carlos a. casanova - sobre la realidad de las matemáticas

ARETARETARETARETARET Revista de FilosofaVol. XV, N0 1, 2003

pp. 35-62

El artculo trata sobre el objeto de las matemticas, sobre si ste existe en larealidad o no. El artculo adopta una perspectiva intemporal y, por ello,incoa un dilogo entre fsicos o matemticos contemporneos y algunas delas reflexiones clsicas sobre el tema. Entre estas ltimas, incluye laplatnica, la aristotlica, la empirista y la kantiana. Por otra parte, trae acolacin la distincin clsica entre via inventionis y via demonstrationis enorden a distinguir las verdades matemticas, los principios en que ellaspueden resolverse y la forma concreta en que esos principios pueden serrelacionados para construir una demostracin. Esto puede arrojar lucessobre por qu las verdades matemticas pueden ser percibidas por los ma-temticos como eternas, aunque los modos de demostrarlas o los contextospuedan ampliarse o variar.

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On Mathematics Reality. The paper deals with the object of mathematics,and tries to show if it is real or not. It is written from an intended timelesspoint of view, and because of that it opens a dialogue between contemporaryphysicists or mathematics and classic reflection on the matter. Amongthose reflections, it embraces the Platonic, Aristotelian, empiricist andKantian. Moreover, it considers the classic distinction between via inventionisand via demonstrationis, in order to distinguish between mathematical truths,the principles or axioms in which they can be resolved and the concreteways in which those principles can be interwoven for the construction ofa demonstration. This can enlighten the problem of why mathematicaltruths are perceived by mathematicians as eternal, while the ways throughwhich or the contexts in which they are demonstrated can be amplified ormodified.

Sobre la realidad de las matemticas

Carlos CasanovaUniversidad Simn Bolvar, Caracas

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Hoy en da hay quien sostiene que la matemtica es una quimera,una pura invencin de la mente humana. Los axiomas del lgebra, enparticular, seran arbitrarios. Frente a ellos se levantan no pocos mate-mticos que piensan que su objeto de estudio existe, tal como lo pensabaPlatn. Algunos sostienen que no puede ser una creacin de la mente,sino que procede de la experiencia sensorial, por abstraccin. Otros, conKant, suponen que el matemtico slo intuye formas a priori, como la deespacio. Todava otros estn de acuerdo con Aristteles en que el objetode la matemtica es la abstraccin de dimensiones cuantitativas de loreal, pero que se captan no por la pura experiencia sensorial. stos setienen que enfrentar con los husserlianos, a menudo, que piensan quedicho objeto no es un accidente como la cantidad, pues tambin las sus-tancias son numerables.

El esbozado ser el problema central de las pginas que siguen.Pero otro problema, conexo, ser el siguiente: si el objeto de las mate-mticas es un hecho que puede ser encuadrado en diversos sistemasaxiomticos; o si nunca puede decirse que sea un hecho, y la diversidadde sistemas axiomticos posibles es consecuencia, sencillamente, de ladistincin entre la via inventionis (va de la investigacin) y la viademonstrationis (va de la demostracin). En este punto ser til compa-rar a la matemtica con la fsica.

A. Parece que la matemtica no tiene ningn objeto real.

La primera opinin se basa, hasta donde yo s, en dos tipos deargumentos: a) en que en el lgebra se definen las nociones primitivasy las reglas de interrelacin o de conexin entre esas nociones de unmodo aparentemente arbitrario; y en la matemtica hay creaciones quedefinitivamente se apartan de nuestra experiencia del mundo, tales comolos espacios de ms de tres dimensiones o los nmeros complejos. Y, b)en que una rama de la matemtica tan venerable como la geometra deEuclides ha sido superada en los siglos XIX y XX. Y si ni siquiera lageometra pudo resistir los embates del flujo del pensamiento humano,qu puede haber que sea fijo y verdadero?


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Al primer tipo de fundamento de esta opinin, el que surge de losprincipios del lgebra o de otras nociones muy artificiales de la mate-mtica, hay que responder con una obra que citaremos a menudo enestas pginas varias cosas:

a.1) No todos los sistemas algebraicos que se creen sern intere-santes, sino slo aquellos que respondan a la realidad del objeto de ladisciplina, los que tengan gran significacin bien sea en las matemti-cas mismas o en sus aplicaciones a las ciencias naturales o tcnicas1.

a.2) Los espacios de ms de tres dimensiones son aplicacionesmetafricas de la nocin de espacio a mbitos no espaciales: ... la geo-metra ms temprana estudiaba slo las formas espaciales y las relacio-nes del mundo material, y por tanto slo en la medida en que ellas apa-recen en el marco de la geometra euclidiana. Pero ahora el objeto de lageometra comenz a incluir tambin muchas otras formas y relacionesdel mundo real, supuesto slo que ellas sean semejantes a la espacial y,por tanto, permitan el uso de los mtodos geomtricos. El trmino espa-cio, entonces, tom en las matemticas un nuevo significado, ms am-plio y al mismo tiempo ms especial. Simultneamente los mtodos dela geometra se hicieron mucho ms ricos y ms variados. A su vez,ellos nos proveyeron un instrumento ms completo de aprender acercadel mundo fsico que nos rodea, el mundo del que fue abstrada la geome-tra en su forma original.2

a.3) En cuanto a los nmeros complejos, Heisenberg hace unasobservaciones sumamente interesantes en sus Dilogos sobre la fsicaatmica: Estars, sin duda [t, Pauli], de acuerdo conmigo si yo afirmoque la proposicin existe la raz cuadrada de 1, no significa otra cosaque existen importantes relaciones matemticas que se pueden repre-sentar de la forma ms sencilla con la introduccin del concepto razcuadrada de 1. Ahora bien, las interrelaciones existen tambin sinesta introduccin. Por consiguiente, se puede aplicar prcticamente esta

1 Cf. Aleksandrov, Kolmogorov y Lavrentev (eds.), Mathematics, its Content, Methodsand Meaning, traducido por S. H. Gould y T. Barba, Cambridge, Mass.: MIT Press,1965, pp. 264-265 (se usar slo el volumen I). En el mismo sentido, Corry, Leo,Hilbert y su filosofa empirista de la geometra, en: Boletn de la Asociacin MatemticaVenezolana, IX (2002), p. 31.2 Cf. ibid., pp. 56-57, 264-265.

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forma matemtica tanto en las ciencias naturales como en la tcnica.En la teora de las funciones es un dato categrico, por ejemplo, la exis-tencia de importantes estructuras matemticas que se refieren a paresde variables continuamente mudables. Estas relaciones resultan msfcilmente inteligibles si se forma el concepto abstracto raz cuadradade 1, aunque ste no sea fundamentalmente necesario para esa com-prensin y aunque no se d ningn concepto correlativo entre los nme-ros naturales... Por tanto, en la ciencia matemtica se registra un pro-ceso continuado de creciente abstraccin que posibilita la comprensinunitaria de dominios cada vez ms amplios. 3

En cuanto al segundo tipo de argumentos que aduce esta tesis (b),debe decirse que el hecho de que haya geometras no euclidianas noinvalida la obra de Euclides. Simplemente la perspectiva del griego pue-de ser completada con otras perspectivas. La experiencia humana de larealidad es siempre limitada, pero esos lmites no implican que seanfalsas las afirmaciones que se hagan desde ella. Y el lenguaje nuncarecoge toda la riqueza de nuestras experiencias; de modo que la formacomo expresamos e, incluso, concebimos lo que entendemos puede ado-lecer de imperfecciones que, sin embargo, no impidan que desde lo ex-presado se capte una realidad que se encuentra ms all de ello4. Ilus-trar lo dicho con unos textos de Heisenberg, referidos en su mayora ala perspectiva constituida por la fsica newtoniana, pero aplicables conms razn (a fortiori) a la geometra de Euclides.

La teora de la relatividad y la mecnica cuntica son sistemasaxiomticos que se introdujeron en la fsica o fueron aceptados en ellapara dar cuenta de un conjunto de resultados experimentales que nopodan ser explicados por la mecnica newtoniana o la teora electro-magntica de Maxwell. Sin embargo, los experimentos en los que se ob-tuvieron esos resultados fueron concebidos y montados de acuerdo con

3 Heisenberg, W., Dilogos sobre la fsica atmica, Madrid: Biblioteca de AutoresCristianos, 1975. p. 112.4 sta es la razn por la que en ninguna ciencia se cierra nunca la via inventionis, enla que los razonamientos son dialcticos. Como dicen los autores rusos citados: elrigor de la matemtica no es absoluto; est en un proceso de continuo desarrollo. Losprincipios de la matemtica no se han congelado de una vez por todas, sino quetienen una vida propia y pueden an ser objeto de controversias cientficas.Aleksandrov, Kolmogorov y Lavrentev (eds.), o.c., p. 3.


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las leyes de la mecnica newtoniana o de la teora electromagnticamaxwelliana. Esto plantea un problema terico. Y a l respondeHeisenberg: ...el punto de partida obvio para la interpretacin fsica delesquema matemtico en la relatividad general es el hecho de que lageometra es muy aproximadamente euclidiana en las dimensiones pe-queas. La teora se aproxima a la teora clsica en esta regin. Enton-ces, aqu la correlacin entre los smbolos matemticos y las medicio-nes y los conceptos del lenguaje ordinario no es ambigua. Sin embargo,se puede hablar de geometra no euclidiana en las grandes dimensio-nes [Por lo dicho,] en la teora de la relatividad general el lenguaje porel cual describimos las leyes generales sigue al lenguaje cientfico delos matemticos, y en la descripcin de los experimentos mismos pode-mos usar los conceptos ordinarios, puesto que la geometra euclidianaes vlida con suficiente precisin en las pequeas dimensiones.5

El texto anterior se refiere directamente a la geometra euclidiana.Ahora sealar otros que se refieren a otras partes de la ciencia, peroque son tiles para mostrar el problema de la relacin entre el lenguajey la experiencia o el de la relacin entre la verdad y nuestras limitadasperspectivas. Veamos el primero: El problema ms difcil, sin embargo,acerca del uso del lenguaje surge en la teora cuntica. Aqu no tenemosal comienzo una gua simple para correlacionar los smbolos matemti-cos con los conceptos del lenguaje ordinario, y lo nico que sabemos alcomienzo es que nuestros conceptos comunes no pueden aplicarse a laestructura de los tomos. De nuevo, el punto obvio de partida para lainterpretacin del formalismo parece ser el hecho de que el esquemamatemtico de la mecnica cuntica se aproxima a aqul de la mecni-ca clsica en las dimensiones que son grandes comparadas con el tama-o de los tomos.6

5 Heisenberg, W., Physics and Philosophy, Nueva York: Harper and Row Publishers,1962, pp. 176-177 (traduccin ma de la edicin inglesa). Es obvio que la geometraeuclidiana constituye una abstraccin mayor que la geometra de los egipcios ybabilonios, formulada exclusivamente para su aplicacin fsica. Por ello, pienso quepuede decirse que, fuera del campo de la aplicacin fsica, Euclides conserva mayorvalidez que en ese campo. El argumento que puede extraerse del texto de Heisenberges, por tanto, muy fuerte.6 Ibid., p. 177. All aade Heisenberg que en el caso de la mecnica cuntica lacorrespondencia no es tan clara. Hay que explicar por qu no se da el fenmeno dela interferencia de probabilidades, y pasa a hacerlo.

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Antes ha dicho el gran fsico que la discrepancia entre la mecni-ca newtoniana y los resultados experimentales que llevaron a la teorade la relatividad o a la mecnica cuntica no era cuestin de los he-chos (facts), sino del lenguaje7. Los hechos eran claros. Y entre ellos nopuede haber discrepancia. El principio de no-contradiccin est supues-to en cualquier experiencia humana de la realidad distinta de la prime-ra en la que formulamos dicho principio. Lo que hay, ms bien, es undesacuerdo entre un modo de formular las experiencias relativas a uncampo de fenmenos y otro modo de formular las relativas a otro campo.Ese desacuerdo se ve como un problema de lenguaje y, por ello, se bus-can caminos que salven todas las experiencias.

Por lo dicho, porque las experiencias que fundamentan la formula-cin newtoniana de la mecnica no pueden quedar superadas, puededecir Heisenberg: Creo que no se puede perfeccionar en modo alguno lamecnica newtoniana, y con esto quiero decir lo siguiente: siempre quequeremos describir cualquier fenmeno con los conceptos de la fsicanewtoniana, como, por ejemplo, lugar, velocidad, aceleracin, masa, fuer-za, etc., tienen plena validez las leyes de Newton, y en esto nada habrcambiado en los prximos cien mil aos. Para ser ms preciso, convieneque aada algo: en cuanto al grado de precisin con que se pueden descri-bir los fenmenos con los conceptos newtonianos, tienen vigencia tam-bin las leyes de Newton. El hecho de que este grado de precisin sealimitado era un dato naturalmente conocido ya en la fsica precedente, yaque nadie poda hacer mediciones con una exactitud perfecta.8

Ms adelante, aade Heisenberg algo que es relevante indirecta-mente para la matemtica: el criterio de verdad de la fsica. Y digo quees relevante para la matemtica, porque la ciencia de la naturaleza uti-liza el formalismo matemtico: si hay verdad en la ciencia natural, cmopodra no haberla en la matemtica? ste es un argumento usado enotro de nuestros acpites, pero puede adelantarse aqu. Segn Heisen-berg, pues, la fsica no se perfecciona como la ingeniera, que es unadisciplina mecnica o prctica, por medio de adiciones de pequeas he-rramientas conceptuales. Sera totalmente falso poner como nivel delas correcciones del ingeniero los cambios fundamentales que aparecen

7 Cf. ibid., pp. 174-175.8 Heisenberg, W., Dilogos sobre la fsica atmica, o.c., pp. 120-121.


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en el paso desde la mecnica newtoniana a la mecnica relativstica ocuntica, porque el ingeniero, cuando corrige, no necesita modificar nadade sus conceptos anteriores. Todas las palabras mantienen su significa-do anterior; slo se introducen en las frmulas correcciones para deter-minadas realidades que antes se haban descuidado. Semejantes cam-bios no tendran, sin embargo, sentido alguno dentro de la mecnicanewtoniana. No hay experimento alguno que pueda confirmarlo. En estoestriba precisamente el sentido absoluto y permanente de la fsicanewtoniana: en que no puede perfeccionarse dentro de su campo de apli-cacin por pequeas modificaciones y en que desde hace mucho tiempoha encontrado su forma definitiva. Mas hay campos experimentales enlos que no podemos avanzar con el sistema conceptual de la mecnicanewtoniana. Para tales campos experimentales necesitamos estructu-ras conceptuales totalmente nuevas, y stas nos las ofrecen, por ejem-plo, la teora de la relatividad y la mecnica cuntica. La fsica newto-niana tiene y esto para m es importante un grado de perfeccinconclusa, que los recursos fsicos del ingeniero jams poseern.9 Esaperfeccin conclusa est vinculada al criterio ms importante de la ver-dad en nuestra ciencia, la sencillez siempre resplandeciente de las le-yes de la naturaleza... Si resumimos por medio de frmulas los resulta-dos de los experimentos, como debe hacerse siempre en la fsica terica,y llegamos as a una descripcin fenomenolgica de los procesos, tene-mos entonces la impresin de que hemos inventado esas frmulas, yque las hemos inventado con xito ms o menos satisfactorio. Pero, cuan-do nos topamos con esas grandes interrelaciones extraordinariamentesencillas que quedan fijadas definitivamente dentro de la axiomtica,tiene el asunto un aspecto muy distinto. En este caso aparece de repen-te ante la mirada de nuestro espritu un orden total de interrelacionesque sin nosotros ha existido siempre y que con absoluta evidencia no hasido hecho por el hombre. Tales interrelaciones constituyen el conteni-do autntico de nuestra ciencia. Slo cuando hemos interiorizado plena-mente en nosotros mismos la existencia de tales interdependenciaspodemos comprender realmente nuestra ciencia.10

9 Ibid., p. 122.10 Ibid., pp. 124-125.

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B. Parece que el objeto de las matemticas tiene una existencia indepen-diente de las cosas sensibles.

El origen de esta tesis se encuentra en Platn o en los pitagricos.Cuando Protgoras objet a la veracidad de la geometra que nada en elmundo real era como lo describan los gemetras (porque no hay puntossin dimensiones, ni lneas con una sola dimensin, ni planos con slodos dimensiones, etc.), el Ateniense le respondi que era cierto que enel mundo sensible no existan los objetos de la geometra, pero que esono afectaba a sta como ciencia, sino a la realidad o consistencia delmundo sensible. En ste, las cosas reciben su consistir y su inteligibili-dad de otras realidades suprasensibles, que son las que estudia la geo-metra. Es cierto que nunca hemos visto en esta vida objetos como losque define la geometra, y que por ello es difcil explicar cmo es quepodemos reconocer un razonamiento geomtrico verdadero y distinguir-lo de uno falso; y, aun ms, cmo podemos investigar en geometra, puesparece que no podemos saber cmo es lo que estamos buscando, ni po-dremos reconocerlo una vez hallado. Pero desde luego hay hallazgos, lageometra no es arbitraria, y cualquiera que considere los razonamien-tos del modo debido puede distinguir uno verdadero de uno falso. Enton-ces, por qu tenemos en nuestra mente los conceptos necesarios paraorientar la investigacin o reconocer los resultados favorables? Porquenuestra alma contempl antes de estar encarnada en el cuerpo esosobjetos suprasensibles11.

Hoy en da, como ya se anunci, no son pocos los matemticos quesuscriben la tesis platnica acerca de la existencia de los objetos de ladisciplina, aunque no suscriban, quiz, la preexistencia del alma o lainteligencia12. Ellos aducen las mismas experiencias apuntadas en el

11 Una buena explicacin en la bibliografa secundaria de la anmnesis platnica seencuentra en el libro de David Cornford, Principium Sapientiae. The Origins of GreekPhilosophy, editado por Peter Smith, Gloucester, 1971, en el captulo titulado Anmnesis.En cuanto a las fuentes primarias, son principalmente el Menn y el Fedn.12 Cf. Corry, Leo, o.c., pp. 30-31. Se encuentra all una interesante cita de Dieudonn,uno de los formalistas puros que malinterpret a Hilbert y lo hizo aparecer como unsostenedor de la arbitrariedad de los axiomas: En cuestiones fundacionales, nosotroscreemos en la realidad de las matemticas, pero claro, cuando los filsofos empiezana atacarnos con sus paradojas, corremos a escondernos detrs del formalismo ydecimos: la matemtica no es ms que una combinacin de smbolos faltos de


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prrafo anterior, y algunas otras. Transcribir un texto de Roger Penrosedonde l alega otra experiencia, ms vinculada (de modo inconsciente13)al Fedro que las antes mencionadas: ...el punto es que con respecto a lacomunicacin de las matemticas, uno no est sencillamente transmi-tiendo hechos. Porque para que un conjunto de hechos [contingentes yparticulares] sean comunicados de una persona a otra, es necesario quelos hechos sean cuidadosamente enunciados por el primero, y el segun-do debera tomarlos individualmente. Pero en la matemtica el conteni-do fctico es pequeo. Las afirmaciones matemticas son necesaria-mente verdades (o bien falsedades necesarias) y aun si la afirmacindel primer matemtico representa meramente una sombra inestable deuna verdad necesaria, sera aquella misma verdad la que se transmiti-ra al segundo matemtico, supuesto que el segundo ha entendido ade-cuadamente. Las imgenes mentales del segundo pueden diferir en eldetalle de las del primer matemtico, y sus descripciones verbales tam-bin, pero la idea matemtica relevante se habr comunicado del uno alotro... Cuando uno ve una verdad matemtica, la propia concienciairrumpe en ese mundo [platnico] de ideas, y establece un contacto di-recto con l (accesible por medio del intelecto)... El descubrimiento ma-temtico consiste en la ampliacin de esa rea de contacto.14

Las experiencias originantes de esta tesis quedarn ms clarascuando veamos el enfrentamiento entre ella y los empiristas, en el prxi-mo acpite.

significado... Finalmente se nos deja en paz y as podemos regresar a nuestramatemtica, trabajando como siempre lo hemos hecho, es decir, con algo real.13 Estas coincidencias son algunos de los hechos ms sorprendentes en nuestradisciplina filosfica, que nos permiten ver que no consiste en un puro hablar porhablar.14 Penrose, Roger, The Emperors New Mind, Nueva York: Penguin Books, 1991, pp.427-429. La traduccin es ma. Debo aclarar que, en realidad, Penrose no es platnicosino pitagrico. Al final de su libro, con la intencin de dejar el papel de filosofaprimera a la fsica, y no a la matemtica, afirma que esas entidades de la matemticaexisten como bases del mundo sensible en las dimensiones no visibles de ese mismomundo. Funde lo sensible y lo suprasensible, exactamente como Aristteles nosnarra que hicieron los pitagricos, que hablaron de unas entidades suprasensibles,pero slo para explicar el mundo sensible.

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C. Parece que la matemtica procede de la experiencia sensorial

En la materialista y staliniana Unin Sovitica de 1956 se acab deescribir una gran obra, Mathematics, its Contents, Methods and Meaning,editada por Aleksandrov, Kolmogorov y Lavrentev15. Como era de esperarpor el contexto histrico, la perspectiva de este libro es materialista yanti-idealista. Pone, por ello, gran esfuerzo en mostrar que la matemticase forma a partir de la experiencia sensible. Al hacerlo, coincide admira-blemente y sin saberlo con muchas tesis aristotlicas, pero introduceaclaratorias o correcciones que la apartan parcialmente del Estagirita. Eneste segundo aspecto coincide ms bien, de nuevo sin citas explcitas,con el empirismo que fue objeto de refutacin por parte de Leibniz o quedio lugar a la crtica de Kant.

Segn los rusos, pues, la matemtica surgira de la experiencia delos objetos sensibles, por abstraccin. El nmero sera la numeracin deobjetos, pero abstrayendo la naturaleza de esos objetos; el concepto deuna figura geomtrica es el resultado de la abstraccin de todas las pro-piedades de los objetos existentes, excepto su forma espacial y sus di-mensiones16. stos son dos de los conceptos ms tempranos y elemen-tales. Fueron seguidos por otros muchos, cada vez ms abstractos y detal generalidad, que aparentemente han perdido toda conexin con lavida o la experiencia ordinarias. Sin embargo, tambin ellos tienen uncontenido concreto y estn conectados con la vida, cosa que puede mos-trarse sin demasiada dificultad17.

Toda ciencia, y aun toda actividad mental, es abstracta. Pero lamatemtica versa slo acerca de todas las posibles (y variables) relacio-nes cuantitativas e interdependencias entre las magnitudes, y acercade las formas espaciales; encierra una serie de grados crecientes deabstraccin (camino en el que llega ms lejos que cualquier otra cien-cia); y se mueve enteramente en el campo de los conceptos abstractos ysus interrelaciones (a diferencia del cientfico natural, que constante-mente vuelve al experimento para probar sus aserciones)18.

15 O.c.16 Ibid., pp. 1-2.17 Cf. ibid., p. 2.18 Cf. ibid., pp. 2, 22 y 63. Hasta aqu, Aristteles y Santo Toms suscribiran todas y


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Los matemticos hacen constante uso de modelos, anlogos fsicosy ejemplos enteramente concretos, que sirven como fuente de la teora ycomo medio para descubrir sus teoremas, pero ningn teorema pertene-ce definitivamente a la matemtica hasta que ha sido rigurosamenteprobado por un argumento lgico19. Podemos medir los ngulos de la basede un millar de issceles con exactitud total, pero tal procedimiento nun-ca nos dar una prueba matemtica del teorema segn el cual los ngu-los de la base de un issceles son iguales. La matemtica exige que esteresultado se deduzca de los conceptos fundamentales de la geometra...que estn precisamente formulados en los axiomas. El autor del libro VIIde la Repblica suscribira este texto sin problemas. Pero, en cambio, pon-dra serias objeciones a este otro texto: en ltimo trmino, la vitalidad delas matemticas surge del hecho de que sus conceptos y resultados, contoda su abstraccin, se originan, como veremos, en el mundo real y encuen-tran muy variada aplicacin en otras ciencias, en la ingeniera y en todos losasuntos prcticos de la vida diaria. Darse cuenta de esto es el ms impor-tante prerrequisito para comprender la matemtica.20 La segunda cursi-va no necesita refutacin, segn creo. Muy pocos matemticos se ena-moran de su disciplina por las aplicaciones que tiene en otras disciplinas;la mayora queda deslumbrada por la belleza intrnseca de su objeto. Laprimera cursiva es la que va a ser discutida, a partir de los textos queanuncia cuando dice como veremos.

Para probar que la matemtica surge del mundo real, empleandos tipos de argumentos. El primero tiene que ver con la impresionanteaplicabilidad de la matemtica a los problemas de todas las disciplinas

cada una de las afirmaciones de los autores rusos, incluida la del mayor grado deabstraccin que tiene la matemtica respecto de cualquier otra ciencia. En este punto,s que la interpretacin de Maritain es contraria, pero los textos (Metafsica psilon1; y comentario al De Trinitate de Boecio) me parecen bastante claros. Puede verse uncomentario al texto del Aquinate, en el mismo sentido sealado, en Gelonch, Santiago,Separatio y objeto de la metafsica, tesis doctoral presentada en la Facultad de Filosofay Letras de la Universidad de Navarra, Pamplona, 1996.19 Lo que quieren decir los autores rusos no es que deba confundirse una verdadmatemtica con un modo concreto de demostrarla (distinguimos una cosa de otra enel ltimo acpite de este artculo), sino que la verdad matemtica, como quiera que sela demuestre, es necesaria y universal. Mientras una proposicin no se haya captadoas, como universal y necesaria, no puede afirmarse que se trata de una verdadmatemtica.20 Ibid., p. 3.

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que estudian o manipulan el mundo natural; aplicabilidad que se ex-tiende aun a los conceptos o construcciones ms abstractos, tales comolos nmeros imaginarios o complejos y los espacios de ms de tres di-mensiones21.

El segundo tipo de argumentos est conectado con la historia de laaritmtica y la geometra. Ambas disciplinas surgieron en varios mo-mentos y lugares histricos concretos. Pero vamos a centrarnos en laaritmtica, para no alargar innecesariamente estas pginas, y porqueel argumento no cambia en nada cuando se aplica a la geometra. Enmuchos pueblos, aun casi contemporneos, no se conocan nociones paranmeros mayores de dos o tres. En otros se desarrollaron nociones msrefinadas, como las de nmeros ms grandes o la de la suma o la demultiplicacin, frutos de mltiples experiencias. Pero en China, Egiptoy Babilonia se desarrollaron smbolos para los nmeros, que permitieronrepresentar cifras inimaginables en una representacin visual. El con-cepto necesita un cuerpo, aun cuando sea abstracto; y, a falta de larepresentacin visual, se da el smbolo. En las dos civilizaciones ltima-mente mencionadas, se empez a desarrollar el inters por la matem-tica sin conexin inmediata con problemas prcticos. Pero fueron losgriegos quienes, ya en el siglo IV antes de Cristo22, haban descubiertoque los nmeros pueden ser indefinidamente extendidos y, ms impor-tante, que es posible discutir acerca de los nmeros en general, y for-mular y probar teoremas generales acerca de ellos. Con lo cual contem-plamos una transicin a un nuevo nivel de abstraccin desde ciertosnmeros (aunque abstractos) a los nmeros en general, a cualquiernmero posible, segn dicen los autores23.

Con base en las observaciones anteriores, los rusos sostienen quela aritmtica, como vemos, no surgi del pensamiento puro, como supo-nen los idealistas, sino que es el reflejo de propiedades definidas de co-sas reales, y surgi de una larga experiencia de muchas generaciones24.La historia de los conceptos de la aritmtica muestra cun errada es la

21 Cf. ibid., pp. 4-6 y 18.22 Los rusos dicen para el siglo III, quiz porque desconocen a Aristteles y Platn, yse estn basando en Euclides.23 Cf. ibid., pp. 7-16.24 Ibid., p. 10.


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perspectiva idealista segn la cual ellos surgieron del pensamiento puro,de la intuicin innata, de la contemplacin de formas a priori, o cosassemejantes.25 La razn por la que los resultados de la aritmtica son tanconvincentes es que sus conclusiones fluyen lgicamente de sus con-ceptos bsicos y ambos, los mtodos de la lgica y los conceptos de laaritmtica, fueron elaborados y firmemente fijados en nuestra concien-cia por tres mil aos de experiencia prctica, sobre la base de uniformi-dades objetivas que se dan en el mundo que nos rodea26.

Todo parece claro. Pero se soslayan algunos problemas, implcitosen la propia exposicin de los rusos. Veamos los textos relevantes: Losteoremas generales acerca de cualquier propiedad de un nmero arbitra-rio contienen ya de forma implcita muchas aserciones acerca de las pro-piedades de los nmeros individuales y son, por tanto, cualitativamentemucho ms ricos que cualquier afirmacin particular que pudiera verifi-carse acerca de nmeros especficos. Por esta razn los teoremas genera-les deben probarse con argumentos generales que proceden de la reglafundamental para la formacin de la secuencia de los nmeros. Aqu per-cibimos una profunda peculiaridad de la matemtica: toma como objetono slo relaciones cuantitativas dadas, sino todas las posibles relacionescuantitativas y, por tanto, la infinitud.27 A la pregunta de por qu la mate-mtica puede tener un campo tan vasto de aplicaciones responden quegeneraliza una enorme cantidad de experiencia, refleja en forma abs-tracta aquellas relaciones del mundo real con las que nos encontramosconstantemente y en todas partes, que la posibilidad de la amplia aplica-cin est garantizada por la misma abstraccin de la aritmtica, aunquees importante que no se trata de una abstraccin vaca, sino derivada deuna amplia experiencia prctica28. Y aaden, finalmente, que la abs-traccin de todo lo que no es esencial descubre el ncleo de la materia ygarantiza el xito en esos casos donde un papel decisivo es jugado por laspropiedades y relaciones escogidas y preservadas por la abstraccin29.

25 Ibid., p. 17.26 Ibid., pp. 17-18. Se recoger aqu un aspecto de la biologa de Lysenko: lasadaptaciones al medio ambiente se transmiten a las generaciones futuras de unmodo lamarckiano?27 Ibid., p. 16.28 Ibid., p. 18.29 Ibid., p. 19.

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Lo que siempre llam la atencin de filsofos como Platn, Leibniz30

o Kant fue que en las cosas concretas de las que tenemos experiencia nose da nunca la perfeccin propia de las definiciones matemticas, de lageometra, por ejemplo. Y nuestros sentidos no nos dan nunca una ideauniversal y necesaria, sino, en el mejor de los casos, imgenes vagas quepueden abarcar, por su misma vaguedad, diversos individuos. Por msexperiencias sensoriales que tengamos de infinidad de cosas concretas,jams podremos descubrir en la realidad sensible, ni con nuestros senti-dos, un concepto universal y necesario cuyo anlisis pueda dar lugar ademostraciones igualmente universales y necesarias. En Platn, adems,se encuentra una explicacin de por qu puede darse un aprendizaje gra-dual de la matemtica o de la ciencia en general, que es precisamenteuno de los temas centrales del Menn: la anmnesis de las ideas separa-das se da poco a poco, y con la ayuda de los dioses o de un maestro.

Por otra parte, es cierto, como veremos, que la amplia aplicabilidadde la matemtica es seal de que las relaciones cuantitativas de quetrata se dan de alguna manera en el mundo sensible. Pero esto tambines explicado por Platn: el mundo sensible participa de los objetos mate-mticos o los imita, aunque no perfectamente. De all la distancia entrela fsica y la matemtica... Esa misma amplia aplicabilidad supone, ade-ms, como dicen los rusos, que la matemtica no parte de una abstrac-cin vaca. Mas ello implica que no puede ser una imagen vaga el ncleode las nociones matemticas31. Tiene que haber algo distinto. La capta-cin del ncleo esencial tiene que ser intelectiva, no sensorial. Y si enlo sensible no existe nada tan perfecto como en las definiciones de lageometra (de nuevo, por ejemplo), y, adems, nuestros sentidos no cap-tan sino lo particular e imperfecto, cmo podramos formar las nocio-nes bsicas de la matemtica a partir de lo sensible? Para rematar, quhay en el mundo sensible como nuestras operaciones aritmticas oalgebraicas universales? Es obvio que nuestra mente no es un reflejoespecular del mundo sensible, y que muchas de las nociones que usa-mos para expresarnos en la fsica y en la matemtica o en el lenguaje

30 Ver las magistrales crticas de Leibniz a Locke en los Nuevos ensayos sobre elentendimiento humano.31 Como lo sera si procedieran de una experiencia puramente sensorial, como losaben claramente Platn (cf. Teeteto) y Kant (cf. infra, nota siguiente).


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en general no han sido tomadas de nuestra experiencia sensible. As,por ejemplo, la semejanza nunca la hemos visto, sino slo cosas seme-jantes; y, en realidad, nunca hemos visto nada exactamente igual, sinocosas ms o menos semejantes. (Cmo, de paso, sabemos qu significams semejante o menos semejante si no sabemos qu es la seme-janza o la igualdad? Y cmo sabemos qu es, si no la hemos visto? Dednde procede nuestra nocin?).

D. Parece que la matemtica procede de la intuicin de una forma posedaa priori por la sensibilidad

Kant hubo de enfrentarse a una situacin en la que la filosofaprimera de tipo cartesiano-idealista haba sido echada por tierra a con-secuencia de la crtica de Hume; y, en cambio, la geometra y, sobretodo, la fsica estaban en su apogeo gracias al descubrimiento de la geo-metra analtica por parte de Descartes y Fermat, y a la formulacin dela mecnica de Newton. El agudo crtico escocs supona que la expe-riencia humana era puramente sensorial, y que las nociones de la ra-zn eran un puro hbito. Veamos cmo lo dice Kant: [Hume] crey poderdeducir que el tal principio [de causalidad] es absolutamente imposiblea priori, y, segn sus conclusiones, todo lo que nosotros llamamos meta-fsica descansara sobre una simple opinin de un pretendido conoci-miento racional, que en el hecho nace simplemente de la experiencia yque recibe del hbito cierto aspecto de necesidad. [Todo lo que nosotroscaptamos es la sucesin de los fenmenos, pero ella puede producir unacostumbre y nosotros proyectar sobre ella la causalidad como principionecesario]. Esta afirmacin, destructora de toda la filosofa pura, no sehubiera nunca emitido, al haber el autor abarcado en toda su generali-dad este problema, porque entonces hubiera comprendido que, segn suargumento, tampoco podran existir las matemticas puras, pues stascontienen ciertamente principios sintticos a priori, y su buen entendi-miento hubiera retrocedido ante semejante aserto.32

32 Kant, Immanuel, Crtica de la razn pura, Buenos Aires: Losada, 1938, p. 160. Laconcepcin que tiene Hume del intelecto humano, de haberla aplicado a la matemtica,hubiera supuesto que sus nociones fueran una imagen vaga, fruto de la fantasa,como todas las nociones a posteriori de Kant: si los conceptos de espacio y tiempo

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Kant tom mucho de Hume (en particular su nocin de experien-cia), pero introdujo luego importantes cambios. Las nociones o formas ocategoras necesarias de la razn existan, pero no podan aplicarse almundo porque, en definitiva, al hacerlo se incurra en una ilusin tras-cendental. La causalidad, por ejemplo, es una nocin de nuestra men-te, a priori; pero no debe proyectarse al mundo, como si existiera en s.El famoso pienso, luego existo proyecta sobre el mundo una idea queest slo en nuestra mente: que hay un sujeto del pensar y que existeen s. Pero esta proyeccin es indebida. Para no mencionar la proyec-cin de la existencia de Dios. En definitiva, del mundo exterior slo te-nemos experiencia sensorial, y sta nos proporciona imgenes vagas ocostumbres, pero no razonamientos necesarios ni nociones universa-les. De dnde, por tanto, pueden proceder la fsica pura (que, segn Kant,es a priori) y la matemtica? Ya que la metafsica est en crisis, debetomarse como modelo del conocimiento humano a la fsica y a la mate-mtica, que obviamente han alcanzado resultados incontestables. Aho-ra la rama terica de la metafsica se limitar a desvelar las condicio-nes trascendentales de la matemtica y de la fsica newtoniana. A mostrarque ellas son disciplinas serias, y cmo es esto posible33.

fueran a posteriori, seran slo creacin de la fantasa cuya verdadera fuente debebuscarse en la experiencia, porque de sus relaciones abstradas se ha valido la fantasapara formar algo que contenga lo que de general hay en ella, aunque no sin lasrestricciones que la naturaleza le ha impuesto (o.c., p. 190, 7 en la Seccin Segundade la Esttica trascendental).33 Cf. ibid., pp. 137 (Prefacio a la segunda edicin, donde se dice que slo la raznpura moral, no terica, se extiende ms all de los lmites de la sensibilidad); 144,nota (final del Prefacio a la segunda edicin, donde se dice que era un escndalopara la filosofa y la razn que el idealismo supusiera la existencia de los objetosexteriores cuando no poda probarla); 148-149 (Introduccin, donde se dice que elprincipio de causalidad es un a priori, y que hay otros muchos principios semejantes,como puede verse en la matemtica); 157-159 (Introduccin, donde se comparan lamatemtica, la fsica y la metafsica en lo que se refiere al uso por ellas de juiciossintticos a priori, y a la violacin por la ltima de los lmites de esos juicios); 162-163 (donde se muestra el descrdito en el que ha cado la metafsica). Ntese, porejemplo, que toda la argumentacin dirigida a probar que el tiempo es una forma denuestra intuicin interna, a priori, intenta salvar la ciencia general del movimiento,que no es poco fecunda (cf. nuevamente la Seccin Segunda de la Estticatrascendental, 5). Aristteles, tal como se desprende del captulo primero del libropsilon de la Metafsica, hubiera predicho el resultado final de una aventura defilosofa primera emprendida en esas condiciones: no podr decirse cmo son lascosas en s mismas, porque la disciplina a la que toca investigar el qu es (la


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Que tal sea el problema central de la rama terica de la metafsica,y que sta simplemente determine las condiciones de posibilidad de lasciencias existentes, se dice de modo explcito en la Crtica: En la resolu-cin del precedente problema [del fundamento de nuestras nociones ra-cionales] est tambin comprendida al mismo tiempo la posibilidad delempleo de la razn pura en la fundacin y construccin de todas las cien-cias que contienen un conocimiento terico a priori de los objetos, esdecir, est contenida la respuesta de estas preguntas: Cmo son posi-bles las matemticas puras?, Cmo es posible la fsica pura? No se puedepreguntar de estas ciencias ms que cmo son posibles, porque al existircomo reales demuestran ya que lo son. [Y aade Kant, aqu, una notaque deja fuera de dudas cmo era la situacin histrica de su obra: Res-pecto de la fsica pura, podrase an dudar; pero pudese tan slo consi-derar las diferentes proposiciones que se tratan al principio de la Fsicapropiamente emprica, como la permanencia de cantidad de la materia,la de la inercia, la de la igualdad de accin y reaccin y bien pronto sealcanza la conviccin de que constituyen una fsica pura (o racional),que bien merece ser expuesta separadamente, en toda su extensincomo ciencia especial.] Por lo que toca a la metafsica, como sus pasoshan sido hasta hoy tan desdichados, tan distantes del fin esencial de lamisma, que puede decirse que todos han sido en vano, perfectamente seexplica la duda acerca de su posibilidad y de su existencia.34

A estas preguntas, Kant responde, para la geometra, que es posiblepor la intuicin de la forma a priori de nuestra sensibilidad que es el espa-cio. Y, para la fsica, que procede de la intuicin de las formas de espacio ytempo, y que el tiempo es tambin una forma a priori. La fsica empricasera fruto de la copulacin de las formas a priori de la sensibilidad (espa-cio y tiempo) con la experiencia sensorial, pero no la fsica pura.

En qu se basa Kant para afirmar que el espacio y el tiempo sonformas a priori? En los siguientes argumentos: a) El espacio y el tiempotal como los conciben los fsicos son absolutos. Y un espacio y un tiempo

filosofa primera) es la misma a la que toca investigar el si es. La matemtica nopuede decir ni en qu sentido es el nmero, porque no sabe tampoco qu es. Algosemejante ocurre con la fsica. Es que ambas suponen la existencia o constitucin desu objeto: una lo toma por induccin y la otra por abstraccin.34 Ibid., pp. 160-161.

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absolutos son unas quimeras, inexistentes en la naturaleza. b) Los me-tafsicos leibniziano-wolfianos conciben al espacio como relaciones en-tre los objetos. Mas los objetos se perciben en la experiencia. Si, pues,el espacio fuera el conjunto de relaciones entre los objetos, sera de ex-periencia. Pero de la experiencia (puramente) sensorial no puede prove-nir una nocin perfecta de cuyo anlisis se desprenda una disciplinacon razonamientos que gocen de una certeza apodctica o sean necesa-rios (y nosotros conscientes de su necesidad)35; y de la intuicin de laforma de espacio proviene la geometra. Luego, el espacio no puede en-tenderse como relaciones entre los objetos. Es, ms bien, una formaposeda a priori por la sensibilidad. Y constituye el medio en el quepercibimos los objetos. Algo semejante puede decirse de la forma de tiempoy de los razonamientos necesarios de la fsica. Luego, nuestra experien-cia, en particular la que es explicada por la fsica newtoniana, resulta deuna copulacin de la experiencia puramente sensorial, por una parte, ylas formas de nuestra sensibilidad, por otra. Es por esto que no podemossaber cmo son las cosas en s mismas. Porque slo sabemos cmo sonlos objetos, pero stos se nos dan en la experiencia; es decir, en elmarco de las formas a priori de espacio y tiempo36.

Hay una objecin obvia que hacer a la esttica trascendental deKant, a esta rama terica de su metafsica: las experiencias de los fsi-cos y gemetras del final del siglo XIX y comienzos del XX llevaron aabandonar la nocin newtoniana y euclidiana de espacio37. Si sta fuera

35 Como deca Kant en la primera edicin de la Crtica de la razn pura: Si estarepresentacin del espacio fuera un concepto a posteriori, producto de la experienciageneral externa, no seran ms que percepciones los primeros principios de ladeterminacin matemtica. Tendran, pues, toda la accidentalidad de la percepcin,y no sera necesario que entre dos puntos slo hubiera una lnea recta, sino que serala experiencia la que en todo tiempo lo mostrara. Lo que se toma de la experiencia notiene ms que una universalidad comparativa, a saber: la que pueda dar la induccin.Podrase, pues, decir solamente que en todo tiempo que ha transcurrido, no se hahallado un Espacio que tenga ms de tres dimensiones. (o.c., pp. 176-177, nota ).36 Cf. ibid., Esttica trascendental, secciones primera y segunda, 2-8.37 Ntese que ahora me refiero a los aspectos de la geometra no euclidiana que notienen que ver con los espacios de ms de tres dimensiones. A estos espacios merefer en el primer acpite para mostrar que lo son slo en sentido metafrico. Peroahora hablamos del espacio en sentido estricto, concebido como no plano, porejemplo, como curvo.


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una forma a priori, no sera posible que la experiencia la alterara. Estaobjecin provoc que muchos kantianos corrigieran la filosofa de sumaestro, y afirmaran que las categoras y la experiencia se interrela-cionan en la historia y evolucionan juntas. As lo dijo, por ejemplo, Ma-nuel Granell entre nosotros, siguiendo a Scheler, en Del pensar venezo-lano38. Con ello, se acercan admirablemente en un punto crucial, y sinsaberlo, a la filosofa de Aristteles, donde la experiencia humana no espuramente sensorial ni pasiva, pero la accin de la mente no consisteen unas formas que se impongan a lo percibido, sino en lainmaterializacin de las formas que caen en nuestra experiencia. Vea-mos directamente al Estagirita y a su mayor discpulo cristiano, SantoToms de Aquino.

E. Parece que la matemtica procede de la experiencia, pero gracias a unacto de inmaterializacin

Los autores rusos tienen razn en que la matemtica se ha desa-rrollado por la experiencia. Incluso, en Egipto, segn Eudemo de Rodas39,gracias a las inundaciones del Nilo y a la necesidad de resolver las con-troversias acerca de la propiedad o posesin de la tierra. Pero los autoresinnatistas, en sus dos clases, tienen razn en que las demostracionesgenerales y necesarias o la perfeccin de las definiciones de la geome-tra no pueden venir de una experiencia puramente sensorial. Hace fal-ta una reflexin no servil, adems, para desarrollar esta ciencia pura.En el mismo Egipto fue la casta de los sacerdotes la que dio mayor impul-so a la matemtica, porque gozaba de ocio, segn los conocidos textos dellibro Alfa (I) de la Metafsica de Aristteles.

Es cierto que los platnicos pueden explicar el vnculo entre la ex-periencia y el aprendizaje, por medio de la anmnesis: los hombres re-cordaran las ideas, contempladas antes de la encarnacin del alma, gra-cias al parecido de las cosas sensibles con su modelo. Pero la crticaaristotlica a la teora de las ideas me parece definitiva40. Por su parte,

38 Granell, Manuel, Del pensar venezolano, Caracas: Fundacin Manuel Granell/UNESCO-IESAL/Ctedra UNESCO de Filosofa, 2000, pp. 24-25 y 270ss.39 Cf. Aleksandrov, Kolmogrov y Laurentev (eds.), o.c., p. 20.40 Por ejemplo: si la forma tringulo se encuentra en los equilteros, no est en los

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los kantianos se toparon con la gravsima dificultad de que las formassupuestamente a priori resultaron cambiadas por la experiencia.

En Aristteles encontramos una respuesta que explica todos losaspectos del problema. En el ltimo captulo del libro II de los Analticosposteriores sostiene que los axiomas proceden de la experiencia sensi-ble y la induccin41 (epagogu), aunque pertenecen al hbito del intelec-to42. En el libro III del De Anima introduce, sin embargo, la figura delintelecto agente, distinta al intelecto posible. Cul es la experienciaoriginante de esta figura en la obra de Aristteles? Slo Santo Tomstiene una respuesta a esta pregunta, y por esa razn slo l puede ayu-darnos a entender un tema sobre el que se ha gastado mucha tinta.Destruida la teora de las ideas, haba que dar cuenta del salto que se dadesde lo sensible hasta nuestras nociones intelectuales. No bastaba elintelecto como ojo del alma porque no hay en la naturaleza sometida anuestra experiencia unos objetos como los que puede concebir el intelec-to; es decir, inmateriales, universales, inmviles. El ojo del alma, portanto, en el mundo sensible estara como a oscuras, sin poder percibirnada. Se necesitaba un artesano de las ideas (o de los conceptos), queinmaterializara las formas existentes en lo sensible. Un principio agenteen nuestra alma que hiciera posible nuestra inteleccin. Pero es un prin-cipio que no crea las formas, sino que las inmaterializa, como se dijo.Por eso se le compara tambin con una luz, para indicar que slo haceinteligible en acto lo que lo es nicamente en potencia. As como la luzhace visibles los colores (o cualidades presentes en los cuerpos, por lasque reflejan stos determinadas longitudes de onda y no otras).

issceles; pero si est parcialmente en ambos grupos, ninguno de sus individuos esplenamente tringulo. Aristteles dira que Platn confundi nuestro modo de conocerlas cosas con las cosas conocidas, y por ello proyect sobre el mundo (de las ideas)unas entidades semejantes a nuestros conceptos.41 Aqu la induccin se entiende en sentido amplio, como origen de todos los axiomas,incluidos los de la matemtica. En sentido restringido, slo la fsica necesita uncontinuo recurso a la induccin, no la matemtica.42 No puedo reproducir aqu la polmica con autores como Le Blond, que ven unacontradiccin en el texto de los Analticos, por decir que los principios proceden dela experiencia y la induccin, por una parte; y de la intuicin, por otra. Le Blondrefleja la influencia de Descartes y Kant en su lectura de Aristteles. En el Estagiritano hay nada como una intuicin kantiana de las formas a priori. Aristteles se estrefiriendo, como muestra de modo muy claro Santo Toms en su comentario, primeroal origen de los axiomas (experiencia e induccin), y luego al hbito al que pertenecen(que no es el de ciencia, sino el de intelecto).


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Con ese principio agente y el ojo del alma, estamos preparadospara adquirir la experiencia intelectiva, en lo sensible. Porque nuestraexperiencia es la de un intelecto sensiente o la de unos sentidos inteli-gentes, penetrados por una potencia superior que pertenece a un soloser, la persona humana. Mas, al inicio de nuestra vida, slo los sentidosestn maduros para actuar o ser actuados, como se ha hecho evidentepor la experiencia de los nios lobo, el desgraciado francesito y lainfortunada norteamericanita que, rescatados muy tarde del descuidoen que fueron criados, nunca pudieron aprender a hablar. Por eso nece-sitamos, como tambin seala Aristteles en el libro III del De Anima, deun intelecto en acto, de un adulto que nos seale lo que debemos reco-nocer en la experiencia como perteneciente a una clase o tipo. Hacenfalta unas categoras, pero no a priori, para ordenar el caos de nuestrossentidos. Nos las dan nuestros padres o los adultos en general. Claro queesas categoras, en realidad, lo que hacen es sealarnos lo que tene-mos que descubrir por nosotros mismos. La funcin del maestro no esdar la vista, sino sealar en la direccin adecuada, como dijo Platn enRepblica VII. En este perodo de nuestra vida, captamos todas las nocio-nes y el contexto de inteligibilidad que necesitamos para la matemti-ca. Por eso puede parecer que ella es una ciencia que procede de nocio-nes o formas a priori, porque nuestra mente, matemtica cuando su nivelconsciente es an dbil, alcanza todo lo que necesita para encerrarseen s misma y hallarla.

Todava los platnicos podran hacer una pregunta ms: cmo re-conoce el hombre un hallazgo inteligible, incluso el ms elemental, comoque un objeto puede ser significado por una palabra? Si no sabe lo quebusca, cmo reconocerlo? Y si lo sabe, para qu lo busca? A esto res-ponderan Aristteles y su discpulo que en la naturaleza humana hayun amor innato a la verdad. Y que el amado est en el amante, de algunamanera. Que, por tanto, el reconocimiento no se debe a un conoci-miento a priori, sino a un amor innato o natural, a una semilla deverdad43.

Segn Aristteles, hay una diferencia crucial entre la matemti-ca y la fsica. sta procede por induccin y la otra por abstraccin. Por esola ciencia natural necesita volver continuamente a la experiencia; y la

43 Cf. Metafsica, Alfa (I); y comentario al De Trinitate de Boecio.

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matemtica, en cambio, es adecuada para los nios, que no tienen mu-cha experiencia. La fsica, para usar el ejemplo clsico del Estagirita,estudia la nariz cncava, con su materia sensible; en cambio, la mate-mtica estudia la concavidad misma, sin materia sensible44. Una formareal, la categora cantidad que abarca a la cantidad discreta (los n-meros) y a la continua (el espacio) y a todas las relaciones cuantitati-vas, es su objeto, como sostenan los rusos. Y se trata de una formaaccidental, pero que es el primero de los accidentes, que influye decisi-vamente en todos los dems y en la propia sustancia material. De all suaplicabilidad tan profunda a tantas materias.

El hecho de que sea una forma, pone la respuesta de Aristtelesmuy lejos de todos los mecanicismos (presocrticos, o postcartesianos),nominalismos, etc., y lo acerca a Platn. Tambin lo acerca a su maes-tro la consciencia de que la forma est en nuestra mente con una per-feccin que no tiene en el mundo sensible. ste no es lugar para respon-der de modo completo a quienes critican las formas, aunque s paraobservar que la crtica de Hume a la metafsica no toca a Aristteles,sino a los postcartesianos, precisamente por lo que stos tenan denominalistas45. En cambio, s es lugar para responder a algunas crticasfciles que se han pretendido hacer a la posicin aristotlica. La prime-ra, que es un realismo ingenuo, que cree que nuestra mente es unespejo del mundo. La segunda, de seguidores de Husserl, que obvia-mente los nmeros no proceden del accidente cantidad, sino de la nu-meracin de las sustancias, y pueden extenderse hasta las sustanciasinmateriales, como los ngeles.

Nada ms lejano del aristotelismo que el pensar que la mente seaun espejo del mundo. La crtica ms dura del Estagirita a la teora de lasideas de su maestro resida en que las ideas eran una proyeccin almundo de nuestras nociones mentales. Platn no distingui lo bastanteaquello que conocemos de aquello por lo que lo conocemos. Hay entes na-

44 Cf. Metafsica, psilon (VI), 1.45 Cmo podan, en efecto, proyectar sobre un mundo del que no tenan experienciaintelectiva sus nociones mentales? De ninguna manera: el puente estaba roto comoconsecuencia del nominalismo, primero; y del inmanentismo, despus, que no fuesino una agravacin de aqul. Hay que aadir que la unidad del hombre y de laaccin humana constituyen el punto de partida para abandonar, por absurdo, elnominalismo que pretende expulsar las formas de la realidad.


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turales y entes de razn. Transcribir ahora un pasaje completamentearistotlico de Santo Toms de Aquino, en el que se ve de modo muyclaro esta distincin: La especie recibida en el intelecto posible [el con-cepto] no se considera como lo que se entiende. Pues como acerca deestas cosas que se entienden sean todas las artes y las ciencias, seseguira que todas las ciencias versaran sobre las especies que existenen el intelecto posible, lo cual es obviamente falso, pues ninguna cien-cia versa acerca de ellas, sino la lgica y la metafsica. Sin embargo, atravs de ellas se conocen cualesquiera cosas hay en todas las ciencias.Se tiene, entonces, la especie inteligible en el intelecto posible cuandoentiende no como lo que se entiende, sino como aquello por lo que seentiende. Como tambin la especie del color en el ojo no es aquello quese ve, sino aquello por lo que vemos. Pero eso que entendemos es lamisma ratio (razn o forma) de las cosas que existen fuera del alma,como tambin las cosas que existen fuera del alma se ven con la visincorporal. Pues para esto fueron halladas (o inventadas) las artes y lasciencias, para que se conocieran en sus naturalezas las cosas existen-tes fuera del alma. Pero tampoco se sigue que, porque las ciencias ver-san acerca de lo universal, existan fuera del alma universales subsis-tentes por s, como afirm Platn. Pues aunque para la verdad delconocimiento es preciso que el conocimiento responda a la cosa, sinembargo no es necesario que sea el mismo el modo [de ser] del conoci-miento y el de la cosa. Pues las cosas que estn unidas en la realidad, aveces se conocen separadamente, pues la misma cosa es blanca y dulce,pero la vista conoce slo la blancura y el gusto slo la dulzura. As tam-bin el intelecto entiende la lnea que existe en la materia sensible sinmateria sensible, aunque tambin pueda entenderla con materia sen-sible. Pero esta diversidad ocurre segn la diversidad de especiesinteligibles recibidas en el intelecto, que alguna vez es semejanza de lacantidad solamente, alguna vez de la sustancia sensible y dotada de can-tidad. De modo semejante, aunque la naturaleza del gnero y la especienunca exista sino en los individuos, sin embargo, el intelecto entiendela naturaleza del gnero y la especie sin entender los principiosindividuantes. Y esto es entender los universales. Y as, estas dos cosasno se rechazan mutuamente, que los universales no existan fuera delalma y que el intelecto, entendiendo los universales, entienda las cosasque estn fuera del alma. Pero que el intelecto entienda la naturaleza

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del gnero o de la especie, despojada de principios individuantes, es po-sible por la condicin de la especie inteligible recibida en l, que es he-cha inmaterial por el intelecto agente, es decir, abstrada de la materiay de las condiciones de la materia, por las cuales algo se individa. Y porello no pueden las potencias sensitivas conocer los universales, porqueno pueden recibir la forma inmaterial, pues siempre reciben en un r-gano corporal.46

Para decirlo en trminos claros y aplicados a nuestro problema, lamatemtica estudia una forma real, pero los conceptos matemticos notienen por qu tener una imagen especular en el mundo. Cuando loscientficos reflexionan sobre sus conceptos para determinar su realidad,entonces necesitan de hbitos de pensamiento distintos a los que hanusado en su ciencia, porque ellos lo que han estudiado son las cosas, nolos conceptos. Slo la metafsica puede estudiar en qu sentido existenlos conceptos de las ciencias particulares, porque slo ella versa acercadel qu es, y corresponde a la misma ciencia estudiar el qu es y sies47. La fsica supone que existe su objeto, y lo toma por induccin. Lamatemtica tambin lo supone, pero lo toma o por abstraccin o por hi-ptesis48. Y la metafsica se da cuenta de que las ciencias conocen porproposiciones; que en la realidad no hay sujetos y predicados ni negacio-nes, etc., pero lo conocido no son esas proposiciones, sino las cosas a lasque se refieren. Por eso los matemticos suelen ser platnicos, como elcitado Penrose, porque saben que no estn inventando sus proposicio-nes o demostraciones, sino que slo estn formulando unas exigenciasde su objeto. Aunque si se pregunta a uno de modo repentino si existenlas igualdades de sus frmulas o los nmeros imaginarios probablemen-te no sepa qu responder o, si lo hace, lo hace con un hbito distinto alde la ciencia matemtica.

Veamos ahora la segunda objecin, de los husserlianos. Segnentiendo, ellos sostendran que el nmero sera una suerte de conjunto

46 Santo Toms de Aquino, Summa contra Gentes, libro II, captulo 75.47 As, por ejemplo, un aritmtico puede hacer demostraciones impresionantes entorno a los nmeros, pero no corresponde a su hbito de pensamiento responder ques el nmero. Y, sin esa respuesta, no se puede decir en qu sentido existe. Si elaritmtico respondiera, no lo hara en cuanto aritmtico, sino en cuanto hombre o encuanto metafsico.48 Aristteles, Metafsica, psilon (VI), 1.


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mental con el que abarcamos cosas que tienen un gnero comn. Sidecimos diez, debe tratarse de diez frutas o diez manzanas o diezcosas. Diez manzanas y peras seran diez frutas, claro. De aqu quie-ren concluir que no puede decirse que el nmero sea una forma acci-dental abstrada, porque se puede aplicar a las sustancias; incluso a losngeles, que son inmateriales. Y, hoy en da, adems, a las cualidades,como los diez grados centgrados o la longitud de onda de los colores. Enrealidad, cuando Scrates se extra tanto de que uno y otro sean dos yPlatn afirmo que la causa era la participacin en la dualidad49, los anti-guos llegaron a una solucin semejante a la de Husserl, acerca de lanaturaleza del nmero. Pero la forma estaba en el mundo, no slo ennuestra mente. Aristteles tuvo mucho que corregir a estos primerospasos antiguos. Finalmente, lleg a descubrir que lo que de real tena lamatemtica era esa forma abstrada (junto con la materia inteligible,de la que ahora no podemos hablar). Distingui, adems, entre la unidadcomo indivisin de la sustancia, que permite hablar de una pluralidadde sustancias, y la unidad como principio del nmero50. Es obvio que elpoder contar sustancias materiales no es lo que da origen a los nmeros(reales), que son un continuo: dividir a tres personas entre dos no esposible, pero dividir un continuo como la cantidad medida por los nme-ros, s51. Era la unidad como principio del nmero la que poda incluirseen el gnero de la cantidad. El hecho de que se pueda hablar de gradoscentgrados o de longitudes de onda no muestra sino que lo que puedemedirse es la cantidad o la base cuantitativa de las cualidades. Lo quese mide con la expresin grados centgrados es la altura de una colum-na de mercurio, tomando como base de medicin la centsima parte dela diferencia de esa altura cuando el mercurio se encuentra a la tempe-ratura de ebullicin del agua o a la temperatura de congelacin de lamisma agua. Y la longitud de onda de un color sera la del rayo de luz

49 Fedn 96-102.50 Cf. Metafsica, Zeta (IX).51 Una matemtica amiga, la profesora Mercedes Rosas (USB, Caracas), me hizo observarque el conjunto de los nmeros naturales no es un subconjunto de los nmerosreales, y que, por ello, es posible que los nmeros naturales s sean una suerte deconjunto mental de cosas del mismo gnero. Para los nmeros naturales, por tanto,el primer argumento dado en el texto no tendra fuerza, aunque s el segundo y eltercero.

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que es reflejado por la superficie de una sustancia opaca. En cuanto alcontar las sustancias, debe decirse que la pertenencia a un mismo g-nero, sin la cual no se puede contar, no se da en las sustanciasinmateriales (como los ngeles), de modo que esta objecin es vaca.

Los rusos, al hablar del origen de la aritmtica52, parecen avalar laopinin de los husserlianos, de que es aplicable a las sustancias primaria-mente. Pero luego citan la Aritmtica general de Newton y suscriben su opi-nin, apegada a Aristteles, para definir los nmeros reales: por nmeroentendemos no tanto una coleccin de unidades como una proporcin abs-tracta de una cierta cantidad a otra cantidad tomada como unidad53.

F. Puede decirse que el objeto de la matemtica sea un conjunto de hechos?

Gian-Carlo Rota, un matemtico que hizo reflexiones filosficasacerca de su disciplina, nos dijo, en un captulo titulado The PerniciousInfluence of Mathematics Upon Philosophy54, que la matemtica trataprimeramente con hechos (facts), como cualquier otra ciencia. Ponecomo ejemplos que las alturas de un tringulo se encuentran en unpunto, que hay diecisiete tipos de simetra en el plano, que hay cincoecuaciones diferenciales no lineales con singularidades fijas... Y afirmaque estos hechos, por abstrusos que puedan parecer, encuentran siem-pre aplicaciones prcticas. Pero secundariamente la matemtica trataacerca de pruebas. Todo hecho de la matemtica debe ser integrado enuna teora axiomtica y probado formalmente si tiene que ser aceptadocomo verdad. La exposicin axiomtica es indispensable en la matem-tica porque los hechos de la matemtica, a diferencia de los de la fsica,no son asequibles a la verificacin experimental. El mtodo axiomticode la matemtica es uno de los grandes logros de nuestra cultura. Sinembargo, es slo un mtodo. Mientras los hechos de la matemtica unavez descubiertos nunca cambiarn, el mtodo por el cual estos hechosson verificados ha cambiado muchas veces y sera una locura esperarque tales cambios no ocurran en el futuro55.

52 Aleksandrov, Kolmogorov y Lavrentev (eds.), o.c., p. 18.53 Ibid., p. 27ss.54 Rota, Gian-Carlo, Indiscrete Thoughts, Boston, Basel, Berln: Birkhuser, 1997, p.89ss.55 Ibid., pp. 89-90.


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Esta distincin es sumamente interesante. Pero creo que el len-guaje de Rota induce a confusiones. Obviamente, el objeto de la mate-mtica no es un conjunto de hechos, puesto que no son asequibles ala investigacin experimental, porque la matemtica no obtiene su ob-jeto por induccin, sino por abstraccin, como acabamos de ver. Por esolas demostraciones de la matemtica son mucho ms slidas que las dela fsica. Ser til ver, en este sentido, un texto del Trait de la Lumirede Huygens, citado por Crombie en su Historia de la ciencia. De San Agustna Galileo: Se ha de encontrar aqu un tipo de demostracin que no pro-duce una certeza tan grande como la de la geometra, y que es en verdadmuy distinta de la empleada por los gemetras, puesto que ellos demues-tran sus proposiciones por medio de principios ciertos e incontestables,mientras que aqu los principios son comprobados por las consecuenciasderivadas de ellos. La naturaleza del tema no permite ningn otro trata-miento. Sin embargo, es posible alcanzar de este modo un grado de pro-babilidad que con frecuencia es escasamente menos que la certeza com-pleta. Esto sucede cuando las consecuencias de nuestros principiossupuestos concuerdan perfectamente con los fenmenos observados, yespecialmente cuando esas confirmaciones son numerosas, pero sobretodo cuando podemos imaginar y prever nuevos fenmenos que se se-guirn de las hiptesis que empleamos y se ve luego que nuestras ex-pectativas se cumplen.56

Por la misma razn Penrose estara en desacuerdo con Rota, encuanto a la distincin entre el conocimiento de las verdades matemti-cas y su demostracin. Segn Penrose, la visin de una verdad matem-tica se transmite a otra mente no tanto por una explicacin detalladacomo por un sealar hacia el mundo platnico.

Pienso que la causa de la distincin de Rota reside en que debedistinguirse entre la via inventionis y la via demonstrationis, como en todaciencia. Mas la demostracin no es sino la recomposicin que sigue aun resolver las verdades descubiertas en los principios de los que depen-den57. Esa resolucin se puede hacer mejor o peor, desde un punto de

56 Crombie, Historia de la ciencia. De San Agustn a Galileo, Madrid: Alianza Editorial,1993, p. 288.57 En sentido semejante, cf. Mathematics, its Content, Methods and Meaning, o.c., p. 54.Tambin Hilbert se pronunci de modo semejante, en un curso dictado en 1905

Carlos Casanova

62 acerca de la axiomatizacin de la fsica: El edificio de la ciencia no se construyecomo una vivienda, en la cual hay que establecer primeramente unas fundacionesfirmes para poder despus proceder a levantar y a ensanchar las habitaciones. Laciencia prefiere hacerse lo antes posible de confortables espacios por donde pasearsecon holgura y es solamente despus, cuando los primeros signos aparecen por aqu ypor all, que las inestables fundaciones no son capaces de sostener la expansin delos dormitorios, que ella se dispone a apuntalarlos y reforzarlos. Esto no es un signode debilidad, sino ms bien la va correcta para su buen desarrollo. (citado porCorry, Leo, o.c., p. 41).

vista o desde otro, pero no es arbitraria y no est desligada de las verda-des que luego se demostrarn, aunque esas verdades no sean conocidaspor la demostracin.

carlos a. casanova - sobre la realidad de las matemáticas

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