An�alisis Matem�ati o IVPr�a ti a 1Introdu i�on 1 de agosto, 2003.Mariano Suarez Alvarez Gabriela Argiro�o Alejandro C. Russo1. Sean las siguiente e ua iones:

f(0) = 0;

f(n) = n + f(n), si n > 0.(a) >Las e ua iones anteriores de�nen una fun i�on f? Justi�que su respuesta.2. Se puede probar por indu i�on que todos los aballos son del mismo olor. Parademostrarlo haremos indu i�on sobre la antidad de aballos en un determinado onjunto, a ontinua i�on se detalla omo pro eder:Caso base: Hay un solo aballo, enton es este es del mismo olor que elmismo.Caso inductivo: Los aballos numerados del 1 al n − 1, por hip�otesis in-du tiva, son del mismo olor. En forma similar dedu imos que los aballosnumerados del 2 al n son del mismo olor. >El olor asignado a los aballosnumerados del 1 al n − 1 es el mismo que el olor de los aballos numeradosdel 2 al n? Observemos que los aballos numerados del 2 al n − 1 poseen elmismo olor entre s ��, por lo tanto los dos onjuntos de aballos des riptosanteriormente son del mismo olor, en parti ular el aballo n �umero n.>Es orre to este razonamiento? Justi�que su respuesta.3. A ve es es posible usar indu i�on ha ia atr�as, es de ir, supongo que vale para n ydemuestro que vale para n − 1. A ontinua i�on mostraremos un ejemplo de esto.Sea P(n) la siguiente proposi i�on:P(n) : x1 . . . xn ≤ (

x1 + · · · + xn

n)n, si x1, . . . , xn ≥ 0.(a) Ha iendo xn = x1+...+xn

n−1, pruebe que P(n) ⇒ P(n − 1) uando n > 1.(b) Muestre que P(n) ∧ P(2) ⇒ P(2n).( ) >Se puede demostrar usando los resultados anteriores que vale P(n) para todo

n?4. Consideremos la su esi�on Qn de�nida por la siguiente re urren ia:Q0 = α;

Q1 = β;

Qn =1 + Qn−1

Qn−2

, para n > 1.1

asumiendo que Qn 6= 0 para n ≥ 0.(a) D�e una f�ormula errada para Qn.(b) Demuestre que su f�ormula satisfa e las e ua iones dadas.5. (a) Resuelva las siguientes e ua iones re urrentes:(i)f(1) = 0;

f(2n + j) = 3f(n) + n, para j ∈ {0, 1} y n > 1.(ii)f(1) = 0;

f(2n + j) = 3f(n) + (1 − j), para j ∈ {0, 1} y n > 1.(b) Use el m�etodo de repertorio para resolver la siguiente re urren iag(1) = α;

g(2n + j) = 3g(n) + γn + bj, para j = 0, 1 y n ≥ 0.(Ayuda: trate on la fun i�on g(n) = n y utili e los resultados del apartadoanterior)6. (a) Demuestre que el grafo orrespondiente a las on�gura iones posibles del juegode las torres de Hanoi on n dis os respeta el siguiente patr�on:Figura 1: Grafo de on�gura iones de las torres de Hanoi on n dis os.(b) Demuestre que la distan ia entre los v�erti es indi ados en el grafo anterior esde 2n − 1.( ) >Existen dos on�gura iones en el juegos de las torres de Hanoi tal que lam��nima antidad de movimientos ne esarios para llegar de una a otra seamayor que 2n − 1?7. En el juego de las Torres de Hanoi: 2

a) En uentre la se uen ia de movimientos m�as orta para transferir n dis osdel pin he A al pin he B, prohibiendo movimientos de dis os desde A a B.b) En uentre la se uen ia de movimientos m�as orta para transferir n dis osdel pin he A al pin he B, prohibiendo movimientos de dis os desde A a B yde B a A. ) Demuestre que las se uen ias de movimientos obtenidas en los items ante-riores re orren todas las on�gura iones posibles del juego.8. Sea H(n) = J(n + 1) − J(n), donde J es la solu i�on de las e ua iones obtenidas enproblema de Josephus.(a) Muestre queH(2n) = 2

H(2n + 1) = 2H(n) − 2, para n ≥ 1.(b) >Se puede demostrar que H(n) es 2 para todo n de manera indu tiva? Justi-�que su respuesta.( ) Complete la de�ni i�on de H(n) y resuelva la rela i�on re urrente obtenida.(d) >Para que valores de n se umple que H(n) es igual a 2?9. >Cu�al es el n�umero del ante�ultimo sobreviviente en el problema de Josephusplanteado en lase? Justi�que su respuesta.

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