catedra medios de enlace y electromagnetismo
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CATEDRA MEDIOS DE ENLACE Y ELECTROMAGNETISMO
ERNESTO KISIELEWSKY – 2015 – Vers 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA MATANZA
UNIVERSIDAD NACONAL DE LA MATANZA
ELECTRODINAMICA - ONDAS
ONDAS ELECTROMAGNETICAS
Hasta ahora teníamos:
MB
H 0
PED 0
Estos vectores se relacionan entre si y con la materia con las relaciones constitutivas:
t
HEx
0
JHx
0
.
E
0. H
[1]
GAUSS
FARADAY
AMPERE
y, con el principio de conservación de la carga :
0.
tJ
[2]
Maxwell vio que [1] y [2] son incompatibles.
Tomemos la ).( Hx
t
JHx
..),(),( trJtrHx
Matemáticamente 0 En general 0
CONTRADICCION!!!
De [2]
Para remediar esta contradicción (manteniendo el ppio. de conservación de la carga), Maxwell propuso:
Tomando la divergencia a [3] tenemos:
0....
dd J
tJJHx
[3]),(),(),( trJtrJtrHx desp
0..
dJ
t
D
0.
dJ
t
D
Lo mas simple es suponer que:
0.
dJ
t
D0
dJ
t
D
t
DJd
(pero podría haber sido Gxt
DJd
porque 0).( Hx )
Finalmente, queda:
donde: t
DJd
“densidad de corriente de desplazamiento”
En el caso electroestático, 0
t
D
t
trDtrJtrHx
),(),(),( [4]
Ejemplo
t
trDtrJtrHx
),(),(),( sdJJldH d .. dII [5]
Aunque I=0, la circulación de H puede no ser nula debido a Id.
Supongamos un capacitor de placas paralelas circulares:
Dentro del Capacitor I=0, pero H puede no ser nulo debido a Id:
Vimos que:
zE
0
z
a
q
0
2
1
Pero ED 0 z
a
q 2
z
r=a
z
I
vacío
La corriente I que carga el capacitor será:
dt
dqI
La corriente de desplazamiento Id será:
t
DJd
z
a
q
t
2
z
at
q 2
1
z
a
I 2
Si bien no existe transferencia de carga a través del vacío, existe una corriente “equivalente” en el vacío (Jd) que tendrá que ser igual a I:
SdJIS
dd . SdJIS
dd . ISdza
I
S
2
IId como era de esperarse
Entre las placas no existe I, pero sin embargo existe un campo magnético cuya fuente es Id.
S
r=a
z
I
I
Id
IldH .
r
IH
24,3
IIldH d .
r
IH
22
Fuera del capacitor:
Entre las placas, para r>a:
Aunque H3,4=H2, ¡tienen fuentes distintas!
Para la zona 1, I=0 y la Id encerrada dependerá de r:
sda
IsdJI
SSdd ..
2
Ssd
a
I2
2
22
2 a
rIr
a
I
r=a
z
I
1
3
4
2
2
2
1.a
rIIldH dencerrd
21
2 a
rIH d ar
ONDAS PLANAS
Supongamos que en una región solo existen corrientes libres pero no cargas libres:
0
t
Bx
0B
t
EEBx
Tomando el rotor a xE:
.. 2
0
xx
t
Bx
2
t
EE
t2
02
22
t
E
t
E
02
22
t
B
t
BB
Y lo mismo para B:Idéntica ecuación de igual solución
Si el medio es NO conductor, por ejemplo para E será:
02
22
t
E “Ecuación vectorial de D´Alembert”
Si nos interesa sólo la solución de onda plana (onda que depende sólo de una sola coordenada espacial, por ejemplo “z”):
),(),( tztr
Además, si la onda tiene polarización lineal (se propaga manteniendo los campos su dirección vectorial):
01
2
2
2
2
t
E
v0
12
2
22
2
t
E
vz
E
1v
La solución general de esta ecuación 1D será:
)()(),( vtzgvtzftz
Onda Progresiva en dir “+z”
Onda Regresiva en dir “-z”
Particularización de f y g
Vamos a representar una OP con la “forma compleja” (armónica):
)(
0),( kztjeEtz Dondev
k
Cte
fase
La solución completa será la OP+OR:
)(
0
)(
0),( kztjkztj eEeEtz
La parte real de la solución de la OP será:
)(
0Re),( kztj
real eEtz
kztE cos0
donde:jeEE 00
De lo anterior se observa que la onda plana armónica es:
Periódica en el TIEMPO con PERIODO T
Periódica en el ESPACIO con PERIODO (longitud de onda)
Longitud de onda: es la distancia entre dos puntos homólogos de una onda
Descripción de una Onda
Una onda es una configuración de energía que se propaga en el espacio. Se puede describir por la función:
)(),( vtzEtz
f
z
f0
t=0
f
z
f0
t=t1
z=z1
En t1>0 y z=z1 f=f0
La forma de la onda se debe mantener en el tiempo
Cuando t, el punto f0 “se mueve” manteniendo la forma de toda la onda. Todos los valores de f se mueven.
Entonces:
)()()0( 2211 vtzfvtzff
3210 ttt
3
3
2
2
1
111
t
z
t
z
t
zvvtz
Para un t fijo (una foto en t=t0 por ejemplo):
f
z
f
t
T
Para un z fijo sería:
fT
1
f 2
2T
vk
y
kztEE cosRe 0Si
Si el período espacial de un coseno es 2, la función E se repetirá cuando su argumento (t-kz+) cambie en 2 entre los punto z2 y z1:
212 kztkzt
212 zzk
vk
2fv
k “constante de propagación” o “numero de onda” o “factor de propagación” [1/m]
“frecuencia angular” [rad/s]
f “frecuencia” [1/s]
v es la velocidad a la que viaja un valor definido de la fase (t-kz+) de la onda
Frente de Onda
)(
0),( kztjeEtz jkztj eeEtz 0),(
)(zE
tjezEEtz )(),( 0
Para z=cte (un plano), la AMPLITUD de la onda E(z) será CONSTANTE
onda uniforme
z
frente de onda
Propagación en una dirección arbitraria
z
plano
x
y
rn
Queremos independizarnos de la coordenada “z”:
rnd .
)(
0),( kdtjeEtd ).(
0
rnktjeE
kknkk
zkykxkk zyx
).(
0),( rktjeEtr
).(
0),( rktjeEtr
Entonces, la representación de una onda que viaja en la dirección k, ahora llamado “vector de propagación” será:
Esto nos facilita reescribir las ecuaciones de Maxwell para el caso de ondas armónicas planas:
Ejkx
Ex
Ejky
Ey
Ejkz
Ez
Ejt
E
Entonces podemos reemplazar el operador por -jk
0
t
Bx
0B
t
EEBx
0kj
Bjxkj
0Bkj
EjEBxkj
0k
Bxk
0Bk
EjBxk
Estructura del campo electromagnético de ondas planas en el vacio
Una onda armónica, plana y de una sola frecuencia (monocromática) se describe como:
)(
0),( kztjeEtz
)(
0),( kztjeBtzB
0
0
k
Bk
0Ezk
0Bzk
0 zE
0 zB
ONDA TRANSVERSAL ELECTROMAGNETICA (TEM)
z
zB
xkBBxk
No tienen componentes en la dirección de propagación!!
EB
z
x
y
xE
yH
Mutuamente perpendiculares (Onda TEM)
k
E
B
Las magnitudes estarán relacionadas como:
xkB
xkB E
kB
E
v
1
En el vacio:
00
1
c
B
E
Velocidad de Fase en un medio material
Ondas Planas en Medios Materiales
)(
0),( kztjeEtz 0
2
22
t
E
t
E
0
Bjx
0
)(
B
EjEBx
El medio tiene , ,
Tomando el rotor del xE:
Bxjxx Hxjxx
E2 Ej
EjjE 2
EjE 22
k
022 EkE
jk 22 jk
Donde:
“Ecuación de Helmholtz”
entonces
22 jk j 2
22 2 j 222 j
222
2
2/12
112
2/12
112
Como jk jekk
Entonces para la Onda Progresiva:
)(
0),( kztjeEtz zjtjeEtz 0),(
ztjzeeEtz 0),(
atenuación si ≠0
pero para la Onda Regresiva:
zjtjeEtz 0),(
ztjzeeEtz 0),(
Ojo: este término si z pero en este caso z entonces ez
La atenuación está relacionada con la perdida de energía o disipación en el material
“cte. o factor de atenuación”
“cte. o factor de fase” o “factor de propagación”
De e-z vemos que si z=1/ e-1
La amplitud de la onda disminuye a 1/e si z=1/
Entonces llamamos
1
“Profundidad de penetración”
z
1e
1
37,0z
Después de viajar algunos , se puede decir que la onda ha desaparecido casi totalmente.
Velocidad de Fase en un medio material
En el vacío vimos que las ondas viajan a una velocidad:
Esta velocidad es a la que viaja un valor fijo de la fase y no depende de la frecuencia :
)()()0( 2211 vtzfvtzff
3210 ttt
t0 t1 t2
z0 z1 z2
ctevtz
0 fvdt
dz
dt
dzv f
00
1
cv
En un medio distinto de vacío:
ctezt fv
dt
dz
)(
En un medio con , 0> =0 entonces:
cvv ff 0,0,
La existencia de hace que la onda viaje mas lentamente que en un material sin perdidas.
En cuanto a :
2 02/1 con 000 vacío
fv Si v (a = frecuencia) 02/1
Para un medio cualquiera con 0 con un medio con =0, también se da lo mismo, es decir:
00 00 ff vvy
Impedancia Intrínseca del Medio
xkB
xkH zkk
k
xzxkH
k
v/
1 v
Habíamos demostrado antes que:
Si suponemos que
“Impedancia Intrínseca”
y para el vacio:
3770
0
0
xzH
Como kC :
´´
j
jk
H
Medios Dispersivos
Es aquel en donde sus parámetros dependen de la frecuencia.
En nuestro caso es )(
)(
Una superposición de ondas viajeras sinusoidales de distinta frecuencia que seestá propagando por un medio material dispersivo “cambia de forma” ya quecada onda tiene un velocidad distinta (además de una atenuación diferente)
Después de un tiempo t de propagación, la superposición de las ondas (la suma),para un cierto z1, dará un valor numérico distinto que para el valor inicial de z0< z1.
z
t1 z1t0 z0
)(v
Casos Particulares de Medios Materiales
Vamos a analizar los siguientes casos:
a) Dieléctricos ideales o sin pérdidas
b) Dieléctricos con bajas pérdidas
c) Conductores
a) Dieléctricos ideales o sin pérdidas
0 ó
0
0
00
2 j jk
0
!!!0
0
0
1
La velocidad de fase y longitud de onda en el dieléctrico valdrán:
cv 0
1
Y la impedancia intrínseca es:
0
2
000
00
b) Dieléctricos con bajas pérdidas
0
´´ j
0
´´0
2 j jk
con bajas pérdidas ´´
´2
´´1´0
2
jjk
´
´21
v (grande)
Mientras que v y λ son del orden de dieléctrico ideal.
Además resulta:
´´
Es posible definir un factor (medible) que indica la calidad del dieléctrico, llamado tg:
´
´
tg
Si la tg: es alta altas perdidas y viceversa.
c) Conductores
0
0
0j jk
1
0
2
(buen conductor)
2kje 2/
0
kje 4/
0
44cos0
jsen
j 12
0
j
1
Los campos que se propagan en un buen conductor decaen a 1/e (37%) de su valor, al recorrer una distancia .
Para el cobre:
m
110.6 7 mm
f
92
mm2,9Hzf 100
m 92MHzf 1
m 9,2GHzf 1
Cuando aumenta la frecuencia el material deja de ser un «buen conductor»
Recordando nuestra clasificación, podemos graficar el valor de /ε=f(frec) para concluir que los materiales cambian sus propiedades de acuerdo a la frecuencia:
Radiofrecuencias O Infrarojo
/log
log
6
4
2
2
4
6
4 168 1210
ultraviol
visible
conductores
dieléctricos
Cuasiconductores