catedra metodos numericos 2015 - unsch (15) [modo … · gráficamente su solución numérica,...

METODOS NUMERICOS

Ingeniería Civil

Facultad de Ingeniería de Minas, Geología y Civil

Departamento académico de ingeniería de minas y civil

CATEDRA 15

Capitulo XV

Solución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFRENCIALES ORDINARIAS

3

FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE VALOR INICIALMÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UN PVIMÉTODO DE EULERMÉTODO DE TAYLORMÉTODO DE EULER MODIFICADOMÉTODO DE RUNGE-KUTTAMÉTODO DE PREDICCIÓN Y CORRECCIÓNSOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DESEGUNDO ORDEN

24/07/2015 4

C0NTENIDO

En esta oportunidad formularemos el Problema deValor Inicial “PVI” y analizamos e interpretamosgráficamente su solución numérica, debemosdestacar que muchas de leyes generales de lanaturaleza se expresan con el lenguaje de lasecuaciones diferenciales ordinarias que es aplicadoen una diversidad de campos del conocimiento. Endonde una ecuación diferencial se debe considerarcomo la razón de cambio de y con respecto a x.

5

FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE VALOR INICIAL PVI

1.En general una EDO de primer orden esta dadopor:

………………………………………………..(1)2. Teóricamente se dice que la solución de una EDOdebe contener una constante arbitraria “C”,consecuentemente la solución general de (1) es:

………………………………………………(2)

6


),( yxfdxdy

0),,( cyxF

Observaciones:1.La relación (2) representa una familia de curvas enel plano xy, en donde cada curva se obtiene para unvalor particular de “C”.2. Cada curva representa a una solución particular deEDO.3. Las constantes “C” son obtenidos analíticamente,exigiendo que la solución de esa ecuación pase poralgún punto (x0, y0) esto es:

7


…………………………… ……………………..(4)i.e.: que “y” vale “y0” cuando “x” es “x0”

Interpretación Gráficamente:

8


00 )( yxy

Y0

F3 = 0

F2 = 0, con Y(X0) = Y0

F1 = 0

4. Como se mencionó al inicio la gran mayoría de lasecuaciones no pueden resolverse utilizando técnicasanalíticas, lo que obligan a estudiar métodos numéricos.5. Debemos resaltar que cuando usamos los métodosnuméricos no encontramos soluciones de la formaF(x,y,c) = 0 pues se trabajan con números y se tieneresultados numéricos. Pero el propósito es determinarvalores de “y” que correspondan a valores específicosde “x” los cual es factible con métodos numéricos.

9


El problema de valor inicial (P.V.I.) quedaformulado así:Una ecuación diferencial de primer orden:i. Un valor de “y” en un punto conocido “x0”

(condición inicial)ii. El valor “xf” es donde se quiere conocer el

valor de “y(xf )”y (xf ) = yf

10


),( yxfdxdy

00 )( yxy

Matemáticamente.

11


P.V.I.

?)()(

),(

00

fxyyxy

yxfdxdy

(5)

MÉTODO DE EULEREste método consiste en dividir el intervalo [x0,xf] en “n”subintervalos de ancho h esto es:

Lo que permite determinar un conjunto de n+1puntosdiscretos, i.e. X0, x1 , x2, x3 … xi ,xi+1 ... xn-1

12

MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO

nXX

h f 0

x1 x2 x3 ... xi xi+1 ... xn-1 xn

x0 xf

Observando que:Para cualquier punto se tiene

En general

CONDICIÓN INICIAL1. representa el punto , por dondepasa la curva solución de la ecuación PVI. lo que serádenotado por F(x) = y, en lugar de F(x,y,c1) = 0.

13


hxxhxxhxxhxxhxxhxx

hxxhxx

32

032323

021212

0101

ihxxi 0 ni ,...,3,2,1,0

00 )( yxy ),( 000 yxP

2.Consecuentemente: teniendo el punto P0 podemosevaluar la primera derivada de F(x) en ese punto P0. Estoes:

...............................................(6)

3. Teniendo esta información (6) trazamos una recta laque pasa por P0 y de pendiente

que aproxima F(x) en una vecindad de X0.

14


),()(' 000

yxfdxdyxF

P

3000

000 .......:),(:),( Lyxf

xxyyyxf

4.Tomamos la recta L3 en lugar de F(x) y localizamos en esta recta el valor de y1 que corresponde a x1. Esto es:

.............................................(7) .............................................(8)

15


),( 0001

01 yxfxxyx

hyxfyyyxfxxyx

),(),( 00010001

01

),(..

),(..

),(),(

111

1

1112

0001

nnnn

iiii

yxhfyy

yxhfyy

yxhfyyyxhfyy

)( 11 xFy

Gráfico

(1) En esencia se trata de aproximar la curva y = F(x) pormedio de una serie de segmentos de líneas rectas.(2) El método comete un error de truncamiento que espropio de el.

16


P0(x0,y0)

error f(x0,y0)

y0

y1

f(x1)

F(xf)

x0 x1 xi xi+1

x0 x1 x3 x4 xi xn

(3) El error de (2) se puede anular tanto como se quiera,reduciendo la longitud de “h” teóricamente.(4) Debido a (3) se comete un error de redondeo másalto.Ejemplos.Resolver PVI usando EulerEjemplo 1

17


?)1(2)0(

yy

yxdxdy

?)()(

),(

00

fxyyxy

yxyxf

Solución1. El intervalo de interés [x0,xf] = [0,1]2. Determinando h: dividimos el intervalo [0,1] en 5subintervalos

3. Determinar los argumentos:

18


2.05

01

h

1)2.0(5058.0)2.0(4046.0)2.0(3034.0)2.0(202

2.0)2.0(1010

505

404

303

202

101

0

0

xhxxxhxxxhxxxhxx

xhxxx

ihxxi

4. Determinando los valores de yi

5. Comparando con la solución analíticaLa solución analítica es: 1.10364El error absolutoEl error relativo

19


98304.0)0288.18.0(2.00288.1),(0288.1)136.16.0(2.0136.1),(

136.1)32.14.0(2.032.1)32.1,4.0(2.032.1),(32.1)6.12.0(2.06.1)6.1,2.0(2.06.1),(

6.1)20(2.02)2.0(2.02),(),(

54445

43334

32223

21112

10001

11

yyxhfyyyyxhfyy

fyyxhfyyfyyxhfyy

fyyxhfyyyxhfyy iii

12060.010364.198304.05*5 yyEA

5yEE A

R 1092.010364.112060.0

RE

Ejemplo 2Dada la siguiente ecuación diferencial con la condicióninicial:

Aproximar

NOTAPrimero observamos que esta ecuación sí puederesolverse por métodos tradicionales de ecuacionesdiferenciales. Por ejemplo, podemos aplicar el métodode separación de variables. Veamos las dos soluciones 20


Solución Analítica.

Sustituyendo la condición inicial:Por lo tanto, tenemos que la curva solución real estádada

Y por lo tanto, el valor real que se pide es:

21


Solución Numérica,

Aplicamos el método de Euler y para ello, observamosque la distancia entre y no es lo suficientementepequeña. Si dividimos esta distancia entre cincoobtenemos un valor de y por lo tanto, obtendremos laaproximación deseada en cinco pasos.De esta forma, tenemos los siguientes datos:

22


Sustituyendo estos datos en la formula de Euler,tenemos, en un primer paso:

Aplicando nuevamente la formula de Euler, tenemos, enun segundo paso:

23


Y así sucesivamente hasta obtener . Resumimos losresultados en la siguiente tabla

24


n

0 0 1

1 0.1 1

2 0.2 1.02

3 0.3 1.0608

4 0.4 1.12445

5 0.5 1.2144

Concluimos que el valor aproximado, usando el métodode Euler es:Puesto que en este caso, conocemos el valor verdadero,

podemos usarlo para calcular el error relativoporcentual que se cometió al aplicar la formula de Euler.Tenemos que:

25


Ejemplo

Aplicar el método de Euler para aproximar , dada laecuación diferencial.

SoluciónNuevamente vemos que nos conviene dividir en pasos la aproximación. Así, elegimos nuevamente para obtener el resultado final en tres pasos. Por lo tanto, aplicamos el método de Euler con los siguientes datos:

26


En un primer paso, tenemos que:

Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

27


n

0 1 2 1 1.1 2.3 2 1.2 2.6855 3 1.3 3.1901

MÉTODO DE TAYLORPodemos observar que el método anterior usa los dosprimeros términos de la serie de Taylor para su primeraiteración, i.e.

………………………………….(2)De manera natural se puede pensar que paradeterminar y2 se expandió de nuevo F(x) en la serie deTaylor. Así:

.......................................(2)28


))((')()( 010011 xxxFxFyxF

))((')()( 121122 xxxFxFyxF

Pero se debe resaltar que no disponemos de los valoresexactos de F(x1) y F’(x1), los que se usan en la expansión deTaylor de F(x) alrededor de x1 lo que permite no evaluar laparte derecha (2) consecuentemente para los otros valoresde x se usa:

......................... (3)

La relación (3) tiene mucha similitud con la expansión en serie Taylor.Si aplicamos la información acerca de las series de Taylor con lafinalidad de mejorar la exactitud del método de Euler, obtendremoslos llamados Algoritmos de Taylor.

29


))((')())(,(

11

11

iiiii

iiiiii

xxxFxFyxxyxfyy

Usemos tres términos en lugar de dos en la expresión deF(x1), i.e.

………………………(4)Pero

y

Luego

………………….(5)

30


!2)(

)(''))((')()(2

010010011

xxxFxxxFxFyxF

dxyxdf

dxxdFxF ),()(')('' 01 xxh

00

2

0001 ,),(!2

),( yxdx

yxdfhyxhfyy

Entonces se sugiere considerar (5) para obtener y2, y3,..., ynmejoraría la exactitud obtenida con (1) consecuentementese propone la formula:

…………………(6)

La utilidad de la relación (6) depende de cuan fácil sea ladiferenciación de f(x,y)

31


iiii yxdx

yxdfhyxhfyy ,),(!2

),(2

1

Si f(x,y) es una función solo de x, la diferenciación conrespecto a x es relativamente fácil y la formula propuestaes muy práctica.

En general f(x,y) es una función de x , y, habrá que usarderivadas totalesLa derivada total de f(x,y) con respecto a x esta dada por

32


dxdy

yyxf

xyxf

dxyxdf

),(),(),(

Ejemplos. Resolver por el método de Taylor

1. Cálculo de: h = 0.22.Cálculo de , , , , ,3. Aplicando

33


?)1(2)0(

yy

yxdxdy

000 xihxxi 2.01 x 4.02 x 6.03 x 8.04 x 15 x

),(),(!2

),(2

1 iiii yxdx

yxdfhyxhfyy

dxyxdfhyxhyyy ),(

!2),()2.0( 00

2

0001

En donde

34


)1(!2

)(

),(1)(11)(),(),(),(

00

2

0001

00

yxhyxhyy

yxyxyxyxy

yxfx

yxfdx

yxdf

66.1)201(2

)2.0()20(2.022

)1(2

)()4.0( 11

2

1112 yxhyxhyyy

4172.1)66.12.01(22.0)66.12.0(2.066.1

2

Continuando

35


%15.9915976.0010908.1

2047308.1)269184.18.01(22.0)269184.18.0(2.0269184.1

269184.1)254104.16.01(22.0254104.16.0(2.0254104.1

254104.1)4172.14.01(22.0)4172.14.0(2.04172.1

%

2

5

2

4

2

3

EEE

y

y

y

R

A

MÉTODO DE EULER MODIFICADOEn el método de Euler se tomó como válida para todo elintervalo la derivada encontrada en un extremo.

Si queremos obtener una exactitud razonable se toma hmuy pequeña, a cambio de un mayor error de redondeo

36


X0 h X1

Y0

F(x0,y0)

El método presente trata de evitar tal problemautilizando un valor promedio de la derivada tomadaen los extremos del intervalo. Constado de 2 pasos:

1° Se inicia de (x0,y0), usar el método de Euler paradeterminar “y” correspondiente a x1, valor que serádenotado por , puesto que se trata de un valortransitorio de y1. Este paso se le llama paso predictor.

37


1y

2° Este paso se llama corrector, pues trata de corregirla predicción en el nuevo punto se evalúa laderivada usando la ecuación diferencial ordinariaP.V.I. que se está resolviendo, se obtiene la mediaaritmética de esta derivada y la derivada en el puntoinicial (x0,y0)Derivada Promedio =Usamos la derivada promedio para calcular el nuevovalor y1 con la ecuación de Euler, que será mas exactoque

38


),( 11 yx),( 11 yxf

),(),(21

1100 yxfyxf

1y

Que será el valor definitivo de y1. El proceso se repitehasta llegar a yn.Primero: Paso de PredicciónSegundo: Una vez obtenida se calcula , laderivada en el punto y se promedia con laderivada previa para encontrar la derivadapromedioDerivada Promedio

39


),(,(2 1100

0101 yxfyxfxxyy

),(1 iiii yxhfyy

1iy ),( 11 ii yxf),( 11 ii yx

),( ii xxf

11 ,,21

iiii yxfyxf

SoluciónConsiderando las mismas condiciones del ejerciciotenemos:h=0.2; y0=2; f(x0,y0)=f(0,2)=0-2=-2Primera iteración

40


6.1)20(2.02),( 0001 yxhfyy

7.1)6.12.0()20(21),(),(

21

1100 yxfyxf derivada promedio

66.1)7.1(2.02)7.1(2.001 yy

Segunda interación1°2°

Tercera interación1°

2°

24/07/2015 41


368.1)66.12.0(2.066.1),( 1112 yxhfyy

4172.1)214.1(2.066.1)(

214.1)368.14.0()66.12.0(21),(),(

21

22

2211

yxy

yxfyxf

21376.1)4172.14.0(2.04172.1),( 2223 yxhfyy

)21376.16.0()4172.14.0(21),(),(

21

3322 yxfyxf

EjemploAplicar el método de Euler mejorado, para aproximarsi:

SoluciónVemos que este es el mismo ejemplo 1 del métodoanterior. Así que definimos y encontraremos laaproximación después de cinco iteraciones.

42


A diferencia del método de Euler 1, en cada iteraciónrequerimos de dos cálculos en vez de uno solo: primero elde y posteriormente el de .Para aclarar el método veamos con detalle las primeras dositeraciones. Primero que nada, aclaramos que tenemos lossiguientes datos iniciales

43


En nuestra primera iteración tenemos:

Nótese que el valor de coincide con el (Euler 1), y esel único valor que va coincidir, pues para calcular seusará y noEsto lo veremos claramente en la siguiente iteración:

44


Nótese que ya no coinciden los valores de (Euler 1) y el de Elproceso debe seguirse hasta la quinta iteración. Resumimos losresultados en la siguiente tabla:

24/07/2015 45


n

0 0 1

1 0.1 1.01

2 0.2 1.040704

3 0.3 1.093988

4 0.4 1.173192

5 0.5 1.28336

METODO DE RUNGE-KUTTAMETODO DE RUNGE-KUTTA DE SEGUNDO ORDENEstos métodos que se encuentran relacionados a losnombres de Runge (1885), Kutta (1901), Heun (1900) yotros, para solucionar P.V.I .Consiste en obtener unresultado que se obtendrá al utilizar un número finito detérminos de una serie de Taylor de la forma:

(1)

46


...),(''!3

),('!2

),(.32

1 iiiiiiii yxfhyxfhyxfhyy

Con una aproximación en la cual se calcula de unaformula del tipo:

(2)

En donde:α, u, b son determinados de modo que si se expandiera con , enserie de Taylor alrededor de ( xi ,yi ); debemos observar que loscoeficientes de h, h2, h3, etc., coincidirían con los coeficientes de laecuación (1). Supongamos p=1 tendremos

47


),(

...),(),(),( 22211101 hbyhuxf

hbyhuxfhbyhuxfyxfhyy

pipip

iiiiii

1iy

..............(3)Observaciones:1. En esta relación se evalúa f(x), en dondees tal que: , para mantener la abscisa delsegundo punto dentro del intervalo de interés, con lo que. Gráficamente

48


);(.; 101 bhyuhxfyxhyy iiiiiii

);(; bhyuhxyx iiiii

1 iii xuhxx

10 u

(xi,yi)

(xi+uh , yi+λk0)

yi+1

yi+1+h f( xi , yi )

xixi+1

2. b puede ser manejado más libremente y expresarse yse puede usar como ordenada arriba o debajo de laordenada que da el método de Euler simple.

………………(4)Con k0 = h f(xi,yi)3.Queda por determinar α0, α1, μ, λ tal que la ecuación (3)tenga una aproximación en potencias de h, cuyos primerostérminos coinciden con los primeros términos de ecuación(1).4.Para cumplir con (3) expandimos primero en serie deTaylor

49


0);( kyyxhfybhy iiiii

….(5)Todas las derivaciones son evaluadas enSustituyendo en la ecuación (3)

Arreglando en potencias de h, tenemos

…..(6)

50


32

220

22

02

222

0

0

0!2!2

)(

),(

hy

fkyxfhku

xfhu

yfk

xfuhyxf

kyuhxf

ii

ii

ii yx ,

32

220

22

02

222

010

1

0!2!2

),(),( hyfk

yxkuh

yfhu

yfk

xfuhyxfhyxhfy

y

iiiii

i

42

222

2

2

22

3

3

12

101

0),(),(22

),(),(

hy

fyxfyxfyxfu

xfuh

yfyxf

xfuhyxfhyy

iiii

iiiiii

Para que los coeficientes correspondientes de h, h2

coincidan en las ecuaciones (1) y (6) se requiere que:…………………………..(7)

5.Observamos que existen 4 incógnitas para solo tresecuaciones y, por tanto se tiene un grado de libertad en lasolución de la ecuación (7). Podríamos pensar en usar estegrado de libertad para hacer coincidir los coeficientes deh3. Sin embargo, es obvio que esto es imposible paracualquier forma que tenga la función f(x,y). Existeentonces un número de infinito de soluciones de laecuación (7), pero quizás la más simple sea :

51


110 21 ,

21

11 u

1 ; 21

10 u

6. La relación de (5) conduce a la formula

o bien…….(8)

7. La relación (8) es conocida como algoritmo deRunge-Kutta de segundo orden.

52


)),(,(),(21 iiiiiiii yxhfyhxfyxfhyy

),( ; ),( :con , 2 010101 hkyhxfkyxfkkkhyy iiiii

Lo de segundo orden por coincidir con los tres primerostérminos de la serie de Taylor que es la formula de EulerModificado.•Este método proporciona mayor exactitud que la deEuler.•Se puede usar un valor de h no tan pequeño como elprimero .El precio de es la evaluación f(x,y) dos veces encada subintervalo contra uno en el método de Euler.8.Las formulas de Runge-Kutta de cualquier orden sepuede derivar de manera análoga que la de segundoorden.

53


METODO DE RUNGE-KUTTA DE CUARTO ORDEN……………….(9)

54


43211 226

kkkkhyy iI

),(1 ii yxfk

)2

,2

( 12

hkyhxfk ii

)2

,2

( 23

hkyhxfk ii

),( 34 hkyhxfk ii

9. La ecuación (9) tiene mucha coincidencia con los5 primeros términos de la serie de Taylor lo quesignifica gran exactitud sin calculo de derivadas,pero a cambio, se tiene que evaluar la funciónf(x,y)cuatro veces en cada subintervalo.

55


Ejemplo 1

56


?)1(2)0(..

yy

yxdxdy

IVP

Usando Runge-Kutta de cuarto orden.

Solución:Primera Iteración: Calculo de constantes k1, k2, k3, k4

57


220),( 00001 yxyxfk

7.12.0222.0

)2.02,22.00()

2,

2()

2,

2( 1

001

2

fhkyhxfhkyhxfk ii

73.110017

100200

10010

2)7.1(2.02

22.0

)2

)7.1(2.02,22.00()

2,

2()

2,

2( 2

002

3

fhkyhxfhkyhxfk ii

Cálculo De y1

58


454.1100017322.0

))73.1(2.02,2.00(),(),( 30034

fhkyhxfhkyhxfk ii

6562.1454.146.34.3262.0222

6 432101 kkkkhyy

Segunda Iteración: Calculo de constantes k1, k2, k3, k4

Cálculo De y2:

59


4562.16562.12.0)6562.1,2.0(),( 111 fyxfk

21058.12

)7.1(2.06562.122.02.0

)2

)7.1(2.06562.1,22.02.0()

2,

2( 1

112

fhkyhxfk

235142.12

)21058.1(2.06562.122.02.0)

2,

2( 2

113 hkyhxfk

10091716)235142.1(2.06562.12.02.0),( 34 hkyhxfk ii

4109.1)...2128.1(24562.162.06562.122

6 432112 kkkkhyy

Continuando se tiene

Observación:•Los métodos descritos se llaman también métodos deun solo paso porque se apoyan y usan (xi,yi) para elcálculo de yi+1.•Estos Métodos además se apoyan en puntos xi y xi+1pero nunca en puntos anteriores a xi.

60


103655714.1148003885.1246450474.1

5

4

3

yyy

Ejemplo 2Usar el método de Runge-Kutta para aproximar dada lasiguiente ecuación diferencial:

SoluciónPrimero, identificamos el mismo ejemplo 1 de los dosmétodos anteriores. Segundo, procedemos con losmismos datos:

61


Para poder calcular el valor de y1 debemos calcularprimeros los valores de k1, k2 ,k3, y k4. Tenemos entoncesque:

62


Con el fin de un mayor entendimiento de las fórmulas,veamos la siguiente iteración:

63


El proceso debe repetirse hasta obtener lo requerido.Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

64


n

0 0 1 1 0.1 1.01005 2 0.2 1.04081 3 0.3 1.09417 4 0.4 1.17351 5 0.5 1.28403

Concluimos que el valor obtenido con el método deRunge-Kutta es:Finalmente, calculamos el error relativo verdadero:

Con lo cual vemos que efectivamente se ha reducidomuchísimo el error relativo. De hecho observamos quetenemos 6 cifras significativas en la aproximación

65


MÉTODOS DE PREDICTOR-CORRECTORRecordemos que en el método de Euler modificado se utilizala siguiente relación

………………………………….(1)Obsérvese, que el segundo término del miembro de laderecha recuerda el método de integración trapezoidalcompuesta, en donde h es el ancho del trapezoide h=xi+1 –xi,y podemos decir que,

……………… (2)

66


111 ,,2 iiiiii yxfyxfhyy

Equivalentemente……………………………..(3)

Que es la ecuación de corrección del método de Eulermodificado, esto sugiere la obtención de un esquemaiterativo para la solución del PVI por medio de la regla deSimpson u otro método de integración numérica que usanmayor numero de puntos.Considerando esta reflexión se deriva un métodocorrector basado en el método de Simpson 1/3

24/07/2015 67


,....................(4)Considerando la relación

,...........................(5)

Tenemos,……..(6)

68


Entonces se llega a la relación de corrección,.......(7)

En donde se debe de obtener con un predictor, a partirde (x0,y0 ) la ultima relación tomara la forma de,

,………………………..(8)

Para la primera predicción es calculada con un predictorque requiere de y1 y f(x1,y1 ) en consecuencia se requierede un paso de inicialización que muy ben puede ser usadoel método de Runge-Kutta por una sola vez en el procesoiterativo.

69


Ejemplo:Resolver el PVI

Usar el método de predicción y corrección

70


?)1(2)0(..

yy

yxdxdy

IVP

Soluciónh=(1-0)/5=0.2,Primera iteración

Inicialización. (Usando Euler modificado obtenemos y1 )1°2°

derivada promedio. Luego

71


6.1)20(2.02),( 0001 yxhfyy

7.1)6.12.0()20(21),(),(

21

1100 yxfyxf

66.1)7.1(2.02)7.1(2.001 yy

Predicción (se usa Euler Modificado para tomar el valor y2)

1°

2°

Corrección; usamos la relación 8

72


368.1)66.12.0(2.066.1),( 1112 yxhfyy

4172.1)214.1(2.066.1)(

214.1)368.14.0()66.12.0(21),(),(

21

22

2211

yxy

yxfyxf

,

Segunda IteraciónPredicción,

Corrección usamos la relación 7

73

MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO,

,

Tercera IteraciónPredicción


74

MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO,

,

Cuarta IteraciónPredicción


75

3.2. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO,

,,

I. Utilizar los métodos de Euler y de Runge Kutta paradar solución a las siguientes ecuaciones diferencialescon valor frontera.

(9) (10) (11) (12)

(13) (14) (15) (16)

76

EJERCICIOS

?)1(2)0(

yy

yxdxdy

?)5.1(4)1(

yy

yxdxdy

?)5.0(1)0(

yydxdy

yx

?)5.0(4)0(

yydxdy

yx

?)5.0(3)0(

)2(

yy

yydxdy

?)5.1(4)1(

yy

yxdxdy

?)5.1(0)1(

2

yy

yxdxdy

?)8.1(1)1(

2

yy

xyy

dxdy

I. Utilizar los métodos de Euler y de Runge Kutta paradar solución a las siguientes ecuaciones diferencialescon valor frontera.

(1) (2) (3) (4)

(5) (6) (7) (8)

77

EJERCICIOS,

?)5.1(0)0(

1

yy

xsenxdxdy

?)2(1)1(

21

yy

ydxdy

xy

x

?)1(4)0(

1 2

yy

ydxdy

?)1(1)0(

yy

ydxdy

?)1(1)0(

12

yy

ydxdy

?)1(0)0(

1

yy

ydxdy

?)1(1)0(

1

yy

yxdxdy

?)2(1)1(

1

yy

xydxdy

II .- Estructurar un modelo para las problemáticassiguientes y luego solucionarlo Aplicando Euler y RungeKuta.1.- Un tanque cilíndrico de fondo plano con diámetro 2metros contiene un líquido; de densidad 1.8 kg/l a unaaltura H de 4 metros. Se desea saber la altura del líquidodentro del tanque 10 minutos después que abrecompletamente de la válvula de salida ubicada en la parteinferior izquierda, la cual da una gasto de 1 m3/s, donde Aes el área seccional del tubo de salida que tiene un valorde 80.5 x 10-4m2, considerar g = 9.81m/s2.

78

EJERCICIOS

2.- Se tiene un tanque esférico de radio de 8 metros calcular el tiemponecesario para que el nivel del líquido de dicho tanque pase de 6metros a 7 metros, la velocidad de salida por el orificio del fondo es v=5.5 m/s el diámetro de dicho orificio es de 12 cm. Donde a es laaltura de líquido.3.- En un tanque perfectamente agitado se tiene 500 litros de unasalmuera en la cual este disuelto 30 Kg de sal común en un momentodeterminado se hace llegar al tanque un gasto de 90 l/min de unasalmuera que contiene 1.5 Kg de sal común por litro si se tiene ungasto de salida de 90 l/min. Determine:a.- Que cantidad de sal hay en el tanque transcurrido 20min.b.- Que cantidad de sal transcurrido un tiempo muy grande.

79

EJERCICIOS

4.- Se hace reaccionar isotérmica mente 300gr de acetato de etilo con 200gr dehidróxido de sodio en solución acuosa ajustando el volumen total a 10 litros paradar acetato de sodio y alcohol etílico de acuerdo con lo siguiente ecuaciónestequiometria:Acetato de etilo + hidróxido de sodio = acetato de sodio + alcohol etílicoDonde la constante de velocidad de reacción k esta dado por k = 1.44 x 10-2

Determine la cantidad de acetato de sodio y alcohol etílico presente 40min despuéspresentada la reacción.5.- Se conecta un inductor de 0.5 henries en serie con una resistencia de 10 ohmsun capacitador de 0.025 faradios y un generador de corriente al terna dad por lafunción 60 sen 5t voltios t 0.a.- Establezca una ecuación diferencial para la carga instantánea en el capacitor.b.- Encuentre la carga en distintos tiempos

80

EJERCICIOS

6.- Se tiene un tanque de forma cónica de 5 metros de diámetrosuperior con 10 metros de altura conteniendo un líquido hasta hmetros de altura, si al momento de llegar el nivel del líquido de 2.5 metros se hace llegar un gasto de alimentación de 0.50 m3/s elnivel de líquido aumentara. Determine el tiempo necesario paraque el nivel se recupere nuevamente a 6 metros.

7.- El tiempo que requiere el tanque del ejercicio anterior pararecuperar su nivel de 2.5 a 6 metros con un gasto de alimentaciónde 0.50 m3/s es aproximadamente 500 s calcule el gasto dealimentación que se requiere para reducir este tiempo en la mitad.

81

EJERCICIOS

Muchas Gracias

catedra metodos numericos 2015 - unsch (15) [modo … · gráficamente su solución numérica,...

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