Caracterización de una planta

Carlos Andrés Díaz Sanabria Diego Mauricio Parra Laguna

20052005034 20052005060

calietzche@gmail.com yeyomaster@hotmail.com

Resumen – En este trabajo se muestra la manera

como se caracterizó una planta conformada por un

motor CD al cual se le desea controlar la velocidad; al

mismo tiempo se están caracterizando el actuador y el

sensor de velocidad con lo cual se tiene una planta

ampliada.

Abstract – This paper shows the way to characterize a

plant shaped by direct current motor that we want to

control the speed; at the same time we characterized

the actuator and the speed sensor thus has an

expanded plant.

Index terms-- plant, DC motor, speed control, first

order system

I. INTRODUCCIÓN

El principal objetivo de un sistema de control es

obtener una respuesta deseada. Esto se logra

mediante el concepto de lazo realimentado, que es

aplicable a casi cualquier ciencia existente. En este

caso, se utilizará un sistema de control para que la

planta conformada por un motor entregue en su

salida una señal igual a la entrada, o lo que es lo

mismo, hacer que la planta en estado estable

presente un error cero.

Para realizar el proyecto completo, es necesario

realizar en primera instancia la caracterización de la

planta extendida. En este informe, se explicarán los

pasos que se realizaron para la obtención de la

función de transferencia, pasando por la

implementación de los dispositivos necesarios para

que funcione correctamente la planta (tal como el

driver).

II. PROCEDIMIENTO

El objetivo principal del proyecto es controlar la

velocidad de giro (velocidad angular) de un motor

CD usando retroalimentación, para esto se hace

necesario caracterizar la planta ampliada, que está

conformada por un motor CD, un actuador para este

motor y el sensor de velocidad.

Como actuador se tiene un amplificador

operacional configurado como seguidor con un par

de transistores complementarios que amplifican en

corriente la señal de salida del seguidor. Por último

como sensor de velocidad se usa unido al eje del

motor un imán que gira al interior de una bobina,

véase la Fig. 1.

Fig. 1. Sensor de velocidad

Dado que la tensión inducida es alterna con

amplitud alrededor de se hace obligatorio

una etapa de amplificación para luego rectificar y

filtrar para así obtener un nivel DC directamente

proporcional a la velocidad angular ya que la

amplitud y frecuencia de dependen de esta

variable.

Para caracterizar la planta se analiza la respuesta de

esta ante una entrada paso, en la práctica, se hacen

varias pruebas con señales de diferente amplitud

para también tratar de determinar la forma en que

cambian los parámetros de la función de

transferencia, en el caso ideal no se debe producir

variación alguna.

Fig. 2. Entrada paso de 10V y respuesta del motor al

paso.

Como se aprecia en la Fig. 2, la respuesta de la

planta ampliada ante una entrada paso es de primer

orden, ya que no se aprecian oscilaciones ni

sobreimpulsos sino de la forma

Los datos medidos se presentan a continuación en

la Tabla 1.

Tabla 1. Mediciones de la respuesta ante entrada paso

(V) (V)

(V/V)

(V)

(ms)

10 9,4 0,940 5,94 22

12 10,6 0,883 6,69 29

14 11,8 0,843 7,45 19

Ya que los parámetros que se obtuvieron (K y τ) no

apuntan a un mismo valor, se decide usar el

promedio de ellos en la función de transferencia de

lazo abierto de la planta ampliada, con lo cual se

tiene que:

Por tanto se tiene que la función que define a la

planta ampliada es:

III. METODOLOGÍA USADA PARA DISEÑO DEL

CONTROLADOR PI PARALELO

Se parte del esquema general del sistema en lazo

cerrado (planta extendida junto con el controlador),

el cual se presenta en la Fig. 3.

Fig. 3. Diagrama de bloques general del sistema en

lazo cerrado.

El controlador PI paralelo tiene la siguiente

función de transferencia

Entonces., teniendo la función de transferencia de la

planta ampliada obtenida en la caracterización

(véase la Fig. 4).

Fig. 4. Función de transferencia en lazo abierto de la

planta extendida (actuador, motor y sensor)

Fig. 5. Diagrama de bloques de la planta ampliada

junto con la descripción del controlador PI paralelo.

Conocida la función de transferencia de la planta

además de la función que representa al

controlador PI , se procede a encontrar la

funcion de transferencia de lazo cerrado

(véase la Fig. 5), a partir de:

Quedando así:

Conocida la función de transferencia general, se

definen los criterios con los cuales se diseña el

controlador PI paralelo

El tiempo de asentamiento al 2% escogido es de

100 ms, el cual se estableció así ya que en lazo

abierto la planta ampliada presentaba un tiempo de

establecimiento igual a 116.35 ms (equivalente a

), este se deseó reducir a , es decir

aproximadamente un 15%.

Al hallar la función de transferencia en lazo cerrado

se obtiene:

Fig. 6. Función de transferencia en lazo cerrado

resultante del uso del método de síntesis directa.

La presencia de un cero se puede obviar ya que al

analizar la función de transferencia mediante los

pasos del lugar geométrico de raíces, este cero no

representa una significativa influencia en el

comportamiento del sistema.

La función de transferencia simplificada en lazo

cerrado que se usa durante el proceso de diseño es:

Teniendo en cuenta los parámetros de diseño, se

tiene que:

Despejando y usando este valor para despejar

se llega a

Comparando con la función de transferencia

genérica en lazo cerrado de un sistema de segundo

orden, cuyos parámetros tienen como valor lo

calculado para y , se tiene:

En donde, si se despeja , éste toma el valor de

Además

De lo que se obtiene

La sintonía óptima del controlador se realizó

haciendo uso de la herramienta de simulación

SIMULINK variando los parámetros Kc y Ti hasta

obtener el mínimo ITAE posible sin saturar el

controlador, la función de transferencia en lazo

cerrado que se obtuvo es:

En el Anexo A, se presentan la respuesta del

sistema sin sintonizar y la respuesta del sistema

sintonizado para hacer una comparación gráfica.

Teniendo en cuenta la estructura del controlador

mostrado en la Fig. 5, se propone como controlador

PI el circuito de la Fig. 7 implementado con

amplificadores operacionales.

Fig. 7. Circuito controlador PI de la planta.

Para más detalles del circuito ver el Anexo B.

Las pruebas que se le realizaron al sistema se

presentan a continuación, con un SP de .

Fig. 8. SP (azul) y PV (rojo).

Fig. 9. PV (azul) y error (rojo).

Se puede apreciar el funcionamiento del

controlador en la Fig. 8 en donde el PV (salida

del sensor) iguala al SetPoint, como resultado

de ello, el error se hace nulo

(aproximadamente), esto se ve en la Fig. 9

donde el error es la curva roja.

Fig. 10. Error (azul) y salida del controlador (rojo).

Fig. 11. PV (rojo) y tensión en el motor (rojo).

A continuación se muestra el comportamiento del

sistema ante perturbaciones, estas se realizaron

frenando el eje del motor manualmente; mientras se

presenta la perturbación (reducción de velocidad

angular), la saluda del controlador aumenta lo que

hace a su vez que la velocidad del motor aumente

contrarrestando el efecto de la perturbación, una de

las imágenes en donde se puede apreciar este efecto

es la Fig. 12.

Otro resultado interesante de analizar es la forma en

que el error varía (Fig. 13, curva roja) ante cambios

del ProcessVariable (PV, Fig. 13 curva azul)

mientras el SetPoint se mantiene constante.

También se probó la respuesta del sistema ante una

entrada paso, el problema que se presenta aquí es

que el tiempo de asentamiento no es el que se

propuso como parámetro de diseño, en la Fig. 14 se

ve que este tiempo está alrededor del segundo.

Fig. 12. Error (azul) y salida del controlador (rojo)

Fig. 13. PV (azul) y error (rojo)

Fig. 14. Respuesta ante entrada paso (azul) del PV

(rojo).

IV. CONCLUSIONES

Se puede considerar a esta planta en particular

como un sistema no lineal, esto se demuestra

analizando los valores de la Tabla 1, ya que para

cada señal de amplitud distinta, se obtuvieron

diferentes parámetros, lo que se traduce en diversas

funciones de transferencia. Sin embargo se

establece una función de transferencia que trate de

comportarse como la planta sin dejar de ser lineal.

Dado el modo de funcionamiento del sensor, las

mediciones que se toman se ven afectadas en gran

medida por el ruido, ya que el voltaje inducido en

los terminales de la bobina es alrededor de 50mV,

sin embargo, se puede ver que las diferentes señales

tienen un comportamiento promedio similar al que

se esperaba, como es el caso del error, que sin ser

cero en cada instante de tiempo tiene tendencia a

mantenerse oscilando alrededor de este.

A pesar de no responder en el tiempo establecido, el

sistema se comporta como se esperaba,

manteniendo la velocidad angular (fijada con el

SetPoint) del motor a pesar de estar siendo afectado

por perturbaciones externas (frenado del eje).

BIBLIOGRAFIA

CONTROL AUTOMATICO DE PROCESOS,

Carlos Smith, Raul Corripio

APUNTES DE CLASES CONTROL I, Victor

Hugo Grisales

SISTEMAS DE CONTROL AUTOMÁTICO

Benjamin C. Kuo

Anexo A

Respuestas ante entrada paso del sistema (azul) y del sistema sintonizado (verde)

Anexo B

Circuito controlador PI paralelo de la planta (los Op. Amp. están polarizados con )