S.E.P. S.E.I.T. D.G.I.T.

CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO TECNOLÓGICO

cenidet MODELADO NUMÉRICO CON VERIFICACIÓN EXPERIMENTAL DE UN AMORTIGUADOR DE

IMPACTO TIPO ELASTÓMERO

T E S I S P A R A O B T E N E R E L G R A D O D E

M A E S T R O E N C I E N C I A S E N I N G E N I E R f A M E C Á N I C A

P R E S E N T A :

ING. P I E R 0 E S P I N O ROMAN

DIRECTOR DE TESIS: DR. DARIUSZ SZWEDOWICZ WASIK CO-DIRECTOR DE TESIS: MC. ELADIO MARTiNEZ RAYÓN

CUERNAVACA, MOR.

CENTRO DE SEP CENIDET

0 4 - 0 7 1 4 AGOSTO. 2004.

I

cenidet Centro Nacioiiai de iiIvestigaciñii

y Desarrollo Teciiológico

MI0

ACEPTACI~N DEL DOCUMENTO DE TESIS

Cueniavaca Mor.. a 24 dc agosto del 2004 C. M.C. CLAUDIA CORTÉS GARCÍA Jefa del departamento dc Ing. Mecánica Presente.

At'n C. Dr. José Ma. Rodriguez Lélis Presidente de la Academia de lng. Mecánica

Nos es grato comunicarle, que conforme a los lineamientos para la obtención del grado de Maestro en Ciencias de este Centro. y después de haber sometido a revisión académica la tesis titulada:" MODELADO NUM€RICO CON VERIFICACI~N EXPERIMENTAL DE ,UN AMORTIGUADOR DE IMPACTO TIPO EfiSTÓMERO". realizada por el C. Piero Espino Román y dirigida por Dr. Danusz Szwedowicz Wasik y M.C. Eladio Martinez Rayón y habiendo realizado las correcciones que le fueron indicadas. acordamos ACEPTAR el documento final de tesis. así mismo le solicitamos tenga a bien extender el correspondiente oficio de autorización de impresión.

Atentamente La Comisión de Revisión de Tesis

A?*. Dr. Martín E. Bal r López Nombre y firma Revisor

Nombre y firma Revisor

GL.Mdj*¿2 Dr. Dariusz Szwedowicz Wasik Nombre y firnia

C.C.P. Subdirección Académica üepatíainento de Servicios Escolares Directores de tesis

Estudiante

PROLONGACIÓN AV. PALMIRA ESQ. APATZINGÁN. COL, PALMIRA , A.P. 5-164. CP. 62490. CUERNAVACA. MOR. - MÉXICO TELSFAX: (777)3140637y3127613

DERICA TORIAS

A MI DIOS Por darme f e y fuerzas para seguir adelante, y aprender de todo lo que en mi camino se plasmo desde que empecé este sueño.

A MI MAMA’ SIL VIA Por apoyarme incondicionalmente y acompañarme con sus oraciones, su paciencia y su amor en todo momento, por creer en mi.

A MI HERMANA ALEJANDRA Por ser un gran apoyo en mi y ser una gran bendición en mi vida.

A MI FAMILIA Por sus buenos deseos hacia mí y el apoyo que me han brindado.

A MIS AMIGOS Por el apoyo moral que siempre me han dado, y por las palabras de aliento que siempre me brindaron, que Dios los bendiga a todos, muchas gracias.

A GRADE CIMIENTOS

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CoSNET) por el apoyo de la beca-crédito que me fue otorgada para poder realizar mis estudios de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica.

Al Ceniro Nacional de investigación de. investigación y desarrollo tecnológico, por todo el apoyo brindado.

Dr. Dariusz Szwedowicz Wasik y a MC. Eladio Martinez Rayón, por el asesoramiento, paciencia, apoyo y ayuda proporcionada durante toda mi tesis.

A los miembros de comité revisor. Dr. José María Rodríguez Lelis, Dr. Dariusz Szwedowicz Wasik, Dr. Martin E. Baltazar López y MC. Claudia Cortés Garcia.

A iodo el personal del CENIDET, a las secretarias, personal de vigilancia y servicios escolares y biblioteca por su indispensable apoyo.

A mis maestros del Cenidet.

A mis amigos de generación de la generación 2001, Aarón, Eduardo, Moisés, Carlos Moo, Gabriel Pedroza, Armando Hicochea, Aljiredo Andrade. A todos mis demás compañeros Rufael Castillo, .Jorge Olarie, .José Navarro y Carlos Mellado y a todos mis demás compañeros que tuve el gusto de conocerlos.

A mis amigos, Francisco, Julio, José Manuel, Darwin. Samantha y a todos aquellos que creyeron en mi, muchas gracias.

..... .. -----.. ....

Confenido

Contenido

CONTENIDO ............................................................................................ ¡

LISTA DE TABLAS ...................................................................................... vi i

... LISTA D E FIGURAS .................................................................................... 111 ..

... SIMBOLOGIA ............................................................................................. vi i i

CAPITULO 1.INTRODUCCIÓN ................................................................... 1 .. 1 . 1 Introduccion ....................................................................................... 1

1 . 2 Revision bibliografica .................................................................................................... 11 1.3 Descripcion del problema ........................................................................ 19

. . . . . . . . .

CAPITULO 2 . CAUCHO .............................................................................. 24 2.1 Propiedades del caucho .......................................................................... 24 2.2 Modelo teórico de Mooney-Rivlin ............................................................ 27 2.2.1 Determinación de las constantes del caucho .................................................. 29

. .

CAPITULO 3 . CONTACTO MECÁNICO ......................................................... 32 3.1 Problema de contacto de Hertz ................................................................. 32 3.2 Problema de contacto no Hertzian0 ............................................................. 37 3.2. I Distribución de esfuerzos en materiales viscoelásticos ...................................... 39

CAPlTULO 4.INTRODUCCIÓN A L A TEORIA DEL IMPACTO .......................... 41 4.1 Principios de la dinámica de la partícula ...................................................... 41 4.2 Colisión plana de dos partículas lisas ......................................................... 44 4.3 Impacto ............................................................................................. 46 4.4 Coeficiente de restitucion ........................................................................ 45 4.5 Modelado del impacto ............................................................................ 48

. . .

CAPITULO 5 . MODELADO POR ELEMENTO FINITO ....................... 5.1 ............................................................................................................... 5.2 Modelo discreto del problema .................................................................. 5.2.1 Sensor de fuerza ................................................................................... 5.2.2 Amortiguador de impacto de material elastómero ........................................... 5.2.3 Péndulo de impacto .................................................................. 5.3 Resultados de la simulación numérica por elemento finito ................................. 5.4 Conclusiones .......................................................................................

53 53 56 57 59 60 62 69

...- ............ ~ .. ...

Conienido

................................... CAPITULO 6 . BANCO Y PRUEBAS EXPERIMENTALES 6 . I 6.2 Banco experimental .............................................................................. 71

70 Introduction.. ..................................................................................... 70

6.2.1 Banco de pruebas de impacto ................................................................... 72 6.2.2 Dispositivo de medición del ángulo del péndulo ............................................. 75

. .

6.2.3 Sensor de fuerza .................................................................................. 78 6.2.4 Sistema de adquisición de datos experimentales .............................................. 80 6.2.4.1 Criterios de evaluación de incertidumbre ...................................................... 81 6.3 Metodología del experimento .................................................................. 83 6.4 Resultados experimentales ...................................................................... 87 6.4.1 Comparación experimental para diferentes amortiguadores ................................ 90 6.4.2 Determinación del coeficiente de restitución y duración del impacto ..................... 92 6.4.3 Determinación del factor de amortiguamiento del tope de caucho ......................... 95 6.5 Conclusiones ....................................................................................... 96

CAPÍTULO 7 . ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS ............................................. 98 7.1 Comparacion de los resultados ................................................................ 98 7 . I . 1 98 7.1.2 Energía disipada en la prueba de impacto .................................................... 100

CAPITULO 8 . CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ................................ 104

. . Distribución de los esfuerzos en el amortiguador de impacto .............................

APENDICES A- Diseño y construcción del sensor de fuerza ............................................... 109

120 C- Determinación el modulo de elasticidad y relación de Poisson del caucho y

D- Planos tecnicos ............................................................................... 135 BIBLIOGRAFIA .......................................................................................... 140

B- Diseño y construcción del medidor del ángulo de impacto .............................

constantes de Mooney-Rivlin ........................................................................................ 126 . . . .

Lisras de figuras _I?

Listas de figuras Figura 1 . I . Modelo masa-resorte.. ...................................................................................... Figura 1.2.Esquema del sistema de amortiguamiento por flexión. a) Vista del amortiguador, b)

Figura 1.3. Esquemas de diseño de amortiguadores utilizando e l efecto de Coulomb o fricción seca. a) Marca Lord Mfg.; b) Marca Barry Wright Corp.; y c) Marca Barry Wright

Amortiguador montado en la estructura. ...........................................................................

Corp ........................................................................................................................................................ Figura I .4. Amortiguador viscoso a) vista longitudinal, b) amortiguador con resorte (efecto de restitucion. ................................................................... ...: .............................................. Figura I .5. Disipador viscoela~t~co ...................................................................................... Figura I .6. Amortiguamiento viscoelástico sometido a cargas tipo: a)-compresión, b)

. ., . . , .

Figura 1.7. Amortiguador viscoelástico con superficie plana.. ....................................... Figura I .8. Amortiguador viscoelástico de forma cónica ..................................................

CompresionICizallamiento. ................................................................... Figura 1.9. Aplicaciones de caucho y metal; a)- Carga en compresión, b)- Carga de presión lateral, c)-

Figura I .IO. Aplicaciones amortiguadores de impacto como limitadores de piezas en movimiento

Figura 1 . I I . Vista del modelo de impacto

Figura 2.1. Curva esfuerzo-deformación de un elastómero. a)-Tensión, b)-Compresión, c)- Cortante. Casi toda la deformación es elástica: por tanto, el modulo de elasticidad varia conforme cambia la deformacion.. ................................................ Figura 2.2. Prueba de compresión; curva carga-deflexión para un amortiguador de

., .

......................................

. . ..................................

Figura.3.1. a) Dos esferas mantenidas en contacto por una fuerza F, b) El esfuerzo de contacto tiene una distribución elíptica en la cara de contacto de ancho 2 a,. . __ . _. _. . .............................. Figura.3.2. Análisis de contacto de dos cuerpos ............. , , , , , . , , , , , , , , , , , , . , , , , . , Figura.3.3. Distribución de presión en la zona de contacto ... .................................... Figura 3.4. Sistema en donde se presenta el contacto lineal. a) Contacto entre dos elementos circulares, b) Contacto entre un disco y una superficie plana, c) Contacto circular pequeño dentro de

.............................. otro de radio mayor ........................... Figura 3.5. Distribución de la presión en el caso de contacto lineal ............................ Figura 3.6. Colisión de cuerpos; Modelo de Maxwell lineal viscoelástico ....................... Figura 3.7. Muestra la deformación elástica inicial correspondiente a OA aplicada a un esfuerzo; A B se desarrolla la deformación elástica, si el material es capaz de fluir o fluencia un estiramiento continuo adquiere una deformación de fluencia BC. Cuando el esfuerzo es removido da una respuesta elástica C D (= -0A) y un retrazo en la respuesta elástica DC. En el punto E adquiere una deformación permanente a traves de la acción de fluencia .......................... Figura 4.1. A la izquierda tenemos la variación de momento lineal, y a la derecha la integral que se denomina impulso de la fuerza F en el intervalo que va de 1, a ip ............................ Figura 4.2. La panicula I se mueve bajo la acción de la fuerza FI2 que ejerce la partícula 2. La

..........................

2

h

6

7

8

I O

10

21

25

26

33

35 35

36

37

37

40

42

43 ... 111

Lisias defiguras

particula 2 se mueve bajo la acción de la fuerza F11 que ejerc

Figura 4.1. Esquema de cuerpo libre de particulas en colisión 44

46 ~ i ~ ~ r a 4.4. a)-Impacto central directo y b)- Impacto central oblicuo ..................

Figura 4.5. Grafica del comportamiento del coeficiente de restitución, en funcióri de la velocidad de

Figura 4.6. Variación típica de una fuerza normal para un impacto

Figura 4.7. Cuerpo libremente cayendo.. ..................................................

........................ 47 .............................

Figura 5.1. Elemento tipo ladrillo y sus grados de libertad en los nodos ......................................

Figura 5.1. Modelo discreto del sensor de impacto. ........................ 58

Figura 5.4. Fotografía del sensor de impacto material aluminio 6061 .................

56

Figura 5.2. Modelo discreto por elemento finito del sistema de impacto

Figura 5.5. Esquema del sensor de impacto y el amortiguador comercial de impacto de caucho.. ............................... .............. 58 Figura 5.6. Amortiguador de cauc ........................ 59

Figura 5.7. Modelo discreto del amortiguador de impacto de material compuesto .......................... 59

Figura 5.8. Péndulo de la máquina de impacto Charpy ........ 60

Vista del péndulo isometrico.. .....

..... Figura 5.9. Modelo discreto del péndulo de la máquina Charpy. a). Vista del péndulo frontal; b).

Figura 5.10. Modelo discreto por e

Figura 5.1 I. Modelo discreto por elemento finito (ALGOR v. 12) durante el instante del impacto

Figura 5.12. Modelo discreto por elemento finito. a) antes del impacto, tiempo 0.32 seg., b) durante el impacto, tiempo 0.33 seg. y c) después del impacto, tiempo 0.34 .............................................. Figura 5.13. Modelo discreto por elemento finito, se muestra la zona de concentración de esfuerzos durante e l impacto. Sensor de fuerza y amortiguador de impacto .............................................. Figura 5.14. Modelo discreto del amortiguador de impacto, mostrando la máxima concentración de

Figura 5.15. Modelo discreto del amortiguad desplazamiento producido por la fuerza del im Figura 5.16. La grafica de desplazamiento-tie del amortiguador de caucho, para un ángulo de caida libre del péndulo de 15O grados con respecto a la vertical.. .................. .............. ......... 66 Figura 5.17. Grafica desplazamiento-tiempo del nodo 4895, localizado en el péndulo en el punto de contacto con el amortiguador de caucho. .......... ........... 66 Figura 5.1 8. Fuerza del impacto vs dura .................................. 67

Figura 5.19. Relación de esfuerzos máximos del amortiguador (Von Mises) y e l ángulo de caida libre del péndulo (grados). ............................................................................ 68 Figura 5.20. Relación entre el esfuerzo y deformación en la zona de contacto del amortiguador de

63

64

esfuerzo. a) vista lateral, b) vista longitudinal (sección).. ..............

....... .......... impacto el péndulo ............. 68 Figura 6.1. Banco de pru rimental .................. 72 Figura 6.2-Esquema del péndulo antes y después del impacto .......... 73

Figura 6.3. Método para determinar masa efectiva del péndulo de Charpy .................................. 74

Figura 6.4. Potenciómetro ................................................................... 76

Figura 6.5. Esquema del p ................................................................... 76

76 Figura 6.6. Circuito eléctrico del potenciómetro ...........................................................

iv

Listas defiguras

Figura 6.7.Fotografia del sistema de medición del ángulo del péndulo.

Figura 6.9. Circuito general de un puente de Wheatstone.. .......

de Charpy, (4)-Sensor de impacto.. ................................................... 81

.............. 77

79 Figura 6.8. Fotografia del sensor de fuerza, wlocación de los extensómetros.. ..............................

Figura 6.10. Esquema del sistema de medición: (I)-Amplificador de señales de la serie 2300 marca Vishay Intruments, (2)- Medidor de ángulo “Potenciómetro”, (3)- Indicador de posición del péndulo

Figura 6. I I . Tamaño del error en té

Figura 6.12. Esquema del banco experimental de pruebas de impacto 87

88

88

89 91

91 93

Figura 6.13. Gráfica de fuerza de impacto.. ..........................................................

Figura 6. I S . Gráfica de la posición del péndulo de la máquina Charpy.. ...............................

fuerza máxima del impacto ................................. Figura 6.17. Comparación experimental de los diferentes amortiguadores de impacto .....................

fuerza del impacto con respecto al tiempo .........................................................................

......................................................... Figura 6.14. Gráfica del medidor del ángulo..

Figura 6.16. Resultado experimental de las pruebas impacto, ángulo de caida libre del péndulo contra

Figura 6.18. La grafica, muestra el comportamiento del amortiguador B cuando es sometido a la

Figura 6.19. Ubicación de los valores fuerza máxima-tiempo de la prueba de impacto .................... Figura 6.20. Simplificación triangular de la prueba de impacto, para determinar el coeficiente de restitucion.. ............................................................................................................ 94 . ., Figura 6.21. Modelo lineal del amortiguador viscoso ........... .... 95

Figura 7.1. En la siguiente gráfica se presenta la comparación de los resultados de la simulación numérica por método del elemento finito (ALGOR v.12) y las pruebas experimentales ................... Figura 7.2. Altura de caida libre del péndulo respecto a la linea de impacto de la prueba de impacto

99

101 I09

Figura A.2. Modelo discreto del sensor de fuerza ...................................................... 109

Figura A.3. Gráfica de longitud del sensor contra desplazamiento.. ........................................... I13

Figura A.4. Ubicación de los extensómetros en el sensor de fuerza I I 4

Figura AS. Diagrama de conexiones del puente de extensómetros ............................................ I 1 4

Figura A.6. Esquemade un extensómetro tipico utilizado para lamedición de deformaciones ............ 115

Figura A.7. Sistema de medición, para determinar la sensibilidad del sensor de fuerza basado en extensómetria. (I)-Sensor de fuerza, (2)-Viga de acero, (3) y (4)-lndicadores de carátula, (5)- Bases magnéticas, (6)- Amplificador modelo 2310, (7)- Multimetro digital .......................................... Figura A.8. Esquema de la viga en voladizo, con una fuerza en el extremo, la figura muestra la deflexión de la viga en voladizo .......................................................................... 118 Figura A.9. Calibración experimental del sensor de impacto basado en extensómetria.. ........ Figura B.I. Esquema del foto-transistor y led-infrarrojos, localizados en el péndulo de la máquina de

Figura 8.2. Circuito electrónico, utilizado para determinar la posición del péndu

Figura 8.3. Esque maquina de impacto ................................................................................................... 122 Figura B.4. La gráfica muestra la altura del péndulo w n respecto a la linea de impacto contra el voltaje de salida del potenciómetro.. ...................................... I23

....................................................................

116

impacto Charpy.. ....................................................................................... I20

determinado ángulo 121

. .

Lisias de fieuras

Figura C.I. Esquema general del banco de pruebas para determinar el modulo de elasticidad y las constantes de Mooney-Rivlin C , y C2. Componentes: ( I ) - Sensor de fuerza, (2)-viga de acero de (20.5 x 1.9) cm. y 12 cm. de longitud, (3,4, 5,6)- lndicadores de carátula, (7)- Multímetro digital, (8)-

Figura C.2. Banco de pruebas utilizado para determinar las propiedades del caucho..

Figura C.3. Probetas de caucho dimensiones

Figura C.4. Grafica esfuerzo vs deformación

Probeta de caucho. (9)- Amplificador modelo 2310 y (10)- Base magnéticas ............ .................. 129

Figura C.S. Grafica Fuerza vs desplazamiento ............ Figura C.6. Las constantes de Mooney-Rivlin corresponden a la ecuación de la recta Y = -2096366.76X + 4394542.28, para una prueba de compresión ............................................ 132

vi

Lisia de iablas

Lista de tablas

Tabla 1.1. Tamaño de las velocidades de aproximación de impactos y sus efectos .......................... 3

25 Tabla 2.1. Propiedades de elastómeros seleccionados ....................................................... Tabla 5.1. Resultados de la modelación por elementos finitos en la zona de wntacto, para los ángulos decaidalibredelpéndulo; IO", 12.5, 15"y2Oo .................................................................. 67

Tabla 6.1. Parámetros que influyen en el impacto.. ....... Tabla 6.2. Variables independientes y dependientes en la prueba de impacto ................................

de la máquina Charpy ....................................

impacto ..............................................................

................................

Tabla 6.3. Resultados de las fuerzas de impacto para las diferentes ángulos de caida libre del péndulo

Tabla 6.4. Resultados de los ángulos de caida libre del péndulo antes y después de las pruebas de

Tabla 6.5. Resultados experimentales de los tres diferentes amortiguadores A, B y C.

Tabla 6.6. Resultados experimentales de la duración del impacto y coeficiente de restitución, para diferentes ángulos de caida libre del péndulo de la máquina Charpy.. .................................. Tabla 6.7. Valores representativos del factor de amortiguamiento., ........................................... Tabla 6.8. Energía cinética suministrada al sistema, para las diferentes pruebas de impacto de ángulo de caida libre del péndulo de la máquina Charpy ..................... Tabla 7.1. Comparación de los resultados experimentales y los res

.......

71

71

89

90

90

94 96

96 98

Tabla 7.2. Resultados experimentales de la prueba de impacto Tabla 7.3. Resultados de la simulación numérica por elemento finito ......................

1 o2 I o2

Tabla 7.4. Comparación de los resultados de las pruebas experimentales y de la simulación numerica ......................................................... Tabla A. I .Resultados de la calibración exper

Tabla B. I, Resultados de la calibración experimenta, valor promedio

Tabla C. I . Resultados de la prueba de compresión del caucho Tabla C.2. Resultado de la prueba de compresión en la cual se obtienen los siguientes resultados ...... Tabla C.3. Relación de deformación axial y deformación transversal

Tabla C.4. Resultados de las pruebas experimentales

, .

124

132

132

134

134

Simbología

Sim bologia Descripción Área en la zona de contacto, aceleración Diferencia de energias potencial, área Base de la viga Coeficiente de amortiguamiento, onda de choque Constantes de Mooney-Rivlin Diámetro exterior Diámetro interior Diámetro medio Módulo de elasticidad (módulo de Young) Energia potencial inicial Energia potencial final Energia potencial disipada Coeficiente de restitución Voltaje de entrada y salida Energia disipada (energia potencial) Fuerza Fuerza ejercida durante el periodo de deformación Fuerza de impacto Carga dinámica ó carga estática equivalente Fuerza ejercida durante el periodo de restitución Factor de impacto Aceleración de la gravedad Módulo de cortadura, módulo de rigidez Momento de inercia, invariantes de deformación Rigidez de contacto Longitud Longitud de la viga Masa efectiva Masa del amortiguador y masa del péndulo Masa Marca registrada Presión hidroestática Presión máxima Impulso normal suministrado al sistema Impulso tangencia1 Impulso normal de aproximación Impulso normal de restitución Radio de un punto arbitrario en la zona de contacto Resistencia del potenciómetro RIIR2, Error probable Energía cinética Energia cinética disipada Tensor de esfuerzos de Cauchy Tiempo Velocidad Velocidades iniciales

Velocidades después del impacto Velocidades tangenciales

Voltaje Energia potencial Energía de deformación, peso ...

VI11

Simbologia

L

5

Trabajo realizado Coordenadas, posiciones Esfuerzo de fluencia dinámico Deflexión máxima

Angulo de salida, ángulo total

Desplazamiento Deformación estática

Deformación máxima

Deformaciones Termino no lineal y representa el rango del potenciómetro Alargamiento principal Densidad de masa Esfuerzo Relación de Poisson Frecuencia natural y frecuencia de oscilación amortiguada

Factor de amortiguamiento

ix

iniroducción

Capítulo 1

I -INTROD UCCIÓN.

El impacto, es uno de los tipos de carga dinámica que mayor daño pueden causar a los

elementos y sistemas mecánicos, ya que ésta se presenta súbitamente, causando grandes

esfuerzos en la zona de contacto. Por tal razón que el fenómeno del impacto constituye un

problema de interés especial, ya que no obstante la probabilidad de que ocurra es baja, su

efecto es potencialmente dañino. Por otro lado, a pesar de que las cargas dinámicas

representan sólo una fracción de los tipos de cargas presentes en los elementos o sistemas

mecánicos, su estudio y análisis es de gran importancia en ingeniería. Esto se debe a que el

impacto aparece cotidianamente durante el funcionamiento normal de muchos sistemas o elementos mecánicos de diferente diseño y aplicación. como por ejemplo: trenes de engranes,

muelles de suspensión automotriz, líneas transportadoras. etc. El impacto puede generar

efectos indeseables en máquinas. como desajustes, desgaste, fracturas, ruido y una vibración

excesiva, donde puede llegar a ocasionar un fallo repentino; e inclusive un accidente, por tanto

se le trata de minimizar o evitar. En otros casos, no obstante lo antes dicho, el impacto resulta

deseable, por ejemplo: está el caso del diseño de procesos de acuñado, forja y estampado.

Shigley (I 990), define al impacto como la fuerza externa que se aplica a una estructura o a una

parte de ésta, si el intervalo de tiempo en la aplicación de la carga es menor que 1/3 del

mínimo periodo natural de vibración de la pieza o estructura. De esta manera se liga la

clasificación de impacto o carga dinámica, al tiempo de aplicación y a las propiedades

intrínsecas de rigidez y masa del cuerpo que recibe la carga. Las cargas de impacto, así

definidas, tienen efectos vibratorios sobre la estructura, ya que excitan sus frecuencias

naturales como si se aplicaran excitaciones senoidales en un alto rango de frecuencias, al

mismo tiempo.

La mecánica tiene dos procedimientos para el análisis de las cargas de impacto (Lankarani,

1990). El primero asume que el tiempo de aplicación de la carga de impacto en el sistema es

muy pequeño, del tipo instantáneo. Así el análisis del sistema se divide en dos partes, antes y

1

Iniroducción

después del impacto, aplicando la teoría de impulsos y cantidad de movimiento. En esta teoría

se aplica la conservación de cantidad de movimiento y el impulso, mientras que el balance de

energía se tiene en cuenta mediante el coeficiente de restitución. El segundo procedimiento

asume que la fuerza de colisión es de tipo continúo. Así, el análisis del impacto de un sistema

puede realizarse agregando la fuerza de contacto a las ecuaciones de movimiento del sistema e

integrándolas en el tiempo. Estos dos procedimientos han permitido establecer metodologías

para el análisis y diseño de elementos y estructuras sometidas a impacto. (Lankarani, 1990).

En las estructuras, los impactos pueden ocasiona daños internos que a menudo no pueden

descubrirse por una inspección visual. Este daño interno puede causar severas reducciones en

la resistencia del sistema y crecer bajo cargas aún inferiores a la nominalmente crítica. Por

consiguiente, deben entenderse los efectos de los impactos en las estructuras, y deben tomarse

las medidas apropiadas en el proceso de diseño para responder a los eventos esperados. El

primer paso para la compresión del problema es desarrollar modelos matemáticos, numéricos

o experimentales para poder predecir la fuerza y el efecto del impacto en una estructura. Para

este efecto, el modelo debe responder el movimiento de la estructura, el movimiento del

proyectil que causó el impacto, y las deformaciones locales en la zona de contacto, (Abrate,

1998). En ciertos casos, el registro de la fuerza de contacto puede ser determinado con

precisión modelando la estructura a un sistema equivalente de masas y resortes como el que se

observa en la figura 1 . I .

rnPh///h/////; Figura 1.1. Modelo masa-resorte, Abrate (1998)

2

capílulo I Inlroducción -- ~

Tamaño de la velocidad

La velocidad es quizás el parámetro más simple para clasificar los distintos tipos de impacto.

En los impactos a baja velocidad, es frecuente un comportamiento no lineal, con grandes

desplazamientos y deformaciones. A medida que la velocidad del impacto es mayor, adquiere

relevancia los fenómenos de transmisión de onda de esfuerzo e incluso ondas de choque. Sin

embargo, la velocidad no es el único parámetro que afecta en la clasificación del impacto, ya

que otras variables de tipo geométrico o relacionado con las propiedades de los cuerpos en

colisión tienen una importancia decisiva. A pesar de todo, y con objeto de realizar una primera

aproximación, se han propuesto diversas clasificaciones, como la de Zukas (i982), que se

muestra en la tabla I. I .

Tabla 1.1. Tamaño de las velocidades de aproximación de impactos y sus efectos Zukas (1982)

Efectos esperados

Velocidad media (5Om s<i.<iOOm/s) - . alta (íOOm/s<v<2000m/s)

&r\ elocid:id(2000in -. S<YJ

Delbrinacion plasiica gen~.ralimda.

f .I mmrial pwde considerarse coino fluido hidrodináinico.

.- -. . - I a resistencia - - viscosa del material aún tiene importancia '7

-- Entre los fenómenos a considerar producidos por el impacto se encuentran (Goicolea, 1996):

El movimiento dinámico y la vibración estructural, las cuales dependen principalmente de la

geometría, siendo relevantes en los impactos de baja velocidad. La propagación de onda de

esfuerzo y choque en los impactos a velocidades medias y bajas, es importante analizar con

detalle el efecto de las ondas de esfuerzo, que se convierten en ondas de choque para impactos

a hipervelocidad, por encima de los 2000 m/s aproximadamente. Comportamienlo no lineal

del material; se produce en mayor medida al aumentar la velocidad de impacto, aunque para

velocidades muy elevadas el material pasa a comportarse prácticamente como un fluido, su

resistencia puede despreciarse. Grandes desplazamientos; es decir cambios de geometría y

rotaciones finitas que a su vez influyen en las cargas. Grandes deformaciones los

alargamientos unitarios de los materiales en fases sólidas pueden superar el loo%, bajo

presiones muy elevadas el material se comporta como fluido. Contacto, es clave en cualquier

modelo de impacto, ya que a través de él se transmiten las cargas. Penetración y perforación

se denomina penetración cuando el proyectil no traspasa y perforación cuando e l proyectil

pasa al otro lado del blanco, (Goicolea, 1996).

3

Infroducción

En general el impacto no se puede evitar, lo que es posible es conocer y analizar los efectos

del impacto en dispositivos mecánicos y estructuras, con el objetivo de establecer estrategias

para controlarlas y/o reducir sus efectos. De acuerdo con Harris y Crede (l961), se han

agrupado en tres categorías los métodos de control de choque y vibración para cualquier

sistema elástico, a continuación se enlistan con sus posibles soluciones.

I-Reducción del origen. a).Balanceo de masas. b).Balanceo de fuerzas magnéticas. c).Control de claros.

a).Aislamiento del origen. b).Aislamiento del equipo.

a).Alteración de la frecuencia natural b).Masa auxiliar. c).DisipaciÓn de la energía.

2-Aislamiento.

3-Reducción de la respuesta.

Por tanto en ingeniería resulta imprescindible considerar un estudio profundo de las cargas

dinámicas. de sus influencias y de su eliminación o reducción. La eliminación o reducción del

impacto constituye una parte fundamental de ingenieria, y son cada vez más numerosas las

técnicas empleadas para la solución de este problema. Una de las técnicas tradicionales

utilizadas consiste en el cálculo y la selección de elementos elásticos y disipativos (resorte y

amortiguador), que al ser instalados reducen al mínimo los efectos indeseados.

El uso de amortiguadores reducen los efectos nocivos del impacto, ya que pueden aplicarse a

un amplio intervalo de cargas y velocidades, generando una desaceleración relativa predecible

y controlada de los objetos que chocan. Las relaciones fuerza-tiempo y fuerza-desplazamiento

son importantes para detener en el espacio disponible del cuerpo que choca y este debe ser

capaz de sobrevivir a las desaceleraciones y a las deformaciones y esfuerzos locales que esto implica. El objetivo del amortiguador es la absorción de energía con fuerzas y esfuerzos

tolerables, impulsos, desaceleraciones y distancias de paro especificas. Además. es posible

utilizar los amortiguadores de impacto como dispositivos para controlar la vibración, como

muestra Martinez (1999). Entre las ventajas de utilizar amortiguadores de impacto se

encuentra que:

4

lnlroduccion Capífulo I P

Reducen significativamente las fuerzas de choque y la vibración en las máquinas. Los efectos nocivos del movimiento, tales como el ruido, vibración e impacto son disminuidos o eliminados. Los amortiguadores de impacto proporcionan una parada suave con los objetos que chocan. Ofrecen deceleraciones predecibles, fiables y controladas. 0

Básicamente los amortiguadores de impactos se clasifican en dos grupos. Aquellos que basan

su mecanismo de trabajo en la histéresis, de aquí en adelante llamados histeréticos. Estos

dependen del desplazamiento y utilizan la deformación de los metales por flexión, torsión,

cortante o extrusión y la fricción entre superficies. Por otro lado se encuentran los que basan

su mecanismo de trabajo en la viscoelasticidad de sus elementos componentes, de aquí en

adelante llamados viscoelásticos. Su comportamiento depende de la velocidad y pueden estar

elaborados utilizando fluidos forzados a través de orificios, sólidos y fluidos viscoelásticos.

Existen muchas variaciones y combinaciones en los amortiguadores de impacto, histeréticos y

viscoelásticos, y a continuación se presentan ejemplos escogidos de ellos.

En la figura I .2 se presenta un amortiguador histerético, el cual se basa en la deformación de

metales la cual se produce a partir de esfuerzos estructurales o bien a partir de procesos de

extrusión. Cualquier esfuerzo, sea de torsión, flexión, cortante o axial puede producir procesos

de deformación en los metales. El acero ha sido si duda el metal mas empleado en disipador de

energía, como lo cita Salah (2003). Se puede observar en la figura 1.2 un amortiguador por

flexión, las dos placas en forma de U disipan energía por flexión al enrollarse por efecto de

desplazamiento relativo entre sus extremos.

5

Introducción Capitiilo I -

ira disipadora de 8)- acero rectanguiu b)-

Figura 1.2. Esquema del sistema de amortiguamiento por flexion. a) Vista del amortiguador, b) Amortiguador montado en la estructura.

Otro tipo de amortiguador histerético son los que utilizan la fricción. El amortiguamiento por

fricción disipa energía, basándose en el rozamiento existente entre dos superficies en contacto

bajo presión y con deslizamiento entre ellas. La fuerza de fricción en cada conexión es igual al

producto de la fuerza normal por el coeficiente de rozamiento. En la figura 1.3, se muestra el

esquema de amortiguadores utilizando el efecto de Coulomb o fricción seca, donde el

movimiento es amortiguado y paralelo a las superficies de fricción.

Figura 1.3. Esquemas de diseño de amortiguadores utilizando el efecto de Coulomb o fricción seca. a) Marca Lord Mfg.; b) Marca Barry Wright Corp.; y c) Marca Barry Wright Corp. Harris y Crede, (1961).

6

Introducción

El mayor inconveniente que presenta este tipo de dispositivos es que el coeficiente de fricción

durante el desplazamiento depende de la velocidad, de presión normal y de las condiciones de

superficie en contacto. Consecuentemente, resulta dificil garantizar un coeficiente de fricción

independiente del tiempo y de las condiciones del dispositivo. Sin embargo, se ha observado

que la variación del coeficiente de fricción durante el desplazamiento no afecta

significativamente a la respuesta estructural si la estructura permanece en el rango lineal

elástico, mientras que esta influencia puede ser significativa si esta entra en el rango no lineal,

(Cameron, 1990).

Un ejemplo de amortiguador viscoelástico son los amortiguadores viscosos. Este tipo de

amortiguamiento disipa la energía al forzar a un material viscoso a fluir a través de pequeñas

perforaciones. Estos amortiguadores crean turbulencia fluida absorbiendo la energía

transferida como calor al medio ambiente. El calor es el principal inconveniente, ya que el uso

continuo provoca un cambio de viscosidad en el fluido (GABRIEL, MONROE y BOGE. MR).

En la figura I .4, se presenta un amortiguador viscoso sometido a compresión y a tensión. Las

marcas más comunes de este tipo de diseño que existen en el mercado son GABRIEL,

MONROE y BOGE.

a)- b)-

Figura 1.4. Amortiguador v~scoso. a) vista longitudinal (sección), b) amortiguador con resorte (efecto de restitución)

Otro ejemplo de un amortiguador viscoelástico sólido, se muestra en la figura 1.5, está

formado por dos chapas metálicas unidas por una capa de material viscoelástico. Los materiales viscoelásticos tienen un comportamiento característico que presentan ciclos de

histéresis elípticos. Su acción disipativa se basa en el aumento del amortiguamiento

7

Iniroducción

estructural. Este tipo de amortiguador presenta algunas ventajas con relación a los distintos

tipos de amortiguadores. No requieren de una fuerza de umbral para disipar.

Caucho

Figura 1.5. Disipador viscoelástico

Los amortiguac-res viscoelásticos más comunes están hechos generalmente I os

viscoelásticos como el caucho. El amortiguamiento viscoelástico es generado por la

deformación del material sujeto a fuerzas de compresión, tensión, torsión y cortante; por lo

que la disipación de energía se debe a la deformación del cuerpo. En la Figura 1.6, se

presentan algunas de las formas en que puede ser usado este tipo de elementos.

s

Presión

Metal

Caucho Caucho

4 b)

Figura 1.6. Amortiguador viscoelástico sometido a cargas tipo: a) compresión, b) corte o cizallamiento (Paulstra, 2004).

Los amortiguadores rígidos empleados como limitadores de desplazamiento de piezas en

movimiento. Presentan esfuerzos muy elevados en el momento del choque y por consiguiente

un deterioro rápido, acompañado de ruido a menudo inaceptable sobre todo cuando se trata de

choques periódicamente repetidos. Los amortiguadores viscoelásticos suprimen

8

Introducción Capítulo I

completamente estos inconvenientes al disponer de un material insonoro como lo es el caucho.

En la figura 1.7, se muestra un amortiguador simple de superficie plana de caucho y por tanto

da una respuesta inmediata al choque, sin ampliar excesivamente la carrera de la pieza en

movimiento.

Hembra jC- Macho f$ - - --2-

ut

Figura 1.7. Amortiguador viscoelástico con superficie plana. (Paulstra. 2004)

Algunos amortiguadores de caucho están formados por soportes de forma cónica o cilíndrica,

unidos a una chapa metálica con un espárrago como elemento de fijación como se presenta en

la figura 1.8. Este amortiguador presenta por tanto un contacto en una superficie progresiva,

creciente con el aplastamiento. La acción es más gradual y se presta particularmente bien a

una absorción de energía considerable, sin esfuerzo instantáneo excesivo (Paulstra, 2004).Este

tipo de topes esta hechos generalmente de caucho natural (NR) de 55 y 60 Shore A de dureza.

Cuando se produce el choque, el diámetro exterior del tope aumenta, por io tanto hay que

prever el espacio necesario en el momento del montaje. El montaje debe de hacerse de manera

que, en el momento del impacto, el eje del tope sea perpendicular a la superficie de contacto.

Este tipo de amortiguador de forma cónica que se presenta en la figura I .8 es el objetivo de

investigación de esta tesis.

Figura 1.8. Amortiguador viscoelastiw de forma cónica. (Paulstra, 2004) 9

Capiiulo I Iniroducción

Los aisladores caucho, se utilizan para la reducción de vibraciones, choque, ruidos, y para el

aislamiento de maquinaria sensible a las vibraciones, como equipos electrónicos y eléctricos.

En la figura 1.9 se muestra el esquema de colocación de este tipo de amortiguadores para

diferentes cargas transmitidas.

e),

Figura 1.9. Aplicaciones amortiguadores de caucho. a) Carga en compresión, b) Carga de presión lateral, c) Cizallarnienio ó cone. Farrat (2003).

En la figura 1.10, se presentan algunas aplicaciones de amortiguadores de impacto como limitadores de piezas en movimiento.

d)- c)-

Figura 1.10. Aplicaciones de amortiguadores de impacto como limitadores de piezas en movimiento. a) Carga que baja por un plano inclinado. b) Carga propulsada por rodillos. c) Carga transmitida a un brazo a través de un motor d) Carga veriical de caída libre

10

Iniroducción Capiiulo I

Como se puede observar los amortiguadores de caucho son utilizados en diversos diseños y

tienen aplicación en ingeniería mecánica. Una de las principales características de estos

amortiguadores, es el de recuperar su forma original después de ser deformados. El

amortiguamiento interno de estos materiales suele ser mayor que e l de otros materiales. Sin

embargo, e l comportamiento mecánico se puede complicar más si tenemos en cuenta la

sensibilidad a efectos de temperatura, medio ambiente, historia de carga, etc. También

podemos observar que afecta el método o los ingredientes que utilizan para su construcción,

por ejemplo negro de humo y los polímeros primarios. Esto nos ha llevado a que durante parte

de la historia e l caucho se ha utilizado mediante e l ciclo prueba y error. Es decir se realiza la

fabricación de una pieza y se prueba para ver s i cumple los requisitos exigidos, este ciclo al ser

antieconómico se pretende eliminar utilizando técnicas de cálculo por elementos finitos.

Para caracterizar e l comportamiento mecánico de este tipo de materiales se han desarrollado

múltiples modelos teóricos (Mooney-Rivlin, Ogden, Yeoh, etc.), los cuales se basan en e l

estudio de geometrías y pruebas de compresión uniaxial, tracción uniaxial y cortadura, etc.

Algunos de estos modelos han sido implementados en programas de cálculo por elementos

finitos que permiten poder realizar el estudio y la optimización de una pieza para obtener la

curva fuerza desplazamiento deseada, sin necesidad de llegar a fabricar un prototipo real,

(Robotiker, 2000). En esta tesis se aplica el método elemento finito para analizar las

deformaciones en amortiguadores de forma cónica hechos de material viscoelásticos.

1.2-RE VISIÓN BIBLIOGRÁFICA

Un impacto o choque puede definirse como una transferencia de energía cinética a un sistema,

que ocurre en un tiempo relativamente corto en comparación con el periodo natura! del

sistema. Un impacto es seguido por un movimiento vibratorio del sistema en su frecuencia

natural, e l cual poco a poco decae (Avallone, 1995). Otro concepto es aportado por Shigley

(i990), quien define al impacto como la colisión de dos o más masas con velocidad relativa

inicial. Uno de los primeros análisis estáticos satisfactorios de los esfuerzos originados durante

e l contacto de dos sólidos elásticos fue presentado por Hertz; él desarrolló una teoría para

0 4 - 0 7 7 4

Iniroduccion Capiiulo I

conocer la distribución de presión entre dos cuerpos en contacto que tenían superficies

esféricas.

Los topes de impacto se han diseñado en forma empírica desde hace mucho, tan solo se le

atribuye a Ormondroyed y a Den Hartog. La utilización de topes elásticos como absorbedores

de vibración se presenta desde 1928, y se ha empleado para el amortiguamiento de álabes de

turbinas desde 193 I y en las alas de avión en 1945. Hiriyuki Matsumoto (1976) realizan un

estudio del impacto en vigas cilíndricas, donde se da a conocer e l efecto de las propiedades

del material y áreas de contacto en el momento del impacto.

Yasuda y Toyota (l978), evaluaron e l comportamiento de los amortiguadores de impacto, los

cuales consisten de un cilindro con tapas en los extremos y una esfera metálica en su interior.

Utilizaron para ello un sistema óptico y una cámara para grabar vibraciones y encontraron que

existe un limite mínimo de frecuencia de vibración para e l cual el amortiguador no funciona.

Así también, descubrieron que los parámetros que más afectan a la eficiencia del amortiguador

son la relación de peso, y el coeficiente de restitución entre la esfera y las tapas del cilindro.

La representación del análisis de los diferentes tipos de amortiguadores de impacto fue hecho

por Hunda1 (i981), donde se establece los efectos de un amortiguador de choque, haciendo

una comparación de las características de estos amortiguadores tanto lineal como cuadrático.

El amortiguador viscoso es conocido por el importante uso automotriz, ya que este tipo de

amortiguador disipa energía a l forzar a un material viscoso a fluir a través de pequeñas

perforaciones.

Gunter y Sankar (i982), analizan los amortiguadores viscosos de parámetro variable en los

que e l índice de amortiguamiento varia en función del desplazamiento, la velocidad o la

aceleración del sistema.

La utilización del método del elemento finito, aplicado al análisis de impacto longitudinal en

sistemas elásticos restringidos, ha sido desarrollados por Rismantab-Sany y Shabana ( I 990),

comparando la solución obtenida por medio del método del elemento finito con respecto con 12

Iniroducción

la solución obtenida por el método de Fourier. Utilizaron ecuaciones dinámicas de

movimiento mediante el uso del principio de trabajo virtual. Se consideró el estudio de

vibración longitudinal de una barra rotatoria con una velocidad angular constante, el cual es golpeado por una masa en el extremo libre de la barra rotatoria en dirección radial. Los

resultados presentados demuestran que la solución del método de elemento finito y del método

de Fourier. predice del movimiento de onda. KO y Kawak (i992), proponen un modelo de

elemento finito en el cual simulan el choque de dos cuerpos sólidos, y en el que el principal

enfoque es el de determinar las fuerzas normales y tangenciales en el nodo de contacto entre

los cuerpos. Robison y Davies (1 996) encontraron que el daño que sufre un espécimen por la

carga de impacto es función de la energía de impacto, y no de la velocidad o la masa del

impacto separadamente.

Luo y Hanagun (i998), estudiaron la mecánica de los absorbedores de vibración por medio de

topes elásticos. En su trabajo evalúan los estados de contacto y no contacto y concluyen lo

siguiente: I ) del estado de contacto al no-contacto la fuerza de reacción entre los cuerpos

cambia de un valor positivo a cero, no existe valor negativo, 2) durante el estado de no-

contacto el tope tiene libertad de movimiento, 3 ) para cambiar el estado de no-contacto al

contacto el claro se define como la distancia entre el tope y el elemento a controlar.

La teoría de viscoelasticidad, se ha desarrollado para la aplicación de los elastómeros, esta es

la generalización viscoelástica de la teoría cinética de la elasticidad del caucho. Christensen

(1980) desarrolló un modelo numérico utilizando la teoría no lineal viscoelástica para

aplicaciones en elastómeros. El método de derivación reveló que esta teoría es aplicable a

esfuerzos en lugar de condiciones de deformación. De esta manera la prueba de fluencia

provee los medios para determinar las propiedades del material, mientras que la técnica de la

prueba de relajación no es aplicable. Cuando la duración de las dos pruebas es muy larga se

presenta el mismo nivel de deformación, el comienzo y el grado de no linealidad en la prueba

de relajación puede ser más severo que aquéllos que involucran la prueba de fluencia. Las

propiedades mecánicas incluyendo esfuerzo-deformación y las mediciones de esfuerzo- relajación fueron investigados por Ming-Fung y Kai Shiao (1995). donde determinaron los

valores del módulo de Young (E), Mooney-Rivlin relacionados con los parámetros elásticos

13

Introducción

Ci y C2, módulos de relajación E l (O) y E2 (O), y el tiempo de relajación t i y t2, los análisis

estimarán los efectos de los segmentos suaves causados por los copolimeros. Los resultados

determinaron que la temperatura influye en las propiedades mecánicas de un bloque de

copolimero. Los resultados de las mediciones de esfuerzos-deformaciones por medio de

Mooney-Rivlin fueron aceptables. De las mediciones de esfuerzo-relajación los resultados que

se investigaron para e l copolimero no encajaron al modelo simple de Maxwell por lo que se

plantea que podría conformar en un modelo múltiple de Maxwell.

Chao-Hsun Chen y Yu Cheng Wang (i996), estudiaron de forma experimental la conducta de

fluencia de un caucho compuesto de fibras sólidas por medio del modelo de Mooney-Rivli; la

prueba experimental consistió en una prueba de tensión axial y prueba de fluencia con carga

constante. Los resultados reportados en esta investigación coincidieron con la curva esfuerzo-

deformación de la prueba de fluencia y con la curva esfuerzo-deformación de la prueba de

tensión axial, sugiriendo que la teoría de elasticidad del caucho puede ser descrita por la curva

de esfuerzo-deformación por la prueba de fluencia.

Lee y Rivin (I 996), analizaron por medio de elemento finito la carga y deflexión, en pruebas

de compresión, para componentes de caucho para el control de vibraciones. Este articulo se

basó en discutir la teoría constitutiva de la elasticidad del caucho aplicada al análisis de

esfuerzos no lineales de los elastómeros, aplicando e l método el elemento finito y confirmando

los resultados en forma experimental. Concluyeron que existe una buena relación de la carga-

deformación y la carga-frecuencia natural. Además se demostró que entre e l análisis del

método del elemento finito y experimental se pueden comparar las grandes deformaciones

axiales y radiales en cilindros de elastómeros. El análisis del método del elemento finito

mostró que la velocidad de fluencia en los cilindros cargados radialmente era

significativamente baja en relación a los cilindros cargados axialmente, para el mismo material

de caucho. Este efecto es sobre todo pronunciado para altas cargas de compresión.

Vallee y Shukla (i996), han realizado un estudio dinámico de la conducta de un material

elastómero usando elemento finito, cargado principalmente a compresión. El método

empleado para obtener los datos fue el uso de la barra dividida de Hotpkinson (SHPB), esta 14

Capíiulo I Iniroduccion - - técnica define la naturaleza molecular del modelo para el elastómero. La teoría molecular

predice la conducta dinámica del material en varios modos de deformación usando un

programa de elemento finito ABAQUS. La carga de impacto de muestras de elastómeros se

cotejó con los resultados dinámicos de carga- deflexión, concluyendo que el modelo del

elemento finito para (SHPB) predijo la compresibilidad de las curvas esfuerzo-deformación

que era muy similar a las curvas obtenidas experimentalmente.

La predicción del impacto en elastómeros fue estudiada por Suresh Goyal (I 999), donde se calculó la fuerza del impacto y la deflexión, como resultado de la prueba de dejar caer una

masa contra una superficie de impacto, mostrando que la fuerza puede ser obtenida

cuantitativamente ajustando los parámetros, cuya teoría solo entra para la característica lineal

viscoelástica de los materiales. Se muestra que el espectro lineal viscoelástico que caracteriza

las propiedades del impacto de los materiales de cauchos disponibles comercialmente, pueden

recomendarse adecuadamente en productos de protección de choque. También se muestra la

característica importante del impacto, al saber la fuerza máxima, la deflexión y la duración del

impacto.

Robotiker (2000) estudió el comportamiento mecánico de caucho, utilizando múltiples

modelos teóricos (Mooney-Rivlin, Ogden, Yeoh), ya que el estudio del caucho es u n problema

no lineal. El propósito de este estudio fue hacer una comparación entre los diferentes modelos

teóricos disponibles en programas de elemento finito y cuál de estos modelos proporciona un

mejor resultado; dicho procedimiento se realizó utilizando probetas de compresión tal como se

indica en la norma de ensayos de elastómeros a compresión, concluyendo que el mejor modelo

que representa el ajuste de la ecuación constitutiva del material es el modelo de Ogden. Dicho

modelo es aplicable para cualquier tipo de dureza y cualquier grado de deformación.

Guen (2001), presentó un estudio de un modelo de las deformaciones elásticas para un caucho.

El método original es provisto de un modelo con pocos grados de libertad, mientras se conserva la no linealidad y las características energéticas del caucho. La disipación de la

energía del elastómero es integrada a los niveles estructurales del material por la introducción

de modelos reológicos. Los resultados obtenidos pueden integrarse a modelos completos de

15

Introducción Capitulo I

vehículos. Este estudio desarrolló el plan del diseño de los eslabones elásticos de una

suspensión.

Song y Chen (2003), determinaron la curva de esfuerzo-deformación para una compresión

dinámica del caucho EPDM (propylene-diene monomer copolymer), la prueba fue

determinada con el uso modificado de la barra dividida de Hotpkinson (SHPB). LOS

experimentos fueron monitoreados por una cámara digital de alta velocidad y transductores de

fuerza piezoeléctricos. Los resultados dinámicos de la curva de esfuerzo-deformación del

EPDM, indicaron que el material es sensible a la rapidez de deformación. Basados en la teoría

de la energía de deformación, la ecuación dinámica para el caucho es modificada para

describir las altas deformaciones que se obtienen en los resultados experimentales.

En años recientes se ha observado un gran interés en investigar el problema del impacto en

diferentes áreas de aplicación. Por lo que esta investigación es continuación de los trabajos

anteriores realizados en el Depto. de Ingeniería Mecánica del cenidet. Entre las

investigaciones relacionadas con el impacto y amortiguamiento de impacto, se han dado a

conocer la influencia del uso de topes de impacto de diferentes materiales y geometría de

contacto, así como la respuesta de vigas sometidas a cargas dinámicas. En estas

investigaciones se han llevado a cabo con el uso de análisis tanto numérico como experimental

para comprobar los resultados. A continuación se dará una breve descripción de estos trabajos.

Un estudio realizado por Sotelo (i995), presentó la influencia del impacto en sistemas

vibratorios con restricciones, Él planteó que en el momento del impacto, en la estructura de la

viga se genera una propagación de onda transitoria con frecuencia igual a la primera

frecuencia natural del sistema viga-tope. Un estudio similar fue elaborado por Diego (1998).

donde se lleva a cabo un análisis puramente experimental utilizando como variables la forma,

material y ubicación del tope, y mantiene constantes la frecuencia de excitación y el claro

entre la viga y el tope. Este estudio, verificó que existía un segundo rebote en la viga el cual se presentaba cuando la restricción se aproximaba al empotramiento, se observó además que el

material y la forma geométrica de los cuerpos influyen en la magnitud de la fuerza.

16

Iniroducción Capíiirlo I -

Concluyendo que existe una relación directa entre la fuerza de impacto y la posición a lo largo

de la viga, e l material y forma de los topes influyen en la magnitud de la fuerza.

Szwedowicz (1997) presento una técnica numérica para la vibraciones en el estado

estacionario de las alabes de una turbina rotatoria, que incluyen impacto lateral y efectos de

fricción seca. El modelo presentado fue verificado experimentalmente y numéricamente,

obtenido buena concordancia entre los resultados numéricos y experimentales de la fuerza del

impacto

Agregando otros estudios hechos por Szwedowicz (1998a), él presenta e l diseño de un banco

experimental para l a medición de las fuerzas de impacto provocadas por una viga sujeta a

vibraciones transversales forzadas, por lo que tiene una buena aplicación en estudios de

sistemas y modelos mecánicos. Continuando con estudio realizado por Szwedowicz ( I 998b)

plantea e l análisis numérico y experimental de vigas vibrantes con claros en los que demuestra

que el elemento finito es una buena opción para simular e l impacto.

Además Szwedowicz (1999) desarrollo una técnica numérica para la identificación de la

rigidez resultante del contacto entre los cuerpos elásticos en contacto. La rigidez de contacto

evaluada de la relación fuerza-desplazamiento obtenida por computadora, puede ser aplicada

con confianza para pequeñas deformaciones dinámicas y esfuerzos inducidos en la región de

contacto durante el impacto.

Martinez (1990) presentó un estudio sobre las cargas de impacto en vigas en voladizo, este

análisis permitió observar el comportamiento de una viga, que vibra bajo la influencia de una

fuerza armónica de origen inicial, a la cual se le amortigua con topes de impacto de distintas

geometrías, materiales y con distintos puntos de aplicación, concluyendo que la geometría del

tope de impacto es más eficiente s i es plana. Esta condición superó a la condición de impacto

lineal e impacto puntual, durante las pruebas experimentales. También observó, que el mejor

material para disminuir e l coeficiente de restitución fue el hule neopreno, seguido del bronce,

aluminio y acero. Sin embargo estos tres últimos no tenían una diferencia marcada entre sí. Se

demostró que es viable el uso de amortiguadores de impacto, en vigas de sección rectangular, 17

Iniroducción Capíirrlo I

y que estos tienen aplicación cuando se puede tolerar ciertos niveles de ruido y vibraciones de

alta frecuencia.

El diseño del banco experimental para pruebas de disipación de energía por fricción en

uniones mecánicas sometidas a impacto fue presentado por Szwedowicz (2003), el diseño

presentado puede adaptarse a diferentes condiciones de prueba. Además, se le puede colocar

otros sistemas mecánicos a experimentar, por ejemplo topes de impacto de diferentes

materiales. Otro estudio realizado por Szwedowicz (2003), analiza la simulación numérica y

experimental del impacto en uniones mecánicas con apriete. Donde la simulación numérica se

realiza utilizando dos diferentes áreas de contacto, por lo tanto la relación entre las magnitudes

de las cargas dinámicas obtenidas experimentalmente con el área mayor y menor de contacto,

no rebasa el 2 YO y el desplazamiento de la placa móvil fue en general I O % mayor usando en

el área de menor contacto. El deslizamiento de la placa móvil con el análisis numérico fue en

promedio del 22 % con respecto a pruebas experimentales cuando se usaron fuerzas normales

menores a 3 kN.

Gaona (2003) desarrolló una investigación del análisis del comportamiento dinámico de

amortiguadores de fricción seca sometidos a carga de impacto. Entre los factores a analizar

fueron, el área aparente de contacto y la fuerza normal de apriete, cuando se varían estos

parámetros en la prueba de impacto, provocan una gran influencia en la capacidad del

amortiguador de fricción seca para disipar la energía del impacto. Así, se llega a la conclusión

que la fuerza de impacto es directamente proporcional a la fuerza normal de apriete. El

desplazamiento de la placa móvil fue inversamente proporcional al área aparente de contacto,

para las mismas condiciones de fuerza normal y altura de caída libre del péndulo. Por último

se presentó desgaste en zonas específicas, por lo que se considera que la distribución de los esfuerzos no es uniforme en la superficie de contacto.

lniroducción

Todo lo que se presentó en este capítulo muestra un panorama general de los estudios realizados sobre el fenómeno de impacto, donde las diferentes investigaciones presentan

resultados considerando diversas variables, como deformación, velocidad, fuerza de impacto,

aceleración, rapidez propagación de onda, parámetros adimensionales, topes de impacto de diferentes materiales y geometrías de contacto, etc., en cada caso dependiendo del tipo de

investigación que se pretenda realizar. También hay que tomar en cuenta la importancia de

amortiguadores de impacto tipo elastómero, los cuales se aplican como aislamiento sísmico.

vibración, ruido, suspensiones de motores eléctricos y automotriz. limitadores de piezas en

movimiento y defensas de vehículos, etc. Con respecto a los trabajos teóricos experimentales

que se han desarrollado relacionados con el impacto, amortiguadores y modelos teóricos de

caucho, podemos citar que se han estudiado bajo el comportamiento de cargas dinámicas y se

han desarrollado modelos numéricos para predecir la respuesta de amortiguadores sometidos a

cargas dinámicas. Todos estos estudios, ha demostrado obtener buenas aproximaciones entre

la simulación numérica por elemento finito y experimental. En este caso se analizarán

amortiguadores de impacto de caucho de forma cónica donde se pretende realizar un estudio

del comportamiento estático y dinámico de un amortiguador de impacto con el propósito de

verificar su diseño. Con los resultados obtenidos en esta investigación, se espera una mayor

compresión de la influencia del impacto en materiales como el caucho, con esta información

permitirá realizar nuevos diseños o modificaciones en amortiguadores de impacto.

1.3- DESCRIPCION DEL PROBLEMA.

Este traba.jo se dirige a la investigación del control del impacto, por medio de disipación de

energía, basado en el uso de amortiguadores de impacto tipo elastómero, los cuales absorben

energía en la deformación. Esto se logra por la capacidad del caucho de cambia de geometría

y una histéresis en su etapa de restitución. El caucho es un material que es usado

extensivamente en el diseño de varias máquinas, aplicado particularmente a elementos

flexibles de dispositivos de vibración, choque, control de ruido y en acoplamientos de

transmisión de poder.

19

il

Iniroducción

El objetivo de esta investigación es el estudio del comportamiento estático y dinámico de un

amortiguador de impacto tipo elastómero, con el propósito de verificar su diseño. Para este

efecto se utilizan modelos físicos y numéricos que permitan evaluar el comportamiento del

amortiguador bajo diversas condiciones de trabajo. Para acotar el alcance de este estudio, se ha

limitado sólo a obtener el modelo numérico del amortiguador de impacto, a l diseño del banco

experimental, sus componentes, el sistema de adquisición de datos y la comprobación y

verificación de su aplicación en la medición de problema de impacto, así como evaluar e l

Comportamiento estático y dinámico del caucho. Mediante esta investigación se pretende

mostrar hasta que punto es viable el utilizar este tipo de análisis, comparando los resultados

numéricos y experimentales obtenidos de una prueba de impacto en la máquina de impacto

Charpy con los resultados obtenidos en la simulación numérica mediante el programa de

cómputo ALGOR v.12.

Con un banco de pruebas (basado en una máquina de pruebas Charpy modificada) se estudia

el comportamiento del amortiguador de caucho para diferentes condiciones de ángulo de caída

libre del péndulo (9.7",12.0",14.6"~ 18.0" y 21.9"). La prueba se realiza dejando caer el péndulo

desde un ángulo determinado (ver la figura 1.1 I ) ; midiendo el ángulo del péndulo antes y

después del impacto y la duración de la prueba, se pueden determinar las energías potencial y

cinética del péndulo, así como también el coeficiente de restitución. En la figura 1.1 I , se

aprecia el modelo a analizar. Además, en este trabajo se investigan los siguientes parámetros:

esfuerzo en la zona de contacto, fuerza del impacto, coeficiente de restitución, tiempo y ángulo

de caída libre del péndulo; tanto en un modelo numérico realizado por elemento finito, como

en un modelo experimental con un banco de pruebas. Se analizan estos resultados y se

correlacionan con la teoría existente para definir un criterio de evaluación, para topes de

impacto elaborados en caucho.

20

Angula de I ’, unpacto +

Sensor de f u a n a

- Péndulo de Is L rnéauina

Y

í caucho

Figura 1.1 1. Vista del modelo de impacto.

Primero se analiza la simulación numérica por medio del elemento finito y aplicación del

modelo de Mooney-Rivlin. Luego se realizan las pruebas experimentales para su posterior

comparación con los resultados numéricos. El método del elemento finito es una técnica

numérica muy apropiada para conocer el comportamiento de las fuerzas de impacto en el

tiempo. Además permite obtener información del comportamiento de los esfuerzos t n el

amortiguador de impacto y en el péndulo (dependiente del tiempo, cargas de impacto,

esfuerzos y deformaciones). El método del elemento finito se ha usado en el diseño asociado

con grandes deformaciones y en materiales no lineales, como es el caso de caucho. Para el

caso de esta investigación, se estudia el comportamiento mecánico del caucho ba.jo el modelo

de Mooney-Rivlin. Este modelo de Mooney-Rivlin se implementa al programa de cálculo por

elemento finito (Algor v.12), el cual permite realizar el estudio y verificación del

amortiguador de impacto tipo elastómero. El método del elemento finito ha demostrado ser

una buena herramienta en el análisis de los componentes de caucho. Los resultados en los estudios con elemento finito permiten predecir la respuesta dinámica de caucho. Finalmente

los resultados por el método del elemento finito son comparados de forma experimental.

La parte experimental consiste en la utilización de un banco de pruebas basado en una

máquina de pruebas de impacto Charpy modificada, que se encuentra en el Laboratorio de

Ingeniería Mecánica, especialidad de diseño en el cenidet. La prueba de impacto así realizada,

21

CENTRO DE INFORMACION SEP CENIDET I

Introducción

proporciona información de la fuerza del impacto vs tiempo que se obtiene a través del

analizador de espectros HP3566A. La carga de impacto se mide con el uso de extensómetros

localizados en el sensor de fuerza. La señal generada que se registra es una compleja

combinación entre el comportamiento del material, efecto de inercia.

El banco experimental es un diseño propio y puede ser utilizado para comprobación de

amortiguadores de impacto de diferentes formas y uso industrial. Para este efecto se estudiaran

modelos fisicos y numéricos que permitan evaluar el comportamiento de sistemas

amortiguados por impacto. También se presenta el procedimiento de medición de la fuerza de

impacto, el sistema de adquisición de datos experimentales y además, ejemplos de resultados

experimentales obtenidos. A continuación se presenta la estructura de este trabajo de tesis con

una breve descripción del contenido de cada uno de los capítulos.

0 En el capítulo uno, se presenta una breve introducción sobre los problemas

ocasionados por el impacto y la solución del problema por medio de un amortiguador

de impacto tipo elastómero y su funcionamiento. Además se presenta el objetivo

general, los alcances que se pretende lograr y el estado del arte relacionado con esta

investigación.

En el capítulo dos, se presenta las propiedades del caucho, así como la teoría del

modelo de Mooney-Rivlin, aplicada al análisis de los esfuerzos no lineales en el

caucho.

En el capítulo tres, se describe las bases teóricas del contacto mecánico, ya que a través

de él se transmite la fuerza del impacto.

En el capítulo cuatro, se describen los principios básicos de la teoría del impacto, presentando las ecuaciones de impacto que permiten calcular los cambios en el

movimiento de los cuerpos rígidos, basándose en el uso del coeficiente de restitución.

En el capítulo quinto, se presenta el modelado discreto de los elementos que integran el

amortiguador de impacto, mediante el modelado por elementos finitos. Además se

analizan los resultados obtenidos mediante la simulación numérica. También se

0

22

Introducción

presenta el problema propuesto y las posibles soluciones obtenidas mediante el

impacto del péndulo de la máquina Charpy sobre el amortiguador de impacto

En el capítulo sexto, se muestra el análisis experimental del impacto que se origina por

el choque del péndulo de la máquina Charpy, sobre el amortiguador de impacto de

material elastómero. Además, se describe el banco de pruebas, los sistemas de

adquisición de datos experimentales, la metodología para realizar las pruebas

experimentales y los resultados de las pruebas de impacto.

En capítulo séptimo, se presenta la comparación de los resultados obtenidos con el análisis experimental y simulación numérica de elemento finito de las pruebas de

impacto.

En el capítulo octavo, se presentan las conclusiones de la investigación y

recomendaciones para trabajos futuros relacionados con impacto en materiales

viscoelásticos.

23

cupílulo 2 Caucho ~

Capítulo 2

2- CAUCHO.

El caucho es un hidrocarburo de gran importancia que se obtiene del látex de ciertos árboles

de la zona tropical. AI combinar el caucho con azufre y calentándolo a una temperatura

superior a 100 "C, el azufre se combina químicamente con el caucho. Este proceso es llamado

vulcanización, distintas sustancias como el negro de humo, óxidos de zinc y plomo, actúan

como acelerantes de la vulcanización, mejorando las propiedades del caucho haciéndolo más

tenaz y duradero. Una vez vulcanizado, el caucho pierde la propiedad de volverse a unir en

dos piezas entre sí con solo presionar uno contra otro, pero adquiere una mayor elasticidad,

pudiendo alargarse hasta seis veces su longitud original. El alargamiento del caucho

vulcanizado es acompañado de una elevación de temperatura y en cambio se produce un

enfriamiento cuando retorna a su estado normal. En este capítulo, se presentan las propiedades

del caucho, así como la teoría del modelo de Mooney- Rivlin, aplicada al análisis de los

esfuerzos no lineales en el caucho.

2.1- PROPIEDADES DEL CAUCHO.

Los elastómeros, incluyendo el caucho, tienen una estructura molecular intermedia, en la cual

se permite que ocurra una ligera formación de enlaces cruzados entre las cadenas poliméricas.

Los elastómeros tienen la capacidad de deformarse elásticamente en grandes cantidades sin cambiar de forma permanentemente. Sin embargo, la deformación es más complicada en los

elastómeros que en los metales y que en los cerámicos, ya que el proceso de deformación

depende del tiempo y de la rapidez de aplicación de la carga. En los elastómeros, la aplicación

de un esfuerzo hace que este se estire y se distorsionen los enlaces covalentes de las cadenas

poliméricas, permitiendo que éstas se alarguen elásticamente. AI eliminar el esfuerzo, se

recuperan de esta distorsión prácticamente de manera instantánea. Por otro lado se ha dicho

que los elastómeros tienen un comportamiento viscoelástico. Por tanto, la viscoelasticidad es

la capacidad de un esfuerzo para provocar el deslizamiento de cadenas y deformación plástica, 24

Capilulo 2 Caucho

está relacionada con el tiempo y la rapidez de deformación. Si el esfuerzo se aplica lentamente

(una rapidez de deformación lenta), las cadenas se deslizan fácilmente una al lado de otra; por

otro lado si se aplica con rapidez, no ocurre deslizamiento y el polímero se comporta de

manera frágil. Este comportamiento viscoelástico también ayuda a comprender las

propiedades del caucho al impacto. A muy altas velocidades de deformación, como en una

prueba de impacto, no hay tiempo suficiente para que las cadenas se deslicen causmdo

deformación plástica (Askeland, 1998). La curva típica de esfuerzo-deformación para un

elastómero es mostrada en la figura 2.1. En estas gráficas se aprecia la enorme no-linealidad

del caucho. En la tabla 2.1, se pueden apreciar las diferentes propiedades de elastómeros,

como son la resistencia a la tensión y la densidad.

a)- b)- 0-

r I o

D E f a l l X W i h iierornuri6n

Figura 2.1. Curva esfuerzo-deformación de un elastómero. a) Tensión, b) Compresión, c) Cortante. Como se puede observar, casi toda la deformación es elastica: por tanto, el modulo de elasticidad varia conforme cambia la deformación (Harris, 1961).

Tabla 2.1. Propiedades de elastómeros seleccionados (Askeland 1998).

25

Caucho

La curva de carga-deflexión para un amortiguador de vibración de caucho se muestra en la

figura 2.2. El área entre las curvas de carga y descarga representa la histéresis ó amortiguación

del elemento. La rigidez y la histéresis del amortiguador dependen de la temperatura del

espécimen y del intervalo de deformación (Harris, 1961).

Carga

Figura 2.2. Prueba de compresión; curva carga-deflexión para un amortiguador de caucho. Harris ( I 961).

Muchos elastómeros utilizados en ingeniería, contienen rellenos y extensores que son

compuestos particulados. Los extensores pueden hacer más rígido al caucho, incrementando

su dureza, su resistencia al desgaste, su conductividad térmica, y mejorando su resistencia a la

termofluencia; sin embargo reducen la tenacidad y la ductilidad. Algunos elastómeros utilizan

extensores como carbonato de calcio, esferas sólidas de vidrio y diversas arcillas. Un ejemplo

clásico de compuestos particulados es el negro de humo, en el caucho vulcanizado. El negro

de humo esta formado por partículas esféricas diminutas de carbono, de 5 a 500 nm de

diámetro. Además el negro de humo mejora la rigidez, la dureza, la resistencia al desgaste y al

calor del caucho (Askeland, 1998), por lo que las propiedades básicas del caucho vienen

determinadas principalmente por el polimero base empleado. Sin embargo las propiedades

finales, por un lado, son adaptables hasta ciertos límites mediante los aditivos utilizados para

la elaboración de la mezcla. Por otro lado, las propiedades físicas finales de una muestra de

caucho dependen del vulcanizado, y este a su vez es dependiente del espesor, tamaño y forma

del elemento que se utilizaron para su obtención. Esto es debido a que la fabricación del caucho se realiza de una forma artesanal, a diferencia de io que ocurre en los metales, que

26

Caucho Capiiulo 2

requieren relativamente pocas propiedades para caracterizar su comportamiento, en cambio el

tratamiento del caucho es más complejo al tratarse de un problema no lineal y de material.

Debido a sus excelentes propiedades mecánicas dentro de una amplia gama de temperaturas

(-45 "C hasta 70 "C). el caucho natural es el material empleado en la fabricación de piezas

para amortiguación de impacto. El caucho tiene un módulo de elasticidad bajo, y es capaz de

deformarse hasta un 1000 por ciento. Después de tal deformación recupera rápidamente su dimensión original. Además el caucho es prácticamente incompresible, teniendo un módulo de

volumen de aproximadamente de 354000 Ib/in2. (24300 kg/cm2) y una Relación de Poisson de

0.5. (Harris, 1961) y diferentes grados de dureza, comprendidos entre 55 y 70 Shore A, rango

de dureza que se encuentran comprendidas las diferentes piezas de caucho que posee el

amortiguador de un vehículo.

2.2- MODELO DE MOONEY-RiVLIN.

El caucho es usado cada dia más en el diseño en ingenieria. Estos diseños requieren de

modelos numéricos para Caracterizar su comportamiento, ante un tipo de material no lineal.

Este tipo de material hiperelástico se encuentra caracterizado por la expresión de su función de

densidad de energía de deformación. Se han desarrollado diversos modelos para analizar el

comportamiento no lineal y están planteados en el marco de la hiperelásticidad (por lo que

basta con definir la función de densidad de energía en función del estado de deformación); a

partir de estas funciones de energía de deformación se llegan a diversos modelos como el de

Ogden, Mooney-Rivlin y el neohookeano. Estos modelos hiperelásticos se expresan en términos de la función de la energía de deformación como una función del tensor de Cauchy-

Green como mas adelante se muestra (Castañon, 2004). El modelo de Mooney-Rivlin se

emplea generalmente para describir el comportamiento de materiales tipo caucho isotropico.

La simulación numérica de componentes mecánicos depende de las ecuaciones constitutivas

que describen la conducta elástica del material. La teoría fenomenológica es fundamental en el

método el elemento finito. Es basado en asumir que el elastómero es hiperelástico

aproximadamente un material isotrópico incompresible (Lee, 1996). Rivlin ( I 956) propuso

27

Caircho Capitulo 2

que la función de densidad de energía de deformación (W) se podría expresar como un polinomio de:

las elongaciones principales: W = W ( A , , A,, 2,)

los invariantes de deformación: W = (II, I , , I , )

donde A es la elongación principal, relación-entre la longitud final y la inicial de cada uno de

las direcciones principales e I es la matriz de identidad (Robotiker, 2000). Los invariantes

pueden expresarse en términos de tres proporciones de elongaciones principales, A,, A,, 1,

I , = a; + a; +a: I , =n;a;+n;/;+n:n: I , =a, a2a3 2 2 2

W puede considerarse como una función de I , y 12 para un material incompresible, (a, = I ) y

tiene la siguiente forma polinomial. (Lee, 1996).

,Y

W = c C y ( I , -3)'(1, -3)' i+j=i

donde N es el orden de la función de ,energía y Ci, son las constantes del material que son

determinadas de forma experimental. Para el modelo de Mooney Rivlin (N = 2). (Lee, 1996).

W =C,(I, -3)+C,(12 -3) (2.7)

Donde CI = CIO y C2 = COI. Este modelo es aceptable para elongaciones grandes como de

150%. El tensor de esfuerzos de Cauchy T es definido como la derivada parcial de W con

respecto a la deformación. (Lee, 1996).

28

~ = 2 -,I --a- - P I (: 2 ,

Donde p e s la presión hidroestática. Por tanto el esfuerzo de Cauchy esta en función de la

energía de deformación (Lee, 1996).

Z.Z.I-DETERMINACI~N DE LAS CONSTANTES DEL CAUCHO.

Considerando el caso simple de una prueba de tensión uniaxial del modelo de Mooney-Rivlin

í j l = 2), de la ecuación 2.7, tenemos.

aw - = c, 34

aw - = c, 81,

(2.9)

(2.10)

Si el espécimen es cargado a lo largo de la dirección I , entonces las direcciónes 2 y 3 son las

direcciones transversas en el espécimen, y T2 = T3 = O. Se asume que el material es isotrópico

e incompresible, entonces 1, = 4 y se puede escribir como:

I (2.1 I ) 2, = & =-

?iñl Sustituyendo las ecuaciones 2.9,2.1 O y 2.1 I en la ecuación 2.8, en los esfuerzos de Cauchy T,

y T2, tenemos que:

7; =2c,a; -2c,a;* - p

T2 = o = 2c,a;, - 2 c 2 4 - p

Eliminado p de las ecuaciones 2.12 y 2.13

(2.12)

(2.13)

(2.14) 29

Capi1ulo 2 Caucho

T = 2 - A - - A - p l (: : -.) Donde p e s la presión hidroestática. Por tanto el esfuerzo de Cauchy esta en función de la

energia de deformación (Lee: 1996).

22.1-DETERMINACIÓN DE LAS CONSTANTES DEL CAUCHO.

Considerando el caso simple de una prueba de tensión uniaxial del modelo de Mooney-Rivlin

(N = 2), de la ecuación 2.7, tenemos.

(2.9)

(2.1 O)

Si el espécimen es cargado a lo largo de la dirección I, entonces las direcciónes 2 y 3 son las

direcciones transversas en el espécimen, y T2 = T3 = O. Se asume que el material es isotrópico

e incompresible, entonces A2 = ,I3 y se puede escribir como:

I a - 4 - * - 3 7 (2.1 I)

Sustituyendo las ecuaciones 2.9, 2.10 y 2.1 1 en la ecuación 2:8, en los esfuerzos de Cauchy TI

y T2, tenemos que:

r, = 2 c , a; - 2~~3,;' - T~ = o = 2c,ay1 - 2c ,a , -

Eliminado p de las ecuaciones 2.1 2 y 2.13.

(2.12)

(2.13)

(2.14) 29

Los esfuerzos de Cauchy en la ecuación 2.14, puede reescribirse para el uso del esfuerzo ui

definida por la relación de una carga aplicada a sección de área (Lee, 1996).

(2.15)

El modelo de Mooney-Rivlin presenta característica que son aplicadas para pequeñas

deformaciones y por tanto podemos tratar la curva esfuerzo-deformación con términos de la

elasticidad clásica, es decir, módulo de Young (E), módulo de cortadura (G) y el módulo

volumétrico donde:

E = (C,, + C,, ). 3G (2.16)

E 3(1- 20)

K = (2.17)

Posteriormente sucesivos investigadores como James-Green-Simpson desarrollaron la

ecuación general de Rivlin con un alto número de constantes, y como resultado nació e l

modelo Mooney- Rivlin de segundo orden ( 5 constantes), de ecuación:

w =C,,( l , -3)+C,,(I, -3)+C,,(I , - 311 , -3)+C,,(I, -3)2 +Ca2(12 -3)2 (2.18)

La ecuación 2.18 podía ser utilizada hasta un mayor grado de deformación por incorporar un

punto de inflexión en la curva de esfuerzo-deformación, (Robotiker, 2000).

El caucho presenta características de amortiguamiento elástico e histeiético, esto lo hace

utilizable para el uso en vibraciones y productos de aislamientos de impacto, es por ello que en

este capítulo se presentaron las propiedades del caucho, y se propuso el modelo de Mooney-

Rivlin para la solución de este problema ya que e l caucho es considerado como un material

hiperelástico.

30

Cnucho

Para el análisis de este problema se plantea en considerar el material como un continuo y

observar su evolución bajo varias condiciones de deformación homogénea. Para ello se supone

que el caucho es un material isotrópico, y por tanto podemos definir la función en densidad de

energía de deformación. En esta función únicamente cuentan los efectos elásticos (puramente

reversibles) y no se incluye los efectos de histéresis que dependiendo de los diferentes

componentes que tenga e l caucho serán más o menos amplios. Esto no invalida

necesariamente la aplicación de la función de densidad de energía de deformación, pero

requiere de la necesidad de introducir variaciones en los datos experimentales para el posterior

uso e interpretación en las predicciones obtenidas mediante el cálculo por elementos finitos.

La ecuación de Mooney-Rivlin y las constantes del material se presentaron en este capítulo,

del cuál se obtiene e l modelo de la simulación numérica del caucho para las pruebas de

impacto (las constantes de Mooney-Rivlin son determinadas mediante una prueba de

compresión ver e l apéndice C). Este modelo normalmente es usado para determinar e l

comportamiento no lineal del caucho, basado en este comportamiento se utiliza el método del

elemento finito (Algor v.12), e l cuál dispone del modelo de Mooney-Rivlin. En general la

capacidad de este modelo depende del número de las constantes expresadas en el modelo de la

energía de deformación.

31

Contacto Mecánico

Capítulo 3

3. CONTACTO MECÁNICO.

Cuando dos elementos se presionan uno contra e l otro, en mutua deformación, se desarrolla

una zona donde se encuentra la mayor concentración de esfuerzos, esta zona se llama área de

contacto. Inicia en un punto, desarrollándose a causa de factores tales como la geometría y el acabado superficial de los elementos, la forma de aplicación y magnitud de la fuerza. Los esfuerzos desarrollados en esta zona de contacto se llaman esfuerzos dz contacto y son la

causa de un gran número de las fallas en las máquinas. Además, las aplicaciones ciclicas de

estos esfuerzos causan desgaste en las uniones y además propician fisuras, que a causa de la

aplicación continua desarrollan fracturas. En este capítulo, se describen las bases teóricas del

contacto mecánico, ya que a través de él se transmiten las fuerzas del impacto.

3.1- PROBLEMA DE CONTACTO DE HERTZ,

Uno de los primeros análisis satisfactorios de los esfuerzos originados durante el contacto de

dos sólidos elásticos fue presentado por &. Édesarrolló una teor ia, para conocer la

distribución de presión entre dos cuerpos en contacto que tenían superficies esféricas. Cuando

dos cuerpos tienen superficies curvas y se presionan uno contra otro, el contacto ocurre en un

punto o linea, que se transforma, a medida que la presión aumenta, en un área de contacto y

este desarrolla en ambos cuerpos un esfuerzo tridimensional.

El caso más general de esfuerzo, ocurre cuando cada cuerpo en contacto tiene un doble radio

de curvatura; esto es, cuando e l radio en el plano de rotación es diferente del radio en un plano

perpendicular, y ambos planos pasan por el eje de la fuerza del contacto. Para ejemplificar se

cita el caso de dos esferas macizas de diámetros dl y dz, como se muestra en la figura 3 . I , que

se presionan entre si con una fuerza F, por tanto se obtiene un área de contacto circular de

radio a como se muestra en la ecuación 3.1. S i se especifica queE,,v, y E2,v2 son las

constantes elásticas, el módulo de üung y la relación de Poisson de los dos cuerpos

respectivamente.

Conlacto Mecánico Capiiulo 3

I / d , + I l d , (3.1)

La presión dentro de cada esfera tiene distribución semielíptica, como se indica en la figura

3.1.

Y

4 4

Figura. 3.1 a) Dos esferas mantenidas en contacto por una fuerza F, b) El esfuerzo de contacto tiene una distribución elíptica en la cara de contacto de ancho 2 a. Shigley, (1990).

La presión máxima ocurre en el centro del área de contacto y es:

(3.2)

Las ecuaciones 3.1 y 3.2 son generales y se aplican también al contacto de una esfera plana

apoyada contra una superficie esférica interna. Para una superficie plana se toma que d=m. En el caso de superficies internas, el diámetro se expresa como una cantidad negativa. Los

esfuerzos máximos se tienen en el eje z y son esfuerzos principales. SUS valores son:

33

Conracto Mecánico Capitdo 3

- PMAW (3.4) z 2 I+, a

lJz =-

Las ecuaciones 3.3 y 3.4 son validas para una u otra esfera, pero el valor utilizado para la

relación de Poisson debe corresponder a la esfera en consideración (Shigley, 1990). Para el

caso de dos esferas de material isotrópico se observa una zona de contacto circular de radio a ,

aunque la presión normal p varía (Abrate, 1998). I

P = Po [ I -( 3'1' (3.5)

donde po es la presión máxima de contacto al centro de la zona de contacto y r es la

posición radial de un punto arbitrario en la zona del contacto. Definiendo los parámetros R y

E, de la siguiente forma: donde R I y Rz son los radios de curvatura de los dos cuerpos.

2 2 2 1 I - V I 1 - v 2

E El E2 -=___ f-

El radio a en la zona de contacto esta dada por la ecuación 3.8:

(3.7)

I

a = [ 3 g ) j (3.8)

34

Conrocto Mecanico capirulo 3

Las ecuaciones 3.3 y 3.4 son validas para una u otra esfera, pero el valor utilizado para la

relación de Poisson debe corresponder a la esfera en consideración (Shigley, 1990). Para el

caso de dos esferas de material isotrópico se observa una zona de contacto circular de radio a ~

aunque la presión normal p varia (Abrate, 1998).

donde pa es la presión máxima de contacto al centro de la zona de contacto y i es la

posición radial de un punto arbitrario en la zona del contacto. Definiendo los parámetros R y

E, de la siguiente forma: donde R I y R2 son los radios de curvatura de los dos cuerpos.

2 2 2 1 I - V I I - v *

E El E2 ----+-- -

El radio a en la zona de contacto esta dada por la ecuación 3.8:

(3.7)

Coniacio Mecánico

En la figura 3.2 se puede observar los radios de contacto de dos cuerpos.

Figura. 3.2 Análisis de contacto de dos cuerpos. (Abrate, 1998)

La figura 3.3 se muestra la distribución de la presión en la zona de contacto.

I r n

Figura.3.3 Distribución de presión en la zona de contacto. (Abrate, 1998)

El desplazamiento relativo a, esta dada por la ecuación 3.9:

La presión máxima en la zona de contacto se muestra en la ecuación 3. I O:

3P 6PE2 Pa =y- 2m -(=) (3.10)

35

Contacto Mecánico Capitulo 3 ~

La fuerza se expresa como: (Abrate, 1998)

P = k a 2 3 -

donde P es la fuerza de contacto, k la rigidez de contacto y esta dado por I

k = - E R 4 1 5

(3.1 1)

(3.12)

La ecuación (3.11) normalmente es llamada ley de contacto de éítz o ley hertziana del

contacto (Abrate, 1998). Existen además otros sistemas de contacto es un rectángulo, lo

suficientemente angosto para llamarlo contacto lineal. En la figura 3.4 se presenta tres

diferentes sistemas en donde se encuentra el contacto lineal. La figura 3.4a representa el

contacto entre dos elementos circulares en donde la línea de contacto es perpendicular al

papel. En la figura 3.4b aparece contacto lineal entre un disco y una superficie plana. La figura

3 . 4 ~ ilustra el contacto lineal entre un elemento circular pequeño y dentro de otro de radio

mayor. En todos los casos anteriores, los radios R; y R; , los cuales están en un plano

perpendicular al papel, son infinitamente largos de tal forma que las relaciones I l R ; y I lR ;

pueden ser despreciadas y el ángulo = O.

Figura 3.4. b) Contacto entre un disco y una superficie plana c) Contacto circular pequeño dentro de otro de radio mayor.

Sistema en donde se presenta el contacto lineal. a) Contacto entre dos elementos circulares,

En la figura 3.5 se presenta la distribución de la presión para el caso de contacto lineal como

consecuencia de la aplicación de una carga por unidad de longitud inEl área de contacto es un

rectángulo angosto de espesor 2b en la dirección del eje x y de longitud 2a en la dirección de z.

36

Contacto Mecánico Capitulo 3

- ..

Figura 3.5. Distribución de la presión en el caso de contacto lineal. (bhnson, 1985)

3.2-PROBLEMA DE CONTACTO NO HERTZIANO.

En la mayoría de la literatura se describe la dinámica de la colisión entre cuerpos elásticos o

elástico- plástico, sin embargo hay ejemplos de impacto entre cuerpos no metálicos donde la

fuerza de contacto es viscoelástico. Las grandes fuerzas de contacto que actúan durante la

colisión provocan deformaciones locales cerca del punto de contacto, deformaciones globales

y vibraciones en el cuerpo entero. El modelo de Maxwll es el elemento viscoelástico más

simple que se representa la fuerza de contacto entre dos cuerpos y se representa con un resorte

linear y un amortiguador en serie como se muestra en la figura 3.6. Este modelo satisface la

región de deformación dada por una fuerza normal que se incrementa con la compresión

normal, y la energía cinética relativa al movimiento durante la restitución (Stronge, 2000).

&---“--I x .Ao

Figura 3.6. Colisión de cuerpos; Modelo de Maxdl lineal viscoelástico (Stronge, 2000)

37

Contacto Mecánico a El desplazamiento es debido a la compresión del amortiguador y está dado por la fuerza

normal F que actúa en el cuerpo B'(1a misma fuer za actúa en el amortiguador y el resorte).

F = -k(x - y ) = - cy (3.13)

La colisión de los cuerpos B y B'tienen masa M y M'respectivamente, la masa efectiva m

puede ser obtenida de la siguiente forma m-'= M-' +M I' . Esta es una ecuación relativa al

movimiento. mx = -k(x - y ) . Diferenciando la ecuación (3.1 3) y agregando la ecuación del

movimiento, la ecuación de movimiento es obtenido en términos del resorte, z =x-y.

z + 2 4 ¿ 0 , t + o ~ z = 0 , 00 = k i m , < = m o , / 2 c (3.14)

La ecuación 3.14 muestra el movimiento armónico simple del resorte durante el periodo de

contacto.

Donde la frecuencia de oscilación amortiguada o, = o,-, la duración del impacto es

t , = n/o,. La fuerza normal entre dos cuerpos durante la colisión se muestra en la ecuación

3.16:

(3.16) F = -kz = (I - < ) Para un impacto directo se obtiene el coeficiente de restitución e. el cual se inuestm en la

ecuación 3.1 7, (Stronge, 2000).

2 -112 moOvO exp-s'on' sen(o,t) , w,t 2 n

(3.17)

38

Conlaclo Mecánico Capírulo 3 - 3.2. I - DISTRIBUCI~NDE ESFUERZOS EN MATERIALES VISCOEIA'STICOS.

Muchos materiales, como los polímeros, muestran una conducta que depende del tiempo con

relación entre el esfuerzo y deformación que se describen como viscoelástico. La figura 3.7, ilustra los intervalos de conducta de los materiales viscoelásticos donde se muestra la

variación de la deformación E(t)en un espécimen de un material bajo la acción constante de

un esfuerzo c0 aplicada para un periodo t , (hhnson, 1985). El comportamiento de estos

materiales pueden ser incorporados a la teoría de contacto, de tal forma que la relaciones de

esfuerzo-deformación viscoelástico del material puede ser considerado lineal. Las

deformaciones deben permanecer pequeñas para este requisito (como la teoría lineal de

elasticidad). Cuando dos cuerpos esféricos puramente elásticos son presionados en contacto

por una fuerza P, el radio del círculo de contacto a , el desplazamiento máximo S y la presión

de contacto p son dadas por las ecuaciones 3.8, 3.9 y 3. I O. Si una esfera es rígida y la otra es

incompresible con un módulo de rigidez G , las expresiones para a y 6 pueden ser escritas:

y para la distribución de esfuerzos:

4 p(r)=-2G(a2 ??R -r2) ,"

(3.18)

(3.19)

Donde 1R es la relación de las curvaturas de las dos superficies (1R I +IR z), y r < a . (hhnson, 1985).

39

Conlacto Mecánico Capitulo 3 -

t l Tiempo

i

Figura 3.7. A B se desarrolla la deformación elástica, el material es capaz de fluir o fluencia un estiramiento continuo adquiere una deformación de fluencia BC. Cuando el esfuerzo es removido da una respuesta elástica CD (= -OA) y un retrazo en la respuesta elástica DC. En el punto E adquiere una deformación permanente a traves de la acción de fluencia. bhnson (1985).

Muestra la deformación elástica inicial correspondiente a OA aplicada a un esfuerzo;

El análisis del contacto es esencial en la mayoria de los cálculos de impacto. El contacto

involucra dos tipos de cálculos:

I)- determinación del contacto, mediante algoritmos que analicen la fricción y geometría de las superficies. 2)- cálculo de las fuerzas de interacción.

En este capitulo se analizaron las fuerzas de interacción que actúan durante la colisión

provocaron deformaciones y esfuerzos en el punto de contacto. El estudio de la distribución de

los esfuerzos para materiales viscoelásticos como es el caso del caucho, involucra u n análisis

detallado de cómo se presentan los esfuerzos esto debido a que dependen del tiempo como

relación entre el esfuerzo y deformación. Sin embargo, se observó que este tipo de material

viscoelástico puede ser analizado con la teoría de contacto lineal de elasticidad. El único

requisito para cumplir esta condición es que los esfuerzos no deben alcanzar el límite de

proporcionalidad de la curva esfuerzo-deformación. Los resultados de los esfuerzos del

modelo analítico son comparados con los resultados numéricos en el capítulo 7.

40

Inlroduccion a la ieoria del impacio Capi1ulo I

Capitulo 4

4-INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DEL IMPACTO.

Dentro de los procedimientos clásicos de la mecánica de sistemas rígidos, el impacto se

estudia mediante la teoría de impulsos y cantidad de movimiento, por la que la duración de los impactos se considera instantánea. En esta teoría se aplica la conservación de cantidad de

movimiento y momento cinético, mientras que el balance de energía se tiene en cuenta

mediante el denominado coeficiente de restitución. Sin embargo, en la mayoría de las

situaciones reales es necesario un estudio más detallado, profundizando precisamente en

aquello que la teoría de impulso no trata, por ejemplo: la pérdida de la energía y la manera que

se desarrolla la fuerza de impacto a través del contacto entre los cuerpos. Generalmente es

necesario recurrir a métodos numéricos, que incluyen una solución adecuada de las ecuaciones

dinámicas en el tiempo. En este capítulo, se describen los principios básicos de la teoría del

impacto y las ecuaciones de impacto, las cuales permiten calcular los cambios en el

movimiento de los cuerpos rígidos, basándose en el uso del coeficiente de restitución.

4.1-PRINCIPIOS DE LA DINÁMICA DE LA PARTICLILA. La mayor parte de los problemas relacionados con el movimiento de la partícula se resuelven

mediante el uso de la ecuación fundamental del movimiento. El momento lineal de una

partícula de masa m que se mueve con una velocidad v se define como el producto de la masa

por la velocidad.

P = m v (4.1)

Se define el vector fuerza, como la derivada del momento lineal respecto del tiempo

F = - dP dt (4.2)

La segunda ley de &n es un cas

la partícula es constante (Alvarenga, 1983) o particular de la definición de fuerza, cuando la masa de

41

introducción a la teoria del impacto Capitulo 4

De la ecuación F = ma y los principios de la cinemática podemos obtener dos métodos

adicionales de análisis, e l método del trabajo y la energía, y el método del impulso y la

cantidad de movimiento. Despejando dp en la definición de fuerza de la ecuación 4.2 e

integrando.

dp = Fdi

En la figura 4. I , se muestra el impulso de la fuerza en intervalo de tiempo.

F

Figura 4.1. A la izquierda tenemos l a variación de momento lineal, y a la derecha la integral que se denomina impulso de la fuerza F en el intervalo que va de I, a lr.

Considérese dos partículas que pueden interactuar entre sí, (ver la figura 4.2) pero que están

aisladas de los alrededores. Las partículas se mueven bajo su interacción mutua pero no hay

fuerzas exteriores a l sistema presentes. Aplicando la segunda ley de &n a cada una de las

partículas se obtiene:

di dl dt (4.5)

42

Introducción a la teoría del impacio Capítulo 4 - ~

Figura 4.2. La partícula 1 se mueve bajo la accion de la fuerza F ,Z que ejerce la partícula 2. La partícula 2 se mueve bajo la acción de la fuerza Fzi que ejerce la partícula I . (Alvarenga, 1983)

Así, el principio de conservación del momento lineal afirma que el momento lineal total del

sistema de partículas permanece constante, si el sistema es aislado, es decir, si no actúan

fuerzas exteriores sobre las partículas del sistema. El principio de conservación del momento

lineal es independiente de la naturaleza de las fuerzas de interacción entre las partículas del

sistema aislado

mlu l + m2uz = m,v, + m2v2 (4.6)

Donde UI y u2 son las velocidades iniciales de las partículas 1 y 2 y V I y v2 las velocidades

finales de dichas partículas,

El principio de conservación de energía: El trabajo de una fuerza de conservación, como el

peso de una partícula ó la fuerza ejercida por un resorte puede expresarse como un cambio de

energía potencial.

Sustituyendo U I+ 2 de la ecuación 4.8 en ecuación 4.7, (donde VI y V2 = energía potencial

inicial y final, TI y TZ =energía cinética inicial y final) obtenemos:

43

Capíiulo 4 Introducción a la teoría del impacto

VIV2=T2-T1 TI +VI =T2+V2 (4.9)

De la ecuación 4.9 indica que, cuando una particula se mueve bajo la acción de fuerzas

conservativas, la suma de la energia cinética y la energía potencial de la particula permanece

constante. La suma T + V s e llama energía mecánica total de la partícula (Alvarenga, 1983)

4.2- COLISION PLANA DE DOS PARTiCULAS LISAS.

En la figura 4.3 se presenta un esquema de cuerpo libre de dos partículas en un sistema

inercia1 coordinado. Para colisiones entre dos cuerpos, uno de los problemas clásicos es

relacionar las velocidades finales con respecto a las velocidades iniciales. Para este caso, se

hace las siguientes consideraciones (Branch, 1991):

1. Los vectores iniciales de velocidad están en el plano n-t. 2. Las velocidades angulares son despreciables. 3. La deformación es pequeña; el contacto ocurre en un punto en cada masa. 4. El eje normal pasa a traves de cada centro de masa y el punto de contacto. 5. Las superficies son lisas (sin fricción); no se generan fuerzas tangenciales en el

punto de contacto. 6 . La duración del contacto es corta. 7. La fuerza normal debida al impacto de las dos masas es bastante grande tal que

todas las fuerzas excepto la fuerza normal generada por el impacto puede ser despreciada.

8. Durante la duración del contacto, los desplazamientos son intinitesimales, los cambios de velocidad son finitos, y las aceleraciones son infinitas.

t "

Figura 4.3. Esquema de cuerpo libre de patticulas en colisión. (Branch, 1991)

Cada masa tiene dos componentes de velocidad inicial. Las componentes de velocidad inicial

de las masas m , y mz son vln, VI, y v2,,, v2,. De la misma forma, las componentes de velocidad

final de las masas después del impacto son VI,,, V I , y Vz,. Vz,. Sí las velocidades iniciales son

conocidas y las velocidades finales son desconocidas, se requiere de un total de cuatro

44

Introducción a la íeoria del impaclo Capitulo 4

ecuaciones para dar una solución. Basándose en el figura 4.3 se obtienen las siguientes

ecuaciones (Branch, 1991).

mi Vi, - mi vin = pn ml VI, - m1 v I I =PI = O

m2 V,, - m2 vZn = - Pn m2 V2( - m2 v21 = - PI = O

(4. I O)

(4.12)

(4.13)

(4.1 I )

Igualando la Ec. 4.10 y la Ec. 4.12 se obtiene:

*I VI, + m2 V2n = ml vir? + m2 V 2 n (4.14)

De esta forma, se obtienen tres ecuaciones 4.1 I , 4.13 y 4.14. La cuarta ecuación se encuentra

reconociendo que durante un impacto real, la deformación debida al impacto, origina energía

que deber ser disipada.

4.3- IMPACTO.

El choque entre dos cuerpos, en donde se presentan fuerzas relativamente grandes duranie un

intervalo de tiempo corto, se llama impacto. Una recta perpendicular al plano de contacto de

dos cuerpos que chocan se llama linea de impacto. Si los centros de gravedad de los dos

cuerpos se encuentran sobre la linea de contacto, se dice que se trata de un impacto central, en

cualquier otro caso, es un impacto excéntrico. Si las cantidades de movimiento lineales de los

centros de gravedad también están dirigidas a lo largo de la línea de impacto, se tiene un

impacto colineal o central directo; en cualquier otro caso se dice que el impacto es oblicuo

(Avallone, 1995). En la figura 4.4, se muestra los dos tipos de impacto central y central

oblicuo. Bajo el impacto, se propaga una onda de compresión por todo el elemento con una

velocidad c = JE/p en donde p es la densidad de masa. Conforme esta onda de compresión

viaja una y otra vez por reflexión desde un extremo de la barra hasta el otro, se produce un

esfuerzo máximo, que es muchas veces mayor que el que se produciría estáticamente

(Avallone, 1995).

45

il

Introducción a la teoría del impacio

Figura 4.4. a) Impacto central directo y b) Impacto central oblicuo. (Beer, 1995)

Para definir una carga de impacto se tiene que conocer el periodo natural fundamental del

cuerpo donde se aplica. Cuando una carga tiene un tiempo de implicación mayor a los tres

periodos naturales del elemento cargado, se dice que es una carga estática. Pero s i es igual o

menor a la mitad de su periodo natural, entonces se considera una carga de impacto (ihvinall

Marshek, 199 I ) .

4.4- COEFICIENTE DE RESTITUCI~N.

El coeficiente de restitución indica e l grado de elasticidad del impacto. De tal forma para un

coeficiente con valor uno, no existe diferencia entre la restitución y la deformación, y no

existe pérdida de energía. El otro extremo es cuando e l coeficiente es cero, indicando un

restitución nula y un máximo en la pérdida de la energía del impacto. El coeficiente de

restitución se puede determinar en forma experimental o calcular en forma analítica, pero

siempre hay que tomar en cuenta que varía con la forma de los cuerpos, sus materiales y sus

velocidades de aproximación. Principalmente este último parámetro (velocidad de

aproximación), es el que mas afecta en aplicaciones de ingeniería y así lo demuestra la grafica

de Brach (199i), de la figura 4.5. Otra forma de definir el coeficiente de restitución (e) es e l

cociente entre los módulos de los impulsos correspondientes, respectivamente, a los periodos

de restitución y de deformación, y se representa:

(4.1 5)

46

Introducción a la teoría del impacio

I Pelferiamente elártico

“o Yeiffldad de aproximación

Figura 4.5. Grafica del comportamiento del coeficiente de restitución, en función de la velocidad de aproximación (Branch, 1991)

hhnson (1985) define que el coeficiente de restitución e es un valor numérico que relaciona la

velocidad de impacto V correspondiente a la energía cinética absorbida antes de la máxima

compresión, con la velocidad V’correspondient e al trabajo hecho durante la recuperación

elástica, esto es:

V’ V

e = - (4.16)

La ecuación (4.16) puede relacionarse con las propiedades mecánicas de los elementos en

contacto a través de la ecuación. (bnson, 2003).

siendo

donde:

Y* = Esfuerzo de fluencia dinámico m= Masa del cuerpo en contacto p , , .u2 = Coeficientes de Poisson de los materiales 1 y 2

(4.17)

(4.18)

47

Introducción a la teoría del impacto Capitulo 4

E, , Ez = Módulos de elasticidad de Mung de los materiales 1 y2 R,, R2 = Radios de curvatura de los cuerpos 1 y 2 V = Coeficiente que relaciona p con E

La ecuación (4.17) indica que el valor del coeficiente de restitución no es una propiedad

intrínseca del material solamente, sino que depende tanto de las propiedades y geometría de

los materiales en contacto, como de las velocidades de los cuerpos en contacto.

4.5. MODELADO DEL IMPACTO.

La fuerza entre las partículas es diferente de cero sólo durante el intervalo de tiempo de

contacto de T I a TZ. En la figura 4.6 se presenta una gráfica típica de una carga de impacto.

Para determinar analíticamente la cantidad del impulso transmitido al sistema, es

frecuentemente conveniente usar una fuerza triangular ideal, como se muestra en la Figura 4.6

con línea punteada. Por definición el impulso normal (P,) generado por el impacto entre los

cuerpos, será igual al área bajo la curva de una gráfico fuerza-tiempo. De esta forma, el

impulso se calcula como:

Donde: Pn = Impulso normal suministrado al sistema pi .SI Fp = Fuerza impacto I\i

T I y ~ 2 = Tiempo inicial y final del impacto 61

(4.19)

Figura 4.6. Variación típica de una fuerza normal para un impacto. (Brach, 199 I)

48

9 Introducción a la teoría del imuacto

Una relación importante es determinar la fuerza de impacto, en función de las velocidades

iniciales vIn. v2n de las masas m, y m2, la duración del impacto y el coeficiente de restitución,

se presenta en la Ec. 4.20.

(4.20)

Donde: m , es la masa equivalente del sistema, que se calcula como m = m1m2 ( mI + m 2 ) .

La Ec. 4.20 demuestra que comparando entre un impacto perfectamente inelástico (e = O ) y un impacto perfectamente elástico (e = I) , el impacto perfectamente elástico tendrá el doble de

impulso, para el mismo pulso de duración (Brach, 1991)

Las fuerzas repentinamente aplicadas a estructuras o máquinas son llamadas choques o cargas

de impactos, dando como resultado una carga dinámica (Ugural, 1995). Una fuerza dinámica

actúa para modificar los esfuerzos estáticos y deformaciones así como las propiedades de la

resistencia de los materiales. Las cargas de choque, son usualmente producidas por la

aplicación repentina de una fuerza o movimiento en un miembro, mientras que las cargas de

impacto, resultan de la colisión de cuerpos. Los problemas de impactos son analiza por Ugural

( I 995) haciendo las siguientes consideraciones:

I . El desplazamiento es proporcional a la fuerza aplicada, estática o dinámica. 2. La inercia del miembro sujeto a cargas de impactos, será despreciada. 3. El material se comporta elásticamente. Se considera que no hay pérdida de

energía asociada con la deformación local inelástica que ocurre en el punto de impacto o en el soporte. La energía de este modo es conservada dentro del sistema.

Para idealizar el sistema elástico sujeto a una carga de impacto, se considera un modelo como

el que se presenta en la Figura 4.7. El peso Wcae a una distancia h, golpeando el extremo libre

de un resorte. La velocidad inicial del peso es cero y su velocidad final en el instante de la

máxima deflexión del resorte (&&,) también es cero. El cambio de energía cinética del sistema

49

Introducción a la ieoria del impacto Capiiulo 4

es cero, y es igual al trabajo realizado en el sistema. El trabajo total consiste en el trabajo

realizado por la gravedad sobre la masa mientras esta cae y el trabajo realizado por el resorte.

1 2 W(h + ijmax)- kij,,, = o (4.21)

donde: k,= constante del resorte @i] h,= altura de caída libre del peso [m ] Fmax = deformación máxima [m ] W peso

El 1lL

A Figura 4.7. Cuerpo cayendo libremente. (Ugural, 1995)

Se considera que el peso permanece en contacto con el resorte. La deflexión correspondiente a

la fuerza estática del peso del cuerpo es simplemente Wlk. Este término es la deflexión estática

Ast. De este modo, la expresión general de la deflexión dinámica máxima (Ugural, 1995, Gere,

1998) se calcula de la siguiente forma.

Reordenando la ecuación 4.22 se obtiene:

(4.22)

(4.23)

El factor de impacto &,,) se define como la relación entre la deflexión máxima knax con

respecto a la deflexión estática S,,,, la cuál está dada por:

(4.24)

50

Introducción a la teoría del impacto Capi/ulo 4

Multiplicando el factor de impacto V;n,p) por el peso (W') se genera una carga dinámica o carga

estática equivalente:

Fdrn = W ( I + E) (4.25)

donde: Fd,,, es la carga dinámica o carga estática equivalente. Dos casos extremos de interés

son:

a) h e &;, donde el término de trabajo de la Ec. 4.21 puede ser despreciado, reduciendo la expresión a:

(4.26)

b) h = O, la carga es repentinamente aplicada, la Ec. 4.21 se convierte en:

Cuando el peso W se mueve en dirección horizontal con una velocidad v y es detenido por un

cuerpo elástico, la energía cinética Wv2/2g reemplaza a W(h + hex), que es el trabajo realizado

por el peso. La carga dinámica máxima y la deflexión máxima son:

(4.28)

(4.29)

donde: &,, es la deflexión estática causada por la fuerza horizontal W.

El estudio del impacto se debe a que se presenta constantemente en sistemas mecánicos,

provocando daños sobre estos, o alterando notablemente en su estabilidad o movimiento. Es

por ello que en este capitulo se presentó un análisis global del impacto. En la teoría de impacto

se tienen en cuentra la conservación de momento y momento cinético, mientras que el balance

de energía da lugar a obtener el coeficiente de restitución. En definitiva, la teoría de impulso

51

Iniroducción a la teoria del impacio

permite calcular el movimiento después de la carga de impacto. En ciertos casos, los

problemas de impacto pueden estudiarse mediante este tipo de teorías. M obstante,

generalmente es necesario recurrir a métodos numéricos, como elemento finito, que incluyan

una respuesta adecuada de las ecuaciones dinámicas con respecto al tiempo. Un ejemplo del

uso del elemento finito para el problema de impacto es cuando se desean conocer los esfuerzos

en la zona de contacto entre dos cuerpos que se impactan, la propagación de onda en la zona

de impacto y la deformación en el material, este fenómeno es extremadamente complejo para

represéntalos en los principios básicos de la mecánica.

52

Modelado por elemento.finilo

Capitulo 5

5-MODELADO POR ELEMENTO FINITO.

Este trabajo surge de la inquietud de conocer la forma en que el impacto afecta a materiales

viscoelásticos como el caucho, ya que no se cuenta con estudios profundos de los efectos que

se originan por las cargas de impacto sobre estos tipos de materiales viscoelásticos. En este

trabajo se trata el caso específico de un amortiguador de impacto tipo elastómero que es sometido a cargas de impacto, mediante un péndulo que se encuentra colocado a una altura

"h" con respecto a la línea de choque. En el modelado de este problema se utilizó el método

del elemento finito mediante la ayuda de un programa de cómputo ALGOR v.12, y con la

ayuda de la información técnica de amortiguadores de caucho que se encuentran disponibles

en el mercado. A continuación se presenta el modelo discreto de los elementos que integran el

sistema de impacto, mediante el modelo por elementos finitos. También se presenta, el

problema propuesto y las posibles soluciones obtenidas mediante el impacto de u n péndulo.

Además se analizan los resultados obtenidos mediante la simulación numérica.

5. I - INTRODUCCION.

Muchos de los problemas de ingeniería, y de las ciencias aplicadas, están gobernados por

ecuaciones diferenciales o integrales. La complejidad de geometría o de las condiciones de

frontera halladas en muchos de los problemas del mundo real impiden obtener una solución

exacta del análisis considerado, por lo que se recurre a técnicas numéricas de solución de las

ecuaciones que gobiernan los fenómenos físicos. El método del elemento finito es una de las

técnicas numéricas, muy apropiada para su implementación en computadoras (dada su facilidad para el manejo de algoritmos numéricos, rapidez en los cálculos). Por lo que el

método del elemento finito ha llegado a ser una herramienta poderosa en la solución numérica

de un amplio rango de problemas de ingeniería. Las aplicaciones van desde el análisis por

deformación y esfuerzos de automóviles, aeronaves, edificios y estructuras de puentes hasta el

análisis de los campos del flujo de calor, de fluidos, magnéticos, de filtraciones en medios

porosos. sometidas a acciones estáticas o dinámicas (impactos, vibraciones). En este método 53

Modelado por alemcnto.finito Capiiulo-

de análisis, una región compleja que define un continuo se discretiza en formas geométricas

simples llamadas elementos finitos. Las propiedades del material y las relaciones gobernantes,

son consideradas sobre esos elementos y expresadas en términos de valores desconocidos en

los bordes del elemento. Un proceso de ensamble, cuando se consideran debidamente las

cargas y restituciones, dan lugar a un conjunto de ecuaciones. La solución de esas ecuaciones

da el comportamiento aproximado del continuo (Chandrupatla, 1999).

El método del elemento finito convierte las condiciones de equilibrio en un conjunto de

ecuaciones algebraicas en función de los desplazamientos nodales. Después de obtener la

solución de las ecuaciones se pueden hallar las deformaciones y los esfuerzos en los elementos. A medida que se utiliza un mayor número de elementos para representar la

estructura, los esfuerzos se acercan más al estado de equilibrio con las cargas aplicadas. Por

tanto, un concepto importante en el uso del método de los elementos finitos es que, un modelo

discreto se aproxima a la solución real del problema a medida que se incrementa la densidad

de elementos, lo cual conduce a la realización de un análisis de convergencia de la solución. El

cálculo de esfuerzos y deformaciones con métodos clásicos de análisis, se logra a través de la

solución de ecuaciones gobernantes y condiciones de frontera descritas en el problema.

Spyrakos ( I 995), menciona las diferencias en usar un método clásico y el método de elemento

finiio, el cual consiste en la manera en que se ve a la estructura y el procedimiento para

obtener la solución. El método clásico considera a la estructura como un continuo, dominado

por ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales. En tanto que, el método de elemento finito,

considera la estructura como un ensamble de elementos pequeños de tamaño finito. El método

de elemento finito basa su operación en la capacidad de dividir un continuo en un número

finito de elementos, para posteriormente resolver un sistema de funciones continuas,

considerando las interacciones que pudieran ocurrir entre ellos. Con la ayuda de este método

es posible analizar el esfuerzo de una manera exacta y rápida de un componente así como

posteriormente realizar su optimización. La secuencia de pasos de acuerdo a Moaveni (1999) para la solución de un problema por medio del elemento finito, es:

54

Capílulo 5 Modelado por elemeniofinilo P

Fase de preprocesamiento.

I . Especificar la geometría. Esto puede hacerse dibujando de la geometría directamente en el paquete o importando el modelo desde otro programa de cómputo.

2. Definir el tipo de elemento y las propiedades del material. 3. Discretizar los elementos. Consiste en dividir la estructura en elementos finitos. 4. Aplicar las condiciones de frontera (restricciones) y las cargas externas. 5. Desarrollar las ecuaciones del elemento 6 . Refinar la malla. El método de elemento finito es un método aproximado, y en general

la precisión de la solución se incrementa con el número de elementos usado;. El número de elementos requeridos para obtener una respuesta confiable depende de número de elementos en el objeto.

7. Construir la matriz global de rigidez.

Fase de solución

8. Resolver las ecuaciones algebraicas simultáneas lineal o no lineal, para obtener los resultados de esfuerzo, deformaciones y desplazamientos.

Fase de postprocecamiento.

9. Interpretación de los resultados. Este paso es crítico para lograr la aplicación de los resultados en la solución de los problemas reales, o para identificar los posibles errores cometidos durante la etapa de modelado.

IO. Facilita la manipulación de los resultados numéricos, bien sea en forma de listas, tablas o en forma gráfica.

El método del elemento finito se basa en un modelo discreto, este modelo divide las

propiedades de una estructura en elementos finitos, convirtiendo al modelo discreto en un

número finito de grados de libertad. Un elemento es la pieza básica de construcción del

análisis de elementos finitos. Los elementos llenan toda la región excepto una pequeña región

en la frontera. Esta región no cubierta existe en fronteras curvas y puede reducirse escogiendo

elementos mas pequeños o elementos con frontera curva. La idea del método del elemento

finito es resolver en forma aproximada el problema continuo y esta región no cubierta contribuye en alguna medida a esta aproximación, (Chandrupatla, 1999).

Existen varios tipos de elementos, entre los más comúnmente usados estás los elementos tipo

barra, viga, axisimétricos, membranas, placas, cascaron, sólidos o ladrillos y elementos de

contacto o gap. Dichos tipos, son usados dependiendo del objeto que será modelado y el tipo 55

Capíiulo 5 Modeiado por elemeniofinilo

de análisis que se desee realizar. Los elementos utilizados en el modelado del péndulo y del

amortiguador de impacto son elementos tipo ladrillo (brick). En la figura 5.1, se muestra un

elemento tipo ladrillo el cual tiene ocho nodos, estos elementos sólidos son elementos

tridimensionales con tres grados de libertad de translación por cada nodo. La ventaja de usar

elementos ladrillos es que se pueden aplicar, para analizar en componentes cilíndricos o

esféricos, álabes de turbina y elemento sólidos. Este tipo de elemeiito provee informcción

acerca de las variaciones de los esfuerzos y deformaciones en tres dimensiones dentro del

componente.

Figura 5.1. Elemento tipo ladrillo y sus grados d e libertad en los nodos. (Spyrakos, 1995).

5.2- MODELO DISCRETO DEL PROBLEMA.

El modelo discreto esta compuesto por cuatro elementos, el sensor de fuerza, el elemento de

fijación, el amortiguador de impacto y el péndulo (ver la figura 5.2). Un modelo discreto

representa a un modelo físico real (por ejemplo una suspensión automotriz), con un arreglo de

parámetros concentrados. Así, es como los elementos de este modelo se constituyen de

elementos tipo ladrillo, en el ambiente no lineal del procesador APAK4 del paquete comercial

de elemento finito ALGOR v.12.

56

Capitulo 5 Modelado por elemento finito

Sensor de h e n a

A m o h p a d o r 1 de caucho

Péndulo de la

Figura 5.2. Modelo discreto por elemento finito del banco experimental de impacto

5.2.1- SENSOR DE FUERZA.

Con el fin de conocer la carga de impacto originadas por el choque del amortiguador y el

péndulo, se construye una pieza de aluminio 6061 cuya función es la de medir la fuerza. Las

dimensiones y diseño de este sensor de fuerza se muestran en el apéndice A y D. El sensnr de

fuerza, se modeló utilizando elementos tipo ladrillo. En la figura 5.3, se presenta el modelo

discreto por elemento finito del sensor de fuerza. En la figura 5.4, se muestra la fotografía el

sensor de fuerza de material de aluminio 606 I.

57

iclodelado por elemento .finito

Figura 5.3. Modelo discreto del sensor de fuerza.

Figura 5.4. Fotografía del sensor de fuerza material aluminio 6061, (sin extensómetros)

Figura 5.5. Esquema del sensor de fuerza y el amortiguador comercial de impacto de caucho.

de caucho

58

Capirulo 5 Modelado por elemenio,finiio

5.2.2- AMORTIGUADOR DE IMPACTO DE MATERIAL ELASTÓMERO.

El amortiguador de impacto tipo cónico, se modeló utilizando elementos tipo ladrillo.

También se consideró al elemento interno que se encuentra en el interior del amortiguador una

chapa metálica con un espárrago como elemento de fijación, por lo que el elemento interno

del amortiguador de impacto se modeló como elemento tipo ladrillo. Las dimensiones del

amortiguador de impacto se encuentran en la sección de apéndice D. Para realizar el modelado

por elemento finito del caucho se debe definir el elemento el modelo de Mooney-Rivlin ya que

este es aceptable para elongaciones grandes como del 150% (Lee, 1996;. Las pruebas para

determinar las propiedades del caucho y las constantes de Mooney-Rivlin se presentan en el

apéndice C. En la figura 5.6, se muestra la fotografía del amortiguador de caucho utilizado en

la simulación numérica, y en la figura 5.7, se aprecian dos vistas del modelo discreto del

amortiguador de impacto de material elastómero.

Figura 5.6. Amortiguador de caucho

Figura 57. Modelo discreto del amortiguador de impacto de material elast6mero.

59

Capitulo 5 Modelado por elemenlofinilo

5.2.3- PENDULO DE IMPACTO

Se realizó la medición de las dimensiones del péndulo de la máquina Charpy (ver la figura

5.8), para desarrollar el modelo discreto por elemento finito. Las dimensiones del péndulo de

la máquina Charpy se encuentran en la sección del apéndice D. Con las dimensiones del

péndulo se realizó el modelado por elemento finito con ayuda del programa ALGOR v12,

considerando que el péndulo esta fabricado con acero ASTM A-36, y utilizando elementos

finitos tipo ladrillo. El modelo discreto del péndulo se presenta en la figura 5.9.

Sensor de fuerza

Amortiguad( de caucho

Péndulo de la máquina C h a w

Figura 5.8. Péndulo de la máquina de impacto Charpy.

Una vez establecidas las geometrías de cada uno de los elementos que conforman el sistema,

se seleccionan las condiciones de frontera. La fuerza del impacto se produce con la caída libre

del péndulo de la máquina Charpy el cual es colocado a diferentes ángulos con respecto a la

vertical del punto de contacto (9.7",12.0°,14.60,18.00 y 21.9'). En la figura 5.10, se aprecia el modelo discreto por elemento finito, así como las condiciones de frontera del banco

experimental del impacto.

60

Capítulo 5 Modelado por elementofiniio

Figura 5.9. Modelo discreto del péndulo de la máquina Charpy. a). Vista del péndulo frontal; b). Vista isométrica del péndulo.

Las condiciones de frontera que se utilizaron en este modelo son las siguientes:

I - Se aplican condiciones de frontera de restricción total, en e l extremo del sensor de fuerza para simular e l empotramiento.

2- Se aplica condiciones de frontera que permitan el giro en el eje “x” en e l extremo articulado del péndulo de impacto.

3- Se simulan superficies de contacto, tanto en el tope como en el péndulo, del tipo superficie-superficie, válidos para ALGOR v.12, con e l fin de garantizar e l impacto en los dos elementos.

El tipo de análisis se realiza simulando como modelo, materiales no lineales. Por ultimo se

definen las propiedades de los materiales. AI terminar se definen las condiciones globales de

61

Capitulo 5 Modelado por elemenio,finiio

la simulación del evento mecánico. Se selecciona una duración del evento de 0.4 segundos y

se especifico un número de 100 iteraciones. Además, se selecciono una curva de carga

constante.

Pénduia d i la

,/:?""

Figura 5.10. Modelo discreto por elementos finitos del sistema de impacto y amortiguamiento.

5.3- RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN NUMÉRICA POR ELEMENTO FINITO.

En esta sección se presentan los resultados del modelado por elemento finitos del sistema de

amortiguador de impacto, que esta conformado por el sensor de fuerza, amortiguador de

caucho y el péndulo. Para las diferentes condiciones de ángulos de impacto del péndulo, se

considera la altura de caída libre del péndulo "h" referenciándola con respecto a la punta del

amortiguador de impacto. Los esfuerzos producidos por el choque del péndulo y el amortiguador de caucho, se analizaron los esfuerzos equivalentes de Von Mises del modelo.

62

Capilirlo 5 Modelado por elemento finito - La simulación numérica se llevó a cabo utilizando el paquete comercial de elemento finito

ALGOR v.12. En la Figura 5.11, se presentan dos vistas del modelo por elementos finitos

durante el instante del impacto.

Figura 5.1 1. Modelo discreto por elemento finito (ALGOR v.12) durante el instante del impacto.

En la figura 5.12, se presentan tres vistas del modelo por elemento finito antes, durante y

después del impacto entre el amortiguador y el péndulo.

Figura 5.12. Modelo discreto por elemento finito. a) antes del impacto, tiempo 0.32 seg., b) durante el impacto, tiempo 0.33 seg. y c) después del impacto, tiempo 0.34.

63

Capitulo 5 Modelado por elemento,finito

La figura 5.13, muestra el modelo discreto del amortiguador de impacto y el sensor de fuerza,

donde se presenta las zonas de concentración de esfuerzos durante el impacto entre el péndulo

y el amortiguador de impacto.

/I.<.

b)- Figura 5.13. Modelo discreto por elemento finito del sensor de fuerza y amortiguador de impacto, donde se muestra la zona de concentración de esfuerzos durante el impacto.

La mayor concentración de esfuerzos durante el impacto se presentó en el elemento de fijación

(tornillo) del amortiguador de impacto, como se muestra en la figura 5.14. Esta respuesta

puede ser causada por el comportamiento viscoelástico del caucho, el cual al recibir una carga

repentina se endurece en mayor proporción que el acero del tornillo.

<.I , ',

Figura 5.14. Modelo discreto del amortiguador de impacto, mostrando la máxima concentración de esfuerzo. a) vista lateral, b) vista longitudinal (sección).

64

Modelado por elementofinilo Capilulo 5 - La figura 5.15, muestra los desplazamientos máximos del amortiguador de impacto durante la

fuerza del impacto

a)- b)-

Figura 5.15. desplazamiento producido por la fuerza del impacto.

Modelo discreto del amortiguador de impacto y el sensor de fuerza, muestra el máximo

La simulación por elemento finito (ALGOR v.12) del impacto entre el amortiguador de

impacto tipo elastómero y el péndulo, permite obtener el desplazamiento máximo del

amortiguador de caucho y el movimiento de caída libre del péndulo, mediante los siguientes

gráficos que se presentan a continuación. La figura 5.16, presenta la curva del desplazamiento

de un nodo en la punta del amortiguador de impacto, con respecto al tiempo de duración de la

simulación numérica. El desplazamiento se mide en la dirección del eje coordenado y, que es

la dirección en la que se produce el impacto. De la figura 5.16 se observa el carácter de

deformación en la punta del amortiguador y además la duración del impacto.

65

Modelado por elemenio,finito Capítulo 5 -

Figura 5.16. La gráfica de desplazamiento-tiempo del nodo 3484, el cual esta localizado en la punta del amortiguador de caucho, para un angulo de caída libre del péndulo de 14.6' grados con respecto a la vertical.

La figura 5.1 7, muestra el movimiento de caída libre del péndulo de la maquina Charpy de un

nodo localizado en la zona de contacto del péndulo, con respecto al tiempo de duración de la

simulación numérica. La figura 5. IS , da a conocer la respuesta del amortiguador de impacto al

producirse el choque con el péndulo, se puede apreciar la variación de la fuerza normal tlpica

en el impacto, la fuerza del impacto es con respecto a la duración de la simulación numérica.

Figura 5.17. Gráfica desplazamiento-tiempo del nodo 4895, localizado en el péndulo en el punto de contacto con el amortiguador de caucho.

66

Modelado por elemenio,finilo Capiiulo 5

Ángulos de caída libre del péndulo libre del

Altura de caída

péndulo con respecto a la

línea de

5

Esfuerzo Deformación (Nlm') máxima ( m h )

I Duración de la simulación (seg)

Figura 5.18. Fuerza del impacto YS duración de la simulación numérica

impacto (m)

En la tabla 5.1, se presentan los resultados numéricos de los esfuerzos en la zona de contacto,

deformaciones y desplazamiento en el amortiguador de impacto, para las siguientes ángulos de

caída libre del péndulo: 9.7",12.Oo,14.6",18.O0 y 21.9"

9.7" 12.00 14.6' 18.0' 21.9'

Tabla 5.1. Resultados de la modelación por elementos finitos en la zona de contacto, para los ángulos de caída libredel péndulo; IO", 12.5, 15",17.5 y 20'

n.00~787 1986359 0.32501 0.001654 O . O O ~ O M 2165305 0.3386 0.002024 0.013322 2308374 0.4095 0.002372 0.019880 2543741 0.4462 0.002926 0.029499 2725659 0.4672 0.0030773

Desplazamiento máximo (m)

La figura 5.19, muestra el comportamiento de los esfuerzos en la zona de contacto del

amortiguador de impacto con respecto al ángulo de caída libre del péndulo de la máquina

Charpy, se puede observar que conforme se aumenta e l ángulo, los esfuerzos en la zona de

contacto aumentan.

67

Modelado por elemenlo.finil0 Capítulo 5

1500000 - s z E 1000000 - o

500000 ~

O ,

3 u> W -

I

_______

I900000 2100000 2300000 2500000 2700000 2900000 Esfuerzos en la zona de contacto (Nlm"2)

Figura 5.19. Relación de esfuerzos máximos del amortiguador (Von Mises) y el ángulo de caída libre del péndulo (grados).

En la figura 5.20, se presenta la curva esfuerzo-deformación de la prueba de impacto en la

simulación numérica, se puede apreciar que cuando se aumenta la rapidez de deformación,

como es el caso de las condiciones de impacto, se incrementa el esfuerzo en la zona de

contacto entre el amortiguador y el péndulo.

I

Figura 5.20. Relación entre el esfuerzo y deformación en la zona de contacto del amortiguador de impacto el péndulo.

68

capilulo 5 Modelado por elemenlo finilo ~

5.4- CONCLUSIONES

Basándose en los resultados obtenidos en la simulación numérica se concluye que: los

resultados por medio de elemento finito permitieron analizar los esfuerzos y desplazamientos

para pruebas de impacto para un amortiguador de caucho. Mediante esfuerzos equivalentes de

Von Mises se determinaron las zonas de mayor concentración de esfuerzos. La mayor

concentración se esfuerzos se registró en el elemento de fijación (tomillo), considerando que

el material utilizado es un acero 4130 (uv= 361 MPa, c."= Resistencia de fluencia, Shigley,

199i), y aplicando los términos de esfuerzos permisibles, los esfuerzos no superaron el

esfuerzo de fluencia del material, por lo que no se presentó deformación plástica en el

elemento de fijación.

Los esfuerzos permisibles en el amortiguador de impacto no se pudieron determinar ya que no

se encontró en la literatura el valor de la resistencia de fluencia del caucho utilizado en este

estudio. Se observó que la concentración de los esfuerzos en el amortiguador de impacto no

fue uniforme, esto debido al comportamiento viscoelástico del caucho, y conforme el caucho

desarrolla una deformación elástica a causa del esfuerzo, sufre una compresión continua

adquiriendo una deformación de fluencia y cuando el esfuerzo es removido da una respuesta

elástica.

Este estudio se basó en discutir el modelo teórico de Mooney- Rivlin aplicado al análisis de

esfuerzos no lineales en el caucho, y aplicando el método del elemento finito. Las constantes

de Mooney-Rivlin del caucho necesarias para el análisis numérico son determinadas por

medio de un prueba de compresión (ver apéndice C), otro factor a considerar que puede

afectar en los resultados de la simulación numérica es la selección del número de pasos o iteraciones para alcanzar la convergencia.

69

Banco y pruebas experimentales Capitulo 6 - - Capítulo 6

6- BANCO Y PRUEBAS EXPERIMENTALES.

En este capítulo, se presenta el análisis experimental del impacto que se origina por el choque

del péndulo del banco de pruebas basado en una máquina Charpy modificada, sobre el

amortiguador de impacto tipo elastómero. Además, se describe el banco de pruebas, los

sistemas de adquisición de datos experimentales, la metodología para realizar las pruebas

experimentales y los resultados de las pruebas de impacto.

6. I - INTRODUCCI~N.

Los dos ensayos de impacto más extendidos son: impacto con péndulo e impacto con dardo,

ambas metodologías son efectivas. En esta investigación se utiliza impacto con péndulo, de un

banco de pruebas basado en una máquina Charpy modificada. Conociendo la masa del

péndulo, la diferencia entre sus alturas inicial y final, se puede calcular la energia absorbida

por el amortiguador de impacto.

Con esta investigación se pretende proporcionar la base para el diseño de amortiguadores de

impacto tipo elastómero. Se analiza un amortiguador sometido a una fuerza de impacto, donde

se varía el ángulo de caída libre del péndulo del banco de pruebas. En este capítulo se

proporciona información de las diferentes partes que conforman el experimento, los cuales son

los equipos e instrumentos utilizados y características de cada uno de ellos, etc. La parte

experimental, tiene cinco objetivos principales:

I - Construir el banco de pruebas, el cual se empleará en la realización de los experimentos de amortiguadores de impacto.

2- Estudiar la distribución de esfuerzos y deformación en el amortiguador. 3- Determinar la capacidad del amortiguador para absorber y disipar la energía producida

por el choque. 4- Determinar el coeficiente de restitución. 5 - Determinar el factor de amortiguamiento del caucho.

70

Banco y pruebas experimenlales

Propiedad del material Elementos geométricos Módulo de elasticidad E Los radios y las área en la Módulo de Poisson U zona de contacto de los

cuerpos

Elementos dinámicos Lasmasasde loscuerpos Las velocidades de cada cuerpo en el momento del imnartn

Cuando se varían algunos de estos parámetros originan cambios en el resultado de la prueba

de impacto, como son la fuerza de impacto, la deformación y el tiempo de contacto. Así, se

llega a la definición de las variables dependientes e independientes de la prueba, como se

Variables independientes Velocidad de impacto Masa del péndulo Masa del amortiguador Angulo de caida del péndulo Radios y áreas en la zona de contacto

listan en la tabla 6.2.

Variables dependientes Fuerza del impacto Esfuerzo de contacto Deformación máxima Coeficiente de restitución Factor de amortiguamiento Energía consumida en el impacto

6.2- BANCO EXPERIMENTAL.

El banco de pruebas que se utilizó, es la adaptación de la máquina de impacto Charpy que se

encuentra en el Laboratorio de Ingeniería Mecánica, especialidad de diseño en el cenidet.

Algunas modificaciones fueron elaboradas para una investigación anterior, por Gaona (2003).

En esta investigación se realizaron además, una serie de modificaciones, como lo son la forma

de sujeción del amortiguador, la liberación del péndulo y el registro de la energía consumida.

Estos elementos fueron diseñados y construidos de acuerdo a los requerimientos de la investigación. En la figura 6.1 se presenta un esquema general del banco de pruebas de

impacto.

71

Hanco y pruebas experimeniales

Dispositivo de pruebas de impacto

Péndulo de la máquina C h a w

Tablero de posición del péndulo

Figura 6.1. Fotografia del banco de pruebas experimentales de impacto

6.2.1-BANCO DE PR VEBAS DE IMPACTO.

Como se mencionó anteriormente, el banco de pruebas está basado en una máquina de pruebas

de impacto Charpy, esta basa su funcionamiento en la aplicación de una carga de impacto

durante un tiempo muy corto a una muestra o probeta, y se registra la cantidad de energía

consumida por la ruptura de la muestra. La generación de la energía de impacto se obtiene

mediante un péndulo oscilante. cuyo funcionamiento se describe a continuación. La masa de

un péndulo dispuesto en el extremo de una barra describe un movimiento circular alrededor de

un eje. En el punto mas bajo de su trayectoria descarga su energía a la probeta, al producirse el

impacto. En este punto es donde el péndulo desarrolla su máxima capacidad de trabajo,

determinada por el peso del péndulo y la altura de caída medida verticalmente. En la figura

6.2, se muestra el esquema del péndulo del banco de pruebas antes y después del impacto.

72

Capiiulo 6 I_

P¿ndulo despues dtl impacto

sensorpe fuena

--- I

Figura 6.2-Esquema del péndulo antes y después del impacto.

La ecuación 6.1 representa la energía inicial, es decir, la que posee el péndulo antes del

impacto. (Moreno, 1999).

A0 = m,gh, (6.1)

Donde: A0 =energía inicial (energía potencial) A I = energía después del impacto m,, = masa efectivo del péndulo g = aceleración de la gravedad ho =altura antes del impacto hl =altura después del impacto

Después del impacto una porción del trabajo se consume en la deformación del amortiguador

de impacto, de tal forma que la energía restante eleva al péndulo a una altura determinada h l ,

como lo muestra la ecuación 6.2. (Moreno, 1999).

A , =mp& (6.2)

De lo anterior se establece que la energía consumida en la deformación del amortiguador de

impacto, será igual a la diferencia de las energías arriba expresadas:

73

Capílirlo 6 Banco y pruebas experimenlales P

Se establece que se debe determinar el trabajo en la máquina midiendo la diferencia de alturas.

Esto sin embargo, resulta casi imposible, por lo que se exige que la máquina ofrezca la

posibilidad de registrar con precisión el ángulo del péndulo antes y después del de la prueba.

El banco experimental para pruebas de impacto está integrado por la máquina de impacto

marca TMI 43-01, con un péndulo Charpy, (ver figura 6.1). Con la caída libre del péndulo se

generan diferentes cargas de choque, modificando la posición del péndulo con respec;o al

amortiguador de impacto. Otra parte importante en el banco de pruebas, es la máquina de

pruebas de impacto marca TM143-01 modelo 52004. Para esta máquina de pruebas de impacto

se aplican las normas ASTM D-256 y ASTM D-1822, para realizar pruebas experimentales

tipo Charpy. Para obtener la cantidad de energía que puede proporcionar el péndulo es

necesario determinar su centro de percusión y masa efectiva, los cuales fueron determinados

por Gaona (2003). Él encontró que el centro de percusión del péndulo está una distancia de

400 mm: a partir de la distancia del eje del soporte donde hace impacto el péndulo con el

amortiguador de impacto. Así el centro de percusión esta dentro el intervalo dado por la norma

ASTM D-256. La capacidad de energía que puede entregar el péndulo del banco de pruebas,

esta limitado por la masa efectiva del péndulo, el cual se determina por la norma ASTM D-

256-92 inciso X.13. Este procedimiento menciona que el péndulo debe ser colocado en

posición horizontal y apoyado por una barra de masa conocida en el punto donde hace impacto

el péndulo. (Ver Figura 6.3), (Gaona, 2003).

L I I

Barra - Báscula

Figura 6.3. Método para determinar masa efectiva del péndulo de Charpy. Gaona (2003)

74

Capiiulo 6 Banco y pruebas experimeniales -

Tal procedimiento dio como resultado que la masa efectiva del péndulo de Charpy sea de

2.366 Kg., De este modo, la energía potencial disponible de la máquina de impacto será:

E,, =W e/ .h=mef . g . h (6.4)

Donde: ,Ep =energía potencial disponible [J] We/ = peso efectivo del péndulo p] h =distancia vertical de caída libre del péndulo al punto de impacto [m]

me/ =masa efectiva del péndulo [kg]

g =aceleración local de la gravedad [m/s2]

Gaona (2003) determinó que la máxima energía de impacto para la cual fue diseñado el

dispositivo de pruebas de impacto, corresponde a una altura de caída libre del péndulo de

20 cm, por lo que la energía máxima que puede entregar el péndulo es:

E,, =me/ . g . h = (2.366kg 9.81 7 (0.2m) = 4.6 Joules 1( 9 6.22- DISPOSITIVO DE MEDICION DEL ÁNGULO DEL PÉNDULO.

Otra adaptación que se realizó al banco de pruebas es la medición del ángulo del péndulo en

forma continua, mediante un potenciómetro. Este dispositivo de medición consiste en una

resistencia lineal fi,ja, sobre la cual se desliza un contacto giratorio, unido con una chaveta al

eje impulsor (ver figura 6.4 y 6.5). El potenciómetro es un transductor de posición angular, de

tipo absoluto y con salida de tipo analógico. Básicamente es una resistencia de hilo bobinado

en una pista de material conductor, distribuida a lo largo de un soporte en forma de arco y un

cursor adherido a un eje de salida que pueda deslizar sobre dicho conductor. El movimiento

del eje arrastra el cursor provocando cambios de resistencia entre éste y los extremos. De esta

forma si se alimentan los extremos con un voltaje constante Vo aparece en la toma de medida

un voltaje proporcional al ángulo girado a partir del origen. Es importante que esta variación

sea lineal como se representa en la figura 6.6. La resistencia o el voltaje medido entre las

terminales 1 y 2 (suponiendo constante el voltaje entre las terminales I y 3) son directamente

75

Capítulo 6 Banco y pruebas experimentales - - -

proporcionales al ángulo A de la figura 6.4, (Avallone, 1995). La calibración y construcción

del medidor de ángulo se presenta en el apéndice B.

Figura 6.4. Potenciómetro

En la figura 6.5, se aprecia el esquema de un potenciómetro.

Figura 6.5- Esquema del potenciómetro

Voltaje

Ángulo

Figura 6.6. Circuito eléctrico del potenciómetro.

76

Capítulo 6 Banco y pruebas experimentales

Las ecuaciones básicas que gobiernan el circuito (Estrada, 1993).

RI RI + R2 V = vo

I 1 +[ I /(I + r)l[AR, I R, + r(AR, I R 2 ) ]

7=1-

Donde: Vo = Voltaje de entrada V = Voltaje de salida RI, R2 = Resistencia del potenciómetro F RiIR2 7= Es un término no lineal, y representa el rango del potenciómetro.

Mediante un acoplamiento se conecta el péndulo del banco de pruebas a un potenciómetro,

con el que se obtiene un voltaje proporcional al desplazamiento angular. Mediante una sencilla

relación lineal se puede obtener la posición angular del péndulo en fufición del tiempu en

grados. (Ver figura 6.7).

Potenciómetro Eje del Péndulo /< Acoplamiento

Figura 6.7-Fotografia del sistema de medición del ángulo del péndulo

77

Capitulo 6 Bancoy pruebas experimentales

6.23- SENSOR DE FUERZA.

Con el fin de conocer la fuerza de impacto originadas por el choque del amortiguador y el

péndulo, se construye una pieza cuya función es la de medir la fuerza. Este sensor de fuerza

basa su funcionamiento en extensómetria eléctrica para poder actuar como traductor de fuerza.

El sensor de fuerza es acondicionado con un puente de Wheatstone completo de cuatro

extensómetros marca Measurements Group. La deformación provocada por esta fuerza hace

que la resistencia del puente cambie y sea medida por un analizador dinámico de espectros

marca Hewlett Packard modelo 3566A, donde se procesan las señales eléctricas en forma

digital y, por medio de una computadora Hewleii Packard 486166 se obtienen la señales de

fuerza de impacto en el tiempo. Un amplificador Measurements Group modelo 2310, al cual

se conecta al sensor de fuerza, envia la señal eléctrica al analizador. La señal generada que se

registra, es una compleja combinación entre el comportamiento del material, efectos de

inercia. Si se tiene en cuenta el reducido volumen de un extensómetro eléctrico y el hecho de

que el mismo se adosa completamente al elemento en estudio, es posible medir deformaciones

no solo con cargas estáticas sino que se puede llegar inclusive a la determinación de fuerzas

bajo cargas de impacto. Los extensómetros eléctricos se pueden utilizar indistintamente a

tensión y a compresión. El diseño y procedimiento de pegado y calibración del sensor de

fuerza se presentan en el apéndice A. En la figura 6.8, se presenta la ubicación de los

extensómentros en el sensor de fuerza. Estos extensómetros son elementos delgados que tiene

una resistencia, que pueden ser pegados en algún componente o estructura. Cuando el

componente se carga, se desarrolla una deformación que es transmitida al extensómetro. La

resistencia del extensómetro cambia proporcionalmente a la deformación inducida por la

carga, y si la carga se mantiene en el rango elástico del extensómetro, el cambio de la

resistencia también será proporcional a la carga (Helfgot, 1979). En el sensor de fueva se

utilizó un puente completo de Wheatstone elaborado con extensómetros de la marca Micro-

Measurements de Measurements Group Inc, de tipo N2A-13-T004R-350.

78

Capiiulo 6

Extensómeiros

Sensor de Fuerza

Péndulo del banco de prueba

Amortiguador de Caucho

Figura 6.8. Fotografia del sensor de fuerza, colocación de los extensómetros.

El puente de Wheatstone es el circuito mas comúnmente utilizado en la extensómetria para

determinar el cambio en la resistencia de los extensómetros de resistencia eléctrica cuando

estos están sujetos a una deformación. El circuito en puente de Wheatstone que se representa

en la figura 6.9 permite medir estas diferencias de potencial y, según cuántas galgas se utilicen

y dónde se conecten, amplificar la señal producida por la deformación para facilitar su lectura.

El puente de Wheatstone está formado por cuatro resistencias unidas en serie o en paralelo, de

las cuales una o varias de ellas son galgas eléctricas o extensómetros, mientras que las

restantes son simples resistencias eléctricas que completan el diseño del puente. La figura 6.9

muestra dos ilustraciones diferentes del puente de Wheatstone que son idénticas

eléctricamente.

?

Y F

Figura 6.9. Circuito general de un puente de Wheatstone.

79

Capiiulo 6 Banco y pruebas experimeniales

Las cuatro ramas del circuito están formadas por las resistencias Ri , R2, R3 y R4. Los puntos 2

y 3 del puente designan las conexiones para el voltaje de excitación del puente (Ve) . La señal

de medida es voltaje de salida del puente (KT), que se obtiene en los puntos I y 4. La

alimentación del puente se puede realizar en corriente continua Ó alterna. El estado de balance

se logra s i e l voltaje Ve se divide en el camino 1,2 y 3 por las resistencias RI y R2 en l a misma

relación que en e l trayecto 2,3 y 4 por las resistencias R3 y b. Entonces los puntos 1 y 4

estarán al mismo potencial. Por ello, si no pasa corriente quiere decir que:

Ahora, s i b se desconoce y R I , Rz, y R3 se conocen, se puede encontrar Rq mediante:

R, Rl

R, = R, - (6.9)

6.2.4- SISTEMA DE ADQUISICION DE DATOS EXPERIMENTALES.

La respuesta del sistema sometido a prueba, fue observada con el uso de sensor de fuerza y el

equipo de adquisición de datos. La selección de estos dispositivos fue ajustada a los criterios

de la prueba y a la disponibilidad del laboratorio de diseño del cenidet.

Se diseñó e instrumentó un sensor de fuerza, para una capacidad de 30.3 kN. La respuesta de

sistema fue obtenido por un amplificador de la serie 2300 marca Vishay Intruments, el cual

consta de diez canales. Para la prueba de impacto se utilizó e l canal 9, el cual amplifica la

señal de los extensómetros colocados en el sensor de fuerza. Por medio de un cable BNC el

amplificador manda la señal a i multiple, y este lo transmite al analizador de espectros

HP3566A el cual trasfiere las señales para poder analizarlas en la computadora marca Hewlett

Packard, modelo Vectra 486DX2. En la figura 6. I O se muestra un esquema de cómo fueron

dispuestos los canales utilizado.

80

Capiiulo 6 Banco y pruebas experimeniales -~

Figura 6.10. Esquema del sistema de medición: (I)-Amplificador de señales de la serie 2300 marca Vishay Intruments, (2)- Medidor de ángulo “Potenciómetro”, (3)- Indicador de posición del péndulo de Charpy, (4)- Sensor de fuerza.

6.2,4.1- CRITERIOS DE EVALUACIÓN DE INCERTIDUMBRE.

Ninguna medición se puede realizar con una exactitud perfecta, pero es importante descubrir

cual es la exactitud real y como se generan los diferentes errores en las mediciones. Un estudio

de los errores es el primer paso al buscar modos para reducirlos con objeto de establecer la

exactitud de los resultados finales. Los errores pueden provenir de diferentes fuentes y por lo

general se clasifican en tres categorías principales (Cooper, 1994):

I . Errores gruesos: son en gran parte de origen humano, como mala lectura de los instrumentos, ajuste incorrecto y aplicación inapropiada, as¡ como equivocaciones en los cálculos.

2. Errores sis/emá/icos: se deben a fallas de los instrumentos, como partes defectuosas o gastadas, y efectos ambientales sobre el equipo del usuario.

3 . Errores uleaiorios: ocurren por causas que no se pueden establecer directamente debido a variaciones aleatorias en los parámetros o en los sistemas de medición.

Durante las pruebas experimentales se presentan errores aleatorios que se deben a causas

desconocidas y ocurren incluso cuando todos los errores sistemáticos se han considerado. Esta

variación no se puede corregir por ningún método de calibración. La única forma para

compensar estos errores es incrementar el número de lecturas y usar medios estadísticos para

obtener la mejor aproximación del valor real de la cantidad medida (Cooper, 1994).

81

Capitulo 6 Banco y pruebas experimrniales

Sin embargo, se han seguido ciertas estrategias para minimizar los efectos de los errores en la

medición. Se midió la deriva del amplificador de la serie 2300 y antes de cada prueba

experimental se dio tiempo a este para calentar y obtener una deriva mínima y constante ( I .5

horas), se verifica que el amplificador de la serie 2300, conectado en el sensor de fuerza, tenga

un valor aproximado a cero cuando este sometido a carga de impacto. Se esperó el tiempo

necesario, después de cada prueba, para alcanzar un estado estacionario en el sistema antes de

comenzar la medición (15 minutos). Las pruebas experimentales se hicieron en una sola

sesión, para cada una de las condiciones establecidas, en caso de que una medición no cumplía

con los requisitos o se dudaba se desecha y se vuelve a realizar, esto garantiza la tendencia de

los resultados. Se realizan I O pruebas de impacto para cada una de las condiciones de ángulo

de caída libre del péndulo (9.7",12.0",14.6",18.0" y 21.9O). Se realizó un análisis estadístico de

los datos de medición los cuales permiten obtener una determinación analítica de la

incertidumbre del resultado final. Se obtiene la media aritmética del número de lecturas

tomadas.

En análisis estadísticos de errores aleatorios, la raíz media cuadrática de las desviaciones o

desviación estándar es de gran ayuda. Por definición, la desviación estándar CT de un número

infinito de datos es la raíz cuadrada de la suma de todas las desviaciones cuadradas

individuales, divididas entre el número de lecturas. La desviación estándar tiene la ventaja de

tener las mismas unidades que la variable, lo que facilita la comparación de magnitudes. La

ley normal de error o gaussiana constituye la base del estudio analítico de los efectos

aleatorios. La curva de la distribución de error se basa en la ley de distribución normal y

representa una distribución simétrica de errores. La cantidad i se llama error probable y se

define como (Cooper, 1994):

r = I 0 . 6 7 4 5 ~ (6. I O)

Este valor es probable en cuanto que hay igual probabilidad de que alguna observación tenga

un error aleatorio no mayor que k r (Cooper, 1994). Si se examina un conjunto de errores

aleatorios con respecto a su valor promedio se encuentra que su frecuencia de ocurrencia con

relación con su tamaño está descrita mediante una curva que se conoce como curva de Gauss

82

Banco y pruebas experimentales Capítulo 6

(ver la figura 6.1 I). Otro error que no se puede evitar son los errores ambientales, condiciones

externas que afectan la operación del dispositivo de medición, como los efectos de cambio de

temperatura, humedad y electrostáticos. Aunque no podemos controlar los efectos del medio

ambiente, se realizaron las pruebas en un periodo de tiempo relati\iamente corto y a

temperatura y humedad ambiente. P::,P,.?:,tlfC:,d <IC> oanrnncia

Figura 6.1 1. Tamaño del error en términos de desviaciones estándar. (Cooper, 1994)

6.3- METODOLOGh DEL EXPERIMENTO.

Una vez planteadas los posibles datos de entrada de la tabla 6.1, se propone la metodología

para el experimento. Las pruebas evalúan la eficiencia del amortiguador de impacto para cada

una de las variables de los datos de entrada. En cada sistema se realizaron una serie de

pruebas, cada prueba a diferente ángulo (9.7",12.0",14.6",18.0" y 21.9"), logrando así variar la

velocidad de impacto, y obtener así la fuerza del impacto, la deformación del amortiguador, el

registro de la energía consumida y el tiempo al cual ocurre el impacto. Esto se logra por medio

del péndulo oscilante de masa M que se deja caer desde una altura h, y golpea al amortiguador de masa m, con una constante de rigidez k y en el punto de contacto es donde se

descarga su energía al amortiguador y se produce el impacto. En la figura 6.12, se presen3 un

esquema general del banco de pruebas de impacto con el equipo necesario para poder llevar

acabo las pruebas de impacto. A continuación se presenta la descripción del funcionamiento y

manejo del banco de pruebas:

83

capiru-6- Banco y pruebas experimrniales

1 - Sujeción y posicionamiento del amortiguador de impacto.

2- Colocar el péndulo en la posición inicial antes del impacto, logrando así el

almacenamiento de la energía potencial.

3- Liberación de la energía potencial. La liberación de la energía potencial se logra al

liberar el péndulo del elemento de sujeción, debe estar colocado de manera que sea de

manejo fácil, rápido y seguro.

4- La transformación de la energía cinética en energía de impacto.

5- La aplicación de la carga de impacto se produce al momento que el péndulo golpea al

amortiguador.

6- Registro de la energía consumida

La metodología que se utilizó para llevar a cabo las pruebas de impacto, fue la siguiente:

1 - Se fija el amortiguador de impacto por medio de un tornillo en la parte posterior sobre

el sensor de fuerza.

2- Se coloca, fija y alinea el dispositivo de sujeción con respecto a la línea de impacto en

la mesa de trabajo de la máquina de prueba Charpy marca TMI, modelo 52004.

3- Se alinea el amortiguador de impacto en el punto de contacto con el péndulo de la

máquina Charpy.

4- Se coloca el péndulo de la máquina Charpy a un ángulo de caída del libre, como

respecto a la vertical de la línea de impacto.

5- Se conecta el sensor de fuerza al canal 9 del amplificador modelo 2310. El procedimiento para el balanceo del sensor de fuerza, se fundamentó con el manual del

usuario (Instruction Manual 2300 system, 1993).

6- Una vez balanceado el sensor de fuerza, se conecta el amplificado modelo 23 1 O ccn un

cable BNC a la salida de 10 VDC al analizador de espectros HP3566A. 7- Se conecta la fuente de poder regulador de voltaje variable al medidor del ángulo del

péndulo (potenciómetro de IOK), y se ajusta el voltaje de salida a 9 Volts.

8- Por medio de un cable de osciloscopio se contacta el medidor del ángulo del péndulo

(potenciómetro de I OK), al analizador de espectros HP3566A.

84

Banco y pruebas experimentales

9- Se conecta la fuente de poder regulador de voltaje variable al circuito electrónico del

foto-transistor y los led infrarrojos, y por medio un cable de osciloscopio se conecta al

analizador de espectros HP3566A.

IO-Se enciende la computadora H P Vectra 486, iniciando el programa 3566A-67. Se

declaran los parámetros de voltaje y la sensibilidad del sensor de fuerza, medidor del

ángulo y la posición del péndulo (circuito electrónico foto-transistor y los led

infrarrojos), también se establecen las unidades de fuerza o\i), ángulo (Deg) y voltaje

(V). Se asigna el canal del medidor del ángulo como el canal de disparo (Trigger).

11- Una vez ubicado y conectado todos los elementos, se libera el péndulo de la máquina

Charpy desde el ángulo de caída libre previamente ajustada.

12- El analizador de espectros procesa las señales eléctricas en forma digital y, por medio

de la computadora HP Vectra 486 se obtiene los gráficos de fuerza, ángulo y posición

del péndulo con respecto al tiempo.

13- Se realizan cinco pruebas para las condiciones de impacto y ángulo de caída libre del

péndulo. El ángulo de caída libre del péndulo con respecto a la vertical del punto de

contacto del amortiguador de impacto son: 9.7",12.0",14.6",18.0" y 21.9" grados. Se

realizaron diez pruebas manteniendo constante el ángulo de caída libre del péndulo,

con el fin de obtener los valores representativos para cada una de las condiciones dadas

e incrementando el ángulo de caída libre hasta llegar al ángulo máximo establecido.

14- Mediante el uso de métodos estadísticos se obtienen los valores representativos de las

pruebas experiméntales.

85

Banco y pruebas experimentales

\ \

, . . . . .. . d . : . . ., : . - . . . . . . ' , .: ' . ' . . ... ~

. . .,,.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' , . j : <..d $. .

Figura 6.12. Esquema del banco experimental de pruebas de impacto

A continuación se presentan los componentes de la figura 6.12, que integran ai banco

experimental:

I . Máquina de pruebas de impacto, marca T M I 43-01 modelo 52004 con péndulo de Charpy.

2. Amortiguador de impacto tipo elastómero. 3. Sensor de fuerza para 30.3 kN. 4. Base de sujeción del sensor de fuerza. 5. Multímetro marca LG, modelo DM-312. 6. Módulos Amplificadores Modelo 231 O, marca Vishay Intruments. 7. Múltiple. 8. Tabla de posición del péndulo de Charpy (Led infrarrojos). 9. Medidor del ángulo del péndulo de Charpy, Potenciómetro 1 Ok. 1 O. Circuito electrónico (Foto-transistor y Led infrarrojos). 1 1. Fuente de voltaje variable de 120 VAC - 24 VCD. 12. Analizador de espectros HP3566A 13. Computadora marca Hewlett Packard, modelo Vectra 486DX2.

86

Capííulo 6

6.4- RESULTADOS.

Se presentan aquí, los resultados obtenidos durante la parte experimental con ayuda del banco

de prueba, sometidas a diferentes ángulos de caída libre del péndulo de la máquina Charpy.

Los resultados de las pruebas de impacto se obtienen de los gráficos de la fuerza de impacto,

ángulo de impacto y posición del péndulo con respecto al tiempo.

En la figura 6.13, se observa el c6nportamiento. del impacto con respecto al tiempo de

contacto. Esta información indica el impulso experimental de la prueba de impacto, el

coeficiente de restitución y distinguir entre una carga dinámica y una estática.

Fuerza

N

Rcal

-189.5377 mSc Tiempo (mSec) 475.7388 mSec

Figura 6.13. Gráfica de fuerza de impacto.

La figura 6.14, indica la posición del péndulo de la máquina Charpy antes y después del

impacto. Representa la energía inicial, es decir, la que posee el péndulo antes del impacto y la

energía final, después del impacto una porción del traba.jo se consume en la deformación de amortiguador, elevando al péndulo a un ángulo determinado.

87

Banco y pruebas experimerilales Capitulo 6

0 Y:.lliS 2x13 in5c-c lnst %me 2

Y.1 , *l,? -8 0 1 % I>;; Prueba de impacto 15 grados

18

Angulo de caida libre

Real i n

En

-2 -500 mSec 3.5 Sec

Tiempo (See)

Figura 6.14. Gráfica del medidor del ángulo.

figura 6.15, se verifica la posición del péndulo con el medidc d ángulo. Los led infrarrojos que se encuentran a un costado del péndulo (ver apéndice B), mandan una señal

eléctrica la cual es recibida por un foto-transistor, indicando el ángulo exacto que se encuentra

el péndulo.

9 S:- l '~í . .~I25 iliior Y:I4.551X'> l:lc;! lnst %me 2 lnst 'l'imc 5. . . . . Prueba de impacto I5 grados ~~~ .....

14

Posición del péndulo

-6 -500 mSec 3.5 Sec

Tiempo (Seg)

Figura 6.15. Gráfica de la posición del péndulo de la máquina Charpy.

Inst time 5: Posición del péndulo

lnst time 2: Medidor de ángulo

88

.-

Ángulos de caida libre del péndulo (Grados)

9.7' 12.0" 14.6" 18.0" 21.9"

C u p i i u l 0 ~ Bunco y pruebas experimentales

Fuerza del impacto Desviación (N) porcentual %

(N) 280.913 4.238 373.161 3.833 490.746 3.714 582.255 3.456 719.031 1.764

La figura 6.1 6, se presenta los resultados experimentales de las diferentes pruebas de impacto,

variando el ángulo de impacto del péndulo de la máquina Charpy se puede observar un incremento en la fuerza del impacto registrada por el sensor de fuerza.

t Resultados

O 100 200 300 400 500 600 700 800

Fuerza maxima del impacto (N)

Figura 6.16. Resultado experimental de las pruebas impacto, ángulo de caída libre del péndulo contra fuerza máxima del impacto.

89

Banco y pruebas experimenlaies Capítulo 6

del péndulo (Grados)

9.1' 12.0" 14.6' 18.00 21.9'

La figura 6.16, se presenta los resultados experimentales de las diferentes pruebas de impacto,

variando el ángulo de impacto del péndulo de la máquina Charpy se puede observar un

incremento en la fuerza del impacto registrada por el sensor de fuerza.

(N) porcentual (N)

280.913 4.238 373.161 3.833 490.746 3.714 582.255 3.456 7 1 ~ n ? i 1 76.4

O 100 200 300 400 500 600 700 800

Fuerra maxima del impacto (N)

Figura 6.16. Resultado experimental de las pruebas impacto, ángulo de caida libre del péndulo contra fuerza máxima del impacto.

Los resultados de las pruebas experimentales se presentan en las tablas 6.3 y 6.4. Los

resultados de las pruebas experimentales de las figuras 6.13, 6.14 y 6.15, se analizan por

medio de hojas de cálculo (Excel), donde se obtiene la información estadística de la fuerza del

impacto y ángulos del péndulo antes y después del impacto promedio. Se realizaron diez

pruebas manteniendo constante el ángulo de caída libre del péndulo con el fin de obtener los

valores promedio de cada prueba experimental.

Tabla 6.3. Resultados de las fuerzas de impacto para las diferentes ángulos de caida libre del péndulo de la maquina Charpy.

1 Angulos de caida libre I Fuerza del impacto I Desviación I

89

Bunco y pruebas experimenlales

Angulos de &da

libre del

oéndulo

Tabla 6.4. Resultados de los ángulos de caida libre del péndulo antes y después de las pruebas de impacto.

Fuerza de Desviación Fuerza de Desviación Fuerza de Desviación impa,-to (,y) porccntual impacto (N) pnrcentual impacto (N) porcentual

Amortiguador % Amortiguador O/O Amortiguador 0%

A (N) B (N) c (N)

impacto

(Grados) 9.7 14.6 21.9

14.6" I 0.788 1 8.7" I 4.466 18.0" I 4.400 I 12.0" I 4.862 21.90 I 1 7 0 7 I 11.ILo I 1717

280.913 4.238 329.44 2.561 449.27 1.886 490.746 3.714 541.61 1.562 647.16 1.947 719.031 1.764 796.63 2.087 949.9s 1.339

6.4.1. COMPARACIÓN EXPERIMENTAL PARA DIFERENTES AMORTIGUADORES.

La comparación experimental consistió en tomar una muestra de diferentes amortiguadores de

impacto tipo elastómero, disponibles en el mercado con las mismas forma geometiia y

dimensiones del amortiguador de caucho (A) utilizado para la realización de este estudio. El procedimiento del análisis experimental fue el misma planteado en este capítulo, solo que en

esta ocasión solo se tomaron tres diferentes ángulos de caída libre del péndulo de la máquina

Charpy (9.7",14.6" y 21.9"). La muestra experimental consistió en un total de tres

amortiguadores. En la tabla 6.5, se presentan los resultados experimentales de los tres

diferentes amortiguadores. Se observa que existe una diferencia en los resultados de los tres

amortiguadores de caucho, a pesar que evaluados bajo las mismas condiciones de impacto y

que tienen las mismas dimensiones, esta diferencia es debido a que presenta diferentes

propiedades mecánicas debido al método utilizado su fabricación.

90

ljanco y pruebas experimentales Capitulo 6 - La comparación de los resultados de las pruebas de impacto para diferentes amortiguadores se

presenta en la grafica 6.17. La gráfica 6.17, muestra la relación que existe entre difercntes

amortiguadores disponibles en el mercado con la misma geometría, el ángulo de caída libre

del péndulo y la fuerza del impacto. En la gráfica 6.1 8, se aprecia los resultados de la prueba

de impacto del amortiguador B, donde se observa el incremento de la fuerza de impacto para

los ángulos de caída libre del péndulo (9.7",14.6' y 21.9"). con respecto a la duración del

impacto.

(amortiguador A)

(amortiguador B) +Prueba de impacto

--&-Prueba de impacto

O 200 400 600 800 1000 Fuerza maxima de impacto (N)

Figura 6.17. Comparación experimental de los diferentes amortiguadores de impacto.

900 800 - 700

$ 600 500

E 400 a 300 m 200

a L O

-100 -200

.d

everimenta 1 5 O .-

: 100

Tiempo (seg) ~ ~~

Figura 6.18. La grafica. muestra el comportamiento del amortiguador B cuando es sometido a la fuerza del impacto con respecto al tiempo.

91

IMPACTO.

El coeficiente de restitución se obtiene dividiendo la duración del tiempo de contacto r2 - rI ,

en las dos partes. Estos son r , a r y r a rl . Durante el inicio del contacto tl a r , al acercarse

las masas y comprimirse una contra otra sus centros de masa se aproximan. Posteriormente

durante el rebote, r a t2, los centros de masa se separan. Donde el tieinpor es cuando la

velocidad normal relativa es cero, rl es el tiempo inicial de la carga de impacto y r2 es el

tiempo final de la carga de impacto. El impulso normal es dividido en las dos partes

correspondientes, PA impulso normal de aproximación ó deformación y P,, impulso normal

de restitución Ó rebote y se presenta de la siguiente forma, (Brach, 1991).

(6 . I I )

En general, la fuerza F,< que se ejerce durante el periodo de restitución difiere de la fuerza FA

ejercida durante el periodo de deformación y la magnitud sF,<dt de su impulso es menor que

la magnitud del impulso de FA. El cociente de las magnitudes de los impulsos que

corresponden al periodo de restitución y al periodo de deformación, respectivamente, se

denomina coeficiente de restitución. (Beer 1990).

(6.12)

donde FR es la fuerza normal durante el período de restitución y FA es la fuerza normal

durante el período de aproximación.

En la gráfica 6.1 9, se aprecia el impulso de aproximación o deformación, será igual al área

bajo la curva de la gráfica fuerza máxima-tiempo, en el periodo de deformación y se calcula:

92

fl Banco y pruebas experimentales

(G.13)

El impulso de restitución o rebote, será igual al área bajo la curva de la grafica fuerza máxima-

tiempo, en e l periodo de restitución y se calcula:(ver la figura 6.19).

(6.14)

Sustituyendo las ecuaciones 6.13 y 6.14 en la ecuación 6.12. El coeficiente de restitución nos

queda de la siguiente forma:

(6.15)

Para calcular los impulsos de deformación y restitución es necesario obtener los valores de

fuerza máxima-tiempo al inicio de la carga y descarga de la fuerza del impacto.

Finer

Fuerza de impacto (N)

FA FB

Tiempo (Seg) Figura 6.19. Ubicación de los valores fuerza máxima-tiempo de la prueba de impacto

Debido a la selección de los intervalos de captura de datos de las pruebas de impacto, no hay

un punto de medición para el cual la fuerza sea igual a O N, cuando inicia el periodo de

93

Banco y pruebas experimentales Capirtilo 6

Angulos decaída

libre de1

péndulo

deformación y cuando finaliza el periodo de restitución. Mediante interpolación entre los

Duración Desviación Coeficiente Desviación del porcentual de porcentual impacto % restitución % (Son.) (Se&) (e)

puntos A y B cercanos al valor de O N, se obtiene el tiempo para el cual la fuerza de impacto

es igual a cero, correspondiente a O N y t, . De igual forma interpolando en los puntos C y D

cercanos al valor de O N, se obtiene el tiempo para el cual la fuerza es igual a cero,

correspondientes a O N y z2, mientras que la fuerza máxima es F,mm y t,, . De esta forma se

obtienen los datos presentados en la figura 6.20. En la tabla 6.6, se presenta un resumen de los

resultados obtenidos para las diferentes pruebas de impacto donde se aprecian los resultados

de la duración del impacto y del coeficiente de restitución, usando la interfase grafica

VIEWDATA del analizador de espectros HP3566A.

(Grados) 9.7" 12.00 14.6" 18.00 21.90

Fuerza de impacto (N)

n.01~3 0.437 0.8379 0.626 n.o200 1.421 0.~498 2.510 0.0221 0.178 0.8630 0.625 n.o160 1.~28 0.8460 2.440 0.0197 0.364 0.8343 0.534

O

i1 t t?

Tiempo (Seg) Figura 6.20. Simplificación triangular de la prueba de impacto, para determinar el coeficiente de restitución.

Tabla 6.6. Resultados experimentales de la duración del impacto y coeficiente de restitución, para diferentes ángulos de caida libre del péndulo de la máquina Charpy.

94

Ranco y pruebas experimenlales Capírirlo 6 -

64.3. FACTOR DE AMORTIGUAMIENTO DEL TOPE DE CAUCHO.

La figura 6.21. Muestra un modelo físico ocasionalmente usado en modelos de ingeniería de

impacto cuando la energía se disipada a través del efecto viscoelástico. Se dice que un modelo

lineal viscoso no es realista porque la velocidad inicial causa una fuerza viscosa discontinua en

el modelo lineal del amortiguador viscoso (Brach, 1991).

--+-

Figura 6.21. Modelo lineal del amortiguador viscoso (Brach, 1991)

Para encontrar el coeficiente de restitución se utiliza la ecuación 6.16:

e = exp(- ni /R) (6.16)

El coeficiente de restitución edepende exclusivamente solo de las propiedades del sistema, el

factor de amortiguamiento 6 . Este no depende de las velocidades iniciales. Note que si no

hay amortiguamiento (6 = 0)el impacto es completamente elástico, e = I . Para ( 6 = 1 ) y

c = c,, normalmente llamado amortiguamiento critico, e = O . Esto ocurre para

c = c, = 2&, donde k es la constante de rigidez, y m e s la masa efectiva del sistema

(Brach, 1991, Stronge, 2000). En la tabla 6.7, se presenta los valores de factor de

amortiguamiento de diferentes polímeros. De la ecuación 6.16 se despeja el factor de

amortiguamiento:

(6.17)

95

~ a n c o y pruebas experimentales Capitulo 6

Polimero Facior de amoriiguamienío (c 1 e,.)

SBR (Copolymer o f butadiene and styrene) .................. 0.05-0.15 Natural rubber ................................................................ 0.01-0.08 Choloraprene rubber ...................................................... 0.03-0.08 Butyl rubber ................................................................... 0.05-0.50

Tabla 6.7. Valores representativos del factor de amortiguamiento. Harris ( I 961)

De las pruebas experimentales se obtiene la energía consumida en e l impacto de acuerdo con

la ecuación 6.3. La velocidad de impacto es calculada utilizando ecuación 4.9 de l a

conservación de l a energía. A continuación en la tabla 6.8, se presentan los resultados de la

energía consumida en el impacto, velocidad de impacto del péndulo, coeficiente de restitución

y factor de amortiguamiento.

Tabla 6.8. Energía cinética suministrada al sistema, para las diferentes pruebas de impacto de ángulo de caída libre del péndulo de la máquina Charpy.

6.5- CONCLUSIONES

Basándose en los resultados obtenidos en las pruebas experimentales se concluye que: se

observó por medio de las pruebas de impacto el comportamiento de la fuerza del impacto con

respecto al tiempo. Esta información da a conocer los impulsos que experimenta el

amortiguador de impacto, e l cual permite obtener e l coeficiente de restitución y distinguir

entre una carga dinámica y una estática. Se monitoreó el comportamiento del péndulo del

banco de pruebas, antes y después del impacto, esta información permitió calcular la

96

Banco y pruebas experimeniales Capíiiilo 6 -

diferencia en su energía potencial. Esta diferencia es la energía de impacto absorbida durante

la deformación del amortiguador de impacto. Las pruebas realizadas a los tres amortiguadores

de caucho (A, B y C) presentan una diferencia en sus propiedades mecánicas para las mismas

condiciones de impacto. Podemos observar que afecta el método o los ingredientes que se

utilizan para su obtención. Esto se debe a que la fabricación de estos amortiguadores de

caucho se obtiene de forma empírica.

Para las pruebas de impacto se obtuvo en promedio un coeficiente de restitución de 0.8462

entre el amortiguador de impacto y el péndulo. También se obtuvo un factor de

amortiguamiento promedio de <= 0.0532, para las mismas condiciones de impacto. Se

determinó la frecuencia natural del sistema de, impacto (sensor de fuerza y amortiguador de

caucho), se obtuvo una frecuencia natural de 181 Hz cuyo período natural es de 5.506 ms. El período promedio de la duración del impacto es de 1.862 ms (ver la tabla 6.6). La duración del

impacto es relativamente corto comparado con el período natural de los cuerpos en colisión. El

período promedio fue menor 113 del período natural de vibración del sistema de impacto, por

lo que se considera que existe una carga de impacto durante la colisión del péndulo y del

amortiguador. El comportamiento viscoelástico del caucho ayudó a comprender las propiedades de impacto, ya que a muy altas velocidades de deformación, como en una prueba

de impacto, no hay tiempo suficiente para que las cadenas del polímero se deslicen causando

deformación plástica.

97

Capítulo 7 Análiw de lor resuliados -

Capítulo 7 7- ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS.

Z 1 - COMPARACIÓN DE LOS RESULTADOS.

En este capítulo, se presenta la comparación de los resultados obtenidos con el análisis

experimental y la simulación numérica de elemento finito de las pruebas de impacto. La

comparación de los resultados obtenidos en la simulación numérica por elemento finito y las

pruebas experimentales, se dividió en dos partes. En la primera parte, se comparan los valores

numéricos de la distribución de los esfuerzos y desplazamiento en el amortiguador de caucho

con los resultados numéricos. Por ultimo, se comparan los valores del coeficiente de

restitución y se analiza la energía disipada en el impacto.

ZI.I.-DISTRIBUCI~N DE LOS ESFUERZOS EN EL AMORTIGUADOR DE IMPACTO,

La tabla 7.1, muestra la comparación de los resultados de las pruebas experimentales

obtenidos de la ecuaciones (3.18 y 3.19) y la simulación numérica por elemento finito

(ALGOR v.12). En la figura 7.1, se muestra la comparación de los esfuerzos en la zona de

contacto contra ángulo de caída libre del péndulo de los resultados numéricos con los

resultados experimentales.

Tabla 7.1. Comparación de los resultados experimentales y los resultados numéricos (ALGOR v.12).

resultados numericor y

98

Análisis de los resultados Capitulo 7

I

1900000 2100000 2300000 2500000 2700000 2900000

numénca . -B . . Resultados expenmentales

1 Esíuerzosen la zona de coníacb (Nlm"2)

Figura 7.1. En la siguiente gráfica se presenta la comparación de los resultados de la simulación numérica por método del elemento finito (ALGOR v.12) y las pruebas experimentales.

Comparando los resultados que se presentan en la tabla 7.1, se obtiene las siguientes

observaciones y conclusiones:

LOS resultados experimentales para obtener el área de contacto y los esfuerzos en la zona de

contacto son obtenidos en las ecuaciones (3.18 y 3.19) para materiales viscoelásticos, el

comportamiento del caucho utilizado en este estudio muestra una conducta lineal en la curva

esfuerzo-deformación hasta un valor de 5068887.20 N/mZ, (ver apéndice C). Las pruebas de

impacto obtenidas en esta tesis, no alcanzan a llegar al límite de proporcionalidad de la curva

esfuerzo-deformación del caucho, por tanto se pueden comparar los resultados obtenidos

experimentales con la teoría de contacto lineal, tomando en cuenta por supuesto las

condiciones de deformaciones pequeñas y los esfuerzos inferiores al límite de

proporcionalidad de la curva esfuerzo-deformación. Los esfuerzos en la zona de contacto del

amortiguador de caucho del modelo numérico, se aproximan a los resultados experimentales,

para las mismas condiciones de ángulo de caída libre del péndulo. Se demuestra que el resultado del modelo de elementos finitos y el del modelo experimental, se pueden comparar

para las grandes deformaciones que sufre el amortiguador de caucho a causa del impacto.

99

Capirirlo --I- 7

7.1.2- ENERGIA DISIPADA EN LA PRUEBA DE IMPACTO.

La pérdida de energía asociada con el impacto ocurre de muchas formas. La energía puede ser

transferida o disipada como energía de deformación elástica, energía de deformación plástica,

fractura y sonido. Sin embargo, durante el impacto existen pérdidas de energía las cuales

pueden ser en forma de vibraciones, calor, deformación, etc. El trabajo realizado por los

impulsos de la prueba de impacto, es demostrado en las ecuaciones (7. I a 7.4), se relaciona

directamente con los cambios de la energía cinética. El trabajo es igual a la integral del

producto de la fuerza y la velocidad con respecto al tiempo (Brach, 1991).

F, es la fuerza de la componente y Y , es la velocidad de la componente a lo largo de la misma

dirección de la coordenada. Sacado el término v, ( 1 ) de la integrar queda la siguiente ecuación:

2 w, = v, 1, Fr(t)dt = v,P,

Donde Y, es la velocidad promedio en el punto de aplicación del impulso en la dirección del

impulso. Pr es el componente del impulso correspondiente a F,. De la ecuación 7.2, el trabajo

realizado es el producto de la velocidad promedio y el impulso P,; el impulso P, es:

La ecuación 7.4 es comúnmente usada para determinar la energía cinética disipada en una colisión, donde TL = -W*, (TL = energía cinética disipada, W,, = trabajo realizado,

m = mlm2 /(m, + m 2 ) =masa efectiva), (Brach, 1991).

1 2

2 w,, =T,, =--m(i-e2)(v2,,-v,,,) (7.4)

1 O0

Aná1iri.r de los resuliados

Supongamos que el péndulo se deja caer desde una altura inicial h. A continuación se presenta

el procedimiento para obtener las diferentes alturas de los sucesivos rebotes que experimenta

el péndulo en la prueba de impacto. En el primer y segundo rebote, la velocidad del péndulo es

calculada aplicando el principio de conservación de la energía. (Londoño, 2004)

Capitulo 7 - -

1 2

mgh=-mu: uI =J2gh (7.5)

La velocidad del péndulo después del rebote es (Londoño, 2004):

El péndulo del banco de pruebas asciende con una velocidad inicial V I , y alcanza una altura

máxima hl que se calcula aplicando el principio de conservación de la energía. (Londoño,

2004) (ver figura 7.2)

1 2 -mv, =mgh, h, = e 2 h 2

(7.7)

3.5 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Curaci6n de la prueba experimental (seg)

Figura 1.1. Altura de caida libre del péndulo respecto a la linea de impacto de la prueba de impacto de IOD grados.

101

Capírtrlo 7 Análisis de los re.wliadas

4_

Sustituyendo los resultados de las pruebas experimentales de las tablas 6.4 y 6.5 en las

ecuaciones 7.8 se obtienen los siguientes resultados de la energía disipada (resultados

experimentales ver la tabla 7.2), el trabajo realizo por la prueba de impacto y velocidad de

impacto. Por medio de la ley de la conservación de energía, se obtiene que la energía potencial

final más la energía disipada es igual a la energía potencial inicial.

Angulos de caida lihre del péndulo

~

Altura de Altura Coeficiente Velocidad Enprgia Energia Energia Porcentaje caida lihre después de de impacto potencial potencial disipada de encrgia

del impacto restitución ( 4 s ) inicial final cn cl disipada péndulo h,(m) (e) Ep,(.l) Ep,(J) impacto ( % )

La tabla 7.3, presenta los resultados obtenidos en la simulación numérica por elemento finito

(Algor v. 12).

Ángulos de caida l ibre del péndulo péndulo h, (m) (mis) (Grados)

9.7" 0.005787 0.3498 12.00 n.oo9n16 0.4371 14.6" 0.013322 0.5238 18.0" 0.n19s80 0.6105 21.9" 0.029499 0.6969

Altura de caida l ibre del Velocidad de impacto

Tabla 7.3. Resultados de la simulación numérica por elemento finito (Algor).

Coeficiente de restitución

(e) 0.8571 0.8461 0.8571 0.8492 0.8461

102

____ Capíiulo 7 Analisi.7 de /os resuliados

_e

Tabla 1.4. Comparación de los resuliados de las pruebas experimentales y de la simulación numérica.

Ángulos de caída lihre del péndulo

(Grado)

12.0" 14.6" 18.00 21.9''

Comparando los resultados que se presentan en la tabla 7.4, se obtiene las siguientes

observaciones y conclusiones: se puede asumir que no hay pérdida de energía hasta el instante

del impacto. Por tanto, la energía potencial almacenada antes del impacto se convertirá en

energía cinética. Como la teoría dice, el coeficiente de restitución esta relacionado con la

energía disipada en el impacto. Con esta relación se logró obtener la energía disipada por el

péndulo después de n rebotes. La obtención de los ángulos de caída libre del péndulo para la

prueba experimental, se hizo con el dispositivo medidor de ángulo presentado en el capítulo 6 ,

con estos datos se determinó la energía disipada en el impacto, la velocidad del péndulo, y el

coeficiente de restitución. En la simulación numérica por elemento finito (ALGOR v.12) la

velocidad del péndulo se obtuvo del visualizador grafico del soflare ALGOR, y ai igual que

en el caso experimental con estos datos se determinó la velocidad del pénaulo, y el coeficiente de restitución. 1

Por ultimo la comparación de los resultados de la simulación numérica por elemento finito y

las pruebas experimentales, mostraron poca desviación porcentual.

103

Capitulo 8 8- CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES.

En este trabajo Se analizó el comportamiento de un amortiguador de impacto tipo elastómero,

sometido a cargas dinámicas, mediante simulación numérica (ALGOR v.12) y pruebas

experimentales. En la parte de la simulación numérica (ALGOR v. 12), se presentó el modelo

discreto de los elementos que integran el amortiguador de impacto, mediante el modelado por

elementos finitos. En la parte experimental se presentó e l diseño y construcción del banco de

pruebas con su sistema de adquisición de datos experimentales para la medición de la fuerza

de impacto provocada por el choque entre el amortiguador y su péndulo. También se presentó

el dispositivo de medición del ángulo del péndulo el cual permite conocer el ángulo de caída

libre del péndulo. Se presentó además el diseño del sensor de medición de la fuerza de

impacto, así como e l banco experimental para determinar las propiedades del módulo de

elasticidad y las constantes de Mooney-Rivlin del caucho. Es necesario mencionar que en este

estudio se obtuvieron, el modelo numérico del amortiguador de impacto, e l diseño del banco

experimental, sus componentes, el sistema de adquisición de datos y la comprobación y

verificación de su aplicación en la medición del problema de impacto.

Con base en los resultados obtenidos mediante la simulación numérica por elemento finito

(ALGOR v.12), se concluyó:

La utilización del programa comercial de elemento finito (ALGOR v.12), confirmó

que es muy versátil y permite obtener información del comportamients del

amortiguador y el péndulo bajo casi cualquier condición. Permite resolver problemas

en estado estable o dependiente del tiempo, lineal o no lineal.

La principal limitación del método del elemento finito radica en la precisión de los

resultados ya que depende de la densidad de elementos utilizados. Cualquier región

con alta concentración de esfuerzos debe ser cuidadosamente analizada mediante un

mallado suficientemente fino para obtener resultados confiables.

104

-- Capitulo 8

El modelo uttilizado mostró tener buen comportamiento en la simulación numérica, y

es de gran ayuda para conocer la distribución de los esfuerzos en el amortiguador de

impacto.

El método del elemento finito ha demostrado ser una buena herramienta en el análisis

de los componentes de elastómeros, que es un material no lineal. Los resultados en los

estudios con elemento finito permiten predecir la respuesta dinámica del caucho.

Para el modelo de Mooney-Rivlin utilizado en la simulación numérica se obtuvieron

dos constantes (ver el apéndice C).

Con los resultados obtenidos en las pruebas experimentales se concluyó que:

Las pruebas experimentales realizadas mostraron un buen comportamiento del banco experimental, de su sistema de adquisición de datos experimentales, sensor de fuerza y

el dispositivo de medición del ángulo del péndulo.

El banco experimental presentado en esta tesis es un diseño universal con posibilidad de muchas aplicaciones en estudio de problemas de impacto.

La prueba de impacto proporcionó información del comportamiento del impacto con

respecto al tiempo. Esta información nos permitió determinar la fuerza máxima, la

duración del impacto, coeficiente de restitución, factor de amortiguamiento y la

energía consumida en el impacto.

La fuerza del impacto es proporcional al ángulo de caída libre del péndulo del banco

de pruebas. Se experimentó con diferentes durezas del caucho y se analizó su comportamiento. Se

observó que presenta diferencias en sus propiedades mecánicas para las mismas

condiciones de impacto. Esto se debe a que la fabricación de estos amortiguadores de cauchos se obtiene de forma empírica. Se calculó el coeficiente de restitución del primer impacto entre amortiguador de

impacto y el péndulo, para diferentes condiciones de ángulo de caída libre del péndulo.

De acuerdo a estos resultados, el coeficiente de restitución se mantuvo con un valor

promedio de e = 0.8462 para las condiciones antes mencionadas.

105

Capitulo 8 Conclusiones y Recomendaciones -

El amortiguador de impacto de material elastómero disminuye el coeficiente de restitución. Esto se debe a que el caucho puede absorber mayores cambios de volumen

y por consiguiente mayor energía durante el impacto.

Se calculó el factor de amortiguamiento del amortiguador de impacto, para diferentes

condiciones de ángulo de caída libre del péndulo. Se observo que el factor de

amortiguamiento de mantuvo un valor promedio de <= 0.0532 para las mismas

condiciones de impacto.

A continuación se presenta las aportaciones de este estudio al cenidet, las cuales fueron las

siguientes:

I. Se logró un método de simulación del comportamiento del amortiguador de impacto

elastómero mediante el cálculo por elemento finito, de tal forma que se puede conocer

la respuesta carga-desplazamiento que posee una determinada geometría sin necesidad

de tener un prototipo fisico.

2. Se desarrolló una metodología para el análisis de amortiguadores de impacto utilizando

el método del elemento finito y pruebas experimentales.

3. Se caracterizó el comportamiento mecánico del caucho, desarrollado por el modelo

teórico de Mooney- Rivlin.

4. Se diseñó y construyó los bancos de pruebas para la realización de pruebas de impacto,

prueba para determinar la sensibilidad del sensor de fuerza (ver apéndice A) y prueba

para determinar las propiedades del caucho y constantes de Mooney-Rivlin (ver

apéndice C). El banco de pruebas de impacto utilizado tiene la capacidad de indicar la

posición en la que se encuentra el péndulo y medir la energía producida antes y

después del impacto.

5. Se diseñaron, fabricaron y calibraron los siguientes componentes utilizados en el banco experimental: un sensor de fuerza de 30.3 kN basado en extensóinetria eléctrica (ver

apéndice A), y un medidor y posicionador de ángulo del péndulo de la máquina

Charpy (ver apéndice B).

106

Capitih 8

A continuación se presentan las aplicaciones de este estudio sobre amortiguadores de material

elastómero.

Aislamiento sismico.

Aislamiento de vibración.

Aislamiento de ruido.

Suspensión automotriz.

Defensas de vehículos.

Etc.

Suspensiones de motores eléctricos con arreglos de flexibilidades.

Limitadores de piezas en movimiento.

Recomendaciones para trabajos futuros:

I . Se sugiere cambiar la geometría del amortiguador de impacto cónico por un

amortiguador de impacto con superficie plana, para evaluar el comportamiento del

contacto plano en el impacto.

2. Se sugiere utilizar otros modelos teóricos para caracterizar el comportamiento del

caucho. Por ejemplo el modelo de Ogden representa un mejor a.juste de las ecuaciones

constitutivas del material, dicho modelo es aplicable para cualquier tipo de dureza y

cualquier grado de deformación, aunque esto no descarta que en ciertas ocasiones se

puedan utilizar otros modelos.

3. Se propone utilizar un medidor de ángulo comercial ó rediseñar el medidor de ángulo

propuesto en esta tesis.

4. Se recomienda diseñar diferentes sistemas de sujeción del sensor de fuerza, para probar

experimentalmente otros amortiguadores de impacto de diferente geometría. 5. Se recomienda desarrollar un programa para predecir la fuerza del impacto en este tipo

de materiales viscoelásticos, y también que incluya las condiciones de temperatura, ya

que esta condición afecta en gran medida el funcionamiento optimo del caucho.

107

Capíiulo 8 Conclusiones y Recomendaciones ___I

6 . Se recomienda promover el 'banco de pruebas a la industria cuyo propósito sea la

verificación y calibración de amortiguadores de impacto.

La comparación de los datos obtenidos del análisis por elemento finito con los resultados

experimentales, se muestra que los porcentajes de desviación porcentual son relativamente

pequeños, lo que indica una buena consistencia entre los dos métodos utilizados. Entre las

ventajas de utilizar la simulación numérica, es el hecho de que en un momento dado se puede

reemplazar una prueba real por la simulación, reduciendo costos en uso de equipos y

materiales en el laboratorio.

IO8

Conclusiones y Recomendaciones Cnpiiulo 8 I -

6. Se recomienda promover el banco de pruebas a la industria cuyo propósito sea la

verificación y calibración de amortiguadores de impacto.

La comparación de los datos obtenidos del análisis por elemento finito con los resultados

experimentales, se muestra que los porcentajes de desviación porcentual son relativamente

pequeños, lo que indica una buena consistencia entre los dos métodos utilizados. Entre las

ventajas de utilizar la simulación numérica, es el hecho de que en un momento dado se puede

reemplazar una prueba real por la simulación, reduciendo costos en uso de equipos y

materiales en el laboratorio.

108

Apéndice A

Apéndice A

A- DISENO Y CONSTRUCCI~N DEL SENSOR DE FUERZA. A.1- DISENO DEL SENSOR DE IMPACTO.

A continuación se presenta el diseño del sensor de fuerza. El material que fue utilizado para la

construcción del sensor es aluminio 6061, con un esfuerzo de fluencia de u,,= 240 MPa y un

módulo de elasticidad de E = 70 GPa (Shigley, 1990). Considerando el caso en el que uno de

los extremos del sensor esta fijo y el extremo libre esta sometida a una carga dinámica, ver

figura A . l , en la figura A.2, se presenta el modelo discreto por elemento finito del sensor de

fuerza.

Base

Fuerza -t-- dinámica

Sensor de fuerza

Figura A.I. Sensor de fuerza.

K2 K3

Fdui 2 4 1

Figura A.2. Modelo discreto del sensor de fuerza

109

-------- ~- . . . ~.. ~~

Apéndice A -- Por lo que el primer paso fue determinar la carga de impacto máxima a la cual puede estar

sometido el sensor. El peso del péndulo es de 23.2 N y la altura de caída libre del péndulo de

0.05 (altura mínima de las pruebas de impacto). Las dimensiones del sensor de fuerza, se

presentan en el apéndice D.

Datos: Sensor de fuerza de Aluminio 6061: E = 70 GPa (Modulo de Elasticidad) L = 84 mm = 0.084 m (Longitud) D = 40 mm = 0.04 m (Diámetro exterior) d = 9.52 mm = 0.00952 in (D. Interno) d i = 25 mm = 0.025 (Diámetro medio) h = 50 mm =0.05m (altura)

Se determinan las constante de rigidez total del sensor de fuerza. Determinar constante de

rigidez Ki y área Ai

n ( D ’ - d * ) - ~(0.019’ -0.00952’) =2,,23x10-4m2 - 4 A, =

4

9N K’=d= 0.012 m

= 1.238~10 - AE 2.123~1 04(70xl 0’)

Determinar constante de rigidez K2 y Az.

nD’ - ~ ( 0 . 0 2 5 ’ -0.009522) = 4 , 9 0 1 6 x 1 0 - 4 m 2

4 A, = T -

A,E 4 . 9 0 1 6 ~ 1 0 ~ ( 7 0 ~ I 0 ~ ) = 6 8 6 , 2 2 x l o 6 - N - - 0.050 m K , =- L’

Determinar constante de rigidez K3 y A3.

Z(D’ - d 2 ) - n(0.0402 -0.00952’) =1~1854x10-3mz - 4 4 A, =

(A-3)

(A-4)

(A-5)

I I O

Apéndice A I_ ___p

= W [ I + F) I +- ~ 2 3 . 2 1 [ I + ,/m)=30310.40N I + se,, 53726x1 O-* (A-IO)

Aplicando el método de elemento finito se puede determinar las microdeformaciones en el

lugar donde se pegaran los extensómetros. Basándose en la figura A.2, las condiciones de

frontera son las siguientes:

C = O , F2=0, Fj=O, F4= 30310.40 N, K/= 1 . 2 3 8 ~ 1 0 ~ N/m, K2= 6 8 6 . 2 2 ~ 1 0 ~ N/m,

Kj= 3.77~1 O9 N/rn

La matriz global del cisterna es:

- Kl O O

- K , K , + K , O O - K ,

(A- I I )

Sustituyendo los valores y resolviendo el sistema de ecuaciones:

1.238~1 O’ - 1.238~1 O’ O O Fl -3.;xiO’][]

- 1.238~1 O’ 1.924~1 O’ - 686 .22~10~ O - 686.22~1 O6 4 .45622~10~

\30:0.4j = I O O -3.77 3.77~10’

LOS desplazamientos y deformaciones obtenidos son:

UI = o El = o

u, = 6.869~1 O-’m LZ uZ = 2.4499~10-~m ‘2 2’4499x10-’ 2 , 0 4 0 ~ ~ 0 ~ ~ = 2040p(~

€2 =- = o,o12

€3 =- = o,o62 ‘3 6’869x10-5 = 1 , I 07x1 O-3 = 1 I07p1~ uq = 7.673~1 O-’m L3

Apéndice A

Para determinar las microdeformaciones en el lugar donde son colocados los extensómetros

se hace una interpelación con los valores presentados en la figura A.3.

0 4 1 O 8 16 24 '32 40 40 56 64 72 80

Longitud del sensor de impacto (mm)

Figura A.3. Gráfica de longitud del sensor contra desplazamiento

Los extensómetros estarán colocados a una distancia de 37 mm, con respecto al origen, las

deformaciones que se obtienen en ese punto son: A una distancia de 37 mm del sensor de

fuerza se encontró un desplazamiento de u,= 4 .815~10-~ m por lo que la microdeformacion

en ese punto del sensor de fuerza es:

(A-12)

De esta forma, las microdeformaciones calculadas en el lugar donde se ubican los extensómetros, están dentro del intervalo sugerido por Measurement group (1988): por Iú que

se consideró aceptable el diseño del sensor de fuerza.

1 I3

Apdndice A

A.3- SENSOR DE FUERZA BASADO EN EXTENSOMETRh

El sensor de fuerza, se bas0 en extensómetria eléctrica. El sensor es un elemento flexible de

aluminio, ver figura A.4.

T S e n s o r de Impacto

Figura A.4. Ubicación de los extensómetros en el sensor de impacto

Se utilizaron extensómetros de la marca Micro-Measurements de Measurements Group Inc.,

comercializada en México por Micromedidas S.A. de tipo N2A-I 3-T004R-350. La conexión

es de puente completo como lo indica la figura AS. Los extensómetros marcados con T, son

sometidos a tensión y los extensómetros marcados con C son sometidos a compresión.

Figura AS. Diasrama de conexiones del puente de extensómetros.

I I4

Apéndice A

Cubierta protectora

Ejes de referencia

Figura A.6. Esquema de un extensómetro típico utilizado para la medición de deformaciones

El esquema de un extensómetro es most’rado en la figura A.6. El extensómetro está constituido

básicamente por un conductor que forma una rejilla, esta se forma por laminillas impresas de

un material el cual tiene un espesdr de 0.0025 a 0.0005 mm aproximadamente. El

extensómetro debe tener pequeñas terminales, las cuales sobresalen al encapsulamiento. En

ocasiones las terminales son placas de cobre o tienen terminales integradas de cobre de

circuitos impresos incorporados, para hacer el pegado de las terminales más convenienta. El

alambre usado en el extensómetro debe ser muy fino o delgado de tal forma tenga una

resistencia eléctrica alta, (Estrada, 1993). El pegado de extensómetros en el sensor de fuerza,

se realizó de acuerdo al procedimiento y técnica de instalación presentado en el boletin de

instrucciones “Instruction Bulletin B-I 27-14” de Measurement Group, Vishay. La soldadura

de las terminales de los extensómetros se realizó de acuerdo al procedimiento de soldadura

presentado en el boletín de instrucciones “Tech Tip TT-609” de Measurement Group, Vishay.

A.4- DETERMINAR LA SENSIBILIDAD DEL SENSOR DE FUERZA BASADO EN

EXTENS~METRIA.

Para determinar la sensibilidad del sensor de fuerza basado en extensometría se utilizó un

mecanismo basado en una viga empotrada en uno de sus extremos como lo indica la

figura A.7, y en el extremo contrario el sensor de fuerza el cual cumple la función de generar 115

una fuerza de reacción a un movimiento vertical producido por la máquina fresa copiadora.

Para determinar la sensibilidad del sensor de fuerza se utilizaron los siguientes instrumentos

de medición y materiales:

Módulo amplificador modelo 2310, marca Vishay Intruments. Multímetro digital marca LG modelo DM-3 12 Viga de acero de 6.35 x I .5 cm

Dos bases magnéticas Dos indicadores de carátula, marca Mitutoyo

Fresadora copiadora como banco de pruebas.

Figura A.7. Sistema de medición, para determinar la sensibilidad del sensor de impacto basado en extensómetria. (I)-Sensor de fuerza, (2)-Viga de acero, (3) y (il)-lndicadores de carátula, ( 5 ) - Bases magnéticas, (6)- Amplificador modelo 2310, (7)- Multimetro digital.

A continuación se presenta el procedimiento de calibración de la sensibilidad del sensor de

fuerza.

Se fija el sensor de fuerza ( I ) a la mesa deslizante de la fresa copiadora, como se

muestra e n la figura A.6. La mesa deslizante solamente se de5plaza en direrción

vertical.

Se fija la viga en empotramiento (2) a la mesa deslizante de la fresa copiadora,

manteniendo fija esta mesa.

116

Apéndice A - Se fijan las bases magnéticas (5) sobre la mesa fija de la fresa copiadora. En los extremos libre de la extensión de la base magnética se fijan los indicadores de carátula.

Un indicador de carátula es colocado en la parte final de la viga (3) y el otro indicador

en la mitad de la viga (4).

Se conecta el sensor de impacto al canal 9 del modulo amplificador de señal modelo 23 I O (6) y se ajusto el voltaje de excitación a 1 O Volts con una ganancia de 1000.

Se conecta el multimetro (7) al canal de salida del modulo amplificador, para registrar

los voltajes de salida en funciónde la fuerza de compresión.

Se ajustan las carátulas del indicador a cero, hasta hacer contacto con el sensor de

fuerza. Realizando todas las conexiones, se empieza a mover la placa deslizante de la fresa

copiadora y se van registrado las señales de voltaje y desplazamientos obtenidos con el

multímetro e indicador de carátula.

Se realizan seis pruebas con las ,mismas condiciones. La grafica A.2, se Presenta la

curva de sensibilidad promedio, para las condiciones antes mencionadas.

.

Para determinar la fuerza aplicada al sensor de fuerza, producida por la flexión de la viga se da

una explicación detallada: se dice que una'estructura o elemento mecánico es rígido cuando no

se deforma, flexiona o tuerce demasiado, al aplicársele exteriormente una fuerza' un momento

flexionante o una torsión. Pero si el desplazamiento debido a la perturbación externa es

grande, entonces se dice el elemento es flexible. Un método llamado teorema de Castigliano

ofrece un procedimiento de análisis de la deflexión fuera de lo común, poderoso y, a menudo,

sorprendentemente simple, El teorema de Castigliano expresa que cuando actúan fuerzas sobre

sistemas elásticos sujetos a pequeños desplazamientos, el desplazamiento corresponde a una

de ellas, colineal con la fuerza, es igual a la derivada parcial de la energía de deformación total

con respecto a esa fuerza. El teorema de Castigliano se expresa en forma matemática como,

Shigley (1990).

au ' aF; 6.=- (A-12)

I I7

- Apéndice A

Donde 6, es el desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza e , en la dirección de esta.

Para el caso de una viga en voladizo la deflexión puede ser determinada por la ecuación:

(Shigley, 1990).

FI - Y,, -- 3EI (A- 13)

Donde: 8 4 I = Momento de inercia = 1.7859 x 10- m

1 = Longitud de la viga = 0.20 m , h = altura de la viga = 0.01 5 m 1

b = Base de la viga = 0.0635 m

y,,,, = Deflexión máxima (m)

E = Modulo de elasticidad = 207 GPa

F = Fuerza (N)

Despejando la fuerza F, de la ecuación ' A-13, del teorema de Castigliano nos queda de la

siguiente forma:

(A-14)

VISTA FRONTAL VISTA LATERAL

Figura A.8. Esquema de la viga en voladizo, con una fuerza en el extremo, la figura muestra la deflexion de la viga en voladizo.

En la tabla A. l , se presenta los resultados de la prueba para determinar la sensibilidad del sensor de fuerza.

1 I8

a U a -0.5 3 -

-1 ’- 9 z 2 -1.5 P = E m .- a a -2

E -2.5 a In

O

a O L

-3 J ~~ 1 . L . ~ .......... ,_ I...: ..... ......... I . . . . .

Fuerza normal (N)

-promedio de las

Figura A.9. Calibración experimental del sensor de impacto basado en extenrómetria

Basándose en la figura A.9, de la zona lineal se obtiene la sensibilidad del sensor de fuerza

basado en extensometria: -0.0002 V N . La ecuación de la recta es: -0.0002X - 0.0276, se

obtiene la sensibilidad (-0.0002 VN) , y el valor de Buckout que es de -0.0276 V. Este valor se

declara en la ventana de los parámetros de ajuste de sensibilidad del programa del analizador

de espectros.

1 I9

Apéndice B

B. DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DEL MEDIDOR DEL A'NGULO

DE IMPACTO. B.I- CIRCUITO ELECTRONICO PARA DETERMINAR EL ÁNGULO DE IMPACTO

DEL PÉNDULO.

El circuito electrónico utilizado esta conformado por un foto-transistor, el cual se encuentra

colocado sobre el péndulo y recibe la señal de un led infrarrojo, que se localiza en una placa

colocada a un constado del péndulo de la máquina de impacto ver la figura B.1.

Figura B.l. Esquema del foto-transistor y led-infraFojos, localizados en el péndulo de la máquina de impacto Charpy.

La resistencia Ri (70 m), ajusta la sensibilidad del foto-transistor y las resistencias R2, R3,

R4, R5, R6, R7, R8 (2 ksL) sólo tienen la función de disminuir la corriente en los led

infrarrojos. La resistencia R9 (8 kQ) , ajusta la señal baja a cero, un mayor valor en esta

resistencia aproxima más la señal bajo cero. Pero si es demasiada suprime la señal aita. El potenciómetro PI ( I O m), es un divisor de,voltaje y tiene el propósito de ajustar el umbral

120

Apéndice 8

indicado en la terminal 3 del comparador de voltaje. El circuito integrado LM311P es un

comparador de voltaje, manda una señal escalón cada ocasión que el voltaje de la terminal se

aproxima al de la terminal 3. Este circuito se baso en el empleado por Martinez (i999), con

algunas modificaciones. El circuito electrónico del foto-transistor y los led infrarrojos es

acopla al analizador HP3566A, y es indicado en la figura B.2.

I

Figura 8.2. Circuito electrónico, utilizado para determinar la posición del péndulo para un determinado ángulo.

121

Se puede apreciar en la figura B.4, el voltaje de salida del potenciómetro con respecto a la

altura del péndulo de la máquina Charpy, la altura es con respecto a la línea de impacto entre

el amortiguador de caucho y el péndulo. En la figura B.3, se presenta la ubicación del medidor

de ángulo, el cual esta formado por, un potenciómetro y un acoplado el cual conecta el

potenciómetro con el péndulo. I

O 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

I 1 Voltaje de salida (V) I

Figura 6.4. La gráfica muestra la altura del péndulo con respecto a la línea de impacto contra el voltaje de salida del potenciómetro.

B.3- RELACIÓN DE VOLTAJE YÁNGULO DEL POTENCIOMETRO.

La relación de voltaje y ángulo del potenciómetro de forma numérica. es determinado por el

ángulo de acuerdo con el voltaje de entrada y de salida: Ames Rally (1991).

Datos: V =

Vo = Volta.je de entrada a = Angulo de salida

ao= Angulo total = 300"(rados)

Voltaje de salida = 9 V

1 I Voltaje de salida del potenciómetro:

123

-e v =

Angulo de salida. I

B.4- CALIBRACIÓN EXPERIMENTAL DEL MEDIDOR DE ANGULO.

I24

Apéndice A

~ 0.7

0.6

% 0.5 0 2 0.4

0.3

-

al

O

.- 9 0.2 ’ 0.1

l o O 5 10 15 20 25

Angulo de caida del pendulo (Deg)

-Lineal (Seriel)

Figura B.5. Calibración experimental del potenciómetro

Basándose en la figura B.2, de la zona lineal se obtiene la sensibilidad del potenciómetro,

medidor del ángulo: 0.029371 V/Grados. De la ecuación de la recta Grados = 0.029371 X. Este

valor se declara en la ventana de los parámetros de ajuste de sensibilidad del programa del

analizador de espectros.

125

Apéndice B

O 5 10 15 20 25

Angulo de caida del pendulo (Deg) I

Figura B.5. Calibración experimental del potenciómetro

Basándose en la figura B.2, de la zona lineal se obtiene la sensibilidad del potenciómetro,

medidor del ángulo: 0.029371 V/Grados. De la ecuación de la recta Grados = 0.029371X. Este

valor se declara en la ventana de los parámetros de ajuste de sensibilidad del programa del

analizador de espectros.

125

Apéndice C -

Apéndice C

c . DETERMINACI~N EL MÓDULO DE ELASTICIDAD Y

R E L A C I ~ N DE POISSON DEL CAUCHO Y CONSTANTES DE

MOONEY RÍVLIN.

c.1- MODULO DE ELASTICIDAD Y R E L A C I ~ N DE POISSON.

Existen muchas técnicas experimentales que se pueden emplear para medir la deformación.

Por consiguiente, si se sabe qué relación hay entre el esfuerzo y la deformación, es posible

calcular el estado de esfuerzo en un punto, después de medir el estado de deformación,

(Shigley, 1990). El grado de elongación recibe el nombre de deformación, y se define como el

alargamiento producido por unidad de longitud original del tope de caucho. La elongación

total se llama deformación total.

6 I

E = -

Donde 6 es el elongación total (deformación total) del tope de caucho de longitud original 1.

La elasticidad es la propiedad por la que un material puede recobrar su forma y dimensiones

originales cuando se anula la carga que lo deformaba. La ley de Hooke establece que, dentro

de ciertos limites, el esfuerzo en un material es directamente proporcional a la deformación

que lo produce. Para la condición de que el esfuerzo sea proporcional a la deformación, se

puede escribir la relación:

Donde la constante E se llama módulo de elasticidad (longitudinal). y o es el esfuerzo. Los

experimentos muestran que, cuando un cuerpo se somete a tensión o compresión, no solo se le producirá una deformación axial (alargamiento), sino también lateral (estrechamiento).

126

Apéndice C - Poisson demostró que estas dos deformaciones son proporcionales entre sí, dentro de los

límites de la ley de Hooke. Esta constante se expresa como.

u =-6, I E, (C-3)

Y se conoce por la relación de Poisson. Estas mismas relaciones se verifican para la

compresión pero en este caso se produce una deformación lateral de ensanchamiento.

(Shigley, 1990). Estas tres constates elásticas están relacionadas entre sí como sigue: donde G es el modulo de rigidez.

E = 2G(1 +U) (C-4)

C.2-RESISTENCIA A LA COMPRESI&.

La resistencia a la compresión es la fuerza necesaria para aplastar un material, y se define

mediante la siguiente expresión: r r A <r=- (C-5)

La resistencia a la compresión se puede calcular dividiendo la fuerza de compresión (F)

máxima en Newton por el área del material (A) en metros cuadrados; así, el resultado se

obtiene en pascales. La resistencia a la compresión, o capacidad de una muestra para resistir

cargas de aplastamiento, se mide aplastando una muestra cilíndrica segun la norma ASTM-

D695. La resistencia a la compresión máxima es igual a la carga que causa rotura del material

dividida por la sección transversal mínima. Puesto que hay muchos materiales que no se rompen en compresión, se registran normalmente las resistencias que cawan una deformsción

determinada, (Raimond, 1998)

127

Apéndice C -- C.3- CONSTANTES DE MOONEY- RWLIN.

Con la prueba de compresión se pueden determinar las propiedades del caucho, así como las

constantes de Mooney-Rivlin. El modelo matemático es expresado como:

u = 2(C, + c, / A ) ( & I//?)

donde:

a = & + i

Por medio del diagrama esfuerzo deformación se pueden obtener las constantes de Mooney-

Rivlin C I y CZ. La ecuación (C-6) puede manipularse para tomar la forma siguiente.

0 = C , L + c,

Que es análogo a una expresión lineal de la forma:

Donde m es la pendiente, que corresponde a la segunda constante de Mooney-Rivlin C2; y b es

la intercepción d e y que corresponde a la primera constante de Mooney-Rivlin CI . En la

grafica el valor de A;' le corresponde la abscisa (x) y el valor de 7e11 le corresponde

la ordenada (y). (Lee, 1996).

128

Apéndice C - ~

C.4- PROCEDIMIENTO DE LAS PRUEBAS.

Para la realización de esta prueba se utilizó el siguiente material e instrumento de medición:

Cuatro bases magnéticas

o

Modulo amplificador modelo 2310, marca Vishay Intruments.

Multímetro digital marca LG modelo DM-3 12

Viga de acero de 20.5 x 1.9 cm.

Cuatro indicadores de carátula, marca Mitutoyo

Fresadora copiadora como banco de pruebas

Figura C.1. Esquema general del banco de pruebas para determinar el modulo de elasticidad y las constantes de Mooney-Rivlin C, y Ci. Componentes: ( I ) - Sensor de fuerza, @)-viga de acero de (20.5 x 1.9) cni. y 12 cm. de longitud, (3,4, 5,6)- lndicadores de carátula, (7)- Multímetro digital, (8)- Probeta de caucho. (9)- Amplificador modelo 2310 y (10)- Base magnéticas.

A continuación se presenta el procedimiento de las pruebas para encontrar el modulo de

elasticidad, relación de Poisson y las constantes de Mooney-Rivlin (Ci y C2):

Se fija el sensor de fuerza ( I ) a la mesa deslizante de la fresa copiadora, como se

muestra en la figura C.I. La mesa deslizante solamente se desplaza en dirección

vertical.

129

Apéndice C ~ -

.

o

Se coloca la probeta de caucho (8) entre el sensor de fuerza (1) y la viga en voladizo,

para garantizar una compresión cuando la mesa deslizante se desplace en forma

vertical.

Se fija la viga en empotramiento (2) a la mesa deslizante de la fresa copiadora,

manteniendo fija esta mesa.

Se fija una de las bases magnéticas (10) sobre la mesa fija de la fresa copiadora, y en el

extremo de la viga se coloca el indicador de carátula, la otra base magnética es fijada

sobre la mesa fija y el indicador de carátula es colocado sobre la mesa deslizante que

se desplaza en dirección vertical ver figura C. I .

Se conecta el sensor de fuerza al canal 9 del modulo amplificador de señal modelo

23 I O (6) y se ajusto el voltaje de excitación a 1 O Volts con una ganancia de 1000.

Se conecta el multímetro (7) al canal de salida del modulo amplificador, para registrar

los voltajes de salida en función de la fuerza de compresión.

Se ajustan las carátulas del indicador a cero, hasta hacer contacto con el sensor de

fuerza.

Se coloca un indicador de carátula (3) encima de la viga empotrada, donde se mide la

deflexión de la viga a causa de la fuerza de reacción provocada por el sensor de fuerza.

Se coloca un indicador de carátula (4) sobre la mesa deslizante el cual indica el

desplazamiento vertical del caucho al ser comprimida entre el sensor de fuerza y la

viga empotrada.

Los indicadores de carátulas (5 y 6) son colocados a 90" uno respecto a otro, x tos

indicadores tienen la función de medir los desplazamientos horizontales del caucho.

Realizando todas las conexiones, se empieza a mover la placa deslizante de la fresa

copiadora y se van registrado las señales de voltaje y desplazamientos obtenidos con el

multímetro e indicador de carátula.

Se realizan seis pruebas con las mismas condiciones.

I30

Apéndice C L

Figura C.2. Banco de pruebas utilizado para determinar las propiedades del caucho.

C.5- RESULTADOS DE LAS PRUEBAS DE COMPRESíÓN

Los ensayos de compresión unixial se realizan como indica la norma de ensayo de elastómero

a compresión. Para ello se toman probetas de 12.5 mm de espesor y 29 mm de diámetro (ver la

figura C.3). Esta prueba experimental se utiliza una probeta de caucho con rango de dureza de

55 y 70 Sh A, en el que se encuentran comprendidas las diferentes piezas de caucho que posee

el conjunto amortiguador de un vehículo (Robotiker, 2002). En la tabla C.1, se presentan los

resultados experimentales de las pruebas de compresión del caucho.

Probeta de caucho

Figura C.3. Probetas de caucho dimensiones en milimetros

131

Apéndice C

a-’ Deformación(&) Esfueno ( O ) Elongación ( 1) Vertical ( a = F I A ) (1 = & + I ) i m W

Tabla C.1. Resultados de la prueba de compresión del caucho

O/[2(a-,r2)]

Sustituyendo los datos obtenidos en la tabla C.1 en las ecuaciones C.1, C5, C7 y C8, se

obtienen los valores de deformación, esfuerzo y alargamiento principal ver la tabla C.2.

Tabla C.Z. Resultado de la prueba de compresión, en la cual se obtienen los siguientes resultados,

En la figura C.4, se muestra la curva esfuerzo-deformación de la prueba de compresión de la

probeta de caucho y en la figura C.5, se aprecia la curva de fuerza-desplazamiento para la

prueba de compresión.

132

Apéndice C - - ~

Tabla C.1. Resultados de la prueba de compresión del caucho.

Sustituyendo los datos obtenidos en la tabla C.1 en las ecuaciones C.1, C5, C7 y CS, se

obtienen los valores de deformación, esfuerzo y alargamiento principal ver la tabla C.2.

Tabla C.2. Resultado de la prueba de compresión, en la cual se obtienen los siguientes resultados

En la figura C.4, se muestra la curva esfuerzo-deformacion de la prueba de compresión de la

probeta de caucho y en la figura C.5, se aprecia la curva de fuerza-desplazamiento para la

prueba de compresión.

I32

Apéndice C

05 O 0.1 o. 2 0.3 0.4 Q e g i l ~ ~ l n i a l t o (iiil

Defoii>blíbii

Figura C.4. Grafica esfuerza vs deformación c.s. Grafica Fuerza vs desplazamiento,

En la figura C.6, se aprecia la ecuación de la recta Y = -2096366.76X + 4394542.25, que

corresponden a las constantes de Mooney- Rivlin. El valor de 4394542.28 corresponde a la

primera constante de Mooney-Rivlin y el valor de -2096366.76 corresponde a la segunda

constante de Mooney-Rivlin.

a-

Figura C.6. Las constantes de Mooney-Rivlin corresponden a la ecuación de la recta Y = -2096366.76X + 4394542.28, para una prueba de compresión.

133

Apindice C - La obtención de la de relación de Poisson se llevó a cabo utilizando la ecuación C.3; en la

tabla C.3, se muestran los resultados obtenidos de deformación axial y deformación

transversal de la prueba de compresión de la probeta de caucho.

U Relación de

Poisson

0.5

Tabla C.3. Relación de deformación axial y deformación transversal

ci c2 Constante de Constante de

Mooney- Mooney Rivlin Rivlin (N/m2) (N/m2)

4394542.28 -2096366.76

Deformación(Ea ) Deformación(E[ )

(E, , = A l / l > ( E , = A l l D ) Axial Transversal

Tabla C.4. Resultados de las pruebas experimentales

Área de la Modulo de probeta elasticidad

( N / d )

6.605 x 10- 131 83387.40

La tabla C.4, muestra los resultados experimentales de las pruebas de compresión del caucho,

encontrando un módulo de elasticidad de 131 83387.40 N/m2 y una relación de Poisson de 0.5.

El caucho puede absorber mayores cambios de volumen y por asociación mayor energia. Las

constantes de Mooney- Rivlin obtenidas en esta investigación fueron verificadas en la

literatura, para pruebas de compresión encontrando que s i se reporta constantes con valor

negativo, como por el ejemplo en el articulo de Feng, (1986) quien presenta un análisis sobre

las ecuaciones constitutivas de incompresibilidad del caucho para una prueba de compresión,

utilizando las técnicas del método del elemento finito. I34

Apéndice D

Apéndice D

D-PLANOS TECNICOS.

En Apéndice D se muestran los planos técnicos, de los elementos que integran el diseño de los componentes del banco experimental.

1 NO. DE PLANOS I TITULO I I Sensor de fuerza 2 I Amortiguador de impacto 3 r4-

I35

lluminio 60

Sensor de fuerza

Apéndice D

.. x

I

137

I Material aluminio 6061 cenidet

Fecha 18107L2003

Ing Piem Espino R . m h Dr I'ariusz Smedowicz

Escala 1 1 C o b (mnl (Pig)

Union del potenciometro No 03

Apéndice D -

_.

I_/

u I I co?

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