casos de estudio de programación lineal

8/13/2019 Casos de Estudio de Programacin Lineal

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Casos de Estudio

Universidad de los Andes-CODENSA


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Programacin Lineal


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Problema del Transporteroblema del TransporteCierto producto debe enviarse en determinadas cantidades u1,,um,desde cada

, 1,, n, .

Determine las cantidades xij, que deben enviarse desde el origen ial destinoj, paraconseguir minimizar el coste de envo.

1. Datos

m:el nmero de orgenes

n:el nmero de destinos

ui:la cantidad que debe enviarse desde el origen i

cij:el coste de envo de una cantidad de producto desde el origen ial destinoj

2. Variables

xij: la cantidad que se enva desde el origen i al destino j. Se supone que las

variables deben ser no negativas.


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(1)n1,...,jm;1,...,i;0 ==ijx

.

(2)

=

==

m

n

1jiij m1,...,i;ux

El primer conjunto de condiciones indica que la cantidad del producto que parte

del origen idebe coincidir con la suma de las cantidades que parten de ese origen

=1ijij ,...,

hasta los distintos destinosj=1,,n.

El segundo conjunto de condiciones asegura que el total recibido en el destino j

debe corresponder a la suma de todas las cantidades que llegan a ese destino y

parten de los distintos orgenes i=1,,m.

Los grupos de restricciones presentados en (1)y (2)muestran las restricciones de

las variables y del problema, respectivamente.

4. Funcin a maximizar

En el problema de transporte nos interesa minimizar los costos de envo (suma de

los costos de trans orte de todas las unidades). Es decir, se debe minimizar:

(3)

= ==

m

i

n

j ijijxcZ

1 1


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Ejemplo El Problema del Transporte:

=,orgenes, n=3 destinos, u1=2, u2=3, u3=4, v1=5, v2=2, v3=2.

Figura 1.Esquema del problema de transporte.

2000000111

13

12

11

x

x

x

=

=

2

5

4

010010010

001001001

111000000

23

22

21

x

xx

CX

2100100100

33

32

31

x

x

x

1,2,3ji,;0 =ijx


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Las tres primeras ecuaciones establecen la conservacin del producto en los tres

or enes las tres ltimas i ualdades, la conservacin del roducto en los tresdestinos.

Si se concretan los valores particulares:

=

123212c

Para los costos de envo, el problema consiste en minimizar:

El mnimo de la funcin ob etivo es 14 ue corres onde a:

333231232221131211 232232 xxxxxxxxxZ ++++++++=

= 021

002

X


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Problema de la Planificacin de laP d iroduccin

Un productor fabrica una pieza, cuya demanda vara en el tiempo, de acuerdo con

.

Figura 2.Grfico de la demanda en funcin del tiempo.

pro uctor e e aten er a eman a mensua s empre. n genera cua qu er

problema de planificacin admitir diversas posibilidades que aseguren que la

demanda es convenientemente atendida:


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a) Produccin variable:El fabricante puede producir cada mes el nmero

exacto de unidades ue le solicitan.

b) Produccin Constante:El fabricante que debe atender una demanda que

de baja demanda y almacenar la sobreproduccin para los periodos dedemanda mayor.

Los problemas de esta naturaleza ilustran las dificultades que surgen cuando

objetivos contrarios estn presentes en e un sistema dado.

1. Datos

n:el nmero de meses a considerar

s0:la cantidad almacenada disponible al principio del periodo considerado

dt:el nmero de unidades (demanda) que se solicita en el mes t

s : a capac a m x ma e a macenam en o

at:el precio de venta en el mes t


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bt:el costo de produccin en el mes t

t

2. Variables

xt:el nmero de unidades producidas en el mes t

st:el nmero de unidades almacenadas en el mes t

3. Restricciones

1 ; 1,2,...,t t t t s x d s t n + = =max ; 1,2,...,

, 0

t

t t

s s t n

s x

=

La demanda dt en el mes t debe coincidir con el cambio en el almacenamiento ,

st-1st, ms la produccin xten el mes t; la capacidad de almacenamiento no puede

t, t, tnegativas.


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4. Funcin a Optimizar

de la variacin de la produccin y los inventarios.

( )n

t t t t t t Z a d b x c s=

Otra posibilidad consiste en minimizar los costos de almacenamiento:

1t=

n

1t t

t

c s=

=


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Ejemplo El Problema de la Planificacin de la Produccin:

tabla:

Tabla 1.Demanda en funcin del tiempo.

Supngase que la cantidad almacenada inicialmente es s0=2. Entonces el sistema se

transforma en:

1

2

31 0 0 0 1 0 0 0 0

s

s

s

4

1

1 1 0 0 0 1 0 0 3; , ; 1,2,3,4

0 1 1 0 0 0 1 0 6

0 0 1 1 0 0 0 1 1

sCx st xt o t

x

x

= = =

3

4

x

x


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Donde el cero en la matriz de la derecha procede a restar la demanda para t=1del

almacenamiento inicial.Si se maximiza el beneficio despus de descontar los costos y los inventarios, y se

toma at=3, bt=1, ct=1, el problema de optimizacin se convierte en:

Maximizar 1 2 3 4 1 2 3 436Z x x x x s s s s=

Sujeto a las restricciones ya mencionadas.

Resolviendo este roblema encontramos ue el valor mximo es:

1 2 3 4 1 2 3 426 para ( , , , , , , , ) (0,0,0,0,0,3,6,1)TZ x s s s s x x x x= = =

Lo que implica ningn almacenamiento.


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Problema de la Dietaroblema de la DietaSe conocen los contenidos nutritivos de ciertos alimentos, sus precios y la cantidad

.

cantidad de cada alimento que debe comprarse para satisfacer los mnimosaconsejados y alcanzar un precio total mnimo.

1. Datos

m: el nmero de nutrientes.

n: el nmero de Alimentos.

aij: la cantidad del nutriente ien una unidad del alimentoj.

.

cj:el precio de una unidad del alimentoj.


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Ejemplo El Problema de la Dieta:

nutrientes digeribles (DN), protenas digeribles (DP), calcio (Ca), y fsforo (Ph)

dados en la siguiente tabla:

Tabla 2.Contenidos nutritivos de cinco alimentos

Las restricciones se convierten en

178.6 70.1 80.1 67.2 77.0 74.2

x

2

3

4

6.50 9.40 8.80 13.7 30.4 14.7

0.02 0.09 0.03 0.14 0.41 0.14

xx

x

5

1 2 3 4 5

. . . . . .

, , , ,

x

x x x x x

0


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Supngase que los precios unitarios de los alimentos son:

De este modo se tiene el siguiente PPL:

1 2 3 4 51, 0.5, 2, 1.2, 3c c c c c= = = = =

Minimizar 1 2 3 4 50.5 2 1.2 3Z x x x x x= + + + +

Sujeto a las restricciones ya mencionadas.

Con la solucin de este sistema se obtiene la solucin

0.793 en el punto (0,1.530,0,0.023,0)Z=


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Problema del Flujo en un a Redroblema del Flujo en un a RedSupngase una red de transporte (conduccin hidrulica, ferrocarril, carreteras,

. , , ,

mensajes, etc.) de un conjunto de nodos de la red, llamados nodos fuente, a unconjunto de puntos de destino, llamados nodos sumideros.Adems de stos, la red

contiene nodos intermedios donde no tienen lu ar ni entradas ni salidas de

material. Sea xijel flujo que va del nodo ial nodoj(positiva en la direccin ij,y

negativa en otro caso).

1. Datos

g: el grafog=(N,A)que describe la red de transporte, donde Nes el conjunto de

, y x .n: el nmero de nudos en la red.

fi: el flujo entrante (positivo) o saliente (negativo) en el nudo i

mij: la capacidad mxima de flujo en la conexin entre el nudo iy elj

cij:el precio de mandar una unidad del bien desde el nudo i al nudoj.


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2. Variables

ij

3. Restricciones: Las restricciones del problema son:

Imponiendo la condicin de conservacin del flujo en todos los nudos, y las

restr cc ones so re a capac a e as neas o conex ones, se o t enen as

siguientes restricciones:Restricciones de conservacin del flujo

(4)

Restricciones de capacidad de las lneas o conexiones

(5)

n1,...,i;)( == ij jiij fxx

ji;


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Ejemplo El Problema de Flujo en Redes:

los valores positivos de las variables del flujo.

Figura 3.Esquema del problema de transporte.

En este caso el sistema es

(7)

=

3

2

1

14

13

10010

0100100111

f

ff

x

x

x

ji;

ji;


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Supngase adems que . El problema de optimizacin es minimizarji,;1=ijc

Sometido a (7). Mediante el software adecuado puede obtenerse la siguiente

solucin:

3424141312

40x

10;

0

4

1

)1(

4

4

3

puntoelen5

24

14

13

+

=

=

x

x

x

Z

Esta solucin indica que existe un conjunto de infinitas soluciones, todas ellas

ro orcionando el mismo valor timo Z=5.

2234 x


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Problema de la Cartera de Valoresroblema de la Cartera de ValoresUn inversor es propietario de participaciones de varios valores. Masconcretamente es dueo de bi participaciones de los valores burstiles Ai,i=1,2,..m. Los precios actuales de estos valores son vi. Considrese que se pueden

predecir los dividendos que se pagarn al final del ao que comienza y los preciosfinales de los diferentes valores burstiles, esto es,Aipagar diy tendr un nuevo

i.

El objetivo es ajustar la cartera, es decir, el nmero de participaciones en cadavalor, de modo que se maximicen los dividendos

1. Datos

m: el nmero de valores burstiles

i:e n mero ac ua e par c pac ones e va or ursvi: el precio actual del valor ipor participacin

di: el dividendo que se pagar al final del ao en el valor burstil i

wi:el nuevo precio del valor burstil i


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r: porcentaje mnimo rdel valor actual de toda la cartera que no debe superarse en

el a ustes:porcentaje mnimo del valor total actual que no debe superarse por el valor

futuro total de la cartera, para hacer frente a la inflacin

2. Variablesxi: el cambio en el nmero de participaciones del valor burstil i.

3. Restricciones

Se deben ase urar ciertas condiciones ue debe satisfacer una cartera bien

equilibrada:

El nmero de participaciones debe ser no negativo

Exigimos que el capital asociado a todo valor concreto, despus del ajuste,

represente al menos una cierta fraccin rdel capital total actual de la cartera

i ix

( ) ( );i i i j j ji

r v b x v b x j + +


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El capital total de la cartera no debe cambiar en el ajuste pues se supone que no se

invierte dinero adicional

0i ii

v x =

ara acer rente a a n ac n, e cap ta tota en e uturo e e ser a menos un

cierto porcentaje smayor que el capital invertido actualmente:

( ) (1 )i i i i iw b x s v b+ +

4. Funcin a optimizar

Nuestro ob etivo es maximizar los dividendos

i i

( )i i ii

Z d b x= +

La tarea se concreta al determinar el valor mximo de los dividendos sujeto a todaslas restricciones anteriores.


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Ejemplo El Problema de la Cartera deValores:

, , ,con precios 20, 20 y 100 dlares, respectivamente. Se dispone de la siguiente

informacin: A no pagar dividendos y alcanzar una nueva cotizacin de 18

dlares B a ar 3 dlares or artici acin la nueva cotizacin ser 23 dlares

y Cpagar 5 dlares por participacin con una nueva cotizacin de 102 dlares. Si

se toman los porcentajes rcomo 25 y s, 0.30, todas las restricciones se escriben

como:

75

100

A

B

x

x

[ ][ ]

35

0.25 20(75 ) 20(100 ) 100(35 ) 20(75 )

0.25 20(75 ) 20(100 ) 100(35 ) 20(100 )

C

A B C A

A B C B

x

x x x x

x x x x

+ + + + + +

+ + + + + +

[ ]0.25 20(75 ) 20(100 ) 100(35 ) 100(35 )20 20 100 0

18 75 23 100 102 35

A B C C

A B C

x x x x

x x x

x x

+ + + + + ++ + =

+ + + + 1.03 7000x+


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P bl d Di t ib i d E groblema de Distribucin de EnergaLos generadores de energa, as como las demandas de la misma se sitan en unared energtica. El objetivo de este problema consiste en decidir la energa aproducir por cada generador de forma tal que se satisfagan las diferentes

condiciones tcnicas de la red y los generadores, as como las demandas, al mnimocoste.

a a nea e transm s n e una re e energ a transm te energ a e un us a otro.La energa transmitida es proporcional a la diferencia de los ngulos de estos buses(de forma similar a que el agua que fluye en una tubera que conecta dos tanques es

ro orcional a la diferencia de alturas del a ua en ambos . La constante deproporcionalidad tiene un nombre divertido susceptibilidad. La potenciatransmitida desde el bus ialja travs de la lnea i-jes por tanto

(8))( jiijB

donde Bijes la susceptibilidad de la lnea i-j, y y los ngulos de los buses iyj,respectivamente. Por razones fsicas, la cantidad de energa transmitida a travs deuna lnea tiene un lmite. Este lmite est relacionado con consideraciones trmicas

i j

. ,su lmite de transmisin no sea excedido.


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Esta condicin puede formularse como

9donde es la capacidad de transmisin de la lnea i-j.Debe notarse que la potencia

transmitida es proporcional a la diferencia de ngulos y no, a un ngulo dado. Por

tanto uede fi arse el valor de un n ulo arbitrario a 0 tomarlo como ori en. Es

ijjiijij

ijP

decir, para un bus arbitrario k:

(10)0=k

origen es que los ngulos son variables no restringidas en signo. La potencia

generada por un generador es una magnitud positiva limitada inferiormente,

debido a las condiciones de estabilidad (de forma similar a la de un automvil, ueno puede moverse a una velocidad inferior a un cierto lmite), y superiormente,

debido a lmites trmicos (similarmente a la de un automvil que no puede

moverse a ms de una cierta velocidad mxima). Las restricciones anteriores

conducen a:(11)

donde pi es la potencia producida por el generador i, y y son constantes

iii PpP

iPiP

positivas que representan, respectivamente, el mnimo y el mximo de las

potencias generadas por el generador i.


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En todo bus, la potencia que entra debe ser igual a la potencia que sale (ley de laconservacin de la energa), que puede escribirse como

(12)

donde es el conjunto de buses conectados a travs de las lneas al bus i y Di la

i;)( =+

iij

jiij DpBi

i

.

Como se ha indicado anteriormente, la potencia transmitida a travs de toda lnea eslimitada, por tanto

(13)

1. Datos

n:el nmero de eneradores.

,,jiij

: la mnima energa de salida asociada al generador i.

: la mxima energa de salida asociada al generador i.

B : la susce tancia de la lnea i- .

iP

iP

:la capacidad mxima de transmisin de la lnea i-j.

Ci:el coste de producir energa en el generador i.

ijP

.

Di: la demanda asociada al bus i.i


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2. Variables

: la ener a roducida or el enerador i.:el ngulo del bus i.

3. Restricciones: Las restricciones de este problema son

i

(14)

,...,2,1;jmax;)(max

,..,2,1i;)(

i =

==+

=

ijjiijij

jiijiij

k

niPBP

nDPBi

4. Funcin a minimizar: El objetivo es minimizar el precio total de la

n1,2,...,imax;min = ii PpiP

pro ucci n e potencia

(15)

donde Ci es el precio de la produccin del generador i, y n el nmero de

=

= n

iiipCZ

1

generadores.


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Este problema puede escribirse como:

sometido a

21

03=

85.0)(0.3)(5.30)(5.2)(0.3

..

3231

22123

11213

=+=++

=++

p

p

3.0)(5.23.0

4.010.0

..

21

2

1

P

Las variables de optimizacin sonp1, p2, y .

5.0)(5.35.0

...

31

1 2

La solucin de este problema es:TT .117,0)(-0.143,-0,85)(0.565,0.2p,385.5 === Z

a so uc n p ma requ ere que e genera or pro uzca . y e genera or

produzca 0.285.


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Programacin Lineal Entera-Mixta


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Problema de Identificacin deSntomas Relevantesntomas Relevantes

Sea un conjunto conocido de posibles enfermedades.

Considrese ue los mdicos al identificar las enfermedades asociadas a un{ }1 2, ,..., nD D D D=

conjunto de pacientes, basan su decisin normalmente en un conjunto de sntomas

. Considrese que se requiere identificar un nmero mnimo de

sntomas de tal manera ue cada enfermedad uede distin uirse

{ }1 2, ,..., mS S S S =S S

perfectamente de las otras de acuerdo con los niveles de los sntomas en el

conjunto Sa. Determinar el nmero mnimo de sntomas es importante ya que da

lugar a un costo mnimo de diagnstico.

1. Datos

D: el con unto de enfermedades.

S:Conjunto de sntomas.

n:nmero de enfermedades

m:nmero de sntomas


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incluidos en Sa, y a>0es el nivel de discrepancia deseado. Se debe tener en cuenta

ue a medida ue el valor dea

es ma or, ma or ser el nmero de sntomasrequeridos, entonces:

m

j ikjx d

coincide con el nmero de sntomas en S0 que toman distintos valores para las

enfermedades Di D, a es el nmero mnimo, ara cual uier ar (Di,D ) de

=

enfermedades, necesario para tener un subconjunto aceptable Sa, lo que quiere

decir que pueden desconocerse a-1sntomas.

4. Funcin a minimizar

El objetivo es minimizar el nmero de sntomas seleccionados:

Sin embargo, si las enfermedades han de identificarse con alguna carencia de

1

m

jZ x

==

informacin, el conjunto S0puede resultar inservible, por tanto, normalmente se

emplea un valor a>0.


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Para determinar los sntomas relevantes asociados a la enfermedad itenemos:

Minimizar1

m

j

Z x=

=

Sujeto a

De esta manera odemos determinar el subcon unto mnimo del con unto

{ }1

; 1, 2,..., ,j ikjj

x d a k n i k

=

>

S S

de manera que la enfermedad itenga sntomas diferentes comparada con el resto

de enfermedades.


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Ejemplo El Problema de Identificacin de Sntomas Relevantes:

Considrese el con unto de enfermedades el con unto de, , , ,D D D D D D=

sntomas . Considrese asimismo que los sntomas asociados a las

diferentes enfermedades y los sntomas relevantes para cada enfermedad son los

que aparecen en la siguientes tablas:

{ }1 2 8, ,...,S S S S =

Tabla 3.Sntomas asociados a todas las enfermedades.

Tabla 4.Sntomas relevantes a cada enfermedad, para a=1.


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Por tanto, minimizando la suma:

Sujeto a las restricciones mostradas anteriormente, y dos valores de a, se concluye

1j

Z x=

=

que e con unto e s ntomas

es un subconjunto mnimo y suficiente de sntomas que permite distinguir las

{ }2,5

cinco enfermedades. Sin embargo, si se emplea un nivel de discrepancia de a=3, el

conjunto mnimo requerido es

{ }1,2,4,5,7Hay que tener en cuenta, que en este caso es posible hacer un diagnstico correcto

an en la ausencia de dos sntomas.


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Problema del Horario Acadmicoroblema del Horario AcadmicoEl objetivo es asociar aulas y horas a las asignaturas de un programa acadmico

dividido en cursos. Se considera ue estn dis onibles n aulas n horas

respectivamente, para ensear nsasignaturas. Estas asignaturas estn agrupadas por:

(1) Cursos y (2) profesores. Los ndices s, c, h, i, y b indican respectivamenteasignatura, clase, hora, profesor y bloque.

1. Datos

n :nmero de aulas.

nh:nmero de horas.

ns:nmero de asignaturas.

ni

:n mero e asignatura que a e impartir e pro esor i.

nb:nmero de cursos.

: conjunto de todas las asi naturas.

i: conjunto de asignaturas que ha de impartir el profesor i.

b: conjunto de asignaturas del curso b.


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2. Variables

, ,ca la hora h, y 0 en otro caso.

3. Restricciones

a. Cada profesor imparte todas sus asignaturas:

n n

1 1

( , , ) ;i

is c h

v s c h n i = =

=

b. Cada profesor imparte mximo una asignatura cada hora:

1

( , , ) 1; ,c

i

n

s c

v s c h h i =

c. Cada asignatura se imparte una sola vez:

1 1

( , , ) 1;c hn n

c h

v s c h s= =

=


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d. En cada clase y hora se imparte mximo una sola asignatura:

( , , ) 1; ,s

v s c h c h

e. En cada hora, se ensea como mximo una asignatura en cada curso:

( , , ) 1; ,cn

v s c h h b=


Hay diferentes opciones de funcin objetivo a minimizar. En este caso se escogi la

funcin objetivo que busca obtener un horario compacto:

c hn n

Minimizar 1 1, ,

s c h = =

.

penaliza el que las variables v(s,c,h)tomen el valor 1 para valores elevados de cy h.

Por tanto, su objetivo es compactar el horario.


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Ejemplo El Problema del Horario Acadmico

Considrese 3 aulas, 5 horas, 8 asi naturas, 2 rofesores, 2 cursos. El con unto de

todas las asignaturas es , el conjunto de las asignaturas del

profesor 1 es , el conjunto de las asignaturas del profesor 2 es

el con unto de asi naturas del curso 1 es

{ }1 2 8, ,...,S S S ={ }1 1 2 8, ,S S S =

S S S S S = S S S S =

Y el conjunto de las asignaturas del curso 2 es . Se debe tener en

cuenta que .{ }2 5 6 7 8, , ,S S S S =

1 2 1 2 1 2 1 2y , y y = = = =

La solucin se muestra en la siguiente tabla:

Tabla 5.Sntomas asociados a todas las enfermedades.


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El horario para el profesor 1 es:

El horario para el profesor 2 es:


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Problema de Localizacin de PlantasProductivasroductivas

Se trata de elegir la localizacin de plantas entre un conjunto dado de posibles

localizaciones teniendo en cuenta las necesidades de los consumidores

optimizando algn criterio econmico. Normalmente, la construccin de una

planta origina un costo importante que no depende del nivel de produccin de esaplanta.

Figura 5.Localizacin de plantas con capacidad limitada.


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1. Datos

I: conjunto de nconsumidores.

J: conjunto de mlugares donde las plantas pueden ser construidas.

{ }1,...,n

{ }1,...,m

.

cij:beneficio unitario por venta al consumidor i, de bienes producidos en la plantajuj: la capacidad productiva de la planta localizada enj.

bi: la demanda del consumidor i.

2. Variables

yj:variable binaria que permite modelar la construccin de una planta productiva

en la localizacinj.

1 si se construye la planta productiva0 en otro caso

jjy =

xij: cantidad de producto enviada desde la plantajal consumidor i.

R i i


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3. Restricciones

Las restricciones de este roblema son las si uientes. Ha de satisfacerse la demanda

de cada consumidor:

;ij ij J

x b i I

=

Dado que al consumidor ino se le puede suministrar desdeja no ser que se hayaconstruido una central enj, tenemos que:

Dado quey =0implica que xi=0, y y =1da lugar a la restriccin ,

;ij j ji I

x u y j J

i ij ji Ix u que implica que la produccin de la planta j no puede exceder su capacidad

mxima.Adems, las restricciones sobre las variables son:

, ;

0; ,

j

ij

y

x i I j J


maximizar ij ij j ji I j J j J

Z c x f y

=

Ej l El P bl d L li i d Pl t I d t i l


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Ejemplo El Problema de Localizacin de Plantas Industriales

Una em resa considera la construccin de lantas roductivas ara suministrar un

determinado producto a 7 ciudades. La demanda de cada una de esas ciudades

puede estimarse mediante factores demogrficos y sociales, como se muestra en la

siguiente tabla.

Tabla 6.Beneficios en funcin de las localizaciones.

Un determinado estudio estadstico ha identificado 6 posibles localizaciones paralas plantas industriales. Se supone que todas las plantas tienen las mismas

caractersticas. La capacidad mxima de produccin de cada planta es de 6

unidades. Se considera que el costo de recobrar la inversin a lo largo del

horizonte de estudio de una planta es 10 unidades monetarias.

El bj ti d t i l d l t l li i d f t l


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El objetivo es determinar el nmero de plantas y sus localizaciones, de forma tal

que se suministre la demanda de las ciudades y el beneficio obtenido sea mximo.

El proceso de optimizacin consiste en maximizar el beneficio total incluyendo

costos de amortizacin su eto a las restricciones ertinentes:

Maximizar7 6 6

1 1 1

10ij ij ji j j

Z c x y= = =

=

Sujeto a 6 61 2

1 1

1.5; 2.0j jj j

x x= =

= =

6 6

3 41 1

6 6

3.0; 4.0j jj j

x x= =

= =

5 6

1 16

71

. .

2.0

j j

j j

jj

x

= =

=

=

y 6


50/67

y 6

1

6 ; 1,...,7ij ji

x y j=

=

{ }0,1 ; 1,...,6

0; 1,...,7; 1,...,6

j

ij

y j

x i j

=

= =

pr mer grupo e restr cc ones correspon e a as restr cc ones e eman a y e

segundo a las restricciones de capacidad productiva.

La solucin se muestra en la siguiente figura:

Figura 6.Solucin al ejemplo de localizacin de plantas con capacidad limitada.

La solucin consiste en emplazar 3 plantas industriales en las localizaciones L L y


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La solucin consiste en emplazar 3 plantas industriales en las localizaciones L2, L4y

L5. La distribucin de produccin por ciudades se muestra en la siguiente Tabla:

Tabla 7.Produccin de cada planta que se suministra a cada ciudad.


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Problema de Programacin deCentrales Termo Elctricasentrales Termo Elctricas

El costo de poner en funcionamiento una central trmica despus de haber estado

arada un ar de das es mu elevado or lo ue la lanificacin de los arran ues

paradas debe hacerse con cuidado.

El problema de programacin horaria de centrales trmicas consiste en

determinar ara un horizonte de lanificacin multi-horario el arran ue arada

de cada central, de tal forma que se suministre la demanda en cada hora, el costo se

minimice, y se satisfagan determinadas restricciones tcnicas y de seguridad.

Un tpico horizonte de planificacin es un da dividido en horas. Si los intervalos

horarios se denotan mediante k, el horizonte de planificacin consta de los

Donde Kes tpicamente igual a 24.

1,2,...,k K=

El costo de arranque de una central es una funcin exponencial del tiempo que la

central lleva parada, pero se considera constante (lo que es una simplificacin

razonable en la mayora de los casos).

Cada vez que una central se arranca se origina un gasto que se puede expresar de la


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Cada vez que una central se arranca se origina un gasto que se puede expresar de la

siguiente forma:

donde Cj es el costo de arranque de la central je yjkes una variable binaria que

toma el valor de 1 si la central se arranca al comienzo del eriodo k 0 en otro

j jkC y

caso.

El costo de parada puede expresarse de forma anloga al costo de arranque:

donde Ejes el costo de parada de la centraljy zjkes una variable binaria que toma

el valor de 1 si la centraljse para al comienzo del periodo k, y 0 en otro caso.

j jk

El costo de funcionamiento esta constituido por un costo fijo y un costo variable.

El costo fijo se puede expresar como:

dondeAjes el costo fijo de la centraljy vjkes una variable binaria que toma el valor

de 1 si la central esta en funcionamiento durante el eriodo k, 0 en otro caso.

jkv

El costo variable puede considerarse proporcional a la produccin en la central:


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El costo variable puede considerarse proporcional a la produccin en la central:

B

donde Bj es el costo variable de la central j y pjk la produccin de la central j

durante el periodo k.

Las centrales trmicas no pueden funcionar por debajo de una produccin mnimani por encima de una produccin mxima. Esta restriccin se puede escribir como:

donde son respectivamente las producciones mnima y mxima de la

j jk jk j jkv p P v

y Pcentralj.

,

incrementar su produccin por encima de un mximo, denominado rampa mximade subida de carga. Esta restriccin se puede expresar como:

donde Sjes la rampa mxima de subida de carga de la centralj.

1k jk jp p+

Para el primer periodo del horizonte de planificacin las restricciones previas


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p p p p

tienen la siguiente forma:

donde es la produccin de la central j en el periodo previo al comienzo del

horizonte de lanificacin.

1 j jp P S 0

j

Anlogamente, ninguna central puede bajar su produccin por encima de un

mximo, que se denomina rampa mxima de bajada de carga:

Donde Tjes la rampa mxima de bajada de la centralj.

Para el primer periodo del horizonte de planificacin la restriccin anterior toma

1jk jk j+

la forma:

Cualquier central que esta funcionando puede pararse pero no arrancarse y

0

1j j jp p T

cualquier central parada puede arrancarse pero no pararse. Esto se expresa de lasiguiente manera:

1k k k k y z v v =

Para el primer periodo la restriccin anterior se convierte en:


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p p0z v V =

donde es una variable binaria que toma el valor de 1 si la central jesta en

funcionamiento en el periodo anterior al primero del horizonte de planificacin, y

0 en otro caso.

0V

La demanda debe suministrarse en cada periodo, por lo tanto:

J

p D=

dondeJes el nmero de centrales y Dkla demanda en el periodo k.

1j=

Por razones de seguridad, la potencia total disponible en centrales en

funcionamiento debe ser mayor que la demanda en una determinada cantidad de

reserva, es decir:

1

J

j jk k kj

v D R=

+

on e kes a can a requer a e reserva por enc ma e a eman a en e

periodo k.

1. Datos


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K:nmero de eriodos de tiem o ue tiene el horizonte tem oral

Cj : costo de arranque de la centralj.

Ej: costo de parada de la centralj.

j: costo o e a centra j.

Bj: costo variable de la centralj.produccin mnima de la centralj.:

produccin mxima de la centralj.

Sj: rampa mxima de subida de carga de la centralj.

:j

0

de planificacin.

Tj: rampa mxima de bajada de carga de la centralj.

j

constante binaria que toma el valor de 1 si la centralj esta funcionando en el

periodo previo al comienzo del horizonte de planificacin, y 0 en otro caso.

J:nmero de centrales de produccin.

:jV

Dk:demanda en el periodo k.

Rk: reserva requerida en el periodo k.

2. Variables


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:variable binaria ue toma el valor 1, si la central se arranca al comienzo del

periodo k, y 0 en otro caso.

zjk : variable binaria que toma el valor 1, si la central j se para al comienzo del

eriodo k 0 en otro caso.

vjk: variable binaria que toma el valor 1, si la central j esta en funcionamiento

durante el periodo k, y 0 en otro caso.

k .

3. RestriccionesCualquier central debe funcionar por encima de su produccin mnima y por

debajo de su produccin mxima, por lo tanto:

Las restricciones de rampa de subida deben satisfacerse:

; ,j jk jk j jkv p v

donde .1 ; , 0,..., 1jk jk jp p S j k K+ =

0

0 jp P=

Las restricciones de rampa de bajada son:


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La lgica de cambio de estado (de arranque a parada y viceversa) ha de preservarse,

1 ; , 0,..., 1jk jk jp p T j K+ =

donde .

1; , 1,...,jk jk jk jky z v v j k K = =

0

0 ;j jv V j=

La demanda ha de satisfacerse en cada periodo, por lo tanto:

1

;J

jk kj

p D k=

=

Finalmente y por razones de seguridad, la reserva ha de mantenerse en todos los

periodos:

;J

k k kv D R k + 1j=


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Ejemplo El Problema de Programacin de Centrales Termo-


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Elctricas

Se considera un horizonte de planificacin de 3 horas. Las demandas en esas horasson respectivamente 150, 500 y 400. Las reservas son respectivamente 15, 50 y40. Se consideran 3 centrales de produccin de energa elctrica. Los datos de las

centrales se muestran en la siguiente tabla:


Se considera que todas las centrales estn paradas en el periodo previo al primero

del horizonte de planificacin.

La produccin ptima de cada central se muestra en la siguiente tabla:


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El costo mnimo de produccin es 191. La central 1 se arranca al comienzo de la

hora 1 ermanece aco lada durante 3 horas. La central 2 se arranca al comienzode la hora 2 y permanece acoplada durante las horas 2 y 3. La central 3 se arranca

al comienzo de la hora 2 y se para al comienzo de la hora 3.


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Programacin No-Lineal


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Problema del Paquete Postalroblema del Paquete PostalUn paquete postal es una caja de dimensiones x,y, y z(como la figura), que debe

La altura mas el permetro de la base no puede exceder 108 cm

Pues no son posibles las longitudes negativas.

2 2 108; , , 0z x y x y z+ +

Se buscan las tres dimensiones que maximizan el volumen

( , , )V x y z xyz =


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Como el ancho xdebe ser mayor que 0.5 y, de acuerdo con la teora de resistencia

de materiales la deformacin en el extremo libre viene dada por:


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de materiales, la deformacin en el extremo libre viene dada por:

3 / 3FL EI

,

3 /12I xy=

es el correspondiente momento de inercia de la seccin rectangular, se tiene que

minimizar W(x,y)bajo las restricciones:

3

0.5

SExy

x

, 0x y


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Bibliografaibliografa

Ciencia, Enrique Castillo, Antonio J. Conejo, Pablo Pedregal, Ricardo Garca, Natalia

Alguacil, 2002.

casos de estudio de programación lineal

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