capÍtulo vii cables 7.1 cables con cargas...

Resistencia de Materiales. Capítulo VII. Cables.

Universidad de Santiago de Chile. Fac. de Ingeniería. Departamento de Ing. Metalúrgica. 7-1

CAPÍTULO VII

CABLES

7.1 Cables con cargas concentradas

Sea un cable flexible y de peso despreciable.

Cualquier tramo del cable entre dos puntos de aplicación de fuerzas concentradas

puede considerarse como un elemento sometido a dos fuerzas y las fuerzas

interiores en cualquier punto del mismo se reducen a una fuerza de tracción

dirigida según el cable.

L

y2

P2

P1

A B

x2

x1

Ay

Ax

D

P2P1

Bx

By

x1

x2

Figura 7.1. Cable con cargas concentradas.



Para resolver las reacciones, se deben despejar cuatro incógnitas y sólo se dispone

de tres ecuaciones. Conociendo las coordenadas de un punto de la cuerda se aplica:

0DM lo que aporta una ecuación extra

Por lo tanto se divide la cuerda en dos partes, cortando en el punto D

x1

xD

TD

yD

P1

Ax

Ay

Figura 7.2. Cable con cargas puntuales.

00 11 DyDxDD xAyAxxPM

Esto agrega una ecuación a las tres ecuaciones de la estática.

La componente horizontal de la tensión es siempre la misma, debido a que no

existen fuerzas en esta dirección que puedan modificar dicha pendiente.

La tensión máxima se obtendrá cuando la componente vertical sea máxima y esto

se tiene cuando es máximo, es decir en uno de los soportes o en ambos.

Problema 7.1: Calcular las reacciones en A y E, la tensión máxima y pendiente

máxima. Determinar la altura de los puntos B y D. Unidades en metros.



2 2 2

400N

600N

400N

A

2

B

C

2.25

D

E

2

Figu

ra 7.3(a). Problema 7.1.

Ay

Ax

400N 600N

400N

Ey

Ex

0.25

600 N400 N

yA

xA

T

º5.341600

11001

tg

0286400460024000 xyE AAM (1)

04006004000 yyy EAF

xxxxx EAEAF 00

025.0424000 xyc AAM

4

25.0800800425.0 x

yyx

AAAA

(*)

56004

25.0800821*

x

x

AAen

Figura 7.3(b). Problema 7.1.

Corte en C



NENA

NENA

yy

xx

1100300

16001600

Tensión máxima: Se produce en E

NRE 6,194111001600 22

7.2 Cables con cargas distribuidas

Las fuerzas que actúan sobre el cable son muchas, quedando tan juntas que la

forma que adquiere el cable es prácticamente una curva.

Al cortar el cable, aparece una tensión interna que va dirigida según la dirección

del tramo recto. La dirección de la tensión corresponde a la tangente en ese punto.

Para analizar este tipo de cargas, se debe cortar el cable en el punto más bajo,

donde la tensión total tiene el valor de la componente horizontal. Se toma un tramo

hasta un punto D cualquiera donde se tendrá una tensión T dirigida según la

tangente.

T0

W

T

WT

T0

WT

T0

Figura 7.4. Cable con cargas distribuidas.

Se reemplaza el conjunto de fuerzas, por una resultante W, con lo cual, para que

exista equilibrio, se debe obtener un triángulo de fuerzas.

0

22

0

0cos

TwtgwTT

wsenTTT



7.2.1 Cable parabólico

Corresponde al caso de carga uniformemente repartida a lo largo de la horizontal.

Se produce generalmente cuando se sustenta un cuerpo rígido a lo largo de todo el

cable, repartiendo su peso en varios puntos del mismo. Se define como el peso

por unidad de longitud, a través de =W/x.

B

C

yxD ,

y

x

w

w

A

x

Figura 7.5. Cable parabólico.

Se toma un tramo del cable desde el punto más bajo (C) hasta un punto cualquiera

D.

y

x

0T

y

D

C

T

2

x2

x

W = x

T0

W = x

Figura 7.6.Detalle de cable parabólico.

Tomando:

0DM 0

2

02

02 T

xyyT

xx

que corresponde a la

ecuación de una parábola

oT

xtg

xTT

222

0

W = carga distribuida



Para el cálculo del largo de la cuerda desde el punto más bajo C y uno de los

soportes B, se emplea.

dxdx

dyS

Bx

oB

2

1

A

B

Bx

yB

Ay

Ax

Figura 7.7.Cálculo de la longitud de cuerda.

Problema 7.2:

Una tubería de vapor que pesa 70 Kg/m pasa de un edificio a otro separados 20 m,

estando soportada por el sistema de cables indicado. Suponiendo que el peso del

sistema de cables es equivalente a una carga uniformemente repartida de 5 Kg/m,

calcular la situación del punto más bajo C del cable y la tensión máxima del

mismo.

20 m

2.5 m

2.0 m

A

B

C

Figura 7.8(a). Problema 7.2.

mkgmkg

mkg

cable

tubería/75

/5

/70



y

1W

x

0T

By

BT

Si se toma un tramo CB

MB = 0

0

2

2T

xyB

By

xT

2

2

0

Tomando el otro tramo AB

TA

W2

yA

T0

TA

W2

A

T0

y

Figura 7.8(c). Problema 7.2.

0AM




A

Ay

xT

T

xy

2

20

2

202

0

0

2

Dado que T0 es común a ambos cortes:

AB y

x

y

x

2

20

2

22

A

B

A

B

A

B

AB

AB

yy

yy

x

yy

xxy

x

y

x

y

x

y

x

1

20

2020

2022

0.2

5,4

B

A

y

y x = 8 m

kgW

kgWT

WTTWTT BA

9001275

600875120022

875

2

1

2

0

2

1

2

0

2

2

2

0

máximatensiónNT

kgT

A

A

715.14

15009001200 22

Problema 7.3:

Un conductor eléctrico que tiene una masa por unidad de longitud de 0.3 Kg/m

está tendido entre dos aisladores a la misma altura y separados 30m. Si la tensión

máxima en el cable es de 400N, calcular el menor valor de la flecha que se puede

utilizar, suponiendo el cable de forma parabólica.



30 m

y

x NTTT

mkg

BAmáx 400

/3.0

A

C

B


y

x

0T

B

C

y

w

0T

BT

TB=400 N

W


NkgxW 1.445.4153.0

mT

xy

senarcT

Wsenarc

NT

WTTWTT

mín

BB

832.06,3972

1581,93.0

2

º34,6400

1.44

6.397

1,44400

2

0

2

0

0

2222

0

22

0

2



7.2.2 Catenaria

Corresponde a una carga uniformemente distribuida, a lo largo del mismo cable.

Un ejemplo es cuando un cable cuelga por su propio peso. El peso por unidad de

largo se define a través de:

sW

s es el largo del tramo del cable, tomado desde el punto más bajo C hasta un punto

cualquiera D, siguiendo la curva del cable. Así.

222

0 sTT

En este caso, el sistema de referencia no debe ubicarse en el punto mínimo C ya

que esto indetermina las ecuaciones, debiendo ubicarlo entonces a una distancia c

por debajo del mínimo c, además:

0T

c

Al no conocerse s ni la distancia desde D hasta la línea de acción de carga, no se puede

determinar la ecuación.

El problema se resuelve tomando un trazo recto de longitud ds

T

Tsendsdy

dsdx

0cos

cos

dssc

cdx

T

Tdsdx

22

0

s

C

C

y

B

A

x

22

0

s

cT

cT



y

ds

0T

D

C

Sdx

T

dy

sW x

Figura 7.10. Catenaria.

Al integrar queda:

c

xhsencsó

c

shsencx 1

Pero dxc

sdx

T

Wdytgdxdy

0

dxc

xhsen

c

cdy

c

xhcy cos

Además: y2 – s2 = c2

con cT 0

yT

sW

Nota: Si el cable está suficientemente tenso, se puede asumir como cable

parabólico.



Problema 7.4: Calcular:

a) La longitud del cable desde A a B

b) El peso por unidad de longitud del cable. Despreciar el trozo AD.

9 m

A

D

200 kg

C

B

3 m


Solución:

Hay que determinar el parámetro c de la catenaria.

c

xhcyB cos (1)

c

A B

By

Bx

AT y

x

3 m




Las coordenadas de B son:

xB = 4.5m

yB = y + c = 3 + c (2)

Igualando (1) y (2)

chcc

5.4cos3

Reordenando queda: c

hc

5.4cos1

3

Esta ecuación se resuelve iterando, esto es, dando valores a c y a cada término de la

ecuación como se muestra en la tabla adjunta.

c (3/c) + 1 cosh (4.5/c)

1 4 45.01

10 1.30 1.10

5 1.60 1.43

3 2.00 2.35

4 1.75 1.70

3.5 1.86 1.95

3.75 1.80 1.81

3.8 1.79 1.79

c = 3.8

2

2

22222 8.38.3

5.4cosh8.3

cyscsy CB

mssms CBCB 26,11263.5

BAAA yyconyT

Además TA = 200 kg.

m

kg

yT

A

A 45,2979,6

200

TA

A

CT0



mkg

y

T

cy

hy

B

A

B

B4,29

8.6

200

8.68.333

8.679.68.3

5.4cos8,2

Problema 7.5:

El cable AB de 4 m y 10 Kg de peso, está sujeto a dos deslizaderas en A y B, que

pueden moverse libremente sobre las varillas. Despreciando el peso de las

deslizaderas, calcular:

a) El valor de la fuerza horizontal F que haga h = a

b) Los valores de h y a

c) La tensión máxima del cable

kgW

ms

mkg

mkg

10

4

5.24

10


Solución:

c

a

F

TB

h

TA


h

A

F

a B

1cos

1

22

222

c

xhch

cshsencx

csch

scy

hcy

B

B



F = -TA

cTA

Este grupo de ecuaciones debe resolverse por iteración de la forma que se muestra

en la tabla adjunta.

TA = 4.1375 kg

TA = 40.6 N

a = h = 2.67 m

TB = yB = 2.5 ( 1.655 + 2.67 )

TB = 10.8125 kg = 106.07 N

c TA x h

1 2.5 2.09 3.12

10 2.5 3.9 0.77

5 12.5 3.66 1.40

2 5 2.997 2.472

1.5 3.75 2.561 2.772

1.6 4.0 2.636 2.708

1.7 4.25 2.705 2.646

1.65 4.125 2.671 2.677

1.68 4.2 2.691 2.658

1.67 4.175 2.68 2.66

1.66 4.15 2.677 2.671

1.655 4.1375 2.674 2.673

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