1 12 2 2 2

+ − = − +

( ) 15. Propiedad de la cerradura de la potencia.

( ) 16. Propiedad del neutro multiplicativo. ( ) 17. Propiedad conmutativa de la suma. ( ) 18. Propiedad del neutro aditivo.

DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS (FACTORIZACIÓN ARITMETICA)

Como vimos anteriormente el conjunto de los enteros positivos (naturales) mayores que 1está dividido en dos conjuntos, el conjunto de los números primos y el conjunto de números compuestos. Los primos son, en cierto sentido la base de la formación de los compuestos, como se indica en la siguiente proposición. Teorema fundamental de la aritmética. Cualquier numero natural, puede escribirse como un producto de números primos y 1± , en forma única excepto por el orden en que se escriben los factores. Ejemplo: Considere el numero entero 72 .

( )72 9 8= ( ) ( )72 3 3 2 4= ( ) ( )272 3 2 2 2= ( )2 372 3 2=

( )72 6 12= ( ) ( )72 2 3 2 6= ( ) ( )272 2 3 2 3= ( )3 272 2 3=

Nota: para trabajar con los factores primos no hay que olvidar las leyes de los exponentes.


10

Leyes de los exponentes. Dentro de los sistemas numéricos, los exponentes son la notación abreviada de la multiplicación de un mismo número por sí mismo un cierto número de veces, por ejemplo:

( )( ) ( )32 2 2 2 2 4 8= = =

De forma general podemos decir que, el exponente es el número de veces que se multiplicara un número, el cual es considerado como base y el resultado de esta operación se conoce como potencia.

na b=

Donde: a - Es la base. n - El exponente. b - Potencia o resultado. Las leyes de los exponentes son un conjunto de reglas que simplifican el uso de los exponentes en las operaciones matemáticas, además de ser una herramienta muy útil para los cálculos de muchas operaciones aritméticas y algebraicas. El aprender el manejo de estas reglas o leyes, es de gran utilidad más cuando no se cuenta con calculadoras. Si a yb ∈ ; y n ∈ , tenemos: 1) Regla del exponente cero.

0a 1=

2) Regla del exponente unidad.

1a a= 3) Regla del producto con base igual.

m n m na a a +=

4) Regla del cociente con base igual.

mm n

na aa

−=

5) Regla del exponente negativo.

nn

1aa

− =

6) Regla de la potencia.

( )nm mna a=

7) Regla del radical.

mn m na a=

8) Regla del producto de exponentes iguales.

( )nn na b ab=

9) Regla del cociente de exponentes iguales.

nn

n

a abb =

El problema de encontrar los factores primos de un número es laborioso para números muy grandes; pero se puede emplear criterios de divisibilidad que nos permiten por inspección decir si un número dado es divisible entre los primeros números primos.


11

Divisibilidad por 2 .- Un número es divisible por 2 sí y solamente si el digito de las unidades de su numeral es par. Ejemplos: Dividir 57480 entre 2 . 0 es par, por lo tanto 57480 es divisible entre 2 .

287402 57480

1714

800

Dividir 53247 entre 2 . 7 no es par por lo tanto 53247 no es divisible entre2 .

266232 53247

1312

471

Divisibilidad por 3 .- Un número es divisible por 3 sí y solamente si la suma de los dígitos de su numeral es divisible por 3 . Ejemplos: Dividir 34257 entre 3 . 3 4 2 5 7 21+ + + + = ; 21 es divisible entre 3 por lo tanto 34257 es divisible entre 3 .

114193 34257

412

527

0

Dividir 57480 entre 3 . 4 6 7 9 6 32+ + + + = ; 32 no es divisible entre 3 por lo tanto 46796 no es divisible entre 3 .

155983 46796

1617

2926

2

Divisibilidad por 5 .- Un número es divisible entre 5 sí y solamente si el digito de las unidades de su numeral es 0 ó5 . Ejemplos: Dividir 57480 entre 5 . 57480 es divisible entre 5 porque el numeral de las unidades es 0 .

114965 57480

724

48300

Dividir 46796 entre 5 . 46796 no es divisible entre 5 porque el numeral de las unidades no es 0 ó5 .

155983 46796

1617

2926

2

Divisibilidad por 7 .- Un número es divisible entre 7 sí y solamente si el doble producto de su digito de las unidades restado a los dígitos restante lo es, este proceso se realizara hasta obtener un numeral de dos dígitos y si este es divisible entre 7 , el primer número también lo será. Ejemplos:


12

Dividir 5236 entre 7 . 5236 es divisible entre 7 sí ( )523 2 6 511− = lo es, 511es divisible entre 7 sí ( )51 2 1 49− = , como 49 es divisible entre 7 , 5236 es divisible entre 7 .

7487 5236

33560

Dividir 25252 entre 7 . 25252 es divisible entre 7 sí ( )2525 2 2 2521− = lo es,2521 es divisible entre 7 sí ( )252 2 1 250− = lo es,250 es divisible entre 7 sí ( )25 2 0 25− = lo es, como 25 no es divisible entre 7 , 25252 no es divisible entre 7 .

36077 25252

42523

Divisibilidad entre 11 .- Un procedimiento similar al anterior puede usarse para verificar la divisibilidad entre 11 . El único cambio es que el digito de las unidades se resta de forma directa a los demás dígitos. Ejemplos: Dividir 36465 entre 11 . 36465 es divisible entre 11 sí ( )3646 1 5 3641− = lo es,3641 Es divisible entre 11 sí ( )364 1 1 363− = lo es,363 Es divisible entre 11 sí ( )36 1 3 33− = lo es, como 33 es divisible entre 11 , también lo es 36465 .

331511 36465

3416

550

Dividir 25356 entre 11 . 25356 es divisible entre 11 sí ( )2535 1 6 2529− = lo es,2529 Es divisible entre 11 sí ( )252 1 9 241− = lo es,241 Es divisible entre 11 sí ( )24 1 1 23− = lo es, como 23 no es divisible entre 11 , también 25356 no es divisible entre 11 .

230511 25356

3356

1

Ejercicio 5. Para obtener los números primos entre 1 y 100 se utiliza un sencillo procedimiento que recibe el nombre de criba de Eratóstenes, en donde se tachan los múltiplos de los primeros números primos.

Números primos: _____________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100


13

Otro método para determinar si un número es primo o no consiste en ir dividiendo la cantidad entre cada uno de los números primos hasta que el cociente sea menor que el divisor.

⇒ <cociente

divisor dividendo cociente divisor; dividendo es primo

Ten en cuenta que con la primera división exacta el número no es primo. Ejemplo: Determina si 101 y 217 son números primos. 1) 101 . Analizando los criterios de divisibilidad: No es divisible entre 2 , porque su ultimo digito no es par. Si sumamos los dígitos 1 0 1 2+ + = y 2 no es divisible entre 3 . No es divisible entre 5 , porque el ultimo dígito no termina en 0 o 5 . Como ( )10 1 2 8− = y 8 no es divisible entre 7 , 101 no es divisible entre 7 . Como ( )10 1 1 9− = y 9 no es divisible entre 11 , 101 no es divisible entre 11 .

713 101

10

Como el cociente es menor que el divisor 101 es un número primo.

2) 391 . Analizando los criterios de divisibilidad: No es divisible entre 2 , porque su ultimo dígito no es par. Si sumamos los dígitos 3 9 1 13+ + = y 13 no es divisible entre 3 . No es divisible entre 5 , porque su ultimo dígito no es 0 o 5 . Como ( )39 1 2 37− = y 37 no es divisible entre 7 , 391 no es divisible entre 7. Como ( )39 1 1 38− = y 38 no es divisible entre 11 , 391 no es divisible entre 11 .

3013 391

01

2317 391

510

Como el residuo es cero 391 no es un número primo.

Ejercicio 6. Determina si los siguientes números son primos o no. a) 193 . b) 133 . c) 179 . d) 351 . e) 113 . f) 143 . g) 167 . h) 215 . i) 131 . j) 213 .


14

Ejercicio 7. Factoriza en números primos los siguientes números. a) 64 . b) 91 . c) 96 . d) 408 . e) 507 . f) 2093 . g) 5753 . h) 12740 . i) 15700 . j) 208537 .


15

ACTIVIDAD 2

OPERACIÓN CON NÚMEROS ENTEROS Recordemos que los números enteros son los números con signo, por lo tanto hay que hacer uso de los valores relativo y absoluto que estos números tienen para poder hacer las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potencia y radical, teniendo en cuenta que para división y radical de números enteros nos deben dar como resultados números enteros para que sea válida la operación, sin olvidar las propiedades de los números para realizar dichas operaciones, los signos de agrupación y el orden de las operaciones. Adición. Con signos iguales.- Se suman los valores absolutos de los números y se conserva el signo común.

( ) ( ) 4 44 2 6 4 2 6

2 2 + =

+ + + = + ⇒ ⇒ + =+ =

( ) ( ) 5 55 6 11 5 6 11

6 6 − =

− + − = − ⇒ ⇒ + =− =

Con signos diferentes.- Se restan los valores absolutos (el menor del mayor) y se mantiene el signo del número con el mayor valor absoluto.

( ) ( ) 9 99 5 4 9 5 4

5 5 + =

+ + − = + ⇒ ⇒ − =− =

y 9 5+ > − .

( ) ( ) 12 1212 5 7 12 5 7

5 5 − =

− + + = − ⇒ ⇒ − =+ =

y 12 5− > + .

Resta. Si a y b son números reales, entonces ( )a b a b− = + − y aplicamos lo de adición de números enteros.

( ) ( ) ( ) ( )12 4 12 4 8+ − + = + + − = + ( ) ( ) ( ) ( )13 5 13 5 18− − + = − + − = −

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )14 6 14 6 14 6 8− − − = − + − − = − + + = −

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )3 7 3 7 3 7 10+ − − = + + − − = + + + = +

Multiplicación. Con signos iguales.- Se multiplican sus valores absolutos. El producto es positivo.

( )( ) ( )( )8 88 6 48 8 6 48

6 6 + =

+ + = + ⇒ ⇒ =+ =

( )( ) ( )( )5 55 6 30 5 6 30

6 6 − =

− − = + ⇒ ⇒ =− =

Con signos distintos.- Se multiplican los valores absolutos. El producto es negativo.

( )( ) ( )( )4 44 7 28 4 7 28

7 7 + =

+ − = − ⇒ ⇒ =− =


16

( )( ) ( )( )7 77 3 21 7 3 21

3 3 − =

− + = − ⇒ ⇒ =+ =

División. Con signos iguales.- Se dividen sus valores absolutos en caso de el cociente sea entero y positivo.

( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 2 2 02

36 3636 36 2 34 2 3 4 3 4 1 49 9 39 9

− + =+ = + ⇒ ⇒ = = = = =

+ + = ( ) ( ) ( ) ( )1 1 014 1414 14 2 72 2 7 2 7 2 1 2

7 7 77 7− − =−

= + ⇒ ⇒ = = = = =− − =

Con signos distintos.- Se dividen sus valores absolutos en caso del que cociente sea entero y negativo.

( ) ( ) ( ) ( )2

2 1 1 044 4444 44 2 114 2 11 4 11 4 1 411 11 1111 11

− − =−= − ⇒ ⇒ = = = = =

+ − =

33 2 1

2

27 2727 27 33 3 3 39 9 39 9

− + =+= − ⇒ ⇒ = = = =

− − =

Potencia. Con potencia impar.- Se eleva el valor absoluto al exponente indicado y la potencia conservara el signo del número entero que está en la base.

( ) ( )( ){3 33 27 3 3 3 3 3 3 27+ = + ⇒ + = ⇒ = = ( ) ( )( )( )( ){5 52 32 2 2 2 2 2 2 2 2 32− = − ⇒ − = ⇒ = =

Con potencia par.- Se eleva el valor absoluto al exponente indicado y la potencia será positiva sin importar si el número entero de la base es positivo o negativo.

( ) ( )( )( ){4 45 625 5 5 5 5 5 5 5 625− = + ⇒ − = ⇒ = = ( ) ( ){2 29 81 9 9 9 9 9 81+ = + ⇒ + = ⇒ = =

Radical. Con radical impar.- Se obtiene la raíz del índice n impar del valor absoluto del radicando, conservando su signo. Donde n es un número entero positivo.

( ) ( ){ 155 5 5 155 32 2 32 32 32 2 2 2 2 2+ = ⇒ + = ⇒ = ⇒ = = =

( ) ( ){ 133 3 3 133 27 3 27 27 27 3 3 3 3 3− = − ⇒ − = ⇒ = ⇒ = = =

Con radical par.- Se obtiene la raíz del índice n par del valor absoluto del radicando, si esté es positivo se conservara el signo, si esté es negativo la raíz no está definida.

( ) ( ){ 144 4 4 144 16 2 16 16 16 2 2 2 2 2+ = + ⇒ + = ⇒ = ⇒ = = =

( )25− = No definido ORDEN DE LAS OPERACIONES. Para garantizar un correcto resultado al realizar cálculos como suma, resta, multiplicación, división y la obtención de una potencia o raíz; se deben de tomar en cuenta el siguiente orden.


17

1. Las operaciones se realizan de izquierda a derecha respetando el orden jerárquico: - Primero potencias y radicales. - Segundo multiplicación y división. - Tercero sumas y restas. 2. El orden anterior puede verse afectado por los signos de agrupación que de igual forma se analizan de izquierda a derecha, simplificando lo que está dentro de ellos antes de eliminarlos mediantes las operaciones necesarias. 3. Siempre que el ejercicio lo permita hay que simplificar las operaciones. Ejemplo: Simplifica realizando las siguientes operaciones.

( ) ( ) ( ) ( )232 3 216 1 3 2 4 16 3 1 − ÷ − − − + × − − − −

Solución: Haremos el ejercicio de izquierda a derecha respetando la jerarquía de operaciones realizando las operaciones; simplificando en cada paso para no confundirse y hacer más laborioso el ejercicio. Analizamos le ejercicio de izquierda a derecha realizando las operaciones que la jerarquía y los signos de agrupación nos permitan, una vez terminado el recorrido otra vez empezamos de izquierda a derecha hasta terminan con todas las operaciones y signos de agrupación.

( ) ( )( )

( ) ( )( )

233 22

2 2 4 9 18

16 1 3 2 4 16 3 1− −−

− ÷ − − − + × − − − −

( ) ( ) ( ) 22

8 14 8

16 2 8 2 4 9 1++

− ÷ − − − + × − − −

2

4 16 1016 4 8 8 9 1

−

− ÷ + + − +

[ ]212 100

4 16 10− + −

8812 100

−

−

88− Ejercicio1: Simplifica los siguientes ejercicios de números enteros aplicando las propiedades de los números reales, realizándolos paso a paso para justificar tus resultados, simplificándolos en un solo número real. Sin usar calculadora y sin saltarte pasos. 1) ( )[ ] ( )[ ]3 2 5 8 10 2+ ÷ − + ÷ 2) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]9 6 3 4 8 2 3 5 3 2+ − ÷ − ÷ ÷ − ÷

3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ){ }3 2 1 5 2 8 7 5 3 2 7 1− − − − + − − + − − − − − −

4) ( )[ ] ( )22 3 1 4 100 121 15 7 2− − − − + − −

5) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ]{ }600 20 3 4 5 18 16 11 3 15 12 4+ − + − − + −

6) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]2 33 2 22 3 1 3 10 5 4− − − + − − + − ÷ +

7) ( ) ( )( ) ( ) 2730 10 8 3 2 6 163

− + − + + − − −

8) 1024 72 9132 12 2 2

16 12 13 − − − + − ÷

9) ( )( )[ ] ( )[ ] ( ){ }500 31 18 9 8 4 15 9 6 3 3 16 12 8 4 35− − − ÷ − + − ÷ + ÷ − + −


18

10) ( ) ( ) ( ){ } ( )( )[ ] ( )( )( )[ ] ( )[ ]{ }3 2 22 3 2 3 5 1 1 2 1 2 3 2 7 − + − − + − − + − − − − + −

11) 22 14 13 10 25 17 38 8 6 34 7− − − − − − + + − − + − +

12) [ ]7 8 54 36 43 4 32 51 63 2− − − − + + + − − − −

13) ( )( )( )( )

( )( )( ) ( )[ ]

3 2 4 1 1 13 2 5 5 3 2− − − − − +

÷− − − − + −

14) ( )( )( )

( )( )( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] ( )[ ]1 2 4 6 1 5 7

1 2 1 2 5 2− − − − − − −

÷− − − − + − + −

15) ( ) ( )[ ]

( )[ ]( ) ( )( )6 3 8 1 2 3

1 2 35 12 8− − − − − −

÷− −− − − −

EL MÁXIMO COMUN DIVISOR. Definición.- Un entero positivo d , es el máximo común divisor de los enteros a y b si d es el mayor número que divide a a y b sin dejar residuo.

( )36,60 12=m.c.d.

( )6,12 6=m.c.d.

( )5,7 1=m.c.d. , 5 y 7 son primos relativos. El m.c.d. usando factorización de primos. Obtener el m.c.d. de dos o más números naturales cuando estos son pequeños se puede hacer por inspección, pero cuando se tienen enteros más grandes o más de dos números enteros se descomponen los números dados en sus factores primos. El m.c.d. se forma con el producto de los factores primos comunes con su menor exponente. Ejemplo: Obtener el m.c.d. de 1800 , 420 ,1260 y 108 .

1800 2900 2450 2225 375 325 53 51

( )3 2 21800 2 3 5=

420 2210 2105 335 57 71

( ) ( )2420 2 3 5 7=

2126026303315310553577

1

( ) ( )2 21260 2 3 5 7=

108 254 227 39 33 31

( )2 3108 2 3=

Tenemos que él 2 y el 3 son factores comunes en los cuatro números y los tomamos con el menor exponente para cada uno de ellos cuadrático y lineal respectivamente, entonces tenemos que:

( ) ( )21800,420,1260,108 2 3 12= =m.c.d. Comprobando:

( )( )

3 2 2

2

1800 2 3 512 2 3

=

( )3 2 2 1 21800 2 3 512

− −=

( ) ( )( )

2

2

420 2 3 5 712 2 3

=

( ) ( )2 2 1 1420 2 3 5 712

− −=

( ) ( )( )

2 2

2

1260 2 3 5 712 2 3

=

( ) ( )2 2 2 11260 2 3 5 712

− −=

( )( )

2 3

2

108 2 312 2 3

=

( )2 2 3 1108 2 312

− −=


19

( ) 21800 2 3 512

=

( )1800 6 2512

=

1800 15012

=

( ) ( )0 0420 2 3 5 712

=

( )420 1 1 3512

=

420 3512

=

( )01260 2 3 3512

=

( )1260 1 10512

=

1260 10512

=

( )0 2108 2 312

=

( )108 1 912

=

108 912

=

Ejercicio 2: Obtén el m.c.d. de los siguientes números. 1) ( )20,80m.c.d. . 2) ( )144,520m.c.d. .

3) ( )10,36,25m.c.d. . 4) ( )33,77 ,121m.c.d. .

5) ( )425,800,950m.c.d. . 6) ( )54,76,114,234m.c.d. .

EL MÍNIMO COMÚN MULTIPLO. Definición.- El entero positivo d es el mínimo común múltiplo de los enteros positivos m y n , si m divide a d y n divide a d , dando un cociente entero, y d es el múltiplo más pequeño que comparten m y n . El m.c.m. obtenido por medio de la factorización en primos. El m.c.m. de dos o más números descompuestos en sus factores primos es igual al producto de los factores primos comunes y no comunes elevados en su mayor exponente. Ejemplo: Obtén el m.c.m. de 50 , 80 ,120 y 300 .

50 225 55 51

( )250 2 5=

80 240 220 210 25 51

( )480 2 5=

120 260 230 215 35 51

( )3120 2 3 5=

300 2150 275 325 55 51

( )2 2300 2 3 5= Observamos que él 2 y 5 se repiten y él 3 no se repite así que tomaremos estos factores elevados al exponente más grande para obtener el m.c.m., por lo tanto tenemos que:

( ) ( )4 250,80,120,300 2 3 5 1200= =m.c.m. Comprobando:

( )( )

4 2

2

1200 2 3 550 2 5

=

( )4 1 2 21200 2 3 550

− −=

( )3 01200 2 3 550

=

( )1200 8 3 150

=

1200 2450

=

( )( )

4 2

4

1200 2 3 580 2 5

=

( )4 4 2 11200 2 3 580

− −=

( )01200 2 3 580

=

( )1200 1 1580

=

1200 1580

=

( )( )

4 2

3

1200 2 3 5120 2 3 5

=

( )4 3 1 1 2 11200 2 3 5120

− − −=

( )01200 2 3 5120

=

( )1200 10 1120

=

1200 10120

=

( )( )

4 2

2 2

1200 2 3 5300 2 3 5

=

( )4 2 1 1 2 21200 2 3 5300

− − −=

( )2 0 01200 2 3 5300

=

( )1200 4 1 1300

=

1200 4300

=


20

Ejercicios 3: 1) ( )32,80m.c.m. . 2) ( )46,69m.c.m. .

3) ( )18,24,40m.c.m. . 4) ( )32,48,108m.c.m. .

5) ( )5,7 ,10,14m.c.m. . 6) ( )14,28,30,120m.c.m. . En algunas ocasiones se piden calcular ambos números el m.c.m. y m.c.d., para esto se utiliza un proceso condensado para su obtención. Este proceso consiste en descomponer al mismo tiempo todos los números involucrados, marcando aquellos números primos que dividan a todos los números al mismo tiempo, para obtener el m.c.d. y el m.c.m. se obtiene después de haber obtenido a todos los número primos que factorizan los números que estamos analizando. Ejemplo: Obtener el m.c.m. y el m.c.d. de los números 1800 , 420 ,1260 y 108 .

108 420 1260 1800 254 210 630 900 227 105 315 450 2

225 39 35 105 75 33 35 25 31 5

7 7 5 51 7

1 1

••

•

De esta forma el:

( ) ( )( )( )3 3 2108,420,1260,1800 2 3 5 7 37800= =m.c.m. y ( ) ( )2108,420,1260,1800 2 3 12= =m.c.d. Ejercicios 4: Obtén el m.c.m. y m.c.d. de los siguientes números.

1) ( )( )96,102,192,30696,102,192,306

m.c.m.m.c.d.

. 2) ( )( )21,39,60,20021,39,60,200

m.c.m.m.c.d.

.

3) ( )( )15,16,48,15015,16,48,150

m.c.m.m.c.d.

. 4) ( )( )6,12,51,63,756,12,51,63,75

m.c.m.m.c.d.

.

5) ( )( )320,450,560,600320,450,560,600

m.c.m.m.c.d.

. 6) ( )( )98,294,392,117698,294,392,1176

m.c.m.m.c.d.

.

7) ( )( )1560,2400,5400,66001560,2400,5400,6600

m.c.m.m.c.d.

. 8) ( )( )500,560,725,4350,8200500,560,725,4350,8200

m.c.m.m.c.d.

.


21

ACTIVIDAD 3

OPERACIÓN CON NÚMEROS RACIONALES Toda fracción es conocida como número racional y se debe representar en su forma simplificada, de ser posible y para esto hay que descomponer en factores primos.

( ) ( )( )2

6 2 3 2 3 2 3 3 314 2 2 2 2 2 22

= = = = =

( )2 2

3 3 3 1 1 1112 3 4 42 3 2

= = = =

( )( )

3 1133 3335 5 7 35

= =

Suma y/o resta de fracciones. Para realizar una suma y/o resta de fracciones, se debe obtener el común denominador de todos los denominadores que estén involucrados en el ejercicio; el común denominador se obtiene calculando el mcm de todos los denominadores de los quebrados que van a sumarse o restarse.

1 5 34 4 4− +

5 7 13 6 18− +

3 3 24 10 15− +

Descomponemos en factores primos todos los denominadores.

2 2 2

1 5 32 2 2

− + ( ) ( )2

5 7 13 2 3 2 3− +

( ) ( )2

3 3 22 5 3 52

− +

Obtenemos el m.c.m. de los denominadores escogiendo el valor que se repite con el máximo exponente seguido de los que no se repiten; posteriormente el m.c.m. será dividido entre cada denominador y multiplicado por su numerador correspondiente creando de esta forma fracciones equivalentes.

( ) ( ) ( )2

1 1 5 1 3 12

− +

2

1 5 32

− +

2

12−

14

−

( ) ( ) ( )( )2

5 2 3 7 3 1 12 3− +

( )2

30 21 12 3− +

( )2

102 3

( )( )2

2 52 3

2

2 52 3

519

59

( ) ( )( ) ( )( )

2

2

3 3 5 3 2 3 2 22 3 5

− +

( )2

45 18 82 3 5− +

( )2

352 3 5

( )( )2

5 72 3 5

( )2

5 75 2 3

( )71

4 3

712

Multiplicación de fracciones. La multiplicación de fracciones se lleva acabo multiplicando numerador por numerador y denominador por denominador, pero para no hacer números muy grandes lo mejor es primero descomponer tos los números en sus factores primos para poderlos simplificar y después realizar la multiplicación.


22

( )( )

( )( )( )

( )2 2

2 24

4 21 4 21 2 3 7 2 3 7 7 71 13 16 3 16 3 4 42 23 2 = = = = =

( )( )2

5 3 5 3 154 2 82 2 = =

División de fracciones. Realizar la división de fracciones se puede hacer de dos formas las cuales son equivalentes, una es

separando las fracciones con el símbolo de división ( )÷ o representar la en forma de fracción

.

La forma de dividir es la misma sin importar de qué forma esté expresada la división, el numerados del dividendo se multiplica por el numerador del divisor y es el numerador del cociente, después el denominador del dividendo se multiplica por el numerador del divisor y es el denominador del cociente.

( )( )

1 3 1 5 52 5 2 3 3÷ = =

( )( )

( )( )

( )2 29

4 9 2 3 2 3 2 3 6103 3 10 3 2 5 2 3 5 54

= = = =

Potencia de una fracción. Para realizar una potencia de una fracción se tiene que:

( )( )( )( )

3 3

3

3 3 3 3 3 92 2 2 2 82

= = =

Es decir: n n

n

a ab b =

Radical de una fracción. De una forma análoga se concluye que:

nn

n

a ab b

=

[ ]

[ ]

12 12

1 12 2

25 25 5 5 59 339 3

= = = =

Ejemplo: Para realizar el ejercicio iremos de izquierda a derecha realizando las operaciones de acuerdo al orden de las jerarquías y tomando en cuenta los signos de agrupación. Realiza las siguientes operaciones y simplifica tu resultado.

2 1 1 615 6 8 55 1 32

12 18 20

− + − +


23

( ) ( )( )

( ) ( )( )

3

2 2

3

2 3 5

2 2

2 3

2 1 1 63 5 2 3 52

5 1 32202 3 2 3

=

− + − +

m.c.m.=

m.c.m

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

16 20 153 2

3

7215 22 2

2 2

2 2 1 2 5 1 3 5 652 3 5

5 3 2 2 3 1 2 3202 3

− + = − +

( )

( )

11

3

55

2 2

16 20 15 652 3 5

15 72 2 3202 3

−

− +

=

− +

( )( )

( ) ( )

3

22 2

11 2 352 3 5

55 32 52 3

=−

( )( )

( )( ) ( )

3

22 2

11 2 352 3 5

5 11 32 52 3

= −

( )( )( )( )

3 2

4 2

2 3 112 3 5

3 5 112 3 5

=−

( )

( )

11

2 2

11

4

2 3 112 3 2 5

3 5 113 5 2 3

=

−

( )( )

( )( )

2 2

4

111 12 5

111 12 3

=−

( )

( )

2 2

4

112 5

112 3

=−

( )( )

4

2 2

2 3 112 5 11

= −( )

1 12 2

2 2

2 11 2 3112 5 = −

( ) ( )2

2

2 31 15

= −( )2

2

2 35

= −

12R25

= −

Ejercicios: Simplifica los siguientes ejercicios de números racionales aplicando las propiedades de los números reales, realizándolos paso a paso para justificar tus resultados, simplificándolos en un solo número real. Sin usar calculadora y sin saltarte pasos.

1)

5 26 1511 330 5

−

+ 2)

3 115 61 113 5

− −

− −

3)

2 3 2 1 16 5 4 3

28

− − + 4)

5 7 5 5 7 1 7 7 92 8 6 8 6 12 12 8 4

+ − − − + + − + −

5)

2 5 7 19 12 24 125 7 13 524 18 12 18

+ − +

− − − −

6)

7 7 11 812 6 24 36 11 5 55 12 4 9

− + − +

7)

3 7 7 3 124 8 12 2 122 5 1 2 523 12 4 9 12

− − − − +

− − − +

8)

1 11 12 3

3 21 122 3

5 16 6

+ −+

−

9)

1 1 11 1 12 3 41 1 11 1 12 3 4

− − − + + +

10)

5 1 26 3 31 2 53 3 6

+ ÷ − ÷ − +

11)

24 2

2

2 33 2

123

12)

233

3 23

133

1 122 3

13) 1 8 31 14 9 4+ − + − 14)

3

3

16 836 2725 116 8

+

−


24

15)

2 31 52 34 2

1 718 16

− − −

+ +


25

ACTIVIDAD 4

OPERACIÓN CON NÚMEROS IRRACIONALES (RADICALES)

Los números irracionales se clasifican en dos: Los algebraicos. Son la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de radicales libres o anidados; todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos, también llamados radicales. Los trascendentales No pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes (trigonométricas, logarítmicas y exponenciales, etc.) También surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo definido. En esta actividad trabajaremos con los irracionales algebraicos, los cuales llamaremos radicales y tienen una relación estrecha con las potencias por ser operaciones inversas. Y al igual que las fracciones los radicales pueden simplificarse descomponiendo en números primos y empleando la ley de los exponentes. Esta simplificación se emplea para emplear el valor exacto y no aproximar los resultados con los decimales. Ejemplo: Simplifica los siguientes radicales a la mínima expresión.

360 3 40 Descomponemos el radicando en sus factores primos ( )3 2360 2 3 5= y ( )340 2 5= , y los sustituimos.

( )3 22 3 5 ( )33 2 5 Aplicamos las leyes de los exponentes para transformar el radical a exponente fraccionario y simplificar a si mínima expresión.

( )[ ]1

3 2 22 3 5n

m n ma a⇒ =

( ) ( ) ( )1 1 1

3 22 2 22 3 5 ( )n n nab a b⇒ =

( ) ( ) ( )3 2 12 2 22 3 5 ( )mn nma a⇒ =

( ) ( ) ( )1 11 12 22 3 5+ +⇒ =m n m na a a

( ) ( ) ( )( )1 112 22 2 3 5 ( )⇒ = nn na b ab

( ) ( )[ ]122 3 2 5 ⇒ =

nm nma a

6 10

( )[ ]1

3 32 5n

m n ma a⇒ =

( ) ( )1 1

3 3 32 5 ( )n n nab a b⇒ =

( ) ( )3 13 32 5 ⇒ =

nm nma a

( )1 32 5 32 5

NOTA: La propiedad distributiva que se emplea en los radicales solo existe, para un producto de radicandos n n nab a b= , la suma y la resta no cumplen esta propiedad. Ejemplo:

9 16 25 5+ = = 9 16 9 16 3 4 7+ = + = + =


26

Como ambos procedimientos no son iguales la propiedad distributiva no se cumple. Suma y/o resta de radicales. Para realizar una suma y/o resta de radicales primero se debe simplificar los radicandos y aplicar la leyes de los exponentes; si no son los mismos se dejara indica la suma una vez terminada la simplificación de radicales. Ejemplos:

45 80 20+ − ( ) ( ) ( )2 4 23 5 2 5 2 5+ −

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]1 1 1

2 4 22 2 23 5 2 5 2 5+ −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 1

2 4 22 2 22 2 23 5 2 5 2 5+ −

( ) ( ) ( )2 4 21 1 12 2 22 2 23 5 2 5 2 5+ −

1 2 13 5 2 5 2 5+ − 3 5 4 5 2 5+ −

5 5

45 80 50+ −

( ) ( ) ( )2 4 23 5 2 5 2 5+ −

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]11 1

2 4 2 22 23 5 2 5 2 5+ −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 1

2 4 22 2 22 2 23 5 2 5 2 5+ −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 4 1 1 22 2 2 2 2 23 5 2 5 2 5+ − ( ) ( ) ( )1 2 13 5 2 5 2 5+ −

3 5 4 5 5 2+ − 7 5 5 2−

Multiplicación de radicales. Este procedimiento es solo para radicales son el mismo índice, se multiplicaran los coeficientes y los radicandos correspondientes y su producto de estas quedara dentro de un mismo radical; y se simplificara de ser necesario. Ejemplos:

6 10 ( )6 10

( )[ ] ( )[ ]2 3 2 5

( )22 3 5

( )[ ]1

2 22 15

[ ] ( )1 1

2 2 22 15

[ ]222 15

[ ]12 15 2 15

3 313 182

( )31 3 182

( )[ ]231 3 2 32

( )3 31 2 32

( )[ ]1

3 31 2 32

( ) ( )11

3 331 2 32

( )3

3 31 2 32

( )131 2 32

33 22

División de radicales. Este procedimiento es como el de la multiplicación solo para radicales del mismo índice, se dividirán los coeficientes y los radicandos correspondientes y su cociente de estas quedara dentro de un mismo radical; y se simplificara de ser necesario.


27

Ejemplo:

( )( )[ ]( )

( ) ( )

( )= = = =

1 1 112 22 2 22 1

1 12 2

150 2 3 5 2 3 5 5 3 5 32 2 2

( )[ ] ( ) ( ) = = = =

1 1112 222

1 12 2

1 1 115 3 5 3 5 1 12 2 2 3 333 6 63 5 5 51

Si al realizar una división de un radical y esté queda en el denominador se utilizara la racionalización para transformar el radical a uno equivalente, esto se realiza multiplicando por la unidad representada por radicales que al multiplicar el denominador nos da una raíz exacta. Ejemplo:

( )[ ] ( ) ( ) = = = = = = =

1 1 1 12 2 2 2

1 1 1 1 2 11 1 12 2 2 22 2 2

1

4 3 3 3 1 1 2 2 24 4 4 4 4 4 2 226 2 3 2 2 22 3 2

Potencia de un radical. Para obtener la potencia de un radical solo se elevara a dicha potencia el radicando y se simplificara de ser necesario. Ejemplo:

( ) ( ) ( )4 1 122 123 33 3 334 2 2 2 2 2 2 2+

= = = = = Radical de un radical. Para obtener el radical de un radical se multiplicaran los índices y de ser necesario se simplificara. Ejemplo:

( )( ) ( ) ( )+= = = = = =

17 1 11 13 13 7 7 66 6 62 6128 2 2 2 2 2 2 2 2

Racionalización. Racionalización es un proceso para transformar radicales en otros equivalentes que se estimen de una manera más fácil. El proceso consta en multiplicar por la unidad disfrazada para hacer la transformación, las podemos clasificar en sencillas y compuestas. El proceso se explicará con ejemplos:

12 7

Para este ejercicio buscamos un número que multiplicado por la 7 pueda obtener una raíz cuadrada exacta; y entonces multiplicamos al numerador y denominador por dicho numero y simplificamos.

1

1 72 7 7

3

105

Para este ejercicio buscamos un número que multiplicado por la 3 5 pueda obtener una raíz cubica exacta; y entonces multiplicamos al numerador y denominador por dicho numero y simplificamos.

3 2

3 3 2

1

10 55 5


28

( )( )1 12 2

7

2 7 7

( )1

72 7

714

( )( )3 2

1 23 3

10 5

5 5

( ) 3

1

2 5 255

32 25

Para las racionalizaciones compuestas que son prácticamente cuando hay suma y resta de radicales en un denominador o numerados utilizamos los conjugados (cuadrático y cubico) y aplicamos la propiedad distributiva de los números reales para simplificar la expresión. Conjugado de una suma o resta de radicales. Para el conjugado de una suma será una resta de los mismos radicales y para una resta será una suma de los mismos radicales, algo similar como con el binomio conjugado de algebra.

( )( )+ −a b a b ( ) ( )− + −a a b b a b

( ) ( ) ( ) ( )− + −1 1 1 12 2 2 2a a a b a b b b

−1 1a b −a b

Por lo tanto: ( ) ( )+ − = −a b a b a b Conjugado cubico de una suma o resta de radicales cúbicos. Para el de suma o resta de radicales cúbicos es el que se muestra a continuación.

( )( )+ − +3 32 23 3 3 3a b a a b b

( ) ( )− + + − +3 3 3 32 2 2 23 3 3 3 3 3a a a b b b a a b b

( ) ( ) ( ) ( )− + + − +1 2 1 2

3 3 3 32 2 2 23 3 3 33 3 3 3a a a b a b a b a b b b +1 1a b +a b

Por lo tanto:

( )( )+ − + = +3 32 23 3 3 3a b a a b b a b

( )( )− + +3 32 23 3 3 3a b a a b b

( ) ( )+ + − + +3 3 3 32 2 2 23 3 3 3 3 3a a a b b b a a b b

( ) ( ) ( ) ( )+ + − − −1 2 1 2

3 3 3 32 2 2 23 3 3 33 3 3 3a a a b a b a b a b b b −1 1a b −a b

Por lo tanto:

( )( )− + + = −3 32 23 3 3 3a b a a b b a b Ejemplos:

+

75 2

Buscamos el conjugado cuadrático de la suma de radicales para formar una unidad y poder transformar la expresión.

−

+ −

1

7 5 25 2 5 2

( )( )( )

−

+ −

7 5 25 2 5 2

− 3

15 3

Buscamos el conjugado cúbico de la resta de radicales para formar la unidad y poder transformar el radical.

+ + − + +

32 23

3 32 23

1

1 5 5 3 35 3 5 5 3 3


29

Realizamos el producto del conjugado cuadrático.

( )−−

7 5 25 2

( )−7 5 23

( )−7 5 23

( )( )+ +

− + +

2 3 3

32 23 3

5 5 3 9

5 3 5 5 3 3

Realizamos el producto del conjugado cúbico.

+ +

−

3 325 5 3 9125 3

+ +3 325 5 3 9122

En algunos casos de racionalizaciones compuestas se puede racionalizar tanto denominador como numerador, esto es dependiendo de las necesidades del ejercicio, pero solo se hace una de las 2. Ejemplo:

−+

2 2 32 4 3

− +

+ +

1

2 2 3 2 2 32 4 3 2 2 3

( )

( ) ( )−

+ + +2 21 1

2 2

2 4 3

2 2 2 3 4 2 3 8 3

( ) ( ) ( )−

+ +1 1

1 12 2

2 12

2 6 2 3 8 3

( )( )[ ]

−

+ +12

10

2 6 2 3 24

[ ]−

+12

10

26 6 6

( )

( )−

+

2 52 13 3 6

−+5

13 3 6

− −

+ −

1

2 2 3 2 4 32 4 3 2 4 3

( ) ( )( )

− − +−

2 21 12 22 4 2 3 2 2 3 8 3

2 16 3

( ) ( ) ( )− +−

1 11 12 22 6 2 3 8 3

2 48

( )[ ]− +−

122 6 2 3 24

46

−−

26 6 646

( )

( )−

−2 13 3 6

2 23 −

−13 3 6

23

Ejercicios 1: Simplifica los siguientes ejercicios de números racionales aplicando las propiedades de los números reales, realizándolos paso a paso para justificar tus resultados, simplificándolos en un solo número real. Sin usar calculadora y sin saltarte pasos. 1) − + +3 3 3 34 5 5 40 320 2 135 2) − −2 192 3 147 4 432 3) − + −5 5 2 20 3 45 180 4) − + −4 162 4 50 9 72 12 288

5) ( )−2 2 6 2 5 6) ( )+3

5 2

7) ( )( )+ −2 3 2 3 8) ÷3 3500 205 2

9) ÷5 120 6 40 10) ÷3 36 324 2 12

11) ÷8 30 10 10 12) 932


30

13) 33

14) 3

23

15) 3

53 2

16) 1128

17) −5

3 2 18)

+

−

5 23 5

19) 33

22 3+

20) −

−

3

3

7 25 7


31

ACTIVIDAD 5

CONVERSIÓN DE FRACCIONES A DECIMALES Y DE DECIMALES A FRACCIONES

Para realizar este proceso definiremos una fracción decimal la cual es una fracción que tiene como denominador una potencia de 10 la cual se representa también con una notación de punto decimal como se observa en el siguiente ejemplo:

.=53 0 053

1000

.=521 5 21100

Para este proceso hay reglas para transformar las fracciones en decimales, nosotros utilizaremos la división calculando los decimales, de tal forma que si tienen un número finito de decimales será un decimal exacto en cambio si nunca terminan los decimales y hay cifras que se repiten tendremos decimales periódicos puros o mixtos. Ejemplos:

325

.0 1225 30

500

.=3 0 12

25 Decimales exactos

1799

.0 171799 170

710170

710

.=17 01799

Decimales periódicos puros

1918

.1 05518 19

10100

10010

.=19 1 0518

Decimales periódicos mixtos

Ejercicio 1: Transforma las siguientes fracciones a decimales.

1) 56

2) 157

3) 8990

4) 21950

5) 17033

6) 730

7) 340

8) 1611

9) 766

10) 9

1000 11)

23

12) 566

13) 3

250 14)

3327

15) 439

Para convertir un decimal a fracción común irreducible o simplificada, primero debemos determinar si es exacta o periódica.


32

Decimal Exacto. Convierte a fracción común el número 2 84. 1. Multiplicamos el número decimal por una potencia de 10 que lo transforme en número entero.

( ) ( )22 84 10 2 84 100 284. .= = 2. El resultado de este producto será nuestro numerador y la potencia de 10 el denominador.

284100

3. De ser necesario se simplificara a su mínima expresión.

( )( )

= =2

2 2

284 2 71 71100 252 5

Decimal Periódico. Para las fracciones periódicas las clasificaremos en puras y mixtas, las primeras solo son cuando tiene decimales que se repiten ( ).0 3 y las segundas cuando tiene combinación de decimales que se repiten y no se repiten ( ).0 763 ; el proceso es similar pero un paso se trata diferente, como veremos en los siguientes ejemplos. Convierte a fracción el siguiente número .013 Convierte a fracción el siguiente número .0 35 1. Multiplicamos por una potencia de 10 de tal forma que transforme las cifras del periodo (pura) y la que no son periódicas (mixta).

( ). .=2013 10 1313 ( ). .=013 100 1313

( )30 135 10 135 5. .= ( )0 135 1000 135 5. .=

2. En el caso de ser periódica pura se multiplicara por la unidad y si es periódica mixta multiplicaremos por una potencia de 10 de tal forma que trasforme en entero a la parte no periódica.

( ). .=013 1 013 ( ). .=20 135 10 13 5 ( ). .=0 135 100 13 5

3. El producto obtenido en el paso 1 se le restara el producto del paso 2, de la misma forma las potencias de 10 en el caso de ser periódicas mixtas, si es pura se le restara la unidad a la potencia de 10 del paso 1, para eliminar los decimales periódicos.

. .− =1313 013 13 − =100 1 99

. .− =135 5 13 5 122 − =1000 100 900

4. El resultado de restar los productos y las potencias de 10 del paso 1 y 2 serán el numerado y denominador correspondientemente, y en caso necesario simplificar a su mínima expresión.

( )= =2

13 13 1399 993 11

( )( )

( )( ) ( )

= = =2 3 2 3 2

122 2 61 2 61 61900 4502 3 5 2 3 5 2


33

Ejercicio 2: Transforma los siguientes decimales a fracciones. 1) 5 68. 2) 015. 3) 5 016. 4) 0 013. 5) 21. 6) 0 47. 7) 0 652. 8) 0114. 9) 1 0863. 10) 0 0702. 11) 0153. 12) 0 2503. 13) 3 1. 14) 0142857. 15) 0 0325.

CALCULANDO RADICALES

Con las estrategias aprendidas en las actividades anteriores y la ayuda de las raíces de los primeros 25 números primos, estrategia para cuando no se cuenta con una calculadora. Para realizar esta estrategia se necesita descomponer el radicando en sus números primos, para ver si se puede simplificar o saber que números primos lo componen para usar leyes de los exponentes y separar radicales con las leyes de los exponentes y hacer los cálculos como se verá en los ejemplos:

Calcula con una aproximación de decimas los siguientes radicales. 1. 12 . Solución:

12 26 23 31

( )212 2 3=

Descomponemos en números primos.

( )2 212 2 3 2 3 2 3= = = Sustituimos y simplificamos el radical

1733 1 73100

.= = Con la tabla de radicales obtenemos la raíz cuadrada de 3 y la transformamos a fracción.

173 3462 3 2 3 46100 100

. = = =

Sustituimos y realizamos las operaciones.

12 3 46.≈ 2. 200 . Solución:

200 2100 250 225 55 51


( ) ( )( )3 2 2 2 2 2200 2 5 2 5 2 2 5 2= = = ( )( )200 2 5 2 10 2= =

Sustituimos y simplificamos el radical

1412 1 41100

.= = Con la tabla de radicales obtenemos la raíz cuadrada de 2 y la transformamos a fracción.

141 141010 2 10 14 10100 100

. = = =


200 14 10.=


34

3. 30 . Solución:

30 215 35 51


( )( )30 2 3 5 2 3 5= = Sustituimos y simplificamos el radical

1412 1 41100

.= =

1733 1 73100

.= =

2245 2 24100

.= =

Con la tabla de radicales obtenemos la raíz cuadrada de 2, 3 y 5 y la transformamos a fracción.

141 173 224 54640322 3 5100 100 100 1000000 = =

2 3 5 5 464032 5 46. .= =


30 5 46.= 4. 90 . Solución:

90 245 315 35 51


( )( )2 290 2 3 5 2 3 5 3 2 5= = = Sustituimos y simplificamos el radical

1412 1 41100

.= =

2245 2 24100

.= =

Con la tabla de radicales obtenemos la raíz cuadrada de 2, 3 y 5 y la transformamos a fracción.

141 224 947573 2 5 3 9 4757 9 48100 100 10000

. . = = = =


90 9 48.=

Ejercicio 1: Con ayuda de la tabla de las raíces de los números primos calcula de manera aproximada las siguientes raíces: 1) 8 2) 243 3) 250 4) 343 5) 180 6) 125 7) 176 8) 27 9) 117 10) 76 11) 42 12) 66 13) 130 14) 345 15) 105 16) 6 17) 15 18) 161 19) 65 20) 93 21) 194 22) 267 23) 415 24) 553 25) 803

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35

ACTIVIDAD 6 OPERACIÓN CON NÚMEROS REALES

Cuando se realicen operaciones con números reales debemos recordar que emplean las propiedades de los números enteros, racionales e irracionales para la suma, resta, multiplicación, división, potencia y radical combinándolos; así como la simplificación de radicales y fracciones según sea el caso; sin olvidar la racionalización si esta se puede aplicar. Nota: No se debe olvidar la jerarquía de las operaciones y como eliminar los signos de agrupación. Ejercicio 1: Realiza las siguientes operaciones de números reales.

1) ( ) − − 13 24

2) +

1 535 3

3) + −5 46 36 5

4) − +6 7 2

57

5) π + −3 10

5 6) π

π π− + −

3 35

7) +

4 15e 3

8) + −1 180 e2 5

9) −2 37

10)

− −

32 554

11)

− + −

− −

3222 5

47

12)

− − − + −

3 2 645 3 9

2

13)

− −

−

1 245 3

53

14)

( )

− + −

+

22

2 13 5 33 10

314

15) ( ) ( )( )25 3 4 2 2

325

− + − − −

16) − −1 503 6

17)

− − + −

13211 32

18) ( ) ( )( )

( )

3 22 6 4 3 02 4

− − − −−

19) ( )[ ] [ ]2 24 5 0 2− − − + − 20) [ ]2

2 1 15 42 4 − + − −

Los siguientes ejercicios aplica las propiedades de los números reales como se muestra en los ejemplos. Sin usar calculadora y realizarlo sin saltarse pasos. Ejemplos:

( )+ 31 5 ( )( )( )+ + +1 5 1 5 1 5

( ) ( )[ ]( )1 1 5 5 1 5 1 5+ + + + ( ) ( )( )( )+ + + +2 21 5 1 5 1 5 1 5

−−3 1

4 2 2

( ) ( )( )− −−

3 2 1 4 22 4 2


36

( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 21 1 5 5 1 1 5 5 1 1 5 5 1 5+ + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 2 2 2 2 31 1 5 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5+ + + + + + +

( )[ ] ( )[ ]3 2 2 31 3 1 5 3 5 1 5+ + + ( )[ ] ( )[ ]1 3 1 5 3 25 1 125+ + +

[ ] [ ]126 3 5 3 25+ + 126 15 75+ +

216

− +−

6 4 28 4

44

1

Ejercicio 2: Realiza las siguientes operaciones sin saltarse pasoso. 1) ( )− 22 5 2) ( )+ 24 3 3) ( )− 35 7 4) ( )( )− +2 4 5 7

5) −−

1 15 3 5

6)

−−

−

−

2 5 13 4 3

15

7) −

−

78 45 7 1

8) −− −

−+ −

22 153 1 6 74 2 5 3


37

ACTIVIDAD 7

TANTO POR CIENTO Y NOTACIÓN CIENTIFICA TANTO POR CIENTO El tanto por ciento de un número es una o varias de las cien partes iguales en que se puede dividir dicho número, es decir, uno o varios centésimos de un número, y se denota por el símbolo % . La expresión a% de b representa el porcentaje de un numero donde a es un decimal y b una cantidad absoluta llamada cantidad de referencia o total, Un porcentaje indica una cantidad relativa con respecto a la de referencia de forma que es a partes de cien en las que se considera dividida b ; está es la razón por la que el tanto por ciento se considera una fracción.

100aa% =

Para pasar de un porcentaje a fracción basta con construir una fracción de numerador a y denominador 100, Si el numerador queda decimal se agregara un cero al denominador por cada lugar que recorra el punto decimal hasta hacer el numerador entero y posterior mente se simplificara hasta su mínima expresión.

( )3

33 3

12 5 125 5 1 112 5100 1000 822 5

.. % = = = = =

Para pasar de una fracción a tanto por ciento se realizara la división y se multiplicara por 100 y al resultado se le pondrá el símbolo % .

( ) ( )1 100 0 125 100 12 58

. . %= =

0 1258 1000

1020

400

.

Para transformar del tanto por ciento a decimal el valor de a se dividirá entre 100.

12 512 5 0 125100

.. % .= =

0 12510 12500

125250

5000

.

Y para transformar de decimal a tanto por ciento se multiplicara por 100 y se pondrá el símbolo de %.

( )0 125 100 12 5. . %=


38

Ejercicio 1: a. Convierte los siguientes porcentajes a decimales. a) 7% b) 19% c) 22% d) 125% e) 4 83. % f) 0 23. % g) 0 0005. % h) 0 0011. % b. Convierte los siguientes decimales a porcentajes. a) 0 234. b) 0 05. c) 2 75. d) 1 42. e) 0 8. f) 0 0005. g) 1 033. e) 0 00101. c. Convierte los siguientes porcentajes a fracciones comunes. a) 75% b) 2% c) 36 5. % d) 45 75. % e) 183% f) 102 5. % g) 0 0034. % h) 0 25. % d. Convierte las siguientes fracciones a porcentajes.

a) 21

100 b)

210

c) 35

d) 23

e) 73

f) 52

g) 27

h) 215

Ejercicio 2: Llena la siguiente tabla transformando los datos que se te dan en cada columna a decimal, fracción decimal, fracción común o a tanto por ciento según sea el caso correspondiente.

DECIMAL FRACCION DECIMAL FRACCION COMUN TANTO POR CIENTO

0 04. 4

100 1

25 4%

1) 0 24.

2) 40%

3) 45

4) 92

100

5) 1 85.

6) 9

100

7) 1

1000

8) 2

9) 250100

10) 1516

11) 314%

12) 0 2. %


39

NOTACIÓN CIENTIFICA Una aplicación importante de los exponentes es su uso para simplificar cálculos que incluyen números demasiado grandes o demasiado pequeños. Para estos cálculos se emplea una herramienta matemática conocía como notación científica. Definición. Un número está escrito en notación científica si se expresa en la forma:

nA 10×

Donde n es cualquier entero y A está en el intervalo [ )1,10 , es decir: 1 A 10≤ < . Convierte las siguientes cantidades a notación científica:

29980000000 0.0000000000001673 Obtenemos el valor de A de acuerdo al intervalo permitido y el numero de posiciones que se recorra el punto decimal será el valor de n , si recorre a la izquierda n positivo y si recorre a la derecha n negativo.

10A 29980000000.

←

=

A 2.998= n 10=

13A 0.0000000000001673

→

=

A 1.673= n -13=

Ahora lo expresamos en notación científica.

102.998 10× 131.673 10 −× Para transformar un número de notación científica a notación común se recorrerá el punto decimal de acuerdo al signo del exponente de la base 10, si es negativo a la izquierda, si es positivo a la derecha, colocando ceros en los espacios vacios que se encuentren al ir recorriendo el punto decimal. Como veremos en los siguientes ejemplos:

53.7 10× 5

3.70000→

370000

31.1 10 −− × 3

0001.1←

−

0.0011−

Si un numero esta expresado en notación científica pero no está dentro del intervalo recorreremos el punto decimal hasta que dar en el intervalo de A tomando en cuenta el sentido hacia donde se recorra y las posiciones que tenga que moverse si lo hace a la izquierda se sumara el numero de posiciones que se recorra el punto, si lo hace al a derecha se restara el numero de posiciones al exponente.

343.2 10×

3

143.2 10

←

×

3 14.32 10 +× 44.32 10×

50.063 10× 5

20 .06 3 10

→

×

5 26.3 10 −× 36.3 10×

Emplear la notación simplifica la multiplicación y división, haciendo uso de las leyes de los exponentes. Ejemplo:

( )( )0.00024 96000000640000000


40

Primero trasformamos todas las cantidades a notación científica.

( )( )4 7

8

2.4 10 9.6 106.4x10

−× ×

Agrupamos las potencias de 10 para simplificarlas mediante las leyes de los exponentes y a los decimales los pasamos a fracciones.

( )4 7

8

24 9610 1010 10

64 1010

− ×

( )( )

( )( )

( )

3 5

3

6 8

2 3 2 3102 5 2 5

2 102 5

= ×

( ) ( )2 4

55

2 3 2 35 5 10

25

−

= ×

( )6 2

25

5

2 35 1025

−= ×( )( )

6 25

5 2

2 3 5 102 5

−= ×

( )252 3 10

5−× 518 10

5−= × 53.6 10 −= ×

Ejercicio 3: Transforma a notación científica y simplifica las siguientes operaciones:

1) ( )( )4000 30000

0.0006 2)

( )( )0.0006 0.0000721000

3) ( )( )640000 2700000

120000 4)

( )( )0.0000013 0.000090.00039

5) ( ) ( )2 20.000012 49000

0.021 6)

( ) ( )2320000 0.00091200

OPERACIONES CON NUMEROS DECIMALES

Sumas. Para realizar las sumas se ordenan las posiciones unidades con unidades, decenas con decenas, centenas con centenas y así sucesivamente, lo mismo con las posiciones menores a la unidad decimas con decimas centésimas con centésimas y así sucesivamente colocándolos en columnas. Ejemplo: Realiza la siguiente suma: 0.03 14.005 0.56432 8.0345+ + +

0. 0 31 4. 0 0 5

0. 5 6 4 3 28. 0 3 4 5

2 2. 6 3 3 8 2

+

Resta. Se acomoda como la suma teniendo en cuenta que el sustraendo debajo del minuendo, añadiendo ceros, si fuese necesario, para el minuendo y el sustraendo tenga igual número de cifras decimales. Hecho esto, se resta como si fuera números enteros, colocando en la resta el punto decimal en columna con los puntos decimales del minuendo y del sustraendo. Ejemplo: Realiza la siguiente resta: 23.5 14.069−

2 3 4. 5 0 01 4. 0 6 9

2 2 0. 4 3 1

−


41

Multiplicación. Para multiplicar dos decimales o un entero por un decimal, se multiplican como si fueran enteros, colocando de derecha a izquierda del producto el punto decimal tantas cifras decimales como haya en el multiplicando y el multiplicador. Ejemplo:

1 4. 2 53. 0 5

7 1 2 54 2 7 5

4 3. 4 6 2 5

×

1 8 9 40. 0 5

9 4. 7 0

×

División. El procedimiento usual para colocar el punto decimal en el coeficiente de dos números decimales es el siguiente. Se mueve a la derecha el punto decimal en el dividendo y en el divisor los lugares necesarios para convertirlos en números enteros, aumentando ceros donde sea necesario y se efectúa la división como se hace en los números enteros y se escribe el punto decimal directamente arriba del que tiene la nueva posición del dividendo. Si el dividendo es entero y el divisor decimal se hará el mismo proceso anterior, pero si el dividendo es decimal y el divisor entero solo se escribirá arriba el punto decimal. Ejemplos:

60.69 0.017÷ 0.017 60.690

3570.17 60690.

96901190

000

42 0.07÷ 0.07 42

6000.7 4200.

00000

0

0.9 45÷ 45 0.9

0.0245 0.9

900

Ejercicio 4: Realiza las siguientes operaciones de números decimales. 1. 0.005 0.132 8.5432 14.00001+ + + 2. 19.75 301 831.019 0.00015 0.07+ + + + 3. 0.735 0.5999− 4. 11.184 119.327− 5. 14.782 13 325.73006 81.574325 53− + − + 6. ( ) ( )75 0.003 19.351 14 0.0005− + − + 7. ( ) ( ) ( )8 5.19 15 0.03 80 14.784+ + − − − 8. 0.187 19× 9. 14 0.08× 10. 0.17 0.83× 11. 16.84 5.005× 12. ( )8.35 6.003 0.01 0.7+ + × 13. ( )0.75 0.3 8.01− × 14. ( )0.978 0.0013 1.056 8.03− + × 15. 14.6 3.156÷ 16. 0.243 0.081÷ 17. 12 0.003÷ 18. 17 0.143÷ 19. 0 003 12. ÷ 20. 19.14 175÷


42

ACTIVIDAD 8

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DEL mcm Y mcd En varios problemas se aplican el concepto del mínimo común múltiplo (mcm) y el máximo común divisor (mcd) para obtener los datos que den solución al problema; el mcm nos sirve para indicar en qué de terminado número o tiempo coinciden los datos del ejercicio; el mcd nos da el mayor número que divide de manera exacta a todos los datos considerados en el problema. Ejemplos: 1. Un hombre tiene tres rollos de billetes. En uno tiene $4540 , en otro $5280 y el tercero $6500 . Si todos los billetes son iguales y de la mayor denominación posible ¿Cuál es la denominación del billete y cuantos billetes hay en cada rollo? Solución: Para plantear el ejercicio realizamos una dista con datos del mismo: Datos:

1er rollo - $4540 2do rollo - $5280 3er rollo - $6500 Denominación del billete Cuantos hay en cada rollo.

Como nos piden la denominación mayor posible tenemos que buscar un número que pueda dividir a las tres cantidades de manera exacta y sea el más grande esto significa que es el mcd y por lo tanto, descompondremos las cantidades en sus factores primos para obtener dicho número.

4540 22270 21135 5227 227

1 ( )24540 2 5 227=

5280 22640 21320 2660 2330 2165 355 511 111

( ) ( )55280 2 3 5 11=

6500 23250 21625 5325 565 513 131

( )2 36500 2 5 13=

Tomamos los números primos que se repitan con el menor exponente, por lo tanto:

( ) ( )2m.c.d. 4540,5280,6500 2 5 20= = Se tendrían una denominación de billetes de $20 y en cada rollo tendríamos:

( )( )

2

2

4540 2 5 22720 2 5

=

4540 22720

=

Se tienen 227 billetes de $20

( ) ( )( )

5

2

5280 2 3 5 1120 2 5

=

( )[ ]( ) ( )( )

2 3

2

5280 2 5 2 3 1120 2 5

=

( ) ( )35280 2 3 1120

=

5280 26420

=

( )( )

2 3

2

6500 2 5 1320 2 5

=

( )[ ]( )( )

2 2

2

6500 2 5 5 1320 2 5

=

( )26500 5 1320

=

6500 32520

=


43

Se tienen 264 billetes de $20 Se tienen 325 billetes de $20 2. ¿Cuál es la menor capacidad de un estanque que se puede llenar en un número exacto de minutos por

cualquiera de las tres llaves que vierten: ra1 - lts12min

, da2 - lts30min

, ra3 - lts48min

y en cuanto tiempo lo

llena cada uno de ellas? Solución: Planteamos el problema obteniendo una lista de datos. Datos:

ra1 llave - lts12min

da2 llave - lts30min

ra3 llave - lts48min

Capacidad del tanque. Tiempo de llenado que le toma a cada llave.

Nos piden una cantidad menor que esté relacionada con los tres números en forma exacta, y este sería el mcm, pero consideramos el número total de litros en un minuto que serían 12, 30 y 48 litros respectivamente.

12 26 23 31

( )212 2 3=

30 215 35 51

( )( )=30 2 3 5

48 224 212 26 23 31

( )= 448 2 3 Obtenemos el mcm tomando los números primos que se repiten con el mayor exponente multiplicándoles los que no se repiten.

( ) ( )( )= =4m.c.m. 12,30,48 2 3 5 240 Por lo tanto se necesita un estanque de 144 litros. Ahora para saber el tiempo de llenado de cada llave dividimos la capacidad del tanque entre el tiempo de llenado de cada llave.

( )( )( )

=4

2

240 2 3 512 2 3

( )[ ] ( )( )

=2 2

2

240 2 3 2 512 2 3

( )= 2240 2 512

=240 2012

20 minutos

( )( )( )( )

=4240 2 3 5

30 2 3 5

( )( )[ ]( )( )

=3240 2 3 5 2

30 2 3 5

= 3240 230

=240 830

8 minutos

( )( )( )

=4

4

240 2 3 548 2 3

=240 548

5 minutos.

Por lo tanto la ra1 se tardará20 minutos, la da2 se tardará 8 minutos y la ra3 5 minutos.


44

Ejercicios: 1. Edith, Verónica y Andrea son atletas, Edith recorre la pista de 400 metros en 80 segundos, Verónica la recorre en 90 segundos y Andrea en 105 segundos. Si comienzan a correr al mismo tiempo y en el mismo lugar, ¿después de cuánto tiempo se volverán a encontrar las tres en algún lugar de la pista? 2. Se compran tres rollos de listón, uno rosa de 4 metros otro azul de 7 metros y otro verde de 5.5 metros. Se desea cortarlos para tener listones de la misma medida, ¿de qué medida debe ser cada listón? 3. Las luces intermitentes de la marquesina de un teatro funcionan a base de 3 tipos de focos que se encienden alternadamente cada 21 , 28 , y 35 segundos respectivamente. a) ¿Cuántos segundos después de haber encendido la marquesina estarán todos encendidos por primera vez? b) En todo el periodo del tiempo anterior ¿Cuántas veces encendieron los focos que tienen intermitencia cada 28 segundos? 4. Se tienen 3 rollos de mecate de 160 , 210 y 100 metros respectivamente; se quiere cortar trozos del mismo tamaño en los 3 rollos. a) ¿De qué medida será cada trozo? b) ¿Cuántos trozos se obtienen de cada rolo? 5. Tres satélites artificiales dan una vuelta completa a la tierra en 504 , 576 y 720 minutos, respectivamente. Si hoy se alinean los tres satélites sobre un punto de la superficie terrestre ¿dentro de cuánto tiempo volverán a alinearse? 6. Un comerciante adquiere 4 costales de frijol uno de 18 kg, otro de 36 Kg y uno más de 42 Kg ¿en bolsas de que capacidad le conviene más empacarlo para que sea el mínimo número de bolsas utilizadas y todas de la misma capacidad? 7. El biorritmo se basa en ciclos de días, el intelectual dura 33 días, el físico 28 y el anímico 23 ¿Cada cuantos días coinciden los tres ciclos? 8. Para llegar al andén de una estación del metro se deben bajar tres tramos de escaleras, el primer tramo tiene 288 cm, el segundo tiene 336 cm y el tercero 304 cm. Si todos los escalones deben ser de la misma altura ¿Cuántos escalones tienen cada tramo de escalera? 9. Para comprar un número exacto de docenas de pelotas que cuesta $80 la docena o un número exacto de docenas de lápices que cuesta $60 la docena ¿Cuál es la menor cantidad de dinero necesaria para la compra? 10. Se quiere envasar 161kg, 253 Kg y 207 Kg de plomo en tres cajas, de modo que los bloques de plomo de cada caja tengan el mismo peso y el mayor posible ¿Cuánto pesa cada pedazo de plomo y cuántos caben en cada caja? 11. Hallar la menor capacidad posible de un depósito que se puede llenar en un número exacto de minutos abriendo simultáneamente tres llaves que vierten: la ro1 10 litros por minuto, la do2 12 litros por minuto y la ro3 30 litros por minuto y cuantos minutos tardaría en llenarse. 12. Tres camiones de carga transportan arena a un almacén, el primero contenía 840 Kg, el segundo1540Kg y el tercero 3080 Kg. Posteriormente se empaca éste material en costales del mismo tamaño, si se desea que los costales tengan la mayor cantidad posible de arena. a) ¿Cuál es el peso de cada costal? b) ¿Cuántos costales se requieren? 13. ¿Cuál será la menor longitud de una varilla que se puede dividir en pedazos de 8 cm, 9 cm o 15 cm de longitud sin que sobre ni falte nada y cuantos pedazos de cada longitud se podrán sacar de esa varilla? 14. Una persona camina un número exacto de recorriendo las distancias de 6.5 m, 8 m y 10 m, ¿Cuál es la mayor longitud posible de cada paso?


45

15. Hallar el menor número de bombones necesarios para repartir entre tres clases de 20 , 25 y 30alumnos respectivamente, de modo que cada alumno reciba un número exacto de bombones y cuántos bombones recibirá cada alumno de la ra1 , da2 y ra3 clase respectivamente. 16. ¿Cuál es la mayor longitud de una regla con la que puede medirse exactamente el largo y el ancho de una sala que tiene 8.5 m de largo y 5.95 m de ancho? 17. Tres galgos arrancan juntos en una carrera en una pista circular. Si el primero se tarda 10 segundos en dar una vuelta a la pista, el segundo en 11segundos y el tercero en 12 segundos, ¿Cuántos segundos tendrán que pasar para que los galgos atraviesen juntos por la línea de meta y cuantas vueltas habrán dado? 18. Compré cierto número de trajes por $2050 . Vendí una parte recolectando $1500 cobrando por cada traje lo mismo que me había costado. Hallar el valor mayor posible de cada traje y en ese supuesto ¿Cuántos trajes me quedan? 19. Tres aviones salen de una misma ciudad, el er1 cada 8 días, el do2 cada 10 días y el er3 cada 20 días. Si salen juntos de ese aeropuerto el día 2 de Enero, ¿Cuáles serán las dos fechas más próximas en que volverán a salir juntos? (el año no es bisiesto). 20. Si se tienen tres extensiones de 3675 , 1575 y 2275 metros cuadrados de superficie respectivamente y se quieren dividir en parcelas iguales ¿Cuál ha de ser la superficie de cada parcela para que el número de parcelas de cada una sea el menor posible?

CADEMIA DE MATEMATICAS SEMANAL SKQ

46

ACTIVIDAD 9 RAZONES Y PROPORCIONES

Razón. Es el resultado de comparar dos cantidades. Estas cantidades se pueden comparar de dos formas por diferencia o por cociente. Diferencia.- En cuanto excede una a la otra, es decir, restándolas y se le conoce como Razón Aritmética. Cociente.- En cuantas veces contiene una a la otra, es decir, dividiéndolas la cual recibe el nombre de Razón Geométrica. La razón geométrica oporcociente de dos cantidades es el cociente indicado de dichas cantidades, de ahora en adelante a la razón geométrica solo se le nombrara razón ya que es la única con la que trabajaremos en el curso.

Las razones pueden escribirse de dos modos: En forma de quebrado ab

o separadas por el signo de división

a b÷ ; así la razón de 8 a 4 se escribe: 84

ó 8 4÷ , y se lee ocho es a cuatro.

Los términos de la razón se llaman antecedente a el primero (numerador o dividendo) y consecuente al

segundo (denominador o divisor). Así en el ejemplo anterior 84

ó 8 4÷ ; 8 es antecedente y 4 consecuente.

En la aplicación de las razones cuando las comparaciones se realizan con cantidades de la misma especie, se tiene un numero abstracto que lo único que nos indica es cuantas veces cabe un cantidad en otra. Propiedades. Como la razón de dos cantidades es en sí una división indicada, tienes las mismas propiedades que los números racionales. 1. Si el antecedente de una razón se multiplica o divide por un número, la razón queda multiplicada o dividida por dicho número.

a rb=

( )ac r cb =

ac crb

=

arc

b c

=

a rbc c

=

2. Si el consecuente de una razón se multiplica o se divide por un número, la razón quedara dividida o multiplicada correspondientemente por ese mismo número.

a rb=

a rc b c =

1 1

a rbc c

=

a rb

cc

=

1


47

ac crb

=

3. Si el antecedente y el consecuente de una razón se multiplica o divide por el mismo número la razón no varía.

a rb=

c a crc b c =

ac crbc c

=

arbcccc

=

ac crbc c

=

Ejercicios: 1. Halla la razón de los siguientes números:

a) 60 y 12 . b) 5.6 y 3.5 . c) 1112

y 56

. d) 38

y 0.355 .

Proporciones. Es la igualdad de dos razones y se denota de la siguiente manera.

a cb d= ó a : b :: c : d

Y se lee a es a b como c es a d . Los términos de una proporción se llaman: extremos al primero y al cuarto término, y medios al segundo y al tercero. También por ser la igualdad de dos razones tenemos que: el primero y el tercero se llaman antecedentes, y el segundo y cuarto consecuentes. La propiedad fundamental de las proporciones es: En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

a cb d=

( ) ( )a cbd bdb d =

abd bcdb d

=

ad bc= Ejemplo:

6 424 28=

( )[ ] ( )[ ]6 424 28 4 28

4 28 = ( ) ( )6 28 4 42=

168 168=


48

Ejercicio 1: Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones obtén el valor faltante que completa la proporción:

a) 0.004 0.0060.005

= b) 1 1 2: :: :3 5 3

c) 8 164

= d) 1 9: :: :4 16

Para resolver problemas de aplicación donde involucre las razones y proporciones, lo importante es poder determinar la forma de armar la razón o proporción como veremos en los siguientes ejemplos.

Con respecto a las proporciones es importante determinar si el problema es directamente o inversamente proporcional, para poder armar la proporción. Una razón puede ser la comparación de una cantidad mayor con respecto a la menor o de la menor con respecto a la mayor. De tal forma al armar una proporción como igualdad de dos razones si en la primera razón compara la mayor con respecto a la menor en la segunda será de igual forma; o si empiezo de la menor con respecto a la mayor se tendrá que respetar dicho orden en la segunda proporción. Ejemplos: 1. Se tienen dos engranes: A que tiene 10 dientes y B que tiene 15 dientes cual es la razón de dientes del engrane A con respecto al engrane B y del engrane B con respecto al engrane A. Solución: Realizamos nuestro listado de datos. Datos.

Engrane A tiene 10 dientes. Engrane B tiene 15 dientes.

1r =engrane Aengrane B

2r =engrane Bengrane A

Realizamos la comparación geométrica de la cantidad de dientes que tiene cada engrane en cada razón que nos piden:

1r =engrane Aengrane B

110r15

=

( )( )1

2 5r3 5

=

12r3

=

Por lo tanto por cada 2 dientes del engrane A se tiene 3 dientes del engrane B

2r =engrane Bengrane A

215r10

=

( )( )2

3 5r2 5

=

23r2

=

Por lo tanto por cada 3 dientes del engrane B se tienen 2 del engrane A.

Nota: El procedimiento es correcto para ambas razones la interpretación hace la diferencia ya que como nos indica una razón es la comparación de una cantidad con respecto a otra, es decir cuántas veces una contiene a la otra. Si convertimos a decimales la primera razón diríamos que el 2 contiene a 3 en 0.6


49

2. En la escuela Justo Sierra hay una población de 2100 alumnos que ingresan este ciclo escolar, y se tiene una razón de 1maestro por cada 20 alumnos, pero se requiere una razón de 1maestro por cada 35alumnos por cuestiones de espacio cuantos maestros tendrán que despedir para lograr el objetivo? Solución: Realizamos nuestro listado de datos para poder plantear el problema Datos.

Población de 2100 alumnos. 1M - Número de maestros que se tienen

2M - Número de maestros que se quedaran M - Número de maestros que serán despedidos. A - población de alumnos

MrA

=

11r

20=

21r

35=

Para obtener el resultado se necesitaran hacer dos proporciones una para obtener el número de maestros que existen, y otra para obtener el número de maestros deseados, y posteriormente se hará una resta para obtener el número de maestros que se despedirán. Como se desea que la razón se a la misma en ambos casos tendremos las siguientes proporciones

1r r=

1M 1A 20

=

1M 12100 20

=

2r r=

2M 1A 35

=

2M 12100 35

=

Multiplicamos por 2100 ambos lados de las proporciones.

( ) ( )1M 12100 21002100 20

=

12100M

20=

( ) ( )( )

2 2

1 2

2 3 5 7M2 5

=

( )[ ]( ) ( )( )

2

1 2

2 5 3 5 7M2 5

=

( ) ( )1M 3 5 7=

1M 105= Se tienen 105 profesores.

( ) ( )2M 12100 21002100 35

=

22100M

35=

( ) ( )( )

2 2

22 3 5 7M

3 7=

( )[ ] ( )( )

2

25 7 2 3 5M

5 7=

( )22M 2 3 5=

2M 60= Se necesitan solo 60 profesores.

Por lo tanto:

1 2M M M= − M 105 60= −

M 45=


50

Se necesitan despedir 45 profesores. 3. A 63 C° , el contenido de agua en un vaso de precipitados se evapora en 13 minutos. ¿En cuántos C° se debe aumentar la temperatura, para que el mismo contenido de agua se evapore en 9 minutos? Solución: Realizamos un listado de los datos del problema. Datos.

En 63 C° 1 vaso de agua se evapora en 13 min. En C° 1 vaso de agua se evapora en 9 min. Cual es t∆ para realizar este proceso.

Relacionamos los datos 1T 63 C= ° , 2T no la conocemos, 1t 13 min= y 2t 9 min= , analizando los dato tenemos que para evaporar el agua más rápido la temperatura debe ser mayo por lo tanto 2 1T T> y en consecuencia 1 2t t> , por lo cual estamos en una proporción inversa, porque una cantidad aumenta mientras la otra disminuye. Así que para armar la proporción relacionaremos cantidades mayores con respecto a las menores ya que la 2T en la temperatura más grande y no la conocemos por lo tanto:

2 1

1 2

T tT t

=

2T 1363 9

=

Multiplicamos ambos lados por 63 para despejar y después simplificamos los quebrados.

( ) ( )2T 1363 6363 9

=

( )2

13 63T9

=

( )2

2 2

13 3 7T3

=

( )2T 13 7=

2T 91= °

Se necesita tener una temperatura de 91 C° para evaporar la misma cantidad de agua en 9 minutos, por lo tanto el incremento que hay que realizar se obtiene restando la temperatura mayor de la menor.

2 1T T T∆ = − T 91 63∆ = −

T 28∆ = °

Entonces aumentaremos 28 C° para poder evaporar el agua en 9 minutos en lugar de 13 minutos. 4. Utilizando una podadora de mano, el pasto de un campo de futbol se puede cortar en 19 horas; utilizando un carro podadora, corta el mismo pasto del campo en 3 horas ¿En cuánto tiempo se corta el pasto utilizando las dos podadoras? Solución: Realizamos un listado con los datos del ejercicio. Datos:

r - Rapidez de cortar el campo. 1r - Rapidez de cortado de la podadora 1.

2r - Rapidez de cortado de la podadora 2. t - Tiempo total de cortar el campo


51

1t - Tiempo de cortado de la podadora 1.

2t - Tiempo de cortado de la podadora 2. S - Superficie del campo. 1t 19= horas.

2t 3= horas. Para realizar el ejercicio sabemos que al sumar las rapideces con la que cada podadora hace su trabajo para poder obtener el tiempo total.

1 2r r r= +

1 2

S S St t t= +

1 2

S 1 1St t t

= +

1 2

1 1 1t t t= +

Sustituimos los datos y obtenemos el tiempo total.

1 1 1t 19 3= +

( )1 3 19t 3 19

+=

( )1 22t 3 19=

( )( )

3 19t2 11

=

57t22

=

Con ambas podadoras se tardaría 5722

de hora para cortar el pasto del campo.

Ejercicio 2: 1. La razón de los gastos a las entradas de un restaurante es de 5 a 8. ¿Cuáles fueron las entradas en un mes si los gastos fueron de 3675$ ? 2. En una colonia de la ciudad hay 12000 niños que ingresaran a la primaria en el próximo ciclo escolar, y se sabe que la razón maestro–alumno es de 1 es a 30. Los padres de familia consideran que deben contratarse más profesores para que la razón anterior sea 1 es a 25, ¿cuántos maestros más se necesitan? 3. Una empresa dedicada a los servicios de las computadoras, capacita a su personal para que cada uno le pueda dar mantenimiento a 23 computadoras diariamente. a) ¿De cuantos técnicos consta su planta laboral si le da mantenimiento a 1081 computadoras diariamente? b) ¿Cuánto personal debe despedir, si solo le va dar mantenimiento a 391 computadoras? 4. Juan, Bety y Luis se reparten los problemas que tienen de tarea en el siguiente orden 3 de cada doce los hará Bety, 4 de cada 12 los realizara Luis y 5 de cada 12 los resolverá Juan ¿Cuántos ejercicios hace cada uno de ellos si el total son 420 ejercicios?


52

5. Como resultado de un negocio se ha decidido repartir las ganancias de manera que el dueño del negocio le tocan$7 y los trabajadores $11 . ¿Cuánto le toca a cada uno si se reparten $2520 ? 6. Si el corazón de un hombre adulto en condiciones normales bombea 5 lts de sangre por minuto ¿Cuántos litros bombea en un día? 7. Un automóvil en condiciones normales recorre 12 Km por litro de gasolina ¿Cuántos litros requiere para recorrer 1000 Km? 8. Un hombre en reposo respira aproximadamente 780 veces en una hora ¿Cuántas veces respirara en 1 semana? 9. Un avión en condiciones normales de vuelo consume 10 toneladas de combustible en un recorrido de 2500 Km ¿Cuántas toneladas consumirá en un viaje de 4200 Km. 10. Si por el consumo de 40 m3 de agua se paga $208 ¿Cuánto se pagará por el consumo de 25 m3? 11. En un internado hay 420 niños que con el suministro de víveres que se tiene se pueden alimentar por 30 días, ¿Cuántos días se alimentarían 680 niños con los mismos suministros? 12. un tanque de agua tarda 90 minutos en llenarse con dos surtidores que tiene el mismo gasto, si deseo que se llene en 15 minuto ¿En cuánto surtidores de más necesito con el mismo gasto para realizar el llenado? 13. Una cuadrilla formada por ocho hombres ha cavado en veinte días una zanja de cuatrocientos metros cúbicos, ¿Cuánto se incrementa el tiempo si la cuadrilla cava la misma zanja con seis hombres menos? 14. La pavimentación de un kilómetro de calle se realiza en 16 horas con 24 trabajadores; ¿cuántos trabajadores se necesitan contratar para que la pavimentación se realice en 6 horas? 15. Una tropa de soldados de 1300 hombres tiene víveres para 4 meses para el viaje que realizara, si se desea que los víveres duren 10 días más ¿Cuántos soldados no realizarán el viaje? (considerar 30 días por mes). 16. La entrada de agua a una piscina se hace a través de dos tubos. Con el agua proveniente de un tubo, la piscina se llena en 8 horas; si se emplea el otro tubo, se necesitan 12 horas para llenar la piscina. Estando la piscina vacía, ¿cuánto tiempo se necesitará para llenarla si se permite que el agua entre simultáneamente por los dos tubos? 17. Una cuadrilla de trabajadores puede hacer un colado de m228 en 12 horas y otra cuadrillad trabajadores puede hacer el mismo trabajo en 10 horas. Si las dos cuadrillas trabajan juntas, ¿en cuánto tiempo podrán hacer el mismo colado?

18. Ezequiel se come 1Kg de carnitas en 1 hrs2

, Felipe se come lo mismo en 3 hrs4

y Alfonso en 1hrs ¿En

cuánto tiempo se comerían2 Kg entre los tres? 19. A tres pintores se les encomienda pintar las paredes de una casa con una superficie de muros en

2248m , cada uno pinta 21m en aproximadamente 5 , 7 y 10 minutos ¿Cuántas horas se tardaran los 3en pintar las paredes de la casa? 20. Juan hace este problemarío en 18 hrs, su novia lo acabaría en 10 hrs ¿En cuánto tiempo lo acabarían entre los dos?


53

ACTIVIDAD 10 APLICACIONES DEL TANTO PORCIENTO

Los porcentajes constituyen uno de los lenguajes matemáticos de uso más extendido en la vida real. Es frecuente que los utilicemos para representar una cantidad respecto otra, pues es un método homogéneo que permite comparar fácilmente unas proporciones con otras al contrario de lo que sucede en las fracciones. También los medios de comunicación social están repletos de porcentajes que indican el peso relativo de una cantidad respecto a otra y, en otras ocasiones, las variaciones relativas que han sufrido distintas magnitudes o índices económicos, demográficos, sociales, científicos, etc. Quizás el lenguaje de los porcentajes es el lenguaje matemático más presente en las noticias, por lo que su comprensión y dominio es fundamental para entender la realidad que nos rodea. En un porcentaje intervienen la cantidad de referencia b que está asociada con él100% , el porcentaje a% y c la cantidad absoluta equivalente al porcentaje, como lo dijimos anteriormente, al ser una comparación de cantidades la podemos expresar en una proporción de la siguiente forma:

c ab 100= ó

b 100c a=

De lo cual la cantidad que nos haga alta o que deseemos obtener será despejada. Ejemplos: 1. Calcula el 30% de 25 .

c 3025 100

=

( ) ( )c 3025 2525 100

=

( )( )

( )22 2

2 3 5c 52 5

=

( ) ( )( )

2

2

2 5 3 5c2 5 2

=

15c2

=

c 7.5=

2. ¿15 es el 40% de qué número? 15 40b 100

=

b 10015 40

=

( )( )( )

( )2 2

3

b 2 515 1515 2 5

=

( )( )

( )2

2

2 5 5b 3 52 5 2

=

( )23 5b2

=

75b2

=

b 37.5= 3. ¿Qué porcentaje es 24 de 6 ?

24 a6 100

=

( ) ( )24 a100 1006 100

=

( )( )( )

32 3100 a2 3

=

( )( )( )

22 3 2a 1002 3

=

( )a 100 4= a 400%=


54

Ejercicios: 1. Obtén lo que se te pide: a) El 38% de 84 . b) El 1.2% de 146 . c) El 37.5% de 1.5 . d) ¿12 es 27% de qué numero? e) ¿ 0.084 es 33% de qué numero? f) ¿44 es 120% de qué numero?

g) ¿Qué porcentaje es 2 de 7 ? h) ¿Qué porcentaje es 27

de 137

?

i) ¿Qué porcentaje es 96.54 de 32.09 ? 2. ¿Qué porcentaje de ácido habrá en una solución que resulte de la combinación de 100ml de una solución ácida al 40% con: a) 50ml de agua pura? b) 200ml de una solución ácida al 10% ? c) 500ml de una solución ácida al 20% ? 3. En una tienda de deportes, un balón de Básquetbol cuesta $220 y por estar en oferta, están haciendo un descuento del 25% . En el mercado él mismo balón cuesta $160 , pero se cobra un impuesto del 5% sobre el precio. ¿Dónde conviene más comprar el balón? 4. En una papelería se compra un cuaderno, un lápiz y una goma, con un precio de $14.20 , $0.8 y $2.15respectivamente, sobre éste precio se cobra un impuesto del 16% , calcula: a) ¿Cuánto se pagará en total? b) Si todos los artículos tienen un descuento del 20% , ¿cuánto se va a pagar? c) Que conviene más, pagar primero el impuesto y luego hacer el descuento, al revés, ¿por qué? 5. En una tienda de autoservicio se está ofreciendo un 30% de descuento en el departamento de electrónica, se compra un televisor de $6500 de precio de lista (antes de aplicar el 16% de IVA), ¿qué conviene más, primero aplicar el descuento y después agregar el IVA ó al revés, primero el IVA y después el descuento? 6. Un par de tenis en cierta zapatería cuesta $240 , pero tienen la promoción de que si te llevas un segundo par, a éste se le hace un descuento del 20% . En una tienda de autoservicio, el mismo tenis tiene un precio de $270 , sólo que aquí todo el tenis tiene un descuento del 25% ; si se quieren adquirir 2 pares. ¿Dónde conviene comprarlos? 7. Por unos i-pod tu pagaste $990 , debido a que tenían un descuento del 20% , ¿Cuál era su precio originalmente? 8. Una llanta tiene un costo de producción, sobre éste costo la empresa tiene un margen de ganancia del 25%, los intermediarios buscan una ganancia del 10%, y el distribuidor al público se queda con una ganancia del 5% sobre lo que lo obtiene del intermediario. a) ¿A qué precio se da al publico si el costo de producción es de $450? b) ¿Cuál es el costo de producción si al público se ofrece a $700? 9. Para calcular el precio de un artículo, se realiza lo siguiente: al precio de costo de la fábrica por producirlo se le aumenta el 40% , que equivaldría a la ganancia con la que se queda la empresa, a éste precio se le aumenta un 20% que representa la mano de obra, a éste se la agrega un 10% que representa el desgaste del equipo, a éste se le aumenta un 30% de impuesto, finalmente se le incrementa un porcentaje de ganancia del establecimiento donde se venda, determina: a) El precio de venta de un artículo si el costo de producción es de $100 y el establecimiento donde se vende quiere una ganancia del 20% . b) El costo de producción para el caso del inciso (a), si el precio de venta al público fue de $300 . 10. Se deposita cierta cantidad en el banco, el cual ofrece el 10% anual, cuyos intereses se depositan cada mes incrementando así el capital sobre el cual se da el 10% de intereses. ¿Cuánto dinero se tendrá: a) Después de dos meses, si al principio se depositó $1500 ? b) Después de dos meses, si al principio se depositó $3000 ? c) Después de dos meses, si al principio se depositó $6000 ? d) Después de dos meses, si al principio se depositó $12000 ?


55

ACTIVIDAD 11 PARTE DE TODO

Las fracciones comunes anteceden al estudio de expresiones racionales en el álgebra y al desarrollo del razonamiento proporcional. En el manejo de fracciones se contemplan diversas interpretaciones, aparentemente sin relación entre sí, las cuales son: La fracción interpretada como un reparto. Si repartimos tres barras de chocolate, en partes iguales entre ocho personas, ¿Qué cantidad de chocolate le tocará a cada persona?; si cada barra de chocolate la partimos en ocho partes iguales y a cada persona le damos una de esas partes que representa un octavo de la barra, entonces a cada persona le tocarán tres octavos de barra de chocolate. La fracción interpretada como partes iguales de un entero. José se comió las tres octavas partes de un

pastel, 38

representan tres octavas partes iguales de un entero, 3 es el numerador y representa las partes

que se toman del entero dividido, 8 es el denominador e indica las partes iguales en que fue dividido el entero. La fracción interpretada como una razón o comparación de cantidades homogéneas, o comparación de medidas de dos magnitudes. Mi equipo favorito generalmente gana tres partidos de cada ocho que juega, 38

representa la comparación relativa de dos magnitudes de la misma especie medidas con el mismo

patrón, 3 es a 8 , y expresa que por cada 8 unidades se toman 3 unidades. La fracción interpretada como un porcentaje.- En particular, las razones cuyo denominador es 100 se

llaman porcentajes: 52

100 representa el 52 por ciento, en cuyo caso se escribe 52% , informa que deben

tomarse 52 partes de cada 100 .

La fracción interpretada como un cociente y su respectiva expresión decimal: 3 0.3758= ó 375 milésimos.

Como casos particulares fracciones cuyo denominador es 10 ó una potencia de 10 , reciben el nombre de fracciones decimales:

3 47 5679 1, , , ,...

10 100 1000 10000

La fracción interpretada como miembro de un sistema matemático. O sea, como número racional. La fracción como un parte de todo se estudia en dos casos diferentes que son: Parte del todo, es decir, cuando la unidad o el total están divididos en partes iguales o diferentes, pero la suma de todas estas nos da el total o la unidad. Parte de la parte, es decir cuando dividimos la unidad o total en partes iguales, y posteriormente volvemos a dividir una de ellas o varias en otras partes iguales. Algunas interpretaciones ya las hemos analizado y las faltantes las analizaremos en las siguientes secciones.

Ejemplo: Un hombre realiza un viaje recorriendo un tercio de la distancia en avión, 25% en tren y 80Km en carro ¿Cuál es la distancia total que recorrió la persona?


56

Solución: Realizando la lista de datos iremos planteando el problema.

Datos. V - Recorrido total del viaje

A - Recorrido en avión. T - Recorrido en tren. C - Recorrido en carro.

V A T C= + + 1A V3

=

1T 0.25V V4

= = , trasformando todo a fracción.

C 80 Km=

De esta forma generalizamos el problema para poder obtener el resultado de una manera rápida, sustituimos los datos obtenidos.

V A T C= + +

1 1V V V 803 4

= + +

4 3V V 8012+

= +

7V V 8012

= +

Restamos 7 V12

a ambos lados de la igualdad.

7 7 7V V V V 8012 12 12

− = − +

12 7 V 8012−

=

5 V 8012

=

Multiplicamos por 125

a ambos lados para despejar a V .

12 5 12V 805 12 5

=

( )12 80V5

=

( ) ( )[ ]2 42 3 2 5V5

=

( )6V 2 3= V 192=

Por lo tanto el viaje total consta de 192 Km .


57

Ejercicios: 1. La tercera parte del contenido de una bolsa con canicas se las queda Luis, Humberto se queda con el 30% de la misma bolsa, Alfredo se queda con dos de cada quince canicas de la misma bolsa y Benito se queda con las que sobran. Si la bolsa contenía 300 canicas, ¿quién se quedó con menos canicas? 2. En un laboratorio se utilizo la tercera parte del contenido de un frasco de cierta solución, para prácticas con alumnos de quinto semestre; el 25% del contenido inicial del mismo frasco para prácticas con alumnos de tercer semestre y dos séptimas partes del total, para prácticas con alumnos de primer semestre. ¿Cuántos mililitros sobraron en el frasco, sí en el frasco había 168 mililitros de la solución? 3. Arturo, Juan y Ulises, se dedican a vender DVD’s, del total vendido, Arturo vendió la tercera parte, Juan el 30% del total y Ulises lo demás ¿Quién vendió más? 4. Un electricista compró 25 m de cable. Conservo las tres octavas partes para trabajos posteriores,

empleo el 10% de la cantidad original para hacer una instalación, dividió el resto en trozos de 58

de metro,

¿cuántos de estos trozos obtuvo? 5. Eunice utiliza la cuarta parte de su cuaderno para dibujo, el 20% del mismo para civismo y 3 de cada 8hojas para historia. a) ¿Cuántas hojas le sobran si su cuaderno es de 200 hojas? b) Si para historia hubiera utilizado 39 hojas, ¿de cuántas hojas era el cuaderno? 6. Rubén compra un costal de azúcar, la quinta parte se la regala a su mamá, él15% se lo regala a su suegra y 7 de cada 20 kilos del costal lo guarda en la despensa. a) ¿Cuántos kg de azúcar quedaran en el costal, si el costal era de 50 Kg ? b) ¿A quién le toca más, a su suegra o a su mamá? c) Si a su suegra le hubieran tocado 12 Kg de azúcar, ¿de cuántos kg era el costal? 7. En un juego con palillos chinos, Ricardo se queda con dos palillos, Alberto con 15 , José con 28 y Mario con la cuarta parte del total. a) ¿Quién gana?, y ¿con cuántos palillos? b) ¿Qué porcentaje del total representan los palillos con los que se quedó Ricardo? 8. Un camión que transporta naranjas, lleva su mercancía a vender en dos tianguis diferentes; en el primero vende dos quintas partes de lo que traía y en el segundo vende tres séptimas partes del contenido original, si con lo que resta llena seis costales y medio de 60 naranjas cada costal. a) ¿En qué tianguis se vendió menos? b) ¿Cuántas naranjas había originalmente en el camión? 9. El tiempo que queda entre la hora que se termina de comer y la hora de dormir, se distribuye entre 4 personas que integran una familia, para usar la computadora. A cada uno de los hermanos se les da dos séptimas partes y un 25% del tiempo respectivamente, al papá se le asigna 3 de cada 8 minutos y a la mamá se le asigna el resto. a) ¿A quién se le asigno más tiempo? b) Si al hermano que se le asigno más tiempo le toco 35 minutos, ¿qué tiempo hay entre la hora de la comida y la hora a la que se van a dormir? 10. Una compañía de mudanzas pone la mitad de las cajas provenientes de un departamento en un camión grande y la tercera parte de las cajas en un camión pequeño para trasladarlas al nuevo domicilio. En la sala del departamento quedaron aún ocho cajas y seis más en una de las recamaras, que se transportaran al día siguiente. a) ¿Cuántas cajas había en el departamento? b) ¿Cuántas cajas se transportaron en los camiones? 11. Itzel, acomoda sus crayones en 3 botes iguales y le sobran 12 que representan el 16% del total de sus crayones. a) ¿Cuántos crayones eran en total? b) ¿Cuántos crayones caben en cada bote?


58

12. Se desea pintar una pared con tres tipos de pintura, un litro de pintura Comex cubre la tercera parte

de la superficie de una pared; un litro de la marca Lux cubre 27

de la misma pared y un litro de la marca

Dupont cubre lo demás, ¿Qué marca cubre más parte de la pared?

13. Cesar es un excelente repostero y se da cuenta de que para hacer un pastel de 3 leches necesita las 37

partes de una bolsa de harina y que para hacer un pastel envinado necesita el 40% de la misma bolsa, si hace un pastel de cada tipo, ¿Qué porcentaje sobra de la bolsa de harina? 14. Para mudarse, una familia empaca todas sus pertenencias en cajas del mismo tamaño, las cuales las transporta en dos camiones y una camioneta que tiene de capacidad la mitad de la de los camiones. Si los transportes se utilizan a su máxima capacidad y sobran 2 cajas. ¿Cuántas cajas eran en total si: a) Las cajas que faltaron por transportarse representan el 8% del total? b) Las cajas que se quedaron son la dieciseisava parte de lo que le cabe a un camión? 15. Un laboratorista desea acomodar frascos de reactivos de igual tamaño en tres anaqueles de igual capacidad y en una repisa en la que cabe la mitad de los frascos que se acomodarán en cada anaquel. Si después de acomodar los frascos en los tres anaqueles y en la repisa sobran veintiuno, ¿cuántos frascos caben en la repisa si los veintiuno que sobran corresponde al cuatro por ciento del total?


59

ACTIVIDAD 12 PARTE DE LA PARTE

Ejemplo:

1. Un herrero corta 37

partes de una varilla para hacer un adorno, con lo que sobra vuelve a cortar 62.5% .

Si lo que queda de la varilla es 45 centímetros ¿Cuánto media la varilla inicialmente? Solución: El planteamiento y extracción de los datos los haremos apoyados de un dibujo donde

Datos. V – Totalidad de la varilla S – lo que sobra de la primera división. Q – lo que queda de la segunda división. V = Un entero.

Primera división 3V7

3V V S7

= + , pero:

S = Un nuevo entero pero también es: 4S V7

=

Segunda división 5 S8

5S S Q8

= + , pero:

Q = Lo que sobro pero también es: 3Q S8

= ; y

Q 45 cm= De la observación del dibujo obtuvimos el proceso para obtener el dato que nos están pidiendo en donde solo sustituiremos los valores que encontremos.

Q 45 cm= 3Q S8

=

345 S8

=

8 3 845 S3 8 3 =

( )8 45 S3

=

( )3 22 3 5S3

=

( ) ( )32 3 5 3S3

=

( )3S 2 3 5= S 120cm=

S 120cm= 4S V7

=

4120 V7

=

7 4 7120 V4 7 4 =

( )7 120 V4

=

( ) ( )3

2

7 2 3 5V2

=

( ) ( ) 2

2

7 2 3 5 2V2

=

( ) ( )V 7 2 3 5= V 210cm=

Por lo tanto la medida de la varilla originalmente era de 210 centímetros


60

Otro procedimiento es manejar un diagrama de árbol. Como veremos a continuación, tomando en cuenta que si desciendo un nivel tendremos que multiplicar los fracciones.

V

3 47 7

5 345 cm

8 8=

De este diagrama de árbol multiplicaremos de forma descendiente siguiendo la flechas que van por la derecha y lo igualaremos con los 45 centímetros.

4 3V 457 8 =

( )( )

2

3

2 3V 457 2

=

( )( )

2

2

2 3V 457 2 2

=

3V 4514 =

14 3 14V 453 14 3

=

( ) ( )22 7 3 5V3

=

( ) ( )2 7 3 5 3V3

=

V 210cm= Por lo tanto la varilla mide originalmente 210 centímetros. También se puede resolver por proporciones, ¿cómo se realizaría? Reúnete en equipo y realiza dicho procedimiento. Ejercicios: 1. Las dos terceras partes de tu salón son mujeres, de las cuales las cuatro quintas partes no tienen novio y las tres octavas partes de éstas nunca han besado a alguien. Si cuatro niñas en tu salón tienen novio, ¿cuántas chicas aun no han besado?

2. Se compra una bolsa de arroz, el lunes se utiliza 15

parte del total de la bolsa, el martes se utiliza 20%

de lo que quedó el lunes, el viernes se utiliza una tercera parte de lo que sobro el martes, y lo demás se deja para el fin de semana. ¿Cuánto se uso para el martes y cuanto se dejo para el fin de semana? 3. Un político invirtió las dos novenas partes de su capital en la compra de una mansión, con las tres séptimas partes de lo que quedo compro un yate y el resto, ocho millones de pesos, lo destino a la compra de varios terrenos. ¿A cuánto ascendía el capital inicialmente?

4. Un padre de familia destina el 20% de su salario para transporte, de lo que sobra utiliza 25

partes para

pagar servicios, de lo que sobra 5 de cada 8 pesos lo utiliza para alimentación y el resto lo ahorra. ¿En cuánto tiempo habrá ahorrado dieciocho mil pesos si su salario mensual es de 5 mil pesos? 5. Las cinco octavas partes de los animales de un zoológico son mamíferos y dos de cada veinticinco mamíferos son fieras. ¿Cuántas fieras hay en el zoológico si este cuenta con 3000 animales?


61

6. Se compra un pastel, de ese pastel la tercera parte se la come el papá; de lo que sobra, él40% se lo come la mamá y el resto se guarda para el siguiente día. a) ¿Cuánto comió cada uno de ellos? b) ¿Quién comió más? c) ¿Si el pastel pesaba 500 gr. cuanto se guardó para el siguiente día? 7. Luis compra una gelatina, la tercera parte se la da a su mamá, de lo que sobra el toma la cuarta parte y lo demás lo guarda para el día siguiente. a) ¿Quién se quedo con más? b) Si la gelatina pesaba 400 g, ¿cuánto se guardó para el día siguiente? c) Si hubiera tomado 150 g, ¿cuánto pesaba la gelatina? 8. Un jardinero se dedica a cortar el pasto, tiene que cortar lo equivalente a un área de 540 metros cuadrados, si cada día corta la tercera parte de lo que quedó el día anterior, ¿cuánto debe cortar el jueves para terminar el trabajo si empezó el lunes? 9. En un consultorio de optometría, durante una semana, la tercera parte de los casos atendidos fue de miopía, y los demás son de astigmatismo; de los casos de miopía, 1de cada 20 es daltónico y de los astigmáticos, 1de cada 15 son daltónicos. a) Si los daltónicos con astigmatismo fueron 4 casos, ¿cuántos pacientes se atendieron? b) Si los de miopía no daltónicos fueron 57 , ¿cuántos casos de astigmatismo sin daltonismo se tuvieron? 10. El aguinaldo que recibe un jefe de familia lo piensa gastar de la siguiente forma: el 15% para la cena de Navidad, de lo que sobra una quinta parte para regalos de Navidad y reyes; 3 de cada 5 pesos que lo que queda en mantenimiento de su casa y lo demás lo piensa ahorrar. a) ¿En que destina mas parte de su aguinaldo? b) ¿En qué destina menos parte de su aguinaldo? c) Si de aguinaldo recibiera $4000 , ¿cuánto gastaría en regalos? d) Si ahorra $1700 , ¿cuánto hubiera destinado para la cena de Navidad?

11. En un laboratorio se analizará una muestra de cierto alimento, se toman 25

partes de ella para

investigar el contenido de grasas; posteriormente se toman 47

partes de lo que resta de la muestra para

investigar el contenido de carbohidratos. a) Si lo que sobra de la muestra pesa 45 gramos, ¿cuánto pesaba la muestra inicialmente? b) ¿Cuánto se destino para analizar grasa, si para analizar carbohidratos se usaron 24 g? 12. El agua de una cisterna se consumió de la siguiente forma: 1 de cada 5 litros el lunes, el 30% de lo que sobraba el lunes se consumió el martes, tres cuartas partes de lo que sobro el martes se usó el miércoles y el resto se consumió el jueves, determina: a) Si el martes se consumió 230 litros, ¿qué contenido tenía la cisterna? b) Si el jueves se consumió 140 litros, ¿cuántos litro se consumieron el lunes. c) Si el miércoles se consumieron 900 litros, ¿cuántos litros se consumió el jueves? 13. Elizabeth destina el tiempo que tiene entre la hora que llega a su casa de la escuela y la hora en que se va a dormir de la siguiente manera: 10% para comer, una tercera parte de lo que sobra para estudiar y hacer tarea, 10 de cada 30 minutos que sobran para ver tele o descansar y el de más tiempo para preparar las cosas que va a utilizar al día siguiente. a) ¿Qué tiempo es mayor el que utiliza para estudiar o para descansar? b) Si para preparar sus cosas utilizo 1hrs con 20 minutos, ¿cuánto destina en comer? c) Si llega a las 4 pm, ¿a qué hora se debe dormir si con el mismo esquema de actividades desea estudiar 3 hr? 14. Un tipo especial de reactivo se utiliza en una práctica de laboratorio, el primer grupo utiliza 25% del

total del reactivo, de lo que sobra, el segundo grupo utiliza 25

partes del reactivo, y el tercer grupo 23

y lo

que sobró se deja para la siguiente semana. a) ¿Qué grupo utiliza menos reactivos? b) Si el segundo grupo utiliza 600 ml, ¿de qué capacidad era el envase original? c) Si el reactivo estaba en una botella de 3 litros, ¿cuánto utiliza el tercer grupo?


62

15.- En una biblioteca. La sexta parte son libros de Ciencias Sociales, el 30% de Ciencias Medico-Biológicas y el resto de Físico-Matemáticas; de cada una de estas áreas, 1de cada 9 , 5 de cada 12 y 7 de cada 20están escritos en ingles, respectivamente: a) ¿Cuántos libros hay en la biblioteca, si los libros en ingles de Ciencias Medico-Biológicas son 300 ? b) ¿Cuántos libros en ingles son de Ciencias Físico-Matemáticas, si los de Ciencias Sociales que no están en ingles son 560 ? c) ¿Cuántos libros están en ingles de Medico-Biológicas, si los libros de Ciencias Físico-Matemáticas que no están en ingles son 1872 ? d) No importando el número de libros que hubiera en la biblioteca ¿de qué tipo se tienen más libros?

ACADEMIA DE MATEMATICAS ALGEBRA SKQ

63

ACTIVIDAD 13 CONJUNTOS E INTERVALOS

Recordemos que los números reales tienen una correspondencia biunívoca, con la recta real que es su interpretación geométrica, es decir, a cada número real le corresponde un solo punto en la recta y a cada punto de la recta le correspondo solo un numero real.

Con esta regla de correspondencia, sobre sale la propiedad de la tricotomía la cual nos dice: Para dos números reales cualquiera a y b , solo una de las siguientes proposiciones es verdadera:

a b< , a b= ó a b>

Geométricamente hablando, podemos establecer que los números reales están ordenados en la recta numérica de izquierda a derecha, del menor al mayor, respectivamente. Dentro de las matemáticas podemos hacer diferentes comparaciones entre los números reales, leyendo de izquierda a derecha.

Igualdades.

= - Igualdad. ≡ - Idéntico. Desigualdades. ≠ - Diferente. < - Menor que. > - Mayor que. ≤ - Menor o igual que. ≥ - Mayor o igual que. ≈ - Aproximado.

CONJUNTOS Un conjunto es una colección de objetos y dichos objetos se llaman elementos del conjunto. Los conjuntos se denotan con letras mayúsculas. Si S es un conjunto, la notación: a S∈ - Significa que a es un elemento de S .

b S∉ - Significa que b no es un elemento de S .

Por ejemplo si tenemos a , el cual representa al conjunto de números enteros, tenemos que:

− ∈3 π ∉

Algunos conjuntos se representan colocando sus elementos entre dos llaves { }( ) . Por ejemplo: El conjunto A que está formado por todos los enteros positivos menores que 7 , se puede escribir de la siguiente forma:

{ }A , , , , ,= 1 2 3 4 5 6


64

Escribiendo lo en forma constructiva de conjuntos, tendríamos:

{ }A x x= 7 es un entero positivo menor a

Que se lee A es el conjunto de todas las x tales que (|) x es un entero positivo menor que 7 . Se pueden utilizar los símbolos de comparación de las desigualdades para abreviar la notación. Esta es la notación formal, pero en cuestión práctica no es muy utilizada. Para transformar el enunciado a un lenguaje algebraico con notación de desigualdades hacemos lo siguiente:

Como 0 no es un número entero positivo este sería el rango menor y como no puede pasar de 7 , tendríamos:

0 x 7< <

Por lo tanto quedaría:

{ } es un entero y A x x 0 x 7= < <

La unión ( )

de dos conjuntos es el conjunto formado por todos los elementos que están en el primer o en el segundo conjunto (o en ambos).

{ } está en o está en A B x x A x B=

La Intersección ( ) de dos conjuntos es el conjunto formado por todos los elementos que están en el

primer y en el segundo conjunto.

{ } está en y está en A B x x A x B=

INTERVALOS.

Ciertos conjuntos (subconjuntos) de números reales, llamados intervalos, se presentan en muchas ramas de las matemáticas y corresponden geométricamente a segmentos de recta o rayos. Los intervalos los podemos clasificar en: - Acotados si la grafica es un segmento de recta y tienen un valor inicial y uno final. - No acotados, si la grafica es un rayo de recta, además de que se extienden de manera infinita en una o más direcciones. También los podemos clasificar en: - Abiertos si los valores inicial y final no pertenecen al intervalo y se denota por paréntesis ( )( ) . - Cerrados si los valores inicial y final pertenecen al intervalo y se denota por Corchetes [ ]( ) . - Semiabiertos si uno de valores inicial o final pertenece al intervalo, se denota con una combinación de corchete y paréntesis tomando los dos criterios anteriores [ ) ( ]( )ó .


65

Con lo anterior tenemos:

[ ]a,b Intervalo acotado cerrado. ( )a,b Intervalo acotado abierto. [ )a,b Intervalo acotado semiabierto a la derecha.

( ]a,b Intervalo acotado semiabierto a la izquierda.

[ )a,∞ Intervalo no acotado cerrado a la izquierda.

( ],b−∞ Intervalo no acotado cerrado a la derecha. ( )a,∞ Intervalo no acotado abierto a la izquierda. ( ),b−∞ Intervalo no acotado abierto a la derecha. ( ),−∞ ∞ Intervalo no acotado abierto.

El último intervalo es la representación del conjunto de los números reales y se denota por . Ejercicio1: I. Clasifica los siguientes intervalos.

1) ( ), 2−∞ − 2) ( )0,10 3) ( ]30, 5− −

4) [ ]2,2−

5) [ )5,− ∞

6) [ )15,0−

7) ( )3,∞

8) ( ],9−∞

9) ( ),−∞ ∞ Como sabemos la representación grafica del conjunto de los números reales, es la recta numérica real, la cual a la mitad se encuentra el número real 0 (cero), también llamado origen, a la izquierda de él los negativos y ala derecha los positivos, entre más alejado del cero hacia la izquierda esté un número será más pequeño y entre más alejado del cero hacia la derecha esté un número será más grande.

Por lo tanto los intervalos por subconjuntos de los números reales pueden graficarse como segmentos de esta recta si el intervalo es acotado cerrado los límites inicial y final se representan con puntos sólidos en los extremos; si este es un intervalo es acotado abierto los límites inicial y final se representan con puntos huecos. Es decir que si el intervalo lleva una notación con corchetes [ ]( ) , ese límite tendrá un punto solido ( )• , si lleva paréntesis ( )( ) se colocara un punto hueco ( )

. Ahora bien si el intervalo no es acotado, este se representa con un rayo de recta, donde el punto de aplicación del mismo será el límite inicial o final según sea el caso, Si es el límite inicial, el punto de aplicación será el inicio del rayo e ira hacia la derecha de la recta numérica. Si el límite final es el punto de aplicación pero el rayo vendrá de la izquierda hasta el punto de aplicación.


66

Para estos intervalos no acotados también se aplica el criterio de que corchetes [ ]( ) son puntos sólidos ( )• y paréntesis ( )( ) puntos huecos ( )

.

[ ]a,b

( )a,b

[ )a,b

( ]a,b

[ )a,∞

( ],b−∞

( )a,∞

( ),b−∞

( ),−∞ ∞

También podemos emplear desigualdades para expresar un intervalo considerando que cuando un numero cualquiera dentro del intervalo con una variable y comparando los limites con este y las desigualdades apropiadas, si el limite lleva corchete tendrá que llevar una desigualdad doble ( ),≤ ≥ , si lleva paréntesis una sencilla ( ),< > , respectivamente. Analizando el párrafo anterior tenemos:

( ),b−∞ Tomamos a y como un numero cualquiera de

ese intervalo y observamos que es un límite no acotado.

b Es el límite superior del intervalo, por lo tanto no puede haber un número mayor a él.

y b< Por lo tanto, el intervalos empieza en el valor más pequeño, hasta el límite b sin incluirlo por tener paréntesis, entonces y será menor que el limite b .

[ ]a,b Tomamos a x como un número cualquiera del

intervalo y observamos que es un intervalo acotado.

a Es el límite inferior por lo tanto, no hay valor más pequeño que el.

a x≤ Comparando a a con x ocupamos una desigualdad doble ya que lleva corchete.

b Es el límite superior por lo tanto, no hay valor más grande que él.

x b≤ Comparando a b con x ocupamos una desigualdad doble ya que lleva corchete.

a x b≤ ≤ Uniendo ambas comparaciones tenemos nuestro intervalo expresado en desigualdades.


67

De forma análoga para cada uno de los intervalos tendríamos la siguiente tabla:

[ ]a,b a x b≤ ≤ ( )a,b a x b< < [ )a,b a x b≤ <

( ]a,b a x b< ≤

[ )a,∞ x a≥

( ],b−∞ x b≤ ( )a,∞ x a> ( ),b−∞ x b< ( ),−∞ ∞

Resumiendo lo anteriormente visto tendríamos la siguiente tabla.

INTERVALO DESIGUALDAD GRAFICA

[ ]a,b a x b≤ ≤

( )a,b a x b< <

[ )a,b a x b≤ <

( ]a,b a x b< ≤

[ )a,∞ x a≥

( ],b−∞ x b≤

( )a,∞ x a>

( ),b−∞ x b<

( ),−∞ ∞

En esta tabla se concentran las tres formas de representar intervalos, esto nos sirve para dar equivalentes de las notaciones, según sea la forma que necesitemos escribirla en las diferentes ramas de las matemáticas.


68

Ejercicio 2: Completa la tabla, escribiendo en la equivalencia que se te pide en cada caso.

INTERVALO DESIGUALDAD GRAFICA

( ),eπ− x eπ− < <

1)

2) 1 x 53≤ ≤

3) 131,3

4) 7 x 7− ≤ <

5) )5 ,2−

6) 13 1x4 2

− < < −

7) x 2≤ −

8) 3,2

−∞

9)

10)

11) 17 ,4

−

12)

13) 1 x 62< ≤

14)

15) [ )1,∞


69

ACTIVIDAD 14 DESIGUALDADES O INECUACIONES LINEALES

Las desigualdades son enunciados que indican que dos cantidades no son iguales. Las podemos reconocer por que contienen uno o más de estos símbolos. < - Menor que.

≤ - Menor o igual que. > - Mayor que. ≥ - Mayor o igual que. ≠ - Diferente o no es igual. ≈ - Aproximado o aproximadamente igual a.

En las cuatro primeras nos centraremos para la resolución de ecuaciones con desigualdades, también conocidas como inecuaciones. Las inecuaciones son la comparación de dos enunciados algebraicos con al menos una variables empleando desigualdades. Al igual que las ecuaciones también se emplean las propiedades de los números reales, más las propias de los símbolos de desigualdad. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES Propiedad de la tricotomía. Para cualesquier número real a y b , se cumple exactamente uno de los siguientes enunciados.

a b< a b= a b> Propiedad transitiva del menos que. Si a , b y c son números reales con a b< y b c< , entonces a c< . Propiedad transitiva del mayor que. Si a , b y c son números reales con a b> y b c> , entonces a c> . Propiedad de la suma y la resta. Cualquier número real que sume o reste a ambos lados de la desigualdad, no modifica la dirección de la misma. Ejemplos:

3 7< 3 5 7 5+ < +

8 12<

4 5> − 4 2 5 2− > − −

2 7> − Propiedad de la multiplicación y la división de un número positivo. Cualquier número real positivo que multiplique o divida a ambos lados de la desigualdad, no modificará la dirección de la misma. Ejemplos:

6 2> 6 22 2>

3 1>

4 1− < − ( ) ( )4 5 1 5− < − 20 5− < −


70

Propiedad de la multiplicación y división de un número negativo. Cualquier número real negativo que multiplique o divida a ambos lados de la desigualdad, invertirá la dirección de la misma.

2 5− < ( ) ( )2 3 5 3− − < − 6 15> −

3 1> 3 12 2>

− −

3 12 2

− < −

DESIGUALDAD O INECUACION LINEAL. Una desigualdad o inecuación lineal con una variable es cualquier enunciado que puede expresarse de la siguiente forma.

bx c 0+ < bx c 0+ ≤ bx c 0+ > bx c 0+ ≥ El procedimiento para resolver las inecuaciones es similar al de las ecuaciones, solo hay que tomar en cuenta las propiedades anteriormente explicadas. A demás de que el conjunto solución debe expresarse en notación de intervalo. Estrategia para realizar el despeje de la variable. Las estrategias que se dan a continuación no se deben de seguir en el orden indicado para la resolución de una ecuación ya que esta se presenta en muchas formas y algunos de estos pasos pueden omitirse o realizarse en diferente orden. Si hay fracciones en una ecuación multiplicar ambos lados de la misma por el común

denominador. Usar la propiedad distributiva para eliminar paréntesis combinar los términos semejantes. Emplear las propiedades de la desigualdad para la suma y la resta (o la propiedad del

numero simétrico) para hacer que todas las variables queden de un solo lado de la igualdad (de preferencia en la izquierda) y todas las constantes del otro, de ser necesario simplificar los términos semejantes.

Utilizar las propiedades de la desigualdad para la multiplicación y la división (o la propiedad del número reciproco) para hacer que el coeficiente de la variable sea 1 (la unidad).

Comprobar el resultado sustituyendo la variable por la posible solución y verificar que se satisfaga la ecuación.

Se da el conjunto solución en notación de intervalo y se realiza la grafica correspondiente. Ejemplos: Determina el conjunto solución, expresa lo en notación de intervalos y realiza la grafica de las siguientes inecuaciones lineales. a) ( )3 2x 9 9− < . Solución:

6x 27 9− < Aplicando la propiedad distributiva para quitar signos de agrupación.

6x 27 27 9 27− + < + 6x 36<

Sumamos 27 a ambos lados de la desigualdad.

6x 366 6

< Dividimos entre 6 ambos lados de la desigualdad para que la variable quede con coeficiente de la


71

x 6< unidad, ( ),6−∞ Expresamos la desigualdad en forma de notación de

intervalos. ( )( )3 2 5 9 9− < ( )( )3 2 7 9 9− < Tomamos un valor dentro y fuera del intervalo para

comprobar la inecuación. ( )3 10 9 9− <

( )3 1 9< 3 9<

Observamos que el valor dentro del intervalo cumple la desigualdad.

( )3 14 9 9− < ( )3 5 9<

15 9< 15 9>

Observamos que el valor fuera del intervalo no cumple la desigualdad.

( )Sol. ,6= −∞ Por lo tanto, el intervalo es el conjunto solución.

Representación grafica.

b) ( ) ( )2 4x 2 x 33 5

+ ≥ −

Solución:

( ) ( ) ( ) ( )2 415 x 2 15 x 33 5

+ ≥ −

( ) ( )10 x 2 12 x 3+ ≥ −

Para transformar la inecuación a entera calculamos el m.c.m. de 3 y 5 y multiplicamos a ambos lado de la desigualdad

10x 20 12x 36+ ≥ − Aplicamos la propiedad distributiva para quitar signos de agrupación.

10x 12x 20 20 12x 12x 36 20− + − ≥ − − − 2x 56− ≥ −

Aplicamos las propiedades de la suma y la resta para despejar la variable.

2x 562 2

− −≥

− −

x 28≤

Aplicamos las propiedades de la división y multiplicación de un número negativo para realizar el despeje.

( ],28−∞ Expresamos la desigualdad en forma de notación de intervalos.

( ) ( )2 428 2 28 33 5

+ ≥ − ( ) ( )2 433 2 33 33 5

+ ≥ − Tomamos un valor dentro del intervalo y otro fuera del intervalo para comprobar.

( ) ( )2 430 253 5

≥

( ) ( )2 10 4 5≥ 20 20≥

Observamos que el valor dentro del intervalo cumple la desigualdad.

( ) ( )2 435 303 5

≥

( )70 4 63

≥

70 243

≥

70 243

<

Observamos que el valor fuera del intervalo no cumple la desigualdad.

( ]Sol. ,28= −∞ Por lo tanto, el intervalo es el conjunto solución.


Las desigualdades son sencillas (como los ejemplos anteriores) o dobles, que constan de dos desigualdades, llamadas desigualdades compuestas y se clasifican en “y” o “o”.


72

Desigualdad compuesta. La desigualdad c x d< < es equivalente a x c> y x d< . Y se lee c menor que x y x menor que d . También se tiene inecuaciones tipo “o” Por ejemplo: x a< o x b> , representado en notación de intervalos tenemos: ( ),a−∞ ó ( )b,∞ , de tal forma que si a no está contenida en el segundo intervalo y b no está en el primer intervalo tendríamos ( ) ( ),a b,−∞ ∞ . Ejemplo: Determina el conjunto solución, expresa lo en notación de intervalos y realiza la grafica de las siguientes inecuaciones lineales. a) 3 2x 5 7− ≤ + < . Solución:

3 5 2x 5 5 7 5− − ≤ + − < − 8 2x 2− ≤ <

Para este tipo de desigualdades compuestas despejamos la variable de tal forma que quede en el centro, por lo tanto aplicamos la propiedad de la suma y la resta en las tres partes de la desigualdad restando 5.

8 2x 22 2 2−

≤ <

4 x 1− ≤ <

Dividimos cada término entre 2.

[ )4,1− Expresando la desigualdad en forma de notación.

( )3 2 0 5 7− ≤ + < Tomamos 3 valores, uno dentro del intervalo, y dos fuera uno antes y otro después. ( )3 2 3 5 7− ≤ − + < ( )3 2 1 5 7− ≤ + <

3 0 5 7− ≤ + < 3 5 7− ≤ <

Como se observa el valor dentro del intervalo cumple con la condición.

3 6 5 7− ≤ − + < 3 1 7− ≤ − < 3 1 7− > − <

El valor antes del intervalo no cumple una de las condiciones.

3 2 5 7− ≤ + < 3 7 7− ≤ < 3 7 7− ≤ =

El valor después del intervalo no cumple una de las condiciones.

[ )Sol. 4,1= − Por lo tanto, el intervalo es el conjunto solución.


b) x 3 2x 1 4x 3+ < − < − . Solución:

x 3 2x 1+ < − 2x 1 4x 3− < − Como no puede despejarse la variable de tal forma que quede en el centro separamos la desigualdad en su equivalencia y despejamos las variables.

x 3 3 2x 2x 1 3 2x+ − − < − − − x 4− < −

2x 1 1 4x 4x 3 4x 1− + − < − − + 2x 2− < −

Aplicamos las propiedades de la suma y la resta.

( ) ( )x 1 4 1− − < − − x 4>

2x 22 2

− −<

− −

x 1>

Aplicamos las propiedades de la multiplicación y la división del número negativo.

( )4,∞ ( )1,∞ Expresando en notación de intervalo.


73

( ) ( )4, 1,∞ ∞ ( )4,∞

Para establecer el posible intervalo solución hacemos una intersección de conjuntos.

( ) ( )1 3 2 1 1 4 1 3+ < − < − ( ) ( )6 3 2 6 1 4 6 3+ < − < − Tomamos un valor fuera y dentro del intervalo para comprobar en la desigualdad.

4 2 1 4 3< − < − 4 1 1< <

9 12 1 24 3< − < − 9 11 21< <

El valor dentro del intervalo cumple la condición, el valor fuera no lo cumple.

( )Sol. 4,= ∞ Por lo tanto, el intervalo es el conjunto solución.


c) 2x 10 0+ < ó x 10 20+ ≥ . Solución.

2x 10 10 0 10+ − < − 2x 10< −

x 10 10 20 10+ − ≥ − x 10≥

Aplicamos la propiedad de la suma y la resta para iniciar el despeje.

2x 102 2

−<

x 5< −

Aplicamos la propiedad de la multiplicación y división para un número positivo.

( ). 5−∞ − [ )10,∞ Transformamos la desigualdad a notación de intervalos.

( )2 6 10 0− + <

10 10 20+ ≥ Comprobamos un valor fuera y dentro del intervalo para cada desigualdad.

( )2 5 10 0− + < 9 10 20+ ≥ 12 10 0− + <

2 0− < 20 20≥ Observamos que los valores dentro del intervalo

cumplen las condiciones. 10 10 0− + <

0 0< 0 0=

19 20≥ 19 20<

Observamos que los valores fuera del intervalo no cumplen los valores.

( ) [ )Sol. . 5 10,= −∞ − ∞ Por lo tanto ambos intervalos son solución y procedemos hacer una unión, por ser una desigualdad compuesta tipo “o”.


Ejercicios: Obtén la grafica y el conjunto solución de las siguientes inecuaciones lineales. 1. x 4 5+ < . 2. 5t 1 19− ≥ . 3. 7u 9 5− ≤ .

4. 3w 1 5− − > . 5. 1 1y 2 y 42 3

+ ≥ − . 6. a 1 a 24 3− ≤ + .

7. ( ) ( )9 h 3 2h 8 4 h− − + < − . 8. ( ) ( )3 z 2 2 z 7− > + . 9. ( )2 3b b 5 b3 2

+ − ≤ .

10. ( ) ( )5 4r 3 r 3 r 19 3

+ − − ≥ − . 11. 4 2x 8− < < . 12. 16 t 4 02

< − ≤ .

13. 2 u 3 5− < − + ≤ . 14. 2 w 2 9≤ − − ≤ . 15. 25 3y 2 7> − > .

16. 16 a 4 02

> − ≥ . 17. h0 1 63

> + ≥ − . 18. ( )8 2 z 8 4≥ − + > − .

19. 5 3b2 22−

− ≤ ≤ . 20. r 42 23−

> > . 21. 3x 2 8+ < ó 2x 3 11− > .

22. ( )4 t 2 12− + ≥ ó 3t 8 11+ < . 23. ( )5 u 2 0− > ó 3u 9− ≤ . 24. 3w 4 2+ ≤ − ó 3w 4 10+ ≥ . 25. y 4 3− > − ó y 5 3+ > . 26. 2a 5 4− < y 5a 3 3− > − . 27. 4h h 5 3h 4≥ − + ≥ − .

28. 1 1z 2 z z3 2

+ < − < . 29. 2x 2 3x 1 x 3+ > + ≥ + . 30. r 1 2r 4 3r 1+ < + ≤ − .


74

ACTIVIDAD 15 ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES CON VALOES

ABSOLUTOS

Para resolver ecuaciones e inecuaciones con valores absolutos hay que recordar la definición de valor absoluto. El valor absoluto de un numero real es la distancia que hay de este con respecto a cero, por tal motivo es una cantidad que carece de signo. Valor absoluto. Si a ∈ , entonces: Si entonces a 0, a a≥ =

Si entonces a 0, a a< =

Ejemplo:

( )3 3 3− = − − = 0 0= 5 5= De esta definición se concluyen las siguientes propiedades para trabajar variables con valores absolutos. Propiedad 1. La raíz cuadrada de una variable al cuadrado es equivalente al valor absoluto de la variable.

2x x=

Propiedad 2. El valor absoluto de una variable igualada a una constante genera dos condiciones por la definición.

si si

1

2

x k x 0x k

x k x 0= − <

= = ≥

Propiedad 3. El valor absoluto de una variable mayor que o mayor o igual que a una constante genera dos condiciones de intervalos no acotados.

si si

1

2

x k x 0x k

x k x 0< − <

> > ≥ o

si si

1

2

x k x 0x k

x k x 0≤ − <

≥ ≥ ≥

Propiedad 4. El valor absoluto de una variable menor o menor o igual que a una constante genera una condición de intervalo acotado.

x k k x k< ⇔ − < < o x k k x k≤ ⇔ − ≤ ≤

Propiedad 5. Si se tiene un doble valor absoluto a b= , siendo a y b expresiones algebraicas, equivalen a:

a b= − o a b=

Estas propiedades se aplican siempre y cuando el valor de es un real positivo ( )k 0≥ .


75

Para trabajar con ecuaciones o inecuaciones con valores absolutos se sigue la misma estrategia presentada, claro está aplicando las respectivas propiedades de cada una de ellas, en conjunto con las propiedades de los valores absolutos cuando sean requeridas. Estrategia para realizar el despeje de la variable. Las estrategias que se dan a continuación no se deben de seguir en el orden indicado para la resolución de una ecuación o inecuación, ya que esta se presenta en muchas formas y algunos de estos pasos pueden omitirse o realizarse en diferente orden. Si hay fracciones en una ecuación multiplicar ambos lados de la misma por el común

denominador. Usar la propiedad distributiva para eliminar paréntesis combinar los términos semejantes. Emplear las propiedades de la igualdad o desigualdad para la suma y la resta (o la

propiedad del numero simétrico) para hacer que todas las variables queden de un solo lado de la igualdad (de preferencia en la izquierda) y todas las constantes del otro, de ser necesario simplificar los términos semejantes.

Utilizar las propiedades de la igualdad o desigualdad para la multiplicación y la división (o la propiedad del número reciproco) para hacer que el coeficiente de la variable sea 1 (la unidad).

Utilizar las propiedades de los valores absolutos. Comprobar el resultado sustituyendo la variable por la posible solución y verificar que se

satisfaga la ecuación. Se da el conjunto solución, en notación de conjunto para la igualdad o en intervalo para la

desigualdad, con su respectiva grafica para las inecuaciones. Ejemplos: Obtén el conjunto solución de las siguientes ecuaciones y la grafica en los casos correspondientes.

a) 2 x 3 4 103

+ + =

Solución: 2 x 3 4 4 10 43

+ + − = −

2 x 3 63

+ =

Aplicamos la propiedad de la suma y la resta de la igualdad, para empezar el despeje.

12 x 3 63

+ = − 22 x 3 63

+ = Aplicamos la propiedad 2 del valor absoluto para obtener ecuaciones equivalentes y continuar el despeje.

12 x 3 3 6 33

+ − = − −

12 x 93

= −

22 x 3 3 6 33

+ − = −

22 x 33

=

Aplicamos la propiedad de la suma y la resta de la igualdad.

( ) ( )123 x 9 33

= −

12x 27= −

12x 272 2

−=

127x2

= −

( ) ( )223 x 3 33

=

22x 9=

22x 92 2

=

29x2

=

Aplicamos la propiedad de la multiplicación y división de la igualdad.

2 27 3 4 103 2 − + + =

9 3 4 10− + + =

2 9 3 4 103 2 + + =

3 3 4 10+ + =

Comprobamos ambos valores en la ecuación inicial.


76

6 4 10− + = 6 4 10+ = ( )6 4 10− − + = 6 4 10+ = 10 10=

6 4 10+ = 10 10=

Aplicamos la definición de valor absoluto y simplificamos.

{ }Sol. 27 9,2 2

= − Como ambos valores satisfacen la ecuación, pertenecen al conjunto solución.

b) 1 x 5 4 42

− − = −

Solución: 1 x 5 4 4 4 42

− − + = − +

1 x 5 02

− =

Aplicamos la propiedad de la suma y la resta de la igualdad, para empezar el despeje.

1 x 5 02

− = Aplicamos la propiedad 2 del valor absoluto para obtener ecuaciones equivalentes y continuar el despeje.

1 x 5 5 0 52

− + = +

1 x 52

=

Aplicamos la propiedad de la suma y la resta de la igualdad.

( ) ( )12 x 5 22

=

x 10=

Aplicamos la propiedad de la multiplicación y división de la igualdad.

( )1 10 5 4 42

− − = −

5 5 4 4− − = − 0 4 4− = −

Comprobamos ambos valores en la ecuación inicial.

0 4 4− = − 4 4− = −

Aplicamos la definición de valor absoluto y simplificamos.

{ }Sol. 10= Como ambos valores satisfacen la ecuación, pertenecen al conjunto solución.

c) 5x 3 3x 25+ = + Solución:

( )1 15x 3 3x 25+ = − + 2 25x 3 3x 25+ = + Aplicamos la propiedad 5 del valor absoluto y continuamos con el despeje con las ecuaciones equivalentes.

1 15x 3 3x 25+ = − −

1 1 1 15x 3 3 3x 3x 25 3 3x+ − + = − − − +

18x 28= −

18x 288 8

−=

17x2

= −

2 2 2 25x 3 3 3x 3x 25 3 3x+ − − = + − −

22x 22=

22x 222 2

=

2x 11=

Aplicamos la estrategia para despejar la variable.

7 75 3 3 252 2

− + = − +

35 213 252 2

− + = − +

( ) ( )5 11 3 3 11 25+ = + 55 3 33 25+ = +

58 58= 58 58=

Comprobamos.


77

29 292 2

− =

29 292 2

=

{ }Sol. 7 ,112

= − Como ambos valores satisfacen la ecuación, pertenecen al conjunto solución.

d) 2 3x 5− ≤ Solución:

5 2 3x 5− ≤ − ≤ Aplicando la propiedad 4. 5 2 2 3x 2 5 2− − ≤ − − ≤ −

7 3x 3− ≤ − ≤ 7 3x 33 3 3

− −≤ ≤

− − −

7 x 13≥ ≥ −

Aplicando la propiedad de la suma y resta de la desigualdades.

71 x3

− ≤ ≤ Acomodando la desigualdad.

71,3

−

( )2 3 2 5− − ≤ 2 6 5+ ≤

8 5≤ 8 5≤ 8 5>

( )2 3 3 5− ≤ 2 9 5− ≤

7 5− ≤ 7 5≤ 7 5>

Tomamos valores fuera y dentro del intervalo para comprobar.

( )2 3 0 5− ≤ 2 0 5− ≤

2 5≤ 2 5≤

Sol. 71,3

= −

Como el valor que satisface la inecuación es el que está dentro del intervalo el intervalo es el conjunto solución.

La grafica queda así

e) 3 x 65−

>

Solución: 3 x 6

5−

< − 3 x 65−

> Aplicamos la propiedad 3.

( ) ( )3 x5 6 55−

< −

3 x 30− < −

( ) ( )3 x5 6 55−

>

3 x 30− >

Aplicamos la propiedad de la multiplicación y la división de la desigualdad de un número positivo.

3 x 3 30 3− − < − − x 33− < −

3 x 3 30 3− − > − x 27− >

Aplicamos la propiedad de la suma y la resta de la desigualdad.

( ) ( )x 1 33 1− − < − − x 33>

( ) ( )x 1 27 1− − > − x 27< −

Aplicamos la propiedad de la multiplicación y la división de la desigualdad de un número negativo.

( )33,∞ ( ), 27−∞ − Transformamos la desigualdad a una notación de intervalos,


78

3 34 65−

>

31 65−

>

31 65

>

3 x 65−

>

( )3 28 65

− −>

3 28 65+

>

31 65

>

31 65

>

Comprobamos con un valor fuera del intervalo y uno dentro.

3 32 65−

>

29 65−

>

29 65

>

29 65

<

( )3 26 65

− −>

3 26 65+

>

29 65

>

29 65

>

29 65

<

( ) ( )Sol. , 27 33,= −∞ − ∞ Como los valores dentro del intervalo cumplen con las condiciones, el conjunto solución es la unión de los dos.

La grafica queda así Ejercicios: Obtén el conjunto solución y la grafica que corresponde a las ecuaciones que se dan a continuación:

1. 4x 4 20− = . 2. y 1 32− = . 3. 4t 64 32

4−

= .

4. 8 5h 18− = . 5. 3 r 4 2 25

− − = − . 6. 2 x 3x 2− = + .

7. 7y 12 y 6+ = − . 8. 1t t 44

− = + . 9. h h2 22 2+ = − .

10. 5r 7 4r 1− = + . 11. x 2 43−

≤ . 12. y 2 43−

> .

13. 3t 1 2 6+ + < . 14. 3h 2 2 0− + ≥ . 15. 5r 12 5− < − . 16. x 9 12+ ≥ . 17. 4y 1 7− ≤ . 18. 4 3t 13− < .

19. 7h 2 8+ > − . 20. 1 r 7 5 63

+ + < .


79

ACTIVIDAD 16 DESIGUALDADES CUADRATICAS

Las desigualdades o inecuaciones cuadráticas con una variable pueden escribirse de la siguiente forma:

2ax bx c 0+ + < , 2ax bx c 0+ + ≤ , 2ax bx c 0+ + > ó 2ax bx c 0+ + ≥ .

Las desigualdades se pueden resolver por los métodos de las ecuaciones, pero para un mejo entendimiento y para evitar las confusiones, utilizaremos el método de completar TCP apoyada con las propiedades de valor absoluto, obtener los conjuntos solución precisos de la inecuación. Ejemplos: Obtén los conjuntos solución y sus graficas de las siguientes inecuaciones cuadráticas. a) 2x x 6 0+ − < . Solución:

2x x 6 6 0 6+ − + < + 2x x 6+ <

Empezamos el proceso de completar TCP, utilizando las propiedades de la suma y resta de las desigualdades.

21 12 4

=

Dividimos el coeficiente del término lineal, entre dos y lo elevamos al cuadrado.

2 1 1x x 64 4

+ + < +

21 25x2 4

+ <

Aplicamos la propiedad de la suma y la resta agradando el valor obtenido, factorizando el TCP y simplificando.

21 25x2 4

+ <

Calculamos la raíz cuadrada de ambos lados.

1 5x2 2

+ < Aplicamos la propiedad 1 de valor absoluto.

5 1 5x2 2 2

− < + <

5 1 1 1 5 1x2 2 2 2 2 2

− − < + − < −

3 x 2− < <

Aplicamos la propiedad 4 y despejamos la variable.

( )3,2− Transformando a notación de intervalos.

( ) ( )23 3 6 0− + − − < 9 3 6 0− − <

0 0< 0 0=

( ) ( )22 2 6 0+ − < 4 2 6 0+ − <

0 0< 0 0=

Tomamos un valor dentro del intervalo y dos fuera del intervalo por ser acotado.

2x x 6 0+ − < ( ) ( )20 0 6 0+ − <

0 0 6 0+ − < 6 0− < ( )Sol. 3,2= − Como el valor dentro del intervalo cumple la

condición tenemos el conjunto solución.

Trasformamos el intervalo a grafica.


80

b) 23x 6x 7 0− − ≥ Solución:

23x 6x 7 0− − ≥ 23x 6x 7 0

3 3− −

≥

2 7x 2x 03

− − ≥

Empezamos dividiendo entre el valor de a para empezar el método de completar el TCP.

2 7 7 7x 2x 03 3 3

− − + ≥ +

2 7x 2x3

− ≥

Aplicamos la propiedad de la suma y la resta de las desigualdades.

( )2

22 1 12

= =

Tomamos el valor del coeficiente constante del término lineal lo dividimos entre dos y lo elevamos al cuadrado.

2 7x 2x 1 13

− + ≥ + Sumamos el valor obtenido a ambos lados de la desigualdad.

( )2 10x 13

− ≥ Factorizamos el TCP y simplificamos.

( )2 10x 13

− ≥

10x 13

− ≥

30x 13

− ≥

Aplicamos la propiedad 1 del valor absoluto.

130x 13

− ≤ −

130x 1 1 13

− + ≤ − +

13 30x

3−

≤

230x 13

− ≥

230x 1 1 13

− + ≥ +

23 30x

3+

≥

Aplicamos la propiedad 3 del valor absoluto y despejamos, la variable aplicando la propiedad de la suma y la resta de las desigualdades.

3 30,3

−−∞

3 30 ,3

+∞

Trasformamos las desigualdades a intervalos.

23 30 3 303 6 7 0

3 3 − −

− − ≥

9 6 30 303 6 2 30 7 09

− +− + − ≥

3 2 30 10 2 30 13 0− + − − ≥ 0 0≥

Tomamos un valor de cada intervalo y uno fuera del intervalo para comprobar.

23 30 3 303 6 7 0

3 3 + +

− − ≥

9 6 30 303 6 2 30 7 09

+ +− − − ≥

3 2 30 10 2 30 13 0+ + − − ≥ 0 0≥

( ) ( )23 0 6 0 7 0+ − ≥ ( )3 0 0 7 0+ − ≥

0 7 0− ≥


81

7 0− ≥ 7 0− <

Sol. 3 30 3 30, ,3 3

− += −∞ ∞

Como los valores dentro del intervalo cumplen las condiciones, la unión de ambos intervalos es la solución.


c) 2x 10x 0− ≤ . Solución:

( )2

210 5 252

= =

Como es un trinomio de la forma a 1= , y no tiene termino independiente tomamos el valor del coeficiente constante del término lineal lo dividimos entre dos y elevamos al cuadrado.

2x 10x 25 0 25− + ≤ + Sumamos el valor a ambos lados de la desigualdad.

( )2x 5 25− ≤ Factorizamos y simplificamos.

( )2x 5 25− ≤ Calculamos la raíz cuadrada a ambos lados.

x 5 5− ≤ Aplicamos la propiedad 1 del valor absoluto. 5 x 5 5− ≤ − ≤ Aplicamos la propiedad 4 del valor absoluto.

5 5 x 5 5 5 5− + ≤ − + ≤ + 0 x 10≤ ≤

Aplicamos la propiedad de la suma y la resta de las desigualdades.

[ ]0,10

( ) ( )21 10 1 0− − − ≤ 1 10 0+ ≤

11 0≤ 11 0>

( ) ( )211 10 11 0− ≤ 121 110 0− ≤

11 0≤ 11 0>

Tomamos un valor dentro del intervalo y dos fuera del intervalo por ser acotado.

( ) ( )23 10 3 0− ≤ 9 30 0− ≤

21 0− ≤ [ ]Sol. 0,10= Por lo tanto, el conjunto solución es el intervalo.


d) 29x 2 0− > . Solución:

29x 2 2 0 2− + > + 29x 2>

Como no tiene termino lineal no se puede utilizar el método de completar el TCP, por lo tanto despejaremos aplicando la propiedad de la suma y la resta de las desigualdades

29x 29 9

>

2 2x9

>

Aplicamos la propiedad de la multiplicación y la división de un número positivo.

2 2x9

> Calculamos la raíz cuadrado a cada lado.

2x3

> Aplicando la propiedad 1 del valor absoluto.

2x3

< − 2x3

> Aplicando la propiedad 3 de valor absoluto,


82

2,3

−∞ −

2 ,3

∞

Transformando a intervalos.

( )29 1 2 0− − > ( )9 1 2 0− > 9 2 0− >

7 0>

( )29 1 2 0− > ( )9 1 2 0− > 9 2 0− >

7 0>

Tomamos valores encada uno de los intervalos y fuera de él.

( )29 0 2 0− > ( )9 0 2 0− > 0 2 0− >

2 0− > 2 0− <

Sol. 2 2, ,3 3

= −∞ − ∞

Como los valores en el intervalo satisfacen las condiciones el conjunto solución es la unión de ambos.


Ejercicios: Determina el conjunto solución de las siguientes inecuaciones cuadráticas, así como la grafica. 1. 2x 9 0− ≥ 2. 2y 16 0− ≤ 3. 22t 5 0− < 4. 23h 243 0− > 5. t− <23 0 6. h h− ≥2 0 7. 2h 5h 0− ≥ 8. 2t 4t 0+ ≤ 9. 2x 7 x 0+ > 10. 2x 2x 0− < 11. 2h 8h 15− ≤ − 12. x x− − <26 7 0 13. x x+ − >21 0 14. 2t 2t 8+ < 15. 2y 8y 15− > − 16. 2x 2x 15+ ≥ 17. 23h 3h 36 0+ − ≤ 18.

2

2t 14t 12 0+ + ≥ 19. 23y 3y 4 0− − > 20. 24x 20x 16 0− + <


~ 83 ~

INTRODUCCIÓN A LOS POLINOMIOS

LENGUAJE ALGEBRAICO INTRODUCCIÓN La palabra “ÁLGEBRA” deriva del título de un libro escrito por un matemático árabe que vivió en la primera mitad del siglo IX, nos referimos a Al-Khowarizmi, que en su libro “Al-jebrw’almuquabala” describe cómo restaurar el equilibrio, en lo que ahora llamamos ecuaciones, mediante la transposición de términos, así como la simplificación de las ecuaciones mediante la cancelación de términos iguales en cada lado de la igualdad. La matemática elemental es el estudio de las relaciones entre números, magnitudes y las reglas que los rigen, así como la descripción de la forma, medida posición relativa y relación de las figuras y cuerpos geométricos; dentro de los diversos lenguajes que utiliza para estudiar y describir esas relaciones y crear modelos de situaciones reales están: el lenguaje aritmético, el de conjuntos, el de la lógica simbólica, el lenguaje algebraico, etc., destacando entre ellos de manera sobresaliente el lenguaje algebraico, que posee reglas de construcción de expresiones apropiadas y reglas de transformación de tales expresiones. El lenguaje del álgebra es eficaz para describir de forma concisa y generalizada a la aritmética, y también lo es para describir simbólicamente modelos matemáticos del mundo que nos rodea; bien puede afirmarse que el lenguaje fundamental de las matemáticas es el algebraico, el cual se desarrolló a partir de las reglas y operaciones de la aritmética. El álgebra ha pasado por un largo proceso de desarrollo desde que no existían símbolos algebraicos hasta que el lenguaje algebraico se vuelve autónomo y emergen sus propias reglas de sintaxis. Ya en el año 2000 A.C. los babilonios utilizaban métodos algebraicos para resolver problemas, pero no empleaban símbolos matemáticos que fueran más allá de sus representaciones primitivas de números. Esta falta de símbolos estuvo presente durante muchos siglos, pero en forma gradual las palabras más usadas se fueron abreviando y el lenguaje algebraico comenzó a surgir cerca del año 1500 D.C. Tan sólo los símbolos para adición y sustracción, + & − , aparecen por vez primera en 1489 , empleándose con regularidad alrededor de 1544 ; el signo de igualdad = , fue utilizado por primera vez en 1557 en Inglaterra; el punto de multiplicación , y la yuxtaposición se usaron inicialmente alrededor del año 1600 y el signo× en 1620 ; el signo de división ÷ , apareció en 1659 ; el signo para denotar raíz cuadrada , aparece en 1525 . Es Francisco Vieta (francés, 1540 1603− ) quien introduce, como procedimiento general, la práctica del uso de letras para designar números, tanto para los conocidos como para las variables, aunque ya se habían usado antes de él letras para representar números. La contribución de Vieta le llevó a darse cuenta plenamente de que el álgebra está en un nivel superior de abstracción al de la aritmética, este proceso en la generalización fue uno de los pasos más importantes que ha dado la matemática. La separación completa del álgebra y de la aritmética no se consumó hasta el siglo XIX . El álgebra elemental es una forma generalizada de la aritmética, estudia cómo efectuar transformaciones con objetos de carácter abstracto y simbólico, entre los que se encuentra a los polinomios y a las ecuaciones. El álgebra de nivel superior es el estudio de las ecuaciones y de ciertos sistemas matemáticos en lo que respecta a su estructura, tales sistemas conforman precisamente lo que se conoce como estructuras algebraicas. ANTECEDENTES En álgebra usaremos símbolos para representar números reales cualesquiera, entre los tipos de símbolos adecuados para ese fin tenemos las literales o letras de nuestro alfabeto, que algunas se llaman variables: a , b , ... , x , y , z ; el lenguaje algebraico trabaja con expresiones que incluyen tanto literales como números combinados con los símbolos de las operaciones aritméticas, es precisamente el uso de variables o literales lo que nos permite escribir enunciados generales sobre las reglas de la aritmética. Para evaluar las expresiones se sustituyen las literales por los números asignados y se efectúan las operaciones indicadas, obteniendo con esto el valor numérico de la expresión. Es frecuente que en las expresiones algebraicas aparezcan símbolos de agrupamiento cuando pueda existir ambigüedad en el orden para


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realizar las operaciones, o siempre que deba interpretarse una de las partes de la expresión como un solo número, o cuando se quiera representar números signados negativamente. Las igualdades como a = b no son igualdades de símbolos, ya quea es literal distinta de b , sólo nos indica que estas literales son dos nombres distintos para el mismo número, así como 9 - 4 = 5 indica dos formas distintas para escribir el número cinco. La yuxtaposiciónabc indica que los números representados por a , b ,c se multiplican, mientras que el número uno usualmente no se escribe en expresiones como:

1abc , 1abc− , a1

, 02a y 1a

Tomando en estos casos:

1abc = abc , 1abc = abc− − , a = a1

, 02a 2= & 1a a=

Las expresiones algebraicas son tales que si se reemplaza cada literal por un número que no cause alguna indeterminación, las reglas de la aritmética permiten realizar las operaciones indicadas, además, dos expresiones algebraicas serán idénticas cuando incluyan las mismas literales y cuando al ser sustituidas éstas por números iguales, respectivamente, dichas expresiones toman el mismo valor numérico en todos los casos. Es conveniente recordar las propiedades de las operaciones con números reales antes de abordar el estudio de los conceptos básicos del álgebra, esto se abordara en la primera tarea semanal. CONCEPTOS Y NOTACIÓN Como se ha visto el algebra es la generalización de la aritmética empleando literales (variables), y números (constantes), para expresar cantidades; para saber lo que es una expresión algebraica definiremos lo siguiente: Constante real.- Es un símbolo que se usa para representar un número real fijo. También conocido como coeficiente constante. Variable real.- Es un símbolo (literal) que se usa para representar un número real arbitrario. También recibe el nombre de coeficiente variable. Ejemplos:

Expresión algebraica.- Es todo coeficiente variable o constante, o bien a la combinación de ambos que están ligadas por alguna de las operaciones + , − , × , ÷ , ( )n y n en un numero finito.


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Distinguimos dos tipos de expresiones algebraicas:

Ejemplos:

ab

,3n , 2 -533 b c d4

+ - Expresión Racional

3 25 a b c− , 2 3hk 2h 2.5 k+ − , 4 3 23x 3 x x x 64

− − + − - Expresiones Racionales Enteras

1y

, -2 -1x + y , 2 5

2 2

3 x yx w−

,3 2

3

a 2b3ab b

−+

- Expresiones Racionales Fraccionarias

r 5 t r+ − , 3

3

4 x +1xy

− - Expresión Irracional

En la clasificación anterior destacan las expresiones racionales enteras llamadas POLINOMIOS, consisten de uno o más sumandos, llamados a su vez MONOMIOS. Podemos decir también que: MONOMIO es una expresión que puede ser un número, una literal, o un producto de números y literales con exponentes que son números enteros no negativos; si el monomio es un número aislado, lo llamaremos MONOMIO CONSTANTE. Los monomios son las expresiones algebraicas más simples.

43

, 34 x , 7 xy− , x , 8− , 2 51 a bc4

,ab9−

son monomios

43 x

, 2x + x , -24a ,7 ab ,2

3

t uv

, 23x

−

no son monomios.

POLINOMIO es un monomio, o una suma o resta de monomios, a cada monomio se le llama TÉRMINO. En los polinomios los términos son sumandos.

En el polinomio 5

2 3 43 yx y 2 x y y w 14 9

− + − + − distinguimos seis monomios, cada uno es un término de aquel.

Término Coeficiente numérico x 1 y− 1− 2 32 x y 2

43- y w4

34

−

5y9

19

1− Es un monomio constante


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En el monomio 43 y w4

− aparecen los factores 34

− , 4y &w .

Los polinomios de dos términos se le conoce con el nombre de binomio y el de tres términos trinomio. En general, gran cantidad de expresiones algebraicas, que no son polinomios, se presentan como sumas de expresiones parciales y en tales casos se dice que cada sumando es un término de la expresión. A las expresiones que contienen uno o más términos que no son monomios suele llamárseles MULTINOMIOS.

Por ejemplo: 32 2 2a a3ab a ba bab

− + − ++

es un multinomio de cuatro términos.

Ejercicio 1: a. Clasifica con M a los monomios y con T a los que no lo son:

1. 2 33 xy z5

. 2) 2

4x

. 3) 2ab c5

. 4) x y .

5) 1xy

.

6) ab9

.

b. Clasifica cada expresión con P si es un polinomio y con M si se trata de un multinomio:

1. 5 a b− . 2. 2 3 3 2 41x y + x y 8 y3

− − .

3. 32

1 1xy +xyx

−.

4. 3x3 + 5 xyz

4− − .

5. 3 2x 2 x y + y− . 6. 5 15 m n+

6 3− .

7. 2

23

2 ab 3a b +5 2 4a

− .

GRADO RELATIVO DE UN MONOMIO, respecto a una literal, es el exponente con que ésta se presenta en el monomio; en el caso donde la literal no figura, el grado respecto a ella es cero. Si se trata de un monomio constante no nulo, su grado respecto a cualquier literal es cero.

2 36 x yz

do2 grado relativo a x ro1 grado relativo a y er3 grado relativo a z

2 2 23 a b c4

− do2 grado relativo a todas las variables

Grado cero con respecto a cualquier otra variables x− ro1 relativo a x

GRADO ABSOLUTO de un monomio que contiene parte literal es el número que resulta de sumar los exponentes de las literales. Si el monomio es una constante no nula, su grado absoluto se define como cero. El monomio 0no tiene grado asignado.

2 36 x yz tiene grado absoluto igual a 5.

2 2 23 a b c4

− es de grado absoluto igual a 6.

x− tiene grado absoluto 1. 12− es de grado cero absoluto.

GRADO RELATIVO DE UN POLINOMIO, respecto a una literal, es el exponente máximo con que dicha literal aparece en los monomios. El grado relativo respecto a una literal es cero si ésta no figura en el polinomio.

3 2 4 3 5a 3a b a b ab 10− + − − tiene grado 4 relativo a la literal a , 5 es el grado relativo a b . 3r 8s t+ − es de primer grado respecto a cada una de sus literales.


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2 2x y 2xy x 3y 1− + − + − es de segundo grado respecto a x,y . GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIO, o simplemente GRADO, será el grado absoluto más alto que alcancen sus monomios.

3 2 4 3 5a 3a b a b ab 10− + − − tiene grado igual a 7 . 5 4 5 6 2 83x y 6y x y x− − + tiene grado absoluto igual a 9 .

2 2 3 44a b 5ab b− + tiene grado absoluto igual a 4 . 2 2x 3xy y+ − es de segundo grado. 5x 3y 4+ − es de primer grado.

El término de grado más alto en un polinomio es el TÉRMINO PRINCIPAL, su coeficiente recibe el nombre de coeficiente principal. Cuando en el polinomio aparece un monomio constante, a éste se le llama TÉRMINO INDEPENDIENTE.

5 3 63x 2x 4x 5x 8− + − − tiene a 65x− como término principal, 5− es el coeficiente principal, y el término independiente es 8− . La propiedad conmutativa de la suma permite ordenar los polinomios respecto a los exponentes de una de sus literales (la LITERAL ORDENATRIZ), si los términos se escriben uno tras otro enlazados por el signo que les corresponde, de tal modo que los exponentes de la literal ordenatriz vayan de menor a mayor, el polinomio estará ORDENADO EN FORMA ASCENDENTE. Si los términos se escriben de tal manera que los exponentes de la literal elegida vayan de mayor a menor, el polinomio presentará un ORDEN EN FORMA DESCENDENTE.

5 3 2 2 35x 8x y 6x y 5xy x+ − + − presenta orden descendente respecto a x . 2 2 3 4 43 mn 5m 6m n m− + − + − muestra orden ascendente respecto a m .

Términos como 2 33a b & 2 38a b− , cuyos factores literales son exactamente los mismos, es decir tienen el mismo grado absoluto y relativo en sus variables, se les llama TÉRMINOS SEMEJANTES.

2 3x yw− y 3 23 w x y4

son términos semejantes.

2 3x yw− y 3 23 r x y4

no son términos semejantes. 2 35ab c− y

3 220ab c no son términos semejantes

4− , 23

, 1 y 4.9− son términos semejantes.

Ejercicio 2: a. Indica el número real que aparece como coeficiente y señala el grado absoluto y relativo correspondiente a los coeficientes variables que contenga cada monomio:

1. 21.4x . 2) 1 xyz3

.

3) 3 a− . 4) 5r

5.

5) 35y

9− .

6)

3 xy4

− .

b. Indica el grado absoluto y relativo con respecto a cada una de sus variables. 1. 3 4 2 2 5 4a rz 8r z 4z 9a r− + + − 2. 3 25 t 6t 7t− + − 3. 3 2 3 23x y 25y 6x 7− + −

4. 3 2 4 3 5a 3a b a b ab 10− + − − 5. 2 3 3 2 41w u + u w 8w3

− − 6. 2 2 3 44a b 5 ab + b−


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c. En cada serie de términos, únicamente dos de ellos son semejantes, subráyalos: 1) 3-2 x , 3 x , 38 y , 35 x . 2) 27 xy w , 2 27 xy w , 26 x yw− , 2 214 xy w . 3) 3 23 xy ,− 2 23 y x , 26 xy , 23 x y . 4) w− , x− , 3w , wx . 5) 2ab c , 2a bc , 23b ac , 2 23a bc .

6) 21 a b3

, 25 b a , 26 a b− , 22 a b .

TRADUCCIONES DEL LENGUAJE COMÚN AL ALGEBRAICO Cuando se tienen enunciados del lenguaje natural susceptibles de ser traducidas al lenguaje algebraico, es posible construir expresiones donde las literales representen números no determinados de antemano, dichos números serán los sustitutos permisibles de esas literales. En la resolución de problemas mediante el álgebra, es necesaria la habilidad para obtener expresiones y relaciones entre ellas que sean representativas de las diferentes partes que aparecen en el enunciado del problema, para esto debemos leer con mucha atención dicho enunciado distinguiendo los datos, la vinculación entre ellos y lo que se nos pregunte o se nos pida calcular. Los enunciados mencionarán explícita o implícitamente operaciones aritméticas, como en los ejemplos que siguen: a) La suma de dos números cualesquiera. Solución:

+ Colocamos el símbolo de suma tal y como emplieza la oración.

a y b Son dos números cualesquiera.

a b+ Uniendo los casos anteriores tenemos la expresión deseada.

b) La mitad de la suman de dos número cualesquiera. Solución:

12

Colocamos la primera operación.

+ La suma x y y Dos números cualesquiera.

( )1 x y2

+ Uniendo lo anteriormente encontrado.

c) El triple de un número cualquiera aumentado en cinco unidades. Solución:

m Un número cualquiera. 3m Colocamos la primera operación.

3m 5+ Le sumamos cinco unidades. d) El cuadrado de la diferencia de dos números cualesquiera. Solución:

( )2 Expresamos la primera operación. − Expresamos la segunda operación.

m y n Dos números cualesquiera.

( )2m n− Conjuntando todo elementos tenemos la expresión algebraica es.

e) El cuadrado de la suma de los cuadrados de dos números cualesquiera. Solución:

( )2 Expresamos la primera operación + Expresamos la segunda operación.


~ 89 ~

a y b Dos números cuales quiera.

( )22 2a b+ Juntamos todos los elementos para obtener la expresión deseada.

f) El cubo de la mitad del producto de dos numero cualesquiera. Solución:

( )3 Expresamos la primera operación 12

Expresamos la segunda operación.

x y y Dos números cualesquiera. 3xy

2

Juntamos todos los elementos para obtener la expresión deseada.

g) Un número cualquiera difiere de otro en cinco unidades. Solución:

u y v Dos números cualesquiera. − Operación que realizan.

u v 5− = Uniendo los elementos. Ejercicio 3: a. Relaciona las columnas.

1. ( )32 2a b+ . ( ) A. El séxtuplo del cuadrado de un número cualquiera.

2. ( )3a b− . ( ) B. La suma de tres números cualesquiera por la diferencia de los mismos.

3. 23x 2x 21+ − . ( ) C. El doble de la raíz cuadrada del cuadrado de un número cualquiera.

4. 2 2 2x y z

2− − . ( )

D. El triple del cuadrado de un número cualquiera, más el doble del mismo menos veintiún unidades.

5. 3 3a b 12+ − . ( ) E. La semidiferencia de los cuadrados de tres números cualesquiera.

6. 12x x2

+ . ( ) F. La suma de los cubos de dos números cualesquiera menos doce unidades.

7. ( )a b 3x− + . ( ) G. El doble de un número cualquiera, más la mitad del mismo.

8. ( )m a x+ . ( ) H. Un número cualquiera menos la tercera parte de otro.

9. ( )( )x y z x y z+ + − − . ( ) I. La diferencia de dos números cualesquiera, más el triple de otro.

10. 26a . ( ) J. El producto de un número cualquiera por la suma de otros dos.

11. 22 x . ( ) K. El cubo de la mitad de la suma de dos números cualesquiera

12. 2x 2x 21+ + . ( ) L. El cuadrado de la diferencia de los cubos de dos números cualesquiera.

13. 3a b

2+

. ( ) M. La raíz cúbica del triple del cuadrado de un número cualquiera.

14. ( )23 3x y− . ( ) N. La raíz cúbica del doble de dos números cualesquiera.

15. 3 2ab . ( ) O. El cuadrado de la suma de los recíprocos de dos números cualesquiera.

16. 21 1

x y +

. ( ) P. El doble de un número cualquiera menos el cubo de otro.


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17. 3 23x . ( ) Q. El triple del cuadrado de un número cualquiera aumentado en cinco.

18. k , k 1+ . ( ) R. La diferencia de los cuadrados de dos números cualesquiera.

19. a b4+ . ( ) S. La cuarta parte de la suma de dos números

cualesquiera.

20. 2 2m n− . ( ) T. Dos números cualesquiera consecutivos.

21. 23x 5+ . ( ) U. El cubo de la diferencia de dos números cualesquiera.

22. 32a x− . ( ) V. El cubo de la suma de los cuadrados de dos números cualesquiera.

23. xa3

− .

b. Transforma a lenguaje algebraico los siguientes enunciados. 1. La mitad del triple de un número cualquiera más cinco unidades. 2. La tercera parte de un número cualquiera menos doce unidades. 3. El doble de la suma de tres números cualesquiera. 4. El doble de la diferencia de dos números cualesquiera. 5. El triple producto de tres números cualesquiera. 6. La suma del doble producto de dos números más el cubo de otro. 7. El triple del cuadrado de un número cualquiera más otro. 8. La mitad de la diferencia de dos números cualesquiera. 9. El triple de la suma de tres números cualesquiera. 10. El triple de la diferencia de dos números cualesquiera. 11. La suma de dos números cualesquiera más el doble de otro. 12. El doble del cubo de un número cualesquiera más cuatro. 13. El cuadrado del cociente de dos números cualesquiera. 14. La suma de los cuadrados de tres números cualesquiera menos tres. 15. La semidiferencia de los cuadrados de dos números cualesquiera. 16. La suma de dos números cualesquiera por la diferencia de los mismos. 17. La raíz cuadrada de la mitad de un número cualquiera. 18. La raíz cubica del doble producto de tres números cualesquiera. 19. El doble de la raíz cúbica de la diferencia de dos números cualesquiera. 20. El triple del cubo de un número cualquiera más el doble del cuadrado del mismo menos siete. 21. La diferencia del doble de las abscisas y el triple de la ordenada. 22. El cuadrado de un número cualquiera disminuido en cinco veces es igual a ochenta y cuatro. 23. El doble de un número cualesquiera aumentado en la mitad del mismo número. 24. La suma de los cuadrados de dos números cualesquiera enteros consecutivos es igual a ciento ochenta y uno. 25. El cuadrado de la suma de dos números es igual al cuadrado del primero, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. 26. El cubo de la suma de dos números cualesquiera es igual al cubo del primer número más el triple del cuadrado del primer por el segundo número, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo. 27. La diferencia de los cubos de dos números cualesquiera es igual a la diferencia de los mismos números, multiplicando por el cuadrado del primero, más el producto del primero por el segundo, más el cuadro del segundo.


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POLINOMIOS

ADICIÓN Y SUBSTRACCIÓN DE POLINOMIOS Introducción Un polinomio en una variable, como 22x 3x 5+ + , puede visualizarse con ayuda del esquema siguiente:

|||+ + • • • • Si al polinomio anterior se le suma otro polinomio como 23x x 2+ + , podemos construir la representación de éste:

|+ + • •

y reunir en otro esquema a los dos polinomios:

||||+ + • • • • • • •

La noción intuitiva de sumar objetos nos puede ayudar a comprender que el polinomio resultante de la suma es:

25x 4x 7+ + Es decir: 2 2 22 x 3 x 5 3 x x 2 = 5 x 4 x 7

Observarás que los exponentes no sufrieron cambios, sólo se han sumado los coeficientes de términos semejantes, los números resultantes son coeficientes respectivos de los monomios que forman el polinomio resultante. La adición puede disponerse en columnas pero, de ser necesario, previamente debe reducirse cada polinomio a la forma típica, la cual se obtiene suprimiendo todos los paréntesis que encierren literales, reduciendo términos semejantes y ordenando todos los términos por las potencias decrecientes de una literal ordenatriz que sea común a los polinomios.

Para los dos polinomios que nos ocupan, el arreglo en columnas es:

2

2

2

2x 3x 53x 1x 2

5x 4x 7

+ ++

+ +

+ +

Observemos que en cada columna se suman los coeficientes de los monomios con la misma parte literal, además de sumar los términos independientes; las acciones anteriores son la base para comprender el proceso de suma de los polinomios. Si ahora interesa la resta de 22x 3x 5+ + , menos 23x x 2+ + , un arreglo en columnas nos lleva a:

2

2

2

2x 3x 53x 1x 2

x 2x 3

+ +−

+ +

− + +


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Naturalmente, para polinomios más complejos, como 3 223y xy y 15

− + − + la representación esquemática ya

no es posible, sin embargo, la adición y substracción de polinomios con más de una variable o con coeficientes racionales siguen la pauta antes presentada. Antecedentes Es fundamental distinguir cuándo dos o más términos son semejantes, además, se requiere del dominio de la operatividad con números enteros y racionales porque la suma algebraica con términos semejantes se lleva a cabo sumando o restando sus coeficientes. Conviene también utilizar los paréntesis en forma eficiente, ya sea para introducir una expresión dentro de un paréntesis o para suprimir paréntesis que agrupen expresiones; para estos fines podemos considerar esencialmente tres casos: i) Si el paréntesis agrupa a una expresión y está precedido por un factor, el primero se elimina aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma:

( )A B C D AB AC AD+ − = + − ( )A B C D AB AC AD− + − = − − +

ii) Si el paréntesis tiene inmediatamente antes de él un signo positivo, aquél se suprime sin modificar los signos de los términos que agrupa:

( )A B C D A B C D+ + − = + + − ( )A B C D A B C D− + + − = − + + −

iii) Si inmediatamente antes del paréntesis se tiene un signo negativo, el paréntesis se elimina cambiando el signo de cada término por su opuesto:

( )A B C D A B C D− + − = − − + ( )A B C D A B C D− − + − = − − − +

Cuando se presenten paréntesis colocados en el interior de otros paréntesis, se procede a eliminarlos comenzando por los interiores. Ejemplos. Eliminar los signos de agrupación en cada expresión y reduce a su mínima expresión:

a) ( ) ( ) ( )2 2 2 2E 4x 3x 2 y 3 2 y xy x y x y = − − + + − + − − Solución:

2 2 2 2E 4x 3x 2y 6 2y 2xy x y x y = − − − + − + − − Realizamos de izquierda a derecha operaciones de acuerdo a la jerarquía, para quitar paréntesis.

2 2 2 2E 4x 2x 3y 6 2y 2xy x y = − − − + − + Reducimos términos semejantes. 2 2 2 2E 4x 2x 3y 6 2y 2xy x y= − + + − + − Quitamos corchetes multiplicando por el signo

exterior al mismo. 2 2 2 2E 4x 2x 3y 6 2y 2xy x y= − + + − + − Reducimos términos semejantes.

b) ( )[ ] ( ){ }2 2F 3a 2 b 5a 3 4c 12 d 1 9 b 2 3 2= + − − − − + − − + − − Solución:

[ ]{ }2 2F 3a 2 b 5a 12c 36 d 1 9b 18 3 2= + − − − + + − − − − − Realizamos de izquierda a derecha operaciones de acuerdo a la jerarquía, para quitar paréntesis.

[ ]{ }2 2F 3a 2 b 5a 12c 36 d 1 9b 21 2= + − − − + + − − − − Reducimos términos semejantes.

{ }2 2F 3a 2 b 5a 12c 36 d 1 9b 21 2= + − − + − − + − − − Quitamos corchetes multiplicando por el signo exterior al mismo.

{ }2 2F 3a b 5a 12c 54 d 9b 2= + − − + − − − − Reducimos términos semejantes.


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2 2F 3a b 5a 12c 54 d 9b 2= − − + − − − − Para quitar la llave multiplicamos todos los términos del interior por el signo exterior.

2 2F 3a b 5a 12c 56 d 9b= − − + − − − Reducimos términos semejantes. Reducción de Términos Semejantes. La reducción o simplificación de términos semejantes se lleva a cabo en expresiones que contienen dos o más de estos términos, para ello se identifican los tipos diferentes de términos semejantes y a continuación se suman algebraicamente los coeficientes de cada tipo, a los números resultantes se les coloca delante la parte literal correspondiente con sus respectivos exponentes. En cada tipo de términos semejantes, la reducción da otro término semejante, a menos que la suma de coeficientes sea cero y resulte el monomio nulo.

Ejemplos. Reducir términos semejantes en las expresiones que se dan a continuación: 1) 2 2 2 2H 3x 3xy 2y 5xy 7y 7 x x y 8xy= − + + − + − + Solución:

( ) ( )2 2 2 2H 3x 3xy 5xy 8xy 2y 7y 7 x x y= + − + + + + − + − Agrupando.

( ) ( )2 2 2H 3x 10xy 5y 7 x x y= + + + − + − Reducción términos semejantes 2 2 2H 3x 10xy 5y 7 x x y= + − + −

2) 3 2 3 2 3 21 1 1 2 3G x y xy x y 2xy x y xy2 3 4 9 5

= − + − + − −

Solución: 3 3 3 2 2 21 1 1 2 3G x y x y x y xy 2xy xy

2 4 3 9 5 = + + + − − − −

Primero efectuamos agrupamientos de tipos de términos semejantes.

3 21 1 1 2 3G 1 x y 2 xy2 4 3 9 5

= + + + − − − −

Ahora podemos extraer las partes literales como factores, según la propiedad distributiva.

3 27 23 3G x y xy4 9 5 = + − −

Enseguida efectuamos las operaciones con los coeficientes.

3 27 23 3G x y xy4 9 5

= − − Finalmente, eliminamos paréntesis.

Ejercicio1: Elimina y reduce los términos semejantes para simplificar las siguientes expresiones. 1. ( )5a 3a 1− − − . 2. ( )8 3xy 10− − − + .

3. ( )2x 5x 4− − + . 4. ( )5t 3 2t t− − . 5. ( )[ ]24r 2r 2 2r 3− − .

6. ( ){ }3 2 4 y 1 5 + − .

7. ( ) ( ) ( )[ ]a 2b a 2b a 3b− − − − + − − − .

8. ( ){ }3x 2y 2x 3x 2y 3x 2x y + − − − − − − .

9. ( )[ ]{ }6a 3a a b 4b c− − − − − + .

10. ( )[ ]{ }5t w 3w z w 2t 4t z− − − − − + − + .

11. ( ) ( ){ }3 pq 2 pq 4 p 3q pq p 2 pq − − + + − − + + .

12. ( )[ ]{ }a 2ab b 3a 5ab 6b a b 5− − + − + + − − + .

13. ( )[ ]{ }6t 5 4w 4t 2w 2t 6 1 5w 3+ − + − − + − + + − + .


~ 94 ~

14. ( )[ ]{ }2w 3w 4w w 2u 3u 4u 2u− + − − + − + .

15. ( )[ ]{ }7b 3b 5a b 3a 2b b 2a 11+ − − − − − − + .

16. ( ){ }3x 2x 3x 2y 5x 4y 2x 5y 17 − + − − − − − − .

17. ( )[ ]{ }4t 3v 4t 3v 4t 3v 4t 3v− + − − − − − .

18. ( ) ( )2 2 2 22x y 3xm 3yx 6mx x 5mx 7yx 5mx+ − + − − − − + =

19. ( )[ ]{ }5t 4r 3 2e r 2 5t 3 2r 5e 8t 3e 2r− − − + − − + − − − + − =

20. ( )[ ] ( ){ }2 25 3x 2x x 3 8 3x 2 5x 3 4 x x 8x 3x− − + − − + − − + − + =

21. ( )5 5 1 2 4 1a 2a a a b a b3 6 3 5 10 5

− + − − + − + + − +

22. 2 3 3 2 2 3 3 22 5 3 4 3 4 3 2x y xy x y x y yx y x3 6 4 9 8 3 4 5 − − − − − − − =

23. 2 3 2 3 2 34 5 2 2 3 4 3 2 5a b b a ba a b ab ab5 6 3 3 2 3 8 3 6 − − − − − − − =

Adición De Polinomios Para sumar polinomios colocamos uno a continuación del otro enlazándolos con el signo de adición, después se reducen términos semejantes. Por ejemplo, para sumar los polinomios dados por:

2 2 38a b 6ab b− + − ; 3 2 3a 5ab b− + ; 3 2 24a 4a b 3ab− + − ; 2 27a b 4ab 6− − Agrupamos: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 3 3 2 3 3 2 2 2 28a b 6ab b a 5ab b 4a 4a b 3ab 7a b 4ab 6− + − + − + + − + − + − − = ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 2 2 2 2 2 2 3 3a 4a 8a b 4a b 7a b 6ab 5ab 3ab 4ab b b 6− + − + + + − − − + − − = ( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 3 2 23a 3a b 6ab 0 6 3a 3a b 6ab 6− + + − + − = − + − − La suma puede escribirse de tal manera que el polinomio resultante quede ordenado en forma descendente respecto a una de las literales:

3 2 23a 3a b 6ab 6− + − − Si la adición se lleva a cabo en columnas, deben colocarse los términos bajo los que les son semejantes, posteriormente se realiza la reducción columna a columna, los resultados parciales quedarán unidos por los signos que correspondan. Para la suma de los cuatro polinomios anteriores tendremos:

2 2 3

3 2 3

3 2 2

2 2

3 2 2

8a b 6ab ba 5ab b

4a 4a b 3ab7a b 4ab 6

3a 3a b 6ab 6

− + −− +

+− + −

+ − −

− + − −

Obsérvese que cada polinomio está ordenado respecto a la literal a en forma descendente, además, en la práctica se acostumbra dejar espacios cuando un polinomio no contiene ciertos términos que el polinomio anterior sí incluye, para el ejemplo, 20ab & 30b se pueden omitir dejando espacios en sus lugares.


~ 95 ~

Ejercicio 2: Realiza las siguientes adiciones de polinomios. 1. Sumar los polinomios 25x 10 4x− + y 27 x 3x 3− − . 2. Sumar los polinomios 2 22ab 9b 6a 6− − − y 2 22a 9 3b 4ab+ − + . 3. Sumar los polinomios 6 4ax 3ab− + − , 5ab 2ax 10− − − y ax 1 8ab− + . 4. Sumar los polinomios 2m 3m 1− + , 2m 6 9m− + y 22m 3− + . 5. Sumar los polinomios 2 218xy x 2y 6+ + − , 2 28y 5 10x xy− + + − y 2 28 3x y 4xy− + − + .

6. Sumar los polinomios 2 21 2x xy y2 3

+ − y 2 21 1 1x xy y4 5 3

− − + .

7. Sumar los polinomios 3 2 2a a b ab+ − , 2 2 2ab 2a ab− − y 2 2 36a b 4ab a+ + . 8. Sumar los polinomios 3y 7 z 2x− + + , 8 4x z 2y+ − − y y 3x 2z 4− − − . 9. Sumar los polinomios 4 3x ax 5− − , 32ax bx 7− − + y 4 3 22x ax 4bx 9− + + − .

10. Sumar los polinomios 2 21 3 2a ab b5 2 3

− − − , 2 25 4 3a ab b2 3 5

− + y 2 25 4 1a ab b3 5 2

− + − .

Sustracción de Polinomios. Consideremos la siguiente pregunta: ¿qué polinomio debe sumarse con x x x+ + −3 24 3 5 para obtener como resultado el polinomio x x− −3 3 ? Para responderla tomemos en cuenta el siguiente arreglo:

x x x

x x

+ − −+

+ + +

− −

3 2

3

4 3 5

3

En la primera columna, de izquierda a derecha, debemos colocar el término x− 23 , con esto:

( )x x x+ − =3 3 34 3

En la segunda, colocaremos x− 2 porque:

( )x x+ − =2 2 0

En la tercera 4x− , pues:

( )3x 4x x+ − = −

En la última, colocamos el monomio constante 2 , ya que:

5 2 3− + = − Pues bien, hemos calculado la substracción de dos polinomios, siendo el resultado:

3 23x x 4x 2− − +

La operación puede escribirse como:

( ) ( )3 3 2 3 2x x 3 4x x 3x 5 3x x 4x 2− − − + + − = − − − +


~ 96 ~

y en arreglo vertical:

x x xx x x

x x x

+ − −−

+ + −

− − − +

3 2

3 2

3 2

1 0 1 34 1 3 5

3 1 4 2

En la substracción anterior distinguimos:

Minuendo: 3x x 3− − Sustraendo: 3 24x x 3x 5+ + − Diferencia: 3 23x x 4x 2− − − +

En toda substracción se cumple que:

Diferencia Sustraendo Minuendo+ =

El concepto que se explica a continuación es de utilidad para efectuar restas de polinomios: Simétrico de un polinomio es aquel que se obtiene transformando el signo de cada término en su opuesto, como en el siguiente ejemplo: El simétrico de 3 2 2 3 4x y x y 4xy 8y− − + − es: 3 2 2 3 4x y x y 4xy 8y+ − + De inmediato se puede verificar que al sumar un polinomio con su simétrico el resultado es cero, además, cada vez que la suma de dos polinomios dé cero, éstos serán simétricos uno del otro. La resta o substracción de polinomios se realiza así: Al polinomio que figura como minuendo se le suma el simétrico del polinomio que aparezca como sustraendo. Retornemos a la resta de polinomios ya planteada:

( ) ( )3 3 2x x 3 4x x 3x 5− − − + + − Al sumar al minuendo el simétrico del sustraendo nos queda:

( ) ( )3 3 2 3 3 2 2 2x x 3 4x x 3x 5 x x 3 4x x 3x 5 3x x 4x 2− − − + + − = − − − − − + = − − − +

En arreglo vertical: x x xx x x

+ − −−

+ + −

3 2

3 2

1 0 1 34 1 3 5

se transforma en: x x xx x x

x x x

+ − −+− − − +

− − − +

3 2

3 2

3 2

1 0 1 34 1 3 5

3 1 4 2

En la práctica no es necesario escribir dos veces el arreglo anterior, basta cambiar mentalmente los signos de los términos del sustraendo por sus opuestos y realizar la suma columna a columna. Ejemplos: 1) De 3 3 2 25m 9n 6m n 8mn− + − , restar 2 2 314mn 21m n 5m 8− + − Solución:

Ordenamos respecto a m :

3 2 2 3

3 2 2 3

2 2 3

5m 6m n 8mn 9n5m 21m n 14mn 0n 8

27m n 22mn 9n 8

+ − −−

− + + −

− − −


~ 97 ~

2) Restar 3 2 2 3 411x y 14x y 3xy y− − − + del polinomio 4 2 2 3 4 36x 7 x y 8xy y 11x y− + − − . Solución: El sustraendo es aquel polinomio que deseamos restar del otro, entonces el minuendo es el polinomio

4 2 2 3 4 36x 7 x y 8xy y 11x y− + − − .

Ordenando respecto, a y :

4 3 2 2 3 4

4 3 2 2 3

4 3 2 2 4

y 8xy 7 x y 11x y 6xy 3xy 14x y 11x y

2y 11xy 7 x y 6x

− + − − +−

− − −

− + + +

3) A la resta de 3 2 2 3a 2a b 5b 2ab− + − , menos 3 2 22a 3a b 2b− + , restarle el polinomio

3 2 3 23a 4a b 3ab 4b− − − . Solución. Las operaciones podrían realizarse por separado, pero para abreviar el procedimiento dispondremos en un solo arreglo a los tres polinomios, considerando de antemano los simétricos de los polinomios que juegan el papel de sustraendos para sumarlos con el otro polinomio.

3 2 2 3

3 2 2

3 2 2 3

3 2 2 3

3 2 2 3

a 2a b 5b 2ab2a 3a b 2b

a a b 3b 2ab3a 4a b 4b 3ab

4a 5a b 7b ab

− + −+− + −

− + + −+− + + +

− + +

Ejercicio 3: Realiza las siguientes sustracciones. 1. Restar 25x 10 4x− + del polinomio 27 x 3 3x− − . 2. De 2 27y 3x 4xy− + − , restar 2 23xy 4y 2x− + + . 3. Restar 3 27 2x 3x y+ − del polinomio 3 2 3x 2x y y− − . 4. De 3 2 44x 2x 3x 7 x− − − + , restar 2 3 43 5x x 3x 2x− + − + .

5. Restar 3 3 2a c b4 5 3

+ − del polinomio 1 1 2a b c4 3 5

− + − .

6. De 2 21 1 5x xy y4 6 2

+ + , restar 2 21 1 3x xy y8 9 2

+ + .

7. A la resta de 2 242x 68y+ , menos 2 286x 72y− , restarle el polinomio 2 251y 94z+ . 8. A la resta de 13a 22b 8ab+ − , menos ab 25a 18b− − + , restarle el polinomio 8b 35ab 10a− + + . 9. A la resta de 16y 13 10x− + , menos 18 10x 12y− − + , restarle el polinomio 15x 20y 30+ − .

10. A la resta de 2 2 23 1 1a b c4 6 8

+ − , menos 2 2 21 1 7a b c8 12 8

− + − , restarle el polinomio 2 21 3a b2 4

− .

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POLINOMIOS

Para calcular la multiplicación y la división de polinomios, en particular de monomios, habrá que utilizar algunas propiedades de los exponentes, o leyes de exponentes, la cual indica cómo efectuar la multiplicación de potencias con la misma base. Mismas que están en la tarea 2 semanal. Multiplicación de Monomios Al efectuar una multiplicación de dos o más monomios se multiplican sus coeficientes numéricos y en seguida se escribe el producto de su parte literal, tomando en cuenta la ley de exponentes que corresponde al producto de potencias de la misma base cuando así se requiera.


~ 98 ~

Ejemplos: 1. ( )( )( ) ( )( )( )3 2 3 2 2 62ab 12ab c 6b 2 12 6 aabb b c 144a b cs− = − = − Por supuesto que puede abreviarse el proceso, recordando que la multiplicación tiene las propiedades asociativa y conmutativa, y que 1a a= .

2. ( )2 2 4 2 61 1x y 10y z x y z5 2

− − =

.

Multiplicación de un Monomio por un Polinomio. En este caso, primero se empleará la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma:

( )A B C D AB AC AD+ − = + −

Enseguida se llevarán a cabo las multiplicaciones de los monomios resultantes: Ejemplos:

1) ( ) ( )( ) ( )3 2 3 2 4 3 2 3 3 2 2 4 3 23 32x y 6xy 5x y 2x y 6xy 2x y 5x y 2x y20 20

− − − = − − − − −

( ) ( )( ) ( )3 2 3 2 4 3 1 2 3 3 2 2 4 3 23 32x y 6xy 5x y 2 6 x y 2 5 x y 2 x y20 20

+ + + + − − − = − − − − −

3 2 3 2 4 4 5 5 6 3 23 32x y 6xy 5x y 12x y 10x y x y20 10

− − − = − + +

Con práctica, el proceso puede realizarse directamente.

2) 3 2 2 3 4 3 4 3 2 5 5 5 3 2 43 2 1 2 3 3r s t rst r s t 2t r s t r s t 2r s t7 9 8 21 56 7

− + = − +

3) ( ) ( )

3 2 2 3 2 23 2 3 2

2 2 3

2 3 5u v w w 3 2 3 5u v w w 3uv v w uv v w3 4 6 12 8 3 2 32 2 3 2

+ − − − = + − − −

( )( )

( )( ) ( )

3 2 2 23 2 3 2 4 2 3 5 3 3 4

3 5 4 5

2 3 5u v w w 9 2 3 3 5 3 3uv v w v w uv w u v w v w3 4 6 12 24 2 3 2 2 3 2 3

+ − − − = − − + +

3 2 2

3 2 3 2 4 2 3 5 3 3 42 3 5u v w w 9 1 9 5 1uv v w v w uv w u v w v w3 4 6 12 24 4 32 16 32

+ − − − = − − + +

Multiplicación de dos Polinomios. Aunque la multiplicación puede realizarse en forma horizontal, es mucho más práctico desarrollar el proceso en forma vertical, por ejemplo: Multiplicar x 6y− por 2 3x 3xy y+ − . Cada polinomio se ordena en la misma forma, decreciente o creciente, respecto a las potencias de la misma literal. Se coloca uno de los polinomios, regularmente el que tiene más monomios, en el primer renglón, bajo él se coloca el segundo polinomio, luego se multiplica cada término del segundo polinomio por cada término del primero; los productos parciales se colocan de tal manera que los términos semejantes queden en la misma columna; si aparece un término que no sea semejante a los de el renglón precedente, se desplaza respetando el orden respecto a la literal elegida. Para terminar, se reducen términos semejantes en cada columna. La suma de los términos ya reducidos será el resultado o producto de los polinomios.


~ 99 ~

2 3

3 2 3

2 2 4

3 2 3 2 4

x 3xy yx 6y

x 3x y xy6x y 18xy 6y

x 3x y xy 18xy 6y

+ −×

−

+ −+

− − +

− − − +

Los dos polinomios se ordenaron en forma descendente respecto a x . Observar que el monomio 3xy− fue

desplazado a la derecha, al igual que 46y . La multiplicación empezó con el primer término del polinomio ubicado en el segundo renglón, por cada término del polinomio situado en el primer renglón, pero pudo iniciarse multiplicando el segundo término del segundo polinomio, por cada término del primer polinomio. Otro ejemplo: Multiplicar ( )( )2 2 2 22a ab 3b b a 3ab+ − + − Se ordenarán ambos polinomios en forma ascendente con respecto a a , en este caso se multiplicará el tercer término del polinomio en la segunda fila por cada término del polinomio en la primera fila, para continuar multiplicando el segundo término del segundo polinomio por cada uno de los términos del primero, para culminar con los productos del primer término del segundo polinomio por los términos del primero.

2 2

2 2

4 3 2 2

3 2 2 3

2 2 3 4

4 3 2 2 3 4

3b ab 2ab 3ab a

3b ab 2a b3ab 3a b 6a b

3a b a b 2a

3b 4ab 4a b 5a b 2a

− + +×

− +

− + ++ + − −

− + +

− + − − +

Ejercicio 4: Efectúa los siguientes productos: 1. ( )( )( )5 2 3 5 74abc 3a b 2b c− − 2. 3 4 5 5 414 15 1x y w x w y

25 28 2 −

3. ( )2 3 2 2 3 24m n 2mn 3m n 5m n− − − 4. ( )2 3 3 2 45a b 2a bc 3b c 4c− + − 5. ( )( )2 2y 3y 4 y 2y+ − + 6. ( )( )2 2 2 22z wz 3w z 3wz w+ − − +

7. ( )( )( )2x y x 3y y 2− − − 8. ( )( )( )2a 2 a 1 a 3a 2+ − + −

9. ( )( )4 3 2 2 5 3 4 3 3m 4m n 7m n 9n 3m 5m n− + − − − 10. ( )( )2 4 3 2 6 2 3 8 5 8 93r t 5s t 6r s 9r s t t s− + − −

11. ( )2 21 2x 2x x 42 3

+ − −

12. 3 1y 1 4y4 3 + −

División de un Monomio entre otro Monomio Al efectuar una división de dos monomios se dividen sus coeficientes numéricos y en seguida se dividen las partes literales, tomando en cuenta la ley de exponentes que corresponde al cociente de potencias de la misma base cuando así se requiera. Ejemplo: Dividir 3 564x y entre 216x y− .

3 5 3 53 2 5 1 4

2 2

64x y 64 x y 4x y 4xy16 y16x y x

− −= = − = −−−

Finalmente: 3 5

42

64x y 4xy16x y

= −−


~ 100 ~

Ejemplo: Efectuar la división ( ) ( )4 6 2 3 272r s t 108r s− ÷

( )4 6 2 2 3 4 6 2

3 2 4 3 6 2 2 4 23 2 3 2 3 2 3 2

72r s t 3 2 r s t 1 22 r s t rs t3108r s 3 2 r s 3

− − −−

−= − = − = −

Ejemplo: Calcular 8 5 6

8 2 4

42x y z144x y z−−

( ) ( )( )

8 5 6 8 5 65 2 6 4 3 2

8 2 4 8 2 4 4 1 2 14 2

42x y z 2 3 7 x y z 7 7y z y z144x y z x y z 2 3 242 3

− −− −

−= = =

−

División de un Polinomio entre un Monomio. Al dividir un polinomio entre un monomio nos restringiremos al caso donde el cociente sea un polinomio. Sea por ejemplo la división:

4 3 2 4 2 2

2 2

36m n 12m n 18m n3m n

+ −

El cociente se construye dividiendo cada monomio del polinomio entre el monomio que figura como divisor, los resultados parciales se incorporan como términos integrantes del cociente.

4 3 2 4 2 22 2

2 2 2 2 2 2

36m n 12m n 18m n 12m n 4n 63m n 3m n 3m n

+ − = + −

Otro ejemplo:

4 4 3 2 2 3 3 3 4 4 4 3 2 2 3 3 3 42 2 2 3

2 3 2 3 2 3 2 3

14x y z 8w x y z 49x y z 14x y z 8w x y z 49x y z 82x yz w 7 xz77 x y z 7 x y z 7 x y z 7 x y z

− += − + = − + −

− − − −

División de Polinomio entre Polinomio Las divisiones de polinomios que tendrán sentido serán aquellas donde se obtenga otro polinomio en el cociente, aun cuando dichas divisiones no sean exactas y nos produzcan por ese hecho un residuo diferente de cero. Cabe hacer una analogía con el proceso para dividir cantidades enteras sin permitir decimales en el cociente. En principio se requiere que el dividendo sea mayor que el divisor, o igual a él; entre polinomios no tiene significado decir que uno es mayor que otro, la referencia es: el grado del dividendo debe ser mayor o igual que el grado del divisor. A continuación se explica el proceso. Ejemplo: Dividir 4 2 34x 6x x 2x 3+ + − + entre 21 x x+ + .

2 4 3 2x x 1 4x 2x 6x x 3+ + − + + + i) Ordenar ambos polinomios en forma descendente.

2

2 4 3 2

4 3 2

4xx x 1 4x 2x 6x x 3

4x 4x 4x+ + − + + +

+ +

ii) Dividir 24x entre 2x para registrar el resultado como primer monomio del cociente, enseguida multiplicar dicho monomio por el divisor, colocándole producto bajo los respectivos términos semejantes del dividendo.


~ 101 ~

( )

2

2 4 3 2

4 3 2

3 2

4xx x 1 4x 2x 6x x 3

4x 4x 4x6x 2x x 3

+ + − + + +

− + +

− + + +

iii) Restar el producto anterior del dividendo.

( )

( )

2

2 4 3 2

4 3 2

3 2

3 2

2

4x 6xx x 1 4x 2x 6x x 3

4x 4x 4x6x 2x x 36x 6x 6x

8x 7 x 3

−+ + − + + +

− + +

− + + +

− − − −

+ + +

iv) Dividir 36x− entre 2x para registrar el segundo monomio del cociente, a continuación multiplicar el resultado de esta división por el divisor y luego restar el producto del residuo obtenido en la etapa anterior

( )

( )

( )

2

2 4 3 2

4 3 2

3 2

3 2

2

2

4x 6x 8x x 1 4x 2x 6x x 3

4x 4x 4x6x 2x x 36x 6x 6x

8x 7 x 38x 8x 8

x 5

− ++ + − + + +

− + +

− + + +

− − − −

+ + +

− + + +− −

v) Como el residuo obtenido es de grado dos, igual que el grado del divisor, la división prosigue. Dividir 2 28x x÷ para obtener el tercer monomio del cociente, después se multiplica este monomio por cada término del divisor y se resta este producto del residuo que se obtuvo en la etapa.

( ) ( )Dividendo Cociente Divisor Residuo= × + ( )( ) ( )

Dividendo Cociente ResiduoDivisor

4 3 2 2 24x 2x 6x x 3 4x 6x 8 x x 1 x 5− + + + = − + + + + − −

iv) La división termina aquí, pues el grado del residuo es uno, menor que el grado del divisor. Finalmente:

Para dividir polinomios que contienen más de una literal (algunas veces se dice que contienen más de una variable), se procede como en el siguiente ejemplo:

Efectuar la división 4 4 2 2

2 2

a b a ba b ab+ ++ +

.

Ordenamos los polinomios respecto a la literal a en forma descendente, observando que el grado del dividendo relativo a la literal ordenatriz es 4 , y el grado del divisor es 2, por lo tanto puede efectuarse la división. Previamente, se asignan dos espacios en el dividendo para colocar en forma adecuada los monomios de tercer y primer grado, relativos a la literal a . Además, en las sustracciones se han cambiado directamente los signos de los términos del sustraendo, para reducir términos semejantes con mayor comodidad.

2 2

2 2 4 2 2 4

4 3 2 2

3 4

3 2 2 3

2 2 3 4

2 2 3 4

a ab ba ab b a 0 a b 0 b

a a b a ba b 0 0 ba b a b ab

a b ab ba b ab b

0

− ++ + + + + +

− − −

− + + +

+ + +

+ + +

− − −

Al obtener residuo igual a cero, se dice entonces que el polinomio del dividendo es divisible por el polinomio del divisor, o que el polinomio del divisor divide al polinomio del dividendo, o que el cociente y el divisor son factores del dividendo. Esto último indica que:


~ 102 ~

( )( )4 2 2 4 2 2 2 2a a b b a ab b a ab b+ + = − + + +

Se ha factorizado al polinomio del dividendo en dos factores, es decir, se ha obtenido la descomposición factorial de 4 2 2 4a a b b+ + . Nota: Cuando se tiene polinomios con dos o más variables, se puede realizar la división con respecto a alguna de ellas, por lo que es importante definir con que variable se realizara la división. Tomemos el ejemplo anterior y dividamos con respecto a la variable b . Ordenamos en el polinomio respecto a la variable b en grado descendente y realizamos la división.

2 2

2 2 4 2 2 4

4 3 2 2

3 4

3 2 2 3

2 2 3 4

2 2 3 4

b ba ab ba a b 0 b a 0 a

b b a b ab a 0 0 ab a b a ba

b a ba ab a ba a

0

− ++ + + + + +

− − −

− + + +

+ + +

+ + +

− − −

Un ejemplo más: Obtener el cociente y el residuo de la división, con respecto a la variable y .

( ) ( )4 4 3 2 2 3 2 22x 2y xy 6x y 7 x y y xy 2x− + − − + ÷ − −

2 2

2 2 4 3 2 2 3 4

4 3 2 2

3 2 2 3 4

3 2 2 3

2 2 3 4

2 2 3 4

3 4

2y xy xy xy 2x 2y xy 6x y 7 x y 2x

2y 2xy 4x y

xy 2x y 7 x y 2xxy x y 2x y

x y 9x y 2xx y x y 2x

8x y 4x

+ −− − − − + −

− + +

+ − + −

− + +

− + −

+ − −

−

La división finaliza al aparecer 3 48x y 4x− como residuo, ya que el grado de este polinomio con respecto a y es menor que el grado del divisor respecto a la misma variable. Identificamos al cociente como el trinomio 2 22y xy x+ − .

( )( ) ( )4 4 3 2 2 3 2 2 2 2 3 42x 2y xy 6x y 7 x y y xy 2x 2y xy x 8x y 4x− + − − + = − − + − + − Veamos qué resultado obtenemos si dividimos con respecto a la otra variable del polinomio.


~ 103 ~

2 2

2 2 4 3 2 2 3 4

4 3 2 2

3 2 2 3 4

3 2 2 3

2 2 3 4

2 2 3 4

3 4

11x 4xy y2

2x xy y 2x 7 x y 6x y xy 2y2x x y x y

8x y 7 x y xy 2y8x y 4x y 4xy

11x y 3xy 2y11 1111x y xy y2 2

17 7xy y2 2

− − +

− − + − + − − +

+ −

− − +

− − +

− + +

− −

−

( )4 4 3 2 2 3 2 2 2 2 3 411 17 72x 2y xy 6x y 7 x y 2x xy y x 4xy x xy y2 2 2

− + − − + = − − + − − − + −

Ejercicio 5: Realiza las siguientes divisiones de polinomios. 1. ( ) ( )3 7 4 2 3 424a b c 18a b c÷ 2. ( ) ( )4 5 3 4 3 224a b xy 8a b xy− ÷

3. ( ) ( )3 2 3 2 2 2 2 2xy z 4x y z 3x y z xy z− + ÷ 4. ( ) ( )4 6 2 5 4 3 3 7 5 3 4 220a b c 5a b c 15a b c 5a b c− + ÷ −

5. ( ) ( )2 4 3 5 24x 5x 6x 11x 2x 1 3x 2x− + − + ÷ − + 6. ( ) ( )5 4 2 2a 10 27a a 7a 5 a a+ − − + ÷ − + 7. ( ) ( )3 2 26m 10m 2m 2 m 3m 2− − + ÷ − − 8. ( ) ( )3 38x y 2x y− ÷ −

9. ( ) ( )4 3 3 4 2 2y b y by 2b y b− − − ÷ + 10. ( ) ( )2 2 3 3x y 12xy 6x 36y 2x 3y− − + ÷ − División Sintética Existe un método simplificado, que se puede usar para dividir un polinomio entre un binomio de la forma x c− , llamado división sintética. Para realizar este procedimiento el polinomio debe de cumplir las siguientes características: - Tener una sola variable. - Tener término independiente. Ejemplos: 1) Haciendo uso de la división sintética, dividir 25x 6x 2+ − entre x 5− .

Primero escribimos el dividendo con sus términos en orden de potencias descendentes, es decir:

26x 5x 2+ −

Como el divisor es x 5− , lo escribimos en la forma x c− ; ( )x 5− , es decir el valor de c 5= . Al usar la división sintética comenzamos escribiendo los coeficientes del dividendo (6 , 5 y 2− ) y el valor de c 5= del divisor como sigue:

5 6 5 -2 +


~ 104 ~

A continuación se desarrolla el siguiente procedimiento:

5 6 5 -2 + 6

Se comienza bajando el 6 , a la tercera fila sobre su misma columna.

5 6 5 -2 + 30 6

Multiplicamos 5 por 6 para obtener 30 .

5 6 5 -2 + 30 6 35

Sumar 5 más 30 para obtener 35 .

5 6 5 -2 + 30 175 6 35

Multiplicar 5 por 35 para obtener 175 .

5 6 5 -2 + 30 175 6 35 173

Sumar 2− más 175 para obtener 173 .

Los números 6 y 35 representan el cociente: 6x 35+ . El número 173 es el residuo; recordando el proceso de división se procede a dar el resultado como:

( ) ( )Dividendo Cociente Divisor Residuo= × + ( )( )26x 5x 2 6x 35 x 5 173+ − = + − +

2) Haciendo uso de la división sintética, dividir 2 310x 3 5x 4x+ − + entre x 3+ . Escribiendo los coeficientes del dividendo y el divisor x 3+ en la forma x c− ; ( )x 3− − , es decir el valor de c 3= − .

-3 4 10 -5 3 + -12 6 -3 4 -2 1 0

Los números 4 , 10 , 5− & 3 representan el cociente 3 24x 10x 5x 3+ − + . Y observamos que el último número en la tercera fila es cero, por lo tanto, no tenemos residuo y esto se debe a que es una división exacta.

( )( )3 2 24x 10x 5x 3 4x 2x 1 x 3+ − + = − + +

3) Dividir 4 32x 5x 2x 8+ − − entre x 3+ , haciendo uso de la división sintética. Escribiendo los coeficientes del dividendo y agregando un cero, como coeficiente del término cuadrático, es decir, 4 3 22x 5x 0x 2x 8+ + − − y el divisor x 3+ en la forma x c− ; ( )x 3− − , se tiene que el valor de c 3= − .

-3 2 5 0 -2 -8 + -6 3 -9 33 2 -1 3 -11 25

Los números 2 , 1− , 3 & 11 correspondientes a los coeficientes del cociente: 3 22x x 3x 11− + − . El número 25 representa el residuo; así:

( )( )4 3 3 22x 5x 2x 8 2x x 3x 11 x 3 25+ − − = − + − + +


~ 105 ~

Ejercicio 6: Realiza las siguientes divisiones, empleando el proceso de división sintética. 1. ( ) ( )3 22x 3x 4x 5 x 2− + − ÷ − 2. ( ) ( )3 2 44y 12 4y 3y y y 3− − + + ÷ −

3. ( ) ( )2 36t 15 5t t 4− + + ÷ − 4. ( ) ( )3 2 431w 7w 10 5w w w 5− + + + ÷ − 5. ( ) ( )4 8p 2 p p 1− + ÷ + 6. ( ) ( )5m 32 m 2+ ÷ +

7. ( ) ( )3x 19x 30 x 3− + ÷ − 8. ( ) ( )3 23a 4a a 8 a 4− − + ÷ + 9. ( ) ( )3 2 43n 18 7n n 27n n 3− − + − ÷ − 10. ( ) ( )2 320 5y 4y 11y y 2− + − ÷ − Ejercicios para la evidencia integradora: En la mayoría de los casos se hacen combinaciones de adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones al mismo tiempo, como veremos en los siguientes ejemplos: 1) Dados los polinomios 3P 7a 3a 7= + + ; 3 2Q a 4a 13= + − ; 3 2R 3a 3a 4a= − + & 2S a 2a 5= − + calcula las siguientes operaciones: a. ( )P Q S+ ÷ b. ( ) ( )R Q P S× + × c. ( ) ( )S R P Q− × + d. ( )R P Q− ÷ e. ( )[ ]R S P Q− × ÷ Solución: Para realizar las operaciones, realizando primero lo que está dentro de cada signo de agrupación. Ordenando en forma descendente cada uno de los polinomios. a. ( )P Q S+ ÷ P Q+

a aa a

a a a

+ + ++

+ + −

+ + −

3

3 2

3 2

7 0 3 74 0 13

8 4 3 6

( )P Q S+ ÷ a

a a a a aa a a

a aa a

a

+− + + + −

− + −

− −

− + −−

2 3 2

3 2

2

2

8 202 5 8 4 3 6

8 16 4020 37 620 40 100

3 106

( )( )r a a a a= − + + + −2 2 5 8 20 3 106

b. ( ) ( )R Q P S× + × R Q× a a aa a

a a aa a a

a a a

a a a a a a

− +

+ −

− +

− +

− + −

+ − − + −

3 2

3 2

6 5 4

5 4 3

3 2

6 5 4 3 2

3 2 44 13

3 2 412 12 16

39 26 52

3 10 8 23 26 52

P S× a aa a

a a aa a a

a a

a a a a a

+ +

− +

+ +

− − −

+ − +

+ + − − +

3

2

5 3 2

2 4

3

5 3 2 4

7 3 72 5

7 3 76 14 14

35 15 35

7 38 14 29 35

( ) ( )R Q P S× + ×

a a a a a aa a a a a

a a a a a a

+ − − + −

− + + − +

+ − + + − +

6 5 4 3 2

5 4 3 2

6 5 4 3 2

3 10 8 23 26 527 14 50 29 29 35

3 17 22 27 55 81 35

r a a a a a a= + − + + − +6 5 4 3 23 17 22 27 55 81 35


~ 106 ~

c. ( ) ( )S R P Q− × + S R−

a aa a a

a a a

− +− + − +

− + − +

2

3 2

3 2

0 2 53 3 4 0

3 4 6 5

P Q+ a aa a

a a a

+ + ++ + −

+ + −

3

3 2

3 2

7 0 3 74 0 13

8 4 3 6

( ) ( )S R P Q− × +

a a aa a a

a a a aa a a a

a a a aa a a

a a a a a a

− + − +

+ + −

− + + +

− + + +

− + − +

− + −

− + + + − + −

3 2

3 2

6 5 4 3

5 4 3 2

4 3 2

3 2

6 5 4 3 2

3 4 6 58 4 3 6

24 32 48 4012 16 24 20

9 12 18 1518 24 36 30

24 20 55 94 62 51 30

r a a a a a a= − + + + − + −6 5 4 3 224 20 55 94 62 51 30

d. ( )R P Q− ÷ R P−

3 2

3

3 2

3a 3a 4a7a 3a 7

4a 3a a 7

− +

− − −

− − + −

( )R P Q− ÷

a a a a aa a

a a

−+ − − − + −

+ +

− + +

3 2 3 2

3 2

2

44 13 4 3 7

4 16 52

13 43

( ) ( )r a a a a= − + − + − + +3 2 24 4 13 13 43

e. ( )[ ]R S P Q− × ÷ R S−

3 2

2

3 2

3a 3a 4aa 2a 5

3a 4a 6a 5

− +

− + −

− + −

( )R S P− × 3 2

3

6 5 4 3

4 3 2

3 2

6 5 4 3 2

3a 4a 6a 57a 3a 7

21a 28a 42a 35a9a 12a 18a 15a

21a 28a 42a 35

21a 28a 51a 36a 10a 27a 35

− + −

+ +

− + −

− + −

+ − + −

− + − − − −

( )[ ]R S P Q− × ÷ 3

3 2 6 5 4 3 2

6 5 3

5 4 3 2

5 4 2

4 3 2

4 3

3 2

3 2

2

21a 5a 4a 3 21a 28a 51a 36a 10a 27a 35

21a 84a 63a

56a 51a 27a 10a 27a 3556a 224a 168a

173a 27a 178a 27a 35173a 692a 519a

719a 178a 492a 35719a 2876a 2157

2698a 492a 2122

− ++ + − + − − − −

− + +

+ + + − − −

− − −

− + − − −

+ + +

+ − + −

− + +

+ +

26a 173a 719− −

( )( ) ( )r a a a a a a a= − + − − + + + + +3 2 3 2 221 56 173 719 4 3 2698 492 2122


~ 107 ~

Ejercicio 7: 1. Dados los polinomios 4 3 2P 2y y 3y= + + ; 3 2Q y 3y 6y= − − & 3 4 2R y 3y 2y= − + calcula las siguientes operaciones: a. ( )P R Q+ × . b. ( )R P Q+ − . c. ( )P R Q× ÷ . d. P Q R− × . e. ( )R P Q− − ÷ . 2. Dados los polinomios 3 2A x 7 x 2x= − + ; 3 2B 5x 8x 7= + − ; 3C 5x 3x 10= − + & 2D 6x 4x 2= + − , calcula las siguientes operaciones: a. ( ) ( )A D C B+ − + . b. ( )[ ]C B D A× − ÷ c. ( ) ( )A B D C+ × − d. ( ) ( )B A D C− + − e. ( ) ( )A C B D× + − 3. Dados los polinomios 3 2A 4a 7a 2a 4= − + − ; 3 2B 3a 8a 3a 7= + + − ; 3C a 3a 10= − + &

3 2D a 6a 4a 2= − + − , calcula las siguientes operaciones: a. ( ) ( )A B C D+ − + . b. ( )[ ]B A D C× − ÷ c. ( ) ( )A D C B+ × − d. ( ) ( )C D B A− ÷ − e. ( ) ( )A D A B× ÷ − 4. Dados los polinomios 3 2A 6y 2y 3y 1= − + − ; 4 2B y 5y 6= − + ; 5 4 2C 5y 7y y 4y 1= + − + + &

5 3D 4y 6y y 8= − − + − , calcula las siguientes operaciones: a. ( ) ( )B D A B+ − + . b. ( )[ ]A D C B× − ÷ c. ( ) ( )D C A B− × + d. ( ) ( )C D B A− ÷ − e. ( ) ( )A C D C× ÷ − 5. Dados los polinomios 3 2A 3b 5b 4b 8= − − − ; 3B b 2b 4= + − ; 2C b b 10= − + & D 2b 5= − , calcula las siguientes operaciones: a. ( ) ( )A D C B− + − . b. ( )[ ]D A B C× − ÷ c. ( ) ( )A B D C− × + d. ( ) ( )B A C D+ ÷ − e. ( ) ( )A D C B× ÷ −


~ 108 ~

FACTORIZACION Y PRODUCTOS NOTABLES

CONCEPTOS En el proceso algebraico que llamaremos factorización se considerarán únicamente polinomios con coeficientes enteros; más tarde al aplicar este proceso en otras áreas de la matemática se podrán utilizar polinomios con coeficientes racionales. El proceso de multiplicar dos polinomios y obtener otro polinomio como producto puede invertirse en muchos casos, si conocemos el resultado de una multiplicación podemos obtener los factores, en esto consiste esencialmente la factorización o descomposición factorial. En aritmética descomponemos un número compuesto en sus factores primos; en álgebra ciertos polinomios se expresan como producto de otros polinomios de modo que estos últimos ya no sea posible descomponerlos en factores más simples. Un polinomio de dos o más términos es irreducible si sus únicos factores son la unidad y él mismo, o la unidad negativa y el simétrico del polinomio. Se describirán técnicas para factorizar y sobre la marcha aprenderás a distinguir qué tipos de polinomios se consideran irreducibles. FACTORIZACION POR FACTOR COMUN. Observar la siguiente figura que representa a un rectángulo subdividido en otros tres:

La suma de las áreas de las tres divisiones es:

AH BH CH+ + El área del rectángulo con altura H y base A B C+ + es:

( )A B C H+ + Como la suma de las áreas de las subdivisiones es igual al área del rectángulo que se subdividió, entonces:

( )AH BH CH A B C H+ + = + + Naturalmente, la propiedad conmutativa de la multiplicación aplicada cuatro ocasiones nos permite afirmar que:

( )HA HB HC H A B C+ + = + + Si consideramos que el primer miembro de la igualdad es un trinomio, se aprecia que cada término contiene a H como factor, es decir, H es un factor común de los tres términos. En el segundo miembro aparece el producto de otro trinomio por el factor común H, se dice que el trinomio AH BH CH+ + se ha factorizado extrayendo el factor común de sus términos.


~ 109 ~

Debe notarse que el número de sumandos en el primer miembro es el mismo que el número de sumandos del polinomio que aparece en el interior del paréntesis en el segundo miembro. Realmente la igualdad citada es una manera de escribir el reverso de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma. Al factorizar extrayendo factores comunes se quiere que la suma de términos A B C+ + ya no posea factor común. Veamos algunos ejemplos: a. Factorizar 2 3 2 4 33 12 18a b a b a b− + . Solución:

3 12 18 31 4 6

2 3 4

2 3

2

a a a aa a a a1 a a

2 3

2

bb b b1 b b

Calculamos el máximo común divisor de los coeficientes constantes y variables.

23a b Formamos el factor común con los factores de cada uno de los coeficientes constantes y variables.

( )a b a b a b a b− + =2 3 2 4 3 23 12 18 3 Tomamos el factor común y colocamos un paréntesis.

a ba b

=2

2

3 13

a b aba b

−−

3 2

2

12 43

a b a ba b

=4 3

2 22

18 63

Dividimos cada termino del polinomio entre el factor común.

( )a b ab a b− +2 2 23 1 4 6 El resultado de cada uno de ellos se coloca en el paréntesis en su lugar correspondiente.

( )a b a b a b a b ab a b− + = − +2 3 2 4 3 2 2 23 12 18 3 1 4 6 Se tiene el polinomio factorizado. Nota: Como observamos el MCD de los coeficientes variables es siempre la variable con menor exponente siempre y cuando esta variable este en todos los términos sin importar el exponente que tenga en cada termino. b. Descomponer en factores: 3 3 2 2 2 3 3 252 26 130 39x y x y x y x y− + − . Solución:

52 26 130 39 134 2 10 3

Calculamos el MCD de los coeficientes variables.

2 2x y Haciendo referencia a la nota del ejercicio anterior seleccionamos los coeficientes variables que se repitan encada termino del polinomio con el menor exponente.

2 213x y Formamos el factor común.

x y xyx y

=3 3

2 2

52 413

x yx y

−= −

2 2

2 2

26 213

Dividimos cada uno de los términos del polinomio entre el factor común.

x y yx y

=2 3

2 2

130 1013

x y xx y

−= −

3 2

2 2

39 313

( )2 213x y 4xy 2 10y 3x− + − Colocamos cada cociente en su lugar correspondiente dentro del paréntesis

( )x y x y x y x y x y xy y x− + − = − + −3 3 2 2 2 3 3 2 2 252 26 130 39 13 4 2 10 3 . Y se tiene el polinomio factorizado.

En algunos casos el Factor común es un polinomio en lugar de un monomio, por lo tanto hay que agrupar dicho polinomio y hacer factorizaciones parciales de factor común. c. Obtén los factores irreducibles de ( ) ( )x v w y v w v w+ + − − + +8 3 Solución:

v w+ Observamos que este binomio se encuentra dentro del polinomio.


~ 110 ~

( )( )v w− +1 ( )v w+ Agrupamos los últimos términos y factorizamos por 1− .

( ) ( )( ) ( )x v w y v w v w+ + − + + +8 3 1

( )x v wx

v w+

=+

88

( )y v wy

v w− +

= −+

33

v wv w+

=+

1 Dividimos cada termino entre el factor común.

( )( )v w x y+ − +8 3 1 Colocamos los resultados de cada división dentro de un paréntesis, en su correspondiente lugar.

( ) ( )( ) ( ) ( )( )x v w y v w v w v w x y+ + − + + + = + − +8 3 1 8 3 1 Y se tiene el polinomio factorizado.

Ejercicio 1, extraer factor común para factorizar hasta la mínima expresión cada polinomio: 1. x x x− −5 3 24 12 20 . 2. a b a b ab− +3 3 2 23 6 12 . 3. m n mn mn m n− + −2 2 2 24 12 8 16 . 4. x y x y x y− +2 2 3 3 2 44 8 16 .

5. a b a b a b− − +3 2 4 2 420 15 35 . 6. x y x y xy xy− + −3 2 2 218 24 12 . 7. m mn m n mn− + −2 3 2 39 12 15 24 . 8. m m x m x− −4 3 2 235 21 14 . 9. ( )( ) ( )x y x y x y+ − + +2 . 10. ( )( ) ( )( )a a a a− + − − −1 2 1 2 3 . 11. ( ) ( )x r s y s r− + −4 3 . 12. ( ) ( )x y x y x y x y− + −2 2 2 . FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO DE TERMINOS. En ocasiones los sumandos de un polinomio pueden asociarse en dos o más grupos de tal forma que en cada grupo se presentan un factor común, una vez extraídos esos factores comunes en los diferentes grupos se precede a factorizar la expresión resultante. Analizar los siguientes ejemplos: 1. Factorizar xy xw y yw− − +23 3 2 2 . Solución:

( ) ( )xy xw y yw− + − +23 3 2 2 Agrupamos los términos que tienen variables en común.

x3 y−2 Se determina el factor común de cada agrupación

( ) ( )x y w y y w− − −3 2 Se aplica factorización de factor común parcial a cada agrupación cuidando, que el proceso nos deje un polinomio común en las factorizaciones.

( )( )y w x y− −3 2 Se aplica la factorización de factor común.

( )( )xy xw y yw y w x y− − + = − −23 3 2 2 3 2 Y se tiene el polinomio factorizado.

2. Descomponer en factores irreducibles al polinomio 3 3 4 2 2 6ax ay c cx yc a+ + − − − . Solución: Para realizar este tipo de factorización no hay una regla para la agrupación, solo se trata de no dejar ningún término solo, se presentaran dos posibles formas de solucionar este ejercicio, dejando el criterio de como agruparlo a la experiencia que cada estudiante adquiera sobre este proceso.

( ) ( )ax ay a cx yc c+ − + − − +3 3 6 2 2 4 Agrupamos en dos término, verificando que tengan cada término un factor común.

3a 2c Determinamos los factores en común de cada agrupación.

( ) ( )a x y c x y+ − + − −3 2 2 2 Realizamos la factorización de factor común a cada agrupación.

( ) ( )( )a x y c x y+ − + − + −3 2 2 1 2 Factorizamos por 1− en el segundo agrupamiento para tener un polinomio común y continuar con el fraccionamiento.

( )( )x y a c+ − −2 3 2 Se aplica la factorización factor común.


~ 111 ~

( )( )ax ay c cx yc a x y a c+ + − − − = + − −3 3 4 2 2 6 2 3 2 Y se tiene el polinomio factorizado.

La segunda opción de solución se realizara de forma más dinámica sin explicación:

3 3 4 2 2 6ax ay c cx yc a+ + − − − ( ) ( ) ( )ax cx ay yc c a− + − + −3 2 3 2 4 6 ( ) ( ) ( )x a c y a c c a− + − + −3 2 3 2 2 2 3

( ) ( ) ( )( )x a c y a c a c− + − + − −3 2 3 2 2 1 3 2 ( )( )a c x y− + −3 2 2

Observamos que no importa el procedimiento, ya que el resultado es el mismo, lo verdaderamente importante es aplicar bien los conceptos, teoremas y axiomas matemáticos. Ejercicio 2, factoriza hasta la mínima expresión los polinomios que siguen por el método de agrupamiento de términos: 1. 22 2ab ac b bc− + − . 2. 2 2 2 4x xy x y+ − − . 3. 2x xy xw yw− + − . 4. 3 22 3 6m m m− − + . 5. 23 2 2 3xy y yw xw− + − . 6. 22 2 7 7x xy ay ax− + − . 7. 3 23 6 2x x y xy+ − − . 8. 3 23 3ab b ab− + − . 9. 22 2x xy xw x w y− + − − + . 10. 8 2 16 2n dm cn dn m cm+ + − − − .

11. 26 4 15 10a ac ab bc− − + . PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS Y FACTORIZACION DE DIFERENCIA DE CUADRADOS Multiplicación de binomios conjugados. Los binomios conjugados son expresiones algebraicas que tiene la característica de tener un término igual y otro simétrico, por ejemplo:

2 3x y− y 2 3x y+ Si multiplicamos, estos binomios,

( )( )2 2 4 2 2 2 4 23 3 3 3 9 9x y x y x x y x y y x y− + = + − − = − Observamos que existen términos que se eliminan, y sin importar la forma de estos binomios el resultado será el mismo.

( )( ) 2 2 2 2A B A B A AB AB B A B− + = + − − = −

Por tal motivo reduciremos este procedimiento aplicando una regla. ( )( ) 2 2A B A B A B− + = − El producto de los binomios conjugados es igual a una diferencia de cuadrados.

Ejemplo: Realiza la siguiente operación: ( )( )2 23 3x y x y− +

( )( )2 23 3x y x y− + Observamos que tenemos binomios conjugados por lo tanto aplicamos la regla.

( ) ( )2 22 3x y−

( ) ( ) ( )222 2 3x y− 4 29x y−

Aplicamos las leyes de los exponentes y las propiedades aritméticas.

( )( )2 2 4 23 3 9x y x y x y− + = − Y se tiene el producto notable desarrollado.


~ 112 ~

Ejercicio 3, construir el conjugado de cada binomio. 1. 2 3x x+ . 2. 3 3x y− . 3. 2 4x− + . 4. 2 2w z− − . 5. 2 61 x y+ . 6. 4 3 5 9x y z− − . Ejercicio 4, desarrollar las multiplicaciones: 1. ( )( )2 25 3 5 3y x y x− + − − . 2. ( )( )4 4 4 4x y x y− + .

3. ( )( )2 22 3 2 3b a b a− + . 4. ( )( )2 2 2 27 2 7 2xy x y xy x y− − − + .

5. ( )( )2 2 2 2x y x y+ − . 6. ( )( )2 3 3 22 9 9 2y x x y− + − − . Factorización de diferencias de cuadrados. Como la diferencia de cuadros, es el resultado de multiplicar binomios conjugados, tenemos:

( )( ) 2 2A B A B A B− + = − y ( )( ) 2 2A B A B A B+ − = −

Entonces:

( )( )2 2A B A B A B− = − + ó ( )( )2 2A B A B A B− = − + Toda diferencia de cuadrados es el producto de dos binomios conjugados. Observa con atención, 2 2A B− no es lo mismo que ( )( )A B A B− − porque A B− no es el binomio

conjugado de A B− ; de hecho ( )( )A B A B− − puede abreviarse como ( )2A B− , pero no como 2 2A B− . Ejemplo: Factoriza el siguiente polinomio 4 6 2 44 36a x b y− . Solución:

4 6 2 44 36a x b y− Primero comprobamos que los términos de esta diferencia son términos cuadráticos.

( )22 32a x ( )226by Buscamos números enteros que elevados al cuadrado nos den los términos del binomio.

( )( )a x by a x by− +2 3 2 2 3 22 6 2 6 Si estos existen como es este caso, colocamos los valores encontrados dentro de paréntesis separándolos por signos contrarios el término que es el sustraendo en la diferencia.

( )( )4 6 2 4 2 3 2 2 3 24 36 2 6 2 6a x b y a x by a x by− = − +

Y se tiene el polinomio factorizado.

Ejercicio 5, realiza las siguientes factorizaciones. 1. 4 2x y− . 2. 216 9y− . 3. 8 49y − . 4. 2 4 410 81a b − .

5. ( )2 21a b− − . 6. ( )22 4 1x y w− − .

7. ( ) ( )2 21 b c d+ − − . 8. ( ) ( )2 2x y r s− − − . Algunas veces es necesario transformar adecuadamente un binomio para considerarlo como diferencia de cuadrados, o bien aplicar más de una vez el método para factorizar diferencias de cuadrados, porque los factores deben ser términos irreducibles.


~ 113 ~

Ejemplos. Descomponer en factores irreducibles los binomios que siguen: a. 425 y− + Solución:

( )4 25y + − Propiedad conmutativa de la adición. 4 25y − Eliminación del paréntesis y se procede a

comprobar que es una diferencia de cuadrados

( )22y ( )25 Se calculan las raíces de ambos términos.

( )( )2 25 5y y+ − Factorización.

( )( )4 2 225 5 5y y y− + = + − Y se tiene el polinomio factorizado.

b. 2 5y − . Solución:

2 5y − Comprobamos que sea una diferencia de cuadrados.

( )2y ( )2 Se calculan las raíces de ambos términos. 2 5y − Como no existe un numero entero que elevado al

cuadrado me de 5 el binomio no es una diferencia de cuadrados y por lo tanto, es un polinomio irreducible.

c. 8256 w− Solución:

8256 w− Comprobamos que sea una diferencia de cuadrados. ( )216 ( )24w Se calculan las raíces de ambos términos.

( )( )4 416 16w w+ − Observamos que posiblemente el binomio que tiene la diferencia es posiblemente una diferencia de cuadrados así que lo comprobamos.

( )24 ( )22w Se calculan las raíces de ambos términos del binomio diferencia.

( )( )( )4 2 216 4 4w w w+ + − Observamos que posiblemente el binomio que tiene la diferencia es posiblemente una diferencia de cuadrados así que lo comprobamos.

( )22 ( )2w Se calculan las raíces de ambos términos del binomio diferencia.

( )( )( )( )4 216 4 2 2w w w w+ + + − Observamos que ya no se pueden reducir más los términos por lo tanto este sería el resultado.

( )( )( )( )8 4 2256 16 4 2 2w w w w w− = + + + − Y se tiene el polinomio factorizado. Ejercicio 6, factorizar en factores irreducibles: 1. 16 1x − . 2. 8 81x− + . 3. 8 416a b− . 4. 4625 16p− + . PRODUCTO DE BINOMIOS Y FACTORIZACION DE TRINOMIOS CUADRATICOS ( )2ax bx c+ + . Multiplicación de binomios con un término común. Si se considera que x es un monomio y m , n son números enteros distintos de cero, resulta que

( )( ) ( )2 2x m x n x xn xm mn x m n x mn+ + = + + + = + + + Este es otro producto notable que recibe el nombre de producto de dos binomios con término común y la regla para resolverlo es.


~ 114 ~

( )( ) ( )2x m x n x m n x mn+ + = + + + La regla para resolver este producto notable es: “Es el cuadrado del monomio común, más la suma de los no comunes, multiplicada por el monomio común, más el producto de los no comunes”. Ejemplos: a. ( )( )3 8x x+ + Solución:

( )( )3 8x x+ + Observamos un producto de binomios con término común donde: 3m = y 8n = .

( ) ( )2 3 8 3 8x x+ + + Sustituyendo en la regla.

2 11 24x x+ + Simplificando. ( )( ) 23 8 11 24x x x x+ + = + + Y se obtiene el producto notable desarrollado.

b. ( )( )9 4y y+ − Solución:

( ) [ ]( )9 4y y+ + − Observamos un producto de binomios con término común donde: 9m = y 4n = − .

[ ]( ) [ ]2 9 4 9 4y y+ + − + − Sustituyendo en la regla. 2 5 36y y+ − Simplificando.

( )( ) 29 4 5 36y y y y+ − = + − Y se obtiene el producto notable desarrollado.

c. ( )( )5 2y y− +

Solución:

[ ]( )( )5 2y y+ − + Observamos un producto de binomios con término común donde: 5m = − y 2n = .

[ ]( ) ( )( )2 5 2 5 2y y+ − + + − Sustituyendo en la regla. 2 3 10y y− − Simplificando.

( )( ) 25 2 3 10y y y y− + = − − Y se obtiene el producto notable desarrollado.

d. ( )( )7 4w w− −

Solución: [ ]( ) [ ]( )7 4w w+ − + − Observamos un producto de binomios con término

común donde: 9m = y 4n = − . [ ] [ ]( ) ( )( )2 7 4 7 4w w+ − + − + − − Sustituyendo en la regla.

2 11 28w w− + Simplificando. ( )( ) 27 4 11 28w w w w− − = − + Y se obtiene el producto notable desarrollado.

Ejercicio 7, desarrolle los productos notables. 1. ( )( )5 12y y+ − . 2. ( )( )8 2w w+ − .

3. ( )( )9 7t t− + . 4. ( )( )5 8x x− − . 5. ( )( )9 10a a− − . 6. ( )( )2 21 6y y+ − .

7. ( )( )3 34 3h h− + . 8. ( )( )6 4n n− + − − . 9. ( )( )3 5y y− + . 10. ( )( )1 9x x− + − + .

11. ( )( )2 26 5a a− + − . 12. ( )( )2 28 9xy xy− − .

13. ( )( )2 3 2 35 5x y x y+ + . 14. ( )( )9 9a a− − .


~ 115 ~

Ejemplo: Determina el valor de k que hace que se cumpla la igualdad de las siguientes expresiones. a. ( )( ) 25 9 45x x x kx− − = + + Solución:

k m n= + De acuerdo a la regla del producto notable del producto de binomios son termino común,

5m = − 9n = − Determinando los valores de m y n. ( ) ( )5 9k = − + −

5 9k = − − 14k = −

Sustituyendo y calculando el valor de k..

( )2 14 45x x+ − + 2 14 45x x− +

Sustituyendo en el trinomio.

( )( ) 25 9 14 45x x x x− − = − + De esta forma la igualdad se cumple. b. ( )( ) 212 10 2x x x x k− + = − + Solución:

k mn= De acuerdo a la regla del producto notable del producto de binomios con termino común,

12m = − 10n = Determinando los valores de m y n. ( )( )12 10k = −

120k = − Sustituyendo y calculando el valor de k..

( )2 2 120x x− + − 2 2 120x x− −

Sustituyendo en el trinomio.

( )( ) 212 10 2 120x x x x− + = − − De esta forma la igualdad se cumple. Ejercicio 8, determinar el valor de k sabiendo que las igualdades deben ser verdaderas para todo valor de x : 1) ( )( ) 24 6 24x x x kx+ + = + + . 2) ( )( ) 28 2 10x x x x k+ + = + + . 3) ( )( ) 29 3 27x x x kx+ − = + − . 4) ( )( ) 23 7 21x x x kx+ − = + − . 5) ( )( ) 210 1 9x x x x k− + = − + . 6) ( )( ) 26 8 48x x x kx− + = + − . 7) ( )( ) 21 5 6x x x x k− − = − + . 8) ( )( ) 23 4 12x x x kx− − = + + . Multiplicación de binomios sin término común. Si a , b , m y n son todos números enteros, se tiene el esquema que sigue; visto como producto notable.

( )( ) ( )2 2ax m bx n abx anx bmx mn abx an bm x mn+ + = + + + = + + +

Se observa como en el caso anterior que se tiene una regla para realizar el producto notable:

( )( ) ( )2ax m bx n abx an bm x mn+ + = + + +

La regla para resolver este producto notable es: “El producto de los términos semejantes, más la suma del producto de los extremos más el producto de los medios, más el producto de los términos no comunes”

Ejemplos: a) ( )( )5 2 3 4x x+ + Solución:

( )( )5 2 3 4x x+ + Observamos un producto de binomios con término común donde: 5a = , 3b = , 2m = y 4n = .

( ) ( ) ( )[ ] ( )25 3 5 4 3 2 2 4x x+ + + Sustituyendo en la regla.


~ 116 ~

[ ]215 20 6 8x x+ + + 215 26 8x x+ +

Simplificando.

( )( ) 25 2 3 4 15 26 8x x x x+ + = + + De esta forma queda desarrollado el producto notable.

b) ( )( )3 4 4 3x x− + Solución:

( )( )3 4 4 3x x− + Observamos un producto de binomios con término común donde: 3a = , 4b = , 4m = − y 3n = .

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )( )23 4 3 3 4 4 4 3x x+ + − + − Sustituyendo en la regla.

[ ]212 9 16 12x x+ − − 212 7 12x x− −

Simplificando.

( )( ) 23 4 4 3 12 7 12x x x x− + = − − De esta forma queda desarrollado el producto notable.

c) ( )( )2 8 5 1x x− + + Solución:

( )( )2 8 5 1x x− + + Observamos un producto de binomios con término común donde: 2a = − , 5b = , 8m = y 1n = .

( )( ) ( )( ) ( )[ ] ( )22 5 2 1 8 5 8 1x x− + − + + Sustituyendo en la regla.

[ ]210 2 40 8x x− + − + + 210 38 8x x− + +

Simplificando.

( )( ) 22 8 5 1 10 38 8x x x x− + + = − + + De esta forma queda desarrollado el producto notable.

d) ( )( )9 6 8 2x x− + − Solución:

( )( )9 6 8 2x x− + − [ ]( ) [ ]( )6 9 2 8x x+ − − +

Aplicamos la propiedad conmutativa de la adición y observamos un producto de binomios con término común donde: 5a = , 3b = , 9m = y 4n = − .

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )( )26 2 6 8 2 9 9 8x x− + + − − + − Sustituyendo en la regla.

[ ]212 48 18 72x x− + + − 218 66 72x x− + −

Simplificando.

( )( ) 29 6 8 2 18 66 72x x x x− + − = − + − De esta forma queda desarrollado el producto notable.

Ejercicio 9, desarrolla los productos notables: 1) ( )( )3 1 2 3x x+ + . 2) ( )( )2 3 4w w+ + . 3) ( )( )5 2 3 2x x− + + . 4) ( )( )3 10 4 9x x− − − − . 5) ( )( )2 27 3 7 3x x− − . 6) ( )( )2 23 2 3 2x x− − − − . Ejemplos: a. ( )( ) 22 3 3 2 5 6x x wx x− + = − −

w ab= De acuerdo con la regla del producto notable de binomios con termino semejante.

2a = 3b = Determinando los valores de a y b . ( )( )2 3w =

6w = Sustituyendo y calculando el valor de w .

26 5 6x x− − Sustituyendo en el trinomio ( )( ) 22 3 3 2 6 5 6x x x x− + = − − De esta forma la igualdad se cumple.


~ 117 ~

b. ( )( ) 25 6 4 7 20 9x x x x w+ − = − + w mn= De acuerdo con la regla del producto notable de

binomios con termino semejante. 6m = 7n = − Determinando los valores de a y b .

( )( )6 7w = − 42w = −

Sustituyendo y calculando el valor de w .

( )220 9 42x x− + − 220 9 42x x− −

Sustituyendo en el trinomio

( )( ) 25 6 4 7 20 9 42x x x x+ − = − − De esta forma la igualdad se cumple. c. ( )( ) 24 2 5 2 20x x x wx− − = + +

w am bn= + De acuerdo con la regla del producto notable de binomios con termino semejante.

1a = 4m = − 2b = 5n = − Determinando los valores de a y b . ( )( ) ( )( )1 5 2 4w = − + −

5 8w = − − 13w = −

Sustituyendo y calculando el valor de w .

( )22 13 20x x+ − + 22 13 20x x− +

Sustituyendo en el trinomio

( )( ) 24 2 5 2 13 20x x x x− − = − + De esta forma la igualdad se cumple. Ejercicio 10, determina el valor de w . 1) ( )( ) 22 3 5 1 17 3x x wx x+ + = + + . 2) ( )( ) 22 7 3 4 6 13x x x x w+ − = + + . 3) ( )( ) 22 7 7 4 14 41x x x x w+ − = + + . 4) ( )( ) 23 2 3 3 6x x x wx+ − = + − . 5) ( )( ) 26 4 5 3 30 12x x x wx− + = + − . Binomio al Cuadrado. Observando las regiones de la figura que sigue:

Se verifica que el área del cuadrado cuyos lados miden a b+ es igual a la suma de las aéreas de los regiones a2 , ab y b2 . Así, el área del cuadrado con lados a b+ es 2 2a b ab ab+ + + o sea:

( ) ( )( )2 2 2 2 22a b a b a b a ab ab b a ab b+ = + + = + + + = + +

Se puede apreciar que ( )2a b+ es distinto de 2 2a b+ , porque no es lo mismo considerar las cuatro regiones que sólo dos de ellas. Por tal motivo tenemos:

( )2 2 22a b a ab b+ = + +


~ 118 ~

La igualdad anterior es otro producto notable e indica que el cuadro binomio se construye con: “la suma del cuadrado del primer término, más el doble producto de los términos, más el cuadrado del segundo término.” Al resultado de elevar al cuadrado un binomio se le llama trinomio cuadrado perfecto (TCP). Ejemplos: Desarrollar los cuadrados que siguen: a) ( )23x y+ Solución:

( )23x y+ Observamos que tenemos un binomio al cuadrado.

( ) ( )( ) ( )22 2 3 3x x y y+ + Aplicamos la regla correspondiente al binomio al cuadrado.

2 26 9x xy y+ + Simplificando obtenemos el TCP.

( )2 2 23 6 9x y x xy y+ = + + Y así tenemos el producto notable desarrollado

b) ( )27 2x y− Solución:

( )27 2x y−

[ ]( )27 2x y+ −

Observamos que tenemos un binomio al cuadrado.

( ) ( )( ) ( )227 2 7 2 2x x y y+ − + − Aplicamos la regla correspondiente al binomio al cuadrado.

2 249 28 4x xy y− + Simplificando obtenemos el TCP.

( )2 2 27 2 49 28 4x y x xy y− = − + Y así tenemos el producto notable desarrollado.

c) ( )223 4r s− +

Solución: ( )223 4r s− +

[ ]( )223 4r s− +


( ) ( )( ) ( )2 22 23 2 3 4 4r r s s− + − +

Aplicamos la regla correspondiente al binomio al cuadrado.

4 2 29 24 14r r s s− +

Simplificando obtenemos el TCP.

( )22 4 2 23 4 9 24 14r s r r s s− + = − + Y así tenemos el producto notable desarrollado.

d) ( )23 2 2 39 4x y x y− −

Solución:

( )23 2 2 39 4x y x y− −

( )23 2 2 39 4x y x y − + −


( ) ( )( ) ( )2 23 2 3 2 2 3 2 39 2 9 4 4x y x y x y x y− + − − + − Aplicamos la regla correspondiente al binomio al cuadrado.

6 4 5 5 4 681 72 16x y x y x y+ + Simplificando obtenemos el TCP.

( )23 2 2 3 6 4 5 5 4 69 4 81 72 16x y x y x y x y x y− − = + + Y así queda el producto notable desarrollado.

Cuando uno de los términos del binomio es negativo, como en los ejemplos b) y c), el doble producto de los términos es negativo. El producto notable que nos ocupa puede aplicarse para desarrollar el cuadrado de un trinomio.


~ 119 ~

Por ejemplo:

( )22 2 35 3xy x y x− +

Solución:

( )( )22 2 35 3xy x y x + − + Aplicamos la propiedad asociativa.

( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 3 35 3 2 5 3xy x y xy x y x x + − + + − + Sustituyendo en la regla del producto notable binomio al cuadrado.

( ) ( )( ) ( )2 22 2 2 2 4 2 5 65 2 5 3 3 10 6xy xy x y x y x y x y x+ − + − + − +

Sustituimos en la regla nuevamente y desarrollamos

2 4 3 3 4 2 4 2 5 625 30 9 10 6x y x y x y x y x y x− + + − +

Desarrollando las operaciones y simplificando

( )22 2 3 2 4 3 3 4 2 4 2 5 65 3 25 30 9 10 6xy x y x x y x y x y x y x y x− + = − + + − +

Y así queda el producto notable desarrollado.

Ejercicio 11, desarrolla los siguientes binomios al cuadrado.

1. ( )22 33 4x y− + . 2. ( )29 2w y+ .

3. ( )227 3x x− . 4. ( )23xy− − .

5. ( )22 2x y− − . 6. ( )22 3 3 22 3x y x y− .

7. ( )24 4x y− + . 8. ( )22 21 x y− + . Ejercicio 12, desarrollar los cuadrados que siguen:

1) ( )22 1x x+ + . 2) ( )233 4 3x x+ + .

3) ( )22 22x y xy xy− − . 4) ( )23 3 3a b c− + − . Factorización de trinomios cuadráticos ( )2ax bx c+ + . Los trinomios cuadráticos, reciben su nombre porque son polinomios de 2° grado, que contiene tres términos como se muestra a continuación:

Término Término TérminoCuadrático Lineal Independiente

2ax bx c+ +

Para factorizarlos es importante identificar de qué tipo son, para utilizar el procedimiento correspondiente, de acuerdo con lo siguiente:

TCP

No TCP

No factorizable

2 2

22

2

a + 2ab+ b

a 1 x bx cax bx c

a 1 ax bx c

→

= → + ++ +

≠ → + +

Como observamos primero comprobaremos si el trinomio cuadrático ( )2ax bx c+ + , cumple con los requerimientos de ser un trinomio cuadrado perfecto (TCP), si es así, se procede a factorizar de la siguiente forma: Factorización de trinomios cuadrados perfectos (TCP). De la fórmula para el cuadrado de un binomio se obtiene la factorización de un trinomio cuadrado perfecto:

( )22 22a ab b a b± + = ±


~ 120 ~

Pero primero hay que verificar que el trinomio sea un TCP, comprobando lo siguiente: 1. Que tenga dos términos con raíz cuadrada entera y que los términos sean positivos, recuerden que no hay raíces cuadradas de números negativos. 2. Que tenga un término que sea el doble producto de las raíces, sin importar el signo. Una vez comprobado estos dos pasos se procede a factorizar. Ejemplos: Factorizar los siguientes trinomios cuadráticos: a) 2 24 12 9x xy y+ + Solución:

( )22x ( )23y Comprobamos que existan dos números que elevados al cuadrado nos den dos de los tres términos del trinomio y que sean positivos.

( )( )2 2 3 12x y xy= 12 12xy xy=

Comprobamos que los números obtenidos al calcular su doble producto sea igual al término restante.

( )22 3x y+ Si se cumplen los dos pasos, colocamos dentro de un paréntesis las dos raíces separadas por el signo del término del doble producto. ( en este caso signo positivo)

( )22 24 12 9 2 3x xy y x y+ + = + Y así queda la factorización.

b) 4 2 2 49 42 49c c d d− + Solución:

( )223c ( )227d Comprobamos que existan dos números que elevados al cuadrado nos den dos de los tres términos del trinomio y que sean positivos.

( )( )2 2 2 22 3 7 42c d c d= 2 2 2 242 42c d c d=

Comprobamos que los números obtenidos al calcular su doble producto sea igual al término restante.

( )22 23 7c d− Si se cumplen los dos pasos, colocamos dentro de un paréntesis las dos raíces separadas por el signo del término del doble producto. ( en este caso signo negativo).

( )24 2 2 4 2 29 42 49 3 7c c d d c d− + = − Por lo tanto la factorización queda así.

c) 2 2 436 54 81x xy y+ + Solución:

( )26x ( )229y Comprobamos que existan dos números que elevados al cuadrado nos den dos de los tres términos del trinomio y que sean positivos.

( )( )2 22 6 9 54x y xy= 2 2108 54xy xy≠

Comprobamos que los números obtenidos al calcular su doble producto sean igual al término restante.

2 2 436 54 81x xy y+ + Como no se cumple la condición de que el doble producto de las raíces den el termino restante el trinomio no es un TCP, y no se puede factorizar bajo este procedimiento.

Ejercicio 13, realiza las siguientes factorizaciones. 1. 29 6 1x x+ + . 2. 2 24 12 9x xy y+ + . 3. 2 216 40 25a ab b− + . 4. 2 249 28 4w wr r+ + .


~ 121 ~

5. 2 216 72 81a ab b− + . 6. 2 2100 140 49h hk k− + . 7. 2 24 4x y xy+ + . 8. 4 2 281 18w t w t+ − . Si el trinomio cuadrático no cumple con la condición de ser un trinomio cuadrado perfecto (TCP), entrara en la clasificación de a 1= o a 1≠ , lo cual nos dice si el coeficiente constante del término cuadrático es igual a la unidad o es diferente de la unidad. Estas factorizaciones tienen diferente procedimiento, por lo tanto es importante identificar qué tipo de trinomio cuadrático se va a factorizar, a continuación se describirán ambos procedimientos. Factorización de trinomios de la forma a 1= ( )x bx c+ +2 . Cuando un cuadrático no es un TCP, y el coeficiente constante del término cuadrático es la unidad, se le conoce como trinomio de la forma 1a = , y se procederá a factorizar bajo dicho procedimiento. Debemos tomar en cuenta que:

( )2 2x bx c x m n x mn+ + = + + +

Por lo tanto:

b m n= + y c mn= Entonces para realizar una factorización se necesita encontrar la pareja de números que sumados nos dan el coeficiente constante del término lineal y multiplicados el término independiente, para facilitar la búsqueda se realiza una tabla, con el siguiente encabezado:

m n m n+ mn Se debe considerar que la suma de esta pareja de números es con números enteros por lo tanto se establece que:

m n>

Con esta condición se trabaja con las parejas necesarias, para la factorización, evitando trabajo innecesario. Ejemplo: a. 2 11 24x x+ + Solución:

2 11 24x x+ + Comprobamos que no es un TCP

( )2x ( )2 No se tienen otro número que elevado al cuadrado nos de alguno de los dos términos restantes, por lo tanto no es un TCP, y observamos que el coeficiente constante del término cuadrático es la unidad.

11 m n= + 24 mn= Por lo tanto buscaremos dos números que sumados den 11 y multiplicados 24 .

m n m n+ mn Hacemos una tabla considerando que m n> , de esta forma aseguramos de no repetir parejas de números que nos den dicha condición.

m 24 12 8 6

n 1 2 3 4

m n+ mn 24 24 24 24

Para empezar el llenado de la tabla empezaremos buscando las parejas que multiplicadas nos den el termino independiente sin considerar el signo.

m n m n+ mn Observamos que 11b = y 24c = , por lo tanto,


~ 122 ~

24 12 8 6

1 2 3 4

25 14 11 10

24 24 24 24

0m > y 0n > , y realizamos la suma.

m 8

n 3

m n+ 11

mn 24

Observamos que la tercera pareja cumple con los requisitos por lo tanto procedemos a factorizar.

( )( )8 3x x+ + Al obtener una pareja que cumpla con los requisitos se colocan dos pares de paréntesis dentro de cada uno de ellos se coloca la única raíz enconada, acompañada por cada una de las parejas encontradas separado las del término común por el signo de cada una de ellas.

( )( )2 11 24 8 3x x x x+ + = + + Por lo tanto la factorización del trinomio cuadrático de la forma 1a = , queda así.

b. 2 12 35x x− + Solución:

2 12 35x x− + Comprobamos que no es un TCP

( )2x ( )2 No se tienen otro número que elevado al cuadrado nos de alguno de los dos términos restantes, por lo tanto no es un TCP, y observamos que el coeficiente constante del término cuadrático es la unidad.

12 m n− = + 35 mn= Por lo tanto buscaremos dos números que sumados den 12− y multiplicados 35 .


m 35 7

n 1 5

m n+ mn 35 35


m -35 -7

n -1 -5

m n+ -36 -12

mn 35 35

Observamos que 12b = − y 35c = , eso significa que 0m < y 0n < ; colocamos los signos

correspondientes y realizamos la suma. m -7

n -5

m n+ -12

mn 35

Observamos que la segunda pareja cumple con los requisitos por lo tanto procedemos a factorizar.

( )( )7 5x x− − Al obtener una pareja que cumpla con los requisitos se colocan dos pares de paréntesis dentro de cada uno de ellos se coloca la única raíz enconada, acompañada por cada una de las parejas encontradas separado las del término común por el signo de cada una de ellas.

( )( )2 12 35 7 5x x x x− + = − − Por lo tanto la factorización del trinomio cuadrático de la forma 1a = , queda así.

c. 2 3 108y y+ − Solución:

2 3 108y y+ − Comprobamos que no es un TCP

( )2y ( )2 No se tienen otro número que elevado al cuadrado nos de alguno de los dos términos restantes, por lo tanto no es un TCP, y observamos que el coeficiente constante del término cuadrático es la unidad.

3 m n= + 108 mn− = Por lo tanto buscaremos dos números que sumados den 3 y multiplicados 108− .


m n m n+ mn Para empezar el llenado de la tabla empezaremos


~ 123 ~

108 54 36 27 18 12

1 2 3 4 6 9

108 108 108 108 108 108

buscando las parejas que multiplicadas nos den el termino independiente sin considerar el signo.

m 108 54 36 27 18 12

n -1 -2 -3 -4 -6 -9

m n+ 107 52 33 23 12 3

mn -108 -108 -108 -108 -108 -108

Observamos que 3b = y 108c = − , por lo tanto, 0m > y 0n < , colocamos los signos

correspondientes y realizamos la suma.

m 12

n -9

m n+ 3

mn -108

Observamos que la ultima pareja cumple con los requisitos por lo tanto procedemos a factorizar.

( )( )12 9y y+ − Al obtener una pareja que cumpla con los requisitos se colocan dos pares de paréntesis dentro de cada uno de ellos se coloca la única raíz enconada, acompañada por cada una de las parejas encontradas separado las del término común por el signo de cada una de ellas.

( )( )2 3 108 12 9y y y y+ − = + − Por lo tanto la factorización del trinomio cuadrático de la forma 1a = , queda así.

d) 2 36 16k k− − Solución:

( )2 16 36k k+ − − 2 16 36k k− −

Aplicamos la propiedad conmutativa de la suma para acomodar y comprobamos que no es un TCP

( )2k ( )2 No se tienen otro número que elevado al cuadrado nos de alguno de los dos términos restantes, por lo tanto no es un TCP, y observamos que el coeficiente constante del término cuadrático es la unidad.

16 m n− = + 36 mn− = Por lo tanto buscaremos dos números que sumados den 16− y multiplicados 36− .


m 36 18 12 9 6

n 1 2 3 4 6

m n+ mn 36 36 36 36 36


m -36 -18 -12 -9 -6

n 1 2 3 4 6

m n+ -35 -16 -9 -5 0

mn -36 -36 -36 -36 -36

Observamos que 16b = − y 36c = − , por lo tanto, 0m < y 0n > , colocamos los signos y realizamos

la suma.

m -18

n 2

m n+ -16

mn -36

Observamos que la segunda pareja cumple con los requisitos por lo tanto procedemos a factorizar.

( )( )18 2k k− + Al obtener una pareja que cumpla con los requisitos se colocan dos pares de paréntesis dentro de cada uno de ellos se coloca la única raíz enconada, acompañada por cada una de las parejas encontradas separado las del término común por el signo de cada una de ellas.

( )( )2 16 36 18 2k k k k− − = − + Por lo tanto la factorización del trinomio cuadrático


~ 124 ~

de la forma 1a = , queda así. Ejercicio 14, descomponer en dos factores de binomios: 1. 2 17 72a a+ + . 2. 2 12 8y y+ − . 3. 2 10 3x x− − . 4. 29 36p p− + . 5. 275 20x x+ − . 6. 2 132x x+ − . Ejemplo: Determina el valor de p que hace valida la igualdad. a. ( )( )2 7 60 5w w w w p+ − = − +

2 7 60w w+ − El trinomio cuadrático no es un TCP ya que se observa que es un producto de binomios con término común.

5 7p− + = 5 60p− = − Aplicando la regla del producto notable 5 5 7 5p− + + = +

12p = 5 605 5p− −=

− −

12p =

Despejando a p .

( )( )5 12w w− + Sustituyendo en el producto de binomios con termino común.

( )( )2 7 60 5 12w w w w+ − = − + De esta forma la igualdad se cumple. Ejercicio 15, determina el valor de p , que satisface cada una de las igualdades: 1. ( )( )2 8 15 3x x x p x+ + = + + . 2. ( )( )2 6 16 8y y y y p+ − = + + .

3. ( )( )2 2 63 7y y y p y− − = + + . 4. ( )( )4 2 2 240 13 5w w w w p+ − = − + . 5. ( )( )2 19 90 10t t t p t− + = + − . 6. ( )( )6 3 3 336 12x x x p x p+ − = + + . Factorización de trinomios cuadráticos 1a ≠ ( )ax bx c+ +2 . El trinomio de la forma 2ax bx c+ + podrá factorizarse como el producto de dos factores de binomios de términos semejantes, esto se puede hacer mediante dos métodos: - Conversión de un trinomio a un tetranomio. - Cambio de variable para transformar el trinomio de la forma 1a ≠ a uno de 1a = . Primer método. Teniendo en cuenta que es el resultado del producto notable de producto de dos binomios con términos semejantes, por lo tanto:

m n b+ = y mn ac= Se realiza una tabla como en el procedimiento pasado.

m n m n+ mn

Tomando en cuenta la misma consideración:

m n>

Una vez obtenida la pareja que cumple los requisitos la expresamos:

bx mx nx= +


~ 125 ~

Se sustituye en el trinomio el valor de bx transformando el trinomio a tetranomio

2

bxax mx nx c+ + +

Y procedemos a factorizar por agrupamiento de términos. Ejemplos: a. + +29 18 8x x Solución:

+ +29 18 8x x Comprobamos que no es un TCP

( )23x ( )2 Solo contiene un termino con raíz entera, por lo tanto no es TCP y se clasifica como trinomio de la forma 1a ≠ , por que el valor de 9a =

18m n+ = ( )( )9 8mn = 72mn =

Por lo tanto buscamos la pareja de números enteros que cumpla con los criterios.


m 72 36 24 18 12 9

n 1 2 3 4 6 8

m n+ mn 72 72 72 72 72 72

Para empezar el llenado de la tabla empezaremos buscando las parejas que multiplicadas nos den el producto de ac sin considerar el signo.

m 72 36 24 18 12 9

n 1 2 3 4 6 8

m n+ 73 38 27 22 18 17

mn 72 72 72 72 72 72

Considerando que 18b = y 72ac = . Tenemos que 0m > y 0n > . Y realizamos la suma.

m 12

n 6

m n+ 18

mn 72

La penúltima pareja cumple las condiciones.

18 12 6x x x= + Expresamos el término lineal en una suma con la pareja encontrada.

29 12 6 8x x x+ + + Sustituimos en el trinomio la suma, transformando el trinomio en un tetranomio

( ) ( )29 12 6 8x x x+ + + ( ) ( )3 3 4 2 3 4x x x+ + + ( )( )3 4 3 2x x+ +

Factorizamos utilizando el método de factorización por agrupamiento de términos.

( )( )29 18 8 3 4 3 2x x x x+ + = + + Y así tenemos el polinomio factorizado. b. − +214 3 19x x Solución:

− +214 3 19x x 214 19 3x x+ −

Acomodando términos y comprobamos que no es un TCP

( )2 ( )2 No tiene términos con raíz entera, por lo tanto no es TCP y se clasifica como trinomio de la forma 1a ≠ , por que el valor de 14a =

19m n+ = ( )( )14 3mn = − 42mn = −

Por lo tanto buscamos la pareja de números enteros que cumpla con los criterios.

m n m n+ mn Hacemos una tabla considerando que m n> , de esta forma aseguramos de no repetir parejas de


~ 126 ~

números que nos den dicha condición. m 42 21 14 7

n 1 2 3 6

m n+ mn 42 42 42 42

Para empezar el llenado de la tabla empezaremos buscando las parejas que multiplicadas nos den el producto de ac sin considerar el signo.

m 42 21 14 7

n -1 -2 -3 -6

m n+ 41 19 11 1

mn -42 -42 -42 -42

Considerando que 19b = y 42ac = − . Tenemos que 0m > y 0n < . Colocamos los signos correspondientes y realizamos la suma.

m 21

n -2

m n+ 19

mn -42

La segunda pareja cumple las condiciones.

19 21 2x x x= − Expresamos el término lineal en una suma con la pareja encontrada.

214 21 2 3x x x+ − − Sustituimos en el trinomio la suma, transformando el trinomio en un tetranomio

( ) ( )214 21 2 3x x x+ + − − ( ) ( )7 2 3 2 3x x x+ − + ( )( )2 3 7 1x x+ −

Factorizamos utilizando el método de factorización por agrupamiento de términos.

( )( )214 19 2 3 7 1x x x x+ − = + − Y así tenemos el polinomio factorizado. Segundo método. Otro método para este tipo de factorización es el cambio de variables que reduce el trinomio de la forma ≠1a a uno de la forma 1a = , este método consiste en hacer una multiplicación por la unidad de la forma

aa

, a todo el trinomio, para obtener un término cuadrático de raíz entera y en el lineal se dejara indicada la

multiplicación; esto transforma el trinomio a uno equivalente sin alterar su valor:

( )2a ax bx ca

+ +

2 2a x abx aca

+ +

( ) ( )2ax b ax aca

+ +

Hacemos el cambio de variable con cualquier otra letra del alfabeto que nos e ala que ocupa el ejercicio.

ax z=

Sustituimos:

2z bz aca

+ +

Ya transformado aplicamos el procedimiento de factorización del trinomio 1a = , y una vez factorizado simplificamos el trinomio. Ejemplos: c) − −235 57 44x x Solución:

235 57 44x x− − Comprobamos que no es un TCP

( )2 ( )2 No contiene términos con raíz entera, por lo tanto


~ 127 ~

no es TCP y se clasifica como trinomio de la forma 1a ≠ , por que el valor de 35a =

35 135

= Tomamos el valor de 35a = y lo dividimos entre si mismo para formar la unidad.

( )235 35 57 4435

x x− −

( )21225 57 35 154035

x x− −

( ) ( )235 57 35 154035

x x− −

35x z= 2 57 1540

35z z− −

Multiplicamos al trinomio por la unidad formada con el valor de a , para transformar le trinomio

1a ≠ a un trinomio 1a = .

( )2z ( )2 Comprobamos que sea un trinomio de la forma

1a = 57 m n− = + 1540 mn− = Por lo tanto buscaremos dos números que sumados

den 57− y multiplicados 1540− . m n m n+ mn Hacemos una tabla considerando que m n> , de

esta forma aseguramos de no repetir parejas de números que nos den dicha condición.

m 1540 770 385 308 220 154 140 110 77 70 55 44

n 1 2 4 5 7 10 11 14 20 22 28 35

m n+ mn 1540 1540 1540 1540 1540 1540 1540 1540 1540 1540 1540 1540

Para empezar el llenado de la tabla empezaremos buscando las parejas que multiplicadas nos den el valor de c sin considerar el signo.

m -1540 -770 -385 -308 -220 -154 -140 -110 -77 -70 -55 -44

n 1 2 4 5 7 10 11 14 20 22 28 35

m n+ -1539 -768 -381 -303 -213 -144 -129 -96 -57 -48 -27 -9

mn -1540 -1540 -1540 -1540 -1540 -1540 -1540 -1540 -1540 -1540 -1540 -1540

Considerando que 57b = − y 1540c = − . Tenemos que 0m < y 0n > . Colocamos los signos correspondientes y realizamos la suma.

m -77

n 20

m n+ -57

mn -1540

La novena pareja cumple las condiciones.

( )( )77 2035

z z− + Al obtener una pareja que cumpla con los requisitos se colocan dos pares de paréntesis dentro de cada uno de ellos se coloca la única raíz enconada, acompañada por cada una de las parejas encontradas separado las del término común por el signo de cada una de ellas.

( )( )35 77 35 2035

x x− + Sustituimos en el valor de z


~ 128 ~

( ) ( )7 5 11 5 7 435

x x− +

( ) ( )7 5 11 5 7 435

x x− +

( )( )35 5 11 7 435

x x− +

( )( )5 11 7 4x x− +

Factorizamos hasta tener términos irreducibles y simplificamos, para tener los factores.

( )( )235 57 44 5 11 7 4x x x x− − = − + Y así tenemos el polinomio factorizado. b. + −26 15x x Solución:

+ −26 15x x Comprobamos que no es un TCP

( )2 ( )2 No contiene términos con raíz entera, por lo tanto no es TCP y se clasifica como trinomio de la forma

1a ≠ , por que el valor de 6a = 6 16=

Tomamos el valor de 35a = y lo dividimos entre si mismo para formar la unidad.

( )26 6 156

x x+ −

( )236 6 906

x x+ −

( ) ( )26 6 906

x x+ −

6x t= 2 90

6t t+ −

Multiplicamos al trinomio por la unidad formada con el valor de a , para transformar le trinomio

1a ≠ a un trinomio 1a = .

( )2t ( )2 Comprobamos que sea un trinomio de la forma

1a = 1 m n= + 90 mn− = Por lo tanto buscaremos dos números que sumados

den 1 y multiplicados 90− . m n m n+ mn Hacemos una tabla considerando que m n> , de

esta forma aseguramos de no repetir parejas de números que nos den dicha condición.

m 90 45 30 18 15 10

n 1 2 3 5 6 9

m n+ mn 90 90 90 90 90 90


m 90 45 30 18 15 10

n -1 -2 -3 -5 -6 -9

m n+ 89 43 27 13 9 1

mn -90 -90 -90 -90 -90 -90

Considerando que 1b = y 90c = − . Tenemos que 0m > y 0n < . Colocamos los signos correspondientes y realizamos la suma.

m 10

n -9

m n+ 1

mn -90

La ultima pareja cumple las condiciones.

( )( )10 96

t t+ − Al obtener una pareja que cumpla con los requisitos se colocan dos pares de paréntesis dentro de cada uno de ellos se coloca la única raíz enconada, acompañada por cada una de las parejas encontradas separado las del término común por el


~ 129 ~

signo de cada una de ellas. ( )( )6 10 6 9

6t t+ −

Sustituimos en el valor de t

( ) ( )2 3 5 3 2 36

t x+ −

( )( )6 3 5 2 36

t x+ −

( )( )6 3 5 2 36

t x+ −

( )( )3 5 2 3t x+ −

Factorizamos hasta tener términos irreducibles y simplificamos, para tener los factores.

( )( )26 15 3 5 2 3x x t x+ − = + − Y así tenemos el polinomio factorizado. Ejercicio 16, realiza las siguientes factorizaciones. 1. − +26 13 6x x . 2. 22 5 2x x+ + . 3. 24 21 26x x+ + . 4. 29 12 5x x+ − . 5. − −23 5 2x x . 6. − +215 19 6x x . 7. 22 11 5x x− + . 8. 26 3 11x x+ + . 9. 212 17 5y y+ − . 10. 4 28 10 3w w− + . 11. 23 4 15x x− − . 12. 2 23 2x xy y+ − . 13. 2 22 3 9x xy y− − . 14. 2 24 19 12a ab b− + . 15. 2 24 9 15v w vw+ + . 16. x x− −23 10 . Existen trinomios cuadráticos irreducibles, es decir que no se pueden factorizar por ninguno de los procesos vistos anteriormente. Ejemplos: Factoriza los siguientes trinomios cuadráticos, a. 24x 10x 9− + Solución:

24x 10x 9− + Comprobamos que si es un TCP.

( )22x ( )23 Cuenta con dos términos cuadráticos.

( )( )2 2 3 10x x= 12 10x x≠

No cumple con el criterio de que el término restante es el doble producto de las raíces, por lo tanto no es un TCP, y como 4a = , se emplea el proceso de factorización del trinomio cuadrática de la forma

1a ≠ . m n 10+ = − ( )( )mn 4 9=

mn 36= Buscamos la pareja de números enteros que cumplan con el criterio.


m 36 18 12 9 6

n 1 2 3 4 6

m n+ mn 36 36 36 36 36


m -36 -18 -12 -9 -6

n -1 -2 -3 -4 -6

m n+ -37 -20 -15 -13 -12

mn 36 36 36 36 36

Considerando que 10b = − y 36c = . Tenemos que 0m < y 0n < . Colocamos los signos correspondientes y realizamos la suma.

m n m n+ mn Observamos que no existe una pareja de números


~ 130 ~

enteros que cumpla con los requisitos. 24x 10x 9− + Por lo tanto el trinomio cuadrático no se puede

factorizar. 2) 2y 7y 6+ − Solución:

2y 7y 6+ − Comprobamos que si es un TCP.

( )2y ( )2 Solo cuenta con un términos cuadráticos, por lo tanto, no es un TCP y el coeficiente constante del término cuadrático vale a 1= , por lo tanto utilizaremos el método para este tipo de trinomio.

7 m n= + 6 mn− = Buscamos la pareja de números enteros que cumplan con el criterio.


m 6 3

n 1 2

m n+ mn 6 6


m 6 3

n -1 -2

m n+ 5 1

mn -6 -6

Considerando que 7b = y 6c = − . Tenemos que 0m > y 0n < . Colocamos los signos correspondientes y realizamos la suma.

m n m n+ mn Observamos que no existe una pareja de números enteros que cumpla con los requisitos.

2y 7y 6+ − Por lo tanto el trinomio cuadrático no se puede factorizar.

Ejercicio 17, factoriza los siguientes trinomios cuadráticos empleando el método correspondiente, indicando aquellos que no se pueden factorizar. 1) 2x x 1+ + . 2) 26x 5x 6− − . 3) 24x 4x 1− + . 4) 2a 17a 70− + . 5) 215a 26a 8+ + . 6) 249 56w 16w− + . 7) 2t 3t 1+ − . 8) 2x x 42+ − . 9) 29w 6w 1+ − . 10) 2y 3y 40− − . 11) 2y 6y 9+ + . 12) 22b 3b 14+ − . 13) 2w 7w 12+ + . 14) 225 10t t+ + . 15) 24y 23y 15− − . 16) 24y 23y 15− + . CONJUGADO LINEAL-CUADRATICO Y FACTORIZACION DE SUMAS Y RESTAS DE DOS CUBOS Conjugado Lineal-Cuadrático. Este producto notable es la multiplicación de un binomio de la forma a b− ó a b+ por un trinomio cuadrático de la forma 2 2a ab b+ + ó 2 2a ab b− + , lo cual da como resultado lo que se conoce como diferencia de cubos o suma de cubos, respectivamente.

( )( )2 2a b a ab b− + + ( ) ( )2 2 2 2a a ab b b a ab b+ + − + +

3 2 2 2 2 3a a b ab a b ab b+ + − − − 3 3a b−

( )( )2 2a b a ab b+ − + ( ) ( )2 2 2 2a a ab b b a ab b− + + − +

3 2 2 2 2 3a a b ab a b ab b− + + − + 3 3a b+

La igualdad anterior nos dice que una suma de cubos es factorizable como el producto de un binomio por un trinomio, una característica importante es que el trinomio 2 2a ab b+ + ó 2 2a ab b− + es irreducible.


~ 131 ~

Por lo tanto, la regla para este producto notable queda: Se elevan al cubo los terminos del binomio y se separan por el mismo signo. En ningún momento se dice que 3 3a b+ coincide con ( )3a b+ ó 3 3a b− coincide con ( )3a b− comprobemos esto con 4a = y 1b = :

( )33 3a b a b+ ≠ + ( ) ( ) ( )3 3 34 1 4 1+ = +

( )364 1 5+ = 65 125≠

( )33 3a b a b− ≠ − ( ) ( ) ( )3 3 34 1 4 1− = −

( )364 1 3− = 63 57≠

Ejemplos: 1. ( )( )2 22 4 4 8 16x y x xy y+ − + Solución:

( )( )2 22 4 4 8 16x y x xy y+ − + Observamos que es un producto notable lineal-cuadrático.

( ) ( )332 4x y+ Aplicamos la regla. 3 38 64x y+ Simplificando

( )( )2 2 3 32 4 4 8 16 8 64x y x xy y x y+ − + = + Y así queda desarrollado el producto notable

2) Desarrolla: ( )( )3 6 2 33 5 9 15 25t r t r t r− + + Solución:

( )( )2 22 4 4 8 16x y x xy y+ − + Observamos que es un producto notable lineal-cuadrático.

( ) ( )3 333 5t r − Aplicamos la regla. 9 327 125t r − Simplificando

( )( )3 6 2 3 9 33 5 9 15 25 27 125t r t r t r t r− + + = − Y así queda desarrollado el producto notable Ejercicio 18, desarrolla los siguientes productos notables aplicando la regla correspondientes. 1) ( )( )2x 1 x x 1+ − + . 2) ( )( )2y 5 y 5y 25− + + .

3) ( )( )3 2 6 2 3 43b 2a 9b 6a b 4a+ − + . 4) ( )( )2 22 p 3q 4 p 6 pq 9q− + + .

5) ( )( )3 2 6 2 3 2 4x y 2w x y 2x yw 4w− − + . 6) ( )( )3 6 3t 4 t 4t 16+ − + . Factorización de suma o restas de cubos. Para factorizar una suma o diferencia de cubos, lo primero es comprobar que existan raíces cubicas enteras y de ahí se aplica la siguiente regla: 1. Se colocan las raíces enteras entre dos paréntesis separadas por el signo que tenga la suma o diferencia de cubos. 2. Se abre un paréntesis y se coloca la primera raíz entera al cuadrado seguido del signo contrario de la suma o diferencia de cubos y el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz. Ejemplos: Factoriza los siguientes polinomios. 1. 6 927 64x y+ Solución:

6 927 64x y+ Comprobamos que sea una suma de cubos


~ 132 ~

( )323x ( )334y Calculamos las raíces enteras

( )2 33 4x y+ Colocamos ambas raíces en entre dos paréntesis y las separamos por el signo de la suma de cubos

( ) [ ] ( )( )( )4 22 3 2 2 3 33 4 3 3 4 4x y x x y y + − + ( )( )2 3 4 2 3 63 4 9 12 16x y x x y y+ − +

Se abre un paréntesis y se coloca la primera raíz entera al cuadrado seguido del signo negativo por ser suma de cubos y el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

( )( )6 9 2 3 4 2 3 627 64 3 4 9 12 16x y x y x x y y+ = + − + Y así queda factorizado el polinomio,

2. 3 6 12729 125x y z− Solución:

3 6 12721 125x y z− Comprobamos que sea una suma de cubos

( )329xy ( )345z Calculamos las raíces enteras

( )2 49 5xy z− Colocamos ambas raíces en entre dos paréntesis y las separamos por el signo de la suma de cubos

( ) ( )( ) [ ]( )222 4 2 2 4 49 5 9 9 5 5xy z xy xy z z − − + ( )( )2 4 2 4 2 4 89 5 81 45 25xy z x y xy z z− − +

Se abre un paréntesis y se coloca la primera raíz entera al cuadrado seguido del signo negativo por ser suma de cubos y el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

( )( )3 6 12 2 4 2 4 2 4 8729 125 9 5 81 45 25x y z xy z x y xy z z− = − − + Y así queda factorizado el polinomio,

Ejercicio 19, factoriza los siguientes polinomios aplicando: 1. 38 x+ . 2. 31 27y− . 3. 3 6125 64w r− . 4. 3216 343p + . 5. 9 6729m w+ . 6. 6 121000x y− . BINOMIO AL CUBO Y POLINOMIOS QUE SON CUBOS PERFECTOS Este producto notable ( )3a b+ lo podemos expresar ( ) ( )2a b a b+ + , y aplicamos la regla del binomio al cuadrado y multiplicamos.

( )3a b+ ( ) ( )2a b a b+ +

( )( )2 22a ab b a b+ + + ( ) ( ) ( )2 22a a b ab a b b a b+ + + + +

3 2 2 2 2 32 2a a b a b ab ab b+ + + + + 3 2 2 33 3a a b ab b+ + +

De esta forma la regla para desarrollar un binomio al cubo es: “Se eleva al cubo el primer término, más el triple producto del cuadrado del primero término por el segundo término, más el triple producto del primero término por el cuadrado del segundo término, más el cubo del segundo término”. Al polinomio que resulta de desarrollar un binomio al cubo se le llama polinomio de cubo perfecto. De inmediato se advierte: ( )3a b+ no es igual a 3 3a b+ .


~ 133 ~

Ejemplo. Desarrollar los cubos que siguen:

a. ( )32 34x y+ Solución:

( )32 34x y+ Observamos que tenemos un binomio al cubo.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3 2 2 32 2 3 2 3 34 3 4 3 4x x y x y y+ + + ( )6 4 3 2 6 964 3 16 12x x y x y y+ + +

6 4 3 2 6 964 48 12x x y x y y+ + +

Aplicamos la regla del binomio al cubo y realizamos las operaciones.

( )32 3 6 4 3 2 6 94 64 48 12x y x x y x y y+ = + + + Y así queda desarrollado un binomio al cubo.

b. ( )32xy x− Solución:

[ ] [ ]( )32xy x+ − Observamos que tenemos un binomio al cubo.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 33 2 2 2 23 3xy xy x xy x x+ − + − + − ( )( )3 3 2 2 2 5 63 3x y x y x x y x+ − + −

3 3 4 2 5 63 3x y x y x y x− + −


( )32 3 3 4 2 5 63 3xy x x y x y x y x− = − + − Y así queda desarrollado un binomio al cubo.

c. ( )321 2x− + Solución:

[ ]( )321 2x− + Observamos que tenemos un binomio al cubo.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 33 2 2 2 21 3 1 2 3 1 2 2x x x− + − + − + ( )( ) ( )( )2 4 61 3 1 2 3 1 4 8x x x− + + − +

2 4 61 6 12 8x x x− + − +


( )32 2 4 61 2 1 6 12 8x x x x− + = − + − + Y así queda desarrollado un binomio al cubo.

d. ( )32 4x x− − Solución:

[ ] [ ]( )32 4x x− + − Observamos que tenemos un binomio al cubo.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3 2 2 32 2 4 2 4 43 3x x x x x x= − + − − + − − + − ( )( ) ( )( ) ( )6 4 4 2 8 123 3x x x x x x− + − + − + −

6 8 10 123 3x x x x− − − −


( )32 4 6 8 10 123 3x x x x x x− − = − − − − Y así queda desarrollado un binomio al cubo.

Ejercicio 20, desarrollar los siguientes productos notables.

1) ( )32 2x x+ . 2) ( )32xy x− .

3) ( )32 23y x− + . 4) ( )32 24 2ab a b− − .

5) ( )32 3 3 22 3x y x y− . La factorización de un polinomio que sea cubo perfecto empleando la regla puede ser compleja, conviene mejor factorizar utilizando diferentes métodos de los que hemos estado trabando. - Primero comprobaremos que tenga dos elementos con raíz cubica entera.


~ 134 ~

- Se agruparan para ser factorizados por diferencia o suma de cubos según sea el caso, y los otros dos se factorizan por agrupamiento de términos. - Una vez factorizado quedara un TCP el cual se factorizara como corresponde. - Se llevaran las factorizaciones hasta tener términos irreducibles. Ejemplos. Factorizar en factores irreducibles: a) 3 2 2 4 627 54 36 8y x y x y x+ + + Solución:

3 2 2 4 627 54 36 8y x y x y x+ + + Comprobemos que se tienen dos términos con raíz cubica entera.

( )33y ( )322x Como cumple con el requisito procedemos a agrupar.

( ) ( )3 6 2 2 427 8 54 36y x x y x y+ + + ( ) [ ] ( )( ) [ ]( ) ( )222 2 2 2 23 2 3 3 2 2 18 3 2y x y y x x x y y x+ − + + +

( )( ) ( )2 2 2 4 2 23 2 9 6 4 18 3 2y x y x y x x y y x+ − + + +

( )( )2 2 2 4 23 2 9 6 4 18y x y x y x x y+ − + + ( )( )2 2 2 43 2 9 12 4y x y x y x+ + +

La primera agrupación se Factoriza como una suma de cubos y a la segunda por factor común. Volvemos a aplicar factorización por término común. Y simplificamos.

( )23y ( )222x Comprobamos que el trinomio sea un TCP.

( )( )2 22 3 2 12y x x y= 2 212 12x y x y=

( )( )22 23 2 3 2y x y x+ + ( )323 2y x+

Factorizamos el TCP y simplificamos.

( )33 2 2 4 6 227 54 36 8 3 2y x y x y x y x+ + + = + Y así queda factorizado el polinomio de cubo perfecto.

b) 6 3 2 2 4 2 348 12 64x y x yw x y w w+ − − Solución:

6 3 2 2 4 2 348 12 64x y x yw x y w w+ − − Comprobemos que se tienen dos términos con raíz cubica entera.

( )32x y ( )34w Como cumple con el requisito procedemos a agrupar.

( ) ( )6 3 3 2 2 4 264 48 12x y w x yw x y w− + − ( ) ( )( ) [ ]( ) ( )2 22 2 2 2 24 4 4 12 4x y w x y x y w w x yw x y w − + + − −

( )( ) ( )2 4 2 2 2 2 24 4 16 12 4x y w x y x yw w x yw x y w− + + − −

( )( )2 4 2 2 2 24 4 16 12x y w x y x yw w x yw− + + − ( )( )2 4 2 2 24 8 16x y w x y x yw w− − +

La primera agrupación se Factoriza como una suma de cubos y a la segunda por factor común. Volvemos a aplicar factorización por término común. Y simplificamos.

( )22x y ( )24w Comprobamos que el trinomio sea un TCP.

( )( )2 22 4 8x y w x yw= 2 28 8x yw x yw=

( )( )22 24 4x y w x y w− − ( )32 4x y w−

Factorizamos el TCP y simplificamos.

( )36 3 2 2 4 2 3 248 12 64 4x y x yw x y w w x y w+ − − = − Y así queda factorizado el polinomio de cubo perfecto.


~ 135 ~

Ejercicio 21, factoriza los siguientes polinomios de cubo perfecto. 1) 3 2a 3a 3a 1− + − . 2) 3 2 2 3125a 225a b 135ab 27b+ + + . 3) 6 4 3 2 6 98x 84x y 294x y 343y− + − . 4) 2 4 664 48w 12w w− + − . 5) 3 3 2 2a b 18a b 108ab 216+ + + . COMBINACION DE CASOS Cuando se factoriza un polinomio, se deben obtener factores irreducibles y esto se realiza aplicando más de una vez el mismo proceso si el ejercicio lo permite o aplicar más de un proceso de factorización al mismo ejercicio, por lo tanto es importante, saber identificar cuando se aplica cada uno de ellos Ejercicio 22, elije la opción correcta y escríbela en el paréntesis 1. El producto de 4x − por 4x − está representado por: ( ) a) ( )24x − b) ( )24x + c) 2 16x − d) 2 8x − 2. El término que falta en 4 216x x+ para tener un T.C.P. es: ( ) a) 8 b) 64 c) 16 d) 28x 3. El desarrollo de ( )2a b− es: ( ) a) 2 2a b− b) 2 2a b+ c) 2 22a ab b+ + d) 2 22a ab b− + 4. El producto de dos binomios es 24 36y − , si uno de los binomios es 2 6y − , entonces el otro es: ( ) a) 2 6y + b) 2 6y − c) 2 18y − d) 2 18y + 5. La expresión por la cual debe multiplicarse 4x − para obtener 3 64x − es: ( ) a) 2 16x − b) ( )24x − c) − +2 4 16x x d) 2 4 16x x+ + 6. La expresión por la cual debe multiplicarse 4 2 2 4m m n n− + para obtener 6 6m n+ es: ( ) a) 2 2m n+ b) 2 2m n− c) ( )2m n− d) ( )2m n+ 7. Si se quiere que 8 48y y+ se transforme en T.C.P, el término que debe agregarse es: ( ) a) 68y b) 4 c) 8 d) 16 8. La expresión 4 4a b− es equivalente a: ( ) a) ( )( )22 2a b a b− − b) ( )( )2 2 2 2a b a b− + c) ( )( )22 2a b a b− + d) ( )22 2a b− 9. El producto notable ( )3a b+ es igual a: ( ) a) 3 3a b− b) 3 3 2 22 2a b a b ab+ + + c) 3 3 2 23 3a b a b ab+ + + d) ( )( )22 2a b a b+ + 10. Al factorizar 6 6x y− resulta: ( )

a) ( )23 3x y− b) ( )32 2x y− c) ( ) ( )3 3x y x y+ − d)

( )( )( )( )

2 2

2 2

x y x y

x xy y

x xy y

+ −

− +

+ +

Ejercicio 23, descomponer en factores irreducibles los polinomios: 1) 23 3ax a− . 2) 3 23 28a a a− − . 3) 4 23 4x x− − . 4) 45 5a a+ . 5) 4 81n − . 6) 2 2 4 2x y w xy+ − − .


~ 136 ~

7) 2 22 16a ab b+ − + . 8) 2 31 my y my+ − − . 9) 2 2 2 2a b c ab+ − − . 10) 5 3 2x x x+ − . 11) 3 3 2 2 2x y x y xy− − − + . 12) 81 a− . 13) 6 1a − . 14) 4 4 2 22a b a b+ − . 15) 4 3 22 2a a a a+ − − . 16) 4 3 29 9a a a a+ − − . 17) 2 21 2a ax x− + − . 18) 2 21 9 6a n an− − − . FACTORIZACIÓN POR EVALUACIÓN Recordemos que un polinomio P es un polinomio de grado n , si

n n nn n nP a x a x a x ... a x a− −

− −= + + + + +0

1 21 2 1

Donde

01n na ,a ...a− son números reales con 0

0a ≠ , y n es un entero no negativo.

En esta sección dividiremos los polinomios entre expresiones lineales de la forma x r− , donde r es un número real. TEOREMA 1 Si P es un polinomio y r es un número real, entonces, cuando P se divide entre x r− , se obtiene como cociente un polinomio único Q y como residuo un número real R , de manera que para todos los valores de x ,

( )P x r Q R= − + Ejemplo 1. Dividir x x x+ − +3 23 2 3 8 entre x −2 .

x xx x x x

x xx xx x

xx

+ +− + − +

− +

−

− ++

− +

2

3 2

3 2

2

2

3 8 132 3 2 3 8

3 68 38 16

13 813 26

34

En la división anterior se tiene como cociente x x+ +23 8 13 , y residuo 34. Por lo que se puede representar como:

( ) ( )x x x x x x+ − + = − + + +3 2 23 2 3 8 2 3 8 13 34 Se hará uso de la división sintética ya estudiada, pero antes se menciona el teorema del residuo y el teorema del factor. TEOREMA DEL RESIDUO Si P es un polinomio y r es un número real, entonces P dividido entre x r− , produce un residuo P .


~ 137 ~

Demostración. De acuerdo con el teorema 1, cuando un polinomio P se divide entre x r− , se obtiene un polinomio Q como cociente y un número real R como residuo, de tal modo que para todos los valores de x , evaluados en el polinomio P ( )( )P x .

( ) ( ) ( )P x x r Q x R= − + Puesto que está ecuación es una identidad, se satisface cuando x r= , de manera que

( ) ( ) ( )

( )

( )

P r r r Q r RP r RP r R

= − +

= +

=

0

Con lo que se demuestra el teorema. Ejemplo 2. De la división del ejemplo 1, obtener el residuo haciendo uso del teorema del factor. Dado que P x x x= + − +3 23 2 3 8 se divide entre x −2 , el residuo es ( )P 2 , es decir:

P x x x= + − +3 23 2 3 8 ( ) ( ) ( ) ( )P = + − +3 22 3 2 2 2 3 2 8

( )P = + − +2 24 8 6 8 ( )P =2 34

Por lo que se observa que el residuo obtenido, es el mismo que al efectuar la división del ejemplo 1. Existe un teorema, que se llama teorema del factor, que sirve para determinar el factor de un polinomio si el residuo de cierta división es cero. TEOREMA DEL FACTOR Si P es un polinomio y r es un número real, entonces P tiene a x r− como factor si y sólo si ( )P r = 0 . Ejemplo 3.Demostrar que 4x − es un factor de 3 22 6 5 12x x x− − − Dado que P x x x= − − −3 22 6 5 12 , entonces

( ) ( ) ( ) ( )P = − − −3 24 2 4 6 4 5 4 12 ( ) ( ) ( )P = − − −4 2 64 6 16 20 12

( )P = − −4 128 96 32 ( )P =4 0

Dado que ( )P =4 0 y de acuerdo al teorema del factor, x − 4 es un factor de P . Ejemplo 4.Determinar si x +1 es un factor de x x x x+ − − −4 3 25 4 6 10 Dado que P x x x x= + − − −4 3 25 4 6 10 , aplicando el teorema del factor, x +1 o bien, ( )x − −1 es un factor de P sólo sí ( )P − =1 0 .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )P − = − + − − − − − −4 3 21 5 1 1 4 1 6 1 10 ( ) ( ) ( )P − = − − + −1 5 1 1 4 1 6 10

( )P − = −1 4 Puesto que ( )P − ≠1 0 , x +1 no es factor de P .


~ 138 ~

FACTORIZACION POR DIVISIÓN SINTÉTICA O POR EVALUACIÓN. Para factorizar un polinomio de la forma n n n

n n na x a x a x ... a x a− −− −+ + + + +

0

1 21 2 1 , se hace uso del teorema del

residuo y el teorema del factor el cual incluyen la división de un polinomio entre una expresión lineal de la forma x r− . Para simplificar el cálculo de este tipo de operación, se usa el procedimiento de división sintética. Ejemplo 5. Factorizar el polinomio x x x− − −3 22 7 4 . Si P x x x= − − −3 22 7 4 , se buscan los divisores del término independiente, es decir de −4 , los cuales son , , , ,− −1 1 2 2 4 y −4 y se utiliza el teorema del factor, evaluando el polinomio en estos números.

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

P

P

P

= − − − = −

− = − − − − − − =

= − − − = −

3 2

3 2

3 2

1 1 2 1 7 1 4 12

1 1 2 1 7 1 4 0

2 2 2 2 7 2 4 18

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

P

P

P

− = − − − − − − = −

= − − − =

− = − − − − − − = −

3 2

3 2

3 2

2 2 2 2 7 2 4 6

4 4 2 4 7 4 4 0

4 4 2 4 7 4 4 72

Así que −1 y 4 son las únicas raíces enteras de x x x− − −3 22 7 4 , por simplicidad siempre se toma el primer dato que al ser evaluado en el polinomio de cómo resultado cero, es decir, con el −1 , ya que ( )P − =1 0 . Con este número se desarrolla la división sintética.

-1 1 -2 -7 -4 + -1 3 4 1 -3 -4 0

Por lo tanto x +1 es factor de P por consiguiente:

( )( )x x x x x x− − − = − − + +3 2 22 7 4 3 4 1 0 ( )( )x x x x x x− − − = − − +3 2 22 7 4 3 4 1

Como x x− −2 3 4 aún se puede factorizar, se tiene:

( )( )x x x x− − = − +2 3 4 4 1

Por lo tanto:

( )( )( )x x x x x x− − − = − + +3 22 7 4 4 1 1 ( )( )x x x x x− − − = − + 23 22 7 4 4 1

Nota: Observe que el número 4 como una de las raíces enteras de x x x− − −3 22 7 4 , se encuentra como factor de dicho polinomio. Ejemplo 6. Factorizar el polinomio x x x x− − + −4 3 24 16 12 . Si P x x x x= − − + −4 3 24 16 12 y los divisores de término independiente son: , , , , , , , ,− − − −1 1 2 2 3 3 6 6 12 y −12 evaluando el polinomio en estos números, se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )P = − − + − =4 3 21 1 4 1 1 16 1 12 0


~ 139 ~

Así que 1 es raíz entera de x x x x− − + −4 3 24 16 12 es decir, con el 1 resulta que ( )P =1 0 . Con este número se desarrolla la división sintética.

1 1 -4 -1 16 -12 + 1 -3 -4 12 1 -3 -4 12 0

Por lo tanto 1x − es factor de P por consiguiente:

( )( )x x x x x x x x− − + − = − − − +4 3 2 3 24 16 12 1 3 4 12 Se buscan los divisores para el término independiente del factor 3 23 4 12x x x− − + , los cuales son1 1 2 2 3 3 6 6 12, , , , , , , ,− − − − y 12− evaluando estos números se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )P = − − + =3 21 1 3 1 4 1 12 6 ( ) ( ) ( ) ( )P − = − − − − − + =3 21 1 3 1 4 1 12 12

( ) ( ) ( ) ( )P = − − + =3 22 2 3 2 4 2 12 0 Así que 2 es raíz entera de x x x− − +3 23 4 12 puesto que ( )P =2 0 . Con este número se desarrolla la división sintética para el nuevo polinomio.

2 1 -3 -4 12 + 2 -2 -12 1 -1 -6 0

Por lo tanto 2x − es también un factor de ( )P x , teniendo ahora:

( )( )( )4 3 2 24 16 12 1 2 6x x x x x x x x− − + − = − − − − Debido a que el factor 2 6x x− − sigue siendo factorizable, se tiene que, la factorización total esta dada por:

( )( )( )( )x x x x x x x x− − + − = − − − +4 3 24 16 12 1 2 3 2 Ejercicio 24, factorizar los siguientes polinomios. 1. x x x+ − −3 25 5 1 . 2. x x− −3 7 6 . 3. x x x+ − −3 25 4 20 . 4. x x x+ + +3 26 6 5 . 5. x x x x x+ − − − −5 4 3 26 13 13 6 . 6. x x x+ − +3 2 21 4 . 7. x x x− + −3 25 9 4 12 . 8. x x x+ − −3 26 17 4 3 . 9. x x x+ − −3 22 5 6 . 10. x x x x− + + −5 3 23 3 2 3 . 11. x x x− − −3 24 4 5 . 12. x x x x+ − − +4 3 210 37 16 12. 13. x x x− − +3 22 5 13 30 . MINIMO COMUN MULTIPLO DE DOS O MAS POLINOMIOS Para determinar el mínimo común múltiplo (m. c. m.) de dos o más monomios se procede como sigue: i) Se obtiene el m. c. m. de todos los coeficientes ii) Se eligen las literales incluidas en uno o más de los monomios, pero sólo una vez con la máxima potencia que presenten. iii) Se construye un monomio con el m. c. m. de los coeficientes y con la parte literal elegida en la etapa ii), este monomio será el m. c. m. deseado.


~ 140 ~

Ejemplos. Dar el m. c. m. de: a) 260xy ; 336x ; 3 284y z i) ( )260 2 3 5= ; ( )2 236 2 3= y ( )284 2 3 7= . Factores primos de los coeficientes constantes, por lo tanto

( ) ( )( )( )2 2m.c.m 60,56,84 2 3 5 7 1260= = . ii) Coeficientes variables seleccionados: 3 3 2x y z . iii) m.c.m. 3 3 21260x y z= b) 3 25r s t ; 47u ; 32tu w i) ( )2 5 7 70m.c.m. , , = . ii) Coeficientes variables seleccionados: 3 2 4r s tu w iii) 3 2 470m.c.m. r s tu w= Cuando se quiere obtener el m. c. m. de varios polinomios: i) Se factoriza en factores irreducibles cada polinomio, utilizando exponentes cuando corresponda. ii) Se construye un producto usando cada factor de la etapa anterior una sola vez con la mayor potencia que presente; el polinomio que se obtenga será el m. c. m. buscando. Ejemplos. Determinar el m. c. m. de los polinomios: a) 29 1a − ; a a−3 26 2 ; 9 3a +

i)

( )( )

( )( )

2

3 2 2

9 1 3 1 3 16 2 2 3 1 Factorizaciones9 3 3 3 1

a a aa a a aa a

− = + −

− = − + = −

ii) ( )( )( )( )

( )( )

2

2

3 1 3 1 2 36 3 1 3 1

m.c.m. a a am.c.m. a a a

= + −

= + −

El m. c. m. de polinomios suele expresarse dejando indicadas las multiplicaciones entre los diferentes factores polinomiales. b) 2 2x y− ; x xy y+ +2 22 ; 3 3x y+

i)

( )( )( )

( )( )

x y x y x y

x xy y x y

x y x y x xy y

− = − +

+ + = +

+ = + − +

2 2

22 2

3 3 2 2

2

factorizando

ii) m.c.m. ( )( ) ( )x y x y x xy y= − + − +2 2 2 Ejercicio 25, obtenga el m. c. m. de cada grupo de expresiones: 1) 4abc ; 2 26a b c ; 3 410a c . 2) 4120x ; 330xy ; 2 225x y z . 3) 2 235a b c ; 2 2 356a b c ; 364abc . 4) 3 22x x y− ; 2 24x y− ; 2 24 4x y xy+ − . 5) 2 2x x+ − ; 2 4 3x x− + ; 2 6x x− − . 6) 3x x− ; 3x x+ ; 2 4x x− . 7) 3 8x + ; 2 4x − ; 2 5 6x x− + . 8) 22 3y y− − ; 24 4 3y y− − ; 22 3 1y y+ + .


~ 141 ~

FRACCIONES ALGEBRAICAS Conceptos. Para manipular o efectuar operaciones con expresiones racionales fraccionarias, o fracciones racionales, se procede en forma similar a como se trabajan las fracciones en aritmética. Una Fracción racional es la expresión que indica división de dos polinomios con al menos una variable en el polinomio del denominador, como:

2 2 43

y yy+ ++

; 2

316

aa

−−

; 9x

− ó 3 3

4x y+

En toda fracción racional PQ

se distinguen:

El numerador P

El denominador Q

Se excluye el caso de que al evaluar Q éste polinomio se anule porque PQ

significa P Q÷ y la división entre

cero no está definida. Cuando el grado del numerador de una fracción es menor que el del denominador se tiene una fracción propia, considerando que ambos polinomios tengan las mismas variables. Son fracciones propias:

x4 ; x xy x

x y− ++

2

3 3

3 ; xyx

−+3

13

Si el grado del numerador de una fracción es mayor que el grado del denominador, o son iguales; se tiene una fracción impropia, considerando que ambos polinomios tengan las mismas variables. Son fracciones propias. Son impropias:

3 31

xxy

+−

; 3 2

3 2

x x yx xy

++

; x xx− ++

23 2 51

Si en una fracción impropia los polinomios del numerador y denominador presentan la misma variable, entonces dicha expresión fraccionaria puede transformarse en la suma de un polinomio y una fracción propia; esto se logra efectuando la división y recordando que:

C= +Dividendo Residuoociente

Divisor Divisor

Ejemplo: Expresar la siguiente fracción en la forma RCQ

+ :

4 3 2

2

12 13 4 5 23 1

x x x xx x

− + − −− +

Se procede a efectuar la división:


~ 142 ~

x xx x x x x x

x x x

x xx x x

x xx x

x

− −− + − + − −

− + −

− + − −

− +

− − −

− +

− −

2

2 4 3 2

4 3 2

3

3 2

2

2

4 3 13 1 12 13 4 5 2

12 4 4

9 5 29 3 3

3 2 23 1

3 1

Así que:

FracciónPropia

x x x x xx xx x x x

− + − − − −= − − +

− + − +

4 3 22

2 2

12 13 4 5 2 3 14 3 13 1 3 1

Una fracción propia es aquella donde el grado del polinomio del numerador es menor al grado del polinomio que es el denominador. Son propias:

5xy

− ; 2

a 5a 5

−+

; 2

3

x 5x 5x 8+ −

−

Una Fracción racional reducida es aquella cuyo numerador y denominador no tiene factores comunes, distintos de 1 y -1

Por ejemplo: x yx y

−+2 2 es una fracción reducida, así como a

a+−

2

2

49

.

Sin embargo w ww w

− +− +

2

2

10 2111 28

no es fracción reducida porque: ( )( )w w w w− + = − −2 10 21 7 3 y

( )( )w w w w− + = − −2 11 28 7 4 poseen un factor común.

Tampoco xx

+−2

749

es una fracción reducida, porque ( )( )x x+ = +7 1 7 y ( )( )x x x− = − +2 49 7 7 contienen a

x + 7 como factor común.

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES. Para obtener la fracción reducida equivalente a una fracción dada, aplicaremos la propiedad de cancelación de factores comunes las veces que sean necesarias hasta cancelar todos los factores comunes, distintos de 1 y 1− , del numerador y denominador. El proceso anterior se conoce como reducción o simplificación de fracciones racionales a su mínima expresión. Ejemplos: Simplificar cada fracción a su mínima expresión.

a) 2

2

3 2x x3 5x 2x

+ −+ +

( )( ) ( )( )( )2 23 2x x 1 x 2x 3 1 x 3 x 1+ − = − − − = − − + - Numerador factorizado.

( ) ( ) ( )( )2 23 5x 2x 2x 2x 3x 3 2x x 1 3 x 1 x 1 2x 3+ + = + + + = + + + = + + - Denominador factorizado.


~ 143 ~

( )( )( )( )( )

( )( )

CancelandoFactor común

2

2

3 2x x 1 x 3 x 1 1 x 3 x 3x 1 2x 3 2x 3 2x 33 5x 2x

+ − − − + − − −= = = −

+ + + ++ +

b) ( )( )( )( )

2

2

36 w 6 w 6 ww 6 w 4w 2w 24

− − +=

− +− −, pero 6 w− y w 6− no pueden cancelarse dada que son distintos.

Si en 6 w− se factoriza por ( )1− , podremos aplicar la propiedad de cancelación de factores repetidos. ( )( )( )( )

( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )

( )( )6 w 6 w 1 6 w 6 w 1 w 6 6 w 1 6 w 6 ww 6 w 4 w 6 w 4 w 6 w 4 w 4 w 4− + − − + + − − + − + +

= = = = −− + − + − + + +

c) 2

2

3x 11x 63x x 2

− ++ −

Factorizando ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

2 2

2 2

3x 11x 6 3x 9x 2x 6 3x x 3 2 x 3 x 3 3x 23x x 2 3x 3x 2x 2 3x x 1 2 x 1 x 1 3x 2

− + = − − + = − − − = − −

+ − = + − − = + − + = + −

Factor común por cancelar: 3x 2− Sustituyendo:

( )( )( )( )

2

2

3x 11x 6 x 3 3x 2 x 3x 1 3x 2 x 13x x 2

− + − − −= =

+ − ++ − - Cancelando factores comunes.

d) 3 2

3 2

a 2a a 2a 2a a 2

− − ++ − −

Factorizando ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

3 2 2 2

3 2 2 2

a 2a a 2 a a 2 a 2 a 2 a 1 a 2 a 1 a 1

a 2a a 2 a a 2 a 2 a 2 a 1 a 2 a 1 a 1

− − + = − − − = − − = − − +

+ − − = + − + = + − = + − +

Se identifican a 1− y a 1+ , como factores comunes al numerador y denominador.

( )( )( )( )( )( )

3 2

3 2

a 2a a 2 a 2 a 1 a 1 a 2a 2 a 1 a 1 a 2a 2a a 2

− − + − − + −= =

+ − + ++ − − - Cancelando factores comunes.

Ejercicio 1, simplificar las fracciones que siguen a su mínima expresión:

1. 2 2

3

16x y24x y

2. 3 4

5 2 3

36a b c64a b c

3. 4 5 2

6 2 7

48 p q r72 p q x

4. 2

xy xy 1

+−

5. 2

3a abb 9

−−

6. 2 2

2 2

2x y 2xyx 2xy y

−− +

7. 2

2

c 5c 64 c− +−

8. 2

2

x x 202x 10x

+ −+

9. 3 3

2 2

x yx y

−−

10. 2

2

a a 2a a 6

− −+ −

11. ax ay x yax ay x y

− − ++ − −

12. ( )

( )

2 2

22

x y ax a y

− −

− +


~ 144 ~

13. 2 2 2

2 2 2

x a 2ab bx a b 2ax

− + −+ − +

14. ( )( )( ) ( )

3 2

2 3

x 1 x 1x 1 x 1

− −

− +

15. 2 2

2 2

9y 6xy x9y 9xy 2x

− +− +

OPERACIONES CON FRACCIONES RACIONALES

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN La suma o resta de fraccione racionales que contienen el mismo denominador se lleva a cabo construyendo otra fracción cuyo numerador será la adición o sustracción de los numeradores y cuyo denominador será el mismo que aparece en los sumandos:

P R S P R SQ Q Q Q

+ −+ − =

Cuando es posible se reduce la fracción resultante cancelando factores comunes al numerador y denominador. Ejemplos: a) ( ) sumar numeradores

denominador comúnx y x yx y x y

x y x y x y x y←+ + ++

+ + =←− − − −

x y x y x y x yx y x y x y x y

+ + + ++ + =

− − − −

x y x y 2x 2yx y x y x y x y

+ ++ + =

− − − −

b) 22r 4r 32 2r 2r

r 4 r 4 r 4− − −

+ − =+ + +

( )22r 4r 32 2r 2rr 4

− − − −=

+ El tercer numerador se agrupa para restarlo.

22r 4r 32 2r 2r

r 4− − + +

=+

22r 32r 4−

=+

Eliminando paréntesis y reduciendo términos semejantes.

( )22 r 16r 4

−=

+

( )( )2 r 4 r 4r 4− +

=+

2r 8− Factorizando y simplificando r 4 1r 4+

=+

c) Restar 2

2

5x 2x 83x x 4

− −+ −

de 2

2

3x 4x 123x x 4

+ −+ −

.

Minuendo Sustraendo

2 2

2 2

3x 4x 12 5x 2x 83x x 4 3x x 4

↓ ↓

+ − − −−

+ − + −

( ) ( )2 2

2

3x 4x 12 5x 2x 83x x 4

+ − − − −+ −

Agrupar numeradores para restarlos

2 2

2

3x 4x 12 5x 2x 83x x 4

+ − − + ++ −

Observar cambio de signo

2

2

2x 6x 43x x 4

− + −+ −

Reducción de términos semejantes


~ 145 ~

( )2

2

2 x 3x 23x 4x 3x 4− − +

+ − −

( )( )( ) ( )( )

2 x 2 x 1x 3x 4 1 3x 4

− − −+ + − +

( )( )( )( )2 x 2 x 13x 4 x 1

− − −+ −

Factorizando

( )( )( )( )2 x 2 x 13x 4 x 1

− − −+ −

( )2 x 23x 4

− −+

4 2x3x 4−+

Simplificando la fracción

d) A la suma de 2

5 3tt 6t 9

−− +

y 2

t 1t 6t 9

−− +

, restar 2

2

t 2t 5t 6t 9

− −− +

.

Minuendo Sustraendo

2

2 2 2

5 3t t 1 t 2t 5t 6t 9 t 6t 9 t 6t 9

↓ ↓

− − − −+ −

− + − + − +

( )2

2

5 3t t 1 t 2t 5t 6t 9

− + − − − −− +

Agrupación de numeradores

2

2

4 2t t 2t 5t 6t 9

− − + +− +

2

2

t 9t 6t 9− +− +

Simplificando

( )( )

2

2

t 9t 3

− −

−

( )( )( )2

t 3 t 3t 3− +

−−

Factorizando

t 3t 3+

−−

Simplificando

e) A la resta de 2

2

2 m 2mm m 6− −+ −

menos 2

3 mm m 6

−+ −

, restarle 2

2

2m 5m m 6− +

+ −.

2 2

2 2 2

2 m 2m 3 m 2m 5m m 6 m m 6 m m 6− − − − +

− −+ − + − + −

( ) ( ) ( )2 2

2

2 m 2m 3 m 2m 5m m 6

− − − − − − ++ −

Agrupar numeradores para restarlos

2 2

2

2 m 2m 3 m 2m 5m m 6

− − − + + −+ −

2

2

m m 6m m 6

− −+ −

Simplificando

( )( )( )( )m 3 m 2m 3 m 2

− ++ −

Como no hay factores iguales no se simplifica

Ejercicio 2, efectúa las operaciones simplificando tus resultados.

1. a 2b 3 2a 3b 4 a b 1215 15 15

− + − − + −+ − 2.

2

2 2 2

x 2 x 1 1x x x− +

+ +


~ 146 ~

3. 2 2

2 2 2

3x 4x 2 2x 2x 11x 9 x 9 x 9

+ + −− +

− − − 4.

2 2

3 3 3 3 3 3

1 y x 1x y x y x y

++ −

− − −

Para sumar una expresión racional entera con una expresión racional fraccionaria se aplica el esquema que sigue con el fin de operar dos fracciones con el mismo denominador:

Q P Q P R Q P R QPR 1 R R R R

++ = + = + =

Ejemplo: Calcular la suma de 22x 3x 1− + y 2

3

x 8x 1x 1− +

−.

2

23

x 8x 12x 3x 1x 1− +

− + +−

( )( ) ( )( )2 3 2 2 3 2

3 3 3

2x 3x 1 x 1 x 8x 1 2x 3x 1 x 1 x 8x 1x 1 x 1 x 1

− + − − + − + − + − += + =

− − −

( )( )2 3 2

3

2x 3x 1 x 1 x 8x 1x 1

− + − + − +=

−

5 4 3 2 2

3

2x 3x x 2x 3x 1 x 8x 1x 1

− + − + + + − +=

−

5 4 3 2

3

2x 3x x x 5xx 1

− + − −=

−

Ejercicio 3, completa los procesos.

1. ( )( )( )2

2 2 2

2 x 1 x 1 2x 1x 1 x 1 x 1− − − −

− + = + =− − −

2. ( ) ( )( )2 2 2 2x y x yx y x yx yx y x y x y

+ −+ ++ + = + =

− − −

3. ( ) ( )( )

a b a b a ba ab ba ab b a b

+ + ++ + − = − =

− + −

24 4 4 42 2

2 2 2212

Si las fracciones racionales que se sumarán poseen denominadores distintos, entonces es necesario transformar cada fracción en otra equivalente de tal forma que los nuevos sumandos tengan un mismo denominador. Como denominador común se tomará el mínimo común múltiplo de los denominadores iniciales; en el proceso de sumar fracciones al m.cm. de todos los denominadores se le llama mínimo denominador común. Una vez que cada fracción se ha convertido a otra equivalente con la característica señalada, se procede a sumar como se indicó al principio. Ejemplos: Efectuar operaciones y simplificar donde se proceda.

a) w w ww w w w w w

− −− +

− + − + − +2 2 2

3 13 2 5 6 4 3

Se factorizan los denominadores.

( )( )( )( )( )( )

( )( )( )m.c.m.w w w ww w w w w w ww w w w

− + = − −

− + = − − = − − −− + = − −

2

2

2

3 2 1 25 6 3 2 1 2 34 3 1 3

El mínimo denominador común por lo tanto es ( ) ( ) ( )1 2 3w w w− − − . La multiplicación queda indicada para identificar inmediatamente que factor debe insertarse en cada fracción obteniendo así una fracción equivalente para cada sumando:


~ 147 ~

w w w

w w w w w w− −

− +− + − + − +2 2 2

3 13 2 5 6 4 3

( )( ) ( )( ) ( )( )w w w

w w w w w w w− −

− +− − − − − −

3 11 2 2 3 1 3

Denominadores factorizados.

( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )

( )( )( )( )

w w w w w ww w w w w w w w w w

− − − − −− +

− − − − − − − − −3 3 1 1 2

1 2 3 2 3 1 1 3 2

Se introducen los factores ( )w − 3 , ( )w −1 y ( )w − 2 en las fracciones respectivas

( ) ( ) ( )( )( )( )

w w w ww w w

− − − + −− − −

2 23 1 21 3 2

Sumando fracciones del mismo denominados.

( )( )( )( )

w w w w w ww w w

− + − − + + −− − −

2 2 26 9 2 1 21 3 2

Se desarrollan los productos únicamente del numerador.

( )( )( )w w w w w w

w w w− + − + − + −

− − −

2 2 26 9 2 1 21 3 2

Se eliminan paréntesis en el numerador

( )( )( )w w

w w w− +

− − −

2 6 81 3 2

Se reducen términos semejantes.

( )( )( )( )( )

w ww w w

− −− − −

2 41 3 2

Se factoriza el numerados

( )( )w

w w−

− −4

1 3 Se simplifica

ww

−=

−2 12

b) x x xx x x x x x

+ − −+ −

− − − − − +2 2 2

2 3 1 22 5 3 2 3 2 5 6

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

( )( )( )( )( )m.c.m

x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x

x x x x

− − = − + − = − + − = + −

− − = − + − = − + − = + − = − − +− + = − −

2 2

2 2

2

2 5 3 2 6 3 2 3 3 2 1 32 3 2 2 4 2 2 2 2 2 1 2 3 2 2 1

5 6 3 2

La etapa de insertar factores para convertir cada fracción inicial en otra equivalente puede abreviarse como sigue: i) Sustituir en las fracciones la factorización del denominador respectivo. ii) Construir una fracción cuyo denominador sea igual al mínimo común múltiplo de los denominadores expresado en factores. iii) A continuación se divide dicho m.c.m. entre el denominador de la primera fracción y el cociente se multiplica por el numerador de esa fracción, el producto será uno de los integrantes del numerador de la fracción que se está construyendo. Los otros integrantes se obtienen en forma semejante, sumándose o restándose según corresponda.

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )( )

ba c

x x x x x x x x xx x x x x x x x x

+ − − + − + − − − − ++ − =

+ − + − − − − − +2 3 1 2 2 2 3 3 1 2 2 1

2 1 3 2 1 2 3 2 3 2 2 1

( )( )( ) ( )( )( )( )

( )( )( )x x x x x x x x

x x x x x x x x x− + − + − + − + − +

= =− − + − − + − − +

2 2 2 2 24 6 9 1 4 6 6 4 2 3 3 23 2 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1

Los integrantes " a" , " b" y " c" del numerador se calcularon así:

Para " a" : ( )( )( )

( )( )x x x x

x x− − +

= −+ −

3 2 2 1 22 1 3

, dividiendo el m.c.m. entre el primer denominador; luego se

multiplica por el primer numerador ( )( )x x+ −2 2 .


~ 148 ~

Para " b" : ( )( )( )

( )( )x x x x

x x− − +

= −+ −

3 2 2 1 32 1 2

, dividiendo el m.c.m. entre el segundo denominador; luego se

multiplica por el segundo numerador ( )( )x x− −3 3 .

Para " c" : ( )( )( )

( )( )x x x x

x x− − +

= +− −

3 2 2 1 2 12 3

, dividiendo el m.c.m. entre el tercer denominador; luego se

multiplica por el tercer numerador ( )( )x x− +1 2 2 1 .

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN Para multiplicar fracciones primero se factorizan los numeradores y denominadores, si no son polinomios irreducibles, en seguida se construye una fracción con numerador igual al producto de todos los numeradores y denominador igual al producto de los denominadores, finalmente se aplica lo propiedad de eliminación de factores para reducir el resultado a su mínima expresión.

P R P RQ S Q S

• =

Ejemplos: Efectuar operaciones y simplificar cuando sea posible.

a) ( )( )( )

( )( )( )( )

hk k h h k h h hk h h hh hk h h k hk hh h

− + − + − − + = • • = = = − + ++ 2

1 1 1 1 11 11 1 1 1 1

b) x y x y x xy yx y x xy y x y− + − −

• •+ − + −

4 4 6 6 2 2

2 2 6 6

2 5 32 6 9

Factorizamos:

( )( ) ( )( )( )x y x y x y x y x y x y− = + − = + + −4 4 2 2 2 2 2 2 x y+2 - Irreducible

( )( )x y x y x x y y+ = + − +6 6 2 2 4 2 2 4

( )x xy y x y− + = − 22 26 9 3

( ) ( ) ( )( )x xy y x xy xy y x x y y x y x y x y− − = − + − = − + − = − +2 2 2 22 5 3 2 6 3 2 3 3 3 2

( )( )( )x y x y x y x x y y− = + − + +6 6 4 2 2 4 Sustituyendo:

( )( )( ) ( )( )( )

( )( )( )( )( )

x y x y x y x y x x y y x y x yx y x y x y x x y yx y

+ + − + − + − +• •

+ + − + +−

2 2 2 2 4 2 2 4

2 4 2 2 4

3 22 3

Multiplicando factores:

( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )

x y x y x y x y x x y y x yx y x y x y x y x x y y

+ − + − − + +

+ − + − + +

24 2 2 4 2 2

2 4 2 2 4

2 3

2 3


~ 149 ~

Simplificando factores comunes del numerador y denominador:

( )( )( )( )x x y y x yx y x x y y− + +

− + +

24 2 2 4 2 2

4 2 2 43

Nota: Los componentes de la fracción generalmente permanecen factorizados. Como caso especial de multiplicación de fracciones se tiene la potenciación; dado que:

n factores

n factoresn factores

n n

n

x x x x x x x x x xy y y y y y y y y y

↑

↓↓

= = =

Para n entero positivo, entonces resulta la siguiente Ley de exponentes cuando y o≠ :

n n

n

x xy y

=

Por supuesto que sí P y Q son polinomios: n n

n

P PQ Q =

.

Ejemplo: Calcular x yxy x

− −

32 2

2 .

( )( )( )

( )( )

x y x y x yx y x y x x y xy y x x y xy yx x y xxy x x xx

− + + − + + + + + + + = = = = = − − − −− − −

33 332 2 3 2 2 3 3 2 2 3

2 3 3 3

3 3 3 3

La división de fracciones se lleva acabo factorizando los numeradores y denominadores que no sean irreducibles, a continuación se multiplica la fracción del dividendo por la fracción invertida del divisor, donde invertir una fracción significa entre sí su numerador y su denominador; finalmente el resultado a la mínima expresión.

P R P S P SQ S Q R Q R

÷ = • =

Otra manera de representar la división de fracciones obedece al siguiente esquema:

PP SQ

R Q RS

=

Ejemplos: Efectuar las operaciones y simplificar.

a) ( )( )( )

( )( )( )( )( )( )

Inversión del divisor

x x x x x x x x x xxx x x x x x x

↓

+ − − + − − + − + +− ÷ = • = • = =

+ + + − + − +

2 6 2 3 2 2 1 2 1 121 1 1 1 3 2 3 2 3


~ 150 ~

b) ( )

( )( )t tu u t tu tu u u t utu u

u u tu tu− − − + − +

÷ + = ÷ =−−

2 2 2 22

2

3 5 12 3 9 4 12 3 43 43 13

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )( )

( )( )( )

t t u u t u t u t u u tu u t u t u u u t t u u u t u

− + − + − − −÷ = = = −

− + − + −2 2 2

3 3 4 3 1 1 3 4 3 1 3 13 3 4 3 3 4 3

c) ( ) ( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( )( )

y y yy y yy y y y yy y y y

y yy y y y y yy y y y

+ − ++ − −− + − + ++ + + +

= = =+ ++ + + + + +

− − + +

23 2

2 22 2

2 2

3 2

2 22 21 2 3 3 93 9 3 9

1 23 2 1 2 3 927 3 3 9

( )( )( )( )

( )( )y y yy y

y− + −

= − −+

1 1 33 1

1

d) x xy y x xy y x xy yx y x xy y x xy y

+ − − + − +÷ ÷ − + − − +

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

3 13 10 4 4 9 12 44 3 4 4 2 5 2

Factorizando:

( ) ( ) ( )( )x xy y x xy xy y x x y y x y x y x y+ − = + − − = + − + = − +2 2 2 23 13 10 3 15 2 10 3 5 2 5 3 2 5

( )( )x y x y x y− = − +2 24 2 2

( )x xy y x y− + = − 22 24 4 2

( ) ( ) ( )( )x xy y x xy xy y x x y y x y x y x y+ − = + − − = + − + = − +2 2 2 23 4 4 3 6 2 4 3 2 2 2 3 2 2

( )x xy y x y− + = − 22 29 12 4 3 2

( ) ( ) ( )( )x xy y x xy xy y x x y y x y x y x y− + = − − + = − − − = − −2 2 2 22 5 2 2 4 2 2 2 2 2 2 Sustituyendo las factorizaciones en las fracciones y efectuamos las divisiones:

( )( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

x y x y x y x yx y x y x y x y x y x y

− + − − ÷ ÷ = − + − + − −

2 23 2 5 2 3 22 2 3 2 2 2 2

( )( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

x y x y x y x y x y x yx y x y x y x y

− + − + − −• • = − + − −

2 2

3 2 5 3 2 2 2 22 2 2 3 2

( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )

x y x y x y x y x y x yx yx y x y x y x y

+ − + − − +=

−− + − −

2

2 2

5 3 2 2 2 2 522 2 2 3 2

Ejercicio 4 para la evidencia integradora: Efectuar operaciones y simplificar la fracción que resulte si es posible.

1. 2 3 2 3 4 1215 20 30

a b a b a b− + − − + −− + 2. 2

1 62 1 2

a aa a a a− −

+ −− + − −

3. 2 2

6 2 2 3x yx y x yx y

+− −

+ −− 4. 2 2 2

4 3 24 2 3 2

x xx x x x x

− +− − − + +

5. 2 2

1 55 4 5 2 1

r rr r r r r

++ +

− − − + + 6. 2

3 1 2 1 3 3 71 2 3 33 2

x x xx x xx x

− − −+ + +

− − −− +

7. 2

2 3 3 1 9 3 12 1 2 22

x x xx x xx x

− − −+ + −

+ − −+ − 8. 2 2 2

1 6 22 15 4 3 4 5

u u uu u u u u u

+ + ++ −

+ − − + + −

9. 2 2 2

3a a 1 10a 12a 2a 4 4a 8a 32 8a 40a 32

− −− −

− − + − + + 10. 2 2

2x 2yx xy x xy

− −+ −

11. 2 2 2

x 2 x 3 2x 1x 5x 3 2x 3x 2 x 5x 6

− − −+ +

− − − − − + 12. x yw ab c

a b c xy w•

2 4 2

2 3 5

2 93 3


~ 151 ~

13. a a aaa

− − −•

+−

2

2

2 2 4 53 33 75

14. x x x x xx x x x x x

− + − + −• •

− − − + + +

2 2 2

2 2 2

4 1 12 2 3 92 5 3 4 8 3 7 12

15. x x x x xx x x x

− + − + +•

− + + +

3 2 2

2 2

9 27 27 6 35 366 19 3 37 36

16. y y xy y yxy y y y y+ + − +

• •+ − + −

2 3

2 3

1 11 1

17. 2 2 2 2 2

2 2 2

x 3xy 10y x 16y x 6xyx 2yx 2xy 8y x 4xy

− − − −• •

+− − + 18. a a a a a

a aa a a − − − + − − +− + −

2 2

4 2

2 2 1 11 11 6

19. ( )

4 4 2

3 2 4 3 2 2

x 27 x x x 1 xx 3x x x x 3x 9x x x 3

+ +• • •

−− + − + + 20.

a a a a÷

− − + −2 2

1 230 42

21.

xx xx x

x x

−+ ++ ++

3

2

2

2

87 102 4

3 6

22. a b c a b cxyw xy w

÷3 4 2 3 2

4 3

24 185 25

23. ( ) x xy y x yx yx xy y x xy y

+ + +− ÷ ÷ + − − +

2 22 2

2 2 2 2

2 3 23 4 2

24. y y y y y yy y y y y y

− − + − + −÷ ÷ − − + + + −

2 2 2

2 2 2

8 2 3 10 2 5 8 43 10 3 20 25 12 11 5

25. x xy y y x x xy yxy x x xy y x xy

+ + − − −• ÷ − − + −

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

6 13 5 4 3 4 152 2 7 3 2 4

26. m m n mn m m n mn n m nm n mn n m n m mn n

+ + + + + −÷ • − − + − +

3 2 2 3 2 2 3 2 2

2 2 3 3 3 2 2

4 4 6 12 8 43 5 2 27 9 3

27. x y x y x y x yx y x y x y x y+ − + − + ÷ − − + − +

29. 7a 9 5a 1a 2 a 4a 3 a 1

+ − + − ÷ − + + +

29. 22

2x 1 x 1x x 1xx 2

− − − ÷ + − +

30. 2 2 3 3

2 2

16x 24xy 9y 64x 27y16x 12y 32x 24xy 18y− + −

÷− + +

Las expresiones fraccionarias que contienen fracciones en el numerador, en el denominador, o en ambos, reciben el nombre de fracciones complejas. Con frecuencia se debe transformar una fracción compleja en una fracción simple, el cómo proceder en estos casos se ilustra con ejemplos.

a) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )

x yx yx y x y x yx y x y x yx y x y x yx y x y

x y x y x y x y x y x yx y x yx y x y x y x y x y x y

−− − − + +++ + − ++ − ++ − = =+ − + − + − − − − + − − + − + − +

2 2

111

Propiedad de inserción de factores; multiplicando por el m.c.m. de todos los factores.

( )( ) ( )

x yx y x y

− +=

+ − −

2

2 2

1 Propiedad distributiva y simplificación.

x xy y x xy yxyx xy y x xy y

− + + − + += =

+ + − + −

2 2 2 2

2 2 2 2

2 1 2 142 2

Desarrollando y reduciendo términos semejantes.

Existe otra forma de proceder, reducir el numerador y el denominador a fracciones simples y en seguida dividir dichas fracciones.

b)

( )( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

( )( )[ ]( )( )[ ]

a x a x a xa xa x a x a x a x x xa x a xa x

a x a x ax aa x a x a ax x a ax xa x a xa x a x a x a x

− + − ++− − + − − − −− +− = = = =− + −+ − − + − − −− − +−+ − + −

2 22 2

2 2 2 2 22 2

2 2 2 2 2 2

1 24 22 2


~ 152 ~

Ejercicio 5:

1.

xxxxxx

−+

+−

−+

1111

2.

x y x yx y x y

x yx y x y

+ −−

− +

−− +

3.

xx y

xy x

−−

+−

2

2 2 1

2 2 4.

x yy x

xyx y

−

+ +

2 2

2 21 1 1

5. a b a b

a ba b

++ −

−+−2 2

1 1

1 1 6.

( ) ( )( ) ( )x y x yx y x y

x yx y xy

+ + −

+ − −−−

2 2

2 2

4 4

2 22 2

ACADEMIA DE MATEAMTICAS ALGEBRA SKQ

~ 153 ~

ECUACIONES Se puede pensar que el álgebra comienza cuando se empiezan a utilizar letras para representar números, pero en realidad comienza cuando los matemáticos empiezan a interesarse por las operaciones que se pueden hacer con cualquier número, más que por los mismos números, de esta forma se da el gran paso de la aritmética al álgebra. El empleo de letras dentro del ambiente matemático es muy antiguo, ya que los griegos y romanos las utilizaban para representar números bien determinados. Las ecuaciones y sus soluciones son de mucha importancia en casi todos los campos de la tecnología y de la ciencia. Una ecuación es el enunciado algebraico en donde dos expresiones representan al mismo número. Por ejemplo, la fórmula del Área de un círculo ( )A rπ= 2 es una ecuación. El símbolo A representa el área, lo mismo que la expresión rπ 2 , pero aquí el área se expresa en términos de otra cantidad, el radio: r . De manera general una ecuación es una comparación entre dos expresiones matemáticas, con al menos una variable en alguna de ellas, de acuerdo a la expresión matemática empleada la ecuación se clasifica en algebraica, trigonométrica, exponencial, logarítmica, trigonométrica directa o inversa, diferencial, etc. En el curso trabajaremos solo con las algebraicas, las cuales se clasifican en: polinomiales, racionales no enteras e irracionales. Por el momento las cuales clasificaremos de acuerdo al grado de la variable teniendo: 1° grado o lineal, 2° grado o cuadrática, 3° grado o cúbica, etc., y en este momento nos enfocaremos por el momento en la lineal. Ecuación. Una ecuación algebraica es un enunciado matemático que relaciona dos expresiones algebraicas que involucran al menos una variable de primer grado. Donde está contiene expresiones algebraicas como polinomios, expresiones racionales e irracionales o una combinación de estas.

ECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE

Una ecuación lineal con una variable, por ejemplo x , es cualquier ecuación que se pueda escribir en la siguiente forma:

ax c+ = 0 Donde: a y c son números reales y a ≠ 0 . El conjunto de números que satisface una ecuación se llama conjunto solución o dominio de la ecuación. Los elementos del conjunto solución se llaman soluciones o raíces de la ecuación. Si una ecuación tiene como conjunto solución al conjunto de los números reales recibe el nombre de identidad, si el conjunto solución solo contiene algunos elementos del conjunto recibe el nombre de ecuación condicional y si el conjunto solución no contiene elementos o sea es un conjunto vacío recibe le nombre de ecuación imposible o contradicción.

( )x x− = − +2 4 2 3 2 identidad

x x=

−2 1

1 ecuación condicional

( )x x x+ − = + 22 2 3 1 ecuación imposible o contradicción Al procedimiento de determinar el conjunto solución de una ecuación se le llama resolución de la ecuación la cual hace uso de las propiedades de la igualdad, para ir transformando la ecuación inicial en ecuaciones equivalentes que comparten el mismo conjunto solución, este procedimiento es también conocido como el despeje de la variable.


~ 154 ~

Propiedades de la igualdad. Si a , b y c son números reales, entonces: Propiedad reflexiva a a= . Propiedad simétrica Si a b= , entonces b a= . Propiedad transitiva Si a b= y b c= , entonces a c= .

Propiedad de sustitución Si a b= , entonces a puede sustituir a b en cualquier expresión algebraica para obtener una expresión equivalente.

Propiedad de la suma Si a b= , entonces a c b c+ = + . Propiedad de la resta Si a b= , entonces a c b c− = − . Propiedad de la multiplicación Si a b= , entonces ac bc= .

Propiedad de la división Si a b= , entonces a bc c= .

Estrategia para realizar el despeje de la variable. Las estrategias que se dan a continuación no se deben de seguir en el orden indicado para la resolución de una ecuación ya que esta se presenta en muchas formas y algunos de estos pasos pueden omitirse o realizarse en diferente orden.

Si hay fracciones en una ecuación multiplicar ambos lados de la misma por el común denominador. Usar la propiedad distributiva para eliminar paréntesis combinar los términos semejantes. Emplear las propiedades de la igualdad para la suma y la resta (o la propiedad del numero

simétrico) para hacer que todas las variables queden de un solo lado de la igualdad (de preferencia en la izquierda) y todas las constantes del otro, de ser necesario simplificar los términos semejantes.

Utilizar las propiedades de la igualdad para la multiplicación y la división (o la propiedad del número reciproco) para hacer que el coeficiente de la variable sea 1 (la unidad).

Comprobar el resultado sustituyendo la variable por la posible solución y verificar que se satisfaga la ecuación.

Y se da el conjunto solución en notación de conjunto. A esto se le conoce como el proceso para despejar la variable, transformándola en una ecuación equivalente que tiene el mismo conjunto solución que la ecuación que deseamos resolver. Ejemplos: 1. 5x 2 17+ =

5x 2 2 17 2+ − = − Se restan dos unidades a ambos lados de la igualdad. 5x 15= 5x 155 5

= Se dividen cinco unidades a ambos lado de la igualdad.

x 3= Este es el posible valor de la variable x ( )5 3 2 17+ = Sustituyendo el valor de x 3= en la ecuación para comprobarla.

15 2 17+ = 17 17=

Se realizan las operaciones aritméticas y se comprueba la igualdad por lo tanto el conjunto solución es:

{ }Sol. 3 2. ( ) ( ) ( )2 x 1 4 4 1 x 2x 2− + = + − +

2x 2 4 4 4x 2x 2− + = + − − Aplicando la propiedad distributiva para eliminar paréntesis

2x 2 2x 2+ = + Reduciendo términos semejantes. 2x 2 2x 2x 2 2x+ − = + −

2 2= Restamos 2x a ambos lados de la igualdad, para despejar a la variable x y reducimos términos semejantes.

2 2= Observamos que tos los elementos se eliminan y nos queda una igualdad, porque el lado izquierdo es idéntico al lado derecho, esto nos indica que


~ 155 ~

tenemos una identidad y el conjunto solución es: { }sol. =

3. x x 12 x3 2 2− + = −

( ) ( )x x 16 2 x 63 2 2 − + = −

Multiplicando por el m.c.m. para convertir la ecuación en entera.

6x 6x 612 6x3 2 2

− + = −

2x 12 3x 3 6x− + = − Simplificando. 5x 12 3 6x− = − Reduciendo términos semejantes.

5x 12 6x 12 3 6x 6x 12− + + = − + + Sumando 6x y 12 a cada lado de la igualdad. 11x 15= 11x 1511 11

= Dividiendo 11 a ambos lados de la igualdad.

15x11

= Este es el posible valor de x .

15 151 1511 112

3 2 2 11− + = − Se sustituye el valor de

15x11

= en la ecuación.

15 15 1 15233 22 2 11

− + = −

30 132 45 11 3066 22

− + −=

57 1966 22

− = −

( )( )

3 19 193 22 22

=

19 1922 22

=

Se realizan las operaciones correspondientes . Observamos que la igualdad se satisface, por lo tanto:

{ }Sol. 1511

3. x 1 3 13x 24x3 2 3− −

+ = +

( ) ( )x 1 3 13x 26 4x 63 2 3− − + = +

Multiplicamos a ambos lados de la igualdad por el m.c.m de los denominadores, para transformar las fracciones a enteros.

( )( ) ( )2 x 1 24x 9 2 13x 2− = + − 2x 2 24x 9 26x 4− + = + −

26x 2 5 26x− = +

Realizamos las operaciones y reducimos los términos independientes.

26x 2 26x 5 26x 26x− − = + − 2 5− =

Restamos 26x a ambos lados de la igualdad para despejar ala variable x y reducimos términos semejantes.

2 5− ≠ Observamos que queda una contradicción, porque el lado derecho no es igual al lado izquierdo, a esto se le llama contradicción y el conjunto solución es:

{ }Sol. = ∅


~ 156 ~

5. 2

2

10 x 3x 2xx 1 x 1x 1

−+ =

− +−

( )( )2x 1 x 1 x 1− = + − x 1− - irreducible. x 1+ - irreducible.

m.c.m.= ( )( )x 1 x 1+ −

Factorizamos los denominadores para obtener el m.c.m.

( )( ) ( )( )2

2

10 x 3x 2xx 1 x 1 x 1 x 1x 1 x 1x 1

− + − + = + − − +− Multiplicamos ambos lados por el m.c.m.

( )( ) ( )( )210 x 3x x 1 2x x 1− + + = − 2 2 210 x 3x 3x 2x 2x− + + = −

2 22x 3x 10 2x 2x+ + = −

Realizamos las operaciones y reducimos términos semejantes.

2 2 2 22x 3x 10 2x 2x 10 2x 2x 2x 2x 10+ + − + − = − − + − Despejamos las variables del lado izquierdo, restando 22x y 10 , y sumamos 2x a ambos lados.

5x 10= − 5x 105 5

= −

x 2= −

Reducimos términos semejantes, y dividimos ambos lados entre 5

( )( )

( ) ( )2

2

10 2 3 2 2 22 1 2 12 1

− − − −+ =− − − +− −

Sustituyendo el valor de x 2= − en la ecuación original para comprobarla.

10 4 6 44 1 3 1− − −

+ =− − −

6 2 43+ =

2 2 4+ = 4 4=

Realizamos las operaciones correspondientes. Observamos que la igualdad se cumple, por lo tanto, el conjunto solución es:

{ }Sol.= 2− Ejercicio 1, obtener el conjunto solución de las siguientes ecuaciones lineales. 1. 8x 4 3x 7 x 14 x− + = + + 2. ( ) ( ) ( )3x 2x 1 7 x 3 5x 24 x− − = − − + − 3. ( ) ( )x 2x 1 8 3x 3− + = − + 4. ( ) ( ) ( ) ( )10 x 9 9 5 6x 2 4x 1 5 2x 1− − − = − + +

5. ( )( ) 23x 4 2x 1 4 6x 5x− + + = − 6. x 1 2x 1 4x 5240 4 8− − −

− = −

7. 2x x 73x5 10 4

− = − 8. x 2 x 3 x 43 4 5− − −

− =

9. ( )x 1 x 3 1x 32 3 6− +

− − = + 10. 3 3 05 2x 1+ =

−

11. 2x 6 52x 3 4x 6

+ =+ +

12. 2 34x 1 4x 1

=− +

13. 1 42x 1 8x 4

=− −

14. 3

2x 8 4 x 2xx 2

+= + −

+

15. 3 5 22x 4 x 3 x 2

− =− + −

16. 2

3 2 8x 4 x 3 x 7 x 12

= +− − − +

17. 2

3x 1 1 72x 6 6x 24x 7 x 12

−= +

+ ++ + 18. 3x 61

x 2 x 2= +

− −

19. 2

4 1 5x 6x 2 x 2 x 4

−+ =

+ − − 20. 3 9x2

3x 1 3x 1+ =

− −


~ 157 ~

Problemas de Aplicación. Los problemas de aplicación no viene de la forma “resuelva la ecuación”, sino que son relatos que suministran información suficiente para resolverlos y debemos ser capaces de traducir una descripción verbal a lenguaje matemático. Y es donde el algebra será nuestra herramienta para el manejar las relaciones numéricas en los que una o más cantidades son desconocidas o que se desean conocer, a las que se representaran por letras, por lo cual el lenguaje simbólico da lugar al lenguaje algebraico. Por lo tanto, al traducir un cierto problema al lenguaje algebraico, se obtienen expresiones algebraicas, que son una secuencia de operaciones entre números y letras. A las letras se les denomina variables; dando origen a una ecuación algebraica la cual se resuelve con el procedimiento anteriormente descrito. Tomando en cuenta que cualquier solución matemática debe ser verificada si es solución del problema en cuestión, porque podría tener solución matemática que carezca de sentido con el contexto del problema. Estrategia para resolver problemas de aplicación. Gran parte de los problemas prácticos se pueden resolver mediante métodos algebraicos, de hecho, no hay un solo método que funcione para todos. Sin embargo, se puede formular una estrategia para organizar el enfoque del problema.

Lea el problema cuidadosamente (varias veces, si es necesario) hasta que entienda el problema; es decir, hasta saber que se quiere obtener y con qué datos se cuenta.

Represente una de las cantidades desconocidas con una variable (cualquier letra del alfabeto), y representar todas las cantidades desconocidas en términos de la variable escogida. Éste es un paso importante y se debe realizar con cuidado.

Si lo consideras pertinente, dibuje figuras o diagramas, para identificar los datos del problema y lo que se desea obtener.

Formule una ecuación que relacione las variables con los datos del problema, en algunas ocasiones se utilizan formulas ya establecidas.

Resuelva la ecuación y escriba las respuestas de todas las preguntas planteadas del problema. Compruebe e intérprete todas las soluciones en términos del problema original, ya que podría tener

solución matemática que carezca de sentido con el contexto del problema. Ejemplos: 1. Encuentra 4 enteros pares consecutivos de manera tal que la suma de los 3 primeros exceda al cuarto en 8 unidades. Solución: Si nombramos a x como el primer número entero par, tomando en cuenta que los enteros pares aumentan de 2 en 2 , tenemos lo siguiente:

Primer par Segundo par Tercer par Cuarto par P x=1 P x= +2 2 P x= +3 4 P x= +4 6

Transformamos el enunciado del problema en lenguaje algebraico P P P P+ + = +1 2 3 4 8 , sustituyendo los valores de P para tener una ecuación algebraica y resolverla:

( ) ( ) ( )x x x x+ + + + = + +2 4 6 8 x x x x+ + + + = + +2 4 6 8

x x+ = +3 6 14 x =2 8 x = 4

Comprobación:

( ) ( ) ( )+ + + + = + +4 4 2 4 4 4 6 8 + + = +4 6 8 10 8

=18 18


~ 158 ~

Por lo tanto el valor de cada número par es:

Primer par Segundo par Tercer par Cuarto par P =1 4 P = + =2 4 2 6 P = + =3 4 4 8 P = + =4 4 6 10

2. Si un lado del triangulo mide un tercio del perímetro, el segundo m7 y el tercero un quinto del perímetro, ¿cuánto mide el perímetro del triángulo?

Solución: Sea P el perímetro del triángulo; y a , b , y c los lados del triángulo de tal forma que Pa =3

,

Pb =5

y c = 7 . Recordemos que el perímetro del triángulo es igual a la suma de todos sus lados.

c

a b

7

P3

P5

P a b c= + + P PP = + + 73 5

P PP = + +

15 15 73 5

P P P= + +15 5 3 105 P =7 105 P =15

Comprobación:

= + +15 1515 73 5

= + +15 5 3 7 =15 15

Por lo tanto el perímetro del triángulo es de m15 . 3. La distancia de una ruta de barco entre San Francisco y Honolulú es de 2100 millas náuticas. Si uno de los barcos sale de san francisco al mismo tiempo que otro sale de Honolulú, si el primero viaja a una velocidad de 15 nudos y el otro a 20 nudos, ¿cuánto tiempo les tomara a los barcos encontrarse? ¿A qué distancia se encuentra cada barco del lugar que partieron? Solución: Sea t el tiempo en el que se encontraron los barcos, Td la distancia total ente Honolulú y san Francisco, d1 y d2 las distancias recorridas por cada barco respectivamente hasta el punto de encuentro, y v1 y v2 las velocidades de cada barco respectivamente. Recordemos que la velocidad v es igual a la

distancia recorrida d entre el tiempo t que se llevo recorrerla dvt

=

y millasnáuticasnudoshora

= .

v2

v1

dT

d2d1

P.E.SFH

Td d d= +1 2

Datos: v nudos=1 15 v nudos=2 20

Td millasnáuticas= 2100 t d v t t= =1 1 15 d v t t= =2 2 20


~ 159 ~

Sustituimos en la relación que obtiene en la figura los datos del problema:

t t+ =15 20 2100 t =35 2100 t = 60

Comprobación:

( ) ( )+ =15 60 20 60 2100 + =900 1200 2100

=2100 2100 Por lo tanto el tiempo que tardan en reunirse los barcos son horas60 y la distancia recorrida por los barcos es millasnáuticas900 el primer barco y millasnáuticas1200 el segundo. 4. Un bote está parcialmente lleno con l12 de leche entera, con %4 de grasa. ¿Cuánta leche, con %1 grasa, se debe de agregar para obtener una mezcla que contenga el %2 de grasa? Solución: Sea l la cantidad de litros que se va a añadir al bote de l12 .

Sabemos que: 14%25

= , 11%100

= y 12%50

= .

Tomando en cuenta la cantidad de litros afectada por el porcentaje de grasa para poder tener la mezcla final, por lo tanto:

( )l l + = +

1 1 112 1225 100 50

( ) ( ) ( )l l + = +

1 1 1100 12 12 10025 100 50

( ) ( )l l+ = +12 4 2 12 l l+ = +48 24 2 l− = −24 l = 24

Comprobando:

( ) ( ) + = +

1 1 112 24 12 2425 100 50

( )+ =12 6 1 3625 25 50

=18 1825 25

Por lo tanto se requiere añadir l24 de leche con %1 de grasa para tener una mezcla de %2 de grasa.


~ 160 ~

5. Se disponen de 2 bombas a fin de llenar un tanque para almacenar gasolina. La bomba A lo hace en hrs.3 y la bomba B lo hace en hrs.4 cada una individualmente. Si se usan al mismo tiempo, ¿cuánto

tiempo tardaran en llenar el tanque? Solución: Denotamos a t como el tiempo que se tarda en llenar el tanque, Este problema esta basado en razones, la razón r de llenado es igual a la cantidad Q que se desea llenar entre el tiempo t que se tarda

en llenar Qrt

=

.

Interpretando el enunciado del problema se establece lo siguiente: A B Tr r r+ = Datos:

At hrs.= 3

Bt hrs.= 4 Q tanque=1

Tt tiempodellenadodeambasbombas−

A B Tr r r+ =

A B T

Q Q Qt t t

+ =

A B T

QQt t t + =

1 1

Tt+ =

1 1 13 4

( ) ( )T TT

t tt

+ = 1 1 112 123 4

T Tt t+ =4 3 12

Tt =7 12

Tt =127

Verificando el resultado obtenido:

+ =1 1 1

123 47

+=

4 3 712 12

=7 7

12 12

Por lo tanto el tanque se llena en un tiempo de hrs.127

aproximadamente en hrs.1 con min .43

II. Ejercicios. 1. Tres hermanos que nacieron en años consecutivos, tienen 72 años entre los tres, ¿qué edad tiene cada uno? 2. Arturo tiene 9 años más que Raúl y Felipe tiene 4 años más que Raúl, si entre los tres acumulan 61 años, ¿cuál es la edad de cada uno? 3. Juan tiene 25 canicas menos que Luis y Oscar tiene 13 canicas más que Luis, ¿cuántas canicas tiene cada uno, si entre los tres tienen 144? 4. Laura mide 10 cm. más que Martha y 13 cm menos que Fabiola, ¿cuál es la altura de cada una si entre las tres acumulan una estatura de 498 cm? 5. Elizabeth, Olivia y Eunice se van al cine, Eunice gasta $27 más que Olivia y Olivia gasta $5 más que Elizabeth, ¿cuánto dinero gasto cada una si en total gastaron $202?


~ 161 ~

6. Por una hamburguesa, unas papas y un refresco se pagaron $33, el refresco costó $7 menos que las papas y las papas $4 menos que la hamburguesa, ¿cuánto costó cada alimento? 7. Rubén pagó $94 por una libreta, un estuche de plumas y un juego de geometría. El juego de geometría costó cinco pesos más que la libreta y la libreta costó veinte pesos menos que el estuche de plumas. ¿Cuánto costó cada artículo? 8. En una secundaria particular, en tercero hay 4 alumnos menos que en segundo y 8 menos que en primero, si en la escuela hay 123 alumnos inscritos en los tres grados, ¿cuántos alumnos hay en cada grado? 9. Un par de zapatos y un sweater cuestan $98.00. Si el sweater cuesta $16.00 más que los zapatos. ¿Cuánto nos cobrarán por 2 pares de zapatos y 3 suéteres? 10. Perla tiene el doble de dinero que Fernanda, y Lupita tiene la tercera parte de dinero que Perla. Si entre las tres tienen $220. ¿Cuánto dinero tiene cada una? 11. Hace dos meses Froylán fue con su novia a comer hamburguesas, por dos hamburguesas unas papas a la francesa y dos refrescos les cobraron $42.00 a) Si la hamburguesa es $2.00 mas cara que las papas y el refresco costo un $1.00 menos que la mitad del precio de las papas, ¿Cuánto costo cada una? b) Dentro de 3 meses se cree que habrá una inflación del 15% en todos los alimentos. ¿Cuánto pagaría si ahora pide 3 hamburguesas, 2 papas y 3 refrescos? 12. Hace 6 años se plantó un árbol y media 4m. menos que su altura actual, se predice que dentro de 7 años medirá 16 m. y medio de altura, el triple de su altura al plantarlo. ¿Cuál es el tamaño del árbol actualmente? 13. Hace 9 años, cuando nació Remi, media 37 cm menos que su altura actual; se predice que dentro de 8 años medirá 168 cm, el doble de su altura al nacer. ¿Cuándo mide actualmente Remi? 14. Un tren sale de una estación con dirección norte; dos horas más tarde, un segundo tren sale de la misma estación con dirección sur y viaja 15 km/hr más rápido que el primero. Seis horas después de la salida del segundo tren, las dos máquinas están separadas una distancia de 580 km. Calcula la velocidad de cada tren. 15. Un autobús sale de la TAPO con dirección Oriente, 3 horas más tarde sale otro autobús de la mima estación con dirección Oriente, viajando 20 km/hr más rápido que el primero; 4 horas después de la salida del segundo autobús, están separados una distancia de 700 km. Calcula que distancia recorrió cada uno. 16. Una piraña tiene una velocidad aproximada de 35 cm/seg, pero solo es capaz de mantener esa velocidad durante una distancia de 1.5 m.; si una charal que se mueve a la tercera parte de la velocidad de la piraña y que se encuentra a un tercio de metro de la piraña, trata de huir de ella, ¿Será capaz la piraña de alcanzar al charal antes del metro y medio? 17. Tú mejor amigo va a visitar a su novia, cuando llega su suegro sale huyendo a una velocidad de 2 m/seg; después de haber recorrido13 m, lo comienza a perseguir su suegro con una velocidad de 2.9 m/seg. Debido a la edad del señor, esta velocidad solo la puede mantener por una distancia de 42m. ¿Será capaz tu amigo de huir de su suegro? 18. Una persona comienza a caminar a lo largo de una carretera recta, a razón de 4.5 kilómetros por hora hacia el siguiente pueblo que está a 8 kilómetros de distancia. Después de 10 minutos lo levanta un automóvil que lo lleva a la ciudad en 15 minutos ¿Cuál era la velocidad del automóvil? 19. Calcula a qué velocidad debe ir un motociclista para que termine un recorrido de 50 km. en una hora si durante los primeros 10 minutos viajo a una velocidad de 60 km./hr. 20. ¿Cuánta agua se debe agregar a 1.8 litros de una solución ácida al 34% para generar una solución ácida al 23%?


~ 162 ~

21. Una solución con 20% de alcohol se mezcla con agua para disminuir la concentración, si se tienen 5 litros de la solución. ¿Cuánta agua se debe de agregar para que la concentración se reduzca al 5%? 22. ¿Cuánta agua se debe agregar a 7 litros de una solución con el 85% de alcohol, para producir una nueva solución con el 30% de alcohol? 23. A 12 litros de una solución con el 15% de alcohol, ¿cuánta agua se debe evaporar para que la solución resultante tenga 90% de alcohol? 24. ¿Cuánta agua se debe evaporar de 5 litros de una solución con el 10 por ciento de alcohol para que la solución resultante tenga el 65% de alcohol? 25. ¿Cuántos litros resultarán de una solución con el 0.05% de éter, después de evaporar 0.8 litros de agua, de un solución con el 0.035% de éter? 26. ¿Cuántos litros quedan de una solución ácida al 0.08%, si se evaporan 0.05 litros de agua de una solución ácida al 0.018%? 27. ¿Cuántos litros se obtendrán de una solución salina al 0.07%, al evaporar 0.09 litros de agua de una solución al 0.022%? 28. ¿Cuántos litros de una solución ácida al 20% se deben mezclar con 2 litros de otra solución al 70%, para obtener una solución ácida al 30%? 29. ¿Cuántos litros resultarán de una solución ácida al 25% si se mezclan 3 litros de una solución ácida al 15% con otra solución ácida al 65%? 30. ¿Cuántos litros de ácido se deben agregar a 1.5 litros de una solución ácida al 12% para generar una solución ácida al 57%?


~ 163 ~

ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES

INTRODUCCION Muchas aplicaciones de las matemáticas implican más de una ecuación con varias variables. Al conjunto de ecuaciones resultantes se le llama sistema de ecuaciones. El conjunto de soluciones (o conjunto solución) de un sistema de ecuaciones consiste en todas las soluciones comunes del sistema. Si a la ecuación Ax By C+ = , la graficamos sustituyendo todos los pares ordenados (o diadas) ( )x,y que satisfacen la ecuación, obtendríamos una recta en el plano cartesiano; una manera más fácil para graficarla es obtener los puntos de intersección con los ejes de coordenadas, intersección en el eje de las abscisas ( )xI sustituyendo y 0= e intersección en el eje de las ordenadas ( )yI sustituyendo x 0= en la

ecuación.

Un sistema de ecuaciones lineales en dos variables x y y se expresa de la siguiente forma:

1 1 1

2 2 2

A x B y CA x B y C

+ = + =

Donde 1A , 1B , 1C , 2A , 2B y 2C son números reales. La llave puesta a la izquierda sirve para indicar que las dos ecuaciones forman un sistema. Para que el par ordenado ( )x,y satisfaga un sistema de dos ecuaciones lineales, el punto ( )x,y correspondiente debe ser parte de las dos rectas que son las gráficas de las ecuaciones, a esto se le conoce como solución del sistema de ecuaciones ó conjunto solución. Los métodos para resolver un sistema de ecuaciones son:

GraficoPor Igualación

METODOS Por Eliminación Por SustituciónAlgebraico

Por ReducciónPor Determinantes

GRAFICO. El método grafico es uno de los tantos métodos que existen para resolver un sistema de ecuaciones, y con este método se analiza la interpretación grafica de un sistema de ecuaciones. Ejemplos: Obtén el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones realizando su grafica.

1) x 2y 42x y 3+ =

− =


~ 164 ~

Solución: Calculamos los puntos de intersección con los ejes de coordenadas en cada una de las ecuaciones del sistema, identificando cada ecuación.

Ax 2y 4+ = → B2x y 3− = →

xI , si y 0= ( )x 2 0 4+ =

x 4= ( )

AxI 4,0

yI , si x 0= 0 2y 4+ = 2y 4= y 2=

( )AyI 0,2

xI , si y 0= 2x 0 3− = 2x 3=

3x2

=

Bx3I ,02

yI , si x 0= 2x y 3− = ( )2 0 y 3− = y 3− =

y 3= − ( )

ByI 0, 3−

Se ubican los puntos correspondientes de cada ecuación en el plano de coordenadas y se traza una regla recta que pase por cada pareja de puntos correspondientes a cada ecuación.

Una vez graficadas ambas rectas se trazan rectas perpendiculares del punto hacia los ejes de las abscisas y las ordenadas para obtener las coordenadas ( )x,y del punto de intersección que satisface la igualdad de ambas ecuaciones.

El punto ( )2,1 se sustituye en ambas ecuaciones para comprobar que satisface ambas igualdades.

x 2y 4+ = ( ) ( )2 2 1 4+ =

2 2 4+ = 4 4=

2x y 3− = ( ) ( )2 2 1 3− = 4 1 3− =

3 3= Por lo tanto, el conjunto solución es ( ){ }2,1 . Cuando un sistema tiene una solución (rectas que interceptan en un punto), recibe el nombre de Sistema consistente o sistema compatible.


~ 165 ~

2) 2x 3y 6

4x 6y 24+ =

+ =

Solución: Obtenemos los puntos de intercepción de cada ecuación para graficarlas, identificando cada ecuación.

A2x 3y 6+ = → B4x 6y 24+ = →

xI , si y 0= ( )2x 3 0 6+ =

2x 6= x 3= ( )

AxI 3,0

yI , si x 0= ( )2 0 3y 6+ =

3y 6= y 2= ( )

ByI 0,2

xI , si y 0= ( )4x 6 0 24+ =

4x 24= x 6= ( )

AxI 6,0

yI , si x 0= ( )4 0 6y 24+ =

6y 24= y 4= ( )

ByI 0,4

Se ubican los puntos correspondientes de cada ecuación en el plano de coordenadas y se traza una regla recta que pase por cada pareja de puntos correspondientes a cada ecuación.

Observamos que las rectas no se interceptan y conservan siempre la misma distancia entre ellas, por lo tanto, el sistema no tiene solución porque se tienen dos rectas paralelas. A un sistema que no tiene solución (rectas paralelas) y su conjunto solución se representa de la siguiente forma:

{ }Sol.= ∅ A este tipo de sistema se le llama sistema inconsistente o sistema incompatible. Nota: En ambos ejemplos observamos que cada ecuación tiene su propia grafica por lo que se les llama ecuaciones independientes.

3) 2y x 4

2x 8 4y− =

+ =

Solución: Obtenemos los puntos de intercepción de cada ecuación con los ejes de coordenadas, identificando cada ecuación.

A2y x 4− = → B2x 8 4y+ = →

xI , si y 0= ( )2 0 x 4− =

x 4− = x 4= − ( )

AxI 4,0−

yI , si x 0= ( )2y 0 4− =

2y 4= y 2= ( )

AyI 0,2

xI , si y 0= ( )2x 8 4 0+ =

2x 8 0+ = 2x 8= − x 4= − ( )

AxI 4,0−

yI , si x 0= ( )2 0 8 4y+ =

8 4y= 2 y= y 2= ( )

ByI 0,2

Se ubican los puntos correspondientes de cada ecuación en el plano de coordenadas y se traza una regla


~ 166 ~

recta que pase por cada pareja de puntos correspondientes a cada ecuación.

Observamos que ambas ecuaciones comparten la misma grafica, porque tienen los mismos puntos de intersección, por lo tanto todos los puntos de una recta satisfacen a la otra y viceversa, y el sistema tiene múltiples soluciones. Para obtener el conjunto solución se despeja la variable y de ambas ecuaciones.

2y x 4− = 2y 4 x= +

1y 2 x2

= +

2x 8 4y+ = 1 x 2 y2

+ =

Una vez despejadas, obtenemos la misma expresión, y en el par coordenado sustituiremos el valor de y , para dar el conjunto solución, por lo tanto, tenemos:

Sol.= 1x, x 22

+

A este tipo de sistema se le conoce como sistema consistente dependiente, porque ambas ecuaciones comparten la misma grafica. De lo anterior podemos concluir que:

{

Con Ecuciones Independientes (Unica Solución)Consistentes

Con Ecuaciones Dependientes (Multiples Solucionjes)Sistemas de ecuacionesInconsistentes Con Ecuaciones Independientes (Sin Solución)

Ejercicio 1, resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones empleando el método grafico, utiliza papel milimétrico para realizar tus graficas.

1. x y 6x y 2+ =

− = 2.

4x 2y 82x y 2

− = − =

3. 2x 8 2y

x 4 y− =

= +

4. 1 y x 13

3x y 3

− = − = −

5. 2x y 5x y 1− =

− = 6.

3x y 6y 3x 9

= − = −

ALGEBRAICOS Los métodos algebraicos son más precisos en la solución de un sistema de ecuaciones, por lo cual son los más empleados para resolver dichos sistemas. A continuación describiremos el proceso que debe realizarse en cada método. Métodos de eliminación. Son tres el método de eliminación: Sustitución, igualación y de reducción, también llamado este último de suma y resta. En estos métodos se utilizan las propiedades de los números reales para eliminar alguna de las 2 variables con las que cuenta cada ecuación del sistema. Cualquiera de estos métodos resuelve el sistema de ecuaciones.


~ 167 ~

Sustitución El método de eliminación por sustitución consiste despejar una de las variables, para después sustituir dicho valor en la otra ecuación y transformarla en una ecuación lineal con una sola variable. A continuación se explicara más ampliamente, cada paso a desarrollar. 1) Nombramos las ecuaciones para poder identificar los pasos a realizar. 2) Tomamos una de las dos ecuaciones para despejar una de las dos variables y obtener el valor de una variable en dependencia de la otra. 3) El valor obtenido del paso 2 se sustituye en la ecuación que no se utilizo del paso 2, esto transforma la ecuación lineal de dos variables a una ecuación lineal con una sola variable.. 4) Aplicamos el procedimiento para resolver ecuaciones lineales con una sola variable. 5) El valor obtenido en el paso anterior, se sustituye en el despeje realizado del paso 2, para obtener el valor de la otra variable. 6) Se comprueban los valores obtenidos de las variables en las ecuaciones originales para comprobar que la igualdad se cumpla en cada una de ellas. 7) Se da el conjunto solución del sistema de ecuaciones. Ejemplos: Obtén el conjunto solución de cada uno de los siguientes sistemas.

1. x 2y 42x y 3+ =

− =

Solución: A

B

x 2y 4

2x y 3

+ = →

− = →

Paso 1.

x 2y 4+ = x 4 2y= −

Paso 2. Despejando x de la ecuación A .

( )2 4 2y y 3− − = Paso 3. Sustituyendo x 4 2y= − en la ecuación B .

8 4y y 3− − = 5y 5− = − y 1=

Paso 4. Despejando a y .

( )x 4 2 1= − x 4 2= −

x 2=

Paso 5. Sustituyendo y 1= en x 4 2y= − y realizamos las operaciones.

( ) ( )2 2 1 4+ = ( ) ( )2 2 1 3− = 2 2 4+ = 4 1 3− =

4 4= 3 3=

Paso 6. Se sustituyen los valores de x 2= y y 1= en las ecuaciones A y B , y realizando las operaciones correspondientes.

( ){ }Sol.= 2,1 Paso 7. Conjunto solución.

Observamos que tenemos como resultado un punto donde las rectas se intersectan, por lo tanto tenemos un sistema consistente e independiente.

2. 2x 3y 6

4x 6y 24+ =

+ =

Solución: A

B

2x 3y 6

4x 6y 24

+ = →

+ = →

Paso 1.

4x 6y 24+ = 6y 24 4x= −

2y 4 x3

= −

Paso 2. Despejando y de la ecuación B .


~ 168 ~

22x 3 4 x 243

+ − =

Paso 3. Sustituyendo 2y 4 x3

= − en la ecuación A .

2x 12 2x 24+ − = 0 12=

Paso 3. Despejando a x .

0 12≠ Observamos que nos da una contradicción, lo cual nos indica que no hay solución del sistema.

{ }sol.= ∅ Paso 7. Conjunto solución. Observamos que la solución es un conjunto vacio que nos indica que son rectas paralelas, por lo tanto, tenemos un sistema inconsistente e independiente.

3. 2y x 4

2x 8 4y− =

+ =

Solución: A

B

2y x 4

2x 8 4y

− = →

+ = →

Paso 1.

2y x 4− = x 4 2y− = − x 2y 4= −

Paso 2. Despejando x de la ecuación A .

( )2 2y 4 8 4y− + = Paso 3. Sustituyendo x 2y 4= − en la ecuación B .

4y 8 8 4y− + = 0 0=


0 0= Observamos que nos da una igualdad, lo cual nos indica que hay múltiples soluciones del sistema.

2y x 4− = 2x 8 4y+ =

2y 4 x= + 1 x 2 y2

+ =

1y 2 x2

= + 1y x 22

= +

Despejamos y de las ecuaciones A y B , porque su valor dependerá del que obtenga x .

sol.= 1x, x 22

+

Paso 7. Conjunto solución.

Observamos que la solución del sistema es múltiple lo cual nos indica que este sistema es consistente y dependiente. Igualación. El método de igualación consiste en despejar la misma variable de ambas ecuaciones para igualarlas y generar una ecuación de primer grado con una variable y así poder obtener la solución del sistema. A continuación se explicara más ampliamente, cada paso a desarrollar. 1) Nombramos las ecuaciones para identificar los pasos a seguir. 2) Despejamos la misma variable de ambas ecuaciones, para obtener dos valores diferentes de la misma variable, en dependencia de la otra. 3) Aplicamos la propiedad transitiva para igualar los valores obtenidos en el paso anterior, esto transforma el sistema de ecuaciones en una ecuación lineal de una sola variable. 4) Despejamos la variable para obtener su valor aplicando los procedimientos de las ecuaciones lineales de una sola variable. 5) El valor obtenido en el paso anterior, se sustituirá en al uno de los dos despejes realizados en el paso 2, para obtener el valor de la otra variable. 6) Se comprueban los valores obtenidos de las variables en las ecuaciones originales para comprobar que la igualdad se cumpla en cada una de ellas. 7) Se da el conjunto solución del sistema de ecuaciones.


~ 169 ~

Ejemplos: Obtén el conjunto solución de cada uno de los siguientes sistemas.

1. x 2y 42x y 3+ =

− =

Solución: A

B

x 2y 4

2x y 3

+ = →

− = →

Paso 1.

x 2y 4+ = 2x y 3− = x 4 2y= − 2x 3 y= +

3 1x y2 2

= +

Paso 2. Despejar ambas x de ecuaciones A y B .

3 1 y 4 2y2 2+ = −

Paso 3. Aplicamos la propiedad transitiva de la igualdad.

3 y 8 4y+ = − 5y 5= y 1=

Paso 4. Despejando y .

( )x 4 2 1= − x 4 2= −

x 2=

Paso 5. Sustituyendo y 1= en x 4 2y= − .

( ) ( )2 2 1 4+ = ( ) ( )2 2 1 3− = 2 2 4+ = 4 1 3− =

4 4= 3 3=

Paso 6. Sustituyendo x 2= y y 1= en ecuaciones A y B , y realizando las operaciones correspondientes.

( ){ }sol.= 2,1 Paso 7. Conjunto solución.


2. 2x 3y 6

4x 6y 24+ =

+ =

Solución: A

B

2x 3y 6

4x 6y 24

+ = →

+ = →

Paso 1.

2x 3y 6+ = 4x 6y 24+ = 3y 6 2x= − 6y 24 4x= −

2y 2 x3

= − 2y 4 x3

= −

Paso 2. Despejando y de la ecuación A y B .

2 22 x 4 x3 3

− = − Paso 3. Aplicamos la propiedad transitiva de la igualdad.

6 2x 12 2x− = − 0 6=


0 6≠ Observamos que nos da una contradicción, lo cual nos indica que no hay solución del sistema.



~ 170 ~

3. 2y x 4

2x 8 4y− =

+ =

Solución: A

B

2y x 4

2x 8 4y

− = →

+ = →

Paso 1.

2y x 4− = 2x 8 4y+ = x 4 2y− = − 2x 4y 8= − x 2y 4= − x 2y 4= −

Paso 2. Despejando x de la ecuación A y B .

2y 4 2y 4− = − Paso 3. Aplicamos la propiedad transitiva de la igualdad.

2y 2y= 0 0=


0 0= Observamos que nos da una igualdad, lo cual nos indica que hay múltiples soluciones del sistema, por lo tanto:

2y x 4− = 2x 8 4y+ =

2y 4 x= + 1 x 2 y2

+ =

1y 2 x2

= + 1y x 22

= +


sol.= 1x, x 22

+


Observamos que la solución del sistema es múltiple lo cual nos indica que este sistema es consistente y dependiente. Reducción (suma o resta). Este método consiste en eliminar una variable sumando o restando según sea el caso así reducimos la ecuación a una más simple, tomaremos el sistema anterior para explicar el proceso, ya que este es varía dependiendo del sistema que se tenga. 1) Enumeramos las ecuaciones para poder identificar los pasos a realizar. 2) Analizamos las ecuaciones, para emplear algunas de las siguientes condiciones, mediante la suma de polinomios y así eliminar unas de las variables. - Si se tienen términos simétricos se procede a realizar una suma de polinomios de forma directa. - Si tiene términos idénticos, se procede a multiplicar por 1− a una de las dos ecuaciones, para realizar la suma de polinomios después. - Si se tiene términos semejantes con signo opuestos, se procede a calcular el m.c.m. de sus coeficientes, posteriormente se harán las respectivas multiplicaciones a cada ecuación, para que la variable que se va eliminar sean de términos simétricos. - Si se tiene términos semejantes del mismo signo, se realizara lo del paso anterior, solo que multiplicamos por 1− a una de las dos ecuaciones. 3) Procedemos a realizar la suma de polinomios, para eliminar a la variable deseada. 4) De la ecuación lineal de una sola variable que resulta de la suma de polinomios, la despejamos para obtener su valor. 5) Sustituimos el valor obtenido en una de las ecuaciones originales. 6) Despejamos la variable restante para obtener su valor. 7) Comprobamos los valores obtenidos de las variables en las ecuaciones originales para verificar que la igualdad se cumpla. 8) Se da el conjunto solución.


~ 171 ~

Ejemplos: Obtén el conjunto solución de cada uno de los siguientes sistemas.

1. x 2y 42x y 3+ =

− =

Solución. A

B

x 2y 4

2x y 3

+ = →

− = →

Paso 1.

2x y 3− =

( ) ( )2 2x y 3 2− = 4x 2y 6− =

Paso 2. Se necesita multiplicar por 2 la ecuación B .

x 2y 44x 2y 6

5x 0 10

+ =− =

+ =

Paso 3. Realizamos la suma de polinomios.

5x 10= x 2=

Paso 4. Despejamos a x .

( )2 2y 4+ = Paso 5. Sustituimos x 2= en la ecuación A . 2 2y 4+ =

2y 2= y 1=

Paso 6. Despejando a y

( ) ( )2 2 1 4+ = ( ) ( )2 2 1 3− = 2 2 4+ = 4 1 3− =

4 4= 3 3=

Paso 7. Sustituyendo x 2= y y 1= en las ecuaciones A y B , y realizamos las operaciones correspondientes.



2. 2x 3y 6

4x 6y 24+ =

+ =

Solución. A

B

2x 3y 6

4x 6y 24

+ = →

+ = →

Paso 1.

2x 3y 6+ = ( )( ) ( )2 2x 3y 6 2− + = −

4x 6y 12− − = −

Paso 2. Se necesita multiplicar por 2− la ecuación A .

4x 6y 124x 6y 24

0 0 12

− − = −+ =

+ =


0 12= 0 12≠

Observamos que nos da una contradicción, lo cual nos indica que no hay solución del sistema.



~ 172 ~

3. 2y x 4

2x 8 4y− =

+ =

Solución. A

B

x 2y 4

2x 4y 8

− + = →

− = − →

Paso 1.

x 2y 4− + =

( ) ( )2 x 2y 4 2− + = 2x 4y 8− + =

Paso 2. Se necesita multiplicar por 2 la ecuación A .

2x 4y 82x 4y 8

0 0 0

− + = −− =

+ =


0 0= Observamos que nos da una igualdad, lo cual nos indica que hay múltiples soluciones del sistema, por lo tanto:

2y x 4− = 2x 8 4y+ =

2y 4 x= + 1 x 2 y2

+ =

1y 2 x2

= + 1y x 22

= +


sol.= 1x, x 22

+


Observamos que la solución del sistema es múltiple lo cual nos indica que este sistema es consistente y dependiente. Determinantes. Es la notación matemática formada por una tabla cuadrada de números u otros elementos, entre dos líneas verticales; el valor de la expresión se calcula mediante su desarrollo siguiendo ciertas reglas y se denota por la letra griega ∆ (delta). Esta tabla está formada por filas (datos ordenados horizontalmente) y columnas (datos ordenados verticalmente), por lo general se tiene el mismo número de filas que de columnas de ahí que sea cuadrada, aunque en algunas ocasiones no se tiene de esa forma.

El símbolo 11 12

21 22

a aa a

representa un determinante de orden dos y el símbolo 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

un determinante

de orden 3, así un de terminante de orden n esimo− tiene n filas y n columnas, por lo tanto:

11 12 1n

21 22 2n

n1 n2 nn

a a aa a a

a a a

→→∆ = →

↓ ↓ ↓

Columnas

Filas

A cada determinante le corresponde un número, el cual se calcula efectuando operaciones entre sus elementos.


~ 173 ~

El determinante de segundo orden se resuelve de la siguiente forma.

11 12

21 22

a aa a

∆ =

i) Multiplicamos los elementos de izquierda a derecha en diagonal descendente.

( )( )11 12

11 22

21 22

a aa a

a a∆ = =

ii) Le restamos el producto de derecha a izquierda en diagonal descendente.

( )( ) ( )( )11 12

11 22 12 21

21 22

a aa a a a

a a∆ = = −

iii) El número obtenido de esta operación será el valor del determinante.

( )( ) ( )( )11 22 12 21a a a a∆ = −

Ejemplo: Obtener el valor del determinante 2 54 1

−− −

Solución:

( )( ) ( )( )[ ] [ ]2 52 1 5 4 2 20 2 20 22

4 1−

∆ = = − − − − = − − = − − = −− −

Ejercicio 2, calcula el valor de los siguientes determinantes de orden 2.

1. 5 23 7− −

2. 2 87 3

−−

3. 3 7

4 0− −

4. 7 30 1−

−

El determinante de orden 3 se puede resolver por dos métodos el Sarrus – Fila y por menores.

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

∆ =

Sarrus – Fila. 1) Debajo del determinante de orden 3 repitiendo las dos primeras filas después de la tercera.

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 12 13

21 22 23

a a aa a aa a aa a aa a a

∆ =


~ 174 ~

ii) Se multiplican de izquierda a derecha en diagonal descendente de tal forma que se tengan tres factores, de los cuales sus productos se sumaran.

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )

11 12 13

21 22 23

31 32 33 11 22 33 13 21 32 12 23 31

11 12 13

21 22 23

a a a

a a a

a a a a a a a a a a a a

a a a

a a a

∆ = = + +

iii) Les restamos la suma de los productos de las diagonales descendentes de derecha a izquierda.

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )

11 12 13

21 22 23

11 22 33 13 21 32 12 23 3131 32 33

13 22 31 11 23 32 12 21 33

11 12 13

21 22 23

a a a

a a a

a a a a a a a a aa a a

a a a a a a a a a

a a a

a a a

+ +∆ = =

− + +

iv) El resultado es el valor del determinante.

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )11 22 33 13 21 32 12 23 31 13 22 31 11 23 32 12 21 33a a a a a a a a a a a a a a a a a a∆ = + + − + +

Ejemplo: Calcula el valor del determinante 1 0 43 1 64 2 2

−−

−.

Solución:

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )[ ]

1 0 43 1 6

1 1 2 3 2 4 4 0 6 4 1 4 6 2 1 2 0 34 2 21 0 43 1 6

−−

∆ = = − − + − + − − − + + −−−

−

[ ] [ ]2 24 0 16 12 0 22 28 22 28 50∆ = − + − + + = − − = − − = − Por menores. Para resolverlo por menores se siguen los siguientes pasos que van a reducir el determinante de orden 3 en varios de orden 2. i) Tomamos el elemento de la primera columna y de la primera fila, para multiplicarlo por el determinante de orden 2 que resulta de eliminar la primera columna y la primera fila.


~ 175 ~

11 12 1322 23

21 22 23 1132 33

31 32 33

a a aa a

a a a aa a

a a a∆ = =

ii) Tomamos el elemento de la primera fila y la segunda columna, para multiplicarlo por el determinante de orden 2 que resulta de eliminar la primera fila y la segunda columna, y lo restamos del paso anterior.

11 12 1322 23 21 23

21 22 23 11 1232 33 31 33

31 32 33

a a aa a a a

a a a a aa a a a

a a a∆ = = −

iii) Tomamos el elemento de la primera fila y la tercera columna, para multiplicarlo por el determinante de orden 2 que resulta de eliminar la primera fila y la tercera columna, y lo sumamos a los otros dos

11 12 1322 23 21 23 21 22

21 22 23 11 12 1332 33 31 33 31 32

31 32 33

a a aa a a a a a

a a a a a aa a a a a a

a a a∆ = = − +

iv) Calculamos los determinantes de orden 2 para obtener el valor del determinante de orden 3.

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )11 22 33 23 32 12 21 33 23 31 13 21 31 22 31a a a a a a a a a a a a a a a∆ = − − − + −

Ejemplo: Calcula el valor del determinante 1 0 43 1 64 2 2

−−

−.

Solución:

( ) ( ) ( )1 0 4

1 6 3 6 3 13 1 6 1 0 4

2 2 4 2 4 24 2 2

−− −

∆ = − = − + −− −

−

( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( )( ) ( )( )[ ]1 1 2 6 2 0 3 2 6 4 4 3 2 1 4∆ = − − − − − − + − − − ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]1 2 12 0 6 24 4 6 4∆ = − − − + − +

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]1 10 0 18 4 10∆ = − − − 10 0 40∆ = − − −

50∆ = − Ejercicio 3, obtén el valor de cada uno de los determinantes.

1. 1 2 11 3 41 0 2

2. 2 5 13 4 36 2 4

−− 3.

5 2 83 7 3

4 0 1

−− −

− 4.

12 5 108 6 97 4 2

−−

Regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones. Para resolver un sistema de tres o dos ecuaciones simultaneas con tres o dos variables, por determinantes, se aplica la Regla de Cramer que dice: El valor de cada incógnita es una fracción cuyo denominador es la determinante formada con los coeficientes de las incógnitas (determinante del sistema) y cuyo numerador es la determinante que se obtiene sustituyendo en la determinante del sistema la columna de los coeficientes de la incógnita que se halla por la columna de los términos independientes de las ecuaciones dadas.


~ 176 ~

xx∆

=∆

, yy∆

=∆

y zz∆

=∆

Para obtener la solución de un sistema de ecuaciones por medio de la regla de Cramer se siguen los siguientes pasos.

1 1 1

2 2 2

A x B y CA x B y C

+ = + =

1) Se obtiene el determinante del sistema con los coeficientes constantes del sistema de ecuaciones. Si el sistema tiene tres variables y tres ecuaciones se tendrán un determinante de orden 3.

1 1

2 2

A BA B

∆ =

2) Se calcula el valor del determinante del sistema; si el sistema es de orden 3 se utilizan el método de Sarrus-Fila o por menores.

1 11 2 2 1

2 2

A BA B A B

A B∆ = = −

3) Se obtiene el determinante de cada variable sustituyendo los resultados de cada ecuación por los coeficientes de las variables correspondientes.

1 1x

2 2

C BC B

∆ = y 1 1y

2 2

A CA C

∆ =

4) Se calculan el valor de cada determinante obtenido en el paso anterior.

1 1x 1 2 2 1

2 2

C BC B C B

C B∆ = = − y 1 1

x 1 2 2 12 2

A CA C A C

A C∆ = = −

5) Se aplica la regla de Cramer para obtener el valor de cada variable.

xx∆

=∆

y yy∆

=∆

6) Los valores obtenidos de cada variable se comprobaran en todas las ecuaciones para verificar que la igualdad se cumpla. 7) Si los valores satisfacen la ecuación se da el conjunto solución. Ejemplos: Obtén el conjunto solución de cada uno de los siguientes sistemas.

1. x 2y 42x y 3+ =

− =

Solución: 1 22 1

∆ =−

Paso 1.

( ) ( )1 1 2 2∆ = − − 1 4∆ = − −

5∆ = − Paso 2.


~ 177 ~

x

4 23 1

∆ =−

y

1 42 3

∆ = Paso 3.

( ) ( )x 4 1 3 2∆ = − −

x 4 6∆ = − −

x 10∆ = −

( ) ( )y 1 3 2 4∆ = −

y 3 8∆ = −

y 5∆ = − Paso 4.

10x5

−=

−

x 2=

5y5−

=−

y 1= Paso 5.

( ) ( )2 2 1 4+ = 2 2 4+ =

4 4=

( ) ( )2 2 1 3− = 4 1 3− =

3 3=

Paso 6. Sustituyendo x 2= y y 1= en el sistema de ecuaciones.



2. 2x 3y 6

4x 6y 24+ =

+ =

Solución: 2 34 6

∆ = Paso 1.

( ) ( )2 6 4 3∆ = − 12 12∆ = −

0∆ = Paso 2.

x

6 324 6

∆ = y

2 64 24

∆ = Paso 3.

( ) ( )x 6 6 24 3∆ = −

x 36 72∆ = −

x 36∆ = −

( ) ( )y 2 24 4 6∆ = −

y 48 24∆ = −

y 24∆ = Paso 4.

No se puede aplicar la regla de Cramer, porque el determinante del sistema se anula ( )0∆ = , ya que la división entre cero no está definida. Y como los otros determinantes tienen valor, indica que este sistema no tiene solución.


3. 2y x 4

2x 8 4y− =

+ =

Solución: Ordenamos el sistema de ecuaciones:

x 2y 42x 4y 8

− = − − = −

1 22 4

−∆ =

− Paso 1.


~ 178 ~

( ) ( )1 4 2 2∆ = − − − 4 4∆ = − + 0∆ =

Paso 2.

x

4 28 4− −

∆ =− −

y

1 42 8

−∆ =

− Paso 3.

( ) ( )( )x 4 4 8 2∆ = − − − − −

x 16 16∆ = −

x 0∆ =

( ) ( )y 1 8 2 4∆ = − − −

y 8 8∆ = − +

y 0∆ = Paso 4.

2y x 4− = 2y 4 x= +

1y 2 x2

= +

2x 8 4y+ = 1 x 2 y2

+ =

1y x 22

= +

No se puede aplicar la regla de Cramer, porque el determinante del sistema se anula ( )0∆ = , ya que la división entre cero no está definida. Y como los otros determinantes también se anulan el sistema tiene múltiples soluciones. Y tendremos que despejar y de ambas ecuaciones.

sol.= 1x, x 22

+


Observamos que la solución del sistema es múltiple lo cual nos indica que este sistema es consistente y dependiente. Sistemas de ecuaciones 3 3× . Cuando se hablan de sistemas 3 3× nos referimos que tiene tres variables y tres ecuaciones, se emplean los mismos métodos de eliminación descritos, realizando algunos procesos para eliminar la misma variable en todo el sistema y reducirlo a un 2 2× . Pero se puede de forma directa por determinantes como se muestra en el ejemplo siguiente. Ejemplo: obtener el conjunto solución del siguiente sistema:

1. x y z 42x 3y 5z 53x 4y 7 z 10

+ + = − + = − + + =

Resolviendo el sistema por determinantes. Obtenemos los determinantes del sistema y de cada una de las variables.

[ ] [ ]

1 1 11 1 1 2 3 52 3 5 21 8 15 9 20 14 2 25 2 25 233 4 73 4 7 1 1 1

2 3 5

−∆ = − = = − + + − − + + = − = − = −

−

[ ] [ ]x

4 1 14 1 1 5 3 55 3 5 84 20 50 30 80 35 54 15 54 15 6910 4 7

10 4 7 4 1 15 3 5

− −∆ = − − = = − − + − − + − = − − = − − = −

− −


~ 179 ~

[ ] [ ]y

1 4 11 4 1 2 5 52 5 5 35 20 60 15 50 56 45 91 45 91 463 10 73 10 7 1 4 1

2 5 5

−∆ = − = = − + + − − + + = − = − = −

−

[ ] [ ]z

1 1 41 1 4 2 3 52 3 5 30 32 15 36 20 20 13 36 13 36 233 4 103 4 10 1 1 4

2 3 5

− −∆ = − − = = − + − − − − + = − − − = − + =

− −

Aplicando la regla de Cramer.

69x 323

−= =−

46y 223

−= =−

23z 123

= = −−

Sustituyendo los valores de x 3= , y 2= y z 1= − en las ecuaciones.

( ) ( ) ( )3 2 1 4+ + − = 3 2 1 4+ − =

4 4=

( ) ( ) ( )2 3 3 2 5 1 5− + − = − 6 6 5 5− − = −

5 5− = − ( ) ( ) ( )3 3 4 2 7 1 10+ + − =

9 8 7 10+ − = 10 10=

Por lo tanto el conjunto solución es ( ){ }3,2, 1− . Resolviendo el sistema con el método de reducción. Enumerando las ecuaciones.

x y z 4

2x 3y 5z 5

3x 4y 7 z 10

+ + = → − + = − →

+ + = →

A

B

C

Eliminamos a y de las tres ecuaciones, tomamos las ecuaciones A y B , y multiplicamos por 3 a la ecuación A . Tomamos a las ecuaciones A y C , y multiplicamos por 4− a la ecuación A .

3x 3y 3z 122x 3y 5z 5

5x 0 8z 7

+ + =− + = −

+ + =

4x 4y 4z 163x 4y 7 z 10

x 0 3z 6

− − − = −+ + =

− + + = −

Con este paso transformamos el sistema de tres variables con tres ecuaciones a un sistema de dos variables con dos ecuaciones. Numeramos las nuevas ecuaciones.


~ 180 ~

DE

5x 8z 7

x 3z 6

+ = →− + = − →

Continuando con el método de reducción, multiplicamos a la ecuación 5 por 5 para eliminar x , y resolvemos la ecuación resultante.

5x 8z 75x 15z 30

0 23z 23

+ =− + = −

+ = −

23z 23= − z 1= −

Sustituimos el valor de z 1= − en la ecuación 4 y despejamos la variable.

( )5x 8 1 7+ − = 5x 8 7− = 5x 15=

x 3=

Sustituimos el valor de z 1= − y x 3= en la ecuación 1 y despejamos la variable. ( )3 y 1 4+ + − =

3 y 1 4+ − = 2 y 4+ =

y 2= Sustituyendo los valores de x 3= , y 2= y z 1= − en las ecuaciones A , B y C .

( ) ( ) ( )3 2 1 4+ + − = 3 2 1 4+ − =

4 4=

( ) ( ) ( )2 3 3 2 5 1 5− + − = − 6 6 5 5− − = −

5 5− = − ( ) ( ) ( )3 3 4 2 7 1 10+ + − =

9 8 7 10+ − = 10 10=

Por lo tanto el conjunto solución es ( ){ }3,2, 1− . Resolviendo el sistema por sustitución. Enumerando las ecuaciones

A

B

C

x y z 4

2x 3y 5z 5

3x 4y 7 z 10

+ + = → − + = − →

+ + = →

Despejamos x de la ecuación A .

x y z 4+ + = x 4 y z= − −


~ 181 ~

Sustituimos x 4 y z= − − , en las ecuaciones B y C .

( )2 4 y z 3y 5z 5− − − + = − 8 2y 2z 3y 5z 5− − − + = −

5y 3z 13− + = −

( )3 4 y z 4y 7 z 10− − + + = 12 3y 3z 4y 7 z 10− − + + =

y 4z 2+ = − Con este paso transformamos el sistema de tres variables con tres ecuaciones a un sistema de dos variables con dos ecuaciones. Numeramos las nuevas ecuaciones.

D

E

5y 3z 13

y 4z 2

− + = − →

+ = − →

Despejamos a y de la ecuación E .

y 4z 2+ = − y 2 4z= − −

Sustituimos y 2 4z= − − en la ecuación D .

( )5 2 4z 3z 13− − − + = − 10 20z 3z 13+ + = −

23z 23= − z 1= −

Sustituyendo z 1= − en y 2 4z= − − .

( )y 2 4 1= − − − y 2 4= − +

y 2= Sustituyendo y 2= y z 1= − en x 4 y z= − − .

( ) ( )x 4 2 1= − − − x 4 2 1= − +

x 3= Sustituyendo los valores de x 3= , y 2= y z 1= − en las ecuaciones A , B y C .

( ) ( ) ( )3 2 1 4+ + − = 3 2 1 4+ − =

4 4=

( ) ( ) ( )2 3 3 2 5 1 5− + − = − 6 6 5 5− − = −

5 5− = − ( ) ( ) ( )3 3 4 2 7 1 10+ + − =

9 8 7 10+ − = 10 10=

Por lo tanto el conjunto solución es ( ){ }3,2, 1− .


~ 182 ~

Resolviendo el sistema por igualación. Enumerando las ecuaciones

A

B

C

x y z 4

2x 3y 5z 5

3x 4y 7 z 10

+ + = → − + = − →

+ + = →

Despejamos z de las ecuaciones A , B y C

x y z 4+ + = z 4 x y= − −

2x 3y 5z 5− + = − 5z 3y 2x 5= − −

3 2z y x 15 5

= − −

3x 4y 7 z 10+ + = 7 z 10 3x 4y= − −

10 3 4z x y7 7 7

= − −

Igualamos z 4 x y= − − con 3 2z y x 15 5

= − − y z 4 x y= − − con 10 3 4z x y7 7 7

= − − .

3 24 x y y x 15 5

− − = − −

20 5x 5y 3y 2x 5− − = − − 3x 8y 25− − = −

10 3 44 x y x y7 7 7

− − = − −

28 7 x 7y 10 3x 4y− − = − − 4x 3y 18− − = −

Con este paso transformamos el sistema de tres variables con tres ecuaciones a un sistema de dos variables con dos ecuaciones. Numeramos las nuevas ecuaciones.

D

E

3x 8y 25

4x 3y 18

− − = − →− − = − →

Despejamos x de las ecuaciones D y E .

3x 8y 25− − = − 3x 8y 25− = −

25 8x y3 3

= −

4x 3y 18− − = − 4x 3y 18− = −

9 3x y2 4

= −

Igualamos 25 8x y3 3

= − con 9 3x y2 4

= − .

25 8 9 3y y3 3 2 4

− = −

23y 46− = − y 2=

Sustituimos y 2= en 9 3x y2 4

= − .

( )9 3x 22 4

= −


~ 183 ~

9 3x2 2

= −

6x2

=

x 3=

Sustituyendo x 3= y y 2= en z 4 x y= − − .

( ) ( )z 4 3 2= − − z 4 3 2= − −

z 1= − Sustituyendo los valores de x 3= , y 2= y z 1= − en las ecuaciones A , B y C .

( ) ( ) ( )3 2 1 4+ + − = 3 2 1 4+ − =

4 4=

( ) ( ) ( )2 3 3 2 5 1 5− + − = − 6 6 5 5− − = −

5 5− = − ( ) ( ) ( )3 3 4 2 7 1 10+ + − =

9 8 7 10+ − = 10 10=

Por lo tanto el conjunto solución es ( ){ }3,2, 1− . Nota: Se recomienda reducir el sistema 3 3× a un sistema 2 2× , aplicando el método de reducción y después emplear cualquier otro método de eliminación. Misceláneos. Ejercicio 4 para evidencia integradora: Obtén el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones empleando cualquier método.

1. x 3y 6

5x 2y 13+ =

− = 2.

72x 5y2

4 10 7x y3 3 3

− = = +

3. 4x 5y 5

10y 4x 7+ =

− − = − 4.

2y 5x 65x 2y 13

− = − =

5. 6x 9y

527 18x 15y

+ = + =

5. x 5y 8

7 x 8y 25− =

− + = 7.

x 8 5y5y 4 x= +

− = − − 8.

9x 16y 54y 3x 0

+ = − =

9. 12x 14y 2014y 12x 19

+ =− − = −

10. 7 x 4y 59x 8y 13

− = + =

11. 7 x 15y 1

x 6y 8− =

− − = 12.

6y 27 x27 x2y

3

= −

−=

13. 3x 2y 9

5x 8y 60− =

+ = − 14.

3x 4y 03x 4y 24

− =− + = −

15. y 2x 4

28 7y 14x− = −

− = 16.

10x 3y 362x 5y 4

− = + = −

17. x y z 11x y 3z 132x 2y z 7

+ + = − + = + − =

18.7 x 10y 4z 25x 2y 6z 383x y z 21

+ + = − − + = + − =

19. 4x y z 42y z 2x 26x 3z 2y 12

− + = − + = + − =

20. 3x 2y 14x z 28x 2y 3z 46

− = + = − + + = −

Resolución de sistemas numéricos de dos ecuaciones enteras con dos incógnitas. En este caso se debe simplificar las ecuaciones para poder hacer la resolución del sistema con cualquier método anteriormente visto. Existen diferentes formas de cómo plantear un sistema de ecuaciones, lo importante es saber identificar como aplicar cada uno de los métodos que hay, a continuación te mostramos un ejemplo.


~ 184 ~

Ejemplo: Obtén el conjunto solución del sistema ( ) ( )3x 4y 6 2y x 18

2x 3 x y 4 − + = − +

− = − +

Se eliminan paréntesis y simplificamos términos semejantes despejando las variables del lado izquierdo de la igualdad y los coeficientes constantes del lado derecho, de esta forma tendremos un sistema equivalente con el que podemos trabajar mejor cualquier método de solución.

3x 4y 6 2y x 18x y 7

− − = − − + =

4x 6y 12x y 7

− = − + =

Una vez obtenido el sistema equivalente se emplea cualquier método de eliminación.

( )4 64 6 2 6 10

1 1−

∆ = = − − = + =

( )x

12 612 42 12 42 30

7 1− −

∆ = = − − − = − + =

( )4 1228 12 28 12 40

1 7−

∆ = = − − = + =

xx

∆=

∆

30x10

=

x 3=

yy∆

=∆

40y10

=

y 4=

Sustituyendo x 3= y y 4= en las ecuaciones.

( ) ( )( ) ( ) ( )3 3 4 4 6 2 4 3 18− + = − + ( ) ( )9 16 6 8 21− + = −

( )9 22 8 21− = − 9 22 3− = −

3 3− = −

( ) ( )2 3 3 3 4 4− = − + 6 3 7 4− = −

3 3=

Por lo tanto, el conjunto solución es ( ){ }3,4 Ejercicio 5, resolver por cualquier método comprobando por otro método diferente.

1. ( )

( )3 x 2 2y2 y 5 7 x + =

+ = 2.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )x y 6x 8y 10x 5y 3 y 5x y 9y 11x 2y 2x

− − + = + + − −

+ − − = −

3. ( )

( )30x 8 x 2y 305x 29 x 5 4y − − = +

− = − −

Ecuaciones simultáneas con incógnitas en los denominadores. Cuando se tienen las incógnitas en los denominadores lo que se procede a hacer, antes de resolver el sistema, es la realización de un método especial.


~ 185 ~

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema

10 9 2x y

7 6 11x y 2

+ = − =

Enumeramos las ecuaciones.

A

B

10 9 2x y

7 6 11x y 2

+ = →

− = →

Vamos a eliminar las y con el método de suma y resta, multiplicamos la ecuación A por 6 y la ecuación B por 9; así obtendremos:

60 54 12x y

63 54 99x y 2

123 1230x 2

+ =

− =

+ =

123 123x 2

=

246 123x= x 2=

Sustituimos x 2= en la ecuación B y despejamos ala variable-

7 6 112 y 2− =

6 2y

− =

6 2y− = y 3= −

Sustituimos x 2= y y 3= − en las ecuaciones A y B .

10 9 22 3

+ =−

5 3 2− = 2 2=

7 6 112 3 2− =−

7 1122 2+ =

7 4 112 2+

=

11 112 2

=

Por lo tanto el conjunto solución es ( ){ }2, 3−


~ 186 ~

Ejercicio 6, obtén el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones.

1.

1 2 7x y 62 1 4x y 3

+ = + =

2.

3 2 1x y 22 5 23x y 12

+ = + =

Problemas de aplicación. Con frecuencia se utilizan dos ecuaciones con dos variables para resolver problemas. Cuando aparecen dos variables, hay que recordar plantear dos ecuaciones para tener una solución. Las ecuaciones en cada problema deben ser obtenidas a partir de las relaciones descritas entre las cantidades que nos dan como dato y las cantidades que nos piden obtener. Hacemos las siguientes sugerencias para darle solución a los problemas.

• Lea el problema hasta que capte con claridad lo que se dice ( si es necesario léalo más de una

vez), hasta que tenga bien presentes en la mente las cantidades que nos dan como dato y las cantidades que nos piden obtener.

• Identifique con una variable (letra), cada una de las cantidades a obtener.

• Realice el modelado de las ecuaciones apoyando se dé una tabla, el lenguaje algebraico,

diagramas y/o dibujos.

• Resuelva la ecuación aplicando cualquier método conocido. • De la conclusión del ejercicio, es decir dar la respuesta de lo que nos pidieron obtener.

Ejemplos: 1. Un equipo de béisbol jugó 162 partidos. Gano 44 juegos más de los que perdió, ¿Cuántos partidos perdió? Solución:

Datos. 162 partidos jugados. Se ganan 44 juegos más que los que se pierden x - Número de juegos ganados. y - Número de juegos perdidos. ¿Cuántos partidos se pierden?

Analizando la información se jugaron 192 partidos entre ganados y perdidos, por lo tanto tenemos:

x y 192+ =

Por el otro lado tenemos que se ganaron más juegos que los que se perdieron, teniendo una diferencia de 44 juegos entre ganados y perdidos, por lo tanto:

x y 44− =

Observamos que tenemos el siguiente sistema x y 192x y 44+ =

− =, el cual resolveremos empleando el método

algebraico de eliminación por reducción.

A

B

x y 192

x y 44

+ = →

− = →


~ 187 ~

x y 192x y 44

2x 0 236

+ =− =

+ =

2x 236= x 118=

Sustituimos x 119= en la ecuación A .

118 y 192+ = y 74=

Comprobamos los resultados obtenidos en ambas ecuaciones.

118 74 192+ = 192 192=

118 74 44− = 44 44=

Por lo tanto, el equipo pierde 44 partidos. 2. Ramón vende autos y camiones. Tiene espacio en su lote para 510 vehículos. Por experiencia, Sabe que sus utilidades son mayores si tiene 190 autos más que camiones. ¿Cuántos vehículos de cada tipo debe tener? Solución: Datos:

Espacio para 510 vehículos. Ganancia con 190 autos más que camiones. a - Número de autos. c - Número de camiones. ¿Cuántos vehículos de cada tipo deben tener?

Analizando el ejercicio se tiene espacio entre autos y camiones para 510 vehículos, así en la suma de ambos no debe exceder este número.

a c 510+ =

Entre mas autos se tengan mayor ganancia se tendrá, esta diferencia es de 190 autos más que camiones, por lo tanto tenemos:

a c 190= +

Por lo tanto, se tiene el sistema a c 510a c 190+ =

= +, el cual resolveremos por sustitución, ya que tiene una

variable despejada.

AB

a c 510

a c 190

+ = →

= + →

( )c 190 c 510+ + = c 190 c 510+ + =

2c 320= c 160=

Sustituyendo c 160= en la ecuación B .

a 160 190= +

a 350=


~ 188 ~

Comprobamos en ambas ecuaciones: 350 160 510+ =

510 510= 350 160 190= +

350 350= Por lo tanto, se tienen 350 autos y 160 camiones. 3. Marisa es 21 años más grande que Laura. En seis años, Marisa tendrá el doble de la edad de Laura. ¿Qué edad tienen ahora? Solución: Datos:

Marisa es 21 años mas grade que Laura. Marisa doble de la edad de Laura en seis años. m - Edad de Marisa. l - Edad de Laura. ¿Qué edad tiene en la actualidad?

Realizamos una pequeña tabla para organizar la información.

Edad actual Edad en 6 años Marisa m m 6+ Laura l l 6+

Interpretando los datos del problema, en la actualidad Marisa tiene 21 años más que Laura.

m 21 l= +

Y dentro de seis años Marisa tendrá el doble de la edad de Laura.

( )m 6 2 l 6+ = +

Por lo tanto tenemos el sistema ( )

m 21 lm 6 2 l 6

= +

+ = +, el cual resolveremos por el método de igualación.

m 6 2l 12+ = + m 6 2l 12+ = +

m 2l 6= + 21 l 2l 6+ = +

l 15− = − l 15=

m 21 15= + m 36=

Comprobando en ambas ecuaciones.

36 21 15= + 36 36=

( )36 6 2 15 6+ = + ( )42 2 21=

42 42= Por lo tanto la edad de Marisa es de 36 años y la de Laura 15 años. 4. Un tren sale de Slaton en dirección este, a una velocidad de 80 km/h. Una hora más tarde, otro tren sale de Saltón en una vía paralela a 120 km/h. ¿A qué distancia de Slaton van a coincidir los trenes? Solución: Datos:

1v - Velocidad del primer tren que sale de Saltón.

2v - Velocidad del segundo tren que sale de Saltón.


~ 189 ~

t - Tiempo de salida del primer tren. t 1+ - Tempo de salida del segundo tren.

1Kmv 80hrs

=

2Kmv 120hrs

=

d - Distancia recorrida por ambos trenes.

Distancia Km

Velocidad Kmhrs

Tiempo hrs

Primer tren d 80 t Segundo tren d 120 t 1−

Sabemos que d vt= por lo tanto tenemos:

d 80t= ( )d 120 t 1= −

Por lo tanto, tenemos el sistema ( )

d 80td 120 t 1=

= −

, la cual resolveremos por el método de determinantes, pero

primero la ordenaremos y la igualaremos a cero.

d 80t 0d 120t 120− =

− = −

( )1 80120 80 120 80 40

1 120−

∆ = = − − − = − + = −−

( )d

0 800 9600 0 9600 9600

120 120−

∆ = = − = − = −− −

( )t

1 0120 0 120 0 120

1 120∆ = = − − = − − = −

−

dd

∆=

∆

9600d40

−=

−

d 240=

tt∆

=∆

120t40

−=

−

t 3=

Comprobando ( )240 80 3=

240 240= ( )240 120 3 1= − ( )240 120 2=

240 240= Se encuentran a 240 Km de Saltón. 5. ¿Cuántas onzas de una solución salina al 5% y cuántas onzas de una solución salina al 20% deben mezclarse para obtener 50 onzas de una solución salina al 15% ? Solución: Datos:

x - Onzas de la sustancia salina al 5% . y - Onzas de la sustancia salina al 20% .


~ 190 ~

De acuerdo al esquema tenemos que las onzas de la primera mezcla mas la de la segunda no deben exceder 50 onzas.

x y 50+ =

También la suma de ambas concentraciones nos da la concentración final, transformamos los porcentajes

a fracciones 15%20

= , 120%5

= y 315%20

= .

( )1 1 3x y 5020 5 20

+ =

Convertimos la ecuación a entera multiplicando ambos lados por le m.c.m. de los denominadores.

x 4y 150+ =

Se tiene el sistema x y 50x 4y 150+ =

+ =, el cual resolveremos con determinantes.

( )1 14 1 4 1 3

1 4∆ = = − = − =

( )x

50 1200 150 200 150 50

150 4∆ = = − = − =

( )y

1 50150 50 150 50 100

1 150∆ = = − = − =

xx

∆=

∆

50x3

=

yy∆

=∆

100y3

=

Comprobando.

50 100 503 3

+ =

150 503

=

50 50=

( )1 50 1 100 3 5020 3 5 3 20

+ =

5 20 156 3 2+ =

5 40 156 2+

=

45 156 2

=

15 152 2

=

Por lo tanto se necesitan 50 oz3

de una solución salina al 5% y 100 oz3

de una solución salina al 20% .


~ 191 ~

Ejercicio 7. 1. Marco tiene 150 monedas, tiene 12 monedas de a peso más que monedas de dos pesos. ¿Cuántas monedas de a peso y de a dos pesos tiene?

2. Cuatro naranjas y cinco manzanas cuestan $20. Tres naranjas y 4 manzanas cuestan $15.60. ¿Cuánto cuesta una naranja y una manzana? 3. Ofelia tiene 18 años más que su hijo. Hace un año, ella tenía tres veces la edad de su hijo. ¿Qué edad tienen en el presente?

4. El perímetro del rectángulo es de 160 m. Si ¼ del largo es igual al doble del ancho. Encuentra las dimensiones del rectángulo.

5. Un grupo de estudiantes de la vocacional 6 fueron a un concierto; pero solo había boletos para que algunos se sentaran hasta abajo y otros en medio del auditorio. El costo de los boletos eran de $70 hasta abajo y $90 en medio. Si asistieron 29 alumnos y gastaron $2250 en total ¿Cuántos alumnos se sentaron abajo y cuántos en medio?

6. La docena de rosas cuesta $20 y la de margaritas $18; ¿cuántas docenas se vendió de cada una si el jueves pasado se recolecto $992 con 51 docenas vendidas? 7. Si se quiere obtener 850g de una mezcla con el 5% de levadura y lo demás de harina, y solo se cuenta con una que tiene el 3% de levadura y otra con el 8.5% de levadura ¿Cuánto debiera utilizar de cada una? 8. Dos hermanos viven en dos ciudades diferentes separadas una distancia de 712.5 km., para evitar cansancio por el viaje tan largo deciden reunirse en una ciudad intermedia, en promedio el hermano menor maneja 5 km/hr. más rápido que el mayor ¿A qué velocidad promedio viajo cada uno si el mayor manejo 3 horas y el menor cuatro horas y media?

9. Por 100g. de tornillo y 3/4 Kg. de clavos se paga $ 8.35, y por 500 g. de clavos y 150 g. de tornillos se paga $ 6.90. ¿Cuál era el precio por kilogramo de cada uno?

10. Un sastre tiene 60 m2 de tela de algodón y 80 m2 de tela de lana. Para hacer un saco se necesitan 2m2 de tela de algodón y 4m2 de tela de lana. Para hacer un abrigo se necesitan 3m2 de tela de algodón y 2m2 de tela de lana. ¿Cuántos sacos y cuántos abrigos debe fabricar el sastre para obtener una utilidad máxima, si cada saco lo vende a $20 y cada abrigo a $30?

11. Se mezclan dos soluciones de alcohol, una al 8% y otra al 15%, ¿cuántos litros se deben mezclar de cada una para obtener 100 litros al 12.2%? 12. A partir de una solución salina al 26%, y otra al 73%, se quiere obtener una solución salina al 53%, ¿cuánto se debe utilizar de cada una para obtener un litro y cuarto? 13. ¿Cuántos litros de una solución con el 40% de alcohol, deben agregarse a otra solución con el 80% de alcohol, para obtener 30 litros de una nueva solución que tenga 70% de alcohol? 14. Un automóvil sale de la ciudad de México hacia la ciudad de Veracruz a una velocidad constante de 90 kilómetros por hora; dos horas después otro automóvil sale de la ciudad de Veracruz hacia la ciudad de México a una velocidad constante de 110 kilómetros por hora. ¿Cuánto tiempo pasará para que se encuentren los dos automóviles si ambas ciudades se encuentran a 450 kilómetros d distancia una de la otra?

15. En una cafetería se cuenta con 125 cucharadas de café y 60 de azúcar. Para hacer café cortado se necesitan 3 cucharadas de café y media de azúcar; para hacer café negro se requiere de una cucharada de café y una de azúcar, ¿Cuántos cafés de cada tipo debieran hacer para optimizar sus recursos?


~ 192 ~

ECUACIONES CUADRÁTICAS Introducción: Hasta ahora hemos trabajado con modelos que dan lugar a ecuaciones de primer grado, pero no todos los problemas caen dentro de este rubro, varias veces nos encontraremos con problemas que generen ecuaciones de segundo o mayor grado, aquí nos enfocaremos a las de segundo grado, dándonos así nociones para resolver ecuaciones de mayor complejidad. Por la facilidad y exactitud, preferimos trabajar con números fraccionarios y resolver las ecuaciones ya sea por factorización o completando el trinomio cuadrado perfecto, con esto no queremos decir que la aplicación de la fórmula general no sirva o de resultados erróneos, simplemente es manejar herramientas conocidas de la secundaria y que además nos va a facilitar mucho nuestro recorrido en los siguientes semestres donde se vuelve prioritario el manejo de estas herramientas. Aspectos teóricos: Daremos un repaso a resolver ecuaciones de segundo grado utilizando los métodos de factorización, completar el trinomio cuadrado perfecto y la fórmula general, cabe mencionar, que a diferencia de la factorización, al trabajar con ecuaciones, se debe tener el cuidado de que todo lo que se haga de un lado de la ecuación, también se debe hacer del otro lado. Además, recuérdese, que toda ecuación en realidad implica la existencia de dos variables, una que es la variable independiente (datos) y otra que es la variable dependiente (resultados), y por lo tanto, la posibilidad de graficarla. En realidad lo que se esta haciendo al resolver una ecuación es encontrar la abscisa a la que le corresponde una ordenada. Quizá el orden de los pasos o manera que lo vamos a presentar no se parezca a los conocimientos que tienes, pero al revisar todo completo, te darás cuenta que es lo mismo. ECUACIONES CUADRÁTICAS Una ecuación cuadrática en la variable x , es una expresión algebraica que puede escribirse de la forma

02 =++ cbxax , donde ba, y c son constantes y 0≠a Una ecuación cuadrática también se conoce como ecuación de segundo grado, debido a que la mayor potencia es la segunda. Toda ecuación cuadrática completa debe tener:

Término Término TérminoCuadratico Lineal Independiente

2ax bx c 0+ + =

Si no contienen el término lineal o el término independiente, se le conoce como ecuación cuadrática incompleta:

Término TérminoCuadratico Lineal

2ax bx 0+ =

Término TérminoCuadratico Independiente

2ax c 0+ =

Por ejemplo:

24x 3x 2 0− + = Ecuación cuadrática completa. 23x 6x 0− = Ecuación cuadrática sin término independiente

22x 18 0− = Ecuación cuadrática sin término lineal.


~ 193 ~

Es importante destacar que una ecuación cuadrática tiene dos posibles soluciones para la variable x , las cuales suelen llamarse raíces de la ecuación y éstas pueden ser dos raíces reales o no reales (complejas), o una sola raíz real. Para encontrar las raíces o soluciones de una ecuación cuadrática, se tienen tres métodos posibles que son:

- Factorización. - Completar trinomio cuadrado perfecto (TCP). - Formula general.

Se debe tener en cuenta que no todas las ecuaciones se pueden resolver factorizando, o completando el TCP, pero todas las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver aplicando la formula general. Para esto consideramos lo siguiente:

Para resolver una ecuación cuadrática se sugiere: - Ordenar en grado descendente e igualar con cero, teniendo en cuenta que el termino cuadrático siempre debe ser positivo ( )2ax bx c 0+ + = . - Se analiza la ecuación, para determinar si se le puede aplicar algunos de los métodos de factorización (trinomios cuadráticos, factor común o diferencia de cuadrados) y se procede a emplear el método más adecuado para su solución. - Si no se puede factorizar se emplea el método de completar trinomio cuadrado perfecto (TCP), si la ecuación es completa o sin término independiente. - En caso de ser sin termino lineal se despeja de la variable. - Se deben emplear las propiedades de valor absoluto y del factor cero. - En caso de que los valores de los coeficientes constantes (a , b y c ) sean muy grandes o muy pequeños se aplica el método de formula general. - Se comprueban todos los valores obtenidos en la ecuación original. - Se obtiene el conjunto solución. Propiedades del valor absoluto.

2x x= si

si 1

2

x k x 0x k

x k x 0= − <

= ⇔ = ≥

Propiedad del factor cero. Si a y b son números reales, entonces:

Si ab 0= , entonces a 0= o b 0= .


~ 194 ~

Método de completar TCP El método de completar el TCP se describe a continuación, puede parecer muy laborioso pero ya dominado cada uno de los pasos es más sencillo de aplicar.

2ax bx c 0+ + = Se acomoda en orden descendente, con el término cuadrático positivo e igualado a cero.

2ax bx c 0a a+ +

=

2ax bx c 0a a a

+ + =

2 b cx x 0a a

+ + =

Si a 1≠ , se divide entre este valor a ambos lados de la igualdad. Si es a 1= , esté paso se omite.

2 b c c cx x 0a a a a

+ + − = −

2 b cx xa a

+ = −

Se despeja el término independiente al lado derecho de la igualdad.

2

2 2

2

bb ba

2 2a 4a

= =

Se toma el coeficiente constante del término lineal, se divide entre dos y se eleva al cuadrado.

2 22

2 2

b b c bx xa a4a 4a

+ + = − + El valor obtenido se le suma a ambos lados de la igualdad, con esto se completa el TCP.

2 2

2

b b 4acx2a 4a

− + =

Factorizamos el TCP del lado izquierdo y realizamos las operaciones aritméticas del lado derecho.

2 2

2

b b 4acx2a 4a

− + =

Extrayendo raíz cuadrada a ambos la dos de la igualdad.

2b b 4acx2a 2a

−+ =

Aplicando las propiedades de valor absoluto.

2

1b b 4acx

2a 2a−

+ = − 2

2b b 4acx

2a 2a−

+ =

2

1b b b 4ac bx

2a 2a 2a 2a−

+ − = − − 2

2b b b 4ac bx

2a 2a 2a 2a−

+ − = − Despejando a la variable.

2

1b 4ac bx

2a− − −

= 2

2b 4ac bx

2a− −

=

2

1b b 4acx

2a− − −

= 2

2b b 4acx

2a− + −

= Acomodando términos

( ) ( )21 1a x b x c 0+ + = ( ) ( )2

2 2a x b x c 0+ + = Los valores obtenidos se comprueban en la ecuación original y si la igualdad se cumple se da el conjunto solución.

{ }Sol. 1 2x ,x=

Formula general. Observando los valores de 1x y 2x , obtenidos con el proceso de completar el TCP, tenemos que:

2

1b b 4acx

2a− − −

= y 2

2b b 4acx

2a− + −

=

Lo único que diferencia uno del otro es la operación que antecede al radical, por lo tanto, podemos unir ambos valores en una sola expresión.


~ 195 ~

2b b 4acx

2a− ± −

=

La cual conoceremos como la formula general para resolver ecuaciones cuadráticas. Para emplear esta fórmula, es importante recordar la jerarquía de operaciones que se establece en aritmética, para obtener el resultado correcto que satisface la ecuación. Ejemplos: Obtén el conjunto solución de las siguientes ecuaciones cuadráticas. 1. 22x 11x 12 0− + = Solución:

22x 11x 12 0− + =

El trinomio 22x 11x 12− + no es TCP porque 22x y 12 no tienen raíz cuadrada entera. Por lo tanto, empleamos el método del trinomio cuadrático donde a 1≠ .

( )mn 2 12 14= = m n 11+ = −

Buscamos una pareja de números que su producto sea 24 y su suma 11−

m n mn m n+ Al obtener las parejas que multiplicadas dan 24 , solo una de ellas nos da 11− , por lo tanto, m 3= − y n 8= − .

1− 24− 24 25− 2− 12− 24 14− 3− 8− 24 11− 4− 6− 24 10−

2

11x2x 3x 8x 12 0

−

− − + =

( ) ( )22x 3x 8x 12 0− + − + = ( ) ( )( )x 2x 3 4 2x 3 0− + − − =

( )( )2x 3 x 4 0− − =

Factorizando.

12x 3 0− = 2x 4 0− = Propiedad del factor cero.

12x 3=

13x2

=

2x 4= Despejando las variables.

23 32 11 12 02 2

− + =

9 332 12 04 2 − + =

9 33 24 02 2

− ++ =

9 9 02−

=

0 02=

( ) ( )22 4 11 4 12 0− + = ( )2 16 44 12 0− + =

32 32 0− =

Comprobamos los valores obtenidos.

0 0= 0 0= La igualdad se cumple, por lo tanto el conjunto solución es:

{ }Sol. 3 ,42

=

2. 24x 36 24x+ = − Solución:

24x 24x 36 0+ + = Ordenando en forma descendente, igualando con cero y con el termino cuadrático positivo.


~ 196 ~

( ) ( )( ) ( )2 2

2

2 2 x 62 x 6

4x 24x 36 0+ + =

Comprobamos que es un trinomio cuadrado perfecto

( )22x 6 0+ = Factorizando.

( )22x 6 0+ = Extraer raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad.

2x 6 0+ = 2x 6 0+ =

Aplicando la propiedad de valor absoluto.

2x 6= − x 3= −

Despejando la variable.

( ) ( )24 3 36 24 3− + = − − ( )4 9 36 72+ =

36 36 72+ =

Comprobando

72 72= La igualdad se cumple, por lo tanto, el conjunto solución es:

{ }Sol. 3= − 3. ( ) ( )3 2 x x x 2− + = + Solución:

26 3x x 2x− − = + 26 3x x 2x 0− − − − =

2x 5x 6 0− − − = ( )( ) ( )21 x 5x 6 0 1− − − − = −

2x 5x 6 0+ + =

Ordenando en forma descendente, igualando a cero y con el termino cuadrático positivo.

( )2

2

x

x 5x 6 0+ + =

Como 6 no tiene una raíz cuadrática entera el trinomio 2x 5x 6+ + no es un TCP, y procedemos a utilizar el método del trinomio cuadrático donde a 1= .

mn 6= m n 5+ =

Buscamos una pareja de números donde su producto sea 6 y su suma 5 .

m n mn m n+ Al obtener las parejas que multiplicadas dan 6 , solo una de ellas nos da 5 , por lo tanto m 2= y n 3= .

1 6 6 7 2 3 6 5

( )( )x 3 x 2 0+ + = Factorizando.

1x 3 0+ = 2x 2 0+ = Propiedad del factor cero.

1x 3= − 2x 2= − Despejando la variable.

( )( ) ( ) ( )( )3 2 3 3 3 2− + − = − − + ( ) ( )( )3 2 3 3 3 2− − = − − +

( ) ( )( )3 1 3 1− − = − −

( )( ) ( ) ( )( )3 2 2 2 2 2− + − = − − + ( ) ( )3 2 2 2 2 2− − = − − +

( ) ( )3 0 2 0− = −

Comprobando.


{ }Sol. 3, 2= − − 4. 2x 7 x= Solución:

2x 7 x 0− = Ordenando en forma descendente, igualando a cero y con el termino cuadrático positivo.

( )x x 7 0− = Factorizando el término común.

1x 0= 2x 7 0− = Propiedad del factor cero. 2x 7= Despejando la variable.

( ) ( )20 7 0= ( ) ( )27 7 7= Comprobando.

0 0= 49 49= La igualdad se cumple, por lo tanto, el conjunto solución es:


~ 197 ~

{ }Sol. 0,7= 5. 24x 49 0− = Solución:

( ) ( )2 2

2

2 x 7

4x 49 0− =

Se tiene una diferencia de cuadrados.

( )( )2x 7 2x 7 0+ − = Factorizando

12x 7 0+ = 22x 7 0− = Propiedad del factor cero.

12x 7= −

17x2

= −

22x 7=

27x2

=

Despejando las variables.

274 49 02

− − =

494 49 04

− =

49 49 0− =

274 49 02

− =

494 49 04

− =

49 49 0− =

Comprobando.


{ }Sol. 7 7,2 2

= −

6. 4 4xx

= −

Solución: 2 4 4x x= −

2 4 4 0x x+ − = Ordenando en forma descendente, con el termino cuadrático positivo e igualando a cero.

( )2

2 4 4 0x

x x+ − =

El trinomio 2 4 4x x+ − no es un TCP porque no hay un número que elevado al cuadrado de 4−

mn 4= − 4m n+ =

Buscamos una pareja de números que su producto sea -4 y su suma 4.

m n mn m n+ Observamos que no existe tal pareja por lo tanto no puede factorizarse y utilizaremos el método de completar un TCP.

1− 4 4− 3 2− 2 4− 0

2 4 4x x+ = Despejando el término independiente.

( )2

24 2 42

= =

Tomamos el coeficiente constante termino lineal, lo dividimos entre dos y se eleva al cuadrado.

2 4 4 4 4x x+ + = + Sumamos el valor obtenido a ambos lados de la igualdad.

( )22 8x + = Factorizamos el lado izquierdo y simplificamos le derecho.

( )22 8x + = Extrayendo raíz cuadrada a ambos lados

2 2 2x + = Aplicando las propiedades de valor absoluto y simplificando el radical.

1 2 2 2x + = − 2 2 2 2x + =

1 2 2 2x = − − 1 2 2 2x = − + Despejando las variables

( )42 2 2 4

2 1 2− − = −

− +

22 2 2 41 2

− − = − −+

( )2 4 1 22 2 21 2

− − +− − =

+

( )42 2 2 4

2 1 2− + = −

− −

22 2 2 41 2

− + = − −−

( )2 4 1 22 2 21 2

− − −− + =

−

Comprobando


~ 198 ~

2 4 4 22 2 21 2

− − −− − =

+

2 4 22 2 21 2− −

− − =+

6 4 2 1 22 2 21 2 1 2

− − −− − =

+ −

6 6 2 4 2 82 2 21 2

− + − +− − =

−

2 2 22 2 21

+− − =

−

2 4 4 22 2 21 2

− − +− + =

−

6 4 22 2 21 2− +

− + =−

6 4 2 1 22 2 21 2 1 2

− + +− + =

− +

6 6 2 4 2 82 2 21 2

− − + +− + =

−

2 2 22 2 21

−− + =

−

2 2 2 2 2 2− − = − − 2 2 2 2 2 2− + = − + La igualdad se cumple, por lo tanto, el conjunto solución es:

{ }Sol. 2 2 2 , 2 2 2= − − − −

7. 22x 4 x= + Solución:

22x x 4 0− − = Ordenando en grado descendente, con el término cuadrático positivo e igualándo a cero.

22x x 4 02 2− −

=

22x x 4 02 2 2

− − =

2 1x x 2 02

− − =

Dividiendo ambos lados de la ecuación entre el valor del coeficiente cuadrático.

2 1x x 22

− = Despejando el término independiente.

2

21

1 122 4 16

= =

Dividimos el valor del coeficiente del término lineal entre dos y lo elevamos al cuadrado.

2 1 1 1x x 22 16 16

− + = + Se suma el valor obtenido en ambos lados de la igualdad.

21 33x4 16

− =

Factorizamos el TCP del lado izquierdo y simplificando el lado derecho de la igualdad.

21 33x4 16

− =

Se extrae la raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad.

1 33x4 4

− = Aplicando las propiedades de valor absoluto.

11 33x4 4

− = − 21 33x4 4

− =

11 33x4 4

= −

11 33x

4−

=

21 33x4 4

= +

21 33x

4+

=

Despejamos la variable.

21 33 1 332 4

4 4 − −

= +

1 2 33 33 16 1 33216 4

− + + −=

21 33 1 332 4

4 4 + +

= +

1 2 33 33 16 1 33216 4

+ + + +=

Comprobando


~ 199 ~

34 2 33 17 338 4

− −=

( )2 17 33 17 338 4− −

=

34 2 33 17 338 4

+ +=

( )2 17 33 17 338 4+ +

=

17 33 17 334 4− −

= 17 33 17 334 4+ +

= La igualdad se cumple, por lo tanto, el conjunto solución es:

Sol. 1 33 1 33,4 4

− +=

8. 23x 7 0− = Solución:

23x 7 0− = No se puede factorizar como diferencia de cuadrados, porque 3 y 7 no tienen una raíz entera.

23x 7= 2 7x

3=


2 7x3

= Extrayendo la raíz cuadrada de ambos lados.

7x3

=

7 3x3 3

=

21x3

=

Aplicando las propiedades de valor absoluto y simplificando el radical.

121x3

= − 221x3

=

2213 7 03

− − =

213 7 09

− =

73 7 03 − =

7 7 0− =

2213 7 03

− =

213 7 09

− =

73 7 03 − =

7 7 0− =

Comprobando


Sol. 21 21,3 3

= −

9. ( )24x 25 8x 29= − Solución:

24x 200x 725= − 24x 200x 725 0− + =

Ordenando en grado descendente con el término cuadrático positivo e igualando a cero.

( )mn 4 725 2900= = m n 200+ = −

Buscamos dos parejas donde su producto sea 2900 y la suma -200

m n mn m n+ Observamos que ninguna pareja cumple con el requisito, por lo tanto no se puede factorizar y se emplea otro método.

2900− 1− 2900 2901− 1450− 2− 2900 1452− 725− 4− 2900 729− 145− 5− 2900 150−


~ 200 ~

29− 25− 2900 54−

2

a b c4 x 200 x 725 0− + =

Aplicamos el método fórmula general, porque al resolver este ejercicio por el método de completar TCP resulta laborioso.

( ) ( ) ( )( )( )

2200 200 4 4 725x2 4

− − ± − −=

Sustituyendo en la fórmula general.

200 40000 11600x8

± −=

200 28400x8

±=

200 20 71x8±

=

( )4 50 5 71x8±

=

50 5 71x2±

=

Realizando las operaciones.

150 5 71x

2−

=

15x 25 712

= −

250 5 71x

2+

=

25x 25 712

= +

Separando los dos valores

Comprobando: 25 54 25 71 25 8 25 71 29

2 2 − = − −

( ) ( )254 625 125 71 71 25 200 20 71 294

− + = − −

( )17754 625 125 71 25 171 20 714

− + = −

2500 500 71 1775 4275 500 71− + = − 4275 500 71 4275 500 71− = −

25 54 25 71 25 8 25 71 292 2

+ = + −

( ) ( )254 625 125 71 71 25 200 20 71 294

+ + = + −

( )17754 625 125 71 25 171 20 714

+ + = +

2500 500 71 1775 4275 500 71+ + = + 4275 500 71 4275 500 71+ = +

La igualdad se cumple, por lo tanto, el conjunto solución es:

{ }5 525 71,25 712 2

= − +Sol.

10. 20.3x 1.1x 0.7 0− − = Solución:

23 11 7x x 010 10 10

− − =

23x 11x 7 0− − =

Transformando la ecuación a entera, ordenando en forma descendente con el término cuadrático positivo e igualando a cero.

( )mn 3 7 21= − = − m n 11+ = −

Buscamos dos parejas donde su producto sea -21 y la suma -11

m n mn m n+ Observamos que ninguna pareja cumple con el requisito por lo tanto no se puede factorizar y analizamos otro método.

21− 1 21− 20− 7− 3 21− 4−

2

a b c3 x 11x 7 0− − =

Aplicamos el método fórmula general, porque para este ejercicio es laborioso el de completar TCP

( ) ( ) ( )( )( )

211 11 4 3 7x2 3

− − ± − − −=



~ 201 ~

11 121 84x6

± +=

11 205x6

±=


111 205x

6−

= 211 205x

6+

= Separando los dos valores

Comprobando: 2

11 205 11 2050.3 1.1 0.7 06 6

− −− − =

3 121 22 205 205 11 11 205 7 010 36 10 6 10

− + −− − =

121 11 205 41 121 11 205 7 0120 60 24 60 60 10

− + − + − =

121 205 242 84 0120

+ − −=

0 0120

=

0 0=

211 205 11 2050.3 1.1 0.7 0

6 6 + +

− − =

3 121 22 205 205 11 11 205 7 010 36 10 6 10

+ + +− − =

121 11 205 41 121 11 205 7 0120 60 24 60 60 10

+ + − − − =

121 205 242 84 0120

+ − −=

0 0120

=

0 0=


Sol. 11 205 11 205,6 6

− +=

Soluciones no reales de ecuaciones cuadráticas. No todas las ecuaciones cuadráticas dan como resultado números reales, también hay soluciones no reales, las cuales pueden ser soluciones imaginarias o complejas. Para entender este tipo de soluciones, es preciso conocer el conjunto de los números imaginarios y los números complejos. Números Imaginarios.- Es aquel número no real que se asocia con la unidad imaginaria 1i = − ; donde cada número imaginario puede escribirse como bi , donde b es un número real e i la unidad imaginaria. Con la propiedad de 2 1i = − . De lo anterior, se deduce que las raíz cuadrada de un numero negativo, se transforman en números imaginarios de la siguiente forma.

( )12 12 1− = − ( ) ( )212 2 3 1− = −

212 2 3 i− =

12 2 3 i− =

( )9 9 1− = − ( )29 3 1− = −

9 3i− =

Números Complejos.- El conjunto de los números complejos, es la unión de los conjuntos de números reales y los números imaginarios, escribiéndose de la forma:

a bi+ 2 4i−

4 3 15 i−


~ 202 ~

1 i3−

Donde a y b son números reales y diferentes de cero ( )0 0a ;b≠ ≠ e i la unidad imaginaria; siendo a la parte real y bi la parte imaginaria. El conjunto de los números complejos se denota por la letra .

Imaginarios

Ejemplos: Obtén el conjunto solución de las siguientes ecuaciones. 1. 225 4x 0+ = Solución:

225 4x 0+ = 24x 25 0+ =

Ordenando en grado descendente con el término cuadrático positivo e igualando a cero.

24x 25= − 2 25x

4= −

Despejando a la variable

2 25x4

= − Extrayendo raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad.

( )25x 14

= −

25x 14

= −

5x i2

=

Aplicando propiedades del valor absoluto y obteniendo el número imaginaria.

15x i2

= − 25x i2

=

2525 4 i 02

+ − =

22525 4 i 04

+ =

( )25 25 1 0+ − = 25 25 0− =

2525 4 i 02

+ =

22525 4 i 04

+ =

( )25 25 1 0+ − = 25 25 0− =

Comprobando


{ }Sol. 5 5i, i2 2

= − La ecuación tiene soluciones imaginarias.

2. 2x 4x 8 0− + = Solución:

( )2

2

x

x 4x 8 0− + =

El trinomio 2x 4x 8− + no es un TCP por que 8 no tiene raíz cuadrada entera, pero como a 1= , se verifica si se puede factorizar bajo este proceso.

mn 8= m n 4+ = −

Se busca una pareja de números que su producto sea -4 y su suma 8.

m n mn m n+ No existe tal pareja de números, por lo tanto procederemos a completar el trinomio cuadrado perfecto.

8− 1− 8 9− 4− 2− 8 6−


~ 203 ~

2x 4x 8− = − Despejando el término independiente

( )2

24 2 42

= =

Dividiendo el coeficiente del termino lineal entre dos y elevándolo al cuadrado.

2x 4x 4 8 4− + = − + Sumando el valor obtenido a ambos lados de la igualdad.

( )2x 2 4− = − Factorizando del lado izquierdo y realizando las operaciones del lado derecho.

( )2x 2 4− = − Extrayendo raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad.

( )x 2 4 1− = − ( )x 2 4 1− = −

x 2 2i− =

Aplicando las propiedades de valor absoluto y se obtiene el numero imaginario.

1x 2 2i− = − 2x 2 2i− =

1x 2 2i= − 2x 2 2i= + Despejando la variable.

( ) ( )22 2i 4 2 2i 8 0− − − + = 24 8i 4i 8 8i 8 0− + − + + = ( )4 4 1 0+ − =

4 4 0− =

( ) ( )22 2i 4 2 2i 8 0+ − + + = 24 8i 4i 8 8i 8 0+ + − − + = ( )4 4 1 0+ − =

4 4 0− =

Comprobando

0 0= 0 0= La igualdad se cumple Por lo tanto el conjunto solución es:

{ }Sol. 2 2i,2 2i= − + La ecuación tiene soluciones complejas. 3. ( )20.15x 0.02 x 2= − Solución:

( )23 1x x 220 50

= −

23 1 1x x20 50 25

= −

23 1 1x x 020 50 25

− + =

215x 2x 4 0− + =

Transformando la ecuación a entera, ordenando en forma descendente con el término cuadrático positivo e igualando a cero.

( )mn 15 4 60= = m n 2+ = −

Buscamos una pareja de números que su producto sea -90 y su suma -2.

m n mn m n+ No existe una pareja que cumpla con los requisitos, por lo tanto, emplearemos otro método para su solución.

60− 1− 60 61− 30− 2− 60 32− 20− 3− 60 23− 15− 4− 60 19− 12− 5− 60 17− 10− 6− 60 16−

2

ca b15 x 2 x 4 0− + =

Aplicando el método fórmula general, porque resolver este ejercicio por el método de completar TCP resulta laborioso.

( ) ( ) ( )( )( )

22 2 4 15 4x2 15

− − ± − −=


2 4 240x30

± −=

2 236x30

± −=



~ 204 ~

( )2 236 1x30

± −=

2 2 59 1x30

± −=

( )2 1 59 ix

30±

=

1 59 ix15

±=

Obteniendo el numero imaginario y simplificando el radical.

11 59 ix

15−

= 21 59 ix

15+

= Separamos los dos valores

Comprobando: 2

1 59 i 1 59 i0.15 0.02 215 15

− −= −

23 1 2 59 i 59 i 1 1 59 i 220 225 50 15

− + −= −

( )1 2 59 i 59 1 1 1 59 i 301500 50 15

− + − − −=

1 2 59 i 59 1 59 i 291500 50 15

− − − −=

2 59 i 58 59 i 291500 750

− − − −=

( )2 59 i 29 59 i 291500 750

− − − −=

59 i 29 59 i 29750 750

− − − −=

21 59 i 1 59 i0.15 0.02 2

15 15 + +

= −

23 1 2 59 i 59 i 1 1 59 i 220 225 50 15

+ + += −

( )1 2 59 i 59 1 1 1 59 i 301500 50 15

+ + − + −=

1 2 59 i 59 1 59 i 291500 50 15

+ − −=

2 59 i 58 59 i 291500 750

− −=

( )2 59 i 29 59 i 291500 750

− −=

59 i 29 59 i 29750 750

− −=


Sol. 1 59 i 1 59 i,15 15

− +=

La ecuación tiene soluciones complejas.

Solución de ecuaciones reducibles a cuadráticas. Hay ecuaciones que no son cuadráticas pero pueden reducirse a cuadráticas, mediante manipulaciones algebraicas o aplicando cambios de variables. Ejemplos: Obtén el conjunto solución de las siguientes ecuaciones, realizando las manipulaciones necesarias para reducirlas a cuadráticas. 1. 10 5x 3x 10 0+ − = Solución:

10 5x 3x 10 0+ − = ( )25 5x 3x 10 0+ − =

Al analizar la ecuación tenemos que ( )210 5x x= , por lo tanto cambiamos a 5x y= para realizar la transformación.

2y 3y 10 0+ − = Ordenando en grado descendente con el término cuadrático positivo e igualando a cero.

( )2

2

y

y 3y 10 0+ − =

El trinomio 2y 3y 10+ − no es un TCP, por lo tanto, se verificara si se puede factorizar como un trinomio de la forma a 1= .

mn 10= − m n 3+ =

Se busca una pareja de números que su producto sea -10 y su suma 3.


~ 205 ~

m n mn m n+ Observamos que 5 y -2 cumplen con las condiciones, así que procedemos a factorizar. 10 1− 10− 9

5 2− 10− 3 ( )( )y 5 y 2 0+ − = Factorizando.

1y 5 0+ = 2y 2 0− = Aplicando la propiedad de factor cero.

1y 5= − 2y 2= Despejando la variable. 51 1x y= 51x 5= −

51x 5= −

51x 5= −

52 2x y= 52x 2=

52x 2=

Obtenidos los valores de y , ahora obtenemos los de x .

( ) ( )10 55 55 3 5 10 0− + − − = ( ) ( )25 3 5 10 0− + − − =

25 15 10 0− − =

( ) ( )10 55 52 3 2 10 0+ − = ( ) ( )22 3 2 10 0+ − =

4 6 10 0+ − =

Comprobando los resultados obtenidos:


{ }Sol. 5 55 , 2= −

2. 6 3

1 9 8 0x x

+ + =

Solución:

6 3

1 9 8 0x x

+ + =

2

3 3

1 19 8 0x x

+ + =

Al analizar la ecuación tenemos que 2

6 3

1 1x x

=

,

por lo tanto cambiamos a 3

1 wx

= para realizar la

transformación.

2w 9w 8 0+ + = Ordenando en grado descendente con el término cuadrático positivo e igualando a cero. Resolvemos la ecuación completando el TCP

2w 9w 8+ = − Despejando el término independiente. 29 81

2 4 =

Tomamos el coeficiente del término lineal, se divide entre dos y se eleva al cuadrado.

2 81 81w 9w 84 4

+ + = − + Sumamos el valor obtenido a ambos lados de la igualdad.

29 32 81w2 4

− + + =

29 49w2 4

+ =

Factorizamos el TCP del lado izquierdo y realizamos las operaciones aritméticas del lado derecho.

29 49w2 4

+ =

Se extrae raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad.

9 7w2 2

+ = Se aplican las propiedades del valor absoluto.

19 7w2 2

+ = − 29 7w2 2

+ =

116w2

= −

1w 8= −

22w2

= −

2w 1= −


131

1 wx

= 232

1 wx

= Obteniendo los valores de x , sustituyendo el valor de w y despejando a x .


~ 206 ~

31

1 8x

= −

31

1x8

=−

33 31

1x8

= −

11x2

= −

32

1 1x

= −

32x 1= − 3 332x 1= −

2x 1= −

6 3

1 9 8 01 12 2

+ + = − −

1 9 8 01 1

64 8

+ + =−

64 72 8 0− + =

( ) ( )6 3

1 9 8 01 1

+ + =− −

1 9 8 01 1+ + =−

1 9 8 0− + =

Comprobando.


{ }Sol. 11,2

= − −

3. 2x 5 x 2 5+ + + = Solución:

( ) ( )2 22x 5 x 2 5+ + + =

2x 5 2 2x 5 x 2 x 2 5+ + + + + + = 3x 7 2 2x 5 x 2 5+ + + + = 2 2x 5 x 2 2 3x+ + = − −

( ) ( )2 22 2x 5 x 2 2 3x+ + = − −

( )( ) 24 2x 5 x 2 4 12x 9x+ + = + + 2 28x 36x 40 4 12x 9x+ + = + +

2x 24x 36 0− − =

Se simplifica la ecuación y ordenando en grado descendente con el término cuadrático positivo e igualando a cero.

2

a b c1x 24 x 36 0− − =

Se aplica la formula general para la resolución de la ecuación.

( ) ( ) ( )( )( )

224 24 4 1 36x2 1

− − ± − − −=

Sustituyendo en la fórmula

24 576 144x2

± +=

24 720x2

±=

24 12 5x2

±=

( )2 12 6 5x2±

=

x 12 6 5= ±


1x 12 6 5= − 2x 12 6 5= + Separando los resultados obtenidos.

Comprobación:

( )2 12 6 5 5 12 6 5 2 5− + + − + =

24 12 5 5 14 6 5 5− + + − =

( )2 12 6 5 5 12 6 5 2 5+ + + + + =

24 12 5 5 14 6 5 5+ + + + =


~ 207 ~

29 12 5 14 6 5 5− + − =

( ) ( )2 2

29 12 5 14 6 5 5− + − =

29 12 5 2 29 12 5 14 6 5 14 6 5 5− + − − + − =

43 18 5 2 29 12 5 14 6 5 5− + − − =

2 29 12 5 14 6 5 18 5 38− − = −

( ) ( )2 2

2 29 12 5 14 6 5 18 5 38− − = −

( )( )4 29 12 5 14 6 5 1620 1368 5 1444− − = − + 1624 1368 5 1440 3064 1368 5− + = −

3064 1368 5 3064 1368 5− = −

29 12 5 14 6 5 5+ + + =

( ) ( )2 2

29 12 5 14 6 5 5+ + + =

29 12 5 2 29 12 5 14 6 5 14 6 5 5+ + + + + + =

43 18 5 2 29 12 5 14 6 5 5+ + + + =

2 29 12 5 14 6 5 18 5 38+ + = +

( ) ( )2 2

2 29 12 5 14 6 5 18 5 38+ + = +

( )( )4 29 12 5 14 6 5 1620 1368 5 1444+ + = + + 1624 1368 5 1440 3064 1368 5+ + = +

3064 1368 5 3064 1368 5+ = +


{ }Sol. 12 6 5 ,12 6 5= − +

Ejercicio 1 para evidencia integradora: Obtén el conjunto solución de las siguientes ecuaciones, utilizando el método más apropiado para cada caso.

1. ( )x xx

− = −65 5 2.

x x+ + =2

6 19 0 3. x x= −24 4 55

4. 22 6 0x x+ − = 5. 29x 49 0− = 6. xx

= −23 1

7. x x+ + =2 4 7 0 8. x x− − =26 10 0 9. 2121 x 0− =

10. 23 x 7 05

− = 11. 213 x 0− = 12. 24x 25 0+ =

13. 2x 77 18x+ = 14. 21 3x 7+ = − 15. 20.5x 0.2x 0.07 0+ − =

16. 27 x 3x= − 17. 2x x= 18. ( ) 1x x 52

+ =

19. ( )2x x 6 18− = 20. x x− + + =2 1 3 3 21. x x x− + = +215 5 30 15 9

22. 5x 8 xx 1 x− −

=− +

7 42

23. 2x 10 x+ − + = −19 1 24. x x xx x x+ − −

= +− + +

3 5 1 5 11 7 7

PROBLEMAS DE APLICACIÓN No hay que perder el objetivo principal del curso, que es la problematización, cabe aclarar que el nivel matemático que se requiere para la solución de los problemas es el que ya se reviso, lo único que se va a explicar aquí va a ser el planteamiento, ya que a diferencia de los problemas aritméticos donde ya se conoce la fórmula y solo se debe sustituir; en los algebraicos, es necesario plantear la fórmula o modelo, auxiliándose de figuras. Ejemplos: 1. Se cuenta con 40 2m de pasto que se desean colocar alrededor de una estatua de base rectangular de 4 por 6 metros. Calcula el ancho uniforme que debe tener una franja de pasto alrededor de la estatua. Solución: Se obtienen los datos del ejercicio y se realiza un dibujo.


~ 208 ~

Datos: PA - Superficie de pasto 240m .

EA - Superficie de la estatua.

TA - Superficie total. Dimensiones dela base de la estatua 4 6 m× x - Ancho uniforme de la franja de pasto.

Del dibujo realizado, se observa que el área de la estatua, más el área del pasto da un área total cuyas dimensiones son:

T P EA A A= + ( )( ) ( )( )2x 6 2x 4 40 4 6+ + = +

Resolvemos la ecuación resultante aplicando lo aprendido con anterioridad.

24x 20x 24 40 24+ + = + 24x 20x 40+ = 2x 5x 10+ =

2 25 25x 5x 104 4

+ + = +

25 65x2 4

+ =

5 65x2 2

+ =

15 65x2 2

+ =

15 65x2 2

= − −

1x 6.53≈ −

25 65x2 2

+ =

25 65x2 2

= − +

2x 1.53≈ Como el valor calculado es una distancia, los valores negativos quedan descartados, por lo tanto, comprobamos que el valor positivo cumpla la igualdad.

( )( )5 65 5 652 6 2 4 40 4 62 2 2 2

− + + − + + = +

( )( )5 65 6 5 65 4 40 24− + + − + + = + ( )( )1 65 1 65 64+ − + =

1 65 64− + = 64 64=

Por lo tanto, el borde de pasto debe de medir 5 65 m2 2

− +

, que es aproximadamente 1.53m


~ 209 ~

2. Las dimensiones de un cuadro son 25 por 15 cm. Si la pintura ocupa 102 2cm de área, ¿cuál es el ancho del borde del marco? Solución: Se Obtienen los datos del ejercicio y se realiza un dibujo. Dimensiones del cuadro ( )25 15 cm× .

PA - Superficie de la pintura 2102cm .

MA - Superficie del marco.

CA - Superficie del marco. x - Ancho del borde del marco.

Del dibujo se observa que obteniendo las dimensiones de la pintura, se calcula el margen del marco, por lo tanto:

PA 102= ( )( )PA 25 2x 15 2x= − −

( )( )25 2x 15 2x 102− − =

Se resuelve la ecuación obtenida.

2375 80x 4x 102− − = 24x 80x 273 0− + =

( ) ( ) ( )( )( )

280 80 4 4 273x2 4

− − ± − −=

80 6400 4368x8

± −=

80 2032x8

±=

80 4 127x8

±=

( )4 20 127x8±

=

20 127x2

±=

120 127x

2−

=

1x 4.36≈

220 127x

2+

=

2x 15.63≈

Descartamos 2x porque la dimensión obtenida es mayor a la dimensión del cuadro, por lo que queda comprobar que 1x cumpla la igualdad de la ecuación.

20 127 20 12725 2 15 2 1022 2

− −− − =


~ 210 ~

( )( )5 127 5 127 102+ − + = 25 127 102− + =

102 102=

Por lo tanto el marco mide aproximadamente 4.36 cm . Ejercicio 2: 1.- El número D de diagonales de un polígono convexo de n lados está dado por D = (1/2) n (n – 3). ¿Cuántos lados tiene un polígono con 35 diagonales? 2.- Un cable de 10 metros de longitud, se utiliza para sostener a una antena; si la distancia de la base de la antena, al punto donde se fijo a la antena, es la misma distancia de la base de la antena al punto donde se fijo al piso. Calcula la altura de la antena si el cable se fija 2 metros abajo de la parte más alta de ella. 3.- La suma de los cuadrados de tres enteros consecutivos es 110, ¿cuáles son esos números? 4.- Encuentra tres enteros consecutivos tales que el cuadrado del tercero menos el cuadrado del primero es igual al doble del cuadrado del segundo. 5.- Dos hombres parten de un punto y caminan formando un ángulo recto; la velocidad de uno es 1 km./hr. mayor que la del otro. Después de una hora, la distancia entre ellos es de 5 km.; calcula la velocidad de cada hombre. 6.- Calcula el lado de un cuadrado, cuya diagonal es 5 cm. mayor que uno de los lados. 7.- Una de las dimensiones de un cuadrado se incrementa en 2 unidades, produciendo una figura que tiene 120 cm2 de área. Calcula las dimensiones de la figura original. 8.- Si la longitud de un lado de un cuadrado se aumenta en 4 m., el área del cuadrado se vuelve 9 veces mayor que el área inicial. ¿Cuál era el perímetro del cuadrado inicial? 9.- Un rectángulo tiene de largo 10 unidades más que el ancho con una superficie de 600 cm2. Calcula el perímetro. 10.- El área de un rectángulo es de 228 cm2; calcula el perímetro si el ancho es 7 unidades menor que el largo. 11.- Calcula el perímetro del rectángulo cuyo lado mayor es cinco unidades menor que el doble del lado menor, y su área es de 375 cm2. 12.- Calcula el perímetro de un rectángulo cuyo ancho es 6 unidades menor que el largo y tiene una superficie de 85 cm2. 13.- Un rectángulo tiene de largo 4 unidades más que el triple de su ancho y una superficie de 480 cm2, calcula el perímetro del mismo. 14.- Calcula el perímetro de un rectángulo que tiene un área de 500 cm2 y: a) Su largo es el cuádruplo de su ancho, b) Su ancho es la tercera parte de su largo, c) Su largo es 7 unidades más grande que el triple del ancho y d) Su ancho es 5 unidades mayor que la cuarta parte de su largo. 15.- Se quiere construir una alberca que tenga una superficie de 500 m2 y que su ancho sea la mitad de lo que mide el largo, al rededor de la alberca se quiere poner un pasillo de ancho uniforme de 2.5 metros. Calcula la superficie del pasillo. 16.- Se cuenta con 31 m2 de pasto que se desean colocar alrededor de una estatua de base rectangular de 3 por 8 metros. Calcula el ancho uniforme que debe tener una franja de pasto alrededor de la estatua.


~ 211 ~

17.- Una pintura tiene un marco de 20 por 12 cm. Si la pintura ocupa 84 cm2 de área, ¿cuál es el ancho del borde del marco?. 18.- En una hoja se quiere hacer un dibujo de tal forma que alrededor de el y entre el borde de la hoja quede un espacio de 3 cm. de ancho uniforme, calcula las dimensiones de la hoja y del dibujo si sabe que el largo de la hoja es 3 veces el ancho y la superficie del dibujo es de 400cm2. 19.- Una mujer quiere usar la cuarta parte de su patio rectangular que mide 4.8 por 10 m., para sembrar un jardín. Calcula con cuántos metros de malla de alambre lo debe cercar, si pretende que el largo del jardín sea 4m. mayor que su ancho? 20.- En un terreno cuyo ancho es la tercera parte del largo, se planea construir un edificio de tal forma que alrededor de él y entre el borde del terreno, quede un espacio de 12 m de ancho uniforme para áreas verdes, calcula la superficie que ocupara el edificio si la superficie del terreno es de 3,468 m2. 21.- Al rededor de una cancha de fútbol se desea dejar un espacio libre de 15m. de ancho uniforme para colocar gradas. Calcula las dimensiones del terreno así como la superficie destinada para gradas, si la cancha debe tener un ancho que sea la mitad del largo y tanto la cancha como gradas deben estar en un terreno de 11,900 m2. 22.- A una habitación de forma cuadrada se le quiere poner loseta en el piso, de tal forma que al rededor quede de color negro con 50 cm de ancho uniforme y en el parte interna de color blanco. Calcula las dimensiones del cuarto y la superficie que cubrió la loseta blanca, si la loseta negra cubrió una superficie de 25 m2. 23.- Un terreno cuyo largo era 20 unidades mayor al ancho, lo modifican en sus dimensiones para permitir que una calle principal pase por el frente y una secundaria por un costado, de tal forma que el largo se va disminuido en un 10% y el ancho en 4 unidades, quedando con una superficie de 360 m2, ¿Cuantos metros cuadrados le quitaron y que porcentaje representa del terreno original? 24.- Un artista va a pintar un mural de 60m2 en una pared que mide 18m. de largo por 11m. de alto. ¿Cuáles serían las dimensiones del mural, si se pretende dejar alrededor del mural, un borde de ancho uniforme?. 25.- Un salón de recepciones tiene forma cuadrada y se quiere colocar en el centro un tapete cuadrado dejando un pasillo alrededor de 2m. de ancho. Se sabe que el área del tapete mide 80m2 menos que el área del salón. ¿Cuánto mide el lado del salón? 26.- Al rededor de un transformador de alta potencia se acostumbra dejar una franja amarilla de ancho uniforme para avisar que no deben de pisar esa zona, de acuerdo a la potencia se sabe que la franja debe de ser de un ancho de un metro. Calcula las dimensiones del transformador si su largo es el triple del ancho, y el área que se pinto de amarillo es de l5 m2. 27.- Se desea construir una alberca que tenga una superficie de 240 m2 y que su ancho excede en 2 metros a la tercera parte de su largo. Alrededor de la alberca se quiere construir un pasillo con un ancho uniforme de 4 m. Calcula la superficie del pasillo. 28.- Alrededor de una alberca que tiene un largo que es el doble de sus ancho, se quiere poner un pasillo que tenga una superficie de 220 m2. con un ancho uniforme. Calcula este ancho si el terreno que incluye a la alberca y al pasillo tiene un a superficie de 558 m2. 29.- Alrededor de un mesa de 8m2, se deja una franja libre de 1.5 m. de ancho uniforme, para colocar sillas y permitir un movimiento libre para las personas; la mesa y la franja, ocupan un espacio que tiene de ancho la tercera parte del largo. Calcula las dimensiones de la mesa y el área de la franja libre. 30.- Dentro de un terreno de 1,675 m2 se construye una casa con un ancho que equivale a la tercera parte de su largo y con una franja de jardín de 2 m. de ancho uniforma entre ala casa y el borde del terreno. Calcula las dimensiones de la casa.

ACADEMIA DE MATEAMTICAS SOLUCION SKQ

A

SOLUCIONES

ACTIVIDAD 1 Ejercicio 1. R: 1) N. Primos, 2) N. Compuestos, 3) N. Naturales, 4) N. enteros, 5) N. Racionales, 6) Exactos, 7) Periódicos, 8) Aperiódicos, 9) N. Irracionales, 10) N. Reales, 11) N. Complejos. Ejercicio 2. R: 2) Decimales periódicos, 4) Números algebraicos, 6) Números compuestos, 8) Números trascendentales, 10) Números enteros, 12) Números naturales, 14) números fraccionarios. Ejercicio 3. R: 1) Uno, 2) Racionales, 3) Naturales, cero y simétricos de los naturales, 4) Cero, 5) Complejos, 6) Algebraicos y trascendentales, 7) negativos, 8) Imaginaria, 9) Exactos y Periódicos, 10) Primos. Ejercicio 4. R: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97. Ejercicio 5. R: 2-l, 4-k, 5-a, 6-b, 7-c, 8-j, 9-n, 10-h, 11-i, 13-d, 14-f, 15-m, 16-g, 17-ñ, 18-e. Ejercicio 6. R: a), c), e), g) y i) son primos y b), d), f), h) y j) no son primos. Ejercicio 7. R: a) 62 , b) ( )7 13 , c) ( )32 3 , d) ( )( )32 3 17 , e) ( )22 13 , f) ( )( )7 13 23 , g) ( )11 523 , h) ( )( )( )2 22 5 7 13 , i) ( )( )2 22 5 157 , j) ( )37 31 .

ACTIVIDAD 2 Ejercicio 1: R: 1) 8− , 2) 6 , 3) 10 , 4) 73− , 5) 683 , 6) 0 , 7) 194− , 8) 111 , 9) 439 , 10) 74− , 11) 168 , 12) 427 , 13) 5− , 14) 1 , 15) 1− . Ejercicio 2: R: 1) 20 , 2) 8 , 3) Primos relativos, 4) 11 , 5) 25 , 6) 2 . Ejercicio 3: R: 1) 160 , 2) 138 , 3) 360 , 4) 864 , 5) 70 , 6) 840 . Ejercicios 4:

R: 1) 97926

, 2) 54600Primos relativos

, 3) 1200Primos relativos

, 4) 1071003

, 5) 10080010

, 6) 117698

, 7) 3088800120

,

8) 166460005

.

ACTIVIDAD 3

Ejercicio 1:

R: 1) 2129

, 2) 12

, 3) 7415

, 4) 2524

, 5) 1985

, 6) 54

− , 7) 147244

− , 8) 2524

− , 9) 110

, 10) 23

− , 11) 4 , 12) 81 , 13) 43

,

14) 169

, 15) 5120

.


B

ACTIVIDAD 4

Ejercicio 1:

R: 1) 34 5 , 2) −53 3 , 3) 4 5 , 4) −74 2 , 5) −4 3 4 10 , 6) +11 5 17 2 , 7) −1 , 8) 2 , 9) 5 36

, 10) 9 ,

11) 4 35

, 12) 9 28

, 13) 3 , 14) 32 93

, 15) 35 46

, 16) 1 216

, 17) ( )+5 3 2 ,

18) ( )− + + +

− − +

1 15 5 5 3 2 1016

1615 5 5 3 2 10

, 19) ( )− +3 3 32 4 6 95

, 20) ( )

−+ +

+ −

33

33

16 49 6 7 131 3 49 15 7 43

118

.

ACTIVIDAD 5

Ejercicio 1: R: 1) .0 83 , 2) .2142857 , 3) .0 98 , 4) .4 38 , 5) .515 , 6) .0 23 , 7) .0 075 , 8) .1 45 , 9) .0 106 , 10) .0 009 , 11) .0 6 , 12) .0 075 , 13) .0 012 , 14) .1 2 , 15) .0102564 . Ejercicio 2:

R: 1) 14225

, 2) 533

, 3) 30160

, 4) 131000

, 5) 199

, 6) 4390

, 7) 163250

, 8) 38333

, 9) 239220

, 10) 239220

, 11) 17111

, 12) 4131650

,

13) 3110

, 14) 17

, 15) 1614950

.

Ejercicio 3: R: 1) 2 81. , 2) 15 57. , 3) 15 79. , 4) 18 55. , 5) 13 44. , 6) 11 2. , 7) 13 28. , 8) 5 19. , 9) 10 83. , 10) 8 72. , 11) 6 46. , 12) 8 10. , 13) 11 40. , 14) 18 60. , 15) 10 27. , 16) 2 44. , 17) 3 88. , 18) 12 72. , 19) 8 09. , 20) 9 64. , 21) 13 89. , 22) 16 31. , 23) 20 41. , 24) 23 56. , 25) 28 35. .

ACTIVIADA 6

Ejercicio 1:

R: 1) 7 34

− , 2) +3 3 515

, 3) −25 6 6630

, 4) +30 7 2135

, 5) π + −5 3 505

, 6) ππ

− −2 15 5 35

, 7) +60 e3e

,

8) +42 5 5e10

, 9) −2 7 7 37

, 10) −11 520

, 11) −1928

, 12) 310

, 13) 22 525

, 14) 185

, 15) 0 , 16) 2 5 2

6+

− ,

17) 73

, 18) −−

4 64

, 19) 5 , 20) 54

.

Ejercicio 2:

R: 1) 9 , 2) 49 , 3) −8 , 4) −24 , 5) 710

, 6) 10 , 7) 152

, 8) 425

.

ACTIVIDAD 7

Ejercicio 1: a) R: a) 0.07, b) 0.19, c) 0.22, d) 1.25, e) 0.0483, f) 0.0023, g) 0.000005, h) 0.000011. b) R: a) 23.4%, b) 5%, c) 275%, d) 142%, e) 80%, f) 0.05%, g) 103.3%, e) 0.101%.

c) R: a) 34

, b) 150

, c) 73200

, d) 183400

, e) 183100

, f) 4140

, g) 17

500000, h)

1400

.

d) R: a) 21%, b) 20%, c) 60%, d) 66.66%, e) 233.33%, f) 250%, g) 28.75%, h) 420%.


C

Ejercicio 2:

R: 1) 24100

, 625

, 24% ; 2) 0 40. , 40100

, 25

; 3) 0 8. , 80100

, 80% ; 4) 0 92. , 2325

, 92% ; 5) 185100

, 3720

, 185% ;

6) 0 09. , 9100

, 9% ; 7) 0 001. , 11000

, 0 1. % ; 8) 200100

, 21

, 200% ; 9) 2 5. , 52

, 250% ;

10) 0 9375. , 937510000

, 93 75. % ; 11) 3 14. , 314100

, 15750

; 12) 0 002. , 21000

, 1500

.

Ejercicio 3. R: 1) 112 10× , 2) 122 10 −× , 3) 71.44 10× , 4) 73 10 −× , 5) 51.6464 10 −× , 6) 47.68 10× . Ejercicio 4. R: 1) 22.68021, 2) 1151.83915 , 3) 0.1351 , 4) 108.143− , 5) 298.937735 , 6) 80.3485 , 7) 37.056− , 8) 3.553 , 9) 1.12 , 10) 0.1411 , 11) 84.2842 , 12) 10.0541 , 13) 3.6045 , 14) 16.322581 , 15) 4.62610899 , 16) 3 , 17) 4000 , 18) 118.88111888 , 19) 0.00025 , 20) 0.1093714285 .

ACTIVIDAD 8 Ejercicios: R: 1) a los 5040 segundos, 2) 5 cm, 3) a) 420 segundos. b) 15 veces, 4) 10 metros. b) 16 , 21y 10 trozos respectivamente., 5) en 20160 minutos, 6) en bolsas de 6 kg y se necesitan 16 bolsas, 7) Coinciden cada 21252 días, 8) 18 ,21y 19 escalones respectivamente, 9) $20 , 10) El bloque pesa 23 Kg y hay 7 , 11 y 9 pedazos respectivamente, 11) La capacidad del tanque es de 60 litros y se llena en 6 , 5 y 2 minutos respectivamente, 12) a) 140 Kg. b) 39 costales, 13) 1 cm, 14) 0.5 m, 15) 5 bombones por alumno, 16) 5 cm, 17) A los 660 segundos y 66 , 60 y 55 vueltas respectivamente, 18) El valor es de $50 y quedan 11trajes, 19) 11de febrero y 23 de marzo, 20) 175 2m .

ACTIVIDAD 9

Ejercicio 1:

R: 1) 3400

, 2) 109

, 3) 2 , 4) 38

.

Ejercicio 2. R: 1) $5880, 2) Se necesitan contratar 80 maestros, 3) a) Se cuenta con 47 trabajadores. b) Se despedirán 30 trabajadores, 4) Juan hace 175, Bety hace 105 y Luis hace 140 ejercicios cada uno,

5) Dueño: $980 Trabajadores: $1540 , 6) 7200 litros, 7) 2503

litros, 8) 12528

veces,

9) 845

Toneladas de combustible, 10) $130 , 11) 18 días, 12) 10 surtidores, 13) Se incrementa a 60 días,

14) Necesito contratar a 40 trabajadores, 15) 100 soldados, 16) 245

horas. 17) 6011

horas, 18) 613

hrs,

19) 9 horas con 20 minutos, 20) 457

hrs.

ACTIVIDAD 10

Ejercicios: R: 1) a) 31.92 , b) 1.752 , c) 0.5625 , d) 44.4444 , e) 0.2545 , f) 36.6667 , g) 28.57% , h) 15.38% , i) 301.78% ; 2) a) 26.67% , b) 20% , c) 23.33% , 3) En la tienda, 4) a) $19.89 , b) $15.92 , c) No hay diferencia, 5) No hay diferencia, 6), 7) $1237.5 ,


D

8) a) $649.69, b) $448.88, 9) a) $288.29 , b) $72.58 , 10) a) $1525 , b) $3050.01 , c) $6100.01 , d) $12200.03 .

ACTIVIDAD 11

R: 1) Alfredo, 2) 22 mililitros, 3) Ulises, 4) 21trozos, 5) a) 35 hojas, b) 104 hojas, 6) a) 15 Kg , b) A la mama, c) 80 Kg , 7) a) José con 28 palillos, b) 3.33% , 8) a) Segundo tianguis, b) 2275 naranjas, 9) a) Papa, b) 2 hrs 20 min (140 min), 10) a) 84 cajas, b) 70 cajas, 11) a) 75 crayones. b) 21crayones, 12) Dupont, 13) 17.14% , 14) a) 25 cajas. b) 32 cajas, 15) 72 frascos.

ACTIVIDAD 12

Ejercicios:

R: 1) 6 niñas, 2) 425

de la bolsa. b) 3275

de la bolsa, 3) 18 millones, 4) 20 meses, 5) 150 animales,

6) a) 13

del pastel el papá, 415

del pastel la mamá. b) El papá. c) 200 grs,

) Cena. c) $680 . d) $6250 , 11) a) 175 g. b) 28 g, 12) a) 200 l. b) 300 l., 13) a) Para descansar. b) 20 min. c) 2 am., 14) a) El primero. b) 2000 l. c) 900 ml., 15) a) 2880 libros. b) 882 libros. c) 600 libros. d) Se tienen más libros de Físico-Matemáticas.

ACTIVIDAD 13

Ejercicio 1: R: 1) Intervalo no acotado abierto a la derecha, 2) Intervalo acotado abierto, 3) Intervalo acotado semiabierto a la izquierda, 4) Intervalo acotado cerrado, 5) Intervalo no acotado cerrado a la izquierda, 6) Intervalo acotado semiabierto a la derecha, 7) Intervalo no acotado abierto a la izquierda, 8) Intervalo no acotado cerrado a la derecha, 9) Intervalo no acotado abierto. Ejercicio 2:

R: 1) ( )6 2,− , 6 2x− < < ; 2) 1 53

,

, 3) 1313

x< < , 4) [ )7 7,− , 5) 5 2x− ≤ < , 6) 13 14 2

, − −

, 7) ( ]2,−∞ − ,

8) 32

x ≤ , 9) [ ]4 2, , 4 2x− ≤ ≤ − ; 10) [ )3,− ∞ , 3x ≥ − ; 11) 174

x− < ≤ , 12) 142

, − , 14

2x− < ≤ ; 13) 1 6

2,

,

14) [ )2 4, , 2 4x≤ < ; 15) 1x ≥ . 2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

11)

13)

15)


E

ACTIVIDAD 14

Ejercicios:

R: 1) ( ),−∞ 1 , 2) [ ),∞4 , 3) ( ],−∞ 2 , 4) ( ],−∞ −2 , 5) [ ),− ∞36 , 6) , − ∞

209

, 7) ( ),−∞ 5 , 8) ( ),∞20 , 9) , −∞

457

,

10) , −∞

154

, 11) ( ),−2 4 , 12) ( ],8 20 , 13) [ ),−2 5 , 14) [ ],− −11 4 , 15) ( ),3 9 , 16) [ ),− −10 8 , 17) ( ),− −21 3 ,

18) [ ),−12 0 , 19) , 1 103 3

, 20) ( ),−2 10 , 21) ( ) ( ), ,−∞ ∪ ∞2 7 , 22) ( ),−∞ 1 , 23) [ ),− ∞3 , 24) ( ] [ ), ,−∞ − ∪ ∞2 3 ,

25) ( ),− ∞2 , 26) ,

902

, 27) ,

914

, 28) ∅ , 29) [ ),1 3 , 30) [ ),∞5 .

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

ACTIVIDAD 15

Ejercicios:

R: 1) { },−4 6 , 2) { },−4 8 , 3) { },−16 96 , 4) { },−2625

, 5) { }203

, 6) { },−2 0 , 7) { },− −334

, 8) { }−158

, 9) { }0 ,

10) { },2 83

, 11) [ ],−10 14 , 12) ( ) ( ), ,−∞ − ∪ ∞10 14 , 13) , −

5 13

, 14) ( ),−∞ ∞ , 15) ∅ , 16) ( ] [ ), ,−∞ − ∪ ∞21 3 ,

17) , − 3 22

, 18) , −

1733

, 19) ( ).−∞ ∞ , 20) ( ),− −24 18 .

11)

12)

13)

14)

15) 16)


F

17)

18)

19)

20)

ACTIVIDAD 16

Ejercicios:

R: 1) ( ] [ ), ,−∞ − ∪ ∞3 3 , 2) [ ],−4 4 , 3) , −

10 102 2

, 4) ( ) ( ), ,−∞ − ∪ ∞9 9 , 5) ( ) ( ), ,−∞ − ∪ ∞3 3 , 6) [ ],0 1 ,

7) ( ] [ ), ,−∞ ∪ ∞0 5 , 8) [ ],−4 0 , 9) ( ) ( ), ,−∞ − ∪ ∞7 0 , 10) ( ),0 2 , 11) [ ],3 5 , 12) ( ) ( ), ,−∞ − ∪ + ∞3 2 3 2 ,

13) , − + 1 5 1 5

2 2, 14) ( ),−4 2 , 15) ( ) ( ), ,−∞ ∪ ∞3 5 , 16) ( ] [ ), ,−∞ − ∪ ∞5 3 , 17) ( ),−4 3 , 18) ( ),1 4 ,

19) , , − +−∞ ∪ ∞

3 57 3 576 6

, 20) ( ] [ ), ,−∞ − ∪ − ∞6 1 .

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

INTRODUCCIÓN A LOS POLINOMIOS

Ejercicio 1: a) R: 1. M, 2. T, 3. M, 4. T, 5. T, 6. M. b) R: 1. P, 2. P, 3. M, 4. P, 5. M, 6. P, 7. M. Ejercicio 2: a) Coeficiente constante Grado absoluto Grado relativo 1. 21.4x 1.4 2° x 2− °

2. 1 xyz3

13

3° x 1− ° , y 1− ° y z 1− °

3. 3 a− 3− 1° a 1− °

4. 5r

5

15

5° r 5− °

5. 35y

9−

59

− 3° y 3− °


G

6. 2 43 x y

4− 3

4− 6° x 2− ° , yy 4− °

b) Grado absoluto Grado relativo 1. 3 4 2 2 5 4a rz 8r z 4z 9a r− + + − 9° a 5− ° , r 4− ° y z 4− ° 2. 3 25 t 6t 7t− + − 3° t 3− °

3. 3 2 3 23x y 25y 6x 7− + − 5° x 3− ° y y 3− °

4. 3 2 4 3 5a 3a b a b ab 10− + − − 7° a 4− ° y b 5− °

5. 2 3 3 2 41w u + u w 8w3

− − 5° u 3− ° y w 4−

6. 2 2 3 44a b 5 ab + b− 4° a 2− ° y b 4− °

c) R: 1. 3-2 x , 35 x ; 2. 2 27 xy w , 2 214 xy w ; 3. 3 23 xy− , 2 23 y x ; 4. w− , 3 w ; 5. 2a bc , 23b ac ;

6. 25 b , 26 b− . Ejercicio 3: a) R: 10A, 9B, 11C, 3D, 3E, 5F, 6G, 23H, 7I, 8J, 13K, 14L, 17M, 15N, 160, 22P, 21Q, 20R, 19S, 18T, 2U, 1V.

b) R: 1. x +3 52

, 2. x −123

, 3. ( )x y z+ +2 , 4. ( )x y−2 , 5. abc3 , 6. ab c+ 32 , 7. ( )a c+23 , 8. b a−2

,

9. ( )m n p+ +3 , 10. ( )a b−3 , 11. x y z+ + 2 , 12. ( )x + 32 4 , 13. xy

2

, 14. a b c+ + −2 2 2 3 , 15. a b−2 2

2,

16. ( )( )a b a b+ − , 17. xy

, 18. abc3 2 , 19. x y−32 , 20. a a+ −3 23 2 7 , 21. x y−2 3 , 22. ( )x − =25 84 ,

23. xx +22

, 24. ( )x x+ + =22 181, 25. ( )a b a ab b+ = + +2 2 22 , 26. ( )a b a a b ab b+ = + + +3 3 2 2 33 3 ,

27. ( )( )a b a b a ab b− = − + +3 3 2 2 .

POLINOMIOS

Ejercicio 1: R: 1. a +8 1, 2. xy− +18 3 , 3. x −7 4 , 4. t t− 25 3 , 5. r r− +24 12 , 6. y +24 9 , 7. a b−3 , 8. x y+5 , 9. a b c− − −4 3 , 10. t w z− + −11 5 2 , 11. pq p q+ −6 5 3 , 12. a ab b+ + +7 6 5 , 13. t w+ +4 8 , 14. w u− +4 ,

15. b a− +10 4 11, 16. x y+ −5 3 17 , 17. 0 , 18. x y mx x+ +2 26 9 , 19. t r e− − −73 6 93 , 20. x x− +217 45 46 ,

21. a −25 36 5

, 22. x y xy x y+ + +2 3 3 2107 5 3 9144 18 16 20

, 23. a b a b ab− + − +2 3 3 2188 4 4 1135 9 9 6

.

Ejercicio 2: R: 1. x x− +22 13 11 , 2. ab b a− − −2 26 12 4 9 , 3. ax− +17 3 , 4. m −6 2 , 5. xy x y+ − −2 221 14 7 9 .

6. x xy y+ −2 21 4 14 5 3

, 7. a a b ab a+ + −3 2 2 22 7 3 2 , 8. y z x− − +2 3 2 3 , 9. x ax bx bx− − − +4 3 22 7 4 ,

10. a ab b− −2 219 61 1730 30 30

.

Ejercicio 3: R: 1. x x+ − 23 7 8 , 2. y x xy− + −2 211 , 3. x x y y+ − −3 2 3 7 , 4. x x x x+ − − −3 2 49 4 10 , 5. a b c− + − ,

6. x xy y+ +2 21 18 18

, 7. x y z− + −2 2 244 135 94 , 8. a b ab+ −28 12 42 , 9. y x− + +16 35 5 , 10. a b c+ +2 2 23 5 38 6 4

.


H

Ejercicio 4:

R: 1. a b c3 4 1224 , 2. x y w− 8 5 9320

, 3. m n m n m n− − −3 4 4 5 5 58 12 20 , 4. a b c a b c a b c− − +2 4 2 5 2 3 410 15 20 ,

5. y y y y+ + −4 3 25 2 8 , 6. z wz w z w w− − + −4 3 2 2 3 42 5 4 10 3 , 7. x y xy y x xy y− + − + −2 2 3 2 22 7 3 4 14 6 ,

8. a a a a+ − − +4 3 24 8 4 , 9. m m n m n m n m n m n m n− + − + − − +8 7 2 6 5 4 3 7 3 5 8 3 63 12 27 5 35 45 ,

10) r s t r s t r s t r s t r t r s t s t− + − − − +8 2 4 6 5 2 5 8 9 3 4 7 2 12 2 9 4 1218 30 27 45 3 3 5 , 11. x x x x+ − − +4 3 21 8 82 82 3 3

,

12. y y+ −2 15 134 3

.

Ejercicio 5:

R: 1. ab443

, 2. b y− 23 , 3. yz x xz− +24 3 , 4. ab a c b c+ −2 2 3 34 3 , 5. ( )( ) ( )x x x x x x− + − + + + − −2 3 22 3 1 3 3 3 ,

6. ( )( )a a a a− + − +2 35 5 2 , 7. ( )( ) ( )m m m m− − + + − +2 3 2 6 8 14 18 , 8. ( )( )x y x xy y− + +2 22 4 2 ,

9. ( )( ) ( )y b y by b b+ − − + −2 2 2 2 4 , 10. ( )( )x y x x y xy y− − + − +2 2 2 32 3 3 12 36 . Ejercicio 6: R: 1. ( )( ) ( )x x x− + + +22 2 6 7 , 2. ( )( )y y y− − +3 23 4 , 3. ( )( ) ( )t t t− + + +24 5 16 64 271 ,

4. ( )( ) ( )w w w w− − + + +3 25 2 3 16 90 , 5. ( )( )p p p p p p p p+ − + − + − + −7 6 5 4 3 21 2 2 2 2 ,

6. ( )( )m m m m m+ − + − +4 3 22 2 4 8 16 , 7. ( )( )x x x− + −23 3 10 , 8. ( )( ) ( )a a a+ − + + −24 3 16 47 160 , 9. ( )( )n n n n− + + +3 23 6 11 6 , 10. ( )( ) ( )y y y− + + +22 3 5 30 . Ejercicio 7: R: 1. a) y y y y y y− − + + − +4 3 2 6 7 510 11 3 10 3 17 , b) y y y y− + +3 4 28 6 ,

c) ( )( ) ( )y y y y y y y y y y− − − − − − − − + − −3 2 8 7 3 2 23 6 3 52 211 939 4083 17883 24498 ,

d) y y y y y y+ + + + −4 3 2 7 5 614 13 3 3 17 10 , e) ( )( ) ( )y y y y y y− − + + +3 2 23 6 1 4 6 .

2. a) x x x− − + −3 27 9 9 5 , b) ( )( ) ( )x x x x x x x x− + + + + + − −3 2 3 2 27 2 5 45 270 1779 11921 3613 50 , c) x x x x x x− + + − + − +6 5 4 3 230 31 38 18 2 73 84 , d) x x x− + + −3 29 21 5 19 , e) x x x x x x− + + − − −6 5 4 3 25 35 7 36 74 16 9. 3. a) a a a+ + −3 25 7 4 21, b) ( )( ) ( )a a a a a a a− + + − + + − − −3 3 2 23 10 9 48 5 8 510 18 66 ,

c) a a a a a a− − + + − + −6 5 4 3 210 14 62 127 350 66 102 , d) a a a a a− + + − − +3 2 215 3 6 7 12 ,

e) ( )( ) ( )a a a a a a a− + + − + + − − −3 3 2 23 10 9 48 5 8 510 18 66 . 4. a) y y y y− + − −5 3 24 12 2 7 ,

b) ( )( ) ( )y y y y y y y y y− + − − − − + + − + + −4 2 4 3 2 3 25 6 6 40 55 202 280 809 1738 1188 1671 ,

c) y y y y y y y y y− − − + + − − + − −9 8 7 6 5 4 3 213 41 11 19 87 60 77 42 45 ,

d) ( )( ) ( )y y y y y y y y− − − + + + + + −4 3 2 3 26 3 3 7 13 87 41 35 82 ,

e) ( ) ( ) ( )y y y y y y y y y y y y− − − + − − − + − + + + − + +5 4 3 2 3 2 4 3 27 6 3 7 30 172 1025 6103 36328 37949 7971 11133 42720 .

5. a) b b b− − +3 22 4 9 11, b) ( )( ) ( )b b b b b− + − + + −2 210 4 16 37 219 350 , c) b b b b b− − − − −5 4 3 22 3 35 34 20 , d) ( )( ) ( )b b b b− + + + − −2 3 15 4 7 41 117 , e) ( )( ) ( )b b b b b+ + − + + −2 25 6 31 18 151 50 .

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN

Ejercicio 1: R: 1. ( )2 34x x 3x 5− − , 2. ( )2 23ab a b 2ab 4− + , 3. ( )4mn m 3 2n 4mn− + − , 4. ( )x y xy y− +2 2 24 1 2 4 ,

5. ( )a b ab a b− − +2 2 25 4 3 7 , 6. ( )xy x xy y− + −218 24 12 1 , 7. ( )m m n m n n− + −2 33 3 4 15 8 ,


I

8. ( )m m mx x− −2 2 27 5 3 2 , 9. ( ) ( )x y x y 2 + − + , 10. ( ) ( ) ( )[ ]a 1 a 2 a 1− + − − , 11. ( )( )r s 4x 3y− − ,

12. ( )( )2 2 2x y x y x y− + . Ejercicio 2: R: 1. ( )( )a b b c+ −2 , 2. ( )( )x y x+ −2 2 , 3. ( )( )x y x w− + , 4. ( )( )m m− −22 3 , 5. ( )( )x y y w− −3 2 ,

6. ( )( )2x 7a x y− − , 7. ( )( )2x 3 x 2y+ − , 8. ( )( )2ab 3 b 1− + , 9. ( )( )2x y w x 1+ − − , 10. ( )( )n 2m 8 c d− + − ,

11. ( )( )2a 5b 3a 2c− − . Ejercicio 3: R: 1. x x−2 3 , 2. 3 3x y− , 3. x− −2 4 , 4. 2 2w z− − , 5. x y− 2 61 , 6. 4 3 5 9x y z− − . Ejercicio 4: R: 1. y x−4 225 9 , 2. x y−8 8 , 3. b a−2 44 9 , 4. x y x y−2 2 4 449 4 , 5. x y−4 4 , 6. y x−4 94 81 . Ejercicio 5: R: 1. ( )( )x y x y− +2 2 , 2. ( )( )y y− +4 3 4 3 , 3. ( )( )y y− +4 47 7 , 4. ( )( )a b a b− +2 2 2 210 9 10 9 ,

5. ( )[ ] ( )[ ]a b a b− − − +1 1 , 6. ( ) ( )xy w xy w − − + − 2 21 1 , 7. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]b c d b c d+ − − + + −1 1 ,

8. ( ) ( ) ( ) ( )x y r s x y r s − − − − + − . Ejercicio 6: R: 1. ( )( )( )( )( )x x x x x+ + + + −8 4 21 1 1 1 1 . 2. ( )( )( )x x x+ + −4 2 29 3 3 , 3. ( )( )( )a b a b a b+ + −4 2 2 24 2 2 , 4. ( )( )( )p p p+ + −24 25 2 5 2 5 . Ejercicio 7: R: 1. y y− −2 7 60 , 2. w w+ −2 6 16 , 3. t t− −2 2 63 , 4. x x− +2 13 40 . 5. a a− +2 19 90 , 6. y y− −4 25 6 , 7. h h− −6 3 12 , 8. n n− −2 2 24 , 9. y y+ −2 2 15 , 10. x x− +2 10 9 , 11. a a− +4 211 30 , 12. x y xy− +2 4 217 72 , 13. x y x y+ +4 6 2 310 25 , 14. a a− +2 18 81. Ejercicio 8: R: 1. 10, 2. 16, 3. 6, 4. -4, 5. -10, 6. 2, 7. 5, 8. -7. Ejercicio 9: R: 1. 26x 11x 3+ + , 2. 22w 11w 12+ + , 3. 210x 4x 6− − + , 4. 212x 67 x 90+ + , 5. 249x 42x 9− + , 6. 4 24x 12x 9− + . Ejercicio 10: R: 1. 10, 2. -28, 3. -28, 4. -28, 5. -2. Ejercicio 11: R: 1. 4 2 3 69x 24x y 16y− + , 2. 2 281w 36yw 4y+ + , 3. 4 3 249x 42x 9x− + , 4. 2 2x y 6xy 9+ + , 5. 4 2 2 4x 2x y y+ + , 6. 4 6 5 5 6 44x y 12x y 9x y− + , 7. 8 4 4 8x 2x y y− + , 8. 2 2 4 41 2x y x y− + . Ejercicio 12: R: 1. 4 3 2x 2x 3x 2x 1+ + + + , 2. 6 4 3 29x 24x 18x 16x 24x 9+ + + + + , 3. 4 2 2 4 2 2 3 3 3 2 2 3x y 4x y x y 4x y 2x y 4x y+ + − − + , 4. 6 6 6 3 3 3 3 3 3a b c 2a b 2a c 2b c+ + − + − . Ejercicio 13: R: 1. ( )23x 1+ , 2. ( )22x 3y+ , 3. ( )24a 5b− , 4. ( )27w 2r+ , 5. ( )24a 9b− , 6. ( )210h 7k− , 7. ( )2x 2y+ ,

8. ( )22w 9t− .


J

Ejercicio 14: R: 1. ( )( )a 9 a 8+ + , 2. ( )( )y 6 y 2− − , 3. ( )( )x 5 x 2− + , 4. ( )( )p 12 p 3+ − , 5. ( )( )x 15 x 5− − ,

6. ( )( )x 12 x 11+ − . Ejercicio 15: R: 1. 5, 2. -2, 3. -9, 4. -8, 5. -8, 6. 6. Ejercicio 16: R: 1. ( )( )x x− +3 2 2 4 , 2. ( )( )x x+ +2 2 1 , 3. ( )( )x x+ +4 26 1 , 4. ( )( )x x+ −3 5 3 1 , 5. ( )( )x x+ −3 1 2 , 6. ( )( )x x− −3 2 5 3 , 7. ( )( )x x− −5 2 1 , 8. ( )( )3x 1 2x 3+ + , 9. ( )( )4y 1 3y 5− + , 10. ( )( )2 24w 3 2w 1− + ,

11. ( )( )x x− +3 3 5 , 12. ( )( )x y 3x y+ − , 13. ( )( )2x 3y x 3y+ − , 14. ( )( )a 4b 4a 3b− − , 15. ( )( )4v 3w v 3w+ + ,

16. ( )( )x x− +2 3 5 . Ejercicio 17: R: 1. Irreducible, 2. ( )( )2x 3 3x 2− + , 3. ( )22x 1− , 4. ( )( )a 7 a 10− − , 5. ( )( )5a 2 3a 4+ + , 6. ( )27 4w− , 7. Irreducible, 8. ( )( )x 7 x 6+ − , 9. Irreducible, 10. ( )( )y 8 y 5− + , 11. ( )2y 3+ , 12. ( )( )2b 7 b 2+ − ,

13. ( )( )w 4 w 3+ + , 14. ( )25 t+ , 15. Irreducible, 16. ( )( )y 5 4y 3− − . Ejercicio 18: R: 1. 3x 1+ , 2. 3y 125− , 3. 9 627b 8a+ , 4. 3 38 p 27q− , 5. 9 3 6x y 8w− , 6. 9t 64+ . Ejercicio 19: R: 1. ( )( )22 x 4 2x x+ − + , 2. ( )( )21 3y 1 3y 9y− + + , 3. ( )( )2 2 2 25w 4r 25w 20r w 16r− + + ,

4. ( )( )26 p 7 36 p 42 p 49+ − + , 5. ( )( )3 2 6 3 2 49m w 81m 9m w w+ − + , 6. ( )( )2 4 4 2 4 810x y 100x 10x y y− + + . Ejercicio 20: R: 1. 6 5 4 3x 6x 12x 8x+ + + , 2. 3 3 4 5 6x y 3x y 3x y x− + − , 3. 6 2 4 4 2 6y 9x y 27 x y 27 x− + − + , 4. 3 6 4 5 5 4 6 364a b 96a b 48a b 8a b− − − − , 5. 6 9 7 8 8 7 9 68x y 36x y 54x y 27 x y− + − . Ejercicio 21:

R: 1. ( )3a 1− , 2. ( )35a 3b+ , 3. ( )32 32x 7y− , 4. ( )324 w− , 5. ( )3ab 6+ . Ejercicio 22: R: 1. c; 2. b); 3. d); 4. a); 5. d); 6. a); 7. d); 8. b); 9. c) y 10. d). Ejercicio 23: R: 1. ( )( )3a x 1 x 1− + , 2. ( )( )a x 7 x 4− + , 3. ( )( )( )2x 2 x 2 x 1− + + , 4. ( )( )25a a 1 a a 1+ − + , 5. ( )( )( )2n 9 n 3 n 3+ + − , 6. ( ) ( )2 2x y w x y w − − − + , 7. ( )[ ] ( )[ ]a b 4 a b 4+ − + + , 8. ( )( )( )1 my 1 y 1 y+ − + ,

9. ( )[ ] ( )[ ]a b c a b c− − − + , 10. ( )( )( )2x x 1 x 1 x 1+ − + , 11. ( ) ( )2 2x y x xy y x y − + + − − ,

12. ( )( )( )( )4 21 a 1 a 1 a 1 a+ + + − , 13. ( )( )( )( )2 2a 1 a 1 a a 1 a a 1− + + + − + , 14. ( )( )[ ]2a b a b− + , 15. ( )( )( )a a 2 a 1 a 1+ − + , 16. ( )( )( )a a 1 a 3 a 3+ − + . 17. ( )[ ] ( )[ ]1 a x 1 a x− − + − , 18. ( )[ ] ( )[ ]1 a 3n 1 a 3n− + + + . Ejercicio 24: R: 1. ( )( )( )x x x− + +1 1 5 1 , 2. ( )( )( )x x x+ + −1 2 3 , 3. ( )( )( )x x x− + +2 2 5 , 4. ( )( )x x x+ + +25 1 , 5. ( )( )( )( )x x x x x+ − + + +21 3 2 1 , 6. ( )( )2x 4 x 5x 1− + − , 7. ( )( )2x 2 5x x 6− + + , 8. ( )( )( )x 3 2x 1 3x 1+ − + , 9. ( )( )( )x 1 x 3 x 2+ + − , 10. ( )( )( )3x 1 x 1 x 2x 3+ − − + , 11. ( )( )2x 5 x x 1− + + , 12. ( )( )( )( )x 1 x 2 2x 3 5x 2+ − + − , 13. ( )( )( )x 2 x 3 2x 5− − + .


K

Ejercicio 25: R: 1. 3 2 460a b c , 2. 4 3600x y z , 3. 2 2 42240a b c , 4. ( )( )22x x 2y x 2y+ − , 5. ( )( )( )x 2 x 1 x 3+ − − ,

6. ( )( )( )2 2x x 1 x 1 x 1− + − + , 7. ( )( )( )( )2x 2 x 2 x 3 x 2x 4+ − − + + , 8. ( )( )( )y 1 2y 1 2y 1+ + − .

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Ejercicio 1:

R: 1. 2y3x

, 2. 2

2 2

9b16a c

, 3. 3 2

2 7

2q r3 p x

, 4. xy 1−

, 5. ab 3

−+

, 6. 2xyx y−

, 7. c 3c 2−

−+

, 8. x 42x− , 9.

2 2x xy yx y+ ++

,

10. a 1a 3++

, 11. x yx y−+

, 12. x y ax y a− ++ +

, 13. x a bx a b− ++ +

, 14. ( )

2

2

x x 1x 1+ +

+, 15. 3y x

3y 2x−−

.

Ejercicio 2:

R: 1. 2a 4b 1315− − , 2. x 1

x+ , 3.

2

2

5x 2x 13x 9− −−

, 4. 2 2

y xx xy y

+−

+ +.

Ejercicio 3:

R: 1. 3 2

2

x x x 1x 1− − −

−, 2.

22xx y−

, 3. ( )

2 2

2

2a ba b

−−

.

Ejercicio 4:

R: 1. b20

, 2. 4a 2

−−

, 3. 1x y−

, 4. 1x 1+

, 5. ( )

( )( )

2

2

3 r r 8r 5 r 1

+ −

− +, 6.

( )( )

212x 17 x 83 x 2 x 1

− −− +

, 7. ( )

2x 32 x 1

−−

+, 8.

( )( )u 7

u 3 u 1+

− −,

9. ( )( )( )

69a8 a 1 a 4 a 2+ + −

, 10. ( )

( )( )

2 22 x yx x y x y

+−

− +, 11.

( )( )( )( )

22 3x 7 x 72x 1 x 3 x 2

− ++ − −

, 12. 4

2bcxay

, 13. ( )( )

2 a 13 a 5

−+

,

14. x 42x 3

++

, 15. ( )( )( )( )( )( )

23x 4 2x 9 x 36x 1 x 1 x 36

+ + −− + +

, 16. ( )( )( )( )x 1 y 1x 1 y 1− ++ −

, 17. ( )( )

1a 3 a 1+ +

, 18. ( )( )

x 1x 3 x 3

++ −

,

19. ( )( )x 5y x 6y

x 2y− −

+, 20. a 7

a 5++

, 21. 2

3

20aby3cw

, 22. ( )3x x 2x 5

−+

, 23. 3x 4y+ ,

24. ( )( )( )( )

( )( )( )24y 3 y 5 4y 5 3y 1

y 2 y 2 5y 2− + + −

− + −, 25.

( )( )( )( )

2 x 2y x 2yx 3y x 2y

+ −− −

, 26. mn

, 27. 2 2x yxy+ , 28.

( )( )( )

2a 1a 3 a 5

++ +

,

29. 2

xx 2+

, 30. ( )

( )

2

2 2

4x 3y2 16x 12xy 9y

+

+ +.

Ejercicio 5:

R: 1. 2

2

x 2x 1x 1+ −

+, 2. 2 2

4xyx y+

, 3. ( )

y2 x y+

, 4. x y− , 5. 2a1 a b− +

, 6 1x y+

.

ECUACIONES LINEALES

Ejercicio 1:

R: 1. { }6sol. = , 2. { }2−sol. = , 3. { }3sol. = , 4. { }3sol. = , 5. sol. = , 6. { }66sol. = , 7. { }710

−sol. = ,

8. { }537

sol. = , 9. { }85

sol. = , 10. { }2−sol. = , 11. sol. =∅ , 12. { }54

sol. = , 13. { }sol. = 12

− ,

14. { }sol. = 2− − , 15. { }9sol. = , 16. { }9sol. = , 17. { }398

sol. = , 18. sol. =∅ , 19. { }sol. = 2,2− − ,

20. { }∅sol. = .


L

Ejercicio 2: R: 1. R: 23, 24, 25, 2. R: 25, 16, 20, 3. R: 27, 52, 65, 4. R: 165, 155, 178, 5. R: 55, 60, 87, 6. R: 16, 12, 5, 7. R: 23, 43 y 28, 8. R: 37, 41, 45, 9. R: $253, 10. R: 120, 60, 40, 11. R: 12, 10, 4; $78.20, 12. R: 19/2 m, 13. R: 121 cm, 14. R: 35 y 50 km/hr, 15. R: 392 y 304 km, 16. R: Si lo alcanza, 17. R: No escapa, 18. R: 29 km./hr, 19. R: 48 km./hr, 20. R: 0.86, 21. R: 15 lt, 22. R: 7/6 lt, 23. R: 10 lt, 24. R: 55/13 lt, 25. R: 8/3 lt, 26. R: 2/31 lt, 27. R: 21/160 lt, 28. R 8, 29. R: 3.75 lt, 30. R:1.56 lt.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Ejercicio 1: R: 1. ( ){ }Sol.= 4,2 , 2. { }Sol.= ∅ , 3. ( ){ }Sol.= x,x 4− , 4. ( ){ }Sol.= x,3x 3+ , 5. ( ){ }Sol.= 4,3 , 6. { }Sol.= ∅ . 1.

2.

3.

4.

5.

6.

Ejercicio 2: R: 1. 29− , 2. 50− , 3. 28 , 4. 7 . Ejercicio 3: R: 1. 7 , 2. 44− , 3. 171− , 4. 847 . Ejercicio 4:

R: 1. ( ){ }Sol.= 3,1 , 2. Sol.= 2 7x, x5 10

−

, 3. Sol.= 3 2,4 5

, 4. { }Sol.= ∅ , 5. Sol.= 6 9x, x5 5

+

,

6. ( ){ }Sol.= 7 , 3− − , 7. { }Sol.= ∅ , 8. Sol.= 5 5,21 28

, 9. { }Sol.= ∅ , 10.Sol.= 53 89,23 92

−

, 11. ( ){ }Sol.= 2,1− ,

12. Sol.= 9 1x, x2 6

−

, 13.Sol.= 24 225,17 34

− −

, 14. { }Sol.= ∅ , 15. ( ){ }Sol.= x,2x 4− , 16. ( ){ }Sol.= 3,2 ,

17. ( ){ }Sol.= 2,4,5 , 18. ( ){ }Sol.= 8, 5, 2− − , 19. Sol.= 1 ,3,52

, 20.Sol.= 39 125 17, ,8 16 2

− − −

.

Ejercicio 5:

R: 1. ( ){ }Sol.= 4,9 , 2. Sol.= 48 56,181 181

− −

, 3. Sol.= 26 148,29 29

−

.


M

Ejercicio 6:

R: 1. ( ){ }Sol.= 2,3 , 2. Sol.= 33 44,4 19

−

.

Ejercicio 7:

R: 1. 69 y 81, 2. $2 y 12$5

, 3. 28 y 10, 4. 6409

y 809

, 5. 18 y 11, 6. 37 y 14, 7. 5950/11 y 3400/11 gr,

8. 97 y 92 km./hr, 9. 16 y 9, 10. 10 sacos y 20 abrigos, 11. 40y 60, 12. 53188

y 135188

, 13. 152

y 452

,

14. 6720

y 2720

, 15. 26 y 47.

ECUACIONES CUADRATICAS

Ejercicio 1:

R: 1. { }sol. 6,5= − , 2. { }sol. 13

= − , 3. { }sol. 52

= , 4. { }sol. 32,2

= − , 5. { }sol. 7 7,3 3

= − , 6. { }sol. 21,3

= − ,

7. { }sol. 2 3 i, 2 3 i= − − − + , 8. { }sol. 3 i,3 i= − + , 9. { }sol. 11,11= − , 10. sol. 105 105,3 3

= −

,

11. { }sol. 13, 13= − , 12. { }sol. 5 5i, i2 2

= − , 13. { }sol. 7 ,11= , 14. sol. 2 6 2 6i, i3 3

= −

,

15. sol. 2 3 2 2 3 2,10 10

+ − += −

, 16. { }sol. 3 ,07

= − , 17. { }sol. 0,1= , 18. sol. 5 3 3 5 3 3,2 2

+ − += −

.

19. { }sol. 3 3 2 ,3 3 2= − + , 20. { }sol. 1= , 21. sol. 21 1641 21 1641,30 30

+ − += −

, 22. { }sol. 54,2

= .

23. { }sol. 12 2 30= − , 24. sol. 11 2 73 11 2 73,9 9

− +=

.

Ejercicio 2: R: 1. 10, 2. 9.07 m, 3. 5, 6 y 7, 4. 1, 2 y 3, 5. 4 y 3, 6. 12.07 cm, 7. 10 por 10 cm, 8. 2 m, 9. 100 cm, 10. 62 cm, 11. 80 cm, 12. 38.78 cm, 13. 104 cm, 14. 111.8, 103.2, 108.36, 99.56, 15. R: 262.17 m2, 16. 1.15 m, 17. 3 cm, 18. 15.71 x 47.15 cm y 9.71 x 41.15 cm, 19. 16m, 20. 780m2, 21. 140 por 85 m. y 5,850 m2, 22. 13 por 13, 144 m2, 23. 181.29 m2, 33.49 %, 24. 8 y 15m, 25. 12 m, 26. R: 33/8 por 11/8 m, 27. 336 m2, 28. 2.5 m, 29. 0.9, 8.7, 37.9, 30. 63 y 21 m.


~ I ~

BIBLIOGRAFIA

BIBLIOGRAFICAS. Autor(es): Academia de Matemáticas del CECyT 16. Año de publicación: 2016 Título del libro: Apuntes de Algebra Lugar de publicación: CECyT 16 Editorial: Independiente Autor(es): Gustavson, David R Año de publicación: 2013 Título del libro: Algebra Intermedia Lugar de publicación: México, DF Editorial: CengageLearning Autor(es): Swokowsky, E.W. y Cole, J.A. Año de publicación: 2013 Título del libro: Algebra con Geometría Analítica Lugar de publicación: Méxcio, DF Editorial: CengageLearning Autor(es): Louis Leithold Año de publicación: 2005 Título del libro: Álgebra Lugar de publicación: México DF Editorial: Oxford ELECTRONICAS. Titulo: Math2me Fecha: 2009 Dirección: www.math2me.com Titulo: Proyecto Descartes Fecha: 1985 Dirección: www.recursostic.educacion.es/descartes/web Titulo: KhanAcademy Fecha: 2016 Dirección: www.es.khanacademy.org/ Titulo: Calculadora GraficadoraDesmos Fecha: 2015 Dirección: www.desmos.com Titulo: Winplot Fecha: 2012 Dirección: http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html Titulo: Disfruta las matemáticas Fecha: 2011 Dirección: www.disfrutalasmatematicas.com Titulo: Aula 21 Fecha: 2007 Dirección: www.aula21.net/primera/matematicas.html

http://www.math2me.com/

http://www.recursostic.educacion.es/descartes/web

http://www.es.khanacademy.org/

http://www.desmos.com/

http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html

http://www.disfrutalasmatematicas.com/

http://www.aula21.net/primera/matematicas.html

RUBRICA PARA EXPOSICIONES

Nombre: Equipo: Grupo: Asignatura:

EXCELENTE (10)

MUY BUENO (9)

BUENO (8)

REGULAR (7)

SUFICIENTE (6)

INSUFICIENTE (5) CALIFICACIÓN

Tono de voz

El alumno siempre modula correcta y apropiadamente el tono de voz.

El alumno casi siempre modula correcta y apropiadamente el tono de voz.

El alumno regularmente modula correcta y apropiadamente el tono de voz.

El alumno casi nunca modula correcta y apropiadamente el tono de voz.

El alumno no modula correcta y apropiadamente el tono de voz.

Dominio del tema

El alumno siempre demuestra dominio del contenido del tema.

El alumno casi siempre demuestra dominio del contenido del tema

El alumno regularmente demuestra dominio del contenido del tema

El alumno casi nunca demuestra dominio del contenido del tema

El alumno demuestra poco dominio del contenido del tema

Organización

El alumno siempre presenta de forma organizada cada una de las partes.

El alumno casi siempre presenta de forma organizada cada una de las partes.

El alumno regularmente presenta de forma organizada cada una de las partes.

El alumno casi nunca presenta de forma organizada cada una de las partes.

El alumno presenta de forma desorganizada cada una de las partes.

Calidad de la presentación.

El alumno mantiene siempre la atención en los espectadores.

El alumno mantiene casi siempre la atención en los espectadores.

El alumno mantiene regularmente la atención en los espectadores.

El alumno mantiene casi nunca la atención en los espectadores.

El alumno mantiene poca atención en los espectadores.

Evaluación ___________

Observaciones: __________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________________

RUBRICA DE EVALUACIÓN PARA LOS EJERCICIOS.

DESCRIPCIÓN 0.25 0.50 0.75 1

Justificación teórica. La justificación no es clara para indicar parte de la solución.

La justificación indica alternativas en la solución.

La justificación indica el camino a seguir en la solución.

La justificación es precisa en el camino a seguir en la solución.

Identificación de formulas.

Identifico algunas de las formulas que va emplear.

Identifico la mitad de las formulas a emplear.

Identifico la mayoría de las formulas a emplear

Identifico todas las formulas a emplear.

Sustitución de formulas. Sustituyo correctamente algunas de las formulas.

Sustituyo correctamente la mitad de las formulas.

Sustituyo correctamente la mayoría de las formulas.

Sustituyo correctamente todas las formulas.

Desarrollo y aplicación de las propiedades.

Realizo algunas de las operaciones respetando la jerarquía aritmética. Y las propiedades y axiomas matemáticos.

Realizo la mitad de las operaciones respetando la jerarquía aritmética. Y las propiedades y axiomas matemáticos.

Realizo la mayoría de las operaciones respetando la jerarquía aritmética. Y las propiedades y axiomas matemáticos.

Realizo todas las operaciones respetando la jerarquía aritmética, las propiedades y axiomas matemáticos.

Grafica.

Grafico e identifico los datos y los ejes de coordenadas.

Grafico e identifico los datos y los ejes de coordenadas, así como algunos datos obtenidos en el proceso.

Grafico e identifico los datos y los ejes de coordenadas, graficando los valores obtenidos.

Grafico e identifico los datos, los valores obtenidos durante el desarrollo y los ejes de coordenadas.

Datos

Solo están los datos. Los datos e interrogantes están en forma parcial.

Están todos los datos e interrogantes del problema.

Están todos los datos e interrogantes del problema explicando lo que significa cada variable.

RUBRICA DE INVESTIGACIÓN

RUBRO DESCRIPCIÓN VALOR CUMPLE NO CUMPLE 1. Portada.

Cumple con todos los elementos señalados: - Nombre de la institución. - Nombre de la escuela. - Nombre de la unidad de aprendizaje. - Nombre de la investigación. - Nombre del estudiante. - Grupo.

10%

Faltan algunos de los elementos de la portada. 5%

2. Introducción.

La introducción cuenta con los elementos que facilitan el entendimiento de la investigación.

20%

Solo cuenta con una breve introducción al tema. 10%

3. Desarrollo.

El tema a desarrollar tiene información coherente, clara, precisa, con imágenes, tablas, diagramas y ejemplos que enriquecen el tema.

50%

El tema a desarrollar tiene información coherente, clara, precisa, sin imágenes, tablas, diagramas y ejemplos que enriquecen el tema.

40%

El tema a desarrollar tiene información coherente y clara. 30%

El tema a desarrollar tiene la información coherente. 20%

El tema a desarrollar tiene información suficiente. 10%

4. Conclusión.

La conclusión explica detalladamente lo aprendido durante la investigación, especificando como se involucra la unidad de aprendizaje que se está cursando.

10%

Una pobre explicación de lo aprendido y como se aplica la unidad de aprendizaje en la investigación.

5%

5. Bibliografía y glosario.

Tiene bibliografía de libros utilizados (mínimo 3) y las referencias electrónicas consultadas (minimo 3), cuenta con glosario de las palabras no comprendidas.

10%

Tiene bibliografía de libros utilizados (menos de 3) o las referencias electrónicas consultadas (menos de 3).

5%

TOTAL

centro de estudios cientificos y tecnologicos no. … · 2.2 identifica productos notables y la...

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