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Modelamiento y Simulacin
Victor Alvarez Celedon 1
Revisin de teora de probabilidad.
En teora de inventarios las demandas pueden ser determinsticas contra probabilsticas y estacionarias contra no estacionarias.
En teora de colas se utilizarn distribuciones de probabilidad como las llegadas de poisson y los tiempos exponenciales de servicio.
Una de las actividades del modelamiento matemtico es el anlisis de los datos primarios del sistema en estudio.
Media y varianza. El primer paso para representar la naturaleza de los datos es calcular la media y
varianza. La media es una representacin de la tendencia central de los datos. La varianza es una medida de la dispersin o de la variacin aleatoria alrededor
del valor de la media o del grado de incertidumbre. En el sentido que a mayor varianza, ms inclinados estaremos a pensar que la variable es de carcter probabilstico en vez de determinstico.
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Existen dos tipos de variables estadsticas: Basadas en la observacin. Ejemplos son el tiempo en una lnea de espera, el
tamao de una orden de inventario y el tiempo entre llegadas.
Basadas en el tiempo (valores en funcin del tiempo). Ejemplos son el tamao de una lnea de espera, ya que debemos el lapso de tiempo dentro del cual se conserva el tamao dado de la lnea.
n
xxmedia
n
ii
== 1;11
)(;var
2
1
2
1
2
2
=
=
==n
xnx
n
xxSianza
n
ii
n
ii
TA
T
txxmedia
n
iii
==
=1; 212
1
2
2)(
;var xT
tx
T
txxSianza
n
iii
n
iii
=
=
==
x1
x2x3 xT
t1 t2 t3 tTT
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Variables aleatorias. Una variable aleatoria representa el resultado de un experimento, pudiendo
tomar una serie de valores dentro de un espacio muestral finito o infinito. Los resultados pueden ser o no numricos, para su tratamiento matemtico se asignan valores, los cuales pueden ser discretos o continuos.
Variables aleatorias: discretas. Sea X una v.a. de S (espacio muestral) con un conjunto infinito contable. X(S)={x1 x2 x3 } Sea f(x) funcin de densidad de probabilidad y Fx(X) funcin de densidad
acumulada.
)(
)()()(
)()(
1
2
1
XV
xfxXV
xfxXE
X
iii
iii
==
=
=
=
==
==b
axxfbXaP
afaXP
)()(
)()( f(x)
x
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Variables aleatorias: continuas.
a b
==
==
b
a
dxxfbXaP
sombreadaparteladeareabXaPdefinidonoaXP
)()(
)(
)(
1)( =+
dxxf
)(
)()()(
)()(
2
XV
xfxXV
xfxXE
X =
=
=
+
+
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Resumen de distribuciones comunes.
Distribucin normal
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Ejemplo:Hallar; (z= 1/4)
(z= 1/2)
(z= -3/4)
P (-0,81 Z 1,13)
z? para (z) = 0,4744
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Distribucin triangular
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Distribucin uniforme
a bx
f(x)
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Distribucin weibull
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Distribucin Binomial
Pruebas repetidas e independientes de un experimento con dos resultados; llamamos uno de los resultados favorable (o xito) y el otro desfavorable (o fracaso). Sea p la probabilidad favorable asique q=1-p es la probabilidad desfavorable.
Y= probabilidad
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Distribucin Poisson Ejemplos;
Numero de llamadas telefnicas por minuto.
Numero de defectos por rea en una plancha metlica.
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Ejemplo:Supngase que el 2% de los artculos producidos en una fabrica son defectuosos. Hallar la probabilidad de que haya 3 artculos defectuosos en una muestra de 100 artculos.
n= 100p= 0,02= n*p= 2
x P(x)3 8 0,13533528 6 0,18044704
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Distribucin exponencial
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Distribucin beta
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1.2.6. Consideracin probabilstica en un modelo de inventario simple EOQ, EMQ.
Pr
L
q
1
3*
13*
13
2
2
2)(
CrCq
rCCCTU
qCq
rCqCTU
==
+=
Pr: Punto de reordenamiento
Ejemplo:C1 =Costo diario de mantener el inventario por unidad $0.02C3 = Costo Fijo de $ 100 cada vez que se coloca un pedidor = Tasa de demanda 100 unidades diarias.
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[ ] [ ]dastunidadesq 101000* 2 ==Supongamos que el tiempo de fabricacin es 12 das, Cul es el tamao de L, como tiempo de entrega?
12 das
L= 12 10 = 2 das, en general L = Tpo. Entrega n t2* >0, donde n es el entero mas grande sin exceder (Tpo. Entrega)/ t2*.Pr = 2 x 100 = 200 unidadesCmo ser L si el tiempo de fabricacin es 15 das, 23 das, 8 das, 10 das? Y cual ser en cada caso el punto de reordenamiento Pr?
L 101000
**
2
==tq
LPR
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Una forma sencilla de no ignorar totalmente, la consideracin de una demanda probabilstica es la siguiente:Se considera una funcin densidad de probabilidades para el nivel de demanda en el tiempo de entrega L.Supongamos la funcin densidad de la demanda durante el tiempo de entrega. Adems supongamos que la probabilidad de no tener artculos en almacn durante L no debe exceder de .Entonces, el tamao del amortiguamiento, o stock de seguridad B, se determina a partir de: , donde , representa el consumo durante L.{ } + LrBxP Lr
)(xf
Continuando con el ejemplo:Suponga que la demanda diaria sigue una distribucin normal
B = ?, considere = 0,05Demanda en el Tiempo de entrega
)14.14,200( == LLNLr )10,100( == Nd
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14.14
102102
2
2
===
==
LL
L
L
V
VV
VV
Como:
200100*2 ===
L
L n
Segn taha.
{ }
+
LL
LL
Ll
BxP
BxPRecordemos la relacin bsica: )14.14,200( == LLN
)1,0( == zzN
LAmortiguacin
Punto de reordenamiento
Q* + B
B+Lr
B
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0 =L
B
=
L
LLL
LL
B
BBxP
1
1
=0,051-=0,9595,0=
L
B
1,64485363 De tabla se obtiene 1,64
Para que sea mayor a 0,95 entonces;
L
B
2,2314,14*64,1
*64,1
64,1
BBB
B
L
L
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1.3 Modelos probabilsticos. Modelos de Inventario donde la demanda es aleatoria ( Tambin llamada
Estocstica), a pesar de esto, con una distribucin de probabilidades conocida.
La demanda en un periodo es independiente de la demanda en otro periodo
1.3.1 Modelo de un solo periodo Tiene aplicaciones como : La industria de la moda. Artculos perecederos corta vida. Artculos que se obsoletizan.
)( : Distribucin de Pbbs conocida de la demanda [ ]= DemandaPbbh(z) y p(z) : Funciones de Costo de Mantenimiento y Costo Penal,
cuando el inventario disponible (Inventario efectivo) es z.C(q*) : Funcin de Costo de Reorden o Produccin, cuando la
cantidad ordenada o producida es q* .: Costo mantencin por producto en el periodo.: Costo penal por producto en el periodo.
hp
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1.3.1.1 Consumo instantneo, sin costo fijo y entrega inmediataSe supone que la demanda se satisface al comienzo del periodo y su consumo
es instantneo.Si Y es el inventario antes de satisfacer la demanda aleatoria el costo de
mantenimiento ser :
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Ntese que la entrega es inmediata :y : Cantidad en inventario despus de ordenar o producir.x : Cantidad en inventario antes de tomar una decisin
( evidentemente decisin = Y - X ).
Intentemos construir el Costo Total Esperado E{ C(Y) }
Si la distribucin () fuese discreta.
Y X ,
{ }444444 8444444 76 )(
0
)()()()()()(
yL
y
y
ypyhxycyCE ++=
{ } =
++=y
y
ypyhxycyCE )()()()()()(0
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CASO CONTINUOSea
L(y) = Valor esperado del costo de mantenimiento y del costo penal.
E{C(y)} = C(y-x) + L(y), donde :
Modelo Final :
Un resultado conocido es que si L(y) es estrictamente convexo, la poltica ptima es:
+=y
y
ypyhyL )()()()()(0{ }
*......)()()(
yConocerxy
aSyLxycyCMinE
+=
X < Y*
NADA
PRODUCIR ORDENAR
Y* - XSi
No
No se considera la restriccin, para encontrar el optimo.
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Busquemos Y*
y*, se obtiene de :
Supuesto: h(i) = hi ; p(i) = pi
{ } { } 0)(;0)( 22
=
y
yCEy
yCE
{ }dy
yLcy
yCE )()( += ?)( =
yyL
+=
+=
y
tecons
y
tecons
yy
y
y
pyphhyyL
ypyhyL
)()()()()(
)()()()()(
tantan
00
0
4847648476
= yy
phyyL )()()(
0
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pphyyL
phyyL
y
yy
+=
=
0
00
)()()(
))(1()()(
[ ] =y
yPbb )(Recordar que;
{ }
][)()()(
0)()()(;
0
0
yPphcp
pphcy
yCEdonde
y
y
==+
=++=
y
)()(
phcp
+
)(
Esto es para el caso continuo
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En el caso discreto, por observacin se puede decir que :
[ ] [ ]11 ** ++ yPbbph cpyPbb
1.0
0.5
0
p - Ch + p
1 2 Y*-1 Y* Y*+1 Y*+ 4
p - Ch + p
F Pbb
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Ejemplo 1.3.1.1-aConsidere el modelo de un periodo con h= $ 0.5 , p = $ 4.5 y c = $ 0.5. la funcin de densidad de la demanda est dada como;
>=100
10010/1)(
DD
Df
[ ]yPbb
[ ]
8*
10*
101)(*
8.05.05.45.05.4
*
0
*
0
=
===
=+=+
=
yentonces
yyPbb
yphcpq
yy
1.0
q=0.8
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EJERCICIO:Un distribuidor de peridico compra peridicos a $0,36 y los vende a $0,50. El costo por faltantes es $0,50 por peridico (ya que el distribuidor los compra al menudeo para satisfacer estos faltantes). El costo de mantener inventario es $0,002 por peridico que queda al final del da. La demanda de peridicos tiene una distribucin uniforme entre 200 y 300. encuentre el numero optimo de peridicos que debe comprar el distribuidor.