ccecr unidad 2

CONTROL ESTADSTICO DE CALIDAD CON R mayo 2015. UNIDAD 2 Antonio Vaamonde Liste y Ricardo Luaces Pazos

CURSO DE FORMACIN CONTROL ESTADSTICO DE CALIDAD CON R

UNIVERSIDAD DE VIGO

UNIDAD 2. MUESTREO DE ACEPTACIN. CONCEPTO Y TIPOS. CURVA DE OPERACIN. PLANES DE MUESTREO.

Se trata de verificar la calidad de un conjunto o lote de producto, referida en general a la proporcin de elementos no defectuosos (piezas que cumplen las especificaciones), aunque tambin puede tratarse del nmero de defectos (por ejemplo, en automviles usados), o alguna otra caracterstica medible (como dimetro o peso). El conjunto o lote ser globalmente aceptado o rechazado dependiendo de lo que se encuentre en la muestra.

La inspeccin exhaustiva de todas las unidades del lote, permite obviamente conocer con exactitud sus caractersticas, y tomar la decisin ms adecuada sobre su aceptacin o rechazo, pero generalmente es inviable por razones de coste y tiempo o cuando la prueba es destructiva. Debe tomarse una muestra, que permitir estimar (conocer de forma aproximada) aquellas caractersticas con precisin suficiente. Una muestra grande permite reducir el error de estimacin, pero incrementa el coste y tiempo necesario, por lo que es conveniente determinar la muestra ms pequea posible que cumple con los requisitos de precisin preestablecidos.

Es objetivo de esta unidad es el diseo de un plan de muestreo adecuado, con el cual la mayora de los lotes correctos sean aceptados y la mayora de los lotes defectuosos sean rechazados.

En el plan de muestreo se debe decidir: la frecuencia del muestreo (una sola vez, peridicamente, de forma aleatoria, dependiendo del tamao o el valor, etc.), el tamao de la muestra, y la caracterstica de calidad que debe ser inspeccionada en cada unidad. En ocasiones se emplean planes de muestreo complejos, con varias fases secuenciales, en cuyo caso es necesario decidir los diferentes tamaos de muestra y las reglas de decisin a utilizar.

El Plan de muestreo puede ser simple, doble y mltiple. La inspeccin puede ser por atributos (con 2 clases: aceptable/no aceptable, o bien con 3 clases: aceptable/marginal/no aceptable) o por variables. Un plan de muestreo simple para atributos con dos clases consiste en obtener una muestra aleatoria de tamao n; si el nmero encontrado de unidades no conformes (defectuosas) es mayor que c el lote ser rechazado, y en caso contrario aceptado. Es necesario nicamente establecer o decidir los valores de n y c.

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Curva caracterstica de operacin. La curva caracterstica de operacin (OC) representa grficamente la probabilidad de que el lote sea aceptado para cada nivel de calidad (para cada porcentaje de elementos defectuosos en el lote). Naturalmente cuanto mayor es el nmero de defectuosos (calidad menor), menor ser tambin la probabilidad de que sea aceptado, por lo que la curva siempre es decreciente, pero su forma depende del plan de muestreo diseado. No existe ningn plan perfecto que pueda distinguir por completo y con seguridad los lotes buenos de los malos, salvo la inspeccin exhaustiva. Cualquier plan tiene por lo tanto una probabilidad de rechazar un lote bueno (error de tipo I) y una probabilidad de aceptar un lote malo (error de tipo II): un buen plan debe reducir ambas probabilidades o riesgos de error hasta valores razonables. Esto se consigue aumentando el tamao de la muestra, lo que hace que la curva OC se acerque a la curva ideal. Lamentablemente el aumento del tamao de la muestra incrementa el coste de la inspeccin, otra variable que conviene tener en cuenta. La probabilidad de rechazar un lote con calidad razonable se conoce como riesgo del productor (PR), y la de aceptar un lote con calidad inasumible es el riesgo del consumidor (CR). El productor corre el riesgo de que sean rechazados lotes vlidos, y el consumidor corre el riesgo de aceptar lotes no vlidos. Algunas normas (ISO 2859, AS 1199.2) definen valores orientativos que se consideran aceptables como PR = 0,05 o CR = 0,10. El punto de la curva caracterstica de operacin que corresponde al riesgo del productor una vez fijado ste- se conoce como Punto de Riesgo del Productor (PRP), y viene definido por sus dos componentes: el nivel de calidad del lote (porcentaje de elementos defectuosos) y la probabilidad de aceptar un lote vlido. Igualmente se puede fijar un riesgo del consumidor, y determinar en la curva OC el Punto de Riesgo del Consumidor (PRC), definido por aquel riesgo (probabilidad de aceptar un lote malo) y el valor de calidad que corresponda en la curva.

La figura siguiente muestra un ejemplo de curva caracterstica de operacin, con el porcentaje de elementos no conformes o defectuosos que define la calidad del lote en el eje horizontal, y la probabilidad de aceptar el lote (que depender del plan de muestreo) en el vertical. Se ha marcado en color azul el PRP para un riesgo de 0,015 (probabilidad de aceptar = 0,985) que corresponde a un 10% de elementos defectuosos en el lote, y en color rojo el PRC para un riesgo de 0,10 que corresponde a una calidad de 55%.

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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Proportion defective

P(a

ccep

t)

i Dado un plan de muestreo simple, podemos construir con R la curva caracterstica de operacin con la funcin OC2c del paquete AcceptanceSampling, que debe ser instalado. El plan consiste en tomar una muestra aleatoria de n unidades y decidir si se acepta el lote completo en funcin del nmero de unidades defectuosas encontradas. La funcin OC2c crea un objeto correspondiente a un plan de muestreo simple para atributos con dos clases (defectuoso/no defectuoso). En su forma ms sencilla solo debemos indicar el tamao de muestra (por ejemplo 10) y el nmero mximo de unidades defectuosas para que el lote sea aceptado (por ejemplo 2). Copiaremos en la ventana de instrucciones de R Commander y ejecutaremos las siguientes instrucciones: library(AcceptanceSampling) # carga el paquete AcceptanceSampling x


Los resultados muestran el plan: Acceptance Sampling Plan (binomial) Sample 1 Sample size(s) 10 Acc. Number(s) 2 Rej. Number(s) 3 Y la curva OC

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


P(a

ccep

t)

Por defecto, R supone que la distribucin de probabilidad a utilizar es binomial. Esto es correcto cuando cada elemento puede ser defectuoso o no, con una probabilidad P constante de que sea defectuoso, de forma independiente de los dems, como ocurre en general cuando las piezas salen de una mquina o sistema productivo de forma continua. Cuando se muestrean de un conjunto o poblacin de tamao fijo N (como cuando se compra un lote que contiene N unidades), en el cual hay d piezas defectuosas, la probabilidad de que la primera pieza muestreada sea defectuosa ser d/N, pero a medida que se avanza en el muestreo la probabilidad (cociente entre unidades defectuosas que permanecen y nmero total de unidades que quedan) va cambiando en funcin del nmero de piezas defectuosas que han salido ya (la probabilidad P no es constante), y en ese supuesto la distribucin adecuada no es la binomial, sino la hipergeomtrica:

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x


Acceptance Sampling Plan (hypergeom with N=2000) Sample 1 Sample size(s) 10 Acc. Number(s) 1 Rej. Number(s) 2 Detailed acceptance probabilities: Pop. Defectives Prop.defect. P(accept) 0 0.00 1.00000000 20 0.01 0.99592384 40 0.02 0.98413812 60 0.03 0.96588189 80 0.04 0.94226420 100 0.05 0.91427457 120 0.06 0.88279283 140 0.07 0.84859821 160 0.08 0.81237794 180 0.09 0.77473524 200 0.10 0.73619678 220 0.11 0.69721960

..... ..........

880 0.44 0.02658104 900 0.45 0.02299882 920 0.46 0.01983349 940 0.47 0.01704546 960 0.48 0.01459778 980 0.49 0.01245615 1000 0.50 0.01058876 Se muestra en la tabla la proporcin de defectuosos (en este caso de centsima en centsima, en la segunda columna), y la probabilidad de aceptacin. Tambin se indica en la primera columna- el nmero de unidades defectuosas en el lote de 2000 unidades que corresponde a cada proporcin. Elaboracin de un plan de muestreo. En el apartado anterior hemos representado la curva OC correspondiente a un plan de muestreo ya definido, pero en la prctica debemos en general resolver el problema contrario, encontrar el plan de muestreo a partir de la curva OC, es decir determinar cul es el tamao de muestra adecuado y cul el nmero c de elementos defectuosos que debemos encontrar como mximo en la muestra para aceptar el lote, de forma que se cumplan las especificaciones que nos interesan en el control de la calidad expresadas mediante una curva OC.

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Para ello se pueden establecer los dos puntos importantes de la curva, PRP y CRP, cada uno de los cuales viene definido por un nivel de calidad (eje X) y una probabilidad de aceptacin (eje Y). PRP = (0,05; 0,95) El primer elemento del punto de riesgo del productor PRP es el porcentaje de elementos defectuosos que se supone que tiene el lote (calidad del lote, por ejemplo 0,05), y el segundo es la probabilidad mnima de aceptar un lote vlido (por ejemplo 0,95) que debe proporcionar el plan de muestreo: el plan buscado debe conducirnos a aceptar al menos el 95% de los lotes vlidos, considerando como vlidos aquellos que no superan el 5% de unidades defectuosas. CRP = (0,25; 0,10) El primer elemento del punto de riesgo del consumidor es asimismo un nivel de calidad, en este ejemplo 25% de elementos defectuosos, y el segundo el valor mximo de la probabilidad de aceptacin: el plan buscado debe aceptar como mximo el 10% (rechazar como mnimo el 90%) de los lotes que tengan un 25% o ms de piezas defectuosas. Encontramos el plan buscado con la funcin find.plan, del paquete AcceptanceSampling: find.plan(PRP=c(0.05, 0.95), CRP=c(0.25, 0.10), type="binom") El resultado, una vez ejecutada la orden find.plan, es: $n [1] 25 $c [1] 3 $r [1] 4 Es decir, el tamao de muestra debe ser 25; aceptaremos el lote si entre esas 25 unidades elegidas aleatoriamente aparecen 3 unidades defectuosas o menos, y lo rechazaremos si encontramos 4 o ms. Para utilizar la distribucin hipergeomtrica en lugar de la binomial debemos emplear type = "hypergeom" e indicar un valor de N: find.plan(PRP=c(0.05, 0.95), CRP=c(0.25, 0.10), type="hypergeom", N = 100)

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Verificacin de un plan de muestreo. Si queremos averiguar si un determinado plan de muestreo cumple con las especificaciones que podemos establecer mediante PRP y CRP, debemos utilizar la funcin assess. Supongamos que estamos utilizando de forma habitual un plan de muestreo con n=100 y c=5; nos gustara que el plan acepte al menos el 90% de los lotes que tienen un porcentaje de defectuosos del 4% o menos, y que rechace como mnimo el 80% de aquellos lotes que contienen un 8% de defectuosos o ms. Cumplir nuestro plan con estas expectativas? Con esos datos, tenemos PRP=(0.04; 0.90) y CRP=(0.08; 0.20) Construimos la funcin assess con los siguientes argumentos, suponiendo que la distribucin de probabilidad es binomial, indicando n y c, y los puntos PRP y CRP: assess(OC2c(100,5), PRP=c(0.04, 0.90), CRP=c(0.08, 0.20)) Los resultados de la ejecucin de esta orden son: Acceptance Sampling Plan (binomial) Sample 1 Sample size(s) 100 Acc. Number(s) 5 Rej. Number(s) 6 Plan CANNOT meet desired risk point(s): Quality RP P(accept) Plan P(accept) PRP 0.04 0.9 0.7883749 CRP 0.08 0.2 0.1798764 Este resultado muestra que el plan no cumple con aquellas especificaciones deseables: acepta nicamente el 78,8% de los lotes buenos en lugar del 90% que pedamos, aunque s rechaza ms del 80% (acepta el 17,987%) de los que superan el 8% de defectuosos.

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Plan de muestreo doble o mltiple. Lo mismos procedimientos anteriores pueden ser utilizados para planes ms complejos. Por ejemplo, la norma ISO 2859 define planes de muestreo dobles, formados por dos muestras secuenciales, para inspeccin normal (se usa la inspeccin normal, frente a la inspeccin rigurosa o la inspeccin reducida, cuando no hay razones para pensar que el proceso difiera de la calidad esperada); esta norma indica (plan G), para un lmite de calidad aceptable (AQL) del 4% de elementos defectuosos, dos muestras con las caractersticas que se indican en la tabla siguiente.

ISO 2859 Plan G de muestreo doble con AQL=4%

muestra tamao acepta rechaza 1 20 1 3 2 20 4 5

Si en la primera muestra se encuentra una unidad defectuosa o menos, el lote es aceptado, y si se encuentran 3 o ms, rechazado. En otro caso (si se encuentran 2), se selecciona aleatoriamente la segunda muestra, acumulando los defectuosos encontrados en ambas. Si este nmero es 4 o menos se acepta el lote, y si es mayor se rechaza. Un plan de muestreo doble (o mltiple), es en general ms eficiente que uno simple, aunque tambin requiere un coste o esfuerzo mayor. En las rdenes de R los valores mltiples de n, c, o r, se escriben como vectores, mediante la funcin de conjunto c: x


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


P(a

ccep

t)

Servir este plan para aceptar al menos el 90% de los lotes buenos (con 4% o menos de unidades defectuosas) y rechazar al menos el 90% de los lotes que superen el 20% de unidades no conformes? assess(x, PRP=c(0.04, 0.90), CRP=c(0.20, 0.10)) Acceptance Sampling Plan (binomial) Sample 1 Sample 2 Sample size(s) 20 20 Acc. Number(s) 1 4 Rej. Number(s) 3 5 Plan CAN meet desired risk point(s): Quality RP P(accept) Plan P(accept) PRP 0.04 0.9 0.94974204 CRP 0.20 0.1 0.09739023 Observamos que nuestro plan G cumple con esas especificaciones.

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TAREA 2:

1) Construya la curva caracterstica de operacin para un plan de muestreo simple de aceptacin por atributos con dos modalidades (conforme/no conforme) en el que se seleccionan al azar 25 unidades y se acepta el lote si se encuentran 2 o menos defectuosas (en otro caso se rechaza). La distribucin es binomial.

2) Compruebe si ese plan de muestreo ser adecuado para aceptar al menos el 90% de

los lotes que tienen un porcentaje mximo de defectuosos del 5%, y rechazar como mnimo el 90% de aquellos lotes que contienen un 20% de defectuosos o ms.

3) En caso negativo, encuentre un plan de muestreo simple que cumpla con las

especificaciones del apartado anterior. Se debe elaborar un informe de prcticas con los resultados obtenidos, aadiendo comentarios personales del alumno con su interpretacin de los resultados, en un archivo Word (puede utilizarse cualquier otro editor de texto alternativo). El archivo, cuyo nombre debe ser el primer apellido del alumno con el nmero de la tarea a continuacin (ej. Garcia2.docx), debe enviarse antes de las 24h del da 8 de mayo a travs de la opcin enviar tarea en la plataforma del curso.

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