cardinalidad

Cardinalidad

Inmaculada Perez de Guzman Molina

Universidad de Malaga

Dpto. de Matematica Aplicada

Curso 2014-2015

Dpto. Matematica Aplicada (UMA) Estr. Algebraicas para la Computacion Cardinalidad. 2 / 6

Sea un conjunto?

{ , , , , }N,Z,Q,R,CComo definir conjuntos?

Como construir nuevos conjuntos a partir de otros dados?

Dame uno o dos y tengo . . . mucho!!!

Y que hay de su tamano?


Conjuntos equipotentes

Definicion

Se dice que el conjunto es equipotente al conjunto si existe una aplicacion

biyectiva : ! . Se escribe .

Ejemplo

Los siguientes conjuntos = {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111} y= {0, 1, , 7} son equipotentes

Ejercicio

Dado un conjunto con 10 elementos, consideramos los conjuntos

A = { | tiene 7 elementos}B = { | tiene 3 elementos}

Demuestre que A B.



Ejercicio

Dado un conjunto con 10 elementos, consideramos los conjuntos

A = { | tiene 7 elementos}B = { | tiene 3 elementos}

Demuestre que A B.

Solucion:

La biyeccion buscada de A en B es:

: A ! B; ( ) = , para todo 2 A

donde denota el complementario de respecto de , es decir, Cual es el tamano de A y B?



Ejercicio

Dado un conjunto cualquiera, consideramos los conjuntos

P( ) cuyos elementos son los subconjuntos de .{ | : ! {0, 1} cuyos elementos son las aplicaciones de en {0, 1},denotado por {0, 1} o, mas habitualmente, por 2 .

Demuestre que P( ) 2


Solucion:

La biyeccion buscada de P( ) en 2 es:

: P( )! 2

definida por: para todo , ( ) = X , donde X es la funcion caractersticade , es decir, X : ! {0, 1} definida por: para todo 2 ,

X ( ) =(

1 si 20 si 62


Relacion de Equipotencia

Si es un conjunto cualquiera, es una relacion binaria en 2Que propiedades tiene?

Teorema

Sean , , 2 2 . Se verifica:1 2 Si , entonces 3 Si y , entonces .

Demuestra este resultado



Si es un conjunto cualquiera, es una relacion binaria en 2Que propiedades tiene?

Teorema

Sean , , 2 2 . Se verifica:1 2 Si , entonces 3 Si y , entonces .

Demostracion: Basta tener en cuenta las siguientes propiedades de las aplicaciones

biyectivas:

1 La identidad es una biyeccion.

2 La inversa de un aplicacion biyectiva es tambien un aplicacion biyectiva.

3 La composicion de biyecciones tambien es biyeccion.



Este teorema nos dice que la relacion es una relacion de equivalencia en 2 Si consideramos el conjunto cociente 2 / , en cada clase de equivalencia

[ ] estaran los conjuntos equipotentes a .

A cada clase de equivalencia se le asigna un objeto: el cardinal de cada

elemento en la clase.

De esta forma, si consideramos 2N,

a {1}, {2}, . . . que tienen un elemento se les asigna el cardinal 1;a {1, 2}, { , }, que tienen dos elementos se les asigna el cardinal 2; ...a {1, 2, ..., }, {4, 8, ..., 4 }, que tienen n elementos se les asigna elcardinal n; ...

y a N?, y a 2N?. . . ?, y a 2N N? que cardinal le asociamos?


Cardinalidad

Para conjuntos finitos,

ser equipotentes significa tener el mismo numero de elementos.

el cardinal coincide con la idea intuitiva de tamano del conjunto.

Sin embargo, no siempre ocurre esto.

Ejemplo

Existen conjuntos equipotentes que NO tienen el mismo tamano.

Sea = { 2 Z | es par }. La funcion : Z! definida como ( ) = 2 nospermite afirmar que Z tiene el mismo cardinal que .( A pesar de que tiene la mitad de los elementos de Z? !!!)

A pesar de que y Z no son iguales: 3 2 Z, pero 3 62


Ejercicio

Demuestra que Z N


Ejercicio

Demuestra que Z N: Z ! N definida por

( ) =

(2 si 0(2 + 1) si < 0


Conjuntos finitos y conjuntos infinitos

Definicion

Se dice que un conjunto es finito si para algun numero natural se puede

establecer una biyeccion entre el conjunto n = {1, 2, . . . , } y el conjunto . Esteentero se llama cardinal de . Se denota | | = .(n tambien se denota por N )(Para = ?, | | = 0)

Establecer una biyeccion entre {1, 2, . . . , } y un conjunto equivale acontar el numero de elementos de .

Las propiedades de los conjuntos finitos se han estudiado en Matematica Discreta.


Conjuntos infinitos

Definicion

Se dice que un conjunto es infinito si no es finito (es decir, si no existe un

numero natural 2 N tal que se puede establecer una biyeccion entre el conjunto{1, 2, ..., } y el conjunto ).


Conjuntos Infinitos

Teorema

N es un conjunto infinito.


Conjuntos Infinitos

Teorema

N es un conjunto infinito.

Demostracion: Veamos que no existe 2 N tal que se pueda establecer unabiyeccion entre {1, 2 . . . , } y N. Supongamos una aplicacion arbitraria: {1, 2 . . . , } ! N

Sea = 1 + max{ (1), . . . , ( )}; entonces, 2 N y, para cada2 {1, 2 . . . , }, se tiene que ( ) 6= .

As pues, no es sobreyectiva y, por lo tanto, no es biyectiva.


Conjuntos Infinitos

Teorema

Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1 es un conjunto infinito (es decir, si no existe un numero natural 2 N talque se puede establecer una biyeccion entre el conjunto {1, 2, ..., } y elconjunto ).

2 Existe una inyeccion de N en .3 Existe una inyeccion : ! tal que ( ) .


Conjuntos Infinitos

Teorema

Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1 es un conjunto infinito.

2 Existe una inyeccion de N en .3 Existe una inyeccion : ! tal que ( ) .

1) 2: Puesto que es infinito, no existe 2 N tal que n. As pues:como 6 0, 6= ? y existe 0 2 .Como 6 1, existe 1 2 { 0},

continuando este proceso para todo , obtenemos una sucesion de elementos

distintos en ,

0, 1, 2, . . . , , . . .

y se tiene que : N ! definida por ( ) = ) es inyectiva.


2) 3: Sea : N ! una inyeccion. Se tiene que1 = (N) = { 0, 1, . . . , , . . .} N.

Sea 2 = 1, es decir = 1[ 2 y { 0} = 1 { 0}

[ 2 { 0}.Consideremos : 1 ! 1 { 0} definida por ( ) = +1. Entonces,

[ 2 : 1 [ 2 ! 1 { 0} [ 2

es una biyeccion tal que

= 1 [ 2 1 { 0} [ 2 = { 0} { 0} .

La demostracion de 3) 1 es inmediata


Conjuntos infinitos

Corolario

Sea : ! una aplicacion inyectiva. Si es infinito entonces es infinito.Dados se cumple que si es infinito entonces es infinito.Equivalentemente, si es finito entonces es finito.

Puesto que N es infinito, se tiene que Z,Q,R y C son infinitos.Si es infinito entonces [ y 2 son infinitos.2N, 2Z, 2Q, 2R y 2C son infinitos.

Si 6= ?, entonces tambien es infinito.


Generando conjuntos infinitos

Ejemplo

Dado el alfabeto = { , } se tiene que es infinito. En efecto, sea : ! definida por ( ) = . Esta aplicacion es inyectiva y su imagen es un subconjunto propio de ,

pues () es el subconjunto de las cadenas que empiezan con la letra .

Luego, es infinito.


Cardinal de Conjuntos infinitos. El cardinal de N

La tecnica usada para establecer el cardinal de un conjunto infinito es

esencialmente la misma que se usa para conjuntos finitos:

Los conjuntos de la forma {1, 2, ..., } se usan como conjuntos estandares conlos que comparar otros conjuntos mediante una biyeccion.

Hemos demostrado que el conjunto N es infinito. Y ya que ningun numeronatural puede ser el cardinal de N, tomamos el propio N como conjuntoestandar y denotamos por @0 su cardinal.

Definicion

Se dice que un conjunto tiene cardinal @0, si existe una aplicacion biyectiva deN en . Se escribe | | = @0.


Conjuntos numerables

La existencia de una biyeccion de algun conjunto {1, 2, ..., } o de N en unconjunto sugiere la posibilidad de contar los elementos de , incluso aunque,

en el segundo caso, el proceso de recuento no termine.

Definicion

Un conjunto es infinito numerable si existe una biyeccion de N en .El conjunto se llama numerable si es finito o infinito numerable.

En otro caso, se dice que el conjunto es no numerable.

Si es un conjunto infinito numerable, | | = @0.


Ejemplo

El Hotel Infinito de Hilbert



El Hotel Infinito de Hilbert es una construccion abstracta inventada por el

matematico aleman David Hilbert.

Dos grandes hoteleros que queran construir el hotel mas grande del mundo se

reunieron a dialogar sobre el asunto y comenzaron por el primer y mas obvio tema

a discutir: cuantas habitaciones tendra?

- Que te parece si construimos un hotel con 1000 habitaciones?

- No, porque si alguien construyera uno de 2000 habitaciones, nuestro hotel ya no

sera el mas grande. Hagamoslo de 10 000.

- Pero podra ser que alguien construyera uno de 20 000 y volveramos a

quedarnos con un hotel pequeno. Construyamos un hotel con 1 000 000 de

habitaciones, ese sera un hotel grande.

- . . .

As, llegaron a la conclusion de que era necesario hacer un hotel con un nmuero de

habitaciones infinitas de manera que ningun otro hotel del mundo pudiera superar

su tamano.



Sin embargo en un hotel de infinitas habitaciones no todo es color de rosa. Tan

pronto se abrieron las puertas de este hotel la gente comenzo a abarrotarlo y

pronto se encontraron con que el hotel de habitaciones infinitas se encontraba

lleno de infinitos huespedes. En este momento se tomo como medida que los

huespedes siempre tendran habitacion asegurada pero con el acuerdo previo de

que tendran que cambiar de habitacion cada vez que se les pidiera.

Fue entonces cuando llego un hombre al hotel pero este se encontraba lleno, por

supuesto esto no preocupo al cliente pues en el Hotel Infinito se aseguraba que

todos tendran habitacion. El hombre pidio su habitacion y el recepcionista,

consciente de que no habra ningun problema, tomo un microfono por el que aviso

a todos los huespedes que por favor revisaran el numero de su habitacion, le

sumaran uno y se cambiaran a ese numero de habitacion, de esta manera el nuevo

huesped pudo dormir tranquilamente en la habitacion numero 1. Pero, que paso

entonces con el huesped que se encontraba en la ultima habitacion? Sencillamente

no hay ultima habitacion.



Estando el hotel lleno de infinitos huespedes, llego un representante de una

agencia de viajes, su problema era que tena una excursion de infinitos turistas que

necesitaran hospedarse esa noche en el hotel. Se trataba por lo tanto de hacer

sitio a infinitos huespedes en un hotel con infinitas habitaciones, todas ellas

ocupadas en aquellos momentos. Pero el recepcionista no tuvo ningun problema

en aceptar a los nuevos turistas. Cogio el microfono y pidio a todos los huespedes

que se mudaran a la habitacion correspondiente al resultado de multiplicar por 2 el

numero de su habitacion actual. De esa forma todos los huespedes se mudaron a

una habitacion par, y todas las habitaciones impares quedaron libres. Como hay

infinitos numeros impares, los infinitos turistas pudieron alojarse sin mas problema.


El Hotel Infinito de HilbertEstando el hotel lleno, llego otro representante de la agencia de viajes aun mas

preocupado y aviso que la agencia tena un infinito numero de excursiones con un

infinito numero de turistas cada una.

Que enorme problema se presenta ahora!, como podran hospedar a un

numero infinito de infinitos turistas?

El recepcionista no se inmuto. Tomo el microfono y se comunico solamente con

las habitaciones cuyo numero fuera primo ( 6= 1) o alguna potencia de estos( ), les pidio que elevaran 2 al numero de la habitacion en la que se encontraban

(2 ) y se cambiaran a esa habitacion.

Entonces asigno a cada excursion un numero primo ( 6= 1), a cada uno de losturistas de cada excursion un numero impar ( ), de manera que la habitacion de

cada uno de los turistas, se calculaba tomando el numero primo de su excursion

( ) y elevarlo al numero que les toco dentro de su excursion ( ) lo que da .

Puesto que existe un numero infinito de numeros primos y un numero infinito de

numeros impares, facilmente se logro hospedar a un numero infinito de infinitos

huespedes dentro de un hotel que solo tiene un numero infinito de habitaciones.Dpto. Matematica Aplicada (UMA) Estr. Algebraicas para la Computacion Cardinalidad. 29 / 6

Ejemplo


Tenga en cuenta que cada mudanza que realicemos requerira un 20% menos que

la anterior debido a la experiencia adquirida, por lo que si la primera mudanza

llevara 1 minuto, mudar a los infinitos huespedes demorara solo 5 munitos

1 + 0, 8 + 0, 82 + 0, 83 + . . . =1X=0

0, 8 =1

1 + 0, 8= 5


Generando conjuntos numerables

Teorema

Si 1 y 2 son conjuntos numerables entonces 1 [ 2 es un conjuntonumerable.

La union de una coleccion numerable de conjuntos numerables es numerable.

Demostradlo

Si es finito, = { | : ! } es numerable.

Ejemplo

Los siguientes conjuntos son infinito numerables:

1 N , Z y Q para cualquier valor de .2 El conjunto de todas las matrices con componentes racionales.3 El conjunto de todas las matrices de dimension finita arbitraria con

componentes racionales.


Generando conjuntos numerablesTeorema

El producto cartesiano de dos conjuntos infinitos numerables es infinito numerable

El orden de la enumeracion se especifica en el grafo dirigido

1 2 3 4 5

1 ( 1, 1) ( 1, 2) ! ( 1, 3) ( 1, 4) ! ( 1, 5)# % . % .

2 ( 2, 1) ( 2, 2) ( 2, 3) ( 2, 4) . % . %

3 ( 3, 1) ( 3, 2) ( 3, 3) ( 3, 4)# % . %

4 ( 4, 1) ( 4, 2) ( 4, 3). %

5 ( 5, 1) ( 5, 21)# %

6 ( 6, 1)

Corolario

El conjunto de los numeros racionales positivos Q+ es infinito numerable.


Conjuntos numerablesEjemplo

Dado cualquier alfabeto finito , el conjunto es infinito numerable.Esto se puede demostrar mostrando una enumeracion de los elementos de enun orden standard.

En particular, si = {0, 1} y 0 precede a 1 en el orden alfabetico de , entoncesla enumeracion de en el orden standard es

h, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, . . . i

Ejercicios

Sea 2 Z, 6= 0. Demuestre que el conjunto Z+ es numerable.Determine el cardinal del conjunto = {1, 12 , 13 , . . . } = {1 | 2 Z+}.Halle el cardinal de los conjuntos siguientes:

= {10, 20, 30, 40, . . . }, = {6, 7, 8, 9, . . . }, =

=2

+ 6| 2 N


Conjuntos numerablesEjercicios

Sea 2 Z, 6= 0. Demuestre que el conjunto Z+ es numerable.Determine el cardinal del conjunto = {1, 12 , 13 , . . . } = {1 | 2 Z+}.Halle el cardinal de los conjuntos siguientes:

= {10, 20, 30, 40, . . . }, = {6, 7, 8, 9, . . . }, =

=2+ 6

| 2 N

Ejercicios

Biyeccion: : N ! Z+; ( ) = .|{1 | 2 Z+}| = @0. Biyeccion: ( ) = 1 .|{10, 20, 30, 40, . . . }| = @0. Biyeccion: ( ) = 10|{6, 7, 8, 9, . . . }| = @0. Biyeccion: ( ) = 5 +|n

= 2+6 | 2 No| = @0. Biyeccion: ( ) = 2+6


Ejemplos de conjuntos no numerablesDiagonalizacion de Cantor

Teorema (Cantor)

El subconjunto de numeros reales [0, 1] no es numerable.

Demostracion:

Para demostrar que [0, 1] no es numerable, basta mostrar que ninguna

funcion : N! [0, 1] es sobreyectiva. Sea : N! [0, 1] una funcion cualquiera. Se colocan los elementos

(1), (2), . . . , en una lista usando la representacion decimal para cada ( ):

(1) = 0, 11 12 13 . . .

(2) = 0, 21 22 23 . . .

(3) = 0, 31 32 33 . . ....

donde es el -esimo dgito en la expansion decimal de ( ).


Ejemplos de conjuntos no numerablesTeorema

El conjunto 2N es no numerable.

Demostracion: Sabemos que 2N es infinito, ya que la aplicacion : N ! 2Ndefinida por ( ) = { } es inyectiva.Supongamos que |N| = |2N|, es decir, que existe una aplicacion : N ! 2Nbiyectiva.

Sea = { 2 N | 62 ( )} 2 2N.Puesto que es sobreyectiva, existe 0 2 N tal que ( 0) = . Ahora tenemos dosopciones:

0 2 , en cuyo caso, por definicion de , 0 62 ( 0) = , lo cual esimposible.

0 62 , en cuyo caso, de nuevo por definicion de , 0 2 ( 0) = , lo cuales imposible.

As pues, no existe tal funcion .Dpto. Matematica Aplicada (UMA) Estr. Algebraicas para la Computacion Cardinalidad. 36 / 6

Conjuntos infinitos no numerales

Hemos visto que los conjuntos [0, 1] y 2N son ejemplos de conjuntos infinitos pero

no numerables.

Elegimos [0, 1] como el conjunto estandar para su cardinalidad y damos la

siguiente definicion:

Definicion

Un conjunto tiene cardinal @1 si hay una biyeccion de [0, 1] en .

Al cardinal de [0, 1] tambien se le denota .


Ejemplos de conjuntos no numerablesConjuntos de cardinal @1

Ejemplos

1 Demuestre que un intervalo cerrado [ , ], con < , tiene el mismo cardinal

que [0, 1]



Ejemplos

1 Un intervalo cerrado [ , ], con < , tiene el mismo cardinal que [0, 1], ya

que : [0, 1]! [ , ] definida como ( ) = ( ) + es biyectiva.



Ejemplo

El conjunto R de los numeros reales tiene cardinal @1.

La funcion : (0, 1)! R definida como ( ) = (12 )(1 ) es una biyeccion.

0 12 1


Comparacion de numeros cardinales

Definicion

Sean y conjuntos cualesquiera. Se dice que:

| | | | si existe una funcion inyectiva de en .| | | | si existe una funcion inyectiva : ! , pero no existe ningunafuncion biyectiva de en .

Es decir, | | | | si, y solo si, | | | | y | | 6= | |

Ejemplo

Podemos demostrar mas facilmente que [0, 1] y (0, 1) tienen el mismo cardinal

dando una funcion inyectiva de uno en otro, como sigue:

: (0, 1)! [0, 1] definida como ( ) =: [0, 1]! (0, 1) definida como ( ) = 2 + 14

Analogamente, podemos demostrar que |2N| = |F(N,N)| = @1Dpto. Matematica Aplicada (UMA) Estr. Algebraicas para la Computacion Cardinalidad. 41 / 6


Teorema

Sea un conjunto finito. Entonces | | @0 @1

Teorema

Sea un conjunto infinito. Entonces @0 | |

Teorema (Cantor)

Sea un conjunto cualquiera. Entonces | | |P( )|.

A partir de este teorema podemos afirmar la existencia de una jerarqua de

cardinales infinitos.



Podemos construir un conjunto infinito numerable de numeros cardinales,

siendo cada uno de ellos inferior al siguiente:

| | |P( )| |PP( )| . . .Como consecuencia de esta jerarqua no existe un cardinal infinito maximo.

No obstante, existe un cardinal infinito mnimo, @0, el cardinal de N.La suposicion de que no existe ningun conjunto cuyo cardinal sea intermedio entre

| | y P( )| es conocida como se conoce como la hipotesis del continuo. Loscardinales por encima de @0 se denominan cardinales transfinitos y suponer queentre dos cardinales transfinitos consecutivos no existen otros es conocido como la

hipotesis generalizada del continuo.


Cardinalidad

Ejercicio:

Considere los siguientes subconjuntos de R

= { 2 R | 1 2} = { = 2+ 6

| 2 N}

y determine los cardinales de los siguientes conjuntos:

1

2 \3


Cardinalidad

Ejercicio:

Determine si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos (demostrando los

verdaderos y dando un contraejemplo en los falsos)

1 Si y son conjuntos no numerables, entonces \ es no numerable.2 Si y son conjuntos no numerables, entonces es no numerable.3 Si es no numerable y es numerable, entonces \ es no numerable.4 Si es no numerable y es numerable, entonces es no numerable.


Cardinalidad

Ejercicio:

Dados los conjuntos

= {10, 20, 30, 40, . . .}, = 6, 7, 8, 9, . . .,Z, y R

Determina los cardinales de los conjuntos

1 ,2 Z 3 Z R,4 [ R


Cardinalidad

Ejercicio:

Encuentra, si es posible, un conjunto tal que

1 |2 | = 102 |2 | = @0


Cardinalidad

Ejercicios:

1 Demuestra que el conjunto de todos los programas de ordenador que se

pueden escribir en un lenguaje de programacion es numerable. (Indicacion:

Un programa escrito en un lenguaje de programacion se puede considerar

como una cadena de smbolos de un alfabeto finito).

2 Sea F = { | : N ! {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} }. Prueba que F es nonumerable.

3 Demuestra que dado cualquier lenguaje de programacion, existen funciones

de los enteros que no se pueden calcular con ningun programa escrito en ese

lenguaje.


Ejemplo

Nos centramos unicamente en las funciones que dado un entero deben responder

s o no (por ejemplo, es n primo?). Tenemos que:

1 hay una cantidad no numerable de funciones : N ! {0, 1}, ya que|{ : N ! {0, 1}}| = @0.

2 Todos los programas que se pueden escribir en el lenguaje de programacion

dado son secuencias finitas de smbolos. Por lo tanto hay solo una cantidad

numerable de programas posibles.

Mucho mas difcil sera mostrar una funcion que no se pueda calcular, pero es

interesante saber que la inmensa mayora no se puede calcular.


cardinalidad

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