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cenidet

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Departamento de Ingeniería Electrónica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

“Simulación y Validación Experimental de un Control No Lineal Aplicado a un Efector Reproduciendo algunos Movimientos de la

Mano”

presentado por

Cornelio Morales Morales Ing. en Electrónica por el I. T. Superior de Tantoyuca

como requisito para la obtención del grado de: Maestría en Ciencias en Ingeniería Electrónica

Director de tesis: Dr. Marco Antonio Oliver Salazar

Cuernavaca, Morelos, México. 18 de Abril de 2008

Dedicatoria

Dedico mi trabajo de tesis a Dios porque sin su apoyo no me hubiera sido posible llegar hasta estos momentos de mi vida. La dedico a Él por ser el creador de todo, por ser fiel, amoroso y misericordioso conmigo al haberme perdonado todas mis faltas y haberme dado la vida eterna. Por todo eso y más, mil gracias por ser mi compañía siempre. A mi madre, Lidia Morales por ser la persona que siempre me ha acompañado en todo momento y circunstancia de mi vida, que ha hecho de mí un hombre de bien, digno y lleno de valores por la familia y de superación diaria. A mi padre, Lucio Morales por brindarme parte de mi formación y superación diaria. A mi hermana, Josefa Morales por su apoyo en momentos difíciles y por comprenderme siempre, por darme su amor y sobretodo por ser parte de mi vida, te quiero hermana. A mi hermano, Pedro Morales por brindarme toda su confianza y apoyo desde siempre por seguir superándome en mi formación profesional, pero sobre todo por ser parte de mi familia y estar siempre conmigo, te quiero hermano. A mi hermana, Lucia Morales por mostrarme lo valioso que es estar juntos y unidos queriéndonos como hermanos, pero sobre todo por estar siempre conmigo hermana, te quiero. A mi hermana, Xochitl Morales por brindarme momentos de alegría y entusiasmo por seguir adelante, y sobre todo por ser mi hermanita, te quiero hermana. A mi hermano, Lucio Morales por quererme tal como soy y por brindarme toda su confianza, por los momentos que hemos estado juntos hermano te quiero. A la familia Díaz González por adoptarme como un miembro más de su familia, por darme su amistad, amor, tiempo, motivación, consejos, pero sobre todo por quererme como un hijo más. Los quiero familia.

Agradecimientos

Agradezco grandemente a Dios por ayudarme a terminar un ciclo más de mi vida profesional y por darme la oportunidad de conocerlo, gracias Dios, a ti debo todo lo que soy y tengo, mi vida la dejo en tus manos. A mi familia agradezco por su comprensión y apoyo en mis decisiones en esta etapa de mi vida en la que decidí continuar con mis estudios de posgrado. Gracias familia por estar siempre conmigo Pedro, Xochitl, Lucy, Lucio y Josefa. A mi mama Lidia de una manera muy especial le agradezco todo su apoyo y a mi padre Lucio gracias. Por el apoyo y la amistad brindada agradezco al Dr. Marco Antonio Oliver Salazar, por su paciencia, por compartir sus conocimientos y por estar exhortándome en todo momento para realizar este trabajo, gracias. Al comité revisor doy gracias por todas las observaciones y correcciones que me hicieron para enriquecer este trabajo. A mis profesores les agradezco por compartirme sus enseñanzas, conocimientos y dedicación que hicieron posible mi formación. A mis amigos y hermanos en Cristo Pedro, Raúl, Mayeli, Eugenia, Pilar, José Diabb, Rita, Pina, Miguel Ángel, Ranulfo, Graciela, Francisco, Efraín, Betancourt y Vicky, doy gracias por brindarme en cada momento una palabra de aliento cuando más lo necesitaba. Y agradezco también a cada uno de los miembros de mi iglesia por brindarme su amistad. A mis compañeros y amigos de CENIDET gracias por permitirme convivir con cada uno de ustedes, Adriana, Dana, Leonel, Gisela, Toy, Diego, Jorge Luís, Isaura, Eber, Fabio, Cancino, Orlando, Marcos, José, Iván y a los que no mencioné también agradezco. A todos aquellos quienes, a pesar de estar lejos, me brindaban su cariño y amistad. Agradezco a CONACYT y DGEST por el apoyo económico brindado, pues sin él no hubiera enfocado mi tiempo completo a la maestría y no sería posible hoy mi titulación. Finalmente, agradezco al Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico por haberme permitido superarme.

Resumen

Este documento presenta el desarrollo de la tesis titulada “Simulación y Validación Experimental de un Control No Lineal Aplicado a un Efector Reproduciendo Algunos Movimientos de la Mano”. Partiendo de lo mencionado anteriormente y contando con un prototipo de mano robot (mano CENIDET) se desarrollaron los modelos matemáticos cinemático directo, cinemático inverso y dinámico. El modelo cinemático se obtuvo mediante matrices de transformaciones homogéneas y el modelado dinámico mediante el formalismo de Euler-Lagrange. Con apoyo del modelado cinemático directo se determinó el espacio de trabajo de la mano CENIDET de forma que ésta no alcanzara posiciones anatómicamente inviables. También con ayuda del modelado dinámico se facilitó el desarrollo de controladores. Para adquisición de datos, monitoreo y control de las señales eléctricas se diseñaron y configuraron tarjetas de potencia y tarjetas de recolección de información. También se emplearon las tarjetas comerciales PCI 7833R y bloques de conectores SCB-68 de la marca National Instruments. Todo esto para facilitar la interacción entre el prototipo de mano CENIDET y el operador. El desarrollo de las pruebas de los controladores (PID, PD+G y CBP) tanto en simulación, así como su implementación en laboratorio permitieron la comparación de los respectivos controladores. El control basado en pasividad resultó ser el mejor controlador en aplicaciones donde la precisión resulte relevante cuando se busca el control de posición.

Abstract

This document presents the development of the thesis entitled “Experimental Simulation and Validation of a Non Linear Control Applied to an Effect Reproducing Some Hand Movements”.

Starting from what has been previously mentioned, and counting with a hand robot prototype (CENIDET hand) the mathematic models cinematic direct, cinematic inverse and dynamic were developed. The cinematic model was obtained through matrices of homogeneous transformations and the dynamic modelling through the conventionalism of Euler-Lagrange.

With the support of the direct cinematic modelling was determined the working space of the CENIDET hand so that it wouldn’t reach positions anatomically impossible. Also with help of the dynamic modelling was facilitated the development of controllers.

For the acquisition of data, check and control of the electric signs, were designed and formed power cards and compilation of information cards. The commercial cards PCI 7833R and groups of connectors SCB-68 of the National Instruments trademark were used as well. All this to make easier the interaction between the CENIDET hand prototype and the operator.

The development of the controllers’ proofs (PID, PD+G y CBP) in simulation, as well as its laboratory implementation allowed the comparison of respective controllers. The control based in passivity proved to be the best controller in applications where the precision results outstanding when you look for control of position.

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Índice general

Índice de figuras....................................................................................................... iiiÍndice de tablas......................................................................................................... vNotación................................................................................................................... v Capítulo 1. Introducción........................................................................................ 11.1. Antecedentes..................................................................................................... 11.2. Planteamiento del problema.............................................................................. 31.3. Justificación...................................................................................................... 31.4. Objetivos........................................................................................................... 4 1.4.1 Objetivo general.................................................................................. 4 1.4.2 Objetivos específicos........................................................................... 51.5. Hipótesis............................................................................................................ 51.6. Estado del arte................................................................................................... 5

1.6.1. Manos robots...................................................................................... 51.6.2. Técnicas de modelado empleados en robots manipuladores.............. 71.6.3. Control de robots manipuladores....................................................... 8

1.7. Metodología...................................................................................................... 111.8. Alcances y limitaciones.................................................................................... 121.9. Estructura de la tesis......................................................................................... 131.10 Bibliografía...................................................................................................... 14 Capítulo 2. Modelado............................................................................................. 172.1. Modelado cinemático........................................................................................ 18 2.1.1 Modelado cinemático directo.............................................................. 18 2.1.2 Modelado cinemático inverso............................................................. 212.2 Simulaciones del modelado cinemático............................................................. 24 2.2.1 Espacio de trabajo de cada dedo de la mano CENIDET..................... 24 2.2.2 Simulación de la cinemática inversa de la mano CENIDET.............. 27234. Modelado dinámico.......................................................................................... 28 2.3.1 Modelado dinámico usando las ecuaciones de Euler-Lagrange.......... 292.4. Resumen........................................................................................................... 382.5. Bibliografía...................................................................................................... 39 Capítulo 3. Descripción funcional de la mano CENIDET.................................. 413.1. Descripción mecánica de la mano CENIDET................................................... 413.2. Descripción de la electrónica de la mano CENIDET........................................ 45

3.2.1. Tipo de señales usadas en la mano CENIDET................................... 453.2.2. Acondicionamiento de señales........................................................... 463.2.3. Electrónica de potencia...................................................................... 48

3.3. Programación en LabVIEW 7.1........................................................................ 50

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3.3.1 Descripción de LabVIEW 7.1 basada en la estructura FPGA............. 50 3.3.2 Programación de la mano CENIDET.................................................. 503.4. Resumen............................................................................................................ 533.5. Bibliografía....................................................................................................... 53 Capítulo 4. Diseño, simulación y validación de controladores........................... 554.1. Controladores convencionales.......................................................................... 56

4.1.1 Controlador PID.................................................................................. 564.1.2 Controlador PD con compensación de gravedad (PD+G).................. 57

4.2. Controlador no lineal basado en pasividad....................................................... 574.3. Índice de desempeño......................................................................................... 584.4. Comparación entre controladores.................................................................... 59 4.4.1 Control de posición............................................................................. 59 4.4.2 Control de seguimiento de trayectorias............................................... 734.5. Resumen............................................................................................................ 774.6. Bibliografía....................................................................................................... 77 Capítulo 5. Resultados y conclusiones.................................................................. 795.1. Análisis de resultados........................................................................................ 795.2. Aportaciones..................................................................................................... 805.3. Conclusiones..................................................................................................... 815.4. Trabajos futuros................................................................................................ 82 Anexos..................................................................................................................... 83Anexo A. Cinemática............................................................................................... 83

A.1. Componentes de una matriz de transformación homogénea............... 83A.2. Cinemática directa de la mano CENIDET........................................... 83A.3. Cinemática inversa de la mano CENIDET........................................... 85A.4. Programación de la cinemática inversa................................................ 85

Anexo B. Especificaciones mecánicas de la mano CENIDET................................ 87Anexo C. Modelado dinámico................................................................................. 89Anexo D. Distribución de la tarjeta principal.......................................................... 99Anexo E. Diagrama a bloques del programa y subprograma de la mano

CENIDET..................................................................................................

100Anexo F. Diagramas de simulación de los controladores........................................ 103

- iii -

Índice de figuras Figura 1.1. Mano CENIDET……………………………………………………… 2Figura 1.2. Movimientos de abducción y aducción…………………..………….. 4Figura 1.3. Mano robot JPL-Standford.................................................................... 6Figura 1.4. Mano robot UTAH/MIT........................................................................ 6Figura 1.5. Mano robot Belgrade/USC hand I......................................................... 6Figura 1.6. Mano robot DLR……………………………………………………... 6Figura 1.7. Mano robot Dexteroux MA-I................................................................ 7Figura 1.8. Mano robot NAIST…………………………………………………… 7Figura 2.1 Representación de la posición y orientación de un dedo del efector con 4 grados de libertad…………………………………………………………...

20

Figura 2.2. Espacio de trabajo del dedo índice…………………………………… 25Figura 2.3. Espacio de trabajo del dedo pulgar…………………………………… 25Figura 2.4. Espacio de trabajo del dedo medio…………………………………… 25Figura 2.5. Espacio de trabajo del dedo anular…………………………………… 26Figura 2.6. Diagrama de simulación de la cinemática inversa……………………. 27Figura 2.7. Diagrama del dedo de la mano CENIDET (4 g.d.l.)…………………. 30Figura 3.1 Mano CENIDET......…………………………………………………... 42Figura 3.2. Articulaciones del dedo mecánico……………………………………. 42Figura 3.3. Representación esquemática del sistema de transmisión por tendones para un dedo de tres grados de libertad para los movimientos de flexión y extensión…………………………………………………………………………...

43Figura 3.4. Representación esquemática y funcional del sistema de transmisión mediante tensores para realizar los movimientos de abducción y aducción del dedo………………………………………………………………………………..

43Figura 3.5. Palma de la mano CENIDET…………………………………………. 44Figura 3.6. Detalle de las piezas y motores que forman el antebrazo…………….. 45Figura 3.7. Conexiones de la tarjeta PCI 7833R………………………………….. 46Figura 3.8. Conectores SCB-68…………………………………………………... 46Figura 3.9. Interfaz de la mano cenidet actual……………………………………. 48Figura 3.10. Diagrama esquemático de una tarjeta de potencia………………….. 49Figura 3.11. Panel frontal del programa principal de la mano CENIDET………... 51Figura 3.12. Panel frontal del subprograma principal de la mano CENIDET…… 52Figura 4.1. Pruebas de movimiento a realizarse....................................................... 60Figura 4.2. Movimiento de la falange de abducción................................................ 61Figura 4.3. Controlador PID aplicado a la falange de abducción (posición deseada 11º)..............................................................................................................

61

Figura 4.4. Controlador PD+G aplicado a la falange de abducción (posición deseada 11º)..............................................................................................................

62

Figura 4.5. Controlador no lineal basado en pasividad aplicado a la falange de abducción (posición deseada 11º).............................................................................

62

- iv -

Figura 4.6. Movimiento de la falange proximal....................................................... 64Figura 4.7. Controlador PID aplicado a la falange proximal (posición deseada 90º)............................................................................................................................

64

Figura 4.8. Controlador PD+G aplicado a la falange proximal (posición deseada 90º)............................................................................................................................

65

Figura 4.9. Controlador no lineal basado en pasividad aplicado a la falange proximal (posición deseada 90º)...............................................................................

65

Figura 4.10. Movimiento de la falange medial......................................................... 66Figura 4.11. Controlador PID aplicado a la falange medial (posición deseada 110º)..........................................................................................................................

67

Figura 4.12. Controlador PD+G aplicado a la falange medial (posición deseada 110º)..........................................................................................................................

67

Figura 4.13. Controlador no lineal basado en pasividad aplicado a la falange medial (posición deseada 110º)................................................................................

68

Figura 4.14. Movimiento de la falange distal........................................................... 69Figura 4.15. Controlador PID aplicado a la falange distal (posición deseada 70º).. 69Figura 4.16. Controlador PD+G aplicado a la falange distal (posición deseada 70º)............................................................................................................................

70

Figura 4.17. Controlador no lineal basado en pasividad aplicado a la falange distal (posición deseada 70º)....................................................................................

70

Figura 4.18. Seguimiento de trayectoria en la falange proximal............................ 74Figura 4.19. Seguimiento de trayectoria en la falange medial................................ 75Figura 4.20. Seguimiento de trayectoria en la falange distal................................. 76Figura D.1. Distribución de la tarjeta principal…………………………………… 99Figura E.1. Diagrama a bloques del programa principal de la mano CENIDET…. 100Figura E.2. Diagrama a bloques del subprograma que evalúa la señal de control para dar el sentido de giro al motor………………………………………………..

101

Figura E.3. Diagrama a bloques del subprograma para salida de control del PWM digital……………………………………………………………………….

101

Figura E.4. Diagrama a bloques del subprograma de la mano CENIDET………... 102Figura F.1. Diagrama de simulación del controlador no lineal basado en pasividad…………………………………………………………………………...

104

Figura F.2. Diagrama de simulación del control PD con compensación de gravedad (PD+G)………………………………………………………………….

105

Figura F.3. Diagrama de simulación del control Proporcional-Integral-Derivativo (PID)……………………………………………………………………………….

106

- v -

Índice de tablas Tabla 1.1. Error cuadrático medio (ECM) de la mano CENIDET………………... 11Tabla 2.1. Parámetros Denavit-Hartenberg de los dedos del efector……………... 20Tabla 2.2. Movimientos de Flexión y extensión………………………………….. 26Tabla 2.3. Movimientos de abducción y aducción………………………………... 27Tabla 3.1. Componentes que forman el antebrazo………………………………... 45Tabla 4.1. Tiempo en alcanzar la posición de referencia en un 98%...................... 71Tabla 4.2. Errores de posición (grados)................................................................... 71Tabla 4.3. Resultados de la experimentación (posiciones reales en grados)........... 72Tabla 4.4. Resultados de la experimentación (errores de posición en grados)........ 72Tabla 4.5. Resultados de la experimentación (Tiempo en alcanzar la posición de referencia en un 98%).............................................................................................. 72Tabla 4.6. Tiempo en alcanzar la trayectoria de referencia en un 98%.................. 76Tabla 4.7. Error Cuadrático Medio (ECM) en cada una de las articulaciones......... 76Tabla B.1 Especificaciones mecánicas del dedo índice del efector………………. 87Tabla B.2 Especificaciones mecánicas del dedo medio del efector………………. 87Tabla B.3 Especificaciones mecánicas del dedo anular del efector………………. 88Tabla B.4 Especificaciones mecánicas del dedo pulgar del efector……………… 88Tabla F.1. Parámetros de simulación……………………………………………... 103

Notación

Mecánica del efector q Vector de coordenadas generalizadas del efector x Vector de posición y orientación del efector final T Matriz de transformación homogéneas

iθ I-ésima coordenada articular del efector di Desplazamiento entre los ejes z adyacentes al i-ésimo eslabón. ai Desplazamiento entre los ejes z adyacentes al i-ésimo eslabón.

iα Giro alrededor del eje x para que coincidan los ejes zi-1 y zi. Px Coordenada en el eje x de la posición del efector final Py Coordenada en el eje y de la posición del efector final Pz Coordenada en el eje z de la posición del efector final vi Vector de velocidad del centro de masa de cada eslabón ( )qqL &, Langragiano del efector ( )qqK &, Energía cinética total del efector ( )qU Energía potencial total del efector

- vi -

iτ Vector de fuerzas y pares ejercidos en cada articulación. ( )qM Matriz de inercias ( )qqC &, Matriz centrífuga y de Coriolis

( )G q Vector de pares o fuerzas gravitacionales

pK Matriz de ganancias de la acción proporcional

vK Matriz de ganancias de la acción derivativa

iK Matriz de ganancias de la acción integral e(t) Vector de error de posición articular e& (t) Vector de error de velocidad articular e&& (t) Vector de error de aceleración articular qd Posición articular deseada

dq& Velocidad articular deseada

dq&& Aceleración articular deseada u Señal de control ( )⋅⋅,H Energía total del sistema

e Media del error articular

Constantes del modelo li Longitud de los eslabones de los dedos del efector (m). mi Masa de los eslabones de los dedos del efector (kg). Ii Momentos de inercia de los eslabones del efector ( 2mkg ⋅ ). lci Distancias al centro de masa de los eslabones del efector (m). g Aceleración de la gravedad 9.81 m/s2.

Abreviaturas ECM CBP g.d.l. D-H E-L CD NI CENIDET PWM FPGA PD PID PD+G

Error Cuadrático Medio Control Basado en Pasividad Grados de libertad Denavit-Hartenberg Euler-Lagrange Corriente Directa National Instruments Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico Pulse-Width Modulation Field-Programmable Gate Array Proporcional-Derivativo Proporcional-Integral-Derivativo Proporcional Derivativo con compensación de Gravedad

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Capítulo 1

Introducción Este capítulo presenta los antecedentes del trabajo de investigación, el planteamiento del problema, los objetivos y la justificación del proyecto. Posteriormente se presenta la revisión del estado del arte donde se describen los tipos de manos robots realizados en el mundo y sus características, las técnicas de modelado empleadas en robots manipuladores y los diferentes tipos de controladores asociados comúnmente usados. También se muestra en el capítulo la metodología seguida durante el desarrollo del trabajo y finalmente se presenta una descripción de la estructura del presente documento.

1.1 Antecedentes Los avances actuales en robótica han impactado diferentes campos de la ciencia como es en medicina, donde se ha tenido el desarrollo de cirugías asistidas por robots, haciendo la interacción paciente-especialista de manera remota. Otra aplicación relevante y fuertemente impactante de la robótica es en la industria, la cual ha provocado el reemplazo del hombre por máquinas en la ejecución de tareas repetitivas, peligrosas y en actividades donde se requiere demasiada precisión.

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Tanto es el avance en robótica que se han logrado construir robots bípedos con algunas características humanas como: caminar y mantener un equilibrio. El Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico ha decidido ser participe en contribuir con innovaciones en robótica, principalmente en la tarea de desarrollar efectores que emulen algunos movimientos de algunas de las extremidades del cuerpo. En este fin se desarrolló previamente una tesis titulada: “Diseño de un Sistema Articulado Emulando el Movimiento de una Mano”, cuyo objetivo fue diseñar y construir una mano mecánica antropomorfa capaz de reproducir algunos movimientos, tanto de flexión y extensión como de abducción y aducción de cada uno de los dedos de la mano humana [1]. El movimiento de cada dedo fue posible por medio de tensores actuados por motores de corriente directa (CD). El diseño final de la mano CENIDET desarrollado por Cimadevilla y Herrera es el mostrado en la figura 1.1.

Figura 1.1. Mano CENIDET.

Aunado a la tesis de Cimadevilla y Herrera [1] y para dar continuación a esta línea de investigación se desarrolló otra tesis titulada: “Análisis y Control de un Efector Reproduciendo un Movimiento Circular de una Mano” [2]. Esta tesis tuvo por objetivo analizar el espacio de trabajo de cada dedo, así como contribuir con el modelado cinemático, dinámico y diseño de un control convencional y un control no lineal basado en pasividad, considerándose solo movimientos de extensión y flexión (movimientos en un plano). Cabe aclarar que los alcances de ese trabajo de investigación solo fueron a nivel simulación, dejando la interrogante de si los resultados obtenidos en simulación serían congruentes con la operación experimental de la mano CENIDET.

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1.2. Planteamiento del Problema Una de las extremidades del ser humano de mayor importancia es la mano, por lo que actualmente diversos centros de investigación trabajan en emular su movimiento, proponiendo diversos prototipos con características antropomórficas. Con el diseño mecánico y construcción de la mano CENIDET [1] por una parte, y con la simulación de su modelo por otra, surgió el cuestionamiento de si dicha simulación sería congruente con los movimientos reales del prototipo. Ese es precisamente el objeto de este tema de tesis; estudiar la problemática relacionada con la congruencia entre el modelado, el control de la mano y la funcionalidad del prototipo. Como parte de la problemática está el modificar, extender y adecuar los modelos y controladores previamente desarrollados, en función del comportamiento dinámico de la mano CENIDET, entre los que figura su movimiento en un espacio tridimensional. Los resultados obtenidos permitirán generar conocimiento en el tema de manipuladores orientado al desarrollo de prótesis con características de funcionalidad y antropomorfismo que reproduzcan la operación de extremidades humanas. Una de las técnicas que ha despertado mayor interés en aplicaciones en robótica es el control basado en pasividad (enfoque energético). Esta técnica permite distinguir aquellos componentes energéticos que hacen al sistema estable, aquellos que provocan la inestabilidad y aquellos que representan un flujo de energía sin afectar la estabilidad. 1.3. Justificación La reproducción de algunas actividades cotidianas del ser humano tales como mover y usar sus extremidades, representa un desafío para la robótica debido a la cantidad de variables involucradas y el control de las mismas. Las razones y justificaciones de este trabajo se basan en la importancia de obtener conocimiento sobre efectores de extremidades humanas con el fin de que en un futuro puedan usarse como prótesis. Así mismo, se busca obtener una emulación de movimiento lo más apegada posible al de una mano humana usando el prototipo con el que se cuenta (mano CENIDET). Otra justificación importante en este trabajo es buscar una congruencia entre la parte de simulación de los modelos y controladores y la parte de experimentación (movimientos reales del prototipo).

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La información que se obtenga del rediseño del modelo y controladores para el movimiento experimental de la mano CENIDET, permitirá una mejor comprensión de sus características dinámicas reales, tales como el efecto de las bandas y poleas sobre el par disponible con fines de levantar un peso, seguimiento de una trayectoria o alcanzar una referencia de posición. En [2] se contempló la etapa de simulación bajo condiciones ideales, por lo que resulta importante conocer el comportamiento físico del prototipo. Otro aspecto del trabajo en [2] es que no fueron considerados en el modelado los movimientos de abducción y aducción (figura 1.2), por lo que resulta relevante desarrollar un modelo en donde se contemplen los movimientos de flexión, extensión, abducción y aducción, así como también un controlador para poder reproducir de una manera más real los movimientos de una mano humana.

Figura 1.2. Movimientos de abducción y adducción.

Dado que los modelos cinemáticos y dinámicos de robots son modelos no lineales, es válido usar metodologías para el diseño de controladores no lineales, para así aprovechar toda la información proporcionada por dichos modelos.

1.4. Objetivos 1.4.1 Objetivo general Tomando como objeto de estudio la mano CENIDET, rediseñar la etapa de adquisición y acondicionamiento de señales, simular su respuesta bajo la acción de diferentes controladores (incluido el control basado en pasividad) y validar experimentalmente el efecto de los diferentes controladores. Todo esto, considerando los movimientos de extensión, flexión, abducción y aducción del prototipo.

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1.4.2 Objetivos específicos

Extender el modelo matemático ya establecido en [2], incluyendo los movimientos de abducción y aducción.

Diseñar un controlador no lineal, simularlo e implementarlo físicamente en el prototipo

(mano CENIDET).

Comparación de las respuestas obtenidas usando controladores convencionales con el controlador basado en pasividad para controlar posición y seguimiento de trayectorias a nivel simulación.

Comparación de las respuestas obtenidas usando controladores convencionales para

controlar posición a nivel experimentación. 1.5. Hipótesis “Un controlador no lineal particular alcanza con menor error una posición de referencia, comparado con un controlador convencional aplicado en tiempo real a la mano CENIDET”.

1.6. Estado del arte 1.6.1. Manos robots La incursión de diversos centros de investigación alrededor del mundo en el desarrollo de prototipos de manos robots ha sido un tema fundamental con el fin de lograr reproducir lo más apegado posible la funcionalidad y antropomorfismo de una mano humana. Algunas manos robots que han sido desarrollados son: • 1985. Mano robot JPL-Standford [3]. Constituida por 3 dedos, cada dedo con tres grados de libertad, el movimiento de la mano es hecho a base de un sistema de 32 tendones independientes y movidos con actuadores neumáticos (figura1.3). • 1986. Mano robot Utah /MIT hand [4]. Constituida por 4 dedos, cada dedo con 4 grados de libertad, su movimiento es basado en actuadores neumáticos con tendones y sensores (figura 1.4).

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• 1990. Mano robot Belgrade/USC hand I [5]. Constituida por 5 dedos, cada dedo con un grado de libertad, su movimiento es en base a una actuación eléctrica (ver figura 1.5).

Figura 1.3. Mano robot JPL-Standford. Figura 1.4. Mano robot UTAH/MIT.

• 1998. Mano robot DLR [6]. Constituida por 4 dedos, cada dedo con 3 grados de libertad; para su movimiento se manejan micro cilindros eléctricos, y están integrados en la palma y en los dedos, (ver figura 1.6).

Figura 1.5. Mano robot Belgrade/USC hand I. Figura 1.6. Mano robot DLR. • 1998. Mano robot Omni hand 2. Construida por la NASA, constituida por 3 dedos y tiene un total de 10 grados de libertad, y forma parte de un robot humanoide. • 2002. Mano robot Dexteroux MA-I [7]. Constituida por 4 dedos, y conforma en total 16 grados de libertad, (figura 1.7). En su diseño se consideraron 3 aspectos: la

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modularidad, especificaciones mecánicas y cinemáticas. El modelado de las articulaciones de los dedos se basó en el modelo de un motor de CD clásico y en la fuerza de fricción de Coulomb. Para el modelo lineal se usó un controlador Proporcional-Derivativo (PD) con compensación de una fuerza de fricción retroalimentada. • 2003. Mano robot HIT/DLR [8]. Constituida por 4 dedos, cada dedo con 3 grados de libertad, los actuadores y controladores están integrados directamente en cada dedo.

• 2005. Mano robot NAIST [9]. Constituida por 4 dedos, cada dedo con 3 grados de libertad, su movimiento es realizado a través de engranes y mecanismos de eslabones, sus actuadores se encuentran en la palma de la mano, (ver figura 1.8). Entre otras manos robots de las aquí mencionadas, también se encuentran la mano robot Robonaut [10], creada por la NASA, la mano robot TUAT/Karlsruhe [11] y el diseño de una mano para rehabilitación [12], entre otras.

Figura 1.7. Mano robot Dexteroux MA-I Figura 1.8. Mano robot NAIST 1.6.2. Técnicas de modelado empleadas en robots manipuladores El modelado de robots es parte fundamental para representar y conocer su dinámica, así como para el diseño de los correspondientes controladores. En la literatura revisada se encuentran diferentes técnicas de modelado de robots asociadas con la mecánica, cinemática y dinámica de manipuladores, enfocados a brazos robots. Los modelados de robots se basan en el empleo de transformaciones entre sistemas de coordenadas, movimientos rotacionales y traslacionales y de orientación, en el plano o en el espacio, según sea la configuración del tipo de robot a ser modelado. Dentro del modelado de robots [12] surgen dos vertientes, una respecto al modelado de la cinemática (directa e inversa) y otra respecto a la dinámica del robot.

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Dentro del modelado cinemático directo se encuentran técnicas como el formalismo de Denavit-Hartenberg y la consideración de los ángulos de Euler, entre otras. Por otro lado, para el modelado cinemático inverso existen algunas técnicas como: la aproximación directa, aproximación geométrica, manipulaciones de matrices simbólicas y transformaciones de velocidad, etc. Cabe señalar que para resolver el problema cinemático inverso no existe un método sistemático para dar solución al problema y por lo tanto pueden existir más de una soluciones. Las técnicas empleadas para el modelado dinámico que se encuentran en la literatura son: ecuaciones de movimiento de Newton, formalismo Euler-Lagrange (E-L), principio D’Alemberg y las ecuaciones de Hamilton [13]. Las ecuaciones dinámicas de un robot pueden obtenerse a partir de las ecuaciones de movimiento de Newton, pero el inconveniente con el uso de este método es que el análisis se complica cuando aumenta el número de articulaciones, a diferencia de hacer uso de las ecuaciones de Euler-Lagrange. El método de Euler-Lagrange [14] es una técnica de modelado poderosa (método variacional), el cual define las funciones de energía en términos de conjuntos de variables generalizadas. Además, la estabilidad del equilibrio en el sistema está determinada por la función de energía potencial. 1.6.3 Control de robots manipuladores. Las técnicas empleadas para el control de robots manipuladores se clasifican en dos grandes grupos: técnicas de control lineal y técnicas de control no lineal. Otra de las formas de clasificar el control de robots es según la acción que se desee: control de posición y control de movimiento. Según [15] los métodos lineales son considerados como aproximaciones, ya que la dinámica de un manipulador se presenta más adecuadamente mediante una ecuación diferencial no lineal y no autónoma. En el control lineal las consideraciones que se hacen son que cada articulación puede considerarse de forma independiente y que la inercia vista por cada actuador de articulación es constante. En términos prácticos ésta aproximación produce un amortiguamiento no uniforme a lo largo del espacio de trabajo y otros efectos indeseables. Desafortunadamente, el problema de control de manipuladores no se adapta bien a estas aproximaciones, ya que los manipuladores se mueven constantemente a lo largo de las regiones de su espacio de trabajo tan ampliamente separadas que no puede encontrarse una linealización válida para todas las regiones. En un controlador lineal se seleccionan ganancias promedio que aproximan el amortiguamiento crítico en el centro del espacio de

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trabajo del robot, manteniendo ganancias lo más altas posibles para que las perturbaciones sean suprimidas rápidamente. En lo que respecta a la fricción en los manipuladores actuales, ésta se modela con más precisión utilizando características no lineales que con el modelo lineal más simple. Otra consideración importante a mencionar es que cuando un manipulador sujeta un objeto, la inercia y el peso del mismo cambian la dinámica del manipulador [15]-[16]. Los aspectos mencionados son algunos ejemplos del porque usar un controlador no lineal. Un sistema de control retroalimentado para un manipulador hace uso de sus ecuaciones dinámicas para calcular los momentos de torsión requeridos para seguir una trayectoria específica a partir del error entre la posición deseada y la posición actual y el error entre la velocidad deseada y la velocidad actual. De esta manera, el sistema de control puede calcular cuanta cantidad de par se requiere de los actuadores para cumplir con el objetivo de control en función del error obtenido. Dentro de las técnicas de control convencional aplicadas al control de robots manipuladores existen diversas metodologías abordadas por algunos autores como: Kelly y Santibáñez [17], Lewis [18], Liu y Goldenberg [19], entre otros. La aplicación de controladores en manipuladores es tema de investigación actual. Algunas de las más estudiadas son los controladores: Proporcional Integral Derivativo (PID) [20] y Proporcional Derivativo con Compensación de Gravedad (PD+G) [21]. EL enfoque establecido en este trabajo está dirigido al uso de un controlador no lineal basado en pasividad aplicado a un efector (mano CENIDET). Dentro de los controladores no lineales abordados actualmente en la literatura se encuentran el controlador basado en pasividad tratado por Arimoto [22], controladores basados en la dinámica inversa [23], controladores adaptativos [23], controlador–observador [25], robusto (H∞) [24], entre otros. Por mencionar algunas aplicaciones de estos tipos de controladores se presenta lo siguiente: Controlador-observador [25]. Hace uso del concepto de pasividad. El control de movimiento está basado en mediciones de posición y para ello se diseña un sistema auxiliar dinámico (observador) que reconstruye las variables de estado no medibles, estableciendo así, el control mediante las señales reconstruidas por dicho observador.

Otro tipo de diseño de estrategias de control reportadas en la literatura es el uso del moldeo de energía más inyección de amortiguamiento con el enfoque basado en pasividad. Esta técnica apunta a la modificación de la energía potencial del sistema y la inyección del amortiguamiento requerido por un controlador que preserva la pasividad en lazo cerrado [26].

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Control robusto de robots manipuladores basado en la teoría de Lyapunov que garantiza la estabilidad de sistemas inciertos. El error de seguimiento depende de la inercia de los parámetros del robot [27]. También se encuentra el uso de control adaptable en la aplicación de robots manipuladores vía velocidad estimada en la retroalimentación [28]. Este tipo de control ha sido propuesto junto con un modelo para encontrar los parámetros del robot, bajo la suposición de estados completos (posición y velocidad). Al combinar la ley de control adaptable con un observador resulta un sistema de lazo cerrado estable asintóticamente. El controlador basado en pasividad en sistemas no lineales ha ganando popularidad debido a las varias ventajas que presenta, relacionadas con la simplicidad del controlador, robustez y los rasgos de atracción físicamente del enfoque (enfoque energético). Una de las primeras contribuciones de sistemas disipativos fue tratado por Willems [29]. Las aportaciones realizadas por Hill [30]-[31] constituyeron también un enfoque general enfatizado sobre condiciones de estabilidad en sistemas interconectados retroalimentados. El enfoque geométrico para la equivalencia de sistemas pasivos no lineales fue abordado por Byrnes [32]. El desarrollo inicial del control basado en pasividad fue llevado a cabo dentro del contexto de sistemas Lagrangianos con aplicaciones a sistemas manipuladores robóticos (ver Takegaki y Arimoto [33] y Slotine y Lie [34]). La metodología de diseño de controladores basado en pasividad tiene aplicaciones principalmente en las áreas de robótica, máquinas eléctricas y electrónica de potencia tratado por Ortega [35]. Las contribuciones recientes fueron tratadas por Kelly en [36] y [37] en el área de robótica. En [38] se trata un enfoque geométrico para la caracterización de un proceso de pasivización aplicado a sistemas no lineales por medio de un estado dependiente de las transformaciones de coordenadas de entrada. De acuerdo con [39] es bien conocido que los sistemas Euler-Lagrange (E-L) definen operadores pasivos o sea propiedades de disipación de energía. Entonces los sistemas pasivos presentan propiedades de robustez, siendo la pasividad invariante bajo la interconexión de la retroalimentación. En los sistemas E-L la estabilidad del equilibrio es determinada por la energía potencial, además de que el equilibrio es asintóticamente estable. Las propiedades de entrada-salida y de estabilidad interna en sistemas E-L han motivado el desarrollo de metodologías de diseño de controladores basados en pasividad, la cual es vista como una extensión de la técnica de moldeo de energía más inyección de amortiguamiento. El fin de esta técnica es modificar la energía potencial del sistema a través de la inyección de amortiguamiento de tal manera que la nueva función de energía potencial tenga un mínimo único en el punto de equilibrio deseado. Este tipo controlador preserva la pasividad en lazo cerrado [39]-[40].

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En [41] se presenta una metodología de diseño de controladores basados en pasividad para resolver el problema de control de posición cuyo objetivo consiste en posicionar al robot en una posición deseada dq , haciendo que exista un mínimo en ( ) ( ), 0,0e q =& , donde q es la posición real y el error de posición es de q q= − . Para más detalle del controlador basado en pasividad de sistemas Euler-Lagrange, vea [42] y [43]. En [44], [45] el control basado en pasividad es aplicado en robots manipuladores explotando las propiedades pasivas del sistema, y de acuerdo a [2] un controlador basado pasividad (CBP) aplicado a una mano robot presenta mejores resultados en comparación a un control de par calculado (CPC), ver tabla 1.1.

Tabla 1.1. Error cuadrático medio (ECM) de la mano CENIDET Dedos ECM (CBP) ECM (CPC)

Anular 0.052259 º 0.067668 º

Índice 0.074442 º 0.097324 º

Medio y Pulgar 0.0102973 º 0.0135191 º

Cabe aclarar que estos resultados son presentados sólo en simulación y considerando únicamente los movimientos de extensión y flexión. Las pruebas fueron realizadas teniendo como objetivo el seguir una trayectoria. 1.7. Metodología La metodología seguida durante el desarrollo de la tesis es la siguiente:

1. Recopilación de información y familiarización con el tema. 2. Análisis del modelado cinemático y dinámico de la mano robot de CENIDET. 3. Familiarización con el funcionamiento de la mano robótica (software y hardware). 4. Diseño, análisis y simulación de los nuevos modelos obtenidos. 5. Diseño de controladores lineales y un controlador no lineal. 6. Simulaciones y validaciones experimentales. 7. Conclusiones.

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1.8. Alcances y limitaciones Este trabajo tiene por alcances y aportaciones:

1. Contribuir con el modelado dinámico y cinemático (directo e inverso) de la mano CENIDET, considerando movimientos de flexión, extensión, abducción y aducción.

2. Proponer una alternativa de control para la mano CENIDET basada en resultados

obtenidos tanto en simulación como en experimentación referente a pruebas de control de posición.

3. Presentar una caracterización de la dinámica de la mano CENIDET mediante el

modelado del prototipo.

4. Comparar los resultados de simulación con los de experimentación. Una de las limitaciones del prototipo es que no cuenta con sensores de posición directamente en las articulaciones, por lo que la información sobre la posición de las falanges es la que proporcionan los encoders que se encuentran en los actuadores (motores). Esto implica posibles errores debidos al “patinado” de las bandas.

Este tema de tesis como su nombre lo indica, comprende la etapa de simulación y validación experimental para la aplicación de los controladores en tiempo real a la mano CENIDET.

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1.9 Estructura de la tesis Este trabajo de tesis está distribuido en 5 capítulos, organizados de la siguiente manera: Capítulo 1. Se exponen los antecedentes del proyecto de investigación, planteamiento del problema, justificación, la hipótesis sujeta a comprobación, los objetivos, los alcances, aportaciones y revisión del estado del arte. Además se presenta la metodología que se sigue para el desarrollo del presente proyecto de investigación. Capítulo 2. Se presentan los modelados matemáticos (cinemático y dinámico). Así como simulación del espacio de trabajo de cada dedo de la mano y solución de la cinemática inversa. Capítulo 3. Este capitulo hace una descripción del funcionamiento de la mano cenidet tanto de la parte electrónica como la parte de programación. Así mismo detalla cada una de las tarjetas construidas para hacer posible funcionar a la mano CENIDET. Capítulo 4. El contenido del capítulo 4 lo componen el diseño de controladores, la simulación de los mismos, tanto en pruebas de posición como seguimiento a trayectorias, la validación de 3 tipos de control implementados en la mano CENIDET sujeta a pruebas de posición y el análisis de resultados. Capítulo 5. Dentro de este capítulo se presentan las conclusiones de la investigación y algunas propuestas de trabajos futuros. También se encuentra al final de cada capítulo del documento principal la bibliografía y las referencias empleadas para la redacción de este trabajo de tesis. El documento contiene un apartado de anexos que detallan algunos cálculos realizados, así como algunos datos usados en la simulación e implementación.

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1.10 Bibliografía [1] H. Cimadevilla, J. Herrera, Tesis de Maestría: “Diseño de un sistema articulado emulando el

movimiento de una mano”, Departamento de Mecatrónica, CENIDET, 2006. [2] L. A., Juan, CENIDET, Tesis de Maestría: “Análisis y Control de un Efector Reproduciendo un

Movimiento Circular de una Mano”, Departamento de Electrónica, CENIDET, 2006. [3] S. Raúl, “Dexterous Robotic Hand MA-I”, Software and Hardware Architecture´´, Intelligent

Manipulation and Grasping International Conference, Genova, Italy, 2004, pp. 91-96. [4] S. C. Jacobsen, “Design of the Utha/MIT Dexterous hand”, Proc. IEEE International Conference

on Robotics and Automation, San Francisco, California, USA 1986, pp. 1520-1532. [5] G. A. Bekey, R. Tomovic, I. Zeljkovic: Control architecture for the Belgrade/USC hand, in

Venkataraman S, Iberalit T (eds): Dextrous Robotic Hands. New York: Springer-Verlag, 1990, pp 136–149

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[8] U. Jun, Proyecto: “Multifingered Robot hand: NAIST-Hand I”, Robotics Laboratory, Graduate School of Information Science, NARA Institute of Science and Technology, 2005.

[9] T. B. Marti, “Tactile Gloves for Autonomous Grasping with the NASA/DARPA Robonaut”, in Proc. IEEE International conference on robotics and automation, New Orleans, 2004, pp. 1713-1718.

[10] N. Fukaya, “Design of the TUAT/Karlsruhe Humanoid Hand”, IEEE/RSJ Int. Conference on Intelligent Robots and Systems, Takamatsu, Japan, 2000, pp.1754-1759..

[11] A. Kargov, “Development of an Anthropomorphic Hand for a Mobile Assistive Robot”, IEEE 9th International Conference on Rehabilitation Robotics: Frontiers of the Human-Machine Interface June 28 – July 1, 2005, Chicago, Illinois, USA, pp. 182- 186

[12] D. Juan, “Apuntes de Robótica”, Universidad de Valencia, 2001. Capítulo 2. [13] G. A. Fabio, Tesis Doctoral: “Control de sistemas no lineales basado en la estructura

Hamiltoniana”, Universidad de Sevilla, 2002, Capítulo 2. [14] R. Ortega, A. Loria, P. Nicklasson y H. Sira-Ramirez, “Passivity-based control of Euler-Lagrange

Systems”, Impreso en Gran Bretaña, 1998, Editorial Springer. [15] J. J. Craig, “Robótica”, Tercera Edición, Impreso en México, 2006, Editorial Prentice Hall. [16] P. P., Richard, “Robot Manipulators: Mathematics, Programming and Control”, Printed in the

United States of America, 1986, Library of Congress Cataloguing in Publication Data. [17] R. Kelly, CICESE, V. Santibáñez, “Control de Movimiento de Robots Manipuladores”.

Automática y robótica, Impreso en Madrid, 2003, Editorial Prentice Hall. [18] F.L. Lewis, C.T. Abadía y D.M. Dawson, “Control of robot, manipulators”, edit. Macmillan

Publishing Company, printed in United States of America, New York, chapter 3, 1993. [19] G. Liu, A. A. Goldenberg, “Robust control of robot manipulators incorporating motor dynamics”,

International conference on intelligent robots systems, Yokohama, Japan, p.p. 68-75, Julio 1993 [20] M. Takegaki and S. Arimoto, “A new feedback method for dynamic control of manipulators”,

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[21] S. Arimoto and F. Miyazaki, Stability and robustness of PID feedback control for robot manipulators of sensory capability, in M. Brady and R.P. Paul (eds.), Robotics Research: First International Symposium, pp. 783-799, MIT Press, Boston, Mass., 1984.

[22] S. Arimoto, “Passivity-Based Control” , International Conference on Robotics and Automation, San Francisco, pp. 227-232, April 2000

[23] M. Valles, “Desarrollo de un entorno de tiempo real para el control de robots”, Universidad Politécnica de Valencia, 2002.

[24] Y. H. Chen, “Robust Hybrid Control of Robot Manipulators”, School of Mechanical Engineering

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Georgia Institute of Technology, Atlanta, Georgia, 2001. [25] B. Harry, “A Passivity Approach to Controller-Observer Design for Robots”, IEEE Transactions

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Feedback”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 37, No. 8, Agosto 1992 [29] [9] J.C. Willems, “Dissipative dynamical systems, part I and II”, Archieves of Rational Mechanics

and Analysis, Vol 45, pp. 321-393, 1972. [30] Ch. I. Byrnes, A. Isidori and J.C. Willems, “Passivity feedback equivalence and the global

stabilization of minimum phase nonlinear systems” IEEE Transactions on Automatic Control Vol. 36 pp. 1228-1240, 1991.

[31] D. Hill and P. Moyland, “The stability of nonlinear dissipative systems” IEEE Transactions on Automatic Control Vol. 21, pp. 708-711, 1976.

[32] D. Hill and P. Moyland, “Stability results for nonlinear feedback systems ” Automatic Vol. 13, pp. 377-382, 1977.

[33] M. Takegaki and S. Arimoto, “A new feedback method for dynamic control of manipulators” ASME J. Dynamic Systems”, Measurement and Control , Vol. 102, pp. 119-125, 1981.

[34] J.J. Slotine and W. Li, “Adaptive Manipulator Control: a case of study” IEEE Transactions on Automatic Control. Vol. AC-33, pp. 995-1003, 1988.

[35] [17] H. Sira-Ramirez, R. Ortega, M. Garcia-Esteban and R. Perez-Moreno, “Passivity-Based Controllers for the Stabilization of DC-to-DC Power Converters”, 13th Triennial World Congress, San Francisco, USA, 1996, IFAC, pp. 333-338.

[36] R. Kelly, V. Santibáñez and F. Reyes, “A Class of Adaptive Regulators for Robot Manipulators”, International Journal of Adaptive Control and Signal Processing , Vol. 12, pp. 41-62, 1998.

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[40] C.I. Byrnes, A. Isidori and J. Willems, “Passivity Feedback Equivalence and the Global Stabilization of Minimum Phase Nonlinear Systems”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. AC-36, No. 11, 1991, pp. 1228-1240.

[41] H. Berguis, H. Nijmeijer, “A passivity approach ton controller-observer design for robots”, IEEE transactions on robotics and automation, vol. 9, No. 6, December 1993, pp. 740 – 754.

[42] R. Ortega, A. Loria, P. Nicklasson y H. Sira-Ramirez, “Passivity-based control of Euler-Lagrange Systems”, Impreso en Gran Bretaña, 1998, Editorial Springer.

[43] T. Nilsson and M. Perez, Tesis de Maestría: “Introduction to Passivity-Based Control of Euler-Lagrange Systems”, Växjö University, School of Mathematics and Systems Engineering, November 2003.

[44] Y. Tang and M. A. Arteaga, “Adaptive Control of Robot Manipulators Based on Passivity”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 39, No. 9, September 1994, pp. 1871-1875.

[45] K.B. Ngo and R. Mahony, Reporte: “Passivity-Based Control of Robot Manipulators Subject to Constraints”, Faculty of Engineering and IT Australian National University, 2000

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Capítulo 2

Modelado El presente capítulo aborda los conceptos de cinemática y dinámica, así como su aplicación a cada uno de los dedos de la mano CENIDET, donde cada dedo es considerado como un manipulador independiente. Los resultados del modelado cinemático directo, cinemático inverso y dinámico son obtenidos al considerar de la estructura mecánica del dedo los movimientos de flexión, extensión, abducción y aducción. También, dentro del capítulo se presentan las simulaciones del espacio de trabajo correspondiente a cada dedo y la validación del modelado cinemático inverso. La importancia de encontrar los modelos matemáticos (cinemático y dinámico) de la mano CENIDET radica en la necesidad de conocer el espacio de trabajo de operación y el par requerido para alcanzar una posición o seguir una trayectoria. Dentro del enfoque cinemático existen dos problemas a resolver; el problema cinemático directo y el problema cinemático inverso. La cinemática directa es un enfoque geométrico basado en matrices de transformación homogéneas para conocer la posición del efector final de un robot en base a la asignación de coordenadas articulares, mediante el uso del formalismo de Denavit-Hartenberg. El formalismo de Denavit-Hartenberg consiste en rotaciones de cuerpos en el plano o en el espacio a través de matrices de transformación para encontrar la posición de un efector final (robot) respecto a una referencia fija.

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Se muestra también de manera detallada el procedimiento de modelado dinámico de cada dedo de la mano robótica empleando el método variacional de Euler-Lagrange (E-L). 2.1 Modelado cinemático La cinemática estudia el movimiento que presenta el robot con respecto a un sistema de referencia seleccionado sin atender las fuerzas que la ocasionan. El estudio que interesa en la cinemática es la descripción analítica del movimiento espacial del robot, y en particular las relaciones existentes entre la posición y orientación del extremo final del robot con los valores que toman sus coordenadas articulares. Dentro de la cinemática existen dos problemas a resolver: ♦ Problema cinemático directo: Conocer la posición y orientación en un manipulador respecto a un sistema de referencia global, cuando se conoce el vector de coordenadas generalizadas (articulares) { }q que contiene los parámetros estructurales del robot. ♦ Problema cinemático inverso: Búsqueda de valores que deben tomar las coordenadas articulares, conociendo los parámetros estructurales del robot para que éste alcance una posición y orientación deseada. 2.1.1 Modelado cinemático directo A partir de valores conocidos de las articulaciones y parámetros geométricos de los eslabones del robot, se calcula la posición y orientación de su efector final (extremo) con respecto a un sistema de referencia. La expresión que define a la cinemática directa es:

( )qfx = 2.1donde: x es el vector de posición y orientación del efector final, y q es el vector de articulaciones (grados de libertad) de la cadena cinemática. Para obtención del modelado cinemático existen diferentes métodos:

Método geométrico. Matrices de transformación homogéneas. Método de cuaterniones. Método de ángulos de Euler.

El método geométrico es adecuado para robots de pocos grados de libertad (g.d.l.) y se basa en encontrar el suficiente número de relaciones geométricas en las que intervienen las

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coordenadas del extremo del robot, sus coordenadas articulares y las dimensiones físicas de sus elementos. En el método de cuaterniones las rotaciones y desplazamientos existentes en la cadena cinemática son representados precisamente por cuaterniones. Los ángulos de Euler permiten realizar la conversión de las coordenadas de un sistema de referencia a otro. En este método las rotaciones y desplazamientos existentes en la cadena cinemática son representados por los ángulos de Euler. Se seleccionó el método de matrices de transformación homogéneas para solución de la cinemática directa debido a las siguientes razones:

Representa un método sistemático para obtener el modelo cinemático directo de cualquier robot manipulador.

A partir de un mismo desarrollo es posible determinar la posición y orientación del efector final.

Las matrices de transformación homogénea son una herramienta que representa las rotaciones y desplazamientos que existen entre los sistemas de referencia adyacentes a un eslabón del manipulador. Una forma de representar una matriz de transformación homogénea es:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

escaladeFactoraPerspectivTraslaciónRotación

T

(2.2)

Generalmente y para propósitos de robótica, el último reglón de T es ( )1000 [1]. Para la obtención de las matrices de transformación homogénea es necesario conocer los parámetros de Denavit-Hartenberg de cada una de las falanges (abducción, proximal, medial y distal). Los parámetros Denavit-Hartenberg están relacionadas a cuatro magnitudes asociadas a cada articulación, una de las cuales es la variable de articulación y las 3 restantes son parámetros fijos. Para más detalle vea anexo A1. Dado que el producto de matrices no es conmutativo, las operaciones deben de ser aplicadas en el orden que se indica en la parte superior, de modo que:

( ) ( ) ( ) ( )iiiiii xRaTdTzRA αθ ,,0,0,0,0,1 =− (2.3) i indica numero del eje de la articulación, la cual se define mediante una línea en el espacio o la dirección de un vector sobre la cual gira el vinculo i con respecto al vinculo i-1 (eslabón i-1).

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Desarrollando cada una de las operaciones de la ecuación 2.3 se tiene:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

=−

1000cos0

coscoscoscoscos

1

iii

iiiiiii

iiiiiii

ii

dsensenasensensen

asensensen

Aαα

θθαθαθθθαθαθ

(2.4)

Ahora, para obtención de la matriz de transformación general de cada dedo (manipulador independiente) se requiere multiplicar la matriz de cada falange en forma sucesiva, tal como:

nn AAAT 1

21

10 ....... −= (2.5)

Continuando con el algoritmo de Denavit-Hartenberg (D-H), se pueden obtener los parámetros de los dedos considerados como manipuladores independientes. Dada la consideración de la articulación de abducción y aducción localizada en un punto diferente (falange de abducción y aducción) a la articulación de la falange proximal, se obtuvo el siguiente modelo cinemático directo, partiendo de la asignación del sistema de coordenadas, tal como se muestra en la figura 2.1.

4l

3l

2l

1l

Tabla 2.1 Parámetros Denavit-Hartenberg de los dedos del efector Eslabón iθ iα

il id

1 1θ 90 1l 0 2 2θ 0 2l 0 3 3θ 0 3l 0 4 4θ 0 4l 0

Figura 2.1 Representación de la posición y orientación de un dedo del efector con 4 grados de libertad.

Desarrollando el producto de las matrices de transformación correspondientes a los eslabones de un dedo, se obtiene el siguiente modelo cinemático directo: 4

33

22

11

0 AAAAT= (2.6) Donde al sustituirse cada uno de los parámetros de la tabla 2.1 dentro de la ecuación 2.4 y ésta a su vez en la ecuación 2.6 se tiene:

- 21 -

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

10000100

00

10000100

00

10000100

00

10000010

00

4444

4444

3333

3333

2222

2222

1111

1111

slcsclsc

slcsclsc

slcsclsc

slcsclsc

T

(2.7)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++++−−+++−

=

10000

222332344234234

11212231323414123412341

11212231323414123412341

slslslcsslcslcslcslcsscsclcclcclcclssccc

(2.8)

donde )cos( iic θ= , )( ii sens θ= , )cos( jiijc θθ += , )( jiij sens θθ += Del producto de las matrices de transformación se obtienen las coordenadas del efector final ( zyx ppp y , ), dadas por:

222332344

11212231323414

11212231323414

slslslpslcslcslcslpclcclcclcclp

z

y

x

++=

+++=+++=

(2.9)

donde: 323223 ssccc −= , 323223s cssc += , 423423234 ssccc −= y 423423234s cssc += representan las fórmulas de suma de ángulos. La matriz T expresa la relación entre los ángulos articulares y la posición final del dedo, en la cual se encuentran considerados los movimientos de extensión, flexión, abducción y aducción. La ecuación 2.9 forma las coordenadas de posición respecto a la falange distal de los dedos de la mano CENIDET. Para más detalle de la obtención de la cinemática directa vea anexo A2. 2.1.2 Modelado cinemático inverso El problema cinemático inverso consiste en obtener los valores de las coordenadas articulares para llegar a un posición determinada, es decir, que es posible controlar al efector final de una manera explicita, esto es, directamente a través de la posición y orientación. Entonces

( )1q f x−= (2.10)

donde x es el vector posición y orientación del efector final y q es el vector de articulaciones de la cadena cinemática. Para encontrar una solución al problema cinemático inverso existen diferentes métodos, entre los cuales se encuentran:

- 22 -

Método geométrico. Hace uso de las relaciones geométricas y trigonométricas para

encontrar relaciones para definir los valores de las coordenadas articulares a partir de la ubicación deseada del efector final.

Método de las matrices de transformación inversa. Se obtiene a partir de las matrices

de transformación de toda la cadena cinemática y de cada uno de los eslabones del manipulador independiente. Se obtienen relaciones que definan los valores de las coordenadas articulares a partir de la ubicación deseada del efector final.

Método de desacoplo cinemático. Consiste en separar el problema de la posición y

orientación del efector final y posteriormente resolver el problema cinemático inverso con alguno de los métodos anteriores.

Otros métodos para dar solución al problema cinemático inverso son: Álgebra del

tornillo, cuaterniones duales, métodos iterativos. De los métodos mencionados, se hace elección del método de matrices de transformación homogéneas debido a la facilidad de ser aplicado cuando se trabaja con el problema de posición del efector final. El problema cinemático inverso para la mano robot de CENIDET se resuelve a partir de la matriz de transformación homogénea (conociendo las relaciones que expresan el valor de su posición y orientación en función de sus coordenadas articulares). Como paso primero para resolver el problema cinemático inverso es necesario conseguir la matriz de transformación homogénea (T), ya que relaciona al sistema de referencia asociado a la base con el sistema de referencia asociado a su extremo (figura 2.1). Las inversas de las matrices de transformación se muestran en anexo A3. Por lo tanto, una vez obtenidas las inversas de las matrices de transformación se hace uso de la ecuación (2.6) para resolver el problema cinemático inverso en relación a sus coordenadas articulares, obteniendo ( ) 4

33

22

111

0 AAATA =− ( 2.11)

De la ecuación 2.11 es posible obtener 1θ , 2θ , 3θ y 4θ , debido al desacoplo de la matriz de transformación resultante (T), expresando la ecuación (2.11) como:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡++++−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

10000100

00

10001000000100

0

222332344234234

222332344234234

11

111

slslslcsclclclsc

paonpaonpaon

cs

lsc

zzzz

yyyy

xxxx

(2.12)

- 23 -

De la ecuación 2.12, las ecuaciones de la cuarta columna son:

222332344111 clclcllpspc yx ++=−+ (2.13)

222332344 slslslpz ++= (2.14)011 =− yx pcps (2.15)

Para obtener 1θ se despeja la ecuación 2.15 y se expresa:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

x

y

pp

Tan 11θ

(2.16)

Ahora, con el uso de las ecuaciones 2.13 y 2.14 se obtienen 2θ y 3θ como:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

3

313 c

sTanθ

(2.17)

donde: ( ) ( )

32

22

23

22344

22344111

3 2 llllslpcllpspc

c zyx −−−+−−+=

233 1 cs −±=

y

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

2

212 c

sTanθ (2.18)

donde: ( ) ( )( )

( )2233

23

23

23323443323441112 lclsl

lclslpslcllpspcs zyx

++

+−+−−+−=

( )( ) ( )

( ) 23

23

2233

33234423323441112 sllcl

slslplclcllpspcc zyx

++

−++−−+=

Conociendo 2θ y 3θ , es posible obtener 4θ . Debido a la redundancia analítica que presenta el manipulador se tiene que 432234 θθθθ ++= , por lo que

322344 θθθθ −−= (2.19) Nótese de las ecuaciones resultantes (2.17, 2.18 y 2.19) que 234θ es aún desconocida, esto debido a que es difícil encontrar una formula cerrada para 234θ , ya que el valor de 234θ puede tomar diferentes valores para una misma posición. Por lo que, el problema cinemático inverso para cada dedo de la mano CENIDET no tiene una solución única, es decir, que para una posición es posible obtener una infinidad de soluciones para los ángulos de las articulaciones.

- 24 -

Obtener el valor de 1θ no es complicado, ya que es totalmente independiente de los demás ángulos de las articulaciones. Sin embargo, para encontrar 2θ , 3θ y 4θ que son coordenadas articulares dependientes entre sí, es necesario conocer 234θ para alcanzar una solución correspondiente a cada ángulo. Para encontrar 234θ se realizó una serie de iteraciones determinando así el valor de 234θ . Ver anexo A.3 para el código de programación en archivo .m de Matlab 7.1. 2.2 Simulaciones del modelado cinemático Las simulaciones del modelado cinemático directo y cinemático inverso han sido realizadas usando Matlab 7.1. La simulación del modelado cinemático directo conlleva a obtener el espacio de trabajo de la mano CENIDET. 2.2.1 Espacio de trabajo de cada dedo de la mano CENIDET La validación del modelo cinemático directo se hace alcanzando una posición final y consiguiendo el espacio de trabajo correspondiente a cada dedo. Conocer el espacio de trabajo de cada dedo de la mano CENIDET es de suma importancia, ya que facilita el trazado de trayectorias sin rebasar los límites de frontera alcanzables para cada dedo de forma independiente. El espacio de trabajo es el volumen de espacio que puede alcanzar el efector final con todas las orientaciones posibles que puedan obtenerse. La simulación del espacio de trabajo de cada dedo de la mano CENIDET correspondiente a movimientos de abducción, aducción, flexión y extensión son las mostradas en las siguientes figuras. Considerándose los 4 grados de libertad para cada dedo de la mano CENIDET (dedo índice, dedo medio, dedo anular y dedo pulgar) se realizó la simulación tomando los valores de los parámetros físicos de la mano CENIDET de [2], ver anexo B. Las figuras 2.2a, 2.3a, 2.4a y 2.5a muestran el espacio de trabajo de los dedos de la mano CENIDET para el movimiento de flexión/extensión, es decir se realiza un barrido de todos los puntos alcanzables por cada dedo, mientras se hace este barrido correspondiente a movimientos de flexión/extensión no existe movimiento de aducción/abducción alguno. Las coordenadas de posición donde los dedos de la mano están en reposo (0º) son (10.23, 0, 0), partiendo de estas coordenadas obsérvese de las figuras 2.2b, 2.3b 2.4b y 2.5b el barrido de puntos para el movimiento de aducción hasta alcanzar una posición de 11º se consiguen las coordenadas (10.04, 1.95, 0), los resultados de simulación mencionados respecto al movimiento de abducción se realizó no existiendo movimiento de flexión/extensión.

- 25 -

-4-2

02

46

810

-1

-0.5

0

0.5

1-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

X: 10.23Y: 0Z: 0

Posición en x del plano de un dedo (cm)

Espacio de trabajo del dedo Índice

X: 1.76Y: 0Z: 6.521

X: 0Y: 0Z: 0

X: -0.3053Y: 0

Z: -0.5008

Posición en y del plano de un dedo (cm)

Pos

ició

n en

z d

el p

lano

de

un d

edo

(cm

)

02

46

810

0

0.5

1

1.5

2-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X: 10.23Y: 0Z: 0


Espacio de trabajo del dedo Índice

X: 10.04Y: 1.952

Z: 0

X: 0Y: 0Z: 0


Pos

ició

n en

z d

el p

lano

de

un d

edo

(cm

)

a). Simulación movimientos de flexión y extensión.

b). Simulación del movimiento de abducción y aducción.

Figura 2.2. Espacio de trabajo del dedo índice

-4-2

02

46

810

12

-1

-0.5

0

0.5

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

X: 11.23Y: 0Z: 0


Espacio de trabajo del dedo pulgar

X: 2.467Y: 0Z: 7.228

X: -0.3053Y: 0Z: 0.4992


Pos

ició

n en

z d

el p

lano

de

un d

edo

(cm

)

02

46

810

12

0

0.5

1

1.5

2

2.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X: 11.23Y: 0Z: 0


X: 11.02Y: 2.143Z: 0

Espacio de trabajo del dedo pulgar


Pos

ició

n en

z d

el p

lano

de

un d

edo

(cm

)



Figura 2.3. Espacio de trabajo del dedo pulgar

-4-2

02

46

810

12

-1

-0.5

0

0.5

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

X: 11.23Y: 0Z: 0


Espacio de trabajo del dedo medio

X: 2.467Y: 0Z: 7.228

X: -0.3053Y: 0Z: 0.4992


Pos

ició

n en

z d

el p

lano

de

un d

edo

(cm

)

02

46

810

12

0

0.5

1

1.5

2

2.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X: 11.23Y: 0Z: 0


X: 11.02Y: 2.143Z: 0

Espacio de trabajo del dedo medio


Pos

ició

n en

z d

el p

lano

de

un d

edo

(cm

)



Figura 2.4. Espacio de trabajo del dedo medio

- 26 -

-4-2

02

46

810

12

-1

-0.5

0

0.5

1-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

X: 10.73Y: 0Z: 0


Espacio de trabajo del dedo anular

X: 2.113Y: 0Z: 6.875

X: -0.3053Y: 0Z: -0.0008483


Pos

ició

n en

z d

el p

lano

de

un d

edo

(cm

)

02

46

810

12

0

0.5

1

1.5

2

2.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X: 10.73Y: 0Z: 0


X: 10.53Y: 2.047Z: 0

Espacio de trabajo del dedo anular


Pos

ició

n en

z d

el p

lano

de

un d

edo

(cm

)



Figura 2.5. Espacio de trabajo del dedo anular

Las figuras 2.2, 2.3, 2.4 y 2.5 muestran el espacio de trabajo encontrado para cada uno de los dedos. Los puntos marcados sobre las figuras son coordenadas de posición usadas con el fin de validar el modelo cinemático directo. Los valores de dichas coordenadas se muestran en la tabla 2.2 y 2.3.

Tabla 2.2. Movimientos de flexión y extensión. Dedos de la mano

cenidet Ángulos asignados Coordenadas de

posición 1 2 3 40, 0, 0 y 0θ θ θ θ= = = = ( )10.23,0,0

1 2 3 40, 45, 55 y 35θ θ θ θ= = = = ( )1.76,0,6.521

Dedo índice

1 2 3 40, 90, 110 y 70θ θ θ θ= = = = ( )0.3053,0, 0.5008− −

1 2 3 40, 0, 0 y 0θ θ θ θ= = = = ( )0,0,23.11

1 2 3 40, 45, 55 y 35θ θ θ θ= = = = ( )228.7,0,467.2 Dedo Pulgar

1 2 3 40, 90, 110 y 70θ θ θ θ= = = = ( )4992.0,0,3053.0−

1 2 3 40, 0, 0 y 0θ θ θ θ= = = = ( )0,0,23.11

1 2 3 40, 45, 55 y 35θ θ θ θ= = = = ( )228.7,0,467.2 Dedo medio

1 2 3 40, 90, 110 y 70θ θ θ θ= = = = ( )4992.0,0,3053.0−

1 2 3 40, 0, 0 y 0θ θ θ θ= = = = ( )0,0,73.10

1 2 3 40, 45, 55 y 35θ θ θ θ= = = = ( )875.6,0,113.2 Dedo anular

1 2 3 40, 90, 110 y 70θ θ θ θ= = = = ( )0008483.0,0,3053.0−

- 27 -

Tabla 2.3. Movimientos de abducción y aducción

Dedos de la mano cenidet

Ángulos asignados Coordenadas de posición

1 2 3 40, 0, 0 y 0θ θ θ θ= = = = ( )10.23,0,0 Dedo índice

1 2 3 411, 0, 0 y 0θ θ θ θ= = = = ( )10.04,1.952,0

1 2 3 40, 0, 0 y 0θ θ θ θ= = = = ( )0,0,23.11 Dedo Pulgar

1 2 3 411, 0, 0 y 0θ θ θ θ= = = = ( )0,143.2,02.11

1 2 3 40, 0, 0 y 0θ θ θ θ= = = = ( )0,0,23.11 Dedo medio

1 2 3 411, 0, 0 y 0θ θ θ θ= = = = ( )0,143.2,02.11

1 2 3 40, 0, 0 y 0θ θ θ θ= = = = ( )0,0,73.10 Dedo anular

1 2 3 411, 0, 0 y 0θ θ θ θ= = = = ( )0,047.2,53.10 donde iθ representa los ángulos asignados a cada falange de los dedos. Nota: Las coordenadas de posición obtenidas en las gráficas están expresadas en centímetros, y los ángulos de articulación asignados expresados en grados. 2.2.2 Simulación de la cinemática inversa de la mano CENIDET La validación del modelo cinemático inverso conllevó a realizar una serie de iteraciones en programación, donde a partir de coordenadas de posición deseadas se obtuvieron los valores (ángulos) de las coordenadas generalizadas para cada falange. El diagrama de simulación usado en cinemática inversa es el siguiente:

29.77

theta4

59.29

theta3

43.74

theta2

5

theta1

55th535th4

45th2

5

th1

6.521

pz1

6.521

pz

0.1534

py1

0.1534

py

Pz

px4

Py

px3

Px

px2

1.753

px1

1.753

px

2.78

aaa4

2.4

aaa3

2.78

aaa2

2.4

aaa1

3.1

aa4

1.95

aa33.1

aa2

1.95

aa1

Px

Py

Pz

th1

tht2

th3

th4

Cinematica inversa

th1

th2

th3

th4

a1

a2

a3

a4

x

y

z

SC

Cinematica Directa1

th1

th2

th3

th4

a1

a2

a3

a4

x

y

z

SC

Cinematica Directa

Figura 2.6. Diagrama de simulación de la cinemática inversa.

- 28 -

Del diagrama de simulación (figura 2.6), nótese que el primer bloque corresponde a la cinemática directa, el segundo bloque a la cinemática inversa y el último bloque nuevamente a la cinemática directa. La prueba de simulación consistió en tomar los siguientes valores de coordenadas articulares ( )1 2 3 45, 45, 55 y 35θ θ θ θ= = = = para obtener primeramente la cinemática directa con los siguientes valores en las coordenadas de posición: ( )1.753, 0.1534 6.521x y zP P y P= = = . En segundo lugar, estas coordenadas se introdujeron al bloque de cinemática inversa, donde se resolvieron las ecuaciones mediante una serie de iteraciones, obteniendo los siguientes valores en las coordenadas articulares

)77.29,29.59,74.43,5( 4321 ==== θθθθ , tal como se nota en la figura. Finalmente, estos valores de coordenadas articulares se introdujeron al segundo bloque de cinemática directa, volviendo a obtener los primeros valores de la cinemática directa ( )1.753, 0.1534 6.521x y zP P y P= = = . Con esto se comprueba que la solución alcanzada por la cinemática inversa es la misma a la obtenida en el primer bloque de cinemática directa. El programa usado para el cálculo de la cinemática inversa se muestra en anexo A y las especificaciones mecánicas de la mano CENIDET usadas en las simulaciones se encuentran en el anexo B. 2.3. Modelado dinámico La cinemática estudiada anteriormente se refiere a las propiedades geométricas basadas en coordenadas de posiciones en el espacio. Ahora, las relaciones entre estos movimientos y las fuerzas y momentos de torsión que los ocasionan constituyen el problema de la dinámica. La dinámica se encarga de estudiar las fuerzas y momentos que ejerce la carga transportada sobre la última articulación, así como las que ejercen los actuadores y cada articulación sobre las contiguas. Es posible determinar el movimiento, aplicando las leyes de la mecánica en cualquiera de sus formulaciones (Newton, Lagrange, D’Alembert, etc.). Hay dos problemas que se busca resolver y que están relacionados con la dinámica de un manipulador. En el primero, a partir de un punto de una trayectoria se desea encontrar el vector requerido de momentos de torsión del manipulador. El segundo problema consiste en calcular como se moverá el mecanismo bajo la acción de un conjunto de momentos de de torsión de articulación.

- 29 -

El modelo dinámico de un robot de acuerdo a [3] consta de una ecuación diferencial ordinaria vectorial en las posiciones, ya sean articulares (q) o cartesianas (x), generalmente de segundo orden, pudiéndose expresar como:

( ), , , 0f q q q τ =& && , modelo dinámico articular

( ), , , 0f x x x τ =& && , modelo dinámico cartesiano Donde: qqq &&&,, y xxx &&&,, representan la posición, velocidad y aceleración del sistema respectivamente y τ denota al vector de pares y fuerzas aplicadas en las articulaciones por medio de los servomotores. La ecuación de Euler-Lagrange (E-L) para este tipo de sistemas, se expresa como:

( ) ( ) τ=∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ qqL

qqqL

qdtd

&&

&&

,, (2.20)

donde UKL −= . L es el Lagrangiano, K es la energía cinética, U es la energía potencial y q es el correspondiente vector de variables articulares generalizadas. Esta ecuación debe ser calculada para cada articulación independiente del manipulador. Para desarrollar el modelado dinámico correspondiente a cada dedo de la mano CENIDET es necesario determinar el número de variables articulares, es decir, el vector de coordenadas articulares. En los dedos del efector hasta este momento se han considerado 4 grados de libertad por lo que su vector de variables articulares es:

[ ]T1 2 3 4q q q q q= (2.21)

Donde, q1 representa la articulación de la falange de abducción y aducción, q2 la articulación de la falange proximal, q3 la articulación de la falange medial y q4 la articulación de la falange distal. 2.3.1 Modelado dinámico usando las ecuaciones de Euler-Lagrange La obtención del modelo dinámico para cada dedo de la mano CENIDET se realizó usando las ecuaciones de movimiento Euler-Lagrange (E-L), para más detalle de la metodología revisar [4] y [5]. En el modelado se consideraron los movimientos de flexión, extensión, abducción y aducción, donde cada dedo se consideró como un manipulador independiente completamente actuado de 4 grados de libertad.

- 30 -

El modelado dinámico basado en el formalismo Euler-Lagrange se obtuvo de la representación de un dedo como manipulador independiente y considerando a cada eslabón (falange) como un cuerpo rígido, tal como se muestra en la figura 2.7. Para este caso, los desplazamientos se llevan a cabo en el espacio (no en un plano), esto debido a la consideración de los movimientos de abducción y aducción de los dedos de la mano CENIDET.

2l

4l

3l

1l2q

3q

4q

2cl

4cl

3cl

1cl

1q

21

1θ

=q

1q

1cl1l

a) b) Figura 2.7. Diagrama del dedo de la mano CENIDET (4 g.d.l.).

Para la aplicación de las ecuaciones de movimiento Euler-Lagrange es necesario disponer de su energía cinética y energía potencial. Para ello de la figura 2.7 se obtienen las ecuaciones que expresan las coordenadas de posición del centro de masa de cada una de las falanges, así como sus derivadas para la obtención de los vectores de velocidad (vea anexo C). Los vectores de velocidad del centro de masa de cada falange, se expresan como:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

i

i

i

i

zyx

v&

&

&

(2.22)

de donde la rapidez al cuadrado i

Ti vv del centro de masa para cada falange puede obtenerse

como:

- 31 -

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

i

i

iT

iiiiTi

zyx

zyxvv&

&

&

&&& (2.23)

Sustituyendo las componentes del vector velocidad para cada falange dentro de la ecuación 2.23 y desarrollándola mediante el empleo de identidades trigonométricas y una serie de pasos algebraicos, finalmente se llega a la ecuación de rapidez al cuadrado, expresada como.

21

2111 qlvv c

T &= (2.24)

( )( )22

212

22222 cos qqqlvv c

T && += (2.25)

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) 3223

23

23

22

23323

212

33212

22

22

21

2332

21

23

21

222

21

223332233

22233

22cos

cos2122cos

21

212cos

21cos2cos2

qqlqlqlqqlql

qlqlqlqlqqql

qlqqlqqlqlqlqlvv

cccc

ccc

ccT

&&&&&

&&&&

&&&&&

+++++

+++++

+++=

(2.26)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2 24 4 4 2 3 2 2 4 4 3 4 2 2 3 3 3 3 3

2 2 2 2 22 2 3 3 3 1 2 3 2 2

2 2 2 2 2 2 2 24 1 2 3 4 2 1 2 1 2 3 2

24

2 2 cos 2 cos1 2 cos cos 2 22

1 1 1 cos 2 2 2 cos 22 2 2

2

Tc c

c

c

v v l q q l q l q q q l q l q q l q

l q l q l q q q l q

l q q q q l q l q q l q

l q

= + + + +

+ + + +

+ + + + + +

+

& & & & & & &

& & &

& & & &

& ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 22 4 4 2 4 3 4 4 2 2 4 3 4

2 2 23 2 4 4 4 3 4 3 2 3 2 2 4 3 3 4

2 23 2 4 3 4 3 3 4 4 2 1 3 3

22 1 3

2 cos

2 cos 2 2 2 cos

4 cos 2 cos cos

cos

c c c c

c c c

c c

q l q l q l q l q l q q

l q l q l q q l q q l q l q q q

l q l q q l q l q l q l q

l q l

+ + + + +

+ + + + +

+ + +

+

& & & & &

& & & & & & &

& & & &

& ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

22 3 2 1 4 3 4

22 1 4 2 3 4 3 2 4 4 4 3 3 4 4 4

2 2 2 2 2 23 1 4 1 3 1 4 4 3 1 4 2 3 4

2 cos

cos 2 2 cos 2 cos1 1 cos cos 2 22 2

c

c c c

c c c

q q l q l q q

l q l q q q l q l q q l q l q q

l q l q l q l q l q l q q q

+ + +

+ + + + +

+ + + + + +

&

& & & & &

& & & &

(2.27)

El término de la rapidez al cuadrado i

Ti vv , del centro de masa de cada falange, se sustituye

en las ecuaciones de energía cinética y energía potencial, obteniendo así el Lagrangiano: ( ) ( ) ( )qUqqKqqL −= && ,, (2.28)

De esta ecuación, pueden obtenerse las ecuaciones de movimiento Euler-Lagrange correspondientes a cada falange de los dedos de la mano CENIDET según:

- 32 -

( ) ( ) iii

qqLq

qqLqdt

d τ=∂∂

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

&&&

,, ni ,........4,3,2,1= (2.29)

donde: iτ representa las fuerzas y pares ejercidos externamente en cada articulación, así como fuerzas no conservativas. Como fuerzas no conservativas se incluyen la fricción y en general las que dependen del tiempo y la velocidad. Las ecuaciones dinámicas que modelan a los dedos de la mano CENIDET se obtienen aplicando las ecuaciones de movimiento Euler-Lagrange. Entonces, usando la ecuación 2.29 para cada falange, los pares correspondientes a cada articulación son las siguientes (para más detalle ver anexo C): Eslabón 1 (Falange de abducción-aducción).

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ] 1332323332332

233

1243224432324

1243243432234

1222244324242

222

1232323222332

233

121113324432

244

1234443432324

14324343223443424

12224

244

224432424

14222

222323232223

133323223

23332

2331

222

22222

22222

2222

22222

cos222cos21

21cos2cos

22cos22cos21cos

2cos21

21

212cos

cos2cos2cos21

cos21

2122cos

21

qqqqsenllmqsenllmqqsenlm

qqqqqsenlmqqsenllm

qqqqqsenllmqqsenlm

qqqsenlmqqqsenllmqsenlm

qqqqsenllmqsenlmqqsenlm

qlmIqllmqqqlm

qlmqllmqqllm

qqqqllmqqlmqqllm

qqlmlmlmqqqllm

qIqlmIqqllmqlm

qIqllmlmlmqqlm

ccc

c

c

cc

cc

cc

c

cc

cc

cc

ccc

&&

&&

&&

&&

&&

&&

&&

&&

&&

&&

&&

−+−−+−+

++−+−+

++−+−+

−++−−+

+−−+−+

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++++++

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++++

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++++++

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++++++

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++++++

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++++=τ

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]11114432244

14443443243443424

14432424133324

1343224432324432434

133223443424432424

222

22 2

2222222

222

qsenglmqqqqqsenlm

qqqsenllmqqqsenllmqqsenllmqqqqqsenllmqqqsenllm

qqqqqsenlmqqsenllmqqqsenllm

qqqqsenlmqqsenllmqqqsenllm

cc

ccc

c

cc

cc

−−++−+

−++−+−+++−+−+

++−+−++−+

+−+−++−+

&&

&&

&&&&

&&

&&

(2.30)

- 33 -

Eslabón 2 (Falange proximal).

( ) ( ) ( )( )

2 2 2 2 2 22 2 4 4 2 4 3 4 4 3 2 2 3 3 3 2 2

3 2 3 3 4 3 4 4 4 2 3 3 2

4 2 4 3 4 2

2 cos 2 cos 2 cos

2 cos

c c c

c c

c

I I m l m l m l I m l m l m l q

m l l q m l l q m l l q q

m l l q q q

τ ⎡ ⎤= + + + + + + + +⎣ ⎦+ + +⎡ ⎤⎣ ⎦+ +⎡ ⎤⎣ ⎦

&&

&&

&&

( ) ( ) ( )[ ]( )[ ]( ) ( )[ ] 4434244

2444434

323333323

343424244332444344

234

coscos

cos

coscoscos2

qqqllmIlmqllm

qlmIqllm

qqqllmlmqllmqllmIlm

ccc

cc

ccc

&&

&&

&&

+++++

+++

+++++++

( ) ( ) ( )[ ] 234342433243323 222 qqqqsenllmqsenllmqsenllm cc &&+−−−+ ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]2223233

223432443234224

212

222432

244

2132324432434

2132

2342

224432424

21323232

22332

233

24434244434

3443424443443424

24434244434

234342433243323

coscos coscoscoscos

221222

21

222

22212

212

222122

21

2 22

qglmqqglmqglmqqqglmqqglmqglm

qqsenlmqqqsenlm

qqqsenllmqqqsenllm

qqqsenlmqsenlmqqqsenllm

qqqsenllmqsenlmqqsenlm

qqqsenllmqsenllm

qqqqsenllmqsenllmqqsenllmqqqqsenllmqsenllm

qqqsenllmqsenllmqsenllm

cc

c

cc

c

c

cc

cc

ccc

cc

cc

++−++++++−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++−−

+−++−−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−++−−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−+−−

+−−+

+−−+−++−−+

+−−−+

&

&

&

&

&

&&

&&

&

(2.31)

- 34 -

Eslabón 3 (Falange medial). ( ) ( )

( ) ( )( )

( )

2 23 4 3 4 4 3 4 4 4 2 3 3 4 4 2

24 2 4 3 4 3 2 3 3 3 3 3 2

2 2 23 3 3 4 4 4 3 4 4 3 4 4 3

24 4 4 3 4 4 4 4

2 cos cos

cos cos

2 cos

cos

c c

c c c

c c c

c c

m l I m l l q m l l q m l q

m l l q q m l l q I m l q

I m l m l m l I m l l q q

m l m l l q I q

τ ⎡ ⎤= + + + +⎣ ⎦⎡ ⎤+ + + + +⎣ ⎦⎡ ⎤+ + + + + +⎣ ⎦⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦

&&

&&

&&

&&

( )( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

4 3 4 4 4 2

4 3 4 4 4 3

24 3 4 4 4

2 23 3 2 3 3 2 3 3 3 2 3 2 3 1

4 2 4 2 3 4 4 2 4 3 4

2

2

1 1 1 2 2 22 2 21 1 22 2

c

c

c

c c c

c c

m l l sen q q q

m l l sen q q q

m l l sen q q

m l sen q q m l l sen q m l l sen q q q

m l l sen q q q m l l sen q q

+ −⎡ ⎤⎣ ⎦+ −⎡ ⎤⎣ ⎦+ −⎡ ⎤⎣ ⎦⎡ ⎤− − + − − +⎢ ⎥⎣ ⎦

− − + + − +

& &

& &

&

&

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

21

2 24 3 2 3 4 3 4 2 3 4 1

2 24 2 3 2 3 4 4 2 3 4 4 2 3 3 1

23 2 3 3 4 2 3 3 4 2 4 3 4 2

3

1 2 2 2 221 1 1 2 2 2 22 2 2

c

c

c c

q

m l sen q q m l l sen q q q q

m l l sen q q m l sen q q q m l l sen q q

m l l sen q m l l sen q m l l sen q q q

m

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤− − + − + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤− − + − + + −⎢ ⎥⎣ ⎦

− − − − +⎡ ⎤⎣ ⎦−

&

&

&

&

( ) ( ) ( )3 2 3 4 3 2 3 4 4 2 3 4cos cos cosc cgl q q m gl q q m gl q q q+ + + + + +⎡ ⎤⎣ ⎦

(2.32)

Eslabón 4 (Falange distal).

( ) ( )( )

( )

( ) ( )

24 4 3 4 4 4 4 4 4 2 4 3 4 2

2 24 4 4 3 4 4 4 3 4 4 4 4

4 3 4 4 2 3

24 2 4 2 3 4 4 2 4 3 4 1

4

cos cos

cos

2

1 1 22 21 2

c c c

c c c

c

c c

m l l q m l I m l l q q q

m l m l l q I q m l I q

m l l sen q q q

m l l sen q q q m l l sen q q q

m

τ ⎡ ⎤= + + + +⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

+ ⎡ ⎤⎣ ⎦⎡ ⎤− − + + − +⎢ ⎥⎣ ⎦

− −

&&

&& &&

& &

&

( )

( ) ( )

( ) ( )( )( )

23 4 4 1

2 24 3 4 2 3 4 4 4 2 3 4 1

24 3 4 4 4 2 4 3 4 2

24 3 4 4 3

4 4 2 3 4

1 1 2 2 2 2 22 2

cos

c

c c

c c

c

c

l l sen q q

m l l sen q q q m l sen q q q q

m l l sen q m l l sen q q q

m l l sen q q

m gl q q q

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤− − + + − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

− − − +⎡ ⎤⎣ ⎦− −⎡ ⎤⎣ ⎦− + +⎡ ⎤⎣ ⎦

&

&

&

&

(2.33)

- 35 -

Nótese que las ecuaciones dinámicas de la mano robot (2.30)-(2.33) son un conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales en el estado. Retomando la estructura del modelo dinámico de robots manipuladores de n g.d.l,

( ) ( ) ( ),M q q C q q q G q τ+ + =&& & & (2.34)

donde, ( )qM es la matriz de inercias, ( )qqC &, es la matriz centrífuga y de Coriolis, ( )G q es un vector de pares o fuerzas gravitacionales y τ es el vector de fuerzas externas, siendo éstas generalmente los pares y fuerzas aplicadas por los accionadores en las articulaciones. La ecuación (2.34) se reescribe como:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

44434241

34333231

24232221

14131211

ττττ

gggg

qqqq

cccccccccccccccc

qqqq

mmmmmmmmmmmmmmmm

&

&

&

&

&&

&&

&&

&&

(2.35)

donde:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 211 3 3 2 3 3 3 3 2 3 2 3 3 3

2 2 23 2 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 4

2 2 24 2 4 2 3 4 4 2 4 4 4 2 2

1 1 1 cos 2 2 cos2 2 21 cos 2 cos 2 cos2

1 1 1 cos 2 cos 22 2 2

c c c

c c

c c

m m l q q m l m l m l l q I

m l q m l l q q I m l q I

m l l q q q m l m l m l q

⎡ ⎤= + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++++++ 2

1113324432244 cos222cos

21 cc lmIqllmqqqlm

( ) ( ) ( )

( ) ( )

24 2 4 3 4 4 3 2 3 4 3 4 2 3 4

24 2 3 2 3 4 3 4 4 4 3

1 cos cos 2 2 cos 2 22

1 cos 2 cos2

c c

c

m l l q q m l q q m l l q q q

m l l q q m l l q m l

⎡ ⎤+ + + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

012 =m 013 =m 014 =m 021 =m

( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]4342433244434

3323223

233

2223

244

234

2244222

cos2cos2cos2 cos2

qqllmqllmqllmqllmlmlmlmIlmlmlmIIm

cc

cccc

+++++++++++++=

- 36 -

( ) ( ) ( )[ ]( )[ ]2

3333323

43424244332444344

23423

cos

coscoscos2

cc

ccc

lmIqllm

qqllmlmqllmqllmIlmm

+++

++++++=

( ) ( )[ ]434244244443424 coscos qqllmIlmqllmm ccc ++++=

031 =m ( ) ( ) ( )[ ]

( )[ ]23333323

43424244332444344

23432

cos

coscoscos2

cc

ccc

lmIqllm

qqllmlmqllmqllmIlmm

+++

++++++=

( )[ ]44344234

244

233333 cos2 qllmIlmlmlmIm ccc +++++=

( )[ ]4443424434 cos Iqllmlmm cc ++=

041 =m ( ) ( )[ ]434244

244443442 coscos qqllmIlmqllmm ccc ++++=

( )[ ]4443424443 cos Iqllmlmm cc ++=

[ ]424444 Ilmm c +=

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] 243243432

234

222244324242

222

232323222332

23311

22222

2222

22222

qqqqsenllmqqsenlm

qqsenlmqqqsenllmqsenlm

qqqsenllmqsenlmqqsenlmc

c

cc

cc

&

&

&

++−+−+

−++−−+

+−−+−=

( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ] 332

23443424432424

332323332332233

243224432324

222

222

22222

qqqsenlmqqsenllmqqqsenllm

qqqsenllmqsenllmqqsenlm

qqqqsenlmqqsenllm

cc

ccc

c

&

&

&

+−+−++−+

+−−+−+

++−+−+

( ) ( ) ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]

( )[ ] 4432244

4443443243443424

443242433324

343224432324432434

222

22 2

2222222

qqqqsenlm

qqsenllmqqqsenllmqqsenllmqqqqsenllmqqsenllm


c

ccc

c

cc

&

&

&&

&

++−+

−++−+−+++−+−+

++−+−++−+

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] 1432

24432324

143243432234

122244324242

222

132323222332

23312

22222

22222

2222

22222

qqqqsenlmqqsenllm

qqqqsenllmqqsenlm

qqsenlmqqqsenllmqsenlm


c

c

cc

cc

&

&

&

&

++−+−+

++−+−+

−++−−+

+−−+−=

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ] 1432

24432324432434

13223443424432424

13232333233223313

2222222

222

222


qqqsenlmqqsenllmqqqsenllm

qqqsenllmqsenllmqqsenlmc

cc

cc

ccc

&

&

&

++−+−++−+

+−+−++−+

+−−+−=

( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]

( )[ ] 1432244

1443443243443424

143242414

222

22 2

qqqqsenlm

qqsenllmqqqsenllmqqsenllmqqqqsenllmc

c

ccc

c

&

&

&

++−+

−++−+−+++−=

- 37 -

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) 12222

143224432324432434

1322342

224432424

132323222332

23321

221

22221222

22212

212

222122

21

qqsenlm


qqqsenlmqsenlmqqqsenllm


c

cc

c

cc

&

&

&

&

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−+−++−−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−++−−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−+−−=

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] 4434244434

3434243324332322

22 222

qqqsenllmqsenllmqqqsenllmqsenllmqsenllmc

cc

cc

&

&

+−−++−−−=

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ] 443424443443424

34342433243323

2434243324332323

2

222

qqqsenllmqsenllmqqsenllmqqqsenllmqsenllmqsenllm

qqqsenllmqsenllmqsenllmc

ccc

cc

cc

&

&

&

+−−+−++−−−+

+−−−=

( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] 4434244434

343424443443424

243424443424

2

22

qqqsenllmqsenllmqqqsenllmqsenllmqqsenllm

qqqsenllmqsenllmc

cc

ccc

cc

&

&

&

+−−++−−+−+

+−−=

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 143424432424

13232333233223331

212

21

221

2122

21

qqqsenllmqqqsenllm

qqqsenllmqsenllmqqsenlmc

cc

ccc

&

&

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−++−−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−+−−=

( ) ( )

( ) ( ) ( ) 1332443224432324

143243432234

21222

212

21

222221

qqsenllmqqqsenlmqqsenllm

qqqqsenllmqqsenlm

c

c

&

&

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++−+−−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−+−−

( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] 243424332433234443432 2 qqqsenllmqsenllmqsenllmqqsenllmc ccc && +−−−−−= ( )[ ] 4443433 2 qqsenllmc c &−= ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] 44434344342443434 2 2 qqsenllmqqsenllmqqsenllmc ccc &&& −+−+−=

( ) ( ) ( ) 144344342443242441 21

212

21 qqsenllmqqsenllmqqqsenllmc ccc &⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+−++−−=

( )[ ] ( ) ( )[ ] 24342444343443442 2 qqqsenllmqsenllmqqsenllmc ccc && +−−−=

( ) ( ) 1432244432434 222

2122

21 qqqqsenlmqqqsenllm cc &⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ++−++−−

( )[ ] ( )[ ] 344342443443 2 qqsenllmqqsenllmc cc && −−= 044 =c

( )[ ]1111 qsenglmg c−−=

- 38 -

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 4 2 2 4 3 2 3 4 4 2 3 4 3 2 2

3 3 2 3 2 2 2

cos cos cos cos

cos cosc

c c

g m gl q m gl q q m gl q q q m gl q

m gl q q m gl q

= − + + + + + +⎡ ⎤⎣ ⎦− + +⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( ) ( )[ ]43244323432333 coscoscos qqqglmqqglmqqglmg cc ++++++−= ( )[ ]432444 cos qqqglmg c ++−=

Esta representación del modelo dinámico de la mano CENIDET contiene propiedades específicas, las cuales ayudan al diseño de controladores para robots. Para más detalle de la obtención del modelado dinámico ver anexo C. 2.4. Resumen Los puntos abordados dentro del capítulo fueron:

• El modelo cinemático directo de la mano CENIDET fue desarrollado usando el formalismo convencional de Denavit-Hartenberg.

• Cada dedo de la mano CENIDET se consideró como manipulador independiente

con 4 grados de libertad.

• Se determinó el espacio de trabajo de la mano CENIDET correspondiente a cada uno de los dedos, esto con el fin de conocer los límites de posición alcanzables por el efector final.

• El problema de cinemático inverso fue resuelto usando las matrices de

transformación homogéneas, basado en el desacoplo de posición y orientación.

• La simulación del modelo cinemático inverso se realizó comprobando los ángulos obtenidos sujetos a las coordenadas de posición deseada.

• El modelado dinámico de la mano CENIDET fue obtenido usando las ecuaciones de

movimiento Euler-Lagrange, donde se consideraron los movimientos de flexión, extensión, abducción y aducción.

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2.5. Bibliografía [1] J. J. Craig, “Robótica”, Tercera Edición, Impreso en México, 2006, Editorial Prentice Hall. [2] C. Hernando, H. Jesús, Tesis de Maestría: “Diseño de un Sistema Articulado Emulando el

Movimiento de una Mano”, Departamento de Mecatrónica, CENIDET, 2006. [3] R. Kelly, CICESE, V. Santibáñez, Instituto Tecnológico de la Laguna, Control de Movimiento de

Robots Manipuladores. Automática y robótica, Impreso en Madrid, 2003, Editorial Prentice Hall. [4] T. Nilsson and M. Perez, Tesis de Maestría: “Introduction to Passivity-Based Control of Euler-

Lagrange Systems”, Växjö University, School of Mathematics and Systems Engineering, November 2003.

[5] A. Loria, “Notes on Dynamics of Euler-Lagrange Systems”, Center for Control Engineering and Computation University of California, 1998.

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Capítulo 3

Descripción Funcional de la

Mano CENIDET La descripción funcional del prototipo mano CENIDET se describe en el presente capítulo, así como los elementos que la componen y la interacción entre ellos. También se detallan sus características mecánicas y electrónicas. De la misma forma se explica la programación usada, útil para la validación experimental de los tipos de controladores propuestos.

3.1. Descripción mecánica de la mano CENIDET La etapa de diseño mecánico de la mano CENIDET desarrollado por [Cimadevilla y Herrera] consistió en asemejar el prototipo lo más posible a la mano humana (ver figura 3.1), incluyendo en ello características de volumen y forma singulares, lo que da a la mano CENIDET una característica especial en comparación con otros prototipos desarrollados en otras instituciones. La mano CENIDET fue desarrollado con cuatro dedos, no considerándose el dedo meñique ya que no participa en la mayoría de las tareas de agarre a diferencia de los otros dedos [1].

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Figura 3.1 Mano CENIDET [2].

Para una descripción funcional de la parte mecánica de la mano se detallará en dedos, palma y antebrazo. El diseño mecánico funcional de los cuatro dedos es igual. Para cada dedo se tienen 3 articulaciones (falanges) que permiten movimientos de flexión y extensión. Una cuarta articulación entre la falange proximal y la palma permite movimientos de abducción y aducción del dedo. Por lo tanto, cada dedo constituye una cadena cinemática abierta de 4 grados de libertad que consta de 4 articulaciones rotacionales; tres de ellas para flexión-extensión y una para abducción-aducción. Cada articulación del dedo es actuada mediante un tensor movido por un motor de CD en configuración de lazo cerrado. Todos los motores están concentrados en un antebrazo, reduciendo así la masa de cada una de las falanges de los dedos. En la figura 3.2 se identifican las partes de un dedo de la mano CENIDET.

Figura 3.2. Articulaciones del dedo mecánico.

Falange Proximal

Falange Medial

Falange Distal

Articulación 4

Articulación 3

Articulación 2

Falange AbducciónArticulación 1

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La representación esquemática de un dedo con todos los elementos mecánicos que la componen se muestra en la figura 3.3. La representación permite visualizar fácilmente los enrutamientos de los tensores, las poleas conductoras, los ejes, entre otros elementos. La figura 3.3 representa las líneas de transmisión de potencia para movimientos de flexión y extensión de un dedo de tres grados de libertad, correspondiente a una configuración de tipo cerrado. La función principal de las poleas conductoras (i), es la de guiar las líneas de transmisión a todas las falanges, sin que los tensores (t) se puedan enredar entre ellos; por consiguiente, la rotación de las poleas conductoras (i) será la misma que tenga la polea motriz (j).

Figura 3.3. Representación esquemática del sistema de transmisión por tendones para un dedo de tres grados de libertad para los movimientos de flexión y extensión.

La figura 3.4 describe funcionalmente el enrutamiento de tendones para los movimientos de abducción y aducción para cada dedo, la cual consiste de lo siguiente: Si el tensor t4 es jalado en dirección D, el dedo girará sobre su eje en la dirección D1 y t5 se moverá como D3. Si t5 es jalado en dirección D, el dedo girará sobre su eje en la dirección D2 y t4 se moverá como D4, produciendo así los movimientos de abducción y aducción del dedo.

Figura 3.4. Representación esquemática y funcional del sistema de transmisión mediante tensores para

realizar los movimientos de abducción y aducción del dedo.

Polea j Polea j+1

Polea j+2 Polea i

Poleas i

t1 t2 t3

a b c

a b c

t4

D1

D2 t5

D3

D4

D

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La palma es un ensamble rígido que dentro de sus principales funciones tiene el mantener unidos los cuatro dedos. En la palma se encuentran las piezas que conducen a los tensores por el camino adecuado para llegar hasta el antebrazo, donde se unen a los motores que dan movimiento a cada una de las articulaciones de los dedos (ver figura 3.5). La palma está unida mediante una placa de aluminio al antebrazo que le da soporte a la mano completa (ver figura 3.6). Los 16 motores están acomodados en el antebrazo. La tabla 3.1 indica el nombre de las partes que componen al antebrazo.

Figura 3.5. Palma de la mano CENIDET

Antebrazo

Tensores del dedo anular

Tensores del dedo medio

Tensores del dedo índice

Tensores del dedo pulgar

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Tabla 3.1. Componentes que forman el antebrazo.

Número Pieza 1 Placa unión palma-

antebrazo 2 Base motor 3 Motor 1724 4 Motor 2342 5 Polea motriz 6 Soporte antebrazo 7 Mesa mano cenidet 8 Motor 2242 9 Placa antebrazo

Figura 3.6. Detalle de las piezas y motores que forman el antebrazo.

Las piezas de la mano CENIDET fueron construidas en una aleación de aluminio 6061. Considerando los cuatro dedos, todas las piezas que constituyen la palma y los motores (sin el antebrazo), la mano CENIDET tiene una masa de 1,940 gramos.

3.2 Descripción de la electrónica de la mano CENIDET La parte electrónica de la mano CENIDET está constituida por una tarjeta de adquisición de datos de National Instruments (PCI 7833R), 4 tarjetas de potencia, 1 tarjeta de recolección de señales de los encoders y una tarjeta principal por donde se reciben, envían y procesan todas las señales manejadas de la mano. 3.2.1. Tipo de señales usadas en la mano cenidet Las señales manejadas en la mano CENIDET son las siguientes:

Alimentación de 12V (electrónica de potencia) y 5V (sensores de posición y circuitos integrados).

Dos señales digitales por motor para sensores de posición. Una señal digital PWM para cada motor. Una señal digital para sensado de corriente para cada motor.

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Una señal digital para sentido de giro de cada motor. Lo que hace un total de 82 señales independientes usadas para la operación de la mano CENIDET. El sistema completo puede demandar hasta 101 W cuando trabaja a su máxima potencia, contemplando los 16 motores de CD y las 6 tarjetas diseñadas para las etapas de la electrónica de la mano CENIDET. 3.2.2. Acondicionamiento de señales Para el acondicionamiento de señales se usan las tarjetas de adquisición de datos PCI 7833R de la marca National Instruments (NI) [2] y dos conectores SCB-68 de la misma marca. Así mismo se diseñaron y construyeron 4 tarjetas de potencia, 1 tarjeta colectora y una tarjeta principal. La tarjeta PCI-7833R cuenta con tres conexiones, dos de tipo DIO (40 entradas/salidas digitales) y una de tipo MIO (16 entradas/salidas digitales, 8 entradas analógicas y 8 salidas analógicas) y están representadas en la figura 3.7. El conector que se utiliza para las conexiones DIO y MIO es el SCB-68, ver figura 3.8.

Figura 3.7. Conexiones de la tarjeta PCI 7833R.

Figura 3.8. Conectores SCB-68

Estas tarjetas son usadas solo para enviar y recibir datos provenientes de la computadora, por lo que para el acondicionamiento de las señales que interactúan con los servomotores fue necesario diseñar algunas tarjetas. El procedimiento de interacción entre cada una de las tarjetas consiste en leer las señales provenientes de los encoders para conocer la posición y velocidad de cada articulación. Mediante un algoritmo de control se determina el suministro de energía a los motores para lograr los movimientos correspondientes de acuerdo a una posición de referencia asignada a cada falange.

Conexión MIO

Conexión DIO-1

Conexión DIO-2

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La tarjeta que interactúa directamente con los motores de la mano CENIDET (tarjetas colectoras) tiene como función llevar alimentación de 5V a cada uno de los sensores de posición de los motores. También se encarga de recolectar y ordenar en dos grupos de canales (A y B) las señales generadas por los sensores de posición de cada uno de los 16 motores para posteriormente llevarlas a la tarjeta principal. Los sensores de posición angular (en inglés encoders) tienen una resolución de 512 cuentas por vuelta del motor, pero como los motores tienen caja de reducción de 1:66, la resolución aumenta a 33792 cuentas por vuelta. Esto permite una resolución de 0.010653º por cuenta. También estas tarjetas tienen como función hacer llegar las señales analógicas (varía según la acción de control en el PWM de cada motor) a cada una de las terminales de los motores generados por la electrónica de potencia. Otra de las tarjetas que intervienen para procesar y repartir todas las señales es la denominada tarjeta principal donde se interconectan todas las tarjetas y conectores. Por la tarjeta principal pasan las 82 señales mencionadas anteriormente. Para mayor detalle de su distribución ver anexo D. En el acondicionamiento de señales como se menciono anteriormente intervienen también dos conectores SCB-68 como el de la figura 3.8, cada una de los cuales es asignada para dos dedos. La tarea principal de estos conectores es la distribución de los sentidos de giro para cada motor de la mano, provenientes de la etapa de control, llevándolos a la tarjeta principal donde se enrutarán tanto a la tarjeta de potencia como al motor correspondiente. A su vez estos conectores llevan las señales PWM de los dedos de la tarjeta de control PCI-7833R a la tarjeta principal, donde también se enrutarán a la tarjeta de potencia y motor correspondiente. Los conectores SCB-68 llevan todas las señales de los sensores de posición provenientes de la tarjeta principal a la tarjeta de control (PCI-7833R), para procesar los datos y obtener la posición real de cada una de las falanges de la mano. La secuencia de interacción de cada una de las señales entre las tarjetas es la siguiente: Las señales de control generadas por el algoritmo de control pasan de la tarjeta de control a la tarjeta principal y de éstas a la etapa de potencia. Las señales en la etapa de potencia son modificadas para ser enviados posteriormente a cada motor y así producir el movimiento necesario de acuerdo a la posición de referencia asignada. La descripción de la etapa de potencia se realiza más adelante. Por lo que en la figura 3.9 se presenta el diagrama de la interfaz manejada en la operación de la mano CENIDET, la cual cada una de sus etapas ya han sido descritas anteriormente.

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3.2.3. Electrónica de potencia Para lograr el objetivo de control es necesario el desarrollo de una etapa de potencia, la cual actúa como parte importante, ya que brinda la potencia necesaria al sistema completo para alcanzar los objetivos de control. Las señales de control empleadas para manipular la velocidad de cada motor de CD son señales tipo PWM, las cuales son introducidas en la etapa de potencia para brindar la energía necesaria a cada actuador para girar y detenerse. El diseño de la etapa de potencia es conformada por un puente H (LMD18200T) [3] para manipulación de cada motor y su sentido de giro. Adicionalmente, permite el sensado y amplificación de corriente consumida por los motores mediante el circuito integrado LM324. También la etapa de potencia está compuesta por integrados LM3524 que son los generadores de señales PWM. Esto para el caso en que se desee manipular la potencia de forma analógica. La corriente máxima que la etapa de potencia soporta por motor en modo intermitente (100µs) es de 3A, en modo continuo (80% ON, 20% OFF) soporta 2.5A y en operación DC hasta 2A. El diagrama esquemático de una tarjeta de potencia para un dedo es el mostrado en la figura 3.10. El diagrama esquemático de la figura 3.10 muestra la etapa de potencia para controlar 4 motores de CD de forma independiente, es decir, posee la capacidad para manejar los

MONITOREO

Figura 3.9. Interfaz de la mano CENIDET actual

DATOS

TARJETA PCI-7833

SCB-68

DATOS

DATOS

DATOS

DATOS

MANO CENIDET

TARJETA PRINCIPAL

TARJETAS COLECTORAS

TARJETAS DE POTENCIA

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cuatro motores al mismo tiempo, lo que se traduce en realizar movimientos de flexión, extensión, abdución y aducción del dedo correspondiente. Ésta tarjeta posee interruptores, las cuales son seleccionadores para trabajar de forma analógica o digital. Las cuatro tarjetas de potencia que conforman la mano CENIDET son iguales físicamente; cada una manipula un dedo completo, dando independencia a los dedos entre sí, las cuales son insertadas en las ranuras de expansión de la tarjeta principal en orden indistinto gracias a su modularidad. Con esta estructura modular, en caso de falla de alguna tarjeta, simplemente se le remplaza sin afectar a las demás. También esto permite un ordenamiento y guía de cada una de las etapas de adquisición de los datos. Cada tarjeta de potencia se encarga de suministrar la potencia necesaria para actuar a los motores de la mano con el par que se necesite para que la falange llegue a la posición deseada. Además esta tarjeta es la encargada de invertir el sentido de giro del motor correspondiente, si así lo hubiese decidido la etapa de control.

Figura 3.10. Diagrama esquemático de una tarjeta de potencia.

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3.3. Programación en LabVIEW 7.1 Los programas usados para manipular los movimientos de la mano CENIDET fueron desarrollados usando la herramienta gráfica de LabVIEW 7.1 basada en una estructura FPGA. La descripción de esta herramienta y los programas desarrollados se explican a continuación. 3.3.1 Descripción de LabVIEW 7.1 basada en la estructura FPGA LabVIEW es un lenguaje y a la vez un entorno de programación gráfica en el que se pueden crear aplicaciones de una forma rápida y sencilla. La programación en LabVIEW es realizada en diagrama bloques y está formada por; controles que sirven de entrada para los datos, funciones VIs, estructuras (las cuales realizan una o varias operaciones con los datos) y los indicadores que sirven de salida para los datos. Un programa en LabVIEW consiste básicamente en una serie de funciones unidas mediante enlaces para producir un flujo de datos. El Módulo FPGA de LabVIEW 7.1 introduce nuevas características para optimización de códigos y rapidez de desarrollo. Con esto, múltiples operaciones pueden ejecutarse en un ciclo, con un reloj de 25 ns, haciendo que las aplicaciones creadas con el Módulo FPGA de LabVIEW 7.1 se ejecuten tan eficientemente como el código manual VHDL [2]. Además, el módulo incorpora tres nuevos objetivos o hardware FPGA para LabVIEW; una versión PCI de la tarjeta de E/S reconfigurables NI-PCI-7833R (con 8 entradas análogas, 8 salidas análogas y 96 líneas digitales), una tarjeta PXI totalmente digital y de bajo costo (con 160 líneas digitales) y el FPGA en los NI Compact Vision Systems (CVS-1455 y CVS-1456). Para la aplicación se usa el hardware NI-PCI-7833R. Dada las características mencionadas se hace uso de la programación de la mano CENIDET en labVIEW 7.1 bajo una estructura FPGA. La descripción detallada de los programas se explica en seguida. 3.3.2 Programación de la mano CENIDET. La mano CENIDET tiene una PC dedicada para su control y monitoreo, la cual es usada para realizar la programación pertinente. La programación para la mano CENIDET es realizada usando LabVIEW 7.1 basada en una estructura FPGA. El modulo FPGA (arreglo de compuertas de campo programables) de LabVIEW usado es el dispositivo PCI-7833R.

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La unión de la programación gráfica LabVIEW con los FPGAs en el hardware proporciona una plataforma flexible para crear sistemas de control y medición sofisticados. La descripción de cada uno de los programas usados para el funcionamiento de la mano CENIDET es como sigue: El programa principal ejecuta varios subprogramas con tareas específicas, y a su vez interactúa directamente con ellos para el monitoreo y control de la mano CENIDET. En la figura 3.11 se muestra la pantalla del programa principal, donde se observan los estados de las variables de posición real, posición deseada y velocidad de cada una de las articulaciones, siendo éste el programa donde se establecen las rutinas y/o secuencias de movimiento para cada una de las falanges de la mano. Nota: Para ver el diagrama a bloques del programa principal ver anexo E.

Figura 3.11. Panel frontal del programa principal de la mano CENIDET. Adicionalmente, el panel del subprograma clave para el programa principal se muestra en la figura 3.12 y se encuentra físicamente en un chip FPGA. Este subprograma se encarga de

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determinar la posición y velocidad de los motores en tiempo real, basado en la información de los sensores de posición de cada uno de los motores. Dentro del subprograma se realiza el direccionamiento (entradas y salidas digitales) que es usado por el programa principal de la mano CENIDET. Dicho subprograma se compila y transfiere a un FPGA para después ser llamado durante la ejecución del programa principal. Este subprograma envía señales PWM digitales a cada motor y las direcciones de sentido de giro de cada motor. Para detalles del diagrama a bloques del subprograma, ver el anexo E. Nota: El botón de reset presente en el programa principal es necesario ya que el chip FPGA guarda los valores de las posiciones deseadas anteriores. Este es útil para limpiar la memoria del FPGA y por lo regular debe ser presionada antes de encender la fuente de alimentación. El tiempo de muestreo usado en la implementación experimental fue de 0.391 ns.

Figura 3.12. Panel frontal del subprograma principal de la mano CENIDET. Nota: Para ver el diagrama a bloques del subprograma principal ver el anexo D.

PWM digital Indicadores de encoders Botón de

reset

PWM analógico

Posición y velocidad

Dirección motor

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Las ecuaciones utilizadas para calcular la posición (P) y velocidad (V) son:

( )( )( )( )

# 360# / Re Re

cuentasP

Pulsos v ducción°

= (3.1)

donde : Los pulsos por revolución de los sensores de posición son 512. La reducción del motor de CD tiene una relación de 66:1. ( )( )

1# #int

n ncuentas cuentasV

ervalo de tiempo fijo−−

= (3.2)

Los subprogramas que conforman al programa principal se pueden observar en el anexo E. 3.4 Resumen Se ha presentado el mecanismo de funcionamiento de la mano CENIDET abordando los puntos siguientes:

♦ Se da una descripción de la parte mecánica de la mano CENIDET, donde se detalla cada uno de los movimientos que realiza y cómo lo realiza.

♦ La parte de electrónica usada para poder mover cada uno de los dedos.

♦ Se detalla el panel del programa principal de interacción entre el usuario y el

sistema (mano CENIDET). 3.5. Bibliografía [1] N. Fukaya, S. Toyama, T. Asfour and R. Dillmann, "Design of the TUAT/Karlsruhe humanoid

hand", IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems, Takamatsu, Japan 2000, Vol. 3, pp. 1754-1759.

[2] C. Hernando, H. Jesús, Tesis de Maestría: “Diseño de un Sistema Articulado Emulando el Movimiento de una Mano”, Departamento de Mecatrónica, CENIDET, 2006.

[3] National Instruments Company, “Reconfigurable I/O configured with the LabVIEW FPGA module”, mayo 2005, http://www.ni.com

[4] http://www.datasheetcatalog.com/datasheets_pdf/L/M/D/1/LMD18200T.shtml

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Capítulo 4

Diseño, Simulación y Validación de

Controladores En este capítulo se presenta el diseño, simulación y validación experimental de cada controlador propuesto para la mano CENIDET. En primera instancia se abordó el problema de control de posición exclusivamente para el dedo índice de la mano CENIDET. En segunda instancia se estableció la consigna de que sólo el dedo índice siguiera una trayectoria. Para poder comparar el desempeño del dedo índice bajo la acción de los diferentes controladores tanto para control de posición de sus falanges como para el control de una trayectoria se calculó y comparó el error cuadrático medio (ECM) obtenido de la acción de cada controlador. El control de posición de cada una de las tres falanges del dedo índice (proximal, medial y distal) se realizó de forma simultánea sin ningún movimiento de abducción/aducción (movimientos puros de flexión/extensión de las falanges). Este control de posición se realizó en forma de simulación y de experimentación con el prototipo de laboratorio. Los resultados se presentan en la sección 4.4.1, respectivamente.

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Posteriormente se realizó solo el control de posición para el movimiento de aducción/abducción del dedo índice (sin movimientos de flexión/extensión). Este control se validó en simulación y en experimentación con el prototipo. Los correspondientes resultados se presentan en la sección 4.4.1. La razón por la que no se realizaron movimientos simultáneos de flexión/extensión y abducción/aducción en el dedo índice se debe a limitaciones físicas en el prototipo. Mecánicamente el prototipo presenta un acoplamiento no deseado entre los movimientos de flexión/extensión con los de abducción/aducción, haciendo que en el control de flexión/extensión en falanges el movimiento de abducción/aducción se considera como un disturbio. Similarmente, en el control de abducción/aducción se considera el movimiento de flexión/extensión como un disturbio, llevando al dedo índice a un estado oscilatorio de movimientos. En cuanto al control de trayectorias se planteó como objetivo que el extremo del dedo índice (yema) siguiera una trayectoria circular. Esto se pudo realizar en simulación pero no así en la experimentación con el prototipo (los resultados de simulación se muestran en la sección 4.4.2). La razón de esto radica en que inicialmente el dedo sigue adecuadamente la trayectoria hasta cierto punto en el espacio. A partir de este punto la posición geométrica del dedo es tal que las bandas pierden tensión, ocasionando “patinaje” de las mismas con sus poleas. Como los encoders están acoplados a cada polea (un encoder por cada articulación), la información de posición angular de cada articulación que es proporcionada a la computadora por cada encoder no coincide con la posición angular real de cada una. Esta limitación del prototipo no hizo posible la validación experimental del control de trayectoria en el dedo índice. 4.1. Controladores convencionales 4.1.1 Controlador PID Una alternativa diferente al control PD es la introducción de una componente integral al controlador, buscando con ello llevar a cero el error de posición e [1]. Dado este razonamiento se justifica la aplicación de un controlador PID en el control del efector. La ley de control PID simplificada puede escribirse de la siguiente manera:

ξτ ivp KeKeK ++= & (4.1)

donde: pK , vK , iK nnR ×∈ son llamadas las ganancias proporcional, derivativa e integral, respectivamente. Estas son matrices simétricas y definidas positivas. La acción integral del controlador PID de la ecuación 4.1 introduce una variable de estado adicional que aquí será denotada por ξ y cuya derivada temporal es e=ξ& .

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4.1.2 Controlador PD con compensación de gravedad (PD+G) El control PD con compensación de gravedad es capaz de satisfacer el objetivo de control de posición pura en forma global para robots de n grados de libertad (g.d.l), seleccionando las matrices de diseño pK y vK como simétricas y definidas positivas. Para la aplicación de este control se requiere del conocimiento de una parte del modelo dinámico a ser controlado, puesto que hace uso del vector de pares gravitacionales ( )qG . La ley de control correspondiente al control PD+G es la siguiente:

( )qGeKeK vp ++= &τ (4.2)

donde pK , vK nnR ×∈ son matrices definidas positivas, e es el error de posición, e& es el error de

velocidad y ( )qG es el termino de gravedad. Para la ecuación 4.2 el término gravitacional puede obtenerse con solo calcular la expresión correspondiente a la energía potencial ( )qU del efector. Así,

( ) ( )qqUqG

∂∂

= (4.3) 4.2. Controlador no lineal basado en pasividad La idea principal de este enfoque (pasividad) es moldear la función de energía natural del sistema de manera tal que se logre el objetivo de control. Esto se hace mediante la construcción de un controlador que encuentra una función de energía deseada y adiciona amortiguamiento vía retroalimentación de velocidad para propósitos de estabilización asintótica. Del esquema Takegaki y Arimoto [2] se propone una ley de control de posición, cuyo objetivo consiste en llevar al robot a una posición deseada. En otras palabras, trata de compensar por medio de retroalimentación de la posición, las fuerzas gravitacionales y entonces añadir fuerzas articulares para tener un mínimo en la posición deseada y garantizar mediante la adición de amortiguamiento la convergencia de los estados del manipulador a la posición deseada. La ley de control de posición de Takegaki y Arimoto es expresada como,

( ) veKqG p +−=τ (4.4)

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donde: v es una nueva entrada de control, definida como eKv d &−= . La elección de la ley de control de la ecuación (4.4) modifica la función de energía mecánica original del robot en lazo cerrado de la forma:

( ) ( )1 1,2 2

T TpH e q q M q q e K e= +& & &

(4.5)

donde ( ), TH e q q v=& & & implica un sistema de lazo cerrado, marginalmente estable y pasivo a la nueva entrada v a q& . Para propósitos de seguimiento de trayectoria el controlador debe construirse de manera que exista un mínimo en ( ) ( ), 0,0e e =& en lazo cerrado. Para lograr este objetivo Paden y Panja [3] propusieron el siguiente control de movimiento,

( ) ( ) ( ) veKqGqqqCqqM pdd +−++= &&&& ,τ (4.6)

donde: eKv d &−= , con dK definida positiva. La ley de control de la ecuación (4.6) es una extensión del control de posición de Takegaki y Arimoto. La principal modificación al control de posición consiste en remoldear la función de la energía cinética en lugar de solo hacerlo con la función de la energía potencial. La estructura del control establece un mapeo pasivo entre v y e& que puede verificarse derivando la función,

( ) ( )1 1,2 2

T TpH e e e M q e e K e= +& & & (4.7)

4.3. Índice de Desempeño Para poder evaluar la cantidad de error presentado en la simulación o implementación de cada controlador es necesario contar con una medida cuantitativa que evalúe la calidad de la sintonización, para ello el uso de algún índice de desempeño resulta útil. Es por ello que se hace necesario emplear una alternativa cuantitativa de cálculo de error, de manera que se tenga una cantidad de error que demuestre el funcionamiento de los controladores simulados. De acuerdo al estudio realizado existen diversas medidas de error que pudieran emplearse para determinar qué controlador resulta más conveniente al momento de resolver el problema de movimiento. Entre ellos se encuentran el error cuadrático medio (ECM).

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El ECM da una medida de las diferencias en promedio entre los movimientos deseados y los observados. La formula del error cuadrático medio (ECM) empleada para calcular las cantidades de error en simulación como en experimentación, para los diferentes controladores que se usaron en la mano CENIDET es:

( )

( )11

2

−

−=∑=

nn

eeECM

n

ti

, donde: n

ee

n

ti∑

== 1 (4.8)

4.4. Comparación entre controladores En este apartado se describen las pruebas realizadas al conjunto controlador-mano CENIDET. Se realizarán pruebas de control de posición y de trayectorias como se detalla a continuación 4.4.1 Control de posición En la descripción de las pruebas realizadas a la mano CENIDET se busca observar su respuesta ante una posición deseada aplicando los 3 tipos de controladores (PID, PD+G y controlador no lineal basado en pasividad). En esta sección se presentan las pruebas de control de posición realizadas en simulación y validadas experimentalmente. La metodología seguida en el desarrollo del conjunto de pruebas es la siguiente:

1. Partiendo de una posición de reposo (0º) se busca alcanzar una posición deseada conociendo los parámetros de la mano CENIDET, ver figura 4.1. Como se mencionó previamente, el control de posición se realizó en dos etapas. En la primera se controlan los movimientos de aducción/abducción sin movimiento de flexión/extensión (q2 = q3 = q4 = 0º). En la segunda etapa se controla el movimiento de flexión /extensión sin movimientos de abducción/aducción (q1 = 0º).

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a) Posición de reposo (0 grados) b) Posición deseada

Figura 4.1. Pruebas de movimiento a realizarse.

2. Se aplica la prueba de control de posición para cada una de las dos etapas mencionadas de la mano.

3. Se comparan las respuestas obtenidas con cada uno de los diferentes controladores para el control de posición del dedo índice.

4. Se determina la cantidad de error (ECM) correspondiente a cada respuesta de los controladores aplicados a la mano CENIDET.

5. Se evalúa qué controlador presenta mejor desempeño en las pruebas de simulación. Las pruebas a realizarse tanto en simulación como en experimentación son como se mencionó anteriormente, donde q1 (falange de abducción) se refiere al movimiento de abducción y aducción, q2 al movimiento de flexión y extensión de la falange proximal, q3 al movimiento de flexión y extensión de la falange medial y q4 al movimiento de flexión y extensión de la falange distal.

Control de posición para movimiento de aducción y abducción. Las gráficas de simulación correspondientes a las pruebas de control de posición para q1 desde una posición inicial (0º) hasta una posición final (11º), (q2 = q3 = q4 = 0º) realizadas al modelado dinámico de la mano CENIDET aplicada a los 3 tipos de controladores propuestos, se muestran en las figuras siguientes: La figura 4.2 muestra la respuesta de simulación de los tres controladores aplicados a la articulación 1 de la falange de abducción llevándola de la posición de 0º a 11º. Nótese de la figura que el controlador que da la mejor respuesta es el control no lineal basado en pasividad, con una respuesta rápida ya que el tiempo en que alcanza la posición deseada en un 98% es de 0.0907 segundos, a diferencia de las respuestas obtenidas con los controladores PID y PD+G con tiempos de 0.1445 y 0.1781 segundos, respectivamente.

q2 =0º

q1 =0º

q4 =0º

q3 =0º

q4 =70º

q3 =110º

q2 =90º

q1 =11º

- 61 -

Los errores de posición presentados por cada controlador en esta simulación son de aproximadamente 0º, tal como se muestra en la tabla 4.2.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

2

4

6

8

10

12Posición articular 1 (q1)

Tiempo (segundos)

q1 (g

rado

s)

Control no lineal basado en pasividadControl proporcional con compensación de gravedadControl proporcional integral derivativo

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

2

4

6

8

10


Tiempo (segundos)

q1 (g

rado

s)


Figura 4.2. Movimiento de la falange de abducción

Las figuras 4.3, 4.4 y 4.5 muestran la validación de los mismos controladores en experimentación: Usando el controlador PID se llevó a la falange de abducción de la posición de 0º a 11º en un tiempo aproximado de 0.08 segundos hasta alcanzar la posición en estado estable de 10.3578º, presentando un error de 0.642223º (figura 4.3).

Figura 4.3. Controlador PID aplicado a la falange de abducción (posición deseada 11º).

- 62 -

La aplicación del controlador PD+G a la falange de abducción también consistió en llevarla de una posición de 0º a 11º, haciéndolo en un tiempo aproximado de 0.07 segundos con un valor de estado estable de 10.5868º, presentando un error de 0.413175º (figura 4.4).

Figura 4.4. Controlador PD+G aplicado a la falange de abducción (posición deseada 11º).

La respuesta obtenida al aplicar el control no lineal basado en pasividad a la falange de abducción se observa en la figura 4.5. También la falange de abducción se llevó de una posición de 0º a 11º en un tiempo aproximado de 0.06 segundos, alcanzando el valor de 10.6081º en estado estable, presentando un error de 0.391869º.

Figura 4.5. Controlador no lineal basado en pasividad aplicado a la falange de abducción (posición deseada 11º).

De los resultados de simulación como de experimentación para el movimiento de abducción presentados previamente (figuras 4.2 a 4.5), se afirma que el controlador con mejor respuesta es el controlador no lineal basado en pasividad. En esta etapa sólo se

- 63 -

controló el movimiento de abducción/aducción, manteniendo las demás falanges sin movimiento alguno (q2=0º, q3=0º y q4=0º). Ahora se procede con la segunda etapa para controlar los movimientos de flexión y extensión manteniendo fija la falange de aducción/abducción (q1 = 0º). Dentro de esta etapa el control de posición de cada una de las falanges (proximal, medial y distal) se realizó de manera simultánea partiendo de una posición inicial a una posición final. Las pruebas de control de posición abordadas en esta segunda etapa consistieron en:

o Llevar la falange proximal de una posición de 0º a 90º, tanto en simulación como en experimentación. Los resultados se muestran en las figuras 4.6, 4.7, 4.8 y 4.9.

o Simultáneamente se controló el movimiento de la falange medial de una posición de 0º a 110º, tanto en simulación como en experimentación (ver figuras 4.10, 4.11, 4.12 y 4.13).

o También se controló simultáneamente el movimiento de la falange distal de una posición de 0º a 70º, tanto en simulación como en experimentación. Los resultados son mostrados en las figuras 4.14, 4.15, 4.16 y 4.17.

Una explicación detallada del control de posición simultáneo de falanges se presenta en las siguientes subsecciones de control de posición para las falanges proximal, medial y distal.

Control de posición de la falange proximal De las figuras 4.6 a 4.9 se presentan las respuestas correspondientes a la aplicación de los tres tipos de controladores (PID, PD+G y control no lineal basado en pasividad) implementados en la articulación 2 para el movimiento de la falange proximal (simulación y experimentación). La figura 4.6 muestra la respuesta de simulación de los tres controladores aplicados a la articulación 2 de la falange proximal llevándola de la posición de 0º a 90º. Obsérvese de la figura que el controlador que da la mejor respuesta es el control no lineal basado en pasividad, con una respuesta comparativamente más rápida, ya que el tiempo en que alcanza la posición deseada en un 98% es de 0.0907 segundos, a diferencia de las respuestas obtenidas con los controladores PID y PD+G con tiempos de 0.1445 y 0.1781 segundos, respectivamente. También los errores de posición presentados por cada controlador en esta simulación son de aproximadamente 0º para el controlador no lineal basado en pasividad y el controlador PD+G, tal como se muestra en la tabla 4.2. Sin embargo, el error de posición que presentó el controlador PID fue de -0.1669º.

- 64 -

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

10

20

30

40

50

60

70

80

90


Tiempo (segundos)

q2 (g

rado

s)


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

10

20

30

40

50

60

70

80

90


Tiempo (segundos)

q2 (g

rado

s)


Figura 4.6. Movimiento de la falange proximal Las figuras 4.7, 4.8 y 4.9 muestran la validación de los mismos controladores en experimentación: Usando el controlador PID implementado en la articulación 2 se llevó a la falange proximal de la posición de 0º a 90º en un tiempo aproximado de 0.65 segundos hasta alcanzar la posición en estado estable de 89.5073º, presentando un error de 0.642223º (figura 4.7).

Figura 4.7. Controlador PID aplicado a la falange proximal (posición deseada 90º).

- 65 -

La aplicación del controlador PD+G implementado en la articulación 2 para mover a la falange proximal, también consistió en llevar a la falange de una posición de 0º a 90º, haciéndolo en un tiempo aproximado de 0.55 segundos con un valor de estado estable de 89.5552º, presentando un error de 0.444785º (figura 4.8).

Figura 4.8. Controlador PD+G aplicado a la falange proximal (posición deseada 90º). Ahora, aplicando el controlador no lineal basado en pasividad a la articulación 2 de la falange proximal, ésta se llevó de una posición de 0º a 90º en un tiempo aproximado de 0.55 segundos hasta que llegó al estado estable de 89.8082º, presentando un error de posición de 0.191761º (figura 4.9).

Figura 4.9. Controlador no lineal basado en pasividad aplicado a la falange proximal (posición deseada 90º).

De los resultados presentados de la experimentación y simulación del movimiento de flexión/extensión de la falange proximal se concluye que el controlador con mejor tiempo de respuesta y menor error posición es el controlador no lineal basado en pasividad.

- 66 -

Control de posición de la falange medial De las figuras 4.10 a 4.13 se presentan las respuestas correspondientes a la aplicación de los tres controladores (PID, PD+G y control no lineal basado en pasividad) implementados en la articulación 3 para el movimiento de la falange medial (simulación y experimentación). La figura 4.10 muestra la respuesta de simulación de los tres controladores aplicados a la articulación 3 de la falange medial llevándola de la posición de 0º a 110º. Obsérvese de la figura que el controlador que da la mejor respuesta es el control no lineal basado en pasividad, con una respuesta comparativamente más rápida, ya que el tiempo en que alcanza la posición deseada en un 98% es de 0.1631 segundos, a diferencia de las respuestas obtenidas con los controladores PID y PD+G con tiempos de 0.1851 y 0.2155 segundos, respectivamente. También los errores de posición presentados por cada controlador en esta simulación son de aproximadamente 0º para el controlador no lineal basado en pasividad y el controlador PD+G, tal como se muestra en la tabla 4.2. Sin embargo, el error de posición que presentó el controlador PID fue de -0.204º.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

20

40

60

80

100


Tiempo (segundos)

q3 (g

rado

s)


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

20

40

60

80

100


Tiempo (segundos)

q3 (g

rado

s)


Figura 4.10. Movimiento de la falange medial. Las figuras 4.11, 4.12 y 4.13 muestran la validación de los mismos controladores en experimentación: Usando el controlador PID implementado en la articulación 3 se llevó a la falange medial de la posición de 0º a 110º en un tiempo aproximado de 0.68 segundos hasta

- 67 -

alcanzar la posición en estado estable de 109.349º, presentando un error de 0.650746º (figura 4.11).

Figura 4.11. Controlador PID aplicado a la falange medial (posición deseada 110º). La aplicación del controlador PD+G implementado en la articulación 3 para mover a la falange medial, también consistió en llevar de una posición de 0º a 110º dicha falange en un tiempo aproximado de 0.51 segundos con un valor de posición en estado estable de 109.28º, presentando un error de 0.719993º (figura 4.12).

Figura 4.12. Controlador PD+G aplicado a la falange medial (posición deseada 110º). Usando el controlador no lineal basado en pasividad implementado en la articulación 3 para movimiento de la falange medial consistió en llevar a dicha falange de una posición de 0º a 110º en un tiempo aproximado de 0.5 segundos hasta alcanzar en estado estable la posición de 109.458º, y preservando un error de 0.541548º (figura 4.13).

- 68 -

Figura 4.13. Controlador no lineal basado en pasividad aplicado a la falange medial (posición deseada 110º). De los resultados presentados de la experimentación y simulación del movimiento de flexión/extensión de la falange medial se concluye que el controlador con mejor tiempo de respuesta y menor error posición es el controlador no lineal basado en pasividad.

Control de posición de la falange distal Las figuras 4.14, 4.15, 4.16 y 4.17 presentan las respuestas correspondientes a la aplicación de los tres controladores (PID, PD+G y control no lineal basado en pasividad) implementados en la articulación 4 para el movimiento de la falange distal (simulación y experimentación) y es como se presenta a continuación. La figura 4.14 muestra la respuesta de simulación de los tres controladores aplicados a la articulación 4 de la falange distal llevándola de la posición de 0º a 70º. Obsérvese de la figura que el controlador que da la mejor respuesta es el control no lineal basado en pasividad, con una respuesta comparativamente más rápida ya que el tiempo en que alcanza la posición deseada en un 98% es de 0.1630 segundos, a diferencia de las respuestas obtenidas con los controladores PID y PD+G con tiempos de 0.1851 y 0.2112 segundos, respectivamente. También los errores de posición presentados por cada controlador en esta simulación son de aproximadamente 0º para el controlador no lineal basado en pasividad y el controlador PD+G, tal como se muestra en la tabla 4.2. Sin embargo, el error de posición que presentó el controlador PID fue de -0.1317º.

- 69 -

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

10

20

30

40

50

60

70


Tiempo (segundos)

q4 (g

rado

s)


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

10

20

30

40

50

60

70


Tiempo (segundos)

q4 (g

rado

s)


Figura 4.14. Movimiento de la falange distal.

En las figuras 4.15, 4.16 y 4.17 se presenta la validación experimental de los mismos controladores usados en simulación: Usando el controlador PID implementado en la articulación 4 se llevó a la falange distal de la posición de 0º a 70º en un tiempo aproximado de 0.34 segundos hasta alcanzar la posición en estado estable de 69.3244º, presentando un error de 0.675604º (figura 4.15).

Figura 4.15. Controlador PID aplicado a la falange distal (posición deseada 70º).

- 70 -

La aplicación del controlador PD+G implementado en la articulación 4 para mover a la falange distal de una posición de 0º a 70º tardó un tiempo aproximado de 0.6 segundos con un valor de posición en estado estable de 69.359º, presentando un error de posición de 0.64098º (figura 4.16).

Figura 4.16. Controlador PD+G aplicado a la falange distal (posición deseada 70º).

Por último, la aplicación del controlador no lineal basado en pasividad implementado en la articulación 4 para mover a la falange distal de una posición de 0º a 70º se dio en un tiempo aproximado de 0.3 segundos hasta la posición en estado estable de 69.5028º, conservando un error de posición de 0.497151º (figura 4.17).

Figura 4.17. Controlador no lineal basado en pasividad aplicado a la falange distal (posición deseada 70º).

De los resultados presentados de la experimentación y simulación del movimiento de flexión/extensión de la falange distal se concluye que el controlador con mejor tiempo de respuesta y menor error posición es también el controlador no lineal basado en pasividad.

- 71 -

Las figuras anteriores (4.2 a 4.17) corresponden al control de los movimientos de abducción/aducción y flexión/extensión en las falanges proximal, medial y distal, siendo q1 la variable generalizada asociada al movimiento de abducción/aducción respecto a la articulación 1; complementariamente, q2, q3 y q4 son respectivamente las variables relacionadas con los movimientos de flexión y extensión correspondientes a las articulaciones 2, 3 y 4. Para resumir lo descrito anteriormente respecto al control de posición en simulación se muestran las siguientes tablas.

Tabla 4.1. Tiempo en alcanzar la posición de referencia en un 98%. Controladores Abducción

q1= 11º Proximal q2= 90º

Medial q3= 110º

Distal q4= 70º

PID 0.1445 seg. 0.1851 seg. 0.1851 seg. 0.1851 seg. CBP 0.0907 seg. 0.1531 seg. 0.1631seg. 0.1630 seg. PD+G 0.1798 seg. 0.2012 seg. 0.2155 seg. 0.2012 seg.

Tabla 4.2. Errores de posición (grados). Controladores Abducción

e1 Proximal

e2 Medial

e3 Distal

e4 PID -0.03411º -0.1669º -0.204º -0.1317º CBP 1.765º e-5 1.173º e-9 1.434º e-9 1.076º e-9 PD+G 0.0004938º 3.598º e-7 4.665º e-7 3.666º e-7

De la tabla 4.1 y 4.2 nótese que consistentemente el controlador con mejor tiempo de respuesta y menor error de posición es el controlador no lineal basado en pasividad. Es decir, considerando la tabla 4.1 nótese que al contemplar el tiempo en alcanzar la posición en un 98% por cada controlador aplicado a cada una de las falanges del dedo completo (dedo índice) de la mano CENIDET, el que mejores resultados presenta es el controlador no lineal basado en pasividad, llevando el efector a una posición deseada de forma comparativamente más rápida. Ahora, evaluando los errores de posición para cada controlador se observa de la tabla 4.2 que el controlador con errores relativamente pequeños es el controlador no lineal basado en pasividad. Resumiendo lo descrito en el planteamiento de pruebas de control de posición en la validación experimental para cada controlador se obtienen los resultados que se muestran en las tablas 4.3, 4.4 y 4.5. Las pruebas realizadas fueron en consideración a la velocidad de conducción motora que presenta una mano humana (dada en promedio en milisegundos) al llevar los dedos a una posición deseada [4]. Tanto en las figuras como en las tablas presentadas la escala de tiempo usada está dada en milisegundos (ms) y la amplitud de las posiciones reales y posiciones deseadas en grados.

- 72 -

En la realización de las pruebas de experimentación es importante resaltar que la medición de posición de cada una de las falanges es indirecta, es decir, la posición es medida a través de cada sensor de posición del motor (encoder) ubicado en el antebrazo. Cada una de las pruebas de movimiento realizadas a las falanges de la mano CENIDET fueron hechas partiendo desde una posición de reposo (0º) a una posición deseada. La tabla 4.3 muestra los valores obtenidos en experimentación al mover el dedo índice de la mano CENIDET de una posición de inicio (q = 0º) a una posición deseada usando los 3 tipos de control (control no lineal basado en pasividad, PD+G y PID). La tabla 4.4 presenta los correspondientes errores de posición. Nótese de la tabla que todos los controladores cumplen con su objetivo con márgenes de errores relativamente pequeños. La tabla 4.5 detalla el tiempo que tardó cada controlador en alcanzar la posición de referencia.

Tabla 4.3. Resultados de la experimentación (posiciones reales en grados). Controladores Abducción


Medial q3= 110º

Distal q4= 70º

PID 10.3578º 89.5073º 109.349º 69.3244º CBP 10.6081º 89.8082º 109.458º 69.5028º

PD+G 10.5868º 89.5552º 109.28º 69.359º

Tabla 4.4. Resultados de la experimentación (errores de posición en grados). Controladores Abducción

e1 Proximal

e2 Medial

e3 Distal

e4 PID 0.642223º 0.492728º 0.650746º 0.675604º CBP 0.391869º 0.191761º 0.541548º 0.497151º

PD+G 0.413175º 0.44478º 0.719993º 0.64098º

Tabla 4.5. Resultados de la experimentación (Tiempo en alcanzar la posición de referencia en un 98%). Controladores Abducción


Medial q3= 110º

Distal q4= 70º

PID 0.08 seg. 0.65 seg. 0.68 seg. 0.34 seg. CBP 0.06 seg. 0.55 seg. 0.50 seg. 0.3 seg.

PD+G 0.07 seg. 0.55 seg. 0.51 seg 0.6 seg.

Conjuntando las pruebas realizadas tanto en simulación como en experimentación se concluye que un controlador no lineal basado en pasividad presenta mejores resultados en comparación con los controladores convencionales (PID y PD+G). Del mismo modo, la parte de simulación tiene una cierta diferencia respecto a la parte de experimentación, esto debido a que en la simulación se realiza el control de posición bajo condiciones ideales y en la experimentación intervienen otros factores como; fuerza de fricción entre los tensores, patinado de las bandas, ruido, dinámica de los tensores, etc.

- 73 -

No obstante, los diferentes resultados obtenidos bajo la acción de los diferentes controladores resulta conveniente la reflexión sobre el significado físico de estos resultados. En forma visual resulta muy difícil distinguir el error que produce la acción de cada controlador y más aún, la comparación visual entre errores. Esto se puede interpretar como que para fines prácticos y fuera de un estricto consenso de precisión, cualquiera de esos controladores hace bien el trabajo. En este caso conviene considerar otros aspectos como la complejidad del controlador y su consecuente programación e implantación. Claro está que en aplicaciones donde la precisión y el tiempo de respuesta sean factores cruciales, entonces un controlador puede hacer la diferencia (en este caso el control no lineal basado en pasividad). 4.4.2 Control de seguimiento de trayectorias En el control de pruebas de seguimiento a trayectorias aplicadas a un dedo de la mano CENIDET (dedo índice) se plantea como objetivo que el extremo del dedo siguiera una trayectoria circular de acuerdo a los límites de operación y el espacio de trabajo que presenta el dedo. El seguimiento a trayectorias se logró realizar en forma de simulación pero no así de forma experimental con el prototipo. La razón de esto radica en que el prototipo del dedo sigue adecuadamente una determinada trayectoria hasta cierto punto en el espacio. A partir de este punto la posición geométrica del dedo es tal que las bandas pierden tensión, ocasionando patinaje de las mismas con sus poleas. Como los encoders están acoplados a cada polea (un encoder por cada articulación), la información de posición angular de cada articulación proporcionada por cada encoder no coincide con la posición angular real de cada una. Esta limitación en el prototipo no hizo posible la validación experimental del control de una trayectoria en el dedo índice. Por ello sólo se presentan simulaciones de seguimiento a trayectorias usando los controladores PID, PD+G y control no lineal basado en pasividad basado en el modelo dinámico de la mano CENIDET. Las gráficas de sus respuestas se presentan a continuación. En primera instancia se realizó la simulación dejando sin movimiento alguno la falange de abducción (q1 = 0º) mientras que las demás falanges (proximal, medial y distal) fueron movidas simultáneamente, siguiendo cada una la correspondiente trayectoria asignada. Las diferentes respuestas de movimiento de la falange proximal correspondientes a la acción de cada controlador para el seguimiento a una trayectoria circular se observan en la figura 4.18. Obsérvese de la figura que el controlador que proporciona una respuesta más similar a la trayectoria deseada es el controlador no lineal basado en pasividad alcanzando

- 74 -

la trayectoria de referencia en un tiempo aproximado de 0.2709 segundos, a diferencia de los controladores PID y PD+G que alcanzan la misma trayectoria de referencia en 0.41 y 0.3405 segundos, respectivamente. Los errores de posición presentados por cada controlador en esta simulación son de 0.2208º para el controlador no lineal basado en pasividad, 0.4588º para el controlador PD+G y 0.6650º para el controlador PID. Este error es determinado por el ECM.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

0

10

20

30

40

50

Trayectoria deseada vs Trayectoria real (Falange proximal)

Tiempo (segundos)

Coo

rden

adas

arti

cula

res

(gra

dos)

Trayectoria real (CBP)Trayectoria real (PD+G)Trayectoria real (PID)Trayectoria deseada (qd2)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

0

10

20

30

40

50

Trayectoria deseada vs Trayectoria real (Falange proximal)

Tiempo (segundos)

Coo

rden

adas

arti

cula

res

(gra

dos)


Figura 4.18. Seguimiento de trayectoria en la falange proximal.

Las diferentes respuestas de movimiento de la falange medial correspondientes a la acción de cada controlador para el seguimiento a una trayectoria circular del dedo se observan en la figura 4.19. Obsérvese que el controlador que proporciona una respuesta más similar a la trayectoria deseada es el controlador no lineal basado en pasividad alcanzando la trayectoria de referencia en un tiempo aproximado de 0.2 segundos, en comparación con los controladores PID y PD+G que alcanzan la misma trayectoria de referencia en 0.27 y 0.8127 segundos, respectivamente. Un error cuadrático medio de 0.1258º se obtuvo para el controlador no lineal basado en pasividad, mientras que para los controladores PD+G y PID el error cuadrático medio fue de 0.2607º y 0.3785º, respectivamente.

- 75 -

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90Trayectoria deseada vs Trayectoria real (Falange medial)

Tiempo (segundos)

Coo

rden

adas

arti

cula

res

(gra

dos)


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90Trayectoria deseada vs Trayectoria real (Falange medial)

Tiempo (segundos)

Coo

rden

adas

arti

cula

res

(gra

dos)


Figura 4.19. Seguimiento de trayectoria en la falange medial.

Las diferentes respuestas de movimiento de la falange distal correspondientes a la acción de cada controlador para el seguimiento a una trayectoria circular del dedo se observan en la figura 4.20. Obsérvese que el controlador que proporciona una respuesta más similar a la trayectoria deseada es el controlador no lineal basado en pasividad alcanzando la trayectoria de referencia en un tiempo aproximado de 0.2314 segundos, en comparación con los controladores PID y PD+G que alcanzan la misma trayectoria de referencia en 0.53 y 0.63 segundos, respectivamente. Utilizando el ECM se obtuvo un error de 0.2654º para el controlador no lineal basado en pasividad, de 0.5471º para el controlador PD+G y de 0.7964º para el controlador PID.

- 76 -

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

0

10

20

30

40

50

60

70

Trayectoria deseada vs Trayectoria real (Falange distal)

Tiempo (segundos)

Coo

rden

adas

arti

cula

res

(gra

dos)


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

0

10

20

30

40

50

60

70

Trayectoria deseada vs Trayectoria real (Falange distal)

Tiempo (segundos)

Coo

rden

adas

arti

cula

res

(gra

dos)



Figura 4.20. Seguimiento de trayectoria en la falange distal.

El error cuadrático medio (ECM) obtenido para el control de una trayectoria circular para cada una de las falanges se resume en la tabla 4.7. En la tabla 4.6 se muestran los valores de tiempo en alcanzar la trayectoria deseada.

Tabla 4.6. Tiempo en alcanzar la trayectoria de referencia en un 98%. Controlador Abducción

q1 Proximal

q2 Medial

q3 Distal

q4 PID 0 seg. 0.4100 seg. 0.2700 seg. 0.5300 seg. CBP 0 seg. 0.2709 seg. 0.2000 seg. 0.2314 seg. PD+G 0 seg. 0.3405 seg. 0.8127 seg. 0.6300 seg.

Tabla 4.7. Error Cuadrático Medio (ECM) en cada una de las articulaciones. Controlador Abducción

q1 Proximal

q2 Medial

q3 Distal

q4 PID 0º 0.6650º 0.3785º 0.7964º CBP 0º 0.2208º 0.1258º 0.2654º PD+G 0º 0.4588º 0.2607º 0.5471º

- 77 -

Los programas usados en la simulación de cada uno de los controladores así como los valores de las ganancias se presentan en el anexo F. Las ganancias de cada controlador usadas en la etapa de experimentación también pueden verse en el anexo F. 4.6. Resumen En este capítulo se presentó el diseño de cada uno de los controladores implementados tanto en simulación como en experimentación para la mano CENIDET. Lo relevante del capítulo es lo siguiente:

♦ Se propusieron controladores convencionales (PID y PD+G) y un controlador no lineal basado en pasividad (CBP) para ser implementadas en el prototipo.

♦ Se presentaron los resultados del control de posición realizados tanto en simulación

como en experimentación para los tres controladores considerados.

♦ El control de seguimiento de trayectorias solo se realizó en forma de simulación debido a las limitaciones físicas del prototipo de laboratorio.

♦ El desempeño de cada controlador fue evaluado usando la ecuación del error

cuadrático medio (ECM).

♦ La simulación de los controladores fue llevada a cabo usando la ecuación dinámica de la mano CENIDET.

♦ La validación experimental de cada controlador consistió en alcanzar una posición

deseada para cada una de las falanges del dedo índice.

♦ Existen aspectos como la aplicación y necesidades reales bajo las cuales operará un dedo o una mano robótica. Estos factores reales determinan en buena medida la selección de un tipo de controlador.

4.7 Bibliografía [1] R. Kelly, CICESE, V. Santibáñez, “Control de Movimiento de Robots Manipuladores”. Automática y

robótica, Impreso en Madrid, 2003, Editorial Prentice Hall. [2] H. Berguis, H. Nijmeijer, “A passivity approach ton controller-observer design for robots”, IEEE

transactions on robotics and automation, vol. 9, No. 6, December 1993. [3] B. Paden y R. Panja, Department of mechanical engineering and the NSF Center for Robotics in

Microelectronics, “Globally asymptotically stable PD+ controller for robot manipulators”, Int. Journal control, vol. 47, No.6, University of California, USA,1988, pp. 1697-1712.

[4] “Unidad de Electromiografía”, Hospital Sant Pere Claver, Barcelona, España.

- 78 -

- 79 -

Capítulo 5

Resultados y Conclusiones

En este capítulo se presenta el análisis de resultados, las conclusiones, aportaciones y comentarios finales del presente desarrollo de tesis. Se realiza el análisis de resultados basados en el contenido de cada uno de los capítulos, el cual contiene las etapas de desarrollo de la investigación y las aportaciones a partir de las diferentes pruebas practicadas a la mano CENIDET. 5.1 Análisis de Resultados Los resultados obtenidos de este proyecto de investigación de acuerdo a los objetivos planteados y la hipótesis sometida a comprobación, es lo que se detalla a continuación. Se determinó el espacio de trabajo de la mano CENIDET, es decir, los diversos puntos alcanzables por el efector final en un espacio tridimensional. Esto fue posible con el desarrollo del modelado cinemático directo. También se desarrolló y validó el modelo cinemático inverso, obteniéndose que no existe solución única y que deben considerarse otros factores como la resolución de encoders para seleccionar una solución en particular.

- 80 -

El modelo dinámico de la mano CENIDET se obtuvo usando el formalismo de Euler-Lagrange, el cual fue de utilidad para el diseño de los controladores. Para la evaluación del desempeño de cada controlador se usó el error cuadrático medio (ECM), debido a que facilita la medida de cantidad de error presente en cada controlador respecto a una posición deseada. De las pruebas realizadas tanto en simulación como en experimentación se muestra que el controlador no lineal basado en pasividad presenta un mejor desempeño al proporcionar menores tiempos de respuesta y un error cuadrático medio comparativamente inferior. Esto se puede observar en las gráficas de simulación y experimentación. Un aspecto a considerar es que según las gráficas, todos los controladores cumplen con el objetivo de control (de posición o de trayectorias) de manera satisfactoria y la diferencia en la cantidad de error que presenta cada uno es relativamente pequeña. De esto se puede afirmar que para tareas donde la precisión o el tiempo de respuesta no son importantes, se puede usar un controlador indistintamente buscando aquel que sea fácil de implementar. Por otro lado, cuando la precisión sea muy importante, el controlador no lineal basado en pasividad resulta ser una mejor alternativa. Algunos ejemplos donde se pueden citar la importancia de la precisión de un controlador es en el campo de la medicina (cirugía robótica), en desactivación de bombas, en procesos químicos de riesgo, etc., donde lo relevante es tener errores pequeños. La mano CENIDET ha sido un buen ejemplo de aplicación donde ha sido factible implementar y comparar su desempeño bajo la acción de diferentes controladores. 5.2. Aportaciones Las aportaciones del proyecto de investigación son:

♦ Contribución con un modelo cinemático y dinámico de la mano CENIDET, considerando los movimientos posibles de la mano en el espacio.

♦ Proponer una alternativa de control de posición de las falanges de un dedo,

validado tanto en simulación como en experimentación, resultando el control basado en pasividad el que mejor desempeño presentó ante las pruebas realizadas.

♦ Proporcionar una base de conocimiento para trabajos futuros relacionados con

una mano robot.

- 81 -

♦ Aportar dentro de la línea de investigación en robótica la comparación entre un controlador convencional y un controlador no lineal aplicados en tiempo real a la mano CENIDET.

♦ Diseño las tarjetas de adquisición y acondicionamiento de señales de la mano

CENIDET y desarrollo de los programas para su operación.

5.3. Conclusiones El modelado cinemático directo para la mano CENIDET es indispensable para conocer con precisión su espacio de trabajo. También es necesario conocer las fuerzas que actúan en el prototipo mediante su modelo dinámico (formalismo Euler-Lagrange, E-L). Con toda esta información es posible desarrollar controladores de posición y seguimiento de trayectorias para la mano CENIDET. Mediante las ecuaciones E-L se diseñó un controlador basado en pasividad que tiene la característica de estar enfocado al manejo de energía mediante el concepto de moldeo de energía. La aplicación de controles clásicos en robótica como el control PD+G y PID ayudan a comparar el desempeño del control basado en pasividad. De acuerdo a los resultados de simulación que presentan los diferentes controladores, se concluye que el controlador basado en pasividad propuesto tiene mejores características como son; mejor tiempo de respuesta, no presenta sobretiros, tiene una respuesta suave y hace uso de la energía interna del sistema, tal como se puede observar en las figuras de la sección 4.4.1. La decisión final de que tipo de controlador seleccionar está determinada por las necesidades de precisión y tiempos de respuesta, y también de los recursos para su implementación. De la comparación de resultados experimentales y de simulación en esta aplicación se observa que éstos no son exactamente los mismos. Entre las causas de esta diferencia está el no considerar los efectos de fricción en el modelo dinámico y el grado de “patinaje” de bandas sobre las poleas (fenómenos que no son triviales de incluir en el modelado). No obstante, los resultados previamente obtenidos en el proceso de simulación fueron muy importantes en la etapa de implementación práctica de los mismos en el prototipo, teniendo que hacer ajustes finos en las ganancias de los controladores para que los resultados experimentales fueran congruentes. La implementación experimental de los controladores sometidos a prueba de seguimiento a trayectorias no fue posible debido a problemas mecánicos presentados en la mano CENIDET: Fue posible llevar un dedo a una posición deseada pero controlar su posición de

- 82 -

regreso hasta alcanzar su posición inicial no fue posible debido a que existe un patinaje de las bandas sobre las poleas. 5.4. Trabajos futuros Partiendo del desarrollo de este trabajo de investigación se proponen las siguientes actividades futuras:

1. Acoplar sensores de velocidad y de posición directamente en cada una de las articulaciones. De ese modo se pueden conocer la posición y velocidad reales en cada falange.

2. Proponer una alternativa de controlador-observador para estimación de la velocidad

de cada una de las articulaciones, para así poder manipular con mayor precisión los movimientos de la mano CENIDET. Esto sería una opción en caso que no se contará con sensores de velocidad como ésta actualmente la mano CENIDET.

3. Realizar el control de trayectorias de forma experimental en la mano CENIDET

usando diferentes controladores.

4. Instrumentar a la mano CENIDET con sensores de fuerza. Esto ayudaría a tener mejor control cuando se someta a alguna carga en específico, es decir, facilitar la interacción del efector con su entorno.

5. En el intento de unir la mano CENIDET con un brazo mecánico se recomienda usar

elementos de montaje superficial en el rediseño de las tarjetas, además de definir el tipo de señales a manejar en cada una de ellas.

6. Estudiar el caso de la mano CENIDET como un sistema articulado para desarrollar

su modelado sin considerar exclusivamente a cada dedo como un manipulador planar independiente.

7. Aparte de las alternativas de control desarrolladas en esta investigación, proponer

nuevas técnicas de control realizando las pruebas bajo las mismas condiciones de operación para poder realizar una correcta comparación entre controladores.

8. Documentar los parámetros de una mano humana avalada por un centro de

desarrollo de prótesis o un centro de rehabilitación relacionada con la estructura mecánica de la mano CENIDET, es decir respecto a los movimientos.

- 83 -

Anexos Anexo A.

Cinemática A.1 Componentes de una matriz de transformación homogénea Las operaciones que se enlistan a continuación son aplicadas al sistema de referencia inicial de las falanges y son las operaciones que componen a una matriz de transformación homogénea:

1. iθ es el ángulo que se forma de la articulación 1−ix al eje ix respecto del eje de rotación 1−iz .

2. id es la distancia desde el origen del sistema de coordenadas i-1 con el eje ix a lo

largo del eje 1−iz .

3. ia es la distancia de separación desde la intersección del eje 1−iz con el eje ix hasta el origen del sistema de coordenadas i a lo largo del eje ix .

4. iα es el ángulo de separación del eje 1−iz al eje iz respecto a la rotación sobre el

eje ix . A.2 Cinemática directa de la mano CENIDET Con los parámetros de la tabla 2.1 se obtienen las matrices de transformación para cada eslabón, siendo las siguientes:

Eslabón 1.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

10000010

00

1111

1111

10 slcs

clsc

A ; Eslabón 2.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=

10000100

00

2222

2222

21 slcs

clsc

A

Eslabón 3.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=

10000100

00

3333

3333

32 slcs

clsc

A Eslabón 4.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=

10000100

00

4444

4444

43 slcs

clsc

A

donde iic θcos= y ii sens θ= .

- 84 -

Desarrollando el producto de matrices de la ecuación (2.6) se tiene:

( ) ( )( ) ( )

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−−++−−−−+−+++−−

−−+−+++−−

=

10000324324324324324324324324

132432432432413243243243241

132432432432413243243243241

z

y

x

pcccsscscscsscscsccsssccspccscsccsssccsscssscsssccccspscscsccsssccsccssscsssccccc

T

donde:

( )( )

223233233244324432443244

12232332332443244324432441

12232332332443244324432441

slsclcslccslssslscclcsclplclsslcclcsslscslssclccclsplclsslcclcsslscslssclccclcp

z

y

x

++++−+=

−−+−+++−−=−−+−+++−−=

Aplicando identidades trigonométricas a T se tiene:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++++−−+++−

=

10000 222332344234234

11212231323414123412341

11212231323414123412341

slslslcsslcslcslcslcsscsclcclcclcclssccc

T

(A.1)

Del producto de las matrices de transformación se obtienen las coordenadas del efector final ( zyx ppp y , ), dadas por:

222332344

11212231323414

11212231323414

slslslpslcslcslcslpclcclcclcclp

z

y

x

++=

+++=+++=

(A.2)

donde:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 423423234432432432

423423234432432432

323223323232

323223323232

s coscos coscos cos

s coscos coscos cos

csscsensensensscccsensen

csscsensensensscccsensen

+=⇒+++=++−=⇒+−+=++

+=⇒+=+−=⇒−=+

θθθθθθθθθθθθθθθθθθ

θθθθθθθθθθθθ

- 85 -

A.3. Cinemática inversa de la mano CENIDET Aplicando el siguiente procedimiento es posible resolver el problema cinemático inverso (ecuación 2.11), conociendo las inversas de las matrices de transformación expresadas como,

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

=⇒

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=−

1000010000

0

10000100

00

22

222

12

12222

2222

21 cs

lsc

Aslcsclsc

A

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

=⇒

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=−

1000010000

0

10000100

00

33

333

13

23333

3333

32 cs

lsc

Aslcsclsc

A

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

=⇒

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=−

1000010000

0

10000100

00

44

444

14

34444

4444

43 cs

lsc

Aslcsclsc

A

A.4. Programación de la cinemática inversa Este programa resuelve mediante una serie de iteraciones el cálculo para 234θ . A su vez, da solución al problema de la cinemática inversa. clear all;clc; %*******Datos********************* l1=1.95; l3=2.4; l2=3.1; l4=2.78; theta1=11; theta3=90; theta2=90; theta4=70; %*******Cinemática directa******** px =l4*cosd(theta1)*cosd(theta2+theta3+theta4)+l3*cosd(theta1)... *cosd(theta2+theta3)+l2*cosd(theta1)*cosd(theta2)+l1*cosd(theta1); py =l4*sind(theta1)*cosd(theta2+theta3+theta4)+l3*sind(theta1)... *cosd(theta2+theta3)+l2*sind(theta1)*cosd(theta2)+l1*sind(theta1); pz =l4*sind(theta2+theta3+theta4)+l3*sind(theta2+theta3)+l2*sind(theta2); P= [px; py; pz] %********Cálculo de theta1******** th1=atand(py/px);

- 86 -

for b=0:(2*pi/(360*10)):(270*2*pi/360); th234=b*(360/(2*pi)); %********Cálculo de theta3******* c3=((px.*cosd(th1)+py.*sind(th1)-l1-l4.*cosd(th234)).^2+(pz-l4... *sind(th234)).^2-(l3.^2)-(l2.^2))/(2.*l2.*l3); c3=roundn(c3,-20); s3=sqrt(1-(c3.^2)); th3=atan(s3/c3).*(360/(2*pi)); x=isreal(th3); %*********Cálculo de theta2****** if x==1 s2 =((pz-l4.*sind(th234)).*(l3.*cosd(th3)+l2)-(px.*cosd(th1)+py.*sind(th1)... -l1-l4.*cosd(th234)).*(l3.*sind(th3)))./((l3.*sind(th3)).^2+(l3... *cosd(th3)+l2).^2); c2 =((px.*cosd(th1)+py.*sind(th1)-l1-l4.*cosd(th234)).*(l3.*cosd(th3)+l2)... +(pz-l4.*sind(th234)).*(l3.*sind(th3)))./((l3.*sind(th3)).^2+(l3... *cosd(th3)+l2).^2); th2=atand(s2/c2); if th2<0 th2=th2+180; end th2=roundn(th2,-2); th3=roundn(th3,-2); %********Cálculo de theta4****** th4=th234-th3-th2; if (th4>=0 & th4<=90) th11=th1; th22=th2; th33=th3; th44=th4; Px1 = l4*cosd(th11)*cosd(th22+th33+th44)+l3*cosd(th11)... *cosd(th22+th33)+l2*cosd(th11)*cosd(th22)+l1*cosd(th11); Py1 = l4*sind(th11)*cosd(th22+th33+th44)+l3*sind(th11)... *cosd(th22+th33)+l2*sind(th11)*cosd(th22)+l1*sind(th11); Pz1 = l4*sind(th22+th33+th44)+l3*sind(th22+th33)+l2*sind(th22); Pr=[Px1;Py1;Pz1]; P=roundn(P,-4); Pr=roundn(Pr,-4); if (Pr==P) th234 [th11; th22; th33; th44] Pr end end end end

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Anexo B.

Especificaciones mecánicas de la mano CENIDET

Especificaciones técnicas de la mano robótica de CENIDET necesarias para el modelo cinemático y dinámico son las establecidas en las tablas siguientes. Datos extraídos de Cimadevilla.

Tabla B.1 Especificaciones mecánicas del dedo índice del efector. Falanges Símbolo Valor (metros) Símbolo Valor (metros)

Abduc/aduc-índice 1l 0.0195

1cl 0.00855 Proximal índice 2l 0.031

2cl 0.01005 Medial índice 3l 0.024

3cl 0.01096 Distal índice 4l 0.0278 4cl 0.01177

Falanges Símbolo Valor (Kg) Símbolo Valor (Kg m2)

Abduc/aduc-índice 1m 0.0045 1I 5.0031e-7 Proximal índice 2m 0.176 2I 4.9465 e-5

Medial índice 3m 0.118 3I 2.89396 e-5 Distal índice 4m 0.113 4I 2.703 e-5

Tabla B.2 Especificaciones mecánicas del dedo medio del efector. Falanges Símbolo Valor (metros) Símbolo Valor (metros)

Abduc/aduc- medio 1l 0.0195

1cl 0.00855 Proximal medio 2l 0.041

2cl 0.01344 Medial medio 3l 0.024

3cl 0.01096 Distal medio 4l 0.0278 4cl 0.01177


Abduc/aduc- medio 1m 0.00448 1I 5.0031e-7 Proximal medio 2m 0.21 2I 9.9115 e-5 Medial medio 3m 0.118 3I 2.89396 e-5 Distal medio 4m 0.113 4I 2.703 e-5

- 88 -

Tabla B.3 Especificaciones mecánicas del dedo anular del efector. Falanges Símbolo Valor (metros) Símbolo Valor (metros)

Abduc/aduc- anular 1l 0.0195

1cl 0.00855 Proximal anular 2l 0.036

2cl 0.01215 Medial anular 3l 0.024

3cl 0.01096 Distal anular 4l 0.0278 4cl 0.01177


Abduc/aduc- anular 1m 0.00448 1I 5.0031e-7 Proximal anular 2m 0.193 2I 7.11519 e-5 Medial anular 3m 0.118 3I 2.89396 e-5 Distal anular 4m 0.113 4I 2.703 e-5

Tabla B.4 Especificaciones mecánicas del dedo pulgar del efector. Falanges Símbolo Valor (metros) Símbolo Valor (metros)

Abduc/aduc- pulgar 1l 0.0195

1cl 0.00855 Proximal pulgar 2l 0.041

2cl 0.01344 Medial pulgar 3l 0.024

3cl 0.01096 Distal pulgar 4l 0.0278 4cl 0.01177


Abduc/aduc- pulgar 1m 0.00448 1I 5.0031e-7 Proximal pulgar 2m 0.21 2I 9.9115 e-5 Medial pulgar 3m 0.118 3I 2.89396 e-5 Distal pulgar 4m 0.113 4I 2.703 e-5

Donde:

il Es la longitud de los eslabones de los dedos.

cil Es la distancia de los centros de masa de los eslabones de los dedos.

im Es la masa de los eslabones de los dedos.

iI Son los momentos de inercia de los eslabones de los dedos

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Anexo C. Modelado dinámico

Las coordenadas de posición del centro de masa de cada una de las falanges son:

01 =x (C.1)( )111 qsenly c= (C.2)( )111 cos qlz c= (C.3)

( ) ( )1222 coscos qqlx c= (C.4)( ) ( )1222 cos qsenqly c= (C.5)

( )2212 qsenllz c+= (C.6)

( ) ( ) ( )13231223 coscos)cos(q cos qqqlqlx c ++= (C.7)( ) ( ) ( ) )(coscosl 13231223 qsenqqlqsenqy c ++= (C.8)

( ) ( )3232213 qqsenlqsenllz c +++= (C.9)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1432413231224 coscoscoscos)cos(q cos qqqqlqqqlqlx c +++++= (C.10)( ) ( ) ( ) ( ) )(cos)(coscosl 1432413231224 qsenqqqlqsenqqlqsenqy c +++++= (C.11)

( ) ( ) ( )43243232214 qqqsenlqqsenlqsenllz c ++++++= (C.12) Derivando con respecto al tiempo cada una de las ecuaciones (C.1-C.12) se obtienen las componentes del vector de velocidad del centro de masa de cada eslabón (véase figura 2.7), dando:

01 =x& (C.13)( ) 1111 cos qqly c && = (C.14)( ) 1111 qqsenlz c && −= (C.15)

( ) ( ) ( ) ( ) 112221222 coscos qqsenqlqqqsenlx cc &&& −−= (C.16)( ) ( ) ( ) ( ) 112221222 coscos qqqlqqsenqsenly cc &&& +−= (C.17)( ) 2222 cos qqlz c && = (C.18)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 11323321323

112221223

coscos coscos

qqsenqqlqqqqqsenlqqsenqlqqqsenlx

cc &&&

&&&

+−++−−−=

(C.19)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 11323321323

112221223

coscos coscos

qqqqlqqqsenqqsenlqqqlqqsenqsenly

cc &&&

&&&

++++−+−=

(C.20)

( ) ( )( )323232223 coscos qqqqlqqlz c &&&& +++= (C.21)

- 90 -

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 11432443214324

11323321323

112221224

coscos coscos

coscos

qqsenqqqlqqqqqqqsenlqqsenqqlqqqqqsenl

qqsenqlqqqsenlx

cc &&&&

&&&

&&&

++−++++−+−++−

−−=

(C.22)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 11432443214324

11323321323

112221224

coscos coscos

coscos

qqqqqlqqqqsenqqqsenlqqqqlqqqsenqqsenl

qqqlqqsenqsenly

cc &&&&

&&&

&&&

+++++++−++++−

+−=

(C.23)

( ) ( )( ) ( )( )4324324323232224 coscoscos qqqqqqlqqqqlqqlz c &&&&&&& ++++++++= (C.24) Sustituyendo las componentes del vector velocidad (ecuación C.13 - C.24) y resolviendo se tiene:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

1

1

1

11111

zyx

zyxvv TT

&

&

&

&&&

21

2111 qlvv c

T &= (C.25)

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

2

2

2

22222

zyx

zyxvv TT

&

&

&

&&&

( )( )2

2212

22222 cos qqqlvv c

T && += (C.26)

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

3

3

3

33333

zyx

zyxvv TT

&

&

&

&&&

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) 3223

23

23

22

23323

212

33212

22

22

21

2332

21

23

21

222

21

223332233

22233

22cos

cos2122cos

21

212cos

21cos2cos2

qqlqlqlqqlql

qlqlqlqlqqql

qlqqlqqlqlqlqlvv

cccc

ccc

ccT

&&&&&

&&&&

&&&&&

+++++

+++++

+++=

(C.27)

- 91 -

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

4

4

4

44444

zyx

zyxvv TT

&

&

&

&&&

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

2 2 2 24 4 4 2 3 2 2 4 4 3 4 2 2 3 3 3 3 3 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2 2 23 1 2 3 2 2 4 1 2 3 4 2 1

2 2 2 2 22 1 2 3 2 4 2 4

2 2 cos 2 cos 2 cos1 1 1 cos 2 2 cos 2 2 22 2 21 cos 2 22

Tc c

c

c c

v v l q q l q l q q q l q l q q l q l q l q

l q q q l q l q q q q l q

l q q l q l q q l

= + + + + +

+ + + + + + +

+ + + +

& & & & & & & &

& & & &

& & & &

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2 2 24 2 4 3 4 4

2 2 2 22 2 4 3 4 3 2 4 4 4 3 4 3 2 3

22 2 4 3 3 4 3 2 4 3 4 3 3 4 4

2 22 1 3 3 2 1 3 2 3

2 cos 2 cos 2 2

2 cos 4 cos 2 cos

cos cos 2

c c

c c c

c c c

q l q l q

l q l q q l q l q l q q l q q

l q l q q q l q l q q l q l q

l q l q l q l q q

+ +

+ + + + +

+ + + +

+ + + +

& & &

& & & & & &

& & & & &

& & ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

22 1 4 3 4

22 1 4 2 3 4 3 2 4 4 4 3 3 4 4 4

2 2 2 2 2 23 1 4 1 3 1 4 4 3 1 4 2 3 4

cos

cos 2 2 cos 2 cos1 1 cos cos 2 22 2

c

c c c

c c c

l q l q q

l q l q q q l q l q q l q l q q

l q l q l q l q l q l q q q

+

+ + + + +

+ + + + + +

&

& & & & &

& & & &

(C.28)

A partir de la rapidez al cuadrado i

Ti vv (ecuaciones C.25, C.26, C.27 y C.28) del centro de

masa de cada falange de los dedos de la mano CENIDET, se obtiene la ecuación correspondiente a su energía cinética. La energía cinética correspondiente al movimiento de cada uno de los eslabones se expresa como:

( ) 2

21

21, iii

Tiii qIvvmqqK && +=

(C.29)

Sustituyendo las ecuaciones C.25, C.26, C.27 y C.28 en C.29 se tiene:

( ) 21

21111 2

1, qlmIqqK c && ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=

(C.30)

( ) ( ) 22

2222

212

222222 2

121cos

21

21, qlmIqqlmIqqK cc &&& ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +=

(C.31)

- 92 -

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

2 2 2 23 3 3 2 3 3 3 3 2 3 2 3 3 3 1

2 23 2 2 3 2 3 2 3 1

2 2 23 3 3 3 2 3 2 3 3 2

1 1 1 1 1, cos 2 2 cos4 4 4 2 21 1 cos 2 cos 24 21 1 1 cos2 2 2

c c c

c

c c

K q q m l q q m l m l m l l q I q

m l q m l l q q q

m l I m l m l l q q

⎡ ⎤= + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

& &

&

&

( ) 2 2 23 2 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3

1 1 cos 2 2c c cm l l q I m l q q m l I q⎡ ⎤⎡ ⎤+ + + + +⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

& & &

(C.32)

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 24 4 2 4 2 3 2 3 4 2 3 3 1

2 24 2 4 2 3 4 4 4 4 3 4 4 1

2 24 2 4 3 4 4 4 2 2 1

1 1 1, cos 2 cos4 2 21 1 1 cos 2 cos2 4 2

1 1 1 cos cos 22 2 4

c c c

c

K q q m l m l l q q m l l q q

m l l q q q m l m l l q q

m l l q q I m l q q

⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

& &

&

&

( ) ( )

( )

( ) ( )

2 2 24 4 2 3 4 4 3 2 3 1

2 24 3 4 2 3 4 4 3 1

2 2 24 3 4 4 4 3 4 4 4 2 3 3 4 2

4 2

1 1 cos 2 2 2 cos 2 24 41 1 cos 2 22 4

1 1 1 cos cos2 2 2

c

c

c c

c

m l q q q m l q q q

m l l q q q m l q

m l l q m l m l m l l q I q

m l l

⎡ ⎤+ + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

+

&

&

&

( )

( ) ( )

2 24 3 4 4 2 2

2 24 4 4 3 4 4 4 4 2 4 3 4 4 3 2 3

1cos2

2 cos cosc c c

q q m l q

m l m l l q I m l l q q m l q q

⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ + + + + +⎣ ⎦

&

& &

( ) ( )( )

( ) ( )

2 24 4 4 3 4 4 4 4 2 4 3 4 4 3 2 3

4 2 3 3 2 3

24 4 4 4 3 4 4 4 2 4 3 4 2 4

2 cos cos

cos

cos cos

c c c

c c c

m l m l l q I m l l q q m l q q

m l l q q q

I m l m l l q m l l q q q q

⎡ ⎤+ + + + + +⎣ ⎦+ ⎡ ⎤⎣ ⎦⎡ ⎤+ + + + +⎣ ⎦

& &

& &

& &

( )

( )

2 2 24 3 4 4 4 4 4 3 4 3

24 3 4 4 4 4 4 3 4

2 24 4 4 4

1 1 1 cos2 2 2

cos

1 1 2 2

c c

c c

c

m l l q m l m l I q

m l l q m l I q q

m l I q

⎡ ⎤+ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎣ ⎦

&

& &

&

(C.33)

- 93 -

Sumando las energías cinéticas correspondientes a cada eslabón se obtiene la energía cinética total del de cada dedo, expresado como:

4321 KKKKK +++= (C.34) Por otra parte, la energía potencial asociada a cada una de las masas de los eslabones se obtiene sustituyendo a iz en cada una de las ecuaciones de las energías potenciales de la forma:

( ) ( )1111 cos qglmqU c−= (C.35)( ) ( )222122 qsenglmglmqU c−−= (C.36)( ) ( ) ( )3233223133 qqsenglmqsenglmglmqU c +−−−= (C.37)( ) ( ) ( ) ( )432443234224144 qqqsenglmqqsenglmqsenglmglmqU c ++−+−−−= (C.38)

Sumando todas las ecuaciones de energías potenciales correspondientes a cada uno de los eslabones se obtienen la energía potencial total, siendo:

4321 UUUUU +++= (C.39) Sustituyendo las energías cinéticas y potenciales correspondientes a cada eslabón, el Lagrangiano toma la forma,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 23 3 2 3 3 3 3 2 3 2 3 3 3 1

2 2 2 23 2 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 1

2 24 4 2 4 2 3 4 4 2 4 4

1 1 1 1 1, cos 2 2 cos4 4 4 2 21 1 1 1 cos 2 cos 2 cos4 2 2 21 1 1 1 cos 22 2 4 4

c c c

c c

c c

L q q m l q q m l m l m l l q I q

m l q m l l q q I m l q q

I m l l q q q m l m l

⎡ ⎤= + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

+ + + + + +

& &

&

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

2 24 2 2 1

2 24 2 4 3 4 4 3 2 3 1

24 3 4 2 3 4 4 2 3 2 3 4 3 4 4 1

2 24 3 4 4 2 3 4

1 cos 24

1 1 cos cos 2 22 41 1 1 cos 2 2 cos 2 cos2 2 21 1 cos 2 2 24 4

c

c c

c

m l q q

m l l q q m l q q q

m l l q q q m l l q q m l l q q

m l m l q q q

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

+ + + +

&

&

&

( )

( ) ( )

( ) ( )

2 24 2 3 3 1 1 1 1

2 2 2 23 3 3 3 2 3 2 3 3 2 2 2 4 3 4 4 2

2 2 2 24 4 4 3 4 2 4 4 2 3 3 4 2 4 3 4 2

1 1 1cos2 2 2

1 1 1 1 1 cos cos2 2 2 2 21 1 1 1 cos cos2 2 2 2

c

c c c c

c c

m l l q I m l q

m l I m l m l l q I m l m l l q q

m l m l m l I m l l q m l l q q q

⎡ ⎤+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ + + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ + + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

&

&

&

( ) ( ) ( )2 23 2 3 3 3 3 3 4 3 4 4 3 4 4 4 2 3 3 2 3 cos 2 cos cosc c cm l l q I m l m l I m l l q m l l q q q⎡ ⎤+ + + + + + +⎣ ⎦ & &

(C.40)

- 94 -

( )( ) ( )

( )

24 4 4 2 4 3 4 2 3

24 3 4 4 4 4 4 4 2 4 3 4 2 4

2 2 2 24 4 4 3 4 4 3 4 4 3 3 3 3

cos

cos cos

1 1 1 1 1 cos2 2 2 2 2

c c

c c c

c c c

m l m l l q q q q

m l l q m l I m l l q q q q

m l m l I m l l q m l I q

⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦⎡ ⎤+ + + + +⎣ ⎦⎡ ⎤+ + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

& &

& &

&

( )

( ) ( ) ( )( )( )

24 4 4 3 4 4 4 3 4

2 24 4 4 4

1 1 1 2 1 2 2 2 3 1 3 2 2

3 3 2 3 4 1

4 2 2

cos

1 1 2 2

cos

c c

c

c c

c

m l m l l q I q q

m l I q

m gl q m gl m gl sen q m gl m gl sen q

m gl sen q q m gl

m gl sen q

⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎣ ⎦

+ + + + +⎡ ⎤⎣ ⎦+ + +⎡ ⎤⎣ ⎦+ +

& &

&

( ) ( )4 3 2 3 4 4 2 3 4cm gl sen q q m gl sen q q q+ + + +⎡ ⎤⎣ ⎦

Haciendo uso de la ecuación (2.29) se procede a obtener a iτ respecto a cada falange de los dedos de la mano CENIDET. Dichas expresiones son:

1. Eslabón 1 (Falange de abducción-aducción).

( ) ( ) 111

,, τ=∂∂

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂ qqL

qqqL

qdtd

&&&

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

2 2 23 3 2 3 3 3 3 2 3 2 3 3 3 1

1

2 2 23 2 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 4 1

24 2 4 2 3 4 4 2 4 4

1 1 1, cos 2 2 cos2 2 2

1 cos 2 cos 2 cos2

1 1 cos 22 2

c c c

c c

c c

L q q m l q q m l m l m l l q I qq

m l q m l l q q I m l q I q

m l l q q q m l m l

∂ ⎡ ⎤= + + + + +⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦

⎡ ⎤+ + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

+ + + + +

& &&

&

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 24 2 2 1

24 2 4 3 4 4 3 2 3 4 3 4 2 3 4 1

24 2 3 2 3 4 3 4 4 4 3 1

24 4 2

1 cos 22

1 cos cos 2 2 cos 2 22

1 cos 2 cos2

1 cos 22

c c

c

c

m l q q

m l l q q m l q q m l l q q q q

m l l q q m l l q m l q

m l q

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ + + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

+

&

&

&

( ) ( ) 23 4 4 2 3 3 1 1 1 12 2 cos cq q m l l q I m l q⎡ ⎤+ + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

&

- 95 -

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 23 3 2 3 3 3 3 2 3 2 3 3 3 1

1

2 2 23 2 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 4 1

4 2 4

1 1 1, cos 2 2 cos2 2 2

1 cos 2 cos 2 cos2

c

c c c

c c

c

d L q q m l q q m l m l m l l q I qdt q

m l q m l l q q I m l q I q

m l l

⎡ ⎤∂ ⎡ ⎤= + + + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤+ + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

+

& &&&

&&

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 22 3 4 4 2 4 4 4 2 2 1

24 2 4 3 4 4 3 2 3 1

4 3 4 2 3 4 4 2 3 2 3 4 3 4 4

1 1 1os 2 cos 22 2 2

1 cos cos 2 22

cos 2 2 cos 2 cos

c

c

c c

q q q m l m l m l q q

m l l q q m l q q q

m l l q q q m l l q q m l l q

⎡ ⎤+ + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

+ + + + + +⎡ ⎤⎣ ⎦

&&

&&

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

2 2 24 3 4 4 2 3 4 4 2 3 3 1 1 1 1

2 23 3 2 3 3 2 2 3 2 3 2 3 2 1

1 1 cos 2 2 2 cos2 2

2 2 2 2 2

c c

c c

q

m l m l q q q m l l q I m l q

m l sen q q m l sen q m l l sen q q q q

⎡ ⎤+ + + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ − + − − +⎣ ⎦

&&

&&

& &

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2 22 2 2 4 2 4 2 3 4 4 2 2 2 1

24 3 2 3 4 3 4 2 3 4 2 1

24 2 3 2 3 4 4 2 3 4

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

c c

c

c

m l sen q m l l sen q q q m l sen q q q

m l sen q q m l l sen q q q q q

m l l sen q q m l sen q q q

⎡ ⎤+ − − + + −⎣ ⎦⎡ ⎤+ − + − + +⎣ ⎦⎡ ⎤+ − + − + +⎣ ⎦

& &

& &

&

( ) ( ) ( )2 1

23 3 2 3 3 2 3 3 3 2 3 2 3 3 1 2 2 2c c c

q q

m l sen q q m l l sen q m l l sen q q q q⎡ ⎤+ − + − − + −⎣ ⎦

&

& &

( ) ( ) ( )( ) ( )

24 2 4 2 3 4 4 2 4 3 4 4 3 2 3 3 1

4 3 4 2 3 4 4 2 3 2 3 3 1

24 4

2 2 2

2 2 2 2

2

c c

c

c

m l l sen q q q m l l sen q q m l sen q q q q

m l l sen q q q m l l sen q q q q

m l sen q

⎡ ⎤+ − + + − + − +⎣ ⎦+ − + + − +⎡ ⎤⎣ ⎦

+ −

& &

& &

( ) ( )( )( ) ( ) ( )

2 3 4 4 2 3 3 3 1

4 2 4 2 3 4 4 1

4 2 4 3 4 4 3 4 2 3 4 4 3 4 4 4 1

2 2

2

2 2

c

c c c

q q m l l sen q q q

m l l sen q q q q q

m l l sen q q m l l sen q q q m l l sen q q q

⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦+ − + +⎡ ⎤⎣ ⎦+ − + − + + −⎡ ⎤⎣ ⎦

+ −

& &

& &

& &

( )24 4 2 3 4 4 12 2 2cm l sen q q q q q⎡ ⎤+ +⎣ ⎦ & &

( ) ( )1111

, qsenglmqqLq c−=∂∂

&

2. Eslabón 2 (Falange Proximal)

( ) ( ) 222

,, τ=∂∂

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂ qqL

qqqL

qdtd

&&&

- 96 -

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2 2 2 2 22 4 4 2 4 3 4 4 3 2 2 3 3 3 2 2

2

3 2 3 3 4 3 4 4 4 2 3 3 4 2 4 3 4 2

24 3 4 4 3 4 4 4 2 3

,

2 cos 2 cos 2 cos 2 cos

2 cos cos

c c c

c c c

c

L q q I I m l m l m l I m l m l m l qq

m l l q m l l q m l l q m l l q q q

m l I m l l q m l l

∂ ⎡ ⎤= + + + + + + + +⎣ ⎦∂

+ + + + + +⎡ ⎤⎣ ⎦

+ + + +

& &&

&

( ) ( )( )( ) ( )

23 4 4 4 2 4 3 4 3

23 2 3 3 3 3 3 3

24 3 4 4 4 4 4 4 2 4 3 4 4

cos

cos

cos cos

c c

c c

c c c

q m l m l l q q q

m l l q I m l q

m l l q m l I m l l q q q

⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦⎡ ⎤+ + + + +⎣ ⎦

&

&

&

( )

( ) ( ) ( )( )

2 2 2 2 2 22 4 4 2 4 3 4 4 3 2 2 3 3 3 2 2

2

3 2 3 3 4 3 4 4 4 2 3 3 2

4 2 4 3 4

,

2 cos 2 cos 2 cos

2 cos

c c c

c c

c

d L q q I I m l m l m l I m l m l m l qdt q

m l l q m l l q m l l q q

m l l q q q

⎡ ⎤∂ ⎡ ⎤= + + + + + + + +⎢ ⎥ ⎣ ⎦∂⎣ ⎦+ + +⎡ ⎤⎣ ⎦+ +⎡ ⎤⎣ ⎦

& &&&

&&

&&

( ) ( )( ) ( )

( )

2

2 24 3 4 4 3 4 4 4 2 3 3 4 4 3

24 2 4 3 4 3 2 3 3 3 3 3 3

24 3 4 4 4 4 4

2 cos cos

cos cos

cos

c c

c c c

c c

m l I m l l q m l l q m l q


m l l q m l I

⎡ ⎤+ + + + +⎣ ⎦⎡ ⎤+ + + + + +⎣ ⎦

+ + +

&&

&&

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

4 2 4 3 4 4

3 2 3 3 4 2 3 3 4 2 4 3 4 3 2

23 2 3 3 4 2 3 3 4 2 4 3 4 3

cos

2 2 2

c

c c

c c

m l l q q q

m l l sen q m l l sen q m l l sen q q q q

m l l sen q m l l sen q m l l sen q q q

⎡ ⎤+ +⎣ ⎦+ − − − +⎡ ⎤⎣ ⎦+ − − − +⎡ ⎤⎣ ⎦

&&

& &

&

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

4 3 4 4 4 2 4 3 4 4 2

4 2 4 3 4 4 3 4 4 4 2 4 3 4 4 3

24 3 4 4 4 2 4 3 4 4

2 2

2

c c

c c c

c c

m l l sen q m l l sen q q q q

m l l sen q q m l l sen q m l l sen q q q q

m l l sen q m l l sen q q q

+ − − +⎡ ⎤⎣ ⎦+ − + − − +⎡ ⎤⎣ ⎦+ − − +⎡ ⎤⎣ ⎦

& &

& &

&

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

2 2 23 3 2 3 3 2 2 3 2 3 2 3 1

2

2 2 24 2 4 2 3 4 4 2 2 4 3 2 3 1

4 3 4 2 3 4 4 2 3

1 1, 2 2 2 22 2

1 1 2 2 2 22 2

2 2

c c

c

c

L q q m l sen q q m l sen q m l l sen q q qq

m l l sen q q q m l sen q m l sen q q q

m l l sen q q q m l l se

∂ ⎡ ⎤= − + − − +⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦

⎡ ⎤+ − + + − − +⎢ ⎥⎣ ⎦+ − + + −

& &

&

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

22 3 1

2 2 24 4 2 3 4 2 2 2 1

4 2 2 4 3 2 3 4 4 2 3 4

3 2 2 3 3 2 3 2 2

2

1 1 2 2 2 22 2

cos cos cos

cos cos co

c c

c

c c

n q q q

m l sen q q q m l sen q q

m gl q m gl q q m gl q q q

m gl q m gl q q m gl

+⎡ ⎤⎣ ⎦⎡ ⎤+ − + + −⎢ ⎥⎣ ⎦

+ + + + + +⎡ ⎤⎣ ⎦+ + + +

&

&

( )2s q⎡ ⎤⎣ ⎦

3. Eslabón 3 (Falange medial).

( ) ( ) 333

,, τ=∂∂

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂ qqL

qqqL

qdtd

&&&

- 97 -

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )[ ]

( )[ ]( )[ ] 444434

244

344344234

244

2333

223333323

243424244332444344

234

3

cos

cos2

cos

coscoscos2,

qIqllmlm

qqllmIlmlmlmI

qlmIqllm

qqqllmlmqllmqllmIlmqqLq

cc

ccc

cc

ccc

&

&

&

&&&

+++

++++++

+++

++++++=∂∂

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 24 3 4 4 3 4 4 4 2 3 3 4 4 2

3

24 2 4 3 4 3 2 3 3 3 3 3 2

2 2 23 3 3 4 4 4 3 4 4

, 2 cos cos

cos cos

2

c c

c c c

c c

d L q q m l I m l l q m l l q m l qdt q


I m l m l m l I m l

⎡ ⎤∂ ⎡ ⎤= + + + +⎢ ⎥ ⎣ ⎦∂⎣ ⎦⎡ ⎤+ + + + + +⎣ ⎦

+ + + + + +

& &&&

&&

( )( )

( ) ( ) ( )( )

3 4 4 3

24 4 4 3 4 4 4 4

3 2 3 3 4 2 3 3 4 2 4 3 4 3 2

4 3 4 4 4 2

cos

cos

2

c

c c

c c

c c

l q q

m l m l l q I q

m l l sen q m l l sen q m l l sen q q q q

m l l sen q m l l

⎡ ⎤⎣ ⎦⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦

+ − − − +⎡ ⎤⎣ ⎦+ − −

&&

&&

& &

( )( )( )

4 3 4 4 2

4 3 4 4 4 3

24 3 4 4 4

2

c

c

sen q q q q

m l l sen q q q

m l l sen q q

+⎡ ⎤⎣ ⎦+ −⎡ ⎤⎣ ⎦+ −⎡ ⎤⎣ ⎦

& &

& &

&

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]4324432343233

2443424

234342433243323

224342433243323

213324432

24432324

2143243432

234

2143424432424

2132323332332

233

3

coscoscos

21222

212

21

222221

212

21

221

2122

21,

qqqglmqqglmqqglmqqqqsenllm

qqqqsenllmqsenllmqsenllmqqqsenllmqsenllmqsenllm

qqsenllmqqqsenlmqqsenllm

qqqqsenllmqqsenlm

qqqsenllmqqqsenllm

qqqsenllmqsenllmqqsenlmqqLq

cc

c

cc

cc

c

c

cc

ccc

++++++++−+

+−−−++−−−+

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++−+−+

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−+−+

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−++−+

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−+−=

∂∂

&&

&&

&

&

&

&

&&

4. Eslabón 4 (Falange distal).

( ) ( ) 444

,, τ=∂∂

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂ qqL

qqqL

qdtd

&&&

- 98 -

( ) ( ) ( )[ ]( )[ ] [ ] 44

244344434

244

24342442444434

4

cos

coscos,

qIlmqIqllmlm

qqqllmIlmqllmqqLq

ccc

ccc

&&

&&&

+++++

++++=∂∂

( ) ( ) ( )[ ]( )[ ] [ ]

( )[ ]( ) ( )[ ]( )[ ] 434434

42434244434

3243424

44244344434

244

24342442444434

4

cos

coscos,

qqqsenllmqqqqsenllmqsenllm

qqqqsenllmqIlmqIqllmlm

qqqllmIlmqllmqqLqdt

d

c

cc

c

ccc

ccc

&&

&&

&&

&&&&

&&&&

−++−−+

+−++++++

++++=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]

( )[ ]43244

344434234434

24434244434

23434244434

22434244434

21432

244432434

21443443424432424

4

cos

2

2222122

21

21

212

21,

qqqglmqqqsenllmqqsenllm

qqqqsenllmqsenllmqqqqsenllmqsenllm

qqqsenllmqsenllm

qqqqsenlmqqqsenllm

qqsenllmqqsenllmqqqsenllmqqLq

c

cc

cc

cc

cc

cc

ccc

+++−+−+

+−−++−−++−−+

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−++−+

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−++−=

∂∂

&&&

&&

&&

&

&

&&

- 99 -

Anexo D. Distribución de la tarjeta principal

La distribución de la tarjeta principal se muestra en la figura D.1. Las señales usadas para la operación de la mano CENIDET son señales digitales (82 señales independientes en total).

Tarjetas colectoras Dedo índice Dedo pulgar Dedo medio Dedo anular

Hacia el conector SCB-68-DIO1

Hacia el conector SCB-68-DIO2

Hacia el conector SCB-68-MIO

Figura D.1. Distribución de la tarjeta principal.

La tarjeta principal (figura D.1) de la mano CENIDET interactúa con todas las demás tarjetas y cuenta con siete conectores para el manejo de las variables manipuladas (sensores de posición, bits de dirección, PWM, sensores de corriente y terminales de cada motor) y cuatro ranuras de expansión en las que se insertan los módulos de potencia que actúan a los motores de la mano robot.

Alimentación 5V

Alimentación 12VRanuras de expansión para tarjetas de

potencia.

- 100 -

Anexo E. Diagrama a bloques del programa y subprograma de la mano CENIDET

1. Diagrama a bloques del programa principal de la mano CENIDET.

(a) Diagrama a bloques de las secuencias y controlador

(b) Diagrama a bloques de asignación de direcciones y calculo de posición y velocidad.

Figura E.1. Diagrama a bloques del programa principal de la mano CENIDET.

Subprograma de calculó de posición y velocidad

- 101 -

Los diagramas a bloques correspondientes a cada uno de los controladores implementados son los que se muestran las figuras E.1 (a y b). De los diagramas bloques presentados existen subprogramas que también interactúan con el programa principal como son: subprograma para calcular posición y velocidad real de cada una de las falanges, tal como se observa en la figura E.1b. También dentro del programa principal son utilizados otros subprogramas tales como los que se exponen a continuación. El subprograma de la figura E.2 es un subprograma donde una vez tenida la señal de salida del controlador se determina el sentido de giro del motor para alcanzar la posición deseada según se observa a continuación:

Figura E.2. Diagrama a bloques del subprograma que evalúa la señal de control para dar el sentido de giro al motor.

Otro subprograma es el que genera una señal PWM a partir de la señal de control y se presenta a continuación. Al modificar el ciclo de trabajo de la señal PWM digital, se controla la velocidad de salida de los motores, ver figura E.3.

Figura E.3. Diagrama a bloques del subprograma para salida de control del PWM digital.

- 102 -

2. Diagrama a bloques del subprograma de la mano CENIDET.

Figura E.4. Diagrama a bloques del subprograma de la mano CENIDET.

La figura E.4 muestra el subprograma del programa principal que es cargado en la memoria de la FPGA. Nótese de la figura las entradas y salidas digitales asignadas para el manejo de las señales correspondientes para el control de la mano CENIDET. El diagrama que se muestra sólo corresponde al direccionamiento de una falange. Del subprograma de la figura E.4 obsérvese que el PWM digital es cargado en la memoria del chip de la FPGA.

PWM digital

- 103 -

Anexo F. Diagramas de simulación de los controladores

El programa de cada uno de los controladores fue desarrollado usando la herramienta Matlab 7.1/Simulink. Cada programa fue simulado bajo los siguientes parámetros.

Tabla F.1. Parámetros de simulación

Parámetro Configuración

Solucionador (Solver) Ode23s (staff/Mod. Rosenbrock)

Opciones de la solución Paso variable

Tamaño de paso variable 0.001

Tiempo de simulación 1 segundo

Posiciones deseadas º111 =q , º902 =q , º1103 =q y º704 =q

Control no lineal basado en pasividad La naturaleza no lineal de este tipo de controlador no permite que exista una metodología de sintonización, por lo que las matrices de sintonización se calcularon a prueba y error. Los valores encontrados de las matrices de sintonización para este tipo de controlador fueron,

[ ]10000100001000010000DiagK p =

[ ]400400400750DiagK d =

En la figura F.1 se presenta el esquema de simulación de éste controlador empleado en la mano CENIDET. Las gráficas resultantes de esta simulación son presentadas en el capítulo 4.

(F.1)

- 104 -

dqp1

qdp2

qdpp1

qdpp2

qdp3 qdpp3q1

q5

qdpp4dqp1

velocidad Articular

tau3

tau4-ind2

tau2

tau3-ind1

tau1

tau2-ind1

tau

tau1-ind

q4q4-ind

q3q3-ind

q2q2-ind

q1q1-ind

du/dt

h

du/dt

g

du/dt

f

e4

e3-ind3

e3

e3-ind2

e2

e3-ind1

e1

e3-ind

du/dt

e

du/dt

d

du/dt

c

du/dt

b

du/dt

a

time

Tiempo deSimulación

qd4Posicion deseada qd4




indice

Indice

qdpp1

qdpp2

qdpp3

qdpp4

qdp1

qdp2

qdp3

qdp4

qd1

qd2

qd3

qd4

q1

q2

q3

q4

q5

q6

q7

q8

tau1

tau2

tau3

tau4

e1

e2

e3

e4

cbp

Control basado en pasividad

Clock

Figura F.1. Diagrama de simulación del controlador no lineal basado en pasividad.

Control proporcional derivativo con compensación de gravedad (PD+G)

La elección de las matrices de sintonización para este controlador fue obtenido a prueba y error. Los valores de las matrices elegidas son:

[ ]23232323DiagK p =

[ ]2.12.12.13.2DiagKv = El esquema de simulación de este controlador se presenta en la figura F.2 y los resultados de simulación obtenidos de este esquema son presentados en el capítulo 4.

(F.2)

- 105 -

q1

q5

velocidad Articular

tau4i

tau4-ind

tau3i

tau3-ind

tau2i

tau2-ind

tau1i

tau1-ind

q4q4-ind

q3q3-ind

q2q2-ind

q1q1-ind

e3

e4-ind

e2

e3-ind

e1

e2-ind

e

e1-ind

timei





qd1Posicion deseada qd1 qd1

qd2

qd3

qd4

q1

q2

q3

q4

q5

q6

q7

q8

Kp1

Kp2

Kp3

Kp4

Kv 1

Kv 2

Kv 3

Kv 4

tau1

tau2

tau3

tau4

e1

e2

e3

e4

PD

PD+G

indice_PD

Indice_PD

Kp1

Kp2

Kp3

Kp4

Gain1 Kv 1

Kv 2

Kv 3

Kv 4

Gain

Clock

Figura F.2. Diagrama de simulación del control PD con compensación de gravedad (PD+G).

Control proporcional integral derivativo (PID)

Los valores obtenidos de las matrices de sintonización para este tipo de controlador se obtuvieron a prueba y error. Los valores de las matrices de ganancias son los siguientes

[ ]25000250002500025000DiagK p =

[ ]1000100010001000DiagKi =

[ ]25.120025.120025.120025.2000DiagKv =

El esquema del controlador PID usado se muestra en la figura F.3. Los resultados de simulación obtenidos se presentan en el capítulo 4.

(F.3)

- 106 -

q1

q5

velocidad Articular

tau4ii

tau4-ind

tau3ii

tau3-ind

tau2ii

tau2-ind

tau1ii

tau1-ind

q3q4-ind

q2q3-ind

q1q2-ind

qq1-ind

e4

e4-ind

e3

e3-ind

e2

e2-ind

e1

e1-ind

timeii


qd4sicion deseada qd4




qd1

qd2

qd3

qd4

q1

q2

q3

q4

q5

q6

q7

q8

Kp1

Kp2

Kp3

Kp4

Kv 1

Kv 2

Kv 3

Kv 4

Ki1

Ki2

Ki3

Ki4

E1

E2

E3

E4

tau1

tau2

tau3

tau4

e1

e2

e3

e4

PID

PIDI1

I2

I3

I4

O1

O2

O3

O4

Integrador

indice_PID

Indice_PID

Ki1

Ki2

Ki3

Ki4

Gain2

Kp1

Kp2

Kp3

Kp4

Gain1 Kv 1

Kv 2

Kv 3

Kv 4

Gain

Clock

Figura F.3. Diagrama de simulación del control Proporcional-Integral-Derivativo (PID).

Matrices de Sintonización de los Controladores en la Experimentación La elección de las matrices de sintonización para cada uno de los controladores para la validación experimental se calculó a prueba y error. Se eligieron las matrices de sintonización como matrices diagonales. Las matrices de sintonización elegidas para el controlador PID quedaron como:

[ ]11450114501145011450DiagK p =

[ ]100100100100DiagKi =

[ ]300300300300DiagKv =

(F.4)

- 107 -

Las matrices de sintonización elegidas para el controlador PD+G quedaron como:

[ ]20000200002000020000DiagK p =

[ ]400400400400DiagKv =

Las matrices de sintonización elegidas para el controlador no lineal basado en pasividad quedó como:

[ ]6666 10061.110061.110061.110061.1 xxxxDiagK p =

[ ]1000100010001000DiagKd = Los resultados experimentales usando estas matrices de sintonización para cada uno de los controladores propuestos se presentan en las figuras de la sección 4.4.1.

(F.5)

(F.6)

- 108 -

cenidet corne… · tesis de maestrÍa en ciencias ... fabio, cancino, orlando, marcos, josé,...

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