casos de factorizacion

5/16/2018 Casos de Factorizacion - slidepdf.com

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UNIVERSIDAD RURAL DEGUATEMALA

AÑO:

2011

ALGEBRA Y GEOMETRIA

ALEXANDER NICOLASBETHANCOURT SAJCHE

INGENIERIA CIVIL

Factorización

1



PLANIFICACIÓN DE LA CLASE

TEMA: “Cálculo de las raíces de un polinomio: Factorización” Tener en cuenta que los alumnos ya saben ecuación desegundo grado y polinomios. Esta etapa es la culminación deFactoreo.

EJE: Álgebra y Geometría

CURSO: Primer Año de Polimodal

Factorización

CONOCIMIENTOS PREVIOS:

2



CONTENIDOS CONCEPTUALES

• Polinomios• Ecuación de segundo grado

CONTENIDOS PROCEDIMENTALES• Utilización de la regla de Ruffini para dividir

polinomios por (x-a)• Deducción de la fórmula resolvente de una

ecuación de segundo grado.• Cálculo de raíces (reales) de una ecuación de

segundo grado.• Factorización de polinomios de segundo grado

(raíces reales)

Factorización

3



EXPECTATIVAS DE LOGRO:

Que los alumnos sean capaces de:

Distinguir cada caso de factoreo Decidir de manera correcta y de la forma más eficiente,

cuál es el caso de factoreo que deben aplicar; y que losepan aplicar.

Identificar si un polinomio es primo o compuesto Justificar cada paso que realizan, cuando se encuentren

frente a un ejercicio en el cual deban aplicar más de uncaso de factoreo

Factorización

ORGANIZACIÓN DE LA CLASE

Como los alumnos, se supone, que ya vieron los casos defactoreo, nosotras nos limitaríamos simplemente a recordarcomo funcionaban estos casos, mediante un ejemplo, de estamanera, nuestro objetivo sería refrescar los conocimientos ya

4



vistos, con el objeto de interiorizar a los alumnos en el tema yasí poder lograr una completa aplicación de cada uno de ellos.

Nuestra meta es que los alumnos puedan comprender afondo el tema, que puedan, frente a un polinomio , de una omás variables, saber por donde empezar, qué propiedadaplicar, y así poder lograr la factorización de un polinomiocompuesto en un producto de polinomios primos. La idea esdejar esto muy claro, para que los alumnos no tengandemasiadas dudas cuando se enfrenten al ejercicio.

Nosotras desarrollaríamos una clase global e integradora,a partir de conocimientos ya vistos con anterioridad.

Nuestra intención sería explicar ejercicios, lo máscompletos posibles, en el pizarrón, luego dejaríamosejercitación para que los alumnos realicen de tarea; y la

corrección de los mismos se realizaría la clase siguiente en elpizarrón, pero en esta oportunidad haríamos que los alumnospasen al frente y expliquen como resolvieron el ejercicio y quépropiedades aplicaron en cada uno de ellos.

De esta manera lograríamos que los alumnos participende la clase, y además también puede surgir que para unmismo ejercicio haya alumnos que lo resolvieron de distintamanera, y ambos resultados son correctos.

Factorización

Recuerdo de los casos de factoreo, mediante unejemplo de cada uno de ellos:

A continuación detallamos en qué consiste cada uno de loscasos, pero sin embargo, en la clase no lo vamos a hacer, ya

5



que con el ejemplo es suficiente para que los alumnosrecuerden cada uno

FACTOR COMÚN

Procedimiento:

1° Paso: Buscamos el factor común (que debe ser el mayorposible)2° Paso: Se expresa el polinomio dado como el productodel factor común por el polinomio que resulta de dividir elpolinomio dado por el factor común.

Ejemplos:

1)

4 2

2 2

2 2a b ab

ab a b

+

↓+

Factor comun

( )

2)

3 9

3 3

xby xa

x by a

−

↓−Factor comun

( )

Factorización

FACTOR COMÚN POR GRUPOSSe aplica en polinomios que no tienen factor común entodos sus términos.

Procedimiento

6



1° Paso: Se forman grupos de igual cantidad de términosque tengan factor común, se sustrae dicho factor común encada uno de los grupos.2° Paso: Debe quedar un paréntesis común.3° Paso: Se extrae dicho paréntesis como factor común.

Ejemplos:

1)

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2

xy a mb xy b ma

xy a ma mb xy b

a xy m b m xy

xy m a b

+ + +

↓

+ + +

↓

+ + +

↓

+ + →

Agrupo

Factor Comú n

Factor Comú n

Factor Comú n por Grupos

( ) ( )

( )( )

2)

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

x ax bx ab

x x a b x a

x a x b

2 + + +

↓ ↓+ + +

↓+ + →

Factor comun

Factor comun

Factor Comun por Grupo

Factorización

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Recuerdo: “Cuadrado de un Binomio”

(x+y)2 = + + x xy y2 22

Procedimiento:

7



1°Paso: Se reconocen los cuadrados perfectos, loscuales no deben tener un signo negativo adelante.

Y calculo sus raíces cuadradas, dichas raíces serán lasbases.

2° Paso: Luego calculo el doble producto de sus bases; yluego nos fijamos si se verifica que el doble producto figura enel trinomio dado,

3° Paso: Si el doble producto figura en el trinomio dado,entonces decimos que es un Trinomio Cuadrado Perfecto; yluego lo factorizo como el cuadrado de un binomio, formadopor dichas bases.

OBSERVACIONES MUY IMPORTANTES:

• Si el doble producto que figura en el”Trinomio dado” es positivo, entonces las bases delCuadrado del Binomio tendrán las dos el mismo signo.

• Si el doble producto que figura en el”Trinomio dado” es negativo, entonces las bases delCuadrado del Binomio tendrán signos opuestos.

Factorización

Ejemplos:

1)

8



4 12 9

4 2

9 3

2 2 3 12

4 12 9 2 3 2 3

2 2

2

2

2 2 2 2

x xz z

x x

z z

x z xz

x xz z x z o x z

+ +

=

==

⇒

+ + − −

. .

Es un Trinomio Cuadrado Perfecto

Entonces: = ( + ) ( )

2)

41

16

4 2

1

16

1

4

2 21

4

41

162 2

1

4

6 3

6 3

3 3

6 3 3 2 3 2

x x

x x

x x

x x x o x

+ +

=

=

=

⇒

+ + − −

. .

Es un Trinomio Cuadrado Perfecto

Entonces: = ( +1

4) ( )

Factorización

CUATRINOMIO CUBO PERFECTO

Recuerdo: “Cubo de un Binomio”

9



( ) x y x x y xy y+ = + + +3 3 2 2 33 3

Procedimiento:

1°Paso: Se reconocen los cubos perfectos Y calculo sus raíces cúbicas, dichas raíces serán las

bases.2° Paso:Luego calculo:

• el triple producto del cuadrado de la primera basepor la segunda

• el triple producto de la primera base por elcuadrado de la segunda

Luego nos fijamos si estos cálculos figuran en el cuatrinomiodado,

3° Paso: Si estos cálculos figuran en el trinomio dado,entonces decimos que es un Cuatrinomio Cubo Perfecto; yluego lo factorizo como el cubo de un binomio, formado pordichas bases.

OBSERVACIÓN MUY IMPORTANTE:

Las bases que figuran en el Cubo del Binomio, van aconservar su signo.

Factorización

Ejemplos:

1)

10



8 36 54 27

8 2

27 33 2 3 36

3 2 3 54

8 36 54 27 2

3 2 2 3

33

33

2 2

2 2

3 2 2 3 3

a a b ab b

a a

b ba b a b

a b ab

a a b ab b a

+ + −

=

− = −− = −

− =

⇒

+ + −

.( ) .( )

.( ).( )

Es un Cuatrinomio Cubo Perfecto

Entonces: = ( -3b)

2)1

8

3

4

3

2

1

1

8

1

2

1 1

31

21

3

4

31

21

3

2

1

8

3

4

3

21

1

21

3 2

33

3

2 2

2

3 2 3

x x x

x x

x x

x x

x x x x

− + −

=

− = −

− = −

− =

⇒

− + −

.( ) .( )

. .( )

Es un Cuatrinomio Cubo Perfecto

Entonces: = ( - )

Factorización

DIFERENCIA DE CUADRADOS

Recuerdo: Producto de Binomios Conjugados

11



( )( ) x y x y x y− + = −2 2

Procedimiento:

1° Paso: Debo identificar la resta (debe haber un solosigno negativo) y luego los cuadrados perfectos.2° Paso: Calculo las bases de los cuadrados perfectos(haciendo la raíz cuadrada de cada uno)3° Paso: Transformo la diferencia de cuadrados en unproducto de binomios conjugados, formado por dichasbases.

Ejemplos:

1)

9 25

9 3

25 59 25 3 5 3 5

2 2

2

2

2 2

x y

x x

y y x y x y x y

−

=

=

− = + −Entonces: ( )( )

2)4

9

4

9

2

34

9

2

3

2

3

6 4 2

6 3

4 2 2

6 4 2 3 2 3 2

x z y

x x

z y z y

Entonces x z y x z y x z y

−

=

=

− = +

−

:

Factorización

DIVISIBILIDAD

Este caso consiste en hallar los divisores del polinomiodado. Esto lo efectuamos mediante la siguiente propiedad.

12



“Si un número a es raíz de un polinomio P(x), dichopolinomio es divisible por (x-a), es decir que, al dividir P(x)por (x-a), el resto de la división es cero”

Por el teorema del resto tenemos que: P(a)=0

En símbolos:

P(x) (x-a)0 C(x)

Cálculo de las raíces de un polinomio:• Para calcular la raíces de un polinomio en el cual

figura una sola incógnita, elevada a una potencia,podemos calcular su raíz igualando a cero yresolviendo esa ecuación.

• Cuando tenemos un polinomio de grado dos, dondeaparece la incógnita dos veces (una elevada alcuadrado y otra con exponente 1, podemos calcularsus raíces aplicando la resolvente.

Factorización

En este caso hay que tener en cuenta que los alumnos yasaben factorizar un polinomio de este tipo.

Entonces:Si ( ) , y sean raices de

entonces podemos escribir a como:

P x ax bx c x x P x

P x

P x a x x x x

= + +

= − −

2

1 2

1 2

, ( )

( )

( ) ( )( )

13

Entonces: P(x)=(x-a)C(x)Este tipo de división lapodemos realizar con la Reglade Ruffini



• Ahora si nos encontramos con un polinomio degrado mayor que dos, y la incógnita aparece másde una vez, podemos calcular sus raíces mediante

el Teorema de Gauss, que si bien no nos aseguraexactamente cuáles son sus raíces, nos da unnúmero finito de raíces posibles.

Teorema de Gauss:

Este teorema nos parece conveniente explicarlo a través deun ejemplo, ya que el teorema enunciado en forma generalnos parece demasiado complicado para que los alumnospuedan entenderlo.

Si tenemos por ejemplo ( ) = - - -

Divisores del té rmino independiente, (-3): 1, 3

Divisores del coeficiente principal, (2): 1, 2

Entonces las posibles raices de P(x) son:

x1

P x x x x

x x x

2 3 8 3

11

23

3

2

3 2

2 3 4

± ±± ±

= ± = ± = ± = ±, , ,

Factorización

Ahora debemos verifiar cuales son las raices de

es raiz

es raiz

es raiz

P x

P x

P x

P x

( )

( ) .( ) .( ) .( )

( ) .( ) .( ) .( )

( ) . . .

− = − − − − − − = ⇒ = −

− = − − − − − − = ⇒ = −

= − − − = ⇒ =

1 2 1 3 1 8 1 3 0 1

1

22

1

23

1

28

1

23 0

1

2

3 2 3 33 8 3 3 0 3

3 21

3 2

2

3 2

3

14



Entonces podemos escribir a P(x) como:

P x x x x x x x( ) ( )( )( )= − − − = + + −2 3 8 3 2 11

233 2

Factorización

Ejemplos:1)

15



x

x

x

x

x x

x x C x

C x x x

C x

x x x

C x x x

R x

x x x x

3

3

3

3

3

3

3

3 2

2

3 2

64

64 0

64

64

64 4

0 0 64

1

4

1 4 0

4 16

0

64 4 4 16

−

− =

=

→

−

−

−

+ + −

↓

= + +=

− = − + +

Calculo una raiz de P(x)

64

= 64

x = 4 Raiz de P(x)

Entonces: es divisible por ( -4),

es decir = ( - 4) ( )

( ) es el cociente de dividir por ( - )

Aplico Ruffini para calcular

4

0 0 -64

16 64

16

Entonces:

( )

( )

( )

( )( )

Factorización

2)

16



x x

x x

x

x x x

x x x x

2

2

1 2

2

1 2 1 2

2

6

6 0

1 1 41 6

1 25

23 2

6 3 2

− −

− − =

= ± − − −

=±

→ = = −

− − = − +

Busco una raiz de P(x)

2.1

Entonces:

,

,

( ) . .( )

,

( )( )

Factorización

COMBINACIÓN DE LOS CASOS DE FACTOREO

Ejercicio N° 1: Factoriza la siguiente expresión

17



20

9

Factor Comun

Diferencia de cuadrados 1

x b x b

x b x b

x b xb

x b xb xb

5 3 3

3 2 2

2 2

3

5

5

4

9 1

4

9

2

31

52

31

2

31

−

↓

−

↓ → = =

+

−

( )

,


( ) ( )

( ) ( ) ( )

a a a

a a a

a a a

a a

a a a

a a

3 2

3 2

2

2

2

1

1

1 1

1 1

1 1 1

1 1

− − +↓

− + − +

↓

↓

−

↓

+ −

↓

− +

Agrupo los terminos

Saco factor comun en cada grupo

( - ) + (-1)( - )

Factor Comun por Grupos

( - )(

Diferencia de Cuadrados

-

Multiplico, los factores con igual base

)

( ) ( )

FactorizaciónEjercicio N° 3: Factoriza la siguiente expresión

18



( ) ( ) ( )

x x y x y xy xy y

x x y x y xy xy y

x x y xy x y y x y

x y

x y x xy y

x y x y

3 2 2 2 3 4 5

3 2 2 2 3 4 5

2 2 4

2 2 4

2

2 2

2

2

2

- - + + -

Agrupo terminos

- + -2 + + -

Saco factor comun en cada grupo

Saco factor comun ( - )

Trinomio Cuadrado Perfecto

↓

↓

− − − + −

↓

− − +

↓

− −

( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

CÁLCULOS:

Trinomio Cuadrado Perfecto (Calculos)

x xy y

x x

y y xy

x xy y x y

2 2 4

2

4 2

2

2 2 4 2

2

22

− +

=

=

⇒ − + = −( )

Factorización


Una forma de resolverlo:

19



[ ]

− − + +

↓

− − + +

↓

− + + +

↓

+ − +

↓

+ + −

4 2 4 2

2 2 2 1

2 2 1 2 1

2 2 1 1

2 2 1 1 1

3 2

3 2

2

2

x x x

x x x

x x x

x x

x x x

Factor Comun (2)

Factor comun por grupos

Diferencia de cuadrados

( )

( ) ( )

( )( )

( )( )( )

Factorización

Otra forma de resolverlo:

20



( )

( )

− − + +

↓

− − + +

↓− + + +

↓

− − +

+

↓

− − +

+

4 2 4 2

2 2 2 1

2 2 1 1

2 2 11

21

4 11

2

1

3 2

3 2

2

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

Factor Comun (2)

Divisibilidad (T.Gauss)

Resolvente o Gauss

( )

( )( )

.( ) ( )

( )

CÁLCULOS:

Divisibilidad (calculos)

T.Gauss Posibles Raices: 1,1

2

es raiz

es divisible por ( +1),

es decir = ( ) ( )

( ) es el cociente de dividir

por ( +1)

− − + +

→ ± ±

− − − − + − + =−

− − + +

− − + + +

− − + +

2 2 1

2 1 1 2 1 1 01

2 2 1

2 2 1 1

2 2 1

3 2

3 2

3 2

3 2

3 2

x x x

x x x x

x x x x C x

C x x x x

x

( ) ( ) ( )( )

Factorización

21




-1

- 2 -1 2 1

2 -1 -1

- 2 1 1

Entonces:

C x

x x x

C x x x

R x

x x x x x x

( )

( )

( )

( )( )

− − + +

↓

= − + +=

− − + + = + − + +

2 2 1

0

2 1

0

2 2 1 1 2 1

3 2

2

3 2 2

( )

Resolvente:

=-1 1

=-1 9

2

− + +

± − −−

±−

→ = =

⇒ − + + = − − −

2 1

4 2 1

2 2

4

1

21

2 1 21

21

2

1 2

1 2 1 2

2

x x

x

x x x

x x x x,

,

.( ).

.( )

,


4 4 4 4

4 4

4 4

4 2 2 3 3 2 2 4

2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

x x y x y xy y x y

x x y xy x y x y

x y

x y x xy y

− − + + −

↓

↓

↓

Factor Comun por Grupos

( - ) - ( - ) + y ( - )

Factor comun ( - )

( - )( - + )

Diferencia de Cuadrados Trinomio Cuadrado Perfecto

(x - y)(x + y)(2x - y)

2

2

Factorización

CÁLCULOS:

22




= 2x

y

2.2

-4xy+y2 2

4

4

4 2

2

2 2

x

y

x y xy

x x y=

=

⇒ = −

.

( )

Para recordar:En el momento de factorizar una expresión debemos tener encuenta que:

Primero nos fijamos si hay factor común en todos lostérminos, en caso de haber, lo extraemos.

Luego Consideramos la cantidad de términos:

• Si hay dos términos puede ser que sea“Diferencia de Cuadrados” o puede ser que podamosutilizar el caso “Divisibilidad”.

• Si hay tres términos puede ser “TrinomioCuadrado Perfecto” o puede ser que podamos aplicar“Divisibilidad”

• Si hay cuatro términos puede ser que sea un

“ Cuatrinomio Cubo Perfecto”, podemos intentar“Factor Común por Grupos” o utilizar “Divisibilidad”.

(Esto en realidad lo recordaríamos más o menos alfinalizar o comenzar el primer ejercicio)

Factorización

Ejercitación

23



La siguiente ejercitación es para que los alumnosrealicen de tarea y luego haríamos la corrección en elpizarrón, haríamos pasar a los alumnos para que los realicen,y así participar de la clase y poder marcarles lo errores enforma oral, para que todos escuchen y no vuelvan a cometeresos errores.

En el ejercicio N° 1 se puede aplicar• Factor Común por Grupos• Diferencia de Cuadrados• Divisibilidad

En el ejercicio N° 2 se puede aplicar• Factor Común• Factor Común por Grupos

• Diferencia de CuadradosEn el ejercicio N° 3 se puede aplicar• Factor Común• Cuatrinomio Cubo Perfecto

En el ejercicio N° 4 se puede aplicar• Factor Común• Trinomio Cuadrado Perfecto

En el ejercicio N° 5 se puede aplicar• Factor Común

• Factor Común por Grupos• DivisibilidadEn el ejercicio N° 6 se puede aplicar

• Factor Común• Factor Común por Grupos• Diferencia de Cuadrados

En el ejercicio N° 7 se puede aplicar• Factor Común• Diferencia de Cuadrados

Factorización

Factorizar los siguientes polinomios

24



1

21

8

1

2

1

8

31

5

9

10

27

20

27

40

41

9

2

9

1

9

5 33

2

3

23

3

2

6 4 8 16 32

7 3 12

5 3 2 3 2 5

3 2 3 2 2 2

7 4 5 3 2 3 2 3 4

2 4 2 3 2 2 2

8 7 6 3 2

2 3 4

9 7 7 9

)

)

)

)

)

)

)

1

2

3

2

x x a a x a

a x a y ax ay

a b x a b x a b x abx

a x y ax y x y

x x x x x x

a a a a

x y x y

− − + =

− − + =

+ + + =

− +

+ + + + +

− − +

−

Factorización

MODO DE EVALUACIÓN

En cuanto a la forma de evaluación del tema, larealizaríamos mediante un examen.

25



Dicho examen lo tomaríamos al finalizar el tema, dejandouna clase intermedia, entre la última clase y el examen.

Con esta clase intermedia le daríamos a los alumnos laposibilidad de consultar sobre alguna inquietud que hayaquedado sobre el tema dado. Claro que no le dedicaríamosuna clase completa sino, algunos minutos o media hora,según las dudas que hayan surgido en los alumnos.

La evaluación o examen consistiría en la resolución de 5ejercicios (ya que nos pareció la cantidad más apropiada),cuyos ejercicios estarían distribuidos de la siguiente manera:

El primer ejercicio para aplicar “Cuatrinomio Cubo Perfecto”El segundo ejercicio para aplicar “Diferencia de Cuadrados”

El tercer, cuarto y quinto ejercicio para aplicar diversos casosde factoreo, en un mismo ejercicio, en general dos o trescasos en el mismo.

Factorización

MODELO DE EXÁMEN

Fecha: .........................................

26



Nombre yApellido:......................................................................

Curso:..................................................

Factorizar hasta su mínima expresión, justificando cada pasoque realices

Realizar todos los cálculos en la hoja.

1) x x x3 29

4

27

64

27

16− − +

2)36

81

1002 2 2 2 x y z x−

3) 3 − − xy xy x2 150 1875

4) ab a3 125+

5) − + − +3 15 24 123 2 x x x

Factorización

SOLUCIÓN DEL EXÁMEN

1) x x x3 29

4

27

64

27

16− − +

27



Caso Aplicado: Cuatrinomio Cubo Perfecto

x x

x x

x x

x x x x

33

3

2 2

2

3 2

3

27

64

3

4

33

4

9

4

33

4

27

16

9

4

27

64

27

16

3

4

=

− = −

−

= −

−

=

⇒

− − + = −

. .

. .

es un Cuatrinomio Cubo Perfecto

Entonces:

2) 36

811002 2 2 2

x y z x−

Caso Aplicado: Diferencia de Cuadrados

36

81

6

9

100 10

36

81100

6

910

6

910

2 2 2

2

2 2 2 2

x y z xyz

x x

x y z x xyz x xyz x

=

=

− = +

−

Bases

Entonces:

Factorización

3) 3 − − xy xy x2 150 1875

28



3 − −

↓

− −↓

xy xy x

x y y

2

2

150 1875

3 50 625

Factor Comun

Factorizacion mediante el

calculo de las raices (resolvente)

3x(y - 25)(y - 25) = 3x(y - 25)2

( )

Calculos

y y

y y

x

x x x

y y x x x

:

( ) . .( )

,

( )( ) ( )

,

,

Resolvente

Busco una raiz de P(x)

2.1

Entonces:

2

2

1 2

2

1 2 1 2

2 2

50 625

50 625 0

50 50 41 625

50 0

2

25 25

50 625 25 25 25

− −

− − =

=± − − −

=±

→ = =

− − = − − = −

Factorización

29



4)ab a

a b

b b x

3

3

2

125

125

5 25 5

+

↓

+↓

+ − +

Factor Comun

Divisibilidad

(

( )

)( )

5)

( )

( ) ( )

( ) ( )

Factor comun

Divisibilidad

- -


- -

− + − +

↓

− − + −↓

− +

↓

−

3 15 24 12

3 5 8 4

3 1 4 4

3 1 2

3 2

3 2

2

2

x x x

x x x

x x x

x x

Factorización

30

Divisibilidad:

-5 es raiz de + entonces es divisible

por (x + 5).

( +

Aplico Ruffini, para calcular C(x)

donde C(x) es el cociente de dividir

+ por (x +5)

0 0 125

5 - 25 -125

5 - 25 0

b

b x C x

b

b b b

C x x x

R x

3

3

3

3 2

2

125

125 5

125

0 0 125

5

1

1

5 25

0

) ( ) ( )

( )

( )

= +

+ + +

− ↓

= + −=

Divisibilidad

x x x

x x x

x x x x x C x

C x x x x x

C x

C x x x

R x

:

. .

( )

( )

( )

3 2

3 2

3 2

3 2

3 2

2

5 8 4

1 51 81 4 1 5 8 4 0

5 8 4

1 5 8 4 1

5 8 4 1

1

1 5 8 4

1 4 4

1 4 4 0

4 4

0

− + −

− + − = − + − =

− + −

− + −− + −

= − +=

Entonces: es divisible

por ( - ), es decir = ( - ) ( )

( ) es el cociente de dividir por ( - )


- -

-

-



6)

Factorización

31



Conclusión:Bueno, entre las integrantes del grupo llegamos a la

conclusión de que el tema que nos tocó exponer no fue el más

apropiado para permitirnos lucirnos en ese momento. Más quela explicación de un tema es una clase práctica los alumnosya conocen el tema, nosotras sólo nos limitamos a recordarlesalgo que ya habían visto y de esta manera poder realizar losejercicios combinados (presentados en la clase).

Este es un tema que no permite vinculación con otrostemas y tampoco podemos mediante el tema hacer que losalumnos puedan razonar los ejercicios; en este tema nopodemos de ninguna forma plantear problemas que lespermita a los alumnos utilizar otras herramientas, comopuede ser la creatividad individual; es un tema que hay quedarlo; (por supuesto que explicarlo lo más claro posible) y deahí en más practicar para que los alumnos puedanaprenderlo.

Algunas integrantes del grupo consideramos que no esun tema “lindo” y otras consideramos que nos sirvió tambiéna nosotras prepara la clase para refrescar también nosotras lamemoria, además aprendimos cosas que nunca nos habíanenseñado en la escuela secundaria.

Factorización

BIBLIOGRAFÍA UTILIZADA

32



• ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA. Stanley A. Smith.

Radall.I. Charles. John A. Dossey. Meruin L. Bihinger.

Addison Wesley Logman

Red Federal de Formación Docente Continua. Ministeriode Cultura y Educación de la Nación.

• MATEMÉTICA 1 ACTIVA. Puerto de Palos. Casa

de Ediciones. Adriana Beño. Marialucita Colombo. Carina

D´Albano. Oscar Scardella. Irene Zapica.

• MATEMÁTICA 1. Susana N. Etchegoyen/ Enrique

D. Fagale/ Silvia A. Rodríguez. Marta I. Auita de Kalan.

María Rosario Alonso. Editorial Kapeluz.

33

casos de factorizacion

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