centro de educación continua de la facultad de ... - unam
TRANSCRIPT
,_"
centro de educación continua de la facultad de ingeniería, unam
A los asistentes a los cursos del Centro de Educación
Continua
La Facultad de Ingeniería, por conducto del Centro de Educación Conti-
nua, otorga constancia de asistencia a quienes cumplan con los requisl
tos establecidos para cada curso. Las personas que deseen que aparez
ca su título profesional precediendo a su nombre en el diploma, debe
rán entregar copia del mismo o de su cédula profesional a más tardar
8 días antes de la terminación del curso, en las oficinas del Centro,
con la Srita. Delgadillo.
El control de asistencia se efectuará al terminar la primera hora de
cada día de clase, mediante 1 istas especiales en las que los interesa
dos anotarán personalmente su asistencia. Las ausencias serán compu-
tadas por las autoridades del Centro. ) '
Se recomienda a 1 os as i s t·entes part i e i par activamente con, sus ideas y
experiencias, pues los _cursos que ofrece el Centro' están planeados P-ª.
ra que 1 os profesores expongan una tesis, pe ro ~o_bre todo p·ara que coor
dinen las opiniones de todosclos interesados constituyendo verdaderos
seminarios.
Al final izar el curso se hará una evaluación del mismo a través de un
cuestionario diseñado para emitir juicios anónimos por parte de los asis
tentes.
Las personas comisionadas por alguna institución deberán pasar a inscri-'
birse en las oficinas del Centro en la misma forma que los demás asisten-
tes. lng. Melesio Gutiérrez P.
TELS. 521-30-95 Y 513-27-95 TACUBA 5, MEXICO 1, D. F.
'' •'
\
--:/
8iR¿STORIO DE ASISTENTES AL CURSO DE PROBABILIDAD Y ESTADISTICA FUNDA M~NTOS Y APLICACIONES ( DEL 29 DE AGOSTO AL 6 DE OCTUBRE DE 1972 )
NOMBRE Y DIRECCION EMPRESA Y DIRECCION
1. ING. ALEJANDRO BASURTO O. PEM[X. Av. Universidad No. 329 Edif.53-403 Marina Nacional No. 329 Méx i ca, D . F . Méx i ca, D. F .
2. 1 NG. "EDUARDO BEAVEN SALAS Bol ivar No. 927 México 13, D. F.
3. 1 NG. .GERARDD CA BADA LAGUNES Dr .• Barragán No. 745-203 M_éx i ca, D • F •
4. SR. J. AGUSTIN DE OVANDO PACHECO Bosque de Jazmines No. 145 Col. Bosques de las Lomas Méx i ca, O • F •
5. 1 NG. AGUS T 1 N EGU 1 ARTE GONZALEZ Emma No. 136 Col. Nativitas México 13, D. F.
6. 1 NG. ARMANDO ESCANERO MUÑOZ Av. Universidad No.62-B Méx i ca, O • F •
7. SR. J. 1 GNAC 1 O GUERRERO SANDERS Av. José F. Gutiérrez No. 347 México 16, D. F.
8. ING. -FELIPE LOO GOMEZ Edif. Allende No. 716-D Unidad Nonoalco Tlatelolco México 3, D. F.
9. ING. MARIANO MARTINEZ L. G. Cien Fuegos No. ·899 Méx i co 1 4, D. F •
SECRETARIA DE MARINA Azueta No. 9 lo. Piso Méx i ca, D. F. -
SECRETARIA DE OBRAS PUBLICAS Av. Fernando y Niño :Perdido Méx i ca, O • ¡: •
PEMEX. Marina Nacional No. 329 Méx i ca, O. F.
SECRETARIA DE OBRAS PUBLICAS Fernando No. 268 Col. Alamas México 13, D. F.
SECRETARIA DE OBRAS PUBLICAS Av. Fernando No. 268 Col. Alamas México 13, D. F.
BANCO NACIONAL AGROPECUARIO; S. A. Baja California No. 169 Méx i ca, O. F.
SECRETARIA DE OBRAS PUBLICAS DIRECCION GENERAL DE AEROPUERTOS Xol a No. 1755 - 3er. P i·so Col. Narvarte México 12, D. F.
COMISION FEDERAL DE ELECTRICID~D Ródano No. 14 ler. Piso Méx i ca 5 , O • F •
DIREC-iOKI) DE ASISTENTES AL CURSO DE PROBABILIDAD Y ESTADISTICA FUNDA MENTOS Y APLICACIONES ( DEL 29 DE AGOSTO AL 6 DE OCTuBRE DE 1972 )
NJ~BRE Y DIRECCION EMPRESA Y DIRECCION
f/1 10. SR. J. BENJAMIN MORALES OROZCO
Coruña No. 206-11 BODEGAS RURALES CONASUPO, S.A. DE C. V.' Donceles No. 89-4o. Piso
Col. Viaducto Piedad México 13, D. F.
11. 1NG. EMILIO RODRIGUEZ ARNAIZ Cerro del Nombre No. 56-5 Col. Romero de Terreros Méx i co 2 1 , O • F •
12. SR. JESUS SILVA AVILA Playa Copacabana No. 153 Col. Marte Méx i e o 1 3, O • F .
Méx i e o, O • F •
CONTROL DATA DE MEXICO Mariano Escobedo No. 56-5 Col . Po 1 a neo México S, D. F.
ESTUDIANTE (ESIME ) Instituto Poi itecnico Nacional Méx i e o, O. F.
13. SR. v. LUIS VAZQUEZ SANTAMARIA PETROLEOS MEXICANOS Retorno Fuente de Petroleas No. 3 Marina Nacional No. 329 México, O. F. Méx i e o, O. F.
' PROBABILIDAD Y ESTADISTICA. FUt ',MENTOS Y APLICACIONES
Fecha
29 Agosto
Duración Tema
2 1/2 Horas Elementos de Probabilidad
Exper irre nto aleatorio Eventos. Conjunto de eventos Conceptos de probabilidad
Enfoque clásico Enfoque Bayesiano
Algunps teoremas fundamentales con enfo que de conjuntos Probabilidad condtional El teorema de Bayes
31 Agosto 2 1/2 Horas Eventos independientes Eventos mutuamente exclusivos Ley de adición El concepto de probabilidad condicional El teorema de Bayes Concepto de variable aleatoria
5 Septiembre 2 1/2 Horas Modelos Probabil isticos
Tratamiento de la información
Histogramas
Definición de términos Distribución de frecuencia de una variable
Continua Discreta Ejemplos
Parámetros
Medidas de tendencia central Medidas de dispersión Fórmulas para cálculo numérico Ejemplos
Dr. Felipe Ochoa Rosso
Dr. Felipe Ochoa Rosso
M. en C. Alfonso Cobarrubias Lugo
7 Septiembre 2 1/2 Horas Distribuciones de Probabilidad
Definición de probabilidad Probabilidad condicional, teorema de Bayes Eventos Independientes Variables Aleatorias de 1 dimensión
Definición Variables aleatorias discretas Distribución Binominal Variables aleatorias contfnuas Distribuciones acumuladas bistribuciones mixtas
M. en C. Alfonso Cobarrubias Lugo
Variable aleatoria uniformemente distribuida
12 Septiembre 2 1/2 Horas Funciones de Variables Aleatorias
Variable aleatoria de 2 o más dimensiones Distribuciones de probabilidad condicio nal y marginales Variables aleatorias independientes Distribución del producto y del cociente de variables Aleatorias independientes Variables aleatorias de n dimensio~es
Caracterizaciones de variables aleatorias Valor esperado Esperanza de una función de variables aleatorias Propiedades del valor esperado Variancia y sus propiedades Correlación Esperanza condicional
14 Septiembre 2 1/2 Horas Distribuciones Teóricas de Probabilidad
Distribución Binominal o de Bernoull i Probabnidad de éxito Probabilidad de fracaso Ejemplos
M. en C. Alfonso Cobarrubias Lugo
M. en C. Fernando Gómez Jardón
bino~ ,-, ~' ~· :
Distribución de Poisson Aproximación de la distribución minal a la de Poisson Ap 1 i cae iones
{ ,... ' ' ·~. ;
Distribución Normal Fórmula y gráfica Estandarización interpretaciones prácticas y matemática Ejemplos
Distribución Exponencial Apl ica~ión en teoría de colas
19 Septiembre 2 l/2 Horas Estimaciones de los Parámetros del Modelos
El método de los momentos Propiedades de los estimadores Distribuciones de los estimadores El método de máxima verosimilitud Ejemplos
21 Septiembre 2 1/2 Horas Pruebas e Hipotesis
Hipótesis estadísticas Errores Tipo 1 y 11, nivel de significancia Pruebas sobre la media de la población Pruebas sobre la variancia de la población
26 Septiembre 2 1/2 Horas Elementos de Estadística Bayesiana
Modelo Decisional Valor esperado de las decisiones Teoría de la Utilidad. Ejemplos.
28 Septiembre 2 1/2 Horas Ejemplo
3 Octubre 2 1/2 Horas El métod d o e m1n1mos cuadrados lnfer,encia basada en estimadores de minimos cuadrados
M. en C. Fernando Gómez Jardón
M. en C. Fernando Gómez Jardón
M. en C. Romárico Arroyo Marroqutr
M.en C. Romárico Arroyo Marroqutn
M. en I.Salomán Camhaj i Samra
5 Octubre 2 1/2 Horas Regresión curv'ifinea-.· Ejemplos Regresión múltiple Correlación ,-Ejemplos ~on el.teletipo
l. Salomón Camhaj i Samra ' . J ~·"'\ : ;. : 1 : •
' .. - ~ ' >
( ':-
Dr. F. Ochoa
~
.. -~,1 .. ~-q~~- ,t~,~ d;f~;1~}~~n~~s s.t,:t~ne,,_~u~; ,seJ~~clonar_,.uh·'d~tenritna·do··:cúrs·ó'·:de<·ac.;;
ci6n entre varios di¡sp~o~~l ~"s···~~-dE:kman.era.-que .eJr.:v~·su~ tado "de·,· s~u ~'declsi~cSri ~ • f • ~ • - ' • '
sea 6ptimo conforme a una determinada medida· de efectividad asociada al . ... __ ~·~f.''~- ... \, p,7;-·; ..... --1: ... , • ..:;._...-.,~:) ·t:, -t .. ·~~~ 1:~ i ..... ::;-:Yo··~~~--~=~., ..... ~r:,·_;; :;:.;,_,.:,. · .. _.
resultado de:'su'decisi6n·~···· '-'·' _. .... . . .
· . · ,. .. , ... _.,· .. ~c.'·r~.:;·>·> ;:,;'<·.··::·: ·:,r: ;.1; rc~~:.:t~rfi'".q·:-r;~; r;~ (".:·•:·;-,;,.:-y:,':' · En'la·mayorfa···de··estas sftuaciones, la dec1s16n involucra juicios sobre .
•'"~"'t•,'••J ~ .. ·,,\ .,J,I~ ¡:• o,~ r~:~~:~;~,;~~••tt r\';;~·:.;,:r, J ~~.,;''/f)l ·, 1
variables para las cuales-.. existe incertidumb-re respecto a los valores que
deber4n de tomar.
t\nte este marco, la M9da)na Teorfa Estadfstica de la Decisi~n nos ,pro~~~-.
ciona una herramienta pata buscar los mejores cursos(_'de'-'ácclon~~tomando 'éñ ·
cuenta la incertidumbre del problema.
La base matem4t1ca de dicha herramienta del calculo :la ·constit(lje Tá·~llá~ ~ • • • ' ' 1 t ' • 1 1 ~ •
mada "Teorfa de Probabilidad". , . .. .
¡ 1 , ~; •-\ • ' -.1 'r • r"\ •: • \1 , 1 J .. : .. \' .. .J (, 'J
1
2
Esta es una rama del An4lisis Matemático que permite manejar el concepto
de incertidumbre.
debida a variaci6n natural
Incertidumbre~falta de entendimiento de las causas y efectos de sistemas
""debida a conocimiento profesional. incompleto (falta de datos)
Si un-problema se va a resolver mediante un modelo abstracto que tome en
cuenta esta incertidumbre. dicho modelo se dice ~bab~tieo y est~ suj~
toa análisis mediante la Teorfa de Probabilidad.
El concepto central en probabilidad es la Variable aleatoria. (Valor espe
cffico no puede determinarse antes de un experimento).
El que toma decisiones no podrá predecir enteramente el futuro.
Considerar¡ la posibilidad de que ocurran determinados evento~ y calcular'
la mayor o menor plausibilidad de su ocurrencia. ' '
2. EXPERIMENTO ALEATORIO
Son experimentos cuyos resultados se conocen con incertidumbre.
Ejemplo: No. de artfculos de una cierta claserque serán demandados el mes
pr6ximo.
Pueden ser
' /
1. 2. 3 ••••••• N (No. poblaci6n potencial)
) 1
' '3'' '
'•' ' 1
, . - ?" • ~ , }, '· -- f; ·.•-;r;··, í,;;_;:J :.,.;: :;.-. q i;, ,; ·' ,, ·,~r ~· : ~} :;~; ~¡/\ :< ;:;)rd;~) ;·n. ,:1 '-·
-{Evento simple.- Un sol~ ~u~~o_del:es~~~-~o:.n.,~\. _ :,·,:¡ ·~:·•·:·~·-·-··-: . Év~~~~('~~m~~ei~~·~:~.-Do~~~~ ;;·~~~nt~~ ~;1· ·~s~~~~o,~ .. ,_
1 " • ' ' ¡o)r"~,:; ~· .L;l~,~-,
5. ALGEBRA DE LOS EVENTOS.
Relaciones entre eventos: r , ..
a. Si dos eventos no contienen puntos comunes se dicen dl4junto~ o mutua-
mente exclusivos. AOB=t
b. Eventos simples son mutuamente exclusivos· •. ·· :1.,~ · :-.J
':' ·' -¡
; ;-. l r ' .
1,. • ... . .
,. ! .. ;
~. \ ~ ' ...
4
c. Si se tienen dos eventos A y B, por A n B se indica el nuevo evento
que contiene los puntos comunes a A y B.
El evento se llama 1ntersece1~n.
d. La un16n de dos eventos A y B, se denota A U C y constituye el evento
tal que es el conjunto de puntos que aparecen en A o en C. ·
e. Evento nulo t no contiene puntos del Universo. (Evento no puede ocurrir).
-•
f. Universo.- Espac1 o de muestras (Conjunto todos eventos pueden ocurr1 r). l:. e
g. Conjuntos colectivamente Exhaustivos. 51 y solo si A1 + A2 + ••• + AN = I
h. El complemento AC de un evento A (la no ocurrencia de A) consiste en un
evento que contiene todos los puntos del ·espacio no contenidos en A.
6. AXIOMAS.
Enunciados en los que se base el alg~bra de eventos.
(1) A + B = B + A
(3) A + (B + C) = (A + B) + C
(4) AB = (Ac + BC)C 6 (AB)C = Ac + Be
5
(5} , A + . ( BC) . =,\(A + B) (~ + C)
(6)
(7) . A I = A ' ,_ \ :
(1~) A + t = A-) ; ) ~'"TI~·
, \• \ . ,
7. RELACIONES ENTRE EVENTOS
AB = BA (8)
(9)
A (B + C) = AB + AC (lO)
1 A + A = I (11)
A + I = I (12)
A t = t . ' . (13) ~ f"'-
~-J ~ '•;
A+ t =A . (14)
EJEMPLO.
~- . ' ~ 1 '. ... • ' :..~
,, {' ....
• J l • J :.
\
' ':
~, '\. _,· ._ ...... ,.,.,;: ....... ~-~ .. ~ ... -; i
,'• ...
Demostrar que A+ 8 + C = A+ ACB +.(A+ ACB)c C
La un16n de 3 eventos como la un16n de 3 eventos mutuamente exclusivos.
r •-•
6 1'
Del axioma (7).
A + B = A + B 1
= A + 8 {A + AC) de (11)
= A+ BA + BAC de. (lO)
= Al + 8A + BAC de (7)
= A (! + 8) + BAc de (8) y (lO)
= Al = 8Ac
Sea A + 8 = E + E + e = E + Ece
(A + 8) + e = (A + Ac 8) + {A + AC 8)C é . ', ':, /
A + 8 + e = A + Ac 8 + (A + Ac 8)C e
8 : D
•.;_
7
8. INTERPRETACION DE PROBABILIDADES.
A cada punto del espacio de definicidn de un experimento le vamos a
asignar una medida de probabilidad.
¡
La teorfa de probabilidad no nos dice cómo se ob.tienen, simo c6mo usuar
los de manera consistente.
ENFOQUE CLASICO
• Explicación Intuitiva de la Medida de la Probabilidad.
Si se pudiera realizar el experimento una cantidad considerable M de V!
ces y se cuenta el número de veces N que un evento simple se observó,
el namero N = p lo utilizarfamos como la medida de la probabilidad M' ' .
de que el evento simple ocurra.
Esto es adecuado cuando el fenómeno es repetitivo.
Esta interpretación de frecuencias relativas se debe a Von Mises.
ENFOQUE BAYESIANO
Cuándo la repetición del fenómeno es imposible o carece de significado?
Implica una interpretación más liberal del concepto de probabilidad de'
un evento.
8
Las probabilidades asignadas a cada evento simple de un experimento pue
den considerarse como un conjunto de "pesos" (factores de ponderaci6n),
que expresan la medida subjetiva de la plausibilidad subjetiva de, que u~
evento simple ocurra.
11Medida subjetiva del grado de aceptaci6n de una persona sobre un juicio
o predicci6n".
9. AXIOMAS SOBRE PROBABILIDAD.
Notaci6n:
P [A ] + probabilidad de un evento aleatorio A.
Para el espacio de definici6n del experimento debe cumplirse:
Axioma No. 1
Axioma No. 2
Axioma No. 3
O~ P [A] 1S 1
p [1] 1:1 1
La probabilidad de un evento cierto es la unidad.
La probabilidad de un evento que es la uni6n de dos even
tos mutuamente exclusivos es la suma de las probabilida
des de estos dos' eventos:
P [A U B] s P [ A] + P( B]
,.
·--- ' ..:..:.
9
Puesto que I es la unión de todos los eventos simple&, el axioma 3 impli-- ¡ .1 t , : ~-; . <;,... r ,.J ) :,..1 -, ·~ [ t: -~ ,.. !
ca que el axio~- ¿· p~e:de escribirse: ..
1 :' :¡ .f.' .p t E~~ ) [ ~ :-. ;i ·. '< ') {:
lJ.i q ¡- !·i rr l-\ J '"i .í
.. ¡ ') -; :J. ~ r\ ·~ t
donde Ei son eventos simples asociados con puntos de prueba individuales. ' -' ... _ . ' ' ' l_ "'" ~1
,\
10. RELACIONES ENTRE PROBABILIDADES DE EVENTOS.
f. -· 1
De las relaciones entre eventos, y de los axiomas· sobre probabilidad se ~ ~. ''.~. ( ~ -. or" n·1 . 1.{· n: ~: .-:- pr;r~~~J. 1 ~, .. 1 \j 1 ~ 1.,. 1 .... .... ;...!. .... ..... - ... _ ' -.' ' ' •
derivan ciertas relaciones entre las probabilidadés de los eventos.
,, r , ... \ ·\ ·; '1 r:~ ~ ·¡·;._ ,:.·~ da :evento.-~ impl e: que;·.forma par-t'é'~Cie.l .evento". ~ ; ·'· · ¡-. '
b. Probabilidad de un evento imposible ~ tJ ) ~ ,'\ l
p [ t. ] -~,.·:9 ~ " ·;,· ~
c. Probabilidad del evento .. uni6n,.de dos.\eventos.-.;. (MutUamente ·exclusivos) ' '?' • 1 • ,, ' • ·~· : ~ -
o no
rA =- B~ A·+ -A n B (mutuamente exclusivos) l ' ~ • .,
B = Ac 8 + A n 8
A U 8 = BC A + .Ac 8 + A n 8 (mutuamente exclusivos)
10
p [ A ] = P [ Be A ] + P [ A n B J
P [ B ] • P [ AC B ] + P [ A n 8 )
P ( A U 8 ) = P [ BC A J + P [ AC 8 J + P [ A n 8 ]
P [AUB) = P [A)+ P (8)- P [A08]
9 t D
11. PROBABILIDAD CONDICIONAL.
La "probab111 dad cond1 c1 o na 1" de un evento A, dado que e 1 evento .8 ha
ocurrido. P [A 1 8 ]. se define como el cociente de la. probabilidad
de la 1ntersecc1cSn de A y 8 en.tre la probabilidad de 8:
P [A/B] = P [A08] p ( B ]
51 P [ B ] = O ; P ( A 1 8 ] indefinida.
En las aplicaciones •. generalmente se busca P [.A n. 8.]
" '
P [A08] = P (A/8]. P (B] = P [8/A] P [A]
..... ·-~
11
12. INDEPENDENCIA
Dos eventos A y B se dicen independientes si y solo si
P [A/8] = P [A]
Por tanto: para eventos independientes probabilfsticamente:
P [An.B] = P [A];.· P [B]
13. TEOREMA DE BAYES
Dado un conjunto de eventos mutuamente exclusivos y colectivamente exhau!_
tivos 81 , 82 , ••••••• , Bn
P [ A ] = P ( A n 81 ] + P ( A n 82 ] + • • • • + P [ A n Bn ]
n = t P ( A O Bi ]
i=l ' 1
n = t ·P
i=l ( A 1 Bi ] • P [ Bi ]
V
12
Al examinar la probabilidad condicional de Bj dado A se tiene:
P [ Bj 1 A ] a P [ Bj n ·A ] p [ A J
= P· [ A · n · s~ J P [ A J
P [ Bj 1 A ] = P [ A 1 B~ '] . P . [ Bj ] n t P [ A/81 ] P [ 81 ]
1 el
Incorpora nueva 1nformacidn con probabilidad anterior subjetiva, para ob
tener nuevos valores de las probabi11da~es.
SESION 3. TRATAMIENTO DE LA INFORMACION
M EN C. ALFONSO CO B'ARRUBIAS LUGO
3.1. HISTOGRAMAS
3.1.1. Definición de Términos.
Conceptos tales como dato, objeto, individuo, variable, colección y conjunto
tienen el mismo significado en el lenguaje común y corriente y en estadísti
ca, sin embargo los términos observación y población tienen un significado
di fe rente.
En estadística una observación es un registro, usualmente numérico, de infor
mación. Existen varios tipos de registros, estos pueden ser, entre otros: -
resultados, medidas, r?ngos, categorías, etc.
Un resultado es una estimación numérica de objetos, individuos, etc., en una
cierta escala. Ejemplos: La calificación obtenida en una prueba, el número
de goles anotados por un equipo.
Una medida es, como comunmente se interpreta, un valor numérico que indica
el tamaño o alcance de un objeto, v.gr: la altura oe un hombre, el peso de
un objeto, la distancia entre dos puntos, etc.
El término 11 rango 11 se usa para expresar la posición de un objeto con respecto
a una calidad especificada para todos los otros objetos bajo consideración,
v.gr: la calidad de un producto puede ser muy buenoD regular y malo; etc.
El término categoría se usa para concepto tales como: color de ojos, tipo de
metal usado en un cierto producto, tipo de árbol, etc.
Como ejemplos de observaciones que no corresponden a ninguno de los. tipos
antes mencionados, se tiene: Número de productos defectuosos en un proceso
de fabricación, número de alumnos inscritos en una clase, etc.
Una observación siempre se lleva a cabo en una o más características de un -
objeto, v.ar: en un día se pueden tener observaciones para medir la tempera
tura máxima, en una placa pueden ser para medir su ancho, etc. Así pues lla
mamos variable a la temperatura máxima observada ya que puede variar día con
día y siempre se considerará que el valor de la variable es un número, por lo
que 1os términos observación y valor de la variable son sinónimos siempre y
cuando la información registrada sea numérica.
Las variables pueden ser continuas o discretas. Una variable continua es -
aquella que puede tener un valor real comprendido entre dos números distin
tos y una variable discreta es aquella que sólo puede tomar valores aisla
dos.
Ejemplos de variables discretas: el número de gentes en un salón, el núme
ro de accidentes en un año, el número de paises en el continente~ el número
de ases en una mano de poker. etc.
Ejemplos de variables contfnuas: La velocidad de un coche, la velocidad de
un avión. la intensidad de un ruido o luz, la vida útil de un foco, etc.
Nota Aclaratoria: Por ejemplo la vida útil de un foco puede considerarse
como variable discreta. Es verdad que un conjunto de datos solo tomará va
lores aislados, por lo que se les puede considerar discretos, pero la vida
útil de un foco sólo puede ser medida hasta la precisión del instrumento,
digamos décimas de segundo, esto introduce un·error de redondeo por lo que
el valor medido solo se aproxima a un número que podría caer entre dos nú
meros reales distintos.
En estadística no nos interesa una observación sino como se relaciona con -
una colección, nos interesa una colección que tenga un atributo común obser
vable, a la colección de tales observaciones se le llama población. A las -
poblaciones de valores de variables sencillas se les llama poblaciones uní
variadas, una población de dos variables se les llama bi-variada, a una de -
tres variables tri-variada, en términos generales a la que tenga más de una
variable se le llama multivariada.
Ejemplos:
Univariada:
Si-variada:
Tri-variada:
Multi-variada:
Peso de un hombre
Peso y estatura de un hombre
Peso, estatura y edad de un hombre.
Peso, estatura, edad, presión anterial y coles
terofl de un hombre.
Una población puede consistir de un número finito o infinito de observacio-
nes. Si es la población es finita y contiene N observaciones, se dice que
N es el tamaño de la población.
Si N es suficientemente pequeño podemos comprender la naturaleza de la po
blación mediante la inspección del conjunto de observaciones •
Si N es muy grande o la ppblación es infinita hay necesidad de reducirla
para comprender mejor su naturaleza, esto puede hacerse de dos maneras:
a) Tabular o gráficamente mediante la clasificación de valores de la varia
ble en rangos.
b) Aritméticamente encontrando el valor numérico de ciertas característi-
cas, llamadas parámetros, que se determinan de las observaciones y que
definen a la población, es decir que presentan los aspectos más impar-
tantes de la población.
El principal interés de la estadística se refiere a estos parámetros. Como
las poblaciones son diferentes, no pueden ser descritas de la misma manera;
sin embargo tienen ciertas características o parámetros en común que deben
ser estudiados en primer término.
En la mayoría de los casos el investigador no tiene observaciones de todos los
objetos de una población, sino que usualmente cuenta con una muestra la cual
es una sub-colección de la población de valores. Cuando esto se presenta, lo
t •·
V
V
5
más que puede hacer es estimar la naturaleza de la población. Esto se lo
gra determinando la naturaleza de la muestra y usando las propiedades de la -
muestra para estimar las propiedades que caracterizan a la población. El -
proceso mediante el cual llegamos a conclusiones respecto a una población a
partir de una muestra tomada de la población» se conoce como Inferencia Es
tadística.
3.1.2. Distribuciones de Frecuencia en una Variables.
En este punto trataremos diversos métodos para describir la distribución de
observaciones en una población.o en una muestra.
3.1.2.1. Variables Continuas.
Si la población o la muestra es pequeña, probablemente la mejor manera de -
describirla sea listando los valores de la variable. Por ejemplo, el coefi
ciente de permeabilidad de tres muestras de arena listados en orden ascenden
te pueden describir la población en forma satisfactoria.
Nota Aclaratoria. Si el objetivo de la investigación es únicamente descri
bir un conjunto de observaciones, entonces no importa si el conjunto de da-
tos se considera como muestra o población. Sin embargo cuando el principal
\..-
6
objetivo es utilizar la muestra para hacer una inferencia estadística res
pecto a la población, los métodos aritméticos para muestras difieren en al
gunos aspectos de los métodos para poblaciones y, en este caso, la descrip
ción de la muestra se considera parte del procedimiento estadístico.
EJEMPLO: A continuación se presenta la distribución del porcentaje de indi
viduos en cada estado de la Unión Americana de 65 años o más de edad. Fuen-
te: Bureau of the Census, County and City Data Book, 1956
TABLA 1
Estado % Estado % Estado % Estado %
1 6.5 13 10.4 25 9.8 37 8.9
2 5.9 14 10.2 26 6.9 38 5.4 -
3 7.8 15 8.0 27 10.8 39 8.5
4 8.5 16 6.6 28 8.1 40 7.1
5 8.7 17 10.2 29 4.9 41 6.7
6 8.8 18 7.0 30 8.5 42 6.2
7 8.3 19 10.0 31 5.5 43 10.5
8 8.6 20 7.2 32 7.8 44 6.5
9 6.4 21 9.0 33 8.9 45 - 8.9
10 7.4 22 7.0 34 8.7 46 6.9
11 8.7 23 10.3 35 8.7 47 9.0
12 9.2 24 8.6 36 8.4 48 6.3
1
7
Generalmente, lo primero que se hace para entender mejor la naturaleza de
los datos es arregarlos en orden numérico ascendentet o listar cada número
con la frecuencia con que ocurre. La tabla 2 muestra los datos de la tabla
anterior arreglados en orden ascendente ..
TAS.LA z o/ o L is:A-ad.os f,.r¡ ord.~ a...o ctZnd€"' k
4.9 6.4 6.9 7.8 8.5 8.7 8.9 10.2
5.4 6.5 7.0 7.8 8.5 8.7 9.0 10.2
5.5 6.5 7.0 B.O 8.5 8.7 9.0 10 .. 3
5.9 6.6 7.1 8.1 8.6 8.8 9.2 10.4
6 .. 2 6.7 7.2 8.3 8.6 8.9 9.8 10.5
6 .. 3 6.9 7.4 8.4 8.7 8.9 10.0 10.8
La tabla 2 muestra que el porcentaje más alto es de 10.8 y el más bajo de 4.9,
con un rango de 10.8 - 4.9 = 5.9.
Todas las muestras pueden ser representadas gráficamente, pero la idea es que
estas gráficas sean tan 11 Suaves 11 como sea posible, esto se puede lograr agru
pando los datos en 11 Clases 11• Lo anterior lleva asociadas las siguientes 2 - •
preguntas: lcuántas clases se deben utilizar y de que lo~gitud deben ser las
clases?, ninguna de las dos preguntas tienen una respuesta que sea válida en
todos los casos, sin embargo pueden mencionar ciertas reglas generales como:
La longitud de las clases debe ser igual al menos que exista una razón sufi
cientemente poderosa para hacer lo contrario, cuando se tengan más de 200 ob-
servaciones, dos usualmente el namero de clases qu~ permite una agrupación 1
adecuada varía de 10 a 20. 1
8
El valor numérico que divide a dos clases se llama "límite" o "frontera",
la longitud de la clase es la diferencia entre s~ límite superior y límite
inferior.
Al valor medio entre dos límites se le llama "marca'' y usualmente se le uti
liza para representar a la clase. La frecuencia o número de veces con que
las observaciones caen dentro de una clase se llama frecuencia de la clase.
Una vez decidido el número de clases y sus límites se puede construir una ta
bla de frecuencia como la que se muestra a continuación:
Clases Frecuencia ..
Acumulada Límites Marca Frecuencia ( fi) Relativa fi/N Acumulada Relativa
4.55-5.55 5.05 3 0.062 3 .. 0.062
5.55-6.55 6.05 6 0.125 9 0.188
6.55-7~55 7.05 9 0.188 18 0.375
7.55-8.55 8.05 9 0.188 27 0.562
8.55-9.55 9.05 13 0.271 40 0.833
9.55-10.55 10.05 7 0.146 47 0.979
10.55-11.55 11.05 1 0.021 48 1.000
Partiendo de una tabla de f~ecuencias se puede construir un Histograma de Fre
cuencias.como el que se il~stra en la Fig. l. Para su construcción se utiliza
un sistema coordenado rectatngular en el cual el eje de las abscisas se utiliza
'1
1 1
--1
~+--' --- i---1---1---l--/ ___ j__~--~-1-~---l=L-r--'-~+- -f'-~-L--+- -l_t --1--4--l---t·--:--~-1--T- -'-,-l_j#l-i--¡---f- ~-~ -1-i -~-- -~~ 1 ~-n·c--t-,,_~-+tl-l-ii 1 -r 1
1 1 1 t--
-+--r-~---1 1 1 ~-~ 1 . -¡ , -------¡¡-~-¡-¡ ¡ ~~ - r¡¡- 1 i 1 1 1 t--1
1 ¡-J ! 1 1 1 1 1 J L
~--r-----¡' - ~-~--J-1-- ¡____ 1 1 1 L-1 j r-i-
~-¡--¡ --1-+-fi 1 ! ~-¡-¡--r- _¡ ___ , __ L 1 ¡-r-~¡--¡ 1 +- - --¡--:¡ti ~-~-----,, -¡------ l---~--i- ¡--
J-¡l-'- -~-.=-,=~-===--= -t 1 =-r-- --FR-r --- --c----~1---- --- c----r->---- --· , ,
l : ~~ -- . ---n-------- 1 --- --~--t-- 1 : c-r-t-++-~~~-, 1 ±---------:-·--r= -- : 1 ~--· 1 ¡ r-r--:-- -t- - · ________ _j_ ·---"---- , , i ! 1 1 1
~.L¡~- _L! r-'---L~-- 1 ,--1--~ --r-ol--zT,~I-_!fl_L, ___ [_L_U __ Li !-1- 1 1 1 1 1 ¡ , 1 1 t±±' 1
-1 T- _j_J__I -r¡-¡---- -1-r--- ~-- - _j -- - J J ~~! ! 1 '
r--~~~ - 1 1 1 r-E-~-----!- f--- - J --f-~~~-'!> o :~r-r¡- 1 1 , 1
F~1-¡- -h-1 n-- ~~--~~---- --- --r---- ±i.t 1=3¡-t--t- ·+¡ : , ~f_jq- ~-~- ¡¡-¡--j 1, 1 -----1 1 1 'i'l' -~t 1 :-- !i_! __ ~~ ~-- --¡-- -~--~ ¡--- ~-----¡- ---- ------ --T--t --¡- ~ -¡¡-e-- ¡~¡ ¡--rv~7-- - __ l_ -~- ____¡_ ---- ·-- -él-1- . ' ' ~·-~_j_ -~-~-1--L 1 : ~ --+-±- ---e' -! . -~- , ~~ 1 -~ i j-+
5_ -f---+-+_L _t ___ L ---+--- _ ___ -o-1,_cJ,.. J -~ 1 · -1-T ._¡_
=±±t! 1 1! 1 1 1 _l~! \il
1 ~- r-:- -·----,-- T -~--- ---¡-- --¡- 11 1~1 , 1 : 1 ~~ '----t---·3- ' __ ¡ __ _[_ --¡---- -¡-- -
1-- -1--r---- --- -C--e~ , 1-:------:-
. 11 l 1 ' l \ 1 : ¡ l ¡' 1 ¡ i : 1 1 1 1 ' 1 1 1 1 1 '
1-----+--+---¡:-~--¡----¡--- --¡ ------¡-----¡ 1 -¡ ¡¡- 1 -¡ i 1
r-----t---++--t---"-1-----r--: ----¡----- __ _¡______1 -:--¡--- _ _JI __ ---¡---- 1 0-0 '-1 1 ' : --1--+-1 1 1 ! 1 l ',
-~-+----!
1 _LI Ja5 r-"Jo~l.1~o';)_La.osJ__j]p~ -'~~95_j_tlf~~! i 1 1 ¡ 1 1 r-----t---+-----+-1 -+ 1 !+.1-J-1 1
: 1 \ 1 1 1 ! 1 1 : i 1 1
r-----t'-l------+:---+-+-¡1 ~~¡~a~~~~~ ~~j~4_!~-~_Q_~_l_ ~ 1 1 1 1
!! 11,11 ill -~~~ li 111
1 i : 1 1 1 1 1 i 1 ! 1 i 1
l ¡l·t¡ 1· 1 ~~· 1 ¡: __ JI , 1 IF¡c;. tl HIS:T06~PI""~ !bE Fli:i!~UE~C.\AS _ -~
_L_I : 1 _j _ _Ll_~LLL_L 1 _¡__ ' 1 H-e' i,--!-: f i ! 1 1 1 l L 1 1 1 1 1 1 1
1! 'li lill\ -~ II'tJi--1
~~-~!liili IT--¡¡--tl 1 l ,i 'JI-¡--¡ -~~/-:--~~-~ 1---L l~~-~T~f! ,' 1 ~~ 1 '¡ ~~ ;
l:llli_j_llil 1 __ ~
j': 1 ~ '1 1n 1 1 1 1 -¡ ¡ 1
¡-- -- ¡ : 1 i jr+ 1 1 ! '1 ; 1 1 -t ' 1 --- ! ¡' '¡
t ,¡l,il ''t.'' -----L 1
--rT_u_L_L____L l }1
__ ~1_[_LlJ_ 1 1 1 ! J 1 1 1 i I' , , i ~±t· 1 i 1 : 1 1 r -¡-~-- , 1
l~ __L_1 1 : : 1 _j_ --~~ L --~-~-- 1± j ,: 1 ¡' ~~--f-
H, 1! 11 ¡ 11 ¡!!!! 1 1 1 11
1 1 ,-,-,-~-¡-~-n--r--¡--:---¡--¡ J ¡-~ -,-¡:-~ 1 tr-·---J-¡--f----i----+--t--+-1
1 1 : [¡- --i+ r--¡--¡--;----1 -; ~ : ¡---1----: r-++~--- 1
"--t-1111 i 1.~ --¡-¡~--t-r--¡--¡--j--¡-¡--¡-t\-+¡ 1 1 ~-H- --r-r 1- -~¡ ¡-¡--¡:--: -, T-il ¡-/--TL_' _¡ ¡¡1 : 1 ¡_L -t-h
, , , · . , i , 1 1 ¡ 1 T 1 1 j
BLOCK TAM-MEX
IIJ
para los límites y marcas de las ~lases y la ordenada para las frecuencias.
Se construye sobre cada clase un rectángulo cuya área sea igual o proporcio
nal a la frecuencia de la clase de tal forma que el área total del histogra
ma o sea la suma de los rectángulos, es igual a la frecuencia total.
Los histogramas se utilizan para datos agrupados, este agrupamiento introdu
ce aproximaciones tales como que todos los valores comprendidos dentro de un
intervalo aparecen con la misma frecuencia.
El polígono de frecuencias, como el que se muestra en la Fig. 2 ilustra otra
fOrma de representar diagramas de frecuencia. Un polígono de frecuencia se
construye marcando en un sistema de ejes coordenados puntos (X1, fi) y unién
dolos con líneas. Para completar la figura normalmente se utiliza un punto
de frecuencia nula al principio y al final de la gráfica.
Los polígonos de frecuencia pueden inducir graves errores si no se utilizan
adecuadamente, estos errores pueden ser, por ejemplo: la lectura de la fre
cuencia correspondiente a un punto, etc. Estos polígonos se utilizan prin-
cipalmente para indicar la forma de un conjunto de datos.
Existe otro tipo de diagrama de frecuencias llamado 11 Polígono de Frecuencias
Acumuladas .. como el que se muestra en la figura 3~ La diferencia principal
entre este tipo de polígono y el de frecuencias consiste en la localización
del p~nto (Xj, fi ) correspondiente a (X1, f1). La abscisa Xi es el límite
superior o inferior de la clase dependiendo de si se trata de un diagrama de
"más de 11 ó 11 menos de 11•
J
_¡
1
. X3V\HI\J7J.. >i::JOoB
l---l---t-,-+-+-----j,--+-+-+--+--+---t-+-+--J'?;;-:=0~'¡:!_:-:;;ed--v-.--f=.¡~-~ ~ ~.>IQFiew rP l 0/ o \ 1 1 1 ! !---+-;.../-+-! ---l--+----6-:=--[ / ~j ____ cLr--) __ j __ ( _¡_ ___
11 _j _ _j 1 1 1 j \ _ J ~--+--+! __;_-+----+---+--l---1
1 ¡ ¡ ¡so·:Z' ¡ 1 so1~tt ,--¡o' ¡ ~r""' ¡ so¡e ¡ ¡ c;o~L 1 i,S<>t' ! ¡so¡s 1 ¡so¡v ¡ _L ¡ ! :~-' 1 1 I__L_,
1
__ ;_;_J __ l_J_~ 1 1 ! 11
/-1 1 ~ 1
f--1---+\--+-+--+--l-!-+r-H 1! /1
7\1 1 1 -~--!-__] __ !_/ 1 1 i / ili' ..¡. _ _,_1 -+-/ --+---+-~ 1 i , 1
\ 1 • 1 ~ -r r-r 1 • 1 ~'"l 11
· 1
: 1 t-' ¡---l-,-i-i---1--L!-~. -~ 1 ---~:-+--:-¡· --~--~ 1 1 1 1 ¡ l\ t--~---r_L-J-_J ___
1
1
_J _ __j~'-~ 1 1 ~ __ ¡_L _ _;_~~-''-+ !___¡_____, 1
1
1 1 ! T\~_j , r---l-!-+-i-r-¡
1---:--
1~-+-K--~--j \---~-+--i~ ' _;__ 1 1 ~ · -¡-j--t--¡---¡---~---~ ----r-L-r¡--¡ 1 ---:-t-fr¡-,
1 1 : 1 1 1--,--~--.--¡-¡--r------"¡ ' 1 -f---r-r~ ·1 1
~~ ' ~ ' i ~\r .-+-: 1 -J-)¡UI . -U, ~~--:,-,---;---r-T'l--~- 1 1 '· 1 1 ! , Vi , f-G-,~~-~~-
1 • ~~-~-+¡ 111-1-+ ~--+-+-Jj~ --1 1 ' t---·--j-~-~--i--Y-----i--¡~1 1 ~ ~~1.1-H 1 ~~~-1 -~ 1 --t-1 1 1 ' -t)-i ' -·
1!! 1
1 1 1! ~ 1 ~ 11 1
1 ¡ 11 i / 1----f__;...--r-_¡_-1--11 -:-r---:. ¡-----.---1 -t-r-r 1-----~. -¡~-1 ! ! i ·l 1 1 1 1 1
J ¡ 1 1 i ¡ 1
! 1 1 1
, : ,
1
1 , ----L~=~-cr----H 1 1 1 1--~~~ 1 1 1 1 : 1 ,
1 t-t-, -¡------~--: ,
1----r--1 , r-1 -r-r--~, -¡r-rr
~~--J_tW-n ! ~-j __ j:~=T,.r1-l~~::r~-FT;----~¡-!-:-r= ~-n-,-Lt--\-1 +-j--,-----------------l-------~---~----1-t-i--1-]--¡--"-f-·-¡_-[-J---.l--.;¡-T--¡-I---, -:~¡----,--1--+
1
1 1 1 i l--1 1 1 1 1 1 t --+-__L~ ~ 1-~--
~+!-1--1 1 -1--1 ~----t----¡-1 ----1----i-J L-~-,_1_~¡ ¡---l---j]-~----f--~--r-----~ r---,-----r-=t---l=~rt~~ ·-,--:-~~=$1___ --~~--,::--1---~===~=,===¡=i-~-, p-~
i 1 1
1 '1 1 i l . 1 1 i
EEJ_¡ 1 1 ---1--· -+---¡-~-1--' 1 -r------H ______ , _______ -~ 1 ~·-,--¡_J-1--
-j 1
l ¡ -\ 1
1 1/ ----¡-~-1--t-¡+---l--i-j ~::JI:_,_=l l--~---jl'-= 1 H-=L---------·-;--H-::=¡:==:~-=¡=;--=FF=:--=¡~FI =L i ¡ 1 i ' L_ i tt_~_u_L-. _ 1 _ _ • • _.)
1.5
3.1.2.2. Variables Discretas.
Cuando se tienen observaciones resultantes de tentar coches que pasan por -
una esquina, alumnos que asisten a una clase, etc. se tienen variables dis
cretas. Para describir variables discretas y al mismo tiempo comparar los
métodos con los utilizados para variables continuas utilizaremos el siguien-
te ejemplo.
La tabla 2.5 muestra la distribución de frecuencia del f~ de cilindros de
concreto.
Tabla 2.5
f' Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia Relativa e Relativa Acumulada Acumulada
200 2 0.002 2 0.002 201 o 0.000 2 0.002
202 4 0.005 6 0.007
203 21 0.026 27 0.033 204 47 0.058 74 0.092
205 104 0.129 178 0.220
206 123 . o .152 301 0.373
207 148 0.183 449 0.556
208 146 0.181 597 0.739
209 91 0.113 686 0.849 210 79 0.098 765 0.947 211 27 0.033 792 0.980
212 8 0.010 800 0.990 213 7 0.009 807 0.999 214 1 0.001 808 1.000
14
La distribución de frecuencia de la tabla 2.5 se representa gráficamente en
la Fig. 4 en la cual el número de cilindros corresponde a la abscisa y la -
frecuencia correspondiente es la ordenada. Esta figura muestra claramente
que la variable solo toma valores aislados.
El polígono de frecuencias acumuladas se muestra en la Fig. 5. Hay autores
que lo nombran diagrama de escalones donde el peralte es igual a la frecuen-·
cia.
3.2. PARAMETROS
3.2.1. Medidas de Tendencia Central.
Las observaciones tienen tendencia a agruparse alrededor de un cierto punto de
la escala de referencia. Ahora consideraremos parámetros que miden este agru
pamiento, estos parámetros son llamados de tendencia central o de localización.
(
El parámetro más importante se le llama "Media Aritmética" o simplemente me-
dia, está dado por ~ -:x:, + ':(."l +· .. +'X N ,
f~:: o ~
('l
)J"' .~-xc: ú) (..'=-1
N
Para datos agrupados, se obtiene una aproximación de la media usando la si-.
1 !
1 -~
1 1
1 1
L!
-·-
1 t f-
J~ 1
1 tj:
1 1
1 !T
' r
1-i·-
H
're~
dntf
fi:~
-,-
-1 /
---
-1-
~ --
¡---
! ¡r-
--! -
, 1
- 1--
--¡_
l_ -~--~
E-'-,
-¡
-1
_ -·
·---
~---
~-~--~
---1--
r-~__¡
1 ___ ~-
-l--
~~--
~--r
--r-
--t-
eh
J.
1 ..;
.. -
1 .l
. 1
i l
i !
i '
1 1
1 :
_t 1
1 •
1 1
¡ 1
1 i
' i
1 1
! 1
' 1
1 1
1 !
1
;-¡ ·r·
v----
-F
L-
1 ¡-~
r
: -¡=1
~~¡=-=r
= =-=
-----
---f--
-~-~--
==~-
!_r+
f--_j
_~~
-:=rH
-+~--e
---t-
~ :
1 :
, IT
--
¡ --í
--¡---
[ ¡-~--
--+
-t-
-,
1 1
f 1
l 1
1 H
---
----
:--¡-
1 -e-
l--r-
: ,
, 1 1
1 1
1 1
, 1
t----~
--:--,
-:- 1 ,,
---
-'-
------------
1 1
1 1 +
,
1 1 IT
1 1
1 1
1 1
1 ,
1
+ ---¡-
---r--
-¡---, --
·r---,--
-----
----
-r--
---h---
--r--
· ___ , r
-+-l
1 1
1 ,
1 1
: 1
1 !
· 1
r H.
r----r
----1
1 1
1 1
:
--r-·r
-r·¡--
·1·--r
-~,
! 1
• 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1 _-r
1
1
--+-+-
-t-r-+-
i --H---
: 1 1 1
1 1 H+
H-t-H
-+
, 1
1 , -~i-
+--+--1-
---li'--
+--+-+-t
--+-+--+
----iC-_
_J --
f -~-f-
--t-1-
-1 --t--
~+-L
_ _u __ L
-t-t--t-
-t-J-f-1
---i' -l-
+-f--
l4-t. -+
-~--~-Fr -i--
---r-,-1
-4--r-+
1 ---+
---+
--+
--+
--t-
---1
-;
,, ... 1
1,,1
11
1
11
1.
'1
.
1 1
1
:rt-i
----
r H-H
-t-H
1
i 1 1
1 1 1 1
1 1
1 1 il
l~ 1 1
'fT' :
1
' :
: !-+
--+--!
---+--
~-&
--r-r--H-~-1-H
1 1 1
H-H
1 1 1 f
1 -H
" 1
I-H---+
--l--l--
+-+---1 r--+
l---l-l-
-+--¡ +
---l
--¡ -t+
+-i+
r-H-+
tt+t-H
t++t
l J_
Jt-f
--r---+1 -_
=-'
-::1 =:::
--+--~·-
:,=,---+
---t-'-:
: 1
! 1
1 !
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
--T
,I
1,
1 R
1
, 1
1 1+
· Ll
¡ ¡
-1
__
_ ,
-+-
H 1
1
· ·--¡--
r '
----
----
---
-----r
~--! -¡-
-i
[ --~
-1----
------
r-r--
·--1-=
' I+H
-1---:
i-~
--,--r
---
---
----
--t-
-~--
-+--
---l
-it~
~c-
~:-J
TiT-
ff
---¡
1 1
cr-r-iF--~
1 r 1
_u
1 fj'_
L 1_
-~ J¡_
:::: -+
-:-re-
-----
-~ :::·
--:---::
:¡_ ;:::
=-r-=: ~
=-~ --
-c-::L
c--~-E
' j-~ft-~ij--
__ 1 i ~-
~ 1
--=e
----_
_jl_
_ .
___ 1 __
_
---
---¡--
----¡
---
-\--
-----t-
r ¡--
r-n-
=t_~
t . 1
--
:~~~F=
f--=--
l=r---
------
------
-------
--------
---------
--------
---+---r
·--¡--tT
-r-¡·-
r-r-t-
¡----1
--IT
-r-l t-
[_¡ m!~i-1=-~ i l-~--f- -----+--=~-r------~bl ____ ¡__l----r--±1 1 f=}fjLIL_ 1---~-:---¡---}--r---.-+-:-+--- 1 ri- -r-~r--iH __ , +1--,-- .:¡---~-j~- -~-l 1 1-H f +- ~-¡-¡ -- -~-- ¡ j ' i---1--'--- ---- -¡-_¡__ - J __ ¡ ___ j- L-t-+--.. .__1 _[__----t-. :---, l 1 i 1 --H l 1 1 ' ' 1 ,--¡---+--¡--- -~-- -¡------ --'---~·-¡---¡---¡-- -r--1-~-¡-!--¡r- ~oC> l , 1 r-- ~-,-~ . 1 i ~--¡-¡--¡- -f- 1 - --- -+-¡ 1 1
. --¡-¡-·--¡- -1--1 ¡ __ ,___ '-'-'-·- ~~- --- ---- ~ 1---¡~- ¡ ¡--¡J::_t_[ l-~ -1------- 1 H--1- ! 1 l jJ± :=r~-h--1----+==-~~= ---__ , __ --- ---~---= -r--l.=-F---+8= • +-r-+1[1 1 ~~ . _ .IIT! 1 1-t_ ¡--:--:---¡- -¡-~ 1 1
1
~+--+- , ---11---~-'IL\--r ' \-T ¡---~-~-- 1 i 1 1 1 1 1 ! 1 :
!-. --~-'~·00 -¡ 1 1 ,1:-f--f-- . 1 L ~-~ 1 , 1
L ____ : __ l_. __ 1 ' 1 : 1 __j 1 1
l_ '_Lj ___ 1 l_t-i-+- 1 1 1
1 ! 1 • 1 l
1~--l~~L ' _ i :+tt-, , r , 1
1 1 1
1
l : r i1_ --~,---~~0!,.. m. 1
1 lw_:, rl __ !1' 1 L 1 ! !+1 ¡ , ¡-
~~¿ 1 ~ ... l i 1 ~ ; 1 1 1 ¡-¡--- - -- ---¡-¡ ~--¡~¡ --¡-~:--¡--¡ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 !1 1 i i !
J:!:---¡--~ ---¡ --~~~n::--l--~~~ , t---+-,-:- 1 r---w ¡ : 1
1 :>-¡--¡-, -r , 1 1 L 1
1• 1 1 , 1 1 t-~ ¡--¡ ,
1
rEr t ' __ -r ¡ ¡ r-· -~ n-t 1 -· ¡-r----l- 1 1 ' i 1
Ll :.:
1 pi·-¡400-- ' 1 . ' 1 • 1 i ¡~-- . ' L~L-+-_i ___ !___j_+- 1 1 j __ i
1
Ht-_ i 1 i l K1 1
• ' , ! ¡, 1 1· 11 1 1 1
1 j 1 1 1 1 1 f 1 1
~-~-;¡---: 1 11!!11 ''1 1 11 li!
tt-~1'--FJ= --!1 -ll ,! ¡' ,1 ____L¡l i L--~~-~¡~--1-= -r-- -i 1 lj 1 : ~
~~-,sy ! ! :! 1 ¡ 1 i i l m i ll¡ ' : '! ! ; ; L~L-~_¡____ i 1 l 1 i 1 l 1 Ti -- -+ 1 ¡--, ' 1
1 1 !_~l____j----1
1~: i ¡ l 1 1 1 1 l i l 1 1 ' 1 _j_ 1 1 ! 1 1 ¡ 1
1 1 i 1
H--¡--, ¡ ¡ 1.1 1 1 ' 1-1 -~ ~~-- T ¡ 1 1 1 -r--1-t-:--:-- ¡ 1 1 i 1 1 1 l_j 1 _[-.----t--+--11--t--+--+!--+--i--t-+--l--t----i
f-~--: 200-· --l 1
_j____, -- ++--= __ _L
1
-t-- ~---- _ , 1 i 1 1 L ___ l i L 1 1 ¡-~+----~--'----'- : 1 1 1 1 , J. r 1 1 Ll 1
1 -' 1 1 ! 1 i 1 i -; ¡-1---:-- ; .. _: ___ --!-+--: -¡¡· : : 1 ! 1 ~1-r- 1 1 1 1 l ~ 1
: : : :
l-- l_: --+- ----;-:-. -i-1-:r-t--i -¡ -~-¡-¡---¡- --1-J--r--¡-----·---1-- -:-t--l-H+
f--- : -- ~~o. -----· -¡-¡--1-r----l-i-·-:-·--J--:-- _ _j_j_U __ +_~¡ 1 ! : _ _J__L__j__: __ , -
¡--+---- -~-f-+-;----1-----r-r-: __ ! ~:-l-- u L ~¡ 11 H:hL ¡--!--+-- : ' ~ : ¡- : -- ·- --~-f---1 -f---~- ¡-1-1-~-~-1-- -t--i-~ 1 - 1 j Ll 1 1_[ :-~-1-+--¡ ___ ¡ __ r--t.-~-¡.~~;~~-~--- --: -~-~-;---1 -;--: -:--;--:,--_¡ __ -¡-1[-fi 1 ~---¡-- Li I~L· ' +-t---¡--1-l-:---r-1 ' : - ___ ¡ __ ~-:- -:---[---[ ___ : ___ ! ___ +-!--;-----1-!--¡---1 -L-f-,--1 ¡--¡-¡---:-1 1----, -i-f-¡1
--: -i-+-- - --· --0 ; 1 ' ' 1 1 : 1 ' ' : 1 1 •
i : : ' ' : : ' ' ' : ! 1 t 1 ' 1 1
1 1 1 1 : l 1 ·~ 1 ' i 1 ' ' --:---:-- -+---.-·---:zqo+zo!la-·- -20~ ;-ozo~-i--too4--l-tosL&o'-·--lo7-¡1-to2. Lo¡o.,-~-'t·ao! ~~ &-1--~~6.-r· za~-,g-1'-!.-¡-, 1L i . ¡ i ' 1 ! 1 • • : 1 ! 1 L' L' 1-+--i j1 1 1 i ! 1 1 ! 1 ¡ ! . 1 1 1 ,,
4
,---¡--¡---~---¡-:·--:-:-¡-·¡--¡-·:·---L--r¡-¡-¡-! -, -¡ 1 :---~ l 1 1 ! : i i i ~-T-~~ i ' ;
f- i -------:-- ¡ --;--- ¡-- ¡- l- F-¡6-s-:-~? oif,'--olñ-J-r ~--r F. c:e:¿;y_~· -en-~-i~-~~,-~~-:.1..-~1~~ii~ ; . --1-1-- --; ------.-~ -; ,. ~---·--,-f-.!+-------~-----¡ 1 :.__¡1--¡.r-- ~~"' 1 1 ~1 ·~--+--+---+---1 ~ ': ;: 1 1
17
guiente fórmula:
N
dónde donde k es el número de clases.
Ejemplo: Utilizando las observaciones del porcentaje de individuos en cada • estado de 65 o mas afias de edad, ~enemas
Los tres tipos de medida de tendencia central más usados son la mediana, la
moda y las medias (aritmética, geométrica y arm~nica).
Me di a na: Este parámetro se determina a· partir de 1 as observaciones ordenadas
en forma ascendente y corresponde a la observación localizada en la mitad de
la lista si el número de observaciones es impar. Si es número par se toma el
promedio de las 2 observacio nes centrales.
Moda (M): Es el valor de X en una colección que ocurre con mayor frecuencia.
Media Geométrica (G} está dada por
N G A \1-:x. ' ":1( 1. • • • ~ N
18
La Media Armónica (A) está dada por
A-= ~(-f.:) i:. 1
3.2.2. Medidas de Dispersión.
' 1.)
A fin de determinar ei grado de dispersión de los datos y como consecuencia
obtener una mejor descripción de los mismos se tiene este tipo de parámetros,
los más comúnmente usados son: Rango, Desviación Media, Varanza, Desviación
Estandard y Coeficiente de Variación.
a) Rango: Está definido por :
R: 'XN- X 1
b) Desviación Media: Está definida por
N
:2-l'J~ .. JAmJ ( l. &.1
ó rt\ :' ------N
/9
e) Varianza: Está definida por :
N )'1 ~ (:x¡- }A <r, :: _\_ ... _, ___ _ (j)
N
y para datos agrupados por:
("J'Z = ~
~ fd~i .. }-') 2
¡: 1
N
d) Desviación Estandar (d) se define como la raíz cuadrada de la varianza.
Ejemplo: para los datos de la tabla l.
A?ll~~d.o (!) ~ 2: ( '· s; - 8. o" "t) \ +( 'i." . & . o" 1) ;. . .. + ('. ~ - 8. o " 1\ 'l =
4& <r ':. J ·4b (.
A?'\~ ~el Cl (V ) ?.
<f'l& j(S'.oS'- 8·D6»1-).,_ "{~.o~-S.o'-:J.~+ ... +A(II.a~i: .. 'a,oC../ = 4'0
e) El Coeficiente de Variación está dado por:
1 • 4 f. :: b.\ ~ ' ' ~.o' 1
Ejemplos. Demostrar que:
• 2. 1 ?> 1·
\
1.- La varianza de N valores dados X1 X2, .••
.:1 v.i- ( .~ ~~)¡'N t:.l ,:.,
XN está dada por
N
2.- Sumando una constante (positiva o negativa) a cada uno de los N valo-
res, incrementa a la media la misma constante pero no afecta la varian
za ni la desviación estándar.
3.- Multiplicando cada uno de los N valores por una constante, multiplica la
media por esta constante y la varianza por la constante al cuadrado.
Sesión 7
Sesi6n 8
Sesi6n 9
CURSO INTENSIVO DE
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
FUNDAMENTOS V APLICACIONES
ING. FERNANDO GOMEZ JARDON
14-IX-72
19-IX-72
· 21-IX-72
Modelos Probabilfsticos Clásicos
Estimaci6n de Parámetros de los Modelos.
Pruebas de Hip6tesis.
DISTRIBUCION BINOMIAL O DE BERNOULLI
Experimentos tipo BERNOULLI son aquellos experimentos independientes en que -
sus resultados solo pueden ser dos: EXITO o FRACASO. Ambos mutuamente exclusi
vos e incompatibles
Ejem: el ganar o perder un concurso. el estar defectuosa o n6 alguna pieza fabricada.
el utilizar un dispositivo o n6, etc.
Probabilidad individual de ocurrencia (o de éxito) pes la probabilidad que en
cada experimento de tipo Bernoulli se tenga un éxito. Como el éxito y el fra
caso consideran exhaustivamente al espacio de eventos y si se designa con q: a
la probabilidad de fracaso. se debe cumplir
La función de distribuci6n Binomial es un modelo probabilfstico que permite -
calcular la probabilidad de que en n experimentos de tipo Bernoulli se obte~
gan x éxitos. Por lo tanto la variable aleatoria x puede escribirse como:
donde
X a ,, + e;. .. + • • • +"'!-"
~¡=variable aleatoria que puede tomar los valores
O cuando se verifica el evento .F que representa
fracaso
1 cuando se verifica el evento E que representa
éxito.
2.~
sab iendo además que
P<e) ~ P 1=>(P) - ~- (l-p)
~osibilidad de obtener x éxitos en n experimentos serfa:
como los experimentos son independientes, ·la probabilidad de las interseccio
nes de eventos se puede calcular mediante el producto de las respectivas pro -
babilidades independientes de cada uno de los eventos intersectados, o sea que
lo anterior será igual a:
Pero lo anterior representa sólo una de las combinaciones de ocurrencias de -
éxitos y fracasos que satisfacen el que en n experimentos se.tengan x éxi
tos, donde estos últimos pueden aparecer en cualquier orden. Por lo que habrá
que multiplicar la expresi6n pX(l-p)n-x (constante)ya que el orden de los fac
tores no altera al producto) por el número de permutaciones que pueden realizar
se con n elementos donde x son iguales y n-x tambi~n,. es decir:
finalmente la probabilidad de obtener x éxitos en n experimentos de tipo -
Bernoulli queda:
3.-
que es la funci6n de distribución de probabilidades Binomial o de Bernoulli
B ( n , p) c:OI'\
4.- .
LA DISTRIBUCION GEOMETRICA.
Considerando también experimentos de tipo Bernoulli puede interesar calcular -
la probabilidad de que el primer éxito ocurra·en e1 n-~s1mo experimento o sea
PN{D), la cual se puede calcular tomando en cuenta lo visto para·la distribu
ci6n Binomial, como sigue:
que es la distribuci6n de probabilidad Geométrica G (n). n es el número del -
experimento donde ocurre el primer éxito.
(perfodo medio de retorno)
\-'p_ p:a,
5.-
Ejemplo:
Si la probabilidad de que la cotizac16n de un contratista sea baja en cada una
de 3 propuestas independientes es 1/3, calcular la d1str1buc1~n de probab111d~
des del número de propuestas exitosas seria: ~ . o (~) ( ~) o ( l i) 3
= 8/27 ' ¡ • ~ 1
1 { ~ ) (; ) 1
( 1 i) 2 = 12/27 ' . .
2 ( ~) ( t) 2 0 i-) 1 = 6/27
a) la probabilidad de que no gane serfa cercana a 1/3 ( &h-,) '
b) la probabilidad de que gane cuando más 2 seria
t>[)( t..:z.]:. ~(o)+ ~(.~)+ ~(-:L)
== ) - b(3) = ~ r>< . ~1
e) la probabilidad de que gane al menos 2 seria
"P[>< ~ '2.,- h(.4) + \:::) (3) - J._ :A ()( \ ')t il
aproximadamente igual a la probab iidad de que no gane ningún concurso.
Si la decisión de los concursos se hace una por mes en los siguientes tres me
ses. La probabilidad de que se gane el primer concurso:
6.-'
' ,_' e 1 1 er. mes ~ ( 1) -= (J -k J ( ~) _ ~ =- <e,~~
el 2o. mes ~ (:¿.) =(J- ~ )-'( ~) = -;- =- a. z-:¿_
el 3er. mes ~ (3)= (1-~)'(~) • ~ra o.,4.&
'
7.-
DISTRIBUCION DE POISSON
Cuando se tiene un número muy grande de experimentos de tipo Bernoulli donde-
no es posible identificarlos individualmente a cada uno de ellos, por ejemplo,
cuando los sucesos pueden ocurrir en cualquier instante de un intervalo de tie~
po o· en cualquier punto a lo largo de una lfnea o de una superficie, surge el -
modelo de la distribuci6n de POISSON también denominado de ocurrencias aleatorias.
A partir de la distribuci6n de BERNOULLI Px{n)=(~) pX(l-p)n-x se puede cal -
cular la probabilidad de que en un intervalo de tiempo t = n segundos, {que -
equivalen cada uno de ellos a experimentos de tipo Bernoulli) ocurran x suce
sos, conociendo que la probabilidad individual de ocurrencia en cada segundo es
p y despreciando la probabilidad de que ocurran 2 6 más sucesos en un mismo se
gundo o experimento. Sin embargo, puede convenir considerar duraciones de tiem . -po cada vez más y más pequeñas, con lo cual el número de experimentos de tipo -
Bernoulli crecen {n->oo), pero al mismo tiempo la ,probabilidad de ocurrencia -
disminuye (p ~O) , debiéndose mantener constante el número esperado de eventos.
· •o todo el intervalo, igual a np= -i> •
Tomando en cuenta lo anterior en la distr1buci6n Bernoulli:
8.-
si se toma el límite de la expresión anterior cuando n-.. oo manteniendo -
.. constante -i) y sabiendo ,que: . -\) , _-i)
)lm e J-.,-)= e \1--"VC:O
resulta la distribución de.Poisson.
Algunas propiedades:
-v e
~ es el valor esperando del número de ocurrencias en el intervalo de
tiempo considerado.
x es el número de ocurrencias que pueden presentarse en el intervalo de
tiempo estudiado.
Es una distribución de probabilidades "regenerativa" (Significa que la suma de
dos o más variables aleatorias de Poisson con parámetros ""V,,-J~, ..... 1 -i)~ da por resultado otra variable aleatoria también de Poisson con parámetro. -J"" ,), + .,)2. t- ••• T,) 1').
Con ob~eto de· facilitar la aplicación práctica de la fórmula de Poisson se sus
tituye -i) por >J donde A representa la tasa media (valor esperado) del núme
ro de ocurrencias para un intervalo unitario (un segundo, un minuto, etc) y t ' .
el número de intervalos unitarios considerados, de tal manera que el producto ~t=V (constante) constituye el valor esperado de ocurrencias en el intervalo total
9.-
de .tiempo form~do por t intervalos unitarios; por lo tanto: .
Lo anterior también puede verse facilmente a partir de la propiedad regenerati
va, donde cada uno de los intervalos agregados corresponderfa a una variable
tleatoria sumada.
La deducción de la distribución de Poisson a partir de la Binomial sugiere la
utilización de la primera cuando n es grande y p chica facilitando notabl~
mente los cálculos que implica la Binomial, sobre todo cuando n es grande.
Para efectos prácticos esta sustitución puede hacerse sin pérdida de precisión
cuando se cumple que n~ 50 y np" 5.
1 o.-
DISTRIBUCION DE POISSON (ej~I'Y\ p\o)
Si el número promedio de llamadas que llegan por minuto a- un conmutador telefó
nico es de 2.5, calcular la probabilidad de que en 2 minutos se reciban más de
3 llamadas. f A.t \-<. -lt ( '\ ~ _ .2.S" 2.. S"" -5 ... b'~) -~-L e. -= _ ~.St«2:J. o e..
rx' "~ -x. 1 '- = -,zr
Px(O) =
Px(l) = 5 e-5
1 i o
= e-5
= 5e-5
Px( 2)= 52 e-5 = 25 e-5 = 12.5e-5 21 2
o
Px(3) = 53 e-5
3 1 o
= 125 e-5 6
= 2.083e-5
Fx(3
) = 20.583 e·5 = 20.583 X O. 00668 = 0.137
1 - 0.137 = 0.863
-
J.
11.-
DISTRIBUCION EXPONENCIAL.
Si se considera un proceso de ocurrencias aleatorias cuyo número en un inter - •
valo dado de tiempo t tiene una probabilidad que puede obtenerse mediante -
f6rmula de Poisson, e interesa calcular la probabilidad de los tiempos entre - .
ocurrencias,cuyos valores se representen a trav~s de la variable aleatoria T, puede efectuarse el siguiente razonamiento:
La probabilidad de que T sea mayor que algún valor del tiempo t debe ser -
igual a la probabilidad de que no ocurran exentos en el interval~ de tiempo t, o sea:
· -At + (t)=- ).e. T.
que es la distribuci6n de·probabilidad expo
nencial con las siguientes propiedades:
}lT= ~ /\~= _L v-r /t
?\ es la tasa media de ocurrencia de los eventos
por unidad de tiempo.
T es el tiempo entre ocurrencias.
'i
• 12.-
DISTRIBUCION EXPONENCIAL (~jert"\p\o)
Si se sabe que a una gasolinería llegan a razón de 3 automóviles cada 10 minu-. .
tos, cual es la probabilidad de que el encargado de una bomba tenga que espe -
rar más de 5 minutos sin despachar •
'") __ 3 1\- 10
• )
automóviles por minutoo
~ r--;P~\odt&cuJ. ~e.. ~ ~':~ 9\.A.4 ~~\ 5rn•nu\-os ~ad:aV'\"'\"C.Y\.t-e ~~ ~
fr (5) = o.J e-1.5 = 0.0669
~ jbo.b\1\d.oc\ c::4e ~k~~ c::rUQ ~re~~ 'h'r4 c:k '5'~\n.v\os
-p[T~SJ =- ) - F¡.Cs) (\ -~\:) -A.~
=}-~-e _e - o.~JC.S e .
= = e ,.se: o. 22.4
Q
1,
rl •• ' ......
13.-
DISTRIBUCION NORMAL O DE GAUSS.
·Este modelo probab111st1co ocurre b's1camente cuando la incertidumbre sobre una variable física es el resultado de los efectos combinados de muchas otras vari~
ples cuyo análisis por separado resultaría demasiado complejo o no se justifica.
' También se le denomina a este modelo el MODELO de SUMAS, debido a que puede de-
mostrarse que en general la distribución de probabilidades de una suma de varia
bles aleatorias se aproxima a una distribución, sobre todo cuando el número de
variables sumadas es grande y ninguna de ellas es demasiado significativa res -
pecto a las demás. (Teorema del límite central)G
Como ejemplos se pueden plantear los errores en la medida de una distancia ob
tenida mediante varios tramos de mismo·· tamaño; el tiempo en realizar una obra que consta de una serie de actividades, con sus respectivas duraciones, etc. ·
Aparte de lo anterior esta distribuci6n se utiliza en ocasiones en que a pesar
de que el hecho que trata de representarse no corresponde a una suma de varia
bles aleatorias su figura acampanada se ajusta al comportamiento por represen-
tar. 1 ':Ji 1 : l ;
e e: ~.,,g~t& .. T¡f Cl ~. f 4J/o 1
(variable aleatoria continua)
)
. i '' ''
Pro pi edades:
1) Es simétrica respecto al eje ~ =J!x
2) El máximo está en ?(. = )Jx
,.
3) Cuando ~ tiende a es asintótica con el eje "
Supóngase ahora que se desea calcular t'I((')G) b
l{<=l "JC. ~ b) -. J A ~1ii cr~
Q..
14.-
Como este tipo de cálculos es muy frecuente, es necesario buscar un artificio
que en la práctica penmita obtenerlo~ de manera sencilla y por lo tanto se pr~
cede de la siguiente forma, denominada LA ESTANDARIZACION de la variable alea-
toria:
Sea el cambio de variable
-x.- JA... d=--- d~ ~ e:. - _._ • 71-
(f)C. ,1 & . -~- o- }1,t. G\.. "X. :. O. j -,:;;;
~
'X- b j ~ =- b- Y.~t
con lo que ~
1 ' 15.-
Si se observa la funci6n que se esta integrando se puede afirmar que se trata
de otra funci6n de distrib uci6n normal denominada ESTANDARIZADA y que se e~ J.
Tll.der&~ por tener jJx = O y ()'x2 =. 1, o sea N {0,1) cuya gráfica se-
ría: fzc~)
La importancia de lo anterior radica en el hecho de que CUALQUIER tipo de dis
tribución normal N {Jlx, (fx) puede transfonnarse a una N (O, 1) la cual se e11
cuentra tabulada en casi todos los libros de Probabilidad y/o Estadística con -
lo que se facilita notablemente el manejo de·esta distr~bución de probabilida -
des.
16 ....
La distribuci6n Normal o de Gauss también se emplea como una adecuada aproximación a otras distribuciones, a~n del tipo discreto1 para facilitar su c~lculo •.
En el caso de la d1str1buc16n B1nom1al su aprox1mac16n es buena cuando n es
grande y p está alejado de cero y uno (se recomienda en la práctica cuando
np y nq son~ 5). Entonces la variable estandarizada ~ = x - np npq
se -
comporta
Poisson,
utilizar
aproximadamente como una N (0, 1). Trat&ndose de la distribuci6n de
esta se aproxima a la normal para valores .de ,J grandes. pudiendose
en tal caso a la variable ~- ~ _1) distribuida.N (0,1). w p.,).<>. F-ltu.. r"'" 'l<>ior~ ~ .. -j):;,. lO •
. ...
17.-
Problema ilustrativo para la aproximación de la distribución normal a la bino
mial.
En un crucero donde la mitad de los vehículos que llegan de vuelta hacia la iz
quierda, encontrar la probabilidad de que entre 3 y 6 autos de 10 que llegan al ·l crucero vayan a dar vuelta.
a) Usando la distribución Binomial.
b) Usando la aproximación a la Normal.
<?-) B(np ,~nR-) p~ ~
~(a~«-~~)-=- R (.~) + ~(4)+-&Cs)+ 9 (6)
':2.10 -----lo':2.4
lOL lO .-'2,.6'2.
Px(5 ')=:. C-k) = ---\024-
5t5~
\~ (6) .= ~o'! (±)o= ~lO
A~ G~ 10?.4
18.-
• J
! "" ~ A S ~
--- --- -- ----- ____ J m)(• np j
b·S"-~ CJ.,.. =- o.,~
~ 2.'5 ,
tz(=l)
~ (:J.ss ~~6 o,qs)= f0.c;~~~".s)
= o.111B (de:: \a.:!a 1:A \o~)
ESTIMACION DE LOS PARAMETROS DEL MODELO
Para que los modelos probabil1stfcos dejen de ser una mera concepción teóri
, ca y puedan utilizarse en la práctica como modelos del comportamiento real -
'. de 1 os elementos de 1 a POBLACION que pretenden representar, es necesario, en
primer lugar, estimar los parámetros contenidos en dichos modelos y en segu~
do lugar estudiar la naturaleza de estos últimos como variables aleatorias.
Teóricamente, los parámetros de los modelos (e) se pueden obtener como una -
función de los elementos de la POBLACION, es decir 9= 9("'.,-x...:...J ... )
Sin embargo, esta situación resulta dificil llevarla a cabo principalmente
por el número de elementos de la población que en muchas ocasiones llega a
ser infinito.
Para la distribución Normal o de Gauss los parámetros son:
En vista de la dificultad señalada, se recurre a estimar los parámetros
a partir de las ESTADISTICA$ muestrales o simplemente estadfsticas (~) que se
obtienen en función de los n elementos de una MUESTRA (de tamaño n) que es
un subconjunto finito de la POBLACION, o sea:
Como e~ factl suponer, las estad~sttcas para una misma poblaci~n pueden tener
diferentes va 1 ores dependi'endo estre. otras cosas de 1 a mecanica del muestreo •.
por lo que, como se dijo anteriormente es necesario estudiarlas considerándo-
las como variables aleatorias. dando lugar a lo que se denomina DISTRIBUCIO~
NES MUESTRALES.
Como ejemplos de estadisticas se tienen la media y la variancia de las mues-
tras:
'1"\
"-= ~ ~1 ~~ = F Ú' J ( 't\"\ol"t'\e(\-to d~ otden \li'G i'e::.r:o=-+o ~ on(¡r')
s~~ = L i (1'.¡-":iZ)"L.:. g [c."_:;n"l.] {-moft'\-e't\~0 <\~o'Oecl :L (le'Sr Q. Jo.. mecliA.) (\ ~·· .
De acuerdo con lo anterior, es importante distinguir en el proceso de adapta-
ci6n de los modelos probabilfsticos a la realidad1 3 tipos diferentes de incer
tidumbre, a saber:
1) La que resulta de la naturaleza aleatoria del fenómeno por analizar y que
es irreductible.
2) La que resulta de la estimaci6n de los parámetros del modelo, llamada inceL
tidumbre estadística, que puede reducirse en la medida en que se observe un
mayor número de dato~y
3) La que resulta de la forma del modelo en si, en cuanto a que si el modelo -
realmente representa al fenómeno, la cual también puede disminuirse incre-
mentando el número de observaciones.
METODO DE LOS MOMENTOS
Este método consiste en estimar los momentos de modelo probabilístico propue~
to cy)l! ) (J)t. ~) a partir de los momentos de correspondientes la muestra
( ;¿) -sl:" ) d-c,,de • Normalmente si los -
parámetros no son equiva 1 entes a a 1 guno~. de 1 os momentos • es posible contar -
con una expresi6n matemática que los relacio~eu como en el caso de la di~tr.i
buci6n exponencia 1 donde f, .:: * y por tanto ~ = ~ D por ·
ejemplo,
EJEMPLO 1 (OBTENCION DE LOS PARAMETROS DE UNA DISTRIBUCION NORMAL)
Se trata de adaptar el modelo de la distribuci6n Normal a la resistencia de -
vigas de concreto reforzado.
DATOS DATOS
No. de Prueba Resistencia No. de Prueba Resistencia
1 8560 14 8460 2 8700 15 8500 3 8420 16 8420
(
4 8580 17 8500 5 8460 18 8620 6 8440 19 8440 7 8460 20 8420
DATOS DATOS
No. de Prueba Res"tstenc\a No, de Prueba Resistencia
8 8440 21 8420
9 8550 22 8410
10 8430 23' 8700
11 8620 24 8360
12 8580: 25 8310
13 8650 26 8330 27 8510
d ... ....Je. fl n'\c:dd o '-.u l-tt-«W ~('O... ::r.,
=x = 84go J _ .L ~"'. M~o ')
t. ('t) = e ~ ·o~
-s;:::. \o ~'l.Z. jb?Jd 6x = \o:, )(
EJEr1PLO 2 (OBTENCION DEL PARAMETRO DE UNA DISTRIBUCION EXPONENCIAL)
Se supone un tráfico Po~soniano y se tienen los datos observados de los tiempos entre llegadas de veh1culos clasificados en intervalos de clases de un -minuto, según se muestra en la siguente tabla.
Tiempos entre Frecuencia Tiempos entre Frecuencia 11 egadas llegadas
1
0-1 18 14-1511 3
1-2 25 ' 115W1[6, 3··1
2-3 21 16-17 6
3-4 13 17-18 4 4-5 11 18-19 3 5-6 15 19-20 3 6-7 16 '
1 20-21 1
Tiempos entre 11 egadas
7-8
8-9 9-10
10-11
11-12
12-13
-e- ~oC'Id.e'
:Z t\.f·, = !64-o -
Frecue.nci.a
12
11
11
8
12 6
t=l·<ób~~ . _>.,t ~·elo = \(-!;)-A. e
1 u .:: _L í\ o;:. -
/T A 1 f-r
T\empos entre. 11 e.gadas
2J .... 22
22-23
23-24 24-25 25-26 26-27 28-29 29-30 30-31
Fre.cuenci.a
1
1
o 1
o 1
1
2
1
según el metodo de los momentos el estimador de f-r es t; í r .. .•. : :; •
~ = L ..,. j_ = o.l~o {," t ''"" 1 o; <J
·por lo tanto la probabilidad de que el tiempo entre llegadas fuera entre 8 y 10 segundos se podría calcular
-o.&!.oúo') [ -o.¡~can fTÚo)- r=TCs)= \-e - 11- e ..J
-4.o~ '-l.~ -= e - e -. o.o~~
INTERVALOS DE CONFIANZA
Este método» a diferencia del de los momentos y del de máxima verosimilitud -
que penmiten una estimaci6n puntual» es decir un valor único, conduce a la es
timaci6n de un intervalo donde con cierta probabilidad(confianza) se encuentra
1 \ , • 1 , 1 1 ¡: 11. ~ , • , 1 , 1...1 1 ·, L 1 ~ ,1 l • ~.... , , , e 1 1 1
el parámetro por esttro~r. La apl\caci6n de este método requiere del conce~ '
to de distribuctones muestrales que se vera a continuact6n • .
DISTRIBUCIONES MU~S~tES'
Si se considera el número de muestras del mic;1110 tamaño con P.lemf>ntoo; inrlPpPn
dientes que pueden extraerse de una oohlaci6n y,que con c~na unn de ellas se
puede calcular una estadistica es fácil p~ns~r ~ue para los distintos valores ' J
de esta última,considerada como variable aleatoria, se puede obtener una dis
tribución. de ,prQbq.pil i,Q~Qe~ •. ,que,,e¡S .1~ ¡d~J1QII)Üt~dA..,0.4SJJU.a~C~.P~Jl~~ST~ML,.,, ,, -t(f;)t ! ' -
1 ó~ &
Estimador insesgado se define como aquel que ~[1a]: ~ o sea que la
media de su distribución muestral es igual al parámetro por estimar.
La distribución muestral de las medias corresponde a aquella distribución don
de la variable aleatoria es la media de las muestras de un mismo tamaño que -
pueden extraerse de una población. Esta distribución tiene como propiedades -
más importantes a las siguientes:
1) Para poblaciones infinitas con cualquier distribuci6n de probabilidad o
muestreando con reemplazo se tiene una distribuci6n con:
\fx-n -\:.o'{'(\oL(\0 ~ ~a.. m"eoe;.~(O....
1 ~
~ ~ VM\oi\M cf-lo. '\'clo~olt\,
2) Para poblaciones finitas de tamaño Nu con cualquier distribución de pro
babilidad muestreando sin reemplazo, la distribución tiene:
11 -to.~c) dG lo.. 'n'~~
\J -l:o.ma.ño ~ J.a.. Jb\aóo~ /
W:vi ~a. cA=(' ~-e: a:.Hc-~1...o "'l
~-iJ-\ lr P>.nv:I~o 1c-lo. Jbla..c{c:/ "'-'
3) Para poblaciones co·n cua 1 quier distribución de probabilidades y muestrea!!..
do con muestras grandes.( para efectos prácticos n~ -oo) la distribu-
ción muestral se aproxima a una distribución Normalo
4) Para poblaciones distribuidas normalmente N (f?(. >~) y para cualquier
tamaño de muestras la distribución muestral es una distribución normal.
En el caso de que se muestree a una poblaci~n infinita (o con reemplazo}
utilizando muestras grandes y considerando que los valores de las medias~
corresponden a muestras ~ás representativas en la medida en que aquellos -
se acerquen más a su valor esperado,y si se tiene una confianza en el mues
treo (de acuerdo con su mecánica de obtención} de que se obtendrá una de --.. 1 as muestras que este dentro del (1~0() • ~ (nivel de confianza)más representa-
tivas, el valor obtenido en el muestreo estara en el intervalo A~~~~
~ b "(..
'-._ "o.lor- ~~;-.,~-.:=¡ lo..mu~t..c"""" Conforme a lo anterior es razonable pensar que con un Q-Oc') /t de confianza
el valor del parámetro por estimar estará dentro del intervalo ;z ± b.. , que será el intervalo de confianza del Q-o¡);( para el parámetro por estimar
que en este caso,será ~~
c:k Finalmente el valor de ~ y por consiguñente A y B en la figura anterior se
pueden obtener sabiendo que la distribuci6n muestral es una distribuci6n nor-
mal N (V.IIi. G'-.(. \que al estandarizarse en una distribución Ñ (oJl) los-J ) \7\ )
':1 puntos A y B corresponden a -:Z.t ~o-. ~c. respectivamente, de tal manera que
""P [- %-e !: l 6 ~ "] :::: } -o<
Por lo tanto aplicando la expresión del cambio de variable para la estanda·
rización. se tendrá:
:¡e = P-> - Y ~1 0« !m
. )
Quedando finalmente el 'intervalo de confianza del Q-o<) % para la .media de
la población.
Por otro lado puede d~ostrarse que S'!(. (desviaci6n estandar de la muestra) . .
tiende.~ 6'~ (desviación estandar de la población) cuando se trata de --
muestras grandes, y en este caso se pueden considerar iguales.
Por ejemplo, si la variable aleatoria x está distribuida
valo de confianza serta
\ ..
Si la v .a.x est~ distribuida B\noro'ialmente con media J"'t = '¡ ':\ <f)(== ~\'(\-~) (para cada experimento de tipo ~ernoulltl, el intervalo de confianza será
' A" IV\ ;z - }.l .... p -= - L..-,(.: / "< \ n " ... '
p- tp
Si la variable aleatorta t está distr'iouida seg.ún una exponencial con
\Á e:: ...L J.{ (f,. = l. {-r 7-.. .l A.
Si la variable aleatoria x esta distribuida segan una poisson con f< =""'\)
EJEl1PLO:
Si la proporción observada en una encuesta de 50 futuros inquilinos de una -
unidad habitacional, indica que 3 de cada 5 de ellos poseen automovil,lcuántos
estacionamientos deberán construirse para una unidad habitacional con 423 de-
partamentos teniendo una·confianza del 95%?
~ T j ,, '- o.C:. .. o.J. F- •"':110
1.---- ........ ----
lo que se transfonmaria a No de estacionamientos
Distribuciones muestrales para la variancia de las muestras (cuando la varia
ble x de la poólaci6n esta normalmente distribuida}
En este caso se puede demostrar que la estad1stica modificada ~
de la siguiente manera nsx ¡f)( "Z.. =
dad llamada ji cuadrada con
~~ tiene una distrióuci6n de probabili--1\ n-1
n-1 grados _de libertad la cual se encuentra
ampliamente tabulada como la Normal estandarizada. Conociendo esta propiedad
se puede obtener el int"ervalo de confianza para la -.:::.~ como se indica a -
continuaci6n
1 ' .
l' .
;' . ' ~J / 1 /¡ -c..J\1 / ¡ %
1v :/.1/ ::/.
' . ,1 1 / ,/ ,1 " ' • 1 1 ' . '
e:::} o nd e:- •
'\"\ ..._ ~o.mo.ño -4- ~ ,-y-¡oJe~-\-..-o-
['14. z..- "'"'no.'"'&A- c::;k ~1:1.. rob~a.cidY\, C.~.,;! de>\« .pv.Q. e:!"'""' (e<..I..'A-1 "-
:;;,i.= Vo.M\\Ct.~ Qe ~ 1Y\V41~-\n::r....
.,
•
haciendo transformáciones se llega a:
t[· nsz..J 6 0:-z f. Y\~: l= l-e{
X •. ,,~ t·', 1-"':o.
que es el intervalo de confianza del Q-oi)¡( para la varianc~a de la pobla-
ción.
Ejemplo: Encontrar el intervalo de confianza del 9S% para la desviación
estandar de la población si en una muestra de tamaño 25 se obtuvo una desvia-
ción estandar Sx. =}o Y\._. -:2-S
-:::5'¡(,-=\0
n-l=~
Nota: Si se trata de muestras grandes el intervalo se cierra considerablemen
te por lo que en ese caso se puede aceptar que
ESTIMACIONES DE MAXIMA VEROSIMILITUD
La mayor ventaja de este tipo de estimadores es que sus propiedades han sido -
ampliamente estudiadas independientemente de las distribuciones de probabiJidad . '-
'- • Lo 1...1'
de las variables aleator\as que dan lugar a dichos estimadores.
Esta mátodo an esencia recomienda a las estad~5ticas qua estiman a los para-
metros para l~s cuales la muestra extraida tiene mayor probabilidad de ser
el egida.
..
En efecto: sea la muestra de elementos independientes x1 , x2, ••• Xn para -
los cuales se puede definir una distribución conjunta de probabi-
" lidad (función de verosimilitud), en función de uno o varios par~
metr~s (condicionada a dichos parámetros} -fx '1( '( (')(,,"<,, ..• ,-x"'\&a,G";lJ···,~\e) = -fc")(,\€1,> ... ) t-c-x:~..\e-,, ... ) tC~\c-e-,J .. :)
'1 ':l.., ... , "'\ ....
::: 1¡1~ ('1(, 1 e,,C¡1 ... ,-&~t-) :::: \f (-<.e 1Xz
1,,,J"X." \&,jtiz,,·•;&it(.\
t.._, X.~ ( .('tJt\c(o~\. cJr- \lc\o!:.\'"'';\1~'-'d)
Después los valores de 9,, ~-¿_)'''~¡e: se obtienen haciendo maxima la función de
verosimilitud (por ejemplo, igualando a cero las derivadas parciales)
- ~ De esta manera se puede demostrar que !(. 'l ~ son estimadores de maxima verQ_
similitud
Ejemplo
ESTIMACION DE MAXIMA VEROSIMILITUD DEL PARAMETRO ;l DE UNA DISTRIBUCION DE
1
AREAS BAJO i..A
CURVA
NORMAL ESTANDARIZADA
;: o 1 2 . .
00 .OJOO .. all4o .0080 o 1 .0398 .0438 .0478 02 .o7J!3 :os32 .0871 0.3
1 .1179 .1217 .1255
0.4 . .1554 .1591 .1628 ,, . ,. 11.5 .IP15 .19&0 .1965
J.d24 06 ~2258 .:.!291 Ó.7 '.26&0 .2642 .2612
'ti" 0.8 .21!81 .2910 .2~39
',0.9 .3159 .3186 .3212
l. O .3413 .3438 .3461 1.l .3643 .3665 .3686 1.2 .3849 .3869 .3888 1.3 .4032 .4049 .4066 1.4 .4192 .4?.07 .4222
1.5 .4332 .4345 .4357 t.6 .4462 .4463 .4474 1.7 .4554 .4684 .45'i3 1.8 .4641 .4649 .4656 1.9 .4713 .4719 .4726
2.0 .4772 .4778 .4783 2.1 .4821 .4326 .4830 2.2 .4861 .4864 .4868 2.3 .41193 .4896 .4898 2.4 .4918 .4920 .4922
2.6 .4938 .4940 .4941 ?..6 .4953 .4955 .~956 2.7 .4965 14968 .4967 2.!1 .4974 .4975 .49'76 2:9 .4981 .4982 .498:
' .
3.0 .49!17 .4987 .4987 3.1 .4!1!10 .4991 .4991 !l2 .4993 .4993 .4994 •:!!4 .4995 .4995 :4995 3.-1 .4997 .4997 .4997
;
:!.5 .49!18 .4998 .499!1 . :l,f, . 4911!1 .4998 .499~
ru. .4!l!l9 .4999 .4999 , :l.R .4999 .41199 .'4!1'19
!4.9 .&000 .&000 .5000
3 4
- -·~ . .0,120 .0!60 .0517 .0557 .0910 .0948 .12~3 .1331 .1664 .1700
.2019 .2054
.23S7 .23(19
.2673 .2704
.2967 .2996 .32313 .3264
.3486 .3608
.3708 .3729
.391)7 .3&25
.4082 .4099
.423~ .4251
.4370 .4382
.4484 .4.t95
.4682 .4591
.4664 .4671
.4732 .4738
.4788 .4793
.4834 .4938
.4871 .4875
.4901 .4004
.492& .4927'
.4943 .4945
.4967 .4969
.4968 .496!1
.4977 .4977
.4983 .498"
.UBR .4988
.4991 .4992
.49ÍI4 .49114
.4906 .4996
.4997 .4997 .
.4998 .4998 .
.4999 .4C99
.4909 .4999
.4939 .4999
.50GO .5000' ,, i ,¡_
;; 6 7 8 9
· :oa·m ,031U .O:SIIO .0109 .02CP '
.0591J .0636 .0875 :o114 .07';4
.0997 .10'lG .106-1 .1103 .1141 '
.1.368 .14()6 .1-1-13 .14,80 .1517
.1736 .1772 .1808 .1844 .1879' ~ li'
.2088 .2123 .2157 .2190 .2224 .2454
\<;-'
.2549 .2422 .2486 .2518 '.\'
.285l' .2734 .2764 .2794 .2823 .3023 .305~ .:S07.ll .3l06 .3133 ' ,.,
.338o .3289 .3315 .3340 .a3G5
.3531 .3564 .367'7 .369!1 \ .3ti21 ¡
.3749 .3770 .37~0 .3810 .:itl:\0 ¡
.3944 .3962 .3980 .3997 .4015 !
.4115 .4131 .4147 .4162 .4177 :
.4285 .42'?9 .4292 .43~ .431!1 '
.4394 .4406 .4418 .4420 .44-11
.4505 .46~5 .4525 .4ñ36 .4545 '
.4599 .4608 .• 4616 .4.625 .463:i
.4678 .4086 .4693 .4600 .4706
.4744 .4750 .4756 .4761 .4767 j
.47P8 .4RC\3 .4808 .4812 .4817 '
.4842 .4846 .4850 .4854 .4867
.4878 .4881 .4884 .4887 .4!190 '
.4!10R .4009 .4911 .4!.'13 .4916
.4!1~ .4931 .4932 .4934 .4936
.4946 .4948 .49.;9 .4951 .4952
.4960 .4981 .4962 .4963 ... 116-1
.4970 .4971 .4972 .4973 .4974
.4978 .4979 .4979 .4980 .4981 ;
.4984 .4985 .4985 .4986 .49BG: i
.4989 .4989 .4989 .4990 i .41190 1
.4992 .4992 .4992 .·1993 .4!1~3 1
.4994 .4994 .4995 .4995 .4!195
.4990 .4996 .4996 .4996 ,d!JII'i' 1
.499'7 .4997 .4997 .4997 : .4!198 ~ !
.4998 .4998 .4998 .41198 .4!198 1
.4999 .4999 .4999 .4999 '.4!1110 :
.4999 .4999 .4999 .49110 .49{111
.4999 .4999 :4999 .4999 .411!10 1
.6000 .60()(1 .&000 .60(10 .5000 '
:
0.0 0.1 0.2 o.a 0.4
0.5 0.1; 0.7 0.8 0.9
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4
1.5 1.6 1.7 1.8 !.!)
2.0 2.1 22 2.3 2.4
2.5 2.6 2.7 2.R 2.9
3.0 3.1 3.2 !J.:J 3..1
:¡¡; :lfi
1 7 :: ~ 1 .,
ORDENADAS de la
CURVA
NORMAL ESTANDARIZADA
o 1 2 3
.3!1811 .3980 .398!1 .3988 .3970 .3965 .3061 .3956 .3910 .3902 .3894 .3885 .3814 .3802 .3790 .3778 .3H83 .3668 .3653 .3637
.3521 .3503 .3485 .3467
.3332 .3312 .3292 .3271 .3123 .3101 .3079 .3056 .2897 .2874 .2850 .2827 .2n6J .2637 .2613 .2589
.2420 .2396 .2371 .2347
.2179 .2155 .2131 .2107
.1942. .1919 .1895 .1872
.1714 .1691 .1669 .1647
.1497 .1476 .1456 .1435
.1295 .1276 .1257 .1238
.1109 .1092 .1074 .1057
.0940 .0925 .0909 .0893 .0790 .0775 .0761 .(1748 .0656 .0644 .0632 .0620
.0540 .0529 .0519 .0508
.0440 .0431 .0422 .0413
.0355 .0347 .0330 .0332
.0283 .0277 .0270 .0264
.0224 .0219 .0213 .0208
.0175 .0171 .0167 .0163
.0136 .0132 .0129 .0126
.0104 .')101 .0009 .0096
.0079 .0077 .0075 .0073 .0060 .0058 .0056 .0055
.00-14 .0043 .0042 .0040
.0033 .0032 .0031 .oo:JO
.0024 .0023 .0022 .0022
.0017 .0017 .0016 .0016
.0012 .0012 .0012 .0011
.000!1 .0008 .OOOR .0008
.OIIOii 0006 .0006 .0005 ono.t .000-1 .0004 .0004 flllll:l .oooa .000:1 .0003 0002 .0002 .0002 .0002
{.
4 5 6 7 8 9
.3986 .3984 .3082 .3080 .3077 .3!17:i .3951 .3945 .3939 .3!!32 .3925 .3!)18
.3876 .3867 .3857 .3847 .3836 .3825
.3765 .3752 .3739 .3725 .3712 .3697
.3621 .3605 .3589 .3572 .3555 .35:38
.3448 .3429 .3410 .3391 .3372 .3352 .3251 .3230 .3209 .3187 .3166 .3144 .3034 .3011 .2989 .2966 .2!143 .2!120 .2803 .2780 .2756 .2732 .2709 .2685 .2565 .2541 .2516 .2492 .2468 .2444
.2323 .2299 .2275 .2251 .2227 .220!1
.2083 .2059 .2036 .2012 .1080 .1!lli5
.1849 .1826 .1804 .1781 .1758 .1736
.1626 .1604 .1'582 .1561 .1530 .1518
.1415 .1394 .1374 .1354 .1334 .1315
.1219 .1200 .1182 .1163 . 1145 .1 127 .
.1040 '.1023 .1006 .0989 .0973 .0!157
.0878 .0863 .0848 .0833 .0818 .0804 .0734 .0721 .0707 .0694 .0681 .066!1 .0608 .0596 .0584 .0573 .0502 .0551
.0498 .0488 .0478 .0468 .0450 .044!l
.0404 .0396 .0387 .0370 .0371 .0363
.0325 .0317 .0310 .0303 .02!17 .0290
.0258 .0252 .0246 .0241 .0235 .0229
.0203 .0198 .0194 .0189 .0184 .0180
.0158 .0154 .0151 .0147 .0143 .013!1
.0122 .0119 .0116 .0113 .0110 .0107
.0093 .0091 .0088 .0086 .0084 .0081
.0071 .0069 .0067 .0065 .0063 .0061
.0053 .0051 .0050 .0048 .0047 .0046
.0039 .0031!1 .00:37 •. 0036 .0035 .0034
.0029 .0028 .0027 .0026 .0025 .0025
.0021 .0020 .0020 .001!1 .0018 .0018
.0015 .0015 .0014 .0014 .Ofii:J .0013
.0011 .0010 .0010 .0010 .000!1 .0009
.0008 .0007 .0007 .0007 .0007 .0006
.0005 .0005 .0005 .0005 .0005 .0004
.0004 .0004 .0003 .0003 .0003 .0003
.0003 .0002 .0002 .0002 .0002 .0002
.0002 .0002 .0002 .0002 .0001 .0001
-·"\ .._.,., __ ..,
r
1 2 3 4
6 G 7
,-
8 9
10 11 12 13 14
16 16 17 18 19
20 21 22 23 24
26 26 27 28 29
30 40 IW
120
"'
,
PERCENTILES PARA LA
DISTRIBUCION ! DE
STU DENT,
CON~ GRADOS DE LIBERTAD
tm ,., t "' "' t .•
63.66- 31.82 12.71 6.31 3.08 9.92 6.96 4.30 2.92 1.89 5.84 4.54 3.18 2.35 1.64 4.60 3.75 2.78 '2.13 1.1;3
4.03 3.36 2.67 2.02 1.48 3.71 3.14 '2.45 1.94 1.44 3.60 3.00 ·' 2.36 - -- 1.90 -- - 1.42 3.36 2.90' l,i2.31 1.86 1.40
---8.25 ----- 2.82 --- ~-2?!6- - I.8s---- ._J-:.38
3.17 2.76 2.23 1.81 1.37 3.11 2.72 2.20 1.80 1.36 3.06 2.68 2.18 1.7~ 1.36 3.01 2.66 2:16 1.77 1.36 2.98 2.62 2.14 1.76 1.34
2.95 2.60 2.13 1.75 1.34 2.92 2.68 2.12 1.76 1.34 2.90 2.67 2.11 1.74 1.33 2.88 2.66 2.10 1.73 1.33 2.86 2.64 2.09 1.73 1.33
2.84 2.63 2.09 1.72 1.32 2.83 2.62 2.08 1.72 1.32 2.82 2.61 2.07 1.72 1.32 2.81 2.60 -2.07 1.71 1.32 2.80 2.49 2.06 1.71 1.32
2.79 2.48 2.06 1.71 1.32 2.78 2.48 2.06 1.71 1.32 2.77 2.47 2.05 1.70 1.31 2.76 2.47 2.06 1.70 1.31 2.76 2.46 2.04 1.70 1.31
2.75 2.46 2.04 1.70 1.31 2.70 2.42 2.02 1.68 1.30 2 fi6· 2.39 2.00 1.67 1.30 2 62 2 36' 1.98 !.66 1.29 2.1lR 2.33 1.96 1.646 1.28
fu fra fro tflfl fas
1.376 1.000 .727 .325 .158 1.061 .816 .617 .289 .142
.978 .766 .584 .277 .137 ' -.941 .741 .569 .271 .134
:
.920 .727 .569 .267 .132
.906 .718 '' .553 .265 .131
.896 .711 .549 '.263 .130 '
.889 .706 .546 .262 .130
.883 .703 .543 ',261 .129
.879 .700 .542 .260 ' .129
.876 .697 .640 .260 ~129
.873 .695 .539 .269 .128
.870 :694 .638 .269 :128
.868 .692 .637 .268 .128
866 .691 .636 .268 .128 .866 .690 .636 .268 .128 .863 .689 .634 .267 .128 .862 .688 .634 .267 .127 .861 .688 .633 .267 .127
.860 .687 .633 .267 .127
.869 .686 .632 .267 .127
.858 .686 .632 .256 .• 127
.868 .686 .632 .266 .127
.867 .686 .631 .256 .127
.866 .684 .531 .266 .127
.866 .684 .631 .256 .127
.865 .684 .631 .266 .127
.865 .683 .630 .266 .127
.854 .683 .630 .266 .127
.864 .683 .630 .266 .127
.861 .681 .629 .266 .126
.848 .• 679 .627 .264 .126
.846 .677 .626 .264 .126
.842 .674 .624 .263 .126
CON
,. ~ ~ .... \
1 7.11R 2 JO.fi :J 12.K ·1 J.l,l)
6 Jfi.7 (¡ u~.fl j 20.:1 R 22.11 !1 ):l.li
10 :!fj.2 11 21i 8 12 28.3 13 21!.8 14 31.3
15 32.8 11i 34.3 17 36.7 IR :17.2 111 :uw
!!O 411.0 21 .Jl.-1 22 42.11 2:1 .J.I.2 24 4!í.ll
::!1\ ·lfl.!J :.!li 4R.3 .,. -' 411.0 :.!11 51.0
. :.!11 1\2.1
:11) 1\:1.7 ·lO lill.ll r,r, i:l.IJ H() lt:.!.IJ
70 11lU ~IJ llli.:l !") 1:.!~.1
11111 140.:!
PERCEHTILES PARA
J 1 CUADRADA.
GRADOS DE LlaE~TAD
.\'~ ... ~~.,.~ ~~.h ' .lr~Ml X~n
' fi.li:J 6.02 a.K4 2.71 t.:\2 !1.21 7.:18 6.!111 4.1il 2.77
11.:1 !1.:16 7.R1 6.26 4.11 ¡
1:1.:J 11.1 11.4Ú' 7.7H 6.31)
' lfi.l 12.!1.·-. 11.1 1!.24 II.IÍ:J lfi.K 14.4 '. 12.0 10.0 7.M4 111.1; lf\.0 ';'"·14.1 12.0 1!.04 !!U.i 17.6 ' 16.6 13.4 10.2 21.7 1!1.0 J(j,l) 14.7 11.4
2:1.2 20,1; llt:J 11\.0 12.6 24.7 21.11 111.7 17.3 13.7 211.2 23.:1 21.0 18.6 14.R 27.7 24.7 22.4 11i.S 10.0 21l.1 211.1 28.7 21.1 17.1
30.0 27.6' 26.0 22.3 18.2 :J2.0 2d.R 20.3 23.6 11!.4 33.4 30.2 27.6 2A.8 2D.6 34.8 3i.fi 2K.P 26.0 21.6 :111.2 !12.0 30.1 27.2 22.7
:17.fi :JU 31.4 28 • ..1 23.8 :IR.\1 :15.1\ 32.7 29.11 24.0 40.3 :ltl.8 33.0 ao.H 211.0 41.0 38.1 36.2 32.0 27.1 4:1.0 30.4 311.4 83.2 28.2
4-1.3 40.0 37.7 34.4 20.3 46.11 41.11 IIR.II 36.0 30.4 47.0 4:\.2 40.1 80.7 81.6 4H.:J 44.6 41.3 87.0 32.0 40.11 45.7 42.11 311.1 33.7
líO.!) 47.1) 4:U 40.3 34.8 11:1.7 &u.a &!i.8 61.8 4&.0 71\JI '11.4 07.6 03.2 66.3 I!H.4 83.3 70.1 74.4 07.0
100.•1 Uli.O llO.& 11&.6 77.0 111!.:1 1011.11 101.0 110.8 811.1 124.1 1111.1 11:1.1 107.0 flR.O 1:11\.H I:!IJ.R 124.1 118.6 100.1
¿._,,..
)¡ -,
1( ~~~~ ·'2:!11
x2 .1.1 A:~.~ x;,~" x~,, x.~"'.
.466 .102 .01611 .00311 .OCIO ,0002 .11111)11 1.!J!J 671; .211 .103 .O !lOO .0201 .0100 2.:17 1.21 .6114 .362 .210 .1 16· .072 :1.311 1.112 1.011 .711 .4K4 .21!7 .207
4.:16 2.117 1.1it l.Jií .831 .664 .412 lí.:ll; l\.46 2.20 1.114 1.24 .872 .07ti 11.36 4.26 2.83 2.17 1.01) 1.24 .981! 7.:44 6.07 :J.411 2.73 2.18 1.06 1.34 K.34 lí.IJO ·1.17 8.3:J 2.70 2.011 1.73
11.34 11.74 4.87 3.114 a.:.:.; 2.60 2.10 10.3 7.6M 6.68 407 3.M2., :1.06 :2.00 Jl.3 .. H.44 II.:JO li.l!:l 4.40 3.67 3.07 12.3 II.:J~ 7.04 lí.81J fi.OI 4.11 3.67 13.3 10.2 ... , 7.711 II.G7 6.03 4.1111 4.07
14.3 11.0 11.66 7.20 11.211 G.2a <1.110 15.8 II.D 1!.31 7.1i~ 11.111 6.81 ,'6.14 10.3 12.K 10.1 8.0 7.60 0.41 5.70 17.3 13.7 10.11 11.:111 8.2:1 7.01 G.20 18.3 14.11 11.7 10.1 8.111 '1.03 0.84
111.3 16.6 12.4 10.11 0.611 R.20 7.43 20.3 10.3 13.2 11.0 10.3 8.00 8.03 21.3 17.2 14.0 12.3 11.0 0.64 8.64 22.3 18.1 14.R 13.1 11.7 1D.2 D.20 23.3 10.0 16.7 18.8 12.4 10.0 0.89
24.3 111.0 lo.& 14.6 13.1 11.& JO.& 26.8 20.8 17.3 16.4 18.8 12.2 11.2 211.8 21.7 18.1 i0.2 14.0 '12.0 11.8 27.3 22.7 18.0 16.1l 1&.3 13.0 12.&¡ 28.3 23.0 10.8 17.7 10.0 14.3 13.1:
l 29.3 24.6 20.0 111.6 10.8 16.0 18.8 8D.ll 113.7 20.1 20.6 24.4 22.2 .. 20.7 41!.3 42.9 8'7.7 84.8 3lVI 20.7 .2e.o . &9.3 &2.:1 40.& 43.2 40.& 37.6 . 36.&;
¡ 09.3 01.7 66.3 61.7 48.8 46.4 4:t3 70.3 71.1 04.3 60.4 &U 63.6 61.2 89.8 80.0 73.:1 09.1 06.6 01.8 &9.8 90.:1 00.1 82.4 77.0 74.2 70.1 87.8
,\
T EOi<l-A DE Lf\ DE C.I. StON
fhn ~u e. de \~ 1"1 o ro.. A . sert-. =t 2
el e~o det m11ndo es
~~c\e:r+o
--.. _L..
· -A n ~ h's 'S. m o. temo. ~·c. o TofY\(1\ de dccls\ot'\es
~ !'>~ puede o6\-ener · VY~-{arrn~l~..;' lh,hc\ onoJ s-obre d tcho e.sWo rned\'Q.n+e \a exrerifl\er'l~c\o,1
froce.~o l b"\/ 1 •
froczso. s.. ~e d~c\.S\on
F""'O:oa. 1 , ~f\ c. o : L.-vl cer -hcl u (}1 ~r1:
<!) \ \ V1 \o": e: .S '1 rrcced~rflleV'lto~ de lo.. e~-\o.d(s-h~ + 'SeV\-hm\eV\.-\-o~ ÍVl~r·h"v&;.
de 4u ten 1-omcx \o.s. deci Stonz.s
> f.o.ro.. can~,den:hr- forma..\ meVl-k 1o<io. lo.. \n fo 111\~ct.on J~sfo~,b\e d~-k-c de un fl\)ce~o rO.Cl~r-to..\ y COf\ ~·, s-k\1\-\e de 1 CA -km a. de; dec'\~,·1::) nes
- froba.b.,hd~d.
~eo..n E. t; t= ttven-6~ ~v~ fodr t'a..n y-,e!:,u\ kr-- de uno. ~ec\s\on
t) f1 ~ E 1 ;:=- o f o.ra. e u ¡;.\q ~~er E
z) f t E j = l si f. ocurrli-Q COY\ certeZA.
.3) f' tE o' f }=f'{t1+f{F~ . s\ E: ~ F $01\ vn~uo..me:.v'\te eX"dus\\/OS
A
l-f 6
(?' A ; \-?' t:>)
• ¡,;. 1
- f\Dba..b'l\ ,·do..d
. .:E v-eV'\-\-os ·,nÓefe\1"\d\·~-\-es v-nA..ereV1d \·e.~-te.s ' eV')-6nc..e.s :
fn1bo..bi lido..d d. e v1ue sucede<.
e\ ev~ E, dCA.~ 4 u~ s u~d\ó e;t e\Jento F
1
fo.- ej11:~f\o ¡ ?i E es e\ ,r¿vr;).o di!: e:.e- se~VlC\O Ó.e.\.1\ 1/VV\ Óto.._gV'Iost\c,o <le: '1 F es. .e\ eve~"t-D dt '\u e d Y>'l o-kr
flE\.;:~ e? \o.. frol,a. \,;~ \,"do..Ó de e¡ ve CV> l~ ,es~~lo~ Ce. sen.i,c\a d131M') que e\ mo-\o"l ~H-a b,e.n d.o..do ~ue el motor e,¡;.\..( ble:v..
--3-
+
?rototer'Y\o. l!us.h~vo
-He de-.~d\ de COW'I r~ \1\fV\ COChe
e(A l<A "'-~~el~ e\ ¡reC:lo é;s de: 4-Ut>
A\krno.~vas
~ el fen~dlC.:o ~unclO.h VVnO \gu~ C&tv\ fe>C.O u~o ~ .Z"?·::c
A( \f.\!::.~k\o 1{(,0 9ue e*- ~ ru-ft:vb.s ~d~Cl~~J pero ~""30 dudo..~ ciel eitado del. mo+or- : pt'e;V\f.o que t o.. frobo.b(\l"d.~Ad ele que e-std moJo es de D.3
o
c~rnb\Cilr (!\ mo-tor cues-k. $400 ·'
? ~ o.. s.~ u ~" m e; de\ e-s-6. ~o de\ Vl1 o-\or f ued.o : . o..} mD.MdM lo rev~ 50A"" e V\ lNv\ ~ll er e"V\ .e\ que vne;
¿,~ c.on -\-c~ czr-kr.A .e:\ ~l-\-aÓ.O ele;( motor COV\
WA Ul~k ci.e .J.,oo
h) rnON\dorrto r{l)J.\SOJ\ eí\1\ 1/'N\(A. eskc\~r{ ele ~erv.\C~o .e""
\a. ~u e .so\o me cosk' o. \20 . 6\n eW\ bOJtgo ,
~V\ <i\e-~o. e;~-\e..c~o~ se e~v\ vocCJ.n\ el \o ,o dt \o..5 veczs .
¿ Q.ue lt\ o. CJC,\ ( •
. .
1
1 J
1
1
1
J·
}
tn t\ :X 1 n 1 ¡_:; ~·,,y- r~ o
0.. \, C>frO~-~(v::-~n O.. 1 0.. C.O n1 p ¡(\ e\ ~: \ .COtY.e. nut,VO
,,
....... ~.
(ov->.\..~uO:.CI~~ ¿e.( prob\e~ ( rZv;s~ coche; ~ t ~ es~¿,o.;; )
N<::>meV\c\ <A ~YO.. : M S= V"h o-\..o.r bu BV\o
M M-= m e-tc r m cU. o 6 ::::: C. t~gn ~s.-he o " v-n~r b ueV~o '' m ~ d\o..~'();s~éo '' y-yzo-\.or moJo ,.
'S,e; ¿,:,fone de la. S\~lilen.\.e- ~rma..c\'Ov-1:
o..) rn~ \rof\ o ju~c\·o de 9 ue ·. f \ r'\~ ~ ~ o .1-
fiMM1 = O.~
b) c. o V\ o z.co e;\ hecho d. e q u ~ .e"' l o.. .e ~-t.i élO ~ de serV1c.~o se. e1u;lf'oc.am .e\ lO lo de:. ta.s. ..;e;ce;s
f~\?\MB) :::o.~ f (l r~"~ \ 1'1\ M~ == o . ~ f\b\MM~=o.l f \rn \ M B j == o. \
..
~q:, conoce
se de~Q:O..
c.o V\ oce.f"
'P \ b \ = o."~-+ 0.03 == o. bb
f { n11 = 0.2.1 + O.Ol::: 0-34
r r M6 \ b 1. = O-b:S _:_ o."5 ~ } o. 6b
' \~:\<.·
Prob~b~ t\ 'do.. de-s. de. !<.uh
o.o~
o. 2.':f.
1 .o o
0.63
o. o 3
o. o t-
o. 2+ l. 00
f"ll.V\Wlo e. n
\~ ~~-to.C:tó V\
?
MM -10.2.0
~___,;-- M8 - 12ó
MI'-'\ - 12.0
-toZo
-IZO
-120
-Po.. m lo. ob~c·, ~ñ" de \o~ f a.g os. ~s ¡:ero. dos . co. r resfondltn-.\es a.. \CA d.e::cls\OV'\ de rno.MCo.tr e.\ coche ~ leVl5\0v\ e""
l<A eskc~o~ dz serv~c.\o deseo conocev-- ~
o..) l... o-. f'll\:.o.. ~ ~ \ ; ~ Ó. <k- q u e. S?;"' lo.. • es. -\a. e; o ;. d ~.., """ ¿,¡xgnos\-c.o ae. • motor 61li2Wl0 o de "mo-lor V'liAAl ..
?\ 6 ~:: ? \ b 1 fi\8 1 + f \ b? M M l ..... ?\6\ME>)f\MB'l¡ -t- r\6\MM~f\MM1 -
D-~ xo."f + o.l ><-o. 3
- o.~3+ o.o3 -> r~ 'o1 = o.~"
?{m~== P\_rn, M\3) + f\ m, MM) - f \ (Y] \ M13 ~ f \ 1"\ S') t f ~ rn \ M M 1 f \ 1'<\ M J -- o.\ x o.:r +o.~ x:o. 3 -- o. c:r + o. 2't -
f\ (Y\1 == o. 34
•
--- fj -
b) L~ robab'.ll'do..d vle 4 ue e\ Motor e.s-\é ble~ do. do ~ 0e e... l o.. .e:i>-kc io~ d iJUo (\ 4 ve e :.k' be&; :
T'{tv~slb~= P~MB,b~ = 'P{6, MB)-
f\b} F16~ ::: Pib!MB} P\MB1 =
f~b} --;> = o~ X: o.-;¡. = 6.'03 = ~ .:_ <:).~5
o.~b o.~, 22
la. p ro bo..b' '. \ ~da. á de ~ u .e e~ I'Yl o~ r .e:.s-1-i rn cu\ dO\.Ao 1 ve; d,jtron ~ v.e ,esh{ blb-1 ·.
nr M M - p~ MM ' 61 - 'P \_ b \ f"'!-11 ~ p \MM 1 = q_ lb1- F'\b~ - f'\b1
~ o.¡ ')(D. 3 o.o3 - - 1 • o ~(Ó - =- == 0.05
-:r-
_____ .,-~ _,,
. 0.6b 22.
-ÁdJcM~S ·.
? 1MB¡ m~= f Z M B' m 1 _ ?\m l tv\ B 1 f ~ jv-, b ")_
f~M~ P~ m) -- o.~ x o.=t o.o:¡. :¡.. .:::: - --- ..:... o 2..
0.34 0.34--34-.
f ~MM \ rl\ \ =: f>\ M M ? m~ _ f ~ Y"\ 1 M M 1 f ~ i"\ M~ t8t "') - -
P~rn~1 -= o.O)x.o.3 _ o.2=f. 2..=?.
0-34 - D-34 =- 34 _=.o.2
¡
i=b
f
,t = (Y'\ í
{_
-ANTES DESP\JE:.S
b m
P~M B Jo Oo1 "·~ 6 ()o~ .
~
P\MM} 0.3 0.05 () g 1
t- 1 . ! Ev<ZY\ o ( A pr,of'i \feros\rvil\i~j f'rob. Conjun-\-a.:, t A ' . o po:J-t·c::n ort
a.~ i P. L 0.,\ 1 ?~ila¡.1 PtQp¡}=?{tlo.;.)f~a~}~ Pz { O..Á}
P~o MB O.';f c.q o 'O::J ;_ o O.b 3 o &G - O. ¡E
!•
MM 1 0.'3 1 ". \ 0.03 ~ 0-03/o . ' o . bb = () . o 5
l.o \.o P{t=bj = O.~f> ~ l. DO • • lo
-~
MB O.t ~ o.\ o. o:¡. ~ o.o%.·:2.J( :: o.Z ' O . .;·-. .
1 Zt ; 00 2.=-Vc . D ,o, MM 0.3 o.~ '. o. ) j o ¿ ,! =- . :.;, ¡ . .,~.__
l. o l. o ?{ Q::mj: o 9/ 1 . ..,. ~ l .O
-------
_ ~\b\MB~P~MB) _
- f\b~Mt:>1'f\MB~+ Y~b!MM) f{MM~
().~ xo. + o . ~ 3 - ------o.~x a.-:r +O.\ xo.3 0.63 + o.o3
o. 63
(). hk
l J
~ l ¡
i ~
1 ~ ~ ¡ i
-J
MB: f/i t-'1 : o o
br b LJ(í.;~r¡(' ,,, 0-lor rno.Ao rvntos de de¿s\o~ f v ni{) s de. 0.2..a r
. . , Dect·::.t o VI
1 ¡ Cc•::.+o
-A ZO..í 'Í'l \ !'\'\ 1 t·· f ,_, :) :;, b ¡ 1 0.(\(1
42oo ~:¿-:r-Oo = 1 !S'"' o
4.?..oo- 2 7otJ- .24oo ~ -- 5~
o
o
\ \ ~
4.&JO- 2-:fOO -.toD::: _!.3'-00
4Z~o- f.-10o-.2oo ~.24DO= ..:J..!Pi 4..20o _~o- Zoo = - ,&tJt>
4WO --42bb -2.Po =- .zoo
42DO-J...JOO- 2.00= 1~00
1200 ~,2_7~0- .2.0b-2.4-0IJ:::: -/ID,
42,(•1)- 4W -1.LJO =-2-oo
42JJ() ·- 42.0D - 2JJO = ::.__ 2(JD
42.90 - .2, 100 - { zo - /3 ~-:: 421Jo - ~700- t.2o -z.:t.oo::.-~ /t>,
4~0 - 42.DO -1 ZO =-- /2tl
4MtJ- 42.0D - 12_0 = _:_ 1~9_ 4.2Li0- 2,700 - 12/J:::::. 13gb
~~--=-
4-1-.Dl>- j_. 7DO- /2-D-f,.tf.M::.:.:!?~
4Z-O o- ../.f,OO - 1 ,'2.1> =-~-~~!?_
4-VJD- 4tlDD - 1 :2. O=-=-~ .-2D
..E:>O.X;m\~IÑ'I\do o. horrt)S
r- (l. !'> f e r.:-1-o o. 1 0.. e Cl ro r rt:\ ¿\e~ eod"e. ,-,u~ vo
F \ \1'"'1 '~'7""~~2 ow.d o co~.\-o -fo~~
AhbrrO.S.: 42..oo - 4-z.oo =o 42.00 - ::.4-Z.O = -:¡.go 42..0 o - ~ -s so = e ~-o .Q--
4zoo -s4~ =- :¡..q 1
M M ~ 1f;o +.2,400 = B 1 oo
MM 5100
5\00
4-ZOO
Mt1 5 \oo
. :JI.M S\00
-·! 2.
T EoRI A lYE LA UT.t LI l:>A.'D --
1
~vfo~~~e ~ ut A, 13, '1 e c::Le UW\O... d.ec.\&.\·o~ .
Nokc~o~ : A "? B ANB :
Ax.~oMO.. 1 !
f\ .es trt\e'nci o (). 'B A e~ ~·~\trti\~ ~ B
Lo.<:. fr-e-\e;ce\'\"'<Ua ~e. rue.O.c;n Db~er ~.b t ~ f.T"tVl'\LoS COMO fM'O.. la~fi<l~ : lQ.~ fr:e-\creV\C\CU. SOY\
~rtlM~-,~~~~ ~ .
s' f\ > s ~ B >- e s.\ A rv ~ ~ B'VC
Ax.\om~ 2 !
:;·, A/S 1
"5·, '1 ~ o\o ~\
-A>C
A"' e
/
B
,. . T
A)(\orn(J.. s ·.
f.lo """1 w.... f' cem i o ÍM~~se.co 0h el j u~ o :
(\',A i 1-P,( f', 'S¡ H•', e))"' ('P,A ¡{1-f)'1'',6 ¡(,-?)(1-P'),t)
A >'~o Y"JJ'\0. 4 :
Si A >e "> S , exu•-\e ~a. rro~n.b~\,·ci~&. f : o .e f ~ \ Jq;. M OMerQ. ~ve e rv ( p 1 A i \ -? 1 e.)
e 'V
.~
.Ex:,&-k. ~~ ~t.\o~ de. ~\\'d.a.Ó tA ( ) ~ve • / 1
~&\gV"\Q. VV'V\ V\Ur'Y\ero o. co..Ó.o... fre.M\O 1 c.o~ \o..s. 5\.g ulev'\-\e.s CM-O..ck r( s-k~s.. :
o.) lA (-Pr) '> LA (S) ~¡ l1 ~o\o t5·, A> B
b) f,\ e IV ( f 1 A j \-? 1 6) 1 e~~~c.t.S tA (c.)= fl.\(A)-t(l-?)tA(B)
. , . "' Ob~ctoV\ de lo. ~ClOV\ de
~s\~ere \NV\ bo\e~ m d~ O&-Ceso (). \IW\G. lo~rto. óe\
f\
8
:D~ A ~ ~ ~~ f~~,o~ fertec-4t'I'\U\{e- d.e~\·-d.o~ ~ A e~ c\c(ra..~e~-\0 ~rtien'b\e o.. 'B ..
Se \.uedt, cie rno.\kr (re~. 1.) ~o~ c.u~\ 9Jer .\-oma.<to·C"' ~~ óe.c~s.\o ~l e,~ ~<1~ \trt~+e .eV\.\-oc-e V'N\~ \ oten'o. (.&"A lo-.s. -¡.,~ v\e~~ co.ra.c,~r(.s~C.Cls. ~
f \. ~~ec- ~ ~o~t~. (El 1 • f, 'P \ +e~er ~ bo\~ B!J ' = 'fa.
• • .
' < !: •'
~ d ~ev.er v.... ~olo bole-lo OC} do"Je
1\ = f, lr, + 'Pz. 1T 'Z. + .. · -+ ?.., 1f n
1::$~ \)e~~4<.'c.a0'\tnte :
Ghl R / r:tf:1 r~~
rvffi
fV"\ r-t~tr'\¿,~ o.l fro'bleV\"1~ de lo. c\cue Omt~·or, ~ ~\ ~e.re V\ó: ~o., Vr'Y\ ~m a. c{or d. e dcc\'s\or\ es ~ oe ~eV\e \lAve.rs\ov-. d.A r~sgo. ?o..~ cons..W.oir sv
~e\~ de. "~h. do..~ 1 1 o r r "~"'ero ~ ue a e be h Q. ce t"' (.S e-SCO~Gr dos. V"oAoreS ""'CH'\C~rio_i,
1 fOr e;je.mr\o
- \lOO 'j .. l 'SOO 9 ~~ .c.vb~ .e\ ~90 COmf\e-\-o de ~\JS prC(n\OS ~ rerd\GClS. Se ~St'.9"'~ A= \500
S= -llOO
A c..on.k'nu a. C\1
0~ se fr"e<3 u~ k ~ o~e 1 ().. ~-h:.. a.~d. $ X ~ ue \e ~ u~~r(~ ttv\e-~ e~ c.erkz.a. ~ vtz. de; """" boleA-o 00 . Sus r.e,.') rue..:.~ cr~ \NV\0.. c..on-esr~c!..~~ eV\-ke ?(, lj 1\ 1 ve
f>\)~ ser gro.~t..a.~ . e...-. ~ p\~o. ( ~, 1t) . ·
r ~-
1
-'----~
,.
m
OOS\
rv QOS
o
OOSl
(\1 o
00\\-
OO.S\
fV 00\'-IV OOQJ \
QO\t- oon-
6
de. \a. ~c.~o~ Sa, ~~~"" ov01...b coorc:len~d.a.s. (a. ,l\") ¿ ·~ u~ l; A (k ó. : ( \ G 00 1 \ • o ) 1 (- \\ o o 1 o . o) 1
.. / ~
LC\ ~CU:V\ -k~c ta..~ p~fl.tcla.de-1 óe.
(o 1 o. '::1-) \") ( soo 1 o.~ '
COr'\~~lJO. l1
i"C'\ e V\ o~--o V\\ c.~ cr~ a c.v-Ae •
o S'OO '~" X
l)e, \o.. ~ott.c:o. ~-koor ~e. ~ved~ ob~er 1 r~ e O\.¿, O.. X 1 \o~ voAoct..S a e -n "~ lo 1 . ~u e S~ rOed e ON..o.Á\.-z.M"" e,\ cM-bol d t. declston.e¡ ~m.o..v...4 o eV\ c..v e""~ to. ONe.'<"~~~ AA r\es~o \oOJt-~ev\~ ~e \~ 'rer-JO~~ ~ v0 .1-e ..... ~ lo..s tlecls1óneJ .
E s-1-o s.e 1"\lles~ e... 1~ .s.~9vlé; ... Je }~urtA. e..,/ 1.~ ~ ve se. c.&\1\ ~>i ele~ !>¡u e se ~e,._IWI , de lo.. ~ 4c.<~. ~~~O("
1 lo..l S~~V\eN\.~.1 c.oorÓ.e.v\O..OOS 1 (\SOO~\) 1 (-~oo,.l8),
(o, o.T-] J ( \3oo 1
o. ~a) 1 (- t\oo 1 o), ( -z.oo, o.s&') 1 ( \~fo, 0.<3~?,
(- \O '2..0 1 O. O';. J 1
( -l t.O 1 O. lo 2..) 1 ( \O o , O. ':f-S) 1 .( '3 )O 1 o~&~) 1
( '3o o , O. 8 3) .
r .·-~
• 1'
So~C\~ óet rrobte:V'r\0. de ~~ ·.
~;c..~o.ÁvnevJe <;e ~Clioe ~ue :
'P~A'J=o.) 'P ~e1=o.)
Seo.. e ~\ ev~ .. -A-o de S~CQ/r" de la. e~~ g bllM/\Cfl1 L4¡ 4 V\t~\~S. . t"" CNo.Á9 v~er ordcV\. Se. pve-óL ca..lcula.1:
(~C. \ i=\ 1 :=~. r) ~ ( O.!> J 4-
'( ~ ~ ( B 1 = (o. 1-) + (o.!>) g
f1-AIC1= f~c.[A)f~A~ ~ ~~t\6)\'\61+ f\clA)f~A1
_ (_o.=t)1 (o.3) +(os) = o.~q (.1)?(.s) 4:(s)-\- ~~)' ( ·1) "'(.~)
z~·o-== (o~J-) )") ¿~·o.:;: ( <n.1-) Y1 t:o·o:::: (o?ot-) V'\
~"·o::::: {o&Et) 'w1 2~·o ~ (en•-) \1
?<J~o ~ (o-zt-) \'1
-l:.o"o:: (O<ol-) ~ ,,,.0 :: (qg~,) \1
Rs·o;:: (ooz-) 'Vl
ES'O::: (ooz-)-.., o :::-( oo.,-) !11
8G·o :::-(oq-¡_') vt
8S."O.:: ( Oo? ... ) ~ 8S·o = ( Qo-z-) VJ
o:: (oor1-)"' J"• o.:: ( oo~,) \1
-t ·o.=-(a) 'Yl \.-..Jw
--l::'o :::. (o) V! aw 81' o= (oo'-) \1 HW
1 :=: ( OOSt )Y» <i:lW
YE8"0::: ( OQ~) \1
'J '9 ':" { Q.S.s;) l1 v.S L ·o ;::: ( Oof) '?
oEs:a,u ¡-v ~OISJ:;Jf.'\0 '-'<n
J:a u o.'": '?:l(J . "P lo '1 .J. 'V
'\ '
'. "--..
10
INGENIERIA V PROCESAMIENTO ELECTRONICO, S. A.
7
producir material aceptable.
Se busca establecer la regla de decisión de mínimo costo.
ARBOl.JlE DECISION:
e, Alarma
c1 + etm + Bacha
ARBOL DE PROBABILIDAD
o.s6 se .
o .14 se•
Alarma 0.27 s•c
P(e) = 0.83
P(c•) = 0.11 0.03 s•c• r:oo
INGENIERIA V PROCESAMIENTO EL.ECTRONICO, S. A.
6
4.- Inspecci6n y Mantenimiento.
El "Análisis de Decisiones" permite establecer políticas de Inspecci6n-Man-
ten i r.¡i ento.
Ejer.;,J: o:
En un proceso de producción se tienen detectores de desajustes. La confia
bilidud del detector es tal que al dar alarma del síntoma S la probabilidad
Ge q~e sea falsa es 0.3.
AGemás de no hacer nada después del alarma el operador tiene tres cursos de
acción a seguir: _/
1) Hacer un ajuste menor a costo c1, tomar una muestra y continuar
la producción mientras se prueba la muestra.
2) Hacer el ajuste menor y parar mientras se hace la prueba.
3) Dar mantenimiento con tiempo de servicio aleatorio y costo ,.. "tm·
La ;,<-~turaleza del ajuste es tal que si la alarma fué falsa el proceso segui
r, .. ,)ro~uciendo material aceptable con probabilidad 0.9, y si la alarma fué
·~ ... , .. · .. a<.:~.. el ajuste tiene sólo 0.8 de probabilidad de corregir el proceso y
..--~ ' ..
9
Se tiene:
/1
iNGENIERIA V PROCESAMIENTO ELECTRONICO, S. A.
8
e = so 1
e = 400 tm
eparo = 200
aacha = 1000
\
ARBOL DE DECISION
Probabilidad
0.83
0.17
0.83
0.17
Costo Esperado
(50+200}x.83 = 208
(50+400+200)x~?~~~
~ (50)x.83 = 41.5
(50+400+1000~x.l7=246.5 288.0
400
La a~i:err.c;tiva de decisión de mínimo costo es: hacer ajuste menor y no par~r ~ur~nte la prueba.
Costo esperado = 288. o + 4-1 • S
.,--;-:',. 11."
,.,_
'SS.~LI:o~~Af=.t A
Tq,e;r~(¡_ ¿e, dec\sione.s ~ +c¿,or{o. óe \o. u~\;&ad. :
t) l:>ec\s\oo A no..\~e.\s. - ~OWlLtÓ. ei\ft~- A¿,¿_,·~()'() Weste~ 2.) A V1 L..ko<Wc.~on to St~...~es~C!M 6Wl·E:.~c~t Deets.l~n
~roc.<tssq,s- 12=, Nc.e W. t-1\orso.N\ - '?rt.'n~~ t\a\\ . \" . \ . ~ ~:::'-.l~~t.~cao~es cA. A W\5"V\\e1\c. :
3j I)<l..c~-::.,'on AV'\~l~sls- for .... ~~V\e<lrS- Bo:.V\j~m\V\
T e'I>'<;CI. ¿e; jue5o5. «:) o~o~ -kWlc.S :
4) 1..;.\-ro<:W~on .tu ~.\.i cm~ í<.es.ta.rd.-, - l-\i\h6 ~¿ \.,~ ~6ef'm\AV1 1 •
~ (),S fA~ o\ , d ~ {-ere-/·r\~ ~e~a. s :
5) A 'li\JJ ~~\·~ cie:. ~\~-te~no.:.. - l M PoS '
EL COSTO EN LAS INVESTIGACIONES MUESTRALES
l. CO~SfDERACIONES PRELlM!NARES
La sorprendente popularidad que ha logrado Últimamente el muestreo estadfstico, implica serios riesgos. Por una parte se esta llegando a una aplicación indiscriminada de las técnicas~ cualquiera que sea la investigación, y se atribuye a los resul~ados una injustificada validez. Por otra parte, los pre• supuestos asignados a las investigaciones por muestreo son» en general exiguos e insuficientes. En no pocas investigaciones, se decide utilizar el muestreo sOlo porque implica un costo subs tancialmente menor. En general, esto es cierto, pero no como pa ra verificar una correspondencia proporcional entre tamaño de po blaci6n y costo del censo,a tamaño de muestra y costo de la mues tra. Se justifica esta preocupación cuando se piensa que much~s investigaciones de muestreo no deberran llevarse a cabo, por no obedecer a los requisitos mfnimos de planificación y an§lisiso Lo que es peor, muchas instituciones y centros de investigación utilizan estimaciones ajenas que pueden resultar muy lejanas a 1 a rea 1 i dad.
A veces se utilizan estimaciones obtenidas por muestreo, que si bien en un tiempo pudieron tener una validez aceptablep ya han perdido actualidad. Esas estimaciones han sido y seguirán siendo v~lidas para la época en que fueron diseñadas y realizadas, pero sÓlo la periodicidad en su obtención permite obtener ventajas auténticas, y garantizar resultados correctos.
Cuando se discuten alternativas de investigación, no sólo debe atenderse al aspecto de los costos sino tambien de la oportunidad y rapidez en la obtención de resultados, precisión, posi bilidad~s concretas de obtención de la información, etc. -
Ademas, es necesario recordar que, en general, el costo por unidad investigada, es mayor en una muestra que en un censo, ya quet~Ja preparación del diseño muestra) se suele dedicar mucho mayor esfuerzo y tiempo que en la preparaciOn de un censo, en tér minos relativos. -
l 1. :LE>:ENTOS DEL COSTO
Es importante identificar las etapas que se deben cumplir en u~a investigación muestra), a fin de asociarles los desembolsos ¿¡rectos que origina cada una de ellas. Una clasificación detallada, es la siguiente:
·1. Fijación de objetivos 2. Determinación del marco de la muestra 3. Elección del diseño de la muestra 4. Recopilación de otros antecedentes relacionados con
la investigación 5. Determinación del tamaño de muestra 6. Primera estimación del costo probabla
• •
2
7. Selecci~n de las unidades de muestreo 8. Establecimiento de controles previos 9. Entrenamiento de enumeradores
10. Promoci8n entre la poblaci6n informante 11. Diseño e impresión de cuestionarios 12. Organización de trabajo en el terreno 13. Control de la calidad de la información colectada 14. Sistematización de los datos obtenidos 15. An~lisls de las informaciones y estimaciones 16. Publicación de los resultados 17. Determinación del costo efectivo
En algunas etapas,no habr~ dificultad en asignar direc• tamente la parte del costo total que le correspondap en otras ser~ necesario proceder a un prorrateo que garantice una distri buci6n equitativa de los costos. La ventaja que puede lograrse de una correcta asignación y analisis de costOSg es la de dispo ner de ~ejores estimaciones de los costos de investigaciones fÜ turas¡ además se tendran ideas claras del costo de cada etapa ~ de J~ necesidad de obtener el maximo provecho de los desemboisos ocasionados. Los presupuestos que se elaboren en base a esas es timaciones anteriores, deberán ser contrastados posteriormentecon los costos efectivos. En lo posible, se deben establecer las diferencias entre lo presupuestado y la realidad, para cada una de las etapas, y tambien analizar las causas de esas diferencias a fin de obtener pautas que permitan el máximo rendimien to futuro de los recursos invertidos. -
Como se verá m~s adelante, es necesario determinar cuales etapas y qué conceptos dentro de cada una, implican costos fijos y cuáles costos variables. Esto dará mayor flexibilidad para ma nejar alternativas de tamaño de muestra, en comparación a los ma yores gastos que originasen. -
No hay que olvidar~ que adem~s del costo monetario, se precisa tener ideas de otros conceptos relacionados, tales como el tiempo que mediará entre la iniciación de la investigación y la entrega de resultados, los rangos de tamaños de muestra entre los que no hay variaciones de costos fijos, los costos adicionales por imprevisiones, etc.
Para fines de ilustración, se presenta una tabla simpli-ficada, que facilita la toma de decisiones en circunstancias se mej antes a -
CUADRO DE ANALISIS Desviación Costo Costo Duracidn de
Tamaño de máxima como Fijo Variable Costo la investí-muestra % de 1 a R estimado por total ~aci6n
poblacional unidad en dfas) 800 15 % 2000 10 10000 4
1200 13 % 2000 10 14000 6 2000 10 % 2000 10 22000 8 4000 8 %. 3000 11 47000 12 7000 5 % 3000 11 80000 15 8000 3 % 3000 11 91000 17
35000 o % 10000 12 430000 50
3
Los datos del cuadro, no obedecen a calculos estrictos; se trata simplemente de aproximaciones ilustrativas.
El tamaño de la "Muestra 11 mayor puede corresponder al de un censo.
11 l. COSTOS VERSUS PRECISION
Desde otro punto de vista, es factible distinguir dos categorfas dentro del costo total: el costo fijo, invariante ~nte cualquier tamaño de muestra, dentro de ciertos m~rgenes razona• bles, y el costo variable, dependiente directamente del nOmero de unidades de la muestra. Se tiene entonces la relación aditiva
Costo total = Costo fijo + éosto variable,
o en sfmbolosz
C = C0 + Cv
Dado que Cv, depende del nOmero de unidades de la muestra, se puede expresar lo anterior, en Ja formaz
{1)
en que nl: es el tamaño de Ja muestra. y
e 1 : es el costo medio variable
Despejando "1' se tiene e - Co
nl = el
Esto significa que se ha determinado el tamaño de la muestra. atendiendo al presupuesto disponible para la investigación1
( e ), y los costos fijos y variables { C0 y el).
Por otra parte, en el diseño aleatorio simple se utiliza la siguiente fórmula de aproximación del tamaño de muestra:
en que vel de s2 la
t2 s2 no = d2 { 2)
t es el coeficiente de confianza (determinado por el ni confianza), ~ el semiancho del intervalo de confianza, y varianza en la población*:
2 : - 2 i=l ( Yi.. - Y ) N - 1
Por lo general, esta fórmula del tamaño de muestra proporciona un valor distinto del que resulta de la fórmula de costos. ya que es
~~;;~~la de eochran
• •
4
ta implica especificaciones técnicas de muestreo, y aquella se refiere a las disponibilidades monetarias. En algunas ocasiones cuando se asigna un presupuesto excesivo, el tamaño de mues tra dado por la fOrmula de costos sera mayor que el dado por las especificaciones de precisiOn y confianza; pero en general ocurrir~ Jo contrario. En ambos casos es preciso elegir entre alternativas:
a) Caso en que el n1 < n0
Dada la escasez de recursos, los presupuestos para investigaciones por muestreo son exiguos. Adem~s Jos costos de reali zar muestreos esporádicos suelen ser altos. Este es el caso más frecuente, en que las disponibilidades de presupuesto determinan un tamaño de muestra insuficiente para cumplir con las especificaciones técnicas. Por Jo tanto, será necesario analizar cuales son las especificaciones que se satisfacen con este tamaño de muestra "1· Observando la
=
se tiene quez
fórmula: t2 s2 d2
a) s2 es un parámetro poblacional; b) t2 es un coeficie~ te cuya variación es muy restringida, ya que en general se eligen valores entre 1,6 y 2p5 si se pretenden niveles de confianza superiores al 90%. Por consiguiente el Onico elemento suscepti• ble de cierta variabilidad, es d. el semiancho del intervalo de confianza. -
Esto nos lleva a calcular cual es el valor d que resultarfa de aplicar en esa investigación el tamaño de mÜestra n1. Pro cedemos a igualar ambas expresiones, como sigue: -
e - eo t2 • s2 = dZ el
de donde, despejando el valor de ,S! :
dl t S ( el )1/2=tS.{ e1 ) 1/2
= Cv
o e - eo
Este valor dt será mayor que el valor d obtenido anteriormente, por Jo que habrá que considerar si el incremento dt - d es significativo. Puede ser que las estimaciones resultau tes pierdan utilidad práctica, porque su rango.de variabilidad·es ~uy grande, o alternativamente que ese valor no implique.perder precisión y por consiguiente ·que la investigación puede llevarse a efecto san mucho riesgo. 41
En caso de que dt sea considerablemente mayor que &, se-
• •
5
r~ necesario que se destine un mayor presupuesto a la investigación. El costo total serra
C = C0 + n0 C1
en que n0 se obtiene de la fOrmula (1) y se admite el supuesto de que los costos fijos no e ~mbian, aunque ha aumentado el valor den • Si fuera muy dificultoso obtener una mayor disponibilidad presupuestaria, habra que pensar en cambiar el diseño muestra] por otro que resulte m~s económico para esa investigación. Por Oltimo, si esto tampoco fuera posible, ser~ preferible no realizar la investigación por muestreo.
b) Caso en el que n1 >"o
Esta situación se comenta sólo como ilustraciOnD ya que en la práctica tendr~ car~cter puramente accidental. Es el caso en que los recursos asignados para la investigación por muestreop determinan un tamaño de muestra mayor que el que resulta de considerar la precisión y la confianza estipuladas. Aquf se procede a analizar cual serfa el valor de d1, tomando esa muestra mao yor, esto es: ·
d1 a t S (
Como d1 es menor que~' el problema por considerar es, si la disminución del intervalo justifica el aumento en los costos. Es poco probable que esto ocurra, ya que al fijar el valor de d, habremos considerado el aspecto 11precisiéSn 11 en su justa dimensión. Una mayor precisión, si bien garantiza mayor exacti• tud, no se justifica a cualquier costo.
Naturalmente, esta consideración de los dos casos se ha hecho desde un punto de vista general, ya que habra investigaci2 nes en que la precisión sea tan importante, que el aspecto pres~ puestario sea relativamente secundario. En otras, la rapidez y oportunidad con que se requieren los resultados puede ser el aspecto dominante. Pero en la mayorra de las veces, la relación e~ t re 1 os recursos financieros y 1 os. requerimientos técnicos condl cionara el desarrollo de la investigación por lo que es aconsej~ ble evaluar la uti Jidad de la investigación y la validez de sus estimaciones, para compararlas con el costo total que involucran.
IV. CONSIDERACIONES FINALES
El. objetivo de estos comentarios es el de divulgar las limitaciones del muestreo y sus alcances reales. La consideración del aspecto financiero tiene su origen en la observación de investigaciones por muestreo que se llevan a efecto con presupuestos insuficientes.
Es usual que al iniciar algOn método nuevo de recolección y an~lisis de datos, se haga énfasis en sus ventajas. Pero el
• •
6
mal uso que se hace de la técnica~ mueve a plantear las l!mitacig nes y riesgos que acarrea una indiscriminada utilización de méto dos, para los que se precisa un cabal conocimiento de la teorray disponibilidad de recursos adecuados.
)
Cabe indicar que se han abordado'estos aspect~s, desde el punto de vista del muestreo aleatorio simple 8 porque este constituye la base de Jos diseños a1eatorios 9 y su discusi8n tiene carácter general. Psra otros dlse~os muestrales al~atorios, las consideraciones son similares y pueden llevarse a efecto sin que varren notablemente las conclusiones presentadas.
ARIEL KLEIMAN
'es;.
GLOSARIO
el .' 1 1 b ' ' . kiU\~"v\e.S ' f ·¡· . El presente osano se 1a e a orado como una gma practica para..--, ~,, .-ow ¡ .. ;;¡¡ no es tan am1 lan-zados con los ténninos estadísticos. No pretende usar definicion~;s que sean lo suficientemente precisas para s:1ti~f.lccr a los cstadígrafos profesionales. Aquellas personas que se interesen por conocer dichas definiciones pueden consultar el Dictionary of Statistical Terms, de Kendall y Buckland, Nueva York, Hafncr Publishing Company, 1960. .
¡\ fin de facilitar al lector la comprensión de las definiciones, en éstas aparecen en letra cursiva y con inicial mayúscula aquellos ténninos que, a su vez, se encuentran definidos en el Glosario.*
~~fijación Óptima *
Amp!itwl
Ampliwcl de la precisión
.4.mplittul media
A.lrilmlo
Campo
Características
Censo
Coeficiente tlc confi<mza
Coeficiente de regresión
El uso de fórmulas matemáticas para determinar la mejor distribución de la muestra entre las diversas clases de un Universo estratificado.
La diferencia entre el valor máximo y el mínimo de una variable determinada en un grupo de observaciones. Se conoce también con el nombre de recorrido.
Véase Precisión.
El promedio aritmético de dos o más amplitudes. Véase Amplitud .
La característica cualitativa de un e1emento de una Población. Por ejemplo, la clasificación de comprobantes según hayan SIClo debidamente firmados o no. Compárese con Variable. El Muestreo de atributos es el uso de clasificaciones dicotómicas o binomiales, por ejemplo: "satisfactorio" o "insatisfactorio",
Véase Universo.
V éasc Atributo.
Un estudio completo del Universo, a diferencia de un estudio parcial del mismo a través de una Muestra.
Es lo mismo que Nivel de seguridad.
La estimación del cambio en la va·riable dependiente producido por la mod1ficación, en una unidad, de la variable independiente.
• En L1 \ emón castellana del presente Glosario, se procuró adoptar una terminología estadística que fuese comprensible en todos los países cic ]¡;:¡bla h1spana. Para ello se cons1deró apropwdo que la traducciÓn se h1ciera de acuerdo con la segunda cd¡c,on del Vocabulano Estadístico elaborado por el Instituto Intcramencano de Estadistica y publicado en 1960 por la Orga· lllltiCión de los Estados Americanos. El objeto de dicho vocabthario es fomentar el uso de una terminología interamericana uu.iorme. Por otra parte, aquellos térmmos que en el presente Glosario aparecen marcados con un asterisco son locuciones que t • .::r,cn \~,r.;¡nlcs ten;¡,noiób•cas en paíse~ latmoamcricanos Po1 ello se ha eiaborado un Anexo al Glosario, en el que aparecen G.ciJOs térmmos acom¡:¡aloados de sus equivalentes en diversos paises de Aménca Latina,
ll9
Coeficiente ele variación
Conjunto incompleto
C1u va acampanada *
Curva normal
Desviación estáwlar *
Dc~viación estándar relativa
Dígito.~ tlccimales aleatorios
Distribución
Distribución asimétrica
D:stribución de frecuencias
Di.,triúución de Gauss
120
La medida de la Variabilidad 1elativa en un;:; DisLribución de frecuencias. Se obtiene dividiendo la Desviación estándar enf re la Media. Expresa la magnitud de la Desviación estándar con respecto a la Media de la Población. Tamb1én se le llama Desviación e~iándar reldtiva.
Conjunto que no incluye la totalidad de lo que va :1 medirse. Por ejemplo, un -conjunto del que uua parte de los registros han sido retirados.
V éasc Cun!a normal
La curva, trazada en ,nna gráfica, de los resultnclos de- todas las muestras posibles. Generalmente será aplicable a todas las muestias, salvo las muy pequeñas o las de universos muy irregulares. También se le denomina Curva acampanada o Curva de Gauss. Véanse Distribución de frecuencias y Muestreo e::tratificado.
Una medida de la variabJhclad de una Distribución de frecuencias. Mienlras m::1yor sea la variabilidad, mayor sed el valor de la desviación est<Índar. Para obtenerla, se procede ele 1:1 siguiente manera: se calcula la diferenCia entre cada elemento de la Población y su l'viedia, se eleva al cuadrado cada una de estas diferencias, se suman los cuadrados, se divide luego la suma así obtenida entre el número total de elementos y, finalmente, se extrae la raíz cuadrada de ese cociente.
Es lo mismo que Cortficiente de variación.
Véase Tablas de números aleatorios.
Véase Distribución de frecuencias.
Véase Distribución de frecuencias.
La clasificación de datos numéricos de acuerdo con su tamaño o ma~;nitud. Una Población cuyos elementos se clasifican de acuerdo con alguna cawctcrística cuantitativa (valor monetario de los pedidos, facturas, etc.), pod!Ía dcscnbirse mediante una distnbución ele frecuencias. Una c1Istribuc1Ón simétrica es una cl1stn bución de frecuencias que puede representarse por mecho de una Curva normal (acampanada). Una clistnbución asimétrica es una dislnbución de frecuencias cuya curva se extiende más hac1J una direcciÓn que hacia otra. Una d1stnbución asimétrica sería, por eJemplo, aquella que comprendiera 500 faetur::1s, por un total de $ 1 000 000, ele las cuales 5 fueran por S 100 000 cada una. Si se examinasen todas las bcturas de alto valor -y, por tanto, se les exciuyera ele _la distribución asimétric::1-, las facturas restantes, suponiendo que no existieran otros valores extremos, reflejarían un:t Distribuci6n normal y se prestarían para el muestreo aleatono.
Véase Curva normal.
·~ ;-· •
D~tribución normal Véase Curva normal.
Distribución simétrica Véase Distribución de frecuencias.
Enuncüulo de conjiabilidad El grado en que se controla la diferencia entre el resultado de la muestra y el valor del Universo (es decir, la Variación). El enunciado de con fiabilidad se compone de 1) el Nivel de confianza y 2) la Precisión. La pre·
· cisión no se puede considerar separadamente del nivel de confianza.
Error 0 Una discrepancia que tenga significación en la auditoría y que no haya sido descubierta y corregida en el proceso del sistema de control mterno establecido.
Error de muestreo Error que se produce exclusivamente a consecuencia del uso de muestras. Este tipo de error puede estimarse matemáticamente. Compárese con Errores ajenos al muestreo.
Error.'!s t1jenos al Las equivocaciones comehdas por el auditor al inspeccionar o examinar los muc:;&reo elementos de la muestra.
Es&atlística * Una medida determinada con base en una muestra. Compárese con Pa-
Estimación de frecuencia
Estimación del valor en unidt.ules monetaTÜJB
Estimación de varÚJbles
Estimación eslatlíalica
, rámetro. Una estadística es el valor de la característica en estudio deri,·ado de una muestra.
El método utilizado para determinar, por Muestreo, la tasa de ocurrencia de ciertos Atributos dentro de los límites prescritos de Precisión y Nivel de confianza; es decir, la determinación, co:-~ base en una muestra, de cuán a menudo ha aparecido un atributo específico. Véase Atributo.
La estimación del valor promedio de un grupo de elementos mediante el empleo de una muestra, con una seguridad -equivalente al Nivel de confianza- de que la Media de dicha muestra estará dentro de cierlos límites, de magnitud especificada, a uno y otro lado del verdadero valor medio que se hubiera obtenido promediando todos los elementos del Campo. Puede usarse para estimar el valor monetario de los errores, de la suma total de cuentas por cobrar, etc~El procedimiento de estima· ción no necesariamente debe servirse de unidades monetarias, puede ser aplicado a un promedio de cualquier valor, como, por ejemplo, la anti· güedad promedio de las cuentas por cobrar. Véanse Variable y Estinu1ción de variables. •
Método estadístico para estimar valores, sean monetarios o de otra clase. En el muestreo de Variables, se miden o evalúan (en dóla;cs, libras, días, cte.) las unidades d~ muestreo elegidas, y con base en las mediciones realizadas se calcula alguna medida estadística para estimar el valor del Parámetro del Universo. Véase Estimaci6n del valor en unidades monetarias.
Estimación de los Parámetros (valor verdadero de las características en estudio) de) Universo, a partir de una muestra estadística.
121
Es:imnciún por ampliación
E~rimación por diferencia
Estimación por intervalo
E:.timación por puntos *
Estimación por razón
:!;:<timación por regresión lineal
Evaluaciones interinas *
~'rart·ión tle rnuestrco
Generador ele números aleatorios
llipótesis
l ntervalo ele confianza
1 ntervalo de tolerancia
Marco*
• ~:arco tl~, muestreo
1~., ......
Véase Procedimientos de estimación.
Véase Procedimientos de estimación.
La estimación del Parámetro de un Universo mediante la especificación de una amplitud de valores definida por un Hmite supenor y uno inferior, y dentro de la cual se asegura que se e 1cuentra el verdadero valor del Pardmetro. Véase Precisión. Compá·rese con Eslimnci6H por puntos.
La estimación del Parámetro de un Universo, mediante la asignación del mejor valor singular estimado del parámetro. Colllp:trese con Estimación por intervalo.
Véase Procedimientos de estimación.
Véase Procedimientos de estimación.
La evaluación de la confiabilidad del resultado de una muestra en cualquier momento de su recopilaciÓn, a condición de que los elementos hayan sido seleccionados por medios aleatorios para someterlos a una auditoría.
Véase Muestreo estratificado proporcional.
Un método para obtener números aleatorios, ya sea en tarjetas perforadas o en cuadros impresos, mediante el procesamiento electrónico de datos (PED). Se han formulado programas para proporcionar números aleatorios dentro de la amplitud espec1f!cada por el auditor y para tenerlos clasificados en secuencia ascendente.
Una suposición acerca de una Población, suposición que se decide aceptar o rechazar en vista de los resultados observados en la muestra.
La amplitud dentro de la cual se espera encontrar la media del Universo, con el grado de certeza especificado en el Nivel de seguridad (confianza). Es similar al factor de tolerancia (por ejemplo: más o menos 4 '70 ) presente en cualquier medida. También se le llama Intervalo de tolerancia o Precisión.
Véase Precisión.
Una lista de todos los elementos del Universo. En algunos casos es posible que el marco de muestreo no incluya todos los elementos del Universo, como, por ejemplo, cuando éstos se encuentran en tránsito o de alguna otra manera no están disponibles para su selección. A menos que las diferencias entre el marco y los datos del Universo sean insignificantes, es posible que los resultados de la muestra no sean suficientemente represen· tativos de dicho universo.
Véase Marco .
.. 1'
{,;cdia
M cdia arilmélica
Mediana
Moda (o Modo)
Muestra
Muestra con exclu:;ión
,';¡ ueslra probtíu;:;.,,¡ca
~~: üt'!:i:ras alco¡or¡llS
in<er penc•ranles
,\:ueslreo
Mueslreo aleatorio 11implc •
,í;uc.~~rco científico
Véase Media aritmética.
La suma de los valores de la Población dividida entre el númc•o ele elementos de la n1lSma. Por lo tanto, si la Población consta de cmco cuentas con saldos de$ 2, $ 5, $ 12, $ l4 y$ 17, el saldo mcel10 ele eslas cuentas sería su total ($50) elividido entre su número ( 5), o sea, $ 10. La mcelia es una meelida de la Tendencia central ele una Distribución de frecuencias.
Un valor que divide una sc..'Tic ordcnacla, en forma tal que por lo menos la mitad de los elementos son iguales o mayores que d1el10 valor, y cuanclC! menos la mitad de dichos elementos son 1guales o menores que el mismo.
El valor en torno al cual henden a conccntra1se los elementos; el valor máo; frecuente o más común en una V~~tribución de frecuencias. El valor de la moda corresponderá al valor de la abscisa del punto máximo de una curva que represente a una Distribución de frecuencias.
El conjunto de elementos de un Universo que se seleccionan para examen.
Un método de muestreo que consiste en eliminar las unidades más pe· quciias de un Universo y extraer una muestra solamente de las restantes. Aunque no es estnctamcnte un tipo de muestreo probabilístico, algunas veces es sumamente económico,_ y puede usarse en algunas situaciones 'il
se tiene suficiente cuidado.
Véase Selección aleatoria.
Una derivación del Muestreo aleatorio simfJle; en vez de sólo un resultado inclcpcmllcntc basado en la muestra, es pos1ble tener muchos. Un método consiste en dividir el Universo en distintas zonas. aprOJ..Imaclamente de la nllSma magmtucl, hacer selecciones aleatonas en cada una y tener tantas submueslras como zonas. Por c¡emplo, un Universo de 100000 se d1vide en lO zonas; se hace una selección de lO elementos de caéla una; la pnmera selección de cada zona da por resultado una submuestra de lOO elementos que penetra las 10 zonas. La sigmente selecCiÓn da otra submucstra pe· 11ctrante de 100, y así hasta que se hayan obtenido lO conjuntos de mues· tras penetrantes. La técnica que se usa para medir la concorclanCla entre bs submucstras, a fm de ~<.lentificar cualesqUiera resultados absurdos o no confiables. Comp:1rese con Muestreo replicado.
La selecciÓn y el anális1s de un número finito de elementos a fm de ohf('nr·r mformac-1ón acerca del Universo del que fueron seleccionados ..
:Vlétodo por el cual ~e seleccionan, enteramente al azar, los elementos de la muestra, de ent•c lodos los que pertenecen al Universo. Este ¡nocedimicnto brinda a cada elemento del universo igual oportunidad de ser seleccionado al extraerse la muestra. Un método común cons1ste en utilizar las Tablas de números aleatorios.
Un procedimiento de muestrc:;o en el que el diseilo y la selección de 1a
123
¡'tfuestreo de aceptación
Ji! llcstreo do atributoll
rr: uestreo ele conglomerados
.~!ucstreo de clCJlcubrimiento *
Muestreo de estimación
,''¡fucstreo de swrpensión o continuación
124
muestra se efectúan de acnerdo con la teoría matemática, en especial la teoría ele las probabilidades.
Plan de muestreo utilizado para distinguir entre lotes de elementos buenos y lotes malos; definiJos estos últimos como los que contienen elementos defectuosos en un porcentaje superior al especificado.
Véase Atributo.
El método de muestreo por el cual se ordena el Universo en grupos o "con· glomcrados" de elementos. El primer paso cons1ste en hacer una selccc1Ún aleatoria de los conglomerados que se van a incluir en la muestra. Luego, se pueden muestrear los elementos de los conglomerados selecciOnados (Muestreo polietápico), o bien se puede hacer un Censo de ellos. Por. ejemplo, al inv"shgar un gran número de cajas de herramientas, es posible reducir el costo de la auditoría mediante el empleo del muestreo por conglomerados. Primero, se hace una selecciÓn aleatoria de las cajas, y después una selección, también alcatona, de los registros de herramientas que hay dentro ele las cajas seleccionadas. El mucslreo de conglomerados se usa generalmente para obtener los resultados más precisos con un presupuesto fijo, pero no los más exactos en térmillos de números de muestra.
Una técnica especializada para localizar casos de ciertas clases de irregularidades, tales como fallas al seguir procedimientos básicos de control interno, o evidencias de mal manejo y de posible fraude. Se utilizan cuadros especiales ele probabilidades. El muestreo de descubrimiento no tiene por fin dar una base para evaluar el contenido de error en toda la Población. Proporciona el riesgo calculado, implícito en el descubrimiento de un error (o ele ninguno) en una población. También se le llama Muestreo exploratorio.
1' ';¡
La determinación, dentro ele límites estipulados y con un riesgo espccifi- , cado, de la frecuencia con que ocurren eventos tales como errores, vwlaciones al control interno, etc. En otras palabras, el método de muestreo utl117..ado para permitir al aud1tor llegar a una conclusión respecto de toda . la Poblac1ón. Comprende Estimaciones de frecuencia (l'v!uestreo de atnbutos) y Estimación del valor en unidades monetarias (Muestreo de variables). El muestreo de estimación es el método utilizado más a menudo por el auditor.
Uría técnica introducida por la Fuerza Aérea de los Estados Unidos para hacer evaluaciones basadas en los resultados ele una submuestra o de una muestra aleatoria simple reducida. Se han elaborado cuadros especiales para indicar el riesgo implícito y el estado probable del Universo, con base en la aceptación de una muestra reducida. A1 usar los cuadros, e1 auditor deberá determinar: 1) la tasa máxima aceptab1c de error -considerando las normas existentes o la experiencia-, y 2) qué grado de seguridad desea tener ele que .sus conclusiones, basadas en la muestra y en la tasa aceptable de error, sean correctas.
,.- r
Jllwstreo cliri¡;ido
iUucslreo doúle
• ~1 ucslreo en cadena *
Mueslreo en dos etapas y policlápico *
,¡¡u os treo estadístico
it1 u es treo eslrati j icado
,;¡ uestreo estratificado no pro porciolUll
La selección de aquellos elementos qnc, a ¡uicw de qmen la lleva a cabo, son los más adecuados para sus propósitos de aud1toría. El muestreo dm· g1do difiere del Muestreo estadístico en un aspecto importante: no puede demostrarse matemáticamente el grado en que la muestra d1rigida representa al umverso del cual fue seleccionada. Por tanto, el muestreo dirigido se utiliza cuando no es esencial contar con una determmaCIÓn prec1sa del estado probable del universo, o cuando no es posible, práct1co o necesario usar el muestreo estadístico.
Un método para efectuar la selección inicial de una muestra grande, de la cual es posible obtener información que puede usarse como base para la selecCIÓn de una muestra más pequeña y detallada. D1cho método se usa en la realizaciÓn de encuestas porque es rápido y relativamente barato. Por ejemplo, el auditor puede investigar 500 elementos para obtener "grupos naturales" de información fácilmente analizables; luego, tomar una muestra de esos 500 para obtener información más detallada. Este método también se utiliza cuando se desconoce cierta información acerca del Universo y solamente puede obtenerse de una muestra. Compárese con el Plan de muestreo doble.
Véase Muestreo sístemático .
Subdivisiones de muestras. Este método se usa en encuestas. Por ejemplo, las unidades primarias podrían consistir en una muestra de los estados cic un país; las unidades secundarias, en una muestra de ciudades de los estados seleccionados; y las unidades terciarias, en una muestra de manzanas de dichas ciudades, etcétera.
La selección, con una base científica, y el análisis de un número finito de elementos con el objeto de obtener información acerca de~ Universo del que fueron seleccionados.
Un método de muestreo según el cual primeramente se separan los elementos del Universo en dos o más clases llamadas estratos. Los elementos contenidos dentro de cada estrato son, en general, comparables y cada estrato se muestra de manera independiente. Este método es apropiado cuando hay una gran discrepancia entre los elementos de la muestra respecto a las características que se medirán., Por ejemplo, supóngase que en un Universo de 1 000 facturas, 20 de ellas, que suman S 200 000, representan la mitad del valor monetario del Universo total. Obviamente, deberá examinarse todo el estrato compuésto de estas 20 facturas, en t::.nlo que el resto podrá ser muestreado. Véase Distribución de frecuencias.
La selección de un número igual de elementqs, de estratos desiguales, a d&fercncia del Muestreo estratificado proporcional. Este procedÍimenro da por resultado muestras a las que posteriormente deberá aplicarse un factor de ponderación para que queden sin Sesgo. Por ejemplo, en un Universo de 360 (formado de estratos que contienen 60, 120 y 180) y un tamailo de muestra de 40 par::. cada estrato, los resultados de la muestra deberán mul~l:llicarse por el recíproco de la razón de la muestm al tamaüo del estrato. El recíproco se determina de la siguiente manera:
125
Muestreo estratificado proporcional
,1Jueslreo exploratorio
11Jucstreo objetivo
1i:uestreo polietápico *
Muestreo por intervalos
,·,:uestreo por núrneros aleatorios
i'.-:uestreo proporcional al tamaño
126
Tclll!mio Tamaño Estrato del de lc1 Razón Recíproco
estrato muestra
¡\ 60 40 40/60 6 2/3 3/2 13 120 40 40/120 6 1/3 3/1 e 180 40 40/180 6 2/9 9/2
Luego se aplican los recíprocos a los resultados de muestra, ya sea que se estén midiendo unidades monctanas, err9rcs u otras características.
Un método por el cual, ele cada estrato, se selecciona una muestra que sea una proporción igual a la que guarda la muestra total respecto del Universo. En un universo de 360 (formado de estratos que contienen 60, 120 y.l80 elementos) y con un tamaño de muestra de 120, las muestras de estrato serían de l f 3 de cada uno de los tres tamaños de estrato: 20, 40 y 60. También se le conoce como Fracción de muestreo. Compárese con Muestreo estratificado no fJroporcional.
Es lo mismo que Muestreo de descubrimiento.
Muestreo basado en métodos científicos.
Muestreo rcalizaclo por etapas, en cada una de las cuales las unidades de muestreo son submuestrcadas con base en las unidades mayores escogidas en la etapa anterior.
Un método por el cual se seleccionan elementos del Universo en tal forma que hay un intervalo uniforme entre los elementos muestrales. El primer elemento de la serie debe escogerse al azar. También se conoce como Selección aleatoria restringida y Muestreo sistemático.
Selección aleatoria realizada mecl1ante el uso de Tablas de números aleatorios.
Un método para asegurarse de que las \'nidades más grandes de una Población tendrán mayores probabilidades de ser seleccionadas que las unidades 'm{¡s pequeñas. Supongamos que se desea seleccionar una caja de herramientas, de entre 5 cajas, para estudiar ciertas características de poblaCIÓn. Supongamos también que el número de herramientas varía en la forma que se indica en el sigu1ente cuadro:
Caj.~~ de Número de Números consecutivos herramrentas lzcrrallllcntas aszgnc1dos (JarcJ muestreo
¡\ 5 000 1 2 3 't 5 13 4 000 6 7 8 9 e 3 000 10 11 12 D 2 000 13 14 E l 000 15
A fin cle hacer variar h probabiliclacl de selección de acuerdo con el número de herramientas que hay en cada caja, se asignan números consecutivos a
1-
'
M ueslreo repliclzdo
M ues~reo serial *
Muestreo sistemálicli
Muestreo lipijicll(/o
NCA
Nivel de calidad aceplriÚlc
Nivel de confianza
Nivel de seguridad
Número de aceptación
Ordenamiento
Parámelro
cada una en proporción al m'tmero de herramientas que cont;enc, según se indica en b tercera columna del cuadro. Entonces se selecciona el primer número entre 1 y 15 de de una Tabla de números aleatorios para delermmar cu:íl ser~ la caja que se estudiará.
Un método según el cual se cxamimn grupos de rnueslras aleatorias y se comparan las tas:ts de el\aClltud (o error). Si éstas son similares, los elementos probados se consideran representativos del Universo. Compárese con Muestras aleatorias interjJenetral!tes.
V bsc Muestreo ,\istenuítico.
Un método en vütud del cual se seleccionan elementos clcl Universo en, forma tal que exista un intervalo uniforme entre cada elemento de la muestra y el que le precede. El primer elemento de la serie debe escogerse
. en forma aleatoria. También se denomina Selección aleatoria restringida y Muestreo por intervalos.
V éasc M u es treo sistemático.
Nivel de calidad aceptable.
· La calidad cons1derada conveniente para los fmcs ele aceptar o rechazar una Población, mediante el uso de un plan formal de muestreo. Por ejemplo: 2% o menos de error en las ,unidades muestreadas.
Es una estimación del grado de certeza de que la media del Universo se encontrará dcnt.o del Intervalo de confianza. También se le conoce como Nivel de seguridad. Los m veles de confianza de uso más común son 90% y 95 %. Por ejemplo, al utilizar un nivel de confianza de 95 %, si todas las muestras pos1bles ele un universo fueran tomadas en la misma forma y bajo las nnsm:ts condiciones, se obtendrían los mismos resultados 95 veces de cada 100.
Véase Nivel de confianza.
El máximo número de elementos defectuosos tolerado en un plan de Muestreo de acejJtació~t.
La disposición de valores numéricos del menor al mayor, o viceversa. Por ejemplo un ordcnam1cnto de tasas semanales de salarios: $ 140, S 142. $ 142, $147, S 150, $150, $150, S 153, etcétera.
Una medida calculad;¡ sobre la base ele un Universo o que describe a éste. Compárese con Estadi~tica. Un parámetro es el valor de la característica en estud1o obtc•1ida de un Ce11so del cien por ciento. Los valores G.1culaclos con base Ci1 una muestra extraída del 'universo sólo pueden ser estimaciones o apro;...i•nacwncs ele los verdaderos parámetros. Por ejemplo, supóngase un umvc.-so ele 1 000 solic1tudes de compra de las cuales 30 en realic!::iJ no hubieran sido debiciamcntc aprobadas, lo cual constituye la caraetcrís-
127
Periodo de muestreo
Plan de muestreo doble
Plan de nulcstreo rnonoetápico
Plan de mllestreo múltiple
Plan de mllestreo secuencial *
Población
Precisión
Precisión de muestreo
l' rolmlJil iclacl (.\'h·el de probalJiliclad)
Procedimientos ele cs~imnC:ún
128
tica en estudio. Estas 30 representan el parámetro, o sea la verdadera característica, del universo. (Por supuesto, generalmente se desconoce el parámetro.) Supóngase, además, que se examina una muestra de 158 (Nivel de confianza de 95 %, PrecisiÓn de ± 2 <¡'0 , tasa esperada de ocurrencw. de no m:1s de 2 %). Hagamos la suposición adicional de que la muestra tiene una tasa real de error de 2% (la Estadística). El parámetro estimado para todo el universo se proyectaría entonces entre O y 40 errores; en tanto que el verdadero parámetro es 30.
El lapso de tiempo cubiert0 por la muestra. Cuando la muestra se tom:1 de un penodo restringido (una semana, un mes) tal vez los resultados no se apliquen al resto del periodo cubierto por la auditoría.
Un método por el cual se obtiene un máximo de dos muestras antes de tomar una decisión. Compárese con el Plan de muestreo monoetápico y el Plan de muestreo secuencial. La selección de una muestra de tamnfío fijo tomada de un grupo definido de elementos, y la aceptación o rechazo del grupo, con base en el número de errores encontrados en la m1:1cstra.
Véase Plan de muestreo secuencial.
A menudo denominado muestreo múltiple. Es una ampliación del Muestreo doble. Consiste en tomar una serie de muestras, hasta que sean concluyentes las pruebas de la calidad del trabajo. Siempre que la suma de los errores obrenidos en las muestras sea suficiente para indicar en forma definitiva st el trabajo es bueno o deficiente, se toma ele inmediato la deci· sión de aceptarlo o rechazarlo. Si el número de errores no establece cabalmente la tasa de error, se obtienen nuevas ·muestras hasta que se pueda tomar una decisión.
Véase Uni~·erso.
La amplitud dentro de la cual se encontrará la media del Universo, con el grado de certeza especificado por el Nivel de confianza. Es similar al factor de tolerancia (más o menos 4%, por ejemplo) que se encuentra en cual· quier medida. También se le denomina Intervalo de tolerancia o Intervalo de confianza.
Véase Precisión.
La razón de la frecuencia de ciertos eventos a la frecuencia de todos los eventos posibles en una serie o conjunto. Dicho en otras palabras, el número de veces que puede ocurrir un evento de una manera específica, en comparación con el número de veces que puede ocurrir en todas las formas posibles. Generalmente se expresa como una razón decimal, que puede convertirSe a Ull porcentaje multiphcándola por lOO.
Los métodos usados para estimar el volumen o extensión del Universo por medio de muestras. Estos métodos comprenden Estimación por amplia-
f'" L
Promedio
P ruaba dirigida
Prueba en bloques
Represenlaliva
Riesgo
Riesgo de muestreo
Selección aleatoria
SC:í!cción lllea:.oria con prueba subjetiva
S..!ccc:ó¡¡ ui.J~~úr:a irreslric~
ción, Estimación por razones, Estimación por diferencia y Estimación por regresión lineal. Véanse ejemplos y procedimientos en el Apéndice Técnico, a partir de la página 111.
Un valor típico que tiende a resumir o describir la masa de datos. El promedio· sirve de base para medir o evaluar valores extremos o desusados.
El tipo de muestreo utiliz:1clo parn realzar una situación indeseable o aislar una discrepancia con el menor esfuerzo. Véase Muestreo de descubrimiento o exploratorio. Sin embargo, este tipo de muestreo nunca debe dejar la impresión de que los resultados obtenidos son representativos de todo el Universo.
Una prueba conforme a la cual las muestras se basan en periodos de tiempo o agrupamientos consecutivos; por ejemplo, toda la facturación preparada en un mes determinado, o las cuentas por cobrar de todos los clientes cuyos nombres empiezan con "E" y "M". Cualquier conclusión a que se llegue respecto a las transacciones en otros meses o con otras letras es meramente subjetiva.
' Se dice de una muestra. Si ésta es representativa del Universo del que se obtiene, sus características son las mismas que las de dicho universo, dentro de los límites fijados de Nivel de ccn.jianza y de Precisión.
Véase Precisión.
Siempre que una decisión o una conclusión esté basada en un resultado muestra}, existirán riesgos concomitantes de que la decisión sea incorrecta. En el muestreo estadístico, el grado de riesgo puede determinarse matemáticamente. Véase Nivel de confianza.
' Una selección que está regida totalmente por las leyes del azar y en la que cada uno de los elementos de la Población ·deberá tener igual oportunidad de ser escogido. En una población estratificada, en la que algunos de los estratos se muestrean con mayor intensidad que otros, cada elemento de la población total no tiene necesariamente una oportunidad "igual" de ~elección, pero las técnicas de selección aleatoria deberán proporcion<tr una oportunidad de selección "conocida". U na muestra aleatoria es la que se obtiene por selección aleatoria y, por lo tanto, es representativa de los resultados que podrían esperarse si se tomaran más muestras.
La selección de elementos al azar realizada por un auditor, cuando, para prueba, escoge uno de ellos sin base científica, pero desconociendo de antemano cuáles serán sus atributos. Algunos estadígrafos consideran que con este método de selección es escasa la posibilidad de que se produzca un sesgo, pero que sol;¡mcntc deberá ser utilizado si el auditor es consciente cle lo que s.gn:i,ca !o aleatorio.
Véase Selección aleatoria.
129
Selección aleatoria restringida
.Sc .... ·¡;o *
Sin respuesta
Tabla ele intervalos ele tolerancia
Tablas de números aleatorios
Tamaño muestra[ promedio (';'J~¡p)
':' entlcncia central
T runramir•nto 0
130'•
Véase Muestreo sistemático.
La existencia de un factor selectivo que inflUJrá en la determin;:¡ci6n del contenido de la muestra en una forma particular. Generalmente el sesgo es un docto que impide que un resultado estadístico sea reprt?Sentativo, al distorsionarlo sistemáticamente, a diferencia de un error aleatorio; ya que éste sólo puede producir una distorsión ·ocasional que tiende n cquili· brarse en el promedio. Un ejemplo de la posibilidad de introducir un
· sesgo en los resultados de m11estras es la obtención de una muestra de una nómina en la que figurase en cada décima línea un ayudante de capataz. De esta manera, urw muestra sistemátic;:¡ con un intervalo de muestreo igual a 10, o algún múltiplo de 10, incluiría ya sea a todos los ayudantes de capataz o bien a ninguno de ellos. Otro ejemplo sería la selección para prueba de solamer.te aquellos elementos a los que es fácil probar o locahzar.
Situación definida por el hecho de que no se 1oca1i7.a o investiga un elemento scleccionJdo para prueba. Esto permite que se introduzca un Sesgo en la mu<.Stra. Una vez que un c;emento ha sido designado para examen, deben usarse todos los medios posibles para obtener una respuesta. Al confirmar las cuentas por cobrar, por ejenplo, el método Hansen-Hurwitz estipula que el auditor: 1) debe pedir respu~stas precisas a las solicitudes de confirmación y 2) deberá tomar una muestra estadística de las faltas de respuesta y seguir trabajando intensamente sol:>re ellas o verificar la exactitud de los saldos por medio dE otras técnicas equivalentes de auditoría.
Una tabla que se utiliza para evaluar resultados muestrales cuando la tasa de error que revela el muestreo difiere de la tasa de error esperada que se consideró al determinar inicmlmente el tamailo de la muestra.
Tablas de dígitos d:spuestos de tal manera que el auditor puede usarlas con toda confianza para la sclccdón ele muestras, con la certeza de que han sido mezclados concienzudamente (es decir, dispuestos en forma aleatoria). También se denominan Dígitos decimales aleatorios. Algunas tablas utilizadas comúnmente son: la Tabla de 105 000 dígitos dccirrt<lles aleatorios, calculada por la Interstate Cornmerce Commisswn (Comisión de Comercio Intcrestatal) y Un millón de dígitos aleatorios, calculados por 1l1e l\and Corporation. Véase CencraJor de números aleatorios.
El tamaiio medio (esperado) de la muestra que es necesario en un plan de Muestreo de aceptación antes de que se adopte la decisión de aceptar o rechazar.
Un valor singular que representa la masa total de observaciones. Entre las medidas de tendencia central se encuentr:¡n la l'v'Iedia aritmética, la Me· diana y la Moda.
La suspcmu'm del muestreo en un punto arbitrario. Se hace para evitar muestras demasiado grandes en el Muestreo secuencial.
Unidad elemental
Unidad muestra[
U nidacl para muestreo
Universo
Universo finito
Universo heterogéneo
Universo homogéneo
Univcr~o infinito
Variabilidad
Variable
Variación
Varian;;a •
La unidad singular sometida a prueba. Véase Unidad muestral.
La unidad seleccionada para examen. Si inicialmente se selecciona un grupo o conglomerado, entonces éste es la unidad muestral. Los elementos singulares del conglomerado se denominan Unidades elementales.
Unidad del Universo sujeto a examen, extraíd.1 para su inclusión en una muestra. Puede ser una unidad primaria de la cual se obtengan nuevas umdadcs de muestra, o un elemento singular extraído clircclamentc del universo para su inclusión en la muestra final.
El conjunto o totalidad de los elementos o unidades acerca de los cuales se desea obtener información. Tamb1én se le denomina Población o Campo.
Universo constituido por un número limitado de elementos; por ejemplo, la cantidad de cuentas por cobrar en cierta fecha. Compárese con Universo infinito.
Universo compuesto de elementos de naturaleza diferente. Tal universo deberá probarse por medio del Muestreo estratificado o ser examinado por completo.
Universo formado por elementos que son muy simila1cs. Tal universo se presta al Muestreo sistemático.
Umvcrso que conlienc un número ilimitado de clemenlos. Por ejemplo, la operac16n de correr as1entos realizada indcfinidamenle. Compárese con Universo finito.
Una medida concebida para dcscnbir la diseminación o d1spcrsi6n de una Distribución de frecuencias.
La característica cuantitati\ra de un elemento de la Población; por ejcm· plo, el plazo vigente de las cuentas por cobrar o el monto del saldo de una cuenta. Véase Esti11Uición del valor en unidades monetarias. Compárese con Atributo.
Véase Coeficiente de variación.
El cuadrado (la segunda potencia) de la Desviación estándar.
131
.. .. 1 "'(-.
--1· vJ ¡{ 7
fL :1
u 1
r ·' ~.
v1 ~~
11J A
--2
1
.... ~ pJ
lJ.
1" 1
1 ¡JJ
d. ·-
'
~ )
~J ~ A-¡JJ
4 A
J J
·~ 2
4 '9.
'7 ..
4 ~ _
j .., !J.
VI
1 I IJ)
rJ l r.l. 1.11
!l .... ) J ~ \1 o J
}) ~
J ')
tÍ ~ ...... <
¡¡..1 "'
J r
/ ~
1\ o 'r-1' \
l ' ~ 1 IJ
j
o p J 4 .1 v
•"
. l
:
~,;,
J v··· y r
ul P
p ú D. 'j.. '¡
,.,, .~
1 1 ·.1
L _
'v
fl; (
Q
.. .t (' .j
( 7 _, L
r ; ·1 J
,., r'
1 ..,. -
' í'
(
&
-+-11
~! :·
. JQ
... 1' -.
/~ ..
:! ....
·.¡ •' /
_¡ z
··< ¡~
•.J
•..:..
-.,
\
r 6_
s._
r· .
'• .. .,
-,
: ~-¡-
\\ . t
:' ¡
\ '(
1 •
\/
(\ ,~-
(¡'
1~:.
_ V
" ·">
~ ;--
('' ;,• ... e ~--~
'
,fl u
¡}) ..
) l
,'!1 (' u
' .....
.. •'
.... \
\: (.
{ . !
\ '
Ú.J
r ¡., f ) _.!.
-...
r )
(;;.
-1'
J ., ~
(. _.., r - ('l
r e
(¡ .--(/
~ !'\
,·
l 5
>L
1'C
::..
i rv
f'
V L
l_
j.,
,?
---
y~
ji
(t ,.
-,
r¡ e,.
. :
'7 --¡
o >=
-=-·
:; (
)..!--
~1 J
c. -
_, t. ;1
•· ..
....
__
__
__
__
__
__
. __
_ --
!·--
; ' ~-
}. ;}
r
• V
~
-~
" ...
1;....
.-'
(O J
1 1 ! 1 .,. .l
..
1
f. ,.
..--
--1
--·--
~-r----l>'~
e>
',
;'<;)
>·
-:-~
I ~
of"
'Á
-: (.•
) 1'
~ ()
- J. t()
_t.
...
o
(
;:) > •
r t7 / [1 M " \ \
J ¡r! , ...
C.~--
: X
1
-. "¡ ,
~ i
;;· -
··¡----
. __
\ j
~ r) -
f~~--
¡---
----
~ 1
é)
f (~~-
---¡
---.
¡~ ...
; o
\f\.l
( J
1 1
.¡..
.---
··---
' o
' "
-!
....
1 ,,
1
N
1,.
._
Í J::
!
0 ; t
Y
: __
____
_ l.
! 9
i ~-
¡---
--
1
\,V
:o
:
,_ Ó
J :
¡ ,-
.
1-:;l-c
;;--,---
--' ~
10
¡F
• :
i 1
1 :
,---.
¡--· ·--
--:---··
· (J
' l
·-\\
l_o 1
-o ;
.J..
)!Ü
ltJ
1
¡ 1
r.o -~
-~----
t· ---
l ce
: r-.J
,~ ~
1 ,,
o
,,....
1 -·--
--~-
~
;9
:
1
!b ;
i leo
¡-¡o
1
.
r--·.
·-·
. -
· ¡ --
' 1
¡-
1 1
; -
i --
-1
1-
.. ~ ...
....
. tP
¡v
!L~
) 1 o
·---
-·
1 '
·--i--
--..
--1 -
... ;
:--
1 '
.~
l_.,
; {
u
. ¡ e~
,. n
1 o
'-
l '.
j
1\J
:0•
f\r1 .1
r--,
~e
~. 1 '
.~
~
{)
K
.>. -
~
~
~
'---
. ' n o
IL \/
~\)
~ f~\j
r::'
> • ' ~
t--
()
:.<
~.
\.._
..,;
'
~
-~
,, o
e .. .. - \'
. !
]. t.!
-·
..
J .
p.:
.. ~. '
-.
,fi
ú 'j
.[1
J 1 1
' ·-.
l --
~ -l
..
' ..
~~
.....
~·:
S
' .:::.
~ ...
1)
. Í
( .·· .._
,~·_
j¡
¡¡ .s
-'.
F
t· -
---...
-.c.-
. -;-
' . '
,r-'t
' ~1--
~ r
:,.
~~ -·
----
----
----
----
----
----
¡---
-·--
----
----
_l,
.-_
l
!\ ~
1
·~
''J
r '
(Le
. ~·
·.-
'\
f ~-
-· (J
)
5'
~ y
~ o'
.... (J
.• J
1,1 '.
ll p o
')
-¡--
l V'
~ . n
., '
. ., ..:.
-.r o '"' ~
o ¡.
~
V
fb
{O
ti'
v ..
l-)\
y
..... q.
'1' r-
:¡_
1 &
,,.
n •• \
.>
. "'
t-'11
,
{ ·-·
· .. -·
.· '
-·~·
· \_
¡',
.. •
•
1
~
:: r-
--.:
;'
~~~
) \
r .
.~
t )
~
~
·Ov
¡r n·
n (,-
: ' f
~ r~
' . - .. '
1.
"\l
' > .:
"" @
o
í --
(
. \ ' ..... - ... ,
<----;_, c.:_
.,~.·::.¡
-+-i -=- 1
<__: -- l
,\
(} -~
' .... - ... ~ .. ,- ',..,. '~ (.:." :::-,
1G;::-).z
:6 1 t'G9.'0
.. \. 7: \. ·}o
\ .. ...:a \'e t.• -~e
-·
>,· 6:::: o. _1 + :o"' J.lt \.._..,
"""· 2_ X~ ..\..::::.1
.... - 1
.,
/ / ..... _ ;_.,_-::.. .
k·"'·e c:?- e e- e
,k·· V \ Ó_ ~ ..,-.,
.. ( - 1 • 9 O t- o , 1 :1¡' x· q-
\-=-- -\ . __ .::;,__ . __ ~ ..
,-- r
' 1
\ _;
1 , .. '"""'
r ,.... t ("
\ ._, \.
~
C.: .-_.._.__ 2- C. ; ..-,, "
(' ~ • ._ •• -o ( -J~ .,,
~ +{O, \ =f), :2> -e)'
' '<
~ : .. ¡~ ' ~
-\ ~ . t.:;..... __ A ':_. ; 0 '-"'\
. \ ) r l --"-·'
1 e\ -
'-t._ 1 ,:'-
\~. ~
~
. ~ ' -.. ~d-~ ._;> ~
( '"·"'-'~
. 1
' ' ·~
..;:::-e ·" 1 e·..:.~·
·- .... ' 1 p í
e~._ .:.e vv-. .• -=o' s. \• "\ C~ '._j_~ • .. ;A-\ t;¿
1
\ ' '-"' ~-
0 .. \ ...... .'\ . ~
'· 'v'\
__ ........ ·, ~-J -~o • -- • -·
!' J
1 --\ ·~.--.
ir r ' /', ~ .... ...._y
·-:. \ __ ,
! 1 r·· '-!
--. v--. .....:.:... ...
\
....... '-""\ .';. -<2 .s. ; v
~ ·-~--
' '.(\ j
1 1: u í '
"\ . ,
"' ---:::·, . ']
·-' J J
--
--(J
o '(o
---
\ ¿.
~.::
' 'v
1 ~ '..
j
e '!
't }
'" --
' ••
<
..... --
..
-r
C'
vi ("""
r.,' ._ __ ·-
-1
P. <
r'
'}l'
-:t' .,!_
------· ,1
J'
o..J
1 ' -·
(• ... '• r
"' '-1
.. • !..i
, 1
~) 1 '1
--J
~---
_..-
"1 e
' ~ Q
e,) <']
el) -o n 't
e-\~
.-1
' ,. ,
---"'-')
V
......... 1
---·.
..
11 -1 ,Y
\]
(;/ .
o ' ..
C/
_ _.; ._ ,.
--.
. --· )
' -
y_ (. -. .,
'•
1 .
1:\j --<
X
el\¡'
• ~
•...J •""
G ¡: X
(
., J
{\J ,-{
-:íQ
e \ ~ ! ¡; . V
"J ·-<
e ,,
·,
1/
t) ' .. ~
-' .
•' (.' 5" \ o , .. . ' -. L " ,, --
--
J 1
11
_o
1 ... : • 1
'
... ' _
,
-< .... __ ,
--,. "
' -----
_, r {•
•, ,;
) _) -· _) 1 N
.....___
_.
/t
-~
-~;-
*" 1
J
C.l
·......__
_.......,
-
~
\ ' V ,
' '·
-
1
n t' -·-
- / ;
( .. {¡ ~
r, .) 5 '
('
1 '
1 ' '
r/
l\
¡1 s¡ 1 _.
_
N¡
,,
1__1
-----.-- ,, ·- J o
,..·r"
.f\,
;1 ¡\
'\)
) /
-1-~
--., l flu
,, (\ -' - -,., " n
l
" ( r
b '(
¡ p
.,. -.
' --¡
) -,
;)
í "
("
f)
~
' J.
----
-('
,_,
,,
d " ' -
, t•
' .. -_-v
. '
" ;~-
-,.
e '
'• -
---
.. J· ,r¡¡
{~ ) r r
'-- (. ·; ·- -- " ~ -'
',
(¿ ¿) \rJ
-..¡
---
(J r !'-:---
,/" ---- ~ (/) "' ~ ~,
tfl
J. n
1 1
'i ~-
, ¡'
') 1
.,
1
' J
: --
-/'
'---
--J
,J
(
,--·
(1'
•, -,
1' '1
í ,/ -
-
¿:::--
()
,¡ -~---::.
,_
... t'J
:r ,-,
-
1 1 .---
:;_1
1
r~~
_/ r
-~ ., -'
-~
1'..-:.
,..,
._, ~
' J-[,.
, \
(1_1
' ''
'· .. i ; .
t ¡:
"''
-·- '-í
? ,-
_
i' ' 1'
•'
('
'.•1
'
!'
1 ¡
..
/
/
,.. ~---
--
/ .... :
-
/
' '
. /''
---
-/-
----
-:-:
-"'
Í)
1' 1
/ /')
/
/
/ /
--1
' ,,
-:..· --
n .. ''
(.
o --¡
] '·
~ '
n 0
' ··~ ¡J 1
--1
__ ) 1
\'
-) ~
t. !
~ ~
~
j ,n
~\
()
-./
l
,....._
'-.
i\ o
1'
r'v
J
:rb
V
,...,.... V
~
.y¡
-(')
r (<
~
\ (¡ ·---("
\., vl . -: -t
~ ~
f
(\J ) -
e ~
.; '\
¡ ¡?( 'J
1''
y 1
·-' F
r ,, '
.) X
.
......____, '-
'V
tll x i
' -
~--1
--..!...
1 :.;
j ,.,~
o 1
r.: J f
-~
.... s=l
X
V
j ·'
, -~
' : IJ
,
1 X
í -a \
1 (;1 ---
1
/' ·1,
.S "Í
-\.: ', ,
'-/
'.J 1
'" I'J
'-' '•
'"\
c. '·1
i [\j
_j'J '
b ---1:
·'\ 0
e) ~-
e)
·:'· ~
u1 !
1 t/) ()
-:1
... -j
j 1
;\ 1
(\ r,
1 '1
C:.~; ~J
1 -
/
---· ,_,--...
) ~~
1 ¡ \
\j '1
¡ 1
'· '•
__
t .. l --
__ _}
e •,
~ \
/'
,-e r;
___ ../ ·':~
f!J ' ~
.. -N
~¡
' oJ
\ <
1 o
r(l
r • "'1
-rr.
¿: f'J
\j •:o.J
~ !J
......---.; N
1')
1'/{ X
r .
~
'-,.. X
5
n [!,
b (/)
¡( C•J
o ~---
l' j'
..----......_
Q:;. e· '
0 -t
•J
,. Cijo
'}. ( ,¡
'"'\
i 1
{¡.
'1 1
" ;...
0 r¡
" ... ..,..
Q
rn rj1
1 ~: X
C[J
+_
j
\........./
r ' .
u')
~ 1
) ~
~
,¡ ,
r/"'1 ("
-~
~
:--.....__ \:t.,./ ~
(o"-1
l /
\ <:::
·u (_
l.,
ú1 "1--
o ..._
TI)
oJ \
o '
1..:. ~
V
" 'J
~ (f
c/1 ~~ '}
rD (:)
J
0--_jl
L -~
(J (()
\,~1
.:-1 "1
i'J '
Cl
U'
---· (\)
.........__ '-.._
/ -
'
1 --t-1
-•1
1/
l ·¡ e)
if ';
J ....
1 "]
() -/
'{ ~~
__
__
) .
' ¿;
1: -!:
1)
1-
1 1
.. ~ í _L.
, 1
''
~· ,-,,
; ¡ ~
--''
T'
'1 ··,
(, ---· -,
¡1
t•; (_
,• '•
-
--L r
' ~
... \~
,::<~ ..
( '
.. ,,,\
/ ,,
,-'
1
',\._-:.._, ~
,. !
.\'
" 1
{,· i ,/
.-t
J
~
1 '
... _..-
--.)
-----·
·, 1 '
--. ---
/ 'J
-
J ~--__;,
..... -:_
-'-'
--.---
.,/
·-·-
' --l/
('
---
,'1 .. . :;
__,., \j (, ¡'
,;
~ (; j 1 f\J
¡---
---
---(
------¡-----,-~-,_-~o.-~·
1 '
' 1
--
1 '
--
-1
i :
\ 1
_-
\
--b
' ./,
.,.~,-
'\ t
• 1
1 {
: l
1 ,..
L;
~ 1
\ ¡
~():
1' 1
' 1
··. ~-"'
\..,
1 ~.l
) \ ~-
¡ !)
1 0
1 ~
1
~--~--
¡\ 1
1 1 1 1 ·l
:¡-~
¡---
\1
,(
1 1
1\
l -~
Ir
.\.··-..
. :
1 : ,-
-· \
r-
'--
--r·
--
o,
¡ l 1
1 o
1 1
_.,.,
. 1
('
,1--
1 1
\'.
1
r-·-
1 1
1
\. 1
1 '
: 1
('v
' ;
_ _! _
__
__
__
__
'----
----
--.
~·
1
¡1
-
JI
-~-
jl
1 --·
· ---
·-
1 1
! 1
• ,
'j
C)
: '
-..-!
11
~; •'
1
1 1 1 _1
o j\ lP
f\ o ..
\_)
(!.'
[t'
[\ ~
\;
.----. }
1-!.
. '
1
l'J o (j\
'--=-
-~
~V
J'
\...0
'-.._
.....
¡_____
_____
.<- ' ' r \
·-·'.J
-f
t·¿ ~,.
e é)
. \.
........,_
lo:
-:\
"1
J LT
N
' 1
1 1:
~!
(l¡'
o
1
~ 1
(; 1
.. t 1
J. 1
o!
1 1
O 1
,-(,'
1 ~/_)
'-=-¡
e·
(~' 1
1
\ 'j
o
,1
/1
1 \ -·
,-V
:"J
.)..-
·"" ()
!-· ~- \
U~)
l 1
r, r o ., :
,:
¡J.~ '
1: 1
;
1 ;;
._)
r ~.
,- '--'
. '
~
' ...... __
_ ....
(''
'-~_:_
¡; ~---
j ' ¡ 1 ,•
')__
/1 -~
'1.
'-v
\1
(' ?·
' ...
... ---
' ...
r
\ ( '.
r '1 ;-- ·, ---
' '---,·J
, .. v
' _,___
_
_ __::)
f r: • ' .::,
.·
.-
(.
1--
,)
! ,, '-
,j c.
_\
/1
6~--
u
r r
- ry \
(Al ·u i 11
1 ,J
:') o r '
\ í ... f
r.
.J
(\ .. --,.- ( 1 " _\' .....
r,
.. . . o
.. . ¡ ~ !\,
_· \j r,
---:
• ( t ,10 J '-·
í
\ ' \.
~·
... '
__,- ? (.7
(1 !v
'o
f
-~
1) ·' 11 ,_
-.....,!
¡-.
.....
·' . 1 0
~~ ''. -. '
,j -
·, o o
'' f ¡:> 1
~ 1 1\
C· _
_ :
;1 (\
" 1· .. -
1 ,-=
-., l1
1
J {.
l.
-¡
[/)
; ·\.J
t__c-.
1\
' ~o
1 L
__
! ¡·~
1 1 !-t-
I [,
f)
1 o
¡' u
¡l D o
r-, ·,
- .. ; '¡
¡' o 1 11\
D
V' J ·1 ,,---- o
___ ..
--- \· J
':
r 1
,.:~---'
"-.
s n (J-
p \
. 1
)\ é\
_:_ (. J.-
F
) D
lo
t
.... '
1 t' '
' ..
..
r ,
1 ~J
/\ Á +
¡\
, ')
u .)
--1
·"')
¡--
\...
l 1
-· - ·J 1 1 1
'./
/'· .1
1 ,•
1 ';
'--'
•.)
e_ .... _
:. ..
(\
' ',
)
1· !.--
-
l ( )
._,/
·./
j \ f'\3
J-1-------~ ...
-
O.
-r,
-,_··
-., J ( . .
,
--'--
>
-->
,,~
/, ~'
\
h
.. ' •',
1
-~
' '
¡---:- ¡ 5
"' {
''-..
'",
.• 1
'\
l o
1 1 ! ,_
; 1
: -
\ !
....._
_ _
_ _ 1 \;
r·
1 1 1 '·
¡ 1 '
., 1 1 1 1 -f-
.. -
( r f. .. - r :'J
'¡
~ J
,, .
---'
:-> o· \ --
:1 , __
rJ
,- ¡ f V ;. l '!¡
L'
j
' l
L,/•
'1
'.
(1
r -
' r !•
{" ,_
~---
~ ' .
' -'
\ ' ..
.. / \ í
)
,__1 ;
',·
' J
r. \..-
~ -. f-~ r-.
{J .. 9 1\ 1 T
'!
1' ¡'/
\_; 1 1' J _,
~~-
'/
'\
(, n·
_ ...
... -
¡ ( r o -i V
l r ., ' .; "" ( 1/
'/
t\
1 ;l
; ·-~ ,, \:.-- ' ----
-
/ ' .
~-
.f.·
r -
'p
í /
1 --.
" ! i o:
_
) i rJ o--
- r r ( [:__
('
o- , )
,.<.,
o ~
1+'
r+
x ~ -<
__
/
r----.
... x o J-~
)~1
'-----
---·
--¡·--------:- !
·' • 1 \. ~ ·,
1
~ ~\·:-··....,,... . ¡ •
r
1,
i,: ,.._- _ ... ,_ \·'
.J\ -·
•.
1
1 .~
\, ,., a ,.,_
' \ -'' ) . .
• 1
1 t) ' .. ,_
' ".) ( e:(...'~~-·(. e· 1
\ '<:)- "'· /
\ -)-
. \ ' ' ,_- .. ·- • e
\ r .. :.O C-~-· \...
,A
1 r' -\
._.) \
¡-·-\ +- 1
{O
1 <----e._
,-=:.-.,A_ j ':::::->
1 • 1 \ -...__ . ..,._, j r ... ,
!":' , •• '-Í c ... J/ f.., r
i
' ' 1 • :: • • ~
......, ,. ¡_-(; ·--¡¡.
--··--------¡
1 \ O ( -~ 0. ~") r \ 7 -r 1 o"'J~'() \.:). -- -· ______ , ____ '2__
l.--\ e~
--¡:: ·~-LSI j_Q ( e:- .. \ S.• _( . r (
\.::: 1 (. ..J. ~-~ e '. .: r-, ·--" 1 ·- ·-
1
. ·' .- ' _,,o"Yl
1,()
\ ~ ..... / .1 , ,.'\ ....... LV ('" \..
(¡ ';
1 .~lo,.,· ':-' .r\0
\.
" 1.') ~ .... · .. /_0
\ .. /
/": ,' 1
1, .. /
\ . .i
,( < :-. ( \O"' A
t ,.,. · 1 Ce.. 1 ......... \. ~ \ '1 ,_ ..
IC'-· .. - ..
(' :- . \. \·""'\ -~ ~:::,.
'-'
. ":· ( \
. •'¡' ....... Q..
j • ~-·~---, e (:y o
1 1 ""\. .... ~:A
.:; 1 (• .-
JLJ _(e_
.,-, '- -<?_. 1
1 c->.Q.
\
/
' 1 Jo;')
1
\.··'e:..(.., -~")
~,
' ( -..' _;: ¡ 1./ . -•.• '-'!.)
1 1
C:. S:, r·¡ .--'- .,
+ \+ _)_ ~:o
r ¡ -.
/ ~ ¿
-- 'J --
; e-· ; \ (- \' '..1
)...-{ ,.--. f 1)
\ i) ,_ 1
+ o
cQ¿ . 't
\.9 ~
rt-. -rf} . \{) ID
-----
o --
----
l() o
(T
N
rr
--9 . ~
-
t{] r-+
en -
ri) .::r
---
-~---
\Jl Q
_.
(\)
t
---------
___ ..
vi
N
tY] (J)
úJ '~
o ro
al
L(J l{)
(\) .
_;
. ---
-~
J) 00
!'{) l)l
. .
l{) (l)
1
-101
r rjl
('/) -J
----
-----. ---
~ -
r[) q
lf) o N
d
) r()
~-
---~ ...... ..-...
·----~--·----....... -----~.;¡._--
~---.:..... -~ .... ..___~ ... -
-t.. ... ~-
.. __
__
__
.. __
_ .......... ~--
'--' ·-~-
.. ---·---~-
-------....
_l._~------
-·---___ _____..... __ ~-·-----
--~~·-----.,_ . .....,_ _____ -
-·~J----·-----
·---
----·~-'--
N
....., oJ
-t/}--t
'"' _j
(1 '
f x
flJ ~
-1
'lJ 2
r-Y ~
>-0-
~ ......
;< ., t4
J o
--_
,r
~
lfJ ""
-.,
~ \
1 ~-
~ ~
o o
Q) -;.
----~-~;--:";:~."-=--_-~-:~"~~ o
~
•..~ m
~1
.. _ ------
....
-~(>)
,.., V
lb-t-
o 11
. _g
q
~
__, 1
/J 'r
.. .
d l"O
o
JI cJ
. J7
'--' ¡J
10>J ti}
o r.o
r:J ""17
___, g
>l "'
--.5 1
,, o. (h
00 o......__/
1 ~
N
o ..g
.._; JI
t'J Po
o (J"\
-_..
0.1 ú
) '1
_J 11
) \{J
Lf} ~
..9 <
f\ -
1 ..
~
01
,,
úl
l\1
vi
-~
.. ..
rfl (/1
~
..... '1
o Y
1' +
.
o ~
oJ
ll +
o
.. 't\)
o 1
X
o ~
~o
..... f '
Q
. 1
-~ ~
11 (jJ
1 o
\{!_ J(J ~
'd'
1 -
';¡ -J-
9J d
tf1 jJ
.
'O
X
-.,
j \()
9 11
() r
dJ -
'f ~
'"t7 -
<)
11 ~
Q
c:J ~
o 0
1
)l ~
&
~-l J
"(1 \N
q _
_,
~
~
._s
,.Jx _
_.;
'-.)
oQ
• Jt7
QJ ,
{)() 1 .
.... o
JI tJ
l o
'--" o
~
en vJ
l) ..0
<"")
o_
'---1- , ¡,
..... 11'\
\N $
cO '
.J Qo 1
-..
. e)
1J . ,
o o l\7
, .....
-..
o ~
TV
.
~
H
dJ ... ,_
" v1
11 ti
JJ v
j J ~
, ' c-t
tA ~
,y
:ro ~
d _g
~
~ aJ
dJ '-
'---
i ~J
. o
61 'Q
~ "
o -
~
r{J e+
-1 ..
~ ..
C'l Q\7 ~
" ....0
.. -
.!] ....
"' ~ 'D
--
o JI
~ -!J
t 1 ~
~ •
~
j __,
__, ~
-7 v1
11 r()
~
J t
().. j
ó r
.~
" ~,
Jl.7 ,.
tl ,¡J
1 1J
11 -
rQ
1 ~
-{--v
c:::::,J. (j
' cJ
·--QC7
N
o Y
\) -t-'
-1-'
X
v1 ~
j ! ~
~ ..
..... J
... V\j
~
..... ~
¡1 o/
-~ N
V1
Q-. J'Q
t--
.. , 8)
~
4 V1
-~r ...
,_ \
-
4 !
l :·.
f 1'-
~
()-.· 1
-
1
..
1! '.
1 "" ' -;.
. +
rv . -< X
lN
rJ _
o
+
.-(
X
lN -_
Q
+
, _
o
+ o
6 1 . ~
_O '
JV
..-
L~====:J
S:~
\1 <\J 11
~
V) -4
ruv
1 -
rJ
__o +
I'J X
lf'J .J
_o +
>< \N
o
-P " ~~
-------------~~
J-D
o.-¡<
~
1 1
~
------o
_o-{1..
---. _()
. . . .. _
o
J
~ lb c:_-.-.1...
V
? -1
-""' !;
v /-C ~
x n-x ,
\Al IJ\J
IAl 1 1
. ' 1
_, -1 !\.-...
/ l
X
X
e-y\]
.. t . . . . ~J
~----------------~
1 1 ' 1 !
1 1, e
l
1
·x o \ \ 2. ~ ~
~ \ 2·0 \0.5 lO, O 8.0 ~.o
~ Ca 1 1
8,() +·5 S.'S
1 .~
la O s.o
' l 1 1
- 1 '
¿_ x_-'1 == 8 ::¡.:¡. 2. ~ :2j = 80.t:o ~ '2. ><~ 2 5'3 .()
¿ Xzd = \ (:,9-:f.Cl
o bL·. e...... l. .. l.~ ::=. tz. z. ~ b, :::: -\.e c:s ~ b ~ ==- a, lb~
__c.) :f=- [ 2.. 2 - l. é3.~X + O.\ 8 3, )(a
....
C)
u ' j ~ 5
llJ ~., \
,¡ . -
!) l-r 1
l ! ¡' 7 1< jL. 1 \e ' ...
f. Q) !..----
-' )
_¿
' / ,1¡
~1
f --;:
¡,' 0
Q
)
-.¡ l
J ''
.f', ·-) r o '----:-0
i_:!_ ' ()-
)
~ r.) ~
r-
--_Jl
J •1
!) ::: J
C' 1_,
\, ')
'· ' 1 . '
{. J .,
o /)
tl )
...,
.-.~·
e
1
•' 1 (¡
..... r, ., --
1
.:-
( o
' 0
_/
o S:
f,
u
-J ~ -i
o
, 5
¡,) '\o
.1 -:
í
d C--Q)
f)_j]
¡
-1
.;
$ 1)
"1 J
-.Q_
e
9 r (¿;
.......... :_.
(·
)
--u u u} o ] t [1 -.-·u
~· ; ' ; 1 1
(
J
<.:7 "'
e.' v
r·. .__,..---- f
\
' ' ,· J J
r!
./
\
X J) 1
, v1
....
j ~}
1
-+ ; >
C)
r
-' ~
~ \
V
·-i] 1
·~--~ ci
r, v
<, J :'1
e-_
y
e /'
(
r:' ' ·'1 J \ . t..
e ~/\--:
~
V ~
o J
G::;.• .
S .
(..
-.-=-;)
(..
----r•
> o ..1 ~ ) )
~
'·J~
:.· ,,\
.. )
1
'-'
--~---
-·!
' (\ ,.
¡Í J u
--::-: <:)
¿¡' v1
"J
---~ o
~¡
:/}
u G
~
1
-1
.... (.•
. -' i ~
~
~~X
<' J
' ' '1 1 ,, ' (
(
.-)/
1
-:' •,
'::. o ¡) r-,, 'J
(V
t:J
'Ú --
,_
-~
o Q_~-
) ./
¡
."\
1 ,1
\ ~o
)
\J ~-·-
( .... -.. 3
,.,
'1 -¡-
. -¡ 1 ~
' s r-o
--,. j i '-;0
.J
(• /
j
r/ J .[
<>' """---¡-
'-!)
G
<-
""'(
N
X ·-<
,1
'¡'
íV '~~
--ó
!!'..~--~--~
U
--
r-,
•.y
u}
o ----d
J o :
ó 1
--r-
/ \
e)
1 (
u r .(. , .
L
/ 'j
S
¡1 ~
J .,,
....__
._:;.
~ J ~ 1 '-
' ·r --¡ j
·-, "
·--" t ' ':
j
r J J \
·" J
·:-- ~(/\j -~
,,
-'}
-cr J /)
~
)
N
X
) Ú
\) V
}
u '\J
--_o
l x
--/!V )
,. -
)_J)
+
rv ¡' J
í'\: )<
)(
f·J _
()
+
") --
X
V\j
_o t
x Vv !)
_{J
1 J
-:-v
V\1 "'1 _
j)
-1-
~
)(
h;
¡¡ \
__ (] +
'1 1
1-.
¡ . 1
1 1
i _) ( . '• í \ -_-·: ,i., \'y :..-,_... J) \ , ,......._
\)21 =-'X~ '2
í
f
0(\ ~- V -'
r
-~----~ .. --..-. ... ----------_,. __ _
-.. , ___ .. ---_._.._ ... ___ .. _ ... _, __ ....... ..-....-·-------------------· ---------2
---· -·-------··--·--·----------------
---~ ¡ t7 ~~ -~"·-----·------..... ·--... -... ~ ---__ ... _ .. ____ ·-------_ .... ~------.. ---· ---_______ .., ____ -........ __ .... -----
S\ ¿ ~--.. -·-______ .. _________ , ____ ... __ ... _____________ . .-. ... -----------,.. ...... -·-
S' ¿ . -...... _,. ... ____ .. -·----------·--------..... ______ ,. ________ ........ .
--------
·----·-··----·-----·-c:;--, ----~-------
1 ,-...
1'
--------------
61
0\ ~ -·---------------.. --------··-··-' -----------· ~-----~--· -----.. --· ----·------
-----·-------·-· ----------· Q\ ' ·----.. ------
e -----·----------------~--~--------------··-----------·----....... --.. '
S ·--·-------
1 :::. ~
{ ., 1
' b ·.'.- .,, ' ....... -, ........ ; -
2 ----------------
~ ~T'X ';: , '
"""" 1 _, -.
TI)(_<
-·-· \:'
o)., ..
--~-----------
\\;-/\~
')
• 1
r--....
... / _-;
; ,,
) t~r-
......._.
,.,
11 -u -
~) í r
! -;
:'L
v [ (¡
·,~-
......
,., J r
¡'
J. ( r,
.1 '" " ~ {1
()
(f'
r J
'J
.. ¡
¡
r-·
--)
('
,.~
f e r,
''¡
(l
-f.-
Y
~ IJ
(/i
1 ,---...
.._
(>.
(1
( ~
') j : 1
..,
'l
() J o () j r 9 -~ o 1'
¡.
f
( ( o"''
r; J -,
f) -- a
-- , {' - r~ ')
5. '
e {' :"'J
' ) ,:-.
-\.-~---
' '.
.
' -
·--.
.
A
1 '
-'
1"\
( ,, . _, (J ¡,
i' --IV G
-+-
) ' '1
1 ) -· r- 5 p- ¡(
( .· ) --- ! -
,
,''l ' ')
i) J ,l f)
(~
f' if
V' (.!
.J
(1-
) r ,. ~
r-
(' 1 -(, •J j 7'
--
t1 f,
i/1
V
S"
(,) f
y !i
(Í
(/'
- fJ o !..
')
1 1
-
( 7
ji"
jJ
11
¡J ·1
{'\) + -
1 1
N o o ()
o +
tf\ o o ú +
(/J o.
o o o·
(\)
~- -- --+
\- - o
-·--·
{ _\'
-----·-
r 1
(' "
t -. ·' ..
r\'
o 1
1 1
0-~ ['
o L..
N:
\ '
-1
(\J
el.
\. 11 o
·,
--- ~/ _, .>
'
( )
) ) {'~
)
(.)
-' '!..
' ()
..)
·)-
J ")
~ r' ,, --'\'!
{:-
¡ ')
"Í
,---
í)
r; y r ..........
....
) -' .., _~-',
l---
----
:
·X
(" 11 -
t:'l
-' a-
'V fJ--
, ' (
,)
'
t)
1 ,
, ...
-¡(
. l·' ...
.. ... x
/ '
X
,>:
ru
X
¿ Vi o r~ J
J L 1) ¡/)
[" ...:
--0
L--
---r
-~ -
p e
_..
.---
, r _,
~
.Á-/
.. ,j
r-;-
.. -.
;(
X
N
' -
!""'
. 1
1
>·
'\
:1 /
{¡\ o .Á
(f\
X
/. fí\
l7-
,X
\ -r
() l ~ 'L' .. -
~--·
.J
¡)
1 J r: ' ~--
/}
·' .
'..---
..... {
; ,,, , tí
(i)
1" --J. ; f
IJ 1 'JI o'
.S.. ... N
' :X
L¿
.. f' - fu
(\ o f o
r} o { .:S o (/
'
'' u . ~/ .. ':
,1 l! r' (' ·1
: .. ,
V ?. ~
' '
fl¡ Ll
- r, l> X
.. )- .. ' ¡. - ~) . p: 1 a .. - (¡ p 1 o o- ~ (f
....
.... ::_
:-,:-.
. .. .:--
-
..... _
~"'
" ( / ( -1 i·
~---·
1 1---
,'J ,...
'---
--
>-·. 1) ro
(¡ '
.Jv-·
'/)
----
('
r -~
'
n -- )
{ .
{' '"' />
1--
,, >-·
/}
?-
1\l
/',
¡~
1 --.
... .--....
L'
~
! /\
_,.-
f.)
3 0
~1 '
J:
_.,
¡ •' í)
<
r S
~
t)
(~
V
..>---
--.
C) '
--
.0
S
o t'·
' -rl
- ,
_.,
f ')
í1
o o () 1 o
- ' " -6
N
/~
><
,... ¡(\
/) ,.--
.._._
- 1 {0L
~
~,
{/
G\
o ~)
(j
r-.
(/1
ti o o o o (_)J
N '" >(
,... '" ll) '----
" 11
-L
----
:;>
J.D
L---.
rJ
6)w
~~ x
')
1 1
\
Í)
¡-¡T
~ c.~,
(¡ \i -
r.-
---'-
--
0 0
-('
o o ') f. L' (1
{!
01-"
<
,.. {· t V o \.
X
("< V
o
" R r o {'') (!--
'\)
.....-:-\
.Y Q ('
---r\
()
rJ f o
fv ~- t--
~ .. (/1 .-, ,, '
--¡~
' 1/ _
!·
., (
J J o [,-·r
,_
,.---~-
, l'.} :" ,..·
( .. <::
'j """'
,..~
f ' .•
T ~. F ,. \f •' ~
q ,t ..._ 1 ·'- 1 n._ '
\ / ~
\ ~ -·- ' \ 2~ _, ,_ . /'"' .
J-.- e .S ' ..___ · · .. ::-..
1 \~· l- < ; e-l .: - J~ c.:---·--- .
~ .:o '-"'='
. ~ .( (x") =} J S. . . s~ ( x,, x,_, ... ,x-0Jx .... .JX,_, J 1\;.+1 ... ~X 1\ '- ~ ---=b _..,. -~ '
• 1"
\e.. S i·""'-" =..,_ " • 4 .
-p.-_-_._, oc:.·"
\2 ~s.\ Jc?J ~
~¿::=-.¡ (J ~ -4 .• -:::;.(
~ '4_.. (\ _Q_ <::> .J l ~ <::~~ v¡ S~ J_ ~-... ¿
;_Q ~~fQD CQ_~~-\f,~/J ~
e (Y,)-=: J b e·--'X:Jx¿:: 2 e""'• ?.-o--.(0 \
r . _:. ' 'J ~ ~ ... \_~ e
J e ( x,) "" a
\J.Q. >(K.) ~e~ ~lo
~~
..,_ ll ( • --'-\;....~Q
--
1 ()
-.!{_ "o \.--
.-~J o ¿ \)
--~-
o -----. /'<'
X
--e)
}tJ dL
-+
'-.....J
J \, '¡
,¡
¡ ... (L
( o
~} u
\ < '
f r, 1
---Cf • 1 d u
ll --
5 e) J 1
-' ;
X --e -~ )
..::-:::..-, (, J -; .; 1
'.J
"' '\
--r ,;¡ . .)
-() t\) t1 ¿
. --
<)
el) Q
t o s fJ S: o (.¡ --
.~
1
tj
---
¡-..j
-t7
~~
¡---]
><' al
t ~
l7
-f¡.:: L~
X
lJ
,, -
11
8 V g V
X V
8
~ ;'
-)<
-1
g[7
U
T¡)
--- u_ 'O 'J
--:., ¡{) (¡,
c.J ()
_, :
1
' \./ ) o
D-~ '~~~
y ~-----·
(.;
CJ --· v i e J---¡,;,)
J -u .1 ~
)
Q
~
/. ,. V
o -::_-;__-
.tJ ~~-
5 1
()
~ 'J
(__,..--, J
1 (:)
----~----
rJ
t7
\7 o}
-o
'
v1 o (
' o~
---
u --
\
1) {C
o/ ... -
-..... 1
J " ""' tj
~ J
;;¡ 'J·
1_.1 '
--i ~
-:-b c.•
'------"' ~.S
,1 1 \ ('
~,)
-1 l
~
./ -
-,
,..
•
< .
Ul
a u -z o t' 1-t).
... w
.
...1 ~
UJ
• o • u
q
a i<
~ t-
.... :t:
., ...
z " "1'
W
a "
-"f
o ~
a a
-<
~ g U
l e
• .J
e
w
.. "
tl g . a
~ 0::
~ tl.
><( -a: w
z \U
(!) z -
o
~
-~
rJ ¡l 5 a
./ 'O
•
J
u (~ '
() ~,
. ~
-r= '1
~ e--v1 1'1
~ o
-y 5 J
J ...., o ;, ~
/ ,,1 (j
~
.A r:J .... (\
~ ()\
':>
V
-~ ~
i 1
ll -f
j o -~
--~
. )
cv
o [
\f o
'0
u '-..__ _ _....-
.. 1 v ~
....,
"" d ~ 1
-o/
~
-rv
-~ c{L
-¡-y ,,
-
~
~
(
' o .-. ;
¡1 o ~ Q)
[t t? l"? 1-== (\j
¡1 ~
-,-v
-~
ro
8 v >
(
V
8 J -\~
~
0) ¡)
(J
-r
\ o S' '\
-4 r:J -,.. ~
rf
OJ
.. -.-~ tJ
<...:.;;/
( ~
__.. 1
{ ..... 1 .1
(~ ~-·
-\
vi
+
\JI v \JI
·:J ··-·; ----
() e
D
;--_....--
e }
·-Q
e-
~
) o
(} -':....~
\ 1 ·-
... d yl
'l./ ;)
-1;
o 1 -')
u --;-
(\} -b ('J<{1
.. ~ ..;/ 1'
.1
·-< ,-
--< .
~.1
-·~
s' '
.¡ o
. r ,.
(, <
;
' --.. , )
" __.
"' ~
cf
:2 ,-
) ,_.
r-.,
,---
--.
1,, (v
., () "
~
:) r-
;;,
--·
k).
p
ll) n -~
<.::)
~ '
o 1
~o o """ ('\
rv ' 1
\)
:r-
1 \
t () o
~ ~-
( . 'L
!1 'V
('\ J)
("
,')
~ (."
"'~-
........
__
b ó
~
x t
~ ¿)
{/! (\
D
í Q
_ ()
(O
f'
('\ t
¡f
1-
r r '~
4-e.
{1
1 '\
- ..
ru r
-u
" "
o t+
-
() o ~
,,
('
. e
~
t--::>
! ~u
" ..
-,
.t
o ,b-- ,·' /.J
"'1
-~N
~~
<
}l_D
~¡..
l0 '·
x
rv ~ D
' _
__
__
__
,'!"""_~, ..
....
...
• \
' " Vl p.=>'""' ..1._ ...-.,1Q;.,~ (x..c,J'o.) . "'"- -=~-,._L.._:~.c,·d:,_ .,_,J~~'
'<'-'\ ~ éc"'-'•"' 0 !::. oel~\ Coe.Lc.:~'""'--~~ ..k_ Co.c~~ac·,Q'"""' ..k_ 1...;:. "'"'-" ..... e~-L~
'(=
.~L:>~~
E. n J e """""' ,.::,._( o )<
E:~~'-'.~4~<:;)
a, i~ =i .Oó
1 l . -s'5
5. 2. S
\01 'j 1 ---1 ~.~(;.
-------GJi8
\l. 83
1 .:s.og
i-. 1 ~
~.Gg
s.86
1 '-
~ I.J.o J_,_._ Qo ...k
'S.I ¿o ·:1._4 1 e ~<::!.,_:.J.
889
808 1 51 _s
ssa \000 o
\952
l)oo lO
\~S~
I';O¿
IZ-IEJ
~~IS
-'-t9:¡.
""?__~ -=- '~ a\ 2
2;)'-~ \8\:SZ..Z.SG
:_:;, ..... ~ ~ 1 Z (W-t ~. bü':l ~ -·~ 1 o·~ 8)"-=- 1 S"i l. ')b?o. ~
':::::,..._¿; - \ 2_ ( 1 '-1 1 (:,=\-.0:, • -::. =-) - ( 11 o. <. '(:, )(t:, 10 "}==- ' :¡.'S 5 \1 • "-1 ()
S ( ¿ - \2 ( t 8 \ ~ z 1 2. 9 6) - (1 :S 1 8 z.) L -=. Z..G b l G Z. 0 8
~'
• ~
1 ..... _ ..
--··
-·--
-----
--~ -
_.. -'
,, ~--
---L
--
........ -
__ ...._ ---..
--..t--•--'--
----
,_ ...
------·
• --'"
•
U
.r -'-~--
•••>-
-· ..
• \},¡ {'J
" ,)
J 1-71
~ \
j -
() .
'o
~ d
1 -t
0 -
e i
•;
'IJ o
, __ o
) J
~
--'
() j
._
d -:1
0 el
~ -.-~
Q}
j -
Qj
1 f)
_JI
(;"' _!}
~Í;
\t]
'-c/1
C)
) 1
1 1
..... __ ___:.
... 6
i ~
f-tl}
.
>
.. ~
fl ~
} f
~ 1
•
" 1
--t-""
0 -
...-
1 .. ,
-A
~ t-
~ ~
n X
~---r
1
·-\9 --
Í)
'r IJ
~
o =--s_
~j
--r-~
~
J-=;¡ '-
-~o ~
-T-D
-u
·4 ~
j ~
o (~
.
~ i
.. "' 1
o l
c)1 ---1.--
e¡· )
:. ;
-i o
J ---
a (jJ
\1 v1
o -
-w
1 ~
V
-.f
.y ·"'
';¡ ~
o
(TJ
~
....
1
v1 ...,
<>i ~~
Q"
1 1
-!i -n
_fl
vJ ....
-r r~
--r
' 1;
0 o
e-u
ryJ
..... , 'i
f --t
~
(1.) J
j 'o
o -----¡;
t~
~
·1 \
1
r\-L
V)
~ ~
11 11
o e)
11)
::1
(\) ~
<)J . -
'U ¡
.... ~
11 -o
"}'::> -.5
__::¡ __!)
r; 1
o >
v1
..._o
,_{) t\1
1 ~
' ~ ~
\)
u 'J.
.. >-
•--1J
-1
.. c.)
>-()J
----¡J ¡¡1
vf
.:;
(D
.J O
) ¡;}
-'S
vi ,1
o ~
Ji )
~ -
o ..
u -:1'.: J
·-+
e::=
-<
o
\S) o
\) q
) .:}
-./1
'. .
r"t)..J
-u
T
(\) -
-t'" o
-.:J -~
r/1 I1J
--:-, "' (o)
, --()
+
~
,y1 _o
1 ')
~1,1 0
1 • ~
-A
-vJ
~ -1-
_)
.-1
_j1 ~¡~
~
~ ~
,.,¡ S.,..
-:§ -
-ev¡v
~
-1~
1 •"
-
~ '-
cJ -n
'-~
+
1 ~ .? _± ~
e)
lfl N
) L
R"
o )
~ ~
') C'
1 (
q)
~
....{) ., ~
... 11~
-r
~ --
[l -==¡{
~:~·~
117 u
Q) ~
jl. 1l
~
1,¡ -1
• "'í7
'
6"'
(' N
~~,
r+ . ~~
'> ()
¿,.. A
~
f ().)
>
N
?
'"' '~
1 ()~
~ ~
-=-<
~
-:r-
~~ 1
V
~ r
"' el
~ -t N
t
'>-p
-Ir \
(¡
IJ1 v
() 'f ~
-\N
v
l 7
"~ ()
·~
-. 5
t~ 7
1) '-.._
../ --1-/1
...
oJ
....__...., '-
.-.:"
¡
•·J ¿
1 1 j
·s 1 v1
-i 01
li u
J V}
_q
1 J
1 r)
'---;
(
1 ~·
----/--r-
"' o
NJ o
~
1 (J
~~ \
-... .,,
J ~·1
1 v
' o
N
., .)-
~ ....
"O
.;) u
-~
'-' --r
r;
' 1 VI
u --e
~
,_
(1 ·.-1
. ~
!V ~
~
v \j
~ J " ~
1 }
_;' ~.
u el
) ·-·
-
y .~
-.. .J
-(;
---¡, s
p
.)
'-"
__ J_ ~
----:-
c---r v
C'
o ('
-~'
~~
·< .;)
--·~
o ¡\
~
Li
0 r)
l)
'
J V
'---;:
·P-J
( ,
-_Q
-tu
d '<:1
f\¡ ,
~ -'~
--t! ,)
¡_, ----~~ :'\
:_---;!
j CJ
1 J
.J\ c-1·-=---'":>
.) ·-
.=;)
·/. (,
~
~
.-<v--cJ
o (1
u .. ...
-"
j ~
--0
_()
d-()
_::~ e;
Q
./
VJ ":;-:;?
J
_J
-o v1
~
~ t
J J
\