Carrollia-91 diciembre 2006

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CAROLLIA Direccioacuten en la web wwwmensaescarrollia La revista CARROLLIA abreviada en [C] es el oacutergano trimestral de comunicacioacuten

del CARROLLSIG de Mensa Espantildea que se dedica a las Matemaacuteticas Recreativas la Linguumliacutestica la Literatura Experimental la Loacutegica la Ciencia y todo aquello que hubiera gustado a Lewis Carroll

Es coordinada dirigida editada y remitida por

Josep M Albaigegraves Francesc Castanyer Pedro Crespo wwwalbaigescom httppedrowebdyndnsorg

Permitida la reproduccioacuten de los escritos de este boletiacuten citando la procedencia Las opiniones

expresadas son las de sus autores Mensa como tal no opina

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Compuesto 7middot13 Es el decimotercer triangular el sexto hexagonal y el sexto holopotencial de segundo grado 91 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 Posee propiedades aritmeacuteticas similares a las del 37 por derivarse de manera similar de la relacioacuten 91 = 100111 Esto lo hace uacutetil en caacutelculo mental Asiacute 11middot91 = 1001 22middot91 = 2002 3391 = 3003 4491 = 4004

helliphelliphelliphellip Y en asociacioacuten con eacutel 37middot91 = 3367 33middot3367 = 111111 66middot3367 = 222222 etc

helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip Es el cabaliacutestico de AMN y de Adonai (ADNI) Una yarda vale 9144 m En loteriacuteas es

ldquoel borrachordquo Portada Recuerdo de nuestro desaparecido amigo el matemaacutetico y papiroflexoacutelogo

Alfredo Peacuterez Jimeacutenez (qepd) un Santa Claus de papel plegado sobre mi libro iquestSe atreve Vd con ellos de problemas matemaacuteticos Me mandoacute la foto que estaba preparada para este nuacutemero pocos diacuteas antes de su oacutebito

Iacutendice 91 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 3Correo ndash Cartas helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 4Los 90 antildeos de Francesc Castanyer helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 8Anuncio para escritoreshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 8La yuml helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 9Las cartas de tijera helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10Problema del Autoacutedromo de Sant Pere de Ribes helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11El tesoro oculto helliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12Problema de edades helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13Reparos a la teoriacutea FSM helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 14Matemaacuteticas de los poliacuteticos vascos helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 17Caperucitas blancas helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18Regae reggae (riacutea riacutea) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21iexclLas modelos no somos estuacutepidashelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 22Jacinto Benavente y la coma 22Tomo una y entrego dos helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23iquestDe doacutende sale el nuacutemero e helliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 24Cruzando el desierto en jeep helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26Pitaacutegora y su relacioacuten con los proyectiles helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29Problema de la divisioacuten de un triaacutengulo 30Re-citando las citas de laquoPelucheraquo 32

Enterrar y callar ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte punta seca lavis buril y bruntildeidor ndash 163 x 237 mm

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Es costumbre encabezar esta seccioacuten con bonitos sellos de correo de las cartas remitidas

por nuestros lectores Los de hoy tienen la singularidad de no ser de curso legal sino facsiacutemiles de emisiones durante la II Repuacuteblica Adornaron el sobre de una carta remitida por Rafael Leoacuten de Maacutelaga

Abrioacute el fuego este trimestre nuestro asiduo colaborador Joseacute Antonio de Echaguumle de

Madrid con estas palabras

Espero esteacuteis bien y hayaacuteis pasado unos diacuteas de venturosas y agradables vacaciones Por mi parte ya estoy reincorporado al trabajo y asumiendo el siacutendrome post vacacional de todos los antildeos

Hoy mismo he leido en Izaronews (una especie de agencia de noticias on line vasca) un artiacuteculo sobre matemaacuteticas y poliacutetica que te adjunto como modesta contribucioacuten al Congreso recientemente celebrado en Madrid y en el que seguacuten se dice una de las pocas cosas razonables fue la unaacutenime decisioacuten de no invitarme

En otro orden de cosas propongo que si no existe ya que la Academia de Ciencias (presuntamente) Inuacutetiles cuyo boletiacuten recibo con regularidad tome en consideracioacuten la creacioacuten de una Caacutetedra de Puntologiacutea nombre que provisionalmente y sometieacutendome al maacutes fundado criterio de los acadeacutemicos de nuacutemero propongo para el estudio de los puntos comas y demaacutes signos de puntuacioacuten como instrumento de confusioacuten alteracioacuten de textos y en su caso defraudacioacuten Para ilustrar la indudable utilidad valga la contradiccioacuten de tan antigua y prestigiosa ciencia (presuntamente) inuacutetil adjunto un texto del Premio Nobel y gran dramaturgo D Jacinto Benavente

Al recibir tu carta tambieacuten estaacutebamos de regreso aunque sufriendo ese septiembre

canicular los hombres del tiempo deciacutean que pronto cambiariacutean las temperaturas en lo que no anduvieron muy acertados con los termidores que hemos tenido hasta pleno noviembre Pero estas cosas vienen de antiguo De nintildeo leiacute ese chiste

mdashPepito todo lo haces mal iexclsiempre te equivocas iquestPero queacute vas a hacer de mayor mdashHareacute calendarios La versioacuten actual del Calendario del Ermitantildeo son los Time-men que con sus isobaras y

marejadillas nos animan la vida Queda constituida la Caacutetedra de Puntologiacutea y por la presente disposicioacuten se te nombra

catedraacutetico eximio Los ejemplos que citas han pasado al mundo de lo claacutesico yo no sabiacutea que hubieran sido recogidos por Benavente (quien sin duda los tomoacute de algo anterior el mundo es ciacuteclico como ese kalpa o rueda de reencarnaciones) Por cierto en [B-34] se publicoacute el artiacuteculo Ejercicios de puntuacioacuten donde se abundaba sobre el tema comparando frases del estilo ldquoEl callo molestoEacutel calloacute molestordquo

He aprendido con tu artiacuteculo maacutes sobre la poliacutetica vasca que en meses de estar leyendo Maragall resolveriacutea la ecuacioacuten diciendo Beacute no cal preocupar-shi quan sigui el moment ella es resoldragrave sola Nuestro ex presidente se ha mostrado de nuevo tan eficaz como los

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Time-men tras el desaguisado uacuteltimo de la renovacioacuten del tripartitohellip pero chitoacuten dejemos estas incursiones poliacuteticas aunque no sin publicar el artiacuteculo Gracias

Otro proliacutefico miembro de nuestro club de amigos es Mariano Nieto de Madrid quien

manda la solucioacuten del curioso problema

Y antildeade Hola JM De un momento a otro salgo para Zafara (iquestDe doacutende viene ese nombre) junto a los

Arribes del Duero cerca hay otro pueblo con la misma eufoniacutea y que combina casi las mismas letras Fariza Tambieacuten hay otro que se llama Muga alguien me dijo que Zafara significaba como Muga frontera

Hemos estado en Potes recorriendo un poco la Lieacutebana alliacute coincidimos para comer cerca de Colombres con unos amigos de Alella Joan Friacuteas i Ros y Anna Orfila Por cierto en Colombres hay un curioso palacio azul rodeado de un bello jardiacuten con grandiacutesimos magnolios que alberga el museo de la emigracioacuten Me recordoacute el que se describe en la novela El palacio azul de los ingenieros belgas cuya accioacuten transcurre en Asturias

Una coincidencia curiosa mi hija mayor ha viajado la semana pasada con su marido a Milaacuten (los dos son historiadores) los llevamos al aeropuerto y para que pasasen el rato distraiacutedos les di el problema de Gastoacuten de Foix En Milaacuten visitan el castillo de los Sforza y en su museo contemplan una estatua yacente de un personaje

iexcliexcliexclGastoacuten de Foix (Gastoacuten murioacute en la batalla de Raacutevena ganada por los franceses y fue enterrado en Milaacuten) Te mando una foto del monumento debido al escultor Agostino Busti ldquoBambaiardquo es una de las mejores piezas del museo

Problema propuesto por Mariano Nieto en [C-90] Durante la guerra 1914-18 fue descubierta una tumba de un

soldado franceacutes muerto el uacuteltimo diacutea de un mes durante otra guerra en Italia La alabarda del soldado franceacutes se encontraba a su lado El producto del diacutea del mes inscrito en su laacutepida por la longitud en pies de la alabarda por la mitad de los antildeos transcurridos entre la muerte del soldado y el descubrimiento de su tumba y finalmente por la mitad de la edad del comandante franceacutes de la expedicioacuten en que murioacute el soldado es igual a 451066 iquestCoacutemo se llamaba el comandante franceacutes

Solucioacuten Si descomponemos el nuacutemero 451066 en factores primos nos

encontramos con 451066 = 271129101 El uacuteltimo diacutea del mes ha de ser forzosamente el 29 por tanto estamos hablando de un mes de febrero de 29 diacuteas La longitud de la alabarda ha de ser forzosamente igual a 7 pies nos quedan por emplear tres factores 2 11 y 101 Son por tanto posibles dos soluciones o bien 101 o 202 es la mitad de los antildeos transcurridos entre la muerte del soldado y el descubrimiento de la tumba Pero entre 1712 y 1716 por una parte la alabarda ya no se utilizaba y por otra no hubo intervenciones francesas fuera de Francia Asiacute 202 es la mitad del nuacutemero de antildeos transcurridos siendo entonces la edad del comandante 22 antildeos El antildeo 1512 tuvo lugar la batalla de Raacutevena entre espantildeoles y franceses siendo mandadas las tropas francesas por el comandante franceacutes Gastoacuten de Foix nacido en 1489

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He estado pensando el siguiente problema iquestCuaacutentos tetraedros no superponibles pueden construirse con seis segmentos de longitudes 1112131415 y 16 iquestQuieres pensarlo Mi razonamiento me lleva a 60

iquestCuaacutendo empiezas en RNE

GASTOacuteN DE FOIX

Agostino Busto llamado el Bambaia Castello Sforcesco ndash Milan

Gracias por los problemas son un buen ejemplo de coacutemo resolver un problema en el sentido ingenieril (no solamente matemaacutetico) del teacutermino hurgando en todas partes en busca de datos y su organizacioacuten De todos modos encuentro que el de Gastoacuten de Foix es adecuado para los franceses maacutes conocedores de esa figura

En mi opinioacuten Zafara es una deformacioacuten de zafra del aacuter al-safar lsquoperiacuteodo en que amarillean las cosechasrsquo (de donde la zafra de azuacutecar en Cuba) Curioso el apellido Orfila aparece en una deliciosa poesiacutea de Agravengel Guimeragrave que empieza

Hi ha un argenter A lrsquoArgenteria de tant or filar li diuen lrsquoOrfila El fila tan prim que tot just sacutealbira nacuteapar un cabell del front dacuteuna nina El filador dacuteor diu que en teacute una filla que eacutes un pom de flors no cal que us ho diga

(Al final la chica se metiacutea a monja y se deciacutea que el platero vendiacutea ldquoper or fi cabells de

sa fillardquo) En realidad Orfila viene de Wulfila nombre germaacutenico lsquolobo decididorsquo No seacute muy bien el significado de Fariza obviamente aacuterabe que podriacutea derivar de fara

lsquopropiedadrsquo como el pueblo catalaacuten de Faregraves ldquoque tots el busquen i no saben on eacutesrdquo seguacuten reza el chiste de sus vecinos Muga es efectivamente lsquoborne liacutemitersquo existe en Cataluntildea un riacuteo Muga cercano a Ter que como eacutel desemboca en la bahiacutea de Roses curvada y luminosa formada por dos arcos de elipse de ejes en relacioacuten armoacutenica que quizaacute por esto tanto gustoacute a los griegos (Empuacuteries) Alliacute se encontroacute Fernando VII con el general Copons que habiacutea salido a recibirle al hacer su entrada en Espantildea tras el destierro de Valenccedilay (1814)

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Tras pensar en tu problema encuentro tu solucioacuten correcta No empeceacute en RNE Acortaron el programa ldquoNo es un diacutea cualquierardquo y por lo visto en ese nuevo formato no habiacutea lugar para mi espacio El iacutendice de audiencia mandahellip

Pedro Crespo de Barcelona contribuidor y coeditor manda la siguiente carta Estoy consternado En un foro puacuteblico Putin ha dicho recientemente que no le hablen a eacutel de

corrupcioacuten cuando lo de los alcaldes espantildeoles da ciento y raya a toda Rusia Pero no es ese episodio lo que me ha trastornado porque que Espantildea es una olla bullente de corrupcioacuten enmadejada con la poliacutetica es algo que viene de antiguo y que todos los que tenemos oiacutedos para escuchar tenemos ya largamente asumido

No Lo que me ha conmovido tiene que ver maacutes con una revelacioacuten Resulta que alcanceacute a ver un telediario en el que emitieron parte de la conversacioacuten que habiacutea sido pinchada por la policiacutea de uno de tales alcaldes que no haciacutea mucho habiacutea regresado de poner a buen recaudo en Andorra un apreciable montoacuten de miles de euros casi un milloacuten Y las palabras pinchadas que correspondiacutean al reclamo de la claacutesica comisioacuten (unos cuarenta millones de euros en este caso) deciacutean casi literalmente asiacute laquoporque yo soy el que firmo y no voy a estar aquiacute vieacutendolas pasar Somos once iquestno Pues yo quiero mi once por cientoraquo

Al instante me di cuenta de mi tragedia ya que mis elementales matemaacuteticas me dicen que yo hubiera reclamado siendo once a repartir poco maacutes del nueve por ciento Y de inmediato se me hizo la luz iexclLas matemaacuteticas empobrecen

Como ya he comenzado a poner remedio al asunto queriacutea que supieras que ya no colaborareacute maacutes con mis seudo matemaacuteticas en Carrollia Si acaso enviareacute algunos artiacuteculos que ya estaacuten elaborados la mayor parte producto de las reflexiones a las que me movioacute el artiacuteculo de Viantildea De ahora en adelante enviareacute cuentos cortos y algunas reflexiones sobre la brevedad y la falta de sentido de la vida

Por suerte un amigo neurofisioacutelogo que se ha compadecido de miacute me estaacute ayudando a olvidar del todo las escasas (eso ayuda en la tarea) matemaacuteticas que recordaba Me asegura que la foacutermula magistral que ha preparado consigue el bloqueo de todas las sinapsis de los circuitos loacutegicos del cerebro

Seguacuten la uacuteltima resonancia que me hizo la labor estaacute ya cumplida Yo no lo veo asiacute sin embargo porque justamente se me acaba de ocurrir un meacutetodo matemaacutetico para prosperar y que consiste en comprar cosas a diez y venderlas a cien y con ese diez por ciento pienso hacerme con un coacutemodo y raacutepido patrimonio

Gracias por el buen rato que me ha hecho pasar tu carta festiva y bromista (supongo que es una broma eso de que no escribiraacutes maacutes artiacuteculos con componente matemaacutetica) La ocurrencia del edil me recuerda la de un fondista de mi pueblo que serviacutea deliciosos platos confeccionados con ldquocarne de perdizrdquo Estrechado a preguntas por algunos que sospechaban que la mezclaba con carne de caballo acaboacute confesando que ldquoSiacute tant a tantrdquo (en catalaacuten ldquoa partes igualesrdquo) y aclaroacute tras nuevas acometidas ldquoUna perdiz un caballordquo

Escribe Xavi Burgueacutes de Granollers El divendres em vaig trobar en un llibret amb la programacioacute de Catalunya Muacutesica un

passatemps que no havia vist mai un sidoku Es tracta duna variant del sudoku de 7 x 7 de manera que cada nota musical ha daparegraveixer una i nomeacutes una vegada a cada fila columna i grup A diferegravencia dels sudokus els grups no soacuten quadrats sinoacute que tenen formes qualssevol amb una superfiacutecie aixograve siacute de 7 quadres Hi ha doncs set files set columnes i 49 quadres repartits en set grups

Addicionalment hi ha uns quadres destacats i un tiacutetol duna obra musical les notes que quedin en aquests quadres soacuten un fragment de lobra citada

La direccioacuten que da Xavi es wwwsidokuscom Recomiendo su visita Y estoy seguro

de recibir en breve alguno maacutes iquestno es verdad Jesuacutes Lladoacute Y asiacute burla burlando hemos llegado al final iexclFelices fiestas navidentildeas Los editores

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Los 90 antildeos de Francesc Castanyer Como se anunciaba en [C-90] Francesc Castanyer recibioacute el 16 de septiembre un carintildeoso homenaje de algunos de sus numerosos amigos Ahiacute le vemos flanqueado por los otros dos editores Albaigegraves y Crespo los tres muy ufanos disfrutando del calorcillo mediterraacuteneo en una terraza de la playa de Torredembarra (Tarragona) Durante la comida en la que participaron tambieacuten Dolors Hipoacutelito e Isabel Garciacutea consortes de los anteriores y tambieacuten carrollistas se recibieron numerosas llamadas telefoacutenicas de quienes queriacutean testimoniar su presencia afectiva en el acto Por muchos antildeos querido Francesc Los otros editores

Anuncio para escritores

Nuestro co-editor Josep M Albaigegraves ha sido nombrado por una prestigiosa editorial director de una coleccioacuten de libros sobre matemaacutetica recreativa de proacutexima venta en quiosco Cada libro iraacute acompantildeado de un corto opuacutesculo sobre un tema monograacutefico de matemaacuteticas recreativas Se solicitan colaboradores El que tenga escrito o piense escribir alguacuten libro o artiacuteculo interesante ahora tendraacute la ocasioacuten de verlo publicado Deberaacute primar la amenidad y la concisioacuten

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Quienes esteacuten interesados que contacten conmigo al lugar de costumbre albaigesciccpes

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La yuml Vuelvo hoy a la vieja cuestioacuten de la ldquoyrdquo griega catalana cremada sobre la ldquoyumlrdquo que escrupulosamente respetan en sus transcripciones no soacutelo aficionados sino incluso alguacuten historiador de trayectoria irreprochable Personalmente me encontreacute con esa yuml por primera vez en la transcripcioacuten que un papiroacutelogo haciacutea mdashpor tercera vez ya y todas distintasmdash de cierto contrato que data en 1700 Me quedeacute sin poder consultarle por queacute transcribiacutea ldquocuyumlnardquo ldquomeyumltatrdquo y una veintena de veces ldquoyumlrdquo (aunque el documento ofreciese unas grafiacuteas que invitaban sin ninguna otra razoacuten a esa lectura) frente a las numerosas veces que apareciacutea la ldquoyrdquo sin maacutes complicaciones Por eso defendiacute yo que esa dieacuteresis no pasaba de ser un adorno sin valor foneacutetico ni ortograacutefico un rasgo tan caprichoso como el travesantildeo con que algunos cruzamos el trazo descendente de la ldquoqrdquo o el ascendente del ldquo7rdquo Sin embargo la insistencia de quienes seguiacutean transcribiendo esa crema o dieacuteresis sobre la ldquoyrdquo griega me llevoacute a consultar al Instituto de Estudios Catalanes desde donde se me advirtioacute mdashcomo ya he referidomdash que tal grafiacutea se debiacutea a la contiguumlidad de una ldquoirdquo breve y de una ldquoirdquo larga (de una ldquojrdquo) escritas ambas con sus puntos usuales Pero ninguno de mis corresponsales admitioacute esa explicacioacuten Y hoy vuelvo a mis posiciones aunque enriquecido por una informacioacuten minuciosa Al parecer la ldquoirdquo medieval careciacutea de punto pero en textos redactados en algunos territorios de la Corona de Aragoacuten tanto en latiacuten como en catalaacuten durante el XIII y una parte del XIV la ldquoyrdquo se escribiacutea paradoacutejicamente con un punto (soacutelo uno) encima lo que es imposible de reproducir en las copias mecanograacuteficas que por consiguiente se limitan a escribir esa letra sin puntuacioacuten Y cuando en esos viejos textos concurriacutean dos iacutees fue tambieacuten frecuente mdashsobre todo a final de palabramdash escribir la primera como una ldquoirdquo corta y la segunda como una ldquoirdquo larga pero sin que una y otra dejasen de ser iacutees de igual sonido aunque distinto trazo Transcribir ahora como ldquoijrdquo aquella grafiacutea cuando ya ambas letras tiene un sonido diferente y cuando carecemos de un signo que represente la ldquoirdquo larga (aunque convencionalmente la representemos por una ldquojrdquo) podriacutea prestarse a interpretar que estamos ante dos diferentes sonidos y parece loacutegico exponer la identidad del sonido de ambas iacutees antes que insistir en un trazo (el de la ldquojrdquo) que pretendidamente representase la caligrafiacutea de una ldquoirdquo larga (Otra cosa puede ser la de su funcioacuten decorativa por ejemplo en la numeracioacuten a la romana en minuacutescula) Naturalmente estamos hablando de dos iacutees latinas contiguas y en ninguacuten modo de una ldquoyrdquo con la que esas dos iacutees contiguas han llegado en ocasiones a identificar su trazo en escritos catalanes de al menos el XVIII y el XIX Sin duda una vez admitido el uso de puntuar la ldquoirdquo se extendioacute caligraacuteficamente (no tipograacuteficamente) y por duplicado a la ldquoyrdquo o sea ldquoyumlrdquo aunque sin valor foneacutetico ni ortograacutefico alguno y sin maacutes razoacuten al parecer que la de que ese signo acaba en una doble cuacutespide La expresioacuten ldquoponer los puntos sobre las iacuteesrdquo rebasaba asiacute sus propias limitaciones Y temo que estemos encontraacutendonos ante una situacioacuten pareja a la que se produce cuando una ese alta (como la que emplea Suaacuterez en su traduccioacuten de Lalande seguacuten era de uso entonces) tan parecida a una efe se transcriba como tal efe (seguacuten vemos por ejemplo en la transcripcioacuten moderna de esa traduccioacuten llevada a cabo por Arespacochaga y Seral y en la que leemos cosas como la conferva de Plinio por la ldquoconservardquo) Otra cosa es el alemaacuten donde la ese alta seguida de una ese baja sigue conservando en su tipografiacutea un signo propio Rafael Leoacuten Maacutelaga 2005

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LAS CARTAS DE TIJERA Pensamos en el papel como la superficie sobre la que manual o mecaacutenicamente

dejamos una huella de tinta que va reproduciendo el curso del pensamiento o de la inspiracioacuten Pero en otro tiempo hubo un modo de escribir sin tinta un modo de escribir recortando en el papel con unas tijeras el trazo de unas letras no escritas por la pluma o el caacutelamo o siguiendo ese trazo con la punta al rojo de un alfiler

Una referencia en castellano sobre este arte se conservaba en las estrofas 40 a 44 de los Proverbios de Don Santo de Carrioacuten o Rabiacute Sem Tob Ardutiel contemporaacuteneo de Pedro I de Castilla y feliciacutesimo escritor tambieacuten en hebreo entre otras cosas de un Debate entre el caacutelamo y las tijeras Con el paso de los antildeos sin embargo tales estrofas de sus Proverbios habiacutean llegado a extenuar su significacioacuten

Bueno seraacute reproducirlas aquiacute previa advertencia de que en ese texto castellano (tan proacuteximo ya a lo que seriacutea el espantildeol) astroso estaacute por ruin cuidar por cavilar infinta por fingimiento ca por pues puesto que ya que dentildear por dignar meollo por interior substancioso caxcas por caacutescaras finqueacute por lsquoquedeacutersquo

Y ahora siacute reproduzcamos esas estrofas

Un astroso cuidaba Y por mostrar que era sotil yo le enviaba escripto de tisera El nescio non sabiacutea que lo fiz por infinta porque yo no queriacutea perder en eacutel la tinta Ca por non le dentildear fize vazia la llena y no lquise donar la carta sana buena Como el que tomaba meollos de avellanas para siacute y donaba al otro caxcas vanas Yo del papel saqueacute la razoacuten que deziacutea con ella me finqueacute dile carta vaziacutea

(Fragmento del opuacutesculo del mismo tiacutetulo de Rafael Leoacuten)

Lo mismo ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte punta seca lavis buril y bruntildeidor ndash 162 z 223 mm

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Problema del Autoacutedromo de Sant Pere de Ribes

Enunciado En Sant Pere de Ribes cerca de Sitges provincia de Barcelona hay un circuito autoacutedromo abandonado que tiene forma oval Cada uno de los dos extremos tiene un radio estimado en 131 metros y una pendiente estimada de 60 grados sexagesimales

iquestA queacute velocidad debe ir un automoacutevil en dicha pendiente para no resbalar hacia abajo ni hacia arriba

Resolucioacuten

Sobre el automoacutevil actuacutean 2 fuerzas el peso p

y la reaccioacuten perpendicular del suelo f debida a la curva

Llamando m a la masa del automoacutevil y g a la aceleracioacuten de la gravedad se sabe

mgp =

Para que el automoacutevil no resbale el valor de f

debe ser tal que al descomponerlo en f1 y f2 se produzca

pf =1

La fuerza f2 es la fuerza llamada centriacutepeta porque su direccioacuten y sentido es hacia el centro de curvatura de la trayectoria del moacutevil es bien sabido que llamando v a su velocidad y r al radio de curvatura de la trayectoria se cumple que la fuerza centriacutefuga se puede expresar

rvmf

2

2 =

Ademaacutes la trigonometriacutea permite escribir 2

1o30 tgff

=

Las ecuaciones anteriores forman un sistema de 4 ecuaciones entre las que se puede suprimir f1 f2 p y m

222o30 tg

vrg

rvm

mg

rvm

p===

de donde despejando v y sustituyendo valores

kmh 8169ms 247057735

819 middot 13130 tg o ====rgv

Conclusioacuten Para no resbalar hacia abajo ni hacia arriba en dicha pendiente el automoacutevil debe ir a 1698 kmh Marcel Mantildeeacute

60o

p

f

f2

f1 30o

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EL TESORO OCULTO El pirata llegoacute a la isla donde decidioacute ocultar su tesoro Como puntos de referencia encontroacute un pozo (P) una roca (R) y un viejo olmo (O) Para ubicar el lugar exacto donde iba a enterrar

su arcoacuten repleto de doblones decidioacute fijar los puntos Pacute y Racute trazando las rectas PPacute perpendicular e igual a PO y RRacute perpendicular e igual a RO Finalmente unioacute con una recta los puntos Pacute y Racute determinando su punto medio T donde enterroacute el tesoro Pasado cierto tiempo regresoacute a la isla y encontroacute sorprendido que el viejo olmo habiacutea desaparecido sin dejar huella de su emplazamiento Afortunadamente el pirata era un buen

geoacutemetra y se las arregloacute para dar con el lugar exacto donde antantildeo habiacutea enterrado su tesoro iquestCoacutemo se las arregloacute Solucioacuten Si prolongamos la liacutenea PR a derecha e izquierda y bajamos a ella las perpendiculares PacuteA OD TC y RacuteB es faacutecil ver que los triaacutengulos OPD y ODR son respectivamente iguales a los PPacuteA y RRacuteB Ocurre entonces que PacuteA = PD y RacuteB = RD por consiguiente PacuteA + RacuteB = PR = 2 CT Como por otro lado AP = RB = OD C seraacute el punto medio de PR Asiacute pues para hallar T bastaraacute levantar una perpendicular a PR por su punto medio C y llevar una distancia CT igual a la mitad de PR Aristogeronte Madrid Agosto 2006

Siempre sucede ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte y aguatinta ndash 178 x 219 mm

T

R

P

O

P R

D C B A

T

R

P

O

P R

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PROBLEMA DE EDADES En un congreso mundial de matemaacuteticos coinciden tres amigos Andreacutes Blas y Carlos que conversan animadamente De su conversacioacuten extraemos los siguientes datos Andreacutes dice Mirad queacute coincidencia hoy es nuestro cumpleantildeos Blas contesta Mayor coincidencia es que la suma de los cuadrados de nuestras edades es 2490 igual al nuacutemero de asistentes al congreso Carlos expresa Todo eso es cierto Pero cuando Andreacutes tenga la edad de Blas la suma de los cuadrados de nuestras edades seraacute 3841 igual al coste en pesetas de la habitacioacuten del hotel Ademaacutes con estos datos cualquier congresista puede averiguar nuestras edades Hallar las edades Solucioacuten Las edades hoy son nuacutemeros enteros Andreacutes = x antildeos Blas = y antildeos Carlos = z antildeos Cuando Andreacutes tenga la edad de Blas habraacuten pasado (y-x) antildeos tiempo que habraacute transcurrido igual a los tres Entonces las edades seraacuten Andreacutes = x + (y-x) Blas = y + (y-x) Carlos = z + (y-x) (x + y-x)2 + (y + y-x)2 + (z + y ndashx)2 = 3841 Desarrollando x2 + y2 + z2 + (y-x) (-x +5y +2z) = 3841 Como x2 + y2 +z2 = 2490 (1) (y-x) (-x +5y +2z) = 3841 ndash 2490 (y-x) (-x +5y +2z) = 1351 Descomponemos 1351 en producto de 2 factores = 7 middot 193 y ndashx = 7 -x +5y +2z = 193 Resolviendo el sistema x = y ndash 7 z = 93 ndash 2y Sustituyendo en (1) (y ndash 7)2 + y2 + (93 -2y)2 = 2490 6y2 ndash 386y +6208 = 0 y1 = 32 y2= 973 y2 no es solucioacuten por ne entero Solucioacuten Andreacutes = 25 antildeos Blas = 32 antildeos Carlos = 29 antildeos Acebrian febrero 2006

Con razoacuten o sin ella ndash Francisco de Goya (Los

desastres de la guerra) ndash Aguafuerte punta seca lavis buril y bruntildeidor ndash

150 x 209 mm

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Reparos a la teoriacutea FSM

Qui nimium probat nihil probat (El que prueba demasiado no prueba nada)

Incluso la filosofiacutea la especulativa filosofiacutea se esfuerza por respetar las liacuteneas convencionales del razonamiento y de la loacutegica Incluso la filosofiacutea cuando examina el universo fiacutesico y la propia vida trata de conciliarse con las corrientes cientiacuteficas sobre las que hay amplio consenso Incluso la filosofiacutea cuando se ocupa de la teoriacutea del conocimiento aplicada al mundo fiacutesico corre pareja con las consideraciones maacutes asentadas de la epistemologiacutea cientiacutefica y no es raro que los tratados filosoacuteficos cuyo enfoque es la metodologiacutea del conocimiento tengan en cuenta los descubrimientos de la fiacutesica de vanguardia tales como las teoriacuteas relativistas y en especial los resultados paradoacutejicos de la fiacutesica cuaacutentica tan enormemente sugestivos al tiempo que elusivos En la biologiacutea y en lo que se refiere a las diversas manifestaciones de la vida y a los cambios de los que existe evidencia foacutesil se considera como asentada la liacutenea explicativa que parte de la exposicioacuten publicada por Darwin a comienzos de la segunda mitad del siglo XIX [1] Aunque no se tenga por definitiva y se reconozca incompleta sobre esa liacutenea maestra se elaboran actualmente explicaciones y correcciones a la misma El descubrimiento de la geneacutetica y de sus mecanismos iacutentimos ha supuesto un enorme impulso en cuanto a las investigaciones en este campo que ahora constituye un considerable tesoro de saber Por eso nos preocupa e incluso nos solivianta la corriente FSM de una explicacioacuten alternativa que seguacuten apreciamos se va abriendo camino incluso en universidades [2] Se trata de una corriente que ha experimentado un crecimiento notable en los uacuteltimos antildeos y que interpreta nuestro universo incluida la manifestacioacuten de la vida en teacuterminos del recurso a la intervencioacuten de una entidad inmaterial el FSM de la que se ofrece a veces una representacioacuten tangible a la que se le atribuyen poderes trascendentes como la omnipresencia y la capacidad ilimitada de intervencioacuten Si hemos de ser honestos debemos reconocer que los argumentos en los que se apoya la teoriacutea a la que aludimos son en principio irrebatibles Lo que es maacutes se ajustan mejor que las teoriacuteas que actualmente se tienen por cientiacuteficas a uno de los preceptos maacutes respetables de la ciencia como es el del reduccionismo metodoloacutegico Seguacuten el principio de Occam de la economiacutea (navaja de Occam) [3] en efecto cuanto menor es el repertorio de afirmaciones que haya que admitir como dadas al elaborar una teoriacutea maacutes aceptable seraacute eacutesta (laquopluralitas non est ponenda sine necessitateraquo) La teoriacutea que tratamos de rebatir cumple extraordinariamente bien con este requisito puesto que lo uacutenico que se requiere es la aceptacioacuten de la hipoacutetesis mencionada de la entidad conocida como FSM De todos modos no estaacute de maacutes recordar que lo que Occam dice exactamente es que en igualdad de condiciones la solucioacuten maacutes sencilla es probablemente la correcta Y probablemente como estaacute claro no equivale a necesariamente No obstante no podemos evitar que nos parezcan forzadas y como argumentadas ad hoc algunas de las explicaciones que da el principal abanderado de dicha corriente de pensamiento y primero en presentarla y defenderla Robert Hendenson Graduado en fiacutesicas no podemos pensar del mismo que le sea ajeno el rigor y la criacutetica cientiacutefica A pesar de todo lo cierto es que algunos de sus razonamientos son

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impecables como cuando explica el por queacute resulta aparente la edad de la Tierra estimada por los meacutetodos cientiacuteficos al uso Veamos sus razones laquo[] Lo que esas personas no comprenden es que Eacutel [el autor se refiere a la entidad FSM] hizo el mundo para hacernos creer que la Tierra es maacutes antigua de lo que realmente es Asiacute por ejemplo un cientiacutefico puede llevar a cabo un proceso de datacioacuten mediante carbono-14 sobre un artefacto y encuentra que aproximadamente el 75 por ciento del carbono-14 se ha desintegrado en nitroacutegeno-14 a causa de la emisioacuten de electrones e infiere que dicho artefacto tiene una antiguumledad de unos diez mil antildeos puesto que la vida media del nitroacutegeno-14 parece ser de 5 730 antildeos Pero lo que nuestro cientiacutefico no advierte es que cada vez que efectuacutea una medida la entidad FSM estaacute alliacute cambiando los resultados con su seudoacutepodo Disponemos de numerosos textos que describen en detalle como es esto posible y las razones por las que Eacutel lo hace Eacutel es por supuesto invisible y puede pasar a traveacutes de la materia normal con facilidadraquo Hay algo en esta explicacioacuten que no nos satisface Naturalmente es irreprochable pero cierta percepcioacuten nos dice que se aparta excesivamente del meacutetodo cientiacutefico por antonomasia La teoriacutea FSM no es por su propia naturaleza falsable de modo que de acuerdo con las tesis de Karl Popper una doctrina de ese tipo no se bate en condiciones de igualdad con el resto de las teoriacuteas por lo que ha de ser apartada como teoriacutea insana ―desde el punto de vista de la ciencia entieacutendase bien― y privada sin maacutes del derecho a contender en la arena cientiacutefica Es cierto que para Popper al contrario de lo que afirma el positivismo tiene sentido la aseveracioacuten de la existencia de la entidad FSM pero este autor delinea muy bien los liacutemites que separan tales tipos de proposiciones de las de caraacutecter cientiacutefico y la que nos ocupa queda claramente al margen de eacutestas [4]

Fig 1 ndash FSC en el instante de animar al primer ser humano Podriacutea argumentarse desde luego y aquiacute nos situamos del lado del punto de vista de Thomas Kuhn que la teoriacutea FSM nos coloca frente a un nuevo paradigma cientiacutefico Para Kuhn en efecto la ciencia no procede por agregaciones progresivas en torno a un nuacutecleo creciente de conocimientos sino antes bien por cambios abruptos del marco completo de la teoriacutea dominante lo que se conoce como

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desplazamientos del paradigma En este sentido podriacuteamos sentirnos inclinados a aceptar que el paradigma FSM nos traslada a un marco radicalmente nuevo No obstante la ciencia no se caracteriza por cambios de naturaleza tan radical Antes bien en los cambios de paradigma a que alude Kuhn siempre ha ocurrido que los nuevos formalismos incluyen a los anteriores en el sentido de que eacutestos se recuperan por paso al liacutemite con respecto a ciertas condiciones o paraacutemetros que han cobrado maacutes generalidad en la nueva teoriacutea Y esto no ocurre en absoluto con la propuesta FSM que prescinde del todo del acervo de saber histoacuterico Nos sentimos obligados a denunciar tambieacuten que las representaciones de la entidad FSM son en cierto modo antropomoacuterficas Sugeririacuteamos prescindir de lo que parecen ser unos ojos y un soma central para dejarlo reducido al conjunto de seudoacutepodos que podriacutean llegar a identificarse con los filamentos de la teoriacutea de cuerdas o en su enmadejamiento formar el tejido de las supercuerdas La ubicuidad podriacutea sustituirse por un nuacutemero ilimitado de copias del FSM actuando en resonancia no local El universo volveriacutea a ser de este modo de nuevo cartesiano dominado por un plenum que lo abarca todo La actuacioacuten instantaacutenea a distancia estariacutea avalada por la verificacioacuten de las condiciones de Bell relativas a la paradoja EPR que ha significado el espaldarazo a la no localidad en el mundo fiacutesico A pesar de todo algo en nuestro interior nos dice que la doctrina FSM es aberrante Quizaacute se deba al lastre de la educacioacuten recibida Despueacutes de todo uno es irremediablemente producto de la forja de su tiempo y nunca es faacutecil superar esa inercia intelectual Hijo ―o debiera decir posiblemente prisionero― de la edad de la razoacuten yo presiento con temor que una nueva Edad Media y estoy pensando en su lastre de oscurantismo se alza amenazante en el horizonte y la melancoliacutea me atenaza amargamente el corazoacuten P Crespo septiembre 2006 [1] On the Origin of Species by Means of Natural Selection or The Preservation of Favoured Races in the Struggle for Life abreviado como The Origin of Species (El origen de las especies) publicado en 1859 Este libro establecioacute la evolucioacuten (cambios espontaacuteneos hereditarios que se imponen cuando son favorables a la especie habida cuenta de los condicionantes del entorno) a partir de un ascendiente comuacuten como la explicacioacuten cientiacutefica dominante de la diversificacioacuten de las formas de la vida en la naturaleza [2] Home page httpwwwvenganzaorg

[3] William of Occam fraile franciscano ingleacutes del siglo XIV (aprox 1285-1349) Lo que se conoce como la navaja de Occam era un principio muy comuacuten en la filosofiacutea medieval (el principio de economiacutea o de parsimonia) y no tuvo su origen con Willian de Ockham pero debido al uso frecuente que eacuteste le daba a dicho principio su nombre acaboacute inseparablemente ligado a eacutel

[4] Karl Popper (1902 1994) La loacutegica de la investigacioacuten cientiacutefica (Logik der Forschung 1934 ciacuterculo de Viena) En esta obra el filoacutesofo austriacuteaco abordoacute el problema de los liacutemites de demarcacioacuten entre la ciencia y proposiciones de otro caraacutecter Para Popper la clave estaacute en reconocer que el conocimiento cientiacutefico no avanza confirmando nuevas leyes sino descartando las que contradicen la experiencia lo que constituye el proceso de falsacioacuten Soacutelo han de admitirse como proposiciones cientiacuteficas aquellas para las que al menos conceptualmente es posible un experimento que las contradiga [5] Thomas Kuhn (1992 1996) Este cientiacutefico norteamericano es famoso principalmente por su libro La estructura de las revoluciones cientiacuteficas (1962) La idea que preside el pensamiento de Kuhn es la de que la ciencia no progresa por acumulacioacuten de nuevo conocimiento sino por desplazamientos de los paradigmas que transforman abruptamente la naturaleza del conocimiento

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Matemaacuteticas de los poliacuteticos vascos Patxi Igandekoa

Pongamos el tiacutepico sistema de ecuaciones de primer grado de dos incoacutegnitas x+y=5 4x-2y=2 (Antes ensentildeaban a resolverlos en 1ordm de BUP ahora en las academias cercanas a la Escuela de Ingenieros de Bilbao) Vaya por adelantado que la solucioacuten es x=2 y=3 No nos interesa esto sino la forma en que lo resolveriacutean dos miembros destacados de nuestra clase poliacutetica El Lehendakari Ibarretxe por ejemplo no tendriacutea dificultad Gracias a su formacioacuten y oficio de economista el valor de las incoacutegnitas aparece ipso facto en su mente sin necesidad de calcular nada Sin embargo eacutel querriacutea hacerlo con fundamento a la vasca Primero lo resolveriacutea por medios algebraicos y comprobariacutea si las soluciones cuadran Despueacutes empleariacutea el meacutetodo graacutefico pediriacutea papel boliacutegrafo y una regla y trazariacutea un eje de coordenadas cifras y finalmente dos rectas bien diaacutefanas y se asegurariacutea de que ambas se cortan en el par de valores correcto Acto seguido llamariacutea a un comiteacute de expertos del Gobierno Vasco y someteriacutea el asunto a su examen para que redactaran un informe en el que se estableciera sin ninguacuten geacutenero de dudas que la solucioacuten al sistema de ecuaciones propuesto vaacutelida tanto en Euskadi como en el resto de un universo eucliacutedeo es la que figura en los caacutelculos de Lehendakaritza Pero la cosa no termina aquiacute porque luego Josu Jon Imaz (otro peso pesado de las ciencias exactas) convocariacutea una mesa de partidos para buscar una solucioacuten paralela ndashpero concordante- al problema mediante acuerdos que incluyan a todas las sensibilidades del paiacutes Para un tema de intereacutes general como este ni siquiera el PP podriacutea negarse y a la exactitud de las estimaciones numeacutericas se antildeadiriacutea finalmente la sancioacuten democraacutetica del consenso Euforia y satisfaccioacuten en el EAJ-PNV ldquoHemos tardado lo nuestro pero valioacute la pena Trabajando duro y con meacutetodo nos hemos puesto las pilas comenzamos el curso con los deberes hechos etc etcrdquo iquestY Patxi Loacutepez iquestCoacutemo reaccionariacutea delante del mismo problema Imaginen a uno de sus correveidiles pasaacutendoselo por encima de su ejemplar abierto de ldquoEl Correo Espantildeolrdquo en plena sesioacuten del Parlamento Vasco Apresurada lectura treacutemulo parpadear de ojos bailoteo de cifras en la mente ruido apenas perceptible producido por el rozamiento de unos dedos sobre la sienhellip ldquoNada otra engantildeifa del Lehendakari iexclSe va a enterar de esto en mi proacutexima rueda de prensardquo Apliacutequese el procedimiento de costumbre enviar por valija del partido a la calle Ferraz para que lo resuelvan alliacuterdquo Y alliacute efectivamente son nada menos que Joseacute Luis Rodriacuteguez Zapatero Presidente del Gobierno de Espantildea y Joseacute Blanco su iacutenenarrable y gallego jefe de bomberos quienes se encargan de despejar las incoacutegnitas Podemos imaginarnos el resultado ldquoiquestAlgebra iquestGraacuteficos cartesianos iexclUff somos de letras iquestQueacute tal si traemos a nuestro informaacutetico para que eche una manordquo ldquoNo mucho maacutes simple Joseacute Luis hacemos x=0 y=0 y ya estaacute Yo seacute algo de matemaacuteticas lo suficiente para recordar que a esto lo llaman lsquosolucioacuten trivialrsquo Es perfectamente legiacutetimo iquestQueacute te parecerdquo ldquoDe entrada bien Pepe Pero asi no puedes resolver un sistema de primer grado iexclel resultado no coinciderdquo ldquoNo importa lo quitamos tambieacuten Escondemos el 5 y el 2 cubrieacutendolos con typex ndashya nos ocuparemos de ellos en la proacutexima legislatura- y hacemos ambas expresiones iguales a cero Ahora las incoacutegnitas siacute coinciden con la ventaja antildeadida de que entonces las de Imaz no Hemos resuelto el problema de matemaacuteticas vasco reducieacutendolo a la no existencia Jean-Paul Sartre estariacutea orgulloso de nosotrosrdquo La solucioacuten es transmitida por mensajero (a portes debidos) a Sabin Etxea donde sesudos jeltzales la examinan moviendo la cabeza a un lado y a otro Habraacute que invertir mucho en centros de caacutelculo si queremos avanzar en el proceso de normalizacioacuten Al menos queda el consuelo de que si alguien quiere volar preferiraacute subirse a un aeroplano disentildeado por Ibarretxe que a otro construido con las matemaacuteticas que ensentildean en el Partido Socialista de Euskadi Publicado en Izaronews 6-9-2006

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Si las palabras de Chillida estaacuten recogidas con fidelidad lamento no estar de acuerdo con ellas porque no creo que las personas se encasillen tan faacutecilmente Pero de todos modos si ustedes creen que represento ese problema no tienen maacutes que haceacutermelo saber Porque como anuncieacute en la seccioacuten correo tireacute mi regla de caacutelculo al riacuteo para mirarla como se hundiacutea (era el uacuteltimo recuerdo del carintildeo que yo le teniacutea etc) y comienzo mis pinitos en cuentos cortos (muy cortos prometido) y otras atrevidas incursiones

[La figura es un recorte del libro de vintildeetas-paacutegina laquoel Arte - conversaciones imaginarias con mi madreraquo de Juanjo Saacuteez Aunque sus ideas sobre el arte parecen discutibles es un libro entrantildeable]

Una uacuteltima advertencia relativa al cuento que sigue y dirigida a los que puedan sacar la conclusioacuten de que tengo imaginacioacuten desviada las hemerotecas son del 29 de noviembre de 2003

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Caperucitas blancas En memoria de Joseacute Couso porque nos volvimos maacutes ciegos cuando sus ojos se apagaron

Una nintildea hasta haciacutea poco ahora cuajada en mujer moldeada por quince primaveras Faacutetima era la mayor de las dos hermanas La pequentildea Azraa a sus doce antildeos era todaviacutea un incipiente brote femenino delicado y menudo

Noviembre agotaba sus diacuteas y haciacutea cuatro que habiacutean empezado las fiestas del fin del Ramadaacuten el mes sagrado del ayuno Ese jueves la ilusioacuten se asomaba a los rostros de ambas hermanas porque iriacutean a cenar a casa de su abuela y pasariacutean la noche con ella Habriacutea puchero y berenjena rellena y despueacutes los dulces de pistacho y de miel y antes de dormir las historias de la lsquoyaddarsquo Jazmina ―la abuelita― llenas del encanto de otros tiempos cuando en los mercados de Baaquba competiacutean entre siacute los colores de los frutos las especias las telas y las alfombras y los asnos eran amigos resignados de los hombres y los paacutejaros hablaban con los nintildeos y eran alegres y eran parlanchines y traiacutean noticias de lugares exoacuteticos

La madre preparoacute una cesta con los pastelillos para el postre Pero la abuela habiacutea expresado el temor de no disponer de lentildea suficiente asiacute que las pequentildeas debiacutean pasar antes por el huerto del tiacuteo Abbash que siempre teniacutea preparada una reserva de lentildeos y sarmientos y habiacutea dado licencia a la familia para recoger de su finca todo aquello que fuera necesario Para llegar al huerto era obligado atravesar un trecho boscoso no era cosa de permitir que las sorprendiera la noche y puesto que la tarde ya se habiacutea insinuado las nintildeas se pusieron con diligencia en camino La pequentildea llevaba apoyada contra su cintura la cesta con los dulces y la mayor se hizo cargo de dos piezas de tela destinadas a sujetar la lentildea y de un hacha pequentildea para trocear los sarmientos

Ya en la finca llevoacute maacutes tiempo del previsto preparar los vaacutestagos para adecuarlos al tamantildeo de la menor de las muchachas y las sombras no esperaron Ante el asomo de la noche las nintildeas iniciaron el regreso en direccioacuten a la casa de la abuela cada una con su hatillo a la espalda la menor abriendo paso con la cesta de los pasteles en su regazo seguida de cerca por su hermana

A menos de cincuenta metros de alliacute Lobo Feroz Dos miraba por el visor de

infrarrojos e informaba de la escena a su compantildeero En el sendero que lindaba con el bosque dos siluetas blanquecinas se recortaban en la oscuridad en contraste con la espesura y los pantildeuelos que cubriacutean sus cabezas las perfilaban como dos caperucitas que se moviacutean avanzando deprisa La mayor pareciacutea sujetar una pistola en su mano

―Lobo Feroz Uno llamando a Halcoacuten Pardo ge-pe-ese delta sur uno doce oeste cero quince Dos sospechosas a la vista parecen llevar armas Esperamos instrucciones Cambio

―Halcoacuten Pardo a Lobo Feroz Ya conocen las consignas Cambio ―Parecen dos nintildeas― apuntoacute Lobo Feroz Dos ―Lobo Feroz Uno a Halcoacuten Pardo Es posible que se trate de dos menores

Solicitamos refuerzos para comprobacioacuten Cambio ―Sargento le recuerdo que estamos en la Operacioacuten Martillo de Hierro Debe

proceder seguacuten la consigna Cambio y corto ―Hemos de disparar― dijo Lobo Feroz Uno a Lobo Feroz Dos ―Pero ― balbuceoacute eacuteste ―Oacuterdenes Encaacutergate del objetivo de la izquierda yo tirareacute sobre el derecho

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La cabeza de Faacutetima se quebroacute como se rompe el fruto del granado cuando se lo arroja con fuerza contra el suelo Con su velo blanco habiacutea sido Caperucita Blanca mientras se desplomaba fue Caperucita a topos rojos poco tiempo despueacutes bajo los focos luminosos era Caperucita Roja yaciendo sobre la hierba del lindero del bosque ya para siempre dormida sus intensos ojos negros abiertos en un gesto uacuteltimo de asombro irracional A su lado la pretendida pistola no era sino el hacha nimia que le habiacutea servido de herramienta

Cerca de ella Azraa acribillada se debatioacute en el suelo durante un tiempo entre espasmos y dentelladas de dolor Desprendido el pantildeuelo varias manchas tentildeiacutean de carmiacuten sus cabellos que hasta entonces habiacutean sido siempre de un azabache casi mineral

La fase siguiente de la laquoOperacioacuten Martillo de Hierroraquo se puso en marcha Uno de los confidentes convocados reconocioacute a las muchachas e indicoacute a los soldados la situacioacuten de la cercana casa de la abuela en los andurriales de la ciudad

La puerta cedioacute ante el explosivo y saltoacute arrancada de cuajo junto con sus goznes Disipado el humo los soldados pudieron distinguir a una anciana enmudecida por el terror y desplomada sobre su cama Se registroacute la casa Dos humildes cuchillos de cocina fueron las uacutenicas armas encontradas

Cuando al diacutea siguiente fueron lavados los cuerpos de las nintildeas el agua sanguinolenta se desparramoacute por el patio y discurrioacute por albantildeales hasta verter en el riacuteo Tigris Diacuteas maacutes tarde en la orilla izquierda de la corriente a un rosal le brotariacutean rosas algo maacutes rojas y un limonero dariacutea limones amargos en la ribera derecha

La sangre de las nintildeas se entremezcloacute en el riacuteo en un postrero abrazo fraternal El sol hizo luego su labor de horno y partiacuteculas de sangre de Faacutetima y de Azraa ascendieron asidas al agua evaporada Desde entonces los atardeceres son algo maacutes escarlata en la tierra que otrora fue Mesopotamia y en todo el orbe resuena el eco milenario de las palabras del Antiguo Testamento dichas para los oiacutedos de los violentos laquoCaiacuten iquestqueacute has hecho de tu hermanoraquo P Crespo

Las camas de la muerte ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte lavis punta seca buril y bruntildeidor ndash 177 x 221 mm

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Reggae reggaehellip (riacutea riacutea)

La escuela y el alumnado

Eacutesta es la coleccioacuten de disparates maacutes sonados cometidos por alumnos de ESO y bachillerato en exaacutemenes de geografiacutea e historia

Perlas variadas bull Al final de la edad media empiezan a

imponerse normas morales como no masticar la sopa

bull Una de las principales manifestaciones del arte goacutetico fueron las piraacutemides que como todo el mundo sabe son apuntadas

bull A partir del Concilio de Trento el matrimonio cristiano debiacutea ser consumado en presencia de un sacerdote

bull Despotismo ilustrado los reyes teniacutean todo el poder pero teniacutean que obedecer cuando el pueblo se poniacutea de acuerdo entre ellos

bull A la juventud hitleriana la preparaban tan bien que al cabo de un antildeo eran capaces de matar a su madre

bull iquestQueacute opinas de la Constitucioacuten Que es buena y guapa

bull Actualmente el paiacutes maacutes pequentildeo de Europa es San Pedro del Vaticano

bull El rey puso a Franco para que trajera la democracia

bull Franco era el rey que habiacutea antes de Juan Carlos I

bull Espantildea no participoacute en la Segunda Guerra Mundial porque Hitler teniacutea miedo de Franco

bull Franco fue un poliacutetico dictador que consiguioacute imponer durante el reinado de Felipe II un reacutegimen dictatorial

bull No seacute en queacute antildeo murioacute Franco pero seacute que murioacute asesinado

bull Democracia es cuando hay gente que mata otra gente o cuando un paiacutes echa bombas a otro o se pegan unos a otros pues esto es democracia

bull Cartografiacutea las faltas de ortografiacutea bull Un paralelo es una de aquellas liacuteneas que

dividen la Tierra en trozos pero es imaginario

bull Continente partiacuteculas de tierra donde vivimos nosotros

bull Anticicloacuten es la temperatura caliente y se mide en milibares

bull Caacutetedra pensioacuten o escuela para los que queriacutean ser curas

bull Petroacuteleo se obtiene por tuberiacuteas llamadas oleoductos y sirve de combustible

bull Desarrollo sostenible es el desarrollo que no es ni alto ni bajo es decir es mediano

bull Poliacutegono hombre con muchas mujeres bull Delta es un riacuteo que lleva muy poca

agua bull Capital de Alemania Merliacuten bull Principales cultivos espantildeoles la uva

que produce el gran aceite que se fabrica en Espantildea

bull Islas de Oceaniacutea Islas Haguai bull Los vientos huracanados producen a

veces atauacutedes de nieve bull La pintura al fresco consiste en pintar al

aire libre bull Sufragista quiere decir que siempre estaacute

navegando por los mares bull La Guerra Friacutea se caracteriza por matar

gente a sangre friacutea bull Hambre endeacutemica es la que pasa cuando

hay epidemias bull La explosioacuten demograacutefica se produce

porque en algunos paiacuteses se producen islas producto de una erupcioacuten volcaacutenica que bastante grandes como para ser evitadas

bull Estado del bienestar significa que todo lo que es puacuteblico se ha de cuidar

bull Deuda externa es si vas aun supermercado y quedas a deber mucho si no tienes dinero Esto es la deuda externa

Serrano J Reboredo J (2005) Perlas variadas en Historia de Espantildea contada por estudiantes Madrid La Esfera de los libros (Remitido por M Dolors Hipoacutelito)

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iexclLas modelos no somos estuacutepidas Pregunta iquestEn queacute paiacutes la estaacuten solicitando como modelo Respuesta No lo puedo decir todaviacutea pero les puedo adelantar que es un paiacutes brasilentildeo que no queda muy lejos de aquiacute (Kate Moss ex modelo de Calvin Klein) Pregunta Si llegara un holocausto nuclear iquestqueacute pareja elegiriacutea Ud en todo el mundo (hombre y mujer) para preservar y multiplicar la especie humana Respuesta Al Papa y a la Madre Teresa de Calcuta (Carolina Zuntildeiga candidata a Miss Chile) El fumar mata Si te mueres has perdido una parte muy importante de tu vida (Brooke Shields entrevista para una campantildea federal antitabaco) Pregunta Si usted pudiera vivir siempre iquestlo hariacutea iquestpor queacute Respuesta Yo no viviriacutea siempre porque no deberiacuteamos vivir siempre porque si se supusiera que debieacuteramos vivir siempre entonces viviriacuteamos siempre pero no podemos vivir siempre que es por lo cual yo no viviriacutea siempre (Miss Alabama en el concurso Miss America 1999) Esa rastrera sinverguumlenza merece ser matada a patadas por un asno iexclY yo soy justo la indicada para hacerlo (Declaracioacuten de Claudia Shiffer sobre Naomi Campbell) No es la contaminacioacuten la que estaacute dantildeando el ambiente Son todas las impurezas en nuestro aire y en nuestra agua las que lo estaacuten haciendo (Pamela Anderson) No he cometido ninguacuten delito Lo que hice fue no cumplir con la ley (Jennifer Lopez al ser detenida junto con Puff Daddy) Siempre que veo la tele y veo a esos pobres nintildeos hambrientos en todo el mundo no puedo evitar llorar Quiero decir me encantaria ser asiacute de flaquita pero no con todas esas moscas y muerte y esas cosas (Mariah Carey cantante) Tomado de Internet por JMaiO 2006 Jacinto Benavente y la coma Doctor Mi previsioacuten se anticipa a todo Bastaraacute con puntuar debidamente alguacuten conceptoVed aquiacute donde dicerdquo Y resultando que no declaroacuterdquo basta una coma y dice ldquo Y resultando que no declaroacuterdquo Y aquiacuterdquoY resultando que no debe condenaacuterselerdquo fuera la coma y dice Y resultando que no debe condenaacuterselerdquo Crispiacuten iexclOh admirable coma iexclMaravillosa coma iexclGenio de la Justicia iexclOraacuteculo de la Ley iexcl Monstruo de la Jurisprudencia Jacinto Benavente Los Intereses Creados Acto segundo escena final

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Tomo una y entrego dos Mariano Nieto propone en [C-90] (seccioacuten correo) el problema que sigue En una urna hay una bola blanca y otra negra Se saca al azar una de ellas y se

devuelve a la urna acompantildeada de otra del mismo color Esta operacioacuten se repite un nuacutemero indefinido de veces

iquestCuaacutel es la probabilidad de que cuando la urna contenga 20 bolas haya 10 de cada color Solucioacuten

Sea (b n) la composicioacuten de la urna con b bolas blancas y n negras y llamemos etapa a cada intervencioacuten que extrae una bola de la urna y devuelve dos Convengamos en que la configuracioacuten de partida (11) corresponde a la etapa 1 En la etapa 2 tendremos las dos configuraciones posibles de la urna (21) y (12) asociadas con la misma probabilidad de 12

Esta simetriacutea inicial nos sugiere el siguiente procedimiento por induccioacuten Si suponemos que en la etapa n cada una de las n configuraciones posibles

(n 1) (n ndash 1 2) (n ndash 2 3) (n ndash a a + 1) (2 n ndash 1) (1 n) [1] tiene la misma probabilidad p de ocurrir (con p =1n por lo tanto) podemos calcular las probabilidades y configuraciones de la etapa n + 1

a) La probabilidad de la configuracioacuten (n + 11) (rama izquierda del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(n + 11) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

b) La probabilidad de la configuracioacuten (1 n+1) (rama derecha del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(1 n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

c) La configuracioacuten (n ndash a a + 2) con 0 le a le (n ndash 2) para asegurar que se recorre el rango de configuraciones de la etapa (n + 1) con exclusioacuten de las extremas antes consideradas proviene de (n ndash a a + 1) tras sacar una bola negra o bien de (n ndash a ndash 1 a + 2) luego de resultar blanca la bola extraiacuteda Su probabilidad seraacute por lo tanto

p x (a + 1) (n + 1) + p x (n ndash a ndash 1) (n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

de modo que todas las configuraciones de la etapa n + 1 tendraacuten tambieacuten la misma probabilidad en este caso 1(n + 1)

En la etapa 3 por ejemplo es faacutecil ver que las 3 configuraciones posibles (3 1) (2 2) y (1 3) comparten la probabilidad 13 Asiacute pues el meacutetodo de induccioacuten nos permite concluir que en la etapa n es decir tras n ndash 1 operaciones con la urna eacutesta contendraacute (n + 1) bolas y tendremos las n configuraciones posibles [1] a cada una de las cuales le corresponde la misma probabilidad 1 n

La configuracioacuten (10 10) por la que pregunta el problema perteneceraacute por lo tanto a la etapa n = 19 (tras 18 operaciones con la urna) y en consecuencia su probabilidad seraacute igual a 1 19 algo mayor que 526 por ciento

En general a la configuracioacuten (b n) donde b es el nuacutemero de bolas blancas y n el de negras siendo b y n nuacutemeros naturales cualesquiera ya que cualquier configuracioacuten es alcanzable le corresponderaacute la probabilidad p(b n) = 1 (b + n ndash 1) P Crespo septiembre 2006

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iquestDe doacutende sale el nuacutemero e Un escuchante miacuteo de RNE en el programa sobre matemaacuteticas de los antildeos 2005-06 me hace la siguiente consulta Cuando estudiaba sexto de bachillerato (plan de ensentildeanza 1957) un dia el profesor de matemaacuteticas llegoacute a clase y dijo Hoy toca el nuacutemero e Y a continuacioacuten escribioacute en la pizarra la expresioacuten conocida de liacutemite cuando n tiende a infinito de 1 maacutes 1 partido por n elevado a n La desarrolloacute por el binomio de Newton y obtuvo el conocido resultado de 2718281 Despueacutes nos dijo que el numero e era muy importante en matemaacuteticas y que se utilizaba para la base de los logaritmos neperianos Es curioso ver como la derivada del logaritmo neperiano de x = 1x EXACTO siendo la base del logaritmo un nuacutemero absolutamente INEXACTO IRRACIONAL Realmente me quedeacute sorprendido Primero de coacutemo al baroacuten de Neacuteper se le habiacutea ocurrido utilizar como base de logaritmos a un nuacutemero irracional y segundo por queacute nunca me explicaron a quieacuten se le ocurrioacute calcular el liacutemite de la expresioacuten (1+1n)n iquestPor queacute se le ocurrioacute a alguien esta expresioacuten y no otra iquestDe donde surgioacute tal necesidad Creo que eso era lo primero que mi profesor de matemaacuteticas teniacutea que habernos contado antes de calcular el liacutemite Probablemente el profesor no conociacutea la respuesta que efectivamente es difiacutecil de encontrar en los actuales libros de texto La definicioacuten actual de logaritmo de un nuacutemero es ldquoel exponente a que hay que elevar una base dada para obtener dicho nuacutemerordquo Asiacute por ejemplo en base 10 el logaritmo de 2 es log10 2 = 0301030 porque 100301030 = 2 (aproximadamente) Pero Neper no concibioacute asiacute el logaritmo para eacutel era el resultado de comparar una progresioacuten aritmeacutetica y otra geomeacutetrica Los teacuterminos de la primera seriacutean los logaritmos de los de la segunda Esto se ve muy claro en esta tabla en la que la razoacuten de la progresioacuten aritmeacutetica es 1 y la de la geomeacutetrica es 10

Progresioacuten aritmeacutetica (razoacuten 1) -3 -2 -1 0 1 2 3Progresioacuten geomeacutetrica (razoacuten 10) 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103

De la propia estructura de ambas progresiones se desprende que un producto de teacuterminos en la progresioacuten geomeacutetrica se corresponde con una suma en la progresioacuten aritmeacutetica Asiacute por las propiedades de los productos de potencias de una misma base seraacute log (xy) = log x + log y y tambieacuten log (xk) = k log x etc Por la misma tabla en la base 10 log (10-3) = log (0001) = -3 log (102) = log (100) = 2 etc Pero iquestqueacute ocurre con los valores intermedios iquestCoacutemo definir para ellos un logaritmo Neper intentoacute responder esta pregunta considerando dos progresiones de razones respectivas α y 1+β siendo (α β) muy pequentildeos Entonces dado un nuacutemero N siempre se podriacutea encontrar un valor n tal que (1+ β)n = N (dentro de una aproximacioacuten suficiente) Entonces el logaritmo de N seriacutea nα Las progresiones maacutes sencillas imaginables son aqueacutellas para las que α = β Entonces seraacute

log N = log [(1+α)n] = nα En esta expresioacuten n seraacute muy grande y α seraacute muy pequentildeo Haciendo nα = L podemos escribir la anterior igualdad

log N = log [(1+ α)1α]nα = log [1+ α)1α]L

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Definamos ahora el nuacutemero e como el liacutemite de (1+α)1α cuando α se hace infinitamente pequentildeo o sea

α

αα

1

0)1(lim +=

rarr

e

Y la expresioacuten se simplificaraacute notablemente

log N = log eL = L log e Resulta inmediatamente que el nuacutemero e = 2718281hellip es la base de logaritmos maacutes conveniente desde el punto de vista teoacuterico pues en ella seraacute log e = 1 Eacutestos son llamados los logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos (este uacuteltimo nombre procede de que miden el aacuterea subtendida entre una hipeacuterbola y su asiacutentota) El nuacutemero e es sin duda el maacutes importante en matemaacuteticas aunque π sea maacutes popular Se recuerdan sus primeras cifras con la mnemotecnia Te ayudareacute a recordar la cantidad a indoctos si releacuteesme bien Se aplica por el nuacutemero de letras de cada palabra Te = 2 ayudareacute = 7 etc En la praacutectica son maacutes usados los logaritmos decimales o de Briggs que tienen por base el nuacutemero 10 Presentan la ventaja de que la parte decimal de cada logaritmo (mantisa) no cambia al ser multiplicado el nuacutemero por una potencia de 10 lo que hace muy praacutecticas las tabulaciones El paso de los logaritmos de una a otra base es muy sencillo mediante el nuacutemero M = log 10 = 2302585 Se deduce sin dificultad que log x = M log10 x Josep M Albaigegraves Barcelona octubre 2006

El nuacutemero e es el uacutenico que verifica que el valor de la derivada (inclinacioacuten de la tangente en rojo en la figura) de f(x) = ex para cualquier valor de x es igual al valor de f(x)

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Cruzando el desierto en jeep Enunciado (propuesto por Mariano Nieto en C-83 seccioacuten correo) Un jeep ha de atravesar un desierto de 800 kiloacutemetros Admite una carga maacutexima para recorrer 500 kiloacutemetros y se quiere conocer la menor cantidad de tales cargas que hay que consumir para alcanzar la meta El depoacutesito inicial se supone de capacidad ilimitada y el jeep puede establecer tantos depoacutesitos intermedios como haga falta Se desea conocer tambieacuten el nuacutemero de viajes parciales que lleva a cabo el jeep teniendo en cuenta que ante dos soluciones iguales (mismo consumo) se preferiraacute la que implique menos viajes parciales Planteo

Supongamos que se depositan cargas en los puntos 1 2 hellipi hellipy llamemos ci a la carga del depoacutesito en el punto i y cf a la del punto siguiente i + 1 Si la distancia entre ambos puntos es d para transportar la carga del punto i al i +1 se necesitaraacuten n viajes de ida y vuelta y un uacuteltimo viaje de ida El depoacutesito en el punto i constaraacute pues de n cargas para 500 km y un remanente al que llamaremos cr Podemos plantear las ecuaciones siguientes

cf = (500 - 2d) n + cr - d (1) ci = 500 n + cr (2) r = (2n + 1) d (3) cr = 500 (4)

donde r es el recorrido del jeep (equivalente a la carga consumida) en el transporte entre ambos depoacutesitos

Los caacutelculos han de efectuarse retrocediendo desde el final hasta la situacioacuten de salida (o sea pasando desde el depoacutesito i +1 al i) para garantizar que se transporta siempre la cantidad miacutenima precisa Cuidaremos tambieacuten de que el valor de n sea el menor posible puesto que los viajes de ida y vuelta aunque necesarios son obviamente menos eficaces en cuanto a rendimiento que los directos Solucioacuten Las ecuaciones anteriores sugieren una viacutea para la solucioacuten del problema basada en separar los tramos para los cuales n (nuacutemero de viajes de ida y vuelta) se mantiene constante El valor de n iraacute en aumento al progresar desde el final hacia el inicio puesto que la capacidad de los depoacutesitos iraacute aumentando en ese sentido y cada vez que se produzca un incremento de 500 km de carga se haraacute necesario aumentar n en una unidad Asiacute pues tendremos 1- Tramo con n = 0 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se progresa desde el final (punto kilomeacutetrico 800) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 0 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

cf = cr ndash d

Como la carga final cf es nula al llegar al punto final (800 km) y es cr = 500 (el maacuteximo posible) basta con llevar a cabo un viaje de ida solamente que salva la distancia d = 500 km El consumo es justamente de 500 km o una carga Esto nos

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coloca a una distancia del origen de 300 km con un depoacutesito con carga para 500 km en dicho punto al que llamaremos D 2 - Tramo con n = 1 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se calcula desde el final (punto kilomeacutetrico 300) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 1 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

500 = 500 - 2d + cr - d = 500 + cr ndash 3 d Hasta que se agote la carga residual maacutexima cr = 500 tendremos

d = 500 3 (5)

La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =1 (es decir donde se pasa de n =1 a n =2 si se lee desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 1) = 300 ndash 5003 = 4003 = 133 3333hellip km El consumo en todo este tramo final (donde n =1) seraacute

consumo (n = 1) = 3 d = 3 times 5003 = 500 Tenemos asiacute tres viajes de 5003 km Al final de la operacioacuten se habraacute transportado una carga de 500 km con un consumo de 500 km tal como se ha calculado antes Como ya se ha visto nos hallamos ahora a una distancia del origen igual a 4003= 133333hellip km Bautizamos este punto como C donde el depoacutesito tendraacute una carga para 1000 km 3 Tramo con n = 2 Ahora la foacutermula (1) se expresa

1000 = 1000 - 4d + cr - d = 1000 + cr ndash 5 d Para una carga residual maacutexima cr = 500 seraacute

d = 5005 = 100 (6) La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =2 (es decir donde se pasa de n =2 a n =3 leyendo desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 2) = 400 3 - 100 = 100 3 = 333333hellipk m El consumo en todo este tramo (donde n =2) seraacute

consumo (n = 2) = 5 d = 500 Se salva una distancia de 100 km y se comprueba que el consumo seraacute de 5 times 100 = 500 La carga transportada seraacute de 2 times 300 + 400 = 1000 km carga que se deja en el depoacutesito C En este punto B nos encontramos a una distancia del origen de 1003 = 33333hellip km y con un depoacutesito con carga para 1500 km

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4 Tramo con n = 3 En este caso la foacutermula (1) es

1500 = 1500 - 6d + cr - d = 1500 + cr - 7d Tendremos ahora d = 5007 gt 100 3 desigualdad que nos dice que la distancia que puede cubrirse con n = 3 supera la distancia que nos separa del origen Asiacute que bastaraacute trabajar de forma que se tenga

d = 1003 (7) Con estas condiciones el consumo correspondiente valdraacute

consumo (n = 3) = 7 d = 700 3 El nuacutemero de viajes seraacute ahora igual a 2 n + 1 = 7 cada uno de los cuales cubre la distancia d = 1003 La carga que se toma del depoacutesito inicial seraacute 1500 + 7003 Consumo total El consumo total que se busca seraacute por lo tanto exactamente Consumo total = 500 (para recorrer los uacuteltimos 500 km n = 0) + 500 (n = 1) + + 500 (n = 2) + 7003 (n = 3) = 1500 + 7003 lo que expresado en cargas resulta ser (1500 + 7003) 500 = 3+7 15 = 34666hellip El nuacutemero total de viajes resulta ser sumando los de las etapas parciales igual a 16 La tabla 1 muestra los valores relevantes para cada una de las etapas dispuestos ahora desde el inicio hasta el final

Km n viajes d (km) consumo (km) carga (km) A (origen) 1500 + 700 3

0 a 1003 (B) 3 7 100 3 700 3 1500 1993 a 4003 (C) 2 5 100 500 1000 4003 a 300 (D) 1 3 500 3 500 500 300 a 800 (E) 0 1 500 500 0

TOTALES 16 800 1500 + 700 3 Tabla 1

El resultado es por tanto Consumo = (1500 + 700 3) 500 = 3 + 7 15 = 34666hellipasymp 347 Viajes = 16 Notas finales Otra cuestioacuten que suscita este problema es la de si existe una limitacioacuten a la anchura del desierto que se ha de atravesar La respuesta es que no existe tal liacutemite puesto que como se aprecia sin dificultad la taacutectica para ir situando combustible en posiciones avanzadas y que expresan las ecuaciones (1) a (4) permite trabajar a partir de cualquier distancia P Crespo noviembre 2006

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Pitaacutegora y su relacioacuten con los proyectiles

El otro diacutea andando por la calle vi el anagrama de una empresa de consulting

Como puede verse el siacutembolo de la empresa es (aproximadamente) el tan conocido triaacutengulo pitagoacuterico de lados 3 4 y 5 Lo vemos inscrito en un cuadrado el miacutenimo que puede contenerlo iquestCuaacutel es el lado de este cuadrado

Solucioacuten Llamemos α al aacutengulo que forma el cateto largo con el lado vertical del cuadrado Es

inmediato establecer las ecuaciones

4 cos α = L = 4 sin α + 3 cos α Que permite llegar a la igualdad

cos α = 4 sin α De donde se obtiene tan α = α o sea α = 14036ordm El lado vale L = 4 cos 14036ordm = 38806 Es curioso que este aacutengulo es el mismo con el que debe ser lanzado un proyectil para

que la altura alcanzada sea igual al alcance En efecto la primera vale

gvh

2sin 22

0max

ϕ=

Mientras que el alcance es

gvx ϕ2sin2

0=

Igualando ambas ecuaciones se llega a cos φ = frac14 El aacutengulo φ es el complementario

del α antes hallado El proyectil deberiacutea dispararse tangente al cateto de lado 4 JMAiO BCN sep 06

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PROBLEMA DE LA DIVISIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO

Dado un triaacutengulo ABC y un punto P situado en su interior se pide trazar una recta MN que pasando por el punto P divida al triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea o que esteacuten en una proporcioacuten dada

A

B C

P

M

N

Q

q

p

R

x

y

Solucioacuten El problema implica dos condiciones - 1ordm Que los puntos M P y N esteacuten alineados - 2ordm Que las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB esteacuten en una proporcioacuten dada

Veamos como podemos dar forma algebraica a estas dos condiciones Tracemos desde el punto P como se indica en la figura las paralelas a los lados BC y AC hasta que corten en los puntos R y Q respectivamente a los lados AC y BC Llamemos x y p y q a los segmentos MR NQ PQ y PR Los valores de x e y se obtendraacuten al resolver el sistema de ecuaciones que suponen las dos condiciones dadas La primera condicioacuten ya que los triaacutengulos MRP y PQN son semejantes se expresa escribiendo

yp

qx=

La segunda condicioacuten puesto que los triaacutengulos MCN y ACB tienen comuacuten el aacutengulo en C equivale a decir que los productos de los lados de cada triaacutengulo que concurren en el veacutertice C estaacuten en la proporcioacuten en la que estaacuten sus aacutereas Llamando k al cociente entre las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB la segunda condicioacuten la escribiremos asiacute

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( )( ) kabqypx =++

donde a y b son respectivamente los lados BC y AC del triaacutengulo dado El sistema de ecuaciones escrito nos conduce a la siguiente ecuacioacuten de segundo grado que resuelve el problema

( ) 02 22 =+minusminus qpxpqkabqx

( )

qpqkabkabpqkab

x2

42 minusplusmnminus=

xpqy =

La condicioacuten para que el problema tenga solucioacuten real es que el radicando no sea negativo es decir

( ) 04 geminus pqkabkab

pqkab 4ge

abpqk 4

ge

Resulta innecesario decir que para k=05 la recta divide el triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea teniendo que darse previamente la condicioacuten del paacuterrafo anterior Notas 1- La primera condicioacuten tambieacuten se puede expresar escribiendo la recta MN en su forma canoacutenica en el sistema de coordenadas cartesianas oblicuas definido por los ejes CA y CB obligando a que el punto P esteacute en ella es decir

1=+

++ xp

pyq

q o sea pqxy =

2- El valor de k tambieacuten depende del par de lados respecto a los cuales se hayan trazado las paralelas para disponer de los valores de p y q Puede darse el caso de que aun siendo negativo el radicando para la pareja de lados elegida no lo sea para alguna otra y el problema siga teniendo solucioacuten

Manuel Rodriacuteguez Saacutenchez ndash Septiembre de 2006

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Re-citando las citas de laquoPelucheraquo

laquoLas mujeres hablan porque desean hablar mientras que un hombre soacutelo habla cuando se siente empujado por algo ajeno a eacutel como por ejemplo si no encuentra unos calcetines limpiosraquo (Jean Kerr 1922-2003 escritora estadounidense) laquoDonde hay matrimonio sin amor habraacute amor sin matrimonioraquo (Benjamin Franklin cientiacutefico poliacutetico y filoacutesofo norteamericano) laquoSi quieres ver una especie en peligro de extincioacuten miacuterate al espejoraquo (John Young 1930 cientiacutefico estadounidense) laquoAntes de pedir dinero a un amigo decide cual de las dos cosas necesitas maacutesraquo (Jean de La Bruyegravere 1645-1696 moralista franceacutes) laquoComprendes que estaacutes envejeciendo cuando las velitas cuestan maacutes que la tartaraquo (Bob Hope 1903-2003 actor estadounidense) laquoA mi juicio el mejor gobierno es el que deja a la gente maacutes tiempo en pazraquo (Walt Whitman 1819-1892 poeta estadounidense) laquoSi el hijo de Bono se casa con la hija de Bush iquestla descendencia se llamaraacute Bono Bushraquo (Alberto C 1983 estudiante de reflexologiacutea podal) laquoPara escribir un buen libro no considero imprescindible conocer Pariacutes ni haber leiacutedo el Quijote Cervantes cuando lo escribioacute aun no lo habiacutea leiacutedoraquo (Miguel Delibes 1920 escritor espantildeol) laquoComo todo el mundo sabe los cantos de las sirenas atraen a los hombres para luego acabar con ellos Especialmente las sirenas de las faacutebricasraquo (Jaume Perich Escala 1940-1995 humorista espantildeol) P C Citas tomadas de laquoPelucheraquo con su consentimiento

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CAROLLIA Direccioacuten en la web wwwmensaescarrollia La revista CARROLLIA abreviada en [C] es el oacutergano trimestral de comunicacioacuten

del CARROLLSIG de Mensa Espantildea que se dedica a las Matemaacuteticas Recreativas la Linguumliacutestica la Literatura Experimental la Loacutegica la Ciencia y todo aquello que hubiera gustado a Lewis Carroll

Es coordinada dirigida editada y remitida por

Josep M Albaigegraves Francesc Castanyer Pedro Crespo wwwalbaigescom httppedrowebdyndnsorg

Permitida la reproduccioacuten de los escritos de este boletiacuten citando la procedencia Las opiniones

expresadas son las de sus autores Mensa como tal no opina

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Compuesto 7middot13 Es el decimotercer triangular el sexto hexagonal y el sexto holopotencial de segundo grado 91 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 Posee propiedades aritmeacuteticas similares a las del 37 por derivarse de manera similar de la relacioacuten 91 = 100111 Esto lo hace uacutetil en caacutelculo mental Asiacute 11middot91 = 1001 22middot91 = 2002 3391 = 3003 4491 = 4004

helliphelliphelliphellip Y en asociacioacuten con eacutel 37middot91 = 3367 33middot3367 = 111111 66middot3367 = 222222 etc

helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip Es el cabaliacutestico de AMN y de Adonai (ADNI) Una yarda vale 9144 m En loteriacuteas es

ldquoel borrachordquo Portada Recuerdo de nuestro desaparecido amigo el matemaacutetico y papiroflexoacutelogo

Alfredo Peacuterez Jimeacutenez (qepd) un Santa Claus de papel plegado sobre mi libro iquestSe atreve Vd con ellos de problemas matemaacuteticos Me mandoacute la foto que estaba preparada para este nuacutemero pocos diacuteas antes de su oacutebito

Iacutendice 91 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 3Correo ndash Cartas helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 4Los 90 antildeos de Francesc Castanyer helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 8Anuncio para escritoreshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 8La yuml helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 9Las cartas de tijera helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10Problema del Autoacutedromo de Sant Pere de Ribes helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11El tesoro oculto helliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12Problema de edades helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13Reparos a la teoriacutea FSM helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 14Matemaacuteticas de los poliacuteticos vascos helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 17Caperucitas blancas helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18Regae reggae (riacutea riacutea) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21iexclLas modelos no somos estuacutepidashelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 22Jacinto Benavente y la coma 22Tomo una y entrego dos helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23iquestDe doacutende sale el nuacutemero e helliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 24Cruzando el desierto en jeep helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26Pitaacutegora y su relacioacuten con los proyectiles helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29Problema de la divisioacuten de un triaacutengulo 30Re-citando las citas de laquoPelucheraquo 32

Enterrar y callar ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte punta seca lavis buril y bruntildeidor ndash 163 x 237 mm

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Es costumbre encabezar esta seccioacuten con bonitos sellos de correo de las cartas remitidas

por nuestros lectores Los de hoy tienen la singularidad de no ser de curso legal sino facsiacutemiles de emisiones durante la II Repuacuteblica Adornaron el sobre de una carta remitida por Rafael Leoacuten de Maacutelaga

Abrioacute el fuego este trimestre nuestro asiduo colaborador Joseacute Antonio de Echaguumle de

Madrid con estas palabras

Espero esteacuteis bien y hayaacuteis pasado unos diacuteas de venturosas y agradables vacaciones Por mi parte ya estoy reincorporado al trabajo y asumiendo el siacutendrome post vacacional de todos los antildeos

Hoy mismo he leido en Izaronews (una especie de agencia de noticias on line vasca) un artiacuteculo sobre matemaacuteticas y poliacutetica que te adjunto como modesta contribucioacuten al Congreso recientemente celebrado en Madrid y en el que seguacuten se dice una de las pocas cosas razonables fue la unaacutenime decisioacuten de no invitarme

En otro orden de cosas propongo que si no existe ya que la Academia de Ciencias (presuntamente) Inuacutetiles cuyo boletiacuten recibo con regularidad tome en consideracioacuten la creacioacuten de una Caacutetedra de Puntologiacutea nombre que provisionalmente y sometieacutendome al maacutes fundado criterio de los acadeacutemicos de nuacutemero propongo para el estudio de los puntos comas y demaacutes signos de puntuacioacuten como instrumento de confusioacuten alteracioacuten de textos y en su caso defraudacioacuten Para ilustrar la indudable utilidad valga la contradiccioacuten de tan antigua y prestigiosa ciencia (presuntamente) inuacutetil adjunto un texto del Premio Nobel y gran dramaturgo D Jacinto Benavente

Al recibir tu carta tambieacuten estaacutebamos de regreso aunque sufriendo ese septiembre

canicular los hombres del tiempo deciacutean que pronto cambiariacutean las temperaturas en lo que no anduvieron muy acertados con los termidores que hemos tenido hasta pleno noviembre Pero estas cosas vienen de antiguo De nintildeo leiacute ese chiste

mdashPepito todo lo haces mal iexclsiempre te equivocas iquestPero queacute vas a hacer de mayor mdashHareacute calendarios La versioacuten actual del Calendario del Ermitantildeo son los Time-men que con sus isobaras y

marejadillas nos animan la vida Queda constituida la Caacutetedra de Puntologiacutea y por la presente disposicioacuten se te nombra

catedraacutetico eximio Los ejemplos que citas han pasado al mundo de lo claacutesico yo no sabiacutea que hubieran sido recogidos por Benavente (quien sin duda los tomoacute de algo anterior el mundo es ciacuteclico como ese kalpa o rueda de reencarnaciones) Por cierto en [B-34] se publicoacute el artiacuteculo Ejercicios de puntuacioacuten donde se abundaba sobre el tema comparando frases del estilo ldquoEl callo molestoEacutel calloacute molestordquo

He aprendido con tu artiacuteculo maacutes sobre la poliacutetica vasca que en meses de estar leyendo Maragall resolveriacutea la ecuacioacuten diciendo Beacute no cal preocupar-shi quan sigui el moment ella es resoldragrave sola Nuestro ex presidente se ha mostrado de nuevo tan eficaz como los

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Time-men tras el desaguisado uacuteltimo de la renovacioacuten del tripartitohellip pero chitoacuten dejemos estas incursiones poliacuteticas aunque no sin publicar el artiacuteculo Gracias

Otro proliacutefico miembro de nuestro club de amigos es Mariano Nieto de Madrid quien

manda la solucioacuten del curioso problema

Y antildeade Hola JM De un momento a otro salgo para Zafara (iquestDe doacutende viene ese nombre) junto a los

Arribes del Duero cerca hay otro pueblo con la misma eufoniacutea y que combina casi las mismas letras Fariza Tambieacuten hay otro que se llama Muga alguien me dijo que Zafara significaba como Muga frontera

Hemos estado en Potes recorriendo un poco la Lieacutebana alliacute coincidimos para comer cerca de Colombres con unos amigos de Alella Joan Friacuteas i Ros y Anna Orfila Por cierto en Colombres hay un curioso palacio azul rodeado de un bello jardiacuten con grandiacutesimos magnolios que alberga el museo de la emigracioacuten Me recordoacute el que se describe en la novela El palacio azul de los ingenieros belgas cuya accioacuten transcurre en Asturias

Una coincidencia curiosa mi hija mayor ha viajado la semana pasada con su marido a Milaacuten (los dos son historiadores) los llevamos al aeropuerto y para que pasasen el rato distraiacutedos les di el problema de Gastoacuten de Foix En Milaacuten visitan el castillo de los Sforza y en su museo contemplan una estatua yacente de un personaje

iexcliexcliexclGastoacuten de Foix (Gastoacuten murioacute en la batalla de Raacutevena ganada por los franceses y fue enterrado en Milaacuten) Te mando una foto del monumento debido al escultor Agostino Busti ldquoBambaiardquo es una de las mejores piezas del museo

Problema propuesto por Mariano Nieto en [C-90] Durante la guerra 1914-18 fue descubierta una tumba de un

soldado franceacutes muerto el uacuteltimo diacutea de un mes durante otra guerra en Italia La alabarda del soldado franceacutes se encontraba a su lado El producto del diacutea del mes inscrito en su laacutepida por la longitud en pies de la alabarda por la mitad de los antildeos transcurridos entre la muerte del soldado y el descubrimiento de su tumba y finalmente por la mitad de la edad del comandante franceacutes de la expedicioacuten en que murioacute el soldado es igual a 451066 iquestCoacutemo se llamaba el comandante franceacutes

Solucioacuten Si descomponemos el nuacutemero 451066 en factores primos nos

encontramos con 451066 = 271129101 El uacuteltimo diacutea del mes ha de ser forzosamente el 29 por tanto estamos hablando de un mes de febrero de 29 diacuteas La longitud de la alabarda ha de ser forzosamente igual a 7 pies nos quedan por emplear tres factores 2 11 y 101 Son por tanto posibles dos soluciones o bien 101 o 202 es la mitad de los antildeos transcurridos entre la muerte del soldado y el descubrimiento de la tumba Pero entre 1712 y 1716 por una parte la alabarda ya no se utilizaba y por otra no hubo intervenciones francesas fuera de Francia Asiacute 202 es la mitad del nuacutemero de antildeos transcurridos siendo entonces la edad del comandante 22 antildeos El antildeo 1512 tuvo lugar la batalla de Raacutevena entre espantildeoles y franceses siendo mandadas las tropas francesas por el comandante franceacutes Gastoacuten de Foix nacido en 1489

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He estado pensando el siguiente problema iquestCuaacutentos tetraedros no superponibles pueden construirse con seis segmentos de longitudes 1112131415 y 16 iquestQuieres pensarlo Mi razonamiento me lleva a 60

iquestCuaacutendo empiezas en RNE

GASTOacuteN DE FOIX

Agostino Busto llamado el Bambaia Castello Sforcesco ndash Milan

Gracias por los problemas son un buen ejemplo de coacutemo resolver un problema en el sentido ingenieril (no solamente matemaacutetico) del teacutermino hurgando en todas partes en busca de datos y su organizacioacuten De todos modos encuentro que el de Gastoacuten de Foix es adecuado para los franceses maacutes conocedores de esa figura

En mi opinioacuten Zafara es una deformacioacuten de zafra del aacuter al-safar lsquoperiacuteodo en que amarillean las cosechasrsquo (de donde la zafra de azuacutecar en Cuba) Curioso el apellido Orfila aparece en una deliciosa poesiacutea de Agravengel Guimeragrave que empieza

Hi ha un argenter A lrsquoArgenteria de tant or filar li diuen lrsquoOrfila El fila tan prim que tot just sacutealbira nacuteapar un cabell del front dacuteuna nina El filador dacuteor diu que en teacute una filla que eacutes un pom de flors no cal que us ho diga

(Al final la chica se metiacutea a monja y se deciacutea que el platero vendiacutea ldquoper or fi cabells de

sa fillardquo) En realidad Orfila viene de Wulfila nombre germaacutenico lsquolobo decididorsquo No seacute muy bien el significado de Fariza obviamente aacuterabe que podriacutea derivar de fara

lsquopropiedadrsquo como el pueblo catalaacuten de Faregraves ldquoque tots el busquen i no saben on eacutesrdquo seguacuten reza el chiste de sus vecinos Muga es efectivamente lsquoborne liacutemitersquo existe en Cataluntildea un riacuteo Muga cercano a Ter que como eacutel desemboca en la bahiacutea de Roses curvada y luminosa formada por dos arcos de elipse de ejes en relacioacuten armoacutenica que quizaacute por esto tanto gustoacute a los griegos (Empuacuteries) Alliacute se encontroacute Fernando VII con el general Copons que habiacutea salido a recibirle al hacer su entrada en Espantildea tras el destierro de Valenccedilay (1814)

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Tras pensar en tu problema encuentro tu solucioacuten correcta No empeceacute en RNE Acortaron el programa ldquoNo es un diacutea cualquierardquo y por lo visto en ese nuevo formato no habiacutea lugar para mi espacio El iacutendice de audiencia mandahellip

Pedro Crespo de Barcelona contribuidor y coeditor manda la siguiente carta Estoy consternado En un foro puacuteblico Putin ha dicho recientemente que no le hablen a eacutel de

corrupcioacuten cuando lo de los alcaldes espantildeoles da ciento y raya a toda Rusia Pero no es ese episodio lo que me ha trastornado porque que Espantildea es una olla bullente de corrupcioacuten enmadejada con la poliacutetica es algo que viene de antiguo y que todos los que tenemos oiacutedos para escuchar tenemos ya largamente asumido

No Lo que me ha conmovido tiene que ver maacutes con una revelacioacuten Resulta que alcanceacute a ver un telediario en el que emitieron parte de la conversacioacuten que habiacutea sido pinchada por la policiacutea de uno de tales alcaldes que no haciacutea mucho habiacutea regresado de poner a buen recaudo en Andorra un apreciable montoacuten de miles de euros casi un milloacuten Y las palabras pinchadas que correspondiacutean al reclamo de la claacutesica comisioacuten (unos cuarenta millones de euros en este caso) deciacutean casi literalmente asiacute laquoporque yo soy el que firmo y no voy a estar aquiacute vieacutendolas pasar Somos once iquestno Pues yo quiero mi once por cientoraquo

Al instante me di cuenta de mi tragedia ya que mis elementales matemaacuteticas me dicen que yo hubiera reclamado siendo once a repartir poco maacutes del nueve por ciento Y de inmediato se me hizo la luz iexclLas matemaacuteticas empobrecen

Como ya he comenzado a poner remedio al asunto queriacutea que supieras que ya no colaborareacute maacutes con mis seudo matemaacuteticas en Carrollia Si acaso enviareacute algunos artiacuteculos que ya estaacuten elaborados la mayor parte producto de las reflexiones a las que me movioacute el artiacuteculo de Viantildea De ahora en adelante enviareacute cuentos cortos y algunas reflexiones sobre la brevedad y la falta de sentido de la vida

Por suerte un amigo neurofisioacutelogo que se ha compadecido de miacute me estaacute ayudando a olvidar del todo las escasas (eso ayuda en la tarea) matemaacuteticas que recordaba Me asegura que la foacutermula magistral que ha preparado consigue el bloqueo de todas las sinapsis de los circuitos loacutegicos del cerebro

Seguacuten la uacuteltima resonancia que me hizo la labor estaacute ya cumplida Yo no lo veo asiacute sin embargo porque justamente se me acaba de ocurrir un meacutetodo matemaacutetico para prosperar y que consiste en comprar cosas a diez y venderlas a cien y con ese diez por ciento pienso hacerme con un coacutemodo y raacutepido patrimonio

Gracias por el buen rato que me ha hecho pasar tu carta festiva y bromista (supongo que es una broma eso de que no escribiraacutes maacutes artiacuteculos con componente matemaacutetica) La ocurrencia del edil me recuerda la de un fondista de mi pueblo que serviacutea deliciosos platos confeccionados con ldquocarne de perdizrdquo Estrechado a preguntas por algunos que sospechaban que la mezclaba con carne de caballo acaboacute confesando que ldquoSiacute tant a tantrdquo (en catalaacuten ldquoa partes igualesrdquo) y aclaroacute tras nuevas acometidas ldquoUna perdiz un caballordquo

Escribe Xavi Burgueacutes de Granollers El divendres em vaig trobar en un llibret amb la programacioacute de Catalunya Muacutesica un

passatemps que no havia vist mai un sidoku Es tracta duna variant del sudoku de 7 x 7 de manera que cada nota musical ha daparegraveixer una i nomeacutes una vegada a cada fila columna i grup A diferegravencia dels sudokus els grups no soacuten quadrats sinoacute que tenen formes qualssevol amb una superfiacutecie aixograve siacute de 7 quadres Hi ha doncs set files set columnes i 49 quadres repartits en set grups

Addicionalment hi ha uns quadres destacats i un tiacutetol duna obra musical les notes que quedin en aquests quadres soacuten un fragment de lobra citada

La direccioacuten que da Xavi es wwwsidokuscom Recomiendo su visita Y estoy seguro

de recibir en breve alguno maacutes iquestno es verdad Jesuacutes Lladoacute Y asiacute burla burlando hemos llegado al final iexclFelices fiestas navidentildeas Los editores

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Los 90 antildeos de Francesc Castanyer Como se anunciaba en [C-90] Francesc Castanyer recibioacute el 16 de septiembre un carintildeoso homenaje de algunos de sus numerosos amigos Ahiacute le vemos flanqueado por los otros dos editores Albaigegraves y Crespo los tres muy ufanos disfrutando del calorcillo mediterraacuteneo en una terraza de la playa de Torredembarra (Tarragona) Durante la comida en la que participaron tambieacuten Dolors Hipoacutelito e Isabel Garciacutea consortes de los anteriores y tambieacuten carrollistas se recibieron numerosas llamadas telefoacutenicas de quienes queriacutean testimoniar su presencia afectiva en el acto Por muchos antildeos querido Francesc Los otros editores

Anuncio para escritores

Nuestro co-editor Josep M Albaigegraves ha sido nombrado por una prestigiosa editorial director de una coleccioacuten de libros sobre matemaacutetica recreativa de proacutexima venta en quiosco Cada libro iraacute acompantildeado de un corto opuacutesculo sobre un tema monograacutefico de matemaacuteticas recreativas Se solicitan colaboradores El que tenga escrito o piense escribir alguacuten libro o artiacuteculo interesante ahora tendraacute la ocasioacuten de verlo publicado Deberaacute primar la amenidad y la concisioacuten

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Quienes esteacuten interesados que contacten conmigo al lugar de costumbre albaigesciccpes

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La yuml Vuelvo hoy a la vieja cuestioacuten de la ldquoyrdquo griega catalana cremada sobre la ldquoyumlrdquo que escrupulosamente respetan en sus transcripciones no soacutelo aficionados sino incluso alguacuten historiador de trayectoria irreprochable Personalmente me encontreacute con esa yuml por primera vez en la transcripcioacuten que un papiroacutelogo haciacutea mdashpor tercera vez ya y todas distintasmdash de cierto contrato que data en 1700 Me quedeacute sin poder consultarle por queacute transcribiacutea ldquocuyumlnardquo ldquomeyumltatrdquo y una veintena de veces ldquoyumlrdquo (aunque el documento ofreciese unas grafiacuteas que invitaban sin ninguna otra razoacuten a esa lectura) frente a las numerosas veces que apareciacutea la ldquoyrdquo sin maacutes complicaciones Por eso defendiacute yo que esa dieacuteresis no pasaba de ser un adorno sin valor foneacutetico ni ortograacutefico un rasgo tan caprichoso como el travesantildeo con que algunos cruzamos el trazo descendente de la ldquoqrdquo o el ascendente del ldquo7rdquo Sin embargo la insistencia de quienes seguiacutean transcribiendo esa crema o dieacuteresis sobre la ldquoyrdquo griega me llevoacute a consultar al Instituto de Estudios Catalanes desde donde se me advirtioacute mdashcomo ya he referidomdash que tal grafiacutea se debiacutea a la contiguumlidad de una ldquoirdquo breve y de una ldquoirdquo larga (de una ldquojrdquo) escritas ambas con sus puntos usuales Pero ninguno de mis corresponsales admitioacute esa explicacioacuten Y hoy vuelvo a mis posiciones aunque enriquecido por una informacioacuten minuciosa Al parecer la ldquoirdquo medieval careciacutea de punto pero en textos redactados en algunos territorios de la Corona de Aragoacuten tanto en latiacuten como en catalaacuten durante el XIII y una parte del XIV la ldquoyrdquo se escribiacutea paradoacutejicamente con un punto (soacutelo uno) encima lo que es imposible de reproducir en las copias mecanograacuteficas que por consiguiente se limitan a escribir esa letra sin puntuacioacuten Y cuando en esos viejos textos concurriacutean dos iacutees fue tambieacuten frecuente mdashsobre todo a final de palabramdash escribir la primera como una ldquoirdquo corta y la segunda como una ldquoirdquo larga pero sin que una y otra dejasen de ser iacutees de igual sonido aunque distinto trazo Transcribir ahora como ldquoijrdquo aquella grafiacutea cuando ya ambas letras tiene un sonido diferente y cuando carecemos de un signo que represente la ldquoirdquo larga (aunque convencionalmente la representemos por una ldquojrdquo) podriacutea prestarse a interpretar que estamos ante dos diferentes sonidos y parece loacutegico exponer la identidad del sonido de ambas iacutees antes que insistir en un trazo (el de la ldquojrdquo) que pretendidamente representase la caligrafiacutea de una ldquoirdquo larga (Otra cosa puede ser la de su funcioacuten decorativa por ejemplo en la numeracioacuten a la romana en minuacutescula) Naturalmente estamos hablando de dos iacutees latinas contiguas y en ninguacuten modo de una ldquoyrdquo con la que esas dos iacutees contiguas han llegado en ocasiones a identificar su trazo en escritos catalanes de al menos el XVIII y el XIX Sin duda una vez admitido el uso de puntuar la ldquoirdquo se extendioacute caligraacuteficamente (no tipograacuteficamente) y por duplicado a la ldquoyrdquo o sea ldquoyumlrdquo aunque sin valor foneacutetico ni ortograacutefico alguno y sin maacutes razoacuten al parecer que la de que ese signo acaba en una doble cuacutespide La expresioacuten ldquoponer los puntos sobre las iacuteesrdquo rebasaba asiacute sus propias limitaciones Y temo que estemos encontraacutendonos ante una situacioacuten pareja a la que se produce cuando una ese alta (como la que emplea Suaacuterez en su traduccioacuten de Lalande seguacuten era de uso entonces) tan parecida a una efe se transcriba como tal efe (seguacuten vemos por ejemplo en la transcripcioacuten moderna de esa traduccioacuten llevada a cabo por Arespacochaga y Seral y en la que leemos cosas como la conferva de Plinio por la ldquoconservardquo) Otra cosa es el alemaacuten donde la ese alta seguida de una ese baja sigue conservando en su tipografiacutea un signo propio Rafael Leoacuten Maacutelaga 2005

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LAS CARTAS DE TIJERA Pensamos en el papel como la superficie sobre la que manual o mecaacutenicamente

dejamos una huella de tinta que va reproduciendo el curso del pensamiento o de la inspiracioacuten Pero en otro tiempo hubo un modo de escribir sin tinta un modo de escribir recortando en el papel con unas tijeras el trazo de unas letras no escritas por la pluma o el caacutelamo o siguiendo ese trazo con la punta al rojo de un alfiler

Una referencia en castellano sobre este arte se conservaba en las estrofas 40 a 44 de los Proverbios de Don Santo de Carrioacuten o Rabiacute Sem Tob Ardutiel contemporaacuteneo de Pedro I de Castilla y feliciacutesimo escritor tambieacuten en hebreo entre otras cosas de un Debate entre el caacutelamo y las tijeras Con el paso de los antildeos sin embargo tales estrofas de sus Proverbios habiacutean llegado a extenuar su significacioacuten

Bueno seraacute reproducirlas aquiacute previa advertencia de que en ese texto castellano (tan proacuteximo ya a lo que seriacutea el espantildeol) astroso estaacute por ruin cuidar por cavilar infinta por fingimiento ca por pues puesto que ya que dentildear por dignar meollo por interior substancioso caxcas por caacutescaras finqueacute por lsquoquedeacutersquo

Y ahora siacute reproduzcamos esas estrofas

Un astroso cuidaba Y por mostrar que era sotil yo le enviaba escripto de tisera El nescio non sabiacutea que lo fiz por infinta porque yo no queriacutea perder en eacutel la tinta Ca por non le dentildear fize vazia la llena y no lquise donar la carta sana buena Como el que tomaba meollos de avellanas para siacute y donaba al otro caxcas vanas Yo del papel saqueacute la razoacuten que deziacutea con ella me finqueacute dile carta vaziacutea

(Fragmento del opuacutesculo del mismo tiacutetulo de Rafael Leoacuten)

Lo mismo ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte punta seca lavis buril y bruntildeidor ndash 162 z 223 mm

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Problema del Autoacutedromo de Sant Pere de Ribes

Enunciado En Sant Pere de Ribes cerca de Sitges provincia de Barcelona hay un circuito autoacutedromo abandonado que tiene forma oval Cada uno de los dos extremos tiene un radio estimado en 131 metros y una pendiente estimada de 60 grados sexagesimales

iquestA queacute velocidad debe ir un automoacutevil en dicha pendiente para no resbalar hacia abajo ni hacia arriba

Resolucioacuten

Sobre el automoacutevil actuacutean 2 fuerzas el peso p

y la reaccioacuten perpendicular del suelo f debida a la curva

Llamando m a la masa del automoacutevil y g a la aceleracioacuten de la gravedad se sabe

mgp =

Para que el automoacutevil no resbale el valor de f

debe ser tal que al descomponerlo en f1 y f2 se produzca

pf =1

La fuerza f2 es la fuerza llamada centriacutepeta porque su direccioacuten y sentido es hacia el centro de curvatura de la trayectoria del moacutevil es bien sabido que llamando v a su velocidad y r al radio de curvatura de la trayectoria se cumple que la fuerza centriacutefuga se puede expresar

rvmf

2

2 =

Ademaacutes la trigonometriacutea permite escribir 2

1o30 tgff

=

Las ecuaciones anteriores forman un sistema de 4 ecuaciones entre las que se puede suprimir f1 f2 p y m

222o30 tg

vrg

rvm

mg

rvm

p===

de donde despejando v y sustituyendo valores

kmh 8169ms 247057735

819 middot 13130 tg o ====rgv

Conclusioacuten Para no resbalar hacia abajo ni hacia arriba en dicha pendiente el automoacutevil debe ir a 1698 kmh Marcel Mantildeeacute

60o

p

f

f2

f1 30o

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EL TESORO OCULTO El pirata llegoacute a la isla donde decidioacute ocultar su tesoro Como puntos de referencia encontroacute un pozo (P) una roca (R) y un viejo olmo (O) Para ubicar el lugar exacto donde iba a enterrar

su arcoacuten repleto de doblones decidioacute fijar los puntos Pacute y Racute trazando las rectas PPacute perpendicular e igual a PO y RRacute perpendicular e igual a RO Finalmente unioacute con una recta los puntos Pacute y Racute determinando su punto medio T donde enterroacute el tesoro Pasado cierto tiempo regresoacute a la isla y encontroacute sorprendido que el viejo olmo habiacutea desaparecido sin dejar huella de su emplazamiento Afortunadamente el pirata era un buen

geoacutemetra y se las arregloacute para dar con el lugar exacto donde antantildeo habiacutea enterrado su tesoro iquestCoacutemo se las arregloacute Solucioacuten Si prolongamos la liacutenea PR a derecha e izquierda y bajamos a ella las perpendiculares PacuteA OD TC y RacuteB es faacutecil ver que los triaacutengulos OPD y ODR son respectivamente iguales a los PPacuteA y RRacuteB Ocurre entonces que PacuteA = PD y RacuteB = RD por consiguiente PacuteA + RacuteB = PR = 2 CT Como por otro lado AP = RB = OD C seraacute el punto medio de PR Asiacute pues para hallar T bastaraacute levantar una perpendicular a PR por su punto medio C y llevar una distancia CT igual a la mitad de PR Aristogeronte Madrid Agosto 2006

Siempre sucede ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte y aguatinta ndash 178 x 219 mm

T

R

P

O

P R

D C B A

T

R

P

O

P R

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PROBLEMA DE EDADES En un congreso mundial de matemaacuteticos coinciden tres amigos Andreacutes Blas y Carlos que conversan animadamente De su conversacioacuten extraemos los siguientes datos Andreacutes dice Mirad queacute coincidencia hoy es nuestro cumpleantildeos Blas contesta Mayor coincidencia es que la suma de los cuadrados de nuestras edades es 2490 igual al nuacutemero de asistentes al congreso Carlos expresa Todo eso es cierto Pero cuando Andreacutes tenga la edad de Blas la suma de los cuadrados de nuestras edades seraacute 3841 igual al coste en pesetas de la habitacioacuten del hotel Ademaacutes con estos datos cualquier congresista puede averiguar nuestras edades Hallar las edades Solucioacuten Las edades hoy son nuacutemeros enteros Andreacutes = x antildeos Blas = y antildeos Carlos = z antildeos Cuando Andreacutes tenga la edad de Blas habraacuten pasado (y-x) antildeos tiempo que habraacute transcurrido igual a los tres Entonces las edades seraacuten Andreacutes = x + (y-x) Blas = y + (y-x) Carlos = z + (y-x) (x + y-x)2 + (y + y-x)2 + (z + y ndashx)2 = 3841 Desarrollando x2 + y2 + z2 + (y-x) (-x +5y +2z) = 3841 Como x2 + y2 +z2 = 2490 (1) (y-x) (-x +5y +2z) = 3841 ndash 2490 (y-x) (-x +5y +2z) = 1351 Descomponemos 1351 en producto de 2 factores = 7 middot 193 y ndashx = 7 -x +5y +2z = 193 Resolviendo el sistema x = y ndash 7 z = 93 ndash 2y Sustituyendo en (1) (y ndash 7)2 + y2 + (93 -2y)2 = 2490 6y2 ndash 386y +6208 = 0 y1 = 32 y2= 973 y2 no es solucioacuten por ne entero Solucioacuten Andreacutes = 25 antildeos Blas = 32 antildeos Carlos = 29 antildeos Acebrian febrero 2006

Con razoacuten o sin ella ndash Francisco de Goya (Los

desastres de la guerra) ndash Aguafuerte punta seca lavis buril y bruntildeidor ndash

150 x 209 mm

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Reparos a la teoriacutea FSM

Qui nimium probat nihil probat (El que prueba demasiado no prueba nada)

Incluso la filosofiacutea la especulativa filosofiacutea se esfuerza por respetar las liacuteneas convencionales del razonamiento y de la loacutegica Incluso la filosofiacutea cuando examina el universo fiacutesico y la propia vida trata de conciliarse con las corrientes cientiacuteficas sobre las que hay amplio consenso Incluso la filosofiacutea cuando se ocupa de la teoriacutea del conocimiento aplicada al mundo fiacutesico corre pareja con las consideraciones maacutes asentadas de la epistemologiacutea cientiacutefica y no es raro que los tratados filosoacuteficos cuyo enfoque es la metodologiacutea del conocimiento tengan en cuenta los descubrimientos de la fiacutesica de vanguardia tales como las teoriacuteas relativistas y en especial los resultados paradoacutejicos de la fiacutesica cuaacutentica tan enormemente sugestivos al tiempo que elusivos En la biologiacutea y en lo que se refiere a las diversas manifestaciones de la vida y a los cambios de los que existe evidencia foacutesil se considera como asentada la liacutenea explicativa que parte de la exposicioacuten publicada por Darwin a comienzos de la segunda mitad del siglo XIX [1] Aunque no se tenga por definitiva y se reconozca incompleta sobre esa liacutenea maestra se elaboran actualmente explicaciones y correcciones a la misma El descubrimiento de la geneacutetica y de sus mecanismos iacutentimos ha supuesto un enorme impulso en cuanto a las investigaciones en este campo que ahora constituye un considerable tesoro de saber Por eso nos preocupa e incluso nos solivianta la corriente FSM de una explicacioacuten alternativa que seguacuten apreciamos se va abriendo camino incluso en universidades [2] Se trata de una corriente que ha experimentado un crecimiento notable en los uacuteltimos antildeos y que interpreta nuestro universo incluida la manifestacioacuten de la vida en teacuterminos del recurso a la intervencioacuten de una entidad inmaterial el FSM de la que se ofrece a veces una representacioacuten tangible a la que se le atribuyen poderes trascendentes como la omnipresencia y la capacidad ilimitada de intervencioacuten Si hemos de ser honestos debemos reconocer que los argumentos en los que se apoya la teoriacutea a la que aludimos son en principio irrebatibles Lo que es maacutes se ajustan mejor que las teoriacuteas que actualmente se tienen por cientiacuteficas a uno de los preceptos maacutes respetables de la ciencia como es el del reduccionismo metodoloacutegico Seguacuten el principio de Occam de la economiacutea (navaja de Occam) [3] en efecto cuanto menor es el repertorio de afirmaciones que haya que admitir como dadas al elaborar una teoriacutea maacutes aceptable seraacute eacutesta (laquopluralitas non est ponenda sine necessitateraquo) La teoriacutea que tratamos de rebatir cumple extraordinariamente bien con este requisito puesto que lo uacutenico que se requiere es la aceptacioacuten de la hipoacutetesis mencionada de la entidad conocida como FSM De todos modos no estaacute de maacutes recordar que lo que Occam dice exactamente es que en igualdad de condiciones la solucioacuten maacutes sencilla es probablemente la correcta Y probablemente como estaacute claro no equivale a necesariamente No obstante no podemos evitar que nos parezcan forzadas y como argumentadas ad hoc algunas de las explicaciones que da el principal abanderado de dicha corriente de pensamiento y primero en presentarla y defenderla Robert Hendenson Graduado en fiacutesicas no podemos pensar del mismo que le sea ajeno el rigor y la criacutetica cientiacutefica A pesar de todo lo cierto es que algunos de sus razonamientos son

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impecables como cuando explica el por queacute resulta aparente la edad de la Tierra estimada por los meacutetodos cientiacuteficos al uso Veamos sus razones laquo[] Lo que esas personas no comprenden es que Eacutel [el autor se refiere a la entidad FSM] hizo el mundo para hacernos creer que la Tierra es maacutes antigua de lo que realmente es Asiacute por ejemplo un cientiacutefico puede llevar a cabo un proceso de datacioacuten mediante carbono-14 sobre un artefacto y encuentra que aproximadamente el 75 por ciento del carbono-14 se ha desintegrado en nitroacutegeno-14 a causa de la emisioacuten de electrones e infiere que dicho artefacto tiene una antiguumledad de unos diez mil antildeos puesto que la vida media del nitroacutegeno-14 parece ser de 5 730 antildeos Pero lo que nuestro cientiacutefico no advierte es que cada vez que efectuacutea una medida la entidad FSM estaacute alliacute cambiando los resultados con su seudoacutepodo Disponemos de numerosos textos que describen en detalle como es esto posible y las razones por las que Eacutel lo hace Eacutel es por supuesto invisible y puede pasar a traveacutes de la materia normal con facilidadraquo Hay algo en esta explicacioacuten que no nos satisface Naturalmente es irreprochable pero cierta percepcioacuten nos dice que se aparta excesivamente del meacutetodo cientiacutefico por antonomasia La teoriacutea FSM no es por su propia naturaleza falsable de modo que de acuerdo con las tesis de Karl Popper una doctrina de ese tipo no se bate en condiciones de igualdad con el resto de las teoriacuteas por lo que ha de ser apartada como teoriacutea insana ―desde el punto de vista de la ciencia entieacutendase bien― y privada sin maacutes del derecho a contender en la arena cientiacutefica Es cierto que para Popper al contrario de lo que afirma el positivismo tiene sentido la aseveracioacuten de la existencia de la entidad FSM pero este autor delinea muy bien los liacutemites que separan tales tipos de proposiciones de las de caraacutecter cientiacutefico y la que nos ocupa queda claramente al margen de eacutestas [4]

Fig 1 ndash FSC en el instante de animar al primer ser humano Podriacutea argumentarse desde luego y aquiacute nos situamos del lado del punto de vista de Thomas Kuhn que la teoriacutea FSM nos coloca frente a un nuevo paradigma cientiacutefico Para Kuhn en efecto la ciencia no procede por agregaciones progresivas en torno a un nuacutecleo creciente de conocimientos sino antes bien por cambios abruptos del marco completo de la teoriacutea dominante lo que se conoce como

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desplazamientos del paradigma En este sentido podriacuteamos sentirnos inclinados a aceptar que el paradigma FSM nos traslada a un marco radicalmente nuevo No obstante la ciencia no se caracteriza por cambios de naturaleza tan radical Antes bien en los cambios de paradigma a que alude Kuhn siempre ha ocurrido que los nuevos formalismos incluyen a los anteriores en el sentido de que eacutestos se recuperan por paso al liacutemite con respecto a ciertas condiciones o paraacutemetros que han cobrado maacutes generalidad en la nueva teoriacutea Y esto no ocurre en absoluto con la propuesta FSM que prescinde del todo del acervo de saber histoacuterico Nos sentimos obligados a denunciar tambieacuten que las representaciones de la entidad FSM son en cierto modo antropomoacuterficas Sugeririacuteamos prescindir de lo que parecen ser unos ojos y un soma central para dejarlo reducido al conjunto de seudoacutepodos que podriacutean llegar a identificarse con los filamentos de la teoriacutea de cuerdas o en su enmadejamiento formar el tejido de las supercuerdas La ubicuidad podriacutea sustituirse por un nuacutemero ilimitado de copias del FSM actuando en resonancia no local El universo volveriacutea a ser de este modo de nuevo cartesiano dominado por un plenum que lo abarca todo La actuacioacuten instantaacutenea a distancia estariacutea avalada por la verificacioacuten de las condiciones de Bell relativas a la paradoja EPR que ha significado el espaldarazo a la no localidad en el mundo fiacutesico A pesar de todo algo en nuestro interior nos dice que la doctrina FSM es aberrante Quizaacute se deba al lastre de la educacioacuten recibida Despueacutes de todo uno es irremediablemente producto de la forja de su tiempo y nunca es faacutecil superar esa inercia intelectual Hijo ―o debiera decir posiblemente prisionero― de la edad de la razoacuten yo presiento con temor que una nueva Edad Media y estoy pensando en su lastre de oscurantismo se alza amenazante en el horizonte y la melancoliacutea me atenaza amargamente el corazoacuten P Crespo septiembre 2006 [1] On the Origin of Species by Means of Natural Selection or The Preservation of Favoured Races in the Struggle for Life abreviado como The Origin of Species (El origen de las especies) publicado en 1859 Este libro establecioacute la evolucioacuten (cambios espontaacuteneos hereditarios que se imponen cuando son favorables a la especie habida cuenta de los condicionantes del entorno) a partir de un ascendiente comuacuten como la explicacioacuten cientiacutefica dominante de la diversificacioacuten de las formas de la vida en la naturaleza [2] Home page httpwwwvenganzaorg

[3] William of Occam fraile franciscano ingleacutes del siglo XIV (aprox 1285-1349) Lo que se conoce como la navaja de Occam era un principio muy comuacuten en la filosofiacutea medieval (el principio de economiacutea o de parsimonia) y no tuvo su origen con Willian de Ockham pero debido al uso frecuente que eacuteste le daba a dicho principio su nombre acaboacute inseparablemente ligado a eacutel

[4] Karl Popper (1902 1994) La loacutegica de la investigacioacuten cientiacutefica (Logik der Forschung 1934 ciacuterculo de Viena) En esta obra el filoacutesofo austriacuteaco abordoacute el problema de los liacutemites de demarcacioacuten entre la ciencia y proposiciones de otro caraacutecter Para Popper la clave estaacute en reconocer que el conocimiento cientiacutefico no avanza confirmando nuevas leyes sino descartando las que contradicen la experiencia lo que constituye el proceso de falsacioacuten Soacutelo han de admitirse como proposiciones cientiacuteficas aquellas para las que al menos conceptualmente es posible un experimento que las contradiga [5] Thomas Kuhn (1992 1996) Este cientiacutefico norteamericano es famoso principalmente por su libro La estructura de las revoluciones cientiacuteficas (1962) La idea que preside el pensamiento de Kuhn es la de que la ciencia no progresa por acumulacioacuten de nuevo conocimiento sino por desplazamientos de los paradigmas que transforman abruptamente la naturaleza del conocimiento

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Matemaacuteticas de los poliacuteticos vascos Patxi Igandekoa

Pongamos el tiacutepico sistema de ecuaciones de primer grado de dos incoacutegnitas x+y=5 4x-2y=2 (Antes ensentildeaban a resolverlos en 1ordm de BUP ahora en las academias cercanas a la Escuela de Ingenieros de Bilbao) Vaya por adelantado que la solucioacuten es x=2 y=3 No nos interesa esto sino la forma en que lo resolveriacutean dos miembros destacados de nuestra clase poliacutetica El Lehendakari Ibarretxe por ejemplo no tendriacutea dificultad Gracias a su formacioacuten y oficio de economista el valor de las incoacutegnitas aparece ipso facto en su mente sin necesidad de calcular nada Sin embargo eacutel querriacutea hacerlo con fundamento a la vasca Primero lo resolveriacutea por medios algebraicos y comprobariacutea si las soluciones cuadran Despueacutes empleariacutea el meacutetodo graacutefico pediriacutea papel boliacutegrafo y una regla y trazariacutea un eje de coordenadas cifras y finalmente dos rectas bien diaacutefanas y se asegurariacutea de que ambas se cortan en el par de valores correcto Acto seguido llamariacutea a un comiteacute de expertos del Gobierno Vasco y someteriacutea el asunto a su examen para que redactaran un informe en el que se estableciera sin ninguacuten geacutenero de dudas que la solucioacuten al sistema de ecuaciones propuesto vaacutelida tanto en Euskadi como en el resto de un universo eucliacutedeo es la que figura en los caacutelculos de Lehendakaritza Pero la cosa no termina aquiacute porque luego Josu Jon Imaz (otro peso pesado de las ciencias exactas) convocariacutea una mesa de partidos para buscar una solucioacuten paralela ndashpero concordante- al problema mediante acuerdos que incluyan a todas las sensibilidades del paiacutes Para un tema de intereacutes general como este ni siquiera el PP podriacutea negarse y a la exactitud de las estimaciones numeacutericas se antildeadiriacutea finalmente la sancioacuten democraacutetica del consenso Euforia y satisfaccioacuten en el EAJ-PNV ldquoHemos tardado lo nuestro pero valioacute la pena Trabajando duro y con meacutetodo nos hemos puesto las pilas comenzamos el curso con los deberes hechos etc etcrdquo iquestY Patxi Loacutepez iquestCoacutemo reaccionariacutea delante del mismo problema Imaginen a uno de sus correveidiles pasaacutendoselo por encima de su ejemplar abierto de ldquoEl Correo Espantildeolrdquo en plena sesioacuten del Parlamento Vasco Apresurada lectura treacutemulo parpadear de ojos bailoteo de cifras en la mente ruido apenas perceptible producido por el rozamiento de unos dedos sobre la sienhellip ldquoNada otra engantildeifa del Lehendakari iexclSe va a enterar de esto en mi proacutexima rueda de prensardquo Apliacutequese el procedimiento de costumbre enviar por valija del partido a la calle Ferraz para que lo resuelvan alliacuterdquo Y alliacute efectivamente son nada menos que Joseacute Luis Rodriacuteguez Zapatero Presidente del Gobierno de Espantildea y Joseacute Blanco su iacutenenarrable y gallego jefe de bomberos quienes se encargan de despejar las incoacutegnitas Podemos imaginarnos el resultado ldquoiquestAlgebra iquestGraacuteficos cartesianos iexclUff somos de letras iquestQueacute tal si traemos a nuestro informaacutetico para que eche una manordquo ldquoNo mucho maacutes simple Joseacute Luis hacemos x=0 y=0 y ya estaacute Yo seacute algo de matemaacuteticas lo suficiente para recordar que a esto lo llaman lsquosolucioacuten trivialrsquo Es perfectamente legiacutetimo iquestQueacute te parecerdquo ldquoDe entrada bien Pepe Pero asi no puedes resolver un sistema de primer grado iexclel resultado no coinciderdquo ldquoNo importa lo quitamos tambieacuten Escondemos el 5 y el 2 cubrieacutendolos con typex ndashya nos ocuparemos de ellos en la proacutexima legislatura- y hacemos ambas expresiones iguales a cero Ahora las incoacutegnitas siacute coinciden con la ventaja antildeadida de que entonces las de Imaz no Hemos resuelto el problema de matemaacuteticas vasco reducieacutendolo a la no existencia Jean-Paul Sartre estariacutea orgulloso de nosotrosrdquo La solucioacuten es transmitida por mensajero (a portes debidos) a Sabin Etxea donde sesudos jeltzales la examinan moviendo la cabeza a un lado y a otro Habraacute que invertir mucho en centros de caacutelculo si queremos avanzar en el proceso de normalizacioacuten Al menos queda el consuelo de que si alguien quiere volar preferiraacute subirse a un aeroplano disentildeado por Ibarretxe que a otro construido con las matemaacuteticas que ensentildean en el Partido Socialista de Euskadi Publicado en Izaronews 6-9-2006

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Si las palabras de Chillida estaacuten recogidas con fidelidad lamento no estar de acuerdo con ellas porque no creo que las personas se encasillen tan faacutecilmente Pero de todos modos si ustedes creen que represento ese problema no tienen maacutes que haceacutermelo saber Porque como anuncieacute en la seccioacuten correo tireacute mi regla de caacutelculo al riacuteo para mirarla como se hundiacutea (era el uacuteltimo recuerdo del carintildeo que yo le teniacutea etc) y comienzo mis pinitos en cuentos cortos (muy cortos prometido) y otras atrevidas incursiones

[La figura es un recorte del libro de vintildeetas-paacutegina laquoel Arte - conversaciones imaginarias con mi madreraquo de Juanjo Saacuteez Aunque sus ideas sobre el arte parecen discutibles es un libro entrantildeable]

Una uacuteltima advertencia relativa al cuento que sigue y dirigida a los que puedan sacar la conclusioacuten de que tengo imaginacioacuten desviada las hemerotecas son del 29 de noviembre de 2003

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Caperucitas blancas En memoria de Joseacute Couso porque nos volvimos maacutes ciegos cuando sus ojos se apagaron

Una nintildea hasta haciacutea poco ahora cuajada en mujer moldeada por quince primaveras Faacutetima era la mayor de las dos hermanas La pequentildea Azraa a sus doce antildeos era todaviacutea un incipiente brote femenino delicado y menudo

Noviembre agotaba sus diacuteas y haciacutea cuatro que habiacutean empezado las fiestas del fin del Ramadaacuten el mes sagrado del ayuno Ese jueves la ilusioacuten se asomaba a los rostros de ambas hermanas porque iriacutean a cenar a casa de su abuela y pasariacutean la noche con ella Habriacutea puchero y berenjena rellena y despueacutes los dulces de pistacho y de miel y antes de dormir las historias de la lsquoyaddarsquo Jazmina ―la abuelita― llenas del encanto de otros tiempos cuando en los mercados de Baaquba competiacutean entre siacute los colores de los frutos las especias las telas y las alfombras y los asnos eran amigos resignados de los hombres y los paacutejaros hablaban con los nintildeos y eran alegres y eran parlanchines y traiacutean noticias de lugares exoacuteticos

La madre preparoacute una cesta con los pastelillos para el postre Pero la abuela habiacutea expresado el temor de no disponer de lentildea suficiente asiacute que las pequentildeas debiacutean pasar antes por el huerto del tiacuteo Abbash que siempre teniacutea preparada una reserva de lentildeos y sarmientos y habiacutea dado licencia a la familia para recoger de su finca todo aquello que fuera necesario Para llegar al huerto era obligado atravesar un trecho boscoso no era cosa de permitir que las sorprendiera la noche y puesto que la tarde ya se habiacutea insinuado las nintildeas se pusieron con diligencia en camino La pequentildea llevaba apoyada contra su cintura la cesta con los dulces y la mayor se hizo cargo de dos piezas de tela destinadas a sujetar la lentildea y de un hacha pequentildea para trocear los sarmientos

Ya en la finca llevoacute maacutes tiempo del previsto preparar los vaacutestagos para adecuarlos al tamantildeo de la menor de las muchachas y las sombras no esperaron Ante el asomo de la noche las nintildeas iniciaron el regreso en direccioacuten a la casa de la abuela cada una con su hatillo a la espalda la menor abriendo paso con la cesta de los pasteles en su regazo seguida de cerca por su hermana

A menos de cincuenta metros de alliacute Lobo Feroz Dos miraba por el visor de

infrarrojos e informaba de la escena a su compantildeero En el sendero que lindaba con el bosque dos siluetas blanquecinas se recortaban en la oscuridad en contraste con la espesura y los pantildeuelos que cubriacutean sus cabezas las perfilaban como dos caperucitas que se moviacutean avanzando deprisa La mayor pareciacutea sujetar una pistola en su mano

―Lobo Feroz Uno llamando a Halcoacuten Pardo ge-pe-ese delta sur uno doce oeste cero quince Dos sospechosas a la vista parecen llevar armas Esperamos instrucciones Cambio

―Halcoacuten Pardo a Lobo Feroz Ya conocen las consignas Cambio ―Parecen dos nintildeas― apuntoacute Lobo Feroz Dos ―Lobo Feroz Uno a Halcoacuten Pardo Es posible que se trate de dos menores

Solicitamos refuerzos para comprobacioacuten Cambio ―Sargento le recuerdo que estamos en la Operacioacuten Martillo de Hierro Debe

proceder seguacuten la consigna Cambio y corto ―Hemos de disparar― dijo Lobo Feroz Uno a Lobo Feroz Dos ―Pero ― balbuceoacute eacuteste ―Oacuterdenes Encaacutergate del objetivo de la izquierda yo tirareacute sobre el derecho

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La cabeza de Faacutetima se quebroacute como se rompe el fruto del granado cuando se lo arroja con fuerza contra el suelo Con su velo blanco habiacutea sido Caperucita Blanca mientras se desplomaba fue Caperucita a topos rojos poco tiempo despueacutes bajo los focos luminosos era Caperucita Roja yaciendo sobre la hierba del lindero del bosque ya para siempre dormida sus intensos ojos negros abiertos en un gesto uacuteltimo de asombro irracional A su lado la pretendida pistola no era sino el hacha nimia que le habiacutea servido de herramienta

Cerca de ella Azraa acribillada se debatioacute en el suelo durante un tiempo entre espasmos y dentelladas de dolor Desprendido el pantildeuelo varias manchas tentildeiacutean de carmiacuten sus cabellos que hasta entonces habiacutean sido siempre de un azabache casi mineral

La fase siguiente de la laquoOperacioacuten Martillo de Hierroraquo se puso en marcha Uno de los confidentes convocados reconocioacute a las muchachas e indicoacute a los soldados la situacioacuten de la cercana casa de la abuela en los andurriales de la ciudad

La puerta cedioacute ante el explosivo y saltoacute arrancada de cuajo junto con sus goznes Disipado el humo los soldados pudieron distinguir a una anciana enmudecida por el terror y desplomada sobre su cama Se registroacute la casa Dos humildes cuchillos de cocina fueron las uacutenicas armas encontradas

Cuando al diacutea siguiente fueron lavados los cuerpos de las nintildeas el agua sanguinolenta se desparramoacute por el patio y discurrioacute por albantildeales hasta verter en el riacuteo Tigris Diacuteas maacutes tarde en la orilla izquierda de la corriente a un rosal le brotariacutean rosas algo maacutes rojas y un limonero dariacutea limones amargos en la ribera derecha

La sangre de las nintildeas se entremezcloacute en el riacuteo en un postrero abrazo fraternal El sol hizo luego su labor de horno y partiacuteculas de sangre de Faacutetima y de Azraa ascendieron asidas al agua evaporada Desde entonces los atardeceres son algo maacutes escarlata en la tierra que otrora fue Mesopotamia y en todo el orbe resuena el eco milenario de las palabras del Antiguo Testamento dichas para los oiacutedos de los violentos laquoCaiacuten iquestqueacute has hecho de tu hermanoraquo P Crespo

Las camas de la muerte ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte lavis punta seca buril y bruntildeidor ndash 177 x 221 mm

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Reggae reggaehellip (riacutea riacutea)

La escuela y el alumnado

Eacutesta es la coleccioacuten de disparates maacutes sonados cometidos por alumnos de ESO y bachillerato en exaacutemenes de geografiacutea e historia

Perlas variadas bull Al final de la edad media empiezan a

imponerse normas morales como no masticar la sopa

bull Una de las principales manifestaciones del arte goacutetico fueron las piraacutemides que como todo el mundo sabe son apuntadas

bull A partir del Concilio de Trento el matrimonio cristiano debiacutea ser consumado en presencia de un sacerdote

bull Despotismo ilustrado los reyes teniacutean todo el poder pero teniacutean que obedecer cuando el pueblo se poniacutea de acuerdo entre ellos

bull A la juventud hitleriana la preparaban tan bien que al cabo de un antildeo eran capaces de matar a su madre

bull iquestQueacute opinas de la Constitucioacuten Que es buena y guapa

bull Actualmente el paiacutes maacutes pequentildeo de Europa es San Pedro del Vaticano

bull El rey puso a Franco para que trajera la democracia

bull Franco era el rey que habiacutea antes de Juan Carlos I

bull Espantildea no participoacute en la Segunda Guerra Mundial porque Hitler teniacutea miedo de Franco

bull Franco fue un poliacutetico dictador que consiguioacute imponer durante el reinado de Felipe II un reacutegimen dictatorial

bull No seacute en queacute antildeo murioacute Franco pero seacute que murioacute asesinado

bull Democracia es cuando hay gente que mata otra gente o cuando un paiacutes echa bombas a otro o se pegan unos a otros pues esto es democracia

bull Cartografiacutea las faltas de ortografiacutea bull Un paralelo es una de aquellas liacuteneas que

dividen la Tierra en trozos pero es imaginario

bull Continente partiacuteculas de tierra donde vivimos nosotros

bull Anticicloacuten es la temperatura caliente y se mide en milibares

bull Caacutetedra pensioacuten o escuela para los que queriacutean ser curas

bull Petroacuteleo se obtiene por tuberiacuteas llamadas oleoductos y sirve de combustible

bull Desarrollo sostenible es el desarrollo que no es ni alto ni bajo es decir es mediano

bull Poliacutegono hombre con muchas mujeres bull Delta es un riacuteo que lleva muy poca

agua bull Capital de Alemania Merliacuten bull Principales cultivos espantildeoles la uva

que produce el gran aceite que se fabrica en Espantildea

bull Islas de Oceaniacutea Islas Haguai bull Los vientos huracanados producen a

veces atauacutedes de nieve bull La pintura al fresco consiste en pintar al

aire libre bull Sufragista quiere decir que siempre estaacute

navegando por los mares bull La Guerra Friacutea se caracteriza por matar

gente a sangre friacutea bull Hambre endeacutemica es la que pasa cuando

hay epidemias bull La explosioacuten demograacutefica se produce

porque en algunos paiacuteses se producen islas producto de una erupcioacuten volcaacutenica que bastante grandes como para ser evitadas

bull Estado del bienestar significa que todo lo que es puacuteblico se ha de cuidar

bull Deuda externa es si vas aun supermercado y quedas a deber mucho si no tienes dinero Esto es la deuda externa

Serrano J Reboredo J (2005) Perlas variadas en Historia de Espantildea contada por estudiantes Madrid La Esfera de los libros (Remitido por M Dolors Hipoacutelito)

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iexclLas modelos no somos estuacutepidas Pregunta iquestEn queacute paiacutes la estaacuten solicitando como modelo Respuesta No lo puedo decir todaviacutea pero les puedo adelantar que es un paiacutes brasilentildeo que no queda muy lejos de aquiacute (Kate Moss ex modelo de Calvin Klein) Pregunta Si llegara un holocausto nuclear iquestqueacute pareja elegiriacutea Ud en todo el mundo (hombre y mujer) para preservar y multiplicar la especie humana Respuesta Al Papa y a la Madre Teresa de Calcuta (Carolina Zuntildeiga candidata a Miss Chile) El fumar mata Si te mueres has perdido una parte muy importante de tu vida (Brooke Shields entrevista para una campantildea federal antitabaco) Pregunta Si usted pudiera vivir siempre iquestlo hariacutea iquestpor queacute Respuesta Yo no viviriacutea siempre porque no deberiacuteamos vivir siempre porque si se supusiera que debieacuteramos vivir siempre entonces viviriacuteamos siempre pero no podemos vivir siempre que es por lo cual yo no viviriacutea siempre (Miss Alabama en el concurso Miss America 1999) Esa rastrera sinverguumlenza merece ser matada a patadas por un asno iexclY yo soy justo la indicada para hacerlo (Declaracioacuten de Claudia Shiffer sobre Naomi Campbell) No es la contaminacioacuten la que estaacute dantildeando el ambiente Son todas las impurezas en nuestro aire y en nuestra agua las que lo estaacuten haciendo (Pamela Anderson) No he cometido ninguacuten delito Lo que hice fue no cumplir con la ley (Jennifer Lopez al ser detenida junto con Puff Daddy) Siempre que veo la tele y veo a esos pobres nintildeos hambrientos en todo el mundo no puedo evitar llorar Quiero decir me encantaria ser asiacute de flaquita pero no con todas esas moscas y muerte y esas cosas (Mariah Carey cantante) Tomado de Internet por JMaiO 2006 Jacinto Benavente y la coma Doctor Mi previsioacuten se anticipa a todo Bastaraacute con puntuar debidamente alguacuten conceptoVed aquiacute donde dicerdquo Y resultando que no declaroacuterdquo basta una coma y dice ldquo Y resultando que no declaroacuterdquo Y aquiacuterdquoY resultando que no debe condenaacuterselerdquo fuera la coma y dice Y resultando que no debe condenaacuterselerdquo Crispiacuten iexclOh admirable coma iexclMaravillosa coma iexclGenio de la Justicia iexclOraacuteculo de la Ley iexcl Monstruo de la Jurisprudencia Jacinto Benavente Los Intereses Creados Acto segundo escena final

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Tomo una y entrego dos Mariano Nieto propone en [C-90] (seccioacuten correo) el problema que sigue En una urna hay una bola blanca y otra negra Se saca al azar una de ellas y se

devuelve a la urna acompantildeada de otra del mismo color Esta operacioacuten se repite un nuacutemero indefinido de veces

iquestCuaacutel es la probabilidad de que cuando la urna contenga 20 bolas haya 10 de cada color Solucioacuten

Sea (b n) la composicioacuten de la urna con b bolas blancas y n negras y llamemos etapa a cada intervencioacuten que extrae una bola de la urna y devuelve dos Convengamos en que la configuracioacuten de partida (11) corresponde a la etapa 1 En la etapa 2 tendremos las dos configuraciones posibles de la urna (21) y (12) asociadas con la misma probabilidad de 12

Esta simetriacutea inicial nos sugiere el siguiente procedimiento por induccioacuten Si suponemos que en la etapa n cada una de las n configuraciones posibles

(n 1) (n ndash 1 2) (n ndash 2 3) (n ndash a a + 1) (2 n ndash 1) (1 n) [1] tiene la misma probabilidad p de ocurrir (con p =1n por lo tanto) podemos calcular las probabilidades y configuraciones de la etapa n + 1

a) La probabilidad de la configuracioacuten (n + 11) (rama izquierda del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(n + 11) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

b) La probabilidad de la configuracioacuten (1 n+1) (rama derecha del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(1 n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

c) La configuracioacuten (n ndash a a + 2) con 0 le a le (n ndash 2) para asegurar que se recorre el rango de configuraciones de la etapa (n + 1) con exclusioacuten de las extremas antes consideradas proviene de (n ndash a a + 1) tras sacar una bola negra o bien de (n ndash a ndash 1 a + 2) luego de resultar blanca la bola extraiacuteda Su probabilidad seraacute por lo tanto

p x (a + 1) (n + 1) + p x (n ndash a ndash 1) (n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

de modo que todas las configuraciones de la etapa n + 1 tendraacuten tambieacuten la misma probabilidad en este caso 1(n + 1)

En la etapa 3 por ejemplo es faacutecil ver que las 3 configuraciones posibles (3 1) (2 2) y (1 3) comparten la probabilidad 13 Asiacute pues el meacutetodo de induccioacuten nos permite concluir que en la etapa n es decir tras n ndash 1 operaciones con la urna eacutesta contendraacute (n + 1) bolas y tendremos las n configuraciones posibles [1] a cada una de las cuales le corresponde la misma probabilidad 1 n

La configuracioacuten (10 10) por la que pregunta el problema perteneceraacute por lo tanto a la etapa n = 19 (tras 18 operaciones con la urna) y en consecuencia su probabilidad seraacute igual a 1 19 algo mayor que 526 por ciento

En general a la configuracioacuten (b n) donde b es el nuacutemero de bolas blancas y n el de negras siendo b y n nuacutemeros naturales cualesquiera ya que cualquier configuracioacuten es alcanzable le corresponderaacute la probabilidad p(b n) = 1 (b + n ndash 1) P Crespo septiembre 2006

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iquestDe doacutende sale el nuacutemero e Un escuchante miacuteo de RNE en el programa sobre matemaacuteticas de los antildeos 2005-06 me hace la siguiente consulta Cuando estudiaba sexto de bachillerato (plan de ensentildeanza 1957) un dia el profesor de matemaacuteticas llegoacute a clase y dijo Hoy toca el nuacutemero e Y a continuacioacuten escribioacute en la pizarra la expresioacuten conocida de liacutemite cuando n tiende a infinito de 1 maacutes 1 partido por n elevado a n La desarrolloacute por el binomio de Newton y obtuvo el conocido resultado de 2718281 Despueacutes nos dijo que el numero e era muy importante en matemaacuteticas y que se utilizaba para la base de los logaritmos neperianos Es curioso ver como la derivada del logaritmo neperiano de x = 1x EXACTO siendo la base del logaritmo un nuacutemero absolutamente INEXACTO IRRACIONAL Realmente me quedeacute sorprendido Primero de coacutemo al baroacuten de Neacuteper se le habiacutea ocurrido utilizar como base de logaritmos a un nuacutemero irracional y segundo por queacute nunca me explicaron a quieacuten se le ocurrioacute calcular el liacutemite de la expresioacuten (1+1n)n iquestPor queacute se le ocurrioacute a alguien esta expresioacuten y no otra iquestDe donde surgioacute tal necesidad Creo que eso era lo primero que mi profesor de matemaacuteticas teniacutea que habernos contado antes de calcular el liacutemite Probablemente el profesor no conociacutea la respuesta que efectivamente es difiacutecil de encontrar en los actuales libros de texto La definicioacuten actual de logaritmo de un nuacutemero es ldquoel exponente a que hay que elevar una base dada para obtener dicho nuacutemerordquo Asiacute por ejemplo en base 10 el logaritmo de 2 es log10 2 = 0301030 porque 100301030 = 2 (aproximadamente) Pero Neper no concibioacute asiacute el logaritmo para eacutel era el resultado de comparar una progresioacuten aritmeacutetica y otra geomeacutetrica Los teacuterminos de la primera seriacutean los logaritmos de los de la segunda Esto se ve muy claro en esta tabla en la que la razoacuten de la progresioacuten aritmeacutetica es 1 y la de la geomeacutetrica es 10

Progresioacuten aritmeacutetica (razoacuten 1) -3 -2 -1 0 1 2 3Progresioacuten geomeacutetrica (razoacuten 10) 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103

De la propia estructura de ambas progresiones se desprende que un producto de teacuterminos en la progresioacuten geomeacutetrica se corresponde con una suma en la progresioacuten aritmeacutetica Asiacute por las propiedades de los productos de potencias de una misma base seraacute log (xy) = log x + log y y tambieacuten log (xk) = k log x etc Por la misma tabla en la base 10 log (10-3) = log (0001) = -3 log (102) = log (100) = 2 etc Pero iquestqueacute ocurre con los valores intermedios iquestCoacutemo definir para ellos un logaritmo Neper intentoacute responder esta pregunta considerando dos progresiones de razones respectivas α y 1+β siendo (α β) muy pequentildeos Entonces dado un nuacutemero N siempre se podriacutea encontrar un valor n tal que (1+ β)n = N (dentro de una aproximacioacuten suficiente) Entonces el logaritmo de N seriacutea nα Las progresiones maacutes sencillas imaginables son aqueacutellas para las que α = β Entonces seraacute

log N = log [(1+α)n] = nα En esta expresioacuten n seraacute muy grande y α seraacute muy pequentildeo Haciendo nα = L podemos escribir la anterior igualdad

log N = log [(1+ α)1α]nα = log [1+ α)1α]L

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Definamos ahora el nuacutemero e como el liacutemite de (1+α)1α cuando α se hace infinitamente pequentildeo o sea

α

αα

1

0)1(lim +=

rarr

e

Y la expresioacuten se simplificaraacute notablemente

log N = log eL = L log e Resulta inmediatamente que el nuacutemero e = 2718281hellip es la base de logaritmos maacutes conveniente desde el punto de vista teoacuterico pues en ella seraacute log e = 1 Eacutestos son llamados los logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos (este uacuteltimo nombre procede de que miden el aacuterea subtendida entre una hipeacuterbola y su asiacutentota) El nuacutemero e es sin duda el maacutes importante en matemaacuteticas aunque π sea maacutes popular Se recuerdan sus primeras cifras con la mnemotecnia Te ayudareacute a recordar la cantidad a indoctos si releacuteesme bien Se aplica por el nuacutemero de letras de cada palabra Te = 2 ayudareacute = 7 etc En la praacutectica son maacutes usados los logaritmos decimales o de Briggs que tienen por base el nuacutemero 10 Presentan la ventaja de que la parte decimal de cada logaritmo (mantisa) no cambia al ser multiplicado el nuacutemero por una potencia de 10 lo que hace muy praacutecticas las tabulaciones El paso de los logaritmos de una a otra base es muy sencillo mediante el nuacutemero M = log 10 = 2302585 Se deduce sin dificultad que log x = M log10 x Josep M Albaigegraves Barcelona octubre 2006

El nuacutemero e es el uacutenico que verifica que el valor de la derivada (inclinacioacuten de la tangente en rojo en la figura) de f(x) = ex para cualquier valor de x es igual al valor de f(x)

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Cruzando el desierto en jeep Enunciado (propuesto por Mariano Nieto en C-83 seccioacuten correo) Un jeep ha de atravesar un desierto de 800 kiloacutemetros Admite una carga maacutexima para recorrer 500 kiloacutemetros y se quiere conocer la menor cantidad de tales cargas que hay que consumir para alcanzar la meta El depoacutesito inicial se supone de capacidad ilimitada y el jeep puede establecer tantos depoacutesitos intermedios como haga falta Se desea conocer tambieacuten el nuacutemero de viajes parciales que lleva a cabo el jeep teniendo en cuenta que ante dos soluciones iguales (mismo consumo) se preferiraacute la que implique menos viajes parciales Planteo

Supongamos que se depositan cargas en los puntos 1 2 hellipi hellipy llamemos ci a la carga del depoacutesito en el punto i y cf a la del punto siguiente i + 1 Si la distancia entre ambos puntos es d para transportar la carga del punto i al i +1 se necesitaraacuten n viajes de ida y vuelta y un uacuteltimo viaje de ida El depoacutesito en el punto i constaraacute pues de n cargas para 500 km y un remanente al que llamaremos cr Podemos plantear las ecuaciones siguientes

cf = (500 - 2d) n + cr - d (1) ci = 500 n + cr (2) r = (2n + 1) d (3) cr = 500 (4)

donde r es el recorrido del jeep (equivalente a la carga consumida) en el transporte entre ambos depoacutesitos

Los caacutelculos han de efectuarse retrocediendo desde el final hasta la situacioacuten de salida (o sea pasando desde el depoacutesito i +1 al i) para garantizar que se transporta siempre la cantidad miacutenima precisa Cuidaremos tambieacuten de que el valor de n sea el menor posible puesto que los viajes de ida y vuelta aunque necesarios son obviamente menos eficaces en cuanto a rendimiento que los directos Solucioacuten Las ecuaciones anteriores sugieren una viacutea para la solucioacuten del problema basada en separar los tramos para los cuales n (nuacutemero de viajes de ida y vuelta) se mantiene constante El valor de n iraacute en aumento al progresar desde el final hacia el inicio puesto que la capacidad de los depoacutesitos iraacute aumentando en ese sentido y cada vez que se produzca un incremento de 500 km de carga se haraacute necesario aumentar n en una unidad Asiacute pues tendremos 1- Tramo con n = 0 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se progresa desde el final (punto kilomeacutetrico 800) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 0 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

cf = cr ndash d

Como la carga final cf es nula al llegar al punto final (800 km) y es cr = 500 (el maacuteximo posible) basta con llevar a cabo un viaje de ida solamente que salva la distancia d = 500 km El consumo es justamente de 500 km o una carga Esto nos

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coloca a una distancia del origen de 300 km con un depoacutesito con carga para 500 km en dicho punto al que llamaremos D 2 - Tramo con n = 1 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se calcula desde el final (punto kilomeacutetrico 300) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 1 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

500 = 500 - 2d + cr - d = 500 + cr ndash 3 d Hasta que se agote la carga residual maacutexima cr = 500 tendremos

d = 500 3 (5)

La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =1 (es decir donde se pasa de n =1 a n =2 si se lee desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 1) = 300 ndash 5003 = 4003 = 133 3333hellip km El consumo en todo este tramo final (donde n =1) seraacute

consumo (n = 1) = 3 d = 3 times 5003 = 500 Tenemos asiacute tres viajes de 5003 km Al final de la operacioacuten se habraacute transportado una carga de 500 km con un consumo de 500 km tal como se ha calculado antes Como ya se ha visto nos hallamos ahora a una distancia del origen igual a 4003= 133333hellip km Bautizamos este punto como C donde el depoacutesito tendraacute una carga para 1000 km 3 Tramo con n = 2 Ahora la foacutermula (1) se expresa

1000 = 1000 - 4d + cr - d = 1000 + cr ndash 5 d Para una carga residual maacutexima cr = 500 seraacute

d = 5005 = 100 (6) La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =2 (es decir donde se pasa de n =2 a n =3 leyendo desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 2) = 400 3 - 100 = 100 3 = 333333hellipk m El consumo en todo este tramo (donde n =2) seraacute

consumo (n = 2) = 5 d = 500 Se salva una distancia de 100 km y se comprueba que el consumo seraacute de 5 times 100 = 500 La carga transportada seraacute de 2 times 300 + 400 = 1000 km carga que se deja en el depoacutesito C En este punto B nos encontramos a una distancia del origen de 1003 = 33333hellip km y con un depoacutesito con carga para 1500 km

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4 Tramo con n = 3 En este caso la foacutermula (1) es

1500 = 1500 - 6d + cr - d = 1500 + cr - 7d Tendremos ahora d = 5007 gt 100 3 desigualdad que nos dice que la distancia que puede cubrirse con n = 3 supera la distancia que nos separa del origen Asiacute que bastaraacute trabajar de forma que se tenga

d = 1003 (7) Con estas condiciones el consumo correspondiente valdraacute

consumo (n = 3) = 7 d = 700 3 El nuacutemero de viajes seraacute ahora igual a 2 n + 1 = 7 cada uno de los cuales cubre la distancia d = 1003 La carga que se toma del depoacutesito inicial seraacute 1500 + 7003 Consumo total El consumo total que se busca seraacute por lo tanto exactamente Consumo total = 500 (para recorrer los uacuteltimos 500 km n = 0) + 500 (n = 1) + + 500 (n = 2) + 7003 (n = 3) = 1500 + 7003 lo que expresado en cargas resulta ser (1500 + 7003) 500 = 3+7 15 = 34666hellip El nuacutemero total de viajes resulta ser sumando los de las etapas parciales igual a 16 La tabla 1 muestra los valores relevantes para cada una de las etapas dispuestos ahora desde el inicio hasta el final

Km n viajes d (km) consumo (km) carga (km) A (origen) 1500 + 700 3

0 a 1003 (B) 3 7 100 3 700 3 1500 1993 a 4003 (C) 2 5 100 500 1000 4003 a 300 (D) 1 3 500 3 500 500 300 a 800 (E) 0 1 500 500 0

TOTALES 16 800 1500 + 700 3 Tabla 1

El resultado es por tanto Consumo = (1500 + 700 3) 500 = 3 + 7 15 = 34666hellipasymp 347 Viajes = 16 Notas finales Otra cuestioacuten que suscita este problema es la de si existe una limitacioacuten a la anchura del desierto que se ha de atravesar La respuesta es que no existe tal liacutemite puesto que como se aprecia sin dificultad la taacutectica para ir situando combustible en posiciones avanzadas y que expresan las ecuaciones (1) a (4) permite trabajar a partir de cualquier distancia P Crespo noviembre 2006

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Pitaacutegora y su relacioacuten con los proyectiles

El otro diacutea andando por la calle vi el anagrama de una empresa de consulting

Como puede verse el siacutembolo de la empresa es (aproximadamente) el tan conocido triaacutengulo pitagoacuterico de lados 3 4 y 5 Lo vemos inscrito en un cuadrado el miacutenimo que puede contenerlo iquestCuaacutel es el lado de este cuadrado

Solucioacuten Llamemos α al aacutengulo que forma el cateto largo con el lado vertical del cuadrado Es

inmediato establecer las ecuaciones

4 cos α = L = 4 sin α + 3 cos α Que permite llegar a la igualdad

cos α = 4 sin α De donde se obtiene tan α = α o sea α = 14036ordm El lado vale L = 4 cos 14036ordm = 38806 Es curioso que este aacutengulo es el mismo con el que debe ser lanzado un proyectil para

que la altura alcanzada sea igual al alcance En efecto la primera vale

gvh

2sin 22

0max

ϕ=

Mientras que el alcance es

gvx ϕ2sin2

0=

Igualando ambas ecuaciones se llega a cos φ = frac14 El aacutengulo φ es el complementario

del α antes hallado El proyectil deberiacutea dispararse tangente al cateto de lado 4 JMAiO BCN sep 06

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PROBLEMA DE LA DIVISIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO

Dado un triaacutengulo ABC y un punto P situado en su interior se pide trazar una recta MN que pasando por el punto P divida al triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea o que esteacuten en una proporcioacuten dada

A

B C

P

M

N

Q

q

p

R

x

y

Solucioacuten El problema implica dos condiciones - 1ordm Que los puntos M P y N esteacuten alineados - 2ordm Que las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB esteacuten en una proporcioacuten dada

Veamos como podemos dar forma algebraica a estas dos condiciones Tracemos desde el punto P como se indica en la figura las paralelas a los lados BC y AC hasta que corten en los puntos R y Q respectivamente a los lados AC y BC Llamemos x y p y q a los segmentos MR NQ PQ y PR Los valores de x e y se obtendraacuten al resolver el sistema de ecuaciones que suponen las dos condiciones dadas La primera condicioacuten ya que los triaacutengulos MRP y PQN son semejantes se expresa escribiendo

yp

qx=

La segunda condicioacuten puesto que los triaacutengulos MCN y ACB tienen comuacuten el aacutengulo en C equivale a decir que los productos de los lados de cada triaacutengulo que concurren en el veacutertice C estaacuten en la proporcioacuten en la que estaacuten sus aacutereas Llamando k al cociente entre las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB la segunda condicioacuten la escribiremos asiacute

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( )( ) kabqypx =++

donde a y b son respectivamente los lados BC y AC del triaacutengulo dado El sistema de ecuaciones escrito nos conduce a la siguiente ecuacioacuten de segundo grado que resuelve el problema

( ) 02 22 =+minusminus qpxpqkabqx

( )

qpqkabkabpqkab

x2

42 minusplusmnminus=

xpqy =

La condicioacuten para que el problema tenga solucioacuten real es que el radicando no sea negativo es decir

( ) 04 geminus pqkabkab

pqkab 4ge

abpqk 4

ge

Resulta innecesario decir que para k=05 la recta divide el triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea teniendo que darse previamente la condicioacuten del paacuterrafo anterior Notas 1- La primera condicioacuten tambieacuten se puede expresar escribiendo la recta MN en su forma canoacutenica en el sistema de coordenadas cartesianas oblicuas definido por los ejes CA y CB obligando a que el punto P esteacute en ella es decir

1=+

++ xp

pyq

q o sea pqxy =

2- El valor de k tambieacuten depende del par de lados respecto a los cuales se hayan trazado las paralelas para disponer de los valores de p y q Puede darse el caso de que aun siendo negativo el radicando para la pareja de lados elegida no lo sea para alguna otra y el problema siga teniendo solucioacuten

Manuel Rodriacuteguez Saacutenchez ndash Septiembre de 2006

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Re-citando las citas de laquoPelucheraquo

laquoLas mujeres hablan porque desean hablar mientras que un hombre soacutelo habla cuando se siente empujado por algo ajeno a eacutel como por ejemplo si no encuentra unos calcetines limpiosraquo (Jean Kerr 1922-2003 escritora estadounidense) laquoDonde hay matrimonio sin amor habraacute amor sin matrimonioraquo (Benjamin Franklin cientiacutefico poliacutetico y filoacutesofo norteamericano) laquoSi quieres ver una especie en peligro de extincioacuten miacuterate al espejoraquo (John Young 1930 cientiacutefico estadounidense) laquoAntes de pedir dinero a un amigo decide cual de las dos cosas necesitas maacutesraquo (Jean de La Bruyegravere 1645-1696 moralista franceacutes) laquoComprendes que estaacutes envejeciendo cuando las velitas cuestan maacutes que la tartaraquo (Bob Hope 1903-2003 actor estadounidense) laquoA mi juicio el mejor gobierno es el que deja a la gente maacutes tiempo en pazraquo (Walt Whitman 1819-1892 poeta estadounidense) laquoSi el hijo de Bono se casa con la hija de Bush iquestla descendencia se llamaraacute Bono Bushraquo (Alberto C 1983 estudiante de reflexologiacutea podal) laquoPara escribir un buen libro no considero imprescindible conocer Pariacutes ni haber leiacutedo el Quijote Cervantes cuando lo escribioacute aun no lo habiacutea leiacutedoraquo (Miguel Delibes 1920 escritor espantildeol) laquoComo todo el mundo sabe los cantos de las sirenas atraen a los hombres para luego acabar con ellos Especialmente las sirenas de las faacutebricasraquo (Jaume Perich Escala 1940-1995 humorista espantildeol) P C Citas tomadas de laquoPelucheraquo con su consentimiento

[C-92] 3

Compuesto 7middot13 Es el decimotercer triangular el sexto hexagonal y el sexto holopotencial de segundo grado 91 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 Posee propiedades aritmeacuteticas similares a las del 37 por derivarse de manera similar de la relacioacuten 91 = 100111 Esto lo hace uacutetil en caacutelculo mental Asiacute 11middot91 = 1001 22middot91 = 2002 3391 = 3003 4491 = 4004

helliphelliphelliphellip Y en asociacioacuten con eacutel 37middot91 = 3367 33middot3367 = 111111 66middot3367 = 222222 etc

helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip Es el cabaliacutestico de AMN y de Adonai (ADNI) Una yarda vale 9144 m En loteriacuteas es

ldquoel borrachordquo Portada Recuerdo de nuestro desaparecido amigo el matemaacutetico y papiroflexoacutelogo

Alfredo Peacuterez Jimeacutenez (qepd) un Santa Claus de papel plegado sobre mi libro iquestSe atreve Vd con ellos de problemas matemaacuteticos Me mandoacute la foto que estaba preparada para este nuacutemero pocos diacuteas antes de su oacutebito

Iacutendice 91 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 3Correo ndash Cartas helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 4Los 90 antildeos de Francesc Castanyer helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 8Anuncio para escritoreshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 8La yuml helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 9Las cartas de tijera helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10Problema del Autoacutedromo de Sant Pere de Ribes helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11El tesoro oculto helliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12Problema de edades helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13Reparos a la teoriacutea FSM helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 14Matemaacuteticas de los poliacuteticos vascos helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 17Caperucitas blancas helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18Regae reggae (riacutea riacutea) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21iexclLas modelos no somos estuacutepidashelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 22Jacinto Benavente y la coma 22Tomo una y entrego dos helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23iquestDe doacutende sale el nuacutemero e helliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 24Cruzando el desierto en jeep helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26Pitaacutegora y su relacioacuten con los proyectiles helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29Problema de la divisioacuten de un triaacutengulo 30Re-citando las citas de laquoPelucheraquo 32

Enterrar y callar ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte punta seca lavis buril y bruntildeidor ndash 163 x 237 mm

92

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Es costumbre encabezar esta seccioacuten con bonitos sellos de correo de las cartas remitidas

por nuestros lectores Los de hoy tienen la singularidad de no ser de curso legal sino facsiacutemiles de emisiones durante la II Repuacuteblica Adornaron el sobre de una carta remitida por Rafael Leoacuten de Maacutelaga

Abrioacute el fuego este trimestre nuestro asiduo colaborador Joseacute Antonio de Echaguumle de

Madrid con estas palabras

Espero esteacuteis bien y hayaacuteis pasado unos diacuteas de venturosas y agradables vacaciones Por mi parte ya estoy reincorporado al trabajo y asumiendo el siacutendrome post vacacional de todos los antildeos

Hoy mismo he leido en Izaronews (una especie de agencia de noticias on line vasca) un artiacuteculo sobre matemaacuteticas y poliacutetica que te adjunto como modesta contribucioacuten al Congreso recientemente celebrado en Madrid y en el que seguacuten se dice una de las pocas cosas razonables fue la unaacutenime decisioacuten de no invitarme

En otro orden de cosas propongo que si no existe ya que la Academia de Ciencias (presuntamente) Inuacutetiles cuyo boletiacuten recibo con regularidad tome en consideracioacuten la creacioacuten de una Caacutetedra de Puntologiacutea nombre que provisionalmente y sometieacutendome al maacutes fundado criterio de los acadeacutemicos de nuacutemero propongo para el estudio de los puntos comas y demaacutes signos de puntuacioacuten como instrumento de confusioacuten alteracioacuten de textos y en su caso defraudacioacuten Para ilustrar la indudable utilidad valga la contradiccioacuten de tan antigua y prestigiosa ciencia (presuntamente) inuacutetil adjunto un texto del Premio Nobel y gran dramaturgo D Jacinto Benavente

Al recibir tu carta tambieacuten estaacutebamos de regreso aunque sufriendo ese septiembre

canicular los hombres del tiempo deciacutean que pronto cambiariacutean las temperaturas en lo que no anduvieron muy acertados con los termidores que hemos tenido hasta pleno noviembre Pero estas cosas vienen de antiguo De nintildeo leiacute ese chiste

mdashPepito todo lo haces mal iexclsiempre te equivocas iquestPero queacute vas a hacer de mayor mdashHareacute calendarios La versioacuten actual del Calendario del Ermitantildeo son los Time-men que con sus isobaras y

marejadillas nos animan la vida Queda constituida la Caacutetedra de Puntologiacutea y por la presente disposicioacuten se te nombra

catedraacutetico eximio Los ejemplos que citas han pasado al mundo de lo claacutesico yo no sabiacutea que hubieran sido recogidos por Benavente (quien sin duda los tomoacute de algo anterior el mundo es ciacuteclico como ese kalpa o rueda de reencarnaciones) Por cierto en [B-34] se publicoacute el artiacuteculo Ejercicios de puntuacioacuten donde se abundaba sobre el tema comparando frases del estilo ldquoEl callo molestoEacutel calloacute molestordquo

He aprendido con tu artiacuteculo maacutes sobre la poliacutetica vasca que en meses de estar leyendo Maragall resolveriacutea la ecuacioacuten diciendo Beacute no cal preocupar-shi quan sigui el moment ella es resoldragrave sola Nuestro ex presidente se ha mostrado de nuevo tan eficaz como los

[C-92] 5

Time-men tras el desaguisado uacuteltimo de la renovacioacuten del tripartitohellip pero chitoacuten dejemos estas incursiones poliacuteticas aunque no sin publicar el artiacuteculo Gracias

Otro proliacutefico miembro de nuestro club de amigos es Mariano Nieto de Madrid quien

manda la solucioacuten del curioso problema

Y antildeade Hola JM De un momento a otro salgo para Zafara (iquestDe doacutende viene ese nombre) junto a los

Arribes del Duero cerca hay otro pueblo con la misma eufoniacutea y que combina casi las mismas letras Fariza Tambieacuten hay otro que se llama Muga alguien me dijo que Zafara significaba como Muga frontera

Hemos estado en Potes recorriendo un poco la Lieacutebana alliacute coincidimos para comer cerca de Colombres con unos amigos de Alella Joan Friacuteas i Ros y Anna Orfila Por cierto en Colombres hay un curioso palacio azul rodeado de un bello jardiacuten con grandiacutesimos magnolios que alberga el museo de la emigracioacuten Me recordoacute el que se describe en la novela El palacio azul de los ingenieros belgas cuya accioacuten transcurre en Asturias

Una coincidencia curiosa mi hija mayor ha viajado la semana pasada con su marido a Milaacuten (los dos son historiadores) los llevamos al aeropuerto y para que pasasen el rato distraiacutedos les di el problema de Gastoacuten de Foix En Milaacuten visitan el castillo de los Sforza y en su museo contemplan una estatua yacente de un personaje

iexcliexcliexclGastoacuten de Foix (Gastoacuten murioacute en la batalla de Raacutevena ganada por los franceses y fue enterrado en Milaacuten) Te mando una foto del monumento debido al escultor Agostino Busti ldquoBambaiardquo es una de las mejores piezas del museo

Problema propuesto por Mariano Nieto en [C-90] Durante la guerra 1914-18 fue descubierta una tumba de un

soldado franceacutes muerto el uacuteltimo diacutea de un mes durante otra guerra en Italia La alabarda del soldado franceacutes se encontraba a su lado El producto del diacutea del mes inscrito en su laacutepida por la longitud en pies de la alabarda por la mitad de los antildeos transcurridos entre la muerte del soldado y el descubrimiento de su tumba y finalmente por la mitad de la edad del comandante franceacutes de la expedicioacuten en que murioacute el soldado es igual a 451066 iquestCoacutemo se llamaba el comandante franceacutes

Solucioacuten Si descomponemos el nuacutemero 451066 en factores primos nos

encontramos con 451066 = 271129101 El uacuteltimo diacutea del mes ha de ser forzosamente el 29 por tanto estamos hablando de un mes de febrero de 29 diacuteas La longitud de la alabarda ha de ser forzosamente igual a 7 pies nos quedan por emplear tres factores 2 11 y 101 Son por tanto posibles dos soluciones o bien 101 o 202 es la mitad de los antildeos transcurridos entre la muerte del soldado y el descubrimiento de la tumba Pero entre 1712 y 1716 por una parte la alabarda ya no se utilizaba y por otra no hubo intervenciones francesas fuera de Francia Asiacute 202 es la mitad del nuacutemero de antildeos transcurridos siendo entonces la edad del comandante 22 antildeos El antildeo 1512 tuvo lugar la batalla de Raacutevena entre espantildeoles y franceses siendo mandadas las tropas francesas por el comandante franceacutes Gastoacuten de Foix nacido en 1489

[C-92] 6

He estado pensando el siguiente problema iquestCuaacutentos tetraedros no superponibles pueden construirse con seis segmentos de longitudes 1112131415 y 16 iquestQuieres pensarlo Mi razonamiento me lleva a 60

iquestCuaacutendo empiezas en RNE

GASTOacuteN DE FOIX

Agostino Busto llamado el Bambaia Castello Sforcesco ndash Milan

Gracias por los problemas son un buen ejemplo de coacutemo resolver un problema en el sentido ingenieril (no solamente matemaacutetico) del teacutermino hurgando en todas partes en busca de datos y su organizacioacuten De todos modos encuentro que el de Gastoacuten de Foix es adecuado para los franceses maacutes conocedores de esa figura

En mi opinioacuten Zafara es una deformacioacuten de zafra del aacuter al-safar lsquoperiacuteodo en que amarillean las cosechasrsquo (de donde la zafra de azuacutecar en Cuba) Curioso el apellido Orfila aparece en una deliciosa poesiacutea de Agravengel Guimeragrave que empieza

Hi ha un argenter A lrsquoArgenteria de tant or filar li diuen lrsquoOrfila El fila tan prim que tot just sacutealbira nacuteapar un cabell del front dacuteuna nina El filador dacuteor diu que en teacute una filla que eacutes un pom de flors no cal que us ho diga

(Al final la chica se metiacutea a monja y se deciacutea que el platero vendiacutea ldquoper or fi cabells de

sa fillardquo) En realidad Orfila viene de Wulfila nombre germaacutenico lsquolobo decididorsquo No seacute muy bien el significado de Fariza obviamente aacuterabe que podriacutea derivar de fara

lsquopropiedadrsquo como el pueblo catalaacuten de Faregraves ldquoque tots el busquen i no saben on eacutesrdquo seguacuten reza el chiste de sus vecinos Muga es efectivamente lsquoborne liacutemitersquo existe en Cataluntildea un riacuteo Muga cercano a Ter que como eacutel desemboca en la bahiacutea de Roses curvada y luminosa formada por dos arcos de elipse de ejes en relacioacuten armoacutenica que quizaacute por esto tanto gustoacute a los griegos (Empuacuteries) Alliacute se encontroacute Fernando VII con el general Copons que habiacutea salido a recibirle al hacer su entrada en Espantildea tras el destierro de Valenccedilay (1814)

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Tras pensar en tu problema encuentro tu solucioacuten correcta No empeceacute en RNE Acortaron el programa ldquoNo es un diacutea cualquierardquo y por lo visto en ese nuevo formato no habiacutea lugar para mi espacio El iacutendice de audiencia mandahellip

Pedro Crespo de Barcelona contribuidor y coeditor manda la siguiente carta Estoy consternado En un foro puacuteblico Putin ha dicho recientemente que no le hablen a eacutel de

corrupcioacuten cuando lo de los alcaldes espantildeoles da ciento y raya a toda Rusia Pero no es ese episodio lo que me ha trastornado porque que Espantildea es una olla bullente de corrupcioacuten enmadejada con la poliacutetica es algo que viene de antiguo y que todos los que tenemos oiacutedos para escuchar tenemos ya largamente asumido

No Lo que me ha conmovido tiene que ver maacutes con una revelacioacuten Resulta que alcanceacute a ver un telediario en el que emitieron parte de la conversacioacuten que habiacutea sido pinchada por la policiacutea de uno de tales alcaldes que no haciacutea mucho habiacutea regresado de poner a buen recaudo en Andorra un apreciable montoacuten de miles de euros casi un milloacuten Y las palabras pinchadas que correspondiacutean al reclamo de la claacutesica comisioacuten (unos cuarenta millones de euros en este caso) deciacutean casi literalmente asiacute laquoporque yo soy el que firmo y no voy a estar aquiacute vieacutendolas pasar Somos once iquestno Pues yo quiero mi once por cientoraquo

Al instante me di cuenta de mi tragedia ya que mis elementales matemaacuteticas me dicen que yo hubiera reclamado siendo once a repartir poco maacutes del nueve por ciento Y de inmediato se me hizo la luz iexclLas matemaacuteticas empobrecen

Como ya he comenzado a poner remedio al asunto queriacutea que supieras que ya no colaborareacute maacutes con mis seudo matemaacuteticas en Carrollia Si acaso enviareacute algunos artiacuteculos que ya estaacuten elaborados la mayor parte producto de las reflexiones a las que me movioacute el artiacuteculo de Viantildea De ahora en adelante enviareacute cuentos cortos y algunas reflexiones sobre la brevedad y la falta de sentido de la vida

Por suerte un amigo neurofisioacutelogo que se ha compadecido de miacute me estaacute ayudando a olvidar del todo las escasas (eso ayuda en la tarea) matemaacuteticas que recordaba Me asegura que la foacutermula magistral que ha preparado consigue el bloqueo de todas las sinapsis de los circuitos loacutegicos del cerebro

Seguacuten la uacuteltima resonancia que me hizo la labor estaacute ya cumplida Yo no lo veo asiacute sin embargo porque justamente se me acaba de ocurrir un meacutetodo matemaacutetico para prosperar y que consiste en comprar cosas a diez y venderlas a cien y con ese diez por ciento pienso hacerme con un coacutemodo y raacutepido patrimonio

Gracias por el buen rato que me ha hecho pasar tu carta festiva y bromista (supongo que es una broma eso de que no escribiraacutes maacutes artiacuteculos con componente matemaacutetica) La ocurrencia del edil me recuerda la de un fondista de mi pueblo que serviacutea deliciosos platos confeccionados con ldquocarne de perdizrdquo Estrechado a preguntas por algunos que sospechaban que la mezclaba con carne de caballo acaboacute confesando que ldquoSiacute tant a tantrdquo (en catalaacuten ldquoa partes igualesrdquo) y aclaroacute tras nuevas acometidas ldquoUna perdiz un caballordquo

Escribe Xavi Burgueacutes de Granollers El divendres em vaig trobar en un llibret amb la programacioacute de Catalunya Muacutesica un

passatemps que no havia vist mai un sidoku Es tracta duna variant del sudoku de 7 x 7 de manera que cada nota musical ha daparegraveixer una i nomeacutes una vegada a cada fila columna i grup A diferegravencia dels sudokus els grups no soacuten quadrats sinoacute que tenen formes qualssevol amb una superfiacutecie aixograve siacute de 7 quadres Hi ha doncs set files set columnes i 49 quadres repartits en set grups

Addicionalment hi ha uns quadres destacats i un tiacutetol duna obra musical les notes que quedin en aquests quadres soacuten un fragment de lobra citada

La direccioacuten que da Xavi es wwwsidokuscom Recomiendo su visita Y estoy seguro

de recibir en breve alguno maacutes iquestno es verdad Jesuacutes Lladoacute Y asiacute burla burlando hemos llegado al final iexclFelices fiestas navidentildeas Los editores

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Los 90 antildeos de Francesc Castanyer Como se anunciaba en [C-90] Francesc Castanyer recibioacute el 16 de septiembre un carintildeoso homenaje de algunos de sus numerosos amigos Ahiacute le vemos flanqueado por los otros dos editores Albaigegraves y Crespo los tres muy ufanos disfrutando del calorcillo mediterraacuteneo en una terraza de la playa de Torredembarra (Tarragona) Durante la comida en la que participaron tambieacuten Dolors Hipoacutelito e Isabel Garciacutea consortes de los anteriores y tambieacuten carrollistas se recibieron numerosas llamadas telefoacutenicas de quienes queriacutean testimoniar su presencia afectiva en el acto Por muchos antildeos querido Francesc Los otros editores

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Nuestro co-editor Josep M Albaigegraves ha sido nombrado por una prestigiosa editorial director de una coleccioacuten de libros sobre matemaacutetica recreativa de proacutexima venta en quiosco Cada libro iraacute acompantildeado de un corto opuacutesculo sobre un tema monograacutefico de matemaacuteticas recreativas Se solicitan colaboradores El que tenga escrito o piense escribir alguacuten libro o artiacuteculo interesante ahora tendraacute la ocasioacuten de verlo publicado Deberaacute primar la amenidad y la concisioacuten

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Quienes esteacuten interesados que contacten conmigo al lugar de costumbre albaigesciccpes

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La yuml Vuelvo hoy a la vieja cuestioacuten de la ldquoyrdquo griega catalana cremada sobre la ldquoyumlrdquo que escrupulosamente respetan en sus transcripciones no soacutelo aficionados sino incluso alguacuten historiador de trayectoria irreprochable Personalmente me encontreacute con esa yuml por primera vez en la transcripcioacuten que un papiroacutelogo haciacutea mdashpor tercera vez ya y todas distintasmdash de cierto contrato que data en 1700 Me quedeacute sin poder consultarle por queacute transcribiacutea ldquocuyumlnardquo ldquomeyumltatrdquo y una veintena de veces ldquoyumlrdquo (aunque el documento ofreciese unas grafiacuteas que invitaban sin ninguna otra razoacuten a esa lectura) frente a las numerosas veces que apareciacutea la ldquoyrdquo sin maacutes complicaciones Por eso defendiacute yo que esa dieacuteresis no pasaba de ser un adorno sin valor foneacutetico ni ortograacutefico un rasgo tan caprichoso como el travesantildeo con que algunos cruzamos el trazo descendente de la ldquoqrdquo o el ascendente del ldquo7rdquo Sin embargo la insistencia de quienes seguiacutean transcribiendo esa crema o dieacuteresis sobre la ldquoyrdquo griega me llevoacute a consultar al Instituto de Estudios Catalanes desde donde se me advirtioacute mdashcomo ya he referidomdash que tal grafiacutea se debiacutea a la contiguumlidad de una ldquoirdquo breve y de una ldquoirdquo larga (de una ldquojrdquo) escritas ambas con sus puntos usuales Pero ninguno de mis corresponsales admitioacute esa explicacioacuten Y hoy vuelvo a mis posiciones aunque enriquecido por una informacioacuten minuciosa Al parecer la ldquoirdquo medieval careciacutea de punto pero en textos redactados en algunos territorios de la Corona de Aragoacuten tanto en latiacuten como en catalaacuten durante el XIII y una parte del XIV la ldquoyrdquo se escribiacutea paradoacutejicamente con un punto (soacutelo uno) encima lo que es imposible de reproducir en las copias mecanograacuteficas que por consiguiente se limitan a escribir esa letra sin puntuacioacuten Y cuando en esos viejos textos concurriacutean dos iacutees fue tambieacuten frecuente mdashsobre todo a final de palabramdash escribir la primera como una ldquoirdquo corta y la segunda como una ldquoirdquo larga pero sin que una y otra dejasen de ser iacutees de igual sonido aunque distinto trazo Transcribir ahora como ldquoijrdquo aquella grafiacutea cuando ya ambas letras tiene un sonido diferente y cuando carecemos de un signo que represente la ldquoirdquo larga (aunque convencionalmente la representemos por una ldquojrdquo) podriacutea prestarse a interpretar que estamos ante dos diferentes sonidos y parece loacutegico exponer la identidad del sonido de ambas iacutees antes que insistir en un trazo (el de la ldquojrdquo) que pretendidamente representase la caligrafiacutea de una ldquoirdquo larga (Otra cosa puede ser la de su funcioacuten decorativa por ejemplo en la numeracioacuten a la romana en minuacutescula) Naturalmente estamos hablando de dos iacutees latinas contiguas y en ninguacuten modo de una ldquoyrdquo con la que esas dos iacutees contiguas han llegado en ocasiones a identificar su trazo en escritos catalanes de al menos el XVIII y el XIX Sin duda una vez admitido el uso de puntuar la ldquoirdquo se extendioacute caligraacuteficamente (no tipograacuteficamente) y por duplicado a la ldquoyrdquo o sea ldquoyumlrdquo aunque sin valor foneacutetico ni ortograacutefico alguno y sin maacutes razoacuten al parecer que la de que ese signo acaba en una doble cuacutespide La expresioacuten ldquoponer los puntos sobre las iacuteesrdquo rebasaba asiacute sus propias limitaciones Y temo que estemos encontraacutendonos ante una situacioacuten pareja a la que se produce cuando una ese alta (como la que emplea Suaacuterez en su traduccioacuten de Lalande seguacuten era de uso entonces) tan parecida a una efe se transcriba como tal efe (seguacuten vemos por ejemplo en la transcripcioacuten moderna de esa traduccioacuten llevada a cabo por Arespacochaga y Seral y en la que leemos cosas como la conferva de Plinio por la ldquoconservardquo) Otra cosa es el alemaacuten donde la ese alta seguida de una ese baja sigue conservando en su tipografiacutea un signo propio Rafael Leoacuten Maacutelaga 2005

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LAS CARTAS DE TIJERA Pensamos en el papel como la superficie sobre la que manual o mecaacutenicamente

dejamos una huella de tinta que va reproduciendo el curso del pensamiento o de la inspiracioacuten Pero en otro tiempo hubo un modo de escribir sin tinta un modo de escribir recortando en el papel con unas tijeras el trazo de unas letras no escritas por la pluma o el caacutelamo o siguiendo ese trazo con la punta al rojo de un alfiler

Una referencia en castellano sobre este arte se conservaba en las estrofas 40 a 44 de los Proverbios de Don Santo de Carrioacuten o Rabiacute Sem Tob Ardutiel contemporaacuteneo de Pedro I de Castilla y feliciacutesimo escritor tambieacuten en hebreo entre otras cosas de un Debate entre el caacutelamo y las tijeras Con el paso de los antildeos sin embargo tales estrofas de sus Proverbios habiacutean llegado a extenuar su significacioacuten

Bueno seraacute reproducirlas aquiacute previa advertencia de que en ese texto castellano (tan proacuteximo ya a lo que seriacutea el espantildeol) astroso estaacute por ruin cuidar por cavilar infinta por fingimiento ca por pues puesto que ya que dentildear por dignar meollo por interior substancioso caxcas por caacutescaras finqueacute por lsquoquedeacutersquo

Y ahora siacute reproduzcamos esas estrofas

Un astroso cuidaba Y por mostrar que era sotil yo le enviaba escripto de tisera El nescio non sabiacutea que lo fiz por infinta porque yo no queriacutea perder en eacutel la tinta Ca por non le dentildear fize vazia la llena y no lquise donar la carta sana buena Como el que tomaba meollos de avellanas para siacute y donaba al otro caxcas vanas Yo del papel saqueacute la razoacuten que deziacutea con ella me finqueacute dile carta vaziacutea

(Fragmento del opuacutesculo del mismo tiacutetulo de Rafael Leoacuten)

Lo mismo ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte punta seca lavis buril y bruntildeidor ndash 162 z 223 mm

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Problema del Autoacutedromo de Sant Pere de Ribes

Enunciado En Sant Pere de Ribes cerca de Sitges provincia de Barcelona hay un circuito autoacutedromo abandonado que tiene forma oval Cada uno de los dos extremos tiene un radio estimado en 131 metros y una pendiente estimada de 60 grados sexagesimales

iquestA queacute velocidad debe ir un automoacutevil en dicha pendiente para no resbalar hacia abajo ni hacia arriba

Resolucioacuten

Sobre el automoacutevil actuacutean 2 fuerzas el peso p

y la reaccioacuten perpendicular del suelo f debida a la curva

Llamando m a la masa del automoacutevil y g a la aceleracioacuten de la gravedad se sabe

mgp =

Para que el automoacutevil no resbale el valor de f

debe ser tal que al descomponerlo en f1 y f2 se produzca

pf =1

La fuerza f2 es la fuerza llamada centriacutepeta porque su direccioacuten y sentido es hacia el centro de curvatura de la trayectoria del moacutevil es bien sabido que llamando v a su velocidad y r al radio de curvatura de la trayectoria se cumple que la fuerza centriacutefuga se puede expresar

rvmf

2

2 =

Ademaacutes la trigonometriacutea permite escribir 2

1o30 tgff

=

Las ecuaciones anteriores forman un sistema de 4 ecuaciones entre las que se puede suprimir f1 f2 p y m

222o30 tg

vrg

rvm

mg

rvm

p===

de donde despejando v y sustituyendo valores

kmh 8169ms 247057735

819 middot 13130 tg o ====rgv

Conclusioacuten Para no resbalar hacia abajo ni hacia arriba en dicha pendiente el automoacutevil debe ir a 1698 kmh Marcel Mantildeeacute

60o

p

f

f2

f1 30o

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EL TESORO OCULTO El pirata llegoacute a la isla donde decidioacute ocultar su tesoro Como puntos de referencia encontroacute un pozo (P) una roca (R) y un viejo olmo (O) Para ubicar el lugar exacto donde iba a enterrar

su arcoacuten repleto de doblones decidioacute fijar los puntos Pacute y Racute trazando las rectas PPacute perpendicular e igual a PO y RRacute perpendicular e igual a RO Finalmente unioacute con una recta los puntos Pacute y Racute determinando su punto medio T donde enterroacute el tesoro Pasado cierto tiempo regresoacute a la isla y encontroacute sorprendido que el viejo olmo habiacutea desaparecido sin dejar huella de su emplazamiento Afortunadamente el pirata era un buen

geoacutemetra y se las arregloacute para dar con el lugar exacto donde antantildeo habiacutea enterrado su tesoro iquestCoacutemo se las arregloacute Solucioacuten Si prolongamos la liacutenea PR a derecha e izquierda y bajamos a ella las perpendiculares PacuteA OD TC y RacuteB es faacutecil ver que los triaacutengulos OPD y ODR son respectivamente iguales a los PPacuteA y RRacuteB Ocurre entonces que PacuteA = PD y RacuteB = RD por consiguiente PacuteA + RacuteB = PR = 2 CT Como por otro lado AP = RB = OD C seraacute el punto medio de PR Asiacute pues para hallar T bastaraacute levantar una perpendicular a PR por su punto medio C y llevar una distancia CT igual a la mitad de PR Aristogeronte Madrid Agosto 2006

Siempre sucede ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte y aguatinta ndash 178 x 219 mm

T

R

P

O

P R

D C B A

T

R

P

O

P R

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PROBLEMA DE EDADES En un congreso mundial de matemaacuteticos coinciden tres amigos Andreacutes Blas y Carlos que conversan animadamente De su conversacioacuten extraemos los siguientes datos Andreacutes dice Mirad queacute coincidencia hoy es nuestro cumpleantildeos Blas contesta Mayor coincidencia es que la suma de los cuadrados de nuestras edades es 2490 igual al nuacutemero de asistentes al congreso Carlos expresa Todo eso es cierto Pero cuando Andreacutes tenga la edad de Blas la suma de los cuadrados de nuestras edades seraacute 3841 igual al coste en pesetas de la habitacioacuten del hotel Ademaacutes con estos datos cualquier congresista puede averiguar nuestras edades Hallar las edades Solucioacuten Las edades hoy son nuacutemeros enteros Andreacutes = x antildeos Blas = y antildeos Carlos = z antildeos Cuando Andreacutes tenga la edad de Blas habraacuten pasado (y-x) antildeos tiempo que habraacute transcurrido igual a los tres Entonces las edades seraacuten Andreacutes = x + (y-x) Blas = y + (y-x) Carlos = z + (y-x) (x + y-x)2 + (y + y-x)2 + (z + y ndashx)2 = 3841 Desarrollando x2 + y2 + z2 + (y-x) (-x +5y +2z) = 3841 Como x2 + y2 +z2 = 2490 (1) (y-x) (-x +5y +2z) = 3841 ndash 2490 (y-x) (-x +5y +2z) = 1351 Descomponemos 1351 en producto de 2 factores = 7 middot 193 y ndashx = 7 -x +5y +2z = 193 Resolviendo el sistema x = y ndash 7 z = 93 ndash 2y Sustituyendo en (1) (y ndash 7)2 + y2 + (93 -2y)2 = 2490 6y2 ndash 386y +6208 = 0 y1 = 32 y2= 973 y2 no es solucioacuten por ne entero Solucioacuten Andreacutes = 25 antildeos Blas = 32 antildeos Carlos = 29 antildeos Acebrian febrero 2006

Con razoacuten o sin ella ndash Francisco de Goya (Los

desastres de la guerra) ndash Aguafuerte punta seca lavis buril y bruntildeidor ndash

150 x 209 mm

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Reparos a la teoriacutea FSM

Qui nimium probat nihil probat (El que prueba demasiado no prueba nada)

Incluso la filosofiacutea la especulativa filosofiacutea se esfuerza por respetar las liacuteneas convencionales del razonamiento y de la loacutegica Incluso la filosofiacutea cuando examina el universo fiacutesico y la propia vida trata de conciliarse con las corrientes cientiacuteficas sobre las que hay amplio consenso Incluso la filosofiacutea cuando se ocupa de la teoriacutea del conocimiento aplicada al mundo fiacutesico corre pareja con las consideraciones maacutes asentadas de la epistemologiacutea cientiacutefica y no es raro que los tratados filosoacuteficos cuyo enfoque es la metodologiacutea del conocimiento tengan en cuenta los descubrimientos de la fiacutesica de vanguardia tales como las teoriacuteas relativistas y en especial los resultados paradoacutejicos de la fiacutesica cuaacutentica tan enormemente sugestivos al tiempo que elusivos En la biologiacutea y en lo que se refiere a las diversas manifestaciones de la vida y a los cambios de los que existe evidencia foacutesil se considera como asentada la liacutenea explicativa que parte de la exposicioacuten publicada por Darwin a comienzos de la segunda mitad del siglo XIX [1] Aunque no se tenga por definitiva y se reconozca incompleta sobre esa liacutenea maestra se elaboran actualmente explicaciones y correcciones a la misma El descubrimiento de la geneacutetica y de sus mecanismos iacutentimos ha supuesto un enorme impulso en cuanto a las investigaciones en este campo que ahora constituye un considerable tesoro de saber Por eso nos preocupa e incluso nos solivianta la corriente FSM de una explicacioacuten alternativa que seguacuten apreciamos se va abriendo camino incluso en universidades [2] Se trata de una corriente que ha experimentado un crecimiento notable en los uacuteltimos antildeos y que interpreta nuestro universo incluida la manifestacioacuten de la vida en teacuterminos del recurso a la intervencioacuten de una entidad inmaterial el FSM de la que se ofrece a veces una representacioacuten tangible a la que se le atribuyen poderes trascendentes como la omnipresencia y la capacidad ilimitada de intervencioacuten Si hemos de ser honestos debemos reconocer que los argumentos en los que se apoya la teoriacutea a la que aludimos son en principio irrebatibles Lo que es maacutes se ajustan mejor que las teoriacuteas que actualmente se tienen por cientiacuteficas a uno de los preceptos maacutes respetables de la ciencia como es el del reduccionismo metodoloacutegico Seguacuten el principio de Occam de la economiacutea (navaja de Occam) [3] en efecto cuanto menor es el repertorio de afirmaciones que haya que admitir como dadas al elaborar una teoriacutea maacutes aceptable seraacute eacutesta (laquopluralitas non est ponenda sine necessitateraquo) La teoriacutea que tratamos de rebatir cumple extraordinariamente bien con este requisito puesto que lo uacutenico que se requiere es la aceptacioacuten de la hipoacutetesis mencionada de la entidad conocida como FSM De todos modos no estaacute de maacutes recordar que lo que Occam dice exactamente es que en igualdad de condiciones la solucioacuten maacutes sencilla es probablemente la correcta Y probablemente como estaacute claro no equivale a necesariamente No obstante no podemos evitar que nos parezcan forzadas y como argumentadas ad hoc algunas de las explicaciones que da el principal abanderado de dicha corriente de pensamiento y primero en presentarla y defenderla Robert Hendenson Graduado en fiacutesicas no podemos pensar del mismo que le sea ajeno el rigor y la criacutetica cientiacutefica A pesar de todo lo cierto es que algunos de sus razonamientos son

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impecables como cuando explica el por queacute resulta aparente la edad de la Tierra estimada por los meacutetodos cientiacuteficos al uso Veamos sus razones laquo[] Lo que esas personas no comprenden es que Eacutel [el autor se refiere a la entidad FSM] hizo el mundo para hacernos creer que la Tierra es maacutes antigua de lo que realmente es Asiacute por ejemplo un cientiacutefico puede llevar a cabo un proceso de datacioacuten mediante carbono-14 sobre un artefacto y encuentra que aproximadamente el 75 por ciento del carbono-14 se ha desintegrado en nitroacutegeno-14 a causa de la emisioacuten de electrones e infiere que dicho artefacto tiene una antiguumledad de unos diez mil antildeos puesto que la vida media del nitroacutegeno-14 parece ser de 5 730 antildeos Pero lo que nuestro cientiacutefico no advierte es que cada vez que efectuacutea una medida la entidad FSM estaacute alliacute cambiando los resultados con su seudoacutepodo Disponemos de numerosos textos que describen en detalle como es esto posible y las razones por las que Eacutel lo hace Eacutel es por supuesto invisible y puede pasar a traveacutes de la materia normal con facilidadraquo Hay algo en esta explicacioacuten que no nos satisface Naturalmente es irreprochable pero cierta percepcioacuten nos dice que se aparta excesivamente del meacutetodo cientiacutefico por antonomasia La teoriacutea FSM no es por su propia naturaleza falsable de modo que de acuerdo con las tesis de Karl Popper una doctrina de ese tipo no se bate en condiciones de igualdad con el resto de las teoriacuteas por lo que ha de ser apartada como teoriacutea insana ―desde el punto de vista de la ciencia entieacutendase bien― y privada sin maacutes del derecho a contender en la arena cientiacutefica Es cierto que para Popper al contrario de lo que afirma el positivismo tiene sentido la aseveracioacuten de la existencia de la entidad FSM pero este autor delinea muy bien los liacutemites que separan tales tipos de proposiciones de las de caraacutecter cientiacutefico y la que nos ocupa queda claramente al margen de eacutestas [4]

Fig 1 ndash FSC en el instante de animar al primer ser humano Podriacutea argumentarse desde luego y aquiacute nos situamos del lado del punto de vista de Thomas Kuhn que la teoriacutea FSM nos coloca frente a un nuevo paradigma cientiacutefico Para Kuhn en efecto la ciencia no procede por agregaciones progresivas en torno a un nuacutecleo creciente de conocimientos sino antes bien por cambios abruptos del marco completo de la teoriacutea dominante lo que se conoce como

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desplazamientos del paradigma En este sentido podriacuteamos sentirnos inclinados a aceptar que el paradigma FSM nos traslada a un marco radicalmente nuevo No obstante la ciencia no se caracteriza por cambios de naturaleza tan radical Antes bien en los cambios de paradigma a que alude Kuhn siempre ha ocurrido que los nuevos formalismos incluyen a los anteriores en el sentido de que eacutestos se recuperan por paso al liacutemite con respecto a ciertas condiciones o paraacutemetros que han cobrado maacutes generalidad en la nueva teoriacutea Y esto no ocurre en absoluto con la propuesta FSM que prescinde del todo del acervo de saber histoacuterico Nos sentimos obligados a denunciar tambieacuten que las representaciones de la entidad FSM son en cierto modo antropomoacuterficas Sugeririacuteamos prescindir de lo que parecen ser unos ojos y un soma central para dejarlo reducido al conjunto de seudoacutepodos que podriacutean llegar a identificarse con los filamentos de la teoriacutea de cuerdas o en su enmadejamiento formar el tejido de las supercuerdas La ubicuidad podriacutea sustituirse por un nuacutemero ilimitado de copias del FSM actuando en resonancia no local El universo volveriacutea a ser de este modo de nuevo cartesiano dominado por un plenum que lo abarca todo La actuacioacuten instantaacutenea a distancia estariacutea avalada por la verificacioacuten de las condiciones de Bell relativas a la paradoja EPR que ha significado el espaldarazo a la no localidad en el mundo fiacutesico A pesar de todo algo en nuestro interior nos dice que la doctrina FSM es aberrante Quizaacute se deba al lastre de la educacioacuten recibida Despueacutes de todo uno es irremediablemente producto de la forja de su tiempo y nunca es faacutecil superar esa inercia intelectual Hijo ―o debiera decir posiblemente prisionero― de la edad de la razoacuten yo presiento con temor que una nueva Edad Media y estoy pensando en su lastre de oscurantismo se alza amenazante en el horizonte y la melancoliacutea me atenaza amargamente el corazoacuten P Crespo septiembre 2006 [1] On the Origin of Species by Means of Natural Selection or The Preservation of Favoured Races in the Struggle for Life abreviado como The Origin of Species (El origen de las especies) publicado en 1859 Este libro establecioacute la evolucioacuten (cambios espontaacuteneos hereditarios que se imponen cuando son favorables a la especie habida cuenta de los condicionantes del entorno) a partir de un ascendiente comuacuten como la explicacioacuten cientiacutefica dominante de la diversificacioacuten de las formas de la vida en la naturaleza [2] Home page httpwwwvenganzaorg

[3] William of Occam fraile franciscano ingleacutes del siglo XIV (aprox 1285-1349) Lo que se conoce como la navaja de Occam era un principio muy comuacuten en la filosofiacutea medieval (el principio de economiacutea o de parsimonia) y no tuvo su origen con Willian de Ockham pero debido al uso frecuente que eacuteste le daba a dicho principio su nombre acaboacute inseparablemente ligado a eacutel

[4] Karl Popper (1902 1994) La loacutegica de la investigacioacuten cientiacutefica (Logik der Forschung 1934 ciacuterculo de Viena) En esta obra el filoacutesofo austriacuteaco abordoacute el problema de los liacutemites de demarcacioacuten entre la ciencia y proposiciones de otro caraacutecter Para Popper la clave estaacute en reconocer que el conocimiento cientiacutefico no avanza confirmando nuevas leyes sino descartando las que contradicen la experiencia lo que constituye el proceso de falsacioacuten Soacutelo han de admitirse como proposiciones cientiacuteficas aquellas para las que al menos conceptualmente es posible un experimento que las contradiga [5] Thomas Kuhn (1992 1996) Este cientiacutefico norteamericano es famoso principalmente por su libro La estructura de las revoluciones cientiacuteficas (1962) La idea que preside el pensamiento de Kuhn es la de que la ciencia no progresa por acumulacioacuten de nuevo conocimiento sino por desplazamientos de los paradigmas que transforman abruptamente la naturaleza del conocimiento

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Matemaacuteticas de los poliacuteticos vascos Patxi Igandekoa

Pongamos el tiacutepico sistema de ecuaciones de primer grado de dos incoacutegnitas x+y=5 4x-2y=2 (Antes ensentildeaban a resolverlos en 1ordm de BUP ahora en las academias cercanas a la Escuela de Ingenieros de Bilbao) Vaya por adelantado que la solucioacuten es x=2 y=3 No nos interesa esto sino la forma en que lo resolveriacutean dos miembros destacados de nuestra clase poliacutetica El Lehendakari Ibarretxe por ejemplo no tendriacutea dificultad Gracias a su formacioacuten y oficio de economista el valor de las incoacutegnitas aparece ipso facto en su mente sin necesidad de calcular nada Sin embargo eacutel querriacutea hacerlo con fundamento a la vasca Primero lo resolveriacutea por medios algebraicos y comprobariacutea si las soluciones cuadran Despueacutes empleariacutea el meacutetodo graacutefico pediriacutea papel boliacutegrafo y una regla y trazariacutea un eje de coordenadas cifras y finalmente dos rectas bien diaacutefanas y se asegurariacutea de que ambas se cortan en el par de valores correcto Acto seguido llamariacutea a un comiteacute de expertos del Gobierno Vasco y someteriacutea el asunto a su examen para que redactaran un informe en el que se estableciera sin ninguacuten geacutenero de dudas que la solucioacuten al sistema de ecuaciones propuesto vaacutelida tanto en Euskadi como en el resto de un universo eucliacutedeo es la que figura en los caacutelculos de Lehendakaritza Pero la cosa no termina aquiacute porque luego Josu Jon Imaz (otro peso pesado de las ciencias exactas) convocariacutea una mesa de partidos para buscar una solucioacuten paralela ndashpero concordante- al problema mediante acuerdos que incluyan a todas las sensibilidades del paiacutes Para un tema de intereacutes general como este ni siquiera el PP podriacutea negarse y a la exactitud de las estimaciones numeacutericas se antildeadiriacutea finalmente la sancioacuten democraacutetica del consenso Euforia y satisfaccioacuten en el EAJ-PNV ldquoHemos tardado lo nuestro pero valioacute la pena Trabajando duro y con meacutetodo nos hemos puesto las pilas comenzamos el curso con los deberes hechos etc etcrdquo iquestY Patxi Loacutepez iquestCoacutemo reaccionariacutea delante del mismo problema Imaginen a uno de sus correveidiles pasaacutendoselo por encima de su ejemplar abierto de ldquoEl Correo Espantildeolrdquo en plena sesioacuten del Parlamento Vasco Apresurada lectura treacutemulo parpadear de ojos bailoteo de cifras en la mente ruido apenas perceptible producido por el rozamiento de unos dedos sobre la sienhellip ldquoNada otra engantildeifa del Lehendakari iexclSe va a enterar de esto en mi proacutexima rueda de prensardquo Apliacutequese el procedimiento de costumbre enviar por valija del partido a la calle Ferraz para que lo resuelvan alliacuterdquo Y alliacute efectivamente son nada menos que Joseacute Luis Rodriacuteguez Zapatero Presidente del Gobierno de Espantildea y Joseacute Blanco su iacutenenarrable y gallego jefe de bomberos quienes se encargan de despejar las incoacutegnitas Podemos imaginarnos el resultado ldquoiquestAlgebra iquestGraacuteficos cartesianos iexclUff somos de letras iquestQueacute tal si traemos a nuestro informaacutetico para que eche una manordquo ldquoNo mucho maacutes simple Joseacute Luis hacemos x=0 y=0 y ya estaacute Yo seacute algo de matemaacuteticas lo suficiente para recordar que a esto lo llaman lsquosolucioacuten trivialrsquo Es perfectamente legiacutetimo iquestQueacute te parecerdquo ldquoDe entrada bien Pepe Pero asi no puedes resolver un sistema de primer grado iexclel resultado no coinciderdquo ldquoNo importa lo quitamos tambieacuten Escondemos el 5 y el 2 cubrieacutendolos con typex ndashya nos ocuparemos de ellos en la proacutexima legislatura- y hacemos ambas expresiones iguales a cero Ahora las incoacutegnitas siacute coinciden con la ventaja antildeadida de que entonces las de Imaz no Hemos resuelto el problema de matemaacuteticas vasco reducieacutendolo a la no existencia Jean-Paul Sartre estariacutea orgulloso de nosotrosrdquo La solucioacuten es transmitida por mensajero (a portes debidos) a Sabin Etxea donde sesudos jeltzales la examinan moviendo la cabeza a un lado y a otro Habraacute que invertir mucho en centros de caacutelculo si queremos avanzar en el proceso de normalizacioacuten Al menos queda el consuelo de que si alguien quiere volar preferiraacute subirse a un aeroplano disentildeado por Ibarretxe que a otro construido con las matemaacuteticas que ensentildean en el Partido Socialista de Euskadi Publicado en Izaronews 6-9-2006

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Si las palabras de Chillida estaacuten recogidas con fidelidad lamento no estar de acuerdo con ellas porque no creo que las personas se encasillen tan faacutecilmente Pero de todos modos si ustedes creen que represento ese problema no tienen maacutes que haceacutermelo saber Porque como anuncieacute en la seccioacuten correo tireacute mi regla de caacutelculo al riacuteo para mirarla como se hundiacutea (era el uacuteltimo recuerdo del carintildeo que yo le teniacutea etc) y comienzo mis pinitos en cuentos cortos (muy cortos prometido) y otras atrevidas incursiones

[La figura es un recorte del libro de vintildeetas-paacutegina laquoel Arte - conversaciones imaginarias con mi madreraquo de Juanjo Saacuteez Aunque sus ideas sobre el arte parecen discutibles es un libro entrantildeable]

Una uacuteltima advertencia relativa al cuento que sigue y dirigida a los que puedan sacar la conclusioacuten de que tengo imaginacioacuten desviada las hemerotecas son del 29 de noviembre de 2003

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Caperucitas blancas En memoria de Joseacute Couso porque nos volvimos maacutes ciegos cuando sus ojos se apagaron

Una nintildea hasta haciacutea poco ahora cuajada en mujer moldeada por quince primaveras Faacutetima era la mayor de las dos hermanas La pequentildea Azraa a sus doce antildeos era todaviacutea un incipiente brote femenino delicado y menudo

Noviembre agotaba sus diacuteas y haciacutea cuatro que habiacutean empezado las fiestas del fin del Ramadaacuten el mes sagrado del ayuno Ese jueves la ilusioacuten se asomaba a los rostros de ambas hermanas porque iriacutean a cenar a casa de su abuela y pasariacutean la noche con ella Habriacutea puchero y berenjena rellena y despueacutes los dulces de pistacho y de miel y antes de dormir las historias de la lsquoyaddarsquo Jazmina ―la abuelita― llenas del encanto de otros tiempos cuando en los mercados de Baaquba competiacutean entre siacute los colores de los frutos las especias las telas y las alfombras y los asnos eran amigos resignados de los hombres y los paacutejaros hablaban con los nintildeos y eran alegres y eran parlanchines y traiacutean noticias de lugares exoacuteticos

La madre preparoacute una cesta con los pastelillos para el postre Pero la abuela habiacutea expresado el temor de no disponer de lentildea suficiente asiacute que las pequentildeas debiacutean pasar antes por el huerto del tiacuteo Abbash que siempre teniacutea preparada una reserva de lentildeos y sarmientos y habiacutea dado licencia a la familia para recoger de su finca todo aquello que fuera necesario Para llegar al huerto era obligado atravesar un trecho boscoso no era cosa de permitir que las sorprendiera la noche y puesto que la tarde ya se habiacutea insinuado las nintildeas se pusieron con diligencia en camino La pequentildea llevaba apoyada contra su cintura la cesta con los dulces y la mayor se hizo cargo de dos piezas de tela destinadas a sujetar la lentildea y de un hacha pequentildea para trocear los sarmientos

Ya en la finca llevoacute maacutes tiempo del previsto preparar los vaacutestagos para adecuarlos al tamantildeo de la menor de las muchachas y las sombras no esperaron Ante el asomo de la noche las nintildeas iniciaron el regreso en direccioacuten a la casa de la abuela cada una con su hatillo a la espalda la menor abriendo paso con la cesta de los pasteles en su regazo seguida de cerca por su hermana

A menos de cincuenta metros de alliacute Lobo Feroz Dos miraba por el visor de

infrarrojos e informaba de la escena a su compantildeero En el sendero que lindaba con el bosque dos siluetas blanquecinas se recortaban en la oscuridad en contraste con la espesura y los pantildeuelos que cubriacutean sus cabezas las perfilaban como dos caperucitas que se moviacutean avanzando deprisa La mayor pareciacutea sujetar una pistola en su mano

―Lobo Feroz Uno llamando a Halcoacuten Pardo ge-pe-ese delta sur uno doce oeste cero quince Dos sospechosas a la vista parecen llevar armas Esperamos instrucciones Cambio

―Halcoacuten Pardo a Lobo Feroz Ya conocen las consignas Cambio ―Parecen dos nintildeas― apuntoacute Lobo Feroz Dos ―Lobo Feroz Uno a Halcoacuten Pardo Es posible que se trate de dos menores

Solicitamos refuerzos para comprobacioacuten Cambio ―Sargento le recuerdo que estamos en la Operacioacuten Martillo de Hierro Debe

proceder seguacuten la consigna Cambio y corto ―Hemos de disparar― dijo Lobo Feroz Uno a Lobo Feroz Dos ―Pero ― balbuceoacute eacuteste ―Oacuterdenes Encaacutergate del objetivo de la izquierda yo tirareacute sobre el derecho

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La cabeza de Faacutetima se quebroacute como se rompe el fruto del granado cuando se lo arroja con fuerza contra el suelo Con su velo blanco habiacutea sido Caperucita Blanca mientras se desplomaba fue Caperucita a topos rojos poco tiempo despueacutes bajo los focos luminosos era Caperucita Roja yaciendo sobre la hierba del lindero del bosque ya para siempre dormida sus intensos ojos negros abiertos en un gesto uacuteltimo de asombro irracional A su lado la pretendida pistola no era sino el hacha nimia que le habiacutea servido de herramienta

Cerca de ella Azraa acribillada se debatioacute en el suelo durante un tiempo entre espasmos y dentelladas de dolor Desprendido el pantildeuelo varias manchas tentildeiacutean de carmiacuten sus cabellos que hasta entonces habiacutean sido siempre de un azabache casi mineral

La fase siguiente de la laquoOperacioacuten Martillo de Hierroraquo se puso en marcha Uno de los confidentes convocados reconocioacute a las muchachas e indicoacute a los soldados la situacioacuten de la cercana casa de la abuela en los andurriales de la ciudad

La puerta cedioacute ante el explosivo y saltoacute arrancada de cuajo junto con sus goznes Disipado el humo los soldados pudieron distinguir a una anciana enmudecida por el terror y desplomada sobre su cama Se registroacute la casa Dos humildes cuchillos de cocina fueron las uacutenicas armas encontradas

Cuando al diacutea siguiente fueron lavados los cuerpos de las nintildeas el agua sanguinolenta se desparramoacute por el patio y discurrioacute por albantildeales hasta verter en el riacuteo Tigris Diacuteas maacutes tarde en la orilla izquierda de la corriente a un rosal le brotariacutean rosas algo maacutes rojas y un limonero dariacutea limones amargos en la ribera derecha

La sangre de las nintildeas se entremezcloacute en el riacuteo en un postrero abrazo fraternal El sol hizo luego su labor de horno y partiacuteculas de sangre de Faacutetima y de Azraa ascendieron asidas al agua evaporada Desde entonces los atardeceres son algo maacutes escarlata en la tierra que otrora fue Mesopotamia y en todo el orbe resuena el eco milenario de las palabras del Antiguo Testamento dichas para los oiacutedos de los violentos laquoCaiacuten iquestqueacute has hecho de tu hermanoraquo P Crespo

Las camas de la muerte ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte lavis punta seca buril y bruntildeidor ndash 177 x 221 mm

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Reggae reggaehellip (riacutea riacutea)

La escuela y el alumnado

Eacutesta es la coleccioacuten de disparates maacutes sonados cometidos por alumnos de ESO y bachillerato en exaacutemenes de geografiacutea e historia

Perlas variadas bull Al final de la edad media empiezan a

imponerse normas morales como no masticar la sopa

bull Una de las principales manifestaciones del arte goacutetico fueron las piraacutemides que como todo el mundo sabe son apuntadas

bull A partir del Concilio de Trento el matrimonio cristiano debiacutea ser consumado en presencia de un sacerdote

bull Despotismo ilustrado los reyes teniacutean todo el poder pero teniacutean que obedecer cuando el pueblo se poniacutea de acuerdo entre ellos

bull A la juventud hitleriana la preparaban tan bien que al cabo de un antildeo eran capaces de matar a su madre

bull iquestQueacute opinas de la Constitucioacuten Que es buena y guapa

bull Actualmente el paiacutes maacutes pequentildeo de Europa es San Pedro del Vaticano

bull El rey puso a Franco para que trajera la democracia

bull Franco era el rey que habiacutea antes de Juan Carlos I

bull Espantildea no participoacute en la Segunda Guerra Mundial porque Hitler teniacutea miedo de Franco

bull Franco fue un poliacutetico dictador que consiguioacute imponer durante el reinado de Felipe II un reacutegimen dictatorial

bull No seacute en queacute antildeo murioacute Franco pero seacute que murioacute asesinado

bull Democracia es cuando hay gente que mata otra gente o cuando un paiacutes echa bombas a otro o se pegan unos a otros pues esto es democracia

bull Cartografiacutea las faltas de ortografiacutea bull Un paralelo es una de aquellas liacuteneas que

dividen la Tierra en trozos pero es imaginario

bull Continente partiacuteculas de tierra donde vivimos nosotros

bull Anticicloacuten es la temperatura caliente y se mide en milibares

bull Caacutetedra pensioacuten o escuela para los que queriacutean ser curas

bull Petroacuteleo se obtiene por tuberiacuteas llamadas oleoductos y sirve de combustible

bull Desarrollo sostenible es el desarrollo que no es ni alto ni bajo es decir es mediano

bull Poliacutegono hombre con muchas mujeres bull Delta es un riacuteo que lleva muy poca

agua bull Capital de Alemania Merliacuten bull Principales cultivos espantildeoles la uva

que produce el gran aceite que se fabrica en Espantildea

bull Islas de Oceaniacutea Islas Haguai bull Los vientos huracanados producen a

veces atauacutedes de nieve bull La pintura al fresco consiste en pintar al

aire libre bull Sufragista quiere decir que siempre estaacute

navegando por los mares bull La Guerra Friacutea se caracteriza por matar

gente a sangre friacutea bull Hambre endeacutemica es la que pasa cuando

hay epidemias bull La explosioacuten demograacutefica se produce

porque en algunos paiacuteses se producen islas producto de una erupcioacuten volcaacutenica que bastante grandes como para ser evitadas

bull Estado del bienestar significa que todo lo que es puacuteblico se ha de cuidar

bull Deuda externa es si vas aun supermercado y quedas a deber mucho si no tienes dinero Esto es la deuda externa

Serrano J Reboredo J (2005) Perlas variadas en Historia de Espantildea contada por estudiantes Madrid La Esfera de los libros (Remitido por M Dolors Hipoacutelito)

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iexclLas modelos no somos estuacutepidas Pregunta iquestEn queacute paiacutes la estaacuten solicitando como modelo Respuesta No lo puedo decir todaviacutea pero les puedo adelantar que es un paiacutes brasilentildeo que no queda muy lejos de aquiacute (Kate Moss ex modelo de Calvin Klein) Pregunta Si llegara un holocausto nuclear iquestqueacute pareja elegiriacutea Ud en todo el mundo (hombre y mujer) para preservar y multiplicar la especie humana Respuesta Al Papa y a la Madre Teresa de Calcuta (Carolina Zuntildeiga candidata a Miss Chile) El fumar mata Si te mueres has perdido una parte muy importante de tu vida (Brooke Shields entrevista para una campantildea federal antitabaco) Pregunta Si usted pudiera vivir siempre iquestlo hariacutea iquestpor queacute Respuesta Yo no viviriacutea siempre porque no deberiacuteamos vivir siempre porque si se supusiera que debieacuteramos vivir siempre entonces viviriacuteamos siempre pero no podemos vivir siempre que es por lo cual yo no viviriacutea siempre (Miss Alabama en el concurso Miss America 1999) Esa rastrera sinverguumlenza merece ser matada a patadas por un asno iexclY yo soy justo la indicada para hacerlo (Declaracioacuten de Claudia Shiffer sobre Naomi Campbell) No es la contaminacioacuten la que estaacute dantildeando el ambiente Son todas las impurezas en nuestro aire y en nuestra agua las que lo estaacuten haciendo (Pamela Anderson) No he cometido ninguacuten delito Lo que hice fue no cumplir con la ley (Jennifer Lopez al ser detenida junto con Puff Daddy) Siempre que veo la tele y veo a esos pobres nintildeos hambrientos en todo el mundo no puedo evitar llorar Quiero decir me encantaria ser asiacute de flaquita pero no con todas esas moscas y muerte y esas cosas (Mariah Carey cantante) Tomado de Internet por JMaiO 2006 Jacinto Benavente y la coma Doctor Mi previsioacuten se anticipa a todo Bastaraacute con puntuar debidamente alguacuten conceptoVed aquiacute donde dicerdquo Y resultando que no declaroacuterdquo basta una coma y dice ldquo Y resultando que no declaroacuterdquo Y aquiacuterdquoY resultando que no debe condenaacuterselerdquo fuera la coma y dice Y resultando que no debe condenaacuterselerdquo Crispiacuten iexclOh admirable coma iexclMaravillosa coma iexclGenio de la Justicia iexclOraacuteculo de la Ley iexcl Monstruo de la Jurisprudencia Jacinto Benavente Los Intereses Creados Acto segundo escena final

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Tomo una y entrego dos Mariano Nieto propone en [C-90] (seccioacuten correo) el problema que sigue En una urna hay una bola blanca y otra negra Se saca al azar una de ellas y se

devuelve a la urna acompantildeada de otra del mismo color Esta operacioacuten se repite un nuacutemero indefinido de veces

iquestCuaacutel es la probabilidad de que cuando la urna contenga 20 bolas haya 10 de cada color Solucioacuten

Sea (b n) la composicioacuten de la urna con b bolas blancas y n negras y llamemos etapa a cada intervencioacuten que extrae una bola de la urna y devuelve dos Convengamos en que la configuracioacuten de partida (11) corresponde a la etapa 1 En la etapa 2 tendremos las dos configuraciones posibles de la urna (21) y (12) asociadas con la misma probabilidad de 12

Esta simetriacutea inicial nos sugiere el siguiente procedimiento por induccioacuten Si suponemos que en la etapa n cada una de las n configuraciones posibles

(n 1) (n ndash 1 2) (n ndash 2 3) (n ndash a a + 1) (2 n ndash 1) (1 n) [1] tiene la misma probabilidad p de ocurrir (con p =1n por lo tanto) podemos calcular las probabilidades y configuraciones de la etapa n + 1

a) La probabilidad de la configuracioacuten (n + 11) (rama izquierda del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(n + 11) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

b) La probabilidad de la configuracioacuten (1 n+1) (rama derecha del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(1 n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

c) La configuracioacuten (n ndash a a + 2) con 0 le a le (n ndash 2) para asegurar que se recorre el rango de configuraciones de la etapa (n + 1) con exclusioacuten de las extremas antes consideradas proviene de (n ndash a a + 1) tras sacar una bola negra o bien de (n ndash a ndash 1 a + 2) luego de resultar blanca la bola extraiacuteda Su probabilidad seraacute por lo tanto

p x (a + 1) (n + 1) + p x (n ndash a ndash 1) (n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

de modo que todas las configuraciones de la etapa n + 1 tendraacuten tambieacuten la misma probabilidad en este caso 1(n + 1)

En la etapa 3 por ejemplo es faacutecil ver que las 3 configuraciones posibles (3 1) (2 2) y (1 3) comparten la probabilidad 13 Asiacute pues el meacutetodo de induccioacuten nos permite concluir que en la etapa n es decir tras n ndash 1 operaciones con la urna eacutesta contendraacute (n + 1) bolas y tendremos las n configuraciones posibles [1] a cada una de las cuales le corresponde la misma probabilidad 1 n

La configuracioacuten (10 10) por la que pregunta el problema perteneceraacute por lo tanto a la etapa n = 19 (tras 18 operaciones con la urna) y en consecuencia su probabilidad seraacute igual a 1 19 algo mayor que 526 por ciento

En general a la configuracioacuten (b n) donde b es el nuacutemero de bolas blancas y n el de negras siendo b y n nuacutemeros naturales cualesquiera ya que cualquier configuracioacuten es alcanzable le corresponderaacute la probabilidad p(b n) = 1 (b + n ndash 1) P Crespo septiembre 2006

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iquestDe doacutende sale el nuacutemero e Un escuchante miacuteo de RNE en el programa sobre matemaacuteticas de los antildeos 2005-06 me hace la siguiente consulta Cuando estudiaba sexto de bachillerato (plan de ensentildeanza 1957) un dia el profesor de matemaacuteticas llegoacute a clase y dijo Hoy toca el nuacutemero e Y a continuacioacuten escribioacute en la pizarra la expresioacuten conocida de liacutemite cuando n tiende a infinito de 1 maacutes 1 partido por n elevado a n La desarrolloacute por el binomio de Newton y obtuvo el conocido resultado de 2718281 Despueacutes nos dijo que el numero e era muy importante en matemaacuteticas y que se utilizaba para la base de los logaritmos neperianos Es curioso ver como la derivada del logaritmo neperiano de x = 1x EXACTO siendo la base del logaritmo un nuacutemero absolutamente INEXACTO IRRACIONAL Realmente me quedeacute sorprendido Primero de coacutemo al baroacuten de Neacuteper se le habiacutea ocurrido utilizar como base de logaritmos a un nuacutemero irracional y segundo por queacute nunca me explicaron a quieacuten se le ocurrioacute calcular el liacutemite de la expresioacuten (1+1n)n iquestPor queacute se le ocurrioacute a alguien esta expresioacuten y no otra iquestDe donde surgioacute tal necesidad Creo que eso era lo primero que mi profesor de matemaacuteticas teniacutea que habernos contado antes de calcular el liacutemite Probablemente el profesor no conociacutea la respuesta que efectivamente es difiacutecil de encontrar en los actuales libros de texto La definicioacuten actual de logaritmo de un nuacutemero es ldquoel exponente a que hay que elevar una base dada para obtener dicho nuacutemerordquo Asiacute por ejemplo en base 10 el logaritmo de 2 es log10 2 = 0301030 porque 100301030 = 2 (aproximadamente) Pero Neper no concibioacute asiacute el logaritmo para eacutel era el resultado de comparar una progresioacuten aritmeacutetica y otra geomeacutetrica Los teacuterminos de la primera seriacutean los logaritmos de los de la segunda Esto se ve muy claro en esta tabla en la que la razoacuten de la progresioacuten aritmeacutetica es 1 y la de la geomeacutetrica es 10

Progresioacuten aritmeacutetica (razoacuten 1) -3 -2 -1 0 1 2 3Progresioacuten geomeacutetrica (razoacuten 10) 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103

De la propia estructura de ambas progresiones se desprende que un producto de teacuterminos en la progresioacuten geomeacutetrica se corresponde con una suma en la progresioacuten aritmeacutetica Asiacute por las propiedades de los productos de potencias de una misma base seraacute log (xy) = log x + log y y tambieacuten log (xk) = k log x etc Por la misma tabla en la base 10 log (10-3) = log (0001) = -3 log (102) = log (100) = 2 etc Pero iquestqueacute ocurre con los valores intermedios iquestCoacutemo definir para ellos un logaritmo Neper intentoacute responder esta pregunta considerando dos progresiones de razones respectivas α y 1+β siendo (α β) muy pequentildeos Entonces dado un nuacutemero N siempre se podriacutea encontrar un valor n tal que (1+ β)n = N (dentro de una aproximacioacuten suficiente) Entonces el logaritmo de N seriacutea nα Las progresiones maacutes sencillas imaginables son aqueacutellas para las que α = β Entonces seraacute

log N = log [(1+α)n] = nα En esta expresioacuten n seraacute muy grande y α seraacute muy pequentildeo Haciendo nα = L podemos escribir la anterior igualdad

log N = log [(1+ α)1α]nα = log [1+ α)1α]L

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Definamos ahora el nuacutemero e como el liacutemite de (1+α)1α cuando α se hace infinitamente pequentildeo o sea

α

αα

1

0)1(lim +=

rarr

e

Y la expresioacuten se simplificaraacute notablemente

log N = log eL = L log e Resulta inmediatamente que el nuacutemero e = 2718281hellip es la base de logaritmos maacutes conveniente desde el punto de vista teoacuterico pues en ella seraacute log e = 1 Eacutestos son llamados los logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos (este uacuteltimo nombre procede de que miden el aacuterea subtendida entre una hipeacuterbola y su asiacutentota) El nuacutemero e es sin duda el maacutes importante en matemaacuteticas aunque π sea maacutes popular Se recuerdan sus primeras cifras con la mnemotecnia Te ayudareacute a recordar la cantidad a indoctos si releacuteesme bien Se aplica por el nuacutemero de letras de cada palabra Te = 2 ayudareacute = 7 etc En la praacutectica son maacutes usados los logaritmos decimales o de Briggs que tienen por base el nuacutemero 10 Presentan la ventaja de que la parte decimal de cada logaritmo (mantisa) no cambia al ser multiplicado el nuacutemero por una potencia de 10 lo que hace muy praacutecticas las tabulaciones El paso de los logaritmos de una a otra base es muy sencillo mediante el nuacutemero M = log 10 = 2302585 Se deduce sin dificultad que log x = M log10 x Josep M Albaigegraves Barcelona octubre 2006

El nuacutemero e es el uacutenico que verifica que el valor de la derivada (inclinacioacuten de la tangente en rojo en la figura) de f(x) = ex para cualquier valor de x es igual al valor de f(x)

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Cruzando el desierto en jeep Enunciado (propuesto por Mariano Nieto en C-83 seccioacuten correo) Un jeep ha de atravesar un desierto de 800 kiloacutemetros Admite una carga maacutexima para recorrer 500 kiloacutemetros y se quiere conocer la menor cantidad de tales cargas que hay que consumir para alcanzar la meta El depoacutesito inicial se supone de capacidad ilimitada y el jeep puede establecer tantos depoacutesitos intermedios como haga falta Se desea conocer tambieacuten el nuacutemero de viajes parciales que lleva a cabo el jeep teniendo en cuenta que ante dos soluciones iguales (mismo consumo) se preferiraacute la que implique menos viajes parciales Planteo

Supongamos que se depositan cargas en los puntos 1 2 hellipi hellipy llamemos ci a la carga del depoacutesito en el punto i y cf a la del punto siguiente i + 1 Si la distancia entre ambos puntos es d para transportar la carga del punto i al i +1 se necesitaraacuten n viajes de ida y vuelta y un uacuteltimo viaje de ida El depoacutesito en el punto i constaraacute pues de n cargas para 500 km y un remanente al que llamaremos cr Podemos plantear las ecuaciones siguientes

cf = (500 - 2d) n + cr - d (1) ci = 500 n + cr (2) r = (2n + 1) d (3) cr = 500 (4)

donde r es el recorrido del jeep (equivalente a la carga consumida) en el transporte entre ambos depoacutesitos

Los caacutelculos han de efectuarse retrocediendo desde el final hasta la situacioacuten de salida (o sea pasando desde el depoacutesito i +1 al i) para garantizar que se transporta siempre la cantidad miacutenima precisa Cuidaremos tambieacuten de que el valor de n sea el menor posible puesto que los viajes de ida y vuelta aunque necesarios son obviamente menos eficaces en cuanto a rendimiento que los directos Solucioacuten Las ecuaciones anteriores sugieren una viacutea para la solucioacuten del problema basada en separar los tramos para los cuales n (nuacutemero de viajes de ida y vuelta) se mantiene constante El valor de n iraacute en aumento al progresar desde el final hacia el inicio puesto que la capacidad de los depoacutesitos iraacute aumentando en ese sentido y cada vez que se produzca un incremento de 500 km de carga se haraacute necesario aumentar n en una unidad Asiacute pues tendremos 1- Tramo con n = 0 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se progresa desde el final (punto kilomeacutetrico 800) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 0 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

cf = cr ndash d

Como la carga final cf es nula al llegar al punto final (800 km) y es cr = 500 (el maacuteximo posible) basta con llevar a cabo un viaje de ida solamente que salva la distancia d = 500 km El consumo es justamente de 500 km o una carga Esto nos

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coloca a una distancia del origen de 300 km con un depoacutesito con carga para 500 km en dicho punto al que llamaremos D 2 - Tramo con n = 1 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se calcula desde el final (punto kilomeacutetrico 300) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 1 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

500 = 500 - 2d + cr - d = 500 + cr ndash 3 d Hasta que se agote la carga residual maacutexima cr = 500 tendremos

d = 500 3 (5)

La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =1 (es decir donde se pasa de n =1 a n =2 si se lee desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 1) = 300 ndash 5003 = 4003 = 133 3333hellip km El consumo en todo este tramo final (donde n =1) seraacute

consumo (n = 1) = 3 d = 3 times 5003 = 500 Tenemos asiacute tres viajes de 5003 km Al final de la operacioacuten se habraacute transportado una carga de 500 km con un consumo de 500 km tal como se ha calculado antes Como ya se ha visto nos hallamos ahora a una distancia del origen igual a 4003= 133333hellip km Bautizamos este punto como C donde el depoacutesito tendraacute una carga para 1000 km 3 Tramo con n = 2 Ahora la foacutermula (1) se expresa

1000 = 1000 - 4d + cr - d = 1000 + cr ndash 5 d Para una carga residual maacutexima cr = 500 seraacute

d = 5005 = 100 (6) La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =2 (es decir donde se pasa de n =2 a n =3 leyendo desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 2) = 400 3 - 100 = 100 3 = 333333hellipk m El consumo en todo este tramo (donde n =2) seraacute

consumo (n = 2) = 5 d = 500 Se salva una distancia de 100 km y se comprueba que el consumo seraacute de 5 times 100 = 500 La carga transportada seraacute de 2 times 300 + 400 = 1000 km carga que se deja en el depoacutesito C En este punto B nos encontramos a una distancia del origen de 1003 = 33333hellip km y con un depoacutesito con carga para 1500 km

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4 Tramo con n = 3 En este caso la foacutermula (1) es

1500 = 1500 - 6d + cr - d = 1500 + cr - 7d Tendremos ahora d = 5007 gt 100 3 desigualdad que nos dice que la distancia que puede cubrirse con n = 3 supera la distancia que nos separa del origen Asiacute que bastaraacute trabajar de forma que se tenga

d = 1003 (7) Con estas condiciones el consumo correspondiente valdraacute

consumo (n = 3) = 7 d = 700 3 El nuacutemero de viajes seraacute ahora igual a 2 n + 1 = 7 cada uno de los cuales cubre la distancia d = 1003 La carga que se toma del depoacutesito inicial seraacute 1500 + 7003 Consumo total El consumo total que se busca seraacute por lo tanto exactamente Consumo total = 500 (para recorrer los uacuteltimos 500 km n = 0) + 500 (n = 1) + + 500 (n = 2) + 7003 (n = 3) = 1500 + 7003 lo que expresado en cargas resulta ser (1500 + 7003) 500 = 3+7 15 = 34666hellip El nuacutemero total de viajes resulta ser sumando los de las etapas parciales igual a 16 La tabla 1 muestra los valores relevantes para cada una de las etapas dispuestos ahora desde el inicio hasta el final

Km n viajes d (km) consumo (km) carga (km) A (origen) 1500 + 700 3

0 a 1003 (B) 3 7 100 3 700 3 1500 1993 a 4003 (C) 2 5 100 500 1000 4003 a 300 (D) 1 3 500 3 500 500 300 a 800 (E) 0 1 500 500 0

TOTALES 16 800 1500 + 700 3 Tabla 1

El resultado es por tanto Consumo = (1500 + 700 3) 500 = 3 + 7 15 = 34666hellipasymp 347 Viajes = 16 Notas finales Otra cuestioacuten que suscita este problema es la de si existe una limitacioacuten a la anchura del desierto que se ha de atravesar La respuesta es que no existe tal liacutemite puesto que como se aprecia sin dificultad la taacutectica para ir situando combustible en posiciones avanzadas y que expresan las ecuaciones (1) a (4) permite trabajar a partir de cualquier distancia P Crespo noviembre 2006

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Pitaacutegora y su relacioacuten con los proyectiles

El otro diacutea andando por la calle vi el anagrama de una empresa de consulting

Como puede verse el siacutembolo de la empresa es (aproximadamente) el tan conocido triaacutengulo pitagoacuterico de lados 3 4 y 5 Lo vemos inscrito en un cuadrado el miacutenimo que puede contenerlo iquestCuaacutel es el lado de este cuadrado

Solucioacuten Llamemos α al aacutengulo que forma el cateto largo con el lado vertical del cuadrado Es

inmediato establecer las ecuaciones

4 cos α = L = 4 sin α + 3 cos α Que permite llegar a la igualdad

cos α = 4 sin α De donde se obtiene tan α = α o sea α = 14036ordm El lado vale L = 4 cos 14036ordm = 38806 Es curioso que este aacutengulo es el mismo con el que debe ser lanzado un proyectil para

que la altura alcanzada sea igual al alcance En efecto la primera vale

gvh

2sin 22

0max

ϕ=

Mientras que el alcance es

gvx ϕ2sin2

0=

Igualando ambas ecuaciones se llega a cos φ = frac14 El aacutengulo φ es el complementario

del α antes hallado El proyectil deberiacutea dispararse tangente al cateto de lado 4 JMAiO BCN sep 06

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PROBLEMA DE LA DIVISIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO

Dado un triaacutengulo ABC y un punto P situado en su interior se pide trazar una recta MN que pasando por el punto P divida al triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea o que esteacuten en una proporcioacuten dada

A

B C

P

M

N

Q

q

p

R

x

y

Solucioacuten El problema implica dos condiciones - 1ordm Que los puntos M P y N esteacuten alineados - 2ordm Que las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB esteacuten en una proporcioacuten dada

Veamos como podemos dar forma algebraica a estas dos condiciones Tracemos desde el punto P como se indica en la figura las paralelas a los lados BC y AC hasta que corten en los puntos R y Q respectivamente a los lados AC y BC Llamemos x y p y q a los segmentos MR NQ PQ y PR Los valores de x e y se obtendraacuten al resolver el sistema de ecuaciones que suponen las dos condiciones dadas La primera condicioacuten ya que los triaacutengulos MRP y PQN son semejantes se expresa escribiendo

yp

qx=

La segunda condicioacuten puesto que los triaacutengulos MCN y ACB tienen comuacuten el aacutengulo en C equivale a decir que los productos de los lados de cada triaacutengulo que concurren en el veacutertice C estaacuten en la proporcioacuten en la que estaacuten sus aacutereas Llamando k al cociente entre las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB la segunda condicioacuten la escribiremos asiacute

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( )( ) kabqypx =++

donde a y b son respectivamente los lados BC y AC del triaacutengulo dado El sistema de ecuaciones escrito nos conduce a la siguiente ecuacioacuten de segundo grado que resuelve el problema

( ) 02 22 =+minusminus qpxpqkabqx

( )

qpqkabkabpqkab

x2

42 minusplusmnminus=

xpqy =

La condicioacuten para que el problema tenga solucioacuten real es que el radicando no sea negativo es decir

( ) 04 geminus pqkabkab

pqkab 4ge

abpqk 4

ge

Resulta innecesario decir que para k=05 la recta divide el triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea teniendo que darse previamente la condicioacuten del paacuterrafo anterior Notas 1- La primera condicioacuten tambieacuten se puede expresar escribiendo la recta MN en su forma canoacutenica en el sistema de coordenadas cartesianas oblicuas definido por los ejes CA y CB obligando a que el punto P esteacute en ella es decir

1=+

++ xp

pyq

q o sea pqxy =

2- El valor de k tambieacuten depende del par de lados respecto a los cuales se hayan trazado las paralelas para disponer de los valores de p y q Puede darse el caso de que aun siendo negativo el radicando para la pareja de lados elegida no lo sea para alguna otra y el problema siga teniendo solucioacuten

Manuel Rodriacuteguez Saacutenchez ndash Septiembre de 2006

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Re-citando las citas de laquoPelucheraquo

laquoLas mujeres hablan porque desean hablar mientras que un hombre soacutelo habla cuando se siente empujado por algo ajeno a eacutel como por ejemplo si no encuentra unos calcetines limpiosraquo (Jean Kerr 1922-2003 escritora estadounidense) laquoDonde hay matrimonio sin amor habraacute amor sin matrimonioraquo (Benjamin Franklin cientiacutefico poliacutetico y filoacutesofo norteamericano) laquoSi quieres ver una especie en peligro de extincioacuten miacuterate al espejoraquo (John Young 1930 cientiacutefico estadounidense) laquoAntes de pedir dinero a un amigo decide cual de las dos cosas necesitas maacutesraquo (Jean de La Bruyegravere 1645-1696 moralista franceacutes) laquoComprendes que estaacutes envejeciendo cuando las velitas cuestan maacutes que la tartaraquo (Bob Hope 1903-2003 actor estadounidense) laquoA mi juicio el mejor gobierno es el que deja a la gente maacutes tiempo en pazraquo (Walt Whitman 1819-1892 poeta estadounidense) laquoSi el hijo de Bono se casa con la hija de Bush iquestla descendencia se llamaraacute Bono Bushraquo (Alberto C 1983 estudiante de reflexologiacutea podal) laquoPara escribir un buen libro no considero imprescindible conocer Pariacutes ni haber leiacutedo el Quijote Cervantes cuando lo escribioacute aun no lo habiacutea leiacutedoraquo (Miguel Delibes 1920 escritor espantildeol) laquoComo todo el mundo sabe los cantos de las sirenas atraen a los hombres para luego acabar con ellos Especialmente las sirenas de las faacutebricasraquo (Jaume Perich Escala 1940-1995 humorista espantildeol) P C Citas tomadas de laquoPelucheraquo con su consentimiento

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Es costumbre encabezar esta seccioacuten con bonitos sellos de correo de las cartas remitidas

por nuestros lectores Los de hoy tienen la singularidad de no ser de curso legal sino facsiacutemiles de emisiones durante la II Repuacuteblica Adornaron el sobre de una carta remitida por Rafael Leoacuten de Maacutelaga

Abrioacute el fuego este trimestre nuestro asiduo colaborador Joseacute Antonio de Echaguumle de

Madrid con estas palabras

Espero esteacuteis bien y hayaacuteis pasado unos diacuteas de venturosas y agradables vacaciones Por mi parte ya estoy reincorporado al trabajo y asumiendo el siacutendrome post vacacional de todos los antildeos

Hoy mismo he leido en Izaronews (una especie de agencia de noticias on line vasca) un artiacuteculo sobre matemaacuteticas y poliacutetica que te adjunto como modesta contribucioacuten al Congreso recientemente celebrado en Madrid y en el que seguacuten se dice una de las pocas cosas razonables fue la unaacutenime decisioacuten de no invitarme

En otro orden de cosas propongo que si no existe ya que la Academia de Ciencias (presuntamente) Inuacutetiles cuyo boletiacuten recibo con regularidad tome en consideracioacuten la creacioacuten de una Caacutetedra de Puntologiacutea nombre que provisionalmente y sometieacutendome al maacutes fundado criterio de los acadeacutemicos de nuacutemero propongo para el estudio de los puntos comas y demaacutes signos de puntuacioacuten como instrumento de confusioacuten alteracioacuten de textos y en su caso defraudacioacuten Para ilustrar la indudable utilidad valga la contradiccioacuten de tan antigua y prestigiosa ciencia (presuntamente) inuacutetil adjunto un texto del Premio Nobel y gran dramaturgo D Jacinto Benavente

Al recibir tu carta tambieacuten estaacutebamos de regreso aunque sufriendo ese septiembre

canicular los hombres del tiempo deciacutean que pronto cambiariacutean las temperaturas en lo que no anduvieron muy acertados con los termidores que hemos tenido hasta pleno noviembre Pero estas cosas vienen de antiguo De nintildeo leiacute ese chiste

mdashPepito todo lo haces mal iexclsiempre te equivocas iquestPero queacute vas a hacer de mayor mdashHareacute calendarios La versioacuten actual del Calendario del Ermitantildeo son los Time-men que con sus isobaras y

marejadillas nos animan la vida Queda constituida la Caacutetedra de Puntologiacutea y por la presente disposicioacuten se te nombra

catedraacutetico eximio Los ejemplos que citas han pasado al mundo de lo claacutesico yo no sabiacutea que hubieran sido recogidos por Benavente (quien sin duda los tomoacute de algo anterior el mundo es ciacuteclico como ese kalpa o rueda de reencarnaciones) Por cierto en [B-34] se publicoacute el artiacuteculo Ejercicios de puntuacioacuten donde se abundaba sobre el tema comparando frases del estilo ldquoEl callo molestoEacutel calloacute molestordquo

He aprendido con tu artiacuteculo maacutes sobre la poliacutetica vasca que en meses de estar leyendo Maragall resolveriacutea la ecuacioacuten diciendo Beacute no cal preocupar-shi quan sigui el moment ella es resoldragrave sola Nuestro ex presidente se ha mostrado de nuevo tan eficaz como los

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Time-men tras el desaguisado uacuteltimo de la renovacioacuten del tripartitohellip pero chitoacuten dejemos estas incursiones poliacuteticas aunque no sin publicar el artiacuteculo Gracias

Otro proliacutefico miembro de nuestro club de amigos es Mariano Nieto de Madrid quien

manda la solucioacuten del curioso problema

Y antildeade Hola JM De un momento a otro salgo para Zafara (iquestDe doacutende viene ese nombre) junto a los

Arribes del Duero cerca hay otro pueblo con la misma eufoniacutea y que combina casi las mismas letras Fariza Tambieacuten hay otro que se llama Muga alguien me dijo que Zafara significaba como Muga frontera

Hemos estado en Potes recorriendo un poco la Lieacutebana alliacute coincidimos para comer cerca de Colombres con unos amigos de Alella Joan Friacuteas i Ros y Anna Orfila Por cierto en Colombres hay un curioso palacio azul rodeado de un bello jardiacuten con grandiacutesimos magnolios que alberga el museo de la emigracioacuten Me recordoacute el que se describe en la novela El palacio azul de los ingenieros belgas cuya accioacuten transcurre en Asturias

Una coincidencia curiosa mi hija mayor ha viajado la semana pasada con su marido a Milaacuten (los dos son historiadores) los llevamos al aeropuerto y para que pasasen el rato distraiacutedos les di el problema de Gastoacuten de Foix En Milaacuten visitan el castillo de los Sforza y en su museo contemplan una estatua yacente de un personaje

iexcliexcliexclGastoacuten de Foix (Gastoacuten murioacute en la batalla de Raacutevena ganada por los franceses y fue enterrado en Milaacuten) Te mando una foto del monumento debido al escultor Agostino Busti ldquoBambaiardquo es una de las mejores piezas del museo

Problema propuesto por Mariano Nieto en [C-90] Durante la guerra 1914-18 fue descubierta una tumba de un

soldado franceacutes muerto el uacuteltimo diacutea de un mes durante otra guerra en Italia La alabarda del soldado franceacutes se encontraba a su lado El producto del diacutea del mes inscrito en su laacutepida por la longitud en pies de la alabarda por la mitad de los antildeos transcurridos entre la muerte del soldado y el descubrimiento de su tumba y finalmente por la mitad de la edad del comandante franceacutes de la expedicioacuten en que murioacute el soldado es igual a 451066 iquestCoacutemo se llamaba el comandante franceacutes

Solucioacuten Si descomponemos el nuacutemero 451066 en factores primos nos

encontramos con 451066 = 271129101 El uacuteltimo diacutea del mes ha de ser forzosamente el 29 por tanto estamos hablando de un mes de febrero de 29 diacuteas La longitud de la alabarda ha de ser forzosamente igual a 7 pies nos quedan por emplear tres factores 2 11 y 101 Son por tanto posibles dos soluciones o bien 101 o 202 es la mitad de los antildeos transcurridos entre la muerte del soldado y el descubrimiento de la tumba Pero entre 1712 y 1716 por una parte la alabarda ya no se utilizaba y por otra no hubo intervenciones francesas fuera de Francia Asiacute 202 es la mitad del nuacutemero de antildeos transcurridos siendo entonces la edad del comandante 22 antildeos El antildeo 1512 tuvo lugar la batalla de Raacutevena entre espantildeoles y franceses siendo mandadas las tropas francesas por el comandante franceacutes Gastoacuten de Foix nacido en 1489

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He estado pensando el siguiente problema iquestCuaacutentos tetraedros no superponibles pueden construirse con seis segmentos de longitudes 1112131415 y 16 iquestQuieres pensarlo Mi razonamiento me lleva a 60

iquestCuaacutendo empiezas en RNE

GASTOacuteN DE FOIX

Agostino Busto llamado el Bambaia Castello Sforcesco ndash Milan

Gracias por los problemas son un buen ejemplo de coacutemo resolver un problema en el sentido ingenieril (no solamente matemaacutetico) del teacutermino hurgando en todas partes en busca de datos y su organizacioacuten De todos modos encuentro que el de Gastoacuten de Foix es adecuado para los franceses maacutes conocedores de esa figura

En mi opinioacuten Zafara es una deformacioacuten de zafra del aacuter al-safar lsquoperiacuteodo en que amarillean las cosechasrsquo (de donde la zafra de azuacutecar en Cuba) Curioso el apellido Orfila aparece en una deliciosa poesiacutea de Agravengel Guimeragrave que empieza

Hi ha un argenter A lrsquoArgenteria de tant or filar li diuen lrsquoOrfila El fila tan prim que tot just sacutealbira nacuteapar un cabell del front dacuteuna nina El filador dacuteor diu que en teacute una filla que eacutes un pom de flors no cal que us ho diga

(Al final la chica se metiacutea a monja y se deciacutea que el platero vendiacutea ldquoper or fi cabells de

sa fillardquo) En realidad Orfila viene de Wulfila nombre germaacutenico lsquolobo decididorsquo No seacute muy bien el significado de Fariza obviamente aacuterabe que podriacutea derivar de fara

lsquopropiedadrsquo como el pueblo catalaacuten de Faregraves ldquoque tots el busquen i no saben on eacutesrdquo seguacuten reza el chiste de sus vecinos Muga es efectivamente lsquoborne liacutemitersquo existe en Cataluntildea un riacuteo Muga cercano a Ter que como eacutel desemboca en la bahiacutea de Roses curvada y luminosa formada por dos arcos de elipse de ejes en relacioacuten armoacutenica que quizaacute por esto tanto gustoacute a los griegos (Empuacuteries) Alliacute se encontroacute Fernando VII con el general Copons que habiacutea salido a recibirle al hacer su entrada en Espantildea tras el destierro de Valenccedilay (1814)

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Tras pensar en tu problema encuentro tu solucioacuten correcta No empeceacute en RNE Acortaron el programa ldquoNo es un diacutea cualquierardquo y por lo visto en ese nuevo formato no habiacutea lugar para mi espacio El iacutendice de audiencia mandahellip

Pedro Crespo de Barcelona contribuidor y coeditor manda la siguiente carta Estoy consternado En un foro puacuteblico Putin ha dicho recientemente que no le hablen a eacutel de

corrupcioacuten cuando lo de los alcaldes espantildeoles da ciento y raya a toda Rusia Pero no es ese episodio lo que me ha trastornado porque que Espantildea es una olla bullente de corrupcioacuten enmadejada con la poliacutetica es algo que viene de antiguo y que todos los que tenemos oiacutedos para escuchar tenemos ya largamente asumido

No Lo que me ha conmovido tiene que ver maacutes con una revelacioacuten Resulta que alcanceacute a ver un telediario en el que emitieron parte de la conversacioacuten que habiacutea sido pinchada por la policiacutea de uno de tales alcaldes que no haciacutea mucho habiacutea regresado de poner a buen recaudo en Andorra un apreciable montoacuten de miles de euros casi un milloacuten Y las palabras pinchadas que correspondiacutean al reclamo de la claacutesica comisioacuten (unos cuarenta millones de euros en este caso) deciacutean casi literalmente asiacute laquoporque yo soy el que firmo y no voy a estar aquiacute vieacutendolas pasar Somos once iquestno Pues yo quiero mi once por cientoraquo

Al instante me di cuenta de mi tragedia ya que mis elementales matemaacuteticas me dicen que yo hubiera reclamado siendo once a repartir poco maacutes del nueve por ciento Y de inmediato se me hizo la luz iexclLas matemaacuteticas empobrecen

Como ya he comenzado a poner remedio al asunto queriacutea que supieras que ya no colaborareacute maacutes con mis seudo matemaacuteticas en Carrollia Si acaso enviareacute algunos artiacuteculos que ya estaacuten elaborados la mayor parte producto de las reflexiones a las que me movioacute el artiacuteculo de Viantildea De ahora en adelante enviareacute cuentos cortos y algunas reflexiones sobre la brevedad y la falta de sentido de la vida

Por suerte un amigo neurofisioacutelogo que se ha compadecido de miacute me estaacute ayudando a olvidar del todo las escasas (eso ayuda en la tarea) matemaacuteticas que recordaba Me asegura que la foacutermula magistral que ha preparado consigue el bloqueo de todas las sinapsis de los circuitos loacutegicos del cerebro

Seguacuten la uacuteltima resonancia que me hizo la labor estaacute ya cumplida Yo no lo veo asiacute sin embargo porque justamente se me acaba de ocurrir un meacutetodo matemaacutetico para prosperar y que consiste en comprar cosas a diez y venderlas a cien y con ese diez por ciento pienso hacerme con un coacutemodo y raacutepido patrimonio

Gracias por el buen rato que me ha hecho pasar tu carta festiva y bromista (supongo que es una broma eso de que no escribiraacutes maacutes artiacuteculos con componente matemaacutetica) La ocurrencia del edil me recuerda la de un fondista de mi pueblo que serviacutea deliciosos platos confeccionados con ldquocarne de perdizrdquo Estrechado a preguntas por algunos que sospechaban que la mezclaba con carne de caballo acaboacute confesando que ldquoSiacute tant a tantrdquo (en catalaacuten ldquoa partes igualesrdquo) y aclaroacute tras nuevas acometidas ldquoUna perdiz un caballordquo

Escribe Xavi Burgueacutes de Granollers El divendres em vaig trobar en un llibret amb la programacioacute de Catalunya Muacutesica un

passatemps que no havia vist mai un sidoku Es tracta duna variant del sudoku de 7 x 7 de manera que cada nota musical ha daparegraveixer una i nomeacutes una vegada a cada fila columna i grup A diferegravencia dels sudokus els grups no soacuten quadrats sinoacute que tenen formes qualssevol amb una superfiacutecie aixograve siacute de 7 quadres Hi ha doncs set files set columnes i 49 quadres repartits en set grups

Addicionalment hi ha uns quadres destacats i un tiacutetol duna obra musical les notes que quedin en aquests quadres soacuten un fragment de lobra citada

La direccioacuten que da Xavi es wwwsidokuscom Recomiendo su visita Y estoy seguro

de recibir en breve alguno maacutes iquestno es verdad Jesuacutes Lladoacute Y asiacute burla burlando hemos llegado al final iexclFelices fiestas navidentildeas Los editores

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Los 90 antildeos de Francesc Castanyer Como se anunciaba en [C-90] Francesc Castanyer recibioacute el 16 de septiembre un carintildeoso homenaje de algunos de sus numerosos amigos Ahiacute le vemos flanqueado por los otros dos editores Albaigegraves y Crespo los tres muy ufanos disfrutando del calorcillo mediterraacuteneo en una terraza de la playa de Torredembarra (Tarragona) Durante la comida en la que participaron tambieacuten Dolors Hipoacutelito e Isabel Garciacutea consortes de los anteriores y tambieacuten carrollistas se recibieron numerosas llamadas telefoacutenicas de quienes queriacutean testimoniar su presencia afectiva en el acto Por muchos antildeos querido Francesc Los otros editores

Anuncio para escritores

Nuestro co-editor Josep M Albaigegraves ha sido nombrado por una prestigiosa editorial director de una coleccioacuten de libros sobre matemaacutetica recreativa de proacutexima venta en quiosco Cada libro iraacute acompantildeado de un corto opuacutesculo sobre un tema monograacutefico de matemaacuteticas recreativas Se solicitan colaboradores El que tenga escrito o piense escribir alguacuten libro o artiacuteculo interesante ahora tendraacute la ocasioacuten de verlo publicado Deberaacute primar la amenidad y la concisioacuten

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Quienes esteacuten interesados que contacten conmigo al lugar de costumbre albaigesciccpes

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La yuml Vuelvo hoy a la vieja cuestioacuten de la ldquoyrdquo griega catalana cremada sobre la ldquoyumlrdquo que escrupulosamente respetan en sus transcripciones no soacutelo aficionados sino incluso alguacuten historiador de trayectoria irreprochable Personalmente me encontreacute con esa yuml por primera vez en la transcripcioacuten que un papiroacutelogo haciacutea mdashpor tercera vez ya y todas distintasmdash de cierto contrato que data en 1700 Me quedeacute sin poder consultarle por queacute transcribiacutea ldquocuyumlnardquo ldquomeyumltatrdquo y una veintena de veces ldquoyumlrdquo (aunque el documento ofreciese unas grafiacuteas que invitaban sin ninguna otra razoacuten a esa lectura) frente a las numerosas veces que apareciacutea la ldquoyrdquo sin maacutes complicaciones Por eso defendiacute yo que esa dieacuteresis no pasaba de ser un adorno sin valor foneacutetico ni ortograacutefico un rasgo tan caprichoso como el travesantildeo con que algunos cruzamos el trazo descendente de la ldquoqrdquo o el ascendente del ldquo7rdquo Sin embargo la insistencia de quienes seguiacutean transcribiendo esa crema o dieacuteresis sobre la ldquoyrdquo griega me llevoacute a consultar al Instituto de Estudios Catalanes desde donde se me advirtioacute mdashcomo ya he referidomdash que tal grafiacutea se debiacutea a la contiguumlidad de una ldquoirdquo breve y de una ldquoirdquo larga (de una ldquojrdquo) escritas ambas con sus puntos usuales Pero ninguno de mis corresponsales admitioacute esa explicacioacuten Y hoy vuelvo a mis posiciones aunque enriquecido por una informacioacuten minuciosa Al parecer la ldquoirdquo medieval careciacutea de punto pero en textos redactados en algunos territorios de la Corona de Aragoacuten tanto en latiacuten como en catalaacuten durante el XIII y una parte del XIV la ldquoyrdquo se escribiacutea paradoacutejicamente con un punto (soacutelo uno) encima lo que es imposible de reproducir en las copias mecanograacuteficas que por consiguiente se limitan a escribir esa letra sin puntuacioacuten Y cuando en esos viejos textos concurriacutean dos iacutees fue tambieacuten frecuente mdashsobre todo a final de palabramdash escribir la primera como una ldquoirdquo corta y la segunda como una ldquoirdquo larga pero sin que una y otra dejasen de ser iacutees de igual sonido aunque distinto trazo Transcribir ahora como ldquoijrdquo aquella grafiacutea cuando ya ambas letras tiene un sonido diferente y cuando carecemos de un signo que represente la ldquoirdquo larga (aunque convencionalmente la representemos por una ldquojrdquo) podriacutea prestarse a interpretar que estamos ante dos diferentes sonidos y parece loacutegico exponer la identidad del sonido de ambas iacutees antes que insistir en un trazo (el de la ldquojrdquo) que pretendidamente representase la caligrafiacutea de una ldquoirdquo larga (Otra cosa puede ser la de su funcioacuten decorativa por ejemplo en la numeracioacuten a la romana en minuacutescula) Naturalmente estamos hablando de dos iacutees latinas contiguas y en ninguacuten modo de una ldquoyrdquo con la que esas dos iacutees contiguas han llegado en ocasiones a identificar su trazo en escritos catalanes de al menos el XVIII y el XIX Sin duda una vez admitido el uso de puntuar la ldquoirdquo se extendioacute caligraacuteficamente (no tipograacuteficamente) y por duplicado a la ldquoyrdquo o sea ldquoyumlrdquo aunque sin valor foneacutetico ni ortograacutefico alguno y sin maacutes razoacuten al parecer que la de que ese signo acaba en una doble cuacutespide La expresioacuten ldquoponer los puntos sobre las iacuteesrdquo rebasaba asiacute sus propias limitaciones Y temo que estemos encontraacutendonos ante una situacioacuten pareja a la que se produce cuando una ese alta (como la que emplea Suaacuterez en su traduccioacuten de Lalande seguacuten era de uso entonces) tan parecida a una efe se transcriba como tal efe (seguacuten vemos por ejemplo en la transcripcioacuten moderna de esa traduccioacuten llevada a cabo por Arespacochaga y Seral y en la que leemos cosas como la conferva de Plinio por la ldquoconservardquo) Otra cosa es el alemaacuten donde la ese alta seguida de una ese baja sigue conservando en su tipografiacutea un signo propio Rafael Leoacuten Maacutelaga 2005

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LAS CARTAS DE TIJERA Pensamos en el papel como la superficie sobre la que manual o mecaacutenicamente

dejamos una huella de tinta que va reproduciendo el curso del pensamiento o de la inspiracioacuten Pero en otro tiempo hubo un modo de escribir sin tinta un modo de escribir recortando en el papel con unas tijeras el trazo de unas letras no escritas por la pluma o el caacutelamo o siguiendo ese trazo con la punta al rojo de un alfiler

Una referencia en castellano sobre este arte se conservaba en las estrofas 40 a 44 de los Proverbios de Don Santo de Carrioacuten o Rabiacute Sem Tob Ardutiel contemporaacuteneo de Pedro I de Castilla y feliciacutesimo escritor tambieacuten en hebreo entre otras cosas de un Debate entre el caacutelamo y las tijeras Con el paso de los antildeos sin embargo tales estrofas de sus Proverbios habiacutean llegado a extenuar su significacioacuten

Bueno seraacute reproducirlas aquiacute previa advertencia de que en ese texto castellano (tan proacuteximo ya a lo que seriacutea el espantildeol) astroso estaacute por ruin cuidar por cavilar infinta por fingimiento ca por pues puesto que ya que dentildear por dignar meollo por interior substancioso caxcas por caacutescaras finqueacute por lsquoquedeacutersquo

Y ahora siacute reproduzcamos esas estrofas

Un astroso cuidaba Y por mostrar que era sotil yo le enviaba escripto de tisera El nescio non sabiacutea que lo fiz por infinta porque yo no queriacutea perder en eacutel la tinta Ca por non le dentildear fize vazia la llena y no lquise donar la carta sana buena Como el que tomaba meollos de avellanas para siacute y donaba al otro caxcas vanas Yo del papel saqueacute la razoacuten que deziacutea con ella me finqueacute dile carta vaziacutea

(Fragmento del opuacutesculo del mismo tiacutetulo de Rafael Leoacuten)

Lo mismo ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte punta seca lavis buril y bruntildeidor ndash 162 z 223 mm

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Problema del Autoacutedromo de Sant Pere de Ribes

Enunciado En Sant Pere de Ribes cerca de Sitges provincia de Barcelona hay un circuito autoacutedromo abandonado que tiene forma oval Cada uno de los dos extremos tiene un radio estimado en 131 metros y una pendiente estimada de 60 grados sexagesimales

iquestA queacute velocidad debe ir un automoacutevil en dicha pendiente para no resbalar hacia abajo ni hacia arriba

Resolucioacuten

Sobre el automoacutevil actuacutean 2 fuerzas el peso p

y la reaccioacuten perpendicular del suelo f debida a la curva

Llamando m a la masa del automoacutevil y g a la aceleracioacuten de la gravedad se sabe

mgp =

Para que el automoacutevil no resbale el valor de f

debe ser tal que al descomponerlo en f1 y f2 se produzca

pf =1

La fuerza f2 es la fuerza llamada centriacutepeta porque su direccioacuten y sentido es hacia el centro de curvatura de la trayectoria del moacutevil es bien sabido que llamando v a su velocidad y r al radio de curvatura de la trayectoria se cumple que la fuerza centriacutefuga se puede expresar

rvmf

2

2 =

Ademaacutes la trigonometriacutea permite escribir 2

1o30 tgff

=

Las ecuaciones anteriores forman un sistema de 4 ecuaciones entre las que se puede suprimir f1 f2 p y m

222o30 tg

vrg

rvm

mg

rvm

p===

de donde despejando v y sustituyendo valores

kmh 8169ms 247057735

819 middot 13130 tg o ====rgv

Conclusioacuten Para no resbalar hacia abajo ni hacia arriba en dicha pendiente el automoacutevil debe ir a 1698 kmh Marcel Mantildeeacute

60o

p

f

f2

f1 30o

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EL TESORO OCULTO El pirata llegoacute a la isla donde decidioacute ocultar su tesoro Como puntos de referencia encontroacute un pozo (P) una roca (R) y un viejo olmo (O) Para ubicar el lugar exacto donde iba a enterrar

su arcoacuten repleto de doblones decidioacute fijar los puntos Pacute y Racute trazando las rectas PPacute perpendicular e igual a PO y RRacute perpendicular e igual a RO Finalmente unioacute con una recta los puntos Pacute y Racute determinando su punto medio T donde enterroacute el tesoro Pasado cierto tiempo regresoacute a la isla y encontroacute sorprendido que el viejo olmo habiacutea desaparecido sin dejar huella de su emplazamiento Afortunadamente el pirata era un buen

geoacutemetra y se las arregloacute para dar con el lugar exacto donde antantildeo habiacutea enterrado su tesoro iquestCoacutemo se las arregloacute Solucioacuten Si prolongamos la liacutenea PR a derecha e izquierda y bajamos a ella las perpendiculares PacuteA OD TC y RacuteB es faacutecil ver que los triaacutengulos OPD y ODR son respectivamente iguales a los PPacuteA y RRacuteB Ocurre entonces que PacuteA = PD y RacuteB = RD por consiguiente PacuteA + RacuteB = PR = 2 CT Como por otro lado AP = RB = OD C seraacute el punto medio de PR Asiacute pues para hallar T bastaraacute levantar una perpendicular a PR por su punto medio C y llevar una distancia CT igual a la mitad de PR Aristogeronte Madrid Agosto 2006

Siempre sucede ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte y aguatinta ndash 178 x 219 mm

T

R

P

O

P R

D C B A

T

R

P

O

P R

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PROBLEMA DE EDADES En un congreso mundial de matemaacuteticos coinciden tres amigos Andreacutes Blas y Carlos que conversan animadamente De su conversacioacuten extraemos los siguientes datos Andreacutes dice Mirad queacute coincidencia hoy es nuestro cumpleantildeos Blas contesta Mayor coincidencia es que la suma de los cuadrados de nuestras edades es 2490 igual al nuacutemero de asistentes al congreso Carlos expresa Todo eso es cierto Pero cuando Andreacutes tenga la edad de Blas la suma de los cuadrados de nuestras edades seraacute 3841 igual al coste en pesetas de la habitacioacuten del hotel Ademaacutes con estos datos cualquier congresista puede averiguar nuestras edades Hallar las edades Solucioacuten Las edades hoy son nuacutemeros enteros Andreacutes = x antildeos Blas = y antildeos Carlos = z antildeos Cuando Andreacutes tenga la edad de Blas habraacuten pasado (y-x) antildeos tiempo que habraacute transcurrido igual a los tres Entonces las edades seraacuten Andreacutes = x + (y-x) Blas = y + (y-x) Carlos = z + (y-x) (x + y-x)2 + (y + y-x)2 + (z + y ndashx)2 = 3841 Desarrollando x2 + y2 + z2 + (y-x) (-x +5y +2z) = 3841 Como x2 + y2 +z2 = 2490 (1) (y-x) (-x +5y +2z) = 3841 ndash 2490 (y-x) (-x +5y +2z) = 1351 Descomponemos 1351 en producto de 2 factores = 7 middot 193 y ndashx = 7 -x +5y +2z = 193 Resolviendo el sistema x = y ndash 7 z = 93 ndash 2y Sustituyendo en (1) (y ndash 7)2 + y2 + (93 -2y)2 = 2490 6y2 ndash 386y +6208 = 0 y1 = 32 y2= 973 y2 no es solucioacuten por ne entero Solucioacuten Andreacutes = 25 antildeos Blas = 32 antildeos Carlos = 29 antildeos Acebrian febrero 2006

Con razoacuten o sin ella ndash Francisco de Goya (Los

desastres de la guerra) ndash Aguafuerte punta seca lavis buril y bruntildeidor ndash

150 x 209 mm

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Reparos a la teoriacutea FSM

Qui nimium probat nihil probat (El que prueba demasiado no prueba nada)

Incluso la filosofiacutea la especulativa filosofiacutea se esfuerza por respetar las liacuteneas convencionales del razonamiento y de la loacutegica Incluso la filosofiacutea cuando examina el universo fiacutesico y la propia vida trata de conciliarse con las corrientes cientiacuteficas sobre las que hay amplio consenso Incluso la filosofiacutea cuando se ocupa de la teoriacutea del conocimiento aplicada al mundo fiacutesico corre pareja con las consideraciones maacutes asentadas de la epistemologiacutea cientiacutefica y no es raro que los tratados filosoacuteficos cuyo enfoque es la metodologiacutea del conocimiento tengan en cuenta los descubrimientos de la fiacutesica de vanguardia tales como las teoriacuteas relativistas y en especial los resultados paradoacutejicos de la fiacutesica cuaacutentica tan enormemente sugestivos al tiempo que elusivos En la biologiacutea y en lo que se refiere a las diversas manifestaciones de la vida y a los cambios de los que existe evidencia foacutesil se considera como asentada la liacutenea explicativa que parte de la exposicioacuten publicada por Darwin a comienzos de la segunda mitad del siglo XIX [1] Aunque no se tenga por definitiva y se reconozca incompleta sobre esa liacutenea maestra se elaboran actualmente explicaciones y correcciones a la misma El descubrimiento de la geneacutetica y de sus mecanismos iacutentimos ha supuesto un enorme impulso en cuanto a las investigaciones en este campo que ahora constituye un considerable tesoro de saber Por eso nos preocupa e incluso nos solivianta la corriente FSM de una explicacioacuten alternativa que seguacuten apreciamos se va abriendo camino incluso en universidades [2] Se trata de una corriente que ha experimentado un crecimiento notable en los uacuteltimos antildeos y que interpreta nuestro universo incluida la manifestacioacuten de la vida en teacuterminos del recurso a la intervencioacuten de una entidad inmaterial el FSM de la que se ofrece a veces una representacioacuten tangible a la que se le atribuyen poderes trascendentes como la omnipresencia y la capacidad ilimitada de intervencioacuten Si hemos de ser honestos debemos reconocer que los argumentos en los que se apoya la teoriacutea a la que aludimos son en principio irrebatibles Lo que es maacutes se ajustan mejor que las teoriacuteas que actualmente se tienen por cientiacuteficas a uno de los preceptos maacutes respetables de la ciencia como es el del reduccionismo metodoloacutegico Seguacuten el principio de Occam de la economiacutea (navaja de Occam) [3] en efecto cuanto menor es el repertorio de afirmaciones que haya que admitir como dadas al elaborar una teoriacutea maacutes aceptable seraacute eacutesta (laquopluralitas non est ponenda sine necessitateraquo) La teoriacutea que tratamos de rebatir cumple extraordinariamente bien con este requisito puesto que lo uacutenico que se requiere es la aceptacioacuten de la hipoacutetesis mencionada de la entidad conocida como FSM De todos modos no estaacute de maacutes recordar que lo que Occam dice exactamente es que en igualdad de condiciones la solucioacuten maacutes sencilla es probablemente la correcta Y probablemente como estaacute claro no equivale a necesariamente No obstante no podemos evitar que nos parezcan forzadas y como argumentadas ad hoc algunas de las explicaciones que da el principal abanderado de dicha corriente de pensamiento y primero en presentarla y defenderla Robert Hendenson Graduado en fiacutesicas no podemos pensar del mismo que le sea ajeno el rigor y la criacutetica cientiacutefica A pesar de todo lo cierto es que algunos de sus razonamientos son

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impecables como cuando explica el por queacute resulta aparente la edad de la Tierra estimada por los meacutetodos cientiacuteficos al uso Veamos sus razones laquo[] Lo que esas personas no comprenden es que Eacutel [el autor se refiere a la entidad FSM] hizo el mundo para hacernos creer que la Tierra es maacutes antigua de lo que realmente es Asiacute por ejemplo un cientiacutefico puede llevar a cabo un proceso de datacioacuten mediante carbono-14 sobre un artefacto y encuentra que aproximadamente el 75 por ciento del carbono-14 se ha desintegrado en nitroacutegeno-14 a causa de la emisioacuten de electrones e infiere que dicho artefacto tiene una antiguumledad de unos diez mil antildeos puesto que la vida media del nitroacutegeno-14 parece ser de 5 730 antildeos Pero lo que nuestro cientiacutefico no advierte es que cada vez que efectuacutea una medida la entidad FSM estaacute alliacute cambiando los resultados con su seudoacutepodo Disponemos de numerosos textos que describen en detalle como es esto posible y las razones por las que Eacutel lo hace Eacutel es por supuesto invisible y puede pasar a traveacutes de la materia normal con facilidadraquo Hay algo en esta explicacioacuten que no nos satisface Naturalmente es irreprochable pero cierta percepcioacuten nos dice que se aparta excesivamente del meacutetodo cientiacutefico por antonomasia La teoriacutea FSM no es por su propia naturaleza falsable de modo que de acuerdo con las tesis de Karl Popper una doctrina de ese tipo no se bate en condiciones de igualdad con el resto de las teoriacuteas por lo que ha de ser apartada como teoriacutea insana ―desde el punto de vista de la ciencia entieacutendase bien― y privada sin maacutes del derecho a contender en la arena cientiacutefica Es cierto que para Popper al contrario de lo que afirma el positivismo tiene sentido la aseveracioacuten de la existencia de la entidad FSM pero este autor delinea muy bien los liacutemites que separan tales tipos de proposiciones de las de caraacutecter cientiacutefico y la que nos ocupa queda claramente al margen de eacutestas [4]

Fig 1 ndash FSC en el instante de animar al primer ser humano Podriacutea argumentarse desde luego y aquiacute nos situamos del lado del punto de vista de Thomas Kuhn que la teoriacutea FSM nos coloca frente a un nuevo paradigma cientiacutefico Para Kuhn en efecto la ciencia no procede por agregaciones progresivas en torno a un nuacutecleo creciente de conocimientos sino antes bien por cambios abruptos del marco completo de la teoriacutea dominante lo que se conoce como

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desplazamientos del paradigma En este sentido podriacuteamos sentirnos inclinados a aceptar que el paradigma FSM nos traslada a un marco radicalmente nuevo No obstante la ciencia no se caracteriza por cambios de naturaleza tan radical Antes bien en los cambios de paradigma a que alude Kuhn siempre ha ocurrido que los nuevos formalismos incluyen a los anteriores en el sentido de que eacutestos se recuperan por paso al liacutemite con respecto a ciertas condiciones o paraacutemetros que han cobrado maacutes generalidad en la nueva teoriacutea Y esto no ocurre en absoluto con la propuesta FSM que prescinde del todo del acervo de saber histoacuterico Nos sentimos obligados a denunciar tambieacuten que las representaciones de la entidad FSM son en cierto modo antropomoacuterficas Sugeririacuteamos prescindir de lo que parecen ser unos ojos y un soma central para dejarlo reducido al conjunto de seudoacutepodos que podriacutean llegar a identificarse con los filamentos de la teoriacutea de cuerdas o en su enmadejamiento formar el tejido de las supercuerdas La ubicuidad podriacutea sustituirse por un nuacutemero ilimitado de copias del FSM actuando en resonancia no local El universo volveriacutea a ser de este modo de nuevo cartesiano dominado por un plenum que lo abarca todo La actuacioacuten instantaacutenea a distancia estariacutea avalada por la verificacioacuten de las condiciones de Bell relativas a la paradoja EPR que ha significado el espaldarazo a la no localidad en el mundo fiacutesico A pesar de todo algo en nuestro interior nos dice que la doctrina FSM es aberrante Quizaacute se deba al lastre de la educacioacuten recibida Despueacutes de todo uno es irremediablemente producto de la forja de su tiempo y nunca es faacutecil superar esa inercia intelectual Hijo ―o debiera decir posiblemente prisionero― de la edad de la razoacuten yo presiento con temor que una nueva Edad Media y estoy pensando en su lastre de oscurantismo se alza amenazante en el horizonte y la melancoliacutea me atenaza amargamente el corazoacuten P Crespo septiembre 2006 [1] On the Origin of Species by Means of Natural Selection or The Preservation of Favoured Races in the Struggle for Life abreviado como The Origin of Species (El origen de las especies) publicado en 1859 Este libro establecioacute la evolucioacuten (cambios espontaacuteneos hereditarios que se imponen cuando son favorables a la especie habida cuenta de los condicionantes del entorno) a partir de un ascendiente comuacuten como la explicacioacuten cientiacutefica dominante de la diversificacioacuten de las formas de la vida en la naturaleza [2] Home page httpwwwvenganzaorg

[3] William of Occam fraile franciscano ingleacutes del siglo XIV (aprox 1285-1349) Lo que se conoce como la navaja de Occam era un principio muy comuacuten en la filosofiacutea medieval (el principio de economiacutea o de parsimonia) y no tuvo su origen con Willian de Ockham pero debido al uso frecuente que eacuteste le daba a dicho principio su nombre acaboacute inseparablemente ligado a eacutel

[4] Karl Popper (1902 1994) La loacutegica de la investigacioacuten cientiacutefica (Logik der Forschung 1934 ciacuterculo de Viena) En esta obra el filoacutesofo austriacuteaco abordoacute el problema de los liacutemites de demarcacioacuten entre la ciencia y proposiciones de otro caraacutecter Para Popper la clave estaacute en reconocer que el conocimiento cientiacutefico no avanza confirmando nuevas leyes sino descartando las que contradicen la experiencia lo que constituye el proceso de falsacioacuten Soacutelo han de admitirse como proposiciones cientiacuteficas aquellas para las que al menos conceptualmente es posible un experimento que las contradiga [5] Thomas Kuhn (1992 1996) Este cientiacutefico norteamericano es famoso principalmente por su libro La estructura de las revoluciones cientiacuteficas (1962) La idea que preside el pensamiento de Kuhn es la de que la ciencia no progresa por acumulacioacuten de nuevo conocimiento sino por desplazamientos de los paradigmas que transforman abruptamente la naturaleza del conocimiento

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Matemaacuteticas de los poliacuteticos vascos Patxi Igandekoa

Pongamos el tiacutepico sistema de ecuaciones de primer grado de dos incoacutegnitas x+y=5 4x-2y=2 (Antes ensentildeaban a resolverlos en 1ordm de BUP ahora en las academias cercanas a la Escuela de Ingenieros de Bilbao) Vaya por adelantado que la solucioacuten es x=2 y=3 No nos interesa esto sino la forma en que lo resolveriacutean dos miembros destacados de nuestra clase poliacutetica El Lehendakari Ibarretxe por ejemplo no tendriacutea dificultad Gracias a su formacioacuten y oficio de economista el valor de las incoacutegnitas aparece ipso facto en su mente sin necesidad de calcular nada Sin embargo eacutel querriacutea hacerlo con fundamento a la vasca Primero lo resolveriacutea por medios algebraicos y comprobariacutea si las soluciones cuadran Despueacutes empleariacutea el meacutetodo graacutefico pediriacutea papel boliacutegrafo y una regla y trazariacutea un eje de coordenadas cifras y finalmente dos rectas bien diaacutefanas y se asegurariacutea de que ambas se cortan en el par de valores correcto Acto seguido llamariacutea a un comiteacute de expertos del Gobierno Vasco y someteriacutea el asunto a su examen para que redactaran un informe en el que se estableciera sin ninguacuten geacutenero de dudas que la solucioacuten al sistema de ecuaciones propuesto vaacutelida tanto en Euskadi como en el resto de un universo eucliacutedeo es la que figura en los caacutelculos de Lehendakaritza Pero la cosa no termina aquiacute porque luego Josu Jon Imaz (otro peso pesado de las ciencias exactas) convocariacutea una mesa de partidos para buscar una solucioacuten paralela ndashpero concordante- al problema mediante acuerdos que incluyan a todas las sensibilidades del paiacutes Para un tema de intereacutes general como este ni siquiera el PP podriacutea negarse y a la exactitud de las estimaciones numeacutericas se antildeadiriacutea finalmente la sancioacuten democraacutetica del consenso Euforia y satisfaccioacuten en el EAJ-PNV ldquoHemos tardado lo nuestro pero valioacute la pena Trabajando duro y con meacutetodo nos hemos puesto las pilas comenzamos el curso con los deberes hechos etc etcrdquo iquestY Patxi Loacutepez iquestCoacutemo reaccionariacutea delante del mismo problema Imaginen a uno de sus correveidiles pasaacutendoselo por encima de su ejemplar abierto de ldquoEl Correo Espantildeolrdquo en plena sesioacuten del Parlamento Vasco Apresurada lectura treacutemulo parpadear de ojos bailoteo de cifras en la mente ruido apenas perceptible producido por el rozamiento de unos dedos sobre la sienhellip ldquoNada otra engantildeifa del Lehendakari iexclSe va a enterar de esto en mi proacutexima rueda de prensardquo Apliacutequese el procedimiento de costumbre enviar por valija del partido a la calle Ferraz para que lo resuelvan alliacuterdquo Y alliacute efectivamente son nada menos que Joseacute Luis Rodriacuteguez Zapatero Presidente del Gobierno de Espantildea y Joseacute Blanco su iacutenenarrable y gallego jefe de bomberos quienes se encargan de despejar las incoacutegnitas Podemos imaginarnos el resultado ldquoiquestAlgebra iquestGraacuteficos cartesianos iexclUff somos de letras iquestQueacute tal si traemos a nuestro informaacutetico para que eche una manordquo ldquoNo mucho maacutes simple Joseacute Luis hacemos x=0 y=0 y ya estaacute Yo seacute algo de matemaacuteticas lo suficiente para recordar que a esto lo llaman lsquosolucioacuten trivialrsquo Es perfectamente legiacutetimo iquestQueacute te parecerdquo ldquoDe entrada bien Pepe Pero asi no puedes resolver un sistema de primer grado iexclel resultado no coinciderdquo ldquoNo importa lo quitamos tambieacuten Escondemos el 5 y el 2 cubrieacutendolos con typex ndashya nos ocuparemos de ellos en la proacutexima legislatura- y hacemos ambas expresiones iguales a cero Ahora las incoacutegnitas siacute coinciden con la ventaja antildeadida de que entonces las de Imaz no Hemos resuelto el problema de matemaacuteticas vasco reducieacutendolo a la no existencia Jean-Paul Sartre estariacutea orgulloso de nosotrosrdquo La solucioacuten es transmitida por mensajero (a portes debidos) a Sabin Etxea donde sesudos jeltzales la examinan moviendo la cabeza a un lado y a otro Habraacute que invertir mucho en centros de caacutelculo si queremos avanzar en el proceso de normalizacioacuten Al menos queda el consuelo de que si alguien quiere volar preferiraacute subirse a un aeroplano disentildeado por Ibarretxe que a otro construido con las matemaacuteticas que ensentildean en el Partido Socialista de Euskadi Publicado en Izaronews 6-9-2006

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Si las palabras de Chillida estaacuten recogidas con fidelidad lamento no estar de acuerdo con ellas porque no creo que las personas se encasillen tan faacutecilmente Pero de todos modos si ustedes creen que represento ese problema no tienen maacutes que haceacutermelo saber Porque como anuncieacute en la seccioacuten correo tireacute mi regla de caacutelculo al riacuteo para mirarla como se hundiacutea (era el uacuteltimo recuerdo del carintildeo que yo le teniacutea etc) y comienzo mis pinitos en cuentos cortos (muy cortos prometido) y otras atrevidas incursiones

[La figura es un recorte del libro de vintildeetas-paacutegina laquoel Arte - conversaciones imaginarias con mi madreraquo de Juanjo Saacuteez Aunque sus ideas sobre el arte parecen discutibles es un libro entrantildeable]

Una uacuteltima advertencia relativa al cuento que sigue y dirigida a los que puedan sacar la conclusioacuten de que tengo imaginacioacuten desviada las hemerotecas son del 29 de noviembre de 2003

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Caperucitas blancas En memoria de Joseacute Couso porque nos volvimos maacutes ciegos cuando sus ojos se apagaron

Una nintildea hasta haciacutea poco ahora cuajada en mujer moldeada por quince primaveras Faacutetima era la mayor de las dos hermanas La pequentildea Azraa a sus doce antildeos era todaviacutea un incipiente brote femenino delicado y menudo

Noviembre agotaba sus diacuteas y haciacutea cuatro que habiacutean empezado las fiestas del fin del Ramadaacuten el mes sagrado del ayuno Ese jueves la ilusioacuten se asomaba a los rostros de ambas hermanas porque iriacutean a cenar a casa de su abuela y pasariacutean la noche con ella Habriacutea puchero y berenjena rellena y despueacutes los dulces de pistacho y de miel y antes de dormir las historias de la lsquoyaddarsquo Jazmina ―la abuelita― llenas del encanto de otros tiempos cuando en los mercados de Baaquba competiacutean entre siacute los colores de los frutos las especias las telas y las alfombras y los asnos eran amigos resignados de los hombres y los paacutejaros hablaban con los nintildeos y eran alegres y eran parlanchines y traiacutean noticias de lugares exoacuteticos

La madre preparoacute una cesta con los pastelillos para el postre Pero la abuela habiacutea expresado el temor de no disponer de lentildea suficiente asiacute que las pequentildeas debiacutean pasar antes por el huerto del tiacuteo Abbash que siempre teniacutea preparada una reserva de lentildeos y sarmientos y habiacutea dado licencia a la familia para recoger de su finca todo aquello que fuera necesario Para llegar al huerto era obligado atravesar un trecho boscoso no era cosa de permitir que las sorprendiera la noche y puesto que la tarde ya se habiacutea insinuado las nintildeas se pusieron con diligencia en camino La pequentildea llevaba apoyada contra su cintura la cesta con los dulces y la mayor se hizo cargo de dos piezas de tela destinadas a sujetar la lentildea y de un hacha pequentildea para trocear los sarmientos

Ya en la finca llevoacute maacutes tiempo del previsto preparar los vaacutestagos para adecuarlos al tamantildeo de la menor de las muchachas y las sombras no esperaron Ante el asomo de la noche las nintildeas iniciaron el regreso en direccioacuten a la casa de la abuela cada una con su hatillo a la espalda la menor abriendo paso con la cesta de los pasteles en su regazo seguida de cerca por su hermana

A menos de cincuenta metros de alliacute Lobo Feroz Dos miraba por el visor de

infrarrojos e informaba de la escena a su compantildeero En el sendero que lindaba con el bosque dos siluetas blanquecinas se recortaban en la oscuridad en contraste con la espesura y los pantildeuelos que cubriacutean sus cabezas las perfilaban como dos caperucitas que se moviacutean avanzando deprisa La mayor pareciacutea sujetar una pistola en su mano

―Lobo Feroz Uno llamando a Halcoacuten Pardo ge-pe-ese delta sur uno doce oeste cero quince Dos sospechosas a la vista parecen llevar armas Esperamos instrucciones Cambio

―Halcoacuten Pardo a Lobo Feroz Ya conocen las consignas Cambio ―Parecen dos nintildeas― apuntoacute Lobo Feroz Dos ―Lobo Feroz Uno a Halcoacuten Pardo Es posible que se trate de dos menores

Solicitamos refuerzos para comprobacioacuten Cambio ―Sargento le recuerdo que estamos en la Operacioacuten Martillo de Hierro Debe

proceder seguacuten la consigna Cambio y corto ―Hemos de disparar― dijo Lobo Feroz Uno a Lobo Feroz Dos ―Pero ― balbuceoacute eacuteste ―Oacuterdenes Encaacutergate del objetivo de la izquierda yo tirareacute sobre el derecho

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La cabeza de Faacutetima se quebroacute como se rompe el fruto del granado cuando se lo arroja con fuerza contra el suelo Con su velo blanco habiacutea sido Caperucita Blanca mientras se desplomaba fue Caperucita a topos rojos poco tiempo despueacutes bajo los focos luminosos era Caperucita Roja yaciendo sobre la hierba del lindero del bosque ya para siempre dormida sus intensos ojos negros abiertos en un gesto uacuteltimo de asombro irracional A su lado la pretendida pistola no era sino el hacha nimia que le habiacutea servido de herramienta

Cerca de ella Azraa acribillada se debatioacute en el suelo durante un tiempo entre espasmos y dentelladas de dolor Desprendido el pantildeuelo varias manchas tentildeiacutean de carmiacuten sus cabellos que hasta entonces habiacutean sido siempre de un azabache casi mineral

La fase siguiente de la laquoOperacioacuten Martillo de Hierroraquo se puso en marcha Uno de los confidentes convocados reconocioacute a las muchachas e indicoacute a los soldados la situacioacuten de la cercana casa de la abuela en los andurriales de la ciudad

La puerta cedioacute ante el explosivo y saltoacute arrancada de cuajo junto con sus goznes Disipado el humo los soldados pudieron distinguir a una anciana enmudecida por el terror y desplomada sobre su cama Se registroacute la casa Dos humildes cuchillos de cocina fueron las uacutenicas armas encontradas

Cuando al diacutea siguiente fueron lavados los cuerpos de las nintildeas el agua sanguinolenta se desparramoacute por el patio y discurrioacute por albantildeales hasta verter en el riacuteo Tigris Diacuteas maacutes tarde en la orilla izquierda de la corriente a un rosal le brotariacutean rosas algo maacutes rojas y un limonero dariacutea limones amargos en la ribera derecha

La sangre de las nintildeas se entremezcloacute en el riacuteo en un postrero abrazo fraternal El sol hizo luego su labor de horno y partiacuteculas de sangre de Faacutetima y de Azraa ascendieron asidas al agua evaporada Desde entonces los atardeceres son algo maacutes escarlata en la tierra que otrora fue Mesopotamia y en todo el orbe resuena el eco milenario de las palabras del Antiguo Testamento dichas para los oiacutedos de los violentos laquoCaiacuten iquestqueacute has hecho de tu hermanoraquo P Crespo

Las camas de la muerte ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte lavis punta seca buril y bruntildeidor ndash 177 x 221 mm

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Reggae reggaehellip (riacutea riacutea)

La escuela y el alumnado

Eacutesta es la coleccioacuten de disparates maacutes sonados cometidos por alumnos de ESO y bachillerato en exaacutemenes de geografiacutea e historia

Perlas variadas bull Al final de la edad media empiezan a

imponerse normas morales como no masticar la sopa

bull Una de las principales manifestaciones del arte goacutetico fueron las piraacutemides que como todo el mundo sabe son apuntadas

bull A partir del Concilio de Trento el matrimonio cristiano debiacutea ser consumado en presencia de un sacerdote

bull Despotismo ilustrado los reyes teniacutean todo el poder pero teniacutean que obedecer cuando el pueblo se poniacutea de acuerdo entre ellos

bull A la juventud hitleriana la preparaban tan bien que al cabo de un antildeo eran capaces de matar a su madre

bull iquestQueacute opinas de la Constitucioacuten Que es buena y guapa

bull Actualmente el paiacutes maacutes pequentildeo de Europa es San Pedro del Vaticano

bull El rey puso a Franco para que trajera la democracia

bull Franco era el rey que habiacutea antes de Juan Carlos I

bull Espantildea no participoacute en la Segunda Guerra Mundial porque Hitler teniacutea miedo de Franco

bull Franco fue un poliacutetico dictador que consiguioacute imponer durante el reinado de Felipe II un reacutegimen dictatorial

bull No seacute en queacute antildeo murioacute Franco pero seacute que murioacute asesinado

bull Democracia es cuando hay gente que mata otra gente o cuando un paiacutes echa bombas a otro o se pegan unos a otros pues esto es democracia

bull Cartografiacutea las faltas de ortografiacutea bull Un paralelo es una de aquellas liacuteneas que

dividen la Tierra en trozos pero es imaginario

bull Continente partiacuteculas de tierra donde vivimos nosotros

bull Anticicloacuten es la temperatura caliente y se mide en milibares

bull Caacutetedra pensioacuten o escuela para los que queriacutean ser curas

bull Petroacuteleo se obtiene por tuberiacuteas llamadas oleoductos y sirve de combustible

bull Desarrollo sostenible es el desarrollo que no es ni alto ni bajo es decir es mediano

bull Poliacutegono hombre con muchas mujeres bull Delta es un riacuteo que lleva muy poca

agua bull Capital de Alemania Merliacuten bull Principales cultivos espantildeoles la uva

que produce el gran aceite que se fabrica en Espantildea

bull Islas de Oceaniacutea Islas Haguai bull Los vientos huracanados producen a

veces atauacutedes de nieve bull La pintura al fresco consiste en pintar al

aire libre bull Sufragista quiere decir que siempre estaacute

navegando por los mares bull La Guerra Friacutea se caracteriza por matar

gente a sangre friacutea bull Hambre endeacutemica es la que pasa cuando

hay epidemias bull La explosioacuten demograacutefica se produce

porque en algunos paiacuteses se producen islas producto de una erupcioacuten volcaacutenica que bastante grandes como para ser evitadas

bull Estado del bienestar significa que todo lo que es puacuteblico se ha de cuidar

bull Deuda externa es si vas aun supermercado y quedas a deber mucho si no tienes dinero Esto es la deuda externa

Serrano J Reboredo J (2005) Perlas variadas en Historia de Espantildea contada por estudiantes Madrid La Esfera de los libros (Remitido por M Dolors Hipoacutelito)

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iexclLas modelos no somos estuacutepidas Pregunta iquestEn queacute paiacutes la estaacuten solicitando como modelo Respuesta No lo puedo decir todaviacutea pero les puedo adelantar que es un paiacutes brasilentildeo que no queda muy lejos de aquiacute (Kate Moss ex modelo de Calvin Klein) Pregunta Si llegara un holocausto nuclear iquestqueacute pareja elegiriacutea Ud en todo el mundo (hombre y mujer) para preservar y multiplicar la especie humana Respuesta Al Papa y a la Madre Teresa de Calcuta (Carolina Zuntildeiga candidata a Miss Chile) El fumar mata Si te mueres has perdido una parte muy importante de tu vida (Brooke Shields entrevista para una campantildea federal antitabaco) Pregunta Si usted pudiera vivir siempre iquestlo hariacutea iquestpor queacute Respuesta Yo no viviriacutea siempre porque no deberiacuteamos vivir siempre porque si se supusiera que debieacuteramos vivir siempre entonces viviriacuteamos siempre pero no podemos vivir siempre que es por lo cual yo no viviriacutea siempre (Miss Alabama en el concurso Miss America 1999) Esa rastrera sinverguumlenza merece ser matada a patadas por un asno iexclY yo soy justo la indicada para hacerlo (Declaracioacuten de Claudia Shiffer sobre Naomi Campbell) No es la contaminacioacuten la que estaacute dantildeando el ambiente Son todas las impurezas en nuestro aire y en nuestra agua las que lo estaacuten haciendo (Pamela Anderson) No he cometido ninguacuten delito Lo que hice fue no cumplir con la ley (Jennifer Lopez al ser detenida junto con Puff Daddy) Siempre que veo la tele y veo a esos pobres nintildeos hambrientos en todo el mundo no puedo evitar llorar Quiero decir me encantaria ser asiacute de flaquita pero no con todas esas moscas y muerte y esas cosas (Mariah Carey cantante) Tomado de Internet por JMaiO 2006 Jacinto Benavente y la coma Doctor Mi previsioacuten se anticipa a todo Bastaraacute con puntuar debidamente alguacuten conceptoVed aquiacute donde dicerdquo Y resultando que no declaroacuterdquo basta una coma y dice ldquo Y resultando que no declaroacuterdquo Y aquiacuterdquoY resultando que no debe condenaacuterselerdquo fuera la coma y dice Y resultando que no debe condenaacuterselerdquo Crispiacuten iexclOh admirable coma iexclMaravillosa coma iexclGenio de la Justicia iexclOraacuteculo de la Ley iexcl Monstruo de la Jurisprudencia Jacinto Benavente Los Intereses Creados Acto segundo escena final

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Tomo una y entrego dos Mariano Nieto propone en [C-90] (seccioacuten correo) el problema que sigue En una urna hay una bola blanca y otra negra Se saca al azar una de ellas y se

devuelve a la urna acompantildeada de otra del mismo color Esta operacioacuten se repite un nuacutemero indefinido de veces

iquestCuaacutel es la probabilidad de que cuando la urna contenga 20 bolas haya 10 de cada color Solucioacuten

Sea (b n) la composicioacuten de la urna con b bolas blancas y n negras y llamemos etapa a cada intervencioacuten que extrae una bola de la urna y devuelve dos Convengamos en que la configuracioacuten de partida (11) corresponde a la etapa 1 En la etapa 2 tendremos las dos configuraciones posibles de la urna (21) y (12) asociadas con la misma probabilidad de 12

Esta simetriacutea inicial nos sugiere el siguiente procedimiento por induccioacuten Si suponemos que en la etapa n cada una de las n configuraciones posibles

(n 1) (n ndash 1 2) (n ndash 2 3) (n ndash a a + 1) (2 n ndash 1) (1 n) [1] tiene la misma probabilidad p de ocurrir (con p =1n por lo tanto) podemos calcular las probabilidades y configuraciones de la etapa n + 1

a) La probabilidad de la configuracioacuten (n + 11) (rama izquierda del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(n + 11) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

b) La probabilidad de la configuracioacuten (1 n+1) (rama derecha del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(1 n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

c) La configuracioacuten (n ndash a a + 2) con 0 le a le (n ndash 2) para asegurar que se recorre el rango de configuraciones de la etapa (n + 1) con exclusioacuten de las extremas antes consideradas proviene de (n ndash a a + 1) tras sacar una bola negra o bien de (n ndash a ndash 1 a + 2) luego de resultar blanca la bola extraiacuteda Su probabilidad seraacute por lo tanto

p x (a + 1) (n + 1) + p x (n ndash a ndash 1) (n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

de modo que todas las configuraciones de la etapa n + 1 tendraacuten tambieacuten la misma probabilidad en este caso 1(n + 1)

En la etapa 3 por ejemplo es faacutecil ver que las 3 configuraciones posibles (3 1) (2 2) y (1 3) comparten la probabilidad 13 Asiacute pues el meacutetodo de induccioacuten nos permite concluir que en la etapa n es decir tras n ndash 1 operaciones con la urna eacutesta contendraacute (n + 1) bolas y tendremos las n configuraciones posibles [1] a cada una de las cuales le corresponde la misma probabilidad 1 n

La configuracioacuten (10 10) por la que pregunta el problema perteneceraacute por lo tanto a la etapa n = 19 (tras 18 operaciones con la urna) y en consecuencia su probabilidad seraacute igual a 1 19 algo mayor que 526 por ciento

En general a la configuracioacuten (b n) donde b es el nuacutemero de bolas blancas y n el de negras siendo b y n nuacutemeros naturales cualesquiera ya que cualquier configuracioacuten es alcanzable le corresponderaacute la probabilidad p(b n) = 1 (b + n ndash 1) P Crespo septiembre 2006

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iquestDe doacutende sale el nuacutemero e Un escuchante miacuteo de RNE en el programa sobre matemaacuteticas de los antildeos 2005-06 me hace la siguiente consulta Cuando estudiaba sexto de bachillerato (plan de ensentildeanza 1957) un dia el profesor de matemaacuteticas llegoacute a clase y dijo Hoy toca el nuacutemero e Y a continuacioacuten escribioacute en la pizarra la expresioacuten conocida de liacutemite cuando n tiende a infinito de 1 maacutes 1 partido por n elevado a n La desarrolloacute por el binomio de Newton y obtuvo el conocido resultado de 2718281 Despueacutes nos dijo que el numero e era muy importante en matemaacuteticas y que se utilizaba para la base de los logaritmos neperianos Es curioso ver como la derivada del logaritmo neperiano de x = 1x EXACTO siendo la base del logaritmo un nuacutemero absolutamente INEXACTO IRRACIONAL Realmente me quedeacute sorprendido Primero de coacutemo al baroacuten de Neacuteper se le habiacutea ocurrido utilizar como base de logaritmos a un nuacutemero irracional y segundo por queacute nunca me explicaron a quieacuten se le ocurrioacute calcular el liacutemite de la expresioacuten (1+1n)n iquestPor queacute se le ocurrioacute a alguien esta expresioacuten y no otra iquestDe donde surgioacute tal necesidad Creo que eso era lo primero que mi profesor de matemaacuteticas teniacutea que habernos contado antes de calcular el liacutemite Probablemente el profesor no conociacutea la respuesta que efectivamente es difiacutecil de encontrar en los actuales libros de texto La definicioacuten actual de logaritmo de un nuacutemero es ldquoel exponente a que hay que elevar una base dada para obtener dicho nuacutemerordquo Asiacute por ejemplo en base 10 el logaritmo de 2 es log10 2 = 0301030 porque 100301030 = 2 (aproximadamente) Pero Neper no concibioacute asiacute el logaritmo para eacutel era el resultado de comparar una progresioacuten aritmeacutetica y otra geomeacutetrica Los teacuterminos de la primera seriacutean los logaritmos de los de la segunda Esto se ve muy claro en esta tabla en la que la razoacuten de la progresioacuten aritmeacutetica es 1 y la de la geomeacutetrica es 10

Progresioacuten aritmeacutetica (razoacuten 1) -3 -2 -1 0 1 2 3Progresioacuten geomeacutetrica (razoacuten 10) 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103

De la propia estructura de ambas progresiones se desprende que un producto de teacuterminos en la progresioacuten geomeacutetrica se corresponde con una suma en la progresioacuten aritmeacutetica Asiacute por las propiedades de los productos de potencias de una misma base seraacute log (xy) = log x + log y y tambieacuten log (xk) = k log x etc Por la misma tabla en la base 10 log (10-3) = log (0001) = -3 log (102) = log (100) = 2 etc Pero iquestqueacute ocurre con los valores intermedios iquestCoacutemo definir para ellos un logaritmo Neper intentoacute responder esta pregunta considerando dos progresiones de razones respectivas α y 1+β siendo (α β) muy pequentildeos Entonces dado un nuacutemero N siempre se podriacutea encontrar un valor n tal que (1+ β)n = N (dentro de una aproximacioacuten suficiente) Entonces el logaritmo de N seriacutea nα Las progresiones maacutes sencillas imaginables son aqueacutellas para las que α = β Entonces seraacute

log N = log [(1+α)n] = nα En esta expresioacuten n seraacute muy grande y α seraacute muy pequentildeo Haciendo nα = L podemos escribir la anterior igualdad

log N = log [(1+ α)1α]nα = log [1+ α)1α]L

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Definamos ahora el nuacutemero e como el liacutemite de (1+α)1α cuando α se hace infinitamente pequentildeo o sea

α

αα

1

0)1(lim +=

rarr

e

Y la expresioacuten se simplificaraacute notablemente

log N = log eL = L log e Resulta inmediatamente que el nuacutemero e = 2718281hellip es la base de logaritmos maacutes conveniente desde el punto de vista teoacuterico pues en ella seraacute log e = 1 Eacutestos son llamados los logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos (este uacuteltimo nombre procede de que miden el aacuterea subtendida entre una hipeacuterbola y su asiacutentota) El nuacutemero e es sin duda el maacutes importante en matemaacuteticas aunque π sea maacutes popular Se recuerdan sus primeras cifras con la mnemotecnia Te ayudareacute a recordar la cantidad a indoctos si releacuteesme bien Se aplica por el nuacutemero de letras de cada palabra Te = 2 ayudareacute = 7 etc En la praacutectica son maacutes usados los logaritmos decimales o de Briggs que tienen por base el nuacutemero 10 Presentan la ventaja de que la parte decimal de cada logaritmo (mantisa) no cambia al ser multiplicado el nuacutemero por una potencia de 10 lo que hace muy praacutecticas las tabulaciones El paso de los logaritmos de una a otra base es muy sencillo mediante el nuacutemero M = log 10 = 2302585 Se deduce sin dificultad que log x = M log10 x Josep M Albaigegraves Barcelona octubre 2006

El nuacutemero e es el uacutenico que verifica que el valor de la derivada (inclinacioacuten de la tangente en rojo en la figura) de f(x) = ex para cualquier valor de x es igual al valor de f(x)

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Cruzando el desierto en jeep Enunciado (propuesto por Mariano Nieto en C-83 seccioacuten correo) Un jeep ha de atravesar un desierto de 800 kiloacutemetros Admite una carga maacutexima para recorrer 500 kiloacutemetros y se quiere conocer la menor cantidad de tales cargas que hay que consumir para alcanzar la meta El depoacutesito inicial se supone de capacidad ilimitada y el jeep puede establecer tantos depoacutesitos intermedios como haga falta Se desea conocer tambieacuten el nuacutemero de viajes parciales que lleva a cabo el jeep teniendo en cuenta que ante dos soluciones iguales (mismo consumo) se preferiraacute la que implique menos viajes parciales Planteo

Supongamos que se depositan cargas en los puntos 1 2 hellipi hellipy llamemos ci a la carga del depoacutesito en el punto i y cf a la del punto siguiente i + 1 Si la distancia entre ambos puntos es d para transportar la carga del punto i al i +1 se necesitaraacuten n viajes de ida y vuelta y un uacuteltimo viaje de ida El depoacutesito en el punto i constaraacute pues de n cargas para 500 km y un remanente al que llamaremos cr Podemos plantear las ecuaciones siguientes

cf = (500 - 2d) n + cr - d (1) ci = 500 n + cr (2) r = (2n + 1) d (3) cr = 500 (4)

donde r es el recorrido del jeep (equivalente a la carga consumida) en el transporte entre ambos depoacutesitos

Los caacutelculos han de efectuarse retrocediendo desde el final hasta la situacioacuten de salida (o sea pasando desde el depoacutesito i +1 al i) para garantizar que se transporta siempre la cantidad miacutenima precisa Cuidaremos tambieacuten de que el valor de n sea el menor posible puesto que los viajes de ida y vuelta aunque necesarios son obviamente menos eficaces en cuanto a rendimiento que los directos Solucioacuten Las ecuaciones anteriores sugieren una viacutea para la solucioacuten del problema basada en separar los tramos para los cuales n (nuacutemero de viajes de ida y vuelta) se mantiene constante El valor de n iraacute en aumento al progresar desde el final hacia el inicio puesto que la capacidad de los depoacutesitos iraacute aumentando en ese sentido y cada vez que se produzca un incremento de 500 km de carga se haraacute necesario aumentar n en una unidad Asiacute pues tendremos 1- Tramo con n = 0 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se progresa desde el final (punto kilomeacutetrico 800) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 0 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

cf = cr ndash d

Como la carga final cf es nula al llegar al punto final (800 km) y es cr = 500 (el maacuteximo posible) basta con llevar a cabo un viaje de ida solamente que salva la distancia d = 500 km El consumo es justamente de 500 km o una carga Esto nos

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coloca a una distancia del origen de 300 km con un depoacutesito con carga para 500 km en dicho punto al que llamaremos D 2 - Tramo con n = 1 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se calcula desde el final (punto kilomeacutetrico 300) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 1 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

500 = 500 - 2d + cr - d = 500 + cr ndash 3 d Hasta que se agote la carga residual maacutexima cr = 500 tendremos

d = 500 3 (5)

La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =1 (es decir donde se pasa de n =1 a n =2 si se lee desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 1) = 300 ndash 5003 = 4003 = 133 3333hellip km El consumo en todo este tramo final (donde n =1) seraacute

consumo (n = 1) = 3 d = 3 times 5003 = 500 Tenemos asiacute tres viajes de 5003 km Al final de la operacioacuten se habraacute transportado una carga de 500 km con un consumo de 500 km tal como se ha calculado antes Como ya se ha visto nos hallamos ahora a una distancia del origen igual a 4003= 133333hellip km Bautizamos este punto como C donde el depoacutesito tendraacute una carga para 1000 km 3 Tramo con n = 2 Ahora la foacutermula (1) se expresa

1000 = 1000 - 4d + cr - d = 1000 + cr ndash 5 d Para una carga residual maacutexima cr = 500 seraacute

d = 5005 = 100 (6) La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =2 (es decir donde se pasa de n =2 a n =3 leyendo desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 2) = 400 3 - 100 = 100 3 = 333333hellipk m El consumo en todo este tramo (donde n =2) seraacute

consumo (n = 2) = 5 d = 500 Se salva una distancia de 100 km y se comprueba que el consumo seraacute de 5 times 100 = 500 La carga transportada seraacute de 2 times 300 + 400 = 1000 km carga que se deja en el depoacutesito C En este punto B nos encontramos a una distancia del origen de 1003 = 33333hellip km y con un depoacutesito con carga para 1500 km

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4 Tramo con n = 3 En este caso la foacutermula (1) es

1500 = 1500 - 6d + cr - d = 1500 + cr - 7d Tendremos ahora d = 5007 gt 100 3 desigualdad que nos dice que la distancia que puede cubrirse con n = 3 supera la distancia que nos separa del origen Asiacute que bastaraacute trabajar de forma que se tenga

d = 1003 (7) Con estas condiciones el consumo correspondiente valdraacute

consumo (n = 3) = 7 d = 700 3 El nuacutemero de viajes seraacute ahora igual a 2 n + 1 = 7 cada uno de los cuales cubre la distancia d = 1003 La carga que se toma del depoacutesito inicial seraacute 1500 + 7003 Consumo total El consumo total que se busca seraacute por lo tanto exactamente Consumo total = 500 (para recorrer los uacuteltimos 500 km n = 0) + 500 (n = 1) + + 500 (n = 2) + 7003 (n = 3) = 1500 + 7003 lo que expresado en cargas resulta ser (1500 + 7003) 500 = 3+7 15 = 34666hellip El nuacutemero total de viajes resulta ser sumando los de las etapas parciales igual a 16 La tabla 1 muestra los valores relevantes para cada una de las etapas dispuestos ahora desde el inicio hasta el final

Km n viajes d (km) consumo (km) carga (km) A (origen) 1500 + 700 3

0 a 1003 (B) 3 7 100 3 700 3 1500 1993 a 4003 (C) 2 5 100 500 1000 4003 a 300 (D) 1 3 500 3 500 500 300 a 800 (E) 0 1 500 500 0

TOTALES 16 800 1500 + 700 3 Tabla 1

El resultado es por tanto Consumo = (1500 + 700 3) 500 = 3 + 7 15 = 34666hellipasymp 347 Viajes = 16 Notas finales Otra cuestioacuten que suscita este problema es la de si existe una limitacioacuten a la anchura del desierto que se ha de atravesar La respuesta es que no existe tal liacutemite puesto que como se aprecia sin dificultad la taacutectica para ir situando combustible en posiciones avanzadas y que expresan las ecuaciones (1) a (4) permite trabajar a partir de cualquier distancia P Crespo noviembre 2006

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Pitaacutegora y su relacioacuten con los proyectiles

El otro diacutea andando por la calle vi el anagrama de una empresa de consulting

Como puede verse el siacutembolo de la empresa es (aproximadamente) el tan conocido triaacutengulo pitagoacuterico de lados 3 4 y 5 Lo vemos inscrito en un cuadrado el miacutenimo que puede contenerlo iquestCuaacutel es el lado de este cuadrado

Solucioacuten Llamemos α al aacutengulo que forma el cateto largo con el lado vertical del cuadrado Es

inmediato establecer las ecuaciones

4 cos α = L = 4 sin α + 3 cos α Que permite llegar a la igualdad

cos α = 4 sin α De donde se obtiene tan α = α o sea α = 14036ordm El lado vale L = 4 cos 14036ordm = 38806 Es curioso que este aacutengulo es el mismo con el que debe ser lanzado un proyectil para

que la altura alcanzada sea igual al alcance En efecto la primera vale

gvh

2sin 22

0max

ϕ=

Mientras que el alcance es

gvx ϕ2sin2

0=

Igualando ambas ecuaciones se llega a cos φ = frac14 El aacutengulo φ es el complementario

del α antes hallado El proyectil deberiacutea dispararse tangente al cateto de lado 4 JMAiO BCN sep 06

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PROBLEMA DE LA DIVISIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO

Dado un triaacutengulo ABC y un punto P situado en su interior se pide trazar una recta MN que pasando por el punto P divida al triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea o que esteacuten en una proporcioacuten dada

A

B C

P

M

N

Q

q

p

R

x

y

Solucioacuten El problema implica dos condiciones - 1ordm Que los puntos M P y N esteacuten alineados - 2ordm Que las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB esteacuten en una proporcioacuten dada

Veamos como podemos dar forma algebraica a estas dos condiciones Tracemos desde el punto P como se indica en la figura las paralelas a los lados BC y AC hasta que corten en los puntos R y Q respectivamente a los lados AC y BC Llamemos x y p y q a los segmentos MR NQ PQ y PR Los valores de x e y se obtendraacuten al resolver el sistema de ecuaciones que suponen las dos condiciones dadas La primera condicioacuten ya que los triaacutengulos MRP y PQN son semejantes se expresa escribiendo

yp

qx=

La segunda condicioacuten puesto que los triaacutengulos MCN y ACB tienen comuacuten el aacutengulo en C equivale a decir que los productos de los lados de cada triaacutengulo que concurren en el veacutertice C estaacuten en la proporcioacuten en la que estaacuten sus aacutereas Llamando k al cociente entre las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB la segunda condicioacuten la escribiremos asiacute

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( )( ) kabqypx =++

donde a y b son respectivamente los lados BC y AC del triaacutengulo dado El sistema de ecuaciones escrito nos conduce a la siguiente ecuacioacuten de segundo grado que resuelve el problema

( ) 02 22 =+minusminus qpxpqkabqx

( )

qpqkabkabpqkab

x2

42 minusplusmnminus=

xpqy =

La condicioacuten para que el problema tenga solucioacuten real es que el radicando no sea negativo es decir

( ) 04 geminus pqkabkab

pqkab 4ge

abpqk 4

ge

Resulta innecesario decir que para k=05 la recta divide el triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea teniendo que darse previamente la condicioacuten del paacuterrafo anterior Notas 1- La primera condicioacuten tambieacuten se puede expresar escribiendo la recta MN en su forma canoacutenica en el sistema de coordenadas cartesianas oblicuas definido por los ejes CA y CB obligando a que el punto P esteacute en ella es decir

1=+

++ xp

pyq

q o sea pqxy =

2- El valor de k tambieacuten depende del par de lados respecto a los cuales se hayan trazado las paralelas para disponer de los valores de p y q Puede darse el caso de que aun siendo negativo el radicando para la pareja de lados elegida no lo sea para alguna otra y el problema siga teniendo solucioacuten

Manuel Rodriacuteguez Saacutenchez ndash Septiembre de 2006

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Re-citando las citas de laquoPelucheraquo

laquoLas mujeres hablan porque desean hablar mientras que un hombre soacutelo habla cuando se siente empujado por algo ajeno a eacutel como por ejemplo si no encuentra unos calcetines limpiosraquo (Jean Kerr 1922-2003 escritora estadounidense) laquoDonde hay matrimonio sin amor habraacute amor sin matrimonioraquo (Benjamin Franklin cientiacutefico poliacutetico y filoacutesofo norteamericano) laquoSi quieres ver una especie en peligro de extincioacuten miacuterate al espejoraquo (John Young 1930 cientiacutefico estadounidense) laquoAntes de pedir dinero a un amigo decide cual de las dos cosas necesitas maacutesraquo (Jean de La Bruyegravere 1645-1696 moralista franceacutes) laquoComprendes que estaacutes envejeciendo cuando las velitas cuestan maacutes que la tartaraquo (Bob Hope 1903-2003 actor estadounidense) laquoA mi juicio el mejor gobierno es el que deja a la gente maacutes tiempo en pazraquo (Walt Whitman 1819-1892 poeta estadounidense) laquoSi el hijo de Bono se casa con la hija de Bush iquestla descendencia se llamaraacute Bono Bushraquo (Alberto C 1983 estudiante de reflexologiacutea podal) laquoPara escribir un buen libro no considero imprescindible conocer Pariacutes ni haber leiacutedo el Quijote Cervantes cuando lo escribioacute aun no lo habiacutea leiacutedoraquo (Miguel Delibes 1920 escritor espantildeol) laquoComo todo el mundo sabe los cantos de las sirenas atraen a los hombres para luego acabar con ellos Especialmente las sirenas de las faacutebricasraquo (Jaume Perich Escala 1940-1995 humorista espantildeol) P C Citas tomadas de laquoPelucheraquo con su consentimiento

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Time-men tras el desaguisado uacuteltimo de la renovacioacuten del tripartitohellip pero chitoacuten dejemos estas incursiones poliacuteticas aunque no sin publicar el artiacuteculo Gracias

Otro proliacutefico miembro de nuestro club de amigos es Mariano Nieto de Madrid quien

manda la solucioacuten del curioso problema

Y antildeade Hola JM De un momento a otro salgo para Zafara (iquestDe doacutende viene ese nombre) junto a los

Arribes del Duero cerca hay otro pueblo con la misma eufoniacutea y que combina casi las mismas letras Fariza Tambieacuten hay otro que se llama Muga alguien me dijo que Zafara significaba como Muga frontera

Hemos estado en Potes recorriendo un poco la Lieacutebana alliacute coincidimos para comer cerca de Colombres con unos amigos de Alella Joan Friacuteas i Ros y Anna Orfila Por cierto en Colombres hay un curioso palacio azul rodeado de un bello jardiacuten con grandiacutesimos magnolios que alberga el museo de la emigracioacuten Me recordoacute el que se describe en la novela El palacio azul de los ingenieros belgas cuya accioacuten transcurre en Asturias

Una coincidencia curiosa mi hija mayor ha viajado la semana pasada con su marido a Milaacuten (los dos son historiadores) los llevamos al aeropuerto y para que pasasen el rato distraiacutedos les di el problema de Gastoacuten de Foix En Milaacuten visitan el castillo de los Sforza y en su museo contemplan una estatua yacente de un personaje

iexcliexcliexclGastoacuten de Foix (Gastoacuten murioacute en la batalla de Raacutevena ganada por los franceses y fue enterrado en Milaacuten) Te mando una foto del monumento debido al escultor Agostino Busti ldquoBambaiardquo es una de las mejores piezas del museo

Problema propuesto por Mariano Nieto en [C-90] Durante la guerra 1914-18 fue descubierta una tumba de un

soldado franceacutes muerto el uacuteltimo diacutea de un mes durante otra guerra en Italia La alabarda del soldado franceacutes se encontraba a su lado El producto del diacutea del mes inscrito en su laacutepida por la longitud en pies de la alabarda por la mitad de los antildeos transcurridos entre la muerte del soldado y el descubrimiento de su tumba y finalmente por la mitad de la edad del comandante franceacutes de la expedicioacuten en que murioacute el soldado es igual a 451066 iquestCoacutemo se llamaba el comandante franceacutes

Solucioacuten Si descomponemos el nuacutemero 451066 en factores primos nos

encontramos con 451066 = 271129101 El uacuteltimo diacutea del mes ha de ser forzosamente el 29 por tanto estamos hablando de un mes de febrero de 29 diacuteas La longitud de la alabarda ha de ser forzosamente igual a 7 pies nos quedan por emplear tres factores 2 11 y 101 Son por tanto posibles dos soluciones o bien 101 o 202 es la mitad de los antildeos transcurridos entre la muerte del soldado y el descubrimiento de la tumba Pero entre 1712 y 1716 por una parte la alabarda ya no se utilizaba y por otra no hubo intervenciones francesas fuera de Francia Asiacute 202 es la mitad del nuacutemero de antildeos transcurridos siendo entonces la edad del comandante 22 antildeos El antildeo 1512 tuvo lugar la batalla de Raacutevena entre espantildeoles y franceses siendo mandadas las tropas francesas por el comandante franceacutes Gastoacuten de Foix nacido en 1489

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He estado pensando el siguiente problema iquestCuaacutentos tetraedros no superponibles pueden construirse con seis segmentos de longitudes 1112131415 y 16 iquestQuieres pensarlo Mi razonamiento me lleva a 60

iquestCuaacutendo empiezas en RNE

GASTOacuteN DE FOIX

Agostino Busto llamado el Bambaia Castello Sforcesco ndash Milan

Gracias por los problemas son un buen ejemplo de coacutemo resolver un problema en el sentido ingenieril (no solamente matemaacutetico) del teacutermino hurgando en todas partes en busca de datos y su organizacioacuten De todos modos encuentro que el de Gastoacuten de Foix es adecuado para los franceses maacutes conocedores de esa figura

En mi opinioacuten Zafara es una deformacioacuten de zafra del aacuter al-safar lsquoperiacuteodo en que amarillean las cosechasrsquo (de donde la zafra de azuacutecar en Cuba) Curioso el apellido Orfila aparece en una deliciosa poesiacutea de Agravengel Guimeragrave que empieza

Hi ha un argenter A lrsquoArgenteria de tant or filar li diuen lrsquoOrfila El fila tan prim que tot just sacutealbira nacuteapar un cabell del front dacuteuna nina El filador dacuteor diu que en teacute una filla que eacutes un pom de flors no cal que us ho diga

(Al final la chica se metiacutea a monja y se deciacutea que el platero vendiacutea ldquoper or fi cabells de

sa fillardquo) En realidad Orfila viene de Wulfila nombre germaacutenico lsquolobo decididorsquo No seacute muy bien el significado de Fariza obviamente aacuterabe que podriacutea derivar de fara

lsquopropiedadrsquo como el pueblo catalaacuten de Faregraves ldquoque tots el busquen i no saben on eacutesrdquo seguacuten reza el chiste de sus vecinos Muga es efectivamente lsquoborne liacutemitersquo existe en Cataluntildea un riacuteo Muga cercano a Ter que como eacutel desemboca en la bahiacutea de Roses curvada y luminosa formada por dos arcos de elipse de ejes en relacioacuten armoacutenica que quizaacute por esto tanto gustoacute a los griegos (Empuacuteries) Alliacute se encontroacute Fernando VII con el general Copons que habiacutea salido a recibirle al hacer su entrada en Espantildea tras el destierro de Valenccedilay (1814)

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Tras pensar en tu problema encuentro tu solucioacuten correcta No empeceacute en RNE Acortaron el programa ldquoNo es un diacutea cualquierardquo y por lo visto en ese nuevo formato no habiacutea lugar para mi espacio El iacutendice de audiencia mandahellip

Pedro Crespo de Barcelona contribuidor y coeditor manda la siguiente carta Estoy consternado En un foro puacuteblico Putin ha dicho recientemente que no le hablen a eacutel de

corrupcioacuten cuando lo de los alcaldes espantildeoles da ciento y raya a toda Rusia Pero no es ese episodio lo que me ha trastornado porque que Espantildea es una olla bullente de corrupcioacuten enmadejada con la poliacutetica es algo que viene de antiguo y que todos los que tenemos oiacutedos para escuchar tenemos ya largamente asumido

No Lo que me ha conmovido tiene que ver maacutes con una revelacioacuten Resulta que alcanceacute a ver un telediario en el que emitieron parte de la conversacioacuten que habiacutea sido pinchada por la policiacutea de uno de tales alcaldes que no haciacutea mucho habiacutea regresado de poner a buen recaudo en Andorra un apreciable montoacuten de miles de euros casi un milloacuten Y las palabras pinchadas que correspondiacutean al reclamo de la claacutesica comisioacuten (unos cuarenta millones de euros en este caso) deciacutean casi literalmente asiacute laquoporque yo soy el que firmo y no voy a estar aquiacute vieacutendolas pasar Somos once iquestno Pues yo quiero mi once por cientoraquo

Al instante me di cuenta de mi tragedia ya que mis elementales matemaacuteticas me dicen que yo hubiera reclamado siendo once a repartir poco maacutes del nueve por ciento Y de inmediato se me hizo la luz iexclLas matemaacuteticas empobrecen

Como ya he comenzado a poner remedio al asunto queriacutea que supieras que ya no colaborareacute maacutes con mis seudo matemaacuteticas en Carrollia Si acaso enviareacute algunos artiacuteculos que ya estaacuten elaborados la mayor parte producto de las reflexiones a las que me movioacute el artiacuteculo de Viantildea De ahora en adelante enviareacute cuentos cortos y algunas reflexiones sobre la brevedad y la falta de sentido de la vida

Por suerte un amigo neurofisioacutelogo que se ha compadecido de miacute me estaacute ayudando a olvidar del todo las escasas (eso ayuda en la tarea) matemaacuteticas que recordaba Me asegura que la foacutermula magistral que ha preparado consigue el bloqueo de todas las sinapsis de los circuitos loacutegicos del cerebro

Seguacuten la uacuteltima resonancia que me hizo la labor estaacute ya cumplida Yo no lo veo asiacute sin embargo porque justamente se me acaba de ocurrir un meacutetodo matemaacutetico para prosperar y que consiste en comprar cosas a diez y venderlas a cien y con ese diez por ciento pienso hacerme con un coacutemodo y raacutepido patrimonio

Gracias por el buen rato que me ha hecho pasar tu carta festiva y bromista (supongo que es una broma eso de que no escribiraacutes maacutes artiacuteculos con componente matemaacutetica) La ocurrencia del edil me recuerda la de un fondista de mi pueblo que serviacutea deliciosos platos confeccionados con ldquocarne de perdizrdquo Estrechado a preguntas por algunos que sospechaban que la mezclaba con carne de caballo acaboacute confesando que ldquoSiacute tant a tantrdquo (en catalaacuten ldquoa partes igualesrdquo) y aclaroacute tras nuevas acometidas ldquoUna perdiz un caballordquo

Escribe Xavi Burgueacutes de Granollers El divendres em vaig trobar en un llibret amb la programacioacute de Catalunya Muacutesica un

passatemps que no havia vist mai un sidoku Es tracta duna variant del sudoku de 7 x 7 de manera que cada nota musical ha daparegraveixer una i nomeacutes una vegada a cada fila columna i grup A diferegravencia dels sudokus els grups no soacuten quadrats sinoacute que tenen formes qualssevol amb una superfiacutecie aixograve siacute de 7 quadres Hi ha doncs set files set columnes i 49 quadres repartits en set grups

Addicionalment hi ha uns quadres destacats i un tiacutetol duna obra musical les notes que quedin en aquests quadres soacuten un fragment de lobra citada

La direccioacuten que da Xavi es wwwsidokuscom Recomiendo su visita Y estoy seguro

de recibir en breve alguno maacutes iquestno es verdad Jesuacutes Lladoacute Y asiacute burla burlando hemos llegado al final iexclFelices fiestas navidentildeas Los editores

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Los 90 antildeos de Francesc Castanyer Como se anunciaba en [C-90] Francesc Castanyer recibioacute el 16 de septiembre un carintildeoso homenaje de algunos de sus numerosos amigos Ahiacute le vemos flanqueado por los otros dos editores Albaigegraves y Crespo los tres muy ufanos disfrutando del calorcillo mediterraacuteneo en una terraza de la playa de Torredembarra (Tarragona) Durante la comida en la que participaron tambieacuten Dolors Hipoacutelito e Isabel Garciacutea consortes de los anteriores y tambieacuten carrollistas se recibieron numerosas llamadas telefoacutenicas de quienes queriacutean testimoniar su presencia afectiva en el acto Por muchos antildeos querido Francesc Los otros editores

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Nuestro co-editor Josep M Albaigegraves ha sido nombrado por una prestigiosa editorial director de una coleccioacuten de libros sobre matemaacutetica recreativa de proacutexima venta en quiosco Cada libro iraacute acompantildeado de un corto opuacutesculo sobre un tema monograacutefico de matemaacuteticas recreativas Se solicitan colaboradores El que tenga escrito o piense escribir alguacuten libro o artiacuteculo interesante ahora tendraacute la ocasioacuten de verlo publicado Deberaacute primar la amenidad y la concisioacuten

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Quienes esteacuten interesados que contacten conmigo al lugar de costumbre albaigesciccpes

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La yuml Vuelvo hoy a la vieja cuestioacuten de la ldquoyrdquo griega catalana cremada sobre la ldquoyumlrdquo que escrupulosamente respetan en sus transcripciones no soacutelo aficionados sino incluso alguacuten historiador de trayectoria irreprochable Personalmente me encontreacute con esa yuml por primera vez en la transcripcioacuten que un papiroacutelogo haciacutea mdashpor tercera vez ya y todas distintasmdash de cierto contrato que data en 1700 Me quedeacute sin poder consultarle por queacute transcribiacutea ldquocuyumlnardquo ldquomeyumltatrdquo y una veintena de veces ldquoyumlrdquo (aunque el documento ofreciese unas grafiacuteas que invitaban sin ninguna otra razoacuten a esa lectura) frente a las numerosas veces que apareciacutea la ldquoyrdquo sin maacutes complicaciones Por eso defendiacute yo que esa dieacuteresis no pasaba de ser un adorno sin valor foneacutetico ni ortograacutefico un rasgo tan caprichoso como el travesantildeo con que algunos cruzamos el trazo descendente de la ldquoqrdquo o el ascendente del ldquo7rdquo Sin embargo la insistencia de quienes seguiacutean transcribiendo esa crema o dieacuteresis sobre la ldquoyrdquo griega me llevoacute a consultar al Instituto de Estudios Catalanes desde donde se me advirtioacute mdashcomo ya he referidomdash que tal grafiacutea se debiacutea a la contiguumlidad de una ldquoirdquo breve y de una ldquoirdquo larga (de una ldquojrdquo) escritas ambas con sus puntos usuales Pero ninguno de mis corresponsales admitioacute esa explicacioacuten Y hoy vuelvo a mis posiciones aunque enriquecido por una informacioacuten minuciosa Al parecer la ldquoirdquo medieval careciacutea de punto pero en textos redactados en algunos territorios de la Corona de Aragoacuten tanto en latiacuten como en catalaacuten durante el XIII y una parte del XIV la ldquoyrdquo se escribiacutea paradoacutejicamente con un punto (soacutelo uno) encima lo que es imposible de reproducir en las copias mecanograacuteficas que por consiguiente se limitan a escribir esa letra sin puntuacioacuten Y cuando en esos viejos textos concurriacutean dos iacutees fue tambieacuten frecuente mdashsobre todo a final de palabramdash escribir la primera como una ldquoirdquo corta y la segunda como una ldquoirdquo larga pero sin que una y otra dejasen de ser iacutees de igual sonido aunque distinto trazo Transcribir ahora como ldquoijrdquo aquella grafiacutea cuando ya ambas letras tiene un sonido diferente y cuando carecemos de un signo que represente la ldquoirdquo larga (aunque convencionalmente la representemos por una ldquojrdquo) podriacutea prestarse a interpretar que estamos ante dos diferentes sonidos y parece loacutegico exponer la identidad del sonido de ambas iacutees antes que insistir en un trazo (el de la ldquojrdquo) que pretendidamente representase la caligrafiacutea de una ldquoirdquo larga (Otra cosa puede ser la de su funcioacuten decorativa por ejemplo en la numeracioacuten a la romana en minuacutescula) Naturalmente estamos hablando de dos iacutees latinas contiguas y en ninguacuten modo de una ldquoyrdquo con la que esas dos iacutees contiguas han llegado en ocasiones a identificar su trazo en escritos catalanes de al menos el XVIII y el XIX Sin duda una vez admitido el uso de puntuar la ldquoirdquo se extendioacute caligraacuteficamente (no tipograacuteficamente) y por duplicado a la ldquoyrdquo o sea ldquoyumlrdquo aunque sin valor foneacutetico ni ortograacutefico alguno y sin maacutes razoacuten al parecer que la de que ese signo acaba en una doble cuacutespide La expresioacuten ldquoponer los puntos sobre las iacuteesrdquo rebasaba asiacute sus propias limitaciones Y temo que estemos encontraacutendonos ante una situacioacuten pareja a la que se produce cuando una ese alta (como la que emplea Suaacuterez en su traduccioacuten de Lalande seguacuten era de uso entonces) tan parecida a una efe se transcriba como tal efe (seguacuten vemos por ejemplo en la transcripcioacuten moderna de esa traduccioacuten llevada a cabo por Arespacochaga y Seral y en la que leemos cosas como la conferva de Plinio por la ldquoconservardquo) Otra cosa es el alemaacuten donde la ese alta seguida de una ese baja sigue conservando en su tipografiacutea un signo propio Rafael Leoacuten Maacutelaga 2005

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LAS CARTAS DE TIJERA Pensamos en el papel como la superficie sobre la que manual o mecaacutenicamente

dejamos una huella de tinta que va reproduciendo el curso del pensamiento o de la inspiracioacuten Pero en otro tiempo hubo un modo de escribir sin tinta un modo de escribir recortando en el papel con unas tijeras el trazo de unas letras no escritas por la pluma o el caacutelamo o siguiendo ese trazo con la punta al rojo de un alfiler

Una referencia en castellano sobre este arte se conservaba en las estrofas 40 a 44 de los Proverbios de Don Santo de Carrioacuten o Rabiacute Sem Tob Ardutiel contemporaacuteneo de Pedro I de Castilla y feliciacutesimo escritor tambieacuten en hebreo entre otras cosas de un Debate entre el caacutelamo y las tijeras Con el paso de los antildeos sin embargo tales estrofas de sus Proverbios habiacutean llegado a extenuar su significacioacuten

Bueno seraacute reproducirlas aquiacute previa advertencia de que en ese texto castellano (tan proacuteximo ya a lo que seriacutea el espantildeol) astroso estaacute por ruin cuidar por cavilar infinta por fingimiento ca por pues puesto que ya que dentildear por dignar meollo por interior substancioso caxcas por caacutescaras finqueacute por lsquoquedeacutersquo

Y ahora siacute reproduzcamos esas estrofas

Un astroso cuidaba Y por mostrar que era sotil yo le enviaba escripto de tisera El nescio non sabiacutea que lo fiz por infinta porque yo no queriacutea perder en eacutel la tinta Ca por non le dentildear fize vazia la llena y no lquise donar la carta sana buena Como el que tomaba meollos de avellanas para siacute y donaba al otro caxcas vanas Yo del papel saqueacute la razoacuten que deziacutea con ella me finqueacute dile carta vaziacutea

(Fragmento del opuacutesculo del mismo tiacutetulo de Rafael Leoacuten)

Lo mismo ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte punta seca lavis buril y bruntildeidor ndash 162 z 223 mm

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Problema del Autoacutedromo de Sant Pere de Ribes

Enunciado En Sant Pere de Ribes cerca de Sitges provincia de Barcelona hay un circuito autoacutedromo abandonado que tiene forma oval Cada uno de los dos extremos tiene un radio estimado en 131 metros y una pendiente estimada de 60 grados sexagesimales

iquestA queacute velocidad debe ir un automoacutevil en dicha pendiente para no resbalar hacia abajo ni hacia arriba

Resolucioacuten

Sobre el automoacutevil actuacutean 2 fuerzas el peso p

y la reaccioacuten perpendicular del suelo f debida a la curva

Llamando m a la masa del automoacutevil y g a la aceleracioacuten de la gravedad se sabe

mgp =

Para que el automoacutevil no resbale el valor de f

debe ser tal que al descomponerlo en f1 y f2 se produzca

pf =1

La fuerza f2 es la fuerza llamada centriacutepeta porque su direccioacuten y sentido es hacia el centro de curvatura de la trayectoria del moacutevil es bien sabido que llamando v a su velocidad y r al radio de curvatura de la trayectoria se cumple que la fuerza centriacutefuga se puede expresar

rvmf

2

2 =

Ademaacutes la trigonometriacutea permite escribir 2

1o30 tgff

=

Las ecuaciones anteriores forman un sistema de 4 ecuaciones entre las que se puede suprimir f1 f2 p y m

222o30 tg

vrg

rvm

mg

rvm

p===

de donde despejando v y sustituyendo valores

kmh 8169ms 247057735

819 middot 13130 tg o ====rgv

Conclusioacuten Para no resbalar hacia abajo ni hacia arriba en dicha pendiente el automoacutevil debe ir a 1698 kmh Marcel Mantildeeacute

60o

p

f

f2

f1 30o

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EL TESORO OCULTO El pirata llegoacute a la isla donde decidioacute ocultar su tesoro Como puntos de referencia encontroacute un pozo (P) una roca (R) y un viejo olmo (O) Para ubicar el lugar exacto donde iba a enterrar

su arcoacuten repleto de doblones decidioacute fijar los puntos Pacute y Racute trazando las rectas PPacute perpendicular e igual a PO y RRacute perpendicular e igual a RO Finalmente unioacute con una recta los puntos Pacute y Racute determinando su punto medio T donde enterroacute el tesoro Pasado cierto tiempo regresoacute a la isla y encontroacute sorprendido que el viejo olmo habiacutea desaparecido sin dejar huella de su emplazamiento Afortunadamente el pirata era un buen

geoacutemetra y se las arregloacute para dar con el lugar exacto donde antantildeo habiacutea enterrado su tesoro iquestCoacutemo se las arregloacute Solucioacuten Si prolongamos la liacutenea PR a derecha e izquierda y bajamos a ella las perpendiculares PacuteA OD TC y RacuteB es faacutecil ver que los triaacutengulos OPD y ODR son respectivamente iguales a los PPacuteA y RRacuteB Ocurre entonces que PacuteA = PD y RacuteB = RD por consiguiente PacuteA + RacuteB = PR = 2 CT Como por otro lado AP = RB = OD C seraacute el punto medio de PR Asiacute pues para hallar T bastaraacute levantar una perpendicular a PR por su punto medio C y llevar una distancia CT igual a la mitad de PR Aristogeronte Madrid Agosto 2006

Siempre sucede ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte y aguatinta ndash 178 x 219 mm

T

R

P

O

P R

D C B A

T

R

P

O

P R

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PROBLEMA DE EDADES En un congreso mundial de matemaacuteticos coinciden tres amigos Andreacutes Blas y Carlos que conversan animadamente De su conversacioacuten extraemos los siguientes datos Andreacutes dice Mirad queacute coincidencia hoy es nuestro cumpleantildeos Blas contesta Mayor coincidencia es que la suma de los cuadrados de nuestras edades es 2490 igual al nuacutemero de asistentes al congreso Carlos expresa Todo eso es cierto Pero cuando Andreacutes tenga la edad de Blas la suma de los cuadrados de nuestras edades seraacute 3841 igual al coste en pesetas de la habitacioacuten del hotel Ademaacutes con estos datos cualquier congresista puede averiguar nuestras edades Hallar las edades Solucioacuten Las edades hoy son nuacutemeros enteros Andreacutes = x antildeos Blas = y antildeos Carlos = z antildeos Cuando Andreacutes tenga la edad de Blas habraacuten pasado (y-x) antildeos tiempo que habraacute transcurrido igual a los tres Entonces las edades seraacuten Andreacutes = x + (y-x) Blas = y + (y-x) Carlos = z + (y-x) (x + y-x)2 + (y + y-x)2 + (z + y ndashx)2 = 3841 Desarrollando x2 + y2 + z2 + (y-x) (-x +5y +2z) = 3841 Como x2 + y2 +z2 = 2490 (1) (y-x) (-x +5y +2z) = 3841 ndash 2490 (y-x) (-x +5y +2z) = 1351 Descomponemos 1351 en producto de 2 factores = 7 middot 193 y ndashx = 7 -x +5y +2z = 193 Resolviendo el sistema x = y ndash 7 z = 93 ndash 2y Sustituyendo en (1) (y ndash 7)2 + y2 + (93 -2y)2 = 2490 6y2 ndash 386y +6208 = 0 y1 = 32 y2= 973 y2 no es solucioacuten por ne entero Solucioacuten Andreacutes = 25 antildeos Blas = 32 antildeos Carlos = 29 antildeos Acebrian febrero 2006

Con razoacuten o sin ella ndash Francisco de Goya (Los

desastres de la guerra) ndash Aguafuerte punta seca lavis buril y bruntildeidor ndash

150 x 209 mm

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Reparos a la teoriacutea FSM

Qui nimium probat nihil probat (El que prueba demasiado no prueba nada)

Incluso la filosofiacutea la especulativa filosofiacutea se esfuerza por respetar las liacuteneas convencionales del razonamiento y de la loacutegica Incluso la filosofiacutea cuando examina el universo fiacutesico y la propia vida trata de conciliarse con las corrientes cientiacuteficas sobre las que hay amplio consenso Incluso la filosofiacutea cuando se ocupa de la teoriacutea del conocimiento aplicada al mundo fiacutesico corre pareja con las consideraciones maacutes asentadas de la epistemologiacutea cientiacutefica y no es raro que los tratados filosoacuteficos cuyo enfoque es la metodologiacutea del conocimiento tengan en cuenta los descubrimientos de la fiacutesica de vanguardia tales como las teoriacuteas relativistas y en especial los resultados paradoacutejicos de la fiacutesica cuaacutentica tan enormemente sugestivos al tiempo que elusivos En la biologiacutea y en lo que se refiere a las diversas manifestaciones de la vida y a los cambios de los que existe evidencia foacutesil se considera como asentada la liacutenea explicativa que parte de la exposicioacuten publicada por Darwin a comienzos de la segunda mitad del siglo XIX [1] Aunque no se tenga por definitiva y se reconozca incompleta sobre esa liacutenea maestra se elaboran actualmente explicaciones y correcciones a la misma El descubrimiento de la geneacutetica y de sus mecanismos iacutentimos ha supuesto un enorme impulso en cuanto a las investigaciones en este campo que ahora constituye un considerable tesoro de saber Por eso nos preocupa e incluso nos solivianta la corriente FSM de una explicacioacuten alternativa que seguacuten apreciamos se va abriendo camino incluso en universidades [2] Se trata de una corriente que ha experimentado un crecimiento notable en los uacuteltimos antildeos y que interpreta nuestro universo incluida la manifestacioacuten de la vida en teacuterminos del recurso a la intervencioacuten de una entidad inmaterial el FSM de la que se ofrece a veces una representacioacuten tangible a la que se le atribuyen poderes trascendentes como la omnipresencia y la capacidad ilimitada de intervencioacuten Si hemos de ser honestos debemos reconocer que los argumentos en los que se apoya la teoriacutea a la que aludimos son en principio irrebatibles Lo que es maacutes se ajustan mejor que las teoriacuteas que actualmente se tienen por cientiacuteficas a uno de los preceptos maacutes respetables de la ciencia como es el del reduccionismo metodoloacutegico Seguacuten el principio de Occam de la economiacutea (navaja de Occam) [3] en efecto cuanto menor es el repertorio de afirmaciones que haya que admitir como dadas al elaborar una teoriacutea maacutes aceptable seraacute eacutesta (laquopluralitas non est ponenda sine necessitateraquo) La teoriacutea que tratamos de rebatir cumple extraordinariamente bien con este requisito puesto que lo uacutenico que se requiere es la aceptacioacuten de la hipoacutetesis mencionada de la entidad conocida como FSM De todos modos no estaacute de maacutes recordar que lo que Occam dice exactamente es que en igualdad de condiciones la solucioacuten maacutes sencilla es probablemente la correcta Y probablemente como estaacute claro no equivale a necesariamente No obstante no podemos evitar que nos parezcan forzadas y como argumentadas ad hoc algunas de las explicaciones que da el principal abanderado de dicha corriente de pensamiento y primero en presentarla y defenderla Robert Hendenson Graduado en fiacutesicas no podemos pensar del mismo que le sea ajeno el rigor y la criacutetica cientiacutefica A pesar de todo lo cierto es que algunos de sus razonamientos son

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impecables como cuando explica el por queacute resulta aparente la edad de la Tierra estimada por los meacutetodos cientiacuteficos al uso Veamos sus razones laquo[] Lo que esas personas no comprenden es que Eacutel [el autor se refiere a la entidad FSM] hizo el mundo para hacernos creer que la Tierra es maacutes antigua de lo que realmente es Asiacute por ejemplo un cientiacutefico puede llevar a cabo un proceso de datacioacuten mediante carbono-14 sobre un artefacto y encuentra que aproximadamente el 75 por ciento del carbono-14 se ha desintegrado en nitroacutegeno-14 a causa de la emisioacuten de electrones e infiere que dicho artefacto tiene una antiguumledad de unos diez mil antildeos puesto que la vida media del nitroacutegeno-14 parece ser de 5 730 antildeos Pero lo que nuestro cientiacutefico no advierte es que cada vez que efectuacutea una medida la entidad FSM estaacute alliacute cambiando los resultados con su seudoacutepodo Disponemos de numerosos textos que describen en detalle como es esto posible y las razones por las que Eacutel lo hace Eacutel es por supuesto invisible y puede pasar a traveacutes de la materia normal con facilidadraquo Hay algo en esta explicacioacuten que no nos satisface Naturalmente es irreprochable pero cierta percepcioacuten nos dice que se aparta excesivamente del meacutetodo cientiacutefico por antonomasia La teoriacutea FSM no es por su propia naturaleza falsable de modo que de acuerdo con las tesis de Karl Popper una doctrina de ese tipo no se bate en condiciones de igualdad con el resto de las teoriacuteas por lo que ha de ser apartada como teoriacutea insana ―desde el punto de vista de la ciencia entieacutendase bien― y privada sin maacutes del derecho a contender en la arena cientiacutefica Es cierto que para Popper al contrario de lo que afirma el positivismo tiene sentido la aseveracioacuten de la existencia de la entidad FSM pero este autor delinea muy bien los liacutemites que separan tales tipos de proposiciones de las de caraacutecter cientiacutefico y la que nos ocupa queda claramente al margen de eacutestas [4]

Fig 1 ndash FSC en el instante de animar al primer ser humano Podriacutea argumentarse desde luego y aquiacute nos situamos del lado del punto de vista de Thomas Kuhn que la teoriacutea FSM nos coloca frente a un nuevo paradigma cientiacutefico Para Kuhn en efecto la ciencia no procede por agregaciones progresivas en torno a un nuacutecleo creciente de conocimientos sino antes bien por cambios abruptos del marco completo de la teoriacutea dominante lo que se conoce como

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desplazamientos del paradigma En este sentido podriacuteamos sentirnos inclinados a aceptar que el paradigma FSM nos traslada a un marco radicalmente nuevo No obstante la ciencia no se caracteriza por cambios de naturaleza tan radical Antes bien en los cambios de paradigma a que alude Kuhn siempre ha ocurrido que los nuevos formalismos incluyen a los anteriores en el sentido de que eacutestos se recuperan por paso al liacutemite con respecto a ciertas condiciones o paraacutemetros que han cobrado maacutes generalidad en la nueva teoriacutea Y esto no ocurre en absoluto con la propuesta FSM que prescinde del todo del acervo de saber histoacuterico Nos sentimos obligados a denunciar tambieacuten que las representaciones de la entidad FSM son en cierto modo antropomoacuterficas Sugeririacuteamos prescindir de lo que parecen ser unos ojos y un soma central para dejarlo reducido al conjunto de seudoacutepodos que podriacutean llegar a identificarse con los filamentos de la teoriacutea de cuerdas o en su enmadejamiento formar el tejido de las supercuerdas La ubicuidad podriacutea sustituirse por un nuacutemero ilimitado de copias del FSM actuando en resonancia no local El universo volveriacutea a ser de este modo de nuevo cartesiano dominado por un plenum que lo abarca todo La actuacioacuten instantaacutenea a distancia estariacutea avalada por la verificacioacuten de las condiciones de Bell relativas a la paradoja EPR que ha significado el espaldarazo a la no localidad en el mundo fiacutesico A pesar de todo algo en nuestro interior nos dice que la doctrina FSM es aberrante Quizaacute se deba al lastre de la educacioacuten recibida Despueacutes de todo uno es irremediablemente producto de la forja de su tiempo y nunca es faacutecil superar esa inercia intelectual Hijo ―o debiera decir posiblemente prisionero― de la edad de la razoacuten yo presiento con temor que una nueva Edad Media y estoy pensando en su lastre de oscurantismo se alza amenazante en el horizonte y la melancoliacutea me atenaza amargamente el corazoacuten P Crespo septiembre 2006 [1] On the Origin of Species by Means of Natural Selection or The Preservation of Favoured Races in the Struggle for Life abreviado como The Origin of Species (El origen de las especies) publicado en 1859 Este libro establecioacute la evolucioacuten (cambios espontaacuteneos hereditarios que se imponen cuando son favorables a la especie habida cuenta de los condicionantes del entorno) a partir de un ascendiente comuacuten como la explicacioacuten cientiacutefica dominante de la diversificacioacuten de las formas de la vida en la naturaleza [2] Home page httpwwwvenganzaorg

[3] William of Occam fraile franciscano ingleacutes del siglo XIV (aprox 1285-1349) Lo que se conoce como la navaja de Occam era un principio muy comuacuten en la filosofiacutea medieval (el principio de economiacutea o de parsimonia) y no tuvo su origen con Willian de Ockham pero debido al uso frecuente que eacuteste le daba a dicho principio su nombre acaboacute inseparablemente ligado a eacutel

[4] Karl Popper (1902 1994) La loacutegica de la investigacioacuten cientiacutefica (Logik der Forschung 1934 ciacuterculo de Viena) En esta obra el filoacutesofo austriacuteaco abordoacute el problema de los liacutemites de demarcacioacuten entre la ciencia y proposiciones de otro caraacutecter Para Popper la clave estaacute en reconocer que el conocimiento cientiacutefico no avanza confirmando nuevas leyes sino descartando las que contradicen la experiencia lo que constituye el proceso de falsacioacuten Soacutelo han de admitirse como proposiciones cientiacuteficas aquellas para las que al menos conceptualmente es posible un experimento que las contradiga [5] Thomas Kuhn (1992 1996) Este cientiacutefico norteamericano es famoso principalmente por su libro La estructura de las revoluciones cientiacuteficas (1962) La idea que preside el pensamiento de Kuhn es la de que la ciencia no progresa por acumulacioacuten de nuevo conocimiento sino por desplazamientos de los paradigmas que transforman abruptamente la naturaleza del conocimiento

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Matemaacuteticas de los poliacuteticos vascos Patxi Igandekoa

Pongamos el tiacutepico sistema de ecuaciones de primer grado de dos incoacutegnitas x+y=5 4x-2y=2 (Antes ensentildeaban a resolverlos en 1ordm de BUP ahora en las academias cercanas a la Escuela de Ingenieros de Bilbao) Vaya por adelantado que la solucioacuten es x=2 y=3 No nos interesa esto sino la forma en que lo resolveriacutean dos miembros destacados de nuestra clase poliacutetica El Lehendakari Ibarretxe por ejemplo no tendriacutea dificultad Gracias a su formacioacuten y oficio de economista el valor de las incoacutegnitas aparece ipso facto en su mente sin necesidad de calcular nada Sin embargo eacutel querriacutea hacerlo con fundamento a la vasca Primero lo resolveriacutea por medios algebraicos y comprobariacutea si las soluciones cuadran Despueacutes empleariacutea el meacutetodo graacutefico pediriacutea papel boliacutegrafo y una regla y trazariacutea un eje de coordenadas cifras y finalmente dos rectas bien diaacutefanas y se asegurariacutea de que ambas se cortan en el par de valores correcto Acto seguido llamariacutea a un comiteacute de expertos del Gobierno Vasco y someteriacutea el asunto a su examen para que redactaran un informe en el que se estableciera sin ninguacuten geacutenero de dudas que la solucioacuten al sistema de ecuaciones propuesto vaacutelida tanto en Euskadi como en el resto de un universo eucliacutedeo es la que figura en los caacutelculos de Lehendakaritza Pero la cosa no termina aquiacute porque luego Josu Jon Imaz (otro peso pesado de las ciencias exactas) convocariacutea una mesa de partidos para buscar una solucioacuten paralela ndashpero concordante- al problema mediante acuerdos que incluyan a todas las sensibilidades del paiacutes Para un tema de intereacutes general como este ni siquiera el PP podriacutea negarse y a la exactitud de las estimaciones numeacutericas se antildeadiriacutea finalmente la sancioacuten democraacutetica del consenso Euforia y satisfaccioacuten en el EAJ-PNV ldquoHemos tardado lo nuestro pero valioacute la pena Trabajando duro y con meacutetodo nos hemos puesto las pilas comenzamos el curso con los deberes hechos etc etcrdquo iquestY Patxi Loacutepez iquestCoacutemo reaccionariacutea delante del mismo problema Imaginen a uno de sus correveidiles pasaacutendoselo por encima de su ejemplar abierto de ldquoEl Correo Espantildeolrdquo en plena sesioacuten del Parlamento Vasco Apresurada lectura treacutemulo parpadear de ojos bailoteo de cifras en la mente ruido apenas perceptible producido por el rozamiento de unos dedos sobre la sienhellip ldquoNada otra engantildeifa del Lehendakari iexclSe va a enterar de esto en mi proacutexima rueda de prensardquo Apliacutequese el procedimiento de costumbre enviar por valija del partido a la calle Ferraz para que lo resuelvan alliacuterdquo Y alliacute efectivamente son nada menos que Joseacute Luis Rodriacuteguez Zapatero Presidente del Gobierno de Espantildea y Joseacute Blanco su iacutenenarrable y gallego jefe de bomberos quienes se encargan de despejar las incoacutegnitas Podemos imaginarnos el resultado ldquoiquestAlgebra iquestGraacuteficos cartesianos iexclUff somos de letras iquestQueacute tal si traemos a nuestro informaacutetico para que eche una manordquo ldquoNo mucho maacutes simple Joseacute Luis hacemos x=0 y=0 y ya estaacute Yo seacute algo de matemaacuteticas lo suficiente para recordar que a esto lo llaman lsquosolucioacuten trivialrsquo Es perfectamente legiacutetimo iquestQueacute te parecerdquo ldquoDe entrada bien Pepe Pero asi no puedes resolver un sistema de primer grado iexclel resultado no coinciderdquo ldquoNo importa lo quitamos tambieacuten Escondemos el 5 y el 2 cubrieacutendolos con typex ndashya nos ocuparemos de ellos en la proacutexima legislatura- y hacemos ambas expresiones iguales a cero Ahora las incoacutegnitas siacute coinciden con la ventaja antildeadida de que entonces las de Imaz no Hemos resuelto el problema de matemaacuteticas vasco reducieacutendolo a la no existencia Jean-Paul Sartre estariacutea orgulloso de nosotrosrdquo La solucioacuten es transmitida por mensajero (a portes debidos) a Sabin Etxea donde sesudos jeltzales la examinan moviendo la cabeza a un lado y a otro Habraacute que invertir mucho en centros de caacutelculo si queremos avanzar en el proceso de normalizacioacuten Al menos queda el consuelo de que si alguien quiere volar preferiraacute subirse a un aeroplano disentildeado por Ibarretxe que a otro construido con las matemaacuteticas que ensentildean en el Partido Socialista de Euskadi Publicado en Izaronews 6-9-2006

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Si las palabras de Chillida estaacuten recogidas con fidelidad lamento no estar de acuerdo con ellas porque no creo que las personas se encasillen tan faacutecilmente Pero de todos modos si ustedes creen que represento ese problema no tienen maacutes que haceacutermelo saber Porque como anuncieacute en la seccioacuten correo tireacute mi regla de caacutelculo al riacuteo para mirarla como se hundiacutea (era el uacuteltimo recuerdo del carintildeo que yo le teniacutea etc) y comienzo mis pinitos en cuentos cortos (muy cortos prometido) y otras atrevidas incursiones

[La figura es un recorte del libro de vintildeetas-paacutegina laquoel Arte - conversaciones imaginarias con mi madreraquo de Juanjo Saacuteez Aunque sus ideas sobre el arte parecen discutibles es un libro entrantildeable]

Una uacuteltima advertencia relativa al cuento que sigue y dirigida a los que puedan sacar la conclusioacuten de que tengo imaginacioacuten desviada las hemerotecas son del 29 de noviembre de 2003

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Caperucitas blancas En memoria de Joseacute Couso porque nos volvimos maacutes ciegos cuando sus ojos se apagaron

Una nintildea hasta haciacutea poco ahora cuajada en mujer moldeada por quince primaveras Faacutetima era la mayor de las dos hermanas La pequentildea Azraa a sus doce antildeos era todaviacutea un incipiente brote femenino delicado y menudo

Noviembre agotaba sus diacuteas y haciacutea cuatro que habiacutean empezado las fiestas del fin del Ramadaacuten el mes sagrado del ayuno Ese jueves la ilusioacuten se asomaba a los rostros de ambas hermanas porque iriacutean a cenar a casa de su abuela y pasariacutean la noche con ella Habriacutea puchero y berenjena rellena y despueacutes los dulces de pistacho y de miel y antes de dormir las historias de la lsquoyaddarsquo Jazmina ―la abuelita― llenas del encanto de otros tiempos cuando en los mercados de Baaquba competiacutean entre siacute los colores de los frutos las especias las telas y las alfombras y los asnos eran amigos resignados de los hombres y los paacutejaros hablaban con los nintildeos y eran alegres y eran parlanchines y traiacutean noticias de lugares exoacuteticos

La madre preparoacute una cesta con los pastelillos para el postre Pero la abuela habiacutea expresado el temor de no disponer de lentildea suficiente asiacute que las pequentildeas debiacutean pasar antes por el huerto del tiacuteo Abbash que siempre teniacutea preparada una reserva de lentildeos y sarmientos y habiacutea dado licencia a la familia para recoger de su finca todo aquello que fuera necesario Para llegar al huerto era obligado atravesar un trecho boscoso no era cosa de permitir que las sorprendiera la noche y puesto que la tarde ya se habiacutea insinuado las nintildeas se pusieron con diligencia en camino La pequentildea llevaba apoyada contra su cintura la cesta con los dulces y la mayor se hizo cargo de dos piezas de tela destinadas a sujetar la lentildea y de un hacha pequentildea para trocear los sarmientos

Ya en la finca llevoacute maacutes tiempo del previsto preparar los vaacutestagos para adecuarlos al tamantildeo de la menor de las muchachas y las sombras no esperaron Ante el asomo de la noche las nintildeas iniciaron el regreso en direccioacuten a la casa de la abuela cada una con su hatillo a la espalda la menor abriendo paso con la cesta de los pasteles en su regazo seguida de cerca por su hermana

A menos de cincuenta metros de alliacute Lobo Feroz Dos miraba por el visor de

infrarrojos e informaba de la escena a su compantildeero En el sendero que lindaba con el bosque dos siluetas blanquecinas se recortaban en la oscuridad en contraste con la espesura y los pantildeuelos que cubriacutean sus cabezas las perfilaban como dos caperucitas que se moviacutean avanzando deprisa La mayor pareciacutea sujetar una pistola en su mano

―Lobo Feroz Uno llamando a Halcoacuten Pardo ge-pe-ese delta sur uno doce oeste cero quince Dos sospechosas a la vista parecen llevar armas Esperamos instrucciones Cambio

―Halcoacuten Pardo a Lobo Feroz Ya conocen las consignas Cambio ―Parecen dos nintildeas― apuntoacute Lobo Feroz Dos ―Lobo Feroz Uno a Halcoacuten Pardo Es posible que se trate de dos menores

Solicitamos refuerzos para comprobacioacuten Cambio ―Sargento le recuerdo que estamos en la Operacioacuten Martillo de Hierro Debe

proceder seguacuten la consigna Cambio y corto ―Hemos de disparar― dijo Lobo Feroz Uno a Lobo Feroz Dos ―Pero ― balbuceoacute eacuteste ―Oacuterdenes Encaacutergate del objetivo de la izquierda yo tirareacute sobre el derecho

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La cabeza de Faacutetima se quebroacute como se rompe el fruto del granado cuando se lo arroja con fuerza contra el suelo Con su velo blanco habiacutea sido Caperucita Blanca mientras se desplomaba fue Caperucita a topos rojos poco tiempo despueacutes bajo los focos luminosos era Caperucita Roja yaciendo sobre la hierba del lindero del bosque ya para siempre dormida sus intensos ojos negros abiertos en un gesto uacuteltimo de asombro irracional A su lado la pretendida pistola no era sino el hacha nimia que le habiacutea servido de herramienta

Cerca de ella Azraa acribillada se debatioacute en el suelo durante un tiempo entre espasmos y dentelladas de dolor Desprendido el pantildeuelo varias manchas tentildeiacutean de carmiacuten sus cabellos que hasta entonces habiacutean sido siempre de un azabache casi mineral

La fase siguiente de la laquoOperacioacuten Martillo de Hierroraquo se puso en marcha Uno de los confidentes convocados reconocioacute a las muchachas e indicoacute a los soldados la situacioacuten de la cercana casa de la abuela en los andurriales de la ciudad

La puerta cedioacute ante el explosivo y saltoacute arrancada de cuajo junto con sus goznes Disipado el humo los soldados pudieron distinguir a una anciana enmudecida por el terror y desplomada sobre su cama Se registroacute la casa Dos humildes cuchillos de cocina fueron las uacutenicas armas encontradas

Cuando al diacutea siguiente fueron lavados los cuerpos de las nintildeas el agua sanguinolenta se desparramoacute por el patio y discurrioacute por albantildeales hasta verter en el riacuteo Tigris Diacuteas maacutes tarde en la orilla izquierda de la corriente a un rosal le brotariacutean rosas algo maacutes rojas y un limonero dariacutea limones amargos en la ribera derecha

La sangre de las nintildeas se entremezcloacute en el riacuteo en un postrero abrazo fraternal El sol hizo luego su labor de horno y partiacuteculas de sangre de Faacutetima y de Azraa ascendieron asidas al agua evaporada Desde entonces los atardeceres son algo maacutes escarlata en la tierra que otrora fue Mesopotamia y en todo el orbe resuena el eco milenario de las palabras del Antiguo Testamento dichas para los oiacutedos de los violentos laquoCaiacuten iquestqueacute has hecho de tu hermanoraquo P Crespo

Las camas de la muerte ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte lavis punta seca buril y bruntildeidor ndash 177 x 221 mm

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Reggae reggaehellip (riacutea riacutea)

La escuela y el alumnado

Eacutesta es la coleccioacuten de disparates maacutes sonados cometidos por alumnos de ESO y bachillerato en exaacutemenes de geografiacutea e historia

Perlas variadas bull Al final de la edad media empiezan a

imponerse normas morales como no masticar la sopa

bull Una de las principales manifestaciones del arte goacutetico fueron las piraacutemides que como todo el mundo sabe son apuntadas

bull A partir del Concilio de Trento el matrimonio cristiano debiacutea ser consumado en presencia de un sacerdote

bull Despotismo ilustrado los reyes teniacutean todo el poder pero teniacutean que obedecer cuando el pueblo se poniacutea de acuerdo entre ellos

bull A la juventud hitleriana la preparaban tan bien que al cabo de un antildeo eran capaces de matar a su madre

bull iquestQueacute opinas de la Constitucioacuten Que es buena y guapa

bull Actualmente el paiacutes maacutes pequentildeo de Europa es San Pedro del Vaticano

bull El rey puso a Franco para que trajera la democracia

bull Franco era el rey que habiacutea antes de Juan Carlos I

bull Espantildea no participoacute en la Segunda Guerra Mundial porque Hitler teniacutea miedo de Franco

bull Franco fue un poliacutetico dictador que consiguioacute imponer durante el reinado de Felipe II un reacutegimen dictatorial

bull No seacute en queacute antildeo murioacute Franco pero seacute que murioacute asesinado

bull Democracia es cuando hay gente que mata otra gente o cuando un paiacutes echa bombas a otro o se pegan unos a otros pues esto es democracia

bull Cartografiacutea las faltas de ortografiacutea bull Un paralelo es una de aquellas liacuteneas que

dividen la Tierra en trozos pero es imaginario

bull Continente partiacuteculas de tierra donde vivimos nosotros

bull Anticicloacuten es la temperatura caliente y se mide en milibares

bull Caacutetedra pensioacuten o escuela para los que queriacutean ser curas

bull Petroacuteleo se obtiene por tuberiacuteas llamadas oleoductos y sirve de combustible

bull Desarrollo sostenible es el desarrollo que no es ni alto ni bajo es decir es mediano

bull Poliacutegono hombre con muchas mujeres bull Delta es un riacuteo que lleva muy poca

agua bull Capital de Alemania Merliacuten bull Principales cultivos espantildeoles la uva

que produce el gran aceite que se fabrica en Espantildea

bull Islas de Oceaniacutea Islas Haguai bull Los vientos huracanados producen a

veces atauacutedes de nieve bull La pintura al fresco consiste en pintar al

aire libre bull Sufragista quiere decir que siempre estaacute

navegando por los mares bull La Guerra Friacutea se caracteriza por matar

gente a sangre friacutea bull Hambre endeacutemica es la que pasa cuando

hay epidemias bull La explosioacuten demograacutefica se produce

porque en algunos paiacuteses se producen islas producto de una erupcioacuten volcaacutenica que bastante grandes como para ser evitadas

bull Estado del bienestar significa que todo lo que es puacuteblico se ha de cuidar

bull Deuda externa es si vas aun supermercado y quedas a deber mucho si no tienes dinero Esto es la deuda externa

Serrano J Reboredo J (2005) Perlas variadas en Historia de Espantildea contada por estudiantes Madrid La Esfera de los libros (Remitido por M Dolors Hipoacutelito)

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iexclLas modelos no somos estuacutepidas Pregunta iquestEn queacute paiacutes la estaacuten solicitando como modelo Respuesta No lo puedo decir todaviacutea pero les puedo adelantar que es un paiacutes brasilentildeo que no queda muy lejos de aquiacute (Kate Moss ex modelo de Calvin Klein) Pregunta Si llegara un holocausto nuclear iquestqueacute pareja elegiriacutea Ud en todo el mundo (hombre y mujer) para preservar y multiplicar la especie humana Respuesta Al Papa y a la Madre Teresa de Calcuta (Carolina Zuntildeiga candidata a Miss Chile) El fumar mata Si te mueres has perdido una parte muy importante de tu vida (Brooke Shields entrevista para una campantildea federal antitabaco) Pregunta Si usted pudiera vivir siempre iquestlo hariacutea iquestpor queacute Respuesta Yo no viviriacutea siempre porque no deberiacuteamos vivir siempre porque si se supusiera que debieacuteramos vivir siempre entonces viviriacuteamos siempre pero no podemos vivir siempre que es por lo cual yo no viviriacutea siempre (Miss Alabama en el concurso Miss America 1999) Esa rastrera sinverguumlenza merece ser matada a patadas por un asno iexclY yo soy justo la indicada para hacerlo (Declaracioacuten de Claudia Shiffer sobre Naomi Campbell) No es la contaminacioacuten la que estaacute dantildeando el ambiente Son todas las impurezas en nuestro aire y en nuestra agua las que lo estaacuten haciendo (Pamela Anderson) No he cometido ninguacuten delito Lo que hice fue no cumplir con la ley (Jennifer Lopez al ser detenida junto con Puff Daddy) Siempre que veo la tele y veo a esos pobres nintildeos hambrientos en todo el mundo no puedo evitar llorar Quiero decir me encantaria ser asiacute de flaquita pero no con todas esas moscas y muerte y esas cosas (Mariah Carey cantante) Tomado de Internet por JMaiO 2006 Jacinto Benavente y la coma Doctor Mi previsioacuten se anticipa a todo Bastaraacute con puntuar debidamente alguacuten conceptoVed aquiacute donde dicerdquo Y resultando que no declaroacuterdquo basta una coma y dice ldquo Y resultando que no declaroacuterdquo Y aquiacuterdquoY resultando que no debe condenaacuterselerdquo fuera la coma y dice Y resultando que no debe condenaacuterselerdquo Crispiacuten iexclOh admirable coma iexclMaravillosa coma iexclGenio de la Justicia iexclOraacuteculo de la Ley iexcl Monstruo de la Jurisprudencia Jacinto Benavente Los Intereses Creados Acto segundo escena final

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Tomo una y entrego dos Mariano Nieto propone en [C-90] (seccioacuten correo) el problema que sigue En una urna hay una bola blanca y otra negra Se saca al azar una de ellas y se

devuelve a la urna acompantildeada de otra del mismo color Esta operacioacuten se repite un nuacutemero indefinido de veces

iquestCuaacutel es la probabilidad de que cuando la urna contenga 20 bolas haya 10 de cada color Solucioacuten

Sea (b n) la composicioacuten de la urna con b bolas blancas y n negras y llamemos etapa a cada intervencioacuten que extrae una bola de la urna y devuelve dos Convengamos en que la configuracioacuten de partida (11) corresponde a la etapa 1 En la etapa 2 tendremos las dos configuraciones posibles de la urna (21) y (12) asociadas con la misma probabilidad de 12

Esta simetriacutea inicial nos sugiere el siguiente procedimiento por induccioacuten Si suponemos que en la etapa n cada una de las n configuraciones posibles

(n 1) (n ndash 1 2) (n ndash 2 3) (n ndash a a + 1) (2 n ndash 1) (1 n) [1] tiene la misma probabilidad p de ocurrir (con p =1n por lo tanto) podemos calcular las probabilidades y configuraciones de la etapa n + 1

a) La probabilidad de la configuracioacuten (n + 11) (rama izquierda del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(n + 11) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

b) La probabilidad de la configuracioacuten (1 n+1) (rama derecha del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(1 n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

c) La configuracioacuten (n ndash a a + 2) con 0 le a le (n ndash 2) para asegurar que se recorre el rango de configuraciones de la etapa (n + 1) con exclusioacuten de las extremas antes consideradas proviene de (n ndash a a + 1) tras sacar una bola negra o bien de (n ndash a ndash 1 a + 2) luego de resultar blanca la bola extraiacuteda Su probabilidad seraacute por lo tanto

p x (a + 1) (n + 1) + p x (n ndash a ndash 1) (n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

de modo que todas las configuraciones de la etapa n + 1 tendraacuten tambieacuten la misma probabilidad en este caso 1(n + 1)

En la etapa 3 por ejemplo es faacutecil ver que las 3 configuraciones posibles (3 1) (2 2) y (1 3) comparten la probabilidad 13 Asiacute pues el meacutetodo de induccioacuten nos permite concluir que en la etapa n es decir tras n ndash 1 operaciones con la urna eacutesta contendraacute (n + 1) bolas y tendremos las n configuraciones posibles [1] a cada una de las cuales le corresponde la misma probabilidad 1 n

La configuracioacuten (10 10) por la que pregunta el problema perteneceraacute por lo tanto a la etapa n = 19 (tras 18 operaciones con la urna) y en consecuencia su probabilidad seraacute igual a 1 19 algo mayor que 526 por ciento

En general a la configuracioacuten (b n) donde b es el nuacutemero de bolas blancas y n el de negras siendo b y n nuacutemeros naturales cualesquiera ya que cualquier configuracioacuten es alcanzable le corresponderaacute la probabilidad p(b n) = 1 (b + n ndash 1) P Crespo septiembre 2006

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iquestDe doacutende sale el nuacutemero e Un escuchante miacuteo de RNE en el programa sobre matemaacuteticas de los antildeos 2005-06 me hace la siguiente consulta Cuando estudiaba sexto de bachillerato (plan de ensentildeanza 1957) un dia el profesor de matemaacuteticas llegoacute a clase y dijo Hoy toca el nuacutemero e Y a continuacioacuten escribioacute en la pizarra la expresioacuten conocida de liacutemite cuando n tiende a infinito de 1 maacutes 1 partido por n elevado a n La desarrolloacute por el binomio de Newton y obtuvo el conocido resultado de 2718281 Despueacutes nos dijo que el numero e era muy importante en matemaacuteticas y que se utilizaba para la base de los logaritmos neperianos Es curioso ver como la derivada del logaritmo neperiano de x = 1x EXACTO siendo la base del logaritmo un nuacutemero absolutamente INEXACTO IRRACIONAL Realmente me quedeacute sorprendido Primero de coacutemo al baroacuten de Neacuteper se le habiacutea ocurrido utilizar como base de logaritmos a un nuacutemero irracional y segundo por queacute nunca me explicaron a quieacuten se le ocurrioacute calcular el liacutemite de la expresioacuten (1+1n)n iquestPor queacute se le ocurrioacute a alguien esta expresioacuten y no otra iquestDe donde surgioacute tal necesidad Creo que eso era lo primero que mi profesor de matemaacuteticas teniacutea que habernos contado antes de calcular el liacutemite Probablemente el profesor no conociacutea la respuesta que efectivamente es difiacutecil de encontrar en los actuales libros de texto La definicioacuten actual de logaritmo de un nuacutemero es ldquoel exponente a que hay que elevar una base dada para obtener dicho nuacutemerordquo Asiacute por ejemplo en base 10 el logaritmo de 2 es log10 2 = 0301030 porque 100301030 = 2 (aproximadamente) Pero Neper no concibioacute asiacute el logaritmo para eacutel era el resultado de comparar una progresioacuten aritmeacutetica y otra geomeacutetrica Los teacuterminos de la primera seriacutean los logaritmos de los de la segunda Esto se ve muy claro en esta tabla en la que la razoacuten de la progresioacuten aritmeacutetica es 1 y la de la geomeacutetrica es 10

Progresioacuten aritmeacutetica (razoacuten 1) -3 -2 -1 0 1 2 3Progresioacuten geomeacutetrica (razoacuten 10) 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103

De la propia estructura de ambas progresiones se desprende que un producto de teacuterminos en la progresioacuten geomeacutetrica se corresponde con una suma en la progresioacuten aritmeacutetica Asiacute por las propiedades de los productos de potencias de una misma base seraacute log (xy) = log x + log y y tambieacuten log (xk) = k log x etc Por la misma tabla en la base 10 log (10-3) = log (0001) = -3 log (102) = log (100) = 2 etc Pero iquestqueacute ocurre con los valores intermedios iquestCoacutemo definir para ellos un logaritmo Neper intentoacute responder esta pregunta considerando dos progresiones de razones respectivas α y 1+β siendo (α β) muy pequentildeos Entonces dado un nuacutemero N siempre se podriacutea encontrar un valor n tal que (1+ β)n = N (dentro de una aproximacioacuten suficiente) Entonces el logaritmo de N seriacutea nα Las progresiones maacutes sencillas imaginables son aqueacutellas para las que α = β Entonces seraacute

log N = log [(1+α)n] = nα En esta expresioacuten n seraacute muy grande y α seraacute muy pequentildeo Haciendo nα = L podemos escribir la anterior igualdad

log N = log [(1+ α)1α]nα = log [1+ α)1α]L

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Definamos ahora el nuacutemero e como el liacutemite de (1+α)1α cuando α se hace infinitamente pequentildeo o sea

α

αα

1

0)1(lim +=

rarr

e

Y la expresioacuten se simplificaraacute notablemente

log N = log eL = L log e Resulta inmediatamente que el nuacutemero e = 2718281hellip es la base de logaritmos maacutes conveniente desde el punto de vista teoacuterico pues en ella seraacute log e = 1 Eacutestos son llamados los logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos (este uacuteltimo nombre procede de que miden el aacuterea subtendida entre una hipeacuterbola y su asiacutentota) El nuacutemero e es sin duda el maacutes importante en matemaacuteticas aunque π sea maacutes popular Se recuerdan sus primeras cifras con la mnemotecnia Te ayudareacute a recordar la cantidad a indoctos si releacuteesme bien Se aplica por el nuacutemero de letras de cada palabra Te = 2 ayudareacute = 7 etc En la praacutectica son maacutes usados los logaritmos decimales o de Briggs que tienen por base el nuacutemero 10 Presentan la ventaja de que la parte decimal de cada logaritmo (mantisa) no cambia al ser multiplicado el nuacutemero por una potencia de 10 lo que hace muy praacutecticas las tabulaciones El paso de los logaritmos de una a otra base es muy sencillo mediante el nuacutemero M = log 10 = 2302585 Se deduce sin dificultad que log x = M log10 x Josep M Albaigegraves Barcelona octubre 2006

El nuacutemero e es el uacutenico que verifica que el valor de la derivada (inclinacioacuten de la tangente en rojo en la figura) de f(x) = ex para cualquier valor de x es igual al valor de f(x)

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Cruzando el desierto en jeep Enunciado (propuesto por Mariano Nieto en C-83 seccioacuten correo) Un jeep ha de atravesar un desierto de 800 kiloacutemetros Admite una carga maacutexima para recorrer 500 kiloacutemetros y se quiere conocer la menor cantidad de tales cargas que hay que consumir para alcanzar la meta El depoacutesito inicial se supone de capacidad ilimitada y el jeep puede establecer tantos depoacutesitos intermedios como haga falta Se desea conocer tambieacuten el nuacutemero de viajes parciales que lleva a cabo el jeep teniendo en cuenta que ante dos soluciones iguales (mismo consumo) se preferiraacute la que implique menos viajes parciales Planteo

Supongamos que se depositan cargas en los puntos 1 2 hellipi hellipy llamemos ci a la carga del depoacutesito en el punto i y cf a la del punto siguiente i + 1 Si la distancia entre ambos puntos es d para transportar la carga del punto i al i +1 se necesitaraacuten n viajes de ida y vuelta y un uacuteltimo viaje de ida El depoacutesito en el punto i constaraacute pues de n cargas para 500 km y un remanente al que llamaremos cr Podemos plantear las ecuaciones siguientes

cf = (500 - 2d) n + cr - d (1) ci = 500 n + cr (2) r = (2n + 1) d (3) cr = 500 (4)

donde r es el recorrido del jeep (equivalente a la carga consumida) en el transporte entre ambos depoacutesitos

Los caacutelculos han de efectuarse retrocediendo desde el final hasta la situacioacuten de salida (o sea pasando desde el depoacutesito i +1 al i) para garantizar que se transporta siempre la cantidad miacutenima precisa Cuidaremos tambieacuten de que el valor de n sea el menor posible puesto que los viajes de ida y vuelta aunque necesarios son obviamente menos eficaces en cuanto a rendimiento que los directos Solucioacuten Las ecuaciones anteriores sugieren una viacutea para la solucioacuten del problema basada en separar los tramos para los cuales n (nuacutemero de viajes de ida y vuelta) se mantiene constante El valor de n iraacute en aumento al progresar desde el final hacia el inicio puesto que la capacidad de los depoacutesitos iraacute aumentando en ese sentido y cada vez que se produzca un incremento de 500 km de carga se haraacute necesario aumentar n en una unidad Asiacute pues tendremos 1- Tramo con n = 0 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se progresa desde el final (punto kilomeacutetrico 800) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 0 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

cf = cr ndash d

Como la carga final cf es nula al llegar al punto final (800 km) y es cr = 500 (el maacuteximo posible) basta con llevar a cabo un viaje de ida solamente que salva la distancia d = 500 km El consumo es justamente de 500 km o una carga Esto nos

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coloca a una distancia del origen de 300 km con un depoacutesito con carga para 500 km en dicho punto al que llamaremos D 2 - Tramo con n = 1 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se calcula desde el final (punto kilomeacutetrico 300) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 1 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

500 = 500 - 2d + cr - d = 500 + cr ndash 3 d Hasta que se agote la carga residual maacutexima cr = 500 tendremos

d = 500 3 (5)

La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =1 (es decir donde se pasa de n =1 a n =2 si se lee desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 1) = 300 ndash 5003 = 4003 = 133 3333hellip km El consumo en todo este tramo final (donde n =1) seraacute

consumo (n = 1) = 3 d = 3 times 5003 = 500 Tenemos asiacute tres viajes de 5003 km Al final de la operacioacuten se habraacute transportado una carga de 500 km con un consumo de 500 km tal como se ha calculado antes Como ya se ha visto nos hallamos ahora a una distancia del origen igual a 4003= 133333hellip km Bautizamos este punto como C donde el depoacutesito tendraacute una carga para 1000 km 3 Tramo con n = 2 Ahora la foacutermula (1) se expresa

1000 = 1000 - 4d + cr - d = 1000 + cr ndash 5 d Para una carga residual maacutexima cr = 500 seraacute

d = 5005 = 100 (6) La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =2 (es decir donde se pasa de n =2 a n =3 leyendo desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 2) = 400 3 - 100 = 100 3 = 333333hellipk m El consumo en todo este tramo (donde n =2) seraacute

consumo (n = 2) = 5 d = 500 Se salva una distancia de 100 km y se comprueba que el consumo seraacute de 5 times 100 = 500 La carga transportada seraacute de 2 times 300 + 400 = 1000 km carga que se deja en el depoacutesito C En este punto B nos encontramos a una distancia del origen de 1003 = 33333hellip km y con un depoacutesito con carga para 1500 km

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4 Tramo con n = 3 En este caso la foacutermula (1) es

1500 = 1500 - 6d + cr - d = 1500 + cr - 7d Tendremos ahora d = 5007 gt 100 3 desigualdad que nos dice que la distancia que puede cubrirse con n = 3 supera la distancia que nos separa del origen Asiacute que bastaraacute trabajar de forma que se tenga

d = 1003 (7) Con estas condiciones el consumo correspondiente valdraacute

consumo (n = 3) = 7 d = 700 3 El nuacutemero de viajes seraacute ahora igual a 2 n + 1 = 7 cada uno de los cuales cubre la distancia d = 1003 La carga que se toma del depoacutesito inicial seraacute 1500 + 7003 Consumo total El consumo total que se busca seraacute por lo tanto exactamente Consumo total = 500 (para recorrer los uacuteltimos 500 km n = 0) + 500 (n = 1) + + 500 (n = 2) + 7003 (n = 3) = 1500 + 7003 lo que expresado en cargas resulta ser (1500 + 7003) 500 = 3+7 15 = 34666hellip El nuacutemero total de viajes resulta ser sumando los de las etapas parciales igual a 16 La tabla 1 muestra los valores relevantes para cada una de las etapas dispuestos ahora desde el inicio hasta el final

Km n viajes d (km) consumo (km) carga (km) A (origen) 1500 + 700 3

0 a 1003 (B) 3 7 100 3 700 3 1500 1993 a 4003 (C) 2 5 100 500 1000 4003 a 300 (D) 1 3 500 3 500 500 300 a 800 (E) 0 1 500 500 0

TOTALES 16 800 1500 + 700 3 Tabla 1

El resultado es por tanto Consumo = (1500 + 700 3) 500 = 3 + 7 15 = 34666hellipasymp 347 Viajes = 16 Notas finales Otra cuestioacuten que suscita este problema es la de si existe una limitacioacuten a la anchura del desierto que se ha de atravesar La respuesta es que no existe tal liacutemite puesto que como se aprecia sin dificultad la taacutectica para ir situando combustible en posiciones avanzadas y que expresan las ecuaciones (1) a (4) permite trabajar a partir de cualquier distancia P Crespo noviembre 2006

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Pitaacutegora y su relacioacuten con los proyectiles

El otro diacutea andando por la calle vi el anagrama de una empresa de consulting

Como puede verse el siacutembolo de la empresa es (aproximadamente) el tan conocido triaacutengulo pitagoacuterico de lados 3 4 y 5 Lo vemos inscrito en un cuadrado el miacutenimo que puede contenerlo iquestCuaacutel es el lado de este cuadrado

Solucioacuten Llamemos α al aacutengulo que forma el cateto largo con el lado vertical del cuadrado Es

inmediato establecer las ecuaciones

4 cos α = L = 4 sin α + 3 cos α Que permite llegar a la igualdad

cos α = 4 sin α De donde se obtiene tan α = α o sea α = 14036ordm El lado vale L = 4 cos 14036ordm = 38806 Es curioso que este aacutengulo es el mismo con el que debe ser lanzado un proyectil para

que la altura alcanzada sea igual al alcance En efecto la primera vale

gvh

2sin 22

0max

ϕ=

Mientras que el alcance es

gvx ϕ2sin2

0=

Igualando ambas ecuaciones se llega a cos φ = frac14 El aacutengulo φ es el complementario

del α antes hallado El proyectil deberiacutea dispararse tangente al cateto de lado 4 JMAiO BCN sep 06

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PROBLEMA DE LA DIVISIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO

Dado un triaacutengulo ABC y un punto P situado en su interior se pide trazar una recta MN que pasando por el punto P divida al triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea o que esteacuten en una proporcioacuten dada

A

B C

P

M

N

Q

q

p

R

x

y

Solucioacuten El problema implica dos condiciones - 1ordm Que los puntos M P y N esteacuten alineados - 2ordm Que las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB esteacuten en una proporcioacuten dada

Veamos como podemos dar forma algebraica a estas dos condiciones Tracemos desde el punto P como se indica en la figura las paralelas a los lados BC y AC hasta que corten en los puntos R y Q respectivamente a los lados AC y BC Llamemos x y p y q a los segmentos MR NQ PQ y PR Los valores de x e y se obtendraacuten al resolver el sistema de ecuaciones que suponen las dos condiciones dadas La primera condicioacuten ya que los triaacutengulos MRP y PQN son semejantes se expresa escribiendo

yp

qx=

La segunda condicioacuten puesto que los triaacutengulos MCN y ACB tienen comuacuten el aacutengulo en C equivale a decir que los productos de los lados de cada triaacutengulo que concurren en el veacutertice C estaacuten en la proporcioacuten en la que estaacuten sus aacutereas Llamando k al cociente entre las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB la segunda condicioacuten la escribiremos asiacute

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( )( ) kabqypx =++

donde a y b son respectivamente los lados BC y AC del triaacutengulo dado El sistema de ecuaciones escrito nos conduce a la siguiente ecuacioacuten de segundo grado que resuelve el problema

( ) 02 22 =+minusminus qpxpqkabqx

( )

qpqkabkabpqkab

x2

42 minusplusmnminus=

xpqy =

La condicioacuten para que el problema tenga solucioacuten real es que el radicando no sea negativo es decir

( ) 04 geminus pqkabkab

pqkab 4ge

abpqk 4

ge

Resulta innecesario decir que para k=05 la recta divide el triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea teniendo que darse previamente la condicioacuten del paacuterrafo anterior Notas 1- La primera condicioacuten tambieacuten se puede expresar escribiendo la recta MN en su forma canoacutenica en el sistema de coordenadas cartesianas oblicuas definido por los ejes CA y CB obligando a que el punto P esteacute en ella es decir

1=+

++ xp

pyq

q o sea pqxy =

2- El valor de k tambieacuten depende del par de lados respecto a los cuales se hayan trazado las paralelas para disponer de los valores de p y q Puede darse el caso de que aun siendo negativo el radicando para la pareja de lados elegida no lo sea para alguna otra y el problema siga teniendo solucioacuten

Manuel Rodriacuteguez Saacutenchez ndash Septiembre de 2006

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Re-citando las citas de laquoPelucheraquo

laquoLas mujeres hablan porque desean hablar mientras que un hombre soacutelo habla cuando se siente empujado por algo ajeno a eacutel como por ejemplo si no encuentra unos calcetines limpiosraquo (Jean Kerr 1922-2003 escritora estadounidense) laquoDonde hay matrimonio sin amor habraacute amor sin matrimonioraquo (Benjamin Franklin cientiacutefico poliacutetico y filoacutesofo norteamericano) laquoSi quieres ver una especie en peligro de extincioacuten miacuterate al espejoraquo (John Young 1930 cientiacutefico estadounidense) laquoAntes de pedir dinero a un amigo decide cual de las dos cosas necesitas maacutesraquo (Jean de La Bruyegravere 1645-1696 moralista franceacutes) laquoComprendes que estaacutes envejeciendo cuando las velitas cuestan maacutes que la tartaraquo (Bob Hope 1903-2003 actor estadounidense) laquoA mi juicio el mejor gobierno es el que deja a la gente maacutes tiempo en pazraquo (Walt Whitman 1819-1892 poeta estadounidense) laquoSi el hijo de Bono se casa con la hija de Bush iquestla descendencia se llamaraacute Bono Bushraquo (Alberto C 1983 estudiante de reflexologiacutea podal) laquoPara escribir un buen libro no considero imprescindible conocer Pariacutes ni haber leiacutedo el Quijote Cervantes cuando lo escribioacute aun no lo habiacutea leiacutedoraquo (Miguel Delibes 1920 escritor espantildeol) laquoComo todo el mundo sabe los cantos de las sirenas atraen a los hombres para luego acabar con ellos Especialmente las sirenas de las faacutebricasraquo (Jaume Perich Escala 1940-1995 humorista espantildeol) P C Citas tomadas de laquoPelucheraquo con su consentimiento

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He estado pensando el siguiente problema iquestCuaacutentos tetraedros no superponibles pueden construirse con seis segmentos de longitudes 1112131415 y 16 iquestQuieres pensarlo Mi razonamiento me lleva a 60

iquestCuaacutendo empiezas en RNE

GASTOacuteN DE FOIX

Agostino Busto llamado el Bambaia Castello Sforcesco ndash Milan

Gracias por los problemas son un buen ejemplo de coacutemo resolver un problema en el sentido ingenieril (no solamente matemaacutetico) del teacutermino hurgando en todas partes en busca de datos y su organizacioacuten De todos modos encuentro que el de Gastoacuten de Foix es adecuado para los franceses maacutes conocedores de esa figura

En mi opinioacuten Zafara es una deformacioacuten de zafra del aacuter al-safar lsquoperiacuteodo en que amarillean las cosechasrsquo (de donde la zafra de azuacutecar en Cuba) Curioso el apellido Orfila aparece en una deliciosa poesiacutea de Agravengel Guimeragrave que empieza

Hi ha un argenter A lrsquoArgenteria de tant or filar li diuen lrsquoOrfila El fila tan prim que tot just sacutealbira nacuteapar un cabell del front dacuteuna nina El filador dacuteor diu que en teacute una filla que eacutes un pom de flors no cal que us ho diga

(Al final la chica se metiacutea a monja y se deciacutea que el platero vendiacutea ldquoper or fi cabells de

sa fillardquo) En realidad Orfila viene de Wulfila nombre germaacutenico lsquolobo decididorsquo No seacute muy bien el significado de Fariza obviamente aacuterabe que podriacutea derivar de fara

lsquopropiedadrsquo como el pueblo catalaacuten de Faregraves ldquoque tots el busquen i no saben on eacutesrdquo seguacuten reza el chiste de sus vecinos Muga es efectivamente lsquoborne liacutemitersquo existe en Cataluntildea un riacuteo Muga cercano a Ter que como eacutel desemboca en la bahiacutea de Roses curvada y luminosa formada por dos arcos de elipse de ejes en relacioacuten armoacutenica que quizaacute por esto tanto gustoacute a los griegos (Empuacuteries) Alliacute se encontroacute Fernando VII con el general Copons que habiacutea salido a recibirle al hacer su entrada en Espantildea tras el destierro de Valenccedilay (1814)

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Tras pensar en tu problema encuentro tu solucioacuten correcta No empeceacute en RNE Acortaron el programa ldquoNo es un diacutea cualquierardquo y por lo visto en ese nuevo formato no habiacutea lugar para mi espacio El iacutendice de audiencia mandahellip

Pedro Crespo de Barcelona contribuidor y coeditor manda la siguiente carta Estoy consternado En un foro puacuteblico Putin ha dicho recientemente que no le hablen a eacutel de

corrupcioacuten cuando lo de los alcaldes espantildeoles da ciento y raya a toda Rusia Pero no es ese episodio lo que me ha trastornado porque que Espantildea es una olla bullente de corrupcioacuten enmadejada con la poliacutetica es algo que viene de antiguo y que todos los que tenemos oiacutedos para escuchar tenemos ya largamente asumido

No Lo que me ha conmovido tiene que ver maacutes con una revelacioacuten Resulta que alcanceacute a ver un telediario en el que emitieron parte de la conversacioacuten que habiacutea sido pinchada por la policiacutea de uno de tales alcaldes que no haciacutea mucho habiacutea regresado de poner a buen recaudo en Andorra un apreciable montoacuten de miles de euros casi un milloacuten Y las palabras pinchadas que correspondiacutean al reclamo de la claacutesica comisioacuten (unos cuarenta millones de euros en este caso) deciacutean casi literalmente asiacute laquoporque yo soy el que firmo y no voy a estar aquiacute vieacutendolas pasar Somos once iquestno Pues yo quiero mi once por cientoraquo

Al instante me di cuenta de mi tragedia ya que mis elementales matemaacuteticas me dicen que yo hubiera reclamado siendo once a repartir poco maacutes del nueve por ciento Y de inmediato se me hizo la luz iexclLas matemaacuteticas empobrecen

Como ya he comenzado a poner remedio al asunto queriacutea que supieras que ya no colaborareacute maacutes con mis seudo matemaacuteticas en Carrollia Si acaso enviareacute algunos artiacuteculos que ya estaacuten elaborados la mayor parte producto de las reflexiones a las que me movioacute el artiacuteculo de Viantildea De ahora en adelante enviareacute cuentos cortos y algunas reflexiones sobre la brevedad y la falta de sentido de la vida

Por suerte un amigo neurofisioacutelogo que se ha compadecido de miacute me estaacute ayudando a olvidar del todo las escasas (eso ayuda en la tarea) matemaacuteticas que recordaba Me asegura que la foacutermula magistral que ha preparado consigue el bloqueo de todas las sinapsis de los circuitos loacutegicos del cerebro

Seguacuten la uacuteltima resonancia que me hizo la labor estaacute ya cumplida Yo no lo veo asiacute sin embargo porque justamente se me acaba de ocurrir un meacutetodo matemaacutetico para prosperar y que consiste en comprar cosas a diez y venderlas a cien y con ese diez por ciento pienso hacerme con un coacutemodo y raacutepido patrimonio

Gracias por el buen rato que me ha hecho pasar tu carta festiva y bromista (supongo que es una broma eso de que no escribiraacutes maacutes artiacuteculos con componente matemaacutetica) La ocurrencia del edil me recuerda la de un fondista de mi pueblo que serviacutea deliciosos platos confeccionados con ldquocarne de perdizrdquo Estrechado a preguntas por algunos que sospechaban que la mezclaba con carne de caballo acaboacute confesando que ldquoSiacute tant a tantrdquo (en catalaacuten ldquoa partes igualesrdquo) y aclaroacute tras nuevas acometidas ldquoUna perdiz un caballordquo

Escribe Xavi Burgueacutes de Granollers El divendres em vaig trobar en un llibret amb la programacioacute de Catalunya Muacutesica un

passatemps que no havia vist mai un sidoku Es tracta duna variant del sudoku de 7 x 7 de manera que cada nota musical ha daparegraveixer una i nomeacutes una vegada a cada fila columna i grup A diferegravencia dels sudokus els grups no soacuten quadrats sinoacute que tenen formes qualssevol amb una superfiacutecie aixograve siacute de 7 quadres Hi ha doncs set files set columnes i 49 quadres repartits en set grups

Addicionalment hi ha uns quadres destacats i un tiacutetol duna obra musical les notes que quedin en aquests quadres soacuten un fragment de lobra citada

La direccioacuten que da Xavi es wwwsidokuscom Recomiendo su visita Y estoy seguro

de recibir en breve alguno maacutes iquestno es verdad Jesuacutes Lladoacute Y asiacute burla burlando hemos llegado al final iexclFelices fiestas navidentildeas Los editores

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Los 90 antildeos de Francesc Castanyer Como se anunciaba en [C-90] Francesc Castanyer recibioacute el 16 de septiembre un carintildeoso homenaje de algunos de sus numerosos amigos Ahiacute le vemos flanqueado por los otros dos editores Albaigegraves y Crespo los tres muy ufanos disfrutando del calorcillo mediterraacuteneo en una terraza de la playa de Torredembarra (Tarragona) Durante la comida en la que participaron tambieacuten Dolors Hipoacutelito e Isabel Garciacutea consortes de los anteriores y tambieacuten carrollistas se recibieron numerosas llamadas telefoacutenicas de quienes queriacutean testimoniar su presencia afectiva en el acto Por muchos antildeos querido Francesc Los otros editores

Anuncio para escritores

Nuestro co-editor Josep M Albaigegraves ha sido nombrado por una prestigiosa editorial director de una coleccioacuten de libros sobre matemaacutetica recreativa de proacutexima venta en quiosco Cada libro iraacute acompantildeado de un corto opuacutesculo sobre un tema monograacutefico de matemaacuteticas recreativas Se solicitan colaboradores El que tenga escrito o piense escribir alguacuten libro o artiacuteculo interesante ahora tendraacute la ocasioacuten de verlo publicado Deberaacute primar la amenidad y la concisioacuten

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Quienes esteacuten interesados que contacten conmigo al lugar de costumbre albaigesciccpes

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La yuml Vuelvo hoy a la vieja cuestioacuten de la ldquoyrdquo griega catalana cremada sobre la ldquoyumlrdquo que escrupulosamente respetan en sus transcripciones no soacutelo aficionados sino incluso alguacuten historiador de trayectoria irreprochable Personalmente me encontreacute con esa yuml por primera vez en la transcripcioacuten que un papiroacutelogo haciacutea mdashpor tercera vez ya y todas distintasmdash de cierto contrato que data en 1700 Me quedeacute sin poder consultarle por queacute transcribiacutea ldquocuyumlnardquo ldquomeyumltatrdquo y una veintena de veces ldquoyumlrdquo (aunque el documento ofreciese unas grafiacuteas que invitaban sin ninguna otra razoacuten a esa lectura) frente a las numerosas veces que apareciacutea la ldquoyrdquo sin maacutes complicaciones Por eso defendiacute yo que esa dieacuteresis no pasaba de ser un adorno sin valor foneacutetico ni ortograacutefico un rasgo tan caprichoso como el travesantildeo con que algunos cruzamos el trazo descendente de la ldquoqrdquo o el ascendente del ldquo7rdquo Sin embargo la insistencia de quienes seguiacutean transcribiendo esa crema o dieacuteresis sobre la ldquoyrdquo griega me llevoacute a consultar al Instituto de Estudios Catalanes desde donde se me advirtioacute mdashcomo ya he referidomdash que tal grafiacutea se debiacutea a la contiguumlidad de una ldquoirdquo breve y de una ldquoirdquo larga (de una ldquojrdquo) escritas ambas con sus puntos usuales Pero ninguno de mis corresponsales admitioacute esa explicacioacuten Y hoy vuelvo a mis posiciones aunque enriquecido por una informacioacuten minuciosa Al parecer la ldquoirdquo medieval careciacutea de punto pero en textos redactados en algunos territorios de la Corona de Aragoacuten tanto en latiacuten como en catalaacuten durante el XIII y una parte del XIV la ldquoyrdquo se escribiacutea paradoacutejicamente con un punto (soacutelo uno) encima lo que es imposible de reproducir en las copias mecanograacuteficas que por consiguiente se limitan a escribir esa letra sin puntuacioacuten Y cuando en esos viejos textos concurriacutean dos iacutees fue tambieacuten frecuente mdashsobre todo a final de palabramdash escribir la primera como una ldquoirdquo corta y la segunda como una ldquoirdquo larga pero sin que una y otra dejasen de ser iacutees de igual sonido aunque distinto trazo Transcribir ahora como ldquoijrdquo aquella grafiacutea cuando ya ambas letras tiene un sonido diferente y cuando carecemos de un signo que represente la ldquoirdquo larga (aunque convencionalmente la representemos por una ldquojrdquo) podriacutea prestarse a interpretar que estamos ante dos diferentes sonidos y parece loacutegico exponer la identidad del sonido de ambas iacutees antes que insistir en un trazo (el de la ldquojrdquo) que pretendidamente representase la caligrafiacutea de una ldquoirdquo larga (Otra cosa puede ser la de su funcioacuten decorativa por ejemplo en la numeracioacuten a la romana en minuacutescula) Naturalmente estamos hablando de dos iacutees latinas contiguas y en ninguacuten modo de una ldquoyrdquo con la que esas dos iacutees contiguas han llegado en ocasiones a identificar su trazo en escritos catalanes de al menos el XVIII y el XIX Sin duda una vez admitido el uso de puntuar la ldquoirdquo se extendioacute caligraacuteficamente (no tipograacuteficamente) y por duplicado a la ldquoyrdquo o sea ldquoyumlrdquo aunque sin valor foneacutetico ni ortograacutefico alguno y sin maacutes razoacuten al parecer que la de que ese signo acaba en una doble cuacutespide La expresioacuten ldquoponer los puntos sobre las iacuteesrdquo rebasaba asiacute sus propias limitaciones Y temo que estemos encontraacutendonos ante una situacioacuten pareja a la que se produce cuando una ese alta (como la que emplea Suaacuterez en su traduccioacuten de Lalande seguacuten era de uso entonces) tan parecida a una efe se transcriba como tal efe (seguacuten vemos por ejemplo en la transcripcioacuten moderna de esa traduccioacuten llevada a cabo por Arespacochaga y Seral y en la que leemos cosas como la conferva de Plinio por la ldquoconservardquo) Otra cosa es el alemaacuten donde la ese alta seguida de una ese baja sigue conservando en su tipografiacutea un signo propio Rafael Leoacuten Maacutelaga 2005

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LAS CARTAS DE TIJERA Pensamos en el papel como la superficie sobre la que manual o mecaacutenicamente

dejamos una huella de tinta que va reproduciendo el curso del pensamiento o de la inspiracioacuten Pero en otro tiempo hubo un modo de escribir sin tinta un modo de escribir recortando en el papel con unas tijeras el trazo de unas letras no escritas por la pluma o el caacutelamo o siguiendo ese trazo con la punta al rojo de un alfiler

Una referencia en castellano sobre este arte se conservaba en las estrofas 40 a 44 de los Proverbios de Don Santo de Carrioacuten o Rabiacute Sem Tob Ardutiel contemporaacuteneo de Pedro I de Castilla y feliciacutesimo escritor tambieacuten en hebreo entre otras cosas de un Debate entre el caacutelamo y las tijeras Con el paso de los antildeos sin embargo tales estrofas de sus Proverbios habiacutean llegado a extenuar su significacioacuten

Bueno seraacute reproducirlas aquiacute previa advertencia de que en ese texto castellano (tan proacuteximo ya a lo que seriacutea el espantildeol) astroso estaacute por ruin cuidar por cavilar infinta por fingimiento ca por pues puesto que ya que dentildear por dignar meollo por interior substancioso caxcas por caacutescaras finqueacute por lsquoquedeacutersquo

Y ahora siacute reproduzcamos esas estrofas

Un astroso cuidaba Y por mostrar que era sotil yo le enviaba escripto de tisera El nescio non sabiacutea que lo fiz por infinta porque yo no queriacutea perder en eacutel la tinta Ca por non le dentildear fize vazia la llena y no lquise donar la carta sana buena Como el que tomaba meollos de avellanas para siacute y donaba al otro caxcas vanas Yo del papel saqueacute la razoacuten que deziacutea con ella me finqueacute dile carta vaziacutea

(Fragmento del opuacutesculo del mismo tiacutetulo de Rafael Leoacuten)

Lo mismo ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte punta seca lavis buril y bruntildeidor ndash 162 z 223 mm

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Problema del Autoacutedromo de Sant Pere de Ribes

Enunciado En Sant Pere de Ribes cerca de Sitges provincia de Barcelona hay un circuito autoacutedromo abandonado que tiene forma oval Cada uno de los dos extremos tiene un radio estimado en 131 metros y una pendiente estimada de 60 grados sexagesimales

iquestA queacute velocidad debe ir un automoacutevil en dicha pendiente para no resbalar hacia abajo ni hacia arriba

Resolucioacuten

Sobre el automoacutevil actuacutean 2 fuerzas el peso p

y la reaccioacuten perpendicular del suelo f debida a la curva

Llamando m a la masa del automoacutevil y g a la aceleracioacuten de la gravedad se sabe

mgp =

Para que el automoacutevil no resbale el valor de f

debe ser tal que al descomponerlo en f1 y f2 se produzca

pf =1

La fuerza f2 es la fuerza llamada centriacutepeta porque su direccioacuten y sentido es hacia el centro de curvatura de la trayectoria del moacutevil es bien sabido que llamando v a su velocidad y r al radio de curvatura de la trayectoria se cumple que la fuerza centriacutefuga se puede expresar

rvmf

2

2 =

Ademaacutes la trigonometriacutea permite escribir 2

1o30 tgff

=

Las ecuaciones anteriores forman un sistema de 4 ecuaciones entre las que se puede suprimir f1 f2 p y m

222o30 tg

vrg

rvm

mg

rvm

p===

de donde despejando v y sustituyendo valores

kmh 8169ms 247057735

819 middot 13130 tg o ====rgv

Conclusioacuten Para no resbalar hacia abajo ni hacia arriba en dicha pendiente el automoacutevil debe ir a 1698 kmh Marcel Mantildeeacute

60o

p

f

f2

f1 30o

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EL TESORO OCULTO El pirata llegoacute a la isla donde decidioacute ocultar su tesoro Como puntos de referencia encontroacute un pozo (P) una roca (R) y un viejo olmo (O) Para ubicar el lugar exacto donde iba a enterrar

su arcoacuten repleto de doblones decidioacute fijar los puntos Pacute y Racute trazando las rectas PPacute perpendicular e igual a PO y RRacute perpendicular e igual a RO Finalmente unioacute con una recta los puntos Pacute y Racute determinando su punto medio T donde enterroacute el tesoro Pasado cierto tiempo regresoacute a la isla y encontroacute sorprendido que el viejo olmo habiacutea desaparecido sin dejar huella de su emplazamiento Afortunadamente el pirata era un buen

geoacutemetra y se las arregloacute para dar con el lugar exacto donde antantildeo habiacutea enterrado su tesoro iquestCoacutemo se las arregloacute Solucioacuten Si prolongamos la liacutenea PR a derecha e izquierda y bajamos a ella las perpendiculares PacuteA OD TC y RacuteB es faacutecil ver que los triaacutengulos OPD y ODR son respectivamente iguales a los PPacuteA y RRacuteB Ocurre entonces que PacuteA = PD y RacuteB = RD por consiguiente PacuteA + RacuteB = PR = 2 CT Como por otro lado AP = RB = OD C seraacute el punto medio de PR Asiacute pues para hallar T bastaraacute levantar una perpendicular a PR por su punto medio C y llevar una distancia CT igual a la mitad de PR Aristogeronte Madrid Agosto 2006

Siempre sucede ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte y aguatinta ndash 178 x 219 mm

T

R

P

O

P R

D C B A

T

R

P

O

P R

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PROBLEMA DE EDADES En un congreso mundial de matemaacuteticos coinciden tres amigos Andreacutes Blas y Carlos que conversan animadamente De su conversacioacuten extraemos los siguientes datos Andreacutes dice Mirad queacute coincidencia hoy es nuestro cumpleantildeos Blas contesta Mayor coincidencia es que la suma de los cuadrados de nuestras edades es 2490 igual al nuacutemero de asistentes al congreso Carlos expresa Todo eso es cierto Pero cuando Andreacutes tenga la edad de Blas la suma de los cuadrados de nuestras edades seraacute 3841 igual al coste en pesetas de la habitacioacuten del hotel Ademaacutes con estos datos cualquier congresista puede averiguar nuestras edades Hallar las edades Solucioacuten Las edades hoy son nuacutemeros enteros Andreacutes = x antildeos Blas = y antildeos Carlos = z antildeos Cuando Andreacutes tenga la edad de Blas habraacuten pasado (y-x) antildeos tiempo que habraacute transcurrido igual a los tres Entonces las edades seraacuten Andreacutes = x + (y-x) Blas = y + (y-x) Carlos = z + (y-x) (x + y-x)2 + (y + y-x)2 + (z + y ndashx)2 = 3841 Desarrollando x2 + y2 + z2 + (y-x) (-x +5y +2z) = 3841 Como x2 + y2 +z2 = 2490 (1) (y-x) (-x +5y +2z) = 3841 ndash 2490 (y-x) (-x +5y +2z) = 1351 Descomponemos 1351 en producto de 2 factores = 7 middot 193 y ndashx = 7 -x +5y +2z = 193 Resolviendo el sistema x = y ndash 7 z = 93 ndash 2y Sustituyendo en (1) (y ndash 7)2 + y2 + (93 -2y)2 = 2490 6y2 ndash 386y +6208 = 0 y1 = 32 y2= 973 y2 no es solucioacuten por ne entero Solucioacuten Andreacutes = 25 antildeos Blas = 32 antildeos Carlos = 29 antildeos Acebrian febrero 2006

Con razoacuten o sin ella ndash Francisco de Goya (Los

desastres de la guerra) ndash Aguafuerte punta seca lavis buril y bruntildeidor ndash

150 x 209 mm

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Reparos a la teoriacutea FSM

Qui nimium probat nihil probat (El que prueba demasiado no prueba nada)

Incluso la filosofiacutea la especulativa filosofiacutea se esfuerza por respetar las liacuteneas convencionales del razonamiento y de la loacutegica Incluso la filosofiacutea cuando examina el universo fiacutesico y la propia vida trata de conciliarse con las corrientes cientiacuteficas sobre las que hay amplio consenso Incluso la filosofiacutea cuando se ocupa de la teoriacutea del conocimiento aplicada al mundo fiacutesico corre pareja con las consideraciones maacutes asentadas de la epistemologiacutea cientiacutefica y no es raro que los tratados filosoacuteficos cuyo enfoque es la metodologiacutea del conocimiento tengan en cuenta los descubrimientos de la fiacutesica de vanguardia tales como las teoriacuteas relativistas y en especial los resultados paradoacutejicos de la fiacutesica cuaacutentica tan enormemente sugestivos al tiempo que elusivos En la biologiacutea y en lo que se refiere a las diversas manifestaciones de la vida y a los cambios de los que existe evidencia foacutesil se considera como asentada la liacutenea explicativa que parte de la exposicioacuten publicada por Darwin a comienzos de la segunda mitad del siglo XIX [1] Aunque no se tenga por definitiva y se reconozca incompleta sobre esa liacutenea maestra se elaboran actualmente explicaciones y correcciones a la misma El descubrimiento de la geneacutetica y de sus mecanismos iacutentimos ha supuesto un enorme impulso en cuanto a las investigaciones en este campo que ahora constituye un considerable tesoro de saber Por eso nos preocupa e incluso nos solivianta la corriente FSM de una explicacioacuten alternativa que seguacuten apreciamos se va abriendo camino incluso en universidades [2] Se trata de una corriente que ha experimentado un crecimiento notable en los uacuteltimos antildeos y que interpreta nuestro universo incluida la manifestacioacuten de la vida en teacuterminos del recurso a la intervencioacuten de una entidad inmaterial el FSM de la que se ofrece a veces una representacioacuten tangible a la que se le atribuyen poderes trascendentes como la omnipresencia y la capacidad ilimitada de intervencioacuten Si hemos de ser honestos debemos reconocer que los argumentos en los que se apoya la teoriacutea a la que aludimos son en principio irrebatibles Lo que es maacutes se ajustan mejor que las teoriacuteas que actualmente se tienen por cientiacuteficas a uno de los preceptos maacutes respetables de la ciencia como es el del reduccionismo metodoloacutegico Seguacuten el principio de Occam de la economiacutea (navaja de Occam) [3] en efecto cuanto menor es el repertorio de afirmaciones que haya que admitir como dadas al elaborar una teoriacutea maacutes aceptable seraacute eacutesta (laquopluralitas non est ponenda sine necessitateraquo) La teoriacutea que tratamos de rebatir cumple extraordinariamente bien con este requisito puesto que lo uacutenico que se requiere es la aceptacioacuten de la hipoacutetesis mencionada de la entidad conocida como FSM De todos modos no estaacute de maacutes recordar que lo que Occam dice exactamente es que en igualdad de condiciones la solucioacuten maacutes sencilla es probablemente la correcta Y probablemente como estaacute claro no equivale a necesariamente No obstante no podemos evitar que nos parezcan forzadas y como argumentadas ad hoc algunas de las explicaciones que da el principal abanderado de dicha corriente de pensamiento y primero en presentarla y defenderla Robert Hendenson Graduado en fiacutesicas no podemos pensar del mismo que le sea ajeno el rigor y la criacutetica cientiacutefica A pesar de todo lo cierto es que algunos de sus razonamientos son

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impecables como cuando explica el por queacute resulta aparente la edad de la Tierra estimada por los meacutetodos cientiacuteficos al uso Veamos sus razones laquo[] Lo que esas personas no comprenden es que Eacutel [el autor se refiere a la entidad FSM] hizo el mundo para hacernos creer que la Tierra es maacutes antigua de lo que realmente es Asiacute por ejemplo un cientiacutefico puede llevar a cabo un proceso de datacioacuten mediante carbono-14 sobre un artefacto y encuentra que aproximadamente el 75 por ciento del carbono-14 se ha desintegrado en nitroacutegeno-14 a causa de la emisioacuten de electrones e infiere que dicho artefacto tiene una antiguumledad de unos diez mil antildeos puesto que la vida media del nitroacutegeno-14 parece ser de 5 730 antildeos Pero lo que nuestro cientiacutefico no advierte es que cada vez que efectuacutea una medida la entidad FSM estaacute alliacute cambiando los resultados con su seudoacutepodo Disponemos de numerosos textos que describen en detalle como es esto posible y las razones por las que Eacutel lo hace Eacutel es por supuesto invisible y puede pasar a traveacutes de la materia normal con facilidadraquo Hay algo en esta explicacioacuten que no nos satisface Naturalmente es irreprochable pero cierta percepcioacuten nos dice que se aparta excesivamente del meacutetodo cientiacutefico por antonomasia La teoriacutea FSM no es por su propia naturaleza falsable de modo que de acuerdo con las tesis de Karl Popper una doctrina de ese tipo no se bate en condiciones de igualdad con el resto de las teoriacuteas por lo que ha de ser apartada como teoriacutea insana ―desde el punto de vista de la ciencia entieacutendase bien― y privada sin maacutes del derecho a contender en la arena cientiacutefica Es cierto que para Popper al contrario de lo que afirma el positivismo tiene sentido la aseveracioacuten de la existencia de la entidad FSM pero este autor delinea muy bien los liacutemites que separan tales tipos de proposiciones de las de caraacutecter cientiacutefico y la que nos ocupa queda claramente al margen de eacutestas [4]

Fig 1 ndash FSC en el instante de animar al primer ser humano Podriacutea argumentarse desde luego y aquiacute nos situamos del lado del punto de vista de Thomas Kuhn que la teoriacutea FSM nos coloca frente a un nuevo paradigma cientiacutefico Para Kuhn en efecto la ciencia no procede por agregaciones progresivas en torno a un nuacutecleo creciente de conocimientos sino antes bien por cambios abruptos del marco completo de la teoriacutea dominante lo que se conoce como

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desplazamientos del paradigma En este sentido podriacuteamos sentirnos inclinados a aceptar que el paradigma FSM nos traslada a un marco radicalmente nuevo No obstante la ciencia no se caracteriza por cambios de naturaleza tan radical Antes bien en los cambios de paradigma a que alude Kuhn siempre ha ocurrido que los nuevos formalismos incluyen a los anteriores en el sentido de que eacutestos se recuperan por paso al liacutemite con respecto a ciertas condiciones o paraacutemetros que han cobrado maacutes generalidad en la nueva teoriacutea Y esto no ocurre en absoluto con la propuesta FSM que prescinde del todo del acervo de saber histoacuterico Nos sentimos obligados a denunciar tambieacuten que las representaciones de la entidad FSM son en cierto modo antropomoacuterficas Sugeririacuteamos prescindir de lo que parecen ser unos ojos y un soma central para dejarlo reducido al conjunto de seudoacutepodos que podriacutean llegar a identificarse con los filamentos de la teoriacutea de cuerdas o en su enmadejamiento formar el tejido de las supercuerdas La ubicuidad podriacutea sustituirse por un nuacutemero ilimitado de copias del FSM actuando en resonancia no local El universo volveriacutea a ser de este modo de nuevo cartesiano dominado por un plenum que lo abarca todo La actuacioacuten instantaacutenea a distancia estariacutea avalada por la verificacioacuten de las condiciones de Bell relativas a la paradoja EPR que ha significado el espaldarazo a la no localidad en el mundo fiacutesico A pesar de todo algo en nuestro interior nos dice que la doctrina FSM es aberrante Quizaacute se deba al lastre de la educacioacuten recibida Despueacutes de todo uno es irremediablemente producto de la forja de su tiempo y nunca es faacutecil superar esa inercia intelectual Hijo ―o debiera decir posiblemente prisionero― de la edad de la razoacuten yo presiento con temor que una nueva Edad Media y estoy pensando en su lastre de oscurantismo se alza amenazante en el horizonte y la melancoliacutea me atenaza amargamente el corazoacuten P Crespo septiembre 2006 [1] On the Origin of Species by Means of Natural Selection or The Preservation of Favoured Races in the Struggle for Life abreviado como The Origin of Species (El origen de las especies) publicado en 1859 Este libro establecioacute la evolucioacuten (cambios espontaacuteneos hereditarios que se imponen cuando son favorables a la especie habida cuenta de los condicionantes del entorno) a partir de un ascendiente comuacuten como la explicacioacuten cientiacutefica dominante de la diversificacioacuten de las formas de la vida en la naturaleza [2] Home page httpwwwvenganzaorg

[3] William of Occam fraile franciscano ingleacutes del siglo XIV (aprox 1285-1349) Lo que se conoce como la navaja de Occam era un principio muy comuacuten en la filosofiacutea medieval (el principio de economiacutea o de parsimonia) y no tuvo su origen con Willian de Ockham pero debido al uso frecuente que eacuteste le daba a dicho principio su nombre acaboacute inseparablemente ligado a eacutel

[4] Karl Popper (1902 1994) La loacutegica de la investigacioacuten cientiacutefica (Logik der Forschung 1934 ciacuterculo de Viena) En esta obra el filoacutesofo austriacuteaco abordoacute el problema de los liacutemites de demarcacioacuten entre la ciencia y proposiciones de otro caraacutecter Para Popper la clave estaacute en reconocer que el conocimiento cientiacutefico no avanza confirmando nuevas leyes sino descartando las que contradicen la experiencia lo que constituye el proceso de falsacioacuten Soacutelo han de admitirse como proposiciones cientiacuteficas aquellas para las que al menos conceptualmente es posible un experimento que las contradiga [5] Thomas Kuhn (1992 1996) Este cientiacutefico norteamericano es famoso principalmente por su libro La estructura de las revoluciones cientiacuteficas (1962) La idea que preside el pensamiento de Kuhn es la de que la ciencia no progresa por acumulacioacuten de nuevo conocimiento sino por desplazamientos de los paradigmas que transforman abruptamente la naturaleza del conocimiento

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Matemaacuteticas de los poliacuteticos vascos Patxi Igandekoa

Pongamos el tiacutepico sistema de ecuaciones de primer grado de dos incoacutegnitas x+y=5 4x-2y=2 (Antes ensentildeaban a resolverlos en 1ordm de BUP ahora en las academias cercanas a la Escuela de Ingenieros de Bilbao) Vaya por adelantado que la solucioacuten es x=2 y=3 No nos interesa esto sino la forma en que lo resolveriacutean dos miembros destacados de nuestra clase poliacutetica El Lehendakari Ibarretxe por ejemplo no tendriacutea dificultad Gracias a su formacioacuten y oficio de economista el valor de las incoacutegnitas aparece ipso facto en su mente sin necesidad de calcular nada Sin embargo eacutel querriacutea hacerlo con fundamento a la vasca Primero lo resolveriacutea por medios algebraicos y comprobariacutea si las soluciones cuadran Despueacutes empleariacutea el meacutetodo graacutefico pediriacutea papel boliacutegrafo y una regla y trazariacutea un eje de coordenadas cifras y finalmente dos rectas bien diaacutefanas y se asegurariacutea de que ambas se cortan en el par de valores correcto Acto seguido llamariacutea a un comiteacute de expertos del Gobierno Vasco y someteriacutea el asunto a su examen para que redactaran un informe en el que se estableciera sin ninguacuten geacutenero de dudas que la solucioacuten al sistema de ecuaciones propuesto vaacutelida tanto en Euskadi como en el resto de un universo eucliacutedeo es la que figura en los caacutelculos de Lehendakaritza Pero la cosa no termina aquiacute porque luego Josu Jon Imaz (otro peso pesado de las ciencias exactas) convocariacutea una mesa de partidos para buscar una solucioacuten paralela ndashpero concordante- al problema mediante acuerdos que incluyan a todas las sensibilidades del paiacutes Para un tema de intereacutes general como este ni siquiera el PP podriacutea negarse y a la exactitud de las estimaciones numeacutericas se antildeadiriacutea finalmente la sancioacuten democraacutetica del consenso Euforia y satisfaccioacuten en el EAJ-PNV ldquoHemos tardado lo nuestro pero valioacute la pena Trabajando duro y con meacutetodo nos hemos puesto las pilas comenzamos el curso con los deberes hechos etc etcrdquo iquestY Patxi Loacutepez iquestCoacutemo reaccionariacutea delante del mismo problema Imaginen a uno de sus correveidiles pasaacutendoselo por encima de su ejemplar abierto de ldquoEl Correo Espantildeolrdquo en plena sesioacuten del Parlamento Vasco Apresurada lectura treacutemulo parpadear de ojos bailoteo de cifras en la mente ruido apenas perceptible producido por el rozamiento de unos dedos sobre la sienhellip ldquoNada otra engantildeifa del Lehendakari iexclSe va a enterar de esto en mi proacutexima rueda de prensardquo Apliacutequese el procedimiento de costumbre enviar por valija del partido a la calle Ferraz para que lo resuelvan alliacuterdquo Y alliacute efectivamente son nada menos que Joseacute Luis Rodriacuteguez Zapatero Presidente del Gobierno de Espantildea y Joseacute Blanco su iacutenenarrable y gallego jefe de bomberos quienes se encargan de despejar las incoacutegnitas Podemos imaginarnos el resultado ldquoiquestAlgebra iquestGraacuteficos cartesianos iexclUff somos de letras iquestQueacute tal si traemos a nuestro informaacutetico para que eche una manordquo ldquoNo mucho maacutes simple Joseacute Luis hacemos x=0 y=0 y ya estaacute Yo seacute algo de matemaacuteticas lo suficiente para recordar que a esto lo llaman lsquosolucioacuten trivialrsquo Es perfectamente legiacutetimo iquestQueacute te parecerdquo ldquoDe entrada bien Pepe Pero asi no puedes resolver un sistema de primer grado iexclel resultado no coinciderdquo ldquoNo importa lo quitamos tambieacuten Escondemos el 5 y el 2 cubrieacutendolos con typex ndashya nos ocuparemos de ellos en la proacutexima legislatura- y hacemos ambas expresiones iguales a cero Ahora las incoacutegnitas siacute coinciden con la ventaja antildeadida de que entonces las de Imaz no Hemos resuelto el problema de matemaacuteticas vasco reducieacutendolo a la no existencia Jean-Paul Sartre estariacutea orgulloso de nosotrosrdquo La solucioacuten es transmitida por mensajero (a portes debidos) a Sabin Etxea donde sesudos jeltzales la examinan moviendo la cabeza a un lado y a otro Habraacute que invertir mucho en centros de caacutelculo si queremos avanzar en el proceso de normalizacioacuten Al menos queda el consuelo de que si alguien quiere volar preferiraacute subirse a un aeroplano disentildeado por Ibarretxe que a otro construido con las matemaacuteticas que ensentildean en el Partido Socialista de Euskadi Publicado en Izaronews 6-9-2006

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Si las palabras de Chillida estaacuten recogidas con fidelidad lamento no estar de acuerdo con ellas porque no creo que las personas se encasillen tan faacutecilmente Pero de todos modos si ustedes creen que represento ese problema no tienen maacutes que haceacutermelo saber Porque como anuncieacute en la seccioacuten correo tireacute mi regla de caacutelculo al riacuteo para mirarla como se hundiacutea (era el uacuteltimo recuerdo del carintildeo que yo le teniacutea etc) y comienzo mis pinitos en cuentos cortos (muy cortos prometido) y otras atrevidas incursiones

[La figura es un recorte del libro de vintildeetas-paacutegina laquoel Arte - conversaciones imaginarias con mi madreraquo de Juanjo Saacuteez Aunque sus ideas sobre el arte parecen discutibles es un libro entrantildeable]

Una uacuteltima advertencia relativa al cuento que sigue y dirigida a los que puedan sacar la conclusioacuten de que tengo imaginacioacuten desviada las hemerotecas son del 29 de noviembre de 2003

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Caperucitas blancas En memoria de Joseacute Couso porque nos volvimos maacutes ciegos cuando sus ojos se apagaron

Una nintildea hasta haciacutea poco ahora cuajada en mujer moldeada por quince primaveras Faacutetima era la mayor de las dos hermanas La pequentildea Azraa a sus doce antildeos era todaviacutea un incipiente brote femenino delicado y menudo

Noviembre agotaba sus diacuteas y haciacutea cuatro que habiacutean empezado las fiestas del fin del Ramadaacuten el mes sagrado del ayuno Ese jueves la ilusioacuten se asomaba a los rostros de ambas hermanas porque iriacutean a cenar a casa de su abuela y pasariacutean la noche con ella Habriacutea puchero y berenjena rellena y despueacutes los dulces de pistacho y de miel y antes de dormir las historias de la lsquoyaddarsquo Jazmina ―la abuelita― llenas del encanto de otros tiempos cuando en los mercados de Baaquba competiacutean entre siacute los colores de los frutos las especias las telas y las alfombras y los asnos eran amigos resignados de los hombres y los paacutejaros hablaban con los nintildeos y eran alegres y eran parlanchines y traiacutean noticias de lugares exoacuteticos

La madre preparoacute una cesta con los pastelillos para el postre Pero la abuela habiacutea expresado el temor de no disponer de lentildea suficiente asiacute que las pequentildeas debiacutean pasar antes por el huerto del tiacuteo Abbash que siempre teniacutea preparada una reserva de lentildeos y sarmientos y habiacutea dado licencia a la familia para recoger de su finca todo aquello que fuera necesario Para llegar al huerto era obligado atravesar un trecho boscoso no era cosa de permitir que las sorprendiera la noche y puesto que la tarde ya se habiacutea insinuado las nintildeas se pusieron con diligencia en camino La pequentildea llevaba apoyada contra su cintura la cesta con los dulces y la mayor se hizo cargo de dos piezas de tela destinadas a sujetar la lentildea y de un hacha pequentildea para trocear los sarmientos

Ya en la finca llevoacute maacutes tiempo del previsto preparar los vaacutestagos para adecuarlos al tamantildeo de la menor de las muchachas y las sombras no esperaron Ante el asomo de la noche las nintildeas iniciaron el regreso en direccioacuten a la casa de la abuela cada una con su hatillo a la espalda la menor abriendo paso con la cesta de los pasteles en su regazo seguida de cerca por su hermana

A menos de cincuenta metros de alliacute Lobo Feroz Dos miraba por el visor de

infrarrojos e informaba de la escena a su compantildeero En el sendero que lindaba con el bosque dos siluetas blanquecinas se recortaban en la oscuridad en contraste con la espesura y los pantildeuelos que cubriacutean sus cabezas las perfilaban como dos caperucitas que se moviacutean avanzando deprisa La mayor pareciacutea sujetar una pistola en su mano

―Lobo Feroz Uno llamando a Halcoacuten Pardo ge-pe-ese delta sur uno doce oeste cero quince Dos sospechosas a la vista parecen llevar armas Esperamos instrucciones Cambio

―Halcoacuten Pardo a Lobo Feroz Ya conocen las consignas Cambio ―Parecen dos nintildeas― apuntoacute Lobo Feroz Dos ―Lobo Feroz Uno a Halcoacuten Pardo Es posible que se trate de dos menores

Solicitamos refuerzos para comprobacioacuten Cambio ―Sargento le recuerdo que estamos en la Operacioacuten Martillo de Hierro Debe

proceder seguacuten la consigna Cambio y corto ―Hemos de disparar― dijo Lobo Feroz Uno a Lobo Feroz Dos ―Pero ― balbuceoacute eacuteste ―Oacuterdenes Encaacutergate del objetivo de la izquierda yo tirareacute sobre el derecho

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La cabeza de Faacutetima se quebroacute como se rompe el fruto del granado cuando se lo arroja con fuerza contra el suelo Con su velo blanco habiacutea sido Caperucita Blanca mientras se desplomaba fue Caperucita a topos rojos poco tiempo despueacutes bajo los focos luminosos era Caperucita Roja yaciendo sobre la hierba del lindero del bosque ya para siempre dormida sus intensos ojos negros abiertos en un gesto uacuteltimo de asombro irracional A su lado la pretendida pistola no era sino el hacha nimia que le habiacutea servido de herramienta

Cerca de ella Azraa acribillada se debatioacute en el suelo durante un tiempo entre espasmos y dentelladas de dolor Desprendido el pantildeuelo varias manchas tentildeiacutean de carmiacuten sus cabellos que hasta entonces habiacutean sido siempre de un azabache casi mineral

La fase siguiente de la laquoOperacioacuten Martillo de Hierroraquo se puso en marcha Uno de los confidentes convocados reconocioacute a las muchachas e indicoacute a los soldados la situacioacuten de la cercana casa de la abuela en los andurriales de la ciudad

La puerta cedioacute ante el explosivo y saltoacute arrancada de cuajo junto con sus goznes Disipado el humo los soldados pudieron distinguir a una anciana enmudecida por el terror y desplomada sobre su cama Se registroacute la casa Dos humildes cuchillos de cocina fueron las uacutenicas armas encontradas

Cuando al diacutea siguiente fueron lavados los cuerpos de las nintildeas el agua sanguinolenta se desparramoacute por el patio y discurrioacute por albantildeales hasta verter en el riacuteo Tigris Diacuteas maacutes tarde en la orilla izquierda de la corriente a un rosal le brotariacutean rosas algo maacutes rojas y un limonero dariacutea limones amargos en la ribera derecha

La sangre de las nintildeas se entremezcloacute en el riacuteo en un postrero abrazo fraternal El sol hizo luego su labor de horno y partiacuteculas de sangre de Faacutetima y de Azraa ascendieron asidas al agua evaporada Desde entonces los atardeceres son algo maacutes escarlata en la tierra que otrora fue Mesopotamia y en todo el orbe resuena el eco milenario de las palabras del Antiguo Testamento dichas para los oiacutedos de los violentos laquoCaiacuten iquestqueacute has hecho de tu hermanoraquo P Crespo

Las camas de la muerte ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte lavis punta seca buril y bruntildeidor ndash 177 x 221 mm

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Reggae reggaehellip (riacutea riacutea)

La escuela y el alumnado

Eacutesta es la coleccioacuten de disparates maacutes sonados cometidos por alumnos de ESO y bachillerato en exaacutemenes de geografiacutea e historia

Perlas variadas bull Al final de la edad media empiezan a

imponerse normas morales como no masticar la sopa

bull Una de las principales manifestaciones del arte goacutetico fueron las piraacutemides que como todo el mundo sabe son apuntadas

bull A partir del Concilio de Trento el matrimonio cristiano debiacutea ser consumado en presencia de un sacerdote

bull Despotismo ilustrado los reyes teniacutean todo el poder pero teniacutean que obedecer cuando el pueblo se poniacutea de acuerdo entre ellos

bull A la juventud hitleriana la preparaban tan bien que al cabo de un antildeo eran capaces de matar a su madre

bull iquestQueacute opinas de la Constitucioacuten Que es buena y guapa

bull Actualmente el paiacutes maacutes pequentildeo de Europa es San Pedro del Vaticano

bull El rey puso a Franco para que trajera la democracia

bull Franco era el rey que habiacutea antes de Juan Carlos I

bull Espantildea no participoacute en la Segunda Guerra Mundial porque Hitler teniacutea miedo de Franco

bull Franco fue un poliacutetico dictador que consiguioacute imponer durante el reinado de Felipe II un reacutegimen dictatorial

bull No seacute en queacute antildeo murioacute Franco pero seacute que murioacute asesinado

bull Democracia es cuando hay gente que mata otra gente o cuando un paiacutes echa bombas a otro o se pegan unos a otros pues esto es democracia

bull Cartografiacutea las faltas de ortografiacutea bull Un paralelo es una de aquellas liacuteneas que

dividen la Tierra en trozos pero es imaginario

bull Continente partiacuteculas de tierra donde vivimos nosotros

bull Anticicloacuten es la temperatura caliente y se mide en milibares

bull Caacutetedra pensioacuten o escuela para los que queriacutean ser curas

bull Petroacuteleo se obtiene por tuberiacuteas llamadas oleoductos y sirve de combustible

bull Desarrollo sostenible es el desarrollo que no es ni alto ni bajo es decir es mediano

bull Poliacutegono hombre con muchas mujeres bull Delta es un riacuteo que lleva muy poca

agua bull Capital de Alemania Merliacuten bull Principales cultivos espantildeoles la uva

que produce el gran aceite que se fabrica en Espantildea

bull Islas de Oceaniacutea Islas Haguai bull Los vientos huracanados producen a

veces atauacutedes de nieve bull La pintura al fresco consiste en pintar al

aire libre bull Sufragista quiere decir que siempre estaacute

navegando por los mares bull La Guerra Friacutea se caracteriza por matar

gente a sangre friacutea bull Hambre endeacutemica es la que pasa cuando

hay epidemias bull La explosioacuten demograacutefica se produce

porque en algunos paiacuteses se producen islas producto de una erupcioacuten volcaacutenica que bastante grandes como para ser evitadas

bull Estado del bienestar significa que todo lo que es puacuteblico se ha de cuidar

bull Deuda externa es si vas aun supermercado y quedas a deber mucho si no tienes dinero Esto es la deuda externa

Serrano J Reboredo J (2005) Perlas variadas en Historia de Espantildea contada por estudiantes Madrid La Esfera de los libros (Remitido por M Dolors Hipoacutelito)

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iexclLas modelos no somos estuacutepidas Pregunta iquestEn queacute paiacutes la estaacuten solicitando como modelo Respuesta No lo puedo decir todaviacutea pero les puedo adelantar que es un paiacutes brasilentildeo que no queda muy lejos de aquiacute (Kate Moss ex modelo de Calvin Klein) Pregunta Si llegara un holocausto nuclear iquestqueacute pareja elegiriacutea Ud en todo el mundo (hombre y mujer) para preservar y multiplicar la especie humana Respuesta Al Papa y a la Madre Teresa de Calcuta (Carolina Zuntildeiga candidata a Miss Chile) El fumar mata Si te mueres has perdido una parte muy importante de tu vida (Brooke Shields entrevista para una campantildea federal antitabaco) Pregunta Si usted pudiera vivir siempre iquestlo hariacutea iquestpor queacute Respuesta Yo no viviriacutea siempre porque no deberiacuteamos vivir siempre porque si se supusiera que debieacuteramos vivir siempre entonces viviriacuteamos siempre pero no podemos vivir siempre que es por lo cual yo no viviriacutea siempre (Miss Alabama en el concurso Miss America 1999) Esa rastrera sinverguumlenza merece ser matada a patadas por un asno iexclY yo soy justo la indicada para hacerlo (Declaracioacuten de Claudia Shiffer sobre Naomi Campbell) No es la contaminacioacuten la que estaacute dantildeando el ambiente Son todas las impurezas en nuestro aire y en nuestra agua las que lo estaacuten haciendo (Pamela Anderson) No he cometido ninguacuten delito Lo que hice fue no cumplir con la ley (Jennifer Lopez al ser detenida junto con Puff Daddy) Siempre que veo la tele y veo a esos pobres nintildeos hambrientos en todo el mundo no puedo evitar llorar Quiero decir me encantaria ser asiacute de flaquita pero no con todas esas moscas y muerte y esas cosas (Mariah Carey cantante) Tomado de Internet por JMaiO 2006 Jacinto Benavente y la coma Doctor Mi previsioacuten se anticipa a todo Bastaraacute con puntuar debidamente alguacuten conceptoVed aquiacute donde dicerdquo Y resultando que no declaroacuterdquo basta una coma y dice ldquo Y resultando que no declaroacuterdquo Y aquiacuterdquoY resultando que no debe condenaacuterselerdquo fuera la coma y dice Y resultando que no debe condenaacuterselerdquo Crispiacuten iexclOh admirable coma iexclMaravillosa coma iexclGenio de la Justicia iexclOraacuteculo de la Ley iexcl Monstruo de la Jurisprudencia Jacinto Benavente Los Intereses Creados Acto segundo escena final

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Tomo una y entrego dos Mariano Nieto propone en [C-90] (seccioacuten correo) el problema que sigue En una urna hay una bola blanca y otra negra Se saca al azar una de ellas y se

devuelve a la urna acompantildeada de otra del mismo color Esta operacioacuten se repite un nuacutemero indefinido de veces

iquestCuaacutel es la probabilidad de que cuando la urna contenga 20 bolas haya 10 de cada color Solucioacuten

Sea (b n) la composicioacuten de la urna con b bolas blancas y n negras y llamemos etapa a cada intervencioacuten que extrae una bola de la urna y devuelve dos Convengamos en que la configuracioacuten de partida (11) corresponde a la etapa 1 En la etapa 2 tendremos las dos configuraciones posibles de la urna (21) y (12) asociadas con la misma probabilidad de 12

Esta simetriacutea inicial nos sugiere el siguiente procedimiento por induccioacuten Si suponemos que en la etapa n cada una de las n configuraciones posibles

(n 1) (n ndash 1 2) (n ndash 2 3) (n ndash a a + 1) (2 n ndash 1) (1 n) [1] tiene la misma probabilidad p de ocurrir (con p =1n por lo tanto) podemos calcular las probabilidades y configuraciones de la etapa n + 1

a) La probabilidad de la configuracioacuten (n + 11) (rama izquierda del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(n + 11) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

b) La probabilidad de la configuracioacuten (1 n+1) (rama derecha del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(1 n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

c) La configuracioacuten (n ndash a a + 2) con 0 le a le (n ndash 2) para asegurar que se recorre el rango de configuraciones de la etapa (n + 1) con exclusioacuten de las extremas antes consideradas proviene de (n ndash a a + 1) tras sacar una bola negra o bien de (n ndash a ndash 1 a + 2) luego de resultar blanca la bola extraiacuteda Su probabilidad seraacute por lo tanto

p x (a + 1) (n + 1) + p x (n ndash a ndash 1) (n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

de modo que todas las configuraciones de la etapa n + 1 tendraacuten tambieacuten la misma probabilidad en este caso 1(n + 1)

En la etapa 3 por ejemplo es faacutecil ver que las 3 configuraciones posibles (3 1) (2 2) y (1 3) comparten la probabilidad 13 Asiacute pues el meacutetodo de induccioacuten nos permite concluir que en la etapa n es decir tras n ndash 1 operaciones con la urna eacutesta contendraacute (n + 1) bolas y tendremos las n configuraciones posibles [1] a cada una de las cuales le corresponde la misma probabilidad 1 n

La configuracioacuten (10 10) por la que pregunta el problema perteneceraacute por lo tanto a la etapa n = 19 (tras 18 operaciones con la urna) y en consecuencia su probabilidad seraacute igual a 1 19 algo mayor que 526 por ciento

En general a la configuracioacuten (b n) donde b es el nuacutemero de bolas blancas y n el de negras siendo b y n nuacutemeros naturales cualesquiera ya que cualquier configuracioacuten es alcanzable le corresponderaacute la probabilidad p(b n) = 1 (b + n ndash 1) P Crespo septiembre 2006

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iquestDe doacutende sale el nuacutemero e Un escuchante miacuteo de RNE en el programa sobre matemaacuteticas de los antildeos 2005-06 me hace la siguiente consulta Cuando estudiaba sexto de bachillerato (plan de ensentildeanza 1957) un dia el profesor de matemaacuteticas llegoacute a clase y dijo Hoy toca el nuacutemero e Y a continuacioacuten escribioacute en la pizarra la expresioacuten conocida de liacutemite cuando n tiende a infinito de 1 maacutes 1 partido por n elevado a n La desarrolloacute por el binomio de Newton y obtuvo el conocido resultado de 2718281 Despueacutes nos dijo que el numero e era muy importante en matemaacuteticas y que se utilizaba para la base de los logaritmos neperianos Es curioso ver como la derivada del logaritmo neperiano de x = 1x EXACTO siendo la base del logaritmo un nuacutemero absolutamente INEXACTO IRRACIONAL Realmente me quedeacute sorprendido Primero de coacutemo al baroacuten de Neacuteper se le habiacutea ocurrido utilizar como base de logaritmos a un nuacutemero irracional y segundo por queacute nunca me explicaron a quieacuten se le ocurrioacute calcular el liacutemite de la expresioacuten (1+1n)n iquestPor queacute se le ocurrioacute a alguien esta expresioacuten y no otra iquestDe donde surgioacute tal necesidad Creo que eso era lo primero que mi profesor de matemaacuteticas teniacutea que habernos contado antes de calcular el liacutemite Probablemente el profesor no conociacutea la respuesta que efectivamente es difiacutecil de encontrar en los actuales libros de texto La definicioacuten actual de logaritmo de un nuacutemero es ldquoel exponente a que hay que elevar una base dada para obtener dicho nuacutemerordquo Asiacute por ejemplo en base 10 el logaritmo de 2 es log10 2 = 0301030 porque 100301030 = 2 (aproximadamente) Pero Neper no concibioacute asiacute el logaritmo para eacutel era el resultado de comparar una progresioacuten aritmeacutetica y otra geomeacutetrica Los teacuterminos de la primera seriacutean los logaritmos de los de la segunda Esto se ve muy claro en esta tabla en la que la razoacuten de la progresioacuten aritmeacutetica es 1 y la de la geomeacutetrica es 10

Progresioacuten aritmeacutetica (razoacuten 1) -3 -2 -1 0 1 2 3Progresioacuten geomeacutetrica (razoacuten 10) 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103

De la propia estructura de ambas progresiones se desprende que un producto de teacuterminos en la progresioacuten geomeacutetrica se corresponde con una suma en la progresioacuten aritmeacutetica Asiacute por las propiedades de los productos de potencias de una misma base seraacute log (xy) = log x + log y y tambieacuten log (xk) = k log x etc Por la misma tabla en la base 10 log (10-3) = log (0001) = -3 log (102) = log (100) = 2 etc Pero iquestqueacute ocurre con los valores intermedios iquestCoacutemo definir para ellos un logaritmo Neper intentoacute responder esta pregunta considerando dos progresiones de razones respectivas α y 1+β siendo (α β) muy pequentildeos Entonces dado un nuacutemero N siempre se podriacutea encontrar un valor n tal que (1+ β)n = N (dentro de una aproximacioacuten suficiente) Entonces el logaritmo de N seriacutea nα Las progresiones maacutes sencillas imaginables son aqueacutellas para las que α = β Entonces seraacute

log N = log [(1+α)n] = nα En esta expresioacuten n seraacute muy grande y α seraacute muy pequentildeo Haciendo nα = L podemos escribir la anterior igualdad

log N = log [(1+ α)1α]nα = log [1+ α)1α]L

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Definamos ahora el nuacutemero e como el liacutemite de (1+α)1α cuando α se hace infinitamente pequentildeo o sea

α

αα

1

0)1(lim +=

rarr

e

Y la expresioacuten se simplificaraacute notablemente

log N = log eL = L log e Resulta inmediatamente que el nuacutemero e = 2718281hellip es la base de logaritmos maacutes conveniente desde el punto de vista teoacuterico pues en ella seraacute log e = 1 Eacutestos son llamados los logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos (este uacuteltimo nombre procede de que miden el aacuterea subtendida entre una hipeacuterbola y su asiacutentota) El nuacutemero e es sin duda el maacutes importante en matemaacuteticas aunque π sea maacutes popular Se recuerdan sus primeras cifras con la mnemotecnia Te ayudareacute a recordar la cantidad a indoctos si releacuteesme bien Se aplica por el nuacutemero de letras de cada palabra Te = 2 ayudareacute = 7 etc En la praacutectica son maacutes usados los logaritmos decimales o de Briggs que tienen por base el nuacutemero 10 Presentan la ventaja de que la parte decimal de cada logaritmo (mantisa) no cambia al ser multiplicado el nuacutemero por una potencia de 10 lo que hace muy praacutecticas las tabulaciones El paso de los logaritmos de una a otra base es muy sencillo mediante el nuacutemero M = log 10 = 2302585 Se deduce sin dificultad que log x = M log10 x Josep M Albaigegraves Barcelona octubre 2006

El nuacutemero e es el uacutenico que verifica que el valor de la derivada (inclinacioacuten de la tangente en rojo en la figura) de f(x) = ex para cualquier valor de x es igual al valor de f(x)

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Cruzando el desierto en jeep Enunciado (propuesto por Mariano Nieto en C-83 seccioacuten correo) Un jeep ha de atravesar un desierto de 800 kiloacutemetros Admite una carga maacutexima para recorrer 500 kiloacutemetros y se quiere conocer la menor cantidad de tales cargas que hay que consumir para alcanzar la meta El depoacutesito inicial se supone de capacidad ilimitada y el jeep puede establecer tantos depoacutesitos intermedios como haga falta Se desea conocer tambieacuten el nuacutemero de viajes parciales que lleva a cabo el jeep teniendo en cuenta que ante dos soluciones iguales (mismo consumo) se preferiraacute la que implique menos viajes parciales Planteo

Supongamos que se depositan cargas en los puntos 1 2 hellipi hellipy llamemos ci a la carga del depoacutesito en el punto i y cf a la del punto siguiente i + 1 Si la distancia entre ambos puntos es d para transportar la carga del punto i al i +1 se necesitaraacuten n viajes de ida y vuelta y un uacuteltimo viaje de ida El depoacutesito en el punto i constaraacute pues de n cargas para 500 km y un remanente al que llamaremos cr Podemos plantear las ecuaciones siguientes

cf = (500 - 2d) n + cr - d (1) ci = 500 n + cr (2) r = (2n + 1) d (3) cr = 500 (4)

donde r es el recorrido del jeep (equivalente a la carga consumida) en el transporte entre ambos depoacutesitos

Los caacutelculos han de efectuarse retrocediendo desde el final hasta la situacioacuten de salida (o sea pasando desde el depoacutesito i +1 al i) para garantizar que se transporta siempre la cantidad miacutenima precisa Cuidaremos tambieacuten de que el valor de n sea el menor posible puesto que los viajes de ida y vuelta aunque necesarios son obviamente menos eficaces en cuanto a rendimiento que los directos Solucioacuten Las ecuaciones anteriores sugieren una viacutea para la solucioacuten del problema basada en separar los tramos para los cuales n (nuacutemero de viajes de ida y vuelta) se mantiene constante El valor de n iraacute en aumento al progresar desde el final hacia el inicio puesto que la capacidad de los depoacutesitos iraacute aumentando en ese sentido y cada vez que se produzca un incremento de 500 km de carga se haraacute necesario aumentar n en una unidad Asiacute pues tendremos 1- Tramo con n = 0 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se progresa desde el final (punto kilomeacutetrico 800) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 0 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

cf = cr ndash d

Como la carga final cf es nula al llegar al punto final (800 km) y es cr = 500 (el maacuteximo posible) basta con llevar a cabo un viaje de ida solamente que salva la distancia d = 500 km El consumo es justamente de 500 km o una carga Esto nos

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coloca a una distancia del origen de 300 km con un depoacutesito con carga para 500 km en dicho punto al que llamaremos D 2 - Tramo con n = 1 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se calcula desde el final (punto kilomeacutetrico 300) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 1 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

500 = 500 - 2d + cr - d = 500 + cr ndash 3 d Hasta que se agote la carga residual maacutexima cr = 500 tendremos

d = 500 3 (5)

La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =1 (es decir donde se pasa de n =1 a n =2 si se lee desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 1) = 300 ndash 5003 = 4003 = 133 3333hellip km El consumo en todo este tramo final (donde n =1) seraacute

consumo (n = 1) = 3 d = 3 times 5003 = 500 Tenemos asiacute tres viajes de 5003 km Al final de la operacioacuten se habraacute transportado una carga de 500 km con un consumo de 500 km tal como se ha calculado antes Como ya se ha visto nos hallamos ahora a una distancia del origen igual a 4003= 133333hellip km Bautizamos este punto como C donde el depoacutesito tendraacute una carga para 1000 km 3 Tramo con n = 2 Ahora la foacutermula (1) se expresa

1000 = 1000 - 4d + cr - d = 1000 + cr ndash 5 d Para una carga residual maacutexima cr = 500 seraacute

d = 5005 = 100 (6) La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =2 (es decir donde se pasa de n =2 a n =3 leyendo desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 2) = 400 3 - 100 = 100 3 = 333333hellipk m El consumo en todo este tramo (donde n =2) seraacute

consumo (n = 2) = 5 d = 500 Se salva una distancia de 100 km y se comprueba que el consumo seraacute de 5 times 100 = 500 La carga transportada seraacute de 2 times 300 + 400 = 1000 km carga que se deja en el depoacutesito C En este punto B nos encontramos a una distancia del origen de 1003 = 33333hellip km y con un depoacutesito con carga para 1500 km

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4 Tramo con n = 3 En este caso la foacutermula (1) es

1500 = 1500 - 6d + cr - d = 1500 + cr - 7d Tendremos ahora d = 5007 gt 100 3 desigualdad que nos dice que la distancia que puede cubrirse con n = 3 supera la distancia que nos separa del origen Asiacute que bastaraacute trabajar de forma que se tenga

d = 1003 (7) Con estas condiciones el consumo correspondiente valdraacute

consumo (n = 3) = 7 d = 700 3 El nuacutemero de viajes seraacute ahora igual a 2 n + 1 = 7 cada uno de los cuales cubre la distancia d = 1003 La carga que se toma del depoacutesito inicial seraacute 1500 + 7003 Consumo total El consumo total que se busca seraacute por lo tanto exactamente Consumo total = 500 (para recorrer los uacuteltimos 500 km n = 0) + 500 (n = 1) + + 500 (n = 2) + 7003 (n = 3) = 1500 + 7003 lo que expresado en cargas resulta ser (1500 + 7003) 500 = 3+7 15 = 34666hellip El nuacutemero total de viajes resulta ser sumando los de las etapas parciales igual a 16 La tabla 1 muestra los valores relevantes para cada una de las etapas dispuestos ahora desde el inicio hasta el final

Km n viajes d (km) consumo (km) carga (km) A (origen) 1500 + 700 3

0 a 1003 (B) 3 7 100 3 700 3 1500 1993 a 4003 (C) 2 5 100 500 1000 4003 a 300 (D) 1 3 500 3 500 500 300 a 800 (E) 0 1 500 500 0

TOTALES 16 800 1500 + 700 3 Tabla 1

El resultado es por tanto Consumo = (1500 + 700 3) 500 = 3 + 7 15 = 34666hellipasymp 347 Viajes = 16 Notas finales Otra cuestioacuten que suscita este problema es la de si existe una limitacioacuten a la anchura del desierto que se ha de atravesar La respuesta es que no existe tal liacutemite puesto que como se aprecia sin dificultad la taacutectica para ir situando combustible en posiciones avanzadas y que expresan las ecuaciones (1) a (4) permite trabajar a partir de cualquier distancia P Crespo noviembre 2006

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Pitaacutegora y su relacioacuten con los proyectiles

El otro diacutea andando por la calle vi el anagrama de una empresa de consulting

Como puede verse el siacutembolo de la empresa es (aproximadamente) el tan conocido triaacutengulo pitagoacuterico de lados 3 4 y 5 Lo vemos inscrito en un cuadrado el miacutenimo que puede contenerlo iquestCuaacutel es el lado de este cuadrado

Solucioacuten Llamemos α al aacutengulo que forma el cateto largo con el lado vertical del cuadrado Es

inmediato establecer las ecuaciones

4 cos α = L = 4 sin α + 3 cos α Que permite llegar a la igualdad

cos α = 4 sin α De donde se obtiene tan α = α o sea α = 14036ordm El lado vale L = 4 cos 14036ordm = 38806 Es curioso que este aacutengulo es el mismo con el que debe ser lanzado un proyectil para

que la altura alcanzada sea igual al alcance En efecto la primera vale

gvh

2sin 22

0max

ϕ=

Mientras que el alcance es

gvx ϕ2sin2

0=

Igualando ambas ecuaciones se llega a cos φ = frac14 El aacutengulo φ es el complementario

del α antes hallado El proyectil deberiacutea dispararse tangente al cateto de lado 4 JMAiO BCN sep 06

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PROBLEMA DE LA DIVISIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO

Dado un triaacutengulo ABC y un punto P situado en su interior se pide trazar una recta MN que pasando por el punto P divida al triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea o que esteacuten en una proporcioacuten dada

A

B C

P

M

N

Q

q

p

R

x

y

Solucioacuten El problema implica dos condiciones - 1ordm Que los puntos M P y N esteacuten alineados - 2ordm Que las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB esteacuten en una proporcioacuten dada

Veamos como podemos dar forma algebraica a estas dos condiciones Tracemos desde el punto P como se indica en la figura las paralelas a los lados BC y AC hasta que corten en los puntos R y Q respectivamente a los lados AC y BC Llamemos x y p y q a los segmentos MR NQ PQ y PR Los valores de x e y se obtendraacuten al resolver el sistema de ecuaciones que suponen las dos condiciones dadas La primera condicioacuten ya que los triaacutengulos MRP y PQN son semejantes se expresa escribiendo

yp

qx=

La segunda condicioacuten puesto que los triaacutengulos MCN y ACB tienen comuacuten el aacutengulo en C equivale a decir que los productos de los lados de cada triaacutengulo que concurren en el veacutertice C estaacuten en la proporcioacuten en la que estaacuten sus aacutereas Llamando k al cociente entre las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB la segunda condicioacuten la escribiremos asiacute

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( )( ) kabqypx =++

donde a y b son respectivamente los lados BC y AC del triaacutengulo dado El sistema de ecuaciones escrito nos conduce a la siguiente ecuacioacuten de segundo grado que resuelve el problema

( ) 02 22 =+minusminus qpxpqkabqx

( )

qpqkabkabpqkab

x2

42 minusplusmnminus=

xpqy =

La condicioacuten para que el problema tenga solucioacuten real es que el radicando no sea negativo es decir

( ) 04 geminus pqkabkab

pqkab 4ge

abpqk 4

ge

Resulta innecesario decir que para k=05 la recta divide el triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea teniendo que darse previamente la condicioacuten del paacuterrafo anterior Notas 1- La primera condicioacuten tambieacuten se puede expresar escribiendo la recta MN en su forma canoacutenica en el sistema de coordenadas cartesianas oblicuas definido por los ejes CA y CB obligando a que el punto P esteacute en ella es decir

1=+

++ xp

pyq

q o sea pqxy =

2- El valor de k tambieacuten depende del par de lados respecto a los cuales se hayan trazado las paralelas para disponer de los valores de p y q Puede darse el caso de que aun siendo negativo el radicando para la pareja de lados elegida no lo sea para alguna otra y el problema siga teniendo solucioacuten

Manuel Rodriacuteguez Saacutenchez ndash Septiembre de 2006

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Re-citando las citas de laquoPelucheraquo

laquoLas mujeres hablan porque desean hablar mientras que un hombre soacutelo habla cuando se siente empujado por algo ajeno a eacutel como por ejemplo si no encuentra unos calcetines limpiosraquo (Jean Kerr 1922-2003 escritora estadounidense) laquoDonde hay matrimonio sin amor habraacute amor sin matrimonioraquo (Benjamin Franklin cientiacutefico poliacutetico y filoacutesofo norteamericano) laquoSi quieres ver una especie en peligro de extincioacuten miacuterate al espejoraquo (John Young 1930 cientiacutefico estadounidense) laquoAntes de pedir dinero a un amigo decide cual de las dos cosas necesitas maacutesraquo (Jean de La Bruyegravere 1645-1696 moralista franceacutes) laquoComprendes que estaacutes envejeciendo cuando las velitas cuestan maacutes que la tartaraquo (Bob Hope 1903-2003 actor estadounidense) laquoA mi juicio el mejor gobierno es el que deja a la gente maacutes tiempo en pazraquo (Walt Whitman 1819-1892 poeta estadounidense) laquoSi el hijo de Bono se casa con la hija de Bush iquestla descendencia se llamaraacute Bono Bushraquo (Alberto C 1983 estudiante de reflexologiacutea podal) laquoPara escribir un buen libro no considero imprescindible conocer Pariacutes ni haber leiacutedo el Quijote Cervantes cuando lo escribioacute aun no lo habiacutea leiacutedoraquo (Miguel Delibes 1920 escritor espantildeol) laquoComo todo el mundo sabe los cantos de las sirenas atraen a los hombres para luego acabar con ellos Especialmente las sirenas de las faacutebricasraquo (Jaume Perich Escala 1940-1995 humorista espantildeol) P C Citas tomadas de laquoPelucheraquo con su consentimiento

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Tras pensar en tu problema encuentro tu solucioacuten correcta No empeceacute en RNE Acortaron el programa ldquoNo es un diacutea cualquierardquo y por lo visto en ese nuevo formato no habiacutea lugar para mi espacio El iacutendice de audiencia mandahellip

Pedro Crespo de Barcelona contribuidor y coeditor manda la siguiente carta Estoy consternado En un foro puacuteblico Putin ha dicho recientemente que no le hablen a eacutel de

corrupcioacuten cuando lo de los alcaldes espantildeoles da ciento y raya a toda Rusia Pero no es ese episodio lo que me ha trastornado porque que Espantildea es una olla bullente de corrupcioacuten enmadejada con la poliacutetica es algo que viene de antiguo y que todos los que tenemos oiacutedos para escuchar tenemos ya largamente asumido

No Lo que me ha conmovido tiene que ver maacutes con una revelacioacuten Resulta que alcanceacute a ver un telediario en el que emitieron parte de la conversacioacuten que habiacutea sido pinchada por la policiacutea de uno de tales alcaldes que no haciacutea mucho habiacutea regresado de poner a buen recaudo en Andorra un apreciable montoacuten de miles de euros casi un milloacuten Y las palabras pinchadas que correspondiacutean al reclamo de la claacutesica comisioacuten (unos cuarenta millones de euros en este caso) deciacutean casi literalmente asiacute laquoporque yo soy el que firmo y no voy a estar aquiacute vieacutendolas pasar Somos once iquestno Pues yo quiero mi once por cientoraquo

Al instante me di cuenta de mi tragedia ya que mis elementales matemaacuteticas me dicen que yo hubiera reclamado siendo once a repartir poco maacutes del nueve por ciento Y de inmediato se me hizo la luz iexclLas matemaacuteticas empobrecen

Como ya he comenzado a poner remedio al asunto queriacutea que supieras que ya no colaborareacute maacutes con mis seudo matemaacuteticas en Carrollia Si acaso enviareacute algunos artiacuteculos que ya estaacuten elaborados la mayor parte producto de las reflexiones a las que me movioacute el artiacuteculo de Viantildea De ahora en adelante enviareacute cuentos cortos y algunas reflexiones sobre la brevedad y la falta de sentido de la vida

Por suerte un amigo neurofisioacutelogo que se ha compadecido de miacute me estaacute ayudando a olvidar del todo las escasas (eso ayuda en la tarea) matemaacuteticas que recordaba Me asegura que la foacutermula magistral que ha preparado consigue el bloqueo de todas las sinapsis de los circuitos loacutegicos del cerebro

Seguacuten la uacuteltima resonancia que me hizo la labor estaacute ya cumplida Yo no lo veo asiacute sin embargo porque justamente se me acaba de ocurrir un meacutetodo matemaacutetico para prosperar y que consiste en comprar cosas a diez y venderlas a cien y con ese diez por ciento pienso hacerme con un coacutemodo y raacutepido patrimonio

Gracias por el buen rato que me ha hecho pasar tu carta festiva y bromista (supongo que es una broma eso de que no escribiraacutes maacutes artiacuteculos con componente matemaacutetica) La ocurrencia del edil me recuerda la de un fondista de mi pueblo que serviacutea deliciosos platos confeccionados con ldquocarne de perdizrdquo Estrechado a preguntas por algunos que sospechaban que la mezclaba con carne de caballo acaboacute confesando que ldquoSiacute tant a tantrdquo (en catalaacuten ldquoa partes igualesrdquo) y aclaroacute tras nuevas acometidas ldquoUna perdiz un caballordquo

Escribe Xavi Burgueacutes de Granollers El divendres em vaig trobar en un llibret amb la programacioacute de Catalunya Muacutesica un

passatemps que no havia vist mai un sidoku Es tracta duna variant del sudoku de 7 x 7 de manera que cada nota musical ha daparegraveixer una i nomeacutes una vegada a cada fila columna i grup A diferegravencia dels sudokus els grups no soacuten quadrats sinoacute que tenen formes qualssevol amb una superfiacutecie aixograve siacute de 7 quadres Hi ha doncs set files set columnes i 49 quadres repartits en set grups

Addicionalment hi ha uns quadres destacats i un tiacutetol duna obra musical les notes que quedin en aquests quadres soacuten un fragment de lobra citada

La direccioacuten que da Xavi es wwwsidokuscom Recomiendo su visita Y estoy seguro

de recibir en breve alguno maacutes iquestno es verdad Jesuacutes Lladoacute Y asiacute burla burlando hemos llegado al final iexclFelices fiestas navidentildeas Los editores

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Los 90 antildeos de Francesc Castanyer Como se anunciaba en [C-90] Francesc Castanyer recibioacute el 16 de septiembre un carintildeoso homenaje de algunos de sus numerosos amigos Ahiacute le vemos flanqueado por los otros dos editores Albaigegraves y Crespo los tres muy ufanos disfrutando del calorcillo mediterraacuteneo en una terraza de la playa de Torredembarra (Tarragona) Durante la comida en la que participaron tambieacuten Dolors Hipoacutelito e Isabel Garciacutea consortes de los anteriores y tambieacuten carrollistas se recibieron numerosas llamadas telefoacutenicas de quienes queriacutean testimoniar su presencia afectiva en el acto Por muchos antildeos querido Francesc Los otros editores

Anuncio para escritores

Nuestro co-editor Josep M Albaigegraves ha sido nombrado por una prestigiosa editorial director de una coleccioacuten de libros sobre matemaacutetica recreativa de proacutexima venta en quiosco Cada libro iraacute acompantildeado de un corto opuacutesculo sobre un tema monograacutefico de matemaacuteticas recreativas Se solicitan colaboradores El que tenga escrito o piense escribir alguacuten libro o artiacuteculo interesante ahora tendraacute la ocasioacuten de verlo publicado Deberaacute primar la amenidad y la concisioacuten

[C-92] 9

Quienes esteacuten interesados que contacten conmigo al lugar de costumbre albaigesciccpes

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La yuml Vuelvo hoy a la vieja cuestioacuten de la ldquoyrdquo griega catalana cremada sobre la ldquoyumlrdquo que escrupulosamente respetan en sus transcripciones no soacutelo aficionados sino incluso alguacuten historiador de trayectoria irreprochable Personalmente me encontreacute con esa yuml por primera vez en la transcripcioacuten que un papiroacutelogo haciacutea mdashpor tercera vez ya y todas distintasmdash de cierto contrato que data en 1700 Me quedeacute sin poder consultarle por queacute transcribiacutea ldquocuyumlnardquo ldquomeyumltatrdquo y una veintena de veces ldquoyumlrdquo (aunque el documento ofreciese unas grafiacuteas que invitaban sin ninguna otra razoacuten a esa lectura) frente a las numerosas veces que apareciacutea la ldquoyrdquo sin maacutes complicaciones Por eso defendiacute yo que esa dieacuteresis no pasaba de ser un adorno sin valor foneacutetico ni ortograacutefico un rasgo tan caprichoso como el travesantildeo con que algunos cruzamos el trazo descendente de la ldquoqrdquo o el ascendente del ldquo7rdquo Sin embargo la insistencia de quienes seguiacutean transcribiendo esa crema o dieacuteresis sobre la ldquoyrdquo griega me llevoacute a consultar al Instituto de Estudios Catalanes desde donde se me advirtioacute mdashcomo ya he referidomdash que tal grafiacutea se debiacutea a la contiguumlidad de una ldquoirdquo breve y de una ldquoirdquo larga (de una ldquojrdquo) escritas ambas con sus puntos usuales Pero ninguno de mis corresponsales admitioacute esa explicacioacuten Y hoy vuelvo a mis posiciones aunque enriquecido por una informacioacuten minuciosa Al parecer la ldquoirdquo medieval careciacutea de punto pero en textos redactados en algunos territorios de la Corona de Aragoacuten tanto en latiacuten como en catalaacuten durante el XIII y una parte del XIV la ldquoyrdquo se escribiacutea paradoacutejicamente con un punto (soacutelo uno) encima lo que es imposible de reproducir en las copias mecanograacuteficas que por consiguiente se limitan a escribir esa letra sin puntuacioacuten Y cuando en esos viejos textos concurriacutean dos iacutees fue tambieacuten frecuente mdashsobre todo a final de palabramdash escribir la primera como una ldquoirdquo corta y la segunda como una ldquoirdquo larga pero sin que una y otra dejasen de ser iacutees de igual sonido aunque distinto trazo Transcribir ahora como ldquoijrdquo aquella grafiacutea cuando ya ambas letras tiene un sonido diferente y cuando carecemos de un signo que represente la ldquoirdquo larga (aunque convencionalmente la representemos por una ldquojrdquo) podriacutea prestarse a interpretar que estamos ante dos diferentes sonidos y parece loacutegico exponer la identidad del sonido de ambas iacutees antes que insistir en un trazo (el de la ldquojrdquo) que pretendidamente representase la caligrafiacutea de una ldquoirdquo larga (Otra cosa puede ser la de su funcioacuten decorativa por ejemplo en la numeracioacuten a la romana en minuacutescula) Naturalmente estamos hablando de dos iacutees latinas contiguas y en ninguacuten modo de una ldquoyrdquo con la que esas dos iacutees contiguas han llegado en ocasiones a identificar su trazo en escritos catalanes de al menos el XVIII y el XIX Sin duda una vez admitido el uso de puntuar la ldquoirdquo se extendioacute caligraacuteficamente (no tipograacuteficamente) y por duplicado a la ldquoyrdquo o sea ldquoyumlrdquo aunque sin valor foneacutetico ni ortograacutefico alguno y sin maacutes razoacuten al parecer que la de que ese signo acaba en una doble cuacutespide La expresioacuten ldquoponer los puntos sobre las iacuteesrdquo rebasaba asiacute sus propias limitaciones Y temo que estemos encontraacutendonos ante una situacioacuten pareja a la que se produce cuando una ese alta (como la que emplea Suaacuterez en su traduccioacuten de Lalande seguacuten era de uso entonces) tan parecida a una efe se transcriba como tal efe (seguacuten vemos por ejemplo en la transcripcioacuten moderna de esa traduccioacuten llevada a cabo por Arespacochaga y Seral y en la que leemos cosas como la conferva de Plinio por la ldquoconservardquo) Otra cosa es el alemaacuten donde la ese alta seguida de una ese baja sigue conservando en su tipografiacutea un signo propio Rafael Leoacuten Maacutelaga 2005

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LAS CARTAS DE TIJERA Pensamos en el papel como la superficie sobre la que manual o mecaacutenicamente

dejamos una huella de tinta que va reproduciendo el curso del pensamiento o de la inspiracioacuten Pero en otro tiempo hubo un modo de escribir sin tinta un modo de escribir recortando en el papel con unas tijeras el trazo de unas letras no escritas por la pluma o el caacutelamo o siguiendo ese trazo con la punta al rojo de un alfiler

Una referencia en castellano sobre este arte se conservaba en las estrofas 40 a 44 de los Proverbios de Don Santo de Carrioacuten o Rabiacute Sem Tob Ardutiel contemporaacuteneo de Pedro I de Castilla y feliciacutesimo escritor tambieacuten en hebreo entre otras cosas de un Debate entre el caacutelamo y las tijeras Con el paso de los antildeos sin embargo tales estrofas de sus Proverbios habiacutean llegado a extenuar su significacioacuten

Bueno seraacute reproducirlas aquiacute previa advertencia de que en ese texto castellano (tan proacuteximo ya a lo que seriacutea el espantildeol) astroso estaacute por ruin cuidar por cavilar infinta por fingimiento ca por pues puesto que ya que dentildear por dignar meollo por interior substancioso caxcas por caacutescaras finqueacute por lsquoquedeacutersquo

Y ahora siacute reproduzcamos esas estrofas

Un astroso cuidaba Y por mostrar que era sotil yo le enviaba escripto de tisera El nescio non sabiacutea que lo fiz por infinta porque yo no queriacutea perder en eacutel la tinta Ca por non le dentildear fize vazia la llena y no lquise donar la carta sana buena Como el que tomaba meollos de avellanas para siacute y donaba al otro caxcas vanas Yo del papel saqueacute la razoacuten que deziacutea con ella me finqueacute dile carta vaziacutea

(Fragmento del opuacutesculo del mismo tiacutetulo de Rafael Leoacuten)

Lo mismo ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte punta seca lavis buril y bruntildeidor ndash 162 z 223 mm

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Problema del Autoacutedromo de Sant Pere de Ribes

Enunciado En Sant Pere de Ribes cerca de Sitges provincia de Barcelona hay un circuito autoacutedromo abandonado que tiene forma oval Cada uno de los dos extremos tiene un radio estimado en 131 metros y una pendiente estimada de 60 grados sexagesimales

iquestA queacute velocidad debe ir un automoacutevil en dicha pendiente para no resbalar hacia abajo ni hacia arriba

Resolucioacuten

Sobre el automoacutevil actuacutean 2 fuerzas el peso p

y la reaccioacuten perpendicular del suelo f debida a la curva

Llamando m a la masa del automoacutevil y g a la aceleracioacuten de la gravedad se sabe

mgp =

Para que el automoacutevil no resbale el valor de f

debe ser tal que al descomponerlo en f1 y f2 se produzca

pf =1

La fuerza f2 es la fuerza llamada centriacutepeta porque su direccioacuten y sentido es hacia el centro de curvatura de la trayectoria del moacutevil es bien sabido que llamando v a su velocidad y r al radio de curvatura de la trayectoria se cumple que la fuerza centriacutefuga se puede expresar

rvmf

2

2 =

Ademaacutes la trigonometriacutea permite escribir 2

1o30 tgff

=

Las ecuaciones anteriores forman un sistema de 4 ecuaciones entre las que se puede suprimir f1 f2 p y m

222o30 tg

vrg

rvm

mg

rvm

p===

de donde despejando v y sustituyendo valores

kmh 8169ms 247057735

819 middot 13130 tg o ====rgv

Conclusioacuten Para no resbalar hacia abajo ni hacia arriba en dicha pendiente el automoacutevil debe ir a 1698 kmh Marcel Mantildeeacute

60o

p

f

f2

f1 30o

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EL TESORO OCULTO El pirata llegoacute a la isla donde decidioacute ocultar su tesoro Como puntos de referencia encontroacute un pozo (P) una roca (R) y un viejo olmo (O) Para ubicar el lugar exacto donde iba a enterrar

su arcoacuten repleto de doblones decidioacute fijar los puntos Pacute y Racute trazando las rectas PPacute perpendicular e igual a PO y RRacute perpendicular e igual a RO Finalmente unioacute con una recta los puntos Pacute y Racute determinando su punto medio T donde enterroacute el tesoro Pasado cierto tiempo regresoacute a la isla y encontroacute sorprendido que el viejo olmo habiacutea desaparecido sin dejar huella de su emplazamiento Afortunadamente el pirata era un buen

geoacutemetra y se las arregloacute para dar con el lugar exacto donde antantildeo habiacutea enterrado su tesoro iquestCoacutemo se las arregloacute Solucioacuten Si prolongamos la liacutenea PR a derecha e izquierda y bajamos a ella las perpendiculares PacuteA OD TC y RacuteB es faacutecil ver que los triaacutengulos OPD y ODR son respectivamente iguales a los PPacuteA y RRacuteB Ocurre entonces que PacuteA = PD y RacuteB = RD por consiguiente PacuteA + RacuteB = PR = 2 CT Como por otro lado AP = RB = OD C seraacute el punto medio de PR Asiacute pues para hallar T bastaraacute levantar una perpendicular a PR por su punto medio C y llevar una distancia CT igual a la mitad de PR Aristogeronte Madrid Agosto 2006

Siempre sucede ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte y aguatinta ndash 178 x 219 mm

T

R

P

O

P R

D C B A

T

R

P

O

P R

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PROBLEMA DE EDADES En un congreso mundial de matemaacuteticos coinciden tres amigos Andreacutes Blas y Carlos que conversan animadamente De su conversacioacuten extraemos los siguientes datos Andreacutes dice Mirad queacute coincidencia hoy es nuestro cumpleantildeos Blas contesta Mayor coincidencia es que la suma de los cuadrados de nuestras edades es 2490 igual al nuacutemero de asistentes al congreso Carlos expresa Todo eso es cierto Pero cuando Andreacutes tenga la edad de Blas la suma de los cuadrados de nuestras edades seraacute 3841 igual al coste en pesetas de la habitacioacuten del hotel Ademaacutes con estos datos cualquier congresista puede averiguar nuestras edades Hallar las edades Solucioacuten Las edades hoy son nuacutemeros enteros Andreacutes = x antildeos Blas = y antildeos Carlos = z antildeos Cuando Andreacutes tenga la edad de Blas habraacuten pasado (y-x) antildeos tiempo que habraacute transcurrido igual a los tres Entonces las edades seraacuten Andreacutes = x + (y-x) Blas = y + (y-x) Carlos = z + (y-x) (x + y-x)2 + (y + y-x)2 + (z + y ndashx)2 = 3841 Desarrollando x2 + y2 + z2 + (y-x) (-x +5y +2z) = 3841 Como x2 + y2 +z2 = 2490 (1) (y-x) (-x +5y +2z) = 3841 ndash 2490 (y-x) (-x +5y +2z) = 1351 Descomponemos 1351 en producto de 2 factores = 7 middot 193 y ndashx = 7 -x +5y +2z = 193 Resolviendo el sistema x = y ndash 7 z = 93 ndash 2y Sustituyendo en (1) (y ndash 7)2 + y2 + (93 -2y)2 = 2490 6y2 ndash 386y +6208 = 0 y1 = 32 y2= 973 y2 no es solucioacuten por ne entero Solucioacuten Andreacutes = 25 antildeos Blas = 32 antildeos Carlos = 29 antildeos Acebrian febrero 2006

Con razoacuten o sin ella ndash Francisco de Goya (Los

desastres de la guerra) ndash Aguafuerte punta seca lavis buril y bruntildeidor ndash

150 x 209 mm

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Reparos a la teoriacutea FSM

Qui nimium probat nihil probat (El que prueba demasiado no prueba nada)

Incluso la filosofiacutea la especulativa filosofiacutea se esfuerza por respetar las liacuteneas convencionales del razonamiento y de la loacutegica Incluso la filosofiacutea cuando examina el universo fiacutesico y la propia vida trata de conciliarse con las corrientes cientiacuteficas sobre las que hay amplio consenso Incluso la filosofiacutea cuando se ocupa de la teoriacutea del conocimiento aplicada al mundo fiacutesico corre pareja con las consideraciones maacutes asentadas de la epistemologiacutea cientiacutefica y no es raro que los tratados filosoacuteficos cuyo enfoque es la metodologiacutea del conocimiento tengan en cuenta los descubrimientos de la fiacutesica de vanguardia tales como las teoriacuteas relativistas y en especial los resultados paradoacutejicos de la fiacutesica cuaacutentica tan enormemente sugestivos al tiempo que elusivos En la biologiacutea y en lo que se refiere a las diversas manifestaciones de la vida y a los cambios de los que existe evidencia foacutesil se considera como asentada la liacutenea explicativa que parte de la exposicioacuten publicada por Darwin a comienzos de la segunda mitad del siglo XIX [1] Aunque no se tenga por definitiva y se reconozca incompleta sobre esa liacutenea maestra se elaboran actualmente explicaciones y correcciones a la misma El descubrimiento de la geneacutetica y de sus mecanismos iacutentimos ha supuesto un enorme impulso en cuanto a las investigaciones en este campo que ahora constituye un considerable tesoro de saber Por eso nos preocupa e incluso nos solivianta la corriente FSM de una explicacioacuten alternativa que seguacuten apreciamos se va abriendo camino incluso en universidades [2] Se trata de una corriente que ha experimentado un crecimiento notable en los uacuteltimos antildeos y que interpreta nuestro universo incluida la manifestacioacuten de la vida en teacuterminos del recurso a la intervencioacuten de una entidad inmaterial el FSM de la que se ofrece a veces una representacioacuten tangible a la que se le atribuyen poderes trascendentes como la omnipresencia y la capacidad ilimitada de intervencioacuten Si hemos de ser honestos debemos reconocer que los argumentos en los que se apoya la teoriacutea a la que aludimos son en principio irrebatibles Lo que es maacutes se ajustan mejor que las teoriacuteas que actualmente se tienen por cientiacuteficas a uno de los preceptos maacutes respetables de la ciencia como es el del reduccionismo metodoloacutegico Seguacuten el principio de Occam de la economiacutea (navaja de Occam) [3] en efecto cuanto menor es el repertorio de afirmaciones que haya que admitir como dadas al elaborar una teoriacutea maacutes aceptable seraacute eacutesta (laquopluralitas non est ponenda sine necessitateraquo) La teoriacutea que tratamos de rebatir cumple extraordinariamente bien con este requisito puesto que lo uacutenico que se requiere es la aceptacioacuten de la hipoacutetesis mencionada de la entidad conocida como FSM De todos modos no estaacute de maacutes recordar que lo que Occam dice exactamente es que en igualdad de condiciones la solucioacuten maacutes sencilla es probablemente la correcta Y probablemente como estaacute claro no equivale a necesariamente No obstante no podemos evitar que nos parezcan forzadas y como argumentadas ad hoc algunas de las explicaciones que da el principal abanderado de dicha corriente de pensamiento y primero en presentarla y defenderla Robert Hendenson Graduado en fiacutesicas no podemos pensar del mismo que le sea ajeno el rigor y la criacutetica cientiacutefica A pesar de todo lo cierto es que algunos de sus razonamientos son

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impecables como cuando explica el por queacute resulta aparente la edad de la Tierra estimada por los meacutetodos cientiacuteficos al uso Veamos sus razones laquo[] Lo que esas personas no comprenden es que Eacutel [el autor se refiere a la entidad FSM] hizo el mundo para hacernos creer que la Tierra es maacutes antigua de lo que realmente es Asiacute por ejemplo un cientiacutefico puede llevar a cabo un proceso de datacioacuten mediante carbono-14 sobre un artefacto y encuentra que aproximadamente el 75 por ciento del carbono-14 se ha desintegrado en nitroacutegeno-14 a causa de la emisioacuten de electrones e infiere que dicho artefacto tiene una antiguumledad de unos diez mil antildeos puesto que la vida media del nitroacutegeno-14 parece ser de 5 730 antildeos Pero lo que nuestro cientiacutefico no advierte es que cada vez que efectuacutea una medida la entidad FSM estaacute alliacute cambiando los resultados con su seudoacutepodo Disponemos de numerosos textos que describen en detalle como es esto posible y las razones por las que Eacutel lo hace Eacutel es por supuesto invisible y puede pasar a traveacutes de la materia normal con facilidadraquo Hay algo en esta explicacioacuten que no nos satisface Naturalmente es irreprochable pero cierta percepcioacuten nos dice que se aparta excesivamente del meacutetodo cientiacutefico por antonomasia La teoriacutea FSM no es por su propia naturaleza falsable de modo que de acuerdo con las tesis de Karl Popper una doctrina de ese tipo no se bate en condiciones de igualdad con el resto de las teoriacuteas por lo que ha de ser apartada como teoriacutea insana ―desde el punto de vista de la ciencia entieacutendase bien― y privada sin maacutes del derecho a contender en la arena cientiacutefica Es cierto que para Popper al contrario de lo que afirma el positivismo tiene sentido la aseveracioacuten de la existencia de la entidad FSM pero este autor delinea muy bien los liacutemites que separan tales tipos de proposiciones de las de caraacutecter cientiacutefico y la que nos ocupa queda claramente al margen de eacutestas [4]

Fig 1 ndash FSC en el instante de animar al primer ser humano Podriacutea argumentarse desde luego y aquiacute nos situamos del lado del punto de vista de Thomas Kuhn que la teoriacutea FSM nos coloca frente a un nuevo paradigma cientiacutefico Para Kuhn en efecto la ciencia no procede por agregaciones progresivas en torno a un nuacutecleo creciente de conocimientos sino antes bien por cambios abruptos del marco completo de la teoriacutea dominante lo que se conoce como

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desplazamientos del paradigma En este sentido podriacuteamos sentirnos inclinados a aceptar que el paradigma FSM nos traslada a un marco radicalmente nuevo No obstante la ciencia no se caracteriza por cambios de naturaleza tan radical Antes bien en los cambios de paradigma a que alude Kuhn siempre ha ocurrido que los nuevos formalismos incluyen a los anteriores en el sentido de que eacutestos se recuperan por paso al liacutemite con respecto a ciertas condiciones o paraacutemetros que han cobrado maacutes generalidad en la nueva teoriacutea Y esto no ocurre en absoluto con la propuesta FSM que prescinde del todo del acervo de saber histoacuterico Nos sentimos obligados a denunciar tambieacuten que las representaciones de la entidad FSM son en cierto modo antropomoacuterficas Sugeririacuteamos prescindir de lo que parecen ser unos ojos y un soma central para dejarlo reducido al conjunto de seudoacutepodos que podriacutean llegar a identificarse con los filamentos de la teoriacutea de cuerdas o en su enmadejamiento formar el tejido de las supercuerdas La ubicuidad podriacutea sustituirse por un nuacutemero ilimitado de copias del FSM actuando en resonancia no local El universo volveriacutea a ser de este modo de nuevo cartesiano dominado por un plenum que lo abarca todo La actuacioacuten instantaacutenea a distancia estariacutea avalada por la verificacioacuten de las condiciones de Bell relativas a la paradoja EPR que ha significado el espaldarazo a la no localidad en el mundo fiacutesico A pesar de todo algo en nuestro interior nos dice que la doctrina FSM es aberrante Quizaacute se deba al lastre de la educacioacuten recibida Despueacutes de todo uno es irremediablemente producto de la forja de su tiempo y nunca es faacutecil superar esa inercia intelectual Hijo ―o debiera decir posiblemente prisionero― de la edad de la razoacuten yo presiento con temor que una nueva Edad Media y estoy pensando en su lastre de oscurantismo se alza amenazante en el horizonte y la melancoliacutea me atenaza amargamente el corazoacuten P Crespo septiembre 2006 [1] On the Origin of Species by Means of Natural Selection or The Preservation of Favoured Races in the Struggle for Life abreviado como The Origin of Species (El origen de las especies) publicado en 1859 Este libro establecioacute la evolucioacuten (cambios espontaacuteneos hereditarios que se imponen cuando son favorables a la especie habida cuenta de los condicionantes del entorno) a partir de un ascendiente comuacuten como la explicacioacuten cientiacutefica dominante de la diversificacioacuten de las formas de la vida en la naturaleza [2] Home page httpwwwvenganzaorg

[3] William of Occam fraile franciscano ingleacutes del siglo XIV (aprox 1285-1349) Lo que se conoce como la navaja de Occam era un principio muy comuacuten en la filosofiacutea medieval (el principio de economiacutea o de parsimonia) y no tuvo su origen con Willian de Ockham pero debido al uso frecuente que eacuteste le daba a dicho principio su nombre acaboacute inseparablemente ligado a eacutel

[4] Karl Popper (1902 1994) La loacutegica de la investigacioacuten cientiacutefica (Logik der Forschung 1934 ciacuterculo de Viena) En esta obra el filoacutesofo austriacuteaco abordoacute el problema de los liacutemites de demarcacioacuten entre la ciencia y proposiciones de otro caraacutecter Para Popper la clave estaacute en reconocer que el conocimiento cientiacutefico no avanza confirmando nuevas leyes sino descartando las que contradicen la experiencia lo que constituye el proceso de falsacioacuten Soacutelo han de admitirse como proposiciones cientiacuteficas aquellas para las que al menos conceptualmente es posible un experimento que las contradiga [5] Thomas Kuhn (1992 1996) Este cientiacutefico norteamericano es famoso principalmente por su libro La estructura de las revoluciones cientiacuteficas (1962) La idea que preside el pensamiento de Kuhn es la de que la ciencia no progresa por acumulacioacuten de nuevo conocimiento sino por desplazamientos de los paradigmas que transforman abruptamente la naturaleza del conocimiento

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Matemaacuteticas de los poliacuteticos vascos Patxi Igandekoa

Pongamos el tiacutepico sistema de ecuaciones de primer grado de dos incoacutegnitas x+y=5 4x-2y=2 (Antes ensentildeaban a resolverlos en 1ordm de BUP ahora en las academias cercanas a la Escuela de Ingenieros de Bilbao) Vaya por adelantado que la solucioacuten es x=2 y=3 No nos interesa esto sino la forma en que lo resolveriacutean dos miembros destacados de nuestra clase poliacutetica El Lehendakari Ibarretxe por ejemplo no tendriacutea dificultad Gracias a su formacioacuten y oficio de economista el valor de las incoacutegnitas aparece ipso facto en su mente sin necesidad de calcular nada Sin embargo eacutel querriacutea hacerlo con fundamento a la vasca Primero lo resolveriacutea por medios algebraicos y comprobariacutea si las soluciones cuadran Despueacutes empleariacutea el meacutetodo graacutefico pediriacutea papel boliacutegrafo y una regla y trazariacutea un eje de coordenadas cifras y finalmente dos rectas bien diaacutefanas y se asegurariacutea de que ambas se cortan en el par de valores correcto Acto seguido llamariacutea a un comiteacute de expertos del Gobierno Vasco y someteriacutea el asunto a su examen para que redactaran un informe en el que se estableciera sin ninguacuten geacutenero de dudas que la solucioacuten al sistema de ecuaciones propuesto vaacutelida tanto en Euskadi como en el resto de un universo eucliacutedeo es la que figura en los caacutelculos de Lehendakaritza Pero la cosa no termina aquiacute porque luego Josu Jon Imaz (otro peso pesado de las ciencias exactas) convocariacutea una mesa de partidos para buscar una solucioacuten paralela ndashpero concordante- al problema mediante acuerdos que incluyan a todas las sensibilidades del paiacutes Para un tema de intereacutes general como este ni siquiera el PP podriacutea negarse y a la exactitud de las estimaciones numeacutericas se antildeadiriacutea finalmente la sancioacuten democraacutetica del consenso Euforia y satisfaccioacuten en el EAJ-PNV ldquoHemos tardado lo nuestro pero valioacute la pena Trabajando duro y con meacutetodo nos hemos puesto las pilas comenzamos el curso con los deberes hechos etc etcrdquo iquestY Patxi Loacutepez iquestCoacutemo reaccionariacutea delante del mismo problema Imaginen a uno de sus correveidiles pasaacutendoselo por encima de su ejemplar abierto de ldquoEl Correo Espantildeolrdquo en plena sesioacuten del Parlamento Vasco Apresurada lectura treacutemulo parpadear de ojos bailoteo de cifras en la mente ruido apenas perceptible producido por el rozamiento de unos dedos sobre la sienhellip ldquoNada otra engantildeifa del Lehendakari iexclSe va a enterar de esto en mi proacutexima rueda de prensardquo Apliacutequese el procedimiento de costumbre enviar por valija del partido a la calle Ferraz para que lo resuelvan alliacuterdquo Y alliacute efectivamente son nada menos que Joseacute Luis Rodriacuteguez Zapatero Presidente del Gobierno de Espantildea y Joseacute Blanco su iacutenenarrable y gallego jefe de bomberos quienes se encargan de despejar las incoacutegnitas Podemos imaginarnos el resultado ldquoiquestAlgebra iquestGraacuteficos cartesianos iexclUff somos de letras iquestQueacute tal si traemos a nuestro informaacutetico para que eche una manordquo ldquoNo mucho maacutes simple Joseacute Luis hacemos x=0 y=0 y ya estaacute Yo seacute algo de matemaacuteticas lo suficiente para recordar que a esto lo llaman lsquosolucioacuten trivialrsquo Es perfectamente legiacutetimo iquestQueacute te parecerdquo ldquoDe entrada bien Pepe Pero asi no puedes resolver un sistema de primer grado iexclel resultado no coinciderdquo ldquoNo importa lo quitamos tambieacuten Escondemos el 5 y el 2 cubrieacutendolos con typex ndashya nos ocuparemos de ellos en la proacutexima legislatura- y hacemos ambas expresiones iguales a cero Ahora las incoacutegnitas siacute coinciden con la ventaja antildeadida de que entonces las de Imaz no Hemos resuelto el problema de matemaacuteticas vasco reducieacutendolo a la no existencia Jean-Paul Sartre estariacutea orgulloso de nosotrosrdquo La solucioacuten es transmitida por mensajero (a portes debidos) a Sabin Etxea donde sesudos jeltzales la examinan moviendo la cabeza a un lado y a otro Habraacute que invertir mucho en centros de caacutelculo si queremos avanzar en el proceso de normalizacioacuten Al menos queda el consuelo de que si alguien quiere volar preferiraacute subirse a un aeroplano disentildeado por Ibarretxe que a otro construido con las matemaacuteticas que ensentildean en el Partido Socialista de Euskadi Publicado en Izaronews 6-9-2006

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Si las palabras de Chillida estaacuten recogidas con fidelidad lamento no estar de acuerdo con ellas porque no creo que las personas se encasillen tan faacutecilmente Pero de todos modos si ustedes creen que represento ese problema no tienen maacutes que haceacutermelo saber Porque como anuncieacute en la seccioacuten correo tireacute mi regla de caacutelculo al riacuteo para mirarla como se hundiacutea (era el uacuteltimo recuerdo del carintildeo que yo le teniacutea etc) y comienzo mis pinitos en cuentos cortos (muy cortos prometido) y otras atrevidas incursiones

[La figura es un recorte del libro de vintildeetas-paacutegina laquoel Arte - conversaciones imaginarias con mi madreraquo de Juanjo Saacuteez Aunque sus ideas sobre el arte parecen discutibles es un libro entrantildeable]

Una uacuteltima advertencia relativa al cuento que sigue y dirigida a los que puedan sacar la conclusioacuten de que tengo imaginacioacuten desviada las hemerotecas son del 29 de noviembre de 2003

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Caperucitas blancas En memoria de Joseacute Couso porque nos volvimos maacutes ciegos cuando sus ojos se apagaron

Una nintildea hasta haciacutea poco ahora cuajada en mujer moldeada por quince primaveras Faacutetima era la mayor de las dos hermanas La pequentildea Azraa a sus doce antildeos era todaviacutea un incipiente brote femenino delicado y menudo

Noviembre agotaba sus diacuteas y haciacutea cuatro que habiacutean empezado las fiestas del fin del Ramadaacuten el mes sagrado del ayuno Ese jueves la ilusioacuten se asomaba a los rostros de ambas hermanas porque iriacutean a cenar a casa de su abuela y pasariacutean la noche con ella Habriacutea puchero y berenjena rellena y despueacutes los dulces de pistacho y de miel y antes de dormir las historias de la lsquoyaddarsquo Jazmina ―la abuelita― llenas del encanto de otros tiempos cuando en los mercados de Baaquba competiacutean entre siacute los colores de los frutos las especias las telas y las alfombras y los asnos eran amigos resignados de los hombres y los paacutejaros hablaban con los nintildeos y eran alegres y eran parlanchines y traiacutean noticias de lugares exoacuteticos

La madre preparoacute una cesta con los pastelillos para el postre Pero la abuela habiacutea expresado el temor de no disponer de lentildea suficiente asiacute que las pequentildeas debiacutean pasar antes por el huerto del tiacuteo Abbash que siempre teniacutea preparada una reserva de lentildeos y sarmientos y habiacutea dado licencia a la familia para recoger de su finca todo aquello que fuera necesario Para llegar al huerto era obligado atravesar un trecho boscoso no era cosa de permitir que las sorprendiera la noche y puesto que la tarde ya se habiacutea insinuado las nintildeas se pusieron con diligencia en camino La pequentildea llevaba apoyada contra su cintura la cesta con los dulces y la mayor se hizo cargo de dos piezas de tela destinadas a sujetar la lentildea y de un hacha pequentildea para trocear los sarmientos

Ya en la finca llevoacute maacutes tiempo del previsto preparar los vaacutestagos para adecuarlos al tamantildeo de la menor de las muchachas y las sombras no esperaron Ante el asomo de la noche las nintildeas iniciaron el regreso en direccioacuten a la casa de la abuela cada una con su hatillo a la espalda la menor abriendo paso con la cesta de los pasteles en su regazo seguida de cerca por su hermana

A menos de cincuenta metros de alliacute Lobo Feroz Dos miraba por el visor de

infrarrojos e informaba de la escena a su compantildeero En el sendero que lindaba con el bosque dos siluetas blanquecinas se recortaban en la oscuridad en contraste con la espesura y los pantildeuelos que cubriacutean sus cabezas las perfilaban como dos caperucitas que se moviacutean avanzando deprisa La mayor pareciacutea sujetar una pistola en su mano

―Lobo Feroz Uno llamando a Halcoacuten Pardo ge-pe-ese delta sur uno doce oeste cero quince Dos sospechosas a la vista parecen llevar armas Esperamos instrucciones Cambio

―Halcoacuten Pardo a Lobo Feroz Ya conocen las consignas Cambio ―Parecen dos nintildeas― apuntoacute Lobo Feroz Dos ―Lobo Feroz Uno a Halcoacuten Pardo Es posible que se trate de dos menores

Solicitamos refuerzos para comprobacioacuten Cambio ―Sargento le recuerdo que estamos en la Operacioacuten Martillo de Hierro Debe

proceder seguacuten la consigna Cambio y corto ―Hemos de disparar― dijo Lobo Feroz Uno a Lobo Feroz Dos ―Pero ― balbuceoacute eacuteste ―Oacuterdenes Encaacutergate del objetivo de la izquierda yo tirareacute sobre el derecho

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La cabeza de Faacutetima se quebroacute como se rompe el fruto del granado cuando se lo arroja con fuerza contra el suelo Con su velo blanco habiacutea sido Caperucita Blanca mientras se desplomaba fue Caperucita a topos rojos poco tiempo despueacutes bajo los focos luminosos era Caperucita Roja yaciendo sobre la hierba del lindero del bosque ya para siempre dormida sus intensos ojos negros abiertos en un gesto uacuteltimo de asombro irracional A su lado la pretendida pistola no era sino el hacha nimia que le habiacutea servido de herramienta

Cerca de ella Azraa acribillada se debatioacute en el suelo durante un tiempo entre espasmos y dentelladas de dolor Desprendido el pantildeuelo varias manchas tentildeiacutean de carmiacuten sus cabellos que hasta entonces habiacutean sido siempre de un azabache casi mineral

La fase siguiente de la laquoOperacioacuten Martillo de Hierroraquo se puso en marcha Uno de los confidentes convocados reconocioacute a las muchachas e indicoacute a los soldados la situacioacuten de la cercana casa de la abuela en los andurriales de la ciudad

La puerta cedioacute ante el explosivo y saltoacute arrancada de cuajo junto con sus goznes Disipado el humo los soldados pudieron distinguir a una anciana enmudecida por el terror y desplomada sobre su cama Se registroacute la casa Dos humildes cuchillos de cocina fueron las uacutenicas armas encontradas

Cuando al diacutea siguiente fueron lavados los cuerpos de las nintildeas el agua sanguinolenta se desparramoacute por el patio y discurrioacute por albantildeales hasta verter en el riacuteo Tigris Diacuteas maacutes tarde en la orilla izquierda de la corriente a un rosal le brotariacutean rosas algo maacutes rojas y un limonero dariacutea limones amargos en la ribera derecha

La sangre de las nintildeas se entremezcloacute en el riacuteo en un postrero abrazo fraternal El sol hizo luego su labor de horno y partiacuteculas de sangre de Faacutetima y de Azraa ascendieron asidas al agua evaporada Desde entonces los atardeceres son algo maacutes escarlata en la tierra que otrora fue Mesopotamia y en todo el orbe resuena el eco milenario de las palabras del Antiguo Testamento dichas para los oiacutedos de los violentos laquoCaiacuten iquestqueacute has hecho de tu hermanoraquo P Crespo

Las camas de la muerte ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte lavis punta seca buril y bruntildeidor ndash 177 x 221 mm

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Reggae reggaehellip (riacutea riacutea)

La escuela y el alumnado

Eacutesta es la coleccioacuten de disparates maacutes sonados cometidos por alumnos de ESO y bachillerato en exaacutemenes de geografiacutea e historia

Perlas variadas bull Al final de la edad media empiezan a

imponerse normas morales como no masticar la sopa

bull Una de las principales manifestaciones del arte goacutetico fueron las piraacutemides que como todo el mundo sabe son apuntadas

bull A partir del Concilio de Trento el matrimonio cristiano debiacutea ser consumado en presencia de un sacerdote

bull Despotismo ilustrado los reyes teniacutean todo el poder pero teniacutean que obedecer cuando el pueblo se poniacutea de acuerdo entre ellos

bull A la juventud hitleriana la preparaban tan bien que al cabo de un antildeo eran capaces de matar a su madre

bull iquestQueacute opinas de la Constitucioacuten Que es buena y guapa

bull Actualmente el paiacutes maacutes pequentildeo de Europa es San Pedro del Vaticano

bull El rey puso a Franco para que trajera la democracia

bull Franco era el rey que habiacutea antes de Juan Carlos I

bull Espantildea no participoacute en la Segunda Guerra Mundial porque Hitler teniacutea miedo de Franco

bull Franco fue un poliacutetico dictador que consiguioacute imponer durante el reinado de Felipe II un reacutegimen dictatorial

bull No seacute en queacute antildeo murioacute Franco pero seacute que murioacute asesinado

bull Democracia es cuando hay gente que mata otra gente o cuando un paiacutes echa bombas a otro o se pegan unos a otros pues esto es democracia

bull Cartografiacutea las faltas de ortografiacutea bull Un paralelo es una de aquellas liacuteneas que

dividen la Tierra en trozos pero es imaginario

bull Continente partiacuteculas de tierra donde vivimos nosotros

bull Anticicloacuten es la temperatura caliente y se mide en milibares

bull Caacutetedra pensioacuten o escuela para los que queriacutean ser curas

bull Petroacuteleo se obtiene por tuberiacuteas llamadas oleoductos y sirve de combustible

bull Desarrollo sostenible es el desarrollo que no es ni alto ni bajo es decir es mediano

bull Poliacutegono hombre con muchas mujeres bull Delta es un riacuteo que lleva muy poca

agua bull Capital de Alemania Merliacuten bull Principales cultivos espantildeoles la uva

que produce el gran aceite que se fabrica en Espantildea

bull Islas de Oceaniacutea Islas Haguai bull Los vientos huracanados producen a

veces atauacutedes de nieve bull La pintura al fresco consiste en pintar al

aire libre bull Sufragista quiere decir que siempre estaacute

navegando por los mares bull La Guerra Friacutea se caracteriza por matar

gente a sangre friacutea bull Hambre endeacutemica es la que pasa cuando

hay epidemias bull La explosioacuten demograacutefica se produce

porque en algunos paiacuteses se producen islas producto de una erupcioacuten volcaacutenica que bastante grandes como para ser evitadas

bull Estado del bienestar significa que todo lo que es puacuteblico se ha de cuidar

bull Deuda externa es si vas aun supermercado y quedas a deber mucho si no tienes dinero Esto es la deuda externa

Serrano J Reboredo J (2005) Perlas variadas en Historia de Espantildea contada por estudiantes Madrid La Esfera de los libros (Remitido por M Dolors Hipoacutelito)

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iexclLas modelos no somos estuacutepidas Pregunta iquestEn queacute paiacutes la estaacuten solicitando como modelo Respuesta No lo puedo decir todaviacutea pero les puedo adelantar que es un paiacutes brasilentildeo que no queda muy lejos de aquiacute (Kate Moss ex modelo de Calvin Klein) Pregunta Si llegara un holocausto nuclear iquestqueacute pareja elegiriacutea Ud en todo el mundo (hombre y mujer) para preservar y multiplicar la especie humana Respuesta Al Papa y a la Madre Teresa de Calcuta (Carolina Zuntildeiga candidata a Miss Chile) El fumar mata Si te mueres has perdido una parte muy importante de tu vida (Brooke Shields entrevista para una campantildea federal antitabaco) Pregunta Si usted pudiera vivir siempre iquestlo hariacutea iquestpor queacute Respuesta Yo no viviriacutea siempre porque no deberiacuteamos vivir siempre porque si se supusiera que debieacuteramos vivir siempre entonces viviriacuteamos siempre pero no podemos vivir siempre que es por lo cual yo no viviriacutea siempre (Miss Alabama en el concurso Miss America 1999) Esa rastrera sinverguumlenza merece ser matada a patadas por un asno iexclY yo soy justo la indicada para hacerlo (Declaracioacuten de Claudia Shiffer sobre Naomi Campbell) No es la contaminacioacuten la que estaacute dantildeando el ambiente Son todas las impurezas en nuestro aire y en nuestra agua las que lo estaacuten haciendo (Pamela Anderson) No he cometido ninguacuten delito Lo que hice fue no cumplir con la ley (Jennifer Lopez al ser detenida junto con Puff Daddy) Siempre que veo la tele y veo a esos pobres nintildeos hambrientos en todo el mundo no puedo evitar llorar Quiero decir me encantaria ser asiacute de flaquita pero no con todas esas moscas y muerte y esas cosas (Mariah Carey cantante) Tomado de Internet por JMaiO 2006 Jacinto Benavente y la coma Doctor Mi previsioacuten se anticipa a todo Bastaraacute con puntuar debidamente alguacuten conceptoVed aquiacute donde dicerdquo Y resultando que no declaroacuterdquo basta una coma y dice ldquo Y resultando que no declaroacuterdquo Y aquiacuterdquoY resultando que no debe condenaacuterselerdquo fuera la coma y dice Y resultando que no debe condenaacuterselerdquo Crispiacuten iexclOh admirable coma iexclMaravillosa coma iexclGenio de la Justicia iexclOraacuteculo de la Ley iexcl Monstruo de la Jurisprudencia Jacinto Benavente Los Intereses Creados Acto segundo escena final

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Tomo una y entrego dos Mariano Nieto propone en [C-90] (seccioacuten correo) el problema que sigue En una urna hay una bola blanca y otra negra Se saca al azar una de ellas y se

devuelve a la urna acompantildeada de otra del mismo color Esta operacioacuten se repite un nuacutemero indefinido de veces

iquestCuaacutel es la probabilidad de que cuando la urna contenga 20 bolas haya 10 de cada color Solucioacuten

Sea (b n) la composicioacuten de la urna con b bolas blancas y n negras y llamemos etapa a cada intervencioacuten que extrae una bola de la urna y devuelve dos Convengamos en que la configuracioacuten de partida (11) corresponde a la etapa 1 En la etapa 2 tendremos las dos configuraciones posibles de la urna (21) y (12) asociadas con la misma probabilidad de 12

Esta simetriacutea inicial nos sugiere el siguiente procedimiento por induccioacuten Si suponemos que en la etapa n cada una de las n configuraciones posibles

(n 1) (n ndash 1 2) (n ndash 2 3) (n ndash a a + 1) (2 n ndash 1) (1 n) [1] tiene la misma probabilidad p de ocurrir (con p =1n por lo tanto) podemos calcular las probabilidades y configuraciones de la etapa n + 1

a) La probabilidad de la configuracioacuten (n + 11) (rama izquierda del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(n + 11) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

b) La probabilidad de la configuracioacuten (1 n+1) (rama derecha del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(1 n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

c) La configuracioacuten (n ndash a a + 2) con 0 le a le (n ndash 2) para asegurar que se recorre el rango de configuraciones de la etapa (n + 1) con exclusioacuten de las extremas antes consideradas proviene de (n ndash a a + 1) tras sacar una bola negra o bien de (n ndash a ndash 1 a + 2) luego de resultar blanca la bola extraiacuteda Su probabilidad seraacute por lo tanto

p x (a + 1) (n + 1) + p x (n ndash a ndash 1) (n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

de modo que todas las configuraciones de la etapa n + 1 tendraacuten tambieacuten la misma probabilidad en este caso 1(n + 1)

En la etapa 3 por ejemplo es faacutecil ver que las 3 configuraciones posibles (3 1) (2 2) y (1 3) comparten la probabilidad 13 Asiacute pues el meacutetodo de induccioacuten nos permite concluir que en la etapa n es decir tras n ndash 1 operaciones con la urna eacutesta contendraacute (n + 1) bolas y tendremos las n configuraciones posibles [1] a cada una de las cuales le corresponde la misma probabilidad 1 n

La configuracioacuten (10 10) por la que pregunta el problema perteneceraacute por lo tanto a la etapa n = 19 (tras 18 operaciones con la urna) y en consecuencia su probabilidad seraacute igual a 1 19 algo mayor que 526 por ciento

En general a la configuracioacuten (b n) donde b es el nuacutemero de bolas blancas y n el de negras siendo b y n nuacutemeros naturales cualesquiera ya que cualquier configuracioacuten es alcanzable le corresponderaacute la probabilidad p(b n) = 1 (b + n ndash 1) P Crespo septiembre 2006

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iquestDe doacutende sale el nuacutemero e Un escuchante miacuteo de RNE en el programa sobre matemaacuteticas de los antildeos 2005-06 me hace la siguiente consulta Cuando estudiaba sexto de bachillerato (plan de ensentildeanza 1957) un dia el profesor de matemaacuteticas llegoacute a clase y dijo Hoy toca el nuacutemero e Y a continuacioacuten escribioacute en la pizarra la expresioacuten conocida de liacutemite cuando n tiende a infinito de 1 maacutes 1 partido por n elevado a n La desarrolloacute por el binomio de Newton y obtuvo el conocido resultado de 2718281 Despueacutes nos dijo que el numero e era muy importante en matemaacuteticas y que se utilizaba para la base de los logaritmos neperianos Es curioso ver como la derivada del logaritmo neperiano de x = 1x EXACTO siendo la base del logaritmo un nuacutemero absolutamente INEXACTO IRRACIONAL Realmente me quedeacute sorprendido Primero de coacutemo al baroacuten de Neacuteper se le habiacutea ocurrido utilizar como base de logaritmos a un nuacutemero irracional y segundo por queacute nunca me explicaron a quieacuten se le ocurrioacute calcular el liacutemite de la expresioacuten (1+1n)n iquestPor queacute se le ocurrioacute a alguien esta expresioacuten y no otra iquestDe donde surgioacute tal necesidad Creo que eso era lo primero que mi profesor de matemaacuteticas teniacutea que habernos contado antes de calcular el liacutemite Probablemente el profesor no conociacutea la respuesta que efectivamente es difiacutecil de encontrar en los actuales libros de texto La definicioacuten actual de logaritmo de un nuacutemero es ldquoel exponente a que hay que elevar una base dada para obtener dicho nuacutemerordquo Asiacute por ejemplo en base 10 el logaritmo de 2 es log10 2 = 0301030 porque 100301030 = 2 (aproximadamente) Pero Neper no concibioacute asiacute el logaritmo para eacutel era el resultado de comparar una progresioacuten aritmeacutetica y otra geomeacutetrica Los teacuterminos de la primera seriacutean los logaritmos de los de la segunda Esto se ve muy claro en esta tabla en la que la razoacuten de la progresioacuten aritmeacutetica es 1 y la de la geomeacutetrica es 10

Progresioacuten aritmeacutetica (razoacuten 1) -3 -2 -1 0 1 2 3Progresioacuten geomeacutetrica (razoacuten 10) 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103

De la propia estructura de ambas progresiones se desprende que un producto de teacuterminos en la progresioacuten geomeacutetrica se corresponde con una suma en la progresioacuten aritmeacutetica Asiacute por las propiedades de los productos de potencias de una misma base seraacute log (xy) = log x + log y y tambieacuten log (xk) = k log x etc Por la misma tabla en la base 10 log (10-3) = log (0001) = -3 log (102) = log (100) = 2 etc Pero iquestqueacute ocurre con los valores intermedios iquestCoacutemo definir para ellos un logaritmo Neper intentoacute responder esta pregunta considerando dos progresiones de razones respectivas α y 1+β siendo (α β) muy pequentildeos Entonces dado un nuacutemero N siempre se podriacutea encontrar un valor n tal que (1+ β)n = N (dentro de una aproximacioacuten suficiente) Entonces el logaritmo de N seriacutea nα Las progresiones maacutes sencillas imaginables son aqueacutellas para las que α = β Entonces seraacute

log N = log [(1+α)n] = nα En esta expresioacuten n seraacute muy grande y α seraacute muy pequentildeo Haciendo nα = L podemos escribir la anterior igualdad

log N = log [(1+ α)1α]nα = log [1+ α)1α]L

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Definamos ahora el nuacutemero e como el liacutemite de (1+α)1α cuando α se hace infinitamente pequentildeo o sea

α

αα

1

0)1(lim +=

rarr

e

Y la expresioacuten se simplificaraacute notablemente

log N = log eL = L log e Resulta inmediatamente que el nuacutemero e = 2718281hellip es la base de logaritmos maacutes conveniente desde el punto de vista teoacuterico pues en ella seraacute log e = 1 Eacutestos son llamados los logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos (este uacuteltimo nombre procede de que miden el aacuterea subtendida entre una hipeacuterbola y su asiacutentota) El nuacutemero e es sin duda el maacutes importante en matemaacuteticas aunque π sea maacutes popular Se recuerdan sus primeras cifras con la mnemotecnia Te ayudareacute a recordar la cantidad a indoctos si releacuteesme bien Se aplica por el nuacutemero de letras de cada palabra Te = 2 ayudareacute = 7 etc En la praacutectica son maacutes usados los logaritmos decimales o de Briggs que tienen por base el nuacutemero 10 Presentan la ventaja de que la parte decimal de cada logaritmo (mantisa) no cambia al ser multiplicado el nuacutemero por una potencia de 10 lo que hace muy praacutecticas las tabulaciones El paso de los logaritmos de una a otra base es muy sencillo mediante el nuacutemero M = log 10 = 2302585 Se deduce sin dificultad que log x = M log10 x Josep M Albaigegraves Barcelona octubre 2006

El nuacutemero e es el uacutenico que verifica que el valor de la derivada (inclinacioacuten de la tangente en rojo en la figura) de f(x) = ex para cualquier valor de x es igual al valor de f(x)

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Cruzando el desierto en jeep Enunciado (propuesto por Mariano Nieto en C-83 seccioacuten correo) Un jeep ha de atravesar un desierto de 800 kiloacutemetros Admite una carga maacutexima para recorrer 500 kiloacutemetros y se quiere conocer la menor cantidad de tales cargas que hay que consumir para alcanzar la meta El depoacutesito inicial se supone de capacidad ilimitada y el jeep puede establecer tantos depoacutesitos intermedios como haga falta Se desea conocer tambieacuten el nuacutemero de viajes parciales que lleva a cabo el jeep teniendo en cuenta que ante dos soluciones iguales (mismo consumo) se preferiraacute la que implique menos viajes parciales Planteo

Supongamos que se depositan cargas en los puntos 1 2 hellipi hellipy llamemos ci a la carga del depoacutesito en el punto i y cf a la del punto siguiente i + 1 Si la distancia entre ambos puntos es d para transportar la carga del punto i al i +1 se necesitaraacuten n viajes de ida y vuelta y un uacuteltimo viaje de ida El depoacutesito en el punto i constaraacute pues de n cargas para 500 km y un remanente al que llamaremos cr Podemos plantear las ecuaciones siguientes

cf = (500 - 2d) n + cr - d (1) ci = 500 n + cr (2) r = (2n + 1) d (3) cr = 500 (4)

donde r es el recorrido del jeep (equivalente a la carga consumida) en el transporte entre ambos depoacutesitos

Los caacutelculos han de efectuarse retrocediendo desde el final hasta la situacioacuten de salida (o sea pasando desde el depoacutesito i +1 al i) para garantizar que se transporta siempre la cantidad miacutenima precisa Cuidaremos tambieacuten de que el valor de n sea el menor posible puesto que los viajes de ida y vuelta aunque necesarios son obviamente menos eficaces en cuanto a rendimiento que los directos Solucioacuten Las ecuaciones anteriores sugieren una viacutea para la solucioacuten del problema basada en separar los tramos para los cuales n (nuacutemero de viajes de ida y vuelta) se mantiene constante El valor de n iraacute en aumento al progresar desde el final hacia el inicio puesto que la capacidad de los depoacutesitos iraacute aumentando en ese sentido y cada vez que se produzca un incremento de 500 km de carga se haraacute necesario aumentar n en una unidad Asiacute pues tendremos 1- Tramo con n = 0 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se progresa desde el final (punto kilomeacutetrico 800) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 0 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

cf = cr ndash d

Como la carga final cf es nula al llegar al punto final (800 km) y es cr = 500 (el maacuteximo posible) basta con llevar a cabo un viaje de ida solamente que salva la distancia d = 500 km El consumo es justamente de 500 km o una carga Esto nos

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coloca a una distancia del origen de 300 km con un depoacutesito con carga para 500 km en dicho punto al que llamaremos D 2 - Tramo con n = 1 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se calcula desde el final (punto kilomeacutetrico 300) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 1 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

500 = 500 - 2d + cr - d = 500 + cr ndash 3 d Hasta que se agote la carga residual maacutexima cr = 500 tendremos

d = 500 3 (5)

La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =1 (es decir donde se pasa de n =1 a n =2 si se lee desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 1) = 300 ndash 5003 = 4003 = 133 3333hellip km El consumo en todo este tramo final (donde n =1) seraacute

consumo (n = 1) = 3 d = 3 times 5003 = 500 Tenemos asiacute tres viajes de 5003 km Al final de la operacioacuten se habraacute transportado una carga de 500 km con un consumo de 500 km tal como se ha calculado antes Como ya se ha visto nos hallamos ahora a una distancia del origen igual a 4003= 133333hellip km Bautizamos este punto como C donde el depoacutesito tendraacute una carga para 1000 km 3 Tramo con n = 2 Ahora la foacutermula (1) se expresa

1000 = 1000 - 4d + cr - d = 1000 + cr ndash 5 d Para una carga residual maacutexima cr = 500 seraacute

d = 5005 = 100 (6) La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =2 (es decir donde se pasa de n =2 a n =3 leyendo desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 2) = 400 3 - 100 = 100 3 = 333333hellipk m El consumo en todo este tramo (donde n =2) seraacute

consumo (n = 2) = 5 d = 500 Se salva una distancia de 100 km y se comprueba que el consumo seraacute de 5 times 100 = 500 La carga transportada seraacute de 2 times 300 + 400 = 1000 km carga que se deja en el depoacutesito C En este punto B nos encontramos a una distancia del origen de 1003 = 33333hellip km y con un depoacutesito con carga para 1500 km

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4 Tramo con n = 3 En este caso la foacutermula (1) es

1500 = 1500 - 6d + cr - d = 1500 + cr - 7d Tendremos ahora d = 5007 gt 100 3 desigualdad que nos dice que la distancia que puede cubrirse con n = 3 supera la distancia que nos separa del origen Asiacute que bastaraacute trabajar de forma que se tenga

d = 1003 (7) Con estas condiciones el consumo correspondiente valdraacute

consumo (n = 3) = 7 d = 700 3 El nuacutemero de viajes seraacute ahora igual a 2 n + 1 = 7 cada uno de los cuales cubre la distancia d = 1003 La carga que se toma del depoacutesito inicial seraacute 1500 + 7003 Consumo total El consumo total que se busca seraacute por lo tanto exactamente Consumo total = 500 (para recorrer los uacuteltimos 500 km n = 0) + 500 (n = 1) + + 500 (n = 2) + 7003 (n = 3) = 1500 + 7003 lo que expresado en cargas resulta ser (1500 + 7003) 500 = 3+7 15 = 34666hellip El nuacutemero total de viajes resulta ser sumando los de las etapas parciales igual a 16 La tabla 1 muestra los valores relevantes para cada una de las etapas dispuestos ahora desde el inicio hasta el final

Km n viajes d (km) consumo (km) carga (km) A (origen) 1500 + 700 3

0 a 1003 (B) 3 7 100 3 700 3 1500 1993 a 4003 (C) 2 5 100 500 1000 4003 a 300 (D) 1 3 500 3 500 500 300 a 800 (E) 0 1 500 500 0

TOTALES 16 800 1500 + 700 3 Tabla 1

El resultado es por tanto Consumo = (1500 + 700 3) 500 = 3 + 7 15 = 34666hellipasymp 347 Viajes = 16 Notas finales Otra cuestioacuten que suscita este problema es la de si existe una limitacioacuten a la anchura del desierto que se ha de atravesar La respuesta es que no existe tal liacutemite puesto que como se aprecia sin dificultad la taacutectica para ir situando combustible en posiciones avanzadas y que expresan las ecuaciones (1) a (4) permite trabajar a partir de cualquier distancia P Crespo noviembre 2006

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Pitaacutegora y su relacioacuten con los proyectiles

El otro diacutea andando por la calle vi el anagrama de una empresa de consulting

Como puede verse el siacutembolo de la empresa es (aproximadamente) el tan conocido triaacutengulo pitagoacuterico de lados 3 4 y 5 Lo vemos inscrito en un cuadrado el miacutenimo que puede contenerlo iquestCuaacutel es el lado de este cuadrado

Solucioacuten Llamemos α al aacutengulo que forma el cateto largo con el lado vertical del cuadrado Es

inmediato establecer las ecuaciones

4 cos α = L = 4 sin α + 3 cos α Que permite llegar a la igualdad

cos α = 4 sin α De donde se obtiene tan α = α o sea α = 14036ordm El lado vale L = 4 cos 14036ordm = 38806 Es curioso que este aacutengulo es el mismo con el que debe ser lanzado un proyectil para

que la altura alcanzada sea igual al alcance En efecto la primera vale

gvh

2sin 22

0max

ϕ=

Mientras que el alcance es

gvx ϕ2sin2

0=

Igualando ambas ecuaciones se llega a cos φ = frac14 El aacutengulo φ es el complementario

del α antes hallado El proyectil deberiacutea dispararse tangente al cateto de lado 4 JMAiO BCN sep 06

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PROBLEMA DE LA DIVISIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO

Dado un triaacutengulo ABC y un punto P situado en su interior se pide trazar una recta MN que pasando por el punto P divida al triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea o que esteacuten en una proporcioacuten dada

A

B C

P

M

N

Q

q

p

R

x

y

Solucioacuten El problema implica dos condiciones - 1ordm Que los puntos M P y N esteacuten alineados - 2ordm Que las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB esteacuten en una proporcioacuten dada

Veamos como podemos dar forma algebraica a estas dos condiciones Tracemos desde el punto P como se indica en la figura las paralelas a los lados BC y AC hasta que corten en los puntos R y Q respectivamente a los lados AC y BC Llamemos x y p y q a los segmentos MR NQ PQ y PR Los valores de x e y se obtendraacuten al resolver el sistema de ecuaciones que suponen las dos condiciones dadas La primera condicioacuten ya que los triaacutengulos MRP y PQN son semejantes se expresa escribiendo

yp

qx=

La segunda condicioacuten puesto que los triaacutengulos MCN y ACB tienen comuacuten el aacutengulo en C equivale a decir que los productos de los lados de cada triaacutengulo que concurren en el veacutertice C estaacuten en la proporcioacuten en la que estaacuten sus aacutereas Llamando k al cociente entre las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB la segunda condicioacuten la escribiremos asiacute

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( )( ) kabqypx =++

donde a y b son respectivamente los lados BC y AC del triaacutengulo dado El sistema de ecuaciones escrito nos conduce a la siguiente ecuacioacuten de segundo grado que resuelve el problema

( ) 02 22 =+minusminus qpxpqkabqx

( )

qpqkabkabpqkab

x2

42 minusplusmnminus=

xpqy =

La condicioacuten para que el problema tenga solucioacuten real es que el radicando no sea negativo es decir

( ) 04 geminus pqkabkab

pqkab 4ge

abpqk 4

ge

Resulta innecesario decir que para k=05 la recta divide el triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea teniendo que darse previamente la condicioacuten del paacuterrafo anterior Notas 1- La primera condicioacuten tambieacuten se puede expresar escribiendo la recta MN en su forma canoacutenica en el sistema de coordenadas cartesianas oblicuas definido por los ejes CA y CB obligando a que el punto P esteacute en ella es decir

1=+

++ xp

pyq

q o sea pqxy =

2- El valor de k tambieacuten depende del par de lados respecto a los cuales se hayan trazado las paralelas para disponer de los valores de p y q Puede darse el caso de que aun siendo negativo el radicando para la pareja de lados elegida no lo sea para alguna otra y el problema siga teniendo solucioacuten

Manuel Rodriacuteguez Saacutenchez ndash Septiembre de 2006

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Re-citando las citas de laquoPelucheraquo

laquoLas mujeres hablan porque desean hablar mientras que un hombre soacutelo habla cuando se siente empujado por algo ajeno a eacutel como por ejemplo si no encuentra unos calcetines limpiosraquo (Jean Kerr 1922-2003 escritora estadounidense) laquoDonde hay matrimonio sin amor habraacute amor sin matrimonioraquo (Benjamin Franklin cientiacutefico poliacutetico y filoacutesofo norteamericano) laquoSi quieres ver una especie en peligro de extincioacuten miacuterate al espejoraquo (John Young 1930 cientiacutefico estadounidense) laquoAntes de pedir dinero a un amigo decide cual de las dos cosas necesitas maacutesraquo (Jean de La Bruyegravere 1645-1696 moralista franceacutes) laquoComprendes que estaacutes envejeciendo cuando las velitas cuestan maacutes que la tartaraquo (Bob Hope 1903-2003 actor estadounidense) laquoA mi juicio el mejor gobierno es el que deja a la gente maacutes tiempo en pazraquo (Walt Whitman 1819-1892 poeta estadounidense) laquoSi el hijo de Bono se casa con la hija de Bush iquestla descendencia se llamaraacute Bono Bushraquo (Alberto C 1983 estudiante de reflexologiacutea podal) laquoPara escribir un buen libro no considero imprescindible conocer Pariacutes ni haber leiacutedo el Quijote Cervantes cuando lo escribioacute aun no lo habiacutea leiacutedoraquo (Miguel Delibes 1920 escritor espantildeol) laquoComo todo el mundo sabe los cantos de las sirenas atraen a los hombres para luego acabar con ellos Especialmente las sirenas de las faacutebricasraquo (Jaume Perich Escala 1940-1995 humorista espantildeol) P C Citas tomadas de laquoPelucheraquo con su consentimiento

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Los 90 antildeos de Francesc Castanyer Como se anunciaba en [C-90] Francesc Castanyer recibioacute el 16 de septiembre un carintildeoso homenaje de algunos de sus numerosos amigos Ahiacute le vemos flanqueado por los otros dos editores Albaigegraves y Crespo los tres muy ufanos disfrutando del calorcillo mediterraacuteneo en una terraza de la playa de Torredembarra (Tarragona) Durante la comida en la que participaron tambieacuten Dolors Hipoacutelito e Isabel Garciacutea consortes de los anteriores y tambieacuten carrollistas se recibieron numerosas llamadas telefoacutenicas de quienes queriacutean testimoniar su presencia afectiva en el acto Por muchos antildeos querido Francesc Los otros editores

Anuncio para escritores

Nuestro co-editor Josep M Albaigegraves ha sido nombrado por una prestigiosa editorial director de una coleccioacuten de libros sobre matemaacutetica recreativa de proacutexima venta en quiosco Cada libro iraacute acompantildeado de un corto opuacutesculo sobre un tema monograacutefico de matemaacuteticas recreativas Se solicitan colaboradores El que tenga escrito o piense escribir alguacuten libro o artiacuteculo interesante ahora tendraacute la ocasioacuten de verlo publicado Deberaacute primar la amenidad y la concisioacuten

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Quienes esteacuten interesados que contacten conmigo al lugar de costumbre albaigesciccpes

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La yuml Vuelvo hoy a la vieja cuestioacuten de la ldquoyrdquo griega catalana cremada sobre la ldquoyumlrdquo que escrupulosamente respetan en sus transcripciones no soacutelo aficionados sino incluso alguacuten historiador de trayectoria irreprochable Personalmente me encontreacute con esa yuml por primera vez en la transcripcioacuten que un papiroacutelogo haciacutea mdashpor tercera vez ya y todas distintasmdash de cierto contrato que data en 1700 Me quedeacute sin poder consultarle por queacute transcribiacutea ldquocuyumlnardquo ldquomeyumltatrdquo y una veintena de veces ldquoyumlrdquo (aunque el documento ofreciese unas grafiacuteas que invitaban sin ninguna otra razoacuten a esa lectura) frente a las numerosas veces que apareciacutea la ldquoyrdquo sin maacutes complicaciones Por eso defendiacute yo que esa dieacuteresis no pasaba de ser un adorno sin valor foneacutetico ni ortograacutefico un rasgo tan caprichoso como el travesantildeo con que algunos cruzamos el trazo descendente de la ldquoqrdquo o el ascendente del ldquo7rdquo Sin embargo la insistencia de quienes seguiacutean transcribiendo esa crema o dieacuteresis sobre la ldquoyrdquo griega me llevoacute a consultar al Instituto de Estudios Catalanes desde donde se me advirtioacute mdashcomo ya he referidomdash que tal grafiacutea se debiacutea a la contiguumlidad de una ldquoirdquo breve y de una ldquoirdquo larga (de una ldquojrdquo) escritas ambas con sus puntos usuales Pero ninguno de mis corresponsales admitioacute esa explicacioacuten Y hoy vuelvo a mis posiciones aunque enriquecido por una informacioacuten minuciosa Al parecer la ldquoirdquo medieval careciacutea de punto pero en textos redactados en algunos territorios de la Corona de Aragoacuten tanto en latiacuten como en catalaacuten durante el XIII y una parte del XIV la ldquoyrdquo se escribiacutea paradoacutejicamente con un punto (soacutelo uno) encima lo que es imposible de reproducir en las copias mecanograacuteficas que por consiguiente se limitan a escribir esa letra sin puntuacioacuten Y cuando en esos viejos textos concurriacutean dos iacutees fue tambieacuten frecuente mdashsobre todo a final de palabramdash escribir la primera como una ldquoirdquo corta y la segunda como una ldquoirdquo larga pero sin que una y otra dejasen de ser iacutees de igual sonido aunque distinto trazo Transcribir ahora como ldquoijrdquo aquella grafiacutea cuando ya ambas letras tiene un sonido diferente y cuando carecemos de un signo que represente la ldquoirdquo larga (aunque convencionalmente la representemos por una ldquojrdquo) podriacutea prestarse a interpretar que estamos ante dos diferentes sonidos y parece loacutegico exponer la identidad del sonido de ambas iacutees antes que insistir en un trazo (el de la ldquojrdquo) que pretendidamente representase la caligrafiacutea de una ldquoirdquo larga (Otra cosa puede ser la de su funcioacuten decorativa por ejemplo en la numeracioacuten a la romana en minuacutescula) Naturalmente estamos hablando de dos iacutees latinas contiguas y en ninguacuten modo de una ldquoyrdquo con la que esas dos iacutees contiguas han llegado en ocasiones a identificar su trazo en escritos catalanes de al menos el XVIII y el XIX Sin duda una vez admitido el uso de puntuar la ldquoirdquo se extendioacute caligraacuteficamente (no tipograacuteficamente) y por duplicado a la ldquoyrdquo o sea ldquoyumlrdquo aunque sin valor foneacutetico ni ortograacutefico alguno y sin maacutes razoacuten al parecer que la de que ese signo acaba en una doble cuacutespide La expresioacuten ldquoponer los puntos sobre las iacuteesrdquo rebasaba asiacute sus propias limitaciones Y temo que estemos encontraacutendonos ante una situacioacuten pareja a la que se produce cuando una ese alta (como la que emplea Suaacuterez en su traduccioacuten de Lalande seguacuten era de uso entonces) tan parecida a una efe se transcriba como tal efe (seguacuten vemos por ejemplo en la transcripcioacuten moderna de esa traduccioacuten llevada a cabo por Arespacochaga y Seral y en la que leemos cosas como la conferva de Plinio por la ldquoconservardquo) Otra cosa es el alemaacuten donde la ese alta seguida de una ese baja sigue conservando en su tipografiacutea un signo propio Rafael Leoacuten Maacutelaga 2005

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LAS CARTAS DE TIJERA Pensamos en el papel como la superficie sobre la que manual o mecaacutenicamente

dejamos una huella de tinta que va reproduciendo el curso del pensamiento o de la inspiracioacuten Pero en otro tiempo hubo un modo de escribir sin tinta un modo de escribir recortando en el papel con unas tijeras el trazo de unas letras no escritas por la pluma o el caacutelamo o siguiendo ese trazo con la punta al rojo de un alfiler

Una referencia en castellano sobre este arte se conservaba en las estrofas 40 a 44 de los Proverbios de Don Santo de Carrioacuten o Rabiacute Sem Tob Ardutiel contemporaacuteneo de Pedro I de Castilla y feliciacutesimo escritor tambieacuten en hebreo entre otras cosas de un Debate entre el caacutelamo y las tijeras Con el paso de los antildeos sin embargo tales estrofas de sus Proverbios habiacutean llegado a extenuar su significacioacuten

Bueno seraacute reproducirlas aquiacute previa advertencia de que en ese texto castellano (tan proacuteximo ya a lo que seriacutea el espantildeol) astroso estaacute por ruin cuidar por cavilar infinta por fingimiento ca por pues puesto que ya que dentildear por dignar meollo por interior substancioso caxcas por caacutescaras finqueacute por lsquoquedeacutersquo

Y ahora siacute reproduzcamos esas estrofas

Un astroso cuidaba Y por mostrar que era sotil yo le enviaba escripto de tisera El nescio non sabiacutea que lo fiz por infinta porque yo no queriacutea perder en eacutel la tinta Ca por non le dentildear fize vazia la llena y no lquise donar la carta sana buena Como el que tomaba meollos de avellanas para siacute y donaba al otro caxcas vanas Yo del papel saqueacute la razoacuten que deziacutea con ella me finqueacute dile carta vaziacutea

(Fragmento del opuacutesculo del mismo tiacutetulo de Rafael Leoacuten)

Lo mismo ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte punta seca lavis buril y bruntildeidor ndash 162 z 223 mm

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Problema del Autoacutedromo de Sant Pere de Ribes

Enunciado En Sant Pere de Ribes cerca de Sitges provincia de Barcelona hay un circuito autoacutedromo abandonado que tiene forma oval Cada uno de los dos extremos tiene un radio estimado en 131 metros y una pendiente estimada de 60 grados sexagesimales

iquestA queacute velocidad debe ir un automoacutevil en dicha pendiente para no resbalar hacia abajo ni hacia arriba

Resolucioacuten

Sobre el automoacutevil actuacutean 2 fuerzas el peso p

y la reaccioacuten perpendicular del suelo f debida a la curva

Llamando m a la masa del automoacutevil y g a la aceleracioacuten de la gravedad se sabe

mgp =

Para que el automoacutevil no resbale el valor de f

debe ser tal que al descomponerlo en f1 y f2 se produzca

pf =1

La fuerza f2 es la fuerza llamada centriacutepeta porque su direccioacuten y sentido es hacia el centro de curvatura de la trayectoria del moacutevil es bien sabido que llamando v a su velocidad y r al radio de curvatura de la trayectoria se cumple que la fuerza centriacutefuga se puede expresar

rvmf

2

2 =

Ademaacutes la trigonometriacutea permite escribir 2

1o30 tgff

=

Las ecuaciones anteriores forman un sistema de 4 ecuaciones entre las que se puede suprimir f1 f2 p y m

222o30 tg

vrg

rvm

mg

rvm

p===

de donde despejando v y sustituyendo valores

kmh 8169ms 247057735

819 middot 13130 tg o ====rgv

Conclusioacuten Para no resbalar hacia abajo ni hacia arriba en dicha pendiente el automoacutevil debe ir a 1698 kmh Marcel Mantildeeacute

60o

p

f

f2

f1 30o

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EL TESORO OCULTO El pirata llegoacute a la isla donde decidioacute ocultar su tesoro Como puntos de referencia encontroacute un pozo (P) una roca (R) y un viejo olmo (O) Para ubicar el lugar exacto donde iba a enterrar

su arcoacuten repleto de doblones decidioacute fijar los puntos Pacute y Racute trazando las rectas PPacute perpendicular e igual a PO y RRacute perpendicular e igual a RO Finalmente unioacute con una recta los puntos Pacute y Racute determinando su punto medio T donde enterroacute el tesoro Pasado cierto tiempo regresoacute a la isla y encontroacute sorprendido que el viejo olmo habiacutea desaparecido sin dejar huella de su emplazamiento Afortunadamente el pirata era un buen

geoacutemetra y se las arregloacute para dar con el lugar exacto donde antantildeo habiacutea enterrado su tesoro iquestCoacutemo se las arregloacute Solucioacuten Si prolongamos la liacutenea PR a derecha e izquierda y bajamos a ella las perpendiculares PacuteA OD TC y RacuteB es faacutecil ver que los triaacutengulos OPD y ODR son respectivamente iguales a los PPacuteA y RRacuteB Ocurre entonces que PacuteA = PD y RacuteB = RD por consiguiente PacuteA + RacuteB = PR = 2 CT Como por otro lado AP = RB = OD C seraacute el punto medio de PR Asiacute pues para hallar T bastaraacute levantar una perpendicular a PR por su punto medio C y llevar una distancia CT igual a la mitad de PR Aristogeronte Madrid Agosto 2006

Siempre sucede ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte y aguatinta ndash 178 x 219 mm

T

R

P

O

P R

D C B A

T

R

P

O

P R

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PROBLEMA DE EDADES En un congreso mundial de matemaacuteticos coinciden tres amigos Andreacutes Blas y Carlos que conversan animadamente De su conversacioacuten extraemos los siguientes datos Andreacutes dice Mirad queacute coincidencia hoy es nuestro cumpleantildeos Blas contesta Mayor coincidencia es que la suma de los cuadrados de nuestras edades es 2490 igual al nuacutemero de asistentes al congreso Carlos expresa Todo eso es cierto Pero cuando Andreacutes tenga la edad de Blas la suma de los cuadrados de nuestras edades seraacute 3841 igual al coste en pesetas de la habitacioacuten del hotel Ademaacutes con estos datos cualquier congresista puede averiguar nuestras edades Hallar las edades Solucioacuten Las edades hoy son nuacutemeros enteros Andreacutes = x antildeos Blas = y antildeos Carlos = z antildeos Cuando Andreacutes tenga la edad de Blas habraacuten pasado (y-x) antildeos tiempo que habraacute transcurrido igual a los tres Entonces las edades seraacuten Andreacutes = x + (y-x) Blas = y + (y-x) Carlos = z + (y-x) (x + y-x)2 + (y + y-x)2 + (z + y ndashx)2 = 3841 Desarrollando x2 + y2 + z2 + (y-x) (-x +5y +2z) = 3841 Como x2 + y2 +z2 = 2490 (1) (y-x) (-x +5y +2z) = 3841 ndash 2490 (y-x) (-x +5y +2z) = 1351 Descomponemos 1351 en producto de 2 factores = 7 middot 193 y ndashx = 7 -x +5y +2z = 193 Resolviendo el sistema x = y ndash 7 z = 93 ndash 2y Sustituyendo en (1) (y ndash 7)2 + y2 + (93 -2y)2 = 2490 6y2 ndash 386y +6208 = 0 y1 = 32 y2= 973 y2 no es solucioacuten por ne entero Solucioacuten Andreacutes = 25 antildeos Blas = 32 antildeos Carlos = 29 antildeos Acebrian febrero 2006

Con razoacuten o sin ella ndash Francisco de Goya (Los

desastres de la guerra) ndash Aguafuerte punta seca lavis buril y bruntildeidor ndash

150 x 209 mm

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Reparos a la teoriacutea FSM

Qui nimium probat nihil probat (El que prueba demasiado no prueba nada)

Incluso la filosofiacutea la especulativa filosofiacutea se esfuerza por respetar las liacuteneas convencionales del razonamiento y de la loacutegica Incluso la filosofiacutea cuando examina el universo fiacutesico y la propia vida trata de conciliarse con las corrientes cientiacuteficas sobre las que hay amplio consenso Incluso la filosofiacutea cuando se ocupa de la teoriacutea del conocimiento aplicada al mundo fiacutesico corre pareja con las consideraciones maacutes asentadas de la epistemologiacutea cientiacutefica y no es raro que los tratados filosoacuteficos cuyo enfoque es la metodologiacutea del conocimiento tengan en cuenta los descubrimientos de la fiacutesica de vanguardia tales como las teoriacuteas relativistas y en especial los resultados paradoacutejicos de la fiacutesica cuaacutentica tan enormemente sugestivos al tiempo que elusivos En la biologiacutea y en lo que se refiere a las diversas manifestaciones de la vida y a los cambios de los que existe evidencia foacutesil se considera como asentada la liacutenea explicativa que parte de la exposicioacuten publicada por Darwin a comienzos de la segunda mitad del siglo XIX [1] Aunque no se tenga por definitiva y se reconozca incompleta sobre esa liacutenea maestra se elaboran actualmente explicaciones y correcciones a la misma El descubrimiento de la geneacutetica y de sus mecanismos iacutentimos ha supuesto un enorme impulso en cuanto a las investigaciones en este campo que ahora constituye un considerable tesoro de saber Por eso nos preocupa e incluso nos solivianta la corriente FSM de una explicacioacuten alternativa que seguacuten apreciamos se va abriendo camino incluso en universidades [2] Se trata de una corriente que ha experimentado un crecimiento notable en los uacuteltimos antildeos y que interpreta nuestro universo incluida la manifestacioacuten de la vida en teacuterminos del recurso a la intervencioacuten de una entidad inmaterial el FSM de la que se ofrece a veces una representacioacuten tangible a la que se le atribuyen poderes trascendentes como la omnipresencia y la capacidad ilimitada de intervencioacuten Si hemos de ser honestos debemos reconocer que los argumentos en los que se apoya la teoriacutea a la que aludimos son en principio irrebatibles Lo que es maacutes se ajustan mejor que las teoriacuteas que actualmente se tienen por cientiacuteficas a uno de los preceptos maacutes respetables de la ciencia como es el del reduccionismo metodoloacutegico Seguacuten el principio de Occam de la economiacutea (navaja de Occam) [3] en efecto cuanto menor es el repertorio de afirmaciones que haya que admitir como dadas al elaborar una teoriacutea maacutes aceptable seraacute eacutesta (laquopluralitas non est ponenda sine necessitateraquo) La teoriacutea que tratamos de rebatir cumple extraordinariamente bien con este requisito puesto que lo uacutenico que se requiere es la aceptacioacuten de la hipoacutetesis mencionada de la entidad conocida como FSM De todos modos no estaacute de maacutes recordar que lo que Occam dice exactamente es que en igualdad de condiciones la solucioacuten maacutes sencilla es probablemente la correcta Y probablemente como estaacute claro no equivale a necesariamente No obstante no podemos evitar que nos parezcan forzadas y como argumentadas ad hoc algunas de las explicaciones que da el principal abanderado de dicha corriente de pensamiento y primero en presentarla y defenderla Robert Hendenson Graduado en fiacutesicas no podemos pensar del mismo que le sea ajeno el rigor y la criacutetica cientiacutefica A pesar de todo lo cierto es que algunos de sus razonamientos son

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impecables como cuando explica el por queacute resulta aparente la edad de la Tierra estimada por los meacutetodos cientiacuteficos al uso Veamos sus razones laquo[] Lo que esas personas no comprenden es que Eacutel [el autor se refiere a la entidad FSM] hizo el mundo para hacernos creer que la Tierra es maacutes antigua de lo que realmente es Asiacute por ejemplo un cientiacutefico puede llevar a cabo un proceso de datacioacuten mediante carbono-14 sobre un artefacto y encuentra que aproximadamente el 75 por ciento del carbono-14 se ha desintegrado en nitroacutegeno-14 a causa de la emisioacuten de electrones e infiere que dicho artefacto tiene una antiguumledad de unos diez mil antildeos puesto que la vida media del nitroacutegeno-14 parece ser de 5 730 antildeos Pero lo que nuestro cientiacutefico no advierte es que cada vez que efectuacutea una medida la entidad FSM estaacute alliacute cambiando los resultados con su seudoacutepodo Disponemos de numerosos textos que describen en detalle como es esto posible y las razones por las que Eacutel lo hace Eacutel es por supuesto invisible y puede pasar a traveacutes de la materia normal con facilidadraquo Hay algo en esta explicacioacuten que no nos satisface Naturalmente es irreprochable pero cierta percepcioacuten nos dice que se aparta excesivamente del meacutetodo cientiacutefico por antonomasia La teoriacutea FSM no es por su propia naturaleza falsable de modo que de acuerdo con las tesis de Karl Popper una doctrina de ese tipo no se bate en condiciones de igualdad con el resto de las teoriacuteas por lo que ha de ser apartada como teoriacutea insana ―desde el punto de vista de la ciencia entieacutendase bien― y privada sin maacutes del derecho a contender en la arena cientiacutefica Es cierto que para Popper al contrario de lo que afirma el positivismo tiene sentido la aseveracioacuten de la existencia de la entidad FSM pero este autor delinea muy bien los liacutemites que separan tales tipos de proposiciones de las de caraacutecter cientiacutefico y la que nos ocupa queda claramente al margen de eacutestas [4]

Fig 1 ndash FSC en el instante de animar al primer ser humano Podriacutea argumentarse desde luego y aquiacute nos situamos del lado del punto de vista de Thomas Kuhn que la teoriacutea FSM nos coloca frente a un nuevo paradigma cientiacutefico Para Kuhn en efecto la ciencia no procede por agregaciones progresivas en torno a un nuacutecleo creciente de conocimientos sino antes bien por cambios abruptos del marco completo de la teoriacutea dominante lo que se conoce como

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desplazamientos del paradigma En este sentido podriacuteamos sentirnos inclinados a aceptar que el paradigma FSM nos traslada a un marco radicalmente nuevo No obstante la ciencia no se caracteriza por cambios de naturaleza tan radical Antes bien en los cambios de paradigma a que alude Kuhn siempre ha ocurrido que los nuevos formalismos incluyen a los anteriores en el sentido de que eacutestos se recuperan por paso al liacutemite con respecto a ciertas condiciones o paraacutemetros que han cobrado maacutes generalidad en la nueva teoriacutea Y esto no ocurre en absoluto con la propuesta FSM que prescinde del todo del acervo de saber histoacuterico Nos sentimos obligados a denunciar tambieacuten que las representaciones de la entidad FSM son en cierto modo antropomoacuterficas Sugeririacuteamos prescindir de lo que parecen ser unos ojos y un soma central para dejarlo reducido al conjunto de seudoacutepodos que podriacutean llegar a identificarse con los filamentos de la teoriacutea de cuerdas o en su enmadejamiento formar el tejido de las supercuerdas La ubicuidad podriacutea sustituirse por un nuacutemero ilimitado de copias del FSM actuando en resonancia no local El universo volveriacutea a ser de este modo de nuevo cartesiano dominado por un plenum que lo abarca todo La actuacioacuten instantaacutenea a distancia estariacutea avalada por la verificacioacuten de las condiciones de Bell relativas a la paradoja EPR que ha significado el espaldarazo a la no localidad en el mundo fiacutesico A pesar de todo algo en nuestro interior nos dice que la doctrina FSM es aberrante Quizaacute se deba al lastre de la educacioacuten recibida Despueacutes de todo uno es irremediablemente producto de la forja de su tiempo y nunca es faacutecil superar esa inercia intelectual Hijo ―o debiera decir posiblemente prisionero― de la edad de la razoacuten yo presiento con temor que una nueva Edad Media y estoy pensando en su lastre de oscurantismo se alza amenazante en el horizonte y la melancoliacutea me atenaza amargamente el corazoacuten P Crespo septiembre 2006 [1] On the Origin of Species by Means of Natural Selection or The Preservation of Favoured Races in the Struggle for Life abreviado como The Origin of Species (El origen de las especies) publicado en 1859 Este libro establecioacute la evolucioacuten (cambios espontaacuteneos hereditarios que se imponen cuando son favorables a la especie habida cuenta de los condicionantes del entorno) a partir de un ascendiente comuacuten como la explicacioacuten cientiacutefica dominante de la diversificacioacuten de las formas de la vida en la naturaleza [2] Home page httpwwwvenganzaorg

[3] William of Occam fraile franciscano ingleacutes del siglo XIV (aprox 1285-1349) Lo que se conoce como la navaja de Occam era un principio muy comuacuten en la filosofiacutea medieval (el principio de economiacutea o de parsimonia) y no tuvo su origen con Willian de Ockham pero debido al uso frecuente que eacuteste le daba a dicho principio su nombre acaboacute inseparablemente ligado a eacutel

[4] Karl Popper (1902 1994) La loacutegica de la investigacioacuten cientiacutefica (Logik der Forschung 1934 ciacuterculo de Viena) En esta obra el filoacutesofo austriacuteaco abordoacute el problema de los liacutemites de demarcacioacuten entre la ciencia y proposiciones de otro caraacutecter Para Popper la clave estaacute en reconocer que el conocimiento cientiacutefico no avanza confirmando nuevas leyes sino descartando las que contradicen la experiencia lo que constituye el proceso de falsacioacuten Soacutelo han de admitirse como proposiciones cientiacuteficas aquellas para las que al menos conceptualmente es posible un experimento que las contradiga [5] Thomas Kuhn (1992 1996) Este cientiacutefico norteamericano es famoso principalmente por su libro La estructura de las revoluciones cientiacuteficas (1962) La idea que preside el pensamiento de Kuhn es la de que la ciencia no progresa por acumulacioacuten de nuevo conocimiento sino por desplazamientos de los paradigmas que transforman abruptamente la naturaleza del conocimiento

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Matemaacuteticas de los poliacuteticos vascos Patxi Igandekoa

Pongamos el tiacutepico sistema de ecuaciones de primer grado de dos incoacutegnitas x+y=5 4x-2y=2 (Antes ensentildeaban a resolverlos en 1ordm de BUP ahora en las academias cercanas a la Escuela de Ingenieros de Bilbao) Vaya por adelantado que la solucioacuten es x=2 y=3 No nos interesa esto sino la forma en que lo resolveriacutean dos miembros destacados de nuestra clase poliacutetica El Lehendakari Ibarretxe por ejemplo no tendriacutea dificultad Gracias a su formacioacuten y oficio de economista el valor de las incoacutegnitas aparece ipso facto en su mente sin necesidad de calcular nada Sin embargo eacutel querriacutea hacerlo con fundamento a la vasca Primero lo resolveriacutea por medios algebraicos y comprobariacutea si las soluciones cuadran Despueacutes empleariacutea el meacutetodo graacutefico pediriacutea papel boliacutegrafo y una regla y trazariacutea un eje de coordenadas cifras y finalmente dos rectas bien diaacutefanas y se asegurariacutea de que ambas se cortan en el par de valores correcto Acto seguido llamariacutea a un comiteacute de expertos del Gobierno Vasco y someteriacutea el asunto a su examen para que redactaran un informe en el que se estableciera sin ninguacuten geacutenero de dudas que la solucioacuten al sistema de ecuaciones propuesto vaacutelida tanto en Euskadi como en el resto de un universo eucliacutedeo es la que figura en los caacutelculos de Lehendakaritza Pero la cosa no termina aquiacute porque luego Josu Jon Imaz (otro peso pesado de las ciencias exactas) convocariacutea una mesa de partidos para buscar una solucioacuten paralela ndashpero concordante- al problema mediante acuerdos que incluyan a todas las sensibilidades del paiacutes Para un tema de intereacutes general como este ni siquiera el PP podriacutea negarse y a la exactitud de las estimaciones numeacutericas se antildeadiriacutea finalmente la sancioacuten democraacutetica del consenso Euforia y satisfaccioacuten en el EAJ-PNV ldquoHemos tardado lo nuestro pero valioacute la pena Trabajando duro y con meacutetodo nos hemos puesto las pilas comenzamos el curso con los deberes hechos etc etcrdquo iquestY Patxi Loacutepez iquestCoacutemo reaccionariacutea delante del mismo problema Imaginen a uno de sus correveidiles pasaacutendoselo por encima de su ejemplar abierto de ldquoEl Correo Espantildeolrdquo en plena sesioacuten del Parlamento Vasco Apresurada lectura treacutemulo parpadear de ojos bailoteo de cifras en la mente ruido apenas perceptible producido por el rozamiento de unos dedos sobre la sienhellip ldquoNada otra engantildeifa del Lehendakari iexclSe va a enterar de esto en mi proacutexima rueda de prensardquo Apliacutequese el procedimiento de costumbre enviar por valija del partido a la calle Ferraz para que lo resuelvan alliacuterdquo Y alliacute efectivamente son nada menos que Joseacute Luis Rodriacuteguez Zapatero Presidente del Gobierno de Espantildea y Joseacute Blanco su iacutenenarrable y gallego jefe de bomberos quienes se encargan de despejar las incoacutegnitas Podemos imaginarnos el resultado ldquoiquestAlgebra iquestGraacuteficos cartesianos iexclUff somos de letras iquestQueacute tal si traemos a nuestro informaacutetico para que eche una manordquo ldquoNo mucho maacutes simple Joseacute Luis hacemos x=0 y=0 y ya estaacute Yo seacute algo de matemaacuteticas lo suficiente para recordar que a esto lo llaman lsquosolucioacuten trivialrsquo Es perfectamente legiacutetimo iquestQueacute te parecerdquo ldquoDe entrada bien Pepe Pero asi no puedes resolver un sistema de primer grado iexclel resultado no coinciderdquo ldquoNo importa lo quitamos tambieacuten Escondemos el 5 y el 2 cubrieacutendolos con typex ndashya nos ocuparemos de ellos en la proacutexima legislatura- y hacemos ambas expresiones iguales a cero Ahora las incoacutegnitas siacute coinciden con la ventaja antildeadida de que entonces las de Imaz no Hemos resuelto el problema de matemaacuteticas vasco reducieacutendolo a la no existencia Jean-Paul Sartre estariacutea orgulloso de nosotrosrdquo La solucioacuten es transmitida por mensajero (a portes debidos) a Sabin Etxea donde sesudos jeltzales la examinan moviendo la cabeza a un lado y a otro Habraacute que invertir mucho en centros de caacutelculo si queremos avanzar en el proceso de normalizacioacuten Al menos queda el consuelo de que si alguien quiere volar preferiraacute subirse a un aeroplano disentildeado por Ibarretxe que a otro construido con las matemaacuteticas que ensentildean en el Partido Socialista de Euskadi Publicado en Izaronews 6-9-2006

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Si las palabras de Chillida estaacuten recogidas con fidelidad lamento no estar de acuerdo con ellas porque no creo que las personas se encasillen tan faacutecilmente Pero de todos modos si ustedes creen que represento ese problema no tienen maacutes que haceacutermelo saber Porque como anuncieacute en la seccioacuten correo tireacute mi regla de caacutelculo al riacuteo para mirarla como se hundiacutea (era el uacuteltimo recuerdo del carintildeo que yo le teniacutea etc) y comienzo mis pinitos en cuentos cortos (muy cortos prometido) y otras atrevidas incursiones

[La figura es un recorte del libro de vintildeetas-paacutegina laquoel Arte - conversaciones imaginarias con mi madreraquo de Juanjo Saacuteez Aunque sus ideas sobre el arte parecen discutibles es un libro entrantildeable]

Una uacuteltima advertencia relativa al cuento que sigue y dirigida a los que puedan sacar la conclusioacuten de que tengo imaginacioacuten desviada las hemerotecas son del 29 de noviembre de 2003

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Caperucitas blancas En memoria de Joseacute Couso porque nos volvimos maacutes ciegos cuando sus ojos se apagaron

Una nintildea hasta haciacutea poco ahora cuajada en mujer moldeada por quince primaveras Faacutetima era la mayor de las dos hermanas La pequentildea Azraa a sus doce antildeos era todaviacutea un incipiente brote femenino delicado y menudo

Noviembre agotaba sus diacuteas y haciacutea cuatro que habiacutean empezado las fiestas del fin del Ramadaacuten el mes sagrado del ayuno Ese jueves la ilusioacuten se asomaba a los rostros de ambas hermanas porque iriacutean a cenar a casa de su abuela y pasariacutean la noche con ella Habriacutea puchero y berenjena rellena y despueacutes los dulces de pistacho y de miel y antes de dormir las historias de la lsquoyaddarsquo Jazmina ―la abuelita― llenas del encanto de otros tiempos cuando en los mercados de Baaquba competiacutean entre siacute los colores de los frutos las especias las telas y las alfombras y los asnos eran amigos resignados de los hombres y los paacutejaros hablaban con los nintildeos y eran alegres y eran parlanchines y traiacutean noticias de lugares exoacuteticos

La madre preparoacute una cesta con los pastelillos para el postre Pero la abuela habiacutea expresado el temor de no disponer de lentildea suficiente asiacute que las pequentildeas debiacutean pasar antes por el huerto del tiacuteo Abbash que siempre teniacutea preparada una reserva de lentildeos y sarmientos y habiacutea dado licencia a la familia para recoger de su finca todo aquello que fuera necesario Para llegar al huerto era obligado atravesar un trecho boscoso no era cosa de permitir que las sorprendiera la noche y puesto que la tarde ya se habiacutea insinuado las nintildeas se pusieron con diligencia en camino La pequentildea llevaba apoyada contra su cintura la cesta con los dulces y la mayor se hizo cargo de dos piezas de tela destinadas a sujetar la lentildea y de un hacha pequentildea para trocear los sarmientos

Ya en la finca llevoacute maacutes tiempo del previsto preparar los vaacutestagos para adecuarlos al tamantildeo de la menor de las muchachas y las sombras no esperaron Ante el asomo de la noche las nintildeas iniciaron el regreso en direccioacuten a la casa de la abuela cada una con su hatillo a la espalda la menor abriendo paso con la cesta de los pasteles en su regazo seguida de cerca por su hermana

A menos de cincuenta metros de alliacute Lobo Feroz Dos miraba por el visor de

infrarrojos e informaba de la escena a su compantildeero En el sendero que lindaba con el bosque dos siluetas blanquecinas se recortaban en la oscuridad en contraste con la espesura y los pantildeuelos que cubriacutean sus cabezas las perfilaban como dos caperucitas que se moviacutean avanzando deprisa La mayor pareciacutea sujetar una pistola en su mano

―Lobo Feroz Uno llamando a Halcoacuten Pardo ge-pe-ese delta sur uno doce oeste cero quince Dos sospechosas a la vista parecen llevar armas Esperamos instrucciones Cambio

―Halcoacuten Pardo a Lobo Feroz Ya conocen las consignas Cambio ―Parecen dos nintildeas― apuntoacute Lobo Feroz Dos ―Lobo Feroz Uno a Halcoacuten Pardo Es posible que se trate de dos menores

Solicitamos refuerzos para comprobacioacuten Cambio ―Sargento le recuerdo que estamos en la Operacioacuten Martillo de Hierro Debe

proceder seguacuten la consigna Cambio y corto ―Hemos de disparar― dijo Lobo Feroz Uno a Lobo Feroz Dos ―Pero ― balbuceoacute eacuteste ―Oacuterdenes Encaacutergate del objetivo de la izquierda yo tirareacute sobre el derecho

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La cabeza de Faacutetima se quebroacute como se rompe el fruto del granado cuando se lo arroja con fuerza contra el suelo Con su velo blanco habiacutea sido Caperucita Blanca mientras se desplomaba fue Caperucita a topos rojos poco tiempo despueacutes bajo los focos luminosos era Caperucita Roja yaciendo sobre la hierba del lindero del bosque ya para siempre dormida sus intensos ojos negros abiertos en un gesto uacuteltimo de asombro irracional A su lado la pretendida pistola no era sino el hacha nimia que le habiacutea servido de herramienta

Cerca de ella Azraa acribillada se debatioacute en el suelo durante un tiempo entre espasmos y dentelladas de dolor Desprendido el pantildeuelo varias manchas tentildeiacutean de carmiacuten sus cabellos que hasta entonces habiacutean sido siempre de un azabache casi mineral

La fase siguiente de la laquoOperacioacuten Martillo de Hierroraquo se puso en marcha Uno de los confidentes convocados reconocioacute a las muchachas e indicoacute a los soldados la situacioacuten de la cercana casa de la abuela en los andurriales de la ciudad

La puerta cedioacute ante el explosivo y saltoacute arrancada de cuajo junto con sus goznes Disipado el humo los soldados pudieron distinguir a una anciana enmudecida por el terror y desplomada sobre su cama Se registroacute la casa Dos humildes cuchillos de cocina fueron las uacutenicas armas encontradas

Cuando al diacutea siguiente fueron lavados los cuerpos de las nintildeas el agua sanguinolenta se desparramoacute por el patio y discurrioacute por albantildeales hasta verter en el riacuteo Tigris Diacuteas maacutes tarde en la orilla izquierda de la corriente a un rosal le brotariacutean rosas algo maacutes rojas y un limonero dariacutea limones amargos en la ribera derecha

La sangre de las nintildeas se entremezcloacute en el riacuteo en un postrero abrazo fraternal El sol hizo luego su labor de horno y partiacuteculas de sangre de Faacutetima y de Azraa ascendieron asidas al agua evaporada Desde entonces los atardeceres son algo maacutes escarlata en la tierra que otrora fue Mesopotamia y en todo el orbe resuena el eco milenario de las palabras del Antiguo Testamento dichas para los oiacutedos de los violentos laquoCaiacuten iquestqueacute has hecho de tu hermanoraquo P Crespo

Las camas de la muerte ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte lavis punta seca buril y bruntildeidor ndash 177 x 221 mm

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Reggae reggaehellip (riacutea riacutea)

La escuela y el alumnado

Eacutesta es la coleccioacuten de disparates maacutes sonados cometidos por alumnos de ESO y bachillerato en exaacutemenes de geografiacutea e historia

Perlas variadas bull Al final de la edad media empiezan a

imponerse normas morales como no masticar la sopa

bull Una de las principales manifestaciones del arte goacutetico fueron las piraacutemides que como todo el mundo sabe son apuntadas

bull A partir del Concilio de Trento el matrimonio cristiano debiacutea ser consumado en presencia de un sacerdote

bull Despotismo ilustrado los reyes teniacutean todo el poder pero teniacutean que obedecer cuando el pueblo se poniacutea de acuerdo entre ellos

bull A la juventud hitleriana la preparaban tan bien que al cabo de un antildeo eran capaces de matar a su madre

bull iquestQueacute opinas de la Constitucioacuten Que es buena y guapa

bull Actualmente el paiacutes maacutes pequentildeo de Europa es San Pedro del Vaticano

bull El rey puso a Franco para que trajera la democracia

bull Franco era el rey que habiacutea antes de Juan Carlos I

bull Espantildea no participoacute en la Segunda Guerra Mundial porque Hitler teniacutea miedo de Franco

bull Franco fue un poliacutetico dictador que consiguioacute imponer durante el reinado de Felipe II un reacutegimen dictatorial

bull No seacute en queacute antildeo murioacute Franco pero seacute que murioacute asesinado

bull Democracia es cuando hay gente que mata otra gente o cuando un paiacutes echa bombas a otro o se pegan unos a otros pues esto es democracia

bull Cartografiacutea las faltas de ortografiacutea bull Un paralelo es una de aquellas liacuteneas que

dividen la Tierra en trozos pero es imaginario

bull Continente partiacuteculas de tierra donde vivimos nosotros

bull Anticicloacuten es la temperatura caliente y se mide en milibares

bull Caacutetedra pensioacuten o escuela para los que queriacutean ser curas

bull Petroacuteleo se obtiene por tuberiacuteas llamadas oleoductos y sirve de combustible

bull Desarrollo sostenible es el desarrollo que no es ni alto ni bajo es decir es mediano

bull Poliacutegono hombre con muchas mujeres bull Delta es un riacuteo que lleva muy poca

agua bull Capital de Alemania Merliacuten bull Principales cultivos espantildeoles la uva

que produce el gran aceite que se fabrica en Espantildea

bull Islas de Oceaniacutea Islas Haguai bull Los vientos huracanados producen a

veces atauacutedes de nieve bull La pintura al fresco consiste en pintar al

aire libre bull Sufragista quiere decir que siempre estaacute

navegando por los mares bull La Guerra Friacutea se caracteriza por matar

gente a sangre friacutea bull Hambre endeacutemica es la que pasa cuando

hay epidemias bull La explosioacuten demograacutefica se produce

porque en algunos paiacuteses se producen islas producto de una erupcioacuten volcaacutenica que bastante grandes como para ser evitadas

bull Estado del bienestar significa que todo lo que es puacuteblico se ha de cuidar

bull Deuda externa es si vas aun supermercado y quedas a deber mucho si no tienes dinero Esto es la deuda externa

Serrano J Reboredo J (2005) Perlas variadas en Historia de Espantildea contada por estudiantes Madrid La Esfera de los libros (Remitido por M Dolors Hipoacutelito)

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iexclLas modelos no somos estuacutepidas Pregunta iquestEn queacute paiacutes la estaacuten solicitando como modelo Respuesta No lo puedo decir todaviacutea pero les puedo adelantar que es un paiacutes brasilentildeo que no queda muy lejos de aquiacute (Kate Moss ex modelo de Calvin Klein) Pregunta Si llegara un holocausto nuclear iquestqueacute pareja elegiriacutea Ud en todo el mundo (hombre y mujer) para preservar y multiplicar la especie humana Respuesta Al Papa y a la Madre Teresa de Calcuta (Carolina Zuntildeiga candidata a Miss Chile) El fumar mata Si te mueres has perdido una parte muy importante de tu vida (Brooke Shields entrevista para una campantildea federal antitabaco) Pregunta Si usted pudiera vivir siempre iquestlo hariacutea iquestpor queacute Respuesta Yo no viviriacutea siempre porque no deberiacuteamos vivir siempre porque si se supusiera que debieacuteramos vivir siempre entonces viviriacuteamos siempre pero no podemos vivir siempre que es por lo cual yo no viviriacutea siempre (Miss Alabama en el concurso Miss America 1999) Esa rastrera sinverguumlenza merece ser matada a patadas por un asno iexclY yo soy justo la indicada para hacerlo (Declaracioacuten de Claudia Shiffer sobre Naomi Campbell) No es la contaminacioacuten la que estaacute dantildeando el ambiente Son todas las impurezas en nuestro aire y en nuestra agua las que lo estaacuten haciendo (Pamela Anderson) No he cometido ninguacuten delito Lo que hice fue no cumplir con la ley (Jennifer Lopez al ser detenida junto con Puff Daddy) Siempre que veo la tele y veo a esos pobres nintildeos hambrientos en todo el mundo no puedo evitar llorar Quiero decir me encantaria ser asiacute de flaquita pero no con todas esas moscas y muerte y esas cosas (Mariah Carey cantante) Tomado de Internet por JMaiO 2006 Jacinto Benavente y la coma Doctor Mi previsioacuten se anticipa a todo Bastaraacute con puntuar debidamente alguacuten conceptoVed aquiacute donde dicerdquo Y resultando que no declaroacuterdquo basta una coma y dice ldquo Y resultando que no declaroacuterdquo Y aquiacuterdquoY resultando que no debe condenaacuterselerdquo fuera la coma y dice Y resultando que no debe condenaacuterselerdquo Crispiacuten iexclOh admirable coma iexclMaravillosa coma iexclGenio de la Justicia iexclOraacuteculo de la Ley iexcl Monstruo de la Jurisprudencia Jacinto Benavente Los Intereses Creados Acto segundo escena final

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Tomo una y entrego dos Mariano Nieto propone en [C-90] (seccioacuten correo) el problema que sigue En una urna hay una bola blanca y otra negra Se saca al azar una de ellas y se

devuelve a la urna acompantildeada de otra del mismo color Esta operacioacuten se repite un nuacutemero indefinido de veces

iquestCuaacutel es la probabilidad de que cuando la urna contenga 20 bolas haya 10 de cada color Solucioacuten

Sea (b n) la composicioacuten de la urna con b bolas blancas y n negras y llamemos etapa a cada intervencioacuten que extrae una bola de la urna y devuelve dos Convengamos en que la configuracioacuten de partida (11) corresponde a la etapa 1 En la etapa 2 tendremos las dos configuraciones posibles de la urna (21) y (12) asociadas con la misma probabilidad de 12

Esta simetriacutea inicial nos sugiere el siguiente procedimiento por induccioacuten Si suponemos que en la etapa n cada una de las n configuraciones posibles

(n 1) (n ndash 1 2) (n ndash 2 3) (n ndash a a + 1) (2 n ndash 1) (1 n) [1] tiene la misma probabilidad p de ocurrir (con p =1n por lo tanto) podemos calcular las probabilidades y configuraciones de la etapa n + 1

a) La probabilidad de la configuracioacuten (n + 11) (rama izquierda del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(n + 11) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

b) La probabilidad de la configuracioacuten (1 n+1) (rama derecha del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(1 n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

c) La configuracioacuten (n ndash a a + 2) con 0 le a le (n ndash 2) para asegurar que se recorre el rango de configuraciones de la etapa (n + 1) con exclusioacuten de las extremas antes consideradas proviene de (n ndash a a + 1) tras sacar una bola negra o bien de (n ndash a ndash 1 a + 2) luego de resultar blanca la bola extraiacuteda Su probabilidad seraacute por lo tanto

p x (a + 1) (n + 1) + p x (n ndash a ndash 1) (n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

de modo que todas las configuraciones de la etapa n + 1 tendraacuten tambieacuten la misma probabilidad en este caso 1(n + 1)

En la etapa 3 por ejemplo es faacutecil ver que las 3 configuraciones posibles (3 1) (2 2) y (1 3) comparten la probabilidad 13 Asiacute pues el meacutetodo de induccioacuten nos permite concluir que en la etapa n es decir tras n ndash 1 operaciones con la urna eacutesta contendraacute (n + 1) bolas y tendremos las n configuraciones posibles [1] a cada una de las cuales le corresponde la misma probabilidad 1 n

La configuracioacuten (10 10) por la que pregunta el problema perteneceraacute por lo tanto a la etapa n = 19 (tras 18 operaciones con la urna) y en consecuencia su probabilidad seraacute igual a 1 19 algo mayor que 526 por ciento

En general a la configuracioacuten (b n) donde b es el nuacutemero de bolas blancas y n el de negras siendo b y n nuacutemeros naturales cualesquiera ya que cualquier configuracioacuten es alcanzable le corresponderaacute la probabilidad p(b n) = 1 (b + n ndash 1) P Crespo septiembre 2006

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iquestDe doacutende sale el nuacutemero e Un escuchante miacuteo de RNE en el programa sobre matemaacuteticas de los antildeos 2005-06 me hace la siguiente consulta Cuando estudiaba sexto de bachillerato (plan de ensentildeanza 1957) un dia el profesor de matemaacuteticas llegoacute a clase y dijo Hoy toca el nuacutemero e Y a continuacioacuten escribioacute en la pizarra la expresioacuten conocida de liacutemite cuando n tiende a infinito de 1 maacutes 1 partido por n elevado a n La desarrolloacute por el binomio de Newton y obtuvo el conocido resultado de 2718281 Despueacutes nos dijo que el numero e era muy importante en matemaacuteticas y que se utilizaba para la base de los logaritmos neperianos Es curioso ver como la derivada del logaritmo neperiano de x = 1x EXACTO siendo la base del logaritmo un nuacutemero absolutamente INEXACTO IRRACIONAL Realmente me quedeacute sorprendido Primero de coacutemo al baroacuten de Neacuteper se le habiacutea ocurrido utilizar como base de logaritmos a un nuacutemero irracional y segundo por queacute nunca me explicaron a quieacuten se le ocurrioacute calcular el liacutemite de la expresioacuten (1+1n)n iquestPor queacute se le ocurrioacute a alguien esta expresioacuten y no otra iquestDe donde surgioacute tal necesidad Creo que eso era lo primero que mi profesor de matemaacuteticas teniacutea que habernos contado antes de calcular el liacutemite Probablemente el profesor no conociacutea la respuesta que efectivamente es difiacutecil de encontrar en los actuales libros de texto La definicioacuten actual de logaritmo de un nuacutemero es ldquoel exponente a que hay que elevar una base dada para obtener dicho nuacutemerordquo Asiacute por ejemplo en base 10 el logaritmo de 2 es log10 2 = 0301030 porque 100301030 = 2 (aproximadamente) Pero Neper no concibioacute asiacute el logaritmo para eacutel era el resultado de comparar una progresioacuten aritmeacutetica y otra geomeacutetrica Los teacuterminos de la primera seriacutean los logaritmos de los de la segunda Esto se ve muy claro en esta tabla en la que la razoacuten de la progresioacuten aritmeacutetica es 1 y la de la geomeacutetrica es 10

Progresioacuten aritmeacutetica (razoacuten 1) -3 -2 -1 0 1 2 3Progresioacuten geomeacutetrica (razoacuten 10) 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103

De la propia estructura de ambas progresiones se desprende que un producto de teacuterminos en la progresioacuten geomeacutetrica se corresponde con una suma en la progresioacuten aritmeacutetica Asiacute por las propiedades de los productos de potencias de una misma base seraacute log (xy) = log x + log y y tambieacuten log (xk) = k log x etc Por la misma tabla en la base 10 log (10-3) = log (0001) = -3 log (102) = log (100) = 2 etc Pero iquestqueacute ocurre con los valores intermedios iquestCoacutemo definir para ellos un logaritmo Neper intentoacute responder esta pregunta considerando dos progresiones de razones respectivas α y 1+β siendo (α β) muy pequentildeos Entonces dado un nuacutemero N siempre se podriacutea encontrar un valor n tal que (1+ β)n = N (dentro de una aproximacioacuten suficiente) Entonces el logaritmo de N seriacutea nα Las progresiones maacutes sencillas imaginables son aqueacutellas para las que α = β Entonces seraacute

log N = log [(1+α)n] = nα En esta expresioacuten n seraacute muy grande y α seraacute muy pequentildeo Haciendo nα = L podemos escribir la anterior igualdad

log N = log [(1+ α)1α]nα = log [1+ α)1α]L

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Definamos ahora el nuacutemero e como el liacutemite de (1+α)1α cuando α se hace infinitamente pequentildeo o sea

α

αα

1

0)1(lim +=

rarr

e

Y la expresioacuten se simplificaraacute notablemente

log N = log eL = L log e Resulta inmediatamente que el nuacutemero e = 2718281hellip es la base de logaritmos maacutes conveniente desde el punto de vista teoacuterico pues en ella seraacute log e = 1 Eacutestos son llamados los logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos (este uacuteltimo nombre procede de que miden el aacuterea subtendida entre una hipeacuterbola y su asiacutentota) El nuacutemero e es sin duda el maacutes importante en matemaacuteticas aunque π sea maacutes popular Se recuerdan sus primeras cifras con la mnemotecnia Te ayudareacute a recordar la cantidad a indoctos si releacuteesme bien Se aplica por el nuacutemero de letras de cada palabra Te = 2 ayudareacute = 7 etc En la praacutectica son maacutes usados los logaritmos decimales o de Briggs que tienen por base el nuacutemero 10 Presentan la ventaja de que la parte decimal de cada logaritmo (mantisa) no cambia al ser multiplicado el nuacutemero por una potencia de 10 lo que hace muy praacutecticas las tabulaciones El paso de los logaritmos de una a otra base es muy sencillo mediante el nuacutemero M = log 10 = 2302585 Se deduce sin dificultad que log x = M log10 x Josep M Albaigegraves Barcelona octubre 2006

El nuacutemero e es el uacutenico que verifica que el valor de la derivada (inclinacioacuten de la tangente en rojo en la figura) de f(x) = ex para cualquier valor de x es igual al valor de f(x)

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Cruzando el desierto en jeep Enunciado (propuesto por Mariano Nieto en C-83 seccioacuten correo) Un jeep ha de atravesar un desierto de 800 kiloacutemetros Admite una carga maacutexima para recorrer 500 kiloacutemetros y se quiere conocer la menor cantidad de tales cargas que hay que consumir para alcanzar la meta El depoacutesito inicial se supone de capacidad ilimitada y el jeep puede establecer tantos depoacutesitos intermedios como haga falta Se desea conocer tambieacuten el nuacutemero de viajes parciales que lleva a cabo el jeep teniendo en cuenta que ante dos soluciones iguales (mismo consumo) se preferiraacute la que implique menos viajes parciales Planteo

Supongamos que se depositan cargas en los puntos 1 2 hellipi hellipy llamemos ci a la carga del depoacutesito en el punto i y cf a la del punto siguiente i + 1 Si la distancia entre ambos puntos es d para transportar la carga del punto i al i +1 se necesitaraacuten n viajes de ida y vuelta y un uacuteltimo viaje de ida El depoacutesito en el punto i constaraacute pues de n cargas para 500 km y un remanente al que llamaremos cr Podemos plantear las ecuaciones siguientes

cf = (500 - 2d) n + cr - d (1) ci = 500 n + cr (2) r = (2n + 1) d (3) cr = 500 (4)

donde r es el recorrido del jeep (equivalente a la carga consumida) en el transporte entre ambos depoacutesitos

Los caacutelculos han de efectuarse retrocediendo desde el final hasta la situacioacuten de salida (o sea pasando desde el depoacutesito i +1 al i) para garantizar que se transporta siempre la cantidad miacutenima precisa Cuidaremos tambieacuten de que el valor de n sea el menor posible puesto que los viajes de ida y vuelta aunque necesarios son obviamente menos eficaces en cuanto a rendimiento que los directos Solucioacuten Las ecuaciones anteriores sugieren una viacutea para la solucioacuten del problema basada en separar los tramos para los cuales n (nuacutemero de viajes de ida y vuelta) se mantiene constante El valor de n iraacute en aumento al progresar desde el final hacia el inicio puesto que la capacidad de los depoacutesitos iraacute aumentando en ese sentido y cada vez que se produzca un incremento de 500 km de carga se haraacute necesario aumentar n en una unidad Asiacute pues tendremos 1- Tramo con n = 0 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se progresa desde el final (punto kilomeacutetrico 800) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 0 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

cf = cr ndash d

Como la carga final cf es nula al llegar al punto final (800 km) y es cr = 500 (el maacuteximo posible) basta con llevar a cabo un viaje de ida solamente que salva la distancia d = 500 km El consumo es justamente de 500 km o una carga Esto nos

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coloca a una distancia del origen de 300 km con un depoacutesito con carga para 500 km en dicho punto al que llamaremos D 2 - Tramo con n = 1 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se calcula desde el final (punto kilomeacutetrico 300) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 1 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

500 = 500 - 2d + cr - d = 500 + cr ndash 3 d Hasta que se agote la carga residual maacutexima cr = 500 tendremos

d = 500 3 (5)

La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =1 (es decir donde se pasa de n =1 a n =2 si se lee desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 1) = 300 ndash 5003 = 4003 = 133 3333hellip km El consumo en todo este tramo final (donde n =1) seraacute

consumo (n = 1) = 3 d = 3 times 5003 = 500 Tenemos asiacute tres viajes de 5003 km Al final de la operacioacuten se habraacute transportado una carga de 500 km con un consumo de 500 km tal como se ha calculado antes Como ya se ha visto nos hallamos ahora a una distancia del origen igual a 4003= 133333hellip km Bautizamos este punto como C donde el depoacutesito tendraacute una carga para 1000 km 3 Tramo con n = 2 Ahora la foacutermula (1) se expresa

1000 = 1000 - 4d + cr - d = 1000 + cr ndash 5 d Para una carga residual maacutexima cr = 500 seraacute

d = 5005 = 100 (6) La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =2 (es decir donde se pasa de n =2 a n =3 leyendo desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 2) = 400 3 - 100 = 100 3 = 333333hellipk m El consumo en todo este tramo (donde n =2) seraacute

consumo (n = 2) = 5 d = 500 Se salva una distancia de 100 km y se comprueba que el consumo seraacute de 5 times 100 = 500 La carga transportada seraacute de 2 times 300 + 400 = 1000 km carga que se deja en el depoacutesito C En este punto B nos encontramos a una distancia del origen de 1003 = 33333hellip km y con un depoacutesito con carga para 1500 km

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4 Tramo con n = 3 En este caso la foacutermula (1) es

1500 = 1500 - 6d + cr - d = 1500 + cr - 7d Tendremos ahora d = 5007 gt 100 3 desigualdad que nos dice que la distancia que puede cubrirse con n = 3 supera la distancia que nos separa del origen Asiacute que bastaraacute trabajar de forma que se tenga

d = 1003 (7) Con estas condiciones el consumo correspondiente valdraacute

consumo (n = 3) = 7 d = 700 3 El nuacutemero de viajes seraacute ahora igual a 2 n + 1 = 7 cada uno de los cuales cubre la distancia d = 1003 La carga que se toma del depoacutesito inicial seraacute 1500 + 7003 Consumo total El consumo total que se busca seraacute por lo tanto exactamente Consumo total = 500 (para recorrer los uacuteltimos 500 km n = 0) + 500 (n = 1) + + 500 (n = 2) + 7003 (n = 3) = 1500 + 7003 lo que expresado en cargas resulta ser (1500 + 7003) 500 = 3+7 15 = 34666hellip El nuacutemero total de viajes resulta ser sumando los de las etapas parciales igual a 16 La tabla 1 muestra los valores relevantes para cada una de las etapas dispuestos ahora desde el inicio hasta el final

Km n viajes d (km) consumo (km) carga (km) A (origen) 1500 + 700 3

0 a 1003 (B) 3 7 100 3 700 3 1500 1993 a 4003 (C) 2 5 100 500 1000 4003 a 300 (D) 1 3 500 3 500 500 300 a 800 (E) 0 1 500 500 0

TOTALES 16 800 1500 + 700 3 Tabla 1

El resultado es por tanto Consumo = (1500 + 700 3) 500 = 3 + 7 15 = 34666hellipasymp 347 Viajes = 16 Notas finales Otra cuestioacuten que suscita este problema es la de si existe una limitacioacuten a la anchura del desierto que se ha de atravesar La respuesta es que no existe tal liacutemite puesto que como se aprecia sin dificultad la taacutectica para ir situando combustible en posiciones avanzadas y que expresan las ecuaciones (1) a (4) permite trabajar a partir de cualquier distancia P Crespo noviembre 2006

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Pitaacutegora y su relacioacuten con los proyectiles

El otro diacutea andando por la calle vi el anagrama de una empresa de consulting

Como puede verse el siacutembolo de la empresa es (aproximadamente) el tan conocido triaacutengulo pitagoacuterico de lados 3 4 y 5 Lo vemos inscrito en un cuadrado el miacutenimo que puede contenerlo iquestCuaacutel es el lado de este cuadrado

Solucioacuten Llamemos α al aacutengulo que forma el cateto largo con el lado vertical del cuadrado Es

inmediato establecer las ecuaciones

4 cos α = L = 4 sin α + 3 cos α Que permite llegar a la igualdad

cos α = 4 sin α De donde se obtiene tan α = α o sea α = 14036ordm El lado vale L = 4 cos 14036ordm = 38806 Es curioso que este aacutengulo es el mismo con el que debe ser lanzado un proyectil para

que la altura alcanzada sea igual al alcance En efecto la primera vale

gvh

2sin 22

0max

ϕ=

Mientras que el alcance es

gvx ϕ2sin2

0=

Igualando ambas ecuaciones se llega a cos φ = frac14 El aacutengulo φ es el complementario

del α antes hallado El proyectil deberiacutea dispararse tangente al cateto de lado 4 JMAiO BCN sep 06

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PROBLEMA DE LA DIVISIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO

Dado un triaacutengulo ABC y un punto P situado en su interior se pide trazar una recta MN que pasando por el punto P divida al triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea o que esteacuten en una proporcioacuten dada

A

B C

P

M

N

Q

q

p

R

x

y

Solucioacuten El problema implica dos condiciones - 1ordm Que los puntos M P y N esteacuten alineados - 2ordm Que las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB esteacuten en una proporcioacuten dada

Veamos como podemos dar forma algebraica a estas dos condiciones Tracemos desde el punto P como se indica en la figura las paralelas a los lados BC y AC hasta que corten en los puntos R y Q respectivamente a los lados AC y BC Llamemos x y p y q a los segmentos MR NQ PQ y PR Los valores de x e y se obtendraacuten al resolver el sistema de ecuaciones que suponen las dos condiciones dadas La primera condicioacuten ya que los triaacutengulos MRP y PQN son semejantes se expresa escribiendo

yp

qx=

La segunda condicioacuten puesto que los triaacutengulos MCN y ACB tienen comuacuten el aacutengulo en C equivale a decir que los productos de los lados de cada triaacutengulo que concurren en el veacutertice C estaacuten en la proporcioacuten en la que estaacuten sus aacutereas Llamando k al cociente entre las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB la segunda condicioacuten la escribiremos asiacute

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( )( ) kabqypx =++

donde a y b son respectivamente los lados BC y AC del triaacutengulo dado El sistema de ecuaciones escrito nos conduce a la siguiente ecuacioacuten de segundo grado que resuelve el problema

( ) 02 22 =+minusminus qpxpqkabqx

( )

qpqkabkabpqkab

x2

42 minusplusmnminus=

xpqy =

La condicioacuten para que el problema tenga solucioacuten real es que el radicando no sea negativo es decir

( ) 04 geminus pqkabkab

pqkab 4ge

abpqk 4

ge

Resulta innecesario decir que para k=05 la recta divide el triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea teniendo que darse previamente la condicioacuten del paacuterrafo anterior Notas 1- La primera condicioacuten tambieacuten se puede expresar escribiendo la recta MN en su forma canoacutenica en el sistema de coordenadas cartesianas oblicuas definido por los ejes CA y CB obligando a que el punto P esteacute en ella es decir

1=+

++ xp

pyq

q o sea pqxy =

2- El valor de k tambieacuten depende del par de lados respecto a los cuales se hayan trazado las paralelas para disponer de los valores de p y q Puede darse el caso de que aun siendo negativo el radicando para la pareja de lados elegida no lo sea para alguna otra y el problema siga teniendo solucioacuten

Manuel Rodriacuteguez Saacutenchez ndash Septiembre de 2006

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Re-citando las citas de laquoPelucheraquo

laquoLas mujeres hablan porque desean hablar mientras que un hombre soacutelo habla cuando se siente empujado por algo ajeno a eacutel como por ejemplo si no encuentra unos calcetines limpiosraquo (Jean Kerr 1922-2003 escritora estadounidense) laquoDonde hay matrimonio sin amor habraacute amor sin matrimonioraquo (Benjamin Franklin cientiacutefico poliacutetico y filoacutesofo norteamericano) laquoSi quieres ver una especie en peligro de extincioacuten miacuterate al espejoraquo (John Young 1930 cientiacutefico estadounidense) laquoAntes de pedir dinero a un amigo decide cual de las dos cosas necesitas maacutesraquo (Jean de La Bruyegravere 1645-1696 moralista franceacutes) laquoComprendes que estaacutes envejeciendo cuando las velitas cuestan maacutes que la tartaraquo (Bob Hope 1903-2003 actor estadounidense) laquoA mi juicio el mejor gobierno es el que deja a la gente maacutes tiempo en pazraquo (Walt Whitman 1819-1892 poeta estadounidense) laquoSi el hijo de Bono se casa con la hija de Bush iquestla descendencia se llamaraacute Bono Bushraquo (Alberto C 1983 estudiante de reflexologiacutea podal) laquoPara escribir un buen libro no considero imprescindible conocer Pariacutes ni haber leiacutedo el Quijote Cervantes cuando lo escribioacute aun no lo habiacutea leiacutedoraquo (Miguel Delibes 1920 escritor espantildeol) laquoComo todo el mundo sabe los cantos de las sirenas atraen a los hombres para luego acabar con ellos Especialmente las sirenas de las faacutebricasraquo (Jaume Perich Escala 1940-1995 humorista espantildeol) P C Citas tomadas de laquoPelucheraquo con su consentimiento

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Quienes esteacuten interesados que contacten conmigo al lugar de costumbre albaigesciccpes

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La yuml Vuelvo hoy a la vieja cuestioacuten de la ldquoyrdquo griega catalana cremada sobre la ldquoyumlrdquo que escrupulosamente respetan en sus transcripciones no soacutelo aficionados sino incluso alguacuten historiador de trayectoria irreprochable Personalmente me encontreacute con esa yuml por primera vez en la transcripcioacuten que un papiroacutelogo haciacutea mdashpor tercera vez ya y todas distintasmdash de cierto contrato que data en 1700 Me quedeacute sin poder consultarle por queacute transcribiacutea ldquocuyumlnardquo ldquomeyumltatrdquo y una veintena de veces ldquoyumlrdquo (aunque el documento ofreciese unas grafiacuteas que invitaban sin ninguna otra razoacuten a esa lectura) frente a las numerosas veces que apareciacutea la ldquoyrdquo sin maacutes complicaciones Por eso defendiacute yo que esa dieacuteresis no pasaba de ser un adorno sin valor foneacutetico ni ortograacutefico un rasgo tan caprichoso como el travesantildeo con que algunos cruzamos el trazo descendente de la ldquoqrdquo o el ascendente del ldquo7rdquo Sin embargo la insistencia de quienes seguiacutean transcribiendo esa crema o dieacuteresis sobre la ldquoyrdquo griega me llevoacute a consultar al Instituto de Estudios Catalanes desde donde se me advirtioacute mdashcomo ya he referidomdash que tal grafiacutea se debiacutea a la contiguumlidad de una ldquoirdquo breve y de una ldquoirdquo larga (de una ldquojrdquo) escritas ambas con sus puntos usuales Pero ninguno de mis corresponsales admitioacute esa explicacioacuten Y hoy vuelvo a mis posiciones aunque enriquecido por una informacioacuten minuciosa Al parecer la ldquoirdquo medieval careciacutea de punto pero en textos redactados en algunos territorios de la Corona de Aragoacuten tanto en latiacuten como en catalaacuten durante el XIII y una parte del XIV la ldquoyrdquo se escribiacutea paradoacutejicamente con un punto (soacutelo uno) encima lo que es imposible de reproducir en las copias mecanograacuteficas que por consiguiente se limitan a escribir esa letra sin puntuacioacuten Y cuando en esos viejos textos concurriacutean dos iacutees fue tambieacuten frecuente mdashsobre todo a final de palabramdash escribir la primera como una ldquoirdquo corta y la segunda como una ldquoirdquo larga pero sin que una y otra dejasen de ser iacutees de igual sonido aunque distinto trazo Transcribir ahora como ldquoijrdquo aquella grafiacutea cuando ya ambas letras tiene un sonido diferente y cuando carecemos de un signo que represente la ldquoirdquo larga (aunque convencionalmente la representemos por una ldquojrdquo) podriacutea prestarse a interpretar que estamos ante dos diferentes sonidos y parece loacutegico exponer la identidad del sonido de ambas iacutees antes que insistir en un trazo (el de la ldquojrdquo) que pretendidamente representase la caligrafiacutea de una ldquoirdquo larga (Otra cosa puede ser la de su funcioacuten decorativa por ejemplo en la numeracioacuten a la romana en minuacutescula) Naturalmente estamos hablando de dos iacutees latinas contiguas y en ninguacuten modo de una ldquoyrdquo con la que esas dos iacutees contiguas han llegado en ocasiones a identificar su trazo en escritos catalanes de al menos el XVIII y el XIX Sin duda una vez admitido el uso de puntuar la ldquoirdquo se extendioacute caligraacuteficamente (no tipograacuteficamente) y por duplicado a la ldquoyrdquo o sea ldquoyumlrdquo aunque sin valor foneacutetico ni ortograacutefico alguno y sin maacutes razoacuten al parecer que la de que ese signo acaba en una doble cuacutespide La expresioacuten ldquoponer los puntos sobre las iacuteesrdquo rebasaba asiacute sus propias limitaciones Y temo que estemos encontraacutendonos ante una situacioacuten pareja a la que se produce cuando una ese alta (como la que emplea Suaacuterez en su traduccioacuten de Lalande seguacuten era de uso entonces) tan parecida a una efe se transcriba como tal efe (seguacuten vemos por ejemplo en la transcripcioacuten moderna de esa traduccioacuten llevada a cabo por Arespacochaga y Seral y en la que leemos cosas como la conferva de Plinio por la ldquoconservardquo) Otra cosa es el alemaacuten donde la ese alta seguida de una ese baja sigue conservando en su tipografiacutea un signo propio Rafael Leoacuten Maacutelaga 2005

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LAS CARTAS DE TIJERA Pensamos en el papel como la superficie sobre la que manual o mecaacutenicamente

dejamos una huella de tinta que va reproduciendo el curso del pensamiento o de la inspiracioacuten Pero en otro tiempo hubo un modo de escribir sin tinta un modo de escribir recortando en el papel con unas tijeras el trazo de unas letras no escritas por la pluma o el caacutelamo o siguiendo ese trazo con la punta al rojo de un alfiler

Una referencia en castellano sobre este arte se conservaba en las estrofas 40 a 44 de los Proverbios de Don Santo de Carrioacuten o Rabiacute Sem Tob Ardutiel contemporaacuteneo de Pedro I de Castilla y feliciacutesimo escritor tambieacuten en hebreo entre otras cosas de un Debate entre el caacutelamo y las tijeras Con el paso de los antildeos sin embargo tales estrofas de sus Proverbios habiacutean llegado a extenuar su significacioacuten

Bueno seraacute reproducirlas aquiacute previa advertencia de que en ese texto castellano (tan proacuteximo ya a lo que seriacutea el espantildeol) astroso estaacute por ruin cuidar por cavilar infinta por fingimiento ca por pues puesto que ya que dentildear por dignar meollo por interior substancioso caxcas por caacutescaras finqueacute por lsquoquedeacutersquo

Y ahora siacute reproduzcamos esas estrofas

Un astroso cuidaba Y por mostrar que era sotil yo le enviaba escripto de tisera El nescio non sabiacutea que lo fiz por infinta porque yo no queriacutea perder en eacutel la tinta Ca por non le dentildear fize vazia la llena y no lquise donar la carta sana buena Como el que tomaba meollos de avellanas para siacute y donaba al otro caxcas vanas Yo del papel saqueacute la razoacuten que deziacutea con ella me finqueacute dile carta vaziacutea

(Fragmento del opuacutesculo del mismo tiacutetulo de Rafael Leoacuten)

Lo mismo ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte punta seca lavis buril y bruntildeidor ndash 162 z 223 mm

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Problema del Autoacutedromo de Sant Pere de Ribes

Enunciado En Sant Pere de Ribes cerca de Sitges provincia de Barcelona hay un circuito autoacutedromo abandonado que tiene forma oval Cada uno de los dos extremos tiene un radio estimado en 131 metros y una pendiente estimada de 60 grados sexagesimales

iquestA queacute velocidad debe ir un automoacutevil en dicha pendiente para no resbalar hacia abajo ni hacia arriba

Resolucioacuten

Sobre el automoacutevil actuacutean 2 fuerzas el peso p

y la reaccioacuten perpendicular del suelo f debida a la curva

Llamando m a la masa del automoacutevil y g a la aceleracioacuten de la gravedad se sabe

mgp =

Para que el automoacutevil no resbale el valor de f

debe ser tal que al descomponerlo en f1 y f2 se produzca

pf =1

La fuerza f2 es la fuerza llamada centriacutepeta porque su direccioacuten y sentido es hacia el centro de curvatura de la trayectoria del moacutevil es bien sabido que llamando v a su velocidad y r al radio de curvatura de la trayectoria se cumple que la fuerza centriacutefuga se puede expresar

rvmf

2

2 =

Ademaacutes la trigonometriacutea permite escribir 2

1o30 tgff

=

Las ecuaciones anteriores forman un sistema de 4 ecuaciones entre las que se puede suprimir f1 f2 p y m

222o30 tg

vrg

rvm

mg

rvm

p===

de donde despejando v y sustituyendo valores

kmh 8169ms 247057735

819 middot 13130 tg o ====rgv

Conclusioacuten Para no resbalar hacia abajo ni hacia arriba en dicha pendiente el automoacutevil debe ir a 1698 kmh Marcel Mantildeeacute

60o

p

f

f2

f1 30o

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EL TESORO OCULTO El pirata llegoacute a la isla donde decidioacute ocultar su tesoro Como puntos de referencia encontroacute un pozo (P) una roca (R) y un viejo olmo (O) Para ubicar el lugar exacto donde iba a enterrar

su arcoacuten repleto de doblones decidioacute fijar los puntos Pacute y Racute trazando las rectas PPacute perpendicular e igual a PO y RRacute perpendicular e igual a RO Finalmente unioacute con una recta los puntos Pacute y Racute determinando su punto medio T donde enterroacute el tesoro Pasado cierto tiempo regresoacute a la isla y encontroacute sorprendido que el viejo olmo habiacutea desaparecido sin dejar huella de su emplazamiento Afortunadamente el pirata era un buen

geoacutemetra y se las arregloacute para dar con el lugar exacto donde antantildeo habiacutea enterrado su tesoro iquestCoacutemo se las arregloacute Solucioacuten Si prolongamos la liacutenea PR a derecha e izquierda y bajamos a ella las perpendiculares PacuteA OD TC y RacuteB es faacutecil ver que los triaacutengulos OPD y ODR son respectivamente iguales a los PPacuteA y RRacuteB Ocurre entonces que PacuteA = PD y RacuteB = RD por consiguiente PacuteA + RacuteB = PR = 2 CT Como por otro lado AP = RB = OD C seraacute el punto medio de PR Asiacute pues para hallar T bastaraacute levantar una perpendicular a PR por su punto medio C y llevar una distancia CT igual a la mitad de PR Aristogeronte Madrid Agosto 2006

Siempre sucede ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte y aguatinta ndash 178 x 219 mm

T

R

P

O

P R

D C B A

T

R

P

O

P R

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PROBLEMA DE EDADES En un congreso mundial de matemaacuteticos coinciden tres amigos Andreacutes Blas y Carlos que conversan animadamente De su conversacioacuten extraemos los siguientes datos Andreacutes dice Mirad queacute coincidencia hoy es nuestro cumpleantildeos Blas contesta Mayor coincidencia es que la suma de los cuadrados de nuestras edades es 2490 igual al nuacutemero de asistentes al congreso Carlos expresa Todo eso es cierto Pero cuando Andreacutes tenga la edad de Blas la suma de los cuadrados de nuestras edades seraacute 3841 igual al coste en pesetas de la habitacioacuten del hotel Ademaacutes con estos datos cualquier congresista puede averiguar nuestras edades Hallar las edades Solucioacuten Las edades hoy son nuacutemeros enteros Andreacutes = x antildeos Blas = y antildeos Carlos = z antildeos Cuando Andreacutes tenga la edad de Blas habraacuten pasado (y-x) antildeos tiempo que habraacute transcurrido igual a los tres Entonces las edades seraacuten Andreacutes = x + (y-x) Blas = y + (y-x) Carlos = z + (y-x) (x + y-x)2 + (y + y-x)2 + (z + y ndashx)2 = 3841 Desarrollando x2 + y2 + z2 + (y-x) (-x +5y +2z) = 3841 Como x2 + y2 +z2 = 2490 (1) (y-x) (-x +5y +2z) = 3841 ndash 2490 (y-x) (-x +5y +2z) = 1351 Descomponemos 1351 en producto de 2 factores = 7 middot 193 y ndashx = 7 -x +5y +2z = 193 Resolviendo el sistema x = y ndash 7 z = 93 ndash 2y Sustituyendo en (1) (y ndash 7)2 + y2 + (93 -2y)2 = 2490 6y2 ndash 386y +6208 = 0 y1 = 32 y2= 973 y2 no es solucioacuten por ne entero Solucioacuten Andreacutes = 25 antildeos Blas = 32 antildeos Carlos = 29 antildeos Acebrian febrero 2006

Con razoacuten o sin ella ndash Francisco de Goya (Los

desastres de la guerra) ndash Aguafuerte punta seca lavis buril y bruntildeidor ndash

150 x 209 mm

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Reparos a la teoriacutea FSM

Qui nimium probat nihil probat (El que prueba demasiado no prueba nada)

Incluso la filosofiacutea la especulativa filosofiacutea se esfuerza por respetar las liacuteneas convencionales del razonamiento y de la loacutegica Incluso la filosofiacutea cuando examina el universo fiacutesico y la propia vida trata de conciliarse con las corrientes cientiacuteficas sobre las que hay amplio consenso Incluso la filosofiacutea cuando se ocupa de la teoriacutea del conocimiento aplicada al mundo fiacutesico corre pareja con las consideraciones maacutes asentadas de la epistemologiacutea cientiacutefica y no es raro que los tratados filosoacuteficos cuyo enfoque es la metodologiacutea del conocimiento tengan en cuenta los descubrimientos de la fiacutesica de vanguardia tales como las teoriacuteas relativistas y en especial los resultados paradoacutejicos de la fiacutesica cuaacutentica tan enormemente sugestivos al tiempo que elusivos En la biologiacutea y en lo que se refiere a las diversas manifestaciones de la vida y a los cambios de los que existe evidencia foacutesil se considera como asentada la liacutenea explicativa que parte de la exposicioacuten publicada por Darwin a comienzos de la segunda mitad del siglo XIX [1] Aunque no se tenga por definitiva y se reconozca incompleta sobre esa liacutenea maestra se elaboran actualmente explicaciones y correcciones a la misma El descubrimiento de la geneacutetica y de sus mecanismos iacutentimos ha supuesto un enorme impulso en cuanto a las investigaciones en este campo que ahora constituye un considerable tesoro de saber Por eso nos preocupa e incluso nos solivianta la corriente FSM de una explicacioacuten alternativa que seguacuten apreciamos se va abriendo camino incluso en universidades [2] Se trata de una corriente que ha experimentado un crecimiento notable en los uacuteltimos antildeos y que interpreta nuestro universo incluida la manifestacioacuten de la vida en teacuterminos del recurso a la intervencioacuten de una entidad inmaterial el FSM de la que se ofrece a veces una representacioacuten tangible a la que se le atribuyen poderes trascendentes como la omnipresencia y la capacidad ilimitada de intervencioacuten Si hemos de ser honestos debemos reconocer que los argumentos en los que se apoya la teoriacutea a la que aludimos son en principio irrebatibles Lo que es maacutes se ajustan mejor que las teoriacuteas que actualmente se tienen por cientiacuteficas a uno de los preceptos maacutes respetables de la ciencia como es el del reduccionismo metodoloacutegico Seguacuten el principio de Occam de la economiacutea (navaja de Occam) [3] en efecto cuanto menor es el repertorio de afirmaciones que haya que admitir como dadas al elaborar una teoriacutea maacutes aceptable seraacute eacutesta (laquopluralitas non est ponenda sine necessitateraquo) La teoriacutea que tratamos de rebatir cumple extraordinariamente bien con este requisito puesto que lo uacutenico que se requiere es la aceptacioacuten de la hipoacutetesis mencionada de la entidad conocida como FSM De todos modos no estaacute de maacutes recordar que lo que Occam dice exactamente es que en igualdad de condiciones la solucioacuten maacutes sencilla es probablemente la correcta Y probablemente como estaacute claro no equivale a necesariamente No obstante no podemos evitar que nos parezcan forzadas y como argumentadas ad hoc algunas de las explicaciones que da el principal abanderado de dicha corriente de pensamiento y primero en presentarla y defenderla Robert Hendenson Graduado en fiacutesicas no podemos pensar del mismo que le sea ajeno el rigor y la criacutetica cientiacutefica A pesar de todo lo cierto es que algunos de sus razonamientos son

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impecables como cuando explica el por queacute resulta aparente la edad de la Tierra estimada por los meacutetodos cientiacuteficos al uso Veamos sus razones laquo[] Lo que esas personas no comprenden es que Eacutel [el autor se refiere a la entidad FSM] hizo el mundo para hacernos creer que la Tierra es maacutes antigua de lo que realmente es Asiacute por ejemplo un cientiacutefico puede llevar a cabo un proceso de datacioacuten mediante carbono-14 sobre un artefacto y encuentra que aproximadamente el 75 por ciento del carbono-14 se ha desintegrado en nitroacutegeno-14 a causa de la emisioacuten de electrones e infiere que dicho artefacto tiene una antiguumledad de unos diez mil antildeos puesto que la vida media del nitroacutegeno-14 parece ser de 5 730 antildeos Pero lo que nuestro cientiacutefico no advierte es que cada vez que efectuacutea una medida la entidad FSM estaacute alliacute cambiando los resultados con su seudoacutepodo Disponemos de numerosos textos que describen en detalle como es esto posible y las razones por las que Eacutel lo hace Eacutel es por supuesto invisible y puede pasar a traveacutes de la materia normal con facilidadraquo Hay algo en esta explicacioacuten que no nos satisface Naturalmente es irreprochable pero cierta percepcioacuten nos dice que se aparta excesivamente del meacutetodo cientiacutefico por antonomasia La teoriacutea FSM no es por su propia naturaleza falsable de modo que de acuerdo con las tesis de Karl Popper una doctrina de ese tipo no se bate en condiciones de igualdad con el resto de las teoriacuteas por lo que ha de ser apartada como teoriacutea insana ―desde el punto de vista de la ciencia entieacutendase bien― y privada sin maacutes del derecho a contender en la arena cientiacutefica Es cierto que para Popper al contrario de lo que afirma el positivismo tiene sentido la aseveracioacuten de la existencia de la entidad FSM pero este autor delinea muy bien los liacutemites que separan tales tipos de proposiciones de las de caraacutecter cientiacutefico y la que nos ocupa queda claramente al margen de eacutestas [4]

Fig 1 ndash FSC en el instante de animar al primer ser humano Podriacutea argumentarse desde luego y aquiacute nos situamos del lado del punto de vista de Thomas Kuhn que la teoriacutea FSM nos coloca frente a un nuevo paradigma cientiacutefico Para Kuhn en efecto la ciencia no procede por agregaciones progresivas en torno a un nuacutecleo creciente de conocimientos sino antes bien por cambios abruptos del marco completo de la teoriacutea dominante lo que se conoce como

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desplazamientos del paradigma En este sentido podriacuteamos sentirnos inclinados a aceptar que el paradigma FSM nos traslada a un marco radicalmente nuevo No obstante la ciencia no se caracteriza por cambios de naturaleza tan radical Antes bien en los cambios de paradigma a que alude Kuhn siempre ha ocurrido que los nuevos formalismos incluyen a los anteriores en el sentido de que eacutestos se recuperan por paso al liacutemite con respecto a ciertas condiciones o paraacutemetros que han cobrado maacutes generalidad en la nueva teoriacutea Y esto no ocurre en absoluto con la propuesta FSM que prescinde del todo del acervo de saber histoacuterico Nos sentimos obligados a denunciar tambieacuten que las representaciones de la entidad FSM son en cierto modo antropomoacuterficas Sugeririacuteamos prescindir de lo que parecen ser unos ojos y un soma central para dejarlo reducido al conjunto de seudoacutepodos que podriacutean llegar a identificarse con los filamentos de la teoriacutea de cuerdas o en su enmadejamiento formar el tejido de las supercuerdas La ubicuidad podriacutea sustituirse por un nuacutemero ilimitado de copias del FSM actuando en resonancia no local El universo volveriacutea a ser de este modo de nuevo cartesiano dominado por un plenum que lo abarca todo La actuacioacuten instantaacutenea a distancia estariacutea avalada por la verificacioacuten de las condiciones de Bell relativas a la paradoja EPR que ha significado el espaldarazo a la no localidad en el mundo fiacutesico A pesar de todo algo en nuestro interior nos dice que la doctrina FSM es aberrante Quizaacute se deba al lastre de la educacioacuten recibida Despueacutes de todo uno es irremediablemente producto de la forja de su tiempo y nunca es faacutecil superar esa inercia intelectual Hijo ―o debiera decir posiblemente prisionero― de la edad de la razoacuten yo presiento con temor que una nueva Edad Media y estoy pensando en su lastre de oscurantismo se alza amenazante en el horizonte y la melancoliacutea me atenaza amargamente el corazoacuten P Crespo septiembre 2006 [1] On the Origin of Species by Means of Natural Selection or The Preservation of Favoured Races in the Struggle for Life abreviado como The Origin of Species (El origen de las especies) publicado en 1859 Este libro establecioacute la evolucioacuten (cambios espontaacuteneos hereditarios que se imponen cuando son favorables a la especie habida cuenta de los condicionantes del entorno) a partir de un ascendiente comuacuten como la explicacioacuten cientiacutefica dominante de la diversificacioacuten de las formas de la vida en la naturaleza [2] Home page httpwwwvenganzaorg

[3] William of Occam fraile franciscano ingleacutes del siglo XIV (aprox 1285-1349) Lo que se conoce como la navaja de Occam era un principio muy comuacuten en la filosofiacutea medieval (el principio de economiacutea o de parsimonia) y no tuvo su origen con Willian de Ockham pero debido al uso frecuente que eacuteste le daba a dicho principio su nombre acaboacute inseparablemente ligado a eacutel

[4] Karl Popper (1902 1994) La loacutegica de la investigacioacuten cientiacutefica (Logik der Forschung 1934 ciacuterculo de Viena) En esta obra el filoacutesofo austriacuteaco abordoacute el problema de los liacutemites de demarcacioacuten entre la ciencia y proposiciones de otro caraacutecter Para Popper la clave estaacute en reconocer que el conocimiento cientiacutefico no avanza confirmando nuevas leyes sino descartando las que contradicen la experiencia lo que constituye el proceso de falsacioacuten Soacutelo han de admitirse como proposiciones cientiacuteficas aquellas para las que al menos conceptualmente es posible un experimento que las contradiga [5] Thomas Kuhn (1992 1996) Este cientiacutefico norteamericano es famoso principalmente por su libro La estructura de las revoluciones cientiacuteficas (1962) La idea que preside el pensamiento de Kuhn es la de que la ciencia no progresa por acumulacioacuten de nuevo conocimiento sino por desplazamientos de los paradigmas que transforman abruptamente la naturaleza del conocimiento

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Matemaacuteticas de los poliacuteticos vascos Patxi Igandekoa

Pongamos el tiacutepico sistema de ecuaciones de primer grado de dos incoacutegnitas x+y=5 4x-2y=2 (Antes ensentildeaban a resolverlos en 1ordm de BUP ahora en las academias cercanas a la Escuela de Ingenieros de Bilbao) Vaya por adelantado que la solucioacuten es x=2 y=3 No nos interesa esto sino la forma en que lo resolveriacutean dos miembros destacados de nuestra clase poliacutetica El Lehendakari Ibarretxe por ejemplo no tendriacutea dificultad Gracias a su formacioacuten y oficio de economista el valor de las incoacutegnitas aparece ipso facto en su mente sin necesidad de calcular nada Sin embargo eacutel querriacutea hacerlo con fundamento a la vasca Primero lo resolveriacutea por medios algebraicos y comprobariacutea si las soluciones cuadran Despueacutes empleariacutea el meacutetodo graacutefico pediriacutea papel boliacutegrafo y una regla y trazariacutea un eje de coordenadas cifras y finalmente dos rectas bien diaacutefanas y se asegurariacutea de que ambas se cortan en el par de valores correcto Acto seguido llamariacutea a un comiteacute de expertos del Gobierno Vasco y someteriacutea el asunto a su examen para que redactaran un informe en el que se estableciera sin ninguacuten geacutenero de dudas que la solucioacuten al sistema de ecuaciones propuesto vaacutelida tanto en Euskadi como en el resto de un universo eucliacutedeo es la que figura en los caacutelculos de Lehendakaritza Pero la cosa no termina aquiacute porque luego Josu Jon Imaz (otro peso pesado de las ciencias exactas) convocariacutea una mesa de partidos para buscar una solucioacuten paralela ndashpero concordante- al problema mediante acuerdos que incluyan a todas las sensibilidades del paiacutes Para un tema de intereacutes general como este ni siquiera el PP podriacutea negarse y a la exactitud de las estimaciones numeacutericas se antildeadiriacutea finalmente la sancioacuten democraacutetica del consenso Euforia y satisfaccioacuten en el EAJ-PNV ldquoHemos tardado lo nuestro pero valioacute la pena Trabajando duro y con meacutetodo nos hemos puesto las pilas comenzamos el curso con los deberes hechos etc etcrdquo iquestY Patxi Loacutepez iquestCoacutemo reaccionariacutea delante del mismo problema Imaginen a uno de sus correveidiles pasaacutendoselo por encima de su ejemplar abierto de ldquoEl Correo Espantildeolrdquo en plena sesioacuten del Parlamento Vasco Apresurada lectura treacutemulo parpadear de ojos bailoteo de cifras en la mente ruido apenas perceptible producido por el rozamiento de unos dedos sobre la sienhellip ldquoNada otra engantildeifa del Lehendakari iexclSe va a enterar de esto en mi proacutexima rueda de prensardquo Apliacutequese el procedimiento de costumbre enviar por valija del partido a la calle Ferraz para que lo resuelvan alliacuterdquo Y alliacute efectivamente son nada menos que Joseacute Luis Rodriacuteguez Zapatero Presidente del Gobierno de Espantildea y Joseacute Blanco su iacutenenarrable y gallego jefe de bomberos quienes se encargan de despejar las incoacutegnitas Podemos imaginarnos el resultado ldquoiquestAlgebra iquestGraacuteficos cartesianos iexclUff somos de letras iquestQueacute tal si traemos a nuestro informaacutetico para que eche una manordquo ldquoNo mucho maacutes simple Joseacute Luis hacemos x=0 y=0 y ya estaacute Yo seacute algo de matemaacuteticas lo suficiente para recordar que a esto lo llaman lsquosolucioacuten trivialrsquo Es perfectamente legiacutetimo iquestQueacute te parecerdquo ldquoDe entrada bien Pepe Pero asi no puedes resolver un sistema de primer grado iexclel resultado no coinciderdquo ldquoNo importa lo quitamos tambieacuten Escondemos el 5 y el 2 cubrieacutendolos con typex ndashya nos ocuparemos de ellos en la proacutexima legislatura- y hacemos ambas expresiones iguales a cero Ahora las incoacutegnitas siacute coinciden con la ventaja antildeadida de que entonces las de Imaz no Hemos resuelto el problema de matemaacuteticas vasco reducieacutendolo a la no existencia Jean-Paul Sartre estariacutea orgulloso de nosotrosrdquo La solucioacuten es transmitida por mensajero (a portes debidos) a Sabin Etxea donde sesudos jeltzales la examinan moviendo la cabeza a un lado y a otro Habraacute que invertir mucho en centros de caacutelculo si queremos avanzar en el proceso de normalizacioacuten Al menos queda el consuelo de que si alguien quiere volar preferiraacute subirse a un aeroplano disentildeado por Ibarretxe que a otro construido con las matemaacuteticas que ensentildean en el Partido Socialista de Euskadi Publicado en Izaronews 6-9-2006

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Si las palabras de Chillida estaacuten recogidas con fidelidad lamento no estar de acuerdo con ellas porque no creo que las personas se encasillen tan faacutecilmente Pero de todos modos si ustedes creen que represento ese problema no tienen maacutes que haceacutermelo saber Porque como anuncieacute en la seccioacuten correo tireacute mi regla de caacutelculo al riacuteo para mirarla como se hundiacutea (era el uacuteltimo recuerdo del carintildeo que yo le teniacutea etc) y comienzo mis pinitos en cuentos cortos (muy cortos prometido) y otras atrevidas incursiones

[La figura es un recorte del libro de vintildeetas-paacutegina laquoel Arte - conversaciones imaginarias con mi madreraquo de Juanjo Saacuteez Aunque sus ideas sobre el arte parecen discutibles es un libro entrantildeable]

Una uacuteltima advertencia relativa al cuento que sigue y dirigida a los que puedan sacar la conclusioacuten de que tengo imaginacioacuten desviada las hemerotecas son del 29 de noviembre de 2003

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Caperucitas blancas En memoria de Joseacute Couso porque nos volvimos maacutes ciegos cuando sus ojos se apagaron

Una nintildea hasta haciacutea poco ahora cuajada en mujer moldeada por quince primaveras Faacutetima era la mayor de las dos hermanas La pequentildea Azraa a sus doce antildeos era todaviacutea un incipiente brote femenino delicado y menudo

Noviembre agotaba sus diacuteas y haciacutea cuatro que habiacutean empezado las fiestas del fin del Ramadaacuten el mes sagrado del ayuno Ese jueves la ilusioacuten se asomaba a los rostros de ambas hermanas porque iriacutean a cenar a casa de su abuela y pasariacutean la noche con ella Habriacutea puchero y berenjena rellena y despueacutes los dulces de pistacho y de miel y antes de dormir las historias de la lsquoyaddarsquo Jazmina ―la abuelita― llenas del encanto de otros tiempos cuando en los mercados de Baaquba competiacutean entre siacute los colores de los frutos las especias las telas y las alfombras y los asnos eran amigos resignados de los hombres y los paacutejaros hablaban con los nintildeos y eran alegres y eran parlanchines y traiacutean noticias de lugares exoacuteticos

La madre preparoacute una cesta con los pastelillos para el postre Pero la abuela habiacutea expresado el temor de no disponer de lentildea suficiente asiacute que las pequentildeas debiacutean pasar antes por el huerto del tiacuteo Abbash que siempre teniacutea preparada una reserva de lentildeos y sarmientos y habiacutea dado licencia a la familia para recoger de su finca todo aquello que fuera necesario Para llegar al huerto era obligado atravesar un trecho boscoso no era cosa de permitir que las sorprendiera la noche y puesto que la tarde ya se habiacutea insinuado las nintildeas se pusieron con diligencia en camino La pequentildea llevaba apoyada contra su cintura la cesta con los dulces y la mayor se hizo cargo de dos piezas de tela destinadas a sujetar la lentildea y de un hacha pequentildea para trocear los sarmientos

Ya en la finca llevoacute maacutes tiempo del previsto preparar los vaacutestagos para adecuarlos al tamantildeo de la menor de las muchachas y las sombras no esperaron Ante el asomo de la noche las nintildeas iniciaron el regreso en direccioacuten a la casa de la abuela cada una con su hatillo a la espalda la menor abriendo paso con la cesta de los pasteles en su regazo seguida de cerca por su hermana

A menos de cincuenta metros de alliacute Lobo Feroz Dos miraba por el visor de

infrarrojos e informaba de la escena a su compantildeero En el sendero que lindaba con el bosque dos siluetas blanquecinas se recortaban en la oscuridad en contraste con la espesura y los pantildeuelos que cubriacutean sus cabezas las perfilaban como dos caperucitas que se moviacutean avanzando deprisa La mayor pareciacutea sujetar una pistola en su mano

―Lobo Feroz Uno llamando a Halcoacuten Pardo ge-pe-ese delta sur uno doce oeste cero quince Dos sospechosas a la vista parecen llevar armas Esperamos instrucciones Cambio

―Halcoacuten Pardo a Lobo Feroz Ya conocen las consignas Cambio ―Parecen dos nintildeas― apuntoacute Lobo Feroz Dos ―Lobo Feroz Uno a Halcoacuten Pardo Es posible que se trate de dos menores

Solicitamos refuerzos para comprobacioacuten Cambio ―Sargento le recuerdo que estamos en la Operacioacuten Martillo de Hierro Debe

proceder seguacuten la consigna Cambio y corto ―Hemos de disparar― dijo Lobo Feroz Uno a Lobo Feroz Dos ―Pero ― balbuceoacute eacuteste ―Oacuterdenes Encaacutergate del objetivo de la izquierda yo tirareacute sobre el derecho

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La cabeza de Faacutetima se quebroacute como se rompe el fruto del granado cuando se lo arroja con fuerza contra el suelo Con su velo blanco habiacutea sido Caperucita Blanca mientras se desplomaba fue Caperucita a topos rojos poco tiempo despueacutes bajo los focos luminosos era Caperucita Roja yaciendo sobre la hierba del lindero del bosque ya para siempre dormida sus intensos ojos negros abiertos en un gesto uacuteltimo de asombro irracional A su lado la pretendida pistola no era sino el hacha nimia que le habiacutea servido de herramienta

Cerca de ella Azraa acribillada se debatioacute en el suelo durante un tiempo entre espasmos y dentelladas de dolor Desprendido el pantildeuelo varias manchas tentildeiacutean de carmiacuten sus cabellos que hasta entonces habiacutean sido siempre de un azabache casi mineral

La fase siguiente de la laquoOperacioacuten Martillo de Hierroraquo se puso en marcha Uno de los confidentes convocados reconocioacute a las muchachas e indicoacute a los soldados la situacioacuten de la cercana casa de la abuela en los andurriales de la ciudad

La puerta cedioacute ante el explosivo y saltoacute arrancada de cuajo junto con sus goznes Disipado el humo los soldados pudieron distinguir a una anciana enmudecida por el terror y desplomada sobre su cama Se registroacute la casa Dos humildes cuchillos de cocina fueron las uacutenicas armas encontradas

Cuando al diacutea siguiente fueron lavados los cuerpos de las nintildeas el agua sanguinolenta se desparramoacute por el patio y discurrioacute por albantildeales hasta verter en el riacuteo Tigris Diacuteas maacutes tarde en la orilla izquierda de la corriente a un rosal le brotariacutean rosas algo maacutes rojas y un limonero dariacutea limones amargos en la ribera derecha

La sangre de las nintildeas se entremezcloacute en el riacuteo en un postrero abrazo fraternal El sol hizo luego su labor de horno y partiacuteculas de sangre de Faacutetima y de Azraa ascendieron asidas al agua evaporada Desde entonces los atardeceres son algo maacutes escarlata en la tierra que otrora fue Mesopotamia y en todo el orbe resuena el eco milenario de las palabras del Antiguo Testamento dichas para los oiacutedos de los violentos laquoCaiacuten iquestqueacute has hecho de tu hermanoraquo P Crespo

Las camas de la muerte ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte lavis punta seca buril y bruntildeidor ndash 177 x 221 mm

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Reggae reggaehellip (riacutea riacutea)

La escuela y el alumnado

Eacutesta es la coleccioacuten de disparates maacutes sonados cometidos por alumnos de ESO y bachillerato en exaacutemenes de geografiacutea e historia

Perlas variadas bull Al final de la edad media empiezan a

imponerse normas morales como no masticar la sopa

bull Una de las principales manifestaciones del arte goacutetico fueron las piraacutemides que como todo el mundo sabe son apuntadas

bull A partir del Concilio de Trento el matrimonio cristiano debiacutea ser consumado en presencia de un sacerdote

bull Despotismo ilustrado los reyes teniacutean todo el poder pero teniacutean que obedecer cuando el pueblo se poniacutea de acuerdo entre ellos

bull A la juventud hitleriana la preparaban tan bien que al cabo de un antildeo eran capaces de matar a su madre

bull iquestQueacute opinas de la Constitucioacuten Que es buena y guapa

bull Actualmente el paiacutes maacutes pequentildeo de Europa es San Pedro del Vaticano

bull El rey puso a Franco para que trajera la democracia

bull Franco era el rey que habiacutea antes de Juan Carlos I

bull Espantildea no participoacute en la Segunda Guerra Mundial porque Hitler teniacutea miedo de Franco

bull Franco fue un poliacutetico dictador que consiguioacute imponer durante el reinado de Felipe II un reacutegimen dictatorial

bull No seacute en queacute antildeo murioacute Franco pero seacute que murioacute asesinado

bull Democracia es cuando hay gente que mata otra gente o cuando un paiacutes echa bombas a otro o se pegan unos a otros pues esto es democracia

bull Cartografiacutea las faltas de ortografiacutea bull Un paralelo es una de aquellas liacuteneas que

dividen la Tierra en trozos pero es imaginario

bull Continente partiacuteculas de tierra donde vivimos nosotros

bull Anticicloacuten es la temperatura caliente y se mide en milibares

bull Caacutetedra pensioacuten o escuela para los que queriacutean ser curas

bull Petroacuteleo se obtiene por tuberiacuteas llamadas oleoductos y sirve de combustible

bull Desarrollo sostenible es el desarrollo que no es ni alto ni bajo es decir es mediano

bull Poliacutegono hombre con muchas mujeres bull Delta es un riacuteo que lleva muy poca

agua bull Capital de Alemania Merliacuten bull Principales cultivos espantildeoles la uva

que produce el gran aceite que se fabrica en Espantildea

bull Islas de Oceaniacutea Islas Haguai bull Los vientos huracanados producen a

veces atauacutedes de nieve bull La pintura al fresco consiste en pintar al

aire libre bull Sufragista quiere decir que siempre estaacute

navegando por los mares bull La Guerra Friacutea se caracteriza por matar

gente a sangre friacutea bull Hambre endeacutemica es la que pasa cuando

hay epidemias bull La explosioacuten demograacutefica se produce

porque en algunos paiacuteses se producen islas producto de una erupcioacuten volcaacutenica que bastante grandes como para ser evitadas

bull Estado del bienestar significa que todo lo que es puacuteblico se ha de cuidar

bull Deuda externa es si vas aun supermercado y quedas a deber mucho si no tienes dinero Esto es la deuda externa

Serrano J Reboredo J (2005) Perlas variadas en Historia de Espantildea contada por estudiantes Madrid La Esfera de los libros (Remitido por M Dolors Hipoacutelito)

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iexclLas modelos no somos estuacutepidas Pregunta iquestEn queacute paiacutes la estaacuten solicitando como modelo Respuesta No lo puedo decir todaviacutea pero les puedo adelantar que es un paiacutes brasilentildeo que no queda muy lejos de aquiacute (Kate Moss ex modelo de Calvin Klein) Pregunta Si llegara un holocausto nuclear iquestqueacute pareja elegiriacutea Ud en todo el mundo (hombre y mujer) para preservar y multiplicar la especie humana Respuesta Al Papa y a la Madre Teresa de Calcuta (Carolina Zuntildeiga candidata a Miss Chile) El fumar mata Si te mueres has perdido una parte muy importante de tu vida (Brooke Shields entrevista para una campantildea federal antitabaco) Pregunta Si usted pudiera vivir siempre iquestlo hariacutea iquestpor queacute Respuesta Yo no viviriacutea siempre porque no deberiacuteamos vivir siempre porque si se supusiera que debieacuteramos vivir siempre entonces viviriacuteamos siempre pero no podemos vivir siempre que es por lo cual yo no viviriacutea siempre (Miss Alabama en el concurso Miss America 1999) Esa rastrera sinverguumlenza merece ser matada a patadas por un asno iexclY yo soy justo la indicada para hacerlo (Declaracioacuten de Claudia Shiffer sobre Naomi Campbell) No es la contaminacioacuten la que estaacute dantildeando el ambiente Son todas las impurezas en nuestro aire y en nuestra agua las que lo estaacuten haciendo (Pamela Anderson) No he cometido ninguacuten delito Lo que hice fue no cumplir con la ley (Jennifer Lopez al ser detenida junto con Puff Daddy) Siempre que veo la tele y veo a esos pobres nintildeos hambrientos en todo el mundo no puedo evitar llorar Quiero decir me encantaria ser asiacute de flaquita pero no con todas esas moscas y muerte y esas cosas (Mariah Carey cantante) Tomado de Internet por JMaiO 2006 Jacinto Benavente y la coma Doctor Mi previsioacuten se anticipa a todo Bastaraacute con puntuar debidamente alguacuten conceptoVed aquiacute donde dicerdquo Y resultando que no declaroacuterdquo basta una coma y dice ldquo Y resultando que no declaroacuterdquo Y aquiacuterdquoY resultando que no debe condenaacuterselerdquo fuera la coma y dice Y resultando que no debe condenaacuterselerdquo Crispiacuten iexclOh admirable coma iexclMaravillosa coma iexclGenio de la Justicia iexclOraacuteculo de la Ley iexcl Monstruo de la Jurisprudencia Jacinto Benavente Los Intereses Creados Acto segundo escena final

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Tomo una y entrego dos Mariano Nieto propone en [C-90] (seccioacuten correo) el problema que sigue En una urna hay una bola blanca y otra negra Se saca al azar una de ellas y se

devuelve a la urna acompantildeada de otra del mismo color Esta operacioacuten se repite un nuacutemero indefinido de veces

iquestCuaacutel es la probabilidad de que cuando la urna contenga 20 bolas haya 10 de cada color Solucioacuten

Sea (b n) la composicioacuten de la urna con b bolas blancas y n negras y llamemos etapa a cada intervencioacuten que extrae una bola de la urna y devuelve dos Convengamos en que la configuracioacuten de partida (11) corresponde a la etapa 1 En la etapa 2 tendremos las dos configuraciones posibles de la urna (21) y (12) asociadas con la misma probabilidad de 12

Esta simetriacutea inicial nos sugiere el siguiente procedimiento por induccioacuten Si suponemos que en la etapa n cada una de las n configuraciones posibles

(n 1) (n ndash 1 2) (n ndash 2 3) (n ndash a a + 1) (2 n ndash 1) (1 n) [1] tiene la misma probabilidad p de ocurrir (con p =1n por lo tanto) podemos calcular las probabilidades y configuraciones de la etapa n + 1

a) La probabilidad de la configuracioacuten (n + 11) (rama izquierda del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(n + 11) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

b) La probabilidad de la configuracioacuten (1 n+1) (rama derecha del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(1 n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

c) La configuracioacuten (n ndash a a + 2) con 0 le a le (n ndash 2) para asegurar que se recorre el rango de configuraciones de la etapa (n + 1) con exclusioacuten de las extremas antes consideradas proviene de (n ndash a a + 1) tras sacar una bola negra o bien de (n ndash a ndash 1 a + 2) luego de resultar blanca la bola extraiacuteda Su probabilidad seraacute por lo tanto

p x (a + 1) (n + 1) + p x (n ndash a ndash 1) (n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

de modo que todas las configuraciones de la etapa n + 1 tendraacuten tambieacuten la misma probabilidad en este caso 1(n + 1)

En la etapa 3 por ejemplo es faacutecil ver que las 3 configuraciones posibles (3 1) (2 2) y (1 3) comparten la probabilidad 13 Asiacute pues el meacutetodo de induccioacuten nos permite concluir que en la etapa n es decir tras n ndash 1 operaciones con la urna eacutesta contendraacute (n + 1) bolas y tendremos las n configuraciones posibles [1] a cada una de las cuales le corresponde la misma probabilidad 1 n

La configuracioacuten (10 10) por la que pregunta el problema perteneceraacute por lo tanto a la etapa n = 19 (tras 18 operaciones con la urna) y en consecuencia su probabilidad seraacute igual a 1 19 algo mayor que 526 por ciento

En general a la configuracioacuten (b n) donde b es el nuacutemero de bolas blancas y n el de negras siendo b y n nuacutemeros naturales cualesquiera ya que cualquier configuracioacuten es alcanzable le corresponderaacute la probabilidad p(b n) = 1 (b + n ndash 1) P Crespo septiembre 2006

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iquestDe doacutende sale el nuacutemero e Un escuchante miacuteo de RNE en el programa sobre matemaacuteticas de los antildeos 2005-06 me hace la siguiente consulta Cuando estudiaba sexto de bachillerato (plan de ensentildeanza 1957) un dia el profesor de matemaacuteticas llegoacute a clase y dijo Hoy toca el nuacutemero e Y a continuacioacuten escribioacute en la pizarra la expresioacuten conocida de liacutemite cuando n tiende a infinito de 1 maacutes 1 partido por n elevado a n La desarrolloacute por el binomio de Newton y obtuvo el conocido resultado de 2718281 Despueacutes nos dijo que el numero e era muy importante en matemaacuteticas y que se utilizaba para la base de los logaritmos neperianos Es curioso ver como la derivada del logaritmo neperiano de x = 1x EXACTO siendo la base del logaritmo un nuacutemero absolutamente INEXACTO IRRACIONAL Realmente me quedeacute sorprendido Primero de coacutemo al baroacuten de Neacuteper se le habiacutea ocurrido utilizar como base de logaritmos a un nuacutemero irracional y segundo por queacute nunca me explicaron a quieacuten se le ocurrioacute calcular el liacutemite de la expresioacuten (1+1n)n iquestPor queacute se le ocurrioacute a alguien esta expresioacuten y no otra iquestDe donde surgioacute tal necesidad Creo que eso era lo primero que mi profesor de matemaacuteticas teniacutea que habernos contado antes de calcular el liacutemite Probablemente el profesor no conociacutea la respuesta que efectivamente es difiacutecil de encontrar en los actuales libros de texto La definicioacuten actual de logaritmo de un nuacutemero es ldquoel exponente a que hay que elevar una base dada para obtener dicho nuacutemerordquo Asiacute por ejemplo en base 10 el logaritmo de 2 es log10 2 = 0301030 porque 100301030 = 2 (aproximadamente) Pero Neper no concibioacute asiacute el logaritmo para eacutel era el resultado de comparar una progresioacuten aritmeacutetica y otra geomeacutetrica Los teacuterminos de la primera seriacutean los logaritmos de los de la segunda Esto se ve muy claro en esta tabla en la que la razoacuten de la progresioacuten aritmeacutetica es 1 y la de la geomeacutetrica es 10

Progresioacuten aritmeacutetica (razoacuten 1) -3 -2 -1 0 1 2 3Progresioacuten geomeacutetrica (razoacuten 10) 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103

De la propia estructura de ambas progresiones se desprende que un producto de teacuterminos en la progresioacuten geomeacutetrica se corresponde con una suma en la progresioacuten aritmeacutetica Asiacute por las propiedades de los productos de potencias de una misma base seraacute log (xy) = log x + log y y tambieacuten log (xk) = k log x etc Por la misma tabla en la base 10 log (10-3) = log (0001) = -3 log (102) = log (100) = 2 etc Pero iquestqueacute ocurre con los valores intermedios iquestCoacutemo definir para ellos un logaritmo Neper intentoacute responder esta pregunta considerando dos progresiones de razones respectivas α y 1+β siendo (α β) muy pequentildeos Entonces dado un nuacutemero N siempre se podriacutea encontrar un valor n tal que (1+ β)n = N (dentro de una aproximacioacuten suficiente) Entonces el logaritmo de N seriacutea nα Las progresiones maacutes sencillas imaginables son aqueacutellas para las que α = β Entonces seraacute

log N = log [(1+α)n] = nα En esta expresioacuten n seraacute muy grande y α seraacute muy pequentildeo Haciendo nα = L podemos escribir la anterior igualdad

log N = log [(1+ α)1α]nα = log [1+ α)1α]L

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Definamos ahora el nuacutemero e como el liacutemite de (1+α)1α cuando α se hace infinitamente pequentildeo o sea

α

αα

1

0)1(lim +=

rarr

e

Y la expresioacuten se simplificaraacute notablemente

log N = log eL = L log e Resulta inmediatamente que el nuacutemero e = 2718281hellip es la base de logaritmos maacutes conveniente desde el punto de vista teoacuterico pues en ella seraacute log e = 1 Eacutestos son llamados los logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos (este uacuteltimo nombre procede de que miden el aacuterea subtendida entre una hipeacuterbola y su asiacutentota) El nuacutemero e es sin duda el maacutes importante en matemaacuteticas aunque π sea maacutes popular Se recuerdan sus primeras cifras con la mnemotecnia Te ayudareacute a recordar la cantidad a indoctos si releacuteesme bien Se aplica por el nuacutemero de letras de cada palabra Te = 2 ayudareacute = 7 etc En la praacutectica son maacutes usados los logaritmos decimales o de Briggs que tienen por base el nuacutemero 10 Presentan la ventaja de que la parte decimal de cada logaritmo (mantisa) no cambia al ser multiplicado el nuacutemero por una potencia de 10 lo que hace muy praacutecticas las tabulaciones El paso de los logaritmos de una a otra base es muy sencillo mediante el nuacutemero M = log 10 = 2302585 Se deduce sin dificultad que log x = M log10 x Josep M Albaigegraves Barcelona octubre 2006

El nuacutemero e es el uacutenico que verifica que el valor de la derivada (inclinacioacuten de la tangente en rojo en la figura) de f(x) = ex para cualquier valor de x es igual al valor de f(x)

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Cruzando el desierto en jeep Enunciado (propuesto por Mariano Nieto en C-83 seccioacuten correo) Un jeep ha de atravesar un desierto de 800 kiloacutemetros Admite una carga maacutexima para recorrer 500 kiloacutemetros y se quiere conocer la menor cantidad de tales cargas que hay que consumir para alcanzar la meta El depoacutesito inicial se supone de capacidad ilimitada y el jeep puede establecer tantos depoacutesitos intermedios como haga falta Se desea conocer tambieacuten el nuacutemero de viajes parciales que lleva a cabo el jeep teniendo en cuenta que ante dos soluciones iguales (mismo consumo) se preferiraacute la que implique menos viajes parciales Planteo

Supongamos que se depositan cargas en los puntos 1 2 hellipi hellipy llamemos ci a la carga del depoacutesito en el punto i y cf a la del punto siguiente i + 1 Si la distancia entre ambos puntos es d para transportar la carga del punto i al i +1 se necesitaraacuten n viajes de ida y vuelta y un uacuteltimo viaje de ida El depoacutesito en el punto i constaraacute pues de n cargas para 500 km y un remanente al que llamaremos cr Podemos plantear las ecuaciones siguientes

cf = (500 - 2d) n + cr - d (1) ci = 500 n + cr (2) r = (2n + 1) d (3) cr = 500 (4)

donde r es el recorrido del jeep (equivalente a la carga consumida) en el transporte entre ambos depoacutesitos

Los caacutelculos han de efectuarse retrocediendo desde el final hasta la situacioacuten de salida (o sea pasando desde el depoacutesito i +1 al i) para garantizar que se transporta siempre la cantidad miacutenima precisa Cuidaremos tambieacuten de que el valor de n sea el menor posible puesto que los viajes de ida y vuelta aunque necesarios son obviamente menos eficaces en cuanto a rendimiento que los directos Solucioacuten Las ecuaciones anteriores sugieren una viacutea para la solucioacuten del problema basada en separar los tramos para los cuales n (nuacutemero de viajes de ida y vuelta) se mantiene constante El valor de n iraacute en aumento al progresar desde el final hacia el inicio puesto que la capacidad de los depoacutesitos iraacute aumentando en ese sentido y cada vez que se produzca un incremento de 500 km de carga se haraacute necesario aumentar n en una unidad Asiacute pues tendremos 1- Tramo con n = 0 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se progresa desde el final (punto kilomeacutetrico 800) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 0 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

cf = cr ndash d

Como la carga final cf es nula al llegar al punto final (800 km) y es cr = 500 (el maacuteximo posible) basta con llevar a cabo un viaje de ida solamente que salva la distancia d = 500 km El consumo es justamente de 500 km o una carga Esto nos

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coloca a una distancia del origen de 300 km con un depoacutesito con carga para 500 km en dicho punto al que llamaremos D 2 - Tramo con n = 1 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se calcula desde el final (punto kilomeacutetrico 300) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 1 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

500 = 500 - 2d + cr - d = 500 + cr ndash 3 d Hasta que se agote la carga residual maacutexima cr = 500 tendremos

d = 500 3 (5)

La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =1 (es decir donde se pasa de n =1 a n =2 si se lee desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 1) = 300 ndash 5003 = 4003 = 133 3333hellip km El consumo en todo este tramo final (donde n =1) seraacute

consumo (n = 1) = 3 d = 3 times 5003 = 500 Tenemos asiacute tres viajes de 5003 km Al final de la operacioacuten se habraacute transportado una carga de 500 km con un consumo de 500 km tal como se ha calculado antes Como ya se ha visto nos hallamos ahora a una distancia del origen igual a 4003= 133333hellip km Bautizamos este punto como C donde el depoacutesito tendraacute una carga para 1000 km 3 Tramo con n = 2 Ahora la foacutermula (1) se expresa

1000 = 1000 - 4d + cr - d = 1000 + cr ndash 5 d Para una carga residual maacutexima cr = 500 seraacute

d = 5005 = 100 (6) La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =2 (es decir donde se pasa de n =2 a n =3 leyendo desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 2) = 400 3 - 100 = 100 3 = 333333hellipk m El consumo en todo este tramo (donde n =2) seraacute

consumo (n = 2) = 5 d = 500 Se salva una distancia de 100 km y se comprueba que el consumo seraacute de 5 times 100 = 500 La carga transportada seraacute de 2 times 300 + 400 = 1000 km carga que se deja en el depoacutesito C En este punto B nos encontramos a una distancia del origen de 1003 = 33333hellip km y con un depoacutesito con carga para 1500 km

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4 Tramo con n = 3 En este caso la foacutermula (1) es

1500 = 1500 - 6d + cr - d = 1500 + cr - 7d Tendremos ahora d = 5007 gt 100 3 desigualdad que nos dice que la distancia que puede cubrirse con n = 3 supera la distancia que nos separa del origen Asiacute que bastaraacute trabajar de forma que se tenga

d = 1003 (7) Con estas condiciones el consumo correspondiente valdraacute

consumo (n = 3) = 7 d = 700 3 El nuacutemero de viajes seraacute ahora igual a 2 n + 1 = 7 cada uno de los cuales cubre la distancia d = 1003 La carga que se toma del depoacutesito inicial seraacute 1500 + 7003 Consumo total El consumo total que se busca seraacute por lo tanto exactamente Consumo total = 500 (para recorrer los uacuteltimos 500 km n = 0) + 500 (n = 1) + + 500 (n = 2) + 7003 (n = 3) = 1500 + 7003 lo que expresado en cargas resulta ser (1500 + 7003) 500 = 3+7 15 = 34666hellip El nuacutemero total de viajes resulta ser sumando los de las etapas parciales igual a 16 La tabla 1 muestra los valores relevantes para cada una de las etapas dispuestos ahora desde el inicio hasta el final

Km n viajes d (km) consumo (km) carga (km) A (origen) 1500 + 700 3

0 a 1003 (B) 3 7 100 3 700 3 1500 1993 a 4003 (C) 2 5 100 500 1000 4003 a 300 (D) 1 3 500 3 500 500 300 a 800 (E) 0 1 500 500 0

TOTALES 16 800 1500 + 700 3 Tabla 1

El resultado es por tanto Consumo = (1500 + 700 3) 500 = 3 + 7 15 = 34666hellipasymp 347 Viajes = 16 Notas finales Otra cuestioacuten que suscita este problema es la de si existe una limitacioacuten a la anchura del desierto que se ha de atravesar La respuesta es que no existe tal liacutemite puesto que como se aprecia sin dificultad la taacutectica para ir situando combustible en posiciones avanzadas y que expresan las ecuaciones (1) a (4) permite trabajar a partir de cualquier distancia P Crespo noviembre 2006

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Pitaacutegora y su relacioacuten con los proyectiles

El otro diacutea andando por la calle vi el anagrama de una empresa de consulting

Como puede verse el siacutembolo de la empresa es (aproximadamente) el tan conocido triaacutengulo pitagoacuterico de lados 3 4 y 5 Lo vemos inscrito en un cuadrado el miacutenimo que puede contenerlo iquestCuaacutel es el lado de este cuadrado

Solucioacuten Llamemos α al aacutengulo que forma el cateto largo con el lado vertical del cuadrado Es

inmediato establecer las ecuaciones

4 cos α = L = 4 sin α + 3 cos α Que permite llegar a la igualdad

cos α = 4 sin α De donde se obtiene tan α = α o sea α = 14036ordm El lado vale L = 4 cos 14036ordm = 38806 Es curioso que este aacutengulo es el mismo con el que debe ser lanzado un proyectil para

que la altura alcanzada sea igual al alcance En efecto la primera vale

gvh

2sin 22

0max

ϕ=

Mientras que el alcance es

gvx ϕ2sin2

0=

Igualando ambas ecuaciones se llega a cos φ = frac14 El aacutengulo φ es el complementario

del α antes hallado El proyectil deberiacutea dispararse tangente al cateto de lado 4 JMAiO BCN sep 06

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PROBLEMA DE LA DIVISIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO

Dado un triaacutengulo ABC y un punto P situado en su interior se pide trazar una recta MN que pasando por el punto P divida al triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea o que esteacuten en una proporcioacuten dada

A

B C

P

M

N

Q

q

p

R

x

y

Solucioacuten El problema implica dos condiciones - 1ordm Que los puntos M P y N esteacuten alineados - 2ordm Que las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB esteacuten en una proporcioacuten dada

Veamos como podemos dar forma algebraica a estas dos condiciones Tracemos desde el punto P como se indica en la figura las paralelas a los lados BC y AC hasta que corten en los puntos R y Q respectivamente a los lados AC y BC Llamemos x y p y q a los segmentos MR NQ PQ y PR Los valores de x e y se obtendraacuten al resolver el sistema de ecuaciones que suponen las dos condiciones dadas La primera condicioacuten ya que los triaacutengulos MRP y PQN son semejantes se expresa escribiendo

yp

qx=

La segunda condicioacuten puesto que los triaacutengulos MCN y ACB tienen comuacuten el aacutengulo en C equivale a decir que los productos de los lados de cada triaacutengulo que concurren en el veacutertice C estaacuten en la proporcioacuten en la que estaacuten sus aacutereas Llamando k al cociente entre las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB la segunda condicioacuten la escribiremos asiacute

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( )( ) kabqypx =++

donde a y b son respectivamente los lados BC y AC del triaacutengulo dado El sistema de ecuaciones escrito nos conduce a la siguiente ecuacioacuten de segundo grado que resuelve el problema

( ) 02 22 =+minusminus qpxpqkabqx

( )

qpqkabkabpqkab

x2

42 minusplusmnminus=

xpqy =

La condicioacuten para que el problema tenga solucioacuten real es que el radicando no sea negativo es decir

( ) 04 geminus pqkabkab

pqkab 4ge

abpqk 4

ge

Resulta innecesario decir que para k=05 la recta divide el triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea teniendo que darse previamente la condicioacuten del paacuterrafo anterior Notas 1- La primera condicioacuten tambieacuten se puede expresar escribiendo la recta MN en su forma canoacutenica en el sistema de coordenadas cartesianas oblicuas definido por los ejes CA y CB obligando a que el punto P esteacute en ella es decir

1=+

++ xp

pyq

q o sea pqxy =

2- El valor de k tambieacuten depende del par de lados respecto a los cuales se hayan trazado las paralelas para disponer de los valores de p y q Puede darse el caso de que aun siendo negativo el radicando para la pareja de lados elegida no lo sea para alguna otra y el problema siga teniendo solucioacuten

Manuel Rodriacuteguez Saacutenchez ndash Septiembre de 2006

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Re-citando las citas de laquoPelucheraquo

laquoLas mujeres hablan porque desean hablar mientras que un hombre soacutelo habla cuando se siente empujado por algo ajeno a eacutel como por ejemplo si no encuentra unos calcetines limpiosraquo (Jean Kerr 1922-2003 escritora estadounidense) laquoDonde hay matrimonio sin amor habraacute amor sin matrimonioraquo (Benjamin Franklin cientiacutefico poliacutetico y filoacutesofo norteamericano) laquoSi quieres ver una especie en peligro de extincioacuten miacuterate al espejoraquo (John Young 1930 cientiacutefico estadounidense) laquoAntes de pedir dinero a un amigo decide cual de las dos cosas necesitas maacutesraquo (Jean de La Bruyegravere 1645-1696 moralista franceacutes) laquoComprendes que estaacutes envejeciendo cuando las velitas cuestan maacutes que la tartaraquo (Bob Hope 1903-2003 actor estadounidense) laquoA mi juicio el mejor gobierno es el que deja a la gente maacutes tiempo en pazraquo (Walt Whitman 1819-1892 poeta estadounidense) laquoSi el hijo de Bono se casa con la hija de Bush iquestla descendencia se llamaraacute Bono Bushraquo (Alberto C 1983 estudiante de reflexologiacutea podal) laquoPara escribir un buen libro no considero imprescindible conocer Pariacutes ni haber leiacutedo el Quijote Cervantes cuando lo escribioacute aun no lo habiacutea leiacutedoraquo (Miguel Delibes 1920 escritor espantildeol) laquoComo todo el mundo sabe los cantos de las sirenas atraen a los hombres para luego acabar con ellos Especialmente las sirenas de las faacutebricasraquo (Jaume Perich Escala 1940-1995 humorista espantildeol) P C Citas tomadas de laquoPelucheraquo con su consentimiento

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La yuml Vuelvo hoy a la vieja cuestioacuten de la ldquoyrdquo griega catalana cremada sobre la ldquoyumlrdquo que escrupulosamente respetan en sus transcripciones no soacutelo aficionados sino incluso alguacuten historiador de trayectoria irreprochable Personalmente me encontreacute con esa yuml por primera vez en la transcripcioacuten que un papiroacutelogo haciacutea mdashpor tercera vez ya y todas distintasmdash de cierto contrato que data en 1700 Me quedeacute sin poder consultarle por queacute transcribiacutea ldquocuyumlnardquo ldquomeyumltatrdquo y una veintena de veces ldquoyumlrdquo (aunque el documento ofreciese unas grafiacuteas que invitaban sin ninguna otra razoacuten a esa lectura) frente a las numerosas veces que apareciacutea la ldquoyrdquo sin maacutes complicaciones Por eso defendiacute yo que esa dieacuteresis no pasaba de ser un adorno sin valor foneacutetico ni ortograacutefico un rasgo tan caprichoso como el travesantildeo con que algunos cruzamos el trazo descendente de la ldquoqrdquo o el ascendente del ldquo7rdquo Sin embargo la insistencia de quienes seguiacutean transcribiendo esa crema o dieacuteresis sobre la ldquoyrdquo griega me llevoacute a consultar al Instituto de Estudios Catalanes desde donde se me advirtioacute mdashcomo ya he referidomdash que tal grafiacutea se debiacutea a la contiguumlidad de una ldquoirdquo breve y de una ldquoirdquo larga (de una ldquojrdquo) escritas ambas con sus puntos usuales Pero ninguno de mis corresponsales admitioacute esa explicacioacuten Y hoy vuelvo a mis posiciones aunque enriquecido por una informacioacuten minuciosa Al parecer la ldquoirdquo medieval careciacutea de punto pero en textos redactados en algunos territorios de la Corona de Aragoacuten tanto en latiacuten como en catalaacuten durante el XIII y una parte del XIV la ldquoyrdquo se escribiacutea paradoacutejicamente con un punto (soacutelo uno) encima lo que es imposible de reproducir en las copias mecanograacuteficas que por consiguiente se limitan a escribir esa letra sin puntuacioacuten Y cuando en esos viejos textos concurriacutean dos iacutees fue tambieacuten frecuente mdashsobre todo a final de palabramdash escribir la primera como una ldquoirdquo corta y la segunda como una ldquoirdquo larga pero sin que una y otra dejasen de ser iacutees de igual sonido aunque distinto trazo Transcribir ahora como ldquoijrdquo aquella grafiacutea cuando ya ambas letras tiene un sonido diferente y cuando carecemos de un signo que represente la ldquoirdquo larga (aunque convencionalmente la representemos por una ldquojrdquo) podriacutea prestarse a interpretar que estamos ante dos diferentes sonidos y parece loacutegico exponer la identidad del sonido de ambas iacutees antes que insistir en un trazo (el de la ldquojrdquo) que pretendidamente representase la caligrafiacutea de una ldquoirdquo larga (Otra cosa puede ser la de su funcioacuten decorativa por ejemplo en la numeracioacuten a la romana en minuacutescula) Naturalmente estamos hablando de dos iacutees latinas contiguas y en ninguacuten modo de una ldquoyrdquo con la que esas dos iacutees contiguas han llegado en ocasiones a identificar su trazo en escritos catalanes de al menos el XVIII y el XIX Sin duda una vez admitido el uso de puntuar la ldquoirdquo se extendioacute caligraacuteficamente (no tipograacuteficamente) y por duplicado a la ldquoyrdquo o sea ldquoyumlrdquo aunque sin valor foneacutetico ni ortograacutefico alguno y sin maacutes razoacuten al parecer que la de que ese signo acaba en una doble cuacutespide La expresioacuten ldquoponer los puntos sobre las iacuteesrdquo rebasaba asiacute sus propias limitaciones Y temo que estemos encontraacutendonos ante una situacioacuten pareja a la que se produce cuando una ese alta (como la que emplea Suaacuterez en su traduccioacuten de Lalande seguacuten era de uso entonces) tan parecida a una efe se transcriba como tal efe (seguacuten vemos por ejemplo en la transcripcioacuten moderna de esa traduccioacuten llevada a cabo por Arespacochaga y Seral y en la que leemos cosas como la conferva de Plinio por la ldquoconservardquo) Otra cosa es el alemaacuten donde la ese alta seguida de una ese baja sigue conservando en su tipografiacutea un signo propio Rafael Leoacuten Maacutelaga 2005

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LAS CARTAS DE TIJERA Pensamos en el papel como la superficie sobre la que manual o mecaacutenicamente

dejamos una huella de tinta que va reproduciendo el curso del pensamiento o de la inspiracioacuten Pero en otro tiempo hubo un modo de escribir sin tinta un modo de escribir recortando en el papel con unas tijeras el trazo de unas letras no escritas por la pluma o el caacutelamo o siguiendo ese trazo con la punta al rojo de un alfiler

Una referencia en castellano sobre este arte se conservaba en las estrofas 40 a 44 de los Proverbios de Don Santo de Carrioacuten o Rabiacute Sem Tob Ardutiel contemporaacuteneo de Pedro I de Castilla y feliciacutesimo escritor tambieacuten en hebreo entre otras cosas de un Debate entre el caacutelamo y las tijeras Con el paso de los antildeos sin embargo tales estrofas de sus Proverbios habiacutean llegado a extenuar su significacioacuten

Bueno seraacute reproducirlas aquiacute previa advertencia de que en ese texto castellano (tan proacuteximo ya a lo que seriacutea el espantildeol) astroso estaacute por ruin cuidar por cavilar infinta por fingimiento ca por pues puesto que ya que dentildear por dignar meollo por interior substancioso caxcas por caacutescaras finqueacute por lsquoquedeacutersquo

Y ahora siacute reproduzcamos esas estrofas

Un astroso cuidaba Y por mostrar que era sotil yo le enviaba escripto de tisera El nescio non sabiacutea que lo fiz por infinta porque yo no queriacutea perder en eacutel la tinta Ca por non le dentildear fize vazia la llena y no lquise donar la carta sana buena Como el que tomaba meollos de avellanas para siacute y donaba al otro caxcas vanas Yo del papel saqueacute la razoacuten que deziacutea con ella me finqueacute dile carta vaziacutea

(Fragmento del opuacutesculo del mismo tiacutetulo de Rafael Leoacuten)

Lo mismo ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte punta seca lavis buril y bruntildeidor ndash 162 z 223 mm

[C-92] 12

Problema del Autoacutedromo de Sant Pere de Ribes

Enunciado En Sant Pere de Ribes cerca de Sitges provincia de Barcelona hay un circuito autoacutedromo abandonado que tiene forma oval Cada uno de los dos extremos tiene un radio estimado en 131 metros y una pendiente estimada de 60 grados sexagesimales

iquestA queacute velocidad debe ir un automoacutevil en dicha pendiente para no resbalar hacia abajo ni hacia arriba

Resolucioacuten

Sobre el automoacutevil actuacutean 2 fuerzas el peso p

y la reaccioacuten perpendicular del suelo f debida a la curva

Llamando m a la masa del automoacutevil y g a la aceleracioacuten de la gravedad se sabe

mgp =

Para que el automoacutevil no resbale el valor de f

debe ser tal que al descomponerlo en f1 y f2 se produzca

pf =1

La fuerza f2 es la fuerza llamada centriacutepeta porque su direccioacuten y sentido es hacia el centro de curvatura de la trayectoria del moacutevil es bien sabido que llamando v a su velocidad y r al radio de curvatura de la trayectoria se cumple que la fuerza centriacutefuga se puede expresar

rvmf

2

2 =

Ademaacutes la trigonometriacutea permite escribir 2

1o30 tgff

=

Las ecuaciones anteriores forman un sistema de 4 ecuaciones entre las que se puede suprimir f1 f2 p y m

222o30 tg

vrg

rvm

mg

rvm

p===

de donde despejando v y sustituyendo valores

kmh 8169ms 247057735

819 middot 13130 tg o ====rgv

Conclusioacuten Para no resbalar hacia abajo ni hacia arriba en dicha pendiente el automoacutevil debe ir a 1698 kmh Marcel Mantildeeacute

60o

p

f

f2

f1 30o

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EL TESORO OCULTO El pirata llegoacute a la isla donde decidioacute ocultar su tesoro Como puntos de referencia encontroacute un pozo (P) una roca (R) y un viejo olmo (O) Para ubicar el lugar exacto donde iba a enterrar

su arcoacuten repleto de doblones decidioacute fijar los puntos Pacute y Racute trazando las rectas PPacute perpendicular e igual a PO y RRacute perpendicular e igual a RO Finalmente unioacute con una recta los puntos Pacute y Racute determinando su punto medio T donde enterroacute el tesoro Pasado cierto tiempo regresoacute a la isla y encontroacute sorprendido que el viejo olmo habiacutea desaparecido sin dejar huella de su emplazamiento Afortunadamente el pirata era un buen

geoacutemetra y se las arregloacute para dar con el lugar exacto donde antantildeo habiacutea enterrado su tesoro iquestCoacutemo se las arregloacute Solucioacuten Si prolongamos la liacutenea PR a derecha e izquierda y bajamos a ella las perpendiculares PacuteA OD TC y RacuteB es faacutecil ver que los triaacutengulos OPD y ODR son respectivamente iguales a los PPacuteA y RRacuteB Ocurre entonces que PacuteA = PD y RacuteB = RD por consiguiente PacuteA + RacuteB = PR = 2 CT Como por otro lado AP = RB = OD C seraacute el punto medio de PR Asiacute pues para hallar T bastaraacute levantar una perpendicular a PR por su punto medio C y llevar una distancia CT igual a la mitad de PR Aristogeronte Madrid Agosto 2006

Siempre sucede ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte y aguatinta ndash 178 x 219 mm

T

R

P

O

P R

D C B A

T

R

P

O

P R

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PROBLEMA DE EDADES En un congreso mundial de matemaacuteticos coinciden tres amigos Andreacutes Blas y Carlos que conversan animadamente De su conversacioacuten extraemos los siguientes datos Andreacutes dice Mirad queacute coincidencia hoy es nuestro cumpleantildeos Blas contesta Mayor coincidencia es que la suma de los cuadrados de nuestras edades es 2490 igual al nuacutemero de asistentes al congreso Carlos expresa Todo eso es cierto Pero cuando Andreacutes tenga la edad de Blas la suma de los cuadrados de nuestras edades seraacute 3841 igual al coste en pesetas de la habitacioacuten del hotel Ademaacutes con estos datos cualquier congresista puede averiguar nuestras edades Hallar las edades Solucioacuten Las edades hoy son nuacutemeros enteros Andreacutes = x antildeos Blas = y antildeos Carlos = z antildeos Cuando Andreacutes tenga la edad de Blas habraacuten pasado (y-x) antildeos tiempo que habraacute transcurrido igual a los tres Entonces las edades seraacuten Andreacutes = x + (y-x) Blas = y + (y-x) Carlos = z + (y-x) (x + y-x)2 + (y + y-x)2 + (z + y ndashx)2 = 3841 Desarrollando x2 + y2 + z2 + (y-x) (-x +5y +2z) = 3841 Como x2 + y2 +z2 = 2490 (1) (y-x) (-x +5y +2z) = 3841 ndash 2490 (y-x) (-x +5y +2z) = 1351 Descomponemos 1351 en producto de 2 factores = 7 middot 193 y ndashx = 7 -x +5y +2z = 193 Resolviendo el sistema x = y ndash 7 z = 93 ndash 2y Sustituyendo en (1) (y ndash 7)2 + y2 + (93 -2y)2 = 2490 6y2 ndash 386y +6208 = 0 y1 = 32 y2= 973 y2 no es solucioacuten por ne entero Solucioacuten Andreacutes = 25 antildeos Blas = 32 antildeos Carlos = 29 antildeos Acebrian febrero 2006

Con razoacuten o sin ella ndash Francisco de Goya (Los

desastres de la guerra) ndash Aguafuerte punta seca lavis buril y bruntildeidor ndash

150 x 209 mm

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Reparos a la teoriacutea FSM

Qui nimium probat nihil probat (El que prueba demasiado no prueba nada)

Incluso la filosofiacutea la especulativa filosofiacutea se esfuerza por respetar las liacuteneas convencionales del razonamiento y de la loacutegica Incluso la filosofiacutea cuando examina el universo fiacutesico y la propia vida trata de conciliarse con las corrientes cientiacuteficas sobre las que hay amplio consenso Incluso la filosofiacutea cuando se ocupa de la teoriacutea del conocimiento aplicada al mundo fiacutesico corre pareja con las consideraciones maacutes asentadas de la epistemologiacutea cientiacutefica y no es raro que los tratados filosoacuteficos cuyo enfoque es la metodologiacutea del conocimiento tengan en cuenta los descubrimientos de la fiacutesica de vanguardia tales como las teoriacuteas relativistas y en especial los resultados paradoacutejicos de la fiacutesica cuaacutentica tan enormemente sugestivos al tiempo que elusivos En la biologiacutea y en lo que se refiere a las diversas manifestaciones de la vida y a los cambios de los que existe evidencia foacutesil se considera como asentada la liacutenea explicativa que parte de la exposicioacuten publicada por Darwin a comienzos de la segunda mitad del siglo XIX [1] Aunque no se tenga por definitiva y se reconozca incompleta sobre esa liacutenea maestra se elaboran actualmente explicaciones y correcciones a la misma El descubrimiento de la geneacutetica y de sus mecanismos iacutentimos ha supuesto un enorme impulso en cuanto a las investigaciones en este campo que ahora constituye un considerable tesoro de saber Por eso nos preocupa e incluso nos solivianta la corriente FSM de una explicacioacuten alternativa que seguacuten apreciamos se va abriendo camino incluso en universidades [2] Se trata de una corriente que ha experimentado un crecimiento notable en los uacuteltimos antildeos y que interpreta nuestro universo incluida la manifestacioacuten de la vida en teacuterminos del recurso a la intervencioacuten de una entidad inmaterial el FSM de la que se ofrece a veces una representacioacuten tangible a la que se le atribuyen poderes trascendentes como la omnipresencia y la capacidad ilimitada de intervencioacuten Si hemos de ser honestos debemos reconocer que los argumentos en los que se apoya la teoriacutea a la que aludimos son en principio irrebatibles Lo que es maacutes se ajustan mejor que las teoriacuteas que actualmente se tienen por cientiacuteficas a uno de los preceptos maacutes respetables de la ciencia como es el del reduccionismo metodoloacutegico Seguacuten el principio de Occam de la economiacutea (navaja de Occam) [3] en efecto cuanto menor es el repertorio de afirmaciones que haya que admitir como dadas al elaborar una teoriacutea maacutes aceptable seraacute eacutesta (laquopluralitas non est ponenda sine necessitateraquo) La teoriacutea que tratamos de rebatir cumple extraordinariamente bien con este requisito puesto que lo uacutenico que se requiere es la aceptacioacuten de la hipoacutetesis mencionada de la entidad conocida como FSM De todos modos no estaacute de maacutes recordar que lo que Occam dice exactamente es que en igualdad de condiciones la solucioacuten maacutes sencilla es probablemente la correcta Y probablemente como estaacute claro no equivale a necesariamente No obstante no podemos evitar que nos parezcan forzadas y como argumentadas ad hoc algunas de las explicaciones que da el principal abanderado de dicha corriente de pensamiento y primero en presentarla y defenderla Robert Hendenson Graduado en fiacutesicas no podemos pensar del mismo que le sea ajeno el rigor y la criacutetica cientiacutefica A pesar de todo lo cierto es que algunos de sus razonamientos son

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impecables como cuando explica el por queacute resulta aparente la edad de la Tierra estimada por los meacutetodos cientiacuteficos al uso Veamos sus razones laquo[] Lo que esas personas no comprenden es que Eacutel [el autor se refiere a la entidad FSM] hizo el mundo para hacernos creer que la Tierra es maacutes antigua de lo que realmente es Asiacute por ejemplo un cientiacutefico puede llevar a cabo un proceso de datacioacuten mediante carbono-14 sobre un artefacto y encuentra que aproximadamente el 75 por ciento del carbono-14 se ha desintegrado en nitroacutegeno-14 a causa de la emisioacuten de electrones e infiere que dicho artefacto tiene una antiguumledad de unos diez mil antildeos puesto que la vida media del nitroacutegeno-14 parece ser de 5 730 antildeos Pero lo que nuestro cientiacutefico no advierte es que cada vez que efectuacutea una medida la entidad FSM estaacute alliacute cambiando los resultados con su seudoacutepodo Disponemos de numerosos textos que describen en detalle como es esto posible y las razones por las que Eacutel lo hace Eacutel es por supuesto invisible y puede pasar a traveacutes de la materia normal con facilidadraquo Hay algo en esta explicacioacuten que no nos satisface Naturalmente es irreprochable pero cierta percepcioacuten nos dice que se aparta excesivamente del meacutetodo cientiacutefico por antonomasia La teoriacutea FSM no es por su propia naturaleza falsable de modo que de acuerdo con las tesis de Karl Popper una doctrina de ese tipo no se bate en condiciones de igualdad con el resto de las teoriacuteas por lo que ha de ser apartada como teoriacutea insana ―desde el punto de vista de la ciencia entieacutendase bien― y privada sin maacutes del derecho a contender en la arena cientiacutefica Es cierto que para Popper al contrario de lo que afirma el positivismo tiene sentido la aseveracioacuten de la existencia de la entidad FSM pero este autor delinea muy bien los liacutemites que separan tales tipos de proposiciones de las de caraacutecter cientiacutefico y la que nos ocupa queda claramente al margen de eacutestas [4]

Fig 1 ndash FSC en el instante de animar al primer ser humano Podriacutea argumentarse desde luego y aquiacute nos situamos del lado del punto de vista de Thomas Kuhn que la teoriacutea FSM nos coloca frente a un nuevo paradigma cientiacutefico Para Kuhn en efecto la ciencia no procede por agregaciones progresivas en torno a un nuacutecleo creciente de conocimientos sino antes bien por cambios abruptos del marco completo de la teoriacutea dominante lo que se conoce como

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desplazamientos del paradigma En este sentido podriacuteamos sentirnos inclinados a aceptar que el paradigma FSM nos traslada a un marco radicalmente nuevo No obstante la ciencia no se caracteriza por cambios de naturaleza tan radical Antes bien en los cambios de paradigma a que alude Kuhn siempre ha ocurrido que los nuevos formalismos incluyen a los anteriores en el sentido de que eacutestos se recuperan por paso al liacutemite con respecto a ciertas condiciones o paraacutemetros que han cobrado maacutes generalidad en la nueva teoriacutea Y esto no ocurre en absoluto con la propuesta FSM que prescinde del todo del acervo de saber histoacuterico Nos sentimos obligados a denunciar tambieacuten que las representaciones de la entidad FSM son en cierto modo antropomoacuterficas Sugeririacuteamos prescindir de lo que parecen ser unos ojos y un soma central para dejarlo reducido al conjunto de seudoacutepodos que podriacutean llegar a identificarse con los filamentos de la teoriacutea de cuerdas o en su enmadejamiento formar el tejido de las supercuerdas La ubicuidad podriacutea sustituirse por un nuacutemero ilimitado de copias del FSM actuando en resonancia no local El universo volveriacutea a ser de este modo de nuevo cartesiano dominado por un plenum que lo abarca todo La actuacioacuten instantaacutenea a distancia estariacutea avalada por la verificacioacuten de las condiciones de Bell relativas a la paradoja EPR que ha significado el espaldarazo a la no localidad en el mundo fiacutesico A pesar de todo algo en nuestro interior nos dice que la doctrina FSM es aberrante Quizaacute se deba al lastre de la educacioacuten recibida Despueacutes de todo uno es irremediablemente producto de la forja de su tiempo y nunca es faacutecil superar esa inercia intelectual Hijo ―o debiera decir posiblemente prisionero― de la edad de la razoacuten yo presiento con temor que una nueva Edad Media y estoy pensando en su lastre de oscurantismo se alza amenazante en el horizonte y la melancoliacutea me atenaza amargamente el corazoacuten P Crespo septiembre 2006 [1] On the Origin of Species by Means of Natural Selection or The Preservation of Favoured Races in the Struggle for Life abreviado como The Origin of Species (El origen de las especies) publicado en 1859 Este libro establecioacute la evolucioacuten (cambios espontaacuteneos hereditarios que se imponen cuando son favorables a la especie habida cuenta de los condicionantes del entorno) a partir de un ascendiente comuacuten como la explicacioacuten cientiacutefica dominante de la diversificacioacuten de las formas de la vida en la naturaleza [2] Home page httpwwwvenganzaorg

[3] William of Occam fraile franciscano ingleacutes del siglo XIV (aprox 1285-1349) Lo que se conoce como la navaja de Occam era un principio muy comuacuten en la filosofiacutea medieval (el principio de economiacutea o de parsimonia) y no tuvo su origen con Willian de Ockham pero debido al uso frecuente que eacuteste le daba a dicho principio su nombre acaboacute inseparablemente ligado a eacutel

[4] Karl Popper (1902 1994) La loacutegica de la investigacioacuten cientiacutefica (Logik der Forschung 1934 ciacuterculo de Viena) En esta obra el filoacutesofo austriacuteaco abordoacute el problema de los liacutemites de demarcacioacuten entre la ciencia y proposiciones de otro caraacutecter Para Popper la clave estaacute en reconocer que el conocimiento cientiacutefico no avanza confirmando nuevas leyes sino descartando las que contradicen la experiencia lo que constituye el proceso de falsacioacuten Soacutelo han de admitirse como proposiciones cientiacuteficas aquellas para las que al menos conceptualmente es posible un experimento que las contradiga [5] Thomas Kuhn (1992 1996) Este cientiacutefico norteamericano es famoso principalmente por su libro La estructura de las revoluciones cientiacuteficas (1962) La idea que preside el pensamiento de Kuhn es la de que la ciencia no progresa por acumulacioacuten de nuevo conocimiento sino por desplazamientos de los paradigmas que transforman abruptamente la naturaleza del conocimiento

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Matemaacuteticas de los poliacuteticos vascos Patxi Igandekoa

Pongamos el tiacutepico sistema de ecuaciones de primer grado de dos incoacutegnitas x+y=5 4x-2y=2 (Antes ensentildeaban a resolverlos en 1ordm de BUP ahora en las academias cercanas a la Escuela de Ingenieros de Bilbao) Vaya por adelantado que la solucioacuten es x=2 y=3 No nos interesa esto sino la forma en que lo resolveriacutean dos miembros destacados de nuestra clase poliacutetica El Lehendakari Ibarretxe por ejemplo no tendriacutea dificultad Gracias a su formacioacuten y oficio de economista el valor de las incoacutegnitas aparece ipso facto en su mente sin necesidad de calcular nada Sin embargo eacutel querriacutea hacerlo con fundamento a la vasca Primero lo resolveriacutea por medios algebraicos y comprobariacutea si las soluciones cuadran Despueacutes empleariacutea el meacutetodo graacutefico pediriacutea papel boliacutegrafo y una regla y trazariacutea un eje de coordenadas cifras y finalmente dos rectas bien diaacutefanas y se asegurariacutea de que ambas se cortan en el par de valores correcto Acto seguido llamariacutea a un comiteacute de expertos del Gobierno Vasco y someteriacutea el asunto a su examen para que redactaran un informe en el que se estableciera sin ninguacuten geacutenero de dudas que la solucioacuten al sistema de ecuaciones propuesto vaacutelida tanto en Euskadi como en el resto de un universo eucliacutedeo es la que figura en los caacutelculos de Lehendakaritza Pero la cosa no termina aquiacute porque luego Josu Jon Imaz (otro peso pesado de las ciencias exactas) convocariacutea una mesa de partidos para buscar una solucioacuten paralela ndashpero concordante- al problema mediante acuerdos que incluyan a todas las sensibilidades del paiacutes Para un tema de intereacutes general como este ni siquiera el PP podriacutea negarse y a la exactitud de las estimaciones numeacutericas se antildeadiriacutea finalmente la sancioacuten democraacutetica del consenso Euforia y satisfaccioacuten en el EAJ-PNV ldquoHemos tardado lo nuestro pero valioacute la pena Trabajando duro y con meacutetodo nos hemos puesto las pilas comenzamos el curso con los deberes hechos etc etcrdquo iquestY Patxi Loacutepez iquestCoacutemo reaccionariacutea delante del mismo problema Imaginen a uno de sus correveidiles pasaacutendoselo por encima de su ejemplar abierto de ldquoEl Correo Espantildeolrdquo en plena sesioacuten del Parlamento Vasco Apresurada lectura treacutemulo parpadear de ojos bailoteo de cifras en la mente ruido apenas perceptible producido por el rozamiento de unos dedos sobre la sienhellip ldquoNada otra engantildeifa del Lehendakari iexclSe va a enterar de esto en mi proacutexima rueda de prensardquo Apliacutequese el procedimiento de costumbre enviar por valija del partido a la calle Ferraz para que lo resuelvan alliacuterdquo Y alliacute efectivamente son nada menos que Joseacute Luis Rodriacuteguez Zapatero Presidente del Gobierno de Espantildea y Joseacute Blanco su iacutenenarrable y gallego jefe de bomberos quienes se encargan de despejar las incoacutegnitas Podemos imaginarnos el resultado ldquoiquestAlgebra iquestGraacuteficos cartesianos iexclUff somos de letras iquestQueacute tal si traemos a nuestro informaacutetico para que eche una manordquo ldquoNo mucho maacutes simple Joseacute Luis hacemos x=0 y=0 y ya estaacute Yo seacute algo de matemaacuteticas lo suficiente para recordar que a esto lo llaman lsquosolucioacuten trivialrsquo Es perfectamente legiacutetimo iquestQueacute te parecerdquo ldquoDe entrada bien Pepe Pero asi no puedes resolver un sistema de primer grado iexclel resultado no coinciderdquo ldquoNo importa lo quitamos tambieacuten Escondemos el 5 y el 2 cubrieacutendolos con typex ndashya nos ocuparemos de ellos en la proacutexima legislatura- y hacemos ambas expresiones iguales a cero Ahora las incoacutegnitas siacute coinciden con la ventaja antildeadida de que entonces las de Imaz no Hemos resuelto el problema de matemaacuteticas vasco reducieacutendolo a la no existencia Jean-Paul Sartre estariacutea orgulloso de nosotrosrdquo La solucioacuten es transmitida por mensajero (a portes debidos) a Sabin Etxea donde sesudos jeltzales la examinan moviendo la cabeza a un lado y a otro Habraacute que invertir mucho en centros de caacutelculo si queremos avanzar en el proceso de normalizacioacuten Al menos queda el consuelo de que si alguien quiere volar preferiraacute subirse a un aeroplano disentildeado por Ibarretxe que a otro construido con las matemaacuteticas que ensentildean en el Partido Socialista de Euskadi Publicado en Izaronews 6-9-2006

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Si las palabras de Chillida estaacuten recogidas con fidelidad lamento no estar de acuerdo con ellas porque no creo que las personas se encasillen tan faacutecilmente Pero de todos modos si ustedes creen que represento ese problema no tienen maacutes que haceacutermelo saber Porque como anuncieacute en la seccioacuten correo tireacute mi regla de caacutelculo al riacuteo para mirarla como se hundiacutea (era el uacuteltimo recuerdo del carintildeo que yo le teniacutea etc) y comienzo mis pinitos en cuentos cortos (muy cortos prometido) y otras atrevidas incursiones

[La figura es un recorte del libro de vintildeetas-paacutegina laquoel Arte - conversaciones imaginarias con mi madreraquo de Juanjo Saacuteez Aunque sus ideas sobre el arte parecen discutibles es un libro entrantildeable]

Una uacuteltima advertencia relativa al cuento que sigue y dirigida a los que puedan sacar la conclusioacuten de que tengo imaginacioacuten desviada las hemerotecas son del 29 de noviembre de 2003

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Caperucitas blancas En memoria de Joseacute Couso porque nos volvimos maacutes ciegos cuando sus ojos se apagaron

Una nintildea hasta haciacutea poco ahora cuajada en mujer moldeada por quince primaveras Faacutetima era la mayor de las dos hermanas La pequentildea Azraa a sus doce antildeos era todaviacutea un incipiente brote femenino delicado y menudo

Noviembre agotaba sus diacuteas y haciacutea cuatro que habiacutean empezado las fiestas del fin del Ramadaacuten el mes sagrado del ayuno Ese jueves la ilusioacuten se asomaba a los rostros de ambas hermanas porque iriacutean a cenar a casa de su abuela y pasariacutean la noche con ella Habriacutea puchero y berenjena rellena y despueacutes los dulces de pistacho y de miel y antes de dormir las historias de la lsquoyaddarsquo Jazmina ―la abuelita― llenas del encanto de otros tiempos cuando en los mercados de Baaquba competiacutean entre siacute los colores de los frutos las especias las telas y las alfombras y los asnos eran amigos resignados de los hombres y los paacutejaros hablaban con los nintildeos y eran alegres y eran parlanchines y traiacutean noticias de lugares exoacuteticos

La madre preparoacute una cesta con los pastelillos para el postre Pero la abuela habiacutea expresado el temor de no disponer de lentildea suficiente asiacute que las pequentildeas debiacutean pasar antes por el huerto del tiacuteo Abbash que siempre teniacutea preparada una reserva de lentildeos y sarmientos y habiacutea dado licencia a la familia para recoger de su finca todo aquello que fuera necesario Para llegar al huerto era obligado atravesar un trecho boscoso no era cosa de permitir que las sorprendiera la noche y puesto que la tarde ya se habiacutea insinuado las nintildeas se pusieron con diligencia en camino La pequentildea llevaba apoyada contra su cintura la cesta con los dulces y la mayor se hizo cargo de dos piezas de tela destinadas a sujetar la lentildea y de un hacha pequentildea para trocear los sarmientos

Ya en la finca llevoacute maacutes tiempo del previsto preparar los vaacutestagos para adecuarlos al tamantildeo de la menor de las muchachas y las sombras no esperaron Ante el asomo de la noche las nintildeas iniciaron el regreso en direccioacuten a la casa de la abuela cada una con su hatillo a la espalda la menor abriendo paso con la cesta de los pasteles en su regazo seguida de cerca por su hermana

A menos de cincuenta metros de alliacute Lobo Feroz Dos miraba por el visor de

infrarrojos e informaba de la escena a su compantildeero En el sendero que lindaba con el bosque dos siluetas blanquecinas se recortaban en la oscuridad en contraste con la espesura y los pantildeuelos que cubriacutean sus cabezas las perfilaban como dos caperucitas que se moviacutean avanzando deprisa La mayor pareciacutea sujetar una pistola en su mano

―Lobo Feroz Uno llamando a Halcoacuten Pardo ge-pe-ese delta sur uno doce oeste cero quince Dos sospechosas a la vista parecen llevar armas Esperamos instrucciones Cambio

―Halcoacuten Pardo a Lobo Feroz Ya conocen las consignas Cambio ―Parecen dos nintildeas― apuntoacute Lobo Feroz Dos ―Lobo Feroz Uno a Halcoacuten Pardo Es posible que se trate de dos menores

Solicitamos refuerzos para comprobacioacuten Cambio ―Sargento le recuerdo que estamos en la Operacioacuten Martillo de Hierro Debe

proceder seguacuten la consigna Cambio y corto ―Hemos de disparar― dijo Lobo Feroz Uno a Lobo Feroz Dos ―Pero ― balbuceoacute eacuteste ―Oacuterdenes Encaacutergate del objetivo de la izquierda yo tirareacute sobre el derecho

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La cabeza de Faacutetima se quebroacute como se rompe el fruto del granado cuando se lo arroja con fuerza contra el suelo Con su velo blanco habiacutea sido Caperucita Blanca mientras se desplomaba fue Caperucita a topos rojos poco tiempo despueacutes bajo los focos luminosos era Caperucita Roja yaciendo sobre la hierba del lindero del bosque ya para siempre dormida sus intensos ojos negros abiertos en un gesto uacuteltimo de asombro irracional A su lado la pretendida pistola no era sino el hacha nimia que le habiacutea servido de herramienta

Cerca de ella Azraa acribillada se debatioacute en el suelo durante un tiempo entre espasmos y dentelladas de dolor Desprendido el pantildeuelo varias manchas tentildeiacutean de carmiacuten sus cabellos que hasta entonces habiacutean sido siempre de un azabache casi mineral

La fase siguiente de la laquoOperacioacuten Martillo de Hierroraquo se puso en marcha Uno de los confidentes convocados reconocioacute a las muchachas e indicoacute a los soldados la situacioacuten de la cercana casa de la abuela en los andurriales de la ciudad

La puerta cedioacute ante el explosivo y saltoacute arrancada de cuajo junto con sus goznes Disipado el humo los soldados pudieron distinguir a una anciana enmudecida por el terror y desplomada sobre su cama Se registroacute la casa Dos humildes cuchillos de cocina fueron las uacutenicas armas encontradas

Cuando al diacutea siguiente fueron lavados los cuerpos de las nintildeas el agua sanguinolenta se desparramoacute por el patio y discurrioacute por albantildeales hasta verter en el riacuteo Tigris Diacuteas maacutes tarde en la orilla izquierda de la corriente a un rosal le brotariacutean rosas algo maacutes rojas y un limonero dariacutea limones amargos en la ribera derecha

La sangre de las nintildeas se entremezcloacute en el riacuteo en un postrero abrazo fraternal El sol hizo luego su labor de horno y partiacuteculas de sangre de Faacutetima y de Azraa ascendieron asidas al agua evaporada Desde entonces los atardeceres son algo maacutes escarlata en la tierra que otrora fue Mesopotamia y en todo el orbe resuena el eco milenario de las palabras del Antiguo Testamento dichas para los oiacutedos de los violentos laquoCaiacuten iquestqueacute has hecho de tu hermanoraquo P Crespo

Las camas de la muerte ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte lavis punta seca buril y bruntildeidor ndash 177 x 221 mm

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Reggae reggaehellip (riacutea riacutea)

La escuela y el alumnado

Eacutesta es la coleccioacuten de disparates maacutes sonados cometidos por alumnos de ESO y bachillerato en exaacutemenes de geografiacutea e historia

Perlas variadas bull Al final de la edad media empiezan a

imponerse normas morales como no masticar la sopa

bull Una de las principales manifestaciones del arte goacutetico fueron las piraacutemides que como todo el mundo sabe son apuntadas

bull A partir del Concilio de Trento el matrimonio cristiano debiacutea ser consumado en presencia de un sacerdote

bull Despotismo ilustrado los reyes teniacutean todo el poder pero teniacutean que obedecer cuando el pueblo se poniacutea de acuerdo entre ellos

bull A la juventud hitleriana la preparaban tan bien que al cabo de un antildeo eran capaces de matar a su madre

bull iquestQueacute opinas de la Constitucioacuten Que es buena y guapa

bull Actualmente el paiacutes maacutes pequentildeo de Europa es San Pedro del Vaticano

bull El rey puso a Franco para que trajera la democracia

bull Franco era el rey que habiacutea antes de Juan Carlos I

bull Espantildea no participoacute en la Segunda Guerra Mundial porque Hitler teniacutea miedo de Franco

bull Franco fue un poliacutetico dictador que consiguioacute imponer durante el reinado de Felipe II un reacutegimen dictatorial

bull No seacute en queacute antildeo murioacute Franco pero seacute que murioacute asesinado

bull Democracia es cuando hay gente que mata otra gente o cuando un paiacutes echa bombas a otro o se pegan unos a otros pues esto es democracia

bull Cartografiacutea las faltas de ortografiacutea bull Un paralelo es una de aquellas liacuteneas que

dividen la Tierra en trozos pero es imaginario

bull Continente partiacuteculas de tierra donde vivimos nosotros

bull Anticicloacuten es la temperatura caliente y se mide en milibares

bull Caacutetedra pensioacuten o escuela para los que queriacutean ser curas

bull Petroacuteleo se obtiene por tuberiacuteas llamadas oleoductos y sirve de combustible

bull Desarrollo sostenible es el desarrollo que no es ni alto ni bajo es decir es mediano

bull Poliacutegono hombre con muchas mujeres bull Delta es un riacuteo que lleva muy poca

agua bull Capital de Alemania Merliacuten bull Principales cultivos espantildeoles la uva

que produce el gran aceite que se fabrica en Espantildea

bull Islas de Oceaniacutea Islas Haguai bull Los vientos huracanados producen a

veces atauacutedes de nieve bull La pintura al fresco consiste en pintar al

aire libre bull Sufragista quiere decir que siempre estaacute

navegando por los mares bull La Guerra Friacutea se caracteriza por matar

gente a sangre friacutea bull Hambre endeacutemica es la que pasa cuando

hay epidemias bull La explosioacuten demograacutefica se produce

porque en algunos paiacuteses se producen islas producto de una erupcioacuten volcaacutenica que bastante grandes como para ser evitadas

bull Estado del bienestar significa que todo lo que es puacuteblico se ha de cuidar

bull Deuda externa es si vas aun supermercado y quedas a deber mucho si no tienes dinero Esto es la deuda externa

Serrano J Reboredo J (2005) Perlas variadas en Historia de Espantildea contada por estudiantes Madrid La Esfera de los libros (Remitido por M Dolors Hipoacutelito)

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iexclLas modelos no somos estuacutepidas Pregunta iquestEn queacute paiacutes la estaacuten solicitando como modelo Respuesta No lo puedo decir todaviacutea pero les puedo adelantar que es un paiacutes brasilentildeo que no queda muy lejos de aquiacute (Kate Moss ex modelo de Calvin Klein) Pregunta Si llegara un holocausto nuclear iquestqueacute pareja elegiriacutea Ud en todo el mundo (hombre y mujer) para preservar y multiplicar la especie humana Respuesta Al Papa y a la Madre Teresa de Calcuta (Carolina Zuntildeiga candidata a Miss Chile) El fumar mata Si te mueres has perdido una parte muy importante de tu vida (Brooke Shields entrevista para una campantildea federal antitabaco) Pregunta Si usted pudiera vivir siempre iquestlo hariacutea iquestpor queacute Respuesta Yo no viviriacutea siempre porque no deberiacuteamos vivir siempre porque si se supusiera que debieacuteramos vivir siempre entonces viviriacuteamos siempre pero no podemos vivir siempre que es por lo cual yo no viviriacutea siempre (Miss Alabama en el concurso Miss America 1999) Esa rastrera sinverguumlenza merece ser matada a patadas por un asno iexclY yo soy justo la indicada para hacerlo (Declaracioacuten de Claudia Shiffer sobre Naomi Campbell) No es la contaminacioacuten la que estaacute dantildeando el ambiente Son todas las impurezas en nuestro aire y en nuestra agua las que lo estaacuten haciendo (Pamela Anderson) No he cometido ninguacuten delito Lo que hice fue no cumplir con la ley (Jennifer Lopez al ser detenida junto con Puff Daddy) Siempre que veo la tele y veo a esos pobres nintildeos hambrientos en todo el mundo no puedo evitar llorar Quiero decir me encantaria ser asiacute de flaquita pero no con todas esas moscas y muerte y esas cosas (Mariah Carey cantante) Tomado de Internet por JMaiO 2006 Jacinto Benavente y la coma Doctor Mi previsioacuten se anticipa a todo Bastaraacute con puntuar debidamente alguacuten conceptoVed aquiacute donde dicerdquo Y resultando que no declaroacuterdquo basta una coma y dice ldquo Y resultando que no declaroacuterdquo Y aquiacuterdquoY resultando que no debe condenaacuterselerdquo fuera la coma y dice Y resultando que no debe condenaacuterselerdquo Crispiacuten iexclOh admirable coma iexclMaravillosa coma iexclGenio de la Justicia iexclOraacuteculo de la Ley iexcl Monstruo de la Jurisprudencia Jacinto Benavente Los Intereses Creados Acto segundo escena final

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Tomo una y entrego dos Mariano Nieto propone en [C-90] (seccioacuten correo) el problema que sigue En una urna hay una bola blanca y otra negra Se saca al azar una de ellas y se

devuelve a la urna acompantildeada de otra del mismo color Esta operacioacuten se repite un nuacutemero indefinido de veces

iquestCuaacutel es la probabilidad de que cuando la urna contenga 20 bolas haya 10 de cada color Solucioacuten

Sea (b n) la composicioacuten de la urna con b bolas blancas y n negras y llamemos etapa a cada intervencioacuten que extrae una bola de la urna y devuelve dos Convengamos en que la configuracioacuten de partida (11) corresponde a la etapa 1 En la etapa 2 tendremos las dos configuraciones posibles de la urna (21) y (12) asociadas con la misma probabilidad de 12

Esta simetriacutea inicial nos sugiere el siguiente procedimiento por induccioacuten Si suponemos que en la etapa n cada una de las n configuraciones posibles

(n 1) (n ndash 1 2) (n ndash 2 3) (n ndash a a + 1) (2 n ndash 1) (1 n) [1] tiene la misma probabilidad p de ocurrir (con p =1n por lo tanto) podemos calcular las probabilidades y configuraciones de la etapa n + 1

a) La probabilidad de la configuracioacuten (n + 11) (rama izquierda del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(n + 11) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

b) La probabilidad de la configuracioacuten (1 n+1) (rama derecha del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(1 n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

c) La configuracioacuten (n ndash a a + 2) con 0 le a le (n ndash 2) para asegurar que se recorre el rango de configuraciones de la etapa (n + 1) con exclusioacuten de las extremas antes consideradas proviene de (n ndash a a + 1) tras sacar una bola negra o bien de (n ndash a ndash 1 a + 2) luego de resultar blanca la bola extraiacuteda Su probabilidad seraacute por lo tanto

p x (a + 1) (n + 1) + p x (n ndash a ndash 1) (n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

de modo que todas las configuraciones de la etapa n + 1 tendraacuten tambieacuten la misma probabilidad en este caso 1(n + 1)

En la etapa 3 por ejemplo es faacutecil ver que las 3 configuraciones posibles (3 1) (2 2) y (1 3) comparten la probabilidad 13 Asiacute pues el meacutetodo de induccioacuten nos permite concluir que en la etapa n es decir tras n ndash 1 operaciones con la urna eacutesta contendraacute (n + 1) bolas y tendremos las n configuraciones posibles [1] a cada una de las cuales le corresponde la misma probabilidad 1 n

La configuracioacuten (10 10) por la que pregunta el problema perteneceraacute por lo tanto a la etapa n = 19 (tras 18 operaciones con la urna) y en consecuencia su probabilidad seraacute igual a 1 19 algo mayor que 526 por ciento

En general a la configuracioacuten (b n) donde b es el nuacutemero de bolas blancas y n el de negras siendo b y n nuacutemeros naturales cualesquiera ya que cualquier configuracioacuten es alcanzable le corresponderaacute la probabilidad p(b n) = 1 (b + n ndash 1) P Crespo septiembre 2006

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iquestDe doacutende sale el nuacutemero e Un escuchante miacuteo de RNE en el programa sobre matemaacuteticas de los antildeos 2005-06 me hace la siguiente consulta Cuando estudiaba sexto de bachillerato (plan de ensentildeanza 1957) un dia el profesor de matemaacuteticas llegoacute a clase y dijo Hoy toca el nuacutemero e Y a continuacioacuten escribioacute en la pizarra la expresioacuten conocida de liacutemite cuando n tiende a infinito de 1 maacutes 1 partido por n elevado a n La desarrolloacute por el binomio de Newton y obtuvo el conocido resultado de 2718281 Despueacutes nos dijo que el numero e era muy importante en matemaacuteticas y que se utilizaba para la base de los logaritmos neperianos Es curioso ver como la derivada del logaritmo neperiano de x = 1x EXACTO siendo la base del logaritmo un nuacutemero absolutamente INEXACTO IRRACIONAL Realmente me quedeacute sorprendido Primero de coacutemo al baroacuten de Neacuteper se le habiacutea ocurrido utilizar como base de logaritmos a un nuacutemero irracional y segundo por queacute nunca me explicaron a quieacuten se le ocurrioacute calcular el liacutemite de la expresioacuten (1+1n)n iquestPor queacute se le ocurrioacute a alguien esta expresioacuten y no otra iquestDe donde surgioacute tal necesidad Creo que eso era lo primero que mi profesor de matemaacuteticas teniacutea que habernos contado antes de calcular el liacutemite Probablemente el profesor no conociacutea la respuesta que efectivamente es difiacutecil de encontrar en los actuales libros de texto La definicioacuten actual de logaritmo de un nuacutemero es ldquoel exponente a que hay que elevar una base dada para obtener dicho nuacutemerordquo Asiacute por ejemplo en base 10 el logaritmo de 2 es log10 2 = 0301030 porque 100301030 = 2 (aproximadamente) Pero Neper no concibioacute asiacute el logaritmo para eacutel era el resultado de comparar una progresioacuten aritmeacutetica y otra geomeacutetrica Los teacuterminos de la primera seriacutean los logaritmos de los de la segunda Esto se ve muy claro en esta tabla en la que la razoacuten de la progresioacuten aritmeacutetica es 1 y la de la geomeacutetrica es 10

Progresioacuten aritmeacutetica (razoacuten 1) -3 -2 -1 0 1 2 3Progresioacuten geomeacutetrica (razoacuten 10) 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103

De la propia estructura de ambas progresiones se desprende que un producto de teacuterminos en la progresioacuten geomeacutetrica se corresponde con una suma en la progresioacuten aritmeacutetica Asiacute por las propiedades de los productos de potencias de una misma base seraacute log (xy) = log x + log y y tambieacuten log (xk) = k log x etc Por la misma tabla en la base 10 log (10-3) = log (0001) = -3 log (102) = log (100) = 2 etc Pero iquestqueacute ocurre con los valores intermedios iquestCoacutemo definir para ellos un logaritmo Neper intentoacute responder esta pregunta considerando dos progresiones de razones respectivas α y 1+β siendo (α β) muy pequentildeos Entonces dado un nuacutemero N siempre se podriacutea encontrar un valor n tal que (1+ β)n = N (dentro de una aproximacioacuten suficiente) Entonces el logaritmo de N seriacutea nα Las progresiones maacutes sencillas imaginables son aqueacutellas para las que α = β Entonces seraacute

log N = log [(1+α)n] = nα En esta expresioacuten n seraacute muy grande y α seraacute muy pequentildeo Haciendo nα = L podemos escribir la anterior igualdad

log N = log [(1+ α)1α]nα = log [1+ α)1α]L

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Definamos ahora el nuacutemero e como el liacutemite de (1+α)1α cuando α se hace infinitamente pequentildeo o sea

α

αα

1

0)1(lim +=

rarr

e

Y la expresioacuten se simplificaraacute notablemente

log N = log eL = L log e Resulta inmediatamente que el nuacutemero e = 2718281hellip es la base de logaritmos maacutes conveniente desde el punto de vista teoacuterico pues en ella seraacute log e = 1 Eacutestos son llamados los logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos (este uacuteltimo nombre procede de que miden el aacuterea subtendida entre una hipeacuterbola y su asiacutentota) El nuacutemero e es sin duda el maacutes importante en matemaacuteticas aunque π sea maacutes popular Se recuerdan sus primeras cifras con la mnemotecnia Te ayudareacute a recordar la cantidad a indoctos si releacuteesme bien Se aplica por el nuacutemero de letras de cada palabra Te = 2 ayudareacute = 7 etc En la praacutectica son maacutes usados los logaritmos decimales o de Briggs que tienen por base el nuacutemero 10 Presentan la ventaja de que la parte decimal de cada logaritmo (mantisa) no cambia al ser multiplicado el nuacutemero por una potencia de 10 lo que hace muy praacutecticas las tabulaciones El paso de los logaritmos de una a otra base es muy sencillo mediante el nuacutemero M = log 10 = 2302585 Se deduce sin dificultad que log x = M log10 x Josep M Albaigegraves Barcelona octubre 2006

El nuacutemero e es el uacutenico que verifica que el valor de la derivada (inclinacioacuten de la tangente en rojo en la figura) de f(x) = ex para cualquier valor de x es igual al valor de f(x)

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Cruzando el desierto en jeep Enunciado (propuesto por Mariano Nieto en C-83 seccioacuten correo) Un jeep ha de atravesar un desierto de 800 kiloacutemetros Admite una carga maacutexima para recorrer 500 kiloacutemetros y se quiere conocer la menor cantidad de tales cargas que hay que consumir para alcanzar la meta El depoacutesito inicial se supone de capacidad ilimitada y el jeep puede establecer tantos depoacutesitos intermedios como haga falta Se desea conocer tambieacuten el nuacutemero de viajes parciales que lleva a cabo el jeep teniendo en cuenta que ante dos soluciones iguales (mismo consumo) se preferiraacute la que implique menos viajes parciales Planteo

Supongamos que se depositan cargas en los puntos 1 2 hellipi hellipy llamemos ci a la carga del depoacutesito en el punto i y cf a la del punto siguiente i + 1 Si la distancia entre ambos puntos es d para transportar la carga del punto i al i +1 se necesitaraacuten n viajes de ida y vuelta y un uacuteltimo viaje de ida El depoacutesito en el punto i constaraacute pues de n cargas para 500 km y un remanente al que llamaremos cr Podemos plantear las ecuaciones siguientes

cf = (500 - 2d) n + cr - d (1) ci = 500 n + cr (2) r = (2n + 1) d (3) cr = 500 (4)

donde r es el recorrido del jeep (equivalente a la carga consumida) en el transporte entre ambos depoacutesitos

Los caacutelculos han de efectuarse retrocediendo desde el final hasta la situacioacuten de salida (o sea pasando desde el depoacutesito i +1 al i) para garantizar que se transporta siempre la cantidad miacutenima precisa Cuidaremos tambieacuten de que el valor de n sea el menor posible puesto que los viajes de ida y vuelta aunque necesarios son obviamente menos eficaces en cuanto a rendimiento que los directos Solucioacuten Las ecuaciones anteriores sugieren una viacutea para la solucioacuten del problema basada en separar los tramos para los cuales n (nuacutemero de viajes de ida y vuelta) se mantiene constante El valor de n iraacute en aumento al progresar desde el final hacia el inicio puesto que la capacidad de los depoacutesitos iraacute aumentando en ese sentido y cada vez que se produzca un incremento de 500 km de carga se haraacute necesario aumentar n en una unidad Asiacute pues tendremos 1- Tramo con n = 0 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se progresa desde el final (punto kilomeacutetrico 800) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 0 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

cf = cr ndash d

Como la carga final cf es nula al llegar al punto final (800 km) y es cr = 500 (el maacuteximo posible) basta con llevar a cabo un viaje de ida solamente que salva la distancia d = 500 km El consumo es justamente de 500 km o una carga Esto nos

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coloca a una distancia del origen de 300 km con un depoacutesito con carga para 500 km en dicho punto al que llamaremos D 2 - Tramo con n = 1 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se calcula desde el final (punto kilomeacutetrico 300) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 1 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

500 = 500 - 2d + cr - d = 500 + cr ndash 3 d Hasta que se agote la carga residual maacutexima cr = 500 tendremos

d = 500 3 (5)

La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =1 (es decir donde se pasa de n =1 a n =2 si se lee desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 1) = 300 ndash 5003 = 4003 = 133 3333hellip km El consumo en todo este tramo final (donde n =1) seraacute

consumo (n = 1) = 3 d = 3 times 5003 = 500 Tenemos asiacute tres viajes de 5003 km Al final de la operacioacuten se habraacute transportado una carga de 500 km con un consumo de 500 km tal como se ha calculado antes Como ya se ha visto nos hallamos ahora a una distancia del origen igual a 4003= 133333hellip km Bautizamos este punto como C donde el depoacutesito tendraacute una carga para 1000 km 3 Tramo con n = 2 Ahora la foacutermula (1) se expresa

1000 = 1000 - 4d + cr - d = 1000 + cr ndash 5 d Para una carga residual maacutexima cr = 500 seraacute

d = 5005 = 100 (6) La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =2 (es decir donde se pasa de n =2 a n =3 leyendo desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 2) = 400 3 - 100 = 100 3 = 333333hellipk m El consumo en todo este tramo (donde n =2) seraacute

consumo (n = 2) = 5 d = 500 Se salva una distancia de 100 km y se comprueba que el consumo seraacute de 5 times 100 = 500 La carga transportada seraacute de 2 times 300 + 400 = 1000 km carga que se deja en el depoacutesito C En este punto B nos encontramos a una distancia del origen de 1003 = 33333hellip km y con un depoacutesito con carga para 1500 km

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4 Tramo con n = 3 En este caso la foacutermula (1) es

1500 = 1500 - 6d + cr - d = 1500 + cr - 7d Tendremos ahora d = 5007 gt 100 3 desigualdad que nos dice que la distancia que puede cubrirse con n = 3 supera la distancia que nos separa del origen Asiacute que bastaraacute trabajar de forma que se tenga

d = 1003 (7) Con estas condiciones el consumo correspondiente valdraacute

consumo (n = 3) = 7 d = 700 3 El nuacutemero de viajes seraacute ahora igual a 2 n + 1 = 7 cada uno de los cuales cubre la distancia d = 1003 La carga que se toma del depoacutesito inicial seraacute 1500 + 7003 Consumo total El consumo total que se busca seraacute por lo tanto exactamente Consumo total = 500 (para recorrer los uacuteltimos 500 km n = 0) + 500 (n = 1) + + 500 (n = 2) + 7003 (n = 3) = 1500 + 7003 lo que expresado en cargas resulta ser (1500 + 7003) 500 = 3+7 15 = 34666hellip El nuacutemero total de viajes resulta ser sumando los de las etapas parciales igual a 16 La tabla 1 muestra los valores relevantes para cada una de las etapas dispuestos ahora desde el inicio hasta el final

Km n viajes d (km) consumo (km) carga (km) A (origen) 1500 + 700 3

0 a 1003 (B) 3 7 100 3 700 3 1500 1993 a 4003 (C) 2 5 100 500 1000 4003 a 300 (D) 1 3 500 3 500 500 300 a 800 (E) 0 1 500 500 0

TOTALES 16 800 1500 + 700 3 Tabla 1

El resultado es por tanto Consumo = (1500 + 700 3) 500 = 3 + 7 15 = 34666hellipasymp 347 Viajes = 16 Notas finales Otra cuestioacuten que suscita este problema es la de si existe una limitacioacuten a la anchura del desierto que se ha de atravesar La respuesta es que no existe tal liacutemite puesto que como se aprecia sin dificultad la taacutectica para ir situando combustible en posiciones avanzadas y que expresan las ecuaciones (1) a (4) permite trabajar a partir de cualquier distancia P Crespo noviembre 2006

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Pitaacutegora y su relacioacuten con los proyectiles

El otro diacutea andando por la calle vi el anagrama de una empresa de consulting

Como puede verse el siacutembolo de la empresa es (aproximadamente) el tan conocido triaacutengulo pitagoacuterico de lados 3 4 y 5 Lo vemos inscrito en un cuadrado el miacutenimo que puede contenerlo iquestCuaacutel es el lado de este cuadrado

Solucioacuten Llamemos α al aacutengulo que forma el cateto largo con el lado vertical del cuadrado Es

inmediato establecer las ecuaciones

4 cos α = L = 4 sin α + 3 cos α Que permite llegar a la igualdad

cos α = 4 sin α De donde se obtiene tan α = α o sea α = 14036ordm El lado vale L = 4 cos 14036ordm = 38806 Es curioso que este aacutengulo es el mismo con el que debe ser lanzado un proyectil para

que la altura alcanzada sea igual al alcance En efecto la primera vale

gvh

2sin 22

0max

ϕ=

Mientras que el alcance es

gvx ϕ2sin2

0=

Igualando ambas ecuaciones se llega a cos φ = frac14 El aacutengulo φ es el complementario

del α antes hallado El proyectil deberiacutea dispararse tangente al cateto de lado 4 JMAiO BCN sep 06

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PROBLEMA DE LA DIVISIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO

Dado un triaacutengulo ABC y un punto P situado en su interior se pide trazar una recta MN que pasando por el punto P divida al triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea o que esteacuten en una proporcioacuten dada

A

B C

P

M

N

Q

q

p

R

x

y

Solucioacuten El problema implica dos condiciones - 1ordm Que los puntos M P y N esteacuten alineados - 2ordm Que las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB esteacuten en una proporcioacuten dada

Veamos como podemos dar forma algebraica a estas dos condiciones Tracemos desde el punto P como se indica en la figura las paralelas a los lados BC y AC hasta que corten en los puntos R y Q respectivamente a los lados AC y BC Llamemos x y p y q a los segmentos MR NQ PQ y PR Los valores de x e y se obtendraacuten al resolver el sistema de ecuaciones que suponen las dos condiciones dadas La primera condicioacuten ya que los triaacutengulos MRP y PQN son semejantes se expresa escribiendo

yp

qx=

La segunda condicioacuten puesto que los triaacutengulos MCN y ACB tienen comuacuten el aacutengulo en C equivale a decir que los productos de los lados de cada triaacutengulo que concurren en el veacutertice C estaacuten en la proporcioacuten en la que estaacuten sus aacutereas Llamando k al cociente entre las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB la segunda condicioacuten la escribiremos asiacute

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( )( ) kabqypx =++

donde a y b son respectivamente los lados BC y AC del triaacutengulo dado El sistema de ecuaciones escrito nos conduce a la siguiente ecuacioacuten de segundo grado que resuelve el problema

( ) 02 22 =+minusminus qpxpqkabqx

( )

qpqkabkabpqkab

x2

42 minusplusmnminus=

xpqy =

La condicioacuten para que el problema tenga solucioacuten real es que el radicando no sea negativo es decir

( ) 04 geminus pqkabkab

pqkab 4ge

abpqk 4

ge

Resulta innecesario decir que para k=05 la recta divide el triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea teniendo que darse previamente la condicioacuten del paacuterrafo anterior Notas 1- La primera condicioacuten tambieacuten se puede expresar escribiendo la recta MN en su forma canoacutenica en el sistema de coordenadas cartesianas oblicuas definido por los ejes CA y CB obligando a que el punto P esteacute en ella es decir

1=+

++ xp

pyq

q o sea pqxy =

2- El valor de k tambieacuten depende del par de lados respecto a los cuales se hayan trazado las paralelas para disponer de los valores de p y q Puede darse el caso de que aun siendo negativo el radicando para la pareja de lados elegida no lo sea para alguna otra y el problema siga teniendo solucioacuten

Manuel Rodriacuteguez Saacutenchez ndash Septiembre de 2006

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Re-citando las citas de laquoPelucheraquo

laquoLas mujeres hablan porque desean hablar mientras que un hombre soacutelo habla cuando se siente empujado por algo ajeno a eacutel como por ejemplo si no encuentra unos calcetines limpiosraquo (Jean Kerr 1922-2003 escritora estadounidense) laquoDonde hay matrimonio sin amor habraacute amor sin matrimonioraquo (Benjamin Franklin cientiacutefico poliacutetico y filoacutesofo norteamericano) laquoSi quieres ver una especie en peligro de extincioacuten miacuterate al espejoraquo (John Young 1930 cientiacutefico estadounidense) laquoAntes de pedir dinero a un amigo decide cual de las dos cosas necesitas maacutesraquo (Jean de La Bruyegravere 1645-1696 moralista franceacutes) laquoComprendes que estaacutes envejeciendo cuando las velitas cuestan maacutes que la tartaraquo (Bob Hope 1903-2003 actor estadounidense) laquoA mi juicio el mejor gobierno es el que deja a la gente maacutes tiempo en pazraquo (Walt Whitman 1819-1892 poeta estadounidense) laquoSi el hijo de Bono se casa con la hija de Bush iquestla descendencia se llamaraacute Bono Bushraquo (Alberto C 1983 estudiante de reflexologiacutea podal) laquoPara escribir un buen libro no considero imprescindible conocer Pariacutes ni haber leiacutedo el Quijote Cervantes cuando lo escribioacute aun no lo habiacutea leiacutedoraquo (Miguel Delibes 1920 escritor espantildeol) laquoComo todo el mundo sabe los cantos de las sirenas atraen a los hombres para luego acabar con ellos Especialmente las sirenas de las faacutebricasraquo (Jaume Perich Escala 1940-1995 humorista espantildeol) P C Citas tomadas de laquoPelucheraquo con su consentimiento

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LAS CARTAS DE TIJERA Pensamos en el papel como la superficie sobre la que manual o mecaacutenicamente

dejamos una huella de tinta que va reproduciendo el curso del pensamiento o de la inspiracioacuten Pero en otro tiempo hubo un modo de escribir sin tinta un modo de escribir recortando en el papel con unas tijeras el trazo de unas letras no escritas por la pluma o el caacutelamo o siguiendo ese trazo con la punta al rojo de un alfiler

Una referencia en castellano sobre este arte se conservaba en las estrofas 40 a 44 de los Proverbios de Don Santo de Carrioacuten o Rabiacute Sem Tob Ardutiel contemporaacuteneo de Pedro I de Castilla y feliciacutesimo escritor tambieacuten en hebreo entre otras cosas de un Debate entre el caacutelamo y las tijeras Con el paso de los antildeos sin embargo tales estrofas de sus Proverbios habiacutean llegado a extenuar su significacioacuten

Bueno seraacute reproducirlas aquiacute previa advertencia de que en ese texto castellano (tan proacuteximo ya a lo que seriacutea el espantildeol) astroso estaacute por ruin cuidar por cavilar infinta por fingimiento ca por pues puesto que ya que dentildear por dignar meollo por interior substancioso caxcas por caacutescaras finqueacute por lsquoquedeacutersquo

Y ahora siacute reproduzcamos esas estrofas

Un astroso cuidaba Y por mostrar que era sotil yo le enviaba escripto de tisera El nescio non sabiacutea que lo fiz por infinta porque yo no queriacutea perder en eacutel la tinta Ca por non le dentildear fize vazia la llena y no lquise donar la carta sana buena Como el que tomaba meollos de avellanas para siacute y donaba al otro caxcas vanas Yo del papel saqueacute la razoacuten que deziacutea con ella me finqueacute dile carta vaziacutea

(Fragmento del opuacutesculo del mismo tiacutetulo de Rafael Leoacuten)

Lo mismo ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte punta seca lavis buril y bruntildeidor ndash 162 z 223 mm

[C-92] 12

Problema del Autoacutedromo de Sant Pere de Ribes

Enunciado En Sant Pere de Ribes cerca de Sitges provincia de Barcelona hay un circuito autoacutedromo abandonado que tiene forma oval Cada uno de los dos extremos tiene un radio estimado en 131 metros y una pendiente estimada de 60 grados sexagesimales

iquestA queacute velocidad debe ir un automoacutevil en dicha pendiente para no resbalar hacia abajo ni hacia arriba

Resolucioacuten

Sobre el automoacutevil actuacutean 2 fuerzas el peso p

y la reaccioacuten perpendicular del suelo f debida a la curva

Llamando m a la masa del automoacutevil y g a la aceleracioacuten de la gravedad se sabe

mgp =

Para que el automoacutevil no resbale el valor de f

debe ser tal que al descomponerlo en f1 y f2 se produzca

pf =1

La fuerza f2 es la fuerza llamada centriacutepeta porque su direccioacuten y sentido es hacia el centro de curvatura de la trayectoria del moacutevil es bien sabido que llamando v a su velocidad y r al radio de curvatura de la trayectoria se cumple que la fuerza centriacutefuga se puede expresar

rvmf

2

2 =

Ademaacutes la trigonometriacutea permite escribir 2

1o30 tgff

=

Las ecuaciones anteriores forman un sistema de 4 ecuaciones entre las que se puede suprimir f1 f2 p y m

222o30 tg

vrg

rvm

mg

rvm

p===

de donde despejando v y sustituyendo valores

kmh 8169ms 247057735

819 middot 13130 tg o ====rgv

Conclusioacuten Para no resbalar hacia abajo ni hacia arriba en dicha pendiente el automoacutevil debe ir a 1698 kmh Marcel Mantildeeacute

60o

p

f

f2

f1 30o

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EL TESORO OCULTO El pirata llegoacute a la isla donde decidioacute ocultar su tesoro Como puntos de referencia encontroacute un pozo (P) una roca (R) y un viejo olmo (O) Para ubicar el lugar exacto donde iba a enterrar

su arcoacuten repleto de doblones decidioacute fijar los puntos Pacute y Racute trazando las rectas PPacute perpendicular e igual a PO y RRacute perpendicular e igual a RO Finalmente unioacute con una recta los puntos Pacute y Racute determinando su punto medio T donde enterroacute el tesoro Pasado cierto tiempo regresoacute a la isla y encontroacute sorprendido que el viejo olmo habiacutea desaparecido sin dejar huella de su emplazamiento Afortunadamente el pirata era un buen

geoacutemetra y se las arregloacute para dar con el lugar exacto donde antantildeo habiacutea enterrado su tesoro iquestCoacutemo se las arregloacute Solucioacuten Si prolongamos la liacutenea PR a derecha e izquierda y bajamos a ella las perpendiculares PacuteA OD TC y RacuteB es faacutecil ver que los triaacutengulos OPD y ODR son respectivamente iguales a los PPacuteA y RRacuteB Ocurre entonces que PacuteA = PD y RacuteB = RD por consiguiente PacuteA + RacuteB = PR = 2 CT Como por otro lado AP = RB = OD C seraacute el punto medio de PR Asiacute pues para hallar T bastaraacute levantar una perpendicular a PR por su punto medio C y llevar una distancia CT igual a la mitad de PR Aristogeronte Madrid Agosto 2006

Siempre sucede ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte y aguatinta ndash 178 x 219 mm

T

R

P

O

P R

D C B A

T

R

P

O

P R

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PROBLEMA DE EDADES En un congreso mundial de matemaacuteticos coinciden tres amigos Andreacutes Blas y Carlos que conversan animadamente De su conversacioacuten extraemos los siguientes datos Andreacutes dice Mirad queacute coincidencia hoy es nuestro cumpleantildeos Blas contesta Mayor coincidencia es que la suma de los cuadrados de nuestras edades es 2490 igual al nuacutemero de asistentes al congreso Carlos expresa Todo eso es cierto Pero cuando Andreacutes tenga la edad de Blas la suma de los cuadrados de nuestras edades seraacute 3841 igual al coste en pesetas de la habitacioacuten del hotel Ademaacutes con estos datos cualquier congresista puede averiguar nuestras edades Hallar las edades Solucioacuten Las edades hoy son nuacutemeros enteros Andreacutes = x antildeos Blas = y antildeos Carlos = z antildeos Cuando Andreacutes tenga la edad de Blas habraacuten pasado (y-x) antildeos tiempo que habraacute transcurrido igual a los tres Entonces las edades seraacuten Andreacutes = x + (y-x) Blas = y + (y-x) Carlos = z + (y-x) (x + y-x)2 + (y + y-x)2 + (z + y ndashx)2 = 3841 Desarrollando x2 + y2 + z2 + (y-x) (-x +5y +2z) = 3841 Como x2 + y2 +z2 = 2490 (1) (y-x) (-x +5y +2z) = 3841 ndash 2490 (y-x) (-x +5y +2z) = 1351 Descomponemos 1351 en producto de 2 factores = 7 middot 193 y ndashx = 7 -x +5y +2z = 193 Resolviendo el sistema x = y ndash 7 z = 93 ndash 2y Sustituyendo en (1) (y ndash 7)2 + y2 + (93 -2y)2 = 2490 6y2 ndash 386y +6208 = 0 y1 = 32 y2= 973 y2 no es solucioacuten por ne entero Solucioacuten Andreacutes = 25 antildeos Blas = 32 antildeos Carlos = 29 antildeos Acebrian febrero 2006

Con razoacuten o sin ella ndash Francisco de Goya (Los

desastres de la guerra) ndash Aguafuerte punta seca lavis buril y bruntildeidor ndash

150 x 209 mm

[C-92] 15

Reparos a la teoriacutea FSM

Qui nimium probat nihil probat (El que prueba demasiado no prueba nada)

Incluso la filosofiacutea la especulativa filosofiacutea se esfuerza por respetar las liacuteneas convencionales del razonamiento y de la loacutegica Incluso la filosofiacutea cuando examina el universo fiacutesico y la propia vida trata de conciliarse con las corrientes cientiacuteficas sobre las que hay amplio consenso Incluso la filosofiacutea cuando se ocupa de la teoriacutea del conocimiento aplicada al mundo fiacutesico corre pareja con las consideraciones maacutes asentadas de la epistemologiacutea cientiacutefica y no es raro que los tratados filosoacuteficos cuyo enfoque es la metodologiacutea del conocimiento tengan en cuenta los descubrimientos de la fiacutesica de vanguardia tales como las teoriacuteas relativistas y en especial los resultados paradoacutejicos de la fiacutesica cuaacutentica tan enormemente sugestivos al tiempo que elusivos En la biologiacutea y en lo que se refiere a las diversas manifestaciones de la vida y a los cambios de los que existe evidencia foacutesil se considera como asentada la liacutenea explicativa que parte de la exposicioacuten publicada por Darwin a comienzos de la segunda mitad del siglo XIX [1] Aunque no se tenga por definitiva y se reconozca incompleta sobre esa liacutenea maestra se elaboran actualmente explicaciones y correcciones a la misma El descubrimiento de la geneacutetica y de sus mecanismos iacutentimos ha supuesto un enorme impulso en cuanto a las investigaciones en este campo que ahora constituye un considerable tesoro de saber Por eso nos preocupa e incluso nos solivianta la corriente FSM de una explicacioacuten alternativa que seguacuten apreciamos se va abriendo camino incluso en universidades [2] Se trata de una corriente que ha experimentado un crecimiento notable en los uacuteltimos antildeos y que interpreta nuestro universo incluida la manifestacioacuten de la vida en teacuterminos del recurso a la intervencioacuten de una entidad inmaterial el FSM de la que se ofrece a veces una representacioacuten tangible a la que se le atribuyen poderes trascendentes como la omnipresencia y la capacidad ilimitada de intervencioacuten Si hemos de ser honestos debemos reconocer que los argumentos en los que se apoya la teoriacutea a la que aludimos son en principio irrebatibles Lo que es maacutes se ajustan mejor que las teoriacuteas que actualmente se tienen por cientiacuteficas a uno de los preceptos maacutes respetables de la ciencia como es el del reduccionismo metodoloacutegico Seguacuten el principio de Occam de la economiacutea (navaja de Occam) [3] en efecto cuanto menor es el repertorio de afirmaciones que haya que admitir como dadas al elaborar una teoriacutea maacutes aceptable seraacute eacutesta (laquopluralitas non est ponenda sine necessitateraquo) La teoriacutea que tratamos de rebatir cumple extraordinariamente bien con este requisito puesto que lo uacutenico que se requiere es la aceptacioacuten de la hipoacutetesis mencionada de la entidad conocida como FSM De todos modos no estaacute de maacutes recordar que lo que Occam dice exactamente es que en igualdad de condiciones la solucioacuten maacutes sencilla es probablemente la correcta Y probablemente como estaacute claro no equivale a necesariamente No obstante no podemos evitar que nos parezcan forzadas y como argumentadas ad hoc algunas de las explicaciones que da el principal abanderado de dicha corriente de pensamiento y primero en presentarla y defenderla Robert Hendenson Graduado en fiacutesicas no podemos pensar del mismo que le sea ajeno el rigor y la criacutetica cientiacutefica A pesar de todo lo cierto es que algunos de sus razonamientos son

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impecables como cuando explica el por queacute resulta aparente la edad de la Tierra estimada por los meacutetodos cientiacuteficos al uso Veamos sus razones laquo[] Lo que esas personas no comprenden es que Eacutel [el autor se refiere a la entidad FSM] hizo el mundo para hacernos creer que la Tierra es maacutes antigua de lo que realmente es Asiacute por ejemplo un cientiacutefico puede llevar a cabo un proceso de datacioacuten mediante carbono-14 sobre un artefacto y encuentra que aproximadamente el 75 por ciento del carbono-14 se ha desintegrado en nitroacutegeno-14 a causa de la emisioacuten de electrones e infiere que dicho artefacto tiene una antiguumledad de unos diez mil antildeos puesto que la vida media del nitroacutegeno-14 parece ser de 5 730 antildeos Pero lo que nuestro cientiacutefico no advierte es que cada vez que efectuacutea una medida la entidad FSM estaacute alliacute cambiando los resultados con su seudoacutepodo Disponemos de numerosos textos que describen en detalle como es esto posible y las razones por las que Eacutel lo hace Eacutel es por supuesto invisible y puede pasar a traveacutes de la materia normal con facilidadraquo Hay algo en esta explicacioacuten que no nos satisface Naturalmente es irreprochable pero cierta percepcioacuten nos dice que se aparta excesivamente del meacutetodo cientiacutefico por antonomasia La teoriacutea FSM no es por su propia naturaleza falsable de modo que de acuerdo con las tesis de Karl Popper una doctrina de ese tipo no se bate en condiciones de igualdad con el resto de las teoriacuteas por lo que ha de ser apartada como teoriacutea insana ―desde el punto de vista de la ciencia entieacutendase bien― y privada sin maacutes del derecho a contender en la arena cientiacutefica Es cierto que para Popper al contrario de lo que afirma el positivismo tiene sentido la aseveracioacuten de la existencia de la entidad FSM pero este autor delinea muy bien los liacutemites que separan tales tipos de proposiciones de las de caraacutecter cientiacutefico y la que nos ocupa queda claramente al margen de eacutestas [4]

Fig 1 ndash FSC en el instante de animar al primer ser humano Podriacutea argumentarse desde luego y aquiacute nos situamos del lado del punto de vista de Thomas Kuhn que la teoriacutea FSM nos coloca frente a un nuevo paradigma cientiacutefico Para Kuhn en efecto la ciencia no procede por agregaciones progresivas en torno a un nuacutecleo creciente de conocimientos sino antes bien por cambios abruptos del marco completo de la teoriacutea dominante lo que se conoce como

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desplazamientos del paradigma En este sentido podriacuteamos sentirnos inclinados a aceptar que el paradigma FSM nos traslada a un marco radicalmente nuevo No obstante la ciencia no se caracteriza por cambios de naturaleza tan radical Antes bien en los cambios de paradigma a que alude Kuhn siempre ha ocurrido que los nuevos formalismos incluyen a los anteriores en el sentido de que eacutestos se recuperan por paso al liacutemite con respecto a ciertas condiciones o paraacutemetros que han cobrado maacutes generalidad en la nueva teoriacutea Y esto no ocurre en absoluto con la propuesta FSM que prescinde del todo del acervo de saber histoacuterico Nos sentimos obligados a denunciar tambieacuten que las representaciones de la entidad FSM son en cierto modo antropomoacuterficas Sugeririacuteamos prescindir de lo que parecen ser unos ojos y un soma central para dejarlo reducido al conjunto de seudoacutepodos que podriacutean llegar a identificarse con los filamentos de la teoriacutea de cuerdas o en su enmadejamiento formar el tejido de las supercuerdas La ubicuidad podriacutea sustituirse por un nuacutemero ilimitado de copias del FSM actuando en resonancia no local El universo volveriacutea a ser de este modo de nuevo cartesiano dominado por un plenum que lo abarca todo La actuacioacuten instantaacutenea a distancia estariacutea avalada por la verificacioacuten de las condiciones de Bell relativas a la paradoja EPR que ha significado el espaldarazo a la no localidad en el mundo fiacutesico A pesar de todo algo en nuestro interior nos dice que la doctrina FSM es aberrante Quizaacute se deba al lastre de la educacioacuten recibida Despueacutes de todo uno es irremediablemente producto de la forja de su tiempo y nunca es faacutecil superar esa inercia intelectual Hijo ―o debiera decir posiblemente prisionero― de la edad de la razoacuten yo presiento con temor que una nueva Edad Media y estoy pensando en su lastre de oscurantismo se alza amenazante en el horizonte y la melancoliacutea me atenaza amargamente el corazoacuten P Crespo septiembre 2006 [1] On the Origin of Species by Means of Natural Selection or The Preservation of Favoured Races in the Struggle for Life abreviado como The Origin of Species (El origen de las especies) publicado en 1859 Este libro establecioacute la evolucioacuten (cambios espontaacuteneos hereditarios que se imponen cuando son favorables a la especie habida cuenta de los condicionantes del entorno) a partir de un ascendiente comuacuten como la explicacioacuten cientiacutefica dominante de la diversificacioacuten de las formas de la vida en la naturaleza [2] Home page httpwwwvenganzaorg

[3] William of Occam fraile franciscano ingleacutes del siglo XIV (aprox 1285-1349) Lo que se conoce como la navaja de Occam era un principio muy comuacuten en la filosofiacutea medieval (el principio de economiacutea o de parsimonia) y no tuvo su origen con Willian de Ockham pero debido al uso frecuente que eacuteste le daba a dicho principio su nombre acaboacute inseparablemente ligado a eacutel

[4] Karl Popper (1902 1994) La loacutegica de la investigacioacuten cientiacutefica (Logik der Forschung 1934 ciacuterculo de Viena) En esta obra el filoacutesofo austriacuteaco abordoacute el problema de los liacutemites de demarcacioacuten entre la ciencia y proposiciones de otro caraacutecter Para Popper la clave estaacute en reconocer que el conocimiento cientiacutefico no avanza confirmando nuevas leyes sino descartando las que contradicen la experiencia lo que constituye el proceso de falsacioacuten Soacutelo han de admitirse como proposiciones cientiacuteficas aquellas para las que al menos conceptualmente es posible un experimento que las contradiga [5] Thomas Kuhn (1992 1996) Este cientiacutefico norteamericano es famoso principalmente por su libro La estructura de las revoluciones cientiacuteficas (1962) La idea que preside el pensamiento de Kuhn es la de que la ciencia no progresa por acumulacioacuten de nuevo conocimiento sino por desplazamientos de los paradigmas que transforman abruptamente la naturaleza del conocimiento

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Matemaacuteticas de los poliacuteticos vascos Patxi Igandekoa

Pongamos el tiacutepico sistema de ecuaciones de primer grado de dos incoacutegnitas x+y=5 4x-2y=2 (Antes ensentildeaban a resolverlos en 1ordm de BUP ahora en las academias cercanas a la Escuela de Ingenieros de Bilbao) Vaya por adelantado que la solucioacuten es x=2 y=3 No nos interesa esto sino la forma en que lo resolveriacutean dos miembros destacados de nuestra clase poliacutetica El Lehendakari Ibarretxe por ejemplo no tendriacutea dificultad Gracias a su formacioacuten y oficio de economista el valor de las incoacutegnitas aparece ipso facto en su mente sin necesidad de calcular nada Sin embargo eacutel querriacutea hacerlo con fundamento a la vasca Primero lo resolveriacutea por medios algebraicos y comprobariacutea si las soluciones cuadran Despueacutes empleariacutea el meacutetodo graacutefico pediriacutea papel boliacutegrafo y una regla y trazariacutea un eje de coordenadas cifras y finalmente dos rectas bien diaacutefanas y se asegurariacutea de que ambas se cortan en el par de valores correcto Acto seguido llamariacutea a un comiteacute de expertos del Gobierno Vasco y someteriacutea el asunto a su examen para que redactaran un informe en el que se estableciera sin ninguacuten geacutenero de dudas que la solucioacuten al sistema de ecuaciones propuesto vaacutelida tanto en Euskadi como en el resto de un universo eucliacutedeo es la que figura en los caacutelculos de Lehendakaritza Pero la cosa no termina aquiacute porque luego Josu Jon Imaz (otro peso pesado de las ciencias exactas) convocariacutea una mesa de partidos para buscar una solucioacuten paralela ndashpero concordante- al problema mediante acuerdos que incluyan a todas las sensibilidades del paiacutes Para un tema de intereacutes general como este ni siquiera el PP podriacutea negarse y a la exactitud de las estimaciones numeacutericas se antildeadiriacutea finalmente la sancioacuten democraacutetica del consenso Euforia y satisfaccioacuten en el EAJ-PNV ldquoHemos tardado lo nuestro pero valioacute la pena Trabajando duro y con meacutetodo nos hemos puesto las pilas comenzamos el curso con los deberes hechos etc etcrdquo iquestY Patxi Loacutepez iquestCoacutemo reaccionariacutea delante del mismo problema Imaginen a uno de sus correveidiles pasaacutendoselo por encima de su ejemplar abierto de ldquoEl Correo Espantildeolrdquo en plena sesioacuten del Parlamento Vasco Apresurada lectura treacutemulo parpadear de ojos bailoteo de cifras en la mente ruido apenas perceptible producido por el rozamiento de unos dedos sobre la sienhellip ldquoNada otra engantildeifa del Lehendakari iexclSe va a enterar de esto en mi proacutexima rueda de prensardquo Apliacutequese el procedimiento de costumbre enviar por valija del partido a la calle Ferraz para que lo resuelvan alliacuterdquo Y alliacute efectivamente son nada menos que Joseacute Luis Rodriacuteguez Zapatero Presidente del Gobierno de Espantildea y Joseacute Blanco su iacutenenarrable y gallego jefe de bomberos quienes se encargan de despejar las incoacutegnitas Podemos imaginarnos el resultado ldquoiquestAlgebra iquestGraacuteficos cartesianos iexclUff somos de letras iquestQueacute tal si traemos a nuestro informaacutetico para que eche una manordquo ldquoNo mucho maacutes simple Joseacute Luis hacemos x=0 y=0 y ya estaacute Yo seacute algo de matemaacuteticas lo suficiente para recordar que a esto lo llaman lsquosolucioacuten trivialrsquo Es perfectamente legiacutetimo iquestQueacute te parecerdquo ldquoDe entrada bien Pepe Pero asi no puedes resolver un sistema de primer grado iexclel resultado no coinciderdquo ldquoNo importa lo quitamos tambieacuten Escondemos el 5 y el 2 cubrieacutendolos con typex ndashya nos ocuparemos de ellos en la proacutexima legislatura- y hacemos ambas expresiones iguales a cero Ahora las incoacutegnitas siacute coinciden con la ventaja antildeadida de que entonces las de Imaz no Hemos resuelto el problema de matemaacuteticas vasco reducieacutendolo a la no existencia Jean-Paul Sartre estariacutea orgulloso de nosotrosrdquo La solucioacuten es transmitida por mensajero (a portes debidos) a Sabin Etxea donde sesudos jeltzales la examinan moviendo la cabeza a un lado y a otro Habraacute que invertir mucho en centros de caacutelculo si queremos avanzar en el proceso de normalizacioacuten Al menos queda el consuelo de que si alguien quiere volar preferiraacute subirse a un aeroplano disentildeado por Ibarretxe que a otro construido con las matemaacuteticas que ensentildean en el Partido Socialista de Euskadi Publicado en Izaronews 6-9-2006

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Si las palabras de Chillida estaacuten recogidas con fidelidad lamento no estar de acuerdo con ellas porque no creo que las personas se encasillen tan faacutecilmente Pero de todos modos si ustedes creen que represento ese problema no tienen maacutes que haceacutermelo saber Porque como anuncieacute en la seccioacuten correo tireacute mi regla de caacutelculo al riacuteo para mirarla como se hundiacutea (era el uacuteltimo recuerdo del carintildeo que yo le teniacutea etc) y comienzo mis pinitos en cuentos cortos (muy cortos prometido) y otras atrevidas incursiones

[La figura es un recorte del libro de vintildeetas-paacutegina laquoel Arte - conversaciones imaginarias con mi madreraquo de Juanjo Saacuteez Aunque sus ideas sobre el arte parecen discutibles es un libro entrantildeable]

Una uacuteltima advertencia relativa al cuento que sigue y dirigida a los que puedan sacar la conclusioacuten de que tengo imaginacioacuten desviada las hemerotecas son del 29 de noviembre de 2003

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Caperucitas blancas En memoria de Joseacute Couso porque nos volvimos maacutes ciegos cuando sus ojos se apagaron

Una nintildea hasta haciacutea poco ahora cuajada en mujer moldeada por quince primaveras Faacutetima era la mayor de las dos hermanas La pequentildea Azraa a sus doce antildeos era todaviacutea un incipiente brote femenino delicado y menudo

Noviembre agotaba sus diacuteas y haciacutea cuatro que habiacutean empezado las fiestas del fin del Ramadaacuten el mes sagrado del ayuno Ese jueves la ilusioacuten se asomaba a los rostros de ambas hermanas porque iriacutean a cenar a casa de su abuela y pasariacutean la noche con ella Habriacutea puchero y berenjena rellena y despueacutes los dulces de pistacho y de miel y antes de dormir las historias de la lsquoyaddarsquo Jazmina ―la abuelita― llenas del encanto de otros tiempos cuando en los mercados de Baaquba competiacutean entre siacute los colores de los frutos las especias las telas y las alfombras y los asnos eran amigos resignados de los hombres y los paacutejaros hablaban con los nintildeos y eran alegres y eran parlanchines y traiacutean noticias de lugares exoacuteticos

La madre preparoacute una cesta con los pastelillos para el postre Pero la abuela habiacutea expresado el temor de no disponer de lentildea suficiente asiacute que las pequentildeas debiacutean pasar antes por el huerto del tiacuteo Abbash que siempre teniacutea preparada una reserva de lentildeos y sarmientos y habiacutea dado licencia a la familia para recoger de su finca todo aquello que fuera necesario Para llegar al huerto era obligado atravesar un trecho boscoso no era cosa de permitir que las sorprendiera la noche y puesto que la tarde ya se habiacutea insinuado las nintildeas se pusieron con diligencia en camino La pequentildea llevaba apoyada contra su cintura la cesta con los dulces y la mayor se hizo cargo de dos piezas de tela destinadas a sujetar la lentildea y de un hacha pequentildea para trocear los sarmientos

Ya en la finca llevoacute maacutes tiempo del previsto preparar los vaacutestagos para adecuarlos al tamantildeo de la menor de las muchachas y las sombras no esperaron Ante el asomo de la noche las nintildeas iniciaron el regreso en direccioacuten a la casa de la abuela cada una con su hatillo a la espalda la menor abriendo paso con la cesta de los pasteles en su regazo seguida de cerca por su hermana

A menos de cincuenta metros de alliacute Lobo Feroz Dos miraba por el visor de

infrarrojos e informaba de la escena a su compantildeero En el sendero que lindaba con el bosque dos siluetas blanquecinas se recortaban en la oscuridad en contraste con la espesura y los pantildeuelos que cubriacutean sus cabezas las perfilaban como dos caperucitas que se moviacutean avanzando deprisa La mayor pareciacutea sujetar una pistola en su mano

―Lobo Feroz Uno llamando a Halcoacuten Pardo ge-pe-ese delta sur uno doce oeste cero quince Dos sospechosas a la vista parecen llevar armas Esperamos instrucciones Cambio

―Halcoacuten Pardo a Lobo Feroz Ya conocen las consignas Cambio ―Parecen dos nintildeas― apuntoacute Lobo Feroz Dos ―Lobo Feroz Uno a Halcoacuten Pardo Es posible que se trate de dos menores

Solicitamos refuerzos para comprobacioacuten Cambio ―Sargento le recuerdo que estamos en la Operacioacuten Martillo de Hierro Debe

proceder seguacuten la consigna Cambio y corto ―Hemos de disparar― dijo Lobo Feroz Uno a Lobo Feroz Dos ―Pero ― balbuceoacute eacuteste ―Oacuterdenes Encaacutergate del objetivo de la izquierda yo tirareacute sobre el derecho

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La cabeza de Faacutetima se quebroacute como se rompe el fruto del granado cuando se lo arroja con fuerza contra el suelo Con su velo blanco habiacutea sido Caperucita Blanca mientras se desplomaba fue Caperucita a topos rojos poco tiempo despueacutes bajo los focos luminosos era Caperucita Roja yaciendo sobre la hierba del lindero del bosque ya para siempre dormida sus intensos ojos negros abiertos en un gesto uacuteltimo de asombro irracional A su lado la pretendida pistola no era sino el hacha nimia que le habiacutea servido de herramienta

Cerca de ella Azraa acribillada se debatioacute en el suelo durante un tiempo entre espasmos y dentelladas de dolor Desprendido el pantildeuelo varias manchas tentildeiacutean de carmiacuten sus cabellos que hasta entonces habiacutean sido siempre de un azabache casi mineral

La fase siguiente de la laquoOperacioacuten Martillo de Hierroraquo se puso en marcha Uno de los confidentes convocados reconocioacute a las muchachas e indicoacute a los soldados la situacioacuten de la cercana casa de la abuela en los andurriales de la ciudad

La puerta cedioacute ante el explosivo y saltoacute arrancada de cuajo junto con sus goznes Disipado el humo los soldados pudieron distinguir a una anciana enmudecida por el terror y desplomada sobre su cama Se registroacute la casa Dos humildes cuchillos de cocina fueron las uacutenicas armas encontradas

Cuando al diacutea siguiente fueron lavados los cuerpos de las nintildeas el agua sanguinolenta se desparramoacute por el patio y discurrioacute por albantildeales hasta verter en el riacuteo Tigris Diacuteas maacutes tarde en la orilla izquierda de la corriente a un rosal le brotariacutean rosas algo maacutes rojas y un limonero dariacutea limones amargos en la ribera derecha

La sangre de las nintildeas se entremezcloacute en el riacuteo en un postrero abrazo fraternal El sol hizo luego su labor de horno y partiacuteculas de sangre de Faacutetima y de Azraa ascendieron asidas al agua evaporada Desde entonces los atardeceres son algo maacutes escarlata en la tierra que otrora fue Mesopotamia y en todo el orbe resuena el eco milenario de las palabras del Antiguo Testamento dichas para los oiacutedos de los violentos laquoCaiacuten iquestqueacute has hecho de tu hermanoraquo P Crespo

Las camas de la muerte ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte lavis punta seca buril y bruntildeidor ndash 177 x 221 mm

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Reggae reggaehellip (riacutea riacutea)

La escuela y el alumnado

Eacutesta es la coleccioacuten de disparates maacutes sonados cometidos por alumnos de ESO y bachillerato en exaacutemenes de geografiacutea e historia

Perlas variadas bull Al final de la edad media empiezan a

imponerse normas morales como no masticar la sopa

bull Una de las principales manifestaciones del arte goacutetico fueron las piraacutemides que como todo el mundo sabe son apuntadas

bull A partir del Concilio de Trento el matrimonio cristiano debiacutea ser consumado en presencia de un sacerdote

bull Despotismo ilustrado los reyes teniacutean todo el poder pero teniacutean que obedecer cuando el pueblo se poniacutea de acuerdo entre ellos

bull A la juventud hitleriana la preparaban tan bien que al cabo de un antildeo eran capaces de matar a su madre

bull iquestQueacute opinas de la Constitucioacuten Que es buena y guapa

bull Actualmente el paiacutes maacutes pequentildeo de Europa es San Pedro del Vaticano

bull El rey puso a Franco para que trajera la democracia

bull Franco era el rey que habiacutea antes de Juan Carlos I

bull Espantildea no participoacute en la Segunda Guerra Mundial porque Hitler teniacutea miedo de Franco

bull Franco fue un poliacutetico dictador que consiguioacute imponer durante el reinado de Felipe II un reacutegimen dictatorial

bull No seacute en queacute antildeo murioacute Franco pero seacute que murioacute asesinado

bull Democracia es cuando hay gente que mata otra gente o cuando un paiacutes echa bombas a otro o se pegan unos a otros pues esto es democracia

bull Cartografiacutea las faltas de ortografiacutea bull Un paralelo es una de aquellas liacuteneas que

dividen la Tierra en trozos pero es imaginario

bull Continente partiacuteculas de tierra donde vivimos nosotros

bull Anticicloacuten es la temperatura caliente y se mide en milibares

bull Caacutetedra pensioacuten o escuela para los que queriacutean ser curas

bull Petroacuteleo se obtiene por tuberiacuteas llamadas oleoductos y sirve de combustible

bull Desarrollo sostenible es el desarrollo que no es ni alto ni bajo es decir es mediano

bull Poliacutegono hombre con muchas mujeres bull Delta es un riacuteo que lleva muy poca

agua bull Capital de Alemania Merliacuten bull Principales cultivos espantildeoles la uva

que produce el gran aceite que se fabrica en Espantildea

bull Islas de Oceaniacutea Islas Haguai bull Los vientos huracanados producen a

veces atauacutedes de nieve bull La pintura al fresco consiste en pintar al

aire libre bull Sufragista quiere decir que siempre estaacute

navegando por los mares bull La Guerra Friacutea se caracteriza por matar

gente a sangre friacutea bull Hambre endeacutemica es la que pasa cuando

hay epidemias bull La explosioacuten demograacutefica se produce

porque en algunos paiacuteses se producen islas producto de una erupcioacuten volcaacutenica que bastante grandes como para ser evitadas

bull Estado del bienestar significa que todo lo que es puacuteblico se ha de cuidar

bull Deuda externa es si vas aun supermercado y quedas a deber mucho si no tienes dinero Esto es la deuda externa

Serrano J Reboredo J (2005) Perlas variadas en Historia de Espantildea contada por estudiantes Madrid La Esfera de los libros (Remitido por M Dolors Hipoacutelito)

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iexclLas modelos no somos estuacutepidas Pregunta iquestEn queacute paiacutes la estaacuten solicitando como modelo Respuesta No lo puedo decir todaviacutea pero les puedo adelantar que es un paiacutes brasilentildeo que no queda muy lejos de aquiacute (Kate Moss ex modelo de Calvin Klein) Pregunta Si llegara un holocausto nuclear iquestqueacute pareja elegiriacutea Ud en todo el mundo (hombre y mujer) para preservar y multiplicar la especie humana Respuesta Al Papa y a la Madre Teresa de Calcuta (Carolina Zuntildeiga candidata a Miss Chile) El fumar mata Si te mueres has perdido una parte muy importante de tu vida (Brooke Shields entrevista para una campantildea federal antitabaco) Pregunta Si usted pudiera vivir siempre iquestlo hariacutea iquestpor queacute Respuesta Yo no viviriacutea siempre porque no deberiacuteamos vivir siempre porque si se supusiera que debieacuteramos vivir siempre entonces viviriacuteamos siempre pero no podemos vivir siempre que es por lo cual yo no viviriacutea siempre (Miss Alabama en el concurso Miss America 1999) Esa rastrera sinverguumlenza merece ser matada a patadas por un asno iexclY yo soy justo la indicada para hacerlo (Declaracioacuten de Claudia Shiffer sobre Naomi Campbell) No es la contaminacioacuten la que estaacute dantildeando el ambiente Son todas las impurezas en nuestro aire y en nuestra agua las que lo estaacuten haciendo (Pamela Anderson) No he cometido ninguacuten delito Lo que hice fue no cumplir con la ley (Jennifer Lopez al ser detenida junto con Puff Daddy) Siempre que veo la tele y veo a esos pobres nintildeos hambrientos en todo el mundo no puedo evitar llorar Quiero decir me encantaria ser asiacute de flaquita pero no con todas esas moscas y muerte y esas cosas (Mariah Carey cantante) Tomado de Internet por JMaiO 2006 Jacinto Benavente y la coma Doctor Mi previsioacuten se anticipa a todo Bastaraacute con puntuar debidamente alguacuten conceptoVed aquiacute donde dicerdquo Y resultando que no declaroacuterdquo basta una coma y dice ldquo Y resultando que no declaroacuterdquo Y aquiacuterdquoY resultando que no debe condenaacuterselerdquo fuera la coma y dice Y resultando que no debe condenaacuterselerdquo Crispiacuten iexclOh admirable coma iexclMaravillosa coma iexclGenio de la Justicia iexclOraacuteculo de la Ley iexcl Monstruo de la Jurisprudencia Jacinto Benavente Los Intereses Creados Acto segundo escena final

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Tomo una y entrego dos Mariano Nieto propone en [C-90] (seccioacuten correo) el problema que sigue En una urna hay una bola blanca y otra negra Se saca al azar una de ellas y se

devuelve a la urna acompantildeada de otra del mismo color Esta operacioacuten se repite un nuacutemero indefinido de veces

iquestCuaacutel es la probabilidad de que cuando la urna contenga 20 bolas haya 10 de cada color Solucioacuten

Sea (b n) la composicioacuten de la urna con b bolas blancas y n negras y llamemos etapa a cada intervencioacuten que extrae una bola de la urna y devuelve dos Convengamos en que la configuracioacuten de partida (11) corresponde a la etapa 1 En la etapa 2 tendremos las dos configuraciones posibles de la urna (21) y (12) asociadas con la misma probabilidad de 12

Esta simetriacutea inicial nos sugiere el siguiente procedimiento por induccioacuten Si suponemos que en la etapa n cada una de las n configuraciones posibles

(n 1) (n ndash 1 2) (n ndash 2 3) (n ndash a a + 1) (2 n ndash 1) (1 n) [1] tiene la misma probabilidad p de ocurrir (con p =1n por lo tanto) podemos calcular las probabilidades y configuraciones de la etapa n + 1

a) La probabilidad de la configuracioacuten (n + 11) (rama izquierda del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(n + 11) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

b) La probabilidad de la configuracioacuten (1 n+1) (rama derecha del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(1 n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

c) La configuracioacuten (n ndash a a + 2) con 0 le a le (n ndash 2) para asegurar que se recorre el rango de configuraciones de la etapa (n + 1) con exclusioacuten de las extremas antes consideradas proviene de (n ndash a a + 1) tras sacar una bola negra o bien de (n ndash a ndash 1 a + 2) luego de resultar blanca la bola extraiacuteda Su probabilidad seraacute por lo tanto

p x (a + 1) (n + 1) + p x (n ndash a ndash 1) (n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

de modo que todas las configuraciones de la etapa n + 1 tendraacuten tambieacuten la misma probabilidad en este caso 1(n + 1)

En la etapa 3 por ejemplo es faacutecil ver que las 3 configuraciones posibles (3 1) (2 2) y (1 3) comparten la probabilidad 13 Asiacute pues el meacutetodo de induccioacuten nos permite concluir que en la etapa n es decir tras n ndash 1 operaciones con la urna eacutesta contendraacute (n + 1) bolas y tendremos las n configuraciones posibles [1] a cada una de las cuales le corresponde la misma probabilidad 1 n

La configuracioacuten (10 10) por la que pregunta el problema perteneceraacute por lo tanto a la etapa n = 19 (tras 18 operaciones con la urna) y en consecuencia su probabilidad seraacute igual a 1 19 algo mayor que 526 por ciento

En general a la configuracioacuten (b n) donde b es el nuacutemero de bolas blancas y n el de negras siendo b y n nuacutemeros naturales cualesquiera ya que cualquier configuracioacuten es alcanzable le corresponderaacute la probabilidad p(b n) = 1 (b + n ndash 1) P Crespo septiembre 2006

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iquestDe doacutende sale el nuacutemero e Un escuchante miacuteo de RNE en el programa sobre matemaacuteticas de los antildeos 2005-06 me hace la siguiente consulta Cuando estudiaba sexto de bachillerato (plan de ensentildeanza 1957) un dia el profesor de matemaacuteticas llegoacute a clase y dijo Hoy toca el nuacutemero e Y a continuacioacuten escribioacute en la pizarra la expresioacuten conocida de liacutemite cuando n tiende a infinito de 1 maacutes 1 partido por n elevado a n La desarrolloacute por el binomio de Newton y obtuvo el conocido resultado de 2718281 Despueacutes nos dijo que el numero e era muy importante en matemaacuteticas y que se utilizaba para la base de los logaritmos neperianos Es curioso ver como la derivada del logaritmo neperiano de x = 1x EXACTO siendo la base del logaritmo un nuacutemero absolutamente INEXACTO IRRACIONAL Realmente me quedeacute sorprendido Primero de coacutemo al baroacuten de Neacuteper se le habiacutea ocurrido utilizar como base de logaritmos a un nuacutemero irracional y segundo por queacute nunca me explicaron a quieacuten se le ocurrioacute calcular el liacutemite de la expresioacuten (1+1n)n iquestPor queacute se le ocurrioacute a alguien esta expresioacuten y no otra iquestDe donde surgioacute tal necesidad Creo que eso era lo primero que mi profesor de matemaacuteticas teniacutea que habernos contado antes de calcular el liacutemite Probablemente el profesor no conociacutea la respuesta que efectivamente es difiacutecil de encontrar en los actuales libros de texto La definicioacuten actual de logaritmo de un nuacutemero es ldquoel exponente a que hay que elevar una base dada para obtener dicho nuacutemerordquo Asiacute por ejemplo en base 10 el logaritmo de 2 es log10 2 = 0301030 porque 100301030 = 2 (aproximadamente) Pero Neper no concibioacute asiacute el logaritmo para eacutel era el resultado de comparar una progresioacuten aritmeacutetica y otra geomeacutetrica Los teacuterminos de la primera seriacutean los logaritmos de los de la segunda Esto se ve muy claro en esta tabla en la que la razoacuten de la progresioacuten aritmeacutetica es 1 y la de la geomeacutetrica es 10

Progresioacuten aritmeacutetica (razoacuten 1) -3 -2 -1 0 1 2 3Progresioacuten geomeacutetrica (razoacuten 10) 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103

De la propia estructura de ambas progresiones se desprende que un producto de teacuterminos en la progresioacuten geomeacutetrica se corresponde con una suma en la progresioacuten aritmeacutetica Asiacute por las propiedades de los productos de potencias de una misma base seraacute log (xy) = log x + log y y tambieacuten log (xk) = k log x etc Por la misma tabla en la base 10 log (10-3) = log (0001) = -3 log (102) = log (100) = 2 etc Pero iquestqueacute ocurre con los valores intermedios iquestCoacutemo definir para ellos un logaritmo Neper intentoacute responder esta pregunta considerando dos progresiones de razones respectivas α y 1+β siendo (α β) muy pequentildeos Entonces dado un nuacutemero N siempre se podriacutea encontrar un valor n tal que (1+ β)n = N (dentro de una aproximacioacuten suficiente) Entonces el logaritmo de N seriacutea nα Las progresiones maacutes sencillas imaginables son aqueacutellas para las que α = β Entonces seraacute

log N = log [(1+α)n] = nα En esta expresioacuten n seraacute muy grande y α seraacute muy pequentildeo Haciendo nα = L podemos escribir la anterior igualdad

log N = log [(1+ α)1α]nα = log [1+ α)1α]L

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Definamos ahora el nuacutemero e como el liacutemite de (1+α)1α cuando α se hace infinitamente pequentildeo o sea

α

αα

1

0)1(lim +=

rarr

e

Y la expresioacuten se simplificaraacute notablemente

log N = log eL = L log e Resulta inmediatamente que el nuacutemero e = 2718281hellip es la base de logaritmos maacutes conveniente desde el punto de vista teoacuterico pues en ella seraacute log e = 1 Eacutestos son llamados los logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos (este uacuteltimo nombre procede de que miden el aacuterea subtendida entre una hipeacuterbola y su asiacutentota) El nuacutemero e es sin duda el maacutes importante en matemaacuteticas aunque π sea maacutes popular Se recuerdan sus primeras cifras con la mnemotecnia Te ayudareacute a recordar la cantidad a indoctos si releacuteesme bien Se aplica por el nuacutemero de letras de cada palabra Te = 2 ayudareacute = 7 etc En la praacutectica son maacutes usados los logaritmos decimales o de Briggs que tienen por base el nuacutemero 10 Presentan la ventaja de que la parte decimal de cada logaritmo (mantisa) no cambia al ser multiplicado el nuacutemero por una potencia de 10 lo que hace muy praacutecticas las tabulaciones El paso de los logaritmos de una a otra base es muy sencillo mediante el nuacutemero M = log 10 = 2302585 Se deduce sin dificultad que log x = M log10 x Josep M Albaigegraves Barcelona octubre 2006

El nuacutemero e es el uacutenico que verifica que el valor de la derivada (inclinacioacuten de la tangente en rojo en la figura) de f(x) = ex para cualquier valor de x es igual al valor de f(x)

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Cruzando el desierto en jeep Enunciado (propuesto por Mariano Nieto en C-83 seccioacuten correo) Un jeep ha de atravesar un desierto de 800 kiloacutemetros Admite una carga maacutexima para recorrer 500 kiloacutemetros y se quiere conocer la menor cantidad de tales cargas que hay que consumir para alcanzar la meta El depoacutesito inicial se supone de capacidad ilimitada y el jeep puede establecer tantos depoacutesitos intermedios como haga falta Se desea conocer tambieacuten el nuacutemero de viajes parciales que lleva a cabo el jeep teniendo en cuenta que ante dos soluciones iguales (mismo consumo) se preferiraacute la que implique menos viajes parciales Planteo

Supongamos que se depositan cargas en los puntos 1 2 hellipi hellipy llamemos ci a la carga del depoacutesito en el punto i y cf a la del punto siguiente i + 1 Si la distancia entre ambos puntos es d para transportar la carga del punto i al i +1 se necesitaraacuten n viajes de ida y vuelta y un uacuteltimo viaje de ida El depoacutesito en el punto i constaraacute pues de n cargas para 500 km y un remanente al que llamaremos cr Podemos plantear las ecuaciones siguientes

cf = (500 - 2d) n + cr - d (1) ci = 500 n + cr (2) r = (2n + 1) d (3) cr = 500 (4)

donde r es el recorrido del jeep (equivalente a la carga consumida) en el transporte entre ambos depoacutesitos

Los caacutelculos han de efectuarse retrocediendo desde el final hasta la situacioacuten de salida (o sea pasando desde el depoacutesito i +1 al i) para garantizar que se transporta siempre la cantidad miacutenima precisa Cuidaremos tambieacuten de que el valor de n sea el menor posible puesto que los viajes de ida y vuelta aunque necesarios son obviamente menos eficaces en cuanto a rendimiento que los directos Solucioacuten Las ecuaciones anteriores sugieren una viacutea para la solucioacuten del problema basada en separar los tramos para los cuales n (nuacutemero de viajes de ida y vuelta) se mantiene constante El valor de n iraacute en aumento al progresar desde el final hacia el inicio puesto que la capacidad de los depoacutesitos iraacute aumentando en ese sentido y cada vez que se produzca un incremento de 500 km de carga se haraacute necesario aumentar n en una unidad Asiacute pues tendremos 1- Tramo con n = 0 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se progresa desde el final (punto kilomeacutetrico 800) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 0 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

cf = cr ndash d

Como la carga final cf es nula al llegar al punto final (800 km) y es cr = 500 (el maacuteximo posible) basta con llevar a cabo un viaje de ida solamente que salva la distancia d = 500 km El consumo es justamente de 500 km o una carga Esto nos

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coloca a una distancia del origen de 300 km con un depoacutesito con carga para 500 km en dicho punto al que llamaremos D 2 - Tramo con n = 1 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se calcula desde el final (punto kilomeacutetrico 300) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 1 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

500 = 500 - 2d + cr - d = 500 + cr ndash 3 d Hasta que se agote la carga residual maacutexima cr = 500 tendremos

d = 500 3 (5)

La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =1 (es decir donde se pasa de n =1 a n =2 si se lee desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 1) = 300 ndash 5003 = 4003 = 133 3333hellip km El consumo en todo este tramo final (donde n =1) seraacute

consumo (n = 1) = 3 d = 3 times 5003 = 500 Tenemos asiacute tres viajes de 5003 km Al final de la operacioacuten se habraacute transportado una carga de 500 km con un consumo de 500 km tal como se ha calculado antes Como ya se ha visto nos hallamos ahora a una distancia del origen igual a 4003= 133333hellip km Bautizamos este punto como C donde el depoacutesito tendraacute una carga para 1000 km 3 Tramo con n = 2 Ahora la foacutermula (1) se expresa

1000 = 1000 - 4d + cr - d = 1000 + cr ndash 5 d Para una carga residual maacutexima cr = 500 seraacute

d = 5005 = 100 (6) La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =2 (es decir donde se pasa de n =2 a n =3 leyendo desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 2) = 400 3 - 100 = 100 3 = 333333hellipk m El consumo en todo este tramo (donde n =2) seraacute

consumo (n = 2) = 5 d = 500 Se salva una distancia de 100 km y se comprueba que el consumo seraacute de 5 times 100 = 500 La carga transportada seraacute de 2 times 300 + 400 = 1000 km carga que se deja en el depoacutesito C En este punto B nos encontramos a una distancia del origen de 1003 = 33333hellip km y con un depoacutesito con carga para 1500 km

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4 Tramo con n = 3 En este caso la foacutermula (1) es

1500 = 1500 - 6d + cr - d = 1500 + cr - 7d Tendremos ahora d = 5007 gt 100 3 desigualdad que nos dice que la distancia que puede cubrirse con n = 3 supera la distancia que nos separa del origen Asiacute que bastaraacute trabajar de forma que se tenga

d = 1003 (7) Con estas condiciones el consumo correspondiente valdraacute

consumo (n = 3) = 7 d = 700 3 El nuacutemero de viajes seraacute ahora igual a 2 n + 1 = 7 cada uno de los cuales cubre la distancia d = 1003 La carga que se toma del depoacutesito inicial seraacute 1500 + 7003 Consumo total El consumo total que se busca seraacute por lo tanto exactamente Consumo total = 500 (para recorrer los uacuteltimos 500 km n = 0) + 500 (n = 1) + + 500 (n = 2) + 7003 (n = 3) = 1500 + 7003 lo que expresado en cargas resulta ser (1500 + 7003) 500 = 3+7 15 = 34666hellip El nuacutemero total de viajes resulta ser sumando los de las etapas parciales igual a 16 La tabla 1 muestra los valores relevantes para cada una de las etapas dispuestos ahora desde el inicio hasta el final

Km n viajes d (km) consumo (km) carga (km) A (origen) 1500 + 700 3

0 a 1003 (B) 3 7 100 3 700 3 1500 1993 a 4003 (C) 2 5 100 500 1000 4003 a 300 (D) 1 3 500 3 500 500 300 a 800 (E) 0 1 500 500 0

TOTALES 16 800 1500 + 700 3 Tabla 1

El resultado es por tanto Consumo = (1500 + 700 3) 500 = 3 + 7 15 = 34666hellipasymp 347 Viajes = 16 Notas finales Otra cuestioacuten que suscita este problema es la de si existe una limitacioacuten a la anchura del desierto que se ha de atravesar La respuesta es que no existe tal liacutemite puesto que como se aprecia sin dificultad la taacutectica para ir situando combustible en posiciones avanzadas y que expresan las ecuaciones (1) a (4) permite trabajar a partir de cualquier distancia P Crespo noviembre 2006

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Pitaacutegora y su relacioacuten con los proyectiles

El otro diacutea andando por la calle vi el anagrama de una empresa de consulting

Como puede verse el siacutembolo de la empresa es (aproximadamente) el tan conocido triaacutengulo pitagoacuterico de lados 3 4 y 5 Lo vemos inscrito en un cuadrado el miacutenimo que puede contenerlo iquestCuaacutel es el lado de este cuadrado

Solucioacuten Llamemos α al aacutengulo que forma el cateto largo con el lado vertical del cuadrado Es

inmediato establecer las ecuaciones

4 cos α = L = 4 sin α + 3 cos α Que permite llegar a la igualdad

cos α = 4 sin α De donde se obtiene tan α = α o sea α = 14036ordm El lado vale L = 4 cos 14036ordm = 38806 Es curioso que este aacutengulo es el mismo con el que debe ser lanzado un proyectil para

que la altura alcanzada sea igual al alcance En efecto la primera vale

gvh

2sin 22

0max

ϕ=

Mientras que el alcance es

gvx ϕ2sin2

0=

Igualando ambas ecuaciones se llega a cos φ = frac14 El aacutengulo φ es el complementario

del α antes hallado El proyectil deberiacutea dispararse tangente al cateto de lado 4 JMAiO BCN sep 06

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PROBLEMA DE LA DIVISIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO

Dado un triaacutengulo ABC y un punto P situado en su interior se pide trazar una recta MN que pasando por el punto P divida al triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea o que esteacuten en una proporcioacuten dada

A

B C

P

M

N

Q

q

p

R

x

y

Solucioacuten El problema implica dos condiciones - 1ordm Que los puntos M P y N esteacuten alineados - 2ordm Que las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB esteacuten en una proporcioacuten dada

Veamos como podemos dar forma algebraica a estas dos condiciones Tracemos desde el punto P como se indica en la figura las paralelas a los lados BC y AC hasta que corten en los puntos R y Q respectivamente a los lados AC y BC Llamemos x y p y q a los segmentos MR NQ PQ y PR Los valores de x e y se obtendraacuten al resolver el sistema de ecuaciones que suponen las dos condiciones dadas La primera condicioacuten ya que los triaacutengulos MRP y PQN son semejantes se expresa escribiendo

yp

qx=

La segunda condicioacuten puesto que los triaacutengulos MCN y ACB tienen comuacuten el aacutengulo en C equivale a decir que los productos de los lados de cada triaacutengulo que concurren en el veacutertice C estaacuten en la proporcioacuten en la que estaacuten sus aacutereas Llamando k al cociente entre las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB la segunda condicioacuten la escribiremos asiacute

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( )( ) kabqypx =++

donde a y b son respectivamente los lados BC y AC del triaacutengulo dado El sistema de ecuaciones escrito nos conduce a la siguiente ecuacioacuten de segundo grado que resuelve el problema

( ) 02 22 =+minusminus qpxpqkabqx

( )

qpqkabkabpqkab

x2

42 minusplusmnminus=

xpqy =

La condicioacuten para que el problema tenga solucioacuten real es que el radicando no sea negativo es decir

( ) 04 geminus pqkabkab

pqkab 4ge

abpqk 4

ge

Resulta innecesario decir que para k=05 la recta divide el triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea teniendo que darse previamente la condicioacuten del paacuterrafo anterior Notas 1- La primera condicioacuten tambieacuten se puede expresar escribiendo la recta MN en su forma canoacutenica en el sistema de coordenadas cartesianas oblicuas definido por los ejes CA y CB obligando a que el punto P esteacute en ella es decir

1=+

++ xp

pyq

q o sea pqxy =

2- El valor de k tambieacuten depende del par de lados respecto a los cuales se hayan trazado las paralelas para disponer de los valores de p y q Puede darse el caso de que aun siendo negativo el radicando para la pareja de lados elegida no lo sea para alguna otra y el problema siga teniendo solucioacuten

Manuel Rodriacuteguez Saacutenchez ndash Septiembre de 2006

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Re-citando las citas de laquoPelucheraquo

laquoLas mujeres hablan porque desean hablar mientras que un hombre soacutelo habla cuando se siente empujado por algo ajeno a eacutel como por ejemplo si no encuentra unos calcetines limpiosraquo (Jean Kerr 1922-2003 escritora estadounidense) laquoDonde hay matrimonio sin amor habraacute amor sin matrimonioraquo (Benjamin Franklin cientiacutefico poliacutetico y filoacutesofo norteamericano) laquoSi quieres ver una especie en peligro de extincioacuten miacuterate al espejoraquo (John Young 1930 cientiacutefico estadounidense) laquoAntes de pedir dinero a un amigo decide cual de las dos cosas necesitas maacutesraquo (Jean de La Bruyegravere 1645-1696 moralista franceacutes) laquoComprendes que estaacutes envejeciendo cuando las velitas cuestan maacutes que la tartaraquo (Bob Hope 1903-2003 actor estadounidense) laquoA mi juicio el mejor gobierno es el que deja a la gente maacutes tiempo en pazraquo (Walt Whitman 1819-1892 poeta estadounidense) laquoSi el hijo de Bono se casa con la hija de Bush iquestla descendencia se llamaraacute Bono Bushraquo (Alberto C 1983 estudiante de reflexologiacutea podal) laquoPara escribir un buen libro no considero imprescindible conocer Pariacutes ni haber leiacutedo el Quijote Cervantes cuando lo escribioacute aun no lo habiacutea leiacutedoraquo (Miguel Delibes 1920 escritor espantildeol) laquoComo todo el mundo sabe los cantos de las sirenas atraen a los hombres para luego acabar con ellos Especialmente las sirenas de las faacutebricasraquo (Jaume Perich Escala 1940-1995 humorista espantildeol) P C Citas tomadas de laquoPelucheraquo con su consentimiento

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Problema del Autoacutedromo de Sant Pere de Ribes

Enunciado En Sant Pere de Ribes cerca de Sitges provincia de Barcelona hay un circuito autoacutedromo abandonado que tiene forma oval Cada uno de los dos extremos tiene un radio estimado en 131 metros y una pendiente estimada de 60 grados sexagesimales

iquestA queacute velocidad debe ir un automoacutevil en dicha pendiente para no resbalar hacia abajo ni hacia arriba

Resolucioacuten

Sobre el automoacutevil actuacutean 2 fuerzas el peso p

y la reaccioacuten perpendicular del suelo f debida a la curva

Llamando m a la masa del automoacutevil y g a la aceleracioacuten de la gravedad se sabe

mgp =

Para que el automoacutevil no resbale el valor de f

debe ser tal que al descomponerlo en f1 y f2 se produzca

pf =1

La fuerza f2 es la fuerza llamada centriacutepeta porque su direccioacuten y sentido es hacia el centro de curvatura de la trayectoria del moacutevil es bien sabido que llamando v a su velocidad y r al radio de curvatura de la trayectoria se cumple que la fuerza centriacutefuga se puede expresar

rvmf

2

2 =

Ademaacutes la trigonometriacutea permite escribir 2

1o30 tgff

=

Las ecuaciones anteriores forman un sistema de 4 ecuaciones entre las que se puede suprimir f1 f2 p y m

222o30 tg

vrg

rvm

mg

rvm

p===

de donde despejando v y sustituyendo valores

kmh 8169ms 247057735

819 middot 13130 tg o ====rgv

Conclusioacuten Para no resbalar hacia abajo ni hacia arriba en dicha pendiente el automoacutevil debe ir a 1698 kmh Marcel Mantildeeacute

60o

p

f

f2

f1 30o

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EL TESORO OCULTO El pirata llegoacute a la isla donde decidioacute ocultar su tesoro Como puntos de referencia encontroacute un pozo (P) una roca (R) y un viejo olmo (O) Para ubicar el lugar exacto donde iba a enterrar

su arcoacuten repleto de doblones decidioacute fijar los puntos Pacute y Racute trazando las rectas PPacute perpendicular e igual a PO y RRacute perpendicular e igual a RO Finalmente unioacute con una recta los puntos Pacute y Racute determinando su punto medio T donde enterroacute el tesoro Pasado cierto tiempo regresoacute a la isla y encontroacute sorprendido que el viejo olmo habiacutea desaparecido sin dejar huella de su emplazamiento Afortunadamente el pirata era un buen

geoacutemetra y se las arregloacute para dar con el lugar exacto donde antantildeo habiacutea enterrado su tesoro iquestCoacutemo se las arregloacute Solucioacuten Si prolongamos la liacutenea PR a derecha e izquierda y bajamos a ella las perpendiculares PacuteA OD TC y RacuteB es faacutecil ver que los triaacutengulos OPD y ODR son respectivamente iguales a los PPacuteA y RRacuteB Ocurre entonces que PacuteA = PD y RacuteB = RD por consiguiente PacuteA + RacuteB = PR = 2 CT Como por otro lado AP = RB = OD C seraacute el punto medio de PR Asiacute pues para hallar T bastaraacute levantar una perpendicular a PR por su punto medio C y llevar una distancia CT igual a la mitad de PR Aristogeronte Madrid Agosto 2006

Siempre sucede ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte y aguatinta ndash 178 x 219 mm

T

R

P

O

P R

D C B A

T

R

P

O

P R

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PROBLEMA DE EDADES En un congreso mundial de matemaacuteticos coinciden tres amigos Andreacutes Blas y Carlos que conversan animadamente De su conversacioacuten extraemos los siguientes datos Andreacutes dice Mirad queacute coincidencia hoy es nuestro cumpleantildeos Blas contesta Mayor coincidencia es que la suma de los cuadrados de nuestras edades es 2490 igual al nuacutemero de asistentes al congreso Carlos expresa Todo eso es cierto Pero cuando Andreacutes tenga la edad de Blas la suma de los cuadrados de nuestras edades seraacute 3841 igual al coste en pesetas de la habitacioacuten del hotel Ademaacutes con estos datos cualquier congresista puede averiguar nuestras edades Hallar las edades Solucioacuten Las edades hoy son nuacutemeros enteros Andreacutes = x antildeos Blas = y antildeos Carlos = z antildeos Cuando Andreacutes tenga la edad de Blas habraacuten pasado (y-x) antildeos tiempo que habraacute transcurrido igual a los tres Entonces las edades seraacuten Andreacutes = x + (y-x) Blas = y + (y-x) Carlos = z + (y-x) (x + y-x)2 + (y + y-x)2 + (z + y ndashx)2 = 3841 Desarrollando x2 + y2 + z2 + (y-x) (-x +5y +2z) = 3841 Como x2 + y2 +z2 = 2490 (1) (y-x) (-x +5y +2z) = 3841 ndash 2490 (y-x) (-x +5y +2z) = 1351 Descomponemos 1351 en producto de 2 factores = 7 middot 193 y ndashx = 7 -x +5y +2z = 193 Resolviendo el sistema x = y ndash 7 z = 93 ndash 2y Sustituyendo en (1) (y ndash 7)2 + y2 + (93 -2y)2 = 2490 6y2 ndash 386y +6208 = 0 y1 = 32 y2= 973 y2 no es solucioacuten por ne entero Solucioacuten Andreacutes = 25 antildeos Blas = 32 antildeos Carlos = 29 antildeos Acebrian febrero 2006

Con razoacuten o sin ella ndash Francisco de Goya (Los

desastres de la guerra) ndash Aguafuerte punta seca lavis buril y bruntildeidor ndash

150 x 209 mm

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Reparos a la teoriacutea FSM

Qui nimium probat nihil probat (El que prueba demasiado no prueba nada)

Incluso la filosofiacutea la especulativa filosofiacutea se esfuerza por respetar las liacuteneas convencionales del razonamiento y de la loacutegica Incluso la filosofiacutea cuando examina el universo fiacutesico y la propia vida trata de conciliarse con las corrientes cientiacuteficas sobre las que hay amplio consenso Incluso la filosofiacutea cuando se ocupa de la teoriacutea del conocimiento aplicada al mundo fiacutesico corre pareja con las consideraciones maacutes asentadas de la epistemologiacutea cientiacutefica y no es raro que los tratados filosoacuteficos cuyo enfoque es la metodologiacutea del conocimiento tengan en cuenta los descubrimientos de la fiacutesica de vanguardia tales como las teoriacuteas relativistas y en especial los resultados paradoacutejicos de la fiacutesica cuaacutentica tan enormemente sugestivos al tiempo que elusivos En la biologiacutea y en lo que se refiere a las diversas manifestaciones de la vida y a los cambios de los que existe evidencia foacutesil se considera como asentada la liacutenea explicativa que parte de la exposicioacuten publicada por Darwin a comienzos de la segunda mitad del siglo XIX [1] Aunque no se tenga por definitiva y se reconozca incompleta sobre esa liacutenea maestra se elaboran actualmente explicaciones y correcciones a la misma El descubrimiento de la geneacutetica y de sus mecanismos iacutentimos ha supuesto un enorme impulso en cuanto a las investigaciones en este campo que ahora constituye un considerable tesoro de saber Por eso nos preocupa e incluso nos solivianta la corriente FSM de una explicacioacuten alternativa que seguacuten apreciamos se va abriendo camino incluso en universidades [2] Se trata de una corriente que ha experimentado un crecimiento notable en los uacuteltimos antildeos y que interpreta nuestro universo incluida la manifestacioacuten de la vida en teacuterminos del recurso a la intervencioacuten de una entidad inmaterial el FSM de la que se ofrece a veces una representacioacuten tangible a la que se le atribuyen poderes trascendentes como la omnipresencia y la capacidad ilimitada de intervencioacuten Si hemos de ser honestos debemos reconocer que los argumentos en los que se apoya la teoriacutea a la que aludimos son en principio irrebatibles Lo que es maacutes se ajustan mejor que las teoriacuteas que actualmente se tienen por cientiacuteficas a uno de los preceptos maacutes respetables de la ciencia como es el del reduccionismo metodoloacutegico Seguacuten el principio de Occam de la economiacutea (navaja de Occam) [3] en efecto cuanto menor es el repertorio de afirmaciones que haya que admitir como dadas al elaborar una teoriacutea maacutes aceptable seraacute eacutesta (laquopluralitas non est ponenda sine necessitateraquo) La teoriacutea que tratamos de rebatir cumple extraordinariamente bien con este requisito puesto que lo uacutenico que se requiere es la aceptacioacuten de la hipoacutetesis mencionada de la entidad conocida como FSM De todos modos no estaacute de maacutes recordar que lo que Occam dice exactamente es que en igualdad de condiciones la solucioacuten maacutes sencilla es probablemente la correcta Y probablemente como estaacute claro no equivale a necesariamente No obstante no podemos evitar que nos parezcan forzadas y como argumentadas ad hoc algunas de las explicaciones que da el principal abanderado de dicha corriente de pensamiento y primero en presentarla y defenderla Robert Hendenson Graduado en fiacutesicas no podemos pensar del mismo que le sea ajeno el rigor y la criacutetica cientiacutefica A pesar de todo lo cierto es que algunos de sus razonamientos son

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impecables como cuando explica el por queacute resulta aparente la edad de la Tierra estimada por los meacutetodos cientiacuteficos al uso Veamos sus razones laquo[] Lo que esas personas no comprenden es que Eacutel [el autor se refiere a la entidad FSM] hizo el mundo para hacernos creer que la Tierra es maacutes antigua de lo que realmente es Asiacute por ejemplo un cientiacutefico puede llevar a cabo un proceso de datacioacuten mediante carbono-14 sobre un artefacto y encuentra que aproximadamente el 75 por ciento del carbono-14 se ha desintegrado en nitroacutegeno-14 a causa de la emisioacuten de electrones e infiere que dicho artefacto tiene una antiguumledad de unos diez mil antildeos puesto que la vida media del nitroacutegeno-14 parece ser de 5 730 antildeos Pero lo que nuestro cientiacutefico no advierte es que cada vez que efectuacutea una medida la entidad FSM estaacute alliacute cambiando los resultados con su seudoacutepodo Disponemos de numerosos textos que describen en detalle como es esto posible y las razones por las que Eacutel lo hace Eacutel es por supuesto invisible y puede pasar a traveacutes de la materia normal con facilidadraquo Hay algo en esta explicacioacuten que no nos satisface Naturalmente es irreprochable pero cierta percepcioacuten nos dice que se aparta excesivamente del meacutetodo cientiacutefico por antonomasia La teoriacutea FSM no es por su propia naturaleza falsable de modo que de acuerdo con las tesis de Karl Popper una doctrina de ese tipo no se bate en condiciones de igualdad con el resto de las teoriacuteas por lo que ha de ser apartada como teoriacutea insana ―desde el punto de vista de la ciencia entieacutendase bien― y privada sin maacutes del derecho a contender en la arena cientiacutefica Es cierto que para Popper al contrario de lo que afirma el positivismo tiene sentido la aseveracioacuten de la existencia de la entidad FSM pero este autor delinea muy bien los liacutemites que separan tales tipos de proposiciones de las de caraacutecter cientiacutefico y la que nos ocupa queda claramente al margen de eacutestas [4]

Fig 1 ndash FSC en el instante de animar al primer ser humano Podriacutea argumentarse desde luego y aquiacute nos situamos del lado del punto de vista de Thomas Kuhn que la teoriacutea FSM nos coloca frente a un nuevo paradigma cientiacutefico Para Kuhn en efecto la ciencia no procede por agregaciones progresivas en torno a un nuacutecleo creciente de conocimientos sino antes bien por cambios abruptos del marco completo de la teoriacutea dominante lo que se conoce como

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desplazamientos del paradigma En este sentido podriacuteamos sentirnos inclinados a aceptar que el paradigma FSM nos traslada a un marco radicalmente nuevo No obstante la ciencia no se caracteriza por cambios de naturaleza tan radical Antes bien en los cambios de paradigma a que alude Kuhn siempre ha ocurrido que los nuevos formalismos incluyen a los anteriores en el sentido de que eacutestos se recuperan por paso al liacutemite con respecto a ciertas condiciones o paraacutemetros que han cobrado maacutes generalidad en la nueva teoriacutea Y esto no ocurre en absoluto con la propuesta FSM que prescinde del todo del acervo de saber histoacuterico Nos sentimos obligados a denunciar tambieacuten que las representaciones de la entidad FSM son en cierto modo antropomoacuterficas Sugeririacuteamos prescindir de lo que parecen ser unos ojos y un soma central para dejarlo reducido al conjunto de seudoacutepodos que podriacutean llegar a identificarse con los filamentos de la teoriacutea de cuerdas o en su enmadejamiento formar el tejido de las supercuerdas La ubicuidad podriacutea sustituirse por un nuacutemero ilimitado de copias del FSM actuando en resonancia no local El universo volveriacutea a ser de este modo de nuevo cartesiano dominado por un plenum que lo abarca todo La actuacioacuten instantaacutenea a distancia estariacutea avalada por la verificacioacuten de las condiciones de Bell relativas a la paradoja EPR que ha significado el espaldarazo a la no localidad en el mundo fiacutesico A pesar de todo algo en nuestro interior nos dice que la doctrina FSM es aberrante Quizaacute se deba al lastre de la educacioacuten recibida Despueacutes de todo uno es irremediablemente producto de la forja de su tiempo y nunca es faacutecil superar esa inercia intelectual Hijo ―o debiera decir posiblemente prisionero― de la edad de la razoacuten yo presiento con temor que una nueva Edad Media y estoy pensando en su lastre de oscurantismo se alza amenazante en el horizonte y la melancoliacutea me atenaza amargamente el corazoacuten P Crespo septiembre 2006 [1] On the Origin of Species by Means of Natural Selection or The Preservation of Favoured Races in the Struggle for Life abreviado como The Origin of Species (El origen de las especies) publicado en 1859 Este libro establecioacute la evolucioacuten (cambios espontaacuteneos hereditarios que se imponen cuando son favorables a la especie habida cuenta de los condicionantes del entorno) a partir de un ascendiente comuacuten como la explicacioacuten cientiacutefica dominante de la diversificacioacuten de las formas de la vida en la naturaleza [2] Home page httpwwwvenganzaorg

[3] William of Occam fraile franciscano ingleacutes del siglo XIV (aprox 1285-1349) Lo que se conoce como la navaja de Occam era un principio muy comuacuten en la filosofiacutea medieval (el principio de economiacutea o de parsimonia) y no tuvo su origen con Willian de Ockham pero debido al uso frecuente que eacuteste le daba a dicho principio su nombre acaboacute inseparablemente ligado a eacutel

[4] Karl Popper (1902 1994) La loacutegica de la investigacioacuten cientiacutefica (Logik der Forschung 1934 ciacuterculo de Viena) En esta obra el filoacutesofo austriacuteaco abordoacute el problema de los liacutemites de demarcacioacuten entre la ciencia y proposiciones de otro caraacutecter Para Popper la clave estaacute en reconocer que el conocimiento cientiacutefico no avanza confirmando nuevas leyes sino descartando las que contradicen la experiencia lo que constituye el proceso de falsacioacuten Soacutelo han de admitirse como proposiciones cientiacuteficas aquellas para las que al menos conceptualmente es posible un experimento que las contradiga [5] Thomas Kuhn (1992 1996) Este cientiacutefico norteamericano es famoso principalmente por su libro La estructura de las revoluciones cientiacuteficas (1962) La idea que preside el pensamiento de Kuhn es la de que la ciencia no progresa por acumulacioacuten de nuevo conocimiento sino por desplazamientos de los paradigmas que transforman abruptamente la naturaleza del conocimiento

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Matemaacuteticas de los poliacuteticos vascos Patxi Igandekoa

Pongamos el tiacutepico sistema de ecuaciones de primer grado de dos incoacutegnitas x+y=5 4x-2y=2 (Antes ensentildeaban a resolverlos en 1ordm de BUP ahora en las academias cercanas a la Escuela de Ingenieros de Bilbao) Vaya por adelantado que la solucioacuten es x=2 y=3 No nos interesa esto sino la forma en que lo resolveriacutean dos miembros destacados de nuestra clase poliacutetica El Lehendakari Ibarretxe por ejemplo no tendriacutea dificultad Gracias a su formacioacuten y oficio de economista el valor de las incoacutegnitas aparece ipso facto en su mente sin necesidad de calcular nada Sin embargo eacutel querriacutea hacerlo con fundamento a la vasca Primero lo resolveriacutea por medios algebraicos y comprobariacutea si las soluciones cuadran Despueacutes empleariacutea el meacutetodo graacutefico pediriacutea papel boliacutegrafo y una regla y trazariacutea un eje de coordenadas cifras y finalmente dos rectas bien diaacutefanas y se asegurariacutea de que ambas se cortan en el par de valores correcto Acto seguido llamariacutea a un comiteacute de expertos del Gobierno Vasco y someteriacutea el asunto a su examen para que redactaran un informe en el que se estableciera sin ninguacuten geacutenero de dudas que la solucioacuten al sistema de ecuaciones propuesto vaacutelida tanto en Euskadi como en el resto de un universo eucliacutedeo es la que figura en los caacutelculos de Lehendakaritza Pero la cosa no termina aquiacute porque luego Josu Jon Imaz (otro peso pesado de las ciencias exactas) convocariacutea una mesa de partidos para buscar una solucioacuten paralela ndashpero concordante- al problema mediante acuerdos que incluyan a todas las sensibilidades del paiacutes Para un tema de intereacutes general como este ni siquiera el PP podriacutea negarse y a la exactitud de las estimaciones numeacutericas se antildeadiriacutea finalmente la sancioacuten democraacutetica del consenso Euforia y satisfaccioacuten en el EAJ-PNV ldquoHemos tardado lo nuestro pero valioacute la pena Trabajando duro y con meacutetodo nos hemos puesto las pilas comenzamos el curso con los deberes hechos etc etcrdquo iquestY Patxi Loacutepez iquestCoacutemo reaccionariacutea delante del mismo problema Imaginen a uno de sus correveidiles pasaacutendoselo por encima de su ejemplar abierto de ldquoEl Correo Espantildeolrdquo en plena sesioacuten del Parlamento Vasco Apresurada lectura treacutemulo parpadear de ojos bailoteo de cifras en la mente ruido apenas perceptible producido por el rozamiento de unos dedos sobre la sienhellip ldquoNada otra engantildeifa del Lehendakari iexclSe va a enterar de esto en mi proacutexima rueda de prensardquo Apliacutequese el procedimiento de costumbre enviar por valija del partido a la calle Ferraz para que lo resuelvan alliacuterdquo Y alliacute efectivamente son nada menos que Joseacute Luis Rodriacuteguez Zapatero Presidente del Gobierno de Espantildea y Joseacute Blanco su iacutenenarrable y gallego jefe de bomberos quienes se encargan de despejar las incoacutegnitas Podemos imaginarnos el resultado ldquoiquestAlgebra iquestGraacuteficos cartesianos iexclUff somos de letras iquestQueacute tal si traemos a nuestro informaacutetico para que eche una manordquo ldquoNo mucho maacutes simple Joseacute Luis hacemos x=0 y=0 y ya estaacute Yo seacute algo de matemaacuteticas lo suficiente para recordar que a esto lo llaman lsquosolucioacuten trivialrsquo Es perfectamente legiacutetimo iquestQueacute te parecerdquo ldquoDe entrada bien Pepe Pero asi no puedes resolver un sistema de primer grado iexclel resultado no coinciderdquo ldquoNo importa lo quitamos tambieacuten Escondemos el 5 y el 2 cubrieacutendolos con typex ndashya nos ocuparemos de ellos en la proacutexima legislatura- y hacemos ambas expresiones iguales a cero Ahora las incoacutegnitas siacute coinciden con la ventaja antildeadida de que entonces las de Imaz no Hemos resuelto el problema de matemaacuteticas vasco reducieacutendolo a la no existencia Jean-Paul Sartre estariacutea orgulloso de nosotrosrdquo La solucioacuten es transmitida por mensajero (a portes debidos) a Sabin Etxea donde sesudos jeltzales la examinan moviendo la cabeza a un lado y a otro Habraacute que invertir mucho en centros de caacutelculo si queremos avanzar en el proceso de normalizacioacuten Al menos queda el consuelo de que si alguien quiere volar preferiraacute subirse a un aeroplano disentildeado por Ibarretxe que a otro construido con las matemaacuteticas que ensentildean en el Partido Socialista de Euskadi Publicado en Izaronews 6-9-2006

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Si las palabras de Chillida estaacuten recogidas con fidelidad lamento no estar de acuerdo con ellas porque no creo que las personas se encasillen tan faacutecilmente Pero de todos modos si ustedes creen que represento ese problema no tienen maacutes que haceacutermelo saber Porque como anuncieacute en la seccioacuten correo tireacute mi regla de caacutelculo al riacuteo para mirarla como se hundiacutea (era el uacuteltimo recuerdo del carintildeo que yo le teniacutea etc) y comienzo mis pinitos en cuentos cortos (muy cortos prometido) y otras atrevidas incursiones

[La figura es un recorte del libro de vintildeetas-paacutegina laquoel Arte - conversaciones imaginarias con mi madreraquo de Juanjo Saacuteez Aunque sus ideas sobre el arte parecen discutibles es un libro entrantildeable]

Una uacuteltima advertencia relativa al cuento que sigue y dirigida a los que puedan sacar la conclusioacuten de que tengo imaginacioacuten desviada las hemerotecas son del 29 de noviembre de 2003

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Caperucitas blancas En memoria de Joseacute Couso porque nos volvimos maacutes ciegos cuando sus ojos se apagaron

Una nintildea hasta haciacutea poco ahora cuajada en mujer moldeada por quince primaveras Faacutetima era la mayor de las dos hermanas La pequentildea Azraa a sus doce antildeos era todaviacutea un incipiente brote femenino delicado y menudo

Noviembre agotaba sus diacuteas y haciacutea cuatro que habiacutean empezado las fiestas del fin del Ramadaacuten el mes sagrado del ayuno Ese jueves la ilusioacuten se asomaba a los rostros de ambas hermanas porque iriacutean a cenar a casa de su abuela y pasariacutean la noche con ella Habriacutea puchero y berenjena rellena y despueacutes los dulces de pistacho y de miel y antes de dormir las historias de la lsquoyaddarsquo Jazmina ―la abuelita― llenas del encanto de otros tiempos cuando en los mercados de Baaquba competiacutean entre siacute los colores de los frutos las especias las telas y las alfombras y los asnos eran amigos resignados de los hombres y los paacutejaros hablaban con los nintildeos y eran alegres y eran parlanchines y traiacutean noticias de lugares exoacuteticos

La madre preparoacute una cesta con los pastelillos para el postre Pero la abuela habiacutea expresado el temor de no disponer de lentildea suficiente asiacute que las pequentildeas debiacutean pasar antes por el huerto del tiacuteo Abbash que siempre teniacutea preparada una reserva de lentildeos y sarmientos y habiacutea dado licencia a la familia para recoger de su finca todo aquello que fuera necesario Para llegar al huerto era obligado atravesar un trecho boscoso no era cosa de permitir que las sorprendiera la noche y puesto que la tarde ya se habiacutea insinuado las nintildeas se pusieron con diligencia en camino La pequentildea llevaba apoyada contra su cintura la cesta con los dulces y la mayor se hizo cargo de dos piezas de tela destinadas a sujetar la lentildea y de un hacha pequentildea para trocear los sarmientos

Ya en la finca llevoacute maacutes tiempo del previsto preparar los vaacutestagos para adecuarlos al tamantildeo de la menor de las muchachas y las sombras no esperaron Ante el asomo de la noche las nintildeas iniciaron el regreso en direccioacuten a la casa de la abuela cada una con su hatillo a la espalda la menor abriendo paso con la cesta de los pasteles en su regazo seguida de cerca por su hermana

A menos de cincuenta metros de alliacute Lobo Feroz Dos miraba por el visor de

infrarrojos e informaba de la escena a su compantildeero En el sendero que lindaba con el bosque dos siluetas blanquecinas se recortaban en la oscuridad en contraste con la espesura y los pantildeuelos que cubriacutean sus cabezas las perfilaban como dos caperucitas que se moviacutean avanzando deprisa La mayor pareciacutea sujetar una pistola en su mano

―Lobo Feroz Uno llamando a Halcoacuten Pardo ge-pe-ese delta sur uno doce oeste cero quince Dos sospechosas a la vista parecen llevar armas Esperamos instrucciones Cambio

―Halcoacuten Pardo a Lobo Feroz Ya conocen las consignas Cambio ―Parecen dos nintildeas― apuntoacute Lobo Feroz Dos ―Lobo Feroz Uno a Halcoacuten Pardo Es posible que se trate de dos menores

Solicitamos refuerzos para comprobacioacuten Cambio ―Sargento le recuerdo que estamos en la Operacioacuten Martillo de Hierro Debe

proceder seguacuten la consigna Cambio y corto ―Hemos de disparar― dijo Lobo Feroz Uno a Lobo Feroz Dos ―Pero ― balbuceoacute eacuteste ―Oacuterdenes Encaacutergate del objetivo de la izquierda yo tirareacute sobre el derecho

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La cabeza de Faacutetima se quebroacute como se rompe el fruto del granado cuando se lo arroja con fuerza contra el suelo Con su velo blanco habiacutea sido Caperucita Blanca mientras se desplomaba fue Caperucita a topos rojos poco tiempo despueacutes bajo los focos luminosos era Caperucita Roja yaciendo sobre la hierba del lindero del bosque ya para siempre dormida sus intensos ojos negros abiertos en un gesto uacuteltimo de asombro irracional A su lado la pretendida pistola no era sino el hacha nimia que le habiacutea servido de herramienta

Cerca de ella Azraa acribillada se debatioacute en el suelo durante un tiempo entre espasmos y dentelladas de dolor Desprendido el pantildeuelo varias manchas tentildeiacutean de carmiacuten sus cabellos que hasta entonces habiacutean sido siempre de un azabache casi mineral

La fase siguiente de la laquoOperacioacuten Martillo de Hierroraquo se puso en marcha Uno de los confidentes convocados reconocioacute a las muchachas e indicoacute a los soldados la situacioacuten de la cercana casa de la abuela en los andurriales de la ciudad

La puerta cedioacute ante el explosivo y saltoacute arrancada de cuajo junto con sus goznes Disipado el humo los soldados pudieron distinguir a una anciana enmudecida por el terror y desplomada sobre su cama Se registroacute la casa Dos humildes cuchillos de cocina fueron las uacutenicas armas encontradas

Cuando al diacutea siguiente fueron lavados los cuerpos de las nintildeas el agua sanguinolenta se desparramoacute por el patio y discurrioacute por albantildeales hasta verter en el riacuteo Tigris Diacuteas maacutes tarde en la orilla izquierda de la corriente a un rosal le brotariacutean rosas algo maacutes rojas y un limonero dariacutea limones amargos en la ribera derecha

La sangre de las nintildeas se entremezcloacute en el riacuteo en un postrero abrazo fraternal El sol hizo luego su labor de horno y partiacuteculas de sangre de Faacutetima y de Azraa ascendieron asidas al agua evaporada Desde entonces los atardeceres son algo maacutes escarlata en la tierra que otrora fue Mesopotamia y en todo el orbe resuena el eco milenario de las palabras del Antiguo Testamento dichas para los oiacutedos de los violentos laquoCaiacuten iquestqueacute has hecho de tu hermanoraquo P Crespo

Las camas de la muerte ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte lavis punta seca buril y bruntildeidor ndash 177 x 221 mm

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Reggae reggaehellip (riacutea riacutea)

La escuela y el alumnado

Eacutesta es la coleccioacuten de disparates maacutes sonados cometidos por alumnos de ESO y bachillerato en exaacutemenes de geografiacutea e historia

Perlas variadas bull Al final de la edad media empiezan a

imponerse normas morales como no masticar la sopa

bull Una de las principales manifestaciones del arte goacutetico fueron las piraacutemides que como todo el mundo sabe son apuntadas

bull A partir del Concilio de Trento el matrimonio cristiano debiacutea ser consumado en presencia de un sacerdote

bull Despotismo ilustrado los reyes teniacutean todo el poder pero teniacutean que obedecer cuando el pueblo se poniacutea de acuerdo entre ellos

bull A la juventud hitleriana la preparaban tan bien que al cabo de un antildeo eran capaces de matar a su madre

bull iquestQueacute opinas de la Constitucioacuten Que es buena y guapa

bull Actualmente el paiacutes maacutes pequentildeo de Europa es San Pedro del Vaticano

bull El rey puso a Franco para que trajera la democracia

bull Franco era el rey que habiacutea antes de Juan Carlos I

bull Espantildea no participoacute en la Segunda Guerra Mundial porque Hitler teniacutea miedo de Franco

bull Franco fue un poliacutetico dictador que consiguioacute imponer durante el reinado de Felipe II un reacutegimen dictatorial

bull No seacute en queacute antildeo murioacute Franco pero seacute que murioacute asesinado

bull Democracia es cuando hay gente que mata otra gente o cuando un paiacutes echa bombas a otro o se pegan unos a otros pues esto es democracia

bull Cartografiacutea las faltas de ortografiacutea bull Un paralelo es una de aquellas liacuteneas que

dividen la Tierra en trozos pero es imaginario

bull Continente partiacuteculas de tierra donde vivimos nosotros

bull Anticicloacuten es la temperatura caliente y se mide en milibares

bull Caacutetedra pensioacuten o escuela para los que queriacutean ser curas

bull Petroacuteleo se obtiene por tuberiacuteas llamadas oleoductos y sirve de combustible

bull Desarrollo sostenible es el desarrollo que no es ni alto ni bajo es decir es mediano

bull Poliacutegono hombre con muchas mujeres bull Delta es un riacuteo que lleva muy poca

agua bull Capital de Alemania Merliacuten bull Principales cultivos espantildeoles la uva

que produce el gran aceite que se fabrica en Espantildea

bull Islas de Oceaniacutea Islas Haguai bull Los vientos huracanados producen a

veces atauacutedes de nieve bull La pintura al fresco consiste en pintar al

aire libre bull Sufragista quiere decir que siempre estaacute

navegando por los mares bull La Guerra Friacutea se caracteriza por matar

gente a sangre friacutea bull Hambre endeacutemica es la que pasa cuando

hay epidemias bull La explosioacuten demograacutefica se produce

porque en algunos paiacuteses se producen islas producto de una erupcioacuten volcaacutenica que bastante grandes como para ser evitadas

bull Estado del bienestar significa que todo lo que es puacuteblico se ha de cuidar

bull Deuda externa es si vas aun supermercado y quedas a deber mucho si no tienes dinero Esto es la deuda externa

Serrano J Reboredo J (2005) Perlas variadas en Historia de Espantildea contada por estudiantes Madrid La Esfera de los libros (Remitido por M Dolors Hipoacutelito)

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iexclLas modelos no somos estuacutepidas Pregunta iquestEn queacute paiacutes la estaacuten solicitando como modelo Respuesta No lo puedo decir todaviacutea pero les puedo adelantar que es un paiacutes brasilentildeo que no queda muy lejos de aquiacute (Kate Moss ex modelo de Calvin Klein) Pregunta Si llegara un holocausto nuclear iquestqueacute pareja elegiriacutea Ud en todo el mundo (hombre y mujer) para preservar y multiplicar la especie humana Respuesta Al Papa y a la Madre Teresa de Calcuta (Carolina Zuntildeiga candidata a Miss Chile) El fumar mata Si te mueres has perdido una parte muy importante de tu vida (Brooke Shields entrevista para una campantildea federal antitabaco) Pregunta Si usted pudiera vivir siempre iquestlo hariacutea iquestpor queacute Respuesta Yo no viviriacutea siempre porque no deberiacuteamos vivir siempre porque si se supusiera que debieacuteramos vivir siempre entonces viviriacuteamos siempre pero no podemos vivir siempre que es por lo cual yo no viviriacutea siempre (Miss Alabama en el concurso Miss America 1999) Esa rastrera sinverguumlenza merece ser matada a patadas por un asno iexclY yo soy justo la indicada para hacerlo (Declaracioacuten de Claudia Shiffer sobre Naomi Campbell) No es la contaminacioacuten la que estaacute dantildeando el ambiente Son todas las impurezas en nuestro aire y en nuestra agua las que lo estaacuten haciendo (Pamela Anderson) No he cometido ninguacuten delito Lo que hice fue no cumplir con la ley (Jennifer Lopez al ser detenida junto con Puff Daddy) Siempre que veo la tele y veo a esos pobres nintildeos hambrientos en todo el mundo no puedo evitar llorar Quiero decir me encantaria ser asiacute de flaquita pero no con todas esas moscas y muerte y esas cosas (Mariah Carey cantante) Tomado de Internet por JMaiO 2006 Jacinto Benavente y la coma Doctor Mi previsioacuten se anticipa a todo Bastaraacute con puntuar debidamente alguacuten conceptoVed aquiacute donde dicerdquo Y resultando que no declaroacuterdquo basta una coma y dice ldquo Y resultando que no declaroacuterdquo Y aquiacuterdquoY resultando que no debe condenaacuterselerdquo fuera la coma y dice Y resultando que no debe condenaacuterselerdquo Crispiacuten iexclOh admirable coma iexclMaravillosa coma iexclGenio de la Justicia iexclOraacuteculo de la Ley iexcl Monstruo de la Jurisprudencia Jacinto Benavente Los Intereses Creados Acto segundo escena final

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Tomo una y entrego dos Mariano Nieto propone en [C-90] (seccioacuten correo) el problema que sigue En una urna hay una bola blanca y otra negra Se saca al azar una de ellas y se

devuelve a la urna acompantildeada de otra del mismo color Esta operacioacuten se repite un nuacutemero indefinido de veces

iquestCuaacutel es la probabilidad de que cuando la urna contenga 20 bolas haya 10 de cada color Solucioacuten

Sea (b n) la composicioacuten de la urna con b bolas blancas y n negras y llamemos etapa a cada intervencioacuten que extrae una bola de la urna y devuelve dos Convengamos en que la configuracioacuten de partida (11) corresponde a la etapa 1 En la etapa 2 tendremos las dos configuraciones posibles de la urna (21) y (12) asociadas con la misma probabilidad de 12

Esta simetriacutea inicial nos sugiere el siguiente procedimiento por induccioacuten Si suponemos que en la etapa n cada una de las n configuraciones posibles

(n 1) (n ndash 1 2) (n ndash 2 3) (n ndash a a + 1) (2 n ndash 1) (1 n) [1] tiene la misma probabilidad p de ocurrir (con p =1n por lo tanto) podemos calcular las probabilidades y configuraciones de la etapa n + 1

a) La probabilidad de la configuracioacuten (n + 11) (rama izquierda del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(n + 11) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

b) La probabilidad de la configuracioacuten (1 n+1) (rama derecha del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(1 n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

c) La configuracioacuten (n ndash a a + 2) con 0 le a le (n ndash 2) para asegurar que se recorre el rango de configuraciones de la etapa (n + 1) con exclusioacuten de las extremas antes consideradas proviene de (n ndash a a + 1) tras sacar una bola negra o bien de (n ndash a ndash 1 a + 2) luego de resultar blanca la bola extraiacuteda Su probabilidad seraacute por lo tanto

p x (a + 1) (n + 1) + p x (n ndash a ndash 1) (n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

de modo que todas las configuraciones de la etapa n + 1 tendraacuten tambieacuten la misma probabilidad en este caso 1(n + 1)

En la etapa 3 por ejemplo es faacutecil ver que las 3 configuraciones posibles (3 1) (2 2) y (1 3) comparten la probabilidad 13 Asiacute pues el meacutetodo de induccioacuten nos permite concluir que en la etapa n es decir tras n ndash 1 operaciones con la urna eacutesta contendraacute (n + 1) bolas y tendremos las n configuraciones posibles [1] a cada una de las cuales le corresponde la misma probabilidad 1 n

La configuracioacuten (10 10) por la que pregunta el problema perteneceraacute por lo tanto a la etapa n = 19 (tras 18 operaciones con la urna) y en consecuencia su probabilidad seraacute igual a 1 19 algo mayor que 526 por ciento

En general a la configuracioacuten (b n) donde b es el nuacutemero de bolas blancas y n el de negras siendo b y n nuacutemeros naturales cualesquiera ya que cualquier configuracioacuten es alcanzable le corresponderaacute la probabilidad p(b n) = 1 (b + n ndash 1) P Crespo septiembre 2006

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iquestDe doacutende sale el nuacutemero e Un escuchante miacuteo de RNE en el programa sobre matemaacuteticas de los antildeos 2005-06 me hace la siguiente consulta Cuando estudiaba sexto de bachillerato (plan de ensentildeanza 1957) un dia el profesor de matemaacuteticas llegoacute a clase y dijo Hoy toca el nuacutemero e Y a continuacioacuten escribioacute en la pizarra la expresioacuten conocida de liacutemite cuando n tiende a infinito de 1 maacutes 1 partido por n elevado a n La desarrolloacute por el binomio de Newton y obtuvo el conocido resultado de 2718281 Despueacutes nos dijo que el numero e era muy importante en matemaacuteticas y que se utilizaba para la base de los logaritmos neperianos Es curioso ver como la derivada del logaritmo neperiano de x = 1x EXACTO siendo la base del logaritmo un nuacutemero absolutamente INEXACTO IRRACIONAL Realmente me quedeacute sorprendido Primero de coacutemo al baroacuten de Neacuteper se le habiacutea ocurrido utilizar como base de logaritmos a un nuacutemero irracional y segundo por queacute nunca me explicaron a quieacuten se le ocurrioacute calcular el liacutemite de la expresioacuten (1+1n)n iquestPor queacute se le ocurrioacute a alguien esta expresioacuten y no otra iquestDe donde surgioacute tal necesidad Creo que eso era lo primero que mi profesor de matemaacuteticas teniacutea que habernos contado antes de calcular el liacutemite Probablemente el profesor no conociacutea la respuesta que efectivamente es difiacutecil de encontrar en los actuales libros de texto La definicioacuten actual de logaritmo de un nuacutemero es ldquoel exponente a que hay que elevar una base dada para obtener dicho nuacutemerordquo Asiacute por ejemplo en base 10 el logaritmo de 2 es log10 2 = 0301030 porque 100301030 = 2 (aproximadamente) Pero Neper no concibioacute asiacute el logaritmo para eacutel era el resultado de comparar una progresioacuten aritmeacutetica y otra geomeacutetrica Los teacuterminos de la primera seriacutean los logaritmos de los de la segunda Esto se ve muy claro en esta tabla en la que la razoacuten de la progresioacuten aritmeacutetica es 1 y la de la geomeacutetrica es 10

Progresioacuten aritmeacutetica (razoacuten 1) -3 -2 -1 0 1 2 3Progresioacuten geomeacutetrica (razoacuten 10) 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103

De la propia estructura de ambas progresiones se desprende que un producto de teacuterminos en la progresioacuten geomeacutetrica se corresponde con una suma en la progresioacuten aritmeacutetica Asiacute por las propiedades de los productos de potencias de una misma base seraacute log (xy) = log x + log y y tambieacuten log (xk) = k log x etc Por la misma tabla en la base 10 log (10-3) = log (0001) = -3 log (102) = log (100) = 2 etc Pero iquestqueacute ocurre con los valores intermedios iquestCoacutemo definir para ellos un logaritmo Neper intentoacute responder esta pregunta considerando dos progresiones de razones respectivas α y 1+β siendo (α β) muy pequentildeos Entonces dado un nuacutemero N siempre se podriacutea encontrar un valor n tal que (1+ β)n = N (dentro de una aproximacioacuten suficiente) Entonces el logaritmo de N seriacutea nα Las progresiones maacutes sencillas imaginables son aqueacutellas para las que α = β Entonces seraacute

log N = log [(1+α)n] = nα En esta expresioacuten n seraacute muy grande y α seraacute muy pequentildeo Haciendo nα = L podemos escribir la anterior igualdad

log N = log [(1+ α)1α]nα = log [1+ α)1α]L

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Definamos ahora el nuacutemero e como el liacutemite de (1+α)1α cuando α se hace infinitamente pequentildeo o sea

α

αα

1

0)1(lim +=

rarr

e

Y la expresioacuten se simplificaraacute notablemente

log N = log eL = L log e Resulta inmediatamente que el nuacutemero e = 2718281hellip es la base de logaritmos maacutes conveniente desde el punto de vista teoacuterico pues en ella seraacute log e = 1 Eacutestos son llamados los logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos (este uacuteltimo nombre procede de que miden el aacuterea subtendida entre una hipeacuterbola y su asiacutentota) El nuacutemero e es sin duda el maacutes importante en matemaacuteticas aunque π sea maacutes popular Se recuerdan sus primeras cifras con la mnemotecnia Te ayudareacute a recordar la cantidad a indoctos si releacuteesme bien Se aplica por el nuacutemero de letras de cada palabra Te = 2 ayudareacute = 7 etc En la praacutectica son maacutes usados los logaritmos decimales o de Briggs que tienen por base el nuacutemero 10 Presentan la ventaja de que la parte decimal de cada logaritmo (mantisa) no cambia al ser multiplicado el nuacutemero por una potencia de 10 lo que hace muy praacutecticas las tabulaciones El paso de los logaritmos de una a otra base es muy sencillo mediante el nuacutemero M = log 10 = 2302585 Se deduce sin dificultad que log x = M log10 x Josep M Albaigegraves Barcelona octubre 2006

El nuacutemero e es el uacutenico que verifica que el valor de la derivada (inclinacioacuten de la tangente en rojo en la figura) de f(x) = ex para cualquier valor de x es igual al valor de f(x)

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Cruzando el desierto en jeep Enunciado (propuesto por Mariano Nieto en C-83 seccioacuten correo) Un jeep ha de atravesar un desierto de 800 kiloacutemetros Admite una carga maacutexima para recorrer 500 kiloacutemetros y se quiere conocer la menor cantidad de tales cargas que hay que consumir para alcanzar la meta El depoacutesito inicial se supone de capacidad ilimitada y el jeep puede establecer tantos depoacutesitos intermedios como haga falta Se desea conocer tambieacuten el nuacutemero de viajes parciales que lleva a cabo el jeep teniendo en cuenta que ante dos soluciones iguales (mismo consumo) se preferiraacute la que implique menos viajes parciales Planteo

Supongamos que se depositan cargas en los puntos 1 2 hellipi hellipy llamemos ci a la carga del depoacutesito en el punto i y cf a la del punto siguiente i + 1 Si la distancia entre ambos puntos es d para transportar la carga del punto i al i +1 se necesitaraacuten n viajes de ida y vuelta y un uacuteltimo viaje de ida El depoacutesito en el punto i constaraacute pues de n cargas para 500 km y un remanente al que llamaremos cr Podemos plantear las ecuaciones siguientes

cf = (500 - 2d) n + cr - d (1) ci = 500 n + cr (2) r = (2n + 1) d (3) cr = 500 (4)

donde r es el recorrido del jeep (equivalente a la carga consumida) en el transporte entre ambos depoacutesitos

Los caacutelculos han de efectuarse retrocediendo desde el final hasta la situacioacuten de salida (o sea pasando desde el depoacutesito i +1 al i) para garantizar que se transporta siempre la cantidad miacutenima precisa Cuidaremos tambieacuten de que el valor de n sea el menor posible puesto que los viajes de ida y vuelta aunque necesarios son obviamente menos eficaces en cuanto a rendimiento que los directos Solucioacuten Las ecuaciones anteriores sugieren una viacutea para la solucioacuten del problema basada en separar los tramos para los cuales n (nuacutemero de viajes de ida y vuelta) se mantiene constante El valor de n iraacute en aumento al progresar desde el final hacia el inicio puesto que la capacidad de los depoacutesitos iraacute aumentando en ese sentido y cada vez que se produzca un incremento de 500 km de carga se haraacute necesario aumentar n en una unidad Asiacute pues tendremos 1- Tramo con n = 0 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se progresa desde el final (punto kilomeacutetrico 800) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 0 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

cf = cr ndash d

Como la carga final cf es nula al llegar al punto final (800 km) y es cr = 500 (el maacuteximo posible) basta con llevar a cabo un viaje de ida solamente que salva la distancia d = 500 km El consumo es justamente de 500 km o una carga Esto nos

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coloca a una distancia del origen de 300 km con un depoacutesito con carga para 500 km en dicho punto al que llamaremos D 2 - Tramo con n = 1 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se calcula desde el final (punto kilomeacutetrico 300) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 1 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

500 = 500 - 2d + cr - d = 500 + cr ndash 3 d Hasta que se agote la carga residual maacutexima cr = 500 tendremos

d = 500 3 (5)

La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =1 (es decir donde se pasa de n =1 a n =2 si se lee desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 1) = 300 ndash 5003 = 4003 = 133 3333hellip km El consumo en todo este tramo final (donde n =1) seraacute

consumo (n = 1) = 3 d = 3 times 5003 = 500 Tenemos asiacute tres viajes de 5003 km Al final de la operacioacuten se habraacute transportado una carga de 500 km con un consumo de 500 km tal como se ha calculado antes Como ya se ha visto nos hallamos ahora a una distancia del origen igual a 4003= 133333hellip km Bautizamos este punto como C donde el depoacutesito tendraacute una carga para 1000 km 3 Tramo con n = 2 Ahora la foacutermula (1) se expresa

1000 = 1000 - 4d + cr - d = 1000 + cr ndash 5 d Para una carga residual maacutexima cr = 500 seraacute

d = 5005 = 100 (6) La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =2 (es decir donde se pasa de n =2 a n =3 leyendo desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 2) = 400 3 - 100 = 100 3 = 333333hellipk m El consumo en todo este tramo (donde n =2) seraacute

consumo (n = 2) = 5 d = 500 Se salva una distancia de 100 km y se comprueba que el consumo seraacute de 5 times 100 = 500 La carga transportada seraacute de 2 times 300 + 400 = 1000 km carga que se deja en el depoacutesito C En este punto B nos encontramos a una distancia del origen de 1003 = 33333hellip km y con un depoacutesito con carga para 1500 km

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4 Tramo con n = 3 En este caso la foacutermula (1) es

1500 = 1500 - 6d + cr - d = 1500 + cr - 7d Tendremos ahora d = 5007 gt 100 3 desigualdad que nos dice que la distancia que puede cubrirse con n = 3 supera la distancia que nos separa del origen Asiacute que bastaraacute trabajar de forma que se tenga

d = 1003 (7) Con estas condiciones el consumo correspondiente valdraacute

consumo (n = 3) = 7 d = 700 3 El nuacutemero de viajes seraacute ahora igual a 2 n + 1 = 7 cada uno de los cuales cubre la distancia d = 1003 La carga que se toma del depoacutesito inicial seraacute 1500 + 7003 Consumo total El consumo total que se busca seraacute por lo tanto exactamente Consumo total = 500 (para recorrer los uacuteltimos 500 km n = 0) + 500 (n = 1) + + 500 (n = 2) + 7003 (n = 3) = 1500 + 7003 lo que expresado en cargas resulta ser (1500 + 7003) 500 = 3+7 15 = 34666hellip El nuacutemero total de viajes resulta ser sumando los de las etapas parciales igual a 16 La tabla 1 muestra los valores relevantes para cada una de las etapas dispuestos ahora desde el inicio hasta el final

Km n viajes d (km) consumo (km) carga (km) A (origen) 1500 + 700 3

0 a 1003 (B) 3 7 100 3 700 3 1500 1993 a 4003 (C) 2 5 100 500 1000 4003 a 300 (D) 1 3 500 3 500 500 300 a 800 (E) 0 1 500 500 0

TOTALES 16 800 1500 + 700 3 Tabla 1

El resultado es por tanto Consumo = (1500 + 700 3) 500 = 3 + 7 15 = 34666hellipasymp 347 Viajes = 16 Notas finales Otra cuestioacuten que suscita este problema es la de si existe una limitacioacuten a la anchura del desierto que se ha de atravesar La respuesta es que no existe tal liacutemite puesto que como se aprecia sin dificultad la taacutectica para ir situando combustible en posiciones avanzadas y que expresan las ecuaciones (1) a (4) permite trabajar a partir de cualquier distancia P Crespo noviembre 2006

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Pitaacutegora y su relacioacuten con los proyectiles

El otro diacutea andando por la calle vi el anagrama de una empresa de consulting

Como puede verse el siacutembolo de la empresa es (aproximadamente) el tan conocido triaacutengulo pitagoacuterico de lados 3 4 y 5 Lo vemos inscrito en un cuadrado el miacutenimo que puede contenerlo iquestCuaacutel es el lado de este cuadrado

Solucioacuten Llamemos α al aacutengulo que forma el cateto largo con el lado vertical del cuadrado Es

inmediato establecer las ecuaciones

4 cos α = L = 4 sin α + 3 cos α Que permite llegar a la igualdad

cos α = 4 sin α De donde se obtiene tan α = α o sea α = 14036ordm El lado vale L = 4 cos 14036ordm = 38806 Es curioso que este aacutengulo es el mismo con el que debe ser lanzado un proyectil para

que la altura alcanzada sea igual al alcance En efecto la primera vale

gvh

2sin 22

0max

ϕ=

Mientras que el alcance es

gvx ϕ2sin2

0=

Igualando ambas ecuaciones se llega a cos φ = frac14 El aacutengulo φ es el complementario

del α antes hallado El proyectil deberiacutea dispararse tangente al cateto de lado 4 JMAiO BCN sep 06

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PROBLEMA DE LA DIVISIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO

Dado un triaacutengulo ABC y un punto P situado en su interior se pide trazar una recta MN que pasando por el punto P divida al triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea o que esteacuten en una proporcioacuten dada

A

B C

P

M

N

Q

q

p

R

x

y

Solucioacuten El problema implica dos condiciones - 1ordm Que los puntos M P y N esteacuten alineados - 2ordm Que las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB esteacuten en una proporcioacuten dada

Veamos como podemos dar forma algebraica a estas dos condiciones Tracemos desde el punto P como se indica en la figura las paralelas a los lados BC y AC hasta que corten en los puntos R y Q respectivamente a los lados AC y BC Llamemos x y p y q a los segmentos MR NQ PQ y PR Los valores de x e y se obtendraacuten al resolver el sistema de ecuaciones que suponen las dos condiciones dadas La primera condicioacuten ya que los triaacutengulos MRP y PQN son semejantes se expresa escribiendo

yp

qx=

La segunda condicioacuten puesto que los triaacutengulos MCN y ACB tienen comuacuten el aacutengulo en C equivale a decir que los productos de los lados de cada triaacutengulo que concurren en el veacutertice C estaacuten en la proporcioacuten en la que estaacuten sus aacutereas Llamando k al cociente entre las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB la segunda condicioacuten la escribiremos asiacute

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( )( ) kabqypx =++

donde a y b son respectivamente los lados BC y AC del triaacutengulo dado El sistema de ecuaciones escrito nos conduce a la siguiente ecuacioacuten de segundo grado que resuelve el problema

( ) 02 22 =+minusminus qpxpqkabqx

( )

qpqkabkabpqkab

x2

42 minusplusmnminus=

xpqy =

La condicioacuten para que el problema tenga solucioacuten real es que el radicando no sea negativo es decir

( ) 04 geminus pqkabkab

pqkab 4ge

abpqk 4

ge

Resulta innecesario decir que para k=05 la recta divide el triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea teniendo que darse previamente la condicioacuten del paacuterrafo anterior Notas 1- La primera condicioacuten tambieacuten se puede expresar escribiendo la recta MN en su forma canoacutenica en el sistema de coordenadas cartesianas oblicuas definido por los ejes CA y CB obligando a que el punto P esteacute en ella es decir

1=+

++ xp

pyq

q o sea pqxy =

2- El valor de k tambieacuten depende del par de lados respecto a los cuales se hayan trazado las paralelas para disponer de los valores de p y q Puede darse el caso de que aun siendo negativo el radicando para la pareja de lados elegida no lo sea para alguna otra y el problema siga teniendo solucioacuten

Manuel Rodriacuteguez Saacutenchez ndash Septiembre de 2006

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Re-citando las citas de laquoPelucheraquo

laquoLas mujeres hablan porque desean hablar mientras que un hombre soacutelo habla cuando se siente empujado por algo ajeno a eacutel como por ejemplo si no encuentra unos calcetines limpiosraquo (Jean Kerr 1922-2003 escritora estadounidense) laquoDonde hay matrimonio sin amor habraacute amor sin matrimonioraquo (Benjamin Franklin cientiacutefico poliacutetico y filoacutesofo norteamericano) laquoSi quieres ver una especie en peligro de extincioacuten miacuterate al espejoraquo (John Young 1930 cientiacutefico estadounidense) laquoAntes de pedir dinero a un amigo decide cual de las dos cosas necesitas maacutesraquo (Jean de La Bruyegravere 1645-1696 moralista franceacutes) laquoComprendes que estaacutes envejeciendo cuando las velitas cuestan maacutes que la tartaraquo (Bob Hope 1903-2003 actor estadounidense) laquoA mi juicio el mejor gobierno es el que deja a la gente maacutes tiempo en pazraquo (Walt Whitman 1819-1892 poeta estadounidense) laquoSi el hijo de Bono se casa con la hija de Bush iquestla descendencia se llamaraacute Bono Bushraquo (Alberto C 1983 estudiante de reflexologiacutea podal) laquoPara escribir un buen libro no considero imprescindible conocer Pariacutes ni haber leiacutedo el Quijote Cervantes cuando lo escribioacute aun no lo habiacutea leiacutedoraquo (Miguel Delibes 1920 escritor espantildeol) laquoComo todo el mundo sabe los cantos de las sirenas atraen a los hombres para luego acabar con ellos Especialmente las sirenas de las faacutebricasraquo (Jaume Perich Escala 1940-1995 humorista espantildeol) P C Citas tomadas de laquoPelucheraquo con su consentimiento

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EL TESORO OCULTO El pirata llegoacute a la isla donde decidioacute ocultar su tesoro Como puntos de referencia encontroacute un pozo (P) una roca (R) y un viejo olmo (O) Para ubicar el lugar exacto donde iba a enterrar

su arcoacuten repleto de doblones decidioacute fijar los puntos Pacute y Racute trazando las rectas PPacute perpendicular e igual a PO y RRacute perpendicular e igual a RO Finalmente unioacute con una recta los puntos Pacute y Racute determinando su punto medio T donde enterroacute el tesoro Pasado cierto tiempo regresoacute a la isla y encontroacute sorprendido que el viejo olmo habiacutea desaparecido sin dejar huella de su emplazamiento Afortunadamente el pirata era un buen

geoacutemetra y se las arregloacute para dar con el lugar exacto donde antantildeo habiacutea enterrado su tesoro iquestCoacutemo se las arregloacute Solucioacuten Si prolongamos la liacutenea PR a derecha e izquierda y bajamos a ella las perpendiculares PacuteA OD TC y RacuteB es faacutecil ver que los triaacutengulos OPD y ODR son respectivamente iguales a los PPacuteA y RRacuteB Ocurre entonces que PacuteA = PD y RacuteB = RD por consiguiente PacuteA + RacuteB = PR = 2 CT Como por otro lado AP = RB = OD C seraacute el punto medio de PR Asiacute pues para hallar T bastaraacute levantar una perpendicular a PR por su punto medio C y llevar una distancia CT igual a la mitad de PR Aristogeronte Madrid Agosto 2006

Siempre sucede ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte y aguatinta ndash 178 x 219 mm

T

R

P

O

P R

D C B A

T

R

P

O

P R

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PROBLEMA DE EDADES En un congreso mundial de matemaacuteticos coinciden tres amigos Andreacutes Blas y Carlos que conversan animadamente De su conversacioacuten extraemos los siguientes datos Andreacutes dice Mirad queacute coincidencia hoy es nuestro cumpleantildeos Blas contesta Mayor coincidencia es que la suma de los cuadrados de nuestras edades es 2490 igual al nuacutemero de asistentes al congreso Carlos expresa Todo eso es cierto Pero cuando Andreacutes tenga la edad de Blas la suma de los cuadrados de nuestras edades seraacute 3841 igual al coste en pesetas de la habitacioacuten del hotel Ademaacutes con estos datos cualquier congresista puede averiguar nuestras edades Hallar las edades Solucioacuten Las edades hoy son nuacutemeros enteros Andreacutes = x antildeos Blas = y antildeos Carlos = z antildeos Cuando Andreacutes tenga la edad de Blas habraacuten pasado (y-x) antildeos tiempo que habraacute transcurrido igual a los tres Entonces las edades seraacuten Andreacutes = x + (y-x) Blas = y + (y-x) Carlos = z + (y-x) (x + y-x)2 + (y + y-x)2 + (z + y ndashx)2 = 3841 Desarrollando x2 + y2 + z2 + (y-x) (-x +5y +2z) = 3841 Como x2 + y2 +z2 = 2490 (1) (y-x) (-x +5y +2z) = 3841 ndash 2490 (y-x) (-x +5y +2z) = 1351 Descomponemos 1351 en producto de 2 factores = 7 middot 193 y ndashx = 7 -x +5y +2z = 193 Resolviendo el sistema x = y ndash 7 z = 93 ndash 2y Sustituyendo en (1) (y ndash 7)2 + y2 + (93 -2y)2 = 2490 6y2 ndash 386y +6208 = 0 y1 = 32 y2= 973 y2 no es solucioacuten por ne entero Solucioacuten Andreacutes = 25 antildeos Blas = 32 antildeos Carlos = 29 antildeos Acebrian febrero 2006

Con razoacuten o sin ella ndash Francisco de Goya (Los

desastres de la guerra) ndash Aguafuerte punta seca lavis buril y bruntildeidor ndash

150 x 209 mm

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Reparos a la teoriacutea FSM

Qui nimium probat nihil probat (El que prueba demasiado no prueba nada)

Incluso la filosofiacutea la especulativa filosofiacutea se esfuerza por respetar las liacuteneas convencionales del razonamiento y de la loacutegica Incluso la filosofiacutea cuando examina el universo fiacutesico y la propia vida trata de conciliarse con las corrientes cientiacuteficas sobre las que hay amplio consenso Incluso la filosofiacutea cuando se ocupa de la teoriacutea del conocimiento aplicada al mundo fiacutesico corre pareja con las consideraciones maacutes asentadas de la epistemologiacutea cientiacutefica y no es raro que los tratados filosoacuteficos cuyo enfoque es la metodologiacutea del conocimiento tengan en cuenta los descubrimientos de la fiacutesica de vanguardia tales como las teoriacuteas relativistas y en especial los resultados paradoacutejicos de la fiacutesica cuaacutentica tan enormemente sugestivos al tiempo que elusivos En la biologiacutea y en lo que se refiere a las diversas manifestaciones de la vida y a los cambios de los que existe evidencia foacutesil se considera como asentada la liacutenea explicativa que parte de la exposicioacuten publicada por Darwin a comienzos de la segunda mitad del siglo XIX [1] Aunque no se tenga por definitiva y se reconozca incompleta sobre esa liacutenea maestra se elaboran actualmente explicaciones y correcciones a la misma El descubrimiento de la geneacutetica y de sus mecanismos iacutentimos ha supuesto un enorme impulso en cuanto a las investigaciones en este campo que ahora constituye un considerable tesoro de saber Por eso nos preocupa e incluso nos solivianta la corriente FSM de una explicacioacuten alternativa que seguacuten apreciamos se va abriendo camino incluso en universidades [2] Se trata de una corriente que ha experimentado un crecimiento notable en los uacuteltimos antildeos y que interpreta nuestro universo incluida la manifestacioacuten de la vida en teacuterminos del recurso a la intervencioacuten de una entidad inmaterial el FSM de la que se ofrece a veces una representacioacuten tangible a la que se le atribuyen poderes trascendentes como la omnipresencia y la capacidad ilimitada de intervencioacuten Si hemos de ser honestos debemos reconocer que los argumentos en los que se apoya la teoriacutea a la que aludimos son en principio irrebatibles Lo que es maacutes se ajustan mejor que las teoriacuteas que actualmente se tienen por cientiacuteficas a uno de los preceptos maacutes respetables de la ciencia como es el del reduccionismo metodoloacutegico Seguacuten el principio de Occam de la economiacutea (navaja de Occam) [3] en efecto cuanto menor es el repertorio de afirmaciones que haya que admitir como dadas al elaborar una teoriacutea maacutes aceptable seraacute eacutesta (laquopluralitas non est ponenda sine necessitateraquo) La teoriacutea que tratamos de rebatir cumple extraordinariamente bien con este requisito puesto que lo uacutenico que se requiere es la aceptacioacuten de la hipoacutetesis mencionada de la entidad conocida como FSM De todos modos no estaacute de maacutes recordar que lo que Occam dice exactamente es que en igualdad de condiciones la solucioacuten maacutes sencilla es probablemente la correcta Y probablemente como estaacute claro no equivale a necesariamente No obstante no podemos evitar que nos parezcan forzadas y como argumentadas ad hoc algunas de las explicaciones que da el principal abanderado de dicha corriente de pensamiento y primero en presentarla y defenderla Robert Hendenson Graduado en fiacutesicas no podemos pensar del mismo que le sea ajeno el rigor y la criacutetica cientiacutefica A pesar de todo lo cierto es que algunos de sus razonamientos son

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impecables como cuando explica el por queacute resulta aparente la edad de la Tierra estimada por los meacutetodos cientiacuteficos al uso Veamos sus razones laquo[] Lo que esas personas no comprenden es que Eacutel [el autor se refiere a la entidad FSM] hizo el mundo para hacernos creer que la Tierra es maacutes antigua de lo que realmente es Asiacute por ejemplo un cientiacutefico puede llevar a cabo un proceso de datacioacuten mediante carbono-14 sobre un artefacto y encuentra que aproximadamente el 75 por ciento del carbono-14 se ha desintegrado en nitroacutegeno-14 a causa de la emisioacuten de electrones e infiere que dicho artefacto tiene una antiguumledad de unos diez mil antildeos puesto que la vida media del nitroacutegeno-14 parece ser de 5 730 antildeos Pero lo que nuestro cientiacutefico no advierte es que cada vez que efectuacutea una medida la entidad FSM estaacute alliacute cambiando los resultados con su seudoacutepodo Disponemos de numerosos textos que describen en detalle como es esto posible y las razones por las que Eacutel lo hace Eacutel es por supuesto invisible y puede pasar a traveacutes de la materia normal con facilidadraquo Hay algo en esta explicacioacuten que no nos satisface Naturalmente es irreprochable pero cierta percepcioacuten nos dice que se aparta excesivamente del meacutetodo cientiacutefico por antonomasia La teoriacutea FSM no es por su propia naturaleza falsable de modo que de acuerdo con las tesis de Karl Popper una doctrina de ese tipo no se bate en condiciones de igualdad con el resto de las teoriacuteas por lo que ha de ser apartada como teoriacutea insana ―desde el punto de vista de la ciencia entieacutendase bien― y privada sin maacutes del derecho a contender en la arena cientiacutefica Es cierto que para Popper al contrario de lo que afirma el positivismo tiene sentido la aseveracioacuten de la existencia de la entidad FSM pero este autor delinea muy bien los liacutemites que separan tales tipos de proposiciones de las de caraacutecter cientiacutefico y la que nos ocupa queda claramente al margen de eacutestas [4]

Fig 1 ndash FSC en el instante de animar al primer ser humano Podriacutea argumentarse desde luego y aquiacute nos situamos del lado del punto de vista de Thomas Kuhn que la teoriacutea FSM nos coloca frente a un nuevo paradigma cientiacutefico Para Kuhn en efecto la ciencia no procede por agregaciones progresivas en torno a un nuacutecleo creciente de conocimientos sino antes bien por cambios abruptos del marco completo de la teoriacutea dominante lo que se conoce como

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desplazamientos del paradigma En este sentido podriacuteamos sentirnos inclinados a aceptar que el paradigma FSM nos traslada a un marco radicalmente nuevo No obstante la ciencia no se caracteriza por cambios de naturaleza tan radical Antes bien en los cambios de paradigma a que alude Kuhn siempre ha ocurrido que los nuevos formalismos incluyen a los anteriores en el sentido de que eacutestos se recuperan por paso al liacutemite con respecto a ciertas condiciones o paraacutemetros que han cobrado maacutes generalidad en la nueva teoriacutea Y esto no ocurre en absoluto con la propuesta FSM que prescinde del todo del acervo de saber histoacuterico Nos sentimos obligados a denunciar tambieacuten que las representaciones de la entidad FSM son en cierto modo antropomoacuterficas Sugeririacuteamos prescindir de lo que parecen ser unos ojos y un soma central para dejarlo reducido al conjunto de seudoacutepodos que podriacutean llegar a identificarse con los filamentos de la teoriacutea de cuerdas o en su enmadejamiento formar el tejido de las supercuerdas La ubicuidad podriacutea sustituirse por un nuacutemero ilimitado de copias del FSM actuando en resonancia no local El universo volveriacutea a ser de este modo de nuevo cartesiano dominado por un plenum que lo abarca todo La actuacioacuten instantaacutenea a distancia estariacutea avalada por la verificacioacuten de las condiciones de Bell relativas a la paradoja EPR que ha significado el espaldarazo a la no localidad en el mundo fiacutesico A pesar de todo algo en nuestro interior nos dice que la doctrina FSM es aberrante Quizaacute se deba al lastre de la educacioacuten recibida Despueacutes de todo uno es irremediablemente producto de la forja de su tiempo y nunca es faacutecil superar esa inercia intelectual Hijo ―o debiera decir posiblemente prisionero― de la edad de la razoacuten yo presiento con temor que una nueva Edad Media y estoy pensando en su lastre de oscurantismo se alza amenazante en el horizonte y la melancoliacutea me atenaza amargamente el corazoacuten P Crespo septiembre 2006 [1] On the Origin of Species by Means of Natural Selection or The Preservation of Favoured Races in the Struggle for Life abreviado como The Origin of Species (El origen de las especies) publicado en 1859 Este libro establecioacute la evolucioacuten (cambios espontaacuteneos hereditarios que se imponen cuando son favorables a la especie habida cuenta de los condicionantes del entorno) a partir de un ascendiente comuacuten como la explicacioacuten cientiacutefica dominante de la diversificacioacuten de las formas de la vida en la naturaleza [2] Home page httpwwwvenganzaorg

[3] William of Occam fraile franciscano ingleacutes del siglo XIV (aprox 1285-1349) Lo que se conoce como la navaja de Occam era un principio muy comuacuten en la filosofiacutea medieval (el principio de economiacutea o de parsimonia) y no tuvo su origen con Willian de Ockham pero debido al uso frecuente que eacuteste le daba a dicho principio su nombre acaboacute inseparablemente ligado a eacutel

[4] Karl Popper (1902 1994) La loacutegica de la investigacioacuten cientiacutefica (Logik der Forschung 1934 ciacuterculo de Viena) En esta obra el filoacutesofo austriacuteaco abordoacute el problema de los liacutemites de demarcacioacuten entre la ciencia y proposiciones de otro caraacutecter Para Popper la clave estaacute en reconocer que el conocimiento cientiacutefico no avanza confirmando nuevas leyes sino descartando las que contradicen la experiencia lo que constituye el proceso de falsacioacuten Soacutelo han de admitirse como proposiciones cientiacuteficas aquellas para las que al menos conceptualmente es posible un experimento que las contradiga [5] Thomas Kuhn (1992 1996) Este cientiacutefico norteamericano es famoso principalmente por su libro La estructura de las revoluciones cientiacuteficas (1962) La idea que preside el pensamiento de Kuhn es la de que la ciencia no progresa por acumulacioacuten de nuevo conocimiento sino por desplazamientos de los paradigmas que transforman abruptamente la naturaleza del conocimiento

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Matemaacuteticas de los poliacuteticos vascos Patxi Igandekoa

Pongamos el tiacutepico sistema de ecuaciones de primer grado de dos incoacutegnitas x+y=5 4x-2y=2 (Antes ensentildeaban a resolverlos en 1ordm de BUP ahora en las academias cercanas a la Escuela de Ingenieros de Bilbao) Vaya por adelantado que la solucioacuten es x=2 y=3 No nos interesa esto sino la forma en que lo resolveriacutean dos miembros destacados de nuestra clase poliacutetica El Lehendakari Ibarretxe por ejemplo no tendriacutea dificultad Gracias a su formacioacuten y oficio de economista el valor de las incoacutegnitas aparece ipso facto en su mente sin necesidad de calcular nada Sin embargo eacutel querriacutea hacerlo con fundamento a la vasca Primero lo resolveriacutea por medios algebraicos y comprobariacutea si las soluciones cuadran Despueacutes empleariacutea el meacutetodo graacutefico pediriacutea papel boliacutegrafo y una regla y trazariacutea un eje de coordenadas cifras y finalmente dos rectas bien diaacutefanas y se asegurariacutea de que ambas se cortan en el par de valores correcto Acto seguido llamariacutea a un comiteacute de expertos del Gobierno Vasco y someteriacutea el asunto a su examen para que redactaran un informe en el que se estableciera sin ninguacuten geacutenero de dudas que la solucioacuten al sistema de ecuaciones propuesto vaacutelida tanto en Euskadi como en el resto de un universo eucliacutedeo es la que figura en los caacutelculos de Lehendakaritza Pero la cosa no termina aquiacute porque luego Josu Jon Imaz (otro peso pesado de las ciencias exactas) convocariacutea una mesa de partidos para buscar una solucioacuten paralela ndashpero concordante- al problema mediante acuerdos que incluyan a todas las sensibilidades del paiacutes Para un tema de intereacutes general como este ni siquiera el PP podriacutea negarse y a la exactitud de las estimaciones numeacutericas se antildeadiriacutea finalmente la sancioacuten democraacutetica del consenso Euforia y satisfaccioacuten en el EAJ-PNV ldquoHemos tardado lo nuestro pero valioacute la pena Trabajando duro y con meacutetodo nos hemos puesto las pilas comenzamos el curso con los deberes hechos etc etcrdquo iquestY Patxi Loacutepez iquestCoacutemo reaccionariacutea delante del mismo problema Imaginen a uno de sus correveidiles pasaacutendoselo por encima de su ejemplar abierto de ldquoEl Correo Espantildeolrdquo en plena sesioacuten del Parlamento Vasco Apresurada lectura treacutemulo parpadear de ojos bailoteo de cifras en la mente ruido apenas perceptible producido por el rozamiento de unos dedos sobre la sienhellip ldquoNada otra engantildeifa del Lehendakari iexclSe va a enterar de esto en mi proacutexima rueda de prensardquo Apliacutequese el procedimiento de costumbre enviar por valija del partido a la calle Ferraz para que lo resuelvan alliacuterdquo Y alliacute efectivamente son nada menos que Joseacute Luis Rodriacuteguez Zapatero Presidente del Gobierno de Espantildea y Joseacute Blanco su iacutenenarrable y gallego jefe de bomberos quienes se encargan de despejar las incoacutegnitas Podemos imaginarnos el resultado ldquoiquestAlgebra iquestGraacuteficos cartesianos iexclUff somos de letras iquestQueacute tal si traemos a nuestro informaacutetico para que eche una manordquo ldquoNo mucho maacutes simple Joseacute Luis hacemos x=0 y=0 y ya estaacute Yo seacute algo de matemaacuteticas lo suficiente para recordar que a esto lo llaman lsquosolucioacuten trivialrsquo Es perfectamente legiacutetimo iquestQueacute te parecerdquo ldquoDe entrada bien Pepe Pero asi no puedes resolver un sistema de primer grado iexclel resultado no coinciderdquo ldquoNo importa lo quitamos tambieacuten Escondemos el 5 y el 2 cubrieacutendolos con typex ndashya nos ocuparemos de ellos en la proacutexima legislatura- y hacemos ambas expresiones iguales a cero Ahora las incoacutegnitas siacute coinciden con la ventaja antildeadida de que entonces las de Imaz no Hemos resuelto el problema de matemaacuteticas vasco reducieacutendolo a la no existencia Jean-Paul Sartre estariacutea orgulloso de nosotrosrdquo La solucioacuten es transmitida por mensajero (a portes debidos) a Sabin Etxea donde sesudos jeltzales la examinan moviendo la cabeza a un lado y a otro Habraacute que invertir mucho en centros de caacutelculo si queremos avanzar en el proceso de normalizacioacuten Al menos queda el consuelo de que si alguien quiere volar preferiraacute subirse a un aeroplano disentildeado por Ibarretxe que a otro construido con las matemaacuteticas que ensentildean en el Partido Socialista de Euskadi Publicado en Izaronews 6-9-2006

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Si las palabras de Chillida estaacuten recogidas con fidelidad lamento no estar de acuerdo con ellas porque no creo que las personas se encasillen tan faacutecilmente Pero de todos modos si ustedes creen que represento ese problema no tienen maacutes que haceacutermelo saber Porque como anuncieacute en la seccioacuten correo tireacute mi regla de caacutelculo al riacuteo para mirarla como se hundiacutea (era el uacuteltimo recuerdo del carintildeo que yo le teniacutea etc) y comienzo mis pinitos en cuentos cortos (muy cortos prometido) y otras atrevidas incursiones

[La figura es un recorte del libro de vintildeetas-paacutegina laquoel Arte - conversaciones imaginarias con mi madreraquo de Juanjo Saacuteez Aunque sus ideas sobre el arte parecen discutibles es un libro entrantildeable]

Una uacuteltima advertencia relativa al cuento que sigue y dirigida a los que puedan sacar la conclusioacuten de que tengo imaginacioacuten desviada las hemerotecas son del 29 de noviembre de 2003

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Caperucitas blancas En memoria de Joseacute Couso porque nos volvimos maacutes ciegos cuando sus ojos se apagaron

Una nintildea hasta haciacutea poco ahora cuajada en mujer moldeada por quince primaveras Faacutetima era la mayor de las dos hermanas La pequentildea Azraa a sus doce antildeos era todaviacutea un incipiente brote femenino delicado y menudo

Noviembre agotaba sus diacuteas y haciacutea cuatro que habiacutean empezado las fiestas del fin del Ramadaacuten el mes sagrado del ayuno Ese jueves la ilusioacuten se asomaba a los rostros de ambas hermanas porque iriacutean a cenar a casa de su abuela y pasariacutean la noche con ella Habriacutea puchero y berenjena rellena y despueacutes los dulces de pistacho y de miel y antes de dormir las historias de la lsquoyaddarsquo Jazmina ―la abuelita― llenas del encanto de otros tiempos cuando en los mercados de Baaquba competiacutean entre siacute los colores de los frutos las especias las telas y las alfombras y los asnos eran amigos resignados de los hombres y los paacutejaros hablaban con los nintildeos y eran alegres y eran parlanchines y traiacutean noticias de lugares exoacuteticos

La madre preparoacute una cesta con los pastelillos para el postre Pero la abuela habiacutea expresado el temor de no disponer de lentildea suficiente asiacute que las pequentildeas debiacutean pasar antes por el huerto del tiacuteo Abbash que siempre teniacutea preparada una reserva de lentildeos y sarmientos y habiacutea dado licencia a la familia para recoger de su finca todo aquello que fuera necesario Para llegar al huerto era obligado atravesar un trecho boscoso no era cosa de permitir que las sorprendiera la noche y puesto que la tarde ya se habiacutea insinuado las nintildeas se pusieron con diligencia en camino La pequentildea llevaba apoyada contra su cintura la cesta con los dulces y la mayor se hizo cargo de dos piezas de tela destinadas a sujetar la lentildea y de un hacha pequentildea para trocear los sarmientos

Ya en la finca llevoacute maacutes tiempo del previsto preparar los vaacutestagos para adecuarlos al tamantildeo de la menor de las muchachas y las sombras no esperaron Ante el asomo de la noche las nintildeas iniciaron el regreso en direccioacuten a la casa de la abuela cada una con su hatillo a la espalda la menor abriendo paso con la cesta de los pasteles en su regazo seguida de cerca por su hermana

A menos de cincuenta metros de alliacute Lobo Feroz Dos miraba por el visor de

infrarrojos e informaba de la escena a su compantildeero En el sendero que lindaba con el bosque dos siluetas blanquecinas se recortaban en la oscuridad en contraste con la espesura y los pantildeuelos que cubriacutean sus cabezas las perfilaban como dos caperucitas que se moviacutean avanzando deprisa La mayor pareciacutea sujetar una pistola en su mano

―Lobo Feroz Uno llamando a Halcoacuten Pardo ge-pe-ese delta sur uno doce oeste cero quince Dos sospechosas a la vista parecen llevar armas Esperamos instrucciones Cambio

―Halcoacuten Pardo a Lobo Feroz Ya conocen las consignas Cambio ―Parecen dos nintildeas― apuntoacute Lobo Feroz Dos ―Lobo Feroz Uno a Halcoacuten Pardo Es posible que se trate de dos menores

Solicitamos refuerzos para comprobacioacuten Cambio ―Sargento le recuerdo que estamos en la Operacioacuten Martillo de Hierro Debe

proceder seguacuten la consigna Cambio y corto ―Hemos de disparar― dijo Lobo Feroz Uno a Lobo Feroz Dos ―Pero ― balbuceoacute eacuteste ―Oacuterdenes Encaacutergate del objetivo de la izquierda yo tirareacute sobre el derecho

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La cabeza de Faacutetima se quebroacute como se rompe el fruto del granado cuando se lo arroja con fuerza contra el suelo Con su velo blanco habiacutea sido Caperucita Blanca mientras se desplomaba fue Caperucita a topos rojos poco tiempo despueacutes bajo los focos luminosos era Caperucita Roja yaciendo sobre la hierba del lindero del bosque ya para siempre dormida sus intensos ojos negros abiertos en un gesto uacuteltimo de asombro irracional A su lado la pretendida pistola no era sino el hacha nimia que le habiacutea servido de herramienta

Cerca de ella Azraa acribillada se debatioacute en el suelo durante un tiempo entre espasmos y dentelladas de dolor Desprendido el pantildeuelo varias manchas tentildeiacutean de carmiacuten sus cabellos que hasta entonces habiacutean sido siempre de un azabache casi mineral

La fase siguiente de la laquoOperacioacuten Martillo de Hierroraquo se puso en marcha Uno de los confidentes convocados reconocioacute a las muchachas e indicoacute a los soldados la situacioacuten de la cercana casa de la abuela en los andurriales de la ciudad

La puerta cedioacute ante el explosivo y saltoacute arrancada de cuajo junto con sus goznes Disipado el humo los soldados pudieron distinguir a una anciana enmudecida por el terror y desplomada sobre su cama Se registroacute la casa Dos humildes cuchillos de cocina fueron las uacutenicas armas encontradas

Cuando al diacutea siguiente fueron lavados los cuerpos de las nintildeas el agua sanguinolenta se desparramoacute por el patio y discurrioacute por albantildeales hasta verter en el riacuteo Tigris Diacuteas maacutes tarde en la orilla izquierda de la corriente a un rosal le brotariacutean rosas algo maacutes rojas y un limonero dariacutea limones amargos en la ribera derecha

La sangre de las nintildeas se entremezcloacute en el riacuteo en un postrero abrazo fraternal El sol hizo luego su labor de horno y partiacuteculas de sangre de Faacutetima y de Azraa ascendieron asidas al agua evaporada Desde entonces los atardeceres son algo maacutes escarlata en la tierra que otrora fue Mesopotamia y en todo el orbe resuena el eco milenario de las palabras del Antiguo Testamento dichas para los oiacutedos de los violentos laquoCaiacuten iquestqueacute has hecho de tu hermanoraquo P Crespo

Las camas de la muerte ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte lavis punta seca buril y bruntildeidor ndash 177 x 221 mm

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Reggae reggaehellip (riacutea riacutea)

La escuela y el alumnado

Eacutesta es la coleccioacuten de disparates maacutes sonados cometidos por alumnos de ESO y bachillerato en exaacutemenes de geografiacutea e historia

Perlas variadas bull Al final de la edad media empiezan a

imponerse normas morales como no masticar la sopa

bull Una de las principales manifestaciones del arte goacutetico fueron las piraacutemides que como todo el mundo sabe son apuntadas

bull A partir del Concilio de Trento el matrimonio cristiano debiacutea ser consumado en presencia de un sacerdote

bull Despotismo ilustrado los reyes teniacutean todo el poder pero teniacutean que obedecer cuando el pueblo se poniacutea de acuerdo entre ellos

bull A la juventud hitleriana la preparaban tan bien que al cabo de un antildeo eran capaces de matar a su madre

bull iquestQueacute opinas de la Constitucioacuten Que es buena y guapa

bull Actualmente el paiacutes maacutes pequentildeo de Europa es San Pedro del Vaticano

bull El rey puso a Franco para que trajera la democracia

bull Franco era el rey que habiacutea antes de Juan Carlos I

bull Espantildea no participoacute en la Segunda Guerra Mundial porque Hitler teniacutea miedo de Franco

bull Franco fue un poliacutetico dictador que consiguioacute imponer durante el reinado de Felipe II un reacutegimen dictatorial

bull No seacute en queacute antildeo murioacute Franco pero seacute que murioacute asesinado

bull Democracia es cuando hay gente que mata otra gente o cuando un paiacutes echa bombas a otro o se pegan unos a otros pues esto es democracia

bull Cartografiacutea las faltas de ortografiacutea bull Un paralelo es una de aquellas liacuteneas que

dividen la Tierra en trozos pero es imaginario

bull Continente partiacuteculas de tierra donde vivimos nosotros

bull Anticicloacuten es la temperatura caliente y se mide en milibares

bull Caacutetedra pensioacuten o escuela para los que queriacutean ser curas

bull Petroacuteleo se obtiene por tuberiacuteas llamadas oleoductos y sirve de combustible

bull Desarrollo sostenible es el desarrollo que no es ni alto ni bajo es decir es mediano

bull Poliacutegono hombre con muchas mujeres bull Delta es un riacuteo que lleva muy poca

agua bull Capital de Alemania Merliacuten bull Principales cultivos espantildeoles la uva

que produce el gran aceite que se fabrica en Espantildea

bull Islas de Oceaniacutea Islas Haguai bull Los vientos huracanados producen a

veces atauacutedes de nieve bull La pintura al fresco consiste en pintar al

aire libre bull Sufragista quiere decir que siempre estaacute

navegando por los mares bull La Guerra Friacutea se caracteriza por matar

gente a sangre friacutea bull Hambre endeacutemica es la que pasa cuando

hay epidemias bull La explosioacuten demograacutefica se produce

porque en algunos paiacuteses se producen islas producto de una erupcioacuten volcaacutenica que bastante grandes como para ser evitadas

bull Estado del bienestar significa que todo lo que es puacuteblico se ha de cuidar

bull Deuda externa es si vas aun supermercado y quedas a deber mucho si no tienes dinero Esto es la deuda externa

Serrano J Reboredo J (2005) Perlas variadas en Historia de Espantildea contada por estudiantes Madrid La Esfera de los libros (Remitido por M Dolors Hipoacutelito)

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iexclLas modelos no somos estuacutepidas Pregunta iquestEn queacute paiacutes la estaacuten solicitando como modelo Respuesta No lo puedo decir todaviacutea pero les puedo adelantar que es un paiacutes brasilentildeo que no queda muy lejos de aquiacute (Kate Moss ex modelo de Calvin Klein) Pregunta Si llegara un holocausto nuclear iquestqueacute pareja elegiriacutea Ud en todo el mundo (hombre y mujer) para preservar y multiplicar la especie humana Respuesta Al Papa y a la Madre Teresa de Calcuta (Carolina Zuntildeiga candidata a Miss Chile) El fumar mata Si te mueres has perdido una parte muy importante de tu vida (Brooke Shields entrevista para una campantildea federal antitabaco) Pregunta Si usted pudiera vivir siempre iquestlo hariacutea iquestpor queacute Respuesta Yo no viviriacutea siempre porque no deberiacuteamos vivir siempre porque si se supusiera que debieacuteramos vivir siempre entonces viviriacuteamos siempre pero no podemos vivir siempre que es por lo cual yo no viviriacutea siempre (Miss Alabama en el concurso Miss America 1999) Esa rastrera sinverguumlenza merece ser matada a patadas por un asno iexclY yo soy justo la indicada para hacerlo (Declaracioacuten de Claudia Shiffer sobre Naomi Campbell) No es la contaminacioacuten la que estaacute dantildeando el ambiente Son todas las impurezas en nuestro aire y en nuestra agua las que lo estaacuten haciendo (Pamela Anderson) No he cometido ninguacuten delito Lo que hice fue no cumplir con la ley (Jennifer Lopez al ser detenida junto con Puff Daddy) Siempre que veo la tele y veo a esos pobres nintildeos hambrientos en todo el mundo no puedo evitar llorar Quiero decir me encantaria ser asiacute de flaquita pero no con todas esas moscas y muerte y esas cosas (Mariah Carey cantante) Tomado de Internet por JMaiO 2006 Jacinto Benavente y la coma Doctor Mi previsioacuten se anticipa a todo Bastaraacute con puntuar debidamente alguacuten conceptoVed aquiacute donde dicerdquo Y resultando que no declaroacuterdquo basta una coma y dice ldquo Y resultando que no declaroacuterdquo Y aquiacuterdquoY resultando que no debe condenaacuterselerdquo fuera la coma y dice Y resultando que no debe condenaacuterselerdquo Crispiacuten iexclOh admirable coma iexclMaravillosa coma iexclGenio de la Justicia iexclOraacuteculo de la Ley iexcl Monstruo de la Jurisprudencia Jacinto Benavente Los Intereses Creados Acto segundo escena final

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Tomo una y entrego dos Mariano Nieto propone en [C-90] (seccioacuten correo) el problema que sigue En una urna hay una bola blanca y otra negra Se saca al azar una de ellas y se

devuelve a la urna acompantildeada de otra del mismo color Esta operacioacuten se repite un nuacutemero indefinido de veces

iquestCuaacutel es la probabilidad de que cuando la urna contenga 20 bolas haya 10 de cada color Solucioacuten

Sea (b n) la composicioacuten de la urna con b bolas blancas y n negras y llamemos etapa a cada intervencioacuten que extrae una bola de la urna y devuelve dos Convengamos en que la configuracioacuten de partida (11) corresponde a la etapa 1 En la etapa 2 tendremos las dos configuraciones posibles de la urna (21) y (12) asociadas con la misma probabilidad de 12

Esta simetriacutea inicial nos sugiere el siguiente procedimiento por induccioacuten Si suponemos que en la etapa n cada una de las n configuraciones posibles

(n 1) (n ndash 1 2) (n ndash 2 3) (n ndash a a + 1) (2 n ndash 1) (1 n) [1] tiene la misma probabilidad p de ocurrir (con p =1n por lo tanto) podemos calcular las probabilidades y configuraciones de la etapa n + 1

a) La probabilidad de la configuracioacuten (n + 11) (rama izquierda del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(n + 11) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

b) La probabilidad de la configuracioacuten (1 n+1) (rama derecha del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(1 n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

c) La configuracioacuten (n ndash a a + 2) con 0 le a le (n ndash 2) para asegurar que se recorre el rango de configuraciones de la etapa (n + 1) con exclusioacuten de las extremas antes consideradas proviene de (n ndash a a + 1) tras sacar una bola negra o bien de (n ndash a ndash 1 a + 2) luego de resultar blanca la bola extraiacuteda Su probabilidad seraacute por lo tanto

p x (a + 1) (n + 1) + p x (n ndash a ndash 1) (n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

de modo que todas las configuraciones de la etapa n + 1 tendraacuten tambieacuten la misma probabilidad en este caso 1(n + 1)

En la etapa 3 por ejemplo es faacutecil ver que las 3 configuraciones posibles (3 1) (2 2) y (1 3) comparten la probabilidad 13 Asiacute pues el meacutetodo de induccioacuten nos permite concluir que en la etapa n es decir tras n ndash 1 operaciones con la urna eacutesta contendraacute (n + 1) bolas y tendremos las n configuraciones posibles [1] a cada una de las cuales le corresponde la misma probabilidad 1 n

La configuracioacuten (10 10) por la que pregunta el problema perteneceraacute por lo tanto a la etapa n = 19 (tras 18 operaciones con la urna) y en consecuencia su probabilidad seraacute igual a 1 19 algo mayor que 526 por ciento

En general a la configuracioacuten (b n) donde b es el nuacutemero de bolas blancas y n el de negras siendo b y n nuacutemeros naturales cualesquiera ya que cualquier configuracioacuten es alcanzable le corresponderaacute la probabilidad p(b n) = 1 (b + n ndash 1) P Crespo septiembre 2006

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iquestDe doacutende sale el nuacutemero e Un escuchante miacuteo de RNE en el programa sobre matemaacuteticas de los antildeos 2005-06 me hace la siguiente consulta Cuando estudiaba sexto de bachillerato (plan de ensentildeanza 1957) un dia el profesor de matemaacuteticas llegoacute a clase y dijo Hoy toca el nuacutemero e Y a continuacioacuten escribioacute en la pizarra la expresioacuten conocida de liacutemite cuando n tiende a infinito de 1 maacutes 1 partido por n elevado a n La desarrolloacute por el binomio de Newton y obtuvo el conocido resultado de 2718281 Despueacutes nos dijo que el numero e era muy importante en matemaacuteticas y que se utilizaba para la base de los logaritmos neperianos Es curioso ver como la derivada del logaritmo neperiano de x = 1x EXACTO siendo la base del logaritmo un nuacutemero absolutamente INEXACTO IRRACIONAL Realmente me quedeacute sorprendido Primero de coacutemo al baroacuten de Neacuteper se le habiacutea ocurrido utilizar como base de logaritmos a un nuacutemero irracional y segundo por queacute nunca me explicaron a quieacuten se le ocurrioacute calcular el liacutemite de la expresioacuten (1+1n)n iquestPor queacute se le ocurrioacute a alguien esta expresioacuten y no otra iquestDe donde surgioacute tal necesidad Creo que eso era lo primero que mi profesor de matemaacuteticas teniacutea que habernos contado antes de calcular el liacutemite Probablemente el profesor no conociacutea la respuesta que efectivamente es difiacutecil de encontrar en los actuales libros de texto La definicioacuten actual de logaritmo de un nuacutemero es ldquoel exponente a que hay que elevar una base dada para obtener dicho nuacutemerordquo Asiacute por ejemplo en base 10 el logaritmo de 2 es log10 2 = 0301030 porque 100301030 = 2 (aproximadamente) Pero Neper no concibioacute asiacute el logaritmo para eacutel era el resultado de comparar una progresioacuten aritmeacutetica y otra geomeacutetrica Los teacuterminos de la primera seriacutean los logaritmos de los de la segunda Esto se ve muy claro en esta tabla en la que la razoacuten de la progresioacuten aritmeacutetica es 1 y la de la geomeacutetrica es 10

Progresioacuten aritmeacutetica (razoacuten 1) -3 -2 -1 0 1 2 3Progresioacuten geomeacutetrica (razoacuten 10) 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103

De la propia estructura de ambas progresiones se desprende que un producto de teacuterminos en la progresioacuten geomeacutetrica se corresponde con una suma en la progresioacuten aritmeacutetica Asiacute por las propiedades de los productos de potencias de una misma base seraacute log (xy) = log x + log y y tambieacuten log (xk) = k log x etc Por la misma tabla en la base 10 log (10-3) = log (0001) = -3 log (102) = log (100) = 2 etc Pero iquestqueacute ocurre con los valores intermedios iquestCoacutemo definir para ellos un logaritmo Neper intentoacute responder esta pregunta considerando dos progresiones de razones respectivas α y 1+β siendo (α β) muy pequentildeos Entonces dado un nuacutemero N siempre se podriacutea encontrar un valor n tal que (1+ β)n = N (dentro de una aproximacioacuten suficiente) Entonces el logaritmo de N seriacutea nα Las progresiones maacutes sencillas imaginables son aqueacutellas para las que α = β Entonces seraacute

log N = log [(1+α)n] = nα En esta expresioacuten n seraacute muy grande y α seraacute muy pequentildeo Haciendo nα = L podemos escribir la anterior igualdad

log N = log [(1+ α)1α]nα = log [1+ α)1α]L

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Definamos ahora el nuacutemero e como el liacutemite de (1+α)1α cuando α se hace infinitamente pequentildeo o sea

α

αα

1

0)1(lim +=

rarr

e

Y la expresioacuten se simplificaraacute notablemente

log N = log eL = L log e Resulta inmediatamente que el nuacutemero e = 2718281hellip es la base de logaritmos maacutes conveniente desde el punto de vista teoacuterico pues en ella seraacute log e = 1 Eacutestos son llamados los logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos (este uacuteltimo nombre procede de que miden el aacuterea subtendida entre una hipeacuterbola y su asiacutentota) El nuacutemero e es sin duda el maacutes importante en matemaacuteticas aunque π sea maacutes popular Se recuerdan sus primeras cifras con la mnemotecnia Te ayudareacute a recordar la cantidad a indoctos si releacuteesme bien Se aplica por el nuacutemero de letras de cada palabra Te = 2 ayudareacute = 7 etc En la praacutectica son maacutes usados los logaritmos decimales o de Briggs que tienen por base el nuacutemero 10 Presentan la ventaja de que la parte decimal de cada logaritmo (mantisa) no cambia al ser multiplicado el nuacutemero por una potencia de 10 lo que hace muy praacutecticas las tabulaciones El paso de los logaritmos de una a otra base es muy sencillo mediante el nuacutemero M = log 10 = 2302585 Se deduce sin dificultad que log x = M log10 x Josep M Albaigegraves Barcelona octubre 2006

El nuacutemero e es el uacutenico que verifica que el valor de la derivada (inclinacioacuten de la tangente en rojo en la figura) de f(x) = ex para cualquier valor de x es igual al valor de f(x)

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Cruzando el desierto en jeep Enunciado (propuesto por Mariano Nieto en C-83 seccioacuten correo) Un jeep ha de atravesar un desierto de 800 kiloacutemetros Admite una carga maacutexima para recorrer 500 kiloacutemetros y se quiere conocer la menor cantidad de tales cargas que hay que consumir para alcanzar la meta El depoacutesito inicial se supone de capacidad ilimitada y el jeep puede establecer tantos depoacutesitos intermedios como haga falta Se desea conocer tambieacuten el nuacutemero de viajes parciales que lleva a cabo el jeep teniendo en cuenta que ante dos soluciones iguales (mismo consumo) se preferiraacute la que implique menos viajes parciales Planteo

Supongamos que se depositan cargas en los puntos 1 2 hellipi hellipy llamemos ci a la carga del depoacutesito en el punto i y cf a la del punto siguiente i + 1 Si la distancia entre ambos puntos es d para transportar la carga del punto i al i +1 se necesitaraacuten n viajes de ida y vuelta y un uacuteltimo viaje de ida El depoacutesito en el punto i constaraacute pues de n cargas para 500 km y un remanente al que llamaremos cr Podemos plantear las ecuaciones siguientes

cf = (500 - 2d) n + cr - d (1) ci = 500 n + cr (2) r = (2n + 1) d (3) cr = 500 (4)

donde r es el recorrido del jeep (equivalente a la carga consumida) en el transporte entre ambos depoacutesitos

Los caacutelculos han de efectuarse retrocediendo desde el final hasta la situacioacuten de salida (o sea pasando desde el depoacutesito i +1 al i) para garantizar que se transporta siempre la cantidad miacutenima precisa Cuidaremos tambieacuten de que el valor de n sea el menor posible puesto que los viajes de ida y vuelta aunque necesarios son obviamente menos eficaces en cuanto a rendimiento que los directos Solucioacuten Las ecuaciones anteriores sugieren una viacutea para la solucioacuten del problema basada en separar los tramos para los cuales n (nuacutemero de viajes de ida y vuelta) se mantiene constante El valor de n iraacute en aumento al progresar desde el final hacia el inicio puesto que la capacidad de los depoacutesitos iraacute aumentando en ese sentido y cada vez que se produzca un incremento de 500 km de carga se haraacute necesario aumentar n en una unidad Asiacute pues tendremos 1- Tramo con n = 0 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se progresa desde el final (punto kilomeacutetrico 800) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 0 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

cf = cr ndash d

Como la carga final cf es nula al llegar al punto final (800 km) y es cr = 500 (el maacuteximo posible) basta con llevar a cabo un viaje de ida solamente que salva la distancia d = 500 km El consumo es justamente de 500 km o una carga Esto nos

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coloca a una distancia del origen de 300 km con un depoacutesito con carga para 500 km en dicho punto al que llamaremos D 2 - Tramo con n = 1 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se calcula desde el final (punto kilomeacutetrico 300) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 1 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

500 = 500 - 2d + cr - d = 500 + cr ndash 3 d Hasta que se agote la carga residual maacutexima cr = 500 tendremos

d = 500 3 (5)

La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =1 (es decir donde se pasa de n =1 a n =2 si se lee desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 1) = 300 ndash 5003 = 4003 = 133 3333hellip km El consumo en todo este tramo final (donde n =1) seraacute

consumo (n = 1) = 3 d = 3 times 5003 = 500 Tenemos asiacute tres viajes de 5003 km Al final de la operacioacuten se habraacute transportado una carga de 500 km con un consumo de 500 km tal como se ha calculado antes Como ya se ha visto nos hallamos ahora a una distancia del origen igual a 4003= 133333hellip km Bautizamos este punto como C donde el depoacutesito tendraacute una carga para 1000 km 3 Tramo con n = 2 Ahora la foacutermula (1) se expresa

1000 = 1000 - 4d + cr - d = 1000 + cr ndash 5 d Para una carga residual maacutexima cr = 500 seraacute

d = 5005 = 100 (6) La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =2 (es decir donde se pasa de n =2 a n =3 leyendo desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 2) = 400 3 - 100 = 100 3 = 333333hellipk m El consumo en todo este tramo (donde n =2) seraacute

consumo (n = 2) = 5 d = 500 Se salva una distancia de 100 km y se comprueba que el consumo seraacute de 5 times 100 = 500 La carga transportada seraacute de 2 times 300 + 400 = 1000 km carga que se deja en el depoacutesito C En este punto B nos encontramos a una distancia del origen de 1003 = 33333hellip km y con un depoacutesito con carga para 1500 km

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4 Tramo con n = 3 En este caso la foacutermula (1) es

1500 = 1500 - 6d + cr - d = 1500 + cr - 7d Tendremos ahora d = 5007 gt 100 3 desigualdad que nos dice que la distancia que puede cubrirse con n = 3 supera la distancia que nos separa del origen Asiacute que bastaraacute trabajar de forma que se tenga

d = 1003 (7) Con estas condiciones el consumo correspondiente valdraacute

consumo (n = 3) = 7 d = 700 3 El nuacutemero de viajes seraacute ahora igual a 2 n + 1 = 7 cada uno de los cuales cubre la distancia d = 1003 La carga que se toma del depoacutesito inicial seraacute 1500 + 7003 Consumo total El consumo total que se busca seraacute por lo tanto exactamente Consumo total = 500 (para recorrer los uacuteltimos 500 km n = 0) + 500 (n = 1) + + 500 (n = 2) + 7003 (n = 3) = 1500 + 7003 lo que expresado en cargas resulta ser (1500 + 7003) 500 = 3+7 15 = 34666hellip El nuacutemero total de viajes resulta ser sumando los de las etapas parciales igual a 16 La tabla 1 muestra los valores relevantes para cada una de las etapas dispuestos ahora desde el inicio hasta el final

Km n viajes d (km) consumo (km) carga (km) A (origen) 1500 + 700 3

0 a 1003 (B) 3 7 100 3 700 3 1500 1993 a 4003 (C) 2 5 100 500 1000 4003 a 300 (D) 1 3 500 3 500 500 300 a 800 (E) 0 1 500 500 0

TOTALES 16 800 1500 + 700 3 Tabla 1

El resultado es por tanto Consumo = (1500 + 700 3) 500 = 3 + 7 15 = 34666hellipasymp 347 Viajes = 16 Notas finales Otra cuestioacuten que suscita este problema es la de si existe una limitacioacuten a la anchura del desierto que se ha de atravesar La respuesta es que no existe tal liacutemite puesto que como se aprecia sin dificultad la taacutectica para ir situando combustible en posiciones avanzadas y que expresan las ecuaciones (1) a (4) permite trabajar a partir de cualquier distancia P Crespo noviembre 2006

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Pitaacutegora y su relacioacuten con los proyectiles

El otro diacutea andando por la calle vi el anagrama de una empresa de consulting

Como puede verse el siacutembolo de la empresa es (aproximadamente) el tan conocido triaacutengulo pitagoacuterico de lados 3 4 y 5 Lo vemos inscrito en un cuadrado el miacutenimo que puede contenerlo iquestCuaacutel es el lado de este cuadrado

Solucioacuten Llamemos α al aacutengulo que forma el cateto largo con el lado vertical del cuadrado Es

inmediato establecer las ecuaciones

4 cos α = L = 4 sin α + 3 cos α Que permite llegar a la igualdad

cos α = 4 sin α De donde se obtiene tan α = α o sea α = 14036ordm El lado vale L = 4 cos 14036ordm = 38806 Es curioso que este aacutengulo es el mismo con el que debe ser lanzado un proyectil para

que la altura alcanzada sea igual al alcance En efecto la primera vale

gvh

2sin 22

0max

ϕ=

Mientras que el alcance es

gvx ϕ2sin2

0=

Igualando ambas ecuaciones se llega a cos φ = frac14 El aacutengulo φ es el complementario

del α antes hallado El proyectil deberiacutea dispararse tangente al cateto de lado 4 JMAiO BCN sep 06

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PROBLEMA DE LA DIVISIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO

Dado un triaacutengulo ABC y un punto P situado en su interior se pide trazar una recta MN que pasando por el punto P divida al triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea o que esteacuten en una proporcioacuten dada

A

B C

P

M

N

Q

q

p

R

x

y

Solucioacuten El problema implica dos condiciones - 1ordm Que los puntos M P y N esteacuten alineados - 2ordm Que las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB esteacuten en una proporcioacuten dada

Veamos como podemos dar forma algebraica a estas dos condiciones Tracemos desde el punto P como se indica en la figura las paralelas a los lados BC y AC hasta que corten en los puntos R y Q respectivamente a los lados AC y BC Llamemos x y p y q a los segmentos MR NQ PQ y PR Los valores de x e y se obtendraacuten al resolver el sistema de ecuaciones que suponen las dos condiciones dadas La primera condicioacuten ya que los triaacutengulos MRP y PQN son semejantes se expresa escribiendo

yp

qx=

La segunda condicioacuten puesto que los triaacutengulos MCN y ACB tienen comuacuten el aacutengulo en C equivale a decir que los productos de los lados de cada triaacutengulo que concurren en el veacutertice C estaacuten en la proporcioacuten en la que estaacuten sus aacutereas Llamando k al cociente entre las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB la segunda condicioacuten la escribiremos asiacute

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( )( ) kabqypx =++

donde a y b son respectivamente los lados BC y AC del triaacutengulo dado El sistema de ecuaciones escrito nos conduce a la siguiente ecuacioacuten de segundo grado que resuelve el problema

( ) 02 22 =+minusminus qpxpqkabqx

( )

qpqkabkabpqkab

x2

42 minusplusmnminus=

xpqy =

La condicioacuten para que el problema tenga solucioacuten real es que el radicando no sea negativo es decir

( ) 04 geminus pqkabkab

pqkab 4ge

abpqk 4

ge

Resulta innecesario decir que para k=05 la recta divide el triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea teniendo que darse previamente la condicioacuten del paacuterrafo anterior Notas 1- La primera condicioacuten tambieacuten se puede expresar escribiendo la recta MN en su forma canoacutenica en el sistema de coordenadas cartesianas oblicuas definido por los ejes CA y CB obligando a que el punto P esteacute en ella es decir

1=+

++ xp

pyq

q o sea pqxy =

2- El valor de k tambieacuten depende del par de lados respecto a los cuales se hayan trazado las paralelas para disponer de los valores de p y q Puede darse el caso de que aun siendo negativo el radicando para la pareja de lados elegida no lo sea para alguna otra y el problema siga teniendo solucioacuten

Manuel Rodriacuteguez Saacutenchez ndash Septiembre de 2006

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Re-citando las citas de laquoPelucheraquo

laquoLas mujeres hablan porque desean hablar mientras que un hombre soacutelo habla cuando se siente empujado por algo ajeno a eacutel como por ejemplo si no encuentra unos calcetines limpiosraquo (Jean Kerr 1922-2003 escritora estadounidense) laquoDonde hay matrimonio sin amor habraacute amor sin matrimonioraquo (Benjamin Franklin cientiacutefico poliacutetico y filoacutesofo norteamericano) laquoSi quieres ver una especie en peligro de extincioacuten miacuterate al espejoraquo (John Young 1930 cientiacutefico estadounidense) laquoAntes de pedir dinero a un amigo decide cual de las dos cosas necesitas maacutesraquo (Jean de La Bruyegravere 1645-1696 moralista franceacutes) laquoComprendes que estaacutes envejeciendo cuando las velitas cuestan maacutes que la tartaraquo (Bob Hope 1903-2003 actor estadounidense) laquoA mi juicio el mejor gobierno es el que deja a la gente maacutes tiempo en pazraquo (Walt Whitman 1819-1892 poeta estadounidense) laquoSi el hijo de Bono se casa con la hija de Bush iquestla descendencia se llamaraacute Bono Bushraquo (Alberto C 1983 estudiante de reflexologiacutea podal) laquoPara escribir un buen libro no considero imprescindible conocer Pariacutes ni haber leiacutedo el Quijote Cervantes cuando lo escribioacute aun no lo habiacutea leiacutedoraquo (Miguel Delibes 1920 escritor espantildeol) laquoComo todo el mundo sabe los cantos de las sirenas atraen a los hombres para luego acabar con ellos Especialmente las sirenas de las faacutebricasraquo (Jaume Perich Escala 1940-1995 humorista espantildeol) P C Citas tomadas de laquoPelucheraquo con su consentimiento

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PROBLEMA DE EDADES En un congreso mundial de matemaacuteticos coinciden tres amigos Andreacutes Blas y Carlos que conversan animadamente De su conversacioacuten extraemos los siguientes datos Andreacutes dice Mirad queacute coincidencia hoy es nuestro cumpleantildeos Blas contesta Mayor coincidencia es que la suma de los cuadrados de nuestras edades es 2490 igual al nuacutemero de asistentes al congreso Carlos expresa Todo eso es cierto Pero cuando Andreacutes tenga la edad de Blas la suma de los cuadrados de nuestras edades seraacute 3841 igual al coste en pesetas de la habitacioacuten del hotel Ademaacutes con estos datos cualquier congresista puede averiguar nuestras edades Hallar las edades Solucioacuten Las edades hoy son nuacutemeros enteros Andreacutes = x antildeos Blas = y antildeos Carlos = z antildeos Cuando Andreacutes tenga la edad de Blas habraacuten pasado (y-x) antildeos tiempo que habraacute transcurrido igual a los tres Entonces las edades seraacuten Andreacutes = x + (y-x) Blas = y + (y-x) Carlos = z + (y-x) (x + y-x)2 + (y + y-x)2 + (z + y ndashx)2 = 3841 Desarrollando x2 + y2 + z2 + (y-x) (-x +5y +2z) = 3841 Como x2 + y2 +z2 = 2490 (1) (y-x) (-x +5y +2z) = 3841 ndash 2490 (y-x) (-x +5y +2z) = 1351 Descomponemos 1351 en producto de 2 factores = 7 middot 193 y ndashx = 7 -x +5y +2z = 193 Resolviendo el sistema x = y ndash 7 z = 93 ndash 2y Sustituyendo en (1) (y ndash 7)2 + y2 + (93 -2y)2 = 2490 6y2 ndash 386y +6208 = 0 y1 = 32 y2= 973 y2 no es solucioacuten por ne entero Solucioacuten Andreacutes = 25 antildeos Blas = 32 antildeos Carlos = 29 antildeos Acebrian febrero 2006

Con razoacuten o sin ella ndash Francisco de Goya (Los

desastres de la guerra) ndash Aguafuerte punta seca lavis buril y bruntildeidor ndash

150 x 209 mm

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Reparos a la teoriacutea FSM

Qui nimium probat nihil probat (El que prueba demasiado no prueba nada)

Incluso la filosofiacutea la especulativa filosofiacutea se esfuerza por respetar las liacuteneas convencionales del razonamiento y de la loacutegica Incluso la filosofiacutea cuando examina el universo fiacutesico y la propia vida trata de conciliarse con las corrientes cientiacuteficas sobre las que hay amplio consenso Incluso la filosofiacutea cuando se ocupa de la teoriacutea del conocimiento aplicada al mundo fiacutesico corre pareja con las consideraciones maacutes asentadas de la epistemologiacutea cientiacutefica y no es raro que los tratados filosoacuteficos cuyo enfoque es la metodologiacutea del conocimiento tengan en cuenta los descubrimientos de la fiacutesica de vanguardia tales como las teoriacuteas relativistas y en especial los resultados paradoacutejicos de la fiacutesica cuaacutentica tan enormemente sugestivos al tiempo que elusivos En la biologiacutea y en lo que se refiere a las diversas manifestaciones de la vida y a los cambios de los que existe evidencia foacutesil se considera como asentada la liacutenea explicativa que parte de la exposicioacuten publicada por Darwin a comienzos de la segunda mitad del siglo XIX [1] Aunque no se tenga por definitiva y se reconozca incompleta sobre esa liacutenea maestra se elaboran actualmente explicaciones y correcciones a la misma El descubrimiento de la geneacutetica y de sus mecanismos iacutentimos ha supuesto un enorme impulso en cuanto a las investigaciones en este campo que ahora constituye un considerable tesoro de saber Por eso nos preocupa e incluso nos solivianta la corriente FSM de una explicacioacuten alternativa que seguacuten apreciamos se va abriendo camino incluso en universidades [2] Se trata de una corriente que ha experimentado un crecimiento notable en los uacuteltimos antildeos y que interpreta nuestro universo incluida la manifestacioacuten de la vida en teacuterminos del recurso a la intervencioacuten de una entidad inmaterial el FSM de la que se ofrece a veces una representacioacuten tangible a la que se le atribuyen poderes trascendentes como la omnipresencia y la capacidad ilimitada de intervencioacuten Si hemos de ser honestos debemos reconocer que los argumentos en los que se apoya la teoriacutea a la que aludimos son en principio irrebatibles Lo que es maacutes se ajustan mejor que las teoriacuteas que actualmente se tienen por cientiacuteficas a uno de los preceptos maacutes respetables de la ciencia como es el del reduccionismo metodoloacutegico Seguacuten el principio de Occam de la economiacutea (navaja de Occam) [3] en efecto cuanto menor es el repertorio de afirmaciones que haya que admitir como dadas al elaborar una teoriacutea maacutes aceptable seraacute eacutesta (laquopluralitas non est ponenda sine necessitateraquo) La teoriacutea que tratamos de rebatir cumple extraordinariamente bien con este requisito puesto que lo uacutenico que se requiere es la aceptacioacuten de la hipoacutetesis mencionada de la entidad conocida como FSM De todos modos no estaacute de maacutes recordar que lo que Occam dice exactamente es que en igualdad de condiciones la solucioacuten maacutes sencilla es probablemente la correcta Y probablemente como estaacute claro no equivale a necesariamente No obstante no podemos evitar que nos parezcan forzadas y como argumentadas ad hoc algunas de las explicaciones que da el principal abanderado de dicha corriente de pensamiento y primero en presentarla y defenderla Robert Hendenson Graduado en fiacutesicas no podemos pensar del mismo que le sea ajeno el rigor y la criacutetica cientiacutefica A pesar de todo lo cierto es que algunos de sus razonamientos son

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impecables como cuando explica el por queacute resulta aparente la edad de la Tierra estimada por los meacutetodos cientiacuteficos al uso Veamos sus razones laquo[] Lo que esas personas no comprenden es que Eacutel [el autor se refiere a la entidad FSM] hizo el mundo para hacernos creer que la Tierra es maacutes antigua de lo que realmente es Asiacute por ejemplo un cientiacutefico puede llevar a cabo un proceso de datacioacuten mediante carbono-14 sobre un artefacto y encuentra que aproximadamente el 75 por ciento del carbono-14 se ha desintegrado en nitroacutegeno-14 a causa de la emisioacuten de electrones e infiere que dicho artefacto tiene una antiguumledad de unos diez mil antildeos puesto que la vida media del nitroacutegeno-14 parece ser de 5 730 antildeos Pero lo que nuestro cientiacutefico no advierte es que cada vez que efectuacutea una medida la entidad FSM estaacute alliacute cambiando los resultados con su seudoacutepodo Disponemos de numerosos textos que describen en detalle como es esto posible y las razones por las que Eacutel lo hace Eacutel es por supuesto invisible y puede pasar a traveacutes de la materia normal con facilidadraquo Hay algo en esta explicacioacuten que no nos satisface Naturalmente es irreprochable pero cierta percepcioacuten nos dice que se aparta excesivamente del meacutetodo cientiacutefico por antonomasia La teoriacutea FSM no es por su propia naturaleza falsable de modo que de acuerdo con las tesis de Karl Popper una doctrina de ese tipo no se bate en condiciones de igualdad con el resto de las teoriacuteas por lo que ha de ser apartada como teoriacutea insana ―desde el punto de vista de la ciencia entieacutendase bien― y privada sin maacutes del derecho a contender en la arena cientiacutefica Es cierto que para Popper al contrario de lo que afirma el positivismo tiene sentido la aseveracioacuten de la existencia de la entidad FSM pero este autor delinea muy bien los liacutemites que separan tales tipos de proposiciones de las de caraacutecter cientiacutefico y la que nos ocupa queda claramente al margen de eacutestas [4]

Fig 1 ndash FSC en el instante de animar al primer ser humano Podriacutea argumentarse desde luego y aquiacute nos situamos del lado del punto de vista de Thomas Kuhn que la teoriacutea FSM nos coloca frente a un nuevo paradigma cientiacutefico Para Kuhn en efecto la ciencia no procede por agregaciones progresivas en torno a un nuacutecleo creciente de conocimientos sino antes bien por cambios abruptos del marco completo de la teoriacutea dominante lo que se conoce como

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desplazamientos del paradigma En este sentido podriacuteamos sentirnos inclinados a aceptar que el paradigma FSM nos traslada a un marco radicalmente nuevo No obstante la ciencia no se caracteriza por cambios de naturaleza tan radical Antes bien en los cambios de paradigma a que alude Kuhn siempre ha ocurrido que los nuevos formalismos incluyen a los anteriores en el sentido de que eacutestos se recuperan por paso al liacutemite con respecto a ciertas condiciones o paraacutemetros que han cobrado maacutes generalidad en la nueva teoriacutea Y esto no ocurre en absoluto con la propuesta FSM que prescinde del todo del acervo de saber histoacuterico Nos sentimos obligados a denunciar tambieacuten que las representaciones de la entidad FSM son en cierto modo antropomoacuterficas Sugeririacuteamos prescindir de lo que parecen ser unos ojos y un soma central para dejarlo reducido al conjunto de seudoacutepodos que podriacutean llegar a identificarse con los filamentos de la teoriacutea de cuerdas o en su enmadejamiento formar el tejido de las supercuerdas La ubicuidad podriacutea sustituirse por un nuacutemero ilimitado de copias del FSM actuando en resonancia no local El universo volveriacutea a ser de este modo de nuevo cartesiano dominado por un plenum que lo abarca todo La actuacioacuten instantaacutenea a distancia estariacutea avalada por la verificacioacuten de las condiciones de Bell relativas a la paradoja EPR que ha significado el espaldarazo a la no localidad en el mundo fiacutesico A pesar de todo algo en nuestro interior nos dice que la doctrina FSM es aberrante Quizaacute se deba al lastre de la educacioacuten recibida Despueacutes de todo uno es irremediablemente producto de la forja de su tiempo y nunca es faacutecil superar esa inercia intelectual Hijo ―o debiera decir posiblemente prisionero― de la edad de la razoacuten yo presiento con temor que una nueva Edad Media y estoy pensando en su lastre de oscurantismo se alza amenazante en el horizonte y la melancoliacutea me atenaza amargamente el corazoacuten P Crespo septiembre 2006 [1] On the Origin of Species by Means of Natural Selection or The Preservation of Favoured Races in the Struggle for Life abreviado como The Origin of Species (El origen de las especies) publicado en 1859 Este libro establecioacute la evolucioacuten (cambios espontaacuteneos hereditarios que se imponen cuando son favorables a la especie habida cuenta de los condicionantes del entorno) a partir de un ascendiente comuacuten como la explicacioacuten cientiacutefica dominante de la diversificacioacuten de las formas de la vida en la naturaleza [2] Home page httpwwwvenganzaorg

[3] William of Occam fraile franciscano ingleacutes del siglo XIV (aprox 1285-1349) Lo que se conoce como la navaja de Occam era un principio muy comuacuten en la filosofiacutea medieval (el principio de economiacutea o de parsimonia) y no tuvo su origen con Willian de Ockham pero debido al uso frecuente que eacuteste le daba a dicho principio su nombre acaboacute inseparablemente ligado a eacutel

[4] Karl Popper (1902 1994) La loacutegica de la investigacioacuten cientiacutefica (Logik der Forschung 1934 ciacuterculo de Viena) En esta obra el filoacutesofo austriacuteaco abordoacute el problema de los liacutemites de demarcacioacuten entre la ciencia y proposiciones de otro caraacutecter Para Popper la clave estaacute en reconocer que el conocimiento cientiacutefico no avanza confirmando nuevas leyes sino descartando las que contradicen la experiencia lo que constituye el proceso de falsacioacuten Soacutelo han de admitirse como proposiciones cientiacuteficas aquellas para las que al menos conceptualmente es posible un experimento que las contradiga [5] Thomas Kuhn (1992 1996) Este cientiacutefico norteamericano es famoso principalmente por su libro La estructura de las revoluciones cientiacuteficas (1962) La idea que preside el pensamiento de Kuhn es la de que la ciencia no progresa por acumulacioacuten de nuevo conocimiento sino por desplazamientos de los paradigmas que transforman abruptamente la naturaleza del conocimiento

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Matemaacuteticas de los poliacuteticos vascos Patxi Igandekoa

Pongamos el tiacutepico sistema de ecuaciones de primer grado de dos incoacutegnitas x+y=5 4x-2y=2 (Antes ensentildeaban a resolverlos en 1ordm de BUP ahora en las academias cercanas a la Escuela de Ingenieros de Bilbao) Vaya por adelantado que la solucioacuten es x=2 y=3 No nos interesa esto sino la forma en que lo resolveriacutean dos miembros destacados de nuestra clase poliacutetica El Lehendakari Ibarretxe por ejemplo no tendriacutea dificultad Gracias a su formacioacuten y oficio de economista el valor de las incoacutegnitas aparece ipso facto en su mente sin necesidad de calcular nada Sin embargo eacutel querriacutea hacerlo con fundamento a la vasca Primero lo resolveriacutea por medios algebraicos y comprobariacutea si las soluciones cuadran Despueacutes empleariacutea el meacutetodo graacutefico pediriacutea papel boliacutegrafo y una regla y trazariacutea un eje de coordenadas cifras y finalmente dos rectas bien diaacutefanas y se asegurariacutea de que ambas se cortan en el par de valores correcto Acto seguido llamariacutea a un comiteacute de expertos del Gobierno Vasco y someteriacutea el asunto a su examen para que redactaran un informe en el que se estableciera sin ninguacuten geacutenero de dudas que la solucioacuten al sistema de ecuaciones propuesto vaacutelida tanto en Euskadi como en el resto de un universo eucliacutedeo es la que figura en los caacutelculos de Lehendakaritza Pero la cosa no termina aquiacute porque luego Josu Jon Imaz (otro peso pesado de las ciencias exactas) convocariacutea una mesa de partidos para buscar una solucioacuten paralela ndashpero concordante- al problema mediante acuerdos que incluyan a todas las sensibilidades del paiacutes Para un tema de intereacutes general como este ni siquiera el PP podriacutea negarse y a la exactitud de las estimaciones numeacutericas se antildeadiriacutea finalmente la sancioacuten democraacutetica del consenso Euforia y satisfaccioacuten en el EAJ-PNV ldquoHemos tardado lo nuestro pero valioacute la pena Trabajando duro y con meacutetodo nos hemos puesto las pilas comenzamos el curso con los deberes hechos etc etcrdquo iquestY Patxi Loacutepez iquestCoacutemo reaccionariacutea delante del mismo problema Imaginen a uno de sus correveidiles pasaacutendoselo por encima de su ejemplar abierto de ldquoEl Correo Espantildeolrdquo en plena sesioacuten del Parlamento Vasco Apresurada lectura treacutemulo parpadear de ojos bailoteo de cifras en la mente ruido apenas perceptible producido por el rozamiento de unos dedos sobre la sienhellip ldquoNada otra engantildeifa del Lehendakari iexclSe va a enterar de esto en mi proacutexima rueda de prensardquo Apliacutequese el procedimiento de costumbre enviar por valija del partido a la calle Ferraz para que lo resuelvan alliacuterdquo Y alliacute efectivamente son nada menos que Joseacute Luis Rodriacuteguez Zapatero Presidente del Gobierno de Espantildea y Joseacute Blanco su iacutenenarrable y gallego jefe de bomberos quienes se encargan de despejar las incoacutegnitas Podemos imaginarnos el resultado ldquoiquestAlgebra iquestGraacuteficos cartesianos iexclUff somos de letras iquestQueacute tal si traemos a nuestro informaacutetico para que eche una manordquo ldquoNo mucho maacutes simple Joseacute Luis hacemos x=0 y=0 y ya estaacute Yo seacute algo de matemaacuteticas lo suficiente para recordar que a esto lo llaman lsquosolucioacuten trivialrsquo Es perfectamente legiacutetimo iquestQueacute te parecerdquo ldquoDe entrada bien Pepe Pero asi no puedes resolver un sistema de primer grado iexclel resultado no coinciderdquo ldquoNo importa lo quitamos tambieacuten Escondemos el 5 y el 2 cubrieacutendolos con typex ndashya nos ocuparemos de ellos en la proacutexima legislatura- y hacemos ambas expresiones iguales a cero Ahora las incoacutegnitas siacute coinciden con la ventaja antildeadida de que entonces las de Imaz no Hemos resuelto el problema de matemaacuteticas vasco reducieacutendolo a la no existencia Jean-Paul Sartre estariacutea orgulloso de nosotrosrdquo La solucioacuten es transmitida por mensajero (a portes debidos) a Sabin Etxea donde sesudos jeltzales la examinan moviendo la cabeza a un lado y a otro Habraacute que invertir mucho en centros de caacutelculo si queremos avanzar en el proceso de normalizacioacuten Al menos queda el consuelo de que si alguien quiere volar preferiraacute subirse a un aeroplano disentildeado por Ibarretxe que a otro construido con las matemaacuteticas que ensentildean en el Partido Socialista de Euskadi Publicado en Izaronews 6-9-2006

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Si las palabras de Chillida estaacuten recogidas con fidelidad lamento no estar de acuerdo con ellas porque no creo que las personas se encasillen tan faacutecilmente Pero de todos modos si ustedes creen que represento ese problema no tienen maacutes que haceacutermelo saber Porque como anuncieacute en la seccioacuten correo tireacute mi regla de caacutelculo al riacuteo para mirarla como se hundiacutea (era el uacuteltimo recuerdo del carintildeo que yo le teniacutea etc) y comienzo mis pinitos en cuentos cortos (muy cortos prometido) y otras atrevidas incursiones

[La figura es un recorte del libro de vintildeetas-paacutegina laquoel Arte - conversaciones imaginarias con mi madreraquo de Juanjo Saacuteez Aunque sus ideas sobre el arte parecen discutibles es un libro entrantildeable]

Una uacuteltima advertencia relativa al cuento que sigue y dirigida a los que puedan sacar la conclusioacuten de que tengo imaginacioacuten desviada las hemerotecas son del 29 de noviembre de 2003

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Caperucitas blancas En memoria de Joseacute Couso porque nos volvimos maacutes ciegos cuando sus ojos se apagaron

Una nintildea hasta haciacutea poco ahora cuajada en mujer moldeada por quince primaveras Faacutetima era la mayor de las dos hermanas La pequentildea Azraa a sus doce antildeos era todaviacutea un incipiente brote femenino delicado y menudo

Noviembre agotaba sus diacuteas y haciacutea cuatro que habiacutean empezado las fiestas del fin del Ramadaacuten el mes sagrado del ayuno Ese jueves la ilusioacuten se asomaba a los rostros de ambas hermanas porque iriacutean a cenar a casa de su abuela y pasariacutean la noche con ella Habriacutea puchero y berenjena rellena y despueacutes los dulces de pistacho y de miel y antes de dormir las historias de la lsquoyaddarsquo Jazmina ―la abuelita― llenas del encanto de otros tiempos cuando en los mercados de Baaquba competiacutean entre siacute los colores de los frutos las especias las telas y las alfombras y los asnos eran amigos resignados de los hombres y los paacutejaros hablaban con los nintildeos y eran alegres y eran parlanchines y traiacutean noticias de lugares exoacuteticos

La madre preparoacute una cesta con los pastelillos para el postre Pero la abuela habiacutea expresado el temor de no disponer de lentildea suficiente asiacute que las pequentildeas debiacutean pasar antes por el huerto del tiacuteo Abbash que siempre teniacutea preparada una reserva de lentildeos y sarmientos y habiacutea dado licencia a la familia para recoger de su finca todo aquello que fuera necesario Para llegar al huerto era obligado atravesar un trecho boscoso no era cosa de permitir que las sorprendiera la noche y puesto que la tarde ya se habiacutea insinuado las nintildeas se pusieron con diligencia en camino La pequentildea llevaba apoyada contra su cintura la cesta con los dulces y la mayor se hizo cargo de dos piezas de tela destinadas a sujetar la lentildea y de un hacha pequentildea para trocear los sarmientos

Ya en la finca llevoacute maacutes tiempo del previsto preparar los vaacutestagos para adecuarlos al tamantildeo de la menor de las muchachas y las sombras no esperaron Ante el asomo de la noche las nintildeas iniciaron el regreso en direccioacuten a la casa de la abuela cada una con su hatillo a la espalda la menor abriendo paso con la cesta de los pasteles en su regazo seguida de cerca por su hermana

A menos de cincuenta metros de alliacute Lobo Feroz Dos miraba por el visor de

infrarrojos e informaba de la escena a su compantildeero En el sendero que lindaba con el bosque dos siluetas blanquecinas se recortaban en la oscuridad en contraste con la espesura y los pantildeuelos que cubriacutean sus cabezas las perfilaban como dos caperucitas que se moviacutean avanzando deprisa La mayor pareciacutea sujetar una pistola en su mano

―Lobo Feroz Uno llamando a Halcoacuten Pardo ge-pe-ese delta sur uno doce oeste cero quince Dos sospechosas a la vista parecen llevar armas Esperamos instrucciones Cambio

―Halcoacuten Pardo a Lobo Feroz Ya conocen las consignas Cambio ―Parecen dos nintildeas― apuntoacute Lobo Feroz Dos ―Lobo Feroz Uno a Halcoacuten Pardo Es posible que se trate de dos menores

Solicitamos refuerzos para comprobacioacuten Cambio ―Sargento le recuerdo que estamos en la Operacioacuten Martillo de Hierro Debe

proceder seguacuten la consigna Cambio y corto ―Hemos de disparar― dijo Lobo Feroz Uno a Lobo Feroz Dos ―Pero ― balbuceoacute eacuteste ―Oacuterdenes Encaacutergate del objetivo de la izquierda yo tirareacute sobre el derecho

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La cabeza de Faacutetima se quebroacute como se rompe el fruto del granado cuando se lo arroja con fuerza contra el suelo Con su velo blanco habiacutea sido Caperucita Blanca mientras se desplomaba fue Caperucita a topos rojos poco tiempo despueacutes bajo los focos luminosos era Caperucita Roja yaciendo sobre la hierba del lindero del bosque ya para siempre dormida sus intensos ojos negros abiertos en un gesto uacuteltimo de asombro irracional A su lado la pretendida pistola no era sino el hacha nimia que le habiacutea servido de herramienta

Cerca de ella Azraa acribillada se debatioacute en el suelo durante un tiempo entre espasmos y dentelladas de dolor Desprendido el pantildeuelo varias manchas tentildeiacutean de carmiacuten sus cabellos que hasta entonces habiacutean sido siempre de un azabache casi mineral

La fase siguiente de la laquoOperacioacuten Martillo de Hierroraquo se puso en marcha Uno de los confidentes convocados reconocioacute a las muchachas e indicoacute a los soldados la situacioacuten de la cercana casa de la abuela en los andurriales de la ciudad

La puerta cedioacute ante el explosivo y saltoacute arrancada de cuajo junto con sus goznes Disipado el humo los soldados pudieron distinguir a una anciana enmudecida por el terror y desplomada sobre su cama Se registroacute la casa Dos humildes cuchillos de cocina fueron las uacutenicas armas encontradas

Cuando al diacutea siguiente fueron lavados los cuerpos de las nintildeas el agua sanguinolenta se desparramoacute por el patio y discurrioacute por albantildeales hasta verter en el riacuteo Tigris Diacuteas maacutes tarde en la orilla izquierda de la corriente a un rosal le brotariacutean rosas algo maacutes rojas y un limonero dariacutea limones amargos en la ribera derecha

La sangre de las nintildeas se entremezcloacute en el riacuteo en un postrero abrazo fraternal El sol hizo luego su labor de horno y partiacuteculas de sangre de Faacutetima y de Azraa ascendieron asidas al agua evaporada Desde entonces los atardeceres son algo maacutes escarlata en la tierra que otrora fue Mesopotamia y en todo el orbe resuena el eco milenario de las palabras del Antiguo Testamento dichas para los oiacutedos de los violentos laquoCaiacuten iquestqueacute has hecho de tu hermanoraquo P Crespo

Las camas de la muerte ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte lavis punta seca buril y bruntildeidor ndash 177 x 221 mm

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Reggae reggaehellip (riacutea riacutea)

La escuela y el alumnado

Eacutesta es la coleccioacuten de disparates maacutes sonados cometidos por alumnos de ESO y bachillerato en exaacutemenes de geografiacutea e historia

Perlas variadas bull Al final de la edad media empiezan a

imponerse normas morales como no masticar la sopa

bull Una de las principales manifestaciones del arte goacutetico fueron las piraacutemides que como todo el mundo sabe son apuntadas

bull A partir del Concilio de Trento el matrimonio cristiano debiacutea ser consumado en presencia de un sacerdote

bull Despotismo ilustrado los reyes teniacutean todo el poder pero teniacutean que obedecer cuando el pueblo se poniacutea de acuerdo entre ellos

bull A la juventud hitleriana la preparaban tan bien que al cabo de un antildeo eran capaces de matar a su madre

bull iquestQueacute opinas de la Constitucioacuten Que es buena y guapa

bull Actualmente el paiacutes maacutes pequentildeo de Europa es San Pedro del Vaticano

bull El rey puso a Franco para que trajera la democracia

bull Franco era el rey que habiacutea antes de Juan Carlos I

bull Espantildea no participoacute en la Segunda Guerra Mundial porque Hitler teniacutea miedo de Franco

bull Franco fue un poliacutetico dictador que consiguioacute imponer durante el reinado de Felipe II un reacutegimen dictatorial

bull No seacute en queacute antildeo murioacute Franco pero seacute que murioacute asesinado

bull Democracia es cuando hay gente que mata otra gente o cuando un paiacutes echa bombas a otro o se pegan unos a otros pues esto es democracia

bull Cartografiacutea las faltas de ortografiacutea bull Un paralelo es una de aquellas liacuteneas que

dividen la Tierra en trozos pero es imaginario

bull Continente partiacuteculas de tierra donde vivimos nosotros

bull Anticicloacuten es la temperatura caliente y se mide en milibares

bull Caacutetedra pensioacuten o escuela para los que queriacutean ser curas

bull Petroacuteleo se obtiene por tuberiacuteas llamadas oleoductos y sirve de combustible

bull Desarrollo sostenible es el desarrollo que no es ni alto ni bajo es decir es mediano

bull Poliacutegono hombre con muchas mujeres bull Delta es un riacuteo que lleva muy poca

agua bull Capital de Alemania Merliacuten bull Principales cultivos espantildeoles la uva

que produce el gran aceite que se fabrica en Espantildea

bull Islas de Oceaniacutea Islas Haguai bull Los vientos huracanados producen a

veces atauacutedes de nieve bull La pintura al fresco consiste en pintar al

aire libre bull Sufragista quiere decir que siempre estaacute

navegando por los mares bull La Guerra Friacutea se caracteriza por matar

gente a sangre friacutea bull Hambre endeacutemica es la que pasa cuando

hay epidemias bull La explosioacuten demograacutefica se produce

porque en algunos paiacuteses se producen islas producto de una erupcioacuten volcaacutenica que bastante grandes como para ser evitadas

bull Estado del bienestar significa que todo lo que es puacuteblico se ha de cuidar

bull Deuda externa es si vas aun supermercado y quedas a deber mucho si no tienes dinero Esto es la deuda externa

Serrano J Reboredo J (2005) Perlas variadas en Historia de Espantildea contada por estudiantes Madrid La Esfera de los libros (Remitido por M Dolors Hipoacutelito)

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iexclLas modelos no somos estuacutepidas Pregunta iquestEn queacute paiacutes la estaacuten solicitando como modelo Respuesta No lo puedo decir todaviacutea pero les puedo adelantar que es un paiacutes brasilentildeo que no queda muy lejos de aquiacute (Kate Moss ex modelo de Calvin Klein) Pregunta Si llegara un holocausto nuclear iquestqueacute pareja elegiriacutea Ud en todo el mundo (hombre y mujer) para preservar y multiplicar la especie humana Respuesta Al Papa y a la Madre Teresa de Calcuta (Carolina Zuntildeiga candidata a Miss Chile) El fumar mata Si te mueres has perdido una parte muy importante de tu vida (Brooke Shields entrevista para una campantildea federal antitabaco) Pregunta Si usted pudiera vivir siempre iquestlo hariacutea iquestpor queacute Respuesta Yo no viviriacutea siempre porque no deberiacuteamos vivir siempre porque si se supusiera que debieacuteramos vivir siempre entonces viviriacuteamos siempre pero no podemos vivir siempre que es por lo cual yo no viviriacutea siempre (Miss Alabama en el concurso Miss America 1999) Esa rastrera sinverguumlenza merece ser matada a patadas por un asno iexclY yo soy justo la indicada para hacerlo (Declaracioacuten de Claudia Shiffer sobre Naomi Campbell) No es la contaminacioacuten la que estaacute dantildeando el ambiente Son todas las impurezas en nuestro aire y en nuestra agua las que lo estaacuten haciendo (Pamela Anderson) No he cometido ninguacuten delito Lo que hice fue no cumplir con la ley (Jennifer Lopez al ser detenida junto con Puff Daddy) Siempre que veo la tele y veo a esos pobres nintildeos hambrientos en todo el mundo no puedo evitar llorar Quiero decir me encantaria ser asiacute de flaquita pero no con todas esas moscas y muerte y esas cosas (Mariah Carey cantante) Tomado de Internet por JMaiO 2006 Jacinto Benavente y la coma Doctor Mi previsioacuten se anticipa a todo Bastaraacute con puntuar debidamente alguacuten conceptoVed aquiacute donde dicerdquo Y resultando que no declaroacuterdquo basta una coma y dice ldquo Y resultando que no declaroacuterdquo Y aquiacuterdquoY resultando que no debe condenaacuterselerdquo fuera la coma y dice Y resultando que no debe condenaacuterselerdquo Crispiacuten iexclOh admirable coma iexclMaravillosa coma iexclGenio de la Justicia iexclOraacuteculo de la Ley iexcl Monstruo de la Jurisprudencia Jacinto Benavente Los Intereses Creados Acto segundo escena final

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Tomo una y entrego dos Mariano Nieto propone en [C-90] (seccioacuten correo) el problema que sigue En una urna hay una bola blanca y otra negra Se saca al azar una de ellas y se

devuelve a la urna acompantildeada de otra del mismo color Esta operacioacuten se repite un nuacutemero indefinido de veces

iquestCuaacutel es la probabilidad de que cuando la urna contenga 20 bolas haya 10 de cada color Solucioacuten

Sea (b n) la composicioacuten de la urna con b bolas blancas y n negras y llamemos etapa a cada intervencioacuten que extrae una bola de la urna y devuelve dos Convengamos en que la configuracioacuten de partida (11) corresponde a la etapa 1 En la etapa 2 tendremos las dos configuraciones posibles de la urna (21) y (12) asociadas con la misma probabilidad de 12

Esta simetriacutea inicial nos sugiere el siguiente procedimiento por induccioacuten Si suponemos que en la etapa n cada una de las n configuraciones posibles

(n 1) (n ndash 1 2) (n ndash 2 3) (n ndash a a + 1) (2 n ndash 1) (1 n) [1] tiene la misma probabilidad p de ocurrir (con p =1n por lo tanto) podemos calcular las probabilidades y configuraciones de la etapa n + 1

a) La probabilidad de la configuracioacuten (n + 11) (rama izquierda del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(n + 11) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

b) La probabilidad de la configuracioacuten (1 n+1) (rama derecha del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(1 n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

c) La configuracioacuten (n ndash a a + 2) con 0 le a le (n ndash 2) para asegurar que se recorre el rango de configuraciones de la etapa (n + 1) con exclusioacuten de las extremas antes consideradas proviene de (n ndash a a + 1) tras sacar una bola negra o bien de (n ndash a ndash 1 a + 2) luego de resultar blanca la bola extraiacuteda Su probabilidad seraacute por lo tanto

p x (a + 1) (n + 1) + p x (n ndash a ndash 1) (n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

de modo que todas las configuraciones de la etapa n + 1 tendraacuten tambieacuten la misma probabilidad en este caso 1(n + 1)

En la etapa 3 por ejemplo es faacutecil ver que las 3 configuraciones posibles (3 1) (2 2) y (1 3) comparten la probabilidad 13 Asiacute pues el meacutetodo de induccioacuten nos permite concluir que en la etapa n es decir tras n ndash 1 operaciones con la urna eacutesta contendraacute (n + 1) bolas y tendremos las n configuraciones posibles [1] a cada una de las cuales le corresponde la misma probabilidad 1 n

La configuracioacuten (10 10) por la que pregunta el problema perteneceraacute por lo tanto a la etapa n = 19 (tras 18 operaciones con la urna) y en consecuencia su probabilidad seraacute igual a 1 19 algo mayor que 526 por ciento

En general a la configuracioacuten (b n) donde b es el nuacutemero de bolas blancas y n el de negras siendo b y n nuacutemeros naturales cualesquiera ya que cualquier configuracioacuten es alcanzable le corresponderaacute la probabilidad p(b n) = 1 (b + n ndash 1) P Crespo septiembre 2006

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iquestDe doacutende sale el nuacutemero e Un escuchante miacuteo de RNE en el programa sobre matemaacuteticas de los antildeos 2005-06 me hace la siguiente consulta Cuando estudiaba sexto de bachillerato (plan de ensentildeanza 1957) un dia el profesor de matemaacuteticas llegoacute a clase y dijo Hoy toca el nuacutemero e Y a continuacioacuten escribioacute en la pizarra la expresioacuten conocida de liacutemite cuando n tiende a infinito de 1 maacutes 1 partido por n elevado a n La desarrolloacute por el binomio de Newton y obtuvo el conocido resultado de 2718281 Despueacutes nos dijo que el numero e era muy importante en matemaacuteticas y que se utilizaba para la base de los logaritmos neperianos Es curioso ver como la derivada del logaritmo neperiano de x = 1x EXACTO siendo la base del logaritmo un nuacutemero absolutamente INEXACTO IRRACIONAL Realmente me quedeacute sorprendido Primero de coacutemo al baroacuten de Neacuteper se le habiacutea ocurrido utilizar como base de logaritmos a un nuacutemero irracional y segundo por queacute nunca me explicaron a quieacuten se le ocurrioacute calcular el liacutemite de la expresioacuten (1+1n)n iquestPor queacute se le ocurrioacute a alguien esta expresioacuten y no otra iquestDe donde surgioacute tal necesidad Creo que eso era lo primero que mi profesor de matemaacuteticas teniacutea que habernos contado antes de calcular el liacutemite Probablemente el profesor no conociacutea la respuesta que efectivamente es difiacutecil de encontrar en los actuales libros de texto La definicioacuten actual de logaritmo de un nuacutemero es ldquoel exponente a que hay que elevar una base dada para obtener dicho nuacutemerordquo Asiacute por ejemplo en base 10 el logaritmo de 2 es log10 2 = 0301030 porque 100301030 = 2 (aproximadamente) Pero Neper no concibioacute asiacute el logaritmo para eacutel era el resultado de comparar una progresioacuten aritmeacutetica y otra geomeacutetrica Los teacuterminos de la primera seriacutean los logaritmos de los de la segunda Esto se ve muy claro en esta tabla en la que la razoacuten de la progresioacuten aritmeacutetica es 1 y la de la geomeacutetrica es 10

Progresioacuten aritmeacutetica (razoacuten 1) -3 -2 -1 0 1 2 3Progresioacuten geomeacutetrica (razoacuten 10) 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103

De la propia estructura de ambas progresiones se desprende que un producto de teacuterminos en la progresioacuten geomeacutetrica se corresponde con una suma en la progresioacuten aritmeacutetica Asiacute por las propiedades de los productos de potencias de una misma base seraacute log (xy) = log x + log y y tambieacuten log (xk) = k log x etc Por la misma tabla en la base 10 log (10-3) = log (0001) = -3 log (102) = log (100) = 2 etc Pero iquestqueacute ocurre con los valores intermedios iquestCoacutemo definir para ellos un logaritmo Neper intentoacute responder esta pregunta considerando dos progresiones de razones respectivas α y 1+β siendo (α β) muy pequentildeos Entonces dado un nuacutemero N siempre se podriacutea encontrar un valor n tal que (1+ β)n = N (dentro de una aproximacioacuten suficiente) Entonces el logaritmo de N seriacutea nα Las progresiones maacutes sencillas imaginables son aqueacutellas para las que α = β Entonces seraacute

log N = log [(1+α)n] = nα En esta expresioacuten n seraacute muy grande y α seraacute muy pequentildeo Haciendo nα = L podemos escribir la anterior igualdad

log N = log [(1+ α)1α]nα = log [1+ α)1α]L

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Definamos ahora el nuacutemero e como el liacutemite de (1+α)1α cuando α se hace infinitamente pequentildeo o sea

α

αα

1

0)1(lim +=

rarr

e

Y la expresioacuten se simplificaraacute notablemente

log N = log eL = L log e Resulta inmediatamente que el nuacutemero e = 2718281hellip es la base de logaritmos maacutes conveniente desde el punto de vista teoacuterico pues en ella seraacute log e = 1 Eacutestos son llamados los logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos (este uacuteltimo nombre procede de que miden el aacuterea subtendida entre una hipeacuterbola y su asiacutentota) El nuacutemero e es sin duda el maacutes importante en matemaacuteticas aunque π sea maacutes popular Se recuerdan sus primeras cifras con la mnemotecnia Te ayudareacute a recordar la cantidad a indoctos si releacuteesme bien Se aplica por el nuacutemero de letras de cada palabra Te = 2 ayudareacute = 7 etc En la praacutectica son maacutes usados los logaritmos decimales o de Briggs que tienen por base el nuacutemero 10 Presentan la ventaja de que la parte decimal de cada logaritmo (mantisa) no cambia al ser multiplicado el nuacutemero por una potencia de 10 lo que hace muy praacutecticas las tabulaciones El paso de los logaritmos de una a otra base es muy sencillo mediante el nuacutemero M = log 10 = 2302585 Se deduce sin dificultad que log x = M log10 x Josep M Albaigegraves Barcelona octubre 2006

El nuacutemero e es el uacutenico que verifica que el valor de la derivada (inclinacioacuten de la tangente en rojo en la figura) de f(x) = ex para cualquier valor de x es igual al valor de f(x)

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Cruzando el desierto en jeep Enunciado (propuesto por Mariano Nieto en C-83 seccioacuten correo) Un jeep ha de atravesar un desierto de 800 kiloacutemetros Admite una carga maacutexima para recorrer 500 kiloacutemetros y se quiere conocer la menor cantidad de tales cargas que hay que consumir para alcanzar la meta El depoacutesito inicial se supone de capacidad ilimitada y el jeep puede establecer tantos depoacutesitos intermedios como haga falta Se desea conocer tambieacuten el nuacutemero de viajes parciales que lleva a cabo el jeep teniendo en cuenta que ante dos soluciones iguales (mismo consumo) se preferiraacute la que implique menos viajes parciales Planteo

Supongamos que se depositan cargas en los puntos 1 2 hellipi hellipy llamemos ci a la carga del depoacutesito en el punto i y cf a la del punto siguiente i + 1 Si la distancia entre ambos puntos es d para transportar la carga del punto i al i +1 se necesitaraacuten n viajes de ida y vuelta y un uacuteltimo viaje de ida El depoacutesito en el punto i constaraacute pues de n cargas para 500 km y un remanente al que llamaremos cr Podemos plantear las ecuaciones siguientes

cf = (500 - 2d) n + cr - d (1) ci = 500 n + cr (2) r = (2n + 1) d (3) cr = 500 (4)

donde r es el recorrido del jeep (equivalente a la carga consumida) en el transporte entre ambos depoacutesitos

Los caacutelculos han de efectuarse retrocediendo desde el final hasta la situacioacuten de salida (o sea pasando desde el depoacutesito i +1 al i) para garantizar que se transporta siempre la cantidad miacutenima precisa Cuidaremos tambieacuten de que el valor de n sea el menor posible puesto que los viajes de ida y vuelta aunque necesarios son obviamente menos eficaces en cuanto a rendimiento que los directos Solucioacuten Las ecuaciones anteriores sugieren una viacutea para la solucioacuten del problema basada en separar los tramos para los cuales n (nuacutemero de viajes de ida y vuelta) se mantiene constante El valor de n iraacute en aumento al progresar desde el final hacia el inicio puesto que la capacidad de los depoacutesitos iraacute aumentando en ese sentido y cada vez que se produzca un incremento de 500 km de carga se haraacute necesario aumentar n en una unidad Asiacute pues tendremos 1- Tramo con n = 0 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se progresa desde el final (punto kilomeacutetrico 800) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 0 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

cf = cr ndash d

Como la carga final cf es nula al llegar al punto final (800 km) y es cr = 500 (el maacuteximo posible) basta con llevar a cabo un viaje de ida solamente que salva la distancia d = 500 km El consumo es justamente de 500 km o una carga Esto nos

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coloca a una distancia del origen de 300 km con un depoacutesito con carga para 500 km en dicho punto al que llamaremos D 2 - Tramo con n = 1 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se calcula desde el final (punto kilomeacutetrico 300) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 1 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

500 = 500 - 2d + cr - d = 500 + cr ndash 3 d Hasta que se agote la carga residual maacutexima cr = 500 tendremos

d = 500 3 (5)

La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =1 (es decir donde se pasa de n =1 a n =2 si se lee desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 1) = 300 ndash 5003 = 4003 = 133 3333hellip km El consumo en todo este tramo final (donde n =1) seraacute

consumo (n = 1) = 3 d = 3 times 5003 = 500 Tenemos asiacute tres viajes de 5003 km Al final de la operacioacuten se habraacute transportado una carga de 500 km con un consumo de 500 km tal como se ha calculado antes Como ya se ha visto nos hallamos ahora a una distancia del origen igual a 4003= 133333hellip km Bautizamos este punto como C donde el depoacutesito tendraacute una carga para 1000 km 3 Tramo con n = 2 Ahora la foacutermula (1) se expresa

1000 = 1000 - 4d + cr - d = 1000 + cr ndash 5 d Para una carga residual maacutexima cr = 500 seraacute

d = 5005 = 100 (6) La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =2 (es decir donde se pasa de n =2 a n =3 leyendo desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 2) = 400 3 - 100 = 100 3 = 333333hellipk m El consumo en todo este tramo (donde n =2) seraacute

consumo (n = 2) = 5 d = 500 Se salva una distancia de 100 km y se comprueba que el consumo seraacute de 5 times 100 = 500 La carga transportada seraacute de 2 times 300 + 400 = 1000 km carga que se deja en el depoacutesito C En este punto B nos encontramos a una distancia del origen de 1003 = 33333hellip km y con un depoacutesito con carga para 1500 km

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4 Tramo con n = 3 En este caso la foacutermula (1) es

1500 = 1500 - 6d + cr - d = 1500 + cr - 7d Tendremos ahora d = 5007 gt 100 3 desigualdad que nos dice que la distancia que puede cubrirse con n = 3 supera la distancia que nos separa del origen Asiacute que bastaraacute trabajar de forma que se tenga

d = 1003 (7) Con estas condiciones el consumo correspondiente valdraacute

consumo (n = 3) = 7 d = 700 3 El nuacutemero de viajes seraacute ahora igual a 2 n + 1 = 7 cada uno de los cuales cubre la distancia d = 1003 La carga que se toma del depoacutesito inicial seraacute 1500 + 7003 Consumo total El consumo total que se busca seraacute por lo tanto exactamente Consumo total = 500 (para recorrer los uacuteltimos 500 km n = 0) + 500 (n = 1) + + 500 (n = 2) + 7003 (n = 3) = 1500 + 7003 lo que expresado en cargas resulta ser (1500 + 7003) 500 = 3+7 15 = 34666hellip El nuacutemero total de viajes resulta ser sumando los de las etapas parciales igual a 16 La tabla 1 muestra los valores relevantes para cada una de las etapas dispuestos ahora desde el inicio hasta el final

Km n viajes d (km) consumo (km) carga (km) A (origen) 1500 + 700 3

0 a 1003 (B) 3 7 100 3 700 3 1500 1993 a 4003 (C) 2 5 100 500 1000 4003 a 300 (D) 1 3 500 3 500 500 300 a 800 (E) 0 1 500 500 0

TOTALES 16 800 1500 + 700 3 Tabla 1

El resultado es por tanto Consumo = (1500 + 700 3) 500 = 3 + 7 15 = 34666hellipasymp 347 Viajes = 16 Notas finales Otra cuestioacuten que suscita este problema es la de si existe una limitacioacuten a la anchura del desierto que se ha de atravesar La respuesta es que no existe tal liacutemite puesto que como se aprecia sin dificultad la taacutectica para ir situando combustible en posiciones avanzadas y que expresan las ecuaciones (1) a (4) permite trabajar a partir de cualquier distancia P Crespo noviembre 2006

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Pitaacutegora y su relacioacuten con los proyectiles

El otro diacutea andando por la calle vi el anagrama de una empresa de consulting

Como puede verse el siacutembolo de la empresa es (aproximadamente) el tan conocido triaacutengulo pitagoacuterico de lados 3 4 y 5 Lo vemos inscrito en un cuadrado el miacutenimo que puede contenerlo iquestCuaacutel es el lado de este cuadrado

Solucioacuten Llamemos α al aacutengulo que forma el cateto largo con el lado vertical del cuadrado Es

inmediato establecer las ecuaciones

4 cos α = L = 4 sin α + 3 cos α Que permite llegar a la igualdad

cos α = 4 sin α De donde se obtiene tan α = α o sea α = 14036ordm El lado vale L = 4 cos 14036ordm = 38806 Es curioso que este aacutengulo es el mismo con el que debe ser lanzado un proyectil para

que la altura alcanzada sea igual al alcance En efecto la primera vale

gvh

2sin 22

0max

ϕ=

Mientras que el alcance es

gvx ϕ2sin2

0=

Igualando ambas ecuaciones se llega a cos φ = frac14 El aacutengulo φ es el complementario

del α antes hallado El proyectil deberiacutea dispararse tangente al cateto de lado 4 JMAiO BCN sep 06

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PROBLEMA DE LA DIVISIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO

Dado un triaacutengulo ABC y un punto P situado en su interior se pide trazar una recta MN que pasando por el punto P divida al triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea o que esteacuten en una proporcioacuten dada

A

B C

P

M

N

Q

q

p

R

x

y

Solucioacuten El problema implica dos condiciones - 1ordm Que los puntos M P y N esteacuten alineados - 2ordm Que las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB esteacuten en una proporcioacuten dada

Veamos como podemos dar forma algebraica a estas dos condiciones Tracemos desde el punto P como se indica en la figura las paralelas a los lados BC y AC hasta que corten en los puntos R y Q respectivamente a los lados AC y BC Llamemos x y p y q a los segmentos MR NQ PQ y PR Los valores de x e y se obtendraacuten al resolver el sistema de ecuaciones que suponen las dos condiciones dadas La primera condicioacuten ya que los triaacutengulos MRP y PQN son semejantes se expresa escribiendo

yp

qx=

La segunda condicioacuten puesto que los triaacutengulos MCN y ACB tienen comuacuten el aacutengulo en C equivale a decir que los productos de los lados de cada triaacutengulo que concurren en el veacutertice C estaacuten en la proporcioacuten en la que estaacuten sus aacutereas Llamando k al cociente entre las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB la segunda condicioacuten la escribiremos asiacute

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( )( ) kabqypx =++

donde a y b son respectivamente los lados BC y AC del triaacutengulo dado El sistema de ecuaciones escrito nos conduce a la siguiente ecuacioacuten de segundo grado que resuelve el problema

( ) 02 22 =+minusminus qpxpqkabqx

( )

qpqkabkabpqkab

x2

42 minusplusmnminus=

xpqy =

La condicioacuten para que el problema tenga solucioacuten real es que el radicando no sea negativo es decir

( ) 04 geminus pqkabkab

pqkab 4ge

abpqk 4

ge

Resulta innecesario decir que para k=05 la recta divide el triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea teniendo que darse previamente la condicioacuten del paacuterrafo anterior Notas 1- La primera condicioacuten tambieacuten se puede expresar escribiendo la recta MN en su forma canoacutenica en el sistema de coordenadas cartesianas oblicuas definido por los ejes CA y CB obligando a que el punto P esteacute en ella es decir

1=+

++ xp

pyq

q o sea pqxy =

2- El valor de k tambieacuten depende del par de lados respecto a los cuales se hayan trazado las paralelas para disponer de los valores de p y q Puede darse el caso de que aun siendo negativo el radicando para la pareja de lados elegida no lo sea para alguna otra y el problema siga teniendo solucioacuten

Manuel Rodriacuteguez Saacutenchez ndash Septiembre de 2006

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Re-citando las citas de laquoPelucheraquo

laquoLas mujeres hablan porque desean hablar mientras que un hombre soacutelo habla cuando se siente empujado por algo ajeno a eacutel como por ejemplo si no encuentra unos calcetines limpiosraquo (Jean Kerr 1922-2003 escritora estadounidense) laquoDonde hay matrimonio sin amor habraacute amor sin matrimonioraquo (Benjamin Franklin cientiacutefico poliacutetico y filoacutesofo norteamericano) laquoSi quieres ver una especie en peligro de extincioacuten miacuterate al espejoraquo (John Young 1930 cientiacutefico estadounidense) laquoAntes de pedir dinero a un amigo decide cual de las dos cosas necesitas maacutesraquo (Jean de La Bruyegravere 1645-1696 moralista franceacutes) laquoComprendes que estaacutes envejeciendo cuando las velitas cuestan maacutes que la tartaraquo (Bob Hope 1903-2003 actor estadounidense) laquoA mi juicio el mejor gobierno es el que deja a la gente maacutes tiempo en pazraquo (Walt Whitman 1819-1892 poeta estadounidense) laquoSi el hijo de Bono se casa con la hija de Bush iquestla descendencia se llamaraacute Bono Bushraquo (Alberto C 1983 estudiante de reflexologiacutea podal) laquoPara escribir un buen libro no considero imprescindible conocer Pariacutes ni haber leiacutedo el Quijote Cervantes cuando lo escribioacute aun no lo habiacutea leiacutedoraquo (Miguel Delibes 1920 escritor espantildeol) laquoComo todo el mundo sabe los cantos de las sirenas atraen a los hombres para luego acabar con ellos Especialmente las sirenas de las faacutebricasraquo (Jaume Perich Escala 1940-1995 humorista espantildeol) P C Citas tomadas de laquoPelucheraquo con su consentimiento

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Reparos a la teoriacutea FSM

Qui nimium probat nihil probat (El que prueba demasiado no prueba nada)

Incluso la filosofiacutea la especulativa filosofiacutea se esfuerza por respetar las liacuteneas convencionales del razonamiento y de la loacutegica Incluso la filosofiacutea cuando examina el universo fiacutesico y la propia vida trata de conciliarse con las corrientes cientiacuteficas sobre las que hay amplio consenso Incluso la filosofiacutea cuando se ocupa de la teoriacutea del conocimiento aplicada al mundo fiacutesico corre pareja con las consideraciones maacutes asentadas de la epistemologiacutea cientiacutefica y no es raro que los tratados filosoacuteficos cuyo enfoque es la metodologiacutea del conocimiento tengan en cuenta los descubrimientos de la fiacutesica de vanguardia tales como las teoriacuteas relativistas y en especial los resultados paradoacutejicos de la fiacutesica cuaacutentica tan enormemente sugestivos al tiempo que elusivos En la biologiacutea y en lo que se refiere a las diversas manifestaciones de la vida y a los cambios de los que existe evidencia foacutesil se considera como asentada la liacutenea explicativa que parte de la exposicioacuten publicada por Darwin a comienzos de la segunda mitad del siglo XIX [1] Aunque no se tenga por definitiva y se reconozca incompleta sobre esa liacutenea maestra se elaboran actualmente explicaciones y correcciones a la misma El descubrimiento de la geneacutetica y de sus mecanismos iacutentimos ha supuesto un enorme impulso en cuanto a las investigaciones en este campo que ahora constituye un considerable tesoro de saber Por eso nos preocupa e incluso nos solivianta la corriente FSM de una explicacioacuten alternativa que seguacuten apreciamos se va abriendo camino incluso en universidades [2] Se trata de una corriente que ha experimentado un crecimiento notable en los uacuteltimos antildeos y que interpreta nuestro universo incluida la manifestacioacuten de la vida en teacuterminos del recurso a la intervencioacuten de una entidad inmaterial el FSM de la que se ofrece a veces una representacioacuten tangible a la que se le atribuyen poderes trascendentes como la omnipresencia y la capacidad ilimitada de intervencioacuten Si hemos de ser honestos debemos reconocer que los argumentos en los que se apoya la teoriacutea a la que aludimos son en principio irrebatibles Lo que es maacutes se ajustan mejor que las teoriacuteas que actualmente se tienen por cientiacuteficas a uno de los preceptos maacutes respetables de la ciencia como es el del reduccionismo metodoloacutegico Seguacuten el principio de Occam de la economiacutea (navaja de Occam) [3] en efecto cuanto menor es el repertorio de afirmaciones que haya que admitir como dadas al elaborar una teoriacutea maacutes aceptable seraacute eacutesta (laquopluralitas non est ponenda sine necessitateraquo) La teoriacutea que tratamos de rebatir cumple extraordinariamente bien con este requisito puesto que lo uacutenico que se requiere es la aceptacioacuten de la hipoacutetesis mencionada de la entidad conocida como FSM De todos modos no estaacute de maacutes recordar que lo que Occam dice exactamente es que en igualdad de condiciones la solucioacuten maacutes sencilla es probablemente la correcta Y probablemente como estaacute claro no equivale a necesariamente No obstante no podemos evitar que nos parezcan forzadas y como argumentadas ad hoc algunas de las explicaciones que da el principal abanderado de dicha corriente de pensamiento y primero en presentarla y defenderla Robert Hendenson Graduado en fiacutesicas no podemos pensar del mismo que le sea ajeno el rigor y la criacutetica cientiacutefica A pesar de todo lo cierto es que algunos de sus razonamientos son

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impecables como cuando explica el por queacute resulta aparente la edad de la Tierra estimada por los meacutetodos cientiacuteficos al uso Veamos sus razones laquo[] Lo que esas personas no comprenden es que Eacutel [el autor se refiere a la entidad FSM] hizo el mundo para hacernos creer que la Tierra es maacutes antigua de lo que realmente es Asiacute por ejemplo un cientiacutefico puede llevar a cabo un proceso de datacioacuten mediante carbono-14 sobre un artefacto y encuentra que aproximadamente el 75 por ciento del carbono-14 se ha desintegrado en nitroacutegeno-14 a causa de la emisioacuten de electrones e infiere que dicho artefacto tiene una antiguumledad de unos diez mil antildeos puesto que la vida media del nitroacutegeno-14 parece ser de 5 730 antildeos Pero lo que nuestro cientiacutefico no advierte es que cada vez que efectuacutea una medida la entidad FSM estaacute alliacute cambiando los resultados con su seudoacutepodo Disponemos de numerosos textos que describen en detalle como es esto posible y las razones por las que Eacutel lo hace Eacutel es por supuesto invisible y puede pasar a traveacutes de la materia normal con facilidadraquo Hay algo en esta explicacioacuten que no nos satisface Naturalmente es irreprochable pero cierta percepcioacuten nos dice que se aparta excesivamente del meacutetodo cientiacutefico por antonomasia La teoriacutea FSM no es por su propia naturaleza falsable de modo que de acuerdo con las tesis de Karl Popper una doctrina de ese tipo no se bate en condiciones de igualdad con el resto de las teoriacuteas por lo que ha de ser apartada como teoriacutea insana ―desde el punto de vista de la ciencia entieacutendase bien― y privada sin maacutes del derecho a contender en la arena cientiacutefica Es cierto que para Popper al contrario de lo que afirma el positivismo tiene sentido la aseveracioacuten de la existencia de la entidad FSM pero este autor delinea muy bien los liacutemites que separan tales tipos de proposiciones de las de caraacutecter cientiacutefico y la que nos ocupa queda claramente al margen de eacutestas [4]

Fig 1 ndash FSC en el instante de animar al primer ser humano Podriacutea argumentarse desde luego y aquiacute nos situamos del lado del punto de vista de Thomas Kuhn que la teoriacutea FSM nos coloca frente a un nuevo paradigma cientiacutefico Para Kuhn en efecto la ciencia no procede por agregaciones progresivas en torno a un nuacutecleo creciente de conocimientos sino antes bien por cambios abruptos del marco completo de la teoriacutea dominante lo que se conoce como

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desplazamientos del paradigma En este sentido podriacuteamos sentirnos inclinados a aceptar que el paradigma FSM nos traslada a un marco radicalmente nuevo No obstante la ciencia no se caracteriza por cambios de naturaleza tan radical Antes bien en los cambios de paradigma a que alude Kuhn siempre ha ocurrido que los nuevos formalismos incluyen a los anteriores en el sentido de que eacutestos se recuperan por paso al liacutemite con respecto a ciertas condiciones o paraacutemetros que han cobrado maacutes generalidad en la nueva teoriacutea Y esto no ocurre en absoluto con la propuesta FSM que prescinde del todo del acervo de saber histoacuterico Nos sentimos obligados a denunciar tambieacuten que las representaciones de la entidad FSM son en cierto modo antropomoacuterficas Sugeririacuteamos prescindir de lo que parecen ser unos ojos y un soma central para dejarlo reducido al conjunto de seudoacutepodos que podriacutean llegar a identificarse con los filamentos de la teoriacutea de cuerdas o en su enmadejamiento formar el tejido de las supercuerdas La ubicuidad podriacutea sustituirse por un nuacutemero ilimitado de copias del FSM actuando en resonancia no local El universo volveriacutea a ser de este modo de nuevo cartesiano dominado por un plenum que lo abarca todo La actuacioacuten instantaacutenea a distancia estariacutea avalada por la verificacioacuten de las condiciones de Bell relativas a la paradoja EPR que ha significado el espaldarazo a la no localidad en el mundo fiacutesico A pesar de todo algo en nuestro interior nos dice que la doctrina FSM es aberrante Quizaacute se deba al lastre de la educacioacuten recibida Despueacutes de todo uno es irremediablemente producto de la forja de su tiempo y nunca es faacutecil superar esa inercia intelectual Hijo ―o debiera decir posiblemente prisionero― de la edad de la razoacuten yo presiento con temor que una nueva Edad Media y estoy pensando en su lastre de oscurantismo se alza amenazante en el horizonte y la melancoliacutea me atenaza amargamente el corazoacuten P Crespo septiembre 2006 [1] On the Origin of Species by Means of Natural Selection or The Preservation of Favoured Races in the Struggle for Life abreviado como The Origin of Species (El origen de las especies) publicado en 1859 Este libro establecioacute la evolucioacuten (cambios espontaacuteneos hereditarios que se imponen cuando son favorables a la especie habida cuenta de los condicionantes del entorno) a partir de un ascendiente comuacuten como la explicacioacuten cientiacutefica dominante de la diversificacioacuten de las formas de la vida en la naturaleza [2] Home page httpwwwvenganzaorg

[3] William of Occam fraile franciscano ingleacutes del siglo XIV (aprox 1285-1349) Lo que se conoce como la navaja de Occam era un principio muy comuacuten en la filosofiacutea medieval (el principio de economiacutea o de parsimonia) y no tuvo su origen con Willian de Ockham pero debido al uso frecuente que eacuteste le daba a dicho principio su nombre acaboacute inseparablemente ligado a eacutel

[4] Karl Popper (1902 1994) La loacutegica de la investigacioacuten cientiacutefica (Logik der Forschung 1934 ciacuterculo de Viena) En esta obra el filoacutesofo austriacuteaco abordoacute el problema de los liacutemites de demarcacioacuten entre la ciencia y proposiciones de otro caraacutecter Para Popper la clave estaacute en reconocer que el conocimiento cientiacutefico no avanza confirmando nuevas leyes sino descartando las que contradicen la experiencia lo que constituye el proceso de falsacioacuten Soacutelo han de admitirse como proposiciones cientiacuteficas aquellas para las que al menos conceptualmente es posible un experimento que las contradiga [5] Thomas Kuhn (1992 1996) Este cientiacutefico norteamericano es famoso principalmente por su libro La estructura de las revoluciones cientiacuteficas (1962) La idea que preside el pensamiento de Kuhn es la de que la ciencia no progresa por acumulacioacuten de nuevo conocimiento sino por desplazamientos de los paradigmas que transforman abruptamente la naturaleza del conocimiento

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Matemaacuteticas de los poliacuteticos vascos Patxi Igandekoa

Pongamos el tiacutepico sistema de ecuaciones de primer grado de dos incoacutegnitas x+y=5 4x-2y=2 (Antes ensentildeaban a resolverlos en 1ordm de BUP ahora en las academias cercanas a la Escuela de Ingenieros de Bilbao) Vaya por adelantado que la solucioacuten es x=2 y=3 No nos interesa esto sino la forma en que lo resolveriacutean dos miembros destacados de nuestra clase poliacutetica El Lehendakari Ibarretxe por ejemplo no tendriacutea dificultad Gracias a su formacioacuten y oficio de economista el valor de las incoacutegnitas aparece ipso facto en su mente sin necesidad de calcular nada Sin embargo eacutel querriacutea hacerlo con fundamento a la vasca Primero lo resolveriacutea por medios algebraicos y comprobariacutea si las soluciones cuadran Despueacutes empleariacutea el meacutetodo graacutefico pediriacutea papel boliacutegrafo y una regla y trazariacutea un eje de coordenadas cifras y finalmente dos rectas bien diaacutefanas y se asegurariacutea de que ambas se cortan en el par de valores correcto Acto seguido llamariacutea a un comiteacute de expertos del Gobierno Vasco y someteriacutea el asunto a su examen para que redactaran un informe en el que se estableciera sin ninguacuten geacutenero de dudas que la solucioacuten al sistema de ecuaciones propuesto vaacutelida tanto en Euskadi como en el resto de un universo eucliacutedeo es la que figura en los caacutelculos de Lehendakaritza Pero la cosa no termina aquiacute porque luego Josu Jon Imaz (otro peso pesado de las ciencias exactas) convocariacutea una mesa de partidos para buscar una solucioacuten paralela ndashpero concordante- al problema mediante acuerdos que incluyan a todas las sensibilidades del paiacutes Para un tema de intereacutes general como este ni siquiera el PP podriacutea negarse y a la exactitud de las estimaciones numeacutericas se antildeadiriacutea finalmente la sancioacuten democraacutetica del consenso Euforia y satisfaccioacuten en el EAJ-PNV ldquoHemos tardado lo nuestro pero valioacute la pena Trabajando duro y con meacutetodo nos hemos puesto las pilas comenzamos el curso con los deberes hechos etc etcrdquo iquestY Patxi Loacutepez iquestCoacutemo reaccionariacutea delante del mismo problema Imaginen a uno de sus correveidiles pasaacutendoselo por encima de su ejemplar abierto de ldquoEl Correo Espantildeolrdquo en plena sesioacuten del Parlamento Vasco Apresurada lectura treacutemulo parpadear de ojos bailoteo de cifras en la mente ruido apenas perceptible producido por el rozamiento de unos dedos sobre la sienhellip ldquoNada otra engantildeifa del Lehendakari iexclSe va a enterar de esto en mi proacutexima rueda de prensardquo Apliacutequese el procedimiento de costumbre enviar por valija del partido a la calle Ferraz para que lo resuelvan alliacuterdquo Y alliacute efectivamente son nada menos que Joseacute Luis Rodriacuteguez Zapatero Presidente del Gobierno de Espantildea y Joseacute Blanco su iacutenenarrable y gallego jefe de bomberos quienes se encargan de despejar las incoacutegnitas Podemos imaginarnos el resultado ldquoiquestAlgebra iquestGraacuteficos cartesianos iexclUff somos de letras iquestQueacute tal si traemos a nuestro informaacutetico para que eche una manordquo ldquoNo mucho maacutes simple Joseacute Luis hacemos x=0 y=0 y ya estaacute Yo seacute algo de matemaacuteticas lo suficiente para recordar que a esto lo llaman lsquosolucioacuten trivialrsquo Es perfectamente legiacutetimo iquestQueacute te parecerdquo ldquoDe entrada bien Pepe Pero asi no puedes resolver un sistema de primer grado iexclel resultado no coinciderdquo ldquoNo importa lo quitamos tambieacuten Escondemos el 5 y el 2 cubrieacutendolos con typex ndashya nos ocuparemos de ellos en la proacutexima legislatura- y hacemos ambas expresiones iguales a cero Ahora las incoacutegnitas siacute coinciden con la ventaja antildeadida de que entonces las de Imaz no Hemos resuelto el problema de matemaacuteticas vasco reducieacutendolo a la no existencia Jean-Paul Sartre estariacutea orgulloso de nosotrosrdquo La solucioacuten es transmitida por mensajero (a portes debidos) a Sabin Etxea donde sesudos jeltzales la examinan moviendo la cabeza a un lado y a otro Habraacute que invertir mucho en centros de caacutelculo si queremos avanzar en el proceso de normalizacioacuten Al menos queda el consuelo de que si alguien quiere volar preferiraacute subirse a un aeroplano disentildeado por Ibarretxe que a otro construido con las matemaacuteticas que ensentildean en el Partido Socialista de Euskadi Publicado en Izaronews 6-9-2006

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Si las palabras de Chillida estaacuten recogidas con fidelidad lamento no estar de acuerdo con ellas porque no creo que las personas se encasillen tan faacutecilmente Pero de todos modos si ustedes creen que represento ese problema no tienen maacutes que haceacutermelo saber Porque como anuncieacute en la seccioacuten correo tireacute mi regla de caacutelculo al riacuteo para mirarla como se hundiacutea (era el uacuteltimo recuerdo del carintildeo que yo le teniacutea etc) y comienzo mis pinitos en cuentos cortos (muy cortos prometido) y otras atrevidas incursiones

[La figura es un recorte del libro de vintildeetas-paacutegina laquoel Arte - conversaciones imaginarias con mi madreraquo de Juanjo Saacuteez Aunque sus ideas sobre el arte parecen discutibles es un libro entrantildeable]

Una uacuteltima advertencia relativa al cuento que sigue y dirigida a los que puedan sacar la conclusioacuten de que tengo imaginacioacuten desviada las hemerotecas son del 29 de noviembre de 2003

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Caperucitas blancas En memoria de Joseacute Couso porque nos volvimos maacutes ciegos cuando sus ojos se apagaron

Una nintildea hasta haciacutea poco ahora cuajada en mujer moldeada por quince primaveras Faacutetima era la mayor de las dos hermanas La pequentildea Azraa a sus doce antildeos era todaviacutea un incipiente brote femenino delicado y menudo

Noviembre agotaba sus diacuteas y haciacutea cuatro que habiacutean empezado las fiestas del fin del Ramadaacuten el mes sagrado del ayuno Ese jueves la ilusioacuten se asomaba a los rostros de ambas hermanas porque iriacutean a cenar a casa de su abuela y pasariacutean la noche con ella Habriacutea puchero y berenjena rellena y despueacutes los dulces de pistacho y de miel y antes de dormir las historias de la lsquoyaddarsquo Jazmina ―la abuelita― llenas del encanto de otros tiempos cuando en los mercados de Baaquba competiacutean entre siacute los colores de los frutos las especias las telas y las alfombras y los asnos eran amigos resignados de los hombres y los paacutejaros hablaban con los nintildeos y eran alegres y eran parlanchines y traiacutean noticias de lugares exoacuteticos

La madre preparoacute una cesta con los pastelillos para el postre Pero la abuela habiacutea expresado el temor de no disponer de lentildea suficiente asiacute que las pequentildeas debiacutean pasar antes por el huerto del tiacuteo Abbash que siempre teniacutea preparada una reserva de lentildeos y sarmientos y habiacutea dado licencia a la familia para recoger de su finca todo aquello que fuera necesario Para llegar al huerto era obligado atravesar un trecho boscoso no era cosa de permitir que las sorprendiera la noche y puesto que la tarde ya se habiacutea insinuado las nintildeas se pusieron con diligencia en camino La pequentildea llevaba apoyada contra su cintura la cesta con los dulces y la mayor se hizo cargo de dos piezas de tela destinadas a sujetar la lentildea y de un hacha pequentildea para trocear los sarmientos

Ya en la finca llevoacute maacutes tiempo del previsto preparar los vaacutestagos para adecuarlos al tamantildeo de la menor de las muchachas y las sombras no esperaron Ante el asomo de la noche las nintildeas iniciaron el regreso en direccioacuten a la casa de la abuela cada una con su hatillo a la espalda la menor abriendo paso con la cesta de los pasteles en su regazo seguida de cerca por su hermana

A menos de cincuenta metros de alliacute Lobo Feroz Dos miraba por el visor de

infrarrojos e informaba de la escena a su compantildeero En el sendero que lindaba con el bosque dos siluetas blanquecinas se recortaban en la oscuridad en contraste con la espesura y los pantildeuelos que cubriacutean sus cabezas las perfilaban como dos caperucitas que se moviacutean avanzando deprisa La mayor pareciacutea sujetar una pistola en su mano

―Lobo Feroz Uno llamando a Halcoacuten Pardo ge-pe-ese delta sur uno doce oeste cero quince Dos sospechosas a la vista parecen llevar armas Esperamos instrucciones Cambio

―Halcoacuten Pardo a Lobo Feroz Ya conocen las consignas Cambio ―Parecen dos nintildeas― apuntoacute Lobo Feroz Dos ―Lobo Feroz Uno a Halcoacuten Pardo Es posible que se trate de dos menores

Solicitamos refuerzos para comprobacioacuten Cambio ―Sargento le recuerdo que estamos en la Operacioacuten Martillo de Hierro Debe

proceder seguacuten la consigna Cambio y corto ―Hemos de disparar― dijo Lobo Feroz Uno a Lobo Feroz Dos ―Pero ― balbuceoacute eacuteste ―Oacuterdenes Encaacutergate del objetivo de la izquierda yo tirareacute sobre el derecho

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La cabeza de Faacutetima se quebroacute como se rompe el fruto del granado cuando se lo arroja con fuerza contra el suelo Con su velo blanco habiacutea sido Caperucita Blanca mientras se desplomaba fue Caperucita a topos rojos poco tiempo despueacutes bajo los focos luminosos era Caperucita Roja yaciendo sobre la hierba del lindero del bosque ya para siempre dormida sus intensos ojos negros abiertos en un gesto uacuteltimo de asombro irracional A su lado la pretendida pistola no era sino el hacha nimia que le habiacutea servido de herramienta

Cerca de ella Azraa acribillada se debatioacute en el suelo durante un tiempo entre espasmos y dentelladas de dolor Desprendido el pantildeuelo varias manchas tentildeiacutean de carmiacuten sus cabellos que hasta entonces habiacutean sido siempre de un azabache casi mineral

La fase siguiente de la laquoOperacioacuten Martillo de Hierroraquo se puso en marcha Uno de los confidentes convocados reconocioacute a las muchachas e indicoacute a los soldados la situacioacuten de la cercana casa de la abuela en los andurriales de la ciudad

La puerta cedioacute ante el explosivo y saltoacute arrancada de cuajo junto con sus goznes Disipado el humo los soldados pudieron distinguir a una anciana enmudecida por el terror y desplomada sobre su cama Se registroacute la casa Dos humildes cuchillos de cocina fueron las uacutenicas armas encontradas

Cuando al diacutea siguiente fueron lavados los cuerpos de las nintildeas el agua sanguinolenta se desparramoacute por el patio y discurrioacute por albantildeales hasta verter en el riacuteo Tigris Diacuteas maacutes tarde en la orilla izquierda de la corriente a un rosal le brotariacutean rosas algo maacutes rojas y un limonero dariacutea limones amargos en la ribera derecha

La sangre de las nintildeas se entremezcloacute en el riacuteo en un postrero abrazo fraternal El sol hizo luego su labor de horno y partiacuteculas de sangre de Faacutetima y de Azraa ascendieron asidas al agua evaporada Desde entonces los atardeceres son algo maacutes escarlata en la tierra que otrora fue Mesopotamia y en todo el orbe resuena el eco milenario de las palabras del Antiguo Testamento dichas para los oiacutedos de los violentos laquoCaiacuten iquestqueacute has hecho de tu hermanoraquo P Crespo

Las camas de la muerte ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte lavis punta seca buril y bruntildeidor ndash 177 x 221 mm

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Reggae reggaehellip (riacutea riacutea)

La escuela y el alumnado

Eacutesta es la coleccioacuten de disparates maacutes sonados cometidos por alumnos de ESO y bachillerato en exaacutemenes de geografiacutea e historia

Perlas variadas bull Al final de la edad media empiezan a

imponerse normas morales como no masticar la sopa

bull Una de las principales manifestaciones del arte goacutetico fueron las piraacutemides que como todo el mundo sabe son apuntadas

bull A partir del Concilio de Trento el matrimonio cristiano debiacutea ser consumado en presencia de un sacerdote

bull Despotismo ilustrado los reyes teniacutean todo el poder pero teniacutean que obedecer cuando el pueblo se poniacutea de acuerdo entre ellos

bull A la juventud hitleriana la preparaban tan bien que al cabo de un antildeo eran capaces de matar a su madre

bull iquestQueacute opinas de la Constitucioacuten Que es buena y guapa

bull Actualmente el paiacutes maacutes pequentildeo de Europa es San Pedro del Vaticano

bull El rey puso a Franco para que trajera la democracia

bull Franco era el rey que habiacutea antes de Juan Carlos I

bull Espantildea no participoacute en la Segunda Guerra Mundial porque Hitler teniacutea miedo de Franco

bull Franco fue un poliacutetico dictador que consiguioacute imponer durante el reinado de Felipe II un reacutegimen dictatorial

bull No seacute en queacute antildeo murioacute Franco pero seacute que murioacute asesinado

bull Democracia es cuando hay gente que mata otra gente o cuando un paiacutes echa bombas a otro o se pegan unos a otros pues esto es democracia

bull Cartografiacutea las faltas de ortografiacutea bull Un paralelo es una de aquellas liacuteneas que

dividen la Tierra en trozos pero es imaginario

bull Continente partiacuteculas de tierra donde vivimos nosotros

bull Anticicloacuten es la temperatura caliente y se mide en milibares

bull Caacutetedra pensioacuten o escuela para los que queriacutean ser curas

bull Petroacuteleo se obtiene por tuberiacuteas llamadas oleoductos y sirve de combustible

bull Desarrollo sostenible es el desarrollo que no es ni alto ni bajo es decir es mediano

bull Poliacutegono hombre con muchas mujeres bull Delta es un riacuteo que lleva muy poca

agua bull Capital de Alemania Merliacuten bull Principales cultivos espantildeoles la uva

que produce el gran aceite que se fabrica en Espantildea

bull Islas de Oceaniacutea Islas Haguai bull Los vientos huracanados producen a

veces atauacutedes de nieve bull La pintura al fresco consiste en pintar al

aire libre bull Sufragista quiere decir que siempre estaacute

navegando por los mares bull La Guerra Friacutea se caracteriza por matar

gente a sangre friacutea bull Hambre endeacutemica es la que pasa cuando

hay epidemias bull La explosioacuten demograacutefica se produce

porque en algunos paiacuteses se producen islas producto de una erupcioacuten volcaacutenica que bastante grandes como para ser evitadas

bull Estado del bienestar significa que todo lo que es puacuteblico se ha de cuidar

bull Deuda externa es si vas aun supermercado y quedas a deber mucho si no tienes dinero Esto es la deuda externa

Serrano J Reboredo J (2005) Perlas variadas en Historia de Espantildea contada por estudiantes Madrid La Esfera de los libros (Remitido por M Dolors Hipoacutelito)

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iexclLas modelos no somos estuacutepidas Pregunta iquestEn queacute paiacutes la estaacuten solicitando como modelo Respuesta No lo puedo decir todaviacutea pero les puedo adelantar que es un paiacutes brasilentildeo que no queda muy lejos de aquiacute (Kate Moss ex modelo de Calvin Klein) Pregunta Si llegara un holocausto nuclear iquestqueacute pareja elegiriacutea Ud en todo el mundo (hombre y mujer) para preservar y multiplicar la especie humana Respuesta Al Papa y a la Madre Teresa de Calcuta (Carolina Zuntildeiga candidata a Miss Chile) El fumar mata Si te mueres has perdido una parte muy importante de tu vida (Brooke Shields entrevista para una campantildea federal antitabaco) Pregunta Si usted pudiera vivir siempre iquestlo hariacutea iquestpor queacute Respuesta Yo no viviriacutea siempre porque no deberiacuteamos vivir siempre porque si se supusiera que debieacuteramos vivir siempre entonces viviriacuteamos siempre pero no podemos vivir siempre que es por lo cual yo no viviriacutea siempre (Miss Alabama en el concurso Miss America 1999) Esa rastrera sinverguumlenza merece ser matada a patadas por un asno iexclY yo soy justo la indicada para hacerlo (Declaracioacuten de Claudia Shiffer sobre Naomi Campbell) No es la contaminacioacuten la que estaacute dantildeando el ambiente Son todas las impurezas en nuestro aire y en nuestra agua las que lo estaacuten haciendo (Pamela Anderson) No he cometido ninguacuten delito Lo que hice fue no cumplir con la ley (Jennifer Lopez al ser detenida junto con Puff Daddy) Siempre que veo la tele y veo a esos pobres nintildeos hambrientos en todo el mundo no puedo evitar llorar Quiero decir me encantaria ser asiacute de flaquita pero no con todas esas moscas y muerte y esas cosas (Mariah Carey cantante) Tomado de Internet por JMaiO 2006 Jacinto Benavente y la coma Doctor Mi previsioacuten se anticipa a todo Bastaraacute con puntuar debidamente alguacuten conceptoVed aquiacute donde dicerdquo Y resultando que no declaroacuterdquo basta una coma y dice ldquo Y resultando que no declaroacuterdquo Y aquiacuterdquoY resultando que no debe condenaacuterselerdquo fuera la coma y dice Y resultando que no debe condenaacuterselerdquo Crispiacuten iexclOh admirable coma iexclMaravillosa coma iexclGenio de la Justicia iexclOraacuteculo de la Ley iexcl Monstruo de la Jurisprudencia Jacinto Benavente Los Intereses Creados Acto segundo escena final

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Tomo una y entrego dos Mariano Nieto propone en [C-90] (seccioacuten correo) el problema que sigue En una urna hay una bola blanca y otra negra Se saca al azar una de ellas y se

devuelve a la urna acompantildeada de otra del mismo color Esta operacioacuten se repite un nuacutemero indefinido de veces

iquestCuaacutel es la probabilidad de que cuando la urna contenga 20 bolas haya 10 de cada color Solucioacuten

Sea (b n) la composicioacuten de la urna con b bolas blancas y n negras y llamemos etapa a cada intervencioacuten que extrae una bola de la urna y devuelve dos Convengamos en que la configuracioacuten de partida (11) corresponde a la etapa 1 En la etapa 2 tendremos las dos configuraciones posibles de la urna (21) y (12) asociadas con la misma probabilidad de 12

Esta simetriacutea inicial nos sugiere el siguiente procedimiento por induccioacuten Si suponemos que en la etapa n cada una de las n configuraciones posibles

(n 1) (n ndash 1 2) (n ndash 2 3) (n ndash a a + 1) (2 n ndash 1) (1 n) [1] tiene la misma probabilidad p de ocurrir (con p =1n por lo tanto) podemos calcular las probabilidades y configuraciones de la etapa n + 1

a) La probabilidad de la configuracioacuten (n + 11) (rama izquierda del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(n + 11) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

b) La probabilidad de la configuracioacuten (1 n+1) (rama derecha del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(1 n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

c) La configuracioacuten (n ndash a a + 2) con 0 le a le (n ndash 2) para asegurar que se recorre el rango de configuraciones de la etapa (n + 1) con exclusioacuten de las extremas antes consideradas proviene de (n ndash a a + 1) tras sacar una bola negra o bien de (n ndash a ndash 1 a + 2) luego de resultar blanca la bola extraiacuteda Su probabilidad seraacute por lo tanto

p x (a + 1) (n + 1) + p x (n ndash a ndash 1) (n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

de modo que todas las configuraciones de la etapa n + 1 tendraacuten tambieacuten la misma probabilidad en este caso 1(n + 1)

En la etapa 3 por ejemplo es faacutecil ver que las 3 configuraciones posibles (3 1) (2 2) y (1 3) comparten la probabilidad 13 Asiacute pues el meacutetodo de induccioacuten nos permite concluir que en la etapa n es decir tras n ndash 1 operaciones con la urna eacutesta contendraacute (n + 1) bolas y tendremos las n configuraciones posibles [1] a cada una de las cuales le corresponde la misma probabilidad 1 n

La configuracioacuten (10 10) por la que pregunta el problema perteneceraacute por lo tanto a la etapa n = 19 (tras 18 operaciones con la urna) y en consecuencia su probabilidad seraacute igual a 1 19 algo mayor que 526 por ciento

En general a la configuracioacuten (b n) donde b es el nuacutemero de bolas blancas y n el de negras siendo b y n nuacutemeros naturales cualesquiera ya que cualquier configuracioacuten es alcanzable le corresponderaacute la probabilidad p(b n) = 1 (b + n ndash 1) P Crespo septiembre 2006

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iquestDe doacutende sale el nuacutemero e Un escuchante miacuteo de RNE en el programa sobre matemaacuteticas de los antildeos 2005-06 me hace la siguiente consulta Cuando estudiaba sexto de bachillerato (plan de ensentildeanza 1957) un dia el profesor de matemaacuteticas llegoacute a clase y dijo Hoy toca el nuacutemero e Y a continuacioacuten escribioacute en la pizarra la expresioacuten conocida de liacutemite cuando n tiende a infinito de 1 maacutes 1 partido por n elevado a n La desarrolloacute por el binomio de Newton y obtuvo el conocido resultado de 2718281 Despueacutes nos dijo que el numero e era muy importante en matemaacuteticas y que se utilizaba para la base de los logaritmos neperianos Es curioso ver como la derivada del logaritmo neperiano de x = 1x EXACTO siendo la base del logaritmo un nuacutemero absolutamente INEXACTO IRRACIONAL Realmente me quedeacute sorprendido Primero de coacutemo al baroacuten de Neacuteper se le habiacutea ocurrido utilizar como base de logaritmos a un nuacutemero irracional y segundo por queacute nunca me explicaron a quieacuten se le ocurrioacute calcular el liacutemite de la expresioacuten (1+1n)n iquestPor queacute se le ocurrioacute a alguien esta expresioacuten y no otra iquestDe donde surgioacute tal necesidad Creo que eso era lo primero que mi profesor de matemaacuteticas teniacutea que habernos contado antes de calcular el liacutemite Probablemente el profesor no conociacutea la respuesta que efectivamente es difiacutecil de encontrar en los actuales libros de texto La definicioacuten actual de logaritmo de un nuacutemero es ldquoel exponente a que hay que elevar una base dada para obtener dicho nuacutemerordquo Asiacute por ejemplo en base 10 el logaritmo de 2 es log10 2 = 0301030 porque 100301030 = 2 (aproximadamente) Pero Neper no concibioacute asiacute el logaritmo para eacutel era el resultado de comparar una progresioacuten aritmeacutetica y otra geomeacutetrica Los teacuterminos de la primera seriacutean los logaritmos de los de la segunda Esto se ve muy claro en esta tabla en la que la razoacuten de la progresioacuten aritmeacutetica es 1 y la de la geomeacutetrica es 10

Progresioacuten aritmeacutetica (razoacuten 1) -3 -2 -1 0 1 2 3Progresioacuten geomeacutetrica (razoacuten 10) 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103

De la propia estructura de ambas progresiones se desprende que un producto de teacuterminos en la progresioacuten geomeacutetrica se corresponde con una suma en la progresioacuten aritmeacutetica Asiacute por las propiedades de los productos de potencias de una misma base seraacute log (xy) = log x + log y y tambieacuten log (xk) = k log x etc Por la misma tabla en la base 10 log (10-3) = log (0001) = -3 log (102) = log (100) = 2 etc Pero iquestqueacute ocurre con los valores intermedios iquestCoacutemo definir para ellos un logaritmo Neper intentoacute responder esta pregunta considerando dos progresiones de razones respectivas α y 1+β siendo (α β) muy pequentildeos Entonces dado un nuacutemero N siempre se podriacutea encontrar un valor n tal que (1+ β)n = N (dentro de una aproximacioacuten suficiente) Entonces el logaritmo de N seriacutea nα Las progresiones maacutes sencillas imaginables son aqueacutellas para las que α = β Entonces seraacute

log N = log [(1+α)n] = nα En esta expresioacuten n seraacute muy grande y α seraacute muy pequentildeo Haciendo nα = L podemos escribir la anterior igualdad

log N = log [(1+ α)1α]nα = log [1+ α)1α]L

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Definamos ahora el nuacutemero e como el liacutemite de (1+α)1α cuando α se hace infinitamente pequentildeo o sea

α

αα

1

0)1(lim +=

rarr

e

Y la expresioacuten se simplificaraacute notablemente

log N = log eL = L log e Resulta inmediatamente que el nuacutemero e = 2718281hellip es la base de logaritmos maacutes conveniente desde el punto de vista teoacuterico pues en ella seraacute log e = 1 Eacutestos son llamados los logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos (este uacuteltimo nombre procede de que miden el aacuterea subtendida entre una hipeacuterbola y su asiacutentota) El nuacutemero e es sin duda el maacutes importante en matemaacuteticas aunque π sea maacutes popular Se recuerdan sus primeras cifras con la mnemotecnia Te ayudareacute a recordar la cantidad a indoctos si releacuteesme bien Se aplica por el nuacutemero de letras de cada palabra Te = 2 ayudareacute = 7 etc En la praacutectica son maacutes usados los logaritmos decimales o de Briggs que tienen por base el nuacutemero 10 Presentan la ventaja de que la parte decimal de cada logaritmo (mantisa) no cambia al ser multiplicado el nuacutemero por una potencia de 10 lo que hace muy praacutecticas las tabulaciones El paso de los logaritmos de una a otra base es muy sencillo mediante el nuacutemero M = log 10 = 2302585 Se deduce sin dificultad que log x = M log10 x Josep M Albaigegraves Barcelona octubre 2006

El nuacutemero e es el uacutenico que verifica que el valor de la derivada (inclinacioacuten de la tangente en rojo en la figura) de f(x) = ex para cualquier valor de x es igual al valor de f(x)

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Cruzando el desierto en jeep Enunciado (propuesto por Mariano Nieto en C-83 seccioacuten correo) Un jeep ha de atravesar un desierto de 800 kiloacutemetros Admite una carga maacutexima para recorrer 500 kiloacutemetros y se quiere conocer la menor cantidad de tales cargas que hay que consumir para alcanzar la meta El depoacutesito inicial se supone de capacidad ilimitada y el jeep puede establecer tantos depoacutesitos intermedios como haga falta Se desea conocer tambieacuten el nuacutemero de viajes parciales que lleva a cabo el jeep teniendo en cuenta que ante dos soluciones iguales (mismo consumo) se preferiraacute la que implique menos viajes parciales Planteo

Supongamos que se depositan cargas en los puntos 1 2 hellipi hellipy llamemos ci a la carga del depoacutesito en el punto i y cf a la del punto siguiente i + 1 Si la distancia entre ambos puntos es d para transportar la carga del punto i al i +1 se necesitaraacuten n viajes de ida y vuelta y un uacuteltimo viaje de ida El depoacutesito en el punto i constaraacute pues de n cargas para 500 km y un remanente al que llamaremos cr Podemos plantear las ecuaciones siguientes

cf = (500 - 2d) n + cr - d (1) ci = 500 n + cr (2) r = (2n + 1) d (3) cr = 500 (4)

donde r es el recorrido del jeep (equivalente a la carga consumida) en el transporte entre ambos depoacutesitos

Los caacutelculos han de efectuarse retrocediendo desde el final hasta la situacioacuten de salida (o sea pasando desde el depoacutesito i +1 al i) para garantizar que se transporta siempre la cantidad miacutenima precisa Cuidaremos tambieacuten de que el valor de n sea el menor posible puesto que los viajes de ida y vuelta aunque necesarios son obviamente menos eficaces en cuanto a rendimiento que los directos Solucioacuten Las ecuaciones anteriores sugieren una viacutea para la solucioacuten del problema basada en separar los tramos para los cuales n (nuacutemero de viajes de ida y vuelta) se mantiene constante El valor de n iraacute en aumento al progresar desde el final hacia el inicio puesto que la capacidad de los depoacutesitos iraacute aumentando en ese sentido y cada vez que se produzca un incremento de 500 km de carga se haraacute necesario aumentar n en una unidad Asiacute pues tendremos 1- Tramo con n = 0 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se progresa desde el final (punto kilomeacutetrico 800) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 0 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

cf = cr ndash d

Como la carga final cf es nula al llegar al punto final (800 km) y es cr = 500 (el maacuteximo posible) basta con llevar a cabo un viaje de ida solamente que salva la distancia d = 500 km El consumo es justamente de 500 km o una carga Esto nos

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coloca a una distancia del origen de 300 km con un depoacutesito con carga para 500 km en dicho punto al que llamaremos D 2 - Tramo con n = 1 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se calcula desde el final (punto kilomeacutetrico 300) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 1 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

500 = 500 - 2d + cr - d = 500 + cr ndash 3 d Hasta que se agote la carga residual maacutexima cr = 500 tendremos

d = 500 3 (5)

La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =1 (es decir donde se pasa de n =1 a n =2 si se lee desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 1) = 300 ndash 5003 = 4003 = 133 3333hellip km El consumo en todo este tramo final (donde n =1) seraacute

consumo (n = 1) = 3 d = 3 times 5003 = 500 Tenemos asiacute tres viajes de 5003 km Al final de la operacioacuten se habraacute transportado una carga de 500 km con un consumo de 500 km tal como se ha calculado antes Como ya se ha visto nos hallamos ahora a una distancia del origen igual a 4003= 133333hellip km Bautizamos este punto como C donde el depoacutesito tendraacute una carga para 1000 km 3 Tramo con n = 2 Ahora la foacutermula (1) se expresa

1000 = 1000 - 4d + cr - d = 1000 + cr ndash 5 d Para una carga residual maacutexima cr = 500 seraacute

d = 5005 = 100 (6) La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =2 (es decir donde se pasa de n =2 a n =3 leyendo desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 2) = 400 3 - 100 = 100 3 = 333333hellipk m El consumo en todo este tramo (donde n =2) seraacute

consumo (n = 2) = 5 d = 500 Se salva una distancia de 100 km y se comprueba que el consumo seraacute de 5 times 100 = 500 La carga transportada seraacute de 2 times 300 + 400 = 1000 km carga que se deja en el depoacutesito C En este punto B nos encontramos a una distancia del origen de 1003 = 33333hellip km y con un depoacutesito con carga para 1500 km

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4 Tramo con n = 3 En este caso la foacutermula (1) es

1500 = 1500 - 6d + cr - d = 1500 + cr - 7d Tendremos ahora d = 5007 gt 100 3 desigualdad que nos dice que la distancia que puede cubrirse con n = 3 supera la distancia que nos separa del origen Asiacute que bastaraacute trabajar de forma que se tenga

d = 1003 (7) Con estas condiciones el consumo correspondiente valdraacute

consumo (n = 3) = 7 d = 700 3 El nuacutemero de viajes seraacute ahora igual a 2 n + 1 = 7 cada uno de los cuales cubre la distancia d = 1003 La carga que se toma del depoacutesito inicial seraacute 1500 + 7003 Consumo total El consumo total que se busca seraacute por lo tanto exactamente Consumo total = 500 (para recorrer los uacuteltimos 500 km n = 0) + 500 (n = 1) + + 500 (n = 2) + 7003 (n = 3) = 1500 + 7003 lo que expresado en cargas resulta ser (1500 + 7003) 500 = 3+7 15 = 34666hellip El nuacutemero total de viajes resulta ser sumando los de las etapas parciales igual a 16 La tabla 1 muestra los valores relevantes para cada una de las etapas dispuestos ahora desde el inicio hasta el final

Km n viajes d (km) consumo (km) carga (km) A (origen) 1500 + 700 3

0 a 1003 (B) 3 7 100 3 700 3 1500 1993 a 4003 (C) 2 5 100 500 1000 4003 a 300 (D) 1 3 500 3 500 500 300 a 800 (E) 0 1 500 500 0

TOTALES 16 800 1500 + 700 3 Tabla 1

El resultado es por tanto Consumo = (1500 + 700 3) 500 = 3 + 7 15 = 34666hellipasymp 347 Viajes = 16 Notas finales Otra cuestioacuten que suscita este problema es la de si existe una limitacioacuten a la anchura del desierto que se ha de atravesar La respuesta es que no existe tal liacutemite puesto que como se aprecia sin dificultad la taacutectica para ir situando combustible en posiciones avanzadas y que expresan las ecuaciones (1) a (4) permite trabajar a partir de cualquier distancia P Crespo noviembre 2006

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Pitaacutegora y su relacioacuten con los proyectiles

El otro diacutea andando por la calle vi el anagrama de una empresa de consulting

Como puede verse el siacutembolo de la empresa es (aproximadamente) el tan conocido triaacutengulo pitagoacuterico de lados 3 4 y 5 Lo vemos inscrito en un cuadrado el miacutenimo que puede contenerlo iquestCuaacutel es el lado de este cuadrado

Solucioacuten Llamemos α al aacutengulo que forma el cateto largo con el lado vertical del cuadrado Es

inmediato establecer las ecuaciones

4 cos α = L = 4 sin α + 3 cos α Que permite llegar a la igualdad

cos α = 4 sin α De donde se obtiene tan α = α o sea α = 14036ordm El lado vale L = 4 cos 14036ordm = 38806 Es curioso que este aacutengulo es el mismo con el que debe ser lanzado un proyectil para

que la altura alcanzada sea igual al alcance En efecto la primera vale

gvh

2sin 22

0max

ϕ=

Mientras que el alcance es

gvx ϕ2sin2

0=

Igualando ambas ecuaciones se llega a cos φ = frac14 El aacutengulo φ es el complementario

del α antes hallado El proyectil deberiacutea dispararse tangente al cateto de lado 4 JMAiO BCN sep 06

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PROBLEMA DE LA DIVISIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO

Dado un triaacutengulo ABC y un punto P situado en su interior se pide trazar una recta MN que pasando por el punto P divida al triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea o que esteacuten en una proporcioacuten dada

A

B C

P

M

N

Q

q

p

R

x

y

Solucioacuten El problema implica dos condiciones - 1ordm Que los puntos M P y N esteacuten alineados - 2ordm Que las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB esteacuten en una proporcioacuten dada

Veamos como podemos dar forma algebraica a estas dos condiciones Tracemos desde el punto P como se indica en la figura las paralelas a los lados BC y AC hasta que corten en los puntos R y Q respectivamente a los lados AC y BC Llamemos x y p y q a los segmentos MR NQ PQ y PR Los valores de x e y se obtendraacuten al resolver el sistema de ecuaciones que suponen las dos condiciones dadas La primera condicioacuten ya que los triaacutengulos MRP y PQN son semejantes se expresa escribiendo

yp

qx=

La segunda condicioacuten puesto que los triaacutengulos MCN y ACB tienen comuacuten el aacutengulo en C equivale a decir que los productos de los lados de cada triaacutengulo que concurren en el veacutertice C estaacuten en la proporcioacuten en la que estaacuten sus aacutereas Llamando k al cociente entre las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB la segunda condicioacuten la escribiremos asiacute

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( )( ) kabqypx =++

donde a y b son respectivamente los lados BC y AC del triaacutengulo dado El sistema de ecuaciones escrito nos conduce a la siguiente ecuacioacuten de segundo grado que resuelve el problema

( ) 02 22 =+minusminus qpxpqkabqx

( )

qpqkabkabpqkab

x2

42 minusplusmnminus=

xpqy =

La condicioacuten para que el problema tenga solucioacuten real es que el radicando no sea negativo es decir

( ) 04 geminus pqkabkab

pqkab 4ge

abpqk 4

ge

Resulta innecesario decir que para k=05 la recta divide el triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea teniendo que darse previamente la condicioacuten del paacuterrafo anterior Notas 1- La primera condicioacuten tambieacuten se puede expresar escribiendo la recta MN en su forma canoacutenica en el sistema de coordenadas cartesianas oblicuas definido por los ejes CA y CB obligando a que el punto P esteacute en ella es decir

1=+

++ xp

pyq

q o sea pqxy =

2- El valor de k tambieacuten depende del par de lados respecto a los cuales se hayan trazado las paralelas para disponer de los valores de p y q Puede darse el caso de que aun siendo negativo el radicando para la pareja de lados elegida no lo sea para alguna otra y el problema siga teniendo solucioacuten

Manuel Rodriacuteguez Saacutenchez ndash Septiembre de 2006

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Re-citando las citas de laquoPelucheraquo

laquoLas mujeres hablan porque desean hablar mientras que un hombre soacutelo habla cuando se siente empujado por algo ajeno a eacutel como por ejemplo si no encuentra unos calcetines limpiosraquo (Jean Kerr 1922-2003 escritora estadounidense) laquoDonde hay matrimonio sin amor habraacute amor sin matrimonioraquo (Benjamin Franklin cientiacutefico poliacutetico y filoacutesofo norteamericano) laquoSi quieres ver una especie en peligro de extincioacuten miacuterate al espejoraquo (John Young 1930 cientiacutefico estadounidense) laquoAntes de pedir dinero a un amigo decide cual de las dos cosas necesitas maacutesraquo (Jean de La Bruyegravere 1645-1696 moralista franceacutes) laquoComprendes que estaacutes envejeciendo cuando las velitas cuestan maacutes que la tartaraquo (Bob Hope 1903-2003 actor estadounidense) laquoA mi juicio el mejor gobierno es el que deja a la gente maacutes tiempo en pazraquo (Walt Whitman 1819-1892 poeta estadounidense) laquoSi el hijo de Bono se casa con la hija de Bush iquestla descendencia se llamaraacute Bono Bushraquo (Alberto C 1983 estudiante de reflexologiacutea podal) laquoPara escribir un buen libro no considero imprescindible conocer Pariacutes ni haber leiacutedo el Quijote Cervantes cuando lo escribioacute aun no lo habiacutea leiacutedoraquo (Miguel Delibes 1920 escritor espantildeol) laquoComo todo el mundo sabe los cantos de las sirenas atraen a los hombres para luego acabar con ellos Especialmente las sirenas de las faacutebricasraquo (Jaume Perich Escala 1940-1995 humorista espantildeol) P C Citas tomadas de laquoPelucheraquo con su consentimiento

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impecables como cuando explica el por queacute resulta aparente la edad de la Tierra estimada por los meacutetodos cientiacuteficos al uso Veamos sus razones laquo[] Lo que esas personas no comprenden es que Eacutel [el autor se refiere a la entidad FSM] hizo el mundo para hacernos creer que la Tierra es maacutes antigua de lo que realmente es Asiacute por ejemplo un cientiacutefico puede llevar a cabo un proceso de datacioacuten mediante carbono-14 sobre un artefacto y encuentra que aproximadamente el 75 por ciento del carbono-14 se ha desintegrado en nitroacutegeno-14 a causa de la emisioacuten de electrones e infiere que dicho artefacto tiene una antiguumledad de unos diez mil antildeos puesto que la vida media del nitroacutegeno-14 parece ser de 5 730 antildeos Pero lo que nuestro cientiacutefico no advierte es que cada vez que efectuacutea una medida la entidad FSM estaacute alliacute cambiando los resultados con su seudoacutepodo Disponemos de numerosos textos que describen en detalle como es esto posible y las razones por las que Eacutel lo hace Eacutel es por supuesto invisible y puede pasar a traveacutes de la materia normal con facilidadraquo Hay algo en esta explicacioacuten que no nos satisface Naturalmente es irreprochable pero cierta percepcioacuten nos dice que se aparta excesivamente del meacutetodo cientiacutefico por antonomasia La teoriacutea FSM no es por su propia naturaleza falsable de modo que de acuerdo con las tesis de Karl Popper una doctrina de ese tipo no se bate en condiciones de igualdad con el resto de las teoriacuteas por lo que ha de ser apartada como teoriacutea insana ―desde el punto de vista de la ciencia entieacutendase bien― y privada sin maacutes del derecho a contender en la arena cientiacutefica Es cierto que para Popper al contrario de lo que afirma el positivismo tiene sentido la aseveracioacuten de la existencia de la entidad FSM pero este autor delinea muy bien los liacutemites que separan tales tipos de proposiciones de las de caraacutecter cientiacutefico y la que nos ocupa queda claramente al margen de eacutestas [4]

Fig 1 ndash FSC en el instante de animar al primer ser humano Podriacutea argumentarse desde luego y aquiacute nos situamos del lado del punto de vista de Thomas Kuhn que la teoriacutea FSM nos coloca frente a un nuevo paradigma cientiacutefico Para Kuhn en efecto la ciencia no procede por agregaciones progresivas en torno a un nuacutecleo creciente de conocimientos sino antes bien por cambios abruptos del marco completo de la teoriacutea dominante lo que se conoce como

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desplazamientos del paradigma En este sentido podriacuteamos sentirnos inclinados a aceptar que el paradigma FSM nos traslada a un marco radicalmente nuevo No obstante la ciencia no se caracteriza por cambios de naturaleza tan radical Antes bien en los cambios de paradigma a que alude Kuhn siempre ha ocurrido que los nuevos formalismos incluyen a los anteriores en el sentido de que eacutestos se recuperan por paso al liacutemite con respecto a ciertas condiciones o paraacutemetros que han cobrado maacutes generalidad en la nueva teoriacutea Y esto no ocurre en absoluto con la propuesta FSM que prescinde del todo del acervo de saber histoacuterico Nos sentimos obligados a denunciar tambieacuten que las representaciones de la entidad FSM son en cierto modo antropomoacuterficas Sugeririacuteamos prescindir de lo que parecen ser unos ojos y un soma central para dejarlo reducido al conjunto de seudoacutepodos que podriacutean llegar a identificarse con los filamentos de la teoriacutea de cuerdas o en su enmadejamiento formar el tejido de las supercuerdas La ubicuidad podriacutea sustituirse por un nuacutemero ilimitado de copias del FSM actuando en resonancia no local El universo volveriacutea a ser de este modo de nuevo cartesiano dominado por un plenum que lo abarca todo La actuacioacuten instantaacutenea a distancia estariacutea avalada por la verificacioacuten de las condiciones de Bell relativas a la paradoja EPR que ha significado el espaldarazo a la no localidad en el mundo fiacutesico A pesar de todo algo en nuestro interior nos dice que la doctrina FSM es aberrante Quizaacute se deba al lastre de la educacioacuten recibida Despueacutes de todo uno es irremediablemente producto de la forja de su tiempo y nunca es faacutecil superar esa inercia intelectual Hijo ―o debiera decir posiblemente prisionero― de la edad de la razoacuten yo presiento con temor que una nueva Edad Media y estoy pensando en su lastre de oscurantismo se alza amenazante en el horizonte y la melancoliacutea me atenaza amargamente el corazoacuten P Crespo septiembre 2006 [1] On the Origin of Species by Means of Natural Selection or The Preservation of Favoured Races in the Struggle for Life abreviado como The Origin of Species (El origen de las especies) publicado en 1859 Este libro establecioacute la evolucioacuten (cambios espontaacuteneos hereditarios que se imponen cuando son favorables a la especie habida cuenta de los condicionantes del entorno) a partir de un ascendiente comuacuten como la explicacioacuten cientiacutefica dominante de la diversificacioacuten de las formas de la vida en la naturaleza [2] Home page httpwwwvenganzaorg

[3] William of Occam fraile franciscano ingleacutes del siglo XIV (aprox 1285-1349) Lo que se conoce como la navaja de Occam era un principio muy comuacuten en la filosofiacutea medieval (el principio de economiacutea o de parsimonia) y no tuvo su origen con Willian de Ockham pero debido al uso frecuente que eacuteste le daba a dicho principio su nombre acaboacute inseparablemente ligado a eacutel

[4] Karl Popper (1902 1994) La loacutegica de la investigacioacuten cientiacutefica (Logik der Forschung 1934 ciacuterculo de Viena) En esta obra el filoacutesofo austriacuteaco abordoacute el problema de los liacutemites de demarcacioacuten entre la ciencia y proposiciones de otro caraacutecter Para Popper la clave estaacute en reconocer que el conocimiento cientiacutefico no avanza confirmando nuevas leyes sino descartando las que contradicen la experiencia lo que constituye el proceso de falsacioacuten Soacutelo han de admitirse como proposiciones cientiacuteficas aquellas para las que al menos conceptualmente es posible un experimento que las contradiga [5] Thomas Kuhn (1992 1996) Este cientiacutefico norteamericano es famoso principalmente por su libro La estructura de las revoluciones cientiacuteficas (1962) La idea que preside el pensamiento de Kuhn es la de que la ciencia no progresa por acumulacioacuten de nuevo conocimiento sino por desplazamientos de los paradigmas que transforman abruptamente la naturaleza del conocimiento

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Matemaacuteticas de los poliacuteticos vascos Patxi Igandekoa

Pongamos el tiacutepico sistema de ecuaciones de primer grado de dos incoacutegnitas x+y=5 4x-2y=2 (Antes ensentildeaban a resolverlos en 1ordm de BUP ahora en las academias cercanas a la Escuela de Ingenieros de Bilbao) Vaya por adelantado que la solucioacuten es x=2 y=3 No nos interesa esto sino la forma en que lo resolveriacutean dos miembros destacados de nuestra clase poliacutetica El Lehendakari Ibarretxe por ejemplo no tendriacutea dificultad Gracias a su formacioacuten y oficio de economista el valor de las incoacutegnitas aparece ipso facto en su mente sin necesidad de calcular nada Sin embargo eacutel querriacutea hacerlo con fundamento a la vasca Primero lo resolveriacutea por medios algebraicos y comprobariacutea si las soluciones cuadran Despueacutes empleariacutea el meacutetodo graacutefico pediriacutea papel boliacutegrafo y una regla y trazariacutea un eje de coordenadas cifras y finalmente dos rectas bien diaacutefanas y se asegurariacutea de que ambas se cortan en el par de valores correcto Acto seguido llamariacutea a un comiteacute de expertos del Gobierno Vasco y someteriacutea el asunto a su examen para que redactaran un informe en el que se estableciera sin ninguacuten geacutenero de dudas que la solucioacuten al sistema de ecuaciones propuesto vaacutelida tanto en Euskadi como en el resto de un universo eucliacutedeo es la que figura en los caacutelculos de Lehendakaritza Pero la cosa no termina aquiacute porque luego Josu Jon Imaz (otro peso pesado de las ciencias exactas) convocariacutea una mesa de partidos para buscar una solucioacuten paralela ndashpero concordante- al problema mediante acuerdos que incluyan a todas las sensibilidades del paiacutes Para un tema de intereacutes general como este ni siquiera el PP podriacutea negarse y a la exactitud de las estimaciones numeacutericas se antildeadiriacutea finalmente la sancioacuten democraacutetica del consenso Euforia y satisfaccioacuten en el EAJ-PNV ldquoHemos tardado lo nuestro pero valioacute la pena Trabajando duro y con meacutetodo nos hemos puesto las pilas comenzamos el curso con los deberes hechos etc etcrdquo iquestY Patxi Loacutepez iquestCoacutemo reaccionariacutea delante del mismo problema Imaginen a uno de sus correveidiles pasaacutendoselo por encima de su ejemplar abierto de ldquoEl Correo Espantildeolrdquo en plena sesioacuten del Parlamento Vasco Apresurada lectura treacutemulo parpadear de ojos bailoteo de cifras en la mente ruido apenas perceptible producido por el rozamiento de unos dedos sobre la sienhellip ldquoNada otra engantildeifa del Lehendakari iexclSe va a enterar de esto en mi proacutexima rueda de prensardquo Apliacutequese el procedimiento de costumbre enviar por valija del partido a la calle Ferraz para que lo resuelvan alliacuterdquo Y alliacute efectivamente son nada menos que Joseacute Luis Rodriacuteguez Zapatero Presidente del Gobierno de Espantildea y Joseacute Blanco su iacutenenarrable y gallego jefe de bomberos quienes se encargan de despejar las incoacutegnitas Podemos imaginarnos el resultado ldquoiquestAlgebra iquestGraacuteficos cartesianos iexclUff somos de letras iquestQueacute tal si traemos a nuestro informaacutetico para que eche una manordquo ldquoNo mucho maacutes simple Joseacute Luis hacemos x=0 y=0 y ya estaacute Yo seacute algo de matemaacuteticas lo suficiente para recordar que a esto lo llaman lsquosolucioacuten trivialrsquo Es perfectamente legiacutetimo iquestQueacute te parecerdquo ldquoDe entrada bien Pepe Pero asi no puedes resolver un sistema de primer grado iexclel resultado no coinciderdquo ldquoNo importa lo quitamos tambieacuten Escondemos el 5 y el 2 cubrieacutendolos con typex ndashya nos ocuparemos de ellos en la proacutexima legislatura- y hacemos ambas expresiones iguales a cero Ahora las incoacutegnitas siacute coinciden con la ventaja antildeadida de que entonces las de Imaz no Hemos resuelto el problema de matemaacuteticas vasco reducieacutendolo a la no existencia Jean-Paul Sartre estariacutea orgulloso de nosotrosrdquo La solucioacuten es transmitida por mensajero (a portes debidos) a Sabin Etxea donde sesudos jeltzales la examinan moviendo la cabeza a un lado y a otro Habraacute que invertir mucho en centros de caacutelculo si queremos avanzar en el proceso de normalizacioacuten Al menos queda el consuelo de que si alguien quiere volar preferiraacute subirse a un aeroplano disentildeado por Ibarretxe que a otro construido con las matemaacuteticas que ensentildean en el Partido Socialista de Euskadi Publicado en Izaronews 6-9-2006

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Si las palabras de Chillida estaacuten recogidas con fidelidad lamento no estar de acuerdo con ellas porque no creo que las personas se encasillen tan faacutecilmente Pero de todos modos si ustedes creen que represento ese problema no tienen maacutes que haceacutermelo saber Porque como anuncieacute en la seccioacuten correo tireacute mi regla de caacutelculo al riacuteo para mirarla como se hundiacutea (era el uacuteltimo recuerdo del carintildeo que yo le teniacutea etc) y comienzo mis pinitos en cuentos cortos (muy cortos prometido) y otras atrevidas incursiones

[La figura es un recorte del libro de vintildeetas-paacutegina laquoel Arte - conversaciones imaginarias con mi madreraquo de Juanjo Saacuteez Aunque sus ideas sobre el arte parecen discutibles es un libro entrantildeable]

Una uacuteltima advertencia relativa al cuento que sigue y dirigida a los que puedan sacar la conclusioacuten de que tengo imaginacioacuten desviada las hemerotecas son del 29 de noviembre de 2003

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Caperucitas blancas En memoria de Joseacute Couso porque nos volvimos maacutes ciegos cuando sus ojos se apagaron

Una nintildea hasta haciacutea poco ahora cuajada en mujer moldeada por quince primaveras Faacutetima era la mayor de las dos hermanas La pequentildea Azraa a sus doce antildeos era todaviacutea un incipiente brote femenino delicado y menudo

Noviembre agotaba sus diacuteas y haciacutea cuatro que habiacutean empezado las fiestas del fin del Ramadaacuten el mes sagrado del ayuno Ese jueves la ilusioacuten se asomaba a los rostros de ambas hermanas porque iriacutean a cenar a casa de su abuela y pasariacutean la noche con ella Habriacutea puchero y berenjena rellena y despueacutes los dulces de pistacho y de miel y antes de dormir las historias de la lsquoyaddarsquo Jazmina ―la abuelita― llenas del encanto de otros tiempos cuando en los mercados de Baaquba competiacutean entre siacute los colores de los frutos las especias las telas y las alfombras y los asnos eran amigos resignados de los hombres y los paacutejaros hablaban con los nintildeos y eran alegres y eran parlanchines y traiacutean noticias de lugares exoacuteticos

La madre preparoacute una cesta con los pastelillos para el postre Pero la abuela habiacutea expresado el temor de no disponer de lentildea suficiente asiacute que las pequentildeas debiacutean pasar antes por el huerto del tiacuteo Abbash que siempre teniacutea preparada una reserva de lentildeos y sarmientos y habiacutea dado licencia a la familia para recoger de su finca todo aquello que fuera necesario Para llegar al huerto era obligado atravesar un trecho boscoso no era cosa de permitir que las sorprendiera la noche y puesto que la tarde ya se habiacutea insinuado las nintildeas se pusieron con diligencia en camino La pequentildea llevaba apoyada contra su cintura la cesta con los dulces y la mayor se hizo cargo de dos piezas de tela destinadas a sujetar la lentildea y de un hacha pequentildea para trocear los sarmientos

Ya en la finca llevoacute maacutes tiempo del previsto preparar los vaacutestagos para adecuarlos al tamantildeo de la menor de las muchachas y las sombras no esperaron Ante el asomo de la noche las nintildeas iniciaron el regreso en direccioacuten a la casa de la abuela cada una con su hatillo a la espalda la menor abriendo paso con la cesta de los pasteles en su regazo seguida de cerca por su hermana

A menos de cincuenta metros de alliacute Lobo Feroz Dos miraba por el visor de

infrarrojos e informaba de la escena a su compantildeero En el sendero que lindaba con el bosque dos siluetas blanquecinas se recortaban en la oscuridad en contraste con la espesura y los pantildeuelos que cubriacutean sus cabezas las perfilaban como dos caperucitas que se moviacutean avanzando deprisa La mayor pareciacutea sujetar una pistola en su mano

―Lobo Feroz Uno llamando a Halcoacuten Pardo ge-pe-ese delta sur uno doce oeste cero quince Dos sospechosas a la vista parecen llevar armas Esperamos instrucciones Cambio

―Halcoacuten Pardo a Lobo Feroz Ya conocen las consignas Cambio ―Parecen dos nintildeas― apuntoacute Lobo Feroz Dos ―Lobo Feroz Uno a Halcoacuten Pardo Es posible que se trate de dos menores

Solicitamos refuerzos para comprobacioacuten Cambio ―Sargento le recuerdo que estamos en la Operacioacuten Martillo de Hierro Debe

proceder seguacuten la consigna Cambio y corto ―Hemos de disparar― dijo Lobo Feroz Uno a Lobo Feroz Dos ―Pero ― balbuceoacute eacuteste ―Oacuterdenes Encaacutergate del objetivo de la izquierda yo tirareacute sobre el derecho

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La cabeza de Faacutetima se quebroacute como se rompe el fruto del granado cuando se lo arroja con fuerza contra el suelo Con su velo blanco habiacutea sido Caperucita Blanca mientras se desplomaba fue Caperucita a topos rojos poco tiempo despueacutes bajo los focos luminosos era Caperucita Roja yaciendo sobre la hierba del lindero del bosque ya para siempre dormida sus intensos ojos negros abiertos en un gesto uacuteltimo de asombro irracional A su lado la pretendida pistola no era sino el hacha nimia que le habiacutea servido de herramienta

Cerca de ella Azraa acribillada se debatioacute en el suelo durante un tiempo entre espasmos y dentelladas de dolor Desprendido el pantildeuelo varias manchas tentildeiacutean de carmiacuten sus cabellos que hasta entonces habiacutean sido siempre de un azabache casi mineral

La fase siguiente de la laquoOperacioacuten Martillo de Hierroraquo se puso en marcha Uno de los confidentes convocados reconocioacute a las muchachas e indicoacute a los soldados la situacioacuten de la cercana casa de la abuela en los andurriales de la ciudad

La puerta cedioacute ante el explosivo y saltoacute arrancada de cuajo junto con sus goznes Disipado el humo los soldados pudieron distinguir a una anciana enmudecida por el terror y desplomada sobre su cama Se registroacute la casa Dos humildes cuchillos de cocina fueron las uacutenicas armas encontradas

Cuando al diacutea siguiente fueron lavados los cuerpos de las nintildeas el agua sanguinolenta se desparramoacute por el patio y discurrioacute por albantildeales hasta verter en el riacuteo Tigris Diacuteas maacutes tarde en la orilla izquierda de la corriente a un rosal le brotariacutean rosas algo maacutes rojas y un limonero dariacutea limones amargos en la ribera derecha

La sangre de las nintildeas se entremezcloacute en el riacuteo en un postrero abrazo fraternal El sol hizo luego su labor de horno y partiacuteculas de sangre de Faacutetima y de Azraa ascendieron asidas al agua evaporada Desde entonces los atardeceres son algo maacutes escarlata en la tierra que otrora fue Mesopotamia y en todo el orbe resuena el eco milenario de las palabras del Antiguo Testamento dichas para los oiacutedos de los violentos laquoCaiacuten iquestqueacute has hecho de tu hermanoraquo P Crespo

Las camas de la muerte ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte lavis punta seca buril y bruntildeidor ndash 177 x 221 mm

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Reggae reggaehellip (riacutea riacutea)

La escuela y el alumnado

Eacutesta es la coleccioacuten de disparates maacutes sonados cometidos por alumnos de ESO y bachillerato en exaacutemenes de geografiacutea e historia

Perlas variadas bull Al final de la edad media empiezan a

imponerse normas morales como no masticar la sopa

bull Una de las principales manifestaciones del arte goacutetico fueron las piraacutemides que como todo el mundo sabe son apuntadas

bull A partir del Concilio de Trento el matrimonio cristiano debiacutea ser consumado en presencia de un sacerdote

bull Despotismo ilustrado los reyes teniacutean todo el poder pero teniacutean que obedecer cuando el pueblo se poniacutea de acuerdo entre ellos

bull A la juventud hitleriana la preparaban tan bien que al cabo de un antildeo eran capaces de matar a su madre

bull iquestQueacute opinas de la Constitucioacuten Que es buena y guapa

bull Actualmente el paiacutes maacutes pequentildeo de Europa es San Pedro del Vaticano

bull El rey puso a Franco para que trajera la democracia

bull Franco era el rey que habiacutea antes de Juan Carlos I

bull Espantildea no participoacute en la Segunda Guerra Mundial porque Hitler teniacutea miedo de Franco

bull Franco fue un poliacutetico dictador que consiguioacute imponer durante el reinado de Felipe II un reacutegimen dictatorial

bull No seacute en queacute antildeo murioacute Franco pero seacute que murioacute asesinado

bull Democracia es cuando hay gente que mata otra gente o cuando un paiacutes echa bombas a otro o se pegan unos a otros pues esto es democracia

bull Cartografiacutea las faltas de ortografiacutea bull Un paralelo es una de aquellas liacuteneas que

dividen la Tierra en trozos pero es imaginario

bull Continente partiacuteculas de tierra donde vivimos nosotros

bull Anticicloacuten es la temperatura caliente y se mide en milibares

bull Caacutetedra pensioacuten o escuela para los que queriacutean ser curas

bull Petroacuteleo se obtiene por tuberiacuteas llamadas oleoductos y sirve de combustible

bull Desarrollo sostenible es el desarrollo que no es ni alto ni bajo es decir es mediano

bull Poliacutegono hombre con muchas mujeres bull Delta es un riacuteo que lleva muy poca

agua bull Capital de Alemania Merliacuten bull Principales cultivos espantildeoles la uva

que produce el gran aceite que se fabrica en Espantildea

bull Islas de Oceaniacutea Islas Haguai bull Los vientos huracanados producen a

veces atauacutedes de nieve bull La pintura al fresco consiste en pintar al

aire libre bull Sufragista quiere decir que siempre estaacute

navegando por los mares bull La Guerra Friacutea se caracteriza por matar

gente a sangre friacutea bull Hambre endeacutemica es la que pasa cuando

hay epidemias bull La explosioacuten demograacutefica se produce

porque en algunos paiacuteses se producen islas producto de una erupcioacuten volcaacutenica que bastante grandes como para ser evitadas

bull Estado del bienestar significa que todo lo que es puacuteblico se ha de cuidar

bull Deuda externa es si vas aun supermercado y quedas a deber mucho si no tienes dinero Esto es la deuda externa

Serrano J Reboredo J (2005) Perlas variadas en Historia de Espantildea contada por estudiantes Madrid La Esfera de los libros (Remitido por M Dolors Hipoacutelito)

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iexclLas modelos no somos estuacutepidas Pregunta iquestEn queacute paiacutes la estaacuten solicitando como modelo Respuesta No lo puedo decir todaviacutea pero les puedo adelantar que es un paiacutes brasilentildeo que no queda muy lejos de aquiacute (Kate Moss ex modelo de Calvin Klein) Pregunta Si llegara un holocausto nuclear iquestqueacute pareja elegiriacutea Ud en todo el mundo (hombre y mujer) para preservar y multiplicar la especie humana Respuesta Al Papa y a la Madre Teresa de Calcuta (Carolina Zuntildeiga candidata a Miss Chile) El fumar mata Si te mueres has perdido una parte muy importante de tu vida (Brooke Shields entrevista para una campantildea federal antitabaco) Pregunta Si usted pudiera vivir siempre iquestlo hariacutea iquestpor queacute Respuesta Yo no viviriacutea siempre porque no deberiacuteamos vivir siempre porque si se supusiera que debieacuteramos vivir siempre entonces viviriacuteamos siempre pero no podemos vivir siempre que es por lo cual yo no viviriacutea siempre (Miss Alabama en el concurso Miss America 1999) Esa rastrera sinverguumlenza merece ser matada a patadas por un asno iexclY yo soy justo la indicada para hacerlo (Declaracioacuten de Claudia Shiffer sobre Naomi Campbell) No es la contaminacioacuten la que estaacute dantildeando el ambiente Son todas las impurezas en nuestro aire y en nuestra agua las que lo estaacuten haciendo (Pamela Anderson) No he cometido ninguacuten delito Lo que hice fue no cumplir con la ley (Jennifer Lopez al ser detenida junto con Puff Daddy) Siempre que veo la tele y veo a esos pobres nintildeos hambrientos en todo el mundo no puedo evitar llorar Quiero decir me encantaria ser asiacute de flaquita pero no con todas esas moscas y muerte y esas cosas (Mariah Carey cantante) Tomado de Internet por JMaiO 2006 Jacinto Benavente y la coma Doctor Mi previsioacuten se anticipa a todo Bastaraacute con puntuar debidamente alguacuten conceptoVed aquiacute donde dicerdquo Y resultando que no declaroacuterdquo basta una coma y dice ldquo Y resultando que no declaroacuterdquo Y aquiacuterdquoY resultando que no debe condenaacuterselerdquo fuera la coma y dice Y resultando que no debe condenaacuterselerdquo Crispiacuten iexclOh admirable coma iexclMaravillosa coma iexclGenio de la Justicia iexclOraacuteculo de la Ley iexcl Monstruo de la Jurisprudencia Jacinto Benavente Los Intereses Creados Acto segundo escena final

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Tomo una y entrego dos Mariano Nieto propone en [C-90] (seccioacuten correo) el problema que sigue En una urna hay una bola blanca y otra negra Se saca al azar una de ellas y se

devuelve a la urna acompantildeada de otra del mismo color Esta operacioacuten se repite un nuacutemero indefinido de veces

iquestCuaacutel es la probabilidad de que cuando la urna contenga 20 bolas haya 10 de cada color Solucioacuten

Sea (b n) la composicioacuten de la urna con b bolas blancas y n negras y llamemos etapa a cada intervencioacuten que extrae una bola de la urna y devuelve dos Convengamos en que la configuracioacuten de partida (11) corresponde a la etapa 1 En la etapa 2 tendremos las dos configuraciones posibles de la urna (21) y (12) asociadas con la misma probabilidad de 12

Esta simetriacutea inicial nos sugiere el siguiente procedimiento por induccioacuten Si suponemos que en la etapa n cada una de las n configuraciones posibles

(n 1) (n ndash 1 2) (n ndash 2 3) (n ndash a a + 1) (2 n ndash 1) (1 n) [1] tiene la misma probabilidad p de ocurrir (con p =1n por lo tanto) podemos calcular las probabilidades y configuraciones de la etapa n + 1

a) La probabilidad de la configuracioacuten (n + 11) (rama izquierda del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(n + 11) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

b) La probabilidad de la configuracioacuten (1 n+1) (rama derecha del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(1 n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

c) La configuracioacuten (n ndash a a + 2) con 0 le a le (n ndash 2) para asegurar que se recorre el rango de configuraciones de la etapa (n + 1) con exclusioacuten de las extremas antes consideradas proviene de (n ndash a a + 1) tras sacar una bola negra o bien de (n ndash a ndash 1 a + 2) luego de resultar blanca la bola extraiacuteda Su probabilidad seraacute por lo tanto

p x (a + 1) (n + 1) + p x (n ndash a ndash 1) (n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

de modo que todas las configuraciones de la etapa n + 1 tendraacuten tambieacuten la misma probabilidad en este caso 1(n + 1)

En la etapa 3 por ejemplo es faacutecil ver que las 3 configuraciones posibles (3 1) (2 2) y (1 3) comparten la probabilidad 13 Asiacute pues el meacutetodo de induccioacuten nos permite concluir que en la etapa n es decir tras n ndash 1 operaciones con la urna eacutesta contendraacute (n + 1) bolas y tendremos las n configuraciones posibles [1] a cada una de las cuales le corresponde la misma probabilidad 1 n

La configuracioacuten (10 10) por la que pregunta el problema perteneceraacute por lo tanto a la etapa n = 19 (tras 18 operaciones con la urna) y en consecuencia su probabilidad seraacute igual a 1 19 algo mayor que 526 por ciento

En general a la configuracioacuten (b n) donde b es el nuacutemero de bolas blancas y n el de negras siendo b y n nuacutemeros naturales cualesquiera ya que cualquier configuracioacuten es alcanzable le corresponderaacute la probabilidad p(b n) = 1 (b + n ndash 1) P Crespo septiembre 2006

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iquestDe doacutende sale el nuacutemero e Un escuchante miacuteo de RNE en el programa sobre matemaacuteticas de los antildeos 2005-06 me hace la siguiente consulta Cuando estudiaba sexto de bachillerato (plan de ensentildeanza 1957) un dia el profesor de matemaacuteticas llegoacute a clase y dijo Hoy toca el nuacutemero e Y a continuacioacuten escribioacute en la pizarra la expresioacuten conocida de liacutemite cuando n tiende a infinito de 1 maacutes 1 partido por n elevado a n La desarrolloacute por el binomio de Newton y obtuvo el conocido resultado de 2718281 Despueacutes nos dijo que el numero e era muy importante en matemaacuteticas y que se utilizaba para la base de los logaritmos neperianos Es curioso ver como la derivada del logaritmo neperiano de x = 1x EXACTO siendo la base del logaritmo un nuacutemero absolutamente INEXACTO IRRACIONAL Realmente me quedeacute sorprendido Primero de coacutemo al baroacuten de Neacuteper se le habiacutea ocurrido utilizar como base de logaritmos a un nuacutemero irracional y segundo por queacute nunca me explicaron a quieacuten se le ocurrioacute calcular el liacutemite de la expresioacuten (1+1n)n iquestPor queacute se le ocurrioacute a alguien esta expresioacuten y no otra iquestDe donde surgioacute tal necesidad Creo que eso era lo primero que mi profesor de matemaacuteticas teniacutea que habernos contado antes de calcular el liacutemite Probablemente el profesor no conociacutea la respuesta que efectivamente es difiacutecil de encontrar en los actuales libros de texto La definicioacuten actual de logaritmo de un nuacutemero es ldquoel exponente a que hay que elevar una base dada para obtener dicho nuacutemerordquo Asiacute por ejemplo en base 10 el logaritmo de 2 es log10 2 = 0301030 porque 100301030 = 2 (aproximadamente) Pero Neper no concibioacute asiacute el logaritmo para eacutel era el resultado de comparar una progresioacuten aritmeacutetica y otra geomeacutetrica Los teacuterminos de la primera seriacutean los logaritmos de los de la segunda Esto se ve muy claro en esta tabla en la que la razoacuten de la progresioacuten aritmeacutetica es 1 y la de la geomeacutetrica es 10

Progresioacuten aritmeacutetica (razoacuten 1) -3 -2 -1 0 1 2 3Progresioacuten geomeacutetrica (razoacuten 10) 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103

De la propia estructura de ambas progresiones se desprende que un producto de teacuterminos en la progresioacuten geomeacutetrica se corresponde con una suma en la progresioacuten aritmeacutetica Asiacute por las propiedades de los productos de potencias de una misma base seraacute log (xy) = log x + log y y tambieacuten log (xk) = k log x etc Por la misma tabla en la base 10 log (10-3) = log (0001) = -3 log (102) = log (100) = 2 etc Pero iquestqueacute ocurre con los valores intermedios iquestCoacutemo definir para ellos un logaritmo Neper intentoacute responder esta pregunta considerando dos progresiones de razones respectivas α y 1+β siendo (α β) muy pequentildeos Entonces dado un nuacutemero N siempre se podriacutea encontrar un valor n tal que (1+ β)n = N (dentro de una aproximacioacuten suficiente) Entonces el logaritmo de N seriacutea nα Las progresiones maacutes sencillas imaginables son aqueacutellas para las que α = β Entonces seraacute

log N = log [(1+α)n] = nα En esta expresioacuten n seraacute muy grande y α seraacute muy pequentildeo Haciendo nα = L podemos escribir la anterior igualdad

log N = log [(1+ α)1α]nα = log [1+ α)1α]L

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Definamos ahora el nuacutemero e como el liacutemite de (1+α)1α cuando α se hace infinitamente pequentildeo o sea

α

αα

1

0)1(lim +=

rarr

e

Y la expresioacuten se simplificaraacute notablemente

log N = log eL = L log e Resulta inmediatamente que el nuacutemero e = 2718281hellip es la base de logaritmos maacutes conveniente desde el punto de vista teoacuterico pues en ella seraacute log e = 1 Eacutestos son llamados los logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos (este uacuteltimo nombre procede de que miden el aacuterea subtendida entre una hipeacuterbola y su asiacutentota) El nuacutemero e es sin duda el maacutes importante en matemaacuteticas aunque π sea maacutes popular Se recuerdan sus primeras cifras con la mnemotecnia Te ayudareacute a recordar la cantidad a indoctos si releacuteesme bien Se aplica por el nuacutemero de letras de cada palabra Te = 2 ayudareacute = 7 etc En la praacutectica son maacutes usados los logaritmos decimales o de Briggs que tienen por base el nuacutemero 10 Presentan la ventaja de que la parte decimal de cada logaritmo (mantisa) no cambia al ser multiplicado el nuacutemero por una potencia de 10 lo que hace muy praacutecticas las tabulaciones El paso de los logaritmos de una a otra base es muy sencillo mediante el nuacutemero M = log 10 = 2302585 Se deduce sin dificultad que log x = M log10 x Josep M Albaigegraves Barcelona octubre 2006

El nuacutemero e es el uacutenico que verifica que el valor de la derivada (inclinacioacuten de la tangente en rojo en la figura) de f(x) = ex para cualquier valor de x es igual al valor de f(x)

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Cruzando el desierto en jeep Enunciado (propuesto por Mariano Nieto en C-83 seccioacuten correo) Un jeep ha de atravesar un desierto de 800 kiloacutemetros Admite una carga maacutexima para recorrer 500 kiloacutemetros y se quiere conocer la menor cantidad de tales cargas que hay que consumir para alcanzar la meta El depoacutesito inicial se supone de capacidad ilimitada y el jeep puede establecer tantos depoacutesitos intermedios como haga falta Se desea conocer tambieacuten el nuacutemero de viajes parciales que lleva a cabo el jeep teniendo en cuenta que ante dos soluciones iguales (mismo consumo) se preferiraacute la que implique menos viajes parciales Planteo

Supongamos que se depositan cargas en los puntos 1 2 hellipi hellipy llamemos ci a la carga del depoacutesito en el punto i y cf a la del punto siguiente i + 1 Si la distancia entre ambos puntos es d para transportar la carga del punto i al i +1 se necesitaraacuten n viajes de ida y vuelta y un uacuteltimo viaje de ida El depoacutesito en el punto i constaraacute pues de n cargas para 500 km y un remanente al que llamaremos cr Podemos plantear las ecuaciones siguientes

cf = (500 - 2d) n + cr - d (1) ci = 500 n + cr (2) r = (2n + 1) d (3) cr = 500 (4)

donde r es el recorrido del jeep (equivalente a la carga consumida) en el transporte entre ambos depoacutesitos

Los caacutelculos han de efectuarse retrocediendo desde el final hasta la situacioacuten de salida (o sea pasando desde el depoacutesito i +1 al i) para garantizar que se transporta siempre la cantidad miacutenima precisa Cuidaremos tambieacuten de que el valor de n sea el menor posible puesto que los viajes de ida y vuelta aunque necesarios son obviamente menos eficaces en cuanto a rendimiento que los directos Solucioacuten Las ecuaciones anteriores sugieren una viacutea para la solucioacuten del problema basada en separar los tramos para los cuales n (nuacutemero de viajes de ida y vuelta) se mantiene constante El valor de n iraacute en aumento al progresar desde el final hacia el inicio puesto que la capacidad de los depoacutesitos iraacute aumentando en ese sentido y cada vez que se produzca un incremento de 500 km de carga se haraacute necesario aumentar n en una unidad Asiacute pues tendremos 1- Tramo con n = 0 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se progresa desde el final (punto kilomeacutetrico 800) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 0 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

cf = cr ndash d

Como la carga final cf es nula al llegar al punto final (800 km) y es cr = 500 (el maacuteximo posible) basta con llevar a cabo un viaje de ida solamente que salva la distancia d = 500 km El consumo es justamente de 500 km o una carga Esto nos

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coloca a una distancia del origen de 300 km con un depoacutesito con carga para 500 km en dicho punto al que llamaremos D 2 - Tramo con n = 1 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se calcula desde el final (punto kilomeacutetrico 300) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 1 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

500 = 500 - 2d + cr - d = 500 + cr ndash 3 d Hasta que se agote la carga residual maacutexima cr = 500 tendremos

d = 500 3 (5)

La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =1 (es decir donde se pasa de n =1 a n =2 si se lee desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 1) = 300 ndash 5003 = 4003 = 133 3333hellip km El consumo en todo este tramo final (donde n =1) seraacute

consumo (n = 1) = 3 d = 3 times 5003 = 500 Tenemos asiacute tres viajes de 5003 km Al final de la operacioacuten se habraacute transportado una carga de 500 km con un consumo de 500 km tal como se ha calculado antes Como ya se ha visto nos hallamos ahora a una distancia del origen igual a 4003= 133333hellip km Bautizamos este punto como C donde el depoacutesito tendraacute una carga para 1000 km 3 Tramo con n = 2 Ahora la foacutermula (1) se expresa

1000 = 1000 - 4d + cr - d = 1000 + cr ndash 5 d Para una carga residual maacutexima cr = 500 seraacute

d = 5005 = 100 (6) La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =2 (es decir donde se pasa de n =2 a n =3 leyendo desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 2) = 400 3 - 100 = 100 3 = 333333hellipk m El consumo en todo este tramo (donde n =2) seraacute

consumo (n = 2) = 5 d = 500 Se salva una distancia de 100 km y se comprueba que el consumo seraacute de 5 times 100 = 500 La carga transportada seraacute de 2 times 300 + 400 = 1000 km carga que se deja en el depoacutesito C En este punto B nos encontramos a una distancia del origen de 1003 = 33333hellip km y con un depoacutesito con carga para 1500 km

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4 Tramo con n = 3 En este caso la foacutermula (1) es

1500 = 1500 - 6d + cr - d = 1500 + cr - 7d Tendremos ahora d = 5007 gt 100 3 desigualdad que nos dice que la distancia que puede cubrirse con n = 3 supera la distancia que nos separa del origen Asiacute que bastaraacute trabajar de forma que se tenga

d = 1003 (7) Con estas condiciones el consumo correspondiente valdraacute

consumo (n = 3) = 7 d = 700 3 El nuacutemero de viajes seraacute ahora igual a 2 n + 1 = 7 cada uno de los cuales cubre la distancia d = 1003 La carga que se toma del depoacutesito inicial seraacute 1500 + 7003 Consumo total El consumo total que se busca seraacute por lo tanto exactamente Consumo total = 500 (para recorrer los uacuteltimos 500 km n = 0) + 500 (n = 1) + + 500 (n = 2) + 7003 (n = 3) = 1500 + 7003 lo que expresado en cargas resulta ser (1500 + 7003) 500 = 3+7 15 = 34666hellip El nuacutemero total de viajes resulta ser sumando los de las etapas parciales igual a 16 La tabla 1 muestra los valores relevantes para cada una de las etapas dispuestos ahora desde el inicio hasta el final

Km n viajes d (km) consumo (km) carga (km) A (origen) 1500 + 700 3

0 a 1003 (B) 3 7 100 3 700 3 1500 1993 a 4003 (C) 2 5 100 500 1000 4003 a 300 (D) 1 3 500 3 500 500 300 a 800 (E) 0 1 500 500 0

TOTALES 16 800 1500 + 700 3 Tabla 1

El resultado es por tanto Consumo = (1500 + 700 3) 500 = 3 + 7 15 = 34666hellipasymp 347 Viajes = 16 Notas finales Otra cuestioacuten que suscita este problema es la de si existe una limitacioacuten a la anchura del desierto que se ha de atravesar La respuesta es que no existe tal liacutemite puesto que como se aprecia sin dificultad la taacutectica para ir situando combustible en posiciones avanzadas y que expresan las ecuaciones (1) a (4) permite trabajar a partir de cualquier distancia P Crespo noviembre 2006

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Pitaacutegora y su relacioacuten con los proyectiles

El otro diacutea andando por la calle vi el anagrama de una empresa de consulting

Como puede verse el siacutembolo de la empresa es (aproximadamente) el tan conocido triaacutengulo pitagoacuterico de lados 3 4 y 5 Lo vemos inscrito en un cuadrado el miacutenimo que puede contenerlo iquestCuaacutel es el lado de este cuadrado

Solucioacuten Llamemos α al aacutengulo que forma el cateto largo con el lado vertical del cuadrado Es

inmediato establecer las ecuaciones

4 cos α = L = 4 sin α + 3 cos α Que permite llegar a la igualdad

cos α = 4 sin α De donde se obtiene tan α = α o sea α = 14036ordm El lado vale L = 4 cos 14036ordm = 38806 Es curioso que este aacutengulo es el mismo con el que debe ser lanzado un proyectil para

que la altura alcanzada sea igual al alcance En efecto la primera vale

gvh

2sin 22

0max

ϕ=

Mientras que el alcance es

gvx ϕ2sin2

0=

Igualando ambas ecuaciones se llega a cos φ = frac14 El aacutengulo φ es el complementario

del α antes hallado El proyectil deberiacutea dispararse tangente al cateto de lado 4 JMAiO BCN sep 06

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PROBLEMA DE LA DIVISIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO

Dado un triaacutengulo ABC y un punto P situado en su interior se pide trazar una recta MN que pasando por el punto P divida al triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea o que esteacuten en una proporcioacuten dada

A

B C

P

M

N

Q

q

p

R

x

y

Solucioacuten El problema implica dos condiciones - 1ordm Que los puntos M P y N esteacuten alineados - 2ordm Que las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB esteacuten en una proporcioacuten dada

Veamos como podemos dar forma algebraica a estas dos condiciones Tracemos desde el punto P como se indica en la figura las paralelas a los lados BC y AC hasta que corten en los puntos R y Q respectivamente a los lados AC y BC Llamemos x y p y q a los segmentos MR NQ PQ y PR Los valores de x e y se obtendraacuten al resolver el sistema de ecuaciones que suponen las dos condiciones dadas La primera condicioacuten ya que los triaacutengulos MRP y PQN son semejantes se expresa escribiendo

yp

qx=

La segunda condicioacuten puesto que los triaacutengulos MCN y ACB tienen comuacuten el aacutengulo en C equivale a decir que los productos de los lados de cada triaacutengulo que concurren en el veacutertice C estaacuten en la proporcioacuten en la que estaacuten sus aacutereas Llamando k al cociente entre las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB la segunda condicioacuten la escribiremos asiacute

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( )( ) kabqypx =++

donde a y b son respectivamente los lados BC y AC del triaacutengulo dado El sistema de ecuaciones escrito nos conduce a la siguiente ecuacioacuten de segundo grado que resuelve el problema

( ) 02 22 =+minusminus qpxpqkabqx

( )

qpqkabkabpqkab

x2

42 minusplusmnminus=

xpqy =

La condicioacuten para que el problema tenga solucioacuten real es que el radicando no sea negativo es decir

( ) 04 geminus pqkabkab

pqkab 4ge

abpqk 4

ge

Resulta innecesario decir que para k=05 la recta divide el triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea teniendo que darse previamente la condicioacuten del paacuterrafo anterior Notas 1- La primera condicioacuten tambieacuten se puede expresar escribiendo la recta MN en su forma canoacutenica en el sistema de coordenadas cartesianas oblicuas definido por los ejes CA y CB obligando a que el punto P esteacute en ella es decir

1=+

++ xp

pyq

q o sea pqxy =

2- El valor de k tambieacuten depende del par de lados respecto a los cuales se hayan trazado las paralelas para disponer de los valores de p y q Puede darse el caso de que aun siendo negativo el radicando para la pareja de lados elegida no lo sea para alguna otra y el problema siga teniendo solucioacuten

Manuel Rodriacuteguez Saacutenchez ndash Septiembre de 2006

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Re-citando las citas de laquoPelucheraquo

laquoLas mujeres hablan porque desean hablar mientras que un hombre soacutelo habla cuando se siente empujado por algo ajeno a eacutel como por ejemplo si no encuentra unos calcetines limpiosraquo (Jean Kerr 1922-2003 escritora estadounidense) laquoDonde hay matrimonio sin amor habraacute amor sin matrimonioraquo (Benjamin Franklin cientiacutefico poliacutetico y filoacutesofo norteamericano) laquoSi quieres ver una especie en peligro de extincioacuten miacuterate al espejoraquo (John Young 1930 cientiacutefico estadounidense) laquoAntes de pedir dinero a un amigo decide cual de las dos cosas necesitas maacutesraquo (Jean de La Bruyegravere 1645-1696 moralista franceacutes) laquoComprendes que estaacutes envejeciendo cuando las velitas cuestan maacutes que la tartaraquo (Bob Hope 1903-2003 actor estadounidense) laquoA mi juicio el mejor gobierno es el que deja a la gente maacutes tiempo en pazraquo (Walt Whitman 1819-1892 poeta estadounidense) laquoSi el hijo de Bono se casa con la hija de Bush iquestla descendencia se llamaraacute Bono Bushraquo (Alberto C 1983 estudiante de reflexologiacutea podal) laquoPara escribir un buen libro no considero imprescindible conocer Pariacutes ni haber leiacutedo el Quijote Cervantes cuando lo escribioacute aun no lo habiacutea leiacutedoraquo (Miguel Delibes 1920 escritor espantildeol) laquoComo todo el mundo sabe los cantos de las sirenas atraen a los hombres para luego acabar con ellos Especialmente las sirenas de las faacutebricasraquo (Jaume Perich Escala 1940-1995 humorista espantildeol) P C Citas tomadas de laquoPelucheraquo con su consentimiento

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desplazamientos del paradigma En este sentido podriacuteamos sentirnos inclinados a aceptar que el paradigma FSM nos traslada a un marco radicalmente nuevo No obstante la ciencia no se caracteriza por cambios de naturaleza tan radical Antes bien en los cambios de paradigma a que alude Kuhn siempre ha ocurrido que los nuevos formalismos incluyen a los anteriores en el sentido de que eacutestos se recuperan por paso al liacutemite con respecto a ciertas condiciones o paraacutemetros que han cobrado maacutes generalidad en la nueva teoriacutea Y esto no ocurre en absoluto con la propuesta FSM que prescinde del todo del acervo de saber histoacuterico Nos sentimos obligados a denunciar tambieacuten que las representaciones de la entidad FSM son en cierto modo antropomoacuterficas Sugeririacuteamos prescindir de lo que parecen ser unos ojos y un soma central para dejarlo reducido al conjunto de seudoacutepodos que podriacutean llegar a identificarse con los filamentos de la teoriacutea de cuerdas o en su enmadejamiento formar el tejido de las supercuerdas La ubicuidad podriacutea sustituirse por un nuacutemero ilimitado de copias del FSM actuando en resonancia no local El universo volveriacutea a ser de este modo de nuevo cartesiano dominado por un plenum que lo abarca todo La actuacioacuten instantaacutenea a distancia estariacutea avalada por la verificacioacuten de las condiciones de Bell relativas a la paradoja EPR que ha significado el espaldarazo a la no localidad en el mundo fiacutesico A pesar de todo algo en nuestro interior nos dice que la doctrina FSM es aberrante Quizaacute se deba al lastre de la educacioacuten recibida Despueacutes de todo uno es irremediablemente producto de la forja de su tiempo y nunca es faacutecil superar esa inercia intelectual Hijo ―o debiera decir posiblemente prisionero― de la edad de la razoacuten yo presiento con temor que una nueva Edad Media y estoy pensando en su lastre de oscurantismo se alza amenazante en el horizonte y la melancoliacutea me atenaza amargamente el corazoacuten P Crespo septiembre 2006 [1] On the Origin of Species by Means of Natural Selection or The Preservation of Favoured Races in the Struggle for Life abreviado como The Origin of Species (El origen de las especies) publicado en 1859 Este libro establecioacute la evolucioacuten (cambios espontaacuteneos hereditarios que se imponen cuando son favorables a la especie habida cuenta de los condicionantes del entorno) a partir de un ascendiente comuacuten como la explicacioacuten cientiacutefica dominante de la diversificacioacuten de las formas de la vida en la naturaleza [2] Home page httpwwwvenganzaorg

[3] William of Occam fraile franciscano ingleacutes del siglo XIV (aprox 1285-1349) Lo que se conoce como la navaja de Occam era un principio muy comuacuten en la filosofiacutea medieval (el principio de economiacutea o de parsimonia) y no tuvo su origen con Willian de Ockham pero debido al uso frecuente que eacuteste le daba a dicho principio su nombre acaboacute inseparablemente ligado a eacutel

[4] Karl Popper (1902 1994) La loacutegica de la investigacioacuten cientiacutefica (Logik der Forschung 1934 ciacuterculo de Viena) En esta obra el filoacutesofo austriacuteaco abordoacute el problema de los liacutemites de demarcacioacuten entre la ciencia y proposiciones de otro caraacutecter Para Popper la clave estaacute en reconocer que el conocimiento cientiacutefico no avanza confirmando nuevas leyes sino descartando las que contradicen la experiencia lo que constituye el proceso de falsacioacuten Soacutelo han de admitirse como proposiciones cientiacuteficas aquellas para las que al menos conceptualmente es posible un experimento que las contradiga [5] Thomas Kuhn (1992 1996) Este cientiacutefico norteamericano es famoso principalmente por su libro La estructura de las revoluciones cientiacuteficas (1962) La idea que preside el pensamiento de Kuhn es la de que la ciencia no progresa por acumulacioacuten de nuevo conocimiento sino por desplazamientos de los paradigmas que transforman abruptamente la naturaleza del conocimiento

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Matemaacuteticas de los poliacuteticos vascos Patxi Igandekoa

Pongamos el tiacutepico sistema de ecuaciones de primer grado de dos incoacutegnitas x+y=5 4x-2y=2 (Antes ensentildeaban a resolverlos en 1ordm de BUP ahora en las academias cercanas a la Escuela de Ingenieros de Bilbao) Vaya por adelantado que la solucioacuten es x=2 y=3 No nos interesa esto sino la forma en que lo resolveriacutean dos miembros destacados de nuestra clase poliacutetica El Lehendakari Ibarretxe por ejemplo no tendriacutea dificultad Gracias a su formacioacuten y oficio de economista el valor de las incoacutegnitas aparece ipso facto en su mente sin necesidad de calcular nada Sin embargo eacutel querriacutea hacerlo con fundamento a la vasca Primero lo resolveriacutea por medios algebraicos y comprobariacutea si las soluciones cuadran Despueacutes empleariacutea el meacutetodo graacutefico pediriacutea papel boliacutegrafo y una regla y trazariacutea un eje de coordenadas cifras y finalmente dos rectas bien diaacutefanas y se asegurariacutea de que ambas se cortan en el par de valores correcto Acto seguido llamariacutea a un comiteacute de expertos del Gobierno Vasco y someteriacutea el asunto a su examen para que redactaran un informe en el que se estableciera sin ninguacuten geacutenero de dudas que la solucioacuten al sistema de ecuaciones propuesto vaacutelida tanto en Euskadi como en el resto de un universo eucliacutedeo es la que figura en los caacutelculos de Lehendakaritza Pero la cosa no termina aquiacute porque luego Josu Jon Imaz (otro peso pesado de las ciencias exactas) convocariacutea una mesa de partidos para buscar una solucioacuten paralela ndashpero concordante- al problema mediante acuerdos que incluyan a todas las sensibilidades del paiacutes Para un tema de intereacutes general como este ni siquiera el PP podriacutea negarse y a la exactitud de las estimaciones numeacutericas se antildeadiriacutea finalmente la sancioacuten democraacutetica del consenso Euforia y satisfaccioacuten en el EAJ-PNV ldquoHemos tardado lo nuestro pero valioacute la pena Trabajando duro y con meacutetodo nos hemos puesto las pilas comenzamos el curso con los deberes hechos etc etcrdquo iquestY Patxi Loacutepez iquestCoacutemo reaccionariacutea delante del mismo problema Imaginen a uno de sus correveidiles pasaacutendoselo por encima de su ejemplar abierto de ldquoEl Correo Espantildeolrdquo en plena sesioacuten del Parlamento Vasco Apresurada lectura treacutemulo parpadear de ojos bailoteo de cifras en la mente ruido apenas perceptible producido por el rozamiento de unos dedos sobre la sienhellip ldquoNada otra engantildeifa del Lehendakari iexclSe va a enterar de esto en mi proacutexima rueda de prensardquo Apliacutequese el procedimiento de costumbre enviar por valija del partido a la calle Ferraz para que lo resuelvan alliacuterdquo Y alliacute efectivamente son nada menos que Joseacute Luis Rodriacuteguez Zapatero Presidente del Gobierno de Espantildea y Joseacute Blanco su iacutenenarrable y gallego jefe de bomberos quienes se encargan de despejar las incoacutegnitas Podemos imaginarnos el resultado ldquoiquestAlgebra iquestGraacuteficos cartesianos iexclUff somos de letras iquestQueacute tal si traemos a nuestro informaacutetico para que eche una manordquo ldquoNo mucho maacutes simple Joseacute Luis hacemos x=0 y=0 y ya estaacute Yo seacute algo de matemaacuteticas lo suficiente para recordar que a esto lo llaman lsquosolucioacuten trivialrsquo Es perfectamente legiacutetimo iquestQueacute te parecerdquo ldquoDe entrada bien Pepe Pero asi no puedes resolver un sistema de primer grado iexclel resultado no coinciderdquo ldquoNo importa lo quitamos tambieacuten Escondemos el 5 y el 2 cubrieacutendolos con typex ndashya nos ocuparemos de ellos en la proacutexima legislatura- y hacemos ambas expresiones iguales a cero Ahora las incoacutegnitas siacute coinciden con la ventaja antildeadida de que entonces las de Imaz no Hemos resuelto el problema de matemaacuteticas vasco reducieacutendolo a la no existencia Jean-Paul Sartre estariacutea orgulloso de nosotrosrdquo La solucioacuten es transmitida por mensajero (a portes debidos) a Sabin Etxea donde sesudos jeltzales la examinan moviendo la cabeza a un lado y a otro Habraacute que invertir mucho en centros de caacutelculo si queremos avanzar en el proceso de normalizacioacuten Al menos queda el consuelo de que si alguien quiere volar preferiraacute subirse a un aeroplano disentildeado por Ibarretxe que a otro construido con las matemaacuteticas que ensentildean en el Partido Socialista de Euskadi Publicado en Izaronews 6-9-2006

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Si las palabras de Chillida estaacuten recogidas con fidelidad lamento no estar de acuerdo con ellas porque no creo que las personas se encasillen tan faacutecilmente Pero de todos modos si ustedes creen que represento ese problema no tienen maacutes que haceacutermelo saber Porque como anuncieacute en la seccioacuten correo tireacute mi regla de caacutelculo al riacuteo para mirarla como se hundiacutea (era el uacuteltimo recuerdo del carintildeo que yo le teniacutea etc) y comienzo mis pinitos en cuentos cortos (muy cortos prometido) y otras atrevidas incursiones

[La figura es un recorte del libro de vintildeetas-paacutegina laquoel Arte - conversaciones imaginarias con mi madreraquo de Juanjo Saacuteez Aunque sus ideas sobre el arte parecen discutibles es un libro entrantildeable]

Una uacuteltima advertencia relativa al cuento que sigue y dirigida a los que puedan sacar la conclusioacuten de que tengo imaginacioacuten desviada las hemerotecas son del 29 de noviembre de 2003

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Caperucitas blancas En memoria de Joseacute Couso porque nos volvimos maacutes ciegos cuando sus ojos se apagaron

Una nintildea hasta haciacutea poco ahora cuajada en mujer moldeada por quince primaveras Faacutetima era la mayor de las dos hermanas La pequentildea Azraa a sus doce antildeos era todaviacutea un incipiente brote femenino delicado y menudo

Noviembre agotaba sus diacuteas y haciacutea cuatro que habiacutean empezado las fiestas del fin del Ramadaacuten el mes sagrado del ayuno Ese jueves la ilusioacuten se asomaba a los rostros de ambas hermanas porque iriacutean a cenar a casa de su abuela y pasariacutean la noche con ella Habriacutea puchero y berenjena rellena y despueacutes los dulces de pistacho y de miel y antes de dormir las historias de la lsquoyaddarsquo Jazmina ―la abuelita― llenas del encanto de otros tiempos cuando en los mercados de Baaquba competiacutean entre siacute los colores de los frutos las especias las telas y las alfombras y los asnos eran amigos resignados de los hombres y los paacutejaros hablaban con los nintildeos y eran alegres y eran parlanchines y traiacutean noticias de lugares exoacuteticos

La madre preparoacute una cesta con los pastelillos para el postre Pero la abuela habiacutea expresado el temor de no disponer de lentildea suficiente asiacute que las pequentildeas debiacutean pasar antes por el huerto del tiacuteo Abbash que siempre teniacutea preparada una reserva de lentildeos y sarmientos y habiacutea dado licencia a la familia para recoger de su finca todo aquello que fuera necesario Para llegar al huerto era obligado atravesar un trecho boscoso no era cosa de permitir que las sorprendiera la noche y puesto que la tarde ya se habiacutea insinuado las nintildeas se pusieron con diligencia en camino La pequentildea llevaba apoyada contra su cintura la cesta con los dulces y la mayor se hizo cargo de dos piezas de tela destinadas a sujetar la lentildea y de un hacha pequentildea para trocear los sarmientos

Ya en la finca llevoacute maacutes tiempo del previsto preparar los vaacutestagos para adecuarlos al tamantildeo de la menor de las muchachas y las sombras no esperaron Ante el asomo de la noche las nintildeas iniciaron el regreso en direccioacuten a la casa de la abuela cada una con su hatillo a la espalda la menor abriendo paso con la cesta de los pasteles en su regazo seguida de cerca por su hermana

A menos de cincuenta metros de alliacute Lobo Feroz Dos miraba por el visor de

infrarrojos e informaba de la escena a su compantildeero En el sendero que lindaba con el bosque dos siluetas blanquecinas se recortaban en la oscuridad en contraste con la espesura y los pantildeuelos que cubriacutean sus cabezas las perfilaban como dos caperucitas que se moviacutean avanzando deprisa La mayor pareciacutea sujetar una pistola en su mano

―Lobo Feroz Uno llamando a Halcoacuten Pardo ge-pe-ese delta sur uno doce oeste cero quince Dos sospechosas a la vista parecen llevar armas Esperamos instrucciones Cambio

―Halcoacuten Pardo a Lobo Feroz Ya conocen las consignas Cambio ―Parecen dos nintildeas― apuntoacute Lobo Feroz Dos ―Lobo Feroz Uno a Halcoacuten Pardo Es posible que se trate de dos menores

Solicitamos refuerzos para comprobacioacuten Cambio ―Sargento le recuerdo que estamos en la Operacioacuten Martillo de Hierro Debe

proceder seguacuten la consigna Cambio y corto ―Hemos de disparar― dijo Lobo Feroz Uno a Lobo Feroz Dos ―Pero ― balbuceoacute eacuteste ―Oacuterdenes Encaacutergate del objetivo de la izquierda yo tirareacute sobre el derecho

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La cabeza de Faacutetima se quebroacute como se rompe el fruto del granado cuando se lo arroja con fuerza contra el suelo Con su velo blanco habiacutea sido Caperucita Blanca mientras se desplomaba fue Caperucita a topos rojos poco tiempo despueacutes bajo los focos luminosos era Caperucita Roja yaciendo sobre la hierba del lindero del bosque ya para siempre dormida sus intensos ojos negros abiertos en un gesto uacuteltimo de asombro irracional A su lado la pretendida pistola no era sino el hacha nimia que le habiacutea servido de herramienta

Cerca de ella Azraa acribillada se debatioacute en el suelo durante un tiempo entre espasmos y dentelladas de dolor Desprendido el pantildeuelo varias manchas tentildeiacutean de carmiacuten sus cabellos que hasta entonces habiacutean sido siempre de un azabache casi mineral

La fase siguiente de la laquoOperacioacuten Martillo de Hierroraquo se puso en marcha Uno de los confidentes convocados reconocioacute a las muchachas e indicoacute a los soldados la situacioacuten de la cercana casa de la abuela en los andurriales de la ciudad

La puerta cedioacute ante el explosivo y saltoacute arrancada de cuajo junto con sus goznes Disipado el humo los soldados pudieron distinguir a una anciana enmudecida por el terror y desplomada sobre su cama Se registroacute la casa Dos humildes cuchillos de cocina fueron las uacutenicas armas encontradas

Cuando al diacutea siguiente fueron lavados los cuerpos de las nintildeas el agua sanguinolenta se desparramoacute por el patio y discurrioacute por albantildeales hasta verter en el riacuteo Tigris Diacuteas maacutes tarde en la orilla izquierda de la corriente a un rosal le brotariacutean rosas algo maacutes rojas y un limonero dariacutea limones amargos en la ribera derecha

La sangre de las nintildeas se entremezcloacute en el riacuteo en un postrero abrazo fraternal El sol hizo luego su labor de horno y partiacuteculas de sangre de Faacutetima y de Azraa ascendieron asidas al agua evaporada Desde entonces los atardeceres son algo maacutes escarlata en la tierra que otrora fue Mesopotamia y en todo el orbe resuena el eco milenario de las palabras del Antiguo Testamento dichas para los oiacutedos de los violentos laquoCaiacuten iquestqueacute has hecho de tu hermanoraquo P Crespo

Las camas de la muerte ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte lavis punta seca buril y bruntildeidor ndash 177 x 221 mm

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Reggae reggaehellip (riacutea riacutea)

La escuela y el alumnado

Eacutesta es la coleccioacuten de disparates maacutes sonados cometidos por alumnos de ESO y bachillerato en exaacutemenes de geografiacutea e historia

Perlas variadas bull Al final de la edad media empiezan a

imponerse normas morales como no masticar la sopa

bull Una de las principales manifestaciones del arte goacutetico fueron las piraacutemides que como todo el mundo sabe son apuntadas

bull A partir del Concilio de Trento el matrimonio cristiano debiacutea ser consumado en presencia de un sacerdote

bull Despotismo ilustrado los reyes teniacutean todo el poder pero teniacutean que obedecer cuando el pueblo se poniacutea de acuerdo entre ellos

bull A la juventud hitleriana la preparaban tan bien que al cabo de un antildeo eran capaces de matar a su madre

bull iquestQueacute opinas de la Constitucioacuten Que es buena y guapa

bull Actualmente el paiacutes maacutes pequentildeo de Europa es San Pedro del Vaticano

bull El rey puso a Franco para que trajera la democracia

bull Franco era el rey que habiacutea antes de Juan Carlos I

bull Espantildea no participoacute en la Segunda Guerra Mundial porque Hitler teniacutea miedo de Franco

bull Franco fue un poliacutetico dictador que consiguioacute imponer durante el reinado de Felipe II un reacutegimen dictatorial

bull No seacute en queacute antildeo murioacute Franco pero seacute que murioacute asesinado

bull Democracia es cuando hay gente que mata otra gente o cuando un paiacutes echa bombas a otro o se pegan unos a otros pues esto es democracia

bull Cartografiacutea las faltas de ortografiacutea bull Un paralelo es una de aquellas liacuteneas que

dividen la Tierra en trozos pero es imaginario

bull Continente partiacuteculas de tierra donde vivimos nosotros

bull Anticicloacuten es la temperatura caliente y se mide en milibares

bull Caacutetedra pensioacuten o escuela para los que queriacutean ser curas

bull Petroacuteleo se obtiene por tuberiacuteas llamadas oleoductos y sirve de combustible

bull Desarrollo sostenible es el desarrollo que no es ni alto ni bajo es decir es mediano

bull Poliacutegono hombre con muchas mujeres bull Delta es un riacuteo que lleva muy poca

agua bull Capital de Alemania Merliacuten bull Principales cultivos espantildeoles la uva

que produce el gran aceite que se fabrica en Espantildea

bull Islas de Oceaniacutea Islas Haguai bull Los vientos huracanados producen a

veces atauacutedes de nieve bull La pintura al fresco consiste en pintar al

aire libre bull Sufragista quiere decir que siempre estaacute

navegando por los mares bull La Guerra Friacutea se caracteriza por matar

gente a sangre friacutea bull Hambre endeacutemica es la que pasa cuando

hay epidemias bull La explosioacuten demograacutefica se produce

porque en algunos paiacuteses se producen islas producto de una erupcioacuten volcaacutenica que bastante grandes como para ser evitadas

bull Estado del bienestar significa que todo lo que es puacuteblico se ha de cuidar

bull Deuda externa es si vas aun supermercado y quedas a deber mucho si no tienes dinero Esto es la deuda externa

Serrano J Reboredo J (2005) Perlas variadas en Historia de Espantildea contada por estudiantes Madrid La Esfera de los libros (Remitido por M Dolors Hipoacutelito)

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iexclLas modelos no somos estuacutepidas Pregunta iquestEn queacute paiacutes la estaacuten solicitando como modelo Respuesta No lo puedo decir todaviacutea pero les puedo adelantar que es un paiacutes brasilentildeo que no queda muy lejos de aquiacute (Kate Moss ex modelo de Calvin Klein) Pregunta Si llegara un holocausto nuclear iquestqueacute pareja elegiriacutea Ud en todo el mundo (hombre y mujer) para preservar y multiplicar la especie humana Respuesta Al Papa y a la Madre Teresa de Calcuta (Carolina Zuntildeiga candidata a Miss Chile) El fumar mata Si te mueres has perdido una parte muy importante de tu vida (Brooke Shields entrevista para una campantildea federal antitabaco) Pregunta Si usted pudiera vivir siempre iquestlo hariacutea iquestpor queacute Respuesta Yo no viviriacutea siempre porque no deberiacuteamos vivir siempre porque si se supusiera que debieacuteramos vivir siempre entonces viviriacuteamos siempre pero no podemos vivir siempre que es por lo cual yo no viviriacutea siempre (Miss Alabama en el concurso Miss America 1999) Esa rastrera sinverguumlenza merece ser matada a patadas por un asno iexclY yo soy justo la indicada para hacerlo (Declaracioacuten de Claudia Shiffer sobre Naomi Campbell) No es la contaminacioacuten la que estaacute dantildeando el ambiente Son todas las impurezas en nuestro aire y en nuestra agua las que lo estaacuten haciendo (Pamela Anderson) No he cometido ninguacuten delito Lo que hice fue no cumplir con la ley (Jennifer Lopez al ser detenida junto con Puff Daddy) Siempre que veo la tele y veo a esos pobres nintildeos hambrientos en todo el mundo no puedo evitar llorar Quiero decir me encantaria ser asiacute de flaquita pero no con todas esas moscas y muerte y esas cosas (Mariah Carey cantante) Tomado de Internet por JMaiO 2006 Jacinto Benavente y la coma Doctor Mi previsioacuten se anticipa a todo Bastaraacute con puntuar debidamente alguacuten conceptoVed aquiacute donde dicerdquo Y resultando que no declaroacuterdquo basta una coma y dice ldquo Y resultando que no declaroacuterdquo Y aquiacuterdquoY resultando que no debe condenaacuterselerdquo fuera la coma y dice Y resultando que no debe condenaacuterselerdquo Crispiacuten iexclOh admirable coma iexclMaravillosa coma iexclGenio de la Justicia iexclOraacuteculo de la Ley iexcl Monstruo de la Jurisprudencia Jacinto Benavente Los Intereses Creados Acto segundo escena final

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Tomo una y entrego dos Mariano Nieto propone en [C-90] (seccioacuten correo) el problema que sigue En una urna hay una bola blanca y otra negra Se saca al azar una de ellas y se

devuelve a la urna acompantildeada de otra del mismo color Esta operacioacuten se repite un nuacutemero indefinido de veces

iquestCuaacutel es la probabilidad de que cuando la urna contenga 20 bolas haya 10 de cada color Solucioacuten

Sea (b n) la composicioacuten de la urna con b bolas blancas y n negras y llamemos etapa a cada intervencioacuten que extrae una bola de la urna y devuelve dos Convengamos en que la configuracioacuten de partida (11) corresponde a la etapa 1 En la etapa 2 tendremos las dos configuraciones posibles de la urna (21) y (12) asociadas con la misma probabilidad de 12

Esta simetriacutea inicial nos sugiere el siguiente procedimiento por induccioacuten Si suponemos que en la etapa n cada una de las n configuraciones posibles

(n 1) (n ndash 1 2) (n ndash 2 3) (n ndash a a + 1) (2 n ndash 1) (1 n) [1] tiene la misma probabilidad p de ocurrir (con p =1n por lo tanto) podemos calcular las probabilidades y configuraciones de la etapa n + 1

a) La probabilidad de la configuracioacuten (n + 11) (rama izquierda del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(n + 11) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

b) La probabilidad de la configuracioacuten (1 n+1) (rama derecha del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(1 n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

c) La configuracioacuten (n ndash a a + 2) con 0 le a le (n ndash 2) para asegurar que se recorre el rango de configuraciones de la etapa (n + 1) con exclusioacuten de las extremas antes consideradas proviene de (n ndash a a + 1) tras sacar una bola negra o bien de (n ndash a ndash 1 a + 2) luego de resultar blanca la bola extraiacuteda Su probabilidad seraacute por lo tanto

p x (a + 1) (n + 1) + p x (n ndash a ndash 1) (n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

de modo que todas las configuraciones de la etapa n + 1 tendraacuten tambieacuten la misma probabilidad en este caso 1(n + 1)

En la etapa 3 por ejemplo es faacutecil ver que las 3 configuraciones posibles (3 1) (2 2) y (1 3) comparten la probabilidad 13 Asiacute pues el meacutetodo de induccioacuten nos permite concluir que en la etapa n es decir tras n ndash 1 operaciones con la urna eacutesta contendraacute (n + 1) bolas y tendremos las n configuraciones posibles [1] a cada una de las cuales le corresponde la misma probabilidad 1 n

La configuracioacuten (10 10) por la que pregunta el problema perteneceraacute por lo tanto a la etapa n = 19 (tras 18 operaciones con la urna) y en consecuencia su probabilidad seraacute igual a 1 19 algo mayor que 526 por ciento

En general a la configuracioacuten (b n) donde b es el nuacutemero de bolas blancas y n el de negras siendo b y n nuacutemeros naturales cualesquiera ya que cualquier configuracioacuten es alcanzable le corresponderaacute la probabilidad p(b n) = 1 (b + n ndash 1) P Crespo septiembre 2006

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iquestDe doacutende sale el nuacutemero e Un escuchante miacuteo de RNE en el programa sobre matemaacuteticas de los antildeos 2005-06 me hace la siguiente consulta Cuando estudiaba sexto de bachillerato (plan de ensentildeanza 1957) un dia el profesor de matemaacuteticas llegoacute a clase y dijo Hoy toca el nuacutemero e Y a continuacioacuten escribioacute en la pizarra la expresioacuten conocida de liacutemite cuando n tiende a infinito de 1 maacutes 1 partido por n elevado a n La desarrolloacute por el binomio de Newton y obtuvo el conocido resultado de 2718281 Despueacutes nos dijo que el numero e era muy importante en matemaacuteticas y que se utilizaba para la base de los logaritmos neperianos Es curioso ver como la derivada del logaritmo neperiano de x = 1x EXACTO siendo la base del logaritmo un nuacutemero absolutamente INEXACTO IRRACIONAL Realmente me quedeacute sorprendido Primero de coacutemo al baroacuten de Neacuteper se le habiacutea ocurrido utilizar como base de logaritmos a un nuacutemero irracional y segundo por queacute nunca me explicaron a quieacuten se le ocurrioacute calcular el liacutemite de la expresioacuten (1+1n)n iquestPor queacute se le ocurrioacute a alguien esta expresioacuten y no otra iquestDe donde surgioacute tal necesidad Creo que eso era lo primero que mi profesor de matemaacuteticas teniacutea que habernos contado antes de calcular el liacutemite Probablemente el profesor no conociacutea la respuesta que efectivamente es difiacutecil de encontrar en los actuales libros de texto La definicioacuten actual de logaritmo de un nuacutemero es ldquoel exponente a que hay que elevar una base dada para obtener dicho nuacutemerordquo Asiacute por ejemplo en base 10 el logaritmo de 2 es log10 2 = 0301030 porque 100301030 = 2 (aproximadamente) Pero Neper no concibioacute asiacute el logaritmo para eacutel era el resultado de comparar una progresioacuten aritmeacutetica y otra geomeacutetrica Los teacuterminos de la primera seriacutean los logaritmos de los de la segunda Esto se ve muy claro en esta tabla en la que la razoacuten de la progresioacuten aritmeacutetica es 1 y la de la geomeacutetrica es 10

Progresioacuten aritmeacutetica (razoacuten 1) -3 -2 -1 0 1 2 3Progresioacuten geomeacutetrica (razoacuten 10) 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103

De la propia estructura de ambas progresiones se desprende que un producto de teacuterminos en la progresioacuten geomeacutetrica se corresponde con una suma en la progresioacuten aritmeacutetica Asiacute por las propiedades de los productos de potencias de una misma base seraacute log (xy) = log x + log y y tambieacuten log (xk) = k log x etc Por la misma tabla en la base 10 log (10-3) = log (0001) = -3 log (102) = log (100) = 2 etc Pero iquestqueacute ocurre con los valores intermedios iquestCoacutemo definir para ellos un logaritmo Neper intentoacute responder esta pregunta considerando dos progresiones de razones respectivas α y 1+β siendo (α β) muy pequentildeos Entonces dado un nuacutemero N siempre se podriacutea encontrar un valor n tal que (1+ β)n = N (dentro de una aproximacioacuten suficiente) Entonces el logaritmo de N seriacutea nα Las progresiones maacutes sencillas imaginables son aqueacutellas para las que α = β Entonces seraacute

log N = log [(1+α)n] = nα En esta expresioacuten n seraacute muy grande y α seraacute muy pequentildeo Haciendo nα = L podemos escribir la anterior igualdad

log N = log [(1+ α)1α]nα = log [1+ α)1α]L

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Definamos ahora el nuacutemero e como el liacutemite de (1+α)1α cuando α se hace infinitamente pequentildeo o sea

α

αα

1

0)1(lim +=

rarr

e

Y la expresioacuten se simplificaraacute notablemente

log N = log eL = L log e Resulta inmediatamente que el nuacutemero e = 2718281hellip es la base de logaritmos maacutes conveniente desde el punto de vista teoacuterico pues en ella seraacute log e = 1 Eacutestos son llamados los logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos (este uacuteltimo nombre procede de que miden el aacuterea subtendida entre una hipeacuterbola y su asiacutentota) El nuacutemero e es sin duda el maacutes importante en matemaacuteticas aunque π sea maacutes popular Se recuerdan sus primeras cifras con la mnemotecnia Te ayudareacute a recordar la cantidad a indoctos si releacuteesme bien Se aplica por el nuacutemero de letras de cada palabra Te = 2 ayudareacute = 7 etc En la praacutectica son maacutes usados los logaritmos decimales o de Briggs que tienen por base el nuacutemero 10 Presentan la ventaja de que la parte decimal de cada logaritmo (mantisa) no cambia al ser multiplicado el nuacutemero por una potencia de 10 lo que hace muy praacutecticas las tabulaciones El paso de los logaritmos de una a otra base es muy sencillo mediante el nuacutemero M = log 10 = 2302585 Se deduce sin dificultad que log x = M log10 x Josep M Albaigegraves Barcelona octubre 2006

El nuacutemero e es el uacutenico que verifica que el valor de la derivada (inclinacioacuten de la tangente en rojo en la figura) de f(x) = ex para cualquier valor de x es igual al valor de f(x)

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Cruzando el desierto en jeep Enunciado (propuesto por Mariano Nieto en C-83 seccioacuten correo) Un jeep ha de atravesar un desierto de 800 kiloacutemetros Admite una carga maacutexima para recorrer 500 kiloacutemetros y se quiere conocer la menor cantidad de tales cargas que hay que consumir para alcanzar la meta El depoacutesito inicial se supone de capacidad ilimitada y el jeep puede establecer tantos depoacutesitos intermedios como haga falta Se desea conocer tambieacuten el nuacutemero de viajes parciales que lleva a cabo el jeep teniendo en cuenta que ante dos soluciones iguales (mismo consumo) se preferiraacute la que implique menos viajes parciales Planteo

Supongamos que se depositan cargas en los puntos 1 2 hellipi hellipy llamemos ci a la carga del depoacutesito en el punto i y cf a la del punto siguiente i + 1 Si la distancia entre ambos puntos es d para transportar la carga del punto i al i +1 se necesitaraacuten n viajes de ida y vuelta y un uacuteltimo viaje de ida El depoacutesito en el punto i constaraacute pues de n cargas para 500 km y un remanente al que llamaremos cr Podemos plantear las ecuaciones siguientes

cf = (500 - 2d) n + cr - d (1) ci = 500 n + cr (2) r = (2n + 1) d (3) cr = 500 (4)

donde r es el recorrido del jeep (equivalente a la carga consumida) en el transporte entre ambos depoacutesitos

Los caacutelculos han de efectuarse retrocediendo desde el final hasta la situacioacuten de salida (o sea pasando desde el depoacutesito i +1 al i) para garantizar que se transporta siempre la cantidad miacutenima precisa Cuidaremos tambieacuten de que el valor de n sea el menor posible puesto que los viajes de ida y vuelta aunque necesarios son obviamente menos eficaces en cuanto a rendimiento que los directos Solucioacuten Las ecuaciones anteriores sugieren una viacutea para la solucioacuten del problema basada en separar los tramos para los cuales n (nuacutemero de viajes de ida y vuelta) se mantiene constante El valor de n iraacute en aumento al progresar desde el final hacia el inicio puesto que la capacidad de los depoacutesitos iraacute aumentando en ese sentido y cada vez que se produzca un incremento de 500 km de carga se haraacute necesario aumentar n en una unidad Asiacute pues tendremos 1- Tramo con n = 0 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se progresa desde el final (punto kilomeacutetrico 800) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 0 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

cf = cr ndash d

Como la carga final cf es nula al llegar al punto final (800 km) y es cr = 500 (el maacuteximo posible) basta con llevar a cabo un viaje de ida solamente que salva la distancia d = 500 km El consumo es justamente de 500 km o una carga Esto nos

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coloca a una distancia del origen de 300 km con un depoacutesito con carga para 500 km en dicho punto al que llamaremos D 2 - Tramo con n = 1 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se calcula desde el final (punto kilomeacutetrico 300) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 1 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

500 = 500 - 2d + cr - d = 500 + cr ndash 3 d Hasta que se agote la carga residual maacutexima cr = 500 tendremos

d = 500 3 (5)

La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =1 (es decir donde se pasa de n =1 a n =2 si se lee desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 1) = 300 ndash 5003 = 4003 = 133 3333hellip km El consumo en todo este tramo final (donde n =1) seraacute

consumo (n = 1) = 3 d = 3 times 5003 = 500 Tenemos asiacute tres viajes de 5003 km Al final de la operacioacuten se habraacute transportado una carga de 500 km con un consumo de 500 km tal como se ha calculado antes Como ya se ha visto nos hallamos ahora a una distancia del origen igual a 4003= 133333hellip km Bautizamos este punto como C donde el depoacutesito tendraacute una carga para 1000 km 3 Tramo con n = 2 Ahora la foacutermula (1) se expresa

1000 = 1000 - 4d + cr - d = 1000 + cr ndash 5 d Para una carga residual maacutexima cr = 500 seraacute

d = 5005 = 100 (6) La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =2 (es decir donde se pasa de n =2 a n =3 leyendo desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 2) = 400 3 - 100 = 100 3 = 333333hellipk m El consumo en todo este tramo (donde n =2) seraacute

consumo (n = 2) = 5 d = 500 Se salva una distancia de 100 km y se comprueba que el consumo seraacute de 5 times 100 = 500 La carga transportada seraacute de 2 times 300 + 400 = 1000 km carga que se deja en el depoacutesito C En este punto B nos encontramos a una distancia del origen de 1003 = 33333hellip km y con un depoacutesito con carga para 1500 km

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4 Tramo con n = 3 En este caso la foacutermula (1) es

1500 = 1500 - 6d + cr - d = 1500 + cr - 7d Tendremos ahora d = 5007 gt 100 3 desigualdad que nos dice que la distancia que puede cubrirse con n = 3 supera la distancia que nos separa del origen Asiacute que bastaraacute trabajar de forma que se tenga

d = 1003 (7) Con estas condiciones el consumo correspondiente valdraacute

consumo (n = 3) = 7 d = 700 3 El nuacutemero de viajes seraacute ahora igual a 2 n + 1 = 7 cada uno de los cuales cubre la distancia d = 1003 La carga que se toma del depoacutesito inicial seraacute 1500 + 7003 Consumo total El consumo total que se busca seraacute por lo tanto exactamente Consumo total = 500 (para recorrer los uacuteltimos 500 km n = 0) + 500 (n = 1) + + 500 (n = 2) + 7003 (n = 3) = 1500 + 7003 lo que expresado en cargas resulta ser (1500 + 7003) 500 = 3+7 15 = 34666hellip El nuacutemero total de viajes resulta ser sumando los de las etapas parciales igual a 16 La tabla 1 muestra los valores relevantes para cada una de las etapas dispuestos ahora desde el inicio hasta el final

Km n viajes d (km) consumo (km) carga (km) A (origen) 1500 + 700 3

0 a 1003 (B) 3 7 100 3 700 3 1500 1993 a 4003 (C) 2 5 100 500 1000 4003 a 300 (D) 1 3 500 3 500 500 300 a 800 (E) 0 1 500 500 0

TOTALES 16 800 1500 + 700 3 Tabla 1

El resultado es por tanto Consumo = (1500 + 700 3) 500 = 3 + 7 15 = 34666hellipasymp 347 Viajes = 16 Notas finales Otra cuestioacuten que suscita este problema es la de si existe una limitacioacuten a la anchura del desierto que se ha de atravesar La respuesta es que no existe tal liacutemite puesto que como se aprecia sin dificultad la taacutectica para ir situando combustible en posiciones avanzadas y que expresan las ecuaciones (1) a (4) permite trabajar a partir de cualquier distancia P Crespo noviembre 2006

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Pitaacutegora y su relacioacuten con los proyectiles

El otro diacutea andando por la calle vi el anagrama de una empresa de consulting

Como puede verse el siacutembolo de la empresa es (aproximadamente) el tan conocido triaacutengulo pitagoacuterico de lados 3 4 y 5 Lo vemos inscrito en un cuadrado el miacutenimo que puede contenerlo iquestCuaacutel es el lado de este cuadrado

Solucioacuten Llamemos α al aacutengulo que forma el cateto largo con el lado vertical del cuadrado Es

inmediato establecer las ecuaciones

4 cos α = L = 4 sin α + 3 cos α Que permite llegar a la igualdad

cos α = 4 sin α De donde se obtiene tan α = α o sea α = 14036ordm El lado vale L = 4 cos 14036ordm = 38806 Es curioso que este aacutengulo es el mismo con el que debe ser lanzado un proyectil para

que la altura alcanzada sea igual al alcance En efecto la primera vale

gvh

2sin 22

0max

ϕ=

Mientras que el alcance es

gvx ϕ2sin2

0=

Igualando ambas ecuaciones se llega a cos φ = frac14 El aacutengulo φ es el complementario

del α antes hallado El proyectil deberiacutea dispararse tangente al cateto de lado 4 JMAiO BCN sep 06

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PROBLEMA DE LA DIVISIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO

Dado un triaacutengulo ABC y un punto P situado en su interior se pide trazar una recta MN que pasando por el punto P divida al triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea o que esteacuten en una proporcioacuten dada

A

B C

P

M

N

Q

q

p

R

x

y

Solucioacuten El problema implica dos condiciones - 1ordm Que los puntos M P y N esteacuten alineados - 2ordm Que las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB esteacuten en una proporcioacuten dada

Veamos como podemos dar forma algebraica a estas dos condiciones Tracemos desde el punto P como se indica en la figura las paralelas a los lados BC y AC hasta que corten en los puntos R y Q respectivamente a los lados AC y BC Llamemos x y p y q a los segmentos MR NQ PQ y PR Los valores de x e y se obtendraacuten al resolver el sistema de ecuaciones que suponen las dos condiciones dadas La primera condicioacuten ya que los triaacutengulos MRP y PQN son semejantes se expresa escribiendo

yp

qx=

La segunda condicioacuten puesto que los triaacutengulos MCN y ACB tienen comuacuten el aacutengulo en C equivale a decir que los productos de los lados de cada triaacutengulo que concurren en el veacutertice C estaacuten en la proporcioacuten en la que estaacuten sus aacutereas Llamando k al cociente entre las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB la segunda condicioacuten la escribiremos asiacute

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( )( ) kabqypx =++

donde a y b son respectivamente los lados BC y AC del triaacutengulo dado El sistema de ecuaciones escrito nos conduce a la siguiente ecuacioacuten de segundo grado que resuelve el problema

( ) 02 22 =+minusminus qpxpqkabqx

( )

qpqkabkabpqkab

x2

42 minusplusmnminus=

xpqy =

La condicioacuten para que el problema tenga solucioacuten real es que el radicando no sea negativo es decir

( ) 04 geminus pqkabkab

pqkab 4ge

abpqk 4

ge

Resulta innecesario decir que para k=05 la recta divide el triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea teniendo que darse previamente la condicioacuten del paacuterrafo anterior Notas 1- La primera condicioacuten tambieacuten se puede expresar escribiendo la recta MN en su forma canoacutenica en el sistema de coordenadas cartesianas oblicuas definido por los ejes CA y CB obligando a que el punto P esteacute en ella es decir

1=+

++ xp

pyq

q o sea pqxy =

2- El valor de k tambieacuten depende del par de lados respecto a los cuales se hayan trazado las paralelas para disponer de los valores de p y q Puede darse el caso de que aun siendo negativo el radicando para la pareja de lados elegida no lo sea para alguna otra y el problema siga teniendo solucioacuten

Manuel Rodriacuteguez Saacutenchez ndash Septiembre de 2006

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Re-citando las citas de laquoPelucheraquo

laquoLas mujeres hablan porque desean hablar mientras que un hombre soacutelo habla cuando se siente empujado por algo ajeno a eacutel como por ejemplo si no encuentra unos calcetines limpiosraquo (Jean Kerr 1922-2003 escritora estadounidense) laquoDonde hay matrimonio sin amor habraacute amor sin matrimonioraquo (Benjamin Franklin cientiacutefico poliacutetico y filoacutesofo norteamericano) laquoSi quieres ver una especie en peligro de extincioacuten miacuterate al espejoraquo (John Young 1930 cientiacutefico estadounidense) laquoAntes de pedir dinero a un amigo decide cual de las dos cosas necesitas maacutesraquo (Jean de La Bruyegravere 1645-1696 moralista franceacutes) laquoComprendes que estaacutes envejeciendo cuando las velitas cuestan maacutes que la tartaraquo (Bob Hope 1903-2003 actor estadounidense) laquoA mi juicio el mejor gobierno es el que deja a la gente maacutes tiempo en pazraquo (Walt Whitman 1819-1892 poeta estadounidense) laquoSi el hijo de Bono se casa con la hija de Bush iquestla descendencia se llamaraacute Bono Bushraquo (Alberto C 1983 estudiante de reflexologiacutea podal) laquoPara escribir un buen libro no considero imprescindible conocer Pariacutes ni haber leiacutedo el Quijote Cervantes cuando lo escribioacute aun no lo habiacutea leiacutedoraquo (Miguel Delibes 1920 escritor espantildeol) laquoComo todo el mundo sabe los cantos de las sirenas atraen a los hombres para luego acabar con ellos Especialmente las sirenas de las faacutebricasraquo (Jaume Perich Escala 1940-1995 humorista espantildeol) P C Citas tomadas de laquoPelucheraquo con su consentimiento

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Matemaacuteticas de los poliacuteticos vascos Patxi Igandekoa

Pongamos el tiacutepico sistema de ecuaciones de primer grado de dos incoacutegnitas x+y=5 4x-2y=2 (Antes ensentildeaban a resolverlos en 1ordm de BUP ahora en las academias cercanas a la Escuela de Ingenieros de Bilbao) Vaya por adelantado que la solucioacuten es x=2 y=3 No nos interesa esto sino la forma en que lo resolveriacutean dos miembros destacados de nuestra clase poliacutetica El Lehendakari Ibarretxe por ejemplo no tendriacutea dificultad Gracias a su formacioacuten y oficio de economista el valor de las incoacutegnitas aparece ipso facto en su mente sin necesidad de calcular nada Sin embargo eacutel querriacutea hacerlo con fundamento a la vasca Primero lo resolveriacutea por medios algebraicos y comprobariacutea si las soluciones cuadran Despueacutes empleariacutea el meacutetodo graacutefico pediriacutea papel boliacutegrafo y una regla y trazariacutea un eje de coordenadas cifras y finalmente dos rectas bien diaacutefanas y se asegurariacutea de que ambas se cortan en el par de valores correcto Acto seguido llamariacutea a un comiteacute de expertos del Gobierno Vasco y someteriacutea el asunto a su examen para que redactaran un informe en el que se estableciera sin ninguacuten geacutenero de dudas que la solucioacuten al sistema de ecuaciones propuesto vaacutelida tanto en Euskadi como en el resto de un universo eucliacutedeo es la que figura en los caacutelculos de Lehendakaritza Pero la cosa no termina aquiacute porque luego Josu Jon Imaz (otro peso pesado de las ciencias exactas) convocariacutea una mesa de partidos para buscar una solucioacuten paralela ndashpero concordante- al problema mediante acuerdos que incluyan a todas las sensibilidades del paiacutes Para un tema de intereacutes general como este ni siquiera el PP podriacutea negarse y a la exactitud de las estimaciones numeacutericas se antildeadiriacutea finalmente la sancioacuten democraacutetica del consenso Euforia y satisfaccioacuten en el EAJ-PNV ldquoHemos tardado lo nuestro pero valioacute la pena Trabajando duro y con meacutetodo nos hemos puesto las pilas comenzamos el curso con los deberes hechos etc etcrdquo iquestY Patxi Loacutepez iquestCoacutemo reaccionariacutea delante del mismo problema Imaginen a uno de sus correveidiles pasaacutendoselo por encima de su ejemplar abierto de ldquoEl Correo Espantildeolrdquo en plena sesioacuten del Parlamento Vasco Apresurada lectura treacutemulo parpadear de ojos bailoteo de cifras en la mente ruido apenas perceptible producido por el rozamiento de unos dedos sobre la sienhellip ldquoNada otra engantildeifa del Lehendakari iexclSe va a enterar de esto en mi proacutexima rueda de prensardquo Apliacutequese el procedimiento de costumbre enviar por valija del partido a la calle Ferraz para que lo resuelvan alliacuterdquo Y alliacute efectivamente son nada menos que Joseacute Luis Rodriacuteguez Zapatero Presidente del Gobierno de Espantildea y Joseacute Blanco su iacutenenarrable y gallego jefe de bomberos quienes se encargan de despejar las incoacutegnitas Podemos imaginarnos el resultado ldquoiquestAlgebra iquestGraacuteficos cartesianos iexclUff somos de letras iquestQueacute tal si traemos a nuestro informaacutetico para que eche una manordquo ldquoNo mucho maacutes simple Joseacute Luis hacemos x=0 y=0 y ya estaacute Yo seacute algo de matemaacuteticas lo suficiente para recordar que a esto lo llaman lsquosolucioacuten trivialrsquo Es perfectamente legiacutetimo iquestQueacute te parecerdquo ldquoDe entrada bien Pepe Pero asi no puedes resolver un sistema de primer grado iexclel resultado no coinciderdquo ldquoNo importa lo quitamos tambieacuten Escondemos el 5 y el 2 cubrieacutendolos con typex ndashya nos ocuparemos de ellos en la proacutexima legislatura- y hacemos ambas expresiones iguales a cero Ahora las incoacutegnitas siacute coinciden con la ventaja antildeadida de que entonces las de Imaz no Hemos resuelto el problema de matemaacuteticas vasco reducieacutendolo a la no existencia Jean-Paul Sartre estariacutea orgulloso de nosotrosrdquo La solucioacuten es transmitida por mensajero (a portes debidos) a Sabin Etxea donde sesudos jeltzales la examinan moviendo la cabeza a un lado y a otro Habraacute que invertir mucho en centros de caacutelculo si queremos avanzar en el proceso de normalizacioacuten Al menos queda el consuelo de que si alguien quiere volar preferiraacute subirse a un aeroplano disentildeado por Ibarretxe que a otro construido con las matemaacuteticas que ensentildean en el Partido Socialista de Euskadi Publicado en Izaronews 6-9-2006

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Si las palabras de Chillida estaacuten recogidas con fidelidad lamento no estar de acuerdo con ellas porque no creo que las personas se encasillen tan faacutecilmente Pero de todos modos si ustedes creen que represento ese problema no tienen maacutes que haceacutermelo saber Porque como anuncieacute en la seccioacuten correo tireacute mi regla de caacutelculo al riacuteo para mirarla como se hundiacutea (era el uacuteltimo recuerdo del carintildeo que yo le teniacutea etc) y comienzo mis pinitos en cuentos cortos (muy cortos prometido) y otras atrevidas incursiones

[La figura es un recorte del libro de vintildeetas-paacutegina laquoel Arte - conversaciones imaginarias con mi madreraquo de Juanjo Saacuteez Aunque sus ideas sobre el arte parecen discutibles es un libro entrantildeable]

Una uacuteltima advertencia relativa al cuento que sigue y dirigida a los que puedan sacar la conclusioacuten de que tengo imaginacioacuten desviada las hemerotecas son del 29 de noviembre de 2003

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Caperucitas blancas En memoria de Joseacute Couso porque nos volvimos maacutes ciegos cuando sus ojos se apagaron

Una nintildea hasta haciacutea poco ahora cuajada en mujer moldeada por quince primaveras Faacutetima era la mayor de las dos hermanas La pequentildea Azraa a sus doce antildeos era todaviacutea un incipiente brote femenino delicado y menudo

Noviembre agotaba sus diacuteas y haciacutea cuatro que habiacutean empezado las fiestas del fin del Ramadaacuten el mes sagrado del ayuno Ese jueves la ilusioacuten se asomaba a los rostros de ambas hermanas porque iriacutean a cenar a casa de su abuela y pasariacutean la noche con ella Habriacutea puchero y berenjena rellena y despueacutes los dulces de pistacho y de miel y antes de dormir las historias de la lsquoyaddarsquo Jazmina ―la abuelita― llenas del encanto de otros tiempos cuando en los mercados de Baaquba competiacutean entre siacute los colores de los frutos las especias las telas y las alfombras y los asnos eran amigos resignados de los hombres y los paacutejaros hablaban con los nintildeos y eran alegres y eran parlanchines y traiacutean noticias de lugares exoacuteticos

La madre preparoacute una cesta con los pastelillos para el postre Pero la abuela habiacutea expresado el temor de no disponer de lentildea suficiente asiacute que las pequentildeas debiacutean pasar antes por el huerto del tiacuteo Abbash que siempre teniacutea preparada una reserva de lentildeos y sarmientos y habiacutea dado licencia a la familia para recoger de su finca todo aquello que fuera necesario Para llegar al huerto era obligado atravesar un trecho boscoso no era cosa de permitir que las sorprendiera la noche y puesto que la tarde ya se habiacutea insinuado las nintildeas se pusieron con diligencia en camino La pequentildea llevaba apoyada contra su cintura la cesta con los dulces y la mayor se hizo cargo de dos piezas de tela destinadas a sujetar la lentildea y de un hacha pequentildea para trocear los sarmientos

Ya en la finca llevoacute maacutes tiempo del previsto preparar los vaacutestagos para adecuarlos al tamantildeo de la menor de las muchachas y las sombras no esperaron Ante el asomo de la noche las nintildeas iniciaron el regreso en direccioacuten a la casa de la abuela cada una con su hatillo a la espalda la menor abriendo paso con la cesta de los pasteles en su regazo seguida de cerca por su hermana

A menos de cincuenta metros de alliacute Lobo Feroz Dos miraba por el visor de

infrarrojos e informaba de la escena a su compantildeero En el sendero que lindaba con el bosque dos siluetas blanquecinas se recortaban en la oscuridad en contraste con la espesura y los pantildeuelos que cubriacutean sus cabezas las perfilaban como dos caperucitas que se moviacutean avanzando deprisa La mayor pareciacutea sujetar una pistola en su mano

―Lobo Feroz Uno llamando a Halcoacuten Pardo ge-pe-ese delta sur uno doce oeste cero quince Dos sospechosas a la vista parecen llevar armas Esperamos instrucciones Cambio

―Halcoacuten Pardo a Lobo Feroz Ya conocen las consignas Cambio ―Parecen dos nintildeas― apuntoacute Lobo Feroz Dos ―Lobo Feroz Uno a Halcoacuten Pardo Es posible que se trate de dos menores

Solicitamos refuerzos para comprobacioacuten Cambio ―Sargento le recuerdo que estamos en la Operacioacuten Martillo de Hierro Debe

proceder seguacuten la consigna Cambio y corto ―Hemos de disparar― dijo Lobo Feroz Uno a Lobo Feroz Dos ―Pero ― balbuceoacute eacuteste ―Oacuterdenes Encaacutergate del objetivo de la izquierda yo tirareacute sobre el derecho

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La cabeza de Faacutetima se quebroacute como se rompe el fruto del granado cuando se lo arroja con fuerza contra el suelo Con su velo blanco habiacutea sido Caperucita Blanca mientras se desplomaba fue Caperucita a topos rojos poco tiempo despueacutes bajo los focos luminosos era Caperucita Roja yaciendo sobre la hierba del lindero del bosque ya para siempre dormida sus intensos ojos negros abiertos en un gesto uacuteltimo de asombro irracional A su lado la pretendida pistola no era sino el hacha nimia que le habiacutea servido de herramienta

Cerca de ella Azraa acribillada se debatioacute en el suelo durante un tiempo entre espasmos y dentelladas de dolor Desprendido el pantildeuelo varias manchas tentildeiacutean de carmiacuten sus cabellos que hasta entonces habiacutean sido siempre de un azabache casi mineral

La fase siguiente de la laquoOperacioacuten Martillo de Hierroraquo se puso en marcha Uno de los confidentes convocados reconocioacute a las muchachas e indicoacute a los soldados la situacioacuten de la cercana casa de la abuela en los andurriales de la ciudad

La puerta cedioacute ante el explosivo y saltoacute arrancada de cuajo junto con sus goznes Disipado el humo los soldados pudieron distinguir a una anciana enmudecida por el terror y desplomada sobre su cama Se registroacute la casa Dos humildes cuchillos de cocina fueron las uacutenicas armas encontradas

Cuando al diacutea siguiente fueron lavados los cuerpos de las nintildeas el agua sanguinolenta se desparramoacute por el patio y discurrioacute por albantildeales hasta verter en el riacuteo Tigris Diacuteas maacutes tarde en la orilla izquierda de la corriente a un rosal le brotariacutean rosas algo maacutes rojas y un limonero dariacutea limones amargos en la ribera derecha

La sangre de las nintildeas se entremezcloacute en el riacuteo en un postrero abrazo fraternal El sol hizo luego su labor de horno y partiacuteculas de sangre de Faacutetima y de Azraa ascendieron asidas al agua evaporada Desde entonces los atardeceres son algo maacutes escarlata en la tierra que otrora fue Mesopotamia y en todo el orbe resuena el eco milenario de las palabras del Antiguo Testamento dichas para los oiacutedos de los violentos laquoCaiacuten iquestqueacute has hecho de tu hermanoraquo P Crespo

Las camas de la muerte ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte lavis punta seca buril y bruntildeidor ndash 177 x 221 mm

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Reggae reggaehellip (riacutea riacutea)

La escuela y el alumnado

Eacutesta es la coleccioacuten de disparates maacutes sonados cometidos por alumnos de ESO y bachillerato en exaacutemenes de geografiacutea e historia

Perlas variadas bull Al final de la edad media empiezan a

imponerse normas morales como no masticar la sopa

bull Una de las principales manifestaciones del arte goacutetico fueron las piraacutemides que como todo el mundo sabe son apuntadas

bull A partir del Concilio de Trento el matrimonio cristiano debiacutea ser consumado en presencia de un sacerdote

bull Despotismo ilustrado los reyes teniacutean todo el poder pero teniacutean que obedecer cuando el pueblo se poniacutea de acuerdo entre ellos

bull A la juventud hitleriana la preparaban tan bien que al cabo de un antildeo eran capaces de matar a su madre

bull iquestQueacute opinas de la Constitucioacuten Que es buena y guapa

bull Actualmente el paiacutes maacutes pequentildeo de Europa es San Pedro del Vaticano

bull El rey puso a Franco para que trajera la democracia

bull Franco era el rey que habiacutea antes de Juan Carlos I

bull Espantildea no participoacute en la Segunda Guerra Mundial porque Hitler teniacutea miedo de Franco

bull Franco fue un poliacutetico dictador que consiguioacute imponer durante el reinado de Felipe II un reacutegimen dictatorial

bull No seacute en queacute antildeo murioacute Franco pero seacute que murioacute asesinado

bull Democracia es cuando hay gente que mata otra gente o cuando un paiacutes echa bombas a otro o se pegan unos a otros pues esto es democracia

bull Cartografiacutea las faltas de ortografiacutea bull Un paralelo es una de aquellas liacuteneas que

dividen la Tierra en trozos pero es imaginario

bull Continente partiacuteculas de tierra donde vivimos nosotros

bull Anticicloacuten es la temperatura caliente y se mide en milibares

bull Caacutetedra pensioacuten o escuela para los que queriacutean ser curas

bull Petroacuteleo se obtiene por tuberiacuteas llamadas oleoductos y sirve de combustible

bull Desarrollo sostenible es el desarrollo que no es ni alto ni bajo es decir es mediano

bull Poliacutegono hombre con muchas mujeres bull Delta es un riacuteo que lleva muy poca

agua bull Capital de Alemania Merliacuten bull Principales cultivos espantildeoles la uva

que produce el gran aceite que se fabrica en Espantildea

bull Islas de Oceaniacutea Islas Haguai bull Los vientos huracanados producen a

veces atauacutedes de nieve bull La pintura al fresco consiste en pintar al

aire libre bull Sufragista quiere decir que siempre estaacute

navegando por los mares bull La Guerra Friacutea se caracteriza por matar

gente a sangre friacutea bull Hambre endeacutemica es la que pasa cuando

hay epidemias bull La explosioacuten demograacutefica se produce

porque en algunos paiacuteses se producen islas producto de una erupcioacuten volcaacutenica que bastante grandes como para ser evitadas

bull Estado del bienestar significa que todo lo que es puacuteblico se ha de cuidar

bull Deuda externa es si vas aun supermercado y quedas a deber mucho si no tienes dinero Esto es la deuda externa

Serrano J Reboredo J (2005) Perlas variadas en Historia de Espantildea contada por estudiantes Madrid La Esfera de los libros (Remitido por M Dolors Hipoacutelito)

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iexclLas modelos no somos estuacutepidas Pregunta iquestEn queacute paiacutes la estaacuten solicitando como modelo Respuesta No lo puedo decir todaviacutea pero les puedo adelantar que es un paiacutes brasilentildeo que no queda muy lejos de aquiacute (Kate Moss ex modelo de Calvin Klein) Pregunta Si llegara un holocausto nuclear iquestqueacute pareja elegiriacutea Ud en todo el mundo (hombre y mujer) para preservar y multiplicar la especie humana Respuesta Al Papa y a la Madre Teresa de Calcuta (Carolina Zuntildeiga candidata a Miss Chile) El fumar mata Si te mueres has perdido una parte muy importante de tu vida (Brooke Shields entrevista para una campantildea federal antitabaco) Pregunta Si usted pudiera vivir siempre iquestlo hariacutea iquestpor queacute Respuesta Yo no viviriacutea siempre porque no deberiacuteamos vivir siempre porque si se supusiera que debieacuteramos vivir siempre entonces viviriacuteamos siempre pero no podemos vivir siempre que es por lo cual yo no viviriacutea siempre (Miss Alabama en el concurso Miss America 1999) Esa rastrera sinverguumlenza merece ser matada a patadas por un asno iexclY yo soy justo la indicada para hacerlo (Declaracioacuten de Claudia Shiffer sobre Naomi Campbell) No es la contaminacioacuten la que estaacute dantildeando el ambiente Son todas las impurezas en nuestro aire y en nuestra agua las que lo estaacuten haciendo (Pamela Anderson) No he cometido ninguacuten delito Lo que hice fue no cumplir con la ley (Jennifer Lopez al ser detenida junto con Puff Daddy) Siempre que veo la tele y veo a esos pobres nintildeos hambrientos en todo el mundo no puedo evitar llorar Quiero decir me encantaria ser asiacute de flaquita pero no con todas esas moscas y muerte y esas cosas (Mariah Carey cantante) Tomado de Internet por JMaiO 2006 Jacinto Benavente y la coma Doctor Mi previsioacuten se anticipa a todo Bastaraacute con puntuar debidamente alguacuten conceptoVed aquiacute donde dicerdquo Y resultando que no declaroacuterdquo basta una coma y dice ldquo Y resultando que no declaroacuterdquo Y aquiacuterdquoY resultando que no debe condenaacuterselerdquo fuera la coma y dice Y resultando que no debe condenaacuterselerdquo Crispiacuten iexclOh admirable coma iexclMaravillosa coma iexclGenio de la Justicia iexclOraacuteculo de la Ley iexcl Monstruo de la Jurisprudencia Jacinto Benavente Los Intereses Creados Acto segundo escena final

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Tomo una y entrego dos Mariano Nieto propone en [C-90] (seccioacuten correo) el problema que sigue En una urna hay una bola blanca y otra negra Se saca al azar una de ellas y se

devuelve a la urna acompantildeada de otra del mismo color Esta operacioacuten se repite un nuacutemero indefinido de veces

iquestCuaacutel es la probabilidad de que cuando la urna contenga 20 bolas haya 10 de cada color Solucioacuten

Sea (b n) la composicioacuten de la urna con b bolas blancas y n negras y llamemos etapa a cada intervencioacuten que extrae una bola de la urna y devuelve dos Convengamos en que la configuracioacuten de partida (11) corresponde a la etapa 1 En la etapa 2 tendremos las dos configuraciones posibles de la urna (21) y (12) asociadas con la misma probabilidad de 12

Esta simetriacutea inicial nos sugiere el siguiente procedimiento por induccioacuten Si suponemos que en la etapa n cada una de las n configuraciones posibles

(n 1) (n ndash 1 2) (n ndash 2 3) (n ndash a a + 1) (2 n ndash 1) (1 n) [1] tiene la misma probabilidad p de ocurrir (con p =1n por lo tanto) podemos calcular las probabilidades y configuraciones de la etapa n + 1

a) La probabilidad de la configuracioacuten (n + 11) (rama izquierda del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(n + 11) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

b) La probabilidad de la configuracioacuten (1 n+1) (rama derecha del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(1 n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

c) La configuracioacuten (n ndash a a + 2) con 0 le a le (n ndash 2) para asegurar que se recorre el rango de configuraciones de la etapa (n + 1) con exclusioacuten de las extremas antes consideradas proviene de (n ndash a a + 1) tras sacar una bola negra o bien de (n ndash a ndash 1 a + 2) luego de resultar blanca la bola extraiacuteda Su probabilidad seraacute por lo tanto

p x (a + 1) (n + 1) + p x (n ndash a ndash 1) (n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

de modo que todas las configuraciones de la etapa n + 1 tendraacuten tambieacuten la misma probabilidad en este caso 1(n + 1)

En la etapa 3 por ejemplo es faacutecil ver que las 3 configuraciones posibles (3 1) (2 2) y (1 3) comparten la probabilidad 13 Asiacute pues el meacutetodo de induccioacuten nos permite concluir que en la etapa n es decir tras n ndash 1 operaciones con la urna eacutesta contendraacute (n + 1) bolas y tendremos las n configuraciones posibles [1] a cada una de las cuales le corresponde la misma probabilidad 1 n

La configuracioacuten (10 10) por la que pregunta el problema perteneceraacute por lo tanto a la etapa n = 19 (tras 18 operaciones con la urna) y en consecuencia su probabilidad seraacute igual a 1 19 algo mayor que 526 por ciento

En general a la configuracioacuten (b n) donde b es el nuacutemero de bolas blancas y n el de negras siendo b y n nuacutemeros naturales cualesquiera ya que cualquier configuracioacuten es alcanzable le corresponderaacute la probabilidad p(b n) = 1 (b + n ndash 1) P Crespo septiembre 2006

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iquestDe doacutende sale el nuacutemero e Un escuchante miacuteo de RNE en el programa sobre matemaacuteticas de los antildeos 2005-06 me hace la siguiente consulta Cuando estudiaba sexto de bachillerato (plan de ensentildeanza 1957) un dia el profesor de matemaacuteticas llegoacute a clase y dijo Hoy toca el nuacutemero e Y a continuacioacuten escribioacute en la pizarra la expresioacuten conocida de liacutemite cuando n tiende a infinito de 1 maacutes 1 partido por n elevado a n La desarrolloacute por el binomio de Newton y obtuvo el conocido resultado de 2718281 Despueacutes nos dijo que el numero e era muy importante en matemaacuteticas y que se utilizaba para la base de los logaritmos neperianos Es curioso ver como la derivada del logaritmo neperiano de x = 1x EXACTO siendo la base del logaritmo un nuacutemero absolutamente INEXACTO IRRACIONAL Realmente me quedeacute sorprendido Primero de coacutemo al baroacuten de Neacuteper se le habiacutea ocurrido utilizar como base de logaritmos a un nuacutemero irracional y segundo por queacute nunca me explicaron a quieacuten se le ocurrioacute calcular el liacutemite de la expresioacuten (1+1n)n iquestPor queacute se le ocurrioacute a alguien esta expresioacuten y no otra iquestDe donde surgioacute tal necesidad Creo que eso era lo primero que mi profesor de matemaacuteticas teniacutea que habernos contado antes de calcular el liacutemite Probablemente el profesor no conociacutea la respuesta que efectivamente es difiacutecil de encontrar en los actuales libros de texto La definicioacuten actual de logaritmo de un nuacutemero es ldquoel exponente a que hay que elevar una base dada para obtener dicho nuacutemerordquo Asiacute por ejemplo en base 10 el logaritmo de 2 es log10 2 = 0301030 porque 100301030 = 2 (aproximadamente) Pero Neper no concibioacute asiacute el logaritmo para eacutel era el resultado de comparar una progresioacuten aritmeacutetica y otra geomeacutetrica Los teacuterminos de la primera seriacutean los logaritmos de los de la segunda Esto se ve muy claro en esta tabla en la que la razoacuten de la progresioacuten aritmeacutetica es 1 y la de la geomeacutetrica es 10

Progresioacuten aritmeacutetica (razoacuten 1) -3 -2 -1 0 1 2 3Progresioacuten geomeacutetrica (razoacuten 10) 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103

De la propia estructura de ambas progresiones se desprende que un producto de teacuterminos en la progresioacuten geomeacutetrica se corresponde con una suma en la progresioacuten aritmeacutetica Asiacute por las propiedades de los productos de potencias de una misma base seraacute log (xy) = log x + log y y tambieacuten log (xk) = k log x etc Por la misma tabla en la base 10 log (10-3) = log (0001) = -3 log (102) = log (100) = 2 etc Pero iquestqueacute ocurre con los valores intermedios iquestCoacutemo definir para ellos un logaritmo Neper intentoacute responder esta pregunta considerando dos progresiones de razones respectivas α y 1+β siendo (α β) muy pequentildeos Entonces dado un nuacutemero N siempre se podriacutea encontrar un valor n tal que (1+ β)n = N (dentro de una aproximacioacuten suficiente) Entonces el logaritmo de N seriacutea nα Las progresiones maacutes sencillas imaginables son aqueacutellas para las que α = β Entonces seraacute

log N = log [(1+α)n] = nα En esta expresioacuten n seraacute muy grande y α seraacute muy pequentildeo Haciendo nα = L podemos escribir la anterior igualdad

log N = log [(1+ α)1α]nα = log [1+ α)1α]L

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Definamos ahora el nuacutemero e como el liacutemite de (1+α)1α cuando α se hace infinitamente pequentildeo o sea

α

αα

1

0)1(lim +=

rarr

e

Y la expresioacuten se simplificaraacute notablemente

log N = log eL = L log e Resulta inmediatamente que el nuacutemero e = 2718281hellip es la base de logaritmos maacutes conveniente desde el punto de vista teoacuterico pues en ella seraacute log e = 1 Eacutestos son llamados los logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos (este uacuteltimo nombre procede de que miden el aacuterea subtendida entre una hipeacuterbola y su asiacutentota) El nuacutemero e es sin duda el maacutes importante en matemaacuteticas aunque π sea maacutes popular Se recuerdan sus primeras cifras con la mnemotecnia Te ayudareacute a recordar la cantidad a indoctos si releacuteesme bien Se aplica por el nuacutemero de letras de cada palabra Te = 2 ayudareacute = 7 etc En la praacutectica son maacutes usados los logaritmos decimales o de Briggs que tienen por base el nuacutemero 10 Presentan la ventaja de que la parte decimal de cada logaritmo (mantisa) no cambia al ser multiplicado el nuacutemero por una potencia de 10 lo que hace muy praacutecticas las tabulaciones El paso de los logaritmos de una a otra base es muy sencillo mediante el nuacutemero M = log 10 = 2302585 Se deduce sin dificultad que log x = M log10 x Josep M Albaigegraves Barcelona octubre 2006

El nuacutemero e es el uacutenico que verifica que el valor de la derivada (inclinacioacuten de la tangente en rojo en la figura) de f(x) = ex para cualquier valor de x es igual al valor de f(x)

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Cruzando el desierto en jeep Enunciado (propuesto por Mariano Nieto en C-83 seccioacuten correo) Un jeep ha de atravesar un desierto de 800 kiloacutemetros Admite una carga maacutexima para recorrer 500 kiloacutemetros y se quiere conocer la menor cantidad de tales cargas que hay que consumir para alcanzar la meta El depoacutesito inicial se supone de capacidad ilimitada y el jeep puede establecer tantos depoacutesitos intermedios como haga falta Se desea conocer tambieacuten el nuacutemero de viajes parciales que lleva a cabo el jeep teniendo en cuenta que ante dos soluciones iguales (mismo consumo) se preferiraacute la que implique menos viajes parciales Planteo

Supongamos que se depositan cargas en los puntos 1 2 hellipi hellipy llamemos ci a la carga del depoacutesito en el punto i y cf a la del punto siguiente i + 1 Si la distancia entre ambos puntos es d para transportar la carga del punto i al i +1 se necesitaraacuten n viajes de ida y vuelta y un uacuteltimo viaje de ida El depoacutesito en el punto i constaraacute pues de n cargas para 500 km y un remanente al que llamaremos cr Podemos plantear las ecuaciones siguientes

cf = (500 - 2d) n + cr - d (1) ci = 500 n + cr (2) r = (2n + 1) d (3) cr = 500 (4)

donde r es el recorrido del jeep (equivalente a la carga consumida) en el transporte entre ambos depoacutesitos

Los caacutelculos han de efectuarse retrocediendo desde el final hasta la situacioacuten de salida (o sea pasando desde el depoacutesito i +1 al i) para garantizar que se transporta siempre la cantidad miacutenima precisa Cuidaremos tambieacuten de que el valor de n sea el menor posible puesto que los viajes de ida y vuelta aunque necesarios son obviamente menos eficaces en cuanto a rendimiento que los directos Solucioacuten Las ecuaciones anteriores sugieren una viacutea para la solucioacuten del problema basada en separar los tramos para los cuales n (nuacutemero de viajes de ida y vuelta) se mantiene constante El valor de n iraacute en aumento al progresar desde el final hacia el inicio puesto que la capacidad de los depoacutesitos iraacute aumentando en ese sentido y cada vez que se produzca un incremento de 500 km de carga se haraacute necesario aumentar n en una unidad Asiacute pues tendremos 1- Tramo con n = 0 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se progresa desde el final (punto kilomeacutetrico 800) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 0 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

cf = cr ndash d

Como la carga final cf es nula al llegar al punto final (800 km) y es cr = 500 (el maacuteximo posible) basta con llevar a cabo un viaje de ida solamente que salva la distancia d = 500 km El consumo es justamente de 500 km o una carga Esto nos

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coloca a una distancia del origen de 300 km con un depoacutesito con carga para 500 km en dicho punto al que llamaremos D 2 - Tramo con n = 1 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se calcula desde el final (punto kilomeacutetrico 300) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 1 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

500 = 500 - 2d + cr - d = 500 + cr ndash 3 d Hasta que se agote la carga residual maacutexima cr = 500 tendremos

d = 500 3 (5)

La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =1 (es decir donde se pasa de n =1 a n =2 si se lee desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 1) = 300 ndash 5003 = 4003 = 133 3333hellip km El consumo en todo este tramo final (donde n =1) seraacute

consumo (n = 1) = 3 d = 3 times 5003 = 500 Tenemos asiacute tres viajes de 5003 km Al final de la operacioacuten se habraacute transportado una carga de 500 km con un consumo de 500 km tal como se ha calculado antes Como ya se ha visto nos hallamos ahora a una distancia del origen igual a 4003= 133333hellip km Bautizamos este punto como C donde el depoacutesito tendraacute una carga para 1000 km 3 Tramo con n = 2 Ahora la foacutermula (1) se expresa

1000 = 1000 - 4d + cr - d = 1000 + cr ndash 5 d Para una carga residual maacutexima cr = 500 seraacute

d = 5005 = 100 (6) La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =2 (es decir donde se pasa de n =2 a n =3 leyendo desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 2) = 400 3 - 100 = 100 3 = 333333hellipk m El consumo en todo este tramo (donde n =2) seraacute

consumo (n = 2) = 5 d = 500 Se salva una distancia de 100 km y se comprueba que el consumo seraacute de 5 times 100 = 500 La carga transportada seraacute de 2 times 300 + 400 = 1000 km carga que se deja en el depoacutesito C En este punto B nos encontramos a una distancia del origen de 1003 = 33333hellip km y con un depoacutesito con carga para 1500 km

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4 Tramo con n = 3 En este caso la foacutermula (1) es

1500 = 1500 - 6d + cr - d = 1500 + cr - 7d Tendremos ahora d = 5007 gt 100 3 desigualdad que nos dice que la distancia que puede cubrirse con n = 3 supera la distancia que nos separa del origen Asiacute que bastaraacute trabajar de forma que se tenga

d = 1003 (7) Con estas condiciones el consumo correspondiente valdraacute

consumo (n = 3) = 7 d = 700 3 El nuacutemero de viajes seraacute ahora igual a 2 n + 1 = 7 cada uno de los cuales cubre la distancia d = 1003 La carga que se toma del depoacutesito inicial seraacute 1500 + 7003 Consumo total El consumo total que se busca seraacute por lo tanto exactamente Consumo total = 500 (para recorrer los uacuteltimos 500 km n = 0) + 500 (n = 1) + + 500 (n = 2) + 7003 (n = 3) = 1500 + 7003 lo que expresado en cargas resulta ser (1500 + 7003) 500 = 3+7 15 = 34666hellip El nuacutemero total de viajes resulta ser sumando los de las etapas parciales igual a 16 La tabla 1 muestra los valores relevantes para cada una de las etapas dispuestos ahora desde el inicio hasta el final

Km n viajes d (km) consumo (km) carga (km) A (origen) 1500 + 700 3

0 a 1003 (B) 3 7 100 3 700 3 1500 1993 a 4003 (C) 2 5 100 500 1000 4003 a 300 (D) 1 3 500 3 500 500 300 a 800 (E) 0 1 500 500 0

TOTALES 16 800 1500 + 700 3 Tabla 1

El resultado es por tanto Consumo = (1500 + 700 3) 500 = 3 + 7 15 = 34666hellipasymp 347 Viajes = 16 Notas finales Otra cuestioacuten que suscita este problema es la de si existe una limitacioacuten a la anchura del desierto que se ha de atravesar La respuesta es que no existe tal liacutemite puesto que como se aprecia sin dificultad la taacutectica para ir situando combustible en posiciones avanzadas y que expresan las ecuaciones (1) a (4) permite trabajar a partir de cualquier distancia P Crespo noviembre 2006

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Pitaacutegora y su relacioacuten con los proyectiles

El otro diacutea andando por la calle vi el anagrama de una empresa de consulting

Como puede verse el siacutembolo de la empresa es (aproximadamente) el tan conocido triaacutengulo pitagoacuterico de lados 3 4 y 5 Lo vemos inscrito en un cuadrado el miacutenimo que puede contenerlo iquestCuaacutel es el lado de este cuadrado

Solucioacuten Llamemos α al aacutengulo que forma el cateto largo con el lado vertical del cuadrado Es

inmediato establecer las ecuaciones

4 cos α = L = 4 sin α + 3 cos α Que permite llegar a la igualdad

cos α = 4 sin α De donde se obtiene tan α = α o sea α = 14036ordm El lado vale L = 4 cos 14036ordm = 38806 Es curioso que este aacutengulo es el mismo con el que debe ser lanzado un proyectil para

que la altura alcanzada sea igual al alcance En efecto la primera vale

gvh

2sin 22

0max

ϕ=

Mientras que el alcance es

gvx ϕ2sin2

0=

Igualando ambas ecuaciones se llega a cos φ = frac14 El aacutengulo φ es el complementario

del α antes hallado El proyectil deberiacutea dispararse tangente al cateto de lado 4 JMAiO BCN sep 06

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PROBLEMA DE LA DIVISIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO

Dado un triaacutengulo ABC y un punto P situado en su interior se pide trazar una recta MN que pasando por el punto P divida al triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea o que esteacuten en una proporcioacuten dada

A

B C

P

M

N

Q

q

p

R

x

y

Solucioacuten El problema implica dos condiciones - 1ordm Que los puntos M P y N esteacuten alineados - 2ordm Que las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB esteacuten en una proporcioacuten dada

Veamos como podemos dar forma algebraica a estas dos condiciones Tracemos desde el punto P como se indica en la figura las paralelas a los lados BC y AC hasta que corten en los puntos R y Q respectivamente a los lados AC y BC Llamemos x y p y q a los segmentos MR NQ PQ y PR Los valores de x e y se obtendraacuten al resolver el sistema de ecuaciones que suponen las dos condiciones dadas La primera condicioacuten ya que los triaacutengulos MRP y PQN son semejantes se expresa escribiendo

yp

qx=

La segunda condicioacuten puesto que los triaacutengulos MCN y ACB tienen comuacuten el aacutengulo en C equivale a decir que los productos de los lados de cada triaacutengulo que concurren en el veacutertice C estaacuten en la proporcioacuten en la que estaacuten sus aacutereas Llamando k al cociente entre las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB la segunda condicioacuten la escribiremos asiacute

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( )( ) kabqypx =++

donde a y b son respectivamente los lados BC y AC del triaacutengulo dado El sistema de ecuaciones escrito nos conduce a la siguiente ecuacioacuten de segundo grado que resuelve el problema

( ) 02 22 =+minusminus qpxpqkabqx

( )

qpqkabkabpqkab

x2

42 minusplusmnminus=

xpqy =

La condicioacuten para que el problema tenga solucioacuten real es que el radicando no sea negativo es decir

( ) 04 geminus pqkabkab

pqkab 4ge

abpqk 4

ge

Resulta innecesario decir que para k=05 la recta divide el triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea teniendo que darse previamente la condicioacuten del paacuterrafo anterior Notas 1- La primera condicioacuten tambieacuten se puede expresar escribiendo la recta MN en su forma canoacutenica en el sistema de coordenadas cartesianas oblicuas definido por los ejes CA y CB obligando a que el punto P esteacute en ella es decir

1=+

++ xp

pyq

q o sea pqxy =

2- El valor de k tambieacuten depende del par de lados respecto a los cuales se hayan trazado las paralelas para disponer de los valores de p y q Puede darse el caso de que aun siendo negativo el radicando para la pareja de lados elegida no lo sea para alguna otra y el problema siga teniendo solucioacuten

Manuel Rodriacuteguez Saacutenchez ndash Septiembre de 2006

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Re-citando las citas de laquoPelucheraquo

laquoLas mujeres hablan porque desean hablar mientras que un hombre soacutelo habla cuando se siente empujado por algo ajeno a eacutel como por ejemplo si no encuentra unos calcetines limpiosraquo (Jean Kerr 1922-2003 escritora estadounidense) laquoDonde hay matrimonio sin amor habraacute amor sin matrimonioraquo (Benjamin Franklin cientiacutefico poliacutetico y filoacutesofo norteamericano) laquoSi quieres ver una especie en peligro de extincioacuten miacuterate al espejoraquo (John Young 1930 cientiacutefico estadounidense) laquoAntes de pedir dinero a un amigo decide cual de las dos cosas necesitas maacutesraquo (Jean de La Bruyegravere 1645-1696 moralista franceacutes) laquoComprendes que estaacutes envejeciendo cuando las velitas cuestan maacutes que la tartaraquo (Bob Hope 1903-2003 actor estadounidense) laquoA mi juicio el mejor gobierno es el que deja a la gente maacutes tiempo en pazraquo (Walt Whitman 1819-1892 poeta estadounidense) laquoSi el hijo de Bono se casa con la hija de Bush iquestla descendencia se llamaraacute Bono Bushraquo (Alberto C 1983 estudiante de reflexologiacutea podal) laquoPara escribir un buen libro no considero imprescindible conocer Pariacutes ni haber leiacutedo el Quijote Cervantes cuando lo escribioacute aun no lo habiacutea leiacutedoraquo (Miguel Delibes 1920 escritor espantildeol) laquoComo todo el mundo sabe los cantos de las sirenas atraen a los hombres para luego acabar con ellos Especialmente las sirenas de las faacutebricasraquo (Jaume Perich Escala 1940-1995 humorista espantildeol) P C Citas tomadas de laquoPelucheraquo con su consentimiento

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Si las palabras de Chillida estaacuten recogidas con fidelidad lamento no estar de acuerdo con ellas porque no creo que las personas se encasillen tan faacutecilmente Pero de todos modos si ustedes creen que represento ese problema no tienen maacutes que haceacutermelo saber Porque como anuncieacute en la seccioacuten correo tireacute mi regla de caacutelculo al riacuteo para mirarla como se hundiacutea (era el uacuteltimo recuerdo del carintildeo que yo le teniacutea etc) y comienzo mis pinitos en cuentos cortos (muy cortos prometido) y otras atrevidas incursiones

[La figura es un recorte del libro de vintildeetas-paacutegina laquoel Arte - conversaciones imaginarias con mi madreraquo de Juanjo Saacuteez Aunque sus ideas sobre el arte parecen discutibles es un libro entrantildeable]

Una uacuteltima advertencia relativa al cuento que sigue y dirigida a los que puedan sacar la conclusioacuten de que tengo imaginacioacuten desviada las hemerotecas son del 29 de noviembre de 2003

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Caperucitas blancas En memoria de Joseacute Couso porque nos volvimos maacutes ciegos cuando sus ojos se apagaron

Una nintildea hasta haciacutea poco ahora cuajada en mujer moldeada por quince primaveras Faacutetima era la mayor de las dos hermanas La pequentildea Azraa a sus doce antildeos era todaviacutea un incipiente brote femenino delicado y menudo

Noviembre agotaba sus diacuteas y haciacutea cuatro que habiacutean empezado las fiestas del fin del Ramadaacuten el mes sagrado del ayuno Ese jueves la ilusioacuten se asomaba a los rostros de ambas hermanas porque iriacutean a cenar a casa de su abuela y pasariacutean la noche con ella Habriacutea puchero y berenjena rellena y despueacutes los dulces de pistacho y de miel y antes de dormir las historias de la lsquoyaddarsquo Jazmina ―la abuelita― llenas del encanto de otros tiempos cuando en los mercados de Baaquba competiacutean entre siacute los colores de los frutos las especias las telas y las alfombras y los asnos eran amigos resignados de los hombres y los paacutejaros hablaban con los nintildeos y eran alegres y eran parlanchines y traiacutean noticias de lugares exoacuteticos

La madre preparoacute una cesta con los pastelillos para el postre Pero la abuela habiacutea expresado el temor de no disponer de lentildea suficiente asiacute que las pequentildeas debiacutean pasar antes por el huerto del tiacuteo Abbash que siempre teniacutea preparada una reserva de lentildeos y sarmientos y habiacutea dado licencia a la familia para recoger de su finca todo aquello que fuera necesario Para llegar al huerto era obligado atravesar un trecho boscoso no era cosa de permitir que las sorprendiera la noche y puesto que la tarde ya se habiacutea insinuado las nintildeas se pusieron con diligencia en camino La pequentildea llevaba apoyada contra su cintura la cesta con los dulces y la mayor se hizo cargo de dos piezas de tela destinadas a sujetar la lentildea y de un hacha pequentildea para trocear los sarmientos

Ya en la finca llevoacute maacutes tiempo del previsto preparar los vaacutestagos para adecuarlos al tamantildeo de la menor de las muchachas y las sombras no esperaron Ante el asomo de la noche las nintildeas iniciaron el regreso en direccioacuten a la casa de la abuela cada una con su hatillo a la espalda la menor abriendo paso con la cesta de los pasteles en su regazo seguida de cerca por su hermana

A menos de cincuenta metros de alliacute Lobo Feroz Dos miraba por el visor de

infrarrojos e informaba de la escena a su compantildeero En el sendero que lindaba con el bosque dos siluetas blanquecinas se recortaban en la oscuridad en contraste con la espesura y los pantildeuelos que cubriacutean sus cabezas las perfilaban como dos caperucitas que se moviacutean avanzando deprisa La mayor pareciacutea sujetar una pistola en su mano

―Lobo Feroz Uno llamando a Halcoacuten Pardo ge-pe-ese delta sur uno doce oeste cero quince Dos sospechosas a la vista parecen llevar armas Esperamos instrucciones Cambio

―Halcoacuten Pardo a Lobo Feroz Ya conocen las consignas Cambio ―Parecen dos nintildeas― apuntoacute Lobo Feroz Dos ―Lobo Feroz Uno a Halcoacuten Pardo Es posible que se trate de dos menores

Solicitamos refuerzos para comprobacioacuten Cambio ―Sargento le recuerdo que estamos en la Operacioacuten Martillo de Hierro Debe

proceder seguacuten la consigna Cambio y corto ―Hemos de disparar― dijo Lobo Feroz Uno a Lobo Feroz Dos ―Pero ― balbuceoacute eacuteste ―Oacuterdenes Encaacutergate del objetivo de la izquierda yo tirareacute sobre el derecho

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La cabeza de Faacutetima se quebroacute como se rompe el fruto del granado cuando se lo arroja con fuerza contra el suelo Con su velo blanco habiacutea sido Caperucita Blanca mientras se desplomaba fue Caperucita a topos rojos poco tiempo despueacutes bajo los focos luminosos era Caperucita Roja yaciendo sobre la hierba del lindero del bosque ya para siempre dormida sus intensos ojos negros abiertos en un gesto uacuteltimo de asombro irracional A su lado la pretendida pistola no era sino el hacha nimia que le habiacutea servido de herramienta

Cerca de ella Azraa acribillada se debatioacute en el suelo durante un tiempo entre espasmos y dentelladas de dolor Desprendido el pantildeuelo varias manchas tentildeiacutean de carmiacuten sus cabellos que hasta entonces habiacutean sido siempre de un azabache casi mineral

La fase siguiente de la laquoOperacioacuten Martillo de Hierroraquo se puso en marcha Uno de los confidentes convocados reconocioacute a las muchachas e indicoacute a los soldados la situacioacuten de la cercana casa de la abuela en los andurriales de la ciudad

La puerta cedioacute ante el explosivo y saltoacute arrancada de cuajo junto con sus goznes Disipado el humo los soldados pudieron distinguir a una anciana enmudecida por el terror y desplomada sobre su cama Se registroacute la casa Dos humildes cuchillos de cocina fueron las uacutenicas armas encontradas

Cuando al diacutea siguiente fueron lavados los cuerpos de las nintildeas el agua sanguinolenta se desparramoacute por el patio y discurrioacute por albantildeales hasta verter en el riacuteo Tigris Diacuteas maacutes tarde en la orilla izquierda de la corriente a un rosal le brotariacutean rosas algo maacutes rojas y un limonero dariacutea limones amargos en la ribera derecha

La sangre de las nintildeas se entremezcloacute en el riacuteo en un postrero abrazo fraternal El sol hizo luego su labor de horno y partiacuteculas de sangre de Faacutetima y de Azraa ascendieron asidas al agua evaporada Desde entonces los atardeceres son algo maacutes escarlata en la tierra que otrora fue Mesopotamia y en todo el orbe resuena el eco milenario de las palabras del Antiguo Testamento dichas para los oiacutedos de los violentos laquoCaiacuten iquestqueacute has hecho de tu hermanoraquo P Crespo

Las camas de la muerte ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte lavis punta seca buril y bruntildeidor ndash 177 x 221 mm

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Reggae reggaehellip (riacutea riacutea)

La escuela y el alumnado

Eacutesta es la coleccioacuten de disparates maacutes sonados cometidos por alumnos de ESO y bachillerato en exaacutemenes de geografiacutea e historia

Perlas variadas bull Al final de la edad media empiezan a

imponerse normas morales como no masticar la sopa

bull Una de las principales manifestaciones del arte goacutetico fueron las piraacutemides que como todo el mundo sabe son apuntadas

bull A partir del Concilio de Trento el matrimonio cristiano debiacutea ser consumado en presencia de un sacerdote

bull Despotismo ilustrado los reyes teniacutean todo el poder pero teniacutean que obedecer cuando el pueblo se poniacutea de acuerdo entre ellos

bull A la juventud hitleriana la preparaban tan bien que al cabo de un antildeo eran capaces de matar a su madre

bull iquestQueacute opinas de la Constitucioacuten Que es buena y guapa

bull Actualmente el paiacutes maacutes pequentildeo de Europa es San Pedro del Vaticano

bull El rey puso a Franco para que trajera la democracia

bull Franco era el rey que habiacutea antes de Juan Carlos I

bull Espantildea no participoacute en la Segunda Guerra Mundial porque Hitler teniacutea miedo de Franco

bull Franco fue un poliacutetico dictador que consiguioacute imponer durante el reinado de Felipe II un reacutegimen dictatorial

bull No seacute en queacute antildeo murioacute Franco pero seacute que murioacute asesinado

bull Democracia es cuando hay gente que mata otra gente o cuando un paiacutes echa bombas a otro o se pegan unos a otros pues esto es democracia

bull Cartografiacutea las faltas de ortografiacutea bull Un paralelo es una de aquellas liacuteneas que

dividen la Tierra en trozos pero es imaginario

bull Continente partiacuteculas de tierra donde vivimos nosotros

bull Anticicloacuten es la temperatura caliente y se mide en milibares

bull Caacutetedra pensioacuten o escuela para los que queriacutean ser curas

bull Petroacuteleo se obtiene por tuberiacuteas llamadas oleoductos y sirve de combustible

bull Desarrollo sostenible es el desarrollo que no es ni alto ni bajo es decir es mediano

bull Poliacutegono hombre con muchas mujeres bull Delta es un riacuteo que lleva muy poca

agua bull Capital de Alemania Merliacuten bull Principales cultivos espantildeoles la uva

que produce el gran aceite que se fabrica en Espantildea

bull Islas de Oceaniacutea Islas Haguai bull Los vientos huracanados producen a

veces atauacutedes de nieve bull La pintura al fresco consiste en pintar al

aire libre bull Sufragista quiere decir que siempre estaacute

navegando por los mares bull La Guerra Friacutea se caracteriza por matar

gente a sangre friacutea bull Hambre endeacutemica es la que pasa cuando

hay epidemias bull La explosioacuten demograacutefica se produce

porque en algunos paiacuteses se producen islas producto de una erupcioacuten volcaacutenica que bastante grandes como para ser evitadas

bull Estado del bienestar significa que todo lo que es puacuteblico se ha de cuidar

bull Deuda externa es si vas aun supermercado y quedas a deber mucho si no tienes dinero Esto es la deuda externa

Serrano J Reboredo J (2005) Perlas variadas en Historia de Espantildea contada por estudiantes Madrid La Esfera de los libros (Remitido por M Dolors Hipoacutelito)

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iexclLas modelos no somos estuacutepidas Pregunta iquestEn queacute paiacutes la estaacuten solicitando como modelo Respuesta No lo puedo decir todaviacutea pero les puedo adelantar que es un paiacutes brasilentildeo que no queda muy lejos de aquiacute (Kate Moss ex modelo de Calvin Klein) Pregunta Si llegara un holocausto nuclear iquestqueacute pareja elegiriacutea Ud en todo el mundo (hombre y mujer) para preservar y multiplicar la especie humana Respuesta Al Papa y a la Madre Teresa de Calcuta (Carolina Zuntildeiga candidata a Miss Chile) El fumar mata Si te mueres has perdido una parte muy importante de tu vida (Brooke Shields entrevista para una campantildea federal antitabaco) Pregunta Si usted pudiera vivir siempre iquestlo hariacutea iquestpor queacute Respuesta Yo no viviriacutea siempre porque no deberiacuteamos vivir siempre porque si se supusiera que debieacuteramos vivir siempre entonces viviriacuteamos siempre pero no podemos vivir siempre que es por lo cual yo no viviriacutea siempre (Miss Alabama en el concurso Miss America 1999) Esa rastrera sinverguumlenza merece ser matada a patadas por un asno iexclY yo soy justo la indicada para hacerlo (Declaracioacuten de Claudia Shiffer sobre Naomi Campbell) No es la contaminacioacuten la que estaacute dantildeando el ambiente Son todas las impurezas en nuestro aire y en nuestra agua las que lo estaacuten haciendo (Pamela Anderson) No he cometido ninguacuten delito Lo que hice fue no cumplir con la ley (Jennifer Lopez al ser detenida junto con Puff Daddy) Siempre que veo la tele y veo a esos pobres nintildeos hambrientos en todo el mundo no puedo evitar llorar Quiero decir me encantaria ser asiacute de flaquita pero no con todas esas moscas y muerte y esas cosas (Mariah Carey cantante) Tomado de Internet por JMaiO 2006 Jacinto Benavente y la coma Doctor Mi previsioacuten se anticipa a todo Bastaraacute con puntuar debidamente alguacuten conceptoVed aquiacute donde dicerdquo Y resultando que no declaroacuterdquo basta una coma y dice ldquo Y resultando que no declaroacuterdquo Y aquiacuterdquoY resultando que no debe condenaacuterselerdquo fuera la coma y dice Y resultando que no debe condenaacuterselerdquo Crispiacuten iexclOh admirable coma iexclMaravillosa coma iexclGenio de la Justicia iexclOraacuteculo de la Ley iexcl Monstruo de la Jurisprudencia Jacinto Benavente Los Intereses Creados Acto segundo escena final

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Tomo una y entrego dos Mariano Nieto propone en [C-90] (seccioacuten correo) el problema que sigue En una urna hay una bola blanca y otra negra Se saca al azar una de ellas y se

devuelve a la urna acompantildeada de otra del mismo color Esta operacioacuten se repite un nuacutemero indefinido de veces

iquestCuaacutel es la probabilidad de que cuando la urna contenga 20 bolas haya 10 de cada color Solucioacuten

Sea (b n) la composicioacuten de la urna con b bolas blancas y n negras y llamemos etapa a cada intervencioacuten que extrae una bola de la urna y devuelve dos Convengamos en que la configuracioacuten de partida (11) corresponde a la etapa 1 En la etapa 2 tendremos las dos configuraciones posibles de la urna (21) y (12) asociadas con la misma probabilidad de 12

Esta simetriacutea inicial nos sugiere el siguiente procedimiento por induccioacuten Si suponemos que en la etapa n cada una de las n configuraciones posibles

(n 1) (n ndash 1 2) (n ndash 2 3) (n ndash a a + 1) (2 n ndash 1) (1 n) [1] tiene la misma probabilidad p de ocurrir (con p =1n por lo tanto) podemos calcular las probabilidades y configuraciones de la etapa n + 1

a) La probabilidad de la configuracioacuten (n + 11) (rama izquierda del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(n + 11) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

b) La probabilidad de la configuracioacuten (1 n+1) (rama derecha del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(1 n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

c) La configuracioacuten (n ndash a a + 2) con 0 le a le (n ndash 2) para asegurar que se recorre el rango de configuraciones de la etapa (n + 1) con exclusioacuten de las extremas antes consideradas proviene de (n ndash a a + 1) tras sacar una bola negra o bien de (n ndash a ndash 1 a + 2) luego de resultar blanca la bola extraiacuteda Su probabilidad seraacute por lo tanto

p x (a + 1) (n + 1) + p x (n ndash a ndash 1) (n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

de modo que todas las configuraciones de la etapa n + 1 tendraacuten tambieacuten la misma probabilidad en este caso 1(n + 1)

En la etapa 3 por ejemplo es faacutecil ver que las 3 configuraciones posibles (3 1) (2 2) y (1 3) comparten la probabilidad 13 Asiacute pues el meacutetodo de induccioacuten nos permite concluir que en la etapa n es decir tras n ndash 1 operaciones con la urna eacutesta contendraacute (n + 1) bolas y tendremos las n configuraciones posibles [1] a cada una de las cuales le corresponde la misma probabilidad 1 n

La configuracioacuten (10 10) por la que pregunta el problema perteneceraacute por lo tanto a la etapa n = 19 (tras 18 operaciones con la urna) y en consecuencia su probabilidad seraacute igual a 1 19 algo mayor que 526 por ciento

En general a la configuracioacuten (b n) donde b es el nuacutemero de bolas blancas y n el de negras siendo b y n nuacutemeros naturales cualesquiera ya que cualquier configuracioacuten es alcanzable le corresponderaacute la probabilidad p(b n) = 1 (b + n ndash 1) P Crespo septiembre 2006

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iquestDe doacutende sale el nuacutemero e Un escuchante miacuteo de RNE en el programa sobre matemaacuteticas de los antildeos 2005-06 me hace la siguiente consulta Cuando estudiaba sexto de bachillerato (plan de ensentildeanza 1957) un dia el profesor de matemaacuteticas llegoacute a clase y dijo Hoy toca el nuacutemero e Y a continuacioacuten escribioacute en la pizarra la expresioacuten conocida de liacutemite cuando n tiende a infinito de 1 maacutes 1 partido por n elevado a n La desarrolloacute por el binomio de Newton y obtuvo el conocido resultado de 2718281 Despueacutes nos dijo que el numero e era muy importante en matemaacuteticas y que se utilizaba para la base de los logaritmos neperianos Es curioso ver como la derivada del logaritmo neperiano de x = 1x EXACTO siendo la base del logaritmo un nuacutemero absolutamente INEXACTO IRRACIONAL Realmente me quedeacute sorprendido Primero de coacutemo al baroacuten de Neacuteper se le habiacutea ocurrido utilizar como base de logaritmos a un nuacutemero irracional y segundo por queacute nunca me explicaron a quieacuten se le ocurrioacute calcular el liacutemite de la expresioacuten (1+1n)n iquestPor queacute se le ocurrioacute a alguien esta expresioacuten y no otra iquestDe donde surgioacute tal necesidad Creo que eso era lo primero que mi profesor de matemaacuteticas teniacutea que habernos contado antes de calcular el liacutemite Probablemente el profesor no conociacutea la respuesta que efectivamente es difiacutecil de encontrar en los actuales libros de texto La definicioacuten actual de logaritmo de un nuacutemero es ldquoel exponente a que hay que elevar una base dada para obtener dicho nuacutemerordquo Asiacute por ejemplo en base 10 el logaritmo de 2 es log10 2 = 0301030 porque 100301030 = 2 (aproximadamente) Pero Neper no concibioacute asiacute el logaritmo para eacutel era el resultado de comparar una progresioacuten aritmeacutetica y otra geomeacutetrica Los teacuterminos de la primera seriacutean los logaritmos de los de la segunda Esto se ve muy claro en esta tabla en la que la razoacuten de la progresioacuten aritmeacutetica es 1 y la de la geomeacutetrica es 10

Progresioacuten aritmeacutetica (razoacuten 1) -3 -2 -1 0 1 2 3Progresioacuten geomeacutetrica (razoacuten 10) 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103

De la propia estructura de ambas progresiones se desprende que un producto de teacuterminos en la progresioacuten geomeacutetrica se corresponde con una suma en la progresioacuten aritmeacutetica Asiacute por las propiedades de los productos de potencias de una misma base seraacute log (xy) = log x + log y y tambieacuten log (xk) = k log x etc Por la misma tabla en la base 10 log (10-3) = log (0001) = -3 log (102) = log (100) = 2 etc Pero iquestqueacute ocurre con los valores intermedios iquestCoacutemo definir para ellos un logaritmo Neper intentoacute responder esta pregunta considerando dos progresiones de razones respectivas α y 1+β siendo (α β) muy pequentildeos Entonces dado un nuacutemero N siempre se podriacutea encontrar un valor n tal que (1+ β)n = N (dentro de una aproximacioacuten suficiente) Entonces el logaritmo de N seriacutea nα Las progresiones maacutes sencillas imaginables son aqueacutellas para las que α = β Entonces seraacute

log N = log [(1+α)n] = nα En esta expresioacuten n seraacute muy grande y α seraacute muy pequentildeo Haciendo nα = L podemos escribir la anterior igualdad

log N = log [(1+ α)1α]nα = log [1+ α)1α]L

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Definamos ahora el nuacutemero e como el liacutemite de (1+α)1α cuando α se hace infinitamente pequentildeo o sea

α

αα

1

0)1(lim +=

rarr

e

Y la expresioacuten se simplificaraacute notablemente

log N = log eL = L log e Resulta inmediatamente que el nuacutemero e = 2718281hellip es la base de logaritmos maacutes conveniente desde el punto de vista teoacuterico pues en ella seraacute log e = 1 Eacutestos son llamados los logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos (este uacuteltimo nombre procede de que miden el aacuterea subtendida entre una hipeacuterbola y su asiacutentota) El nuacutemero e es sin duda el maacutes importante en matemaacuteticas aunque π sea maacutes popular Se recuerdan sus primeras cifras con la mnemotecnia Te ayudareacute a recordar la cantidad a indoctos si releacuteesme bien Se aplica por el nuacutemero de letras de cada palabra Te = 2 ayudareacute = 7 etc En la praacutectica son maacutes usados los logaritmos decimales o de Briggs que tienen por base el nuacutemero 10 Presentan la ventaja de que la parte decimal de cada logaritmo (mantisa) no cambia al ser multiplicado el nuacutemero por una potencia de 10 lo que hace muy praacutecticas las tabulaciones El paso de los logaritmos de una a otra base es muy sencillo mediante el nuacutemero M = log 10 = 2302585 Se deduce sin dificultad que log x = M log10 x Josep M Albaigegraves Barcelona octubre 2006

El nuacutemero e es el uacutenico que verifica que el valor de la derivada (inclinacioacuten de la tangente en rojo en la figura) de f(x) = ex para cualquier valor de x es igual al valor de f(x)

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Cruzando el desierto en jeep Enunciado (propuesto por Mariano Nieto en C-83 seccioacuten correo) Un jeep ha de atravesar un desierto de 800 kiloacutemetros Admite una carga maacutexima para recorrer 500 kiloacutemetros y se quiere conocer la menor cantidad de tales cargas que hay que consumir para alcanzar la meta El depoacutesito inicial se supone de capacidad ilimitada y el jeep puede establecer tantos depoacutesitos intermedios como haga falta Se desea conocer tambieacuten el nuacutemero de viajes parciales que lleva a cabo el jeep teniendo en cuenta que ante dos soluciones iguales (mismo consumo) se preferiraacute la que implique menos viajes parciales Planteo

Supongamos que se depositan cargas en los puntos 1 2 hellipi hellipy llamemos ci a la carga del depoacutesito en el punto i y cf a la del punto siguiente i + 1 Si la distancia entre ambos puntos es d para transportar la carga del punto i al i +1 se necesitaraacuten n viajes de ida y vuelta y un uacuteltimo viaje de ida El depoacutesito en el punto i constaraacute pues de n cargas para 500 km y un remanente al que llamaremos cr Podemos plantear las ecuaciones siguientes

cf = (500 - 2d) n + cr - d (1) ci = 500 n + cr (2) r = (2n + 1) d (3) cr = 500 (4)

donde r es el recorrido del jeep (equivalente a la carga consumida) en el transporte entre ambos depoacutesitos

Los caacutelculos han de efectuarse retrocediendo desde el final hasta la situacioacuten de salida (o sea pasando desde el depoacutesito i +1 al i) para garantizar que se transporta siempre la cantidad miacutenima precisa Cuidaremos tambieacuten de que el valor de n sea el menor posible puesto que los viajes de ida y vuelta aunque necesarios son obviamente menos eficaces en cuanto a rendimiento que los directos Solucioacuten Las ecuaciones anteriores sugieren una viacutea para la solucioacuten del problema basada en separar los tramos para los cuales n (nuacutemero de viajes de ida y vuelta) se mantiene constante El valor de n iraacute en aumento al progresar desde el final hacia el inicio puesto que la capacidad de los depoacutesitos iraacute aumentando en ese sentido y cada vez que se produzca un incremento de 500 km de carga se haraacute necesario aumentar n en una unidad Asiacute pues tendremos 1- Tramo con n = 0 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se progresa desde el final (punto kilomeacutetrico 800) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 0 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

cf = cr ndash d

Como la carga final cf es nula al llegar al punto final (800 km) y es cr = 500 (el maacuteximo posible) basta con llevar a cabo un viaje de ida solamente que salva la distancia d = 500 km El consumo es justamente de 500 km o una carga Esto nos

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coloca a una distancia del origen de 300 km con un depoacutesito con carga para 500 km en dicho punto al que llamaremos D 2 - Tramo con n = 1 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se calcula desde el final (punto kilomeacutetrico 300) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 1 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

500 = 500 - 2d + cr - d = 500 + cr ndash 3 d Hasta que se agote la carga residual maacutexima cr = 500 tendremos

d = 500 3 (5)

La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =1 (es decir donde se pasa de n =1 a n =2 si se lee desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 1) = 300 ndash 5003 = 4003 = 133 3333hellip km El consumo en todo este tramo final (donde n =1) seraacute

consumo (n = 1) = 3 d = 3 times 5003 = 500 Tenemos asiacute tres viajes de 5003 km Al final de la operacioacuten se habraacute transportado una carga de 500 km con un consumo de 500 km tal como se ha calculado antes Como ya se ha visto nos hallamos ahora a una distancia del origen igual a 4003= 133333hellip km Bautizamos este punto como C donde el depoacutesito tendraacute una carga para 1000 km 3 Tramo con n = 2 Ahora la foacutermula (1) se expresa

1000 = 1000 - 4d + cr - d = 1000 + cr ndash 5 d Para una carga residual maacutexima cr = 500 seraacute

d = 5005 = 100 (6) La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =2 (es decir donde se pasa de n =2 a n =3 leyendo desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 2) = 400 3 - 100 = 100 3 = 333333hellipk m El consumo en todo este tramo (donde n =2) seraacute

consumo (n = 2) = 5 d = 500 Se salva una distancia de 100 km y se comprueba que el consumo seraacute de 5 times 100 = 500 La carga transportada seraacute de 2 times 300 + 400 = 1000 km carga que se deja en el depoacutesito C En este punto B nos encontramos a una distancia del origen de 1003 = 33333hellip km y con un depoacutesito con carga para 1500 km

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4 Tramo con n = 3 En este caso la foacutermula (1) es

1500 = 1500 - 6d + cr - d = 1500 + cr - 7d Tendremos ahora d = 5007 gt 100 3 desigualdad que nos dice que la distancia que puede cubrirse con n = 3 supera la distancia que nos separa del origen Asiacute que bastaraacute trabajar de forma que se tenga

d = 1003 (7) Con estas condiciones el consumo correspondiente valdraacute

consumo (n = 3) = 7 d = 700 3 El nuacutemero de viajes seraacute ahora igual a 2 n + 1 = 7 cada uno de los cuales cubre la distancia d = 1003 La carga que se toma del depoacutesito inicial seraacute 1500 + 7003 Consumo total El consumo total que se busca seraacute por lo tanto exactamente Consumo total = 500 (para recorrer los uacuteltimos 500 km n = 0) + 500 (n = 1) + + 500 (n = 2) + 7003 (n = 3) = 1500 + 7003 lo que expresado en cargas resulta ser (1500 + 7003) 500 = 3+7 15 = 34666hellip El nuacutemero total de viajes resulta ser sumando los de las etapas parciales igual a 16 La tabla 1 muestra los valores relevantes para cada una de las etapas dispuestos ahora desde el inicio hasta el final

Km n viajes d (km) consumo (km) carga (km) A (origen) 1500 + 700 3

0 a 1003 (B) 3 7 100 3 700 3 1500 1993 a 4003 (C) 2 5 100 500 1000 4003 a 300 (D) 1 3 500 3 500 500 300 a 800 (E) 0 1 500 500 0

TOTALES 16 800 1500 + 700 3 Tabla 1

El resultado es por tanto Consumo = (1500 + 700 3) 500 = 3 + 7 15 = 34666hellipasymp 347 Viajes = 16 Notas finales Otra cuestioacuten que suscita este problema es la de si existe una limitacioacuten a la anchura del desierto que se ha de atravesar La respuesta es que no existe tal liacutemite puesto que como se aprecia sin dificultad la taacutectica para ir situando combustible en posiciones avanzadas y que expresan las ecuaciones (1) a (4) permite trabajar a partir de cualquier distancia P Crespo noviembre 2006

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Pitaacutegora y su relacioacuten con los proyectiles

El otro diacutea andando por la calle vi el anagrama de una empresa de consulting

Como puede verse el siacutembolo de la empresa es (aproximadamente) el tan conocido triaacutengulo pitagoacuterico de lados 3 4 y 5 Lo vemos inscrito en un cuadrado el miacutenimo que puede contenerlo iquestCuaacutel es el lado de este cuadrado

Solucioacuten Llamemos α al aacutengulo que forma el cateto largo con el lado vertical del cuadrado Es

inmediato establecer las ecuaciones

4 cos α = L = 4 sin α + 3 cos α Que permite llegar a la igualdad

cos α = 4 sin α De donde se obtiene tan α = α o sea α = 14036ordm El lado vale L = 4 cos 14036ordm = 38806 Es curioso que este aacutengulo es el mismo con el que debe ser lanzado un proyectil para

que la altura alcanzada sea igual al alcance En efecto la primera vale

gvh

2sin 22

0max

ϕ=

Mientras que el alcance es

gvx ϕ2sin2

0=

Igualando ambas ecuaciones se llega a cos φ = frac14 El aacutengulo φ es el complementario

del α antes hallado El proyectil deberiacutea dispararse tangente al cateto de lado 4 JMAiO BCN sep 06

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PROBLEMA DE LA DIVISIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO

Dado un triaacutengulo ABC y un punto P situado en su interior se pide trazar una recta MN que pasando por el punto P divida al triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea o que esteacuten en una proporcioacuten dada

A

B C

P

M

N

Q

q

p

R

x

y

Solucioacuten El problema implica dos condiciones - 1ordm Que los puntos M P y N esteacuten alineados - 2ordm Que las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB esteacuten en una proporcioacuten dada

Veamos como podemos dar forma algebraica a estas dos condiciones Tracemos desde el punto P como se indica en la figura las paralelas a los lados BC y AC hasta que corten en los puntos R y Q respectivamente a los lados AC y BC Llamemos x y p y q a los segmentos MR NQ PQ y PR Los valores de x e y se obtendraacuten al resolver el sistema de ecuaciones que suponen las dos condiciones dadas La primera condicioacuten ya que los triaacutengulos MRP y PQN son semejantes se expresa escribiendo

yp

qx=

La segunda condicioacuten puesto que los triaacutengulos MCN y ACB tienen comuacuten el aacutengulo en C equivale a decir que los productos de los lados de cada triaacutengulo que concurren en el veacutertice C estaacuten en la proporcioacuten en la que estaacuten sus aacutereas Llamando k al cociente entre las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB la segunda condicioacuten la escribiremos asiacute

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( )( ) kabqypx =++

donde a y b son respectivamente los lados BC y AC del triaacutengulo dado El sistema de ecuaciones escrito nos conduce a la siguiente ecuacioacuten de segundo grado que resuelve el problema

( ) 02 22 =+minusminus qpxpqkabqx

( )

qpqkabkabpqkab

x2

42 minusplusmnminus=

xpqy =

La condicioacuten para que el problema tenga solucioacuten real es que el radicando no sea negativo es decir

( ) 04 geminus pqkabkab

pqkab 4ge

abpqk 4

ge

Resulta innecesario decir que para k=05 la recta divide el triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea teniendo que darse previamente la condicioacuten del paacuterrafo anterior Notas 1- La primera condicioacuten tambieacuten se puede expresar escribiendo la recta MN en su forma canoacutenica en el sistema de coordenadas cartesianas oblicuas definido por los ejes CA y CB obligando a que el punto P esteacute en ella es decir

1=+

++ xp

pyq

q o sea pqxy =

2- El valor de k tambieacuten depende del par de lados respecto a los cuales se hayan trazado las paralelas para disponer de los valores de p y q Puede darse el caso de que aun siendo negativo el radicando para la pareja de lados elegida no lo sea para alguna otra y el problema siga teniendo solucioacuten

Manuel Rodriacuteguez Saacutenchez ndash Septiembre de 2006

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Re-citando las citas de laquoPelucheraquo

laquoLas mujeres hablan porque desean hablar mientras que un hombre soacutelo habla cuando se siente empujado por algo ajeno a eacutel como por ejemplo si no encuentra unos calcetines limpiosraquo (Jean Kerr 1922-2003 escritora estadounidense) laquoDonde hay matrimonio sin amor habraacute amor sin matrimonioraquo (Benjamin Franklin cientiacutefico poliacutetico y filoacutesofo norteamericano) laquoSi quieres ver una especie en peligro de extincioacuten miacuterate al espejoraquo (John Young 1930 cientiacutefico estadounidense) laquoAntes de pedir dinero a un amigo decide cual de las dos cosas necesitas maacutesraquo (Jean de La Bruyegravere 1645-1696 moralista franceacutes) laquoComprendes que estaacutes envejeciendo cuando las velitas cuestan maacutes que la tartaraquo (Bob Hope 1903-2003 actor estadounidense) laquoA mi juicio el mejor gobierno es el que deja a la gente maacutes tiempo en pazraquo (Walt Whitman 1819-1892 poeta estadounidense) laquoSi el hijo de Bono se casa con la hija de Bush iquestla descendencia se llamaraacute Bono Bushraquo (Alberto C 1983 estudiante de reflexologiacutea podal) laquoPara escribir un buen libro no considero imprescindible conocer Pariacutes ni haber leiacutedo el Quijote Cervantes cuando lo escribioacute aun no lo habiacutea leiacutedoraquo (Miguel Delibes 1920 escritor espantildeol) laquoComo todo el mundo sabe los cantos de las sirenas atraen a los hombres para luego acabar con ellos Especialmente las sirenas de las faacutebricasraquo (Jaume Perich Escala 1940-1995 humorista espantildeol) P C Citas tomadas de laquoPelucheraquo con su consentimiento

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Caperucitas blancas En memoria de Joseacute Couso porque nos volvimos maacutes ciegos cuando sus ojos se apagaron

Una nintildea hasta haciacutea poco ahora cuajada en mujer moldeada por quince primaveras Faacutetima era la mayor de las dos hermanas La pequentildea Azraa a sus doce antildeos era todaviacutea un incipiente brote femenino delicado y menudo

Noviembre agotaba sus diacuteas y haciacutea cuatro que habiacutean empezado las fiestas del fin del Ramadaacuten el mes sagrado del ayuno Ese jueves la ilusioacuten se asomaba a los rostros de ambas hermanas porque iriacutean a cenar a casa de su abuela y pasariacutean la noche con ella Habriacutea puchero y berenjena rellena y despueacutes los dulces de pistacho y de miel y antes de dormir las historias de la lsquoyaddarsquo Jazmina ―la abuelita― llenas del encanto de otros tiempos cuando en los mercados de Baaquba competiacutean entre siacute los colores de los frutos las especias las telas y las alfombras y los asnos eran amigos resignados de los hombres y los paacutejaros hablaban con los nintildeos y eran alegres y eran parlanchines y traiacutean noticias de lugares exoacuteticos

La madre preparoacute una cesta con los pastelillos para el postre Pero la abuela habiacutea expresado el temor de no disponer de lentildea suficiente asiacute que las pequentildeas debiacutean pasar antes por el huerto del tiacuteo Abbash que siempre teniacutea preparada una reserva de lentildeos y sarmientos y habiacutea dado licencia a la familia para recoger de su finca todo aquello que fuera necesario Para llegar al huerto era obligado atravesar un trecho boscoso no era cosa de permitir que las sorprendiera la noche y puesto que la tarde ya se habiacutea insinuado las nintildeas se pusieron con diligencia en camino La pequentildea llevaba apoyada contra su cintura la cesta con los dulces y la mayor se hizo cargo de dos piezas de tela destinadas a sujetar la lentildea y de un hacha pequentildea para trocear los sarmientos

Ya en la finca llevoacute maacutes tiempo del previsto preparar los vaacutestagos para adecuarlos al tamantildeo de la menor de las muchachas y las sombras no esperaron Ante el asomo de la noche las nintildeas iniciaron el regreso en direccioacuten a la casa de la abuela cada una con su hatillo a la espalda la menor abriendo paso con la cesta de los pasteles en su regazo seguida de cerca por su hermana

A menos de cincuenta metros de alliacute Lobo Feroz Dos miraba por el visor de

infrarrojos e informaba de la escena a su compantildeero En el sendero que lindaba con el bosque dos siluetas blanquecinas se recortaban en la oscuridad en contraste con la espesura y los pantildeuelos que cubriacutean sus cabezas las perfilaban como dos caperucitas que se moviacutean avanzando deprisa La mayor pareciacutea sujetar una pistola en su mano

―Lobo Feroz Uno llamando a Halcoacuten Pardo ge-pe-ese delta sur uno doce oeste cero quince Dos sospechosas a la vista parecen llevar armas Esperamos instrucciones Cambio

―Halcoacuten Pardo a Lobo Feroz Ya conocen las consignas Cambio ―Parecen dos nintildeas― apuntoacute Lobo Feroz Dos ―Lobo Feroz Uno a Halcoacuten Pardo Es posible que se trate de dos menores

Solicitamos refuerzos para comprobacioacuten Cambio ―Sargento le recuerdo que estamos en la Operacioacuten Martillo de Hierro Debe

proceder seguacuten la consigna Cambio y corto ―Hemos de disparar― dijo Lobo Feroz Uno a Lobo Feroz Dos ―Pero ― balbuceoacute eacuteste ―Oacuterdenes Encaacutergate del objetivo de la izquierda yo tirareacute sobre el derecho

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La cabeza de Faacutetima se quebroacute como se rompe el fruto del granado cuando se lo arroja con fuerza contra el suelo Con su velo blanco habiacutea sido Caperucita Blanca mientras se desplomaba fue Caperucita a topos rojos poco tiempo despueacutes bajo los focos luminosos era Caperucita Roja yaciendo sobre la hierba del lindero del bosque ya para siempre dormida sus intensos ojos negros abiertos en un gesto uacuteltimo de asombro irracional A su lado la pretendida pistola no era sino el hacha nimia que le habiacutea servido de herramienta

Cerca de ella Azraa acribillada se debatioacute en el suelo durante un tiempo entre espasmos y dentelladas de dolor Desprendido el pantildeuelo varias manchas tentildeiacutean de carmiacuten sus cabellos que hasta entonces habiacutean sido siempre de un azabache casi mineral

La fase siguiente de la laquoOperacioacuten Martillo de Hierroraquo se puso en marcha Uno de los confidentes convocados reconocioacute a las muchachas e indicoacute a los soldados la situacioacuten de la cercana casa de la abuela en los andurriales de la ciudad

La puerta cedioacute ante el explosivo y saltoacute arrancada de cuajo junto con sus goznes Disipado el humo los soldados pudieron distinguir a una anciana enmudecida por el terror y desplomada sobre su cama Se registroacute la casa Dos humildes cuchillos de cocina fueron las uacutenicas armas encontradas

Cuando al diacutea siguiente fueron lavados los cuerpos de las nintildeas el agua sanguinolenta se desparramoacute por el patio y discurrioacute por albantildeales hasta verter en el riacuteo Tigris Diacuteas maacutes tarde en la orilla izquierda de la corriente a un rosal le brotariacutean rosas algo maacutes rojas y un limonero dariacutea limones amargos en la ribera derecha

La sangre de las nintildeas se entremezcloacute en el riacuteo en un postrero abrazo fraternal El sol hizo luego su labor de horno y partiacuteculas de sangre de Faacutetima y de Azraa ascendieron asidas al agua evaporada Desde entonces los atardeceres son algo maacutes escarlata en la tierra que otrora fue Mesopotamia y en todo el orbe resuena el eco milenario de las palabras del Antiguo Testamento dichas para los oiacutedos de los violentos laquoCaiacuten iquestqueacute has hecho de tu hermanoraquo P Crespo

Las camas de la muerte ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte lavis punta seca buril y bruntildeidor ndash 177 x 221 mm

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Reggae reggaehellip (riacutea riacutea)

La escuela y el alumnado

Eacutesta es la coleccioacuten de disparates maacutes sonados cometidos por alumnos de ESO y bachillerato en exaacutemenes de geografiacutea e historia

Perlas variadas bull Al final de la edad media empiezan a

imponerse normas morales como no masticar la sopa

bull Una de las principales manifestaciones del arte goacutetico fueron las piraacutemides que como todo el mundo sabe son apuntadas

bull A partir del Concilio de Trento el matrimonio cristiano debiacutea ser consumado en presencia de un sacerdote

bull Despotismo ilustrado los reyes teniacutean todo el poder pero teniacutean que obedecer cuando el pueblo se poniacutea de acuerdo entre ellos

bull A la juventud hitleriana la preparaban tan bien que al cabo de un antildeo eran capaces de matar a su madre

bull iquestQueacute opinas de la Constitucioacuten Que es buena y guapa

bull Actualmente el paiacutes maacutes pequentildeo de Europa es San Pedro del Vaticano

bull El rey puso a Franco para que trajera la democracia

bull Franco era el rey que habiacutea antes de Juan Carlos I

bull Espantildea no participoacute en la Segunda Guerra Mundial porque Hitler teniacutea miedo de Franco

bull Franco fue un poliacutetico dictador que consiguioacute imponer durante el reinado de Felipe II un reacutegimen dictatorial

bull No seacute en queacute antildeo murioacute Franco pero seacute que murioacute asesinado

bull Democracia es cuando hay gente que mata otra gente o cuando un paiacutes echa bombas a otro o se pegan unos a otros pues esto es democracia

bull Cartografiacutea las faltas de ortografiacutea bull Un paralelo es una de aquellas liacuteneas que

dividen la Tierra en trozos pero es imaginario

bull Continente partiacuteculas de tierra donde vivimos nosotros

bull Anticicloacuten es la temperatura caliente y se mide en milibares

bull Caacutetedra pensioacuten o escuela para los que queriacutean ser curas

bull Petroacuteleo se obtiene por tuberiacuteas llamadas oleoductos y sirve de combustible

bull Desarrollo sostenible es el desarrollo que no es ni alto ni bajo es decir es mediano

bull Poliacutegono hombre con muchas mujeres bull Delta es un riacuteo que lleva muy poca

agua bull Capital de Alemania Merliacuten bull Principales cultivos espantildeoles la uva

que produce el gran aceite que se fabrica en Espantildea

bull Islas de Oceaniacutea Islas Haguai bull Los vientos huracanados producen a

veces atauacutedes de nieve bull La pintura al fresco consiste en pintar al

aire libre bull Sufragista quiere decir que siempre estaacute

navegando por los mares bull La Guerra Friacutea se caracteriza por matar

gente a sangre friacutea bull Hambre endeacutemica es la que pasa cuando

hay epidemias bull La explosioacuten demograacutefica se produce

porque en algunos paiacuteses se producen islas producto de una erupcioacuten volcaacutenica que bastante grandes como para ser evitadas

bull Estado del bienestar significa que todo lo que es puacuteblico se ha de cuidar

bull Deuda externa es si vas aun supermercado y quedas a deber mucho si no tienes dinero Esto es la deuda externa

Serrano J Reboredo J (2005) Perlas variadas en Historia de Espantildea contada por estudiantes Madrid La Esfera de los libros (Remitido por M Dolors Hipoacutelito)

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iexclLas modelos no somos estuacutepidas Pregunta iquestEn queacute paiacutes la estaacuten solicitando como modelo Respuesta No lo puedo decir todaviacutea pero les puedo adelantar que es un paiacutes brasilentildeo que no queda muy lejos de aquiacute (Kate Moss ex modelo de Calvin Klein) Pregunta Si llegara un holocausto nuclear iquestqueacute pareja elegiriacutea Ud en todo el mundo (hombre y mujer) para preservar y multiplicar la especie humana Respuesta Al Papa y a la Madre Teresa de Calcuta (Carolina Zuntildeiga candidata a Miss Chile) El fumar mata Si te mueres has perdido una parte muy importante de tu vida (Brooke Shields entrevista para una campantildea federal antitabaco) Pregunta Si usted pudiera vivir siempre iquestlo hariacutea iquestpor queacute Respuesta Yo no viviriacutea siempre porque no deberiacuteamos vivir siempre porque si se supusiera que debieacuteramos vivir siempre entonces viviriacuteamos siempre pero no podemos vivir siempre que es por lo cual yo no viviriacutea siempre (Miss Alabama en el concurso Miss America 1999) Esa rastrera sinverguumlenza merece ser matada a patadas por un asno iexclY yo soy justo la indicada para hacerlo (Declaracioacuten de Claudia Shiffer sobre Naomi Campbell) No es la contaminacioacuten la que estaacute dantildeando el ambiente Son todas las impurezas en nuestro aire y en nuestra agua las que lo estaacuten haciendo (Pamela Anderson) No he cometido ninguacuten delito Lo que hice fue no cumplir con la ley (Jennifer Lopez al ser detenida junto con Puff Daddy) Siempre que veo la tele y veo a esos pobres nintildeos hambrientos en todo el mundo no puedo evitar llorar Quiero decir me encantaria ser asiacute de flaquita pero no con todas esas moscas y muerte y esas cosas (Mariah Carey cantante) Tomado de Internet por JMaiO 2006 Jacinto Benavente y la coma Doctor Mi previsioacuten se anticipa a todo Bastaraacute con puntuar debidamente alguacuten conceptoVed aquiacute donde dicerdquo Y resultando que no declaroacuterdquo basta una coma y dice ldquo Y resultando que no declaroacuterdquo Y aquiacuterdquoY resultando que no debe condenaacuterselerdquo fuera la coma y dice Y resultando que no debe condenaacuterselerdquo Crispiacuten iexclOh admirable coma iexclMaravillosa coma iexclGenio de la Justicia iexclOraacuteculo de la Ley iexcl Monstruo de la Jurisprudencia Jacinto Benavente Los Intereses Creados Acto segundo escena final

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Tomo una y entrego dos Mariano Nieto propone en [C-90] (seccioacuten correo) el problema que sigue En una urna hay una bola blanca y otra negra Se saca al azar una de ellas y se

devuelve a la urna acompantildeada de otra del mismo color Esta operacioacuten se repite un nuacutemero indefinido de veces

iquestCuaacutel es la probabilidad de que cuando la urna contenga 20 bolas haya 10 de cada color Solucioacuten

Sea (b n) la composicioacuten de la urna con b bolas blancas y n negras y llamemos etapa a cada intervencioacuten que extrae una bola de la urna y devuelve dos Convengamos en que la configuracioacuten de partida (11) corresponde a la etapa 1 En la etapa 2 tendremos las dos configuraciones posibles de la urna (21) y (12) asociadas con la misma probabilidad de 12

Esta simetriacutea inicial nos sugiere el siguiente procedimiento por induccioacuten Si suponemos que en la etapa n cada una de las n configuraciones posibles

(n 1) (n ndash 1 2) (n ndash 2 3) (n ndash a a + 1) (2 n ndash 1) (1 n) [1] tiene la misma probabilidad p de ocurrir (con p =1n por lo tanto) podemos calcular las probabilidades y configuraciones de la etapa n + 1

a) La probabilidad de la configuracioacuten (n + 11) (rama izquierda del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(n + 11) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

b) La probabilidad de la configuracioacuten (1 n+1) (rama derecha del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(1 n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

c) La configuracioacuten (n ndash a a + 2) con 0 le a le (n ndash 2) para asegurar que se recorre el rango de configuraciones de la etapa (n + 1) con exclusioacuten de las extremas antes consideradas proviene de (n ndash a a + 1) tras sacar una bola negra o bien de (n ndash a ndash 1 a + 2) luego de resultar blanca la bola extraiacuteda Su probabilidad seraacute por lo tanto

p x (a + 1) (n + 1) + p x (n ndash a ndash 1) (n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

de modo que todas las configuraciones de la etapa n + 1 tendraacuten tambieacuten la misma probabilidad en este caso 1(n + 1)

En la etapa 3 por ejemplo es faacutecil ver que las 3 configuraciones posibles (3 1) (2 2) y (1 3) comparten la probabilidad 13 Asiacute pues el meacutetodo de induccioacuten nos permite concluir que en la etapa n es decir tras n ndash 1 operaciones con la urna eacutesta contendraacute (n + 1) bolas y tendremos las n configuraciones posibles [1] a cada una de las cuales le corresponde la misma probabilidad 1 n

La configuracioacuten (10 10) por la que pregunta el problema perteneceraacute por lo tanto a la etapa n = 19 (tras 18 operaciones con la urna) y en consecuencia su probabilidad seraacute igual a 1 19 algo mayor que 526 por ciento

En general a la configuracioacuten (b n) donde b es el nuacutemero de bolas blancas y n el de negras siendo b y n nuacutemeros naturales cualesquiera ya que cualquier configuracioacuten es alcanzable le corresponderaacute la probabilidad p(b n) = 1 (b + n ndash 1) P Crespo septiembre 2006

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iquestDe doacutende sale el nuacutemero e Un escuchante miacuteo de RNE en el programa sobre matemaacuteticas de los antildeos 2005-06 me hace la siguiente consulta Cuando estudiaba sexto de bachillerato (plan de ensentildeanza 1957) un dia el profesor de matemaacuteticas llegoacute a clase y dijo Hoy toca el nuacutemero e Y a continuacioacuten escribioacute en la pizarra la expresioacuten conocida de liacutemite cuando n tiende a infinito de 1 maacutes 1 partido por n elevado a n La desarrolloacute por el binomio de Newton y obtuvo el conocido resultado de 2718281 Despueacutes nos dijo que el numero e era muy importante en matemaacuteticas y que se utilizaba para la base de los logaritmos neperianos Es curioso ver como la derivada del logaritmo neperiano de x = 1x EXACTO siendo la base del logaritmo un nuacutemero absolutamente INEXACTO IRRACIONAL Realmente me quedeacute sorprendido Primero de coacutemo al baroacuten de Neacuteper se le habiacutea ocurrido utilizar como base de logaritmos a un nuacutemero irracional y segundo por queacute nunca me explicaron a quieacuten se le ocurrioacute calcular el liacutemite de la expresioacuten (1+1n)n iquestPor queacute se le ocurrioacute a alguien esta expresioacuten y no otra iquestDe donde surgioacute tal necesidad Creo que eso era lo primero que mi profesor de matemaacuteticas teniacutea que habernos contado antes de calcular el liacutemite Probablemente el profesor no conociacutea la respuesta que efectivamente es difiacutecil de encontrar en los actuales libros de texto La definicioacuten actual de logaritmo de un nuacutemero es ldquoel exponente a que hay que elevar una base dada para obtener dicho nuacutemerordquo Asiacute por ejemplo en base 10 el logaritmo de 2 es log10 2 = 0301030 porque 100301030 = 2 (aproximadamente) Pero Neper no concibioacute asiacute el logaritmo para eacutel era el resultado de comparar una progresioacuten aritmeacutetica y otra geomeacutetrica Los teacuterminos de la primera seriacutean los logaritmos de los de la segunda Esto se ve muy claro en esta tabla en la que la razoacuten de la progresioacuten aritmeacutetica es 1 y la de la geomeacutetrica es 10

Progresioacuten aritmeacutetica (razoacuten 1) -3 -2 -1 0 1 2 3Progresioacuten geomeacutetrica (razoacuten 10) 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103

De la propia estructura de ambas progresiones se desprende que un producto de teacuterminos en la progresioacuten geomeacutetrica se corresponde con una suma en la progresioacuten aritmeacutetica Asiacute por las propiedades de los productos de potencias de una misma base seraacute log (xy) = log x + log y y tambieacuten log (xk) = k log x etc Por la misma tabla en la base 10 log (10-3) = log (0001) = -3 log (102) = log (100) = 2 etc Pero iquestqueacute ocurre con los valores intermedios iquestCoacutemo definir para ellos un logaritmo Neper intentoacute responder esta pregunta considerando dos progresiones de razones respectivas α y 1+β siendo (α β) muy pequentildeos Entonces dado un nuacutemero N siempre se podriacutea encontrar un valor n tal que (1+ β)n = N (dentro de una aproximacioacuten suficiente) Entonces el logaritmo de N seriacutea nα Las progresiones maacutes sencillas imaginables son aqueacutellas para las que α = β Entonces seraacute

log N = log [(1+α)n] = nα En esta expresioacuten n seraacute muy grande y α seraacute muy pequentildeo Haciendo nα = L podemos escribir la anterior igualdad

log N = log [(1+ α)1α]nα = log [1+ α)1α]L

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Definamos ahora el nuacutemero e como el liacutemite de (1+α)1α cuando α se hace infinitamente pequentildeo o sea

α

αα

1

0)1(lim +=

rarr

e

Y la expresioacuten se simplificaraacute notablemente

log N = log eL = L log e Resulta inmediatamente que el nuacutemero e = 2718281hellip es la base de logaritmos maacutes conveniente desde el punto de vista teoacuterico pues en ella seraacute log e = 1 Eacutestos son llamados los logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos (este uacuteltimo nombre procede de que miden el aacuterea subtendida entre una hipeacuterbola y su asiacutentota) El nuacutemero e es sin duda el maacutes importante en matemaacuteticas aunque π sea maacutes popular Se recuerdan sus primeras cifras con la mnemotecnia Te ayudareacute a recordar la cantidad a indoctos si releacuteesme bien Se aplica por el nuacutemero de letras de cada palabra Te = 2 ayudareacute = 7 etc En la praacutectica son maacutes usados los logaritmos decimales o de Briggs que tienen por base el nuacutemero 10 Presentan la ventaja de que la parte decimal de cada logaritmo (mantisa) no cambia al ser multiplicado el nuacutemero por una potencia de 10 lo que hace muy praacutecticas las tabulaciones El paso de los logaritmos de una a otra base es muy sencillo mediante el nuacutemero M = log 10 = 2302585 Se deduce sin dificultad que log x = M log10 x Josep M Albaigegraves Barcelona octubre 2006

El nuacutemero e es el uacutenico que verifica que el valor de la derivada (inclinacioacuten de la tangente en rojo en la figura) de f(x) = ex para cualquier valor de x es igual al valor de f(x)

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Cruzando el desierto en jeep Enunciado (propuesto por Mariano Nieto en C-83 seccioacuten correo) Un jeep ha de atravesar un desierto de 800 kiloacutemetros Admite una carga maacutexima para recorrer 500 kiloacutemetros y se quiere conocer la menor cantidad de tales cargas que hay que consumir para alcanzar la meta El depoacutesito inicial se supone de capacidad ilimitada y el jeep puede establecer tantos depoacutesitos intermedios como haga falta Se desea conocer tambieacuten el nuacutemero de viajes parciales que lleva a cabo el jeep teniendo en cuenta que ante dos soluciones iguales (mismo consumo) se preferiraacute la que implique menos viajes parciales Planteo

Supongamos que se depositan cargas en los puntos 1 2 hellipi hellipy llamemos ci a la carga del depoacutesito en el punto i y cf a la del punto siguiente i + 1 Si la distancia entre ambos puntos es d para transportar la carga del punto i al i +1 se necesitaraacuten n viajes de ida y vuelta y un uacuteltimo viaje de ida El depoacutesito en el punto i constaraacute pues de n cargas para 500 km y un remanente al que llamaremos cr Podemos plantear las ecuaciones siguientes

cf = (500 - 2d) n + cr - d (1) ci = 500 n + cr (2) r = (2n + 1) d (3) cr = 500 (4)

donde r es el recorrido del jeep (equivalente a la carga consumida) en el transporte entre ambos depoacutesitos

Los caacutelculos han de efectuarse retrocediendo desde el final hasta la situacioacuten de salida (o sea pasando desde el depoacutesito i +1 al i) para garantizar que se transporta siempre la cantidad miacutenima precisa Cuidaremos tambieacuten de que el valor de n sea el menor posible puesto que los viajes de ida y vuelta aunque necesarios son obviamente menos eficaces en cuanto a rendimiento que los directos Solucioacuten Las ecuaciones anteriores sugieren una viacutea para la solucioacuten del problema basada en separar los tramos para los cuales n (nuacutemero de viajes de ida y vuelta) se mantiene constante El valor de n iraacute en aumento al progresar desde el final hacia el inicio puesto que la capacidad de los depoacutesitos iraacute aumentando en ese sentido y cada vez que se produzca un incremento de 500 km de carga se haraacute necesario aumentar n en una unidad Asiacute pues tendremos 1- Tramo con n = 0 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se progresa desde el final (punto kilomeacutetrico 800) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 0 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

cf = cr ndash d

Como la carga final cf es nula al llegar al punto final (800 km) y es cr = 500 (el maacuteximo posible) basta con llevar a cabo un viaje de ida solamente que salva la distancia d = 500 km El consumo es justamente de 500 km o una carga Esto nos

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coloca a una distancia del origen de 300 km con un depoacutesito con carga para 500 km en dicho punto al que llamaremos D 2 - Tramo con n = 1 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se calcula desde el final (punto kilomeacutetrico 300) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 1 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

500 = 500 - 2d + cr - d = 500 + cr ndash 3 d Hasta que se agote la carga residual maacutexima cr = 500 tendremos

d = 500 3 (5)

La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =1 (es decir donde se pasa de n =1 a n =2 si se lee desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 1) = 300 ndash 5003 = 4003 = 133 3333hellip km El consumo en todo este tramo final (donde n =1) seraacute

consumo (n = 1) = 3 d = 3 times 5003 = 500 Tenemos asiacute tres viajes de 5003 km Al final de la operacioacuten se habraacute transportado una carga de 500 km con un consumo de 500 km tal como se ha calculado antes Como ya se ha visto nos hallamos ahora a una distancia del origen igual a 4003= 133333hellip km Bautizamos este punto como C donde el depoacutesito tendraacute una carga para 1000 km 3 Tramo con n = 2 Ahora la foacutermula (1) se expresa

1000 = 1000 - 4d + cr - d = 1000 + cr ndash 5 d Para una carga residual maacutexima cr = 500 seraacute

d = 5005 = 100 (6) La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =2 (es decir donde se pasa de n =2 a n =3 leyendo desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 2) = 400 3 - 100 = 100 3 = 333333hellipk m El consumo en todo este tramo (donde n =2) seraacute

consumo (n = 2) = 5 d = 500 Se salva una distancia de 100 km y se comprueba que el consumo seraacute de 5 times 100 = 500 La carga transportada seraacute de 2 times 300 + 400 = 1000 km carga que se deja en el depoacutesito C En este punto B nos encontramos a una distancia del origen de 1003 = 33333hellip km y con un depoacutesito con carga para 1500 km

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4 Tramo con n = 3 En este caso la foacutermula (1) es

1500 = 1500 - 6d + cr - d = 1500 + cr - 7d Tendremos ahora d = 5007 gt 100 3 desigualdad que nos dice que la distancia que puede cubrirse con n = 3 supera la distancia que nos separa del origen Asiacute que bastaraacute trabajar de forma que se tenga

d = 1003 (7) Con estas condiciones el consumo correspondiente valdraacute

consumo (n = 3) = 7 d = 700 3 El nuacutemero de viajes seraacute ahora igual a 2 n + 1 = 7 cada uno de los cuales cubre la distancia d = 1003 La carga que se toma del depoacutesito inicial seraacute 1500 + 7003 Consumo total El consumo total que se busca seraacute por lo tanto exactamente Consumo total = 500 (para recorrer los uacuteltimos 500 km n = 0) + 500 (n = 1) + + 500 (n = 2) + 7003 (n = 3) = 1500 + 7003 lo que expresado en cargas resulta ser (1500 + 7003) 500 = 3+7 15 = 34666hellip El nuacutemero total de viajes resulta ser sumando los de las etapas parciales igual a 16 La tabla 1 muestra los valores relevantes para cada una de las etapas dispuestos ahora desde el inicio hasta el final

Km n viajes d (km) consumo (km) carga (km) A (origen) 1500 + 700 3

0 a 1003 (B) 3 7 100 3 700 3 1500 1993 a 4003 (C) 2 5 100 500 1000 4003 a 300 (D) 1 3 500 3 500 500 300 a 800 (E) 0 1 500 500 0

TOTALES 16 800 1500 + 700 3 Tabla 1

El resultado es por tanto Consumo = (1500 + 700 3) 500 = 3 + 7 15 = 34666hellipasymp 347 Viajes = 16 Notas finales Otra cuestioacuten que suscita este problema es la de si existe una limitacioacuten a la anchura del desierto que se ha de atravesar La respuesta es que no existe tal liacutemite puesto que como se aprecia sin dificultad la taacutectica para ir situando combustible en posiciones avanzadas y que expresan las ecuaciones (1) a (4) permite trabajar a partir de cualquier distancia P Crespo noviembre 2006

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Pitaacutegora y su relacioacuten con los proyectiles

El otro diacutea andando por la calle vi el anagrama de una empresa de consulting

Como puede verse el siacutembolo de la empresa es (aproximadamente) el tan conocido triaacutengulo pitagoacuterico de lados 3 4 y 5 Lo vemos inscrito en un cuadrado el miacutenimo que puede contenerlo iquestCuaacutel es el lado de este cuadrado

Solucioacuten Llamemos α al aacutengulo que forma el cateto largo con el lado vertical del cuadrado Es

inmediato establecer las ecuaciones

4 cos α = L = 4 sin α + 3 cos α Que permite llegar a la igualdad

cos α = 4 sin α De donde se obtiene tan α = α o sea α = 14036ordm El lado vale L = 4 cos 14036ordm = 38806 Es curioso que este aacutengulo es el mismo con el que debe ser lanzado un proyectil para

que la altura alcanzada sea igual al alcance En efecto la primera vale

gvh

2sin 22

0max

ϕ=

Mientras que el alcance es

gvx ϕ2sin2

0=

Igualando ambas ecuaciones se llega a cos φ = frac14 El aacutengulo φ es el complementario

del α antes hallado El proyectil deberiacutea dispararse tangente al cateto de lado 4 JMAiO BCN sep 06

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PROBLEMA DE LA DIVISIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO

Dado un triaacutengulo ABC y un punto P situado en su interior se pide trazar una recta MN que pasando por el punto P divida al triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea o que esteacuten en una proporcioacuten dada

A

B C

P

M

N

Q

q

p

R

x

y

Solucioacuten El problema implica dos condiciones - 1ordm Que los puntos M P y N esteacuten alineados - 2ordm Que las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB esteacuten en una proporcioacuten dada

Veamos como podemos dar forma algebraica a estas dos condiciones Tracemos desde el punto P como se indica en la figura las paralelas a los lados BC y AC hasta que corten en los puntos R y Q respectivamente a los lados AC y BC Llamemos x y p y q a los segmentos MR NQ PQ y PR Los valores de x e y se obtendraacuten al resolver el sistema de ecuaciones que suponen las dos condiciones dadas La primera condicioacuten ya que los triaacutengulos MRP y PQN son semejantes se expresa escribiendo

yp

qx=

La segunda condicioacuten puesto que los triaacutengulos MCN y ACB tienen comuacuten el aacutengulo en C equivale a decir que los productos de los lados de cada triaacutengulo que concurren en el veacutertice C estaacuten en la proporcioacuten en la que estaacuten sus aacutereas Llamando k al cociente entre las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB la segunda condicioacuten la escribiremos asiacute

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( )( ) kabqypx =++

donde a y b son respectivamente los lados BC y AC del triaacutengulo dado El sistema de ecuaciones escrito nos conduce a la siguiente ecuacioacuten de segundo grado que resuelve el problema

( ) 02 22 =+minusminus qpxpqkabqx

( )

qpqkabkabpqkab

x2

42 minusplusmnminus=

xpqy =

La condicioacuten para que el problema tenga solucioacuten real es que el radicando no sea negativo es decir

( ) 04 geminus pqkabkab

pqkab 4ge

abpqk 4

ge

Resulta innecesario decir que para k=05 la recta divide el triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea teniendo que darse previamente la condicioacuten del paacuterrafo anterior Notas 1- La primera condicioacuten tambieacuten se puede expresar escribiendo la recta MN en su forma canoacutenica en el sistema de coordenadas cartesianas oblicuas definido por los ejes CA y CB obligando a que el punto P esteacute en ella es decir

1=+

++ xp

pyq

q o sea pqxy =

2- El valor de k tambieacuten depende del par de lados respecto a los cuales se hayan trazado las paralelas para disponer de los valores de p y q Puede darse el caso de que aun siendo negativo el radicando para la pareja de lados elegida no lo sea para alguna otra y el problema siga teniendo solucioacuten

Manuel Rodriacuteguez Saacutenchez ndash Septiembre de 2006

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Re-citando las citas de laquoPelucheraquo

laquoLas mujeres hablan porque desean hablar mientras que un hombre soacutelo habla cuando se siente empujado por algo ajeno a eacutel como por ejemplo si no encuentra unos calcetines limpiosraquo (Jean Kerr 1922-2003 escritora estadounidense) laquoDonde hay matrimonio sin amor habraacute amor sin matrimonioraquo (Benjamin Franklin cientiacutefico poliacutetico y filoacutesofo norteamericano) laquoSi quieres ver una especie en peligro de extincioacuten miacuterate al espejoraquo (John Young 1930 cientiacutefico estadounidense) laquoAntes de pedir dinero a un amigo decide cual de las dos cosas necesitas maacutesraquo (Jean de La Bruyegravere 1645-1696 moralista franceacutes) laquoComprendes que estaacutes envejeciendo cuando las velitas cuestan maacutes que la tartaraquo (Bob Hope 1903-2003 actor estadounidense) laquoA mi juicio el mejor gobierno es el que deja a la gente maacutes tiempo en pazraquo (Walt Whitman 1819-1892 poeta estadounidense) laquoSi el hijo de Bono se casa con la hija de Bush iquestla descendencia se llamaraacute Bono Bushraquo (Alberto C 1983 estudiante de reflexologiacutea podal) laquoPara escribir un buen libro no considero imprescindible conocer Pariacutes ni haber leiacutedo el Quijote Cervantes cuando lo escribioacute aun no lo habiacutea leiacutedoraquo (Miguel Delibes 1920 escritor espantildeol) laquoComo todo el mundo sabe los cantos de las sirenas atraen a los hombres para luego acabar con ellos Especialmente las sirenas de las faacutebricasraquo (Jaume Perich Escala 1940-1995 humorista espantildeol) P C Citas tomadas de laquoPelucheraquo con su consentimiento

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La cabeza de Faacutetima se quebroacute como se rompe el fruto del granado cuando se lo arroja con fuerza contra el suelo Con su velo blanco habiacutea sido Caperucita Blanca mientras se desplomaba fue Caperucita a topos rojos poco tiempo despueacutes bajo los focos luminosos era Caperucita Roja yaciendo sobre la hierba del lindero del bosque ya para siempre dormida sus intensos ojos negros abiertos en un gesto uacuteltimo de asombro irracional A su lado la pretendida pistola no era sino el hacha nimia que le habiacutea servido de herramienta

Cerca de ella Azraa acribillada se debatioacute en el suelo durante un tiempo entre espasmos y dentelladas de dolor Desprendido el pantildeuelo varias manchas tentildeiacutean de carmiacuten sus cabellos que hasta entonces habiacutean sido siempre de un azabache casi mineral

La fase siguiente de la laquoOperacioacuten Martillo de Hierroraquo se puso en marcha Uno de los confidentes convocados reconocioacute a las muchachas e indicoacute a los soldados la situacioacuten de la cercana casa de la abuela en los andurriales de la ciudad

La puerta cedioacute ante el explosivo y saltoacute arrancada de cuajo junto con sus goznes Disipado el humo los soldados pudieron distinguir a una anciana enmudecida por el terror y desplomada sobre su cama Se registroacute la casa Dos humildes cuchillos de cocina fueron las uacutenicas armas encontradas

Cuando al diacutea siguiente fueron lavados los cuerpos de las nintildeas el agua sanguinolenta se desparramoacute por el patio y discurrioacute por albantildeales hasta verter en el riacuteo Tigris Diacuteas maacutes tarde en la orilla izquierda de la corriente a un rosal le brotariacutean rosas algo maacutes rojas y un limonero dariacutea limones amargos en la ribera derecha

La sangre de las nintildeas se entremezcloacute en el riacuteo en un postrero abrazo fraternal El sol hizo luego su labor de horno y partiacuteculas de sangre de Faacutetima y de Azraa ascendieron asidas al agua evaporada Desde entonces los atardeceres son algo maacutes escarlata en la tierra que otrora fue Mesopotamia y en todo el orbe resuena el eco milenario de las palabras del Antiguo Testamento dichas para los oiacutedos de los violentos laquoCaiacuten iquestqueacute has hecho de tu hermanoraquo P Crespo

Las camas de la muerte ndash Francisco de Goya (Los desastres de la guerra) ndash Aguafuerte lavis punta seca buril y bruntildeidor ndash 177 x 221 mm

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Reggae reggaehellip (riacutea riacutea)

La escuela y el alumnado

Eacutesta es la coleccioacuten de disparates maacutes sonados cometidos por alumnos de ESO y bachillerato en exaacutemenes de geografiacutea e historia

Perlas variadas bull Al final de la edad media empiezan a

imponerse normas morales como no masticar la sopa

bull Una de las principales manifestaciones del arte goacutetico fueron las piraacutemides que como todo el mundo sabe son apuntadas

bull A partir del Concilio de Trento el matrimonio cristiano debiacutea ser consumado en presencia de un sacerdote

bull Despotismo ilustrado los reyes teniacutean todo el poder pero teniacutean que obedecer cuando el pueblo se poniacutea de acuerdo entre ellos

bull A la juventud hitleriana la preparaban tan bien que al cabo de un antildeo eran capaces de matar a su madre

bull iquestQueacute opinas de la Constitucioacuten Que es buena y guapa

bull Actualmente el paiacutes maacutes pequentildeo de Europa es San Pedro del Vaticano

bull El rey puso a Franco para que trajera la democracia

bull Franco era el rey que habiacutea antes de Juan Carlos I

bull Espantildea no participoacute en la Segunda Guerra Mundial porque Hitler teniacutea miedo de Franco

bull Franco fue un poliacutetico dictador que consiguioacute imponer durante el reinado de Felipe II un reacutegimen dictatorial

bull No seacute en queacute antildeo murioacute Franco pero seacute que murioacute asesinado

bull Democracia es cuando hay gente que mata otra gente o cuando un paiacutes echa bombas a otro o se pegan unos a otros pues esto es democracia

bull Cartografiacutea las faltas de ortografiacutea bull Un paralelo es una de aquellas liacuteneas que

dividen la Tierra en trozos pero es imaginario

bull Continente partiacuteculas de tierra donde vivimos nosotros

bull Anticicloacuten es la temperatura caliente y se mide en milibares

bull Caacutetedra pensioacuten o escuela para los que queriacutean ser curas

bull Petroacuteleo se obtiene por tuberiacuteas llamadas oleoductos y sirve de combustible

bull Desarrollo sostenible es el desarrollo que no es ni alto ni bajo es decir es mediano

bull Poliacutegono hombre con muchas mujeres bull Delta es un riacuteo que lleva muy poca

agua bull Capital de Alemania Merliacuten bull Principales cultivos espantildeoles la uva

que produce el gran aceite que se fabrica en Espantildea

bull Islas de Oceaniacutea Islas Haguai bull Los vientos huracanados producen a

veces atauacutedes de nieve bull La pintura al fresco consiste en pintar al

aire libre bull Sufragista quiere decir que siempre estaacute

navegando por los mares bull La Guerra Friacutea se caracteriza por matar

gente a sangre friacutea bull Hambre endeacutemica es la que pasa cuando

hay epidemias bull La explosioacuten demograacutefica se produce

porque en algunos paiacuteses se producen islas producto de una erupcioacuten volcaacutenica que bastante grandes como para ser evitadas

bull Estado del bienestar significa que todo lo que es puacuteblico se ha de cuidar

bull Deuda externa es si vas aun supermercado y quedas a deber mucho si no tienes dinero Esto es la deuda externa

Serrano J Reboredo J (2005) Perlas variadas en Historia de Espantildea contada por estudiantes Madrid La Esfera de los libros (Remitido por M Dolors Hipoacutelito)

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iexclLas modelos no somos estuacutepidas Pregunta iquestEn queacute paiacutes la estaacuten solicitando como modelo Respuesta No lo puedo decir todaviacutea pero les puedo adelantar que es un paiacutes brasilentildeo que no queda muy lejos de aquiacute (Kate Moss ex modelo de Calvin Klein) Pregunta Si llegara un holocausto nuclear iquestqueacute pareja elegiriacutea Ud en todo el mundo (hombre y mujer) para preservar y multiplicar la especie humana Respuesta Al Papa y a la Madre Teresa de Calcuta (Carolina Zuntildeiga candidata a Miss Chile) El fumar mata Si te mueres has perdido una parte muy importante de tu vida (Brooke Shields entrevista para una campantildea federal antitabaco) Pregunta Si usted pudiera vivir siempre iquestlo hariacutea iquestpor queacute Respuesta Yo no viviriacutea siempre porque no deberiacuteamos vivir siempre porque si se supusiera que debieacuteramos vivir siempre entonces viviriacuteamos siempre pero no podemos vivir siempre que es por lo cual yo no viviriacutea siempre (Miss Alabama en el concurso Miss America 1999) Esa rastrera sinverguumlenza merece ser matada a patadas por un asno iexclY yo soy justo la indicada para hacerlo (Declaracioacuten de Claudia Shiffer sobre Naomi Campbell) No es la contaminacioacuten la que estaacute dantildeando el ambiente Son todas las impurezas en nuestro aire y en nuestra agua las que lo estaacuten haciendo (Pamela Anderson) No he cometido ninguacuten delito Lo que hice fue no cumplir con la ley (Jennifer Lopez al ser detenida junto con Puff Daddy) Siempre que veo la tele y veo a esos pobres nintildeos hambrientos en todo el mundo no puedo evitar llorar Quiero decir me encantaria ser asiacute de flaquita pero no con todas esas moscas y muerte y esas cosas (Mariah Carey cantante) Tomado de Internet por JMaiO 2006 Jacinto Benavente y la coma Doctor Mi previsioacuten se anticipa a todo Bastaraacute con puntuar debidamente alguacuten conceptoVed aquiacute donde dicerdquo Y resultando que no declaroacuterdquo basta una coma y dice ldquo Y resultando que no declaroacuterdquo Y aquiacuterdquoY resultando que no debe condenaacuterselerdquo fuera la coma y dice Y resultando que no debe condenaacuterselerdquo Crispiacuten iexclOh admirable coma iexclMaravillosa coma iexclGenio de la Justicia iexclOraacuteculo de la Ley iexcl Monstruo de la Jurisprudencia Jacinto Benavente Los Intereses Creados Acto segundo escena final

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Tomo una y entrego dos Mariano Nieto propone en [C-90] (seccioacuten correo) el problema que sigue En una urna hay una bola blanca y otra negra Se saca al azar una de ellas y se

devuelve a la urna acompantildeada de otra del mismo color Esta operacioacuten se repite un nuacutemero indefinido de veces

iquestCuaacutel es la probabilidad de que cuando la urna contenga 20 bolas haya 10 de cada color Solucioacuten

Sea (b n) la composicioacuten de la urna con b bolas blancas y n negras y llamemos etapa a cada intervencioacuten que extrae una bola de la urna y devuelve dos Convengamos en que la configuracioacuten de partida (11) corresponde a la etapa 1 En la etapa 2 tendremos las dos configuraciones posibles de la urna (21) y (12) asociadas con la misma probabilidad de 12

Esta simetriacutea inicial nos sugiere el siguiente procedimiento por induccioacuten Si suponemos que en la etapa n cada una de las n configuraciones posibles

(n 1) (n ndash 1 2) (n ndash 2 3) (n ndash a a + 1) (2 n ndash 1) (1 n) [1] tiene la misma probabilidad p de ocurrir (con p =1n por lo tanto) podemos calcular las probabilidades y configuraciones de la etapa n + 1

a) La probabilidad de la configuracioacuten (n + 11) (rama izquierda del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(n + 11) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

b) La probabilidad de la configuracioacuten (1 n+1) (rama derecha del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(1 n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

c) La configuracioacuten (n ndash a a + 2) con 0 le a le (n ndash 2) para asegurar que se recorre el rango de configuraciones de la etapa (n + 1) con exclusioacuten de las extremas antes consideradas proviene de (n ndash a a + 1) tras sacar una bola negra o bien de (n ndash a ndash 1 a + 2) luego de resultar blanca la bola extraiacuteda Su probabilidad seraacute por lo tanto

p x (a + 1) (n + 1) + p x (n ndash a ndash 1) (n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

de modo que todas las configuraciones de la etapa n + 1 tendraacuten tambieacuten la misma probabilidad en este caso 1(n + 1)

En la etapa 3 por ejemplo es faacutecil ver que las 3 configuraciones posibles (3 1) (2 2) y (1 3) comparten la probabilidad 13 Asiacute pues el meacutetodo de induccioacuten nos permite concluir que en la etapa n es decir tras n ndash 1 operaciones con la urna eacutesta contendraacute (n + 1) bolas y tendremos las n configuraciones posibles [1] a cada una de las cuales le corresponde la misma probabilidad 1 n

La configuracioacuten (10 10) por la que pregunta el problema perteneceraacute por lo tanto a la etapa n = 19 (tras 18 operaciones con la urna) y en consecuencia su probabilidad seraacute igual a 1 19 algo mayor que 526 por ciento

En general a la configuracioacuten (b n) donde b es el nuacutemero de bolas blancas y n el de negras siendo b y n nuacutemeros naturales cualesquiera ya que cualquier configuracioacuten es alcanzable le corresponderaacute la probabilidad p(b n) = 1 (b + n ndash 1) P Crespo septiembre 2006

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iquestDe doacutende sale el nuacutemero e Un escuchante miacuteo de RNE en el programa sobre matemaacuteticas de los antildeos 2005-06 me hace la siguiente consulta Cuando estudiaba sexto de bachillerato (plan de ensentildeanza 1957) un dia el profesor de matemaacuteticas llegoacute a clase y dijo Hoy toca el nuacutemero e Y a continuacioacuten escribioacute en la pizarra la expresioacuten conocida de liacutemite cuando n tiende a infinito de 1 maacutes 1 partido por n elevado a n La desarrolloacute por el binomio de Newton y obtuvo el conocido resultado de 2718281 Despueacutes nos dijo que el numero e era muy importante en matemaacuteticas y que se utilizaba para la base de los logaritmos neperianos Es curioso ver como la derivada del logaritmo neperiano de x = 1x EXACTO siendo la base del logaritmo un nuacutemero absolutamente INEXACTO IRRACIONAL Realmente me quedeacute sorprendido Primero de coacutemo al baroacuten de Neacuteper se le habiacutea ocurrido utilizar como base de logaritmos a un nuacutemero irracional y segundo por queacute nunca me explicaron a quieacuten se le ocurrioacute calcular el liacutemite de la expresioacuten (1+1n)n iquestPor queacute se le ocurrioacute a alguien esta expresioacuten y no otra iquestDe donde surgioacute tal necesidad Creo que eso era lo primero que mi profesor de matemaacuteticas teniacutea que habernos contado antes de calcular el liacutemite Probablemente el profesor no conociacutea la respuesta que efectivamente es difiacutecil de encontrar en los actuales libros de texto La definicioacuten actual de logaritmo de un nuacutemero es ldquoel exponente a que hay que elevar una base dada para obtener dicho nuacutemerordquo Asiacute por ejemplo en base 10 el logaritmo de 2 es log10 2 = 0301030 porque 100301030 = 2 (aproximadamente) Pero Neper no concibioacute asiacute el logaritmo para eacutel era el resultado de comparar una progresioacuten aritmeacutetica y otra geomeacutetrica Los teacuterminos de la primera seriacutean los logaritmos de los de la segunda Esto se ve muy claro en esta tabla en la que la razoacuten de la progresioacuten aritmeacutetica es 1 y la de la geomeacutetrica es 10

Progresioacuten aritmeacutetica (razoacuten 1) -3 -2 -1 0 1 2 3Progresioacuten geomeacutetrica (razoacuten 10) 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103

De la propia estructura de ambas progresiones se desprende que un producto de teacuterminos en la progresioacuten geomeacutetrica se corresponde con una suma en la progresioacuten aritmeacutetica Asiacute por las propiedades de los productos de potencias de una misma base seraacute log (xy) = log x + log y y tambieacuten log (xk) = k log x etc Por la misma tabla en la base 10 log (10-3) = log (0001) = -3 log (102) = log (100) = 2 etc Pero iquestqueacute ocurre con los valores intermedios iquestCoacutemo definir para ellos un logaritmo Neper intentoacute responder esta pregunta considerando dos progresiones de razones respectivas α y 1+β siendo (α β) muy pequentildeos Entonces dado un nuacutemero N siempre se podriacutea encontrar un valor n tal que (1+ β)n = N (dentro de una aproximacioacuten suficiente) Entonces el logaritmo de N seriacutea nα Las progresiones maacutes sencillas imaginables son aqueacutellas para las que α = β Entonces seraacute

log N = log [(1+α)n] = nα En esta expresioacuten n seraacute muy grande y α seraacute muy pequentildeo Haciendo nα = L podemos escribir la anterior igualdad

log N = log [(1+ α)1α]nα = log [1+ α)1α]L

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Definamos ahora el nuacutemero e como el liacutemite de (1+α)1α cuando α se hace infinitamente pequentildeo o sea

α

αα

1

0)1(lim +=

rarr

e

Y la expresioacuten se simplificaraacute notablemente

log N = log eL = L log e Resulta inmediatamente que el nuacutemero e = 2718281hellip es la base de logaritmos maacutes conveniente desde el punto de vista teoacuterico pues en ella seraacute log e = 1 Eacutestos son llamados los logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos (este uacuteltimo nombre procede de que miden el aacuterea subtendida entre una hipeacuterbola y su asiacutentota) El nuacutemero e es sin duda el maacutes importante en matemaacuteticas aunque π sea maacutes popular Se recuerdan sus primeras cifras con la mnemotecnia Te ayudareacute a recordar la cantidad a indoctos si releacuteesme bien Se aplica por el nuacutemero de letras de cada palabra Te = 2 ayudareacute = 7 etc En la praacutectica son maacutes usados los logaritmos decimales o de Briggs que tienen por base el nuacutemero 10 Presentan la ventaja de que la parte decimal de cada logaritmo (mantisa) no cambia al ser multiplicado el nuacutemero por una potencia de 10 lo que hace muy praacutecticas las tabulaciones El paso de los logaritmos de una a otra base es muy sencillo mediante el nuacutemero M = log 10 = 2302585 Se deduce sin dificultad que log x = M log10 x Josep M Albaigegraves Barcelona octubre 2006

El nuacutemero e es el uacutenico que verifica que el valor de la derivada (inclinacioacuten de la tangente en rojo en la figura) de f(x) = ex para cualquier valor de x es igual al valor de f(x)

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Cruzando el desierto en jeep Enunciado (propuesto por Mariano Nieto en C-83 seccioacuten correo) Un jeep ha de atravesar un desierto de 800 kiloacutemetros Admite una carga maacutexima para recorrer 500 kiloacutemetros y se quiere conocer la menor cantidad de tales cargas que hay que consumir para alcanzar la meta El depoacutesito inicial se supone de capacidad ilimitada y el jeep puede establecer tantos depoacutesitos intermedios como haga falta Se desea conocer tambieacuten el nuacutemero de viajes parciales que lleva a cabo el jeep teniendo en cuenta que ante dos soluciones iguales (mismo consumo) se preferiraacute la que implique menos viajes parciales Planteo

Supongamos que se depositan cargas en los puntos 1 2 hellipi hellipy llamemos ci a la carga del depoacutesito en el punto i y cf a la del punto siguiente i + 1 Si la distancia entre ambos puntos es d para transportar la carga del punto i al i +1 se necesitaraacuten n viajes de ida y vuelta y un uacuteltimo viaje de ida El depoacutesito en el punto i constaraacute pues de n cargas para 500 km y un remanente al que llamaremos cr Podemos plantear las ecuaciones siguientes

cf = (500 - 2d) n + cr - d (1) ci = 500 n + cr (2) r = (2n + 1) d (3) cr = 500 (4)

donde r es el recorrido del jeep (equivalente a la carga consumida) en el transporte entre ambos depoacutesitos

Los caacutelculos han de efectuarse retrocediendo desde el final hasta la situacioacuten de salida (o sea pasando desde el depoacutesito i +1 al i) para garantizar que se transporta siempre la cantidad miacutenima precisa Cuidaremos tambieacuten de que el valor de n sea el menor posible puesto que los viajes de ida y vuelta aunque necesarios son obviamente menos eficaces en cuanto a rendimiento que los directos Solucioacuten Las ecuaciones anteriores sugieren una viacutea para la solucioacuten del problema basada en separar los tramos para los cuales n (nuacutemero de viajes de ida y vuelta) se mantiene constante El valor de n iraacute en aumento al progresar desde el final hacia el inicio puesto que la capacidad de los depoacutesitos iraacute aumentando en ese sentido y cada vez que se produzca un incremento de 500 km de carga se haraacute necesario aumentar n en una unidad Asiacute pues tendremos 1- Tramo con n = 0 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se progresa desde el final (punto kilomeacutetrico 800) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 0 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

cf = cr ndash d

Como la carga final cf es nula al llegar al punto final (800 km) y es cr = 500 (el maacuteximo posible) basta con llevar a cabo un viaje de ida solamente que salva la distancia d = 500 km El consumo es justamente de 500 km o una carga Esto nos

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coloca a una distancia del origen de 300 km con un depoacutesito con carga para 500 km en dicho punto al que llamaremos D 2 - Tramo con n = 1 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se calcula desde el final (punto kilomeacutetrico 300) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 1 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

500 = 500 - 2d + cr - d = 500 + cr ndash 3 d Hasta que se agote la carga residual maacutexima cr = 500 tendremos

d = 500 3 (5)

La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =1 (es decir donde se pasa de n =1 a n =2 si se lee desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 1) = 300 ndash 5003 = 4003 = 133 3333hellip km El consumo en todo este tramo final (donde n =1) seraacute

consumo (n = 1) = 3 d = 3 times 5003 = 500 Tenemos asiacute tres viajes de 5003 km Al final de la operacioacuten se habraacute transportado una carga de 500 km con un consumo de 500 km tal como se ha calculado antes Como ya se ha visto nos hallamos ahora a una distancia del origen igual a 4003= 133333hellip km Bautizamos este punto como C donde el depoacutesito tendraacute una carga para 1000 km 3 Tramo con n = 2 Ahora la foacutermula (1) se expresa

1000 = 1000 - 4d + cr - d = 1000 + cr ndash 5 d Para una carga residual maacutexima cr = 500 seraacute

d = 5005 = 100 (6) La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =2 (es decir donde se pasa de n =2 a n =3 leyendo desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 2) = 400 3 - 100 = 100 3 = 333333hellipk m El consumo en todo este tramo (donde n =2) seraacute

consumo (n = 2) = 5 d = 500 Se salva una distancia de 100 km y se comprueba que el consumo seraacute de 5 times 100 = 500 La carga transportada seraacute de 2 times 300 + 400 = 1000 km carga que se deja en el depoacutesito C En este punto B nos encontramos a una distancia del origen de 1003 = 33333hellip km y con un depoacutesito con carga para 1500 km

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4 Tramo con n = 3 En este caso la foacutermula (1) es

1500 = 1500 - 6d + cr - d = 1500 + cr - 7d Tendremos ahora d = 5007 gt 100 3 desigualdad que nos dice que la distancia que puede cubrirse con n = 3 supera la distancia que nos separa del origen Asiacute que bastaraacute trabajar de forma que se tenga

d = 1003 (7) Con estas condiciones el consumo correspondiente valdraacute

consumo (n = 3) = 7 d = 700 3 El nuacutemero de viajes seraacute ahora igual a 2 n + 1 = 7 cada uno de los cuales cubre la distancia d = 1003 La carga que se toma del depoacutesito inicial seraacute 1500 + 7003 Consumo total El consumo total que se busca seraacute por lo tanto exactamente Consumo total = 500 (para recorrer los uacuteltimos 500 km n = 0) + 500 (n = 1) + + 500 (n = 2) + 7003 (n = 3) = 1500 + 7003 lo que expresado en cargas resulta ser (1500 + 7003) 500 = 3+7 15 = 34666hellip El nuacutemero total de viajes resulta ser sumando los de las etapas parciales igual a 16 La tabla 1 muestra los valores relevantes para cada una de las etapas dispuestos ahora desde el inicio hasta el final

Km n viajes d (km) consumo (km) carga (km) A (origen) 1500 + 700 3

0 a 1003 (B) 3 7 100 3 700 3 1500 1993 a 4003 (C) 2 5 100 500 1000 4003 a 300 (D) 1 3 500 3 500 500 300 a 800 (E) 0 1 500 500 0

TOTALES 16 800 1500 + 700 3 Tabla 1

El resultado es por tanto Consumo = (1500 + 700 3) 500 = 3 + 7 15 = 34666hellipasymp 347 Viajes = 16 Notas finales Otra cuestioacuten que suscita este problema es la de si existe una limitacioacuten a la anchura del desierto que se ha de atravesar La respuesta es que no existe tal liacutemite puesto que como se aprecia sin dificultad la taacutectica para ir situando combustible en posiciones avanzadas y que expresan las ecuaciones (1) a (4) permite trabajar a partir de cualquier distancia P Crespo noviembre 2006

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Pitaacutegora y su relacioacuten con los proyectiles

El otro diacutea andando por la calle vi el anagrama de una empresa de consulting

Como puede verse el siacutembolo de la empresa es (aproximadamente) el tan conocido triaacutengulo pitagoacuterico de lados 3 4 y 5 Lo vemos inscrito en un cuadrado el miacutenimo que puede contenerlo iquestCuaacutel es el lado de este cuadrado

Solucioacuten Llamemos α al aacutengulo que forma el cateto largo con el lado vertical del cuadrado Es

inmediato establecer las ecuaciones

4 cos α = L = 4 sin α + 3 cos α Que permite llegar a la igualdad

cos α = 4 sin α De donde se obtiene tan α = α o sea α = 14036ordm El lado vale L = 4 cos 14036ordm = 38806 Es curioso que este aacutengulo es el mismo con el que debe ser lanzado un proyectil para

que la altura alcanzada sea igual al alcance En efecto la primera vale

gvh

2sin 22

0max

ϕ=

Mientras que el alcance es

gvx ϕ2sin2

0=

Igualando ambas ecuaciones se llega a cos φ = frac14 El aacutengulo φ es el complementario

del α antes hallado El proyectil deberiacutea dispararse tangente al cateto de lado 4 JMAiO BCN sep 06

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PROBLEMA DE LA DIVISIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO

Dado un triaacutengulo ABC y un punto P situado en su interior se pide trazar una recta MN que pasando por el punto P divida al triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea o que esteacuten en una proporcioacuten dada

A

B C

P

M

N

Q

q

p

R

x

y

Solucioacuten El problema implica dos condiciones - 1ordm Que los puntos M P y N esteacuten alineados - 2ordm Que las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB esteacuten en una proporcioacuten dada

Veamos como podemos dar forma algebraica a estas dos condiciones Tracemos desde el punto P como se indica en la figura las paralelas a los lados BC y AC hasta que corten en los puntos R y Q respectivamente a los lados AC y BC Llamemos x y p y q a los segmentos MR NQ PQ y PR Los valores de x e y se obtendraacuten al resolver el sistema de ecuaciones que suponen las dos condiciones dadas La primera condicioacuten ya que los triaacutengulos MRP y PQN son semejantes se expresa escribiendo

yp

qx=

La segunda condicioacuten puesto que los triaacutengulos MCN y ACB tienen comuacuten el aacutengulo en C equivale a decir que los productos de los lados de cada triaacutengulo que concurren en el veacutertice C estaacuten en la proporcioacuten en la que estaacuten sus aacutereas Llamando k al cociente entre las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB la segunda condicioacuten la escribiremos asiacute

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( )( ) kabqypx =++

donde a y b son respectivamente los lados BC y AC del triaacutengulo dado El sistema de ecuaciones escrito nos conduce a la siguiente ecuacioacuten de segundo grado que resuelve el problema

( ) 02 22 =+minusminus qpxpqkabqx

( )

qpqkabkabpqkab

x2

42 minusplusmnminus=

xpqy =

La condicioacuten para que el problema tenga solucioacuten real es que el radicando no sea negativo es decir

( ) 04 geminus pqkabkab

pqkab 4ge

abpqk 4

ge

Resulta innecesario decir que para k=05 la recta divide el triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea teniendo que darse previamente la condicioacuten del paacuterrafo anterior Notas 1- La primera condicioacuten tambieacuten se puede expresar escribiendo la recta MN en su forma canoacutenica en el sistema de coordenadas cartesianas oblicuas definido por los ejes CA y CB obligando a que el punto P esteacute en ella es decir

1=+

++ xp

pyq

q o sea pqxy =

2- El valor de k tambieacuten depende del par de lados respecto a los cuales se hayan trazado las paralelas para disponer de los valores de p y q Puede darse el caso de que aun siendo negativo el radicando para la pareja de lados elegida no lo sea para alguna otra y el problema siga teniendo solucioacuten

Manuel Rodriacuteguez Saacutenchez ndash Septiembre de 2006

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Re-citando las citas de laquoPelucheraquo

laquoLas mujeres hablan porque desean hablar mientras que un hombre soacutelo habla cuando se siente empujado por algo ajeno a eacutel como por ejemplo si no encuentra unos calcetines limpiosraquo (Jean Kerr 1922-2003 escritora estadounidense) laquoDonde hay matrimonio sin amor habraacute amor sin matrimonioraquo (Benjamin Franklin cientiacutefico poliacutetico y filoacutesofo norteamericano) laquoSi quieres ver una especie en peligro de extincioacuten miacuterate al espejoraquo (John Young 1930 cientiacutefico estadounidense) laquoAntes de pedir dinero a un amigo decide cual de las dos cosas necesitas maacutesraquo (Jean de La Bruyegravere 1645-1696 moralista franceacutes) laquoComprendes que estaacutes envejeciendo cuando las velitas cuestan maacutes que la tartaraquo (Bob Hope 1903-2003 actor estadounidense) laquoA mi juicio el mejor gobierno es el que deja a la gente maacutes tiempo en pazraquo (Walt Whitman 1819-1892 poeta estadounidense) laquoSi el hijo de Bono se casa con la hija de Bush iquestla descendencia se llamaraacute Bono Bushraquo (Alberto C 1983 estudiante de reflexologiacutea podal) laquoPara escribir un buen libro no considero imprescindible conocer Pariacutes ni haber leiacutedo el Quijote Cervantes cuando lo escribioacute aun no lo habiacutea leiacutedoraquo (Miguel Delibes 1920 escritor espantildeol) laquoComo todo el mundo sabe los cantos de las sirenas atraen a los hombres para luego acabar con ellos Especialmente las sirenas de las faacutebricasraquo (Jaume Perich Escala 1940-1995 humorista espantildeol) P C Citas tomadas de laquoPelucheraquo con su consentimiento

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Reggae reggaehellip (riacutea riacutea)

La escuela y el alumnado

Eacutesta es la coleccioacuten de disparates maacutes sonados cometidos por alumnos de ESO y bachillerato en exaacutemenes de geografiacutea e historia

Perlas variadas bull Al final de la edad media empiezan a

imponerse normas morales como no masticar la sopa

bull Una de las principales manifestaciones del arte goacutetico fueron las piraacutemides que como todo el mundo sabe son apuntadas

bull A partir del Concilio de Trento el matrimonio cristiano debiacutea ser consumado en presencia de un sacerdote

bull Despotismo ilustrado los reyes teniacutean todo el poder pero teniacutean que obedecer cuando el pueblo se poniacutea de acuerdo entre ellos

bull A la juventud hitleriana la preparaban tan bien que al cabo de un antildeo eran capaces de matar a su madre

bull iquestQueacute opinas de la Constitucioacuten Que es buena y guapa

bull Actualmente el paiacutes maacutes pequentildeo de Europa es San Pedro del Vaticano

bull El rey puso a Franco para que trajera la democracia

bull Franco era el rey que habiacutea antes de Juan Carlos I

bull Espantildea no participoacute en la Segunda Guerra Mundial porque Hitler teniacutea miedo de Franco

bull Franco fue un poliacutetico dictador que consiguioacute imponer durante el reinado de Felipe II un reacutegimen dictatorial

bull No seacute en queacute antildeo murioacute Franco pero seacute que murioacute asesinado

bull Democracia es cuando hay gente que mata otra gente o cuando un paiacutes echa bombas a otro o se pegan unos a otros pues esto es democracia

bull Cartografiacutea las faltas de ortografiacutea bull Un paralelo es una de aquellas liacuteneas que

dividen la Tierra en trozos pero es imaginario

bull Continente partiacuteculas de tierra donde vivimos nosotros

bull Anticicloacuten es la temperatura caliente y se mide en milibares

bull Caacutetedra pensioacuten o escuela para los que queriacutean ser curas

bull Petroacuteleo se obtiene por tuberiacuteas llamadas oleoductos y sirve de combustible

bull Desarrollo sostenible es el desarrollo que no es ni alto ni bajo es decir es mediano

bull Poliacutegono hombre con muchas mujeres bull Delta es un riacuteo que lleva muy poca

agua bull Capital de Alemania Merliacuten bull Principales cultivos espantildeoles la uva

que produce el gran aceite que se fabrica en Espantildea

bull Islas de Oceaniacutea Islas Haguai bull Los vientos huracanados producen a

veces atauacutedes de nieve bull La pintura al fresco consiste en pintar al

aire libre bull Sufragista quiere decir que siempre estaacute

navegando por los mares bull La Guerra Friacutea se caracteriza por matar

gente a sangre friacutea bull Hambre endeacutemica es la que pasa cuando

hay epidemias bull La explosioacuten demograacutefica se produce

porque en algunos paiacuteses se producen islas producto de una erupcioacuten volcaacutenica que bastante grandes como para ser evitadas

bull Estado del bienestar significa que todo lo que es puacuteblico se ha de cuidar

bull Deuda externa es si vas aun supermercado y quedas a deber mucho si no tienes dinero Esto es la deuda externa

Serrano J Reboredo J (2005) Perlas variadas en Historia de Espantildea contada por estudiantes Madrid La Esfera de los libros (Remitido por M Dolors Hipoacutelito)

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iexclLas modelos no somos estuacutepidas Pregunta iquestEn queacute paiacutes la estaacuten solicitando como modelo Respuesta No lo puedo decir todaviacutea pero les puedo adelantar que es un paiacutes brasilentildeo que no queda muy lejos de aquiacute (Kate Moss ex modelo de Calvin Klein) Pregunta Si llegara un holocausto nuclear iquestqueacute pareja elegiriacutea Ud en todo el mundo (hombre y mujer) para preservar y multiplicar la especie humana Respuesta Al Papa y a la Madre Teresa de Calcuta (Carolina Zuntildeiga candidata a Miss Chile) El fumar mata Si te mueres has perdido una parte muy importante de tu vida (Brooke Shields entrevista para una campantildea federal antitabaco) Pregunta Si usted pudiera vivir siempre iquestlo hariacutea iquestpor queacute Respuesta Yo no viviriacutea siempre porque no deberiacuteamos vivir siempre porque si se supusiera que debieacuteramos vivir siempre entonces viviriacuteamos siempre pero no podemos vivir siempre que es por lo cual yo no viviriacutea siempre (Miss Alabama en el concurso Miss America 1999) Esa rastrera sinverguumlenza merece ser matada a patadas por un asno iexclY yo soy justo la indicada para hacerlo (Declaracioacuten de Claudia Shiffer sobre Naomi Campbell) No es la contaminacioacuten la que estaacute dantildeando el ambiente Son todas las impurezas en nuestro aire y en nuestra agua las que lo estaacuten haciendo (Pamela Anderson) No he cometido ninguacuten delito Lo que hice fue no cumplir con la ley (Jennifer Lopez al ser detenida junto con Puff Daddy) Siempre que veo la tele y veo a esos pobres nintildeos hambrientos en todo el mundo no puedo evitar llorar Quiero decir me encantaria ser asiacute de flaquita pero no con todas esas moscas y muerte y esas cosas (Mariah Carey cantante) Tomado de Internet por JMaiO 2006 Jacinto Benavente y la coma Doctor Mi previsioacuten se anticipa a todo Bastaraacute con puntuar debidamente alguacuten conceptoVed aquiacute donde dicerdquo Y resultando que no declaroacuterdquo basta una coma y dice ldquo Y resultando que no declaroacuterdquo Y aquiacuterdquoY resultando que no debe condenaacuterselerdquo fuera la coma y dice Y resultando que no debe condenaacuterselerdquo Crispiacuten iexclOh admirable coma iexclMaravillosa coma iexclGenio de la Justicia iexclOraacuteculo de la Ley iexcl Monstruo de la Jurisprudencia Jacinto Benavente Los Intereses Creados Acto segundo escena final

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Tomo una y entrego dos Mariano Nieto propone en [C-90] (seccioacuten correo) el problema que sigue En una urna hay una bola blanca y otra negra Se saca al azar una de ellas y se

devuelve a la urna acompantildeada de otra del mismo color Esta operacioacuten se repite un nuacutemero indefinido de veces

iquestCuaacutel es la probabilidad de que cuando la urna contenga 20 bolas haya 10 de cada color Solucioacuten

Sea (b n) la composicioacuten de la urna con b bolas blancas y n negras y llamemos etapa a cada intervencioacuten que extrae una bola de la urna y devuelve dos Convengamos en que la configuracioacuten de partida (11) corresponde a la etapa 1 En la etapa 2 tendremos las dos configuraciones posibles de la urna (21) y (12) asociadas con la misma probabilidad de 12

Esta simetriacutea inicial nos sugiere el siguiente procedimiento por induccioacuten Si suponemos que en la etapa n cada una de las n configuraciones posibles

(n 1) (n ndash 1 2) (n ndash 2 3) (n ndash a a + 1) (2 n ndash 1) (1 n) [1] tiene la misma probabilidad p de ocurrir (con p =1n por lo tanto) podemos calcular las probabilidades y configuraciones de la etapa n + 1

a) La probabilidad de la configuracioacuten (n + 11) (rama izquierda del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(n + 11) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

b) La probabilidad de la configuracioacuten (1 n+1) (rama derecha del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(1 n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

c) La configuracioacuten (n ndash a a + 2) con 0 le a le (n ndash 2) para asegurar que se recorre el rango de configuraciones de la etapa (n + 1) con exclusioacuten de las extremas antes consideradas proviene de (n ndash a a + 1) tras sacar una bola negra o bien de (n ndash a ndash 1 a + 2) luego de resultar blanca la bola extraiacuteda Su probabilidad seraacute por lo tanto

p x (a + 1) (n + 1) + p x (n ndash a ndash 1) (n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

de modo que todas las configuraciones de la etapa n + 1 tendraacuten tambieacuten la misma probabilidad en este caso 1(n + 1)

En la etapa 3 por ejemplo es faacutecil ver que las 3 configuraciones posibles (3 1) (2 2) y (1 3) comparten la probabilidad 13 Asiacute pues el meacutetodo de induccioacuten nos permite concluir que en la etapa n es decir tras n ndash 1 operaciones con la urna eacutesta contendraacute (n + 1) bolas y tendremos las n configuraciones posibles [1] a cada una de las cuales le corresponde la misma probabilidad 1 n

La configuracioacuten (10 10) por la que pregunta el problema perteneceraacute por lo tanto a la etapa n = 19 (tras 18 operaciones con la urna) y en consecuencia su probabilidad seraacute igual a 1 19 algo mayor que 526 por ciento

En general a la configuracioacuten (b n) donde b es el nuacutemero de bolas blancas y n el de negras siendo b y n nuacutemeros naturales cualesquiera ya que cualquier configuracioacuten es alcanzable le corresponderaacute la probabilidad p(b n) = 1 (b + n ndash 1) P Crespo septiembre 2006

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iquestDe doacutende sale el nuacutemero e Un escuchante miacuteo de RNE en el programa sobre matemaacuteticas de los antildeos 2005-06 me hace la siguiente consulta Cuando estudiaba sexto de bachillerato (plan de ensentildeanza 1957) un dia el profesor de matemaacuteticas llegoacute a clase y dijo Hoy toca el nuacutemero e Y a continuacioacuten escribioacute en la pizarra la expresioacuten conocida de liacutemite cuando n tiende a infinito de 1 maacutes 1 partido por n elevado a n La desarrolloacute por el binomio de Newton y obtuvo el conocido resultado de 2718281 Despueacutes nos dijo que el numero e era muy importante en matemaacuteticas y que se utilizaba para la base de los logaritmos neperianos Es curioso ver como la derivada del logaritmo neperiano de x = 1x EXACTO siendo la base del logaritmo un nuacutemero absolutamente INEXACTO IRRACIONAL Realmente me quedeacute sorprendido Primero de coacutemo al baroacuten de Neacuteper se le habiacutea ocurrido utilizar como base de logaritmos a un nuacutemero irracional y segundo por queacute nunca me explicaron a quieacuten se le ocurrioacute calcular el liacutemite de la expresioacuten (1+1n)n iquestPor queacute se le ocurrioacute a alguien esta expresioacuten y no otra iquestDe donde surgioacute tal necesidad Creo que eso era lo primero que mi profesor de matemaacuteticas teniacutea que habernos contado antes de calcular el liacutemite Probablemente el profesor no conociacutea la respuesta que efectivamente es difiacutecil de encontrar en los actuales libros de texto La definicioacuten actual de logaritmo de un nuacutemero es ldquoel exponente a que hay que elevar una base dada para obtener dicho nuacutemerordquo Asiacute por ejemplo en base 10 el logaritmo de 2 es log10 2 = 0301030 porque 100301030 = 2 (aproximadamente) Pero Neper no concibioacute asiacute el logaritmo para eacutel era el resultado de comparar una progresioacuten aritmeacutetica y otra geomeacutetrica Los teacuterminos de la primera seriacutean los logaritmos de los de la segunda Esto se ve muy claro en esta tabla en la que la razoacuten de la progresioacuten aritmeacutetica es 1 y la de la geomeacutetrica es 10

Progresioacuten aritmeacutetica (razoacuten 1) -3 -2 -1 0 1 2 3Progresioacuten geomeacutetrica (razoacuten 10) 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103

De la propia estructura de ambas progresiones se desprende que un producto de teacuterminos en la progresioacuten geomeacutetrica se corresponde con una suma en la progresioacuten aritmeacutetica Asiacute por las propiedades de los productos de potencias de una misma base seraacute log (xy) = log x + log y y tambieacuten log (xk) = k log x etc Por la misma tabla en la base 10 log (10-3) = log (0001) = -3 log (102) = log (100) = 2 etc Pero iquestqueacute ocurre con los valores intermedios iquestCoacutemo definir para ellos un logaritmo Neper intentoacute responder esta pregunta considerando dos progresiones de razones respectivas α y 1+β siendo (α β) muy pequentildeos Entonces dado un nuacutemero N siempre se podriacutea encontrar un valor n tal que (1+ β)n = N (dentro de una aproximacioacuten suficiente) Entonces el logaritmo de N seriacutea nα Las progresiones maacutes sencillas imaginables son aqueacutellas para las que α = β Entonces seraacute

log N = log [(1+α)n] = nα En esta expresioacuten n seraacute muy grande y α seraacute muy pequentildeo Haciendo nα = L podemos escribir la anterior igualdad

log N = log [(1+ α)1α]nα = log [1+ α)1α]L

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Definamos ahora el nuacutemero e como el liacutemite de (1+α)1α cuando α se hace infinitamente pequentildeo o sea

α

αα

1

0)1(lim +=

rarr

e

Y la expresioacuten se simplificaraacute notablemente

log N = log eL = L log e Resulta inmediatamente que el nuacutemero e = 2718281hellip es la base de logaritmos maacutes conveniente desde el punto de vista teoacuterico pues en ella seraacute log e = 1 Eacutestos son llamados los logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos (este uacuteltimo nombre procede de que miden el aacuterea subtendida entre una hipeacuterbola y su asiacutentota) El nuacutemero e es sin duda el maacutes importante en matemaacuteticas aunque π sea maacutes popular Se recuerdan sus primeras cifras con la mnemotecnia Te ayudareacute a recordar la cantidad a indoctos si releacuteesme bien Se aplica por el nuacutemero de letras de cada palabra Te = 2 ayudareacute = 7 etc En la praacutectica son maacutes usados los logaritmos decimales o de Briggs que tienen por base el nuacutemero 10 Presentan la ventaja de que la parte decimal de cada logaritmo (mantisa) no cambia al ser multiplicado el nuacutemero por una potencia de 10 lo que hace muy praacutecticas las tabulaciones El paso de los logaritmos de una a otra base es muy sencillo mediante el nuacutemero M = log 10 = 2302585 Se deduce sin dificultad que log x = M log10 x Josep M Albaigegraves Barcelona octubre 2006

El nuacutemero e es el uacutenico que verifica que el valor de la derivada (inclinacioacuten de la tangente en rojo en la figura) de f(x) = ex para cualquier valor de x es igual al valor de f(x)

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Cruzando el desierto en jeep Enunciado (propuesto por Mariano Nieto en C-83 seccioacuten correo) Un jeep ha de atravesar un desierto de 800 kiloacutemetros Admite una carga maacutexima para recorrer 500 kiloacutemetros y se quiere conocer la menor cantidad de tales cargas que hay que consumir para alcanzar la meta El depoacutesito inicial se supone de capacidad ilimitada y el jeep puede establecer tantos depoacutesitos intermedios como haga falta Se desea conocer tambieacuten el nuacutemero de viajes parciales que lleva a cabo el jeep teniendo en cuenta que ante dos soluciones iguales (mismo consumo) se preferiraacute la que implique menos viajes parciales Planteo

Supongamos que se depositan cargas en los puntos 1 2 hellipi hellipy llamemos ci a la carga del depoacutesito en el punto i y cf a la del punto siguiente i + 1 Si la distancia entre ambos puntos es d para transportar la carga del punto i al i +1 se necesitaraacuten n viajes de ida y vuelta y un uacuteltimo viaje de ida El depoacutesito en el punto i constaraacute pues de n cargas para 500 km y un remanente al que llamaremos cr Podemos plantear las ecuaciones siguientes

cf = (500 - 2d) n + cr - d (1) ci = 500 n + cr (2) r = (2n + 1) d (3) cr = 500 (4)

donde r es el recorrido del jeep (equivalente a la carga consumida) en el transporte entre ambos depoacutesitos

Los caacutelculos han de efectuarse retrocediendo desde el final hasta la situacioacuten de salida (o sea pasando desde el depoacutesito i +1 al i) para garantizar que se transporta siempre la cantidad miacutenima precisa Cuidaremos tambieacuten de que el valor de n sea el menor posible puesto que los viajes de ida y vuelta aunque necesarios son obviamente menos eficaces en cuanto a rendimiento que los directos Solucioacuten Las ecuaciones anteriores sugieren una viacutea para la solucioacuten del problema basada en separar los tramos para los cuales n (nuacutemero de viajes de ida y vuelta) se mantiene constante El valor de n iraacute en aumento al progresar desde el final hacia el inicio puesto que la capacidad de los depoacutesitos iraacute aumentando en ese sentido y cada vez que se produzca un incremento de 500 km de carga se haraacute necesario aumentar n en una unidad Asiacute pues tendremos 1- Tramo con n = 0 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se progresa desde el final (punto kilomeacutetrico 800) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 0 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

cf = cr ndash d

Como la carga final cf es nula al llegar al punto final (800 km) y es cr = 500 (el maacuteximo posible) basta con llevar a cabo un viaje de ida solamente que salva la distancia d = 500 km El consumo es justamente de 500 km o una carga Esto nos

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coloca a una distancia del origen de 300 km con un depoacutesito con carga para 500 km en dicho punto al que llamaremos D 2 - Tramo con n = 1 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se calcula desde el final (punto kilomeacutetrico 300) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 1 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

500 = 500 - 2d + cr - d = 500 + cr ndash 3 d Hasta que se agote la carga residual maacutexima cr = 500 tendremos

d = 500 3 (5)

La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =1 (es decir donde se pasa de n =1 a n =2 si se lee desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 1) = 300 ndash 5003 = 4003 = 133 3333hellip km El consumo en todo este tramo final (donde n =1) seraacute

consumo (n = 1) = 3 d = 3 times 5003 = 500 Tenemos asiacute tres viajes de 5003 km Al final de la operacioacuten se habraacute transportado una carga de 500 km con un consumo de 500 km tal como se ha calculado antes Como ya se ha visto nos hallamos ahora a una distancia del origen igual a 4003= 133333hellip km Bautizamos este punto como C donde el depoacutesito tendraacute una carga para 1000 km 3 Tramo con n = 2 Ahora la foacutermula (1) se expresa

1000 = 1000 - 4d + cr - d = 1000 + cr ndash 5 d Para una carga residual maacutexima cr = 500 seraacute

d = 5005 = 100 (6) La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =2 (es decir donde se pasa de n =2 a n =3 leyendo desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 2) = 400 3 - 100 = 100 3 = 333333hellipk m El consumo en todo este tramo (donde n =2) seraacute

consumo (n = 2) = 5 d = 500 Se salva una distancia de 100 km y se comprueba que el consumo seraacute de 5 times 100 = 500 La carga transportada seraacute de 2 times 300 + 400 = 1000 km carga que se deja en el depoacutesito C En este punto B nos encontramos a una distancia del origen de 1003 = 33333hellip km y con un depoacutesito con carga para 1500 km

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4 Tramo con n = 3 En este caso la foacutermula (1) es

1500 = 1500 - 6d + cr - d = 1500 + cr - 7d Tendremos ahora d = 5007 gt 100 3 desigualdad que nos dice que la distancia que puede cubrirse con n = 3 supera la distancia que nos separa del origen Asiacute que bastaraacute trabajar de forma que se tenga

d = 1003 (7) Con estas condiciones el consumo correspondiente valdraacute

consumo (n = 3) = 7 d = 700 3 El nuacutemero de viajes seraacute ahora igual a 2 n + 1 = 7 cada uno de los cuales cubre la distancia d = 1003 La carga que se toma del depoacutesito inicial seraacute 1500 + 7003 Consumo total El consumo total que se busca seraacute por lo tanto exactamente Consumo total = 500 (para recorrer los uacuteltimos 500 km n = 0) + 500 (n = 1) + + 500 (n = 2) + 7003 (n = 3) = 1500 + 7003 lo que expresado en cargas resulta ser (1500 + 7003) 500 = 3+7 15 = 34666hellip El nuacutemero total de viajes resulta ser sumando los de las etapas parciales igual a 16 La tabla 1 muestra los valores relevantes para cada una de las etapas dispuestos ahora desde el inicio hasta el final

Km n viajes d (km) consumo (km) carga (km) A (origen) 1500 + 700 3

0 a 1003 (B) 3 7 100 3 700 3 1500 1993 a 4003 (C) 2 5 100 500 1000 4003 a 300 (D) 1 3 500 3 500 500 300 a 800 (E) 0 1 500 500 0

TOTALES 16 800 1500 + 700 3 Tabla 1

El resultado es por tanto Consumo = (1500 + 700 3) 500 = 3 + 7 15 = 34666hellipasymp 347 Viajes = 16 Notas finales Otra cuestioacuten que suscita este problema es la de si existe una limitacioacuten a la anchura del desierto que se ha de atravesar La respuesta es que no existe tal liacutemite puesto que como se aprecia sin dificultad la taacutectica para ir situando combustible en posiciones avanzadas y que expresan las ecuaciones (1) a (4) permite trabajar a partir de cualquier distancia P Crespo noviembre 2006

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Pitaacutegora y su relacioacuten con los proyectiles

El otro diacutea andando por la calle vi el anagrama de una empresa de consulting

Como puede verse el siacutembolo de la empresa es (aproximadamente) el tan conocido triaacutengulo pitagoacuterico de lados 3 4 y 5 Lo vemos inscrito en un cuadrado el miacutenimo que puede contenerlo iquestCuaacutel es el lado de este cuadrado

Solucioacuten Llamemos α al aacutengulo que forma el cateto largo con el lado vertical del cuadrado Es

inmediato establecer las ecuaciones

4 cos α = L = 4 sin α + 3 cos α Que permite llegar a la igualdad

cos α = 4 sin α De donde se obtiene tan α = α o sea α = 14036ordm El lado vale L = 4 cos 14036ordm = 38806 Es curioso que este aacutengulo es el mismo con el que debe ser lanzado un proyectil para

que la altura alcanzada sea igual al alcance En efecto la primera vale

gvh

2sin 22

0max

ϕ=

Mientras que el alcance es

gvx ϕ2sin2

0=

Igualando ambas ecuaciones se llega a cos φ = frac14 El aacutengulo φ es el complementario

del α antes hallado El proyectil deberiacutea dispararse tangente al cateto de lado 4 JMAiO BCN sep 06

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PROBLEMA DE LA DIVISIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO

Dado un triaacutengulo ABC y un punto P situado en su interior se pide trazar una recta MN que pasando por el punto P divida al triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea o que esteacuten en una proporcioacuten dada

A

B C

P

M

N

Q

q

p

R

x

y

Solucioacuten El problema implica dos condiciones - 1ordm Que los puntos M P y N esteacuten alineados - 2ordm Que las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB esteacuten en una proporcioacuten dada

Veamos como podemos dar forma algebraica a estas dos condiciones Tracemos desde el punto P como se indica en la figura las paralelas a los lados BC y AC hasta que corten en los puntos R y Q respectivamente a los lados AC y BC Llamemos x y p y q a los segmentos MR NQ PQ y PR Los valores de x e y se obtendraacuten al resolver el sistema de ecuaciones que suponen las dos condiciones dadas La primera condicioacuten ya que los triaacutengulos MRP y PQN son semejantes se expresa escribiendo

yp

qx=

La segunda condicioacuten puesto que los triaacutengulos MCN y ACB tienen comuacuten el aacutengulo en C equivale a decir que los productos de los lados de cada triaacutengulo que concurren en el veacutertice C estaacuten en la proporcioacuten en la que estaacuten sus aacutereas Llamando k al cociente entre las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB la segunda condicioacuten la escribiremos asiacute

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( )( ) kabqypx =++

donde a y b son respectivamente los lados BC y AC del triaacutengulo dado El sistema de ecuaciones escrito nos conduce a la siguiente ecuacioacuten de segundo grado que resuelve el problema

( ) 02 22 =+minusminus qpxpqkabqx

( )

qpqkabkabpqkab

x2

42 minusplusmnminus=

xpqy =

La condicioacuten para que el problema tenga solucioacuten real es que el radicando no sea negativo es decir

( ) 04 geminus pqkabkab

pqkab 4ge

abpqk 4

ge

Resulta innecesario decir que para k=05 la recta divide el triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea teniendo que darse previamente la condicioacuten del paacuterrafo anterior Notas 1- La primera condicioacuten tambieacuten se puede expresar escribiendo la recta MN en su forma canoacutenica en el sistema de coordenadas cartesianas oblicuas definido por los ejes CA y CB obligando a que el punto P esteacute en ella es decir

1=+

++ xp

pyq

q o sea pqxy =

2- El valor de k tambieacuten depende del par de lados respecto a los cuales se hayan trazado las paralelas para disponer de los valores de p y q Puede darse el caso de que aun siendo negativo el radicando para la pareja de lados elegida no lo sea para alguna otra y el problema siga teniendo solucioacuten

Manuel Rodriacuteguez Saacutenchez ndash Septiembre de 2006

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Re-citando las citas de laquoPelucheraquo

laquoLas mujeres hablan porque desean hablar mientras que un hombre soacutelo habla cuando se siente empujado por algo ajeno a eacutel como por ejemplo si no encuentra unos calcetines limpiosraquo (Jean Kerr 1922-2003 escritora estadounidense) laquoDonde hay matrimonio sin amor habraacute amor sin matrimonioraquo (Benjamin Franklin cientiacutefico poliacutetico y filoacutesofo norteamericano) laquoSi quieres ver una especie en peligro de extincioacuten miacuterate al espejoraquo (John Young 1930 cientiacutefico estadounidense) laquoAntes de pedir dinero a un amigo decide cual de las dos cosas necesitas maacutesraquo (Jean de La Bruyegravere 1645-1696 moralista franceacutes) laquoComprendes que estaacutes envejeciendo cuando las velitas cuestan maacutes que la tartaraquo (Bob Hope 1903-2003 actor estadounidense) laquoA mi juicio el mejor gobierno es el que deja a la gente maacutes tiempo en pazraquo (Walt Whitman 1819-1892 poeta estadounidense) laquoSi el hijo de Bono se casa con la hija de Bush iquestla descendencia se llamaraacute Bono Bushraquo (Alberto C 1983 estudiante de reflexologiacutea podal) laquoPara escribir un buen libro no considero imprescindible conocer Pariacutes ni haber leiacutedo el Quijote Cervantes cuando lo escribioacute aun no lo habiacutea leiacutedoraquo (Miguel Delibes 1920 escritor espantildeol) laquoComo todo el mundo sabe los cantos de las sirenas atraen a los hombres para luego acabar con ellos Especialmente las sirenas de las faacutebricasraquo (Jaume Perich Escala 1940-1995 humorista espantildeol) P C Citas tomadas de laquoPelucheraquo con su consentimiento

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iexclLas modelos no somos estuacutepidas Pregunta iquestEn queacute paiacutes la estaacuten solicitando como modelo Respuesta No lo puedo decir todaviacutea pero les puedo adelantar que es un paiacutes brasilentildeo que no queda muy lejos de aquiacute (Kate Moss ex modelo de Calvin Klein) Pregunta Si llegara un holocausto nuclear iquestqueacute pareja elegiriacutea Ud en todo el mundo (hombre y mujer) para preservar y multiplicar la especie humana Respuesta Al Papa y a la Madre Teresa de Calcuta (Carolina Zuntildeiga candidata a Miss Chile) El fumar mata Si te mueres has perdido una parte muy importante de tu vida (Brooke Shields entrevista para una campantildea federal antitabaco) Pregunta Si usted pudiera vivir siempre iquestlo hariacutea iquestpor queacute Respuesta Yo no viviriacutea siempre porque no deberiacuteamos vivir siempre porque si se supusiera que debieacuteramos vivir siempre entonces viviriacuteamos siempre pero no podemos vivir siempre que es por lo cual yo no viviriacutea siempre (Miss Alabama en el concurso Miss America 1999) Esa rastrera sinverguumlenza merece ser matada a patadas por un asno iexclY yo soy justo la indicada para hacerlo (Declaracioacuten de Claudia Shiffer sobre Naomi Campbell) No es la contaminacioacuten la que estaacute dantildeando el ambiente Son todas las impurezas en nuestro aire y en nuestra agua las que lo estaacuten haciendo (Pamela Anderson) No he cometido ninguacuten delito Lo que hice fue no cumplir con la ley (Jennifer Lopez al ser detenida junto con Puff Daddy) Siempre que veo la tele y veo a esos pobres nintildeos hambrientos en todo el mundo no puedo evitar llorar Quiero decir me encantaria ser asiacute de flaquita pero no con todas esas moscas y muerte y esas cosas (Mariah Carey cantante) Tomado de Internet por JMaiO 2006 Jacinto Benavente y la coma Doctor Mi previsioacuten se anticipa a todo Bastaraacute con puntuar debidamente alguacuten conceptoVed aquiacute donde dicerdquo Y resultando que no declaroacuterdquo basta una coma y dice ldquo Y resultando que no declaroacuterdquo Y aquiacuterdquoY resultando que no debe condenaacuterselerdquo fuera la coma y dice Y resultando que no debe condenaacuterselerdquo Crispiacuten iexclOh admirable coma iexclMaravillosa coma iexclGenio de la Justicia iexclOraacuteculo de la Ley iexcl Monstruo de la Jurisprudencia Jacinto Benavente Los Intereses Creados Acto segundo escena final

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Tomo una y entrego dos Mariano Nieto propone en [C-90] (seccioacuten correo) el problema que sigue En una urna hay una bola blanca y otra negra Se saca al azar una de ellas y se

devuelve a la urna acompantildeada de otra del mismo color Esta operacioacuten se repite un nuacutemero indefinido de veces

iquestCuaacutel es la probabilidad de que cuando la urna contenga 20 bolas haya 10 de cada color Solucioacuten

Sea (b n) la composicioacuten de la urna con b bolas blancas y n negras y llamemos etapa a cada intervencioacuten que extrae una bola de la urna y devuelve dos Convengamos en que la configuracioacuten de partida (11) corresponde a la etapa 1 En la etapa 2 tendremos las dos configuraciones posibles de la urna (21) y (12) asociadas con la misma probabilidad de 12

Esta simetriacutea inicial nos sugiere el siguiente procedimiento por induccioacuten Si suponemos que en la etapa n cada una de las n configuraciones posibles

(n 1) (n ndash 1 2) (n ndash 2 3) (n ndash a a + 1) (2 n ndash 1) (1 n) [1] tiene la misma probabilidad p de ocurrir (con p =1n por lo tanto) podemos calcular las probabilidades y configuraciones de la etapa n + 1

a) La probabilidad de la configuracioacuten (n + 11) (rama izquierda del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(n + 11) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

b) La probabilidad de la configuracioacuten (1 n+1) (rama derecha del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(1 n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

c) La configuracioacuten (n ndash a a + 2) con 0 le a le (n ndash 2) para asegurar que se recorre el rango de configuraciones de la etapa (n + 1) con exclusioacuten de las extremas antes consideradas proviene de (n ndash a a + 1) tras sacar una bola negra o bien de (n ndash a ndash 1 a + 2) luego de resultar blanca la bola extraiacuteda Su probabilidad seraacute por lo tanto

p x (a + 1) (n + 1) + p x (n ndash a ndash 1) (n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

de modo que todas las configuraciones de la etapa n + 1 tendraacuten tambieacuten la misma probabilidad en este caso 1(n + 1)

En la etapa 3 por ejemplo es faacutecil ver que las 3 configuraciones posibles (3 1) (2 2) y (1 3) comparten la probabilidad 13 Asiacute pues el meacutetodo de induccioacuten nos permite concluir que en la etapa n es decir tras n ndash 1 operaciones con la urna eacutesta contendraacute (n + 1) bolas y tendremos las n configuraciones posibles [1] a cada una de las cuales le corresponde la misma probabilidad 1 n

La configuracioacuten (10 10) por la que pregunta el problema perteneceraacute por lo tanto a la etapa n = 19 (tras 18 operaciones con la urna) y en consecuencia su probabilidad seraacute igual a 1 19 algo mayor que 526 por ciento

En general a la configuracioacuten (b n) donde b es el nuacutemero de bolas blancas y n el de negras siendo b y n nuacutemeros naturales cualesquiera ya que cualquier configuracioacuten es alcanzable le corresponderaacute la probabilidad p(b n) = 1 (b + n ndash 1) P Crespo septiembre 2006

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iquestDe doacutende sale el nuacutemero e Un escuchante miacuteo de RNE en el programa sobre matemaacuteticas de los antildeos 2005-06 me hace la siguiente consulta Cuando estudiaba sexto de bachillerato (plan de ensentildeanza 1957) un dia el profesor de matemaacuteticas llegoacute a clase y dijo Hoy toca el nuacutemero e Y a continuacioacuten escribioacute en la pizarra la expresioacuten conocida de liacutemite cuando n tiende a infinito de 1 maacutes 1 partido por n elevado a n La desarrolloacute por el binomio de Newton y obtuvo el conocido resultado de 2718281 Despueacutes nos dijo que el numero e era muy importante en matemaacuteticas y que se utilizaba para la base de los logaritmos neperianos Es curioso ver como la derivada del logaritmo neperiano de x = 1x EXACTO siendo la base del logaritmo un nuacutemero absolutamente INEXACTO IRRACIONAL Realmente me quedeacute sorprendido Primero de coacutemo al baroacuten de Neacuteper se le habiacutea ocurrido utilizar como base de logaritmos a un nuacutemero irracional y segundo por queacute nunca me explicaron a quieacuten se le ocurrioacute calcular el liacutemite de la expresioacuten (1+1n)n iquestPor queacute se le ocurrioacute a alguien esta expresioacuten y no otra iquestDe donde surgioacute tal necesidad Creo que eso era lo primero que mi profesor de matemaacuteticas teniacutea que habernos contado antes de calcular el liacutemite Probablemente el profesor no conociacutea la respuesta que efectivamente es difiacutecil de encontrar en los actuales libros de texto La definicioacuten actual de logaritmo de un nuacutemero es ldquoel exponente a que hay que elevar una base dada para obtener dicho nuacutemerordquo Asiacute por ejemplo en base 10 el logaritmo de 2 es log10 2 = 0301030 porque 100301030 = 2 (aproximadamente) Pero Neper no concibioacute asiacute el logaritmo para eacutel era el resultado de comparar una progresioacuten aritmeacutetica y otra geomeacutetrica Los teacuterminos de la primera seriacutean los logaritmos de los de la segunda Esto se ve muy claro en esta tabla en la que la razoacuten de la progresioacuten aritmeacutetica es 1 y la de la geomeacutetrica es 10

Progresioacuten aritmeacutetica (razoacuten 1) -3 -2 -1 0 1 2 3Progresioacuten geomeacutetrica (razoacuten 10) 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103

De la propia estructura de ambas progresiones se desprende que un producto de teacuterminos en la progresioacuten geomeacutetrica se corresponde con una suma en la progresioacuten aritmeacutetica Asiacute por las propiedades de los productos de potencias de una misma base seraacute log (xy) = log x + log y y tambieacuten log (xk) = k log x etc Por la misma tabla en la base 10 log (10-3) = log (0001) = -3 log (102) = log (100) = 2 etc Pero iquestqueacute ocurre con los valores intermedios iquestCoacutemo definir para ellos un logaritmo Neper intentoacute responder esta pregunta considerando dos progresiones de razones respectivas α y 1+β siendo (α β) muy pequentildeos Entonces dado un nuacutemero N siempre se podriacutea encontrar un valor n tal que (1+ β)n = N (dentro de una aproximacioacuten suficiente) Entonces el logaritmo de N seriacutea nα Las progresiones maacutes sencillas imaginables son aqueacutellas para las que α = β Entonces seraacute

log N = log [(1+α)n] = nα En esta expresioacuten n seraacute muy grande y α seraacute muy pequentildeo Haciendo nα = L podemos escribir la anterior igualdad

log N = log [(1+ α)1α]nα = log [1+ α)1α]L

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Definamos ahora el nuacutemero e como el liacutemite de (1+α)1α cuando α se hace infinitamente pequentildeo o sea

α

αα

1

0)1(lim +=

rarr

e

Y la expresioacuten se simplificaraacute notablemente

log N = log eL = L log e Resulta inmediatamente que el nuacutemero e = 2718281hellip es la base de logaritmos maacutes conveniente desde el punto de vista teoacuterico pues en ella seraacute log e = 1 Eacutestos son llamados los logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos (este uacuteltimo nombre procede de que miden el aacuterea subtendida entre una hipeacuterbola y su asiacutentota) El nuacutemero e es sin duda el maacutes importante en matemaacuteticas aunque π sea maacutes popular Se recuerdan sus primeras cifras con la mnemotecnia Te ayudareacute a recordar la cantidad a indoctos si releacuteesme bien Se aplica por el nuacutemero de letras de cada palabra Te = 2 ayudareacute = 7 etc En la praacutectica son maacutes usados los logaritmos decimales o de Briggs que tienen por base el nuacutemero 10 Presentan la ventaja de que la parte decimal de cada logaritmo (mantisa) no cambia al ser multiplicado el nuacutemero por una potencia de 10 lo que hace muy praacutecticas las tabulaciones El paso de los logaritmos de una a otra base es muy sencillo mediante el nuacutemero M = log 10 = 2302585 Se deduce sin dificultad que log x = M log10 x Josep M Albaigegraves Barcelona octubre 2006

El nuacutemero e es el uacutenico que verifica que el valor de la derivada (inclinacioacuten de la tangente en rojo en la figura) de f(x) = ex para cualquier valor de x es igual al valor de f(x)

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Cruzando el desierto en jeep Enunciado (propuesto por Mariano Nieto en C-83 seccioacuten correo) Un jeep ha de atravesar un desierto de 800 kiloacutemetros Admite una carga maacutexima para recorrer 500 kiloacutemetros y se quiere conocer la menor cantidad de tales cargas que hay que consumir para alcanzar la meta El depoacutesito inicial se supone de capacidad ilimitada y el jeep puede establecer tantos depoacutesitos intermedios como haga falta Se desea conocer tambieacuten el nuacutemero de viajes parciales que lleva a cabo el jeep teniendo en cuenta que ante dos soluciones iguales (mismo consumo) se preferiraacute la que implique menos viajes parciales Planteo

Supongamos que se depositan cargas en los puntos 1 2 hellipi hellipy llamemos ci a la carga del depoacutesito en el punto i y cf a la del punto siguiente i + 1 Si la distancia entre ambos puntos es d para transportar la carga del punto i al i +1 se necesitaraacuten n viajes de ida y vuelta y un uacuteltimo viaje de ida El depoacutesito en el punto i constaraacute pues de n cargas para 500 km y un remanente al que llamaremos cr Podemos plantear las ecuaciones siguientes

cf = (500 - 2d) n + cr - d (1) ci = 500 n + cr (2) r = (2n + 1) d (3) cr = 500 (4)

donde r es el recorrido del jeep (equivalente a la carga consumida) en el transporte entre ambos depoacutesitos

Los caacutelculos han de efectuarse retrocediendo desde el final hasta la situacioacuten de salida (o sea pasando desde el depoacutesito i +1 al i) para garantizar que se transporta siempre la cantidad miacutenima precisa Cuidaremos tambieacuten de que el valor de n sea el menor posible puesto que los viajes de ida y vuelta aunque necesarios son obviamente menos eficaces en cuanto a rendimiento que los directos Solucioacuten Las ecuaciones anteriores sugieren una viacutea para la solucioacuten del problema basada en separar los tramos para los cuales n (nuacutemero de viajes de ida y vuelta) se mantiene constante El valor de n iraacute en aumento al progresar desde el final hacia el inicio puesto que la capacidad de los depoacutesitos iraacute aumentando en ese sentido y cada vez que se produzca un incremento de 500 km de carga se haraacute necesario aumentar n en una unidad Asiacute pues tendremos 1- Tramo con n = 0 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se progresa desde el final (punto kilomeacutetrico 800) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 0 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

cf = cr ndash d

Como la carga final cf es nula al llegar al punto final (800 km) y es cr = 500 (el maacuteximo posible) basta con llevar a cabo un viaje de ida solamente que salva la distancia d = 500 km El consumo es justamente de 500 km o una carga Esto nos

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coloca a una distancia del origen de 300 km con un depoacutesito con carga para 500 km en dicho punto al que llamaremos D 2 - Tramo con n = 1 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se calcula desde el final (punto kilomeacutetrico 300) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 1 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

500 = 500 - 2d + cr - d = 500 + cr ndash 3 d Hasta que se agote la carga residual maacutexima cr = 500 tendremos

d = 500 3 (5)

La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =1 (es decir donde se pasa de n =1 a n =2 si se lee desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 1) = 300 ndash 5003 = 4003 = 133 3333hellip km El consumo en todo este tramo final (donde n =1) seraacute

consumo (n = 1) = 3 d = 3 times 5003 = 500 Tenemos asiacute tres viajes de 5003 km Al final de la operacioacuten se habraacute transportado una carga de 500 km con un consumo de 500 km tal como se ha calculado antes Como ya se ha visto nos hallamos ahora a una distancia del origen igual a 4003= 133333hellip km Bautizamos este punto como C donde el depoacutesito tendraacute una carga para 1000 km 3 Tramo con n = 2 Ahora la foacutermula (1) se expresa

1000 = 1000 - 4d + cr - d = 1000 + cr ndash 5 d Para una carga residual maacutexima cr = 500 seraacute

d = 5005 = 100 (6) La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =2 (es decir donde se pasa de n =2 a n =3 leyendo desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 2) = 400 3 - 100 = 100 3 = 333333hellipk m El consumo en todo este tramo (donde n =2) seraacute

consumo (n = 2) = 5 d = 500 Se salva una distancia de 100 km y se comprueba que el consumo seraacute de 5 times 100 = 500 La carga transportada seraacute de 2 times 300 + 400 = 1000 km carga que se deja en el depoacutesito C En este punto B nos encontramos a una distancia del origen de 1003 = 33333hellip km y con un depoacutesito con carga para 1500 km

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4 Tramo con n = 3 En este caso la foacutermula (1) es

1500 = 1500 - 6d + cr - d = 1500 + cr - 7d Tendremos ahora d = 5007 gt 100 3 desigualdad que nos dice que la distancia que puede cubrirse con n = 3 supera la distancia que nos separa del origen Asiacute que bastaraacute trabajar de forma que se tenga

d = 1003 (7) Con estas condiciones el consumo correspondiente valdraacute

consumo (n = 3) = 7 d = 700 3 El nuacutemero de viajes seraacute ahora igual a 2 n + 1 = 7 cada uno de los cuales cubre la distancia d = 1003 La carga que se toma del depoacutesito inicial seraacute 1500 + 7003 Consumo total El consumo total que se busca seraacute por lo tanto exactamente Consumo total = 500 (para recorrer los uacuteltimos 500 km n = 0) + 500 (n = 1) + + 500 (n = 2) + 7003 (n = 3) = 1500 + 7003 lo que expresado en cargas resulta ser (1500 + 7003) 500 = 3+7 15 = 34666hellip El nuacutemero total de viajes resulta ser sumando los de las etapas parciales igual a 16 La tabla 1 muestra los valores relevantes para cada una de las etapas dispuestos ahora desde el inicio hasta el final

Km n viajes d (km) consumo (km) carga (km) A (origen) 1500 + 700 3

0 a 1003 (B) 3 7 100 3 700 3 1500 1993 a 4003 (C) 2 5 100 500 1000 4003 a 300 (D) 1 3 500 3 500 500 300 a 800 (E) 0 1 500 500 0

TOTALES 16 800 1500 + 700 3 Tabla 1

El resultado es por tanto Consumo = (1500 + 700 3) 500 = 3 + 7 15 = 34666hellipasymp 347 Viajes = 16 Notas finales Otra cuestioacuten que suscita este problema es la de si existe una limitacioacuten a la anchura del desierto que se ha de atravesar La respuesta es que no existe tal liacutemite puesto que como se aprecia sin dificultad la taacutectica para ir situando combustible en posiciones avanzadas y que expresan las ecuaciones (1) a (4) permite trabajar a partir de cualquier distancia P Crespo noviembre 2006

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Pitaacutegora y su relacioacuten con los proyectiles

El otro diacutea andando por la calle vi el anagrama de una empresa de consulting

Como puede verse el siacutembolo de la empresa es (aproximadamente) el tan conocido triaacutengulo pitagoacuterico de lados 3 4 y 5 Lo vemos inscrito en un cuadrado el miacutenimo que puede contenerlo iquestCuaacutel es el lado de este cuadrado

Solucioacuten Llamemos α al aacutengulo que forma el cateto largo con el lado vertical del cuadrado Es

inmediato establecer las ecuaciones

4 cos α = L = 4 sin α + 3 cos α Que permite llegar a la igualdad

cos α = 4 sin α De donde se obtiene tan α = α o sea α = 14036ordm El lado vale L = 4 cos 14036ordm = 38806 Es curioso que este aacutengulo es el mismo con el que debe ser lanzado un proyectil para

que la altura alcanzada sea igual al alcance En efecto la primera vale

gvh

2sin 22

0max

ϕ=

Mientras que el alcance es

gvx ϕ2sin2

0=

Igualando ambas ecuaciones se llega a cos φ = frac14 El aacutengulo φ es el complementario

del α antes hallado El proyectil deberiacutea dispararse tangente al cateto de lado 4 JMAiO BCN sep 06

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PROBLEMA DE LA DIVISIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO

Dado un triaacutengulo ABC y un punto P situado en su interior se pide trazar una recta MN que pasando por el punto P divida al triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea o que esteacuten en una proporcioacuten dada

A

B C

P

M

N

Q

q

p

R

x

y

Solucioacuten El problema implica dos condiciones - 1ordm Que los puntos M P y N esteacuten alineados - 2ordm Que las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB esteacuten en una proporcioacuten dada

Veamos como podemos dar forma algebraica a estas dos condiciones Tracemos desde el punto P como se indica en la figura las paralelas a los lados BC y AC hasta que corten en los puntos R y Q respectivamente a los lados AC y BC Llamemos x y p y q a los segmentos MR NQ PQ y PR Los valores de x e y se obtendraacuten al resolver el sistema de ecuaciones que suponen las dos condiciones dadas La primera condicioacuten ya que los triaacutengulos MRP y PQN son semejantes se expresa escribiendo

yp

qx=

La segunda condicioacuten puesto que los triaacutengulos MCN y ACB tienen comuacuten el aacutengulo en C equivale a decir que los productos de los lados de cada triaacutengulo que concurren en el veacutertice C estaacuten en la proporcioacuten en la que estaacuten sus aacutereas Llamando k al cociente entre las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB la segunda condicioacuten la escribiremos asiacute

[C-92] 32

( )( ) kabqypx =++

donde a y b son respectivamente los lados BC y AC del triaacutengulo dado El sistema de ecuaciones escrito nos conduce a la siguiente ecuacioacuten de segundo grado que resuelve el problema

( ) 02 22 =+minusminus qpxpqkabqx

( )

qpqkabkabpqkab

x2

42 minusplusmnminus=

xpqy =

La condicioacuten para que el problema tenga solucioacuten real es que el radicando no sea negativo es decir

( ) 04 geminus pqkabkab

pqkab 4ge

abpqk 4

ge

Resulta innecesario decir que para k=05 la recta divide el triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea teniendo que darse previamente la condicioacuten del paacuterrafo anterior Notas 1- La primera condicioacuten tambieacuten se puede expresar escribiendo la recta MN en su forma canoacutenica en el sistema de coordenadas cartesianas oblicuas definido por los ejes CA y CB obligando a que el punto P esteacute en ella es decir

1=+

++ xp

pyq

q o sea pqxy =

2- El valor de k tambieacuten depende del par de lados respecto a los cuales se hayan trazado las paralelas para disponer de los valores de p y q Puede darse el caso de que aun siendo negativo el radicando para la pareja de lados elegida no lo sea para alguna otra y el problema siga teniendo solucioacuten

Manuel Rodriacuteguez Saacutenchez ndash Septiembre de 2006

[C-92] 33

Re-citando las citas de laquoPelucheraquo

laquoLas mujeres hablan porque desean hablar mientras que un hombre soacutelo habla cuando se siente empujado por algo ajeno a eacutel como por ejemplo si no encuentra unos calcetines limpiosraquo (Jean Kerr 1922-2003 escritora estadounidense) laquoDonde hay matrimonio sin amor habraacute amor sin matrimonioraquo (Benjamin Franklin cientiacutefico poliacutetico y filoacutesofo norteamericano) laquoSi quieres ver una especie en peligro de extincioacuten miacuterate al espejoraquo (John Young 1930 cientiacutefico estadounidense) laquoAntes de pedir dinero a un amigo decide cual de las dos cosas necesitas maacutesraquo (Jean de La Bruyegravere 1645-1696 moralista franceacutes) laquoComprendes que estaacutes envejeciendo cuando las velitas cuestan maacutes que la tartaraquo (Bob Hope 1903-2003 actor estadounidense) laquoA mi juicio el mejor gobierno es el que deja a la gente maacutes tiempo en pazraquo (Walt Whitman 1819-1892 poeta estadounidense) laquoSi el hijo de Bono se casa con la hija de Bush iquestla descendencia se llamaraacute Bono Bushraquo (Alberto C 1983 estudiante de reflexologiacutea podal) laquoPara escribir un buen libro no considero imprescindible conocer Pariacutes ni haber leiacutedo el Quijote Cervantes cuando lo escribioacute aun no lo habiacutea leiacutedoraquo (Miguel Delibes 1920 escritor espantildeol) laquoComo todo el mundo sabe los cantos de las sirenas atraen a los hombres para luego acabar con ellos Especialmente las sirenas de las faacutebricasraquo (Jaume Perich Escala 1940-1995 humorista espantildeol) P C Citas tomadas de laquoPelucheraquo con su consentimiento

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Tomo una y entrego dos Mariano Nieto propone en [C-90] (seccioacuten correo) el problema que sigue En una urna hay una bola blanca y otra negra Se saca al azar una de ellas y se

devuelve a la urna acompantildeada de otra del mismo color Esta operacioacuten se repite un nuacutemero indefinido de veces

iquestCuaacutel es la probabilidad de que cuando la urna contenga 20 bolas haya 10 de cada color Solucioacuten

Sea (b n) la composicioacuten de la urna con b bolas blancas y n negras y llamemos etapa a cada intervencioacuten que extrae una bola de la urna y devuelve dos Convengamos en que la configuracioacuten de partida (11) corresponde a la etapa 1 En la etapa 2 tendremos las dos configuraciones posibles de la urna (21) y (12) asociadas con la misma probabilidad de 12

Esta simetriacutea inicial nos sugiere el siguiente procedimiento por induccioacuten Si suponemos que en la etapa n cada una de las n configuraciones posibles

(n 1) (n ndash 1 2) (n ndash 2 3) (n ndash a a + 1) (2 n ndash 1) (1 n) [1] tiene la misma probabilidad p de ocurrir (con p =1n por lo tanto) podemos calcular las probabilidades y configuraciones de la etapa n + 1

a) La probabilidad de la configuracioacuten (n + 11) (rama izquierda del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(n + 11) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

b) La probabilidad de la configuracioacuten (1 n+1) (rama derecha del aacuterbol de bifurcaciones) seraacute p(1 n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

c) La configuracioacuten (n ndash a a + 2) con 0 le a le (n ndash 2) para asegurar que se recorre el rango de configuraciones de la etapa (n + 1) con exclusioacuten de las extremas antes consideradas proviene de (n ndash a a + 1) tras sacar una bola negra o bien de (n ndash a ndash 1 a + 2) luego de resultar blanca la bola extraiacuteda Su probabilidad seraacute por lo tanto

p x (a + 1) (n + 1) + p x (n ndash a ndash 1) (n + 1) = p x n (n + 1) = 1 (n + 1)

de modo que todas las configuraciones de la etapa n + 1 tendraacuten tambieacuten la misma probabilidad en este caso 1(n + 1)

En la etapa 3 por ejemplo es faacutecil ver que las 3 configuraciones posibles (3 1) (2 2) y (1 3) comparten la probabilidad 13 Asiacute pues el meacutetodo de induccioacuten nos permite concluir que en la etapa n es decir tras n ndash 1 operaciones con la urna eacutesta contendraacute (n + 1) bolas y tendremos las n configuraciones posibles [1] a cada una de las cuales le corresponde la misma probabilidad 1 n

La configuracioacuten (10 10) por la que pregunta el problema perteneceraacute por lo tanto a la etapa n = 19 (tras 18 operaciones con la urna) y en consecuencia su probabilidad seraacute igual a 1 19 algo mayor que 526 por ciento

En general a la configuracioacuten (b n) donde b es el nuacutemero de bolas blancas y n el de negras siendo b y n nuacutemeros naturales cualesquiera ya que cualquier configuracioacuten es alcanzable le corresponderaacute la probabilidad p(b n) = 1 (b + n ndash 1) P Crespo septiembre 2006

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iquestDe doacutende sale el nuacutemero e Un escuchante miacuteo de RNE en el programa sobre matemaacuteticas de los antildeos 2005-06 me hace la siguiente consulta Cuando estudiaba sexto de bachillerato (plan de ensentildeanza 1957) un dia el profesor de matemaacuteticas llegoacute a clase y dijo Hoy toca el nuacutemero e Y a continuacioacuten escribioacute en la pizarra la expresioacuten conocida de liacutemite cuando n tiende a infinito de 1 maacutes 1 partido por n elevado a n La desarrolloacute por el binomio de Newton y obtuvo el conocido resultado de 2718281 Despueacutes nos dijo que el numero e era muy importante en matemaacuteticas y que se utilizaba para la base de los logaritmos neperianos Es curioso ver como la derivada del logaritmo neperiano de x = 1x EXACTO siendo la base del logaritmo un nuacutemero absolutamente INEXACTO IRRACIONAL Realmente me quedeacute sorprendido Primero de coacutemo al baroacuten de Neacuteper se le habiacutea ocurrido utilizar como base de logaritmos a un nuacutemero irracional y segundo por queacute nunca me explicaron a quieacuten se le ocurrioacute calcular el liacutemite de la expresioacuten (1+1n)n iquestPor queacute se le ocurrioacute a alguien esta expresioacuten y no otra iquestDe donde surgioacute tal necesidad Creo que eso era lo primero que mi profesor de matemaacuteticas teniacutea que habernos contado antes de calcular el liacutemite Probablemente el profesor no conociacutea la respuesta que efectivamente es difiacutecil de encontrar en los actuales libros de texto La definicioacuten actual de logaritmo de un nuacutemero es ldquoel exponente a que hay que elevar una base dada para obtener dicho nuacutemerordquo Asiacute por ejemplo en base 10 el logaritmo de 2 es log10 2 = 0301030 porque 100301030 = 2 (aproximadamente) Pero Neper no concibioacute asiacute el logaritmo para eacutel era el resultado de comparar una progresioacuten aritmeacutetica y otra geomeacutetrica Los teacuterminos de la primera seriacutean los logaritmos de los de la segunda Esto se ve muy claro en esta tabla en la que la razoacuten de la progresioacuten aritmeacutetica es 1 y la de la geomeacutetrica es 10

Progresioacuten aritmeacutetica (razoacuten 1) -3 -2 -1 0 1 2 3Progresioacuten geomeacutetrica (razoacuten 10) 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103

De la propia estructura de ambas progresiones se desprende que un producto de teacuterminos en la progresioacuten geomeacutetrica se corresponde con una suma en la progresioacuten aritmeacutetica Asiacute por las propiedades de los productos de potencias de una misma base seraacute log (xy) = log x + log y y tambieacuten log (xk) = k log x etc Por la misma tabla en la base 10 log (10-3) = log (0001) = -3 log (102) = log (100) = 2 etc Pero iquestqueacute ocurre con los valores intermedios iquestCoacutemo definir para ellos un logaritmo Neper intentoacute responder esta pregunta considerando dos progresiones de razones respectivas α y 1+β siendo (α β) muy pequentildeos Entonces dado un nuacutemero N siempre se podriacutea encontrar un valor n tal que (1+ β)n = N (dentro de una aproximacioacuten suficiente) Entonces el logaritmo de N seriacutea nα Las progresiones maacutes sencillas imaginables son aqueacutellas para las que α = β Entonces seraacute

log N = log [(1+α)n] = nα En esta expresioacuten n seraacute muy grande y α seraacute muy pequentildeo Haciendo nα = L podemos escribir la anterior igualdad

log N = log [(1+ α)1α]nα = log [1+ α)1α]L

[C-92] 26

Definamos ahora el nuacutemero e como el liacutemite de (1+α)1α cuando α se hace infinitamente pequentildeo o sea

α

αα

1

0)1(lim +=

rarr

e

Y la expresioacuten se simplificaraacute notablemente

log N = log eL = L log e Resulta inmediatamente que el nuacutemero e = 2718281hellip es la base de logaritmos maacutes conveniente desde el punto de vista teoacuterico pues en ella seraacute log e = 1 Eacutestos son llamados los logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos (este uacuteltimo nombre procede de que miden el aacuterea subtendida entre una hipeacuterbola y su asiacutentota) El nuacutemero e es sin duda el maacutes importante en matemaacuteticas aunque π sea maacutes popular Se recuerdan sus primeras cifras con la mnemotecnia Te ayudareacute a recordar la cantidad a indoctos si releacuteesme bien Se aplica por el nuacutemero de letras de cada palabra Te = 2 ayudareacute = 7 etc En la praacutectica son maacutes usados los logaritmos decimales o de Briggs que tienen por base el nuacutemero 10 Presentan la ventaja de que la parte decimal de cada logaritmo (mantisa) no cambia al ser multiplicado el nuacutemero por una potencia de 10 lo que hace muy praacutecticas las tabulaciones El paso de los logaritmos de una a otra base es muy sencillo mediante el nuacutemero M = log 10 = 2302585 Se deduce sin dificultad que log x = M log10 x Josep M Albaigegraves Barcelona octubre 2006

El nuacutemero e es el uacutenico que verifica que el valor de la derivada (inclinacioacuten de la tangente en rojo en la figura) de f(x) = ex para cualquier valor de x es igual al valor de f(x)

[C-92] 27

Cruzando el desierto en jeep Enunciado (propuesto por Mariano Nieto en C-83 seccioacuten correo) Un jeep ha de atravesar un desierto de 800 kiloacutemetros Admite una carga maacutexima para recorrer 500 kiloacutemetros y se quiere conocer la menor cantidad de tales cargas que hay que consumir para alcanzar la meta El depoacutesito inicial se supone de capacidad ilimitada y el jeep puede establecer tantos depoacutesitos intermedios como haga falta Se desea conocer tambieacuten el nuacutemero de viajes parciales que lleva a cabo el jeep teniendo en cuenta que ante dos soluciones iguales (mismo consumo) se preferiraacute la que implique menos viajes parciales Planteo

Supongamos que se depositan cargas en los puntos 1 2 hellipi hellipy llamemos ci a la carga del depoacutesito en el punto i y cf a la del punto siguiente i + 1 Si la distancia entre ambos puntos es d para transportar la carga del punto i al i +1 se necesitaraacuten n viajes de ida y vuelta y un uacuteltimo viaje de ida El depoacutesito en el punto i constaraacute pues de n cargas para 500 km y un remanente al que llamaremos cr Podemos plantear las ecuaciones siguientes

cf = (500 - 2d) n + cr - d (1) ci = 500 n + cr (2) r = (2n + 1) d (3) cr = 500 (4)

donde r es el recorrido del jeep (equivalente a la carga consumida) en el transporte entre ambos depoacutesitos

Los caacutelculos han de efectuarse retrocediendo desde el final hasta la situacioacuten de salida (o sea pasando desde el depoacutesito i +1 al i) para garantizar que se transporta siempre la cantidad miacutenima precisa Cuidaremos tambieacuten de que el valor de n sea el menor posible puesto que los viajes de ida y vuelta aunque necesarios son obviamente menos eficaces en cuanto a rendimiento que los directos Solucioacuten Las ecuaciones anteriores sugieren una viacutea para la solucioacuten del problema basada en separar los tramos para los cuales n (nuacutemero de viajes de ida y vuelta) se mantiene constante El valor de n iraacute en aumento al progresar desde el final hacia el inicio puesto que la capacidad de los depoacutesitos iraacute aumentando en ese sentido y cada vez que se produzca un incremento de 500 km de carga se haraacute necesario aumentar n en una unidad Asiacute pues tendremos 1- Tramo con n = 0 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se progresa desde el final (punto kilomeacutetrico 800) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 0 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

cf = cr ndash d

Como la carga final cf es nula al llegar al punto final (800 km) y es cr = 500 (el maacuteximo posible) basta con llevar a cabo un viaje de ida solamente que salva la distancia d = 500 km El consumo es justamente de 500 km o una carga Esto nos

[C-92] 28

coloca a una distancia del origen de 300 km con un depoacutesito con carga para 500 km en dicho punto al que llamaremos D 2 - Tramo con n = 1 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se calcula desde el final (punto kilomeacutetrico 300) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 1 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

500 = 500 - 2d + cr - d = 500 + cr ndash 3 d Hasta que se agote la carga residual maacutexima cr = 500 tendremos

d = 500 3 (5)

La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =1 (es decir donde se pasa de n =1 a n =2 si se lee desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 1) = 300 ndash 5003 = 4003 = 133 3333hellip km El consumo en todo este tramo final (donde n =1) seraacute

consumo (n = 1) = 3 d = 3 times 5003 = 500 Tenemos asiacute tres viajes de 5003 km Al final de la operacioacuten se habraacute transportado una carga de 500 km con un consumo de 500 km tal como se ha calculado antes Como ya se ha visto nos hallamos ahora a una distancia del origen igual a 4003= 133333hellip km Bautizamos este punto como C donde el depoacutesito tendraacute una carga para 1000 km 3 Tramo con n = 2 Ahora la foacutermula (1) se expresa

1000 = 1000 - 4d + cr - d = 1000 + cr ndash 5 d Para una carga residual maacutexima cr = 500 seraacute

d = 5005 = 100 (6) La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =2 (es decir donde se pasa de n =2 a n =3 leyendo desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 2) = 400 3 - 100 = 100 3 = 333333hellipk m El consumo en todo este tramo (donde n =2) seraacute

consumo (n = 2) = 5 d = 500 Se salva una distancia de 100 km y se comprueba que el consumo seraacute de 5 times 100 = 500 La carga transportada seraacute de 2 times 300 + 400 = 1000 km carga que se deja en el depoacutesito C En este punto B nos encontramos a una distancia del origen de 1003 = 33333hellip km y con un depoacutesito con carga para 1500 km

[C-92] 29

4 Tramo con n = 3 En este caso la foacutermula (1) es

1500 = 1500 - 6d + cr - d = 1500 + cr - 7d Tendremos ahora d = 5007 gt 100 3 desigualdad que nos dice que la distancia que puede cubrirse con n = 3 supera la distancia que nos separa del origen Asiacute que bastaraacute trabajar de forma que se tenga

d = 1003 (7) Con estas condiciones el consumo correspondiente valdraacute

consumo (n = 3) = 7 d = 700 3 El nuacutemero de viajes seraacute ahora igual a 2 n + 1 = 7 cada uno de los cuales cubre la distancia d = 1003 La carga que se toma del depoacutesito inicial seraacute 1500 + 7003 Consumo total El consumo total que se busca seraacute por lo tanto exactamente Consumo total = 500 (para recorrer los uacuteltimos 500 km n = 0) + 500 (n = 1) + + 500 (n = 2) + 7003 (n = 3) = 1500 + 7003 lo que expresado en cargas resulta ser (1500 + 7003) 500 = 3+7 15 = 34666hellip El nuacutemero total de viajes resulta ser sumando los de las etapas parciales igual a 16 La tabla 1 muestra los valores relevantes para cada una de las etapas dispuestos ahora desde el inicio hasta el final

Km n viajes d (km) consumo (km) carga (km) A (origen) 1500 + 700 3

0 a 1003 (B) 3 7 100 3 700 3 1500 1993 a 4003 (C) 2 5 100 500 1000 4003 a 300 (D) 1 3 500 3 500 500 300 a 800 (E) 0 1 500 500 0

TOTALES 16 800 1500 + 700 3 Tabla 1

El resultado es por tanto Consumo = (1500 + 700 3) 500 = 3 + 7 15 = 34666hellipasymp 347 Viajes = 16 Notas finales Otra cuestioacuten que suscita este problema es la de si existe una limitacioacuten a la anchura del desierto que se ha de atravesar La respuesta es que no existe tal liacutemite puesto que como se aprecia sin dificultad la taacutectica para ir situando combustible en posiciones avanzadas y que expresan las ecuaciones (1) a (4) permite trabajar a partir de cualquier distancia P Crespo noviembre 2006

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Pitaacutegora y su relacioacuten con los proyectiles

El otro diacutea andando por la calle vi el anagrama de una empresa de consulting

Como puede verse el siacutembolo de la empresa es (aproximadamente) el tan conocido triaacutengulo pitagoacuterico de lados 3 4 y 5 Lo vemos inscrito en un cuadrado el miacutenimo que puede contenerlo iquestCuaacutel es el lado de este cuadrado

Solucioacuten Llamemos α al aacutengulo que forma el cateto largo con el lado vertical del cuadrado Es

inmediato establecer las ecuaciones

4 cos α = L = 4 sin α + 3 cos α Que permite llegar a la igualdad

cos α = 4 sin α De donde se obtiene tan α = α o sea α = 14036ordm El lado vale L = 4 cos 14036ordm = 38806 Es curioso que este aacutengulo es el mismo con el que debe ser lanzado un proyectil para

que la altura alcanzada sea igual al alcance En efecto la primera vale

gvh

2sin 22

0max

ϕ=

Mientras que el alcance es

gvx ϕ2sin2

0=

Igualando ambas ecuaciones se llega a cos φ = frac14 El aacutengulo φ es el complementario

del α antes hallado El proyectil deberiacutea dispararse tangente al cateto de lado 4 JMAiO BCN sep 06

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PROBLEMA DE LA DIVISIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO

Dado un triaacutengulo ABC y un punto P situado en su interior se pide trazar una recta MN que pasando por el punto P divida al triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea o que esteacuten en una proporcioacuten dada

A

B C

P

M

N

Q

q

p

R

x

y

Solucioacuten El problema implica dos condiciones - 1ordm Que los puntos M P y N esteacuten alineados - 2ordm Que las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB esteacuten en una proporcioacuten dada

Veamos como podemos dar forma algebraica a estas dos condiciones Tracemos desde el punto P como se indica en la figura las paralelas a los lados BC y AC hasta que corten en los puntos R y Q respectivamente a los lados AC y BC Llamemos x y p y q a los segmentos MR NQ PQ y PR Los valores de x e y se obtendraacuten al resolver el sistema de ecuaciones que suponen las dos condiciones dadas La primera condicioacuten ya que los triaacutengulos MRP y PQN son semejantes se expresa escribiendo

yp

qx=

La segunda condicioacuten puesto que los triaacutengulos MCN y ACB tienen comuacuten el aacutengulo en C equivale a decir que los productos de los lados de cada triaacutengulo que concurren en el veacutertice C estaacuten en la proporcioacuten en la que estaacuten sus aacutereas Llamando k al cociente entre las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB la segunda condicioacuten la escribiremos asiacute

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( )( ) kabqypx =++

donde a y b son respectivamente los lados BC y AC del triaacutengulo dado El sistema de ecuaciones escrito nos conduce a la siguiente ecuacioacuten de segundo grado que resuelve el problema

( ) 02 22 =+minusminus qpxpqkabqx

( )

qpqkabkabpqkab

x2

42 minusplusmnminus=

xpqy =

La condicioacuten para que el problema tenga solucioacuten real es que el radicando no sea negativo es decir

( ) 04 geminus pqkabkab

pqkab 4ge

abpqk 4

ge

Resulta innecesario decir que para k=05 la recta divide el triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea teniendo que darse previamente la condicioacuten del paacuterrafo anterior Notas 1- La primera condicioacuten tambieacuten se puede expresar escribiendo la recta MN en su forma canoacutenica en el sistema de coordenadas cartesianas oblicuas definido por los ejes CA y CB obligando a que el punto P esteacute en ella es decir

1=+

++ xp

pyq

q o sea pqxy =

2- El valor de k tambieacuten depende del par de lados respecto a los cuales se hayan trazado las paralelas para disponer de los valores de p y q Puede darse el caso de que aun siendo negativo el radicando para la pareja de lados elegida no lo sea para alguna otra y el problema siga teniendo solucioacuten

Manuel Rodriacuteguez Saacutenchez ndash Septiembre de 2006

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Re-citando las citas de laquoPelucheraquo

laquoLas mujeres hablan porque desean hablar mientras que un hombre soacutelo habla cuando se siente empujado por algo ajeno a eacutel como por ejemplo si no encuentra unos calcetines limpiosraquo (Jean Kerr 1922-2003 escritora estadounidense) laquoDonde hay matrimonio sin amor habraacute amor sin matrimonioraquo (Benjamin Franklin cientiacutefico poliacutetico y filoacutesofo norteamericano) laquoSi quieres ver una especie en peligro de extincioacuten miacuterate al espejoraquo (John Young 1930 cientiacutefico estadounidense) laquoAntes de pedir dinero a un amigo decide cual de las dos cosas necesitas maacutesraquo (Jean de La Bruyegravere 1645-1696 moralista franceacutes) laquoComprendes que estaacutes envejeciendo cuando las velitas cuestan maacutes que la tartaraquo (Bob Hope 1903-2003 actor estadounidense) laquoA mi juicio el mejor gobierno es el que deja a la gente maacutes tiempo en pazraquo (Walt Whitman 1819-1892 poeta estadounidense) laquoSi el hijo de Bono se casa con la hija de Bush iquestla descendencia se llamaraacute Bono Bushraquo (Alberto C 1983 estudiante de reflexologiacutea podal) laquoPara escribir un buen libro no considero imprescindible conocer Pariacutes ni haber leiacutedo el Quijote Cervantes cuando lo escribioacute aun no lo habiacutea leiacutedoraquo (Miguel Delibes 1920 escritor espantildeol) laquoComo todo el mundo sabe los cantos de las sirenas atraen a los hombres para luego acabar con ellos Especialmente las sirenas de las faacutebricasraquo (Jaume Perich Escala 1940-1995 humorista espantildeol) P C Citas tomadas de laquoPelucheraquo con su consentimiento

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iquestDe doacutende sale el nuacutemero e Un escuchante miacuteo de RNE en el programa sobre matemaacuteticas de los antildeos 2005-06 me hace la siguiente consulta Cuando estudiaba sexto de bachillerato (plan de ensentildeanza 1957) un dia el profesor de matemaacuteticas llegoacute a clase y dijo Hoy toca el nuacutemero e Y a continuacioacuten escribioacute en la pizarra la expresioacuten conocida de liacutemite cuando n tiende a infinito de 1 maacutes 1 partido por n elevado a n La desarrolloacute por el binomio de Newton y obtuvo el conocido resultado de 2718281 Despueacutes nos dijo que el numero e era muy importante en matemaacuteticas y que se utilizaba para la base de los logaritmos neperianos Es curioso ver como la derivada del logaritmo neperiano de x = 1x EXACTO siendo la base del logaritmo un nuacutemero absolutamente INEXACTO IRRACIONAL Realmente me quedeacute sorprendido Primero de coacutemo al baroacuten de Neacuteper se le habiacutea ocurrido utilizar como base de logaritmos a un nuacutemero irracional y segundo por queacute nunca me explicaron a quieacuten se le ocurrioacute calcular el liacutemite de la expresioacuten (1+1n)n iquestPor queacute se le ocurrioacute a alguien esta expresioacuten y no otra iquestDe donde surgioacute tal necesidad Creo que eso era lo primero que mi profesor de matemaacuteticas teniacutea que habernos contado antes de calcular el liacutemite Probablemente el profesor no conociacutea la respuesta que efectivamente es difiacutecil de encontrar en los actuales libros de texto La definicioacuten actual de logaritmo de un nuacutemero es ldquoel exponente a que hay que elevar una base dada para obtener dicho nuacutemerordquo Asiacute por ejemplo en base 10 el logaritmo de 2 es log10 2 = 0301030 porque 100301030 = 2 (aproximadamente) Pero Neper no concibioacute asiacute el logaritmo para eacutel era el resultado de comparar una progresioacuten aritmeacutetica y otra geomeacutetrica Los teacuterminos de la primera seriacutean los logaritmos de los de la segunda Esto se ve muy claro en esta tabla en la que la razoacuten de la progresioacuten aritmeacutetica es 1 y la de la geomeacutetrica es 10

Progresioacuten aritmeacutetica (razoacuten 1) -3 -2 -1 0 1 2 3Progresioacuten geomeacutetrica (razoacuten 10) 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103

De la propia estructura de ambas progresiones se desprende que un producto de teacuterminos en la progresioacuten geomeacutetrica se corresponde con una suma en la progresioacuten aritmeacutetica Asiacute por las propiedades de los productos de potencias de una misma base seraacute log (xy) = log x + log y y tambieacuten log (xk) = k log x etc Por la misma tabla en la base 10 log (10-3) = log (0001) = -3 log (102) = log (100) = 2 etc Pero iquestqueacute ocurre con los valores intermedios iquestCoacutemo definir para ellos un logaritmo Neper intentoacute responder esta pregunta considerando dos progresiones de razones respectivas α y 1+β siendo (α β) muy pequentildeos Entonces dado un nuacutemero N siempre se podriacutea encontrar un valor n tal que (1+ β)n = N (dentro de una aproximacioacuten suficiente) Entonces el logaritmo de N seriacutea nα Las progresiones maacutes sencillas imaginables son aqueacutellas para las que α = β Entonces seraacute

log N = log [(1+α)n] = nα En esta expresioacuten n seraacute muy grande y α seraacute muy pequentildeo Haciendo nα = L podemos escribir la anterior igualdad

log N = log [(1+ α)1α]nα = log [1+ α)1α]L

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Definamos ahora el nuacutemero e como el liacutemite de (1+α)1α cuando α se hace infinitamente pequentildeo o sea

α

αα

1

0)1(lim +=

rarr

e

Y la expresioacuten se simplificaraacute notablemente

log N = log eL = L log e Resulta inmediatamente que el nuacutemero e = 2718281hellip es la base de logaritmos maacutes conveniente desde el punto de vista teoacuterico pues en ella seraacute log e = 1 Eacutestos son llamados los logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos (este uacuteltimo nombre procede de que miden el aacuterea subtendida entre una hipeacuterbola y su asiacutentota) El nuacutemero e es sin duda el maacutes importante en matemaacuteticas aunque π sea maacutes popular Se recuerdan sus primeras cifras con la mnemotecnia Te ayudareacute a recordar la cantidad a indoctos si releacuteesme bien Se aplica por el nuacutemero de letras de cada palabra Te = 2 ayudareacute = 7 etc En la praacutectica son maacutes usados los logaritmos decimales o de Briggs que tienen por base el nuacutemero 10 Presentan la ventaja de que la parte decimal de cada logaritmo (mantisa) no cambia al ser multiplicado el nuacutemero por una potencia de 10 lo que hace muy praacutecticas las tabulaciones El paso de los logaritmos de una a otra base es muy sencillo mediante el nuacutemero M = log 10 = 2302585 Se deduce sin dificultad que log x = M log10 x Josep M Albaigegraves Barcelona octubre 2006

El nuacutemero e es el uacutenico que verifica que el valor de la derivada (inclinacioacuten de la tangente en rojo en la figura) de f(x) = ex para cualquier valor de x es igual al valor de f(x)

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Cruzando el desierto en jeep Enunciado (propuesto por Mariano Nieto en C-83 seccioacuten correo) Un jeep ha de atravesar un desierto de 800 kiloacutemetros Admite una carga maacutexima para recorrer 500 kiloacutemetros y se quiere conocer la menor cantidad de tales cargas que hay que consumir para alcanzar la meta El depoacutesito inicial se supone de capacidad ilimitada y el jeep puede establecer tantos depoacutesitos intermedios como haga falta Se desea conocer tambieacuten el nuacutemero de viajes parciales que lleva a cabo el jeep teniendo en cuenta que ante dos soluciones iguales (mismo consumo) se preferiraacute la que implique menos viajes parciales Planteo

Supongamos que se depositan cargas en los puntos 1 2 hellipi hellipy llamemos ci a la carga del depoacutesito en el punto i y cf a la del punto siguiente i + 1 Si la distancia entre ambos puntos es d para transportar la carga del punto i al i +1 se necesitaraacuten n viajes de ida y vuelta y un uacuteltimo viaje de ida El depoacutesito en el punto i constaraacute pues de n cargas para 500 km y un remanente al que llamaremos cr Podemos plantear las ecuaciones siguientes

cf = (500 - 2d) n + cr - d (1) ci = 500 n + cr (2) r = (2n + 1) d (3) cr = 500 (4)

donde r es el recorrido del jeep (equivalente a la carga consumida) en el transporte entre ambos depoacutesitos

Los caacutelculos han de efectuarse retrocediendo desde el final hasta la situacioacuten de salida (o sea pasando desde el depoacutesito i +1 al i) para garantizar que se transporta siempre la cantidad miacutenima precisa Cuidaremos tambieacuten de que el valor de n sea el menor posible puesto que los viajes de ida y vuelta aunque necesarios son obviamente menos eficaces en cuanto a rendimiento que los directos Solucioacuten Las ecuaciones anteriores sugieren una viacutea para la solucioacuten del problema basada en separar los tramos para los cuales n (nuacutemero de viajes de ida y vuelta) se mantiene constante El valor de n iraacute en aumento al progresar desde el final hacia el inicio puesto que la capacidad de los depoacutesitos iraacute aumentando en ese sentido y cada vez que se produzca un incremento de 500 km de carga se haraacute necesario aumentar n en una unidad Asiacute pues tendremos 1- Tramo con n = 0 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se progresa desde el final (punto kilomeacutetrico 800) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 0 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

cf = cr ndash d

Como la carga final cf es nula al llegar al punto final (800 km) y es cr = 500 (el maacuteximo posible) basta con llevar a cabo un viaje de ida solamente que salva la distancia d = 500 km El consumo es justamente de 500 km o una carga Esto nos

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coloca a una distancia del origen de 300 km con un depoacutesito con carga para 500 km en dicho punto al que llamaremos D 2 - Tramo con n = 1 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se calcula desde el final (punto kilomeacutetrico 300) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 1 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

500 = 500 - 2d + cr - d = 500 + cr ndash 3 d Hasta que se agote la carga residual maacutexima cr = 500 tendremos

d = 500 3 (5)

La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =1 (es decir donde se pasa de n =1 a n =2 si se lee desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 1) = 300 ndash 5003 = 4003 = 133 3333hellip km El consumo en todo este tramo final (donde n =1) seraacute

consumo (n = 1) = 3 d = 3 times 5003 = 500 Tenemos asiacute tres viajes de 5003 km Al final de la operacioacuten se habraacute transportado una carga de 500 km con un consumo de 500 km tal como se ha calculado antes Como ya se ha visto nos hallamos ahora a una distancia del origen igual a 4003= 133333hellip km Bautizamos este punto como C donde el depoacutesito tendraacute una carga para 1000 km 3 Tramo con n = 2 Ahora la foacutermula (1) se expresa

1000 = 1000 - 4d + cr - d = 1000 + cr ndash 5 d Para una carga residual maacutexima cr = 500 seraacute

d = 5005 = 100 (6) La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =2 (es decir donde se pasa de n =2 a n =3 leyendo desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 2) = 400 3 - 100 = 100 3 = 333333hellipk m El consumo en todo este tramo (donde n =2) seraacute

consumo (n = 2) = 5 d = 500 Se salva una distancia de 100 km y se comprueba que el consumo seraacute de 5 times 100 = 500 La carga transportada seraacute de 2 times 300 + 400 = 1000 km carga que se deja en el depoacutesito C En este punto B nos encontramos a una distancia del origen de 1003 = 33333hellip km y con un depoacutesito con carga para 1500 km

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4 Tramo con n = 3 En este caso la foacutermula (1) es

1500 = 1500 - 6d + cr - d = 1500 + cr - 7d Tendremos ahora d = 5007 gt 100 3 desigualdad que nos dice que la distancia que puede cubrirse con n = 3 supera la distancia que nos separa del origen Asiacute que bastaraacute trabajar de forma que se tenga

d = 1003 (7) Con estas condiciones el consumo correspondiente valdraacute

consumo (n = 3) = 7 d = 700 3 El nuacutemero de viajes seraacute ahora igual a 2 n + 1 = 7 cada uno de los cuales cubre la distancia d = 1003 La carga que se toma del depoacutesito inicial seraacute 1500 + 7003 Consumo total El consumo total que se busca seraacute por lo tanto exactamente Consumo total = 500 (para recorrer los uacuteltimos 500 km n = 0) + 500 (n = 1) + + 500 (n = 2) + 7003 (n = 3) = 1500 + 7003 lo que expresado en cargas resulta ser (1500 + 7003) 500 = 3+7 15 = 34666hellip El nuacutemero total de viajes resulta ser sumando los de las etapas parciales igual a 16 La tabla 1 muestra los valores relevantes para cada una de las etapas dispuestos ahora desde el inicio hasta el final

Km n viajes d (km) consumo (km) carga (km) A (origen) 1500 + 700 3

0 a 1003 (B) 3 7 100 3 700 3 1500 1993 a 4003 (C) 2 5 100 500 1000 4003 a 300 (D) 1 3 500 3 500 500 300 a 800 (E) 0 1 500 500 0

TOTALES 16 800 1500 + 700 3 Tabla 1

El resultado es por tanto Consumo = (1500 + 700 3) 500 = 3 + 7 15 = 34666hellipasymp 347 Viajes = 16 Notas finales Otra cuestioacuten que suscita este problema es la de si existe una limitacioacuten a la anchura del desierto que se ha de atravesar La respuesta es que no existe tal liacutemite puesto que como se aprecia sin dificultad la taacutectica para ir situando combustible en posiciones avanzadas y que expresan las ecuaciones (1) a (4) permite trabajar a partir de cualquier distancia P Crespo noviembre 2006

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Pitaacutegora y su relacioacuten con los proyectiles

El otro diacutea andando por la calle vi el anagrama de una empresa de consulting

Como puede verse el siacutembolo de la empresa es (aproximadamente) el tan conocido triaacutengulo pitagoacuterico de lados 3 4 y 5 Lo vemos inscrito en un cuadrado el miacutenimo que puede contenerlo iquestCuaacutel es el lado de este cuadrado

Solucioacuten Llamemos α al aacutengulo que forma el cateto largo con el lado vertical del cuadrado Es

inmediato establecer las ecuaciones

4 cos α = L = 4 sin α + 3 cos α Que permite llegar a la igualdad

cos α = 4 sin α De donde se obtiene tan α = α o sea α = 14036ordm El lado vale L = 4 cos 14036ordm = 38806 Es curioso que este aacutengulo es el mismo con el que debe ser lanzado un proyectil para

que la altura alcanzada sea igual al alcance En efecto la primera vale

gvh

2sin 22

0max

ϕ=

Mientras que el alcance es

gvx ϕ2sin2

0=

Igualando ambas ecuaciones se llega a cos φ = frac14 El aacutengulo φ es el complementario

del α antes hallado El proyectil deberiacutea dispararse tangente al cateto de lado 4 JMAiO BCN sep 06

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PROBLEMA DE LA DIVISIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO

Dado un triaacutengulo ABC y un punto P situado en su interior se pide trazar una recta MN que pasando por el punto P divida al triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea o que esteacuten en una proporcioacuten dada

A

B C

P

M

N

Q

q

p

R

x

y

Solucioacuten El problema implica dos condiciones - 1ordm Que los puntos M P y N esteacuten alineados - 2ordm Que las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB esteacuten en una proporcioacuten dada

Veamos como podemos dar forma algebraica a estas dos condiciones Tracemos desde el punto P como se indica en la figura las paralelas a los lados BC y AC hasta que corten en los puntos R y Q respectivamente a los lados AC y BC Llamemos x y p y q a los segmentos MR NQ PQ y PR Los valores de x e y se obtendraacuten al resolver el sistema de ecuaciones que suponen las dos condiciones dadas La primera condicioacuten ya que los triaacutengulos MRP y PQN son semejantes se expresa escribiendo

yp

qx=

La segunda condicioacuten puesto que los triaacutengulos MCN y ACB tienen comuacuten el aacutengulo en C equivale a decir que los productos de los lados de cada triaacutengulo que concurren en el veacutertice C estaacuten en la proporcioacuten en la que estaacuten sus aacutereas Llamando k al cociente entre las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB la segunda condicioacuten la escribiremos asiacute

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( )( ) kabqypx =++

donde a y b son respectivamente los lados BC y AC del triaacutengulo dado El sistema de ecuaciones escrito nos conduce a la siguiente ecuacioacuten de segundo grado que resuelve el problema

( ) 02 22 =+minusminus qpxpqkabqx

( )

qpqkabkabpqkab

x2

42 minusplusmnminus=

xpqy =

La condicioacuten para que el problema tenga solucioacuten real es que el radicando no sea negativo es decir

( ) 04 geminus pqkabkab

pqkab 4ge

abpqk 4

ge

Resulta innecesario decir que para k=05 la recta divide el triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea teniendo que darse previamente la condicioacuten del paacuterrafo anterior Notas 1- La primera condicioacuten tambieacuten se puede expresar escribiendo la recta MN en su forma canoacutenica en el sistema de coordenadas cartesianas oblicuas definido por los ejes CA y CB obligando a que el punto P esteacute en ella es decir

1=+

++ xp

pyq

q o sea pqxy =

2- El valor de k tambieacuten depende del par de lados respecto a los cuales se hayan trazado las paralelas para disponer de los valores de p y q Puede darse el caso de que aun siendo negativo el radicando para la pareja de lados elegida no lo sea para alguna otra y el problema siga teniendo solucioacuten

Manuel Rodriacuteguez Saacutenchez ndash Septiembre de 2006

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Re-citando las citas de laquoPelucheraquo

laquoLas mujeres hablan porque desean hablar mientras que un hombre soacutelo habla cuando se siente empujado por algo ajeno a eacutel como por ejemplo si no encuentra unos calcetines limpiosraquo (Jean Kerr 1922-2003 escritora estadounidense) laquoDonde hay matrimonio sin amor habraacute amor sin matrimonioraquo (Benjamin Franklin cientiacutefico poliacutetico y filoacutesofo norteamericano) laquoSi quieres ver una especie en peligro de extincioacuten miacuterate al espejoraquo (John Young 1930 cientiacutefico estadounidense) laquoAntes de pedir dinero a un amigo decide cual de las dos cosas necesitas maacutesraquo (Jean de La Bruyegravere 1645-1696 moralista franceacutes) laquoComprendes que estaacutes envejeciendo cuando las velitas cuestan maacutes que la tartaraquo (Bob Hope 1903-2003 actor estadounidense) laquoA mi juicio el mejor gobierno es el que deja a la gente maacutes tiempo en pazraquo (Walt Whitman 1819-1892 poeta estadounidense) laquoSi el hijo de Bono se casa con la hija de Bush iquestla descendencia se llamaraacute Bono Bushraquo (Alberto C 1983 estudiante de reflexologiacutea podal) laquoPara escribir un buen libro no considero imprescindible conocer Pariacutes ni haber leiacutedo el Quijote Cervantes cuando lo escribioacute aun no lo habiacutea leiacutedoraquo (Miguel Delibes 1920 escritor espantildeol) laquoComo todo el mundo sabe los cantos de las sirenas atraen a los hombres para luego acabar con ellos Especialmente las sirenas de las faacutebricasraquo (Jaume Perich Escala 1940-1995 humorista espantildeol) P C Citas tomadas de laquoPelucheraquo con su consentimiento

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Definamos ahora el nuacutemero e como el liacutemite de (1+α)1α cuando α se hace infinitamente pequentildeo o sea

α

αα

1

0)1(lim +=

rarr

e

Y la expresioacuten se simplificaraacute notablemente

log N = log eL = L log e Resulta inmediatamente que el nuacutemero e = 2718281hellip es la base de logaritmos maacutes conveniente desde el punto de vista teoacuterico pues en ella seraacute log e = 1 Eacutestos son llamados los logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos (este uacuteltimo nombre procede de que miden el aacuterea subtendida entre una hipeacuterbola y su asiacutentota) El nuacutemero e es sin duda el maacutes importante en matemaacuteticas aunque π sea maacutes popular Se recuerdan sus primeras cifras con la mnemotecnia Te ayudareacute a recordar la cantidad a indoctos si releacuteesme bien Se aplica por el nuacutemero de letras de cada palabra Te = 2 ayudareacute = 7 etc En la praacutectica son maacutes usados los logaritmos decimales o de Briggs que tienen por base el nuacutemero 10 Presentan la ventaja de que la parte decimal de cada logaritmo (mantisa) no cambia al ser multiplicado el nuacutemero por una potencia de 10 lo que hace muy praacutecticas las tabulaciones El paso de los logaritmos de una a otra base es muy sencillo mediante el nuacutemero M = log 10 = 2302585 Se deduce sin dificultad que log x = M log10 x Josep M Albaigegraves Barcelona octubre 2006

El nuacutemero e es el uacutenico que verifica que el valor de la derivada (inclinacioacuten de la tangente en rojo en la figura) de f(x) = ex para cualquier valor de x es igual al valor de f(x)

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Cruzando el desierto en jeep Enunciado (propuesto por Mariano Nieto en C-83 seccioacuten correo) Un jeep ha de atravesar un desierto de 800 kiloacutemetros Admite una carga maacutexima para recorrer 500 kiloacutemetros y se quiere conocer la menor cantidad de tales cargas que hay que consumir para alcanzar la meta El depoacutesito inicial se supone de capacidad ilimitada y el jeep puede establecer tantos depoacutesitos intermedios como haga falta Se desea conocer tambieacuten el nuacutemero de viajes parciales que lleva a cabo el jeep teniendo en cuenta que ante dos soluciones iguales (mismo consumo) se preferiraacute la que implique menos viajes parciales Planteo

Supongamos que se depositan cargas en los puntos 1 2 hellipi hellipy llamemos ci a la carga del depoacutesito en el punto i y cf a la del punto siguiente i + 1 Si la distancia entre ambos puntos es d para transportar la carga del punto i al i +1 se necesitaraacuten n viajes de ida y vuelta y un uacuteltimo viaje de ida El depoacutesito en el punto i constaraacute pues de n cargas para 500 km y un remanente al que llamaremos cr Podemos plantear las ecuaciones siguientes

cf = (500 - 2d) n + cr - d (1) ci = 500 n + cr (2) r = (2n + 1) d (3) cr = 500 (4)

donde r es el recorrido del jeep (equivalente a la carga consumida) en el transporte entre ambos depoacutesitos

Los caacutelculos han de efectuarse retrocediendo desde el final hasta la situacioacuten de salida (o sea pasando desde el depoacutesito i +1 al i) para garantizar que se transporta siempre la cantidad miacutenima precisa Cuidaremos tambieacuten de que el valor de n sea el menor posible puesto que los viajes de ida y vuelta aunque necesarios son obviamente menos eficaces en cuanto a rendimiento que los directos Solucioacuten Las ecuaciones anteriores sugieren una viacutea para la solucioacuten del problema basada en separar los tramos para los cuales n (nuacutemero de viajes de ida y vuelta) se mantiene constante El valor de n iraacute en aumento al progresar desde el final hacia el inicio puesto que la capacidad de los depoacutesitos iraacute aumentando en ese sentido y cada vez que se produzca un incremento de 500 km de carga se haraacute necesario aumentar n en una unidad Asiacute pues tendremos 1- Tramo con n = 0 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se progresa desde el final (punto kilomeacutetrico 800) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 0 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

cf = cr ndash d

Como la carga final cf es nula al llegar al punto final (800 km) y es cr = 500 (el maacuteximo posible) basta con llevar a cabo un viaje de ida solamente que salva la distancia d = 500 km El consumo es justamente de 500 km o una carga Esto nos

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coloca a una distancia del origen de 300 km con un depoacutesito con carga para 500 km en dicho punto al que llamaremos D 2 - Tramo con n = 1 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se calcula desde el final (punto kilomeacutetrico 300) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 1 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

500 = 500 - 2d + cr - d = 500 + cr ndash 3 d Hasta que se agote la carga residual maacutexima cr = 500 tendremos

d = 500 3 (5)

La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =1 (es decir donde se pasa de n =1 a n =2 si se lee desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 1) = 300 ndash 5003 = 4003 = 133 3333hellip km El consumo en todo este tramo final (donde n =1) seraacute

consumo (n = 1) = 3 d = 3 times 5003 = 500 Tenemos asiacute tres viajes de 5003 km Al final de la operacioacuten se habraacute transportado una carga de 500 km con un consumo de 500 km tal como se ha calculado antes Como ya se ha visto nos hallamos ahora a una distancia del origen igual a 4003= 133333hellip km Bautizamos este punto como C donde el depoacutesito tendraacute una carga para 1000 km 3 Tramo con n = 2 Ahora la foacutermula (1) se expresa

1000 = 1000 - 4d + cr - d = 1000 + cr ndash 5 d Para una carga residual maacutexima cr = 500 seraacute

d = 5005 = 100 (6) La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =2 (es decir donde se pasa de n =2 a n =3 leyendo desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 2) = 400 3 - 100 = 100 3 = 333333hellipk m El consumo en todo este tramo (donde n =2) seraacute

consumo (n = 2) = 5 d = 500 Se salva una distancia de 100 km y se comprueba que el consumo seraacute de 5 times 100 = 500 La carga transportada seraacute de 2 times 300 + 400 = 1000 km carga que se deja en el depoacutesito C En este punto B nos encontramos a una distancia del origen de 1003 = 33333hellip km y con un depoacutesito con carga para 1500 km

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4 Tramo con n = 3 En este caso la foacutermula (1) es

1500 = 1500 - 6d + cr - d = 1500 + cr - 7d Tendremos ahora d = 5007 gt 100 3 desigualdad que nos dice que la distancia que puede cubrirse con n = 3 supera la distancia que nos separa del origen Asiacute que bastaraacute trabajar de forma que se tenga

d = 1003 (7) Con estas condiciones el consumo correspondiente valdraacute

consumo (n = 3) = 7 d = 700 3 El nuacutemero de viajes seraacute ahora igual a 2 n + 1 = 7 cada uno de los cuales cubre la distancia d = 1003 La carga que se toma del depoacutesito inicial seraacute 1500 + 7003 Consumo total El consumo total que se busca seraacute por lo tanto exactamente Consumo total = 500 (para recorrer los uacuteltimos 500 km n = 0) + 500 (n = 1) + + 500 (n = 2) + 7003 (n = 3) = 1500 + 7003 lo que expresado en cargas resulta ser (1500 + 7003) 500 = 3+7 15 = 34666hellip El nuacutemero total de viajes resulta ser sumando los de las etapas parciales igual a 16 La tabla 1 muestra los valores relevantes para cada una de las etapas dispuestos ahora desde el inicio hasta el final

Km n viajes d (km) consumo (km) carga (km) A (origen) 1500 + 700 3

0 a 1003 (B) 3 7 100 3 700 3 1500 1993 a 4003 (C) 2 5 100 500 1000 4003 a 300 (D) 1 3 500 3 500 500 300 a 800 (E) 0 1 500 500 0

TOTALES 16 800 1500 + 700 3 Tabla 1

El resultado es por tanto Consumo = (1500 + 700 3) 500 = 3 + 7 15 = 34666hellipasymp 347 Viajes = 16 Notas finales Otra cuestioacuten que suscita este problema es la de si existe una limitacioacuten a la anchura del desierto que se ha de atravesar La respuesta es que no existe tal liacutemite puesto que como se aprecia sin dificultad la taacutectica para ir situando combustible en posiciones avanzadas y que expresan las ecuaciones (1) a (4) permite trabajar a partir de cualquier distancia P Crespo noviembre 2006

[C-92] 30

Pitaacutegora y su relacioacuten con los proyectiles

El otro diacutea andando por la calle vi el anagrama de una empresa de consulting

Como puede verse el siacutembolo de la empresa es (aproximadamente) el tan conocido triaacutengulo pitagoacuterico de lados 3 4 y 5 Lo vemos inscrito en un cuadrado el miacutenimo que puede contenerlo iquestCuaacutel es el lado de este cuadrado

Solucioacuten Llamemos α al aacutengulo que forma el cateto largo con el lado vertical del cuadrado Es

inmediato establecer las ecuaciones

4 cos α = L = 4 sin α + 3 cos α Que permite llegar a la igualdad

cos α = 4 sin α De donde se obtiene tan α = α o sea α = 14036ordm El lado vale L = 4 cos 14036ordm = 38806 Es curioso que este aacutengulo es el mismo con el que debe ser lanzado un proyectil para

que la altura alcanzada sea igual al alcance En efecto la primera vale

gvh

2sin 22

0max

ϕ=

Mientras que el alcance es

gvx ϕ2sin2

0=

Igualando ambas ecuaciones se llega a cos φ = frac14 El aacutengulo φ es el complementario

del α antes hallado El proyectil deberiacutea dispararse tangente al cateto de lado 4 JMAiO BCN sep 06

[C-92] 31

PROBLEMA DE LA DIVISIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO

Dado un triaacutengulo ABC y un punto P situado en su interior se pide trazar una recta MN que pasando por el punto P divida al triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea o que esteacuten en una proporcioacuten dada

A

B C

P

M

N

Q

q

p

R

x

y

Solucioacuten El problema implica dos condiciones - 1ordm Que los puntos M P y N esteacuten alineados - 2ordm Que las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB esteacuten en una proporcioacuten dada

Veamos como podemos dar forma algebraica a estas dos condiciones Tracemos desde el punto P como se indica en la figura las paralelas a los lados BC y AC hasta que corten en los puntos R y Q respectivamente a los lados AC y BC Llamemos x y p y q a los segmentos MR NQ PQ y PR Los valores de x e y se obtendraacuten al resolver el sistema de ecuaciones que suponen las dos condiciones dadas La primera condicioacuten ya que los triaacutengulos MRP y PQN son semejantes se expresa escribiendo

yp

qx=

La segunda condicioacuten puesto que los triaacutengulos MCN y ACB tienen comuacuten el aacutengulo en C equivale a decir que los productos de los lados de cada triaacutengulo que concurren en el veacutertice C estaacuten en la proporcioacuten en la que estaacuten sus aacutereas Llamando k al cociente entre las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB la segunda condicioacuten la escribiremos asiacute

[C-92] 32

( )( ) kabqypx =++

donde a y b son respectivamente los lados BC y AC del triaacutengulo dado El sistema de ecuaciones escrito nos conduce a la siguiente ecuacioacuten de segundo grado que resuelve el problema

( ) 02 22 =+minusminus qpxpqkabqx

( )

qpqkabkabpqkab

x2

42 minusplusmnminus=

xpqy =

La condicioacuten para que el problema tenga solucioacuten real es que el radicando no sea negativo es decir

( ) 04 geminus pqkabkab

pqkab 4ge

abpqk 4

ge

Resulta innecesario decir que para k=05 la recta divide el triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea teniendo que darse previamente la condicioacuten del paacuterrafo anterior Notas 1- La primera condicioacuten tambieacuten se puede expresar escribiendo la recta MN en su forma canoacutenica en el sistema de coordenadas cartesianas oblicuas definido por los ejes CA y CB obligando a que el punto P esteacute en ella es decir

1=+

++ xp

pyq

q o sea pqxy =

2- El valor de k tambieacuten depende del par de lados respecto a los cuales se hayan trazado las paralelas para disponer de los valores de p y q Puede darse el caso de que aun siendo negativo el radicando para la pareja de lados elegida no lo sea para alguna otra y el problema siga teniendo solucioacuten

Manuel Rodriacuteguez Saacutenchez ndash Septiembre de 2006

[C-92] 33

Re-citando las citas de laquoPelucheraquo

laquoLas mujeres hablan porque desean hablar mientras que un hombre soacutelo habla cuando se siente empujado por algo ajeno a eacutel como por ejemplo si no encuentra unos calcetines limpiosraquo (Jean Kerr 1922-2003 escritora estadounidense) laquoDonde hay matrimonio sin amor habraacute amor sin matrimonioraquo (Benjamin Franklin cientiacutefico poliacutetico y filoacutesofo norteamericano) laquoSi quieres ver una especie en peligro de extincioacuten miacuterate al espejoraquo (John Young 1930 cientiacutefico estadounidense) laquoAntes de pedir dinero a un amigo decide cual de las dos cosas necesitas maacutesraquo (Jean de La Bruyegravere 1645-1696 moralista franceacutes) laquoComprendes que estaacutes envejeciendo cuando las velitas cuestan maacutes que la tartaraquo (Bob Hope 1903-2003 actor estadounidense) laquoA mi juicio el mejor gobierno es el que deja a la gente maacutes tiempo en pazraquo (Walt Whitman 1819-1892 poeta estadounidense) laquoSi el hijo de Bono se casa con la hija de Bush iquestla descendencia se llamaraacute Bono Bushraquo (Alberto C 1983 estudiante de reflexologiacutea podal) laquoPara escribir un buen libro no considero imprescindible conocer Pariacutes ni haber leiacutedo el Quijote Cervantes cuando lo escribioacute aun no lo habiacutea leiacutedoraquo (Miguel Delibes 1920 escritor espantildeol) laquoComo todo el mundo sabe los cantos de las sirenas atraen a los hombres para luego acabar con ellos Especialmente las sirenas de las faacutebricasraquo (Jaume Perich Escala 1940-1995 humorista espantildeol) P C Citas tomadas de laquoPelucheraquo con su consentimiento

[C-92] 27

Cruzando el desierto en jeep Enunciado (propuesto por Mariano Nieto en C-83 seccioacuten correo) Un jeep ha de atravesar un desierto de 800 kiloacutemetros Admite una carga maacutexima para recorrer 500 kiloacutemetros y se quiere conocer la menor cantidad de tales cargas que hay que consumir para alcanzar la meta El depoacutesito inicial se supone de capacidad ilimitada y el jeep puede establecer tantos depoacutesitos intermedios como haga falta Se desea conocer tambieacuten el nuacutemero de viajes parciales que lleva a cabo el jeep teniendo en cuenta que ante dos soluciones iguales (mismo consumo) se preferiraacute la que implique menos viajes parciales Planteo

Supongamos que se depositan cargas en los puntos 1 2 hellipi hellipy llamemos ci a la carga del depoacutesito en el punto i y cf a la del punto siguiente i + 1 Si la distancia entre ambos puntos es d para transportar la carga del punto i al i +1 se necesitaraacuten n viajes de ida y vuelta y un uacuteltimo viaje de ida El depoacutesito en el punto i constaraacute pues de n cargas para 500 km y un remanente al que llamaremos cr Podemos plantear las ecuaciones siguientes

cf = (500 - 2d) n + cr - d (1) ci = 500 n + cr (2) r = (2n + 1) d (3) cr = 500 (4)

donde r es el recorrido del jeep (equivalente a la carga consumida) en el transporte entre ambos depoacutesitos

Los caacutelculos han de efectuarse retrocediendo desde el final hasta la situacioacuten de salida (o sea pasando desde el depoacutesito i +1 al i) para garantizar que se transporta siempre la cantidad miacutenima precisa Cuidaremos tambieacuten de que el valor de n sea el menor posible puesto que los viajes de ida y vuelta aunque necesarios son obviamente menos eficaces en cuanto a rendimiento que los directos Solucioacuten Las ecuaciones anteriores sugieren una viacutea para la solucioacuten del problema basada en separar los tramos para los cuales n (nuacutemero de viajes de ida y vuelta) se mantiene constante El valor de n iraacute en aumento al progresar desde el final hacia el inicio puesto que la capacidad de los depoacutesitos iraacute aumentando en ese sentido y cada vez que se produzca un incremento de 500 km de carga se haraacute necesario aumentar n en una unidad Asiacute pues tendremos 1- Tramo con n = 0 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se progresa desde el final (punto kilomeacutetrico 800) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 0 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

cf = cr ndash d

Como la carga final cf es nula al llegar al punto final (800 km) y es cr = 500 (el maacuteximo posible) basta con llevar a cabo un viaje de ida solamente que salva la distancia d = 500 km El consumo es justamente de 500 km o una carga Esto nos

[C-92] 28

coloca a una distancia del origen de 300 km con un depoacutesito con carga para 500 km en dicho punto al que llamaremos D 2 - Tramo con n = 1 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se calcula desde el final (punto kilomeacutetrico 300) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 1 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

500 = 500 - 2d + cr - d = 500 + cr ndash 3 d Hasta que se agote la carga residual maacutexima cr = 500 tendremos

d = 500 3 (5)

La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =1 (es decir donde se pasa de n =1 a n =2 si se lee desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 1) = 300 ndash 5003 = 4003 = 133 3333hellip km El consumo en todo este tramo final (donde n =1) seraacute

consumo (n = 1) = 3 d = 3 times 5003 = 500 Tenemos asiacute tres viajes de 5003 km Al final de la operacioacuten se habraacute transportado una carga de 500 km con un consumo de 500 km tal como se ha calculado antes Como ya se ha visto nos hallamos ahora a una distancia del origen igual a 4003= 133333hellip km Bautizamos este punto como C donde el depoacutesito tendraacute una carga para 1000 km 3 Tramo con n = 2 Ahora la foacutermula (1) se expresa

1000 = 1000 - 4d + cr - d = 1000 + cr ndash 5 d Para una carga residual maacutexima cr = 500 seraacute

d = 5005 = 100 (6) La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =2 (es decir donde se pasa de n =2 a n =3 leyendo desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 2) = 400 3 - 100 = 100 3 = 333333hellipk m El consumo en todo este tramo (donde n =2) seraacute

consumo (n = 2) = 5 d = 500 Se salva una distancia de 100 km y se comprueba que el consumo seraacute de 5 times 100 = 500 La carga transportada seraacute de 2 times 300 + 400 = 1000 km carga que se deja en el depoacutesito C En este punto B nos encontramos a una distancia del origen de 1003 = 33333hellip km y con un depoacutesito con carga para 1500 km

[C-92] 29

4 Tramo con n = 3 En este caso la foacutermula (1) es

1500 = 1500 - 6d + cr - d = 1500 + cr - 7d Tendremos ahora d = 5007 gt 100 3 desigualdad que nos dice que la distancia que puede cubrirse con n = 3 supera la distancia que nos separa del origen Asiacute que bastaraacute trabajar de forma que se tenga

d = 1003 (7) Con estas condiciones el consumo correspondiente valdraacute

consumo (n = 3) = 7 d = 700 3 El nuacutemero de viajes seraacute ahora igual a 2 n + 1 = 7 cada uno de los cuales cubre la distancia d = 1003 La carga que se toma del depoacutesito inicial seraacute 1500 + 7003 Consumo total El consumo total que se busca seraacute por lo tanto exactamente Consumo total = 500 (para recorrer los uacuteltimos 500 km n = 0) + 500 (n = 1) + + 500 (n = 2) + 7003 (n = 3) = 1500 + 7003 lo que expresado en cargas resulta ser (1500 + 7003) 500 = 3+7 15 = 34666hellip El nuacutemero total de viajes resulta ser sumando los de las etapas parciales igual a 16 La tabla 1 muestra los valores relevantes para cada una de las etapas dispuestos ahora desde el inicio hasta el final

Km n viajes d (km) consumo (km) carga (km) A (origen) 1500 + 700 3

0 a 1003 (B) 3 7 100 3 700 3 1500 1993 a 4003 (C) 2 5 100 500 1000 4003 a 300 (D) 1 3 500 3 500 500 300 a 800 (E) 0 1 500 500 0

TOTALES 16 800 1500 + 700 3 Tabla 1

El resultado es por tanto Consumo = (1500 + 700 3) 500 = 3 + 7 15 = 34666hellipasymp 347 Viajes = 16 Notas finales Otra cuestioacuten que suscita este problema es la de si existe una limitacioacuten a la anchura del desierto que se ha de atravesar La respuesta es que no existe tal liacutemite puesto que como se aprecia sin dificultad la taacutectica para ir situando combustible en posiciones avanzadas y que expresan las ecuaciones (1) a (4) permite trabajar a partir de cualquier distancia P Crespo noviembre 2006

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Pitaacutegora y su relacioacuten con los proyectiles

El otro diacutea andando por la calle vi el anagrama de una empresa de consulting

Como puede verse el siacutembolo de la empresa es (aproximadamente) el tan conocido triaacutengulo pitagoacuterico de lados 3 4 y 5 Lo vemos inscrito en un cuadrado el miacutenimo que puede contenerlo iquestCuaacutel es el lado de este cuadrado

Solucioacuten Llamemos α al aacutengulo que forma el cateto largo con el lado vertical del cuadrado Es

inmediato establecer las ecuaciones

4 cos α = L = 4 sin α + 3 cos α Que permite llegar a la igualdad

cos α = 4 sin α De donde se obtiene tan α = α o sea α = 14036ordm El lado vale L = 4 cos 14036ordm = 38806 Es curioso que este aacutengulo es el mismo con el que debe ser lanzado un proyectil para

que la altura alcanzada sea igual al alcance En efecto la primera vale

gvh

2sin 22

0max

ϕ=

Mientras que el alcance es

gvx ϕ2sin2

0=

Igualando ambas ecuaciones se llega a cos φ = frac14 El aacutengulo φ es el complementario

del α antes hallado El proyectil deberiacutea dispararse tangente al cateto de lado 4 JMAiO BCN sep 06

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PROBLEMA DE LA DIVISIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO

Dado un triaacutengulo ABC y un punto P situado en su interior se pide trazar una recta MN que pasando por el punto P divida al triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea o que esteacuten en una proporcioacuten dada

A

B C

P

M

N

Q

q

p

R

x

y

Solucioacuten El problema implica dos condiciones - 1ordm Que los puntos M P y N esteacuten alineados - 2ordm Que las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB esteacuten en una proporcioacuten dada

Veamos como podemos dar forma algebraica a estas dos condiciones Tracemos desde el punto P como se indica en la figura las paralelas a los lados BC y AC hasta que corten en los puntos R y Q respectivamente a los lados AC y BC Llamemos x y p y q a los segmentos MR NQ PQ y PR Los valores de x e y se obtendraacuten al resolver el sistema de ecuaciones que suponen las dos condiciones dadas La primera condicioacuten ya que los triaacutengulos MRP y PQN son semejantes se expresa escribiendo

yp

qx=

La segunda condicioacuten puesto que los triaacutengulos MCN y ACB tienen comuacuten el aacutengulo en C equivale a decir que los productos de los lados de cada triaacutengulo que concurren en el veacutertice C estaacuten en la proporcioacuten en la que estaacuten sus aacutereas Llamando k al cociente entre las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB la segunda condicioacuten la escribiremos asiacute

[C-92] 32

( )( ) kabqypx =++

donde a y b son respectivamente los lados BC y AC del triaacutengulo dado El sistema de ecuaciones escrito nos conduce a la siguiente ecuacioacuten de segundo grado que resuelve el problema

( ) 02 22 =+minusminus qpxpqkabqx

( )

qpqkabkabpqkab

x2

42 minusplusmnminus=

xpqy =

La condicioacuten para que el problema tenga solucioacuten real es que el radicando no sea negativo es decir

( ) 04 geminus pqkabkab

pqkab 4ge

abpqk 4

ge

Resulta innecesario decir que para k=05 la recta divide el triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea teniendo que darse previamente la condicioacuten del paacuterrafo anterior Notas 1- La primera condicioacuten tambieacuten se puede expresar escribiendo la recta MN en su forma canoacutenica en el sistema de coordenadas cartesianas oblicuas definido por los ejes CA y CB obligando a que el punto P esteacute en ella es decir

1=+

++ xp

pyq

q o sea pqxy =

2- El valor de k tambieacuten depende del par de lados respecto a los cuales se hayan trazado las paralelas para disponer de los valores de p y q Puede darse el caso de que aun siendo negativo el radicando para la pareja de lados elegida no lo sea para alguna otra y el problema siga teniendo solucioacuten

Manuel Rodriacuteguez Saacutenchez ndash Septiembre de 2006

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Re-citando las citas de laquoPelucheraquo

laquoLas mujeres hablan porque desean hablar mientras que un hombre soacutelo habla cuando se siente empujado por algo ajeno a eacutel como por ejemplo si no encuentra unos calcetines limpiosraquo (Jean Kerr 1922-2003 escritora estadounidense) laquoDonde hay matrimonio sin amor habraacute amor sin matrimonioraquo (Benjamin Franklin cientiacutefico poliacutetico y filoacutesofo norteamericano) laquoSi quieres ver una especie en peligro de extincioacuten miacuterate al espejoraquo (John Young 1930 cientiacutefico estadounidense) laquoAntes de pedir dinero a un amigo decide cual de las dos cosas necesitas maacutesraquo (Jean de La Bruyegravere 1645-1696 moralista franceacutes) laquoComprendes que estaacutes envejeciendo cuando las velitas cuestan maacutes que la tartaraquo (Bob Hope 1903-2003 actor estadounidense) laquoA mi juicio el mejor gobierno es el que deja a la gente maacutes tiempo en pazraquo (Walt Whitman 1819-1892 poeta estadounidense) laquoSi el hijo de Bono se casa con la hija de Bush iquestla descendencia se llamaraacute Bono Bushraquo (Alberto C 1983 estudiante de reflexologiacutea podal) laquoPara escribir un buen libro no considero imprescindible conocer Pariacutes ni haber leiacutedo el Quijote Cervantes cuando lo escribioacute aun no lo habiacutea leiacutedoraquo (Miguel Delibes 1920 escritor espantildeol) laquoComo todo el mundo sabe los cantos de las sirenas atraen a los hombres para luego acabar con ellos Especialmente las sirenas de las faacutebricasraquo (Jaume Perich Escala 1940-1995 humorista espantildeol) P C Citas tomadas de laquoPelucheraquo con su consentimiento

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coloca a una distancia del origen de 300 km con un depoacutesito con carga para 500 km en dicho punto al que llamaremos D 2 - Tramo con n = 1 Seguacuten (1) y pensando como siempre que se calcula desde el final (punto kilomeacutetrico 300) hacia el principio el valor de n se mantendraacute igual a 1 mientras no se produzca el cambio de la carga maacutexima La foacutermula (1) es ahora

500 = 500 - 2d + cr - d = 500 + cr ndash 3 d Hasta que se agote la carga residual maacutexima cr = 500 tendremos

d = 500 3 (5)

La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =1 (es decir donde se pasa de n =1 a n =2 si se lee desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 1) = 300 ndash 5003 = 4003 = 133 3333hellip km El consumo en todo este tramo final (donde n =1) seraacute

consumo (n = 1) = 3 d = 3 times 5003 = 500 Tenemos asiacute tres viajes de 5003 km Al final de la operacioacuten se habraacute transportado una carga de 500 km con un consumo de 500 km tal como se ha calculado antes Como ya se ha visto nos hallamos ahora a una distancia del origen igual a 4003= 133333hellip km Bautizamos este punto como C donde el depoacutesito tendraacute una carga para 1000 km 3 Tramo con n = 2 Ahora la foacutermula (1) se expresa

1000 = 1000 - 4d + cr - d = 1000 + cr ndash 5 d Para una carga residual maacutexima cr = 500 seraacute

d = 5005 = 100 (6) La distancia desde el origen en donde tiene lugar el cambio a n =2 (es decir donde se pasa de n =2 a n =3 leyendo desde el final hacia el inicio) seraacute

distancia desde el origen (n = 2) = 400 3 - 100 = 100 3 = 333333hellipk m El consumo en todo este tramo (donde n =2) seraacute

consumo (n = 2) = 5 d = 500 Se salva una distancia de 100 km y se comprueba que el consumo seraacute de 5 times 100 = 500 La carga transportada seraacute de 2 times 300 + 400 = 1000 km carga que se deja en el depoacutesito C En este punto B nos encontramos a una distancia del origen de 1003 = 33333hellip km y con un depoacutesito con carga para 1500 km

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4 Tramo con n = 3 En este caso la foacutermula (1) es

1500 = 1500 - 6d + cr - d = 1500 + cr - 7d Tendremos ahora d = 5007 gt 100 3 desigualdad que nos dice que la distancia que puede cubrirse con n = 3 supera la distancia que nos separa del origen Asiacute que bastaraacute trabajar de forma que se tenga

d = 1003 (7) Con estas condiciones el consumo correspondiente valdraacute

consumo (n = 3) = 7 d = 700 3 El nuacutemero de viajes seraacute ahora igual a 2 n + 1 = 7 cada uno de los cuales cubre la distancia d = 1003 La carga que se toma del depoacutesito inicial seraacute 1500 + 7003 Consumo total El consumo total que se busca seraacute por lo tanto exactamente Consumo total = 500 (para recorrer los uacuteltimos 500 km n = 0) + 500 (n = 1) + + 500 (n = 2) + 7003 (n = 3) = 1500 + 7003 lo que expresado en cargas resulta ser (1500 + 7003) 500 = 3+7 15 = 34666hellip El nuacutemero total de viajes resulta ser sumando los de las etapas parciales igual a 16 La tabla 1 muestra los valores relevantes para cada una de las etapas dispuestos ahora desde el inicio hasta el final

Km n viajes d (km) consumo (km) carga (km) A (origen) 1500 + 700 3

0 a 1003 (B) 3 7 100 3 700 3 1500 1993 a 4003 (C) 2 5 100 500 1000 4003 a 300 (D) 1 3 500 3 500 500 300 a 800 (E) 0 1 500 500 0

TOTALES 16 800 1500 + 700 3 Tabla 1

El resultado es por tanto Consumo = (1500 + 700 3) 500 = 3 + 7 15 = 34666hellipasymp 347 Viajes = 16 Notas finales Otra cuestioacuten que suscita este problema es la de si existe una limitacioacuten a la anchura del desierto que se ha de atravesar La respuesta es que no existe tal liacutemite puesto que como se aprecia sin dificultad la taacutectica para ir situando combustible en posiciones avanzadas y que expresan las ecuaciones (1) a (4) permite trabajar a partir de cualquier distancia P Crespo noviembre 2006

[C-92] 30

Pitaacutegora y su relacioacuten con los proyectiles

El otro diacutea andando por la calle vi el anagrama de una empresa de consulting

Como puede verse el siacutembolo de la empresa es (aproximadamente) el tan conocido triaacutengulo pitagoacuterico de lados 3 4 y 5 Lo vemos inscrito en un cuadrado el miacutenimo que puede contenerlo iquestCuaacutel es el lado de este cuadrado

Solucioacuten Llamemos α al aacutengulo que forma el cateto largo con el lado vertical del cuadrado Es

inmediato establecer las ecuaciones

4 cos α = L = 4 sin α + 3 cos α Que permite llegar a la igualdad

cos α = 4 sin α De donde se obtiene tan α = α o sea α = 14036ordm El lado vale L = 4 cos 14036ordm = 38806 Es curioso que este aacutengulo es el mismo con el que debe ser lanzado un proyectil para

que la altura alcanzada sea igual al alcance En efecto la primera vale

gvh

2sin 22

0max

ϕ=

Mientras que el alcance es

gvx ϕ2sin2

0=

Igualando ambas ecuaciones se llega a cos φ = frac14 El aacutengulo φ es el complementario

del α antes hallado El proyectil deberiacutea dispararse tangente al cateto de lado 4 JMAiO BCN sep 06

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PROBLEMA DE LA DIVISIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO

Dado un triaacutengulo ABC y un punto P situado en su interior se pide trazar una recta MN que pasando por el punto P divida al triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea o que esteacuten en una proporcioacuten dada

A

B C

P

M

N

Q

q

p

R

x

y

Solucioacuten El problema implica dos condiciones - 1ordm Que los puntos M P y N esteacuten alineados - 2ordm Que las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB esteacuten en una proporcioacuten dada

Veamos como podemos dar forma algebraica a estas dos condiciones Tracemos desde el punto P como se indica en la figura las paralelas a los lados BC y AC hasta que corten en los puntos R y Q respectivamente a los lados AC y BC Llamemos x y p y q a los segmentos MR NQ PQ y PR Los valores de x e y se obtendraacuten al resolver el sistema de ecuaciones que suponen las dos condiciones dadas La primera condicioacuten ya que los triaacutengulos MRP y PQN son semejantes se expresa escribiendo

yp

qx=

La segunda condicioacuten puesto que los triaacutengulos MCN y ACB tienen comuacuten el aacutengulo en C equivale a decir que los productos de los lados de cada triaacutengulo que concurren en el veacutertice C estaacuten en la proporcioacuten en la que estaacuten sus aacutereas Llamando k al cociente entre las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB la segunda condicioacuten la escribiremos asiacute

[C-92] 32

( )( ) kabqypx =++

donde a y b son respectivamente los lados BC y AC del triaacutengulo dado El sistema de ecuaciones escrito nos conduce a la siguiente ecuacioacuten de segundo grado que resuelve el problema

( ) 02 22 =+minusminus qpxpqkabqx

( )

qpqkabkabpqkab

x2

42 minusplusmnminus=

xpqy =

La condicioacuten para que el problema tenga solucioacuten real es que el radicando no sea negativo es decir

( ) 04 geminus pqkabkab

pqkab 4ge

abpqk 4

ge

Resulta innecesario decir que para k=05 la recta divide el triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea teniendo que darse previamente la condicioacuten del paacuterrafo anterior Notas 1- La primera condicioacuten tambieacuten se puede expresar escribiendo la recta MN en su forma canoacutenica en el sistema de coordenadas cartesianas oblicuas definido por los ejes CA y CB obligando a que el punto P esteacute en ella es decir

1=+

++ xp

pyq

q o sea pqxy =

2- El valor de k tambieacuten depende del par de lados respecto a los cuales se hayan trazado las paralelas para disponer de los valores de p y q Puede darse el caso de que aun siendo negativo el radicando para la pareja de lados elegida no lo sea para alguna otra y el problema siga teniendo solucioacuten

Manuel Rodriacuteguez Saacutenchez ndash Septiembre de 2006

[C-92] 33

Re-citando las citas de laquoPelucheraquo

laquoLas mujeres hablan porque desean hablar mientras que un hombre soacutelo habla cuando se siente empujado por algo ajeno a eacutel como por ejemplo si no encuentra unos calcetines limpiosraquo (Jean Kerr 1922-2003 escritora estadounidense) laquoDonde hay matrimonio sin amor habraacute amor sin matrimonioraquo (Benjamin Franklin cientiacutefico poliacutetico y filoacutesofo norteamericano) laquoSi quieres ver una especie en peligro de extincioacuten miacuterate al espejoraquo (John Young 1930 cientiacutefico estadounidense) laquoAntes de pedir dinero a un amigo decide cual de las dos cosas necesitas maacutesraquo (Jean de La Bruyegravere 1645-1696 moralista franceacutes) laquoComprendes que estaacutes envejeciendo cuando las velitas cuestan maacutes que la tartaraquo (Bob Hope 1903-2003 actor estadounidense) laquoA mi juicio el mejor gobierno es el que deja a la gente maacutes tiempo en pazraquo (Walt Whitman 1819-1892 poeta estadounidense) laquoSi el hijo de Bono se casa con la hija de Bush iquestla descendencia se llamaraacute Bono Bushraquo (Alberto C 1983 estudiante de reflexologiacutea podal) laquoPara escribir un buen libro no considero imprescindible conocer Pariacutes ni haber leiacutedo el Quijote Cervantes cuando lo escribioacute aun no lo habiacutea leiacutedoraquo (Miguel Delibes 1920 escritor espantildeol) laquoComo todo el mundo sabe los cantos de las sirenas atraen a los hombres para luego acabar con ellos Especialmente las sirenas de las faacutebricasraquo (Jaume Perich Escala 1940-1995 humorista espantildeol) P C Citas tomadas de laquoPelucheraquo con su consentimiento

[C-92] 29

4 Tramo con n = 3 En este caso la foacutermula (1) es

1500 = 1500 - 6d + cr - d = 1500 + cr - 7d Tendremos ahora d = 5007 gt 100 3 desigualdad que nos dice que la distancia que puede cubrirse con n = 3 supera la distancia que nos separa del origen Asiacute que bastaraacute trabajar de forma que se tenga

d = 1003 (7) Con estas condiciones el consumo correspondiente valdraacute

consumo (n = 3) = 7 d = 700 3 El nuacutemero de viajes seraacute ahora igual a 2 n + 1 = 7 cada uno de los cuales cubre la distancia d = 1003 La carga que se toma del depoacutesito inicial seraacute 1500 + 7003 Consumo total El consumo total que se busca seraacute por lo tanto exactamente Consumo total = 500 (para recorrer los uacuteltimos 500 km n = 0) + 500 (n = 1) + + 500 (n = 2) + 7003 (n = 3) = 1500 + 7003 lo que expresado en cargas resulta ser (1500 + 7003) 500 = 3+7 15 = 34666hellip El nuacutemero total de viajes resulta ser sumando los de las etapas parciales igual a 16 La tabla 1 muestra los valores relevantes para cada una de las etapas dispuestos ahora desde el inicio hasta el final

Km n viajes d (km) consumo (km) carga (km) A (origen) 1500 + 700 3

0 a 1003 (B) 3 7 100 3 700 3 1500 1993 a 4003 (C) 2 5 100 500 1000 4003 a 300 (D) 1 3 500 3 500 500 300 a 800 (E) 0 1 500 500 0

TOTALES 16 800 1500 + 700 3 Tabla 1

El resultado es por tanto Consumo = (1500 + 700 3) 500 = 3 + 7 15 = 34666hellipasymp 347 Viajes = 16 Notas finales Otra cuestioacuten que suscita este problema es la de si existe una limitacioacuten a la anchura del desierto que se ha de atravesar La respuesta es que no existe tal liacutemite puesto que como se aprecia sin dificultad la taacutectica para ir situando combustible en posiciones avanzadas y que expresan las ecuaciones (1) a (4) permite trabajar a partir de cualquier distancia P Crespo noviembre 2006

[C-92] 30

Pitaacutegora y su relacioacuten con los proyectiles

El otro diacutea andando por la calle vi el anagrama de una empresa de consulting

Como puede verse el siacutembolo de la empresa es (aproximadamente) el tan conocido triaacutengulo pitagoacuterico de lados 3 4 y 5 Lo vemos inscrito en un cuadrado el miacutenimo que puede contenerlo iquestCuaacutel es el lado de este cuadrado

Solucioacuten Llamemos α al aacutengulo que forma el cateto largo con el lado vertical del cuadrado Es

inmediato establecer las ecuaciones

4 cos α = L = 4 sin α + 3 cos α Que permite llegar a la igualdad

cos α = 4 sin α De donde se obtiene tan α = α o sea α = 14036ordm El lado vale L = 4 cos 14036ordm = 38806 Es curioso que este aacutengulo es el mismo con el que debe ser lanzado un proyectil para

que la altura alcanzada sea igual al alcance En efecto la primera vale

gvh

2sin 22

0max

ϕ=

Mientras que el alcance es

gvx ϕ2sin2

0=

Igualando ambas ecuaciones se llega a cos φ = frac14 El aacutengulo φ es el complementario

del α antes hallado El proyectil deberiacutea dispararse tangente al cateto de lado 4 JMAiO BCN sep 06

[C-92] 31

PROBLEMA DE LA DIVISIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO

Dado un triaacutengulo ABC y un punto P situado en su interior se pide trazar una recta MN que pasando por el punto P divida al triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea o que esteacuten en una proporcioacuten dada

A

B C

P

M

N

Q

q

p

R

x

y

Solucioacuten El problema implica dos condiciones - 1ordm Que los puntos M P y N esteacuten alineados - 2ordm Que las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB esteacuten en una proporcioacuten dada

Veamos como podemos dar forma algebraica a estas dos condiciones Tracemos desde el punto P como se indica en la figura las paralelas a los lados BC y AC hasta que corten en los puntos R y Q respectivamente a los lados AC y BC Llamemos x y p y q a los segmentos MR NQ PQ y PR Los valores de x e y se obtendraacuten al resolver el sistema de ecuaciones que suponen las dos condiciones dadas La primera condicioacuten ya que los triaacutengulos MRP y PQN son semejantes se expresa escribiendo

yp

qx=

La segunda condicioacuten puesto que los triaacutengulos MCN y ACB tienen comuacuten el aacutengulo en C equivale a decir que los productos de los lados de cada triaacutengulo que concurren en el veacutertice C estaacuten en la proporcioacuten en la que estaacuten sus aacutereas Llamando k al cociente entre las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB la segunda condicioacuten la escribiremos asiacute

[C-92] 32

( )( ) kabqypx =++

donde a y b son respectivamente los lados BC y AC del triaacutengulo dado El sistema de ecuaciones escrito nos conduce a la siguiente ecuacioacuten de segundo grado que resuelve el problema

( ) 02 22 =+minusminus qpxpqkabqx

( )

qpqkabkabpqkab

x2

42 minusplusmnminus=

xpqy =

La condicioacuten para que el problema tenga solucioacuten real es que el radicando no sea negativo es decir

( ) 04 geminus pqkabkab

pqkab 4ge

abpqk 4

ge

Resulta innecesario decir que para k=05 la recta divide el triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea teniendo que darse previamente la condicioacuten del paacuterrafo anterior Notas 1- La primera condicioacuten tambieacuten se puede expresar escribiendo la recta MN en su forma canoacutenica en el sistema de coordenadas cartesianas oblicuas definido por los ejes CA y CB obligando a que el punto P esteacute en ella es decir

1=+

++ xp

pyq

q o sea pqxy =

2- El valor de k tambieacuten depende del par de lados respecto a los cuales se hayan trazado las paralelas para disponer de los valores de p y q Puede darse el caso de que aun siendo negativo el radicando para la pareja de lados elegida no lo sea para alguna otra y el problema siga teniendo solucioacuten

Manuel Rodriacuteguez Saacutenchez ndash Septiembre de 2006

[C-92] 33

Re-citando las citas de laquoPelucheraquo

laquoLas mujeres hablan porque desean hablar mientras que un hombre soacutelo habla cuando se siente empujado por algo ajeno a eacutel como por ejemplo si no encuentra unos calcetines limpiosraquo (Jean Kerr 1922-2003 escritora estadounidense) laquoDonde hay matrimonio sin amor habraacute amor sin matrimonioraquo (Benjamin Franklin cientiacutefico poliacutetico y filoacutesofo norteamericano) laquoSi quieres ver una especie en peligro de extincioacuten miacuterate al espejoraquo (John Young 1930 cientiacutefico estadounidense) laquoAntes de pedir dinero a un amigo decide cual de las dos cosas necesitas maacutesraquo (Jean de La Bruyegravere 1645-1696 moralista franceacutes) laquoComprendes que estaacutes envejeciendo cuando las velitas cuestan maacutes que la tartaraquo (Bob Hope 1903-2003 actor estadounidense) laquoA mi juicio el mejor gobierno es el que deja a la gente maacutes tiempo en pazraquo (Walt Whitman 1819-1892 poeta estadounidense) laquoSi el hijo de Bono se casa con la hija de Bush iquestla descendencia se llamaraacute Bono Bushraquo (Alberto C 1983 estudiante de reflexologiacutea podal) laquoPara escribir un buen libro no considero imprescindible conocer Pariacutes ni haber leiacutedo el Quijote Cervantes cuando lo escribioacute aun no lo habiacutea leiacutedoraquo (Miguel Delibes 1920 escritor espantildeol) laquoComo todo el mundo sabe los cantos de las sirenas atraen a los hombres para luego acabar con ellos Especialmente las sirenas de las faacutebricasraquo (Jaume Perich Escala 1940-1995 humorista espantildeol) P C Citas tomadas de laquoPelucheraquo con su consentimiento

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Pitaacutegora y su relacioacuten con los proyectiles

El otro diacutea andando por la calle vi el anagrama de una empresa de consulting

Como puede verse el siacutembolo de la empresa es (aproximadamente) el tan conocido triaacutengulo pitagoacuterico de lados 3 4 y 5 Lo vemos inscrito en un cuadrado el miacutenimo que puede contenerlo iquestCuaacutel es el lado de este cuadrado

Solucioacuten Llamemos α al aacutengulo que forma el cateto largo con el lado vertical del cuadrado Es

inmediato establecer las ecuaciones

4 cos α = L = 4 sin α + 3 cos α Que permite llegar a la igualdad

cos α = 4 sin α De donde se obtiene tan α = α o sea α = 14036ordm El lado vale L = 4 cos 14036ordm = 38806 Es curioso que este aacutengulo es el mismo con el que debe ser lanzado un proyectil para

que la altura alcanzada sea igual al alcance En efecto la primera vale

gvh

2sin 22

0max

ϕ=

Mientras que el alcance es

gvx ϕ2sin2

0=

Igualando ambas ecuaciones se llega a cos φ = frac14 El aacutengulo φ es el complementario

del α antes hallado El proyectil deberiacutea dispararse tangente al cateto de lado 4 JMAiO BCN sep 06

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PROBLEMA DE LA DIVISIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO

Dado un triaacutengulo ABC y un punto P situado en su interior se pide trazar una recta MN que pasando por el punto P divida al triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea o que esteacuten en una proporcioacuten dada

A

B C

P

M

N

Q

q

p

R

x

y

Solucioacuten El problema implica dos condiciones - 1ordm Que los puntos M P y N esteacuten alineados - 2ordm Que las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB esteacuten en una proporcioacuten dada

Veamos como podemos dar forma algebraica a estas dos condiciones Tracemos desde el punto P como se indica en la figura las paralelas a los lados BC y AC hasta que corten en los puntos R y Q respectivamente a los lados AC y BC Llamemos x y p y q a los segmentos MR NQ PQ y PR Los valores de x e y se obtendraacuten al resolver el sistema de ecuaciones que suponen las dos condiciones dadas La primera condicioacuten ya que los triaacutengulos MRP y PQN son semejantes se expresa escribiendo

yp

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La segunda condicioacuten puesto que los triaacutengulos MCN y ACB tienen comuacuten el aacutengulo en C equivale a decir que los productos de los lados de cada triaacutengulo que concurren en el veacutertice C estaacuten en la proporcioacuten en la que estaacuten sus aacutereas Llamando k al cociente entre las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB la segunda condicioacuten la escribiremos asiacute

[C-92] 32

( )( ) kabqypx =++

donde a y b son respectivamente los lados BC y AC del triaacutengulo dado El sistema de ecuaciones escrito nos conduce a la siguiente ecuacioacuten de segundo grado que resuelve el problema

( ) 02 22 =+minusminus qpxpqkabqx

( )

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x2

42 minusplusmnminus=

xpqy =

La condicioacuten para que el problema tenga solucioacuten real es que el radicando no sea negativo es decir

( ) 04 geminus pqkabkab

pqkab 4ge

abpqk 4

ge

Resulta innecesario decir que para k=05 la recta divide el triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea teniendo que darse previamente la condicioacuten del paacuterrafo anterior Notas 1- La primera condicioacuten tambieacuten se puede expresar escribiendo la recta MN en su forma canoacutenica en el sistema de coordenadas cartesianas oblicuas definido por los ejes CA y CB obligando a que el punto P esteacute en ella es decir

1=+

++ xp

pyq

q o sea pqxy =

2- El valor de k tambieacuten depende del par de lados respecto a los cuales se hayan trazado las paralelas para disponer de los valores de p y q Puede darse el caso de que aun siendo negativo el radicando para la pareja de lados elegida no lo sea para alguna otra y el problema siga teniendo solucioacuten

Manuel Rodriacuteguez Saacutenchez ndash Septiembre de 2006

[C-92] 33

Re-citando las citas de laquoPelucheraquo

laquoLas mujeres hablan porque desean hablar mientras que un hombre soacutelo habla cuando se siente empujado por algo ajeno a eacutel como por ejemplo si no encuentra unos calcetines limpiosraquo (Jean Kerr 1922-2003 escritora estadounidense) laquoDonde hay matrimonio sin amor habraacute amor sin matrimonioraquo (Benjamin Franklin cientiacutefico poliacutetico y filoacutesofo norteamericano) laquoSi quieres ver una especie en peligro de extincioacuten miacuterate al espejoraquo (John Young 1930 cientiacutefico estadounidense) laquoAntes de pedir dinero a un amigo decide cual de las dos cosas necesitas maacutesraquo (Jean de La Bruyegravere 1645-1696 moralista franceacutes) laquoComprendes que estaacutes envejeciendo cuando las velitas cuestan maacutes que la tartaraquo (Bob Hope 1903-2003 actor estadounidense) laquoA mi juicio el mejor gobierno es el que deja a la gente maacutes tiempo en pazraquo (Walt Whitman 1819-1892 poeta estadounidense) laquoSi el hijo de Bono se casa con la hija de Bush iquestla descendencia se llamaraacute Bono Bushraquo (Alberto C 1983 estudiante de reflexologiacutea podal) laquoPara escribir un buen libro no considero imprescindible conocer Pariacutes ni haber leiacutedo el Quijote Cervantes cuando lo escribioacute aun no lo habiacutea leiacutedoraquo (Miguel Delibes 1920 escritor espantildeol) laquoComo todo el mundo sabe los cantos de las sirenas atraen a los hombres para luego acabar con ellos Especialmente las sirenas de las faacutebricasraquo (Jaume Perich Escala 1940-1995 humorista espantildeol) P C Citas tomadas de laquoPelucheraquo con su consentimiento

[C-92] 31

PROBLEMA DE LA DIVISIOacuteN DE UN TRIAacuteNGULO

Dado un triaacutengulo ABC y un punto P situado en su interior se pide trazar una recta MN que pasando por el punto P divida al triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea o que esteacuten en una proporcioacuten dada

A

B C

P

M

N

Q

q

p

R

x

y

Solucioacuten El problema implica dos condiciones - 1ordm Que los puntos M P y N esteacuten alineados - 2ordm Que las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB esteacuten en una proporcioacuten dada

Veamos como podemos dar forma algebraica a estas dos condiciones Tracemos desde el punto P como se indica en la figura las paralelas a los lados BC y AC hasta que corten en los puntos R y Q respectivamente a los lados AC y BC Llamemos x y p y q a los segmentos MR NQ PQ y PR Los valores de x e y se obtendraacuten al resolver el sistema de ecuaciones que suponen las dos condiciones dadas La primera condicioacuten ya que los triaacutengulos MRP y PQN son semejantes se expresa escribiendo

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La segunda condicioacuten puesto que los triaacutengulos MCN y ACB tienen comuacuten el aacutengulo en C equivale a decir que los productos de los lados de cada triaacutengulo que concurren en el veacutertice C estaacuten en la proporcioacuten en la que estaacuten sus aacutereas Llamando k al cociente entre las aacutereas de los triaacutengulos MCN y ACB la segunda condicioacuten la escribiremos asiacute

[C-92] 32

( )( ) kabqypx =++

donde a y b son respectivamente los lados BC y AC del triaacutengulo dado El sistema de ecuaciones escrito nos conduce a la siguiente ecuacioacuten de segundo grado que resuelve el problema

( ) 02 22 =+minusminus qpxpqkabqx

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La condicioacuten para que el problema tenga solucioacuten real es que el radicando no sea negativo es decir

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Resulta innecesario decir que para k=05 la recta divide el triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea teniendo que darse previamente la condicioacuten del paacuterrafo anterior Notas 1- La primera condicioacuten tambieacuten se puede expresar escribiendo la recta MN en su forma canoacutenica en el sistema de coordenadas cartesianas oblicuas definido por los ejes CA y CB obligando a que el punto P esteacute en ella es decir

1=+

++ xp

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q o sea pqxy =

2- El valor de k tambieacuten depende del par de lados respecto a los cuales se hayan trazado las paralelas para disponer de los valores de p y q Puede darse el caso de que aun siendo negativo el radicando para la pareja de lados elegida no lo sea para alguna otra y el problema siga teniendo solucioacuten

Manuel Rodriacuteguez Saacutenchez ndash Septiembre de 2006

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Re-citando las citas de laquoPelucheraquo

laquoLas mujeres hablan porque desean hablar mientras que un hombre soacutelo habla cuando se siente empujado por algo ajeno a eacutel como por ejemplo si no encuentra unos calcetines limpiosraquo (Jean Kerr 1922-2003 escritora estadounidense) laquoDonde hay matrimonio sin amor habraacute amor sin matrimonioraquo (Benjamin Franklin cientiacutefico poliacutetico y filoacutesofo norteamericano) laquoSi quieres ver una especie en peligro de extincioacuten miacuterate al espejoraquo (John Young 1930 cientiacutefico estadounidense) laquoAntes de pedir dinero a un amigo decide cual de las dos cosas necesitas maacutesraquo (Jean de La Bruyegravere 1645-1696 moralista franceacutes) laquoComprendes que estaacutes envejeciendo cuando las velitas cuestan maacutes que la tartaraquo (Bob Hope 1903-2003 actor estadounidense) laquoA mi juicio el mejor gobierno es el que deja a la gente maacutes tiempo en pazraquo (Walt Whitman 1819-1892 poeta estadounidense) laquoSi el hijo de Bono se casa con la hija de Bush iquestla descendencia se llamaraacute Bono Bushraquo (Alberto C 1983 estudiante de reflexologiacutea podal) laquoPara escribir un buen libro no considero imprescindible conocer Pariacutes ni haber leiacutedo el Quijote Cervantes cuando lo escribioacute aun no lo habiacutea leiacutedoraquo (Miguel Delibes 1920 escritor espantildeol) laquoComo todo el mundo sabe los cantos de las sirenas atraen a los hombres para luego acabar con ellos Especialmente las sirenas de las faacutebricasraquo (Jaume Perich Escala 1940-1995 humorista espantildeol) P C Citas tomadas de laquoPelucheraquo con su consentimiento

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( )( ) kabqypx =++

donde a y b son respectivamente los lados BC y AC del triaacutengulo dado El sistema de ecuaciones escrito nos conduce a la siguiente ecuacioacuten de segundo grado que resuelve el problema

( ) 02 22 =+minusminus qpxpqkabqx

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La condicioacuten para que el problema tenga solucioacuten real es que el radicando no sea negativo es decir

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Resulta innecesario decir que para k=05 la recta divide el triaacutengulo en dos partes de igual aacuterea teniendo que darse previamente la condicioacuten del paacuterrafo anterior Notas 1- La primera condicioacuten tambieacuten se puede expresar escribiendo la recta MN en su forma canoacutenica en el sistema de coordenadas cartesianas oblicuas definido por los ejes CA y CB obligando a que el punto P esteacute en ella es decir

1=+

++ xp

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2- El valor de k tambieacuten depende del par de lados respecto a los cuales se hayan trazado las paralelas para disponer de los valores de p y q Puede darse el caso de que aun siendo negativo el radicando para la pareja de lados elegida no lo sea para alguna otra y el problema siga teniendo solucioacuten

Manuel Rodriacuteguez Saacutenchez ndash Septiembre de 2006

[C-92] 33

Re-citando las citas de laquoPelucheraquo

laquoLas mujeres hablan porque desean hablar mientras que un hombre soacutelo habla cuando se siente empujado por algo ajeno a eacutel como por ejemplo si no encuentra unos calcetines limpiosraquo (Jean Kerr 1922-2003 escritora estadounidense) laquoDonde hay matrimonio sin amor habraacute amor sin matrimonioraquo (Benjamin Franklin cientiacutefico poliacutetico y filoacutesofo norteamericano) laquoSi quieres ver una especie en peligro de extincioacuten miacuterate al espejoraquo (John Young 1930 cientiacutefico estadounidense) laquoAntes de pedir dinero a un amigo decide cual de las dos cosas necesitas maacutesraquo (Jean de La Bruyegravere 1645-1696 moralista franceacutes) laquoComprendes que estaacutes envejeciendo cuando las velitas cuestan maacutes que la tartaraquo (Bob Hope 1903-2003 actor estadounidense) laquoA mi juicio el mejor gobierno es el que deja a la gente maacutes tiempo en pazraquo (Walt Whitman 1819-1892 poeta estadounidense) laquoSi el hijo de Bono se casa con la hija de Bush iquestla descendencia se llamaraacute Bono Bushraquo (Alberto C 1983 estudiante de reflexologiacutea podal) laquoPara escribir un buen libro no considero imprescindible conocer Pariacutes ni haber leiacutedo el Quijote Cervantes cuando lo escribioacute aun no lo habiacutea leiacutedoraquo (Miguel Delibes 1920 escritor espantildeol) laquoComo todo el mundo sabe los cantos de las sirenas atraen a los hombres para luego acabar con ellos Especialmente las sirenas de las faacutebricasraquo (Jaume Perich Escala 1940-1995 humorista espantildeol) P C Citas tomadas de laquoPelucheraquo con su consentimiento

[C-92] 33

Re-citando las citas de laquoPelucheraquo

laquoLas mujeres hablan porque desean hablar mientras que un hombre soacutelo habla cuando se siente empujado por algo ajeno a eacutel como por ejemplo si no encuentra unos calcetines limpiosraquo (Jean Kerr 1922-2003 escritora estadounidense) laquoDonde hay matrimonio sin amor habraacute amor sin matrimonioraquo (Benjamin Franklin cientiacutefico poliacutetico y filoacutesofo norteamericano) laquoSi quieres ver una especie en peligro de extincioacuten miacuterate al espejoraquo (John Young 1930 cientiacutefico estadounidense) laquoAntes de pedir dinero a un amigo decide cual de las dos cosas necesitas maacutesraquo (Jean de La Bruyegravere 1645-1696 moralista franceacutes) laquoComprendes que estaacutes envejeciendo cuando las velitas cuestan maacutes que la tartaraquo (Bob Hope 1903-2003 actor estadounidense) laquoA mi juicio el mejor gobierno es el que deja a la gente maacutes tiempo en pazraquo (Walt Whitman 1819-1892 poeta estadounidense) laquoSi el hijo de Bono se casa con la hija de Bush iquestla descendencia se llamaraacute Bono Bushraquo (Alberto C 1983 estudiante de reflexologiacutea podal) laquoPara escribir un buen libro no considero imprescindible conocer Pariacutes ni haber leiacutedo el Quijote Cervantes cuando lo escribioacute aun no lo habiacutea leiacutedoraquo (Miguel Delibes 1920 escritor espantildeol) laquoComo todo el mundo sabe los cantos de las sirenas atraen a los hombres para luego acabar con ellos Especialmente las sirenas de las faacutebricasraquo (Jaume Perich Escala 1940-1995 humorista espantildeol) P C Citas tomadas de laquoPelucheraquo con su consentimiento