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8/18/2019 Carpeta de Epistemología Matemáticas y su vinculación con áreas Productivas Tecnológicas.pdf

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PEAMS- Componente de Especialización Epistemología de la Matemática y su Vinculación con las ÁreasProductivas Tecnológicas

(Documento de Trabajo)

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CARPETA DE TRABAJO

EPISTEMOLOGÍA DE LA

MATEMÁTICA Y SU VINCULACIÓN

CON LAS ÁREAS PRODUCTIVASTECNOLÓGICAS


Carpetas de Formación Continua

(FE-EMVAP)

Ámbito: Formación Especialidad Cuatrimestre: PrimerEspecialidad: Educación en Matemática y

en Áreas ProductivasTecnológicas

Bolivia – 2011


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MINISTERIO DE EDUCACIÓN

© De la presente edición:

Colección: CARPETAS DE FORMACIÓN CONTINUA

EPISTEMOLOGÍA DE LA MATEMÁTICA Y SU VINCULACIÓN CON LAS ÁREASPRODUCTIVAS TECNOLÓGICAS CARPETA DE TRABAJO

Coordinación

Viceministerio de Educación Superior de Formación Profesional /Dirección General de Formación de Maestros /Equipo de Formación Docente Continua

Equipo de Redacción y DirecciónUnidad Especializada de Formación Continua – UNEFCO

Av. Víctor Paz Estensoro Nº 227Tarija-BoliviaTelf.: 66-44416Fax: 66-42805www.minedu.gob.bo

www.unefco.edu.bo

Cómo citar este documento:Ministerio de Educación (2011). Epistemología de la Matemática y su Vinculación con las

Áreas Productivas Tecnológicas. Carpeta de Trabajo. UNEFCO Tarija-Bolivia.

Diseño & ImpresiónUNEFCO

La venta de este documento está prohibida. Denuncie al vendedor a la Dirección General de

Formación de Maestros, Telf. 2440815 o a la Unidad Especializada de Formación Continua,[email protected].

Bolivia, Julio 2011


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PRESENTACIÓN

El Ministerio de Educación, en el marco de la Constitución Política del Estado, la Ley de laEducación 070 ―Avelino Siñani - Elizardo Pérez‖ y el Sistema Plurinacional de Formación de

Maestros, ha priorizado la implementación de acciones formativas para maestras/osnormalistas del Nivel Secundario del Sistema Educativo Plurinacional, para mejorar la calidadde la educación en dicho nivel, que por mucho tiempo no se benefició con formacióncontinua; en este sentido, el Programa de Especialización y Actualización de Maestros deSecundaria (PEAMS) ha sido estructurado con dos componentes: especialización yactualización.

La ―especialización‖ es una formación intensiva que tiene como objetivo el de ―Brindarformación especializada a maestras/os normalistas que habiendo sido formados paraprimaria o inicial ejercen como docentes en áreas del nivel de educación secundaria,mediante procesos de formación centrados en aspectos disciplinares y de didácticasespecíficas, tomando en cuenta las necesidades reales del Sistema Educativo Plurinacional

así como las nuevas políticas sociales y educativas del país que prevén la universalizaciónde la educación secundaria, con el fin de garantizar la solvencia profesional de estosmaestros/as y la calidad de la educación de todos los estudiantes de este nivel‖.

Este componente es de régimen especial y transitorio. Los/as docentes que accedan a loscursos de especialización recibirán una certificación para el ejercicio de las especialidadesdel nivel secundario, según una normativa especial indicada en la Resolución Ministerial Nº121/2010. El programa es financiado por el Ministerio de Educación y ejecutado por laUnidad Especializada de Formación Continua (UNEFCO), bajo la modalidad semipresencial.

El PEAMS, tiene previsto el desarrollo de materiales de apoyo en una Colección denominada―Carpetas de Formación Continua‖, la misma que contempla una ―Carpeta de Trabajo‖ y un―Cuadernillo de Actividades‖ para cada uno de los 16 módulos de las 6 especialidadescontempladas. Dicho material está organizado en unidades temáticas que siguen unasecuencia sistemática para favorecer el proceso de aprendizaje de las/los participantes, cuyocontenido no sólo es un recurso para fortalecer conocimientos y orientaciones pedagógico-didácticas sino una forma de ampliar la conciencia sobre el mundo y la sociedad.

Sobre la base de estos Documentos de Trabajo (versiones en construcción colectiva),tutores/as del PEAMS podrán añadir y/o adecuar contenidos y estrategias formativas deacuerdo a cada contexto. Invitamos a tutores y participantes de todo el país a contribuir conobservaciones y sugerencias para mejorar y enriquecer posteriores ediciones([email protected]).

Fernando Carrión J. - Director General UNEFCO

“Compromiso social y vocación de servicio: Maestras/os

forjadores de la Revolución Educativa”


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ÍNDICE GENERAL

PRESENTACIÓNÍNDICE GENERAL

DATOS GENERALES DE LA CARPETA ......................................................................... 1Introducción ...................................................................................................................... 1Objetivos holístico de área/especialidad ............................................................................ 1Objetivo holístico de la Carpeta ......................................................................................... 1

UNIDAD 1: CIENCIA DE LA MATEMÁTICA Y SU VINCULACIÓN CON ÁREASPRODUCTIVAS ............................................................................................ 18

1.1 Historia de la matemática .......................................................................................... 181.1.1. Introducción ........................................................................................................... 181.1.2 Las matemáticas en la antigüedad .......................................................................... 181.1.3 Las matemáticas en Grecia..................................................................................... 191.1.4. Las matemáticas aplicadas en Grecia ................................................................... 201.1.5 Las matemáticas en la edad media …………………………………………….…...211.1.6. Las matemáticas en al mundo islámico………………………………………….……..21 1.1.7. Las matemáticas en el renacimiento……………………………………………….…...22 1.1.8 Avances en el siglo XVII…………………………………………………………………...221.1.9 Situación en el siglo XVIII………………………………………………………………….231.1.10 Las matemáticas en el siglo XIX………………………………………………………..24 1.1.11 Las matemáticas actuales…………………………………………………………….….25 1.1.12 El primer libro de matemáticas en América…………………………………………...26 1.1.13 Utilidad de las matemáticas……………………………………………………………..27 1.2 Interpretación de la matemática…………………………………………………………….28 1.3 Situaciones cotidianas relacionadas con la matemática………………….……….….. 29 1.3.1 La matemática y la realidad…………………………………………………………..…..29 1.3.2 Construcción y oficios domésticos en la construcción de viviendas……………...311.3.3 En la industria……………………………………………………………………………….31 1.3.4 comercio………………………………………………………………………………..…...31 1.4 Relación de la matemática con otras aéreas……………………………………….…….34

Resumen de la unidad ..................................................................................................... 36Lecturas complementarias ............................................................................................... 36

UNIDAD 2: DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA DESDE UNA PERSPECTIVA CRÍTICAS..................... ...................................................................................................................... 2Objetivos de la unidad ....................................................................................................... 2

2.1. Definición de la Matemática. ....................................................................................... 22.2. ¿Para que aprender Matemática? ............................................................................... 32.3. Como se realiza el proceso enseñanza-aprendizaje de la Matemática ....................... 3

2.3.1.Profesor/a estudiante ............................................................................................. 32.4. Objetivos a alcanzar en el curso de matemática……………………………………….....4

2.4.1. Importancia de los objetivos en el proceso de enseñanza-aprendizaje.……….….62.5. El estudiante en el proceso de enseñanza-aprendizaje………………….…………..…...8


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2.5.1. Área cognoscitiva del estudiante………………………………………….……………82.5.2. Área afectiva del estudiante…………………………………………………….………9 2.5.3. Quienes intervienen en los procesos de enseñanza-aprendizaje………………….10 2.5.4. Logros en el proceso de enseñanza-aprendizaje……………………………….…...12

2.6. Perfil del profesor(a)………………………………………………………………………... 132.6.1. Competencias del profesor (a)………………………………………………………... 14

2.6.2. Misión del profesor(a)………………………………………………………………….. 142.6.3. Profesor-estudiante. Misión-práctica…………………………………………………. 142.6.4. Componentes básicos de la didáctica de la matemática……………………….…...15

Resumen de la unidad ..................................................................................................... 16Lecturas complementarias ............................................................................................... 16

UNIDAD 3: CONJUNTO DE NÚMEROS ......................................................................... 38Objetivos de la unidad ..................................................................................................... 38 3.1. Reseña histórica ................................................................................................. …..38

3.1.1. Números naturales…………………………………………………………….…….…..40 3.1.2. Números enteros………………………………………………………….………….….41

3.1.3. Números racionales……………………………………………………….…………….41 3.1.4. Números Irracionales……………………………………………………….…….……..42 3.1.5. Números reales…………………………………………………………….…….………43 3.1.5.1. Propiedades de los números reales…………………………………..……………..43

3.1.5.2. Intervalos………………………………………………………………..….…………….45 3.1.5.3jercicios de intervalos.....................................................................................48

Resumen de la unidad……………………………………………………………………………..49Lecturas Complementarias………………………………………………………………………..49

UNIDAD 4: LA NATURALEZA NOS ENSEÑA GEOMETRIA PLANA ………………… ..50

Objetivos de la unidad………………………………………………………………………....…50 4.1. Introducción a la geometría………………………………………………………………...504.2. Perímetro y área de figuras geométricas planas……………………………………..…524.3. Ejercicios de perímetro y área…………………......................................................54

Resumen de la unidad…………………………………………………………………………….56Lecturas Complementarias……………………………………………………………………….57

Bibliografía ..................................................................................................................... 58Bibliografía consultada en Internet………………………………………………………..….59

Glosario de términos………………………………………….…………………………….…..59

ANEXOS

Lectura I………………………………………….……………………………………………….60Lectura II………………………………………….………………………………………..……..65 Lectura III………………………………………….…………………………………….………..70


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DATOS GENERALES DE LA CARPETA

INTRODUCCIÓN

Dentro de la problemática de la enseñanza – aprendizaje de la matemática, un aspectofundamental que debe ser considerado por todos los que nos ocupamos de su estudio, es eladecuado equilibrio entre la teoría y la práctica, es decir en el conocimiento y aplicaciónconceptual de la matemática.

La presente carpeta constituye especialmente un material de apoyo al trabajo del maestro/a.Su propósito es contribuir a mejorar el proceso de enseñanza - aprendizaje. Su contenidomuestra aspectos que el participante del PEAMS debe fijar, y sobre todo enfatizar en laresolución de ejercicios, desarrollando habilidades y destrezas en el área para transmitir a

sus estudiantes dichos saberes, y hacer que ellos sientan un gusto por esta rama yconsideren a la matemática puedes convertirse en un instrumento para la resolución deproblemas en la vida cotidiana de las personas.

OBJETIVO HOLÍSTICO DE ÁREA

Caracterizamos el Área de Especialidad de Educación en Matemática y en áreasproductivas tecnológicas, como una ciencia exacta, en el marco del Sistema EducativoPlurinacional, identificando la concepción de cada una de las ciencias que la constituyencomo la geometría, cálculo, estadística y las estructuras algebraicas y las matemáticasaplicadas, para la comprensión del sustento teórico y la operativización en el currículo y la

práctica educativa y capaz de desarrollar la capacidad de razonamiento en el ser humanobajo los lineamientos de la Nueva ley Educativa Elizardo Pérez Avelino Siñani.

OBJETIVO HOLÍSTICO DE LA CARPETA

Caracterizamos la epistemología de la matemática, para la comprensión de la lógica de laenseñanza y el aprendizaje, que contribuya a la reflexión profesional de éstos procesos,para la optimización de la práctica educativa para beneficio de sus estudiantes,internalizando las características y propiedades del conjunto de números, de la noción deperímetro y área de figuras geométricas planas, desde los lineamientos de la Nueva leyEducativa Elizardo Pérez Avelino Siñani.


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UNIDAD 1: CIENCIA DE LA MATEMÁTICA Y SUVINCULACIÓN CON LAS ÁREASPRODUCTIVAS

OBJETIVOS DE LA UNIDAD

Conocemos la historia de las matemáticas, desde la antigüedad, pasando por Grecia,sus características en la edad media, el mundo islámico, las matemáticas en elrenacimiento, sus avances en el siglo XVII y su situación en el siglo XVIII y el sigloXIX, hasta la actualidad, junto a su utilidad.

Interpretamos a las matemáticas para su aplicación, y su relación con la vidacotidiana y su vinculación con otras áreas.

1.1. HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS

Estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operacioneslógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas.

En el pasado las matemáticas eran consideradas como la ciencia de la cantidad, referida alas magnitudes (como en la geometría), a los números (como en la aritmética), o a lageneralización de ambos (como en el álgebra). Hacia mediados del siglo XIX lasmatemáticas se empezaron a considerar como la ciencia de las relaciones, o como la cienciaque produce condiciones necesarias. Esta última noción abarca la lógica matemática osimbólica —ciencia que consiste en utilizar símbolos para generar una teoría exacta de

deducción e inferencia lógica basada en definiciones, axiomas, postulados y reglas quetransforman elementos primitivos en relaciones y teoremas más complejos.

Trataremos la evolución de los conceptos e ideas matemáticas siguiendo su desarrollohistórico.

En realidad, las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad: en los diseñosPrehistóricos de cerámica, tejidos y en las pinturas rupestres se pueden encontrar evidenciasdel sentido geométrico y del interés en figuras geométricas. Los sistemas de cálculoprimitivos estaban basados, seguramente, en el uso de los dedos de una o dos manos, loque resulta evidente por la gran abundancia de sistemas numéricos en los que las bases sonlos números 5 y 10.

Las Matemáticas en la Antigüedad

Las primeras referencias a matemáticas avanzadas y organizadas datan del tercer milenioa.C., en Babilonia y Egipto. Estas matemáticas estaban dominadas por la aritmética, concierto interés en medidas y cálculos geométricos y sin mención de conceptos matemáticoscomo los axiomas o las demostraciones. Los primeros libros egipcios, escritos hacia el año1800 a.C., muestran un sistema de numeración decimal con distintos símbolos para las


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sucesivas potencias de 10 (1, 10, 100…), similar al sistema utilizado por los romanos. Losnúmeros se representaban escribiendo el símbolo del 1 tantas veces como unidades tenía elnúmero dado, el símbolo del 10 tantas veces como decenas había en el número, y asísucesivamente. Para sumar números, se sumaban por separado las unidades, las decenas,las centenas… de cada número. La multiplicación estaba basada en duplicaciones sucesivasy la división era el proceso inverso.

Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad (:), junto con la fracción, para expresartodas las fracciones. Por ejemplo, era la suma de las fracciones y (...). Utilizando estesistema, los egipcios fueron capaces de resolver problemas aritméticos con fracciones, asícomo problemas algebraicos elementales. En geometría encontraron las reglas correctaspara calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras comoortoedros, cilindros y, por supuesto, pirámides. Para calcular el área de un círculo, losegipcios utilizaban un cuadrado de lado. Del diámetro del círculo, valor muy cercano al quese obtiene utilizando la constante pi (3,14).

El sistema babilónico de numeración era bastante diferente del egipcio. En el babilónico seutilizaban tablillas con varias muescas o marcas en forma de cuña (cuneiforme); una cuña

sencilla representaba al 1 y una marca en forma de flecha representaba al 10.

Por ejemplo, un número compuesto por el símbolo del 2, seguido por el del 27 y terminadocon el del 10, representaba 2 × 602 + 27 × 60 + 10.

Este sistema, denominado sexagesimal (base 60), resultaba tan útil como el sistema decimal(base 10).

Con el tiempo, los babilonios desarrollaron unas matemáticas más sofisticadas que lespermitieron encontrar las raíces positivas de cualquier ecuación de segundo grado. Fueronincluso capaces de encontrar las raíces de algunas ecuaciones de tercer grado, y resolvieronproblemas más complicados utilizando el teorema de Pitágoras. Los babilonios compilaron

una gran cantidad de tablas, incluyendo tablas de multiplicar y de dividir, tablas de cuadradosy tablas de interés compuesto. Además, calcularon no sólo la suma de progresionesaritméticas y de algunas geométricas, sino también de sucesiones de cuadrados. Tambiénobtuvieron una buena aproximación de f.

Las Matemáticas en Grecia

Los griegos tomaron elementos de las matemáticas de los babilonios y de los egipcios. Lainnovación más importante fue la invención de las matemáticas abstractas basadas en unaestructura lógica de definiciones, axiomas y demostraciones. Según los cronistas griegos,este avance comenzó en el siglo VI a.C. con Tales de Mileto y Pitágoras de Samos. Esteúltimo enseñó la importancia del estudio de los números para poder entender el mundo.

Algunos de sus discípulos hicieron importantes descubrimientos sobre la teoría de números yla geometría, que se atribuyen al propio Pitágoras.

En el siglo V a.C., algunos de los más importantes geómetras fueron el filósofo atomistaDemócrito de Abdera, que encontró la fórmula correcta para calcular el volumen de unapirámide, e Hipócrates de Cos, que descubrió que el área de figuras geométricas en formade media luna limitadas por arcos circulares son iguales a las de ciertos triángulos. Estedescubrimiento está relacionado con el famoso problema de la cuadratura del círculo


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(construir un cuadrado de área igual a un círculo dado). Otros dos problemas bastanteconocidos que tuvieron su origen en el mismo periodo son la trisección de un ángulo y laduplicación del cubo (construir un cubo cuyo volumen es dos veces el de un cubo dado).Todos estos problemas fueron resueltos, mediante diversos métodos, utilizando instrumentosmás complicados que la regla y el compás. Sin embargo, hubo que esperar hasta el siglo XIXpara demostrar finalmente que estos tres problemas no se pueden resolver utilizando

solamente estos dos instrumentos básicos.

A finales del siglo V a.C., un matemático griego descubrió que no existe una unidad delongitud capaz de medir el lado y la diagonal de un cuadrado, es decir, una de las doscantidades es inconmensurable. Esto significa que no existen dos números naturales m y ncuyo cociente sea igual a la proporción entre el lado y la diagonal. Dado que los griegos sóloutilizaban los números naturales (1, 2, 3…), no pudieron expresar numéricamente estecociente entre la diagonal y el lado de un cuadrado (este número, f, es lo que hoy sedenomina número irracional).

Euclides, matemático y profesor que trabajaba en el famoso Museo de Alejandría, tambiénescribió tratados sobre óptica, astronomía y música. Los trece libros que componen sus

elementos contienen la mayor parte del conocimiento matemático existente a finales del sigloIV a.C., en áreas tan diversas como la geometría de polígonos y del círculo, la teoría denúmeros, la teoría de los inconmensurables, la geometría del espacio y la teoría elementalde áreas y volúmenes.

El siglo posterior a Euclides estuvo marcado por un gran auge de las matemáticas, como sepuede comprobar en los trabajos de Arquímedes de Siracusa y de un joven contemporáneo,

Apolonio de Perga. Arquímedes utilizó un nuevo método teórico, basado en la ponderaciónde secciones infinitamente pequeñas de figuras geométricas, para calcular las áreas yvolúmenes de figuras obtenidas a partir de las cónicas. Éstas habían sido descubiertas porun alumno de Eudoxo llamado Menaechmo, y aparecían como tema de estudio en un tratadode Euclides; sin embargo, la primera referencia escrita conocida aparece en los trabajos de

Arquímedes.

También investigó los centros de gravedad y el equilibrio de ciertos cuerpos sólidos flotandoen agua. Casi todo su trabajo es parte de la tradición que llevó, en el siglo XVII, al desarrollodel cálculo. Su contemporáneo, Apolonio, escribió un tratado en ocho tomos sobre lascónicas, y estableció sus nombres: elipse, parábola e hipérbola. Este tratado sirvió de basepara el estudio de la geometría de estas curvas hasta los tiempos del filósofo y científicofrancés René Descartes en el siglo XVII.

Después de Euclides, Arquímedes y Apolonio, Grecia no tuvo ningún geómetra de la mismatalla.

Los escritos de Herón de Alejandría en el siglo I d.C. muestran cómo elementos de latradición aritmética y de medidas de los babilonios y egipcios convivieron con lasconstrucciones lógicas de los grandes geómetras. Los libros de Diofante de Alejandría en elsiglo III d.C. continuaron con esta misma tradición, aunque ocupándose de problemas máscomplejos. En ellos Diofante encuentra las soluciones enteras para aquellos problemas quegeneran ecuaciones con varias incógnitas. Actualmente, estas ecuaciones se denominandiofánticas y se estudian en el análisis diofántico.


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Las Matemáticas aplicadas en Grecia

En paralelo con los estudios sobre matemáticas puras hasta ahora mencionados, se llevarona cabo estudios de óptica, mecánica y astronomía. Muchos de los grandes matemáticos,como Euclides y Arquímedes, también escribieron sobre temas astronómicos. A principiosdel siglo II a.C., los astrónomos griegos adoptaron el sistema babilónico de almacenamientode fracciones y, casi al mismo tiempo, compilaron tablas de las cuerdas de un círculo. Paraun círculo de radio determinado, estas tablas daban la longitud de las cuerdas en función delángulo central correspondiente, que crecía con un determinado incremento. Eran similares alas modernas tablas del seno y coseno, y marcaron el comienzo de la trigonometría. En laprimera versión de estas tablas —las de Hiparco, hacia el 150 a.C.— los arcos crecían conun incremento de 7°, de 0° a 180°. En tiempos del astrónomo Tolomeo, en el siglo II d.C., lamaestría griega en el manejo de los números había avanzado hasta tal punto que Tolomeofue capaz de incluir en su Almagesto una tabla de las cuerdas de un círculo con incrementosde ° que, aunque expresadas en forma sexagesimal, eran correctas hasta la quinta cifradecimal.

Mientras tanto, se desarrollaron otros métodos para resolver problemas con triángulos planos

y se introdujo un teorema —que recibe el nombre del astrónomo Menelao de Alejandría— para calcular las longitudes de arcos de esfera en función de otros arcos. Estos avancesdieron a los astrónomos las herramientas necesarias para resolver problemas de astronomíaesférica, y para desarrollar el sistema astronómico que sería utilizado hasta la época delastrónomo alemánJohannes Kepler.

Las Matemáticas en la Edad Media

En Grecia, después de Tolomeo, se estableció la tradición de estudiar las obras de estosmatemáticos de siglos anteriores en los centros de enseñanza. El que dichos trabajos sehayan conservado hasta nuestros días se debe principalmente a esta tradición. Sin embargo,

los primeros avances matemáticos consecuencia del estudio de estas obras aparecieron enel mundo árabe.

Las Matemáticas en Mundo Islámico

Después de un siglo de expansión en la que la religión musulmana se difundió desde susorígenes en la península Arábiga hasta dominar un territorio que se extendía desde lapenínsula Ibérica hasta los límites de la actual China, los árabes empezaron a incorporar asu propia ciencia los resultados de "ciencias extranjeras". Los traductores de institucionescomo la Casa de la Sabiduría de Bagdad, mantenida por los califas gobernantes y pordonaciones de particulares, escribieron versiones árabes de los trabajos de matemáticosgriegos e indios.

Hacia el año 900, el periodo de incorporación se había completado y los estudiososmusulmanes comenzaron a construir sobre los conocimientos adquiridos. Entre otrosavances, los matemáticos árabes ampliaron el sistema indio de posiciones decimales enaritmética de números enteros, extendiéndolo a las fracciones decimales. En el siglo XII, elmatemático persa Omar Jayyam generalizó los métodos indios de extracción de raícescuadradas y cúbicas para calcular raíces cuartas, quintas y de grado superior. El matemático


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árabe Al-JwDrizm; (de su nombre procede la palabra algoritmo, y el título de uno de suslibros es el origen de la palabra álgebra) desarrolló el álgebra de los polinomios; al-Karayi lacompletó para polinomios incluso con infinito número de términos. Los geómetras, comoIbrahim ibn Sinan, continuaron las investigaciones de Arquímedes sobre áreas y volúmenes.Kamal al-Din y otros aplicaron la teoría de las cónicas a la resolución de problemas deóptica. Los matemáticos Habas al-Hasib y Nasir ad-Din at-Tusi crearon trigonometrías plana

y esférica utilizando la función seno de los indios y el teorema de Menelao. Estastrigonometrías no se convirtieron en disciplinas matemáticas en Occidente hasta lapublicación del De triangulis omnimodis (1533) del astrónomo alemán Regiomontano.

Finalmente, algunos matemáticos árabes lograron importantes avances en la teoría denúmeros, mientras otros crearon una gran variedad de métodos numéricos para la resoluciónde ecuaciones. Los países europeos con lenguas latinas adquirieron la mayor parte de estosconocimientos durante el siglo XII, el gran siglo de las traducciones. Los trabajos de losárabes, junto con las traducciones de los griegos clásicos fueron los principales responsablesdel crecimiento de las matemáticas durante la edad media. Los matemáticos italianos, comoLeonardo Fibonacci y Luca Pacioli (uno de los grandes tratadistas del siglo XV en álgebra yaritmética, que desarrollaba para aplicar en el comercio), se basaron principalmente en

fuentes árabes para sus estudios.

Las Matemáticas durante El Renacimiento

Aunque el final del periodo medieval fue testigo de importantes estudios matemáticos sobreproblemas del infinito por autores como Nicole Oresme, no fue hasta principios del siglo XVIcuando se hizo un descubrimiento matemático de trascendencia en Occidente. Era unafórmula algebraica para la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado, y fuepublicado en 1545 por el matemático italiano Gerolamo Cardano en su Ars magna. Estehallazgo llevó a los matemáticos a interesarse por los números complejos y estimuló labúsqueda de soluciones similares para ecuaciones de quinto grado y superior. Fue estabúsqueda la que a su vez generólos primeros trabajos sobre la teoría de grupos a finales del

siglo XVIII y la teoría de ecuaciones del matemático francés Évariste Galois a principios delXIX.

También durante el siglo XVI se empezaron a utilizar los modernos signos matemáticos yalgebraicos. El matemático francés François Viète llevó a cabo importantes estudios sobre laresolución de ecuaciones. Sus escritos ejercieron gran influencia en muchos matemáticos delsiglo posterior, incluyendo a Pierre de Fermat en Francia e Isaac Newton en Inglaterra.

Avances en el Siglo XVII

Los europeos dominaron el desarrollo de las matemáticas después del renacimiento.Durante el siglo XVII tuvieron lugar los más importantes avances en las matemáticas desde

la era de Arquímedes y Apolonio. El siglo comenzó con el descubrimiento de los logaritmospor el matemático escocés John Napier (Neper); su gran utilidad llevó al astrónomo francésPierre Simon Laplace a decir, dos siglos más tarde, que Neper, al reducir el trabajo de losastrónomos a la mitad, les había duplicado la vida.

La ciencia de la teoría de números, que había permanecido aletargada desde la épocamedieval, es un buen ejemplo de los avances conseguidos en el siglo XVII basándose en los


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estudios de la antigüedad clásica. La obra Las aritméticas de Diofante ayudó a Fermat arealizar importantes descubrimientos en la teoría de números. Su conjetura más destacadaen este campo fue que no existen soluciones de la ecuación an + bn = cn con a, b y centeros positivos si n es mayor que 2.

Esta conjetura, conocida como último teorema de Fermat, ha generado gran cantidad de

trabajos en el álgebra y la teoría de números.

En geometría pura, dos importantes acontecimientos ocurrieron en este siglo. El primero fuela publicación, en el Discurso del método (1637) de Descartes, de su descubrimiento de lageometría analítica, que mostraba cómo utilizar el álgebra (desarrollada desde elrenacimiento) para investigar la geometría de las curvas (Fermat había hecho el mismodescubrimiento pero no lo publicó). El Discurso del método, junto con una serie de pequeñostratados con los que fue publicado, ayudó y fundamentó los trabajos matemáticos de IsaacNewton hacia 1660. El segundo acontecimiento que afectó a la geometría fue la publicación,por el ingeniero francés Gérard Desargues, de su descubrimiento de la geometría proyectivaen 1639. Aunque este trabajo fue alabado por Descartes y por el científico y filósofo francésBlaise Pascal, su terminología excéntrica y el gran entusiasmo que había causado la

aparición de la geometría analítica retrasó el desarrollo de sus ideas hasta principios del sigloXIX, con los trabajos del matemático francés Jean Victor Poncelet.

Otro avance importante en las matemáticas del siglo XVII fue la aparición de la teoría de laprobabilidad a partir de la correspondencia entre Pascal y Fermat sobre un problemapresente en los juegos de azar, el llamado problema de puntos. Este trabajo no fuepublicado, pero llevó al científico holandés Christiaan Huygens a escribir un pequeño folletosobre probabilidad en juegos con dados, que fue publicado en el Ars coniectandi (1713) delmatemático suizo Jacques Bernoulli. Tanto Bernoulli como el francés Abraham De Moivre, ensu Doctrina del azar de 1718, utilizaron el recién descubierto cálculo para avanzarrápidamente en su teoría, que para entonces tenía grandes aplicaciones en pujantescompañías de seguros.

Sin embargo, el acontecimiento matemático más importante del siglo XVII fue, sin lugar adudas, el descubrimiento por parte de Newton de los cálculos diferencial e integral, entre1664 y 1666.

Newton se basó en los trabajos anteriores de dos compatriotas, John Wallis e Isaac Barrow,así como en los estudios de otros matemáticos europeos como Descartes, FrancescoBonaventura Cavalieri, Johann van Waveren Hudde y Gilles Personne de Roberval. Unosocho años más tarde, el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz descubrió también el cálculo y fueel primero en publicarlo, en 1684 y 1686. El sistema de notación de Leibniz es el que se usahoy en el cálculo.

Situación en el Siglo XVIII

Durante el resto del siglo XVII y buena parte del XVIII, los discípulos de Newton y Leibniz sebasaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de física, astronomía e ingeniería,lo que les permitió, al mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de las matemáticas. Así,los hermanos Jean y Jacques Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones y el matemáticofrancés Gaspard Monge la geometría descriptiva. Joseph Louis Lagrange, también francés,dio un tratamiento completamente analítico de la mecánica en su gran obra Mecánica


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analítica (1788), en donde se pueden encontrar las famosas ecuaciones de Lagrange parasistemas dinámicos. Además, Lagrange hizo contribuciones al estudio de las ecuacionesdiferenciales y la teoría de números, y desarrolló la teoría de grupos. Su contemporáneoLaplace escribió Teoría analítica de las probabilidades (1812) y el clásico Mecánica celeste(1799-1825), que le valió el sobrenombre de ‗el Newton francés.

El gran matemático del siglo XVIII fue el suizo Leonhard Euler, quien aportó ideasfundamentales sobre el cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus aplicaciones. Eulerescribió textos sobre cálculo, mecánica y álgebra que se convirtieron en modelos a seguirpara otros autores interesados en estas disciplinas. Sin embargo, el éxito de Euler y de otrosmatemáticos para resolver problemas tanto matemáticos como físicos utilizando el cálculosólo sirvió para acentuarla falta de un desarrollo adecuado y justificado de las ideas básicasdel cálculo. La teoría de Newton estaba basada en la cinemática y las velocidades, la deLeibniz en los infinitésimos, y el tratamiento de Lagrange era completamente algebraica ybasada en el concepto de las series infinitas. Todos estos sistemas eran inadecuados encomparación con el modelo lógico de la geometría griega, y este problema no fue resueltohasta el siglo posterior.

Las Matemáticas en el Siglo XIX

En 1821, un matemático francés, Augustin Louis Cauchy, consiguió un enfoque lógico yapropiado del cálculo. Cauchy basó su visión del cálculo sólo en cantidades finitas y elconcepto de límite. Sin embargo, esta solución planteó un nuevo problema, el de la definiciónlógica de número real. Aunque la definición de cálculo de Cauchy estaba basada en esteconcepto, no fue él sino el matemático alemán Julius W. R. Dedekind quien encontró unadefinición adecuada para los números reales, a partir de los números racionales, que todavíase enseña en la actualidad; los matemáticos alemanes Georg Cantor y Karl T. W.Weierstrass también dieron otras definiciones casi al mismo tiempo. Un problema másimportante que surgió al intentar describir el movimiento de vibración de un muelle —estudiado por primera vez en el siglo XVIII— fue el de definir el significado de la palabra

función. Euler, Lagrange y el matemático francés Joseph Fourier aportaron soluciones, perofue el matemático alemán Peter G. L. Dirichlet quien propuso su definición en los términosactuales.

Además de fortalecer los fundamentos del análisis, nombre dado a partir de entonces a lastécnicas del cálculo, los matemáticos del siglo XIX llevaron a cabo importantes avances enesta materia. A principios del siglo, Carl Friedrich Gauss dio una explicación adecuada delconcepto de número complejo; estos números formaron un nuevo y completo campo delanálisis, desarrollado en los trabajos de Cauchy, Weierstrass y el matemático alemánBernhard Riemann.

Otro importante avance del análisis fue el estudio, por parte de Fourier, de las sumas infinitas

de expresiones con funciones trigonométricas. Éstas se conocen hoy como series de Fourier,y son herramientas muy útiles tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.

Además, la investigación de funciones que pudieran ser iguales a series de Fourier llevó aCantor al estudio de los conjuntos infinitos y a una aritmética de números infinitos. La teoríade Cantor, que fue considerada como demasiado abstracta y criticada como "enfermedad dela que las matemáticas se curarán pronto", forma hoy parte de los fundamentos de lasmatemáticas y recientemente ha encontrado una nueva aplicación en el estudio de corrientesturbulentas en fluidos.


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Otro descubrimiento del siglo XIX que se consideró abstracto e inútil en su tiempo fue lageometría no euclídea. En esta geometría se pueden trazar al menos dos rectas paralelas auna recta dada que pasen por un punto que no pertenece a ésta. Aunque descubiertaprimero por Gauss, éste tuvo miedo de la controversia que su publicación pudiera causar.Los mismos resultados fueron descubiertos y publicados por separado por el matemático

ruso Nikolái Ivánovich Lobachevski y por el húngaro János Bolyai. Las geometrías noeuclídeas fueron estudiadas en su forma más general por Riemann, con su descubrimientode las múltiples paralelas.

En el siglo XX, a partir de los trabajos de Einstein, se le han encontrado también aplicacionesen física. Gauss es uno de los más importantes matemáticos de la historia. Los diarios de su

juventud muestran que ya en sus primeros años había realizado grandes descubrimientos enteoría de números, un área en la que su libro Disquisitiones arithmeticae (1801) marca elcomienzo de la era moderna. En su tesis doctoral presentó la primera demostraciónapropiada del teorema fundamental del álgebra. A menudo combinó investigacionescientíficas y matemáticas. Por ejemplo, desarrolló métodos estadísticos al mismo tiempo queinvestigaba la órbita de un planetoide recién descubierto, realizaba trabajos en teoría de

potencias junto a estudios del magnetismo, o estudiaba la geometría de superficies curvas ala vez que desarrollaba sus investigaciones topográficas.

De mayor importancia para el álgebra que la demostración del teorema fundamental porGauss fue la transformación que ésta sufrió durante el siglo XIX para pasar del mero estudiode los polinomios al estudio de la estructura de sistemas algebraicos. Un paso importante enesa dirección fue la invención del álgebra simbólica por el inglés George Peacock.

Otro avance destacado fue el descubrimiento de sistemas algebraicos que tienen muchaspropiedades de los números reales. Entre estos sistemas se encuentran las cuaternas delmatemático irlandés William Rowan Hamilton, el análisis vectorial del matemático y físicoestadounidense Josiah Willard Gibbs y los espacios ordenados de n dimensiones del

matemático alemán Hermann Günther Grassmann. Otro paso importante fue el desarrollo dela teoría de grupos, a partir de los trabajos de Lagrange. Galois utilizó estos trabajos muy amenudo para generar una teoría sobre qué polinomios pueden ser resueltos con una fórmulaalgebraica.

Del mismo modo que Descartes había utilizado en su momento el álgebra para estudiar lageometría, el matemático alemán Felix Klein y el noruego Marius Sophus Lie lo hicieron conel álgebra del siglo XIX. Klein la utilizó para clasificar las geometrías según sus grupos detransformaciones (el llamado Programa Erlanger), y Lie la aplicó a una teoría geométrica deecuaciones diferenciales mediante grupos continuos de transformaciones conocidas comogrupos de Lie. En el siglo XX, el álgebra se ha aplicado a una forma general de la geometríaconocida como topología.

También los fundamentos de las matemáticas fueron completamente transformados duranteel siglo XIX, sobre todo por el matemático inglés George Boole en su libro Investigaciónsobre las leyes del pensamiento (1854) y por Cantor en su teoría de conjuntos. Sin embargo,hacia finales del siglo, se descubrieron una serie de paradojas en la teoría de Cantor. Elmatemático inglés Bertrand Russell encontró una de estas paradojas, que afectaba al propioconcepto de conjunto.


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Los matemáticos resolvieron este problema construyendo teorías de conjuntos lo bastanterestrictivas como para eliminar todas las paradojas conocidas, aunque sin determinar sipodrían aparecer otras paradojas —es decir, sin demostrar si estas teorías son consistentes.Hasta nuestros días, sólo se han encontrado demostraciones relativas de consistencia (si lateoría B es consistente entonces la teoría A también lo es). Especialmente preocupante esla conclusión, demostrada en 1931 por el lógico estadounidense Kurt Gödel, según la cual en

cualquier sistema de axiomas lo suficientemente complicado como para ser útil a lasmatemáticas es posible encontrar proposiciones cuya certeza no se puede demostrar dentrodel sistema.

Las matemáticas Actuales

En la Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, elmatemático alemán David Hilbert expuso sus teorías. Hilbert era catedrático en Gotinga, elhogar académico de Gauss y Riemann, y había contribuido de forma sustancial en casi todaslas ramas de las matemáticas, desde su clásico Fundamentos de la geometría (1899) a suFundamentos de la matemática en colaboración con otros autores. La conferencia de Hilberten París consistió en un repaso a 23 problemas matemáticos que él creía podrían ser las

metas de la investigación matemática del siglo que empezaba. Estos problemas, de hecho,han estimulado gran parte de los trabajos matemáticos del siglo XX, y cada vez queaparecen noticias de que otro de los "problemas de Hilbert" ha sido resuelto, la comunidadmatemática internacional espera los detalles con impaciencia.

A pesar de la importancia que han tenido estos problemas, un hecho que Hilbert no pudoimaginar fue la invención del ordenador o computadora digital programable, primordial en lasmatemáticas del futuro. Aunque los orígenes de las computadoras fueron las calculadoras derelojería de Pascal y Leibniz en el siglo XVII, fue Charles Babbage quien, en la Inglaterra delsiglo XIX, diseñó una máquina capaz de realizar operaciones matemáticas automáticamentesiguiendo una lista de instrucciones (programa) escritas en tarjetas o cintas. La imaginaciónde Babbage sobrepasó la tecnología de su tiempo, y no fue hasta la invención del relé, la

válvula de vacío y después la del transistor cuando la computación programable a granescala se hizo realidad.

Este avance ha dado un gran impulso a ciertas ramas de las matemáticas, como el análisisnumérico y las matemáticas finitas, y ha generado nuevas áreas de investigación matemáticacomo el estudio de los algoritmos. Se ha convertido en una poderosa herramienta encampos tan diversos como la teoría de números, las ecuaciones diferenciales y el álgebraabstracta. Además, el ordenador ha permitido encontrar la solución a variosproblemasmatemáticos que no se habían podido resolver anteriormente, como el problematopológico de los cuatro colores propuestos a mediados del siglo XIX. El teorema dice quecuatro colores son suficientes para dibujar cualquier mapa, con la condición de que dospaíses limítrofes deben tener distintos colores. Este teorema fue demostrado en 1976

utilizando una computadora de gran capacidad de cálculo en la Universidad de Illinois(Estados Unidos).

El conocimiento matemático del mundo moderno está avanzando más rápido que nunca.Teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más completasy abstractas. Aunque la mayoría de los problemas más importantes han sido resueltos, otroscomo las hipótesis de Riemann siguen sin solución. Al mismo tiempo siguen apareciendo


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nuevos y estimulantes problemas. Parece que incluso las matemáticas más abstractas estánencontrando aplicación.

El primer libro de matemáticas en América

En el siglo XVI, Europa era el centro del conocimiento matemático mundial y las matemáticasoccidentales empezaron a expandirse por el globo, exportando casi siempre por losministerios jesuitas.

El primer libro de matemáticas impreso en el nuevo mundo fue el sumario compendio de lasquentas de plata y oro, por el hermano Juan diez freyle, un pequeño compendio comercialpublicado en la ciudad de México en 1556.He aquí las computaciones de la época:978. 875=855 750, utilizado el algoritmo llamado ―per copia‖, ya que la disposición de losnúmeros parase una copa, y 114 400 / 26= 4 400, utilización e l algoritmo‖de la galería‖,porque es parecido a un barco.

875 \ 978 00726 460 1256 95 0 30063 54 1 14400 44004 5 266664 3 222

855 750

Los problemas del Sumario tratan de cambios de monedas (maravedíes a pesos, ducados acoronas...) y otros problemas prácticos, pero también hay problemas en teoría de números yálgebra. D. E. smith, en su history of mathematics, dice:‖Si se tiene en cuenta que en esaépoca solo dos tratados de algebra habían salido de las prensas europeas, quedan mucho

más claro el mérito y la importancia de la publicación del sumario en el nuevo continente‖.

Utilidad de las matemáticas

E.P Wigner, de la universidad de princeton, premio Nobel de fisica, dice:―la enormeutilización de las matemáticas es algo que linda con lo misterioso y que no tiene explicaciónracional‖.

Albert Einstein también se pregunta: ―¿Cómo explicar que las matemáticas, un producto de lamente humana, independiente de la experiencia, se adapte tan admirable bien a los objetosde la realidad?‖

En efecto, no es fácil comprender lo que Richard Hamming, un contemporáneo experto eninformación, llama ―la eficacia inexplicable de las matemáticas abstractos inventados sinninguna intención utilitaria y que encontraron aplicaciones a veces inesperadas.


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Los griegos desarrollaron las secciones cónicas unos 400 años antes de nuestra era; unos2000 años después, kepler demostro que las trayectorias de los planetas son elipses ygalileo descubrió que las trayectorias de los proyectiles son parábolas.

Las geometrías no euclidianas se inventaron sin pensar en ninguna aplicación práctica; y sinembargo Eisntein se sirvió de una de ellas para formar la teoría de la relatividad.

El matemático francés Evarister Galois desarrollo la teoría, un tema de matemática pura quellego un instrumento importante en la física de las partículas.

La teoría de números una rama de las matemáticas que parecía agotada cobra hoy nuevavida con ayuda de las computadoras y encuentra aplicaciones importantes en la criptografía.Estos ejemplos son efectivamente impresionantes, pero lo son mucho menos si seconsideran dos hechos.

1. La enorme cantidad de matemáticas que nunca tuvo y nunca tendrá aplicaciones enel mundo real.

2. El éxito relativo de las matemáticas aplicadas a las ciencias (físicas, química,

biología), no pueden hacernos olvidar el su fracaso relativo en otras actividadeshumanas tales como la economía, predicción del tiempo, la sociología, psicologíaablando de las utilidad de la matemática dicen Davis y hersh en su obra themathematical experience:

3. Para un astronomía o un físico, las matemáticas son útiles porque son el idioma delas ciencias, para un ingeniero civil son útiles porque facilitan la construcción depuentes, para un profesor de matemáticas son útiles puesto que le permite recibir supaga mensual para un editor ya que le permiten vender libros

1.2. INTERPRETACIONES DE LA MATEMÁTICA

La matemática como interpretación humana de la naturaleza

El poeta utiliza sus rimas.

Un poeta

Un econometrista

El econometrista utiliza la estadística.

El poeta

El econometrista

Analizan un evento

Dan una interpretación de los hechos


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Esta interpretación

La poesía nació de la tensión interna que lleva al hombre a captar y transmitir algunosaspectos de la Naturaleza como él los percibe, de una manera representativa, como unainterpretación simbólica - por medio de palabras – de lo emotivo.

La matemática nació de la necesidad humana de precisar y transmitir algunos aspectos de laNaturaleza de una manera representativa, como una interpretación simbólica de lo

mensurable.

La matemática como creatividad humana – teórica

La matemática no se limita a satisfacer la necesidad de dar una interpretación simbólica deuna realidad, sino que:

Encuentra un método de desarrollo.Tiene expansión libre.

Alcanza puntos de vista cada vez más elevados, abstractos y generales.

Un matemáticopuede

Del poeta

Deleconometrista

Es unainterpretaciónnacida del hombre

Crear un modelo simbólico a partir de una realidad, que lepermita interpretarla, obtener resultados y volver a esa

realidad;

Ampliar una teoría ya elaborada obteniendo nuevosresultados dentro de ella;

Formular un conjunto de axiomas que le permitan, medianteun proceso de deducción, llegar a caracterizar un sistema ouna estructura.


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Se hace necesario proponer y trabajar actividades dentro y fuera de la matemática quepermitían a los alumnos la aproximación, estimación, interpretación y representación deinformación a través de representaciones numéricas y verbales.

1.3. SITUACIONES COTIDIANAS RELACIONADAS CON LA

MATEMÁTICA La matemática y la realidad

Una persona disponible de bs. 1500 y desea comprar con ellos, en una venta de hortalizas,cierta cantidad de tomates. Ella escoge y cuenta 37 tomates, los cuales quiere comprar conel dinero disponible para tal fin. Como los tomates son diferentes en tamaño y peso, yademás se los vende por kilos y no por unidad, el vendedor procede a pesarlos, resultando2,45 kilogramos. Existen una gama de problemas más complejos e interesantes relacionadoscon el tema de compra y venta de productos alimenticios que, por ejemplo, pueden sertrabajados a partir del 8º grado de la escuela básica y para los cuales se requiere de laelaboración de modelos de optimización lineal.

Simplificación de la situación: comprar cierta cantidad de tomates según el peso en kg.Planteamiento de la pregunta: ¿alcanzar los 1500 bs. Para la compra de los tomates?Volviendo al ejemplo ilustrativo, el (la) comprador(a) no puede cancelar con los 1500bs. Los37 tomates escogidos. Él o ella puede, en todo caso, tomar algunas acciones con el objetivode intentar resolver finalmente el problema.

Habría las siguientes alternativas de acción:

Regresar cierto número de tomates,Tratar de conseguir al dinero suficiente,Comprar esa misma cantidad, pidiendo al vendedor un crédito.

Llegar a un acuerdo con el vendedor sobre el precio de los tomates,Preguntar en otra venta de hortalizas o en otro lugar donde tengan el producto,Comprar otro producto como sustituto.

Condiciones

El precio a pagar está determinado proporcionalmente por la cantidad del alimentoseleccionado.

Normalmente en la compra de pequeñas cantidades, en el comercio al detalle, no se hacerebajas.

En el ejemplo, la situación de partida s reduce a los siguientes resultados. Los 37 tomatesseleccionados que desea comprar la persona con sus 1500 bolívares tienen un peso de 2kilos y 450 gramos. Se observa que hasta el momento no se ha señalado el precio de lostomates por kilógramo, lo cual es una información básica que puede ser obtenida por elvencedor o que sencillamente aparecerá indicada en alguna lista de precios. Ese caso, cadakilo cuesta bs. 800.


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En el ejemplo se presenta una relación lineal entre los resultados medidas (cantidad detomates expresados en kilogramos) y el precio por cada kilogramo. De esta manera, sepuede determinar el mismo mediante una función lineal. Aquí juegan los maestros yprofesores un papel muy importante desde el punto de vista didáctico para hacercomprender la complejidad de esa relación de dependencia lineal.

Volviendo al ejemplo, el modelo matemático es la función lineal y = px donde y representa elprecio a pagar, p el precio por cada kilogramo de tomates, x el resultado obtenido alpesarlos. La función definida de esa manera tiene carácter descriptivo y predictivo.

Construcción de viviendas y oficios domésticos

Las viviendas familiares y multifamiliares, se requiere de la matemática, y en especial de lageometría. Esto se observa en la gran variedad de elementos geométricos correspondientesa los techos, habitaciones, fachadas espacios abiertos y cerrados, lugares de esparcimiento,cálculo de la pintura necesaria, distribución de los muebles ubicación de las lámparas,

entradas de energía eléctrica, construcción de entradas y jardines , siembra de árboles. Enorganizar y arreglar caminos, medir terrenos, calcular el área de montañas y zonas verdespara su protección, hacer y pintar ornamentos, analizar y medir al tamaño y peso de piedrasy árboles, y en elaborar todo tipo de objetos de metal madera necesaria en el hogar y eltrabajo.

En la industria

Hay que tomar consideración que la industria, conjuntamente la agricultura, representa labase del bienestar y desarrollo de los pueblos. La matemática puede contribuirespecialmente al impulso y conocimiento de muchos aspectos industriales y tecnológicosque deberían ser estudiados en la EB y en la EMDP. En Educación para el trabajo, con el

soporte geometría y al matemática en general, alumnos tienen que construir engranes demetal o de madera, comparar y medir esferas y ruedas de acuerdo a sus características yfunciones, y trabajar con los tipos y formas de tubos de metal y plástico (agua, gas ypetróleo).

Los metales

Con los carros observamos una gran variedad de elementos geométricos de diferentedificultad, podemos desarrollar formas aerodinámicas; comparar la cilindrada de motores;probar las reflexiones, los faros; optimizar los caminos de transporte; y programar losmovimientos de los robots para la industrialización. Con el embalaje, encontramos unainmensa variedad de actividades que requieren de la geografía, tales como la elaboración de

tipos de cartones y demás materiales para empaque y almacenamiento, comparación yelaboración de los tamaños y formas de los embalajes, determinación del volumen y lasconsecuencias de la producción de basura, y mecanismo de reciclaje de los objetosdesechados.


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Comercio

En el comercio y transporte: en la producción es importante que los alumnos simulensituaciones como; carga y transportar muebles y demás objetos en caros de diferentestamaños, adquirir bolsas y recipientes para el almacenamiento y transporte de líquidos,especialmente para bebidas; medir contenedores para el transporte de alimentos secos ymercancías, tales como azúcar, café, hierro, cacao y demás sustancias para el consumohumano; calcular el costo de papel y demás materiales necesarios para el empaque, y suoptimización en cuanto a espacio y costos, conocer los planos de las ciudades, así comomapas de regiones del país, para determinar los caminos óptimos de transporte; comparavías aéreas y marítimas en el país, analizar las construcciones de bicicletas y demás mediosde transporte no automotores; todos ellos son espacios fructíferos para discutir ventajas ydesventajas.

Un profesor decide construir, conjuntamente sus alumnos y otros profesores, un acuario enla escuela. Esta idea se puede convertir en un proyecto muy interesante y de larga duración,ya que son muchos los problemas que se tienen enfrentar y resolver hasta lograr,exitosamente, un acuario lo suficientemente grande como para colocar una buena variedad y

cantidad de peces, sin que ellos presenten problemas de espacio. Algunos de los aspectosque se debe tener presente son los siguientes: tamaño del acuario, cantidad de agua, costode los siguientes. Tamaño del acuario, cantidad de agua, costo de los materiales, cantidadde peces que pueden convivir juntos, temperatura del agua, con qué frecuencia se tiene quelimpiar el agua, con qué frecuencia se tiene que limpiar el agua. Entre muchas otrasvariables incluyentes de importancia.

Si tú eres profesor, tienes que reflexionar tarde o temprano políticamente sobre tus propiasexperiencias y con ello tomar conciencia que tú también actúas siempre políticamente. Estosignifica que, cuando empecemos a trabajar como pedagogos, necesariamente deberemostomar conciencia de nuestro papel como políticos. Por lo tanto sostengo como algo muyimportante que en un seminario sobre la formación de profesores ha de tomarse en

consideraciones la dimensión política de la educación y la enseñanza. ¿Pero qué es lo quese hace y se habla en los seminarios dirigidos a la formación de maestros y profesores?. Unocoloca el acento en los métodos y las técnicas. Mientras más se insiste, sin embargo, en losmétodos y en las técnicas de enseñanza, de esta manera se aparta aún más a un segundoplano la dimensión política de la educación y la enseñanza….Si yo por ejemplo comoprofesores de matemática elemental en una escuela Básica le sugiero a mis alumnos quehagan la siguiente actividad: ustedes tienen 10.000$ y los llevo al banco donde obtendrán3% por concepto de intereses, ¿Cuánto dinero tendrás dentro de seis meses? Algunospiensan que es solamente una actividad de cálculo, pero realmente esa tarea tiene algo quever con política e ideología pregunta capitalista, en tal sentido tú le suministras a tusalumnos la representación del valor capitalista. Yo les pregunto a ustedes: ¿Dónde está laneutralidad de la aritmética?

El proceso actual de internacionalización del conocimiento, por el contrario, exige de quienespreocupamos por la educación matemática, un movimiento más activo y participativo de lasociedad conjuntamente el desarrollo tecnológico, que debería tener como principal objetivobuscar y brindarle solución a los problemas que afectan a los pueblos, fundamentalmente alos pueblos oprimidos como las comunicaciones indígenas de Latinoamérica.


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Hay quienes sospechan que la población joven y adulta presenta pocas dificultades en eltratamiento matemático de situaciones de la vida cotidiana, lo cual habría que investigar: sedice que ellos poseen mecanismos y estrategias altamente eficientes en el manejo decantidades, precios, estimaciones, longitudes, etc., ya que están familiarizados con losobjetos y elementos de la vida diaria. En muchos casos pueden resolver tareas con una altaprecisión, pero fracasan en la escuela con la matemática más elemental. Sobre este tema se

han desarrollado muchos trabajos interesantes en latinoamericana, concretamente en Brasil.Entre los autores conocidos que han realizado investigaciones de esta naturaleza podemosmencionar a Mora.

Los cálculos independientes que hacen los niños y la población en general en su vidacotidiana, y que son olvidados normalmente por la escuela permiten el significado de muchasideas matemáticas.

El conjunto de pasos del cálculo que da, en cuando al contenido matemático se refiere, demanera significativa en quien resuelve el problema, mientras que en la escuela elconocimiento significativo envuelto en las cosas que se está haciendo, en la mayoría de loscasos se pierde. Estamos en presencia de una matemática descontextualizada y no

solamente, como plantea Brousseau (1994:65) de un profesor descontextualizado.

Una joven calcula el precio de 10 cocos, cada uno los cuales cuesta 35 cruzeiros, sumandomentalmente 105 cruzeiros tres veces y agregando 3 más, en vez multiplicar por 10.En untrabajo reciente presenta otros ejemplos de cálculos realizados por vendedores callejeros delas de Brasil. Para calcular la diferencia 46-18, uno de los vendedores dice. ―primero quito 6de este número (46) y después quito doce más. Así he quitado 18 en total. La respuesta es28‖. Entre muchos otros ejemplos, veamos también la siguiente forma de sumar 790 + 470.―cero más cero igual a cero. Nueve (de 790) menos 3 igual a 6, y 3 más 7 (de 470) es 10 y10 más 6 igual a 16. Cuatro menos 1 es 3, 3y más 7 es 10 diez más 1 es 12‖.

Que cada individuo, de acuerdo a su experiencia, inertes, necesidad, motivación,

conocimiento y dificultad contextual, desarrollo sus propios mecánicos y procedimientospara la solución de un determinado problema. La escuela, nuestra escuela, necesitaaprender de la cotidianidad del mundo para poder generar resultados satisfactorios en laeducación matemática.

Parece ser que el rendimiento matemático presentado por los alumnos en cada una de lasactividades es directamente proporcional al grado de familiaridad y confianza que tiene losindividuos con el objeto concreto o con las características de la situación de la vida cotidianapresente. En la mayoría de los casos, los conocimientos las habilidades de los niños y

jóvenes no son estructurados de la misma forma lógica y secuencial como se da lapresentación del conocimiento matemático en la escuela.

Cuando se trabaja por ejemplo con el tema ―dinero‖, observamos claramente la contradicciónentre esa secuencia lógica del conocimiento y la experiencia cotidiana. Vemos que los niñosbolivianos, por ejemplo, pueden contar y reconocer la magnitud que representa cantidadescomo bs. 20, bs. 50, bs. 100, bs. 500 y hasta 1000, sin que ellos hayan trabajado en la―escuela‖ con un ―conjunto‖ de números mayor que 20.


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Esa capacidad de los alumnos para percibir el significado de situaciones matemáticas semanifiesta en los trabajos realizados con el tema ―dinero‖, y en el manejo de los númerosdecimales que normalmente se empieza a enseñar en la segunda etapa de la EB.

1.4. RELACIÓN DE LA MATEMÁTICAS CON OTRAS ÁREAS

EJEMPLO DE FOTOGRAFIAS CON OTRAS AREAS

Lamatemática relacionada con la astronomía

La matemática relacionada con la topografía.


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La matemática relacionada con la computación. Utiliza el sistema binario.

La matemática relacionada en la construcción de puentes se necesita del teorema dePitágoras.


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RESUMEN DE LA UNIDAD

La presente unidad, contempla la historia de la Matemática desde su origen hasta laactualidad y la relación de la matemática con otras áreas, sus características, su importancia,su aplicación su utilidad en la vida cotidiana, etc. Entre los autores más destacadosencontramos a Carl Friedrith Gauss, apodado el ―Príncipe de la Matemática‖, se refería a lamatemática como la ―reina de las ciencias‖ Moya (2009), nos dice que ―Todos los sereshumanos necesitamos de la Matemática‖

LECTURAS COMPLEMENTARIAS

Cirujanos y maestros en el siglo XXI(Adrian Paenza, 2005)

Una historia interesante para pensar es la siguiente: supongamos que un cirujano deprincipios del siglo XX, fallecido alrededor de 1920, se despertara hoy y fuera traslado al

quirófano de un hospital moderno (aquellos a los que tienen acceso para cuidar de su saludlas personas con alto poder adquisitivo, generando una desigualdad que escapa al motivo alde este libro, pero que no por eso ignoro.)

Vuelvo al quirófano. Supongamos que en la cama de operación hay un cuerpo anestesiadoal que están operando a con la tecnología actual más moderna.

¿Qué haría el tal cirujano? ¿Qué sensaciones tendría? Claramente, el de un humano nocambio. En ese lugar no habría problemas. El problema lo encontraría en las ―Técnicasquirúrgicas‖, el ―aparataje‖ que las circundan, ―el instrumental‖ y la ―batería de tests‖ queestarían a proposición del cuerpo de médicos que están en esa sala. Eso sí sería unadiferencia. Posiblemente, el viejo cirujano se quedaría‖ admirado‖ de lo que ve y

completamente‖fuera del cirujano‖. Le explicarían el problema del paciente, y seguro que loentendería. No tendría problemas en comprender el diagnóstico (al menos, en la mayoría delos casos). Pero la operación en si misma le resultaría totalmente inaccesible, inalcanzable.

Ahora cambiemos la profesión. Supongamos que lugar de un cirujano que vivió y murió en elprimer cuarto del siglo XX, resucitamos a un maestro de esos tiempos. Y lo llevamos, no auna sala de operaciones, sino al teatro de un maestro: una sala en donde se dictan clases. Auna escuela ¿tendría problemas de comprensión? ¿Entendería de lo que están hablando?¿Comprendería las dificultades que presenta los alumnos? (No me refiero a los trastornos deconducta, si no a los problemas inherentes a la compresión propiamente dicha.)Posiblemente, la respuesta es que sí, que el maestro de otros tiempos no tendría problemasen comprender y hasta podría, si al tema era de su especialidad hace un siglo, acercase al

pizarrón, tomar la tiza y seguir él con la clase casi dificultades.

MORALEJA; la tecnología cambio mucho el abordaje de ciertas disciplinas, pero no tengoclaro que lo mismo se haya producido con los métodos y programas de enseñanza. Mi dudaes: si elegimos no cambiar nada no hay problemas: Si evaluamos que lo que se hace desdehace un siglo es lo que queremos hacer hoy.


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UNIDAD 2: DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA DESDE UNAPERSPECTIVA CRÍTICA

La primera unidad reúne todo un conjunto de definiciones de la matemática, la importancia

de esta, el rol del estudiante junto a su maestro/a y el desarrollo del proceso enseñanza – aprendizaje y finalmente la didáctica que facilitará la transmisión de conocimientos prácticosa sus estudiantes, elevando así la calidad educativa de los estudiantes del nivel secundario.

OBJETIVOS DE LA UNIDAD

Comprendemos y reflexionamos acerca de las definiciones de la matemática,relacionada proceso enseñanza-aprendizaje, a sus objetivos, las necesidades deaprendizaje del estudiante y cómo este afecta la parte cognoscitiva y afectiva,además de los componentes personales que intervienen en el aprendizaje (mestro/ay estudiante) y los componentes básicos de la didáctica de la matemática que serequiere para el trabajo de aula.

2.1 DEFINICIÓN DE LA MATEMÁTICA

Las Matemáticas o la matemática, ―es una ciencia que, partiendo de axiomas y siguiendo elrazonamiento lógico estudia las propiedades y relaciones cuantitativas entre los entesabstractos (números, figuras geométricas, símbolos) (Real academia Española, 2010:23).

Mediante la abstracción y el uso de la lógica en el razonamiento, las matemáticas hanevolucionado basándose en las cuentas, el cálculo y las mediciones, junto con el estudiosistemático de la forma y el movimiento de los objetos físicos. Las matemáticas, desde suscomienzos, han tenido un fin práctico.

Pero encontramos a otros autores que nos dan las siguientes definiciones:

La matemática es el alfabeto con el cual Dios ha escrito el universo. Galileo

Galilei ( autor , año)

Es la reina de las ciencias, y la aritmética es la reina de las matemáticas. Carl

Gauss,

La matemática es la ciencia de las cosas evidentes e introvertibles. Feliz Klein.

La matemática no es la ciencia de la cantidad. Aristóteles.

La matemática es la ciencia del orden y la medida. René Descartes.La matemática es la ciencia de lo que es claro de por sí. G. Jacobi.

La matemática es la ciencia que obtiene conclusiones necesarias.


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2.2 ¿PARA QUÉ APRENDER MATEMÁTICA?

Dado el contexto en que desarrollamos nuestra labor pedagógica, nos damos cuenta de laimportancia de hacer accesible la matemática a todos. La sociedad requiere de personaspreparadas para resolver, explorando y creando problemas de la realidad. En las distintas

áreas, se requiere de ciertos contenidos y habilidades matemáticas para desenvolverse condestreza.

Es decir, aprendemos matemática para poder utilizarla y resolver situaciones problemáticasde la vida diaria e insertamos de manera creativa en la sociedad.La matemática debe estar al servicio de las personas como un aporte para su crecimientopersonal.

2.3. ¿CÓMO ES EL PROCESO DE ENSEÑANZA – APRENDIZAJE DELA MATEMÁTICA?

Debemos tomar en cuenta que la matemática es:

Un modo de pensarUn campo de exploración de la naturalezaUn campo de creación humanaUn lenguaje simbólico

Profesor/a y estudiante

El proceso enseñanza-aprendizaje, no se puede llevar a cabo sin la presencia del estudiante,el cual presenta dos posturas

- Aun considerando como competente a su profesor.- Responde a la enseñanza de la matemática…

- Con aversión hacia ella por considerarla ―árida‖ …

- ¿se debe esto a que la matemática es en sí árida y difícil, o a la forma en que se

realiza el proceso enseñanza-aprendizaje?

- Memoriza definiciones, teoremas y conoce formulas y se pregunta cómo aplicarlas…


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En la actualidad se sigue presentando estas dos situaciones:

Situación A Situación B

PROFESOR/A Y ESTUDIANTES PROFESOR/A Y ESTUDIANTESEl profesor/a:

Da definiciones y principios.Escribe fórmulas.Las deduce.Explica la forma de manejarlas.Resuelve ejercicios como ejemplos.Deja otros ejercicios para ser resueltos porlos alumnos.Menciona algunas aplicaciones…

Los estudiantes:Copian en sus cuadernos.Preguntan dudas.

Hacen preguntas como: ¿Cuándo es elexamen mensual?

Inician una reflexión sobre unfenómeno o situación propuestos.

Utilizan algunos símbolos que lespermite formar un modelo matemáticode este fenómeno.

Dentro del modelo obtienen resultados

Retornan al fenómeno ya mejorcomprendido.

1.4. OBJETIVOS A ALCANZAR EN CURSO DE MATEMÁTICA

Cuando profesores y estudiantes iniciamos un curso de matemática empezamos a recorrerun camino, pero….

… ¿sabemos a dónde queremos llegar?

¿Qué actitud tomamosfrente al programa escolar? Nos preocupa fundamentalmente cubrirlo en su totalidadNo lo tomamos en cuentaNos detenemos a pensar cómo vamos a utilizarlo parallevar a nuestros alumnos a un verdadero aprendizaje de laMatemática

Tal vez esperamos quenuestros estudiantes:

Entiendan las aplicaciones Aprueben el cursoSean influidos por el estudio de la Matemática en suformación personalComprendan la importancia de la Matemática en eldesarrollo de la vida modernaCorrelacionen sus conocimientos de Matemáticas conotras áreas de aprendizaje

Y los estudiantes A su vez esperanDel curso…

Que sea algo interesanteQue se les aclare para qué sirve la MatemáticaQue el curso termine pronto porque no le gusta

Tanto estudiantes como maestros/as, tienen ideas diferentes acerca de lo que deseanalcanzar durante el curso


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Será necesario que ambos precisen a donde quieren llegar, como hacerlo y cómo comprobarque lo han logrado. Para ello, el profesor deberá especificar – antes de iniciar el trabajo - ,los objetivos que desea alcanzar, es decir:

1.4.1. IMPORTANCIA DE LOS OBJETIVOS EN EL PROCESO DEENSEÑANZA – APRENDIZAJE

Una vez seleccionado y clarificados los objetivos del profesor podrá:

Hacer una planificacion general del curso.

Elegir el método y procedimientos que considere más adecuados para alcanzar losobjetivos propuestos.Seleccionar los recursos didácticos:1. ejemplos, ejercicio y problemas2. actividades que los alumnos realizarán dentro y fuera del aula,

3. material didáctico.Organizar al grupo, aplicar técnicas de dinámica de grupo.Ejecutar el temaEvaluar…

La especificación de objetivos constituye la base de la cual el maestro/a partirá paraplanear, realizar y evaluar el proceso de enseñanza – aprendizaje, tomando en cuenta quelos objetivos deben elaborarse en función de los estudiantes:

LOS OBJETIVOS SON EL EJE DE TODA ACTIVIDAD

OBJETIVOS

PLANIFICACION

MÉTODO YPROCEDIMIENTO

RECURSOSDIDÁCTICOS

ORGANIZACIÓNDEL GRUPO

EVALUACIÓN

RECURSOSDIDÁCTICOS


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Un profesor decide construir, conjuntamente sus alumnos y otros profesores, un acuario enla escuela. Esta idea se puede convertir en un proyecto muy interesante y de larga duración,ya que son muchos los problemas que se tienen enfrentar y resolver hasta lograr,exitosamente, un acuario lo suficientemente grande como para colocar una buena variedad ycantidad de peces, sin que ellos presenten problemas de espacio. Algunos de los aspectosque se debe tener presente son los siguientes: tamaño del acuario, cantidad de agua, costo

de los siguientes. Tamaño del acuario, cantidad de agua, costo de los materiales, cantidadde peces que pueden convivir juntos, temperatura del agua, con qué frecuencia se tiene quelimpiar el agua. Entre muchas otras variables incluyentes de importancia (Este ejemplo seutilizaría después de avanzar el tema de regla de tres simple, volumen).

1.5. EL ESTUDIANTE EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA – APRENDIZAJE

Área cognoscitiva del estudiante

El Estudiante debe desarrollar la capacidad de elaborar un modelo simbólico a partir de unasituación correcta. Dejando que él proponga los posible modelos y las soluciones que seajusten a esa realidad para llegar posteriormente a una solución formal.

Adquiera capacidad para llegar deductivamente a conclusiones, en la discusión de un

problema, sin aplicar las reglas formales correspondientes, además que desarrolle lahabilidad de resolver problemas abstractos simbólicamente, adquiera capacidad para llegardeductivamente a conclusiones de una manera formal y que comprenda y llegue a realizarprocesos inductivos de generalización.

Área afectiva del estudiante

- El profesor(a) tiene que lograr que el estudiante valore la matemática como interpretaciónde la naturaleza y como herramienta para transformarla indirectamente.

- Mediante reflexiones hechas en clase sobre los ejemplos utilizados, haciendoinvestigación en artículos y conferencias de divulgación, etc., a lo largo de todo un ciclo deenseñanza – aprendizaje.

- Valore la Matemática como clave cultural de comunicación.

- Valore la matemática dentro de su contexto histórico.

- Integre los valores anteriores dentro de una cosmovisión personal


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Estos ejemplos se refieren a objetivos generales del estudio de la matemática.

A quienes intervienen en el proceso de enseñanza – aprendizaje

¿ C o n q u i é n v o

y a r e a l i z a r e l p r o c e s o e n s e ñ a n z a

- a p r e n d i z a j e

C O N E S T U D I A N T E S

Que estánubicados enuna realidad

Social Nivelsocioeconómico

Nivel culturalUrbana - rural

Económico Solo estudianTrabajan y estudian

Personal capacidadeshabilidadespreferencias

Que tienen

ciertosintereses deacuerdo con:

Su edad Tener diversiones

Tener novio (a)Tener amigosSu formaciónanterior

secundariabachilleratoprofesional

Sus aspiraciones TécnicoQuímicoIngeniero

AbogadoQue ya tienenun concepto dela Matemática,surgido de sus

experienciasanteriores

Es difícilEs abstractaEnseña a pensarEs bonita

Es interesanteEs imposible aprobarla… Que van aestudiarla

pordiversasrazones

Es básica para su carreraEs materia obligatoriaLe gustaNecesita el certificado de este ciclo…

Que estánhabituados a…

Memorizar fórmulasResolver ejercicios mecánicamenteCopiar del pizarrónMientras el profesor expone

Que piensanque…

Nacieron para reprobarPueden aprender si se esfuerzanSolo los más inteligentes tienen éxitoSi les toca un buen profesor saldrán adelante

Con estudiantes que viven determinado momento histórico – cultural y que tambiénposeen un acervo de experiencias con relación a la Matemática.


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1.5.4. LOGROS EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA – APRENDIZAJE

¿ P A R A Q U É

? V o y a r e a l i z a r e l p r o c e s o d e e

n s e ñ a n z a – a

p r e n d i z a j e

P a r a l o g r a r o b j e t i v o s t a l e s

c o m o :

CONCIMIE

carpeta de epistemología matemáticas y su vinculación con áreas productivas tecnológicas.pdf

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