[1] Ejemplo numérico de cálculo de integral en torno a singularidad

Teorema integral de Cauchy By Héctor L. Cervantes C.

Introducción.- Cuando se una fórmula para calcular el valor de una integral cerrada y se aplica como una receta de cocina, entonces, carece de comprobación personal, lo cual es anti-científico; pero cuando se le adicionan numeritos al asunto, ya es otra cosa y el mismo proceso se convierte en algo comprobado y se aplica luego la fórmula de “cocina” con toda confianza. Tal es el objetivo del siguiente artículo para una

comprobación específica de este teorema por un procedimiento alterno al procedimiento de residuos, mientras el teorema de Cauchy-Gousat se aplica a puntos analíticos y no se engloban polos, el teorema integral de Cauchy se aplica a polos, es decir a integrales cerradas que engloban al menos a un polo.

Sea 𝑓(𝑧) =1

𝑧−2Comprobación de integral de línea en torno a 𝑧 = 2sobre cuadrado mostrado

a continuación en fig. 1

Cristo de esta manera coloco la función f(z) como función 𝑓(𝑧) = 𝑓(𝑥, 𝑦) =1

𝑥+𝑦𝑖−2(1)

Para 𝒛 = 𝒙 + 𝒚𝒊 (2)

PROCESO DE MANIPULEO DE FUNCIÓN (1) PARA DAR FORMA APROPIADA

𝑓(𝑥, 𝑦) =1

(𝑥 − 2) + 𝑦𝑖∙

(𝑥 − 2) − 𝑦𝑖

(𝑥 − 2) − 𝑦𝑖=

(𝒙 − 𝟐) − 𝒚𝒊

(𝒙 − 𝟐)𝟐 + 𝒚𝟐

𝑓(𝑥, 𝑦) =(𝒙 − 𝟐) − 𝒚𝒊

(𝒙 − 𝟐)𝟐 + 𝒚𝟐 (𝟑)

Cristo ahora ya tengo la función 𝑓(𝑧) en forma apropiada para coordenadas cartesianas .

PARAMETRIZACIÓN DE LAS RECTAS EN COORDENADAS CARTESIANAS

𝑟𝐶𝑖− 𝑟𝑗 = (𝑡 − 𝟎)(𝑟𝑗±1 − 𝑟𝑗) ∴

𝑟𝐶𝑖= 𝑟𝑗(1 − 𝑡 + 𝟎) + (𝑡 − 𝟎)𝑟(𝑗±1) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝟎 ≤ 𝑡 ≤ 1

𝑟𝐶1= (3, 2𝑡 − 1) ∴

𝑥 = 3; 𝑑𝑥 = 0𝑦 = 2𝑡 − 1; 𝑑𝑦 = 2𝑑𝑡

[2] Ejemplo numérico de cálculo de integral en torno a singularidad

𝑟𝐶2= (3 − 2𝑡, 1) ∴

𝑥 = 3 − 2𝑡; 𝑑𝑥 = −2𝑑𝑡𝑦 = 1; 𝑑𝑦 = 0

𝑟𝐶3= (1, 1 − 2𝑡) ∴

𝑥 = 1; 𝑑𝑥 = 0𝑦 = 1 − 2𝑡; 𝑑𝑦 = −2𝑑𝑡

𝑟𝐶4= (1 + 2𝑡, −1) ∴

𝑥 = 1 + 2𝑡; 𝑑𝑥 = 2𝑑𝑡𝑦 = −1; 𝑑𝑦 = 0

INTEGRAL DE LINEA PARA RECTA 𝑐1,𝑐2, 𝑐3,𝑐4

∫𝐶1

𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = ∫(3 − 2) − (2𝑡 − 1)𝑖

(3 − 2)2 + (2𝑡 − 1)2∙ (0 + 2𝑖𝑑𝑡) = 1.57079𝑖 + 3.25(10)−6

1

𝟎

∫𝐶2

𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = ∫(3 − 2𝑡 − 2) − 𝑖

(3 − 2𝑡 − 2)2 + (1)2∙ (−2𝑑𝑡 + 0) = 1.57079𝑖 + 0

1

𝟎

∫𝐶3

𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = ∫(1 − 2) − (1 − 2𝑡)𝑖

(1 − 2)2 + (1 − 2𝑡)2∙ (0 − 2𝑖𝑑𝑡) = 1.57079𝑖 + 0

1

𝟎

∫𝐶4

𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = ∫(1 + 2𝑡 − 2) + 𝑖

(1 + 2𝑡 − 2)2 + (−1)2∙ (2𝑑𝑡 + 0) = 1.57079𝑖 + 0

1

𝟎

INTEGRAL TOTAL CERRADA EN TORNO A𝒛 = 𝟐

∑ ∫𝐶𝑗

4

𝑗=1

= 4(1.57079𝑖) = 6.28316𝑖 ≈ 𝟐𝝅𝒊

Cristo este es un valor esperado obtenido también por medio de residuos. ANALITICIDAD EN TORNO A LA SINGULARIDAD

Cristo es estratégico observar que la integral de línea en torno a la singularidad es independiente de la trayectoria cerrada escogida, siempre y cuando no englobe (engulla) más singularidades que las originales iniciales; y tampoco excluya ninguna de las singularidades iniciales.

DEMOSTRACIÓN

Una de las demostraciones de esta zona analítica se realiza por medio de expansiones de Laurent en torno a un punto (cada vez y por separado) dentro de esta zona, lo que cada vez resultará en una expansión tipo Taylor, la cual por inducción matemática se demostró es totalmente analítica. (ver fig 2)

Cristo de esta manera la zona en torno a la singularidad queda

demostrada su analiticidad por medio de expansiones en torno

a puntos analíticos (centros de las circunferencias periféricas).

La singularidad, o polo, es el punto azul .

[3] Ejemplo numérico de cálculo de integral en torno a singularidad

INTEGRAL DE LINEA EN TORNO A UN POLO DE ORDEN 2, Y SOBRE UNA ELIPSE VERTICAL

La elipse vertical centrada en el polo de orden dos para la función siguiente:

𝑓(𝑧) =1

(𝑧−2)2(𝑧−3)

UTILIZANDO COORDENADAS POLARES TRASLADADAS AL FOCO SUPERIOR DE LA ELIPSE.

Sea 𝜁 = 𝑧 − 2 ∴ 𝒛 = 𝜻 + 𝟐entonces 𝒛 − 𝟑 = 𝜻 − 𝟏 (4)

Ahora ∮ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = ∮ 𝑓(𝜁)𝑑𝜁 = ∮1

𝜁2((𝜁−1))𝑑𝜁(5) Hasta aquí se completó la traslación

de ejes al foco z=2, Cristo el paso siguiente es transformar a coordenadas polares la variable ζ

𝜁 = 𝜌𝑒𝑖𝜃 ∴ 𝜁2 = 𝜌2𝑒2𝑖𝜃 (6)

Cristo ahora introduzco (6) en (5) y como 𝑑𝜁 = 𝑒𝑖𝜃𝑑𝜌 + 𝑖𝑒𝑖𝜃𝜌𝑑𝜃tenemos entonces

∮ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = ∮𝑒𝑖𝜃𝑑𝜌 + 𝑖𝑒𝑖𝜃𝜌𝑑𝜃

𝜌2𝑒2𝑖𝜃(𝜌𝑒𝑖𝜃 − 1) (7)

Cristo la manera de obtener esta integral cerrada es parametrizando la ecuación de la elipse centrada dada, ya que es sobre la elipse que se integra, y me conviene tener 𝜌 = 𝜌(𝜃)

ECUACION DE LA ELIPSE CENTRADA Y VERTICAL EN FORMA PARAMÉTRICA

𝜌 =1

√𝑠𝑖𝑛2𝜃

𝑎2+

𝑐𝑜𝑠2𝜃

𝑏2

Cristo introduciendo esta ecuación paramétrica de la elipse en (7) para 𝑎 = 2

𝑏 = 0.5tenemos así;

𝜌 =1

√0.25𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 4𝑐𝑜𝑠2𝜃 (8)

Obteniendo el diferencial de (8) tenemos:

𝑑𝜌 = (0.25𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 4𝑐𝑜𝑠2𝜃)−3/2(3.75 sin 𝜃 cos 𝜃)𝑑𝜃 (9) Cristo ahora introduzco (9) y (8) en (7) y se convierte en una integral definida entre θ=0 y θ=2π

OBJETIVO.-Se trata de comprobar que la integral de línea sobre la elipse es igual al residuo en el polo de orden dos, siempre sucede así, mientras que la envolvente solo envuelva al punto de interés.

[4] Ejemplo numérico de cálculo de integral en torno a singularidad

∫(0.25𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 4𝑐𝑜𝑠2𝜃)3/2(𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 𝑖𝑠𝑖𝑛2𝜃)

cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃 − (0.25𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 4𝑐𝑜𝑠2𝜃)1/2 ∙

2𝜋

0

(0.25𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 4𝑐𝑜𝑠2𝜃)−3/2{3.75 sin 𝜃 cos 𝜃[cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃]

+ (0.25𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 4𝑐𝑜𝑠2𝜃) (− sin 𝜃 + 𝑖 cos 𝜃)}𝑑𝜃 Cristo simplificando la expresión anterior obtenemos:

∮ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = ∮(cos 2𝜃 − 𝑖 sin 2𝜃)(−0.25 sin 𝜃 + 4𝑖 cos 𝜃)

[cos 𝜃 − (0.25𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 4𝑐𝑜𝑠2𝜃)1/2] + 𝑖 sin 𝜃𝑑𝜃 (10)

2𝜋

0

Cristo el siguiente paso es multiplicar (14) por el conjugado del denominador, simplificando primero el numerador tenemos:

𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 = (cos 2𝜃 − 𝑖 sin 2𝜃)(−0.25 sin 𝜃 + 4𝑖 cos 𝜃) = = (−0.25 sin 𝜃 cos 2𝜃 + 4 cos 𝜃 sin 2𝜃) + 𝑖(4 cos 𝜃 cos 2𝜃 + 0.25 sin 𝜃 sin 2𝜃)

Cristo ahora llamando: 𝐴3 = −0.25 sin 𝜃 cos 2𝜃 + 4 cos 𝜃 sin 2𝜃𝐵3 = 4 cos 𝜃 cos 2𝜃 + 0.25 sin 𝜃 sin 2𝜃𝐶3 = cos 𝜃 − (0.25𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 4𝑐𝑜𝑠2𝜃)1/2

simplificamos de la

siguiente manera:

∮ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧

= ∮(−0.25 sin 𝜃 cos 2𝜃 + 4 cos 𝜃 sin 2𝜃) + 𝑖(4 cos 𝜃 cos 2𝜃 + 0.25 sin 𝜃 sin 2𝜃)

[cos 𝜃 − (0.25𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 4𝑐𝑜𝑠2𝜃)1/2] + 𝑖 sin 𝜃𝑑𝜃

2𝜋

0

∮ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = ∫𝐴3 + 𝑖𝐵3

𝐶3 + 𝑖 sin 𝜃𝑑𝜃 (11)

2𝜋

0

Cristo ahora si multiplicando (11) por el conjugado de su denominador, tenemos:

𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙 = ∫𝐴3𝐶3 + 𝐵3 sin 𝜃

𝐶32 + 𝑠𝑖𝑛2𝜃

2𝜋

0

𝑑𝜃 = 2.181938(10−5) ≅ 0

𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 = ∫−𝐴3 sin 𝜃 + 𝐵3𝐶3

𝐶32 + 𝑠𝑖𝑛2𝜃

2𝜋

0

𝑑𝜃 = −6.283144𝑖 (12)

Cristo así entonces resumiendo: ∮ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = 0 − 6.283144𝑖 ≈ −2𝜋𝑖 (13)

CALCULO DE RESIDUO SEGUNDO ORDEN PARA z=2

𝑅𝑒𝑠(𝑓(𝑧), 2) = lim𝑧→2

𝑑

𝑑𝑧[(𝑧 − 2)2𝑓(𝑧)] = −1

[5] Ejemplo numérico de cálculo de integral en torno a singularidad

Cristo entonces aplicando la formula de residuos tenemos : 2𝜋𝑖 𝑅𝑒𝑠(𝑓(𝑧), 2) = −𝟔. 𝟐𝟖𝟑𝟏𝟖𝟓𝒊 Cristo el valor de integración en torno a z=2 y el valor anterior por la fórmula de residuos concordaron como era de esperarse.

COMPROBACIÓN DEL TEOREMA INTEGRAL DE CAUCHY PARA LA FUNCIÓN

𝑓(𝑧) =1

(𝑧 − 2)(𝑧 − 4)

Cristo primero se procede a la expansión de Laurent en torno a z=2

𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 (𝑧 − 4) = (𝑧 − 2) − 2 = −2 [1 − (𝑧 − 2

2)] (14)

𝑓(𝑧) = (1

𝑧−2) (

1

−2[1−(𝑧−2

2)]

)

𝑓(𝑧) = (−1

2) (

1

𝑧 − 2) ∑ (

𝑧 − 2

2)

𝑛

= (−1

2) {

1

𝑧 − 2+

1

2+

𝑧 − 2

22+ ⋯ }

∞

𝑛=0

𝑓(𝑧) = −1

(1

2)(𝑧−2)

−1

4−

(𝑧−2)

8− ⋯ ∴

𝑎−1 = −0.5𝑎0 = −0.25

𝑎1 = −0.125 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛

Cristo entonces se esperan obtener los coeficientes anteriores, utilizando el teorema integral de Cauchy, donde:

𝑎0 =∮

𝑓(𝑧)

𝑧−2𝑑𝑧

2𝜋𝑖; 𝑎1 =

∮𝑓(𝑧)

(𝑧−2)2 𝑑𝑧

2𝜋𝑖

Cristo procedamos a trasladar la función 𝑓(𝑧)

𝑧−2 al punto 𝑧 = 2; haciendo 𝜁 = 𝑧 − 2

𝑓(𝑧)

𝑧 − 2=

1

(𝑧 − 2)2(𝑧 − 4); 𝑓(𝜁) =

1

𝜁2(𝜁 − 2); 𝑑𝑧 = 𝑑𝜁

Cristo el siguiente paso es transformar 𝑓(𝜁) a coordenadas polares, haciendo:

ζ= 𝜌𝑒𝑖𝜃; ∴ 𝑑𝜁 = 𝑒𝑖𝜃𝑑𝜌 + 𝑖𝜌𝑒𝑖𝜃𝑑𝜃 (15)

Así; ∮𝑓(𝑧)

𝑧−2𝑑𝑧 = ∮

1

𝜌2𝑒2𝑖𝜃(𝜌𝑒𝑖𝜃−2){𝑒𝑖𝜃𝑑𝜌 + 𝑖𝜌𝑒𝑖𝜃𝑑𝜃} (16)

Cristo como de ec (8): 𝜌 =1

(0.25𝑠𝑖𝑛2𝜃+4𝑐𝑜𝑠2𝜃)1/2 tenemos que:

𝑑𝜁 = (0.25𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 4𝑐𝑜𝑠2𝜃)−3/2𝑘 𝑑𝜃 (17) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒

𝑘 = 3.75 sin 𝜃 cos 𝜃(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃) + (0.25𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 4𝑐𝑜𝑠2𝜃)(− sin 𝜃 + 𝑖 cos 𝜃) (18)

como: 𝜌−2 = 0.25𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 4𝑐𝑜𝑠2𝜃 ; 𝑒−2𝑖𝜃 = cos 2𝜃 − 𝑖 sin 2𝜃 (19)

Desarrollando el segundo factor en una expansión de Taylor, obtenemos la expansión de Laurent buscada; ya que el primer factor es en sí, una expansión de Laurent.

[6] Ejemplo numérico de cálculo de integral en torno a singularidad

Cristo insertando (8), (15), (17), (18) y (19) en (16) tenemos que:

Cristo ahora llamando; 𝐴3 = −0.25 sin 𝜃 cos 2𝜃 + 4 cos 𝜃 sin 2𝜃𝐵3 = 4 cos 𝜃 cos 2𝜃 + 0.25 sin 𝜃 sin 2𝜃

𝐶4 = cos 𝜃 − 2(0.25𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 4𝑐𝑜𝑠2𝜃)1/2

𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙 = ∫𝐴3𝐶3 + 𝐵3 sin 𝜃

𝐶42 + 𝑠𝑖𝑛2𝜃

2𝜋

0𝑑𝜃 = 6.41(10−4

) ≅ 0

𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 = ∫−𝐴3 sin 𝜃 + 𝐵3𝐶3

𝐶42 + 𝑠𝑖𝑛2𝜃

2𝜋

0𝑑𝜃 = −1.571𝑖

Cristo ahora inserto estos resultados en: 𝑎0 =∮

𝑓(𝑧)

𝑧−2𝑑𝑧

2𝜋𝑖=

−1.571𝑖

2𝜋𝑖= −0.25

Cristo este es un resultado esperado

Cristo para obtener 𝑎1 debo de obtener ∮𝑓(𝑧)

(𝑧−2)2 𝑑𝑧 ; entonces

∮𝑓(𝑧)

(𝑧 − 2)2𝑑𝑧 = ∮

𝑑𝑧

(𝑧 − 2)3(𝑧 − 4)= ∮

𝑑𝜁

𝜁3(𝜁 − 2)

Cristo procediendo análogamente tenemos:

∮𝑓(𝑧)

(𝑧 − 2)2𝑑𝑧 = ∫

(0.25𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 4𝑐𝑜𝑠2𝜃)2(cos 3𝜃 − 𝑖 sin 3𝜃)

cos 𝜃 − 2(0.25𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 4𝑐𝑜𝑠2𝜃)1/2 + 𝑖 sin 𝜃∙ 𝑘 𝑑𝜃

2𝜋

0

(20)

Cristo simplificando (20) y llamando:𝐴4 = −0.25 sin 𝜃 cos 3𝜃 + 4 cos 𝜃 sin 3𝜃𝐵4 = 4 cos 𝜃 cos 3𝜃 + 0.25 sin 𝜃 sin 3𝜃

𝐷4 = (0.25𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 4𝑐𝑜𝑠2𝜃)1/2 tenemos

∮𝑓(𝑧)

(𝑧 − 2)2𝑑𝑧 = ∫

(𝐴4)(𝐷4) + (𝐵4)(𝐷4)

𝐶4 + 𝑖 sin 𝜃𝑑𝜃 (21)

2𝜋

0

Cristo ahora multiplicando por el conjugado del denominador de (21)

𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙 = ∫(𝐴4)(𝐷4)(𝐶3) + (𝐵4)(𝐷4) sin 𝜃

(𝐶4)2 + 𝑠𝑖𝑛2𝜃

2𝜋

0

𝑑𝜃 = 1.331(10)−5 ≈ 0 (22)

𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 = ∫−(𝐴4)(𝐷4) sin 𝜃 + (𝐵4)(𝐷4)(𝐶3)

(𝐶4)2 + 𝑠𝑖𝑛2𝜃

2𝜋

0

𝑑𝜃 = −0.7859 (23)

Cristo introduciendo resultados (22) y (23) en: 𝑎1 =∮

𝑓(𝑧)

(𝑧−2)2𝑑𝑧

2𝜋𝑖 tenemos

[7] Ejemplo numérico de cálculo de integral en torno a singularidad

𝑎1 =−0.7859𝑖

2𝜋𝑖= −0.125085 ≈ −0.125

Cristo este es un resultado esperado