caso de estudio de un modelo de control predictivo para
TRANSCRIPT
Caso de estudio de un modelo de control predictivo para una
unidad de separación flash utilizando ecuaciones no lineales
basadas en principios fundamentales
Ruben Dario Bohorquez C*
*Departamento de Ingeniería Química, Universidad de los Andes, Bogotá, Colombia
Resumen
El control por modelo predictivo es usado ampliamente en varios sistemas industriales como
una alternativa a controladores tradicionales. El sistema MPC usa modelos lineales
simplificados los cuales garantizan la convergencia, pero no son una representación acertada
del comportamiento no lineal propio de procesos complejos, como procesos de separación.
Este estudio implementa un modelo dinámico no lineal basado en principios fundamentales
para describir adecuadamente el comportamiento de un separador flash. El modelo es un
sistema de ecuaciones algebro diferenciales (DAE) con índice 2. Se emplea una técnica de
reducción para obtener un sistema de ecuaciones de índice 1. El problema se discretiza
utilizando colocación ortogonal. Se obtienen resultados que muestran un comportamiento de
impulso y con errores en la integración asociados a condiciones no iniciales no consistentes
y errores en el cálculo de derivadas analíticas complejas.
I. Introducción:
El control predictivo por modelo (Model predictive control, MPC) es un método de control
cada vez más utilizado dado que permite emplear restricciones propias de la naturaleza del
sistema, así como la formulación de diferentes tipos de modelos de predicción. sean de
naturaleza no lineal, lineal o multivariable [1]. Desafortunadamente requieren poder de
computo mayor en comparación con otro tipo de controladores como controladores PID
(control proporcional, integral y derivativo), adicionalmente requieren de algoritmos de
optimización por lo que es necesario el uso de computadores para solucionar los problemas
de control óptimo [1].
Este es un método en lazo cerrado en el cual se resuelve un problema de control óptimo en
cada instante de tiempo. Se predice el comportamiento del sistema para N pasos de tiempo
en el futuro. El intervalo de tiempo futuro que se considera en cada paso se conoce como
horizonte de predicción, en el cual se realiza la predicción de estado de las variables de
interés. La predicción se lleva a cabo utilizando información recibida del sistema. Los valores
obtenidos se utilizan en una función objetivo, la cual se minimiza para obtener el perfil de
las variables manipulables. Por otro lado, existe un horizonte de control, el cual se define
como el intervalo de tiempo futuro en el cual se encuentra el valor de las variables
manipulables. Generalmente el horizonte de control es menor al horizonte de predicción [1].
Como modelo de predicción se han empleado diversidad de modelos lineales simplificados
que garantizan un óptimo global, sin embargo, no son una representación precisa del sistema,
especialmente en casos de perturbaciones drásticas. En contraste un modelo no lineal permite
representar el sistema de una manera más precisa, permitiendo incluir restricciones
operacionales y propias de la naturaleza del sistema [2]. Adicionalmente dado que se utiliza
un horizonte de predicción en cada instante de tiempo, un modelo no lineal permite retirar y
sobrellevar las perturbaciones [3]. Sin embargo, los modelos no lineales representan un
esfuerzo computacional mayor y no se garantiza un mínimo global en todos los casos. Debido
a las ventajas que presentan los modelos no lineales, se están empleado en la estrategia de
control predictivo por modelo (Nonlinear model predictive control, NMPC). Diversos
autores han realizado comparaciones entre modelos lineales y no lineales. Gruber y Bordon
concluyen que un modelo no lineal es más adecuado para un sistema que presenta fuertes
alteraciones o cambios bruscos en el comportamiento. El trabajo que realizaron se
implementó en un tanque CSTR (continuous stirred tank reactor) [4].
El uso de NMPC ha aumentado en los últimos 25 años en diversidad de industrias como son
la refinería, gas natural, polímeros, productos químicos, entre otros. Dada la descripción
acertada que puede producir un modelo no lineal, se han empleado para el control de diversos
equipos de procesos, como reactores y equipos de separación [3]. Por ejemplo, la
implementación de una estrategia NMPC para el control de temperatura de un reactor piloto
[5].
Como se mencionó anteriormente, una de las principales ventajas de utilizar un modelo no
lineal es la representación más precisa del comportamiento del sistema. Con el fin de obtener
un modelo predictivo robusto y eficaz, se emplean principios fundamentales. De esta manera
el modelo predice el comportamiento de las variables, siguiendo leyes de conservación de
masa, conservación de energía y principios termodinámicos [6]. En el caso de un separador
flash, un modelo basado en principios fundamentales resulta en un sistema de ecuaciones
diferenciales algebraicas (Differential-Algebraic equations, DAE). Este tipo modelo no
puede ser solucionado con un algoritmo para solucionar ecuaciones diferenciales ordinarias
(ODE).
Los sistemas de ecuaciones DAE tiene un índice diferencial. Este se define como la cantidad
de veces que debe derivarse el sistema para obtener el sistema ODE correspondiente.
También se define como la cantidad mínima de veces que debe derivarse el conjunto de
ecuaciones algebraicas para obtener expresiones diferenciales para las variables algebraicas
[7]. El índice es una medida indirecta de la dificultad del sistema DAE [8].
Dado que el índice es una medida de la dificultad del problema, es deseable que el índice del
sistema DAE sea lo más pequeño posible. Por consiguiente, es necesario reducir el índice al
modelo [8]. Dentro de las técnicas de reducción de índice se encuentra la diferenciación
directa. No obstante, al reducir el índice con la diferenciación, la solución numérica del
modelo resultante no necesariamente tiene que cumplir las restricciones iniciales, lo cual
representa un problema, ya que las restricciones del modelo están basadas en balances de
masa y de energía que deben cumplirse necesariamente [9].
El siguiente método a considerar es el método de diferenciación y sustitución. Con el fin de
reducir el índice, se derivan las ecuaciones algebraicas contra el tiempo. Posteriormente se
reemplaza la ecuación derivada en una ecuación diferencial para obtener una ecuación
algebraica. Este sistema de reducción genera una o varias variables diferenciales “dummy”
[10]. Este es el método de reducción de índice escogido para el sistema estudiado.
Es de notar que un sistema DAE de índice 1 contiene un subgrupo de ecuaciones algebraicas
no singular, de modo que se pueden utilizar condiciones arbitrarias para las variables
diferenciales y se puede resolver el conjunto de ecuaciones algebraicas para obtener
condiciones iniciales consistentes [8].
Varios autores han empleado sistemas DAE para modelar el comportamiento dinámico de
equipos de separación como torres y flash, lo cual se puede constatar en la
Tabla 1.
Tabla 1: Estado del arte
Año Autor Problema Referencia
2017 Meidenashi, V
et al
Una formulación MPC es implementada en
un proceso semicontinuo de destilación.
Función objetivo económica
[11]
2018 Lester Lik Uso de un modelo DAE que describe el
comportamiento de una torre de destilación.
Función objetivo económica, empleada en el
start-up del equipo.
[12]
2008 Lima,
Eduardo et al
Simulación de las dinámicas del flash
utilizando propiedades físicas rigurosas. El
modelo resultante es un DAE que describe
balances de masa y energía
[13]
2005 Rueda, A Uso de un modelo DAE para describir el
comportamiento de una torre de destilación
de alta pureza. Linealización iterativa en
comparación con modelo predictivo no
lineal.
[14]
2012 Wilhelmsen,
O
Método para resolución de sistemas DAE
para ecuaciones termodinámicas,
específicamente para sistemas flash
[15]
2010 Zhongzhou
Chen
Implementación de una estrategia NMPC,
producto de un modelo de índice reducido, el
cual consta de balances de masa y energía.
[16]
2002
Nagy, Z et al Implementación de una estrategia NMPC,
para una torre de destilación binaria de gran
escala, utilizando un modelo DAE de índice
1.
[17]
2014 Santamaria, F
et al
Implementación de una estrategia NMPC a
un separador flash, utilizando un modelo
DAE de índice 2, un modelo de índice
reducido y un modelo hibrido.
[18]
En este estudio se busca utilizar un sistema DAE de índice reducido como modelo de
predicción para un NMPC. El modelo de predicción es el modelo dinámico de un flash de
separación. El modelo utilizado es de índice 2. Con el fin de obtener una representación de
índice 1, se reduce el índice del DAE con la técnica de sustitución y diferenciación. El caso
a estudiar es la separación de una mezcla de etanol, agua y glicerol, utilizando el sistema
DAE de índice 1 como modelo de predicción.
El artículo se estructura de la siguiente manera:
- Sección 2: Muestra el modelo de índice 2 de un flash.
- Sección 3: Técnica de reducción de índice.
- Sección 4: Discretización de las variables diferenciales.
- Sección 5: Formulación del problema de optimización.
- Sección 6: Caso de estudio.
- Sección 7: Resultados y discusión.
- Sección 8: Conclusiones y trabajo futuro.
II. Modelo dinámico del flash:
La optimización requiere de un modelo que prediga el comportamiento del flash. Con este
fin se utiliza un modelo de ecuaciones diferenciales y algebraicas (DAE), siendo estas [18]:
- El cambio de la acumulación en el tiempo (Ecuación diferencial) 𝑑𝑀𝐿𝑑𝑡
= 𝐹 − 𝐿 − 𝑉 𝑒𝑐. 1
- La fracción molar de los componentes en el flujo de líquido (Ecuación diferencial) 𝑑𝑥𝑖𝑑𝑡=𝐹(𝑧𝑖 − 𝑥𝑖) − 𝑉(𝑦𝑖 − 𝑥𝑖)
𝑀𝐿 𝑒𝑐. 2
- El cambio de la multiplicación de la acumulación con la entalpia (Ecuación
diferencial) 𝑑(𝑀𝐿𝐻𝐿)
𝑑𝑡= 𝐹𝐻𝐹 − 𝐿𝐻𝐿 − 𝑉𝐻𝑉 + 𝑄 𝑒𝑐. 3
- La fracción molar de los componentes en el flujo de vapor (Ecuación algebraica)
𝑦𝑖 =𝑃𝑖𝑠𝑎𝑡𝛾𝑖𝑃
𝑥𝑖 𝑒𝑐. 4
- Sumatoria de componentes (Ecuación algebraica)
∑𝑥𝑖 − 𝑦𝑖
𝐶
𝑖
= 0 𝑒𝑐. 5
- Flujo de líquido (Ecuación algebraica)
𝐿 = 𝜌(𝑇, 𝑥𝑖) ∗ 𝐴 ∗ √2𝑔ℎ 𝑒𝑐. 6
III. Reducción de índice.
El modelo presentado en la sección es un modelo de índice 2 ya que una variable algebraica,
flujo de vapor, no está presente en las ecuaciones algebraicas (ec 4 – 6) [8]. Se emplea el
método de diferenciación y sustitución.
Primero se reemplaza la ecuación 1 en la ecuación 3, cuya derivada se expande.
𝑑(𝐻𝐿)
𝑑𝑡=𝐹𝐻𝐹 − 𝐿𝐻𝐿 − 𝑉𝐻𝑉 + 𝑄
𝑀𝐿 𝑒𝑐. 7
Suponiendo que la entalpia de flujo de líquido es una suma de las entalpias de los
componentes. De esta manera la derivada de la entalpia del flujo de líquido es igual a la suma
de las derivadas de la entalpia de líquido de cada componente por la fracción molar en el
líquido. Ya que la entalpia no depende del tiempo, se encuentra la derivada en función de la
temperatura aplicando la regla de la cadena
𝑑𝐻𝐿𝑑𝑡
=𝑑𝑇
𝑑𝑡(∑
𝑑𝐻𝐿,𝑖𝑑𝑇
𝑥𝑖
𝐶
𝑖=1
) +∑𝑑𝑥𝑖𝑑𝑇
𝐶
𝑖=1
𝐻𝐿,𝑖 𝑒𝑐. 8
Para determinar la entalpia de líquido se encuentra la entalpia de vaporización además de la
entalpia de vapor para cada componente. Estas son expresiones algebraicas.
𝐻𝐿,𝑖 = 𝐻𝑉,𝑖 − 𝐻𝑉𝑎𝑝,𝑖 𝑒𝑐. 9
𝑑𝐻𝐿,𝑖𝑑𝑇
=𝑑𝐻𝑉,𝑖𝑑𝑇
−𝑑𝐻𝑉𝑎𝑝,𝑖
𝑑𝑇 𝑒𝑐. 10
Para encontrar la entalpia de vapor se emplea la siguiente ecuación: [19]
𝑑𝐻𝑉,𝑖 = 𝐶𝑝𝑖𝑑𝑇 𝑒𝑐. 11
𝐻𝑉,𝑖 = ∫ 𝐶𝑝𝑑𝑇𝑇
𝑇𝑟𝑒𝑓
+ Δ𝐻298𝑓 𝑒𝑐. 12
𝐶𝑝(𝑇) = 𝐴 + 𝐵𝑇 + 𝐶𝑇2 + 𝐷𝑇3 + 𝐸𝑇4 𝑒𝑐. 13
∫ 𝐶𝑝𝑑𝑇𝑇
𝑇𝑟𝑒𝑓
= 𝐴(𝑇 − 𝑇𝑟𝑒𝑓) +𝐵
2(𝑇2 − 𝑇𝑟𝑒𝑓
2 ) +𝐶
3(𝑇3 − 𝑇𝑟𝑒𝑓
3 ) +𝐷
4(𝑇4 − 𝑇𝑟𝑒𝑓
4 )
+𝐸
5(𝑇5 − 𝑇𝑟𝑒𝑓
5 ) 𝑒𝑐. 14
Por otra parte, la entalpia de vaporización se calcula a partir de la siguiente correlación:
𝐻𝑣𝑎𝑝,𝑖 = 𝐴 (1 −𝑇
𝑇𝑐)𝑛
𝑒𝑐. 15
𝑑𝐻𝑉𝑎𝑝,𝑖
𝑑𝑇= 𝐴(𝑛 − 1) (1 −
𝑇
𝑇𝑐) (−
1
𝑇𝑐) 𝑒𝑐. 16
Adicionalmente, se encuentra la derivada de la temperatura con respecto al tiempo, necesaria
en la derivada de la entalpia de líquido. El proceso matemático para encontrar esta expresión
analítica se muestra en el anexo 1.
𝑑𝑇
𝑑𝑡=
−1𝑃∑ [ 𝑥𝑖𝑃𝑖
𝑠𝑎𝑡 ∑𝑑𝛾𝑖𝑑𝑥𝑗
𝑑𝑥𝑗𝑑𝑡
𝐶𝑗 ] −𝐶
𝑖 ∑ (𝐾𝑖𝑑𝑥𝑖𝑑𝑡)𝐶
𝑖
1𝑃 (∑ 𝑥𝑖𝑃𝑖
𝑠𝑎𝑡 𝑑𝛾𝑖𝑑𝑇
𝐶𝑖 + ∑ 𝑥𝑖𝛾𝑖
𝑑𝑃𝑖𝑠𝑎𝑡
𝑑𝑇𝐶𝑖 )
𝑒𝑐. 17
Es necesario encontrar expresiones para la presión de vapor y el coeficiente de actividad. La
presión se halla con la expresión de Antoine, mientras que el coeficiente de actividad es
resultado del modelo NRTL. Este a su vez depende de dos parámetros adicionales, G y Tao,
propios del método, los cuales dependen de la temperatura. Las derivadas y expresiones para
el coeficiente de actividad y la presión de vapor se encuentran en los anexos 4, 3 y 2,
respectivamente. Las expresiones para Tao, G y el coeficiente de actividad se encuentran
también en el anexo 3, específicamente en las ecuaciones A3_1, A3_3 y A3_5
respectivamente
Adicionalmente las ecuaciones para el flujo de líquido, densidad y presión de vapor se
encuentran en el anexo 5.
IV. Discretización
Se utiliza el método de colocación ortogonal para llevar a cabo la discretización del modelo.
El método funciona aproximando un polinomio a la función que quiere ser discretizada. Con
la finalidad de obtener el polinomio se emplea la ecuación 18, en la cual los valores 𝑡 corresponden a los puntos de colocación.
Se utiliza el método de colocación ortogonal en elementos finitos, con una distancia fija para
cada caso estudiado. Se emplea el método usando los puntos de colocación de Radau,
específicamente 3. Dado que se tienen 3 puntos de colocación por cada elemento finito, cada
elemento estará divido en 4 puntos dado que el primer punto de colocación es el 0.
Estos corresponden a las raíces de los polinomios de Radau, en el intervalo de 0 a 1. Usando
estos valores se encuentra la matriz A, propia del método, la cual se muestra en la ecuación
18
𝐴 = [
1 2𝑡1 3𝑡12
1 2𝑡2 3𝑡22
1 2𝑡3 3𝑡32
] [
𝑡1 𝑡12 𝑡1
3
𝑡2 𝑡22 𝑡2
3
𝑡3 𝑡32 𝑡3
3
]
−1
𝑒𝑐. 18
Donde 𝑡 corresponde a los puntos de colocación obtenidos. A partir de esta matriz se obtienen
los valores de la variable discretizada siguiendo la relación mostrada en la ecuación 19
𝐴𝑌 = 𝐹 𝑒𝑐. 19
Donde Y es un vector columna con las variables discretizadas, mientras que F es un vector
columna con las expresiones de las variables. El método se emplea en las ecuaciones 1 y 2,
mostradas en la sección 2.
V. Formulación del problema de optimización.
Parámetros:
Los parámetros del sistema hacen referencia a todas las constantes necesarias para encontrar
propiedades de los compuestos:
- Factores de la densidad, los cuales se muestran en la Tabla A- 8 y Tabla A- 9
- Factores de la ecuación de presión de vapor, los cuales se muestran en la Tabla A- 1
- Factores del modelo NRTL, los cuales se muestran en la Tabla A- 2, Tabla A- 3 y
Tabla A- 4.
- Factores para Cp, los cuales se muestran en la Tabla A- 5.
- Factores para la entalpia de vaporización, los cuales se muestran en la Tabla A- 6
Adicionalmente se toman como parámetros, valores propios del sistema, como son el
diámetro y altura del tanque, el diámetro de la tubería, la temperatura y composición de la
alimentación, entre otros. Estas condiciones de operación y del sistema se muestran en la
Tabla 2.
Todas las variables están definidas en los elementos finitos, así como en los puntos de
colocación. Adicionalmente las variables de composición están definidas en los tres
componentes del sistema.
Aparecen en el sistema variables adicionales propias del número de ecuaciones, las cuales
dependen de las variables de decisión, tal como Tao o G para el modelo NRTL.
Restricciones
Las restricciones del problema son todas las ecuaciones descritas anteriormente (Ecuaciones
1-17), que hacen parte del modelo. Adicionalmente se definen ecuaciones para la entalpia de
alimentación. Con esta finalidad se encuentra la fracción de vaporización, así como las
fracciones iniciales de la fase de líquido y vapor del flujo de alimentación. El procedimiento
se realiza utilizando las ecuaciones de Rachford-Rice.
Además, se definen restricciones para las variables discretizadas, dado que estas solo se
encuentran definidas para los puntos de colocación 2 a 4. La restricción establecida indica
que el ultimo valor de cada elemento finito es igual al primer elemento del siguiente elemento
finito.
También se adiciona una restricción para el comportamiento de calor, en el cual se establece
que más allá del horizonte de control el valor del calor debe mantenerse constante, dado que
el valor de cada elemento finito debe ser igual al siguiente.
Variables
Después de establecer el modelo se establecen variables de decisión:
- 𝑀𝐿: El cambio de la acumulación en el tiempo (Ecuación diferencial)
- 𝑥: La fracción molar de los componentes en el flujo de líquido (Ecuación diferencial)
- 𝑦: La fracción molar de los componentes en el flujo de vapor (Ecuación algebraica)
- 𝑇: Temperatura del sistema
- ℎ: Altura del líquido del sistema.
- 𝐿: Flujo de liquido
- 𝑉: Flujo de vapor
- 𝑄: Carga térmica.
Adicionalmente se definen más variables necesarias para el modelo, como son la presión de
vapor, la densidad, las expresiones analíticas para las derivadas del coeficiente de actividad
contra la composición y la temperatura, la derivada de la presión de vapor contra la
temperatura, las derivadas de la entalpia de vapor y del líquido contra el tiempo y la derivada
de la temperatura contra el tiempo.
Función objetivo:
Los problemas de control óptimo tienen como función objetivo expresiones como la
mostrada en las ecuaciones 20-24
𝐽(𝑥, 𝑢) = 𝑀 (𝑦(𝑡𝑓), 𝑥(𝑡𝑓)) + ∫ 𝐾(𝑦(𝑡), 𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡))𝑑𝑡, 𝑒𝑐. 20𝑡𝑓
𝑡0
𝑠. 𝑡 𝑑𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝑓(𝑦(𝑡), 𝑥(𝑡)), 𝑢(𝑡)) 𝑒𝑐. 21
ℎ(𝑦(𝑡), 𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡)) = 0 𝑒𝑐. 22
𝑔(𝑦(𝑡), 𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡)) ≤ 0 𝑒𝑐. 23
𝑦(𝑡0) = 𝑦0 𝑒𝑐. 24
donde 𝑥 representa las variables algebraicas, 𝑦 las variables diferenciales y 𝑢 las variables
de control. Las variables de control son las variables manipuladas. 𝑡0 representa el tiempo
inicial, mientras que 𝑡𝑓 representa el tiempo final. La función 𝑀, que depende de 𝑥 y 𝑦, es
un valor asociado al valor que toman las variables de estado, algebraicas y diferenciales, al
final del proceso. Por otro lado, la función 𝐾 representa la función a través del tiempo de
estudio para las variables de estado y de control. El problema está sujeto a las ecuaciones
diferenciales (ec 21), ecuaciones algebraicas (ec 22 y ec 23) y las condiciones iniciales (ec
24). El objetivo del problema de control es minimizar 𝐽 [20].
La función objetivo para este estudio es una función de minimización del error cuadrático de
dos variables manipulables con respecto al setpoint especifico de cada una. Se adiciona una
penalización por cambios drásticos en la variable de control. Se emplea de esta manera con
la finalidad de reducir los cambios de esta variable a través del horizonte de control. La
función se ve en la ecuación 25
min 𝐽 =∑𝛼𝑉(𝑉𝑁𝑒𝑓,𝑗 − 𝑉𝑠𝑝)
2+ 𝛼𝑦 (𝑦𝐸𝑡𝑎𝑛𝑜𝑙𝑁𝑒𝑓,𝑗 − 𝑦𝐸𝑡𝑎𝑛𝑜𝑙
𝑠𝑝 )2
𝐶
𝑖
+ β(QNef,j − QNef−1,j)2 𝑒𝑐 25
𝛼𝑉, 𝛼𝑦, 𝛽 son los pesos de la función. 𝑉𝑠𝑝, 𝑦𝐸𝑡𝑎𝑛𝑜𝑙𝑠𝑝 son los valores de set point para el flujo
de vapor y la composición de etanol respectivamente. Los valores de los pesos y set point se
muestran en la Tabla 2.
Estrategia de resolución:
El código para resolver el problema se implementó en el software GAMS. Se emplea el
algoritmo CONOPT, basado en gradiente reducido generalizado. Este es un algoritmo
utilizado para problemas de gran escala con un alto grado de no linealidad, donde alcanzar la
factibilidad es difícil. El problema se resuelve en un computador con proceso AMD A10-
7800 Radeon R7, 3.5 GHz y 8 Gb de RAM.
Se plantea un OCP con 30 elementos finitos en el horizonte, 15 elementos en el horizonte de
control y una longitud de 1 minutos en cada elemento finito. El modelo NMPC tiene un
tiempo de 100 minutos, con 100 elementos finitos, un paso de tiempo de 1 min.
VI. Caso de estudio
El caso estudiado es la separación de la mezcla etanol, glicerol y agua. La separación se lleva
a cabo en un separador flash, el cual opera con el flujo inicial y condiciones mostradas en la
Tabla 2.
El sistema busca llegar a un flujo de vapor constante de 200 mol/min y una concentración
molar de etanol en el flujo vapor de 0.75. EL set point de flujo de vapor es el flujo en estado
estable al fijar un setpoint de 0.75.
El sistema se probó en las siguientes condiciones:
- Flujo de alimentación constante
- Flujo de alimentación con una perturbación a 1200 mol/min. Elemento finito de
longitud 1 min, 50 elementos finitos
Tabla 2: Condiciones de operación
Diámetro del tanque (m) 1.6
Altura del tanque (m) 3.2
Nivel inicial de líquido (m) 1.6
Presión de operación (bar) 1
Temperatura alimentación (K) 357.56
Flujo molar alimentación (mol/min) 1000
Fracción molar alimentación (-)
Agua 37%
Etanol 37%
Glicerol 26%
Set point flujo de vapor (mol/min) 200
Set point composición etanol 75%
𝛼𝑉 0.01
𝛼𝑦 0.012
β 0.004
VII. Resultados y Discusión
- OCP Flujo constante
Primero se implementó el modelo para solucionar problema de control óptimo. El sistema se
probó en las condiciones mencionadas en la sección 6. El modelo utilizado fue el modelo
propuesto en las secciones 2, 3, 4 y 5. El resultado obtenido para las fracciones molares en el
vapor, el flujo de líquido, el flujo de vapor, la carga térmica y la temperatura se muestran en
la Figura 1 a Figura 7. El caso estudiado es el de un flujo simple constante. Se utilizan
condiciones iniciales para la variable de vapor, temperatura y composiciones molares en el
líquido y el vapor.
Figura 1: Acumulación de líquido para el OCP de flujo constante
Figura 2: Flujo de líquido para el OCP de flujo constante
Figura 3: Fracción molar de los componentes en el liquido Figura 4: Flujo de vapor par OCP de flujo constante
Como se puede ver en la Figura 4, el flujo de vapor se estabiliza a través del tiempo,
aproximándose al valor del set point, el cual es de 200 mol/min. De la misma manera sucede
con la carga térmica, la cual se estabiliza rápidamente cerca de los 15 minutos después de
haber comenzado a correr el sistema, lo cual se puede ver en la figura 6. Se puede notar que
conforme la carga térmica aumenta, el flujo de vapor aumenta.
En cuanto al flujo de líquido, se muestra un comportamiento creciente y luego decreciente,
sin embargo, no se acerca a las 800 mol/min. El valor se mantiene cerca a las 1000 mol/min,
valor del flujo de alimentación. Dado que el flujo de líquido no cambia considerablemente y
Figura 5: Fracción molar de los componentes en el vapor
Figura 6: Perfil de temperatura para el OCP de flujo constante Figura 7: Carga térmica para el OCP con flujo constante
el flujo de vapor aumenta conforme transcurre la prueba, las moles del flujo de vapor
obtenidas provienen de la acumulación. Por consiguiente, la acumulación de moles debe
mostrar un comportamiento decreciente, el cual se puede ver en la Figura 2.
Con respecto a las fracciones molares de líquido, se muestra un comportamiento suave, con
pocas perturbaciones, en el que cada uno de las fracciones se estabiliza a su valor final. Por
otro lado, las composiciones en el flujo de vapor se muestran bastante erráticas, alcanzando
valores de 1 en los puntos iniciales. Se encontró que este comportamiento solo se da en los
primeros puntos de cada elemento finito. Valores ajustados se muestran en la Figura 8 y
Figura 9, en las cuales se removió el valor del primer punto de cada elemento finito. Se puede
observar que el comportamiento se da de manera más suave en los dos casos, aproximándose
al valor de setpoint cerca de los 15 minutos.
Dentro de los primeros dos elementos finitos se ve un pico, en el cual las fracciones de etanol
y agua se toman un valor de 1 y 0, respectivamente. El mismo pico se encuentra en la
temperatura, donde el valor decrece considerablemente y luego se reestablece.
- OCP flujo en escalón
Posterior al desarrollo del OCP con flujo constante, se implementa el mismo OCP con un
flujo en escalón en el minuto 30. Para este caso, el problema es de 50 minutos. El valor del
flujo de alimentación es de 1000 mol/min, y sube a 1200 mol/min. Las condiciones iniciales
utilizadas en este sistema difieren del OCP anterior, debido a que con las mismas condiciones
iniciales no se logró la convergencia. El resultado obtenido para el flujo de líquido, vapor y
acumulación se muestra en la Figura 11 a Figura 12. Se puede observar del comportamiento
de la variable de acumulación, que el sistema deja constante el flujo de líquido, y el flujo de
vapor, aumentando la acumulación en el flash. Tanto el líquido como el vapor muestran un
comportamiento bastante errático. Así mismo sucede con las fracciones molares en el líquido
Figura 8: Fracción molar en el vapor. Valores ajustados sin el primer punto de colocación
Figura 9: Flujo de vapor ajustado sin el primer punto de colocación
y en el vapor, las cuales dejan de cumplir las restricciones, donde toman valores negativos o
superiores a 1.
Se muestran el restante de variables ajustadas, retirando el primer valor de cada elemento
finito en las Figura 14 a Figura 17
Figura 10: Acumulación de líquido para el OCP de flujo en escalón
Figura 11: Flujo de líquido para el OCP de flujo en escalón
Figura 12: Flujo de vapor en el OCP de flujo en escalón
.
Figura 13: Temperatura ajustada del OCP de flujo escalón
Figura 14: Flujo de líquido ajustado OCP flujo en escalón
Figura 15: Flujo de vapor ajustado OCP flujo en escalón
Figura 16: fracción molar en el líquido, valores ajustados Flujo en escalón
Figura 18: Carga térmica OCP flujo en escalón
Figura 17: fracción molar en el vapor, valores ajustados. OCP flujo en escalón
En la Figura 14 y Figura 16 se puede observar que el sistema opta por aumentar el flujo de
líquido, no generar flujo de vapor y utilizar una carga térmica bastante baja. Así mismo la
acumulación de líquido aumenta. Adicionalmente el sistema le asigna un el valor de setpoint
a las fracciones de vapor rápidamente. En cuanto a las fracciones molares en el líquido, se ve
una aproximación suave hacia el valor donde se estabiliza.
- NMPC
El NMPC fue implementado usando el OCP de flujo constante. El sistema utiliza las variables
obtenidas en cada iteracion como la inicialización en el problema siguiente, desplazando las
condiciones iniciales un elemento final menos, es decir, se desplaza la solución obtenida del
elemento finito N al elemento finito N-1. La solución obtenida se muestra en la Figura 20 a
Figura 23. El resultado obtenido muestra que el sistema no cambia después de la primera
solución. En las mismas gráficas es posible ver que las variables toman una forma ondulada,
propia del problema mencionado acerca del primer punto de colocación de la discretización.
Figura 19: Flujo de líquido para el NMPC Figura 20: Perfil de temperatura resultado del NMPC
Figura 22: Flujo de vapor resultado de NMPC Figura 21: fracción molar de los componentes en el flujo de vapor, resultado del NMPC
- Discusión
El modelo presentado en este trabajo no es viable, debido a que no sobrelleva las
perturbaciones del sistema de manera correcta. Como se puede notar en el caso de OCP con
flujo en escalón, el sistema no obtiene una representación correcta del sistema y se ve en la
necesidad de salir de las restricciones para obtener una solución factible. La solución
propuesta involucra un flujo de vapor nulo, una mínima incorporación de energía y un
aumento en la acumulación y el flujo de líquido. Adicionalmente la solución se aleja de la
condición requerida de un flujo de vapor de 200 mol/min con una fracción molar de etanol
de 0.75.
En comparación al sistema de flujo en escalón, el caso de flujo constante muestra una
solución factible y de acuerdo con lo requerido por el equipo. No obstante, para lograr esta
solución se requiere de condiciones iniciales demasiado específicas. Necesariamente el flujo
de alimentación debe ser de 1000 mol/min con una temperatura de 357.56 K, además de que
se deben cumplir las condiciones en el punto inicial, en las cuales no hay acumulación ni
incorporación de calor.
Considerando estas condiciones, el modelo propuesto no es viable como modelo de
predicción para un NMPC, dado que depende de condiciones demasiado específicas y no
logra sobrellevar las perturbaciones, la cual es la finalidad de un NMPC. La no viabilidad del
sistema se puede observar en los resultados obtenidos para el NMPC desarrollado, ya que no
se muestran cambios en las variables de interés. Se muestra el comportamiento ondulado en
cada una de las variables, propias del problema del primer de punto de colocación. En los
resultados del NMPC se demuestra que la solución se estabiliza en el primer punto, a pesar
de que el sistema es dinámico, no llega al valor necesario de 200 mol/min para el flujo de
vapor y 0,75 de fracción molar de etanol en el vapor. Esto demuestra que usar las variables
obtenidas en el punto anterior como punto de inicialización solo conduce a la misma solución,
sin embargo, de no aplicar esta inicialización la solución genera bastantes ecuaciones
infactibles, que se propagan a lo largo de cada paso de tiempo.
Figura 23: Carga térmica para, resultado del NMPC Figura 24: fracción molar en el líquido, resultado del NMPC
A pesar de los resultados obtenidos, el modelo utilizado se ha implementado con éxito, para
el mismo caso de un NMPC, donde las derivadas del coeficiente de actividad son calculadas
de manera numérica y no analítica [18]. Por tal razón, se presume que el error encontrado
depende de 2 aspectos claves, la inicialización del sistema y el uso de derivadas analíticas.
Como se muestra en la Figura 4 y Figura 5, el sistema presenta impulsos en el primer punto
de colocación para cada elemento finito, tanto para el caso de OCP en flujo en escalón como
en el caso del flujo constante. Adicionalmente en las Figura 7 y Figura 8 se muestran errores
de integración en los primeros elementos finitos para el caso de la temperatura y la
composición del vapor en el OCP de flujo constante. Errores como los mencionados
anteriormente, son propios de la integración de un sistema DAE de índice alto, es decir, de
índice mayor a 1 [21]. Siguiendo esta idea, el sistema obtenido es de índice alto a pesar de
que se empleó una técnica de reducción de índice para obtener un sistema de índice 1.
Tomando en cuenta que la reducción de índice se llevó a cabo con sustitución y derivación,
se generaron nuevas ecuaciones algebraicas, así como nuevas variables intermedias en el
proceso. Específicamente se generaron nuevas variables para las derivadas analíticas de la
entalpia de vapor, liquido, de temperatura, de presión de vaporización y de coeficiente de
actividad contra la composición y la temperatura. En cuanto a las derivadas del coeficiente
de actividad, estas se calcularon de manera analítica, por lo que se tiene una expresión
compleja para estas dos derivadas. Dado que las expresiones son largas, se emplearon nuevas
variables para definir “partes” específicas de cada ecuación, generando 7 nuevos términos al
sistema, junto con sus ecuaciones. A pesar de que estas variables no hacen parte de las
variables algebraicas, se asocia el cálculo y no inclusión de estas en las ecuaciones
algebraicas al comportamiento erróneo mostrado.
El segundo problema al que se asocian los resultados obtenidos son las condiciones iniciales
utilizadas. Las condiciones iniciales deben ser consistentes para la correcta solución de un
DAE. Condiciones iniciales consistentes son aquellas que cumplen con todas las restricciones
algebraicas y diferenciales, es decir, que cumplen todas las ecuaciones del sistema. Como se
mencionó anteriormente, la reducción del índice conlleva la generación de nuevas ecuaciones
algebraicas, generando un sistema aumentado. Debido a que las condiciones iniciales deben
ser consistentes para obtener una solución adecuada del sistema, las nuevas ecuaciones
también deben ser satisfechas [22]. En el caso en que la resolución sea iniciada con un grupo
de condiciones iniciales inconsistentes, la diferencia entre las condiciones iniciales
adecuadas y las condiciones arbitrarias utilizadas representan una continua contribución al
error del sistema, en cada paso de integración [23]. Las condiciones iniciales utilizadas en
este estudio no fueron consistentes. Se utilizó un perfil esperado, cercano a la solución
esperada como las condiciones iniciales. Específicamente, se emplearon condiciones
iniciales para la variable de vapor, temperatura y fracción molar tanto en el vapor como en
el líquido. La inicialización para la acumulación siempre fue de 60000 mol/min. Como se
puede notar, en las condiciones no se verifica la consistencia y no se inicializan todas las
variables. Este presenta un problema particular para la restricción que asocia el último punto
de colocación de cada elemento finito con el primer punto del elemento finito siguiente. Con
las condiciones propuestas esta restricción no se sigue, se asumió que el sistema podría partir
de este punto. Se asume que al no usar condiciones adecuadas en estos puntos el
comportamiento de impulso de las variables aumenta.
VIII. Conclusiones
Se presenta un modelo basado en principios fundamentales, el cual describe el
comportamiento dinámico de un separador flash. El modelo utiliza un DAE de índice
reducido. El resultado obtenido no es satisfactorio, dado que el sistema muestra
comportamiento en impulsos en el primer punto de colocación para cada elemento finito, así
como problemas de integración en los primeros elementos finitos. Se asocian los problemas
obtenidos a condiciones iniciales no consistentes, así como al uso de derivadas analíticas,
cuyas variables algebraicas adicionales cambian el comportamiento del DAE.
El uso de condiciones iniciales consistentes puede generar resultados mucho mejores, tal y
como se ha visto en la literatura. Para la obtención de estas condiciones, se pueden utilizar
diversidad de métodos [23], dentro de los cuales se destaca el trabajo de Vieira y Biscaia, en
el cual se implementa un método basado en pasos de Euler para obtener puntos de
inicialización adecuados.
Adicionalmente, se sugiere el uso de derivadas numéricas en casos donde la complejidad de
las ecuaciones puede llevar a errores en el desempeño del sistema. Derivadas halladas
numéricamente reducen el número de variables y mejoran el desempeño del sistema.
En cuanto al trabajo futuro, se debe buscar métodos adecuados para obtener condiciones
iniciales consistentes. Adicionalmente se pueden emplear métodos de forecasting para los
casos de perturbaciones, de modo que el sistema sea capaz de aprender de lo que está
sucediendo y prediga el comportamiento, ajustando la variable de control al valor necesario.
Nomenclatura:
𝐴 = 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑢𝑏𝑒𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 (𝑚2)
𝐹 = 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (𝑚𝑜𝑙
min)
𝐿 = 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 (𝑚𝑜𝑙
𝑚𝑖𝑛)
𝑉 = 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟 (𝑚𝑜𝑙
𝑚𝑖𝑛)
𝑀𝐿 = ℎ𝑜𝑙𝑑 𝑢𝑝 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 (𝑚𝑜𝑙)
𝑥𝑖 = 𝐹𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑚𝑜𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜
𝑦𝑖 = 𝐹𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑚𝑜𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟
𝑄 = 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑐𝑎
ℎ = 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜
𝑧𝑖 = 𝐹𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑚𝑜𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑎𝑙𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛
𝐻𝑉 = 𝐸𝑛𝑡𝑎𝑙𝑝𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟 (𝐽
𝑚𝑜𝑙)
𝐻𝐿 = 𝐸𝑛𝑡𝑎𝑙𝑝𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 (𝐽
𝑚𝑜𝑙)
𝐻𝐹 = 𝐸𝑛𝑡𝑎𝑙𝑝𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (𝐽
𝑚𝑜𝑙)
𝜌 = 𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 (𝐾𝑔
𝑚3)
𝑇 = 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 (𝐾)
𝑃 = 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 (𝐵𝑎𝑟)
𝑃𝑖𝑠𝑎𝑡 = 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖 (𝐵𝑎𝑟)
𝛾𝑖 = 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖
𝐻𝑉,𝑖 = 𝐸𝑛𝑡𝑎𝑙𝑝𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖 (𝐽
𝑚𝑜𝑙)
𝐻𝐿,𝑖 = 𝐸𝑛𝑡𝑎𝑙𝑝𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖 (𝐽
𝑚𝑜𝑙)
𝐻𝑉𝑎𝑝,𝑖 = 𝐸𝑛𝑡𝑎𝑙𝑝𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖 (𝐽
𝑚𝑜𝑙)
𝑇𝑐 = 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑎 (𝐾)
𝛼𝑣 = 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜
𝛼𝑦 = 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑡𝑎𝑛𝑜𝑙 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜
𝛽 = 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜
𝑉𝑠𝑝 = 𝑆𝑒𝑡 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟
𝑦𝐸𝑡𝑎𝑛𝑜𝑙𝑠𝑝
= 𝑆𝑒𝑡 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑡𝑎𝑛𝑜𝑙
Bibliografía
[1] D. Limon Marruedo, Control predictivo de sistemas no lineales con restricciones: estabilidad y
robustez, Sevilla, 2002.
[2] A. Johansen, «Introduction to Nonlinear Model Predictive Control and Moving Horizon
Estimation,» de Selected Topics on Constrained and Nonlinear Control, 2011, pp. 1-53.
[3] Z. Nagy y F. Allgower, «Nonlinear model predictive control: From chemical industry to
microelectronics.,» Decision and Control, 2004. CDC. 43rd IEEE Conference , vol. 4, pp. 4249-
4254, 2004.
[4] J. K. Gruber y C. Bordons, «Control predictivo no lineal basado en modelos de Volterra.
Aplicación a una planta piloto,» Revista Iberoamericana de Automática e Informática
Industrial RIAI, vol. 4, nº 3, pp. 34-45, 2007.
[5] R. B. K. M. Abdennour y F. M'sahli, «Nonlinear model-based predictive control using a
generalised Hammerstein model and its application to a semi-batch reactor,» The
International Journal of Advanced Manufacturing Technology, pp. 844-852, 2002.
[6] E. R. Lima, M. Castier y E. C. Biscaia, «Differential-algebraic approach to dynamic simulations
of flash drums with rigorous evaluation of physical properties,» Oil & Gas Science and
Technology-Revue de l'IFP, vol. 5, nº 63, pp. 677-686, 2008.
[7] A. Kumar y P. Daoutidis, Control of nonlinear differential algebraic equation systems, Boca
Raton: Chapman & Hall/CRC, 1999.
[8] «Modelling for dynamic simulation of chemical processes: the index problem,» Chemical
engineering science, vol. 47, nº 5, pp. 1311-1315, 1992.
[9] K. Brenan, S. Campbell y L. Petzold, Numerical Solution of Initial Value Problems in
Differential - Algebraic equations., New York: SIAM, 1996.
[10] S. E. S. G. Mattsson, «Index reduction in differential-algebraic equations using dummy
derivatives.,» SIAM Journal on Scientific Computing,, vol. 14, nº 3, pp. 677-692, 1993.
[11] V. C. B. A. I. T. A. &. M. P. Meidanshahi, «Subspace model identification and model predictive
control based cost analysis of a semicontinuous distillation proces,» Computers & Chemical
Engineering, vol. 103, pp. 39-57.
[12] L. L. T. &. C. J. Chan, «Economic model predictive control of distillation startup based on
probabilistic approach,» Chemical Engineering Science, vol. 186, pp. 26-35, 2018.
[13] E. R. C. M. &. B. E. C. Lima, «Differential-algebraic approach to dynamic simulations of flash
drums with rigorous evaluation of physical properties,» Oil & Gas Science and Technology-
Revue de l'IFP, vol. 63, nº 5, pp. 677-686, 2008.
[14] A. C. S. D. P. C. &. D. K. R. Rueda, «Non-linear predictive control for a distillation column,»
2005 and 2005 European Control Conference. CDC-ECC'05. 44th IEEE Conference, pp. 5156-
5161.
[15] Ø. S. G. H. M. W. P. E. &. M. J. C. Wilhelmsen, «Time efficient solution of phase equilibria in
dynamic and distributed systems with differential algebraic equation solvers,» Industrial &
Engineering Chemistry Research, vol. 52, nº 2, 2013.
[16] Z. H. M. A. B. P. &. M. L. Chen, «Nonlinear model predictive control of high purity distillation
columns for cryogenic air separation,» IEEE Transactions on Control Systems Technology, vol.
18, nº 4, pp. 811-821, 2010.
[17] Z. F. R. D. M. A. F. B. H. G. A. S. .. &. L. D. Nagy, «Real-time feasibility of nonlinear predictive
control for large scale processes-a case study,» In American Control Conference, vol. 6, pp.
4249-4253, 2000.
[18] F. Santamaria y J. Gomez, «Index hybrid differential–Algebraic equations model based on
fundamental principles for nonlinear model predictive control of a flash separation drum,»
Industrial & Engineering Chemistry Research, vol. 54, nº 7, pp. 2145-2155, 2015.
[19] J. M. Smith y H. C. A. H. M. Van Ness, Introduccion a la ingenieria quimica, McGrawHill, 2005.
[20] S. Campbell y P. Kunkel, «Solving higher index DAE optimal control problems,» Numerical
Algebra Control and Optimzation, vol. 6, nº 4, pp. 447-472, 2016.
[21] R. Pytlak y T. Zawadzki, «On solving optimal control problems with higher index differential-
algebraic equations,» Optimization methods and software, vol. 29, pp. 1139-1162, 2014.
[22] J. Cash, «Review Paper: Efficient numerical methods for the solution of stiff initial-value
problems and differential algebraic equations,» The royal society, vol. 10, nº 459, pp. 797-
817, 2003.
[23] V. R y B. Biscaia Jr, «Direct methods for consistent initialization of DAE systems,» Computers
and Chemical Engineering, vol. 29, pp. 1299-1311, 2001.
[24] B. E. Poling, J. M. Prausnitz y J. P. O'Connel, The properties of Gases and Liquids, New YOrk:
McGraw-HIll, 2001.
[25] G. Wibawa, A. Mustain, M. Akbarina y R. Ruslim, «Isothermal Vapor−Liquid Equilibrium of
Ethanol + Glycerol and 2-Propanol + Glycerol at Different Temperatures,» Journal of chemical
y engineering journal, vol. 3, nº 60, pp. 955-959, 2015.
[26] aspentech, «Aspen Physical Property System,» Burlington, 2013.
[27] A. K. Coker, Ludwing's Applied Process Design for CHemical and Petrochemical Plants,
ELSEVIER, 2010.
[28] DIPPR, Thermophysical Properties Database, 1998.
ANEXOS
1. Derivada analítica de la temperatura contra el tiempo:
Se parte de la ecuación 5 y de su derivada contra el tiempo
∑𝑑𝐾𝑖𝑑𝑡𝑥𝑖 +
𝑑𝑥𝑖𝑑𝑡𝐾𝑖
𝑖
= 0 𝐸𝑐 𝐴1_1
∑𝑑𝐾𝑖𝑑𝑡𝑥𝑖
𝑖
+∑𝑑𝑥𝑖𝑑𝑡𝐾𝑖
𝑖
= 0 𝐸𝑐 𝐴1_2
∑𝑑
𝑑𝑡(𝑃𝑖𝑠𝑎𝑡𝛾𝑖𝑃
) ∗ 𝑥𝑖𝑖
= −∑𝑑𝑥𝑖𝑑𝑡𝐾𝑖
𝑖
𝐸𝑐 𝐴1_3
1
𝑃∑(
𝑑𝑃𝑖𝑠𝑎𝑡
𝑑𝑡𝛾𝑖 +
𝑑𝛾𝑖𝑑𝑡𝑃𝑖𝑠𝑎𝑡) ∗ 𝑥𝑖
𝑖
= −∑𝑑𝑥𝑖𝑑𝑡𝐾𝑖
𝑖
𝐸𝑐 𝐴1_4
1
𝑃∑(
𝑑𝑃𝑖𝑠𝑎𝑡
𝑑𝑡𝛾𝑖 + (
𝑑𝛾𝑖𝑑𝑇
𝑑𝑇
𝑑𝑡+∑
𝑑𝛾𝑗
𝑑𝑥𝑗 𝑥𝑗
𝑑𝑇𝑗
)𝑃𝑖𝑠𝑎𝑡) ∗ 𝑥𝑖
𝑖
= −∑𝑑𝑥𝑖𝑑𝑡𝐾𝑖
𝑖
𝐸𝑐 𝐴1_5
1
𝑃∑(
𝑑𝑃𝑖𝑠𝑎𝑡
𝑑𝑇
𝑑𝑇
𝑑𝑡 𝛾𝑖𝑥𝑖)
𝑖
+1
𝑃∑(𝑃𝑖
𝑠𝑎𝑡𝑥𝑖∑(𝑑𝛾𝑗
𝑑𝑥𝑗 𝑥𝑗
𝑑𝑇)
𝑗
)
𝑖
+1
𝑃∑(
𝑑𝛾𝑖𝑑𝑇
𝑑𝑇
𝑑𝑡𝑃𝑖𝑠𝑎𝑡𝑥𝑖)
𝑖
= −∑𝑑𝑥𝑖𝑑𝑡𝐾𝑖
𝑖
𝐸𝑐 𝐴1_6
𝑑𝑇
𝑑𝑡
1
𝑃[∑(
𝑑𝑃𝑖𝑠𝑎𝑡
𝑑𝑇𝛾𝑖𝑥𝑖)
𝑖
+∑(𝑑𝛾𝑖𝑑𝑇𝑃𝑖𝑠𝑎𝑡𝑥𝑖)
𝑖
]
= −∑𝑑𝑥𝑖𝑑𝑡𝐾𝑖
𝑖
−1
𝑃∑(𝑃𝑖
𝑠𝑎𝑡𝑥𝑖∑(𝑑𝛾𝑗
𝑑𝑥𝑗 𝑥𝑗
𝑑𝑡)
𝑗
)
𝑖
𝐸𝑐 𝐴1_7
𝑑𝑇
𝑑𝑡=
−∑𝑑𝑥𝑖𝑑𝑡𝐾𝑖𝑖 −
1𝑃∑ (𝑃𝑖
𝑠𝑎𝑡𝑥𝑖 ∑ (𝑑𝛾𝑗𝑑𝑥𝑗
𝑥𝑗𝑑𝑡)𝑗 )𝑖
1𝑃 [∑ (
𝑑𝑃𝑖𝑠𝑎𝑡
𝑑𝑇𝛾𝑖𝑥𝑖)𝑖 + ∑ (
𝑑𝛾𝑖𝑑𝑇𝑃𝑖𝑠𝑎𝑡𝑥𝑖)𝑖 ]
𝐸𝑐 𝐴1_8
𝑑𝑇
𝑑𝑡=
1𝑃 [−
∑𝑑𝑥𝑖𝑑𝑡𝑃𝑖𝑠𝑎𝑡𝛾𝑖𝑖 − ∑ (𝑃𝑖
𝑠𝑎𝑡𝑥𝑖 ∑ (𝑑𝛾𝑗𝑑𝑥𝑗
𝑥𝑗𝑑𝑡)𝑗 )𝑖 ]
1𝑃 [∑ (
𝑑𝑃𝑖𝑠𝑎𝑡
𝑑𝑇𝛾𝑖𝑥𝑖)𝑖 + ∑ (
𝑑𝛾𝑖𝑑𝑇𝑃𝑖𝑠𝑎𝑡𝑥𝑖)𝑖 ]
𝐸𝑐 𝐴1_9
𝑑𝑇
𝑑𝑡=
−∑𝑑𝑥𝑖𝑑𝑡𝑃𝑖𝑠𝑎𝑡𝛾𝑖𝑖 − ∑ (𝑃𝑖
𝑠𝑎𝑡𝑥𝑖 ∑ (𝑑𝛾𝑗𝑑𝑥𝑗
𝑥𝑗𝑑𝑡)𝑗 )𝑖
∑ (𝑑𝑃𝑖
𝑠𝑎𝑡
𝑑𝑇𝛾𝑖𝑥𝑖)𝑖 + ∑ (
𝑑𝛾𝑖𝑑𝑇𝑃𝑖𝑠𝑎𝑡𝑥𝑖)𝑖
𝐸𝑐 𝐴1_10
2. Derivada y expresión de la presión de vapor contra la temperatura
𝑃𝑖𝑠𝑎𝑡 = 10𝐴+
𝐵𝑇+𝐶𝑙𝑜𝑔10𝑇+𝐷𝑇+𝐸𝑇
2
𝐸𝑐 𝐴2_1
𝑑𝑃𝑠𝑎𝑡𝑖𝑑𝑇
= 𝑃𝑖𝑠𝑎𝑡 ∗ ln(10) ∗ (−
𝐵
𝑇2+
𝐶
ln(10) T+ 𝐷 + 2𝐸𝑇) 𝐸𝑐 𝐴22
3. Derivada del coeficiente de actividad contra la temperatura
𝜏𝑖,𝑗 = 𝐴𝑖𝑗 +𝐵𝑖𝑗
𝑇 𝐸𝑐 𝐴3_1
𝑑𝜏𝑖,𝑗
𝑑𝑇= −
𝐵𝑖𝑗
𝑇2 𝐸𝑐 𝐴3_2
𝐺𝑖𝑗 = 𝑒(−Τ𝑖𝑗𝛼𝑖𝑗) 𝐸𝑐 𝐴3_3
𝑑𝐺𝑖𝑗
𝑑𝑇= 𝑒(−Τ𝑖𝑗𝛼𝑖𝑗) ∗
𝑑𝜏𝑖𝑗
𝑑𝑇 𝐸𝑐 𝐴3_4
𝛾𝑖 = exp(∑ 𝑥𝑖𝜏𝑗𝑖𝐺𝑗𝑖𝑗
∑ 𝑥𝑖𝐺𝑘𝑖𝑘+∑
𝑥𝑗𝐺𝑖𝑗∑ 𝑥𝑘𝐺𝑘𝑗𝑘
(𝜏𝑖𝑗 −∑ 𝑥𝑚𝜏𝑚𝑗𝐺𝑚𝑗𝑚
∑ 𝑥𝑘𝐺𝑘𝑗𝑘)
𝑗
) 𝐸𝑐 𝐴3_5
𝑑𝛾𝑖𝑑𝑇
=
(
∑ (𝑥𝑗 (
𝑑𝜏𝑗𝑖𝑑𝑇
𝐺𝑗𝑖 + 𝜏𝑗𝑖𝑑𝐺𝑗𝑖𝑑𝑇))∑ (𝑥𝑘𝐺𝑘𝑖)𝑘𝑗 − ∑ (𝑥𝑗𝜏𝑗𝑖𝐺𝑗𝑖)𝑗 ∑ (𝑥𝑘
𝑑𝐺𝑘𝑖𝑑𝑇
)𝑘
(∑ (𝑥𝑘𝐺𝑘𝑖)𝑘 )2
+∑
(
𝑥𝑗
𝑑𝐺𝑖𝑗𝑑𝑇
∑ (𝑥𝑘𝐺𝑘𝑖)𝑘 − 𝑥𝑗𝐺𝑖𝑗 ∑ (𝑥𝑘𝑑𝐺𝑘𝑖𝑑𝑇
)𝑘
(∑ (𝑥𝑘𝐺𝑘𝑖)𝑘 )2(𝜏𝑗𝑖 −
∑ (𝑥𝑚𝜏𝑚𝑗𝐺𝑚𝑗)𝑗
∑ (𝑥𝑗𝐺𝑘𝑗)𝑘
)
𝑗
+𝑥𝑗𝐺𝑖𝑗
∑ (𝑥𝑘𝐺𝑘𝑗)𝑘
(
−
∑ (𝑥𝑚 (𝑑𝜏𝑚𝑗𝑑𝑇
𝐺𝑚𝑗 + 𝜏𝑚𝑗𝑑𝐺𝑚𝑗𝑑𝑇
))∑ (𝑥𝑘𝐺𝑘𝑗)𝑘𝑗 − ∑ (𝑥𝑚𝜏𝑚𝑗𝐺𝑚𝑗)𝑚 ∑ (𝑥𝑘𝑑𝐺𝑘𝑗𝑑𝑇
)𝑘
(∑ (𝑥𝑘𝐺𝑘𝑗)𝑘 )2
)
)
)
4. Derivada del coeficiente de actividad contra la concentración
𝑑𝑦𝑖𝑑𝑥
= (∑ (𝜏𝑗𝑖𝐺𝑗𝑖𝑗 ) ∑ (𝑥𝑘𝐺𝑘𝑖)𝑘 − ∑ (𝑥𝑗𝜏𝑗𝑖𝐺𝑗𝑖𝑗 ) ∑ (𝐺𝑘𝑖)𝑘
(∑ (𝑥𝑘𝐺𝑘𝑖)𝑘 )2
+∑(𝐺𝑖𝑗 ∑ (𝑥𝑘𝐺𝑘𝑗)𝑘 − 𝑥𝑗𝐺𝑖𝑗 ∑ (𝐺𝑘𝑗)𝑘
(∑ (𝑥𝑘𝐺𝑘𝑗)𝑘 )2 (𝜏𝑗𝑖 −
∑ (𝑥𝑚𝜏𝑚𝑗𝐺𝑚𝑗)𝑗
∑ (𝑥𝑗𝐺𝑘𝑗)𝑘
)
𝑗
+𝑥𝑗𝐺𝑖𝑗
∑ (𝑥𝑘𝐺𝑘𝑗)𝑘
(−∑ (𝜏𝑚𝑗𝐺𝑚𝑗𝑚 ) ∑ (𝑥𝑘𝐺𝑘𝑗)𝑘 − ∑ (𝑥𝑚𝜏𝑚𝑗𝐺𝑚𝑗𝑗 ) ∑ (𝐺𝑘𝑗)𝑘
(∑ (𝑥𝑘𝐺𝑘𝑗)𝑘 )2 )))𝛾𝑖 𝐸𝑐 𝐴4_1
5. Flujo de líquido y densidad
Para el flujo de líquido es necesario encontrar una ecuación que determine la densidad en
función de la temperatura. El modelo escogido es el modelo DIPPR [28]. Se utiliza el peso
molecular para obtener la densidad molar.
𝜌(𝑇) =𝐴
𝐵(1−𝑇𝐶)𝐷 ∗ 𝑃𝑀 𝐸𝑐 𝐴5_1
Donde A, B, C y D son parámetros dependientes de cada especie. Para la densidad del glicerol
se utiliza un modelo de la densidad diferente [27].
𝜌(𝑇) = 𝐴 𝐵(1−
𝑇𝑇𝐶)𝑛∗ 𝑃𝑀 𝐸𝑐 𝐴5_2
A partir de la densidad es posible encontrar la altura del líquido en el tanque como.
Asumiendo que el tanque tiene una forma cilíndrica:
((𝑥𝑖𝜌𝑖) (𝐷𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
2)2
𝜋)𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 𝑀𝐿 𝐸𝑐 𝐴5_3
6. Constantes del modelo
Parámetros utilizados:
Tabla A- 1: Contantes para la presión de vapor
A B C Referencia
Agua 5.1156 1687.53 230.1 [24]
Etanol 5.3367 1648.22 230.19 [25]
Glicerol 10.619 4487.04 -140.2 [25]
Constantes del modelo NRTL [26]
- 𝐴𝑖𝑗
Tabla A- 2: Constantes Aij modelo NRTL
Agua Etanol Glicerol
Agua 0 3.4578 -1.2515
Etanol -0.8009 0 0
Glicerol -0.7318 0 0
- 𝐵𝑖𝑗
Tabla A- 3: Constante Bij del modelo NRTL
Agua Etanol Glicerol
Agua 0 -586.081 272.608
Etanol 246.18 0 442.713
Glicerol 170.917 36.139 0
- 𝛼𝑖𝑗
Tabla A- 4: Constante de no aleatoriedad del modelo NRTL
Agua Etanol Glicerol
Agua 0 0.3 0.3
Etanol 0.3 0 0.3
Glicerol 0.3 0.3 0
Constantes Cp
Tabla A- 5: Constantes de le ecuación CP
Constantes entalpia de vaporización
Tabla A- 6: Constantes de la entalpia de vaporización
A Tc [K] n Referencia
Agua 52.053 524 0.353 [27]
Etanol 43.122 516.25 0.079 [27]
Glicerol 104.153 723 0.301 [27]
Entalpia de formación
Tabla A- 7: Entalpia de formación
ΔHf [j/mol] Referencia
Agua 52.053 [19]
Etanol 43.122 [19]
Glicerol 104.153 [27]
Constantes modelo de densidad
Tabla A- 8: Contantes para hallar la densidad para el agua y etanol
A B C D Referencia
Agua 0.14395 0.112 649.727 0.05107 [28]
Etanol 99.3974 0.31079 513.18 0.305143 [28]
A B C D E Referencia
Agua 33.933 -8.41E-3 2.9906E-5 -1.782E-8 3.693E-12 [27]
Etanol 27.091 -1.15E-1 1.0957E-4 -1.504E-7 4.66E-11 [27]
Glicerol 9.656 4.826E-1 -2.679E-4 3.1794E-8 2.774E-11 [27]
Tabla A- 9: Constantes para el modelo de densidad, caso de glicerol
A Tc B n Referencia
Glicerol 0.3498 723 0.24902 0.1541 [27]